Álgebra Linear I

Álgebra Linear I

Clício Freire da SilvaDisney Douglas de Lima Oliveira

Domingos Anselmo Moura da Silva

Manaus 2007

FICHA TÉCNICA

GovernadorEduardo Braga

Vice-GovernadorOmar Aziz

ReitorLourenço dos Santos Pereira Braga

Vice-ReitorCarlos Eduardo S. Gonçalves

Pró-Reitor de Planejamento e Administração Antônio Dias Couto

Pró-Reitor de Extensão e Assuntos ComunitáriosAdemar R. M. Teixeira

Pró-Reitor de Ensino de GraduaçãoCarlos Eduardo S. Gonçalves

Pró-Reitor de Pós-Graduação e PesquisaWalmir de Albuquerque Barbosa

Coordenador Geral do Curso de Matemática (Sistema Presencial Mediado)Carlos Alberto Farias Jennings

Coordenador PedagógicoLuciano Balbino dos Santos

NUPROMNúcleo de Produção de Material

Coordenador GeralJoão Batista Gomes

Projeto GráficoMário Lima

Editoração EletrônicaHelcio Ferreira Junior

Revisão Técnico-gramaticalJoão Batista Gomes

Silva, Clício Ferreira da.

S586a Álgebra linear / Clício Ferreira da Silva, Disney Douglas deLima Oliveira, Domingos Anselmo Moura da Silva. - Manaus/AM:UEA, 2007. - (Licenciatura em Matemática. 2. Período)

111 p.: il. ; 29 cm.

Inclui bibliografia.

1. Álgebra linear - Estudo e ensino. I. Oliveira, DisneyDouglas de Lima. II. Silva, Domingos Anselmo Moura da. III.Série. IV. Título.

CDU (1997): 512.64

CDD (19.ed.): 512.5

SUMÁRIO

Palavra do Reitor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 07

UNIDADE I – Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 09

TEMA 01 – Matrizes - Definições e classificação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11TEMA 02 – Matrizes - Operações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

UNIDADE II – Determinantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

TEMA 03 – Determinantes - Definição e cálculo de determinantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21TEMA 04 – Determinantes - Propriedades dos determinantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

UNIDADE III – Sistemas Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

TEMA 05 – Sistemas lineares- Definição e resolução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31TEMA 06 – Estudo de sistemas lineares homogêneos e heterogêneos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

UNIDADE IV – Vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

TEMA 07 – Vetores - Definição e operações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41TEMA 08 – Vetores - Dependência e Independência Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44TEMA 09 – Vetores - Produto Interno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49TEMA 10 – Vetores - Projeção Ortogonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52TEMA 11 – Produto Vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53TEMA 12 – Produto Misto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

UNIDADE V – Retas e Planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

TEMA 13 – Equação da reta e do plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61TEMA 14 – Posições relativas entre retas, planos, retas e planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68TEMA 15 – Distância entre dois pontos, ponto e reta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75TEMA 16 – Distância entre retas, ponto e plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78TEMA 17 – Distância entre reta e plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80TEMA 18 – Ângulo entre retas, entre planos e entre reta e plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

UNIDADE VI – Cônicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

TEMA 19 – Cônicas - Parábola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89TEMA 20 – Cônicas - Elipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94TEMA 21 – Cônicas - Hipérbole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

Respostas de Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

Referências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

Clício Freire da SilvaLicenciado em Matemática – UFAM

Bacharel em Matemática – UFAM

Pós-graduado em Instrumentação para o Ensino da Matemática – UFF

Disney Douglas de Lima OliveiraLicenciado e Bacharel em Matemática - UFAM

Mestre em Matemática - UFAM

Doutorando em Computação Gráfica - UFRJ

Domingos Anselmo Moura da SilvaLicenciado e Bacharel em Matemática - UFAM

Mestre em Matemática - UFAM

PERFIL DOS AUTORES

PALAVRA DO REITOR

A realidade amazônica, por si só, é um desafio à educação tradicional, aquela que teima em ficar arraigada

à sala de aula, na dependência única dos métodos triviais de ensino. A Universidade do Estado do

Amazonas já nasceu consciente de que o ensino presencial mediado é a única estratégia capaz de respon-

der aos anseios de um público que, por estar disperso, tem de ser atendido por projetos escudados em

dinamismo técnico−científico.

Assim, a Licenciatura Plena em Matemática, ancorada no Sistema Presencial Mediado, nasceu para ofere-

cer aos discentes as habilidades necessárias para que eles venham a construir seus próprios objetivos exis-

tenciais, estimulando−lhes a ousadia de aceitar o novo e de criar novas possibilidades de futuro, dando−lhes uma visão multifacetada das maneiras de educar.

Os livros−textos em que o curso se apóia são produzidos com o rigor didático de quem sabe que a história

da educação, no nosso Estado, está sendo reescrita. Os agentes desse processo têm visão crítica e apos-

tam na formação de novos professores que saberão aliar inteligência e memória, não permitindo que o ensi-

no em base tecnológica ganhe a conotação de “um distanciado do outro”.

A autonomia de agir que cada um está aprendendo a conquistar virá, em breve, como resposta aos desafios

que se impõem hoje.

Lourenço dos Santos Pereira Braga

Reitor da Universidade do Estado do Amazonas

UNIDADE IMatrizes

TEMA 01

MATRIZES – DEFINIÇÕES E CLASSIFICAÇÃO

1.1 Fique por dentro

Surgimento da Teoria das matrizes

• Curiosidades em torno do nome matriz

Foi só há pouco mais de 150 anos que as ma-trizes tiveram sua importância detectada e saí-ram da sombra dos determinantes. O primeiroa dar a elas um nome parece ter sido Cauchy,em 1826: tableau (= tabela ).

O nome matriz só veio com James JosephSylvester, 1850. Seu amigo Cayley, com suafamosa Memoir on the Theory of Matrices,1858, divulgou esse nome e começou a de-monstrar sua utilidade.

Por que Sylvester deu o nome matriz àsmatrizes?

Usou o significado coloquial da palavra matriz:local onde algo se gera ou se cria. Com efeito,via-as como “...um bloco retangular de ter-mos... o que não representa um determinante,mas é como se fosse uma MATRIZ a partir daqual podemos formar varios sistemas de deter-minantes, ao fixar um número p e escolhar àvontade p linhas e p colunas...” (artigo publicado

na Philosophical Magazine de 1850, pag. 363-370 )

Observe que Sylvester ainda via as matrizescomo mero ingrediente dos determinantes. Ésó com Cayley que elas passam a ter vidaprópria e, gradativamente, começam a suplan-tar os determinantes em importância.

• Surgimento dos primeiros resultados da Teoria das Matrizes

Costuma-se dizer que um primeiro curso deTeoria das Matrizes – ou de sua versão maisabstrata, a Algebra Linear – deve ir, no mínimo,até o Teorema Espectral. Pois bem, esse teore-ma e toda uma série de resultados auxiliares jáeram conhecidos antes de Cayley começar aestudar as matrizes como uma classe notávelde objetos matemáticos.

Como se explica isso? Esses resultados, bem

como a maioria dos resultados básicos da Teo-ria da Matrizes, foram descobertos quando osmatemáticos dos séculos XVIII e XIX passarama investigar a Teoria das Formas Quadráticas.Hoje, consideramos imprescindível estudar es-sas formas por meio da notacão e da metodo-logia matricial, mas naquela época elas eramtratadas escalarmente. Mostremos aqui a re-presentação de uma forma quadrática de duasvariáveis, tanto via notação escalar, como coma mais moderna notação matricial:

O primeiro uso implícito da noção de matrizocorreu quando Lagrange (1790) reduziu a ca-racterização dos máximos e mínimos, de umafunção real de várias variáveis, ao estudo dosinal da forma quadrática associada à matrizdas segundas derivadas dessa função. Sempretrabalhando escalarmente, ele chegou a umaconclusão que hoje expressamos em termosde matriz positiva definida. Após Lagrange, jáno século XIX, a Teoria das Formas Quadrá-ticas chegou a ser um dos assuntos mais impor-tantes em termos de pesquisas, principalmenteno que toca ao estudo de seus invariantes. Es-sas investigações tiveram como subproduto adescoberta de uma grande quantidade de resul-tados e conceitos básicos de matrizes.

Assim, podemos dizer que a Teoria das Matri-zes teve como mãe a Teoria das Formas Quadrá-ticas, pois seus métodos e resultados básicosforam lá gerados. Hoje, contudo, o estudo dasformas quadráticas é um mero capítulo da Teo-ria das Matrizes. (Fonte de pesquisa:

http://www.mat.ufrgs.br/~portosil/passa3)

1.2 Elementos básicos para matrizes

Aqui, tomaremos o conjunto N dos números na-turais, como: N = {1,2,3,4,5,6,7,...}.

O produto cartesiano N×N indicará o conjuntode todos os pares ordenados da forma (a, b),em que a e b são números naturais, isto é:

N × N={(a, b): a e b são números naturais}

Uma relação importante em N×N é:

Smn={(i,j): 1≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n}

11

Álgebra Linear I – Matrizes

1.3 Definição de matriz

Considere um conjunto A de elementos aij, dis-postos em uma tabela com m linhas e n colu-nas, tais que A = (aij)m×n, onde:

1.4 Definições básicas sobre matrizes

• Ordem – Se a matriz A tem m linhas e n colu-nas, dizemos que a ordem da matriz é m×n.

• Posição de um elemento – Na tabela acima,a posição de cada elemento aij = a(i,j) éindicada pelo par ordenado (i,j).

• Notação para a matriz – Indicamos umamatriz A pelos seus elementos, na forma: A = (aij)m×n ∀ . (i,j) ∈ Smn

• Matriz quadrada – É a matriz que tem onúmero de linhas igual ao número de colu-nas, isto é, m = n.

Exemplo: Matriz 4 x 4 de números reais.

• Diagonal principal – A diagonal principalda matriz é indicada pelos elementos daforma a(i,j) onde i = j.

• A diagonal secundária de uma matriz qua-drada de ordem n é indicada pelos n ele-mentos:

• Matriz diagonal – É a que tem elementosnulos fora da diagonal principal.

Exemplo: Matriz diagonal com quatro linhase quatro colunas:

• Matriz real – É aquela que tem númerosreais como elementos.

• Matriz complexa – É aquela que tem nú-meros complexos como elementos.

Exemplo: Matriz 4 x 4 de números comple-xos.

• Matriz nula – É aquela que possui todos oselementos iguais a zero.

• Matriz identidade – Tem os elementos dadiagonal principal iguais a 1 e zero fora dadiagonal principal.

Exemplo: Matriz identidade de ordem 3.

I3 =

1.5 Matrizes iguaisDuas matrizes A = (ai,j)m×n e B = (bi,j)m×n, demesma ordem m×n, são iguais se todos os seuscorrespondentes elementos são iguais, isto éai,j = bi,j para todo par ordenado (i,j) em Smn.

Determinar os valores de x e y para que sejamiguais as matrizes abaixo, isto é:

Solução:

x – 1 = 1 x = 2

y – 1 = 2 y = 3

12

UEA – Licenciatura em Matemática

TEMA 02

MATRIZES – OPERAÇÕES

2.1 Soma de matrizes

A soma (adição) de duas matrizes A = [ai,j] e B = [bi,j] de mesma ordem m × n é uma outramatriz C = [ci,j], definida por:

ci,j = ai,j + bi,j, para todo par ordenado (i,j) emSmn.

Exemplo: A soma das matrizes A e B é a ter-ceira matriz indicada abaixo.

2.1.1 Propriedades

a) Associativa – Para quaisquer matrizes A, Be C, de mesma ordem m×n, vale a igual-dade:

(A + B) + C = A + (B + C)

b) Comutativa – Para quaisquer matrizes A eB, de mesma ordem m×n, vale a igualdade:A + B = B + A

c) Elemento neutro – Existe uma matriz nula 0que somada com qualquer outra matriz A,de mesma ordem, fornecerá a própria ma-triz A, isto é:

0 + A = A

d) Elemento oposto – Para cada matriz A,existe uma matriz -A, denominada a opostade A, cuja soma entre ambas fornecerá amatriz nula de mesma ordem, isto é:

A + (–A) = 0

2.2 Multiplicação de escalar por uma matriz

Seja k∈IR um escalar e A=(ai,j)mxn uma matriz.Definimos a multiplicação do escalar k pelamatriz A, como uma outra matriz C = k.A,definida por: ci,j = k. ai,j. Para todo par ordena-do (i,j) em Smn.

Exemplo: A multiplicação do escalar –4 pela

matriz , definida por:

2.2.1 Propriedades

a) Multiplicação pelo escalar 1 – A multiplica-ção do escalar 1 por qualquer matriz A, for-necerá a própria matriz A, isto é: 1. A = A

b) Multiplicação pelo escalar zero – A multipli-cação do escalar 0 por qualquer matriz A,fornecerá a matriz nula, isto é:

0 . A = 0 (matriz nula de ordem m x n)

c) Distributividade das matrizes – Para quais-quer matrizes A e B de mesma ordem epara qualquer escalar k, tem-se:

k (A+B) = k A + k B

d) Distributividade dos escalares – Para qual-quer matriz A e para quaisquer escalares pe q, tem-se:

(p + q) A = p A + q A

2.3 Multiplicação de matrizes

Dadas as matrizez A=(aij)mxn e B = (bij)pxq, dize-nis que ∃ A.B ⇔ n = p, onde A . B = C(cij)mxn

Para obter o elemento da 2.a linha e da 3.a co-luna da matriz produto C = A.B, isto é, o ele-mento c(2,3), devemos:

• multiplicar os primeiros elementos da 2.a

linha e 3.a coluna;

• multiplicar os segundos elementos da 2.ali-nha e 3.a coluna;

• multiplicar os terceiros elementos da 2.a

linha e 3.a coluna;

• multiplicar os quartos elementos da 2.a linhae 3.a coluna;

• somar os quatro produtos obtidos anterior-mente.

Assim:

c23 = a21 b13 + a22 b23 + a23 b33 + a24 b43

Observações• Somente podemos multiplicar duas matrizes

se o número de colunas da primeira for igualao número de linhas da segunda.

• Note que em geral A. B ≠ BA. Porém existemmatrizes tais que A . B = B . A, por exemploI3 . A = A . I3, ∀ A3x3

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2.3.1 Propriedades

a) Distributividade da soma à direita:

A (B+C) = A B + A C ∀ A = (aij)mxp, B(bcj)pxn,C(cij)pxn

b) Distributividade da soma à esquerda:

(A+B)C = A C + B C A(m,p), B(m,p), C(p,n)

c) Associatividade:

A (B C) = (A B) C A(m,p), B(p,k), C(k,n)

d) Nulidade do produto – Pode acontecerque o produto de duas matrizes seja a ma-triz nula, isto é: AB = 0, embora nem A nemB sejam matrizes nulas, como é o caso doproduto:

2.4 Matrizes com propriedades especiais

a) Uma matriz A é nilpotente de índice k natu-ral se Ak = 0

b) Uma matriz A é periódica de índice k natu-ral se Ak+1= A

c) Uma matriz A é idempotente se A2 = A

d) As matrizes A e B são anticomutativas seA.B = –B.A

e) A matriz identidade Id multiplicada por todamatriz A, fornecerá a própria matriz A, quan-do o produto fizer sentido, ou seja, Id A = A.

f) A matriz A será a inversa da matriz B, se A.B = Id e B.A = Id

g) Dada uma matriz A = (aij) de ordem m × n,definimos a transposta da matriz A como amatriz At = (aij)nxm.

2.4.1 Propriedades

a) A transposta da transposta da matriz é aprópria matriz (At)t = A

b) A transposta da multiplicação de um esca-lar por uma matriz é igual ao próprio escalarmultiplicado pela transposta da matriz (kA)t = k (At)

c) A transposta da soma de duas matrizes é asoma das transpostas dessas matrizes.

(A + B)t = At + Bt

d) A transposta do produto de duas matrizes é

igual ao produto das transpostas das matri-zes na ordem trocada:

(A B)t = Bt At

e) Uma matriz A é simétrica se é uma matrizquadrada tal que At = A

f) Uma matriz A é anti-simétrica se é uma ma-triz quadrada tal que At = –A

g) Se A é uma matriz simétrica de ordem n,então para todo escalar k, a matriz k.A ésimétrica.

h) Se A é uma matriz quadrada de ordem n,então a matriz B = A + At é simétrica.

i) Se A é uma matriz quadrada de ordem n,então a matriz B = A – At é anti-simétrica.

2.5 Exemplos

1. Vamos escrever a matriz A = (aij)2 x 3 , sendo

ai j = i + j. Uma matriz do tipo 2 x 3 pode sergenericamente representada por

Utilizando a regra de formação de seus ele-mentos, encontramos:

a11 = 1 + 1 = 2 a12 = 1 + 2 = 3a13 = 1 + 3 = 4a21 = 2 + 1 = 3a22 = 2 + 2 = 4a23 = 2 + 3 = 5

Assim, a matriz pedida é .

2. Vamos determinar os valores de a, b, c, d paraque se tenha:

Igualando os elementos de mesma posição,segue que:

a = 4

b + 1 = –1 b = –2

c – 4 = 6 c = 10

d + 3 = 8 d = 5

3. Vamos resolver a equação X – A = B, sendo

14


. Vamos ver dois mo-

dos de resolução.

Modo 1:

A matriz procurada é . Temos:

Igualando os elementos correspondentes, vem:

p – 3 = 7 p = 10

q – 1 = 10 q = 11

r – 4 = –1 r = 3

s + 2 = 5 s = 3

Modo 2:

Vamos “isolar” a matriz X na equação:

1. Somemos, aos dois membros, a matriz A:

(X – A) + A = B + A

2. Usando as propriedades II e III, temos:

3. Usando a propriedade IV, temos:

A seqüência acima mostra-nos que essaequação matricial é resolvida do mesmomodo que a equação x – a = b, sendo x, a,e b números reais.

Assim, para adição e subtração de matri-zes, é possível simplesmente fazer:

X – A = B ⇒ X = B + A.

4. Vamos determinar X na equação

3. X – A = B, sendo .

Modo 1:

A matriz procurada é . Temos:

Daí:

Modo 2:

Vamos operar como se A, B e X fossem núme-ros reais:

3X= A + B X = . (A + B),

isto é:

5. Sejam as matrizes e

, vamos determinar a matriz A . B.

Vejamos se é possível fazer tal produto:

Façamos . Temos:

• C11: (linha 1 de A e coluna 1 de B)

c11 = 5 . 1 + 1 . (–4) + (-1) . 8 = –7


c12 = 5 . 5 + 1 . 3 + (–1) . 1 = 27


c21 = 3 . 1 + 2 . (–4) + 7 . 8 = 51


c22 = 3 . 5 + 2 . 3 + 7 . 1 = 28

Assim,

15


16


6. Considerando as matrizes e

, vamos determinar a matriz C,

produto de A por B.

Temos:

Seguindo o mesmo esquema do exemplo an-terior, temos:

c11 = 1 . 2 + 2 . 0 = 2

c12 = 1 . 1 + 2 . 3 = 7

c13 = 1 . (–1) + 2 . (-2) = –5

c21 = 5 . 2 + 3 . 0 = 10

c22 = 5 . 1 + 3 . 3 = 14

c23 = 5 . (–1) + 3 . (–2) = -11

c31 = 9 . 2 + (–4) . 0 = 18

c32 = 9 . 1 + (–4) . 3 = -3

c33 = 9 . (–1) + (–4) . (–2) = –1

c41 = 0 . 2 + 7 . 0 = 0

c42 = 0 . 1 + 7 . 3 = 21

c43 = 0 . (–1) + 7 . (-2) = –14

Logo:

7. Vamos encontrar, se existir, a inversa da matriz

Devemos determinar tal que

A . A–1 = I2. Temos:

Igualando os elementos correspondentes, se-guem os sistemas:

Logo:

Note que:

1. Construa a matriz A = (ai j)3x3, em que

, identificando os elemen-

tos que pertencem às diagonais principal esecundária de A.

2. Diz-se que uma matriz quadrada é simétrica seela for igual à sua matriz transposta. Determinex e y a fim de que a matriz

seja simétrica.

3. Determine os valores de p e q que satisfazem

a igualdade: .

4. Determine x e y reais de modo que

.

5. Resolva o sistema matricial:

6. Efetue:

7. Sabendo que , determine a

matriz 2 . X.

8. Resolva o sistema .

9. Sejam A = (ai j)4x3 e B = (bi j)3x4 duas matrizes

definidas por ai j = i + j e bi j = 2i + j, respecti-

vamente. Se A . B = C, então qual é o elemen-

to c32 da matriz C?

10. Determine x e y a fim de que as matrizes

comutem.

11. Considere . Determine:

Xt + (X–1)t.

12. Supondo sen θ ≠ 0 e cos θ ≠ 0, encontre a inver-

sa da matriz T = .

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UNIDADE IIDeterminantes

TEMA 03

DETERMINANTES – DEFINIÇÃO E CÁLCULO DE DETERMINANTES

3.1 Fique por dentro

Origem dos Sistemas Lineares eDeterminantes

Na matemática ocidental antiga, são poucas asaparições de sistemas de equações lineares. NoOriente, contudo, o assunto mereceu atençãobem maior. Com seu gosto especial por diagra-mas, os chineses representavam os sistemaslineares por meio de seus coeficientes escritoscom barras de bambu sobre os quadrados deum tabuleiro. Assim, acabaram descobrindo ométodo de resolução por eliminação – que con-siste em anular coeficientes por meio de opera-ções elementares. Exemplos desse procedimen-to encontram-se nos Nove capítulos sobre a ar-te da matemática, um texto que data provavel-mente do século 111 a.C.

Mas foi só em 1683, num trabalho do japonêsSeki Kowa, que a idéia de determinante (comopolinômio que se associa a um quadrado de nú-meros) veio à luz. Kowa, considerado o maiormatemático japonês do século XVII, chegou aessa noção por meio do estudo de sistemas li-neares, sistematizando o velho procedimentochinês (para o caso de duas equações apenas).

O uso de determinantes no Ocidente começoudez anos depois, num trabalho de Leibniz, liga-do também a sistemas lineares. Em resumo,Leibniz estabeleceu a condição de compatibili-dade de um sistema de três equações a duasincógnitas em termos do determinante de or-dem 3 formado pelos coeficientes e pelos ter-mos independentes (este determinante deveser nulo). Para tanto, criou até uma notação comíndices para os coeficientes; o que hoje, porexemplo, escreveríamos como a12, Leibniz indi-cava por 12.

A conhecida regra de Cramer para resolver sis-temas de n equações a n incógnitas, por meiode determinantes, é na verdade uma desco-berta do escocês Colin Maclaurin (1698-1746),datando provavelmente de 1729, embora só

publicada postumamente em 1748, no seuTreatise of algebra. Mas o nome do suíço Ga-briel Cramer (1704-1752) não aparece nesseepisódio de maneira totalmente gratuita. Cra-mer também chegou à regra (independente-mente), mas depois, na sua Introdução à aná-lise das curvas planas (1750), em conexão como problema de determinar os coeficientes dacônica geral A + By + Cx + Dy2 + Exy + x2 = 0.

