ÁLGEBRA LINEAR - Moodle UFSC · ÁLGEBRA LINEAR Combinação Linear, Subespaços Gerados, Dependência e Independência Linear Prof. Susie C. Keller

ÁLGEBRA LINEAR

Combinação Linear, Subespaços Gerados, Dependência e

Independência Linear

Prof. Susie C. Keller

Combinação Linear Sejam os vetores v1, v2, ..., vn do espaço vetorial V

e os escalares a1, a2, ..., an. Qualquer vetor v V da forma:

v = a1v1 + a2v2 + ... + anvn

é uma combinação linear dos vetores v1, v2, ..., vn.

Combinação Linear Exemplos: No espaço vetorial P2 dos polinômios de grau 2, o

polinômio v = 7x2 + 11x – 26 é uma combinação linear dos polinômios:

v1 = 5x2 – 3x + 2 e v2 = -2x2 + 5x -8

De fato:v = 3v1 + 4v2

pois:



v1 = 5x2 – 3x + 2 e v2 = -2x2 + 5x -8


pois:



v1 = 5x2 – 3x + 2 e v2 = -2x2 + 5x -8


pois:

Combinação Linear2) Escrever v = (- 4, -18, 7) como combinação linear de v1=(1,-3,2) e v2=(2,4,-1).

Pretende-se que:

v = a1v1 + a2v2

(-4, -18, 7) = a1(1, -3, 2) + a2(2, 4, -1)

(-4, -18, 7) = (1a1, -3a1, 2a1) + (2a2, 4a2, -1a2)

Combinação Linear

Subespaços Gerados

Seja V um espaço vetorial. Consideremos um subconjunto A={v1, v2, ..., vn} V, A .

O conjunto S de todos os vetores de V que são combinações lineares dos vetores de A é um subespaço vetorial de V.

Subespaços Gerados De fato, se:

u = a1v1 + a2v2 + ... + anvn

ev = b1v1 + b2v2 + ... + bnvn

são dois vetores quaisquer de S, pode-se escrever:

I) u + v = (a1 + b1)v1 + (a2 + b2)v2 + ... + (an + bn)vn

II) u = (a1)v1 + (a2)v2 + ... + (an)vn

Tendo em vista que u + v S e que u S, por serem combinações lineares de v1, v2, ..., vn, conclui-se que S é um subespaço vetorial de V.

Subespaços Gerados

Simbolicamente, o subespaço S é:

S = {v V/ v = a1v1 + a2v2 + ... + anvn IR}

Observações:

Diz-se que o subespaço S é gerado pelos vetores v1, v2, ..., vn, ou gerado pelo conjunto A, e representa-se por:

S = [v1, v2, ..., vn] ou S = G(A)

Logo, v1, v2, ..., vn são chamados geradores do subespaço S, enquanto A é o conjunto gerador de S.

Subespaços Gerados Para o caso particular de A = , define-se [] = {0}.

A G(A), ou seja, {v1, v2, ..., vn} [v1, v2, ..., vn].

Se G(A) = V, A é um conjunto gerador de V.

Subespaços Gerados Exemplos:

1) Os vetores i = (1, 0) e j = (0, 1) geram o IR2, pois qualquer (x, y) IR2 é combinação linear de i e j:

(x, y) = xi+ yj = x(1, 0) + y(0, 1) = (x, 0) + (0, y) = (x,y)

Então:

[i, j] = IR2

2) Os vetores i = (1, 0, 0) e j = (0, 1, 0) do IR3 geram o subespaço

S = {(x, y, 0) IR3/x, y IR}pois

(x, y, 0) = x(1, 0, 0) + y(0, 1, 0)

Então:

[i, j] = S é um subespaço do IR3 e representa, geometricamente, o plano xOy.

Subespaços Gerados

Subespaços Gerados Observações:

Dados n vetores v1, ..., vn de um espaço vetorial V, se w V, tal que:

w = a1v1 + ... + anvn

Então[v1, ..., vn, w] = [v1, ..., vn]

Pois todo vetor v que é combinação linear de v1,...,vn,w também é combinação linear de v1, ..., vn.

