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Motivacao
Algoritmos MCMC
Prof. Caio Azevedo
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Algoritmos MCMC
Motivacao
Exemplo da normal bivariada
Seja Y = (Y1,Y2) ∼ Np(µ,Σ). Desejamos estimar as fdp’s
marginais de Y1,Y2, com µ e Σ, conhecidos.
Sabemos que Yi ∼ N(µi , σ2i ), i = 1, 2.
Suponha, no entanto, que saibamos apenas que:
Y1|y2,µ,Σ ∼ N1(µ1, σ21), em que µ1 = µ1 + σ12
(σ2
2
)−1(y2 − µ2) e
σ21 = σ2
1 − (σ12)2(σ2
2
)−1.
Y2|y1,µ,Σ ∼ N1(µ2, σ22), em que µ2 = µ2 + σ12
(σ2
1
)−1(y1 − µ1) e
σ22 = σ2
2 − (σ12)2(σ2
1
)−1.
As distribuicoes condicionais podem ser utilizadas para estimar as
distribuicoes marginais?
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Algoritmos MCMC
Motivacao
Simulacao iterativa
Simule y(1)1 ∼ N(0, 1), por exemplo. Com este valor, simule
y(1)2 |y
(1)1 ,µ,Σ.
Repita o passo acima R vezes, obtendo-se
(y(1)1 , y
(1)2 ), (y
(2)1 , y
(2)2 ), ..., (y
(R)1 , y
(R)2 )
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Motivacao
Histograma das amostras MCMC
Componente 1
valores
de
nsi
da
de
−6 −4 −2 0 2 4
0.0
00
.10
0.2
0
Componente 2
valores
de
nsi
da
de
−4 −2 0 2 4 6 8
0.0
00
.10
0.2
0
0 2000 4000 6000 8000 10000
−6
−4
−2
02
4
Variavel 1
aux
c(v.
Y1
)
0 2000 4000 6000 8000 10000
−5
05
10
Variavel 2
aux
v.Y
2
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Algoritmos MCMC
Motivacao
ACF das amostras MCMC
0 10 20 30 40
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
Lag
AC
F
Variavel 1
0 10 20 30 40
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
Lag
AC
F
Variavel 2
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Algoritmos MCMC
Motivacao
Trace plots das amostras MCMC
0 2000 4000 6000 8000 10000
−6
−4
−2
02
4
Variavel 1
aux
c(v.
Y1
)
0 2000 4000 6000 8000 10000
−5
05
10
Variavel 2
aux
c(v.
Y2
)
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Algoritmos MCMC
Motivacao
Cadeias de Markov
Estudo de sequencias (conjuntos) de variaveis aleatorias que
guardam alguma estrutura dependendencia entre si.
Exemplo: seja X1,X2, ... um sequencia de Bernoullis que representam
resultados de lancamentos de duas moedas (0, cara ; 1, coroa).
Caso Xi = 0, lanca-se uma moeda com probabilidade de cara igual a
0,55, caso contrario lanca-se uma moeda com probabilidade de cara
igual a 0,35.
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Motivacao
Exemplo: lancamento de moedas
Matriz de transicao
P =
P(Xi = 0|xi−1 = 0) P(Xi = 1|xi−1 = 0)
P(Xi = 0|xi−1 = 1) P(Xi = 1|xi−1 = 1)
P =
0, 55 0, 45
0, 35 0, 65
Distribuicao estacionaria: x = Px.
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Exemplo: lancamento de moedas
Resultado: Se a Cadeia de Markov (definida pela matriz de
transicao), for reversıvel, a distribuicao estacionaria existe e e unica.
Obtida atraves de observacaos da cadeia de Markov, x = Pn, para n
suficiente grande.
