.

ÁLGEBRA LINEAR

1 – O VETOR

Considere o segmento orientado AB na figura abaixo.

Observe que o segmento orientado AB é caracterizado por três aspectos bastante

definidos:

• comprimento (denominado módulo)

• direção

• sentido (de A para B)

Chama-se vetor ao conjunto infinito de todos os segmentos

orientados equipolentes a AB, ou seja, o conjunto infinito de todos os segmentos

orientados que possuem o mesmo comprimento, a mesma direção e o mesmo

sentido de AB.

Assim, a ideia de vetor nos levaria a uma representação do tipo:

Para representar um vetor, tomamos apenas um dos infinitos segmentos

orientados que o compõe. Sendo u um vetor genérico, o representamos pelo

símbolo:

Podemos classificar os vetores em três tipos fundamentais:

Vetor livre – aquele que fica completamente caracterizado, conhecendo-se o seu

módulo, a sua direção e o seu sentido.

Exemplo: o vetor u das figuras acima.

Vetor deslizante – aquele que para ficar completamente caracterizado, devemos

conhecer além da sua direção, do seu módulo e do seu sentido, também a reta

suporte que o contém. Os vetores deslizantes são conhecidos também como

cursores.

Notação: (u, r) – vetor deslizante (cursor) cujo suporte é a reta r.

Exemplo: ver figura abaixo

Vetor ligado – aquele que para ficar completamente caracterizado, devemos

conhecer além da sua direção, módulo e sentido, também o ponto no qual está

localizado a sua origem.

Notação: (u, O) – vetor ligado ao ponto O.

Exemplo: ver figura abaixo.

Notas:

a) o vetor ligado também é conhecido como vetor de posição.

b) os vetores deslizantes e os vetores ligados, possuem muitas aplicações no

estudo de Mecânica R

1.1 – O VETOR OPOSTO

Dado o vetor u , existe o vetor – u , que possui o mesmo módulo e mesma direção

do vetor u , porém , de sentido oposto.

1.2 – O VETOR UNITÁRIO (VERSOR)

Chamaremos de VERSOR ou VETOR UNITÁRIO , ao vetor cujo módulo seja igual

à unidade, ou seja:

| u | = u = 1.

1.3 – O VETOR NULO

Vetor de módulo igual a zero, de direção e sentido indeterminados.

Notação: 0

2 – A PROJEÇÃO DE UM VETOR SOBRE UM EIXO

Veja a figura abaixo, na qual o vetor u forma um ângulo q com o eixo r.

Teremos que o vetor ux será a componente de u segundo o eixo r , de medida

algébrica igual a

ux = u . cos q . Observe que se q = 90º , teremos cos q = 0 e, portanto, a projeção

do vetor segundo o eixo r, será nula.

3 – A NOTAÇÃO DE GRASSMANN PARA OS VETORES

Considere o vetor u na figura abaixo, sendo A a extremidade inicial e B a

extremidade final do vetor.

Grassmann (matemático alemão – 1809/1877) interpretou a

situação, como o ponto B obtido do ponto A, através de uma translação de vetor u.

Assim, pode-se escrever:

B = A + u e, portanto, pode-se escrever também: u = B – A

Esta interpretação, um vetor enxergado como uma diferença de dois pontos,

permitirá a simplificação na resolução de questões, conforme veremos na

seqüência deste trabalho.

4 – UM VETOR NO PLANO COMO UM PAR ORDENADO

Considere o vetor u, representado no plano cartesiano Oxy, conforme figura

abaixo:

Pela notação de Grassmann, poderemos escrever:

P = O + u

u = P – O

Se considerarmos que o ponto O é a origem do sistema de coordenadas

cartesianas e, por conseguinte,

O(0, 0) e que as coordenadas de P sejam x (abcissa) e y (ordenada), teremos o

ponto P(x, y).

Substituindo acima, vem:

u = P – O = (x, y) – (0, 0) = (x – 0 , y – 0 ) = (x, y).

Portanto,

u = (x, y)

Logo, o vetor u, fica expresso através de um par ordenado, referido à origem do

sistema de coordenadas cartesianas.

Neste caso, o módulo do vetor u (aqui representado por u , conforme convenção

adotada acima), sendo a distância do ponto P à origem O, será dado por:

5 – UM VETOR NO PLANO, EM FUNÇÃO DOS VERSORES DOS EIXOS COORDENADOS

Vimos acima que um VERSOR, é um VETOR de módulo unitário. Vamos associar

um versor a cada eixo, ou seja: o versor i no eixo dos x e o versor j no eixo dos y ,

conforme figura abaixo:

O par ordenado de versores (i, j) constitui o que chamamos de BASE do plano R2,

ou seja, base do plano cartesiano Oxy.