Subespaços Gerados Supondo que v [v1, ..., vn, w] então existem

números reais b1, ..., bn, b tais que

v = b1v1 + ... + bnvn + bw

Masw = a1v1 + ... + anvn

logov = b1v1 + ... + bnvn + b(a1v1 + ... + anvn)

ouv = (b1 + ba1) v1 + ... + (bn + ban)vn

Subespaços Gerados Portanto v é combinação linear de v1, ..., vn:

v [v1, ..., vn] A recíproca, se v [v1, ..., vn] , então v [v1, ..., vn, w] é

trivial, pois se:v = b1v1 + ... + bnvn ,

entãov = b1v1 + ... + bnvn + 0w

Assim, sendo S um subespaço gerado por um conjunto A, aoacrescentarmos vetores de S a esse conjunto A, os novos conjuntoscontinuarão gerando o mesmo subespaço S. Logo, um subespaço S podeser gerado por uma infinidade de vetores, porém existe um númeromínimo de vetores para gerá-lo.

Espaços Vetoriais Finitamente Gerados

Um espaço vetorial V é finitamente gerado se existeum conjunto finito A, A V, tal que V = G(A).

Os exemplos vistos até agora são de espaços vetoriaisfinitamente gerados.

Ex.:IR3 é gerado pelo conjunto finito de três vetores:

A = {(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)} , pois(x,y,z) IR3, tem-se:

(x,y,z) = x(1,0,0) + y(0,1,0) + z(0,0,1)


Trataremos, em geral, de espaços vetoriais finitamentegerados.

Um exemplo de espaço vetorial que não é finitamentegerado é o espaço P de todos os polinômios reais.

Ex.:Dado A = {p1, ..., pn} P onde pn é um polinômio

de grau n, qualquer combinação linear

a1p1 + a2p2 + ... + anpn tem grau ≤ n.


Assim, o subespaço [p1, ..., pn] contém somentepolinômios de grau menor ou igual ao grau de pn.

Como P é formado por todos os polinômios, existemnele polinômios de grau maior que o de pn.

Logo, G(A) ≠ P para todo conjunto finito A P.

Dependência e Independência Linear

O espaço vetorial IR3 pode ser gerado por três vetoresou, também, por quatro ou por cinco vetores.

Três vetores constituem o número mínimo necessáriopara gerar o IR3.

No caso da utilização de mais de três vetores para geraro IR3, sobram vetores no conjunto gerador.

O nosso interesse é sempre que o conjunto gerador sejao menor possível e, para isso, precisamos ter noção dosconceitos de dependência e independência linear.


Definição

Seja V um espaço vetorial e A = {v1, ..., vn} V.Consideremos a equação:

a1v1 + a2v2 + ... + anvn = 0 (1)

Sabemos que essa equação admite pelo menos umasolução (solução trivial):

a1 = a2 = ... = an = 0


O conjunto A é dito linearmente independente (LI),ou os vetores são ditos linearmente independentescaso a equação (1) admita apenas a solução trivial.

Se existirem soluções ai ≠ 0, diz-se que o conjunto élinearmente dependente (LD), ou que os vetoresv1, ..., vn são LD.


Exemplos:

1) No espaço vetorial V = IR3, os vetoresv1 = (2, -1, 3), v2 = (-1, 0, -2) e v3 = (2, -3, 1)

formam um conjunto linearmente dependente, pois:

3v1 + 4v2 – v3 = 0

ou seja

3(2, -1, 3) + 4(-1, 0, -2) - (2, -3, 1) = (0, 0, 0)


2) No espaço vetorial V = IR4, os vetoresv1 = (2, 2, 3, 4), v2 = (0, 5, -3, 1) e v3 = (0, 0, 4, -2)

formam um conjunto linearmente independente.De fato:

a(2, 2, 3, 4) + b(0, 5, -3, 1) + c(0, 0, 4, -2) = (0, 0, 0, 0)

(2a, 2a, 3a, 4a) + (0, 5b, -3b, b) + (0, 0, 4c, -2c) = (0, 0, 0, 0)

(2a + 0 + 0, 2a + 5b + 0, 3a -3b + 4c, 4a + b -2c) = (0, 0, 0, 0)



Teorema“Um conjunto A = {v1, ..., vi, ..., vn} é LD se, e

somente se, pelo menos um desses vetores écombinação linear dos outros.”