Neste caso x = [0, 45; 0, 55]
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Motivacao
Exemplo: normal bivariado
No exemplo da normal bivariada, a matriz de transicao (que possui
um numero infinito nao enumeravel de elementos) e definida pelas
densidades de transicao (distribuicoes condidionais completas):
Y1|y2,µ,Σ;Y2|y1,µ,Σ
Neste caso, faz sentido calcular P(Y1 ∈ a|y2,µ,Σ) e
P(Y2 ∈ b|y1,µ,Σ), em que a, b sao intervalos da reta.
Resultado: se a Cadeia de Markov, com matriz de transicao definida
pelas condicionais completas for reversıvel, sua distribuicao
estacionaria sera unica e convergira para as distribuicoes marginais
de interesse.Prof. Caio Azevedo
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Motivacao
Algoritmos de Monte Carlo via Cadeias de Markov
O conjunto de algoritmos que permitem simular variaveis
(iterativamente) a partir das distribuicoes condicionais completas e
conhecido como algoritmos de Monte Carlo via Cadeias de Markov
(MCMC).
Monte Carlo (resolver integrais) Cadeias de Markov (gera cadeias de
Markov).
Aplicacoes: obter distribuicoes (marginais, condicionais, conjuntas)
de interesse. Em particular: Inferencia Bayesiana.
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Motivacao
Aplicacoes em Inferencia Bayesiana
Distribuicao inversa gama X ∼ IG (r , γ):
p(x) =γr
Γ(r)e−x/γx−(r+1)11(0,∞)(x)
Distribuicao normal-inversa gama (X ,Y ) ∼ NIG (µ, ν, r , γ)
X |y ∼ N(µ, y/ν)
Y ∼ IG (r , γ)
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Motivacao
Continuacao
Densidade conjunta
p(x , y) =
√ν√
2πy−1/2y−(r+1) exp
(−γy
)exp
{−1
2
ν(x − µ)2
σ2
}× 11(0,∞)(y)11(−∞,∞)(x)
Distribuicao marginal de X ,X ∼ t(2r)
(µ,√
γrν
),
p(x) =Γ( 2r+1
2 )Γ( 2r
2 )Γ( 12 )
(√2rδ)−1
[1 + (x−µ)2
2rδ2
]− 2r+12
11(−∞,∞)(x)
δ2 =√
γrν
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Motivacao
Aplicacoes em Inferencia Bayesiana
Seja X1|θ, ...,Xn|θ,θ = (µ, σ2) uma amostra aleatoria de
X |θ ∼ N(µ, σ2).
Famılia conjugada (normal inversa gama)
µ|σ2 ∼ N(α, σ2/κ)
σ2 ∼ IG(γ, β)
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Motivacao
Continuacao
Posteriori conjunta
µ|x, σ2 ∼ N(α∗, σ2/(ν∗))
σ2|x ∼ IG(r∗, γ∗)
em que ν∗ = ν + n, γ∗ = 12
[nνn+ν (x − α)2 + (n − 1)s2 + γ
],
r∗ = n2 + r .
Alem disso, µ|x ∼ t(2r∗)
(α∗,√
γ∗
r∗ν∗
).
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Motivacao
Continuacao
Pode-se provar que (distribuicoes condicionais completas):
µ|x, σ2 ∼ N(α∗, σ2/(ν∗))
σ2|x, µ ∼ IG(r∗∗, γ∗∗)
em que
r∗∗ = n+12 + r ; γ∗∗ = n
2 (x − µ)2 + ν2 (µ− α)2 + 1
2 (n − 1)s2 + γ
x = 1n
∑ni=1 xi ; s
2 = 1n−2
∑i=1 (xi − x)2.
