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ALGUNS PROBLEMAS DE HIDRODINÂMICA E CONVECÇÃO DE CALOR EM REATORES DE POTÊNCIA, SEGUNDO AULAS DO DR. W . R. GAMBILL JOSÉ ANTONIO DIAS DIEGUES INFORMAÇÕES IEA N.° Abril — 1969 INSTITUTO DE ENERGIA ATÔMICA Caixa Postal 11049 (Pinheiros) CIDADE UNIVERSITÁRIA "ARMANDO DE SAT.T.ES OLIVEIRA" SÃO PAULO BRASIL

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Page 1: ALGUNS PROBLEMAS DE HIDRODINÂMICA E CONVECÇÃO DE … · alguns problemas de hidrodinÂmica e convecÇÃo de calor em reatores de potÊncia, segundo aulas do ... b - convecÇao

ALGUNS PROBLEMAS DE HIDRODINAcircMICA E CONVECCcedilAtildeO DE CALOR EM REATORES

DE POTEcircNCIA SEGUNDO AULAS DO DR W R GAMBILL

JOSEacute ANTONIO DIAS DIEGUES

INFORMACcedilOtildeES IEA Ndeg Abril mdash 1969

INSTITUTO DE ENERGIA ATOcircMICA Caixa Postal 11049 (Pinheiros)

CIDADE UNIVERSITAacuteRIA ARMANDO DE SATTES OLIVEIRA SAtildeO PAULO mdash BRASIL

ALGUNS PROBLEMAS DE HIDRODINAcircMICA E CONVECCcedilAO DE CALOR EM

REATORES DE POTEcircNCIA SEGUNDO AULAS DO PR W R GAMBILL

^ Joseacute Antonio Dias Diegues

Divisatildeo de Engenharia Nuclear

Instituto de Energia Atoacutemica

Satildeo Paulo - Brasil

Informaccedilotildees IEA N9 12

Abril - 1969

i

Comissatildeo Hacional de Energia Nuclear

Presidente Prof urial da Costa Ribeiro

Universidade de Satildeo Paulo

Reitor ProfDr Luis Antonio da Gama e SilTa

Instituto de Energia Atoacutemica

Diretor Prof Roacutemulo Ribeiro Pieroni

Conselho Tecnico-Cientiacutefico do IEA

ProfDr Joseacute Moura Gonccedilalves ) ProfDr Joseacute Augusto Martins ) pela USP ProfDr Rui Ribeiro Franco ) ProfDr Theodoreto HI de Arruda Souto ) pela CNEN

Divisotildees Didaacutetleo-Cientiacuteficas

Divisatildeo de Fiacutesica Nuclear -Chefe ProfDr Marcello DS Santos

Divisatildeo de Radioquiacutemica -Chefe ProfDr Fausto Walter de Lima

Divisatildeo de Radiobiologiacutea -Chefe ProfDr Roacutemulo Ribeiro Pieroni

Divisatildeo de Metalurgia Nuclear -Chefe ProfDr Tharciacutesio DS Santos

Divisatildeo de Engenharia Quiacutemica -Chefe Lie Alciacutedio Abratildeo

Divisatildeo de Engenharia Nuclear -Chefe Eng2 Pedro Bento de Camargo

Divisatildeo de Operaccedilatildeo e Manutenccedilatildeo de Reatores -Chefe Eng2 Azor Camargo Penteado Filho

Divisatildeo de Fiacutesica de Reatores -Chefe ProfDr Paulo Saraiva de Toledo

Divisatildeo de Ensino e Formaccedilatildeo -Chefe ProfDrc Rui Ribeiro Franco

iacute N D I C E

Pagina

A M CONVICCcedilAtildeO DL CAIflOR O O O O O O O O O Q O O O O O O O O O O O O O laquo Q O O X

1 XntlTOdtlCcedilaO o e o O raquo 0 0 laquo o O O laquo 0 raquo 0 raquo 0 0 raquo 0 0 copy 0 0 0 copy 0 0 0 laquo raquo o e raquo O O a X

2 o Tipos d a convecccedilao O deg o deg lt gt o o o deg s lt gt o 9 lt gt bull bull raquo laquo laquo bull 1

3 v Regimes de escoamento dos fiuidos 2

4 bdquo Casos possiacuteveis de convecccedilao o 3

5 o Meacutetodo de estudo dos probXemas de convecccedilao 4

6 o Analxse dimensional copy o c copy o o e o laquo a i gt laquo o o copy o raquo o o Q o o o copy o o o e raquo 3

7 o CorWGCCcedilclQ ri3UumlUTd-X o o o o o o o u a o o o o o a o o a o o o o o o e o a o o o 7

S v COI lVOcircCCcedilacircO pound 03TCcedil3Clacirc O Q 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 9 9 Q O O O O O Q O O Q O Q O O O O Q 9

9 c Significado fisico dos adimensionais o o li

XOo Equaccedilatildeo d e convecccedilao forccedilada o 1 2

B - CONVECCcedilAO COM MUDANCcedilA DE FASE CONDENSACcedilAtildeO - (I) 1 5

1 laquo I I I 12TO d U Ccedil S O laquo o e copy o o copy G Q laquo Q e s j o o copy o o o a ocirc o o Q O O Q Q O lt raquo o o o laquo Q o 1 3

2 o COHCIacute3HSclCIacuteO copy B t a o o o c s o o e uacute G t raquo raquo o o copy e o o Q o raquo o copy laquo o lt s o o o o i gt 1 5

B - CONVECCcedilAO COM MUDANCcedilA DE FASE - EVAPORACcedilAtildeO - (II) 2 3

l o XntXOdUCcedilQ-O o a o raquo u s e t t laquo o raquo raquo raquo o copy i o a copy o o o copy copy O f gt o copy copy copy copy o laquo raquo 2 3

2 0 Processo de formaccedilatildeo das bolhas o o o o o o o o o raquo raquo laquo laquo copy gt 2 4

3 o Incertezas no e s t u d o de evaporaccedilatildeo copy copy copy copy copy copy copy copy o 2 7

4 o Regimes de ebuliccedilatildeo bull copy bull Q e o copy raquo o o laquo o laquo raquo o copy laquo o o o o o o o copy o copy o copy 2 3

3 o J^UrnOUt copy copy 9 o o e copy o copy o o copy o o copy o copy copy e c e ( gt o copy o o copy Q O copy 9 0 copy Q O Q o copy copy copy 3 1

oacute Influecircncia de outros paracircmetros no Burnout 3 3

7 o Formulas para caacutelculo do coeficiente de peliacutecula na

ebulXCcedilaO O raquo copy raquo O raquo copy D copy laquo Q copy copy O copy copy copy O O raquo copy O O O O copy O copy raquo copy laquo O copy laquo copy O laquo O O 3 3

Pagina

c FOacuteRMULAS PARA CAacuteLCULOS ESPECIacuteFICOS - RESULTADOS KSPE-

1laquo Fluxo de calor criacutetico - Burnout bdquo bdquolaquolaquolaquo 37

2 o Resultados especiacuteficos o o o o o o o o o o o o i o o o c o lt gt lt lt lt 44

D _ HIDRODINAcircMICA DOS SISTEMAS E QUEDA DE PRESSAtildeO DENTRO

1 o Hidrodinacircmica e queda de pressatildeo ltbdquolto 51

2 ^ Perda de pressatildeo num canal de evaporaccedilatildeo 60

E - EXPANSAtildeO E COMPRESSAtildeO DE UM FLUIDO - ANALISE HIDRODIshy

NAcircMICA DE UM CIRCUITO EM CIRCULACcedilAtildeO NATURAL bdquobdquobdquobdquobdquo 69

L Expansatildeo no fluxo de um

2 Contraccedilatildeo no fluxo de ura

A - CONVECCcedilAtildeO DE CALOR

1 INTRODUCcedilAtildeO

A convecccedilatildeo de calor e um fenocircmeno que ocorre muito freshy

quentemente ~ o caso por exemplo da transferecircncia de calor enshy

tre uma parede e um fluido a temperaturas diferentesraquo

Ao contraacuterio do que a equaccedilatildeo de Newton q = h A At

onde q e o calor trocado h e o coeficiente de peliacutecula A eacute a

aacuterea de troca de calor e At ecirc a diferenccedila de temperaturas) pode fa_

zer supor a convecccedilatildeo de calor e um fenoacutemeno complicado Na equashy

ccedilatildeo de Newton os diversos fatores que influem no fenocircmeno estatildeo

englobados no coeficiente de peliacutecula conforme veremos mais tarshy

de

Resumindo resolver um problema de convecccedilatildeo de calor eacute

obter o valor do coeficiente de peliacutecula h

2 TIPOS DE CONVECCcedilAtildeO

0 processo da transferecircncia de calor por convecccedilatildeo eacute devi

do atilde mistura de porccedilotildees de massas de fluido a diferentes temperatjj

ras A mistura dessas porccedilotildees pode ocorrer de duas maneiras e daiacute

resultam os dois tipos diferentes de convecccediloes

a) convecccedilatildeo natural

b) convecccedilatildeo forccediladaraquo

a) Convecccedilatildeo natural - Verifica-se quando os movimentos

macroscoacutepicos do fluido satildeo devidos unicamente a difeshy

renccedilas de densidade das porccedilotildees frias e quentes Podemos citar coshy

mo exemplo aquecimento residencial com resistecircncias eleacutetricas

transformadores etc

b) Convecccedilatildeo forccedilada - Verifica-se quando os movimentos

macroscoacutepicos do fluido sao devidos a agentes externos

isto e a movimentaccedilatildeo do fluido e provocada pela diferenccedila de

pressatildeo causada por bombas ventiladores etc Neste casonatildeo vatildeoixi

fluir portanto somente as condiccedilotildees teacutermicas do processo e as

propriedades fisicas do fluido mas tambeacutem as condiccedilotildees externas

determinantes do escoamento do fluido Sao inuacutemeras as aplicaccedilotildees

da convecccedilao forccedilada na industria em caldeiras reatores etcraquo

3 KEGIMES DE ESCOAMENTO DOS FLUIDOS - IMPORTAcircNCIA NA CONVECCcedilAO

A mecacircnica dos fluidos define dois tipos de escoamento

a) regime laminar

b) regime turbulento

a) Regime laminar - Aquele escoamento onde as partiacuteculas

movera-se em camadas numa direccedilatildeo paralela agrave parede

b) Regime turbulento - Aquele em que as partiacuteculas fluishy

das se movem irregularmente ao acaso sem nenhuma di_

reccedilao determinada

Nos regimes turbulentos junto agrave parede sempre ocorre a

formaccedilatildeo de uma corrente fluida em regime laminar cuja espessura

depende da velocidade meacutedia do escoamento chama-se esta camada de

sub-camada laminar

Laminar 1 Tran- | ^^furtmlento

siccedilatildeo iexcl ^S^

A

l Sub-camada limite laminar

N L

siccedilatildeo iexcl ^S^

A

l Sub-camada limite laminar

N L mdashbull parede plana

Um estudo mais detalhado sobre o escoamento acima

feito oportunamente

3

O regime do escoamento e importante na convecccedilao porque

ele determina qual o mecanismo preponderante na troca de calor enshy

tre parede e fluido

Assim no regime laminar o fluxo teacutermico normal agrave parede

eacute transmitido principalmente por conduccedilatildeo pura neste caso eacute a coji

dutividade teacutermica do fluido que determina a taxa de calor trocada

por convecccedilao

No regime turbulento o fluxo teacutermico eacute transmitido por um

mecanismo composto e complexo Na sub-camada limite laminar o flushy

xo daacute-se por conduccedilatildeo pura e na regiatildeo turbulenta datilde-se porumamls_

tura de porccedilotildees de mateacuteria a temperaturas diferentes

4 CASOS POSSIacuteVEIS DE TRANSFEREcircNCIA DE CALOR POR CONVECCcedilAO

Convecccedilao

Gases e

liacutequidos

Circulaccedilatildeo

Natural

parede plana

horizontal

vertical

parede cilin

drica

horizontal

externa e

internamente vertical

Circulaccedilatildeo

forccedilada

parede

plana

dentro

dos

tubos

escoamento laminar

escoamento turbulento

escoamento laminar

escoamento

turbulento

tubos retos

tubos em espiral

externamente

a tubos

paralelamente aos tubos

ortogonalmente aos tubos

externamente a tubos aletados

4

Cotivecccedilao

Na evaporaccedilatildeo

de liacutequidos

Na condensa-

cao de vaposhy

res

sobre superfiacutecies planas

internamente tubos

externamente tubos

circulaccedilatildeo natushy

ral ou forccedilada

externamente a tubos horizontais

externamente a tubos verticais

sobre superfiacutecies planas verticais

dentro de tubos verticais

5o MEacuteTODOS DE ESTUDO DOS PROBLEMAS DE CONVECCcedilAtildeO

jaacute vimos que a soluccedilatildeo do problema de convecccedilao eacute encon

trar uma expressatildeo para o coeficiente de peliacutecula (h) em funccedilatildeo

das suas inuacutemeras variaacuteveis

- temperatura da parede (t ) w

- temperatura do fluido (t^)

- velocidade do escoamento (V)

- forma $ e dimensotildees caracteriacutesticas (L L L ) da pa

x y z mdash rederaquo

- propriedades do fluido

- condutividade teacutermica (k)

- massa especiacutefica (p)

- calor especiacutefico (c)

- viscosidade dinacircmica (u)

Sendo assim a expressatildeo de h seratilde do tipo

h = h(t t_ V $ L L L k p c u ) w f x y z

Ha vaacuterios processos para chegar a uma soluccedilatildeo

1) meacutetodo analiacutetico

5

2) meacutetodo empiacuterico

3) meacutetodo integrado

Meacutetodo analiacutetico -to estudo para uma partiacutecula do flui

do da transmissatildeo de- calor levando em conta tambeacutem as

equaccedilotildees do escoamento e da continuidade do fluido o que leva a

equaccedilotildees diferenciais de difiacutecil soluccedilatildeo Tais soluccedilotildees em geral

sotilde sao possiacuteveis quando fazemos hipoacuteteses simplificadoras que se

nao forem corretas nos levaratildeo a uma soluccedilatildeo errada

Meacutetodo integrado - Eacute o estudo para um agregado de partiacuteshy

culas e tem o mesmo tipo de soluccedilatildeo que o meacutetodo analiacuteti

co poreacutem para esse agregado

Meacutetodo empiacuterico - Este meacutetodo estaacute associado agrave anaacutelise di

mensional Tal meacutetodo consiste em deduzirmos os nuacutemeros

adimensionais que influem no processo e procurarmos depois atrashy

veacutes da experiecircncia equaccedilotildees que os relacionem

6 ANALISE DIMENSIONAL

0 meacutetodo empiacuterico eacute o mais usado em virtude das dificulshy

dades que os outros apresentam apesar das suas limitaccedilotildees

Devemos tomar dois cuidados especiais para nao chegarmos

a resultados falsos o primeiro eacute obter dados experimentais os mais

corretos possiacuteveis e o outro eacute o de ao considerarmos um tipo de

convecccedilatildeo nao esquecer nenhuma variaacutevel que influa no mecanismo

pois se tal acontecer os nuacutemeros adimensionais obtidos seratildeo com

pletamente diferentes dos reais

Neste estudo usaremos o teorema de Buckingham ou teore

ma dos ir que diz o seguinte

Uma equaccedilatildeo de m variaacuteveis sect (x^ x 2 x^) que por sua

vez sao funccedilotildees de n_ dimensotildees fundamentais pode ser transformada

numa relaccedilatildeo entre (m-n) grupos adimensionais

6

Devemos notar ainda que a analise dimensional e o teore

ma dos TT nao nos permitem obter a relaccedilatildeo matemaacutetica entre os gru

pos adimensionais mas apenas quais os grupos que interferem no

fenocircmenoo

7= CONVECCcedilAtildeO NATURAL

Experimentalmente verificou-se que nesse fenoacutemeno intejr

ferem as seguintes variaacuteveis

Variaacutevel Unidade Dimensatildeo

h - coeflaquo de peliacutecula kcalhr degCm 2 ( M ) ( 0 ) 3 (T) 1

x = dimensatildeo caracteriacutestica m ( L )

AT bull-= diferenccedila de temperatu ra entre parede e flui do

degC (T)

p = massa especiacutefica fluido kgm3 (M) ( L ) 3

y = viscosidade dinacircmica kgsegm ( M ) ( e ) 1 ( L ) 1

6 = coei de expansividade teacutermica

V1

c = P

= calor especiacutefico do fluido

kcalkg degC (D2 ( e ) 2 (T) 1

k = condutividade teacutermica do fluido

kcalm hrdegC OOCDO)3^)1

g raquo aceleraccedilatildeo da gravidade mseg ( L ) ( e ) 2

Dimensotildees

(M) = massa

( L ) = comprimento

(8) = tempo

(T) = temperatura

I

Considerando que apenas estas 9 variaacuteveis influem na con-

vecccedilao natural o fenocircmeno poderaacute ser escrito na forma

B A_C D E F G H I h = A x (AT) bdquo p bdquo u o S Cp k g (1)

Sendo A B C D E F G H I expoentes reaisraquo

De acordo com o teorema dos T T se noacutes temos m = 9 variaacuteshy

veis funccedilotildees por sua vez de n = 4 dimensotildees o fenoacutemeno poderaacute

ser descrito por uma equaccedilatildeo de (9-4=5) adimensionais

Pesquisemos quais sao esses adimensionais Substituindo

na expressatildeo (1) as dimensotildees correspondentes temos

Me 3 T_1 = A LB TC (ML~3)D (Me - 1 ITV (T-1)F

a2 e~ 2 T - 1 ) g (MLe3

0T_1)H ( L e - 2 ) 1

Devido a homogeneidade de unidades da expressatildeo as somas

dos expoentes da mesma dimensatildeo nos dois membros devem ser iguais

(EM) D + E + H - 1 (I)

(26) - E - 2G - 3H - 21 = -3 (II)

(ET) C - F - G - H = -l (III)

(EL) B - 3 D - E + 2G + H + I = 0 (IV)

Solucionando o sistema acima em funccedilatildeo das variaacuteveis C

D G e T vem

Somando (I) e (II)

D - 2 G - 2 H - 2 I = - 2 o H = ~ G - I + 1

Substituindo o valor de H em (III) vem

C - F - G - | + G + I - l = - l F = C - + I

Substituindo o valor de H em (II) vem

8

- E - 2G - -y- + 3G + 31 - 3 - 21 = - 3 E = G + I - -y

Substituindo E e H em (IV) vem

B - 3 D - G - I + - y - + 2 G + | - - G - I + l + I = 0

Voltando agrave expressatildeo (1) temos

h = A x D + I - 1 ( A T ) C pdeg u G + I ~ 3 0 2 g C ~ 0 2 + 1

G D2 - 6 - 1+1 I c p k g

Agrupando os termos de mesmo expoente vem

t A 2 2 - 3 - 1 v D 2 -1 1 n = A (x p bdquo u g o k ) o (x u g k g)

o (AT g ) C (vi k 1 c p )Q o ( x - 1 k g )

h - A ( x 2

3 - p 2 k ) D 2 ( g deg Z)1 (AT g ) C

li 3

C k J x

2 2 h x x p k D 2 x u g gI

k ~ A ^ 3 o

deg 1 k deg

y 3

(AT g ) C ( ^ ) G

Chamando

h bdquo x n = mdash f mdash = Nbdquo = n9 de Nusselt 1 k Nu

T T 2 = p

k

P = N p r = ndeg de Prandtl

rr3 = AT o g

2 2 i

x o p k

4 3 R

M g

Assim os fenoacutemenos de convecccedilao natural sao descritos por

uma equaccedilatildeo do tipo

F ( IacuteW N P r V V V = deg Como as variaacuteveis 3 AT e g na convecccedilao natural soacute in

fluem nas forccedilas de empuxo provocando o movimento macroscoacutepico do

fluido devem aparecer constituindo o produto (g g AT) Para

que isso seja possivel devemos ter

~ = I = C reunindo-se assim os 3 adimensionais tr

T T ^ ir ou seja

ir AT g gt k P 2 X bull P B bull = 3 4 5 u 3 6 k

3 2 x p g g AT bdquo M O j o u c

= 7 = N_ = N9 de Grashof 2 Gr

Finalmente a convecccedilao natural pode ser descrita por uma

equaccedilatildeo da forma

F(Nbdquo N_ Nbdquo ) = 0 Nu Pr Gr

Agora soacute resta obter para cada caso possiacutevel do paraacutegra

fo 4 ps coeficientes desses 3 nuacutemeros adimensionais

8 CONVECCcedilAO FORCcedilADA

Na convecccedilao forccedilada nao influem as forccedilas de empuxo poshy

reacutem influi decisivamente a velocidade do fluido Assim as variaacuteshy

veis que intervecircm no fenocircmeno sao

h = coeficiente de peliacutecula (M) ( 8 ) ~ 3 ( T ) 1

o 10

x = dimensatildeo caracteristica (L)

-1 V = velocidade do fluido (L) (8)

I -3

u = viscosidade dinacircmica do fluido (M) (L)- (0)~

p = massa especifica do fluido (M) (L)

- 2 - 2 - 1 0^ = calor especifico do fluido (L) (6) (T)

k = condutividade teacutermica do fluido (M) (L) ( 0 ) ~ 3 ( T ) 1

0 fenocircmeno eacute determinado por estas 7 variaacuteveis logo coja

forme o teorema dos ir podemos descrever o fenocircmeno por uma equaccedilatildeo

com (7 - 4) = 3 nuacutemeros adimensionais

A equaccedilatildeo de h em funccedilatildeo das variaacuteveis seraacute do tipo

h = A x V u bull P bull c k (2)

substituindo as dimensotildees vem

M e~ 3 T - 1 = A L B (L Q~X)C (M L - 1 e 1 ) 0

(M L 3 ) E ( L 2 e 2 T _ 1 ) F (M L e - 3

T - 1 ) G

Igualando a soma dos expoentes da mesma variaacutevel dos dois membros

vem

(EM) D + E + G = 1 (I)

(Z6) - C - D - 2F - 3G - -3 (II)

(ET) - F - G = -1 (III)

(EL) B + C - D - 3 E + 2 F + G = 0 (IV)

resolvendo o sistema acima em funccedilatildeo de C e G vem

de (III) F = 1 - G

de (II) - C - D - 2 + 2 G - 3 G = - 3

bull D = 1 - C - G

substituindo o valor D em (I) vem

11

1 - C - G + E + G = 1 E = C

substituindo os valores de D E e F em (IV) vem

B + C = l + C + G - 3 C + 2 - 2 G + G = 0

B = C - 1

assim a equaccedilatildeo (2) ficaraacute sendo

C-l bdquoC 1-G-C C 1-G G h = A x V y p c k

P

colocando o coeficiente de k na forma (1-G) + l^j vem

h = A (x V y1 p ) C (ii c k - 1 ) 1 - 0 (x _ 1 k) P

u c hx p x VvC p xl-G k = A ( y gt ( k

ILJLJL = N

k Nu

y c N

e k Pr

p V x _

y N R e = N9 de Reynolds

Logo o fenocircmeno de convecccedilao forccedilada seratilde representado

por equaccedilotildees do tipo

f ( NNugt NPrlaquo N R e ) = 0

9 SIGNIFICADO FIacuteSICO DOS ADIMENSIONAIS

91 - Numero de Nusselt

N = bull h = 2L- _) Nu k AT v

v3 x x=0

eacute uma relaccedilatildeo entre o gradiente de temperatura junto a parede e a

12

variaccedilatildeo total da temperatura do fluido

92 - Numero de Prandtl

Pr = pp = 2 kpc a

P

Relaccedilatildeo entre viscosidade ci nemaacutetica v e a difusividade teacutermica a

93- Numero de Reynolds

N_ = amp Relaccedilatildeo entre as forccedilas de Re u - r bull

ineacutercia e as forccedilas viscosas que interferem no escoamento fluido

94 - Numero de Grashof

H = mdashmdash mdash^mdash 2 mdash amp a relaccedilatildeo entre o pro-u duto (forccedila de ineacutercia )

x (forccedila de empuxo) e o quadrado das forccedilas visshycosas que interferem na convecccedilao natural

11 EQUACcedilOtildeES DE CONVECCcedilAO FORCcedilADA

Por ser o caso mais importante na induacutestria soacute veremos

algumas equaccedilotildees para a convecccedilao forccedilada e deixaremos de lado a

convecccedilao natural por ser menos importante

Para cada tipo de escoamento para cada regime de transshy

ferecircncia de calor e para cada configuraccedilatildeo geomeacutetrica teremos uma

equaccedilatildeo com expoentes e coeficientes diferentes poreacutem sempre com

as mesmas trecircs variaacuteveis

Nbdquo N- N_ Nu Re Pr

Para resolver um problema de convecccedilao devemos antes

avaliar as propriedades do fluido essa avaliaccedilatildeo eacute feita considj

13

rando a temperatura media do fluido isto e a meacutedia aritmeacutetica da

temperatura entre um ponto do fluido junto agrave parede e um ponto onshy

de a temperatura do fluido seja constante longe da parede

Ha casos entretanto que na praacutetica trecircs adimensionais

so nao sao suficientes para expressar o fenocircmeno isto porque as

vezes ha uma propriedade que eacute muito sensiacutevel a uma pequena varia

ccedilao de temperatura logo para estes casos introduzem-se outros adi^

mensionais para levar em conta a dependecircncia dessa propriedade com

a temperatura

Todas as expressotildees foram obtidas experimentalmente A li

teratura especializada tem formulas para todos os tipos possiacuteveis

de geometria Vejamos alguns exemplos

101 ~ Convecccedilatildeo forccedilada sobre superfiacutecies planas

a) regime laminar ( N R g lt 400000)

N T = 0664 (N ) 1 f 2 (N ) 1 ^ 3

NuL ReL u Pr

b) regime turbulento ( N R g gt 400000)

NNuL deg 0 3 6 lt N P r ) 1 3 t gt R e L ) 0 8 1 8 7 deg deg ^

102 - Convecccedilatildeo forccedilada dentro de tubos ciliacutendricos

a) regime laminar (N_ ^ lt 2100) mdash Re D

i

b) regime turbulento Nbdquo _ gt 2100 mdash u Re D

N v _ = 0023 (N_ J 0 8 (Nbdquo ) n

NuD ReD Pr

14

n = 04 para fluido aquecendo

n =raquo 03 para fluido resfriando

Note-se que neste caso houve necessidade de considerar ou

tros adimensionais para aliar a anaacutelise dimensional agrave experiecircncia

no item a) dois outros adimensionais tiveram que ser acrescentados

(DL) e (up s)

Na expressatildeo 101 b) se o N critico for tomado como

sendo 5 x 10 (usado comumente) a expressatildeo usada eacute a mesma a me

nos do termo 18700 que passa a ser 23200

Devemos observar finalmente que estas expressotildees nao se

aplicam a metais liacutequidos e que elas nos datildeo nuacutemeros de Nussel meacuteshy

dios e natildeo locais

15

B - CONVECCcedilAtildeO COM MUDANCcedilA DE FASE - CONDENSACcedilAtildeO (I)

lo INTRODUCcedilAtildeO

Devemos considerar dois tipos de convecccedilao com mudanccedila de

fase que sao a condensaccedilatildeo e a evaporaccedilatildeo

Os problemas de convecccedilao de calor com mudanccedila de fase sao

tao importantes na industria como os de convecccedilao de uma uacutenica

faseraquo Os exemplos mais comuns de sua aplicaccedilatildeo sao os condensadoshy

res e evaporadores usados nos condicionadores de ar geladeiras

caldeiras etc

Neste capiacutetulo estudaremos apenas a condensaccedilatildeo

Os problemas de convecccedilao com fluidos condensando ou evashy

porando sao bem mais complexos que os demais processos de convecshy

ccedilao porque aleacutem de envolver variaacuteveis nao consideradas na conshy

vecccedilao de sistemas de uma so fase tecircm uma variaccedilatildeo nas propriedashy

des fiacutesicas de tal grandeza que essa variaccedilatildeo interfere decisiva

mente no fenocircmeno

2 CONDENSACcedilAtildeO

Eacute a passagem de um vapor para o estado liacutequido pela retishy

rada de calor

21 - Aspectos Gerais

A condensaccedilatildeo eacute realizada fazendo com que o fluido (vashy

por) entre em contato com uma superfiacutecie cuja temperatura esteja

abaixo da temperatura de saturaccedilatildeo do fluido correspondente atilde pres_

sao do vapor

0 coeficiente de peliacutecula relativo ao vapor de aacutegua satushy

rada que condensa sobre uma superfiacutecie fina eacute da ordem de grandeshy

za de 10000 kcalhrm^degC em casos excepcionais chega-se acirc valo-

16

res 50o000-100bdquo000 kcalhrm 2degC Isto eacute obtido a maneira pela

qual a condensaccedilatildeo se produz Ilaacute duas maneiras

1 - condensaccedilatildeo por peliacutecula daacute-se quando o liacutequido con

densado molha totalmente a parede formando urna peliacute

cula continua sobre a mesmaraquo

2 - condensaccedilatildeo por gotas daacute-se quando o liacutequido ao se

condensar rcune-se em gotas que crescem ateacute terem

peso suficiente para escoarenu

0 primeiro tipo eacute o mais comum e eacute o que daacute menor coefishy

ciente de peliacutecula porque a pelicula do liacutequido constitui uma re

sistencia adicional a passagem do calorraquo No segundo tipo chega-se

a coeficientes de pelicula muito maiores pelo fato do vapor estar

sempre em contato direto com a superficie resfriadura isto eacutepor

nao haver resistencia adicional

2o2 - Condiccedilotildees para termos condensaccedilatildeo por peliacutecula ou por

gotas

Sob o ponto de vista da transmissatildeo de calor deveriacuteamos

sempre preferir a condensaccedilatildeo por gotas pois como jaacute dissemos e

a que daacute maior eficiencia teacutermica Acontece poreacutem que tecnologji

camente eacute difiacutecil a obtenccedilatildeo da condensaccedilatildeo por gotas pois haacute

necessidade de termos um vapor puro urna superficie de resfriameii

to perfeitamente lisa (cromeada espelhada) e com resinas para fa

cilitar a formaccedilatildeo das gotas Tudo isso encareceria demais um con_

densador por isso eacute que na praacutetica usamos condensaccedilatildeo por peliacutecu

la quando podemos usar chapas ou tubos comerciais

So em casos muito especiais quando o espaccedilo eacute muito imshy

portante usa-se condensaccedilatildeo por gotas

2 3 - Remoccedilatildeo do Condensado

Um fator importante a considerar na condensaccedilatildeo eacute a remo

17

ccedilao do condensado que sempre se faz por gravidade Ha dois tipos

principais de superficies de condensaccedilatildeo

1 - Tubos ou placas verticais (ou encunadas)

2 - Tubos cilindricos horizontais

Nos tubos verticais a espessura da peliacutecula liacutequida aumen

tara do topo acirc base e com isso variaraacute ao longo do tubo o coefishy

ciente de peliacutecula loacutecalo

No caso dos tubos ciliacutendricos horizontais o liacutequido escoj

re pela parede lateral e goteja pela parte inferior natildeo havendo

possibilidade de formaccedilatildeo de camadas espessas do condensado

2raquo4 - Condensaccedilatildeo por peliacutecula sobre tubos verticais

Nusselt desenvolveu estudos analiacuteticos sobre condensaccedilatildeo

externa a tubos ciliacutendricos verticais partindo das hipoacuteteses

1 - A espessura da peliacutecula do condensado eacute nula na parte

superior do tubo e vai aumentando nas partes inferioshy

res por condensaccedil-ao e escorrimentoraquo

2 - 0 fluido escorre pela parede em regime laminar sob o

efeito combinado do seu peso e viscosidade

3 - A temperatura da camada mais interna do condensado tem

a temperatura da parederaquo

4 - A temperatura da camada mais externa tem a temperatushy

ra do vapor-

5 - A variaccedilatildeo da temperatura da camada do condensado em

sentido ortogonal agrave superfiacutecie do tubo eacute linear

6 - 0 vapor cede apenas seu calor latente

7 - A temperatura do tubo eacute uniforme e constanteraquo

8 - Nao haacute gases incondensaacuteveis no vapor (vapor puro)

Chegou a formula

18

2 3 g P - h L t

N j = 0943 ( r-EcircY~ ) 1 4 (l) NuL y bdquo k o At v

As propriedades da equaccedilatildeo (1) satildeo avaliadas agrave temperatu

ra meacutedia tm

c + t _ w sat

tm ~ onde

t = temperatura da parede

t = temperatura de saturaccedilatildeo do fluido S 3Lt

exceto o calor latente da vaporizaccedilatildeo b^ que deve ser avaliado agrave

temperatura de saturaccedilatildeo correspondente atilde pressatildeobdquo

Quando a superfiacutecie focircr inclinada vale o raciociacutenio de

Nusselt apenas o termo que atua na remoccedilatildeo do condensado natildeo eacute g

mas sim (g seno) sendo 6 a inclinaccedilatildeo da superfiacutecieraquo

Assim a equaccedilatildeo para estecaso seria

2 3 g o sene o p o h o L

NT _ = 0943 ( r~ y (2) NuL y o k o At w

25 - Efeitos a considerar na condensaccedilatildeo

Ha 3 efeitos importantes a considerar na condensaccedilatildeo que

Nusselt natildeo levou em conta sao eles

- efeito da turbulecircncia no filme liacutequidoraquo

- efeito dos gases incondensaveisraquo

- efeito da velocidade do vapor

251 - Efeito da turbulecircncia no filme liacutequido

As formulas anteriores servem para comprimentos de tubos

pequenos pois nesse caso a velocidade de escoamento do condenshy

sado natildeo eacute grande entretanto para superfiacutecies verticais longas

a peliacutecula torna-se bastante espessa e com velocidade grande deshy

mais para que o escoamento possa ser considerado em regime lamishy

nar

19

Nesse caso define-se o numero de Reynolds baseado na veshy

locidade da fase liacutequida isto eacute

p V 6

Nbdquo - m r

Rer y u

onde

V = velocidade do condensado na camada limite m 6 = espessura da camada limite

T = p V m 6 = descarga do condensado por unidade de largju

ra da superficie de condensaccedilatildeo

No calculo da determinaccedilatildeo de T haacute uma certa dificuldade

pois ele soacute pode ser determinado por iteraccedilatildeoraquo

Q = m c laquo A t = h A A t P

A = 2ir R bdquo L (para tubos)

m c = h o 2IumlIuml R laquo L P

m m braquoL _ p a _ _ li li

2TTR C c P P

Como noacutes nao sabemos o valor de h_ devemos inicialmente

adotar um V e obter atraveacutes da foacutermula

NNuL = deggt0134 (R PV L 3 gt 1 3 ( N R e r ) 0 4 ( 4 )

y

o valor de _h se os valores de h_ obtidos por (3) e (4) forem iguais

o problema esta resolvido caso contraacuterio fazem-se tantas iterashy

ccedilotildees quantas forem necessaacuterias

252 - Efeito dos gases incondensaacuteveis

A presenccedila de gases incondensaacuteveis reduz violentamente o

coeficiente de peliacutecula pois acirc medida que o vapor se condensa o

gaacutes nao condensaacutevel se acumula junto atilde superfiacutecie de resfriamento

20

formando uma barreira adicional S passagem do fluxo de calor

A reduccedilatildeo do coeficiente de peliacutecula que a presenccedila des_

ses gases causa depende da fraccedilatildeo em massa dos mesmos na mistu

ra gaacutes-vapor

Fizeram-se inuacutemeras experiecircncias e sobre o assunto a tiacute

tulo de exemplo vejamos o graacutefico abaixo onde temos em abcissas

o coeficiente de peliacutecula obtido experimentalmente e em ordenadas

a fraccedilatildeo de gases dissolvida jio vapor

5000

bullg- 4000 O

3OOO

2000

S 1000

4 6 8 10 12 lt|gt(lbm arlbm de vapor )x 10

Devemos notar a grande influecircncia dos gases incondensatilde-

veis por exemplo quando o vapor eacute puro nos temos um h = 4000se

tivermos apenas 1 de ar dissolvido o coeficiente de peliacutecula fishy

caraacute reduzido agrave metade isto ecirc h = 2000

Por isso nos condensadores sempre se coloca vapor ornais

puro possiacutevel

253 - Efeito da velocidade do vapor

Quando a velocidade do vapor junto agrave interface liacutequido-

-vapor natildeo focircr despreziacutevel surgem forccedilas de atrito entre o vapor

e o liacutequido Se a direccedilatildeo do fluxo do vapor coincide com a direshy

ccedilatildeo do movimento do liacutequido a velocidade do liacutequido aumenta (haacute

compressatildeo) e a espessura do filme liacutequido diminui e consequenshy

temente a transferecircncia teacutermica melhora pois haacute diminuiccedilatildeo da

resistecircncia teacutermica

Se entretanto a direccedilatildeo do vapor focircr contraacuteria a do fil

o 21 laquo

me de liquido ha uma tendecircncia de haver aumento da espessura da pj2

liacutecula diminuindo assim o valor de h

26 - Consideraccedilotildees sobre os resultados obtidos com as foacutermushy

las de Nusselt

Nota-se experimentalmente que os resultados obtidos pelas

equaccedilotildees de Nusselt sao em geral 10 a 20 inferiores do que os reshy

sultados reais Assim a favor da seguranccedila elas sao usadas e aaacuteo_

tadas Os motivos das discrepacircncias jaacute-foram ditas atraacutes no item

25

Devemos notar ainda que o valor de h obtido pelas foacutermushy

las anteriores e o valor meacutedio jaacute que h varia de ponto para ponto

e seria difiacutecil obter uma equaccedilatildeo que nos desse o valor de h locaL

2bdquo7 - Condensaccedilatildeo por peliacutecula externamente a tubos ciliacutendrishy

cos horizontais

0 mesmo estudo de Nusselt pode ser aplicado neste caso

baseado na hipoacutetese de que no topo do tubo a peliacutecula do condensashy

do tenha espessura nula Chega-se a expressatildeo

g p 2 h D 3 14

NT _ = 0725 ( ) (5) NuD u k o At

Analogamente ao caso anterior as propriedades do liacutequido

sao tomadas a

t + t w sat

tm = ^

exceto h que eacute tomado a t

ev n sat

Na situaccedilatildeo atual da tecnologia e possiacutevel obtermos tubos

com diacircmetros suficientemente pequenos para que tenhamos escoamenshy

to do condensado soacute em regime laminar

22

No caso de vaacuterios tubos empilhados a formula (5) deve

ser modificada pois como dissemos ela soacute vale quando no topo do

tubo a espessura do liacutequido eacute nula o que nao acontece neste caso

(Vide figura a)

Vapor

Tubo

mdash Liacutequido

Fig a

Neste caso a forma que nos da o valor meacutedio para h e

g p 2 h D 3 14

NNuD deg gt 7 2 5 lt N u k V At gt

sendo N o numero de tubos empilhados

Note-se que neste caso o coeficiente h cai bastante Uma

boa soluccedilatildeo para o caso quando dispoacuteftos de lugar eacute dispor os tushy

bos defasados (Conforme figura b)

Liquido

Fig b

Neste arranjo podemos aplicar a equaccedilatildeo (5) pois no tp_

po de cada tubo a espessura da camada de condensado eacute nula

23

B - CONVECCcedilAtildeO COM MUDANCcedilA DE FASE - EVAPORACcedilAtildeO (II)

1 INTRODUCcedilAtildeO

Evaporaccedilatildeo consiste na obtenccedilatildeo de vapor por meio de aque

cimento de um liacutequido

Apesar da importacircncia do processo e do sucesso obtido na

praacutetica em projetos de evaporadores o fenocircmeno da evaporaccedilatildeo eacute

um dos pontos menos conhecidos da transmissatildeo de calor

0 primeiro estudo seacuterio sobre o assunto foi feito em 1934

pelo japonecircs Nukiyama poreacutem somente nos uacuteltimos 10 anos tais es-

tudos se intensificaram

Os primeiros pesquisadores quando estudavam o fenocircmeno

do resfriamento de um solido num liacutequido obtiveram as seguintes

curvas

onde

temperatura

velocidade de resfriamento

3 0 v = amdashbull

A 06

Q - fluxo teacutermico

8 - tempo

A - aacuterea do soacutelido

24

tempo

Ateacute os estudos de Nukiyama nao se conseguia explicar o

porque da variaccedilatildeo crescente da velocidade de resfriamento quando

t gt t sol sat

2 PROCESSO DE FORMACcedilAtildeO DAS BOLHAS

Como a evaporaccedilatildeo do liacutequido se faz sobre uma superfiacutecie

aquecedora sobre esta irao se formar bolhas de vapor que influem

decisivamente no fenocircmeno

Aqui soacute iremos estudar as bolhas sob o ponto de vista qua

litativo bem como a sua influencia mas nao sob o ponto de vista

quantitativo

Recentemente Fritz e Jacob WR Gambill e outros estudiacutei

ram o processo da formaccedilatildeo das bolhas sobre a superfiacutecie aquecedpound

ra Atraveacutes de fotografias verificaram que a bolha de vapor ain

da em contato com a parede variava profundamente de forma confo_r

me o angulo de contato entre liacutequido e parede metaacutelica

Assim eacute que se a superfiacutecie de aquecimento nao e excesshy

sivamente polida e a tensatildeo superficial do liacutequido eacute pequena a

bolha tem a forma da figura las diz-se nesse caso que o liquishy

do molha a parede neste caso o angulo de contato e agudobull Se

as condiccedilotildees contrarias se verificarem o acircngulo de contato sera

obtuso e as bolhas tomam a forma da figura ldegb Naturalmente ve

rificara-se as condiccedilotildees intermediaacuterias para o angulo de contato da

25

fig lc

Fig la Fig lb Fig lo

0 estudo analiacutetico da formaccedilatildeo e crescimento das bolhas

pode ser encontrado em diversos livros por exemplo no El-Wakill

(Nuclear Power) no Jakob (Heat Transfer)e outros Neles faz-se

o estudo das condiccedilotildees do liquido (pressatildeo temperatura tensotildees

etc) para haver ou nao formaccedilatildeo de bolha Isto eacute feito fazendo-se

o estudo das bolhas nas seguintes posiccedilotildees

a) bolha no seio do liacutequido

para meia bolha

4 ltP g - P fgt fg

onde

P g P f

- 4 D (D

g

Pf

D

pressatildeo do vapor

pressatildeo do liquido

tensatildeo entre superfiacutecie do liacutequido e vapor

diacircmetro da bolha

^f g

P f Fig 2

26

A equaccedilatildeo (1) mostra que a pressatildeo do vapor deve ser maior

que a do liquido nas condiccedilotildees de saturaccedilatildeo e este por sua vez

deve estar no estado de superaquecimento o

b) bolhas sobre superfiacutecie solida

Fig 3

Condiccedilotildees para desprender

a mdash o_ + o_ cos a gs fs fg

tensatildeo na interfase liacutequida e vapor (depende das

propriedades do liacutequido e vapor)

tensatildeo entre o liacutequido e superfiacutecie de aquecimen

to (depende das propriedades do liquido e da sushy

perfiacutecie)

tensatildeo entre o vapor e a superfiacutecie de aquecimeri

to (depende das propriedades do vapor e da super

fiacutecie)

21 - Formas do fluxo do vapor desde a superfiacutecie de aquecishy

mento ateacute a superfiacutecie livre do liacutequido

Considerando liacutequido vaporizado em tubos verticais pode^

mos ter 4 tipos de fluxo de vapor

1 - fluxo de bolhas

2 - fluxo de agregados (plug ou slug)

3 - fluxo anular

4 - fluxo disperso

Os quatro tipos ficam bem determinados respectivamente

onde

a fg

degfs

a gs

27

pelas 4 figuras abaixo

LIacutequido - Liacutequido Liacutequido

o

^Bocirclha de

vapor

Vapor

mdash [

- Vapor

mdash 0 0

deg_ a-

jrj-

iquestiexcl5

Bolhas Agregados Anular

Liacutequido

vapor

Disperso ou

Homogecircneo

Conforme o tipo de ebuliccedilatildeo podemos ter uma so das forshy

mas acima ou uma mistura

3 INCERTEZAS NO ESTUDO DA EVAPORACcedilAtildeO

Ha trecircs incertezas principais para determinar o fluxo de

calor na evaporaccedilatildeo a saber

- Aacuterea de contato indefinida

- Diferenccedila de temperatura indefinida

- Grau de turbulecircncia

Como realmente nos nao sabemos uma dependecircncia algeacutebri

ca entre o acircngulo de contato e a superfiacutecie ocupada pelo liacutequishy

do (ou vapor) temos uma incerteza na determinaccedilatildeo da aacuterea de tro

ca de calor (A)

Outra incerteza eacute a dificuldade da obtenccedilatildeo de diferenccedila

de temperatura entre o liacutequido e a parede que normalmente assume-

-se como sendo a diferenccedila entre a temperatura da parede e da ebu

liccedilatildeo do liacutequido (temperatura de saturaccedilatildeo = t )

S cl c

Na realidade a diferenccedila de temperaturas nao eacute aquela

pois a camada de liacutequido que cobre a superfiacutecie aquecedora esta

a uma pressatildeo maior que o resto do liacutequido (pressatildeo atmosfeacuterica

mais a hidrostaacutetica) e consequentemente a temperatura de vaporiza_

ccedilao desse liacutequido e maior que a da superfiacutecie Esta diferenccedila po-

28

deria ser calculada desde que se conhecesse a relaccedilatildeo entre presshy

satildeo e temperatura de saturaccedilatildeo do liacutequido entretanto haacute incerte

za quanto ao verdadeiro peso especiacutefico da coluna de liacutequidopois

trata-se de uma mistura de bolhas de vapor e de liacutequido em proshy

porccedilatildeo variaacutevelraquo

4 REGIMES DE EBULICcedilAtildeO

Nukiyama estudando a ebuliccedilatildeo da aacutegua num recipiente a

quecendo-a com resistencias eleacutetricas construiu a curva baacutesica da

ebuliccedilatildeo Todos os liacutequidos apresentam uma curva semelhante vashy

riando apenas os valoresraquo Os pontos caracteriacutesticos da curva deshy

pendem de caracteriacutesticas difiacuteceis de definirtais como natureza

do metal estado da superficie (rugosidade) dimensotildees orientashy

ccedilatildeo do fluxo quantidade de gases dissolvidos e t c

Estudaremos o fenocircmeno para o caso de aacutegua destiladasem

gas dissolvido a temperatura de saturaccedilatildeo 100 C pressatildeo atmosfe_

re uma superficie plana

Chega-se assim acirc curva

rica sobre uma superficie plana horizontal a temperatura t^

In ltJgt

At (degC)

A curva acima representa o aquecimento de agua com uma re_

sistecircncia eleacutetrica (ate ebuliccedilatildeo)raquo Temos em abcissas as diferenccedilas

de temperatura entre o liacutequido e a resistecircncia em ordenadas o flu

29

Regiatildeo I

Regiatildeo II

Regiatildeo III

Regiatildeo IV

xo de calor por unidade de area

Na curva notam-se 4 regiotildees bem definidas tendo cada uma

o seu significado fiacutesico os quais correspondem a um tipo de ebuli

ccedilao

convecccedilao natural

ebuliccedilatildeo nucleada

ebuliccedilatildeo por peliacutecula parcial

ebuliccedilatildeo por peliacutecula estaacutevel

41 - Convecccedilao natural

Ocorre quando At eacute inferior a 8degCformam-se no liacutequido

correntes convectivas as quais transferem o calor ateacute a superfiacuteshy

cie livre do liacutequido e aiacute desprendendo o vapor Neste caso o valor

de h eacute da ordem de 2000 kcalm^hdegC

42 - Ebuliccedilatildeo nucleada

Ocorre quando o At eacute maior que 8degC e menor que 25degC Nesshy

te caso as bolhas formam-se junto a superfiacutecie de aquecimento

crescem liberam-se movimentam-se em direccedilatildeo agrave superfiacutecie livre do

liacutequido onde estouram libertando o vapor As bolhas formam-se nas

irregularidades da parede tecircm um acircngulo de contato agudo e porshy

tanto hatilde liacutequido sempre em contado com a parede (molha a parede)

cada ponto ativo (lugar onde se formam as bolhas) libera uma porshy

ccedilatildeo de bolhas e os outros pontos do liacutequido ficam em contato com a

superfiacutecie quente violentamente agitados Esta agitaccedilatildeo extrema eacute

mais eficaz que uma turbulecircncia criada artificialmente Por esse mo

tivo a curva cresce violentamente nesse trecho (m = 3 a 7) pois

bull 2 o o valor de h cresce consideravelmente (ate 46000 kcalm hr C) e

o fluxo teacutermico transmitido ao liacutequido cresce proporcionalmente a

Quando cresce crescem tambeacutem

(At) 3

30

numero de bolhas por unidade de aacuterea (num instanshy

te)

~ = crescimento da bolha (com o tempo)

frequecircncia de iacuteormaccedilao de bolhas

A medida que o At vai aumentando iraacute aumentando (jgt tam-- n o N

bem e consequentemente mdash R mdash a a a tal ponto que quando atiacuteii

girmos o ponto da curva nao haveraacute mais formaccedilatildeo de bolhas

mas sim uma peliacutecula de vapor instaacutevel passando assim a 3a re

giao que estudaremos a seguir

43 - Ebuliccedilatildeo por peliacutecula parcial

Como dissemos no item anterior se aumentarmos ainda mais

o At (entre 25degC e 125degC) teremos a formaccedilatildeo de uma peliacutecula de

vapor instaacutevel sobre a superfiacutecie quente que aacutes vezes eacute perfurashy

da pelo liacutequido A camada de vapor tanto mais estaacutevel seraacute quanshy

to maior focircr o At Essa peliacutecula de vapor iraacute provocar um decreacutes_

cimo consideraacutevel no fluxo teacutermico porque como sabemos o vapor

eacute muito pior condutor que a aacuteguaraquo

0 fluxo vai decrescendo ateacute um ponto miacutenimo (iexclgt mintilde (as vecirc

iacutebo bullraquo 1

zes chega a ser mdashj-) e e o chamado ponto de Liedenfrost 0 coeshy

ficiente de peliacutecula neste caso cai violentamente (h = 2000

kcalm^hrdegC)

44 - Ebuliccedilatildeo por peliacutecula estaacutevel

Aumentando ainda mais a diferenccedila de temperaturas

At ( gt 125degC) iremos conseguir uma camada de vapor estaacutevel Ela

transmite calor da superfiacutecie quente ao liacutequido que se vaporiza de

modo que o excesso de vapor formado na interface liquido-vapor for

ma bolhas que sobem para a superfiacutecie 0 liacutequido encontra-se agi-

31

tado poreacutem nao toma contato com a superfiacutecie soacutelida

A peliacutecula de vapor eacute estaacutevel e o fluxo eacute proporcional a

34

(At) (lei de Bromley) Para At grandes passa a influir sensivel^

mente a radiaccedilatildeo teacutermica mais uma razatildeo para demonstrar que nesshy

ta regiatildeo o fluxo cresce novamente

5 CONSIDERACcedilOtildeES E COMPARACcedilAtildeO ENTRE OS TIPOS DE EVAPORACcedilAtildeO

BURNOUT

Sob o ponto de vista de eficiecircncia teacutermica deveriacuteamos sem

pre trabalhar no ponto de fluxo maacuteximo isto eacute no ponto correspon

dente a lt(gt da curva de Nukiyama pois eacute o que daacute maior coeficieri

te de peliacutecula

Acontece poreacutem que se impomos a temperatura da parede

fixa obtemos um uacutenico valor de lt(gt e portanto o fenocircmeno eacute estaacutevel

Poreacutem se como ocorre nos reatores impomos um fluxo teacuter

mico a curva de Nukiyama apresenta 3 pontos de funcionamento posshy

siacuteveis A B C

1

SOacute os pontos A e C sao funccedilotildees estaacuteveis mas eles impotildeem

acirc superfiacutecie quente temperaturas bem diferentes

Na industria em geral trabalha-se por questotildees de segushy

ranccedila na regiatildeo IV da curva poreacutem para os reatores trabalha-se na

32

r e g i atilde o I I

0 p r o b l e m a de t r a b a l h a r n a r e g i atilde o II eacute q u e se n oacute s e s t i shy

v e r m o s t r a b a l h a n d o n o p o n t o e x t r e m o (j) e se p o r q u a l q u e r m o t i v o

h o u v e r u m p e q u e n o a c r eacute s c i m o d e ltfgt i r e m o s t r a b a l h a r i m e d i a t a m e n t e no

p o n t o M q u e t e m o m e s m o $-^0t p o r eacute m c o m A t 2 m u i t a s v e z e s m a i o r

p o d e n d o o c a s i o n a r a f u s atilde o d a s u p e r f iacute c i e a q u e c e d o r a E s t e f e n ocirc m e n o

eacute c h a m a d o d e b u r n o u t

0 f l u x o lttgt eacute c h a m a d o f l u x o c r iacute t i c o o u f l u x o d e b u r -b o

n o u t N o c a s o do r e a t o r d e v e m s e r t o m a d a s m e d i d a s r i g o r o s a s q u a n

to agrave r e g u l a g e m do f l u x o t eacute r m i c o p a r a q u e n atilde o o c o r r a o b u r n o u t 1 1

p o i s d e l e p o d e r e s u l t a r r u p t u r a d a c a m i s a do c o m b u s t iacute v e l e h a v e shy

r aacute p o r t a n t o c o n t a t o do r e f r i g e r a n t e c o m o s s oacute l i d o s e g a s e s r a shy

d i o a t i v o s

5 o l - R e l a ccedil atilde o d e B u r n o u t

E c l a r o q u e p a r a t e r m o s u m r e a t o r m a i s e f i c i e n t e d e v e shy

m o s t r a b a l h a r c o m u m f l u x o o m a i s p r oacute x i m o p o s s iacute v e l do f l u x o d e

B u r n o u t P a r a t a n t o d e v e m o s c o n h e c e r c o m o m a i o r g r a u d e certe

za p o s s iacute v e l q u a l o ^ p a r a p o d e r m o s r e d u z i r o c o e f i c i e n t e d e s e shy

g u r a n ccedil a ( W R G a m b i l l r e c o m e n d a agrave 1 5 )

N o s s e m i n aacute r i o s d e W R G a m b i l l e n c o n t r a m o s u m a s eacute r i e de

b i b l i o g r a f i a s o n d e p o d e m o s e n c o n t r a r i n uacute m e r a s f oacute r m u l a s p r o p o s t a s

p a r a a o b t e n ccedil atilde o de (q 1^)

A t i t u l o d e e x e m p l o v e j a m o s a l g u m a s

q - 2 7 0 G deg gt 8 5 D 0 2 A085 p lt 150

deg D ( L uuml ) 2

q - 140 G 0 5 D ~ deg 2 (-~-)~deg 1 5 p ~ r gt 150 c D (LD)

o n d e a m b a s as e q u a ccedil otilde e s s oacute v a l e m p a r a aacute g u a e m b a i x a p r e s s atilde o e m coii

v e c ccedil a o f o r ccedil a d a

33

D

L

fluxo teacutermico critico BTUhrft bdquo 2

descarga em massa do liquido (Ibmhrft )

diacircmetro do tubo ft

comp do tubo ft

Para cada caso temos uma expressatildeo diferente que pode ser

encontrada em literatura especializada

6 INFLUEcircNCIA DE OUTROS PARAcircMETROS NO FLUXO DE BURNOUT

Como para os usos atuais do reator a diferenccedila de temppound

ratura entre parede e fluido sao pequenas bem como o fluxo de bur

nout recentemente fiacutesicos como Jakob Bonilla WR Gambill estu

daram outros paracircmetros que influenciam bastante o sect^ 0gt isto eacute a

influecircncia desses paracircmetros faz com que o ^ seja maior Isto eacute

util pois quanto maior o fluxo de burnout maior poderaacute ser o

fluxo de calor real de funcionamento

Tais meios sao

- Sub-resfriamenCcedilo do liacutequido

61 - Influecircncia da velocidade do liacutequido

Estudos feitos pelos autores acima chegaram agraves curvas

- Aumento da velocidade imposta ao liacutequido

- Pressatildeo do liacutequido elevada

alto V

At

34

Para velocidades maiores o fluxo de burnout aumenta

porque neste caso o regime eacute turbulento e o coeficiente de peliacute

cuia h aumentao

6bdquo2 - Influencia do aumento da pressatildeo

Este estudo deve-se a Bonilla que obteve experimentalmen

te as curvas

Este estudo foi feito para vaacuterios liacutequidos e chegou a con

clusao que sempre havia uma pressatildeo oacutetima isto e uma pressatildeo que

leva ao maior iacute 1 ^ raquo mantidas as demais condiccedilotildees Experimentalmenshy

te notou que essa pressatildeo correspondia a 13 da pressatildeo critica

do liquido em questatildeo

6=3 - Influecircncia do sub-resfriamento

Consiste em manter atilde custa de uma circulaccedilatildeo intensa o

liacutequido a uma temperatura inferior atilde de saturaccedilatildeo para a pressatildeo

correspondenteraquo Experimentalmente chega-se agraves curvas

mdash A t grande sub

bullAt -0 sub sub

medio

At

35

Verificando os graacuteficos vemos que o lt)gt aumenta agrave medida bo

que aumenta a diferenccedila de temperatura de sub-resf riamento isto pojr

que o liquido como estaacute mais frio faz com que algumas das bolhas

recondensem permitindo que o liquido fique em contato com a parede

quente o que faz aumentar o h

^ f csub = t e m P e r a t u r a ddeg liacutequido - temperatura de saturaccedilatildeo

A diferenccedila de temperatura At entre fluido e parede tamshy

beacutem aumenta poit na regiatildeo proacutexima agrave parede haacute necessidade de

levar o liacutequido da temperatura do sub-resfriamento ateacute a temperatu

ra de saturaccedilatildeo quando se evapora

Atualmente os maiores estudos dos fiacutesicos nucleares locashy

lizam-se neste campo pois eacute o que oferece maiores vantagens

7 FORMULAS PARA 0 CAacuteLCULO DO COEFICIENTE DE PELIacuteCULA NA EBULICcedilAtildeO

Como ocorre no caacutelculo de todas as foacutermulas de convecccedilatildeo

temos formulas empiacutericas para determinar o h conforme o tipo de

ebuliccedilatildeo que nos consideramos

71 - Ebuliccedilatildeo Nucleada

Para o caso de aacutegua temos as relaccedilotildees

superfiacutecies

horizontais

superfiacutecies

verticais

f aacute 5000 BTUhrft 2 -gtbull h = 151 ( A t ) 1 3

A o

5000 lt 75000 -h = 0618 (At)3

^ pound 1000 -raquobull h = 8 7 ( A t ) 1 7

A o -

1000 lt $ lt 20000 -gt h = 027 (At) A o

Quando a pressatildeo e diferente da atmosfeacuterica faz-se a correccedilatildeo

3 6

72 - Ebuliccedilatildeo por peliacutecula

Bromley propocircs uma boa equaccedilatildeo para a ebuliccedilatildeo por peliacuteshy

cula estaacutevel em cilindros horizontais

Nu

_ JtjD n r 9 P v bull ( P L - P v gt - g -h

e V bull D i2

D 1 ^ U b Z u At gt

onde

V = indica vapor

L = indica liacutequido

Multiplicando ambos os membros da equaccedilatildeo acima por

kvD obteremos a expressatildeo do coeficiente de convecccedilagraveo meacutedio para

o caso

37

C - FORMULAS PARA CAacuteLCULOS ESPECIacuteFICOS - RESULTADOS ESPECIacuteFICOS

1 FLUXO DE CALOR CRIacuteTICO - BURNOUT

lol - Introduccedilatildeo

O aspecto mais importante no que se refere agrave seguranccedila

dos reatores da transferencia de calor na ebuliccedilatildeo eacute a determina

ccedilatildeo do Fluxo de calor critico ou de pico ou burnout

Como jatilde vimos quando temos a ebuliccedilatildeo nucleada a dishy

ferenccedila de temperatura entre refrigerante e superfiacutecie de aqueci

mento e pequena poreacutem quando atingimos o fluxo de calor criacutetico

essa diferenccedila de temperatura pode tornar-se imediatamente muishy

to grande podendo causar a ruptura da superfiacutecie de aquecimento

se atiigirmos o ponto de fusatildeo do soacutelidoraquo

Usando a convecccedilao

onde

At sat

w

sat At

sub

w = temperatura da parede de aquecimento

t t = temperatura de saturaccedilatildeo do liacutequido

t^ = temperatura de mistura do liacutequido

At = (t -t ) sub-resfriamento do liacutequido sub N sat b 1

nout

Ha dois tipos de burnout fast burnout e slow bur-

Ocorre o fast burnout (burnout raacutepido) quando A t g u b gt 0

38

ou para baixo x (~ lt 10) sendo x o titulo do vapor

Temos o slow burnout para x - gt 10 Assim noacutes tereshy

mos dois limites para o burnout

At bull o (ltJgt ) t =((() para t = t ) -

bo m m possiacutevel w sat

sub i

4L + 1

G c D h pl nb

(ltK ) = (ltpound para x = 1) = Dv-bo max possiacutevel e 4L

c At l + P 1 sub i

onde

L = comprimento do canal

D = diacircmetro do tubo

G = descarga de liacutequido (por unidade de aacuterea)

c ^ = calor especiacutefico do liacutequido

Agrave = calor latente de vaporizaccedilatildeo

h ^ = coeficiente de transferecircncia de calor na regiatildeo de

nao ebuliccedilatildeo

iacutendices

i = entrada

e = saiacuteda

Haacute inuacutemeras expressotildees para determinaccedilatildeo do burnout pro

postas por muitos fisicos cada uma aplicando-se a um caso especiacuteshy

fico vejamos algumas delas

12 - Equaccedilotildees para prediccedilatildeo de Burnout

121 - Equaccedilatildeo de Bragg e Smith (Zuber)

Num artigo publicado por Bragg e Smith encontramos uma f oacute_r

mula que e derivada da formula de Kutateladze e nos daacute o fluxo cri

39

tico quando nao temos sufaresfriamento

bo poolsat v V raquoc a ( p l P V )

2 PV

14

onde

ltiexclgt = fluxo de calor critico bo

k = constante

Ly = calor latente de vaporizaccedilatildeo do refrigerante

= densidade do liquido

pvr = densidade do vapor V a = tensao superficial

g = fator de conversatildeo c

a = aceleraccedilatildeo da superficie de aquecimento

Os autores encontraram para k um valor de 062 entreten

to outros autores como Zuber incluindo outras variaacuteveis que In

fluiam no fenocircmeno encontraram k variando entre 008 e 023Esshy

tudos bem elaborados mostram que o valor mais aproximado eacute

k = 015 (- 003)

1-22 - Equaccedilatildeo de Noyes

Noyes estudou o burnout para o soacutedio agua e alguns liacute

quidos orgacircnicos

( W s a t ~ bdquo 0245 bull ( r ( 1 )

iiacute_ V 1 Pr

onde

N n = Nuacutemero de Prandtl da fase liacutequida x r

Mais tarde o proacuteprio Noyes alterou a equaccedilatildeo para

n ^ - n H Iacute I Pl PV gt0538 deg g c a q 4 ( W s a t deg 1 1 6 PV ( - p 7 ~ ) (77T1^ ) ( 2 )

40

A ultima correlaccedilatildeo proposta por Noyes foi

a n prPV0560 112

1

(a bull a) 13

(ag c) 112

(3)

onde

a = difusividade teacutermica do liacutequidoraquo A equaccedilatildeo (3) eacute bashy

seada em todos os dados de burnouts do soacutedio bem

como da atildegua benzeno difenil e outros De 111 pontos usados 90

+ estatildeo relacionados dentro de - 30bdquo

ldeg2o3 - Burnout com convecccedilao forccedilada e sub-resfriamen

to

Aproveitando os resultados de aproximadamente 240 testes

de burnouts com aacutegua sub-resfriada em fluxo de convecccedilao forccedilashy

da feitos na Ruacutessia Labuntsov elaborou uma boa equaccedilatildeo empiacuterica

para o problemabdquo

Esta relaccedilatildeo aplica-se para velocidades entre 2 3 e 148

ftsec pressotildees entre 1 e 201 atmabs sub-resfriamento entre 0 deg

e 432 degF e fluxos de burnout entre 0 4 x IO 6 x 166 x 1 0 6 BTUhr

2 bdquo

bullbo

onde

e a seguinte

6 ( P ) 1 + 0 2 3 2 V 2

14

e ( P ) 1 +

15 c At _p_ sub

12 (a)

9 ( P ) - P 1 3 o ( 1 - P J 4 3

red

= pressatildeo (atm abs)

pressatildeo reduzida = mdash mdash red r P

t_ c = pressatildeo critica

= velocidade do liacutequido (ftsec)

= calor especiacutefico do liacutequido (BTUlbdegF)

4 1

^ tsub = ^ ^ e r e n Ccedil a ^ e temperatura entre a temperatura de

mistura do liacutequido e a de saturaccedilatildeo (degF)

X = calor latente de vaporizaccedilatildeo (BTUlb) 2

ltiacutegtbo = fluxo de burnout (BTUhrfl )

Uma outra correlaccedilatildeo para o caso foi proposta por

Ornatsky e Xiohigin que fizeram experiecircncias para pressotildees entre

10 e 1 5 0 3xm 90 degF lt At ^ lt 4 5 0 deg F 3 7 1 0 6 ( l b h r o f t 2 ) lt G lt

2 2 2 10 b ( l b h r bdquo f t 2 )

lt ^ = 3 2 5 0 (G o A t bdquo J deg 6 ( - i - ^ ) 2 5 ( b ) bo sub

onde

G - descarga de refrigerante por unidade de aacuterea

P ^ v P v - densidades do liacutequido e do vapor

P1~ PV -0 termo (mdash ) e incluido na expressatildeo (b) para indicar

a influecircncia da ^ pressatildeo sobre o

Uma comparaccedilatildeo entre as equaccedilotildees (a) e (b) foi feita para

o Reator de Isoacutetopos de Alto Fluxo (HFIR) nas condiccedilotildees aacutegua a

600 psia velocidade = 45 ftsec e sub-resfriamento = At^^ 1

degF obtendo-se uma diferenccedila de 6 5 entre ambos (4gt = 6 0 5 1 0 b

2 ~ 6 2 BTUhr ft pela equaccedilatildeo (a) e 6 4 5 10 3TUhrraquoft pela equaccedilatildeo

(b)

Ilatilde ainda a equaccedilatildeo de Ivey e Morris aplicaacutevel somente pa_

ra ebuliccedilatildeo com grande quantidade de liacutequido

( c sub t

Cpf bull A tsub

( bull ) s ~ V P bdquo 10 h V sat V g

onde

(ltL ) = fluxo critico com sub-resfriamento c sub

(ograve ) ^ - fluxo critico sem sub-resfriamento c sat

42

c ^ = calor especiacutefico do liacutequido

= calor latente de vaporizaccedilatildeo

124 - Burnout com convecccedilao forccedilada e ebuliccedilatildeo por bocirc-

Ihas

Gambill fez uma extensatildeo da equaccedilatildeo de Levy e aplicou o

metqdo da superposiccedilatildeo Tal extensatildeo consiste natilde subtraccedilatildeo de uma

razatildeo equivalente de massa transferida dos termos que represenshy

tam a ebuliccedilatildeo e convecccedilao para levar em conta a presenccedila do vashy

por no fluxo

A correlaccedilatildeo pode ser escrita assim

24 V P V

o g c a (p^Py) 14

+ 0696 (k p c ) 12

(

pr p v )i4 o g c a (P-L-Py) 18

bull At + h sub nb

044 p v L v G (g1) bull N2 n

p l P V

( pr p v ) d e 2-7

2 4 TT 0

14 ( f e _ ^ r l 3

lO^u

onde

k = condutividade teacutermica

c = calor especiacutefico

A t s u b ~ s ub-resfriamento do liacutequido

h = coeficiente de transferecircncia de calor de nao ebu nb mdash

liccedilatildeo

G = descarga total do refrigerante

43

d g = diacircmetro equivalente do tubo ou canalraquo

]i = viscosidade

B = constante adimensional

Os iacutendices V e 1 representam vapor e liacutequido respectiva

mente

0 primeiro termo entre chaves da equaccedilatildeo representa o flu

xo de calor no burnout de sub-resfriamento em convecccedilao forccedilada 0

segundo termo entre chaves corresponde ao fluxo de calor transferi^

do para a massa da fase vapor

1-25 - Burnout por Bloqueio da Base

Ocorre quando a profundidade do recipiente eacute muito maior

que a largura 0 bloqueio da base eacute causado pela formaccedilatildeo de uma pe_

licula de vapor na base impedindo que o liacutequido toque o fundo do

recipiente

i De

Este eacute o burnout por flooding isto eacute burnout por expul

sao do liacutequido Uma equaccedilatildeo que nos dacirc o fluxo minimo do burnout

parao caso eacute

44

onde

D g = diacircmetro equivalente

L = comprimento do tubo

= calor de vaporizaccedilatildeo

p^Py Ap = densidade do liacutequido do vapor e diferenccedila en

tre ambos

Para um fluxo de calor maior ou igual ao dado pela expres_

sao acima (mantida a mesma geometria) teremos burnout Para um deshy

terminado fluxo existiratildeo sempre um comprimento L e um diacircmetro equi

valente D e para os quais temos burnout Exemplo

L (in) D e(in)

10 11

100 51

1000 235

2 RESULTADOS ESPECIacuteFICOS - FOacuteRMULAS PARA CAacuteLCULOS ESPECIacuteFICOS

21 - Diferenccedila de temperatura At i

13 a t

sat

At sat

poundatildeJL_ raquo t - t J p T T 6 w sat

onde

o laquo tensatildeo superficial entre liquido e vapor

t - temperatura de saturaccedilatildeo do liacutequido para a corres-Scl t

pondente pressatildeo

J equivalente mecacircnico do calor

X laquobull calor latente de vaporizaccedilatildeo

py = densidade do vapor

6 = espessura da camada de liacutequido superaquecido onde

45

k l

h nc

onde

k^ = condutividade teacutermica do liacutequido

h = coeficiente de peliacutecula nc r

Segundo Eckent h ^ c e dado por

P 2 Q

nc 3 V VP + 0952

r

onde

D = diacircmetro equivalente

G r = numero de Grashoff

P = nuacutemero de Pradtl

2 o 2 - Velocidade das bolhas

A velocidade das bolhas em meacutedia pode ser dada pela exshy

pressatildeo

V bdquo = Iacute ( a bull B Apl4 bolhas 5 ^ 2

p l onde

AP = P L - P v

Expressatildeo que vale quando a aceleraccedilatildeo eacute a da gravidade

baixa viscosidade do liacutequido e bolhas separadas

Vbolha = f t s e atilde m a x para aacutegua

2 bdquo3 - Diacircmetro das bolhas

2gc deg 12 D = 0015 3 ( mdash mdash 7 ~ ) d g Ap

5 =

46

onde

8 = acircngulo de contato (20 a 90deg) geralmente assume-O -1

-se igual a 50 para a agua em contato com metal

24 - Coeficiente de peliacutecula na ebuliccedilatildeo nucleada

a) Equaccedilatildeo de Rohsenow

Esta equaccedilatildeo nos datilde o fluxo de calor q na ebuliccedilatildeo nushy

cleadaraquo E oacutetima expressatildeo para muitos liacutequidos o efeito da presshy

satildeo eacute levado em conta na variaccedilatildeo das propriedadesraquo

Pf

fg

sat 17 = c

sg k y f h f g g( P f-p g)

n033

onae

Pf

fg

Pf Pg c sg

= fluxo de calor requerido (BTUhr0ft^)

= calor especiacutefico do liacutequido saturado (BTUlbm0F)

= calor latente de vaporizaccedilatildeo (BTULbm)

= nuacutemero de Prandtl

= viscosidade do liacutequido (lbrahrraquoft) ~ 8 2

= fator de conversatildeo 417 10 Ibmftlbflaquohr 2

= aceleraccedilatildeo da gravidade (fthr )

= tensatildeo superficial na interface liacutequida vapor

(lbfft) 3

densidade do liquido e vapor (lbmft )

constante adimensiacuteonal que depende de vaacuterios fashy

tores dentre os quais o grau de aquecimento en_

tre o fluido e a superfiacutecie de aquecimento e o

mais importanteraquo Independe da pressatildeo do sistema b) Equaccedilatildeo de Levy

Equaccedilatildeo valida para a aacutegua quando 100 lt p lt 2000 psiacutea

47

43 bdquo3

qu bdquo gat ^ T J h r t f t ^

495

25 - Calculo do fluxo de calor no Ponto de Leidenfrost

0 ponto de Leidenfrost como vimos eacute o ponto em que oflu

xo de calor comeccedila ncamente a crescer isto eacute o ponto onde termal

aa a ebuliccedilatildeo instaacutevel e comeccedila a ebuliccedilatildeo por peliacutecula estaacutevel Eacute

o chanado fluxo miacutenimo (egrave ) m m

Aproximadamente quando A t g u k = 0 temos

A _ mdash _ mdash (Gambill) m m 5

Ha entretanto varias expressotildees para determinar esse flu

xo eis uma delas

A p 14 ltjgt = 009 h pbdquo (o raquo g mdash ) y m m fg P V deg 2

p l

26 - caacutelculo do fluxo de calor na regiatildeo de ebuliccedilatildeo por peliacute

cuia estaacutevel

para cilindros jmdashi i li

_ D 0172 k-V - P V A p h l V bull S 14 li - = 062 (mdashmdash) (- j- r rmdash) convecccedilao A 0 ybdquo (t -t )

c V w sat

onde

= condutividade do vapor

- 2 TT ( mdash )

c gAp Vl = significam vapor e liacutequido respectivamente

para paredes verticais

L 0172 S deg7 A p bull hlV S q 4 h - - 080 (-^-)J- (-Iuml - Iacutemdash-convecccedilao X L u (t - t J)

c V w sat

48

Como nesta regiatildeo jaacute haacute nina influecircncia marcante da radia

ccedilao devemos levar en conta tambeacutem o coeficiente de peliacutecula de

vido a radiaccedilatildeo para determinar o coeficiente de peliacutecula total

Dos estudos atildea radiaccedilatildeo temos

h = a F pound(T 4 - T 4 J ( T ~ T ) rad w sat w sat

onde amp _ emissividade de superfiacutecie

a = constante de Stefan-Boltzman

F = fator de forma

Segundo WE Gambill o coeficiente de transmissatildeo total

ceve ser

3 iacutei = h + -7 h para h lt h t conv 4 rad r rad conv

Na expressatildeo acima existe o fator 34 porque a radiaccedilatildeo

faz variar um pouco a espessura do filme de vapor reduzindo asshy

sim o l l

conv

Quando tivermos h gt h gt o h^ ^ seraacute rad conv total

h f c = h + h t conv rad

Neste ultimo caso nao ha nenhum coeficiente porque a peshy

liacutecula de vapor jaacute eacute estaacutevel

27 - Grandezas caracteriacutesticas para a apua

Para pressatildeo igual a 1 atm = 1422 psia

At ^ = t - t = 5degC (iniacutecio da ebuliccedilatildeo nucleada) sat w sat 1

At t = 30degC sat crit

49

5 2 $ = 4 10 BTUhrft (para pressatildeo 1 atm)

0 fluxo critico cresce como vimos com a pressatildeo ate

atingir o maacuteximo quando a pressatildeo eacute aproximadamente 13 da pressatildeo

criacutetica Esse fluxo eacute

bull = 13 IO 6 BTUhrft 2 para p = 11000 psia (p pound = 32062 psia)

Ainda temos que para pressatildeo igual a 15 psia

h b o = 11000 BTUhrft degF - ebuliccedilatildeo nucleada

h f b = 30 BTUhrft 2 degF - ebuliccedilatildeo pelicular

Todos os resultados e formulas para caacutelculos especiacuteficos

apresentados nos itens 21 22 23 ateacute 27 sacirco aplicados somente

para sistemas onde haja ebuliccedilatildeo com grande quantidade de liquido

51

D - HIDRODINAcircMICA DOS SISTEMAS E QUEDA

DE PRESSAtildeO DENTRO DE UM CANAL

1 HIDRO-DINAcircMICA E QUEDA DE PRESSAtildeO

11 - Hidro-dinacircmica dos sistemas estaacuteveis

111 - Regimes de escoamento

A evoluccedilatildeo do escoamento ao longo de um canal aquecedor

de secccedilatildeo constante ciliacutendrico pode ser esquematizada pela figushy

ra 1 onde temos em abcissa o comprimento z do canal e em ordenada

a temperatura (T)

52

Na figura 1 nos representamos

a) 0 aspecto do escoamento fluido quando a entalpia do

- fluido aumenta Verificamos que o fluido entra no cashy

nal no estado liacutequido e assim permanece ateacute atingirmos a zona de

ebuliccedilatildeo local onde aparecem as primeiras bolhas A entalpia do

fluido continua aumentando e tem inicioa ebuliccedilatildeo franccedila onde as

bolhas se unem formando agregados posteriormente o escoamento to

ma a forma da figura ou seja torna-se anular disperso Finalmente

atingimos duas uacuteltimas fases do escoamento disperso (vapor uacutemido)

e vapor seco

b) A evoluccedilatildeo da temperatura meacutedia do fluido e da tempeshy

ratura da parede Note-se que a partir da cota a

temperatura da parede aumenta brutalmente podendo causar o

burnout

c) A evoluccedilatildeo do tiacutetulo do vapor (x) com o comprimento

do tubo e a evoluccedilatildeo da fraccedilatildeo (a) que definiremos no

item 11laquo2 com o comprimento do tubo

112 - Definiccedilotildees

a) Tiacutetulo ou qualidade do vapor (x)

massa de vapor na mistura x ~ massa total da mistura

x =

W _g_

g f

b) Fraccedilatildeo vazio (void fraction)

volume do vapor na mistura a = volume total da mistura (agua+vapor)

A relaccedilatildeo entre x e a num sistema parado pode ser obtida

assumindo um certo volume contendo 1 lbm de mistura em equiliacutebrio

teacutermicoraquo

53

O volume da mistura seraacute igual a (v + xv ) ft onde v eacute 3 r rg

o volume especifico (lbmft )

f - refere-se ao liquido

g - refere-se ao vapor

fg - refere-se a diferenccedila entre liacutequido e vapor

Numa mistura em equiliacutebrio se o liacutequido e o vapor estatildeo

saturados o volume do vapor presente eacute igual acirc sua massa vezes

seu volume especiacutefico v assim e

xv bdquo bdquo a mdash

V c + XV c

f gf

onde

- bull-bull uumlutiacuteisa vapor na mistura de 1 Ibm

v volume especiacutefico do liacutequido

v = volume especiacutefico do vapor o

V c = v - V

gf 8 r

Fazendo uma transformaccedilatildeo na expressatildeo acima temos

xv xv JS = Z-

v r+ x(v -v c) xv +(l-x)v t ri f g f g f 1 + Ul-x)xjv fv

1 + C(l-x)x]]vfvg

A fraccedilatildeo vazia tem a influencia de baixar a reatividade

do nuacutecleo nos reatores em que o refrigerante eacute tambeacutem moderador

Na equaccedilatildeo acima os valores de x e v sao tomados em tabe

las termodinacircmicas apropriadas para a pressatildeo do sistema A equashy

ccedilatildeo (1) mostra os grandes valores de a para pequenos valores de x

especialmente para baixas pressotildees Isto ocorre porqueaumentando

54

aacute pressatildeo o v decresce muito enquanto que o v f eacute mais ou menos da

mesma ordem de grandeza

Exemplo Calcular o a correspondente para x raquo 2 para aacutegua

leve atilde pressatildeo atmosfeacuterica

Da tabela para p laquobull 1 atm

v - 001672 ft 3lbm e v - 26800 ft 3lbm

1 + [(1-002)002] 001672268

0971 ou 97U

O grafico abaixo mostra a variaccedilatildeo do a com x para vaacuterias

pressotildees e para a aacutegua leve

x ()

tObservaccedilotildees da curva

Fig 2

1 - para x constante a decresce com a pressatildeo Para presshy

sotildees proacuteximas da criacutetica a aproxima-se rapidamente de

x Para a pressatildeo criacutetica as duas fases satildeo indistinguiacuteveis ea=x

2 - para cada pressatildeo dotdx decresce com aumento de x

3 - para baixos valores de x (que e o caso dos reatores

tipo Boiling) quando p decresce dadx cresce e torr

na-se muito grande paacutera baixas pressotildees Isto tem relaccedilatildeo com a epound

55

tabilidade do reator como veremos mais tarde

113 - Sistemas com fluxo

Todas as definiccedilotildees que noacutes vimos no item anterior refeshy

rem-se acirc sistemas em que a mistura esta fechada no recipiente Nes^

te caso natildeo havia movimento relativo entre as duas fases No entan

to se as duas fases da mistura se movem na direccedilatildeo vertical em

canais entre os elementos combustiacuteveis o vapor por causa de sua

flutuaccedilatildeo tem a tendecircncia de escorregar sobre o liacutequido isto e

move-se com velocidade maior do que a do liacutequido

Real Modelo

Pig 3

S -

Define-se neste caso a relaccedilatildeo de escorregamento (slip

ratio) (S) como sendo

V _i

V f

onde

V = velocidade do vapor

= velocidade do liquido

S modifica as relaccedilotildees entre a e x do item anterior S geralmen_

te gt 1 Define-se neste caso qualidade do vapor ou tiacutetulo como

sendo

_ fluxo de massa de vapor

fluxo de massa da mistura

Entatildeo se o fluxo de massa da mistura eacute m t(lbmhr) o flushy

xo de vapor seraacute = x m e o fluxo de liacutequido sera (1-x) m onde x

56

e o titulo do vapor para a particular secccedilatildeo (AL) da figura (3)

Devemos notar que neste caso x varia de secccedilatildeo para secshy

ccedilatildeo do tubo o exposto no paraacutegrafo acima vale considerando-se que

x e a permaneceram constantes na secccedilatildeo de espessura AL

Aplicando a equaccedilatildeo da continuidade as velocidades do va

por e liacutequido sao dadas por

o xm v

V vazatildeo = g g area A

V

(1-x) amp t v f

f A f

onde A e A f sao as aacutereas medias perpendiculares ao fluxo se as

duas fases sao imaginadas completamente separadas uma da outra

(figura 3) Assim temos

V x m v o A_ A v 0 ^ - 2 = iacute S t m _2L- JL JS m

V A (l-x)ui v 1-x A v U

f g t f g f

Sabemos ainda que para a secccedilatildeo considerada

volume do vapor na mistura a = volume total da mistura (agua+vapor)

A AL A pound g g

a = mdash a a = - mdash 1

(A+A )AL A f + g

A ou f _ 1 - a

A a 8

Substituindo em (2) vem

57

Esta expressatildeo pode ser rearranjada e obteremos uma relashy

ccedilatildeo entre x e a levando em conta o escorregamento Chega-se a

a = 1 ( 3 )

1+ [U-x)x3 igt

onde

v 4 laquo -- S

v lty o

Note-se que quando S=l (nao haacute escorregamento) caimos na

expressatildeo dada no item anterior

0 efeito do escorregamento eacute decrescer o valor de a pa_

ra um mesmo xbdquo Isto pode ser visto pela foacutermula (3) pois S gt lLo

go a decresce com acreacutescimo de S

Um alto S e entatildeo uma vantagem tanto para a transferecircnshy

cia de calor como para efeitos de moderaccedilatildeo Eacute uma vantagem para

transferecircncia de calor porque alto S significa alto V e portanto

maior turbulecircncia e maior contato do liquido com as paredes quenshy

tes Ha tambeacutem melhorias na estabilidade da reaccedilatildeo nuclear isto

porque como jaacute dissemos quando mdash7 diminui a estabilidade aumenshy

ta isso pode ser verificado observando a curva a versus x para a

agua leve a 1000 psiabdquo

Fig 4

58

A relaccedilatildeo entre x e a da equaccedilatildeo (3) so vale para secccedilatildeo

de tubo bem pequena

Devemos notar que S varia tambeacutem com a pressatildeo e velocida^

de de entrada do liacutequido no tubo Este efeito pode ser observado na

figura 5 abaxxo obtida esperimentalmente

s

3

~^ ~ psig

x = 001

V 1

Fig 5

Nos projetos de reatores como veremos adiante o valor a

geralmente eacute determinado por consideraccedilotildees nucleares (moderaccedilatildeo) 0

valor de S eacute determinado atraveacutes de uma estimativa ou entatildeo atrashy

veacutes de um graacutefico do tipo da figura 5 0 correspondente valor de x

pode ser obtido de uma foacutermula empiacuterica do tipo

1 = 1 (-S)0gt67

proposta por Von Glahn

Em muitos casos assume-se S constante em todo o comprimeiv

to do canal poreacutem eacute um erro que em muitos casos nao pode ser coshy

metido

4 REATORES EM QUE 0 LIacuteQUIDO B MODERADOR E CIRCUITO PRIMAacuteRIO AO

MESMO TEMPO BOILING-REACTOR (BWR)

A aacutegua ao se movimentar atraveacutes dos vaacuterios canais do

59

Boiling-reactor encontra vaacuterias resistecircncias ao fluxo que provoshy

cam uma reduccedilatildeo de pressatildeo no fluido

As duas perdas mais importantes sao perda de pressatildeo por

atrito e perda de pressatildeo causada pela aceleraccedilatildeo do refrigerante

ao aumentar de volume por receber calor num canal Outras perdas

de pressatildeo seriam a obstruccedilatildeo ao fluxo por corpos submersos (espa_

ccediladores juntas de tubos chaves etc) e por mudanccedilas abruptas de

aacuterea de fluxo tanto na entrada como na saiacuteda do tubo

Essas perdas de pressatildeo devem ser conhecidas o melhor popound

sivel principalmente nos reatores BWR Para tanto devemos saber

o comprimento de canal em que nao ha a ebuliccedilatildeo isto eacute qual o com

primento de canal em que o refrigerante vai da temperatura de sub-

resfriamento ate temperatura de saturaccedilatildeo

Seja o elemento combustiacutevel

Aquecimento Uniforme Aquecimento Senoidal

Fig 6 Fig 7

onde

H =

H = o

H b

comprimento do elemento combustiacutevel

cota onde o liquido se torna saturado

comprimento do elemento combustiacutevel em que ocorre

ebuliccedilatildeo

60

qg = calor sensiacutevel acrescentado ao liquido para satushy

raacute-lo

qfc = calor total acrescentado ao liacutequido em todo o com

primento do canal

laquoo

q s J o qiquest sen (IIzH) n H o

T~ = TH = 2 ( 1 c o s gt ( a )

q 1 sen (HzH) Jo ^c

A expressatildeo (a) vale quando tivermos uma adiccedilatildeo de calor

senoidal para qualquer outra forma de adiccedilatildeo de calor faz-se um

caacutelculo anaacutelogo

Outra relaccedilatildeo entre q g e qfc eacute dada pela termodinacircmica

q h- - h s f m (b)

(hr +x h )-hm ^t f e fg

onde

= entalpia para o liquido saturado a pressatildeo correjs

pondente (cota z = Ho)

hffi = entalpia do liacutequido na entrada do canal

x = tiacutetulo do vapor na saiacuteda

= entalpia do vapor

Com a relaccedilatildeo (b) noacutes determinamos a relaccedilatildeo q q ecom

S L

uma relaccedilatildeo do tipo (a) (conforme seja o adicionamento de calor ao

liacutequido) podemos obter a relaccedilatildeo HoH e consequentemente H^H

21 - Perda de pressatildeo num canal de evaporaccedilatildeo

Neste item iremos determinar as perdas de pressatildeo mais

representativas que ocorrem num canal de evaporaccedilatildeo de um reator

P + dP

bull1 i- 1 gti i i

dL

onde

UM

Icirc H Icirc Icirc T dF f t f

61

Quantidade de Mov na Entrada

= i- rigVg)

dF f l

Fig 8

m i

m 8

V l V 8

A P

dF

dF

dF

fg

fl

ftf

descarga do liacutequido

descarga do vapor

velocidade do liquido

velocidade do vapor

aacuterea transversal do canal

forccedila de atrito do vapor com parede

forccedila de atrito do liacutequido com parede

forccedila de atrito das duas fases liacutequido+vapor

Fazendo o balanccedilo das forccedilas considerando o sentido posjL

tivo na vertical temos

A (P-P-dP)-(dF +dF _+dF _)-(-pound-) (p A+p A )dL = mdash dGnV+m V ) P fg ftf fl g c 1 1 g g g c

v 1 1 g g 7

- dP = ~ (dF +dF--+dF)+- S--7=- (p A+p A )dL+ mdash ~ - d (m-V+m V ) A_ fg ftf fl g c Ap v^l 1 g g g A 11 g g

Fazendo a integraccedilatildeo termo a termo entre os dois extreshy

mos entrada e saiacuteda e considerando a pressatildeo de entrada igual a

P q e a de saiacuteda igual a Pe vem

Quantidade de Mov na Saiacuteda

-= h I- lY l+ A g V g + d ( aacute l V l + aacuteeVl

Forccedila de Gravidade

= ( g f - N P A + P g V

62

b) r e F f l

o p dp^ = Ap^ = perda de pressatildeo por atrito

do liacutequido na altura Ho

Aplicando a formula de Darcy vem

bull API = f bull ir bull ^ iexcl 7

onde

f = fator de atrito

c) e Fftf

o p ^P tpound

= perda de pressao por atrito da mistura

liquido + vapor no trecho de comprimen

to Hbdquo o

Para determinar esta perda de pressao define-se o fator

de multiplicaccedilatildeo R

A P R =

tf A P 1B

Sendo A p ^ a perda de pressao se o comprimento todo fosshy

se ocupado somente pelo liquido assim

A p t f = R A P 1 B

0 calculo de Ap-^ pode ser feito pela formula de Darcy e

o de R nos veremos no item seguinte

63

d)

-e F

d ( ^ )

O P

Ap = perda de pressatildeo por atrito do vapor

No caso do reator BWR o titulo de saida e bera pequeno e

em nenhum caso ocorre a saida de vapor com x = 100 logo a perda

de pressatildeo por atrito do vapor eacute nula assim

An = 0 5

e) Ap

(p A 1 + p A ) dL = Ap - perda de pressatildeo dpound

vida ao desniacutevel

(perda hidrostaacutetica)

Anbdquo = re A A

-S- I (p + p -S ) dL H s 1 A

c o p o A

como A A Jl_ =

A P

A +A-g 1

1-a -

temos

C Q

te j jll-a)p1 + apg)^jdL = p Lo pound

onde

e jo u

+ ap ) ~I dL (Densidade media 1 S J

no tubo)

No nosso caso

Ap u = p H

f)

re d(mV + m V ) _ mdash - laquo -i bull s iquestp laquos p e r d a ltje pressatildeo devido a acele-

c p raccedilatildeo do vapor

V A

(1-x) tl^Vj

(1-a) A

X V

aA

A p -

roV + m V

c p c p L_

m (l-x)m_v m xv nbdquo -1 T 1

+ _S S I (1-a) Ap aA

P

2 g A c p

n 2 2

(1-x) m T

laquo2 8 A c p

2 2 (l-xe) raTv1

2 2 2 xm_v (1-x) m-v e T s o 1 1

a 1 - a

2 2 - x m_v o T g

a

se

X Q 0 (so ha agua nesse trecho)

a = 0 o

temos

mbdquo Ap =

1 a A 2

S A degc p laquo-

tt-V v i 1 - a

2 via T^r - v i

t Apc

2

V v l

5c Ap

1 - a

x v - 1

a e v l

65

Fazendo

G = fluxo total da massa por unidade de area do

canal

(1-x J e

V

AP r

Assim a perda de pressatildeo total sera

H p V II pV r2 P -P = f -24-Iuml+ f R+p 0 1 2g c D e 2g c g c g c

2c2 - Determinaccedilatildeo do fator de multiplicaccedilatildeo (R)

221 - Relaccedilatildeo Martinelli-Nelson

Os autores Martinelli-Nelson determinaram experimental -

te esse fator R para varias LIT1L em funccedilatildeo da pressatildeo e da r NB total J v

qualidade de saiacuteda do vapor no canal Construiacuteram assim vaacuterias

curvas do tipo da figura 9

66

E importante notar que a qualidade do vapor (x) na saiacuteshy

da nao deve ser grande pois como vemos o valor de R cresce muishy

to com um aumento pequeno de x e um valor de R muito grande acar_

reta uma perda de pressatildeo grande pois

^ d u a s fases R ^ f a s e liacutequida

Para resolvermos um problema seguindo o criteacuterio de bdquo

Martinelli escolhemos a curva R = f(px) (para a relaccedilatildeo L

N g ^ j

adequado) e tiramos R com os valores de pressatildeo p e tiacutetulo x

As curvas R = f (p x L T t )IO encontram-se nos ANL 6469 bio I

e 6561

222 - Relaccedilatildeo Lottes-Flinn

Estes autores estudaram o problema para o aquecimento uni

forme do refrigerante com baixo titule Lottes-Flinn fizeram inuacuteshy

meras experiecircncias e verificaram que para fluxo de calor uniforshy

me e baixos titulos R era independente do fluxo de calor fluxo

do refrigerante escorregamento e apenas funccedilatildeo de a g

Como a quantidade de liacutequido eacute muito maior que a de vashy

por a perda de pressatildeo daacute-se principalmente pelo atrito do liacuteshy

quido com a parede Podemos assim escrever a foacutermula de Darcy

na forma diferencial

dz

d = f __ r e amp c

onde

V = velocidade do liquido saturado na cota zbdquo X

f = coeficiente atrito

= densidade do liacutequido saturado

Teoricamente a queda de pressatildeo deve-se ao acreacutescimo de

67

velocidade do liacutequido e da diminuiccedilatildeo da aacuterea de fluxo do liacutequi

do

P fH A P t p

= f D 2g Ho

d z

fazendo

V lo

m V t lo

(velocidade do liacutequido na cota z = Ho)

(1-x) m t v 1

(1-a) A (velocidade do liacutequido na cota z gt Ho)

a bull+ fraccedilatildeo vazio na cota z geneacuterica

V 1 (1-x) m t v 1

m t V l 1 - a

x =s 0 pois o tiacutetulo eacute baixo

A p t f = f bull JT5 c e

fH V lo

H o (1-a) dz

Para fazer a integral devemos achar a relaccedilatildeo de variaccedilatildeo

entre a e z Como o fluxo de calor eacute uniforme a qualidade eacute direshy

tamente proporcional a z

bull laquo x = x e H

z = mdash x X e

Sabemos ainda que (item 113)

x

1 + [ ( I -X)AKQ x + iiacuteraquo

68

como

temos

(1-x) = 1

v

X =

z =

1-a

1 -a

1-a e

a

e

1-a pound

a

1 -a igt (assumindo S = cte)

da

Atf - f bull 2 i ^ ~ J c e o

a 1 - a e e 1 s 4 hmdash) da

a 1-a

f P lv^ Q

0 termo mdash - mdash e a parte de perda de pressatildeo pelo lj^

^c e -quido ou seja Ap liquido saturado e como

Ap

R = tf

Ap liauido saturado

temos que

R J

f ae 1 _ a e 1 4

a 1 -a o e

1 -a r-R =

3 1 -a

a 1 -a imdash

3 vl - a 3

e e

Os valores de R obtidos por esta expressatildeo aproximam-se

muito dos valores obtidos pelos aacutebacos de Martinelli

69

E - EXPANSAtildeO E COMPRESSAtildeO DE UM FLUIDO - ANAacuteLISE HIDRODINAcircMICA

DE UM CIRCUITO EM CIRCULACcedilAtildeO NATURAL

1 EXPANSAtildeO NO FLUXO DE UM FLUIDO

11 - Uma so fase

Figura 1

Ha vaacuterios meacutetodos para determinar a variaccedilatildeo de pressatildeo

numa expansatildeo de fluido estudaremos o de Romie que eacute o que daacute

maior precisatildeo

Romie considera que a pressatildeo p^ tambeacutem atua na aacuterea

imediatamente apos a expansatildeo Assim fazendo o equiliacutebrio das foi

ccedilas nas secccedilotildees tracejadas da figura 1 temos

mVj

p r A 2 + mdash

mV

bull 2- A2

mas

m = pV^A^

pV^A = p V 2 bdquo A 2

V A

v 2 -4r-logo

( P l-P 2) A 2 = f ( V ^ ) - f _ v j amp c c 2

70

2 pV A A pV A A

Chamando A l A ]

K = 1 - T e degi2 = Aiexcl bull V E M

pvj

P l P 2 = T ~ bull ( 2 deg 1 2 ) ( 1 _ a 1 2 )

Outra maneira de chegar atilde diferenccedila de pressatildeo ( P j - ^ ) s mdash

ria usar o coeficiente de perda da mecacircnica dos fluidos Assim o

equilibrio das pressotildees eacute

2 2

1 V l 1 V 2 V l P i + _ p _ ^ P 2 + I p ~ + k 1 2 p mdash

onde = coeficiente de perda

A 2 1 2

k 1 2 - (l-o 1 2) - (1 - j- )

Fazendo as transformaccedilotildees chegamos a mesma expressatildeo obshy

tida pelo balanccedilo das forccedilas

PraquoIacute pr p

2 - - ir ^ laquo-ia

12 - Duas fases

Como ha duas fases a equaccedilatildeo do balanccedilo das forccedilas fica

um pouco alterada

m pound 1 V- m - raquoV - m-V- m bdquoV _ P A + j y ^ i + _gl_JUuml P A + -11-11 + -ilsl (a)

1 2 e R 2 2 ff e

Sabendo que

71

m (1-x) m t = p fA (1-a) V f

entatildeo

fl l-o^ p fA x

6 Vf2 1-x l-a2 P fA 2

m V = mdash mdash e V 0 = gl a 1 P C T A 1 g2

m

a_ p h

2 g 2

Nas expressotildees anteriores o x nao varia porque a expansatildeo

5 adiabaacutetica porem o a varia devido a modificaccedilatildeo do tamanho da

bolha

Substituindo os valores das velocidades na expressatildeo (a)

vera

( P - P ) Abdquo =

2

2 2 m gt2 2 m t (1-x) 1 x t

ra i 2 m i 1 x t 1

p fA 1 g c ttl p Ax gpound

m t P - P = mdash

(1-x) (l-a 1)A 1A 2 (l-a2)A|

a r A r A 2

V A 2

m t P bdquo - P = mdash 2 1 g c A r A 2 p f

(1-x) 1-a f A 2(l-a 2)

bull ^ 2

72

Se

P -P

a

m

g

12

1 _1_ (1-x)

J12

1 _ a l 1 - a 2 + X (- )

Pg

1 deg12 a 2 ^

Sabemos que

mt = V o pf laquo A l

Sendo V q = velocidade do liquido num ponto onde natildeo haja vapor

P 2-P 1

u 2 2 A 2

V pr Ai

V W p f

(1-x) 12

l-a1 l-a2

+ X 2 pf

mdash

l deg12

-1 a 2 _

p -p r 2 Al (2a 1 2)

2 M f w 1 deg12 X (mdash) (

pg al a 2 )+(l-x)C l 1 12

1-a^ l-a2

Devemos notar que esta expressatildeo tambeacutem vale para quando

temos uma fase para isso basta fazer

= c t 2 = 0

X = 0

e recairemos na formula do item anterior

2 pf 1 deg12 Observemos que neste caso o termo x (mdash)( ) nao

Pg al a2

2

73

tem significado pois corresponde a mudanccedila de fase

2 CONTRACcedilAtildeO KO FLUXO DE UM FLUIDO

21 - Uma so fase raquo mdash

Aqui ocorre um fenocircmeno importante pois o fluido ao ser

contraiacutedo nao vai diretamente da area A^ para a area A 0 mas ele

contral-se ate uma area A^ e depois expande-se ate k^

Ao A2

Po IP 2

V 2

Figura 2

Fazendo o equiliacutebrio das pressotildees entre os planos (1)

(0) vem 2 2

pV pV p +~ plusmn - P + i deg bull 1 2 g o 2 g (b)

C x

Fazendo equiliacutebrio da expansatildeo (0) - (2) vem

P o + 2 - f = P 2 + 2 -T + kp- 2 F ( c )

c c b C

Subtraindo (b) - (c)

2 2 2

i p- vj i p- v2 L P l + 2 bull g c

P 2 + 2 2g c

+ k P 2g c

74

Como

P - P = mdash 2 2g

2 2

bull (1 + k) - f bdquo mdash i

k a - f2 ) 2 - d - o c )2

= o

A = a 21

Weisback obteve varias relaccedilotildees entre a e a i] c

01 02 03 a 0624 0632 0643 c

0624 0632

A r v i - V v 2

p -p 1 2

P -P 1 2 2g7

v l =

(1+k) - laquofi- a 2g 21 c

( 1 + k - o 2 1)

X[- V 2 o 2 1V 2

22 - Duas fases

0 valor de k pode ser aproximado para

k = a(l - o 2 1)

onde segundo Richardsons para fluxo de duas fases podemos supor

a = 02

Para fluxo homogeacuteneo sabemos que

75

p = p f (1 -a ) + p o a

podemos supor p bdquo a = 0 pois p e pequeno e fazendo

V = V ~ V fbdquo2 go2 v 2

Substituindo estas duas expressotildees na equaccedilatildeo de uma soacute fase vem

2 2 p V (l-ct) p V (1 -a ) bdquo

P l P 2 = 9g ( 1 + 3 - 3 0 ^ - 0 ^ ) = g (a+1) (l-a^)

Se a = 02

2 12p oV 0

p r p

2 - 9g gt d-) d-sigt

A compressatildeo de um fluido acarreta uma perda de pressatildeo

como pode ser verificado pelas formulas uma vez que lt 1deg

3 ANALISE HIDRODINAcircMICA DE UM CIRCUITO EM CIRCULACcedilAtildeO NATURAL

Esquema deacute uma caldeira com circulaccedilatildeo natural

76

Determinar a velocidade em (7) para que tenhamos circula

ccedilatildeo natural Determinar tambeacutem as perdas de pressatildeo em todos os

trechos da caldeira

31 - Contraccedilatildeo das secccedilotildees (1) - (2)

Como jaacute vimos a equaccedilatildeo do balanccedilo das pressotildees eacute

1 pr Vl 1 p 2 o V 2 P2 V2

1 2 g 2 + 2 g + K12 2g otilde c amp c e c

bullraquo 2 o2 2 e havendo uma soacute fase k 1 9 = (l-o ) = (1 mdash ) e sendo

C 2

p l = p2

v x lt lt lt v 2

P 2 V pr p2 bull ir2 bull ( 1 + k12gt

Colocando em termos de temos

A 2 V 2 P 2 = A 7 V 7 p 7 (continuidade)

V = V mdashbull = V o_bdquo ~ A 2 2 2

P 2 V - p 2

p r p 2 = ir2 - deg72 bull Ccedilrgt bull lt 1 + ki2gt

fazendo

N12 - lt^gt deg72 ( 1 + k12gt

P7 V7

Pr P2 - N12 bull HG

77

3 2 - Perda de carga no trecho ( 2 ) - ( 3 )

Como haacute apenas uma fase soacute temos perdas por atritos e

perdas hidrostaacuteticas

Sendo como jaacute vimos

2 3 p 2 2 g P 2 P 3 = f 2 3 (r~2g^~) L 2 3 g c p

atrito hidrostaacutetica

Substituindo V^ pela relaccedilatildeo do item anterior e tendo em

conta que p = vem

P -P = f 2 r 3 2 3 D

2 3 p 2 bdquo 2 2 p 7 2

2 g 7 72 p 2 3 g

Se

L 2 3 2 p 7

2 3 2 3 D 2 a 7 2 p 2

P 7 V 7 g P 2 - P 3 = N 2 3 ( mdash gt p 2 L 2 3 f

3 3 - Expansatildeo nas secccedilotildees ( 3 ) - ( 4 )

Como vimos o balanccedilo das pressotildees e

2 2 2 p V p 4 V p V

P 3 + 2 g c

P 4 + 2 g c

+ k 3 4 2 g c

onde

k 3 4 - - -

2 2 1 P 4 - V 4 P 3 v 3

P 3 P 4 = 2 g + ( k 3 4 _ 1 ) 2 g

78

Sendo

P 3 - P 4

p 3 o A 3 deg V 3 = P 7

a A 7 o V 7

P 4A 4 0V 4 = P r A r V

3 7 A 3 p 3

A7 P7 V = v mdash mdash 4 7 P 4

P - P 3 r4

Se

P bdquo - P

bdquo2 r-P 7 V 7

3 4 2g deg74 + ( k 3 4 1 ) deg73

34 p deg74 + ( k 3 4 1 ) 73

p r v2

P3- P4 ^ N34 ^ gt

(No caso e negativo)

34 - Contraccedilatildeo nas secccedilotildees (5) - (6)

Ainda temos uma so fase e fazendo o balanccedilo das pressotildees

como fizemos no item 3lt1 vem

P + vil p + vi + k vi P 5 + 2gbdquo P6 + 2gbdquo + k56 2gbdquo

k 5 6 lt 1 ^ gt 2 ( 1 - Iacute 2 i 2 6

V V6 P5degIacute 5^6 ^SS 2g c - 2g c

P - P ^ = (1+kJ

Como

79

A 6

W p 5 =

VV P6 V 5 = V 6 Jiexcl = Vff65

P 5-P 6 - lt H k 5 6 ) mdash ^ mdash (l+k 5 6-a 6 5) c c c

Sendo

Se

A 7 p 7 p 7

6 7 Ag p 6 7 76 p 6

p _p _ P6- V7- g76 iquest72 ( _ 02 P 5 P 6 2g c bull ( p 6

( 1 + k 5 6 deg65 )

p 7 2 2 N56 = p ^ deg76 ( 1 + k 5 6 ~ a 6 5 )

P 7 V 2

7

P r-P = N r 5 6 56 2g c i

35 - Perdas de pressatildeo nas zonas (6) - (7) - Pre^aquecimento

Nesta regiatildeo temos perdas por atrito e hidrostaacuteticas

Nao haacute perda por aceleraccedilatildeo pois ainda natildeo houve formaccedilatildeo de boshy

lhas

Fazendo balanccedilo das pressotildees temos

L_ ppound-V p = p + otilde L - pound _ + f -Si (-21mdashL 6 7 + p67 L67 g + t 6 7 D K 2g

p _ e ifn sao tomados como valores meacutedios 67 67

P _p _ f hl ^67jIacute uuml + - L A

6 F 7 r67 D 2g P P67 L67 g 6 s c 7 c

S e Kr pound67 L67 p67 6 7 D 6 p7

p7 V - _g_ P6- P7 - N67 mdash + P67 L67 f

c c

80

36 - Perda de pressatildeo nas zonas (7) - (8) - Zona de ebuliccedilatildeo

Nesta regiatildeo j aacute temos o aparecimento de bolhas logo a

perda de pressatildeo seraacute devida agraves t recircs parcelas aceleraccedilatildeo a t r i t o

das duas fases liacutequidas + vapor e h idros taacute t ica

onde

Assim

P-P Q = AP + AP + APbdquo 7 8 a t r i t o acel H

T M1

78 p 7 7 AP - R f- - mdash mdashr |R = fator mult ipl ica-

a t r i t o 7 D 7 2 g c L tivo

G 2

AP bull r mdash acel g c

P V

|_1 - o a p J 8 P f

2 t r 2 M2

7 7 r 7 7 A P a c e l = -J^mdash 2 r bull p 7 lt T iexcl iexcl - )

A PH p 7 8 L 7 8 fiexcl

p 7 8 iacute 7 li 1 0 0 P l i q + a P v ] d L = P 7 ( 1 - laquo 7 8 )

ag raquo fraccedilatildeo de vazio media entre 7 e 8

APH = p (1 - 5 7 g ) f- L 7 8

2 2

P 7 - P 8 a 5 - 2 T i + 2 r p 7 + P 7 ( 1 - 7 8 gt f L 7 8 7 amp c amp c amp c

81

N 7g = R mdash + 2 r p 7

P7 V7 P7- P8 = N78 + P 7 ( 1 5 7 8 gt J78

37 - Expansatildeo nas secccedilotildees 8 e 9

No caso haacute uma expansatildeo com duas fases e como vimos no

item 12 a variaccedilatildeo de pressatildeo era dada por

0f Vo P2 P1 = ~2g c ( 2 deg12

x 2 (mdash)(mdash - mdash ) + ( l - x ) 2 ^ T mdash 8 1 2 1

12

Aplicando ao nosso caso

P pound = P 7

P -P = 8 9

V - V raquo V g f 7

P 7 V 2

2 pf 1 a89 2 1 g89 x (mdash) ( ) + (1-x) (- - N

o ou abdquo 1-cu l-ot_) g 8 9 8 9

Se

N 89

= 2 a 89

2 pf 1 deg89 2 1 CT89 x (mdash) ( ) + (1-x) ( T

g 8 9 8 9

P -P = 8 9

- N P7deg V7

89 2gbdquo

38 - Perda de pressatildeo no trecho 9 e 10

No referido trecho temos apenas perda de pressatildeo por atr L

to da fase liacutequido + vapor e perda hidrostaacutetica Natildeo haacute perda por

aceleraccedilatildeo do vapor pois este natildeo recebe mais calor e portanto

o 82 o

nao ha variaccedilatildeo no a

p

Q -p i n = A P

U + A P bull 9 10 H atrito

n T -S_ P9 U10 deg 910 bull g

fio r

910 I 910

J9 L

(l- a)P + Q P I dL liq v

(l-a0) p

No caso a = (nao hatilde variaccedilatildeo de forma)

A P H - (1-a ) P (p L 0

c

AP bdquo = R o

atrito

2 f9 o L910 P9 V9

2g

Supondo

= V

P 9 = P 8 P 7

vbdquo = v 9 8 0 A r

= V 7 bull deg89

AP - R atrito

2 2

W l O p7deg V7deg g89

V P10 R -^T^ bull deg89 bull li-2 + ( W P 7 (fgt SIO

y c c

Se

- f9 L910 2 N9ol0 R Dl deg89

w 2

p rv P9 P10 = VlO + ( 1 a 9 ) p7 (f gt L910 c

33

39 - Perda ciacutee pressatildeo na expansatildeo 9 - 1 0

Analogamente a expansatildeo 8 - 9 temos

10 11 P 7 2g

10 Iacute 2 0 1 0 - 1 1 gt

2 ff

pg aio

10-11

laquo11 ) +

Ll-a 1 0 bull l-a u J

Se

V10 = V 9 = V 8 bull T9 = V 7 deg89

P -P 10 rll = - a 2g 089 ^lO-ll

4 bull T~ bull (7 1 mdash ) + Pg degio a n

+ (l-x)2(- 1 10-11

1 - aio )

N10-ll = 2 a10-ll a89 2 pf t 1 10-11 N2

-(j-r- - ) bull+ (1-x) pg aio deg 1

10-11 k l - a io

prz P10 Pll = - N10-ll bull ( 2gbdquo

310 - Calculo de V

Fazendo a somatoacuteria de todas as expressotildees (P^-Pj) tere-

84

mos 2 PbdquoV_

P bdquo - P bdquo = N 7 v 7

1 2 12 2g

bull 2 - P 3 - = N 2 3 P 2 L 2 3 f c ccedil

9 P 7 V 7 P _p = N mdash -

3 4 34 deg 2g

V P 5 = deg

2 P V

5 6 56 2 g c

ltr2

P 7 -V 6 e7 -N67 2g + p 6 7 J j67 g

c bc v 2

P 7 - P 8 = N 7 8 - 2 i ~ + p 7 ( 1 - laquo 7 8 ) L 7 8 c

P 7 V 7

P - P - -N mdash - -8 9 89 2g

c P 7 V 7

P 9 ~ P 1 0 VlO 2g + ( 1 a 9 P 7 L 9 c

P 7 V 7

bull10 11 U10-ll 2g

P v iacute j P - P

1 11

7 - v 7 3 bull r

2 8 i U L 2 23 67

(l-5 7 8) L 7 8 + ( l - laquo 9 ) P 7 bull SlOtilde]- ^

Por ou t ro lado sabemos que como secccedilotildees 1

mesmo n iacute v e l

85

s c p r v 7 j

28 Z N i ij

= P 2 L23 p67 L67 P 7 ( 1~deg78 )

78 ~ ^g) bull P 7 bull L 910 g_

V - 2 g ( p r L 2 3 - p 6 r L 6 7 - p 7 ( l - atilde 7 8 ) L 7 8 - (l-a9) p L 9 a ( )

y N

Com esse valor de podemos determinar todas as variashy

ccedilotildees de pressatildeo (P^-P )

BIBLIOGRAFIA

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tituto de Energia Atocircmica de Sao Paulo em 1966 (roteiro)

- WR Gambill - Nuclear Safety

Vol 9 - n9 5 e 6

Vol 6 - n 2 (pag 152)

Vol 4 -r n9 1 (pag 30)

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- Paul A Lottes - Argonne National Laboratory

- AKL - 6469

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Frank Kreith - Principles of Heat Transfer

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Seminaacuterios realizados em Paris em 1961 sob a supervisatildeo do

Prof Marcel Veron

Notas de aula da Cadeira de Termodinacircmica I e Transmissatildeo da

Escola Politeacutecnica da Universidade de Sao Paulo

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Page 2: ALGUNS PROBLEMAS DE HIDRODINÂMICA E CONVECÇÃO DE … · alguns problemas de hidrodinÂmica e convecÇÃo de calor em reatores de potÊncia, segundo aulas do ... b - convecÇao

ALGUNS PROBLEMAS DE HIDRODINAcircMICA E CONVECCcedilAO DE CALOR EM

REATORES DE POTEcircNCIA SEGUNDO AULAS DO PR W R GAMBILL

^ Joseacute Antonio Dias Diegues

Divisatildeo de Engenharia Nuclear

Instituto de Energia Atoacutemica

Satildeo Paulo - Brasil

Informaccedilotildees IEA N9 12

Abril - 1969

i

Comissatildeo Hacional de Energia Nuclear

Presidente Prof urial da Costa Ribeiro

Universidade de Satildeo Paulo

Reitor ProfDr Luis Antonio da Gama e SilTa

Instituto de Energia Atoacutemica

Diretor Prof Roacutemulo Ribeiro Pieroni

Conselho Tecnico-Cientiacutefico do IEA

ProfDr Joseacute Moura Gonccedilalves ) ProfDr Joseacute Augusto Martins ) pela USP ProfDr Rui Ribeiro Franco ) ProfDr Theodoreto HI de Arruda Souto ) pela CNEN

Divisotildees Didaacutetleo-Cientiacuteficas

Divisatildeo de Fiacutesica Nuclear -Chefe ProfDr Marcello DS Santos

Divisatildeo de Radioquiacutemica -Chefe ProfDr Fausto Walter de Lima

Divisatildeo de Radiobiologiacutea -Chefe ProfDr Roacutemulo Ribeiro Pieroni

Divisatildeo de Metalurgia Nuclear -Chefe ProfDr Tharciacutesio DS Santos

Divisatildeo de Engenharia Quiacutemica -Chefe Lie Alciacutedio Abratildeo

Divisatildeo de Engenharia Nuclear -Chefe Eng2 Pedro Bento de Camargo

Divisatildeo de Operaccedilatildeo e Manutenccedilatildeo de Reatores -Chefe Eng2 Azor Camargo Penteado Filho

Divisatildeo de Fiacutesica de Reatores -Chefe ProfDr Paulo Saraiva de Toledo

Divisatildeo de Ensino e Formaccedilatildeo -Chefe ProfDrc Rui Ribeiro Franco

iacute N D I C E

Pagina

A M CONVICCcedilAtildeO DL CAIflOR O O O O O O O O O Q O O O O O O O O O O O O O laquo Q O O X

1 XntlTOdtlCcedilaO o e o O raquo 0 0 laquo o O O laquo 0 raquo 0 raquo 0 0 raquo 0 0 copy 0 0 0 copy 0 0 0 laquo raquo o e raquo O O a X

2 o Tipos d a convecccedilao O deg o deg lt gt o o o deg s lt gt o 9 lt gt bull bull raquo laquo laquo bull 1

3 v Regimes de escoamento dos fiuidos 2

4 bdquo Casos possiacuteveis de convecccedilao o 3

5 o Meacutetodo de estudo dos probXemas de convecccedilao 4

6 o Analxse dimensional copy o c copy o o e o laquo a i gt laquo o o copy o raquo o o Q o o o copy o o o e raquo 3

7 o CorWGCCcedilclQ ri3UumlUTd-X o o o o o o o u a o o o o o a o o a o o o o o o e o a o o o 7

S v COI lVOcircCCcedilacircO pound 03TCcedil3Clacirc O Q 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 9 9 Q O O O O O Q O O Q O Q O O O O Q 9

9 c Significado fisico dos adimensionais o o li

XOo Equaccedilatildeo d e convecccedilao forccedilada o 1 2

B - CONVECCcedilAO COM MUDANCcedilA DE FASE CONDENSACcedilAtildeO - (I) 1 5

1 laquo I I I 12TO d U Ccedil S O laquo o e copy o o copy G Q laquo Q e s j o o copy o o o a ocirc o o Q O O Q Q O lt raquo o o o laquo Q o 1 3

2 o COHCIacute3HSclCIacuteO copy B t a o o o c s o o e uacute G t raquo raquo o o copy e o o Q o raquo o copy laquo o lt s o o o o i gt 1 5