Verifica-se que um vetor u = (x, y) , pode ser escrito univocamente como:

u = x.i + y.j

Analogamente, se em vez do plano R2, estivéssemos trabalhando no espaço R

3,

poderíamos considerar os versores i, j e k , respectivamente dos eixos Ox, Oy e

Oz , conforme figura abaixo, e a representação do vetor u, no espaço seria:

u = (x, y, z) = x.i + y.j + z.k

Analogamente, o terno (i, j, k) , será a BASE do espaço R3 .

O módulo do vetor u = x.i + y.j + z.k será dado por:

6 – OPERAÇÕES COM VETORES

6.1 – ADIÇÃO

Dados dois vetores u e v , define-se o vetor soma u + v , conforme indicado nas

figuras abaixo.

Regra do triângulo Regra do paralelogramo

6. 2 – SUBTRAÇÃO

Considerando-se a existência do vetor oposto -v , podemos definir a diferença u –

v , como sendo igual

à soma u + ( -v ) .

Veja a figura abaixo:

6.3 – MULTIPLICAÇÃO POR UM ESCALAR

Dado um vetor u e um escalar l Î R, define-se o vetor l .u , que possui a mesma

direção de u e sentido coincidente para l > 0 e sentido oposto para l < 0. O módulo

do vetor l .u será igual a|l |.u .

Exemplos de soma de vetores representada geometricamente

São dados os vetores a e b. Represente o vetor s soma dos vetores a e b. Análise

os casos:

Resolução :

No exercício b Para fazermos a soma desses vetores (a+b) devemos seguir uma

regra básica: Unir a ponta do primeira com o início do segundo e traçar um vetor

resultante do início do primeiro para a ponta do segundo.

E se fosse uma subtração?

A subtração dos vetores a e b(a-b), deve ser vista da seguinte forma: a + (-b). A

subtração de vetores é a soma do primeiro vetor com o inverso do segundo vetor.

Visualizando:

Atividades:

Pegue na biblioteca o livro Vetores e Geometria Analítica do Paulo Winterle.

Leia os exemplos das páginas 6, 7,9, 10,16

Faça os exercícios 1, 2, 4 e 5 da página 15 do livro.

6.4 – PRODUTO INTERNO DE VETORES

Dados dois vetores u e v , define-se o produto interno desses vetores como segue:

u . v = u . v . cos b onde u e v são os módulos dos vetores e b o ângulo formado

entre eles.

Da definição acima, infere-se imediatamente que:

a) se dois vetores são paralelos, (b = 0º e cos 0º = 1) então o produto interno

deles, coincidirá com o produto dos seus módulos.

b) o produto interno de um vetor por ele mesmo, será igual ao quadrado do seu

módulo, pois neste caso,

b = 0º e cos 0º = 1 u.u = u.u.1 = u2

c) se dois vetores são perpendiculares, (b = 90º e cos 90º = 0) então o produto

interno deles será nulo.

d) o produto interno de dois vetores será sempre um número real.

e) o produto interno de vetores é também conhecido como produto escalar.

6.4.1 – CÁLCULO DO PRODUTO INTERNO EM FUNÇÃO DAS

COORDENADAS DO VETOR

Sejam os vetores u = (a, b) = a i + b j e v = (c, d) = c i + d j

Vamos multiplicar escalarmente os vetores u e v.

u.v = (a i + b j).(c i + d j) = ac i.i + ad i.j + bc j.i + bd j.j

Lembrando que os versores i e j são perpendiculares e considerando-se as

conclusões acima, teremos:

i.i = j.j = 1 e i.j = j.i = 0

Daí, fazendo as substituições, vem:

u.v = ac . 1 + ad . 0 + bc . 0 + bd . 1 = ac + bd

Então concluímos que o produto interno de dois vetores, é igual à soma dos

produtos das componentes correspondentes ou homônimas.

Sejam os vetores: u = (a,b) e v = (c, d)

Já sabemos que: u.v = u.v.cos b = ac + bd

Logo, o ângulo formado pelos vetores, será tal que:

Onde u e v correspondem aos módulos dos vetores e a, b, c, d são as suas

coordenadas.

Portanto, para determinar o ângulo formado por dois vetores, basta dividir o

produto interno deles, pelo produto dos seus módulos. Achado o coseno, o ângulo

estará determinado.

Vamos demonstrar o teorema de Pitágoras, utilizando o conceito de produto

interno de vetores.

Seja o triângulo retângulo da figura abaixo:

É óbvio que: w = u + v

Quadrando escalarmente a igualdade vetorial acima, vem:

w2 = u

2 + 2.u.v + v

2

Dos itens (b) e (c) acima, concluímos que w2 = w

2 , u

2 = u

2 , v

2 = v

2 e u.v = 0

(lembre-se que os vetores u e v são perpendiculares).

Assim, substituindo, vem:

w2 = u

2 + 2.0 + v

2 , ou, finalmente: w

2 = u

2 + v

2 (o quadrado da hipotenusa é igual à

soma dos quadrados dos catetos).

7. Vetores com coordenadas no plano

As componentes de um vetor:

Qualquer vetor v = AB considerado no plano cartesiano tem sempre um

representante (segmento orientado OP) cujo ponto inicial é a origem.