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Motivacao
Histograma das amostras MCMC
Media
valores
de
nsi
da
de
0.5 1.0 1.5 2.0
0.0
0.5
1.0
1.5
Variancia
valores
de
nsi
da
de
3 4 5 6 7 8
0.0
0.2
0.4
0 2000 4000 6000 8000 10000
0.5
1.0
1.5
2.0
Variavel 1
aux
c(v.
mu
)
0 2000 4000 6000 8000 10000
34
56
78
9
Variavel 2
aux
v.si
gm
a2
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Algoritmos MCMC
Motivacao
ACF das amostras MCMC
0 10 20 30 40
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
Lag
AC
F
Variavel 1
0 10 20 30 40
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
Lag
AC
F
Variavel 2
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Motivacao
Trace plots das amostras MCMC
0 2000 4000 6000 8000 10000
0.5
1.0
1.5
2.0
Variavel 1
aux
c(v.
mu
)
0 2000 4000 6000 8000 10000
34
56
78
Variavel 2
aux
v.si
gm
a2
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Algoritmos MCMC
Motivacao
Definicao geral dos algoritmos MCMC
Seja p(θ|x) ∝ p(x|θ)p(θ) a distribuicao a posteriori de interesse
(com forma analıtica intratavel).
Considere a seguinte particao para o (vetor) p-parametrico
θ = (θ1,θ2, ...,θk), k ≤ p.
Sejam θj |θ(−j), x, i = 1, 2, ..., k em que θ(−j) denota o vetor
parametrico θ menos a componente θj , as distribuicoes
condicionais completas.
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Motivacao
Definicao geral dos algoritmos MCMC
Inicie a cadeia com um conjunto de valores iniciais apropriados.
Para r = 1, 2, ....,R, j = 1, 2, ..., k simule θ(r)j de θj |θ(r−1)
(−j) , x.
A partir de algum B > 1 (burn-in), retenha os valores a cada t
(espacamento) iteracoes.
Os valores retidos, se a cade tiver alcancado a convergencia,
correspondera a uma amostra aleatoria de das posteriories
(distribuicoes) de interesse.
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Motivacao
Questoes de interesse
1 Como simular de θj caso a distribuicao condicional completa nao
seja conhecida ou possıvel de simualr diretamente?
2 Como verificar a convergencia da cadeia gerada?
3 Como determinar B, t,R?
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Motivacao
Modelo gama
Exemplo: posteriori associada ao modelo gama(r , λ).
Suponha uma amostra aleatoria de tamanho n de X ∼ gama(r , λ),
com r conhecido.
p(x |r) =1
λrΓ(r)e−x/λx r−111(0,∞)(x)
Priori: p(r) alguma fdp com suporte em R+.
Verossimilhanca:
p(x|r) =1
λnrΓ(r)ne−nx/λ
n∏i=1
x r−1i
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Motivacao
Priori e posteriori
Priori
p(r , λ) = p(r)p(λ) =1
γαΓ(α)e−r/γrα−111(0,∞)(r)
× 1
φδΓ(φ)e−λ/φλδ−111(0,∞)(λ)
Posteriori
p(r , λ|x) ∝ 1
λnrΓ(r)ne−nx/λ
n∏i=1
x r−1i × e−r/γrα−1
× e−λ/φλδ−1
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Motivacao
Distribuicoes condicionais completas
Priori
p(r |λ, x) ∝ 1
λnrΓ(r)n
n∏i=1
x r−1i × e−r/γrα−1
p(λ|r , x) ∝ e−nx/λe−λ/φλδ−1
Algoritmo: simular, iterativamente, valores para (r , λ) atraves das
duas distribuicoes acima.
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Motivacao
Simulacao das distribuicoes condicionais completas
Se todas as distribuicoes condicionais completas forem conhecidas e
faceis de simular, teremos o algoritmo do amostrador de Gibbs
(“Gibbs sampling”).
Como no exemplo anterior da distribuicao normal.
Ponto importante, identificada a distribuicao condicional completa,
eg, normal, inversa gama, t de Student, devemos escolher algoritmos
apropriados para simular delas (eg, transformada inversa, rejeicao,
rejeicao adaptativa, amostragem por importancia).
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Motivacao
Amostrador de Gibbs
Inicie as cadeias com valores iniciais conveniente.
Simule, para r=1,2,...,R:
1 θ(r)1 de θ
(r)1 |θ(r−1)
2 , θ(r−1)3 , ..., θ
(r−1)k , x.