B - CONVECCcedilAO COM MUDANCcedilA DE FASE - EVAPORACcedilAtildeO - (II) 2 3

l o XntXOdUCcedilQ-O o a o raquo u s e t t laquo o raquo raquo raquo o copy i o a copy o o o copy copy O f gt o copy copy copy copy o laquo raquo 2 3

2 0 Processo de formaccedilatildeo das bolhas o o o o o o o o o raquo raquo laquo laquo copy gt 2 4

3 o Incertezas no e s t u d o de evaporaccedilatildeo copy copy copy copy copy copy copy copy o 2 7

4 o Regimes de ebuliccedilatildeo bull copy bull Q e o copy raquo o o laquo o laquo raquo o copy laquo o o o o o o o copy o copy o copy 2 3

3 o J^UrnOUt copy copy 9 o o e copy o copy o o copy o o copy o copy copy e c e ( gt o copy o o copy Q O copy 9 0 copy Q O Q o copy copy copy 3 1

oacute Influecircncia de outros paracircmetros no Burnout 3 3

7 o Formulas para caacutelculo do coeficiente de peliacutecula na

ebulXCcedilaO O raquo copy raquo O raquo copy D copy laquo Q copy copy O copy copy copy O O raquo copy O O O O copy O copy raquo copy laquo O copy laquo copy O laquo O O 3 3

Pagina

c FOacuteRMULAS PARA CAacuteLCULOS ESPECIacuteFICOS - RESULTADOS KSPE-

1laquo Fluxo de calor criacutetico - Burnout bdquo bdquolaquolaquolaquo 37

2 o Resultados especiacuteficos o o o o o o o o o o o o i o o o c o lt gt lt lt lt 44

D _ HIDRODINAcircMICA DOS SISTEMAS E QUEDA DE PRESSAtildeO DENTRO

1 o Hidrodinacircmica e queda de pressatildeo ltbdquolto 51

2 ^ Perda de pressatildeo num canal de evaporaccedilatildeo 60

E - EXPANSAtildeO E COMPRESSAtildeO DE UM FLUIDO - ANALISE HIDRODIshy

NAcircMICA DE UM CIRCUITO EM CIRCULACcedilAtildeO NATURAL bdquobdquobdquobdquobdquo 69

L Expansatildeo no fluxo de um

2 Contraccedilatildeo no fluxo de ura

A - CONVECCcedilAtildeO DE CALOR

1 INTRODUCcedilAtildeO

A convecccedilatildeo de calor e um fenocircmeno que ocorre muito freshy

quentemente ~ o caso por exemplo da transferecircncia de calor enshy

tre uma parede e um fluido a temperaturas diferentesraquo

Ao contraacuterio do que a equaccedilatildeo de Newton q = h A At

onde q e o calor trocado h e o coeficiente de peliacutecula A eacute a

aacuterea de troca de calor e At ecirc a diferenccedila de temperaturas) pode fa_

zer supor a convecccedilatildeo de calor e um fenoacutemeno complicado Na equashy

ccedilatildeo de Newton os diversos fatores que influem no fenocircmeno estatildeo

englobados no coeficiente de peliacutecula conforme veremos mais tarshy

de

Resumindo resolver um problema de convecccedilatildeo de calor eacute

obter o valor do coeficiente de peliacutecula h

2 TIPOS DE CONVECCcedilAtildeO

0 processo da transferecircncia de calor por convecccedilatildeo eacute devi

do atilde mistura de porccedilotildees de massas de fluido a diferentes temperatjj

ras A mistura dessas porccedilotildees pode ocorrer de duas maneiras e daiacute

resultam os dois tipos diferentes de convecccediloes

a) convecccedilatildeo natural

b) convecccedilatildeo forccediladaraquo

a) Convecccedilatildeo natural - Verifica-se quando os movimentos

macroscoacutepicos do fluido satildeo devidos unicamente a difeshy

renccedilas de densidade das porccedilotildees frias e quentes Podemos citar coshy

mo exemplo aquecimento residencial com resistecircncias eleacutetricas

transformadores etc

b) Convecccedilatildeo forccedilada - Verifica-se quando os movimentos

macroscoacutepicos do fluido sao devidos a agentes externos

isto e a movimentaccedilatildeo do fluido e provocada pela diferenccedila de

pressatildeo causada por bombas ventiladores etc Neste casonatildeo vatildeoixi

fluir portanto somente as condiccedilotildees teacutermicas do processo e as

propriedades fisicas do fluido mas tambeacutem as condiccedilotildees externas

determinantes do escoamento do fluido Sao inuacutemeras as aplicaccedilotildees

da convecccedilao forccedilada na industria em caldeiras reatores etcraquo

3 KEGIMES DE ESCOAMENTO DOS FLUIDOS - IMPORTAcircNCIA NA CONVECCcedilAO

A mecacircnica dos fluidos define dois tipos de escoamento

a) regime laminar

b) regime turbulento

a) Regime laminar - Aquele escoamento onde as partiacuteculas

movera-se em camadas numa direccedilatildeo paralela agrave parede

b) Regime turbulento - Aquele em que as partiacuteculas fluishy

das se movem irregularmente ao acaso sem nenhuma di_

reccedilao determinada

Nos regimes turbulentos junto agrave parede sempre ocorre a

formaccedilatildeo de uma corrente fluida em regime laminar cuja espessura

depende da velocidade meacutedia do escoamento chama-se esta camada de

sub-camada laminar

Laminar 1 Tran- | ^^furtmlento

siccedilatildeo iexcl ^S^

A

l Sub-camada limite laminar

N L

siccedilatildeo iexcl ^S^

A

l Sub-camada limite laminar

N L mdashbull parede plana

Um estudo mais detalhado sobre o escoamento acima

feito oportunamente

3

O regime do escoamento e importante na convecccedilao porque

ele determina qual o mecanismo preponderante na troca de calor enshy

tre parede e fluido

Assim no regime laminar o fluxo teacutermico normal agrave parede

eacute transmitido principalmente por conduccedilatildeo pura neste caso eacute a coji

dutividade teacutermica do fluido que determina a taxa de calor trocada

por convecccedilao

No regime turbulento o fluxo teacutermico eacute transmitido por um

mecanismo composto e complexo Na sub-camada limite laminar o flushy

xo daacute-se por conduccedilatildeo pura e na regiatildeo turbulenta datilde-se porumamls_

tura de porccedilotildees de mateacuteria a temperaturas diferentes

4 CASOS POSSIacuteVEIS DE TRANSFEREcircNCIA DE CALOR POR CONVECCcedilAO

Convecccedilao

Gases e

liacutequidos

Circulaccedilatildeo

Natural

parede plana

horizontal

vertical

parede cilin

drica

horizontal

externa e

internamente vertical

Circulaccedilatildeo

forccedilada

parede

plana

dentro

dos

tubos

escoamento laminar

escoamento turbulento

escoamento laminar

escoamento

turbulento

tubos retos

tubos em espiral

externamente

a tubos

paralelamente aos tubos

ortogonalmente aos tubos

externamente a tubos aletados

4

Cotivecccedilao

Na evaporaccedilatildeo

de liacutequidos

Na condensa-

cao de vaposhy

res

sobre superfiacutecies planas

internamente tubos

externamente tubos

circulaccedilatildeo natushy

ral ou forccedilada

externamente a tubos horizontais

externamente a tubos verticais

sobre superfiacutecies planas verticais

dentro de tubos verticais

5o MEacuteTODOS DE ESTUDO DOS PROBLEMAS DE CONVECCcedilAtildeO

jaacute vimos que a soluccedilatildeo do problema de convecccedilao eacute encon

trar uma expressatildeo para o coeficiente de peliacutecula (h) em funccedilatildeo

das suas inuacutemeras variaacuteveis

- temperatura da parede (t ) w

- temperatura do fluido (t^)

- velocidade do escoamento (V)

- forma $ e dimensotildees caracteriacutesticas (L L L ) da pa

x y z mdash rederaquo

- propriedades do fluido

- condutividade teacutermica (k)

- massa especiacutefica (p)

- calor especiacutefico (c)

- viscosidade dinacircmica (u)

Sendo assim a expressatildeo de h seratilde do tipo

h = h(t t_ V $ L L L k p c u ) w f x y z

Ha vaacuterios processos para chegar a uma soluccedilatildeo

1) meacutetodo analiacutetico

5

2) meacutetodo empiacuterico

3) meacutetodo integrado

Meacutetodo analiacutetico -to estudo para uma partiacutecula do flui

do da transmissatildeo de- calor levando em conta tambeacutem as

equaccedilotildees do escoamento e da continuidade do fluido o que leva a

equaccedilotildees diferenciais de difiacutecil soluccedilatildeo Tais soluccedilotildees em geral

sotilde sao possiacuteveis quando fazemos hipoacuteteses simplificadoras que se

nao forem corretas nos levaratildeo a uma soluccedilatildeo errada

Meacutetodo integrado - Eacute o estudo para um agregado de partiacuteshy

culas e tem o mesmo tipo de soluccedilatildeo que o meacutetodo analiacuteti

co poreacutem para esse agregado

Meacutetodo empiacuterico - Este meacutetodo estaacute associado agrave anaacutelise di

mensional Tal meacutetodo consiste em deduzirmos os nuacutemeros

adimensionais que influem no processo e procurarmos depois atrashy

veacutes da experiecircncia equaccedilotildees que os relacionem

6 ANALISE DIMENSIONAL

0 meacutetodo empiacuterico eacute o mais usado em virtude das dificulshy

dades que os outros apresentam apesar das suas limitaccedilotildees

Devemos tomar dois cuidados especiais para nao chegarmos

a resultados falsos o primeiro eacute obter dados experimentais os mais

corretos possiacuteveis e o outro eacute o de ao considerarmos um tipo de

convecccedilatildeo nao esquecer nenhuma variaacutevel que influa no mecanismo

pois se tal acontecer os nuacutemeros adimensionais obtidos seratildeo com

pletamente diferentes dos reais

Neste estudo usaremos o teorema de Buckingham ou teore

ma dos ir que diz o seguinte

Uma equaccedilatildeo de m variaacuteveis sect (x^ x 2 x^) que por sua

vez sao funccedilotildees de n_ dimensotildees fundamentais pode ser transformada

numa relaccedilatildeo entre (m-n) grupos adimensionais

6

Devemos notar ainda que a analise dimensional e o teore

ma dos TT nao nos permitem obter a relaccedilatildeo matemaacutetica entre os gru

pos adimensionais mas apenas quais os grupos que interferem no

fenocircmenoo

7= CONVECCcedilAtildeO NATURAL

Experimentalmente verificou-se que nesse fenoacutemeno intejr

ferem as seguintes variaacuteveis

Variaacutevel Unidade Dimensatildeo

h - coeflaquo de peliacutecula kcalhr degCm 2 ( M ) ( 0 ) 3 (T) 1

x = dimensatildeo caracteriacutestica m ( L )

AT bull-= diferenccedila de temperatu ra entre parede e flui do

degC (T)

p = massa especiacutefica fluido kgm3 (M) ( L ) 3

y = viscosidade dinacircmica kgsegm ( M ) ( e ) 1 ( L ) 1

6 = coei de expansividade teacutermica

V1

c = P

= calor especiacutefico do fluido

kcalkg degC (D2 ( e ) 2 (T) 1

k = condutividade teacutermica do fluido

kcalm hrdegC OOCDO)3^)1

g raquo aceleraccedilatildeo da gravidade mseg ( L ) ( e ) 2

Dimensotildees

(M) = massa

( L ) = comprimento

(8) = tempo

(T) = temperatura

I

Considerando que apenas estas 9 variaacuteveis influem na con-

vecccedilao natural o fenocircmeno poderaacute ser escrito na forma

B A_C D E F G H I h = A x (AT) bdquo p bdquo u o S Cp k g (1)

Sendo A B C D E F G H I expoentes reaisraquo

De acordo com o teorema dos T T se noacutes temos m = 9 variaacuteshy

veis funccedilotildees por sua vez de n = 4 dimensotildees o fenoacutemeno poderaacute

ser descrito por uma equaccedilatildeo de (9-4=5) adimensionais

Pesquisemos quais sao esses adimensionais Substituindo

na expressatildeo (1) as dimensotildees correspondentes temos

Me 3 T_1 = A LB TC (ML~3)D (Me - 1 ITV (T-1)F

a2 e~ 2 T - 1 ) g (MLe3

0T_1)H ( L e - 2 ) 1

Devido a homogeneidade de unidades da expressatildeo as somas

dos expoentes da mesma dimensatildeo nos dois membros devem ser iguais

(EM) D + E + H - 1 (I)

(26) - E - 2G - 3H - 21 = -3 (II)

(ET) C - F - G - H = -l (III)

(EL) B - 3 D - E + 2G + H + I = 0 (IV)

Solucionando o sistema acima em funccedilatildeo das variaacuteveis C

D G e T vem

Somando (I) e (II)

D - 2 G - 2 H - 2 I = - 2 o H = ~ G - I + 1

Substituindo o valor de H em (III) vem

C - F - G - | + G + I - l = - l F = C - + I

Substituindo o valor de H em (II) vem

8

- E - 2G - -y- + 3G + 31 - 3 - 21 = - 3 E = G + I - -y

Substituindo E e H em (IV) vem

B - 3 D - G - I + - y - + 2 G + | - - G - I + l + I = 0

Voltando agrave expressatildeo (1) temos

h = A x D + I - 1 ( A T ) C pdeg u G + I ~ 3 0 2 g C ~ 0 2 + 1

G D2 - 6 - 1+1 I c p k g

Agrupando os termos de mesmo expoente vem

t A 2 2 - 3 - 1 v D 2 -1 1 n = A (x p bdquo u g o k ) o (x u g k g)

o (AT g ) C (vi k 1 c p )Q o ( x - 1 k g )

h - A ( x 2

3 - p 2 k ) D 2 ( g deg Z)1 (AT g ) C

li 3

C k J x

2 2 h x x p k D 2 x u g gI

k ~ A ^ 3 o

deg 1 k deg

y 3

(AT g ) C ( ^ ) G

Chamando

h bdquo x n = mdash f mdash = Nbdquo = n9 de Nusselt 1 k Nu

T T 2 = p

k

P = N p r = ndeg de Prandtl

rr3 = AT o g

2 2 i

x o p k

4 3 R

M g

Assim os fenoacutemenos de convecccedilao natural sao descritos por

uma equaccedilatildeo do tipo

F ( IacuteW N P r V V V = deg Como as variaacuteveis 3 AT e g na convecccedilao natural soacute in

fluem nas forccedilas de empuxo provocando o movimento macroscoacutepico do

fluido devem aparecer constituindo o produto (g g AT) Para

que isso seja possivel devemos ter

~ = I = C reunindo-se assim os 3 adimensionais tr

T T ^ ir ou seja

ir AT g gt k P 2 X bull P B bull = 3 4 5 u 3 6 k

3 2 x p g g AT bdquo M O j o u c

= 7 = N_ = N9 de Grashof 2 Gr

Finalmente a convecccedilao natural pode ser descrita por uma

equaccedilatildeo da forma

F(Nbdquo N_ Nbdquo ) = 0 Nu Pr Gr

Agora soacute resta obter para cada caso possiacutevel do paraacutegra

fo 4 ps coeficientes desses 3 nuacutemeros adimensionais

8 CONVECCcedilAO FORCcedilADA

Na convecccedilao forccedilada nao influem as forccedilas de empuxo poshy

reacutem influi decisivamente a velocidade do fluido Assim as variaacuteshy

veis que intervecircm no fenocircmeno sao

h = coeficiente de peliacutecula (M) ( 8 ) ~ 3 ( T ) 1

o 10

x = dimensatildeo caracteristica (L)

-1 V = velocidade do fluido (L) (8)

I -3

u = viscosidade dinacircmica do fluido (M) (L)- (0)~

p = massa especifica do fluido (M) (L)

- 2 - 2 - 1 0^ = calor especifico do fluido (L) (6) (T)

k = condutividade teacutermica do fluido (M) (L) ( 0 ) ~ 3 ( T ) 1

0 fenocircmeno eacute determinado por estas 7 variaacuteveis logo coja

forme o teorema dos ir podemos descrever o fenocircmeno por uma equaccedilatildeo

com (7 - 4) = 3 nuacutemeros adimensionais

A equaccedilatildeo de h em funccedilatildeo das variaacuteveis seraacute do tipo

h = A x V u bull P bull c k (2)

substituindo as dimensotildees vem

M e~ 3 T - 1 = A L B (L Q~X)C (M L - 1 e 1 ) 0

(M L 3 ) E ( L 2 e 2 T _ 1 ) F (M L e - 3

T - 1 ) G

Igualando a soma dos expoentes da mesma variaacutevel dos dois membros

vem

(EM) D + E + G = 1 (I)

(Z6) - C - D - 2F - 3G - -3 (II)

(ET) - F - G = -1 (III)

(EL) B + C - D - 3 E + 2 F + G = 0 (IV)

resolvendo o sistema acima em funccedilatildeo de C e G vem

de (III) F = 1 - G

de (II) - C - D - 2 + 2 G - 3 G = - 3

bull D = 1 - C - G

substituindo o valor D em (I) vem

11

1 - C - G + E + G = 1 E = C

substituindo os valores de D E e F em (IV) vem

B + C = l + C + G - 3 C + 2 - 2 G + G = 0

B = C - 1

assim a equaccedilatildeo (2) ficaraacute sendo

C-l bdquoC 1-G-C C 1-G G h = A x V y p c k

P

colocando o coeficiente de k na forma (1-G) + l^j vem

h = A (x V y1 p ) C (ii c k - 1 ) 1 - 0 (x _ 1 k) P

u c hx p x VvC p xl-G k = A ( y gt ( k

ILJLJL = N

k Nu

y c N

e k Pr

p V x _

y N R e = N9 de Reynolds

Logo o fenocircmeno de convecccedilao forccedilada seratilde representado

por equaccedilotildees do tipo

f ( NNugt NPrlaquo N R e ) = 0

9 SIGNIFICADO FIacuteSICO DOS ADIMENSIONAIS

91 - Numero de Nusselt

N = bull h = 2L- _) Nu k AT v

v3 x x=0

eacute uma relaccedilatildeo entre o gradiente de temperatura junto a parede e a

12

variaccedilatildeo total da temperatura do fluido

92 - Numero de Prandtl

Pr = pp = 2 kpc a

P

Relaccedilatildeo entre viscosidade ci nemaacutetica v e a difusividade teacutermica a

93- Numero de Reynolds

N_ = amp Relaccedilatildeo entre as forccedilas de Re u - r bull

ineacutercia e as forccedilas viscosas que interferem no escoamento fluido

94 - Numero de Grashof

H = mdashmdash mdash^mdash 2 mdash amp a relaccedilatildeo entre o pro-u duto (forccedila de ineacutercia )

x (forccedila de empuxo) e o quadrado das forccedilas visshycosas que interferem na convecccedilao natural

11 EQUACcedilOtildeES DE CONVECCcedilAO FORCcedilADA

Por ser o caso mais importante na induacutestria soacute veremos

algumas equaccedilotildees para a convecccedilao forccedilada e deixaremos de lado a

convecccedilao natural por ser menos importante

Para cada tipo de escoamento para cada regime de transshy

ferecircncia de calor e para cada configuraccedilatildeo geomeacutetrica teremos uma

equaccedilatildeo com expoentes e coeficientes diferentes poreacutem sempre com

as mesmas trecircs variaacuteveis

Nbdquo N- N_ Nu Re Pr

Para resolver um problema de convecccedilao devemos antes

avaliar as propriedades do fluido essa avaliaccedilatildeo eacute feita considj

13

rando a temperatura media do fluido isto e a meacutedia aritmeacutetica da

temperatura entre um ponto do fluido junto agrave parede e um ponto onshy

de a temperatura do fluido seja constante longe da parede

Ha casos entretanto que na praacutetica trecircs adimensionais

so nao sao suficientes para expressar o fenocircmeno isto porque as

vezes ha uma propriedade que eacute muito sensiacutevel a uma pequena varia

ccedilao de temperatura logo para estes casos introduzem-se outros adi^

mensionais para levar em conta a dependecircncia dessa propriedade com

a temperatura

Todas as expressotildees foram obtidas experimentalmente A li

teratura especializada tem formulas para todos os tipos possiacuteveis

de geometria Vejamos alguns exemplos

101 ~ Convecccedilatildeo forccedilada sobre superfiacutecies planas

a) regime laminar ( N R g lt 400000)

N T = 0664 (N ) 1 f 2 (N ) 1 ^ 3

NuL ReL u Pr

b) regime turbulento ( N R g gt 400000)

NNuL deg 0 3 6 lt N P r ) 1 3 t gt R e L ) 0 8 1 8 7 deg deg ^

102 - Convecccedilatildeo forccedilada dentro de tubos ciliacutendricos

a) regime laminar (N_ ^ lt 2100) mdash Re D

i

b) regime turbulento Nbdquo _ gt 2100 mdash u Re D

N v _ = 0023 (N_ J 0 8 (Nbdquo ) n

NuD ReD Pr

14

n = 04 para fluido aquecendo

n =raquo 03 para fluido resfriando

Note-se que neste caso houve necessidade de considerar ou

tros adimensionais para aliar a anaacutelise dimensional agrave experiecircncia

no item a) dois outros adimensionais tiveram que ser acrescentados

(DL) e (up s)

Na expressatildeo 101 b) se o N critico for tomado como

sendo 5 x 10 (usado comumente) a expressatildeo usada eacute a mesma a me

nos do termo 18700 que passa a ser 23200

Devemos observar finalmente que estas expressotildees nao se

aplicam a metais liacutequidos e que elas nos datildeo nuacutemeros de Nussel meacuteshy

dios e natildeo locais

15

B - CONVECCcedilAtildeO COM MUDANCcedilA DE FASE - CONDENSACcedilAtildeO (I)

lo INTRODUCcedilAtildeO

Devemos considerar dois tipos de convecccedilao com mudanccedila de

fase que sao a condensaccedilatildeo e a evaporaccedilatildeo

Os problemas de convecccedilao de calor com mudanccedila de fase sao

tao importantes na industria como os de convecccedilao de uma uacutenica

faseraquo Os exemplos mais comuns de sua aplicaccedilatildeo sao os condensadoshy

res e evaporadores usados nos condicionadores de ar geladeiras

caldeiras etc

Neste capiacutetulo estudaremos apenas a condensaccedilatildeo

Os problemas de convecccedilao com fluidos condensando ou evashy

porando sao bem mais complexos que os demais processos de convecshy

ccedilao porque aleacutem de envolver variaacuteveis nao consideradas na conshy

vecccedilao de sistemas de uma so fase tecircm uma variaccedilatildeo nas propriedashy

des fiacutesicas de tal grandeza que essa variaccedilatildeo interfere decisiva

mente no fenocircmeno

2 CONDENSACcedilAtildeO

Eacute a passagem de um vapor para o estado liacutequido pela retishy

rada de calor

21 - Aspectos Gerais

A condensaccedilatildeo eacute realizada fazendo com que o fluido (vashy

por) entre em contato com uma superfiacutecie cuja temperatura esteja

abaixo da temperatura de saturaccedilatildeo do fluido correspondente atilde pres_

sao do vapor

0 coeficiente de peliacutecula relativo ao vapor de aacutegua satushy

rada que condensa sobre uma superfiacutecie fina eacute da ordem de grandeshy

za de 10000 kcalhrm^degC em casos excepcionais chega-se acirc valo-

16

res 50o000-100bdquo000 kcalhrm 2degC Isto eacute obtido a maneira pela

qual a condensaccedilatildeo se produz Ilaacute duas maneiras

1 - condensaccedilatildeo por peliacutecula daacute-se quando o liacutequido con

densado molha totalmente a parede formando urna peliacute

cula continua sobre a mesmaraquo

2 - condensaccedilatildeo por gotas daacute-se quando o liacutequido ao se

condensar rcune-se em gotas que crescem ateacute terem

peso suficiente para escoarenu

0 primeiro tipo eacute o mais comum e eacute o que daacute menor coefishy

ciente de peliacutecula porque a pelicula do liacutequido constitui uma re

sistencia adicional a passagem do calorraquo No segundo tipo chega-se

a coeficientes de pelicula muito maiores pelo fato do vapor estar

sempre em contato direto com a superficie resfriadura isto eacutepor

nao haver resistencia adicional

2o2 - Condiccedilotildees para termos condensaccedilatildeo por peliacutecula ou por

gotas

Sob o ponto de vista da transmissatildeo de calor deveriacuteamos

sempre preferir a condensaccedilatildeo por gotas pois como jaacute dissemos e

a que daacute maior eficiencia teacutermica Acontece poreacutem que tecnologji

camente eacute difiacutecil a obtenccedilatildeo da condensaccedilatildeo por gotas pois haacute

necessidade de termos um vapor puro urna superficie de resfriameii

to perfeitamente lisa (cromeada espelhada) e com resinas para fa

cilitar a formaccedilatildeo das gotas Tudo isso encareceria demais um con_

densador por isso eacute que na praacutetica usamos condensaccedilatildeo por peliacutecu

la quando podemos usar chapas ou tubos comerciais

So em casos muito especiais quando o espaccedilo eacute muito imshy

portante usa-se condensaccedilatildeo por gotas

2 3 - Remoccedilatildeo do Condensado

Um fator importante a considerar na condensaccedilatildeo eacute a remo

17

ccedilao do condensado que sempre se faz por gravidade Ha dois tipos

principais de superficies de condensaccedilatildeo

1 - Tubos ou placas verticais (ou encunadas)

2 - Tubos cilindricos horizontais

Nos tubos verticais a espessura da peliacutecula liacutequida aumen

tara do topo acirc base e com isso variaraacute ao longo do tubo o coefishy

ciente de peliacutecula loacutecalo

No caso dos tubos ciliacutendricos horizontais o liacutequido escoj

re pela parede lateral e goteja pela parte inferior natildeo havendo

possibilidade de formaccedilatildeo de camadas espessas do condensado

2raquo4 - Condensaccedilatildeo por peliacutecula sobre tubos verticais

Nusselt desenvolveu estudos analiacuteticos sobre condensaccedilatildeo

externa a tubos ciliacutendricos verticais partindo das hipoacuteteses

1 - A espessura da peliacutecula do condensado eacute nula na parte

superior do tubo e vai aumentando nas partes inferioshy

res por condensaccedil-ao e escorrimentoraquo

2 - 0 fluido escorre pela parede em regime laminar sob o

efeito combinado do seu peso e viscosidade

3 - A temperatura da camada mais interna do condensado tem

a temperatura da parederaquo

4 - A temperatura da camada mais externa tem a temperatushy

ra do vapor-

5 - A variaccedilatildeo da temperatura da camada do condensado em

sentido ortogonal agrave superfiacutecie do tubo eacute linear

6 - 0 vapor cede apenas seu calor latente

7 - A temperatura do tubo eacute uniforme e constanteraquo

8 - Nao haacute gases incondensaacuteveis no vapor (vapor puro)

Chegou a formula

18

2 3 g P - h L t

N j = 0943 ( r-EcircY~ ) 1 4 (l) NuL y bdquo k o At v

As propriedades da equaccedilatildeo (1) satildeo avaliadas agrave temperatu

ra meacutedia tm

c + t _ w sat

tm ~ onde

t = temperatura da parede

t = temperatura de saturaccedilatildeo do fluido S 3Lt

exceto o calor latente da vaporizaccedilatildeo b^ que deve ser avaliado agrave

temperatura de saturaccedilatildeo correspondente atilde pressatildeobdquo

Quando a superfiacutecie focircr inclinada vale o raciociacutenio de

Nusselt apenas o termo que atua na remoccedilatildeo do condensado natildeo eacute g

mas sim (g seno) sendo 6 a inclinaccedilatildeo da superfiacutecieraquo

Assim a equaccedilatildeo para estecaso seria

2 3 g o sene o p o h o L

NT _ = 0943 ( r~ y (2) NuL y o k o At w

25 - Efeitos a considerar na condensaccedilatildeo

Ha 3 efeitos importantes a considerar na condensaccedilatildeo que

Nusselt natildeo levou em conta sao eles

- efeito da turbulecircncia no filme liacutequidoraquo

- efeito dos gases incondensaveisraquo

- efeito da velocidade do vapor

251 - Efeito da turbulecircncia no filme liacutequido

As formulas anteriores servem para comprimentos de tubos

pequenos pois nesse caso a velocidade de escoamento do condenshy

sado natildeo eacute grande entretanto para superfiacutecies verticais longas

a peliacutecula torna-se bastante espessa e com velocidade grande deshy

mais para que o escoamento possa ser considerado em regime lamishy

nar

19

Nesse caso define-se o numero de Reynolds baseado na veshy

locidade da fase liacutequida isto eacute

p V 6

Nbdquo - m r

Rer y u

onde

V = velocidade do condensado na camada limite m 6 = espessura da camada limite

T = p V m 6 = descarga do condensado por unidade de largju

ra da superficie de condensaccedilatildeo

No calculo da determinaccedilatildeo de T haacute uma certa dificuldade

pois ele soacute pode ser determinado por iteraccedilatildeoraquo

Q = m c laquo A t = h A A t P

A = 2ir R bdquo L (para tubos)

m c = h o 2IumlIuml R laquo L P

m m braquoL _ p a _ _ li li

2TTR C c P P

Como noacutes nao sabemos o valor de h_ devemos inicialmente

adotar um V e obter atraveacutes da foacutermula

NNuL = deggt0134 (R PV L 3 gt 1 3 ( N R e r ) 0 4 ( 4 )

y

o valor de _h se os valores de h_ obtidos por (3) e (4) forem iguais

o problema esta resolvido caso contraacuterio fazem-se tantas iterashy

ccedilotildees quantas forem necessaacuterias

252 - Efeito dos gases incondensaacuteveis

A presenccedila de gases incondensaacuteveis reduz violentamente o

coeficiente de peliacutecula pois acirc medida que o vapor se condensa o

gaacutes nao condensaacutevel se acumula junto atilde superfiacutecie de resfriamento

20

formando uma barreira adicional S passagem do fluxo de calor

A reduccedilatildeo do coeficiente de peliacutecula que a presenccedila des_

ses gases causa depende da fraccedilatildeo em massa dos mesmos na mistu

ra gaacutes-vapor

Fizeram-se inuacutemeras experiecircncias e sobre o assunto a tiacute

tulo de exemplo vejamos o graacutefico abaixo onde temos em abcissas

o coeficiente de peliacutecula obtido experimentalmente e em ordenadas

a fraccedilatildeo de gases dissolvida jio vapor

5000

bullg- 4000 O

3OOO

2000

S 1000

4 6 8 10 12 lt|gt(lbm arlbm de vapor )x 10

Devemos notar a grande influecircncia dos gases incondensatilde-

veis por exemplo quando o vapor eacute puro nos temos um h = 4000se

tivermos apenas 1 de ar dissolvido o coeficiente de peliacutecula fishy

caraacute reduzido agrave metade isto ecirc h = 2000

Por isso nos condensadores sempre se coloca vapor ornais

puro possiacutevel

253 - Efeito da velocidade do vapor

Quando a velocidade do vapor junto agrave interface liacutequido-

-vapor natildeo focircr despreziacutevel surgem forccedilas de atrito entre o vapor

e o liacutequido Se a direccedilatildeo do fluxo do vapor coincide com a direshy

ccedilatildeo do movimento do liacutequido a velocidade do liacutequido aumenta (haacute

compressatildeo) e a espessura do filme liacutequido diminui e consequenshy

temente a transferecircncia teacutermica melhora pois haacute diminuiccedilatildeo da

resistecircncia teacutermica

Se entretanto a direccedilatildeo do vapor focircr contraacuteria a do fil

o 21 laquo

me de liquido ha uma tendecircncia de haver aumento da espessura da pj2

liacutecula diminuindo assim o valor de h

26 - Consideraccedilotildees sobre os resultados obtidos com as foacutermushy

las de Nusselt

Nota-se experimentalmente que os resultados obtidos pelas

equaccedilotildees de Nusselt sao em geral 10 a 20 inferiores do que os reshy

sultados reais Assim a favor da seguranccedila elas sao usadas e aaacuteo_

tadas Os motivos das discrepacircncias jaacute-foram ditas atraacutes no item

25

Devemos notar ainda que o valor de h obtido pelas foacutermushy

las anteriores e o valor meacutedio jaacute que h varia de ponto para ponto

e seria difiacutecil obter uma equaccedilatildeo que nos desse o valor de h locaL

2bdquo7 - Condensaccedilatildeo por peliacutecula externamente a tubos ciliacutendrishy

cos horizontais

0 mesmo estudo de Nusselt pode ser aplicado neste caso

baseado na hipoacutetese de que no topo do tubo a peliacutecula do condensashy

do tenha espessura nula Chega-se a expressatildeo

g p 2 h D 3 14

NT _ = 0725 ( ) (5) NuD u k o At

Analogamente ao caso anterior as propriedades do liacutequido

sao tomadas a

t + t w sat

tm = ^

exceto h que eacute tomado a t

ev n sat

Na situaccedilatildeo atual da tecnologia e possiacutevel obtermos tubos

com diacircmetros suficientemente pequenos para que tenhamos escoamenshy

to do condensado soacute em regime laminar

22

No caso de vaacuterios tubos empilhados a formula (5) deve

ser modificada pois como dissemos ela soacute vale quando no topo do

tubo a espessura do liacutequido eacute nula o que nao acontece neste caso

(Vide figura a)

Vapor

Tubo

mdash Liacutequido

Fig a

Neste caso a forma que nos da o valor meacutedio para h e

g p 2 h D 3 14

NNuD deg gt 7 2 5 lt N u k V At gt

sendo N o numero de tubos empilhados

Note-se que neste caso o coeficiente h cai bastante Uma

boa soluccedilatildeo para o caso quando dispoacuteftos de lugar eacute dispor os tushy

bos defasados (Conforme figura b)

Liquido

Fig b

Neste arranjo podemos aplicar a equaccedilatildeo (5) pois no tp_

po de cada tubo a espessura da camada de condensado eacute nula

23

B - CONVECCcedilAtildeO COM MUDANCcedilA DE FASE - EVAPORACcedilAtildeO (II)

1 INTRODUCcedilAtildeO

Evaporaccedilatildeo consiste na obtenccedilatildeo de vapor por meio de aque

cimento de um liacutequido

Apesar da importacircncia do processo e do sucesso obtido na

praacutetica em projetos de evaporadores o fenocircmeno da evaporaccedilatildeo eacute

um dos pontos menos conhecidos da transmissatildeo de calor

0 primeiro estudo seacuterio sobre o assunto foi feito em 1934

pelo japonecircs Nukiyama poreacutem somente nos uacuteltimos 10 anos tais es-

tudos se intensificaram

Os primeiros pesquisadores quando estudavam o fenocircmeno

do resfriamento de um solido num liacutequido obtiveram as seguintes

curvas

onde

temperatura

velocidade de resfriamento

3 0 v = amdashbull

A 06

Q - fluxo teacutermico

8 - tempo

A - aacuterea do soacutelido

24

tempo

Ateacute os estudos de Nukiyama nao se conseguia explicar o

porque da variaccedilatildeo crescente da velocidade de resfriamento quando

t gt t sol sat

2 PROCESSO DE FORMACcedilAtildeO DAS BOLHAS

Como a evaporaccedilatildeo do liacutequido se faz sobre uma superfiacutecie

aquecedora sobre esta irao se formar bolhas de vapor que influem

decisivamente no fenocircmeno

Aqui soacute iremos estudar as bolhas sob o ponto de vista qua

litativo bem como a sua influencia mas nao sob o ponto de vista

quantitativo

Recentemente Fritz e Jacob WR Gambill e outros estudiacutei

ram o processo da formaccedilatildeo das bolhas sobre a superfiacutecie aquecedpound

ra Atraveacutes de fotografias verificaram que a bolha de vapor ain

da em contato com a parede variava profundamente de forma confo_r

me o angulo de contato entre liacutequido e parede metaacutelica

Assim eacute que se a superfiacutecie de aquecimento nao e excesshy

sivamente polida e a tensatildeo superficial do liacutequido eacute pequena a

bolha tem a forma da figura las diz-se nesse caso que o liquishy

do molha a parede neste caso o angulo de contato e agudobull Se

as condiccedilotildees contrarias se verificarem o acircngulo de contato sera

obtuso e as bolhas tomam a forma da figura ldegb Naturalmente ve

rificara-se as condiccedilotildees intermediaacuterias para o angulo de contato da

25

fig lc

Fig la Fig lb Fig lo

0 estudo analiacutetico da formaccedilatildeo e crescimento das bolhas

pode ser encontrado em diversos livros por exemplo no El-Wakill

(Nuclear Power) no Jakob (Heat Transfer)e outros Neles faz-se

o estudo das condiccedilotildees do liquido (pressatildeo temperatura tensotildees

etc) para haver ou nao formaccedilatildeo de bolha Isto eacute feito fazendo-se

o estudo das bolhas nas seguintes posiccedilotildees

a) bolha no seio do liacutequido

para meia bolha

4 ltP g - P fgt fg

onde

P g P f

- 4 D (D

g

Pf

D

pressatildeo do vapor

pressatildeo do liquido

tensatildeo entre superfiacutecie do liacutequido e vapor

diacircmetro da bolha

^f g

P f Fig 2

26

A equaccedilatildeo (1) mostra que a pressatildeo do vapor deve ser maior

que a do liquido nas condiccedilotildees de saturaccedilatildeo e este por sua vez

deve estar no estado de superaquecimento o

b) bolhas sobre superfiacutecie solida

Fig 3

Condiccedilotildees para desprender

a mdash o_ + o_ cos a gs fs fg

tensatildeo na interfase liacutequida e vapor (depende das

propriedades do liacutequido e vapor)

tensatildeo entre o liacutequido e superfiacutecie de aquecimen

to (depende das propriedades do liquido e da sushy

perfiacutecie)

tensatildeo entre o vapor e a superfiacutecie de aquecimeri

to (depende das propriedades do vapor e da super

fiacutecie)

21 - Formas do fluxo do vapor desde a superfiacutecie de aquecishy

mento ateacute a superfiacutecie livre do liacutequido

Considerando liacutequido vaporizado em tubos verticais pode^

mos ter 4 tipos de fluxo de vapor

1 - fluxo de bolhas

2 - fluxo de agregados (plug ou slug)

3 - fluxo anular

4 - fluxo disperso

Os quatro tipos ficam bem determinados respectivamente

onde

a fg

degfs

a gs

27

pelas 4 figuras abaixo

LIacutequido - Liacutequido Liacutequido

o

^Bocirclha de

vapor

Vapor

mdash [

- Vapor

mdash 0 0

deg_ a-

jrj-

iquestiexcl5

Bolhas Agregados Anular

Liacutequido

vapor

Disperso ou

Homogecircneo

Conforme o tipo de ebuliccedilatildeo podemos ter uma so das forshy

mas acima ou uma mistura

3 INCERTEZAS NO ESTUDO DA EVAPORACcedilAtildeO

Ha trecircs incertezas principais para determinar o fluxo de

calor na evaporaccedilatildeo a saber

- Aacuterea de contato indefinida

- Diferenccedila de temperatura indefinida

- Grau de turbulecircncia

Como realmente nos nao sabemos uma dependecircncia algeacutebri

ca entre o acircngulo de contato e a superfiacutecie ocupada pelo liacutequishy

do (ou vapor) temos uma incerteza na determinaccedilatildeo da aacuterea de tro

ca de calor (A)

Outra incerteza eacute a dificuldade da obtenccedilatildeo de diferenccedila

de temperatura entre o liacutequido e a parede que normalmente assume-

-se como sendo a diferenccedila entre a temperatura da parede e da ebu

liccedilatildeo do liacutequido (temperatura de saturaccedilatildeo = t )

S cl c

Na realidade a diferenccedila de temperaturas nao eacute aquela

pois a camada de liacutequido que cobre a superfiacutecie aquecedora esta

a uma pressatildeo maior que o resto do liacutequido (pressatildeo atmosfeacuterica

mais a hidrostaacutetica) e consequentemente a temperatura de vaporiza_

ccedilao desse liacutequido e maior que a da superfiacutecie Esta diferenccedila po-

28

deria ser calculada desde que se conhecesse a relaccedilatildeo entre presshy

satildeo e temperatura de saturaccedilatildeo do liacutequido entretanto haacute incerte

za quanto ao verdadeiro peso especiacutefico da coluna de liacutequidopois

trata-se de uma mistura de bolhas de vapor e de liacutequido em proshy

porccedilatildeo variaacutevelraquo

4 REGIMES DE EBULICcedilAtildeO

Nukiyama estudando a ebuliccedilatildeo da aacutegua num recipiente a

quecendo-a com resistencias eleacutetricas construiu a curva baacutesica da

ebuliccedilatildeo Todos os liacutequidos apresentam uma curva semelhante vashy

riando apenas os valoresraquo Os pontos caracteriacutesticos da curva deshy

pendem de caracteriacutesticas difiacuteceis de definirtais como natureza

do metal estado da superficie (rugosidade) dimensotildees orientashy

ccedilatildeo do fluxo quantidade de gases dissolvidos e t c

Estudaremos o fenocircmeno para o caso de aacutegua destiladasem

gas dissolvido a temperatura de saturaccedilatildeo 100 C pressatildeo atmosfe_

re uma superficie plana

Chega-se assim acirc curva

rica sobre uma superficie plana horizontal a temperatura t^

In ltJgt

At (degC)

A curva acima representa o aquecimento de agua com uma re_

sistecircncia eleacutetrica (ate ebuliccedilatildeo)raquo Temos em abcissas as diferenccedilas

de temperatura entre o liacutequido e a resistecircncia em ordenadas o flu

29

Regiatildeo I

Regiatildeo II

Regiatildeo III

Regiatildeo IV

xo de calor por unidade de area

Na curva notam-se 4 regiotildees bem definidas tendo cada uma

o seu significado fiacutesico os quais correspondem a um tipo de ebuli

ccedilao

convecccedilao natural

ebuliccedilatildeo nucleada

ebuliccedilatildeo por peliacutecula parcial

ebuliccedilatildeo por peliacutecula estaacutevel

41 - Convecccedilao natural

Ocorre quando At eacute inferior a 8degCformam-se no liacutequido

correntes convectivas as quais transferem o calor ateacute a superfiacuteshy

cie livre do liacutequido e aiacute desprendendo o vapor Neste caso o valor

de h eacute da ordem de 2000 kcalm^hdegC

42 - Ebuliccedilatildeo nucleada

Ocorre quando o At eacute maior que 8degC e menor que 25degC Nesshy

te caso as bolhas formam-se junto a superfiacutecie de aquecimento

crescem liberam-se movimentam-se em direccedilatildeo agrave superfiacutecie livre do

liacutequido onde estouram libertando o vapor As bolhas formam-se nas

irregularidades da parede tecircm um acircngulo de contato agudo e porshy

tanto hatilde liacutequido sempre em contado com a parede (molha a parede)

cada ponto ativo (lugar onde se formam as bolhas) libera uma porshy

ccedilatildeo de bolhas e os outros pontos do liacutequido ficam em contato com a

superfiacutecie quente violentamente agitados Esta agitaccedilatildeo extrema eacute

mais eficaz que uma turbulecircncia criada artificialmente Por esse mo

tivo a curva cresce violentamente nesse trecho (m = 3 a 7) pois

bull 2 o o valor de h cresce consideravelmente (ate 46000 kcalm hr C) e

o fluxo teacutermico transmitido ao liacutequido cresce proporcionalmente a

Quando cresce crescem tambeacutem

(At) 3

30

numero de bolhas por unidade de aacuterea (num instanshy

te)

~ = crescimento da bolha (com o tempo)

frequecircncia de iacuteormaccedilao de bolhas

A medida que o At vai aumentando iraacute aumentando (jgt tam-- n o N

bem e consequentemente mdash R mdash a a a tal ponto que quando atiacuteii

girmos o ponto da curva nao haveraacute mais formaccedilatildeo de bolhas

mas sim uma peliacutecula de vapor instaacutevel passando assim a 3a re

giao que estudaremos a seguir

43 - Ebuliccedilatildeo por peliacutecula parcial

Como dissemos no item anterior se aumentarmos ainda mais

o At (entre 25degC e 125degC) teremos a formaccedilatildeo de uma peliacutecula de

vapor instaacutevel sobre a superfiacutecie quente que aacutes vezes eacute perfurashy

da pelo liacutequido A camada de vapor tanto mais estaacutevel seraacute quanshy

to maior focircr o At Essa peliacutecula de vapor iraacute provocar um decreacutes_

cimo consideraacutevel no fluxo teacutermico porque como sabemos o vapor

eacute muito pior condutor que a aacuteguaraquo

0 fluxo vai decrescendo ateacute um ponto miacutenimo (iexclgt mintilde (as vecirc

iacutebo bullraquo 1

zes chega a ser mdashj-) e e o chamado ponto de Liedenfrost 0 coeshy

ficiente de peliacutecula neste caso cai violentamente (h = 2000

kcalm^hrdegC)

44 - Ebuliccedilatildeo por peliacutecula estaacutevel

Aumentando ainda mais a diferenccedila de temperaturas

At ( gt 125degC) iremos conseguir uma camada de vapor estaacutevel Ela

transmite calor da superfiacutecie quente ao liacutequido que se vaporiza de

modo que o excesso de vapor formado na interface liquido-vapor for

ma bolhas que sobem para a superfiacutecie 0 liacutequido encontra-se agi-

31

tado poreacutem nao toma contato com a superfiacutecie soacutelida

A peliacutecula de vapor eacute estaacutevel e o fluxo eacute proporcional a

34

(At) (lei de Bromley) Para At grandes passa a influir sensivel^

mente a radiaccedilatildeo teacutermica mais uma razatildeo para demonstrar que nesshy

ta regiatildeo o fluxo cresce novamente

5 CONSIDERACcedilOtildeES E COMPARACcedilAtildeO ENTRE OS TIPOS DE EVAPORACcedilAtildeO

BURNOUT

Sob o ponto de vista de eficiecircncia teacutermica deveriacuteamos sem

pre trabalhar no ponto de fluxo maacuteximo isto eacute no ponto correspon

dente a lt(gt da curva de Nukiyama pois eacute o que daacute maior coeficieri

te de peliacutecula

Acontece poreacutem que se impomos a temperatura da parede

fixa obtemos um uacutenico valor de lt(gt e portanto o fenocircmeno eacute estaacutevel

Poreacutem se como ocorre nos reatores impomos um fluxo teacuter

mico a curva de Nukiyama apresenta 3 pontos de funcionamento posshy

siacuteveis A B C

1

SOacute os pontos A e C sao funccedilotildees estaacuteveis mas eles impotildeem

acirc superfiacutecie quente temperaturas bem diferentes

Na industria em geral trabalha-se por questotildees de segushy

ranccedila na regiatildeo IV da curva poreacutem para os reatores trabalha-se na

32

r e g i atilde o I I

0 p r o b l e m a de t r a b a l h a r n a r e g i atilde o II eacute q u e se n oacute s e s t i shy

v e r m o s t r a b a l h a n d o n o p o n t o e x t r e m o (j) e se p o r q u a l q u e r m o t i v o

h o u v e r u m p e q u e n o a c r eacute s c i m o d e ltfgt i r e m o s t r a b a l h a r i m e d i a t a m e n t e no

p o n t o M q u e t e m o m e s m o $-^0t p o r eacute m c o m A t 2 m u i t a s v e z e s m a i o r

p o d e n d o o c a s i o n a r a f u s atilde o d a s u p e r f iacute c i e a q u e c e d o r a E s t e f e n ocirc m e n o

eacute c h a m a d o d e b u r n o u t

0 f l u x o lttgt eacute c h a m a d o f l u x o c r iacute t i c o o u f l u x o d e b u r -b o

n o u t N o c a s o do r e a t o r d e v e m s e r t o m a d a s m e d i d a s r i g o r o s a s q u a n

to agrave r e g u l a g e m do f l u x o t eacute r m i c o p a r a q u e n atilde o o c o r r a o b u r n o u t 1 1

p o i s d e l e p o d e r e s u l t a r r u p t u r a d a c a m i s a do c o m b u s t iacute v e l e h a v e shy

r aacute p o r t a n t o c o n t a t o do r e f r i g e r a n t e c o m o s s oacute l i d o s e g a s e s r a shy

d i o a t i v o s

5 o l - R e l a ccedil atilde o d e B u r n o u t

E c l a r o q u e p a r a t e r m o s u m r e a t o r m a i s e f i c i e n t e d e v e shy

m o s t r a b a l h a r c o m u m f l u x o o m a i s p r oacute x i m o p o s s iacute v e l do f l u x o d e

B u r n o u t P a r a t a n t o d e v e m o s c o n h e c e r c o m o m a i o r g r a u d e certe

za p o s s iacute v e l q u a l o ^ p a r a p o d e r m o s r e d u z i r o c o e f i c i e n t e d e s e shy

g u r a n ccedil a ( W R G a m b i l l r e c o m e n d a agrave 1 5 )

N o s s e m i n aacute r i o s d e W R G a m b i l l e n c o n t r a m o s u m a s eacute r i e de

b i b l i o g r a f i a s o n d e p o d e m o s e n c o n t r a r i n uacute m e r a s f oacute r m u l a s p r o p o s t a s

p a r a a o b t e n ccedil atilde o de (q 1^)

A t i t u l o d e e x e m p l o v e j a m o s a l g u m a s

q - 2 7 0 G deg gt 8 5 D 0 2 A085 p lt 150

deg D ( L uuml ) 2

q - 140 G 0 5 D ~ deg 2 (-~-)~deg 1 5 p ~ r gt 150 c D (LD)

o n d e a m b a s as e q u a ccedil otilde e s s oacute v a l e m p a r a aacute g u a e m b a i x a p r e s s atilde o e m coii

v e c ccedil a o f o r ccedil a d a

33

D

L

fluxo teacutermico critico BTUhrft bdquo 2

descarga em massa do liquido (Ibmhrft )

diacircmetro do tubo ft

comp do tubo ft

Para cada caso temos uma expressatildeo diferente que pode ser

encontrada em literatura especializada

6 INFLUEcircNCIA DE OUTROS PARAcircMETROS NO FLUXO DE BURNOUT

Como para os usos atuais do reator a diferenccedila de temppound

ratura entre parede e fluido sao pequenas bem como o fluxo de bur

nout recentemente fiacutesicos como Jakob Bonilla WR Gambill estu

daram outros paracircmetros que influenciam bastante o sect^ 0gt isto eacute a

influecircncia desses paracircmetros faz com que o ^ seja maior Isto eacute

util pois quanto maior o fluxo de burnout maior poderaacute ser o

fluxo de calor real de funcionamento

Tais meios sao

- Sub-resfriamenCcedilo do liacutequido

61 - Influecircncia da velocidade do liacutequido

Estudos feitos pelos autores acima chegaram agraves curvas

- Aumento da velocidade imposta ao liacutequido

- Pressatildeo do liacutequido elevada

alto V

At

34

Para velocidades maiores o fluxo de burnout aumenta

porque neste caso o regime eacute turbulento e o coeficiente de peliacute

cuia h aumentao

6bdquo2 - Influencia do aumento da pressatildeo

Este estudo deve-se a Bonilla que obteve experimentalmen

te as curvas

Este estudo foi feito para vaacuterios liacutequidos e chegou a con

clusao que sempre havia uma pressatildeo oacutetima isto e uma pressatildeo que

leva ao maior iacute 1 ^ raquo mantidas as demais condiccedilotildees Experimentalmenshy

te notou que essa pressatildeo correspondia a 13 da pressatildeo critica

do liquido em questatildeo

6=3 - Influecircncia do sub-resfriamento

Consiste em manter atilde custa de uma circulaccedilatildeo intensa o

liacutequido a uma temperatura inferior atilde de saturaccedilatildeo para a pressatildeo

correspondenteraquo Experimentalmente chega-se agraves curvas

mdash A t grande sub

bullAt -0 sub sub

medio

At

35

Verificando os graacuteficos vemos que o lt)gt aumenta agrave medida bo

que aumenta a diferenccedila de temperatura de sub-resf riamento isto pojr

que o liquido como estaacute mais frio faz com que algumas das bolhas

recondensem permitindo que o liquido fique em contato com a parede

quente o que faz aumentar o h

^ f csub = t e m P e r a t u r a ddeg liacutequido - temperatura de saturaccedilatildeo

A diferenccedila de temperatura At entre fluido e parede tamshy

beacutem aumenta poit na regiatildeo proacutexima agrave parede haacute necessidade de

levar o liacutequido da temperatura do sub-resfriamento ateacute a temperatu

ra de saturaccedilatildeo quando se evapora

Atualmente os maiores estudos dos fiacutesicos nucleares locashy

lizam-se neste campo pois eacute o que oferece maiores vantagens

7 FORMULAS PARA 0 CAacuteLCULO DO COEFICIENTE DE PELIacuteCULA NA EBULICcedilAtildeO

Como ocorre no caacutelculo de todas as foacutermulas de convecccedilatildeo

temos formulas empiacutericas para determinar o h conforme o tipo de

ebuliccedilatildeo que nos consideramos

71 - Ebuliccedilatildeo Nucleada

Para o caso de aacutegua temos as relaccedilotildees

superfiacutecies

horizontais

superfiacutecies

verticais

f aacute 5000 BTUhrft 2 -gtbull h = 151 ( A t ) 1 3

A o

5000 lt 75000 -h = 0618 (At)3

^ pound 1000 -raquobull h = 8 7 ( A t ) 1 7

A o -

1000 lt $ lt 20000 -gt h = 027 (At) A o

Quando a pressatildeo e diferente da atmosfeacuterica faz-se a correccedilatildeo

3 6

72 - Ebuliccedilatildeo por peliacutecula

Bromley propocircs uma boa equaccedilatildeo para a ebuliccedilatildeo por peliacuteshy

cula estaacutevel em cilindros horizontais

Nu

_ JtjD n r 9 P v bull ( P L - P v gt - g -h

e V bull D i2

D 1 ^ U b Z u At gt

onde

V = indica vapor

L = indica liacutequido

Multiplicando ambos os membros da equaccedilatildeo acima por

kvD obteremos a expressatildeo do coeficiente de convecccedilagraveo meacutedio para

o caso

37

C - FORMULAS PARA CAacuteLCULOS ESPECIacuteFICOS - RESULTADOS ESPECIacuteFICOS

1 FLUXO DE CALOR CRIacuteTICO - BURNOUT

lol - Introduccedilatildeo

O aspecto mais importante no que se refere agrave seguranccedila

dos reatores da transferencia de calor na ebuliccedilatildeo eacute a determina

ccedilatildeo do Fluxo de calor critico ou de pico ou burnout

Como jatilde vimos quando temos a ebuliccedilatildeo nucleada a dishy

ferenccedila de temperatura entre refrigerante e superfiacutecie de aqueci

mento e pequena poreacutem quando atingimos o fluxo de calor criacutetico

essa diferenccedila de temperatura pode tornar-se imediatamente muishy

to grande podendo causar a ruptura da superfiacutecie de aquecimento

se atiigirmos o ponto de fusatildeo do soacutelidoraquo

Usando a convecccedilao

onde

At sat

w

sat At

sub

w = temperatura da parede de aquecimento

t t = temperatura de saturaccedilatildeo do liacutequido

t^ = temperatura de mistura do liacutequido

At = (t -t ) sub-resfriamento do liacutequido sub N sat b 1

nout

Ha dois tipos de burnout fast burnout e slow bur-

Ocorre o fast burnout (burnout raacutepido) quando A t g u b gt 0

38

ou para baixo x (~ lt 10) sendo x o titulo do vapor

Temos o slow burnout para x - gt 10 Assim noacutes tereshy

mos dois limites para o burnout

At bull o (ltJgt ) t =((() para t = t ) -

bo m m possiacutevel w sat

sub i

4L + 1

G c D h pl nb

(ltK ) = (ltpound para x = 1) = Dv-bo max possiacutevel e 4L

c At l + P 1 sub i

onde

L = comprimento do canal

D = diacircmetro do tubo

G = descarga de liacutequido (por unidade de aacuterea)

c ^ = calor especiacutefico do liacutequido

Agrave = calor latente de vaporizaccedilatildeo

h ^ = coeficiente de transferecircncia de calor na regiatildeo de

nao ebuliccedilatildeo

iacutendices

i = entrada

e = saiacuteda

Haacute inuacutemeras expressotildees para determinaccedilatildeo do burnout pro

postas por muitos fisicos cada uma aplicando-se a um caso especiacuteshy

fico vejamos algumas delas

12 - Equaccedilotildees para prediccedilatildeo de Burnout

121 - Equaccedilatildeo de Bragg e Smith (Zuber)

Num artigo publicado por Bragg e Smith encontramos uma f oacute_r

mula que e derivada da formula de Kutateladze e nos daacute o fluxo cri

39

tico quando nao temos sufaresfriamento

bo poolsat v V raquoc a ( p l P V )

2 PV

14

onde

ltiexclgt = fluxo de calor critico bo

k = constante

Ly = calor latente de vaporizaccedilatildeo do refrigerante

= densidade do liquido

pvr = densidade do vapor V a = tensao superficial

g = fator de conversatildeo c

a = aceleraccedilatildeo da superficie de aquecimento

Os autores encontraram para k um valor de 062 entreten

to outros autores como Zuber incluindo outras variaacuteveis que In

fluiam no fenocircmeno encontraram k variando entre 008 e 023Esshy

tudos bem elaborados mostram que o valor mais aproximado eacute

k = 015 (- 003)

1-22 - Equaccedilatildeo de Noyes

Noyes estudou o burnout para o soacutedio agua e alguns liacute

quidos orgacircnicos

( W s a t ~ bdquo 0245 bull ( r ( 1 )

iiacute_ V 1 Pr

onde

N n = Nuacutemero de Prandtl da fase liacutequida x r

Mais tarde o proacuteprio Noyes alterou a equaccedilatildeo para

n ^ - n H Iacute I Pl PV gt0538 deg g c a q 4 ( W s a t deg 1 1 6 PV ( - p 7 ~ ) (77T1^ ) ( 2 )

40

A ultima correlaccedilatildeo proposta por Noyes foi

a n prPV0560 112

1

(a bull a) 13

(ag c) 112

(3)

onde

a = difusividade teacutermica do liacutequidoraquo A equaccedilatildeo (3) eacute bashy

seada em todos os dados de burnouts do soacutedio bem

como da atildegua benzeno difenil e outros De 111 pontos usados 90

+ estatildeo relacionados dentro de - 30bdquo

ldeg2o3 - Burnout com convecccedilao forccedilada e sub-resfriamen

to

Aproveitando os resultados de aproximadamente 240 testes

de burnouts com aacutegua sub-resfriada em fluxo de convecccedilao forccedilashy

da feitos na Ruacutessia Labuntsov elaborou uma boa equaccedilatildeo empiacuterica

para o problemabdquo

Esta relaccedilatildeo aplica-se para velocidades entre 2 3 e 148

ftsec pressotildees entre 1 e 201 atmabs sub-resfriamento entre 0 deg

e 432 degF e fluxos de burnout entre 0 4 x IO 6 x 166 x 1 0 6 BTUhr

2 bdquo

bullbo

onde

e a seguinte

6 ( P ) 1 + 0 2 3 2 V 2

14

e ( P ) 1 +

15 c At _p_ sub

12 (a)

9 ( P ) - P 1 3 o ( 1 - P J 4 3

red

= pressatildeo (atm abs)

pressatildeo reduzida = mdash mdash red r P

t_ c = pressatildeo critica

= velocidade do liacutequido (ftsec)

= calor especiacutefico do liacutequido (BTUlbdegF)

4 1

^ tsub = ^ ^ e r e n Ccedil a ^ e temperatura entre a temperatura de

mistura do liacutequido e a de saturaccedilatildeo (degF)

X = calor latente de vaporizaccedilatildeo (BTUlb) 2

ltiacutegtbo = fluxo de burnout (BTUhrfl )

Uma outra correlaccedilatildeo para o caso foi proposta por

Ornatsky e Xiohigin que fizeram experiecircncias para pressotildees entre

10 e 1 5 0 3xm 90 degF lt At ^ lt 4 5 0 deg F 3 7 1 0 6 ( l b h r o f t 2 ) lt G lt

2 2 2 10 b ( l b h r bdquo f t 2 )

lt ^ = 3 2 5 0 (G o A t bdquo J deg 6 ( - i - ^ ) 2 5 ( b ) bo sub

onde

G - descarga de refrigerante por unidade de aacuterea

P ^ v P v - densidades do liacutequido e do vapor

P1~ PV -0 termo (mdash ) e incluido na expressatildeo (b) para indicar

a influecircncia da ^ pressatildeo sobre o

Uma comparaccedilatildeo entre as equaccedilotildees (a) e (b) foi feita para

o Reator de Isoacutetopos de Alto Fluxo (HFIR) nas condiccedilotildees aacutegua a

600 psia velocidade = 45 ftsec e sub-resfriamento = At^^ 1

degF obtendo-se uma diferenccedila de 6 5 entre ambos (4gt = 6 0 5 1 0 b

2 ~ 6 2 BTUhr ft pela equaccedilatildeo (a) e 6 4 5 10 3TUhrraquoft pela equaccedilatildeo

(b)

Ilatilde ainda a equaccedilatildeo de Ivey e Morris aplicaacutevel somente pa_

ra ebuliccedilatildeo com grande quantidade de liacutequido

( c sub t

Cpf bull A tsub

( bull ) s ~ V P bdquo 10 h V sat V g

onde

(ltL ) = fluxo critico com sub-resfriamento c sub

(ograve ) ^ - fluxo critico sem sub-resfriamento c sat

42

c ^ = calor especiacutefico do liacutequido

= calor latente de vaporizaccedilatildeo

124 - Burnout com convecccedilao forccedilada e ebuliccedilatildeo por bocirc-

Ihas

Gambill fez uma extensatildeo da equaccedilatildeo de Levy e aplicou o

metqdo da superposiccedilatildeo Tal extensatildeo consiste natilde subtraccedilatildeo de uma

razatildeo equivalente de massa transferida dos termos que represenshy

tam a ebuliccedilatildeo e convecccedilao para levar em conta a presenccedila do vashy

por no fluxo

A correlaccedilatildeo pode ser escrita assim

24 V P V

o g c a (p^Py) 14

+ 0696 (k p c ) 12

(

pr p v )i4 o g c a (P-L-Py) 18

bull At + h sub nb

044 p v L v G (g1) bull N2 n

p l P V

( pr p v ) d e 2-7

2 4 TT 0

14 ( f e _ ^ r l 3

lO^u

onde

k = condutividade teacutermica

c = calor especiacutefico

A t s u b ~ s ub-resfriamento do liacutequido

h = coeficiente de transferecircncia de calor de nao ebu nb mdash

liccedilatildeo

G = descarga total do refrigerante

43

d g = diacircmetro equivalente do tubo ou canalraquo

]i = viscosidade

B = constante adimensional

Os iacutendices V e 1 representam vapor e liacutequido respectiva

mente

0 primeiro termo entre chaves da equaccedilatildeo representa o flu

xo de calor no burnout de sub-resfriamento em convecccedilao forccedilada 0

segundo termo entre chaves corresponde ao fluxo de calor transferi^

do para a massa da fase vapor

1-25 - Burnout por Bloqueio da Base

Ocorre quando a profundidade do recipiente eacute muito maior

que a largura 0 bloqueio da base eacute causado pela formaccedilatildeo de uma pe_

licula de vapor na base impedindo que o liacutequido toque o fundo do

recipiente

i De

Este eacute o burnout por flooding isto eacute burnout por expul

sao do liacutequido Uma equaccedilatildeo que nos dacirc o fluxo minimo do burnout

parao caso eacute

44

onde

D g = diacircmetro equivalente

L = comprimento do tubo

= calor de vaporizaccedilatildeo

p^Py Ap = densidade do liacutequido do vapor e diferenccedila en

tre ambos

Para um fluxo de calor maior ou igual ao dado pela expres_

sao acima (mantida a mesma geometria) teremos burnout Para um deshy

terminado fluxo existiratildeo sempre um comprimento L e um diacircmetro equi

valente D e para os quais temos burnout Exemplo

L (in) D e(in)

10 11

100 51

1000 235

2 RESULTADOS ESPECIacuteFICOS - FOacuteRMULAS PARA CAacuteLCULOS ESPECIacuteFICOS

21 - Diferenccedila de temperatura At i

13 a t

sat

At sat

poundatildeJL_ raquo t - t J p T T 6 w sat

onde

o laquo tensatildeo superficial entre liquido e vapor

t - temperatura de saturaccedilatildeo do liacutequido para a corres-Scl t

pondente pressatildeo

J equivalente mecacircnico do calor

X laquobull calor latente de vaporizaccedilatildeo

py = densidade do vapor

6 = espessura da camada de liacutequido superaquecido onde

45

k l

h nc

onde

k^ = condutividade teacutermica do liacutequido

h = coeficiente de peliacutecula nc r

Segundo Eckent h ^ c e dado por

P 2 Q

nc 3 V VP + 0952

r

onde

D = diacircmetro equivalente

G r = numero de Grashoff

P = nuacutemero de Pradtl

2 o 2 - Velocidade das bolhas

A velocidade das bolhas em meacutedia pode ser dada pela exshy

pressatildeo

V bdquo = Iacute ( a bull B Apl4 bolhas 5 ^ 2

p l onde

AP = P L - P v

Expressatildeo que vale quando a aceleraccedilatildeo eacute a da gravidade

baixa viscosidade do liacutequido e bolhas separadas

Vbolha = f t s e atilde m a x para aacutegua

2 bdquo3 - Diacircmetro das bolhas

2gc deg 12 D = 0015 3 ( mdash mdash 7 ~ ) d g Ap

5 =

46

onde

8 = acircngulo de contato (20 a 90deg) geralmente assume-O -1

-se igual a 50 para a agua em contato com metal

24 - Coeficiente de peliacutecula na ebuliccedilatildeo nucleada

a) Equaccedilatildeo de Rohsenow

Esta equaccedilatildeo nos datilde o fluxo de calor q na ebuliccedilatildeo nushy

cleadaraquo E oacutetima expressatildeo para muitos liacutequidos o efeito da presshy

satildeo eacute levado em conta na variaccedilatildeo das propriedadesraquo

Pf

fg

sat 17 = c

sg k y f h f g g( P f-p g)

n033

onae

Pf

fg

Pf Pg c sg

= fluxo de calor requerido (BTUhr0ft^)

= calor especiacutefico do liacutequido saturado (BTUlbm0F)

= calor latente de vaporizaccedilatildeo (BTULbm)

= nuacutemero de Prandtl

= viscosidade do liacutequido (lbrahrraquoft) ~ 8 2

= fator de conversatildeo 417 10 Ibmftlbflaquohr 2

= aceleraccedilatildeo da gravidade (fthr )

= tensatildeo superficial na interface liacutequida vapor

(lbfft) 3

densidade do liquido e vapor (lbmft )

constante adimensiacuteonal que depende de vaacuterios fashy

tores dentre os quais o grau de aquecimento en_

tre o fluido e a superfiacutecie de aquecimento e o

mais importanteraquo Independe da pressatildeo do sistema b) Equaccedilatildeo de Levy

Equaccedilatildeo valida para a aacutegua quando 100 lt p lt 2000 psiacutea

47

43 bdquo3

qu bdquo gat ^ T J h r t f t ^

495

25 - Calculo do fluxo de calor no Ponto de Leidenfrost

0 ponto de Leidenfrost como vimos eacute o ponto em que oflu

xo de calor comeccedila ncamente a crescer isto eacute o ponto onde termal

aa a ebuliccedilatildeo instaacutevel e comeccedila a ebuliccedilatildeo por peliacutecula estaacutevel Eacute

o chanado fluxo miacutenimo (egrave ) m m

Aproximadamente quando A t g u k = 0 temos

A _ mdash _ mdash (Gambill) m m 5

Ha entretanto varias expressotildees para determinar esse flu

xo eis uma delas

A p 14 ltjgt = 009 h pbdquo (o raquo g mdash ) y m m fg P V deg 2

p l

26 - caacutelculo do fluxo de calor na regiatildeo de ebuliccedilatildeo por peliacute

cuia estaacutevel

para cilindros jmdashi i li

_ D 0172 k-V - P V A p h l V bull S 14 li - = 062 (mdashmdash) (- j- r rmdash) convecccedilao A 0 ybdquo (t -t )

c V w sat

onde

= condutividade do vapor

- 2 TT ( mdash )

c gAp Vl = significam vapor e liacutequido respectivamente

para paredes verticais

L 0172 S deg7 A p bull hlV S q 4 h - - 080 (-^-)J- (-Iuml - Iacutemdash-convecccedilao X L u (t - t J)

c V w sat

48

Como nesta regiatildeo jaacute haacute nina influecircncia marcante da radia

ccedilao devemos levar en conta tambeacutem o coeficiente de peliacutecula de

vido a radiaccedilatildeo para determinar o coeficiente de peliacutecula total

Dos estudos atildea radiaccedilatildeo temos

h = a F pound(T 4 - T 4 J ( T ~ T ) rad w sat w sat

onde amp _ emissividade de superfiacutecie

a = constante de Stefan-Boltzman

F = fator de forma

Segundo WE Gambill o coeficiente de transmissatildeo total

ceve ser

3 iacutei = h + -7 h para h lt h t conv 4 rad r rad conv

Na expressatildeo acima existe o fator 34 porque a radiaccedilatildeo

faz variar um pouco a espessura do filme de vapor reduzindo asshy

sim o l l

conv

Quando tivermos h gt h gt o h^ ^ seraacute rad conv total

h f c = h + h t conv rad

Neste ultimo caso nao ha nenhum coeficiente porque a peshy

liacutecula de vapor jaacute eacute estaacutevel

27 - Grandezas caracteriacutesticas para a apua

Para pressatildeo igual a 1 atm = 1422 psia

At ^ = t - t = 5degC (iniacutecio da ebuliccedilatildeo nucleada) sat w sat 1

At t = 30degC sat crit

49

5 2 $ = 4 10 BTUhrft (para pressatildeo 1 atm)

0 fluxo critico cresce como vimos com a pressatildeo ate

atingir o maacuteximo quando a pressatildeo eacute aproximadamente 13 da pressatildeo

criacutetica Esse fluxo eacute

bull = 13 IO 6 BTUhrft 2 para p = 11000 psia (p pound = 32062 psia)

Ainda temos que para pressatildeo igual a 15 psia

h b o = 11000 BTUhrft degF - ebuliccedilatildeo nucleada

h f b = 30 BTUhrft 2 degF - ebuliccedilatildeo pelicular

Todos os resultados e formulas para caacutelculos especiacuteficos

apresentados nos itens 21 22 23 ateacute 27 sacirco aplicados somente

para sistemas onde haja ebuliccedilatildeo com grande quantidade de liquido

51

D - HIDRODINAcircMICA DOS SISTEMAS E QUEDA

DE PRESSAtildeO DENTRO DE UM CANAL

1 HIDRO-DINAcircMICA E QUEDA DE PRESSAtildeO

11 - Hidro-dinacircmica dos sistemas estaacuteveis

111 - Regimes de escoamento

A evoluccedilatildeo do escoamento ao longo de um canal aquecedor

de secccedilatildeo constante ciliacutendrico pode ser esquematizada pela figushy

ra 1 onde temos em abcissa o comprimento z do canal e em ordenada

a temperatura (T)

52

Na figura 1 nos representamos

a) 0 aspecto do escoamento fluido quando a entalpia do

- fluido aumenta Verificamos que o fluido entra no cashy

nal no estado liacutequido e assim permanece ateacute atingirmos a zona de

ebuliccedilatildeo local onde aparecem as primeiras bolhas A entalpia do

fluido continua aumentando e tem inicioa ebuliccedilatildeo franccedila onde as

bolhas se unem formando agregados posteriormente o escoamento to

ma a forma da figura ou seja torna-se anular disperso Finalmente

atingimos duas uacuteltimas fases do escoamento disperso (vapor uacutemido)

e vapor seco

b) A evoluccedilatildeo da temperatura meacutedia do fluido e da tempeshy

ratura da parede Note-se que a partir da cota a

temperatura da parede aumenta brutalmente podendo causar o

burnout

c) A evoluccedilatildeo do tiacutetulo do vapor (x) com o comprimento

do tubo e a evoluccedilatildeo da fraccedilatildeo (a) que definiremos no

item 11laquo2 com o comprimento do tubo

112 - Definiccedilotildees

a) Tiacutetulo ou qualidade do vapor (x)

massa de vapor na mistura x ~ massa total da mistura

x =

W _g_

g f

b) Fraccedilatildeo vazio (void fraction)

volume do vapor na mistura a = volume total da mistura (agua+vapor)

A relaccedilatildeo entre x e a num sistema parado pode ser obtida

assumindo um certo volume contendo 1 lbm de mistura em equiliacutebrio

teacutermicoraquo

53

O volume da mistura seraacute igual a (v + xv ) ft onde v eacute 3 r rg

o volume especifico (lbmft )

f - refere-se ao liquido

g - refere-se ao vapor

fg - refere-se a diferenccedila entre liacutequido e vapor

Numa mistura em equiliacutebrio se o liacutequido e o vapor estatildeo

saturados o volume do vapor presente eacute igual acirc sua massa vezes

seu volume especiacutefico v assim e

xv bdquo bdquo a mdash

V c + XV c

f gf

onde

- bull-bull uumlutiacuteisa vapor na mistura de 1 Ibm

v volume especiacutefico do liacutequido

v = volume especiacutefico do vapor o

V c = v - V

gf 8 r

Fazendo uma transformaccedilatildeo na expressatildeo acima temos

xv xv JS = Z-

v r+ x(v -v c) xv +(l-x)v t ri f g f g f 1 + Ul-x)xjv fv

1 + C(l-x)x]]vfvg

A fraccedilatildeo vazia tem a influencia de baixar a reatividade

do nuacutecleo nos reatores em que o refrigerante eacute tambeacutem moderador

Na equaccedilatildeo acima os valores de x e v sao tomados em tabe

las termodinacircmicas apropriadas para a pressatildeo do sistema A equashy

ccedilatildeo (1) mostra os grandes valores de a para pequenos valores de x

especialmente para baixas pressotildees Isto ocorre porqueaumentando

54

aacute pressatildeo o v decresce muito enquanto que o v f eacute mais ou menos da

mesma ordem de grandeza

Exemplo Calcular o a correspondente para x raquo 2 para aacutegua

leve atilde pressatildeo atmosfeacuterica

Da tabela para p laquobull 1 atm

v - 001672 ft 3lbm e v - 26800 ft 3lbm

1 + [(1-002)002] 001672268

0971 ou 97U

O grafico abaixo mostra a variaccedilatildeo do a com x para vaacuterias

pressotildees e para a aacutegua leve

x ()

tObservaccedilotildees da curva

Fig 2

1 - para x constante a decresce com a pressatildeo Para presshy

sotildees proacuteximas da criacutetica a aproxima-se rapidamente de

x Para a pressatildeo criacutetica as duas fases satildeo indistinguiacuteveis ea=x

2 - para cada pressatildeo dotdx decresce com aumento de x

3 - para baixos valores de x (que e o caso dos reatores

tipo Boiling) quando p decresce dadx cresce e torr

na-se muito grande paacutera baixas pressotildees Isto tem relaccedilatildeo com a epound

55

tabilidade do reator como veremos mais tarde

113 - Sistemas com fluxo

Todas as definiccedilotildees que noacutes vimos no item anterior refeshy

rem-se acirc sistemas em que a mistura esta fechada no recipiente Nes^

te caso natildeo havia movimento relativo entre as duas fases No entan

to se as duas fases da mistura se movem na direccedilatildeo vertical em

canais entre os elementos combustiacuteveis o vapor por causa de sua

flutuaccedilatildeo tem a tendecircncia de escorregar sobre o liacutequido isto e

move-se com velocidade maior do que a do liacutequido

Real Modelo

Pig 3

S -

Define-se neste caso a relaccedilatildeo de escorregamento (slip

ratio) (S) como sendo

V _i

V f

onde

V = velocidade do vapor

= velocidade do liquido

S modifica as relaccedilotildees entre a e x do item anterior S geralmen_

te gt 1 Define-se neste caso qualidade do vapor ou tiacutetulo como

sendo

_ fluxo de massa de vapor

fluxo de massa da mistura

Entatildeo se o fluxo de massa da mistura eacute m t(lbmhr) o flushy

xo de vapor seraacute = x m e o fluxo de liacutequido sera (1-x) m onde x

56

e o titulo do vapor para a particular secccedilatildeo (AL) da figura (3)

Devemos notar que neste caso x varia de secccedilatildeo para secshy

ccedilatildeo do tubo o exposto no paraacutegrafo acima vale considerando-se que

x e a permaneceram constantes na secccedilatildeo de espessura AL

Aplicando a equaccedilatildeo da continuidade as velocidades do va

por e liacutequido sao dadas por

o xm v

V vazatildeo = g g area A

V

(1-x) amp t v f

f A f

onde A e A f sao as aacutereas medias perpendiculares ao fluxo se as

duas fases sao imaginadas completamente separadas uma da outra

(figura 3) Assim temos

V x m v o A_ A v 0 ^ - 2 = iacute S t m _2L- JL JS m

V A (l-x)ui v 1-x A v U

f g t f g f

Sabemos ainda que para a secccedilatildeo considerada

volume do vapor na mistura a = volume total da mistura (agua+vapor)

A AL A pound g g

a = mdash a a = - mdash 1

(A+A )AL A f + g

A ou f _ 1 - a

A a 8

Substituindo em (2) vem

57

Esta expressatildeo pode ser rearranjada e obteremos uma relashy

ccedilatildeo entre x e a levando em conta o escorregamento Chega-se a

a = 1 ( 3 )

1+ [U-x)x3 igt

onde

v 4 laquo -- S

v lty o

Note-se que quando S=l (nao haacute escorregamento) caimos na

expressatildeo dada no item anterior

0 efeito do escorregamento eacute decrescer o valor de a pa_

ra um mesmo xbdquo Isto pode ser visto pela foacutermula (3) pois S gt lLo

go a decresce com acreacutescimo de S

Um alto S e entatildeo uma vantagem tanto para a transferecircnshy

cia de calor como para efeitos de moderaccedilatildeo Eacute uma vantagem para

transferecircncia de calor porque alto S significa alto V e portanto

maior turbulecircncia e maior contato do liquido com as paredes quenshy

tes Ha tambeacutem melhorias na estabilidade da reaccedilatildeo nuclear isto

porque como jaacute dissemos quando mdash7 diminui a estabilidade aumenshy

ta isso pode ser verificado observando a curva a versus x para a

agua leve a 1000 psiabdquo

Fig 4

58

A relaccedilatildeo entre x e a da equaccedilatildeo (3) so vale para secccedilatildeo

de tubo bem pequena

Devemos notar que S varia tambeacutem com a pressatildeo e velocida^

de de entrada do liacutequido no tubo Este efeito pode ser observado na

figura 5 abaxxo obtida esperimentalmente

s

3

~^ ~ psig

x = 001

V 1

Fig 5

Nos projetos de reatores como veremos adiante o valor a

geralmente eacute determinado por consideraccedilotildees nucleares (moderaccedilatildeo) 0

valor de S eacute determinado atraveacutes de uma estimativa ou entatildeo atrashy

veacutes de um graacutefico do tipo da figura 5 0 correspondente valor de x

pode ser obtido de uma foacutermula empiacuterica do tipo

1 = 1 (-S)0gt67

proposta por Von Glahn

Em muitos casos assume-se S constante em todo o comprimeiv

to do canal poreacutem eacute um erro que em muitos casos nao pode ser coshy

metido

4 REATORES EM QUE 0 LIacuteQUIDO B MODERADOR E CIRCUITO PRIMAacuteRIO AO

MESMO TEMPO BOILING-REACTOR (BWR)

A aacutegua ao se movimentar atraveacutes dos vaacuterios canais do

59

Boiling-reactor encontra vaacuterias resistecircncias ao fluxo que provoshy

cam uma reduccedilatildeo de pressatildeo no fluido

As duas perdas mais importantes sao perda de pressatildeo por

atrito e perda de pressatildeo causada pela aceleraccedilatildeo do refrigerante

ao aumentar de volume por receber calor num canal Outras perdas

de pressatildeo seriam a obstruccedilatildeo ao fluxo por corpos submersos (espa_

ccediladores juntas de tubos chaves etc) e por mudanccedilas abruptas de

aacuterea de fluxo tanto na entrada como na saiacuteda do tubo

Essas perdas de pressatildeo devem ser conhecidas o melhor popound

sivel principalmente nos reatores BWR Para tanto devemos saber

o comprimento de canal em que nao ha a ebuliccedilatildeo isto eacute qual o com

primento de canal em que o refrigerante vai da temperatura de sub-

resfriamento ate temperatura de saturaccedilatildeo

Seja o elemento combustiacutevel

Aquecimento Uniforme Aquecimento Senoidal

Fig 6 Fig 7

onde

H =

H = o

H b

comprimento do elemento combustiacutevel

cota onde o liquido se torna saturado

comprimento do elemento combustiacutevel em que ocorre

ebuliccedilatildeo

60

qg = calor sensiacutevel acrescentado ao liquido para satushy

raacute-lo

qfc = calor total acrescentado ao liacutequido em todo o com

primento do canal

laquoo

q s J o qiquest sen (IIzH) n H o

T~ = TH = 2 ( 1 c o s gt ( a )

q 1 sen (HzH) Jo ^c

A expressatildeo (a) vale quando tivermos uma adiccedilatildeo de calor

senoidal para qualquer outra forma de adiccedilatildeo de calor faz-se um

caacutelculo anaacutelogo

Outra relaccedilatildeo entre q g e qfc eacute dada pela termodinacircmica

q h- - h s f m (b)

(hr +x h )-hm ^t f e fg

onde

= entalpia para o liquido saturado a pressatildeo correjs

pondente (cota z = Ho)

hffi = entalpia do liacutequido na entrada do canal

x = tiacutetulo do vapor na saiacuteda

= entalpia do vapor

Com a relaccedilatildeo (b) noacutes determinamos a relaccedilatildeo q q ecom

S L

uma relaccedilatildeo do tipo (a) (conforme seja o adicionamento de calor ao

liacutequido) podemos obter a relaccedilatildeo HoH e consequentemente H^H

21 - Perda de pressatildeo num canal de evaporaccedilatildeo

Neste item iremos determinar as perdas de pressatildeo mais

representativas que ocorrem num canal de evaporaccedilatildeo de um reator

P + dP

bull1 i- 1 gti i i

dL

onde

UM

Icirc H Icirc Icirc T dF f t f

61

Quantidade de Mov na Entrada

= i- rigVg)

dF f l

Fig 8

m i

m 8

V l V 8

A P

dF

dF

dF

fg

fl

ftf

descarga do liacutequido

descarga do vapor

velocidade do liquido

velocidade do vapor

aacuterea transversal do canal

forccedila de atrito do vapor com parede

forccedila de atrito do liacutequido com parede

forccedila de atrito das duas fases liacutequido+vapor

Fazendo o balanccedilo das forccedilas considerando o sentido posjL

tivo na vertical temos

A (P-P-dP)-(dF +dF _+dF _)-(-pound-) (p A+p A )dL = mdash dGnV+m V ) P fg ftf fl g c 1 1 g g g c

v 1 1 g g 7

- dP = ~ (dF +dF--+dF)+- S--7=- (p A+p A )dL+ mdash ~ - d (m-V+m V ) A_ fg ftf fl g c Ap v^l 1 g g g A 11 g g

Fazendo a integraccedilatildeo termo a termo entre os dois extreshy

mos entrada e saiacuteda e considerando a pressatildeo de entrada igual a

P q e a de saiacuteda igual a Pe vem

Quantidade de Mov na Saiacuteda

-= h I- lY l+ A g V g + d ( aacute l V l + aacuteeVl

Forccedila de Gravidade

= ( g f - N P A + P g V

62

b) r e F f l

o p dp^ = Ap^ = perda de pressatildeo por atrito

do liacutequido na altura Ho

Aplicando a formula de Darcy vem

bull API = f bull ir bull ^ iexcl 7

onde

f = fator de atrito

c) e Fftf

o p ^P tpound

= perda de pressao por atrito da mistura

liquido + vapor no trecho de comprimen

to Hbdquo o

Para determinar esta perda de pressao define-se o fator

de multiplicaccedilatildeo R

A P R =

tf A P 1B

Sendo A p ^ a perda de pressao se o comprimento todo fosshy

se ocupado somente pelo liquido assim

A p t f = R A P 1 B

0 calculo de Ap-^ pode ser feito pela formula de Darcy e

o de R nos veremos no item seguinte

63

d)

-e F

d ( ^ )

O P

Ap = perda de pressatildeo por atrito do vapor

No caso do reator BWR o titulo de saida e bera pequeno e

em nenhum caso ocorre a saida de vapor com x = 100 logo a perda

de pressatildeo por atrito do vapor eacute nula assim

An = 0 5

e) Ap

(p A 1 + p A ) dL = Ap - perda de pressatildeo dpound

vida ao desniacutevel

(perda hidrostaacutetica)

Anbdquo = re A A

-S- I (p + p -S ) dL H s 1 A

c o p o A

como A A Jl_ =

A P

A +A-g 1

1-a -

temos

C Q

te j jll-a)p1 + apg)^jdL = p Lo pound

onde

e jo u

+ ap ) ~I dL (Densidade media 1 S J

no tubo)

No nosso caso

Ap u = p H

f)

re d(mV + m V ) _ mdash - laquo -i bull s iquestp laquos p e r d a ltje pressatildeo devido a acele-

c p raccedilatildeo do vapor

V A

(1-x) tl^Vj

(1-a) A

X V

aA

A p -

roV + m V

c p c p L_

m (l-x)m_v m xv nbdquo -1 T 1

+ _S S I (1-a) Ap aA

P

2 g A c p

n 2 2

(1-x) m T

laquo2 8 A c p

2 2 (l-xe) raTv1

2 2 2 xm_v (1-x) m-v e T s o 1 1

a 1 - a

2 2 - x m_v o T g

a

se

X Q 0 (so ha agua nesse trecho)

a = 0 o

temos

mbdquo Ap =

1 a A 2

S A degc p laquo-

tt-V v i 1 - a

2 via T^r - v i

t Apc

2

V v l

5c Ap

1 - a

x v - 1

a e v l

65

Fazendo

G = fluxo total da massa por unidade de area do

canal

(1-x J e

V

AP r

Assim a perda de pressatildeo total sera

H p V II pV r2 P -P = f -24-Iuml+ f R+p 0 1 2g c D e 2g c g c g c

2c2 - Determinaccedilatildeo do fator de multiplicaccedilatildeo (R)

221 - Relaccedilatildeo Martinelli-Nelson

Os autores Martinelli-Nelson determinaram experimental -

te esse fator R para varias LIT1L em funccedilatildeo da pressatildeo e da r NB total J v

qualidade de saiacuteda do vapor no canal Construiacuteram assim vaacuterias

curvas do tipo da figura 9

66

E importante notar que a qualidade do vapor (x) na saiacuteshy

da nao deve ser grande pois como vemos o valor de R cresce muishy

to com um aumento pequeno de x e um valor de R muito grande acar_

reta uma perda de pressatildeo grande pois

^ d u a s fases R ^ f a s e liacutequida

Para resolvermos um problema seguindo o criteacuterio de bdquo

Martinelli escolhemos a curva R = f(px) (para a relaccedilatildeo L

N g ^ j

adequado) e tiramos R com os valores de pressatildeo p e tiacutetulo x

As curvas R = f (p x L T t )IO encontram-se nos ANL 6469 bio I

e 6561

222 - Relaccedilatildeo Lottes-Flinn

Estes autores estudaram o problema para o aquecimento uni

forme do refrigerante com baixo titule Lottes-Flinn fizeram inuacuteshy

meras experiecircncias e verificaram que para fluxo de calor uniforshy

me e baixos titulos R era independente do fluxo de calor fluxo

do refrigerante escorregamento e apenas funccedilatildeo de a g

Como a quantidade de liacutequido eacute muito maior que a de vashy

por a perda de pressatildeo daacute-se principalmente pelo atrito do liacuteshy

quido com a parede Podemos assim escrever a foacutermula de Darcy

na forma diferencial

dz

d = f __ r e amp c

onde

V = velocidade do liquido saturado na cota zbdquo X

f = coeficiente atrito

= densidade do liacutequido saturado

Teoricamente a queda de pressatildeo deve-se ao acreacutescimo de

67

velocidade do liacutequido e da diminuiccedilatildeo da aacuterea de fluxo do liacutequi

do

P fH A P t p

= f D 2g Ho

d z

fazendo

V lo

m V t lo

(velocidade do liacutequido na cota z = Ho)

(1-x) m t v 1

(1-a) A (velocidade do liacutequido na cota z gt Ho)

a bull+ fraccedilatildeo vazio na cota z geneacuterica

V 1 (1-x) m t v 1

m t V l 1 - a

x =s 0 pois o tiacutetulo eacute baixo

A p t f = f bull JT5 c e

fH V lo

H o (1-a) dz

Para fazer a integral devemos achar a relaccedilatildeo de variaccedilatildeo

entre a e z Como o fluxo de calor eacute uniforme a qualidade eacute direshy

tamente proporcional a z

bull laquo x = x e H

z = mdash x X e

Sabemos ainda que (item 113)

x

1 + [ ( I -X)AKQ x + iiacuteraquo

68

como

temos

(1-x) = 1

v

X =

z =

1-a

1 -a

1-a e

a

e

1-a pound

a

1 -a igt (assumindo S = cte)

da

Atf - f bull 2 i ^ ~ J c e o

a 1 - a e e 1 s 4 hmdash) da

a 1-a

f P lv^ Q

0 termo mdash - mdash e a parte de perda de pressatildeo pelo lj^

^c e -quido ou seja Ap liquido saturado e como

Ap

R = tf

Ap liauido saturado

temos que

R J

f ae 1 _ a e 1 4

a 1 -a o e

1 -a r-R =

3 1 -a

a 1 -a imdash

3 vl - a 3

e e

Os valores de R obtidos por esta expressatildeo aproximam-se

muito dos valores obtidos pelos aacutebacos de Martinelli

69

E - EXPANSAtildeO E COMPRESSAtildeO DE UM FLUIDO - ANAacuteLISE HIDRODINAcircMICA

DE UM CIRCUITO EM CIRCULACcedilAtildeO NATURAL

1 EXPANSAtildeO NO FLUXO DE UM FLUIDO

11 - Uma so fase

Figura 1

Ha vaacuterios meacutetodos para determinar a variaccedilatildeo de pressatildeo

numa expansatildeo de fluido estudaremos o de Romie que eacute o que daacute

maior precisatildeo

Romie considera que a pressatildeo p^ tambeacutem atua na aacuterea

imediatamente apos a expansatildeo Assim fazendo o equiliacutebrio das foi

ccedilas nas secccedilotildees tracejadas da figura 1 temos

mVj

p r A 2 + mdash

mV

bull 2- A2

mas

m = pV^A^

pV^A = p V 2 bdquo A 2

V A

v 2 -4r-logo

( P l-P 2) A 2 = f ( V ^ ) - f _ v j amp c c 2

70

2 pV A A pV A A

Chamando A l A ]

K = 1 - T e degi2 = Aiexcl bull V E M

pvj

P l P 2 = T ~ bull ( 2 deg 1 2 ) ( 1 _ a 1 2 )

Outra maneira de chegar atilde diferenccedila de pressatildeo ( P j - ^ ) s mdash

ria usar o coeficiente de perda da mecacircnica dos fluidos Assim o

equilibrio das pressotildees eacute

2 2

1 V l 1 V 2 V l P i + _ p _ ^ P 2 + I p ~ + k 1 2 p mdash

onde = coeficiente de perda

A 2 1 2

k 1 2 - (l-o 1 2) - (1 - j- )

Fazendo as transformaccedilotildees chegamos a mesma expressatildeo obshy

tida pelo balanccedilo das forccedilas

PraquoIacute pr p

2 - - ir ^ laquo-ia

12 - Duas fases

Como ha duas fases a equaccedilatildeo do balanccedilo das forccedilas fica

um pouco alterada

m pound 1 V- m - raquoV - m-V- m bdquoV _ P A + j y ^ i + _gl_JUuml P A + -11-11 + -ilsl (a)

1 2 e R 2 2 ff e

Sabendo que

71

m (1-x) m t = p fA (1-a) V f

entatildeo

fl l-o^ p fA x

6 Vf2 1-x l-a2 P fA 2

m V = mdash mdash e V 0 = gl a 1 P C T A 1 g2

m

a_ p h

2 g 2

Nas expressotildees anteriores o x nao varia porque a expansatildeo

5 adiabaacutetica porem o a varia devido a modificaccedilatildeo do tamanho da

bolha

Substituindo os valores das velocidades na expressatildeo (a)

vera

( P - P ) Abdquo =

2

2 2 m gt2 2 m t (1-x) 1 x t

ra i 2 m i 1 x t 1

p fA 1 g c ttl p Ax gpound

m t P - P = mdash

(1-x) (l-a 1)A 1A 2 (l-a2)A|

a r A r A 2

V A 2

m t P bdquo - P = mdash 2 1 g c A r A 2 p f

(1-x) 1-a f A 2(l-a 2)

bull ^ 2

72

Se

P -P

a

m

g

12

1 _1_ (1-x)

J12

1 _ a l 1 - a 2 + X (- )

Pg

1 deg12 a 2 ^

Sabemos que

mt = V o pf laquo A l

Sendo V q = velocidade do liquido num ponto onde natildeo haja vapor

P 2-P 1

u 2 2 A 2

V pr Ai

V W p f

(1-x) 12

l-a1 l-a2

+ X 2 pf

mdash

l deg12

-1 a 2 _

p -p r 2 Al (2a 1 2)

2 M f w 1 deg12 X (mdash) (

pg al a 2 )+(l-x)C l 1 12

1-a^ l-a2

Devemos notar que esta expressatildeo tambeacutem vale para quando

temos uma fase para isso basta fazer

= c t 2 = 0

X = 0

e recairemos na formula do item anterior

2 pf 1 deg12 Observemos que neste caso o termo x (mdash)( ) nao

Pg al a2

2

73

tem significado pois corresponde a mudanccedila de fase

2 CONTRACcedilAtildeO KO FLUXO DE UM FLUIDO

21 - Uma so fase raquo mdash

Aqui ocorre um fenocircmeno importante pois o fluido ao ser

contraiacutedo nao vai diretamente da area A^ para a area A 0 mas ele

contral-se ate uma area A^ e depois expande-se ate k^

Ao A2

Po IP 2

V 2

Figura 2

Fazendo o equiliacutebrio das pressotildees entre os planos (1)

(0) vem 2 2

pV pV p +~ plusmn - P + i deg bull 1 2 g o 2 g (b)

C x

Fazendo equiliacutebrio da expansatildeo (0) - (2) vem

P o + 2 - f = P 2 + 2 -T + kp- 2 F ( c )

c c b C

Subtraindo (b) - (c)

2 2 2

i p- vj i p- v2 L P l + 2 bull g c

P 2 + 2 2g c

+ k P 2g c

74

Como

P - P = mdash 2 2g

2 2

bull (1 + k) - f bdquo mdash i

k a - f2 ) 2 - d - o c )2

= o

A = a 21

Weisback obteve varias relaccedilotildees entre a e a i] c

01 02 03 a 0624 0632 0643 c

0624 0632

A r v i - V v 2

p -p 1 2

P -P 1 2 2g7

v l =

(1+k) - laquofi- a 2g 21 c

( 1 + k - o 2 1)

X[- V 2 o 2 1V 2

22 - Duas fases

0 valor de k pode ser aproximado para

k = a(l - o 2 1)

onde segundo Richardsons para fluxo de duas fases podemos supor

a = 02

Para fluxo homogeacuteneo sabemos que

75

p = p f (1 -a ) + p o a

podemos supor p bdquo a = 0 pois p e pequeno e fazendo

V = V ~ V fbdquo2 go2 v 2

Substituindo estas duas expressotildees na equaccedilatildeo de uma soacute fase vem

2 2 p V (l-ct) p V (1 -a ) bdquo

P l P 2 = 9g ( 1 + 3 - 3 0 ^ - 0 ^ ) = g (a+1) (l-a^)

Se a = 02

2 12p oV 0

p r p

2 - 9g gt d-) d-sigt

A compressatildeo de um fluido acarreta uma perda de pressatildeo

como pode ser verificado pelas formulas uma vez que lt 1deg

3 ANALISE HIDRODINAcircMICA DE UM CIRCUITO EM CIRCULACcedilAtildeO NATURAL

Esquema deacute uma caldeira com circulaccedilatildeo natural

76

Determinar a velocidade em (7) para que tenhamos circula

ccedilatildeo natural Determinar tambeacutem as perdas de pressatildeo em todos os

trechos da caldeira

31 - Contraccedilatildeo das secccedilotildees (1) - (2)

Como jaacute vimos a equaccedilatildeo do balanccedilo das pressotildees eacute

1 pr Vl 1 p 2 o V 2 P2 V2

1 2 g 2 + 2 g + K12 2g otilde c amp c e c

bullraquo 2 o2 2 e havendo uma soacute fase k 1 9 = (l-o ) = (1 mdash ) e sendo

C 2

p l = p2

v x lt lt lt v 2

P 2 V pr p2 bull ir2 bull ( 1 + k12gt

Colocando em termos de temos

A 2 V 2 P 2 = A 7 V 7 p 7 (continuidade)

V = V mdashbull = V o_bdquo ~ A 2 2 2

P 2 V - p 2

p r p 2 = ir2 - deg72 bull Ccedilrgt bull lt 1 + ki2gt

fazendo

N12 - lt^gt deg72 ( 1 + k12gt

P7 V7

Pr P2 - N12 bull HG

77

3 2 - Perda de carga no trecho ( 2 ) - ( 3 )

Como haacute apenas uma fase soacute temos perdas por atritos e

perdas hidrostaacuteticas

Sendo como jaacute vimos

2 3 p 2 2 g P 2 P 3 = f 2 3 (r~2g^~) L 2 3 g c p

atrito hidrostaacutetica

Substituindo V^ pela relaccedilatildeo do item anterior e tendo em

conta que p = vem

P -P = f 2 r 3 2 3 D

2 3 p 2 bdquo 2 2 p 7 2

2 g 7 72 p 2 3 g

Se

L 2 3 2 p 7

2 3 2 3 D 2 a 7 2 p 2

P 7 V 7 g P 2 - P 3 = N 2 3 ( mdash gt p 2 L 2 3 f

3 3 - Expansatildeo nas secccedilotildees ( 3 ) - ( 4 )

Como vimos o balanccedilo das pressotildees e

2 2 2 p V p 4 V p V

P 3 + 2 g c

P 4 + 2 g c

+ k 3 4 2 g c

onde

k 3 4 - - -

2 2 1 P 4 - V 4 P 3 v 3

P 3 P 4 = 2 g + ( k 3 4 _ 1 ) 2 g

78

Sendo

P 3 - P 4

p 3 o A 3 deg V 3 = P 7

a A 7 o V 7

P 4A 4 0V 4 = P r A r V

3 7 A 3 p 3

A7 P7 V = v mdash mdash 4 7 P 4

P - P 3 r4

Se

P bdquo - P

bdquo2 r-P 7 V 7

3 4 2g deg74 + ( k 3 4 1 ) deg73

34 p deg74 + ( k 3 4 1 ) 73

p r v2

P3- P4 ^ N34 ^ gt

(No caso e negativo)

34 - Contraccedilatildeo nas secccedilotildees (5) - (6)

Ainda temos uma so fase e fazendo o balanccedilo das pressotildees

como fizemos no item 3lt1 vem

P + vil p + vi + k vi P 5 + 2gbdquo P6 + 2gbdquo + k56 2gbdquo

k 5 6 lt 1 ^ gt 2 ( 1 - Iacute 2 i 2 6

V V6 P5degIacute 5^6 ^SS 2g c - 2g c

P - P ^ = (1+kJ

Como

79

A 6

W p 5 =

VV P6 V 5 = V 6 Jiexcl = Vff65

P 5-P 6 - lt H k 5 6 ) mdash ^ mdash (l+k 5 6-a 6 5) c c c

Sendo

Se

A 7 p 7 p 7

6 7 Ag p 6 7 76 p 6

p _p _ P6- V7- g76 iquest72 ( _ 02 P 5 P 6 2g c bull ( p 6

( 1 + k 5 6 deg65 )

p 7 2 2 N56 = p ^ deg76 ( 1 + k 5 6 ~ a 6 5 )

P 7 V 2

7

P r-P = N r 5 6 56 2g c i

35 - Perdas de pressatildeo nas zonas (6) - (7) - Pre^aquecimento

Nesta regiatildeo temos perdas por atrito e hidrostaacuteticas

Nao haacute perda por aceleraccedilatildeo pois ainda natildeo houve formaccedilatildeo de boshy

lhas

Fazendo balanccedilo das pressotildees temos

L_ ppound-V p = p + otilde L - pound _ + f -Si (-21mdashL 6 7 + p67 L67 g + t 6 7 D K 2g

p _ e ifn sao tomados como valores meacutedios 67 67

P _p _ f hl ^67jIacute uuml + - L A

6 F 7 r67 D 2g P P67 L67 g 6 s c 7 c

S e Kr pound67 L67 p67 6 7 D 6 p7

p7 V - _g_ P6- P7 - N67 mdash + P67 L67 f

c c

80

36 - Perda de pressatildeo nas zonas (7) - (8) - Zona de ebuliccedilatildeo

Nesta regiatildeo j aacute temos o aparecimento de bolhas logo a

perda de pressatildeo seraacute devida agraves t recircs parcelas aceleraccedilatildeo a t r i t o

das duas fases liacutequidas + vapor e h idros taacute t ica

onde

Assim

P-P Q = AP + AP + APbdquo 7 8 a t r i t o acel H

T M1

78 p 7 7 AP - R f- - mdash mdashr |R = fator mult ipl ica-

a t r i t o 7 D 7 2 g c L tivo

G 2

AP bull r mdash acel g c

P V

|_1 - o a p J 8 P f

2 t r 2 M2

7 7 r 7 7 A P a c e l = -J^mdash 2 r bull p 7 lt T iexcl iexcl - )

A PH p 7 8 L 7 8 fiexcl

p 7 8 iacute 7 li 1 0 0 P l i q + a P v ] d L = P 7 ( 1 - laquo 7 8 )

ag raquo fraccedilatildeo de vazio media entre 7 e 8

APH = p (1 - 5 7 g ) f- L 7 8

2 2

P 7 - P 8 a 5 - 2 T i + 2 r p 7 + P 7 ( 1 - 7 8 gt f L 7 8 7 amp c amp c amp c

81

N 7g = R mdash + 2 r p 7

P7 V7 P7- P8 = N78 + P 7 ( 1 5 7 8 gt J78

37 - Expansatildeo nas secccedilotildees 8 e 9

No caso haacute uma expansatildeo com duas fases e como vimos no

item 12 a variaccedilatildeo de pressatildeo era dada por

0f Vo P2 P1 = ~2g c ( 2 deg12

x 2 (mdash)(mdash - mdash ) + ( l - x ) 2 ^ T mdash 8 1 2 1

12

Aplicando ao nosso caso

P pound = P 7

P -P = 8 9

V - V raquo V g f 7

P 7 V 2

2 pf 1 a89 2 1 g89 x (mdash) ( ) + (1-x) (- - N

o ou abdquo 1-cu l-ot_) g 8 9 8 9

Se

N 89

= 2 a 89

2 pf 1 deg89 2 1 CT89 x (mdash) ( ) + (1-x) ( T

g 8 9 8 9

P -P = 8 9

- N P7deg V7

89 2gbdquo

38 - Perda de pressatildeo no trecho 9 e 10

No referido trecho temos apenas perda de pressatildeo por atr L

to da fase liacutequido + vapor e perda hidrostaacutetica Natildeo haacute perda por

aceleraccedilatildeo do vapor pois este natildeo recebe mais calor e portanto

o 82 o

nao ha variaccedilatildeo no a

p

Q -p i n = A P

U + A P bull 9 10 H atrito

n T -S_ P9 U10 deg 910 bull g

fio r

910 I 910

J9 L

(l- a)P + Q P I dL liq v

(l-a0) p

No caso a = (nao hatilde variaccedilatildeo de forma)

A P H - (1-a ) P (p L 0

c

AP bdquo = R o

atrito

2 f9 o L910 P9 V9

2g

Supondo

= V

P 9 = P 8 P 7

vbdquo = v 9 8 0 A r

= V 7 bull deg89

AP - R atrito

2 2

W l O p7deg V7deg g89

V P10 R -^T^ bull deg89 bull li-2 + ( W P 7 (fgt SIO

y c c

Se

- f9 L910 2 N9ol0 R Dl deg89

w 2

p rv P9 P10 = VlO + ( 1 a 9 ) p7 (f gt L910 c

33

39 - Perda ciacutee pressatildeo na expansatildeo 9 - 1 0

Analogamente a expansatildeo 8 - 9 temos

10 11 P 7 2g

10 Iacute 2 0 1 0 - 1 1 gt

2 ff

pg aio

10-11

laquo11 ) +

Ll-a 1 0 bull l-a u J

Se

V10 = V 9 = V 8 bull T9 = V 7 deg89

P -P 10 rll = - a 2g 089 ^lO-ll

4 bull T~ bull (7 1 mdash ) + Pg degio a n

+ (l-x)2(- 1 10-11

1 - aio )

N10-ll = 2 a10-ll a89 2 pf t 1 10-11 N2

-(j-r- - ) bull+ (1-x) pg aio deg 1

10-11 k l - a io

prz P10 Pll = - N10-ll bull ( 2gbdquo

310 - Calculo de V

Fazendo a somatoacuteria de todas as expressotildees (P^-Pj) tere-

84

mos 2 PbdquoV_

P bdquo - P bdquo = N 7 v 7

1 2 12 2g

bull 2 - P 3 - = N 2 3 P 2 L 2 3 f c ccedil

9 P 7 V 7 P _p = N mdash -

3 4 34 deg 2g

V P 5 = deg

2 P V

5 6 56 2 g c

ltr2

P 7 -V 6 e7 -N67 2g + p 6 7 J j67 g

c bc v 2

P 7 - P 8 = N 7 8 - 2 i ~ + p 7 ( 1 - laquo 7 8 ) L 7 8 c

P 7 V 7

P - P - -N mdash - -8 9 89 2g

c P 7 V 7

P 9 ~ P 1 0 VlO 2g + ( 1 a 9 P 7 L 9 c

P 7 V 7

bull10 11 U10-ll 2g

P v iacute j P - P

1 11

7 - v 7 3 bull r

2 8 i U L 2 23 67

(l-5 7 8) L 7 8 + ( l - laquo 9 ) P 7 bull SlOtilde]- ^

Por ou t ro lado sabemos que como secccedilotildees 1

mesmo n iacute v e l

85

s c p r v 7 j

28 Z N i ij

= P 2 L23 p67 L67 P 7 ( 1~deg78 )

78 ~ ^g) bull P 7 bull L 910 g_

V - 2 g ( p r L 2 3 - p 6 r L 6 7 - p 7 ( l - atilde 7 8 ) L 7 8 - (l-a9) p L 9 a ( )

y N

Com esse valor de podemos determinar todas as variashy

ccedilotildees de pressatildeo (P^-P )

BIBLIOGRAFIA

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tituto de Energia Atocircmica de Sao Paulo em 1966 (roteiro)

- WR Gambill - Nuclear Safety

Vol 9 - n9 5 e 6

Vol 6 - n 2 (pag 152)

Vol 4 -r n9 1 (pag 30)

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Mc Adams - Heat Transmission

- Paul A Lottes - Argonne National Laboratory

- AKL - 6469

- ANL - 6561

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Frank Kreith - Principles of Heat Transfer

Journeacutees Internationales de la transmission de la chaleur

Seminaacuterios realizados em Paris em 1961 sob a supervisatildeo do

Prof Marcel Veron

Notas de aula da Cadeira de Termodinacircmica I e Transmissatildeo da

Escola Politeacutecnica da Universidade de Sao Paulo

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i

Comissatildeo Hacional de Energia Nuclear

Presidente Prof urial da Costa Ribeiro

Universidade de Satildeo Paulo

Reitor ProfDr Luis Antonio da Gama e SilTa

Instituto de Energia Atoacutemica

Diretor Prof Roacutemulo Ribeiro Pieroni

Conselho Tecnico-Cientiacutefico do IEA

ProfDr Joseacute Moura Gonccedilalves ) ProfDr Joseacute Augusto Martins ) pela USP ProfDr Rui Ribeiro Franco ) ProfDr Theodoreto HI de Arruda Souto ) pela CNEN

Divisotildees Didaacutetleo-Cientiacuteficas

Divisatildeo de Fiacutesica Nuclear -Chefe ProfDr Marcello DS Santos

Divisatildeo de Radioquiacutemica -Chefe ProfDr Fausto Walter de Lima

Divisatildeo de Radiobiologiacutea -Chefe ProfDr Roacutemulo Ribeiro Pieroni

Divisatildeo de Metalurgia Nuclear -Chefe ProfDr Tharciacutesio DS Santos

Divisatildeo de Engenharia Quiacutemica -Chefe Lie Alciacutedio Abratildeo

Divisatildeo de Engenharia Nuclear -Chefe Eng2 Pedro Bento de Camargo

Divisatildeo de Operaccedilatildeo e Manutenccedilatildeo de Reatores -Chefe Eng2 Azor Camargo Penteado Filho

Divisatildeo de Fiacutesica de Reatores -Chefe ProfDr Paulo Saraiva de Toledo

Divisatildeo de Ensino e Formaccedilatildeo -Chefe ProfDrc Rui Ribeiro Franco

iacute N D I C E

Pagina

A M CONVICCcedilAtildeO DL CAIflOR O O O O O O O O O Q O O O O O O O O O O O O O laquo Q O O X

1 XntlTOdtlCcedilaO o e o O raquo 0 0 laquo o O O laquo 0 raquo 0 raquo 0 0 raquo 0 0 copy 0 0 0 copy 0 0 0 laquo raquo o e raquo O O a X

2 o Tipos d a convecccedilao O deg o deg lt gt o o o deg s lt gt o 9 lt gt bull bull raquo laquo laquo bull 1

3 v Regimes de escoamento dos fiuidos 2

4 bdquo Casos possiacuteveis de convecccedilao o 3

5 o Meacutetodo de estudo dos probXemas de convecccedilao 4

6 o Analxse dimensional copy o c copy o o e o laquo a i gt laquo o o copy o raquo o o Q o o o copy o o o e raquo 3

7 o CorWGCCcedilclQ ri3UumlUTd-X o o o o o o o u a o o o o o a o o a o o o o o o e o a o o o 7

S v COI lVOcircCCcedilacircO pound 03TCcedil3Clacirc O Q 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 9 9 Q O O O O O Q O O Q O Q O O O O Q 9

9 c Significado fisico dos adimensionais o o li

XOo Equaccedilatildeo d e convecccedilao forccedilada o 1 2

B - CONVECCcedilAO COM MUDANCcedilA DE FASE CONDENSACcedilAtildeO - (I) 1 5

1 laquo I I I 12TO d U Ccedil S O laquo o e copy o o copy G Q laquo Q e s j o o copy o o o a ocirc o o Q O O Q Q O lt raquo o o o laquo Q o 1 3

2 o COHCIacute3HSclCIacuteO copy B t a o o o c s o o e uacute G t raquo raquo o o copy e o o Q o raquo o copy laquo o lt s o o o o i gt 1 5

B - CONVECCcedilAO COM MUDANCcedilA DE FASE - EVAPORACcedilAtildeO - (II) 2 3

l o XntXOdUCcedilQ-O o a o raquo u s e t t laquo o raquo raquo raquo o copy i o a copy o o o copy copy O f gt o copy copy copy copy o laquo raquo 2 3

2 0 Processo de formaccedilatildeo das bolhas o o o o o o o o o raquo raquo laquo laquo copy gt 2 4

3 o Incertezas no e s t u d o de evaporaccedilatildeo copy copy copy copy copy copy copy copy o 2 7

4 o Regimes de ebuliccedilatildeo bull copy bull Q e o copy raquo o o laquo o laquo raquo o copy laquo o o o o o o o copy o copy o copy 2 3

3 o J^UrnOUt copy copy 9 o o e copy o copy o o copy o o copy o copy copy e c e ( gt o copy o o copy Q O copy 9 0 copy Q O Q o copy copy copy 3 1

oacute Influecircncia de outros paracircmetros no Burnout 3 3

7 o Formulas para caacutelculo do coeficiente de peliacutecula na

ebulXCcedilaO O raquo copy raquo O raquo copy D copy laquo Q copy copy O copy copy copy O O raquo copy O O O O copy O copy raquo copy laquo O copy laquo copy O laquo O O 3 3

Pagina

c FOacuteRMULAS PARA CAacuteLCULOS ESPECIacuteFICOS - RESULTADOS KSPE-

1laquo Fluxo de calor criacutetico - Burnout bdquo bdquolaquolaquolaquo 37

2 o Resultados especiacuteficos o o o o o o o o o o o o i o o o c o lt gt lt lt lt 44

D _ HIDRODINAcircMICA DOS SISTEMAS E QUEDA DE PRESSAtildeO DENTRO

1 o Hidrodinacircmica e queda de pressatildeo ltbdquolto 51

2 ^ Perda de pressatildeo num canal de evaporaccedilatildeo 60

E - EXPANSAtildeO E COMPRESSAtildeO DE UM FLUIDO - ANALISE HIDRODIshy

NAcircMICA DE UM CIRCUITO EM CIRCULACcedilAtildeO NATURAL bdquobdquobdquobdquobdquo 69

L Expansatildeo no fluxo de um

2 Contraccedilatildeo no fluxo de ura

A - CONVECCcedilAtildeO DE CALOR

1 INTRODUCcedilAtildeO

A convecccedilatildeo de calor e um fenocircmeno que ocorre muito freshy

quentemente ~ o caso por exemplo da transferecircncia de calor enshy

tre uma parede e um fluido a temperaturas diferentesraquo

Ao contraacuterio do que a equaccedilatildeo de Newton q = h A At

onde q e o calor trocado h e o coeficiente de peliacutecula A eacute a

aacuterea de troca de calor e At ecirc a diferenccedila de temperaturas) pode fa_

zer supor a convecccedilatildeo de calor e um fenoacutemeno complicado Na equashy

ccedilatildeo de Newton os diversos fatores que influem no fenocircmeno estatildeo

englobados no coeficiente de peliacutecula conforme veremos mais tarshy

de

Resumindo resolver um problema de convecccedilatildeo de calor eacute

obter o valor do coeficiente de peliacutecula h

2 TIPOS DE CONVECCcedilAtildeO

0 processo da transferecircncia de calor por convecccedilatildeo eacute devi

do atilde mistura de porccedilotildees de massas de fluido a diferentes temperatjj

ras A mistura dessas porccedilotildees pode ocorrer de duas maneiras e daiacute

resultam os dois tipos diferentes de convecccediloes

a) convecccedilatildeo natural

b) convecccedilatildeo forccediladaraquo

a) Convecccedilatildeo natural - Verifica-se quando os movimentos

macroscoacutepicos do fluido satildeo devidos unicamente a difeshy

renccedilas de densidade das porccedilotildees frias e quentes Podemos citar coshy

mo exemplo aquecimento residencial com resistecircncias eleacutetricas

transformadores etc

b) Convecccedilatildeo forccedilada - Verifica-se quando os movimentos

macroscoacutepicos do fluido sao devidos a agentes externos

isto e a movimentaccedilatildeo do fluido e provocada pela diferenccedila de

pressatildeo causada por bombas ventiladores etc Neste casonatildeo vatildeoixi

fluir portanto somente as condiccedilotildees teacutermicas do processo e as

propriedades fisicas do fluido mas tambeacutem as condiccedilotildees externas

determinantes do escoamento do fluido Sao inuacutemeras as aplicaccedilotildees

da convecccedilao forccedilada na industria em caldeiras reatores etcraquo

3 KEGIMES DE ESCOAMENTO DOS FLUIDOS - IMPORTAcircNCIA NA CONVECCcedilAO

A mecacircnica dos fluidos define dois tipos de escoamento

a) regime laminar

b) regime turbulento

a) Regime laminar - Aquele escoamento onde as partiacuteculas

movera-se em camadas numa direccedilatildeo paralela agrave parede

b) Regime turbulento - Aquele em que as partiacuteculas fluishy

das se movem irregularmente ao acaso sem nenhuma di_

reccedilao determinada

Nos regimes turbulentos junto agrave parede sempre ocorre a

formaccedilatildeo de uma corrente fluida em regime laminar cuja espessura

depende da velocidade meacutedia do escoamento chama-se esta camada de

sub-camada laminar

Laminar 1 Tran- | ^^furtmlento

siccedilatildeo iexcl ^S^

A

l Sub-camada limite laminar

N L

siccedilatildeo iexcl ^S^

A

l Sub-camada limite laminar

N L mdashbull parede plana

Um estudo mais detalhado sobre o escoamento acima

feito oportunamente

3

O regime do escoamento e importante na convecccedilao porque

ele determina qual o mecanismo preponderante na troca de calor enshy

tre parede e fluido

Assim no regime laminar o fluxo teacutermico normal agrave parede

eacute transmitido principalmente por conduccedilatildeo pura neste caso eacute a coji

dutividade teacutermica do fluido que determina a taxa de calor trocada

por convecccedilao

No regime turbulento o fluxo teacutermico eacute transmitido por um

mecanismo composto e complexo Na sub-camada limite laminar o flushy

xo daacute-se por conduccedilatildeo pura e na regiatildeo turbulenta datilde-se porumamls_

tura de porccedilotildees de mateacuteria a temperaturas diferentes

4 CASOS POSSIacuteVEIS DE TRANSFEREcircNCIA DE CALOR POR CONVECCcedilAO

Convecccedilao

Gases e

liacutequidos

Circulaccedilatildeo

Natural

parede plana

horizontal

vertical

parede cilin

drica

horizontal

externa e

internamente vertical

Circulaccedilatildeo

forccedilada

parede

plana

dentro

dos

tubos

escoamento laminar

escoamento turbulento

escoamento laminar

escoamento

turbulento

tubos retos

tubos em espiral

externamente

a tubos

paralelamente aos tubos

ortogonalmente aos tubos

externamente a tubos aletados

4

Cotivecccedilao

Na evaporaccedilatildeo

de liacutequidos

Na condensa-

cao de vaposhy

res

sobre superfiacutecies planas

internamente tubos

externamente tubos

circulaccedilatildeo natushy

ral ou forccedilada

externamente a tubos horizontais

externamente a tubos verticais

sobre superfiacutecies planas verticais

dentro de tubos verticais

5o MEacuteTODOS DE ESTUDO DOS PROBLEMAS DE CONVECCcedilAtildeO

jaacute vimos que a soluccedilatildeo do problema de convecccedilao eacute encon

trar uma expressatildeo para o coeficiente de peliacutecula (h) em funccedilatildeo

das suas inuacutemeras variaacuteveis

- temperatura da parede (t ) w

- temperatura do fluido (t^)