O francês Étienne Bézout (1730-1783), autorde textos matemáticos de sucesso em seutempo, sistematizou, em 1764, o processo de es-tabelecimento dos sinais dos termos de um de-terminante. E coube a outro francês, AlexandreVandermonde (1735-1796), em 1771, empre-ender a primeira abordagem da teoria dos de-terminantes independente do estudo dos sis-temas lineares – embora também os usasse naresolução destes sistemas. O importante teore-ma de Laplace, que permite a expansão de umdeterminante por meio dos menores de r filasescolhidas e seus respectivos complementosalgébricos, foi demonstrado, no ano seguinte,pelo próprio Laplace num artigo que, a julgarpelo título, nada tinha a ver com o assunto:Pesquisas sobre o cálculo integral e o sistemado mundo.

O termo determinante, com o sentido atual,surgiu em 1812, num trabalho de Cauchy so-bre o assunto. Neste artigo, apresentado à Aca-demia de Ciências, Cauchy sumariou e simpli-ficou o que era conhecido até então sobredeterminantes, melhorou a notação (mas a atu-al com duas barras verticais ladeando o qua-drado de números só surgiria em 1841, comArthur Cayley) e deu uma demonstração doteorema da multiplicação de determinantes –meses antes J. F. M. Binet (1786-1856) dera aprimeira demonstração desse teorema, mas ade Cauchy era superior.

Além de Cauchy, quem mais contribuiu paraconsolidar a teoria dos determinantes foi oalemão Carl G. J. Jacobi (1804-1851), cogno-minado às vezes “o grande algorista”. Deve-sea ele a forma simples como essa teoria seapresenta hoje. Como algorista, Jacobi era umentusiasta da notação de determinante, comsuas potencialidades. Assim, o importante con-ceito jacobiano de uma função, salientando umdos pontos mais característicos de sua obra, éuma homenagem das mais justas. (HYGINO H.

DOMINGUES)

21

Álgebra Linear I – Determinantes

22


3.2 Introdução

Como já vimos, matriz quadrada é a que tem omesmo número de linhas e de colunas (ou seja,é do tipo n x n).

A toda matriz quadrada está associado um nú-mero ao qual damos o nome de determinante.

Dentre as várias aplicações dos determinantesna Matemática, temos:

• resolução de alguns tipos de sistemas deequações lineares;

• cálculo da área de um triângulo situado noplano cartesiano, quando são conhecidasas coordenadas dos seus vértices.

3.3 Determinante de 1.a ordem

Dada uma matriz quadrada de 1.a ordemM=[a11], o seu determinante é o número reala11: det M =Ia11I = a11

Observação:

Representamos o determinante de uma matrizentre duas barras verticais, que não têm o sig-nificado de módulo.

Por exemplo:

M= [5] ⇒ det M = 5 ou |5| = 5

M = [–3] ⇒ det M = –3 ou |–3| = –3

3.4. Determinante de 2.a ordem

Dada a matriz , de ordem 2, por

definição o determinante associado a M, deter-minante de 2.a ordem, é dado por:

detM = = a11a22 – a12a22

Portanto o determinante de uma matriz de or-dem 2 é dado pela diferença entre o produtodos elementos da diagonal principal e o produ-to dos elementos da diagonal secundária. Vejao exemplo a seguir.

Sendo , temos:

detM = = 2.5 – 4.3 = 10 – 12 ⇒ detM = –2

3.5 Menor complementar

Chamamos de menor complementar relativoa um elemento aij de uma matriz M, quadrada ede ordem n > 1, o determinante MCij, deordem n – 1, associado à matriz obtida de Mquando suprimimos a linha e a coluna que pas-sam por aij.

Vejamos como determiná-lo pelos exemplos aseguir:

a) Dada a matriz , de ordem 2,

para determinar o menor complementar re-lativo ao elemento a11(MC11), retiramos alinha 1 e a coluna 1:

⇒ MC11 = |a22| = a22

Da mesma forma, o menor complementarrelativo ao elemento a12 é:

⇒ MC12 = |a21| = a21

b) Sendo , de ordem 3,

temos:

3.6 Cofator

Chamamos de cofator ou complemento algé-brico relativo a um elemento aij de uma matrizquadrada de ordem n o número Aij tal queAij = (–1)i+j . MCij .

Veja:

23


a) Dada , os cofatores relativos

aos elementos a11 e a12 da matriz M são:

b) Sendo , vamos calcular

os cofatores A22, A23 e A31:

3.7 Teorema de Laplace

O determinante de uma matriz quadradaM = [aij]mxn, m = 2, pode ser obtido pela somados produtos dos elementos de uma fila qual-quer (linha ou coluna) da matriz M pelos res-pectivos cofatores.

Assim, fixando j ∈ N; 1 = j = m, temos:

em que é o somatório de

todos os termos de índice i, variando de 1 atém, m ∈ N.

3.8 Regra de Sarrus

O cálculo do determinante de 3.a ordem podeser feito por meio de um dispositivo prático,denominado regra de Sarrus.

Acompanhe como aplicamos essa regra para

.

1.o passo – Repetimos as duas primeiras colu-nas ao lado da terceira:

2.o passo – Encontramos a soma do produtodos elementos da diagonal principal com osdois produtos obtidos pela multiplicação doselementos das paralelas a essa diagonal (asoma deve ser precedida do sinal positivo):

3.o passo – Encontramos a soma do produtodos elementos da diagonal secundária com osdois produtos obtidos pela multiplicação doselementos das paralelas a essa diagonal (asoma deve ser precedida do sinal negativo):

Assim:

= –(a13a22a31+a11a23a22+a12a21a33)+(a11a22a33+a11a23a31+a13a21a32)

Observação:

Se desenvolvermos esse determinante de 3.a

ordem aplicando o Teorema de Laplace,encontraremos o mesmo número real.

24


TEMA 04

DETERMINANTES – PROPRIEDADES DOSDETERMINANTES

4.1 Nulidade

a) Quando todos os elementos de uma fila(linha ou coluna) são nulos, o determinantedessa matriz é nulo.

Exemplo:

a)

b)

b) Se duas filas de uma matriz são iguais,então seu determinante é nulo.

Exemplo:

c) Se duas filas paralelas de uma matriz sãoproporcionais, então seu determinante énulo.

Exemplo:

d) Se os elementos de uma fila de uma matrizsão combinações lineares dos elementoscorrespondentes de filas paralelas, entãoseu determinante é nulo.

Exemplos:

a) b)

4.2 Teorema de Jacobi

Teorema de Jacobi – O determinante de umamatriz não se altera quando somamos aos ele-mentos de uma fila uma combinação linear doselementos correspondentes de filas paralelas.

Exemplo:

Substituindo a 1.a coluna pela soma dessamesma coluna com o dobro da 2.a, temos:

4.3 Matriz transposta

O determinante de uma matriz e o de sua trans-posta são iguais.

Exemplo:

4.4 Alteração de um determinante

a) Multiplicando por um número real todos oselementos de uma fila em uma matriz, odeterminante dessa matriz fica multiplicadopor esse número.

Exemplos:

a)

multiplicando

b)

multiplicando

= 1/5 . (–145) = –29

25


b) Quando trocamos as posições de duas filasparalelas, o determinante de uma matriz mu-da de sinal.

Exemplo:

Trocando- se as posições de L1 e L2:

c) Se k ∈ R, então det(k.A) = kn.detA

Exemplo:

4.5 Matriz triangular

a) Quando, em uma matriz, os elementos aci-ma ou abaixo da diagonal principal sãotodos nulos, o determinante é igual ao pro-duto dos elementos dessa diagonal.

Exemplos:

a) b)

b) Quando, em uma matriz, os elementosacima ou abaixo da diagonal secundáriasão todos nulos, o determinante é igual aoproduto dos elementos dessa diagonal mul-

tiplicado por .

Exemplos:

a) b)

4.6 Teorema de Binet

Para A e B matrizes quadradas de mesma or-dem n, det (AB) = det A . det B

A sendo inversível:

Exemplo:

Se , e , então:

1. Vamos calcular o valor do determinante da

matriz .

–42 0 –8 –4 –35 0

Assim:

det M = –42 + 0 – 8 – 4 – 35 + 0 = –89.

2. Vamos determinar o valor de x em

.

Aplicando a regra de Sarrus no primeiro mem-bro, vem:

0 +6 –x2 0 –12x 4x

Daí:

–x2 – 8x + 6 = –3 x2 + 8x – 9 = 0

x = –9 ou x = 1

3. Sendo , então, eliminando-se

a 1.a linha e a 3.a coluna, obtemos:

é o cofator do

elemento a13 .

4. Sendo e eliminando-se

a 3.a linha e a 2.a coluna, obtemos:

é o cofa-

tor do elemento b32 .

5. Vamos calcular .

Escolhemos a linha 3 de D pelo teorema deLaplace vem:

D = 7 . A31 + 4 . A32 + (–5) . A33 + 0 . A34(*)

Temos:

Observe que não é necessário calcular A34.

Daí, em (*), temos:

D = 7 . 9 + 4 . 20 + (–5) . 7 = 108

6. Qual é o valor de .

Embora a escolha seja arbitrária, devemos

optar pela fila com maior número de zeros, afim de simplificar os cálculos. Escolhemos,dessa forma, desenvolver pelos elementos da2.a coluna. Temos:

Assim, basta calcular A22.

Como , se-

gue que D = (–2) . (–183) = 366.

7. Seja a matriz quadrada , onde

observamos que todos os elementos da 1.a eda 2.a coluna são iguais. Vamos calcular odeterminante da matriz:

Det A =

8. Considere as matrizes e sua

transposta

.Os seus determinantes valem:

∴ det A = det At

O determinante de uma matriz quadrada A é igual ao determinante de sua transposta At.

9. Resolver a equação .

26


27


Resolução:

Resposta: S = {2, 3}

10. Calcular o determinante:

Observe que o determinante não possui ele-mento igual a 1, mas podemos obtê-lo colo-cando 2 em evidência na 3.a linha

Vamos fixar o elemento a31 e aplicar o teoremade Jacobi. Daí, temos:

• Multiplicando-se, respectivamente, por 2, 3e –4 os elementos da 3.a linha e adicionan-do-os, respectivamente, aos elementos da1.a, 2.a e 4.a linhas, vem:

Aplicando o teorema de Laplace aos ele-mentos da 1.a coluna, temos:

Utilizando a regra de Sarrus, obtemos:

D = –184

Resposta: –184

1. Seja a matriz . Sabendo se que

At = A, calcule o determinante da matriz, sendo I3 a matriz identidade de

ordem 3.

a) –34 b) –67c) –56 d) –76

2. Se , qual é o valor

de 2x?

a) 2 b) 3c) 4 d) 5

3. Calcule: .

a) 50 b) –45c) 45 d) –50

4. Dadas as matrizes e , o

determinante da matriz A . B é:

a) –1 b) 6c) 10 d) 12e) 14

5. Calcule x e y de sorte que:

.

a) x = 1, y = 3 b) x = 3, y = 2c) x = 4, y = 4 d) x = 4, y = 3

6. Considere as matrizes:

e

Sabe-se que B = C, o determinante da matrizA será:

a) 42 b) 21

c) 24 d) 12

e) 15

7. O valor do determinante abaixo é:

a) 3abcd b) 2abcd

c) 3abc d) –3abc

e) –2abd

8. Dadas as matrizes, calcule o determinante damatriz A2 + B2.

e

a) 13 b) 14c) 16 d) 18e) 19

9. Seja S = (Si j) a matriz quadrada de ordem 3,

onde . Calcule o valor do

determinante de S.

a) 36 b) 48c) 56 d) 24e) 34

11. Se 0 ≤ x ≤ 2, determine o menor valor de x, tal

que .

a) 0 b) 1

c) 2 d) 3

e) 4

10. Calcule o determinante da matriz M = (AB) . C,sendo :

e .

a) 3 b) 2c) 4d) 1e) 0

13. Calcule: .

a) 1b) 2c) 3d) 4e) 5

14. Calcule o determinante:

.

a) 19b) 12c) 15d) 13e) 16

15. Ache o valor do determinante:

.

a) 256b) 345c) –365d) –65e) –353

28


UNIDADE IIISistemas Lineares

31

Álgebra Linear I – Sistemas Lineares

TEMA 05

SISTEMAS LINEARES – DEFINIÇÃO E RESOLUÇÃO

5.1 Equação linear

Entenderemos por equação linear nas variá-veis (incógnitas) x1, x2, x3, ... , xn , como sendoa equação da forma: a1.x1 + a2.x2 + a3.x3 + ... + an.xn = b, em quea1, a2, a3, ... an e b são números reais ou com-plexos.

a1, a2, a3, ... an são denominados coeficientes,e b, termo independente.

Exemplos de equações lineares:

4x1 + 2x2 = 9

3x + 4y = 5

–2x + 3y +5z = 12

–x – 3y – 7z + 3w = 17

5.2 A solução de uma equação linear

Chamamos de solução de uma equação linearaos valores que, ao serem substituídos nasincógnitas, cheguem à uma igualdade ver-dadeira. Por exemplo: a equação x + y + z = 5apresenta como solução os valores x = 1,y = 4 e z = 0, uma vez que 1 + 4 + 0 = 5. Osvalores x = 3, y = 7 e z = –5 também sãosoluções da equação, uma vez que 3 + 7 – 5 = 5.Podemos, então, afirmar que existem infinitassoluções (um número infinito de ternos orde-nados) que satisfazem à equação dada.

5.3 Sistema linearDe foma geral, podemos dizer que um sistemade equações lineares ou sistema linear é um con-junto composto por duas ou mais equações line-ares.

Um sistema linear pode ser representado daseguinte forma:

onde:

x1, x2,...,xn são as incógnitas;

a11, a12,...,amn são os coeficientes;

b1, b2,...,bm são os termos indepentes.

Resolver o sistema significa encontrar os va-lores das incógnitas que resolvem, simultanea-mente, todas as suas equações.

Por exemplo: dado o sistema de equações:

Podemos afirmar que a sua solução será a tri-pla x = 1, y = 2 e z = 0, pois:

2.1 + 2 – 0 = 4

1 – 2 + 3.0 = –1

3.1 – 5.2 + 7.0 = –7

5.4 Resolução de sistemas lineares.

Para resolver um sistema linear pelo métodode Cramer, é necessário que o mesmo sejapossível determinado, com det(mp) = 0, comoveremos a seguir.

Vamos resolver o sistema proposto inicialmente:

Para resolver um sistema, devemos, inicialmente,encontrar a sua Matriz Principal, que é dadapelos coeficientes das incógnitas. Dessa forma,a matriz principal do sistema acima será:

Calculamos, então, o seu determinante. Paraindicar o determinante de uma matriz X, escre-veremos det(X), então det (Mp) = 20.

A seguir, calculamos os determinantes das in-cógnitas, que são conseguidas quando substi-tuímos, na matriz principal, a coluna de umadas incógnitas, pela coluna dos termos inde-pendentes. Temos, deste modo, as matrizeschamadas de Mx, My e Mz, das quais tambémdevemos calcular os determinantes.

32


det (Mx) = 20

det (My) = 40

det (Mz) = 0

Após calculados os determinantes da matrizprincipal e das matrizes das incógnitas, chega-mos aos valores de x, y, z, efetuando as se-guintes divisões:

Chegamos, então, aos valores de x = 1; y = 2;z = 0.

Observação: Quando dois ou mais sistemasapresentam a mesma solução, são chamadosde Sistemas Equivalentes.

5.5 Sistemas escalonados

Dizemos que um sistema, em que existe pelomenos um coeficiente não-nulo em cada equa-ção, está escalonado, se o número de coefi-cientes nulos antes do primeiro coeficiente não-nulo aumenta de equação para equação.

Para escalonar um sistema, adotamos o se-guinte procedimento:

a) Fixamos como 1.a equação uma das quepossuem o coeficiente da 1.a incógnita dife-rente de zero.

b) Utilizando as propriedades de sistemas equi-valentes, anulamos todos os coeficientes da1.a incógnita das demais equações.

c) Repetimos o processo com as demais incóg-nitas, até que o sistema se torne escalonado.

Vamos, então, aplicar a técnica do escalona-

mento, considerando dois tipos de sistema:

I. O número de equações é igual ao númerode incógnitas (m = n)

Exemplo: Vamos resolver o sistema abaixo:

1.o passo – Anulamos todos os coeficientes da1.a incógnita a partir da 2.a equação, aplicandoas propriedades dos sistemas equivalentes:

Trocamos de posição a 1.a equação com a 2.a

equação, de modo que o 1.o coeficiente de xseja igual a 1:

Trocamos a 2.a equação pela soma da 1.a equa-ção, multiplicada por –2, com a 2.a equação:


2.o passo – Anulamos os coeficientes da 2.a

incógnita a partir da 3.a equação:


Agora, o sistema está escalonado, e podemosresolvê–lo.–2z = –6 ⇒ z = 3

Substituindo z=3 em (II):–7y – 3(3) = –2 ⇒ –7y – 9 = –2 y = –1

Substituindo z = 3 e y = –1 em (I):x + 2(–1) + 3= 3 ⇒ x = 2

Então, x = 2, y = –1 e z = 3

33


TEMA 06

ESTUDO DE SISTEMAS LINEARES

HOMOGÊNEOS E HETEROGÊNEOS

6.1 Discussão de Sistemas Lineares

Um sistema linear pode apresentar três possi-

bilidades diferentes de solução:

• O sistema pode ter uma única solução (nes-

se caso, será chamado de sistema possível

e determinado – SPD)

• O sistema pode ter infinitas soluções (nesse

caso, será chamado de sistema possível e

indeterminado – SPI)

• O sistema pode não apresentar solução

(nesse caso, será chamado de sistema im-

possível – SI)

Observações:

1. Se, ao escalonarmos um sistema, ocorrer uma

equação do tipo 0x1 + 0x2 + ........+ 0xn = 0

esta deverá ser suprimida do sistema.

Exemplo: Escalonar o sistema

Observe que o sistema é possível indeterminado.

2. Se, ao escalonarmos um sistema, ocorrer uma

equação do tipo 0x1 + 0x2 + ........+ 0xn =

b(com b0) o sistema será, evidentemente,

impossível.

Exemplo: Escalonar o sistema .

6.1.1 Sistema com uma única solução.

As equações lineares abaixo representam duasretas no plano cartesiano que têm o ponto(3,–2) como interseção.

6.1.2 Sistema com infinitas soluções

As equações lineares representam retas parale-las sobrepostas no plano cartesiano, logo exis-tem infinitos pontos que satisfazem a ambas asequações (pertencem a ambas as retas).

6.1.3 Sistema que não tem solução

As equações lineares representam retas para-lelas no plano cartesiano, logo, não existem pon-tos que pertençam às duas retas.

No caso de sistemas com três ou mais incóg-nitas, vale a mesma classificação.

Por exemplo:

O sistema é um sistema possível e determina-do (SPD), pois apresenta apenas a soluçãox = 1; y = 2; z = 3.

34


O sistema é um sistema possível e indetermi-nado (SPI), pois apresenta infinitas soluções.Entre as soluções, estão x = 0; y = –3; z = 1 ex = 1; y = –2; z = 3.

O sistema é um sistema impossível (SI), poisnão apresenta solução.

Podemos afirmar que um sistema linear S de nequações, com incógnitas x1, x2, ..., xn, seráSPD, SPI ou SI

6.2 Sistemas Lineares Homogêneos

Um sistema linear é chamado de homogêneoquando os termos independentes de todas asequações são nulos. Todo sistema linear ho-mogêneo admite pelo menos a solução conhe-cida como trivial, que é a solução identica-mente nula (x = 0; y = 0; z = 0, xi = 0).

Assim, todo sistema linear homogêneo é possível.

Exemplos:

O sistema é determinado, pois possui apenasa solução x = 0; y = 0; z = 0.

O sistema é indeterminado, pois admite infini-tas soluções, entre elas x = 0;

y = 0; z = 0 e x = 2; y = 0; z = 1.

6.3 Exemplos

1. Considere , cuja solução é (3, –1).

Multiplicando–se a 1.a equação de S por 5, porexemplo, obtemos:

cuja solução também é (3, –1).

2. Calcular m e n, de modo que sejam equiva-lentes os sistemas:

e

Resolução:

Cálculo de x e y.

x – y = 1 x (–2) e somamos abaixo

2x + y = 5

3y = 3, então y = 1

x – y = 1, então x = 2

Substituindo–se x e y no segundo sistema, vem:

2m – n = –1 x (2) e somamos abaixo

m + 2n = 2

5m = 0, então m = 0

2m – n = –1, então n = 1

Resposta: m = 0 e n = 1

3. Seja , cuja solução é (5, 3).

Substituindo a 2.a equação pela soma delacom a 1.a:

← (2ª eq.) + (1ª eq.)

O par (5, 3) é também solução de S’, pois asegunda equação também é verificada:

x – 2y = 5 – 2 . 3 = 5 – 6 = – 1

4. Vamos escalonar e depois resolver o sistema:

Em primeiro lugar, precisamos anular os coefi-cientes de x na 2.a e na 3.a equação.

Substituímos a 2.a equação pela soma delacom a 1.a, multiplicada por 2

35


Substituímos a 3.a equação pela soma delacom a 1.a, multiplicada por (–2)

Deixando de lado a 1.a equação, vamos repetiro processo para a 2.a e a 3.a equação. Convém,entretanto, dividir os coeficientes da 2.a equaçãopor 3, a fim de facilitar o escalonamento:

que é equivalente a:

Substituímos a 3.a equação pela soma delacom a 2.a, multiplicada por 4:

4y – 4z =–16–4y + 5z = 19

z = 3

O sistema obtido está escalonado e é do 1.o

tipo (SPD).

Resolvendo-o, obtemos como solução: (2, –1, 3).

5. Escalonando o sistema vem:

Dividimos os coeficientes da 3.a equação por 2,notamos que ela ficará igual à 2.a equação e,portanto, poderá ser retirada do sistema.

Assim, o sistema se reduz à forma escalonada

e é do 2.o tipo (SPI).

Resolvendo-o, vem y = –3z e x = 4z. Se

z = α, α ∈ IR, segue a solução geral

(4α, –3α, α).

Vejamos algumas de suas soluções:

• α = 0 → (0, 0, 0): solução nula ou trivial.• α = 1 → (4, –3, 1)• α = –2 → (–8, 6, – 2): soluções próprias ou

diferentes da trivial.

6. Resolver o Sistema

Logo:

O sistema é possível e determinado,

7. Resolver o sistema

Resolução – Dividindo–se a 2.a equação por 2e trocando-a de posição com a 1.a equaçãopara fazer o coeficiente de x igual a 1, vem:

Para eliminar a incógnita x, multiplica-se a 1.a

equação por (–4) e soma-se com a 2.a equação:

Da 2.a equação, vem:

–11y = –22 y = 2

Substituindo y = 2 na 2.a equação, temos:

x + 4 = 5 x = 1

Observação:

Podemos resolver este sistema utilizando so-mente os coeficientes, isto é, a matriz comple-ta associada ao sistema da seguinte forma:

36


Da 2.a equação, vem:

–11y = – 22 y = 2

Substituindo na 1.a equação, temos:

x + 2y = 5 x + 4 = 5 x = 1

S = {(1, 2)}

8. Resolver o sistema

Resolução – Utilizando a matriz completa, temos:

Da 3.a equação, temos:

0a + 0b + 0c = –5 (impossível)

S = ∅9. Determinar K, de modo que o sistema

admita solução única.