2 θ(r)2 de θ
(r)2 |θ(r)
1 , θ(r−1)3 , ..., θ
(r−1)k , x.
3 θ(r)3 de θ
(r)3 |θ(r)
1 , θ(r)2 , ..., θ
(r−1)k , x.
...
4 θ(r)k de θ
(r)2 |θ(r)
1 , θ(r)2 , ..., θ
(r)k−1, x.
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Motivacao
Pacote geral
Programa WinBugs: permite ajustar modelos complexos usando
diveros algoritmos do tipo MCMC.
Em geral, basta apenas fornecer o modelo (verossimilhanca) e prioris.
Limitacoes no uso de prioris improprias (Jeffreys).
Expedientes disponıves para inserir verossimilhancar e prioris que nao
sao padrao.
Pode ser utilizado de modo mais simples atraves do pacote do R
R2WinBUGS.
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Motivacao
Algoritmos para simular das cond.(traducao do manual)
Condicional completa contınua
Conjugada (conhecida): amostragem direta usando algoritmos
padrao.
Log-concava: Rejeicao adaptativa de derivacao livre (Gilks, 1992).
Espaco parametrico restrito: Amostragem por corte
(“slice-sampling”), Neal, 1997.
Espaco parametrico restrito: Metropolis-Hastings (adaptativo).
Condicional completa discreta
Limite superior finito: transformada inversa.
Poisson deslocada: amostragem direta usando algoritmos padrao.
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Motivacao
Voltando ao exemplo da distribuicao gama
Exemplo da durabilidade das turbinas.
Algoritmo WinBUGS para o ajuste do modelo.
Sem títulogamamodel<-function(){for (i in 1 : N){y[i]~dgamma(r,lambdaa)}r~dgamma(0.01,0.01)lambda~dgamma(0.1,0.1)lambdaa<-pow(lambda,-1)}
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Algoritmos MCMC
Motivacao
Traceplots para os tres conjuntos de cadeias geradas
0 2000 4000 6000 8000 10000
23
45
67
Iterations
Trace of r
0 2000 4000 6000 8000 10000
23
45
6
Iterations
Trace of lambda
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Algoritmos MCMC
Motivacao
Autocorrelacoes para um dos conjuntos de cadeias
0 5 10 15 20 25 30 35
−1
.00
.01
.0
Lag
Au
toco
rre
latio
n
r
0 5 10 15 20 25 30 35
−1
.00
.01
.0
Lag
Au
toco
rre
latio
n
lambda
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Algoritmos MCMC
Motivacao
Grafico das medianas acumuladas para um dos conjuntos
de cadeias
0 2000 4000 6000 8000 10000
3.5
4.5
5.5
Iterations
rg
am
ma
r
0 2000 4000 6000 8000 10000
1.8
2.2
2.6
Iterations
rg
am
ma
lambda
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Algoritmos MCMC
Motivacao
Grafico da estatıstica de Geweke para um dos conjuntos de
cadeias
0 1000 2000 3000 4000 5000
−2
−1
01
2
First iteration in segment
Z−
sco
re
r
0 1000 2000 3000 4000 5000
−2
−1
01
2
First iteration in segment
Z−
sco
re
lambda
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Algoritmos MCMC
Motivacao
Grafico da estatıstica de Gelman-Rubin para um dos
conjuntos de cadeias
0 2000 4000 6000 8000 10000
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
3.5
4.0
4.5
last iteration in chain
shri
nk
fact
or
median
97.5%
r
0 2000 4000 6000 8000 10000
12
34
5
last iteration in chain
shri
nk
fact
or
median
97.5%
lambda
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Algoritmos MCMC
Motivacao
Histograma da amostra valida para um dos conjuntos de
cadeiasHistograma de r
valores
de
nsi
da
de
2 3 4 5 6 7
0.0
0.2
0.4
Histograma de gamma
valores
de
nsi
da
de
1 2 3 4 5
0.0
0.4
0.8
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Motivacao
Estimativas Bayesianas para um dos conjuntos de cadeias
Resumo
Estatıstica Parametro
r λ
EAP 4,01 2,59
MeAP 4,02 2,49
EPAP 0,73 0,52
ICB(%) [2,75;5,57] [1,80;2,79]
Modelo gama: pD = 1, 618;DIC = 297, 206. Modelo exponencial
pD = 0, 95;DIC = 331, 928.