- velocidade do escoamento (V)

- forma $ e dimensotildees caracteriacutesticas (L L L ) da pa

x y z mdash rederaquo

- propriedades do fluido

- condutividade teacutermica (k)

- massa especiacutefica (p)

- calor especiacutefico (c)

- viscosidade dinacircmica (u)

Sendo assim a expressatildeo de h seratilde do tipo

h = h(t t_ V $ L L L k p c u ) w f x y z

Ha vaacuterios processos para chegar a uma soluccedilatildeo

1) meacutetodo analiacutetico

5

2) meacutetodo empiacuterico

3) meacutetodo integrado

Meacutetodo analiacutetico -to estudo para uma partiacutecula do flui

do da transmissatildeo de- calor levando em conta tambeacutem as

equaccedilotildees do escoamento e da continuidade do fluido o que leva a

equaccedilotildees diferenciais de difiacutecil soluccedilatildeo Tais soluccedilotildees em geral

sotilde sao possiacuteveis quando fazemos hipoacuteteses simplificadoras que se

nao forem corretas nos levaratildeo a uma soluccedilatildeo errada

Meacutetodo integrado - Eacute o estudo para um agregado de partiacuteshy

culas e tem o mesmo tipo de soluccedilatildeo que o meacutetodo analiacuteti

co poreacutem para esse agregado

Meacutetodo empiacuterico - Este meacutetodo estaacute associado agrave anaacutelise di

mensional Tal meacutetodo consiste em deduzirmos os nuacutemeros

adimensionais que influem no processo e procurarmos depois atrashy

veacutes da experiecircncia equaccedilotildees que os relacionem

6 ANALISE DIMENSIONAL

0 meacutetodo empiacuterico eacute o mais usado em virtude das dificulshy

dades que os outros apresentam apesar das suas limitaccedilotildees

Devemos tomar dois cuidados especiais para nao chegarmos

a resultados falsos o primeiro eacute obter dados experimentais os mais

corretos possiacuteveis e o outro eacute o de ao considerarmos um tipo de

convecccedilatildeo nao esquecer nenhuma variaacutevel que influa no mecanismo

pois se tal acontecer os nuacutemeros adimensionais obtidos seratildeo com

pletamente diferentes dos reais

Neste estudo usaremos o teorema de Buckingham ou teore

ma dos ir que diz o seguinte

Uma equaccedilatildeo de m variaacuteveis sect (x^ x 2 x^) que por sua

vez sao funccedilotildees de n_ dimensotildees fundamentais pode ser transformada

numa relaccedilatildeo entre (m-n) grupos adimensionais

6

Devemos notar ainda que a analise dimensional e o teore

ma dos TT nao nos permitem obter a relaccedilatildeo matemaacutetica entre os gru

pos adimensionais mas apenas quais os grupos que interferem no

fenocircmenoo

7= CONVECCcedilAtildeO NATURAL

Experimentalmente verificou-se que nesse fenoacutemeno intejr

ferem as seguintes variaacuteveis

Variaacutevel Unidade Dimensatildeo

h - coeflaquo de peliacutecula kcalhr degCm 2 ( M ) ( 0 ) 3 (T) 1

x = dimensatildeo caracteriacutestica m ( L )

AT bull-= diferenccedila de temperatu ra entre parede e flui do

degC (T)

p = massa especiacutefica fluido kgm3 (M) ( L ) 3

y = viscosidade dinacircmica kgsegm ( M ) ( e ) 1 ( L ) 1

6 = coei de expansividade teacutermica

V1

c = P

= calor especiacutefico do fluido

kcalkg degC (D2 ( e ) 2 (T) 1

k = condutividade teacutermica do fluido

kcalm hrdegC OOCDO)3^)1

g raquo aceleraccedilatildeo da gravidade mseg ( L ) ( e ) 2

Dimensotildees

(M) = massa

( L ) = comprimento

(8) = tempo

(T) = temperatura

I

Considerando que apenas estas 9 variaacuteveis influem na con-

vecccedilao natural o fenocircmeno poderaacute ser escrito na forma

B A_C D E F G H I h = A x (AT) bdquo p bdquo u o S Cp k g (1)

Sendo A B C D E F G H I expoentes reaisraquo

De acordo com o teorema dos T T se noacutes temos m = 9 variaacuteshy

veis funccedilotildees por sua vez de n = 4 dimensotildees o fenoacutemeno poderaacute

ser descrito por uma equaccedilatildeo de (9-4=5) adimensionais

Pesquisemos quais sao esses adimensionais Substituindo

na expressatildeo (1) as dimensotildees correspondentes temos

Me 3 T_1 = A LB TC (ML~3)D (Me - 1 ITV (T-1)F

a2 e~ 2 T - 1 ) g (MLe3

0T_1)H ( L e - 2 ) 1

Devido a homogeneidade de unidades da expressatildeo as somas

dos expoentes da mesma dimensatildeo nos dois membros devem ser iguais

(EM) D + E + H - 1 (I)

(26) - E - 2G - 3H - 21 = -3 (II)

(ET) C - F - G - H = -l (III)

(EL) B - 3 D - E + 2G + H + I = 0 (IV)

Solucionando o sistema acima em funccedilatildeo das variaacuteveis C

D G e T vem

Somando (I) e (II)

D - 2 G - 2 H - 2 I = - 2 o H = ~ G - I + 1

Substituindo o valor de H em (III) vem

C - F - G - | + G + I - l = - l F = C - + I

Substituindo o valor de H em (II) vem

8

- E - 2G - -y- + 3G + 31 - 3 - 21 = - 3 E = G + I - -y

Substituindo E e H em (IV) vem

B - 3 D - G - I + - y - + 2 G + | - - G - I + l + I = 0

Voltando agrave expressatildeo (1) temos

h = A x D + I - 1 ( A T ) C pdeg u G + I ~ 3 0 2 g C ~ 0 2 + 1

G D2 - 6 - 1+1 I c p k g

Agrupando os termos de mesmo expoente vem

t A 2 2 - 3 - 1 v D 2 -1 1 n = A (x p bdquo u g o k ) o (x u g k g)

o (AT g ) C (vi k 1 c p )Q o ( x - 1 k g )

h - A ( x 2

3 - p 2 k ) D 2 ( g deg Z)1 (AT g ) C

li 3

C k J x

2 2 h x x p k D 2 x u g gI

k ~ A ^ 3 o

deg 1 k deg

y 3

(AT g ) C ( ^ ) G

Chamando

h bdquo x n = mdash f mdash = Nbdquo = n9 de Nusselt 1 k Nu

T T 2 = p

k

P = N p r = ndeg de Prandtl

rr3 = AT o g

2 2 i

x o p k

4 3 R

M g

Assim os fenoacutemenos de convecccedilao natural sao descritos por

uma equaccedilatildeo do tipo

F ( IacuteW N P r V V V = deg Como as variaacuteveis 3 AT e g na convecccedilao natural soacute in

fluem nas forccedilas de empuxo provocando o movimento macroscoacutepico do

fluido devem aparecer constituindo o produto (g g AT) Para

que isso seja possivel devemos ter

~ = I = C reunindo-se assim os 3 adimensionais tr

T T ^ ir ou seja

ir AT g gt k P 2 X bull P B bull = 3 4 5 u 3 6 k

3 2 x p g g AT bdquo M O j o u c

= 7 = N_ = N9 de Grashof 2 Gr

Finalmente a convecccedilao natural pode ser descrita por uma

equaccedilatildeo da forma

F(Nbdquo N_ Nbdquo ) = 0 Nu Pr Gr

Agora soacute resta obter para cada caso possiacutevel do paraacutegra

fo 4 ps coeficientes desses 3 nuacutemeros adimensionais

8 CONVECCcedilAO FORCcedilADA

Na convecccedilao forccedilada nao influem as forccedilas de empuxo poshy

reacutem influi decisivamente a velocidade do fluido Assim as variaacuteshy

veis que intervecircm no fenocircmeno sao

h = coeficiente de peliacutecula (M) ( 8 ) ~ 3 ( T ) 1

o 10

x = dimensatildeo caracteristica (L)

-1 V = velocidade do fluido (L) (8)

I -3

u = viscosidade dinacircmica do fluido (M) (L)- (0)~

p = massa especifica do fluido (M) (L)

- 2 - 2 - 1 0^ = calor especifico do fluido (L) (6) (T)

k = condutividade teacutermica do fluido (M) (L) ( 0 ) ~ 3 ( T ) 1

0 fenocircmeno eacute determinado por estas 7 variaacuteveis logo coja

forme o teorema dos ir podemos descrever o fenocircmeno por uma equaccedilatildeo

com (7 - 4) = 3 nuacutemeros adimensionais

A equaccedilatildeo de h em funccedilatildeo das variaacuteveis seraacute do tipo

h = A x V u bull P bull c k (2)

substituindo as dimensotildees vem

M e~ 3 T - 1 = A L B (L Q~X)C (M L - 1 e 1 ) 0

(M L 3 ) E ( L 2 e 2 T _ 1 ) F (M L e - 3

T - 1 ) G

Igualando a soma dos expoentes da mesma variaacutevel dos dois membros

vem

(EM) D + E + G = 1 (I)

(Z6) - C - D - 2F - 3G - -3 (II)

(ET) - F - G = -1 (III)

(EL) B + C - D - 3 E + 2 F + G = 0 (IV)

resolvendo o sistema acima em funccedilatildeo de C e G vem

de (III) F = 1 - G

de (II) - C - D - 2 + 2 G - 3 G = - 3

bull D = 1 - C - G

substituindo o valor D em (I) vem

11

1 - C - G + E + G = 1 E = C

substituindo os valores de D E e F em (IV) vem

B + C = l + C + G - 3 C + 2 - 2 G + G = 0

B = C - 1

assim a equaccedilatildeo (2) ficaraacute sendo

C-l bdquoC 1-G-C C 1-G G h = A x V y p c k

P

colocando o coeficiente de k na forma (1-G) + l^j vem

h = A (x V y1 p ) C (ii c k - 1 ) 1 - 0 (x _ 1 k) P

u c hx p x VvC p xl-G k = A ( y gt ( k

ILJLJL = N

k Nu

y c N

e k Pr

p V x _

y N R e = N9 de Reynolds

Logo o fenocircmeno de convecccedilao forccedilada seratilde representado

por equaccedilotildees do tipo

f ( NNugt NPrlaquo N R e ) = 0

9 SIGNIFICADO FIacuteSICO DOS ADIMENSIONAIS

91 - Numero de Nusselt

N = bull h = 2L- _) Nu k AT v

v3 x x=0

eacute uma relaccedilatildeo entre o gradiente de temperatura junto a parede e a

12

variaccedilatildeo total da temperatura do fluido

92 - Numero de Prandtl

Pr = pp = 2 kpc a

P

Relaccedilatildeo entre viscosidade ci nemaacutetica v e a difusividade teacutermica a

93- Numero de Reynolds

N_ = amp Relaccedilatildeo entre as forccedilas de Re u - r bull

ineacutercia e as forccedilas viscosas que interferem no escoamento fluido

94 - Numero de Grashof

H = mdashmdash mdash^mdash 2 mdash amp a relaccedilatildeo entre o pro-u duto (forccedila de ineacutercia )

x (forccedila de empuxo) e o quadrado das forccedilas visshycosas que interferem na convecccedilao natural

11 EQUACcedilOtildeES DE CONVECCcedilAO FORCcedilADA

Por ser o caso mais importante na induacutestria soacute veremos

algumas equaccedilotildees para a convecccedilao forccedilada e deixaremos de lado a

convecccedilao natural por ser menos importante

Para cada tipo de escoamento para cada regime de transshy

ferecircncia de calor e para cada configuraccedilatildeo geomeacutetrica teremos uma

equaccedilatildeo com expoentes e coeficientes diferentes poreacutem sempre com

as mesmas trecircs variaacuteveis

Nbdquo N- N_ Nu Re Pr

Para resolver um problema de convecccedilao devemos antes

avaliar as propriedades do fluido essa avaliaccedilatildeo eacute feita considj

13

rando a temperatura media do fluido isto e a meacutedia aritmeacutetica da

temperatura entre um ponto do fluido junto agrave parede e um ponto onshy

de a temperatura do fluido seja constante longe da parede

Ha casos entretanto que na praacutetica trecircs adimensionais

so nao sao suficientes para expressar o fenocircmeno isto porque as

vezes ha uma propriedade que eacute muito sensiacutevel a uma pequena varia

ccedilao de temperatura logo para estes casos introduzem-se outros adi^

mensionais para levar em conta a dependecircncia dessa propriedade com

a temperatura

Todas as expressotildees foram obtidas experimentalmente A li

teratura especializada tem formulas para todos os tipos possiacuteveis

de geometria Vejamos alguns exemplos

101 ~ Convecccedilatildeo forccedilada sobre superfiacutecies planas

a) regime laminar ( N R g lt 400000)

N T = 0664 (N ) 1 f 2 (N ) 1 ^ 3

NuL ReL u Pr

b) regime turbulento ( N R g gt 400000)

NNuL deg 0 3 6 lt N P r ) 1 3 t gt R e L ) 0 8 1 8 7 deg deg ^

102 - Convecccedilatildeo forccedilada dentro de tubos ciliacutendricos

a) regime laminar (N_ ^ lt 2100) mdash Re D

i

b) regime turbulento Nbdquo _ gt 2100 mdash u Re D

N v _ = 0023 (N_ J 0 8 (Nbdquo ) n

NuD ReD Pr

14

n = 04 para fluido aquecendo

n =raquo 03 para fluido resfriando

Note-se que neste caso houve necessidade de considerar ou

tros adimensionais para aliar a anaacutelise dimensional agrave experiecircncia

no item a) dois outros adimensionais tiveram que ser acrescentados

(DL) e (up s)

Na expressatildeo 101 b) se o N critico for tomado como

sendo 5 x 10 (usado comumente) a expressatildeo usada eacute a mesma a me

nos do termo 18700 que passa a ser 23200

Devemos observar finalmente que estas expressotildees nao se

aplicam a metais liacutequidos e que elas nos datildeo nuacutemeros de Nussel meacuteshy

dios e natildeo locais

15

B - CONVECCcedilAtildeO COM MUDANCcedilA DE FASE - CONDENSACcedilAtildeO (I)

lo INTRODUCcedilAtildeO

Devemos considerar dois tipos de convecccedilao com mudanccedila de

fase que sao a condensaccedilatildeo e a evaporaccedilatildeo

Os problemas de convecccedilao de calor com mudanccedila de fase sao

tao importantes na industria como os de convecccedilao de uma uacutenica

faseraquo Os exemplos mais comuns de sua aplicaccedilatildeo sao os condensadoshy

res e evaporadores usados nos condicionadores de ar geladeiras

caldeiras etc

Neste capiacutetulo estudaremos apenas a condensaccedilatildeo

Os problemas de convecccedilao com fluidos condensando ou evashy

porando sao bem mais complexos que os demais processos de convecshy

ccedilao porque aleacutem de envolver variaacuteveis nao consideradas na conshy

vecccedilao de sistemas de uma so fase tecircm uma variaccedilatildeo nas propriedashy

des fiacutesicas de tal grandeza que essa variaccedilatildeo interfere decisiva

mente no fenocircmeno

2 CONDENSACcedilAtildeO

Eacute a passagem de um vapor para o estado liacutequido pela retishy

rada de calor

21 - Aspectos Gerais

A condensaccedilatildeo eacute realizada fazendo com que o fluido (vashy

por) entre em contato com uma superfiacutecie cuja temperatura esteja

abaixo da temperatura de saturaccedilatildeo do fluido correspondente atilde pres_

sao do vapor

0 coeficiente de peliacutecula relativo ao vapor de aacutegua satushy

rada que condensa sobre uma superfiacutecie fina eacute da ordem de grandeshy

za de 10000 kcalhrm^degC em casos excepcionais chega-se acirc valo-

16

res 50o000-100bdquo000 kcalhrm 2degC Isto eacute obtido a maneira pela

qual a condensaccedilatildeo se produz Ilaacute duas maneiras

1 - condensaccedilatildeo por peliacutecula daacute-se quando o liacutequido con

densado molha totalmente a parede formando urna peliacute

cula continua sobre a mesmaraquo

2 - condensaccedilatildeo por gotas daacute-se quando o liacutequido ao se

condensar rcune-se em gotas que crescem ateacute terem

peso suficiente para escoarenu

0 primeiro tipo eacute o mais comum e eacute o que daacute menor coefishy

ciente de peliacutecula porque a pelicula do liacutequido constitui uma re

sistencia adicional a passagem do calorraquo No segundo tipo chega-se

a coeficientes de pelicula muito maiores pelo fato do vapor estar

sempre em contato direto com a superficie resfriadura isto eacutepor

nao haver resistencia adicional

2o2 - Condiccedilotildees para termos condensaccedilatildeo por peliacutecula ou por

gotas

Sob o ponto de vista da transmissatildeo de calor deveriacuteamos

sempre preferir a condensaccedilatildeo por gotas pois como jaacute dissemos e

a que daacute maior eficiencia teacutermica Acontece poreacutem que tecnologji

camente eacute difiacutecil a obtenccedilatildeo da condensaccedilatildeo por gotas pois haacute

necessidade de termos um vapor puro urna superficie de resfriameii

to perfeitamente lisa (cromeada espelhada) e com resinas para fa

cilitar a formaccedilatildeo das gotas Tudo isso encareceria demais um con_

densador por isso eacute que na praacutetica usamos condensaccedilatildeo por peliacutecu

la quando podemos usar chapas ou tubos comerciais

So em casos muito especiais quando o espaccedilo eacute muito imshy

portante usa-se condensaccedilatildeo por gotas

2 3 - Remoccedilatildeo do Condensado

Um fator importante a considerar na condensaccedilatildeo eacute a remo

17

ccedilao do condensado que sempre se faz por gravidade Ha dois tipos

principais de superficies de condensaccedilatildeo

1 - Tubos ou placas verticais (ou encunadas)

2 - Tubos cilindricos horizontais

Nos tubos verticais a espessura da peliacutecula liacutequida aumen

tara do topo acirc base e com isso variaraacute ao longo do tubo o coefishy

ciente de peliacutecula loacutecalo

No caso dos tubos ciliacutendricos horizontais o liacutequido escoj

re pela parede lateral e goteja pela parte inferior natildeo havendo

possibilidade de formaccedilatildeo de camadas espessas do condensado

2raquo4 - Condensaccedilatildeo por peliacutecula sobre tubos verticais

Nusselt desenvolveu estudos analiacuteticos sobre condensaccedilatildeo

externa a tubos ciliacutendricos verticais partindo das hipoacuteteses

1 - A espessura da peliacutecula do condensado eacute nula na parte

superior do tubo e vai aumentando nas partes inferioshy

res por condensaccedil-ao e escorrimentoraquo

2 - 0 fluido escorre pela parede em regime laminar sob o

efeito combinado do seu peso e viscosidade

3 - A temperatura da camada mais interna do condensado tem

a temperatura da parederaquo

4 - A temperatura da camada mais externa tem a temperatushy

ra do vapor-

5 - A variaccedilatildeo da temperatura da camada do condensado em

sentido ortogonal agrave superfiacutecie do tubo eacute linear

6 - 0 vapor cede apenas seu calor latente

7 - A temperatura do tubo eacute uniforme e constanteraquo

8 - Nao haacute gases incondensaacuteveis no vapor (vapor puro)

Chegou a formula

18

2 3 g P - h L t

N j = 0943 ( r-EcircY~ ) 1 4 (l) NuL y bdquo k o At v

As propriedades da equaccedilatildeo (1) satildeo avaliadas agrave temperatu

ra meacutedia tm

c + t _ w sat

tm ~ onde

t = temperatura da parede

t = temperatura de saturaccedilatildeo do fluido S 3Lt

exceto o calor latente da vaporizaccedilatildeo b^ que deve ser avaliado agrave

temperatura de saturaccedilatildeo correspondente atilde pressatildeobdquo

Quando a superfiacutecie focircr inclinada vale o raciociacutenio de

Nusselt apenas o termo que atua na remoccedilatildeo do condensado natildeo eacute g

mas sim (g seno) sendo 6 a inclinaccedilatildeo da superfiacutecieraquo

Assim a equaccedilatildeo para estecaso seria

2 3 g o sene o p o h o L

NT _ = 0943 ( r~ y (2) NuL y o k o At w

25 - Efeitos a considerar na condensaccedilatildeo

Ha 3 efeitos importantes a considerar na condensaccedilatildeo que

Nusselt natildeo levou em conta sao eles

- efeito da turbulecircncia no filme liacutequidoraquo

- efeito dos gases incondensaveisraquo

- efeito da velocidade do vapor

251 - Efeito da turbulecircncia no filme liacutequido

As formulas anteriores servem para comprimentos de tubos

pequenos pois nesse caso a velocidade de escoamento do condenshy

sado natildeo eacute grande entretanto para superfiacutecies verticais longas

a peliacutecula torna-se bastante espessa e com velocidade grande deshy

mais para que o escoamento possa ser considerado em regime lamishy

nar

19

Nesse caso define-se o numero de Reynolds baseado na veshy

locidade da fase liacutequida isto eacute

p V 6

Nbdquo - m r

Rer y u

onde

V = velocidade do condensado na camada limite m 6 = espessura da camada limite

T = p V m 6 = descarga do condensado por unidade de largju

ra da superficie de condensaccedilatildeo

No calculo da determinaccedilatildeo de T haacute uma certa dificuldade

pois ele soacute pode ser determinado por iteraccedilatildeoraquo

Q = m c laquo A t = h A A t P

A = 2ir R bdquo L (para tubos)

m c = h o 2IumlIuml R laquo L P

m m braquoL _ p a _ _ li li

2TTR C c P P

Como noacutes nao sabemos o valor de h_ devemos inicialmente

adotar um V e obter atraveacutes da foacutermula

NNuL = deggt0134 (R PV L 3 gt 1 3 ( N R e r ) 0 4 ( 4 )

y

o valor de _h se os valores de h_ obtidos por (3) e (4) forem iguais

o problema esta resolvido caso contraacuterio fazem-se tantas iterashy

ccedilotildees quantas forem necessaacuterias

252 - Efeito dos gases incondensaacuteveis

A presenccedila de gases incondensaacuteveis reduz violentamente o

coeficiente de peliacutecula pois acirc medida que o vapor se condensa o

gaacutes nao condensaacutevel se acumula junto atilde superfiacutecie de resfriamento

20

formando uma barreira adicional S passagem do fluxo de calor

A reduccedilatildeo do coeficiente de peliacutecula que a presenccedila des_

ses gases causa depende da fraccedilatildeo em massa dos mesmos na mistu

ra gaacutes-vapor

Fizeram-se inuacutemeras experiecircncias e sobre o assunto a tiacute

tulo de exemplo vejamos o graacutefico abaixo onde temos em abcissas

o coeficiente de peliacutecula obtido experimentalmente e em ordenadas

a fraccedilatildeo de gases dissolvida jio vapor

5000

bullg- 4000 O

3OOO

2000

S 1000

4 6 8 10 12 lt|gt(lbm arlbm de vapor )x 10

Devemos notar a grande influecircncia dos gases incondensatilde-

veis por exemplo quando o vapor eacute puro nos temos um h = 4000se

tivermos apenas 1 de ar dissolvido o coeficiente de peliacutecula fishy

caraacute reduzido agrave metade isto ecirc h = 2000

Por isso nos condensadores sempre se coloca vapor ornais

puro possiacutevel

253 - Efeito da velocidade do vapor

Quando a velocidade do vapor junto agrave interface liacutequido-

-vapor natildeo focircr despreziacutevel surgem forccedilas de atrito entre o vapor

e o liacutequido Se a direccedilatildeo do fluxo do vapor coincide com a direshy

ccedilatildeo do movimento do liacutequido a velocidade do liacutequido aumenta (haacute

compressatildeo) e a espessura do filme liacutequido diminui e consequenshy

temente a transferecircncia teacutermica melhora pois haacute diminuiccedilatildeo da

resistecircncia teacutermica

Se entretanto a direccedilatildeo do vapor focircr contraacuteria a do fil

o 21 laquo

me de liquido ha uma tendecircncia de haver aumento da espessura da pj2

liacutecula diminuindo assim o valor de h

26 - Consideraccedilotildees sobre os resultados obtidos com as foacutermushy

las de Nusselt

Nota-se experimentalmente que os resultados obtidos pelas

equaccedilotildees de Nusselt sao em geral 10 a 20 inferiores do que os reshy

sultados reais Assim a favor da seguranccedila elas sao usadas e aaacuteo_

tadas Os motivos das discrepacircncias jaacute-foram ditas atraacutes no item

25

Devemos notar ainda que o valor de h obtido pelas foacutermushy

las anteriores e o valor meacutedio jaacute que h varia de ponto para ponto

e seria difiacutecil obter uma equaccedilatildeo que nos desse o valor de h locaL

2bdquo7 - Condensaccedilatildeo por peliacutecula externamente a tubos ciliacutendrishy

cos horizontais

0 mesmo estudo de Nusselt pode ser aplicado neste caso

baseado na hipoacutetese de que no topo do tubo a peliacutecula do condensashy

do tenha espessura nula Chega-se a expressatildeo

g p 2 h D 3 14

NT _ = 0725 ( ) (5) NuD u k o At

Analogamente ao caso anterior as propriedades do liacutequido

sao tomadas a

t + t w sat

tm = ^

exceto h que eacute tomado a t

ev n sat

Na situaccedilatildeo atual da tecnologia e possiacutevel obtermos tubos

com diacircmetros suficientemente pequenos para que tenhamos escoamenshy

to do condensado soacute em regime laminar

22

No caso de vaacuterios tubos empilhados a formula (5) deve

ser modificada pois como dissemos ela soacute vale quando no topo do

tubo a espessura do liacutequido eacute nula o que nao acontece neste caso

(Vide figura a)

Vapor

Tubo

mdash Liacutequido

Fig a

Neste caso a forma que nos da o valor meacutedio para h e

g p 2 h D 3 14

NNuD deg gt 7 2 5 lt N u k V At gt

sendo N o numero de tubos empilhados

Note-se que neste caso o coeficiente h cai bastante Uma

boa soluccedilatildeo para o caso quando dispoacuteftos de lugar eacute dispor os tushy

bos defasados (Conforme figura b)

Liquido

Fig b

Neste arranjo podemos aplicar a equaccedilatildeo (5) pois no tp_

po de cada tubo a espessura da camada de condensado eacute nula

23

B - CONVECCcedilAtildeO COM MUDANCcedilA DE FASE - EVAPORACcedilAtildeO (II)

1 INTRODUCcedilAtildeO

Evaporaccedilatildeo consiste na obtenccedilatildeo de vapor por meio de aque

cimento de um liacutequido

Apesar da importacircncia do processo e do sucesso obtido na

praacutetica em projetos de evaporadores o fenocircmeno da evaporaccedilatildeo eacute

um dos pontos menos conhecidos da transmissatildeo de calor

0 primeiro estudo seacuterio sobre o assunto foi feito em 1934

pelo japonecircs Nukiyama poreacutem somente nos uacuteltimos 10 anos tais es-

tudos se intensificaram

Os primeiros pesquisadores quando estudavam o fenocircmeno

do resfriamento de um solido num liacutequido obtiveram as seguintes

curvas

onde

temperatura

velocidade de resfriamento

3 0 v = amdashbull

A 06

Q - fluxo teacutermico

8 - tempo

A - aacuterea do soacutelido

24

tempo

Ateacute os estudos de Nukiyama nao se conseguia explicar o

porque da variaccedilatildeo crescente da velocidade de resfriamento quando

t gt t sol sat

2 PROCESSO DE FORMACcedilAtildeO DAS BOLHAS

Como a evaporaccedilatildeo do liacutequido se faz sobre uma superfiacutecie

aquecedora sobre esta irao se formar bolhas de vapor que influem

decisivamente no fenocircmeno

Aqui soacute iremos estudar as bolhas sob o ponto de vista qua

litativo bem como a sua influencia mas nao sob o ponto de vista

quantitativo

Recentemente Fritz e Jacob WR Gambill e outros estudiacutei

ram o processo da formaccedilatildeo das bolhas sobre a superfiacutecie aquecedpound

ra Atraveacutes de fotografias verificaram que a bolha de vapor ain

da em contato com a parede variava profundamente de forma confo_r

me o angulo de contato entre liacutequido e parede metaacutelica

Assim eacute que se a superfiacutecie de aquecimento nao e excesshy

sivamente polida e a tensatildeo superficial do liacutequido eacute pequena a

bolha tem a forma da figura las diz-se nesse caso que o liquishy

do molha a parede neste caso o angulo de contato e agudobull Se

as condiccedilotildees contrarias se verificarem o acircngulo de contato sera

obtuso e as bolhas tomam a forma da figura ldegb Naturalmente ve

rificara-se as condiccedilotildees intermediaacuterias para o angulo de contato da

25

fig lc

Fig la Fig lb Fig lo

0 estudo analiacutetico da formaccedilatildeo e crescimento das bolhas

pode ser encontrado em diversos livros por exemplo no El-Wakill

(Nuclear Power) no Jakob (Heat Transfer)e outros Neles faz-se

o estudo das condiccedilotildees do liquido (pressatildeo temperatura tensotildees

etc) para haver ou nao formaccedilatildeo de bolha Isto eacute feito fazendo-se

o estudo das bolhas nas seguintes posiccedilotildees

a) bolha no seio do liacutequido

para meia bolha

4 ltP g - P fgt fg

onde

P g P f

- 4 D (D

g

Pf

D

pressatildeo do vapor

pressatildeo do liquido

tensatildeo entre superfiacutecie do liacutequido e vapor

diacircmetro da bolha

^f g

P f Fig 2

26

A equaccedilatildeo (1) mostra que a pressatildeo do vapor deve ser maior

que a do liquido nas condiccedilotildees de saturaccedilatildeo e este por sua vez

deve estar no estado de superaquecimento o

b) bolhas sobre superfiacutecie solida

Fig 3

Condiccedilotildees para desprender

a mdash o_ + o_ cos a gs fs fg

tensatildeo na interfase liacutequida e vapor (depende das

propriedades do liacutequido e vapor)

tensatildeo entre o liacutequido e superfiacutecie de aquecimen

to (depende das propriedades do liquido e da sushy

perfiacutecie)

tensatildeo entre o vapor e a superfiacutecie de aquecimeri

to (depende das propriedades do vapor e da super

fiacutecie)

21 - Formas do fluxo do vapor desde a superfiacutecie de aquecishy

mento ateacute a superfiacutecie livre do liacutequido

Considerando liacutequido vaporizado em tubos verticais pode^

mos ter 4 tipos de fluxo de vapor

1 - fluxo de bolhas

2 - fluxo de agregados (plug ou slug)

3 - fluxo anular

4 - fluxo disperso

Os quatro tipos ficam bem determinados respectivamente

onde

a fg

degfs

a gs

27

pelas 4 figuras abaixo

LIacutequido - Liacutequido Liacutequido

o

^Bocirclha de

vapor

Vapor

mdash [

- Vapor

mdash 0 0

deg_ a-

jrj-

iquestiexcl5

Bolhas Agregados Anular

Liacutequido

vapor

Disperso ou

Homogecircneo

Conforme o tipo de ebuliccedilatildeo podemos ter uma so das forshy

mas acima ou uma mistura

3 INCERTEZAS NO ESTUDO DA EVAPORACcedilAtildeO

Ha trecircs incertezas principais para determinar o fluxo de

calor na evaporaccedilatildeo a saber

- Aacuterea de contato indefinida

- Diferenccedila de temperatura indefinida

- Grau de turbulecircncia

Como realmente nos nao sabemos uma dependecircncia algeacutebri

ca entre o acircngulo de contato e a superfiacutecie ocupada pelo liacutequishy

do (ou vapor) temos uma incerteza na determinaccedilatildeo da aacuterea de tro

ca de calor (A)

Outra incerteza eacute a dificuldade da obtenccedilatildeo de diferenccedila

de temperatura entre o liacutequido e a parede que normalmente assume-

-se como sendo a diferenccedila entre a temperatura da parede e da ebu

liccedilatildeo do liacutequido (temperatura de saturaccedilatildeo = t )

S cl c

Na realidade a diferenccedila de temperaturas nao eacute aquela

pois a camada de liacutequido que cobre a superfiacutecie aquecedora esta

a uma pressatildeo maior que o resto do liacutequido (pressatildeo atmosfeacuterica

mais a hidrostaacutetica) e consequentemente a temperatura de vaporiza_

ccedilao desse liacutequido e maior que a da superfiacutecie Esta diferenccedila po-

28

deria ser calculada desde que se conhecesse a relaccedilatildeo entre presshy

satildeo e temperatura de saturaccedilatildeo do liacutequido entretanto haacute incerte

za quanto ao verdadeiro peso especiacutefico da coluna de liacutequidopois

trata-se de uma mistura de bolhas de vapor e de liacutequido em proshy

porccedilatildeo variaacutevelraquo

4 REGIMES DE EBULICcedilAtildeO

Nukiyama estudando a ebuliccedilatildeo da aacutegua num recipiente a

quecendo-a com resistencias eleacutetricas construiu a curva baacutesica da

ebuliccedilatildeo Todos os liacutequidos apresentam uma curva semelhante vashy

riando apenas os valoresraquo Os pontos caracteriacutesticos da curva deshy

pendem de caracteriacutesticas difiacuteceis de definirtais como natureza

do metal estado da superficie (rugosidade) dimensotildees orientashy

ccedilatildeo do fluxo quantidade de gases dissolvidos e t c

Estudaremos o fenocircmeno para o caso de aacutegua destiladasem

gas dissolvido a temperatura de saturaccedilatildeo 100 C pressatildeo atmosfe_

re uma superficie plana

Chega-se assim acirc curva

rica sobre uma superficie plana horizontal a temperatura t^

In ltJgt

At (degC)

A curva acima representa o aquecimento de agua com uma re_

sistecircncia eleacutetrica (ate ebuliccedilatildeo)raquo Temos em abcissas as diferenccedilas

de temperatura entre o liacutequido e a resistecircncia em ordenadas o flu

29

Regiatildeo I

Regiatildeo II

Regiatildeo III

Regiatildeo IV

xo de calor por unidade de area

Na curva notam-se 4 regiotildees bem definidas tendo cada uma

o seu significado fiacutesico os quais correspondem a um tipo de ebuli

ccedilao

convecccedilao natural

ebuliccedilatildeo nucleada

ebuliccedilatildeo por peliacutecula parcial

ebuliccedilatildeo por peliacutecula estaacutevel

41 - Convecccedilao natural

Ocorre quando At eacute inferior a 8degCformam-se no liacutequido

correntes convectivas as quais transferem o calor ateacute a superfiacuteshy

cie livre do liacutequido e aiacute desprendendo o vapor Neste caso o valor

de h eacute da ordem de 2000 kcalm^hdegC

42 - Ebuliccedilatildeo nucleada

Ocorre quando o At eacute maior que 8degC e menor que 25degC Nesshy

te caso as bolhas formam-se junto a superfiacutecie de aquecimento

crescem liberam-se movimentam-se em direccedilatildeo agrave superfiacutecie livre do

liacutequido onde estouram libertando o vapor As bolhas formam-se nas

irregularidades da parede tecircm um acircngulo de contato agudo e porshy

tanto hatilde liacutequido sempre em contado com a parede (molha a parede)

cada ponto ativo (lugar onde se formam as bolhas) libera uma porshy

ccedilatildeo de bolhas e os outros pontos do liacutequido ficam em contato com a

superfiacutecie quente violentamente agitados Esta agitaccedilatildeo extrema eacute

mais eficaz que uma turbulecircncia criada artificialmente Por esse mo

tivo a curva cresce violentamente nesse trecho (m = 3 a 7) pois

bull 2 o o valor de h cresce consideravelmente (ate 46000 kcalm hr C) e

o fluxo teacutermico transmitido ao liacutequido cresce proporcionalmente a

Quando cresce crescem tambeacutem

(At) 3

30

numero de bolhas por unidade de aacuterea (num instanshy

te)

~ = crescimento da bolha (com o tempo)

frequecircncia de iacuteormaccedilao de bolhas

A medida que o At vai aumentando iraacute aumentando (jgt tam-- n o N

bem e consequentemente mdash R mdash a a a tal ponto que quando atiacuteii

girmos o ponto da curva nao haveraacute mais formaccedilatildeo de bolhas

mas sim uma peliacutecula de vapor instaacutevel passando assim a 3a re

giao que estudaremos a seguir

43 - Ebuliccedilatildeo por peliacutecula parcial

Como dissemos no item anterior se aumentarmos ainda mais

o At (entre 25degC e 125degC) teremos a formaccedilatildeo de uma peliacutecula de

vapor instaacutevel sobre a superfiacutecie quente que aacutes vezes eacute perfurashy

da pelo liacutequido A camada de vapor tanto mais estaacutevel seraacute quanshy

to maior focircr o At Essa peliacutecula de vapor iraacute provocar um decreacutes_

cimo consideraacutevel no fluxo teacutermico porque como sabemos o vapor

eacute muito pior condutor que a aacuteguaraquo

0 fluxo vai decrescendo ateacute um ponto miacutenimo (iexclgt mintilde (as vecirc

iacutebo bullraquo 1

zes chega a ser mdashj-) e e o chamado ponto de Liedenfrost 0 coeshy

ficiente de peliacutecula neste caso cai violentamente (h = 2000

kcalm^hrdegC)

44 - Ebuliccedilatildeo por peliacutecula estaacutevel

Aumentando ainda mais a diferenccedila de temperaturas

At ( gt 125degC) iremos conseguir uma camada de vapor estaacutevel Ela

transmite calor da superfiacutecie quente ao liacutequido que se vaporiza de

modo que o excesso de vapor formado na interface liquido-vapor for

ma bolhas que sobem para a superfiacutecie 0 liacutequido encontra-se agi-

31

tado poreacutem nao toma contato com a superfiacutecie soacutelida

A peliacutecula de vapor eacute estaacutevel e o fluxo eacute proporcional a

34

(At) (lei de Bromley) Para At grandes passa a influir sensivel^

mente a radiaccedilatildeo teacutermica mais uma razatildeo para demonstrar que nesshy

ta regiatildeo o fluxo cresce novamente

5 CONSIDERACcedilOtildeES E COMPARACcedilAtildeO ENTRE OS TIPOS DE EVAPORACcedilAtildeO

BURNOUT

Sob o ponto de vista de eficiecircncia teacutermica deveriacuteamos sem

pre trabalhar no ponto de fluxo maacuteximo isto eacute no ponto correspon

dente a lt(gt da curva de Nukiyama pois eacute o que daacute maior coeficieri

te de peliacutecula

Acontece poreacutem que se impomos a temperatura da parede

fixa obtemos um uacutenico valor de lt(gt e portanto o fenocircmeno eacute estaacutevel

Poreacutem se como ocorre nos reatores impomos um fluxo teacuter

mico a curva de Nukiyama apresenta 3 pontos de funcionamento posshy

siacuteveis A B C

1

SOacute os pontos A e C sao funccedilotildees estaacuteveis mas eles impotildeem

acirc superfiacutecie quente temperaturas bem diferentes

Na industria em geral trabalha-se por questotildees de segushy

ranccedila na regiatildeo IV da curva poreacutem para os reatores trabalha-se na

32

r e g i atilde o I I

0 p r o b l e m a de t r a b a l h a r n a r e g i atilde o II eacute q u e se n oacute s e s t i shy

v e r m o s t r a b a l h a n d o n o p o n t o e x t r e m o (j) e se p o r q u a l q u e r m o t i v o

h o u v e r u m p e q u e n o a c r eacute s c i m o d e ltfgt i r e m o s t r a b a l h a r i m e d i a t a m e n t e no

p o n t o M q u e t e m o m e s m o $-^0t p o r eacute m c o m A t 2 m u i t a s v e z e s m a i o r

p o d e n d o o c a s i o n a r a f u s atilde o d a s u p e r f iacute c i e a q u e c e d o r a E s t e f e n ocirc m e n o

eacute c h a m a d o d e b u r n o u t

0 f l u x o lttgt eacute c h a m a d o f l u x o c r iacute t i c o o u f l u x o d e b u r -b o

n o u t N o c a s o do r e a t o r d e v e m s e r t o m a d a s m e d i d a s r i g o r o s a s q u a n

to agrave r e g u l a g e m do f l u x o t eacute r m i c o p a r a q u e n atilde o o c o r r a o b u r n o u t 1 1

p o i s d e l e p o d e r e s u l t a r r u p t u r a d a c a m i s a do c o m b u s t iacute v e l e h a v e shy

r aacute p o r t a n t o c o n t a t o do r e f r i g e r a n t e c o m o s s oacute l i d o s e g a s e s r a shy

d i o a t i v o s

5 o l - R e l a ccedil atilde o d e B u r n o u t

E c l a r o q u e p a r a t e r m o s u m r e a t o r m a i s e f i c i e n t e d e v e shy

m o s t r a b a l h a r c o m u m f l u x o o m a i s p r oacute x i m o p o s s iacute v e l do f l u x o d e

B u r n o u t P a r a t a n t o d e v e m o s c o n h e c e r c o m o m a i o r g r a u d e certe

za p o s s iacute v e l q u a l o ^ p a r a p o d e r m o s r e d u z i r o c o e f i c i e n t e d e s e shy

g u r a n ccedil a ( W R G a m b i l l r e c o m e n d a agrave 1 5 )

N o s s e m i n aacute r i o s d e W R G a m b i l l e n c o n t r a m o s u m a s eacute r i e de

b i b l i o g r a f i a s o n d e p o d e m o s e n c o n t r a r i n uacute m e r a s f oacute r m u l a s p r o p o s t a s

p a r a a o b t e n ccedil atilde o de (q 1^)

A t i t u l o d e e x e m p l o v e j a m o s a l g u m a s

q - 2 7 0 G deg gt 8 5 D 0 2 A085 p lt 150

deg D ( L uuml ) 2

q - 140 G 0 5 D ~ deg 2 (-~-)~deg 1 5 p ~ r gt 150 c D (LD)

o n d e a m b a s as e q u a ccedil otilde e s s oacute v a l e m p a r a aacute g u a e m b a i x a p r e s s atilde o e m coii

v e c ccedil a o f o r ccedil a d a

33

D

L

fluxo teacutermico critico BTUhrft bdquo 2

descarga em massa do liquido (Ibmhrft )

diacircmetro do tubo ft

comp do tubo ft

Para cada caso temos uma expressatildeo diferente que pode ser

encontrada em literatura especializada

6 INFLUEcircNCIA DE OUTROS PARAcircMETROS NO FLUXO DE BURNOUT

Como para os usos atuais do reator a diferenccedila de temppound

ratura entre parede e fluido sao pequenas bem como o fluxo de bur

nout recentemente fiacutesicos como Jakob Bonilla WR Gambill estu

daram outros paracircmetros que influenciam bastante o sect^ 0gt isto eacute a

influecircncia desses paracircmetros faz com que o ^ seja maior Isto eacute

util pois quanto maior o fluxo de burnout maior poderaacute ser o

fluxo de calor real de funcionamento

Tais meios sao

- Sub-resfriamenCcedilo do liacutequido

61 - Influecircncia da velocidade do liacutequido

Estudos feitos pelos autores acima chegaram agraves curvas

- Aumento da velocidade imposta ao liacutequido

- Pressatildeo do liacutequido elevada

alto V

At

34

Para velocidades maiores o fluxo de burnout aumenta

porque neste caso o regime eacute turbulento e o coeficiente de peliacute

cuia h aumentao

6bdquo2 - Influencia do aumento da pressatildeo

Este estudo deve-se a Bonilla que obteve experimentalmen

te as curvas

Este estudo foi feito para vaacuterios liacutequidos e chegou a con

clusao que sempre havia uma pressatildeo oacutetima isto e uma pressatildeo que

leva ao maior iacute 1 ^ raquo mantidas as demais condiccedilotildees Experimentalmenshy

te notou que essa pressatildeo correspondia a 13 da pressatildeo critica

do liquido em questatildeo

6=3 - Influecircncia do sub-resfriamento

Consiste em manter atilde custa de uma circulaccedilatildeo intensa o

liacutequido a uma temperatura inferior atilde de saturaccedilatildeo para a pressatildeo

correspondenteraquo Experimentalmente chega-se agraves curvas

mdash A t grande sub

bullAt -0 sub sub

medio

At

35

Verificando os graacuteficos vemos que o lt)gt aumenta agrave medida bo

que aumenta a diferenccedila de temperatura de sub-resf riamento isto pojr

que o liquido como estaacute mais frio faz com que algumas das bolhas

recondensem permitindo que o liquido fique em contato com a parede

quente o que faz aumentar o h

^ f csub = t e m P e r a t u r a ddeg liacutequido - temperatura de saturaccedilatildeo

A diferenccedila de temperatura At entre fluido e parede tamshy

beacutem aumenta poit na regiatildeo proacutexima agrave parede haacute necessidade de

levar o liacutequido da temperatura do sub-resfriamento ateacute a temperatu

ra de saturaccedilatildeo quando se evapora

Atualmente os maiores estudos dos fiacutesicos nucleares locashy

lizam-se neste campo pois eacute o que oferece maiores vantagens

7 FORMULAS PARA 0 CAacuteLCULO DO COEFICIENTE DE PELIacuteCULA NA EBULICcedilAtildeO

Como ocorre no caacutelculo de todas as foacutermulas de convecccedilatildeo

temos formulas empiacutericas para determinar o h conforme o tipo de

ebuliccedilatildeo que nos consideramos

71 - Ebuliccedilatildeo Nucleada

Para o caso de aacutegua temos as relaccedilotildees

superfiacutecies

horizontais

superfiacutecies

verticais

f aacute 5000 BTUhrft 2 -gtbull h = 151 ( A t ) 1 3

A o

5000 lt 75000 -h = 0618 (At)3

^ pound 1000 -raquobull h = 8 7 ( A t ) 1 7

A o -

1000 lt $ lt 20000 -gt h = 027 (At) A o

Quando a pressatildeo e diferente da atmosfeacuterica faz-se a correccedilatildeo

3 6

72 - Ebuliccedilatildeo por peliacutecula

Bromley propocircs uma boa equaccedilatildeo para a ebuliccedilatildeo por peliacuteshy

cula estaacutevel em cilindros horizontais

Nu

_ JtjD n r 9 P v bull ( P L - P v gt - g -h

e V bull D i2

D 1 ^ U b Z u At gt

onde

V = indica vapor

L = indica liacutequido

Multiplicando ambos os membros da equaccedilatildeo acima por

kvD obteremos a expressatildeo do coeficiente de convecccedilagraveo meacutedio para

o caso

37

C - FORMULAS PARA CAacuteLCULOS ESPECIacuteFICOS - RESULTADOS ESPECIacuteFICOS

1 FLUXO DE CALOR CRIacuteTICO - BURNOUT

lol - Introduccedilatildeo

O aspecto mais importante no que se refere agrave seguranccedila

dos reatores da transferencia de calor na ebuliccedilatildeo eacute a determina

ccedilatildeo do Fluxo de calor critico ou de pico ou burnout

Como jatilde vimos quando temos a ebuliccedilatildeo nucleada a dishy

ferenccedila de temperatura entre refrigerante e superfiacutecie de aqueci

mento e pequena poreacutem quando atingimos o fluxo de calor criacutetico

essa diferenccedila de temperatura pode tornar-se imediatamente muishy

to grande podendo causar a ruptura da superfiacutecie de aquecimento

se atiigirmos o ponto de fusatildeo do soacutelidoraquo

Usando a convecccedilao

onde

At sat

w

sat At

sub

w = temperatura da parede de aquecimento

t t = temperatura de saturaccedilatildeo do liacutequido

t^ = temperatura de mistura do liacutequido

At = (t -t ) sub-resfriamento do liacutequido sub N sat b 1

nout

Ha dois tipos de burnout fast burnout e slow bur-

Ocorre o fast burnout (burnout raacutepido) quando A t g u b gt 0

38

ou para baixo x (~ lt 10) sendo x o titulo do vapor

Temos o slow burnout para x - gt 10 Assim noacutes tereshy

mos dois limites para o burnout

At bull o (ltJgt ) t =((() para t = t ) -

bo m m possiacutevel w sat

sub i

4L + 1

G c D h pl nb

(ltK ) = (ltpound para x = 1) = Dv-bo max possiacutevel e 4L

c At l + P 1 sub i

onde

L = comprimento do canal

D = diacircmetro do tubo

G = descarga de liacutequido (por unidade de aacuterea)

c ^ = calor especiacutefico do liacutequido

Agrave = calor latente de vaporizaccedilatildeo

h ^ = coeficiente de transferecircncia de calor na regiatildeo de

nao ebuliccedilatildeo

iacutendices

i = entrada

e = saiacuteda

Haacute inuacutemeras expressotildees para determinaccedilatildeo do burnout pro

postas por muitos fisicos cada uma aplicando-se a um caso especiacuteshy

fico vejamos algumas delas

12 - Equaccedilotildees para prediccedilatildeo de Burnout

121 - Equaccedilatildeo de Bragg e Smith (Zuber)

Num artigo publicado por Bragg e Smith encontramos uma f oacute_r

mula que e derivada da formula de Kutateladze e nos daacute o fluxo cri

39

tico quando nao temos sufaresfriamento

bo poolsat v V raquoc a ( p l P V )

2 PV

14

onde

ltiexclgt = fluxo de calor critico bo

k = constante

Ly = calor latente de vaporizaccedilatildeo do refrigerante

= densidade do liquido

pvr = densidade do vapor V a = tensao superficial

g = fator de conversatildeo c

a = aceleraccedilatildeo da superficie de aquecimento

Os autores encontraram para k um valor de 062 entreten

to outros autores como Zuber incluindo outras variaacuteveis que In

fluiam no fenocircmeno encontraram k variando entre 008 e 023Esshy

tudos bem elaborados mostram que o valor mais aproximado eacute

k = 015 (- 003)

1-22 - Equaccedilatildeo de Noyes

Noyes estudou o burnout para o soacutedio agua e alguns liacute

quidos orgacircnicos

( W s a t ~ bdquo 0245 bull ( r ( 1 )

iiacute_ V 1 Pr

onde

N n = Nuacutemero de Prandtl da fase liacutequida x r

Mais tarde o proacuteprio Noyes alterou a equaccedilatildeo para

n ^ - n H Iacute I Pl PV gt0538 deg g c a q 4 ( W s a t deg 1 1 6 PV ( - p 7 ~ ) (77T1^ ) ( 2 )

40

A ultima correlaccedilatildeo proposta por Noyes foi

a n prPV0560 112

1

(a bull a) 13

(ag c) 112

(3)

onde

a = difusividade teacutermica do liacutequidoraquo A equaccedilatildeo (3) eacute bashy

seada em todos os dados de burnouts do soacutedio bem

como da atildegua benzeno difenil e outros De 111 pontos usados 90

+ estatildeo relacionados dentro de - 30bdquo

ldeg2o3 - Burnout com convecccedilao forccedilada e sub-resfriamen

to

Aproveitando os resultados de aproximadamente 240 testes

de burnouts com aacutegua sub-resfriada em fluxo de convecccedilao forccedilashy

da feitos na Ruacutessia Labuntsov elaborou uma boa equaccedilatildeo empiacuterica

para o problemabdquo

Esta relaccedilatildeo aplica-se para velocidades entre 2 3 e 148

ftsec pressotildees entre 1 e 201 atmabs sub-resfriamento entre 0 deg

e 432 degF e fluxos de burnout entre 0 4 x IO 6 x 166 x 1 0 6 BTUhr

2 bdquo

bullbo

onde

e a seguinte

6 ( P ) 1 + 0 2 3 2 V 2

14

e ( P ) 1 +

15 c At _p_ sub

12 (a)

9 ( P ) - P 1 3 o ( 1 - P J 4 3

red

= pressatildeo (atm abs)

pressatildeo reduzida = mdash mdash red r P

t_ c = pressatildeo critica

= velocidade do liacutequido (ftsec)

= calor especiacutefico do liacutequido (BTUlbdegF)

4 1

^ tsub = ^ ^ e r e n Ccedil a ^ e temperatura entre a temperatura de

mistura do liacutequido e a de saturaccedilatildeo (degF)

X = calor latente de vaporizaccedilatildeo (BTUlb) 2

ltiacutegtbo = fluxo de burnout (BTUhrfl )

Uma outra correlaccedilatildeo para o caso foi proposta por

Ornatsky e Xiohigin que fizeram experiecircncias para pressotildees entre

10 e 1 5 0 3xm 90 degF lt At ^ lt 4 5 0 deg F 3 7 1 0 6 ( l b h r o f t 2 ) lt G lt

2 2 2 10 b ( l b h r bdquo f t 2 )

lt ^ = 3 2 5 0 (G o A t bdquo J deg 6 ( - i - ^ ) 2 5 ( b ) bo sub

onde

G - descarga de refrigerante por unidade de aacuterea

P ^ v P v - densidades do liacutequido e do vapor

P1~ PV -0 termo (mdash ) e incluido na expressatildeo (b) para indicar

a influecircncia da ^ pressatildeo sobre o

Uma comparaccedilatildeo entre as equaccedilotildees (a) e (b) foi feita para

o Reator de Isoacutetopos de Alto Fluxo (HFIR) nas condiccedilotildees aacutegua a

600 psia velocidade = 45 ftsec e sub-resfriamento = At^^ 1

degF obtendo-se uma diferenccedila de 6 5 entre ambos (4gt = 6 0 5 1 0 b

2 ~ 6 2 BTUhr ft pela equaccedilatildeo (a) e 6 4 5 10 3TUhrraquoft pela equaccedilatildeo

(b)

Ilatilde ainda a equaccedilatildeo de Ivey e Morris aplicaacutevel somente pa_

ra ebuliccedilatildeo com grande quantidade de liacutequido

( c sub t

Cpf bull A tsub

( bull ) s ~ V P bdquo 10 h V sat V g

onde

(ltL ) = fluxo critico com sub-resfriamento c sub

(ograve ) ^ - fluxo critico sem sub-resfriamento c sat

42

c ^ = calor especiacutefico do liacutequido

= calor latente de vaporizaccedilatildeo

124 - Burnout com convecccedilao forccedilada e ebuliccedilatildeo por bocirc-

Ihas

Gambill fez uma extensatildeo da equaccedilatildeo de Levy e aplicou o

metqdo da superposiccedilatildeo Tal extensatildeo consiste natilde subtraccedilatildeo de uma

razatildeo equivalente de massa transferida dos termos que represenshy

tam a ebuliccedilatildeo e convecccedilao para levar em conta a presenccedila do vashy

por no fluxo

A correlaccedilatildeo pode ser escrita assim

24 V P V

o g c a (p^Py) 14

+ 0696 (k p c ) 12

(

pr p v )i4 o g c a (P-L-Py) 18

bull At + h sub nb

044 p v L v G (g1) bull N2 n

p l P V

( pr p v ) d e 2-7

2 4 TT 0

14 ( f e _ ^ r l 3

lO^u

onde

k = condutividade teacutermica

c = calor especiacutefico

A t s u b ~ s ub-resfriamento do liacutequido

h = coeficiente de transferecircncia de calor de nao ebu nb mdash

liccedilatildeo

G = descarga total do refrigerante

43

d g = diacircmetro equivalente do tubo ou canalraquo

]i = viscosidade

B = constante adimensional

Os iacutendices V e 1 representam vapor e liacutequido respectiva

mente

0 primeiro termo entre chaves da equaccedilatildeo representa o flu

xo de calor no burnout de sub-resfriamento em convecccedilao forccedilada 0

segundo termo entre chaves corresponde ao fluxo de calor transferi^

do para a massa da fase vapor

1-25 - Burnout por Bloqueio da Base

Ocorre quando a profundidade do recipiente eacute muito maior

que a largura 0 bloqueio da base eacute causado pela formaccedilatildeo de uma pe_

licula de vapor na base impedindo que o liacutequido toque o fundo do

recipiente

i De

Este eacute o burnout por flooding isto eacute burnout por expul

sao do liacutequido Uma equaccedilatildeo que nos dacirc o fluxo minimo do burnout

parao caso eacute

44

onde

D g = diacircmetro equivalente

L = comprimento do tubo

= calor de vaporizaccedilatildeo

p^Py Ap = densidade do liacutequido do vapor e diferenccedila en

tre ambos

Para um fluxo de calor maior ou igual ao dado pela expres_

sao acima (mantida a mesma geometria) teremos burnout Para um deshy

terminado fluxo existiratildeo sempre um comprimento L e um diacircmetro equi

valente D e para os quais temos burnout Exemplo

L (in) D e(in)

10 11

100 51

1000 235

2 RESULTADOS ESPECIacuteFICOS - FOacuteRMULAS PARA CAacuteLCULOS ESPECIacuteFICOS

21 - Diferenccedila de temperatura At i

13 a t

sat

At sat

poundatildeJL_ raquo t - t J p T T 6 w sat

onde

o laquo tensatildeo superficial entre liquido e vapor

t - temperatura de saturaccedilatildeo do liacutequido para a corres-Scl t

pondente pressatildeo

J equivalente mecacircnico do calor

X laquobull calor latente de vaporizaccedilatildeo

py = densidade do vapor

6 = espessura da camada de liacutequido superaquecido onde

45

k l

h nc

onde

k^ = condutividade teacutermica do liacutequido

h = coeficiente de peliacutecula nc r

Segundo Eckent h ^ c e dado por

P 2 Q

nc 3 V VP + 0952

r

onde

D = diacircmetro equivalente

G r = numero de Grashoff

P = nuacutemero de Pradtl

2 o 2 - Velocidade das bolhas

A velocidade das bolhas em meacutedia pode ser dada pela exshy

pressatildeo

V bdquo = Iacute ( a bull B Apl4 bolhas 5 ^ 2

p l onde

AP = P L - P v

Expressatildeo que vale quando a aceleraccedilatildeo eacute a da gravidade

baixa viscosidade do liacutequido e bolhas separadas

Vbolha = f t s e atilde m a x para aacutegua

2 bdquo3 - Diacircmetro das bolhas

2gc deg 12 D = 0015 3 ( mdash mdash 7 ~ ) d g Ap

5 =

46

onde

8 = acircngulo de contato (20 a 90deg) geralmente assume-O -1

-se igual a 50 para a agua em contato com metal

24 - Coeficiente de peliacutecula na ebuliccedilatildeo nucleada

a) Equaccedilatildeo de Rohsenow

Esta equaccedilatildeo nos datilde o fluxo de calor q na ebuliccedilatildeo nushy

cleadaraquo E oacutetima expressatildeo para muitos liacutequidos o efeito da presshy

satildeo eacute levado em conta na variaccedilatildeo das propriedadesraquo

Pf

fg

sat 17 = c

sg k y f h f g g( P f-p g)

n033

onae

Pf

fg

Pf Pg c sg

= fluxo de calor requerido (BTUhr0ft^)

= calor especiacutefico do liacutequido saturado (BTUlbm0F)

= calor latente de vaporizaccedilatildeo (BTULbm)

= nuacutemero de Prandtl

= viscosidade do liacutequido (lbrahrraquoft) ~ 8 2

= fator de conversatildeo 417 10 Ibmftlbflaquohr 2

= aceleraccedilatildeo da gravidade (fthr )

= tensatildeo superficial na interface liacutequida vapor

(lbfft) 3

densidade do liquido e vapor (lbmft )

constante adimensiacuteonal que depende de vaacuterios fashy

tores dentre os quais o grau de aquecimento en_

tre o fluido e a superfiacutecie de aquecimento e o

mais importanteraquo Independe da pressatildeo do sistema b) Equaccedilatildeo de Levy

Equaccedilatildeo valida para a aacutegua quando 100 lt p lt 2000 psiacutea

47

43 bdquo3

qu bdquo gat ^ T J h r t f t ^

495

25 - Calculo do fluxo de calor no Ponto de Leidenfrost

0 ponto de Leidenfrost como vimos eacute o ponto em que oflu

xo de calor comeccedila ncamente a crescer isto eacute o ponto onde termal

aa a ebuliccedilatildeo instaacutevel e comeccedila a ebuliccedilatildeo por peliacutecula estaacutevel Eacute

o chanado fluxo miacutenimo (egrave ) m m

Aproximadamente quando A t g u k = 0 temos

A _ mdash _ mdash (Gambill) m m 5

Ha entretanto varias expressotildees para determinar esse flu

xo eis uma delas

A p 14 ltjgt = 009 h pbdquo (o raquo g mdash ) y m m fg P V deg 2

p l

26 - caacutelculo do fluxo de calor na regiatildeo de ebuliccedilatildeo por peliacute

cuia estaacutevel

para cilindros jmdashi i li

_ D 0172 k-V - P V A p h l V bull S 14 li - = 062 (mdashmdash) (- j- r rmdash) convecccedilao A 0 ybdquo (t -t )

c V w sat

onde

= condutividade do vapor

- 2 TT ( mdash )

c gAp Vl = significam vapor e liacutequido respectivamente

para paredes verticais

L 0172 S deg7 A p bull hlV S q 4 h - - 080 (-^-)J- (-Iuml - Iacutemdash-convecccedilao X L u (t - t J)

c V w sat

48

Como nesta regiatildeo jaacute haacute nina influecircncia marcante da radia

ccedilao devemos levar en conta tambeacutem o coeficiente de peliacutecula de

vido a radiaccedilatildeo para determinar o coeficiente de peliacutecula total

Dos estudos atildea radiaccedilatildeo temos

h = a F pound(T 4 - T 4 J ( T ~ T ) rad w sat w sat

onde amp _ emissividade de superfiacutecie

a = constante de Stefan-Boltzman

F = fator de forma

Segundo WE Gambill o coeficiente de transmissatildeo total

ceve ser

3 iacutei = h + -7 h para h lt h t conv 4 rad r rad conv

Na expressatildeo acima existe o fator 34 porque a radiaccedilatildeo

faz variar um pouco a espessura do filme de vapor reduzindo asshy

sim o l l

conv

Quando tivermos h gt h gt o h^ ^ seraacute rad conv total

h f c = h + h t conv rad

Neste ultimo caso nao ha nenhum coeficiente porque a peshy

liacutecula de vapor jaacute eacute estaacutevel

27 - Grandezas caracteriacutesticas para a apua

Para pressatildeo igual a 1 atm = 1422 psia

At ^ = t - t = 5degC (iniacutecio da ebuliccedilatildeo nucleada) sat w sat 1

At t = 30degC sat crit

49

5 2 $ = 4 10 BTUhrft (para pressatildeo 1 atm)

0 fluxo critico cresce como vimos com a pressatildeo ate

atingir o maacuteximo quando a pressatildeo eacute aproximadamente 13 da pressatildeo

criacutetica Esse fluxo eacute

bull = 13 IO 6 BTUhrft 2 para p = 11000 psia (p pound = 32062 psia)

Ainda temos que para pressatildeo igual a 15 psia

h b o = 11000 BTUhrft degF - ebuliccedilatildeo nucleada

h f b = 30 BTUhrft 2 degF - ebuliccedilatildeo pelicular

Todos os resultados e formulas para caacutelculos especiacuteficos

apresentados nos itens 21 22 23 ateacute 27 sacirco aplicados somente

para sistemas onde haja ebuliccedilatildeo com grande quantidade de liquido

51

D - HIDRODINAcircMICA DOS SISTEMAS E QUEDA

DE PRESSAtildeO DENTRO DE UM CANAL

1 HIDRO-DINAcircMICA E QUEDA DE PRESSAtildeO

11 - Hidro-dinacircmica dos sistemas estaacuteveis

111 - Regimes de escoamento

A evoluccedilatildeo do escoamento ao longo de um canal aquecedor

de secccedilatildeo constante ciliacutendrico pode ser esquematizada pela figushy

ra 1 onde temos em abcissa o comprimento z do canal e em ordenada

a temperatura (T)

52

Na figura 1 nos representamos

a) 0 aspecto do escoamento fluido quando a entalpia do

- fluido aumenta Verificamos que o fluido entra no cashy

nal no estado liacutequido e assim permanece ateacute atingirmos a zona de

ebuliccedilatildeo local onde aparecem as primeiras bolhas A entalpia do

fluido continua aumentando e tem inicioa ebuliccedilatildeo franccedila onde as

bolhas se unem formando agregados posteriormente o escoamento to

ma a forma da figura ou seja torna-se anular disperso Finalmente

atingimos duas uacuteltimas fases do escoamento disperso (vapor uacutemido)

e vapor seco

b) A evoluccedilatildeo da temperatura meacutedia do fluido e da tempeshy

ratura da parede Note-se que a partir da cota a

temperatura da parede aumenta brutalmente podendo causar o

burnout

c) A evoluccedilatildeo do tiacutetulo do vapor (x) com o comprimento

do tubo e a evoluccedilatildeo da fraccedilatildeo (a) que definiremos no

item 11laquo2 com o comprimento do tubo

112 - Definiccedilotildees

a) Tiacutetulo ou qualidade do vapor (x)

massa de vapor na mistura x ~ massa total da mistura

x =

W _g_

g f

b) Fraccedilatildeo vazio (void fraction)

volume do vapor na mistura a = volume total da mistura (agua+vapor)

A relaccedilatildeo entre x e a num sistema parado pode ser obtida

assumindo um certo volume contendo 1 lbm de mistura em equiliacutebrio

teacutermicoraquo

53

O volume da mistura seraacute igual a (v + xv ) ft onde v eacute 3 r rg

o volume especifico (lbmft )

f - refere-se ao liquido

g - refere-se ao vapor

fg - refere-se a diferenccedila entre liacutequido e vapor

Numa mistura em equiliacutebrio se o liacutequido e o vapor estatildeo

saturados o volume do vapor presente eacute igual acirc sua massa vezes

seu volume especiacutefico v assim e

xv bdquo bdquo a mdash

V c + XV c

f gf

onde

- bull-bull uumlutiacuteisa vapor na mistura de 1 Ibm

v volume especiacutefico do liacutequido

v = volume especiacutefico do vapor o

V c = v - V

gf 8 r

Fazendo uma transformaccedilatildeo na expressatildeo acima temos

xv xv JS = Z-

v r+ x(v -v c) xv +(l-x)v t ri f g f g f 1 + Ul-x)xjv fv

1 + C(l-x)x]]vfvg

A fraccedilatildeo vazia tem a influencia de baixar a reatividade

do nuacutecleo nos reatores em que o refrigerante eacute tambeacutem moderador

Na equaccedilatildeo acima os valores de x e v sao tomados em tabe

las termodinacircmicas apropriadas para a pressatildeo do sistema A equashy

ccedilatildeo (1) mostra os grandes valores de a para pequenos valores de x

especialmente para baixas pressotildees Isto ocorre porqueaumentando

54

aacute pressatildeo o v decresce muito enquanto que o v f eacute mais ou menos da

mesma ordem de grandeza

Exemplo Calcular o a correspondente para x raquo 2 para aacutegua

leve atilde pressatildeo atmosfeacuterica

Da tabela para p laquobull 1 atm

v - 001672 ft 3lbm e v - 26800 ft 3lbm

1 + [(1-002)002] 001672268

0971 ou 97U

O grafico abaixo mostra a variaccedilatildeo do a com x para vaacuterias

pressotildees e para a aacutegua leve

x ()

tObservaccedilotildees da curva

Fig 2

1 - para x constante a decresce com a pressatildeo Para presshy

sotildees proacuteximas da criacutetica a aproxima-se rapidamente de

x Para a pressatildeo criacutetica as duas fases satildeo indistinguiacuteveis ea=x

2 - para cada pressatildeo dotdx decresce com aumento de x

3 - para baixos valores de x (que e o caso dos reatores

tipo Boiling) quando p decresce dadx cresce e torr

na-se muito grande paacutera baixas pressotildees Isto tem relaccedilatildeo com a epound

55

tabilidade do reator como veremos mais tarde

113 - Sistemas com fluxo

Todas as definiccedilotildees que noacutes vimos no item anterior refeshy

rem-se acirc sistemas em que a mistura esta fechada no recipiente Nes^

te caso natildeo havia movimento relativo entre as duas fases No entan

to se as duas fases da mistura se movem na direccedilatildeo vertical em

canais entre os elementos combustiacuteveis o vapor por causa de sua

flutuaccedilatildeo tem a tendecircncia de escorregar sobre o liacutequido isto e

move-se com velocidade maior do que a do liacutequido

Real Modelo

Pig 3

S -

Define-se neste caso a relaccedilatildeo de escorregamento (slip

ratio) (S) como sendo

V _i

V f

onde

V = velocidade do vapor

= velocidade do liquido

S modifica as relaccedilotildees entre a e x do item anterior S geralmen_

te gt 1 Define-se neste caso qualidade do vapor ou tiacutetulo como

sendo

_ fluxo de massa de vapor

fluxo de massa da mistura

Entatildeo se o fluxo de massa da mistura eacute m t(lbmhr) o flushy

xo de vapor seraacute = x m e o fluxo de liacutequido sera (1-x) m onde x

56

e o titulo do vapor para a particular secccedilatildeo (AL) da figura (3)

Devemos notar que neste caso x varia de secccedilatildeo para secshy

ccedilatildeo do tubo o exposto no paraacutegrafo acima vale considerando-se que

x e a permaneceram constantes na secccedilatildeo de espessura AL

Aplicando a equaccedilatildeo da continuidade as velocidades do va

por e liacutequido sao dadas por

o xm v

V vazatildeo = g g area A

V

(1-x) amp t v f

f A f

onde A e A f sao as aacutereas medias perpendiculares ao fluxo se as

duas fases sao imaginadas completamente separadas uma da outra

(figura 3) Assim temos

V x m v o A_ A v 0 ^ - 2 = iacute S t m _2L- JL JS m

V A (l-x)ui v 1-x A v U

f g t f g f

Sabemos ainda que para a secccedilatildeo considerada

volume do vapor na mistura a = volume total da mistura (agua+vapor)

A AL A pound g g

a = mdash a a = - mdash 1

(A+A )AL A f + g

A ou f _ 1 - a

A a 8

Substituindo em (2) vem

57

Esta expressatildeo pode ser rearranjada e obteremos uma relashy

ccedilatildeo entre x e a levando em conta o escorregamento Chega-se a

a = 1 ( 3 )

1+ [U-x)x3 igt

onde

v 4 laquo -- S

v lty o

Note-se que quando S=l (nao haacute escorregamento) caimos na

expressatildeo dada no item anterior

0 efeito do escorregamento eacute decrescer o valor de a pa_

ra um mesmo xbdquo Isto pode ser visto pela foacutermula (3) pois S gt lLo

go a decresce com acreacutescimo de S

Um alto S e entatildeo uma vantagem tanto para a transferecircnshy

cia de calor como para efeitos de moderaccedilatildeo Eacute uma vantagem para

transferecircncia de calor porque alto S significa alto V e portanto

maior turbulecircncia e maior contato do liquido com as paredes quenshy

tes Ha tambeacutem melhorias na estabilidade da reaccedilatildeo nuclear isto

porque como jaacute dissemos quando mdash7 diminui a estabilidade aumenshy

ta isso pode ser verificado observando a curva a versus x para a

agua leve a 1000 psiabdquo

Fig 4

58

A relaccedilatildeo entre x e a da equaccedilatildeo (3) so vale para secccedilatildeo

de tubo bem pequena

Devemos notar que S varia tambeacutem com a pressatildeo e velocida^

de de entrada do liacutequido no tubo Este efeito pode ser observado na

figura 5 abaxxo obtida esperimentalmente

s

3

~^ ~ psig

x = 001

V 1

Fig 5

Nos projetos de reatores como veremos adiante o valor a

geralmente eacute determinado por consideraccedilotildees nucleares (moderaccedilatildeo) 0

valor de S eacute determinado atraveacutes de uma estimativa ou entatildeo atrashy

veacutes de um graacutefico do tipo da figura 5 0 correspondente valor de x

pode ser obtido de uma foacutermula empiacuterica do tipo

1 = 1 (-S)0gt67

proposta por Von Glahn

Em muitos casos assume-se S constante em todo o comprimeiv

to do canal poreacutem eacute um erro que em muitos casos nao pode ser coshy

metido

4 REATORES EM QUE 0 LIacuteQUIDO B MODERADOR E CIRCUITO PRIMAacuteRIO AO

MESMO TEMPO BOILING-REACTOR (BWR)

A aacutegua ao se movimentar atraveacutes dos vaacuterios canais do

59

Boiling-reactor encontra vaacuterias resistecircncias ao fluxo que provoshy

cam uma reduccedilatildeo de pressatildeo no fluido

As duas perdas mais importantes sao perda de pressatildeo por

atrito e perda de pressatildeo causada pela aceleraccedilatildeo do refrigerante

ao aumentar de volume por receber calor num canal Outras perdas

de pressatildeo seriam a obstruccedilatildeo ao fluxo por corpos submersos (espa_

ccediladores juntas de tubos chaves etc) e por mudanccedilas abruptas de

aacuterea de fluxo tanto na entrada como na saiacuteda do tubo

Essas perdas de pressatildeo devem ser conhecidas o melhor popound

sivel principalmente nos reatores BWR Para tanto devemos saber

o comprimento de canal em que nao ha a ebuliccedilatildeo isto eacute qual o com

primento de canal em que o refrigerante vai da temperatura de sub-

resfriamento ate temperatura de saturaccedilatildeo

Seja o elemento combustiacutevel

Aquecimento Uniforme Aquecimento Senoidal

Fig 6 Fig 7

onde

H =

H = o

H b

comprimento do elemento combustiacutevel

cota onde o liquido se torna saturado

comprimento do elemento combustiacutevel em que ocorre

ebuliccedilatildeo

60

qg = calor sensiacutevel acrescentado ao liquido para satushy

raacute-lo

qfc = calor total acrescentado ao liacutequido em todo o com

primento do canal

laquoo

q s J o qiquest sen (IIzH) n H o

T~ = TH = 2 ( 1 c o s gt ( a )

q 1 sen (HzH) Jo ^c

A expressatildeo (a) vale quando tivermos uma adiccedilatildeo de calor

senoidal para qualquer outra forma de adiccedilatildeo de calor faz-se um

caacutelculo anaacutelogo

Outra relaccedilatildeo entre q g e qfc eacute dada pela termodinacircmica

q h- - h s f m (b)

(hr +x h )-hm ^t f e fg

onde

= entalpia para o liquido saturado a pressatildeo correjs

pondente (cota z = Ho)

hffi = entalpia do liacutequido na entrada do canal

x = tiacutetulo do vapor na saiacuteda

= entalpia do vapor

Com a relaccedilatildeo (b) noacutes determinamos a relaccedilatildeo q q ecom

S L

uma relaccedilatildeo do tipo (a) (conforme seja o adicionamento de calor ao

liacutequido) podemos obter a relaccedilatildeo HoH e consequentemente H^H

21 - Perda de pressatildeo num canal de evaporaccedilatildeo

Neste item iremos determinar as perdas de pressatildeo mais

representativas que ocorrem num canal de evaporaccedilatildeo de um reator

P + dP

bull1 i- 1 gti i i

dL

onde

UM

Icirc H Icirc Icirc T dF f t f

61

Quantidade de Mov na Entrada

= i- rigVg)

dF f l

Fig 8

m i

m 8

V l V 8

A P

dF

dF

dF

fg

fl

ftf

descarga do liacutequido

descarga do vapor

velocidade do liquido

velocidade do vapor

aacuterea transversal do canal

forccedila de atrito do vapor com parede

forccedila de atrito do liacutequido com parede

forccedila de atrito das duas fases liacutequido+vapor

Fazendo o balanccedilo das forccedilas considerando o sentido posjL

tivo na vertical temos

A (P-P-dP)-(dF +dF _+dF _)-(-pound-) (p A+p A )dL = mdash dGnV+m V ) P fg ftf fl g c 1 1 g g g c

v 1 1 g g 7

- dP = ~ (dF +dF--+dF)+- S--7=- (p A+p A )dL+ mdash ~ - d (m-V+m V ) A_ fg ftf fl g c Ap v^l 1 g g g A 11 g g

Fazendo a integraccedilatildeo termo a termo entre os dois extreshy

mos entrada e saiacuteda e considerando a pressatildeo de entrada igual a

P q e a de saiacuteda igual a Pe vem

Quantidade de Mov na Saiacuteda

-= h I- lY l+ A g V g + d ( aacute l V l + aacuteeVl

Forccedila de Gravidade

= ( g f - N P A + P g V

62

b) r e F f l

o p dp^ = Ap^ = perda de pressatildeo por atrito

do liacutequido na altura Ho

Aplicando a formula de Darcy vem

bull API = f bull ir bull ^ iexcl 7

onde

f = fator de atrito

c) e Fftf

o p ^P tpound

= perda de pressao por atrito da mistura

liquido + vapor no trecho de comprimen

to Hbdquo o

Para determinar esta perda de pressao define-se o fator

de multiplicaccedilatildeo R

A P R =

tf A P 1B

Sendo A p ^ a perda de pressao se o comprimento todo fosshy

se ocupado somente pelo liquido assim

A p t f = R A P 1 B

0 calculo de Ap-^ pode ser feito pela formula de Darcy e

o de R nos veremos no item seguinte

63

d)

-e F

d ( ^ )

O P

Ap = perda de pressatildeo por atrito do vapor

No caso do reator BWR o titulo de saida e bera pequeno e

em nenhum caso ocorre a saida de vapor com x = 100 logo a perda

de pressatildeo por atrito do vapor eacute nula assim

An = 0 5

e) Ap

(p A 1 + p A ) dL = Ap - perda de pressatildeo dpound

vida ao desniacutevel

(perda hidrostaacutetica)

Anbdquo = re A A

-S- I (p + p -S ) dL H s 1 A

c o p o A

como A A Jl_ =

A P

A +A-g 1

1-a -

temos

C Q

te j jll-a)p1 + apg)^jdL = p Lo pound

onde

e jo u

+ ap ) ~I dL (Densidade media 1 S J

no tubo)

No nosso caso

Ap u = p H

f)

re d(mV + m V ) _ mdash - laquo -i bull s iquestp laquos p e r d a ltje pressatildeo devido a acele-

c p raccedilatildeo do vapor

V A

(1-x) tl^Vj

(1-a) A

X V

aA

A p -

roV + m V

c p c p L_

m (l-x)m_v m xv nbdquo -1 T 1

+ _S S I (1-a) Ap aA

P

2 g A c p

n 2 2

(1-x) m T

laquo2 8 A c p

2 2 (l-xe) raTv1

2 2 2 xm_v (1-x) m-v e T s o 1 1

a 1 - a

2 2 - x m_v o T g

a

se

X Q 0 (so ha agua nesse trecho)

a = 0 o

temos

mbdquo Ap =

1 a A 2

S A degc p laquo-

tt-V v i 1 - a

2 via T^r - v i

t Apc

2

V v l

5c Ap

1 - a

x v - 1

a e v l

65

Fazendo

G = fluxo total da massa por unidade de area do

canal

(1-x J e

V

AP r

Assim a perda de pressatildeo total sera

H p V II pV r2 P -P = f -24-Iuml+ f R+p 0 1 2g c D e 2g c g c g c

2c2 - Determinaccedilatildeo do fator de multiplicaccedilatildeo (R)

221 - Relaccedilatildeo Martinelli-Nelson

Os autores Martinelli-Nelson determinaram experimental -

te esse fator R para varias LIT1L em funccedilatildeo da pressatildeo e da r NB total J v

qualidade de saiacuteda do vapor no canal Construiacuteram assim vaacuterias

curvas do tipo da figura 9

66

E importante notar que a qualidade do vapor (x) na saiacuteshy

da nao deve ser grande pois como vemos o valor de R cresce muishy

to com um aumento pequeno de x e um valor de R muito grande acar_

reta uma perda de pressatildeo grande pois

^ d u a s fases R ^ f a s e liacutequida

Para resolvermos um problema seguindo o criteacuterio de bdquo

Martinelli escolhemos a curva R = f(px) (para a relaccedilatildeo L

N g ^ j

adequado) e tiramos R com os valores de pressatildeo p e tiacutetulo x

As curvas R = f (p x L T t )IO encontram-se nos ANL 6469 bio I

e 6561

222 - Relaccedilatildeo Lottes-Flinn

Estes autores estudaram o problema para o aquecimento uni

forme do refrigerante com baixo titule Lottes-Flinn fizeram inuacuteshy

meras experiecircncias e verificaram que para fluxo de calor uniforshy

me e baixos titulos R era independente do fluxo de calor fluxo

do refrigerante escorregamento e apenas funccedilatildeo de a g

Como a quantidade de liacutequido eacute muito maior que a de vashy

por a perda de pressatildeo daacute-se principalmente pelo atrito do liacuteshy

quido com a parede Podemos assim escrever a foacutermula de Darcy

na forma diferencial

dz

d = f __ r e amp c

onde

V = velocidade do liquido saturado na cota zbdquo X

f = coeficiente atrito

= densidade do liacutequido saturado

Teoricamente a queda de pressatildeo deve-se ao acreacutescimo de

67

velocidade do liacutequido e da diminuiccedilatildeo da aacuterea de fluxo do liacutequi

do

P fH A P t p

= f D 2g Ho

d z

fazendo

V lo

m V t lo

(velocidade do liacutequido na cota z = Ho)

(1-x) m t v 1

(1-a) A (velocidade do liacutequido na cota z gt Ho)

a bull+ fraccedilatildeo vazio na cota z geneacuterica

V 1 (1-x) m t v 1

m t V l 1 - a

x =s 0 pois o tiacutetulo eacute baixo

A p t f = f bull JT5 c e

fH V lo

H o (1-a) dz

Para fazer a integral devemos achar a relaccedilatildeo de variaccedilatildeo

entre a e z Como o fluxo de calor eacute uniforme a qualidade eacute direshy

tamente proporcional a z

bull laquo x = x e H

z = mdash x X e

Sabemos ainda que (item 113)

x

1 + [ ( I -X)AKQ x + iiacuteraquo

68

como

temos

(1-x) = 1

v

X =

z =

1-a

1 -a

1-a e

a

e

1-a pound

a

1 -a igt (assumindo S = cte)

da

Atf - f bull 2 i ^ ~ J c e o

a 1 - a e e 1 s 4 hmdash) da

a 1-a

f P lv^ Q

0 termo mdash - mdash e a parte de perda de pressatildeo pelo lj^

^c e -quido ou seja Ap liquido saturado e como

Ap

R = tf

Ap liauido saturado

temos que

R J

f ae 1 _ a e 1 4

a 1 -a o e

1 -a r-R =

3 1 -a

a 1 -a imdash

3 vl - a 3

e e

Os valores de R obtidos por esta expressatildeo aproximam-se

muito dos valores obtidos pelos aacutebacos de Martinelli

69

E - EXPANSAtildeO E COMPRESSAtildeO DE UM FLUIDO - ANAacuteLISE HIDRODINAcircMICA

DE UM CIRCUITO EM CIRCULACcedilAtildeO NATURAL

1 EXPANSAtildeO NO FLUXO DE UM FLUIDO

11 - Uma so fase

Figura 1

Ha vaacuterios meacutetodos para determinar a variaccedilatildeo de pressatildeo

numa expansatildeo de fluido estudaremos o de Romie que eacute o que daacute

maior precisatildeo

Romie considera que a pressatildeo p^ tambeacutem atua na aacuterea

imediatamente apos a expansatildeo Assim fazendo o equiliacutebrio das foi

ccedilas nas secccedilotildees tracejadas da figura 1 temos

mVj

p r A 2 + mdash

mV

bull 2- A2

mas

m = pV^A^

pV^A = p V 2 bdquo A 2

V A

v 2 -4r-logo

( P l-P 2) A 2 = f ( V ^ ) - f _ v j amp c c 2

70

2 pV A A pV A A

Chamando A l A ]

K = 1 - T e degi2 = Aiexcl bull V E M

pvj

P l P 2 = T ~ bull ( 2 deg 1 2 ) ( 1 _ a 1 2 )

Outra maneira de chegar atilde diferenccedila de pressatildeo ( P j - ^ ) s mdash

ria usar o coeficiente de perda da mecacircnica dos fluidos Assim o

equilibrio das pressotildees eacute

2 2

1 V l 1 V 2 V l P i + _ p _ ^ P 2 + I p ~ + k 1 2 p mdash

onde = coeficiente de perda

A 2 1 2

k 1 2 - (l-o 1 2) - (1 - j- )

Fazendo as transformaccedilotildees chegamos a mesma expressatildeo obshy

tida pelo balanccedilo das forccedilas

PraquoIacute pr p

2 - - ir ^ laquo-ia

12 - Duas fases

Como ha duas fases a equaccedilatildeo do balanccedilo das forccedilas fica

um pouco alterada

m pound 1 V- m - raquoV - m-V- m bdquoV _ P A + j y ^ i + _gl_JUuml P A + -11-11 + -ilsl (a)

1 2 e R 2 2 ff e

Sabendo que

71

m (1-x) m t = p fA (1-a) V f

entatildeo

fl l-o^ p fA x

6 Vf2 1-x l-a2 P fA 2

m V = mdash mdash e V 0 = gl a 1 P C T A 1 g2

m

a_ p h

2 g 2

Nas expressotildees anteriores o x nao varia porque a expansatildeo

5 adiabaacutetica porem o a varia devido a modificaccedilatildeo do tamanho da

bolha

Substituindo os valores das velocidades na expressatildeo (a)

vera

( P - P ) Abdquo =

2

2 2 m gt2 2 m t (1-x) 1 x t

ra i 2 m i 1 x t 1

p fA 1 g c ttl p Ax gpound

m t P - P = mdash

(1-x) (l-a 1)A 1A 2 (l-a2)A|

a r A r A 2

V A 2

m t P bdquo - P = mdash 2 1 g c A r A 2 p f

(1-x) 1-a f A 2(l-a 2)

bull ^ 2

72

Se

P -P

a

m

g

12

1 _1_ (1-x)

J12

1 _ a l 1 - a 2 + X (- )

Pg

1 deg12 a 2 ^

Sabemos que

mt = V o pf laquo A l

Sendo V q = velocidade do liquido num ponto onde natildeo haja vapor

P 2-P 1

u 2 2 A 2

V pr Ai

V W p f

(1-x) 12

l-a1 l-a2

+ X 2 pf

mdash

l deg12

-1 a 2 _

p -p r 2 Al (2a 1 2)

2 M f w 1 deg12 X (mdash) (

pg al a 2 )+(l-x)C l 1 12

1-a^ l-a2

Devemos notar que esta expressatildeo tambeacutem vale para quando

temos uma fase para isso basta fazer

= c t 2 = 0

X = 0

e recairemos na formula do item anterior

2 pf 1 deg12 Observemos que neste caso o termo x (mdash)( ) nao

Pg al a2

2

73

tem significado pois corresponde a mudanccedila de fase

2 CONTRACcedilAtildeO KO FLUXO DE UM FLUIDO

21 - Uma so fase raquo mdash

Aqui ocorre um fenocircmeno importante pois o fluido ao ser

contraiacutedo nao vai diretamente da area A^ para a area A 0 mas ele

contral-se ate uma area A^ e depois expande-se ate k^

Ao A2

Po IP 2

V 2

Figura 2

Fazendo o equiliacutebrio das pressotildees entre os planos (1)

(0) vem 2 2

pV pV p +~ plusmn - P + i deg bull 1 2 g o 2 g (b)

C x

Fazendo equiliacutebrio da expansatildeo (0) - (2) vem

P o + 2 - f = P 2 + 2 -T + kp- 2 F ( c )

c c b C

Subtraindo (b) - (c)

2 2 2

i p- vj i p- v2 L P l + 2 bull g c

P 2 + 2 2g c

+ k P 2g c

74

Como

P - P = mdash 2 2g

2 2

bull (1 + k) - f bdquo mdash i

k a - f2 ) 2 - d - o c )2

= o

A = a 21

Weisback obteve varias relaccedilotildees entre a e a i] c

01 02 03 a 0624 0632 0643 c

0624 0632

A r v i - V v 2

p -p 1 2

P -P 1 2 2g7

v l =

(1+k) - laquofi- a 2g 21 c

( 1 + k - o 2 1)

X[- V 2 o 2 1V 2

22 - Duas fases

0 valor de k pode ser aproximado para

k = a(l - o 2 1)

onde segundo Richardsons para fluxo de duas fases podemos supor

a = 02

Para fluxo homogeacuteneo sabemos que

75

p = p f (1 -a ) + p o a

podemos supor p bdquo a = 0 pois p e pequeno e fazendo

V = V ~ V fbdquo2 go2 v 2

Substituindo estas duas expressotildees na equaccedilatildeo de uma soacute fase vem

2 2 p V (l-ct) p V (1 -a ) bdquo

P l P 2 = 9g ( 1 + 3 - 3 0 ^ - 0 ^ ) = g (a+1) (l-a^)

Se a = 02

2 12p oV 0

p r p

2 - 9g gt d-) d-sigt

A compressatildeo de um fluido acarreta uma perda de pressatildeo

como pode ser verificado pelas formulas uma vez que lt 1deg

3 ANALISE HIDRODINAcircMICA DE UM CIRCUITO EM CIRCULACcedilAtildeO NATURAL

Esquema deacute uma caldeira com circulaccedilatildeo natural

76

Determinar a velocidade em (7) para que tenhamos circula

ccedilatildeo natural Determinar tambeacutem as perdas de pressatildeo em todos os

trechos da caldeira

31 - Contraccedilatildeo das secccedilotildees (1) - (2)

Como jaacute vimos a equaccedilatildeo do balanccedilo das pressotildees eacute

1 pr Vl 1 p 2 o V 2 P2 V2

1 2 g 2 + 2 g + K12 2g otilde c amp c e c

bullraquo 2 o2 2 e havendo uma soacute fase k 1 9 = (l-o ) = (1 mdash ) e sendo

C 2

p l = p2

v x lt lt lt v 2

P 2 V pr p2 bull ir2 bull ( 1 + k12gt

Colocando em termos de temos

A 2 V 2 P 2 = A 7 V 7 p 7 (continuidade)

V = V mdashbull = V o_bdquo ~ A 2 2 2

P 2 V - p 2

p r p 2 = ir2 - deg72 bull Ccedilrgt bull lt 1 + ki2gt

fazendo

N12 - lt^gt deg72 ( 1 + k12gt

P7 V7

Pr P2 - N12 bull HG

77

3 2 - Perda de carga no trecho ( 2 ) - ( 3 )

Como haacute apenas uma fase soacute temos perdas por atritos e

perdas hidrostaacuteticas

Sendo como jaacute vimos

2 3 p 2 2 g P 2 P 3 = f 2 3 (r~2g^~) L 2 3 g c p

atrito hidrostaacutetica

Substituindo V^ pela relaccedilatildeo do item anterior e tendo em

conta que p = vem

P -P = f 2 r 3 2 3 D

2 3 p 2 bdquo 2 2 p 7 2

2 g 7 72 p 2 3 g

Se

L 2 3 2 p 7

2 3 2 3 D 2 a 7 2 p 2

P 7 V 7 g P 2 - P 3 = N 2 3 ( mdash gt p 2 L 2 3 f

3 3 - Expansatildeo nas secccedilotildees ( 3 ) - ( 4 )

Como vimos o balanccedilo das pressotildees e

2 2 2 p V p 4 V p V

P 3 + 2 g c

P 4 + 2 g c

+ k 3 4 2 g c

onde

k 3 4 - - -

2 2 1 P 4 - V 4 P 3 v 3

P 3 P 4 = 2 g + ( k 3 4 _ 1 ) 2 g

78

Sendo

P 3 - P 4

p 3 o A 3 deg V 3 = P 7

a A 7 o V 7

P 4A 4 0V 4 = P r A r V

3 7 A 3 p 3

A7 P7 V = v mdash mdash 4 7 P 4

P - P 3 r4

Se

P bdquo - P

bdquo2 r-P 7 V 7

3 4 2g deg74 + ( k 3 4 1 ) deg73

34 p deg74 + ( k 3 4 1 ) 73

p r v2

P3- P4 ^ N34 ^ gt

(No caso e negativo)

34 - Contraccedilatildeo nas secccedilotildees (5) - (6)

Ainda temos uma so fase e fazendo o balanccedilo das pressotildees

como fizemos no item 3lt1 vem

P + vil p + vi + k vi P 5 + 2gbdquo P6 + 2gbdquo + k56 2gbdquo

k 5 6 lt 1 ^ gt 2 ( 1 - Iacute 2 i 2 6

V V6 P5degIacute 5^6 ^SS 2g c - 2g c

P - P ^ = (1+kJ

Como

79

A 6

W p 5 =

VV P6 V 5 = V 6 Jiexcl = Vff65

P 5-P 6 - lt H k 5 6 ) mdash ^ mdash (l+k 5 6-a 6 5) c c c

Sendo

Se

A 7 p 7 p 7

6 7 Ag p 6 7 76 p 6

p _p _ P6- V7- g76 iquest72 ( _ 02 P 5 P 6 2g c bull ( p 6

( 1 + k 5 6 deg65 )

p 7 2 2 N56 = p ^ deg76 ( 1 + k 5 6 ~ a 6 5 )

P 7 V 2

7

P r-P = N r 5 6 56 2g c i

35 - Perdas de pressatildeo nas zonas (6) - (7) - Pre^aquecimento

Nesta regiatildeo temos perdas por atrito e hidrostaacuteticas

Nao haacute perda por aceleraccedilatildeo pois ainda natildeo houve formaccedilatildeo de boshy

lhas

Fazendo balanccedilo das pressotildees temos

L_ ppound-V p = p + otilde L - pound _ + f -Si (-21mdashL 6 7 + p67 L67 g + t 6 7 D K 2g

p _ e ifn sao tomados como valores meacutedios 67 67

P _p _ f hl ^67jIacute uuml + - L A

6 F 7 r67 D 2g P P67 L67 g 6 s c 7 c

S e Kr pound67 L67 p67 6 7 D 6 p7

p7 V - _g_ P6- P7 - N67 mdash + P67 L67 f

c c

80

36 - Perda de pressatildeo nas zonas (7) - (8) - Zona de ebuliccedilatildeo

Nesta regiatildeo j aacute temos o aparecimento de bolhas logo a

perda de pressatildeo seraacute devida agraves t recircs parcelas aceleraccedilatildeo a t r i t o

das duas fases liacutequidas + vapor e h idros taacute t ica

onde

Assim

P-P Q = AP + AP + APbdquo 7 8 a t r i t o acel H

T M1

78 p 7 7 AP - R f- - mdash mdashr |R = fator mult ipl ica-

a t r i t o 7 D 7 2 g c L tivo

G 2

AP bull r mdash acel g c

P V

|_1 - o a p J 8 P f

2 t r 2 M2

7 7 r 7 7 A P a c e l = -J^mdash 2 r bull p 7 lt T iexcl iexcl - )

A PH p 7 8 L 7 8 fiexcl

p 7 8 iacute 7 li 1 0 0 P l i q + a P v ] d L = P 7 ( 1 - laquo 7 8 )

ag raquo fraccedilatildeo de vazio media entre 7 e 8

APH = p (1 - 5 7 g ) f- L 7 8

2 2

P 7 - P 8 a 5 - 2 T i + 2 r p 7 + P 7 ( 1 - 7 8 gt f L 7 8 7 amp c amp c amp c

81

N 7g = R mdash + 2 r p 7

P7 V7 P7- P8 = N78 + P 7 ( 1 5 7 8 gt J78

37 - Expansatildeo nas secccedilotildees 8 e 9

No caso haacute uma expansatildeo com duas fases e como vimos no

item 12 a variaccedilatildeo de pressatildeo era dada por

0f Vo P2 P1 = ~2g c ( 2 deg12

x 2 (mdash)(mdash - mdash ) + ( l - x ) 2 ^ T mdash 8 1 2 1

12

Aplicando ao nosso caso

P pound = P 7

P -P = 8 9

V - V raquo V g f 7

P 7 V 2

2 pf 1 a89 2 1 g89 x (mdash) ( ) + (1-x) (- - N

o ou abdquo 1-cu l-ot_) g 8 9 8 9

Se

N 89

= 2 a 89

2 pf 1 deg89 2 1 CT89 x (mdash) ( ) + (1-x) ( T

g 8 9 8 9

P -P = 8 9

- N P7deg V7

89 2gbdquo

38 - Perda de pressatildeo no trecho 9 e 10

No referido trecho temos apenas perda de pressatildeo por atr L

to da fase liacutequido + vapor e perda hidrostaacutetica Natildeo haacute perda por

aceleraccedilatildeo do vapor pois este natildeo recebe mais calor e portanto

o 82 o

nao ha variaccedilatildeo no a

p

Q -p i n = A P

U + A P bull 9 10 H atrito

n T -S_ P9 U10 deg 910 bull g

fio r

910 I 910

J9 L

(l- a)P + Q P I dL liq v

(l-a0) p

No caso a = (nao hatilde variaccedilatildeo de forma)

A P H - (1-a ) P (p L 0

c

AP bdquo = R o

atrito

2 f9 o L910 P9 V9

2g

Supondo

= V

P 9 = P 8 P 7

vbdquo = v 9 8 0 A r

= V 7 bull deg89

AP - R atrito

2 2

W l O p7deg V7deg g89

V P10 R -^T^ bull deg89 bull li-2 + ( W P 7 (fgt SIO

y c c

Se

- f9 L910 2 N9ol0 R Dl deg89

w 2

p rv P9 P10 = VlO + ( 1 a 9 ) p7 (f gt L910 c

33

39 - Perda ciacutee pressatildeo na expansatildeo 9 - 1 0

Analogamente a expansatildeo 8 - 9 temos

10 11 P 7 2g

10 Iacute 2 0 1 0 - 1 1 gt

2 ff

pg aio

10-11

laquo11 ) +

Ll-a 1 0 bull l-a u J

Se

V10 = V 9 = V 8 bull T9 = V 7 deg89

P -P 10 rll = - a 2g 089 ^lO-ll

4 bull T~ bull (7 1 mdash ) + Pg degio a n

+ (l-x)2(- 1 10-11

1 - aio )

N10-ll = 2 a10-ll a89 2 pf t 1 10-11 N2

-(j-r- - ) bull+ (1-x) pg aio deg 1

10-11 k l - a io

prz P10 Pll = - N10-ll bull ( 2gbdquo

310 - Calculo de V

Fazendo a somatoacuteria de todas as expressotildees (P^-Pj) tere-

84

mos 2 PbdquoV_

P bdquo - P bdquo = N 7 v 7

1 2 12 2g

bull 2 - P 3 - = N 2 3 P 2 L 2 3 f c ccedil

9 P 7 V 7 P _p = N mdash -

3 4 34 deg 2g

V P 5 = deg

2 P V

5 6 56 2 g c

ltr2

P 7 -V 6 e7 -N67 2g + p 6 7 J j67 g

c bc v 2

P 7 - P 8 = N 7 8 - 2 i ~ + p 7 ( 1 - laquo 7 8 ) L 7 8 c

P 7 V 7

P - P - -N mdash - -8 9 89 2g

c P 7 V 7

P 9 ~ P 1 0 VlO 2g + ( 1 a 9 P 7 L 9 c

P 7 V 7

bull10 11 U10-ll 2g

P v iacute j P - P

1 11

7 - v 7 3 bull r

2 8 i U L 2 23 67

(l-5 7 8) L 7 8 + ( l - laquo 9 ) P 7 bull SlOtilde]- ^

Por ou t ro lado sabemos que como secccedilotildees 1

mesmo n iacute v e l

85

s c p r v 7 j

28 Z N i ij

= P 2 L23 p67 L67 P 7 ( 1~deg78 )

78 ~ ^g) bull P 7 bull L 910 g_

V - 2 g ( p r L 2 3 - p 6 r L 6 7 - p 7 ( l - atilde 7 8 ) L 7 8 - (l-a9) p L 9 a ( )

y N

Com esse valor de podemos determinar todas as variashy

ccedilotildees de pressatildeo (P^-P )

BIBLIOGRAFIA

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tituto de Energia Atocircmica de Sao Paulo em 1966 (roteiro)

- WR Gambill - Nuclear Safety

Vol 9 - n9 5 e 6

Vol 6 - n 2 (pag 152)

Vol 4 -r n9 1 (pag 30)

Volbdquo 5 - n 2 (pag 151)

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~ El Wakil - Nuclear Power

- Jakob Max - Heat Transfer (vol I)

Mc Adams - Heat Transmission

- Paul A Lottes - Argonne National Laboratory

- AKL - 6469

- ANL - 6561

86

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Frank Kreith - Principles of Heat Transfer

Journeacutees Internationales de la transmission de la chaleur

Seminaacuterios realizados em Paris em 1961 sob a supervisatildeo do

Prof Marcel Veron

Notas de aula da Cadeira de Termodinacircmica I e Transmissatildeo da

Escola Politeacutecnica da Universidade de Sao Paulo

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iacute N D I C E

Pagina

A M CONVICCcedilAtildeO DL CAIflOR O O O O O O O O O Q O O O O O O O O O O O O O laquo Q O O X

1 XntlTOdtlCcedilaO o e o O raquo 0 0 laquo o O O laquo 0 raquo 0 raquo 0 0 raquo 0 0 copy 0 0 0 copy 0 0 0 laquo raquo o e raquo O O a X

2 o Tipos d a convecccedilao O deg o deg lt gt o o o deg s lt gt o 9 lt gt bull bull raquo laquo laquo bull 1

3 v Regimes de escoamento dos fiuidos 2

4 bdquo Casos possiacuteveis de convecccedilao o 3

5 o Meacutetodo de estudo dos probXemas de convecccedilao 4

6 o Analxse dimensional copy o c copy o o e o laquo a i gt laquo o o copy o raquo o o Q o o o copy o o o e raquo 3

7 o CorWGCCcedilclQ ri3UumlUTd-X o o o o o o o u a o o o o o a o o a o o o o o o e o a o o o 7

S v COI lVOcircCCcedilacircO pound 03TCcedil3Clacirc O Q 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 9 9 Q O O O O O Q O O Q O Q O O O O Q 9

9 c Significado fisico dos adimensionais o o li

XOo Equaccedilatildeo d e convecccedilao forccedilada o 1 2

B - CONVECCcedilAO COM MUDANCcedilA DE FASE CONDENSACcedilAtildeO - (I) 1 5

1 laquo I I I 12TO d U Ccedil S O laquo o e copy o o copy G Q laquo Q e s j o o copy o o o a ocirc o o Q O O Q Q O lt raquo o o o laquo Q o 1 3

2 o COHCIacute3HSclCIacuteO copy B t a o o o c s o o e uacute G t raquo raquo o o copy e o o Q o raquo o copy laquo o lt s o o o o i gt 1 5

B - CONVECCcedilAO COM MUDANCcedilA DE FASE - EVAPORACcedilAtildeO - (II) 2 3

l o XntXOdUCcedilQ-O o a o raquo u s e t t laquo o raquo raquo raquo o copy i o a copy o o o copy copy O f gt o copy copy copy copy o laquo raquo 2 3

2 0 Processo de formaccedilatildeo das bolhas o o o o o o o o o raquo raquo laquo laquo copy gt 2 4

3 o Incertezas no e s t u d o de evaporaccedilatildeo copy copy copy copy copy copy copy copy o 2 7

4 o Regimes de ebuliccedilatildeo bull copy bull Q e o copy raquo o o laquo o laquo raquo o copy laquo o o o o o o o copy o copy o copy 2 3

3 o J^UrnOUt copy copy 9 o o e copy o copy o o copy o o copy o copy copy e c e ( gt o copy o o copy Q O copy 9 0 copy Q O Q o copy copy copy 3 1

oacute Influecircncia de outros paracircmetros no Burnout 3 3

7 o Formulas para caacutelculo do coeficiente de peliacutecula na

ebulXCcedilaO O raquo copy raquo O raquo copy D copy laquo Q copy copy O copy copy copy O O raquo copy O O O O copy O copy raquo copy laquo O copy laquo copy O laquo O O 3 3

Pagina

c FOacuteRMULAS PARA CAacuteLCULOS ESPECIacuteFICOS - RESULTADOS KSPE-

1laquo Fluxo de calor criacutetico - Burnout bdquo bdquolaquolaquolaquo 37

2 o Resultados especiacuteficos o o o o o o o o o o o o i o o o c o lt gt lt lt lt 44

D _ HIDRODINAcircMICA DOS SISTEMAS E QUEDA DE PRESSAtildeO DENTRO

1 o Hidrodinacircmica e queda de pressatildeo ltbdquolto 51

2 ^ Perda de pressatildeo num canal de evaporaccedilatildeo 60

E - EXPANSAtildeO E COMPRESSAtildeO DE UM FLUIDO - ANALISE HIDRODIshy

NAcircMICA DE UM CIRCUITO EM CIRCULACcedilAtildeO NATURAL bdquobdquobdquobdquobdquo 69

L Expansatildeo no fluxo de um

2 Contraccedilatildeo no fluxo de ura

A - CONVECCcedilAtildeO DE CALOR

1 INTRODUCcedilAtildeO

A convecccedilatildeo de calor e um fenocircmeno que ocorre muito freshy

quentemente ~ o caso por exemplo da transferecircncia de calor enshy

tre uma parede e um fluido a temperaturas diferentesraquo

Ao contraacuterio do que a equaccedilatildeo de Newton q = h A At

onde q e o calor trocado h e o coeficiente de peliacutecula A eacute a

aacuterea de troca de calor e At ecirc a diferenccedila de temperaturas) pode fa_

zer supor a convecccedilatildeo de calor e um fenoacutemeno complicado Na equashy

ccedilatildeo de Newton os diversos fatores que influem no fenocircmeno estatildeo

englobados no coeficiente de peliacutecula conforme veremos mais tarshy

de

Resumindo resolver um problema de convecccedilatildeo de calor eacute

obter o valor do coeficiente de peliacutecula h

2 TIPOS DE CONVECCcedilAtildeO

0 processo da transferecircncia de calor por convecccedilatildeo eacute devi

do atilde mistura de porccedilotildees de massas de fluido a diferentes temperatjj

ras A mistura dessas porccedilotildees pode ocorrer de duas maneiras e daiacute

resultam os dois tipos diferentes de convecccediloes

a) convecccedilatildeo natural

b) convecccedilatildeo forccediladaraquo

a) Convecccedilatildeo natural - Verifica-se quando os movimentos

macroscoacutepicos do fluido satildeo devidos unicamente a difeshy

renccedilas de densidade das porccedilotildees frias e quentes Podemos citar coshy

mo exemplo aquecimento residencial com resistecircncias eleacutetricas

transformadores etc

b) Convecccedilatildeo forccedilada - Verifica-se quando os movimentos

macroscoacutepicos do fluido sao devidos a agentes externos

isto e a movimentaccedilatildeo do fluido e provocada pela diferenccedila de

pressatildeo causada por bombas ventiladores etc Neste casonatildeo vatildeoixi

fluir portanto somente as condiccedilotildees teacutermicas do processo e as

propriedades fisicas do fluido mas tambeacutem as condiccedilotildees externas

determinantes do escoamento do fluido Sao inuacutemeras as aplicaccedilotildees

da convecccedilao forccedilada na industria em caldeiras reatores etcraquo

3 KEGIMES DE ESCOAMENTO DOS FLUIDOS - IMPORTAcircNCIA NA CONVECCcedilAO

A mecacircnica dos fluidos define dois tipos de escoamento

a) regime laminar

b) regime turbulento

a) Regime laminar - Aquele escoamento onde as partiacuteculas

movera-se em camadas numa direccedilatildeo paralela agrave parede

b) Regime turbulento - Aquele em que as partiacuteculas fluishy

das se movem irregularmente ao acaso sem nenhuma di_

reccedilao determinada

Nos regimes turbulentos junto agrave parede sempre ocorre a

formaccedilatildeo de uma corrente fluida em regime laminar cuja espessura

depende da velocidade meacutedia do escoamento chama-se esta camada de

sub-camada laminar

Laminar 1 Tran- | ^^furtmlento

siccedilatildeo iexcl ^S^

A

l Sub-camada limite laminar

N L

siccedilatildeo iexcl ^S^

A

l Sub-camada limite laminar

N L mdashbull parede plana

Um estudo mais detalhado sobre o escoamento acima

feito oportunamente

3

O regime do escoamento e importante na convecccedilao porque

ele determina qual o mecanismo preponderante na troca de calor enshy

tre parede e fluido

Assim no regime laminar o fluxo teacutermico normal agrave parede

eacute transmitido principalmente por conduccedilatildeo pura neste caso eacute a coji

dutividade teacutermica do fluido que determina a taxa de calor trocada

por convecccedilao

No regime turbulento o fluxo teacutermico eacute transmitido por um

mecanismo composto e complexo Na sub-camada limite laminar o flushy

xo daacute-se por conduccedilatildeo pura e na regiatildeo turbulenta datilde-se porumamls_

tura de porccedilotildees de mateacuteria a temperaturas diferentes

4 CASOS POSSIacuteVEIS DE TRANSFEREcircNCIA DE CALOR POR CONVECCcedilAO

Convecccedilao

Gases e

liacutequidos

Circulaccedilatildeo

Natural

parede plana

horizontal

vertical

parede cilin

drica

horizontal

externa e

internamente vertical

Circulaccedilatildeo

forccedilada

parede

plana

dentro

dos

tubos

escoamento laminar

escoamento turbulento

escoamento laminar

escoamento

turbulento

tubos retos

tubos em espiral

externamente

a tubos

paralelamente aos tubos

ortogonalmente aos tubos

externamente a tubos aletados

4

Cotivecccedilao

Na evaporaccedilatildeo

de liacutequidos

Na condensa-

cao de vaposhy

res

sobre superfiacutecies planas

internamente tubos

externamente tubos

circulaccedilatildeo natushy

ral ou forccedilada

externamente a tubos horizontais

externamente a tubos verticais

sobre superfiacutecies planas verticais

dentro de tubos verticais

5o MEacuteTODOS DE ESTUDO DOS PROBLEMAS DE CONVECCcedilAtildeO

jaacute vimos que a soluccedilatildeo do problema de convecccedilao eacute encon

trar uma expressatildeo para o coeficiente de peliacutecula (h) em funccedilatildeo

das suas inuacutemeras variaacuteveis

- temperatura da parede (t ) w

- temperatura do fluido (t^)

- velocidade do escoamento (V)

- forma $ e dimensotildees caracteriacutesticas (L L L ) da pa

x y z mdash rederaquo

- propriedades do fluido

- condutividade teacutermica (k)

- massa especiacutefica (p)

- calor especiacutefico (c)

- viscosidade dinacircmica (u)

Sendo assim a expressatildeo de h seratilde do tipo

h = h(t t_ V $ L L L k p c u ) w f x y z

Ha vaacuterios processos para chegar a uma soluccedilatildeo

1) meacutetodo analiacutetico

5

2) meacutetodo empiacuterico

3) meacutetodo integrado

Meacutetodo analiacutetico -to estudo para uma partiacutecula do flui

do da transmissatildeo de- calor levando em conta tambeacutem as

equaccedilotildees do escoamento e da continuidade do fluido o que leva a

equaccedilotildees diferenciais de difiacutecil soluccedilatildeo Tais soluccedilotildees em geral

sotilde sao possiacuteveis quando fazemos hipoacuteteses simplificadoras que se

nao forem corretas nos levaratildeo a uma soluccedilatildeo errada

Meacutetodo integrado - Eacute o estudo para um agregado de partiacuteshy

culas e tem o mesmo tipo de soluccedilatildeo que o meacutetodo analiacuteti

co poreacutem para esse agregado

Meacutetodo empiacuterico - Este meacutetodo estaacute associado agrave anaacutelise di

mensional Tal meacutetodo consiste em deduzirmos os nuacutemeros

adimensionais que influem no processo e procurarmos depois atrashy

veacutes da experiecircncia equaccedilotildees que os relacionem

6 ANALISE DIMENSIONAL

0 meacutetodo empiacuterico eacute o mais usado em virtude das dificulshy

dades que os outros apresentam apesar das suas limitaccedilotildees

Devemos tomar dois cuidados especiais para nao chegarmos

a resultados falsos o primeiro eacute obter dados experimentais os mais

corretos possiacuteveis e o outro eacute o de ao considerarmos um tipo de

convecccedilatildeo nao esquecer nenhuma variaacutevel que influa no mecanismo

pois se tal acontecer os nuacutemeros adimensionais obtidos seratildeo com

pletamente diferentes dos reais

Neste estudo usaremos o teorema de Buckingham ou teore

ma dos ir que diz o seguinte

Uma equaccedilatildeo de m variaacuteveis sect (x^ x 2 x^) que por sua

vez sao funccedilotildees de n_ dimensotildees fundamentais pode ser transformada

numa relaccedilatildeo entre (m-n) grupos adimensionais

6

Devemos notar ainda que a analise dimensional e o teore

ma dos TT nao nos permitem obter a relaccedilatildeo matemaacutetica entre os gru

pos adimensionais mas apenas quais os grupos que interferem no

fenocircmenoo

7= CONVECCcedilAtildeO NATURAL

Experimentalmente verificou-se que nesse fenoacutemeno intejr

ferem as seguintes variaacuteveis

Variaacutevel Unidade Dimensatildeo

h - coeflaquo de peliacutecula kcalhr degCm 2 ( M ) ( 0 ) 3 (T) 1

x = dimensatildeo caracteriacutestica m ( L )

AT bull-= diferenccedila de temperatu ra entre parede e flui do

degC (T)

p = massa especiacutefica fluido kgm3 (M) ( L ) 3

y = viscosidade dinacircmica kgsegm ( M ) ( e ) 1 ( L ) 1

6 = coei de expansividade teacutermica

V1

c = P

= calor especiacutefico do fluido

kcalkg degC (D2 ( e ) 2 (T) 1

k = condutividade teacutermica do fluido

kcalm hrdegC OOCDO)3^)1

g raquo aceleraccedilatildeo da gravidade mseg ( L ) ( e ) 2

Dimensotildees

(M) = massa

( L ) = comprimento

(8) = tempo

(T) = temperatura

I

Considerando que apenas estas 9 variaacuteveis influem na con-

vecccedilao natural o fenocircmeno poderaacute ser escrito na forma

B A_C D E F G H I h = A x (AT) bdquo p bdquo u o S Cp k g (1)

Sendo A B C D E F G H I expoentes reaisraquo

De acordo com o teorema dos T T se noacutes temos m = 9 variaacuteshy

veis funccedilotildees por sua vez de n = 4 dimensotildees o fenoacutemeno poderaacute

ser descrito por uma equaccedilatildeo de (9-4=5) adimensionais

Pesquisemos quais sao esses adimensionais Substituindo

na expressatildeo (1) as dimensotildees correspondentes temos

Me 3 T_1 = A LB TC (ML~3)D (Me - 1 ITV (T-1)F

a2 e~ 2 T - 1 ) g (MLe3

0T_1)H ( L e - 2 ) 1

Devido a homogeneidade de unidades da expressatildeo as somas

dos expoentes da mesma dimensatildeo nos dois membros devem ser iguais

(EM) D + E + H - 1 (I)

(26) - E - 2G - 3H - 21 = -3 (II)

(ET) C - F - G - H = -l (III)

(EL) B - 3 D - E + 2G + H + I = 0 (IV)

Solucionando o sistema acima em funccedilatildeo das variaacuteveis C

D G e T vem

Somando (I) e (II)

