Algoritmo para sequenciação de compósitos laminados ... · Algoritmo para sequenciação de compósitos laminados planos considerando regras de produção Arménio António Tomás

Algoritmo para sequenciação de compósitos laminados planos

considerando regras de produção

Arménio António Tomás

Dissertação para obtenção do Grau de Mestre em

Engenharia Mecânica

Orientadores: Prof. José Arnaldo Pereira Leite Miranda Guedes

Prof. Hélder Carriço Rodrigues

Júri

Presidente: Prof. Luis Manuel Varejão de Oliveira Faria

Orientador: Prof. José Arnaldo Pereira Leite Miranda Guedes

Vogais: Prof. Aurélio Lima Araújo

Junho de 2015

i

ii

iii

Agradecimentos

Após 15 anos de percurso profissional, dei inicio a mais uma etapa na minha formação académica, a qual se

desenvolveu no Instituto Superior Técnico. Aproveito esta oportunidade para agradecer a todo o corpo

Docente do Instituto Superior Técnico, o qual representa para mim o melhor grupo de Docentes, na qualidade

e na capacidade de formação, com o qual alguma vez tive a oportunidade de continuar a minha formação na

área da Engenharia Mecânica.

Em especial quero agradecer ao meu professor e Orientador, o Professor José Guedes, o qual sempre esteve

disponível, sempre me apoiou e sempre me motivou ao longo do desenvolvimento da minha dissertação.

Quero agradecer também à minha família por todo o suporte que me deram e pela sua paciência nos

momentos em que ficaram para 2ª prioridade na minha atenção e dedicação.

iv

v

Resumo

Esta dissertação desenvolveu-se com o objectivo de obter uma estrutura laminada plana a partir de uma

sequência de empilhamento de um número mínimo de lâminas de material compósito e segundo as normas de

produção.

Definir uma estrutura laminada em material compósito, de forma a utilizar o menor número de lâminas

possível, poderá ser realizado através de métodos de optimização como o método DMO [1] ou o método SIMP

ou outro de similar funcionalidade. No entanto, considerando as restrições que as normas de produção

impõem e a delaminação no laminado pelas tensões de delaminação, pode-se afirmar que uma optimização

pelos métodos acima descritos que não contemple o anteriromente apresentado, poderá apresentar soluções

de empilhamento não aceitáveis para produção. Poderemos no mínimo concluir que a solução de sequência de

empilhamento através de métodos como o DMO, seja desinteressante ao nível do investimento de tempo e

recursos que pretendemos fazer. Neste trabalho desenvolveu-se um conjunto de algoritmos que pretendem

apresentar uma alternativa aos métodos de optimização anteriormente mencionados. As restrições de

produção consideradas foram: [2]

(i) Numero máximo consecutivo de lâminas com o mesmo ângulo de orientação ( 3 ou 4)

(ii) Variação angular das fibras entre lâminas consecutivas ≤ 45

(iii) Estrutura final balanceada. Número de lâminas com fibras a 45 igual ao número de lâminas com

fibras a - 45

Ainda que não tenham sido contempladas nos algoritmos desenvolvidos para obter a sequência de

empilhamento, existem ainda outras regras de produção como a regra dos 10%, que resumidamente

determina que uma estrutura laminada devera ter pelo menos 10% das suas fibras a 0 e a 90. Estas regras

garantem um balanceamento do laminado ao nível das deformações impostas por diversos carregamentos.

Por outro lado, teremos em conta os critérios de falha das estruturas produzidas por materiais compostos

laminados. Para tal facto, será considerado o critério de falha por extensão (“Maxim Strain”) e a tendência que

a estrutura apresenta para ceder devido à falha por delaminação.

Desta forma, para fazer face às restrições de produção e atingir objectivos de minimização de volume

conseguidos com a utilização mínima do número de lâminas, desenvolveu-se algoritmos que têm em conta os

objectivos e as restrições de produção, utilizando apenas um determinado conjunto possível de alinhamento

angular das fibras em cada lâmina: { 0, 45, 90, -45 }

Palavras chave:

Delaminação; compósitos laminados; sequência de empilhamento; normas de produção; critério de ruptura.

vi

Abstract

This thesis was developed with the objective to define a laminate structure by stacking the minimum number

of composite plies according to production requirements.

To define this structure, we can follow one from the available methods of stacking optimization such as the

DMO [1] method or the SIMP method or any other optimization method to maximize the structure’s stiffness.

However, when using such methods and disregarding the manufacturing requirements, it can result in laminate

failure such as delamination.

In this work, it will be presented algorithms wich presents an alternative stacking procedure sequence to the

optimization methods such as the DMO [3]. These algorithms take in account the manufacturing requirements

and use stiffness to define the stacking sequence.

The manufacturing requirements are:

(i) Number of occurrence of a lamina angle in the consecutive plies ≤ 3 or 4

(ii) Fiber angle variation between consecutive plies ≤ 45 angle

(iii) Final structure must be balanced by having the same number of plies aligned to ±45.

Additional production rules can be easily introduced in the algorithms, for instance, the 10% rule. According

this rure, 10% of the total number of plies should be aligned to 0 and 10% of the total number of plies should

be aligned to 90. This rule guarantees a balanced strain behavior of the composite laminate structure when

submitted to a specific force load.

Once defined the composite material to be used in the plies, the boundary conditions, the geometric

specifications, the final structure will be constructed up from a stacking sequence of plies.

Considering all the constrains related to manufacturing considerations, low volume and sufficient stiffness and

strength, we can present the best lamina stacking sequence compatible to all the manufacturing rules and

satisfying the Maximum Strain Theory composite’s lamina failure criteria. Because it is recognized as a very

common root cause for failure in laminated composite materials, this work will also take in consideration the

stress shear values that are related with the failure by delamination

Because symmetric and balanced laminates with fiber angle orientations of 0, 45, 90 and -45 degrees are

most commonly used in production, the laminated structures simulated in this work will use the same angle

orientations.

vii

Índice

Resumo v

Abstract vi

Lista de Símbolos ix

Lista de Símbolos Gregos x

Lista de acrónimos xi

Lista de figuras xii

Lista de Tabelas xiii

1. Introdução 1

2. Estado da arte 5

2.1 Aeronáutica 5

2.2 Militar - Anatomia humana 7

3. Estrutura laminar 8

3.1 Material Isotrópico 10

3.2 CLPT – Relações constitutivas 11

3.3 FSDT – Relações constitutivas 15

3.4 Referencial Global 18

3.5 Rigidez Global 20

4. Algoritmos de sequenciação de empilhamento 24

4.1 Algoritmo Energia 25

4.1.1 Funcionamento do algoritmo Energia 25

4.1.2 Flow de funcionamento do algoritmo Energia 26

4.2 Algoritmo PROD 27

4.2.1 Funcionamento do algoritmo PROD 27

4.2.2 Restrições de empilhamento 28

4.3 Algoritmo PROD2 30

4.3.1 Probabilidade de Delaminação 30

4.3.2 Delaminação 32

4.3.3 Extremidades livres 33

4.3.4 Funcionamento do algoritmo PROD2 34

5. Resultados dos algoritmos Energia, PROD e PROD2 39

5.1 Casos estudados 40

5.2 Estrutura com CF opção7 + carregamento opção1 41

5.2.1 Resultados algoritmo Energia e DMO 41

5.2.2 Estados de tensão algoritmo DMO e algoritmo PROD 42

viii



5.3.2 Estados de tensão método DMO e algoritmo PROD 48



5.4.2 Estados de tensão algoritmo DMO e algoritmo PROD 54

5.5 Algoritmo PROD2 58

5.6 Conclusões – Método DMO e algoritmo PROD 59

6. Conclusões 60

7. Trabalho futuro 61

Bibliografia 62

ANEXOS 64

Anexo A1 – Estrutura de programação em MatLab dos Algoritmos Energia, PROD, PROD2 64

Anexo A1.1 Algoritmo Energia 64

Anexo A1.2 Algoritmo PROD 68

Anexo A1.3 Algoritmo PROD2 72

Anexo A1.4 Ficheiro de texto para execução no software de FE 74

Anexo A2 77

Anexo A3 78

Anexo A4 79

Anexo A5 80

ix

Lista de Símbolos

[C]

[S]

[K]

[A]

[B]

[D]

t

u

v

w

em1

em2

em12

E1

E2

E3

Ejk

G12

G23

G13

Mii

Nii

P

Qi

Ue

Zij

Matriz de rigidez no estado de tensão tridimensional

Matriz Compliance

Matriz de Rigidez

Matriz rigidez à Extensão - corte

Matriz rigidez à Extensão - Flexão

Matriz rigidez à Flexão – Torção

Expessura da lâmina

Deslocamento segundo x

Deslocamento segundo y

Deslocamento segundo z

Extensão limite no material segundo o eixo 1



Modulo de Young referencial local – eixo 1



Vector extensões

Módulo de corte plano12 local



Momentos por unidade de comprimento

Esforços axiais por unidade de comprimento

Carregamento na estrutura

Esforço de corte

Energia de deformação elástica - elemento

Tensões limite do material nos eixos 1, 2, 3 nas coordenadas locais

x

Lista de Símbolos Gregos

1

2

12

ij

ν12

ν23

ν13

x

y

z

xy

xz

yz

Extensão segundo o plano 1 local

Extensão segundo o plano 2 local

Distorção segundo o plano 12 local

Extensões segundo x

Extensões segundo y

Extensões segundo z

Distorção segundo planos ij

Ângulo das fibras em relação ao referencial global

Coeficiente de Poisson plano local 12



Tensão axial segundo o eixo x global

Tensão axial segundo o eixo y global

Tensão axial segundo o eixo z global

Tensão de corte no plano xy

Tensão de corte no plano xz

Tensão de corte no plano yz

xi

Lista de acrónimos

CF

DMO

Energia

Energia21

Energia71

Energia101

FE

FRP

FSDT

PMC

PROD

PROD21

PROD71

PROD101

PROD2

Script

SENE

SIMP

TCL

CLPT

Condições de Fronteira

Discrete Material Optimization

Algoritmo de rigidez para sequenciação de lâminas com objectivo rigidez

Algoritmo de rigidez para sequenciação de lâminas com objectivo rigidez caso21



Elementos Finitos ou software de elementos finitos

Fiber Reinforced Polymers

Teoria 1ª ordem para análise de estrutura laminar de material compósito

Polimer Matriz Composites

Algoritmo de sequência de lâminas tendo em contra restrições de produção

Algoritmo de sequência de lâminas tendo em contra restrições de produção, caso21

Algoritmo de sequência de lâminas tendo em contra restrições de produção, caso71

Algoritmo de sequência de lâminas tendo em contra restrições de produção, caso 101

Algoritmo de sequência de lâminas tendo em contra restrições de produção e um critério

de falha para uma estrutura em material laminado compósito

Programa em linguagem Software Matlab

Energia elástica de deformação – comando no software de elementos finitos

Solid Isotropic Material with Penalization

Teoria Clássica de Laminados

Teoria Clássica de Laminados

xii

Lista de figuras

Figura 1 – Lâmina de material compósito com fibras no seu interior orientadas segundo o eixo 1

Figura 2 – Separação de fibras na resina

Figura 3 – Espaço vazio entre lâminas

Figura 4 – Material Isotrópico

Figura 5 – Material Ortotrópico

Figura 6 – Material Anisotrópico

Figura 7 – laminado com 2 lâminas consecutivas e orientação angular nas fibras diferente

Figura 8 – Materiais compósitos num AIRBUS A380

Figura 9 – Percentagem de aplicação de materiais compósitos num Boing 787

Figura 10 – Soldado equipado com exoesqueleto em materiais compósitos

Figura 11 – laminado não balanceado e laminado balanceado nas fibras a ± 45°

Figura 12 – Deformação irregular de um laminado não balanceado nas fibras a ± 45°

Figura 13 - Formulação / hipótese de Kirchhoffonde para pequenos deslocamentos

Figura 14 - Formulação FSDT para pequenos deslocamentos

Figura 15 – Relação referencial local / Global

Figura 16 – Relação angular referencial Local / Global

Figura 17 – Lamina e esforço normal, corte e flexão no referencial global

Figura 18 – Empilhamento de lâminas de igual espessura “h” no laminado

Figura 19 – empilhamento de lâminas com ângulo das fibras a 0, 45, 90, -45

Figura 20 – flow de funcionamento do algoritmo Energia

Figura 21 - Flow funcionamento do algoritmo PROD

Figura 22 – Modos de fractura (a) e fractura ao longo da resina (b)

Figura 23 – tensões num elemento infinitesimal

Figura 24 – diagrama de corpo livre para tensões de corte

Figura 25 – Delaminação devido a tensões de corte intralaminares

Figura 26 – flow de funcionamento do algoritmo PROD2

Figura 27 – CF opção 7 + Carregamento opção 1

Figura 28 – lâminas e respectiva sequência em relação ao eixo de simetria

Figura 29 – Tensões de delaminanação, (xz, yz) com maior intensidade ao centro da estrutura


Figura 31 – xz, yz na extremidade livre das lâminas - método DMO e algoritmo PROD



Figura 34 - CF opção 10 + Carregamento opção 1




Pag.2

Pag.2

Pag.2

Pag.3

Pag.3

Pag.3

Pag.4

Pag.5

Pag.6

Pag.7

Pag.8

Pag.9

Pag.12

Pag.15

Pag.17

Pag.18

Pag.21

Pag.22

Pag.24

Pag.26

Pag.39

Pag.30

Pag.32

Pag.33

Pag.34

Pag.38

Pag.41

Pag.41

Pag.43

Pag.43

Pag.47

Pag.47

Pag.52

Pag.53

Pag.57

Pag.78

Pag.81

xiii

Lista de Tabelas

Tabela1 – Sequência de empilhamento e tempo de cálculo para método DMO Pag. 42

e algoritmo Energia, caso 71

Tabela2 – Tensões nas lâminas para método DMO e Método PROD – caso 71 Pag. 44

Tabela3 – Sequência de empilhamento e tempo de cálculo para método DMO Pag. 48

e algoritmo Energia, caso 21,

Tabela4 – Tensões nas lâminas para método DMO e algoritmo PROD – caso 21, Pag. 48

Tabela5 – Sequência de empilhamento e tempo de cálculo para método DMO Pag.54

e algoritmo Energia, caso 101,

Tabela6 – Tensões nas lâminas para o método DMO e algoritmo PROD – caso 101, Pag. 55

Tabela 7 – Sequência de empilhamento e tempo de cálculo para o método DMO Pag.77

e algoritmo Energia - Anexo A

Tabela 8 – Sequência de empilhamento e tempo de cálculo para o método DMO Pag.78

e algoritmo PROD – anexo B

Tabela 9 – Sequência de empilhamento e tempo de cálculo pelo método DMO Pag.80

e algoritmo Energia – anexo C

Tabela 10 – Sequência de empilhamento e tempo de cálculo pelo método DMO Pag.80

e algoritmo PROD – anexo D

xiv

1

1. Introdução

A Engenharia Mecânica é constantemente desafiada a desenvolver estruturas que ofereçam melhor

comportamento mecânico, ao menor custo, com o menor peso e obtidas no menor tempo possível.