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Motivacao
Exemplo: mortalidade de besouros
Dados relativos ao percentual de besouros mortos expostos a
diferentes doses de disulfeto de carbono gasoso.
Dose log10CS2 Besouros expostos Besouros mortos
1,6907 59 6
1,7242 60 13
1,7552 62 18
1,7842 56 28
1,8113 63 52
1,8369 59 53
1,8610 62 61
1,8839 60 60
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Motivacao
Exemplo: mortalidade de besouros
Modelo
Yi ∼ Binomial(mi , pi )
ln
(pi
1− pi
)= β0 + β1(x − x), i = 1, 2, ..., 8
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Motivacao
Comandos
Algoritmo WinBUGS para o ajuste do modelo.
Sem títuloprobitmod<-function(){ for( i in 1 : N ) { r[i] ~ dbin(p[i],n[i]) logit(p[i]) <- beta0 + beta1 * (x[i]-1.793425) } beta0 ~ dnorm(0.0,0.001) beta1 ~ dnorm(0.0,0.001) }
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Algoritmos MCMC
Motivacao
Traceplots para os tres conjuntos de cadeias geradas
0 2000 4000 6000 8000 10000
0.2
0.6
1.0
Iterations
Trace of beta0
0 2000 4000 6000 8000 10000
25
35
45
Iterations
Trace of beta1
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Algoritmos MCMC
Motivacao
Autocorrelacoes para um dos conjuntos de cadeias
0 5 10 15 20 25 30 35
−1
.00
.01
.0
Lag
Au
toco
rre
latio
n
beta0
0 5 10 15 20 25 30 35
−1
.00
.01
.0
Lag
Au
toco
rre
latio
n
beta1
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Motivacao
Grafico das medianas acumuladas para um dos conjuntos
de cadeias
0 2000 4000 6000 8000 10000
0.7
00
.74
0.7
8
Iterations
beta0
0 2000 4000 6000 8000 10000
33
.03
4.0
Iterations
beta1
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Motivacao
Grafico da estatıstica de Geweke para um dos conjuntos de
cadeias
0 1000 2000 3000 4000 5000
−2
−1
01
2
First iteration in segment
Z−
sco
re
beta0
0 1000 2000 3000 4000 5000
−2
−1
01
2
First iteration in segment
Z−
sco
re
beta1
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Motivacao
Grafico da estatıstica de Gelman-Rubin para um dos
conjuntos de cadeias
0 2000 4000 6000 8000 10000
1.0
1.1
1.2
1.3
1.4
last iteration in chain
shri
nk
fact
or
median
97.5%
beta0
0 2000 4000 6000 8000 10000
1.0
01
.01
1.0
21
.03
last iteration in chain
shri
nk
fact
or
median
97.5%
beta1
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Motivacao
Histograma da amostra valida para um dos conjuntos de
cadeiasHistograma de beta0
valores
de
nsi
da
de
0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2
0.0
1.0
2.0
Histograma de beta1
valores
de
nsi
da
de
25 30 35 40 45
0.0
00
.06
0.1
2
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Motivacao
Estimativas Bayesianas para um dos conjuntos de cadeias
Resumo
Estatıstica Parametro
β0 β1
EAP 0,74 34,29
MeAP 0,74 34,24
EPAP 0,14 2,89
ICB(%) [0,48;1,02] [28,85;40,09]
Modelo com a covariavel pD = 1, 894;DIC = 42, 089. Modelo sem
covariavel pD = 1, 017;DIC = 312, 434.
