AmintasAmintas

engenhariaengenharia

Unidade 5 – Produto Escalar e Produto Vetorial

1. Vetores

2. Reta

3. Plano

4.Distâncias

5. Cônicas

6. Superfícies

Uma base é formada por

vetores que são L.I.

Sejam u e v, vetores. Se u = kv u, v são L.D u, v não formam uma base.

Sejam u, v e w, vetores. Se u = av + bw u, v e w são L.D u, v e w não formam uma base.

As bases usuais, que são chamadas de bases canônicas

E= {(1, 0), (0, 1)}

E={(1, 0, 0),(0, 1, 0),(0, 0, 1)}

a

bu

|u| = (a2 + b2)

Módulo de um vetorComprimento de um vetor

Dados os vetores u = (a, b) e v = (a, b, c) denota-se por módulo de u e módulo de v:

|u| = (a2 + b2) |v | = (a2 + b2 + c2)

Usando o teorema de Pitágoras, temos:

1.9 Módulo de um Vetor

Propriedades

I) u.v = |u||v|cos

II) Se u.v = 0 uv

v

u

1.10 Produto Escalar de Vetores1.10 Produto Escalar de Vetores

Geometricamente, utilizamos o produto escalar entre dois vetores quando o interesse é:

Determinar o ângulo entre esses vetores.

vetores u = (a1, b1, c1) e v = (a2, b2, c2) é:

u.v = a1.a2 + b1.b2 + c1.c2

Dados os vetores u e v, decompondo v = v1 + v2 com v1 // u e v2 u.

v2

v1

v

u

v2

v1

v

u

O vetor v1 é chamado de projeção ortogonal de v sobre u e é denotado por:

v1 = projuv

projuv = v.u .u u.u

O produto vetorial ao contrário do produto escalar resulta em um vetor.

Notação do produto vetorial: u x v.

i j k

u x v = a1 b1 c1

a2 b2 c2

Ex: Calcule u x v sendo que u = (a1, b1, c1) e v = (a2, b2, c2)

O vetor u x v é simultaneamente

ortogonal a u e v.

u

u x v v

v x u

Observações

u x v = - (v x u), a ordem de colocação dos vetores altera o sentido do vetor resultante.

(u x v).u = 0 e (u x v).v = 0

u x v = 0 se e somente se u // v (vetores L.D.).

Se é o ângulo entre os vetores u e v então:

|u x v| = |u||v| sen

O |u x v| é a área de um paralelogramo de lados iguais ao |u| e |v|.

|u|

|v|

|v| sen

Ex: Seja A r e o ângulo de r com o eixo x, para a determinação da equação da reta usa-se (I).

As retas são funções matemáticas escritas da seguinte forma: f(x) = ax +b

I) Equação fundamental

II) Equação Geral

III) Equação vetorial

IV) Equação paramétrica

Sejam os pontos A(x0, y0) e P(x, y) r. A equação fundamental da reta é dada por:

Obs: AP = P - A é chamado de vetor diretor da reta

Obs: AP = P - A é chamado de vetor diretor da reta

I) Equação fundamental da reta

tg = y - y0

x - x0

tg = y - y0

x - x0

y - y0 = m(x - x0)y - y0 = m(x - x0)AP

x0 x

y

y0

r: y - y0 = m(x - x0)

m = tg , é o ângulo entre r e o eixo x.

www.matematiques.cowww.matematiques.com.brm.br

engenhariaengenharia