lgebra Linear Pgina 1 Engenharias Ciclo Bsico UNIVERSIDADE VEIGA DE ALMEIDA - UVA CAMPUS BARRA lgebra Linear Sistemas Lineares Resumo terico e exerccios Mdulo II Prof. Ms. Nelson Damieri Gomesi Rio de Janeiro Ago/2011 lgebra Linear Pgina 2 Engenharias Ciclo Bsico Sistemas Lineares 1. Equao Linear Toda equao da formab x a ... x a x an n= + + +2 2 1 1 denominada equao linear, em que: na ,.., a , a2 1 so coeficientes nx ,..., x , x2 1 so as incgnitas b um termo independente Exemplos: a)5 3 23 2 1= + x x x uma equao linear de trs incgnitas. b)1 = + + t z y x uma equao linear de quatro incgnitas. Observaes: 1)Quandootermoindependentebforigualazero, aequaolineardenomina-seequaolinear homognea. Por exemplo:0 5 = + y x . 2) Uma equao linear no apresenta termos da forma 2 121x . x , xetc., isto , cada termo da equao tem uma nica incgnita, cujo expoente sempre 1. As equaes3 2 3221 = + x xe2 4 = + z y . xno so lineares. 3)Asoluodeumaequaolinearanincgnitasaseqnciadenmerosreaisounupla ( )n,..., , o o o2 1,que,colocadosrespectivamentenolugarde nx ,..., x , x2 1,tornamverdadeiraa igualdade dada. 4) Uma soluo evidente da equao linear homognea0 3 = + y x a dupla( ) 0 0, .Vejamos alguns exemplos: 1 exemplo: Dada a equao linear2 4 = + z y x , encontrar uma de suas solues. Resoluo: Vamos atribuir valores arbitrrios a x e y e obter o valor de z. 02==yx 62 0 4 2 == + zz . Resposta: Uma das solues a tripla ordenada (2, 0, -6). 2exemplo:Dadaaequao5 2 3 = y x ,determinarparaqueadupla(-1,)sejasoluoda equao. Resoluo:( ) o , 1 o = =yx 1 ( )4 8 25 2 35 2 1 . 3 = = = = o o o o Resposta: = 4 lgebra Linear Pgina 3 Engenharias Ciclo Bsico Exerccios Propostos: 1.Determine m para que( ) 2 , 1 , 1 seja soluo da equao6 2 = + z y mx . Resp: -1 2.Dada a equao13 2 = + y x, ache para que( ) 1 , + o otorne a sentena verdadeira. Resp: -8/5 2. Sistema linear. Denomina-se sistema linear de m equaes nas n incgnitas nx x x ,..., ,2 1 todo sistema da forma: = + + += + + += + + +n n mn m mn nn nb x a x a x ab x a x a x ab x a x a x a...............2 2 1 12 2 2 22 1 211 1 2 12 1 11n nb b b a a a' 2 ' 1 ' 1 12 11,..., , , ,..., , so nmeros reais. Se o conjunto ordenado de nmeros reais( )n ' 2 ' 1 ',..., , o o osatisfizer a todas as equaes do sistema, ser denominado soluo do sistema linear. Observaes: 1) Se o termo independente de todas as equaes do sistema for nulo, isto ,02 1= = = =n ' 'b ... b b , o sistema linear ser dito homogneo. Veja o exemplo: = + = + += +0 3 2 50 40 2z y xz y xz y x Uma soluo evidente do sistema linear homogneo x = y = z = 0. Esta soluo chama-se soluo trivial do sistema homogneo. Se o sistema homogneo admitir outra soluo em que as incgnitas no so todas nulas, a soluo ser chamada soluo no-trivial. 2) Se dois sistemas lineares, S1 e S2, admitem a mesma soluo, eles so ditos sistemas equivalentes. Veja o exemplo: ( ) { } 2 14 25 31 = = = +, Sy xy x: S( ) { } 2 1132232 = =+ = +, Sy xyx: SComo os sistemas admitem a mesma soluo {(1, -2)}, S1 e S2 so equivalentes. lgebra Linear Pgina 4 Engenharias Ciclo Bsico Exerccios Propostos: 1.Seja o sistema = + + = + = +25 20 3 23 2 13 2 13 2 11x x xx x xx x x: S . a)Verifique se (2, -1, 1) soluo de S. b)Verifique se (0,0,0) soluo de S. Resp: a) b) no 2.Seja o sistema: + = = +3 29 32k y xk y x. Calcule k para que o sistema seja homogneo. Resp: k = -3 3.Calcular m e n de modo que sejam equivalentes os sistemas: = + = 5 21y xy x e = + = 21my nxny mx Resp: m = 0 e n = 1 3. Expresso matricial de um sistema de equaes lineares. Dentre suas variadas aplicaes, as matrizes so utilizadas na resoluo de um sistema de equaes lineares. Seja o sistema linear: = + + += + + += + + +n n mn m mn nn nb x a ... x a x a......b x a ... x a x ab x a ... x a x a2 2 1 12 2 2 22 1 211 1 2 12 1 11 Utilizando matrizes, podemos representar este sistema da seguinte forma:

(((((((

mn m mnna a aa a aa a a...... ... ... ...... ... ... .........2 12 22 211 12 11. (((((((

nxxx......21= (((((((

nbbb......21 |||matriz constituda matriz coluna matriz coluna pelos coeficientesconstituda pelas dos termos das incgnitas incgnitas independentes lgebra Linear Pgina 5 Engenharias Ciclo Bsico Observe que se voc efetuar a multiplicao das matrizes indicadas ir obter o sistema dado. Se a matriz constituda pelos coeficientes das incgnitas for quadrada, o seu determinante dito determinante do sistema. Exemplo: Seja o sistema: = + = + = +8 2 71 6 3 40 5 23 2 13 2 13 2 1x x xx x xx x x. Ele pode ser representado por meio de matrizes, da seguinte forma: ((((

=((((

((((

810.2 1 76 3 41 5 2321xxx Exerccios Propostos: 1.Expresse matricialmente os sistemas: a) = = +0 35 2y xy x b) = + = + = + +2 5 301 2c b ac ac b a 2.A expresso matricial de um sistema S : ((

=((

((

741 35 2ba. . Determine as equaes de S. lgebra Linear Pgina 6 Engenharias Ciclo Bsico 4. Classificao dos sistemas lineares Os sistemas lineares so classificados, quanto ao nmero de solues, da seguinte forma: 5.Regra de Cramer A regra de Cramer consiste num mtodo para se resolver um sistema linear. = + + += + + += + + +n n mn m mn nn nb x a .. x a x a......b x a .. x a x ab x a .. x a x a2 2 1 12 2 2 22 1 211 1 2 12 1 11 : sistema o SejaVamos determinar a matriz A dos coeficientes das incgnitas: (((((((((

=mn m mnna ... a a.........a ... a aa ... a aA2 12 22 211 12 11

Vamos determinar agora a matriz Ax1, que se obtm a partir da matriz A, substituindo-se a coluna dos coeficientes de x1 pela coluna dos termos independentes. (((((((((

=mn m nnnxa ... a b.........a ... a ba ... a bA22 22 21 12 11 lgebra Linear Pgina 7 Engenharias Ciclo Bsico Pela regra de Cramer: A detA detxx11 =De maneira anloga podemos determinar os valores das demais incgnitas: (((((((((

=mn n mnnxa ... b a.........a ... b aa ... b aA12 2 211 1 112 A detA detxx22 = (((((((((

=n m mxnb ... a a.........b ... a ab ... a aA2 12 22 211 12 11 A detA detxxnn = Generalizando, num sistema linear o valor da incgnita x1 dado pela expresso: A detA detxii = tes. independen termos dos coluna pela x de es coeficient dos colunas asse - do substituin Ade obtida matriz a Asistema. do incompleta matriz a A ii Vejamos alguns exemplos. 1 Exemplo: Resolver o sistema = += 2 57 2y xy x. Resoluo:115 11 2= ((