D - 2 G - 2 H - 2 I = - 2 o H = ~ G - I + 1

Substituindo o valor de H em (III) vem

C - F - G - | + G + I - l = - l F = C - + I

Substituindo o valor de H em (II) vem

8

- E - 2G - -y- + 3G + 31 - 3 - 21 = - 3 E = G + I - -y

Substituindo E e H em (IV) vem

B - 3 D - G - I + - y - + 2 G + | - - G - I + l + I = 0

Voltando agrave expressatildeo (1) temos

h = A x D + I - 1 ( A T ) C pdeg u G + I ~ 3 0 2 g C ~ 0 2 + 1

G D2 - 6 - 1+1 I c p k g

Agrupando os termos de mesmo expoente vem

t A 2 2 - 3 - 1 v D 2 -1 1 n = A (x p bdquo u g o k ) o (x u g k g)

o (AT g ) C (vi k 1 c p )Q o ( x - 1 k g )

h - A ( x 2

3 - p 2 k ) D 2 ( g deg Z)1 (AT g ) C

li 3

C k J x

2 2 h x x p k D 2 x u g gI

k ~ A ^ 3 o

deg 1 k deg

y 3

(AT g ) C ( ^ ) G

Chamando

h bdquo x n = mdash f mdash = Nbdquo = n9 de Nusselt 1 k Nu

T T 2 = p

k

P = N p r = ndeg de Prandtl

rr3 = AT o g

2 2 i

x o p k

4 3 R

M g

Assim os fenoacutemenos de convecccedilao natural sao descritos por

uma equaccedilatildeo do tipo

F ( IacuteW N P r V V V = deg Como as variaacuteveis 3 AT e g na convecccedilao natural soacute in

fluem nas forccedilas de empuxo provocando o movimento macroscoacutepico do

fluido devem aparecer constituindo o produto (g g AT) Para

que isso seja possivel devemos ter

~ = I = C reunindo-se assim os 3 adimensionais tr

T T ^ ir ou seja

ir AT g gt k P 2 X bull P B bull = 3 4 5 u 3 6 k

3 2 x p g g AT bdquo M O j o u c

= 7 = N_ = N9 de Grashof 2 Gr

Finalmente a convecccedilao natural pode ser descrita por uma

equaccedilatildeo da forma

F(Nbdquo N_ Nbdquo ) = 0 Nu Pr Gr

Agora soacute resta obter para cada caso possiacutevel do paraacutegra

fo 4 ps coeficientes desses 3 nuacutemeros adimensionais

8 CONVECCcedilAO FORCcedilADA

Na convecccedilao forccedilada nao influem as forccedilas de empuxo poshy

reacutem influi decisivamente a velocidade do fluido Assim as variaacuteshy

veis que intervecircm no fenocircmeno sao

h = coeficiente de peliacutecula (M) ( 8 ) ~ 3 ( T ) 1

o 10

x = dimensatildeo caracteristica (L)

-1 V = velocidade do fluido (L) (8)

I -3

u = viscosidade dinacircmica do fluido (M) (L)- (0)~

p = massa especifica do fluido (M) (L)

- 2 - 2 - 1 0^ = calor especifico do fluido (L) (6) (T)

k = condutividade teacutermica do fluido (M) (L) ( 0 ) ~ 3 ( T ) 1

0 fenocircmeno eacute determinado por estas 7 variaacuteveis logo coja

forme o teorema dos ir podemos descrever o fenocircmeno por uma equaccedilatildeo

com (7 - 4) = 3 nuacutemeros adimensionais

A equaccedilatildeo de h em funccedilatildeo das variaacuteveis seraacute do tipo

h = A x V u bull P bull c k (2)

substituindo as dimensotildees vem

M e~ 3 T - 1 = A L B (L Q~X)C (M L - 1 e 1 ) 0

(M L 3 ) E ( L 2 e 2 T _ 1 ) F (M L e - 3

T - 1 ) G

Igualando a soma dos expoentes da mesma variaacutevel dos dois membros

vem

(EM) D + E + G = 1 (I)

(Z6) - C - D - 2F - 3G - -3 (II)

(ET) - F - G = -1 (III)

(EL) B + C - D - 3 E + 2 F + G = 0 (IV)

resolvendo o sistema acima em funccedilatildeo de C e G vem

de (III) F = 1 - G

de (II) - C - D - 2 + 2 G - 3 G = - 3

bull D = 1 - C - G

substituindo o valor D em (I) vem

11

1 - C - G + E + G = 1 E = C

substituindo os valores de D E e F em (IV) vem

B + C = l + C + G - 3 C + 2 - 2 G + G = 0

B = C - 1

assim a equaccedilatildeo (2) ficaraacute sendo

C-l bdquoC 1-G-C C 1-G G h = A x V y p c k

P

colocando o coeficiente de k na forma (1-G) + l^j vem

h = A (x V y1 p ) C (ii c k - 1 ) 1 - 0 (x _ 1 k) P

u c hx p x VvC p xl-G k = A ( y gt ( k

ILJLJL = N

k Nu

y c N

e k Pr

p V x _

y N R e = N9 de Reynolds

Logo o fenocircmeno de convecccedilao forccedilada seratilde representado

por equaccedilotildees do tipo

f ( NNugt NPrlaquo N R e ) = 0

9 SIGNIFICADO FIacuteSICO DOS ADIMENSIONAIS

91 - Numero de Nusselt

N = bull h = 2L- _) Nu k AT v

v3 x x=0

eacute uma relaccedilatildeo entre o gradiente de temperatura junto a parede e a

12

variaccedilatildeo total da temperatura do fluido

92 - Numero de Prandtl

Pr = pp = 2 kpc a

P

Relaccedilatildeo entre viscosidade ci nemaacutetica v e a difusividade teacutermica a

93- Numero de Reynolds

N_ = amp Relaccedilatildeo entre as forccedilas de Re u - r bull

ineacutercia e as forccedilas viscosas que interferem no escoamento fluido

94 - Numero de Grashof

H = mdashmdash mdash^mdash 2 mdash amp a relaccedilatildeo entre o pro-u duto (forccedila de ineacutercia )

x (forccedila de empuxo) e o quadrado das forccedilas visshycosas que interferem na convecccedilao natural

11 EQUACcedilOtildeES DE CONVECCcedilAO FORCcedilADA

Por ser o caso mais importante na induacutestria soacute veremos

algumas equaccedilotildees para a convecccedilao forccedilada e deixaremos de lado a

convecccedilao natural por ser menos importante

Para cada tipo de escoamento para cada regime de transshy

ferecircncia de calor e para cada configuraccedilatildeo geomeacutetrica teremos uma

equaccedilatildeo com expoentes e coeficientes diferentes poreacutem sempre com

as mesmas trecircs variaacuteveis

Nbdquo N- N_ Nu Re Pr

Para resolver um problema de convecccedilao devemos antes

avaliar as propriedades do fluido essa avaliaccedilatildeo eacute feita considj

13

rando a temperatura media do fluido isto e a meacutedia aritmeacutetica da

temperatura entre um ponto do fluido junto agrave parede e um ponto onshy

de a temperatura do fluido seja constante longe da parede

Ha casos entretanto que na praacutetica trecircs adimensionais

so nao sao suficientes para expressar o fenocircmeno isto porque as

vezes ha uma propriedade que eacute muito sensiacutevel a uma pequena varia

ccedilao de temperatura logo para estes casos introduzem-se outros adi^

mensionais para levar em conta a dependecircncia dessa propriedade com

a temperatura

Todas as expressotildees foram obtidas experimentalmente A li

teratura especializada tem formulas para todos os tipos possiacuteveis

de geometria Vejamos alguns exemplos

101 ~ Convecccedilatildeo forccedilada sobre superfiacutecies planas

a) regime laminar ( N R g lt 400000)

N T = 0664 (N ) 1 f 2 (N ) 1 ^ 3

NuL ReL u Pr

b) regime turbulento ( N R g gt 400000)

NNuL deg 0 3 6 lt N P r ) 1 3 t gt R e L ) 0 8 1 8 7 deg deg ^

102 - Convecccedilatildeo forccedilada dentro de tubos ciliacutendricos

a) regime laminar (N_ ^ lt 2100) mdash Re D

i

b) regime turbulento Nbdquo _ gt 2100 mdash u Re D

N v _ = 0023 (N_ J 0 8 (Nbdquo ) n

NuD ReD Pr

14

n = 04 para fluido aquecendo

n =raquo 03 para fluido resfriando

Note-se que neste caso houve necessidade de considerar ou

tros adimensionais para aliar a anaacutelise dimensional agrave experiecircncia

no item a) dois outros adimensionais tiveram que ser acrescentados

(DL) e (up s)

Na expressatildeo 101 b) se o N critico for tomado como

sendo 5 x 10 (usado comumente) a expressatildeo usada eacute a mesma a me

nos do termo 18700 que passa a ser 23200

Devemos observar finalmente que estas expressotildees nao se

aplicam a metais liacutequidos e que elas nos datildeo nuacutemeros de Nussel meacuteshy

dios e natildeo locais

15

B - CONVECCcedilAtildeO COM MUDANCcedilA DE FASE - CONDENSACcedilAtildeO (I)

lo INTRODUCcedilAtildeO

Devemos considerar dois tipos de convecccedilao com mudanccedila de

fase que sao a condensaccedilatildeo e a evaporaccedilatildeo

Os problemas de convecccedilao de calor com mudanccedila de fase sao

tao importantes na industria como os de convecccedilao de uma uacutenica

faseraquo Os exemplos mais comuns de sua aplicaccedilatildeo sao os condensadoshy

res e evaporadores usados nos condicionadores de ar geladeiras

caldeiras etc

Neste capiacutetulo estudaremos apenas a condensaccedilatildeo

Os problemas de convecccedilao com fluidos condensando ou evashy

porando sao bem mais complexos que os demais processos de convecshy

ccedilao porque aleacutem de envolver variaacuteveis nao consideradas na conshy

vecccedilao de sistemas de uma so fase tecircm uma variaccedilatildeo nas propriedashy

des fiacutesicas de tal grandeza que essa variaccedilatildeo interfere decisiva

mente no fenocircmeno

2 CONDENSACcedilAtildeO

Eacute a passagem de um vapor para o estado liacutequido pela retishy

rada de calor

21 - Aspectos Gerais

A condensaccedilatildeo eacute realizada fazendo com que o fluido (vashy

por) entre em contato com uma superfiacutecie cuja temperatura esteja

abaixo da temperatura de saturaccedilatildeo do fluido correspondente atilde pres_

sao do vapor

0 coeficiente de peliacutecula relativo ao vapor de aacutegua satushy

rada que condensa sobre uma superfiacutecie fina eacute da ordem de grandeshy

za de 10000 kcalhrm^degC em casos excepcionais chega-se acirc valo-

16

res 50o000-100bdquo000 kcalhrm 2degC Isto eacute obtido a maneira pela

qual a condensaccedilatildeo se produz Ilaacute duas maneiras

1 - condensaccedilatildeo por peliacutecula daacute-se quando o liacutequido con

densado molha totalmente a parede formando urna peliacute

cula continua sobre a mesmaraquo

2 - condensaccedilatildeo por gotas daacute-se quando o liacutequido ao se

condensar rcune-se em gotas que crescem ateacute terem

peso suficiente para escoarenu

0 primeiro tipo eacute o mais comum e eacute o que daacute menor coefishy

ciente de peliacutecula porque a pelicula do liacutequido constitui uma re

sistencia adicional a passagem do calorraquo No segundo tipo chega-se

a coeficientes de pelicula muito maiores pelo fato do vapor estar

sempre em contato direto com a superficie resfriadura isto eacutepor

nao haver resistencia adicional

2o2 - Condiccedilotildees para termos condensaccedilatildeo por peliacutecula ou por

gotas

Sob o ponto de vista da transmissatildeo de calor deveriacuteamos

sempre preferir a condensaccedilatildeo por gotas pois como jaacute dissemos e

a que daacute maior eficiencia teacutermica Acontece poreacutem que tecnologji

camente eacute difiacutecil a obtenccedilatildeo da condensaccedilatildeo por gotas pois haacute

necessidade de termos um vapor puro urna superficie de resfriameii

to perfeitamente lisa (cromeada espelhada) e com resinas para fa

cilitar a formaccedilatildeo das gotas Tudo isso encareceria demais um con_

densador por isso eacute que na praacutetica usamos condensaccedilatildeo por peliacutecu

la quando podemos usar chapas ou tubos comerciais

So em casos muito especiais quando o espaccedilo eacute muito imshy

portante usa-se condensaccedilatildeo por gotas

2 3 - Remoccedilatildeo do Condensado

Um fator importante a considerar na condensaccedilatildeo eacute a remo

17

ccedilao do condensado que sempre se faz por gravidade Ha dois tipos

principais de superficies de condensaccedilatildeo

1 - Tubos ou placas verticais (ou encunadas)

2 - Tubos cilindricos horizontais

Nos tubos verticais a espessura da peliacutecula liacutequida aumen

tara do topo acirc base e com isso variaraacute ao longo do tubo o coefishy

ciente de peliacutecula loacutecalo

No caso dos tubos ciliacutendricos horizontais o liacutequido escoj

re pela parede lateral e goteja pela parte inferior natildeo havendo

possibilidade de formaccedilatildeo de camadas espessas do condensado

2raquo4 - Condensaccedilatildeo por peliacutecula sobre tubos verticais

Nusselt desenvolveu estudos analiacuteticos sobre condensaccedilatildeo

externa a tubos ciliacutendricos verticais partindo das hipoacuteteses

1 - A espessura da peliacutecula do condensado eacute nula na parte

superior do tubo e vai aumentando nas partes inferioshy

res por condensaccedil-ao e escorrimentoraquo

2 - 0 fluido escorre pela parede em regime laminar sob o

efeito combinado do seu peso e viscosidade

3 - A temperatura da camada mais interna do condensado tem

a temperatura da parederaquo

4 - A temperatura da camada mais externa tem a temperatushy

ra do vapor-

5 - A variaccedilatildeo da temperatura da camada do condensado em

sentido ortogonal agrave superfiacutecie do tubo eacute linear

6 - 0 vapor cede apenas seu calor latente

7 - A temperatura do tubo eacute uniforme e constanteraquo

8 - Nao haacute gases incondensaacuteveis no vapor (vapor puro)

Chegou a formula

18

2 3 g P - h L t

N j = 0943 ( r-EcircY~ ) 1 4 (l) NuL y bdquo k o At v

As propriedades da equaccedilatildeo (1) satildeo avaliadas agrave temperatu

ra meacutedia tm

c + t _ w sat

tm ~ onde

t = temperatura da parede

t = temperatura de saturaccedilatildeo do fluido S 3Lt

exceto o calor latente da vaporizaccedilatildeo b^ que deve ser avaliado agrave

temperatura de saturaccedilatildeo correspondente atilde pressatildeobdquo

Quando a superfiacutecie focircr inclinada vale o raciociacutenio de

Nusselt apenas o termo que atua na remoccedilatildeo do condensado natildeo eacute g

mas sim (g seno) sendo 6 a inclinaccedilatildeo da superfiacutecieraquo

Assim a equaccedilatildeo para estecaso seria

2 3 g o sene o p o h o L

NT _ = 0943 ( r~ y (2) NuL y o k o At w

25 - Efeitos a considerar na condensaccedilatildeo

Ha 3 efeitos importantes a considerar na condensaccedilatildeo que

Nusselt natildeo levou em conta sao eles

- efeito da turbulecircncia no filme liacutequidoraquo

- efeito dos gases incondensaveisraquo

- efeito da velocidade do vapor

251 - Efeito da turbulecircncia no filme liacutequido

As formulas anteriores servem para comprimentos de tubos

pequenos pois nesse caso a velocidade de escoamento do condenshy

sado natildeo eacute grande entretanto para superfiacutecies verticais longas

a peliacutecula torna-se bastante espessa e com velocidade grande deshy

mais para que o escoamento possa ser considerado em regime lamishy

nar

19

Nesse caso define-se o numero de Reynolds baseado na veshy

locidade da fase liacutequida isto eacute

p V 6

Nbdquo - m r

Rer y u

onde

V = velocidade do condensado na camada limite m 6 = espessura da camada limite

T = p V m 6 = descarga do condensado por unidade de largju

ra da superficie de condensaccedilatildeo

No calculo da determinaccedilatildeo de T haacute uma certa dificuldade

pois ele soacute pode ser determinado por iteraccedilatildeoraquo

Q = m c laquo A t = h A A t P

A = 2ir R bdquo L (para tubos)

m c = h o 2IumlIuml R laquo L P

m m braquoL _ p a _ _ li li

2TTR C c P P

Como noacutes nao sabemos o valor de h_ devemos inicialmente

adotar um V e obter atraveacutes da foacutermula

NNuL = deggt0134 (R PV L 3 gt 1 3 ( N R e r ) 0 4 ( 4 )

y

o valor de _h se os valores de h_ obtidos por (3) e (4) forem iguais

o problema esta resolvido caso contraacuterio fazem-se tantas iterashy

ccedilotildees quantas forem necessaacuterias

252 - Efeito dos gases incondensaacuteveis

A presenccedila de gases incondensaacuteveis reduz violentamente o

coeficiente de peliacutecula pois acirc medida que o vapor se condensa o

gaacutes nao condensaacutevel se acumula junto atilde superfiacutecie de resfriamento

20

formando uma barreira adicional S passagem do fluxo de calor

A reduccedilatildeo do coeficiente de peliacutecula que a presenccedila des_

ses gases causa depende da fraccedilatildeo em massa dos mesmos na mistu

ra gaacutes-vapor

Fizeram-se inuacutemeras experiecircncias e sobre o assunto a tiacute

tulo de exemplo vejamos o graacutefico abaixo onde temos em abcissas

o coeficiente de peliacutecula obtido experimentalmente e em ordenadas

a fraccedilatildeo de gases dissolvida jio vapor

5000

bullg- 4000 O

3OOO

2000

S 1000

4 6 8 10 12 lt|gt(lbm arlbm de vapor )x 10

Devemos notar a grande influecircncia dos gases incondensatilde-

veis por exemplo quando o vapor eacute puro nos temos um h = 4000se

tivermos apenas 1 de ar dissolvido o coeficiente de peliacutecula fishy

caraacute reduzido agrave metade isto ecirc h = 2000

Por isso nos condensadores sempre se coloca vapor ornais

puro possiacutevel

253 - Efeito da velocidade do vapor

Quando a velocidade do vapor junto agrave interface liacutequido-

-vapor natildeo focircr despreziacutevel surgem forccedilas de atrito entre o vapor

e o liacutequido Se a direccedilatildeo do fluxo do vapor coincide com a direshy

ccedilatildeo do movimento do liacutequido a velocidade do liacutequido aumenta (haacute

compressatildeo) e a espessura do filme liacutequido diminui e consequenshy

temente a transferecircncia teacutermica melhora pois haacute diminuiccedilatildeo da

resistecircncia teacutermica

Se entretanto a direccedilatildeo do vapor focircr contraacuteria a do fil

o 21 laquo

me de liquido ha uma tendecircncia de haver aumento da espessura da pj2

liacutecula diminuindo assim o valor de h

26 - Consideraccedilotildees sobre os resultados obtidos com as foacutermushy

las de Nusselt

Nota-se experimentalmente que os resultados obtidos pelas

equaccedilotildees de Nusselt sao em geral 10 a 20 inferiores do que os reshy

sultados reais Assim a favor da seguranccedila elas sao usadas e aaacuteo_

tadas Os motivos das discrepacircncias jaacute-foram ditas atraacutes no item

25

Devemos notar ainda que o valor de h obtido pelas foacutermushy

las anteriores e o valor meacutedio jaacute que h varia de ponto para ponto

e seria difiacutecil obter uma equaccedilatildeo que nos desse o valor de h locaL

2bdquo7 - Condensaccedilatildeo por peliacutecula externamente a tubos ciliacutendrishy

cos horizontais

0 mesmo estudo de Nusselt pode ser aplicado neste caso

baseado na hipoacutetese de que no topo do tubo a peliacutecula do condensashy

do tenha espessura nula Chega-se a expressatildeo

g p 2 h D 3 14

NT _ = 0725 ( ) (5) NuD u k o At

Analogamente ao caso anterior as propriedades do liacutequido

sao tomadas a

t + t w sat

tm = ^

exceto h que eacute tomado a t

ev n sat

Na situaccedilatildeo atual da tecnologia e possiacutevel obtermos tubos

com diacircmetros suficientemente pequenos para que tenhamos escoamenshy

to do condensado soacute em regime laminar

22

No caso de vaacuterios tubos empilhados a formula (5) deve

ser modificada pois como dissemos ela soacute vale quando no topo do

tubo a espessura do liacutequido eacute nula o que nao acontece neste caso

(Vide figura a)

Vapor

Tubo

mdash Liacutequido

Fig a

Neste caso a forma que nos da o valor meacutedio para h e

g p 2 h D 3 14

NNuD deg gt 7 2 5 lt N u k V At gt

sendo N o numero de tubos empilhados

Note-se que neste caso o coeficiente h cai bastante Uma

boa soluccedilatildeo para o caso quando dispoacuteftos de lugar eacute dispor os tushy

bos defasados (Conforme figura b)

Liquido

Fig b

Neste arranjo podemos aplicar a equaccedilatildeo (5) pois no tp_

po de cada tubo a espessura da camada de condensado eacute nula

23

B - CONVECCcedilAtildeO COM MUDANCcedilA DE FASE - EVAPORACcedilAtildeO (II)

1 INTRODUCcedilAtildeO

Evaporaccedilatildeo consiste na obtenccedilatildeo de vapor por meio de aque

cimento de um liacutequido

Apesar da importacircncia do processo e do sucesso obtido na

praacutetica em projetos de evaporadores o fenocircmeno da evaporaccedilatildeo eacute

um dos pontos menos conhecidos da transmissatildeo de calor

0 primeiro estudo seacuterio sobre o assunto foi feito em 1934

pelo japonecircs Nukiyama poreacutem somente nos uacuteltimos 10 anos tais es-

tudos se intensificaram

Os primeiros pesquisadores quando estudavam o fenocircmeno

do resfriamento de um solido num liacutequido obtiveram as seguintes

curvas

onde

temperatura

velocidade de resfriamento

3 0 v = amdashbull

A 06

Q - fluxo teacutermico

8 - tempo

A - aacuterea do soacutelido

24

tempo

Ateacute os estudos de Nukiyama nao se conseguia explicar o

porque da variaccedilatildeo crescente da velocidade de resfriamento quando

t gt t sol sat

2 PROCESSO DE FORMACcedilAtildeO DAS BOLHAS

Como a evaporaccedilatildeo do liacutequido se faz sobre uma superfiacutecie

aquecedora sobre esta irao se formar bolhas de vapor que influem

decisivamente no fenocircmeno

Aqui soacute iremos estudar as bolhas sob o ponto de vista qua

litativo bem como a sua influencia mas nao sob o ponto de vista

quantitativo

Recentemente Fritz e Jacob WR Gambill e outros estudiacutei

ram o processo da formaccedilatildeo das bolhas sobre a superfiacutecie aquecedpound

ra Atraveacutes de fotografias verificaram que a bolha de vapor ain

da em contato com a parede variava profundamente de forma confo_r

me o angulo de contato entre liacutequido e parede metaacutelica

Assim eacute que se a superfiacutecie de aquecimento nao e excesshy

sivamente polida e a tensatildeo superficial do liacutequido eacute pequena a

bolha tem a forma da figura las diz-se nesse caso que o liquishy

do molha a parede neste caso o angulo de contato e agudobull Se

as condiccedilotildees contrarias se verificarem o acircngulo de contato sera

obtuso e as bolhas tomam a forma da figura ldegb Naturalmente ve

rificara-se as condiccedilotildees intermediaacuterias para o angulo de contato da

25

fig lc

Fig la Fig lb Fig lo

0 estudo analiacutetico da formaccedilatildeo e crescimento das bolhas

pode ser encontrado em diversos livros por exemplo no El-Wakill

(Nuclear Power) no Jakob (Heat Transfer)e outros Neles faz-se

o estudo das condiccedilotildees do liquido (pressatildeo temperatura tensotildees

etc) para haver ou nao formaccedilatildeo de bolha Isto eacute feito fazendo-se

o estudo das bolhas nas seguintes posiccedilotildees

a) bolha no seio do liacutequido

para meia bolha

4 ltP g - P fgt fg

onde

P g P f

- 4 D (D

g

Pf

D

pressatildeo do vapor

pressatildeo do liquido

tensatildeo entre superfiacutecie do liacutequido e vapor

diacircmetro da bolha

^f g

P f Fig 2

26

A equaccedilatildeo (1) mostra que a pressatildeo do vapor deve ser maior

que a do liquido nas condiccedilotildees de saturaccedilatildeo e este por sua vez

deve estar no estado de superaquecimento o

b) bolhas sobre superfiacutecie solida

Fig 3

Condiccedilotildees para desprender

a mdash o_ + o_ cos a gs fs fg

tensatildeo na interfase liacutequida e vapor (depende das

propriedades do liacutequido e vapor)

tensatildeo entre o liacutequido e superfiacutecie de aquecimen

to (depende das propriedades do liquido e da sushy

perfiacutecie)

tensatildeo entre o vapor e a superfiacutecie de aquecimeri

to (depende das propriedades do vapor e da super

fiacutecie)

21 - Formas do fluxo do vapor desde a superfiacutecie de aquecishy

mento ateacute a superfiacutecie livre do liacutequido

Considerando liacutequido vaporizado em tubos verticais pode^

mos ter 4 tipos de fluxo de vapor

1 - fluxo de bolhas

2 - fluxo de agregados (plug ou slug)

3 - fluxo anular

4 - fluxo disperso

Os quatro tipos ficam bem determinados respectivamente

onde

a fg

degfs

a gs

27

pelas 4 figuras abaixo

LIacutequido - Liacutequido Liacutequido

o

^Bocirclha de

vapor

Vapor

mdash [

- Vapor

mdash 0 0

deg_ a-

jrj-

iquestiexcl5

Bolhas Agregados Anular

Liacutequido

vapor

Disperso ou

Homogecircneo

Conforme o tipo de ebuliccedilatildeo podemos ter uma so das forshy

mas acima ou uma mistura

3 INCERTEZAS NO ESTUDO DA EVAPORACcedilAtildeO

Ha trecircs incertezas principais para determinar o fluxo de

calor na evaporaccedilatildeo a saber

- Aacuterea de contato indefinida

- Diferenccedila de temperatura indefinida

- Grau de turbulecircncia

Como realmente nos nao sabemos uma dependecircncia algeacutebri

ca entre o acircngulo de contato e a superfiacutecie ocupada pelo liacutequishy

do (ou vapor) temos uma incerteza na determinaccedilatildeo da aacuterea de tro

ca de calor (A)

Outra incerteza eacute a dificuldade da obtenccedilatildeo de diferenccedila

de temperatura entre o liacutequido e a parede que normalmente assume-

-se como sendo a diferenccedila entre a temperatura da parede e da ebu

liccedilatildeo do liacutequido (temperatura de saturaccedilatildeo = t )

S cl c

Na realidade a diferenccedila de temperaturas nao eacute aquela

pois a camada de liacutequido que cobre a superfiacutecie aquecedora esta

a uma pressatildeo maior que o resto do liacutequido (pressatildeo atmosfeacuterica

mais a hidrostaacutetica) e consequentemente a temperatura de vaporiza_

ccedilao desse liacutequido e maior que a da superfiacutecie Esta diferenccedila po-

28

deria ser calculada desde que se conhecesse a relaccedilatildeo entre presshy

satildeo e temperatura de saturaccedilatildeo do liacutequido entretanto haacute incerte

za quanto ao verdadeiro peso especiacutefico da coluna de liacutequidopois

trata-se de uma mistura de bolhas de vapor e de liacutequido em proshy

porccedilatildeo variaacutevelraquo

4 REGIMES DE EBULICcedilAtildeO

Nukiyama estudando a ebuliccedilatildeo da aacutegua num recipiente a

quecendo-a com resistencias eleacutetricas construiu a curva baacutesica da

ebuliccedilatildeo Todos os liacutequidos apresentam uma curva semelhante vashy

riando apenas os valoresraquo Os pontos caracteriacutesticos da curva deshy

pendem de caracteriacutesticas difiacuteceis de definirtais como natureza

do metal estado da superficie (rugosidade) dimensotildees orientashy

ccedilatildeo do fluxo quantidade de gases dissolvidos e t c

Estudaremos o fenocircmeno para o caso de aacutegua destiladasem

gas dissolvido a temperatura de saturaccedilatildeo 100 C pressatildeo atmosfe_

re uma superficie plana

Chega-se assim acirc curva

rica sobre uma superficie plana horizontal a temperatura t^

In ltJgt

At (degC)

A curva acima representa o aquecimento de agua com uma re_

sistecircncia eleacutetrica (ate ebuliccedilatildeo)raquo Temos em abcissas as diferenccedilas

de temperatura entre o liacutequido e a resistecircncia em ordenadas o flu

29

Regiatildeo I

Regiatildeo II

Regiatildeo III

Regiatildeo IV

xo de calor por unidade de area

Na curva notam-se 4 regiotildees bem definidas tendo cada uma

o seu significado fiacutesico os quais correspondem a um tipo de ebuli

ccedilao

convecccedilao natural

ebuliccedilatildeo nucleada

ebuliccedilatildeo por peliacutecula parcial

ebuliccedilatildeo por peliacutecula estaacutevel

41 - Convecccedilao natural

Ocorre quando At eacute inferior a 8degCformam-se no liacutequido

correntes convectivas as quais transferem o calor ateacute a superfiacuteshy

cie livre do liacutequido e aiacute desprendendo o vapor Neste caso o valor

de h eacute da ordem de 2000 kcalm^hdegC

42 - Ebuliccedilatildeo nucleada

Ocorre quando o At eacute maior que 8degC e menor que 25degC Nesshy

te caso as bolhas formam-se junto a superfiacutecie de aquecimento

crescem liberam-se movimentam-se em direccedilatildeo agrave superfiacutecie livre do

liacutequido onde estouram libertando o vapor As bolhas formam-se nas

irregularidades da parede tecircm um acircngulo de contato agudo e porshy

tanto hatilde liacutequido sempre em contado com a parede (molha a parede)

cada ponto ativo (lugar onde se formam as bolhas) libera uma porshy

ccedilatildeo de bolhas e os outros pontos do liacutequido ficam em contato com a

superfiacutecie quente violentamente agitados Esta agitaccedilatildeo extrema eacute

mais eficaz que uma turbulecircncia criada artificialmente Por esse mo

tivo a curva cresce violentamente nesse trecho (m = 3 a 7) pois

bull 2 o o valor de h cresce consideravelmente (ate 46000 kcalm hr C) e

o fluxo teacutermico transmitido ao liacutequido cresce proporcionalmente a

Quando cresce crescem tambeacutem

(At) 3

30

numero de bolhas por unidade de aacuterea (num instanshy

te)

~ = crescimento da bolha (com o tempo)

frequecircncia de iacuteormaccedilao de bolhas

A medida que o At vai aumentando iraacute aumentando (jgt tam-- n o N

bem e consequentemente mdash R mdash a a a tal ponto que quando atiacuteii

girmos o ponto da curva nao haveraacute mais formaccedilatildeo de bolhas

mas sim uma peliacutecula de vapor instaacutevel passando assim a 3a re

giao que estudaremos a seguir

43 - Ebuliccedilatildeo por peliacutecula parcial

Como dissemos no item anterior se aumentarmos ainda mais

o At (entre 25degC e 125degC) teremos a formaccedilatildeo de uma peliacutecula de

vapor instaacutevel sobre a superfiacutecie quente que aacutes vezes eacute perfurashy

da pelo liacutequido A camada de vapor tanto mais estaacutevel seraacute quanshy

to maior focircr o At Essa peliacutecula de vapor iraacute provocar um decreacutes_

cimo consideraacutevel no fluxo teacutermico porque como sabemos o vapor

eacute muito pior condutor que a aacuteguaraquo

0 fluxo vai decrescendo ateacute um ponto miacutenimo (iexclgt mintilde (as vecirc

iacutebo bullraquo 1

zes chega a ser mdashj-) e e o chamado ponto de Liedenfrost 0 coeshy

ficiente de peliacutecula neste caso cai violentamente (h = 2000

kcalm^hrdegC)

44 - Ebuliccedilatildeo por peliacutecula estaacutevel

Aumentando ainda mais a diferenccedila de temperaturas

At ( gt 125degC) iremos conseguir uma camada de vapor estaacutevel Ela

transmite calor da superfiacutecie quente ao liacutequido que se vaporiza de

modo que o excesso de vapor formado na interface liquido-vapor for

ma bolhas que sobem para a superfiacutecie 0 liacutequido encontra-se agi-

31

tado poreacutem nao toma contato com a superfiacutecie soacutelida

A peliacutecula de vapor eacute estaacutevel e o fluxo eacute proporcional a

34

(At) (lei de Bromley) Para At grandes passa a influir sensivel^

mente a radiaccedilatildeo teacutermica mais uma razatildeo para demonstrar que nesshy

ta regiatildeo o fluxo cresce novamente

5 CONSIDERACcedilOtildeES E COMPARACcedilAtildeO ENTRE OS TIPOS DE EVAPORACcedilAtildeO

BURNOUT

Sob o ponto de vista de eficiecircncia teacutermica deveriacuteamos sem

pre trabalhar no ponto de fluxo maacuteximo isto eacute no ponto correspon

dente a lt(gt da curva de Nukiyama pois eacute o que daacute maior coeficieri

te de peliacutecula

Acontece poreacutem que se impomos a temperatura da parede

fixa obtemos um uacutenico valor de lt(gt e portanto o fenocircmeno eacute estaacutevel

Poreacutem se como ocorre nos reatores impomos um fluxo teacuter

mico a curva de Nukiyama apresenta 3 pontos de funcionamento posshy

siacuteveis A B C

1

SOacute os pontos A e C sao funccedilotildees estaacuteveis mas eles impotildeem

acirc superfiacutecie quente temperaturas bem diferentes

Na industria em geral trabalha-se por questotildees de segushy

ranccedila na regiatildeo IV da curva poreacutem para os reatores trabalha-se na

32

r e g i atilde o I I

0 p r o b l e m a de t r a b a l h a r n a r e g i atilde o II eacute q u e se n oacute s e s t i shy

v e r m o s t r a b a l h a n d o n o p o n t o e x t r e m o (j) e se p o r q u a l q u e r m o t i v o

h o u v e r u m p e q u e n o a c r eacute s c i m o d e ltfgt i r e m o s t r a b a l h a r i m e d i a t a m e n t e no

p o n t o M q u e t e m o m e s m o $-^0t p o r eacute m c o m A t 2 m u i t a s v e z e s m a i o r

p o d e n d o o c a s i o n a r a f u s atilde o d a s u p e r f iacute c i e a q u e c e d o r a E s t e f e n ocirc m e n o

eacute c h a m a d o d e b u r n o u t

0 f l u x o lttgt eacute c h a m a d o f l u x o c r iacute t i c o o u f l u x o d e b u r -b o

n o u t N o c a s o do r e a t o r d e v e m s e r t o m a d a s m e d i d a s r i g o r o s a s q u a n

to agrave r e g u l a g e m do f l u x o t eacute r m i c o p a r a q u e n atilde o o c o r r a o b u r n o u t 1 1

p o i s d e l e p o d e r e s u l t a r r u p t u r a d a c a m i s a do c o m b u s t iacute v e l e h a v e shy

r aacute p o r t a n t o c o n t a t o do r e f r i g e r a n t e c o m o s s oacute l i d o s e g a s e s r a shy

d i o a t i v o s

5 o l - R e l a ccedil atilde o d e B u r n o u t

E c l a r o q u e p a r a t e r m o s u m r e a t o r m a i s e f i c i e n t e d e v e shy

m o s t r a b a l h a r c o m u m f l u x o o m a i s p r oacute x i m o p o s s iacute v e l do f l u x o d e

B u r n o u t P a r a t a n t o d e v e m o s c o n h e c e r c o m o m a i o r g r a u d e certe

za p o s s iacute v e l q u a l o ^ p a r a p o d e r m o s r e d u z i r o c o e f i c i e n t e d e s e shy

g u r a n ccedil a ( W R G a m b i l l r e c o m e n d a agrave 1 5 )

N o s s e m i n aacute r i o s d e W R G a m b i l l e n c o n t r a m o s u m a s eacute r i e de

b i b l i o g r a f i a s o n d e p o d e m o s e n c o n t r a r i n uacute m e r a s f oacute r m u l a s p r o p o s t a s

p a r a a o b t e n ccedil atilde o de (q 1^)

A t i t u l o d e e x e m p l o v e j a m o s a l g u m a s

q - 2 7 0 G deg gt 8 5 D 0 2 A085 p lt 150

deg D ( L uuml ) 2

q - 140 G 0 5 D ~ deg 2 (-~-)~deg 1 5 p ~ r gt 150 c D (LD)

o n d e a m b a s as e q u a ccedil otilde e s s oacute v a l e m p a r a aacute g u a e m b a i x a p r e s s atilde o e m coii

v e c ccedil a o f o r ccedil a d a

33

D

L

fluxo teacutermico critico BTUhrft bdquo 2

descarga em massa do liquido (Ibmhrft )

diacircmetro do tubo ft

comp do tubo ft

Para cada caso temos uma expressatildeo diferente que pode ser

encontrada em literatura especializada

6 INFLUEcircNCIA DE OUTROS PARAcircMETROS NO FLUXO DE BURNOUT

Como para os usos atuais do reator a diferenccedila de temppound

ratura entre parede e fluido sao pequenas bem como o fluxo de bur

nout recentemente fiacutesicos como Jakob Bonilla WR Gambill estu

daram outros paracircmetros que influenciam bastante o sect^ 0gt isto eacute a

influecircncia desses paracircmetros faz com que o ^ seja maior Isto eacute

util pois quanto maior o fluxo de burnout maior poderaacute ser o

fluxo de calor real de funcionamento

Tais meios sao

- Sub-resfriamenCcedilo do liacutequido

61 - Influecircncia da velocidade do liacutequido

Estudos feitos pelos autores acima chegaram agraves curvas

- Aumento da velocidade imposta ao liacutequido

- Pressatildeo do liacutequido elevada

alto V

At

34

Para velocidades maiores o fluxo de burnout aumenta

porque neste caso o regime eacute turbulento e o coeficiente de peliacute

cuia h aumentao

6bdquo2 - Influencia do aumento da pressatildeo

Este estudo deve-se a Bonilla que obteve experimentalmen

te as curvas

Este estudo foi feito para vaacuterios liacutequidos e chegou a con

clusao que sempre havia uma pressatildeo oacutetima isto e uma pressatildeo que

leva ao maior iacute 1 ^ raquo mantidas as demais condiccedilotildees Experimentalmenshy

te notou que essa pressatildeo correspondia a 13 da pressatildeo critica

do liquido em questatildeo

6=3 - Influecircncia do sub-resfriamento

Consiste em manter atilde custa de uma circulaccedilatildeo intensa o

liacutequido a uma temperatura inferior atilde de saturaccedilatildeo para a pressatildeo

correspondenteraquo Experimentalmente chega-se agraves curvas

mdash A t grande sub

bullAt -0 sub sub

medio

At

35

Verificando os graacuteficos vemos que o lt)gt aumenta agrave medida bo

que aumenta a diferenccedila de temperatura de sub-resf riamento isto pojr

que o liquido como estaacute mais frio faz com que algumas das bolhas

recondensem permitindo que o liquido fique em contato com a parede

quente o que faz aumentar o h

^ f csub = t e m P e r a t u r a ddeg liacutequido - temperatura de saturaccedilatildeo

A diferenccedila de temperatura At entre fluido e parede tamshy

beacutem aumenta poit na regiatildeo proacutexima agrave parede haacute necessidade de

levar o liacutequido da temperatura do sub-resfriamento ateacute a temperatu

ra de saturaccedilatildeo quando se evapora

Atualmente os maiores estudos dos fiacutesicos nucleares locashy

lizam-se neste campo pois eacute o que oferece maiores vantagens

7 FORMULAS PARA 0 CAacuteLCULO DO COEFICIENTE DE PELIacuteCULA NA EBULICcedilAtildeO

Como ocorre no caacutelculo de todas as foacutermulas de convecccedilatildeo

temos formulas empiacutericas para determinar o h conforme o tipo de

ebuliccedilatildeo que nos consideramos

71 - Ebuliccedilatildeo Nucleada

Para o caso de aacutegua temos as relaccedilotildees

superfiacutecies

horizontais

superfiacutecies

verticais

f aacute 5000 BTUhrft 2 -gtbull h = 151 ( A t ) 1 3

A o

5000 lt 75000 -h = 0618 (At)3

^ pound 1000 -raquobull h = 8 7 ( A t ) 1 7

A o -

1000 lt $ lt 20000 -gt h = 027 (At) A o

Quando a pressatildeo e diferente da atmosfeacuterica faz-se a correccedilatildeo

3 6

72 - Ebuliccedilatildeo por peliacutecula

Bromley propocircs uma boa equaccedilatildeo para a ebuliccedilatildeo por peliacuteshy

cula estaacutevel em cilindros horizontais

Nu

_ JtjD n r 9 P v bull ( P L - P v gt - g -h

e V bull D i2

D 1 ^ U b Z u At gt

onde

V = indica vapor

L = indica liacutequido

Multiplicando ambos os membros da equaccedilatildeo acima por

kvD obteremos a expressatildeo do coeficiente de convecccedilagraveo meacutedio para

o caso

37

C - FORMULAS PARA CAacuteLCULOS ESPECIacuteFICOS - RESULTADOS ESPECIacuteFICOS

1 FLUXO DE CALOR CRIacuteTICO - BURNOUT

lol - Introduccedilatildeo

O aspecto mais importante no que se refere agrave seguranccedila

dos reatores da transferencia de calor na ebuliccedilatildeo eacute a determina

ccedilatildeo do Fluxo de calor critico ou de pico ou burnout

Como jatilde vimos quando temos a ebuliccedilatildeo nucleada a dishy

ferenccedila de temperatura entre refrigerante e superfiacutecie de aqueci

mento e pequena poreacutem quando atingimos o fluxo de calor criacutetico

essa diferenccedila de temperatura pode tornar-se imediatamente muishy

to grande podendo causar a ruptura da superfiacutecie de aquecimento

se atiigirmos o ponto de fusatildeo do soacutelidoraquo

Usando a convecccedilao

onde

At sat

w

sat At

sub

w = temperatura da parede de aquecimento

t t = temperatura de saturaccedilatildeo do liacutequido

t^ = temperatura de mistura do liacutequido

At = (t -t ) sub-resfriamento do liacutequido sub N sat b 1

nout

Ha dois tipos de burnout fast burnout e slow bur-

Ocorre o fast burnout (burnout raacutepido) quando A t g u b gt 0

38

ou para baixo x (~ lt 10) sendo x o titulo do vapor

Temos o slow burnout para x - gt 10 Assim noacutes tereshy

mos dois limites para o burnout

At bull o (ltJgt ) t =((() para t = t ) -

bo m m possiacutevel w sat

sub i

4L + 1

G c D h pl nb

(ltK ) = (ltpound para x = 1) = Dv-bo max possiacutevel e 4L

c At l + P 1 sub i

onde

L = comprimento do canal

D = diacircmetro do tubo

G = descarga de liacutequido (por unidade de aacuterea)

c ^ = calor especiacutefico do liacutequido

Agrave = calor latente de vaporizaccedilatildeo

h ^ = coeficiente de transferecircncia de calor na regiatildeo de

nao ebuliccedilatildeo

iacutendices

i = entrada

e = saiacuteda

Haacute inuacutemeras expressotildees para determinaccedilatildeo do burnout pro

postas por muitos fisicos cada uma aplicando-se a um caso especiacuteshy

fico vejamos algumas delas

12 - Equaccedilotildees para prediccedilatildeo de Burnout

121 - Equaccedilatildeo de Bragg e Smith (Zuber)

Num artigo publicado por Bragg e Smith encontramos uma f oacute_r

mula que e derivada da formula de Kutateladze e nos daacute o fluxo cri

39

tico quando nao temos sufaresfriamento

bo poolsat v V raquoc a ( p l P V )

2 PV

14

onde

ltiexclgt = fluxo de calor critico bo

k = constante

Ly = calor latente de vaporizaccedilatildeo do refrigerante

= densidade do liquido

pvr = densidade do vapor V a = tensao superficial

g = fator de conversatildeo c

a = aceleraccedilatildeo da superficie de aquecimento

Os autores encontraram para k um valor de 062 entreten

to outros autores como Zuber incluindo outras variaacuteveis que In

fluiam no fenocircmeno encontraram k variando entre 008 e 023Esshy

tudos bem elaborados mostram que o valor mais aproximado eacute

k = 015 (- 003)

1-22 - Equaccedilatildeo de Noyes

Noyes estudou o burnout para o soacutedio agua e alguns liacute

quidos orgacircnicos

( W s a t ~ bdquo 0245 bull ( r ( 1 )

iiacute_ V 1 Pr

onde

N n = Nuacutemero de Prandtl da fase liacutequida x r

Mais tarde o proacuteprio Noyes alterou a equaccedilatildeo para

n ^ - n H Iacute I Pl PV gt0538 deg g c a q 4 ( W s a t deg 1 1 6 PV ( - p 7 ~ ) (77T1^ ) ( 2 )

40

A ultima correlaccedilatildeo proposta por Noyes foi

a n prPV0560 112

1

(a bull a) 13

(ag c) 112

(3)

onde

a = difusividade teacutermica do liacutequidoraquo A equaccedilatildeo (3) eacute bashy

seada em todos os dados de burnouts do soacutedio bem

como da atildegua benzeno difenil e outros De 111 pontos usados 90

+ estatildeo relacionados dentro de - 30bdquo

ldeg2o3 - Burnout com convecccedilao forccedilada e sub-resfriamen

to

Aproveitando os resultados de aproximadamente 240 testes

de burnouts com aacutegua sub-resfriada em fluxo de convecccedilao forccedilashy

da feitos na Ruacutessia Labuntsov elaborou uma boa equaccedilatildeo empiacuterica

para o problemabdquo

Esta relaccedilatildeo aplica-se para velocidades entre 2 3 e 148

ftsec pressotildees entre 1 e 201 atmabs sub-resfriamento entre 0 deg

e 432 degF e fluxos de burnout entre 0 4 x IO 6 x 166 x 1 0 6 BTUhr

2 bdquo

bullbo

onde

e a seguinte

6 ( P ) 1 + 0 2 3 2 V 2

14

e ( P ) 1 +

15 c At _p_ sub

12 (a)

9 ( P ) - P 1 3 o ( 1 - P J 4 3

red

= pressatildeo (atm abs)

pressatildeo reduzida = mdash mdash red r P

t_ c = pressatildeo critica

= velocidade do liacutequido (ftsec)

= calor especiacutefico do liacutequido (BTUlbdegF)

4 1

^ tsub = ^ ^ e r e n Ccedil a ^ e temperatura entre a temperatura de

mistura do liacutequido e a de saturaccedilatildeo (degF)

X = calor latente de vaporizaccedilatildeo (BTUlb) 2

ltiacutegtbo = fluxo de burnout (BTUhrfl )

Uma outra correlaccedilatildeo para o caso foi proposta por

Ornatsky e Xiohigin que fizeram experiecircncias para pressotildees entre

10 e 1 5 0 3xm 90 degF lt At ^ lt 4 5 0 deg F 3 7 1 0 6 ( l b h r o f t 2 ) lt G lt

2 2 2 10 b ( l b h r bdquo f t 2 )

lt ^ = 3 2 5 0 (G o A t bdquo J deg 6 ( - i - ^ ) 2 5 ( b ) bo sub

onde

G - descarga de refrigerante por unidade de aacuterea

P ^ v P v - densidades do liacutequido e do vapor

P1~ PV -0 termo (mdash ) e incluido na expressatildeo (b) para indicar

a influecircncia da ^ pressatildeo sobre o

Uma comparaccedilatildeo entre as equaccedilotildees (a) e (b) foi feita para

o Reator de Isoacutetopos de Alto Fluxo (HFIR) nas condiccedilotildees aacutegua a

600 psia velocidade = 45 ftsec e sub-resfriamento = At^^ 1

degF obtendo-se uma diferenccedila de 6 5 entre ambos (4gt = 6 0 5 1 0 b

2 ~ 6 2 BTUhr ft pela equaccedilatildeo (a) e 6 4 5 10 3TUhrraquoft pela equaccedilatildeo

(b)

Ilatilde ainda a equaccedilatildeo de Ivey e Morris aplicaacutevel somente pa_

ra ebuliccedilatildeo com grande quantidade de liacutequido

( c sub t

Cpf bull A tsub

( bull ) s ~ V P bdquo 10 h V sat V g

onde

(ltL ) = fluxo critico com sub-resfriamento c sub

(ograve ) ^ - fluxo critico sem sub-resfriamento c sat

42

c ^ = calor especiacutefico do liacutequido

= calor latente de vaporizaccedilatildeo

124 - Burnout com convecccedilao forccedilada e ebuliccedilatildeo por bocirc-

Ihas

Gambill fez uma extensatildeo da equaccedilatildeo de Levy e aplicou o

metqdo da superposiccedilatildeo Tal extensatildeo consiste natilde subtraccedilatildeo de uma

razatildeo equivalente de massa transferida dos termos que represenshy

tam a ebuliccedilatildeo e convecccedilao para levar em conta a presenccedila do vashy

por no fluxo

A correlaccedilatildeo pode ser escrita assim

24 V P V

o g c a (p^Py) 14

+ 0696 (k p c ) 12

(

pr p v )i4 o g c a (P-L-Py) 18

bull At + h sub nb

044 p v L v G (g1) bull N2 n

p l P V

( pr p v ) d e 2-7

2 4 TT 0

14 ( f e _ ^ r l 3

lO^u

onde

k = condutividade teacutermica

c = calor especiacutefico

A t s u b ~ s ub-resfriamento do liacutequido

h = coeficiente de transferecircncia de calor de nao ebu nb mdash

liccedilatildeo

G = descarga total do refrigerante

43

d g = diacircmetro equivalente do tubo ou canalraquo

]i = viscosidade

B = constante adimensional

Os iacutendices V e 1 representam vapor e liacutequido respectiva

mente

0 primeiro termo entre chaves da equaccedilatildeo representa o flu

xo de calor no burnout de sub-resfriamento em convecccedilao forccedilada 0

segundo termo entre chaves corresponde ao fluxo de calor transferi^

do para a massa da fase vapor

1-25 - Burnout por Bloqueio da Base

Ocorre quando a profundidade do recipiente eacute muito maior

que a largura 0 bloqueio da base eacute causado pela formaccedilatildeo de uma pe_

licula de vapor na base impedindo que o liacutequido toque o fundo do

recipiente

i De

Este eacute o burnout por flooding isto eacute burnout por expul

sao do liacutequido Uma equaccedilatildeo que nos dacirc o fluxo minimo do burnout

parao caso eacute

44

onde

D g = diacircmetro equivalente

L = comprimento do tubo

= calor de vaporizaccedilatildeo

p^Py Ap = densidade do liacutequido do vapor e diferenccedila en

tre ambos

Para um fluxo de calor maior ou igual ao dado pela expres_

sao acima (mantida a mesma geometria) teremos burnout Para um deshy

terminado fluxo existiratildeo sempre um comprimento L e um diacircmetro equi

valente D e para os quais temos burnout Exemplo

L (in) D e(in)

10 11

100 51

1000 235

2 RESULTADOS ESPECIacuteFICOS - FOacuteRMULAS PARA CAacuteLCULOS ESPECIacuteFICOS

21 - Diferenccedila de temperatura At i

13 a t

sat

At sat

poundatildeJL_ raquo t - t J p T T 6 w sat

onde

o laquo tensatildeo superficial entre liquido e vapor

t - temperatura de saturaccedilatildeo do liacutequido para a corres-Scl t

pondente pressatildeo

J equivalente mecacircnico do calor

X laquobull calor latente de vaporizaccedilatildeo

py = densidade do vapor

6 = espessura da camada de liacutequido superaquecido onde

45

k l

h nc

onde

k^ = condutividade teacutermica do liacutequido

h = coeficiente de peliacutecula nc r

Segundo Eckent h ^ c e dado por

P 2 Q

nc 3 V VP + 0952

r

onde

D = diacircmetro equivalente

G r = numero de Grashoff

P = nuacutemero de Pradtl

2 o 2 - Velocidade das bolhas

A velocidade das bolhas em meacutedia pode ser dada pela exshy

pressatildeo

V bdquo = Iacute ( a bull B Apl4 bolhas 5 ^ 2

p l onde

AP = P L - P v

Expressatildeo que vale quando a aceleraccedilatildeo eacute a da gravidade

baixa viscosidade do liacutequido e bolhas separadas

Vbolha = f t s e atilde m a x para aacutegua

2 bdquo3 - Diacircmetro das bolhas

2gc deg 12 D = 0015 3 ( mdash mdash 7 ~ ) d g Ap

5 =

46

onde

8 = acircngulo de contato (20 a 90deg) geralmente assume-O -1

-se igual a 50 para a agua em contato com metal

24 - Coeficiente de peliacutecula na ebuliccedilatildeo nucleada

a) Equaccedilatildeo de Rohsenow

Esta equaccedilatildeo nos datilde o fluxo de calor q na ebuliccedilatildeo nushy

cleadaraquo E oacutetima expressatildeo para muitos liacutequidos o efeito da presshy

satildeo eacute levado em conta na variaccedilatildeo das propriedadesraquo

Pf

fg

sat 17 = c

sg k y f h f g g( P f-p g)

n033

onae

Pf

fg

Pf Pg c sg

= fluxo de calor requerido (BTUhr0ft^)

= calor especiacutefico do liacutequido saturado (BTUlbm0F)

= calor latente de vaporizaccedilatildeo (BTULbm)

= nuacutemero de Prandtl

= viscosidade do liacutequido (lbrahrraquoft) ~ 8 2

= fator de conversatildeo 417 10 Ibmftlbflaquohr 2

= aceleraccedilatildeo da gravidade (fthr )

= tensatildeo superficial na interface liacutequida vapor

(lbfft) 3

densidade do liquido e vapor (lbmft )

constante adimensiacuteonal que depende de vaacuterios fashy

tores dentre os quais o grau de aquecimento en_

tre o fluido e a superfiacutecie de aquecimento e o

mais importanteraquo Independe da pressatildeo do sistema b) Equaccedilatildeo de Levy

Equaccedilatildeo valida para a aacutegua quando 100 lt p lt 2000 psiacutea

47

43 bdquo3

qu bdquo gat ^ T J h r t f t ^

495

25 - Calculo do fluxo de calor no Ponto de Leidenfrost

0 ponto de Leidenfrost como vimos eacute o ponto em que oflu

xo de calor comeccedila ncamente a crescer isto eacute o ponto onde termal

aa a ebuliccedilatildeo instaacutevel e comeccedila a ebuliccedilatildeo por peliacutecula estaacutevel Eacute

o chanado fluxo miacutenimo (egrave ) m m

Aproximadamente quando A t g u k = 0 temos

A _ mdash _ mdash (Gambill) m m 5

Ha entretanto varias expressotildees para determinar esse flu

xo eis uma delas

A p 14 ltjgt = 009 h pbdquo (o raquo g mdash ) y m m fg P V deg 2

p l

26 - caacutelculo do fluxo de calor na regiatildeo de ebuliccedilatildeo por peliacute

cuia estaacutevel

para cilindros jmdashi i li

_ D 0172 k-V - P V A p h l V bull S 14 li - = 062 (mdashmdash) (- j- r rmdash) convecccedilao A 0 ybdquo (t -t )

c V w sat

onde

= condutividade do vapor

- 2 TT ( mdash )

c gAp Vl = significam vapor e liacutequido respectivamente

para paredes verticais

L 0172 S deg7 A p bull hlV S q 4 h - - 080 (-^-)J- (-Iuml - Iacutemdash-convecccedilao X L u (t - t J)

c V w sat

48

Como nesta regiatildeo jaacute haacute nina influecircncia marcante da radia

ccedilao devemos levar en conta tambeacutem o coeficiente de peliacutecula de

vido a radiaccedilatildeo para determinar o coeficiente de peliacutecula total

Dos estudos atildea radiaccedilatildeo temos

h = a F pound(T 4 - T 4 J ( T ~ T ) rad w sat w sat

onde amp _ emissividade de superfiacutecie

a = constante de Stefan-Boltzman

F = fator de forma

Segundo WE Gambill o coeficiente de transmissatildeo total

ceve ser

3 iacutei = h + -7 h para h lt h t conv 4 rad r rad conv

Na expressatildeo acima existe o fator 34 porque a radiaccedilatildeo

faz variar um pouco a espessura do filme de vapor reduzindo asshy

sim o l l

conv

Quando tivermos h gt h gt o h^ ^ seraacute rad conv total

h f c = h + h t conv rad

Neste ultimo caso nao ha nenhum coeficiente porque a peshy

liacutecula de vapor jaacute eacute estaacutevel

27 - Grandezas caracteriacutesticas para a apua

Para pressatildeo igual a 1 atm = 1422 psia

At ^ = t - t = 5degC (iniacutecio da ebuliccedilatildeo nucleada) sat w sat 1

At t = 30degC sat crit

49

5 2 $ = 4 10 BTUhrft (para pressatildeo 1 atm)

0 fluxo critico cresce como vimos com a pressatildeo ate

atingir o maacuteximo quando a pressatildeo eacute aproximadamente 13 da pressatildeo

criacutetica Esse fluxo eacute

bull = 13 IO 6 BTUhrft 2 para p = 11000 psia (p pound = 32062 psia)

Ainda temos que para pressatildeo igual a 15 psia

h b o = 11000 BTUhrft degF - ebuliccedilatildeo nucleada

h f b = 30 BTUhrft 2 degF - ebuliccedilatildeo pelicular

Todos os resultados e formulas para caacutelculos especiacuteficos

apresentados nos itens 21 22 23 ateacute 27 sacirco aplicados somente

para sistemas onde haja ebuliccedilatildeo com grande quantidade de liquido

51

D - HIDRODINAcircMICA DOS SISTEMAS E QUEDA

DE PRESSAtildeO DENTRO DE UM CANAL

1 HIDRO-DINAcircMICA E QUEDA DE PRESSAtildeO

11 - Hidro-dinacircmica dos sistemas estaacuteveis

111 - Regimes de escoamento

A evoluccedilatildeo do escoamento ao longo de um canal aquecedor

de secccedilatildeo constante ciliacutendrico pode ser esquematizada pela figushy

ra 1 onde temos em abcissa o comprimento z do canal e em ordenada

a temperatura (T)

52

Na figura 1 nos representamos

a) 0 aspecto do escoamento fluido quando a entalpia do

- fluido aumenta Verificamos que o fluido entra no cashy

nal no estado liacutequido e assim permanece ateacute atingirmos a zona de

ebuliccedilatildeo local onde aparecem as primeiras bolhas A entalpia do

fluido continua aumentando e tem inicioa ebuliccedilatildeo franccedila onde as

bolhas se unem formando agregados posteriormente o escoamento to

ma a forma da figura ou seja torna-se anular disperso Finalmente

atingimos duas uacuteltimas fases do escoamento disperso (vapor uacutemido)

e vapor seco

b) A evoluccedilatildeo da temperatura meacutedia do fluido e da tempeshy

ratura da parede Note-se que a partir da cota a

temperatura da parede aumenta brutalmente podendo causar o

burnout

c) A evoluccedilatildeo do tiacutetulo do vapor (x) com o comprimento

do tubo e a evoluccedilatildeo da fraccedilatildeo (a) que definiremos no

item 11laquo2 com o comprimento do tubo

112 - Definiccedilotildees

a) Tiacutetulo ou qualidade do vapor (x)

massa de vapor na mistura x ~ massa total da mistura

x =

W _g_

g f

b) Fraccedilatildeo vazio (void fraction)

volume do vapor na mistura a = volume total da mistura (agua+vapor)

A relaccedilatildeo entre x e a num sistema parado pode ser obtida

assumindo um certo volume contendo 1 lbm de mistura em equiliacutebrio

teacutermicoraquo

53

O volume da mistura seraacute igual a (v + xv ) ft onde v eacute 3 r rg

o volume especifico (lbmft )

f - refere-se ao liquido

g - refere-se ao vapor

fg - refere-se a diferenccedila entre liacutequido e vapor

Numa mistura em equiliacutebrio se o liacutequido e o vapor estatildeo

saturados o volume do vapor presente eacute igual acirc sua massa vezes

seu volume especiacutefico v assim e

xv bdquo bdquo a mdash

V c + XV c

f gf

onde

- bull-bull uumlutiacuteisa vapor na mistura de 1 Ibm

v volume especiacutefico do liacutequido

v = volume especiacutefico do vapor o

V c = v - V

gf 8 r

Fazendo uma transformaccedilatildeo na expressatildeo acima temos

xv xv JS = Z-

v r+ x(v -v c) xv +(l-x)v t ri f g f g f 1 + Ul-x)xjv fv

1 + C(l-x)x]]vfvg

A fraccedilatildeo vazia tem a influencia de baixar a reatividade

do nuacutecleo nos reatores em que o refrigerante eacute tambeacutem moderador

Na equaccedilatildeo acima os valores de x e v sao tomados em tabe

las termodinacircmicas apropriadas para a pressatildeo do sistema A equashy

ccedilatildeo (1) mostra os grandes valores de a para pequenos valores de x

especialmente para baixas pressotildees Isto ocorre porqueaumentando

54

aacute pressatildeo o v decresce muito enquanto que o v f eacute mais ou menos da

mesma ordem de grandeza

Exemplo Calcular o a correspondente para x raquo 2 para aacutegua

leve atilde pressatildeo atmosfeacuterica

Da tabela para p laquobull 1 atm

v - 001672 ft 3lbm e v - 26800 ft 3lbm

1 + [(1-002)002] 001672268

0971 ou 97U

O grafico abaixo mostra a variaccedilatildeo do a com x para vaacuterias

pressotildees e para a aacutegua leve

x ()

tObservaccedilotildees da curva

Fig 2

1 - para x constante a decresce com a pressatildeo Para presshy

sotildees proacuteximas da criacutetica a aproxima-se rapidamente de

x Para a pressatildeo criacutetica as duas fases satildeo indistinguiacuteveis ea=x

2 - para cada pressatildeo dotdx decresce com aumento de x

3 - para baixos valores de x (que e o caso dos reatores

tipo Boiling) quando p decresce dadx cresce e torr

na-se muito grande paacutera baixas pressotildees Isto tem relaccedilatildeo com a epound

55

tabilidade do reator como veremos mais tarde

113 - Sistemas com fluxo

Todas as definiccedilotildees que noacutes vimos no item anterior refeshy

rem-se acirc sistemas em que a mistura esta fechada no recipiente Nes^

te caso natildeo havia movimento relativo entre as duas fases No entan

to se as duas fases da mistura se movem na direccedilatildeo vertical em

canais entre os elementos combustiacuteveis o vapor por causa de sua

flutuaccedilatildeo tem a tendecircncia de escorregar sobre o liacutequido isto e

move-se com velocidade maior do que a do liacutequido

Real Modelo

Pig 3

S -

Define-se neste caso a relaccedilatildeo de escorregamento (slip

ratio) (S) como sendo

V _i

V f

onde

V = velocidade do vapor

= velocidade do liquido

S modifica as relaccedilotildees entre a e x do item anterior S geralmen_

te gt 1 Define-se neste caso qualidade do vapor ou tiacutetulo como

sendo

_ fluxo de massa de vapor

fluxo de massa da mistura

Entatildeo se o fluxo de massa da mistura eacute m t(lbmhr) o flushy

xo de vapor seraacute = x m e o fluxo de liacutequido sera (1-x) m onde x

56

e o titulo do vapor para a particular secccedilatildeo (AL) da figura (3)

Devemos notar que neste caso x varia de secccedilatildeo para secshy

ccedilatildeo do tubo o exposto no paraacutegrafo acima vale considerando-se que

x e a permaneceram constantes na secccedilatildeo de espessura AL

Aplicando a equaccedilatildeo da continuidade as velocidades do va

por e liacutequido sao dadas por

o xm v

V vazatildeo = g g area A

V

(1-x) amp t v f

f A f

onde A e A f sao as aacutereas medias perpendiculares ao fluxo se as

duas fases sao imaginadas completamente separadas uma da outra

(figura 3) Assim temos

V x m v o A_ A v 0 ^ - 2 = iacute S t m _2L- JL JS m

V A (l-x)ui v 1-x A v U

f g t f g f

Sabemos ainda que para a secccedilatildeo considerada

volume do vapor na mistura a = volume total da mistura (agua+vapor)

A AL A pound g g

a = mdash a a = - mdash 1

(A+A )AL A f + g

A ou f _ 1 - a

A a 8

Substituindo em (2) vem

57

Esta expressatildeo pode ser rearranjada e obteremos uma relashy

ccedilatildeo entre x e a levando em conta o escorregamento Chega-se a

a = 1 ( 3 )

1+ [U-x)x3 igt

onde

v 4 laquo -- S

v lty o

Note-se que quando S=l (nao haacute escorregamento) caimos na

expressatildeo dada no item anterior

0 efeito do escorregamento eacute decrescer o valor de a pa_

ra um mesmo xbdquo Isto pode ser visto pela foacutermula (3) pois S gt lLo

go a decresce com acreacutescimo de S

Um alto S e entatildeo uma vantagem tanto para a transferecircnshy

cia de calor como para efeitos de moderaccedilatildeo Eacute uma vantagem para

transferecircncia de calor porque alto S significa alto V e portanto

maior turbulecircncia e maior contato do liquido com as paredes quenshy

tes Ha tambeacutem melhorias na estabilidade da reaccedilatildeo nuclear isto

porque como jaacute dissemos quando mdash7 diminui a estabilidade aumenshy

ta isso pode ser verificado observando a curva a versus x para a

agua leve a 1000 psiabdquo

Fig 4

58

A relaccedilatildeo entre x e a da equaccedilatildeo (3) so vale para secccedilatildeo

de tubo bem pequena

Devemos notar que S varia tambeacutem com a pressatildeo e velocida^

de de entrada do liacutequido no tubo Este efeito pode ser observado na

figura 5 abaxxo obtida esperimentalmente

s

3

~^ ~ psig

x = 001

V 1

Fig 5

Nos projetos de reatores como veremos adiante o valor a

geralmente eacute determinado por consideraccedilotildees nucleares (moderaccedilatildeo) 0

valor de S eacute determinado atraveacutes de uma estimativa ou entatildeo atrashy

veacutes de um graacutefico do tipo da figura 5 0 correspondente valor de x

pode ser obtido de uma foacutermula empiacuterica do tipo

1 = 1 (-S)0gt67

proposta por Von Glahn

Em muitos casos assume-se S constante em todo o comprimeiv

to do canal poreacutem eacute um erro que em muitos casos nao pode ser coshy

metido

4 REATORES EM QUE 0 LIacuteQUIDO B MODERADOR E CIRCUITO PRIMAacuteRIO AO

MESMO TEMPO BOILING-REACTOR (BWR)

A aacutegua ao se movimentar atraveacutes dos vaacuterios canais do

59

Boiling-reactor encontra vaacuterias resistecircncias ao fluxo que provoshy

cam uma reduccedilatildeo de pressatildeo no fluido

As duas perdas mais importantes sao perda de pressatildeo por

atrito e perda de pressatildeo causada pela aceleraccedilatildeo do refrigerante

ao aumentar de volume por receber calor num canal Outras perdas

de pressatildeo seriam a obstruccedilatildeo ao fluxo por corpos submersos (espa_

ccediladores juntas de tubos chaves etc) e por mudanccedilas abruptas de

aacuterea de fluxo tanto na entrada como na saiacuteda do tubo

Essas perdas de pressatildeo devem ser conhecidas o melhor popound

sivel principalmente nos reatores BWR Para tanto devemos saber

o comprimento de canal em que nao ha a ebuliccedilatildeo isto eacute qual o com

primento de canal em que o refrigerante vai da temperatura de sub-

resfriamento ate temperatura de saturaccedilatildeo

Seja o elemento combustiacutevel

Aquecimento Uniforme Aquecimento Senoidal

Fig 6 Fig 7

onde

H =

H = o

H b

comprimento do elemento combustiacutevel

cota onde o liquido se torna saturado

comprimento do elemento combustiacutevel em que ocorre

ebuliccedilatildeo

60

qg = calor sensiacutevel acrescentado ao liquido para satushy

raacute-lo

qfc = calor total acrescentado ao liacutequido em todo o com

primento do canal

laquoo

q s J o qiquest sen (IIzH) n H o

T~ = TH = 2 ( 1 c o s gt ( a )

q 1 sen (HzH) Jo ^c

A expressatildeo (a) vale quando tivermos uma adiccedilatildeo de calor

senoidal para qualquer outra forma de adiccedilatildeo de calor faz-se um

caacutelculo anaacutelogo

Outra relaccedilatildeo entre q g e qfc eacute dada pela termodinacircmica

q h- - h s f m (b)

(hr +x h )-hm ^t f e fg

onde

= entalpia para o liquido saturado a pressatildeo correjs

pondente (cota z = Ho)

hffi = entalpia do liacutequido na entrada do canal

x = tiacutetulo do vapor na saiacuteda

= entalpia do vapor

Com a relaccedilatildeo (b) noacutes determinamos a relaccedilatildeo q q ecom

S L

uma relaccedilatildeo do tipo (a) (conforme seja o adicionamento de calor ao

liacutequido) podemos obter a relaccedilatildeo HoH e consequentemente H^H

21 - Perda de pressatildeo num canal de evaporaccedilatildeo

Neste item iremos determinar as perdas de pressatildeo mais

representativas que ocorrem num canal de evaporaccedilatildeo de um reator

P + dP

bull1 i- 1 gti i i

dL

onde

UM

Icirc H Icirc Icirc T dF f t f

61

Quantidade de Mov na Entrada

= i- rigVg)

dF f l

Fig 8

m i

m 8

V l V 8

A P

dF

dF

dF

fg

fl

ftf

descarga do liacutequido

descarga do vapor

velocidade do liquido

velocidade do vapor

aacuterea transversal do canal

forccedila de atrito do vapor com parede

forccedila de atrito do liacutequido com parede

forccedila de atrito das duas fases liacutequido+vapor

Fazendo o balanccedilo das forccedilas considerando o sentido posjL

tivo na vertical temos

A (P-P-dP)-(dF +dF _+dF _)-(-pound-) (p A+p A )dL = mdash dGnV+m V ) P fg ftf fl g c 1 1 g g g c

v 1 1 g g 7

- dP = ~ (dF +dF--+dF)+- S--7=- (p A+p A )dL+ mdash ~ - d (m-V+m V ) A_ fg ftf fl g c Ap v^l 1 g g g A 11 g g

Fazendo a integraccedilatildeo termo a termo entre os dois extreshy

mos entrada e saiacuteda e considerando a pressatildeo de entrada igual a

P q e a de saiacuteda igual a Pe vem

Quantidade de Mov na Saiacuteda

-= h I- lY l+ A g V g + d ( aacute l V l + aacuteeVl

Forccedila de Gravidade

= ( g f - N P A + P g V

62

b) r e F f l

o p dp^ = Ap^ = perda de pressatildeo por atrito

do liacutequido na altura Ho

Aplicando a formula de Darcy vem

bull API = f bull ir bull ^ iexcl 7

onde

f = fator de atrito

c) e Fftf

o p ^P tpound

= perda de pressao por atrito da mistura

liquido + vapor no trecho de comprimen

to Hbdquo o

Para determinar esta perda de pressao define-se o fator

de multiplicaccedilatildeo R

A P R =

tf A P 1B

Sendo A p ^ a perda de pressao se o comprimento todo fosshy

se ocupado somente pelo liquido assim

A p t f = R A P 1 B

0 calculo de Ap-^ pode ser feito pela formula de Darcy e

o de R nos veremos no item seguinte

63

d)

-e F

d ( ^ )

O P

Ap = perda de pressatildeo por atrito do vapor

No caso do reator BWR o titulo de saida e bera pequeno e

em nenhum caso ocorre a saida de vapor com x = 100 logo a perda

de pressatildeo por atrito do vapor eacute nula assim

An = 0 5

e) Ap

(p A 1 + p A ) dL = Ap - perda de pressatildeo dpound

vida ao desniacutevel

(perda hidrostaacutetica)

Anbdquo = re A A

-S- I (p + p -S ) dL H s 1 A

c o p o A

como A A Jl_ =

A P

A +A-g 1

1-a -

temos

C Q

te j jll-a)p1 + apg)^jdL = p Lo pound

onde

e jo u

+ ap ) ~I dL (Densidade media 1 S J

no tubo)

No nosso caso

Ap u = p H

f)

re d(mV + m V ) _ mdash - laquo -i bull s iquestp laquos p e r d a ltje pressatildeo devido a acele-

c p raccedilatildeo do vapor

V A

(1-x) tl^Vj

(1-a) A

X V

aA

A p -

roV + m V

c p c p L_

m (l-x)m_v m xv nbdquo -1 T 1

+ _S S I (1-a) Ap aA

P

2 g A c p

n 2 2

(1-x) m T

laquo2 8 A c p

2 2 (l-xe) raTv1

2 2 2 xm_v (1-x) m-v e T s o 1 1

a 1 - a

2 2 - x m_v o T g

a

se

X Q 0 (so ha agua nesse trecho)

a = 0 o

temos

mbdquo Ap =

1 a A 2

S A degc p laquo-

tt-V v i 1 - a

2 via T^r - v i

t Apc

2

V v l

5c Ap

1 - a

x v - 1

a e v l

65

Fazendo

G = fluxo total da massa por unidade de area do

canal

(1-x J e

V

AP r

Assim a perda de pressatildeo total sera

H p V II pV r2 P -P = f -24-Iuml+ f R+p 0 1 2g c D e 2g c g c g c

2c2 - Determinaccedilatildeo do fator de multiplicaccedilatildeo (R)

221 - Relaccedilatildeo Martinelli-Nelson

Os autores Martinelli-Nelson determinaram experimental -

te esse fator R para varias LIT1L em funccedilatildeo da pressatildeo e da r NB total J v

qualidade de saiacuteda do vapor no canal Construiacuteram assim vaacuterias

curvas do tipo da figura 9

66

E importante notar que a qualidade do vapor (x) na saiacuteshy

da nao deve ser grande pois como vemos o valor de R cresce muishy

to com um aumento pequeno de x e um valor de R muito grande acar_

reta uma perda de pressatildeo grande pois

^ d u a s fases R ^ f a s e liacutequida

Para resolvermos um problema seguindo o criteacuterio de bdquo

Martinelli escolhemos a curva R = f(px) (para a relaccedilatildeo L

N g ^ j

adequado) e tiramos R com os valores de pressatildeo p e tiacutetulo x

As curvas R = f (p x L T t )IO encontram-se nos ANL 6469 bio I

e 6561

222 - Relaccedilatildeo Lottes-Flinn

Estes autores estudaram o problema para o aquecimento uni

forme do refrigerante com baixo titule Lottes-Flinn fizeram inuacuteshy

meras experiecircncias e verificaram que para fluxo de calor uniforshy

me e baixos titulos R era independente do fluxo de calor fluxo

do refrigerante escorregamento e apenas funccedilatildeo de a g

Como a quantidade de liacutequido eacute muito maior que a de vashy

por a perda de pressatildeo daacute-se principalmente pelo atrito do liacuteshy

quido com a parede Podemos assim escrever a foacutermula de Darcy

na forma diferencial

dz

d = f __ r e amp c

onde

V = velocidade do liquido saturado na cota zbdquo X

f = coeficiente atrito

= densidade do liacutequido saturado

Teoricamente a queda de pressatildeo deve-se ao acreacutescimo de

67

velocidade do liacutequido e da diminuiccedilatildeo da aacuterea de fluxo do liacutequi

do

P fH A P t p

= f D 2g Ho

d z

fazendo

V lo

m V t lo

(velocidade do liacutequido na cota z = Ho)

(1-x) m t v 1

(1-a) A (velocidade do liacutequido na cota z gt Ho)

a bull+ fraccedilatildeo vazio na cota z geneacuterica

V 1 (1-x) m t v 1

m t V l 1 - a

x =s 0 pois o tiacutetulo eacute baixo

A p t f = f bull JT5 c e

fH V lo

H o (1-a) dz

Para fazer a integral devemos achar a relaccedilatildeo de variaccedilatildeo

entre a e z Como o fluxo de calor eacute uniforme a qualidade eacute direshy

tamente proporcional a z

bull laquo x = x e H

z = mdash x X e

Sabemos ainda que (item 113)

x

1 + [ ( I -X)AKQ x + iiacuteraquo

68

como

temos

(1-x) = 1

v

X =

z =

1-a

1 -a

1-a e

a

e

1-a pound

a

1 -a igt (assumindo S = cte)

da

Atf - f bull 2 i ^ ~ J c e o

a 1 - a e e 1 s 4 hmdash) da

a 1-a

f P lv^ Q

0 termo mdash - mdash e a parte de perda de pressatildeo pelo lj^

^c e -quido ou seja Ap liquido saturado e como

Ap

R = tf

Ap liauido saturado

temos que

R J

f ae 1 _ a e 1 4

a 1 -a o e

1 -a r-R =

3 1 -a

a 1 -a imdash

3 vl - a 3

e e

Os valores de R obtidos por esta expressatildeo aproximam-se

muito dos valores obtidos pelos aacutebacos de Martinelli

69

E - EXPANSAtildeO E COMPRESSAtildeO DE UM FLUIDO - ANAacuteLISE HIDRODINAcircMICA

DE UM CIRCUITO EM CIRCULACcedilAtildeO NATURAL

1 EXPANSAtildeO NO FLUXO DE UM FLUIDO

11 - Uma so fase

Figura 1

Ha vaacuterios meacutetodos para determinar a variaccedilatildeo de pressatildeo

numa expansatildeo de fluido estudaremos o de Romie que eacute o que daacute

maior precisatildeo

Romie considera que a pressatildeo p^ tambeacutem atua na aacuterea

imediatamente apos a expansatildeo Assim fazendo o equiliacutebrio das foi

ccedilas nas secccedilotildees tracejadas da figura 1 temos

mVj

p r A 2 + mdash

mV

bull 2- A2

mas

m = pV^A^

pV^A = p V 2 bdquo A 2

V A

v 2 -4r-logo

( P l-P 2) A 2 = f ( V ^ ) - f _ v j amp c c 2

70

2 pV A A pV A A

Chamando A l A ]

K = 1 - T e degi2 = Aiexcl bull V E M

pvj

P l P 2 = T ~ bull ( 2 deg 1 2 ) ( 1 _ a 1 2 )

Outra maneira de chegar atilde diferenccedila de pressatildeo ( P j - ^ ) s mdash

ria usar o coeficiente de perda da mecacircnica dos fluidos Assim o

equilibrio das pressotildees eacute

2 2

1 V l 1 V 2 V l P i + _ p _ ^ P 2 + I p ~ + k 1 2 p mdash

onde = coeficiente de perda

A 2 1 2

k 1 2 - (l-o 1 2) - (1 - j- )

Fazendo as transformaccedilotildees chegamos a mesma expressatildeo obshy

tida pelo balanccedilo das forccedilas

PraquoIacute pr p

2 - - ir ^ laquo-ia

12 - Duas fases

Como ha duas fases a equaccedilatildeo do balanccedilo das forccedilas fica

um pouco alterada

m pound 1 V- m - raquoV - m-V- m bdquoV _ P A + j y ^ i + _gl_JUuml P A + -11-11 + -ilsl (a)

1 2 e R 2 2 ff e

Sabendo que

71

m (1-x) m t = p fA (1-a) V f

entatildeo

fl l-o^ p fA x

6 Vf2 1-x l-a2 P fA 2

m V = mdash mdash e V 0 = gl a 1 P C T A 1 g2

m

a_ p h

2 g 2

Nas expressotildees anteriores o x nao varia porque a expansatildeo

5 adiabaacutetica porem o a varia devido a modificaccedilatildeo do tamanho da

bolha

Substituindo os valores das velocidades na expressatildeo (a)

vera

( P - P ) Abdquo =

2

2 2 m gt2 2 m t (1-x) 1 x t

ra i 2 m i 1 x t 1

p fA 1 g c ttl p Ax gpound

m t P - P = mdash

(1-x) (l-a 1)A 1A 2 (l-a2)A|

a r A r A 2

V A 2

m t P bdquo - P = mdash 2 1 g c A r A 2 p f

(1-x) 1-a f A 2(l-a 2)

bull ^ 2

72

Se

P -P

a

m

g

12

1 _1_ (1-x)

J12

1 _ a l 1 - a 2 + X (- )

Pg

1 deg12 a 2 ^

Sabemos que

mt = V o pf laquo A l

Sendo V q = velocidade do liquido num ponto onde natildeo haja vapor

P 2-P 1

u 2 2 A 2

V pr Ai

V W p f

(1-x) 12

l-a1 l-a2

+ X 2 pf

mdash

l deg12

-1 a 2 _

p -p r 2 Al (2a 1 2)

2 M f w 1 deg12 X (mdash) (

pg al a 2 )+(l-x)C l 1 12

1-a^ l-a2

Devemos notar que esta expressatildeo tambeacutem vale para quando

temos uma fase para isso basta fazer

= c t 2 = 0

X = 0

e recairemos na formula do item anterior

2 pf 1 deg12 Observemos que neste caso o termo x (mdash)( ) nao

Pg al a2

2

73

tem significado pois corresponde a mudanccedila de fase

2 CONTRACcedilAtildeO KO FLUXO DE UM FLUIDO

21 - Uma so fase raquo mdash

Aqui ocorre um fenocircmeno importante pois o fluido ao ser

contraiacutedo nao vai diretamente da area A^ para a area A 0 mas ele

contral-se ate uma area A^ e depois expande-se ate k^

Ao A2

Po IP 2

V 2

Figura 2

Fazendo o equiliacutebrio das pressotildees entre os planos (1)

(0) vem 2 2

pV pV p +~ plusmn - P + i deg bull 1 2 g o 2 g (b)

C x

Fazendo equiliacutebrio da expansatildeo (0) - (2) vem

P o + 2 - f = P 2 + 2 -T + kp- 2 F ( c )

c c b C

Subtraindo (b) - (c)

2 2 2

i p- vj i p- v2 L P l + 2 bull g c

P 2 + 2 2g c

+ k P 2g c

74

Como

P - P = mdash 2 2g

2 2

bull (1 + k) - f bdquo mdash i

k a - f2 ) 2 - d - o c )2

= o

A = a 21

Weisback obteve varias relaccedilotildees entre a e a i] c

01 02 03 a 0624 0632 0643 c

0624 0632

A r v i - V v 2

p -p 1 2

P -P 1 2 2g7

v l =

(1+k) - laquofi- a 2g 21 c

( 1 + k - o 2 1)

X[- V 2 o 2 1V 2

22 - Duas fases

0 valor de k pode ser aproximado para

k = a(l - o 2 1)

onde segundo Richardsons para fluxo de duas fases podemos supor

a = 02

Para fluxo homogeacuteneo sabemos que

75

p = p f (1 -a ) + p o a

podemos supor p bdquo a = 0 pois p e pequeno e fazendo

V = V ~ V fbdquo2 go2 v 2

Substituindo estas duas expressotildees na equaccedilatildeo de uma soacute fase vem

2 2 p V (l-ct) p V (1 -a ) bdquo

P l P 2 = 9g ( 1 + 3 - 3 0 ^ - 0 ^ ) = g (a+1) (l-a^)

Se a = 02

2 12p oV 0

p r p

2 - 9g gt d-) d-sigt

A compressatildeo de um fluido acarreta uma perda de pressatildeo

como pode ser verificado pelas formulas uma vez que lt 1deg

3 ANALISE HIDRODINAcircMICA DE UM CIRCUITO EM CIRCULACcedilAtildeO NATURAL

Esquema deacute uma caldeira com circulaccedilatildeo natural

76

Determinar a velocidade em (7) para que tenhamos circula

ccedilatildeo natural Determinar tambeacutem as perdas de pressatildeo em todos os

trechos da caldeira

31 - Contraccedilatildeo das secccedilotildees (1) - (2)

Como jaacute vimos a equaccedilatildeo do balanccedilo das pressotildees eacute

1 pr Vl 1 p 2 o V 2 P2 V2

1 2 g 2 + 2 g + K12 2g otilde c amp c e c

bullraquo 2 o2 2 e havendo uma soacute fase k 1 9 = (l-o ) = (1 mdash ) e sendo

C 2

p l = p2

v x lt lt lt v 2

P 2 V pr p2 bull ir2 bull ( 1 + k12gt

Colocando em termos de temos

A 2 V 2 P 2 = A 7 V 7 p 7 (continuidade)

V = V mdashbull = V o_bdquo ~ A 2 2 2

P 2 V - p 2

p r p 2 = ir2 - deg72 bull Ccedilrgt bull lt 1 + ki2gt

fazendo

N12 - lt^gt deg72 ( 1 + k12gt

P7 V7

Pr P2 - N12 bull HG

77

3 2 - Perda de carga no trecho ( 2 ) - ( 3 )

Como haacute apenas uma fase soacute temos perdas por atritos e

perdas hidrostaacuteticas

Sendo como jaacute vimos

2 3 p 2 2 g P 2 P 3 = f 2 3 (r~2g^~) L 2 3 g c p

atrito hidrostaacutetica

Substituindo V^ pela relaccedilatildeo do item anterior e tendo em

conta que p = vem

P -P = f 2 r 3 2 3 D

2 3 p 2 bdquo 2 2 p 7 2

2 g 7 72 p 2 3 g

Se

L 2 3 2 p 7

2 3 2 3 D 2 a 7 2 p 2

P 7 V 7 g P 2 - P 3 = N 2 3 ( mdash gt p 2 L 2 3 f

3 3 - Expansatildeo nas secccedilotildees ( 3 ) - ( 4 )

Como vimos o balanccedilo das pressotildees e

2 2 2 p V p 4 V p V

P 3 + 2 g c

P 4 + 2 g c

+ k 3 4 2 g c

onde

k 3 4 - - -

2 2 1 P 4 - V 4 P 3 v 3

P 3 P 4 = 2 g + ( k 3 4 _ 1 ) 2 g

78

Sendo

P 3 - P 4

p 3 o A 3 deg V 3 = P 7

a A 7 o V 7

P 4A 4 0V 4 = P r A r V

3 7 A 3 p 3

A7 P7 V = v mdash mdash 4 7 P 4

P - P 3 r4

Se

P bdquo - P

bdquo2 r-P 7 V 7

3 4 2g deg74 + ( k 3 4 1 ) deg73

34 p deg74 + ( k 3 4 1 ) 73

p r v2

P3- P4 ^ N34 ^ gt

(No caso e negativo)

34 - Contraccedilatildeo nas secccedilotildees (5) - (6)

Ainda temos uma so fase e fazendo o balanccedilo das pressotildees

como fizemos no item 3lt1 vem

P + vil p + vi + k vi P 5 + 2gbdquo P6 + 2gbdquo + k56 2gbdquo

k 5 6 lt 1 ^ gt 2 ( 1 - Iacute 2 i 2 6

V V6 P5degIacute 5^6 ^SS 2g c - 2g c

P - P ^ = (1+kJ

Como

79

A 6

W p 5 =

VV P6 V 5 = V 6 Jiexcl = Vff65

P 5-P 6 - lt H k 5 6 ) mdash ^ mdash (l+k 5 6-a 6 5) c c c

Sendo

Se

A 7 p 7 p 7

6 7 Ag p 6 7 76 p 6

p _p _ P6- V7- g76 iquest72 ( _ 02 P 5 P 6 2g c bull ( p 6

( 1 + k 5 6 deg65 )

p 7 2 2 N56 = p ^ deg76 ( 1 + k 5 6 ~ a 6 5 )

P 7 V 2

7

P r-P = N r 5 6 56 2g c i

35 - Perdas de pressatildeo nas zonas (6) - (7) - Pre^aquecimento

Nesta regiatildeo temos perdas por atrito e hidrostaacuteticas

Nao haacute perda por aceleraccedilatildeo pois ainda natildeo houve formaccedilatildeo de boshy

lhas

Fazendo balanccedilo das pressotildees temos

L_ ppound-V p = p + otilde L - pound _ + f -Si (-21mdashL 6 7 + p67 L67 g + t 6 7 D K 2g

p _ e ifn sao tomados como valores meacutedios 67 67

P _p _ f hl ^67jIacute uuml + - L A

6 F 7 r67 D 2g P P67 L67 g 6 s c 7 c

S e Kr pound67 L67 p67 6 7 D 6 p7

p7 V - _g_ P6- P7 - N67 mdash + P67 L67 f

c c

80

36 - Perda de pressatildeo nas zonas (7) - (8) - Zona de ebuliccedilatildeo

Nesta regiatildeo j aacute temos o aparecimento de bolhas logo a

perda de pressatildeo seraacute devida agraves t recircs parcelas aceleraccedilatildeo a t r i t o

das duas fases liacutequidas + vapor e h idros taacute t ica

onde

Assim

P-P Q = AP + AP + APbdquo 7 8 a t r i t o acel H

T M1

78 p 7 7 AP - R f- - mdash mdashr |R = fator mult ipl ica-

a t r i t o 7 D 7 2 g c L tivo

G 2

AP bull r mdash acel g c

P V

|_1 - o a p J 8 P f

2 t r 2 M2

7 7 r 7 7 A P a c e l = -J^mdash 2 r bull p 7 lt T iexcl iexcl - )

A PH p 7 8 L 7 8 fiexcl

p 7 8 iacute 7 li 1 0 0 P l i q + a P v ] d L = P 7 ( 1 - laquo 7 8 )

ag raquo fraccedilatildeo de vazio media entre 7 e 8

APH = p (1 - 5 7 g ) f- L 7 8

2 2

P 7 - P 8 a 5 - 2 T i + 2 r p 7 + P 7 ( 1 - 7 8 gt f L 7 8 7 amp c amp c amp c

81

N 7g = R mdash + 2 r p 7

P7 V7 P7- P8 = N78 + P 7 ( 1 5 7 8 gt J78

37 - Expansatildeo nas secccedilotildees 8 e 9

No caso haacute uma expansatildeo com duas fases e como vimos no

item 12 a variaccedilatildeo de pressatildeo era dada por

0f Vo P2 P1 = ~2g c ( 2 deg12

x 2 (mdash)(mdash - mdash ) + ( l - x ) 2 ^ T mdash 8 1 2 1

12

Aplicando ao nosso caso

P pound = P 7

P -P = 8 9

V - V raquo V g f 7

P 7 V 2

2 pf 1 a89 2 1 g89 x (mdash) ( ) + (1-x) (- - N

o ou abdquo 1-cu l-ot_) g 8 9 8 9

Se

N 89

= 2 a 89

2 pf 1 deg89 2 1 CT89 x (mdash) ( ) + (1-x) ( T

g 8 9 8 9

P -P = 8 9

- N P7deg V7

89 2gbdquo

38 - Perda de pressatildeo no trecho 9 e 10

No referido trecho temos apenas perda de pressatildeo por atr L

to da fase liacutequido + vapor e perda hidrostaacutetica Natildeo haacute perda por

aceleraccedilatildeo do vapor pois este natildeo recebe mais calor e portanto

o 82 o

nao ha variaccedilatildeo no a

p

Q -p i n = A P

U + A P bull 9 10 H atrito

n T -S_ P9 U10 deg 910 bull g

fio r

910 I 910

J9 L

(l- a)P + Q P I dL liq v

(l-a0) p

No caso a = (nao hatilde variaccedilatildeo de forma)

A P H - (1-a ) P (p L 0

c

AP bdquo = R o

atrito

2 f9 o L910 P9 V9

2g

Supondo

= V

P 9 = P 8 P 7

vbdquo = v 9 8 0 A r

= V 7 bull deg89

AP - R atrito

2 2

W l O p7deg V7deg g89

V P10 R -^T^ bull deg89 bull li-2 + ( W P 7 (fgt SIO

y c c

Se

- f9 L910 2 N9ol0 R Dl deg89

w 2

p rv P9 P10 = VlO + ( 1 a 9 ) p7 (f gt L910 c

33

39 - Perda ciacutee pressatildeo na expansatildeo 9 - 1 0

Analogamente a expansatildeo 8 - 9 temos

10 11 P 7 2g

10 Iacute 2 0 1 0 - 1 1 gt

2 ff

pg aio

10-11

laquo11 ) +

Ll-a 1 0 bull l-a u J

Se

V10 = V 9 = V 8 bull T9 = V 7 deg89

P -P 10 rll = - a 2g 089 ^lO-ll

4 bull T~ bull (7 1 mdash ) + Pg degio a n

+ (l-x)2(- 1 10-11

1 - aio )

N10-ll = 2 a10-ll a89 2 pf t 1 10-11 N2

-(j-r- - ) bull+ (1-x) pg aio deg 1

10-11 k l - a io

prz P10 Pll = - N10-ll bull ( 2gbdquo

310 - Calculo de V

Fazendo a somatoacuteria de todas as expressotildees (P^-Pj) tere-

84

mos 2 PbdquoV_

P bdquo - P bdquo = N 7 v 7

1 2 12 2g

bull 2 - P 3 - = N 2 3 P 2 L 2 3 f c ccedil

9 P 7 V 7 P _p = N mdash -

3 4 34 deg 2g

V P 5 = deg

2 P V

5 6 56 2 g c

ltr2

P 7 -V 6 e7 -N67 2g + p 6 7 J j67 g

c bc v 2

P 7 - P 8 = N 7 8 - 2 i ~ + p 7 ( 1 - laquo 7 8 ) L 7 8 c

P 7 V 7

P - P - -N mdash - -8 9 89 2g

c P 7 V 7

P 9 ~ P 1 0 VlO 2g + ( 1 a 9 P 7 L 9 c

P 7 V 7

bull10 11 U10-ll 2g

P v iacute j P - P

1 11

7 - v 7 3 bull r

2 8 i U L 2 23 67

(l-5 7 8) L 7 8 + ( l - laquo 9 ) P 7 bull SlOtilde]- ^

Por ou t ro lado sabemos que como secccedilotildees 1

mesmo n iacute v e l

85

s c p r v 7 j

28 Z N i ij

= P 2 L23 p67 L67 P 7 ( 1~deg78 )

78 ~ ^g) bull P 7 bull L 910 g_

V - 2 g ( p r L 2 3 - p 6 r L 6 7 - p 7 ( l - atilde 7 8 ) L 7 8 - (l-a9) p L 9 a ( )

y N

Com esse valor de podemos determinar todas as variashy

ccedilotildees de pressatildeo (P^-P )

BIBLIOGRAFIA

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Vol 9 - n9 5 e 6

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- Paul A Lottes - Argonne National Laboratory

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Journeacutees Internationales de la transmission de la chaleur

Seminaacuterios realizados em Paris em 1961 sob a supervisatildeo do

Prof Marcel Veron

Notas de aula da Cadeira de Termodinacircmica I e Transmissatildeo da

Escola Politeacutecnica da Universidade de Sao Paulo

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c FOacuteRMULAS PARA CAacuteLCULOS ESPECIacuteFICOS - RESULTADOS KSPE-

1laquo Fluxo de calor criacutetico - Burnout bdquo bdquolaquolaquolaquo 37

2 o Resultados especiacuteficos o o o o o o o o o o o o i o o o c o lt gt lt lt lt 44

D _ HIDRODINAcircMICA DOS SISTEMAS E QUEDA DE PRESSAtildeO DENTRO

1 o Hidrodinacircmica e queda de pressatildeo ltbdquolto 51

2 ^ Perda de pressatildeo num canal de evaporaccedilatildeo 60

E - EXPANSAtildeO E COMPRESSAtildeO DE UM FLUIDO - ANALISE HIDRODIshy

NAcircMICA DE UM CIRCUITO EM CIRCULACcedilAtildeO NATURAL bdquobdquobdquobdquobdquo 69

L Expansatildeo no fluxo de um

2 Contraccedilatildeo no fluxo de ura

A - CONVECCcedilAtildeO DE CALOR

1 INTRODUCcedilAtildeO

A convecccedilatildeo de calor e um fenocircmeno que ocorre muito freshy

quentemente ~ o caso por exemplo da transferecircncia de calor enshy

tre uma parede e um fluido a temperaturas diferentesraquo

Ao contraacuterio do que a equaccedilatildeo de Newton q = h A At

onde q e o calor trocado h e o coeficiente de peliacutecula A eacute a

aacuterea de troca de calor e At ecirc a diferenccedila de temperaturas) pode fa_

zer supor a convecccedilatildeo de calor e um fenoacutemeno complicado Na equashy

ccedilatildeo de Newton os diversos fatores que influem no fenocircmeno estatildeo

englobados no coeficiente de peliacutecula conforme veremos mais tarshy

de

Resumindo resolver um problema de convecccedilatildeo de calor eacute

obter o valor do coeficiente de peliacutecula h

2 TIPOS DE CONVECCcedilAtildeO

0 processo da transferecircncia de calor por convecccedilatildeo eacute devi

do atilde mistura de porccedilotildees de massas de fluido a diferentes temperatjj

ras A mistura dessas porccedilotildees pode ocorrer de duas maneiras e daiacute

resultam os dois tipos diferentes de convecccediloes

a) convecccedilatildeo natural

b) convecccedilatildeo forccediladaraquo

a) Convecccedilatildeo natural - Verifica-se quando os movimentos

macroscoacutepicos do fluido satildeo devidos unicamente a difeshy

renccedilas de densidade das porccedilotildees frias e quentes Podemos citar coshy

mo exemplo aquecimento residencial com resistecircncias eleacutetricas

transformadores etc

b) Convecccedilatildeo forccedilada - Verifica-se quando os movimentos

macroscoacutepicos do fluido sao devidos a agentes externos

isto e a movimentaccedilatildeo do fluido e provocada pela diferenccedila de

pressatildeo causada por bombas ventiladores etc Neste casonatildeo vatildeoixi

fluir portanto somente as condiccedilotildees teacutermicas do processo e as

propriedades fisicas do fluido mas tambeacutem as condiccedilotildees externas

determinantes do escoamento do fluido Sao inuacutemeras as aplicaccedilotildees

da convecccedilao forccedilada na industria em caldeiras reatores etcraquo

3 KEGIMES DE ESCOAMENTO DOS FLUIDOS - IMPORTAcircNCIA NA CONVECCcedilAO

A mecacircnica dos fluidos define dois tipos de escoamento

a) regime laminar

b) regime turbulento

a) Regime laminar - Aquele escoamento onde as partiacuteculas

movera-se em camadas numa direccedilatildeo paralela agrave parede

b) Regime turbulento - Aquele em que as partiacuteculas fluishy

das se movem irregularmente ao acaso sem nenhuma di_

reccedilao determinada

Nos regimes turbulentos junto agrave parede sempre ocorre a

formaccedilatildeo de uma corrente fluida em regime laminar cuja espessura

depende da velocidade meacutedia do escoamento chama-se esta camada de

sub-camada laminar

Laminar 1 Tran- | ^^furtmlento

siccedilatildeo iexcl ^S^

A

l Sub-camada limite laminar

N L

siccedilatildeo iexcl ^S^

A

l Sub-camada limite laminar

N L mdashbull parede plana

Um estudo mais detalhado sobre o escoamento acima

feito oportunamente

3

O regime do escoamento e importante na convecccedilao porque

ele determina qual o mecanismo preponderante na troca de calor enshy

tre parede e fluido

Assim no regime laminar o fluxo teacutermico normal agrave parede

eacute transmitido principalmente por conduccedilatildeo pura neste caso eacute a coji

dutividade teacutermica do fluido que determina a taxa de calor trocada

por convecccedilao

No regime turbulento o fluxo teacutermico eacute transmitido por um

mecanismo composto e complexo Na sub-camada limite laminar o flushy

xo daacute-se por conduccedilatildeo pura e na regiatildeo turbulenta datilde-se porumamls_

tura de porccedilotildees de mateacuteria a temperaturas diferentes

4 CASOS POSSIacuteVEIS DE TRANSFEREcircNCIA DE CALOR POR CONVECCcedilAO

Convecccedilao

Gases e

liacutequidos

Circulaccedilatildeo

Natural

parede plana

horizontal

vertical

parede cilin

drica

horizontal

externa e

internamente vertical

Circulaccedilatildeo

forccedilada

parede

plana

dentro

dos

tubos

escoamento laminar

escoamento turbulento

escoamento laminar

escoamento

turbulento

tubos retos

tubos em espiral

externamente

a tubos

paralelamente aos tubos

ortogonalmente aos tubos

externamente a tubos aletados

4

Cotivecccedilao

Na evaporaccedilatildeo

de liacutequidos

Na condensa-

cao de vaposhy

res

sobre superfiacutecies planas

internamente tubos

externamente tubos

circulaccedilatildeo natushy

ral ou forccedilada

externamente a tubos horizontais

externamente a tubos verticais

sobre superfiacutecies planas verticais

dentro de tubos verticais

5o MEacuteTODOS DE ESTUDO DOS PROBLEMAS DE CONVECCcedilAtildeO

jaacute vimos que a soluccedilatildeo do problema de convecccedilao eacute encon

trar uma expressatildeo para o coeficiente de peliacutecula (h) em funccedilatildeo

das suas inuacutemeras variaacuteveis

- temperatura da parede (t ) w

- temperatura do fluido (t^)

- velocidade do escoamento (V)

- forma $ e dimensotildees caracteriacutesticas (L L L ) da pa

x y z mdash rederaquo

- propriedades do fluido

- condutividade teacutermica (k)

- massa especiacutefica (p)

- calor especiacutefico (c)

- viscosidade dinacircmica (u)

Sendo assim a expressatildeo de h seratilde do tipo

h = h(t t_ V $ L L L k p c u ) w f x y z

Ha vaacuterios processos para chegar a uma soluccedilatildeo

1) meacutetodo analiacutetico

5

2) meacutetodo empiacuterico

3) meacutetodo integrado

Meacutetodo analiacutetico -to estudo para uma partiacutecula do flui

do da transmissatildeo de- calor levando em conta tambeacutem as

equaccedilotildees do escoamento e da continuidade do fluido o que leva a

equaccedilotildees diferenciais de difiacutecil soluccedilatildeo Tais soluccedilotildees em geral

sotilde sao possiacuteveis quando fazemos hipoacuteteses simplificadoras que se

nao forem corretas nos levaratildeo a uma soluccedilatildeo errada

Meacutetodo integrado - Eacute o estudo para um agregado de partiacuteshy

culas e tem o mesmo tipo de soluccedilatildeo que o meacutetodo analiacuteti

co poreacutem para esse agregado

Meacutetodo empiacuterico - Este meacutetodo estaacute associado agrave anaacutelise di

mensional Tal meacutetodo consiste em deduzirmos os nuacutemeros

adimensionais que influem no processo e procurarmos depois atrashy

veacutes da experiecircncia equaccedilotildees que os relacionem

6 ANALISE DIMENSIONAL

0 meacutetodo empiacuterico eacute o mais usado em virtude das dificulshy

dades que os outros apresentam apesar das suas limitaccedilotildees

Devemos tomar dois cuidados especiais para nao chegarmos

a resultados falsos o primeiro eacute obter dados experimentais os mais

corretos possiacuteveis e o outro eacute o de ao considerarmos um tipo de

convecccedilatildeo nao esquecer nenhuma variaacutevel que influa no mecanismo

pois se tal acontecer os nuacutemeros adimensionais obtidos seratildeo com

pletamente diferentes dos reais

Neste estudo usaremos o teorema de Buckingham ou teore

ma dos ir que diz o seguinte

Uma equaccedilatildeo de m variaacuteveis sect (x^ x 2 x^) que por sua

vez sao funccedilotildees de n_ dimensotildees fundamentais pode ser transformada

numa relaccedilatildeo entre (m-n) grupos adimensionais

6

Devemos notar ainda que a analise dimensional e o teore

ma dos TT nao nos permitem obter a relaccedilatildeo matemaacutetica entre os gru

pos adimensionais mas apenas quais os grupos que interferem no

fenocircmenoo

7= CONVECCcedilAtildeO NATURAL

Experimentalmente verificou-se que nesse fenoacutemeno intejr

ferem as seguintes variaacuteveis

Variaacutevel Unidade Dimensatildeo

h - coeflaquo de peliacutecula kcalhr degCm 2 ( M ) ( 0 ) 3 (T) 1

x = dimensatildeo caracteriacutestica m ( L )

AT bull-= diferenccedila de temperatu ra entre parede e flui do

degC (T)

p = massa especiacutefica fluido kgm3 (M) ( L ) 3

y = viscosidade dinacircmica kgsegm ( M ) ( e ) 1 ( L ) 1

6 = coei de expansividade teacutermica

V1

c = P

= calor especiacutefico do fluido

kcalkg degC (D2 ( e ) 2 (T) 1

k = condutividade teacutermica do fluido

kcalm hrdegC OOCDO)3^)1

g raquo aceleraccedilatildeo da gravidade mseg ( L ) ( e ) 2

Dimensotildees

(M) = massa

( L ) = comprimento

(8) = tempo

(T) = temperatura

I

Considerando que apenas estas 9 variaacuteveis influem na con-

vecccedilao natural o fenocircmeno poderaacute ser escrito na forma

B A_C D E F G H I h = A x (AT) bdquo p bdquo u o S Cp k g (1)

Sendo A B C D E F G H I expoentes reaisraquo

De acordo com o teorema dos T T se noacutes temos m = 9 variaacuteshy

veis funccedilotildees por sua vez de n = 4 dimensotildees o fenoacutemeno poderaacute

ser descrito por uma equaccedilatildeo de (9-4=5) adimensionais

Pesquisemos quais sao esses adimensionais Substituindo

na expressatildeo (1) as dimensotildees correspondentes temos

Me 3 T_1 = A LB TC (ML~3)D (Me - 1 ITV (T-1)F

a2 e~ 2 T - 1 ) g (MLe3

0T_1)H ( L e - 2 ) 1

Devido a homogeneidade de unidades da expressatildeo as somas

dos expoentes da mesma dimensatildeo nos dois membros devem ser iguais

(EM) D + E + H - 1 (I)

(26) - E - 2G - 3H - 21 = -3 (II)

(ET) C - F - G - H = -l (III)

(EL) B - 3 D - E + 2G + H + I = 0 (IV)

Solucionando o sistema acima em funccedilatildeo das variaacuteveis C

D G e T vem

Somando (I) e (II)

D - 2 G - 2 H - 2 I = - 2 o H = ~ G - I + 1

Substituindo o valor de H em (III) vem

C - F - G - | + G + I - l = - l F = C - + I

Substituindo o valor de H em (II) vem

8

- E - 2G - -y- + 3G + 31 - 3 - 21 = - 3 E = G + I - -y

Substituindo E e H em (IV) vem

B - 3 D - G - I + - y - + 2 G + | - - G - I + l + I = 0

Voltando agrave expressatildeo (1) temos

h = A x D + I - 1 ( A T ) C pdeg u G + I ~ 3 0 2 g C ~ 0 2 + 1

G D2 - 6 - 1+1 I c p k g

Agrupando os termos de mesmo expoente vem

t A 2 2 - 3 - 1 v D 2 -1 1 n = A (x p bdquo u g o k ) o (x u g k g)

o (AT g ) C (vi k 1 c p )Q o ( x - 1 k g )

h - A ( x 2

3 - p 2 k ) D 2 ( g deg Z)1 (AT g ) C

li 3

C k J x

2 2 h x x p k D 2 x u g gI

k ~ A ^ 3 o

deg 1 k deg

y 3

(AT g ) C ( ^ ) G

Chamando

h bdquo x n = mdash f mdash = Nbdquo = n9 de Nusselt 1 k Nu

T T 2 = p

k

P = N p r = ndeg de Prandtl

rr3 = AT o g

2 2 i

x o p k

4 3 R

M g

Assim os fenoacutemenos de convecccedilao natural sao descritos por

uma equaccedilatildeo do tipo

F ( IacuteW N P r V V V = deg Como as variaacuteveis 3 AT e g na convecccedilao natural soacute in

fluem nas forccedilas de empuxo provocando o movimento macroscoacutepico do

fluido devem aparecer constituindo o produto (g g AT) Para

que isso seja possivel devemos ter

~ = I = C reunindo-se assim os 3 adimensionais tr

T T ^ ir ou seja

ir AT g gt k P 2 X bull P B bull = 3 4 5 u 3 6 k

3 2 x p g g AT bdquo M O j o u c

= 7 = N_ = N9 de Grashof 2 Gr

Finalmente a convecccedilao natural pode ser descrita por uma

equaccedilatildeo da forma

F(Nbdquo N_ Nbdquo ) = 0 Nu Pr Gr

Agora soacute resta obter para cada caso possiacutevel do paraacutegra

fo 4 ps coeficientes desses 3 nuacutemeros adimensionais

8 CONVECCcedilAO FORCcedilADA

Na convecccedilao forccedilada nao influem as forccedilas de empuxo poshy

reacutem influi decisivamente a velocidade do fluido Assim as variaacuteshy

veis que intervecircm no fenocircmeno sao

h = coeficiente de peliacutecula (M) ( 8 ) ~ 3 ( T ) 1

o 10

x = dimensatildeo caracteristica (L)

-1 V = velocidade do fluido (L) (8)

I -3

u = viscosidade dinacircmica do fluido (M) (L)- (0)~

p = massa especifica do fluido (M) (L)

- 2 - 2 - 1 0^ = calor especifico do fluido (L) (6) (T)

k = condutividade teacutermica do fluido (M) (L) ( 0 ) ~ 3 ( T ) 1

0 fenocircmeno eacute determinado por estas 7 variaacuteveis logo coja

forme o teorema dos ir podemos descrever o fenocircmeno por uma equaccedilatildeo

com (7 - 4) = 3 nuacutemeros adimensionais

A equaccedilatildeo de h em funccedilatildeo das variaacuteveis seraacute do tipo

h = A x V u bull P bull c k (2)

substituindo as dimensotildees vem

M e~ 3 T - 1 = A L B (L Q~X)C (M L - 1 e 1 ) 0

(M L 3 ) E ( L 2 e 2 T _ 1 ) F (M L e - 3

T - 1 ) G

Igualando a soma dos expoentes da mesma variaacutevel dos dois membros

vem

(EM) D + E + G = 1 (I)

(Z6) - C - D - 2F - 3G - -3 (II)

(ET) - F - G = -1 (III)

(EL) B + C - D - 3 E + 2 F + G = 0 (IV)

resolvendo o sistema acima em funccedilatildeo de C e G vem

de (III) F = 1 - G

de (II) - C - D - 2 + 2 G - 3 G = - 3

bull D = 1 - C - G

substituindo o valor D em (I) vem

11

1 - C - G + E + G = 1 E = C

substituindo os valores de D E e F em (IV) vem

B + C = l + C + G - 3 C + 2 - 2 G + G = 0

B = C - 1

assim a equaccedilatildeo (2) ficaraacute sendo

C-l bdquoC 1-G-C C 1-G G h = A x V y p c k

P

colocando o coeficiente de k na forma (1-G) + l^j vem

h = A (x V y1 p ) C (ii c k - 1 ) 1 - 0 (x _ 1 k) P

u c hx p x VvC p xl-G k = A ( y gt ( k

ILJLJL = N

k Nu

y c N

e k Pr

p V x _

y N R e = N9 de Reynolds

Logo o fenocircmeno de convecccedilao forccedilada seratilde representado

por equaccedilotildees do tipo

f ( NNugt NPrlaquo N R e ) = 0

9 SIGNIFICADO FIacuteSICO DOS ADIMENSIONAIS

91 - Numero de Nusselt

N = bull h = 2L- _) Nu k AT v

v3 x x=0

eacute uma relaccedilatildeo entre o gradiente de temperatura junto a parede e a

12

variaccedilatildeo total da temperatura do fluido

92 - Numero de Prandtl

Pr = pp = 2 kpc a

P

Relaccedilatildeo entre viscosidade ci nemaacutetica v e a difusividade teacutermica a

93- Numero de Reynolds

N_ = amp Relaccedilatildeo entre as forccedilas de Re u - r bull

ineacutercia e as forccedilas viscosas que interferem no escoamento fluido

94 - Numero de Grashof

H = mdashmdash mdash^mdash 2 mdash amp a relaccedilatildeo entre o pro-u duto (forccedila de ineacutercia )

x (forccedila de empuxo) e o quadrado das forccedilas visshycosas que interferem na convecccedilao natural

11 EQUACcedilOtildeES DE CONVECCcedilAO FORCcedilADA

Por ser o caso mais importante na induacutestria soacute veremos

algumas equaccedilotildees para a convecccedilao forccedilada e deixaremos de lado a

convecccedilao natural por ser menos importante

Para cada tipo de escoamento para cada regime de transshy

ferecircncia de calor e para cada configuraccedilatildeo geomeacutetrica teremos uma

equaccedilatildeo com expoentes e coeficientes diferentes poreacutem sempre com

as mesmas trecircs variaacuteveis

Nbdquo N- N_ Nu Re Pr

Para resolver um problema de convecccedilao devemos antes

avaliar as propriedades do fluido essa avaliaccedilatildeo eacute feita considj

13

rando a temperatura media do fluido isto e a meacutedia aritmeacutetica da

temperatura entre um ponto do fluido junto agrave parede e um ponto onshy

de a temperatura do fluido seja constante longe da parede

Ha casos entretanto que na praacutetica trecircs adimensionais

so nao sao suficientes para expressar o fenocircmeno isto porque as

vezes ha uma propriedade que eacute muito sensiacutevel a uma pequena varia

ccedilao de temperatura logo para estes casos introduzem-se outros adi^

mensionais para levar em conta a dependecircncia dessa propriedade com

a temperatura

Todas as expressotildees foram obtidas experimentalmente A li

teratura especializada tem formulas para todos os tipos possiacuteveis

de geometria Vejamos alguns exemplos

101 ~ Convecccedilatildeo forccedilada sobre superfiacutecies planas

a) regime laminar ( N R g lt 400000)

N T = 0664 (N ) 1 f 2 (N ) 1 ^ 3

NuL ReL u Pr

b) regime turbulento ( N R g gt 400000)

NNuL deg 0 3 6 lt N P r ) 1 3 t gt R e L ) 0 8 1 8 7 deg deg ^

102 - Convecccedilatildeo forccedilada dentro de tubos ciliacutendricos

a) regime laminar (N_ ^ lt 2100) mdash Re D

i

b) regime turbulento Nbdquo _ gt 2100 mdash u Re D

N v _ = 0023 (N_ J 0 8 (Nbdquo ) n

NuD ReD Pr

14

n = 04 para fluido aquecendo

n =raquo 03 para fluido resfriando

Note-se que neste caso houve necessidade de considerar ou

tros adimensionais para aliar a anaacutelise dimensional agrave experiecircncia

no item a) dois outros adimensionais tiveram que ser acrescentados

(DL) e (up s)

Na expressatildeo 101 b) se o N critico for tomado como

sendo 5 x 10 (usado comumente) a expressatildeo usada eacute a mesma a me

nos do termo 18700 que passa a ser 23200

Devemos observar finalmente que estas expressotildees nao se

aplicam a metais liacutequidos e que elas nos datildeo nuacutemeros de Nussel meacuteshy

dios e natildeo locais

15

B - CONVECCcedilAtildeO COM MUDANCcedilA DE FASE - CONDENSACcedilAtildeO (I)

lo INTRODUCcedilAtildeO

Devemos considerar dois tipos de convecccedilao com mudanccedila de

fase que sao a condensaccedilatildeo e a evaporaccedilatildeo

Os problemas de convecccedilao de calor com mudanccedila de fase sao

tao importantes na industria como os de convecccedilao de uma uacutenica

faseraquo Os exemplos mais comuns de sua aplicaccedilatildeo sao os condensadoshy

res e evaporadores usados nos condicionadores de ar geladeiras

caldeiras etc

Neste capiacutetulo estudaremos apenas a condensaccedilatildeo

Os problemas de convecccedilao com fluidos condensando ou evashy

porando sao bem mais complexos que os demais processos de convecshy

ccedilao porque aleacutem de envolver variaacuteveis nao consideradas na conshy

vecccedilao de sistemas de uma so fase tecircm uma variaccedilatildeo nas propriedashy

des fiacutesicas de tal grandeza que essa variaccedilatildeo interfere decisiva

mente no fenocircmeno

2 CONDENSACcedilAtildeO

Eacute a passagem de um vapor para o estado liacutequido pela retishy

rada de calor

21 - Aspectos Gerais

A condensaccedilatildeo eacute realizada fazendo com que o fluido (vashy

por) entre em contato com uma superfiacutecie cuja temperatura esteja

abaixo da temperatura de saturaccedilatildeo do fluido correspondente atilde pres_

sao do vapor

0 coeficiente de peliacutecula relativo ao vapor de aacutegua satushy

rada que condensa sobre uma superfiacutecie fina eacute da ordem de grandeshy

za de 10000 kcalhrm^degC em casos excepcionais chega-se acirc valo-

16

res 50o000-100bdquo000 kcalhrm 2degC Isto eacute obtido a maneira pela

qual a condensaccedilatildeo se produz Ilaacute duas maneiras

1 - condensaccedilatildeo por peliacutecula daacute-se quando o liacutequido con

densado molha totalmente a parede formando urna peliacute

cula continua sobre a mesmaraquo

2 - condensaccedilatildeo por gotas daacute-se quando o liacutequido ao se

condensar rcune-se em gotas que crescem ateacute terem

peso suficiente para escoarenu

0 primeiro tipo eacute o mais comum e eacute o que daacute menor coefishy

ciente de peliacutecula porque a pelicula do liacutequido constitui uma re

sistencia adicional a passagem do calorraquo No segundo tipo chega-se

a coeficientes de pelicula muito maiores pelo fato do vapor estar

sempre em contato direto com a superficie resfriadura isto eacutepor

nao haver resistencia adicional

2o2 - Condiccedilotildees para termos condensaccedilatildeo por peliacutecula ou por

gotas

Sob o ponto de vista da transmissatildeo de calor deveriacuteamos

sempre preferir a condensaccedilatildeo por gotas pois como jaacute dissemos e

a que daacute maior eficiencia teacutermica Acontece poreacutem que tecnologji

camente eacute difiacutecil a obtenccedilatildeo da condensaccedilatildeo por gotas pois haacute

necessidade de termos um vapor puro urna superficie de resfriameii

to perfeitamente lisa (cromeada espelhada) e com resinas para fa

cilitar a formaccedilatildeo das gotas Tudo isso encareceria demais um con_

densador por isso eacute que na praacutetica usamos condensaccedilatildeo por peliacutecu

la quando podemos usar chapas ou tubos comerciais

So em casos muito especiais quando o espaccedilo eacute muito imshy

portante usa-se condensaccedilatildeo por gotas

2 3 - Remoccedilatildeo do Condensado

Um fator importante a considerar na condensaccedilatildeo eacute a remo

17

ccedilao do condensado que sempre se faz por gravidade Ha dois tipos

principais de superficies de condensaccedilatildeo

1 - Tubos ou placas verticais (ou encunadas)