Em nosso estudo, vamos considerar geralmente vetores representados por segmentos

orientados com origem na origem do sistema. Nessas condições, cada vetor do plano

é determinado pelo ponto extremo do segmento. Assim, o ponto P(x, y) individualiza o

vetor v =OP e escreve-se v = (x, y). As coordenadas de P são identificadas como as

componentes do vetor.

Igualdade de vetores:

Dois vetores u = (a, b) e v = (c, d) são iguais se e somente se a = c e b = d.

O módulo de um vetor

Seja o vetor v = (x, y).

Pelo teorema de Pitágoras vem que │ v │2 = x2 + y2 │ v │= 22 yx .

Exemplo: Sendo v = (-2, 3), temos que │ v │ = 13)3()2( 22 .

Exercícios:

1) Represente graficamente v = OP sendo:

a) P(2, 3)

b) P(1,-1)

c) P(0, 1)

d) P(-½, -1)

e) P(-2, 1)

f) P(-3, 0)

----------------------------------------------------------------------------------------------------------

2) Sendo u = (x+1, 4) e v = (5, 2y - 6), determine x e y sabendo que u = v .

----------------------------------------------------------------------------------------------------------

3) Dados os vetores u = (-1, 1), v = (-2, 3) e w = (8, -6), calcule:

a) │u │

b) │ v │

c) │ w │

----------------------------------------------------------------------------------------------------------

4) Determine os valores de a para que o vetor v = (a, -2) tenha módulo 4.

----------------------------------------------------------------------------------------------------------

Soma de vetores tratamento algébrico:

Sendo u = (x1, y1) e v = (x2, y2), definimos u + v = (x1+x2, y1+y2).

Vejamos agora como a definição algébrica da soma de vetores dada acima coincide

com a definição geométrica vista anteriormente.

Observe os vetores u = (x1, y1) e v = (x2, y2), bem como sua soma:

Como OAPB é paralelogramo temos que os triângulos OAF e BPG, da figura 1, são

congruentes, por LAAo. Assim, OF = BG e então a abscissa de P é x1 + x2.

De modo análogo, temos que os triângulos ADP e OEB, da figura 2, são congruentes,

por LAAo. Assim, PD = BE e então a ordenada de P é y2 + y1.

Assim, as coordenadas de P são (x2 + x1, y2 + y1).

Multiplicação de um vetor por um escalar:

Sendo u = (x1, y1) e k IR, definimos k. u = (k.x1, k.x2).

Vejamos agora como a definição algébrica do produto por escalar dada acima coincide

com a definição geométrica vista anteriormente.

O módulo de v = (k.x1, k.x2) é dado por:

│ v │= 2

1

2

1 ).().( ykxk

│ v │= )(2

1

2

1

2 yxk

│ v │= )(2

1

2

1 yxk

│ v │= k │u │

Assim, o módulo igual ao de u multiplicado por k .

Observe a figura:

Os vetores u = OP = (x1, y1) e v = 'OP = (k.x1, k.y1) têm a mesma direção, pois as

retas OP e OP’ têm a mesma inclinação y1/x1.

Os pontos P e P’ estão do mesmo lado de O quando k > 0 e em lados opostos quando

k < 0, assim fica evidente que u = OP e v = 'OP têm mesmo sentido se k > 0 e

sentido contrário se k < 0.

Exemplos:

1) Sendou = (3, 2) e v = (1, 2) determine u + v :

u + v = (3, 2) + (1, 2) = (4, 4)

2) Sendo v = (3, -4), determinar o vetor u com a mesma direção e o mesmo sentido

de v , porém de comprimento unitário.

Procuramos um vetor u que é múltiplo de v , isto é, u = k. v = (3k, 4k). Como o

comprimento deve ser unitário temos que:

│u │ = 1 22 )4(.)3( kk = 1

225k = 1 1.5 k 5

1k

5

1k

Como u deve possuir o mesmo sentido de v , temos que k = 1/5.

Exercícios resolvidos de vetores

Vamos resolver algumas questões envolvendo vetores.

1 – Dados os vetores no plano R2 , u = 2 i – 5 j e v = i + j , pede-se determinar:

a) o vetor soma u + v

b) o módulo do vetor u + v

c) o vetor diferença u – v

d) o vetor 3 u – 2 v

e) o produto interno u.v

SOLUÇÃO:

a) Temos: u = (2, -5) e v = (1, 1). Logo, u + v = (2, -5) + (1, 1) = (3, -4) = 3 i – 4 j

b) | u + v| = Ö 32 + 4

2 = Ö 25 = 5 ou 5 u.c (u.c. = unidades de comprimento).

c) u – v = (2, -5) – (1, 1) = (1, -6) = i – 6 j

d) 3u – 2v = 3.(2, -5) -2( 1, 1) = (6, -15) + (-2, -2) = (4, -17) = 4 i – 17 j

e) u.v = 2.1 + (-5).1 = – 3

Exercícios:

1) Dados os vetores u = (2, -3) e v = (-1, 4), determinar:

a) 3u + 2 v

b) 3u - 2 v

----------------------------------------------------------------------------------------------------------

2) Encontre o vetor x tal que 3 x + 2u = 0,5 v + x , sendo dados u = (3, -1) e v = (-

2, 4).