Quando o número de equações é igual ao nú-mero de incógnitas, também podemos consi-derar o determinante da matriz incompleta.Para que o sistema dado admita solução única,devemos ter:

Resposta:

10. Calcular o valor de m para que o sistema

tenha somente a solução trivial.

Resolução – Para que o sistema tenha somen-te a solução trivial, isto é, seja determinado, énecessário que det A ≠ 0.

Então:

Resposta: {m∈ IR|m ≠ 1}

1. O sistema , é:

a) indeterminado com uma variável livre;b) indeterminado com duas variáveis livres; c) homogêneo;d) impossível;e) determinado.

2. O sistema é:

a) impossível;b) indeterminado;c) determinado;d) par (10, 5) é solução do sistema;e) par (15, 0) é solução do sistema.

3. Considere o sistema . Pode-

mos afirmar corretamente que:

a) sistema é incompatível;b) sistema é compatível determinado; c) S = {(4, 1, 2)} é solução do sistema; d) sistema possui exatamente três soluções; e) sistema é compatível indeterminado.

4. (UEL – PR ) Se os sistemas e

são equivalentes, então a2 + b2 é

igual a:

a) 1 b) 4 c) 5 d) 9 e) 10

37


5. (FGV – SP) Resolvendo o sistema de equações

, temos que:

a) x = 1 e y = 0; b) é impossível;c) é indeterminado; d) x = 3 e y = –1; e) é indeterminado.

6. (PUC – SP) Estudando-se o seguinte sistema

obtém-se:

a) sistema é possível, determinado e admiteuma única solução x = 1, y = 0 e z = 0;

b) sistema é impossível;

c) sistema é possível, porém indeterminadocom uma incógnita arbitrária;

d) sistema é possível, porém indeterminadocom duas incógnita arbitrária

e) sistema é indeterminado com uma incógni-ta arbitrária, sendo (0, 1, 3) uma solução

7. (CESGRANRIO) O número de soluções do sis-

tema é:

a) maior do que 3; b) 3; c) 2; d) 1. e) 0;

8. (UFScar–SP) O sistema linear

admite uma infinidade de soluções. Sejaz = α(α ≠ 0) um valor arbitrário. Então, asolução (x,y,z) do sistema acima é:

a) (2, 2 – α, α) b) (1, α – 3, α) c) (1, 3 – α, α) d) (2, α – 2, α) e) (3, α, α)

9. (UEL–PR) O sistema equivalente

ao sistema definido pela equação matricial

se os valores de k e t são

respectivamente:

a) 1 e 2 b) –1 e 3 c) 2 e –1 d) –1 e –2 e) 3 e –1

10. (FGV–SP) Seja ( a, b, c, d ) a solução do sis-

tema linear então o produto

a . b . c vale:

a) 0 b) 12 c) –12 d) 24 e) –24

11. (ALFENAS – MG) O sistema de equações

terá uma única solução se:

a) a = 5b;b) 5 . a . b = 0;c) a + 5b = 0;d) a – 5b = 0; e) 5 . a . b = 0.

12. O sistema de equações terá infini-

tas soluções se:

a) a = 5 e b = –1; b) a + b = 6; c) a . b = 6; d) 5 . a . b = 10; e) b = 5a.

13. (FMU–SP) O sistema linear tem

solução única para:

a) todo a ≠ 0 e b ≠ 0 b) b ≠ 2a c) b ≠ a d) toda a ∈ IR e b ∈ IR e) todo a > 0 e b > 0

14. (FGV–SP) Determinando os valores de a e b,

a fim de que o sistema seja inde-

terminado, o produto a . b é:

a) 12 b) 24 c) 18 d) 6 e) 36

38


15. (PUC–RS) Para que o sistema

seja impossível, o valor de k deve ser:

a) 1/5 b) 1/4 c) 1/3 d) 4/5 e) 5/4

16. (PUC–SP) O valor de k tal que o sistema

admite solução única é:

a) k ≠1 e k ≠ –4 b) k ≠ 1 e k≠ 3 c) k ≠ –1 e k≠ 4 d) k ≠ 1 e k≠ –2 e) k ≠ 1 e k ≠ –3

17. (FUVEST– SP) O sistema linear

não admite solução se a for igual a:

a) 0 b) 1 c) –1 d) 2 e) –2

18. (UEL–PR) O sistema é possível

edeterminado se, e somente se, k for igual a:

a) 3 b) 2 c) 1 d) –1 e) –2

19. (UEL–PR) O sistema

a) admite infinitas soluções, se m ≠ 1; b) é indeterminado, para todo m ≠ IR; c) não admite soluções; d) é possível e determinado, se m ≠ 7; e) tem solução única, se m = –7.

20. (PUC–SP) Os valores reais de a e b, para que

o sistema seja compatível e

indeterminado, são:

a) a = –2 e b ≠ 5 b) a ≠ –2 e b = 5 c) a ≠ –2 e b ∈ IR d) a ∈ IR e b ≠ 5 e) a = –2 e b = 5

21. (FATEC–SP) Para que o sistema

seja compatível, a deve ser igual a:

a) –5 b) 5 c) –6 d) 6 e) –7

22. (FGV – SP) Para que o sistema

onde k é um número real, uma das afirmaçõesseguintes é correta:

a) se k = 0, o sistema é indeterminado; b) se k = 1 ou k = 15, o sistema é impossível; c) se k ≠ 0, o sistema é indeterminado; d) se k ≠ 0, sistema é impossível; e) se k = 1 ou k = 15, o sistema é determinado.

23. (UNESP–SP) Para que os valores reais de p eq o sistema não admite solução?

a) p = –2 e q = 5 b) p > –2 e q ≠ 4 c) p = q = 1 d) p = –2 e q ≠ 5 e) p = 2 e q = 5

24. (UNIUBE) O sistema linear de equações incóg-

nitas x e y não admite solução se:

a) a ≠ 6 e k ≠ 5 b) a ≠ 6 e k ≠ –5 c) a ≠ 6 e k ≠ –5 d) a = 6 e k = 5 e) a 6 e k ≠ 5

25. (CEFET – PR) O sistema de incóg-

nitas x e y é:

a) impossível, para todo k real diferente de –21;b) possível e indeterminado, para todo k real

diferente de –63; c) possível e determinado, para todo k difer-

ente e –21; d) possível e indeterminado, para todo k real

diferente de –3; e) possível e determinado, para todo k real

diferente de –1 e –63.

UNIDADE IVVetores

41

Álgebra Linear I – Vetores

TEMA 07

VETORES – DEFINIÇÃO E OPERAÇÕES

7.1 Introdução

Em nosso quotidiano, estamos acostumados ausar grandezas chamadas escalares, que sãocaracterizadas por um número (e sua respectivaunidade de medida): 5kg de massa, 1m2 deárea, 10cm de comprimento, 4l de volume, etc.

No entanto existem outras grandezas que pre-cisam de mais informações. Um exemplo dissosão grandezas como força e velocidade, paraas quais precisam ser fornecidos uma direção,uma intensidade e um sentido. Essas grande-zas são denominadas vetoriais.

Na Figura acima, as flechas dão idéia da di-reção do comprimento e do sentido das gran-dezas mensionadas. No entanto cada fecha éapenas um representante de um vetor. A se-guir, definiremos de forma mais precisa do quevem a ser um vetor.

7.2 Segmento orientado

Um segmento orientado é determinado por umpar ordenado de pontos, o primeiro chamadoorigem do segmento, o segundo chamado ex-tremidade.

O segmento orientado de origem A e extremi-dade B erá representado por AB e, geome-tricamente, indicado por uma seta que carac-teriza visualmente o sentido do segmento (con-forme figura abaixo) .

7.2.1 Segmento nulo

Segmento nulo é aquele cuja extremidadecoincide com a origem.

7.2.2 Segmentos opostos

Se AB é um segmento orientado, o segmentoorientado BA é oposto de AB.

7.2.3 Medida de um segmento

Fixada uma unidade de comprimento, a cadasegmento orientado pode-se associar um nú-mero real, não negativo, que é a medida do seg-mento em relação àquela unidade. A medidado segmento orientado é o seu comprimentoou seu módulo. O comprimento do segmentoAB é indicado por |AB|

Assim, o comprimento do segmento AB repre-sentado na figura abaixo é de 3 unidades decomprimento:

Retas suportes paralelas

|AB| = 3 u.c.

Observações:

a) Os segmentos nulos têm comprimento iguala zero.

b) |AB| = |BA|

7.2.4 Direção e sentido

Segmentos orientados não nulos AB e CD têma mesma direção se as retas suportes dessessegmentos são paralelas ou coincidentes:

42


Observações:

a) Só se pode comparar os sentidos de doissegmentos orientados se eles têm mesmadireção.

b) Dois segmentos orientados opostos têm sen-tidos contrários.

7.2.5 Segmentos equipolentes

Dois segmentos orientados AB e CD são equi-polentes quando têm a mesma direção, o mes-mo sentido e o mesmo comprimento (ver figu-ra a seguir).

Se os segmentos orientados AB e CD não per-tencem à mesma reta, como na figura anterior,para que AB seja equipolente a CD é neces-sário que AB//CD e AC//BD, isto é, ABCD deveser um paralelogramo.

Observações:

a) Dois segmentos nulos são sempre equipo-lentes.

b) Representaremos a equipolência entre ossegmentos AB e CD por AB ~ CD

7.2.6 Propriedades da equipolência

i) AB ~ AB (reflexiva).

ii) AB ~ CD ⇒ CD ~ AB (simétrica).

iii) AB ~ CD e CD ~ EF ⇒ AB ~ EF (Transitiva).

Observação – Uma relação que goza das pro-priedades i) ii) e iii) chama-se relação de equi-valência.

7.3 Vetor

Dado um segmento de reta orientado, defini-mos como sendo um vetor ao conjunto de to-dos os segmentos orientados equipolentes aosegmento orientado dado.

Um vetor poder ser representado por váriossegmentos orientados. Esse fato é análogo aoque ocorre com os números racionais e as

frações. Duas frações representam o mesmonúmero racional se o numerador e o denomi-nador de cada uma delas estiverem na mesma

proporção. Por exemplo, as frações

representam o mesmo número racional. Deforma análoga, dizemos que dois segmentosorientados representam o mesmo vetor se pos-suem o mesmo comprimento, a mesma dire-ção e o mesmo sentido. A definição de igual-dade de vetores também é análoga à igual-dade de números racionais. Dois números

racionais sao iguais, quando ad = cb.

Analogamente, dizemos que dois vetores sãoiguais se eles possuem o mesmo comprimen-to, a mesma direção e o mesmo sentido.

O comprimento de um vetor v→

, também cha-mado de módulo ou norma de v

→, será indicado

por ||v→

||.

7.3.1 Vetores iguais

Na figura abaixo, temos 6 segmentos orienta-dos, com origens em pontos diferentes, querepresentam o mesmo vetor, ou seja, são con-siderados como vetores iguais, pois possuema mesma direcão, mesmo sentido e o mesmocomprimento. Portanto tanto os segmento ori-entado AB quanto o segmento orientado CDrepresentam o mesmo vetor v

→.

Se o ponto inicial de um representante de umvetor v

→e A e o ponto final é B, então escreve-

mos v→

= . Portanto dois vetores esão iguais se, e somente se, AB ~ CD.

7.3.2 Vetor nulo

Os segmentos nulos, por serem equipolentesentre si, determinam um único vetor, chamandovetor nulo ou vetor zero, e que é indicado por0

→.

7.3.3 Vetores opostos

Dado um vetor v→

= , o vetor é o opos-to de e indicamos por – ou por –v

→.

7.3.4 Vetor unitário

Um vetor é unitário se ||v→

||= 1.

7.3.5 Versor

Versor de um vetor v→

é o vetor unitário de mesma

direção e mesmo sentido de v→

.

Na figura acima, u→

1 e u→

2são vetores unitários,

visto que ambos têm norma igual a 1. Por outrolado apenas o vetor u

→

1tem a mesma direção e

sentido do vetor v→

. Portanto u→

1 é um versor de v→

.

7.4 Operações com vetores

7.4.1 Soma de vetores

A soma (u→

+ v→

) de dois vetores u→

e v→

é deter-

minada da seguinte forma:

Tome um segmento orientado que representa u→;

tome um segmento orientado que representav→

, com origem na extremidade de u→

; o vetor

u→

+ v→

é representado pelo segmento orientado

que vai da origem de u→

até a extremidade de v→.

7.4.2 Propriedades da soma

i) u→

+ v→ = v

→ + u

→ (Comutativa).

ii) (u→

+ v→) + w

→= u

→ + (v→

+ w→) (Associativa).

iii) Existe um único vetor nulo 0→

tal que paratodo vetor v

→se tem v

→+ 0

→= 0

→+ v

→= v

→

(Elemento neutro).

iv) Qualquer que seja o vetor v→

, existe umúnico vetor –v

→(vetor oposto de v

→) tal que

v→

+ (–v→

) = –v→

+ v→

= 0→

Comutatividade da soma

Associativa da soma

7.4.3 Diferença de vetores

Definimos a diferença v→

menos w→

, por v→

+(–w→

).

7.4.4 Multiplicação por um número Real

A multiplicação de um vetor v→

por um escalarα, α v→, é determinada pelo vetor que possui asseguintes características:

i) é o vetor nulo, se α = 0 ou v→

= 0→

.

ii) caso contrário:

a) tem comprimento |α| vezes o comprimen-to de v

→;

b) a direção é a mesma de v→

(neste caso,dizemos que eles são paralelos);

c) tem o mesmo sentido de v→

, se α > 0 e temo sentido contrário ao de v

→, se α < 0.

Observações:

Se w→

= α v→

, dizemos que w→

é um múltiploescalar de v

→.

Dois vetores não-nulos são paralelos (ou coli-neares) se, e somente se, um é um múltiploescalar do outro.

43


44


O versor de um vetor não nulo v→

é o vetor unitário

. Note que ,

logo , ou seja, v→

é produto de sua nor-

ma pelo vetor unitário de mesma direção esentido de v

→.

7.4.4 Propriedades do produto por escalar

Sejam u→

e v→

vetores quaisquer, e a e b núme-ros reais. Então temos:

i) a(bv→

) = (ab)v→

(associativa).

ii) (a + b)v→

= av→

+ bv→

(distributiva na adiçãopor escalares).

iii) a(u→

+ v→

) = au→

+ av→

(distributiva na adiçãopor vetores).

iv) 1v→

= v→

(identidade).

TEMA 08

VETORES – DEPENDÊNCIA EINDEPENDÊNCIA LINEAR

8.1 Definições

Dois vetores u→

e v→

são colineares se tiverem

a mesma direção.

Isso acontece se, e somente se, existe um nú-mero real k tal que u

→ = kv

→ou v

→= ku

→. Diremos,

então, que um vetor é escrito como combina-ção linear do outro, e nesse caso, os vetores u

→

e v→

são ditos linearmente dependentes (veja afigura acima).

Quando tomamos dois vetores nos quais não épossível escrever um vetor como combinaçãolinear do outro, dizemos que os vetores são li-nearmente independentes. Nesse caso, os doisvetores não são colineares, mas são coplana-res, isto é, possuem representantes pertencen-tes a um mesmo plano α.

Se u→

e v→

são linearmente independentes, en-tão, todos os vetores da forma ku

→+ tv

→podem

ser representados sobre um mesmo plano α.

Reciprocamente, todo vetor w→

que possua re-presentante no plano α pode ser escrito comouma combinação linear dos vetores u

→e v

→;

além disso, toda combinação linear dosvetores u

→e v

→pode ser representada sobre o

plano α. Por essa razão, se os vetores u→

e v→

são linearmente independentes, diremos queeles geram um plano.

45


Agora, se um vetor w→

se escreve como uma com-binação linear ku

→+ tv

→, diremos que os vetores ku

→

e tv→

são componentes do vetor w→

na direção dosvetores u

→e v

→, respectivamente. Os escalares k e t

são as coordenadas de w→

em termos aos vetoresu→

e v→

. Observe que, se u→

e v→

são linearmente in-dependentes, então cada vetor w

→que possua rep-

resentante em α se escreve de maneira únicacomo uma combinação linear dos vetores u

→e v

→.

Se os vetores u→

, v→

e w→

possuem representan-tes pertencentes em um mesmo plano α, dize-mos que eles são coplanares.

Observações:

Dois vetores quaisquer u→

e v→

são sempre

coplanares, pois sempre podemos tomar umponto do espaço e, com origem nele, imaginaros dois representantes de u

→e v

→pertencendo

a um plano α que passa por esse ponto.Três vetores podem ser ou não complanares(ver figuras a seguir).

u→

, v→

e w→

não são coplanares

u→

, v→

e w→

e são coplanares

Se três vetores u→

, v→

e w→

são colineares ou co-planares, ou seja, possuem representante emuma mesma reta ou em um mesmo plano res-pectivamente, os vetores são linearmentedependentes.

Se os vetores u→

, v→

e w→

são colineares, com re-presentantes em uma reta r, então os vetoresgeram a reta r, ou seja, qualquer vetor com re-presentante nesta reta pode ser escrito comocombinação linear de u

→, v

→e w

→. Da mesma forma,

se u→

, v→

e w→

não são colineares que possuem re-presentantes em um mesmo plano α, então elesgeram o plano α, isto é, qualquer vetor que pos-sua um representante no plano α pode serescrito como combinação linear de u

→, v

→e w

→.

Também pode ser mostrado que, se u→

, v→

e w→

são linearmente independentes, então eles ge-ram o espaço, isto é, se x

→ é um vetor qualquer,

então existe um (único) terno ordenado (a,b,c)de escalares tais que x

→ = au

→ + bv

→+ cw

→.

Chamaremos os vetores au→

, bv→

e cw→

de compo-nentes do vetor x

→ na direção dos vetores u

→, v

→e

w→

(os números a, b e c são as coordenadas dex→

em termos dos vetores u→

, v→

e w→

). Um conjun-to três vetores linearmente independenteschama-se uma base para o espaço dos vetores.A base que consiste dos vetores u

→, v

→e w

→, por

exemplo, nessa ordem, será indicada por {u→

, v→

,w→

}. Se escolhermos uma base {u→

, v→

, w→

}, então acada vetor x

→corresponde um único terno ordena-

do (a,b,c) de escalares, a saber, as coordenadasdex

→em em termos dessa base. Reciprocamente,

a cada terno ordenado (a,b,c) de números reaiscorresponde o vetor x

→ = au

→ + bv

→+ cw

→.

8.2 Exemplos

1. Sejam ABC um triângulo, e sejam M e N ospontos médios de

⎯AC e

⎯BC respectivamente.

Prove que ⎯MN é paralelo a

⎯AB e que MN é a

metade de AB.

Solução:

Devemos mostrar que =

46


Observando a figura acima, verificamos que

= +

= + = ( + ) =

Como M é ponto médio de ⎯AC e N é ponto

médio de ⎯BC, temos:

= e =

Portanto, temos que:

= + = ( + ) =

como queríamos mostrar.

2. Mostre que as diagonais de um paralelogramose cortam ao meio.

Solução:

Considere o paralelogramo ABCD da figuraabaixo:

Suponha = = . Queremos mostrar

que = = .

Temos que . Como= – e = temos = +

= + = , ou seja, = .Agora = + = + = 2 .

Portanto = como queríamos mostrar.

8.3 Vetores em sistema de coordenadas

A introdução de um sistema de coordenadasretangulares muitas vezes simplifica problemasenvolvendo vetores. Por enquanto, vamos res-tringir nossa discussão a vetores no espaçobidimensional (o plano). Seja v

→qualquer vetor

no plano e suponha, como na figura a seguir,que v

→tenha sido posicionado com seu ponto

inicial na origem de um sistema de coordena-das retangulares. As coordenadas (v1, v2) doponto final de v

→são chamadas componentes

de v→

, e escrevemos v→

= (v1, v2).

Se vetores equivalentes v→

e w→

são colocadoscom seus pontos iniciais na origem, então éóbvio que seus pontos finais coincidem (poisos vetores têm o mesmo comprimento, a mes-ma direção e mesmo sentido); logo, os vetorespossuem os mesmos componentes. Recipro-camente, vetores com os mesmos componen-tes são equivalentes, pois têm iguais o compri-mento, adireção e o sentido. Em resumo, doisvetores v

→= (v1, v2) e w

→= (w1, w2) são equiva-

lentes se, e somente se, v1 = w1 e v2 = w2.

As operações vetoriais de adição e multipli-cação por escalar são facilmente executáveisem termos de componentes. Como é ilustradona figura abaixo, se

v→

= (v1, v2) e w→

= (w1, w2) então

v→

+ w→

= (v1 + w1, v2 + w2).

Se v→

= (v1, v2) e k é um escalar qualquer, entãopode ser mostrado, usando um argumento geo-métrico envolvendo triângulos semelhantes,que kv

→= (kv1, kv2) (conforme figura a seguir).

47


Se tomarmos por exemplo v→

= (3, –2) e w→

=(–1, 7), temos que v

→+ w

→ = (3 +(–1), –2 + 7) =

(2, 5) e 3 v→

= (3.3, 3.(–2)) = (9, –6).

Note que, como v→

– w→

= v→

+(–w→

)

Concluímos que v→

– w→

= (v1 – w1, v2 – w2).

8.4 Vetores no espaço tridimensional

Assim como os vetores no plano podem serdescritos por pares de números reais, os veto-res no espaço podem ser descritos por ternosde números reais, utilizando um sistema decoordenadas retangulares. Para construir umtal sistema de coordenadas, selecionamos umponto O, denominado a origem, e escolhemostrês retas mutuamente perpendiculares passan-do pela origem, denominadas eixos coordena-dos. Designando estes eixos x, y e z e selecio-nando um sentido positivo para cada eixo co-ordenado, podemos estabelescer uma unida-de de comprimento para medir tamanhos (vejafiguras abaixo ).

Se um vetor v→

no espaço tridimensional for

posicionado com seu ponto inicial na origemde um sistema de coordenadas retangulares,como na figura abaixo, então as coordenadasdo ponto final são chamadas os componentesde v

→e escrevemos v

→ = (v1, v2, v3).

Se v→

= (v1, v2, v3) e w→

= (w1, w

2, w

3) são dois

vetores no espaço tridimensional, então os se-guintes resultados podem ser estabelecidos,usando argumentos similares aos utilizados pa-ra vetores no plano.

i) v→

e w→

são equivalentes se, e somente se,v1 = w1, v2 = w2 e v3 = w3.

ii) kv→

= (kv1, kv2, kv3) onde k é um escalar qual-quer.

iii) v→

+ w→

= (v1+ w1, v2+ w2, v3+ w3).

Se tomamos por exemplo v→

= (2, 5, 3) e

w→

= (–5, 0, –1) então v→

+ w→

= (–3, 5, 2),4w

→=(–20, 0, –4), v

→– w

→= (7,5,4) e –w

→= (5,0,1).

Geralmente um vetor não está posicionado comseu ponto inicial na origem. Se o vetor temo ponto inicial P0(x0, y0, z0) e ponto finalP1(x1, y1, z1), então = (x1 – x0, y1 – y0 , z1 – z0),ou seja, os componentes do vetor são obti-

48


dos subtraindo as coordenadas do ponto finaldas coordenadas do ponto inicial. A figuraabaixo ilustra o vetor obtido apartir deP0(x0, y0, z0) e P1(x1, y1, z1).

Se tomarmos, por exemplo, P1(3, –2, 1) eP0(1,–1, 3), então o vetor

= (3 – 1, –2 – (–1), 1 – 3 ) = (2, – 1, 2).