2 - Tubos cilindricos horizontais

Nos tubos verticais a espessura da peliacutecula liacutequida aumen

tara do topo acirc base e com isso variaraacute ao longo do tubo o coefishy

ciente de peliacutecula loacutecalo

No caso dos tubos ciliacutendricos horizontais o liacutequido escoj

re pela parede lateral e goteja pela parte inferior natildeo havendo

possibilidade de formaccedilatildeo de camadas espessas do condensado

2raquo4 - Condensaccedilatildeo por peliacutecula sobre tubos verticais

Nusselt desenvolveu estudos analiacuteticos sobre condensaccedilatildeo

externa a tubos ciliacutendricos verticais partindo das hipoacuteteses

1 - A espessura da peliacutecula do condensado eacute nula na parte

superior do tubo e vai aumentando nas partes inferioshy

res por condensaccedil-ao e escorrimentoraquo

2 - 0 fluido escorre pela parede em regime laminar sob o

efeito combinado do seu peso e viscosidade

3 - A temperatura da camada mais interna do condensado tem

a temperatura da parederaquo

4 - A temperatura da camada mais externa tem a temperatushy

ra do vapor-

5 - A variaccedilatildeo da temperatura da camada do condensado em

sentido ortogonal agrave superfiacutecie do tubo eacute linear

6 - 0 vapor cede apenas seu calor latente

7 - A temperatura do tubo eacute uniforme e constanteraquo

8 - Nao haacute gases incondensaacuteveis no vapor (vapor puro)

Chegou a formula

18

2 3 g P - h L t

N j = 0943 ( r-EcircY~ ) 1 4 (l) NuL y bdquo k o At v

As propriedades da equaccedilatildeo (1) satildeo avaliadas agrave temperatu

ra meacutedia tm

c + t _ w sat

tm ~ onde

t = temperatura da parede

t = temperatura de saturaccedilatildeo do fluido S 3Lt

exceto o calor latente da vaporizaccedilatildeo b^ que deve ser avaliado agrave

temperatura de saturaccedilatildeo correspondente atilde pressatildeobdquo

Quando a superfiacutecie focircr inclinada vale o raciociacutenio de

Nusselt apenas o termo que atua na remoccedilatildeo do condensado natildeo eacute g

mas sim (g seno) sendo 6 a inclinaccedilatildeo da superfiacutecieraquo

Assim a equaccedilatildeo para estecaso seria

2 3 g o sene o p o h o L

NT _ = 0943 ( r~ y (2) NuL y o k o At w

25 - Efeitos a considerar na condensaccedilatildeo

Ha 3 efeitos importantes a considerar na condensaccedilatildeo que

Nusselt natildeo levou em conta sao eles

- efeito da turbulecircncia no filme liacutequidoraquo

- efeito dos gases incondensaveisraquo

- efeito da velocidade do vapor

251 - Efeito da turbulecircncia no filme liacutequido

As formulas anteriores servem para comprimentos de tubos

pequenos pois nesse caso a velocidade de escoamento do condenshy

sado natildeo eacute grande entretanto para superfiacutecies verticais longas

a peliacutecula torna-se bastante espessa e com velocidade grande deshy

mais para que o escoamento possa ser considerado em regime lamishy

nar

19

Nesse caso define-se o numero de Reynolds baseado na veshy

locidade da fase liacutequida isto eacute

p V 6

Nbdquo - m r

Rer y u

onde

V = velocidade do condensado na camada limite m 6 = espessura da camada limite

T = p V m 6 = descarga do condensado por unidade de largju

ra da superficie de condensaccedilatildeo

No calculo da determinaccedilatildeo de T haacute uma certa dificuldade

pois ele soacute pode ser determinado por iteraccedilatildeoraquo

Q = m c laquo A t = h A A t P

A = 2ir R bdquo L (para tubos)

m c = h o 2IumlIuml R laquo L P

m m braquoL _ p a _ _ li li

2TTR C c P P

Como noacutes nao sabemos o valor de h_ devemos inicialmente

adotar um V e obter atraveacutes da foacutermula

NNuL = deggt0134 (R PV L 3 gt 1 3 ( N R e r ) 0 4 ( 4 )

y

o valor de _h se os valores de h_ obtidos por (3) e (4) forem iguais

o problema esta resolvido caso contraacuterio fazem-se tantas iterashy

ccedilotildees quantas forem necessaacuterias

252 - Efeito dos gases incondensaacuteveis

A presenccedila de gases incondensaacuteveis reduz violentamente o

coeficiente de peliacutecula pois acirc medida que o vapor se condensa o

gaacutes nao condensaacutevel se acumula junto atilde superfiacutecie de resfriamento

20

formando uma barreira adicional S passagem do fluxo de calor

A reduccedilatildeo do coeficiente de peliacutecula que a presenccedila des_

ses gases causa depende da fraccedilatildeo em massa dos mesmos na mistu

ra gaacutes-vapor

Fizeram-se inuacutemeras experiecircncias e sobre o assunto a tiacute

tulo de exemplo vejamos o graacutefico abaixo onde temos em abcissas

o coeficiente de peliacutecula obtido experimentalmente e em ordenadas

a fraccedilatildeo de gases dissolvida jio vapor

5000

bullg- 4000 O

3OOO

2000

S 1000

4 6 8 10 12 lt|gt(lbm arlbm de vapor )x 10

Devemos notar a grande influecircncia dos gases incondensatilde-

veis por exemplo quando o vapor eacute puro nos temos um h = 4000se

tivermos apenas 1 de ar dissolvido o coeficiente de peliacutecula fishy

caraacute reduzido agrave metade isto ecirc h = 2000

Por isso nos condensadores sempre se coloca vapor ornais

puro possiacutevel

253 - Efeito da velocidade do vapor

Quando a velocidade do vapor junto agrave interface liacutequido-

-vapor natildeo focircr despreziacutevel surgem forccedilas de atrito entre o vapor

e o liacutequido Se a direccedilatildeo do fluxo do vapor coincide com a direshy

ccedilatildeo do movimento do liacutequido a velocidade do liacutequido aumenta (haacute

compressatildeo) e a espessura do filme liacutequido diminui e consequenshy

temente a transferecircncia teacutermica melhora pois haacute diminuiccedilatildeo da

resistecircncia teacutermica

Se entretanto a direccedilatildeo do vapor focircr contraacuteria a do fil

o 21 laquo

me de liquido ha uma tendecircncia de haver aumento da espessura da pj2

liacutecula diminuindo assim o valor de h

26 - Consideraccedilotildees sobre os resultados obtidos com as foacutermushy

las de Nusselt

Nota-se experimentalmente que os resultados obtidos pelas

equaccedilotildees de Nusselt sao em geral 10 a 20 inferiores do que os reshy

sultados reais Assim a favor da seguranccedila elas sao usadas e aaacuteo_

tadas Os motivos das discrepacircncias jaacute-foram ditas atraacutes no item

25

Devemos notar ainda que o valor de h obtido pelas foacutermushy

las anteriores e o valor meacutedio jaacute que h varia de ponto para ponto

e seria difiacutecil obter uma equaccedilatildeo que nos desse o valor de h locaL

2bdquo7 - Condensaccedilatildeo por peliacutecula externamente a tubos ciliacutendrishy

cos horizontais

0 mesmo estudo de Nusselt pode ser aplicado neste caso

baseado na hipoacutetese de que no topo do tubo a peliacutecula do condensashy

do tenha espessura nula Chega-se a expressatildeo

g p 2 h D 3 14

NT _ = 0725 ( ) (5) NuD u k o At

Analogamente ao caso anterior as propriedades do liacutequido

sao tomadas a

t + t w sat

tm = ^

exceto h que eacute tomado a t

ev n sat

Na situaccedilatildeo atual da tecnologia e possiacutevel obtermos tubos

com diacircmetros suficientemente pequenos para que tenhamos escoamenshy

to do condensado soacute em regime laminar

22

No caso de vaacuterios tubos empilhados a formula (5) deve

ser modificada pois como dissemos ela soacute vale quando no topo do

tubo a espessura do liacutequido eacute nula o que nao acontece neste caso

(Vide figura a)

Vapor

Tubo

mdash Liacutequido

Fig a

Neste caso a forma que nos da o valor meacutedio para h e

g p 2 h D 3 14

NNuD deg gt 7 2 5 lt N u k V At gt

sendo N o numero de tubos empilhados

Note-se que neste caso o coeficiente h cai bastante Uma

boa soluccedilatildeo para o caso quando dispoacuteftos de lugar eacute dispor os tushy

bos defasados (Conforme figura b)

Liquido

Fig b

Neste arranjo podemos aplicar a equaccedilatildeo (5) pois no tp_

po de cada tubo a espessura da camada de condensado eacute nula

23

B - CONVECCcedilAtildeO COM MUDANCcedilA DE FASE - EVAPORACcedilAtildeO (II)

1 INTRODUCcedilAtildeO

Evaporaccedilatildeo consiste na obtenccedilatildeo de vapor por meio de aque

cimento de um liacutequido

Apesar da importacircncia do processo e do sucesso obtido na

praacutetica em projetos de evaporadores o fenocircmeno da evaporaccedilatildeo eacute

um dos pontos menos conhecidos da transmissatildeo de calor

0 primeiro estudo seacuterio sobre o assunto foi feito em 1934

pelo japonecircs Nukiyama poreacutem somente nos uacuteltimos 10 anos tais es-

tudos se intensificaram

Os primeiros pesquisadores quando estudavam o fenocircmeno

do resfriamento de um solido num liacutequido obtiveram as seguintes

curvas

onde

temperatura

velocidade de resfriamento

3 0 v = amdashbull

A 06

Q - fluxo teacutermico

8 - tempo

A - aacuterea do soacutelido

24

tempo

Ateacute os estudos de Nukiyama nao se conseguia explicar o

porque da variaccedilatildeo crescente da velocidade de resfriamento quando

t gt t sol sat

2 PROCESSO DE FORMACcedilAtildeO DAS BOLHAS

Como a evaporaccedilatildeo do liacutequido se faz sobre uma superfiacutecie

aquecedora sobre esta irao se formar bolhas de vapor que influem

decisivamente no fenocircmeno

Aqui soacute iremos estudar as bolhas sob o ponto de vista qua

litativo bem como a sua influencia mas nao sob o ponto de vista

quantitativo

Recentemente Fritz e Jacob WR Gambill e outros estudiacutei

ram o processo da formaccedilatildeo das bolhas sobre a superfiacutecie aquecedpound

ra Atraveacutes de fotografias verificaram que a bolha de vapor ain

da em contato com a parede variava profundamente de forma confo_r

me o angulo de contato entre liacutequido e parede metaacutelica

Assim eacute que se a superfiacutecie de aquecimento nao e excesshy

sivamente polida e a tensatildeo superficial do liacutequido eacute pequena a

bolha tem a forma da figura las diz-se nesse caso que o liquishy

do molha a parede neste caso o angulo de contato e agudobull Se

as condiccedilotildees contrarias se verificarem o acircngulo de contato sera

obtuso e as bolhas tomam a forma da figura ldegb Naturalmente ve

rificara-se as condiccedilotildees intermediaacuterias para o angulo de contato da

25

fig lc

Fig la Fig lb Fig lo

0 estudo analiacutetico da formaccedilatildeo e crescimento das bolhas

pode ser encontrado em diversos livros por exemplo no El-Wakill

(Nuclear Power) no Jakob (Heat Transfer)e outros Neles faz-se

o estudo das condiccedilotildees do liquido (pressatildeo temperatura tensotildees

etc) para haver ou nao formaccedilatildeo de bolha Isto eacute feito fazendo-se

o estudo das bolhas nas seguintes posiccedilotildees

a) bolha no seio do liacutequido

para meia bolha

4 ltP g - P fgt fg

onde

P g P f

- 4 D (D

g

Pf

D

pressatildeo do vapor

pressatildeo do liquido

tensatildeo entre superfiacutecie do liacutequido e vapor

diacircmetro da bolha

^f g

P f Fig 2

26

A equaccedilatildeo (1) mostra que a pressatildeo do vapor deve ser maior

que a do liquido nas condiccedilotildees de saturaccedilatildeo e este por sua vez

deve estar no estado de superaquecimento o

b) bolhas sobre superfiacutecie solida

Fig 3

Condiccedilotildees para desprender

a mdash o_ + o_ cos a gs fs fg

tensatildeo na interfase liacutequida e vapor (depende das

propriedades do liacutequido e vapor)

tensatildeo entre o liacutequido e superfiacutecie de aquecimen

to (depende das propriedades do liquido e da sushy

perfiacutecie)

tensatildeo entre o vapor e a superfiacutecie de aquecimeri

to (depende das propriedades do vapor e da super

fiacutecie)

21 - Formas do fluxo do vapor desde a superfiacutecie de aquecishy

mento ateacute a superfiacutecie livre do liacutequido

Considerando liacutequido vaporizado em tubos verticais pode^

mos ter 4 tipos de fluxo de vapor

1 - fluxo de bolhas

2 - fluxo de agregados (plug ou slug)

3 - fluxo anular

4 - fluxo disperso

Os quatro tipos ficam bem determinados respectivamente

onde

a fg

degfs

a gs

27

pelas 4 figuras abaixo

LIacutequido - Liacutequido Liacutequido

o

^Bocirclha de

vapor

Vapor

mdash [

- Vapor

mdash 0 0

deg_ a-

jrj-

iquestiexcl5

Bolhas Agregados Anular

Liacutequido

vapor

Disperso ou

Homogecircneo

Conforme o tipo de ebuliccedilatildeo podemos ter uma so das forshy

mas acima ou uma mistura

3 INCERTEZAS NO ESTUDO DA EVAPORACcedilAtildeO

Ha trecircs incertezas principais para determinar o fluxo de

calor na evaporaccedilatildeo a saber

- Aacuterea de contato indefinida

- Diferenccedila de temperatura indefinida

- Grau de turbulecircncia

Como realmente nos nao sabemos uma dependecircncia algeacutebri

ca entre o acircngulo de contato e a superfiacutecie ocupada pelo liacutequishy

do (ou vapor) temos uma incerteza na determinaccedilatildeo da aacuterea de tro

ca de calor (A)

Outra incerteza eacute a dificuldade da obtenccedilatildeo de diferenccedila

de temperatura entre o liacutequido e a parede que normalmente assume-

-se como sendo a diferenccedila entre a temperatura da parede e da ebu

liccedilatildeo do liacutequido (temperatura de saturaccedilatildeo = t )

S cl c

Na realidade a diferenccedila de temperaturas nao eacute aquela

pois a camada de liacutequido que cobre a superfiacutecie aquecedora esta

a uma pressatildeo maior que o resto do liacutequido (pressatildeo atmosfeacuterica

mais a hidrostaacutetica) e consequentemente a temperatura de vaporiza_

ccedilao desse liacutequido e maior que a da superfiacutecie Esta diferenccedila po-

28

deria ser calculada desde que se conhecesse a relaccedilatildeo entre presshy

satildeo e temperatura de saturaccedilatildeo do liacutequido entretanto haacute incerte

za quanto ao verdadeiro peso especiacutefico da coluna de liacutequidopois

trata-se de uma mistura de bolhas de vapor e de liacutequido em proshy

porccedilatildeo variaacutevelraquo

4 REGIMES DE EBULICcedilAtildeO

Nukiyama estudando a ebuliccedilatildeo da aacutegua num recipiente a

quecendo-a com resistencias eleacutetricas construiu a curva baacutesica da

ebuliccedilatildeo Todos os liacutequidos apresentam uma curva semelhante vashy

riando apenas os valoresraquo Os pontos caracteriacutesticos da curva deshy

pendem de caracteriacutesticas difiacuteceis de definirtais como natureza

do metal estado da superficie (rugosidade) dimensotildees orientashy

ccedilatildeo do fluxo quantidade de gases dissolvidos e t c

Estudaremos o fenocircmeno para o caso de aacutegua destiladasem

gas dissolvido a temperatura de saturaccedilatildeo 100 C pressatildeo atmosfe_

re uma superficie plana

Chega-se assim acirc curva

rica sobre uma superficie plana horizontal a temperatura t^

In ltJgt

At (degC)

A curva acima representa o aquecimento de agua com uma re_

sistecircncia eleacutetrica (ate ebuliccedilatildeo)raquo Temos em abcissas as diferenccedilas

de temperatura entre o liacutequido e a resistecircncia em ordenadas o flu

29

Regiatildeo I

Regiatildeo II

Regiatildeo III

Regiatildeo IV

xo de calor por unidade de area

Na curva notam-se 4 regiotildees bem definidas tendo cada uma

o seu significado fiacutesico os quais correspondem a um tipo de ebuli

ccedilao

convecccedilao natural

ebuliccedilatildeo nucleada

ebuliccedilatildeo por peliacutecula parcial

ebuliccedilatildeo por peliacutecula estaacutevel

41 - Convecccedilao natural

Ocorre quando At eacute inferior a 8degCformam-se no liacutequido

correntes convectivas as quais transferem o calor ateacute a superfiacuteshy

cie livre do liacutequido e aiacute desprendendo o vapor Neste caso o valor

de h eacute da ordem de 2000 kcalm^hdegC

42 - Ebuliccedilatildeo nucleada

Ocorre quando o At eacute maior que 8degC e menor que 25degC Nesshy

te caso as bolhas formam-se junto a superfiacutecie de aquecimento

crescem liberam-se movimentam-se em direccedilatildeo agrave superfiacutecie livre do

liacutequido onde estouram libertando o vapor As bolhas formam-se nas

irregularidades da parede tecircm um acircngulo de contato agudo e porshy

tanto hatilde liacutequido sempre em contado com a parede (molha a parede)

cada ponto ativo (lugar onde se formam as bolhas) libera uma porshy

ccedilatildeo de bolhas e os outros pontos do liacutequido ficam em contato com a

superfiacutecie quente violentamente agitados Esta agitaccedilatildeo extrema eacute

mais eficaz que uma turbulecircncia criada artificialmente Por esse mo

tivo a curva cresce violentamente nesse trecho (m = 3 a 7) pois

bull 2 o o valor de h cresce consideravelmente (ate 46000 kcalm hr C) e

o fluxo teacutermico transmitido ao liacutequido cresce proporcionalmente a

Quando cresce crescem tambeacutem

(At) 3

30

numero de bolhas por unidade de aacuterea (num instanshy

te)

~ = crescimento da bolha (com o tempo)

frequecircncia de iacuteormaccedilao de bolhas

A medida que o At vai aumentando iraacute aumentando (jgt tam-- n o N

bem e consequentemente mdash R mdash a a a tal ponto que quando atiacuteii

girmos o ponto da curva nao haveraacute mais formaccedilatildeo de bolhas

mas sim uma peliacutecula de vapor instaacutevel passando assim a 3a re

giao que estudaremos a seguir

43 - Ebuliccedilatildeo por peliacutecula parcial

Como dissemos no item anterior se aumentarmos ainda mais

o At (entre 25degC e 125degC) teremos a formaccedilatildeo de uma peliacutecula de

vapor instaacutevel sobre a superfiacutecie quente que aacutes vezes eacute perfurashy

da pelo liacutequido A camada de vapor tanto mais estaacutevel seraacute quanshy

to maior focircr o At Essa peliacutecula de vapor iraacute provocar um decreacutes_

cimo consideraacutevel no fluxo teacutermico porque como sabemos o vapor

eacute muito pior condutor que a aacuteguaraquo

0 fluxo vai decrescendo ateacute um ponto miacutenimo (iexclgt mintilde (as vecirc

iacutebo bullraquo 1

zes chega a ser mdashj-) e e o chamado ponto de Liedenfrost 0 coeshy

ficiente de peliacutecula neste caso cai violentamente (h = 2000

kcalm^hrdegC)

44 - Ebuliccedilatildeo por peliacutecula estaacutevel

Aumentando ainda mais a diferenccedila de temperaturas

At ( gt 125degC) iremos conseguir uma camada de vapor estaacutevel Ela

transmite calor da superfiacutecie quente ao liacutequido que se vaporiza de

modo que o excesso de vapor formado na interface liquido-vapor for

ma bolhas que sobem para a superfiacutecie 0 liacutequido encontra-se agi-

31

tado poreacutem nao toma contato com a superfiacutecie soacutelida

A peliacutecula de vapor eacute estaacutevel e o fluxo eacute proporcional a

34

(At) (lei de Bromley) Para At grandes passa a influir sensivel^

mente a radiaccedilatildeo teacutermica mais uma razatildeo para demonstrar que nesshy

ta regiatildeo o fluxo cresce novamente

5 CONSIDERACcedilOtildeES E COMPARACcedilAtildeO ENTRE OS TIPOS DE EVAPORACcedilAtildeO

BURNOUT

Sob o ponto de vista de eficiecircncia teacutermica deveriacuteamos sem

pre trabalhar no ponto de fluxo maacuteximo isto eacute no ponto correspon

dente a lt(gt da curva de Nukiyama pois eacute o que daacute maior coeficieri

te de peliacutecula

Acontece poreacutem que se impomos a temperatura da parede

fixa obtemos um uacutenico valor de lt(gt e portanto o fenocircmeno eacute estaacutevel

Poreacutem se como ocorre nos reatores impomos um fluxo teacuter

mico a curva de Nukiyama apresenta 3 pontos de funcionamento posshy

siacuteveis A B C

1

SOacute os pontos A e C sao funccedilotildees estaacuteveis mas eles impotildeem

acirc superfiacutecie quente temperaturas bem diferentes

Na industria em geral trabalha-se por questotildees de segushy

ranccedila na regiatildeo IV da curva poreacutem para os reatores trabalha-se na

32

r e g i atilde o I I

0 p r o b l e m a de t r a b a l h a r n a r e g i atilde o II eacute q u e se n oacute s e s t i shy

v e r m o s t r a b a l h a n d o n o p o n t o e x t r e m o (j) e se p o r q u a l q u e r m o t i v o

h o u v e r u m p e q u e n o a c r eacute s c i m o d e ltfgt i r e m o s t r a b a l h a r i m e d i a t a m e n t e no

p o n t o M q u e t e m o m e s m o $-^0t p o r eacute m c o m A t 2 m u i t a s v e z e s m a i o r

p o d e n d o o c a s i o n a r a f u s atilde o d a s u p e r f iacute c i e a q u e c e d o r a E s t e f e n ocirc m e n o

eacute c h a m a d o d e b u r n o u t

0 f l u x o lttgt eacute c h a m a d o f l u x o c r iacute t i c o o u f l u x o d e b u r -b o

n o u t N o c a s o do r e a t o r d e v e m s e r t o m a d a s m e d i d a s r i g o r o s a s q u a n

to agrave r e g u l a g e m do f l u x o t eacute r m i c o p a r a q u e n atilde o o c o r r a o b u r n o u t 1 1

p o i s d e l e p o d e r e s u l t a r r u p t u r a d a c a m i s a do c o m b u s t iacute v e l e h a v e shy

r aacute p o r t a n t o c o n t a t o do r e f r i g e r a n t e c o m o s s oacute l i d o s e g a s e s r a shy

d i o a t i v o s

5 o l - R e l a ccedil atilde o d e B u r n o u t

E c l a r o q u e p a r a t e r m o s u m r e a t o r m a i s e f i c i e n t e d e v e shy

m o s t r a b a l h a r c o m u m f l u x o o m a i s p r oacute x i m o p o s s iacute v e l do f l u x o d e

B u r n o u t P a r a t a n t o d e v e m o s c o n h e c e r c o m o m a i o r g r a u d e certe

za p o s s iacute v e l q u a l o ^ p a r a p o d e r m o s r e d u z i r o c o e f i c i e n t e d e s e shy

g u r a n ccedil a ( W R G a m b i l l r e c o m e n d a agrave 1 5 )

N o s s e m i n aacute r i o s d e W R G a m b i l l e n c o n t r a m o s u m a s eacute r i e de

b i b l i o g r a f i a s o n d e p o d e m o s e n c o n t r a r i n uacute m e r a s f oacute r m u l a s p r o p o s t a s

p a r a a o b t e n ccedil atilde o de (q 1^)

A t i t u l o d e e x e m p l o v e j a m o s a l g u m a s

q - 2 7 0 G deg gt 8 5 D 0 2 A085 p lt 150

deg D ( L uuml ) 2

q - 140 G 0 5 D ~ deg 2 (-~-)~deg 1 5 p ~ r gt 150 c D (LD)

o n d e a m b a s as e q u a ccedil otilde e s s oacute v a l e m p a r a aacute g u a e m b a i x a p r e s s atilde o e m coii

v e c ccedil a o f o r ccedil a d a

33

D

L

fluxo teacutermico critico BTUhrft bdquo 2

descarga em massa do liquido (Ibmhrft )

diacircmetro do tubo ft

comp do tubo ft

Para cada caso temos uma expressatildeo diferente que pode ser

encontrada em literatura especializada

6 INFLUEcircNCIA DE OUTROS PARAcircMETROS NO FLUXO DE BURNOUT

Como para os usos atuais do reator a diferenccedila de temppound

ratura entre parede e fluido sao pequenas bem como o fluxo de bur

nout recentemente fiacutesicos como Jakob Bonilla WR Gambill estu

daram outros paracircmetros que influenciam bastante o sect^ 0gt isto eacute a

influecircncia desses paracircmetros faz com que o ^ seja maior Isto eacute

util pois quanto maior o fluxo de burnout maior poderaacute ser o

fluxo de calor real de funcionamento

Tais meios sao

- Sub-resfriamenCcedilo do liacutequido

61 - Influecircncia da velocidade do liacutequido

Estudos feitos pelos autores acima chegaram agraves curvas

- Aumento da velocidade imposta ao liacutequido

- Pressatildeo do liacutequido elevada

alto V

At

34

Para velocidades maiores o fluxo de burnout aumenta

porque neste caso o regime eacute turbulento e o coeficiente de peliacute

cuia h aumentao

6bdquo2 - Influencia do aumento da pressatildeo

Este estudo deve-se a Bonilla que obteve experimentalmen

te as curvas

Este estudo foi feito para vaacuterios liacutequidos e chegou a con

clusao que sempre havia uma pressatildeo oacutetima isto e uma pressatildeo que

leva ao maior iacute 1 ^ raquo mantidas as demais condiccedilotildees Experimentalmenshy

te notou que essa pressatildeo correspondia a 13 da pressatildeo critica

do liquido em questatildeo

6=3 - Influecircncia do sub-resfriamento

Consiste em manter atilde custa de uma circulaccedilatildeo intensa o

liacutequido a uma temperatura inferior atilde de saturaccedilatildeo para a pressatildeo

correspondenteraquo Experimentalmente chega-se agraves curvas

mdash A t grande sub

bullAt -0 sub sub

medio

At

35

Verificando os graacuteficos vemos que o lt)gt aumenta agrave medida bo

que aumenta a diferenccedila de temperatura de sub-resf riamento isto pojr

que o liquido como estaacute mais frio faz com que algumas das bolhas

recondensem permitindo que o liquido fique em contato com a parede

quente o que faz aumentar o h

^ f csub = t e m P e r a t u r a ddeg liacutequido - temperatura de saturaccedilatildeo

A diferenccedila de temperatura At entre fluido e parede tamshy

beacutem aumenta poit na regiatildeo proacutexima agrave parede haacute necessidade de

levar o liacutequido da temperatura do sub-resfriamento ateacute a temperatu

ra de saturaccedilatildeo quando se evapora

Atualmente os maiores estudos dos fiacutesicos nucleares locashy

lizam-se neste campo pois eacute o que oferece maiores vantagens

7 FORMULAS PARA 0 CAacuteLCULO DO COEFICIENTE DE PELIacuteCULA NA EBULICcedilAtildeO

Como ocorre no caacutelculo de todas as foacutermulas de convecccedilatildeo

temos formulas empiacutericas para determinar o h conforme o tipo de

ebuliccedilatildeo que nos consideramos

71 - Ebuliccedilatildeo Nucleada

Para o caso de aacutegua temos as relaccedilotildees

superfiacutecies

horizontais

superfiacutecies

verticais

f aacute 5000 BTUhrft 2 -gtbull h = 151 ( A t ) 1 3

A o

5000 lt 75000 -h = 0618 (At)3

^ pound 1000 -raquobull h = 8 7 ( A t ) 1 7

A o -

1000 lt $ lt 20000 -gt h = 027 (At) A o

Quando a pressatildeo e diferente da atmosfeacuterica faz-se a correccedilatildeo

3 6

72 - Ebuliccedilatildeo por peliacutecula

Bromley propocircs uma boa equaccedilatildeo para a ebuliccedilatildeo por peliacuteshy

cula estaacutevel em cilindros horizontais

Nu

_ JtjD n r 9 P v bull ( P L - P v gt - g -h

e V bull D i2

D 1 ^ U b Z u At gt

onde

V = indica vapor

L = indica liacutequido

Multiplicando ambos os membros da equaccedilatildeo acima por

kvD obteremos a expressatildeo do coeficiente de convecccedilagraveo meacutedio para

o caso

37

C - FORMULAS PARA CAacuteLCULOS ESPECIacuteFICOS - RESULTADOS ESPECIacuteFICOS

1 FLUXO DE CALOR CRIacuteTICO - BURNOUT

lol - Introduccedilatildeo

O aspecto mais importante no que se refere agrave seguranccedila

dos reatores da transferencia de calor na ebuliccedilatildeo eacute a determina

ccedilatildeo do Fluxo de calor critico ou de pico ou burnout

Como jatilde vimos quando temos a ebuliccedilatildeo nucleada a dishy

ferenccedila de temperatura entre refrigerante e superfiacutecie de aqueci

mento e pequena poreacutem quando atingimos o fluxo de calor criacutetico

essa diferenccedila de temperatura pode tornar-se imediatamente muishy

to grande podendo causar a ruptura da superfiacutecie de aquecimento

se atiigirmos o ponto de fusatildeo do soacutelidoraquo

Usando a convecccedilao

onde

At sat

w

sat At

sub

w = temperatura da parede de aquecimento

t t = temperatura de saturaccedilatildeo do liacutequido

t^ = temperatura de mistura do liacutequido

At = (t -t ) sub-resfriamento do liacutequido sub N sat b 1

nout

Ha dois tipos de burnout fast burnout e slow bur-

Ocorre o fast burnout (burnout raacutepido) quando A t g u b gt 0

38

ou para baixo x (~ lt 10) sendo x o titulo do vapor

Temos o slow burnout para x - gt 10 Assim noacutes tereshy

mos dois limites para o burnout

At bull o (ltJgt ) t =((() para t = t ) -

bo m m possiacutevel w sat

sub i

4L + 1

G c D h pl nb

(ltK ) = (ltpound para x = 1) = Dv-bo max possiacutevel e 4L

c At l + P 1 sub i

onde

L = comprimento do canal

D = diacircmetro do tubo

G = descarga de liacutequido (por unidade de aacuterea)

c ^ = calor especiacutefico do liacutequido

Agrave = calor latente de vaporizaccedilatildeo

h ^ = coeficiente de transferecircncia de calor na regiatildeo de

nao ebuliccedilatildeo

iacutendices

i = entrada

e = saiacuteda

Haacute inuacutemeras expressotildees para determinaccedilatildeo do burnout pro

postas por muitos fisicos cada uma aplicando-se a um caso especiacuteshy

fico vejamos algumas delas

12 - Equaccedilotildees para prediccedilatildeo de Burnout

121 - Equaccedilatildeo de Bragg e Smith (Zuber)

Num artigo publicado por Bragg e Smith encontramos uma f oacute_r

mula que e derivada da formula de Kutateladze e nos daacute o fluxo cri

39

tico quando nao temos sufaresfriamento

bo poolsat v V raquoc a ( p l P V )

2 PV

14

onde

ltiexclgt = fluxo de calor critico bo

k = constante

Ly = calor latente de vaporizaccedilatildeo do refrigerante

= densidade do liquido

pvr = densidade do vapor V a = tensao superficial

g = fator de conversatildeo c

a = aceleraccedilatildeo da superficie de aquecimento

Os autores encontraram para k um valor de 062 entreten

to outros autores como Zuber incluindo outras variaacuteveis que In

fluiam no fenocircmeno encontraram k variando entre 008 e 023Esshy

tudos bem elaborados mostram que o valor mais aproximado eacute

k = 015 (- 003)

1-22 - Equaccedilatildeo de Noyes

Noyes estudou o burnout para o soacutedio agua e alguns liacute

quidos orgacircnicos

( W s a t ~ bdquo 0245 bull ( r ( 1 )

iiacute_ V 1 Pr

onde

N n = Nuacutemero de Prandtl da fase liacutequida x r

Mais tarde o proacuteprio Noyes alterou a equaccedilatildeo para

n ^ - n H Iacute I Pl PV gt0538 deg g c a q 4 ( W s a t deg 1 1 6 PV ( - p 7 ~ ) (77T1^ ) ( 2 )

40

A ultima correlaccedilatildeo proposta por Noyes foi

a n prPV0560 112

1

(a bull a) 13

(ag c) 112

(3)

onde

a = difusividade teacutermica do liacutequidoraquo A equaccedilatildeo (3) eacute bashy

seada em todos os dados de burnouts do soacutedio bem

como da atildegua benzeno difenil e outros De 111 pontos usados 90

+ estatildeo relacionados dentro de - 30bdquo

ldeg2o3 - Burnout com convecccedilao forccedilada e sub-resfriamen

to

Aproveitando os resultados de aproximadamente 240 testes

de burnouts com aacutegua sub-resfriada em fluxo de convecccedilao forccedilashy

da feitos na Ruacutessia Labuntsov elaborou uma boa equaccedilatildeo empiacuterica

para o problemabdquo

Esta relaccedilatildeo aplica-se para velocidades entre 2 3 e 148

ftsec pressotildees entre 1 e 201 atmabs sub-resfriamento entre 0 deg

e 432 degF e fluxos de burnout entre 0 4 x IO 6 x 166 x 1 0 6 BTUhr

2 bdquo

bullbo

onde

e a seguinte

6 ( P ) 1 + 0 2 3 2 V 2

14

e ( P ) 1 +

15 c At _p_ sub

12 (a)

9 ( P ) - P 1 3 o ( 1 - P J 4 3

red

= pressatildeo (atm abs)

pressatildeo reduzida = mdash mdash red r P

t_ c = pressatildeo critica

= velocidade do liacutequido (ftsec)

= calor especiacutefico do liacutequido (BTUlbdegF)

4 1

^ tsub = ^ ^ e r e n Ccedil a ^ e temperatura entre a temperatura de

mistura do liacutequido e a de saturaccedilatildeo (degF)

X = calor latente de vaporizaccedilatildeo (BTUlb) 2

ltiacutegtbo = fluxo de burnout (BTUhrfl )

Uma outra correlaccedilatildeo para o caso foi proposta por

Ornatsky e Xiohigin que fizeram experiecircncias para pressotildees entre

10 e 1 5 0 3xm 90 degF lt At ^ lt 4 5 0 deg F 3 7 1 0 6 ( l b h r o f t 2 ) lt G lt

2 2 2 10 b ( l b h r bdquo f t 2 )

lt ^ = 3 2 5 0 (G o A t bdquo J deg 6 ( - i - ^ ) 2 5 ( b ) bo sub

onde

G - descarga de refrigerante por unidade de aacuterea

P ^ v P v - densidades do liacutequido e do vapor

P1~ PV -0 termo (mdash ) e incluido na expressatildeo (b) para indicar

a influecircncia da ^ pressatildeo sobre o

Uma comparaccedilatildeo entre as equaccedilotildees (a) e (b) foi feita para

o Reator de Isoacutetopos de Alto Fluxo (HFIR) nas condiccedilotildees aacutegua a

600 psia velocidade = 45 ftsec e sub-resfriamento = At^^ 1

degF obtendo-se uma diferenccedila de 6 5 entre ambos (4gt = 6 0 5 1 0 b

2 ~ 6 2 BTUhr ft pela equaccedilatildeo (a) e 6 4 5 10 3TUhrraquoft pela equaccedilatildeo

(b)

Ilatilde ainda a equaccedilatildeo de Ivey e Morris aplicaacutevel somente pa_

ra ebuliccedilatildeo com grande quantidade de liacutequido

( c sub t

Cpf bull A tsub

( bull ) s ~ V P bdquo 10 h V sat V g

onde

(ltL ) = fluxo critico com sub-resfriamento c sub

(ograve ) ^ - fluxo critico sem sub-resfriamento c sat

42

c ^ = calor especiacutefico do liacutequido

= calor latente de vaporizaccedilatildeo

124 - Burnout com convecccedilao forccedilada e ebuliccedilatildeo por bocirc-

Ihas

Gambill fez uma extensatildeo da equaccedilatildeo de Levy e aplicou o

metqdo da superposiccedilatildeo Tal extensatildeo consiste natilde subtraccedilatildeo de uma

razatildeo equivalente de massa transferida dos termos que represenshy

tam a ebuliccedilatildeo e convecccedilao para levar em conta a presenccedila do vashy

por no fluxo

A correlaccedilatildeo pode ser escrita assim

24 V P V

o g c a (p^Py) 14

+ 0696 (k p c ) 12

(

pr p v )i4 o g c a (P-L-Py) 18

bull At + h sub nb

044 p v L v G (g1) bull N2 n

p l P V

( pr p v ) d e 2-7

2 4 TT 0

14 ( f e _ ^ r l 3

lO^u

onde

k = condutividade teacutermica

c = calor especiacutefico

A t s u b ~ s ub-resfriamento do liacutequido

h = coeficiente de transferecircncia de calor de nao ebu nb mdash

liccedilatildeo

G = descarga total do refrigerante

43

d g = diacircmetro equivalente do tubo ou canalraquo

]i = viscosidade

B = constante adimensional

Os iacutendices V e 1 representam vapor e liacutequido respectiva

mente

0 primeiro termo entre chaves da equaccedilatildeo representa o flu

xo de calor no burnout de sub-resfriamento em convecccedilao forccedilada 0

segundo termo entre chaves corresponde ao fluxo de calor transferi^

do para a massa da fase vapor

1-25 - Burnout por Bloqueio da Base

Ocorre quando a profundidade do recipiente eacute muito maior

que a largura 0 bloqueio da base eacute causado pela formaccedilatildeo de uma pe_

licula de vapor na base impedindo que o liacutequido toque o fundo do

recipiente

i De

Este eacute o burnout por flooding isto eacute burnout por expul

sao do liacutequido Uma equaccedilatildeo que nos dacirc o fluxo minimo do burnout

parao caso eacute

44

onde

D g = diacircmetro equivalente

L = comprimento do tubo

= calor de vaporizaccedilatildeo

p^Py Ap = densidade do liacutequido do vapor e diferenccedila en

tre ambos

Para um fluxo de calor maior ou igual ao dado pela expres_

sao acima (mantida a mesma geometria) teremos burnout Para um deshy

terminado fluxo existiratildeo sempre um comprimento L e um diacircmetro equi

valente D e para os quais temos burnout Exemplo

L (in) D e(in)

10 11

100 51

1000 235

2 RESULTADOS ESPECIacuteFICOS - FOacuteRMULAS PARA CAacuteLCULOS ESPECIacuteFICOS

21 - Diferenccedila de temperatura At i

13 a t

sat

At sat

poundatildeJL_ raquo t - t J p T T 6 w sat

onde

o laquo tensatildeo superficial entre liquido e vapor

t - temperatura de saturaccedilatildeo do liacutequido para a corres-Scl t

pondente pressatildeo

J equivalente mecacircnico do calor

X laquobull calor latente de vaporizaccedilatildeo

py = densidade do vapor

6 = espessura da camada de liacutequido superaquecido onde

45

k l

h nc

onde

k^ = condutividade teacutermica do liacutequido

h = coeficiente de peliacutecula nc r

Segundo Eckent h ^ c e dado por

P 2 Q

nc 3 V VP + 0952

r

onde

D = diacircmetro equivalente

G r = numero de Grashoff

P = nuacutemero de Pradtl

2 o 2 - Velocidade das bolhas

A velocidade das bolhas em meacutedia pode ser dada pela exshy

pressatildeo

V bdquo = Iacute ( a bull B Apl4 bolhas 5 ^ 2

p l onde

AP = P L - P v

Expressatildeo que vale quando a aceleraccedilatildeo eacute a da gravidade

baixa viscosidade do liacutequido e bolhas separadas

Vbolha = f t s e atilde m a x para aacutegua

2 bdquo3 - Diacircmetro das bolhas

2gc deg 12 D = 0015 3 ( mdash mdash 7 ~ ) d g Ap

5 =

46

onde

8 = acircngulo de contato (20 a 90deg) geralmente assume-O -1

-se igual a 50 para a agua em contato com metal

24 - Coeficiente de peliacutecula na ebuliccedilatildeo nucleada

a) Equaccedilatildeo de Rohsenow

Esta equaccedilatildeo nos datilde o fluxo de calor q na ebuliccedilatildeo nushy

cleadaraquo E oacutetima expressatildeo para muitos liacutequidos o efeito da presshy

satildeo eacute levado em conta na variaccedilatildeo das propriedadesraquo

Pf

fg

sat 17 = c

sg k y f h f g g( P f-p g)

n033

onae

Pf

fg

Pf Pg c sg

= fluxo de calor requerido (BTUhr0ft^)

= calor especiacutefico do liacutequido saturado (BTUlbm0F)

= calor latente de vaporizaccedilatildeo (BTULbm)

= nuacutemero de Prandtl

= viscosidade do liacutequido (lbrahrraquoft) ~ 8 2

= fator de conversatildeo 417 10 Ibmftlbflaquohr 2

= aceleraccedilatildeo da gravidade (fthr )

= tensatildeo superficial na interface liacutequida vapor

(lbfft) 3

densidade do liquido e vapor (lbmft )

constante adimensiacuteonal que depende de vaacuterios fashy

tores dentre os quais o grau de aquecimento en_

tre o fluido e a superfiacutecie de aquecimento e o

mais importanteraquo Independe da pressatildeo do sistema b) Equaccedilatildeo de Levy

Equaccedilatildeo valida para a aacutegua quando 100 lt p lt 2000 psiacutea

47

43 bdquo3

qu bdquo gat ^ T J h r t f t ^

495

25 - Calculo do fluxo de calor no Ponto de Leidenfrost

0 ponto de Leidenfrost como vimos eacute o ponto em que oflu

xo de calor comeccedila ncamente a crescer isto eacute o ponto onde termal

aa a ebuliccedilatildeo instaacutevel e comeccedila a ebuliccedilatildeo por peliacutecula estaacutevel Eacute

o chanado fluxo miacutenimo (egrave ) m m

Aproximadamente quando A t g u k = 0 temos

A _ mdash _ mdash (Gambill) m m 5

Ha entretanto varias expressotildees para determinar esse flu

xo eis uma delas

A p 14 ltjgt = 009 h pbdquo (o raquo g mdash ) y m m fg P V deg 2

p l

26 - caacutelculo do fluxo de calor na regiatildeo de ebuliccedilatildeo por peliacute

cuia estaacutevel

para cilindros jmdashi i li

_ D 0172 k-V - P V A p h l V bull S 14 li - = 062 (mdashmdash) (- j- r rmdash) convecccedilao A 0 ybdquo (t -t )

c V w sat

onde

= condutividade do vapor

- 2 TT ( mdash )

c gAp Vl = significam vapor e liacutequido respectivamente

para paredes verticais

L 0172 S deg7 A p bull hlV S q 4 h - - 080 (-^-)J- (-Iuml - Iacutemdash-convecccedilao X L u (t - t J)

c V w sat

48

Como nesta regiatildeo jaacute haacute nina influecircncia marcante da radia

ccedilao devemos levar en conta tambeacutem o coeficiente de peliacutecula de

vido a radiaccedilatildeo para determinar o coeficiente de peliacutecula total

Dos estudos atildea radiaccedilatildeo temos

h = a F pound(T 4 - T 4 J ( T ~ T ) rad w sat w sat

onde amp _ emissividade de superfiacutecie

a = constante de Stefan-Boltzman

F = fator de forma

Segundo WE Gambill o coeficiente de transmissatildeo total

ceve ser

3 iacutei = h + -7 h para h lt h t conv 4 rad r rad conv

Na expressatildeo acima existe o fator 34 porque a radiaccedilatildeo

faz variar um pouco a espessura do filme de vapor reduzindo asshy

sim o l l

conv

Quando tivermos h gt h gt o h^ ^ seraacute rad conv total

h f c = h + h t conv rad

Neste ultimo caso nao ha nenhum coeficiente porque a peshy

liacutecula de vapor jaacute eacute estaacutevel

27 - Grandezas caracteriacutesticas para a apua

Para pressatildeo igual a 1 atm = 1422 psia

At ^ = t - t = 5degC (iniacutecio da ebuliccedilatildeo nucleada) sat w sat 1

At t = 30degC sat crit

49

5 2 $ = 4 10 BTUhrft (para pressatildeo 1 atm)

0 fluxo critico cresce como vimos com a pressatildeo ate

atingir o maacuteximo quando a pressatildeo eacute aproximadamente 13 da pressatildeo

criacutetica Esse fluxo eacute

bull = 13 IO 6 BTUhrft 2 para p = 11000 psia (p pound = 32062 psia)

Ainda temos que para pressatildeo igual a 15 psia

h b o = 11000 BTUhrft degF - ebuliccedilatildeo nucleada

h f b = 30 BTUhrft 2 degF - ebuliccedilatildeo pelicular

Todos os resultados e formulas para caacutelculos especiacuteficos

apresentados nos itens 21 22 23 ateacute 27 sacirco aplicados somente

para sistemas onde haja ebuliccedilatildeo com grande quantidade de liquido

51

D - HIDRODINAcircMICA DOS SISTEMAS E QUEDA

DE PRESSAtildeO DENTRO DE UM CANAL

1 HIDRO-DINAcircMICA E QUEDA DE PRESSAtildeO

11 - Hidro-dinacircmica dos sistemas estaacuteveis

111 - Regimes de escoamento

A evoluccedilatildeo do escoamento ao longo de um canal aquecedor

de secccedilatildeo constante ciliacutendrico pode ser esquematizada pela figushy

ra 1 onde temos em abcissa o comprimento z do canal e em ordenada

a temperatura (T)

52

Na figura 1 nos representamos

a) 0 aspecto do escoamento fluido quando a entalpia do

- fluido aumenta Verificamos que o fluido entra no cashy

nal no estado liacutequido e assim permanece ateacute atingirmos a zona de

ebuliccedilatildeo local onde aparecem as primeiras bolhas A entalpia do

fluido continua aumentando e tem inicioa ebuliccedilatildeo franccedila onde as

bolhas se unem formando agregados posteriormente o escoamento to

ma a forma da figura ou seja torna-se anular disperso Finalmente

atingimos duas uacuteltimas fases do escoamento disperso (vapor uacutemido)

e vapor seco

b) A evoluccedilatildeo da temperatura meacutedia do fluido e da tempeshy

ratura da parede Note-se que a partir da cota a

temperatura da parede aumenta brutalmente podendo causar o

burnout

c) A evoluccedilatildeo do tiacutetulo do vapor (x) com o comprimento

do tubo e a evoluccedilatildeo da fraccedilatildeo (a) que definiremos no

item 11laquo2 com o comprimento do tubo

112 - Definiccedilotildees

a) Tiacutetulo ou qualidade do vapor (x)

massa de vapor na mistura x ~ massa total da mistura

x =

W _g_

g f

b) Fraccedilatildeo vazio (void fraction)

volume do vapor na mistura a = volume total da mistura (agua+vapor)

A relaccedilatildeo entre x e a num sistema parado pode ser obtida

assumindo um certo volume contendo 1 lbm de mistura em equiliacutebrio

teacutermicoraquo

53

O volume da mistura seraacute igual a (v + xv ) ft onde v eacute 3 r rg

o volume especifico (lbmft )

f - refere-se ao liquido

g - refere-se ao vapor

fg - refere-se a diferenccedila entre liacutequido e vapor

Numa mistura em equiliacutebrio se o liacutequido e o vapor estatildeo

saturados o volume do vapor presente eacute igual acirc sua massa vezes

seu volume especiacutefico v assim e

xv bdquo bdquo a mdash

V c + XV c

f gf

onde

- bull-bull uumlutiacuteisa vapor na mistura de 1 Ibm

v volume especiacutefico do liacutequido

v = volume especiacutefico do vapor o

V c = v - V

gf 8 r

Fazendo uma transformaccedilatildeo na expressatildeo acima temos

xv xv JS = Z-

v r+ x(v -v c) xv +(l-x)v t ri f g f g f 1 + Ul-x)xjv fv

1 + C(l-x)x]]vfvg

A fraccedilatildeo vazia tem a influencia de baixar a reatividade

do nuacutecleo nos reatores em que o refrigerante eacute tambeacutem moderador

Na equaccedilatildeo acima os valores de x e v sao tomados em tabe

las termodinacircmicas apropriadas para a pressatildeo do sistema A equashy

ccedilatildeo (1) mostra os grandes valores de a para pequenos valores de x

especialmente para baixas pressotildees Isto ocorre porqueaumentando

54

aacute pressatildeo o v decresce muito enquanto que o v f eacute mais ou menos da

mesma ordem de grandeza

Exemplo Calcular o a correspondente para x raquo 2 para aacutegua

leve atilde pressatildeo atmosfeacuterica

Da tabela para p laquobull 1 atm

v - 001672 ft 3lbm e v - 26800 ft 3lbm

1 + [(1-002)002] 001672268

0971 ou 97U

O grafico abaixo mostra a variaccedilatildeo do a com x para vaacuterias

pressotildees e para a aacutegua leve

x ()

tObservaccedilotildees da curva

Fig 2

1 - para x constante a decresce com a pressatildeo Para presshy

sotildees proacuteximas da criacutetica a aproxima-se rapidamente de

x Para a pressatildeo criacutetica as duas fases satildeo indistinguiacuteveis ea=x

2 - para cada pressatildeo dotdx decresce com aumento de x

3 - para baixos valores de x (que e o caso dos reatores

tipo Boiling) quando p decresce dadx cresce e torr

na-se muito grande paacutera baixas pressotildees Isto tem relaccedilatildeo com a epound

55

tabilidade do reator como veremos mais tarde

113 - Sistemas com fluxo

Todas as definiccedilotildees que noacutes vimos no item anterior refeshy

rem-se acirc sistemas em que a mistura esta fechada no recipiente Nes^

te caso natildeo havia movimento relativo entre as duas fases No entan

to se as duas fases da mistura se movem na direccedilatildeo vertical em

canais entre os elementos combustiacuteveis o vapor por causa de sua

flutuaccedilatildeo tem a tendecircncia de escorregar sobre o liacutequido isto e

move-se com velocidade maior do que a do liacutequido

Real Modelo

Pig 3

S -

Define-se neste caso a relaccedilatildeo de escorregamento (slip

ratio) (S) como sendo

V _i

V f

onde

V = velocidade do vapor

= velocidade do liquido

S modifica as relaccedilotildees entre a e x do item anterior S geralmen_

te gt 1 Define-se neste caso qualidade do vapor ou tiacutetulo como

sendo

_ fluxo de massa de vapor

fluxo de massa da mistura

Entatildeo se o fluxo de massa da mistura eacute m t(lbmhr) o flushy

xo de vapor seraacute = x m e o fluxo de liacutequido sera (1-x) m onde x

56

e o titulo do vapor para a particular secccedilatildeo (AL) da figura (3)

Devemos notar que neste caso x varia de secccedilatildeo para secshy

ccedilatildeo do tubo o exposto no paraacutegrafo acima vale considerando-se que

x e a permaneceram constantes na secccedilatildeo de espessura AL

Aplicando a equaccedilatildeo da continuidade as velocidades do va

por e liacutequido sao dadas por

o xm v

V vazatildeo = g g area A

V

(1-x) amp t v f

f A f

onde A e A f sao as aacutereas medias perpendiculares ao fluxo se as

duas fases sao imaginadas completamente separadas uma da outra

(figura 3) Assim temos

V x m v o A_ A v 0 ^ - 2 = iacute S t m _2L- JL JS m

V A (l-x)ui v 1-x A v U

f g t f g f

Sabemos ainda que para a secccedilatildeo considerada

volume do vapor na mistura a = volume total da mistura (agua+vapor)

A AL A pound g g

a = mdash a a = - mdash 1

(A+A )AL A f + g

A ou f _ 1 - a

A a 8

Substituindo em (2) vem

57

Esta expressatildeo pode ser rearranjada e obteremos uma relashy

ccedilatildeo entre x e a levando em conta o escorregamento Chega-se a

a = 1 ( 3 )

1+ [U-x)x3 igt

onde

v 4 laquo -- S

v lty o

Note-se que quando S=l (nao haacute escorregamento) caimos na

expressatildeo dada no item anterior

0 efeito do escorregamento eacute decrescer o valor de a pa_

ra um mesmo xbdquo Isto pode ser visto pela foacutermula (3) pois S gt lLo

go a decresce com acreacutescimo de S

Um alto S e entatildeo uma vantagem tanto para a transferecircnshy

cia de calor como para efeitos de moderaccedilatildeo Eacute uma vantagem para

transferecircncia de calor porque alto S significa alto V e portanto

maior turbulecircncia e maior contato do liquido com as paredes quenshy

tes Ha tambeacutem melhorias na estabilidade da reaccedilatildeo nuclear isto

porque como jaacute dissemos quando mdash7 diminui a estabilidade aumenshy

ta isso pode ser verificado observando a curva a versus x para a

agua leve a 1000 psiabdquo

Fig 4

58

A relaccedilatildeo entre x e a da equaccedilatildeo (3) so vale para secccedilatildeo

de tubo bem pequena

Devemos notar que S varia tambeacutem com a pressatildeo e velocida^

de de entrada do liacutequido no tubo Este efeito pode ser observado na

figura 5 abaxxo obtida esperimentalmente

s

3

~^ ~ psig

x = 001

V 1

Fig 5

Nos projetos de reatores como veremos adiante o valor a

geralmente eacute determinado por consideraccedilotildees nucleares (moderaccedilatildeo) 0

valor de S eacute determinado atraveacutes de uma estimativa ou entatildeo atrashy

veacutes de um graacutefico do tipo da figura 5 0 correspondente valor de x

pode ser obtido de uma foacutermula empiacuterica do tipo

1 = 1 (-S)0gt67

proposta por Von Glahn

Em muitos casos assume-se S constante em todo o comprimeiv

to do canal poreacutem eacute um erro que em muitos casos nao pode ser coshy

metido

4 REATORES EM QUE 0 LIacuteQUIDO B MODERADOR E CIRCUITO PRIMAacuteRIO AO

MESMO TEMPO BOILING-REACTOR (BWR)

A aacutegua ao se movimentar atraveacutes dos vaacuterios canais do

59

Boiling-reactor encontra vaacuterias resistecircncias ao fluxo que provoshy

cam uma reduccedilatildeo de pressatildeo no fluido

As duas perdas mais importantes sao perda de pressatildeo por

atrito e perda de pressatildeo causada pela aceleraccedilatildeo do refrigerante

ao aumentar de volume por receber calor num canal Outras perdas

de pressatildeo seriam a obstruccedilatildeo ao fluxo por corpos submersos (espa_

ccediladores juntas de tubos chaves etc) e por mudanccedilas abruptas de

aacuterea de fluxo tanto na entrada como na saiacuteda do tubo

Essas perdas de pressatildeo devem ser conhecidas o melhor popound

sivel principalmente nos reatores BWR Para tanto devemos saber

o comprimento de canal em que nao ha a ebuliccedilatildeo isto eacute qual o com

primento de canal em que o refrigerante vai da temperatura de sub-

resfriamento ate temperatura de saturaccedilatildeo

Seja o elemento combustiacutevel

Aquecimento Uniforme Aquecimento Senoidal

Fig 6 Fig 7

onde

H =

H = o

H b

comprimento do elemento combustiacutevel

cota onde o liquido se torna saturado

comprimento do elemento combustiacutevel em que ocorre

ebuliccedilatildeo

60

qg = calor sensiacutevel acrescentado ao liquido para satushy

raacute-lo

qfc = calor total acrescentado ao liacutequido em todo o com

primento do canal

laquoo

q s J o qiquest sen (IIzH) n H o

T~ = TH = 2 ( 1 c o s gt ( a )

q 1 sen (HzH) Jo ^c

A expressatildeo (a) vale quando tivermos uma adiccedilatildeo de calor

senoidal para qualquer outra forma de adiccedilatildeo de calor faz-se um

caacutelculo anaacutelogo

Outra relaccedilatildeo entre q g e qfc eacute dada pela termodinacircmica

q h- - h s f m (b)

(hr +x h )-hm ^t f e fg

onde

= entalpia para o liquido saturado a pressatildeo correjs

pondente (cota z = Ho)

hffi = entalpia do liacutequido na entrada do canal

x = tiacutetulo do vapor na saiacuteda

= entalpia do vapor

Com a relaccedilatildeo (b) noacutes determinamos a relaccedilatildeo q q ecom

S L

uma relaccedilatildeo do tipo (a) (conforme seja o adicionamento de calor ao

liacutequido) podemos obter a relaccedilatildeo HoH e consequentemente H^H

21 - Perda de pressatildeo num canal de evaporaccedilatildeo

Neste item iremos determinar as perdas de pressatildeo mais

representativas que ocorrem num canal de evaporaccedilatildeo de um reator

P + dP

bull1 i- 1 gti i i

dL

onde

UM

Icirc H Icirc Icirc T dF f t f

61

Quantidade de Mov na Entrada

= i- rigVg)

dF f l

Fig 8

m i

m 8

V l V 8

A P

dF

dF

dF

fg

fl

ftf

descarga do liacutequido

descarga do vapor

velocidade do liquido

velocidade do vapor

aacuterea transversal do canal

forccedila de atrito do vapor com parede

forccedila de atrito do liacutequido com parede

forccedila de atrito das duas fases liacutequido+vapor

Fazendo o balanccedilo das forccedilas considerando o sentido posjL

tivo na vertical temos

A (P-P-dP)-(dF +dF _+dF _)-(-pound-) (p A+p A )dL = mdash dGnV+m V ) P fg ftf fl g c 1 1 g g g c

v 1 1 g g 7

- dP = ~ (dF +dF--+dF)+- S--7=- (p A+p A )dL+ mdash ~ - d (m-V+m V ) A_ fg ftf fl g c Ap v^l 1 g g g A 11 g g

Fazendo a integraccedilatildeo termo a termo entre os dois extreshy

mos entrada e saiacuteda e considerando a pressatildeo de entrada igual a

P q e a de saiacuteda igual a Pe vem

Quantidade de Mov na Saiacuteda

-= h I- lY l+ A g V g + d ( aacute l V l + aacuteeVl

Forccedila de Gravidade

= ( g f - N P A + P g V

62

b) r e F f l

o p dp^ = Ap^ = perda de pressatildeo por atrito

do liacutequido na altura Ho

Aplicando a formula de Darcy vem

bull API = f bull ir bull ^ iexcl 7

onde

f = fator de atrito

c) e Fftf

o p ^P tpound

= perda de pressao por atrito da mistura

liquido + vapor no trecho de comprimen

to Hbdquo o

Para determinar esta perda de pressao define-se o fator

de multiplicaccedilatildeo R

A P R =

tf A P 1B

Sendo A p ^ a perda de pressao se o comprimento todo fosshy

se ocupado somente pelo liquido assim

A p t f = R A P 1 B

0 calculo de Ap-^ pode ser feito pela formula de Darcy e

o de R nos veremos no item seguinte

63

d)

-e F

d ( ^ )

O P

Ap = perda de pressatildeo por atrito do vapor

No caso do reator BWR o titulo de saida e bera pequeno e

em nenhum caso ocorre a saida de vapor com x = 100 logo a perda

de pressatildeo por atrito do vapor eacute nula assim

An = 0 5

e) Ap

(p A 1 + p A ) dL = Ap - perda de pressatildeo dpound

vida ao desniacutevel

(perda hidrostaacutetica)

Anbdquo = re A A

-S- I (p + p -S ) dL H s 1 A

c o p o A

como A A Jl_ =

A P

A +A-g 1

1-a -

temos

C Q

te j jll-a)p1 + apg)^jdL = p Lo pound

onde

e jo u

+ ap ) ~I dL (Densidade media 1 S J

no tubo)

No nosso caso

Ap u = p H

f)

re d(mV + m V ) _ mdash - laquo -i bull s iquestp laquos p e r d a ltje pressatildeo devido a acele-

c p raccedilatildeo do vapor

V A

(1-x) tl^Vj

(1-a) A

X V

aA

A p -

roV + m V

c p c p L_

m (l-x)m_v m xv nbdquo -1 T 1

+ _S S I (1-a) Ap aA

P

2 g A c p

n 2 2

(1-x) m T

laquo2 8 A c p

2 2 (l-xe) raTv1

2 2 2 xm_v (1-x) m-v e T s o 1 1

a 1 - a

2 2 - x m_v o T g

a

se

X Q 0 (so ha agua nesse trecho)

a = 0 o

temos

mbdquo Ap =

1 a A 2

S A degc p laquo-

tt-V v i 1 - a

2 via T^r - v i

t Apc

2

V v l

5c Ap

1 - a

x v - 1

a e v l

65

Fazendo

G = fluxo total da massa por unidade de area do

canal

(1-x J e

V

AP r

Assim a perda de pressatildeo total sera

H p V II pV r2 P -P = f -24-Iuml+ f R+p 0 1 2g c D e 2g c g c g c

2c2 - Determinaccedilatildeo do fator de multiplicaccedilatildeo (R)

221 - Relaccedilatildeo Martinelli-Nelson

Os autores Martinelli-Nelson determinaram experimental -

te esse fator R para varias LIT1L em funccedilatildeo da pressatildeo e da r NB total J v

qualidade de saiacuteda do vapor no canal Construiacuteram assim vaacuterias

curvas do tipo da figura 9

66

E importante notar que a qualidade do vapor (x) na saiacuteshy

da nao deve ser grande pois como vemos o valor de R cresce muishy

to com um aumento pequeno de x e um valor de R muito grande acar_

reta uma perda de pressatildeo grande pois

^ d u a s fases R ^ f a s e liacutequida

Para resolvermos um problema seguindo o criteacuterio de bdquo

Martinelli escolhemos a curva R = f(px) (para a relaccedilatildeo L

N g ^ j

adequado) e tiramos R com os valores de pressatildeo p e tiacutetulo x

As curvas R = f (p x L T t )IO encontram-se nos ANL 6469 bio I

e 6561

222 - Relaccedilatildeo Lottes-Flinn

Estes autores estudaram o problema para o aquecimento uni

forme do refrigerante com baixo titule Lottes-Flinn fizeram inuacuteshy

meras experiecircncias e verificaram que para fluxo de calor uniforshy

me e baixos titulos R era independente do fluxo de calor fluxo

do refrigerante escorregamento e apenas funccedilatildeo de a g

Como a quantidade de liacutequido eacute muito maior que a de vashy

por a perda de pressatildeo daacute-se principalmente pelo atrito do liacuteshy

quido com a parede Podemos assim escrever a foacutermula de Darcy

na forma diferencial

dz

d = f __ r e amp c

onde

V = velocidade do liquido saturado na cota zbdquo X

f = coeficiente atrito

= densidade do liacutequido saturado

Teoricamente a queda de pressatildeo deve-se ao acreacutescimo de

67

velocidade do liacutequido e da diminuiccedilatildeo da aacuterea de fluxo do liacutequi

do

P fH A P t p

= f D 2g Ho

d z

fazendo

V lo

m V t lo

(velocidade do liacutequido na cota z = Ho)

(1-x) m t v 1

(1-a) A (velocidade do liacutequido na cota z gt Ho)

a bull+ fraccedilatildeo vazio na cota z geneacuterica

V 1 (1-x) m t v 1

m t V l 1 - a

x =s 0 pois o tiacutetulo eacute baixo

A p t f = f bull JT5 c e

fH V lo

H o (1-a) dz

Para fazer a integral devemos achar a relaccedilatildeo de variaccedilatildeo

entre a e z Como o fluxo de calor eacute uniforme a qualidade eacute direshy

tamente proporcional a z

bull laquo x = x e H

z = mdash x X e

Sabemos ainda que (item 113)

x

1 + [ ( I -X)AKQ x + iiacuteraquo

68

como

temos

(1-x) = 1

v

X =

z =

1-a

1 -a

1-a e

a

e

1-a pound

a

1 -a igt (assumindo S = cte)

da

Atf - f bull 2 i ^ ~ J c e o

a 1 - a e e 1 s 4 hmdash) da

a 1-a

f P lv^ Q

0 termo mdash - mdash e a parte de perda de pressatildeo pelo lj^

^c e -quido ou seja Ap liquido saturado e como

Ap

R = tf

Ap liauido saturado

temos que

R J

f ae 1 _ a e 1 4

a 1 -a o e

1 -a r-R =

3 1 -a

a 1 -a imdash

3 vl - a 3

e e

Os valores de R obtidos por esta expressatildeo aproximam-se

muito dos valores obtidos pelos aacutebacos de Martinelli

69

E - EXPANSAtildeO E COMPRESSAtildeO DE UM FLUIDO - ANAacuteLISE HIDRODINAcircMICA

DE UM CIRCUITO EM CIRCULACcedilAtildeO NATURAL

1 EXPANSAtildeO NO FLUXO DE UM FLUIDO

11 - Uma so fase

Figura 1

Ha vaacuterios meacutetodos para determinar a variaccedilatildeo de pressatildeo

numa expansatildeo de fluido estudaremos o de Romie que eacute o que daacute

maior precisatildeo

Romie considera que a pressatildeo p^ tambeacutem atua na aacuterea

imediatamente apos a expansatildeo Assim fazendo o equiliacutebrio das foi

ccedilas nas secccedilotildees tracejadas da figura 1 temos

mVj

p r A 2 + mdash

mV

bull 2- A2

mas

m = pV^A^

pV^A = p V 2 bdquo A 2

V A

v 2 -4r-logo

( P l-P 2) A 2 = f ( V ^ ) - f _ v j amp c c 2

70

2 pV A A pV A A

Chamando A l A ]

K = 1 - T e degi2 = Aiexcl bull V E M

pvj

P l P 2 = T ~ bull ( 2 deg 1 2 ) ( 1 _ a 1 2 )

Outra maneira de chegar atilde diferenccedila de pressatildeo ( P j - ^ ) s mdash

ria usar o coeficiente de perda da mecacircnica dos fluidos Assim o

equilibrio das pressotildees eacute

2 2

1 V l 1 V 2 V l P i + _ p _ ^ P 2 + I p ~ + k 1 2 p mdash

onde = coeficiente de perda

A 2 1 2

k 1 2 - (l-o 1 2) - (1 - j- )

Fazendo as transformaccedilotildees chegamos a mesma expressatildeo obshy

tida pelo balanccedilo das forccedilas

PraquoIacute pr p

2 - - ir ^ laquo-ia

12 - Duas fases

Como ha duas fases a equaccedilatildeo do balanccedilo das forccedilas fica

um pouco alterada

m pound 1 V- m - raquoV - m-V- m bdquoV _ P A + j y ^ i + _gl_JUuml P A + -11-11 + -ilsl (a)

1 2 e R 2 2 ff e

Sabendo que

71

m (1-x) m t = p fA (1-a) V f

entatildeo

fl l-o^ p fA x

6 Vf2 1-x l-a2 P fA 2

m V = mdash mdash e V 0 = gl a 1 P C T A 1 g2

m

a_ p h

2 g 2

Nas expressotildees anteriores o x nao varia porque a expansatildeo

5 adiabaacutetica porem o a varia devido a modificaccedilatildeo do tamanho da

bolha

Substituindo os valores das velocidades na expressatildeo (a)

vera

( P - P ) Abdquo =

2

2 2 m gt2 2 m t (1-x) 1 x t

ra i 2 m i 1 x t 1

p fA 1 g c ttl p Ax gpound

m t P - P = mdash

(1-x) (l-a 1)A 1A 2 (l-a2)A|

a r A r A 2

V A 2

m t P bdquo - P = mdash 2 1 g c A r A 2 p f

(1-x) 1-a f A 2(l-a 2)

bull ^ 2

72

Se

P -P

a

m

g

12

1 _1_ (1-x)

J12

1 _ a l 1 - a 2 + X (- )

Pg

1 deg12 a 2 ^

Sabemos que

mt = V o pf laquo A l

Sendo V q = velocidade do liquido num ponto onde natildeo haja vapor

P 2-P 1

u 2 2 A 2

V pr Ai

V W p f

(1-x) 12

l-a1 l-a2

+ X 2 pf

mdash

l deg12

-1 a 2 _

p -p r 2 Al (2a 1 2)

2 M f w 1 deg12 X (mdash) (

pg al a 2 )+(l-x)C l 1 12

1-a^ l-a2

Devemos notar que esta expressatildeo tambeacutem vale para quando

temos uma fase para isso basta fazer

= c t 2 = 0

X = 0

e recairemos na formula do item anterior

2 pf 1 deg12 Observemos que neste caso o termo x (mdash)( ) nao

Pg al a2

2

73

tem significado pois corresponde a mudanccedila de fase

2 CONTRACcedilAtildeO KO FLUXO DE UM FLUIDO

21 - Uma so fase raquo mdash

Aqui ocorre um fenocircmeno importante pois o fluido ao ser

contraiacutedo nao vai diretamente da area A^ para a area A 0 mas ele

contral-se ate uma area A^ e depois expande-se ate k^

Ao A2

Po IP 2

V 2

Figura 2

Fazendo o equiliacutebrio das pressotildees entre os planos (1)

(0) vem 2 2

pV pV p +~ plusmn - P + i deg bull 1 2 g o 2 g (b)

C x

Fazendo equiliacutebrio da expansatildeo (0) - (2) vem

P o + 2 - f = P 2 + 2 -T + kp- 2 F ( c )

c c b C

Subtraindo (b) - (c)

2 2 2

i p- vj i p- v2 L P l + 2 bull g c

P 2 + 2 2g c

+ k P 2g c

74

Como

P - P = mdash 2 2g

2 2

bull (1 + k) - f bdquo mdash i

k a - f2 ) 2 - d - o c )2

= o

A = a 21

Weisback obteve varias relaccedilotildees entre a e a i] c

01 02 03 a 0624 0632 0643 c

0624 0632

A r v i - V v 2

p -p 1 2

P -P 1 2 2g7

v l =

(1+k) - laquofi- a 2g 21 c

( 1 + k - o 2 1)

X[- V 2 o 2 1V 2

22 - Duas fases

0 valor de k pode ser aproximado para

k = a(l - o 2 1)

onde segundo Richardsons para fluxo de duas fases podemos supor

a = 02

Para fluxo homogeacuteneo sabemos que

75

p = p f (1 -a ) + p o a

podemos supor p bdquo a = 0 pois p e pequeno e fazendo

V = V ~ V fbdquo2 go2 v 2

Substituindo estas duas expressotildees na equaccedilatildeo de uma soacute fase vem

2 2 p V (l-ct) p V (1 -a ) bdquo

P l P 2 = 9g ( 1 + 3 - 3 0 ^ - 0 ^ ) = g (a+1) (l-a^)

Se a = 02

2 12p oV 0

p r p

2 - 9g gt d-) d-sigt

A compressatildeo de um fluido acarreta uma perda de pressatildeo

como pode ser verificado pelas formulas uma vez que lt 1deg

3 ANALISE HIDRODINAcircMICA DE UM CIRCUITO EM CIRCULACcedilAtildeO NATURAL

Esquema deacute uma caldeira com circulaccedilatildeo natural

76

Determinar a velocidade em (7) para que tenhamos circula

ccedilatildeo natural Determinar tambeacutem as perdas de pressatildeo em todos os

trechos da caldeira

31 - Contraccedilatildeo das secccedilotildees (1) - (2)

Como jaacute vimos a equaccedilatildeo do balanccedilo das pressotildees eacute

1 pr Vl 1 p 2 o V 2 P2 V2

1 2 g 2 + 2 g + K12 2g otilde c amp c e c

bullraquo 2 o2 2 e havendo uma soacute fase k 1 9 = (l-o ) = (1 mdash ) e sendo

C 2

p l = p2

v x lt lt lt v 2

P 2 V pr p2 bull ir2 bull ( 1 + k12gt

Colocando em termos de temos

A 2 V 2 P 2 = A 7 V 7 p 7 (continuidade)

V = V mdashbull = V o_bdquo ~ A 2 2 2

P 2 V - p 2

p r p 2 = ir2 - deg72 bull Ccedilrgt bull lt 1 + ki2gt

fazendo

N12 - lt^gt deg72 ( 1 + k12gt

P7 V7

Pr P2 - N12 bull HG

77

3 2 - Perda de carga no trecho ( 2 ) - ( 3 )

Como haacute apenas uma fase soacute temos perdas por atritos e

perdas hidrostaacuteticas

Sendo como jaacute vimos

2 3 p 2 2 g P 2 P 3 = f 2 3 (r~2g^~) L 2 3 g c p

atrito hidrostaacutetica

Substituindo V^ pela relaccedilatildeo do item anterior e tendo em

conta que p = vem

P -P = f 2 r 3 2 3 D

2 3 p 2 bdquo 2 2 p 7 2

2 g 7 72 p 2 3 g

Se

L 2 3 2 p 7

2 3 2 3 D 2 a 7 2 p 2

P 7 V 7 g P 2 - P 3 = N 2 3 ( mdash gt p 2 L 2 3 f

3 3 - Expansatildeo nas secccedilotildees ( 3 ) - ( 4 )

Como vimos o balanccedilo das pressotildees e

2 2 2 p V p 4 V p V

P 3 + 2 g c

P 4 + 2 g c

+ k 3 4 2 g c

onde

k 3 4 - - -

2 2 1 P 4 - V 4 P 3 v 3

P 3 P 4 = 2 g + ( k 3 4 _ 1 ) 2 g

78

Sendo

P 3 - P 4

p 3 o A 3 deg V 3 = P 7

a A 7 o V 7

P 4A 4 0V 4 = P r A r V

3 7 A 3 p 3

A7 P7 V = v mdash mdash 4 7 P 4

P - P 3 r4

Se

P bdquo - P

bdquo2 r-P 7 V 7

3 4 2g deg74 + ( k 3 4 1 ) deg73

34 p deg74 + ( k 3 4 1 ) 73

p r v2

P3- P4 ^ N34 ^ gt

(No caso e negativo)

34 - Contraccedilatildeo nas secccedilotildees (5) - (6)

Ainda temos uma so fase e fazendo o balanccedilo das pressotildees

como fizemos no item 3lt1 vem

P + vil p + vi + k vi P 5 + 2gbdquo P6 + 2gbdquo + k56 2gbdquo

k 5 6 lt 1 ^ gt 2 ( 1 - Iacute 2 i 2 6

V V6 P5degIacute 5^6 ^SS 2g c - 2g c

P - P ^ = (1+kJ

Como

79

A 6

W p 5 =

VV P6 V 5 = V 6 Jiexcl = Vff65

P 5-P 6 - lt H k 5 6 ) mdash ^ mdash (l+k 5 6-a 6 5) c c c

Sendo

Se

A 7 p 7 p 7

6 7 Ag p 6 7 76 p 6

p _p _ P6- V7- g76 iquest72 ( _ 02 P 5 P 6 2g c bull ( p 6

( 1 + k 5 6 deg65 )

p 7 2 2 N56 = p ^ deg76 ( 1 + k 5 6 ~ a 6 5 )

P 7 V 2

7

P r-P = N r 5 6 56 2g c i

35 - Perdas de pressatildeo nas zonas (6) - (7) - Pre^aquecimento

Nesta regiatildeo temos perdas por atrito e hidrostaacuteticas

Nao haacute perda por aceleraccedilatildeo pois ainda natildeo houve formaccedilatildeo de boshy

lhas

Fazendo balanccedilo das pressotildees temos

L_ ppound-V p = p + otilde L - pound _ + f -Si (-21mdashL 6 7 + p67 L67 g + t 6 7 D K 2g

p _ e ifn sao tomados como valores meacutedios 67 67

P _p _ f hl ^67jIacute uuml + - L A

6 F 7 r67 D 2g P P67 L67 g 6 s c 7 c

S e Kr pound67 L67 p67 6 7 D 6 p7

p7 V - _g_ P6- P7 - N67 mdash + P67 L67 f

c c

80

36 - Perda de pressatildeo nas zonas (7) - (8) - Zona de ebuliccedilatildeo

Nesta regiatildeo j aacute temos o aparecimento de bolhas logo a

perda de pressatildeo seraacute devida agraves t recircs parcelas aceleraccedilatildeo a t r i t o

das duas fases liacutequidas + vapor e h idros taacute t ica

onde

Assim

P-P Q = AP + AP + APbdquo 7 8 a t r i t o acel H

T M1

78 p 7 7 AP - R f- - mdash mdashr |R = fator mult ipl ica-

a t r i t o 7 D 7 2 g c L tivo

G 2

AP bull r mdash acel g c

P V

|_1 - o a p J 8 P f

2 t r 2 M2

7 7 r 7 7 A P a c e l = -J^mdash 2 r bull p 7 lt T iexcl iexcl - )

A PH p 7 8 L 7 8 fiexcl

p 7 8 iacute 7 li 1 0 0 P l i q + a P v ] d L = P 7 ( 1 - laquo 7 8 )

ag raquo fraccedilatildeo de vazio media entre 7 e 8

APH = p (1 - 5 7 g ) f- L 7 8

2 2

P 7 - P 8 a 5 - 2 T i + 2 r p 7 + P 7 ( 1 - 7 8 gt f L 7 8 7 amp c amp c amp c

81

N 7g = R mdash + 2 r p 7

P7 V7 P7- P8 = N78 + P 7 ( 1 5 7 8 gt J78

37 - Expansatildeo nas secccedilotildees 8 e 9

No caso haacute uma expansatildeo com duas fases e como vimos no

item 12 a variaccedilatildeo de pressatildeo era dada por

0f Vo P2 P1 = ~2g c ( 2 deg12

x 2 (mdash)(mdash - mdash ) + ( l - x ) 2 ^ T mdash 8 1 2 1

12

Aplicando ao nosso caso

P pound = P 7

P -P = 8 9

V - V raquo V g f 7

P 7 V 2

2 pf 1 a89 2 1 g89 x (mdash) ( ) + (1-x) (- - N

o ou abdquo 1-cu l-ot_) g 8 9 8 9

Se

N 89

= 2 a 89

2 pf 1 deg89 2 1 CT89 x (mdash) ( ) + (1-x) ( T

g 8 9 8 9

P -P = 8 9

- N P7deg V7

89 2gbdquo

38 - Perda de pressatildeo no trecho 9 e 10

No referido trecho temos apenas perda de pressatildeo por atr L

to da fase liacutequido + vapor e perda hidrostaacutetica Natildeo haacute perda por

aceleraccedilatildeo do vapor pois este natildeo recebe mais calor e portanto

o 82 o

nao ha variaccedilatildeo no a

p

Q -p i n = A P

U + A P bull 9 10 H atrito

n T -S_ P9 U10 deg 910 bull g

fio r

910 I 910

J9 L

(l- a)P + Q P I dL liq v

(l-a0) p

No caso a = (nao hatilde variaccedilatildeo de forma)

A P H - (1-a ) P (p L 0

c

AP bdquo = R o

atrito

2 f9 o L910 P9 V9

2g

Supondo

= V

P 9 = P 8 P 7

vbdquo = v 9 8 0 A r

= V 7 bull deg89

AP - R atrito

2 2

W l O p7deg V7deg g89

V P10 R -^T^ bull deg89 bull li-2 + ( W P 7 (fgt SIO

y c c

Se

- f9 L910 2 N9ol0 R Dl deg89

w 2

p rv P9 P10 = VlO + ( 1 a 9 ) p7 (f gt L910 c

33

39 - Perda ciacutee pressatildeo na expansatildeo 9 - 1 0

Analogamente a expansatildeo 8 - 9 temos

10 11 P 7 2g

10 Iacute 2 0 1 0 - 1 1 gt

2 ff

pg aio

10-11

laquo11 ) +

Ll-a 1 0 bull l-a u J

Se

V10 = V 9 = V 8 bull T9 = V 7 deg89

P -P 10 rll = - a 2g 089 ^lO-ll

4 bull T~ bull (7 1 mdash ) + Pg degio a n

+ (l-x)2(- 1 10-11

1 - aio )

N10-ll = 2 a10-ll a89 2 pf t 1 10-11 N2

-(j-r- - ) bull+ (1-x) pg aio deg 1

10-11 k l - a io

prz P10 Pll = - N10-ll bull ( 2gbdquo

310 - Calculo de V

Fazendo a somatoacuteria de todas as expressotildees (P^-Pj) tere-

84

mos 2 PbdquoV_

P bdquo - P bdquo = N 7 v 7

1 2 12 2g

bull 2 - P 3 - = N 2 3 P 2 L 2 3 f c ccedil

9 P 7 V 7 P _p = N mdash -

3 4 34 deg 2g

V P 5 = deg

2 P V

5 6 56 2 g c

ltr2

P 7 -V 6 e7 -N67 2g + p 6 7 J j67 g

c bc v 2

P 7 - P 8 = N 7 8 - 2 i ~ + p 7 ( 1 - laquo 7 8 ) L 7 8 c

P 7 V 7

P - P - -N mdash - -8 9 89 2g

c P 7 V 7

P 9 ~ P 1 0 VlO 2g + ( 1 a 9 P 7 L 9 c

P 7 V 7

bull10 11 U10-ll 2g

P v iacute j P - P

1 11

7 - v 7 3 bull r

2 8 i U L 2 23 67

(l-5 7 8) L 7 8 + ( l - laquo 9 ) P 7 bull SlOtilde]- ^

Por ou t ro lado sabemos que como secccedilotildees 1

mesmo n iacute v e l

85

s c p r v 7 j

28 Z N i ij

= P 2 L23 p67 L67 P 7 ( 1~deg78 )

78 ~ ^g) bull P 7 bull L 910 g_

V - 2 g ( p r L 2 3 - p 6 r L 6 7 - p 7 ( l - atilde 7 8 ) L 7 8 - (l-a9) p L 9 a ( )

y N

Com esse valor de podemos determinar todas as variashy

ccedilotildees de pressatildeo (P^-P )

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Vol 9 - n9 5 e 6

Vol 6 - n 2 (pag 152)

Vol 4 -r n9 1 (pag 30)

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Journeacutees Internationales de la transmission de la chaleur

Seminaacuterios realizados em Paris em 1961 sob a supervisatildeo do

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Notas de aula da Cadeira de Termodinacircmica I e Transmissatildeo da

Escola Politeacutecnica da Universidade de Sao Paulo

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Page 6: ALGUNS PROBLEMAS DE HIDRODINÂMICA E CONVECÇÃO DE … · alguns problemas de hidrodinÂmica e convecÇÃo de calor em reatores de potÊncia, segundo aulas do ... b - convecÇao

A - CONVECCcedilAtildeO DE CALOR

1 INTRODUCcedilAtildeO

A convecccedilatildeo de calor e um fenocircmeno que ocorre muito freshy

quentemente ~ o caso por exemplo da transferecircncia de calor enshy

tre uma parede e um fluido a temperaturas diferentesraquo

Ao contraacuterio do que a equaccedilatildeo de Newton q = h A At

onde q e o calor trocado h e o coeficiente de peliacutecula A eacute a

aacuterea de troca de calor e At ecirc a diferenccedila de temperaturas) pode fa_

zer supor a convecccedilatildeo de calor e um fenoacutemeno complicado Na equashy

ccedilatildeo de Newton os diversos fatores que influem no fenocircmeno estatildeo

englobados no coeficiente de peliacutecula conforme veremos mais tarshy

de

Resumindo resolver um problema de convecccedilatildeo de calor eacute

obter o valor do coeficiente de peliacutecula h

2 TIPOS DE CONVECCcedilAtildeO

0 processo da transferecircncia de calor por convecccedilatildeo eacute devi

do atilde mistura de porccedilotildees de massas de fluido a diferentes temperatjj

ras A mistura dessas porccedilotildees pode ocorrer de duas maneiras e daiacute

resultam os dois tipos diferentes de convecccediloes

a) convecccedilatildeo natural

b) convecccedilatildeo forccediladaraquo

a) Convecccedilatildeo natural - Verifica-se quando os movimentos

macroscoacutepicos do fluido satildeo devidos unicamente a difeshy

renccedilas de densidade das porccedilotildees frias e quentes Podemos citar coshy

mo exemplo aquecimento residencial com resistecircncias eleacutetricas

transformadores etc

b) Convecccedilatildeo forccedilada - Verifica-se quando os movimentos

macroscoacutepicos do fluido sao devidos a agentes externos

isto e a movimentaccedilatildeo do fluido e provocada pela diferenccedila de

pressatildeo causada por bombas ventiladores etc Neste casonatildeo vatildeoixi

fluir portanto somente as condiccedilotildees teacutermicas do processo e as

propriedades fisicas do fluido mas tambeacutem as condiccedilotildees externas

determinantes do escoamento do fluido Sao inuacutemeras as aplicaccedilotildees

da convecccedilao forccedilada na industria em caldeiras reatores etcraquo

3 KEGIMES DE ESCOAMENTO DOS FLUIDOS - IMPORTAcircNCIA NA CONVECCcedilAO

A mecacircnica dos fluidos define dois tipos de escoamento

a) regime laminar

b) regime turbulento

a) Regime laminar - Aquele escoamento onde as partiacuteculas

movera-se em camadas numa direccedilatildeo paralela agrave parede

b) Regime turbulento - Aquele em que as partiacuteculas fluishy

das se movem irregularmente ao acaso sem nenhuma di_

reccedilao determinada

Nos regimes turbulentos junto agrave parede sempre ocorre a

formaccedilatildeo de uma corrente fluida em regime laminar cuja espessura

depende da velocidade meacutedia do escoamento chama-se esta camada de

sub-camada laminar

Laminar 1 Tran- | ^^furtmlento

siccedilatildeo iexcl ^S^

A

l Sub-camada limite laminar

N L

siccedilatildeo iexcl ^S^

A

l Sub-camada limite laminar

N L mdashbull parede plana

Um estudo mais detalhado sobre o escoamento acima

feito oportunamente

3

O regime do escoamento e importante na convecccedilao porque

ele determina qual o mecanismo preponderante na troca de calor enshy

tre parede e fluido

Assim no regime laminar o fluxo teacutermico normal agrave parede

eacute transmitido principalmente por conduccedilatildeo pura neste caso eacute a coji

dutividade teacutermica do fluido que determina a taxa de calor trocada

por convecccedilao

No regime turbulento o fluxo teacutermico eacute transmitido por um

mecanismo composto e complexo Na sub-camada limite laminar o flushy

xo daacute-se por conduccedilatildeo pura e na regiatildeo turbulenta datilde-se porumamls_

tura de porccedilotildees de mateacuteria a temperaturas diferentes

4 CASOS POSSIacuteVEIS DE TRANSFEREcircNCIA DE CALOR POR CONVECCcedilAO

Convecccedilao

Gases e

liacutequidos

Circulaccedilatildeo

Natural

parede plana

horizontal

vertical

parede cilin

drica

horizontal

externa e

internamente vertical

Circulaccedilatildeo

forccedilada

parede

plana

dentro

dos

tubos

escoamento laminar

escoamento turbulento

escoamento laminar

escoamento

turbulento

tubos retos

tubos em espiral

externamente

a tubos

paralelamente aos tubos

ortogonalmente aos tubos

externamente a tubos aletados

4

Cotivecccedilao

Na evaporaccedilatildeo

de liacutequidos

Na condensa-

cao de vaposhy

res

sobre superfiacutecies planas

internamente tubos

externamente tubos

circulaccedilatildeo natushy

ral ou forccedilada

externamente a tubos horizontais

externamente a tubos verticais

sobre superfiacutecies planas verticais

dentro de tubos verticais

5o MEacuteTODOS DE ESTUDO DOS PROBLEMAS DE CONVECCcedilAtildeO

jaacute vimos que a soluccedilatildeo do problema de convecccedilao eacute encon

trar uma expressatildeo para o coeficiente de peliacutecula (h) em funccedilatildeo

das suas inuacutemeras variaacuteveis

- temperatura da parede (t ) w

- temperatura do fluido (t^)

- velocidade do escoamento (V)

- forma $ e dimensotildees caracteriacutesticas (L L L ) da pa

x y z mdash rederaquo

- propriedades do fluido

- condutividade teacutermica (k)

- massa especiacutefica (p)

- calor especiacutefico (c)

- viscosidade dinacircmica (u)

Sendo assim a expressatildeo de h seratilde do tipo

h = h(t t_ V $ L L L k p c u ) w f x y z

Ha vaacuterios processos para chegar a uma soluccedilatildeo

1) meacutetodo analiacutetico

5

2) meacutetodo empiacuterico

3) meacutetodo integrado

Meacutetodo analiacutetico -to estudo para uma partiacutecula do flui

do da transmissatildeo de- calor levando em conta tambeacutem as

equaccedilotildees do escoamento e da continuidade do fluido o que leva a

equaccedilotildees diferenciais de difiacutecil soluccedilatildeo Tais soluccedilotildees em geral

sotilde sao possiacuteveis quando fazemos hipoacuteteses simplificadoras que se

nao forem corretas nos levaratildeo a uma soluccedilatildeo errada

Meacutetodo integrado - Eacute o estudo para um agregado de partiacuteshy

culas e tem o mesmo tipo de soluccedilatildeo que o meacutetodo analiacuteti

co poreacutem para esse agregado

Meacutetodo empiacuterico - Este meacutetodo estaacute associado agrave anaacutelise di

mensional Tal meacutetodo consiste em deduzirmos os nuacutemeros

adimensionais que influem no processo e procurarmos depois atrashy

veacutes da experiecircncia equaccedilotildees que os relacionem

6 ANALISE DIMENSIONAL

0 meacutetodo empiacuterico eacute o mais usado em virtude das dificulshy

dades que os outros apresentam apesar das suas limitaccedilotildees

Devemos tomar dois cuidados especiais para nao chegarmos

a resultados falsos o primeiro eacute obter dados experimentais os mais

corretos possiacuteveis e o outro eacute o de ao considerarmos um tipo de

convecccedilatildeo nao esquecer nenhuma variaacutevel que influa no mecanismo

pois se tal acontecer os nuacutemeros adimensionais obtidos seratildeo com

pletamente diferentes dos reais

Neste estudo usaremos o teorema de Buckingham ou teore

ma dos ir que diz o seguinte

Uma equaccedilatildeo de m variaacuteveis sect (x^ x 2 x^) que por sua

vez sao funccedilotildees de n_ dimensotildees fundamentais pode ser transformada

numa relaccedilatildeo entre (m-n) grupos adimensionais

6

Devemos notar ainda que a analise dimensional e o teore

ma dos TT nao nos permitem obter a relaccedilatildeo matemaacutetica entre os gru

pos adimensionais mas apenas quais os grupos que interferem no

fenocircmenoo

7= CONVECCcedilAtildeO NATURAL

Experimentalmente verificou-se que nesse fenoacutemeno intejr

ferem as seguintes variaacuteveis

Variaacutevel Unidade Dimensatildeo

h - coeflaquo de peliacutecula kcalhr degCm 2 ( M ) ( 0 ) 3 (T) 1

x = dimensatildeo caracteriacutestica m ( L )

AT bull-= diferenccedila de temperatu ra entre parede e flui do

degC (T)

p = massa especiacutefica fluido kgm3 (M) ( L ) 3

y = viscosidade dinacircmica kgsegm ( M ) ( e ) 1 ( L ) 1

6 = coei de expansividade teacutermica

V1

c = P

= calor especiacutefico do fluido

kcalkg degC (D2 ( e ) 2 (T) 1

k = condutividade teacutermica do fluido

kcalm hrdegC OOCDO)3^)1

g raquo aceleraccedilatildeo da gravidade mseg ( L ) ( e ) 2

Dimensotildees

(M) = massa

( L ) = comprimento

(8) = tempo

(T) = temperatura

I

Considerando que apenas estas 9 variaacuteveis influem na con-

vecccedilao natural o fenocircmeno poderaacute ser escrito na forma

B A_C D E F G H I h = A x (AT) bdquo p bdquo u o S Cp k g (1)

Sendo A B C D E F G H I expoentes reaisraquo

De acordo com o teorema dos T T se noacutes temos m = 9 variaacuteshy

veis funccedilotildees por sua vez de n = 4 dimensotildees o fenoacutemeno poderaacute

ser descrito por uma equaccedilatildeo de (9-4=5) adimensionais

Pesquisemos quais sao esses adimensionais Substituindo

na expressatildeo (1) as dimensotildees correspondentes temos

Me 3 T_1 = A LB TC (ML~3)D (Me - 1 ITV (T-1)F

a2 e~ 2 T - 1 ) g (MLe3

0T_1)H ( L e - 2 ) 1

Devido a homogeneidade de unidades da expressatildeo as somas

dos expoentes da mesma dimensatildeo nos dois membros devem ser iguais

(EM) D + E + H - 1 (I)

(26) - E - 2G - 3H - 21 = -3 (II)

(ET) C - F - G - H = -l (III)

(EL) B - 3 D - E + 2G + H + I = 0 (IV)

Solucionando o sistema acima em funccedilatildeo das variaacuteveis C

D G e T vem

Somando (I) e (II)

D - 2 G - 2 H - 2 I = - 2 o H = ~ G - I + 1

Substituindo o valor de H em (III) vem

C - F - G - | + G + I - l = - l F = C - + I

Substituindo o valor de H em (II) vem

8

- E - 2G - -y- + 3G + 31 - 3 - 21 = - 3 E = G + I - -y

Substituindo E e H em (IV) vem

B - 3 D - G - I + - y - + 2 G + | - - G - I + l + I = 0

Voltando agrave expressatildeo (1) temos

h = A x D + I - 1 ( A T ) C pdeg u G + I ~ 3 0 2 g C ~ 0 2 + 1

G D2 - 6 - 1+1 I c p k g

Agrupando os termos de mesmo expoente vem

t A 2 2 - 3 - 1 v D 2 -1 1 n = A (x p bdquo u g o k ) o (x u g k g)

o (AT g ) C (vi k 1 c p )Q o ( x - 1 k g )

h - A ( x 2

3 - p 2 k ) D 2 ( g deg Z)1 (AT g ) C

li 3

C k J x

2 2 h x x p k D 2 x u g gI

k ~ A ^ 3 o

deg 1 k deg

y 3

(AT g ) C ( ^ ) G

Chamando

h bdquo x n = mdash f mdash = Nbdquo = n9 de Nusselt 1 k Nu

T T 2 = p

k

P = N p r = ndeg de Prandtl

rr3 = AT o g

2 2 i

x o p k

4 3 R

M g

Assim os fenoacutemenos de convecccedilao natural sao descritos por

uma equaccedilatildeo do tipo

F ( IacuteW N P r V V V = deg Como as variaacuteveis 3 AT e g na convecccedilao natural soacute in

fluem nas forccedilas de empuxo provocando o movimento macroscoacutepico do

fluido devem aparecer constituindo o produto (g g AT) Para

que isso seja possivel devemos ter

~ = I = C reunindo-se assim os 3 adimensionais tr

T T ^ ir ou seja

ir AT g gt k P 2 X bull P B bull = 3 4 5 u 3 6 k

3 2 x p g g AT bdquo M O j o u c

= 7 = N_ = N9 de Grashof 2 Gr

Finalmente a convecccedilao natural pode ser descrita por uma

equaccedilatildeo da forma

F(Nbdquo N_ Nbdquo ) = 0 Nu Pr Gr

Agora soacute resta obter para cada caso possiacutevel do paraacutegra

fo 4 ps coeficientes desses 3 nuacutemeros adimensionais

8 CONVECCcedilAO FORCcedilADA

Na convecccedilao forccedilada nao influem as forccedilas de empuxo poshy

reacutem influi decisivamente a velocidade do fluido Assim as variaacuteshy

veis que intervecircm no fenocircmeno sao

h = coeficiente de peliacutecula (M) ( 8 ) ~ 3 ( T ) 1

o 10

x = dimensatildeo caracteristica (L)

-1 V = velocidade do fluido (L) (8)

I -3

u = viscosidade dinacircmica do fluido (M) (L)- (0)~

p = massa especifica do fluido (M) (L)

- 2 - 2 - 1 0^ = calor especifico do fluido (L) (6) (T)

k = condutividade teacutermica do fluido (M) (L) ( 0 ) ~ 3 ( T ) 1

0 fenocircmeno eacute determinado por estas 7 variaacuteveis logo coja

forme o teorema dos ir podemos descrever o fenocircmeno por uma equaccedilatildeo

com (7 - 4) = 3 nuacutemeros adimensionais

A equaccedilatildeo de h em funccedilatildeo das variaacuteveis seraacute do tipo

h = A x V u bull P bull c k (2)

substituindo as dimensotildees vem

M e~ 3 T - 1 = A L B (L Q~X)C (M L - 1 e 1 ) 0

(M L 3 ) E ( L 2 e 2 T _ 1 ) F (M L e - 3

T - 1 ) G

Igualando a soma dos expoentes da mesma variaacutevel dos dois membros

vem

(EM) D + E + G = 1 (I)

(Z6) - C - D - 2F - 3G - -3 (II)

(ET) - F - G = -1 (III)

(EL) B + C - D - 3 E + 2 F + G = 0 (IV)

resolvendo o sistema acima em funccedilatildeo de C e G vem

de (III) F = 1 - G

de (II) - C - D - 2 + 2 G - 3 G = - 3

bull D = 1 - C - G

substituindo o valor D em (I) vem

11

1 - C - G + E + G = 1 E = C

substituindo os valores de D E e F em (IV) vem

B + C = l + C + G - 3 C + 2 - 2 G + G = 0

B = C - 1

assim a equaccedilatildeo (2) ficaraacute sendo

C-l bdquoC 1-G-C C 1-G G h = A x V y p c k

P

colocando o coeficiente de k na forma (1-G) + l^j vem

h = A (x V y1 p ) C (ii c k - 1 ) 1 - 0 (x _ 1 k) P

u c hx p x VvC p xl-G k = A ( y gt ( k

ILJLJL = N

k Nu

y c N

e k Pr

p V x _

y N R e = N9 de Reynolds

Logo o fenocircmeno de convecccedilao forccedilada seratilde representado

por equaccedilotildees do tipo

f ( NNugt NPrlaquo N R e ) = 0

9 SIGNIFICADO FIacuteSICO DOS ADIMENSIONAIS

91 - Numero de Nusselt

N = bull h = 2L- _) Nu k AT v

v3 x x=0

eacute uma relaccedilatildeo entre o gradiente de temperatura junto a parede e a

12

variaccedilatildeo total da temperatura do fluido

92 - Numero de Prandtl

Pr = pp = 2 kpc a

P

Relaccedilatildeo entre viscosidade ci nemaacutetica v e a difusividade teacutermica a

93- Numero de Reynolds

N_ = amp Relaccedilatildeo entre as forccedilas de Re u - r bull

ineacutercia e as forccedilas viscosas que interferem no escoamento fluido

94 - Numero de Grashof

H = mdashmdash mdash^mdash 2 mdash amp a relaccedilatildeo entre o pro-u duto (forccedila de ineacutercia )

x (forccedila de empuxo) e o quadrado das forccedilas visshycosas que interferem na convecccedilao natural

11 EQUACcedilOtildeES DE CONVECCcedilAO FORCcedilADA

Por ser o caso mais importante na induacutestria soacute veremos

algumas equaccedilotildees para a convecccedilao forccedilada e deixaremos de lado a

convecccedilao natural por ser menos importante

Para cada tipo de escoamento para cada regime de transshy

ferecircncia de calor e para cada configuraccedilatildeo geomeacutetrica teremos uma

equaccedilatildeo com expoentes e coeficientes diferentes poreacutem sempre com

as mesmas trecircs variaacuteveis

Nbdquo N- N_ Nu Re Pr

Para resolver um problema de convecccedilao devemos antes

avaliar as propriedades do fluido essa avaliaccedilatildeo eacute feita considj

13

rando a temperatura media do fluido isto e a meacutedia aritmeacutetica da

temperatura entre um ponto do fluido junto agrave parede e um ponto onshy

de a temperatura do fluido seja constante longe da parede

Ha casos entretanto que na praacutetica trecircs adimensionais

so nao sao suficientes para expressar o fenocircmeno isto porque as

vezes ha uma propriedade que eacute muito sensiacutevel a uma pequena varia

ccedilao de temperatura logo para estes casos introduzem-se outros adi^

mensionais para levar em conta a dependecircncia dessa propriedade com

a temperatura

Todas as expressotildees foram obtidas experimentalmente A li

teratura especializada tem formulas para todos os tipos possiacuteveis

de geometria Vejamos alguns exemplos

101 ~ Convecccedilatildeo forccedilada sobre superfiacutecies planas

a) regime laminar ( N R g lt 400000)

N T = 0664 (N ) 1 f 2 (N ) 1 ^ 3

NuL ReL u Pr

b) regime turbulento ( N R g gt 400000)

NNuL deg 0 3 6 lt N P r ) 1 3 t gt R e L ) 0 8 1 8 7 deg deg ^

102 - Convecccedilatildeo forccedilada dentro de tubos ciliacutendricos

a) regime laminar (N_ ^ lt 2100) mdash Re D

i

b) regime turbulento Nbdquo _ gt 2100 mdash u Re D

N v _ = 0023 (N_ J 0 8 (Nbdquo ) n

NuD ReD Pr

14

n = 04 para fluido aquecendo

n =raquo 03 para fluido resfriando

Note-se que neste caso houve necessidade de considerar ou

tros adimensionais para aliar a anaacutelise dimensional agrave experiecircncia

no item a) dois outros adimensionais tiveram que ser acrescentados

(DL) e (up s)

Na expressatildeo 101 b) se o N critico for tomado como

sendo 5 x 10 (usado comumente) a expressatildeo usada eacute a mesma a me

nos do termo 18700 que passa a ser 23200

Devemos observar finalmente que estas expressotildees nao se

aplicam a metais liacutequidos e que elas nos datildeo nuacutemeros de Nussel meacuteshy

dios e natildeo locais

15

B - CONVECCcedilAtildeO COM MUDANCcedilA DE FASE - CONDENSACcedilAtildeO (I)

lo INTRODUCcedilAtildeO

Devemos considerar dois tipos de convecccedilao com mudanccedila de

fase que sao a condensaccedilatildeo e a evaporaccedilatildeo

Os problemas de convecccedilao de calor com mudanccedila de fase sao

tao importantes na industria como os de convecccedilao de uma uacutenica

faseraquo Os exemplos mais comuns de sua aplicaccedilatildeo sao os condensadoshy

res e evaporadores usados nos condicionadores de ar geladeiras

caldeiras etc

Neste capiacutetulo estudaremos apenas a condensaccedilatildeo

Os problemas de convecccedilao com fluidos condensando ou evashy

porando sao bem mais complexos que os demais processos de convecshy

ccedilao porque aleacutem de envolver variaacuteveis nao consideradas na conshy

vecccedilao de sistemas de uma so fase tecircm uma variaccedilatildeo nas propriedashy

des fiacutesicas de tal grandeza que essa variaccedilatildeo interfere decisiva

mente no fenocircmeno

2 CONDENSACcedilAtildeO

Eacute a passagem de um vapor para o estado liacutequido pela retishy

rada de calor

21 - Aspectos Gerais

A condensaccedilatildeo eacute realizada fazendo com que o fluido (vashy

por) entre em contato com uma superfiacutecie cuja temperatura esteja

abaixo da temperatura de saturaccedilatildeo do fluido correspondente atilde pres_

sao do vapor

0 coeficiente de peliacutecula relativo ao vapor de aacutegua satushy

rada que condensa sobre uma superfiacutecie fina eacute da ordem de grandeshy

za de 10000 kcalhrm^degC em casos excepcionais chega-se acirc valo-

16

res 50o000-100bdquo000 kcalhrm 2degC Isto eacute obtido a maneira pela

qual a condensaccedilatildeo se produz Ilaacute duas maneiras

1 - condensaccedilatildeo por peliacutecula daacute-se quando o liacutequido con

densado molha totalmente a parede formando urna peliacute

cula continua sobre a mesmaraquo

2 - condensaccedilatildeo por gotas daacute-se quando o liacutequido ao se

condensar rcune-se em gotas que crescem ateacute terem

peso suficiente para escoarenu

0 primeiro tipo eacute o mais comum e eacute o que daacute menor coefishy

ciente de peliacutecula porque a pelicula do liacutequido constitui uma re

sistencia adicional a passagem do calorraquo No segundo tipo chega-se

a coeficientes de pelicula muito maiores pelo fato do vapor estar

sempre em contato direto com a superficie resfriadura isto eacutepor

nao haver resistencia adicional

2o2 - Condiccedilotildees para termos condensaccedilatildeo por peliacutecula ou por

gotas

Sob o ponto de vista da transmissatildeo de calor deveriacuteamos

sempre preferir a condensaccedilatildeo por gotas pois como jaacute dissemos e

a que daacute maior eficiencia teacutermica Acontece poreacutem que tecnologji

camente eacute difiacutecil a obtenccedilatildeo da condensaccedilatildeo por gotas pois haacute

necessidade de termos um vapor puro urna superficie de resfriameii

to perfeitamente lisa (cromeada espelhada) e com resinas para fa

cilitar a formaccedilatildeo das gotas Tudo isso encareceria demais um con_

densador por isso eacute que na praacutetica usamos condensaccedilatildeo por peliacutecu

la quando podemos usar chapas ou tubos comerciais

So em casos muito especiais quando o espaccedilo eacute muito imshy

portante usa-se condensaccedilatildeo por gotas

2 3 - Remoccedilatildeo do Condensado

Um fator importante a considerar na condensaccedilatildeo eacute a remo

17

ccedilao do condensado que sempre se faz por gravidade Ha dois tipos

principais de superficies de condensaccedilatildeo

1 - Tubos ou placas verticais (ou encunadas)

2 - Tubos cilindricos horizontais

Nos tubos verticais a espessura da peliacutecula liacutequida aumen

tara do topo acirc base e com isso variaraacute ao longo do tubo o coefishy

ciente de peliacutecula loacutecalo

No caso dos tubos ciliacutendricos horizontais o liacutequido escoj

re pela parede lateral e goteja pela parte inferior natildeo havendo

possibilidade de formaccedilatildeo de camadas espessas do condensado

2raquo4 - Condensaccedilatildeo por peliacutecula sobre tubos verticais

Nusselt desenvolveu estudos analiacuteticos sobre condensaccedilatildeo

externa a tubos ciliacutendricos verticais partindo das hipoacuteteses

1 - A espessura da peliacutecula do condensado eacute nula na parte

superior do tubo e vai aumentando nas partes inferioshy

res por condensaccedil-ao e escorrimentoraquo

2 - 0 fluido escorre pela parede em regime laminar sob o

efeito combinado do seu peso e viscosidade

3 - A temperatura da camada mais interna do condensado tem

a temperatura da parederaquo

4 - A temperatura da camada mais externa tem a temperatushy

ra do vapor-

5 - A variaccedilatildeo da temperatura da camada do condensado em

sentido ortogonal agrave superfiacutecie do tubo eacute linear

6 - 0 vapor cede apenas seu calor latente

7 - A temperatura do tubo eacute uniforme e constanteraquo

8 - Nao haacute gases incondensaacuteveis no vapor (vapor puro)

Chegou a formula

18

2 3 g P - h L t

N j = 0943 ( r-EcircY~ ) 1 4 (l) NuL y bdquo k o At v

As propriedades da equaccedilatildeo (1) satildeo avaliadas agrave temperatu

ra meacutedia tm

c + t _ w sat

tm ~ onde

t = temperatura da parede

t = temperatura de saturaccedilatildeo do fluido S 3Lt

exceto o calor latente da vaporizaccedilatildeo b^ que deve ser avaliado agrave

temperatura de saturaccedilatildeo correspondente atilde pressatildeobdquo

Quando a superfiacutecie focircr inclinada vale o raciociacutenio de

Nusselt apenas o termo que atua na remoccedilatildeo do condensado natildeo eacute g

mas sim (g seno) sendo 6 a inclinaccedilatildeo da superfiacutecieraquo

Assim a equaccedilatildeo para estecaso seria

2 3 g o sene o p o h o L

NT _ = 0943 ( r~ y (2) NuL y o k o At w

25 - Efeitos a considerar na condensaccedilatildeo

Ha 3 efeitos importantes a considerar na condensaccedilatildeo que

Nusselt natildeo levou em conta sao eles

- efeito da turbulecircncia no filme liacutequidoraquo

- efeito dos gases incondensaveisraquo

- efeito da velocidade do vapor

251 - Efeito da turbulecircncia no filme liacutequido

As formulas anteriores servem para comprimentos de tubos

pequenos pois nesse caso a velocidade de escoamento do condenshy

sado natildeo eacute grande entretanto para superfiacutecies verticais longas

a peliacutecula torna-se bastante espessa e com velocidade grande deshy

mais para que o escoamento possa ser considerado em regime lamishy

nar

19

Nesse caso define-se o numero de Reynolds baseado na veshy

locidade da fase liacutequida isto eacute

p V 6

Nbdquo - m r

Rer y u

onde

V = velocidade do condensado na camada limite m 6 = espessura da camada limite

T = p V m 6 = descarga do condensado por unidade de largju

ra da superficie de condensaccedilatildeo

No calculo da determinaccedilatildeo de T haacute uma certa dificuldade

pois ele soacute pode ser determinado por iteraccedilatildeoraquo

Q = m c laquo A t = h A A t P

A = 2ir R bdquo L (para tubos)

m c = h o 2IumlIuml R laquo L P

m m braquoL _ p a _ _ li li

2TTR C c P P

Como noacutes nao sabemos o valor de h_ devemos inicialmente

adotar um V e obter atraveacutes da foacutermula

NNuL = deggt0134 (R PV L 3 gt 1 3 ( N R e r ) 0 4 ( 4 )

y

o valor de _h se os valores de h_ obtidos por (3) e (4) forem iguais

o problema esta resolvido caso contraacuterio fazem-se tantas iterashy

ccedilotildees quantas forem necessaacuterias

252 - Efeito dos gases incondensaacuteveis

A presenccedila de gases incondensaacuteveis reduz violentamente o

coeficiente de peliacutecula pois acirc medida que o vapor se condensa o

gaacutes nao condensaacutevel se acumula junto atilde superfiacutecie de resfriamento

20

formando uma barreira adicional S passagem do fluxo de calor

A reduccedilatildeo do coeficiente de peliacutecula que a presenccedila des_

ses gases causa depende da fraccedilatildeo em massa dos mesmos na mistu

ra gaacutes-vapor

Fizeram-se inuacutemeras experiecircncias e sobre o assunto a tiacute

tulo de exemplo vejamos o graacutefico abaixo onde temos em abcissas

o coeficiente de peliacutecula obtido experimentalmente e em ordenadas

a fraccedilatildeo de gases dissolvida jio vapor

5000

bullg- 4000 O

3OOO

2000

S 1000

4 6 8 10 12 lt|gt(lbm arlbm de vapor )x 10

Devemos notar a grande influecircncia dos gases incondensatilde-

veis por exemplo quando o vapor eacute puro nos temos um h = 4000se

tivermos apenas 1 de ar dissolvido o coeficiente de peliacutecula fishy

caraacute reduzido agrave metade isto ecirc h = 2000

Por isso nos condensadores sempre se coloca vapor ornais

puro possiacutevel

253 - Efeito da velocidade do vapor

Quando a velocidade do vapor junto agrave interface liacutequido-

-vapor natildeo focircr despreziacutevel surgem forccedilas de atrito entre o vapor

e o liacutequido Se a direccedilatildeo do fluxo do vapor coincide com a direshy

ccedilatildeo do movimento do liacutequido a velocidade do liacutequido aumenta (haacute

compressatildeo) e a espessura do filme liacutequido diminui e consequenshy

temente a transferecircncia teacutermica melhora pois haacute diminuiccedilatildeo da

resistecircncia teacutermica

Se entretanto a direccedilatildeo do vapor focircr contraacuteria a do fil

o 21 laquo

me de liquido ha uma tendecircncia de haver aumento da espessura da pj2

liacutecula diminuindo assim o valor de h

26 - Consideraccedilotildees sobre os resultados obtidos com as foacutermushy

las de Nusselt

Nota-se experimentalmente que os resultados obtidos pelas

equaccedilotildees de Nusselt sao em geral 10 a 20 inferiores do que os reshy

sultados reais Assim a favor da seguranccedila elas sao usadas e aaacuteo_

tadas Os motivos das discrepacircncias jaacute-foram ditas atraacutes no item

25

Devemos notar ainda que o valor de h obtido pelas foacutermushy

las anteriores e o valor meacutedio jaacute que h varia de ponto para ponto

e seria difiacutecil obter uma equaccedilatildeo que nos desse o valor de h locaL

2bdquo7 - Condensaccedilatildeo por peliacutecula externamente a tubos ciliacutendrishy

cos horizontais

0 mesmo estudo de Nusselt pode ser aplicado neste caso

baseado na hipoacutetese de que no topo do tubo a peliacutecula do condensashy

do tenha espessura nula Chega-se a expressatildeo

g p 2 h D 3 14

NT _ = 0725 ( ) (5) NuD u k o At

Analogamente ao caso anterior as propriedades do liacutequido

sao tomadas a

t + t w sat

tm = ^

exceto h que eacute tomado a t

ev n sat

Na situaccedilatildeo atual da tecnologia e possiacutevel obtermos tubos

com diacircmetros suficientemente pequenos para que tenhamos escoamenshy

to do condensado soacute em regime laminar

22

No caso de vaacuterios tubos empilhados a formula (5) deve

ser modificada pois como dissemos ela soacute vale quando no topo do

tubo a espessura do liacutequido eacute nula o que nao acontece neste caso

(Vide figura a)

Vapor

Tubo

mdash Liacutequido

Fig a

Neste caso a forma que nos da o valor meacutedio para h e

g p 2 h D 3 14

NNuD deg gt 7 2 5 lt N u k V At gt

sendo N o numero de tubos empilhados

Note-se que neste caso o coeficiente h cai bastante Uma

boa soluccedilatildeo para o caso quando dispoacuteftos de lugar eacute dispor os tushy

bos defasados (Conforme figura b)

Liquido

Fig b

Neste arranjo podemos aplicar a equaccedilatildeo (5) pois no tp_

po de cada tubo a espessura da camada de condensado eacute nula

23

B - CONVECCcedilAtildeO COM MUDANCcedilA DE FASE - EVAPORACcedilAtildeO (II)

1 INTRODUCcedilAtildeO

Evaporaccedilatildeo consiste na obtenccedilatildeo de vapor por meio de aque

cimento de um liacutequido

Apesar da importacircncia do processo e do sucesso obtido na

praacutetica em projetos de evaporadores o fenocircmeno da evaporaccedilatildeo eacute

um dos pontos menos conhecidos da transmissatildeo de calor

0 primeiro estudo seacuterio sobre o assunto foi feito em 1934

pelo japonecircs Nukiyama poreacutem somente nos uacuteltimos 10 anos tais es-

tudos se intensificaram

Os primeiros pesquisadores quando estudavam o fenocircmeno

do resfriamento de um solido num liacutequido obtiveram as seguintes

curvas

onde

temperatura

velocidade de resfriamento

3 0 v = amdashbull

A 06

Q - fluxo teacutermico

8 - tempo

A - aacuterea do soacutelido

24

tempo

Ateacute os estudos de Nukiyama nao se conseguia explicar o

porque da variaccedilatildeo crescente da velocidade de resfriamento quando

t gt t sol sat

2 PROCESSO DE FORMACcedilAtildeO DAS BOLHAS

Como a evaporaccedilatildeo do liacutequido se faz sobre uma superfiacutecie

aquecedora sobre esta irao se formar bolhas de vapor que influem

decisivamente no fenocircmeno

Aqui soacute iremos estudar as bolhas sob o ponto de vista qua

litativo bem como a sua influencia mas nao sob o ponto de vista

quantitativo

Recentemente Fritz e Jacob WR Gambill e outros estudiacutei

ram o processo da formaccedilatildeo das bolhas sobre a superfiacutecie aquecedpound

ra Atraveacutes de fotografias verificaram que a bolha de vapor ain

da em contato com a parede variava profundamente de forma confo_r

me o angulo de contato entre liacutequido e parede metaacutelica

Assim eacute que se a superfiacutecie de aquecimento nao e excesshy

sivamente polida e a tensatildeo superficial do liacutequido eacute pequena a

bolha tem a forma da figura las diz-se nesse caso que o liquishy

do molha a parede neste caso o angulo de contato e agudobull Se

as condiccedilotildees contrarias se verificarem o acircngulo de contato sera

obtuso e as bolhas tomam a forma da figura ldegb Naturalmente ve

rificara-se as condiccedilotildees intermediaacuterias para o angulo de contato da