As estruturas obtidas por empilhamento de lâminas em material compósito são uma solução para este

constante desafio.

O termo compósito, no que se refere a materiais compósitos, significa um conjunto de dois ou mais materiais

ligados à escala macroscópica, resultando num 3º material. Ambos os materiais podem ser visualizados à vista

desarmada após estarem ligados. Estes dois materiais são imiscíveis, no entanto, são compatíveis

quimicamente e apresentam propriedades mecânicas complementares, resultando a sua ligação num 3º

material com as propriedades mecânicas adequadas à necessidade do nosso projecto. [4] [5]

De uma forma simples, um material compósito compõem-se por uma matriz, que pode ser uma resina epóxida,

a qual envolve um segundo material, com maior rigidez, que irá reforçar todo o conjunto.

Podemos dividir os materiais compósitos produzidos em 3 grupos: [6]

(i) Compósitos com matriz polimérica (PMC’s) “PolimerMatriz Composites” ou (FRP) “Fiber Reinforced

Polymers “. Estes apresentam uma matriz em material polímero e são reforçados por fibras como o

carbono, aramid ou vidro.

(ii) Compósitos com matriz metalica (MMC’s) – Estes compósitos utilizam, por exemplo, uma matriz de

alumínio e são reforçados por fibras de carboneto de cilício

(iii) Compósitos com matriz de cerâmica – Estes materiais são utilizados em ambientes de altas

temperaturas. A sua matriz de cerâmica é reforçada com “wiskers” de carboneto de cilício ou de

Nitrito de Boro.

Os materiais utilizados neste trabalho pertencem ao grupo (i).

Resumidamente, a matriz de resina deve ter boas propriedades mecânicas, boa adesividade, boa resistência à

degradação ambiental, boa tenacidade.

2

Na figura seguinte representa-se esquematicamente uma lâmina e as fibras alinhadas a 0.

Figura 1 – Lâmina de material compósito com fibras no seu interior orientadas segundo o eixo 1

{Figura retirada da fonte bibliográfica [5]}

Os materiais laminados compósitos reforçados por fibras apresentam algumas desvantagens.

Devido ao facto de se verificar uma disparidade de propriedades entre lâminas adjacentes, os campos de

tensões locais podem ser significativos à escala da dimensão das fibras após o laminado ser solicitado

mecanicamente [5]. Ver figura 4, 5, 6.

A mesma disparidade verifica-se entre o material que compõe a matriz e o material das fibras, uma vez que

também estes apresentam propriedades distintas.

Outra preocupação será o facto de que durante ou após a sua manufactura, aconteça uma separação de fibras

na matriz, como indicado na figura 2, não se obtenha uma estrutura sólida, podendo existir espaços vazios,

como indicado na figura 3, ou até erros de posicionamento da lâmina na espessura final do laminado e o seu

respectivo ângulo de orientação das fibras. Outra característica importante é a variação de espessura que pode

surgir ao longo do laminado final. [7]

Esta variação de espessura poderá ter várias causas, como sejam a espessura relativa a cada camada de resina,

a homogeneidade de espessura ao longo da área de cada camada de fibras.

Figura 2 – Separação de fibras na resina Figura 3 – Espaço vazio entre lâminas

{Figura retirada da fonte bibliográfica [7]} {Figura retirada da fonte bibliográfica [7]}

3

Tendo em conta uma classificação dos materiais, os materiais compósitos laminados apresentados neste

trabalho, serão classificados como sendo ortotrópicos e lineares elásticos.

Os Materiais ortotropicos, apresentam propriedades diferentes em 3 direcções e planos mutuamente

perpendiculares no corpo, ou seja as propriedades irão variar dependendo da orientação da solicitação do

corpo

Estes materiais, após sujeitos a solicitações mecânicas resultantes de carregamentos, apresentam relações

tensão extensão diferentes das que apresentam os materiais isotrópicos.

Nas figuras seguintes figuras 4, 5 e 6, apresenta-se respectivamente o comportamento mecânico de um

material isotrópico, figura 4, um material ortotrópico figura 5, e anisotrópico, figura 6, quando solicitado pelo

mesmo carregamento. Analisando estes comportamentos, conseguimos antecipar um previsível estado de

tensões, normais e de corte, que cada um dos materiais apresentará após sujeito ao mesmo carregamento. [5]

Figura 4 – Material Isotrópico Figura 5 – Material Ortotrópico Figura 6 – Material Anisotrópico

{Figuras retirada da fonte bibliográfica [5]}

Estas tensões poderão conduzir à falha mecânica da estrutura. No entanto, tendo conhecimento do que origina

a sua manifestação, podemos modelar e de alguma forma limitar a sua intensidade.

4

Nos materiais compósitos, a orientação das fibras impõe restrições na deformação, que é traduzida na

existência de direcções de maior e menor rigidez.

Não sendo possível ao material assumir uma determinada deformação, seja por motivos de restrições

mecânicas na sua fronteira, seja por motivos de restrições mecânicas impostas pelo material da sua matriz de

ligação, serão induzidas tensões de corte ou de flexão na estrutura como ilustra a figura 7 seguinte.

Figura 7 – laminado com 2 lâminas consecutivas e orientação angular nas fibras diferente


Estas tensões poderão conduzir à falha mecânica da estrutura. No entanto, tendo conhecimento do que origina

o seu aparecimento, podemos modelar e de alguma forma limitar a sua intensidade.

5

2. Estado da arte

Os materiais compósitos são a resposta para a necessidade de consumir menos energia para conseguir mais

autonomia, as obvias vantagens de mais leve e ao mesmo tempo mais resistente para alcançar novas

fronteiras, conduzem-nos aos materiais compósitos. Podemos então modelar as nossas necessidades

estruturais, mecânicas e físicas, realizando desta forma a nossa necessidade de contínua evolução ao nível da

Engenharia.

2.1 Aeronáutica

A aeronáutica está na vanguarda da utilização de software, materiais e processos de fabrico no que diz respeito

à utilização de materiais compósitos. A empresa ALTAIR Product design utiliza software de design e

optimização de compósitos que no caso do AIRBUS 380, consegue reduzir 500 kg apenas em reforços/nervuras

produzidos com materiais compósitos - tais como Polímeros reforçados com fibras de carbono (CFRP). Na

figura seguinte, apresenta-se a polivalência de aplicações de materiais compósitos no AIRBUS A380. [8]

Figura 8 – Materiais compósitos num AIRBUS A380


6

No caso do Boing 787, podemos verificar que 50% dos materiais utilizados na construção da estrutura, são

compósitos, como ilustra a figura 9, conseguindo-se uma redução de 20% do peso total após comparação com

a melhor utilização de alumínio. [9]

Figura 9 – Percentagem de aplicação de materiais compósitos num Boing 787


7

2.2 Militar - Anatomia humana

Em paralelo com a aeronáutica, pode-se considerar de grande interesse e vanguardista o desenvolvimento de

exoesqueletos para suporte e aumento das capacidades físicas humanas. Os materiais compósitos anulam a

concorrência de Ligas metálicas pela sua vantagem ao nível de peso e resistência mecânica.

As empresas Raytheon e Sarcos desenvolveram a 2ª geração de um exoesqueleto, o XOS 2, com base em

materiais compósitos, como ilustrado na seguinte figura 10, partir dos quais ao reduzir peso, garante a

liberdade de movimentos e aumento de potência conseguida por um humano equipado com o XOS 2. O seu

sucesso é explicado pela sua adopção por parte do Exército Americano. [10]

Figura 10 – Soldado equipado com exoesqueleto em materiais compósitos


Esta estrutura funciona como um exoesqueleto, o qual orientando-se na direcção dos esforços a serem

suportados, protege o soldado, aumenta a sua resistência e a sua potência muscular. Podemos verificar na

figura que muitos dos componentes assumem uma estrutura plana.

8

3. Estrutura laminar

A construção de uma estrutura plana definida como um empilhamento de lâminas em material compósito, em

que as fibras estão orientadas segundo um determinado ângulo, terá de uma forma geral o objectivo de ser

uma estrutura leve e suficiente resistente aos esforços que irá suportar. Queremos então utilizar o mínimo de

material possível, por forma a fazer face aos requisitos de resistência e volume.

Por outras palavras, quanto menos lâminas forem empilhadas na construção do laminado para produzir a

estrutura pretendida e segundo os critérios de falha, menor volume e menor peso terá a estrutura final.

Uma optimização do laminado tendo como constantes as dimensões finais, o material, o carregamento e as

condições de fronteira, poderá resultar em situações de “conflito” com as regras de produção, as quais, em

várias referências estão de acordo com: [11] [12] [13]

a) Variação de ângulo entre lâminas igual ou inferior a 45°

b) Número de repetições de lâminas com o mesmo ângulo nas fibras igual a 3

c) Balanceamento do laminado como ilustrado na figura 11, onde o número de ocorrências de laminas

com fibras a +45° igual ao numero de ocorrências de laminas com fibras a -45°. [9]

Figura 11 – laminado não balanceado e laminado balanceado nas fibras a ± 45°


9

Numa estrutura laminada compósita, caso não tenhamos um empilhamento balanceado e simétrico nas fibras

a ± 45° teremos um comportamento irregular nas deformações da estrutura após aplicação do carregamento,

como mostra a figura seguinte. [13]

Figura 12 – Deformação irregular de um laminado não balanceado nas fibras a ± 45°


Outra regra de produção ainda indica que um laminado deve estar equilibrado no número de ocorrências nas

fibras a 0° e a 90°.

Temos ainda referência a outra regra denominada de “10%”. Ou seja, o laminado deve apresentar 10% de

lâminas com fibras a cada um dos ângulos: { 0°, 45°, 90°, 135° }

10

3.1 Material Isotrópico

Os cálculos desenvolvidos neste trabalho foram realizados com base em constantes de engenharia relativas aos

materiais compósitos. Estas constantes são introduzidas e utilizadas nos cálculos efectuados pelo software de

FE. Ainda que estas constantes e respectivas relações Tensão-Extensão, tenham sido apenas utilizadas pelo

software de FE e não utilizadas em formulações e cálculos manuais, consideraremos uma breve apresentação

de como se elegem ou da razão de serem apenas um determinado número de constantes relevantes a

considerar e introduzir como dados no software de FE.

Considerando um material isotrópico solicitado no seu domínio elástico e para pequenas deformações,

consideramos a Lei de Hook, Tensão - Extensão e a relação matricial para esse estado de tensão tridimensional

num ponto aleatório no material é: [14]

[ ]

[ ]

[ ]

(1)

Esta relação é equivalente a:

[ ]

[

]

[ ]

(2)

onde “ν” é o coeficiente de Poisson e G é o módulo de corte resultante da relação do módulo de Young “E” e

do coeficiente de Poisson “ν” na formula:

G =

(3)

Podemos concluir que o comportamento mecânico do material isotrópico não varia com a direcção da

solicitação, seja qual for o ponto de material considerado. Como apresentado na relação matricial tensão-

extensão, o comportamento mecânico do material isotrópico está desta forma apenas relacionado com duas

11

constantes independentes E, ν . Ou seja, o factor direcção de solicitação mecânica não acrescenta variação de

comportamento mecânico no material, seja qual for a localização do domínio do material escolhido.

Considerando a relação tensão extensão apresentada em (1) e tendo em conta a simetria de planos e as

respectivas simetrias na estrutura do material, [4], podemos apresentar a relação tensão extensão no

referencial local como:

[ ]

[ ]

[ ]

(4)

sendo estas relações como por exemplo:

S11= 1/E1; (5)

S22= 1/E2; (6)

S12= -v12/E1 (7)

Onde, teremos como constantes independentes do material:

Os valores destas constantes de Engenharia poderão ser obtidos através de testes feitos aos provetes de ensaio

do material compósito, sendo caracterizado as suas constantes de engenharia:

E1, E2, E3, G23, G13, G12,

3.2 CLPT – Relações constitutivas

Na teoria clássica de laminados compósitos (CLPT), assumem-se alguns princípios geométricos antes e após da

deformação do laminado. Assume-se que:

(1) Linhas rectas perpendiculares à superfície média antes da deformação do laminado continuam rectas após

deformação do laminado

(2) As secções transversais não sofrem alterações, por outras palavras não se deformam após deformação do

laminado.

(3) As secções transversais apresentam uma rotação tal que permanecem perpendiculares à superfície média

do laminado.