O mesmo ocorre no espaço bidimensional, istoé, se o vetor tem o ponto inicial P0(x0, y0) e

ponto final P1(x1, y1), então = (x1 – x0, y1 – y0).

1. Mostre, usando vetores, que o ponto médio deum segmento que une os pontos P0 = (x0, y0, z0) e P1 = (x1, y1, z1) é o ponto

M = .

2. Mostre que o segmento que une os pontosmédios dos lados não paralelos de um trapézioé paralelo às bases, e sua médida é a médiaaritmética das medidas das bases. (Sugestão:

mostre que = ( + ). E conclua que

é um múltiplo escalar de ).

3. Esboce os seguintes vetores com ponto inicialna origem:

a) v→

1= (3, 6) f) v→

6 = (0, –7)

b) v→

2 = (–4, –8) g) v→

7 = (3,4,5)

c) v→

3 = (–4, –3) h) v→

8 = (3, 3, 0)

d) v→

4 = (5, –4) i) v→

9 = (0, 0, –3)

e) v→

5 = (3, 0) j) v→

10 = (–3, 5, 2)

4. Encontre um vetor não-nulo u→

com ponto ini-cial P (–1, 3, –5) tal que:

a) u→

tem a mesma direção e sentido quev→

= (6, 7, –3)

b) u→

tem a mesma direção mas sentido opos-to ao de v

→ = (6, 7, –3) .

5. Sejam u→

= (–3, 1, 2), v→

= (4, 0, –8) e w→

= (6,–1,–4). Encontre os componentes de:

a) v→

– w→

b) 6u→

+ 2v→

c) –v→

+ u→

d) 5(v→

– 4u→

)

6. Seja ABC um triângulo qualquer com medi-anas

⎯AD,

⎯BE e

⎯CF. Mostre que o vetor

.

49


TEMA 09

VETORES – PRODUTO INTERNO

Motivados pela expressão do trabalho em me-cânica, vamos definir o produto interno de doisvetores. Essa operação associa a cada par a

→,

b→

de vetores um número real, que será indica-do por a

→ . b

→.

9.1 Ângulo entre Vetores

A fim de definirmos o produto interno, necessi-tamos do conceito de ângulo entre dois vetores.O ângulo entre os vetores não nulos a

→e b

→, que

indicaremos por (a→

, b→

), é definido como sendo oângulo entre seus representantes. Mais precisa-mente, se a

→= e b

→= , então o ângulo

entre a→

e b→

é, por definição, o ângulo entre ossegmentos orientados AB e AC. Para que essadefinição faça sentido, devemos mostrar que(a

→, b

→) não depende da escolha dos represen-

tantes AB e AC. Mais precisamente, se A’B’ eA’C’ são também representantes dos vetores a

→

e b→

, respectivamente, então (veja a figuraabaixo) o ângulo entre os segmentos orienta-dos AB e AC é igual ao ângulo entre os seg-mentos orientados A’B’ e A’C’.

Observemos que o ângulo (AB, AC) é o menorângulo segundo o qual AB deve girar para setornar colinear com AC. Esse ângulo é positivose a rotação for no sentido contrário ao dosponteiros de um relógio, e negativo em casocontrário. Isso nos permite associar a cada ân-gulo (a

→,b

→) seu ângulo negativo ou oposto (b

→, a

→).

Sejam a→

eb→

vetores não-nulos. O produto inter-no do vetor a

→pelo vetor b

→, indicado por a

→ . b

→ ,

é definido por a→

. b→

=||a→

||||b→

||cos(a→

, b→

).

Se um dos vetores a→

ou b→

for o vetor nulo,definimos: a

→. b

→= 0.

9.1.1 Propriedades do Produto Interno

Sejam a→

,b→

e c→

vetores quaisquer e k um escalar.

O produto interno satisfaz às seguintes pro-priedades:

i) a→

. b→

= b→

. a→

(simetria)

ii) k(a→

. b→

) = (ka→

).b→

(homogeneidade)

iii) c→

.(a→

+ b→

) = c→

. a→

+ c→

. b→

(distributividade)

Note que essas propriedades são verificadastrivialmente se um dos vetores for o vetor nulo.Na verdade, a

→. 0

→ = 0

→ . a

→ = 0

→ é a única definição

com elas, pois, pela segunda propriedadeacima, temos 0 = 0(a

→ .b

→) = (0a

→).b

→ = a

→ .(0b

→)

Portanto, 0→

. b→

= a→

. 0→

= 0, visto que 0a

→ = 0b

→= 0.

Passemos, agora, à demonstração das pro-priedades do produto interno.

i) Se a→

e b→

são vetores não-nulos, temos:

a→

. b→

=||a→

||||b→

||cos(a→

, b→

)

=||b→

||||a→

||cos(b→

,a→

)

= b→

. a→

ii) Se a→

e b→

são vetores não-nulos e k ≠ 0temos :

k(a→

. b→

) = k||a→

||||b→

||cos(a→

, b→

)

= ||ka→

||||b→

||cos(ka→

, b→

)

= (ka→

) . b→

iii) Consideraremos primeiro o caso em quec→

= u→

é unitário. Escolhamos um represen-tante PQ para o vetor u

→, e seja a reta r a reta

que contém o segmento.

Escolhamos representantes AB e BC para osvetores a

→e b

→, respectivamente. Consideremos

as projeções ortogonais A’ ,B' e C’ dos pontosA, B e C, respectivamente, sobre a reta r.Sejam x, y e z os escalares tais que

50


Observemos agora que

u→

. a→

=||a→

||cos(u→

. a→

) = y – x e analogamente

u→

. b→

= z – y, u→

.(a→

+ b→

) = z – x. Portanto,u→

.(a→

+ b→

) = u→

.a→

+ u→

. b→

.

O caso geral reduz-se ao anterior. Se c→

é umvetor qualquer, não-nulo, usando a homoge-neidade do produto interno e a distributividadepara vetores unitário, obtemos:

= c→

. a→

+ c→

. b→

.

Note que a→

. a→

=||a→

||2, pois, cos(a→

,a→

) = 1 e que,se a

→e b

→são vetores não nulos, então

a→

. b→

= 0 se, e somente se, , onde

k é um número inteiro qualquer. Por essa razão,diremos que o vetor a

→é perpendicular (ou

ortogonal) ao vetor b→

quando a→

. b→

= 0. Portanto,de acordo com essa definição, o vetor 0

→é per-

pendicular a todos os vetores do espaço. Naverdade, 0

→é o único vetor que possui essa pro-

priedade, isto é, se a→

é um vetor tal que a→

. b→

=0 qualquer que seja o vetor b

→, então a

→= 0

→. Para

provar isso, basta tomar, em particular, a→

= b→

,donde a

→. a

→ =||a

→ ||2= 0 que implica a

→= 0

→.

9.1.2 Exemplo

Mostre que as diagonais de um losango sãoperpendiculares.

Queremos mostrar que . = 0 Note que. = ( + ).( + )

= . + . + . + .

= 0

visto que e = – .

9.2 Bases Ortonormais

Uma base {a→

,b→

,c→

} chama-se ortogonal se osseus vetores são mútuamente ortogonais, istoé, se a

→ . b

→= a

→ . c

→= b

→ . c

→= 0. Se, além disso,

os vetores são unitários, a base {a→

,b→

,c→

} cha-ma-se ortonormal.

O uso de bases ortonormais é bastante conve-niente, pois simplificam basatante os cálculos,como veremos nos exemplos a seguir.

Exemplos1. Se {a

→,b→

,c→

} é uma base ortonormal e u→

é um vetorqualquer, então u

→ = (a

→.u→

)a→

+ (b→

.u→

)b→

+ (c→

.u→

)c→

.De fato, sabemos é que u

→ pode ser escrito de

maneira única como uma combinação linearu→

= αa→

+ βb→

+ γc→

.Calculando, então, o produto interno a

→ . u

→,

obtemos: a→

. u→

= α(a→

.a→

) + β(a→

.b→

) + γ(a→

.c→

) = α, poisa→

. a→

=||a→

||2= 1 e a→

.b→

= a→

.c→

= 0. Analogamentedemonstramos que β = b

→ . u

→e γ = c

→ . u

→.

Observemos que, se {a→

,b→

,c→

} fosse uma basequalquer, não necessariamente ortonormal, en-tão as coordenadas α, β e γ do vetor u

→ seriam

a solução do sistema

2. Se {a→

,b→

,c→

} é uma base ortonormal e u→

= α1a→

+ β1b→

+ γ1c→

, v→

= α2a→

+ β2b→

+ γ2c→

sãovetores quaisquer, então u→

. v→

= α1α2 + β1β2 + γ1γ2

De fato,

u→

. v→

= (α1a→

+ β1b→

+ γ1c→

). (α2a→

+ β2b→

+ γ2c→

)

= (α1α2)a→

. a→

+ (α1β1)a→

. b→

+ (α1γ2) a→

. c→

+ (β1α2)b→

. a→

+ (β1β2)b→

. b→

+ (β1γ2)b→

. c→

+ (γ1α2)c→

. a→

+ (γ1β2)c→

. b→

+ (γ1γ2)c→

. c→

Como {a→

,b→

,c→

} é uma base ortonormal, seusvetores satisfazem às relações

a→

. b→

= a→

. c→

= b→

.c→

= 0; a→

. a→

= b→

. b→

= c→

. c→

= 1

o que reduz a expressão acima a

u→

. v→

= α1α2 + β1β2 + γ1γ2

9.3 Orientação do Espaço

Veremos agora que, após escolhida uma orien-

51


tação para o espaço, será possível distinguirduas classes de bases ortonormais: as positi-vas e as negativas. Para a adição de vetores,a multiplicação de vetores por escalares e oproduto interno, a orientação do espaço nãotem importância alguma, podendo ser dispen-sada. A escolha de uma orientação para o es-paço é, entretanto, indispensável para a intro-dução do produto vetorial, que faremos napróxima seção.

Escolhamos um ponto O do espaço que cha-maremos origem. Um triedro é um terno orde-nado (OA, OE, OC) de segmentos orientadosOA, OE e OC não coplanares. Esses três seg-mentos dão origem, permutando a ordem dossegmentos, a seis ternos ordenados distintos.Consideremos um qualquer desses ternos e oobservemos de uma posição tal que o terceirosegmento orientado esteja dirigido para osnossos olhos. A seguir, consideremos a rota-ção (de menor ângulo) do primeiro segmentoaté que ele fique colinear com o segundo seg-mento (veja a figura abaixo).

Diremos que o triedro é positivo se a rotaçãofor no sentido contrário ao dos ponteiros deum relógio, e negativo, caso contrário.

Por exemplo, o triedro (OA, OE, OC) da figuraanterior é positivo, enquanto (OE, OA, OC), énegativo.

Consideremos três vetores a→

= , b→

= ec→

= . Diremos que o terno ordenado (a→

,b→

,c→

)é positivo (ou negativo) se o triedro (OA, OE,OC) for positivo (ou negativo).

Uma base {a→

,b→

,c→

} diz-se positiva (ou negativa)se o terno (a

→,b

→,c

→) é positiva (ou negativa).

Fixemos um triedro positivo (OA, OE, OC) desegmentos orientados unitários e mutuamenteortogonais (veja a figura abaixo).

Sejam i→

= , j→

= e k→

= . Assim, abase {i

→, j

→, k

→} é ortonormal e positiva. Portanto

os vetores i→

, j→

, k→

, satisfazem às seguintesrelações:

i→

. j→

= i→

. k→

= j→

. k→

= 0

i→2 = j

→2 = k→2 = 1

onde i→2 = i

→ . i

→etc. Além disso, o exemplo 1 da

seção anterior nos dizque, se a→

é um vetor qualquer,então a

→pode ser decomposto de maneira única

como combinação linear a→

= a1i→

+ a2j→

+ a3k→

, ondeas coordenadas a1, a2 e a3 são dadas por

a1 = a→

. i→

||a→

||cos(a→

,i→

)

a2 = a→

. j→

||a→

||cos(a→

, j→

)

a3 = a→

. k→

||a→

||cos(a→

, k→

)

Além disso, o exemplo 2 da seção anterior nosdiz que, se

b→

= b1i→

+ b2 j→

+ b3k→

então

a→

. b→

= b1b1 + a2b2 + a3b3

e

52


TEMA 10

VETORES – PROJEÇÃO ORTOGONAL

Sejam os vetores u→

e v→

, com u→ ≠ 0

→ e v

→, ≠ 0

→.

Pretendemos calcular o vetor w→

1 que represen-ta a projeção de u

→ sobre v

→.

A Figura anterior ilustra as duas situações pos-síveis. O vetor u

→foi decomposto em duas com-

ponentes normais w→

1 e w→

2. Como w→

1 e v→

têm amesma direção, temos que:

w→

1 = kv→

, k∈R.

Temos que:

u→

= w→

1 + w→

2 = kv→

+ w→

2

Tomando o produto escalar de v→

em ambos osmembros da equação acima, temos:

u→

. v→

= (kv→

+ w→

2) . v→

= k||v→

||2 + w→

2 . v→

Mas w→

2 . v→

= 0, pois w→

2 é ortogonal a v→

; portan-to a equação acima nos fornece:

Logo,

Portanto a projeção de u→

sobre v→

, que deno-taremos por , é:

ou

.

10.1 ExemplosDados u

→ =(1,2,–2) e v

→ = 6 i

→– 2 j

→+ 3 k

→, deter-

mine:

a) ||u→

||b) ||v

→||

c) u→

. v→

d) O ângulo formado por u→

e v→

.e)

Solução:

a)

b)

c) u→

. v→

=(1, 2,–2).(6, - 2, 3) = 6 – 4 – 6 = –4

d)

logo

e)

1. Calcule as seguintes somas e diferenças:

a) (i→

+ 2 j→

– 3 k→

) + (2i→

– j→

+ 5 k→

)

b) (–i→

+ 5 j→

– 6 k→

) + (2i→

+ j→

– k→

) + (i→

– 2 j→

+ 6 k→

)

c) (2i→

+ j→

– 3 k→

) – (6i→

+ 2j→

+ k→

)

d) (i→

+2 j→

– 4 k→

) – (2i→

+ 5j→

+6k→

) + (3i→

– 5 j→

+7 k→

)

2. Calcule a norma de cada um dos seguintes ve-tores:

a) a→

= (i→

– 2j→

+3k→

)b) b

→ = cosθi

→+ senθj

→

c) c→

= 2i→

– j→

+3k→

3. Calcule os seguintes produtos internos:

a) (i→

– 2j→

+ 3k→

) . (2i→

+ 2j→

– 5k→

)b) (3i

→+ 3j

→ – 4k

→) . (–i

→– 2j

→ + 6k

→)

c) (–2i→

+ 3j→

– k→

) . (3i→

– 2j→

+ 7k→

)

4. Mostre que os vetores a←

, b→

e c→

são linearmenteindependentes se, e somente se, a equaçãoαa

→+ βb

→ + γc

→ = 0

→só possui a sulução nula

α = β = γ = 0.

53


5. Determine os ângulos do triângulo cujos vérticessão os pontos A(3, 2, 1), B(3, 2, 2) e C(3, 3, 2).

6. Verifique se os seguintes pontos são coplanares

a) A(2, 2, 1), B(3, 1, 2) e C(2, 3, 0) e D(2, 3, 2)

b) A(2, 0, 2), B(3, 2, 0) e C(0, 2, 1) e D(1, 2, 0)

7. Encontre um vetor unitário ortogonal simulta-neamente a

u→

= (1, 0, 1) e v→ = (0, 1, 1).

8. Sejam u→

= (1, 1, 2) e v→ = (a, 1, 2). Para quais

valores de a, u→

e v→

são ortogonais?

9. Sejam u→

= (1/ , 0, 1/ ) e v→

= (a, 1/ , –b).Para quais valores de a e b, o conjunto {u

→,v→

}forma uma base ortonormal do plano geradopor eles?

10. Determine a projeção de u→

= (1, 2, –3) nadireção de e v

→= (2, 1, –2).

11. Qual aprojeção de u→

= (3, 5, 2) sobre o eixodos x?

12. Sejam u→

, v→

e w→

vetores do R3. Prove que seu→

. v→

= u→

.w→

, então v→

– w→

é ortogonal a u→

.

13. Sejam u→

e v→

vetores quaisquer. Mostre que

(u→ ± v

→)2 = u

→2 ± 2u→ . v

→ + v→2

e

(u→ + v

→)(u

→ − v→

) = u→2 − v

→2

14. Use o resultado da questão 4 para mostrar a leidos co-senos num triângulo ABC:

a2 = b2 + c2 – 2bc cosÂ

onde

a =|| ||, b =|| ||, c =|| ||,

e

Â = (AB, AC)

15. Sejam a→

e b→

vetores quaisquer. Mostre que

a)

b)

c) |a→

.b→

|≤ | |a→||+||b→

|| (Desigualdade de Schwarz)

d) ||a→

+b→

||≤||a→

||+||b→

||(Desigualdade Triangular)

e)

TEMA 11

VETORES – PRODUTO VETORIAL

No tema 09, vimos que o produto escalar dedois vetores produz um escalar. Iremos definiragora um tipo de multiplicação vetorial queproduz um vetor como produto, mas que é apli-cável somente ao espaço tridimensional.

11.1 Definição

Se u→

= (u1,u2,u3) e v→

= (v1,v2,v3) são vetores noespaço tridimensional, então o produto vetorialu→

x v→

é o vetor definido por

u→

x v→

= (u2v3 – u3v2, u3v1 – u1v3, u1v2 – u2v1)

ou, em notação de determinante,

Observação:

Em vez de memorizar as fórmulas acima, vocêpode obter os componentes de u

→ x v

→como

segue:

Forme a matriz 2 x 3 dada por

cuja primeira linha contém os componentes deu→

e cuja segunda linha contém os compo-nentes de v

→.

Para obter o primeiro componente de u→ × v

→,

descarte a primeira coluna e tome o determi-nante; para obter o segundo componente, des-carte a segunda coluna e tome o negativo dodeterminante; e para obter o terceiro compo-nente, descarte a terceira coluna e tome o de-terminante.

11.1.1 Exemplo

Se u→

= (2,–1,1) e v→

= i→

+ j→

– k→

, calcule u→ × v

→

e v→ × u

→.

Note que, nesse caso, temos que u→ × v

→= –(v

→ ×u→

),

54


fato que ocorre para quaisquer vetores u→

e v→

como mostraremos a seguir.

11.1.2 Propriedades do produto vetorial

Sejam u→

e v→

vetores do espaço tridimensional ek um escalar qualquer; então:

i) u→ × v

→ = –(v

→ × u→

)

ii) u→ × (v

→ + w→) = u→ × v

→ + u→ × w→

iii) k(u→ × v

→) = (ku

→) × v

→= u

→ × (kv→

)

iv) u→ × 0

→ = 0→

× u→ = 0

→

v) u→ × u

→ = 0→

Para provar i), basta notar que quando se trocaa ordem entre u

→ e v

→, trocam-se as linhas dos

três determinantes da equação (1) e, portanto,troca-se o sinal de cada componente do pro-duto vetorial. Portanto concluímos que u

→ × v→

=–(v

→ × u→

).

As provas das demais partes são deixadas comoexercício.

11.2 Relações entre produtos escalar e vetorial

Sejam u→

e v→

vetores do espaço tridimensional;então:

i) u→ . (u

→ × v→) = 0

ii) v→

. (u→ × v→) = 0

iii) ||u→ × v

→||2 =||u

→||2 ||v

→||2 –(u

→ .v→

)2 (Identidade deLagrange)

iv) u→ × (v→ × w→) = (u

→.w→)v→

– (u→ × v

→) w

→

v) (u→ × v

→) × w

→= (u

→.w→)v→

– (v→.w→)u

→

Para provar i), sejam u→

= (u1,u2,u3) e v→

= (v1,v2,v3).Então,

u→

. (u→ × v

→) =

(u1,u2,u3) . (u2v3 – u3v2, u3v1 – u1v3, u1v2 – u2v1) =u1(u2v3 – u3v2)+u2(u3v1 – u1v3)+u3(u1v2 – u2v1) = 0

A prova de ii) é análoga a de i)

Prova iii). Como

||u→ × v

→||2 =

= (u2v3 – u3v2)2 + (u3v1 – u1v3)2 + (u1v2 – u2v1)2 (2)

e

||u→

||2 ||v→

||2 –(u→

.v→

)2 =(u12+u2

2+u32)(v1

2+v22+v3

2)–

– (u1v1 + u2v2 + u3v3)2 (3)

a prova pode ser obtida desenvolvendo-se os

lados direitos de (2) e (3) e verificando suaigualdade.

As provas de iv) e v) ficam como exercício.

Observações:

i) e ii) mostram que o vetor u→ × v

→é ortogonal

simultaneamente au→

e av→

.

De iii) obtemos

||u→ × v

→||2 =||u

→||2 ||v

→||2 – ||u

→||2 ||v

→||2 cos(u

→,v→

)

=||u→

||2 ||v→

||2 (1 – cos2(u→

,v→

))

=||u→

||2 ||v→

||2 sen2(u→

,v→

)

Como 0 ≤ (u→

,v→

) ≤ π, segue que sen(u→

,v→

) ≥ 0, e,portanto, isso pode ser reescrito como

||u→ × v

→||=||u

→||||v

→|| sen(u

→,v→

).

É fácil ver que :

i→

× i→

= 0→

j→

× j→

= 0→

k→

× k→

= 0→

i→

× j→

= k→

j→

× k→

= i→

k→

× i→

= j→

j→

× i→

= –k→

k→

× j→

= –i→

i→

× k→

= –j→

O produto vetorial de u→

= (u1,u2,u3) e v→

= (v1,v2,v3)pode ser representado, simbolicamente, comoum determinante 3x3:

Note que o determinante é um número, e oproduto vetorial é um vetor. Usa-se esse abusode notação apenas como um mecanismo faci-litador para o cálculo do produto vetorial.

Não é verdade, em geral que

u→ × (v

→ × w→) = (u→ × v

→) × w→. Por exemplo,

i→

× ( j→

× j→

) = i→

× 0→

= 0→

e

(i→

× j→

) × j→

= k→

× j→

= – i→

o que mostra que

i→

× ( j→

× j→

) ≠ (i→

× j→

) × j→

.

Se u→

e v→

são vetores não-nulos, pode ser mos-trado que o sentido de u

→ × v→

pode ser determi-nado usando a “regra da mão direita” (ver figu-ra a seguir):

55


Seja (u→

,v→

) o ângulo entre u→

e v→

e suponha queu→

é girado pelo ângulo (u→

,v→

) até coincidir comv→

. Se os dedos da mão direita fecharem-seapontando no sentido desta rotação, então opolegar indica (aproximadamente) o sentido deu→ × v

→.

11.3 Interpretação geométrica do produto vetorial

Se u→

e v→

são vetores no espaço tridimension-al, então a norma de u

→ e v

→tem uma interpre-

tação geométrica útil. Como já vimos, ||u

→ × v→

||=||u→

||||v→

|| sen(u→

,v→

). Mas ||v→

||sen(u→

,v→

) éa altura do paralelogramo determinado por u

→ e

v→

como mostra a figura abaixo.

Denotando por a área do paralelogramodeterminado por u

→ e v

→, temos:

.

Portanto, se u→

e v→

são vetores no espaço tridi-mensional, então é igual à área do para-lelogramo determinado por u

→ e v

→.