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Motivacao
Exemplo : Num. de bacterias sobreviventes.
Dados relativos numero de bacterias sobreviventes em amostras de um produto alimentıcio
segundo o tempo (em minutos) de exposicao do produto a uma temperatura de 300oF .
Numero de bacterias Tempo de exposicao
175 1
108 2
95 3
82 4
71 5
50 6
49 7
31 8
28 9
17 10
16 11
1 12
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Motivacao
Exemplo: Nume. de bacterias sobreviventes.
Modelo
Yi ∼ Poisson(µi )
ln (µi ) = β0 + β1(x − x), i = 1, 2, ..., 12
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Motivacao
Comandos
Algoritmo WinBUGS para o ajuste do modelo.
Sem títulopoiregmod<-function(){ for( i in 1 : N ) { y[i] ~ dpois(mu[i]) log(mu[i]) <- beta0 + beta1 * (x[i]-6.5) } beta0 ~ dnorm(0.0,0.001) beta1 ~ dnorm(0.0,0.001) }
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Traceplots para os tres conjuntos de cadeias geradas
0 2000 4000 6000 8000 10000
3.4
3.8
Iterations
Trace of beta0
0 2000 4000 6000 8000 10000
−0
.30
−0
.20
Iterations
Trace of beta1
Prof. Caio Azevedo
Algoritmos MCMC
Motivacao
Autocorrelacoes para um dos conjuntos de cadeias
0 5 10 15 20 25 30 35
−1
.00
.01
.0
Lag
Au
toco
rre
latio
n
beta0
0 5 10 15 20 25 30 35
−1
.00
.01
.0
Lag
Au
toco
rre
latio
n
beta1
Prof. Caio Azevedo
Algoritmos MCMC
Motivacao
Grafico das medianas acumuladas para um dos conjuntos
de cadeias
0 2000 4000 6000 8000 10000
3.5
3.6
3.7
3.8
Iterations
rg
am
ma
beta0
0 2000 4000 6000 8000 10000
−0
.29
−0
.26
−0
.23
Iterations
rg
am
ma
beta1
Prof. Caio Azevedo
Algoritmos MCMC
Motivacao
Grafico da estatıstica de Geweke para um dos conjuntos de
cadeias
0 1000 2000 3000 4000 5000
−2
−1
01
2
First iteration in segment
Z−
sco
re
beta0
0 1000 2000 3000 4000 5000
−2
−1
01
2
First iteration in segment
Z−
sco
re
beta1
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Algoritmos MCMC
Motivacao
Grafico da estatıstica de Gelman-Rubin para um dos
conjuntos de cadeias
0 2000 4000 6000 8000 10000
1.0
01
.05
1.1
01
.15
1.2
01
.25
1.3
0
last iteration in chain
shri
nk
fact
or
median
97.5%
beta0
0 2000 4000 6000 8000 10000
1.0
01
.05
1.1
01
.15
1.2
01
.25
1.3
0
last iteration in chain
shri
nk
fact
or
median
97.5%
beta1
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Algoritmos MCMC
Motivacao
Histograma da amostra valida para um dos conjuntos de
cadeiasHistograma de beta0
valores
de
nsi
da
de
3.5 3.6 3.7 3.8 3.9 4.0
02
46
8
Histograma de beta1
valores
de
nsi
da
de
−0.30 −0.28 −0.26 −0.24 −0.22 −0.20
01
02
03
0
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Motivacao
Estimativas Bayesianas para um dos conjuntos de cadeias
Resumo
Estatıstica Parametro
β0 β1
EAP 3,81 -0,22
MeAP 3,82 -0,23
EPAP 0,04 -0,23
ICB(%) [3,72;3,91] [-0,26;-0,21]
Modelo com a covariavel pD = 1, 988;DIC = 80, 163. Modelo sem
covariavel pD = 0, 985;DIC = 463, 359.
Prof. Caio Azevedo
Algoritmos MCMC