12

Considerando o anteriormente exposto e uma relação tensão extensão assumindo a formulação / hipótese de

Kirchhoffonde, consideramos a imagem seguinte figura, para os deslocamentos de um laminado: [14]

Figura 13 - Formulação / hipótese de Kirchhoffonde para pequenos deslocamentos


Onde o campo de deslocamento linear será:

u (x,y,z,t) = u0 (x,y,t) – z

(8)

v (x,y,z,t) = v0 (x,y,t) – z

(9)

w (x,y,z,t) = w0 (x,y,t) (10)

e para as extensões infinitesimais:

(11)

(12)

(13)

(14)

13

(15)

(16)

Considerando as deformações εxz, εyz[10]:

εxz = 0, εyz = 0 (17)

Teremos desta forma numa condição de tensão plana,

[

] [

] [

] (18)

Onde :

[ ] [

]

[

]

(19)

e,

[ ] [

]

[

]

(20)

Considerando um estado de tensão plana e a relação apresentada em (4) temos para um material ortotrópico

no estado de tensão plana no referencial de ortropia do material (local) [4]:

[

] = [

] [

] (21)

Invertendo a relação matricial apresentada em (19) temos:

14

[

] = [

] [

] (22)

onde a relação de [Q] e [S] pode ser representada como: [4]

Q11 =

; Q12 =

; Q22 =

; Q66 =

(23)

Analisando uma estrutura no referencial global teremos de proceder a uma transformação de coordenadas que

se traduz na matriz [T] e [ ] , onde, para as rotações segundo o eixo 3:

[ ] [

] (24)

[ ] [

] (25)

Esta operação, representada numa forma compacta será:

{ } [ ] { } [ ] (26)

onde:

o índice “m”, representa os valores de Q no referencial local

o índice “p”, representa os valores de Q no referencial global

De onde resultam as relações constitutivas da lâmina no referencial global:

[

] = [

] [

] (27)

15

3.3 FSDT – Relações constitutivas

Como neste trabalho teremos em conta o contributo das tensões responsáveis pela falha por delaminação,

esta relação será alargada às tensões em xz, yz, ou seja, ainda que tenhamos deslocamentos pequenos

nestes planos de tensão, deixaremos que o Software de FE entre em conta com esses deslocamentos e calcule

as respectivas tensões xz, yz, por forma a serem utilizadas na majoração e escolha de uma condição de

energia mínima de deformação.

As tensões xz, yz, são neste caso calculadas recorrendo à teoria FSDT ( “ first-order shear deformation

laminated theory”), a qual considera que as secções normais à superfície média do laminado não permanecem

normais após deformação do laminado e assim contabilizaremos as tensões de corte xz, yz [14].

Considerando que o laminado plano está sujeito a pequenos deslocamentos, apresenta-se na figura seguinte a

esquematização desses deslocamentos segundo a teoria FSDT.

Figura 14 - Formulação FSDT para pequenos deslocamentos


Considerando um comportamento elástico para os materiais compósitos, a relação matricial Tensão –Extensão

anteriormente apresentada (1) dependerá agora de mais do que duas constantes (4). Existem assim mais

constantes independentes entre si. Tal facto explica o comportamento ortotrópico e anisotrópico dos materiais

compósitos, quando solicitados em diferentes direcções. Este comportamento terá grande relevância na

escolha da ordem de empilhamento das lâminas e respectivos ângulos das fibras como poderemos ver no

seguimento deste trabalho.

16

Utilizando uma representação geral para um material qualquer e mais uma vez colocando a sua relação

Tensão/extensão numa forma matricial, teremos para um estado de tensão tridimensional num ponto

aleatório no material: [14]

[ ]

[ ]

[ ]

(28)

Onde, a matriz 6x6 [C] é denominada de matriz de rigidez. Por simetria, podemos verificar que esta matriz

apresenta 21 constantes, que representam o caso geral de anisotropia. [5]

Os materiais compósitos estudados neste trabalho enquadram-se no grupo dos materiais ortotrópicos –

anisotrópicos / especiais ortotrópicos, ou seja, são materiais que apresentam 3 planos perpendiculares de

simetria, o que resulta numa matriz de rigidez simplificada com apenas 9 constantes independentes. [5]

Desta forma, considerando um estado de tensão em que não desprezamos as tensões xz, yz, será suficiente

fornecer ao software de elementos finitos 9 constantes relativas ao material em estudo.

Considerando que existem dois planos de simetria ortogonais para o material compósito, existirá simetria

mútua entre os dois planos em relação a um 3º plano.

[ ]

[ ]

(29)

Para materiais ortotrópicos, a matriz compliance pode ser obtida na transformação matricial, [S] = [C] -1

, tal

como apresentado em (4).

Atendendo ao facto de que as propriedades do material compósito laminado se referem ao seu referencial

local e que as solicitações mecânicas poderão ser apresentadas no referencial global apresenta-se de seguida a

figura 15 com uma relação entre os referenciais local/global.

Sendo a relação do referencial local com o referencial global como ilustra a seguinte figura 15:

17

Figura 15 – Relação referencial local / Global


sendo neste caso a relação de referenciais local/global:

E1 → x1

E2 → x2

E3 → x3

Considerando uma lâmina e o respectivo ângulo de alinhamento das fibras no referencial local, temos as

seguintes propriedades mecânicas [13]:

E1, E2, E3, para os módulos de Young.

G1, G2, G3, para os módulos de corte.

ν12, ν13, ν23, para os coeficientes de Poisson.

18

3.4 Referencial Global

Mais uma vez, ainda que seja calculado pelo software de FE considera-se importante apresentar as seguintes

considerações no que diz respeito ao referencial Global. Assim, considerando z=0 , as tensões x, y, xy, xz,

yz, e os deslocamentos calculados pelo software de FE serão utilizados neste trabalho com os seus valores

relativos ao referencial global.

Esta operação resulta de uma transformação de coordenadas. Essa transformação é conseguida aplicando as

matrizes de transformação. Na figura 16 seguinte, apresenta-se uma lamina plana solicitada segundo o eixo x

do referencial global, onde as fibras estão alinhadas localmente segundo o eixo 1 no referencial local,

perfazendo um ângulo com o eixo x no referencial global.:

Figura 16 – Relação angular referencial Local / Global


Neste caso para as tensões no referencial global temos a seguinte transformação de coordenadas: [14]

[ ]

[

]

[ ]

(30)

Onde:

= ângulo das fibras no referencial local relativamente ao referencial global

19

a mesma relação mas numa forma compacta fica:

{ } [ ]{ } (31)

onde:

m representa o vector das tensões no referencial local

p, representa o vector das tensões no referencial global

e da mesma forma para as extensões: [14]

[ ]

[

]

[ ]

(32)

a mesma relação mas numa forma compacta fica:

{ } [ ] { } (33)

20

3.5 Rigidez Global

Para concluir sobre as relações tensão-Extensão no referencial global, será necessário calcular as matrizes de

rigidez do laminado no referencial global. Ainda que o Software de FE efectue todos estes cálculos e nos

apresente os resultados, parece adequado apresentar de uma forma geral algumas considerações sobre como

são calculadas as matrizes de rigidez dos casos de estudo e o valor da energia elástica de deformação relativa a

cada discretização aplicada pelo software de FE a cada estrutura analisada.

Considerando o trabalho realizado num corpo como: [14]

dv (34)

Onde:

W = trabalho

F = forças actuantes no corpo

u = deslocamentos no corpo

e considerando uma condição de deformação estática, temos como equações de equilíbrio relativo ao trabalho

das forças no corpo e à energia de deformação: [14]

0 = (35)

Onde,

U = energia de deformação

V = trabalho realizado pelas forças

sendo a energia de deformação e o trabalho realizado no corpo dados por: [14]

{ [

+

+

] dz } dxdy (36)

[ ]

[

] dzds (37)

onde:

= força distribuída no topo do laminado (z=h/2)

= força distribuída no topo do laminado (z=-h/2)

, = tensões no domínio da fronteira Γ

21

;

Integrando (36) e (37) na espessura do laminado e substituindo na equação de equilíbrio (35) temos:

0= [

- +

q ] dxdy

-

( ds (38)

Onde:

Nxx,Nyy, Nxy - Esforços axiais por unidade de comprimento

Mxx, Myy, Mxy - Momentos por unidade de comprimento

Qx, Qy - Esforços de corte

{ } = {

}

dz , com k = coeficiente de correcção

Considerando uma lâmina e os respectivos esforços normais, de corte e de flexão temos como apresentado na

figura 17 : [5]

Figura 17 – Lamina e esforço normal, corte e flexão no referencial global


22

Caracterizando um laminado produzido por um empilhamento de lâminas, tal como ilustrado na figura 18,

temos a cota “ h” de cada lâmina como: [4]

Figura 18 – Empilhamento de lâminas de igual espessura “h” no laminado


Considerando que as tensões de corte devido ao esforço transverso não são constantes ao longo da espessura

do laminado compósito, mas sim, variando quadraticamente ao longo da espessura do laminado, corrige-se

esta variação através da multiplicação de um factor K, denominado coeficiente de correcção de corte.

As relações de equilíbrio entre os esforços axiais e flectores por unidade de comprimento podem ser

representados na forma matricial:

[

] [

] [

] (39)

[

] [

] [

] (40)

[ ] [

] [ ] (41)

Com K sendo um coeficiente de correcção de corte e as matrizes:

= ∑ (42)

=

∑

(43)

23

=

∑

(44)

Onde

[A] – Matriz rigidez à Extensão - corte [13]

[B] – Matriz rigidez à Extensão - Flexão [13]

[D] – Matriz rigidez à Flexão - Torção [13]

Analisando uma estrutura discretizada e estudada pelo método de elementos finitos, essa estrutura será tanto

mais rígida quanto menor deformação apresentar após um carregamento aplicado, podemos igualmente

afirmar que uma menor energia elástica de deformação significará menores deslocamentos nos elementos da

estrutura discretizada pelo software de FE. Desta forma, e para não deixar de apresentar uma breve descrição

e formulação geral deste conceito temos como energia total de deformação “U”, o trabalho total desenvolvido

na estrutura após aplicação de forças externas, como, { } { }: [17]

Na análise por elementos finitos, encontramos o vector de deslocamentos através da relação:

[ ]{ } { } (45)

ou seja:

{ } [ ]{ } (46)

Onde para um elemento, a matriz de rigidez é definida como: [17]

[ ] = [ ] [ ][ ] (47)

O valor da energia elástica de deformação para cada elemento é fornecida pelo software de FE através dos

respectivos valores de cada elemento.

{ }

[ ] [ ][ ] { }

{ } [ ]{ } (48)

[ ] é a matriz de rigidez global

[ ] é a matriz de rigidez do elemento

{ } é o vector de deslocamentos

{ } é o vector das forças na direcção do eixo das coordenadas

v, é o Volume considerado

24

4. Algoritmos de sequenciação de empilhamento

Antes de apresentar os algoritmos que irão determinar a sequência de empilhamento do material compósito

laminado, convém esclarecer que apenas serão analisados laminados simétricos.

A sequência de empilhamento final será apresentada pelo Matlab, onde os algoritmos apresentados são

implementados computacionalmente utilizando o MatLab, onde o empilhamento sugerido é apresentado

apenas pela metade das lâminas da estrutura obtida pelos algoritmos [18] .

Nestes algoritmos apenas considerámos um determinado conjunto possível de alinhamento angular das fibras

em cada lâmina: { 0, 45, 90, -45 }.

O principal objectivo é verificar/comparar a sequência de empilhamento entre o método DMO e o método

apresentado neste trabalho. Daqui tiraremos conclusões sobre quais as vantagens em utilizar estes algoritmos

na obtenção da sequência de empilhamento nos casos estudados.

Na figura seguinte, apresenta-se um empilhamento de 4 lâminas e a respectiva orientação das fibras. Neste

caso, o ângulo ±Ɵ representa o alinhamento das fibras a ±45. [19]

Figura 19 – empilhamento simétrico de lâminas com ângulo das fibras a 0, +45, 90, -45


O funcionamento dos algoritmos é garantido através da comunicação do software MatLab e o software de FE.

A partir de 4 comandos no scrip ansys.m, um para cada lâmina e respectivo ângulo de orientação das fibras, o

MatLAb pede ao software de elementos finitos que analise o caso em estudo, para cada uma das 4

possibilidades de pares de lâminas e respectivos ângulos. Este processo inicia-se para as duas lâminas centrais

do Laminado. Este procedimento é idêntico para todos os casos estudados e para os algoritmos em seguida

apresentados ( algoritmo PROD e PROD2).

Todos os ficheiros utilizados no funcionamento do software de FE com a extensão “ lgw ” devem estar na

directoria definida no software de FE.

Após cada simulação realizada no Matlab com o algoritmo Energia, PROD ou PROD2, caso se pretenda realizar

uma nova simulação convém apagar os ficheiros “ dat ” e “ txt ” produzidos pelo software MatLAb e pelo

25

software de FE, os quais foram utilizados para realizar cálculos e que de alguma forma possam introduzir

variáveis não necessárias À nova simulação que se pretenda realizar.

Os ciclos de simulações realizadas pelo software de MatLab com os algoritmos Energia, PROD e PROD2

terminam com a apresentação do empilhamento. Até ser apresentado a sequência de empilhamento, deve-se

esperar pela conclusão da simulação.

4.1 Algoritmo Energia

Este algoritmo tem como objectivo eleger um par de lâminas entre os candidatos e as respectivas fibras

alinhadas a 0 , 45, 90 e 135 .

A eleição de cada par de lâminas a uma determinada posição na estrutura do laminado é decidida com base no

valor mínimo resultante do somatório dos valores da energia de deformação, de cada elemento obtido na

descretização da estrutura obtida pelo software de FE.

Esta eleição inicia-se para as lâminas imediatamente a seguir à linha média do laminado.

Decidido o 1º par de lâminas, essa eleição é definitiva, ou seja, o 2º par de lâminas eleito será empilhado sobre

o primeiro par, resultando assim um laminado com 4 lâminas. Este procedimento é seguido para os pares de

lâminas seguintes.

4.1.1 Funcionamento do algoritmo Energia

Com base nas propriedades mecânicas, geométricas, condições de fronteira e carregamento, O algoritmo

Energia ordena o Software de FE para analisar a estrutura em estudo e decide com base nos resultados

obtidos. Para cada caso estudado, embora este algoritmo receba nomes diferentes, tem igual flow de

funcionamento (ver 5. Resultados dos algoritmos Energia, PROD e PROD2).