Note que esse resultado também é válido quan-do u

→ e v

→ são colineares, pois nesse caso, temos

um paralelogramo degenerado que tem áreazero, e = 0.

11.4 Exemplo

Calcule a área do triângulo de vértices

A(–1, 0, 2), B(–4, 1, 1) e C(0, 1, 3).

Solução:

A área do triângulo ABC é dada por

= (–3,1,–1) e = (–1,1,1).

Portanto,

56


TEMA 12

VETORES – PRODUTO MISTO

Se u→

, v→

e w→

são vetores no espaço tridimen-sional, então u

→ .(v

→ × w→

) é chamado produtomisto de u

→, v

→e w

→. Denotaremos o produto

misto de u→

, v→

e w→

por [u→

, v→

,w→

].

O produto misto de u→

= (u1,u2,u3), v→

= (v1,v2,v3)e w

→= (w

1, w

2, w

3) pode ser calculado a partir

da fórmula

.

De fato, temos que:

u→

.(v→ × w

→)

=

Segue de (4) que [u→

,v→

,w→

]=[w→

,u→

,v→

]=[v→

,w→

,u→

],pois os determinantes que representam estesprodutos podem ser obtidos um do outro porduas trocas de linhas.

12.1 Interpretação geométrica de determinantes

i) O valor absoluto do determinante é

igual à área do paralelogramo no espaçobidimensional determinado pelos vetoresu→

= (u1,u2) e v→

= (v1,v2) (veja Figura 4.15.1a.abaixo)

ii) O valor absoluto do determinante

é igual à volume do parale-

lepípedo no espaço tridimensional determi-nado pelos vetores u

→ = (u1,u2,u3), v

→= (v1,v2,v3)

e w→

= (w1, w

2, w

3) (veja Figura 4.15.1b. a

seguir).

Prova de i)

Sabemos que a área do paralelogramo determina-do por u

→ e v

→ é dada por . Contudo o produ-

to vetorial está definido para vetores tridimension-ais, enquanto u

→ = (u1,u2) e v

→= (v1,v2) são vetores

bidimensionais. Para superar este “problema dedimensão”, veremos u

→ e v

→ como vetores do plano

xy de um sistema de coordenadas xyz, no qualestes vetores são escritos como u

→ = (u1,u2,0) e

v→

= (v1,v2,0) conforme ilustra a figura abaixo.

Como || k→

||=1 temos que a área do paralelo-gramo determinado por u

→ e v

→ é

=

Prova ii) Conforme mostra a Figura abaixo, to-mamos o paralelogramo determinado por v

→e w

→

como base do paralelepípedo determinado poru→

, v→

e w→

. Temos que a área da base é ,e, como mostra a figura abaixo, a altura doparalelepípedo é a projeção ortogonal de u

→

sobre v→ × w

→. Portanto .

Assim, o volume V do paralelepípedo éV = (área da base) . (altura) =

que é o módulo do pro-

duto misto entre u→

, v→

e w→

. Portanto, que

completa a prova.

1. Dados os vetores a→

= (1, 2,1) e b→

= (2,1, 0),calcular:

a) 2a→

x (a→

+ b→

)

b) (a→

+ 2 b→

) x (a→

– 2 b→

)

2. Dados os pontos A(2,–1, 2), B(1, 2,–1) e C(3,2,1), determinar o vetor × ( – 2 ).

3. Determinar um vetor simultaneamente ortogo-nal aos vetores 2a

→+ b

→e b

→– a

→, sendo

a→

= (3, –1,–2) e b→

=(1,0,–3).

4. Dados os vetores a→

= (1,–1,2), b→

= (3,4,–2) ec→

=(–5,1,–4), mostrar que a→

.(b→

× c→

) = (a→ × b

→) . c

→.

5. Determinar o valor de m para que o vetora→

= (1,2,m) seja simultaneamente ortogonalaos vetores b

→=(2,–1,0) e c

→ = (1,–3,–1).

6. Dados os vetores e w→

= (–3a, x, y),

determinar x e y para que v→ × w

→ = 0

→.

7. Verificar se são coplanares os seguintes veto-res:

a) u→

= (3,–1,2), v→

= (1,2,1) e w→

= (–2,3,4)

b) u→

= (2, –1, 0), v→

= (3, 1, 2) e w→

= (7, -1, 2)

8. Verificar se são coplanares os pontos:

a) A(1,1,1), B(–2,–1,–3), C(0,2,–2) e D(–1,O, –2) b) A(1,0,2), B(–1,0,3), C(2,4,1) e D(–1,–2,2) c) A(2, 1,3), B(3, 2, 4), C(–1,–1,–1) e D(0,1,–1)

9. Para que valor de m os pontos A(m,1,2),B(2,–2,–3), C(5,–1,1) e D(3,–2,–2) sãocoplanares?

10. Determinar o valor de k para que os seguintesvetores sejam coplanares:

a) a→

= (2,-1,k), b→

= (1, 0, 2) e c→

= (k,3,k)

b) a→

= (2,1, 0), b→

= (1, 1, –3) e c→

= (k, 1, -k)

c) a→

= (2,k, 1), b→

= (1,2,k) e c→

= (3,0,-3)

11. Sejam os vetores u→

= (1, 1, 0), v→

= (2, 0, 1),w→

1 = 3u→

– 2v→

, w→

2 = u→

+ 3v→

e w→

3 = i→

+ j→

– 2 k→

.Determinar o volume do paralelepípedodefinido por w

→1, w

→2 e w

→3.

57


UNIDADE VRetas e planos

61

Álgebra Linear I – Retas e Planos

TEMA 13

RETAS E PLANOS – EQUAÇÃO DA RETA EDO PLANO

13.1 Equação vetorial da reta

Um dos postulados da geometria euclidianadiz que dois pontos diferentes A e B determi-nam uma única reta. Seja r esta reta.

Diremos que um ponto P pertence à reta r se,e somente se, os vetores e são coli-neares. Sendo A e B diferentes, temos que ovetor é diferente do vetor nulo; dessa forma,existirá um número real λ tal que = λ .

Dessa forma, temos que o ponto P pertence àreta r se, e somente se, = + . Como

= λ , temos que = + λ .

De modo geral, podemos concluir que todo pon-to X pertencente a reta r satisfaz a equaçãodada por = + λ onde λ ∈ IR.

Tal equação é denominada equação vetorialda reta r.

O vetor é chamado vetor diretor da reta r, eλ é denominado parâmetro.

Se fixarmos um sistema de coordenadas doespaço e sendo A(x1,y1,z1) e B(x2,y2,z2) conhe-cidos, temos que a equação vetorial da retapode ser dada sob a forma:

(x,y,z) = (x1,y1,z1) + λ . (x2 – x1, y2 – y1, z2 – z1)

Observe que para se obter a equação vetorialda reta r, é de fundamental importância umponto e um vetor diretor da reta na direção des-sa reta.

Dessa forma, podemos escrever a equação ve-torial da reta r que passa pelo ponto P(x0,y0,z0)e tem como o vetor diretor o vetor v

→= (a,b,c)

por = + λv→

, λ∈IR.

Sendo P(x0,y0,z0) e v→

= (a,b,c) conhecidos, po-demos escrever tal equação na forma

(x,y,z) = (x0,y0,z0) + λ . (a,b,c)

onde λ∈IR.

13.1.1 Exemplos

Exemplo 1

Determine a equação vetorial da reta r que pas-sa pelos pontos A(2,3,4) e B(–1,5,7).

Solução:

Sabemos que a equação vetorial da reta quepassa por dois pontos A e B é dada por

= + λ , sendo o vetor o vetordiretor da reta r.

Dessa forma, podemos escrever tal equaçãona forma

(x,y,z) = (x1,y1,z1) + λ . (x2 – x1, y2 – y1, z2 – z1 )

Pondo x1 = 2, y1 = 3, z1 = 4 e x2 = –1, y2 = 5,z2 = 7 temos que

(x,y,z) = (2,3,4) + λ . (–1 – 2, 5 – 3, 7 – 4)

(x,y,z) = (2,3,4) + λ . (–3, 2, 3)

E, portanto, essa é a equação vetorial da reta rque passa pelos pontos A(2,3,4) e B(–1,5,7).

Exemplo 2

Verifique se o ponto Q(2,–1,3) pertence à equa-ção da vetorial da reta t, cuja equação é dadapor (x,y,z) = (–4,3,0) + λ . (–3,–4,3) onde λ∈IR

Solução:

Caso o ponto Q(2,–1,3) venha a pentencer àreta t, o ponto terá que satisfazer a equação dareta definida no exercício por

(x,y,z) = (–4,3,0) + λ . (–3,–4,3)

Sendo assim, ponha x = 2, y = –1 e z = 3 naequação dada

(2,–1,3) = (–4,3,0) + λ . (–3,–4,3)

62


(2,–1,3) = (–4 – 3λ, 3 – 4λ, 3λ)

2 = –4 – 3λ ⇒ λ = –2

–1 = 3 – 4λ ⇒ λ = 1

3 = 3λ ⇒ λ = 1

Então, concluímos 1 = –2 o que é absurdo,logo o ponto Q(2,–1,3) não pertence à reta t.

Exemplo 3

Determine a equação vetorial da reta r que pas-sa pelo ponto P(2,–4,0) e possui como o vetordiretor o vetor v

→= (–5,6,2).

Solução:

Sabemos que a equação vetorial da reta r quepassa pelo ponto P(x0,y0,z0) e tem como o vetordiretor o vetor v

→= (a,b,c) é dada por

(x,y,z) = (x0,y0,z0) + λ.(a,b,c) onde λ ∈ IR.

Sendo dado P(2,–4,0) e v→

= (–5,6,2), temosque a equação vetorial será (x,y,z) = (2,–4,0) + λ . (–5,6,2) onde λ ∈ IR.

1. Determine a equação vetorial da reta que pas-sa pelos pontos A(1,2,5) e B(–5,5,7).

2. Determine a equação vetorial da reta que pas-sa pelos pontos A(1,0,5) e B(0,–5,7).

3. Determine a equação vetorial da reta que pas-sa pelo ponto P(1,2,–2) e tem a direção dovetor v

→= (2,–4,–3).

4. Verifique se o ponto Q(4,–2,3) pertence à retade equação vetorial dada por (x,y,z) = (3,–4,2) + λ . (–5,6,3) onde λ∈IR.

13.2 Equações paramétricas e simétricas da reta

Fixado um sistema de coordenadas, sejamP(x0,y0,z0) um ponto da reta e v

→= (a,b,c) um

vetor diretor desta reta. Sabemos que aequação vetorial da reta r, determinada por P ev→

é dada por:

(x,y,z) = (x0,y0,z0) + λ . (a,b,c) onde λ∈IR, queé equivalaente ao sistema dado por

Tais equações são denominadas equações pa-ramétricas da retas r.

Se abc ≠ 0 nas equações acima, eliminando λem cada uma das equações, obtemos

Tais equações são denominadas equações si-métricas da reta r.

Obsservações:

1. Se a = 0, b ≠ 0 e c ≠ 0, ficamos com as

equações e fica

claro que reta r está contida num plano pa-ralelo ao plano yz dado pór x = x0.

2. Se a = 0, b = 0 e c ≠ 0, ficamos com asequações r: x = x0, y = y0

3. Faça as análises dos demais casos comoexercícios, os quais são:

i) Somente b = 0

63


ii) Somente c = 0

iii) Somente a ≠ 0

iv) Somente b ≠ 0

13.2.1 Exemplos

Exemplo 1

Determine a equação da reta r nas formas pa-ramétricas e simétricas, nos casos abaixo:

a) Que passa pelos pontos A(3,–1,1) eB(2,1,2).

b) Que passa pelo ponto A(3,–1,2) e tem adireção do vetor v

→= (2,–4,–3).

Solução:

a) Sendo os pontos A(3,–1,1) e B(2,1,2) dife-rentes, temos que a equação vetorial dareta que passa por eles é dada por

(x,y,z) = (3,–1,1) + λ .(1,–2,–1)

onde λ∈IR.

Dessa forma, teremos que as paramétricasda reta são

De onde concluímos que as equações si-métricas da reta r, são dadas por

b) A equação vetorial da reta que passa peloponto A(3, –1, 2) tem a direção do vetorv→

= (2, –4, –3), é dada por:

(x,y,z) = (3,–1,2) + λ .(2,–4,–3), onde λ∈IR.

Dessa forma, teremos que as paramétricasda reta são

De onde concluímos que as equações si-métricas da reta r, são dadas por

Exemplo 2

Verifique se o ponto A(–1, 0, 2) pertence àsretas:

a) r: (x,y,z) = (–7,–3,–7) + λ .(2,1,3); λ∈IR

b)

c)

Solução:

a) O ponto A(–1,0,2) ∈r ⇔ ∃λ0 ∈IR tal que(–1,0,2) = (–7,–1,–7) + λ0 .(2,1,3)

(–1,0,2) – (–7,–3,–7) = λ0 .(2,1,3)

(6,3,9) = λ0 .(2,1,3) ⇒ λ0 = 3

torna a igualdade verdadeira, e portanto,concluímos que o ponto A(–1,0,2) pertenceà reta r.

b) O ponto A(–1,0,2) ∈r ⇔ ∃λ0 ∈IR tal que

Na equação (i) 1 = 3 + 2λ0temos que λ0=–1 e na equação (ii) 0 = –1 – 4λ0 temos que

, o que é impossível. Portanto

A(–1,0,2) ∉r.c) Aplicando o ponto A(–1,0,2) na equação

teremos

, o que é impos-

sível. Portanto A(–1,0,2)∉r.

1. Determine a equação da reta r, nas formas pa-ramétricas e simétricas, nos seguintes casos:

a) Que passa pelos pontos A(4,5,1) e B(2,–1,2).

b) Que passa pelo ponto A(–3,1,–2) tem adireção do vetor v

→= (2,4,–3).

64


2. Determine a equação da reta r, nas formasparamétricas e simétricas, nos seguintes casos:

a) Que passa pelo ponto A(6,–1,3) e tem a di-reção do vetor v

→= (2,4,3).

b) Que passa pelo ponto A(0,–1,2) e tem a di-reção do vetor v

→= (0,–4,–3).

c) Que passa pelo ponto A(3,0,0) e tem a di-reção do vetor v

→= (2,0,–3).

d) Que passa pelo ponto A(3,–1,2) e tem a di-reção do vetor v

→= (2,–4,0).

3. Escreva a equação da reta na forma vetorial,

sabendo-se que .

4. Escreva a equação da reta na forma vetorial,

sabendo-se que

13.3 Equações vetoriais e paramétricas do plano

Um dos postulados da geometria euclidiana dizque três pontos diferentes A, B e C e não-coli-neares determinam um único plano, digamos α.

Queremos encontrar as relações que as coor-denadas (x, y, z) de um ponto P devem satisfa-zer para que P pertença ao plano α.

Sendo A, B e C não-colineares, temos que osvetore e são linearmente independente.

Dessa forma, temos que um ponto X∈α se, esomente se, os vetores , e são linear-mente dependentes, ou seja, existem escalaresλ e β reais tais que = λ + β .

Observe que = + e sendo

= λ + β , temos que:

= + λ + β , onde λ, β∈IR

A equação = + λ + β , onde λ,

β∈IR recebe o nome de equação vetorial do

plano.

Uma vez fixado um sistema de coordenadas

do espaço e sendo A(x1,y1,z1), B(x2,y2,z2) e

C(x3,y3,z3), temos que a equação vetorial do

plano pode ser escrita ne forma

(x,y,z) = (x1,y1,z1) + λ(x2 – x1, y2 – y1, z2 – z1) +

+ β(x3 – x1, y3 – y1, z3 – z1), λ, β∈IR

A equação vetorial do plano escrita na forma

acima equivale ao sistema dado por:

As equações definidas pelo sistema denomi-

nam-se equações paramétricas do plano α.

Exemplo:

Determine as equações vetoriais e paramétri-

cas do plano α determinado pelos pontos

A(2,1,–1), B(3,5,–6) e C(0,2,–4).

Solução:

Sabemos que a equação vetorial e paramétri-

cas do plano α que passa pelos pontos

A(x1,y1,z1), B(x2,y2,z2) e C(x3,y3,z3) são respecti-

vamente:

(x,y,z) = (x1,y1,z1) + λ(x2 – x1, y2 – y1, z2 – z1) +

+ β(x3 – x1, y3 – y1, z3 – z1) e

65


Sendo assim, temos que

A(2,1,–1), B(3,5,–6) e C(0,2,–4), logo

α : (x,y,z) = (2, 1 – 1) + λ(1,4, – 5) + β(–2,1, – 3)

e onde λ, β∈IR.

Dessa forma, observamos que o plano α ficaperfeitamente determinedo por dois vetoresL.I, que, no caso anterior, são os vetores e

e um ponto deste plano.

Dessa forma, a equação vetorial de um plano αque passa pelo ponto P0 e é paralelo aosvetores L.I u

→ e v

→, é dado por X = P0 + λu

→ + βv

→

onde λ,β∈IR. Onde para cada X pertencenteao plano, tem-se que o par (λ,β) é único.

Se, no sistema de coordenadas fixado, os ve-tores u

→ (a,b,c) e v

→ = (d,e,f) são L.I e paralelos

ao plano α e o ponto P(x0,y0,z0)∈α, entãopodemos escrever a equação vetorial e as equa-ções paramétricas plano na forma(x,y,z) = (x0,y0,z0) + λ(a,b,c)+ β(d,e,f), λ, β∈IRe

.

Exemplo 1

Determine as equações paramétricas e vetorialdo plano α paralelo aos vetores u

→ (2,–1,3),

v→

= (0,–3,3) e que passa pelo ponto P(1,–1,2).

Solução:

Sendo u→

(2,–1,3), v→

= (0,–3,3) vetores paralelosao plano α, o qual passa pelo ponto P(1,–1,2),pelas equações acima definidas, temos que

α : (x,y,z) = (1, –1, 2) + λ(2,–1,3) + β(0,–3,3)

e

Exemplo 2

Dê uma equação vetorial do plano β, dado aseguir por:

Solução:

Sendo dadas as equações paramétricas acimado plano α, temos que os vetores paralelos aoplano são u

→ (2,–1,3), v

→ = (3,3,1) e que passa

pelo ponto P(3,–1,6).

Sendo assim, a equação vetorial é dada porα: (x,y,z) = (3,–1,6) + λ(2,–1,3) + β(3,3,1)onde λ, β∈IR.

1. Determine a equação vetorial e as paramétri-cas do plano α determinado pelos pontosA(–2,0,–1), B(3,–1,–2) e C(0,2,–4).

2. Dê uma equação vetorial do plano β, sendo eledado parametricamente pela equações

3. Determine a equação vetorial e as paramétri-cas do plano β, que passa pelo pontoP(0,1,–1) e é paralelo aos vetores u

→ (2,–4,5) e

v→

= (–2,3,0).

66


13.4 Equação geral do plano

Seja α um plano determinado pelo pontoP(x0,y0,z0) e pelos vetores L.I u

→e v

→. Diremos que

um ponto X(x,y,z) qualquer pertence ao planoα se, e somente se a equação [ , u

→,v→] = 0 ou

seja (u→ × v

→) . = 0.

Sendo u→ . v

→ = (a,b,c), podemos escrever a

equação [ , u→

,v→] = 0 na forma

(a,b,c) . (x – x0, y – y0, z – z0) = 0

a(x – x0) + b(y – y0)+c(z – z0) = 0

a . x – a.x0 + b . y – b . y0 + c . z – c . z0 = 0

a . x + b . y + c . z – a . x0 – b . y0 – c . z0 = 0

a.x + b.y + c.z – (a . x0 + b . y0 – c . z0)= 0 (I)

Tomando d = –(a . x0 + b . y0 + c . z0) = 0 naequação (I) teremos

a . x + b . y + c . z + d = 0 (II)

A equação (II) é denominada de equação ge-ral do plano.

Exemplo 1

Determine a equação geral do plano β, quepassa pelos pontos A(2,1,–1), B(3,5,–6) eC(0,2,–4).

Solução:

Em primeiro lugar, vamos determinar em β doisvetores L.I u

→e v

→, paralelos ao plano β.

Sejam u→

= e v→

, ou seja, u→

= (1,4,–5) ev→

= (–2,1,–3). Para fazermos uso da equação(u

→ × v→

) . = 0, faz-se necessário determinaru→ × v

→ . Logo

e portanto u→ × v

→= (–7,13,9).

Sendo = (x – 2, y – 1, z +1) onde P = A eX(x,y,z)∈β qualquer temos:

(u→ × v

→) . = (–7,13,9).(x – 2, y – 1, z + 1) = 0

–7x + 12 + 13y – 19 + 19z + 9 = 0

–7x + 13y + 9z + 2 = 0

Portanto a equação do plano é

–7x + 13y + 9z + 2 = 0

Exemplo 2

Determine a equação geral do plano β, quepassa pelo ponto P(0,1,–1) e é paralelo aosvetores u

→ = (2,–4,5) e v

→= (–2,3,0).

Solução:

Sejam u→

= (2,–4,5) e v→

= (–2,3,0) e dois veto-res L.I paralelos ao plano β. Para fazermos usoda equação (u

→ × v→

) . = 0, faz-se necessáriodeterminar u

→ × v→

. Logo

e, portanto, u→ × v

→ = (–15,–10,1).

Sendo = (x,y – 1, z + 1) onde P(0,1,–1) eX(x,y,z)∈β qualquer, temos:

(u→ × v

→) . = (–15,–10,1).(x, y – 1, z + 1) = 0

–15 x – 10y + 10 + z + 1 = 0

–15x – 10y + z + 11 = 0

Portanto a equação do plano é

15x + 10y – z – 11 = 0

A equação (u→ ×v

→) . = 0 diz-nos que o vetor

u→ × v

→é ortogonal a qualquer vetor do plano ou

paralelo ao plano.

Dessa forma, se α é um plano que passa pelopontro P(x0,y0,z0) e n

→= (a,b,c) um vetor não-

nulo. Diremos que o vetor n→

é normal ao planoα se, e somente se, . n

→= 0 para todo X(x,y,z)

percente ao plano α.

Nesse caso, vamos descrever o vetor normal n→

ao plano α por n→

α.

67


A equação geral do plano pode ser determina-da pela equação . n

→α = 0, onde P(x0,y0,z0) é

um ponto do plano α, n→

α é um vetor normal aoplano e X(x,y,z) é um ponto qualquer do plano.Sendo assim, temos:

(a,b,c) . (x – x0, y – y0, z – z0) = 0

a(x – x0) + b(y – y0)+c(z – z0) = 0

a . x – a.x0 + b . y – b . y0 + c . z – c . z0 = 0

a . x + b . y + c . z – a . x0 – b . y0 – c . z0 = 0

a.x + b.y + c.z – (a . x0 + b . y0 – c . z0) = 0

a . x + b . y + c . z + d = 0

onde d = –(a . x0 + b . y0 + c . z0 )

Observe que, dada a equação geral do plano α

a . x + b . y + c . z + d = 0, tem-se que o vetornormal n

→α do plano pode ser facilmente encon-

trado, pois as coordenadas do vetor normal n→

α

são os coeficientes de x,y e z.

Exemplo 1:

Determine a equação geral do plano α quepassa pelo ponto P(3,–1,3), sendo n

→=(2,5,3)

um vetor normal ao plano α.