25

fig lc

Fig la Fig lb Fig lo

0 estudo analiacutetico da formaccedilatildeo e crescimento das bolhas

pode ser encontrado em diversos livros por exemplo no El-Wakill

(Nuclear Power) no Jakob (Heat Transfer)e outros Neles faz-se

o estudo das condiccedilotildees do liquido (pressatildeo temperatura tensotildees

etc) para haver ou nao formaccedilatildeo de bolha Isto eacute feito fazendo-se

o estudo das bolhas nas seguintes posiccedilotildees

a) bolha no seio do liacutequido

para meia bolha

4 ltP g - P fgt fg

onde

P g P f

- 4 D (D

g

Pf

D

pressatildeo do vapor

pressatildeo do liquido

tensatildeo entre superfiacutecie do liacutequido e vapor

diacircmetro da bolha

^f g

P f Fig 2

26

A equaccedilatildeo (1) mostra que a pressatildeo do vapor deve ser maior

que a do liquido nas condiccedilotildees de saturaccedilatildeo e este por sua vez

deve estar no estado de superaquecimento o

b) bolhas sobre superfiacutecie solida

Fig 3

Condiccedilotildees para desprender

a mdash o_ + o_ cos a gs fs fg

tensatildeo na interfase liacutequida e vapor (depende das

propriedades do liacutequido e vapor)

tensatildeo entre o liacutequido e superfiacutecie de aquecimen

to (depende das propriedades do liquido e da sushy

perfiacutecie)

tensatildeo entre o vapor e a superfiacutecie de aquecimeri

to (depende das propriedades do vapor e da super

fiacutecie)

21 - Formas do fluxo do vapor desde a superfiacutecie de aquecishy

mento ateacute a superfiacutecie livre do liacutequido

Considerando liacutequido vaporizado em tubos verticais pode^

mos ter 4 tipos de fluxo de vapor

1 - fluxo de bolhas

2 - fluxo de agregados (plug ou slug)

3 - fluxo anular

4 - fluxo disperso

Os quatro tipos ficam bem determinados respectivamente

onde

a fg

degfs

a gs

27

pelas 4 figuras abaixo

LIacutequido - Liacutequido Liacutequido

o

^Bocirclha de

vapor

Vapor

mdash [

- Vapor

mdash 0 0

deg_ a-

jrj-

iquestiexcl5

Bolhas Agregados Anular

Liacutequido

vapor

Disperso ou

Homogecircneo

Conforme o tipo de ebuliccedilatildeo podemos ter uma so das forshy

mas acima ou uma mistura

3 INCERTEZAS NO ESTUDO DA EVAPORACcedilAtildeO

Ha trecircs incertezas principais para determinar o fluxo de

calor na evaporaccedilatildeo a saber

- Aacuterea de contato indefinida

- Diferenccedila de temperatura indefinida

- Grau de turbulecircncia

Como realmente nos nao sabemos uma dependecircncia algeacutebri

ca entre o acircngulo de contato e a superfiacutecie ocupada pelo liacutequishy

do (ou vapor) temos uma incerteza na determinaccedilatildeo da aacuterea de tro

ca de calor (A)

Outra incerteza eacute a dificuldade da obtenccedilatildeo de diferenccedila

de temperatura entre o liacutequido e a parede que normalmente assume-

-se como sendo a diferenccedila entre a temperatura da parede e da ebu

liccedilatildeo do liacutequido (temperatura de saturaccedilatildeo = t )

S cl c

Na realidade a diferenccedila de temperaturas nao eacute aquela

pois a camada de liacutequido que cobre a superfiacutecie aquecedora esta

a uma pressatildeo maior que o resto do liacutequido (pressatildeo atmosfeacuterica

mais a hidrostaacutetica) e consequentemente a temperatura de vaporiza_

ccedilao desse liacutequido e maior que a da superfiacutecie Esta diferenccedila po-

28

deria ser calculada desde que se conhecesse a relaccedilatildeo entre presshy

satildeo e temperatura de saturaccedilatildeo do liacutequido entretanto haacute incerte

za quanto ao verdadeiro peso especiacutefico da coluna de liacutequidopois

trata-se de uma mistura de bolhas de vapor e de liacutequido em proshy

porccedilatildeo variaacutevelraquo

4 REGIMES DE EBULICcedilAtildeO

Nukiyama estudando a ebuliccedilatildeo da aacutegua num recipiente a

quecendo-a com resistencias eleacutetricas construiu a curva baacutesica da

ebuliccedilatildeo Todos os liacutequidos apresentam uma curva semelhante vashy

riando apenas os valoresraquo Os pontos caracteriacutesticos da curva deshy

pendem de caracteriacutesticas difiacuteceis de definirtais como natureza

do metal estado da superficie (rugosidade) dimensotildees orientashy

ccedilatildeo do fluxo quantidade de gases dissolvidos e t c

Estudaremos o fenocircmeno para o caso de aacutegua destiladasem

gas dissolvido a temperatura de saturaccedilatildeo 100 C pressatildeo atmosfe_

re uma superficie plana

Chega-se assim acirc curva

rica sobre uma superficie plana horizontal a temperatura t^

In ltJgt

At (degC)

A curva acima representa o aquecimento de agua com uma re_

sistecircncia eleacutetrica (ate ebuliccedilatildeo)raquo Temos em abcissas as diferenccedilas

de temperatura entre o liacutequido e a resistecircncia em ordenadas o flu

29

Regiatildeo I

Regiatildeo II

Regiatildeo III

Regiatildeo IV

xo de calor por unidade de area

Na curva notam-se 4 regiotildees bem definidas tendo cada uma

o seu significado fiacutesico os quais correspondem a um tipo de ebuli

ccedilao

convecccedilao natural

ebuliccedilatildeo nucleada

ebuliccedilatildeo por peliacutecula parcial

ebuliccedilatildeo por peliacutecula estaacutevel

41 - Convecccedilao natural

Ocorre quando At eacute inferior a 8degCformam-se no liacutequido

correntes convectivas as quais transferem o calor ateacute a superfiacuteshy

cie livre do liacutequido e aiacute desprendendo o vapor Neste caso o valor

de h eacute da ordem de 2000 kcalm^hdegC

42 - Ebuliccedilatildeo nucleada

Ocorre quando o At eacute maior que 8degC e menor que 25degC Nesshy

te caso as bolhas formam-se junto a superfiacutecie de aquecimento

crescem liberam-se movimentam-se em direccedilatildeo agrave superfiacutecie livre do

liacutequido onde estouram libertando o vapor As bolhas formam-se nas

irregularidades da parede tecircm um acircngulo de contato agudo e porshy

tanto hatilde liacutequido sempre em contado com a parede (molha a parede)

cada ponto ativo (lugar onde se formam as bolhas) libera uma porshy

ccedilatildeo de bolhas e os outros pontos do liacutequido ficam em contato com a

superfiacutecie quente violentamente agitados Esta agitaccedilatildeo extrema eacute

mais eficaz que uma turbulecircncia criada artificialmente Por esse mo

tivo a curva cresce violentamente nesse trecho (m = 3 a 7) pois

bull 2 o o valor de h cresce consideravelmente (ate 46000 kcalm hr C) e

o fluxo teacutermico transmitido ao liacutequido cresce proporcionalmente a

Quando cresce crescem tambeacutem

(At) 3

30

numero de bolhas por unidade de aacuterea (num instanshy

te)

~ = crescimento da bolha (com o tempo)

frequecircncia de iacuteormaccedilao de bolhas

A medida que o At vai aumentando iraacute aumentando (jgt tam-- n o N

bem e consequentemente mdash R mdash a a a tal ponto que quando atiacuteii

girmos o ponto da curva nao haveraacute mais formaccedilatildeo de bolhas

mas sim uma peliacutecula de vapor instaacutevel passando assim a 3a re

giao que estudaremos a seguir

43 - Ebuliccedilatildeo por peliacutecula parcial

Como dissemos no item anterior se aumentarmos ainda mais

o At (entre 25degC e 125degC) teremos a formaccedilatildeo de uma peliacutecula de

vapor instaacutevel sobre a superfiacutecie quente que aacutes vezes eacute perfurashy

da pelo liacutequido A camada de vapor tanto mais estaacutevel seraacute quanshy

to maior focircr o At Essa peliacutecula de vapor iraacute provocar um decreacutes_

cimo consideraacutevel no fluxo teacutermico porque como sabemos o vapor

eacute muito pior condutor que a aacuteguaraquo

0 fluxo vai decrescendo ateacute um ponto miacutenimo (iexclgt mintilde (as vecirc

iacutebo bullraquo 1

zes chega a ser mdashj-) e e o chamado ponto de Liedenfrost 0 coeshy

ficiente de peliacutecula neste caso cai violentamente (h = 2000

kcalm^hrdegC)

44 - Ebuliccedilatildeo por peliacutecula estaacutevel

Aumentando ainda mais a diferenccedila de temperaturas

At ( gt 125degC) iremos conseguir uma camada de vapor estaacutevel Ela

transmite calor da superfiacutecie quente ao liacutequido que se vaporiza de

modo que o excesso de vapor formado na interface liquido-vapor for

ma bolhas que sobem para a superfiacutecie 0 liacutequido encontra-se agi-

31

tado poreacutem nao toma contato com a superfiacutecie soacutelida

A peliacutecula de vapor eacute estaacutevel e o fluxo eacute proporcional a

34

(At) (lei de Bromley) Para At grandes passa a influir sensivel^

mente a radiaccedilatildeo teacutermica mais uma razatildeo para demonstrar que nesshy

ta regiatildeo o fluxo cresce novamente

5 CONSIDERACcedilOtildeES E COMPARACcedilAtildeO ENTRE OS TIPOS DE EVAPORACcedilAtildeO

BURNOUT

Sob o ponto de vista de eficiecircncia teacutermica deveriacuteamos sem

pre trabalhar no ponto de fluxo maacuteximo isto eacute no ponto correspon

dente a lt(gt da curva de Nukiyama pois eacute o que daacute maior coeficieri

te de peliacutecula

Acontece poreacutem que se impomos a temperatura da parede

fixa obtemos um uacutenico valor de lt(gt e portanto o fenocircmeno eacute estaacutevel

Poreacutem se como ocorre nos reatores impomos um fluxo teacuter

mico a curva de Nukiyama apresenta 3 pontos de funcionamento posshy

siacuteveis A B C

1

SOacute os pontos A e C sao funccedilotildees estaacuteveis mas eles impotildeem

acirc superfiacutecie quente temperaturas bem diferentes

Na industria em geral trabalha-se por questotildees de segushy

ranccedila na regiatildeo IV da curva poreacutem para os reatores trabalha-se na

32

r e g i atilde o I I

0 p r o b l e m a de t r a b a l h a r n a r e g i atilde o II eacute q u e se n oacute s e s t i shy

v e r m o s t r a b a l h a n d o n o p o n t o e x t r e m o (j) e se p o r q u a l q u e r m o t i v o

h o u v e r u m p e q u e n o a c r eacute s c i m o d e ltfgt i r e m o s t r a b a l h a r i m e d i a t a m e n t e no

p o n t o M q u e t e m o m e s m o $-^0t p o r eacute m c o m A t 2 m u i t a s v e z e s m a i o r

p o d e n d o o c a s i o n a r a f u s atilde o d a s u p e r f iacute c i e a q u e c e d o r a E s t e f e n ocirc m e n o

eacute c h a m a d o d e b u r n o u t

0 f l u x o lttgt eacute c h a m a d o f l u x o c r iacute t i c o o u f l u x o d e b u r -b o

n o u t N o c a s o do r e a t o r d e v e m s e r t o m a d a s m e d i d a s r i g o r o s a s q u a n

to agrave r e g u l a g e m do f l u x o t eacute r m i c o p a r a q u e n atilde o o c o r r a o b u r n o u t 1 1

p o i s d e l e p o d e r e s u l t a r r u p t u r a d a c a m i s a do c o m b u s t iacute v e l e h a v e shy

r aacute p o r t a n t o c o n t a t o do r e f r i g e r a n t e c o m o s s oacute l i d o s e g a s e s r a shy

d i o a t i v o s

5 o l - R e l a ccedil atilde o d e B u r n o u t

E c l a r o q u e p a r a t e r m o s u m r e a t o r m a i s e f i c i e n t e d e v e shy

m o s t r a b a l h a r c o m u m f l u x o o m a i s p r oacute x i m o p o s s iacute v e l do f l u x o d e

B u r n o u t P a r a t a n t o d e v e m o s c o n h e c e r c o m o m a i o r g r a u d e certe

za p o s s iacute v e l q u a l o ^ p a r a p o d e r m o s r e d u z i r o c o e f i c i e n t e d e s e shy

g u r a n ccedil a ( W R G a m b i l l r e c o m e n d a agrave 1 5 )

N o s s e m i n aacute r i o s d e W R G a m b i l l e n c o n t r a m o s u m a s eacute r i e de

b i b l i o g r a f i a s o n d e p o d e m o s e n c o n t r a r i n uacute m e r a s f oacute r m u l a s p r o p o s t a s

p a r a a o b t e n ccedil atilde o de (q 1^)

A t i t u l o d e e x e m p l o v e j a m o s a l g u m a s

q - 2 7 0 G deg gt 8 5 D 0 2 A085 p lt 150

deg D ( L uuml ) 2

q - 140 G 0 5 D ~ deg 2 (-~-)~deg 1 5 p ~ r gt 150 c D (LD)

o n d e a m b a s as e q u a ccedil otilde e s s oacute v a l e m p a r a aacute g u a e m b a i x a p r e s s atilde o e m coii

v e c ccedil a o f o r ccedil a d a

33

D

L

fluxo teacutermico critico BTUhrft bdquo 2

descarga em massa do liquido (Ibmhrft )

diacircmetro do tubo ft

comp do tubo ft

Para cada caso temos uma expressatildeo diferente que pode ser

encontrada em literatura especializada

6 INFLUEcircNCIA DE OUTROS PARAcircMETROS NO FLUXO DE BURNOUT

Como para os usos atuais do reator a diferenccedila de temppound

ratura entre parede e fluido sao pequenas bem como o fluxo de bur

nout recentemente fiacutesicos como Jakob Bonilla WR Gambill estu

daram outros paracircmetros que influenciam bastante o sect^ 0gt isto eacute a

influecircncia desses paracircmetros faz com que o ^ seja maior Isto eacute

util pois quanto maior o fluxo de burnout maior poderaacute ser o

fluxo de calor real de funcionamento

Tais meios sao

- Sub-resfriamenCcedilo do liacutequido

61 - Influecircncia da velocidade do liacutequido

Estudos feitos pelos autores acima chegaram agraves curvas

- Aumento da velocidade imposta ao liacutequido

- Pressatildeo do liacutequido elevada

alto V

At

34

Para velocidades maiores o fluxo de burnout aumenta

porque neste caso o regime eacute turbulento e o coeficiente de peliacute

cuia h aumentao

6bdquo2 - Influencia do aumento da pressatildeo

Este estudo deve-se a Bonilla que obteve experimentalmen

te as curvas

Este estudo foi feito para vaacuterios liacutequidos e chegou a con

clusao que sempre havia uma pressatildeo oacutetima isto e uma pressatildeo que

leva ao maior iacute 1 ^ raquo mantidas as demais condiccedilotildees Experimentalmenshy

te notou que essa pressatildeo correspondia a 13 da pressatildeo critica

do liquido em questatildeo

6=3 - Influecircncia do sub-resfriamento

Consiste em manter atilde custa de uma circulaccedilatildeo intensa o

liacutequido a uma temperatura inferior atilde de saturaccedilatildeo para a pressatildeo

correspondenteraquo Experimentalmente chega-se agraves curvas

mdash A t grande sub

bullAt -0 sub sub

medio

At

35

Verificando os graacuteficos vemos que o lt)gt aumenta agrave medida bo

que aumenta a diferenccedila de temperatura de sub-resf riamento isto pojr

que o liquido como estaacute mais frio faz com que algumas das bolhas

recondensem permitindo que o liquido fique em contato com a parede

quente o que faz aumentar o h

^ f csub = t e m P e r a t u r a ddeg liacutequido - temperatura de saturaccedilatildeo

A diferenccedila de temperatura At entre fluido e parede tamshy

beacutem aumenta poit na regiatildeo proacutexima agrave parede haacute necessidade de

levar o liacutequido da temperatura do sub-resfriamento ateacute a temperatu

ra de saturaccedilatildeo quando se evapora

Atualmente os maiores estudos dos fiacutesicos nucleares locashy

lizam-se neste campo pois eacute o que oferece maiores vantagens

7 FORMULAS PARA 0 CAacuteLCULO DO COEFICIENTE DE PELIacuteCULA NA EBULICcedilAtildeO

Como ocorre no caacutelculo de todas as foacutermulas de convecccedilatildeo

temos formulas empiacutericas para determinar o h conforme o tipo de

ebuliccedilatildeo que nos consideramos

71 - Ebuliccedilatildeo Nucleada

Para o caso de aacutegua temos as relaccedilotildees

superfiacutecies

horizontais

superfiacutecies

verticais

f aacute 5000 BTUhrft 2 -gtbull h = 151 ( A t ) 1 3

A o

5000 lt 75000 -h = 0618 (At)3

^ pound 1000 -raquobull h = 8 7 ( A t ) 1 7

A o -

1000 lt $ lt 20000 -gt h = 027 (At) A o

Quando a pressatildeo e diferente da atmosfeacuterica faz-se a correccedilatildeo

3 6

72 - Ebuliccedilatildeo por peliacutecula

Bromley propocircs uma boa equaccedilatildeo para a ebuliccedilatildeo por peliacuteshy

cula estaacutevel em cilindros horizontais

Nu

_ JtjD n r 9 P v bull ( P L - P v gt - g -h

e V bull D i2

D 1 ^ U b Z u At gt

onde

V = indica vapor

L = indica liacutequido

Multiplicando ambos os membros da equaccedilatildeo acima por

kvD obteremos a expressatildeo do coeficiente de convecccedilagraveo meacutedio para

o caso

37

C - FORMULAS PARA CAacuteLCULOS ESPECIacuteFICOS - RESULTADOS ESPECIacuteFICOS

1 FLUXO DE CALOR CRIacuteTICO - BURNOUT

lol - Introduccedilatildeo

O aspecto mais importante no que se refere agrave seguranccedila

dos reatores da transferencia de calor na ebuliccedilatildeo eacute a determina

ccedilatildeo do Fluxo de calor critico ou de pico ou burnout

Como jatilde vimos quando temos a ebuliccedilatildeo nucleada a dishy

ferenccedila de temperatura entre refrigerante e superfiacutecie de aqueci

mento e pequena poreacutem quando atingimos o fluxo de calor criacutetico

essa diferenccedila de temperatura pode tornar-se imediatamente muishy

to grande podendo causar a ruptura da superfiacutecie de aquecimento

se atiigirmos o ponto de fusatildeo do soacutelidoraquo

Usando a convecccedilao

onde

At sat

w

sat At

sub

w = temperatura da parede de aquecimento

t t = temperatura de saturaccedilatildeo do liacutequido

t^ = temperatura de mistura do liacutequido

At = (t -t ) sub-resfriamento do liacutequido sub N sat b 1

nout

Ha dois tipos de burnout fast burnout e slow bur-

Ocorre o fast burnout (burnout raacutepido) quando A t g u b gt 0

38

ou para baixo x (~ lt 10) sendo x o titulo do vapor

Temos o slow burnout para x - gt 10 Assim noacutes tereshy

mos dois limites para o burnout

At bull o (ltJgt ) t =((() para t = t ) -

bo m m possiacutevel w sat

sub i

4L + 1

G c D h pl nb

(ltK ) = (ltpound para x = 1) = Dv-bo max possiacutevel e 4L

c At l + P 1 sub i

onde

L = comprimento do canal

D = diacircmetro do tubo

G = descarga de liacutequido (por unidade de aacuterea)

c ^ = calor especiacutefico do liacutequido

Agrave = calor latente de vaporizaccedilatildeo

h ^ = coeficiente de transferecircncia de calor na regiatildeo de

nao ebuliccedilatildeo

iacutendices

i = entrada

e = saiacuteda

Haacute inuacutemeras expressotildees para determinaccedilatildeo do burnout pro

postas por muitos fisicos cada uma aplicando-se a um caso especiacuteshy

fico vejamos algumas delas

12 - Equaccedilotildees para prediccedilatildeo de Burnout

121 - Equaccedilatildeo de Bragg e Smith (Zuber)

Num artigo publicado por Bragg e Smith encontramos uma f oacute_r

mula que e derivada da formula de Kutateladze e nos daacute o fluxo cri

39

tico quando nao temos sufaresfriamento

bo poolsat v V raquoc a ( p l P V )

2 PV

14

onde

ltiexclgt = fluxo de calor critico bo

k = constante

Ly = calor latente de vaporizaccedilatildeo do refrigerante

= densidade do liquido

pvr = densidade do vapor V a = tensao superficial

g = fator de conversatildeo c

a = aceleraccedilatildeo da superficie de aquecimento

Os autores encontraram para k um valor de 062 entreten

to outros autores como Zuber incluindo outras variaacuteveis que In

fluiam no fenocircmeno encontraram k variando entre 008 e 023Esshy

tudos bem elaborados mostram que o valor mais aproximado eacute

k = 015 (- 003)

1-22 - Equaccedilatildeo de Noyes

Noyes estudou o burnout para o soacutedio agua e alguns liacute

quidos orgacircnicos

( W s a t ~ bdquo 0245 bull ( r ( 1 )

iiacute_ V 1 Pr

onde

N n = Nuacutemero de Prandtl da fase liacutequida x r

Mais tarde o proacuteprio Noyes alterou a equaccedilatildeo para

n ^ - n H Iacute I Pl PV gt0538 deg g c a q 4 ( W s a t deg 1 1 6 PV ( - p 7 ~ ) (77T1^ ) ( 2 )

40

A ultima correlaccedilatildeo proposta por Noyes foi

a n prPV0560 112

1

(a bull a) 13

(ag c) 112

(3)

onde

a = difusividade teacutermica do liacutequidoraquo A equaccedilatildeo (3) eacute bashy

seada em todos os dados de burnouts do soacutedio bem

como da atildegua benzeno difenil e outros De 111 pontos usados 90

+ estatildeo relacionados dentro de - 30bdquo

ldeg2o3 - Burnout com convecccedilao forccedilada e sub-resfriamen

to

Aproveitando os resultados de aproximadamente 240 testes

de burnouts com aacutegua sub-resfriada em fluxo de convecccedilao forccedilashy

da feitos na Ruacutessia Labuntsov elaborou uma boa equaccedilatildeo empiacuterica

para o problemabdquo

Esta relaccedilatildeo aplica-se para velocidades entre 2 3 e 148

ftsec pressotildees entre 1 e 201 atmabs sub-resfriamento entre 0 deg

e 432 degF e fluxos de burnout entre 0 4 x IO 6 x 166 x 1 0 6 BTUhr

2 bdquo

bullbo

onde

e a seguinte

6 ( P ) 1 + 0 2 3 2 V 2

14

e ( P ) 1 +

15 c At _p_ sub

12 (a)

9 ( P ) - P 1 3 o ( 1 - P J 4 3

red

= pressatildeo (atm abs)

pressatildeo reduzida = mdash mdash red r P

t_ c = pressatildeo critica

= velocidade do liacutequido (ftsec)

= calor especiacutefico do liacutequido (BTUlbdegF)

4 1

^ tsub = ^ ^ e r e n Ccedil a ^ e temperatura entre a temperatura de

mistura do liacutequido e a de saturaccedilatildeo (degF)

X = calor latente de vaporizaccedilatildeo (BTUlb) 2

ltiacutegtbo = fluxo de burnout (BTUhrfl )

Uma outra correlaccedilatildeo para o caso foi proposta por

Ornatsky e Xiohigin que fizeram experiecircncias para pressotildees entre

10 e 1 5 0 3xm 90 degF lt At ^ lt 4 5 0 deg F 3 7 1 0 6 ( l b h r o f t 2 ) lt G lt

2 2 2 10 b ( l b h r bdquo f t 2 )

lt ^ = 3 2 5 0 (G o A t bdquo J deg 6 ( - i - ^ ) 2 5 ( b ) bo sub

onde

G - descarga de refrigerante por unidade de aacuterea

P ^ v P v - densidades do liacutequido e do vapor

P1~ PV -0 termo (mdash ) e incluido na expressatildeo (b) para indicar

a influecircncia da ^ pressatildeo sobre o

Uma comparaccedilatildeo entre as equaccedilotildees (a) e (b) foi feita para

o Reator de Isoacutetopos de Alto Fluxo (HFIR) nas condiccedilotildees aacutegua a

600 psia velocidade = 45 ftsec e sub-resfriamento = At^^ 1

degF obtendo-se uma diferenccedila de 6 5 entre ambos (4gt = 6 0 5 1 0 b

2 ~ 6 2 BTUhr ft pela equaccedilatildeo (a) e 6 4 5 10 3TUhrraquoft pela equaccedilatildeo

(b)

Ilatilde ainda a equaccedilatildeo de Ivey e Morris aplicaacutevel somente pa_

ra ebuliccedilatildeo com grande quantidade de liacutequido

( c sub t

Cpf bull A tsub

( bull ) s ~ V P bdquo 10 h V sat V g

onde

(ltL ) = fluxo critico com sub-resfriamento c sub

(ograve ) ^ - fluxo critico sem sub-resfriamento c sat

42

c ^ = calor especiacutefico do liacutequido

= calor latente de vaporizaccedilatildeo

124 - Burnout com convecccedilao forccedilada e ebuliccedilatildeo por bocirc-

Ihas

Gambill fez uma extensatildeo da equaccedilatildeo de Levy e aplicou o

metqdo da superposiccedilatildeo Tal extensatildeo consiste natilde subtraccedilatildeo de uma

razatildeo equivalente de massa transferida dos termos que represenshy

tam a ebuliccedilatildeo e convecccedilao para levar em conta a presenccedila do vashy

por no fluxo

A correlaccedilatildeo pode ser escrita assim

24 V P V

o g c a (p^Py) 14

+ 0696 (k p c ) 12

(

pr p v )i4 o g c a (P-L-Py) 18

bull At + h sub nb

044 p v L v G (g1) bull N2 n

p l P V

( pr p v ) d e 2-7

2 4 TT 0

14 ( f e _ ^ r l 3

lO^u

onde

k = condutividade teacutermica

c = calor especiacutefico

A t s u b ~ s ub-resfriamento do liacutequido

h = coeficiente de transferecircncia de calor de nao ebu nb mdash

liccedilatildeo

G = descarga total do refrigerante

43

d g = diacircmetro equivalente do tubo ou canalraquo

]i = viscosidade

B = constante adimensional

Os iacutendices V e 1 representam vapor e liacutequido respectiva

mente

0 primeiro termo entre chaves da equaccedilatildeo representa o flu

xo de calor no burnout de sub-resfriamento em convecccedilao forccedilada 0

segundo termo entre chaves corresponde ao fluxo de calor transferi^

do para a massa da fase vapor

1-25 - Burnout por Bloqueio da Base

Ocorre quando a profundidade do recipiente eacute muito maior

que a largura 0 bloqueio da base eacute causado pela formaccedilatildeo de uma pe_

licula de vapor na base impedindo que o liacutequido toque o fundo do

recipiente

i De

Este eacute o burnout por flooding isto eacute burnout por expul

sao do liacutequido Uma equaccedilatildeo que nos dacirc o fluxo minimo do burnout

parao caso eacute

44

onde

D g = diacircmetro equivalente

L = comprimento do tubo

= calor de vaporizaccedilatildeo

p^Py Ap = densidade do liacutequido do vapor e diferenccedila en

tre ambos

Para um fluxo de calor maior ou igual ao dado pela expres_

sao acima (mantida a mesma geometria) teremos burnout Para um deshy

terminado fluxo existiratildeo sempre um comprimento L e um diacircmetro equi

valente D e para os quais temos burnout Exemplo

L (in) D e(in)

10 11

100 51

1000 235

2 RESULTADOS ESPECIacuteFICOS - FOacuteRMULAS PARA CAacuteLCULOS ESPECIacuteFICOS

21 - Diferenccedila de temperatura At i

13 a t

sat

At sat

poundatildeJL_ raquo t - t J p T T 6 w sat

onde

o laquo tensatildeo superficial entre liquido e vapor

t - temperatura de saturaccedilatildeo do liacutequido para a corres-Scl t

pondente pressatildeo

J equivalente mecacircnico do calor

X laquobull calor latente de vaporizaccedilatildeo

py = densidade do vapor

6 = espessura da camada de liacutequido superaquecido onde

45

k l

h nc

onde

k^ = condutividade teacutermica do liacutequido

h = coeficiente de peliacutecula nc r

Segundo Eckent h ^ c e dado por

P 2 Q

nc 3 V VP + 0952

r

onde

D = diacircmetro equivalente

G r = numero de Grashoff

P = nuacutemero de Pradtl

2 o 2 - Velocidade das bolhas

A velocidade das bolhas em meacutedia pode ser dada pela exshy

pressatildeo

V bdquo = Iacute ( a bull B Apl4 bolhas 5 ^ 2

p l onde

AP = P L - P v

Expressatildeo que vale quando a aceleraccedilatildeo eacute a da gravidade

baixa viscosidade do liacutequido e bolhas separadas

Vbolha = f t s e atilde m a x para aacutegua

2 bdquo3 - Diacircmetro das bolhas

2gc deg 12 D = 0015 3 ( mdash mdash 7 ~ ) d g Ap

5 =

46

onde

8 = acircngulo de contato (20 a 90deg) geralmente assume-O -1

-se igual a 50 para a agua em contato com metal

24 - Coeficiente de peliacutecula na ebuliccedilatildeo nucleada

a) Equaccedilatildeo de Rohsenow

Esta equaccedilatildeo nos datilde o fluxo de calor q na ebuliccedilatildeo nushy

cleadaraquo E oacutetima expressatildeo para muitos liacutequidos o efeito da presshy

satildeo eacute levado em conta na variaccedilatildeo das propriedadesraquo

Pf

fg

sat 17 = c

sg k y f h f g g( P f-p g)

n033

onae

Pf

fg

Pf Pg c sg

= fluxo de calor requerido (BTUhr0ft^)

= calor especiacutefico do liacutequido saturado (BTUlbm0F)

= calor latente de vaporizaccedilatildeo (BTULbm)

= nuacutemero de Prandtl

= viscosidade do liacutequido (lbrahrraquoft) ~ 8 2

= fator de conversatildeo 417 10 Ibmftlbflaquohr 2

= aceleraccedilatildeo da gravidade (fthr )

= tensatildeo superficial na interface liacutequida vapor

(lbfft) 3

densidade do liquido e vapor (lbmft )

constante adimensiacuteonal que depende de vaacuterios fashy

tores dentre os quais o grau de aquecimento en_

tre o fluido e a superfiacutecie de aquecimento e o

mais importanteraquo Independe da pressatildeo do sistema b) Equaccedilatildeo de Levy

Equaccedilatildeo valida para a aacutegua quando 100 lt p lt 2000 psiacutea

47

43 bdquo3

qu bdquo gat ^ T J h r t f t ^

495

25 - Calculo do fluxo de calor no Ponto de Leidenfrost

0 ponto de Leidenfrost como vimos eacute o ponto em que oflu

xo de calor comeccedila ncamente a crescer isto eacute o ponto onde termal

aa a ebuliccedilatildeo instaacutevel e comeccedila a ebuliccedilatildeo por peliacutecula estaacutevel Eacute

o chanado fluxo miacutenimo (egrave ) m m

Aproximadamente quando A t g u k = 0 temos

A _ mdash _ mdash (Gambill) m m 5

Ha entretanto varias expressotildees para determinar esse flu

xo eis uma delas

A p 14 ltjgt = 009 h pbdquo (o raquo g mdash ) y m m fg P V deg 2

p l

26 - caacutelculo do fluxo de calor na regiatildeo de ebuliccedilatildeo por peliacute

cuia estaacutevel

para cilindros jmdashi i li

_ D 0172 k-V - P V A p h l V bull S 14 li - = 062 (mdashmdash) (- j- r rmdash) convecccedilao A 0 ybdquo (t -t )

c V w sat

onde

= condutividade do vapor

- 2 TT ( mdash )

c gAp Vl = significam vapor e liacutequido respectivamente

para paredes verticais

L 0172 S deg7 A p bull hlV S q 4 h - - 080 (-^-)J- (-Iuml - Iacutemdash-convecccedilao X L u (t - t J)

c V w sat

48

Como nesta regiatildeo jaacute haacute nina influecircncia marcante da radia

ccedilao devemos levar en conta tambeacutem o coeficiente de peliacutecula de

vido a radiaccedilatildeo para determinar o coeficiente de peliacutecula total

Dos estudos atildea radiaccedilatildeo temos

h = a F pound(T 4 - T 4 J ( T ~ T ) rad w sat w sat

onde amp _ emissividade de superfiacutecie

a = constante de Stefan-Boltzman

F = fator de forma

Segundo WE Gambill o coeficiente de transmissatildeo total

ceve ser

3 iacutei = h + -7 h para h lt h t conv 4 rad r rad conv

Na expressatildeo acima existe o fator 34 porque a radiaccedilatildeo

faz variar um pouco a espessura do filme de vapor reduzindo asshy

sim o l l

conv

Quando tivermos h gt h gt o h^ ^ seraacute rad conv total

h f c = h + h t conv rad

Neste ultimo caso nao ha nenhum coeficiente porque a peshy

liacutecula de vapor jaacute eacute estaacutevel

27 - Grandezas caracteriacutesticas para a apua

Para pressatildeo igual a 1 atm = 1422 psia

At ^ = t - t = 5degC (iniacutecio da ebuliccedilatildeo nucleada) sat w sat 1

At t = 30degC sat crit

49

5 2 $ = 4 10 BTUhrft (para pressatildeo 1 atm)

0 fluxo critico cresce como vimos com a pressatildeo ate

atingir o maacuteximo quando a pressatildeo eacute aproximadamente 13 da pressatildeo

criacutetica Esse fluxo eacute

bull = 13 IO 6 BTUhrft 2 para p = 11000 psia (p pound = 32062 psia)

Ainda temos que para pressatildeo igual a 15 psia

h b o = 11000 BTUhrft degF - ebuliccedilatildeo nucleada

h f b = 30 BTUhrft 2 degF - ebuliccedilatildeo pelicular

Todos os resultados e formulas para caacutelculos especiacuteficos

apresentados nos itens 21 22 23 ateacute 27 sacirco aplicados somente

para sistemas onde haja ebuliccedilatildeo com grande quantidade de liquido

51

D - HIDRODINAcircMICA DOS SISTEMAS E QUEDA

DE PRESSAtildeO DENTRO DE UM CANAL

1 HIDRO-DINAcircMICA E QUEDA DE PRESSAtildeO

11 - Hidro-dinacircmica dos sistemas estaacuteveis

111 - Regimes de escoamento

A evoluccedilatildeo do escoamento ao longo de um canal aquecedor

de secccedilatildeo constante ciliacutendrico pode ser esquematizada pela figushy

ra 1 onde temos em abcissa o comprimento z do canal e em ordenada

a temperatura (T)

52

Na figura 1 nos representamos

a) 0 aspecto do escoamento fluido quando a entalpia do

- fluido aumenta Verificamos que o fluido entra no cashy

nal no estado liacutequido e assim permanece ateacute atingirmos a zona de

ebuliccedilatildeo local onde aparecem as primeiras bolhas A entalpia do

fluido continua aumentando e tem inicioa ebuliccedilatildeo franccedila onde as

bolhas se unem formando agregados posteriormente o escoamento to

ma a forma da figura ou seja torna-se anular disperso Finalmente

atingimos duas uacuteltimas fases do escoamento disperso (vapor uacutemido)

e vapor seco

b) A evoluccedilatildeo da temperatura meacutedia do fluido e da tempeshy

ratura da parede Note-se que a partir da cota a

temperatura da parede aumenta brutalmente podendo causar o

burnout

c) A evoluccedilatildeo do tiacutetulo do vapor (x) com o comprimento

do tubo e a evoluccedilatildeo da fraccedilatildeo (a) que definiremos no

item 11laquo2 com o comprimento do tubo

112 - Definiccedilotildees

a) Tiacutetulo ou qualidade do vapor (x)

massa de vapor na mistura x ~ massa total da mistura

x =

W _g_

g f

b) Fraccedilatildeo vazio (void fraction)

volume do vapor na mistura a = volume total da mistura (agua+vapor)

A relaccedilatildeo entre x e a num sistema parado pode ser obtida

assumindo um certo volume contendo 1 lbm de mistura em equiliacutebrio

teacutermicoraquo

53

O volume da mistura seraacute igual a (v + xv ) ft onde v eacute 3 r rg

o volume especifico (lbmft )

f - refere-se ao liquido

g - refere-se ao vapor

fg - refere-se a diferenccedila entre liacutequido e vapor

Numa mistura em equiliacutebrio se o liacutequido e o vapor estatildeo

saturados o volume do vapor presente eacute igual acirc sua massa vezes

seu volume especiacutefico v assim e

xv bdquo bdquo a mdash

V c + XV c

f gf

onde

- bull-bull uumlutiacuteisa vapor na mistura de 1 Ibm

v volume especiacutefico do liacutequido

v = volume especiacutefico do vapor o

V c = v - V

gf 8 r

Fazendo uma transformaccedilatildeo na expressatildeo acima temos

xv xv JS = Z-

v r+ x(v -v c) xv +(l-x)v t ri f g f g f 1 + Ul-x)xjv fv

1 + C(l-x)x]]vfvg

A fraccedilatildeo vazia tem a influencia de baixar a reatividade

do nuacutecleo nos reatores em que o refrigerante eacute tambeacutem moderador

Na equaccedilatildeo acima os valores de x e v sao tomados em tabe

las termodinacircmicas apropriadas para a pressatildeo do sistema A equashy

ccedilatildeo (1) mostra os grandes valores de a para pequenos valores de x

especialmente para baixas pressotildees Isto ocorre porqueaumentando

54

aacute pressatildeo o v decresce muito enquanto que o v f eacute mais ou menos da

mesma ordem de grandeza

Exemplo Calcular o a correspondente para x raquo 2 para aacutegua

leve atilde pressatildeo atmosfeacuterica

Da tabela para p laquobull 1 atm

v - 001672 ft 3lbm e v - 26800 ft 3lbm

1 + [(1-002)002] 001672268

0971 ou 97U

O grafico abaixo mostra a variaccedilatildeo do a com x para vaacuterias

pressotildees e para a aacutegua leve

x ()

tObservaccedilotildees da curva

Fig 2

1 - para x constante a decresce com a pressatildeo Para presshy

sotildees proacuteximas da criacutetica a aproxima-se rapidamente de

x Para a pressatildeo criacutetica as duas fases satildeo indistinguiacuteveis ea=x

2 - para cada pressatildeo dotdx decresce com aumento de x

3 - para baixos valores de x (que e o caso dos reatores

tipo Boiling) quando p decresce dadx cresce e torr

na-se muito grande paacutera baixas pressotildees Isto tem relaccedilatildeo com a epound

55

tabilidade do reator como veremos mais tarde

113 - Sistemas com fluxo

Todas as definiccedilotildees que noacutes vimos no item anterior refeshy

rem-se acirc sistemas em que a mistura esta fechada no recipiente Nes^

te caso natildeo havia movimento relativo entre as duas fases No entan

to se as duas fases da mistura se movem na direccedilatildeo vertical em

canais entre os elementos combustiacuteveis o vapor por causa de sua

flutuaccedilatildeo tem a tendecircncia de escorregar sobre o liacutequido isto e

move-se com velocidade maior do que a do liacutequido

Real Modelo

Pig 3

S -

Define-se neste caso a relaccedilatildeo de escorregamento (slip

ratio) (S) como sendo

V _i

V f

onde

V = velocidade do vapor

= velocidade do liquido

S modifica as relaccedilotildees entre a e x do item anterior S geralmen_

te gt 1 Define-se neste caso qualidade do vapor ou tiacutetulo como

sendo

_ fluxo de massa de vapor

fluxo de massa da mistura

Entatildeo se o fluxo de massa da mistura eacute m t(lbmhr) o flushy

xo de vapor seraacute = x m e o fluxo de liacutequido sera (1-x) m onde x

56

e o titulo do vapor para a particular secccedilatildeo (AL) da figura (3)

Devemos notar que neste caso x varia de secccedilatildeo para secshy

ccedilatildeo do tubo o exposto no paraacutegrafo acima vale considerando-se que

x e a permaneceram constantes na secccedilatildeo de espessura AL

Aplicando a equaccedilatildeo da continuidade as velocidades do va

por e liacutequido sao dadas por

o xm v

V vazatildeo = g g area A

V

(1-x) amp t v f

f A f

onde A e A f sao as aacutereas medias perpendiculares ao fluxo se as

duas fases sao imaginadas completamente separadas uma da outra

(figura 3) Assim temos

V x m v o A_ A v 0 ^ - 2 = iacute S t m _2L- JL JS m

V A (l-x)ui v 1-x A v U

f g t f g f

Sabemos ainda que para a secccedilatildeo considerada

volume do vapor na mistura a = volume total da mistura (agua+vapor)

A AL A pound g g

a = mdash a a = - mdash 1

(A+A )AL A f + g

A ou f _ 1 - a

A a 8

Substituindo em (2) vem

57

Esta expressatildeo pode ser rearranjada e obteremos uma relashy

ccedilatildeo entre x e a levando em conta o escorregamento Chega-se a

a = 1 ( 3 )

1+ [U-x)x3 igt

onde

v 4 laquo -- S

v lty o

Note-se que quando S=l (nao haacute escorregamento) caimos na

expressatildeo dada no item anterior

0 efeito do escorregamento eacute decrescer o valor de a pa_

ra um mesmo xbdquo Isto pode ser visto pela foacutermula (3) pois S gt lLo

go a decresce com acreacutescimo de S

Um alto S e entatildeo uma vantagem tanto para a transferecircnshy

cia de calor como para efeitos de moderaccedilatildeo Eacute uma vantagem para

transferecircncia de calor porque alto S significa alto V e portanto

maior turbulecircncia e maior contato do liquido com as paredes quenshy

tes Ha tambeacutem melhorias na estabilidade da reaccedilatildeo nuclear isto

porque como jaacute dissemos quando mdash7 diminui a estabilidade aumenshy

ta isso pode ser verificado observando a curva a versus x para a

agua leve a 1000 psiabdquo

Fig 4

58

A relaccedilatildeo entre x e a da equaccedilatildeo (3) so vale para secccedilatildeo

de tubo bem pequena

Devemos notar que S varia tambeacutem com a pressatildeo e velocida^

de de entrada do liacutequido no tubo Este efeito pode ser observado na

figura 5 abaxxo obtida esperimentalmente

s

3

~^ ~ psig

x = 001

V 1

Fig 5

Nos projetos de reatores como veremos adiante o valor a

geralmente eacute determinado por consideraccedilotildees nucleares (moderaccedilatildeo) 0

valor de S eacute determinado atraveacutes de uma estimativa ou entatildeo atrashy

veacutes de um graacutefico do tipo da figura 5 0 correspondente valor de x

pode ser obtido de uma foacutermula empiacuterica do tipo

1 = 1 (-S)0gt67

proposta por Von Glahn

Em muitos casos assume-se S constante em todo o comprimeiv

to do canal poreacutem eacute um erro que em muitos casos nao pode ser coshy

metido

4 REATORES EM QUE 0 LIacuteQUIDO B MODERADOR E CIRCUITO PRIMAacuteRIO AO

MESMO TEMPO BOILING-REACTOR (BWR)

A aacutegua ao se movimentar atraveacutes dos vaacuterios canais do

59

Boiling-reactor encontra vaacuterias resistecircncias ao fluxo que provoshy

cam uma reduccedilatildeo de pressatildeo no fluido

As duas perdas mais importantes sao perda de pressatildeo por

atrito e perda de pressatildeo causada pela aceleraccedilatildeo do refrigerante

ao aumentar de volume por receber calor num canal Outras perdas

de pressatildeo seriam a obstruccedilatildeo ao fluxo por corpos submersos (espa_

ccediladores juntas de tubos chaves etc) e por mudanccedilas abruptas de

aacuterea de fluxo tanto na entrada como na saiacuteda do tubo

Essas perdas de pressatildeo devem ser conhecidas o melhor popound

sivel principalmente nos reatores BWR Para tanto devemos saber

o comprimento de canal em que nao ha a ebuliccedilatildeo isto eacute qual o com

primento de canal em que o refrigerante vai da temperatura de sub-

resfriamento ate temperatura de saturaccedilatildeo

Seja o elemento combustiacutevel

Aquecimento Uniforme Aquecimento Senoidal

Fig 6 Fig 7

onde

H =

H = o

H b

comprimento do elemento combustiacutevel

cota onde o liquido se torna saturado

comprimento do elemento combustiacutevel em que ocorre

ebuliccedilatildeo

60

qg = calor sensiacutevel acrescentado ao liquido para satushy

raacute-lo

qfc = calor total acrescentado ao liacutequido em todo o com

primento do canal

laquoo

q s J o qiquest sen (IIzH) n H o

T~ = TH = 2 ( 1 c o s gt ( a )

q 1 sen (HzH) Jo ^c

A expressatildeo (a) vale quando tivermos uma adiccedilatildeo de calor

senoidal para qualquer outra forma de adiccedilatildeo de calor faz-se um

caacutelculo anaacutelogo

Outra relaccedilatildeo entre q g e qfc eacute dada pela termodinacircmica

q h- - h s f m (b)

(hr +x h )-hm ^t f e fg

onde

= entalpia para o liquido saturado a pressatildeo correjs

pondente (cota z = Ho)

hffi = entalpia do liacutequido na entrada do canal

x = tiacutetulo do vapor na saiacuteda

= entalpia do vapor

Com a relaccedilatildeo (b) noacutes determinamos a relaccedilatildeo q q ecom

S L

uma relaccedilatildeo do tipo (a) (conforme seja o adicionamento de calor ao

liacutequido) podemos obter a relaccedilatildeo HoH e consequentemente H^H

21 - Perda de pressatildeo num canal de evaporaccedilatildeo

Neste item iremos determinar as perdas de pressatildeo mais

representativas que ocorrem num canal de evaporaccedilatildeo de um reator

P + dP

bull1 i- 1 gti i i

dL

onde

UM

Icirc H Icirc Icirc T dF f t f

61

Quantidade de Mov na Entrada

= i- rigVg)

dF f l

Fig 8

m i

m 8

V l V 8

A P

dF

dF

dF

fg

fl

ftf

descarga do liacutequido

descarga do vapor

velocidade do liquido

velocidade do vapor

aacuterea transversal do canal

forccedila de atrito do vapor com parede

forccedila de atrito do liacutequido com parede

forccedila de atrito das duas fases liacutequido+vapor

Fazendo o balanccedilo das forccedilas considerando o sentido posjL

tivo na vertical temos

A (P-P-dP)-(dF +dF _+dF _)-(-pound-) (p A+p A )dL = mdash dGnV+m V ) P fg ftf fl g c 1 1 g g g c

v 1 1 g g 7

- dP = ~ (dF +dF--+dF)+- S--7=- (p A+p A )dL+ mdash ~ - d (m-V+m V ) A_ fg ftf fl g c Ap v^l 1 g g g A 11 g g

Fazendo a integraccedilatildeo termo a termo entre os dois extreshy

mos entrada e saiacuteda e considerando a pressatildeo de entrada igual a

P q e a de saiacuteda igual a Pe vem

Quantidade de Mov na Saiacuteda

-= h I- lY l+ A g V g + d ( aacute l V l + aacuteeVl

Forccedila de Gravidade

= ( g f - N P A + P g V

62

b) r e F f l

o p dp^ = Ap^ = perda de pressatildeo por atrito

do liacutequido na altura Ho

Aplicando a formula de Darcy vem

bull API = f bull ir bull ^ iexcl 7

onde

f = fator de atrito

c) e Fftf

o p ^P tpound

= perda de pressao por atrito da mistura

liquido + vapor no trecho de comprimen

to Hbdquo o

Para determinar esta perda de pressao define-se o fator

de multiplicaccedilatildeo R

A P R =

tf A P 1B

Sendo A p ^ a perda de pressao se o comprimento todo fosshy

se ocupado somente pelo liquido assim

A p t f = R A P 1 B

0 calculo de Ap-^ pode ser feito pela formula de Darcy e

o de R nos veremos no item seguinte

63

d)

-e F

d ( ^ )

O P

Ap = perda de pressatildeo por atrito do vapor

No caso do reator BWR o titulo de saida e bera pequeno e

em nenhum caso ocorre a saida de vapor com x = 100 logo a perda

de pressatildeo por atrito do vapor eacute nula assim

An = 0 5

e) Ap

(p A 1 + p A ) dL = Ap - perda de pressatildeo dpound

vida ao desniacutevel

(perda hidrostaacutetica)

Anbdquo = re A A

-S- I (p + p -S ) dL H s 1 A

c o p o A

como A A Jl_ =

A P

A +A-g 1

1-a -

temos

C Q

te j jll-a)p1 + apg)^jdL = p Lo pound

onde

e jo u

+ ap ) ~I dL (Densidade media 1 S J

no tubo)

No nosso caso

Ap u = p H

f)

re d(mV + m V ) _ mdash - laquo -i bull s iquestp laquos p e r d a ltje pressatildeo devido a acele-

c p raccedilatildeo do vapor

V A

(1-x) tl^Vj

(1-a) A

X V

aA

A p -

roV + m V

c p c p L_

m (l-x)m_v m xv nbdquo -1 T 1

+ _S S I (1-a) Ap aA

P

2 g A c p

n 2 2

(1-x) m T

laquo2 8 A c p

2 2 (l-xe) raTv1

2 2 2 xm_v (1-x) m-v e T s o 1 1

a 1 - a

2 2 - x m_v o T g

a

se

X Q 0 (so ha agua nesse trecho)

a = 0 o

temos

mbdquo Ap =

1 a A 2

S A degc p laquo-

tt-V v i 1 - a

2 via T^r - v i

t Apc

2

V v l

5c Ap

1 - a

x v - 1

a e v l

65

Fazendo

G = fluxo total da massa por unidade de area do

canal

(1-x J e

V

AP r

Assim a perda de pressatildeo total sera

H p V II pV r2 P -P = f -24-Iuml+ f R+p 0 1 2g c D e 2g c g c g c

2c2 - Determinaccedilatildeo do fator de multiplicaccedilatildeo (R)

221 - Relaccedilatildeo Martinelli-Nelson

Os autores Martinelli-Nelson determinaram experimental -

te esse fator R para varias LIT1L em funccedilatildeo da pressatildeo e da r NB total J v

qualidade de saiacuteda do vapor no canal Construiacuteram assim vaacuterias

curvas do tipo da figura 9

66

E importante notar que a qualidade do vapor (x) na saiacuteshy

da nao deve ser grande pois como vemos o valor de R cresce muishy

to com um aumento pequeno de x e um valor de R muito grande acar_

reta uma perda de pressatildeo grande pois

^ d u a s fases R ^ f a s e liacutequida

Para resolvermos um problema seguindo o criteacuterio de bdquo

Martinelli escolhemos a curva R = f(px) (para a relaccedilatildeo L

N g ^ j

adequado) e tiramos R com os valores de pressatildeo p e tiacutetulo x

As curvas R = f (p x L T t )IO encontram-se nos ANL 6469 bio I

e 6561

222 - Relaccedilatildeo Lottes-Flinn

Estes autores estudaram o problema para o aquecimento uni

forme do refrigerante com baixo titule Lottes-Flinn fizeram inuacuteshy

meras experiecircncias e verificaram que para fluxo de calor uniforshy

me e baixos titulos R era independente do fluxo de calor fluxo

do refrigerante escorregamento e apenas funccedilatildeo de a g

Como a quantidade de liacutequido eacute muito maior que a de vashy

por a perda de pressatildeo daacute-se principalmente pelo atrito do liacuteshy

quido com a parede Podemos assim escrever a foacutermula de Darcy

na forma diferencial

dz

d = f __ r e amp c

onde

V = velocidade do liquido saturado na cota zbdquo X

f = coeficiente atrito

= densidade do liacutequido saturado

Teoricamente a queda de pressatildeo deve-se ao acreacutescimo de

67

velocidade do liacutequido e da diminuiccedilatildeo da aacuterea de fluxo do liacutequi

do

P fH A P t p

= f D 2g Ho

d z

fazendo

V lo

m V t lo

(velocidade do liacutequido na cota z = Ho)

(1-x) m t v 1

(1-a) A (velocidade do liacutequido na cota z gt Ho)

a bull+ fraccedilatildeo vazio na cota z geneacuterica

V 1 (1-x) m t v 1

m t V l 1 - a

x =s 0 pois o tiacutetulo eacute baixo

A p t f = f bull JT5 c e

fH V lo

H o (1-a) dz

Para fazer a integral devemos achar a relaccedilatildeo de variaccedilatildeo

entre a e z Como o fluxo de calor eacute uniforme a qualidade eacute direshy

tamente proporcional a z

bull laquo x = x e H

z = mdash x X e

Sabemos ainda que (item 113)

x

1 + [ ( I -X)AKQ x + iiacuteraquo

68

como

temos

(1-x) = 1

v

X =

z =

1-a

1 -a

1-a e

a

e

1-a pound

a

1 -a igt (assumindo S = cte)

da

Atf - f bull 2 i ^ ~ J c e o

a 1 - a e e 1 s 4 hmdash) da

a 1-a

f P lv^ Q

0 termo mdash - mdash e a parte de perda de pressatildeo pelo lj^

^c e -quido ou seja Ap liquido saturado e como

Ap

R = tf

Ap liauido saturado

temos que

R J

f ae 1 _ a e 1 4

a 1 -a o e

1 -a r-R =

3 1 -a

a 1 -a imdash

3 vl - a 3

e e

Os valores de R obtidos por esta expressatildeo aproximam-se

muito dos valores obtidos pelos aacutebacos de Martinelli

69

E - EXPANSAtildeO E COMPRESSAtildeO DE UM FLUIDO - ANAacuteLISE HIDRODINAcircMICA

DE UM CIRCUITO EM CIRCULACcedilAtildeO NATURAL

1 EXPANSAtildeO NO FLUXO DE UM FLUIDO

11 - Uma so fase

Figura 1

Ha vaacuterios meacutetodos para determinar a variaccedilatildeo de pressatildeo

numa expansatildeo de fluido estudaremos o de Romie que eacute o que daacute

maior precisatildeo

Romie considera que a pressatildeo p^ tambeacutem atua na aacuterea

imediatamente apos a expansatildeo Assim fazendo o equiliacutebrio das foi

ccedilas nas secccedilotildees tracejadas da figura 1 temos

mVj

p r A 2 + mdash

mV

bull 2- A2

mas

m = pV^A^

pV^A = p V 2 bdquo A 2

V A

v 2 -4r-logo

( P l-P 2) A 2 = f ( V ^ ) - f _ v j amp c c 2

70

2 pV A A pV A A

Chamando A l A ]

K = 1 - T e degi2 = Aiexcl bull V E M

pvj

P l P 2 = T ~ bull ( 2 deg 1 2 ) ( 1 _ a 1 2 )

Outra maneira de chegar atilde diferenccedila de pressatildeo ( P j - ^ ) s mdash

ria usar o coeficiente de perda da mecacircnica dos fluidos Assim o

equilibrio das pressotildees eacute

2 2

1 V l 1 V 2 V l P i + _ p _ ^ P 2 + I p ~ + k 1 2 p mdash

onde = coeficiente de perda

A 2 1 2

k 1 2 - (l-o 1 2) - (1 - j- )

Fazendo as transformaccedilotildees chegamos a mesma expressatildeo obshy

tida pelo balanccedilo das forccedilas

PraquoIacute pr p

2 - - ir ^ laquo-ia

12 - Duas fases

Como ha duas fases a equaccedilatildeo do balanccedilo das forccedilas fica

um pouco alterada

m pound 1 V- m - raquoV - m-V- m bdquoV _ P A + j y ^ i + _gl_JUuml P A + -11-11 + -ilsl (a)

1 2 e R 2 2 ff e

Sabendo que

71

m (1-x) m t = p fA (1-a) V f

entatildeo

fl l-o^ p fA x

6 Vf2 1-x l-a2 P fA 2

m V = mdash mdash e V 0 = gl a 1 P C T A 1 g2

m

a_ p h

2 g 2

Nas expressotildees anteriores o x nao varia porque a expansatildeo

5 adiabaacutetica porem o a varia devido a modificaccedilatildeo do tamanho da

bolha

Substituindo os valores das velocidades na expressatildeo (a)

vera

( P - P ) Abdquo =

2

2 2 m gt2 2 m t (1-x) 1 x t

ra i 2 m i 1 x t 1

p fA 1 g c ttl p Ax gpound

m t P - P = mdash

(1-x) (l-a 1)A 1A 2 (l-a2)A|

a r A r A 2

V A 2

m t P bdquo - P = mdash 2 1 g c A r A 2 p f

(1-x) 1-a f A 2(l-a 2)

bull ^ 2

72

Se

P -P

a

m

g

12

1 _1_ (1-x)

J12

1 _ a l 1 - a 2 + X (- )

Pg

1 deg12 a 2 ^

Sabemos que

mt = V o pf laquo A l

Sendo V q = velocidade do liquido num ponto onde natildeo haja vapor

P 2-P 1

u 2 2 A 2

V pr Ai

V W p f

(1-x) 12

l-a1 l-a2

+ X 2 pf

mdash

l deg12

-1 a 2 _

p -p r 2 Al (2a 1 2)

2 M f w 1 deg12 X (mdash) (

pg al a 2 )+(l-x)C l 1 12

1-a^ l-a2

Devemos notar que esta expressatildeo tambeacutem vale para quando

temos uma fase para isso basta fazer

= c t 2 = 0

X = 0

e recairemos na formula do item anterior

2 pf 1 deg12 Observemos que neste caso o termo x (mdash)( ) nao

Pg al a2

2

73

tem significado pois corresponde a mudanccedila de fase

2 CONTRACcedilAtildeO KO FLUXO DE UM FLUIDO

21 - Uma so fase raquo mdash

Aqui ocorre um fenocircmeno importante pois o fluido ao ser

contraiacutedo nao vai diretamente da area A^ para a area A 0 mas ele

contral-se ate uma area A^ e depois expande-se ate k^

Ao A2

Po IP 2

V 2

Figura 2

Fazendo o equiliacutebrio das pressotildees entre os planos (1)

(0) vem 2 2

pV pV p +~ plusmn - P + i deg bull 1 2 g o 2 g (b)

C x

Fazendo equiliacutebrio da expansatildeo (0) - (2) vem

P o + 2 - f = P 2 + 2 -T + kp- 2 F ( c )

c c b C

Subtraindo (b) - (c)

2 2 2

i p- vj i p- v2 L P l + 2 bull g c

P 2 + 2 2g c

+ k P 2g c

74

Como

P - P = mdash 2 2g

2 2

bull (1 + k) - f bdquo mdash i

k a - f2 ) 2 - d - o c )2

= o

A = a 21

Weisback obteve varias relaccedilotildees entre a e a i] c

01 02 03 a 0624 0632 0643 c

0624 0632

A r v i - V v 2

p -p 1 2

P -P 1 2 2g7

v l =

(1+k) - laquofi- a 2g 21 c

( 1 + k - o 2 1)

X[- V 2 o 2 1V 2

22 - Duas fases

0 valor de k pode ser aproximado para

k = a(l - o 2 1)

onde segundo Richardsons para fluxo de duas fases podemos supor

a = 02

Para fluxo homogeacuteneo sabemos que

75

p = p f (1 -a ) + p o a

podemos supor p bdquo a = 0 pois p e pequeno e fazendo

V = V ~ V fbdquo2 go2 v 2

Substituindo estas duas expressotildees na equaccedilatildeo de uma soacute fase vem

2 2 p V (l-ct) p V (1 -a ) bdquo

P l P 2 = 9g ( 1 + 3 - 3 0 ^ - 0 ^ ) = g (a+1) (l-a^)

Se a = 02

2 12p oV 0

p r p

2 - 9g gt d-) d-sigt

A compressatildeo de um fluido acarreta uma perda de pressatildeo

como pode ser verificado pelas formulas uma vez que lt 1deg

3 ANALISE HIDRODINAcircMICA DE UM CIRCUITO EM CIRCULACcedilAtildeO NATURAL

Esquema deacute uma caldeira com circulaccedilatildeo natural

76

Determinar a velocidade em (7) para que tenhamos circula

ccedilatildeo natural Determinar tambeacutem as perdas de pressatildeo em todos os

trechos da caldeira

31 - Contraccedilatildeo das secccedilotildees (1) - (2)

Como jaacute vimos a equaccedilatildeo do balanccedilo das pressotildees eacute

1 pr Vl 1 p 2 o V 2 P2 V2

1 2 g 2 + 2 g + K12 2g otilde c amp c e c

bullraquo 2 o2 2 e havendo uma soacute fase k 1 9 = (l-o ) = (1 mdash ) e sendo

C 2

p l = p2

v x lt lt lt v 2

P 2 V pr p2 bull ir2 bull ( 1 + k12gt

Colocando em termos de temos

A 2 V 2 P 2 = A 7 V 7 p 7 (continuidade)

V = V mdashbull = V o_bdquo ~ A 2 2 2

P 2 V - p 2

p r p 2 = ir2 - deg72 bull Ccedilrgt bull lt 1 + ki2gt

fazendo

N12 - lt^gt deg72 ( 1 + k12gt

P7 V7

Pr P2 - N12 bull HG

77

3 2 - Perda de carga no trecho ( 2 ) - ( 3 )

Como haacute apenas uma fase soacute temos perdas por atritos e

perdas hidrostaacuteticas

Sendo como jaacute vimos

2 3 p 2 2 g P 2 P 3 = f 2 3 (r~2g^~) L 2 3 g c p

atrito hidrostaacutetica

Substituindo V^ pela relaccedilatildeo do item anterior e tendo em

conta que p = vem

P -P = f 2 r 3 2 3 D

2 3 p 2 bdquo 2 2 p 7 2

2 g 7 72 p 2 3 g

Se

L 2 3 2 p 7

2 3 2 3 D 2 a 7 2 p 2

P 7 V 7 g P 2 - P 3 = N 2 3 ( mdash gt p 2 L 2 3 f

3 3 - Expansatildeo nas secccedilotildees ( 3 ) - ( 4 )

Como vimos o balanccedilo das pressotildees e

2 2 2 p V p 4 V p V

P 3 + 2 g c

P 4 + 2 g c

+ k 3 4 2 g c

onde

k 3 4 - - -

2 2 1 P 4 - V 4 P 3 v 3

P 3 P 4 = 2 g + ( k 3 4 _ 1 ) 2 g

78

Sendo

P 3 - P 4

p 3 o A 3 deg V 3 = P 7

a A 7 o V 7

P 4A 4 0V 4 = P r A r V

3 7 A 3 p 3

A7 P7 V = v mdash mdash 4 7 P 4

P - P 3 r4

Se

P bdquo - P

bdquo2 r-P 7 V 7

3 4 2g deg74 + ( k 3 4 1 ) deg73

34 p deg74 + ( k 3 4 1 ) 73

p r v2

P3- P4 ^ N34 ^ gt

(No caso e negativo)

34 - Contraccedilatildeo nas secccedilotildees (5) - (6)

Ainda temos uma so fase e fazendo o balanccedilo das pressotildees

como fizemos no item 3lt1 vem

P + vil p + vi + k vi P 5 + 2gbdquo P6 + 2gbdquo + k56 2gbdquo

k 5 6 lt 1 ^ gt 2 ( 1 - Iacute 2 i 2 6

V V6 P5degIacute 5^6 ^SS 2g c - 2g c

P - P ^ = (1+kJ

Como

79

A 6

W p 5 =

VV P6 V 5 = V 6 Jiexcl = Vff65

P 5-P 6 - lt H k 5 6 ) mdash ^ mdash (l+k 5 6-a 6 5) c c c

Sendo

Se

A 7 p 7 p 7

6 7 Ag p 6 7 76 p 6

p _p _ P6- V7- g76 iquest72 ( _ 02 P 5 P 6 2g c bull ( p 6

( 1 + k 5 6 deg65 )

p 7 2 2 N56 = p ^ deg76 ( 1 + k 5 6 ~ a 6 5 )

P 7 V 2

7

P r-P = N r 5 6 56 2g c i

35 - Perdas de pressatildeo nas zonas (6) - (7) - Pre^aquecimento

Nesta regiatildeo temos perdas por atrito e hidrostaacuteticas

Nao haacute perda por aceleraccedilatildeo pois ainda natildeo houve formaccedilatildeo de boshy

lhas

Fazendo balanccedilo das pressotildees temos

L_ ppound-V p = p + otilde L - pound _ + f -Si (-21mdashL 6 7 + p67 L67 g + t 6 7 D K 2g

p _ e ifn sao tomados como valores meacutedios 67 67

P _p _ f hl ^67jIacute uuml + - L A

6 F 7 r67 D 2g P P67 L67 g 6 s c 7 c

S e Kr pound67 L67 p67 6 7 D 6 p7

p7 V - _g_ P6- P7 - N67 mdash + P67 L67 f

c c

80

36 - Perda de pressatildeo nas zonas (7) - (8) - Zona de ebuliccedilatildeo

Nesta regiatildeo j aacute temos o aparecimento de bolhas logo a

perda de pressatildeo seraacute devida agraves t recircs parcelas aceleraccedilatildeo a t r i t o

das duas fases liacutequidas + vapor e h idros taacute t ica

onde

Assim

P-P Q = AP + AP + APbdquo 7 8 a t r i t o acel H

T M1

78 p 7 7 AP - R f- - mdash mdashr |R = fator mult ipl ica-

a t r i t o 7 D 7 2 g c L tivo

G 2

AP bull r mdash acel g c

P V

|_1 - o a p J 8 P f

2 t r 2 M2

7 7 r 7 7 A P a c e l = -J^mdash 2 r bull p 7 lt T iexcl iexcl - )

A PH p 7 8 L 7 8 fiexcl

p 7 8 iacute 7 li 1 0 0 P l i q + a P v ] d L = P 7 ( 1 - laquo 7 8 )

ag raquo fraccedilatildeo de vazio media entre 7 e 8

APH = p (1 - 5 7 g ) f- L 7 8

2 2

P 7 - P 8 a 5 - 2 T i + 2 r p 7 + P 7 ( 1 - 7 8 gt f L 7 8 7 amp c amp c amp c

81

N 7g = R mdash + 2 r p 7

P7 V7 P7- P8 = N78 + P 7 ( 1 5 7 8 gt J78

37 - Expansatildeo nas secccedilotildees 8 e 9

No caso haacute uma expansatildeo com duas fases e como vimos no

item 12 a variaccedilatildeo de pressatildeo era dada por

0f Vo P2 P1 = ~2g c ( 2 deg12

x 2 (mdash)(mdash - mdash ) + ( l - x ) 2 ^ T mdash 8 1 2 1

12

Aplicando ao nosso caso

P pound = P 7

P -P = 8 9

V - V raquo V g f 7

P 7 V 2

2 pf 1 a89 2 1 g89 x (mdash) ( ) + (1-x) (- - N

o ou abdquo 1-cu l-ot_) g 8 9 8 9

Se

N 89

= 2 a 89

2 pf 1 deg89 2 1 CT89 x (mdash) ( ) + (1-x) ( T

g 8 9 8 9

P -P = 8 9

- N P7deg V7

89 2gbdquo

38 - Perda de pressatildeo no trecho 9 e 10

No referido trecho temos apenas perda de pressatildeo por atr L

to da fase liacutequido + vapor e perda hidrostaacutetica Natildeo haacute perda por

aceleraccedilatildeo do vapor pois este natildeo recebe mais calor e portanto

o 82 o

nao ha variaccedilatildeo no a

p

Q -p i n = A P

U + A P bull 9 10 H atrito

n T -S_ P9 U10 deg 910 bull g

fio r

910 I 910

J9 L

(l- a)P + Q P I dL liq v

(l-a0) p

No caso a = (nao hatilde variaccedilatildeo de forma)

A P H - (1-a ) P (p L 0

c

AP bdquo = R o

atrito

2 f9 o L910 P9 V9

2g

Supondo

= V

P 9 = P 8 P 7

vbdquo = v 9 8 0 A r

= V 7 bull deg89

AP - R atrito

2 2

W l O p7deg V7deg g89

V P10 R -^T^ bull deg89 bull li-2 + ( W P 7 (fgt SIO

y c c

Se

- f9 L910 2 N9ol0 R Dl deg89

w 2

p rv P9 P10 = VlO + ( 1 a 9 ) p7 (f gt L910 c

33

39 - Perda ciacutee pressatildeo na expansatildeo 9 - 1 0

Analogamente a expansatildeo 8 - 9 temos

10 11 P 7 2g

10 Iacute 2 0 1 0 - 1 1 gt

2 ff

pg aio

10-11

laquo11 ) +

Ll-a 1 0 bull l-a u J

Se

V10 = V 9 = V 8 bull T9 = V 7 deg89

P -P 10 rll = - a 2g 089 ^lO-ll

4 bull T~ bull (7 1 mdash ) + Pg degio a n

+ (l-x)2(- 1 10-11

1 - aio )

N10-ll = 2 a10-ll a89 2 pf t 1 10-11 N2

-(j-r- - ) bull+ (1-x) pg aio deg 1

10-11 k l - a io

prz P10 Pll = - N10-ll bull ( 2gbdquo

310 - Calculo de V

Fazendo a somatoacuteria de todas as expressotildees (P^-Pj) tere-

84

mos 2 PbdquoV_

P bdquo - P bdquo = N 7 v 7

1 2 12 2g

bull 2 - P 3 - = N 2 3 P 2 L 2 3 f c ccedil

9 P 7 V 7 P _p = N mdash -

3 4 34 deg 2g

V P 5 = deg

2 P V

5 6 56 2 g c

ltr2

P 7 -V 6 e7 -N67 2g + p 6 7 J j67 g

c bc v 2

P 7 - P 8 = N 7 8 - 2 i ~ + p 7 ( 1 - laquo 7 8 ) L 7 8 c

P 7 V 7

P - P - -N mdash - -8 9 89 2g

c P 7 V 7

P 9 ~ P 1 0 VlO 2g + ( 1 a 9 P 7 L 9 c

P 7 V 7

bull10 11 U10-ll 2g

P v iacute j P - P

1 11

7 - v 7 3 bull r

2 8 i U L 2 23 67

(l-5 7 8) L 7 8 + ( l - laquo 9 ) P 7 bull SlOtilde]- ^

Por ou t ro lado sabemos que como secccedilotildees 1

mesmo n iacute v e l

85

s c p r v 7 j

28 Z N i ij

= P 2 L23 p67 L67 P 7 ( 1~deg78 )

78 ~ ^g) bull P 7 bull L 910 g_

V - 2 g ( p r L 2 3 - p 6 r L 6 7 - p 7 ( l - atilde 7 8 ) L 7 8 - (l-a9) p L 9 a ( )

y N

Com esse valor de podemos determinar todas as variashy

ccedilotildees de pressatildeo (P^-P )

BIBLIOGRAFIA

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tituto de Energia Atocircmica de Sao Paulo em 1966 (roteiro)

- WR Gambill - Nuclear Safety

Vol 9 - n9 5 e 6

Vol 6 - n 2 (pag 152)

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- Paul A Lottes - Argonne National Laboratory

- AKL - 6469

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Frank Kreith - Principles of Heat Transfer

Journeacutees Internationales de la transmission de la chaleur

Seminaacuterios realizados em Paris em 1961 sob a supervisatildeo do

Prof Marcel Veron

Notas de aula da Cadeira de Termodinacircmica I e Transmissatildeo da

Escola Politeacutecnica da Universidade de Sao Paulo

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isto e a movimentaccedilatildeo do fluido e provocada pela diferenccedila de

pressatildeo causada por bombas ventiladores etc Neste casonatildeo vatildeoixi

fluir portanto somente as condiccedilotildees teacutermicas do processo e as

propriedades fisicas do fluido mas tambeacutem as condiccedilotildees externas

determinantes do escoamento do fluido Sao inuacutemeras as aplicaccedilotildees

da convecccedilao forccedilada na industria em caldeiras reatores etcraquo

3 KEGIMES DE ESCOAMENTO DOS FLUIDOS - IMPORTAcircNCIA NA CONVECCcedilAO

A mecacircnica dos fluidos define dois tipos de escoamento

a) regime laminar

b) regime turbulento

a) Regime laminar - Aquele escoamento onde as partiacuteculas

movera-se em camadas numa direccedilatildeo paralela agrave parede

b) Regime turbulento - Aquele em que as partiacuteculas fluishy

das se movem irregularmente ao acaso sem nenhuma di_

reccedilao determinada

Nos regimes turbulentos junto agrave parede sempre ocorre a

formaccedilatildeo de uma corrente fluida em regime laminar cuja espessura

depende da velocidade meacutedia do escoamento chama-se esta camada de

sub-camada laminar

Laminar 1 Tran- | ^^furtmlento

siccedilatildeo iexcl ^S^

A

l Sub-camada limite laminar

N L

siccedilatildeo iexcl ^S^

A

l Sub-camada limite laminar

N L mdashbull parede plana

Um estudo mais detalhado sobre o escoamento acima

feito oportunamente

3

O regime do escoamento e importante na convecccedilao porque

ele determina qual o mecanismo preponderante na troca de calor enshy

tre parede e fluido

Assim no regime laminar o fluxo teacutermico normal agrave parede

eacute transmitido principalmente por conduccedilatildeo pura neste caso eacute a coji

dutividade teacutermica do fluido que determina a taxa de calor trocada

por convecccedilao

No regime turbulento o fluxo teacutermico eacute transmitido por um

mecanismo composto e complexo Na sub-camada limite laminar o flushy

xo daacute-se por conduccedilatildeo pura e na regiatildeo turbulenta datilde-se porumamls_

tura de porccedilotildees de mateacuteria a temperaturas diferentes

4 CASOS POSSIacuteVEIS DE TRANSFEREcircNCIA DE CALOR POR CONVECCcedilAO

Convecccedilao

Gases e

liacutequidos

Circulaccedilatildeo

Natural

parede plana

horizontal

vertical

parede cilin

drica

horizontal

externa e

internamente vertical

Circulaccedilatildeo

forccedilada

parede

plana

dentro

dos

tubos

escoamento laminar

escoamento turbulento

escoamento laminar

escoamento

turbulento

tubos retos

tubos em espiral

externamente

a tubos

paralelamente aos tubos

ortogonalmente aos tubos

externamente a tubos aletados

4

Cotivecccedilao

Na evaporaccedilatildeo

de liacutequidos

Na condensa-

cao de vaposhy

res

sobre superfiacutecies planas

internamente tubos

externamente tubos

circulaccedilatildeo natushy

ral ou forccedilada

externamente a tubos horizontais

externamente a tubos verticais

sobre superfiacutecies planas verticais

dentro de tubos verticais

5o MEacuteTODOS DE ESTUDO DOS PROBLEMAS DE CONVECCcedilAtildeO

jaacute vimos que a soluccedilatildeo do problema de convecccedilao eacute encon

trar uma expressatildeo para o coeficiente de peliacutecula (h) em funccedilatildeo

das suas inuacutemeras variaacuteveis

- temperatura da parede (t ) w

- temperatura do fluido (t^)

- velocidade do escoamento (V)

- forma $ e dimensotildees caracteriacutesticas (L L L ) da pa

x y z mdash rederaquo

- propriedades do fluido

- condutividade teacutermica (k)

- massa especiacutefica (p)

- calor especiacutefico (c)

- viscosidade dinacircmica (u)

Sendo assim a expressatildeo de h seratilde do tipo

h = h(t t_ V $ L L L k p c u ) w f x y z

Ha vaacuterios processos para chegar a uma soluccedilatildeo

1) meacutetodo analiacutetico

5

2) meacutetodo empiacuterico

3) meacutetodo integrado

Meacutetodo analiacutetico -to estudo para uma partiacutecula do flui

do da transmissatildeo de- calor levando em conta tambeacutem as

equaccedilotildees do escoamento e da continuidade do fluido o que leva a

equaccedilotildees diferenciais de difiacutecil soluccedilatildeo Tais soluccedilotildees em geral

sotilde sao possiacuteveis quando fazemos hipoacuteteses simplificadoras que se

nao forem corretas nos levaratildeo a uma soluccedilatildeo errada

Meacutetodo integrado - Eacute o estudo para um agregado de partiacuteshy

culas e tem o mesmo tipo de soluccedilatildeo que o meacutetodo analiacuteti

co poreacutem para esse agregado

Meacutetodo empiacuterico - Este meacutetodo estaacute associado agrave anaacutelise di

mensional Tal meacutetodo consiste em deduzirmos os nuacutemeros

adimensionais que influem no processo e procurarmos depois atrashy

veacutes da experiecircncia equaccedilotildees que os relacionem

6 ANALISE DIMENSIONAL

0 meacutetodo empiacuterico eacute o mais usado em virtude das dificulshy

dades que os outros apresentam apesar das suas limitaccedilotildees

Devemos tomar dois cuidados especiais para nao chegarmos

a resultados falsos o primeiro eacute obter dados experimentais os mais

corretos possiacuteveis e o outro eacute o de ao considerarmos um tipo de

convecccedilatildeo nao esquecer nenhuma variaacutevel que influa no mecanismo

pois se tal acontecer os nuacutemeros adimensionais obtidos seratildeo com

pletamente diferentes dos reais

Neste estudo usaremos o teorema de Buckingham ou teore

ma dos ir que diz o seguinte

Uma equaccedilatildeo de m variaacuteveis sect (x^ x 2 x^) que por sua

vez sao funccedilotildees de n_ dimensotildees fundamentais pode ser transformada

numa relaccedilatildeo entre (m-n) grupos adimensionais

6

Devemos notar ainda que a analise dimensional e o teore

ma dos TT nao nos permitem obter a relaccedilatildeo matemaacutetica entre os gru

pos adimensionais mas apenas quais os grupos que interferem no

fenocircmenoo

7= CONVECCcedilAtildeO NATURAL

Experimentalmente verificou-se que nesse fenoacutemeno intejr

ferem as seguintes variaacuteveis

Variaacutevel Unidade Dimensatildeo

h - coeflaquo de peliacutecula kcalhr degCm 2 ( M ) ( 0 ) 3 (T) 1

x = dimensatildeo caracteriacutestica m ( L )

AT bull-= diferenccedila de temperatu ra entre parede e flui do

degC (T)

p = massa especiacutefica fluido kgm3 (M) ( L ) 3

y = viscosidade dinacircmica kgsegm ( M ) ( e ) 1 ( L ) 1

6 = coei de expansividade teacutermica

V1

c = P

= calor especiacutefico do fluido

kcalkg degC (D2 ( e ) 2 (T) 1

k = condutividade teacutermica do fluido

kcalm hrdegC OOCDO)3^)1

g raquo aceleraccedilatildeo da gravidade mseg ( L ) ( e ) 2

Dimensotildees

(M) = massa

( L ) = comprimento

(8) = tempo

(T) = temperatura

I

Considerando que apenas estas 9 variaacuteveis influem na con-

vecccedilao natural o fenocircmeno poderaacute ser escrito na forma

B A_C D E F G H I h = A x (AT) bdquo p bdquo u o S Cp k g (1)

Sendo A B C D E F G H I expoentes reaisraquo

De acordo com o teorema dos T T se noacutes temos m = 9 variaacuteshy

veis funccedilotildees por sua vez de n = 4 dimensotildees o fenoacutemeno poderaacute

ser descrito por uma equaccedilatildeo de (9-4=5) adimensionais

Pesquisemos quais sao esses adimensionais Substituindo

na expressatildeo (1) as dimensotildees correspondentes temos

Me 3 T_1 = A LB TC (ML~3)D (Me - 1 ITV (T-1)F

a2 e~ 2 T - 1 ) g (MLe3

0T_1)H ( L e - 2 ) 1

Devido a homogeneidade de unidades da expressatildeo as somas

dos expoentes da mesma dimensatildeo nos dois membros devem ser iguais

(EM) D + E + H - 1 (I)

(26) - E - 2G - 3H - 21 = -3 (II)

(ET) C - F - G - H = -l (III)

(EL) B - 3 D - E + 2G + H + I = 0 (IV)

Solucionando o sistema acima em funccedilatildeo das variaacuteveis C

D G e T vem

Somando (I) e (II)

D - 2 G - 2 H - 2 I = - 2 o H = ~ G - I + 1

Substituindo o valor de H em (III) vem

C - F - G - | + G + I - l = - l F = C - + I

Substituindo o valor de H em (II) vem

8

- E - 2G - -y- + 3G + 31 - 3 - 21 = - 3 E = G + I - -y

Substituindo E e H em (IV) vem

B - 3 D - G - I + - y - + 2 G + | - - G - I + l + I = 0

Voltando agrave expressatildeo (1) temos

h = A x D + I - 1 ( A T ) C pdeg u G + I ~ 3 0 2 g C ~ 0 2 + 1

G D2 - 6 - 1+1 I c p k g

Agrupando os termos de mesmo expoente vem

t A 2 2 - 3 - 1 v D 2 -1 1 n = A (x p bdquo u g o k ) o (x u g k g)

o (AT g ) C (vi k 1 c p )Q o ( x - 1 k g )

h - A ( x 2

3 - p 2 k ) D 2 ( g deg Z)1 (AT g ) C

li 3

C k J x

2 2 h x x p k D 2 x u g gI

k ~ A ^ 3 o

deg 1 k deg

y 3

(AT g ) C ( ^ ) G

Chamando

h bdquo x n = mdash f mdash = Nbdquo = n9 de Nusselt 1 k Nu

T T 2 = p

k

P = N p r = ndeg de Prandtl

rr3 = AT o g

2 2 i

x o p k

4 3 R

M g

Assim os fenoacutemenos de convecccedilao natural sao descritos por

uma equaccedilatildeo do tipo

F ( IacuteW N P r V V V = deg Como as variaacuteveis 3 AT e g na convecccedilao natural soacute in

fluem nas forccedilas de empuxo provocando o movimento macroscoacutepico do

fluido devem aparecer constituindo o produto (g g AT) Para

que isso seja possivel devemos ter

~ = I = C reunindo-se assim os 3 adimensionais tr

T T ^ ir ou seja

ir AT g gt k P 2 X bull P B bull = 3 4 5 u 3 6 k

3 2 x p g g AT bdquo M O j o u c

= 7 = N_ = N9 de Grashof 2 Gr

Finalmente a convecccedilao natural pode ser descrita por uma

equaccedilatildeo da forma

F(Nbdquo N_ Nbdquo ) = 0 Nu Pr Gr

Agora soacute resta obter para cada caso possiacutevel do paraacutegra

fo 4 ps coeficientes desses 3 nuacutemeros adimensionais

8 CONVECCcedilAO FORCcedilADA

Na convecccedilao forccedilada nao influem as forccedilas de empuxo poshy

reacutem influi decisivamente a velocidade do fluido Assim as variaacuteshy

veis que intervecircm no fenocircmeno sao

h = coeficiente de peliacutecula (M) ( 8 ) ~ 3 ( T ) 1

o 10

x = dimensatildeo caracteristica (L)

-1 V = velocidade do fluido (L) (8)

I -3

u = viscosidade dinacircmica do fluido (M) (L)- (0)~

p = massa especifica do fluido (M) (L)

- 2 - 2 - 1 0^ = calor especifico do fluido (L) (6) (T)

k = condutividade teacutermica do fluido (M) (L) ( 0 ) ~ 3 ( T ) 1

0 fenocircmeno eacute determinado por estas 7 variaacuteveis logo coja

forme o teorema dos ir podemos descrever o fenocircmeno por uma equaccedilatildeo

com (7 - 4) = 3 nuacutemeros adimensionais

A equaccedilatildeo de h em funccedilatildeo das variaacuteveis seraacute do tipo

h = A x V u bull P bull c k (2)

substituindo as dimensotildees vem

M e~ 3 T - 1 = A L B (L Q~X)C (M L - 1 e 1 ) 0

(M L 3 ) E ( L 2 e 2 T _ 1 ) F (M L e - 3

T - 1 ) G

Igualando a soma dos expoentes da mesma variaacutevel dos dois membros

vem

(EM) D + E + G = 1 (I)

(Z6) - C - D - 2F - 3G - -3 (II)

(ET) - F - G = -1 (III)

(EL) B + C - D - 3 E + 2 F + G = 0 (IV)

resolvendo o sistema acima em funccedilatildeo de C e G vem

de (III) F = 1 - G

de (II) - C - D - 2 + 2 G - 3 G = - 3

bull D = 1 - C - G

substituindo o valor D em (I) vem

11

1 - C - G + E + G = 1 E = C

substituindo os valores de D E e F em (IV) vem

B + C = l + C + G - 3 C + 2 - 2 G + G = 0

B = C - 1

assim a equaccedilatildeo (2) ficaraacute sendo

C-l bdquoC 1-G-C C 1-G G h = A x V y p c k

P

colocando o coeficiente de k na forma (1-G) + l^j vem

h = A (x V y1 p ) C (ii c k - 1 ) 1 - 0 (x _ 1 k) P

u c hx p x VvC p xl-G k = A ( y gt ( k

ILJLJL = N

k Nu

y c N

e k Pr

p V x _

y N R e = N9 de Reynolds

Logo o fenocircmeno de convecccedilao forccedilada seratilde representado

por equaccedilotildees do tipo

f ( NNugt NPrlaquo N R e ) = 0

9 SIGNIFICADO FIacuteSICO DOS ADIMENSIONAIS

91 - Numero de Nusselt

N = bull h = 2L- _) Nu k AT v

v3 x x=0

eacute uma relaccedilatildeo entre o gradiente de temperatura junto a parede e a

12

variaccedilatildeo total da temperatura do fluido

92 - Numero de Prandtl

Pr = pp = 2 kpc a

P

Relaccedilatildeo entre viscosidade ci nemaacutetica v e a difusividade teacutermica a

93- Numero de Reynolds

N_ = amp Relaccedilatildeo entre as forccedilas de Re u - r bull

ineacutercia e as forccedilas viscosas que interferem no escoamento fluido

94 - Numero de Grashof

H = mdashmdash mdash^mdash 2 mdash amp a relaccedilatildeo entre o pro-u duto (forccedila de ineacutercia )

x (forccedila de empuxo) e o quadrado das forccedilas visshycosas que interferem na convecccedilao natural

11 EQUACcedilOtildeES DE CONVECCcedilAO FORCcedilADA

Por ser o caso mais importante na induacutestria soacute veremos

algumas equaccedilotildees para a convecccedilao forccedilada e deixaremos de lado a

convecccedilao natural por ser menos importante

Para cada tipo de escoamento para cada regime de transshy

ferecircncia de calor e para cada configuraccedilatildeo geomeacutetrica teremos uma

equaccedilatildeo com expoentes e coeficientes diferentes poreacutem sempre com

as mesmas trecircs variaacuteveis

Nbdquo N- N_ Nu Re Pr

Para resolver um problema de convecccedilao devemos antes

avaliar as propriedades do fluido essa avaliaccedilatildeo eacute feita considj

13

rando a temperatura media do fluido isto e a meacutedia aritmeacutetica da

temperatura entre um ponto do fluido junto agrave parede e um ponto onshy

de a temperatura do fluido seja constante longe da parede

Ha casos entretanto que na praacutetica trecircs adimensionais

so nao sao suficientes para expressar o fenocircmeno isto porque as

vezes ha uma propriedade que eacute muito sensiacutevel a uma pequena varia

ccedilao de temperatura logo para estes casos introduzem-se outros adi^

mensionais para levar em conta a dependecircncia dessa propriedade com

a temperatura

Todas as expressotildees foram obtidas experimentalmente A li

teratura especializada tem formulas para todos os tipos possiacuteveis

de geometria Vejamos alguns exemplos

101 ~ Convecccedilatildeo forccedilada sobre superfiacutecies planas

a) regime laminar ( N R g lt 400000)

N T = 0664 (N ) 1 f 2 (N ) 1 ^ 3

NuL ReL u Pr

b) regime turbulento ( N R g gt 400000)

NNuL deg 0 3 6 lt N P r ) 1 3 t gt R e L ) 0 8 1 8 7 deg deg ^

102 - Convecccedilatildeo forccedilada dentro de tubos ciliacutendricos

a) regime laminar (N_ ^ lt 2100) mdash Re D

i

b) regime turbulento Nbdquo _ gt 2100 mdash u Re D

N v _ = 0023 (N_ J 0 8 (Nbdquo ) n

NuD ReD Pr

14

n = 04 para fluido aquecendo

n =raquo 03 para fluido resfriando

Note-se que neste caso houve necessidade de considerar ou

tros adimensionais para aliar a anaacutelise dimensional agrave experiecircncia

no item a) dois outros adimensionais tiveram que ser acrescentados

(DL) e (up s)

Na expressatildeo 101 b) se o N critico for tomado como

sendo 5 x 10 (usado comumente) a expressatildeo usada eacute a mesma a me

nos do termo 18700 que passa a ser 23200

Devemos observar finalmente que estas expressotildees nao se

aplicam a metais liacutequidos e que elas nos datildeo nuacutemeros de Nussel meacuteshy

dios e natildeo locais

15

B - CONVECCcedilAtildeO COM MUDANCcedilA DE FASE - CONDENSACcedilAtildeO (I)

lo INTRODUCcedilAtildeO

Devemos considerar dois tipos de convecccedilao com mudanccedila de

fase que sao a condensaccedilatildeo e a evaporaccedilatildeo

Os problemas de convecccedilao de calor com mudanccedila de fase sao

tao importantes na industria como os de convecccedilao de uma uacutenica

faseraquo Os exemplos mais comuns de sua aplicaccedilatildeo sao os condensadoshy

res e evaporadores usados nos condicionadores de ar geladeiras

caldeiras etc

Neste capiacutetulo estudaremos apenas a condensaccedilatildeo

Os problemas de convecccedilao com fluidos condensando ou evashy

porando sao bem mais complexos que os demais processos de convecshy

ccedilao porque aleacutem de envolver variaacuteveis nao consideradas na conshy

vecccedilao de sistemas de uma so fase tecircm uma variaccedilatildeo nas propriedashy

des fiacutesicas de tal grandeza que essa variaccedilatildeo interfere decisiva

mente no fenocircmeno

2 CONDENSACcedilAtildeO

Eacute a passagem de um vapor para o estado liacutequido pela retishy

rada de calor

21 - Aspectos Gerais

A condensaccedilatildeo eacute realizada fazendo com que o fluido (vashy

por) entre em contato com uma superfiacutecie cuja temperatura esteja

abaixo da temperatura de saturaccedilatildeo do fluido correspondente atilde pres_

sao do vapor

0 coeficiente de peliacutecula relativo ao vapor de aacutegua satushy

rada que condensa sobre uma superfiacutecie fina eacute da ordem de grandeshy

za de 10000 kcalhrm^degC em casos excepcionais chega-se acirc valo-

16

res 50o000-100bdquo000 kcalhrm 2degC Isto eacute obtido a maneira pela

qual a condensaccedilatildeo se produz Ilaacute duas maneiras

1 - condensaccedilatildeo por peliacutecula daacute-se quando o liacutequido con

densado molha totalmente a parede formando urna peliacute

cula continua sobre a mesmaraquo

2 - condensaccedilatildeo por gotas daacute-se quando o liacutequido ao se

condensar rcune-se em gotas que crescem ateacute terem

peso suficiente para escoarenu

0 primeiro tipo eacute o mais comum e eacute o que daacute menor coefishy

ciente de peliacutecula porque a pelicula do liacutequido constitui uma re

sistencia adicional a passagem do calorraquo No segundo tipo chega-se

a coeficientes de pelicula muito maiores pelo fato do vapor estar

sempre em contato direto com a superficie resfriadura isto eacutepor

nao haver resistencia adicional

2o2 - Condiccedilotildees para termos condensaccedilatildeo por peliacutecula ou por

gotas

Sob o ponto de vista da transmissatildeo de calor deveriacuteamos

sempre preferir a condensaccedilatildeo por gotas pois como jaacute dissemos e

a que daacute maior eficiencia teacutermica Acontece poreacutem que tecnologji

camente eacute difiacutecil a obtenccedilatildeo da condensaccedilatildeo por gotas pois haacute

necessidade de termos um vapor puro urna superficie de resfriameii

to perfeitamente lisa (cromeada espelhada) e com resinas para fa

cilitar a formaccedilatildeo das gotas Tudo isso encareceria demais um con_

densador por isso eacute que na praacutetica usamos condensaccedilatildeo por peliacutecu

la quando podemos usar chapas ou tubos comerciais

So em casos muito especiais quando o espaccedilo eacute muito imshy

portante usa-se condensaccedilatildeo por gotas

2 3 - Remoccedilatildeo do Condensado

Um fator importante a considerar na condensaccedilatildeo eacute a remo

17

ccedilao do condensado que sempre se faz por gravidade Ha dois tipos

principais de superficies de condensaccedilatildeo

1 - Tubos ou placas verticais (ou encunadas)

2 - Tubos cilindricos horizontais

Nos tubos verticais a espessura da peliacutecula liacutequida aumen

tara do topo acirc base e com isso variaraacute ao longo do tubo o coefishy

ciente de peliacutecula loacutecalo

No caso dos tubos ciliacutendricos horizontais o liacutequido escoj

re pela parede lateral e goteja pela parte inferior natildeo havendo

possibilidade de formaccedilatildeo de camadas espessas do condensado

2raquo4 - Condensaccedilatildeo por peliacutecula sobre tubos verticais

Nusselt desenvolveu estudos analiacuteticos sobre condensaccedilatildeo

externa a tubos ciliacutendricos verticais partindo das hipoacuteteses

1 - A espessura da peliacutecula do condensado eacute nula na parte

superior do tubo e vai aumentando nas partes inferioshy

res por condensaccedil-ao e escorrimentoraquo

2 - 0 fluido escorre pela parede em regime laminar sob o

efeito combinado do seu peso e viscosidade

3 - A temperatura da camada mais interna do condensado tem

a temperatura da parederaquo

4 - A temperatura da camada mais externa tem a temperatushy

ra do vapor-

5 - A variaccedilatildeo da temperatura da camada do condensado em

sentido ortogonal agrave superfiacutecie do tubo eacute linear

6 - 0 vapor cede apenas seu calor latente

7 - A temperatura do tubo eacute uniforme e constanteraquo

8 - Nao haacute gases incondensaacuteveis no vapor (vapor puro)

Chegou a formula

18

2 3 g P - h L t

N j = 0943 ( r-EcircY~ ) 1 4 (l) NuL y bdquo k o At v

As propriedades da equaccedilatildeo (1) satildeo avaliadas agrave temperatu

ra meacutedia tm

c + t _ w sat

tm ~ onde

t = temperatura da parede

t = temperatura de saturaccedilatildeo do fluido S 3Lt

exceto o calor latente da vaporizaccedilatildeo b^ que deve ser avaliado agrave

temperatura de saturaccedilatildeo correspondente atilde pressatildeobdquo

Quando a superfiacutecie focircr inclinada vale o raciociacutenio de

Nusselt apenas o termo que atua na remoccedilatildeo do condensado natildeo eacute g

mas sim (g seno) sendo 6 a inclinaccedilatildeo da superfiacutecieraquo

Assim a equaccedilatildeo para estecaso seria

2 3 g o sene o p o h o L

NT _ = 0943 ( r~ y (2) NuL y o k o At w

25 - Efeitos a considerar na condensaccedilatildeo

Ha 3 efeitos importantes a considerar na condensaccedilatildeo que

Nusselt natildeo levou em conta sao eles

- efeito da turbulecircncia no filme liacutequidoraquo

- efeito dos gases incondensaveisraquo

- efeito da velocidade do vapor

251 - Efeito da turbulecircncia no filme liacutequido

As formulas anteriores servem para comprimentos de tubos

pequenos pois nesse caso a velocidade de escoamento do condenshy

sado natildeo eacute grande entretanto para superfiacutecies verticais longas

a peliacutecula torna-se bastante espessa e com velocidade grande deshy

mais para que o escoamento possa ser considerado em regime lamishy

nar

19

Nesse caso define-se o numero de Reynolds baseado na veshy

locidade da fase liacutequida isto eacute

p V 6

Nbdquo - m r

Rer y u

onde

V = velocidade do condensado na camada limite m 6 = espessura da camada limite

T = p V m 6 = descarga do condensado por unidade de largju

ra da superficie de condensaccedilatildeo

No calculo da determinaccedilatildeo de T haacute uma certa dificuldade

pois ele soacute pode ser determinado por iteraccedilatildeoraquo

Q = m c laquo A t = h A A t P

A = 2ir R bdquo L (para tubos)

m c = h o 2IumlIuml R laquo L P

m m braquoL _ p a _ _ li li

2TTR C c P P

Como noacutes nao sabemos o valor de h_ devemos inicialmente

adotar um V e obter atraveacutes da foacutermula

NNuL = deggt0134 (R PV L 3 gt 1 3 ( N R e r ) 0 4 ( 4 )

y

o valor de _h se os valores de h_ obtidos por (3) e (4) forem iguais

o problema esta resolvido caso contraacuterio fazem-se tantas iterashy

ccedilotildees quantas forem necessaacuterias

252 - Efeito dos gases incondensaacuteveis

A presenccedila de gases incondensaacuteveis reduz violentamente o

coeficiente de peliacutecula pois acirc medida que o vapor se condensa o

gaacutes nao condensaacutevel se acumula junto atilde superfiacutecie de resfriamento

20

formando uma barreira adicional S passagem do fluxo de calor

A reduccedilatildeo do coeficiente de peliacutecula que a presenccedila des_

ses gases causa depende da fraccedilatildeo em massa dos mesmos na mistu

ra gaacutes-vapor

Fizeram-se inuacutemeras experiecircncias e sobre o assunto a tiacute

tulo de exemplo vejamos o graacutefico abaixo onde temos em abcissas

o coeficiente de peliacutecula obtido experimentalmente e em ordenadas

a fraccedilatildeo de gases dissolvida jio vapor

5000

bullg- 4000 O

3OOO

2000

S 1000

4 6 8 10 12 lt|gt(lbm arlbm de vapor )x 10

Devemos notar a grande influecircncia dos gases incondensatilde-

veis por exemplo quando o vapor eacute puro nos temos um h = 4000se

tivermos apenas 1 de ar dissolvido o coeficiente de peliacutecula fishy

caraacute reduzido agrave metade isto ecirc h = 2000

Por isso nos condensadores sempre se coloca vapor ornais

puro possiacutevel

253 - Efeito da velocidade do vapor

Quando a velocidade do vapor junto agrave interface liacutequido-

-vapor natildeo focircr despreziacutevel surgem forccedilas de atrito entre o vapor

e o liacutequido Se a direccedilatildeo do fluxo do vapor coincide com a direshy

ccedilatildeo do movimento do liacutequido a velocidade do liacutequido aumenta (haacute

compressatildeo) e a espessura do filme liacutequido diminui e consequenshy

temente a transferecircncia teacutermica melhora pois haacute diminuiccedilatildeo da

resistecircncia teacutermica

Se entretanto a direccedilatildeo do vapor focircr contraacuteria a do fil

o 21 laquo

me de liquido ha uma tendecircncia de haver aumento da espessura da pj2

liacutecula diminuindo assim o valor de h

26 - Consideraccedilotildees sobre os resultados obtidos com as foacutermushy

las de Nusselt

Nota-se experimentalmente que os resultados obtidos pelas

equaccedilotildees de Nusselt sao em geral 10 a 20 inferiores do que os reshy

sultados reais Assim a favor da seguranccedila elas sao usadas e aaacuteo_

tadas Os motivos das discrepacircncias jaacute-foram ditas atraacutes no item

25

Devemos notar ainda que o valor de h obtido pelas foacutermushy

las anteriores e o valor meacutedio jaacute que h varia de ponto para ponto

e seria difiacutecil obter uma equaccedilatildeo que nos desse o valor de h locaL

2bdquo7 - Condensaccedilatildeo por peliacutecula externamente a tubos ciliacutendrishy

cos horizontais

0 mesmo estudo de Nusselt pode ser aplicado neste caso

baseado na hipoacutetese de que no topo do tubo a peliacutecula do condensashy

do tenha espessura nula Chega-se a expressatildeo

g p 2 h D 3 14

NT _ = 0725 ( ) (5) NuD u k o At

Analogamente ao caso anterior as propriedades do liacutequido

sao tomadas a

t + t w sat

tm = ^

exceto h que eacute tomado a t

ev n sat

Na situaccedilatildeo atual da tecnologia e possiacutevel obtermos tubos

com diacircmetros suficientemente pequenos para que tenhamos escoamenshy

to do condensado soacute em regime laminar

22

No caso de vaacuterios tubos empilhados a formula (5) deve

ser modificada pois como dissemos ela soacute vale quando no topo do

tubo a espessura do liacutequido eacute nula o que nao acontece neste caso

(Vide figura a)

Vapor

Tubo

mdash Liacutequido

Fig a

Neste caso a forma que nos da o valor meacutedio para h e

g p 2 h D 3 14

NNuD deg gt 7 2 5 lt N u k V At gt

sendo N o numero de tubos empilhados

Note-se que neste caso o coeficiente h cai bastante Uma

boa soluccedilatildeo para o caso quando dispoacuteftos de lugar eacute dispor os tushy

bos defasados (Conforme figura b)

Liquido

Fig b

Neste arranjo podemos aplicar a equaccedilatildeo (5) pois no tp_

po de cada tubo a espessura da camada de condensado eacute nula

23

B - CONVECCcedilAtildeO COM MUDANCcedilA DE FASE - EVAPORACcedilAtildeO (II)

1 INTRODUCcedilAtildeO

Evaporaccedilatildeo consiste na obtenccedilatildeo de vapor por meio de aque

cimento de um liacutequido

Apesar da importacircncia do processo e do sucesso obtido na

praacutetica em projetos de evaporadores o fenocircmeno da evaporaccedilatildeo eacute

um dos pontos menos conhecidos da transmissatildeo de calor

0 primeiro estudo seacuterio sobre o assunto foi feito em 1934

pelo japonecircs Nukiyama poreacutem somente nos uacuteltimos 10 anos tais es-

tudos se intensificaram

Os primeiros pesquisadores quando estudavam o fenocircmeno

do resfriamento de um solido num liacutequido obtiveram as seguintes

curvas

onde

temperatura

velocidade de resfriamento

3 0 v = amdashbull

A 06

Q - fluxo teacutermico

8 - tempo

A - aacuterea do soacutelido

24

tempo

Ateacute os estudos de Nukiyama nao se conseguia explicar o

porque da variaccedilatildeo crescente da velocidade de resfriamento quando

t gt t sol sat

2 PROCESSO DE FORMACcedilAtildeO DAS BOLHAS

Como a evaporaccedilatildeo do liacutequido se faz sobre uma superfiacutecie

aquecedora sobre esta irao se formar bolhas de vapor que influem

decisivamente no fenocircmeno

Aqui soacute iremos estudar as bolhas sob o ponto de vista qua

litativo bem como a sua influencia mas nao sob o ponto de vista

quantitativo

Recentemente Fritz e Jacob WR Gambill e outros estudiacutei

ram o processo da formaccedilatildeo das bolhas sobre a superfiacutecie aquecedpound

ra Atraveacutes de fotografias verificaram que a bolha de vapor ain

da em contato com a parede variava profundamente de forma confo_r

me o angulo de contato entre liacutequido e parede metaacutelica

Assim eacute que se a superfiacutecie de aquecimento nao e excesshy

sivamente polida e a tensatildeo superficial do liacutequido eacute pequena a

bolha tem a forma da figura las diz-se nesse caso que o liquishy

do molha a parede neste caso o angulo de contato e agudobull Se

as condiccedilotildees contrarias se verificarem o acircngulo de contato sera

obtuso e as bolhas tomam a forma da figura ldegb Naturalmente ve

rificara-se as condiccedilotildees intermediaacuterias para o angulo de contato da

25

fig lc

Fig la Fig lb Fig lo

0 estudo analiacutetico da formaccedilatildeo e crescimento das bolhas

pode ser encontrado em diversos livros por exemplo no El-Wakill

(Nuclear Power) no Jakob (Heat Transfer)e outros Neles faz-se

o estudo das condiccedilotildees do liquido (pressatildeo temperatura tensotildees

etc) para haver ou nao formaccedilatildeo de bolha Isto eacute feito fazendo-se

o estudo das bolhas nas seguintes posiccedilotildees

a) bolha no seio do liacutequido

para meia bolha

4 ltP g - P fgt fg

onde

P g P f

- 4 D (D

g

Pf

D

pressatildeo do vapor

pressatildeo do liquido

tensatildeo entre superfiacutecie do liacutequido e vapor

diacircmetro da bolha

^f g

P f Fig 2

26

A equaccedilatildeo (1) mostra que a pressatildeo do vapor deve ser maior

que a do liquido nas condiccedilotildees de saturaccedilatildeo e este por sua vez

deve estar no estado de superaquecimento o

b) bolhas sobre superfiacutecie solida

Fig 3

Condiccedilotildees para desprender

a mdash o_ + o_ cos a gs fs fg

tensatildeo na interfase liacutequida e vapor (depende das

propriedades do liacutequido e vapor)

tensatildeo entre o liacutequido e superfiacutecie de aquecimen

to (depende das propriedades do liquido e da sushy

perfiacutecie)

tensatildeo entre o vapor e a superfiacutecie de aquecimeri

to (depende das propriedades do vapor e da super

fiacutecie)

21 - Formas do fluxo do vapor desde a superfiacutecie de aquecishy

mento ateacute a superfiacutecie livre do liacutequido

Considerando liacutequido vaporizado em tubos verticais pode^

mos ter 4 tipos de fluxo de vapor

1 - fluxo de bolhas

2 - fluxo de agregados (plug ou slug)

3 - fluxo anular

4 - fluxo disperso

Os quatro tipos ficam bem determinados respectivamente

onde

a fg

degfs

a gs

27

pelas 4 figuras abaixo

LIacutequido - Liacutequido Liacutequido

o

^Bocirclha de

vapor

Vapor

mdash [

- Vapor

mdash 0 0

deg_ a-

jrj-

iquestiexcl5

Bolhas Agregados Anular

Liacutequido

vapor

Disperso ou

Homogecircneo

Conforme o tipo de ebuliccedilatildeo podemos ter uma so das forshy

mas acima ou uma mistura

3 INCERTEZAS NO ESTUDO DA EVAPORACcedilAtildeO

Ha trecircs incertezas principais para determinar o fluxo de

calor na evaporaccedilatildeo a saber

- Aacuterea de contato indefinida

- Diferenccedila de temperatura indefinida

- Grau de turbulecircncia

Como realmente nos nao sabemos uma dependecircncia algeacutebri

ca entre o acircngulo de contato e a superfiacutecie ocupada pelo liacutequishy

do (ou vapor) temos uma incerteza na determinaccedilatildeo da aacuterea de tro

ca de calor (A)

Outra incerteza eacute a dificuldade da obtenccedilatildeo de diferenccedila

de temperatura entre o liacutequido e a parede que normalmente assume-

-se como sendo a diferenccedila entre a temperatura da parede e da ebu

liccedilatildeo do liacutequido (temperatura de saturaccedilatildeo = t )

S cl c

Na realidade a diferenccedila de temperaturas nao eacute aquela

pois a camada de liacutequido que cobre a superfiacutecie aquecedora esta

a uma pressatildeo maior que o resto do liacutequido (pressatildeo atmosfeacuterica

mais a hidrostaacutetica) e consequentemente a temperatura de vaporiza_

ccedilao desse liacutequido e maior que a da superfiacutecie Esta diferenccedila po-

28

deria ser calculada desde que se conhecesse a relaccedilatildeo entre presshy

satildeo e temperatura de saturaccedilatildeo do liacutequido entretanto haacute incerte

za quanto ao verdadeiro peso especiacutefico da coluna de liacutequidopois

trata-se de uma mistura de bolhas de vapor e de liacutequido em proshy

porccedilatildeo variaacutevelraquo

4 REGIMES DE EBULICcedilAtildeO

Nukiyama estudando a ebuliccedilatildeo da aacutegua num recipiente a

quecendo-a com resistencias eleacutetricas construiu a curva baacutesica da

ebuliccedilatildeo Todos os liacutequidos apresentam uma curva semelhante vashy

riando apenas os valoresraquo Os pontos caracteriacutesticos da curva deshy

pendem de caracteriacutesticas difiacuteceis de definirtais como natureza

do metal estado da superficie (rugosidade) dimensotildees orientashy

ccedilatildeo do fluxo quantidade de gases dissolvidos e t c

Estudaremos o fenocircmeno para o caso de aacutegua destiladasem

gas dissolvido a temperatura de saturaccedilatildeo 100 C pressatildeo atmosfe_

re uma superficie plana

Chega-se assim acirc curva

rica sobre uma superficie plana horizontal a temperatura t^

In ltJgt

At (degC)

A curva acima representa o aquecimento de agua com uma re_

sistecircncia eleacutetrica (ate ebuliccedilatildeo)raquo Temos em abcissas as diferenccedilas

de temperatura entre o liacutequido e a resistecircncia em ordenadas o flu

29

Regiatildeo I

Regiatildeo II

Regiatildeo III

Regiatildeo IV

xo de calor por unidade de area

Na curva notam-se 4 regiotildees bem definidas tendo cada uma

o seu significado fiacutesico os quais correspondem a um tipo de ebuli

ccedilao

convecccedilao natural

ebuliccedilatildeo nucleada

ebuliccedilatildeo por peliacutecula parcial

ebuliccedilatildeo por peliacutecula estaacutevel

41 - Convecccedilao natural

Ocorre quando At eacute inferior a 8degCformam-se no liacutequido

correntes convectivas as quais transferem o calor ateacute a superfiacuteshy

cie livre do liacutequido e aiacute desprendendo o vapor Neste caso o valor

de h eacute da ordem de 2000 kcalm^hdegC

42 - Ebuliccedilatildeo nucleada

Ocorre quando o At eacute maior que 8degC e menor que 25degC Nesshy

te caso as bolhas formam-se junto a superfiacutecie de aquecimento

crescem liberam-se movimentam-se em direccedilatildeo agrave superfiacutecie livre do

liacutequido onde estouram libertando o vapor As bolhas formam-se nas

irregularidades da parede tecircm um acircngulo de contato agudo e porshy

tanto hatilde liacutequido sempre em contado com a parede (molha a parede)

cada ponto ativo (lugar onde se formam as bolhas) libera uma porshy

ccedilatildeo de bolhas e os outros pontos do liacutequido ficam em contato com a

superfiacutecie quente violentamente agitados Esta agitaccedilatildeo extrema eacute

mais eficaz que uma turbulecircncia criada artificialmente Por esse mo

tivo a curva cresce violentamente nesse trecho (m = 3 a 7) pois

bull 2 o o valor de h cresce consideravelmente (ate 46000 kcalm hr C) e

o fluxo teacutermico transmitido ao liacutequido cresce proporcionalmente a

Quando cresce crescem tambeacutem

(At) 3

30

numero de bolhas por unidade de aacuterea (num instanshy

te)

~ = crescimento da bolha (com o tempo)

frequecircncia de iacuteormaccedilao de bolhas

A medida que o At vai aumentando iraacute aumentando (jgt tam-- n o N

bem e consequentemente mdash R mdash a a a tal ponto que quando atiacuteii

girmos o ponto da curva nao haveraacute mais formaccedilatildeo de bolhas

mas sim uma peliacutecula de vapor instaacutevel passando assim a 3a re

giao que estudaremos a seguir

43 - Ebuliccedilatildeo por peliacutecula parcial

Como dissemos no item anterior se aumentarmos ainda mais

o At (entre 25degC e 125degC) teremos a formaccedilatildeo de uma peliacutecula de

vapor instaacutevel sobre a superfiacutecie quente que aacutes vezes eacute perfurashy

da pelo liacutequido A camada de vapor tanto mais estaacutevel seraacute quanshy

to maior focircr o At Essa peliacutecula de vapor iraacute provocar um decreacutes_

cimo consideraacutevel no fluxo teacutermico porque como sabemos o vapor

eacute muito pior condutor que a aacuteguaraquo

0 fluxo vai decrescendo ateacute um ponto miacutenimo (iexclgt mintilde (as vecirc

iacutebo bullraquo 1

zes chega a ser mdashj-) e e o chamado ponto de Liedenfrost 0 coeshy

ficiente de peliacutecula neste caso cai violentamente (h = 2000

kcalm^hrdegC)

44 - Ebuliccedilatildeo por peliacutecula estaacutevel

Aumentando ainda mais a diferenccedila de temperaturas

At ( gt 125degC) iremos conseguir uma camada de vapor estaacutevel Ela

transmite calor da superfiacutecie quente ao liacutequido que se vaporiza de

modo que o excesso de vapor formado na interface liquido-vapor for

ma bolhas que sobem para a superfiacutecie 0 liacutequido encontra-se agi-

31

tado poreacutem nao toma contato com a superfiacutecie soacutelida

A peliacutecula de vapor eacute estaacutevel e o fluxo eacute proporcional a

34

(At) (lei de Bromley) Para At grandes passa a influir sensivel^

mente a radiaccedilatildeo teacutermica mais uma razatildeo para demonstrar que nesshy

ta regiatildeo o fluxo cresce novamente

5 CONSIDERACcedilOtildeES E COMPARACcedilAtildeO ENTRE OS TIPOS DE EVAPORACcedilAtildeO

BURNOUT

Sob o ponto de vista de eficiecircncia teacutermica deveriacuteamos sem

pre trabalhar no ponto de fluxo maacuteximo isto eacute no ponto correspon

dente a lt(gt da curva de Nukiyama pois eacute o que daacute maior coeficieri

te de peliacutecula

Acontece poreacutem que se impomos a temperatura da parede

fixa obtemos um uacutenico valor de lt(gt e portanto o fenocircmeno eacute estaacutevel

Poreacutem se como ocorre nos reatores impomos um fluxo teacuter

mico a curva de Nukiyama apresenta 3 pontos de funcionamento posshy

siacuteveis A B C

1

SOacute os pontos A e C sao funccedilotildees estaacuteveis mas eles impotildeem

acirc superfiacutecie quente temperaturas bem diferentes

Na industria em geral trabalha-se por questotildees de segushy

ranccedila na regiatildeo IV da curva poreacutem para os reatores trabalha-se na

32

r e g i atilde o I I

0 p r o b l e m a de t r a b a l h a r n a r e g i atilde o II eacute q u e se n oacute s e s t i shy

v e r m o s t r a b a l h a n d o n o p o n t o e x t r e m o (j) e se p o r q u a l q u e r m o t i v o

h o u v e r u m p e q u e n o a c r eacute s c i m o d e ltfgt i r e m o s t r a b a l h a r i m e d i a t a m e n t e no

p o n t o M q u e t e m o m e s m o $-^0t p o r eacute m c o m A t 2 m u i t a s v e z e s m a i o r

p o d e n d o o c a s i o n a r a f u s atilde o d a s u p e r f iacute c i e a q u e c e d o r a E s t e f e n ocirc m e n o

eacute c h a m a d o d e b u r n o u t

0 f l u x o lttgt eacute c h a m a d o f l u x o c r iacute t i c o o u f l u x o d e b u r -b o

n o u t N o c a s o do r e a t o r d e v e m s e r t o m a d a s m e d i d a s r i g o r o s a s q u a n

to agrave r e g u l a g e m do f l u x o t eacute r m i c o p a r a q u e n atilde o o c o r r a o b u r n o u t 1 1

p o i s d e l e p o d e r e s u l t a r r u p t u r a d a c a m i s a do c o m b u s t iacute v e l e h a v e shy

r aacute p o r t a n t o c o n t a t o do r e f r i g e r a n t e c o m o s s oacute l i d o s e g a s e s r a shy

d i o a t i v o s

5 o l - R e l a ccedil atilde o d e B u r n o u t

E c l a r o q u e p a r a t e r m o s u m r e a t o r m a i s e f i c i e n t e d e v e shy

m o s t r a b a l h a r c o m u m f l u x o o m a i s p r oacute x i m o p o s s iacute v e l do f l u x o d e

B u r n o u t P a r a t a n t o d e v e m o s c o n h e c e r c o m o m a i o r g r a u d e certe

za p o s s iacute v e l q u a l o ^ p a r a p o d e r m o s r e d u z i r o c o e f i c i e n t e d e s e shy

g u r a n ccedil a ( W R G a m b i l l r e c o m e n d a agrave 1 5 )