= A det A335 21 71 1= ((

= A det A112 17 22 2 = ((

= A det A311331= = =A detA detx 111112 == =A detA detyResposta:( ) { } 1 3 = , S2 Exemplo: Resolver o sistema = = +25y xy x. lgebra Linear Pgina 8 Engenharias Ciclo Bsico Resoluo:01 11 1= ((

= A det A71 21 5 = ((

=x xA det A72 15 1= ((

=y yA det A07 = =A detA detxx impossvel 07= =A detA detyy impossvel Resposta:| = S3 Exemplo: Resolver o sistema= + += + = +110 5 4 30 23 2 13 2 13 2 1x x xx x xx x x. Resoluo:1) Clculo do determinante da matriz incompleta. 12 6 5 4 3 10 41 1 15 4 31 2 1 = + = ((((

= A det A 2) Clculo do determinante das incgnitas. 24 20 0 4 10 10 01 1 15 4 101 2 01 1 = + + = ((((

= A det A12 0 5 10 3 0 101 1 15 10 31 0 12 2= + + + = ((((

= A det A0 6 10 0 0 20 41 1 110 4 30 2 13 3= + + + = ((((

= A det A 3) Clculo das incgnitas. 2122411== =A detA detx1121222 == =A detA detxlgebra Linear Pgina 9 Engenharias Ciclo Bsico 012033== =A detA detxResposta:( ) { } 0 1 2 , , S =Sistema Possvel e Determinado. Exerccios Propostos: 1.Solucione os sistemas a seguir, utilizando a regra de Cramer. a) = = +4 3 25 2y xy x Resp: {(1,2)} b) = += 9 31 4 3y xy x Resp: {(3,2)} 2.Calcule os valores de x, y e z nos sistemas: a) = += + = +3 2 3 39 3 22 2z y xz y xz y x Resp: {(1,2,3)} b) = = = +0 30 50 10z yz xy x Resp: {(6,4,1)} 3.Resolva as equaes matriciais: a) ||.|

\|=||.|

\|||.|

\| 1393 11 2yx.Resp: ||.|

\|52 b) |||.|

\|=|||.|

\||||.|

\| 8221 1 56 3 27 4 1zyx.lgebra Linear Pgina 10 Engenharias Ciclo Bsico Resp: |||.|

\|121 lgebra Linear Pgina 11 Engenharias Ciclo Bsico 6. Discusso de um sistema linear Seja o sistema linear de n equaes a n incgnitas. = + + += + + += + + +n n nn n nn nn nb x a ... x a x a......b x a ... x a x ab x a ... x a x a2 2 1 12 2 2 22 1 211 1 2 12 1 11 Discutir o sistema saber se ele possvel, impossvel ou determinado. Utilizando a regra de Cramer, temos: A detA detx ,...,A detA detx ,A detA detxnn = = =2211 Possvel e Determinado 0 = A detPossvel e Indeterminado= = = ==002 1 nA det ... A det A deteA det Impossvel==0 um menos pelo0nA deteA det Vejamos alguns exemplos: 1) Exemplo: Discutir o sistema = = +12 3y xmy x. Resoluo: Vamos calcular o valor dos determinantes: m A detmA = ((

= 31 13 m A detmA = ((

= 21 121 1 11 12 32 2= ((

= A det AFazendo:3 0 3 0 = = = m m A det 2 0 2 01 = = = m m A detlgebra Linear Pgina 12 Engenharias Ciclo Bsico Resposta: SPD3 = m(sistema possvel e determinado) SPIm -/ (sistema possvel e indeterminado), pois det A2 = 1 para qualquer valor de m SI3 = m(sistema impossvel) 2) Exemplo: Determinar m, de modo que o sistema = + = + += 402z y xz my xy x seja incompatvel. Resoluo:11 1 11 10 1 1 = ((((