Solução:

Seja n→

= (2,5,3)um vetor normal ao plano α eP(3,–1,3) um ponto fixo desse plano.

Dessa forma, temos que a equação do plano édo tipo 2 . x + 5 . y + 3 . z + d = 0

Para determinar o valor de d, basta substituir oP(3,–1,3) na equação do plano. Logo,teremos:

2 . 3 + 5 (–1) + 3 . 3 + d = 0 ⇒ d = –10

Logo a equação do plano α é:

2 . x + 5 . y + 3 . z – 10 = 0

Exemplo 2:

Seja β um plano definido pela equação

2 . x + 5 . y + 3 . z – 10 = 0. Determine o valorde k real, para que o ponto (k + 1, k, k – 2) per-tença ao plano β . Solução:

Para determinar o valor de k, basta substituir oponto (k + 1, k, k – 2) na eqauação do planodada. Sendo assim, temos:

2(k + 1) + 5. k + 3 (k – 2) – 10 = 0

2k + 2 + 5k + 3k – 6 – 10 = 0

10 . k – 14 =0

⇒

Logo, .

Exemplo 3:

Determine o ponto do plano β cuja equação é2 . x – 4 . y + 8 . z – 5 = 0, que tem abscissa 2e ordenada –1.

Solução:

Substituindo x = 2 e y = –1 na equação2 . x – 4 . y + 8 . z – 5 = 0, vamos determinaro valor de z.

2 . 2 – 4 . (–1) + 8 . z – 5 = 0

4 + 4 + 8 . z – 5 = 0

3 + 8 . z = 0

Dessa forma, .

Exemplo 4:

Sabe-se que o vetor n→

=(2,0,–5) é normal aoplano π, que passa pelos pontos A(k,2,–1) eB(0,–2,2k). Determine o valor de k.

Solução:

Sendo o vetor n→

=(2,0,–5) normal ao plano π,temos que a equação do plano é dada por:

2 . x + 0 . y – 5 . z + d = 0

2 . x – 5 . z + d = 0

Como os pontos A(k,2,–1) e B(0,–2,2k) per-tencem ao ao plano π, tem-se

2 . k – 5 . (–1)+ d = 0 ⇒ d = –2 . k – 5 (I)

2 . 0 – 5 . 2k + d = 0 ⇒ d = 10 . k (II)

Fazendo (I) = (II), temos:

– 2 . K – 5 = 10 . k ⇒

68


1. Determine a equação vetorial e as paramétri-cas do plano α determinado pelos pontosA(2,3,–2), B(3,–5,6) e C(2,2,4).

2. Dê uma equação vetorial do plano β, dado naforma paramétrica a seguir:

3. Determine a equação geral do plano β, que pas-sa pelos pontos A(2,–1,–1), B(–3,–5,6) e C(0,2,–4).

4. Determine a equação geral do plano β, que pas-sa pelo ponto P(–2,1,1) e é paralelo aos veto-res u

→ = (–2,4,–5) e v

→ = (–2,3,3).

5. Determine a equação geral do plano α quepassa pelo ponto P(3,2,3), sendo n

→(2,–5,2) um

vetor normal ao plano α.

6. Seja β um plano definido pela equação2 . x – 2 . y – 3 . z – 10 = 0. Determine o valorde k real, para que o ponto (k–1,k,k–2) perten-ça ao plano β.

7. Determine o ponto do plano β cuja equação é2 . x + 3 . y – 2 . z + 5 = 0, que tem abscissa2 e ordenada 3.

8. Determine o ponto do plano β cuja equação é2 . x + 3 . y – 2 . z + 5 = 0, que tem abscissa2 e cota igual a 4.

9. Determine a equação geral do plano α quepassa pelos pontos P(3,2,3) e Q(–1,2,0)é pa-ralelo ao vetor u

→ = (2,–4,5).

TEMA 14

POSIÇÕES RELATIVAS ENTRE RETAS,PLANOS, RETAS E PLANOS

Fazendo uso da geometria euclidiana, vamosinvestigar as posições relativa entre retas, pla-nos, retas e planos. E em seguida, vamos de-terminar condições vetorias para tratar tais po-sições.

14.1 Posições relativas entre duas retas

Diremos que duas retas r e s são concorren-tes se, e somente se, elas têm um único pontoem comum.

Diremos que duas retas r e s são paralelas, see somente se, elas são coincidentes ou elassão coplanares e não têm pontos em comum.

1.° caso

Notação: r = s ⇒ r // s2.° caso

Notação: r ⊂ α, s ⊂ α e r ∩ s = ∅ ⇒ r //sDiremos que duas retas r e s são reversas se, esomente se, não existe plano que as contenha.

Notação: r e s são reversas ⇔ α; r, s ⊂ α er ∩ s = ∅

69


14.2 Posições relativas entre dois planos

As posições relativas de dois planos, digamosα e β, podem ser de três formas.

1. Planos coincidentes:

α ∩ β = α = β

2. Planos paralelos distintos:

α ∩ β = ∅

Dois planos são paralelos se, e somente se,eles não têm ponto comum ou são iguais (coin-cidentes).

3. Planos secantes

Neste caso, diremos que os plano possuemuma reta em comum.

α ∩ β = i

1. Verifique se os pares de planos abaixo são pa-ralelos coincidentes ou distintos.

a)

b)

c)

2. Sendo α: x+(k + 2) . y – (k – 2)z – 10 = 0 e β : x – y + z – 2 = 0 planos paralelos, determineo valor de k.

3. Determine a equação do plano α que passapelo ponto A(–1,2,0) e é paralelo ao plano β,cuja equação é dada por 2 . x – y + z – 3 = 0.

4. Determine a equação geral do plano α quepassa por P(–2,1,3) e é paralelo ao plano βdeterminado pelos pontos A(–2,3,0), B(0,3,–1)e C(–2,0,–1).

5. Determine a equação do plano α, que passapelo ponto A(3,–1,1) e é paralelo ao plano β deequação x + y – 2 . z + 1 = 0.

14.3 Posições relativas entre uma reta e um plano

São três as posições relativas entre uma reta eum plano:

1. A reta está contida no plano.

Ou seja, dois pontos distintos da reta, digamosA e B, também são pontos do plano.

r ⊂ α ⇔ r ∩ α = r

2. A reta e o plano são concorrentes ou a retae o plano são secantes.

r ∩ α = {P}

70


3. A reta e um plano são paralelos.

r // α ⇔ r ∩ α = ∅Vamos, a partir de agora, dar um tratamento ve-torial para as posições relativas entre retas, pla-nos, reta e plano.

14.4 Condições de paralelismo e de perpendicularismo de dois plano

Sejam dois planos α : a1.x + b1 . y+c1 .z + d1 = 0

e β : a2.x + b2 . y+c2 .z + d2 = 0, cujos vetoresnormais aos planos α e β são respectivamenten→

α = (a1,b1,c1) e n→

β = (a2,b2,c2).Diremos que os planos α e β são paralelos se,e somente se, os vetores normais n

→α e n

→β são

paralelos.

Temos dois casos a considerar:

1.° caso

Paralelos distintos2.° caso

Paralelos coincidentes

Observe que, pelo fato de os vetores normaisn→

α e n→

β serem paralelos, isso emplica que o con-junto formado por n

→α e n

→β são L.D. Logo, existe

λ∈IR tal que n→

α = λ . n→

β .

Como já foi visto na geometria espacial, doisplanos podem ser paralelos distintos ou coinci-dentes. O procedimento para se verificar sedois planos são paralelos ou coincidentes é bas-tante simplis.

Tome um ponto P(x0,y0,z0) qualquer em um dosdois planos, digamos em α. Se tal ponto satis-fizer a equação do outro plano, então os doisplanos são paralelos coincidentes. Caso con-trário, os planos serão paralelos distintos.

Se α : a1.x + b1 . y + c1 .z + d1 = 0 eβ : a2 . x + b2 . y + c2 . z + d2 = 0 são dois planosparalelos como a1.b1.c1 ≠ 0 e a2.b2.c2 ≠ 0.Diremos que o plano α é paralelo ao plano β

se, e semonte se, .

Se diremos que os planos

são coincidentes; caso contrário, são distintos.

Exemplo 1:

Verifique se os pares de planos abaixo sãoparalelos coincidentes ou distintos.

a)

b)

Solução:

a) Temos que os vetores normais dos planossão n

→α = (2,3,–5) e n

→β = (–4,–6,10), dessa

forma, temos que .

Por isso, concluímos que os planos são pa-ralelos.

Temos que o ponto (0,0,0)∈α, mas não per-tence a β. Logo, os planos são paralelosdistintos.

b) Temos que os vetores normais dos planossão n

→α = (5,3,–2) e n

→β = (–4,2,10); dessa

forma, temos que .

71


Por isso, concluímos que os planos não sãoparalelos.

Exemplo 2:

Sendo α: 4.x + (k + 2) . y – 10 . z – 10 = 0 eβ: 2 . x – 4 . y + 8 . z – 5 = 0 planos paralelos,determine o valor de k.

Solução:

Temos que os vetores normais dos planos sãon→

α = (4,k + 2,–10) e n→

β = (2,–4,–5), e que osplanos são paralelos. Logo,

⇒ k = –10

Sendo α: a . x + b . y + c . z + d = 0 e β doisplanos paralelos, cujos vetores normais aosplanos α e β são respectivamentes n

→α = (a,b,c)

e n→

β. Sendo assim, temos que existe λ∈IR talque n

→β = λ . n

→α.

Vamos mostrar que a equação do plano β é dotipo a . x + b . y + c . z + D = 0. Para isso,vamos supor que a equação do plano β é dotipo β : a2 . x + b2 . y + c2 . z + d2 = 0.

Logo n→

β = λ . n→

α ⇒ a2 = λ . a, b2 = λ . b ec2 = λ.c.

Dessa forma, substituindo as equações

a2 = λ . a, b2 = λ . b e c2 = λ.c em

β : a2 . x + b2 . y + c2 . z + d2 = 0 teremos

λ . a . x + λ . b . y + λ . c . z + d2 = 0 ⇒

, tomando

temos a equação procurada:a.x+b.y+c.z+D = 0

Exemplo 1:

Determine a equação do plano α que passapelo ponto A(1,2,–1) e é paralelo ao plano β,cuja equação é dada por 2.x – 4 . y + z – 5 = 0.

Solução:

Queremos determinar a equação do plano αque passa pelo ponto A(1,2,–1) e é paralelo aoplano β dada pela equação 2.x – 4.y + z – 5 = 0.

Sendo n→

β = (2,–4,1) o vetor normal a β, pode-mos tomar n

→α = n

→β. Logo, teremos a equação

do plano α como sendo 2.x – 4.y + z + d = 0.

Para determinar o valor de d, basta substituir oponto A(,2,–1) na equação 2.x – 4.y + z + d = 0.Dessa forma, temos:

2.1 – 4.2 – 1 + d = 0 ⇒ d = 7

Logo, a equação do plano α é

2 . x – 4 . y + z + 7 = 0

Exemplo 2:

Determine a equação geral do plano α quepassa por P(–2,1,3) e é paralelo ao plano βdeterminado pelos pontos A(2,3,2), B(3,3,6) eC(2,2,4).

Solução:

O vetor normal do plano β será dado por

n→

β = × . Logo

Sendo o plano α paralelo ao plano β, temosque n

→α = n

→β. Logo, teremos a equação do

plano α como sendo 4. x – 2 . y – z + d = 0.

Para determinar o valor de d, basta substituir oponto P(–2,1,3) na equação 4.x–2.y–z+d = 0.Dessa forma, temos:

4.(–2) – 2 . 1 – 3 + d = 0 ⇒ d = 13.

Logo, a equação do plano α é 4.x–2.y–z+13 = 0

Exemplo 3:

Determine a equação do plano α, que passapelo ponto A(3,1,0) e é paralelo ao plano β deequação 2 . x + 3 . y – 8.z + 1 = 0.

Solução:

Sendo os planos α e β paralelos, podemos to-mar o vetor normal ao plano α como sendo ovetor normal do plano β. Dessa forma, temosque o plano α é dado por:2 . x + 3 . y – 8.z + d = 0.

Como o ponto A(3,1,0) ∈α, temos como deter-minar o valor de d. Logo, substituindo o pontona equação, temos 2 . 3 + 3 . 1 – 8.0 + d = 0⇒ d = –9

Portanto a equação do plano α é dada por:2 . x + 3 . y – 8 . z – 9 = 0

72


Sejam dois planos α : a1.x + b1 . y + c1 .z + d1 = 0e β : a2 . x + b2 . y + c2 . z + d2 = 0, cujos vetoresnormais aos planos α e β são respectivamenten→

α = (a1,b1,c1) e n→

β = (a2,b2,c2).

Diremos que os planos α e β são perpendicu-lares se, e somente se, os vetores normais n

→α e

n→

β são perpendiculares, ou seja n→

α . n→

β = 0.

Notação:

α ⊥ β ⇔ n→α . n→

β = 0

Exemplo:

Estude a posição relativa dos planos:

a) β: 2 . x + 2 . y + z – 5 = 0 e

α: 4 . x + 4 . y + 2 . z – 50 = 0

b) β: 2 . x – 2 . y + 4.z – 5 = 0

e

Solução:

a) Sendo n→

α = (4,4,2) e n→

β= (2,2,1) e os veto-res normais ao plano α e β, temos:

. Por isso, concluímos que os

planos são paralelos.

Vamos verificar se são paralelos distintos oucoincidentes. Para isso, basta tomar um pon-to em um dos planos e verificar se tal pontosatisfaz ou não a equação do outro plano.

Sendo (0,0,5) um ponto do plano β, temosque tal ponto não satisfaz a equação do pla-no α. Logo, os planos são paralelos distin-tos.

Observação:

Uma outra forma de verificar se dois planossão paralelos é calcular o produto vetorial entreos vetores normais .

Diremos que os planos α e β são paralelos se,e somente se, n

→α × n

→β = 0

→ .

Vamos resolver o exemplo anterior, fazendo usodessa observação.

Solução:

a) Sendo n→

α = (4,4,2) e n→

β= (2,2,1) os vetoresnormais de α e β, vamos calcular o produtovetorial entre os vetores normais.

Assim, concluímos que os planos são para-lelos. Para verificar se os planos são dife-rentes ou coincidendes, basta usar o pro-cedimento usado na resolução anterior doitem (a).

b) Vamos usar a observação acima para ver-ificar a posição entre os planos.

Sendo e n→

β= (2,–2,4) os

vetores normais de α e β, vamos calcular oproduto vetorial entre os vetores normais.

Dessa forma, temos:

n→

α × n→

β= (21,– 7,– 15) ≠ (0,0,0,)

Logo, os planos não são paralelos.Vamosverificar se os planos são perpendiculares.

Para isso, vamos verificar o resultado do pro-duto interno entre os vetores normais:

Assim, concluímos que os vetores são per-pendiculares.

14.5 Posições relativas entre reta e plano

As posições de uma reta r e um plano π, sendov→

r o vetor diretor da reta r e n→

π o vetor normal doplano π.

a) r é paralela a π(r//π )

73


r//π ⇔ v→

r . n→

π = 0

b) r contida em π (r ⊂ π)

r//π ⇔ v→

r . n→

π = 0 com A ∈ π, onde A∈r

c) r e π concorrentes (secantes)

r ∩ π = {P} ⇔ v→

r . n→

π ≠ 0

Exemplo:

Estudar a posição relativa entre os pares de re-tas e planos abaixo:

a) π: 3x + 2y – 5z + 9 = 0

e

b) π: 3x + 2y – 5z + 4 = 0

e

Solução:

a) Seja n→

π = (3,2,–5) o vetor normal ao plano π

e o vetor direto da reta r.

Calculando v→

r . n→

α, temos que:

Assim, concluímos que a reta e o plano sãoparalelos. Para verificar se a reta r ⊂ π ou ser//π com r ∩ π = ∅, basta proceder doseguinte modo:Tome um ponto qualquer dq da reta r, di-

gamos A(2,4,1), e substitua na equação doplano

π : 3x + 2y – 5z + 9 = 0.

Logo, 3 . 2 + 2 . 4 – 5 . 1 + 9 ≠ 0, de ondeconcluímos que a reta e o plano são parale-los disjuntos.

b) Seja n→

π = (3,2,–5) o vetor normal ao plano πe v

→r = (3,–5,5) o vetor direto da reta r.

Calculando v→

r . n→

α, temos que:

v→

r . n→

α = 3 . 3 + 2.(–5) + (–5).5 ≠ 0, de ondeconcluímos que a reta e o plano são secantes.Para determinar o ponto P tal que r ∩ π = {P},basta proceder do seguinte modo:

Para um certo λ0∈IR tem-se P(x0,y0,z0), onde

ao substituir na equação do

plano π: 3x + 2y – 5z + 4 = 0 vamos determi-nar o valor de λ0 . Dessa forma, teremos:

3.(–1 + 3λ0) + 2.(2 – 5λ0) – 5.(4 + 5λ0) + 4 = 0

–3 + 9λ0 + 4 – 10λ0 – 20 – 25λ0 + 4 = 0

Sendo o ponto .

1. Estudar a posição relativa entre os pares dereta e plano abaixo:

a) π : x + y – z + 2 = 0

e

b) π : x + y – z + 4 = 0

e

2. Estudar a posição relativa entre a reta e plano,definidos por

74


14.6 Posições relativas entre retas

A posição relativa entre duas retas quaisquer re s são:

a) Concorrentes se, e somente se, elas têmum único ponto em comum.

b) Paralelas, se e somente se, elas são coinci-dentes ou elas são coplanares e não têmpontos em comum.

1.° caso:

Notação: r = s ⇒ r//s

2.° caso:

Notação:

r ⊂ α, s ⊂ α e r ∩ s = ∅ ⇒ r//s

b) Reversas se, e somente se, não existeplano que as contenha.

Notação: r e s são reversas ⇔ α; r, s ⊂ αe r ∩ s = ∅

Observe que, nas letras (a) e (b), temos que asretas são coplanares.

Vamos estabelecer, a seguir, condições paraidentificar se duas retas são coplanares ou não.

Sejam r e s duas retas, cujos vetores diretoressão, respctivamente, v

→r e v

→s. Se o ponto A ∈ r e

B ∈ s, diremos que tais retas são coplanaresse, e somente se, [ ,v

→r,v

→s] = 0.

Caso [ ,v→

r,v→

s] ≠ 0, diremos que as retas sãonão-coplanares, ou seja, as reta são reversas.

Sendo elas coplanares, diremos que são:

a) concorrentes se, e somente se, v→

r × v→s ≠ 0

b) paralelas, se e somente se, v→

r × v→s = 0. Daí,dois casos a considerar:

1.° caso:

Paralelas coincidentes se, e somente se,para todo ponto P ∈ r tem-se P ∈ s.

r = s ⇒ r//s2.° caso:

Paralelas diferentes se, e somente se, dado umponto P ∈ r tem-se P ∉ r.

r ⊂ α, s ⊂ α e r ∩ s = ∅ ⇒ r//sExemplo:

Verifique a posição relativa entre as retas dadas:

e

Solução:

Sendo v→

r = (–2,3,–6), v→

s = (6,–9,18) os vetoresdiretores das retas r e s respectivamente, vamoscalcular v

→r × v

→s .

Calculando

Daí, concluímos que as retas são paralelas.

Resta saber se são paralelas coincidentes ouparalelas distintas. Para isso, tome um pontoA(2,3,4) ∈ r.

Se tal ponto for um ponto da reta s, diremos queas retas são paralelas coincidentes; caso con-trário, serão paralelas distintas.

Substitua o ponto A(2,3,4) na equação da reta

s dada por .

Fazendo as contas, teremos:

Assim, concluímos que são paralelas diferentes.

Observação:

Diremos que duas retas r e s cujos vetores di-retores são v

→r e v

→s são ortogonais se, e somente

se, v→

r . v→

s = 0, ou seja, basta verificar se osvetores diretores são ortogonais.

Verifique a posição relativas entre as retas dadas:

a) e

b) e

c) e

d) e

TEMA 15

DISTÂNCIA ENTRE DOIS PONTOS, PONTOE RETA

15.1 Distância entre dois pontos

Vamos definir a distância entre dois pontosA(x1,y1,z1) e B(x2,y2,z2), a qual vamos nomen-claturar por d pelo norma do vetor , isto é:

e, portanto,

Exemplo:

Calcular a distância entre os pontos A(3,0,–2) eB(2,–4,2).

Solução:

Para determinar a distância entre os pontosA(3,0,–2) e B(2,–4,2), basta encontrar o vetor

e calcular a sua norma, isto é:

Determinando o vetor , temos: = (–1,–4,4). Dessa forma, temos que o

valor da distância

1. Mostrar que o ponto P(2,2,3) é eqüidistantedos postos A(1,4,–2) e B(3,7,5).

2. Seja o triângulo ABC de vértices A(–3,1,4),B(–3,1,2) e C(2,1,6). Determine o perímetrodeste triângulo.

75


76


15.2 Distância entre ponto e reta

Seja r uma reta definida por um ponto A(x1,y1,z1)e pelo vetor diretor v

→r = (a,b,c). Seja P(x0,y0,z0)

um ponto qualquer IR3. Dessa forma, queremosdeterminar a distância d do ponto à reta.

Temos dois casos a considerar:

1.° caso:

Se o ponto pertence à reta

Nesse caso, teríamos que a distância d doponto à reta seria d = 0

2.° caso:

Se o ponto não pertence a reta

Vamos calcular a distância d entre o ponto e areta; para isso, vamos observar que os vetoresv→

r e determinam um paralelogramo cujaaltura corresponde à distância d de P a r, quevamos calcular fazendo uso da figura abaixo:

Sabe-se que a área S do paralelogramo dadopelos pontos PABC é dada pelo produto dabase pela altura, isto é:

.

Da mesma forma, podemos calcular a área Sdo paralelogramo dado pelos pontos PABC co-mo sendo a norma do vetor v

→r × , isto é:

Sendo assim, podemos determinar a distância

d, por

De modo geral, a distância d entre o ponto P e

uma reta r é dada por onde A é

um ponto da reta r cujo vetor diretor é v→

r .

Exemplo:

Calcule a distância entre o ponto P(2,1,–1) e a

reta s de equação dada por:

Solução:

Sabemos que a distância entre o ponto P e uma

reta r é dada por

Onde A(2,0,1) é um ponto da reta cujo vetor

diretor é v→

r = (–1,3,–1).

Calculando , v→

r × , temos:

= (0,1,–2)

v→

r × = (–5,–2,–1)

Portanto

Logo, .

Vamos resolver o mesmo exercício sem usar a

formula

Seja Q ∈ r tal que . v→

r = 0.

77


Dessa forma, d(P,r) = d(P,q) = || ||

Sendo Q(a,b,c), P(2,1,–1) e v→

r = (–1,3,–1),temos que = (a – 2, b – 1, c + 1) e

. v→

r = –(a – 2) + 3(b – 1) – (c + 1) = 0

–a + 3b – c – 2 = 0.

Aplicando Q em s, temos:

a = 2 – λ, b = λ3, c = 1 – λ para um certo λ.Vamos determinar exatamente esse λ.

Substituindo = 2 – λ, b = λ3, c = 1 – λ em–a + 3b – c – 2 = 0.

Teremos ; portanto o ponto Q terá as

seguintes coordenadas .

Dessa forma, podemos dizer que o vetor

.