N o s s e m i n aacute r i o s d e W R G a m b i l l e n c o n t r a m o s u m a s eacute r i e de

b i b l i o g r a f i a s o n d e p o d e m o s e n c o n t r a r i n uacute m e r a s f oacute r m u l a s p r o p o s t a s

p a r a a o b t e n ccedil atilde o de (q 1^)

A t i t u l o d e e x e m p l o v e j a m o s a l g u m a s

q - 2 7 0 G deg gt 8 5 D 0 2 A085 p lt 150

deg D ( L uuml ) 2

q - 140 G 0 5 D ~ deg 2 (-~-)~deg 1 5 p ~ r gt 150 c D (LD)

o n d e a m b a s as e q u a ccedil otilde e s s oacute v a l e m p a r a aacute g u a e m b a i x a p r e s s atilde o e m coii

v e c ccedil a o f o r ccedil a d a

33

D

L

fluxo teacutermico critico BTUhrft bdquo 2

descarga em massa do liquido (Ibmhrft )

diacircmetro do tubo ft

comp do tubo ft

Para cada caso temos uma expressatildeo diferente que pode ser

encontrada em literatura especializada

6 INFLUEcircNCIA DE OUTROS PARAcircMETROS NO FLUXO DE BURNOUT

Como para os usos atuais do reator a diferenccedila de temppound

ratura entre parede e fluido sao pequenas bem como o fluxo de bur

nout recentemente fiacutesicos como Jakob Bonilla WR Gambill estu

daram outros paracircmetros que influenciam bastante o sect^ 0gt isto eacute a

influecircncia desses paracircmetros faz com que o ^ seja maior Isto eacute

util pois quanto maior o fluxo de burnout maior poderaacute ser o

fluxo de calor real de funcionamento

Tais meios sao

- Sub-resfriamenCcedilo do liacutequido

61 - Influecircncia da velocidade do liacutequido

Estudos feitos pelos autores acima chegaram agraves curvas

- Aumento da velocidade imposta ao liacutequido

- Pressatildeo do liacutequido elevada

alto V

At

34

Para velocidades maiores o fluxo de burnout aumenta

porque neste caso o regime eacute turbulento e o coeficiente de peliacute

cuia h aumentao

6bdquo2 - Influencia do aumento da pressatildeo

Este estudo deve-se a Bonilla que obteve experimentalmen

te as curvas

Este estudo foi feito para vaacuterios liacutequidos e chegou a con

clusao que sempre havia uma pressatildeo oacutetima isto e uma pressatildeo que

leva ao maior iacute 1 ^ raquo mantidas as demais condiccedilotildees Experimentalmenshy

te notou que essa pressatildeo correspondia a 13 da pressatildeo critica

do liquido em questatildeo

6=3 - Influecircncia do sub-resfriamento

Consiste em manter atilde custa de uma circulaccedilatildeo intensa o

liacutequido a uma temperatura inferior atilde de saturaccedilatildeo para a pressatildeo

correspondenteraquo Experimentalmente chega-se agraves curvas

mdash A t grande sub

bullAt -0 sub sub

medio

At

35

Verificando os graacuteficos vemos que o lt)gt aumenta agrave medida bo

que aumenta a diferenccedila de temperatura de sub-resf riamento isto pojr

que o liquido como estaacute mais frio faz com que algumas das bolhas

recondensem permitindo que o liquido fique em contato com a parede

quente o que faz aumentar o h

^ f csub = t e m P e r a t u r a ddeg liacutequido - temperatura de saturaccedilatildeo

A diferenccedila de temperatura At entre fluido e parede tamshy

beacutem aumenta poit na regiatildeo proacutexima agrave parede haacute necessidade de

levar o liacutequido da temperatura do sub-resfriamento ateacute a temperatu

ra de saturaccedilatildeo quando se evapora

Atualmente os maiores estudos dos fiacutesicos nucleares locashy

lizam-se neste campo pois eacute o que oferece maiores vantagens

7 FORMULAS PARA 0 CAacuteLCULO DO COEFICIENTE DE PELIacuteCULA NA EBULICcedilAtildeO

Como ocorre no caacutelculo de todas as foacutermulas de convecccedilatildeo

temos formulas empiacutericas para determinar o h conforme o tipo de

ebuliccedilatildeo que nos consideramos

71 - Ebuliccedilatildeo Nucleada

Para o caso de aacutegua temos as relaccedilotildees

superfiacutecies

horizontais

superfiacutecies

verticais

f aacute 5000 BTUhrft 2 -gtbull h = 151 ( A t ) 1 3

A o

5000 lt 75000 -h = 0618 (At)3

^ pound 1000 -raquobull h = 8 7 ( A t ) 1 7

A o -

1000 lt $ lt 20000 -gt h = 027 (At) A o

Quando a pressatildeo e diferente da atmosfeacuterica faz-se a correccedilatildeo

3 6

72 - Ebuliccedilatildeo por peliacutecula

Bromley propocircs uma boa equaccedilatildeo para a ebuliccedilatildeo por peliacuteshy

cula estaacutevel em cilindros horizontais

Nu

_ JtjD n r 9 P v bull ( P L - P v gt - g -h

e V bull D i2

D 1 ^ U b Z u At gt

onde

V = indica vapor

L = indica liacutequido

Multiplicando ambos os membros da equaccedilatildeo acima por

kvD obteremos a expressatildeo do coeficiente de convecccedilagraveo meacutedio para

o caso

37

C - FORMULAS PARA CAacuteLCULOS ESPECIacuteFICOS - RESULTADOS ESPECIacuteFICOS

1 FLUXO DE CALOR CRIacuteTICO - BURNOUT

lol - Introduccedilatildeo

O aspecto mais importante no que se refere agrave seguranccedila

dos reatores da transferencia de calor na ebuliccedilatildeo eacute a determina

ccedilatildeo do Fluxo de calor critico ou de pico ou burnout

Como jatilde vimos quando temos a ebuliccedilatildeo nucleada a dishy

ferenccedila de temperatura entre refrigerante e superfiacutecie de aqueci

mento e pequena poreacutem quando atingimos o fluxo de calor criacutetico

essa diferenccedila de temperatura pode tornar-se imediatamente muishy

to grande podendo causar a ruptura da superfiacutecie de aquecimento

se atiigirmos o ponto de fusatildeo do soacutelidoraquo

Usando a convecccedilao

onde

At sat

w

sat At

sub

w = temperatura da parede de aquecimento

t t = temperatura de saturaccedilatildeo do liacutequido

t^ = temperatura de mistura do liacutequido

At = (t -t ) sub-resfriamento do liacutequido sub N sat b 1

nout

Ha dois tipos de burnout fast burnout e slow bur-

Ocorre o fast burnout (burnout raacutepido) quando A t g u b gt 0

38

ou para baixo x (~ lt 10) sendo x o titulo do vapor

Temos o slow burnout para x - gt 10 Assim noacutes tereshy

mos dois limites para o burnout

At bull o (ltJgt ) t =((() para t = t ) -

bo m m possiacutevel w sat

sub i

4L + 1

G c D h pl nb

(ltK ) = (ltpound para x = 1) = Dv-bo max possiacutevel e 4L

c At l + P 1 sub i

onde

L = comprimento do canal

D = diacircmetro do tubo

G = descarga de liacutequido (por unidade de aacuterea)

c ^ = calor especiacutefico do liacutequido

Agrave = calor latente de vaporizaccedilatildeo

h ^ = coeficiente de transferecircncia de calor na regiatildeo de

nao ebuliccedilatildeo

iacutendices

i = entrada

e = saiacuteda

Haacute inuacutemeras expressotildees para determinaccedilatildeo do burnout pro

postas por muitos fisicos cada uma aplicando-se a um caso especiacuteshy

fico vejamos algumas delas

12 - Equaccedilotildees para prediccedilatildeo de Burnout

121 - Equaccedilatildeo de Bragg e Smith (Zuber)

Num artigo publicado por Bragg e Smith encontramos uma f oacute_r

mula que e derivada da formula de Kutateladze e nos daacute o fluxo cri

39

tico quando nao temos sufaresfriamento

bo poolsat v V raquoc a ( p l P V )

2 PV

14

onde

ltiexclgt = fluxo de calor critico bo

k = constante

Ly = calor latente de vaporizaccedilatildeo do refrigerante

= densidade do liquido

pvr = densidade do vapor V a = tensao superficial

g = fator de conversatildeo c

a = aceleraccedilatildeo da superficie de aquecimento

Os autores encontraram para k um valor de 062 entreten

to outros autores como Zuber incluindo outras variaacuteveis que In

fluiam no fenocircmeno encontraram k variando entre 008 e 023Esshy

tudos bem elaborados mostram que o valor mais aproximado eacute

k = 015 (- 003)

1-22 - Equaccedilatildeo de Noyes

Noyes estudou o burnout para o soacutedio agua e alguns liacute

quidos orgacircnicos

( W s a t ~ bdquo 0245 bull ( r ( 1 )

iiacute_ V 1 Pr

onde

N n = Nuacutemero de Prandtl da fase liacutequida x r

Mais tarde o proacuteprio Noyes alterou a equaccedilatildeo para

n ^ - n H Iacute I Pl PV gt0538 deg g c a q 4 ( W s a t deg 1 1 6 PV ( - p 7 ~ ) (77T1^ ) ( 2 )

40

A ultima correlaccedilatildeo proposta por Noyes foi

a n prPV0560 112

1

(a bull a) 13

(ag c) 112

(3)

onde

a = difusividade teacutermica do liacutequidoraquo A equaccedilatildeo (3) eacute bashy

seada em todos os dados de burnouts do soacutedio bem

como da atildegua benzeno difenil e outros De 111 pontos usados 90

+ estatildeo relacionados dentro de - 30bdquo

ldeg2o3 - Burnout com convecccedilao forccedilada e sub-resfriamen

to

Aproveitando os resultados de aproximadamente 240 testes

de burnouts com aacutegua sub-resfriada em fluxo de convecccedilao forccedilashy

da feitos na Ruacutessia Labuntsov elaborou uma boa equaccedilatildeo empiacuterica

para o problemabdquo

Esta relaccedilatildeo aplica-se para velocidades entre 2 3 e 148

ftsec pressotildees entre 1 e 201 atmabs sub-resfriamento entre 0 deg

e 432 degF e fluxos de burnout entre 0 4 x IO 6 x 166 x 1 0 6 BTUhr

2 bdquo

bullbo

onde

e a seguinte

6 ( P ) 1 + 0 2 3 2 V 2

14

e ( P ) 1 +

15 c At _p_ sub

12 (a)

9 ( P ) - P 1 3 o ( 1 - P J 4 3

red

= pressatildeo (atm abs)

pressatildeo reduzida = mdash mdash red r P

t_ c = pressatildeo critica

= velocidade do liacutequido (ftsec)

= calor especiacutefico do liacutequido (BTUlbdegF)

4 1

^ tsub = ^ ^ e r e n Ccedil a ^ e temperatura entre a temperatura de

mistura do liacutequido e a de saturaccedilatildeo (degF)

X = calor latente de vaporizaccedilatildeo (BTUlb) 2

ltiacutegtbo = fluxo de burnout (BTUhrfl )

Uma outra correlaccedilatildeo para o caso foi proposta por

Ornatsky e Xiohigin que fizeram experiecircncias para pressotildees entre

10 e 1 5 0 3xm 90 degF lt At ^ lt 4 5 0 deg F 3 7 1 0 6 ( l b h r o f t 2 ) lt G lt

2 2 2 10 b ( l b h r bdquo f t 2 )

lt ^ = 3 2 5 0 (G o A t bdquo J deg 6 ( - i - ^ ) 2 5 ( b ) bo sub

onde

G - descarga de refrigerante por unidade de aacuterea

P ^ v P v - densidades do liacutequido e do vapor

P1~ PV -0 termo (mdash ) e incluido na expressatildeo (b) para indicar

a influecircncia da ^ pressatildeo sobre o

Uma comparaccedilatildeo entre as equaccedilotildees (a) e (b) foi feita para

o Reator de Isoacutetopos de Alto Fluxo (HFIR) nas condiccedilotildees aacutegua a

600 psia velocidade = 45 ftsec e sub-resfriamento = At^^ 1

degF obtendo-se uma diferenccedila de 6 5 entre ambos (4gt = 6 0 5 1 0 b

2 ~ 6 2 BTUhr ft pela equaccedilatildeo (a) e 6 4 5 10 3TUhrraquoft pela equaccedilatildeo

(b)

Ilatilde ainda a equaccedilatildeo de Ivey e Morris aplicaacutevel somente pa_

ra ebuliccedilatildeo com grande quantidade de liacutequido

( c sub t

Cpf bull A tsub

( bull ) s ~ V P bdquo 10 h V sat V g

onde

(ltL ) = fluxo critico com sub-resfriamento c sub

(ograve ) ^ - fluxo critico sem sub-resfriamento c sat

42

c ^ = calor especiacutefico do liacutequido

= calor latente de vaporizaccedilatildeo

124 - Burnout com convecccedilao forccedilada e ebuliccedilatildeo por bocirc-

Ihas

Gambill fez uma extensatildeo da equaccedilatildeo de Levy e aplicou o

metqdo da superposiccedilatildeo Tal extensatildeo consiste natilde subtraccedilatildeo de uma

razatildeo equivalente de massa transferida dos termos que represenshy

tam a ebuliccedilatildeo e convecccedilao para levar em conta a presenccedila do vashy

por no fluxo

A correlaccedilatildeo pode ser escrita assim

24 V P V

o g c a (p^Py) 14

+ 0696 (k p c ) 12

(

pr p v )i4 o g c a (P-L-Py) 18

bull At + h sub nb

044 p v L v G (g1) bull N2 n

p l P V

( pr p v ) d e 2-7

2 4 TT 0

14 ( f e _ ^ r l 3

lO^u

onde

k = condutividade teacutermica

c = calor especiacutefico

A t s u b ~ s ub-resfriamento do liacutequido

h = coeficiente de transferecircncia de calor de nao ebu nb mdash

liccedilatildeo

G = descarga total do refrigerante

43

d g = diacircmetro equivalente do tubo ou canalraquo

]i = viscosidade

B = constante adimensional

Os iacutendices V e 1 representam vapor e liacutequido respectiva

mente

0 primeiro termo entre chaves da equaccedilatildeo representa o flu

xo de calor no burnout de sub-resfriamento em convecccedilao forccedilada 0

segundo termo entre chaves corresponde ao fluxo de calor transferi^

do para a massa da fase vapor

1-25 - Burnout por Bloqueio da Base

Ocorre quando a profundidade do recipiente eacute muito maior

que a largura 0 bloqueio da base eacute causado pela formaccedilatildeo de uma pe_

licula de vapor na base impedindo que o liacutequido toque o fundo do

recipiente

i De

Este eacute o burnout por flooding isto eacute burnout por expul

sao do liacutequido Uma equaccedilatildeo que nos dacirc o fluxo minimo do burnout

parao caso eacute

44

onde

D g = diacircmetro equivalente

L = comprimento do tubo

= calor de vaporizaccedilatildeo

p^Py Ap = densidade do liacutequido do vapor e diferenccedila en

tre ambos

Para um fluxo de calor maior ou igual ao dado pela expres_

sao acima (mantida a mesma geometria) teremos burnout Para um deshy

terminado fluxo existiratildeo sempre um comprimento L e um diacircmetro equi

valente D e para os quais temos burnout Exemplo

L (in) D e(in)

10 11

100 51

1000 235

2 RESULTADOS ESPECIacuteFICOS - FOacuteRMULAS PARA CAacuteLCULOS ESPECIacuteFICOS

21 - Diferenccedila de temperatura At i

13 a t

sat

At sat

poundatildeJL_ raquo t - t J p T T 6 w sat

onde

o laquo tensatildeo superficial entre liquido e vapor

t - temperatura de saturaccedilatildeo do liacutequido para a corres-Scl t

pondente pressatildeo

J equivalente mecacircnico do calor

X laquobull calor latente de vaporizaccedilatildeo

py = densidade do vapor

6 = espessura da camada de liacutequido superaquecido onde

45

k l

h nc

onde

k^ = condutividade teacutermica do liacutequido

h = coeficiente de peliacutecula nc r

Segundo Eckent h ^ c e dado por

P 2 Q

nc 3 V VP + 0952

r

onde

D = diacircmetro equivalente

G r = numero de Grashoff

P = nuacutemero de Pradtl

2 o 2 - Velocidade das bolhas

A velocidade das bolhas em meacutedia pode ser dada pela exshy

pressatildeo

V bdquo = Iacute ( a bull B Apl4 bolhas 5 ^ 2

p l onde

AP = P L - P v

Expressatildeo que vale quando a aceleraccedilatildeo eacute a da gravidade

baixa viscosidade do liacutequido e bolhas separadas

Vbolha = f t s e atilde m a x para aacutegua

2 bdquo3 - Diacircmetro das bolhas

2gc deg 12 D = 0015 3 ( mdash mdash 7 ~ ) d g Ap

5 =

46

onde

8 = acircngulo de contato (20 a 90deg) geralmente assume-O -1

-se igual a 50 para a agua em contato com metal

24 - Coeficiente de peliacutecula na ebuliccedilatildeo nucleada

a) Equaccedilatildeo de Rohsenow

Esta equaccedilatildeo nos datilde o fluxo de calor q na ebuliccedilatildeo nushy

cleadaraquo E oacutetima expressatildeo para muitos liacutequidos o efeito da presshy

satildeo eacute levado em conta na variaccedilatildeo das propriedadesraquo

Pf

fg

sat 17 = c

sg k y f h f g g( P f-p g)

n033

onae

Pf

fg

Pf Pg c sg

= fluxo de calor requerido (BTUhr0ft^)

= calor especiacutefico do liacutequido saturado (BTUlbm0F)

= calor latente de vaporizaccedilatildeo (BTULbm)

= nuacutemero de Prandtl

= viscosidade do liacutequido (lbrahrraquoft) ~ 8 2

= fator de conversatildeo 417 10 Ibmftlbflaquohr 2

= aceleraccedilatildeo da gravidade (fthr )

= tensatildeo superficial na interface liacutequida vapor

(lbfft) 3

densidade do liquido e vapor (lbmft )

constante adimensiacuteonal que depende de vaacuterios fashy

tores dentre os quais o grau de aquecimento en_

tre o fluido e a superfiacutecie de aquecimento e o

mais importanteraquo Independe da pressatildeo do sistema b) Equaccedilatildeo de Levy

Equaccedilatildeo valida para a aacutegua quando 100 lt p lt 2000 psiacutea

47

43 bdquo3

qu bdquo gat ^ T J h r t f t ^

495

25 - Calculo do fluxo de calor no Ponto de Leidenfrost

0 ponto de Leidenfrost como vimos eacute o ponto em que oflu

xo de calor comeccedila ncamente a crescer isto eacute o ponto onde termal

aa a ebuliccedilatildeo instaacutevel e comeccedila a ebuliccedilatildeo por peliacutecula estaacutevel Eacute

o chanado fluxo miacutenimo (egrave ) m m

Aproximadamente quando A t g u k = 0 temos

A _ mdash _ mdash (Gambill) m m 5

Ha entretanto varias expressotildees para determinar esse flu

xo eis uma delas

A p 14 ltjgt = 009 h pbdquo (o raquo g mdash ) y m m fg P V deg 2

p l

26 - caacutelculo do fluxo de calor na regiatildeo de ebuliccedilatildeo por peliacute

cuia estaacutevel

para cilindros jmdashi i li

_ D 0172 k-V - P V A p h l V bull S 14 li - = 062 (mdashmdash) (- j- r rmdash) convecccedilao A 0 ybdquo (t -t )

c V w sat

onde

= condutividade do vapor

- 2 TT ( mdash )

c gAp Vl = significam vapor e liacutequido respectivamente

para paredes verticais

L 0172 S deg7 A p bull hlV S q 4 h - - 080 (-^-)J- (-Iuml - Iacutemdash-convecccedilao X L u (t - t J)

c V w sat

48

Como nesta regiatildeo jaacute haacute nina influecircncia marcante da radia

ccedilao devemos levar en conta tambeacutem o coeficiente de peliacutecula de

vido a radiaccedilatildeo para determinar o coeficiente de peliacutecula total

Dos estudos atildea radiaccedilatildeo temos

h = a F pound(T 4 - T 4 J ( T ~ T ) rad w sat w sat

onde amp _ emissividade de superfiacutecie

a = constante de Stefan-Boltzman

F = fator de forma

Segundo WE Gambill o coeficiente de transmissatildeo total

ceve ser

3 iacutei = h + -7 h para h lt h t conv 4 rad r rad conv

Na expressatildeo acima existe o fator 34 porque a radiaccedilatildeo

faz variar um pouco a espessura do filme de vapor reduzindo asshy

sim o l l

conv

Quando tivermos h gt h gt o h^ ^ seraacute rad conv total

h f c = h + h t conv rad

Neste ultimo caso nao ha nenhum coeficiente porque a peshy

liacutecula de vapor jaacute eacute estaacutevel

27 - Grandezas caracteriacutesticas para a apua

Para pressatildeo igual a 1 atm = 1422 psia

At ^ = t - t = 5degC (iniacutecio da ebuliccedilatildeo nucleada) sat w sat 1

At t = 30degC sat crit

49

5 2 $ = 4 10 BTUhrft (para pressatildeo 1 atm)

0 fluxo critico cresce como vimos com a pressatildeo ate

atingir o maacuteximo quando a pressatildeo eacute aproximadamente 13 da pressatildeo

criacutetica Esse fluxo eacute

bull = 13 IO 6 BTUhrft 2 para p = 11000 psia (p pound = 32062 psia)

Ainda temos que para pressatildeo igual a 15 psia

h b o = 11000 BTUhrft degF - ebuliccedilatildeo nucleada

h f b = 30 BTUhrft 2 degF - ebuliccedilatildeo pelicular

Todos os resultados e formulas para caacutelculos especiacuteficos

apresentados nos itens 21 22 23 ateacute 27 sacirco aplicados somente

para sistemas onde haja ebuliccedilatildeo com grande quantidade de liquido

51

D - HIDRODINAcircMICA DOS SISTEMAS E QUEDA

DE PRESSAtildeO DENTRO DE UM CANAL

1 HIDRO-DINAcircMICA E QUEDA DE PRESSAtildeO

11 - Hidro-dinacircmica dos sistemas estaacuteveis

111 - Regimes de escoamento

A evoluccedilatildeo do escoamento ao longo de um canal aquecedor

de secccedilatildeo constante ciliacutendrico pode ser esquematizada pela figushy

ra 1 onde temos em abcissa o comprimento z do canal e em ordenada

a temperatura (T)

52

Na figura 1 nos representamos

a) 0 aspecto do escoamento fluido quando a entalpia do

- fluido aumenta Verificamos que o fluido entra no cashy

nal no estado liacutequido e assim permanece ateacute atingirmos a zona de

ebuliccedilatildeo local onde aparecem as primeiras bolhas A entalpia do

fluido continua aumentando e tem inicioa ebuliccedilatildeo franccedila onde as

bolhas se unem formando agregados posteriormente o escoamento to

ma a forma da figura ou seja torna-se anular disperso Finalmente

atingimos duas uacuteltimas fases do escoamento disperso (vapor uacutemido)

e vapor seco

b) A evoluccedilatildeo da temperatura meacutedia do fluido e da tempeshy

ratura da parede Note-se que a partir da cota a

temperatura da parede aumenta brutalmente podendo causar o

burnout

c) A evoluccedilatildeo do tiacutetulo do vapor (x) com o comprimento

do tubo e a evoluccedilatildeo da fraccedilatildeo (a) que definiremos no

item 11laquo2 com o comprimento do tubo

112 - Definiccedilotildees

a) Tiacutetulo ou qualidade do vapor (x)

massa de vapor na mistura x ~ massa total da mistura

x =

W _g_

g f

b) Fraccedilatildeo vazio (void fraction)

volume do vapor na mistura a = volume total da mistura (agua+vapor)

A relaccedilatildeo entre x e a num sistema parado pode ser obtida

assumindo um certo volume contendo 1 lbm de mistura em equiliacutebrio

teacutermicoraquo

53

O volume da mistura seraacute igual a (v + xv ) ft onde v eacute 3 r rg

o volume especifico (lbmft )

f - refere-se ao liquido

g - refere-se ao vapor

fg - refere-se a diferenccedila entre liacutequido e vapor

Numa mistura em equiliacutebrio se o liacutequido e o vapor estatildeo

saturados o volume do vapor presente eacute igual acirc sua massa vezes

seu volume especiacutefico v assim e

xv bdquo bdquo a mdash

V c + XV c

f gf

onde

- bull-bull uumlutiacuteisa vapor na mistura de 1 Ibm

v volume especiacutefico do liacutequido

v = volume especiacutefico do vapor o

V c = v - V

gf 8 r

Fazendo uma transformaccedilatildeo na expressatildeo acima temos

xv xv JS = Z-

v r+ x(v -v c) xv +(l-x)v t ri f g f g f 1 + Ul-x)xjv fv

1 + C(l-x)x]]vfvg

A fraccedilatildeo vazia tem a influencia de baixar a reatividade

do nuacutecleo nos reatores em que o refrigerante eacute tambeacutem moderador

Na equaccedilatildeo acima os valores de x e v sao tomados em tabe

las termodinacircmicas apropriadas para a pressatildeo do sistema A equashy

ccedilatildeo (1) mostra os grandes valores de a para pequenos valores de x

especialmente para baixas pressotildees Isto ocorre porqueaumentando

54

aacute pressatildeo o v decresce muito enquanto que o v f eacute mais ou menos da

mesma ordem de grandeza

Exemplo Calcular o a correspondente para x raquo 2 para aacutegua

leve atilde pressatildeo atmosfeacuterica

Da tabela para p laquobull 1 atm

v - 001672 ft 3lbm e v - 26800 ft 3lbm

1 + [(1-002)002] 001672268

0971 ou 97U

O grafico abaixo mostra a variaccedilatildeo do a com x para vaacuterias

pressotildees e para a aacutegua leve

x ()

tObservaccedilotildees da curva

Fig 2

1 - para x constante a decresce com a pressatildeo Para presshy

sotildees proacuteximas da criacutetica a aproxima-se rapidamente de

x Para a pressatildeo criacutetica as duas fases satildeo indistinguiacuteveis ea=x

2 - para cada pressatildeo dotdx decresce com aumento de x

3 - para baixos valores de x (que e o caso dos reatores

tipo Boiling) quando p decresce dadx cresce e torr

na-se muito grande paacutera baixas pressotildees Isto tem relaccedilatildeo com a epound

55

tabilidade do reator como veremos mais tarde

113 - Sistemas com fluxo

Todas as definiccedilotildees que noacutes vimos no item anterior refeshy

rem-se acirc sistemas em que a mistura esta fechada no recipiente Nes^

te caso natildeo havia movimento relativo entre as duas fases No entan

to se as duas fases da mistura se movem na direccedilatildeo vertical em

canais entre os elementos combustiacuteveis o vapor por causa de sua

flutuaccedilatildeo tem a tendecircncia de escorregar sobre o liacutequido isto e

move-se com velocidade maior do que a do liacutequido

Real Modelo

Pig 3

S -

Define-se neste caso a relaccedilatildeo de escorregamento (slip

ratio) (S) como sendo

V _i

V f

onde

V = velocidade do vapor

= velocidade do liquido

S modifica as relaccedilotildees entre a e x do item anterior S geralmen_

te gt 1 Define-se neste caso qualidade do vapor ou tiacutetulo como

sendo

_ fluxo de massa de vapor

fluxo de massa da mistura

Entatildeo se o fluxo de massa da mistura eacute m t(lbmhr) o flushy

xo de vapor seraacute = x m e o fluxo de liacutequido sera (1-x) m onde x

56

e o titulo do vapor para a particular secccedilatildeo (AL) da figura (3)

Devemos notar que neste caso x varia de secccedilatildeo para secshy

ccedilatildeo do tubo o exposto no paraacutegrafo acima vale considerando-se que

x e a permaneceram constantes na secccedilatildeo de espessura AL

Aplicando a equaccedilatildeo da continuidade as velocidades do va

por e liacutequido sao dadas por

o xm v

V vazatildeo = g g area A

V

(1-x) amp t v f

f A f

onde A e A f sao as aacutereas medias perpendiculares ao fluxo se as

duas fases sao imaginadas completamente separadas uma da outra

(figura 3) Assim temos

V x m v o A_ A v 0 ^ - 2 = iacute S t m _2L- JL JS m

V A (l-x)ui v 1-x A v U

f g t f g f

Sabemos ainda que para a secccedilatildeo considerada

volume do vapor na mistura a = volume total da mistura (agua+vapor)

A AL A pound g g

a = mdash a a = - mdash 1

(A+A )AL A f + g

A ou f _ 1 - a

A a 8

Substituindo em (2) vem

57

Esta expressatildeo pode ser rearranjada e obteremos uma relashy

ccedilatildeo entre x e a levando em conta o escorregamento Chega-se a

a = 1 ( 3 )

1+ [U-x)x3 igt

onde

v 4 laquo -- S

v lty o

Note-se que quando S=l (nao haacute escorregamento) caimos na

expressatildeo dada no item anterior

0 efeito do escorregamento eacute decrescer o valor de a pa_

ra um mesmo xbdquo Isto pode ser visto pela foacutermula (3) pois S gt lLo

go a decresce com acreacutescimo de S

Um alto S e entatildeo uma vantagem tanto para a transferecircnshy

cia de calor como para efeitos de moderaccedilatildeo Eacute uma vantagem para

transferecircncia de calor porque alto S significa alto V e portanto

maior turbulecircncia e maior contato do liquido com as paredes quenshy

tes Ha tambeacutem melhorias na estabilidade da reaccedilatildeo nuclear isto

porque como jaacute dissemos quando mdash7 diminui a estabilidade aumenshy

ta isso pode ser verificado observando a curva a versus x para a

agua leve a 1000 psiabdquo

Fig 4

58

A relaccedilatildeo entre x e a da equaccedilatildeo (3) so vale para secccedilatildeo

de tubo bem pequena

Devemos notar que S varia tambeacutem com a pressatildeo e velocida^

de de entrada do liacutequido no tubo Este efeito pode ser observado na

figura 5 abaxxo obtida esperimentalmente

s

3

~^ ~ psig

x = 001

V 1

Fig 5

Nos projetos de reatores como veremos adiante o valor a

geralmente eacute determinado por consideraccedilotildees nucleares (moderaccedilatildeo) 0

valor de S eacute determinado atraveacutes de uma estimativa ou entatildeo atrashy

veacutes de um graacutefico do tipo da figura 5 0 correspondente valor de x

pode ser obtido de uma foacutermula empiacuterica do tipo

1 = 1 (-S)0gt67

proposta por Von Glahn

Em muitos casos assume-se S constante em todo o comprimeiv

to do canal poreacutem eacute um erro que em muitos casos nao pode ser coshy

metido

4 REATORES EM QUE 0 LIacuteQUIDO B MODERADOR E CIRCUITO PRIMAacuteRIO AO

MESMO TEMPO BOILING-REACTOR (BWR)

A aacutegua ao se movimentar atraveacutes dos vaacuterios canais do

59

Boiling-reactor encontra vaacuterias resistecircncias ao fluxo que provoshy

cam uma reduccedilatildeo de pressatildeo no fluido

As duas perdas mais importantes sao perda de pressatildeo por

atrito e perda de pressatildeo causada pela aceleraccedilatildeo do refrigerante

ao aumentar de volume por receber calor num canal Outras perdas

de pressatildeo seriam a obstruccedilatildeo ao fluxo por corpos submersos (espa_

ccediladores juntas de tubos chaves etc) e por mudanccedilas abruptas de

aacuterea de fluxo tanto na entrada como na saiacuteda do tubo

Essas perdas de pressatildeo devem ser conhecidas o melhor popound

sivel principalmente nos reatores BWR Para tanto devemos saber

o comprimento de canal em que nao ha a ebuliccedilatildeo isto eacute qual o com

primento de canal em que o refrigerante vai da temperatura de sub-

resfriamento ate temperatura de saturaccedilatildeo

Seja o elemento combustiacutevel

Aquecimento Uniforme Aquecimento Senoidal

Fig 6 Fig 7

onde

H =

H = o

H b

comprimento do elemento combustiacutevel

cota onde o liquido se torna saturado

comprimento do elemento combustiacutevel em que ocorre

ebuliccedilatildeo

60

qg = calor sensiacutevel acrescentado ao liquido para satushy

raacute-lo

qfc = calor total acrescentado ao liacutequido em todo o com

primento do canal

laquoo

q s J o qiquest sen (IIzH) n H o

T~ = TH = 2 ( 1 c o s gt ( a )

q 1 sen (HzH) Jo ^c

A expressatildeo (a) vale quando tivermos uma adiccedilatildeo de calor

senoidal para qualquer outra forma de adiccedilatildeo de calor faz-se um

caacutelculo anaacutelogo

Outra relaccedilatildeo entre q g e qfc eacute dada pela termodinacircmica

q h- - h s f m (b)

(hr +x h )-hm ^t f e fg

onde

= entalpia para o liquido saturado a pressatildeo correjs

pondente (cota z = Ho)

hffi = entalpia do liacutequido na entrada do canal

x = tiacutetulo do vapor na saiacuteda

= entalpia do vapor

Com a relaccedilatildeo (b) noacutes determinamos a relaccedilatildeo q q ecom

S L

uma relaccedilatildeo do tipo (a) (conforme seja o adicionamento de calor ao

liacutequido) podemos obter a relaccedilatildeo HoH e consequentemente H^H

21 - Perda de pressatildeo num canal de evaporaccedilatildeo

Neste item iremos determinar as perdas de pressatildeo mais

representativas que ocorrem num canal de evaporaccedilatildeo de um reator

P + dP

bull1 i- 1 gti i i

dL

onde

UM

Icirc H Icirc Icirc T dF f t f

61

Quantidade de Mov na Entrada

= i- rigVg)

dF f l

Fig 8

m i

m 8

V l V 8

A P

dF

dF

dF

fg

fl

ftf

descarga do liacutequido

descarga do vapor

velocidade do liquido

velocidade do vapor

aacuterea transversal do canal

forccedila de atrito do vapor com parede

forccedila de atrito do liacutequido com parede

forccedila de atrito das duas fases liacutequido+vapor

Fazendo o balanccedilo das forccedilas considerando o sentido posjL

tivo na vertical temos

A (P-P-dP)-(dF +dF _+dF _)-(-pound-) (p A+p A )dL = mdash dGnV+m V ) P fg ftf fl g c 1 1 g g g c

v 1 1 g g 7

- dP = ~ (dF +dF--+dF)+- S--7=- (p A+p A )dL+ mdash ~ - d (m-V+m V ) A_ fg ftf fl g c Ap v^l 1 g g g A 11 g g

Fazendo a integraccedilatildeo termo a termo entre os dois extreshy

mos entrada e saiacuteda e considerando a pressatildeo de entrada igual a

P q e a de saiacuteda igual a Pe vem

Quantidade de Mov na Saiacuteda

-= h I- lY l+ A g V g + d ( aacute l V l + aacuteeVl

Forccedila de Gravidade

= ( g f - N P A + P g V

62

b) r e F f l

o p dp^ = Ap^ = perda de pressatildeo por atrito

do liacutequido na altura Ho

Aplicando a formula de Darcy vem

bull API = f bull ir bull ^ iexcl 7

onde

f = fator de atrito

c) e Fftf

o p ^P tpound

= perda de pressao por atrito da mistura

liquido + vapor no trecho de comprimen

to Hbdquo o

Para determinar esta perda de pressao define-se o fator

de multiplicaccedilatildeo R

A P R =

tf A P 1B

Sendo A p ^ a perda de pressao se o comprimento todo fosshy

se ocupado somente pelo liquido assim

A p t f = R A P 1 B

0 calculo de Ap-^ pode ser feito pela formula de Darcy e

o de R nos veremos no item seguinte

63

d)

-e F

d ( ^ )

O P

Ap = perda de pressatildeo por atrito do vapor

No caso do reator BWR o titulo de saida e bera pequeno e

em nenhum caso ocorre a saida de vapor com x = 100 logo a perda

de pressatildeo por atrito do vapor eacute nula assim

An = 0 5

e) Ap

(p A 1 + p A ) dL = Ap - perda de pressatildeo dpound

vida ao desniacutevel

(perda hidrostaacutetica)

Anbdquo = re A A

-S- I (p + p -S ) dL H s 1 A

c o p o A

como A A Jl_ =

A P

A +A-g 1

1-a -

temos

C Q

te j jll-a)p1 + apg)^jdL = p Lo pound

onde

e jo u

+ ap ) ~I dL (Densidade media 1 S J

no tubo)

No nosso caso

Ap u = p H

f)

re d(mV + m V ) _ mdash - laquo -i bull s iquestp laquos p e r d a ltje pressatildeo devido a acele-

c p raccedilatildeo do vapor

V A

(1-x) tl^Vj

(1-a) A

X V

aA

A p -

roV + m V

c p c p L_

m (l-x)m_v m xv nbdquo -1 T 1

+ _S S I (1-a) Ap aA

P

2 g A c p

n 2 2

(1-x) m T

laquo2 8 A c p

2 2 (l-xe) raTv1

2 2 2 xm_v (1-x) m-v e T s o 1 1

a 1 - a

2 2 - x m_v o T g

a

se

X Q 0 (so ha agua nesse trecho)

a = 0 o

temos

mbdquo Ap =

1 a A 2

S A degc p laquo-

tt-V v i 1 - a

2 via T^r - v i

t Apc

2

V v l

5c Ap

1 - a

x v - 1

a e v l

65

Fazendo

G = fluxo total da massa por unidade de area do

canal

(1-x J e

V

AP r

Assim a perda de pressatildeo total sera

H p V II pV r2 P -P = f -24-Iuml+ f R+p 0 1 2g c D e 2g c g c g c

2c2 - Determinaccedilatildeo do fator de multiplicaccedilatildeo (R)

221 - Relaccedilatildeo Martinelli-Nelson

Os autores Martinelli-Nelson determinaram experimental -

te esse fator R para varias LIT1L em funccedilatildeo da pressatildeo e da r NB total J v

qualidade de saiacuteda do vapor no canal Construiacuteram assim vaacuterias

curvas do tipo da figura 9

66

E importante notar que a qualidade do vapor (x) na saiacuteshy

da nao deve ser grande pois como vemos o valor de R cresce muishy

to com um aumento pequeno de x e um valor de R muito grande acar_

reta uma perda de pressatildeo grande pois

^ d u a s fases R ^ f a s e liacutequida

Para resolvermos um problema seguindo o criteacuterio de bdquo

Martinelli escolhemos a curva R = f(px) (para a relaccedilatildeo L

N g ^ j

adequado) e tiramos R com os valores de pressatildeo p e tiacutetulo x

As curvas R = f (p x L T t )IO encontram-se nos ANL 6469 bio I

e 6561

222 - Relaccedilatildeo Lottes-Flinn

Estes autores estudaram o problema para o aquecimento uni

forme do refrigerante com baixo titule Lottes-Flinn fizeram inuacuteshy

meras experiecircncias e verificaram que para fluxo de calor uniforshy

me e baixos titulos R era independente do fluxo de calor fluxo

do refrigerante escorregamento e apenas funccedilatildeo de a g

Como a quantidade de liacutequido eacute muito maior que a de vashy

por a perda de pressatildeo daacute-se principalmente pelo atrito do liacuteshy

quido com a parede Podemos assim escrever a foacutermula de Darcy

na forma diferencial

dz

d = f __ r e amp c

onde

V = velocidade do liquido saturado na cota zbdquo X

f = coeficiente atrito

= densidade do liacutequido saturado

Teoricamente a queda de pressatildeo deve-se ao acreacutescimo de

67

velocidade do liacutequido e da diminuiccedilatildeo da aacuterea de fluxo do liacutequi

do

P fH A P t p

= f D 2g Ho

d z

fazendo

V lo

m V t lo

(velocidade do liacutequido na cota z = Ho)

(1-x) m t v 1

(1-a) A (velocidade do liacutequido na cota z gt Ho)

a bull+ fraccedilatildeo vazio na cota z geneacuterica

V 1 (1-x) m t v 1

m t V l 1 - a

x =s 0 pois o tiacutetulo eacute baixo

A p t f = f bull JT5 c e

fH V lo

H o (1-a) dz

Para fazer a integral devemos achar a relaccedilatildeo de variaccedilatildeo

entre a e z Como o fluxo de calor eacute uniforme a qualidade eacute direshy

tamente proporcional a z

bull laquo x = x e H

z = mdash x X e

Sabemos ainda que (item 113)

x

1 + [ ( I -X)AKQ x + iiacuteraquo

68

como

temos

(1-x) = 1

v

X =

z =

1-a

1 -a

1-a e

a

e

1-a pound

a

1 -a igt (assumindo S = cte)

da

Atf - f bull 2 i ^ ~ J c e o

a 1 - a e e 1 s 4 hmdash) da

a 1-a

f P lv^ Q

0 termo mdash - mdash e a parte de perda de pressatildeo pelo lj^

^c e -quido ou seja Ap liquido saturado e como

Ap

R = tf

Ap liauido saturado

temos que

R J

f ae 1 _ a e 1 4

a 1 -a o e

1 -a r-R =

3 1 -a

a 1 -a imdash

3 vl - a 3

e e

Os valores de R obtidos por esta expressatildeo aproximam-se

muito dos valores obtidos pelos aacutebacos de Martinelli

69

E - EXPANSAtildeO E COMPRESSAtildeO DE UM FLUIDO - ANAacuteLISE HIDRODINAcircMICA

DE UM CIRCUITO EM CIRCULACcedilAtildeO NATURAL

1 EXPANSAtildeO NO FLUXO DE UM FLUIDO

11 - Uma so fase

Figura 1

Ha vaacuterios meacutetodos para determinar a variaccedilatildeo de pressatildeo

numa expansatildeo de fluido estudaremos o de Romie que eacute o que daacute

maior precisatildeo

Romie considera que a pressatildeo p^ tambeacutem atua na aacuterea

imediatamente apos a expansatildeo Assim fazendo o equiliacutebrio das foi

ccedilas nas secccedilotildees tracejadas da figura 1 temos

mVj

p r A 2 + mdash

mV

bull 2- A2

mas

m = pV^A^

pV^A = p V 2 bdquo A 2

V A

v 2 -4r-logo

( P l-P 2) A 2 = f ( V ^ ) - f _ v j amp c c 2

70

2 pV A A pV A A

Chamando A l A ]

K = 1 - T e degi2 = Aiexcl bull V E M

pvj

P l P 2 = T ~ bull ( 2 deg 1 2 ) ( 1 _ a 1 2 )

Outra maneira de chegar atilde diferenccedila de pressatildeo ( P j - ^ ) s mdash

ria usar o coeficiente de perda da mecacircnica dos fluidos Assim o

equilibrio das pressotildees eacute

2 2

1 V l 1 V 2 V l P i + _ p _ ^ P 2 + I p ~ + k 1 2 p mdash

onde = coeficiente de perda

A 2 1 2

k 1 2 - (l-o 1 2) - (1 - j- )

Fazendo as transformaccedilotildees chegamos a mesma expressatildeo obshy

tida pelo balanccedilo das forccedilas

PraquoIacute pr p

2 - - ir ^ laquo-ia

12 - Duas fases

Como ha duas fases a equaccedilatildeo do balanccedilo das forccedilas fica

um pouco alterada

m pound 1 V- m - raquoV - m-V- m bdquoV _ P A + j y ^ i + _gl_JUuml P A + -11-11 + -ilsl (a)

1 2 e R 2 2 ff e

Sabendo que

71

m (1-x) m t = p fA (1-a) V f

entatildeo

fl l-o^ p fA x

6 Vf2 1-x l-a2 P fA 2

m V = mdash mdash e V 0 = gl a 1 P C T A 1 g2

m

a_ p h

2 g 2

Nas expressotildees anteriores o x nao varia porque a expansatildeo

5 adiabaacutetica porem o a varia devido a modificaccedilatildeo do tamanho da

bolha

Substituindo os valores das velocidades na expressatildeo (a)

vera

( P - P ) Abdquo =

2

2 2 m gt2 2 m t (1-x) 1 x t

ra i 2 m i 1 x t 1

p fA 1 g c ttl p Ax gpound

m t P - P = mdash

(1-x) (l-a 1)A 1A 2 (l-a2)A|

a r A r A 2

V A 2

m t P bdquo - P = mdash 2 1 g c A r A 2 p f

(1-x) 1-a f A 2(l-a 2)

bull ^ 2

72

Se

P -P

a

m

g

12

1 _1_ (1-x)

J12

1 _ a l 1 - a 2 + X (- )

Pg

1 deg12 a 2 ^

Sabemos que

mt = V o pf laquo A l

Sendo V q = velocidade do liquido num ponto onde natildeo haja vapor

P 2-P 1

u 2 2 A 2

V pr Ai

V W p f

(1-x) 12

l-a1 l-a2

+ X 2 pf

mdash

l deg12

-1 a 2 _

p -p r 2 Al (2a 1 2)

2 M f w 1 deg12 X (mdash) (

pg al a 2 )+(l-x)C l 1 12

1-a^ l-a2

Devemos notar que esta expressatildeo tambeacutem vale para quando

temos uma fase para isso basta fazer

= c t 2 = 0

X = 0

e recairemos na formula do item anterior

2 pf 1 deg12 Observemos que neste caso o termo x (mdash)( ) nao

Pg al a2

2

73

tem significado pois corresponde a mudanccedila de fase

2 CONTRACcedilAtildeO KO FLUXO DE UM FLUIDO

21 - Uma so fase raquo mdash

Aqui ocorre um fenocircmeno importante pois o fluido ao ser

contraiacutedo nao vai diretamente da area A^ para a area A 0 mas ele

contral-se ate uma area A^ e depois expande-se ate k^

Ao A2

Po IP 2

V 2

Figura 2

Fazendo o equiliacutebrio das pressotildees entre os planos (1)

(0) vem 2 2

pV pV p +~ plusmn - P + i deg bull 1 2 g o 2 g (b)

C x

Fazendo equiliacutebrio da expansatildeo (0) - (2) vem

P o + 2 - f = P 2 + 2 -T + kp- 2 F ( c )

c c b C

Subtraindo (b) - (c)

2 2 2

i p- vj i p- v2 L P l + 2 bull g c

P 2 + 2 2g c

+ k P 2g c

74

Como

P - P = mdash 2 2g

2 2

bull (1 + k) - f bdquo mdash i

k a - f2 ) 2 - d - o c )2

= o

A = a 21

Weisback obteve varias relaccedilotildees entre a e a i] c

01 02 03 a 0624 0632 0643 c

0624 0632

A r v i - V v 2

p -p 1 2

P -P 1 2 2g7

v l =

(1+k) - laquofi- a 2g 21 c

( 1 + k - o 2 1)

X[- V 2 o 2 1V 2

22 - Duas fases

0 valor de k pode ser aproximado para

k = a(l - o 2 1)

onde segundo Richardsons para fluxo de duas fases podemos supor

a = 02

Para fluxo homogeacuteneo sabemos que

75

p = p f (1 -a ) + p o a

podemos supor p bdquo a = 0 pois p e pequeno e fazendo

V = V ~ V fbdquo2 go2 v 2

Substituindo estas duas expressotildees na equaccedilatildeo de uma soacute fase vem

2 2 p V (l-ct) p V (1 -a ) bdquo

P l P 2 = 9g ( 1 + 3 - 3 0 ^ - 0 ^ ) = g (a+1) (l-a^)

Se a = 02

2 12p oV 0

p r p

2 - 9g gt d-) d-sigt

A compressatildeo de um fluido acarreta uma perda de pressatildeo

como pode ser verificado pelas formulas uma vez que lt 1deg

3 ANALISE HIDRODINAcircMICA DE UM CIRCUITO EM CIRCULACcedilAtildeO NATURAL

Esquema deacute uma caldeira com circulaccedilatildeo natural

76

Determinar a velocidade em (7) para que tenhamos circula

ccedilatildeo natural Determinar tambeacutem as perdas de pressatildeo em todos os

trechos da caldeira

31 - Contraccedilatildeo das secccedilotildees (1) - (2)

Como jaacute vimos a equaccedilatildeo do balanccedilo das pressotildees eacute

1 pr Vl 1 p 2 o V 2 P2 V2

1 2 g 2 + 2 g + K12 2g otilde c amp c e c

bullraquo 2 o2 2 e havendo uma soacute fase k 1 9 = (l-o ) = (1 mdash ) e sendo

C 2

p l = p2

v x lt lt lt v 2

P 2 V pr p2 bull ir2 bull ( 1 + k12gt

Colocando em termos de temos

A 2 V 2 P 2 = A 7 V 7 p 7 (continuidade)

V = V mdashbull = V o_bdquo ~ A 2 2 2

P 2 V - p 2

p r p 2 = ir2 - deg72 bull Ccedilrgt bull lt 1 + ki2gt

fazendo

N12 - lt^gt deg72 ( 1 + k12gt

P7 V7

Pr P2 - N12 bull HG

77

3 2 - Perda de carga no trecho ( 2 ) - ( 3 )

Como haacute apenas uma fase soacute temos perdas por atritos e

perdas hidrostaacuteticas

Sendo como jaacute vimos

2 3 p 2 2 g P 2 P 3 = f 2 3 (r~2g^~) L 2 3 g c p

atrito hidrostaacutetica

Substituindo V^ pela relaccedilatildeo do item anterior e tendo em

conta que p = vem

P -P = f 2 r 3 2 3 D

2 3 p 2 bdquo 2 2 p 7 2

2 g 7 72 p 2 3 g

Se

L 2 3 2 p 7

2 3 2 3 D 2 a 7 2 p 2

P 7 V 7 g P 2 - P 3 = N 2 3 ( mdash gt p 2 L 2 3 f

3 3 - Expansatildeo nas secccedilotildees ( 3 ) - ( 4 )

Como vimos o balanccedilo das pressotildees e

2 2 2 p V p 4 V p V

P 3 + 2 g c

P 4 + 2 g c

+ k 3 4 2 g c

onde

k 3 4 - - -

2 2 1 P 4 - V 4 P 3 v 3

P 3 P 4 = 2 g + ( k 3 4 _ 1 ) 2 g

78

Sendo

P 3 - P 4

p 3 o A 3 deg V 3 = P 7

a A 7 o V 7

P 4A 4 0V 4 = P r A r V

3 7 A 3 p 3

A7 P7 V = v mdash mdash 4 7 P 4

P - P 3 r4

Se

P bdquo - P

bdquo2 r-P 7 V 7

3 4 2g deg74 + ( k 3 4 1 ) deg73

34 p deg74 + ( k 3 4 1 ) 73

p r v2

P3- P4 ^ N34 ^ gt

(No caso e negativo)

34 - Contraccedilatildeo nas secccedilotildees (5) - (6)

Ainda temos uma so fase e fazendo o balanccedilo das pressotildees

como fizemos no item 3lt1 vem

P + vil p + vi + k vi P 5 + 2gbdquo P6 + 2gbdquo + k56 2gbdquo

k 5 6 lt 1 ^ gt 2 ( 1 - Iacute 2 i 2 6

V V6 P5degIacute 5^6 ^SS 2g c - 2g c

P - P ^ = (1+kJ

Como

79

A 6

W p 5 =

VV P6 V 5 = V 6 Jiexcl = Vff65

P 5-P 6 - lt H k 5 6 ) mdash ^ mdash (l+k 5 6-a 6 5) c c c

Sendo

Se

A 7 p 7 p 7

6 7 Ag p 6 7 76 p 6

p _p _ P6- V7- g76 iquest72 ( _ 02 P 5 P 6 2g c bull ( p 6

( 1 + k 5 6 deg65 )

p 7 2 2 N56 = p ^ deg76 ( 1 + k 5 6 ~ a 6 5 )

P 7 V 2

7

P r-P = N r 5 6 56 2g c i

35 - Perdas de pressatildeo nas zonas (6) - (7) - Pre^aquecimento

Nesta regiatildeo temos perdas por atrito e hidrostaacuteticas

Nao haacute perda por aceleraccedilatildeo pois ainda natildeo houve formaccedilatildeo de boshy

lhas

Fazendo balanccedilo das pressotildees temos

L_ ppound-V p = p + otilde L - pound _ + f -Si (-21mdashL 6 7 + p67 L67 g + t 6 7 D K 2g

p _ e ifn sao tomados como valores meacutedios 67 67

P _p _ f hl ^67jIacute uuml + - L A

6 F 7 r67 D 2g P P67 L67 g 6 s c 7 c

S e Kr pound67 L67 p67 6 7 D 6 p7

p7 V - _g_ P6- P7 - N67 mdash + P67 L67 f

c c

80

36 - Perda de pressatildeo nas zonas (7) - (8) - Zona de ebuliccedilatildeo

Nesta regiatildeo j aacute temos o aparecimento de bolhas logo a

perda de pressatildeo seraacute devida agraves t recircs parcelas aceleraccedilatildeo a t r i t o

das duas fases liacutequidas + vapor e h idros taacute t ica

onde

Assim

P-P Q = AP + AP + APbdquo 7 8 a t r i t o acel H

T M1

78 p 7 7 AP - R f- - mdash mdashr |R = fator mult ipl ica-

a t r i t o 7 D 7 2 g c L tivo

G 2

AP bull r mdash acel g c

P V

|_1 - o a p J 8 P f

2 t r 2 M2

7 7 r 7 7 A P a c e l = -J^mdash 2 r bull p 7 lt T iexcl iexcl - )

A PH p 7 8 L 7 8 fiexcl

p 7 8 iacute 7 li 1 0 0 P l i q + a P v ] d L = P 7 ( 1 - laquo 7 8 )

ag raquo fraccedilatildeo de vazio media entre 7 e 8

APH = p (1 - 5 7 g ) f- L 7 8

2 2

P 7 - P 8 a 5 - 2 T i + 2 r p 7 + P 7 ( 1 - 7 8 gt f L 7 8 7 amp c amp c amp c

81

N 7g = R mdash + 2 r p 7

P7 V7 P7- P8 = N78 + P 7 ( 1 5 7 8 gt J78

37 - Expansatildeo nas secccedilotildees 8 e 9

No caso haacute uma expansatildeo com duas fases e como vimos no

item 12 a variaccedilatildeo de pressatildeo era dada por

0f Vo P2 P1 = ~2g c ( 2 deg12

x 2 (mdash)(mdash - mdash ) + ( l - x ) 2 ^ T mdash 8 1 2 1

12

Aplicando ao nosso caso

P pound = P 7

P -P = 8 9

V - V raquo V g f 7

P 7 V 2

2 pf 1 a89 2 1 g89 x (mdash) ( ) + (1-x) (- - N

o ou abdquo 1-cu l-ot_) g 8 9 8 9

Se

N 89

= 2 a 89

2 pf 1 deg89 2 1 CT89 x (mdash) ( ) + (1-x) ( T

g 8 9 8 9

P -P = 8 9

- N P7deg V7

89 2gbdquo

38 - Perda de pressatildeo no trecho 9 e 10

No referido trecho temos apenas perda de pressatildeo por atr L

to da fase liacutequido + vapor e perda hidrostaacutetica Natildeo haacute perda por

aceleraccedilatildeo do vapor pois este natildeo recebe mais calor e portanto

o 82 o

nao ha variaccedilatildeo no a

p

Q -p i n = A P

U + A P bull 9 10 H atrito

n T -S_ P9 U10 deg 910 bull g

fio r

910 I 910

J9 L

(l- a)P + Q P I dL liq v

(l-a0) p

No caso a = (nao hatilde variaccedilatildeo de forma)

A P H - (1-a ) P (p L 0

c

AP bdquo = R o

atrito

2 f9 o L910 P9 V9

2g

Supondo

= V

P 9 = P 8 P 7

vbdquo = v 9 8 0 A r

= V 7 bull deg89

AP - R atrito

2 2

W l O p7deg V7deg g89

V P10 R -^T^ bull deg89 bull li-2 + ( W P 7 (fgt SIO

y c c

Se

- f9 L910 2 N9ol0 R Dl deg89

w 2

p rv P9 P10 = VlO + ( 1 a 9 ) p7 (f gt L910 c

33

39 - Perda ciacutee pressatildeo na expansatildeo 9 - 1 0

Analogamente a expansatildeo 8 - 9 temos

10 11 P 7 2g

10 Iacute 2 0 1 0 - 1 1 gt

2 ff

pg aio

10-11

laquo11 ) +

Ll-a 1 0 bull l-a u J

Se

V10 = V 9 = V 8 bull T9 = V 7 deg89

P -P 10 rll = - a 2g 089 ^lO-ll

4 bull T~ bull (7 1 mdash ) + Pg degio a n

+ (l-x)2(- 1 10-11

1 - aio )

N10-ll = 2 a10-ll a89 2 pf t 1 10-11 N2

-(j-r- - ) bull+ (1-x) pg aio deg 1

10-11 k l - a io

prz P10 Pll = - N10-ll bull ( 2gbdquo

310 - Calculo de V

Fazendo a somatoacuteria de todas as expressotildees (P^-Pj) tere-

84

mos 2 PbdquoV_

P bdquo - P bdquo = N 7 v 7

1 2 12 2g

bull 2 - P 3 - = N 2 3 P 2 L 2 3 f c ccedil

9 P 7 V 7 P _p = N mdash -

3 4 34 deg 2g

V P 5 = deg

2 P V

5 6 56 2 g c

ltr2

P 7 -V 6 e7 -N67 2g + p 6 7 J j67 g

c bc v 2

P 7 - P 8 = N 7 8 - 2 i ~ + p 7 ( 1 - laquo 7 8 ) L 7 8 c

P 7 V 7

P - P - -N mdash - -8 9 89 2g

c P 7 V 7

P 9 ~ P 1 0 VlO 2g + ( 1 a 9 P 7 L 9 c

P 7 V 7

bull10 11 U10-ll 2g

P v iacute j P - P

1 11

7 - v 7 3 bull r

2 8 i U L 2 23 67

(l-5 7 8) L 7 8 + ( l - laquo 9 ) P 7 bull SlOtilde]- ^

Por ou t ro lado sabemos que como secccedilotildees 1

mesmo n iacute v e l

85

s c p r v 7 j

28 Z N i ij

= P 2 L23 p67 L67 P 7 ( 1~deg78 )

78 ~ ^g) bull P 7 bull L 910 g_

V - 2 g ( p r L 2 3 - p 6 r L 6 7 - p 7 ( l - atilde 7 8 ) L 7 8 - (l-a9) p L 9 a ( )

y N

Com esse valor de podemos determinar todas as variashy

ccedilotildees de pressatildeo (P^-P )

BIBLIOGRAFIA

- WoR Gambill - Notas de aula dos seminaacuterios realizados no Insshy

tituto de Energia Atocircmica de Sao Paulo em 1966 (roteiro)

- WR Gambill - Nuclear Safety

Vol 9 - n9 5 e 6

Vol 6 - n 2 (pag 152)

Vol 4 -r n9 1 (pag 30)

Volbdquo 5 - n 2 (pag 151)

- WRo Gambill - Chemical Eng Prog ndeg 54 (Outubro)

~ El Wakil - Nuclear Power

- Jakob Max - Heat Transfer (vol I)

Mc Adams - Heat Transmission

- Paul A Lottes - Argonne National Laboratory

- AKL - 6469

- ANL - 6561

86

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Frank Kreith - Principles of Heat Transfer

Journeacutees Internationales de la transmission de la chaleur

Seminaacuterios realizados em Paris em 1961 sob a supervisatildeo do

Prof Marcel Veron

Notas de aula da Cadeira de Termodinacircmica I e Transmissatildeo da

Escola Politeacutecnica da Universidade de Sao Paulo

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3

O regime do escoamento e importante na convecccedilao porque

ele determina qual o mecanismo preponderante na troca de calor enshy

tre parede e fluido

Assim no regime laminar o fluxo teacutermico normal agrave parede

eacute transmitido principalmente por conduccedilatildeo pura neste caso eacute a coji

dutividade teacutermica do fluido que determina a taxa de calor trocada

por convecccedilao

No regime turbulento o fluxo teacutermico eacute transmitido por um

mecanismo composto e complexo Na sub-camada limite laminar o flushy

xo daacute-se por conduccedilatildeo pura e na regiatildeo turbulenta datilde-se porumamls_

tura de porccedilotildees de mateacuteria a temperaturas diferentes

4 CASOS POSSIacuteVEIS DE TRANSFEREcircNCIA DE CALOR POR CONVECCcedilAO

Convecccedilao

Gases e

liacutequidos

Circulaccedilatildeo

Natural

parede plana

horizontal

vertical

parede cilin

drica

horizontal

externa e

internamente vertical

Circulaccedilatildeo

forccedilada

parede

plana

dentro

dos

tubos

escoamento laminar

escoamento turbulento

escoamento laminar

escoamento

turbulento

tubos retos

tubos em espiral

externamente

a tubos

paralelamente aos tubos

ortogonalmente aos tubos

externamente a tubos aletados

4

Cotivecccedilao

Na evaporaccedilatildeo

de liacutequidos

Na condensa-

cao de vaposhy

res

sobre superfiacutecies planas

internamente tubos

externamente tubos

circulaccedilatildeo natushy

ral ou forccedilada

externamente a tubos horizontais

externamente a tubos verticais

sobre superfiacutecies planas verticais

dentro de tubos verticais

5o MEacuteTODOS DE ESTUDO DOS PROBLEMAS DE CONVECCcedilAtildeO

jaacute vimos que a soluccedilatildeo do problema de convecccedilao eacute encon

trar uma expressatildeo para o coeficiente de peliacutecula (h) em funccedilatildeo

das suas inuacutemeras variaacuteveis

- temperatura da parede (t ) w

- temperatura do fluido (t^)

- velocidade do escoamento (V)

- forma $ e dimensotildees caracteriacutesticas (L L L ) da pa

x y z mdash rederaquo

- propriedades do fluido

- condutividade teacutermica (k)

- massa especiacutefica (p)

- calor especiacutefico (c)

- viscosidade dinacircmica (u)

Sendo assim a expressatildeo de h seratilde do tipo

h = h(t t_ V $ L L L k p c u ) w f x y z

Ha vaacuterios processos para chegar a uma soluccedilatildeo

1) meacutetodo analiacutetico

5

2) meacutetodo empiacuterico

3) meacutetodo integrado

Meacutetodo analiacutetico -to estudo para uma partiacutecula do flui

do da transmissatildeo de- calor levando em conta tambeacutem as

equaccedilotildees do escoamento e da continuidade do fluido o que leva a

equaccedilotildees diferenciais de difiacutecil soluccedilatildeo Tais soluccedilotildees em geral

sotilde sao possiacuteveis quando fazemos hipoacuteteses simplificadoras que se

nao forem corretas nos levaratildeo a uma soluccedilatildeo errada

Meacutetodo integrado - Eacute o estudo para um agregado de partiacuteshy

culas e tem o mesmo tipo de soluccedilatildeo que o meacutetodo analiacuteti

co poreacutem para esse agregado

Meacutetodo empiacuterico - Este meacutetodo estaacute associado agrave anaacutelise di

mensional Tal meacutetodo consiste em deduzirmos os nuacutemeros

adimensionais que influem no processo e procurarmos depois atrashy

veacutes da experiecircncia equaccedilotildees que os relacionem

6 ANALISE DIMENSIONAL

0 meacutetodo empiacuterico eacute o mais usado em virtude das dificulshy

dades que os outros apresentam apesar das suas limitaccedilotildees

Devemos tomar dois cuidados especiais para nao chegarmos

a resultados falsos o primeiro eacute obter dados experimentais os mais

corretos possiacuteveis e o outro eacute o de ao considerarmos um tipo de

convecccedilatildeo nao esquecer nenhuma variaacutevel que influa no mecanismo

pois se tal acontecer os nuacutemeros adimensionais obtidos seratildeo com

pletamente diferentes dos reais

Neste estudo usaremos o teorema de Buckingham ou teore

ma dos ir que diz o seguinte

Uma equaccedilatildeo de m variaacuteveis sect (x^ x 2 x^) que por sua

vez sao funccedilotildees de n_ dimensotildees fundamentais pode ser transformada

numa relaccedilatildeo entre (m-n) grupos adimensionais

6

Devemos notar ainda que a analise dimensional e o teore

ma dos TT nao nos permitem obter a relaccedilatildeo matemaacutetica entre os gru

pos adimensionais mas apenas quais os grupos que interferem no

fenocircmenoo

7= CONVECCcedilAtildeO NATURAL

Experimentalmente verificou-se que nesse fenoacutemeno intejr

ferem as seguintes variaacuteveis

Variaacutevel Unidade Dimensatildeo

h - coeflaquo de peliacutecula kcalhr degCm 2 ( M ) ( 0 ) 3 (T) 1

x = dimensatildeo caracteriacutestica m ( L )

AT bull-= diferenccedila de temperatu ra entre parede e flui do

degC (T)

p = massa especiacutefica fluido kgm3 (M) ( L ) 3

y = viscosidade dinacircmica kgsegm ( M ) ( e ) 1 ( L ) 1

6 = coei de expansividade teacutermica

V1

c = P

= calor especiacutefico do fluido

kcalkg degC (D2 ( e ) 2 (T) 1

k = condutividade teacutermica do fluido

kcalm hrdegC OOCDO)3^)1

g raquo aceleraccedilatildeo da gravidade mseg ( L ) ( e ) 2

Dimensotildees

(M) = massa

( L ) = comprimento

(8) = tempo

(T) = temperatura

I

Considerando que apenas estas 9 variaacuteveis influem na con-

vecccedilao natural o fenocircmeno poderaacute ser escrito na forma

B A_C D E F G H I h = A x (AT) bdquo p bdquo u o S Cp k g (1)

Sendo A B C D E F G H I expoentes reaisraquo

De acordo com o teorema dos T T se noacutes temos m = 9 variaacuteshy

veis funccedilotildees por sua vez de n = 4 dimensotildees o fenoacutemeno poderaacute

ser descrito por uma equaccedilatildeo de (9-4=5) adimensionais

Pesquisemos quais sao esses adimensionais Substituindo

na expressatildeo (1) as dimensotildees correspondentes temos

Me 3 T_1 = A LB TC (ML~3)D (Me - 1 ITV (T-1)F

a2 e~ 2 T - 1 ) g (MLe3

0T_1)H ( L e - 2 ) 1

Devido a homogeneidade de unidades da expressatildeo as somas

dos expoentes da mesma dimensatildeo nos dois membros devem ser iguais

(EM) D + E + H - 1 (I)

(26) - E - 2G - 3H - 21 = -3 (II)

(ET) C - F - G - H = -l (III)

(EL) B - 3 D - E + 2G + H + I = 0 (IV)

Solucionando o sistema acima em funccedilatildeo das variaacuteveis C

D G e T vem

Somando (I) e (II)

D - 2 G - 2 H - 2 I = - 2 o H = ~ G - I + 1

Substituindo o valor de H em (III) vem

C - F - G - | + G + I - l = - l F = C - + I

Substituindo o valor de H em (II) vem

8

- E - 2G - -y- + 3G + 31 - 3 - 21 = - 3 E = G + I - -y

Substituindo E e H em (IV) vem

B - 3 D - G - I + - y - + 2 G + | - - G - I + l + I = 0

Voltando agrave expressatildeo (1) temos

h = A x D + I - 1 ( A T ) C pdeg u G + I ~ 3 0 2 g C ~ 0 2 + 1

G D2 - 6 - 1+1 I c p k g

Agrupando os termos de mesmo expoente vem

t A 2 2 - 3 - 1 v D 2 -1 1 n = A (x p bdquo u g o k ) o (x u g k g)

o (AT g ) C (vi k 1 c p )Q o ( x - 1 k g )

h - A ( x 2

3 - p 2 k ) D 2 ( g deg Z)1 (AT g ) C

li 3

C k J x

2 2 h x x p k D 2 x u g gI

k ~ A ^ 3 o

deg 1 k deg

y 3

(AT g ) C ( ^ ) G

Chamando

h bdquo x n = mdash f mdash = Nbdquo = n9 de Nusselt 1 k Nu

T T 2 = p

k

P = N p r = ndeg de Prandtl

rr3 = AT o g

2 2 i

x o p k

4 3 R

M g

Assim os fenoacutemenos de convecccedilao natural sao descritos por

uma equaccedilatildeo do tipo

F ( IacuteW N P r V V V = deg Como as variaacuteveis 3 AT e g na convecccedilao natural soacute in

fluem nas forccedilas de empuxo provocando o movimento macroscoacutepico do

fluido devem aparecer constituindo o produto (g g AT) Para

que isso seja possivel devemos ter

~ = I = C reunindo-se assim os 3 adimensionais tr

T T ^ ir ou seja

ir AT g gt k P 2 X bull P B bull = 3 4 5 u 3 6 k

3 2 x p g g AT bdquo M O j o u c

= 7 = N_ = N9 de Grashof 2 Gr

Finalmente a convecccedilao natural pode ser descrita por uma

equaccedilatildeo da forma

F(Nbdquo N_ Nbdquo ) = 0 Nu Pr Gr

Agora soacute resta obter para cada caso possiacutevel do paraacutegra

fo 4 ps coeficientes desses 3 nuacutemeros adimensionais

8 CONVECCcedilAO FORCcedilADA

Na convecccedilao forccedilada nao influem as forccedilas de empuxo poshy

reacutem influi decisivamente a velocidade do fluido Assim as variaacuteshy

veis que intervecircm no fenocircmeno sao

h = coeficiente de peliacutecula (M) ( 8 ) ~ 3 ( T ) 1

o 10

x = dimensatildeo caracteristica (L)

-1 V = velocidade do fluido (L) (8)

I -3

u = viscosidade dinacircmica do fluido (M) (L)- (0)~

p = massa especifica do fluido (M) (L)

- 2 - 2 - 1 0^ = calor especifico do fluido (L) (6) (T)

k = condutividade teacutermica do fluido (M) (L) ( 0 ) ~ 3 ( T ) 1

0 fenocircmeno eacute determinado por estas 7 variaacuteveis logo coja

forme o teorema dos ir podemos descrever o fenocircmeno por uma equaccedilatildeo

com (7 - 4) = 3 nuacutemeros adimensionais

A equaccedilatildeo de h em funccedilatildeo das variaacuteveis seraacute do tipo

h = A x V u bull P bull c k (2)

substituindo as dimensotildees vem

M e~ 3 T - 1 = A L B (L Q~X)C (M L - 1 e 1 ) 0

(M L 3 ) E ( L 2 e 2 T _ 1 ) F (M L e - 3

T - 1 ) G

Igualando a soma dos expoentes da mesma variaacutevel dos dois membros

vem

(EM) D + E + G = 1 (I)

(Z6) - C - D - 2F - 3G - -3 (II)

(ET) - F - G = -1 (III)

(EL) B + C - D - 3 E + 2 F + G = 0 (IV)

resolvendo o sistema acima em funccedilatildeo de C e G vem

de (III) F = 1 - G

de (II) - C - D - 2 + 2 G - 3 G = - 3

bull D = 1 - C - G

substituindo o valor D em (I) vem

11

1 - C - G + E + G = 1 E = C

substituindo os valores de D E e F em (IV) vem

B + C = l + C + G - 3 C + 2 - 2 G + G = 0

B = C - 1

assim a equaccedilatildeo (2) ficaraacute sendo

C-l bdquoC 1-G-C C 1-G G h = A x V y p c k

P

colocando o coeficiente de k na forma (1-G) + l^j vem

h = A (x V y1 p ) C (ii c k - 1 ) 1 - 0 (x _ 1 k) P

u c hx p x VvC p xl-G k = A ( y gt ( k

ILJLJL = N

k Nu

y c N

e k Pr

p V x _

y N R e = N9 de Reynolds

Logo o fenocircmeno de convecccedilao forccedilada seratilde representado

por equaccedilotildees do tipo

f ( NNugt NPrlaquo N R e ) = 0

9 SIGNIFICADO FIacuteSICO DOS ADIMENSIONAIS

91 - Numero de Nusselt

N = bull h = 2L- _) Nu k AT v

v3 x x=0

eacute uma relaccedilatildeo entre o gradiente de temperatura junto a parede e a

12

variaccedilatildeo total da temperatura do fluido

92 - Numero de Prandtl

Pr = pp = 2 kpc a

P

Relaccedilatildeo entre viscosidade ci nemaacutetica v e a difusividade teacutermica a

93- Numero de Reynolds

N_ = amp Relaccedilatildeo entre as forccedilas de Re u - r bull

ineacutercia e as forccedilas viscosas que interferem no escoamento fluido

94 - Numero de Grashof

H = mdashmdash mdash^mdash 2 mdash amp a relaccedilatildeo entre o pro-u duto (forccedila de ineacutercia )

x (forccedila de empuxo) e o quadrado das forccedilas visshycosas que interferem na convecccedilao natural

11 EQUACcedilOtildeES DE CONVECCcedilAO FORCcedilADA

Por ser o caso mais importante na induacutestria soacute veremos

algumas equaccedilotildees para a convecccedilao forccedilada e deixaremos de lado a

convecccedilao natural por ser menos importante

Para cada tipo de escoamento para cada regime de transshy

ferecircncia de calor e para cada configuraccedilatildeo geomeacutetrica teremos uma

equaccedilatildeo com expoentes e coeficientes diferentes poreacutem sempre com

as mesmas trecircs variaacuteveis

Nbdquo N- N_ Nu Re Pr

Para resolver um problema de convecccedilao devemos antes

avaliar as propriedades do fluido essa avaliaccedilatildeo eacute feita considj

13

rando a temperatura media do fluido isto e a meacutedia aritmeacutetica da

temperatura entre um ponto do fluido junto agrave parede e um ponto onshy

de a temperatura do fluido seja constante longe da parede

Ha casos entretanto que na praacutetica trecircs adimensionais

so nao sao suficientes para expressar o fenocircmeno isto porque as

vezes ha uma propriedade que eacute muito sensiacutevel a uma pequena varia

ccedilao de temperatura logo para estes casos introduzem-se outros adi^

mensionais para levar em conta a dependecircncia dessa propriedade com

a temperatura

Todas as expressotildees foram obtidas experimentalmente A li

teratura especializada tem formulas para todos os tipos possiacuteveis

de geometria Vejamos alguns exemplos

101 ~ Convecccedilatildeo forccedilada sobre superfiacutecies planas

a) regime laminar ( N R g lt 400000)

N T = 0664 (N ) 1 f 2 (N ) 1 ^ 3

NuL ReL u Pr

b) regime turbulento ( N R g gt 400000)

NNuL deg 0 3 6 lt N P r ) 1 3 t gt R e L ) 0 8 1 8 7 deg deg ^

102 - Convecccedilatildeo forccedilada dentro de tubos ciliacutendricos

a) regime laminar (N_ ^ lt 2100) mdash Re D

i

b) regime turbulento Nbdquo _ gt 2100 mdash u Re D

N v _ = 0023 (N_ J 0 8 (Nbdquo ) n

NuD ReD Pr

14

n = 04 para fluido aquecendo

n =raquo 03 para fluido resfriando

Note-se que neste caso houve necessidade de considerar ou

tros adimensionais para aliar a anaacutelise dimensional agrave experiecircncia

no item a) dois outros adimensionais tiveram que ser acrescentados

(DL) e (up s)

Na expressatildeo 101 b) se o N critico for tomado como

sendo 5 x 10 (usado comumente) a expressatildeo usada eacute a mesma a me

nos do termo 18700 que passa a ser 23200

Devemos observar finalmente que estas expressotildees nao se

aplicam a metais liacutequidos e que elas nos datildeo nuacutemeros de Nussel meacuteshy

dios e natildeo locais

15

B - CONVECCcedilAtildeO COM MUDANCcedilA DE FASE - CONDENSACcedilAtildeO (I)

lo INTRODUCcedilAtildeO

Devemos considerar dois tipos de convecccedilao com mudanccedila de

fase que sao a condensaccedilatildeo e a evaporaccedilatildeo

Os problemas de convecccedilao de calor com mudanccedila de fase sao

tao importantes na industria como os de convecccedilao de uma uacutenica

faseraquo Os exemplos mais comuns de sua aplicaccedilatildeo sao os condensadoshy

res e evaporadores usados nos condicionadores de ar geladeiras

caldeiras etc

Neste capiacutetulo estudaremos apenas a condensaccedilatildeo

Os problemas de convecccedilao com fluidos condensando ou evashy

porando sao bem mais complexos que os demais processos de convecshy

ccedilao porque aleacutem de envolver variaacuteveis nao consideradas na conshy

vecccedilao de sistemas de uma so fase tecircm uma variaccedilatildeo nas propriedashy

des fiacutesicas de tal grandeza que essa variaccedilatildeo interfere decisiva

mente no fenocircmeno

2 CONDENSACcedilAtildeO

Eacute a passagem de um vapor para o estado liacutequido pela retishy

rada de calor

21 - Aspectos Gerais

A condensaccedilatildeo eacute realizada fazendo com que o fluido (vashy

por) entre em contato com uma superfiacutecie cuja temperatura esteja

abaixo da temperatura de saturaccedilatildeo do fluido correspondente atilde pres_

sao do vapor

0 coeficiente de peliacutecula relativo ao vapor de aacutegua satushy

rada que condensa sobre uma superfiacutecie fina eacute da ordem de grandeshy

za de 10000 kcalhrm^degC em casos excepcionais chega-se acirc valo-

16

res 50o000-100bdquo000 kcalhrm 2degC Isto eacute obtido a maneira pela

qual a condensaccedilatildeo se produz Ilaacute duas maneiras

1 - condensaccedilatildeo por peliacutecula daacute-se quando o liacutequido con

densado molha totalmente a parede formando urna peliacute

cula continua sobre a mesmaraquo

2 - condensaccedilatildeo por gotas daacute-se quando o liacutequido ao se

condensar rcune-se em gotas que crescem ateacute terem

peso suficiente para escoarenu

0 primeiro tipo eacute o mais comum e eacute o que daacute menor coefishy

ciente de peliacutecula porque a pelicula do liacutequido constitui uma re

sistencia adicional a passagem do calorraquo No segundo tipo chega-se

a coeficientes de pelicula muito maiores pelo fato do vapor estar

sempre em contato direto com a superficie resfriadura isto eacutepor

nao haver resistencia adicional

2o2 - Condiccedilotildees para termos condensaccedilatildeo por peliacutecula ou por

gotas

Sob o ponto de vista da transmissatildeo de calor deveriacuteamos

sempre preferir a condensaccedilatildeo por gotas pois como jaacute dissemos e

a que daacute maior eficiencia teacutermica Acontece poreacutem que tecnologji

camente eacute difiacutecil a obtenccedilatildeo da condensaccedilatildeo por gotas pois haacute

necessidade de termos um vapor puro urna superficie de resfriameii

to perfeitamente lisa (cromeada espelhada) e com resinas para fa

cilitar a formaccedilatildeo das gotas Tudo isso encareceria demais um con_

densador por isso eacute que na praacutetica usamos condensaccedilatildeo por peliacutecu

la quando podemos usar chapas ou tubos comerciais

So em casos muito especiais quando o espaccedilo eacute muito imshy

portante usa-se condensaccedilatildeo por gotas

2 3 - Remoccedilatildeo do Condensado

Um fator importante a considerar na condensaccedilatildeo eacute a remo

17

ccedilao do condensado que sempre se faz por gravidade Ha dois tipos

principais de superficies de condensaccedilatildeo

1 - Tubos ou placas verticais (ou encunadas)

2 - Tubos cilindricos horizontais

Nos tubos verticais a espessura da peliacutecula liacutequida aumen

tara do topo acirc base e com isso variaraacute ao longo do tubo o coefishy

ciente de peliacutecula loacutecalo

No caso dos tubos ciliacutendricos horizontais o liacutequido escoj

re pela parede lateral e goteja pela parte inferior natildeo havendo

possibilidade de formaccedilatildeo de camadas espessas do condensado

2raquo4 - Condensaccedilatildeo por peliacutecula sobre tubos verticais

Nusselt desenvolveu estudos analiacuteticos sobre condensaccedilatildeo

externa a tubos ciliacutendricos verticais partindo das hipoacuteteses

1 - A espessura da peliacutecula do condensado eacute nula na parte

superior do tubo e vai aumentando nas partes inferioshy

res por condensaccedil-ao e escorrimentoraquo

2 - 0 fluido escorre pela parede em regime laminar sob o

efeito combinado do seu peso e viscosidade

3 - A temperatura da camada mais interna do condensado tem

a temperatura da parederaquo

4 - A temperatura da camada mais externa tem a temperatushy

ra do vapor-

5 - A variaccedilatildeo da temperatura da camada do condensado em

sentido ortogonal agrave superfiacutecie do tubo eacute linear

6 - 0 vapor cede apenas seu calor latente

7 - A temperatura do tubo eacute uniforme e constanteraquo

8 - Nao haacute gases incondensaacuteveis no vapor (vapor puro)

Chegou a formula

18

2 3 g P - h L t

N j = 0943 ( r-EcircY~ ) 1 4 (l) NuL y bdquo k o At v

As propriedades da equaccedilatildeo (1) satildeo avaliadas agrave temperatu

ra meacutedia tm

c + t _ w sat

tm ~ onde

t = temperatura da parede

t = temperatura de saturaccedilatildeo do fluido S 3Lt

exceto o calor latente da vaporizaccedilatildeo b^ que deve ser avaliado agrave

temperatura de saturaccedilatildeo correspondente atilde pressatildeobdquo

Quando a superfiacutecie focircr inclinada vale o raciociacutenio de

Nusselt apenas o termo que atua na remoccedilatildeo do condensado natildeo eacute g

mas sim (g seno) sendo 6 a inclinaccedilatildeo da superfiacutecieraquo

Assim a equaccedilatildeo para estecaso seria

2 3 g o sene o p o h o L

NT _ = 0943 ( r~ y (2) NuL y o k o At w

25 - Efeitos a considerar na condensaccedilatildeo

Ha 3 efeitos importantes a considerar na condensaccedilatildeo que

Nusselt natildeo levou em conta sao eles

- efeito da turbulecircncia no filme liacutequidoraquo

- efeito dos gases incondensaveisraquo

- efeito da velocidade do vapor

251 - Efeito da turbulecircncia no filme liacutequido

As formulas anteriores servem para comprimentos de tubos

pequenos pois nesse caso a velocidade de escoamento do condenshy

sado natildeo eacute grande entretanto para superfiacutecies verticais longas

a peliacutecula torna-se bastante espessa e com velocidade grande deshy

mais para que o escoamento possa ser considerado em regime lamishy

nar

19

Nesse caso define-se o numero de Reynolds baseado na veshy

locidade da fase liacutequida isto eacute

p V 6

Nbdquo - m r

Rer y u

onde

V = velocidade do condensado na camada limite m 6 = espessura da camada limite

T = p V m 6 = descarga do condensado por unidade de largju

ra da superficie de condensaccedilatildeo

No calculo da determinaccedilatildeo de T haacute uma certa dificuldade

pois ele soacute pode ser determinado por iteraccedilatildeoraquo

Q = m c laquo A t = h A A t P

A = 2ir R bdquo L (para tubos)

m c = h o 2IumlIuml R laquo L P

m m braquoL _ p a _ _ li li

2TTR C c P P

Como noacutes nao sabemos o valor de h_ devemos inicialmente

adotar um V e obter atraveacutes da foacutermula

NNuL = deggt0134 (R PV L 3 gt 1 3 ( N R e r ) 0 4 ( 4 )

y

o valor de _h se os valores de h_ obtidos por (3) e (4) forem iguais

o problema esta resolvido caso contraacuterio fazem-se tantas iterashy

ccedilotildees quantas forem necessaacuterias

252 - Efeito dos gases incondensaacuteveis

A presenccedila de gases incondensaacuteveis reduz violentamente o

coeficiente de peliacutecula pois acirc medida que o vapor se condensa o

gaacutes nao condensaacutevel se acumula junto atilde superfiacutecie de resfriamento

20

formando uma barreira adicional S passagem do fluxo de calor

A reduccedilatildeo do coeficiente de peliacutecula que a presenccedila des_

ses gases causa depende da fraccedilatildeo em massa dos mesmos na mistu

ra gaacutes-vapor

Fizeram-se inuacutemeras experiecircncias e sobre o assunto a tiacute

tulo de exemplo vejamos o graacutefico abaixo onde temos em abcissas

o coeficiente de peliacutecula obtido experimentalmente e em ordenadas

a fraccedilatildeo de gases dissolvida jio vapor

5000

bullg- 4000 O

3OOO

2000

S 1000

4 6 8 10 12 lt|gt(lbm arlbm de vapor )x 10

Devemos notar a grande influecircncia dos gases incondensatilde-

veis por exemplo quando o vapor eacute puro nos temos um h = 4000se

tivermos apenas 1 de ar dissolvido o coeficiente de peliacutecula fishy

caraacute reduzido agrave metade isto ecirc h = 2000

Por isso nos condensadores sempre se coloca vapor ornais

puro possiacutevel

253 - Efeito da velocidade do vapor

Quando a velocidade do vapor junto agrave interface liacutequido-

-vapor natildeo focircr despreziacutevel surgem forccedilas de atrito entre o vapor

e o liacutequido Se a direccedilatildeo do fluxo do vapor coincide com a direshy

ccedilatildeo do movimento do liacutequido a velocidade do liacutequido aumenta (haacute

compressatildeo) e a espessura do filme liacutequido diminui e consequenshy

temente a transferecircncia teacutermica melhora pois haacute diminuiccedilatildeo da

resistecircncia teacutermica

Se entretanto a direccedilatildeo do vapor focircr contraacuteria a do fil

o 21 laquo

me de liquido ha uma tendecircncia de haver aumento da espessura da pj2

liacutecula diminuindo assim o valor de h

26 - Consideraccedilotildees sobre os resultados obtidos com as foacutermushy

las de Nusselt

Nota-se experimentalmente que os resultados obtidos pelas

equaccedilotildees de Nusselt sao em geral 10 a 20 inferiores do que os reshy

sultados reais Assim a favor da seguranccedila elas sao usadas e aaacuteo_

tadas Os motivos das discrepacircncias jaacute-foram ditas atraacutes no item

25

Devemos notar ainda que o valor de h obtido pelas foacutermushy

las anteriores e o valor meacutedio jaacute que h varia de ponto para ponto

e seria difiacutecil obter uma equaccedilatildeo que nos desse o valor de h locaL

2bdquo7 - Condensaccedilatildeo por peliacutecula externamente a tubos ciliacutendrishy

cos horizontais

0 mesmo estudo de Nusselt pode ser aplicado neste caso

baseado na hipoacutetese de que no topo do tubo a peliacutecula do condensashy

do tenha espessura nula Chega-se a expressatildeo

g p 2 h D 3 14

NT _ = 0725 ( ) (5) NuD u k o At

Analogamente ao caso anterior as propriedades do liacutequido

sao tomadas a

t + t w sat

tm = ^

exceto h que eacute tomado a t

ev n sat

Na situaccedilatildeo atual da tecnologia e possiacutevel obtermos tubos

com diacircmetros suficientemente pequenos para que tenhamos escoamenshy

to do condensado soacute em regime laminar

22

No caso de vaacuterios tubos empilhados a formula (5) deve

ser modificada pois como dissemos ela soacute vale quando no topo do

tubo a espessura do liacutequido eacute nula o que nao acontece neste caso

(Vide figura a)

Vapor

Tubo

mdash Liacutequido

Fig a

Neste caso a forma que nos da o valor meacutedio para h e

g p 2 h D 3 14

NNuD deg gt 7 2 5 lt N u k V At gt

sendo N o numero de tubos empilhados

Note-se que neste caso o coeficiente h cai bastante Uma

boa soluccedilatildeo para o caso quando dispoacuteftos de lugar eacute dispor os tushy

bos defasados (Conforme figura b)

Liquido

Fig b

Neste arranjo podemos aplicar a equaccedilatildeo (5) pois no tp_

po de cada tubo a espessura da camada de condensado eacute nula

23

B - CONVECCcedilAtildeO COM MUDANCcedilA DE FASE - EVAPORACcedilAtildeO (II)

1 INTRODUCcedilAtildeO

Evaporaccedilatildeo consiste na obtenccedilatildeo de vapor por meio de aque

cimento de um liacutequido

Apesar da importacircncia do processo e do sucesso obtido na

praacutetica em projetos de evaporadores o fenocircmeno da evaporaccedilatildeo eacute

um dos pontos menos conhecidos da transmissatildeo de calor

0 primeiro estudo seacuterio sobre o assunto foi feito em 1934

pelo japonecircs Nukiyama poreacutem somente nos uacuteltimos 10 anos tais es-

tudos se intensificaram

Os primeiros pesquisadores quando estudavam o fenocircmeno

do resfriamento de um solido num liacutequido obtiveram as seguintes

curvas

onde

temperatura

velocidade de resfriamento

3 0 v = amdashbull

A 06

Q - fluxo teacutermico

8 - tempo

A - aacuterea do soacutelido

24

tempo

Ateacute os estudos de Nukiyama nao se conseguia explicar o

porque da variaccedilatildeo crescente da velocidade de resfriamento quando

t gt t sol sat

2 PROCESSO DE FORMACcedilAtildeO DAS BOLHAS

Como a evaporaccedilatildeo do liacutequido se faz sobre uma superfiacutecie

aquecedora sobre esta irao se formar bolhas de vapor que influem

decisivamente no fenocircmeno

Aqui soacute iremos estudar as bolhas sob o ponto de vista qua

litativo bem como a sua influencia mas nao sob o ponto de vista

quantitativo

Recentemente Fritz e Jacob WR Gambill e outros estudiacutei

ram o processo da formaccedilatildeo das bolhas sobre a superfiacutecie aquecedpound

ra Atraveacutes de fotografias verificaram que a bolha de vapor ain

da em contato com a parede variava profundamente de forma confo_r

me o angulo de contato entre liacutequido e parede metaacutelica

Assim eacute que se a superfiacutecie de aquecimento nao e excesshy

sivamente polida e a tensatildeo superficial do liacutequido eacute pequena a

bolha tem a forma da figura las diz-se nesse caso que o liquishy

do molha a parede neste caso o angulo de contato e agudobull Se

as condiccedilotildees contrarias se verificarem o acircngulo de contato sera

obtuso e as bolhas tomam a forma da figura ldegb Naturalmente ve

rificara-se as condiccedilotildees intermediaacuterias para o angulo de contato da

25

fig lc

Fig la Fig lb Fig lo

0 estudo analiacutetico da formaccedilatildeo e crescimento das bolhas

pode ser encontrado em diversos livros por exemplo no El-Wakill

(Nuclear Power) no Jakob (Heat Transfer)e outros Neles faz-se

o estudo das condiccedilotildees do liquido (pressatildeo temperatura tensotildees

etc) para haver ou nao formaccedilatildeo de bolha Isto eacute feito fazendo-se

o estudo das bolhas nas seguintes posiccedilotildees

a) bolha no seio do liacutequido

para meia bolha

4 ltP g - P fgt fg

onde

P g P f

- 4 D (D

g

Pf

D

pressatildeo do vapor

pressatildeo do liquido

tensatildeo entre superfiacutecie do liacutequido e vapor

diacircmetro da bolha

^f g

P f Fig 2

26

A equaccedilatildeo (1) mostra que a pressatildeo do vapor deve ser maior

que a do liquido nas condiccedilotildees de saturaccedilatildeo e este por sua vez

deve estar no estado de superaquecimento o

b) bolhas sobre superfiacutecie solida

Fig 3

Condiccedilotildees para desprender

a mdash o_ + o_ cos a gs fs fg

tensatildeo na interfase liacutequida e vapor (depende das

propriedades do liacutequido e vapor)

tensatildeo entre o liacutequido e superfiacutecie de aquecimen

to (depende das propriedades do liquido e da sushy

perfiacutecie)

tensatildeo entre o vapor e a superfiacutecie de aquecimeri

to (depende das propriedades do vapor e da super

fiacutecie)

21 - Formas do fluxo do vapor desde a superfiacutecie de aquecishy

mento ateacute a superfiacutecie livre do liacutequido

Considerando liacutequido vaporizado em tubos verticais pode^

mos ter 4 tipos de fluxo de vapor

1 - fluxo de bolhas

2 - fluxo de agregados (plug ou slug)

3 - fluxo anular

4 - fluxo disperso

Os quatro tipos ficam bem determinados respectivamente

onde

a fg

degfs

a gs

27

pelas 4 figuras abaixo

LIacutequido - Liacutequido Liacutequido

o

^Bocirclha de

vapor

Vapor

mdash [

- Vapor

mdash 0 0

deg_ a-

jrj-

iquestiexcl5

Bolhas Agregados Anular

Liacutequido

vapor

Disperso ou

Homogecircneo

Conforme o tipo de ebuliccedilatildeo podemos ter uma so das forshy

mas acima ou uma mistura

3 INCERTEZAS NO ESTUDO DA EVAPORACcedilAtildeO

Ha trecircs incertezas principais para determinar o fluxo de

calor na evaporaccedilatildeo a saber

- Aacuterea de contato indefinida

- Diferenccedila de temperatura indefinida

- Grau de turbulecircncia

Como realmente nos nao sabemos uma dependecircncia algeacutebri

ca entre o acircngulo de contato e a superfiacutecie ocupada pelo liacutequishy

do (ou vapor) temos uma incerteza na determinaccedilatildeo da aacuterea de tro

ca de calor (A)

Outra incerteza eacute a dificuldade da obtenccedilatildeo de diferenccedila

de temperatura entre o liacutequido e a parede que normalmente assume-

-se como sendo a diferenccedila entre a temperatura da parede e da ebu

liccedilatildeo do liacutequido (temperatura de saturaccedilatildeo = t )

S cl c

Na realidade a diferenccedila de temperaturas nao eacute aquela

pois a camada de liacutequido que cobre a superfiacutecie aquecedora esta

a uma pressatildeo maior que o resto do liacutequido (pressatildeo atmosfeacuterica

mais a hidrostaacutetica) e consequentemente a temperatura de vaporiza_

ccedilao desse liacutequido e maior que a da superfiacutecie Esta diferenccedila po-

28

deria ser calculada desde que se conhecesse a relaccedilatildeo entre presshy

satildeo e temperatura de saturaccedilatildeo do liacutequido entretanto haacute incerte

za quanto ao verdadeiro peso especiacutefico da coluna de liacutequidopois

trata-se de uma mistura de bolhas de vapor e de liacutequido em proshy

porccedilatildeo variaacutevelraquo

4 REGIMES DE EBULICcedilAtildeO

Nukiyama estudando a ebuliccedilatildeo da aacutegua num recipiente a

quecendo-a com resistencias eleacutetricas construiu a curva baacutesica da

ebuliccedilatildeo Todos os liacutequidos apresentam uma curva semelhante vashy

riando apenas os valoresraquo Os pontos caracteriacutesticos da curva deshy

pendem de caracteriacutesticas difiacuteceis de definirtais como natureza

do metal estado da superficie (rugosidade) dimensotildees orientashy

ccedilatildeo do fluxo quantidade de gases dissolvidos e t c

Estudaremos o fenocircmeno para o caso de aacutegua destiladasem

gas dissolvido a temperatura de saturaccedilatildeo 100 C pressatildeo atmosfe_

re uma superficie plana

Chega-se assim acirc curva

rica sobre uma superficie plana horizontal a temperatura t^

In ltJgt

At (degC)

A curva acima representa o aquecimento de agua com uma re_

sistecircncia eleacutetrica (ate ebuliccedilatildeo)raquo Temos em abcissas as diferenccedilas

de temperatura entre o liacutequido e a resistecircncia em ordenadas o flu

29

Regiatildeo I

Regiatildeo II

Regiatildeo III

Regiatildeo IV

xo de calor por unidade de area

Na curva notam-se 4 regiotildees bem definidas tendo cada uma

o seu significado fiacutesico os quais correspondem a um tipo de ebuli

ccedilao

convecccedilao natural

ebuliccedilatildeo nucleada

ebuliccedilatildeo por peliacutecula parcial

ebuliccedilatildeo por peliacutecula estaacutevel

41 - Convecccedilao natural

Ocorre quando At eacute inferior a 8degCformam-se no liacutequido

correntes convectivas as quais transferem o calor ateacute a superfiacuteshy

cie livre do liacutequido e aiacute desprendendo o vapor Neste caso o valor

de h eacute da ordem de 2000 kcalm^hdegC

42 - Ebuliccedilatildeo nucleada

Ocorre quando o At eacute maior que 8degC e menor que 25degC Nesshy

te caso as bolhas formam-se junto a superfiacutecie de aquecimento

crescem liberam-se movimentam-se em direccedilatildeo agrave superfiacutecie livre do

liacutequido onde estouram libertando o vapor As bolhas formam-se nas

irregularidades da parede tecircm um acircngulo de contato agudo e porshy

tanto hatilde liacutequido sempre em contado com a parede (molha a parede)

cada ponto ativo (lugar onde se formam as bolhas) libera uma porshy

ccedilatildeo de bolhas e os outros pontos do liacutequido ficam em contato com a

superfiacutecie quente violentamente agitados Esta agitaccedilatildeo extrema eacute

mais eficaz que uma turbulecircncia criada artificialmente Por esse mo

tivo a curva cresce violentamente nesse trecho (m = 3 a 7) pois

bull 2 o o valor de h cresce consideravelmente (ate 46000 kcalm hr C) e

o fluxo teacutermico transmitido ao liacutequido cresce proporcionalmente a

Quando cresce crescem tambeacutem

(At) 3

30

numero de bolhas por unidade de aacuterea (num instanshy

te)

~ = crescimento da bolha (com o tempo)

frequecircncia de iacuteormaccedilao de bolhas

A medida que o At vai aumentando iraacute aumentando (jgt tam-- n o N

bem e consequentemente mdash R mdash a a a tal ponto que quando atiacuteii

girmos o ponto da curva nao haveraacute mais formaccedilatildeo de bolhas

mas sim uma peliacutecula de vapor instaacutevel passando assim a 3a re

giao que estudaremos a seguir

43 - Ebuliccedilatildeo por peliacutecula parcial

Como dissemos no item anterior se aumentarmos ainda mais

o At (entre 25degC e 125degC) teremos a formaccedilatildeo de uma peliacutecula de

vapor instaacutevel sobre a superfiacutecie quente que aacutes vezes eacute perfurashy

da pelo liacutequido A camada de vapor tanto mais estaacutevel seraacute quanshy

to maior focircr o At Essa peliacutecula de vapor iraacute provocar um decreacutes_

cimo consideraacutevel no fluxo teacutermico porque como sabemos o vapor

eacute muito pior condutor que a aacuteguaraquo

0 fluxo vai decrescendo ateacute um ponto miacutenimo (iexclgt mintilde (as vecirc

iacutebo bullraquo 1

zes chega a ser mdashj-) e e o chamado ponto de Liedenfrost 0 coeshy

ficiente de peliacutecula neste caso cai violentamente (h = 2000

kcalm^hrdegC)

44 - Ebuliccedilatildeo por peliacutecula estaacutevel

Aumentando ainda mais a diferenccedila de temperaturas

At ( gt 125degC) iremos conseguir uma camada de vapor estaacutevel Ela

transmite calor da superfiacutecie quente ao liacutequido que se vaporiza de

modo que o excesso de vapor formado na interface liquido-vapor for

ma bolhas que sobem para a superfiacutecie 0 liacutequido encontra-se agi-

31

tado poreacutem nao toma contato com a superfiacutecie soacutelida

A peliacutecula de vapor eacute estaacutevel e o fluxo eacute proporcional a

34

(At) (lei de Bromley) Para At grandes passa a influir sensivel^

mente a radiaccedilatildeo teacutermica mais uma razatildeo para demonstrar que nesshy

ta regiatildeo o fluxo cresce novamente

5 CONSIDERACcedilOtildeES E COMPARACcedilAtildeO ENTRE OS TIPOS DE EVAPORACcedilAtildeO

BURNOUT

Sob o ponto de vista de eficiecircncia teacutermica deveriacuteamos sem

pre trabalhar no ponto de fluxo maacuteximo isto eacute no ponto correspon

dente a lt(gt da curva de Nukiyama pois eacute o que daacute maior coeficieri

te de peliacutecula

Acontece poreacutem que se impomos a temperatura da parede

fixa obtemos um uacutenico valor de lt(gt e portanto o fenocircmeno eacute estaacutevel

Poreacutem se como ocorre nos reatores impomos um fluxo teacuter

mico a curva de Nukiyama apresenta 3 pontos de funcionamento posshy

siacuteveis A B C

1

SOacute os pontos A e C sao funccedilotildees estaacuteveis mas eles impotildeem

acirc superfiacutecie quente temperaturas bem diferentes

Na industria em geral trabalha-se por questotildees de segushy

ranccedila na regiatildeo IV da curva poreacutem para os reatores trabalha-se na

32

r e g i atilde o I I

0 p r o b l e m a de t r a b a l h a r n a r e g i atilde o II eacute q u e se n oacute s e s t i shy

v e r m o s t r a b a l h a n d o n o p o n t o e x t r e m o (j) e se p o r q u a l q u e r m o t i v o

h o u v e r u m p e q u e n o a c r eacute s c i m o d e ltfgt i r e m o s t r a b a l h a r i m e d i a t a m e n t e no

p o n t o M q u e t e m o m e s m o $-^0t p o r eacute m c o m A t 2 m u i t a s v e z e s m a i o r

p o d e n d o o c a s i o n a r a f u s atilde o d a s u p e r f iacute c i e a q u e c e d o r a E s t e f e n ocirc m e n o

eacute c h a m a d o d e b u r n o u t

0 f l u x o lttgt eacute c h a m a d o f l u x o c r iacute t i c o o u f l u x o d e b u r -b o

n o u t N o c a s o do r e a t o r d e v e m s e r t o m a d a s m e d i d a s r i g o r o s a s q u a n

to agrave r e g u l a g e m do f l u x o t eacute r m i c o p a r a q u e n atilde o o c o r r a o b u r n o u t 1 1

p o i s d e l e p o d e r e s u l t a r r u p t u r a d a c a m i s a do c o m b u s t iacute v e l e h a v e shy

r aacute p o r t a n t o c o n t a t o do r e f r i g e r a n t e c o m o s s oacute l i d o s e g a s e s r a shy

d i o a t i v o s

5 o l - R e l a ccedil atilde o d e B u r n o u t

E c l a r o q u e p a r a t e r m o s u m r e a t o r m a i s e f i c i e n t e d e v e shy

m o s t r a b a l h a r c o m u m f l u x o o m a i s p r oacute x i m o p o s s iacute v e l do f l u x o d e

B u r n o u t P a r a t a n t o d e v e m o s c o n h e c e r c o m o m a i o r g r a u d e certe

za p o s s iacute v e l q u a l o ^ p a r a p o d e r m o s r e d u z i r o c o e f i c i e n t e d e s e shy

g u r a n ccedil a ( W R G a m b i l l r e c o m e n d a agrave 1 5 )

N o s s e m i n aacute r i o s d e W R G a m b i l l e n c o n t r a m o s u m a s eacute r i e de

b i b l i o g r a f i a s o n d e p o d e m o s e n c o n t r a r i n uacute m e r a s f oacute r m u l a s p r o p o s t a s

p a r a a o b t e n ccedil atilde o de (q 1^)

A t i t u l o d e e x e m p l o v e j a m o s a l g u m a s

q - 2 7 0 G deg gt 8 5 D 0 2 A085 p lt 150

deg D ( L uuml ) 2

q - 140 G 0 5 D ~ deg 2 (-~-)~deg 1 5 p ~ r gt 150 c D (LD)

o n d e a m b a s as e q u a ccedil otilde e s s oacute v a l e m p a r a aacute g u a e m b a i x a p r e s s atilde o e m coii

v e c ccedil a o f o r ccedil a d a

33

D

L

fluxo teacutermico critico BTUhrft bdquo 2

descarga em massa do liquido (Ibmhrft )

diacircmetro do tubo ft

comp do tubo ft

Para cada caso temos uma expressatildeo diferente que pode ser

encontrada em literatura especializada

6 INFLUEcircNCIA DE OUTROS PARAcircMETROS NO FLUXO DE BURNOUT

Como para os usos atuais do reator a diferenccedila de temppound

ratura entre parede e fluido sao pequenas bem como o fluxo de bur

nout recentemente fiacutesicos como Jakob Bonilla WR Gambill estu

daram outros paracircmetros que influenciam bastante o sect^ 0gt isto eacute a

influecircncia desses paracircmetros faz com que o ^ seja maior Isto eacute

util pois quanto maior o fluxo de burnout maior poderaacute ser o

fluxo de calor real de funcionamento

Tais meios sao

- Sub-resfriamenCcedilo do liacutequido

61 - Influecircncia da velocidade do liacutequido

Estudos feitos pelos autores acima chegaram agraves curvas

- Aumento da velocidade imposta ao liacutequido

- Pressatildeo do liacutequido elevada

alto V

At

34

Para velocidades maiores o fluxo de burnout aumenta

porque neste caso o regime eacute turbulento e o coeficiente de peliacute

cuia h aumentao

6bdquo2 - Influencia do aumento da pressatildeo

Este estudo deve-se a Bonilla que obteve experimentalmen

te as curvas

Este estudo foi feito para vaacuterios liacutequidos e chegou a con

clusao que sempre havia uma pressatildeo oacutetima isto e uma pressatildeo que

leva ao maior iacute 1 ^ raquo mantidas as demais condiccedilotildees Experimentalmenshy

te notou que essa pressatildeo correspondia a 13 da pressatildeo critica

do liquido em questatildeo

6=3 - Influecircncia do sub-resfriamento

Consiste em manter atilde custa de uma circulaccedilatildeo intensa o

liacutequido a uma temperatura inferior atilde de saturaccedilatildeo para a pressatildeo

correspondenteraquo Experimentalmente chega-se agraves curvas

mdash A t grande sub

bullAt -0 sub sub

medio

At

35

Verificando os graacuteficos vemos que o lt)gt aumenta agrave medida bo

que aumenta a diferenccedila de temperatura de sub-resf riamento isto pojr

que o liquido como estaacute mais frio faz com que algumas das bolhas

recondensem permitindo que o liquido fique em contato com a parede

quente o que faz aumentar o h

^ f csub = t e m P e r a t u r a ddeg liacutequido - temperatura de saturaccedilatildeo

A diferenccedila de temperatura At entre fluido e parede tamshy

beacutem aumenta poit na regiatildeo proacutexima agrave parede haacute necessidade de

levar o liacutequido da temperatura do sub-resfriamento ateacute a temperatu

ra de saturaccedilatildeo quando se evapora

Atualmente os maiores estudos dos fiacutesicos nucleares locashy

lizam-se neste campo pois eacute o que oferece maiores vantagens

7 FORMULAS PARA 0 CAacuteLCULO DO COEFICIENTE DE PELIacuteCULA NA EBULICcedilAtildeO

Como ocorre no caacutelculo de todas as foacutermulas de convecccedilatildeo

temos formulas empiacutericas para determinar o h conforme o tipo de

ebuliccedilatildeo que nos consideramos

71 - Ebuliccedilatildeo Nucleada

Para o caso de aacutegua temos as relaccedilotildees

superfiacutecies

horizontais

superfiacutecies

verticais

f aacute 5000 BTUhrft 2 -gtbull h = 151 ( A t ) 1 3

A o

5000 lt 75000 -h = 0618 (At)3

^ pound 1000 -raquobull h = 8 7 ( A t ) 1 7

A o -

1000 lt $ lt 20000 -gt h = 027 (At) A o

Quando a pressatildeo e diferente da atmosfeacuterica faz-se a correccedilatildeo

3 6

72 - Ebuliccedilatildeo por peliacutecula

Bromley propocircs uma boa equaccedilatildeo para a ebuliccedilatildeo por peliacuteshy

cula estaacutevel em cilindros horizontais

Nu

_ JtjD n r 9 P v bull ( P L - P v gt - g -h

e V bull D i2

D 1 ^ U b Z u At gt

onde

V = indica vapor

L = indica liacutequido

Multiplicando ambos os membros da equaccedilatildeo acima por

kvD obteremos a expressatildeo do coeficiente de convecccedilagraveo meacutedio para

o caso

37

C - FORMULAS PARA CAacuteLCULOS ESPECIacuteFICOS - RESULTADOS ESPECIacuteFICOS

1 FLUXO DE CALOR CRIacuteTICO - BURNOUT

lol - Introduccedilatildeo

O aspecto mais importante no que se refere agrave seguranccedila

dos reatores da transferencia de calor na ebuliccedilatildeo eacute a determina

ccedilatildeo do Fluxo de calor critico ou de pico ou burnout

Como jatilde vimos quando temos a ebuliccedilatildeo nucleada a dishy

ferenccedila de temperatura entre refrigerante e superfiacutecie de aqueci

mento e pequena poreacutem quando atingimos o fluxo de calor criacutetico

essa diferenccedila de temperatura pode tornar-se imediatamente muishy

to grande podendo causar a ruptura da superfiacutecie de aquecimento

se atiigirmos o ponto de fusatildeo do soacutelidoraquo

Usando a convecccedilao

onde

At sat

w

sat At

sub

w = temperatura da parede de aquecimento

t t = temperatura de saturaccedilatildeo do liacutequido

t^ = temperatura de mistura do liacutequido

At = (t -t ) sub-resfriamento do liacutequido sub N sat b 1

nout

Ha dois tipos de burnout fast burnout e slow bur-

Ocorre o fast burnout (burnout raacutepido) quando A t g u b gt 0

38

ou para baixo x (~ lt 10) sendo x o titulo do vapor

Temos o slow burnout para x - gt 10 Assim noacutes tereshy

mos dois limites para o burnout

At bull o (ltJgt ) t =((() para t = t ) -

bo m m possiacutevel w sat

sub i

4L + 1

G c D h pl nb

(ltK ) = (ltpound para x = 1) = Dv-bo max possiacutevel e 4L

c At l + P 1 sub i

onde

L = comprimento do canal

D = diacircmetro do tubo

G = descarga de liacutequido (por unidade de aacuterea)

c ^ = calor especiacutefico do liacutequido

Agrave = calor latente de vaporizaccedilatildeo

h ^ = coeficiente de transferecircncia de calor na regiatildeo de

nao ebuliccedilatildeo

iacutendices

i = entrada

e = saiacuteda

Haacute inuacutemeras expressotildees para determinaccedilatildeo do burnout pro

postas por muitos fisicos cada uma aplicando-se a um caso especiacuteshy

fico vejamos algumas delas

12 - Equaccedilotildees para prediccedilatildeo de Burnout

121 - Equaccedilatildeo de Bragg e Smith (Zuber)

Num artigo publicado por Bragg e Smith encontramos uma f oacute_r

mula que e derivada da formula de Kutateladze e nos daacute o fluxo cri

39

tico quando nao temos sufaresfriamento

bo poolsat v V raquoc a ( p l P V )

2 PV

14

onde

ltiexclgt = fluxo de calor critico bo

k = constante

Ly = calor latente de vaporizaccedilatildeo do refrigerante

= densidade do liquido

pvr = densidade do vapor V a = tensao superficial

g = fator de conversatildeo c

a = aceleraccedilatildeo da superficie de aquecimento

Os autores encontraram para k um valor de 062 entreten

to outros autores como Zuber incluindo outras variaacuteveis que In

fluiam no fenocircmeno encontraram k variando entre 008 e 023Esshy

tudos bem elaborados mostram que o valor mais aproximado eacute

k = 015 (- 003)

1-22 - Equaccedilatildeo de Noyes

Noyes estudou o burnout para o soacutedio agua e alguns liacute

quidos orgacircnicos

( W s a t ~ bdquo 0245 bull ( r ( 1 )

iiacute_ V 1 Pr

onde

N n = Nuacutemero de Prandtl da fase liacutequida x r

Mais tarde o proacuteprio Noyes alterou a equaccedilatildeo para

n ^ - n H Iacute I Pl PV gt0538 deg g c a q 4 ( W s a t deg 1 1 6 PV ( - p 7 ~ ) (77T1^ ) ( 2 )

40

A ultima correlaccedilatildeo proposta por Noyes foi

a n prPV0560 112

1

(a bull a) 13

(ag c) 112

(3)

onde

a = difusividade teacutermica do liacutequidoraquo A equaccedilatildeo (3) eacute bashy

seada em todos os dados de burnouts do soacutedio bem

como da atildegua benzeno difenil e outros De 111 pontos usados 90

+ estatildeo relacionados dentro de - 30bdquo

ldeg2o3 - Burnout com convecccedilao forccedilada e sub-resfriamen

to

Aproveitando os resultados de aproximadamente 240 testes

de burnouts com aacutegua sub-resfriada em fluxo de convecccedilao forccedilashy

da feitos na Ruacutessia Labuntsov elaborou uma boa equaccedilatildeo empiacuterica

para o problemabdquo

Esta relaccedilatildeo aplica-se para velocidades entre 2 3 e 148

ftsec pressotildees entre 1 e 201 atmabs sub-resfriamento entre 0 deg

e 432 degF e fluxos de burnout entre 0 4 x IO 6 x 166 x 1 0 6 BTUhr

2 bdquo

bullbo

onde

e a seguinte

6 ( P ) 1 + 0 2 3 2 V 2

14

e ( P ) 1 +

15 c At _p_ sub

12 (a)

9 ( P ) - P 1 3 o ( 1 - P J 4 3

red

= pressatildeo (atm abs)

pressatildeo reduzida = mdash mdash red r P

t_ c = pressatildeo critica

= velocidade do liacutequido (ftsec)

= calor especiacutefico do liacutequido (BTUlbdegF)

4 1

^ tsub = ^ ^ e r e n Ccedil a ^ e temperatura entre a temperatura de

mistura do liacutequido e a de saturaccedilatildeo (degF)

X = calor latente de vaporizaccedilatildeo (BTUlb) 2

ltiacutegtbo = fluxo de burnout (BTUhrfl )

Uma outra correlaccedilatildeo para o caso foi proposta por

Ornatsky e Xiohigin que fizeram experiecircncias para pressotildees entre

10 e 1 5 0 3xm 90 degF lt At ^ lt 4 5 0 deg F 3 7 1 0 6 ( l b h r o f t 2 ) lt G lt

2 2 2 10 b ( l b h r bdquo f t 2 )

lt ^ = 3 2 5 0 (G o A t bdquo J deg 6 ( - i - ^ ) 2 5 ( b ) bo sub

onde

G - descarga de refrigerante por unidade de aacuterea

P ^ v P v - densidades do liacutequido e do vapor

P1~ PV -0 termo (mdash ) e incluido na expressatildeo (b) para indicar

a influecircncia da ^ pressatildeo sobre o

Uma comparaccedilatildeo entre as equaccedilotildees (a) e (b) foi feita para

o Reator de Isoacutetopos de Alto Fluxo (HFIR) nas condiccedilotildees aacutegua a

600 psia velocidade = 45 ftsec e sub-resfriamento = At^^ 1

degF obtendo-se uma diferenccedila de 6 5 entre ambos (4gt = 6 0 5 1 0 b

2 ~ 6 2 BTUhr ft pela equaccedilatildeo (a) e 6 4 5 10 3TUhrraquoft pela equaccedilatildeo

(b)

Ilatilde ainda a equaccedilatildeo de Ivey e Morris aplicaacutevel somente pa_

ra ebuliccedilatildeo com grande quantidade de liacutequido

( c sub t

Cpf bull A tsub

( bull ) s ~ V P bdquo 10 h V sat V g

onde

(ltL ) = fluxo critico com sub-resfriamento c sub

(ograve ) ^ - fluxo critico sem sub-resfriamento c sat

42

c ^ = calor especiacutefico do liacutequido

= calor latente de vaporizaccedilatildeo

124 - Burnout com convecccedilao forccedilada e ebuliccedilatildeo por bocirc-

Ihas

Gambill fez uma extensatildeo da equaccedilatildeo de Levy e aplicou o

metqdo da superposiccedilatildeo Tal extensatildeo consiste natilde subtraccedilatildeo de uma

razatildeo equivalente de massa transferida dos termos que represenshy

tam a ebuliccedilatildeo e convecccedilao para levar em conta a presenccedila do vashy

por no fluxo

A correlaccedilatildeo pode ser escrita assim

24 V P V

o g c a (p^Py) 14

+ 0696 (k p c ) 12

(

pr p v )i4 o g c a (P-L-Py) 18

bull At + h sub nb

044 p v L v G (g1) bull N2 n

p l P V

( pr p v ) d e 2-7

2 4 TT 0

14 ( f e _ ^ r l 3

lO^u

onde

k = condutividade teacutermica

c = calor especiacutefico

A t s u b ~ s ub-resfriamento do liacutequido

h = coeficiente de transferecircncia de calor de nao ebu nb mdash

liccedilatildeo

G = descarga total do refrigerante

43

d g = diacircmetro equivalente do tubo ou canalraquo

]i = viscosidade

B = constante adimensional

Os iacutendices V e 1 representam vapor e liacutequido respectiva

mente

0 primeiro termo entre chaves da equaccedilatildeo representa o flu

xo de calor no burnout de sub-resfriamento em convecccedilao forccedilada 0

segundo termo entre chaves corresponde ao fluxo de calor transferi^

do para a massa da fase vapor

1-25 - Burnout por Bloqueio da Base

Ocorre quando a profundidade do recipiente eacute muito maior

que a largura 0 bloqueio da base eacute causado pela formaccedilatildeo de uma pe_

licula de vapor na base impedindo que o liacutequido toque o fundo do

recipiente

i De

Este eacute o burnout por flooding isto eacute burnout por expul

sao do liacutequido Uma equaccedilatildeo que nos dacirc o fluxo minimo do burnout

parao caso eacute

44

onde

D g = diacircmetro equivalente

L = comprimento do tubo

= calor de vaporizaccedilatildeo

p^Py Ap = densidade do liacutequido do vapor e diferenccedila en

tre ambos

Para um fluxo de calor maior ou igual ao dado pela expres_

sao acima (mantida a mesma geometria) teremos burnout Para um deshy

terminado fluxo existiratildeo sempre um comprimento L e um diacircmetro equi

valente D e para os quais temos burnout Exemplo

L (in) D e(in)