----------------------------------------------------------------------------------------------------------

3) Encontre os números reais m e n tais que v = m . 1v + n . 2v , sendo v = (10, 2),

1v = (3, 5) e 2v = (-1, 2).

----------------------------------------------------------------------------------------------------------

4) Sendo A(-2, 4) e B(4, 1) determine as coordenadas dos pontos F e G que dividem o

segmento AB em três partes iguais.

----------------------------------------------------------------------------------------------------------

5) Dados os vetores u = (-1, 1), v =(-2, 3) e w =(8, -6), calcule:

a) │u + v │

b) │2u - w │

c) │ w -3u │

----------------------------------------------------------------------------------------------------------

Vetor definido por dois pontos:

Consideremos o vetor AB de origem em A(xa, ya) e extremidade em B(xb, yb).

Da figura vem que:

OA + AB = OB ; AB = OB – OA ; AB = (xb, yb) – (xa, ya) = (xb – xa, yb – ya).

Observação importante: Sempre que tivermos v = AB ou v = B - A podemos concluir

também que B = A + v ou B = A + AB , isto é, o vetor v transporta o ponto inicial A

para o ponto extremo B.

Exemplo: Seja v = (2, 1).

Temos que:

B = A + v = (1, 2) + (2, 1) = (3, 3)

D = C + v = (-3, 1) + (2, 1) = (-1, 2)

Leitura iriigida.

Leia com atenção, refazendo os exemplos o livro Vetores e Geometria Analítica , do

Paulo Winterle, da página 27 a 40.

Depois faça os problemas propostos de 1 a 5 da página 40.

Produto escalar e o ângulo entre dois vetores.

Produto Escalar v . w é dado por

v = (a1, b1, c1), w = (a2, b2, c2),

v . w = a1 a2 + b1 b2 + c2 c1

Exemplo

(2,3,1) . (-4, 2, 5) = 2. (-4) + 3.2 + 1 . 5 = -8 + 6 +5 = 3

O produto escalar de um vetor por si próprio é ||v||2.

Produto escalar e o ângulo

cos 𝜃 = 𝑣 .𝑤

||𝑣|| ||𝑤||

Lembrando:

Projeção ortogonal:

A projeção ortogonal é calculada através de

ev = ((𝑢.𝑣

𝑣.𝑣) 𝑣

Observe os exemplos do livro Vetores e Geometria Analítica , do Paulo Winterle

1 e 2 da página 49.

página 52

1, 2 e 3 páginas 54 e 55.

Leia todo o livro do Winterle da página 49 a 66, e depois faça os exercícios 1 a 8 da

página 66.

ATENÇÃO: vale 1,0 ponto extra para a avaliação objetiva do G1, Pode ser entregue

individualmente ou em dupla.

Produto vetorial

Dados os vetores v=(v1,v2,v3) e w=(w1,w2,w3), definimos o produto vetorial (produto exterior) entre v e w, denotado por v×w, como o vetor obtido pelo objeto matemático que não é um determinante mas que pode ser calculado como se fosse um determinante.

u × v =

Exemplo: Dados os vetores v=(1,2,3) e w=(4,5,6), o produto vetorial entre v e w é dado por v×w=-3i+6j-3k=(-3,6,-3), obtido a partir do "determinante". Observamos que o produto vetorial é um vetor em R³.

u × v = = (-3,6,-3)

Tomando i=(1,0,0) e j=(0,1,0), que estão no plano do z=0, o produto vetorial destes dois vetores será v×w=(0,0,1) que é um vetor que está fora deste plano, daí a razão deste produto ser denominado exterior.

Em geral, o produto vetorial v×w é um vetor ortogonal a v e também ortogonal a w, isto é, o produto vetorial é ortogonal ao plano que contém os dois vetores v e w.

Propriedades do Produto Vetorial

(PV1) v × w = - w × v

(PV2) u × (v + w) = u × v + u × w

(PV3) k (v × w) = (k v) × w = v × (k w)

(PV4) i × i = j ×j = k × k = 0

(PV5) i × j = k, j × k = i, k × i = j

(PV6) Se v×w=0 (v e w não nulos) então v e w são paralelos

ângulo entre dois vetores

O produto vetorial entre os vetores v e w pode ser escrito na forma:

v × w = |v| |w| sen(t) U

onde t é o ângulo formado pelos vetores v e w, e U é um vetor unitário que é paralelo ao produto vetorial v x w, logo U é perpendicular a v e também a w.

Tomando o módulo em ambos os lados da igualdade acima, obtemos:

|v × w| = |v| |w| sen(t)

e isto significa que, com esta última definição de produto vetorial, podemos obter o ângulo T entre dois vetores v e w, através de:

sen(t) = (v × w) / (|v|.|w|)

sendo que t é um número real pertencente ao intervalo [0,pi].