= m A det m A6 21 1 41 00 1 2 = ((((

= m A det m Ax x 41 4 11 0 10 2 1 = ((((

=y yA det A 6 64 1 10 12 1 1+ = ((((

= m A det m Az z Fazendo:1 0 1 0 = = = m m A det3 0 6 2 0 = = = m m A detx 1 0 6 6 0 = = + = m m A detz Para m = 1, teremos: 04 = x(impossvel) 04 = y (impossvel)

00= z(indeterminado). Resposta: SI 1 = m 3) Exemplo: Verificar se o sistema= += 00 2 3y xy x determinado ou indeterminado. Resoluo: Vamos calcular o valor dos determinantes: 5 det1 12 3=((

= A A 0 det1 02 0=((

=x xA A0 det0 10 3=((

=y yA AComo0 5 det = = A , o sistema determinado. lgebra Linear Pgina 13 Engenharias Ciclo Bsico Vamos achar a soluo: 050detdet= = =AAxx e 050detdet= = =AAyy ( ) { } 0 , 0 = SResposta: O sistema determinado e( ) { } 0 , 0 = S . Observao: Todo sistema homogneo sempre possvel, pois admite a soluo (0, 0,.., 0) chamada soluo trivial. Observe que para um sistema homogneo teremos sempre0 det ,..., 0 det , 0 det2 1= = =nA A APortanto, para a discusso de um sistema linear homogneo, suficiente o estudo do determinante dos coeficientes das incgnitas. Determinado0 det = AIndeterminado0 det = A 4)Exemplo: Calcular o valor de a para que o sistema = += +00ay axy ax tenha solues diferentes da trivial. Resoluo: Neste caso, o sistema deve ser indeterminado, e teremos0 det = A . ( ) 1 ou 0 0 1 . 0 det1= = = = = ((