E, finalmente, a distância

d(P,r) = d(P,q) = || || = .

1. Calcule a distância entre o ponto P(0,–1,–1) ea reta s de equação dada por:

2. Calcule a distância entre o ponto Q(0,0,1) e areta s de equação dada por:

3. Calcule a distância entre o ponto P(2,0,–1) e areta s de equação dada por:

4. Calcule a distância entre os pontos P(2,1,–1) eR(5,–1,0)

5. Calcule a distância entre os pontos P(3,1,–1)e Q, onde {Q} = r∩s. Sendo

e

6. Seja o triângulo ABC de vértices A(–3,1,4),B(–3,1,2) e C(2,1,6). Calcular a medida daaltura relativa ao lado BC

78


TEMA 16

DISTÂNCIA ENTRE RETAS, PONTO E PLANO

16.1 Distância de um ponto a um plano

Seja um ponto P(x0,y0,z0) do espaço e

π : a . x + b . y + c . z + d = 0 um plano qual-quer.

Para determinar a distância d do ponto aoplano, temos dois casos a considerar:

1.° caso:

Se o ponto pertence ao plano

Nesse caso, temos que d(P,π) = 0

2.° caso:

Se o ponto não pertence ao plano

Vamos mostrar que, nesse caso, a distância po-de ser obtida fazendo uso da fórmula

Onde Q é um ponto qualquer do plano dado, en→

π é o vetor normal a esse plano.

Observe a distância d; ela pode ser calculadapor d = d(P,π) = d(P,A)= || ||

Onde ; logo, teremos

Substituindo Q(x,y,z), P(x0,y0,z0) e n→

π = (a,b,c)

em , chegaremos à formula equi-

valente dada por

Exemplo 1:

Calcule a distância do ponto P(3,2,–1) e oplano β de equação 2 . x + 4 . y – z + 2 = 0.

Solução 1:

Fazendo uso da fórmula equivalente dada por

, onde x0 = 3,

y0 = 3, y0 =2, z0 = –1, a = 2, b = 4 e c = –1 temos

.

Exemplo 2 :

Calcule a distância do ponto P(0,1,1) e o planoβ de equação x + y – z + 3 = 0.

Observação – Sem fazer o uso da fórmula

Solução:

Para isso, basta determinar um ponto Q ∈ β talque = µ . n→β .

Sendo Q(a,b,c) tal ponto, teremos = (a, b – 1, c – 1).

Desse modo, = µ . n→β dá-nos a = µ, b = 1 + µ, c = 1 – µ, onde n

→β é o vetor normal

ao plano β.

Substituindo Q em β, temos a + b – c + 3 = 0e sendo α = µ, b = 1 + µ, c = 1 – µ, teremos:

µ + µ + 1 – (1 – µ) + 1 = 0

µ + µ + 1 – 1 + µ + 1 = 0

µ = –1

Assim, concluímos que Q(–1,0,2). E, portanto,d = d(P,β) = d(P,Q) = || || = , ou seja

d = .

1. Calcule a distância do ponto P e o plano β, deduas formas diferentes, nos casos abaixo:

a) P(0,1,1) e β: x + y – z = 0.

b) P(1,0,1) e β: x + y + z – 1 = 0.

c) P(–1,1,0) e β: –x + 2y – z + 3 = 0.

2. Calcule a distância entre o ponto P(1,0,1) e oplano β, determinado pelos pontos A(0,0,1),B(1,0,0) e C(0,0,1) de duas formas diferentes.

16.2 Distância entre duas retas

A posição relativa entre duas retas quaisquer re s são:

a) concorrentes

b) paralelas

1.° caso: paralelas coincidentes

r = s ⇒ r //s2.° caso: paralelas distintas

r ⊂ α, s ⊂ α e r ∩ s = ∅ ⇒ r //sc) reversas

r e s são reversas ⇔ α; r, s ⊂ α e r ∩ s = ∅

No caso de as retas serem concorrentes ou pa-ralelas coincidentes, temos que d(r, s) = 0.

No caso de paralelas distintas, a distância entreas duas retas d(r, s) é calculada pela distânciaebtre um ponto P qualquer de um delas à outrareta, isto é: d = d(r,s) = d(P,s), onde P∈r.

1. Calcular a distancia entre as retas

a) e

b) e

Observações:

Considere o caso em que as retas r e s são re-versas.

Sejam r e s duas retas reversas. Sendo P ∈ r ev→

r o vetor diretor da reta r e Q ∈ s e v→

s o vetordiretor da reta s. Temos

Sabe-se que o volume de um paralelepípedoé dado pelo produto da área da base pela al-tura. Sendo assim, teremos, na figura anterior, que V = ||v

→r × v→s || . d .

Sabesmos ainda da interpretação geométricado módulo do produto misto, queV = |(v

→r,v

→r, )|.

De onde concluímos que

79


Exemplo:

Calcular a distância entre as retas

e

Solução:

A reta r passa pelo ponto P(–2,1,4) cujo vetordiretor é v

→r = (1,0,–2) e a reta s passa pelo

ponto Q(3,–1,3) cujo vetor diretor é v→

s = (1,0,–2).Sendo assim, temos que

= (5,–2,–1) e

E, portanto,

1. Calcular a distância entre as retas

e

2. Calcular a distância entre as retas

e s = α ∩ β,onde

α: x + y – z + 1 = 0 e β: x – 2y + z + 2 = 0

3. Calcular a distância entre as retas r = e s= α ∩ β, onde A(0,0,1) e B(3,–1,2), α: x + y +2 = 0 e β: x + z + 2 = 0

TEMA 17

DISTÂNCIA ENTRE RETA E PLANO

17.1 Posições relativas

São três as posições relativas entre uma reta eum plano

1. A reta está contida no plano.

r ⊂ α ⇔ r ∩ α = r

2. A reta e o plano são concorrentes ou a retae o plano são secantes.

r ∩ α= {P}

3. A reta e um plano são paralelos.

r // α ⇔ r ∩ α = ∅

No primeiro e no segundo casos, temos que adistância entre a reta e o plano é igual a zero.

No teceiro caso, basta calcular a distância deum ponto qualquer da reta ao plano, isto é:

d = d(r,α) = d(Pα,) onde P∈r

80


Exemplo 1:

Determine a distância entre a reta r dada por

e o plano π definido por

π : 2x – y + z – 3 = 0.

Solução:

Sendo v→

r e n→

π o vetor diretor da reta e o vetornormal ao plano respectivamente, dados porv→

r = (1,2,0) e n→

π = (2,–1,1).

Vamos calcular v→

r . n→

π, para estudar a posiçãorelativa entre a reta e o plano. Dessa forma,concluímos que v

→r e n

→π = 2 – 2 + 0 = 0.

Sendo assim, temos que a reta e o plano sãoparalelos; mais que isso: são paralelos coinci-dentes, pois o ponto A(1,0,1)∈r∩π. Por isso,concluímos que d = d(r,π) = 0.

Exemplo 2:

Determine a distância entre a reta r definida por

e o plano π definido por π : 3x + y – 2z + 4 = 0.

Solução:

Seja v→

r o vetor diretor da reta e n→

π o vetor nor-mal ao plano, dados por v

→r =(1,1,–1) e

n→

π = (3,1,–2).

Vamos calcular v→

r . n→

π , para estudar a posiçãorelativa entre a reta e o plano. Dessa forma,concluímos que v

→r . n

→π = 3 + 1 + 2 = 6 ≠ 0.

Sendo assim, temos que a reta e o plano sãoparalelos secantes. De onde concluímos que

d = d(r,π) = 0.

Exemplo 3:

Determine a distância entre a reta r dada por

e o plano π definido por π : –x + 2y + z – 1 = 0.

Solução:

Seja v→

r o vetor diretor da reta, e n→

π o vetor nor-mal ao plano, dados por v

→r = (3,2,1) e

n→

π = (–1,2,1).

Vamos calcular v→

r . n→

π , para estudar a posiçãorelativa entre a reta e o plano. Dessa forma,concluímos que v

→r . n

→π = –3 + 4 – 1 = 0.

Sendo assim, temos que a reta e o plano sãoparalelos; mais que isso: são paralelos distin-tos, pois o ponto A(2,1,–2)∈r e A(2,1,–2)∉r.

Sendo assim, para calcular a distância entre areta e o plano, basta calcular a distância de umponto da reta ao plano.

Sendo A(2,1,–2) tal ponto da reta eπ : –x + 2y + z – 1 = 0, temos que:

, portanto

1. Determine a distância entre a reta r dada por


π : x – y + z – 3 = 0.



π: 2x + y + z = 0.



π: –x + 2y + z = 0.



π : –3x + 2y + 2z – 1 = 0.


e o plano π definido pelos

pontos A(1,0,0), B(0,1,0) e C(0,0,1).

62

d =

81


TEMA 18

ÂNGULO ENTRE RETAS, ENTRE PLANOS EENTRE RETA E PLANO

18.1 Ângulo entre retas

Sejam r e s duas retas que passam pelos pon-tos A e B, cujos vetores diretores são v

→r e v

→s.

Definimos o ângulo entre duas retas r e s,como sendo o menor ângulo formado entre osvetores diretores v

→r e v

→s, isto é:

, com .

Exemplo 1:

Calcular o ângulo entre as retas

e

Solução:

Os vetores diretores das retas r e s são respecti-vamente v

→r (–1, –1, –1) e v

→s (1, 1, –1). E fazendo

uso da fórmula temos:

Exemplo 2:

Calcular o ângulo entre as retas

e

Solução:

Os vetores diretores das retas r e s são respec-

tivamente v→r = (–1,1,–1) e . E

fazendo uso da fórmula:

temos:

θ ≈ 86,490

Exemplo 3:

Calcular o ângulo entre as retas r e s, sendor = onde A(1,0,1) e B(2,1,–1), e s perpen-dicular ao plano π: x + y – 2z + 4 = 0 passan-do pelo ponto P(0,1,3).

Solução:

Os vetores diretores das retas r e s são, res-pectivamente, v

→r = = (1, 1, –2) e

v→

s = n→

π = (1, 1, –2). E fazendo uso da fórmula

, temos:

θ =00

82


1. Calcular o ângulo entre as retas:

e

2. Calcular o ângulo entre as retas:

e

3. Calcular o ângulo entre as retas r e s, sendo

e s perpendicular ao

plano π : 2x – y + z + 4 = 0 passando peloponto P(0,1,3).

4. Calcular o ângulo entre as retas r e s, sendo

r = onde A(–1,0,2) e B(1,–1,–1), e s perpen-dicular ao plano π: x + 2y – z + 3 = 0 passan-do pelo ponto P(–2,1,–3).

18.2 Ângulo entre dois planos

Sejam α: a1 . x + b1 . y + c1 . z + d1 = 0 e β: a2 . x + b2 . y + c2 . z + d2 = 0 dois planos,cujos vetores normais são respectivamenten→

α (a1,b1,c1) e n→

β (a2,b2,c2)

Chama-se ângulo de dois planos α e β omenor ângulo formado entre os vetores nor-mais aos planos.

Sendo assim, temos que o ângulo θ é dado por:

Exemplo 1:

Determine o ângulo entre os planos:

α: 2 . x – 4 . y + 8 . z – 5 = 0 e

β: 2 . x – y + z – 3 = 0

Solução:

Os vetores normais aos planos dados são res-

pectivamente n→

α (2, –4, 8) e n→

β (2, –1, 1), e

fazendo uso da fórmula

temos:

Exemplo 2:

Determine o ângulo entre os planos α e β,

sendo α: x – y + z – 5 = 0 e β um plano que

passa pelos pontos A(1,0,0), B(0,1,0) e

C(0,0,2).

Solução:

Os vetores normais aos planos dados são,respectivamente, n

→α (1,–1,1) e n

→β (2,2,1), sendo

o vetor n→

β = × . Fazendo uso da fór-

83


mula , temos:

Exemplo 3:

Se α e β são dois planos.Tais que α é determi-nado pelos pontos A(1,0,0), B(1,1,0) e C(0,1,2)e β é um plano que passa pelo ponto P(1,1,–2)e é perpendicular à reta r de equação:

Solução:

Os vetores normais aos planos dados são,respectivamente, n

→α (2,1,–1) e n

→β (–1,1,1), sendo

o vetor n→

β = × e n→

β = v→

r . Fazendo uso

da fórmula , temos:

1. Determine o ângulo entre os pares de planosabaixo:

a) α: x+y+z+2 = 0 e β: 2.x – y + 2z – 1 = 0

b) α: x–y+z – 1 = 0 e β: x – y + z – 3 = 0

c) α: x–2y–z = 0 e β: –2x – 3y + z – 3 = 0

2. Determine o ângulo entre os planos α e β,sendo α: x + y + z – 2 = 0 e β um plano quepassa pelos pontos A(1,–1,0), B(0,1,2) eC(0,0,2).

3. Se α e β são dois planos. Sendo α é determi-nado pela equação α: 2x + y – z + 3 = 0 e βé um plano que passa pelo ponto P(1,1,–2) e éperpendicular à reta r de equação

.

4. Se α e β são dois planos.Tais que α é determi-nado pelos pontos A(1,–1,1), B(1,1,1) eC(0,1,2) e β é um plano que passa pelo pontoP(2,1,–2) e é perpendicular à reta r de equação

.

18.3 Ângulo entre reta e plano

Seja uma reta r que passa pelo ponto P e tem v→

r

como vetor diretor e um plano π, que passa peloponto Q e tem como vetor normal o vetor n

→π.

O ângulo ϕ da reta r com o plano π é o com-plemento do ângulo θ que a reta r forma comuma reta normal ao plano, isto é:

onde teríamos cosθ = senϕ. Dessa forma,vamos definir o ângulo entre uma reta e umplano, coforme a figura acima, como sendo:

Exemplo 1:

Determine o angula entre a reta

e o plano π: x + z – 2 = 0.

Solução:

A reta r tem v→

r (1,–1,1) como vetor diretor e

84


n→

π (–1,1,1) é o vetor normal ao plano π. Sendoassim, temos que o ângulo entre a reta e oplano pode ser calculado pela fórmula

, isto é:

Exemplo 2:

Seja r uma reta determinada pelos pontosB(1,–1,1) e B(1,1,1) e seja β um plano quepassa pelo ponto P(2,1,–2) e é perpendicular à

reta s de equação .

Determine o ângulo entre a reta e o plano.

Solução:

A reta r tem v→

r = (0,2,0) como vetor diretore n

→π = v

→s (2,3,1) é o vetor normal ao plano π.

Sendo assim, temos que o ângulo entre a retae o plano pode ser calculado pela fórmula

, isto é:

1. Determine o ângulo entre os pares de retas eos planos abaixo:

a) e β: x – y + z – 1 = 0

b) e β: x + y + 2z – 3 = 0

c) e β: –2x + y + z – 3 = 0

2. Determine o ângulo entre reta r que passapelos pontos B(0,1,2) e C(0,0,2) e o plano β,sendo β: x + y + z – 2 = 0.

3. Determine o ângulo entre a reta

e β é um plano que

passa pelo ponto P(1,1,–2) e é perpendicular à

reta s de equação .

85


UNIDADE VICônicas

TEMA 19

CÔNICAS – PARÁBOLA

19.1. Introdução

Se girarmos uma parábola em torno do seueixo, ela vai gerar uma superfície chamada pa-rabolóide de revolução, também conhecida co-mo superfície parabólica. Essa superficie pos-sui inúmeras aplicações interessantes, todaselas decorrentes de uma propriedade geomé-trica da parábola.

A fama das superfícies parabólicas remonta àAntiguidade.

Há uma lenda segundo a qual o extraordináriomatemático grego Arquimedes, que viveu emSiracusa, em torno do ano 250 a.C., destruiu afrota que sitiava aquela cidade incendiando osnavios com os raios de sol refletidos em espe-lhos parabólicos. Embora isso seja teorica-mente possível, há sérias dúvidas históricassobre a capacidade tecnológica da época parafabricar tais espelhos.

Mas a lenda sobreviveu, e com ela a idéia deque ondas (de luz, de calor, de rádio ou de ou-tra qualquer natureza), quando refletidas numasuperfície parabólica, concentram-se sobre ofoco, assim ampliando grandemente a intensi-dade do sinal recebido.

Da lenda de Arquimedes restam hoje um inter-essante acendedor solar de cigarros e outrosartefatos que provocam ignição fazendo con-vergir os raios de sol para o foco de uma su-perfície parabólica polida.

Outros instrumentos atuam inversamente, con-centrando, na direção paralela ao eixo, os raiosde luz que emanam do foco. Como exemplos,citamos os holofotes, os faróis de automóveise as simples lanternas de mão, que têm fontesluminosas à frente de uma superfície parabóli-ca refletora.

Um importante uso recente dessas superfíciesé dado pelas antenas parabólicas, emprega-das na radioastronomia, bem como no dia-a-dia dos aparelhos de televisão, refletindo osdébeis sinais provenientes de um satélite sobre

sua superfície, fazendo-os convergir para umúnico ponto o foco, desse modo amplificandoconsideravelmente sua intensidade.

Consideremos em um plano uma reta d e umponto F não pertencente a d.

Parábola é o lugar geométrico dos pontos doplano que são equidistantes de F e d.

De acordo com a defínição acima, P pertenceà parábola se, e somente se: d(P,F) = d(P,P’),ou seja, .

Observação:

Consideramos o fato de Fd, pois, caso con-trário, a parábola se degeneraria numa reta.

19.2 Elementos

Considerando a figura acima, temos:

Foco: é o ponto F.

Diretriz: é a reta d.

Eixo: é a reta que passa pelo foco e é perpen-dicular à diretriz.

Vértice: é o ponto V de interseção da parábolacom o seu eixo.

Obviamente, tem-se: d(V, F) = d(V, A).

Com a finalidade de obtermos uma equaçãoda parábola, teremos de referi-la ao sistema deeixos cartesianos. Iniciemos pelo caso maissimples.

89

Álgebra Linear I – Cônicas

19.3 Equação da parábola de vértice na origem do sistema

1.o caso – O eixo da parábola é o eixo dos y

Seja P(x, y) um ponto qualquer da parábola

(conforme figura abaixo) de foco .

Da definição de parábola, tem-se:

Como , vem:

Elevando ambos os membros ao quadrado,obtemos:

ou simplesmente: x2 = 2py (1)Essa equação é chamada equação reduzidada parábola e constitui a forma padrão daequação da parábola de vértice na origem,tendo para eixo o eixo dos y.

Da análise dessa equação conclui-se que, tendoem vista ser 2py sempre positivo ou nulo (pois éigual a x2 ≥ 0), os sinais de p e de y são sempreiguais. Conseqüentemente, se p > 0, a parábolatem concavidade voltada para cima e, se p < 0,a parábola tem concavidade voltada para baixo,conforme esclarecem as figuras a seguir .

Este número real p ≠ 0 é conhecido comoparâmetro da parábola.

2.o caso – O eixo da parábola é o eixo dos x.

Sendo P(x, y) um ponto qualquer da parábola

(conforme figura abaixo) de foco ,

obteremos, de forma análoga ao 1.o caso, aequação reduzida: x2 = 2py

Conforme o sinal de p, teremos: se p > 0, aparábola tem concavidade voltada para a di-reita e, se p < 0, a parábola tem concavidadevoltada para a esquerda.

90


19.5 Translação de eixos

Consideremos no plano cartesiano xOy umponto

O'(h, k), arbitrário. Vamos introduzir um novosistema x'O'y' tal que os eixos O'x' e O'y' tenhama mesma unidade de medida, a mesma direçãoe o mesmo sentido dos eixos Ox e Oy. Nessascondições, um sistema pode ser obtido dooutro, por meio de uma translação de eixos.

Seja um ponto P qualquer do plano tal quesuas coordenadas são:

x e y em relação ao sistema xOy, x' e y' emrelação ao sistema x'O'y',

Pela figura anterior, obtém-se:

x = x' + h e y = y' + k

ou:

x' = x - h e y' = y - k

que são as fórmulas de translação e que per-mitem transformar coordenadas de um siste-ma para outro.

A principal finalidade da transformação de co-ordenadas é modificar a forma de equações.

19.6 Equação da parábola de cértice fora da origem do sistema

1.o caso – O eixo da parábola é paralelo aoeixo dos y.

Seja uma parábola de vértice V(h, k) e eixoparalelo ao eixo dos y, sendo h e k coorde-nadas de V em relação ao sistema xOy.

Seja P(x, y) um ponto qualquer dessa parábola.

Consideremos um novo sistema x'O'y' com aorigem O' em V nas condições do que foi ante-riormente (conforme Figura abaixo).

Sabe-se que a equação da parábola referidaao sistema x'O'y' é

x’2 = 2py’

mas:

x' = x – h e y' = y – k, e daí:

(x – h)2 = 2p(y – k)

que é a forma padrão da equação de umaparábola de vértice V(h, k) e eixo paralelo aoeixo dos y.

2.o caso – O eixo da parábola é paralelo aoeixo dos x.

De modo análogo ao caso anterior, teremos:

(y – k)2 = 2p(x – h)

91


19.7 Exemplos1. Determinar a equação da parábola cujo vértice

é a origem dos eixos de coordenadas, o eixo desimetria é o eixo y e passa pelo ponto P (–3,7).

Resolução:

Se o eixo de simetria é o eixo y, a forma padrãoda equação da parábola é x2 = 4py. SeP (–3,7) pertence à parábola, temos:

Transportando o valor de p para a formapadrão, temos:

Resposta: A equação procurada é

2. Dada uma parábola de equação y2 = –20x,pede-se:

a) as coordenadas do foco;

b) a equação da diretriz;

c) o esboço do gráfico.

Resolução:

Se y2 = –20, a forma padrão da equação daparábola é y2 = 4px, e o eixo de simetria é oeixo x.

a) Coordenadas do foco

sendo x o eixo de simetria, então F (p, 0)

b) Equação da diretriz

x = -p x = -(-5) x = 5

c) Esboço do gráfico

Como o eixo de simetria é o eixo x, temos:

Resposta: a) F(–5,0); b) x = 5; c) Vide re-solução.

3. Determinar as coordenadas dos vértices, ascoordenadas do foco e a equação da diretrizda parábola da equação y2 – 4y – 8x + 28 = 0.

Resolução:

Isolando os termos em y no 1.o membro e com-pletando o quadrado perfeito, temos:

Y2 – 4y – 8x + 28 = 0

y2 – 4y = 8x – 28

Y2 – 4y + 4 = 8x – 28 + 4

(y – 2)2 = 8x – 24

(y – 2)2 = 8 (x – 3)

Comparando com a forma padrão da parábo-la, temos:

Logo, V (h, k) V (3, 2)

F (h + p, k) F(5, 2)

A equação da diretriz é:

X = h – p x = 3 – 2

X = 1

Respostas: V (3, 2) F(5, 2) e x = 1

5. Determinar as coordenadas do vértice, as coor-denadas do foco e a equação da diretriz daparábola de equação x2 + 2x + 4y – 15 = 0.

Resolução:

Isolando os termos em x no primeiro membroe completando o quadrado perfeito, temos:

X2 + 2x + 4y – 15 = 0

x2 + 2x = – 4y + 15

X2 + 2x + 1 = – 4y + 15 + 1

(x + 1)2 = – 4y + 16

(x + 1)2 = –4 (y – 4)

Comparando com a forma padrão, temos:

92


Logo, V (h, k) V (-1, 4)

F (h, k + p) F (-1, 3)

A equação da diretriz é:

Y = k – p y = 4 – (-1)

y = 5

Resposta: V (-1, 4), F (-1, 3) e y = 5

5. Uma parábola tem foco (-1, 8) e diretriz dadapela equação y = 5. Determine as coorde-nadas do vértice e a equação dessa parábola.