Aplicações do produto vetorial

Área do paralelogramo: Se tomarmos dois vetores v e w com um mesmo ponto inicial, de modo a formar um ângulo diferente de zero e também diferente de pi radianos, o módulo do produto vetorial entre v e w pode ser interpretado como a área do paralelogramo que tem v e w como lados contíguos.

A(paralelogramo) = | v × w |

Área do triângulo: A metade do módulo do produto vetorial entre v e w pode ser interpretada como sendo a área do triângulo que tem dois lados como os vetores v e w, com origens no mesmo ponto, isto é:

A(triângulo) = ½ | v × w |

Produto misto

Dados os vetores u=(u1,u2,u3), v=(v1,v2,v3) e w=(w1,w2,w3), definimos o produto misto entre u, v e w, denotado por [u,v,w] ou por u.(v×w), como o número real obtido a partir do determinante

[u,v,w] = u·(v×w) =

Aplicações do produto misto

Volume do paralelepípedo: O módulo do produto misto entre u, v e w representa o volume do paralelepípedo que tem as 3 arestas próximas dadas pelos vetores u, v e w, sendo que estes vetores têm a mesma origem. Isto é, V(paralelepípedo)=|[u,v,w]|.

Volume do tetraedro: Um sexto do módulo do produto misto entre u, v e w representa o volume do tetraedro (pirâmide com base triangular) que tem as 3 arestas próximas dadas pelos vetores u, v e w, sendo que estes vetores têm a mesma origem.

V(tetraedro) = (1/6) |[u,v,w]|

Atividades

Leia com atenção o livro Vetores e Geometria Analítica do Paulo Winterle, da p[agina

73 a 86.

Depois resolva os exercícios 1 e 2 da página 87.

Geometria analítica: retas Introdução Entre os pontos de uma reta e os números reais existe uma correspondência biunívoca, isto é, a cada ponto de reta corresponde um único número real e vice-versa. Considerando uma reta horizontal x, orientada da esquerda para direita (eixo), e determinando um pontoO dessa reta ( origem) e um segmento u, unitário e não-nulo, temos que dois números inteiros e consecutivos determinam sempre nesse eixo um segmento de reta de comprimento u:

Medida algébrica de um segmento Fazendo corresponder a dois pontos, A e B, do eixo x os números reais xA e xB , temos:

A medida algébrica de um segmento orientado é o número real que corresponde à diferença entre as abscissas da extremidade e da origem desse segmento.

Plano cartesiano A geometria analítica teve como principal idealizador o filósofo francês René Descartes ( 1596-1650). Com o auxílio de um sistema de eixos associados a um plano, ele faz corresponder a cada ponto do plano um par ordenado e vice-versa. Quando os eixos desse sistemas são perpendiculares na origem, essa correspondência determina um sistema cartesiano ortogonal ( ou plano cartesiano). Assim, há uma reciprocidade entre o estudo da geometria ( ponto, reta, circunferência) e da Álgebra ( relações, equações etc.), podendo-se

representar graficamente relações algébricas e expressar algebricamente representações gráficas. Observe o plano cartesiano nos quadros quadrantes:

Exemplos:

A(2, 4) pertence ao 1º quadrante (xA > 0 e yA > 0) B(-3, -5) pertence ao 3º quadrante ( xB < 0 e yB < 0)

Observação: Por convenção, os pontos localizados sobre os eixos não estão em nenhum quadrante.

Distância entre dois pontos Dados os pontos A(xA, yA) e B(xB, yB) e sendo dAB a distância entre eles, temos:

Aplicando o teorema de Pitágoras ao triângulo retângulo ABC, vem:

Como exemplo, vamos determinar a distância entre os pontos A(1, -1) e B(4, -5):

Exercícios:

1. Marque num sistema de coordenadas cartesianas ortogonais os pontos:

A) (1, -2) B (-3, 3) C(4,4 ) D (0,3) E (-1,-5) F(-4, 0)

2. Calcule a distância entre os pontos

a) A (3, 7) e B (1, 4)

b) E (3, - 1) e F ( 3, 5)

c) H (-2 , -5) e (0, 0)

d) M (0, -2) e N (√5 , -2)

3. A distância do ponto A (a, 1) ao ponto B(0,2) é igual a 3 calcule o valor da abcissa a.

4. Um ponto P pertence ao eixo das abcissas e é equidistante dos pontos A (-1, 2) e

B(1, 4). Quais são as coordenadas do ponto P?

5. Demonstre que um triângulo com vértices A(0, 5) B(3, -2) e C(-3, -2) é isósceles e

calcule seu perímetro.

6. Qual a distância do ponto A(cos a, sena) são ponto B(sen a, - cos a)?

Ponto médio

O segmento de reta possui inúmeros pontos alinhados, mas somente um deles irá dividir

o segmento em duas partes iguais. A identificação e a determinação do ponto médio de

um segmento de reta será demonstrado com base na ilustração a seguir.