= a a a a a a Aa aaAResposta:{ } 1 , 0 Exerccios Propostos: 1.Discuta os sistemas: a) = = +m y xy mx 2 b) = += +21y xy kx c) = + += + += +q pz y xz y xz y x4610 3 7 2.Classifique, quanto ao nmero de solues, os seguintes sistemas homogneos. a) = + = 0 8 60 4 32 12 1x xx x lgebra Linear Pgina 14 Engenharias Ciclo Bsico b) = + += + += + +0 30 4 2 20z y xz y xz y x c) = += = + +0 40 30 2y xz y xz y x 3.Determine a e b para que o sistema = += +b y xay x4 412 6seja indeterminado. 4.Calcule os valores de a para que o sistema= = +0 41 2 3y axy x seja compatvel e determinado. 5.D os valores de a para que o sistema = + = + + = + 5 4 22z y axa z y xaz yseja compatvel e determinado. 6.D o valor de a para que o sistema= + + += + = + +0 5 40 20 2az y xa z y xy ax seja impossvel. 7.Determine o valor de k para que o sistema = = = k x yz xy z3 3 22 2 41 4 3 seja indeterminado. 8.Ache m para que o sistema = + += += + 0 2 30 5 40 3 2z my xz y xz y x tenha solues prprias. 9.Qual o valor de p para que o sistema= = + += +204y xz py xz y px admita uma soluo nica? 10.(Fuvest-SP) Para quais valores de k o sistema linear = += + = + +23 2 31kz yz y xz y x compatvel e determinado? lgebra Linear Pgina 15 Engenharias Ciclo Bsico Respostas exerccios propostos: 1.Discusso de um Sistema Linear. 1.a) SPD se1 = mSI se m = 1 b) SPD se1 = kSI se k = 1 c) SPD se1 = p ; SPI se p = 1 e q = 8; SI se p = 1 e8 = q 2. a) indeterminado. b) indeterminado. c) determinado 3.a = 6 e b = 8 4.6 = a5.{ } 1 e 4 = = e a a / R a6.1 ou4 = = a a7.k = 5 8. 133= m9.{ } 1 = e p / R p10. )`= e41k / R k 7. Escalonamento de Sistemas Lineares Considerandoumsistemasgenricomxn,dizemosqueeleestescalonadoquandoos coeficientes aij, com i > j , so todos nulos. Exemplos: == += + 8 41 2 37 5 2zz yz y x = += + +4 5 411 7 2 3z yz y x = += + + +10 5 49 2t zt z y x Classificao e resoluo de sistemas lineares escalonados 1 == = + 10 50 2 46 2 3zz yz y x Sistema 3 x 3 j escalonado (nmero de equaes = nmero de incgnitas) Da 3 equao tiramos z = 2 Da 2 equao, fazendo z = 2, tiramos y = 1 Fazendo y =1 e z = 2 na 1 equao tiramos x= -2 lgebra Linear Pgina 16 Engenharias Ciclo Bsico Podemos concluir que o sistema possvel e determinado, com S={(-2,1,2)} 2 == += + = + 9 03 2 56 4 21 3 2 9ww zw z yw z y x Sistema 4 x 4 j escalonado. A 4 equao permite dizer que o sistema impossvel, logo S =C 3 = = + +0 6 30z yz y x Sistema 2 x 3 j escalonado (nmero de equaes < nmero de incgnitas) Quando um sistema escalonado tem mais incgnitas que equaes e pelo menos um coeficiente nonuloemcadaequao,elepossveleindeterminado.Avarivelquenoapareceno comeo das equaes chamada varivel livre. Nesse exemplo z a varivel livre. Fazemos z = k, com k eR, para descobrir a soluo geral do sistema. Da 2 equao, temosk y z y 2 0 6 3 = = . Usando z = k e y = 2k, temosk x k k x 3 0 2 = = + + . Portanto, o sistema possvel e indeterminado e sua soluo geral (-3k, 2k, k). 