O par candidato eleito será simplesmente aquele que com as respectivas fibras orientadas segundo um de 4

ângulos a 0, +45, 90, -45, oferecer maior rigidez à estrutura.

A partir do 2º par de lâminas, os scripts rigidez21, 71, 101 incorporam outro sript, o lam.m, que tem como

objectivo propor os 4 possíveis empilhamentos a serem analisados na escolha do par de lâminas a eleger. Estes

scripts lam.m serão responsáveis por apresentar ao par de lâminas seguinte o empilhamento decidido na

escolha anterior.

O critério de paragem deste algoritmo é o empilhamento total de 6 lâminas, para que desta forma seja possível

comparar valores de tensões e rigidez com os casos utilizados para comparação, onde noutros estudos se

utilizou o método DMO.

26

4.1.2 Flow de funcionamento do algoritmo Energia

A sequência de empilhamento prossegue até à ultima lâmina seguindo o raciocínio apresentado

anteriormente. O funcionamento do algoritmo em Matlab acontece após definir o caso em estudo, Energia21,

Energia71 ou Energia 101. Na figura seguinte apresenta-se o flow de funcionamento do algoritmo Energia.

Figura 20 – flow de funcionamento do algoritmo Energia

27

4.2 Algoritmo PROD

Neste segundo algoritmo, PROD, teremos em consideração restrições de produção impostas à sequência de

empilhamento de lâminas na estrutura final. Consideraremos os mesmos exemplos apresentados no algoritmo

Energia de forma a poder-se comparar resultados e concluir sobre os mesmos. Assim, para cada um dos casos

estudados, manteremos as mesmas propriedades do material compósito, dimensões, carregamento e

condições de fronteira. Como já indicado a eleição de cada um dos candidatos, ou par de lâminas e respectiva

orientação de fibras a cada uma das posições na espessura final, será afectada pelas restrições de produção e

de rigidez.

4.2.1 Funcionamento do algoritmo PROD

Tal como o algoritmo Energia, este algoritmo tem como objectivo eleger um par de lâminas entre os candidatos

e as suas fibras alinhadas a 0, 45, 90 e 135 .

Com este script pretendemos avaliar a evolução das tensões de corte no laminado obtido a partir do método

DMO e o algoritmo PROD, o qual contempla as regras de produção.

A eleição de cada par de lâminas a uma determinada posição na estrutura do laminado é decidida com base no

valor mínimo resultante do somatório dos valores da energia de deformação de cada elemento obtido na

descretização da estrutura obtida pelo software de FE. No entanto, estes valores serão afectados e majorados

por coeficientes resultantes das tensões do rácio entre as tensões de corte xz e yz (ver 4.3.1) e os valores de

resistência do material para cada plano considerado e por uma constante muito superiores aos resultados

obtidos por outros candidatos (1*1012

) caso a eleição não respeite as regras de produção. Este procedimento é

aplicado em cada lâmina da estrutura e para cada um dos 4 possíveis pares de candidatos à posição na

estrutura do laminado.

Esta eleição inicia-se para o par de lâminas imediatamente posicionado junto à linha média do laminado.

Decidido o 1º par de lâminas, essa eleição é definitiva, ou seja, o 2º par de lâminas eleito será empilhado sobre

o primeiro par, resultando assim um laminado com 4 lâminas. Este procedimento é seguido para os pares de

lâminas seguintes.

O script PROD incorpora o outro script, o ansys.m destinado ao interface com o Software FE

Com base nas propriedades mecânicas, geométricas, condições de fronteira e carregamento, o Script PROD

ordena o Software de FE para analisar a estrutura para o seguinte candidato e desta forma analisará os

resultados que ofereçam maior rigidez.

28

A partir do 2º par de lâminas, o script rigidez incorpora outro sript, o lam.m, que tem como objectivo propor os

4 possíveis empilhamentos a serem analisados na escolha do par de lâminas a eleger. Estes scripts lam.m serão

responsáveis pela apresentação ao par de lâminas seguinte o empilhamento decidido na escolha de candidatos

anterior.

Para a eliminação de candidatos e consequente escolha do par de lâminas e respectivo ângulo das fibras,

recorre-se a uma estratégia de majoração, descrita anteriormente, por forma a afectar a sua escolha caso não

respeite as regras de produção.

O algoritmo é robusto o suficiente para fazer face às situações limites ou similares que de alguma forma

possam colocar em causa a escolha do candidato.

Tendo em conta que este trabalho tem como objectivo uma produção de um laminado segundo as normas de

produção, em caso de dúvida, serão as normas de produção a decidirem a escolha do par de lâminas candidato

à posição na espessura do laminado. Nesta escolha são sempre considerados os dados relativos a:

(a) Máxima rigidez oferecida pelo empilhamento oferecido por cada par de lâminas

(b) Diminuição da probabilidade de delaminação

O critério de paragem deste algoritmo é o empilhamento total de 6 lâminas, para que desta forma seja possível

comparar valores de tensões de delaminação e rigidez total, com os casos utilizados para comparação, onde

noutros estudos se utilizou o método DMO.

4.2.2 Restrições de empilhamento

Como anteriormente referenciado, as restrições impostas pelas regras de produção, serão tidas em conta no

que se refere à repetibilidade, variação angular, balanceamento no laminado e tensões de delaminação, ou

seja, estes valores e possíveis sequências de empilhamento poderão majorar a energia total de deformação,

dependendo do par de lâminas considerado pela sua oferta de rigidez. Será eliminado o par de lâminas que não

respeite as regras de produção e será eleito o par seguinte que ofereça a 2ª melhor rigidez e que ao mesmo

tempo respeite as regras de produção. Ou seja, será eleito neste caso o seguinte melhor candidato, sempre

que este respeite as regras de produção, que se definem como:

(i) variação de ângulo ≤ 45 entre lâminas consecutivas.

(ii) número máximo consecutivo de lâminas com fibras orientadas segundo um determinado angulo ≤ 3

(iii) Equilíbrio do número lâminas na estrutura final com de fibras orientadas a ±45

29

Apresenta-se na figura seguinte o flow de funcionamento do algoritmo PROD.

Figura 21 – Flow funcionamento do algoritmo PROD

30

4.3 Algoritmo PROD2

Neste terceiro algoritmo, denominado PROD2, consideraremos exemplos onde, para além das considerações

apresentadas no algoritmo PROD. Teremos ainda um adicional objectivo que se relaciona com um dos critérios

de falha para materiais laminados. Neste caso consideraremos o critério de falha por extensão máxima. Temos

assim a considerar as seguintes restrições à eleição de cada par de candidatos:

(i) variação de ângulo ≤ 45

(ii) numero máximo consecutivo de laminas com fibras orientadas segundo um determinado

ângulo ≤ 3.

(iii) Equilíbrio do número de fibras orientadas a ±45

(iv) Máxima rigidez oferecida ao empilhamento final

(v) Diminuição da probabilidade de delaminação

(vi) Garantia do critério de falha – “Maximum Strain Theory” [20] [21]

4.3.1 Probabilidade de Delaminação

Uma estrutura obtida a partir de um empilhamento de lâminas de material compósito pode falhar devido à

separação de duas ou mais lâminas. Essa separação é provocada por tensões de corte intralaminares

consequentes do tipo de carregamento e condições de fronteira a que a estrutura está sujeita.

Uma estrutura laminar compósita plana está normalmente sujeita a esforços de flexão ou de membrana, no

entanto também outro tipo de esforços poderá ter as mesmas consequências de delaminação como sejam os

esforços de corte em estado de tensão plana.

Desprezando os aspectos de micro-mecânicos de delaminação, podemos definir o tipo de falha no laminado tal

como definido na teoria da fractura mecânica onde dividimos o tipo fractura em 3 modos, como ilustrado nas

seguinte figuras seguintes: [15]

Figura 22 – Modos de fractura (a) e fractura ao longo da resina (b)


31

O colapso de estruturas produzidas a partir de materiais compósitos laminados pode dever-se a várias causas,

como sendo por exemplo: [22]

Ruptura transversal da matriz;

Ruptura de fibras;

Delaminação;

Considerando o tipo de estrutura oferecido por um laminado, podemos aproximar essa condição estrutural a

uma placa fina. Estes tipos de estruturas estão de uma forma geral mais sujeitas a esforços de membrana.

Assim sendo, de todas as causas de colapso da estrutura laminada plana, a delaminação é a que mais

drasticamente reduz a resistência à flexão a que a estrutura sujeita a esforços de membrana está sujeita,

promovendo a ocorrência de instabilidade local.

Contabilizar a delaminação no cálculo de estruturas requer uma definição adequada a cada critério de falha e o

respectivo tipo local, como a previsão ou tendência do crescimento da fissura.

Tendo em conta esta complexidade e de alguma forma incerteza quanto ao tipo de fissura local no laminado,

considera-se neste trabalho uma teoria de delaminação baseada na relação de tensões de corte e resistência

característica do material, apresentada por Hashin and Roten and Ye [22], onde:

para σ33 > 0

+

≥ 1 (49)

e para σ33 = 0

+

≥ 1 (50)

Onde:

σij , representam respectivamente as tesões segundo 1, 2, 3 nas coordenadas locais

Zij , representam as tensões limite do material nos eixos 1, 2, 3 nas coordenadas locais

No desenvolvimento e afectação da escolha dos candidatos a cada posição na estrutura do laminado, teremos

em conta a condição para σ33 = 0.

O critério de paragem deste algoritmo é a garantia de que os valores de extensão máxima garantem o critério

“Maximum Strain Theory” [23] [4].

32

4.3.2 Delaminação

Na teoria “clássica” do estudo de laminados compósitos, as estruturas finais apresentam um comportamento

de uma placa plana e fina, onde a relação espessura largura é inferior a 1/10. Tal relação leva ao facto de ser

usual desprezar-se as tensões z, zx, zy, indicados na figura seguinte.

Figura 23 – tensões num elemento infinitesimal


Estas tensões, denominadas por tensões interlaminares, embora existam no interior da própria lâmina,

apresentam valores muito superiores estão nos planos entre as lâminas do laminado.

Desta forma na TCL ( teoria clássica de Laminados), apenas são tidos em conta os esforços presentes num

estado de tensão plana, x, y, xy.

Considerando que uma falha por delaminação ocorre no material do qual a resina, ou matriz, é feito, pois tem

uma rigidez total muito inferior à rigidez do material do qual são feitas as fibras e considerando a falha por

delaminação uma falha grave e ao mesmo tempo característica dos materiais compósitos laminados, será de

todo conveniente identificar estes valores de tensão que podem provocar falha por delaminação.

33

4.3.3 Extremidades livres

Considerando o diagrama de corpo livre como representação da metade de uma lâmina no lado superior de

um laminado com quatro lâminas como na figura 34, verificamos que a secção parcial do esquerdo da lâmina

no plano x-z está afastada da extremidade livre, logo, tendo em conta a figura apresentada, poderemos admitir

a existências de tensões de corte xy tal como previsto na TCL.

Pelo contrário, nos lados representados como extremidades livres, tais tensões xy não poderão existir na face

ABCD, pois está “livre de constrangimentos”. Para além do anteriormente verificado, xy deverá ser nula em AB

e em CD.

Para se verificar um equilíbrio de forças na direcção “x”, temos de identificar a tensão que pode substituir a

inexistente tensão de corte xy na face ABCD. A única tensão possível será uma tensão de corte xz que terá de

existir na face inferior da lâmina superior.

Para garantir um equilíbrio de momentos em relação ao eixo vertical, a magnitude da tensão xz terá de ser

elevada uma vez que existe apenas na proximidade da extremidade livre da lâmina.

A avaliação da magnitude destas tensões poderá ser determinada pela teoria da elasticidade. [3]

Figura 24 – diagrama de corpo livre para tensões de corte


Estes valores serão calculados pelo software de elementos finitos e fornecidos ao Matlab para os cálculos e

majorações necessárias à eleição de cada candidato a cada posição no empilhamento das lâminas no laminado.

34

Na figura seguinte apresenta-se o efeito denominado de delaminação, no qual, o laminado apresenta uma

descolagem entre as lâminas, consequente das tensões de corte interlaminares superarem a resistência do

material da resina.

Figura 25 – Delaminação devido a tensões de corte intralaminares


4.3.4 Funcionamento do algoritmo PROD2

Este algoritmo tem como objectivo eleger um par de laminas entre os candidatos e as suas fibras alinhadas a 0

, 45, 90 e 135 . O funcionamento do algoritmo em Matlab acontece após escrever PROD2 e pressionando

enter.

A partir dos dados sobre as propriedades mecânicas, geométricas, carregamento e CF, esta eleição inicia-se

para as lâminas imediatamente a seguir à linha média do laminado.

O script PROD2 incorpora outro script, ansys.m destinado ao interface com o Software FE

Com base nas propriedades mecânicas, geométricas, condições de fronteira e carregamento, o Script PROD2 dá

ordem ao Software de FE para analisar a estrutura para o candidato que oferecerá maior rigidez.

Iniciando no primeiro par de lâminas, a eleição de cada par sucessivo é feita tendo em conta o par e o

consequente empilhamento obtido.

A partir do 2º par de lâminas, o script PROD2 incorpora outro sript, o lam.m, que tem como objectivo propor e

definir os 4 possíveis empilhamentos a serem analisados.

O software FE analisa cada situação de empilhamento e calcula para cada par de lâminas adicionais:

(i) a energia de deformação de cada elemento

(ii) as tensões de corte de cada elemento

(iii) as extensões x y xy para verificação do critério de falha

35

Estes valores são entregues ao script PROD2 que por sua vez calcula o somatório da energia de deformação

para cada empilhamento e par de lâminas possíveis e utiliza os valores máximos de extensões para verificar o

critério de falha utilizado neste trabalho.

Para a eliminação de candidatos e consequente escolha do par de laminas e respectivo ângulo das fibras,

recorre-se a uma estratégia de majoração do candidato por forma a que afectar com eficácia a sua escolha.

O algoritmo é robusto o suficiente para fazer face a situações limites ou similares que de alguma forma possam

colocar em causa a escolha do candidato.