O segmento de reta AB terá um ponto médio (M) com as seguintes coordenadas (xM,

yM). Observe que os triângulos AMN e ABP são semelhantes, possuindo os três

ângulos respectivamente iguais. Dessa forma, podemos aplicar a seguinte relação entre

os segmentos que formam os triângulos. Veja:

Podemos concluir que AB = 2 * (AM), considerando que M é o ponto médio do

segmento AB. Temos:

xP – xA = 2*(xM – xA)

xB – xA = 2*(xM – xA)

xB – xA = 2xM – 2xA

2xM = xB – xA + 2xA

2xM = xA + xB

xM = (xA + xB)/2

Utilizando método análogo, conseguimos demonstrar que yM = (yA + yB )/2.

Portanto, considerando M o ponto médio do segmento AB, temos a seguinte expressão

matemática capaz de determinar a coordenada do ponto médio de qualquer segmento no

plano cartesiano:

Percebemos que o cálculo da abscissa xM é a média aritmética entre as abscissas dos

pontos A e B. Assim, o cálculo da ordenada yM é a média aritmética entre as ordenadas

dos pontos A e B.

Exemplo 1

Dadas as coordenadas dos pontos A(4,6) e B(8,10) pertencentes ao segmento AB,

determine as coordenadas do ponto médio desse segmento.

xA = 4

yA = 6

xB = 8

yB = 10

xM = (xA + xB) / 2

xM = (4 + 8) / 2

xM = 12/2

xM = 6

yM = (yA + yB) / 2

yM = (6 + 10) / 2

yM = 16 / 2

yM = 8

As coordenadas do ponto médio do segmento AB é xM (6, 8).

Exemplo 2

Dados os pontos P(5,1) e Q(–2,–9), determine as coordenadas do ponto médio do

segmento PQ.

xM = [5 + (–2)] / 2

xM = (5 – 2) / 2

xM = 3/2

yM = [1 + (–9)] / 2

yM = (1 – 9) / 2

yM = –8/2

yM = –4

Portanto, M(3/2, –4) é o ponto médio do segmento PQ.

Atividade

1 – Determine o Ponto Médio do segmento de extremidades:

a) A (2, 3) e B (8, 5) b) C (3, -2) e D (-1, -6)

c) E(-2, -4) e F (5, 2) d) H (0, 7) e I (6, 0)

e) J (3, 2) e K (5, 4) f) P (-3, -4) e Q (-7, 0)

2 – Dados os pontos A (5, -2), B (3, 0), C (1 , -5) e D (-8, -1), determine as coordenadas dos

pontos médios dos segmentos:

a) AB b) AD c) BD d) AC e) CD

3 – Calcule os pontos médios dos lados de um triângulo com vértices:

a) Δ ABC: A (4, 0), B (0, 6) e C(8, 2)

b) Δ EFG: E (2, -6), F(-4, 2) e G(0, 4)

c) Δ JKL: J(-3, 6), K(1, -2) e L(5, 2)

Baricentro(ou centro de gravidade) de um triângulo

Sabemos da Geometria plana , que o baricentro de um triângulo ABC é o ponto de encontro das 3 medianas . Sendo G o baricentro , temos que AG = 2 . GM onde M é o ponto médio do lado oposto ao vértice A (AM é uma das 3 medianas do triângulo). Nestas condições , as coordenadas do baricentro G(xg , yg) do triângulo ABC onde A(xa , ya) , B(xb , yb) e C(xc , yc) é dado por :

Chamamos de baricentro (G) o ponto de intersecção das medianas de um triângulo

Exercícios

1-Assim, por exemplo, o baricentro (também conhecido como centro de gravidade) do triângulo ABC onde A(3,5) , B(4, -1) e C(11, 8) será o ponto G(6, 4). Verifique com o uso direto das fórmulas.

2-Conhecendo-se o baricentro B(3,5), do triângulo XYZ onde X(2,5) , Y(-4,6) , qual o comprimento do segmento BZ?

Resposta BZ = 651/2 u.c. (u.c. = unidades de comprimento).

3-Os pontos A(m, 7), B(0, n) e C(3, 1) são os vértices de um triângulo cujo baricentro é o ponto G(6, 11). Calcule o valor de m2 + n2. Resp: 850

4-A soma das coordenadas do baricentro do triângulo ABC, sendo A (0, 0), B (4, 1) e C (2, 8) é:

a) -1 b) 1 c) 5 d) 15 e) 7

Sendo A(xA, yA), B(xB, yB) e C(xC, yC) três pontos distintos dois a dois, são colineares ou estão

alinhados, se e somente se:

0

1

1

1

.