A demonstração é constituída de duas partes:1º) Seja A linearmente dependente.Então, por definição, um dos coeficientes de:

a1v1 + .... + ai-1vi-1 + aivi + ai+1vi+1 +.. + anvn = 0deve ser diferente de zero.


Supondo que ai ≠ 0, vem:

aivi = - a1v1 - .... - ai-1vi-1 - ai+1vi+1 - ... - anvn

ou

Portanto, vi é uma combinação linear dos outrosvetores.

ni

n1i

i

1i1i

i

1i1

i

1i v

aa...v

aav

aa...v

aav


2º) Seja vi uma combinação linear dos outros vetores.Temos que:

vi = b1v1 + .... + bi-1vi-1 + bi+1vi+1 + ... + bnvn

ou, ainda:b1v1 + .... + bi-1vi-1 – 1vi + bi+1vi+1 + ... + bnvn = 0

e, portanto, a equaçãob1v1 + .... + (–1)vi + ... + bnvn = 0

Se verifica para bi ≠ 0 (bi = -1). Logo, A é LD.


Observações:1) O último teorema pode ser enunciado de forma equivalente:

“Um conjunto A = {v1, ..., vi, ..., vn} é LI se, e somente se, nenhum desses vetores for combinação linear dos outros.”

2) Para o caso particular de dois vetores, temos:“Dois vetores v1 e v2 são LD se, e somente se, um vetor é múltiplo escalar do outro.”


Exemplo:Os vetores v1 = (1,-2,3) e v2 = (2,-4,6) são LD, pois

ouv2 = 2v1.

Já, os vetores v1 = (1,-2,3) e v2 = (2,1,5) são LI, poisv1 ≠ k v2 k IR.

21 v21v


Nos gráficos abaixo é apresentada a interpretação geométrica dadependência e independência linear



PropriedadesSeja V um espaço vetorial.

I) Se A = {v} V e v ≠ 0, então A é LI.De fato:

Como v ≠ 0, a igualdadeav = 0

só se verifica se a = 0.

Obs.: Considera-se, por definição, o conjunto é LI.


II) Se um conjunto A V contém o vetor nulo, entãoA é LD.De fato:

Seja o conjunto A = {v1, ..., 0, ..., vn}.Então, a equação

0. v1 + ... + a.0 + ... + 0.vn = 0se verifica para todo a ≠ 0. Portanto, A é LD.


III) Se uma parte de um conjunto A V é LD, então Aé também LD.De fato:Sejam A = {v1, ..., vr, ..., vn} e sua parte

A1 = {v1, ..., vr} A, A1 é LD.Como A1 é LD, existem ai ≠ 0 que verificam a

igualdade:a1v1 + ... + arvr = 0

e esses mesmos ai ≠ 0 verificam também a igualdade:


a1v1 + ... + arvr + 0.vr+1 + ... + 0.vn = 0Logo, A = {v1, ..., vr, ..., vn} é LD.

IV) Se um conjunto A V é LI, qualquer parte A1 de Aé também LI.De fato:

Pela propriedade anterior, se A1 fosse LD, Atambém seria LD, o que contradiz a hipótese.


Observação:Se todos os subconjuntos próprios de um conjunto

finito de vetores são LI, não significa que o conjuntoseja LI.Ex.:

Se considerarmos os vetores e1=(1,0), e2=(0,1) ev=(4,5), verificamos que cada um dos subconjuntos:

A1 = {e1, e2}, A2 = {e1, v} e A3 = {e2, v} são LI.

Porém o conjunto A = {e1, e2, v} é LD.


V) Se um conjunto A = {v1, ..., vn} V é LI eB = {v1, ..., vn, w} é LD, então w é combinação linearde v1, ..., vn.De fato:

Como B é LD, existem escalares a1, ...,an, b, nemtodos nulos, tais que:

a1v1 + ... + anvn + b.w = 0Se b = 0, então algum dos ai não é zero na igualdade:

a1v1 + ... + anvn = 0


Porém este fato contradiz a hipótese que A é LI.Consequentemente, tem-se b ≠ 0, e, portanto:

b.w = -a1v1 - ... -anvn

o que implica:

isto é, w é combinação linear de v1, ..., vn.

nn

11 v

ba...v

baw

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