Tendo em conta que este trabalho tem como objectivo uma produção de um laminado segundo as normas de

produção, em último caso, serão as normas de produção a decidirem a escolha do par de lâminas candidato à

posição na espessura do laminado.

1º par de lâminas

O primeiro par de lâminas é escolhido através da menor energia de deformação oferecida por um dos 4 pares

de lâminas, sendo majorada pela respectiva relação de tensões responsáveis pela delaminação, xz e yz,

verificadas no respectivo par em análise, após o carregamento deste com a carga considerada.

Esta majoração é conseguida através da multiplicação dos respectivos rácios de tensões xz, yz e respectivas

tensões limites do material nos planos xz, yz.

Uma vez que para todos os candidatos a majoração é feita da mesma forma, não se coloca em causa o facto de

o peso ou a afectação da rigidez oferecida por cada par, ser diferente entre candidatos, os beneficiar mais uns

do que outros.

Como podemos constatar pelos resultados obtidos no inicio do empilhamento, os valores deste rácio são

suficientemente robustos para limitar os pares que apresentam maior potencial para gerar tensões de

delaminação.

36

2º par de lâminas

No segundo script MatLab para eleição do 2ºpar de lâminas, adicionamos dois novos constrangimentos.

(i) Um constrangimento que inviabiliza a escolha de um candidato que apresente uma variação

angular das fibras maior que 45°.

(ii) Um constrangimento que inviabiliza a escolha de um candidato que apresente igual orientação de

ao do primeiro par, uma vez que se assim fosse, teríamos no total um empilhamento com 4

lâminas seguidas com o mesmo ângulo de orientação das fibras. Estaríamos a violar uma regra de

produção que define por exemplo um máximo de 3 lâminas consecutivas com a mesma

orientação angular das fibras

(iii) Um constrangimento necessário ao um balanceamento de fibras a +45° e a -45°.

(iv) Uma majoração para o maior estado de tensões de delaminação.

3º par de lâminas

No 3º script, temos menos um constrangimento no algoritmo que na situação anterior uma vez que já

garantimos que o 2º par de lâminas não terá as fibras orientadas no mesmo ângulo que o primeiro. Teremos

então:

(i) Um constrangimento que inviabiliza a escolha de um candidato que apresente uma variação

angular das fibras maior que 45°.

(ii) Um constrangimento necessário ao um balanceamento de fibras a +45° e a -45°.

(iii) Uma majoração para o maior estado de tensões de delaminação.

37

4º par de lâminas

No 4º par de lâminas termos no respectivo script.m iguais situações de constrangimentos à escolha de

candidatos que temos no script anterior para eleição do 3º par de lâminas.

5º par de lâminas

A partir deste script teremos os constrangimentos do script anterior e mais um em adição, pois pode-se

verificar que a escolha do candidato seja tal que teremos uma repetição de lâminas empilhadas num número

superior a três. Teremos desta forma de considerar os seguintes constrangimentos:

(i) Um constrangimento que inviabiliza a escolha de um candidato que apresente uma variação angular

das fibras maior que 45°.

(ii) Um constrangimento que inviabiliza a escolha de um candidato que apresente uma orientação tal que

teríamos no total um empilhamento com 4 lâminas seguidas com o mesmo ângulo de orientação das fibras.

Estaríamos a violar uma regra de produção que define, por exemplo, um máximo de 3 lâminas consecutivas

com a mesma orientação angular das fibras

(iii) Um constrangimento necessário ao um balanceamento de fibras a +45° e a -45°.

(iv) Uma majoração para o maior estado de tensões de delaminação.

Ao longo da sequência de empilhamento e por motivos de simplificar os scripts de cálculo, introduzimos linhas

de programação que verificam em contínuo as condições do critério de falha por extensão.

Ou seja, assim que esses critérios estejam satisfeitos, o algoritmo de escolha da sequência recomendada

termina os ciclos de cálculo e dá como concluída a estrutura e respectivo empilhamento.

O algoritmo apresenta o mínimo número de lâminas = 9.

A sequência de empilhamento é: [0/0/0/-45/0/0/0/45/0]s

Neste caso o algoritmo termina os cálculos numa condição em que o laminado está balanceado em relação ao

número de lâminas a ± 45°.

Caso assim não acontecesse, o algoritmo propõe a adição de uma lâmina, a +45° ou a -45°, tendo em atenção

que essa lâmina terá de ser colocada respeitando as regras de produção. [2] [11]

Caso não entre em conflito com as regras de produção, a lâmina a ± 45 necessária ao balanceamento do

laminado, deve ser colocada na última posição na sequência (exterior da estrutura), oferecendo desta forma

um efeito de blindagem, como sugerido na bibliografia anexa a este relatório. [2]

38

Na figura seguinte está representado o flow de funcionamento do algoritmo PROD2

Figura 26 – flow de funcionamento do algoritmo PROD2

39

5. Resultados dos algoritmos Energia, PROD e PROD2

Para a simulação de empilhamento das lâminas no laminado pelo método DMO foi utilizado um Processador

Intel® Core™ i7-2600K CPU @ 3,40GHz; (RAM): 8,00 GB; Sistema operativo: Windows 7 profissional de 64 bits.

[3]

Para a simulação com os algoritmos desenvolvidos, ( Energia, PROD e PROD2), foi utilizado um processador

intel 2117U 1.8GHz, (RAM) 3,00 GB, Sistema operativo Windows 7 profissional 64bits.

O funcionamento destes algoritmos, (Energia, PROD e PROD2), segue em todos os casos um funcionamento

baseado numa análise sequencial de resultados e eleição do par de candidatos ou lâminas e respectiva

orientação angular das fibras.

Resumidamente, o MatLab pede ao software de FE para analisar umas determinadas estruturas formuladas no

software FE. Estas estrutura estão programadas em ficheiros .dat, onde cada ficheiro está inicialmente

formulado por forma a representar um empilhamento inicial para cada par de candidatos possíveis.

A partir deste empilhamento inicial, o MatLab analisa os resultados e aplicando as restrições determinadas

para cada algoritmo e constrói o empilhamento. Para cada par de lâminas eleito, o MatLab permite que o

software de FE analise cada par sucessivo de possíveis lâminas tendo em conta a situação escolhida

anteriormente.

40

5.1 Casos estudados

Pretende-se simular e obter resultados para vários casos, sendo os resultados obtidos pelos algoritmos Energia,

PROD e PROD2, comparados com os resultados obtidos noutros métodos de sequenciação de compósitos

laminados, como sejam o método DMO.

Para cada caso de estrutura, carregamento e CF, os algoritmos desenvolvidos analisam os resultados pedidos

ao software de elementos finitos e com base nos resultados elegem-se os pares candidatos segundo as

restrições consideradas em cada algoritmo.

Serão constantes ao longo dos casos estudados, os seguintes dados relativos à estrutura e ao material:

(i) as dimensões de cada lâmina, ( Largura, comprimento, espessura),

(ii) os módulos de rigidez elástica, coeficientes de poisson, e módulos de corte,

(iii) carregamento

(iv) um empilhamento que se inicia do centro do laminado para o seu exterior.

As denominações das opções de CF e carregamento de cada caso que se segue, foram mantidas com o mesmo

nome utilizado noutro trabalho com o qual se pretende efectuar comparar resultados. Propriedades mecânicas

e geométricas do material:

t = 1 mm

41

5.2 Estrutura com CF opção7 + carregamento opção1

Analisando uma estrutura laminar em material compósito sujeita às CF indicadas na opção7 e carregamento

segundo a opção 1, [3]indicado na figura seginte, obtemos os empilhamentos, tempos de resolução, estado

de tensão e rigidez total para um laminado com 12 lâminas, como apresentado nas figuras e tabelas seguintes.

A discretização do domínio em estudo foi feito com 12 divisões, resultando num total de 144 elementos.

Considerando um laminado simétrico, apenas está representada a sua metade superior do número de lâminas,

as restantes lâminas apresentam resultados iguais relativamente ao eixo de simetria do laminado.


{Figuras retirada da fonte bibliográfica [3] }

5.2.1 Resultados algoritmo Energia e DMO

Como apresentado na tabela seguinte, os resultados obtidos a partir do algoritmo desenvolvido mostram uma

sequência de empilhamento idêntica ao encontrado pelo método de optimização DMO seguido noutros

trabalhos.

O tempo de cálculo necessário é muito menor, com o algoritmo Energia o que representa uma vantagem para

estruturas mais complexas ao nível do cálculo e número de lâminas.

Na tabela seguinte, a 1ª lâmina representa a lâmina imediatamente a seguir à linha de simetria do laminado,

tal como ilustrado na figura seguinte onde temos a lâminas desde a 1ª até à 6ª e a respectiva posição do eixo

de simetria.

6ª

5ª

4ª

3ª

2ª

1ª


42

Tabela 1 – Sequência de empilhamento e tempo de cálculo para método DMO e Algogaritmo Energia – caso 71

Nº Lâminas Seq. de empilhamento

ângulo das fibras

método DMO

Número de

iterações e

tempo de

resolução

Seq. de empilhamento

Ângulo das fibras

Algoritmo Energia

Número de

iterações e

tempo de

resolução

6ª

5ª

4ª

3ª

2ª

1ª

0

0

0

0

0

0

100 iterações

0

0

0

0

0

0

24 iterações

5.2.2 Estados de tensão algoritmo DMO e algoritmo PROD

De forma a validar o impacto que poderemos ter no estado de tensão de corte em cada lâmina da estrutura

final de 12 lâminas (6+6 lâminas), foi adoptada a estratégia de comparar os resultados obtidos com o método

DMO e com o algoritmo PROD. Na tabela seguinte estão os valores máximos para cada tensão de corte em

cada lâmina. Também se apresenta o menor valor possível de atingir na extremidade livre de cada lâmina. Este

valor tem interesse na aferição da condição de tensão mais favorável à não ocorrência de delaminação.

Para cada lâmina e para cada sequência de empilhamento proposta pelo método DMO e pelo algoritmo PROD,

a tabela apresenta a sequência de empilhamento (1ª coluna), o ângulo das fibras da lâmina (2ª e 5ª coluna), a

distribuição de tensões na área da lâmina (3ª e 6ª coluna) e os respectivos valores máximos e mínimos para as

tensões xy, xz, yz e o valor mínimo para as tensões xz, yz verificado na extremidade livre de cada lâmina

(4ª e 7ª coluna).

O empilhamento proposto pelo algoritmo DMO e Energia foi: [0/0/0/0/0/0]s

O empilhamento proposto pelo algoritmo PROD foi: [-45/+0/0/0/45/0]s

Como foi apresentado na capitulo reservado à introdução deste trabalho e posteriormente desenvolvido no

ponto 3.3 onde se apresentou resumidamente a teoria de análise FSDT para laminados compósitos, as tensões

de delaminação xz, yz, apresentadas na estrutura representada na figura seguinte, serão mais intensas no

43

interior da estrutura. Esses valores serão reflectidos graficamente após a análise de cada lâmina no

empilhamento de cada caso estudado e apresentado no seguimento deste trabalho.

Figura 29 – Tensões de delaminanação, (xz, yz) com maior intensidade ao centro da espessura da estrutura

Antes de se apresentar os resultados das tensões e os gráficos para xz, e yz na extremidade livres das

lâminas, a numeração de cada lâmina deve ser considerda como a que se apresenta na figura seguinte, uma

vez que se considerou a metade inferior do laminado e o software de FE procede à sua numeração sequencial

como ilustrado na figura seguinte.

6ª

5ª

4ª

3ª

2ª

1ª


44

A seguinte escala ilustra o entendimento relativo às tensões na área de cada lâmina analisada na estrutura de

6+6 lâminas

Min Max

Tabela 2 – Tensões nas lâminas para método DMO e algoritmo PROD – caso 71 (cont. na página seguinte)

Seq

. Lâm

inas

Seq

. Em

pilh

amen

to Tensões de corte

Método DMO

xy

xz

yz

[KPa]

xy

xz

yz [Mínimo]

Extr. Livre

Seq

. Em

pilh

amen


Algoritmo PROD

xy

xz

yz

[KPa]

xy

xz

yz [Mínimo] Extr. Livre

1ª

0

+455

-455

51 -5

-5

101 -101

11

0

1000 -928

72 -12 -3

66 -51 0.7

2ª

0

372 -372 145 -12 286 -286

45

401 -395 183 -28 253 -197

45

3ª

0

289 -289

221 -22 -22

433 -433 48

0

312 -307

256 -40 -12

468 -365

5

4ª

0

206 -206

277 -27 -27

544 -544 60

0

222 -219

314 -56 -15

629 -490

7

5ª

0

124 -124

315 -31 -31

618 -618 68

0

298 -398

356 -56 -17

717 -559

8

46

6ª

0

41 -41

334 -33 -33

655 -655 72

-45

44 -43

383 -60 -18

752 -586

8

De salientar que neste exercício de comparação de resultados, não foram contempladas restrições relativas a

critérios de falha, tendo sido os cálculos realizados com base apenas no critério de rigidez total e num limitado

numero de ângulos em que as fibras poderão estar orientadas: { 0°, 45°, 90°, 135° }

De forma a visualizar a variação de tensões ao longo das lâminas do laminado, apresenta-se de seguida uma

comparação na forma de um gráfico, o qual indica a intensidade de tensões de cada lâmina na metade inferior

do laminado. A numeração das lâminas está de acordo com a numeração atribuída pelo software de FE, sendo

que a lâmina 1ª a lâmina á a da face inferior exterior do laminado. Para todos os gráficos, a curva azul e a

vermelha representam a variação de tensões no laminado com 6+6 lâminas, construído segundo o processo de

optimização que não considera as regras de produção. A curva verde e a curva cinzenta representa a evolução

das tensões ao longo nas lâminas do laminado, com 6+6 lâminas, sequenciado pelo algoritmo PROD.