YcXc

YbXb

YaXa

01-O valor de x para que os pontos A(x,0), B(3,1) e C(-4,2) sejam colineares é:

a) 0 b) 10 c) 3 d) 12 e) - 4

02-Os pontos (1,3), (2,7) e (4,k) do plano cartesiano estão alinhados se, e somente se:

a) k = 11 b)k = 12 c)k = 13 d)k = 14 e) k = 15

3. Dados os pontos A (2, 5), B (3, 7) e C (5, 11), determine se estão alinhados.

Resposta: estão alinhados

4. Para quais valores reais de k os pontos (6, k), (3, 4) e (2 – k, 2) são colineares?

R. k' = - 2 e k'' = 5

A(xA, yA)

B(xB, yB)

C(xC, yC)

5. Determine o valor de a para que os pontos A(2, 1), B(a+1, 2) e C(-3, -1) sejam os

vértices de um triângulo.

Resposta: a ≠ 7/2

6. Determine m para que os pontos A(0, -3), B(-2m, 11) e C(-1, 10) estejam em linha

reta.

Resposta: m = 7/13

Posições relativas entre retas

Considere duas retas distintas do plano cartesiano:

Podemos classificá-las como paralelas ou concorrentes.

Retas Paralelas

As retas r e s têm o mesmo coeficiente angular.

Assim para r//s, temos:

Retas Concorrentes

As retas r e s têm coeficientes angulares diferentes.

Assim para r e s concorrentes, temos:

Retas Perpendiculares

É um caso particular de reta concorrente. Duas retas são ditas perpendiculares quando os seus coeficientes

angulares são tais que:

Sistemas Lineares

Sistemas escalonados

Utilizamos a regra de Cramer para discutir e resolver sistemas lineares em que o número de equações (m) é igual ao número de incógnitas (n). Quando m e n são maiores que três, torna-se muito trabalhoso utilizar essa regra. Por isso, usamos a técnica do escalonamento, que facilita a discussão e resolução de quaisquer sistemas lineares. Dizemos que um sistema, em que existe pelo menos um coeficiente não-nulo em cada equação, está escalonado se o número de coeficientes nulos antes do primeiro coeficiente não nulo aumenta de equação para equação. Para escalonar um sistema adotamos o seguinte procedimento: a) Fixamos como 1º equação uma das que possuem o coeficiente da 1º incógnita diferente de zero. b) Utilizando as propriedades de sistemas equivalentes, anulamos todos os coeficientes da 1ª incógnita das demais equações. c) Repetimos o processo com as demais incógnitas, até que o sistema se torne escalonado.

Vamos então aplicar a técnica do escalonamento, considerando dois tipos de sistema: I. O número de equações é igual ao número de incógnitas (m=n)

Exemplo 1:

1ºpasso: Anulamos todos os coeficientes da 1º incógnita a partir da 2º equação, aplicando as propriedades dos sistemas equivalentes:

Trocamos de posição a 1º equação com a 2º equação, de modo que o 1º coeficiente de x seja igual a 1:

Trocamos a 2º equação pela soma da 1º equação, multiplicada por -2, com a 2º equação:

Trocamos a 3º equação pela soma da 1º equação, multiplicada por -3, com a 3º equação:

2º passo: Anulamos os coeficientes da 2º incógnita a partir da 3º equação:

Trocamos a 3º equação pela soma da 2º equação, multiplicada por -1, com a 3º equação:

Agora o sistema está escalonado e podemos resolvê-lo.

-2z=-6 z=3

Substituindo z=3 em (II):

-7y - 3(3)= -2 -7y - 9 = -2 y=-1

Substituindo z=3 e y=-1 em (I):

x + 2(-1) + 3= 3 x=2

Então, x=2, y=-1 e z=3

Exemplos

Sistemas Lineares

Resolução

Resolução

O sistema obtido está na forma escalonada e é do 1o tipo (no de equações igual ao no de incógnitas), portanto, é um sistema possível e determinado.

Observação

Dado um sistema linear, sempre podemos “tentar” o seu escalonamento. Caso ele seja impossível, isto ficará evidente pela presença de uma equação que não é satisfeita por valores reais (exemplo: 0x + 0y = 3). No entanto, se o sistema é possível, nós sempre conseguimos um sistema escalonado equivalente, que terá no de equações igual ao no de incógnitas (possível e determinado), ou então o n

o de equações

será menor que o no de incógnitas (possível e indeterminado).

Este tratamento dado a um sistema linear para a sua resolução é chamado de método de eliminação de Gauss.

Exercícios Resolvidos

Escalonar e resolver os sistemas abaixo:

01.

O sistema está escalonado e z =

3. Substituindo z = 3 na 2a equação: y + 3 = 5 y = 2 Substituindo z = 3 e y = 2 na 1a

equação: x + 2 + 3 = 6 x = 1 Portanto, teremos: S = {(1,2,3)}

02. Resolução

O sistema é impossível, pois a 3a

equação nunca será satisfeita. Assim:

1) Resolva os sistemas, se possível, e classifique-os.

a)

35

032

42

zyx

zyx

zyx

b)

6345

423

6

zyx

zyx

zyx

c)

14633

10422

52

zyx

zyx

zyx

d)

9723

5432

43

zyx

zyx

zyx

Respostas

a) S = { 1, 1, 1}. O sistema é possível e determinado.

b) S = { 1, 2, 3}. O sistema é possível e determinado

c) o sistema não possui solução.

d) S = { 5

217 z,

5

23 z, z }. O sistema é possível e indeterminado.