Resolução:

Se P (x, y) é um ponto da parábola, temos:

d(P, F) = d (P, D1)

Logo,

Resposta:

1. A parábola de equação y = ax2 + bx + c passapelos pontos (1, 0), (2, 5) e (-4, 5); então, ovalor de a + b + c é:

a) 6 b) 0

c) 2 d) 5

e) 4

02. A parábola cujo eixo de simetria é 0y e quepassa pelos pontos de intersecção da reta x + y = 0 com a circunferência x2 + y2 + 8y = 0tem por equação:

3. Qual é a distância da origem do sistema carte-siano ao vértice V da parábola de equação x2 – 6x – y + 10 = 0?

4. A reta passa pelo vértice da parábola deequação y = 4x – x2 e intercepta o eixo x noponto de abscissa 5. A equação da reta é:0

5. A distância do vértice da parábola

y = (x – 2) . (x – 6) à reta é:

6. Das equações abaixo, a que representa uma

93


parábola de eixo coincidente com a reta y = 0 é:

a) y – x2 + 1

b) x = y2 + 1

c) y – x2 = 0

d) x2 – y2 = 1

e) x = 1/y + 3

7. Para que a parábola y = 2x2 + mx + 5 nãointercepte a reta y = 3, devemos ter:

a) – 4 < m < 4

b) m < –3 ou m > 4

c) m > 5 ou m < -5

d) m = –5 ou m = 5

e) m 0

8. As parábolas dadas pelas equações y = x2 e x = y2:

a) nunca se encontram;

b) se encontram apenas na origem;

c) se encontram em exatamente dois pontos;

d) se encontram em três pontos;

e) se encontram em quatro pontos.

9. Qual é a equação da diretriz da parábolaY2 = 8x?

a) x = –4

b) x = –2

c) x = –3

d) x = –5

e) x = –1

10. Ache a distância do ponto P(3, 6) à reta deter-minada pelos pontos de interseção das curvasx2 + y2 = 2 e y = x2.

a) 3 b) 4

c) 5 d) 6

e) 7

TEMA 20

CÔNICAS – ELIPSE

Elipse é o lugar geométrico dos pontos de umplano cuja soma das distâncias a dois pontosfixos desse plano é constante.

Consideremos no plano dois pontos distintos,F1 e F2, tal que a distância d (F1, F2) = 2c.

Seja um número real a tal que 2a > 2c.

Ao conjunto de todos os pontos P do plano taisque:

d(P, F1) + d(P, F2) = 2a

ou:

dá-se o nome de elipse.

A figura baixo sugere como se pode construiruma elipse no papel.

Nos pontos F1 e F2, fixemos dois pregos eneles amarremos um fio não esticado. Tome-mos um lápis e distendamos com sua ponta ofio, marcando o ponto P1. Então, a soma dasdistâncias d(P1, F1) e d(P1, F2) é o comprimen-to do fio. Se o lápis deslizar sobre o papel,mantendo o fio sempre esticado, ficará traçadauma elipse de focos F1 e F2 . A figura mostraoutra posição P2 da ponta do lápis e, tambémpara este ponto, a soma das distâncias d(P2,F1)e d(P2, F2) é o comprimento do fio. Assim, paraas infinitas posições da ponta do lápis, a somadas distâncias a F1 a F2 é constante.

94


A constante 2a anteriormente referida é o com-primento do fio.

Se mantivermos constante o comprimento do fioe variarmos as posições de F1 e F2, a forma daelipse irá variar. Assim, quanto mais próximos osfocos estão entre si, tanto mais a forma da elipsese assemelha à da circunferência, e quandoF1 = F2, obtém-se uma circunferência. Por outrolado, quanto mais afastados os focos estiverementre si, mais “achatada” será a elipse.

20.1 Elementos

Focos: são os pontos F1 e F2 .

Distância focal: é a distância 2c entre osfocos.

Centro: é o ponto médio C do segmento F1F2.

Eixo maior: é o segmento A1A2 de comprimen-to 2a (o segmento A1A2 contém os focos e osseus extremos pertencem à elipse).

Eixo menor: é o segmento B1B2 de compri-mento 2b.

(B1B2 ∞ A1A2 no seu ponto médio).

Vértices: são os pontos A1, A2, B1 e B2.

Excentricidade: é o número e dado por .

Tendo em vista que c < a, tem-se: 0 < e < 1.

Observação:

Em toda elipse, vale a relação:

a2 = b2 + c2

Na verdade, essa igualdade é a relação dePitágoras no triângulo retângulo B2CF2.

20.2 Equação da elipse de centro na origem do sistema

1.o caso – O eixo maior está sobre o eixo dos x.

Seja P(x, y) um ponto qualquer de uma elipsede focos F1 (–c, 0) e F2 (c, 0).

Por definíção, tem-se:

d(P,F1) + d(P,F2) = 2a

ou:

ou em coordenadas:

a2(x2 + y2 – 2cx + c2) = a4 – 2a2cx + c2x2

a2x2 + a2y2 – a22cx + a2c2 = a4 – 2a2cx + c2x2

a2(x2 + y2 – 2cx + c2) = a4 – 2a2cx + c2x2

a2(x2 + y2 – 2cx + c2) = a4 – 2a2cx + c2x2

a2x2 – c2x2 +a2y2 = a4 – a2c2

(a2 – c2)x2 + a2y2 = a2 – (a2 – c2)mas:

a2 – c2 = b2

logo:

b2x2 + a2y2 = a2b2

95


Dividindo ambos os membros da equação por

a2b2, obtemos , que é a equação

reduzida da elipse de centro na origem e eixomaior sobre o eixo dos x.

2.o caso – O eixo maior está sobre o eixo dos y.

Com procedimento análogo ao 1º caso, obter-emos a equação reduzida

Observação:

Tendo em vista que a2 = b2 + c2, segue-se que:a2 > b2, e, portanto, a > b.

Então, sempre o maior dos denominadores naequação reduzida representa o número a2,onde a é medida do semi-eixo maior.

Ainda mais: se na equação da elipse o númeroa2 é denominador de x2, a elipse tem seu eixomaior sobre o eixo dos x.

Exemplos:

A equação reduzida da elipse abaixo é:

Já a elipse abaixo tem equação reduzida:

20.3 Equação da elipse de centro fora da origem do sistema

1.o caso – O eixo maior é paralelo ao eixo dos x.

Consideremos uma elipse de centro C(h, k), eseja P(x, y) um ponto qualquer da mesma.

Faremos um processo análogo ao caso daequação da parábola com vértice em (h, k)quando ocorre uma translação de eixos, pois ocaso presente da elipse é perfeitamente análo-go àquele.

Assim:

é a equação de uma elipse de cen-

tro C(0, 0) e eixo maior sobre o eixo dos x;quando o eixo maior for paralelo ao eixo dos xe o centro for C(h, k), a equação passa a ser

Esse mesmo detalhe irá repetir-se também no

96


estudo da hipérbole a ser feito logo a seguir.

2.o caso – O eixo maior é paralelo ao eixo dos y.

De forma análoga, temos:

20.4 Exemplos

1. numa elipse, o eixo maior está contido no eixox, e seu comprimento é 16. Sabendo-se que adistância entre os focos é 10, determinar aequação da elipse.

Resolução:

como o eixo maior está contido no eixo x, aforma padrão da equação é:

Pelos dados do problema, temos:

2a = 16 a = 8

2c = 10 c = 5

a2 = b2 + c2 64 = b2 + 25 b2 = 39

Então, a equação procurada é:

Resposta : A equação é .

2. Determinar as coordenadas dos focos e dosvértices da elipse de equação

4x2 + 25y2 = 100.

Resolução:

Vamos escrever a equação na forma padrão,dividindo todos os termos por 100:

Como 25 > 4, o eixo maior está contido no eixox, logo:

a2 = 25 ⇒ a = 5

b2 = 4 ⇒ b = 2

a2 = b2 + c2 ⇒ 25 = 4 + c2

c =

Sabendo que os focos e os vértices estão situ-ados no eixo x, temos:

Resposta:

3. Determinar a equação da elipse de vértices V1 (0,6) e V2 (0, –6) e que passa pelo ponto P (3, 2).

Resolução:

Como os vértices estão no eixo y, a formapadrão da equação é:


A = 6

Como a elipse passa pelo ponto P (3, 2), deve-mos ter:

Substituindo a2 e b2 na equação padrão,temos:

Resposta: A equação procurada é

4. Determinar a excentricidade da elipse deequação x2 + 5y2 = 20.Resolução: x2 + 5y2 = 20

97


Da equação obtida, temos:

b2 = 4 ⇒ b = 2

a2 = b2 + c2 20 = 4 + c2

c2 = 16

c = 4

Daí, temos:

Resposta:

5. Determinar as coordenadas do centro, as coor-denadas dos focos e as medidas dos semi-eixos

da elipse de equação .

Resolução:

Comparando com a forma padrão, temos:

Como a2 = b2 + c2, vem:

a2 = b2 + c2 ⇒ 25 = 16 + c2

c2 = 9

c = 3

Portanto, O (h, k)⇒ O (4, –3)

F1 (h + c, k) ⇒ F1 (7,–3)

F2 (h – c, k) ⇒ F2 (1,–3)

Resposta: O (4, –3), F1 (7, -3), F2 (1,–3), a = 5e b = 4

1. Num sistema de coordenadas cartesianas or-togonais, a equação x2 + 4y2 = 4 representa:

a) uma circunferência de centro na origem;

b) uma parábola de vértice na origem;

c) uma circunferência de raio 2;

d) uma elipse cujo eixo maior é o dobro do eixo menor;

e) uma elipse cujo eixo maior é o quádruplo do eixo menor.

2. Um ponto P da elipse dista 2 de um

dos foco. Qual é a distância de P ao outro focoda elipse?

a) 2 b) 3

c) 4 d) 5

e) 7

3. O eixo menor da elipse de equação 5x2 + 2y2 = 20tem comprimento igual a:

a) 2 b) 4

c) 10 d)

e) 2

4. A equação da elipse que passa pelos pontos(2, 0), (-2, 0) e (0, 1) é:

a) x2 + 4y2 = 4

b) x2 +

c) 2x2 – 4y2 = 1d) x2 – 4y2 = 4

5. A equação da circunferência com centro naorigem e cujo raio é igual ao semi-eixo menorda elipse x2 + 4y2 = 4 é:

a) x2 + y2 =

b) x2 + y2 = 16c) x2 + y2 = 4

d) x2 + y2 = 1

6. A reta que passa pelos pontos de intersecção

da parábola y = x2 com a elipse

é:

a) y = –x b) y = 2x + 1

c) y = 2x d) y = 3x

e) Não sei.

98


7. A equação 9x2 + 4y2 – 18x – 8y – 23 = 0 repre-senta uma:

a) circunferência;

b) hipérbole;

c) parábola;

d) elipse;

e) reta.

8. A reta y = ax + 1 intercepta a elipse x2 + 4y2 = 1somente num ponto. Calcule 8 a2.

a) 6 b) 5

c) 4 d) 7

e) 1

9. Os pontos A (10, 0) e B (–5, y) estão sobre umaelipse cujos focos são F1(–8, 0) e F2 (8, 0).Calcule o perímetro do triângulo BF1F2.

a) 24 b) 32

c) 36 d) 44

e) 46

10. A equação 9x2 + 4y2 – 18x – 16y – 11 = 0 é deuma elipse. Os semi-eixos maior e menormedem:

a) 4 e 3 b) 4 e 2

c) 4 e 1 d) 3 e 2

e) 3 e 1

TEMA 21

CÔNICAS – HIPÉRBOLE

21.1 Definição

Considerando, num plano, dois pontos distin-tos, F1 e F2, e sendo 2a um número real menorque a distância entre F1 e F2, chamamos dehipérbole o conjunto dos pontos do plano taisque o módulo da diferença das distânciasdesses pontos a F1 e F2 seja sempre igual a 2a.

Por exemplo, sendo P, Q, R, S, F1 e F2 pontosde um mesmo plano e F1F2 = 2c, temos:

A figura obtida é uma hipérbole.

Observação:

Os dois ramos da hipérbole são determinadospor um plano paralelo ao eixo de simetria de doiscones circulares retos e opostos pelo vértice.

99


21.2 Elementos

Observe a hipérbole representada a seguir. Ne-la, temos os seguintes elementos:

• semi-eixo real: a

• semi-eixo imaginário: b

• semidistância focal: c

• distância focal: |F1F2| = 2c

• eixo real: |A1A2| = 2a, contém os focos

• eixo imaginário:

|B1B2| = 2b (b > 0 e tal que a2 + b2 = c2

- relação fundamental)

Excentricidade

Chamamos de excentricidade o número real etal que:

Como c > a, temos e > 1.

21.3 Equações

Vamos considerar os seguintes casos:

a) hipérbole com centro na origem e focos noeixo Ox

F1 (–c, 0)

F2 (c, 0)

Aplicando a definição de hipérbole:

Obtemos a equação da hipérbole:

b) hipérbole com centro na origem e focos noeixo Oy. Nessas condições, a equação dahipérbole é:

21.4 Hipérbole eqüilátera

Uma hipérbole é chamada eqüilátera quandoas medidas dos semi-eixos real e imagináriosão iguais:

a = b

21.5 Assíntotas da hipérbole

Assíntotas são retas que contêm as diagonaisdo retângulo de lados 2a e 2b.

Quando o eixo real é horizontal, o coeficienteangular dessas retas é m = ±b/a; quando é

100


vertical, o coeficiente é m = ± a/b.

Equação

Vamos considerar os seguintes casos:

a) eixo real horizontal e C(0, 0)

As assíntotas passam pela origem e têmcoeficiente angular m = ± b/a; logo, suasequações são da forma:

b) eixo vertical e C(0, 0)

As assíntotas passam pela origem e têmcoeficiente angular m = ± a/b; logo, suasequações são da forma:

21.6 Exemplos

1. Determinar a equação da hipérbole de focosF1(5, 0) e F2(–5, 0) e de vértices V1(3, 0) e V2(–3, 0).

Resolução:

Como os focos pertencem ao eixo das abscis-sas, a forma padrão da equação é:


a = 3

c = 5

c2 = a2 + b2 ⇒ 52 = 32 + b2 ⇒ b2 = 25 – 9 ⇒b2 = 16 ⇒ b = 4

Substituindo na forma padrão, temos:

Resposta: a equação pedida é

2. Determinar a equação da hipérbole de focosF1(0, 4) e F2(0,–4), sabendo-se que o compri-mento do eixo real é 6 unidades.

Resolução:

Como os focos pertencem ao eixo das orde-nadas, a forma padrão da equação é:


C = 4

2a = 6 ⇒ a = 3

c2 = a2 + b2 ⇒ 42 = 32 + b2 ⇒ b2 = 16 – 9 ⇒b2 = 7

Substituindo na forma padrão, temos:

Resposta: A equação pedida é

3. Determinar a medida do eixo real, do eixoimaginário e da distância focal da hipérbole deequação 9x2 – 16y2 = 144.

Resolução:

Vamos escrever a equação na forma padrão,dividindo todos os termos por 144:

Nesse caso, os vértices e os focos estão noeixo das abscissas e:

a2 = 16 a = 4

b2 = 9 b = 3

Logo, c2 = a2 + b2 ⇒ c2 =16 + 9c = c = 5

portanto,

Resposta:

4. Determinar a excentricidade e a equação das

101


assíntotas da hipérbole de equação 4x2 – y2 = 16.

Resolução:

Escrevendo a equação dada na forma reduzi-da, temos:

4x2 – y2 = 16

Pela equação obtida, temos:

a2 = 4 ⇒ a = 2

b2 = 16 ⇒ b = 4

c2 = a2 + b2 ⇒ c2 = 4 + 16 ⇒ c2= 20 ⇒

• Cálculo da equação das assíntotas

Resposta:

5. Determinar o centro, as medidas do eixo real edo eixo imaginário, a excentricidade e os focosda hipérbole x2 – y2 = 16.

x2 – y2 = 16 (dividindo a expressão por 16)

Como a hipérbole é do tipo , o cen-

tro tem coordenadas C(0, 0).

• O eixo real mede A1 A2 = 2a = 2 . 4 = 8

• O eixo imaginário mede B1B2 = 2b = 2 . 4 = 8

É importante observar que, nesse caso,a = b = 4, portanto, trata-se de uma hipér-bole eqüilátera.

• A excentricidade é dada por

c2 = a2 + b2

c2 = 42 + 42

Os focos têm coordenadas F1(x0 -c, y0) e F2

(x0 + c, y0).

1. A cônica representada pela equação: 3x2 – 4y2 + 8y – 16 = 0 é:

a) parábola;

b) hipérbole;

c) elipse;

d) circunferência;

e) duas retas.

2. O valor de b para o qual a reta y = x + b nãointercepta a hipérbole x2 – y2 = 1 é:

a) 2

b)

d) 1

f) 0

g) –1

3. A equação de uma das assíntotas à hipérbole

é:

a) y = 2x – 1

b) y = 4x

c) y = x

d) y = 2x + 1

e) y = 2x

4. Considerando-se a equação da hipérbole4x2 – 16y2 = 49, determine a medida do eixoreal:

a) 6

b) 9

c) 4

d) 7

e) 0

5. Obtenha a distância focal da hipérbole cuja

equação é .

a) 2c =12

b) 2c = 9

102


c) 2c = 11

d) 2c = 10

e) 2c = 13

6. Determine as coordenadas dos focos da hipér-bole cuja equação é 144y2 – 25x2 = 3600.

a) F1(0, -12) e F2(0, 12)

b) F1(0, -10) e F2(0, 10)

c) F1(0, -13) e F2(0, 13)

d) F1(0, -11) e F2(0, 11)

7. O gráfico da equação x2 – y2 = 4 representauma hipérbole. Os focos dessa hipérbole são:

a)

b) (2,0) e (–2,0)

c) (2 ,0) e (–2 ,0)

d) (0, ) e (0,– )

e)

8. Assinalar a falsa:

a) As retas 2y = 3x + 5 e 3x – 2y = 0 são para-lelas.

b) As retas 5x – 2y = 1 e 2x + 5y = 0 são per-pendiculares.

c) A distância do ponto (5; 3) à reta y = 5 é 2.

d) 2x2 + 5y2 = 1 é a equação de uma hipér-bole.

e) X = 4y2 é a equação de uma parábola.

9. A equação de uma das assíntotas da hipérbolex2 – y2 = 16 é:

a) y = 2x – 1 b) y = 4x

c) y = x d) y = 2x + 1

e) y = 2x

10. A cônica de excentricidade 2 e vértice (-1;0) e(1; 0) tem equação:

a) 3x2 + y2 = 3 b) 3x2 – y2 = 3

c) 3x2 – y2 = 1 d) x2 + 3y2 = 3

e) x2 – 3y2 = 1

103


Respostas dos Exercícios

107

Matemática Elementar II – Conjuntos Numéricos

UNIDADE IMatrizes

TEMA 02

MATRIZES OPERAÇÕES

Pág. 16

1. ; diagonal principal: 0, 0 e 0;

2. 2. x = –2 e y = 2

3. p = 1 e q = -1

4. x = 1 e y = -1

5.

6.

7. (6 -8 14)

8.

9. 94

10.

11.

12.

UNIDADE IIDeterminantes

TEMA 04

PROPRIEDADES DOS DETERMINANTES

Pág. 27

1. d2. a3. d4. e5. b6. a7. a8. d9. b10. a11. e12. a13. d14. e

UNIDADE IIISistemas Lineares

TEMA 06

ESTUDO DE SISTEMAS LINEARES HOMOGÊ-NEOS E HETEROGÊNEOS

Pág. 36

1. a2. b3. b4. c5. a6. d7. d8. e

108


9. e10. a11. b12. b13. b14. c15. a16. c17. c18. d19. a20. b21. a22. a23. b24. c25. c26. d

UNIDADE IVVetores

TEMA 08

VETORES - DEPENDÊNCIA E INDEPENDÊNCIA LINEAR

Pág. 48

1. Demonstração2. Demonstração3. Demonstração4. a) uma resposta possível é Q(5, 10, -8)

b) uma resposta possível é Q(-7, -4, -2)

5. a) (-2, 1, -4) b) (-10, 6, 4) c) (-7, 1, 10) d) (80, -20, -80)

6. Demonstração

TEMA 10

VETORES - PROJEÇÃO ORTOGONAL

Pág. 52

1. a) (3, 2, 2) b) (2, 4, -1)c) (-4, -1, -4) d) (2, -8, -3)

2. a) b) 1 c)

3. a) -17 b) -33 c) -19

4. Demonstração

5.

6. a) Não b) Não

7.

8. a = -5

9. a = b = ou a = b=

10.

11. 312. Demonstração13. Demonstração14. Demonstração15. Demonstração

TEMA 12

VETORES - PRODUTO MISTO

Pág. 57

1. 1. a) (-2, 4, -6) b) (1, -4, -6)2. (12, -8, -12)3. k(3, 7, 1), k escalar

4.

5. - 5

6.

109

Desenho Geométrico – Respostas dos Exercícios

7. a) Não b) Sim8. a) Sim b) Não c) Sim 9. m = 4

10. a) 6 b) c) 2 ou -3

11. 44 u.v.

UNIDADE VRetas e Planos

TEMA 13

RETAS E PLANOS - EQUAÇÃO DA RETA E DO PLANO

Pág. 62DEMONSTRAÇÃO



Pág. 68

TEMA 14

POSIÇÕES RELATIVAS ENTRE RETAS,PLANOS, RETAS E PLANOS




TEMA 15

DISTÂNCIA ENTRE DOIS PONTOS, PONTO E RETA



TEMA 16

DISTÂNCIA ENTRE RETAS, PONTO E PLANO



TEMA 17

DISTÂNCIA ENTRE RETA E PLANO


TEMA 18

ÂNGULO ENTRE RETAS, ENTRE PLANOS EENTRE RETA E PLANO




110


UNIDADE VICÔNICAS

TEMA 19

CÔNICAS - PARÁBOLA

Pág. 93

1. b 2. c3. a 4. c5. e 6. b7. a 8. c9. b 10. c

TEMA 20

CÔNICAS: ELIPSE

Pág. 98

1. d2. c3. d4. a5. d7. d8. a9. c10. d

TEMA 21

CÔNICAS - HIPÉRBOLE

Pág. 102

1. b2. d3. e4. d

5. d6. c7. c8. d9. c10. b

111

Ayres Jr, F. – Geometria analítica plana e sólida – S. Paulo – Mc Graw Hill do Brasil – 1983.

Iezzi,G – Geometria analítica – S. Paulo – Atual – 1996.

Oliva, W.M. – Vetores e geometria – S. Paulo – Edgard Blucher – 1990.

Carvalho, J.P. – Introdução à álgebra linear – Rio de Janeiro- livros técnicos e científicos – 2002.

Lang,S. – Álgebra linear - S. Paulo - Edgard Blucher – 1983.

Machado, Antônio dos Santos – Álgebra linear e geometria analítica - S. Paulo- Atual editora – 1991.

REFERÊNCIAS

Documents

Álgebra Linear I