As representações gráficas seguintes para o caso da estrutura, caso 71, assim como para os restantes casos 21

e 101, têm como objectivo apresentar os valores máximos das tensões xz, yz ao longo de numa extremidade

livre. no Caso 101, como temos 2 extremidades livres, foi escolhida a extremidade das lâminas com a maior

dimensão, ou seja, 0,2m.

As curvas representam o menor valor das tensões de delaminação ao longo da extremidade livre das lâminas

do laminado estudado com 6+6 lâminas, construído segundo o método DMO ou segundo o algoritmo PROD.

47




Considerando o laminado simétrico, apenas está representada a sua metade superior do número de lâminas,





Como apresentado na tabela seguinte, os resultados obtidos a partir do algoritmo Energia mostram uma

sequência de empilhamento com eleição de fibras a ±45°. De facto, em algumas lâminas a eleição foi idêntica

na preferência pelos valores de ângulo das fibras a ±45°.

Analisando a sequência apresentada noutros trabalhos, poderemos concluir que existem outras propostas de

sequenciação, reforçando desta forma a dificuldade em eleger uma única sequência como óptima ou preferida.



48

Tabela 3– Sequência de empilhamento e tempo de cálculo para método DMO e algoritmo PROD – caso 21


ângulo das fibras

Método DMO

Número de

iterações e

tempo de

resolução


ângulo das fibras

Algoritmo Energia

Número de

iterações e

tempo de

resolução

6ª

5ª

4ª

3ª

2ª

1ª

-45

45

45

45

-45

-45

450 iterações

45

-45

45

45

45

45

24 iterações

5.3.2 Estados de tensão método DMO e algoritmo PROD








distribuição de tensões na área da lâmina ( 3ª e 6ª coluna) e os respectivos valores máximos e mínimos para as

tensões xy, xz, yz e o valor minimo para as tensões xz, yz verificado na extremidade livre de cada lâmina

(4ª e 7ª coluna).

O empilhamento proposto pelo algoritmo DMO foi: [ -45/45/45/45/-45/-45 ]s

O empilhamento proposto pelo algoritmo PROD foi: [ 0/45/0/0/0/45/0 ]s

49

Tabela 4 – Tensões nas lâminas para método DMO e algoritmo PROD – caso 21 ( cont. na pags. seguintes) Se

q. L

âmin

as

Seq

. Em

pilh

amen

to

Tensões de corte

Método DMO

xy

xz

yz

[KPa]

xy

xz

yz

[Mín.]

Extr.

Livre Seq

. Em

pilh

amen


Algoritmo PROD

xy

xz

yz

[KPa]

xy

xz

yz [Mín.] Extr. Livre

1ª

-45

8300 114

173 -260 -194

344 -439 -89

45

6400 312

163 -179 10

347 -585 -67

2ª

45

7700 361

484 -725 -54

959 -1200 -248

0

8700 573

629 -690 38

809 -1300 -156

50

3ª

45

6000 281

727 -1000

-81

1400 -1800 -372

0

4100 198

1000 -1100

63

1100 -1900 -221

4ª

45

4300 200

909 -1200 -101

1800 -2300 -466

0

2900 142

1200 -1300

74

1500 -2500 -294

51

5ª

-45

2200 31

1000 -1500 -115

2000 -2600 -529

45

1700 85

1400 -1400

82

1700 -3000 -343

6ª

-45

757 10

1100 -1600 -122

2100 -2700 -562

0

968 63

1400 -1500

87

1800 -3100 -364

52




que a lâmina 1ª a lâmina á a da face inferior exterior do laminado.




53


Analisando uma estrutura laminar em material compósito sujeita às CF indicadas na opção10 e carregamento

segundo a opção 1, indicado na figura 20, obtemos os empilhamentos tempos de resolução, estado de tensão

e rigidez total para um laminado com 12 lâminas como apresentado nas figuras e tabelas seguintes.


Considerando um laminado simétrico, apenas está representada a sua metade superior do número de lâminas,





Como apresentado na tabela seguinte, os resultados obtidos a partir do algoritmo desenvolvido mostram uma

sequência de empilhamento idêntica ao encontrado pelo método de optimização DMO seguido noutros

trabalhos.




Considerando o laminado simétrico, apenas está representada metade do número de lâminas, as restantes

lâminas apresentam resultados iguais relativamente ao eixo de simetria do laminado.

Na tabela seguinte apresentam-se os resultados comparativos para ambas as sequências de lâminas obtidos

para um empilhamento pelo método DMO e pelo algoritmo PROD.

54

Tabela 5 – Sequência de empilhamento e tempo de cálculo para o método DMO e algoritmo Energia – caso 101


ângulo das fibras

Método DMO

Numero de

iterações e

tempo de

resolução


ângulo das fibras

Algoritmo Energia

Número de

iterações e

tempo de

resolução

6ª

5ª

4ª

3ª

2ª

1

90

90

90

90

90

90

200 iterações

90

90

90

90

90

90

24 iterações

5.4.2 Estados de tensão algoritmo DMO e algoritmo PROD








distribuição de tensões na área da lâmina ( 3ª e 6ª coluna) e os respectivos valores máximos e mínimos para as

tensões xy, xz, yz e o valor minimo para as tensões xz, yz verificado na extremidade livre de cada lâmina

(4ª e 7ª coluna).

O empilhamento proposto pelo algoritmo DMO e Energia foi: [90/90/90/90/90/90]s

O empilhamento proposto pelo algoritmo PROD foi: [+45/90/90/90/-45/90]s

55

Tabela 6 – Tensões nas lâminas para método DMO e algoritmo PROD – caso 101 ( continua na págs. seguintes) N

º Lâ

min

as

Seq

. Em

pilh

amen

to

Tensões de corte

Método DMO

xy

xz

yz

[KPa]

xy

xz

yz

[Mín.]

Extr. livre

Seq

. Em

pilh

amen

to

Tensões de corte

Algoritmo PROD

xy

xz

yz

[KPa]

xy

xz

yz

[Mín.]

Extr. livre

1ª

90°

997

-125

96

-7

10

-89

+45

1700

-2300

59

-9.4

-1

27

-176

-18

2ª

90°

816

-102

271

-20

28

-251

90°

904

25

233

-38

-7

64

-418

-43

56

3ª

90°

634

-80

411

-31

42

-381

90°

703

19

459

-73

-14

82

-535

-55

4ª

90°

453

-57

516

-39

53

-478

90°

502

14

623

-99

-19

95

-623

-64

5ª

90°

272

-34

586

-44

60

-543

-45

955

9

691

-104

-22

110

-724

-74

57

6ª

90°

90

-11

614

-47

27

64

-575

-6.5

90°

100

2,8

747

-119

-23

121

-796

-82




que a lâmina 1ª a lâmina á a da face inferior exterior do laminado.




58

5.5 Algoritmo PROD2

Para exercitar este algoritmo, estudámos uma laminado compósito com as mesmas propriedades do material

anteriormente utilizado nos casos estudados. O interesse em empilhar um número superior a 6 lâminas,

prende-se com a razão de se conseguir testar todos os constrangimentos de produção e também validar a

estrutura final pelo critério de extensão máxima, o qual garante ausência de falha quando as extensões do

material nos eixos 1, 2 e 12 são inferiores às extensões máximas do material. O algoritmo apenas termina o

empilhamento de lâminas quando todas as extensões são inferiores às extensões permitidas no material.

t = 1 mm

Para os valores máximos de extensão no material temos:

em1= 1e-5

em2=5e-6

em12=1.4e-5

As dimensões geométricas deste laminado diferem das do anterior devido ao facto de se pretender estudar no

software de FE um laminado com um total até 20 lâminas (10 + 10) e ainda assim manter-se uma razão de

espessura largura <1/10, garantido uma definição de uma estrutura fina.

Ao longo da sequência de empilhamento e por motivos de simplificar os scripts de cálculo, introduzimos linhas

de programação que verificam em contínuo as condições do critério de falha por extensão.

Ou seja, assim que esses critérios estejam satisfeitos, o algoritmo de escolha da sequência recomendada

termina os ciclos de cálculo e dá como concluída a estrutura e respectivo empilhamento.

O algoritmo apresenta o mínimo número de lâminas = 9.

A sequência de empilhamento é: [0/0/0/-45/0/0/0/45/0]s

59

Neste caso o algoritmo termina os cálculos numa condição em que o laminado está balanceado em relação ao

número de lâminas a ± 45°.

Caso assim não acontecesse, o algoritmo propõe a adição de uma lâmina, a +45° ou a -45°, tendo em atenção

que essa lâmina terá de ser colocada respeitando as regras de produção. [24]

Caso não entre em conflito com as regras de produção, a lâmina a ± 45 necessária ao balanceamento do

laminado, deve ser colocada na última posição, oferecendo desta forma um efeito de blindagem, como

sugerido na bibliografia anexa a este relatório. [25] [2]

5.6 Conclusões – Método DMO e algoritmo PROD

Os resultados obtidos a partir do algoritmo Energia mostram uma sequência de empilhamento igual ou

semelhante ao apresentado pelo método de optimização DMO, necessitando de um menor tempo de cálculo.

O tempo de cálculo da sequenciação pelo algoritmo Energia é muito menor do que o tempo necessário ao

método DMO, o que representa uma vantagem para estruturas mais complexas ao nível do cálculo e número

de lâminas.

O sacrifício de uma rigidez máxima por forma a respeitar regras de produção representa algum aumento do

valor de intensidade de tensões num incremento de 10%. No entanto podemos verificar que o incremento de

lâminas tenderá a diminuir essa diferença, podendo mesmo ser considerada desprezável para empilhamentos

com numero de lâminas superiores sendo mesmo anulada com a adição de mais um ou dois pares de lâminas.

Utilizando, o empilhamento segundo as regras de produção, ainda que a consequente perda de rigidez devida à

escolha de um candidato com as fibras orientadas numa direcção diferente da solução óptima, tenha

consequências ao nível dos valores das tensões máximas, o algoritmo PROD garante menores valores de

tensões de delaminação nas extremidades livres das lâminas.

Observando a intensidade de tensões no laminado do caso 21, construído sem considerar as regras de

produção, pode-se confirmar que uma variação de ângulo superior a 45°, entre as lâminas, resulta num

aumento das tensões xy superior ao laminado construído segundo as regras de produção.

60

6. Conclusões

Ainda que os algoritmos de optimização da sequência de empilhamento de lâminas em material compósito,

através do método DMO, [19] apresentem uma grande flexibilidade e eficácia, a determinação da sequência de

empilhamento de estruturas com a complexidade geométrica e de CF estudadas neste trabalho poderão ser

igualmente definidas com um algoritmo de menor complexidade como o algoritmo PROD ou PROD2.

Os algoritmos desenvolvidos e apresentados neste trabalho apresentam evidentes vantagens relativamente ao

tempo de cálculo e recursos necessários te tempo e de hardware para os efectuar.

Considerando como objectivo a definição de uma sequência de empilhamento de compósitos laminados planos

para posterior produção, teremos de considerar as restrições de produção, a intensidade de tensões de

delaminação e os critérios de falha para compósitos laminados. Ou seja, os métodos, DMO e outros similares

não poderão ser considerados para cálculo destas estruturas se não incluírem as regras de produção, uma

minimização das tensões interlaminares e um critério de falha da estrutura.

O incremento de espessura do laminado, que se inicia com as primeiras lâminas colocadas imediatamente a

seguir à linha de simetria, deixa bem claro qual o melhor candidato tendo em conta a rigidez que a respectiva

lâmina oferece ao apresentar as suas fibras numa determinada orientação.

No entanto, à medida que a espessura do laminado aumenta devido ao empilhamento de lâminas, essa

orientação deixa de ser tão evidente.

61

7. Trabalho futuro

Como trabalho futuro, poder-se-ia aplicar este algoritmo ao cálculo de estruturas laminadas cilíndricas.

Exemplo destas poderia ser a estrutura da fuselagem de um avião ou a estrutura de revestimento de uma

embarcação.

Neste caso teríamos uma estrutura analisada no software de FE não plana, mas curva.

Outro trabalho futuro poderia ser desenvolvido na definição de uma sequência de empilhamento em que o

laminado final teria uma secção variável. Neste caso, partiríamos de lâminas centrais com um determinado

comprimento e as lâminas sucessivamente empilhadas com um comprimento reduzido de forma continua.

Outro potencial empilhamento no qual estaríamos interessados, seria o de determinar a sequência de lâminas

e os respectivos ângulos das fibras, poderia ser o caso de um empilhamento não simétrico. Neste caso, bastaria

simular a ausência de simetria na estrutura oferecida pelo MatLab ao software de FE para posterior análise.

Uma adicional possibilidade de trabalho futuro poderá ser o de validar as sequências finais de empilhamento

com critérios de falha adicionais ao critério considerado, como sejam: [21]

1. “Maximum Stress Theory”

2. “Hill’s Criterion”

3. “Tsai-Hill Criterion”

4. “Hoffman’s Criterion”

5. “Tsai-Wu Criterion”

6. “Hashin’s Criterion”

62

Bibliografia

[1] Lund, E., Kühlmeier, L. and et, al. BUCKLING OPTIMIZATION OF LAMINATED HYBRID COMPOSITE SHELL

STRUCTURES USING DMO. Rio de Janeiro, Brazil : 6th World Congress on Structural and Multidisciplinary

Optimization, 2005.

[2] V.Toropov and Dianzi, L. OPTIMIZATION OF BLENDED COMPOSITE WING PANELS USING SMEARED

STIFFNESS TECHNIQUE AND LAMINATION PARAMETERS. Leeds : University of Leeds, 2009.

[3] Luisa, A. F. OPTIMIZAÇÃO DE SEQUÊNCIAÇÃO DE LAMINAÇÃO PARA PAINÉIS PLANOS REFORÇADOS POR

FIBRAS. Lisboa : IST, 2013.

[4] Kaw, A. MECHANICS OF COMPOSITE MATERIALS. New York : Taylor & Francis, 2006.

[5] Jones, R. M. MECHANICS OF COMPOSITE MATERIALS 2nd Edition. Virginia : TAYLOR & FRANCIS, 1999.