Geometria Analítica: Circunferência

Equações da circunferência

Equação reduzida

Circunferência é o conjunto de todos os pontos de um plano eqüidistantes de um ponto fixo,

desse mesmo plano, denominado centro da circunferência:

Assim, sendo C(a, b) o centro e P(x, y) um ponto qualquer da circunferência, a distância de C a P(dCP) é o raio dessa circunferência. Então:

Portanto, (x - a)

2 + (y - b)

2 =r

2 é a equação reduzida da circunferência e permite determinar

os elementos essenciais para a construção da circunferência: as coordenadas do centro e o raio. Observação: Quando o centro da circunfer6encia estiver na origem ( C(0,0)), a equação da circunferência será x

2 + y

2 = r

2 .

Equação geral Desenvolvendo a equação reduzida, obtemos a equação geral da circunferência:

Como exemplo, vamos determinar a equação geral da circunferência de centro C(2, -3) e raio r = 4. A equação reduzida da circunferência é:

( x - 2 )2 +( y + 3 )

2 = 16

Desenvolvendo os quadrados dos binômios, temos:

Atividades

1) Escreva a equação geral da circunferência de centro C e raio r, nos seguintes casos:

a) C(3,2) e r = 7 b) C(-3,4) e r = 3

Equação reduzida da circunferência

2) Determine a equação reduzida da circunferência que tem:

a) C(2,5) r = 3 b) C(-1,-4) r = 2

3) Determine o centro e o raio das circunferências de equações:

a) (x - 4) ² + (y - 5)² = 9 b) x ² + y ² = 2

Posições relativas entre ponto e circunferência

O ponto é interno à circunferência. Isso ocorre apenas se a distância do ponto ao

centro for menor do que o raio.

• O ponto pertence à circunferência. Isso ocorre se a distância desse ponto até o

centro for igual ao raio.

• O ponto é externo à circunferência. Isso ocorre quando a distância do ponto ao

centro é maior que o raio.

Sendo assim, quando tivermos que verificar a posição relativa de um ponto em

relação a uma circunferência, devemos calcular a distância entre o centro e o ponto,

ou então substituir as coordenadas do ponto na equação da circunferência e verificar o

valor numérico obtido.

Exemplo:

Quando a equação da circunferência estiver na sua forma reduzida, você não

necessita utilizar a fórmula da distância, pois a equação reduzida lhe dá a distância

desses dois pontos, basta você resolver o lado esquerdo da igualdade e comparar o

resultado ao raio (4²).

• Ponto H (2,3);

Como a distância do ponto H foi igual ao raio, podemos afirmar que esse ponto

pertence à circunferência.

• Ponto I (3,3);

Nesse caso, igualamos a 16 esperando que o resultado seja 16 para que o

ponto pertença à circunferência, mas ao realizar os cálculos obtemos um valor maior

que o raio, por isso o ponto é externo à circunferência.

• Ponto J (3,2);

Mas com analisaríamos o ponto se a equação da circunferência viesse na sua

forma geral? O procedimento é bem parecido, entretanto na equação geral não temos

uma expressão algébrica igualada ao raio da circunferência. Vejamos a mesma

circunferência do exemplo anterior, mas escrita na sua forma geral.

Note que se pegarmos pontos que pertencem à circunferência, a equação

acima deverá ser igual a zero. Caso isso não ocorra, o ponto não pertence à

circunferência. Vejamos os mesmos pontos do exemplo anterior, porém utilizando a

equação geral:

• Ponto H (2,3);

Como a distância do ponto H foi igual ao raio, podemos afirmar que esse ponto

pertence à circunferência.

• Ponto I (3,3);

Nesse caso, igualamos a 16 esperando que o resultado seja 16 para que o

ponto pertença à circunferência, mas ao realizar os cálculos obtemos um valor maior

que o raio, por isso o ponto é externo à circunferência.

• Ponto J (3,2);

Atividades:

1. Dados o ponto P e a circunferência 𝜆 , determine a posição e P em relação a 𝜆.

a) P( -1, 2) e 𝜆: (x – 3)2 + (y + 1)2 = 52

b) P( 2, 2) e 𝜆: x2 + y2 – 10x + 8y – 1 = 0

c) P( 3, 1) e 𝜆: x2 + y2 – 8x + 5 = 0

d) P( 3, -4 ) e 𝜆: x2 + y2 – 2x + 4y – 3 = 0

2. Lembrando que todo triângulo retângulo é inscritível em um semicírculo (e o

diâmetro coincide com a hipotenusa), encontre a equação da circunferência que passa

pelos pontos P(0,0), Q(6,0) e R(0,8).