4 = += + 1 3 22 2t zt z y x Aqui o sistema possvel e indeterminado (est escalonado e tem 2 equaes e 4 incgnitas) e duas so variveis livres (y e t). FazemosR e R com , t e y e | e o | = o = . Substituindo nas equaes: 43 5 23 5 2 44 2 3 1 2 4 223 1223 13 1 2 1 3 2+ | + o= + | + o = + | + | + o = = | | + o | = | = = | +x xx xz z z Soluo geral:|.|

\||| o+ | + o, , ,23 143 5 2 Exerccio:Classifique e resolva os sistemas lineares escalonados: lgebra Linear Pgina 17 Engenharias Ciclo Bsico a) == = + 6 21 20 3 2zz yz y x b) = = + 02 2 3z yz y x c) = = + +02 2d cd c b a 8.Processo para escalonamento de um sistema linear Para escalonar um sistema linear e depois classific-lo e resolv-lo, alguns procedimentos podem ser feitos: 1 Eliminamos uma equao que tenha todos os coeficientes e o termo independente nulos. Por exemplo: 0x + 0y + 0z = 0 pode ser eliminada, pois todos os termos de nmeros reais so solues: 2 Podemos trocar a posio das equaes. Exemplo: = = += += 6 2 31 41 46 2 3y xy xy xy x 3 Podemos multiplicar todos os termos de uma equao pelo mesmo nmero real diferente de zero: 10 2 2 6 5 3 = + = + z y x z y xPodemos multiplicar os 2 membros de uma equao por um mesmo nmero real diferente de zeroesomarmosaosmembroscorrespondentesdaoutraequao.RegradeChiode matrizes = 10 propriedade. Exemplo: ( )= = + + . = + = + 4 37 4 225 9 5 33 7 4 2z yz y xz y xz y x 4Senoprocessodeescalonamentoobtivermosumaequaocomtodososcoeficientes nulos e o termo independente diferente de zero, esta equao suficiente para afirmar que o sistema impossvel., isto , S =C. Exemplo 1:( )( ) = = += + ++ . = = += + += += = + ++ . = + + + . = + + = + +32 1613 57 27 33 13 57 213 57 37 28 2 5 321 7 23 2 7 2zz yz y xz yz yz y xz yz yz y xz y xz y xz y x O sistema obtido est escalonado e equivalente ao sistema dado. Podemos agora resolver: lgebra Linear Pgina 18 Engenharias Ciclo Bsico 1 7 2 3 23 13 2 521632 = = + += = += =x xy yz Sistema possvel e determinado, com S = {(-1,3,2)} Exemplo 2: ( ) ( )= + + = + = ++ . = ++ + . = + = +) inar lim e ( z y xz yz y xz y xz y xz y x0 0 0 08 4 73 26 2 4 21 32 3 3 2 = + = +8 4 73 2z yz y x Sistema possvel e indeterminado (escalonado e 2 x 3). Varivel livre: z. 74 88 4 7o += = o + o =yy z 75374 82o = = o |.|