[6] Google and http://www.netcomposites.com/guide. GUIDE TO COMPOSITES. [Online] Abaris Training

Resources, Inc, 2015.

[7] Talreja, R. and Singh, C. V. DAMAGE AND FAILURE OF COMPOSITE MATERIALS. Cambridge, UK : cambridge

university press, 2012.

[8] Pora, J. COMPOSITE MATERIALS IN THE AIRBUS A380. Blanag Cedex, France : Airbus, Large Aircraft

Division, 2006.

[9] Hale, J. A QUARTERLY PUBLICATION BOEING.COM. s.l. : A quarterly publication - BOEING, 2006.

[10] Kropp, C. EXOSKELETONS FOR WARRIORS OF THE FUTURE. Boston, USA : Defencefocus, 2011.

[11] Bruyneel, M., Beghin, C. and et, al. STACKING SEQUENCE OPTIMIZATION FOR CONSTANT STIFFNESS

LAMINATES BASED ON A CONTINUOS OPTIMIZATION APPROACH. Belgica : Walloon Region of Belgium,

2012.

[12] Niu, M. and Yung, C. " AIRFRAME STRUCTURAL DESIGN ". California, USA : Conmilit press ltd, Lockheed

Aeronautical Systems Company, 1988.

[13] Administration, Materials Sciences Corporation Department of Defense and the Federal Aviation.

COMPOSITE MATERIALS HANDBOOK volume 3. Washington, USA : Materials Sciences Corporation, 2002.

[14] J.N.Reddy. MECHANICS OF LAMINATED COMPOSITE PLATES ANDSHELLS. NEw York : CRC Press, 2004.

[15] Matthias, H. D. 3D FAILURE ANALYSIS OF UD FIBRE REINFORCED COMPOSITES: PUK'S THEORY WITHIN FEA.

Stuttgart, Alemanha : Institut für statik und dynamik der luft - und raumfahrtkonstruktionen, 2010.

[16] Harris, B. ENGINEERING COMPOSITE MATERIALS. LONDON, uk : The Institute of Materials, London, 1999.

[17] Y.W.Kwon and Bang, H. THE FINITE ELEMENT METHOD USING MATLAB. New York, USA : CRC Press, 1997.

[18] Valentine, B. D. and Daniel, T. ESSENTIAL MATLAB FOR ENGINEERS AND SCIENTISTS. Oxford, UK : Elsevier,

2007.

[19] google;. COMPOSITE LAMINATE STAKING SEQUENCE. [Online] Maio 2015.

[20] A., Araujo. MATERIAIS COMPÓSITOS LAMINADOS. Lisboa : DEM IST, 2013.

[21] DEM, IST. MATERIAIS COMPÓSITOS LAMINADOS. Lisboa : IST, 2013.

[22] Willem, S. J., Bertram, S. and S.Reese. PREDICTING THE ONSET OF DELAMINATION IN LAYERED FIBER-

REINFORCED. Aachen, Germany : Institute of Applied Mechanics, RWTH Aachen University, 2013.

[23] Freitas, M. CRITÉRIOS DE ROTURA PARA LAMINADOS. Lisboa, Portugal : Departamento de Engenharia

Mecânica, IST, 2013.

[24] Krog, L., Tucker, A. and Rollema, G. APPLICATION OF TOPOLOGY, SIZING AND SHAPE OPTIMIZATION

63

METHODS TO OPTIMAL DESIGN OF AIRCRAFT COMPONENTS. Bristol, UK : Altair Engineering, 2011.

[25] J. A. Bailie, R. P. Ley, A. Pasricha. A SUMMARY AND REVIEW OF COMPOSITE LAMINATE DESIGN

GUIDELINES. Calfornia, USA : NASA - Military Aircraft Systems Division, 1997.

[26] Almas, M. F.B. M. " LAMINATION PARAMETER OPTIMIZATION OF FLAT FIBRE REINFORCED PLATES FOR

VIBRATION. Lisboa Portugal : IST, 2013.

[27] Ansys, Inc. STRUCTURAL ANALYSIS GUIDE. Canonsburg, USA : SAS IP, Inc, 2009.

[28] Bailie, J. A. ; Ley, R. P. Pasricha, A. A SUMMARY REVIEW OF COMPOSITE LAMINATED DESIGN

GUIDELINAES. Calfornia, USA : Military Aircraft Systems Division - NASA, 1997.

[29] X.Huang and Y.M.Xie. Evolutionary Topology Optimization of Continuum Structures. Melbourne, Austrália :

A John Wiley and Sons, Ltd., Publication, 2010.

[30] Voyiadjis, G. Z. and Kattan, P. I. MECHANICS OF COMPOSITE MATERIALS WITH MATLAB. Louisiana, USA :

Springer, 2005.

64

ANEXOS

Anexo A1 – Estrutura de programação em MatLab dos Algoritmos Energia, PROD, PROD2

A sequência de construção dos algoritmos Energia, PROD e PROD2, está relacionada com a necessidade de

evolução de uma condição de sequenciação de laminas apenas com base num único critério de rigidez, até à

situação mais complexa a qual tem em conta restrições de produção e um critério de paragem relacionado com

um critério de falha de estruturas em material compósito laminado.

Apresenta-se de seguida a estrutura de funcionamento e programação em MatLab, a qual é idêntica a todos os

algoritmos, variando apenas nos nomes atribuídos aos ficheiros com dados sobre as tensões, deslocamentos,

energia de deformação e lâmina em estudo na estrutura, uma vez que diferentes estruturas e CF originam

diferentes conjuntos de dados a avaliar.

De qualquer forma, uma vez iniciado o algoritmo, o software resolve todas estas questões, devendo apenas o

utilizador esperar pela sequenciação proposta pelo software MatLab.

Os algoritmos apresentados neste trabalho funcionam especificamente para análise de cada caso no que diz

respeito às CF e dimensões geométricas de cada caso, mas, podem ser alterados para analisar outras situações

relativas a um material diferente; CF diferente ou carregamento diferente.

Essas alterações podem ser feitas manualmente em cada caso ou podem ser carregadas em cada caso a partir

de um ficheiro de dados, o qual pede ao utilizados essas informações.

Anexo A1.1 Algoritmo Energia

Apresenta-se de seguida como exemplo a estrutura estudada no caso71. Todos os restantes casos analisados

pelo algoritmo Energia ( caso21, caso101) seguem de igual forma a seguinte sequência de programação:

Energia71

rigidez711

rigidez712

rigidez713

rigidez714

rigidez715

rigidez716

empilhamento71

65

Os scripts apresentados analisam a estrutura e apresentam o empilhamento respectivo para as 5+5 lâminas no

laminado para o caso71

Como exemplo de cada um dos algoritmos rigidez, apresenta-se como exemplo o algoritmo rigidez712, uma

vez que é a partir deste momento que vamos empilhar o 2º par de lâminas, o qual inicia a utilização do

algoritmo lam.m, responsável pela proposta de empilhamento e empilhamento final a analisar pelo software

de FE:

rigidez712

lam2

ansys712

{valores de energia em ficheiros dat fornecidos pelo software de FE}

{análise e conclusão sobre o candidato eleito}

O spcript ansys712 contem 4 comandos em “dos” para funcionamento do software de FE para cada conjunto

de 4 candidatos e na mesma forma, para cada uma das lâminas a ser empilhada na sequência anteriormente

definida.

Programação em MatLab

Como exemplo apresenta-se a sequência de linhas de programação em MatLab para os scripts apresentados

anteriormente:

rigidez712.m

lam2;

ansys712;

format long;

energia0 = load('C:\Users\armenio\Documents\IST\Dissertação\Resultados\eana7102.dat');

E02=sum(energia0);

disp('O total de energia de deformação com fibras a Zero graus é [Joules]:');

disp(E02);


E902=sum(energia90);

disp('O total de energia de deformação com fibras a 90 graus é [Joules]:');

disp(E902);




disp(E452);




disp(E1352);

%vector com valores de energia de deformação

[energ]=[E02 E452 E902 E1352];

66

%atribuição do menor valor de energia de deformação ou seja maior rigidez oferecida pelas fibras à lamina1

lamina2=min(energ);

% vamos definir o vector theta2 de acordo com o minimo valor da energia de

% deformação.

if lamina2==energ(1,1)

theta2=[1 0 0 0];

end


theta2=[0 1 0 0];

end


theta2=[0 0 1 0];

end


theta2=[0 0 0 1];

end

% vamos anular a escolha para que o angulo da 2ªlamina não seja igual ao da

% primeira e vamos majorar também o candidato com um angulo tal que a a

% diferença entre angulos seja maior que 45º

%podemos agora definir o minimo valor de energia de deformação que garante

%o valor do angulo das fibras diferente do angulo escolhido na 1ª lamina.


theta2=[1 0 0 0];

fibras2=0;

disp ('a 2ª lamina tem fibras a zero graus')

end


theta2=[0 1 0 0];

fibras2=45;

disp ('a 2ª lamina tem fibras a 45 graus')

end


theta2=[0 0 1 0];

fibras2=90;


end


theta2=[0 0 0 1];

fibras2=-45;

disp ('a 2ª lamina tem fibras a -45 graus')

end

Lam2.m

%este scrip define o inicio do laminado em que as laminas A1 e A2 são

%formadas com fibras eleitas anteriormente para a energia minima de

%deformação.

%hipotese com lamina adicional a 0º

A1=[0.001 1 0 3];

A2=[0.001 1 fibras1 3];

67

A3=[0.001 1 fibras1 3];

A4=[0.001 1 0 3];

formatSpec='secdata, %.3f,%.f,%.f,%.f \n';

fid = fopen('lamina21.txt', 'w');

fprintf(fid,formatSpec,A1,A2,A3,A4);

fclose(fid);


A1=[0.001 1 45 3];

A2=[0.001 1 fibras1 3];

A3=[0.001 1 fibras1 3];

A4=[0.001 1 45 3];




fclose(fid);


A1=[0.001 1 90 3];

A2=[0.001 1 fibras1 3];

A3=[0.001 1 fibras1 3];

A4=[0.001 1 90 3];




fclose(fid);


A1=[0.001 1 135 3];

A2=[0.001 1 fibras1 3];

A3=[0.001 1 fibras1 3];

A4=[0.001 1 135 3];




fclose(fid);

ansys712.m

%este scrip corre o ansys para as laminas no laminado. os ficheiros

%já contemplam 1 lamina acima e 1 lamina abaixo do eixo de simetria do

%laminado

dos('"C:\Program Files\ANSYS Inc\v145\ansys\bin\winx64\ANSYS145.exe" -b -i C:\Users\armenio\ana7102.LGW -o

C:\Users\armenio\en02.out');







68

Anexo A1.2 Algoritmo PROD

Apresenta-se de seguida como exemplo a estrutura estudada no caso71. Todos os restantes casos analisados

pelo algoritmo PROD ( caso21, caso101) seguem de igual forma a seguinte sequência de programação:

PROD71

R711

R712

R713

R714

R715

R716

empilhamentoR71

Os scripts apresentados analisam a estrutura e apresentam o empilhamento respectivo para as 5+5 lâminas no

laminado para o caso71.

Este algoritmo tem idêntico funcionamento ao anteriromente apresentado em A1.1.

Como nestes algoritmos já se garante restrições de produção e tensões de delaminação, apresenta-se de

seguida como exemplo o script R715, onde a partir do qual já existira a necessidade de se contemplar todas as

restrições de produção e tensões de delaminação.

R715

lam5

ansys715

{valores de energia em ficheiros dat fornecidos pelo software de FE}

C715 { análise de tensões de delaminação}

{análise e conclusão sobre o candidato eleito}

Programação em MatLab

Como exemplo apresenta-se a sequência de linhas de programação em MatLab para os scripts apresentados

anteriormente.

Ao longo de todas as eleições entre os pares candidatos, será analisada a condição de tensões de delaminação

em função das tensões limites do material. Esta conclusão e entrega de valores ao script R715.m são realizadas

no script C715.m

R715.m

lam5;

ansys715;

69

format long;


disp('placa de 200mm largura por 100mm de altura e carregada com carga uniformemente distribuida por toda a área');

disp(':::::::::::::::::::::::::::::::::::::');

E05=sum(energia0);

disp('O total de energia de deformação com fibras a Zero graus é [Joules]:');

disp(E05);




disp(E905);


E455=sum(energia45)*b1;


disp(E455);


E1355=sum(energia135)*b2;


disp(E1355);


c715;


[energ5]=[E05*a5(1) E455*a5(2) E905*a5(3) E1355*a5(4)];

lamina5 = min(energ5);

if lamina5==energ5(1)

theta5=[1 0 0 0];

end


theta5=[0 1 0 0];

end


theta5=[0 0 1 0];

end


theta5=[0 0 0 1];

end

% neste momento temos os angulos das fibras da slaminas 2,3,4 e 5.