\| o + + x xSoluo geral:|.|

\|oo + o , ,74 875 Exerccios propostos: 1) Escalone, classifique e resolva os sistemas lineares abaixo: a) = += + = + +0 28 3 31 3 2z yz y xz y x Resp: Sistema possvel e determinado, com S = {(1,-1,2)} b) = + += +5 2 3 22z y xz y x Resp: Sistema possvel e indeterminado, com S = {(1+5k,1-4k,k)} c) = + += + +0 3 23z y xz y x Resp: Sistema possvel e indeterminado, com S = {(9-2k,k-6,k)} 9.Exerccios de aprofundamento e reviso lgebra Linear Pgina 19 Engenharias Ciclo Bsico 1.(FMU SP) O valor de a para que o sistema = = +54 318 2ay xy x seja possvel e indeterminado : a)-6b) 6c) 2d) -2e) 3/2 Resp: a) 2.(FGV SP) O sistema = = + += +0 140 4 20 3 2z xz y xz y x : a)determinado. b)Impossvel c)Determinado e admite como soluo (1, 1, 1). d)Indeterminado. e)N.D.A. Resp: d) 3.(UFRN) A soluo do sistema = + += += + +13 2 35 2 46z y xz y xz y x : a)(-2, 7, 1)b) (4, -3, 5)c) (0, 1, 5)d) (2, 3, 1)e) (1, 2, 3) Resp: e) 4.(Osec SP) O sistema linear = + += + += + 7 2 49 4 3 22 2z y xz y xz y x: a)admite soluo nica; b)admite infinitas solues; c)admite apenas duas solues; d)no admite soluo; e)N.D.A. Resp: b) 5.(Efoa MG) O sistema de equaes = += +05 5y bxy ax, ter uma nica soluo se: a)b a 5 =b)0 5 = + b ac)0 5 = b ad)0 5 = abe)0 5 = abResp: c)lgebra Linear Pgina 20 Engenharias Ciclo Bsico 6.(Faap SP) Para que o sistema linear = += 1 5 27y xby ax admita uma nica soluo, necessrio que: a) 52ba=b) 52ba=c) 25ba=d) 52ba =e) 25ba=Resp: a) 7.(FCC BA) O sistema linear = += +12y x aa y x impossvel se e somente se: a)1 = ae1 = a b)1 = aou a = 1 c)1 = ad)1 = a e)R aeResp: d) 8.(FEI SP) Se x = A, y = B e z = C so as solues do sistema = += += 10 443z yz xy x, ento ABC vale: a)-5b) 8c) -6d) -10 e) 5 Resp: c) 9.(UFRS) O sistema sobre R = + = = + 11 11 421 3 2z y xb z y xz y x, ter soluo apenas se o valor de b for igual a: a)6b) 4c) 1d) -11e) -12 Resp: b) 10.(Mack SP) O sistema = += +2 42my xk y x indeterminado. Ento k + m vale: a)1/2b) 1c) 3/2d) 2e) 3 Resp: e) lgebra Linear Pgina 21 Engenharias Ciclo Bsico 11.(UFSC) Para qual valor de m o sistema = = = 0 2 30 20 2y xz my xz y mxadmite infinitas solues? a)m = 0b)0 = m c) m = 2d) m = 10 e)m = 1 Resp: c)12.(FCC BA) O sistema = += 002ky xy x k nas incgnitas x e y: a) impossvel se1 = kb)admite apenas a soluo trivial se k = 1 c) possvel e indeterminado se k = -1 d) impossvel para todo k real e)admite apenas a soluo trivial para todo k real. Resp: c) 13.(Cesgranrio) O sistema = += + = +b y xz ay xz y ax10 tem uma infinidade de solues. Ento, sobre os valores dos parmetros a e b, podemos concluir que: a)a = 1 e b arbitrrio. b)a = 1 e0 = bc)a = 1 e b = 1 d)a = 0 e b = 1 e)a = 0 e b = 0 Resp: d)14.(Fuvest SP) O sistema linear: = = + += o +310 2z y xz y xz y xno admite soluo se for igual a: f)0b) 1c) -1d) 2e) -2Resp: e) lgebra Linear Pgina 22 Engenharias Ciclo Bsico Bibliografia NETO, Aref Antar. Noes de Matemtica. Vol 1. Ed. Moderna. IEZZI, G. Matemtica vol.1 e 3.So Paulo: Atual,1995 BOLDRINI, Jos Luiz. lgebra Linear. So Paulo. Ed. Harbra. STEINBRUCH, A. e WINTERLE, P. LGEBRA LINEAR.2edio. SoPaulo:PearsonEducation, 1987. iOautorgraduadoemMatemticaeEngenhariaEltrica,commestradoemEngenhariadeProduopelaUFF,exercendoafunode professor concursado da SEE do RJ, na rea de Matematica; professor das disciplinas de Matemtica Financeira, Fundamento de Matemtica Elementar, lgebra Linear, Geometria Analtica e Clculo I, Clculo II e Calculo III,Instalaes Eltricas e Instalaes Prediais dos cursos de EngenhariadeCivil,EngenhariadeProduo,EngenhariadePetrleo,CinciasdacomputaoeSuperiordeTecnologiaemInformtica, bemcomoorientadordeTCCesupervisordeEstgioSupervisionadadoscursosdeEngenhariadaUNISUAM.ProfessordeMatemtica Financeira,MatemticaI,MatemticaAplicada,PesquisaOperacionaleorientadordomduloQualidade,dosTrabalhosdeConclusode CursosdeAdministraoeCinciasContbeis,daUNIABEU.CoordenadordagraduaoemMatemticadaUNIABEU.Coordenadore supervisordeEstagiodocursodeLicenciaturaemMatemtica,daUNIABEU.ProfessordematemticaI,MatemticaII,EstatsticaIeIIe ClculosFinanceirosdafaculdadeInternacionalSignorelli.AutordomaterialdidticoemEADdocursodeAdministraonasdisciplinas MatemticaI,Matemtica II e Clculos Financeiros, da faculdadeInternacional Signorelli. Professor de Matemtica Bsica, Calculos I,IIeII, CVGA e lgebra Linear da Universidade Veiga de Almeida. Professor do mdulo de Matemtica Financeira do MBA em Gesto Financeira da UNIABEU. Professor convidado do LATEC UFF para o mdulo de Manuteno Produtiva Total TPM do MBA de Gesto Estratgica de Manuteno. 28 anos de experincia no mercado como professor e 24 anos de atuao como Engenheiro Snior de empresas de porte como: Banco doBrasil, Rede Globo e Siemens. Consultor na rea dedesenvolvimento deprojetos deInstalaes e sistemas de gerenciamento de Manuteno.