%vamos agora majorar a energia correspondente aos angulos da lamina 5 se

% o angulo desta se repetir ao longo da lamina 2,3,4 vamos majorar a lamina5.

if theta5(1)==theta4(3)

[energ5]=[1e12*E05*a5(1) E455*a5(2) E905*a5(3) E1355*a5(4)];

theta5=[1 1 1 1];

end


[energ5]=[E05*a5(1) b1*1e12*E455*a5(2) E905*a5(3) b2*E1355*a5(4)];

theta5=[1 1 1 1];

end


[energ5]=[E05*a5(1) 1e12*E455*a5(2) E905*a5(3) E1355*a5(4)];

theta5=[1 1 1 1];

end


[energ5]=[E05*a5(1) b1*E455*a5(2) E905*a5(3) b2*1e12*E1355*a5(4)];

theta5=[1 1 1 1];

70

end

if theta2(1)+theta3(1)+theta4(1)+theta5(1)==4

[energ5]=[1e12*E05*a5(1) E455*a5(2) 1e12*E905*a5(3) E1355*a5(4)];%aqui majoramos a repetição e variação de

angulo

end


[energ5]=[E05*a5(1) b1*1e12*E455*a5(2) E905*a5(3) b2*1e12*E1355*a5(4)];

end


[energ5]=[1e12*E05*a5(1) E455*a5(2) 1e12*E905*a5(3) E1355*a5(4)];

end


[energ5]=[E05*a5(1) b1*1e12*E455*a5(2) E905*a5(3) b2*1e12*E1355*a5(4)];%aqui majoramos a repetição de angulo

end


[energ5]=[1e12*E05*a5(1) E455*a5(2) 1e12*E905*a5(3) E1355*a5(4)];%aqui majoramos a repetição e variação de

angulo

end


[energ5]=[E05*a5(1) b1*1e12*E455*a5(2) E905*a5(3) b2*1e12*E1355*a5(4)];

end


[energ5]=[1e12*E05*a5(1) E455*a5(2) 1e12*E905*a5(3) E1355*a5(4)];

end


[energ5]=[E05*a5(1) b1*1e12*E455*a5(2) E905*a5(3) b2*1e12*E1355*a5(4)];%aqui majoramos a repetição de angulo

end

lamina5 = min(energ5);

% analisamos assim as lâminas até à 5ªpara a repetibilidade de angulo ser

% inferior a 3.Estamos a verificar se o angulo da 2ª,3ª,4ª e 5ª lamina.

if lamina5==energ5(1,1)

theta5=[1 0 0 0];

fibras5=0;

disp ('a 5ªlamina tem fibras a zero graus')

end


theta5=[0 1 0 0];

fibras5=45;

b1=1.5;

b2=1;


end


theta5=[0 0 1 0];

fibras5=90;


end


theta5=[0 0 0 1];

fibras5=-45;

b2=1.5;

71

b1=1;

disp ('a 5ª lamina tem fibras a -45 graus')

end

C715.m

%cálcula os valores máximos de tensão sxz e syz para serem utilizados na

%obtenção de indices para afectação dos valores de energia de deformação de

%cada candidato.

sLT=70e6;

sxz05=max(load ('sxz7105.dat'));

syz05=max(load('syz7105.dat'));

sxz455=max(load('sxz71455.dat'));






a50=(sxz05/sLT)^2+(syz05/sLT)^2;

a545=(sxz455/sLT)^2+(syz455/sLT)^2;

a590=(sxz905/sLT)^2+(syz905/sLT)^2;

a5135=(sxz1355/sLT)^2+(syz1355/sLT)^2;

a5=[a50 a545 a590 a5135];

72

Anexo A1.3 Algoritmo PROD2

Neste algoritmo, teremos por fim em consideração restrições impostas por o critério de falha “Maxim Strain”.

Estas restriçõesserão adicionais a todas as que foram consideradas nos algoritmos Energia e PROD.

Este algoritmo tem um flow de funcionamento igual ao algoritmo PROD, sendo no entanto apenas parada a

adição de lâminas depois de se garantir os critérios de paragem apresentados no critério de “maxim Strain” ou

seja, relativamente às extensões em todos os elementos na discretização das lâmina.

Em seguida apresenta-se a programação em Matlab deste Algoritmo, o qual considera o critério de paragem

“Maxim Strain” apartir do 5º par de lâminas. Este critério poderia ser considerado mais cedo no Empilhamento.

Não foi considerado porque pretendeu-se analisar uma situação mais complexa e portanto com mais lâminas

de forma a ser possivel contemplar todas as possiveis restrições de produção:

PROD2

em1=0.00001;

em2=0.000005;

em12=0.000014;

rigidez1;

rigidez2;

rigidez3;

rigidez4;

rigidez5;

cr1=(em1/e1);

cr2=(em2/e2);

cr3=(em12/e12);

if cr1>1

if cr2>1

if cr3>1

end

end

disp('Laminado optimizado')

if b2>b1

disp ('adicionar lâmina a 45 graus respeitando regras de produção')

end

if b1>b2

disp ('adicionar lâmina a -45 graus respeitando regras de produção')

end

return

end

rigidez6;

if cr1>1

if cr2>1

if cr3>1

end

end


if b2>b1


end

73

if b1>b2


end

return

end

rigidez7;

if cr1>1

if cr2>1

if cr3>1

end

end


if b2>b1


end

if b1>b2


end

return

end

rigidez8;

if cr1>1

if cr2>1

if cr3>1

end

end


if b2>b1


end

if b1>b2


end

return

end

rigidez9;

e=(em1/e1)*(em2/e2)*(em12/e12);

if e>1


if b2>b1


end

if b1>b2


end

return

end

rigidez10;

e=(em1/e1)*(em2/e2)*(em12/e12);

if e>1


if b2>b1


end

if b1>b2


end

return

end

74

Anexo A1.4 Ficheiro de texto para execução no software de FE

Em seguida apresenta-se um ficheiro de texto, neste caso come extenção .lgw, o qual, à semelhança de todos

os que se encontram anexados no CD que acompanha este relatório, serve para o software de FE simular em

Batch mode o caso específico de empilhamento de lâminas na estrutura.

/BATCH KEYOPT,1,8,1

! /COM,ANSYS RELEASE 14.5 UP20120918 21:33:45 04/05/2015 KEYOPT,1,9,0

/input,start145,ans,'C:\Program Files\ANSYS Inc\v145\ANSYS\apdl\' !*

! /VIEW,1,,,1 !*

! /ANG,1 MPTEMP,,,,,,,,

! /REP,FAST MPTEMP,1,0

! /COM,ANSYS RELEASE 14.5 UP20120918 13:01:32 03/08/2015 MPDATA,EX,1,,54e9

/input,menust,tmp,'' MPDATA,EY,1,,18e9

! /GRA,POWER MPDATA,EZ,1,,18e9

! /GST,ON MPDATA,PRXY,1,,0.2

! /PLO,INFO,3 MPDATA,PRYZ,1,,0.2

! /GRO,CURL,ON MPDATA,PRXZ,1,,0.2

! /CPLANE,1 MPDATA,GXY,1,,9e9

! /REPLOT,RESIZE MPDATA,GYZ,1,,3.4e9

WPSTYLE,,,,,,,,0 MPDATA,GXZ,1,,3.4e9

!* sect,1,shell,,

/NOPR secdata, 0.001,1,0.0,3

KEYW,PR_SET,1 secdata, 0.001,1,0.0,3

KEYW,PR_STRUC,1 secoffset,MID

KEYW,PR_THERM,0 seccontrol,,,, , , ,

KEYW,PR_FLUID,0 RECTNG,0.0,0.2,0.0,0.1,

KEYW,PR_ELMAG,0 ESIZE,0,12,

KEYW,MAGNOD,0 MSHAPE,0,2D

KEYW,MAGEDG,0 MSHKEY,0

KEYW,MAGHFE,0 !*

KEYW,MAGELC,0 CM,_Y,AREA

KEYW,PR_MULTI,0 ASEL, , , , 1

KEYW,PR_CFD,0 CM,_Y1,AREA

/GO CHKMSH,'AREA'

!* CMSEL,S,_Y

! /COM, !*

! /COM,Preferences for GUI filtering have been set to display: AMESH,_Y1

! /COM, Structural !*

!* CMDELE,_Y

/PREP7 CMDELE,_Y1

!* CMDELE,_Y2

75

ET,1,SHELL181 !*

!* FINISH

KEYOPT,1,1,0 /SOL

KEYOPT,1,3,0 FLST,2,3,4,ORDE,2

FITEM,2,2 (E)

FITEM,2,-4 *CFCLOS

!* *END

/GO /INPUT,ansuitmp

DL,P51X, ,ALL,0 !*

FLST,2,1,5,ORDE,1 *VGET,syz01,NODE,all,S,YZ, , ,2

FITEM,2,1 *CREATE,ansuitmp

/GO *CFOPEN,'syz01','dat',' '

!* *VWRITE,syz01(1,1), , , , , , , , ,

SFA,P51X,1,PRES,-50000 (E)

! /STATUS,SOLU *CFCLOS

SOLVE *END

FINISH /INPUT,ansuitmp

/POST1 !*

AVPRIN,0, , *VGET,sxz01,NODE,all,S,XZ, , ,2

ETABLE, ,SENE, *CREATE,ansuitmp

!* *CFOPEN,'sxz01','dat',' '

*VGET,eana710,ELEM,all,ETAB,SENE, , ,2 *VWRITE,sxz01(1,1), , , , , , , , ,

*CREATE,ansuitmp (E)

*CFOPEN,'eana710','dat',' ' *CFCLOS

*VWRITE,eana710(1,1), , , , , , , , , *END

(E) /INPUT,ansuitmp

*CFCLOS !*

*END ! LGWRITE,'ana710','lgw','C:\Users\armenio\',COMMENT

/INPUT,ansuitmp

!*

! LGWRITE,'ana710','lgw','C:\Users\armenio\',COMMENT

!*

RSYS,0

AVPRIN,0

SHELL,MID

! AVRES,2,

! /EFACET,1

LAYER,1

FORCE,TOTAL

!*

76

*VGET,sxy01,NODE,all,S,XY, , ,2

*CREATE,ansuitmp

*CFOPEN,'sxy01','dat',' '

*VWRITE,sxy01(1,1), , , , , , , , ,

77

Anexo A2

Neste anexo e nos seguintes anexos apresenta-se mais um conjunto de 4 casos para consolidar o

funcionamento dos algoritmos Energia e PROD. Tal como os casos anteriormente apresentados, estes casos

serão comparados com outras sequenciações de empilhamento obtidas pelo método DMO [26].

Considera-se a seguinte estrutura geométrica, material e carregamento distribuido:

Considerando a aplicação do algoritmo Energia para comparação dos resultados obtidos em [26], apresenta-se

seguinte tabela de comparação de dados para a sequência de empilhamento:

Tabela 7 – Sequência de empilhamento e tempo de cálculo para o método DMO e algoritmo Energia - Anexo A


ângulo das fibras

método DMO

Tempo de

resolução

método DMO


Ângulo das fibras

Algoritmo Energia

Tempo de

resolução

Algoritmo

Energia

5ª

4ª

3ª

2ª

1ª

0

0

0

0

0

204 segundos

0

0

0

0

0

70 segundos

78

Pelos resultados obtidos, podemos concluir mais uma vez que o algoritmo Energia consegue nesta

complexidade de casos, apresentar a mesma sequênciação de empilhamento num tempo de cálculo menor.

Anexo A3

Considerando a aplicação do algoritmo PROD para comparação dos resultados obtidos pelo método DMO [26],

na sequenciação de lâminas para a estrutura apresentada, apresenta-se a seguinte tabela:

Tabela 8 – Sequência de empilhamento e tempo de cálculo para o método DMO e algoritmo PROD – anexo B


ângulo das fibras

método DMO

Tempo de

resolução

método DMO


Ângulo das fibras

Algoritmo PROD

Tempo de

resolução

Algoritmo

PROD

5ª

4ª

3ª

2ª

1ª

0

0

0

0

0

204 segundos

0

45

0

0

0

70 segundos

Representando gráficamente a evolução das tensões xz e yz, ao longo de uma extremidade livre das lâminas

de ambos os empilhamentos obtidos pelo método DMO e pelo algoritmo PROD obtemos o gráfico apresentado

na figura seguinte. O gráfico representa o menor valor para cada tensão xz, yz ao longo da extremidade livre

do laminado.


79

Como podemos constatar o empilhamento apresentado pelo algoritmo PROD apresenta valores inferiores em

todas as lâminas. Tal deve-se ao facto do algoritmo escolher a maior rigidez sem deixar de penalizar a mesma

caso o par de lâminas apresente uma maior intensidade de tensões de delaminação xz, yz. Como já foi

referido, perderseá rigidez não optando pelo par que ofereça maior rigidez, mas garante-se as regras de

produção e para casos em que o número de lâminas seja superior a 5, obteremos valores similares na rigidez

total do laminado.

Anexo A4

Tal como os casos anteriormente apresentados, os seguintes casos de carregamento, CF e geometria

apresentados serão comparados com outras sequenciações de empilhamento obtidas pelo método DMO [26],

pelo algoritmo Energia e pelo algoritmo PROD

Considera-se a seguinte estrutura geométrica, material e carregamento distribuido:

80

Tabela 9 – Sequência de empilhamento e tempo de cálculo pelo método DMO e algoritmo Energia – anexo C


ângulo das fibras

método DMO

Tempo de

resolução

método DMO


Ângulo das fibras

Algoritmo Energia

Tempo de

resolução

Algoritmo

Energia

5ª

4ª

3ª

2ª

1ª

45

-45

-45

45

-45

204 segundos

-45

45

-45

45

-45

70 segundos

Anexo A5

Considerando a aplicação do algoritmo PROD para comparação dos resultados obtidos em [26], apresenta-se

seguinte tabela de comparação de dados para a sequência de empilhamento:

Tabela 10 – Sequência de empilhamento e tempo de cálculo pelo método DMO e algoritmo PROD – anexo D


ângulo das fibras

método DMO

Tempo de

resolução

método DMO


Ângulo das fibras

Algoritmo Energia

Tempo de

resolução

Algoritmo

Energia

5ª

4ª

3ª

2ª

1ª

45

-45

-45

45

-45

204 segundos

90

90

0

45

0

70 segundos

81

Representando gráficamente a evolução das tensões xz e yz, ao longo de uma extremidade livre das lâminas

de ambos os empilhamentos obtidos pelo método DMO e pelo algoritmo PROD obtemos o gráfico apresentado

na figura seguinte. O gráfico representa o menor valor para cada tensão xz, yz ao longo da extremidade livre

do laminado.


Como podemos constatar o empilhamento apresentado pelo algoritmo PROD apresenta valores inferiores em

todas as lâminas. Tal deve-se ao facto do algoritmo escolher a maior rigidez sem deixar de penalizar a mesma

caso o par de lâminas apresente uma maior intensidade de tensões de delaminação xz, yz. Como já foi

referido, perderseá rigidez não optando pelo par que ofereça maior rigidez, mas garante-se as regras de

produção e para casos em que o número de lâminas seja superior a 5, obteremos valores similares na rigidez

total do laminado.