10 11

100 51

1000 235

2 RESULTADOS ESPECIacuteFICOS - FOacuteRMULAS PARA CAacuteLCULOS ESPECIacuteFICOS

21 - Diferenccedila de temperatura At i

13 a t

sat

At sat

poundatildeJL_ raquo t - t J p T T 6 w sat

onde

o laquo tensatildeo superficial entre liquido e vapor

t - temperatura de saturaccedilatildeo do liacutequido para a corres-Scl t

pondente pressatildeo

J equivalente mecacircnico do calor

X laquobull calor latente de vaporizaccedilatildeo

py = densidade do vapor

6 = espessura da camada de liacutequido superaquecido onde

45

k l

h nc

onde

k^ = condutividade teacutermica do liacutequido

h = coeficiente de peliacutecula nc r

Segundo Eckent h ^ c e dado por

P 2 Q

nc 3 V VP + 0952

r

onde

D = diacircmetro equivalente

G r = numero de Grashoff

P = nuacutemero de Pradtl

2 o 2 - Velocidade das bolhas

A velocidade das bolhas em meacutedia pode ser dada pela exshy

pressatildeo

V bdquo = Iacute ( a bull B Apl4 bolhas 5 ^ 2

p l onde

AP = P L - P v

Expressatildeo que vale quando a aceleraccedilatildeo eacute a da gravidade

baixa viscosidade do liacutequido e bolhas separadas

Vbolha = f t s e atilde m a x para aacutegua

2 bdquo3 - Diacircmetro das bolhas

2gc deg 12 D = 0015 3 ( mdash mdash 7 ~ ) d g Ap

5 =

46

onde

8 = acircngulo de contato (20 a 90deg) geralmente assume-O -1

-se igual a 50 para a agua em contato com metal

24 - Coeficiente de peliacutecula na ebuliccedilatildeo nucleada

a) Equaccedilatildeo de Rohsenow

Esta equaccedilatildeo nos datilde o fluxo de calor q na ebuliccedilatildeo nushy

cleadaraquo E oacutetima expressatildeo para muitos liacutequidos o efeito da presshy

satildeo eacute levado em conta na variaccedilatildeo das propriedadesraquo

Pf

fg

sat 17 = c

sg k y f h f g g( P f-p g)

n033

onae

Pf

fg

Pf Pg c sg

= fluxo de calor requerido (BTUhr0ft^)

= calor especiacutefico do liacutequido saturado (BTUlbm0F)

= calor latente de vaporizaccedilatildeo (BTULbm)

= nuacutemero de Prandtl

= viscosidade do liacutequido (lbrahrraquoft) ~ 8 2

= fator de conversatildeo 417 10 Ibmftlbflaquohr 2

= aceleraccedilatildeo da gravidade (fthr )

= tensatildeo superficial na interface liacutequida vapor

(lbfft) 3

densidade do liquido e vapor (lbmft )

constante adimensiacuteonal que depende de vaacuterios fashy

tores dentre os quais o grau de aquecimento en_

tre o fluido e a superfiacutecie de aquecimento e o

mais importanteraquo Independe da pressatildeo do sistema b) Equaccedilatildeo de Levy

Equaccedilatildeo valida para a aacutegua quando 100 lt p lt 2000 psiacutea

47

43 bdquo3

qu bdquo gat ^ T J h r t f t ^

495

25 - Calculo do fluxo de calor no Ponto de Leidenfrost

0 ponto de Leidenfrost como vimos eacute o ponto em que oflu

xo de calor comeccedila ncamente a crescer isto eacute o ponto onde termal

aa a ebuliccedilatildeo instaacutevel e comeccedila a ebuliccedilatildeo por peliacutecula estaacutevel Eacute

o chanado fluxo miacutenimo (egrave ) m m

Aproximadamente quando A t g u k = 0 temos

A _ mdash _ mdash (Gambill) m m 5

Ha entretanto varias expressotildees para determinar esse flu

xo eis uma delas

A p 14 ltjgt = 009 h pbdquo (o raquo g mdash ) y m m fg P V deg 2

p l

26 - caacutelculo do fluxo de calor na regiatildeo de ebuliccedilatildeo por peliacute

cuia estaacutevel

para cilindros jmdashi i li

_ D 0172 k-V - P V A p h l V bull S 14 li - = 062 (mdashmdash) (- j- r rmdash) convecccedilao A 0 ybdquo (t -t )

c V w sat

onde

= condutividade do vapor

- 2 TT ( mdash )

c gAp Vl = significam vapor e liacutequido respectivamente

para paredes verticais

L 0172 S deg7 A p bull hlV S q 4 h - - 080 (-^-)J- (-Iuml - Iacutemdash-convecccedilao X L u (t - t J)

c V w sat

48

Como nesta regiatildeo jaacute haacute nina influecircncia marcante da radia

ccedilao devemos levar en conta tambeacutem o coeficiente de peliacutecula de

vido a radiaccedilatildeo para determinar o coeficiente de peliacutecula total

Dos estudos atildea radiaccedilatildeo temos

h = a F pound(T 4 - T 4 J ( T ~ T ) rad w sat w sat

onde amp _ emissividade de superfiacutecie

a = constante de Stefan-Boltzman

F = fator de forma

Segundo WE Gambill o coeficiente de transmissatildeo total

ceve ser

3 iacutei = h + -7 h para h lt h t conv 4 rad r rad conv

Na expressatildeo acima existe o fator 34 porque a radiaccedilatildeo

faz variar um pouco a espessura do filme de vapor reduzindo asshy

sim o l l

conv

Quando tivermos h gt h gt o h^ ^ seraacute rad conv total

h f c = h + h t conv rad

Neste ultimo caso nao ha nenhum coeficiente porque a peshy

liacutecula de vapor jaacute eacute estaacutevel

27 - Grandezas caracteriacutesticas para a apua

Para pressatildeo igual a 1 atm = 1422 psia

At ^ = t - t = 5degC (iniacutecio da ebuliccedilatildeo nucleada) sat w sat 1

At t = 30degC sat crit

49

5 2 $ = 4 10 BTUhrft (para pressatildeo 1 atm)

0 fluxo critico cresce como vimos com a pressatildeo ate

atingir o maacuteximo quando a pressatildeo eacute aproximadamente 13 da pressatildeo

criacutetica Esse fluxo eacute

bull = 13 IO 6 BTUhrft 2 para p = 11000 psia (p pound = 32062 psia)

Ainda temos que para pressatildeo igual a 15 psia

h b o = 11000 BTUhrft degF - ebuliccedilatildeo nucleada

h f b = 30 BTUhrft 2 degF - ebuliccedilatildeo pelicular

Todos os resultados e formulas para caacutelculos especiacuteficos

apresentados nos itens 21 22 23 ateacute 27 sacirco aplicados somente

para sistemas onde haja ebuliccedilatildeo com grande quantidade de liquido

51

D - HIDRODINAcircMICA DOS SISTEMAS E QUEDA

DE PRESSAtildeO DENTRO DE UM CANAL

1 HIDRO-DINAcircMICA E QUEDA DE PRESSAtildeO

11 - Hidro-dinacircmica dos sistemas estaacuteveis

111 - Regimes de escoamento

A evoluccedilatildeo do escoamento ao longo de um canal aquecedor

de secccedilatildeo constante ciliacutendrico pode ser esquematizada pela figushy

ra 1 onde temos em abcissa o comprimento z do canal e em ordenada

a temperatura (T)

52

Na figura 1 nos representamos

a) 0 aspecto do escoamento fluido quando a entalpia do

- fluido aumenta Verificamos que o fluido entra no cashy

nal no estado liacutequido e assim permanece ateacute atingirmos a zona de

ebuliccedilatildeo local onde aparecem as primeiras bolhas A entalpia do

fluido continua aumentando e tem inicioa ebuliccedilatildeo franccedila onde as

bolhas se unem formando agregados posteriormente o escoamento to

ma a forma da figura ou seja torna-se anular disperso Finalmente

atingimos duas uacuteltimas fases do escoamento disperso (vapor uacutemido)

e vapor seco

b) A evoluccedilatildeo da temperatura meacutedia do fluido e da tempeshy

ratura da parede Note-se que a partir da cota a

temperatura da parede aumenta brutalmente podendo causar o

burnout

c) A evoluccedilatildeo do tiacutetulo do vapor (x) com o comprimento

do tubo e a evoluccedilatildeo da fraccedilatildeo (a) que definiremos no

item 11laquo2 com o comprimento do tubo

112 - Definiccedilotildees

a) Tiacutetulo ou qualidade do vapor (x)

massa de vapor na mistura x ~ massa total da mistura

x =

W _g_

g f

b) Fraccedilatildeo vazio (void fraction)

volume do vapor na mistura a = volume total da mistura (agua+vapor)

A relaccedilatildeo entre x e a num sistema parado pode ser obtida

assumindo um certo volume contendo 1 lbm de mistura em equiliacutebrio

teacutermicoraquo

53

O volume da mistura seraacute igual a (v + xv ) ft onde v eacute 3 r rg

o volume especifico (lbmft )

f - refere-se ao liquido

g - refere-se ao vapor

fg - refere-se a diferenccedila entre liacutequido e vapor

Numa mistura em equiliacutebrio se o liacutequido e o vapor estatildeo

saturados o volume do vapor presente eacute igual acirc sua massa vezes

seu volume especiacutefico v assim e

xv bdquo bdquo a mdash

V c + XV c

f gf

onde

- bull-bull uumlutiacuteisa vapor na mistura de 1 Ibm

v volume especiacutefico do liacutequido

v = volume especiacutefico do vapor o

V c = v - V

gf 8 r

Fazendo uma transformaccedilatildeo na expressatildeo acima temos

xv xv JS = Z-

v r+ x(v -v c) xv +(l-x)v t ri f g f g f 1 + Ul-x)xjv fv

1 + C(l-x)x]]vfvg

A fraccedilatildeo vazia tem a influencia de baixar a reatividade

do nuacutecleo nos reatores em que o refrigerante eacute tambeacutem moderador

Na equaccedilatildeo acima os valores de x e v sao tomados em tabe

las termodinacircmicas apropriadas para a pressatildeo do sistema A equashy

ccedilatildeo (1) mostra os grandes valores de a para pequenos valores de x

especialmente para baixas pressotildees Isto ocorre porqueaumentando

54

aacute pressatildeo o v decresce muito enquanto que o v f eacute mais ou menos da

mesma ordem de grandeza

Exemplo Calcular o a correspondente para x raquo 2 para aacutegua

leve atilde pressatildeo atmosfeacuterica

Da tabela para p laquobull 1 atm

v - 001672 ft 3lbm e v - 26800 ft 3lbm

1 + [(1-002)002] 001672268

0971 ou 97U

O grafico abaixo mostra a variaccedilatildeo do a com x para vaacuterias

pressotildees e para a aacutegua leve

x ()

tObservaccedilotildees da curva

Fig 2

1 - para x constante a decresce com a pressatildeo Para presshy

sotildees proacuteximas da criacutetica a aproxima-se rapidamente de

x Para a pressatildeo criacutetica as duas fases satildeo indistinguiacuteveis ea=x

2 - para cada pressatildeo dotdx decresce com aumento de x

3 - para baixos valores de x (que e o caso dos reatores

tipo Boiling) quando p decresce dadx cresce e torr

na-se muito grande paacutera baixas pressotildees Isto tem relaccedilatildeo com a epound

55

tabilidade do reator como veremos mais tarde

113 - Sistemas com fluxo

Todas as definiccedilotildees que noacutes vimos no item anterior refeshy

rem-se acirc sistemas em que a mistura esta fechada no recipiente Nes^

te caso natildeo havia movimento relativo entre as duas fases No entan

to se as duas fases da mistura se movem na direccedilatildeo vertical em

canais entre os elementos combustiacuteveis o vapor por causa de sua

flutuaccedilatildeo tem a tendecircncia de escorregar sobre o liacutequido isto e

move-se com velocidade maior do que a do liacutequido

Real Modelo

Pig 3

S -

Define-se neste caso a relaccedilatildeo de escorregamento (slip

ratio) (S) como sendo

V _i

V f

onde

V = velocidade do vapor

= velocidade do liquido

S modifica as relaccedilotildees entre a e x do item anterior S geralmen_

te gt 1 Define-se neste caso qualidade do vapor ou tiacutetulo como

sendo

_ fluxo de massa de vapor

fluxo de massa da mistura

Entatildeo se o fluxo de massa da mistura eacute m t(lbmhr) o flushy

xo de vapor seraacute = x m e o fluxo de liacutequido sera (1-x) m onde x

56

e o titulo do vapor para a particular secccedilatildeo (AL) da figura (3)

Devemos notar que neste caso x varia de secccedilatildeo para secshy

ccedilatildeo do tubo o exposto no paraacutegrafo acima vale considerando-se que

x e a permaneceram constantes na secccedilatildeo de espessura AL

Aplicando a equaccedilatildeo da continuidade as velocidades do va

por e liacutequido sao dadas por

o xm v

V vazatildeo = g g area A

V

(1-x) amp t v f

f A f

onde A e A f sao as aacutereas medias perpendiculares ao fluxo se as

duas fases sao imaginadas completamente separadas uma da outra

(figura 3) Assim temos

V x m v o A_ A v 0 ^ - 2 = iacute S t m _2L- JL JS m

V A (l-x)ui v 1-x A v U

f g t f g f

Sabemos ainda que para a secccedilatildeo considerada

volume do vapor na mistura a = volume total da mistura (agua+vapor)

A AL A pound g g

a = mdash a a = - mdash 1

(A+A )AL A f + g

A ou f _ 1 - a

A a 8

Substituindo em (2) vem

57

Esta expressatildeo pode ser rearranjada e obteremos uma relashy

ccedilatildeo entre x e a levando em conta o escorregamento Chega-se a

a = 1 ( 3 )

1+ [U-x)x3 igt

onde

v 4 laquo -- S

v lty o

Note-se que quando S=l (nao haacute escorregamento) caimos na

expressatildeo dada no item anterior

0 efeito do escorregamento eacute decrescer o valor de a pa_

ra um mesmo xbdquo Isto pode ser visto pela foacutermula (3) pois S gt lLo

go a decresce com acreacutescimo de S

Um alto S e entatildeo uma vantagem tanto para a transferecircnshy

cia de calor como para efeitos de moderaccedilatildeo Eacute uma vantagem para

transferecircncia de calor porque alto S significa alto V e portanto

maior turbulecircncia e maior contato do liquido com as paredes quenshy

tes Ha tambeacutem melhorias na estabilidade da reaccedilatildeo nuclear isto

porque como jaacute dissemos quando mdash7 diminui a estabilidade aumenshy

ta isso pode ser verificado observando a curva a versus x para a

agua leve a 1000 psiabdquo

Fig 4

58

A relaccedilatildeo entre x e a da equaccedilatildeo (3) so vale para secccedilatildeo

de tubo bem pequena

Devemos notar que S varia tambeacutem com a pressatildeo e velocida^

de de entrada do liacutequido no tubo Este efeito pode ser observado na

figura 5 abaxxo obtida esperimentalmente

s

3

~^ ~ psig

x = 001

V 1

Fig 5

Nos projetos de reatores como veremos adiante o valor a

geralmente eacute determinado por consideraccedilotildees nucleares (moderaccedilatildeo) 0

valor de S eacute determinado atraveacutes de uma estimativa ou entatildeo atrashy

veacutes de um graacutefico do tipo da figura 5 0 correspondente valor de x

pode ser obtido de uma foacutermula empiacuterica do tipo

1 = 1 (-S)0gt67

proposta por Von Glahn

Em muitos casos assume-se S constante em todo o comprimeiv

to do canal poreacutem eacute um erro que em muitos casos nao pode ser coshy

metido

4 REATORES EM QUE 0 LIacuteQUIDO B MODERADOR E CIRCUITO PRIMAacuteRIO AO

MESMO TEMPO BOILING-REACTOR (BWR)

A aacutegua ao se movimentar atraveacutes dos vaacuterios canais do

59

Boiling-reactor encontra vaacuterias resistecircncias ao fluxo que provoshy

cam uma reduccedilatildeo de pressatildeo no fluido

As duas perdas mais importantes sao perda de pressatildeo por

atrito e perda de pressatildeo causada pela aceleraccedilatildeo do refrigerante

ao aumentar de volume por receber calor num canal Outras perdas

de pressatildeo seriam a obstruccedilatildeo ao fluxo por corpos submersos (espa_

ccediladores juntas de tubos chaves etc) e por mudanccedilas abruptas de

aacuterea de fluxo tanto na entrada como na saiacuteda do tubo

Essas perdas de pressatildeo devem ser conhecidas o melhor popound

sivel principalmente nos reatores BWR Para tanto devemos saber

o comprimento de canal em que nao ha a ebuliccedilatildeo isto eacute qual o com

primento de canal em que o refrigerante vai da temperatura de sub-

resfriamento ate temperatura de saturaccedilatildeo

Seja o elemento combustiacutevel

Aquecimento Uniforme Aquecimento Senoidal

Fig 6 Fig 7

onde

H =

H = o

H b

comprimento do elemento combustiacutevel

cota onde o liquido se torna saturado

comprimento do elemento combustiacutevel em que ocorre

ebuliccedilatildeo

60

qg = calor sensiacutevel acrescentado ao liquido para satushy

raacute-lo

qfc = calor total acrescentado ao liacutequido em todo o com

primento do canal

laquoo

q s J o qiquest sen (IIzH) n H o

T~ = TH = 2 ( 1 c o s gt ( a )

q 1 sen (HzH) Jo ^c

A expressatildeo (a) vale quando tivermos uma adiccedilatildeo de calor

senoidal para qualquer outra forma de adiccedilatildeo de calor faz-se um

caacutelculo anaacutelogo

Outra relaccedilatildeo entre q g e qfc eacute dada pela termodinacircmica

q h- - h s f m (b)

(hr +x h )-hm ^t f e fg

onde

= entalpia para o liquido saturado a pressatildeo correjs

pondente (cota z = Ho)

hffi = entalpia do liacutequido na entrada do canal

x = tiacutetulo do vapor na saiacuteda

= entalpia do vapor

Com a relaccedilatildeo (b) noacutes determinamos a relaccedilatildeo q q ecom

S L

uma relaccedilatildeo do tipo (a) (conforme seja o adicionamento de calor ao

liacutequido) podemos obter a relaccedilatildeo HoH e consequentemente H^H

21 - Perda de pressatildeo num canal de evaporaccedilatildeo

Neste item iremos determinar as perdas de pressatildeo mais

representativas que ocorrem num canal de evaporaccedilatildeo de um reator

P + dP

bull1 i- 1 gti i i

dL

onde

UM

Icirc H Icirc Icirc T dF f t f

61

Quantidade de Mov na Entrada

= i- rigVg)

dF f l

Fig 8

m i

m 8

V l V 8

A P

dF

dF

dF

fg

fl

ftf

descarga do liacutequido

descarga do vapor

velocidade do liquido

velocidade do vapor

aacuterea transversal do canal

forccedila de atrito do vapor com parede

forccedila de atrito do liacutequido com parede

forccedila de atrito das duas fases liacutequido+vapor

Fazendo o balanccedilo das forccedilas considerando o sentido posjL

tivo na vertical temos

A (P-P-dP)-(dF +dF _+dF _)-(-pound-) (p A+p A )dL = mdash dGnV+m V ) P fg ftf fl g c 1 1 g g g c

v 1 1 g g 7

- dP = ~ (dF +dF--+dF)+- S--7=- (p A+p A )dL+ mdash ~ - d (m-V+m V ) A_ fg ftf fl g c Ap v^l 1 g g g A 11 g g

Fazendo a integraccedilatildeo termo a termo entre os dois extreshy

mos entrada e saiacuteda e considerando a pressatildeo de entrada igual a

P q e a de saiacuteda igual a Pe vem

Quantidade de Mov na Saiacuteda

-= h I- lY l+ A g V g + d ( aacute l V l + aacuteeVl

Forccedila de Gravidade

= ( g f - N P A + P g V

62

b) r e F f l

o p dp^ = Ap^ = perda de pressatildeo por atrito

do liacutequido na altura Ho

Aplicando a formula de Darcy vem

bull API = f bull ir bull ^ iexcl 7

onde

f = fator de atrito

c) e Fftf

o p ^P tpound

= perda de pressao por atrito da mistura

liquido + vapor no trecho de comprimen

to Hbdquo o

Para determinar esta perda de pressao define-se o fator

de multiplicaccedilatildeo R

A P R =

tf A P 1B

Sendo A p ^ a perda de pressao se o comprimento todo fosshy

se ocupado somente pelo liquido assim

A p t f = R A P 1 B

0 calculo de Ap-^ pode ser feito pela formula de Darcy e

o de R nos veremos no item seguinte

63

d)

-e F

d ( ^ )

O P

Ap = perda de pressatildeo por atrito do vapor

No caso do reator BWR o titulo de saida e bera pequeno e

em nenhum caso ocorre a saida de vapor com x = 100 logo a perda

de pressatildeo por atrito do vapor eacute nula assim

An = 0 5

e) Ap

(p A 1 + p A ) dL = Ap - perda de pressatildeo dpound

vida ao desniacutevel

(perda hidrostaacutetica)

Anbdquo = re A A

-S- I (p + p -S ) dL H s 1 A

c o p o A

como A A Jl_ =

A P

A +A-g 1

1-a -

temos

C Q

te j jll-a)p1 + apg)^jdL = p Lo pound

onde

e jo u

+ ap ) ~I dL (Densidade media 1 S J

no tubo)

No nosso caso

Ap u = p H

f)

re d(mV + m V ) _ mdash - laquo -i bull s iquestp laquos p e r d a ltje pressatildeo devido a acele-

c p raccedilatildeo do vapor

V A

(1-x) tl^Vj

(1-a) A

X V

aA

A p -

roV + m V

c p c p L_

m (l-x)m_v m xv nbdquo -1 T 1

+ _S S I (1-a) Ap aA

P

2 g A c p

n 2 2

(1-x) m T

laquo2 8 A c p

2 2 (l-xe) raTv1

2 2 2 xm_v (1-x) m-v e T s o 1 1

a 1 - a

2 2 - x m_v o T g

a

se

X Q 0 (so ha agua nesse trecho)

a = 0 o

temos

mbdquo Ap =

1 a A 2

S A degc p laquo-

tt-V v i 1 - a

2 via T^r - v i

t Apc

2

V v l

5c Ap

1 - a

x v - 1

a e v l

65

Fazendo

G = fluxo total da massa por unidade de area do

canal

(1-x J e

V

AP r

Assim a perda de pressatildeo total sera

H p V II pV r2 P -P = f -24-Iuml+ f R+p 0 1 2g c D e 2g c g c g c

2c2 - Determinaccedilatildeo do fator de multiplicaccedilatildeo (R)

221 - Relaccedilatildeo Martinelli-Nelson

Os autores Martinelli-Nelson determinaram experimental -

te esse fator R para varias LIT1L em funccedilatildeo da pressatildeo e da r NB total J v

qualidade de saiacuteda do vapor no canal Construiacuteram assim vaacuterias

curvas do tipo da figura 9

66

E importante notar que a qualidade do vapor (x) na saiacuteshy

da nao deve ser grande pois como vemos o valor de R cresce muishy

to com um aumento pequeno de x e um valor de R muito grande acar_

reta uma perda de pressatildeo grande pois

^ d u a s fases R ^ f a s e liacutequida

Para resolvermos um problema seguindo o criteacuterio de bdquo

Martinelli escolhemos a curva R = f(px) (para a relaccedilatildeo L

N g ^ j

adequado) e tiramos R com os valores de pressatildeo p e tiacutetulo x

As curvas R = f (p x L T t )IO encontram-se nos ANL 6469 bio I

e 6561

222 - Relaccedilatildeo Lottes-Flinn

Estes autores estudaram o problema para o aquecimento uni

forme do refrigerante com baixo titule Lottes-Flinn fizeram inuacuteshy

meras experiecircncias e verificaram que para fluxo de calor uniforshy

me e baixos titulos R era independente do fluxo de calor fluxo

do refrigerante escorregamento e apenas funccedilatildeo de a g

Como a quantidade de liacutequido eacute muito maior que a de vashy

por a perda de pressatildeo daacute-se principalmente pelo atrito do liacuteshy

quido com a parede Podemos assim escrever a foacutermula de Darcy

na forma diferencial

dz

d = f __ r e amp c

onde

V = velocidade do liquido saturado na cota zbdquo X

f = coeficiente atrito

= densidade do liacutequido saturado

Teoricamente a queda de pressatildeo deve-se ao acreacutescimo de

67

velocidade do liacutequido e da diminuiccedilatildeo da aacuterea de fluxo do liacutequi

do

P fH A P t p

= f D 2g Ho

d z

fazendo

V lo

m V t lo

(velocidade do liacutequido na cota z = Ho)

(1-x) m t v 1

(1-a) A (velocidade do liacutequido na cota z gt Ho)

a bull+ fraccedilatildeo vazio na cota z geneacuterica

V 1 (1-x) m t v 1

m t V l 1 - a

x =s 0 pois o tiacutetulo eacute baixo

A p t f = f bull JT5 c e

fH V lo

H o (1-a) dz

Para fazer a integral devemos achar a relaccedilatildeo de variaccedilatildeo

entre a e z Como o fluxo de calor eacute uniforme a qualidade eacute direshy

tamente proporcional a z

bull laquo x = x e H

z = mdash x X e

Sabemos ainda que (item 113)

x

1 + [ ( I -X)AKQ x + iiacuteraquo

68

como

temos

(1-x) = 1

v

X =

z =

1-a

1 -a

1-a e

a

e

1-a pound

a

1 -a igt (assumindo S = cte)

da

Atf - f bull 2 i ^ ~ J c e o

a 1 - a e e 1 s 4 hmdash) da

a 1-a

f P lv^ Q

0 termo mdash - mdash e a parte de perda de pressatildeo pelo lj^

^c e -quido ou seja Ap liquido saturado e como

Ap

R = tf

Ap liauido saturado

temos que

R J

f ae 1 _ a e 1 4

a 1 -a o e

1 -a r-R =

3 1 -a

a 1 -a imdash

3 vl - a 3

e e

Os valores de R obtidos por esta expressatildeo aproximam-se

muito dos valores obtidos pelos aacutebacos de Martinelli

69

E - EXPANSAtildeO E COMPRESSAtildeO DE UM FLUIDO - ANAacuteLISE HIDRODINAcircMICA

DE UM CIRCUITO EM CIRCULACcedilAtildeO NATURAL

1 EXPANSAtildeO NO FLUXO DE UM FLUIDO

11 - Uma so fase

Figura 1

Ha vaacuterios meacutetodos para determinar a variaccedilatildeo de pressatildeo

numa expansatildeo de fluido estudaremos o de Romie que eacute o que daacute

maior precisatildeo

Romie considera que a pressatildeo p^ tambeacutem atua na aacuterea

imediatamente apos a expansatildeo Assim fazendo o equiliacutebrio das foi

ccedilas nas secccedilotildees tracejadas da figura 1 temos

mVj

p r A 2 + mdash

mV

bull 2- A2

mas

m = pV^A^

pV^A = p V 2 bdquo A 2

V A

v 2 -4r-logo

( P l-P 2) A 2 = f ( V ^ ) - f _ v j amp c c 2

70

2 pV A A pV A A

Chamando A l A ]

K = 1 - T e degi2 = Aiexcl bull V E M

pvj

P l P 2 = T ~ bull ( 2 deg 1 2 ) ( 1 _ a 1 2 )

Outra maneira de chegar atilde diferenccedila de pressatildeo ( P j - ^ ) s mdash

ria usar o coeficiente de perda da mecacircnica dos fluidos Assim o

equilibrio das pressotildees eacute

2 2

1 V l 1 V 2 V l P i + _ p _ ^ P 2 + I p ~ + k 1 2 p mdash

onde = coeficiente de perda

A 2 1 2

k 1 2 - (l-o 1 2) - (1 - j- )

Fazendo as transformaccedilotildees chegamos a mesma expressatildeo obshy

tida pelo balanccedilo das forccedilas

PraquoIacute pr p

2 - - ir ^ laquo-ia

12 - Duas fases

Como ha duas fases a equaccedilatildeo do balanccedilo das forccedilas fica

um pouco alterada

m pound 1 V- m - raquoV - m-V- m bdquoV _ P A + j y ^ i + _gl_JUuml P A + -11-11 + -ilsl (a)

1 2 e R 2 2 ff e

Sabendo que

71

m (1-x) m t = p fA (1-a) V f

entatildeo

fl l-o^ p fA x

6 Vf2 1-x l-a2 P fA 2

m V = mdash mdash e V 0 = gl a 1 P C T A 1 g2

m

a_ p h

2 g 2

Nas expressotildees anteriores o x nao varia porque a expansatildeo

5 adiabaacutetica porem o a varia devido a modificaccedilatildeo do tamanho da

bolha

Substituindo os valores das velocidades na expressatildeo (a)

vera

( P - P ) Abdquo =

2

2 2 m gt2 2 m t (1-x) 1 x t

ra i 2 m i 1 x t 1

p fA 1 g c ttl p Ax gpound

m t P - P = mdash

(1-x) (l-a 1)A 1A 2 (l-a2)A|

a r A r A 2

V A 2

m t P bdquo - P = mdash 2 1 g c A r A 2 p f

(1-x) 1-a f A 2(l-a 2)

bull ^ 2

72

Se

P -P

a

m

g

12

1 _1_ (1-x)

J12

1 _ a l 1 - a 2 + X (- )

Pg

1 deg12 a 2 ^

Sabemos que

mt = V o pf laquo A l

Sendo V q = velocidade do liquido num ponto onde natildeo haja vapor

P 2-P 1

u 2 2 A 2

V pr Ai

V W p f

(1-x) 12

l-a1 l-a2

+ X 2 pf

mdash

l deg12

-1 a 2 _

p -p r 2 Al (2a 1 2)

2 M f w 1 deg12 X (mdash) (

pg al a 2 )+(l-x)C l 1 12

1-a^ l-a2

Devemos notar que esta expressatildeo tambeacutem vale para quando

temos uma fase para isso basta fazer

= c t 2 = 0

X = 0

e recairemos na formula do item anterior

2 pf 1 deg12 Observemos que neste caso o termo x (mdash)( ) nao

Pg al a2

2

73

tem significado pois corresponde a mudanccedila de fase

2 CONTRACcedilAtildeO KO FLUXO DE UM FLUIDO

21 - Uma so fase raquo mdash

Aqui ocorre um fenocircmeno importante pois o fluido ao ser

contraiacutedo nao vai diretamente da area A^ para a area A 0 mas ele

contral-se ate uma area A^ e depois expande-se ate k^

Ao A2

Po IP 2

V 2

Figura 2

Fazendo o equiliacutebrio das pressotildees entre os planos (1)

(0) vem 2 2

pV pV p +~ plusmn - P + i deg bull 1 2 g o 2 g (b)

C x

Fazendo equiliacutebrio da expansatildeo (0) - (2) vem

P o + 2 - f = P 2 + 2 -T + kp- 2 F ( c )

c c b C

Subtraindo (b) - (c)

2 2 2

i p- vj i p- v2 L P l + 2 bull g c

P 2 + 2 2g c

+ k P 2g c

74

Como

P - P = mdash 2 2g

2 2

bull (1 + k) - f bdquo mdash i

k a - f2 ) 2 - d - o c )2

= o

A = a 21

Weisback obteve varias relaccedilotildees entre a e a i] c

01 02 03 a 0624 0632 0643 c

0624 0632

A r v i - V v 2

p -p 1 2

P -P 1 2 2g7

v l =

(1+k) - laquofi- a 2g 21 c

( 1 + k - o 2 1)

X[- V 2 o 2 1V 2

22 - Duas fases

0 valor de k pode ser aproximado para

k = a(l - o 2 1)

onde segundo Richardsons para fluxo de duas fases podemos supor

a = 02

Para fluxo homogeacuteneo sabemos que

75

p = p f (1 -a ) + p o a

podemos supor p bdquo a = 0 pois p e pequeno e fazendo

V = V ~ V fbdquo2 go2 v 2

Substituindo estas duas expressotildees na equaccedilatildeo de uma soacute fase vem

2 2 p V (l-ct) p V (1 -a ) bdquo

P l P 2 = 9g ( 1 + 3 - 3 0 ^ - 0 ^ ) = g (a+1) (l-a^)

Se a = 02

2 12p oV 0

p r p

2 - 9g gt d-) d-sigt

A compressatildeo de um fluido acarreta uma perda de pressatildeo

como pode ser verificado pelas formulas uma vez que lt 1deg

3 ANALISE HIDRODINAcircMICA DE UM CIRCUITO EM CIRCULACcedilAtildeO NATURAL

Esquema deacute uma caldeira com circulaccedilatildeo natural

76

Determinar a velocidade em (7) para que tenhamos circula

ccedilatildeo natural Determinar tambeacutem as perdas de pressatildeo em todos os

trechos da caldeira

31 - Contraccedilatildeo das secccedilotildees (1) - (2)

Como jaacute vimos a equaccedilatildeo do balanccedilo das pressotildees eacute

1 pr Vl 1 p 2 o V 2 P2 V2

1 2 g 2 + 2 g + K12 2g otilde c amp c e c

bullraquo 2 o2 2 e havendo uma soacute fase k 1 9 = (l-o ) = (1 mdash ) e sendo

C 2

p l = p2

v x lt lt lt v 2

P 2 V pr p2 bull ir2 bull ( 1 + k12gt

Colocando em termos de temos

A 2 V 2 P 2 = A 7 V 7 p 7 (continuidade)

V = V mdashbull = V o_bdquo ~ A 2 2 2

P 2 V - p 2

p r p 2 = ir2 - deg72 bull Ccedilrgt bull lt 1 + ki2gt

fazendo

N12 - lt^gt deg72 ( 1 + k12gt

P7 V7

Pr P2 - N12 bull HG

77

3 2 - Perda de carga no trecho ( 2 ) - ( 3 )

Como haacute apenas uma fase soacute temos perdas por atritos e

perdas hidrostaacuteticas

Sendo como jaacute vimos

2 3 p 2 2 g P 2 P 3 = f 2 3 (r~2g^~) L 2 3 g c p

atrito hidrostaacutetica

Substituindo V^ pela relaccedilatildeo do item anterior e tendo em

conta que p = vem

P -P = f 2 r 3 2 3 D

2 3 p 2 bdquo 2 2 p 7 2

2 g 7 72 p 2 3 g

Se

L 2 3 2 p 7

2 3 2 3 D 2 a 7 2 p 2

P 7 V 7 g P 2 - P 3 = N 2 3 ( mdash gt p 2 L 2 3 f

3 3 - Expansatildeo nas secccedilotildees ( 3 ) - ( 4 )

Como vimos o balanccedilo das pressotildees e

2 2 2 p V p 4 V p V

P 3 + 2 g c

P 4 + 2 g c

+ k 3 4 2 g c

onde

k 3 4 - - -

2 2 1 P 4 - V 4 P 3 v 3

P 3 P 4 = 2 g + ( k 3 4 _ 1 ) 2 g

78

Sendo

P 3 - P 4

p 3 o A 3 deg V 3 = P 7

a A 7 o V 7

P 4A 4 0V 4 = P r A r V

3 7 A 3 p 3

A7 P7 V = v mdash mdash 4 7 P 4

P - P 3 r4

Se

P bdquo - P

bdquo2 r-P 7 V 7

3 4 2g deg74 + ( k 3 4 1 ) deg73

34 p deg74 + ( k 3 4 1 ) 73

p r v2

P3- P4 ^ N34 ^ gt

(No caso e negativo)

34 - Contraccedilatildeo nas secccedilotildees (5) - (6)

Ainda temos uma so fase e fazendo o balanccedilo das pressotildees

como fizemos no item 3lt1 vem

P + vil p + vi + k vi P 5 + 2gbdquo P6 + 2gbdquo + k56 2gbdquo

k 5 6 lt 1 ^ gt 2 ( 1 - Iacute 2 i 2 6

V V6 P5degIacute 5^6 ^SS 2g c - 2g c

P - P ^ = (1+kJ

Como

79

A 6

W p 5 =

VV P6 V 5 = V 6 Jiexcl = Vff65

P 5-P 6 - lt H k 5 6 ) mdash ^ mdash (l+k 5 6-a 6 5) c c c

Sendo

Se

A 7 p 7 p 7

6 7 Ag p 6 7 76 p 6

p _p _ P6- V7- g76 iquest72 ( _ 02 P 5 P 6 2g c bull ( p 6

( 1 + k 5 6 deg65 )

p 7 2 2 N56 = p ^ deg76 ( 1 + k 5 6 ~ a 6 5 )

P 7 V 2

7

P r-P = N r 5 6 56 2g c i

35 - Perdas de pressatildeo nas zonas (6) - (7) - Pre^aquecimento

Nesta regiatildeo temos perdas por atrito e hidrostaacuteticas

Nao haacute perda por aceleraccedilatildeo pois ainda natildeo houve formaccedilatildeo de boshy

lhas

Fazendo balanccedilo das pressotildees temos

L_ ppound-V p = p + otilde L - pound _ + f -Si (-21mdashL 6 7 + p67 L67 g + t 6 7 D K 2g

p _ e ifn sao tomados como valores meacutedios 67 67

P _p _ f hl ^67jIacute uuml + - L A

6 F 7 r67 D 2g P P67 L67 g 6 s c 7 c

S e Kr pound67 L67 p67 6 7 D 6 p7

p7 V - _g_ P6- P7 - N67 mdash + P67 L67 f

c c

80

36 - Perda de pressatildeo nas zonas (7) - (8) - Zona de ebuliccedilatildeo

Nesta regiatildeo j aacute temos o aparecimento de bolhas logo a

perda de pressatildeo seraacute devida agraves t recircs parcelas aceleraccedilatildeo a t r i t o

das duas fases liacutequidas + vapor e h idros taacute t ica

onde

Assim

P-P Q = AP + AP + APbdquo 7 8 a t r i t o acel H

T M1

78 p 7 7 AP - R f- - mdash mdashr |R = fator mult ipl ica-

a t r i t o 7 D 7 2 g c L tivo

G 2

AP bull r mdash acel g c

P V

|_1 - o a p J 8 P f

2 t r 2 M2

7 7 r 7 7 A P a c e l = -J^mdash 2 r bull p 7 lt T iexcl iexcl - )

A PH p 7 8 L 7 8 fiexcl

p 7 8 iacute 7 li 1 0 0 P l i q + a P v ] d L = P 7 ( 1 - laquo 7 8 )

ag raquo fraccedilatildeo de vazio media entre 7 e 8

APH = p (1 - 5 7 g ) f- L 7 8

2 2

P 7 - P 8 a 5 - 2 T i + 2 r p 7 + P 7 ( 1 - 7 8 gt f L 7 8 7 amp c amp c amp c

81

N 7g = R mdash + 2 r p 7

P7 V7 P7- P8 = N78 + P 7 ( 1 5 7 8 gt J78

37 - Expansatildeo nas secccedilotildees 8 e 9

No caso haacute uma expansatildeo com duas fases e como vimos no

item 12 a variaccedilatildeo de pressatildeo era dada por

0f Vo P2 P1 = ~2g c ( 2 deg12

x 2 (mdash)(mdash - mdash ) + ( l - x ) 2 ^ T mdash 8 1 2 1

12

Aplicando ao nosso caso

P pound = P 7

P -P = 8 9

V - V raquo V g f 7

P 7 V 2

2 pf 1 a89 2 1 g89 x (mdash) ( ) + (1-x) (- - N

o ou abdquo 1-cu l-ot_) g 8 9 8 9

Se

N 89

= 2 a 89

2 pf 1 deg89 2 1 CT89 x (mdash) ( ) + (1-x) ( T

g 8 9 8 9

P -P = 8 9

- N P7deg V7

89 2gbdquo

38 - Perda de pressatildeo no trecho 9 e 10

No referido trecho temos apenas perda de pressatildeo por atr L

to da fase liacutequido + vapor e perda hidrostaacutetica Natildeo haacute perda por

aceleraccedilatildeo do vapor pois este natildeo recebe mais calor e portanto

o 82 o

nao ha variaccedilatildeo no a

p

Q -p i n = A P

U + A P bull 9 10 H atrito

n T -S_ P9 U10 deg 910 bull g

fio r

910 I 910

J9 L

(l- a)P + Q P I dL liq v

(l-a0) p

No caso a = (nao hatilde variaccedilatildeo de forma)

A P H - (1-a ) P (p L 0

c

AP bdquo = R o

atrito

2 f9 o L910 P9 V9

2g

Supondo

= V

P 9 = P 8 P 7

vbdquo = v 9 8 0 A r

= V 7 bull deg89

AP - R atrito

2 2

W l O p7deg V7deg g89

V P10 R -^T^ bull deg89 bull li-2 + ( W P 7 (fgt SIO

y c c

Se

- f9 L910 2 N9ol0 R Dl deg89

w 2

p rv P9 P10 = VlO + ( 1 a 9 ) p7 (f gt L910 c

33

39 - Perda ciacutee pressatildeo na expansatildeo 9 - 1 0

Analogamente a expansatildeo 8 - 9 temos

10 11 P 7 2g

10 Iacute 2 0 1 0 - 1 1 gt

2 ff

pg aio

10-11

laquo11 ) +

Ll-a 1 0 bull l-a u J

Se

V10 = V 9 = V 8 bull T9 = V 7 deg89

P -P 10 rll = - a 2g 089 ^lO-ll

4 bull T~ bull (7 1 mdash ) + Pg degio a n

+ (l-x)2(- 1 10-11

1 - aio )

N10-ll = 2 a10-ll a89 2 pf t 1 10-11 N2

-(j-r- - ) bull+ (1-x) pg aio deg 1

10-11 k l - a io

prz P10 Pll = - N10-ll bull ( 2gbdquo

310 - Calculo de V

Fazendo a somatoacuteria de todas as expressotildees (P^-Pj) tere-

84

mos 2 PbdquoV_

P bdquo - P bdquo = N 7 v 7

1 2 12 2g

bull 2 - P 3 - = N 2 3 P 2 L 2 3 f c ccedil

9 P 7 V 7 P _p = N mdash -

3 4 34 deg 2g

V P 5 = deg

2 P V

5 6 56 2 g c

ltr2

P 7 -V 6 e7 -N67 2g + p 6 7 J j67 g

c bc v 2

P 7 - P 8 = N 7 8 - 2 i ~ + p 7 ( 1 - laquo 7 8 ) L 7 8 c

P 7 V 7

P - P - -N mdash - -8 9 89 2g

c P 7 V 7

P 9 ~ P 1 0 VlO 2g + ( 1 a 9 P 7 L 9 c

P 7 V 7

bull10 11 U10-ll 2g

P v iacute j P - P

1 11

7 - v 7 3 bull r

2 8 i U L 2 23 67

(l-5 7 8) L 7 8 + ( l - laquo 9 ) P 7 bull SlOtilde]- ^

Por ou t ro lado sabemos que como secccedilotildees 1

mesmo n iacute v e l

85

s c p r v 7 j

28 Z N i ij

= P 2 L23 p67 L67 P 7 ( 1~deg78 )

78 ~ ^g) bull P 7 bull L 910 g_

V - 2 g ( p r L 2 3 - p 6 r L 6 7 - p 7 ( l - atilde 7 8 ) L 7 8 - (l-a9) p L 9 a ( )

y N

Com esse valor de podemos determinar todas as variashy

ccedilotildees de pressatildeo (P^-P )

BIBLIOGRAFIA

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tituto de Energia Atocircmica de Sao Paulo em 1966 (roteiro)

- WR Gambill - Nuclear Safety

Vol 9 - n9 5 e 6

Vol 6 - n 2 (pag 152)

Vol 4 -r n9 1 (pag 30)

Volbdquo 5 - n 2 (pag 151)

- WRo Gambill - Chemical Eng Prog ndeg 54 (Outubro)

~ El Wakil - Nuclear Power

- Jakob Max - Heat Transfer (vol I)

Mc Adams - Heat Transmission

- Paul A Lottes - Argonne National Laboratory

- AKL - 6469

- ANL - 6561

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Frank Kreith - Principles of Heat Transfer

Journeacutees Internationales de la transmission de la chaleur

Seminaacuterios realizados em Paris em 1961 sob a supervisatildeo do

Prof Marcel Veron

Notas de aula da Cadeira de Termodinacircmica I e Transmissatildeo da

Escola Politeacutecnica da Universidade de Sao Paulo

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4

Cotivecccedilao

Na evaporaccedilatildeo

de liacutequidos

Na condensa-

cao de vaposhy

res

sobre superfiacutecies planas

internamente tubos

externamente tubos

circulaccedilatildeo natushy

ral ou forccedilada

externamente a tubos horizontais

externamente a tubos verticais

sobre superfiacutecies planas verticais

dentro de tubos verticais

5o MEacuteTODOS DE ESTUDO DOS PROBLEMAS DE CONVECCcedilAtildeO

jaacute vimos que a soluccedilatildeo do problema de convecccedilao eacute encon

trar uma expressatildeo para o coeficiente de peliacutecula (h) em funccedilatildeo

das suas inuacutemeras variaacuteveis

- temperatura da parede (t ) w

- temperatura do fluido (t^)

- velocidade do escoamento (V)

- forma $ e dimensotildees caracteriacutesticas (L L L ) da pa

x y z mdash rederaquo

- propriedades do fluido

- condutividade teacutermica (k)

- massa especiacutefica (p)

- calor especiacutefico (c)

- viscosidade dinacircmica (u)

Sendo assim a expressatildeo de h seratilde do tipo

h = h(t t_ V $ L L L k p c u ) w f x y z

Ha vaacuterios processos para chegar a uma soluccedilatildeo

1) meacutetodo analiacutetico

5

2) meacutetodo empiacuterico

3) meacutetodo integrado

Meacutetodo analiacutetico -to estudo para uma partiacutecula do flui

do da transmissatildeo de- calor levando em conta tambeacutem as

equaccedilotildees do escoamento e da continuidade do fluido o que leva a

equaccedilotildees diferenciais de difiacutecil soluccedilatildeo Tais soluccedilotildees em geral

sotilde sao possiacuteveis quando fazemos hipoacuteteses simplificadoras que se

nao forem corretas nos levaratildeo a uma soluccedilatildeo errada

Meacutetodo integrado - Eacute o estudo para um agregado de partiacuteshy

culas e tem o mesmo tipo de soluccedilatildeo que o meacutetodo analiacuteti

co poreacutem para esse agregado

Meacutetodo empiacuterico - Este meacutetodo estaacute associado agrave anaacutelise di

mensional Tal meacutetodo consiste em deduzirmos os nuacutemeros

adimensionais que influem no processo e procurarmos depois atrashy

veacutes da experiecircncia equaccedilotildees que os relacionem

6 ANALISE DIMENSIONAL

0 meacutetodo empiacuterico eacute o mais usado em virtude das dificulshy

dades que os outros apresentam apesar das suas limitaccedilotildees

Devemos tomar dois cuidados especiais para nao chegarmos

a resultados falsos o primeiro eacute obter dados experimentais os mais

corretos possiacuteveis e o outro eacute o de ao considerarmos um tipo de

convecccedilatildeo nao esquecer nenhuma variaacutevel que influa no mecanismo

pois se tal acontecer os nuacutemeros adimensionais obtidos seratildeo com

pletamente diferentes dos reais

Neste estudo usaremos o teorema de Buckingham ou teore

ma dos ir que diz o seguinte

Uma equaccedilatildeo de m variaacuteveis sect (x^ x 2 x^) que por sua

vez sao funccedilotildees de n_ dimensotildees fundamentais pode ser transformada

numa relaccedilatildeo entre (m-n) grupos adimensionais

6

Devemos notar ainda que a analise dimensional e o teore

ma dos TT nao nos permitem obter a relaccedilatildeo matemaacutetica entre os gru

pos adimensionais mas apenas quais os grupos que interferem no

fenocircmenoo

7= CONVECCcedilAtildeO NATURAL

Experimentalmente verificou-se que nesse fenoacutemeno intejr

ferem as seguintes variaacuteveis

Variaacutevel Unidade Dimensatildeo

h - coeflaquo de peliacutecula kcalhr degCm 2 ( M ) ( 0 ) 3 (T) 1

x = dimensatildeo caracteriacutestica m ( L )

AT bull-= diferenccedila de temperatu ra entre parede e flui do

degC (T)

p = massa especiacutefica fluido kgm3 (M) ( L ) 3

y = viscosidade dinacircmica kgsegm ( M ) ( e ) 1 ( L ) 1

6 = coei de expansividade teacutermica

V1

c = P

= calor especiacutefico do fluido

kcalkg degC (D2 ( e ) 2 (T) 1

k = condutividade teacutermica do fluido

kcalm hrdegC OOCDO)3^)1

g raquo aceleraccedilatildeo da gravidade mseg ( L ) ( e ) 2

Dimensotildees

(M) = massa

( L ) = comprimento

(8) = tempo

(T) = temperatura

I

Considerando que apenas estas 9 variaacuteveis influem na con-

vecccedilao natural o fenocircmeno poderaacute ser escrito na forma

B A_C D E F G H I h = A x (AT) bdquo p bdquo u o S Cp k g (1)

Sendo A B C D E F G H I expoentes reaisraquo

De acordo com o teorema dos T T se noacutes temos m = 9 variaacuteshy

veis funccedilotildees por sua vez de n = 4 dimensotildees o fenoacutemeno poderaacute

ser descrito por uma equaccedilatildeo de (9-4=5) adimensionais

Pesquisemos quais sao esses adimensionais Substituindo

na expressatildeo (1) as dimensotildees correspondentes temos

Me 3 T_1 = A LB TC (ML~3)D (Me - 1 ITV (T-1)F

a2 e~ 2 T - 1 ) g (MLe3

0T_1)H ( L e - 2 ) 1

Devido a homogeneidade de unidades da expressatildeo as somas

dos expoentes da mesma dimensatildeo nos dois membros devem ser iguais

(EM) D + E + H - 1 (I)

(26) - E - 2G - 3H - 21 = -3 (II)

(ET) C - F - G - H = -l (III)

(EL) B - 3 D - E + 2G + H + I = 0 (IV)

Solucionando o sistema acima em funccedilatildeo das variaacuteveis C

D G e T vem

Somando (I) e (II)

D - 2 G - 2 H - 2 I = - 2 o H = ~ G - I + 1

Substituindo o valor de H em (III) vem

C - F - G - | + G + I - l = - l F = C - + I

Substituindo o valor de H em (II) vem

8

- E - 2G - -y- + 3G + 31 - 3 - 21 = - 3 E = G + I - -y

Substituindo E e H em (IV) vem

B - 3 D - G - I + - y - + 2 G + | - - G - I + l + I = 0

Voltando agrave expressatildeo (1) temos

h = A x D + I - 1 ( A T ) C pdeg u G + I ~ 3 0 2 g C ~ 0 2 + 1

G D2 - 6 - 1+1 I c p k g

Agrupando os termos de mesmo expoente vem

t A 2 2 - 3 - 1 v D 2 -1 1 n = A (x p bdquo u g o k ) o (x u g k g)

o (AT g ) C (vi k 1 c p )Q o ( x - 1 k g )

h - A ( x 2

3 - p 2 k ) D 2 ( g deg Z)1 (AT g ) C

li 3

C k J x

2 2 h x x p k D 2 x u g gI

k ~ A ^ 3 o

deg 1 k deg

y 3

(AT g ) C ( ^ ) G

Chamando

h bdquo x n = mdash f mdash = Nbdquo = n9 de Nusselt 1 k Nu

T T 2 = p

k

P = N p r = ndeg de Prandtl

rr3 = AT o g

2 2 i

x o p k

4 3 R

M g

Assim os fenoacutemenos de convecccedilao natural sao descritos por

uma equaccedilatildeo do tipo

F ( IacuteW N P r V V V = deg Como as variaacuteveis 3 AT e g na convecccedilao natural soacute in

fluem nas forccedilas de empuxo provocando o movimento macroscoacutepico do

fluido devem aparecer constituindo o produto (g g AT) Para

que isso seja possivel devemos ter

~ = I = C reunindo-se assim os 3 adimensionais tr

T T ^ ir ou seja

ir AT g gt k P 2 X bull P B bull = 3 4 5 u 3 6 k

3 2 x p g g AT bdquo M O j o u c

= 7 = N_ = N9 de Grashof 2 Gr

Finalmente a convecccedilao natural pode ser descrita por uma

equaccedilatildeo da forma

F(Nbdquo N_ Nbdquo ) = 0 Nu Pr Gr

Agora soacute resta obter para cada caso possiacutevel do paraacutegra

fo 4 ps coeficientes desses 3 nuacutemeros adimensionais

8 CONVECCcedilAO FORCcedilADA

Na convecccedilao forccedilada nao influem as forccedilas de empuxo poshy

reacutem influi decisivamente a velocidade do fluido Assim as variaacuteshy

veis que intervecircm no fenocircmeno sao

h = coeficiente de peliacutecula (M) ( 8 ) ~ 3 ( T ) 1

o 10

x = dimensatildeo caracteristica (L)

-1 V = velocidade do fluido (L) (8)

I -3

u = viscosidade dinacircmica do fluido (M) (L)- (0)~

p = massa especifica do fluido (M) (L)

- 2 - 2 - 1 0^ = calor especifico do fluido (L) (6) (T)

k = condutividade teacutermica do fluido (M) (L) ( 0 ) ~ 3 ( T ) 1

0 fenocircmeno eacute determinado por estas 7 variaacuteveis logo coja

forme o teorema dos ir podemos descrever o fenocircmeno por uma equaccedilatildeo

com (7 - 4) = 3 nuacutemeros adimensionais

A equaccedilatildeo de h em funccedilatildeo das variaacuteveis seraacute do tipo

h = A x V u bull P bull c k (2)

substituindo as dimensotildees vem

M e~ 3 T - 1 = A L B (L Q~X)C (M L - 1 e 1 ) 0

(M L 3 ) E ( L 2 e 2 T _ 1 ) F (M L e - 3

T - 1 ) G

Igualando a soma dos expoentes da mesma variaacutevel dos dois membros

vem

(EM) D + E + G = 1 (I)

(Z6) - C - D - 2F - 3G - -3 (II)

(ET) - F - G = -1 (III)

(EL) B + C - D - 3 E + 2 F + G = 0 (IV)

resolvendo o sistema acima em funccedilatildeo de C e G vem

de (III) F = 1 - G

de (II) - C - D - 2 + 2 G - 3 G = - 3

bull D = 1 - C - G

substituindo o valor D em (I) vem

11

1 - C - G + E + G = 1 E = C

substituindo os valores de D E e F em (IV) vem

B + C = l + C + G - 3 C + 2 - 2 G + G = 0

B = C - 1

assim a equaccedilatildeo (2) ficaraacute sendo

C-l bdquoC 1-G-C C 1-G G h = A x V y p c k

P

colocando o coeficiente de k na forma (1-G) + l^j vem

h = A (x V y1 p ) C (ii c k - 1 ) 1 - 0 (x _ 1 k) P

u c hx p x VvC p xl-G k = A ( y gt ( k

ILJLJL = N

k Nu

y c N

e k Pr

p V x _

y N R e = N9 de Reynolds

Logo o fenocircmeno de convecccedilao forccedilada seratilde representado

por equaccedilotildees do tipo

f ( NNugt NPrlaquo N R e ) = 0

9 SIGNIFICADO FIacuteSICO DOS ADIMENSIONAIS

91 - Numero de Nusselt

N = bull h = 2L- _) Nu k AT v

v3 x x=0

eacute uma relaccedilatildeo entre o gradiente de temperatura junto a parede e a

12

variaccedilatildeo total da temperatura do fluido

92 - Numero de Prandtl

Pr = pp = 2 kpc a

P

Relaccedilatildeo entre viscosidade ci nemaacutetica v e a difusividade teacutermica a

93- Numero de Reynolds

N_ = amp Relaccedilatildeo entre as forccedilas de Re u - r bull

ineacutercia e as forccedilas viscosas que interferem no escoamento fluido

94 - Numero de Grashof

H = mdashmdash mdash^mdash 2 mdash amp a relaccedilatildeo entre o pro-u duto (forccedila de ineacutercia )

x (forccedila de empuxo) e o quadrado das forccedilas visshycosas que interferem na convecccedilao natural

11 EQUACcedilOtildeES DE CONVECCcedilAO FORCcedilADA

Por ser o caso mais importante na induacutestria soacute veremos

algumas equaccedilotildees para a convecccedilao forccedilada e deixaremos de lado a

convecccedilao natural por ser menos importante

Para cada tipo de escoamento para cada regime de transshy

ferecircncia de calor e para cada configuraccedilatildeo geomeacutetrica teremos uma

equaccedilatildeo com expoentes e coeficientes diferentes poreacutem sempre com

as mesmas trecircs variaacuteveis

Nbdquo N- N_ Nu Re Pr

Para resolver um problema de convecccedilao devemos antes

avaliar as propriedades do fluido essa avaliaccedilatildeo eacute feita considj

13

rando a temperatura media do fluido isto e a meacutedia aritmeacutetica da

temperatura entre um ponto do fluido junto agrave parede e um ponto onshy

de a temperatura do fluido seja constante longe da parede

Ha casos entretanto que na praacutetica trecircs adimensionais

so nao sao suficientes para expressar o fenocircmeno isto porque as

vezes ha uma propriedade que eacute muito sensiacutevel a uma pequena varia

ccedilao de temperatura logo para estes casos introduzem-se outros adi^

mensionais para levar em conta a dependecircncia dessa propriedade com

a temperatura

Todas as expressotildees foram obtidas experimentalmente A li

teratura especializada tem formulas para todos os tipos possiacuteveis

de geometria Vejamos alguns exemplos

101 ~ Convecccedilatildeo forccedilada sobre superfiacutecies planas

a) regime laminar ( N R g lt 400000)

N T = 0664 (N ) 1 f 2 (N ) 1 ^ 3

NuL ReL u Pr

b) regime turbulento ( N R g gt 400000)

NNuL deg 0 3 6 lt N P r ) 1 3 t gt R e L ) 0 8 1 8 7 deg deg ^

102 - Convecccedilatildeo forccedilada dentro de tubos ciliacutendricos

a) regime laminar (N_ ^ lt 2100) mdash Re D

i

b) regime turbulento Nbdquo _ gt 2100 mdash u Re D

N v _ = 0023 (N_ J 0 8 (Nbdquo ) n

NuD ReD Pr

14

n = 04 para fluido aquecendo

n =raquo 03 para fluido resfriando

Note-se que neste caso houve necessidade de considerar ou

tros adimensionais para aliar a anaacutelise dimensional agrave experiecircncia

no item a) dois outros adimensionais tiveram que ser acrescentados

(DL) e (up s)

Na expressatildeo 101 b) se o N critico for tomado como

sendo 5 x 10 (usado comumente) a expressatildeo usada eacute a mesma a me

nos do termo 18700 que passa a ser 23200

Devemos observar finalmente que estas expressotildees nao se

aplicam a metais liacutequidos e que elas nos datildeo nuacutemeros de Nussel meacuteshy

dios e natildeo locais

15

B - CONVECCcedilAtildeO COM MUDANCcedilA DE FASE - CONDENSACcedilAtildeO (I)

lo INTRODUCcedilAtildeO

Devemos considerar dois tipos de convecccedilao com mudanccedila de

fase que sao a condensaccedilatildeo e a evaporaccedilatildeo

Os problemas de convecccedilao de calor com mudanccedila de fase sao

tao importantes na industria como os de convecccedilao de uma uacutenica

faseraquo Os exemplos mais comuns de sua aplicaccedilatildeo sao os condensadoshy

res e evaporadores usados nos condicionadores de ar geladeiras

caldeiras etc

Neste capiacutetulo estudaremos apenas a condensaccedilatildeo

Os problemas de convecccedilao com fluidos condensando ou evashy

porando sao bem mais complexos que os demais processos de convecshy

ccedilao porque aleacutem de envolver variaacuteveis nao consideradas na conshy

vecccedilao de sistemas de uma so fase tecircm uma variaccedilatildeo nas propriedashy

des fiacutesicas de tal grandeza que essa variaccedilatildeo interfere decisiva

mente no fenocircmeno

2 CONDENSACcedilAtildeO

Eacute a passagem de um vapor para o estado liacutequido pela retishy

rada de calor

21 - Aspectos Gerais

A condensaccedilatildeo eacute realizada fazendo com que o fluido (vashy

por) entre em contato com uma superfiacutecie cuja temperatura esteja

abaixo da temperatura de saturaccedilatildeo do fluido correspondente atilde pres_

sao do vapor

0 coeficiente de peliacutecula relativo ao vapor de aacutegua satushy

rada que condensa sobre uma superfiacutecie fina eacute da ordem de grandeshy

za de 10000 kcalhrm^degC em casos excepcionais chega-se acirc valo-

16

res 50o000-100bdquo000 kcalhrm 2degC Isto eacute obtido a maneira pela

qual a condensaccedilatildeo se produz Ilaacute duas maneiras

1 - condensaccedilatildeo por peliacutecula daacute-se quando o liacutequido con

densado molha totalmente a parede formando urna peliacute

cula continua sobre a mesmaraquo

2 - condensaccedilatildeo por gotas daacute-se quando o liacutequido ao se

condensar rcune-se em gotas que crescem ateacute terem

peso suficiente para escoarenu

0 primeiro tipo eacute o mais comum e eacute o que daacute menor coefishy

ciente de peliacutecula porque a pelicula do liacutequido constitui uma re

sistencia adicional a passagem do calorraquo No segundo tipo chega-se

a coeficientes de pelicula muito maiores pelo fato do vapor estar

sempre em contato direto com a superficie resfriadura isto eacutepor

nao haver resistencia adicional

2o2 - Condiccedilotildees para termos condensaccedilatildeo por peliacutecula ou por

gotas

Sob o ponto de vista da transmissatildeo de calor deveriacuteamos

sempre preferir a condensaccedilatildeo por gotas pois como jaacute dissemos e

a que daacute maior eficiencia teacutermica Acontece poreacutem que tecnologji

camente eacute difiacutecil a obtenccedilatildeo da condensaccedilatildeo por gotas pois haacute

necessidade de termos um vapor puro urna superficie de resfriameii

to perfeitamente lisa (cromeada espelhada) e com resinas para fa

cilitar a formaccedilatildeo das gotas Tudo isso encareceria demais um con_

densador por isso eacute que na praacutetica usamos condensaccedilatildeo por peliacutecu

la quando podemos usar chapas ou tubos comerciais

So em casos muito especiais quando o espaccedilo eacute muito imshy

portante usa-se condensaccedilatildeo por gotas

2 3 - Remoccedilatildeo do Condensado

Um fator importante a considerar na condensaccedilatildeo eacute a remo

17

ccedilao do condensado que sempre se faz por gravidade Ha dois tipos

principais de superficies de condensaccedilatildeo

1 - Tubos ou placas verticais (ou encunadas)

2 - Tubos cilindricos horizontais

Nos tubos verticais a espessura da peliacutecula liacutequida aumen

tara do topo acirc base e com isso variaraacute ao longo do tubo o coefishy

ciente de peliacutecula loacutecalo

No caso dos tubos ciliacutendricos horizontais o liacutequido escoj

re pela parede lateral e goteja pela parte inferior natildeo havendo

possibilidade de formaccedilatildeo de camadas espessas do condensado

2raquo4 - Condensaccedilatildeo por peliacutecula sobre tubos verticais

Nusselt desenvolveu estudos analiacuteticos sobre condensaccedilatildeo

externa a tubos ciliacutendricos verticais partindo das hipoacuteteses

1 - A espessura da peliacutecula do condensado eacute nula na parte

superior do tubo e vai aumentando nas partes inferioshy

res por condensaccedil-ao e escorrimentoraquo

2 - 0 fluido escorre pela parede em regime laminar sob o

efeito combinado do seu peso e viscosidade

3 - A temperatura da camada mais interna do condensado tem

a temperatura da parederaquo

4 - A temperatura da camada mais externa tem a temperatushy

ra do vapor-

5 - A variaccedilatildeo da temperatura da camada do condensado em

sentido ortogonal agrave superfiacutecie do tubo eacute linear

6 - 0 vapor cede apenas seu calor latente

7 - A temperatura do tubo eacute uniforme e constanteraquo

8 - Nao haacute gases incondensaacuteveis no vapor (vapor puro)

Chegou a formula

18

2 3 g P - h L t

N j = 0943 ( r-EcircY~ ) 1 4 (l) NuL y bdquo k o At v

As propriedades da equaccedilatildeo (1) satildeo avaliadas agrave temperatu

ra meacutedia tm

c + t _ w sat

tm ~ onde

t = temperatura da parede

t = temperatura de saturaccedilatildeo do fluido S 3Lt

exceto o calor latente da vaporizaccedilatildeo b^ que deve ser avaliado agrave

temperatura de saturaccedilatildeo correspondente atilde pressatildeobdquo

Quando a superfiacutecie focircr inclinada vale o raciociacutenio de

Nusselt apenas o termo que atua na remoccedilatildeo do condensado natildeo eacute g

mas sim (g seno) sendo 6 a inclinaccedilatildeo da superfiacutecieraquo

Assim a equaccedilatildeo para estecaso seria

2 3 g o sene o p o h o L

NT _ = 0943 ( r~ y (2) NuL y o k o At w

25 - Efeitos a considerar na condensaccedilatildeo

Ha 3 efeitos importantes a considerar na condensaccedilatildeo que

Nusselt natildeo levou em conta sao eles

- efeito da turbulecircncia no filme liacutequidoraquo

- efeito dos gases incondensaveisraquo

- efeito da velocidade do vapor

251 - Efeito da turbulecircncia no filme liacutequido

As formulas anteriores servem para comprimentos de tubos

pequenos pois nesse caso a velocidade de escoamento do condenshy

sado natildeo eacute grande entretanto para superfiacutecies verticais longas

a peliacutecula torna-se bastante espessa e com velocidade grande deshy

mais para que o escoamento possa ser considerado em regime lamishy

nar

19

Nesse caso define-se o numero de Reynolds baseado na veshy

locidade da fase liacutequida isto eacute

p V 6

Nbdquo - m r

Rer y u

onde

V = velocidade do condensado na camada limite m 6 = espessura da camada limite

T = p V m 6 = descarga do condensado por unidade de largju

ra da superficie de condensaccedilatildeo

No calculo da determinaccedilatildeo de T haacute uma certa dificuldade

pois ele soacute pode ser determinado por iteraccedilatildeoraquo

Q = m c laquo A t = h A A t P

A = 2ir R bdquo L (para tubos)

m c = h o 2IumlIuml R laquo L P

m m braquoL _ p a _ _ li li

2TTR C c P P

Como noacutes nao sabemos o valor de h_ devemos inicialmente

adotar um V e obter atraveacutes da foacutermula

NNuL = deggt0134 (R PV L 3 gt 1 3 ( N R e r ) 0 4 ( 4 )

y

o valor de _h se os valores de h_ obtidos por (3) e (4) forem iguais

o problema esta resolvido caso contraacuterio fazem-se tantas iterashy

ccedilotildees quantas forem necessaacuterias

252 - Efeito dos gases incondensaacuteveis

A presenccedila de gases incondensaacuteveis reduz violentamente o

coeficiente de peliacutecula pois acirc medida que o vapor se condensa o

gaacutes nao condensaacutevel se acumula junto atilde superfiacutecie de resfriamento

20

formando uma barreira adicional S passagem do fluxo de calor

A reduccedilatildeo do coeficiente de peliacutecula que a presenccedila des_

ses gases causa depende da fraccedilatildeo em massa dos mesmos na mistu

ra gaacutes-vapor

Fizeram-se inuacutemeras experiecircncias e sobre o assunto a tiacute

tulo de exemplo vejamos o graacutefico abaixo onde temos em abcissas

o coeficiente de peliacutecula obtido experimentalmente e em ordenadas

a fraccedilatildeo de gases dissolvida jio vapor

5000

bullg- 4000 O

3OOO

2000

S 1000

4 6 8 10 12 lt|gt(lbm arlbm de vapor )x 10

Devemos notar a grande influecircncia dos gases incondensatilde-

veis por exemplo quando o vapor eacute puro nos temos um h = 4000se

tivermos apenas 1 de ar dissolvido o coeficiente de peliacutecula fishy

caraacute reduzido agrave metade isto ecirc h = 2000

Por isso nos condensadores sempre se coloca vapor ornais

puro possiacutevel

253 - Efeito da velocidade do vapor

Quando a velocidade do vapor junto agrave interface liacutequido-

-vapor natildeo focircr despreziacutevel surgem forccedilas de atrito entre o vapor

e o liacutequido Se a direccedilatildeo do fluxo do vapor coincide com a direshy

ccedilatildeo do movimento do liacutequido a velocidade do liacutequido aumenta (haacute

compressatildeo) e a espessura do filme liacutequido diminui e consequenshy

temente a transferecircncia teacutermica melhora pois haacute diminuiccedilatildeo da

resistecircncia teacutermica

Se entretanto a direccedilatildeo do vapor focircr contraacuteria a do fil

o 21 laquo

me de liquido ha uma tendecircncia de haver aumento da espessura da pj2

liacutecula diminuindo assim o valor de h

26 - Consideraccedilotildees sobre os resultados obtidos com as foacutermushy

las de Nusselt

Nota-se experimentalmente que os resultados obtidos pelas

equaccedilotildees de Nusselt sao em geral 10 a 20 inferiores do que os reshy

sultados reais Assim a favor da seguranccedila elas sao usadas e aaacuteo_

tadas Os motivos das discrepacircncias jaacute-foram ditas atraacutes no item

25

Devemos notar ainda que o valor de h obtido pelas foacutermushy

las anteriores e o valor meacutedio jaacute que h varia de ponto para ponto

e seria difiacutecil obter uma equaccedilatildeo que nos desse o valor de h locaL

2bdquo7 - Condensaccedilatildeo por peliacutecula externamente a tubos ciliacutendrishy

cos horizontais

0 mesmo estudo de Nusselt pode ser aplicado neste caso

baseado na hipoacutetese de que no topo do tubo a peliacutecula do condensashy

do tenha espessura nula Chega-se a expressatildeo

g p 2 h D 3 14

NT _ = 0725 ( ) (5) NuD u k o At

Analogamente ao caso anterior as propriedades do liacutequido

sao tomadas a

t + t w sat

tm = ^

exceto h que eacute tomado a t

ev n sat

Na situaccedilatildeo atual da tecnologia e possiacutevel obtermos tubos

com diacircmetros suficientemente pequenos para que tenhamos escoamenshy

to do condensado soacute em regime laminar

22

No caso de vaacuterios tubos empilhados a formula (5) deve

ser modificada pois como dissemos ela soacute vale quando no topo do

tubo a espessura do liacutequido eacute nula o que nao acontece neste caso

(Vide figura a)

Vapor

Tubo

mdash Liacutequido

Fig a

Neste caso a forma que nos da o valor meacutedio para h e

g p 2 h D 3 14

NNuD deg gt 7 2 5 lt N u k V At gt

sendo N o numero de tubos empilhados

Note-se que neste caso o coeficiente h cai bastante Uma

boa soluccedilatildeo para o caso quando dispoacuteftos de lugar eacute dispor os tushy

bos defasados (Conforme figura b)

Liquido

Fig b

Neste arranjo podemos aplicar a equaccedilatildeo (5) pois no tp_

po de cada tubo a espessura da camada de condensado eacute nula

23

B - CONVECCcedilAtildeO COM MUDANCcedilA DE FASE - EVAPORACcedilAtildeO (II)

1 INTRODUCcedilAtildeO

Evaporaccedilatildeo consiste na obtenccedilatildeo de vapor por meio de aque

cimento de um liacutequido

Apesar da importacircncia do processo e do sucesso obtido na

praacutetica em projetos de evaporadores o fenocircmeno da evaporaccedilatildeo eacute

um dos pontos menos conhecidos da transmissatildeo de calor

0 primeiro estudo seacuterio sobre o assunto foi feito em 1934

pelo japonecircs Nukiyama poreacutem somente nos uacuteltimos 10 anos tais es-

tudos se intensificaram

Os primeiros pesquisadores quando estudavam o fenocircmeno

do resfriamento de um solido num liacutequido obtiveram as seguintes

curvas

onde

temperatura

velocidade de resfriamento

3 0 v = amdashbull

A 06

Q - fluxo teacutermico

8 - tempo

A - aacuterea do soacutelido

24

tempo

Ateacute os estudos de Nukiyama nao se conseguia explicar o

porque da variaccedilatildeo crescente da velocidade de resfriamento quando

t gt t sol sat

2 PROCESSO DE FORMACcedilAtildeO DAS BOLHAS

Como a evaporaccedilatildeo do liacutequido se faz sobre uma superfiacutecie

aquecedora sobre esta irao se formar bolhas de vapor que influem

decisivamente no fenocircmeno

Aqui soacute iremos estudar as bolhas sob o ponto de vista qua

litativo bem como a sua influencia mas nao sob o ponto de vista

quantitativo

Recentemente Fritz e Jacob WR Gambill e outros estudiacutei

ram o processo da formaccedilatildeo das bolhas sobre a superfiacutecie aquecedpound

ra Atraveacutes de fotografias verificaram que a bolha de vapor ain

da em contato com a parede variava profundamente de forma confo_r

me o angulo de contato entre liacutequido e parede metaacutelica

Assim eacute que se a superfiacutecie de aquecimento nao e excesshy

sivamente polida e a tensatildeo superficial do liacutequido eacute pequena a

bolha tem a forma da figura las diz-se nesse caso que o liquishy

do molha a parede neste caso o angulo de contato e agudobull Se

as condiccedilotildees contrarias se verificarem o acircngulo de contato sera

obtuso e as bolhas tomam a forma da figura ldegb Naturalmente ve

rificara-se as condiccedilotildees intermediaacuterias para o angulo de contato da

25

fig lc

Fig la Fig lb Fig lo

0 estudo analiacutetico da formaccedilatildeo e crescimento das bolhas

pode ser encontrado em diversos livros por exemplo no El-Wakill

(Nuclear Power) no Jakob (Heat Transfer)e outros Neles faz-se

o estudo das condiccedilotildees do liquido (pressatildeo temperatura tensotildees

etc) para haver ou nao formaccedilatildeo de bolha Isto eacute feito fazendo-se

o estudo das bolhas nas seguintes posiccedilotildees

a) bolha no seio do liacutequido

para meia bolha

4 ltP g - P fgt fg

onde

P g P f

- 4 D (D

g

Pf

D

pressatildeo do vapor

pressatildeo do liquido

tensatildeo entre superfiacutecie do liacutequido e vapor

diacircmetro da bolha

^f g

P f Fig 2

26

A equaccedilatildeo (1) mostra que a pressatildeo do vapor deve ser maior

que a do liquido nas condiccedilotildees de saturaccedilatildeo e este por sua vez

deve estar no estado de superaquecimento o

b) bolhas sobre superfiacutecie solida

Fig 3

Condiccedilotildees para desprender

a mdash o_ + o_ cos a gs fs fg

tensatildeo na interfase liacutequida e vapor (depende das

propriedades do liacutequido e vapor)

tensatildeo entre o liacutequido e superfiacutecie de aquecimen

to (depende das propriedades do liquido e da sushy

perfiacutecie)

tensatildeo entre o vapor e a superfiacutecie de aquecimeri

to (depende das propriedades do vapor e da super

fiacutecie)

21 - Formas do fluxo do vapor desde a superfiacutecie de aquecishy

mento ateacute a superfiacutecie livre do liacutequido

Considerando liacutequido vaporizado em tubos verticais pode^

mos ter 4 tipos de fluxo de vapor

1 - fluxo de bolhas

2 - fluxo de agregados (plug ou slug)

3 - fluxo anular

4 - fluxo disperso

Os quatro tipos ficam bem determinados respectivamente

onde

a fg

degfs

a gs

27

pelas 4 figuras abaixo

LIacutequido - Liacutequido Liacutequido

o

^Bocirclha de

vapor

Vapor

mdash [

- Vapor

mdash 0 0

deg_ a-

jrj-

iquestiexcl5

Bolhas Agregados Anular

Liacutequido

vapor

Disperso ou

Homogecircneo

Conforme o tipo de ebuliccedilatildeo podemos ter uma so das forshy

mas acima ou uma mistura

3 INCERTEZAS NO ESTUDO DA EVAPORACcedilAtildeO

Ha trecircs incertezas principais para determinar o fluxo de

calor na evaporaccedilatildeo a saber

- Aacuterea de contato indefinida

- Diferenccedila de temperatura indefinida

- Grau de turbulecircncia

Como realmente nos nao sabemos uma dependecircncia algeacutebri

ca entre o acircngulo de contato e a superfiacutecie ocupada pelo liacutequishy

do (ou vapor) temos uma incerteza na determinaccedilatildeo da aacuterea de tro

ca de calor (A)

Outra incerteza eacute a dificuldade da obtenccedilatildeo de diferenccedila

de temperatura entre o liacutequido e a parede que normalmente assume-

-se como sendo a diferenccedila entre a temperatura da parede e da ebu

liccedilatildeo do liacutequido (temperatura de saturaccedilatildeo = t )

S cl c

Na realidade a diferenccedila de temperaturas nao eacute aquela

pois a camada de liacutequido que cobre a superfiacutecie aquecedora esta

a uma pressatildeo maior que o resto do liacutequido (pressatildeo atmosfeacuterica

mais a hidrostaacutetica) e consequentemente a temperatura de vaporiza_

ccedilao desse liacutequido e maior que a da superfiacutecie Esta diferenccedila po-

28

deria ser calculada desde que se conhecesse a relaccedilatildeo entre presshy

satildeo e temperatura de saturaccedilatildeo do liacutequido entretanto haacute incerte

za quanto ao verdadeiro peso especiacutefico da coluna de liacutequidopois

trata-se de uma mistura de bolhas de vapor e de liacutequido em proshy

porccedilatildeo variaacutevelraquo

4 REGIMES DE EBULICcedilAtildeO

Nukiyama estudando a ebuliccedilatildeo da aacutegua num recipiente a

quecendo-a com resistencias eleacutetricas construiu a curva baacutesica da

ebuliccedilatildeo Todos os liacutequidos apresentam uma curva semelhante vashy

riando apenas os valoresraquo Os pontos caracteriacutesticos da curva deshy

pendem de caracteriacutesticas difiacuteceis de definirtais como natureza

do metal estado da superficie (rugosidade) dimensotildees orientashy

ccedilatildeo do fluxo quantidade de gases dissolvidos e t c

Estudaremos o fenocircmeno para o caso de aacutegua destiladasem

gas dissolvido a temperatura de saturaccedilatildeo 100 C pressatildeo atmosfe_

re uma superficie plana

Chega-se assim acirc curva

rica sobre uma superficie plana horizontal a temperatura t^

In ltJgt

At (degC)

A curva acima representa o aquecimento de agua com uma re_

sistecircncia eleacutetrica (ate ebuliccedilatildeo)raquo Temos em abcissas as diferenccedilas

de temperatura entre o liacutequido e a resistecircncia em ordenadas o flu

29

Regiatildeo I

Regiatildeo II

Regiatildeo III

Regiatildeo IV

xo de calor por unidade de area

Na curva notam-se 4 regiotildees bem definidas tendo cada uma

o seu significado fiacutesico os quais correspondem a um tipo de ebuli

ccedilao

convecccedilao natural

ebuliccedilatildeo nucleada

ebuliccedilatildeo por peliacutecula parcial

ebuliccedilatildeo por peliacutecula estaacutevel

41 - Convecccedilao natural

Ocorre quando At eacute inferior a 8degCformam-se no liacutequido

correntes convectivas as quais transferem o calor ateacute a superfiacuteshy

cie livre do liacutequido e aiacute desprendendo o vapor Neste caso o valor

de h eacute da ordem de 2000 kcalm^hdegC

42 - Ebuliccedilatildeo nucleada

Ocorre quando o At eacute maior que 8degC e menor que 25degC Nesshy

te caso as bolhas formam-se junto a superfiacutecie de aquecimento

crescem liberam-se movimentam-se em direccedilatildeo agrave superfiacutecie livre do

liacutequido onde estouram libertando o vapor As bolhas formam-se nas

irregularidades da parede tecircm um acircngulo de contato agudo e porshy

tanto hatilde liacutequido sempre em contado com a parede (molha a parede)

cada ponto ativo (lugar onde se formam as bolhas) libera uma porshy

ccedilatildeo de bolhas e os outros pontos do liacutequido ficam em contato com a

superfiacutecie quente violentamente agitados Esta agitaccedilatildeo extrema eacute

mais eficaz que uma turbulecircncia criada artificialmente Por esse mo

tivo a curva cresce violentamente nesse trecho (m = 3 a 7) pois

bull 2 o o valor de h cresce consideravelmente (ate 46000 kcalm hr C) e

o fluxo teacutermico transmitido ao liacutequido cresce proporcionalmente a

Quando cresce crescem tambeacutem

(At) 3

30

numero de bolhas por unidade de aacuterea (num instanshy

te)

~ = crescimento da bolha (com o tempo)

frequecircncia de iacuteormaccedilao de bolhas

A medida que o At vai aumentando iraacute aumentando (jgt tam-- n o N

bem e consequentemente mdash R mdash a a a tal ponto que quando atiacuteii

girmos o ponto da curva nao haveraacute mais formaccedilatildeo de bolhas

mas sim uma peliacutecula de vapor instaacutevel passando assim a 3a re

giao que estudaremos a seguir

43 - Ebuliccedilatildeo por peliacutecula parcial

Como dissemos no item anterior se aumentarmos ainda mais

o At (entre 25degC e 125degC) teremos a formaccedilatildeo de uma peliacutecula de

vapor instaacutevel sobre a superfiacutecie quente que aacutes vezes eacute perfurashy

da pelo liacutequido A camada de vapor tanto mais estaacutevel seraacute quanshy

to maior focircr o At Essa peliacutecula de vapor iraacute provocar um decreacutes_

cimo consideraacutevel no fluxo teacutermico porque como sabemos o vapor

eacute muito pior condutor que a aacuteguaraquo

0 fluxo vai decrescendo ateacute um ponto miacutenimo (iexclgt mintilde (as vecirc

iacutebo bullraquo 1

zes chega a ser mdashj-) e e o chamado ponto de Liedenfrost 0 coeshy

ficiente de peliacutecula neste caso cai violentamente (h = 2000

kcalm^hrdegC)

44 - Ebuliccedilatildeo por peliacutecula estaacutevel

Aumentando ainda mais a diferenccedila de temperaturas

At ( gt 125degC) iremos conseguir uma camada de vapor estaacutevel Ela

transmite calor da superfiacutecie quente ao liacutequido que se vaporiza de

modo que o excesso de vapor formado na interface liquido-vapor for

ma bolhas que sobem para a superfiacutecie 0 liacutequido encontra-se agi-

31

tado poreacutem nao toma contato com a superfiacutecie soacutelida

A peliacutecula de vapor eacute estaacutevel e o fluxo eacute proporcional a

34

(At) (lei de Bromley) Para At grandes passa a influir sensivel^

mente a radiaccedilatildeo teacutermica mais uma razatildeo para demonstrar que nesshy

ta regiatildeo o fluxo cresce novamente

5 CONSIDERACcedilOtildeES E COMPARACcedilAtildeO ENTRE OS TIPOS DE EVAPORACcedilAtildeO

BURNOUT

Sob o ponto de vista de eficiecircncia teacutermica deveriacuteamos sem

pre trabalhar no ponto de fluxo maacuteximo isto eacute no ponto correspon

dente a lt(gt da curva de Nukiyama pois eacute o que daacute maior coeficieri

te de peliacutecula

Acontece poreacutem que se impomos a temperatura da parede

fixa obtemos um uacutenico valor de lt(gt e portanto o fenocircmeno eacute estaacutevel

Poreacutem se como ocorre nos reatores impomos um fluxo teacuter

mico a curva de Nukiyama apresenta 3 pontos de funcionamento posshy

siacuteveis A B C

1

SOacute os pontos A e C sao funccedilotildees estaacuteveis mas eles impotildeem

acirc superfiacutecie quente temperaturas bem diferentes

Na industria em geral trabalha-se por questotildees de segushy

ranccedila na regiatildeo IV da curva poreacutem para os reatores trabalha-se na

32

r e g i atilde o I I

0 p r o b l e m a de t r a b a l h a r n a r e g i atilde o II eacute q u e se n oacute s e s t i shy

v e r m o s t r a b a l h a n d o n o p o n t o e x t r e m o (j) e se p o r q u a l q u e r m o t i v o

h o u v e r u m p e q u e n o a c r eacute s c i m o d e ltfgt i r e m o s t r a b a l h a r i m e d i a t a m e n t e no

p o n t o M q u e t e m o m e s m o $-^0t p o r eacute m c o m A t 2 m u i t a s v e z e s m a i o r

p o d e n d o o c a s i o n a r a f u s atilde o d a s u p e r f iacute c i e a q u e c e d o r a E s t e f e n ocirc m e n o

eacute c h a m a d o d e b u r n o u t

0 f l u x o lttgt eacute c h a m a d o f l u x o c r iacute t i c o o u f l u x o d e b u r -b o

n o u t N o c a s o do r e a t o r d e v e m s e r t o m a d a s m e d i d a s r i g o r o s a s q u a n

to agrave r e g u l a g e m do f l u x o t eacute r m i c o p a r a q u e n atilde o o c o r r a o b u r n o u t 1 1

p o i s d e l e p o d e r e s u l t a r r u p t u r a d a c a m i s a do c o m b u s t iacute v e l e h a v e shy

r aacute p o r t a n t o c o n t a t o do r e f r i g e r a n t e c o m o s s oacute l i d o s e g a s e s r a shy

d i o a t i v o s

5 o l - R e l a ccedil atilde o d e B u r n o u t

E c l a r o q u e p a r a t e r m o s u m r e a t o r m a i s e f i c i e n t e d e v e shy

m o s t r a b a l h a r c o m u m f l u x o o m a i s p r oacute x i m o p o s s iacute v e l do f l u x o d e

B u r n o u t P a r a t a n t o d e v e m o s c o n h e c e r c o m o m a i o r g r a u d e certe

za p o s s iacute v e l q u a l o ^ p a r a p o d e r m o s r e d u z i r o c o e f i c i e n t e d e s e shy

g u r a n ccedil a ( W R G a m b i l l r e c o m e n d a agrave 1 5 )

N o s s e m i n aacute r i o s d e W R G a m b i l l e n c o n t r a m o s u m a s eacute r i e de

b i b l i o g r a f i a s o n d e p o d e m o s e n c o n t r a r i n uacute m e r a s f oacute r m u l a s p r o p o s t a s

p a r a a o b t e n ccedil atilde o de (q 1^)

A t i t u l o d e e x e m p l o v e j a m o s a l g u m a s

q - 2 7 0 G deg gt 8 5 D 0 2 A085 p lt 150

deg D ( L uuml ) 2

q - 140 G 0 5 D ~ deg 2 (-~-)~deg 1 5 p ~ r gt 150 c D (LD)

o n d e a m b a s as e q u a ccedil otilde e s s oacute v a l e m p a r a aacute g u a e m b a i x a p r e s s atilde o e m coii

v e c ccedil a o f o r ccedil a d a

33

D

L

fluxo teacutermico critico BTUhrft bdquo 2

descarga em massa do liquido (Ibmhrft )

diacircmetro do tubo ft

comp do tubo ft

Para cada caso temos uma expressatildeo diferente que pode ser

encontrada em literatura especializada

6 INFLUEcircNCIA DE OUTROS PARAcircMETROS NO FLUXO DE BURNOUT

Como para os usos atuais do reator a diferenccedila de temppound

ratura entre parede e fluido sao pequenas bem como o fluxo de bur

nout recentemente fiacutesicos como Jakob Bonilla WR Gambill estu

daram outros paracircmetros que influenciam bastante o sect^ 0gt isto eacute a

influecircncia desses paracircmetros faz com que o ^ seja maior Isto eacute

util pois quanto maior o fluxo de burnout maior poderaacute ser o

fluxo de calor real de funcionamento

Tais meios sao

- Sub-resfriamenCcedilo do liacutequido

61 - Influecircncia da velocidade do liacutequido

Estudos feitos pelos autores acima chegaram agraves curvas

- Aumento da velocidade imposta ao liacutequido

- Pressatildeo do liacutequido elevada

alto V

At

34

Para velocidades maiores o fluxo de burnout aumenta

porque neste caso o regime eacute turbulento e o coeficiente de peliacute

cuia h aumentao

6bdquo2 - Influencia do aumento da pressatildeo

Este estudo deve-se a Bonilla que obteve experimentalmen

te as curvas

Este estudo foi feito para vaacuterios liacutequidos e chegou a con

clusao que sempre havia uma pressatildeo oacutetima isto e uma pressatildeo que

leva ao maior iacute 1 ^ raquo mantidas as demais condiccedilotildees Experimentalmenshy

te notou que essa pressatildeo correspondia a 13 da pressatildeo critica

do liquido em questatildeo

6=3 - Influecircncia do sub-resfriamento

Consiste em manter atilde custa de uma circulaccedilatildeo intensa o

liacutequido a uma temperatura inferior atilde de saturaccedilatildeo para a pressatildeo

correspondenteraquo Experimentalmente chega-se agraves curvas

mdash A t grande sub

bullAt -0 sub sub

medio

At

35

Verificando os graacuteficos vemos que o lt)gt aumenta agrave medida bo

que aumenta a diferenccedila de temperatura de sub-resf riamento isto pojr

que o liquido como estaacute mais frio faz com que algumas das bolhas

recondensem permitindo que o liquido fique em contato com a parede

quente o que faz aumentar o h

^ f csub = t e m P e r a t u r a ddeg liacutequido - temperatura de saturaccedilatildeo

A diferenccedila de temperatura At entre fluido e parede tamshy

beacutem aumenta poit na regiatildeo proacutexima agrave parede haacute necessidade de

levar o liacutequido da temperatura do sub-resfriamento ateacute a temperatu

ra de saturaccedilatildeo quando se evapora

Atualmente os maiores estudos dos fiacutesicos nucleares locashy

lizam-se neste campo pois eacute o que oferece maiores vantagens

7 FORMULAS PARA 0 CAacuteLCULO DO COEFICIENTE DE PELIacuteCULA NA EBULICcedilAtildeO

Como ocorre no caacutelculo de todas as foacutermulas de convecccedilatildeo

temos formulas empiacutericas para determinar o h conforme o tipo de

ebuliccedilatildeo que nos consideramos

71 - Ebuliccedilatildeo Nucleada

Para o caso de aacutegua temos as relaccedilotildees

superfiacutecies

horizontais

superfiacutecies

verticais

f aacute 5000 BTUhrft 2 -gtbull h = 151 ( A t ) 1 3

A o

5000 lt 75000 -h = 0618 (At)3

^ pound 1000 -raquobull h = 8 7 ( A t ) 1 7

A o -

1000 lt $ lt 20000 -gt h = 027 (At) A o

Quando a pressatildeo e diferente da atmosfeacuterica faz-se a correccedilatildeo

3 6

72 - Ebuliccedilatildeo por peliacutecula

Bromley propocircs uma boa equaccedilatildeo para a ebuliccedilatildeo por peliacuteshy

cula estaacutevel em cilindros horizontais

Nu

_ JtjD n r 9 P v bull ( P L - P v gt - g -h

e V bull D i2

D 1 ^ U b Z u At gt

onde

V = indica vapor

L = indica liacutequido

Multiplicando ambos os membros da equaccedilatildeo acima por

kvD obteremos a expressatildeo do coeficiente de convecccedilagraveo meacutedio para

o caso

37

C - FORMULAS PARA CAacuteLCULOS ESPECIacuteFICOS - RESULTADOS ESPECIacuteFICOS

1 FLUXO DE CALOR CRIacuteTICO - BURNOUT

lol - Introduccedilatildeo

O aspecto mais importante no que se refere agrave seguranccedila

dos reatores da transferencia de calor na ebuliccedilatildeo eacute a determina

ccedilatildeo do Fluxo de calor critico ou de pico ou burnout

Como jatilde vimos quando temos a ebuliccedilatildeo nucleada a dishy

ferenccedila de temperatura entre refrigerante e superfiacutecie de aqueci

mento e pequena poreacutem quando atingimos o fluxo de calor criacutetico

essa diferenccedila de temperatura pode tornar-se imediatamente muishy

to grande podendo causar a ruptura da superfiacutecie de aquecimento

se atiigirmos o ponto de fusatildeo do soacutelidoraquo

Usando a convecccedilao

onde

At sat

w

sat At

sub

w = temperatura da parede de aquecimento

t t = temperatura de saturaccedilatildeo do liacutequido

t^ = temperatura de mistura do liacutequido

At = (t -t ) sub-resfriamento do liacutequido sub N sat b 1

nout

Ha dois tipos de burnout fast burnout e slow bur-

Ocorre o fast burnout (burnout raacutepido) quando A t g u b gt 0

38

ou para baixo x (~ lt 10) sendo x o titulo do vapor

Temos o slow burnout para x - gt 10 Assim noacutes tereshy

mos dois limites para o burnout

At bull o (ltJgt ) t =((() para t = t ) -

bo m m possiacutevel w sat

sub i

4L + 1

G c D h pl nb

(ltK ) = (ltpound para x = 1) = Dv-bo max possiacutevel e 4L

c At l + P 1 sub i

onde

L = comprimento do canal

D = diacircmetro do tubo

G = descarga de liacutequido (por unidade de aacuterea)

c ^ = calor especiacutefico do liacutequido

Agrave = calor latente de vaporizaccedilatildeo

h ^ = coeficiente de transferecircncia de calor na regiatildeo de

nao ebuliccedilatildeo

iacutendices

i = entrada

e = saiacuteda

Haacute inuacutemeras expressotildees para determinaccedilatildeo do burnout pro

postas por muitos fisicos cada uma aplicando-se a um caso especiacuteshy

fico vejamos algumas delas

12 - Equaccedilotildees para prediccedilatildeo de Burnout

121 - Equaccedilatildeo de Bragg e Smith (Zuber)

Num artigo publicado por Bragg e Smith encontramos uma f oacute_r

mula que e derivada da formula de Kutateladze e nos daacute o fluxo cri

39

tico quando nao temos sufaresfriamento

bo poolsat v V raquoc a ( p l P V )

2 PV

14

onde

ltiexclgt = fluxo de calor critico bo

k = constante

Ly = calor latente de vaporizaccedilatildeo do refrigerante

= densidade do liquido

pvr = densidade do vapor V a = tensao superficial

g = fator de conversatildeo c

a = aceleraccedilatildeo da superficie de aquecimento

Os autores encontraram para k um valor de 062 entreten

to outros autores como Zuber incluindo outras variaacuteveis que In

fluiam no fenocircmeno encontraram k variando entre 008 e 023Esshy

tudos bem elaborados mostram que o valor mais aproximado eacute

k = 015 (- 003)

1-22 - Equaccedilatildeo de Noyes

Noyes estudou o burnout para o soacutedio agua e alguns liacute

quidos orgacircnicos

( W s a t ~ bdquo 0245 bull ( r ( 1 )

iiacute_ V 1 Pr

onde

N n = Nuacutemero de Prandtl da fase liacutequida x r

Mais tarde o proacuteprio Noyes alterou a equaccedilatildeo para

n ^ - n H Iacute I Pl PV gt0538 deg g c a q 4 ( W s a t deg 1 1 6 PV ( - p 7 ~ ) (77T1^ ) ( 2 )

40

A ultima correlaccedilatildeo proposta por Noyes foi

a n prPV0560 112

1

(a bull a) 13

(ag c) 112

(3)

onde

a = difusividade teacutermica do liacutequidoraquo A equaccedilatildeo (3) eacute bashy

seada em todos os dados de burnouts do soacutedio bem

como da atildegua benzeno difenil e outros De 111 pontos usados 90

+ estatildeo relacionados dentro de - 30bdquo

ldeg2o3 - Burnout com convecccedilao forccedilada e sub-resfriamen

to

Aproveitando os resultados de aproximadamente 240 testes

de burnouts com aacutegua sub-resfriada em fluxo de convecccedilao forccedilashy

da feitos na Ruacutessia Labuntsov elaborou uma boa equaccedilatildeo empiacuterica

para o problemabdquo

Esta relaccedilatildeo aplica-se para velocidades entre 2 3 e 148

ftsec pressotildees entre 1 e 201 atmabs sub-resfriamento entre 0 deg

e 432 degF e fluxos de burnout entre 0 4 x IO 6 x 166 x 1 0 6 BTUhr

2 bdquo

bullbo

onde

e a seguinte

6 ( P ) 1 + 0 2 3 2 V 2

14

e ( P ) 1 +

15 c At _p_ sub

12 (a)

9 ( P ) - P 1 3 o ( 1 - P J 4 3

red

= pressatildeo (atm abs)

pressatildeo reduzida = mdash mdash red r P

t_ c = pressatildeo critica

= velocidade do liacutequido (ftsec)

= calor especiacutefico do liacutequido (BTUlbdegF)

4 1

^ tsub = ^ ^ e r e n Ccedil a ^ e temperatura entre a temperatura de

mistura do liacutequido e a de saturaccedilatildeo (degF)

X = calor latente de vaporizaccedilatildeo (BTUlb) 2

ltiacutegtbo = fluxo de burnout (BTUhrfl )

Uma outra correlaccedilatildeo para o caso foi proposta por

Ornatsky e Xiohigin que fizeram experiecircncias para pressotildees entre

10 e 1 5 0 3xm 90 degF lt At ^ lt 4 5 0 deg F 3 7 1 0 6 ( l b h r o f t 2 ) lt G lt

2 2 2 10 b ( l b h r bdquo f t 2 )

lt ^ = 3 2 5 0 (G o A t bdquo J deg 6 ( - i - ^ ) 2 5 ( b ) bo sub

onde

G - descarga de refrigerante por unidade de aacuterea

P ^ v P v - densidades do liacutequido e do vapor

P1~ PV -0 termo (mdash ) e incluido na expressatildeo (b) para indicar

a influecircncia da ^ pressatildeo sobre o

Uma comparaccedilatildeo entre as equaccedilotildees (a) e (b) foi feita para

o Reator de Isoacutetopos de Alto Fluxo (HFIR) nas condiccedilotildees aacutegua a

600 psia velocidade = 45 ftsec e sub-resfriamento = At^^ 1

degF obtendo-se uma diferenccedila de 6 5 entre ambos (4gt = 6 0 5 1 0 b

2 ~ 6 2 BTUhr ft pela equaccedilatildeo (a) e 6 4 5 10 3TUhrraquoft pela equaccedilatildeo

(b)

Ilatilde ainda a equaccedilatildeo de Ivey e Morris aplicaacutevel somente pa_

ra ebuliccedilatildeo com grande quantidade de liacutequido

( c sub t

Cpf bull A tsub

( bull ) s ~ V P bdquo 10 h V sat V g

onde

(ltL ) = fluxo critico com sub-resfriamento c sub

(ograve ) ^ - fluxo critico sem sub-resfriamento c sat

42

c ^ = calor especiacutefico do liacutequido

= calor latente de vaporizaccedilatildeo

124 - Burnout com convecccedilao forccedilada e ebuliccedilatildeo por bocirc-

Ihas

Gambill fez uma extensatildeo da equaccedilatildeo de Levy e aplicou o

metqdo da superposiccedilatildeo Tal extensatildeo consiste natilde subtraccedilatildeo de uma

razatildeo equivalente de massa transferida dos termos que represenshy

tam a ebuliccedilatildeo e convecccedilao para levar em conta a presenccedila do vashy

por no fluxo

A correlaccedilatildeo pode ser escrita assim

24 V P V

o g c a (p^Py) 14

+ 0696 (k p c ) 12

(

pr p v )i4 o g c a (P-L-Py) 18

bull At + h sub nb

044 p v L v G (g1) bull N2 n

p l P V

( pr p v ) d e 2-7

2 4 TT 0

14 ( f e _ ^ r l 3

lO^u

onde

k = condutividade teacutermica

c = calor especiacutefico

A t s u b ~ s ub-resfriamento do liacutequido

h = coeficiente de transferecircncia de calor de nao ebu nb mdash

liccedilatildeo

G = descarga total do refrigerante

43

d g = diacircmetro equivalente do tubo ou canalraquo

]i = viscosidade

B = constante adimensional

Os iacutendices V e 1 representam vapor e liacutequido respectiva

mente

0 primeiro termo entre chaves da equaccedilatildeo representa o flu

xo de calor no burnout de sub-resfriamento em convecccedilao forccedilada 0

segundo termo entre chaves corresponde ao fluxo de calor transferi^

do para a massa da fase vapor

1-25 - Burnout por Bloqueio da Base

Ocorre quando a profundidade do recipiente eacute muito maior

que a largura 0 bloqueio da base eacute causado pela formaccedilatildeo de uma pe_

licula de vapor na base impedindo que o liacutequido toque o fundo do

recipiente

i De

Este eacute o burnout por flooding isto eacute burnout por expul

sao do liacutequido Uma equaccedilatildeo que nos dacirc o fluxo minimo do burnout

parao caso eacute

44

onde

D g = diacircmetro equivalente

L = comprimento do tubo

= calor de vaporizaccedilatildeo

p^Py Ap = densidade do liacutequido do vapor e diferenccedila en

tre ambos

Para um fluxo de calor maior ou igual ao dado pela expres_

sao acima (mantida a mesma geometria) teremos burnout Para um deshy

terminado fluxo existiratildeo sempre um comprimento L e um diacircmetro equi

valente D e para os quais temos burnout Exemplo

L (in) D e(in)

10 11

100 51

1000 235

2 RESULTADOS ESPECIacuteFICOS - FOacuteRMULAS PARA CAacuteLCULOS ESPECIacuteFICOS

21 - Diferenccedila de temperatura At i

13 a t

sat

At sat

poundatildeJL_ raquo t - t J p T T 6 w sat

onde

o laquo tensatildeo superficial entre liquido e vapor

t - temperatura de saturaccedilatildeo do liacutequido para a corres-Scl t

pondente pressatildeo

J equivalente mecacircnico do calor

X laquobull calor latente de vaporizaccedilatildeo

py = densidade do vapor

6 = espessura da camada de liacutequido superaquecido onde

45

k l

h nc

onde

k^ = condutividade teacutermica do liacutequido

h = coeficiente de peliacutecula nc r

Segundo Eckent h ^ c e dado por

P 2 Q

nc 3 V VP + 0952

r

onde

D = diacircmetro equivalente

G r = numero de Grashoff

P = nuacutemero de Pradtl

2 o 2 - Velocidade das bolhas

A velocidade das bolhas em meacutedia pode ser dada pela exshy

pressatildeo

V bdquo = Iacute ( a bull B Apl4 bolhas 5 ^ 2

p l onde

AP = P L - P v

Expressatildeo que vale quando a aceleraccedilatildeo eacute a da gravidade

baixa viscosidade do liacutequido e bolhas separadas

Vbolha = f t s e atilde m a x para aacutegua

2 bdquo3 - Diacircmetro das bolhas

2gc deg 12 D = 0015 3 ( mdash mdash 7 ~ ) d g Ap

5 =

46

onde

8 = acircngulo de contato (20 a 90deg) geralmente assume-O -1

-se igual a 50 para a agua em contato com metal

24 - Coeficiente de peliacutecula na ebuliccedilatildeo nucleada

a) Equaccedilatildeo de Rohsenow

Esta equaccedilatildeo nos datilde o fluxo de calor q na ebuliccedilatildeo nushy

cleadaraquo E oacutetima expressatildeo para muitos liacutequidos o efeito da presshy

satildeo eacute levado em conta na variaccedilatildeo das propriedadesraquo

Pf

fg

sat 17 = c

sg k y f h f g g( P f-p g)

n033

onae

Pf

fg

Pf Pg c sg

= fluxo de calor requerido (BTUhr0ft^)

= calor especiacutefico do liacutequido saturado (BTUlbm0F)

= calor latente de vaporizaccedilatildeo (BTULbm)

= nuacutemero de Prandtl

= viscosidade do liacutequido (lbrahrraquoft) ~ 8 2

= fator de conversatildeo 417 10 Ibmftlbflaquohr 2

= aceleraccedilatildeo da gravidade (fthr )

= tensatildeo superficial na interface liacutequida vapor

(lbfft) 3

densidade do liquido e vapor (lbmft )

constante adimensiacuteonal que depende de vaacuterios fashy

tores dentre os quais o grau de aquecimento en_

tre o fluido e a superfiacutecie de aquecimento e o

mais importanteraquo Independe da pressatildeo do sistema b) Equaccedilatildeo de Levy

Equaccedilatildeo valida para a aacutegua quando 100 lt p lt 2000 psiacutea

47

43 bdquo3

qu bdquo gat ^ T J h r t f t ^

495

25 - Calculo do fluxo de calor no Ponto de Leidenfrost

0 ponto de Leidenfrost como vimos eacute o ponto em que oflu

xo de calor comeccedila ncamente a crescer isto eacute o ponto onde termal

aa a ebuliccedilatildeo instaacutevel e comeccedila a ebuliccedilatildeo por peliacutecula estaacutevel Eacute

o chanado fluxo miacutenimo (egrave ) m m

Aproximadamente quando A t g u k = 0 temos

A _ mdash _ mdash (Gambill) m m 5

Ha entretanto varias expressotildees para determinar esse flu

xo eis uma delas

A p 14 ltjgt = 009 h pbdquo (o raquo g mdash ) y m m fg P V deg 2

p l

26 - caacutelculo do fluxo de calor na regiatildeo de ebuliccedilatildeo por peliacute

cuia estaacutevel

para cilindros jmdashi i li

_ D 0172 k-V - P V A p h l V bull S 14 li - = 062 (mdashmdash) (- j- r rmdash) convecccedilao A 0 ybdquo (t -t )

c V w sat

onde

= condutividade do vapor

- 2 TT ( mdash )

c gAp Vl = significam vapor e liacutequido respectivamente

para paredes verticais

L 0172 S deg7 A p bull hlV S q 4 h - - 080 (-^-)J- (-Iuml - Iacutemdash-convecccedilao X L u (t - t J)

c V w sat

48

Como nesta regiatildeo jaacute haacute nina influecircncia marcante da radia

ccedilao devemos levar en conta tambeacutem o coeficiente de peliacutecula de

vido a radiaccedilatildeo para determinar o coeficiente de peliacutecula total

Dos estudos atildea radiaccedilatildeo temos

h = a F pound(T 4 - T 4 J ( T ~ T ) rad w sat w sat

onde amp _ emissividade de superfiacutecie

a = constante de Stefan-Boltzman

F = fator de forma

Segundo WE Gambill o coeficiente de transmissatildeo total

ceve ser

3 iacutei = h + -7 h para h lt h t conv 4 rad r rad conv

Na expressatildeo acima existe o fator 34 porque a radiaccedilatildeo

faz variar um pouco a espessura do filme de vapor reduzindo asshy

sim o l l

conv

Quando tivermos h gt h gt o h^ ^ seraacute rad conv total

h f c = h + h t conv rad

Neste ultimo caso nao ha nenhum coeficiente porque a peshy

liacutecula de vapor jaacute eacute estaacutevel

27 - Grandezas caracteriacutesticas para a apua

Para pressatildeo igual a 1 atm = 1422 psia

At ^ = t - t = 5degC (iniacutecio da ebuliccedilatildeo nucleada) sat w sat 1

At t = 30degC sat crit

49

5 2 $ = 4 10 BTUhrft (para pressatildeo 1 atm)

0 fluxo critico cresce como vimos com a pressatildeo ate

atingir o maacuteximo quando a pressatildeo eacute aproximadamente 13 da pressatildeo

criacutetica Esse fluxo eacute

bull = 13 IO 6 BTUhrft 2 para p = 11000 psia (p pound = 32062 psia)

Ainda temos que para pressatildeo igual a 15 psia

h b o = 11000 BTUhrft degF - ebuliccedilatildeo nucleada

h f b = 30 BTUhrft 2 degF - ebuliccedilatildeo pelicular

Todos os resultados e formulas para caacutelculos especiacuteficos

apresentados nos itens 21 22 23 ateacute 27 sacirco aplicados somente

para sistemas onde haja ebuliccedilatildeo com grande quantidade de liquido

51

D - HIDRODINAcircMICA DOS SISTEMAS E QUEDA

DE PRESSAtildeO DENTRO DE UM CANAL

1 HIDRO-DINAcircMICA E QUEDA DE PRESSAtildeO

11 - Hidro-dinacircmica dos sistemas estaacuteveis

111 - Regimes de escoamento

A evoluccedilatildeo do escoamento ao longo de um canal aquecedor

de secccedilatildeo constante ciliacutendrico pode ser esquematizada pela figushy

ra 1 onde temos em abcissa o comprimento z do canal e em ordenada

a temperatura (T)

52

Na figura 1 nos representamos

a) 0 aspecto do escoamento fluido quando a entalpia do

- fluido aumenta Verificamos que o fluido entra no cashy

nal no estado liacutequido e assim permanece ateacute atingirmos a zona de

ebuliccedilatildeo local onde aparecem as primeiras bolhas A entalpia do

fluido continua aumentando e tem inicioa ebuliccedilatildeo franccedila onde as

bolhas se unem formando agregados posteriormente o escoamento to

ma a forma da figura ou seja torna-se anular disperso Finalmente

atingimos duas uacuteltimas fases do escoamento disperso (vapor uacutemido)

e vapor seco

b) A evoluccedilatildeo da temperatura meacutedia do fluido e da tempeshy

ratura da parede Note-se que a partir da cota a

temperatura da parede aumenta brutalmente podendo causar o

burnout

c) A evoluccedilatildeo do tiacutetulo do vapor (x) com o comprimento

do tubo e a evoluccedilatildeo da fraccedilatildeo (a) que definiremos no

item 11laquo2 com o comprimento do tubo

112 - Definiccedilotildees

a) Tiacutetulo ou qualidade do vapor (x)

massa de vapor na mistura x ~ massa total da mistura

x =

W _g_

g f

b) Fraccedilatildeo vazio (void fraction)

volume do vapor na mistura a = volume total da mistura (agua+vapor)

A relaccedilatildeo entre x e a num sistema parado pode ser obtida

assumindo um certo volume contendo 1 lbm de mistura em equiliacutebrio

teacutermicoraquo

53

O volume da mistura seraacute igual a (v + xv ) ft onde v eacute 3 r rg

o volume especifico (lbmft )

f - refere-se ao liquido

g - refere-se ao vapor

fg - refere-se a diferenccedila entre liacutequido e vapor

Numa mistura em equiliacutebrio se o liacutequido e o vapor estatildeo

saturados o volume do vapor presente eacute igual acirc sua massa vezes

seu volume especiacutefico v assim e

xv bdquo bdquo a mdash

V c + XV c

f gf

onde

- bull-bull uumlutiacuteisa vapor na mistura de 1 Ibm

v volume especiacutefico do liacutequido

v = volume especiacutefico do vapor o

V c = v - V

gf 8 r

Fazendo uma transformaccedilatildeo na expressatildeo acima temos

xv xv JS = Z-

v r+ x(v -v c) xv +(l-x)v t ri f g f g f 1 + Ul-x)xjv fv

1 + C(l-x)x]]vfvg

A fraccedilatildeo vazia tem a influencia de baixar a reatividade

do nuacutecleo nos reatores em que o refrigerante eacute tambeacutem moderador

Na equaccedilatildeo acima os valores de x e v sao tomados em tabe

las termodinacircmicas apropriadas para a pressatildeo do sistema A equashy

ccedilatildeo (1) mostra os grandes valores de a para pequenos valores de x

especialmente para baixas pressotildees Isto ocorre porqueaumentando

54

aacute pressatildeo o v decresce muito enquanto que o v f eacute mais ou menos da

mesma ordem de grandeza

Exemplo Calcular o a correspondente para x raquo 2 para aacutegua

leve atilde pressatildeo atmosfeacuterica

Da tabela para p laquobull 1 atm

v - 001672 ft 3lbm e v - 26800 ft 3lbm

1 + [(1-002)002] 001672268

0971 ou 97U

O grafico abaixo mostra a variaccedilatildeo do a com x para vaacuterias

pressotildees e para a aacutegua leve

x ()

tObservaccedilotildees da curva

Fig 2

1 - para x constante a decresce com a pressatildeo Para presshy

sotildees proacuteximas da criacutetica a aproxima-se rapidamente de

x Para a pressatildeo criacutetica as duas fases satildeo indistinguiacuteveis ea=x

2 - para cada pressatildeo dotdx decresce com aumento de x

3 - para baixos valores de x (que e o caso dos reatores

tipo Boiling) quando p decresce dadx cresce e torr

na-se muito grande paacutera baixas pressotildees Isto tem relaccedilatildeo com a epound

55

tabilidade do reator como veremos mais tarde

113 - Sistemas com fluxo

Todas as definiccedilotildees que noacutes vimos no item anterior refeshy

rem-se acirc sistemas em que a mistura esta fechada no recipiente Nes^

te caso natildeo havia movimento relativo entre as duas fases No entan

to se as duas fases da mistura se movem na direccedilatildeo vertical em

canais entre os elementos combustiacuteveis o vapor por causa de sua

flutuaccedilatildeo tem a tendecircncia de escorregar sobre o liacutequido isto e

move-se com velocidade maior do que a do liacutequido

Real Modelo

Pig 3

S -

Define-se neste caso a relaccedilatildeo de escorregamento (slip

ratio) (S) como sendo

V _i

V f

onde

V = velocidade do vapor

= velocidade do liquido

S modifica as relaccedilotildees entre a e x do item anterior S geralmen_

te gt 1 Define-se neste caso qualidade do vapor ou tiacutetulo como

sendo

_ fluxo de massa de vapor

fluxo de massa da mistura

Entatildeo se o fluxo de massa da mistura eacute m t(lbmhr) o flushy

xo de vapor seraacute = x m e o fluxo de liacutequido sera (1-x) m onde x

56

e o titulo do vapor para a particular secccedilatildeo (AL) da figura (3)

Devemos notar que neste caso x varia de secccedilatildeo para secshy

ccedilatildeo do tubo o exposto no paraacutegrafo acima vale considerando-se que

x e a permaneceram constantes na secccedilatildeo de espessura AL

Aplicando a equaccedilatildeo da continuidade as velocidades do va

por e liacutequido sao dadas por

o xm v

V vazatildeo = g g area A

V

(1-x) amp t v f

f A f

onde A e A f sao as aacutereas medias perpendiculares ao fluxo se as

duas fases sao imaginadas completamente separadas uma da outra

(figura 3) Assim temos

V x m v o A_ A v 0 ^ - 2 = iacute S t m _2L- JL JS m

V A (l-x)ui v 1-x A v U

f g t f g f

Sabemos ainda que para a secccedilatildeo considerada

volume do vapor na mistura a = volume total da mistura (agua+vapor)

A AL A pound g g

a = mdash a a = - mdash 1

(A+A )AL A f + g

A ou f _ 1 - a

A a 8

Substituindo em (2) vem

57

Esta expressatildeo pode ser rearranjada e obteremos uma relashy

ccedilatildeo entre x e a levando em conta o escorregamento Chega-se a

a = 1 ( 3 )

1+ [U-x)x3 igt

onde

v 4 laquo -- S

v lty o

Note-se que quando S=l (nao haacute escorregamento) caimos na

expressatildeo dada no item anterior

0 efeito do escorregamento eacute decrescer o valor de a pa_

ra um mesmo xbdquo Isto pode ser visto pela foacutermula (3) pois S gt lLo

go a decresce com acreacutescimo de S

Um alto S e entatildeo uma vantagem tanto para a transferecircnshy

cia de calor como para efeitos de moderaccedilatildeo Eacute uma vantagem para

transferecircncia de calor porque alto S significa alto V e portanto

maior turbulecircncia e maior contato do liquido com as paredes quenshy

tes Ha tambeacutem melhorias na estabilidade da reaccedilatildeo nuclear isto

porque como jaacute dissemos quando mdash7 diminui a estabilidade aumenshy

ta isso pode ser verificado observando a curva a versus x para a

agua leve a 1000 psiabdquo

Fig 4

58

A relaccedilatildeo entre x e a da equaccedilatildeo (3) so vale para secccedilatildeo

de tubo bem pequena

Devemos notar que S varia tambeacutem com a pressatildeo e velocida^

de de entrada do liacutequido no tubo Este efeito pode ser observado na

figura 5 abaxxo obtida esperimentalmente

s

3

~^ ~ psig

x = 001

V 1

Fig 5

Nos projetos de reatores como veremos adiante o valor a

geralmente eacute determinado por consideraccedilotildees nucleares (moderaccedilatildeo) 0

valor de S eacute determinado atraveacutes de uma estimativa ou entatildeo atrashy

veacutes de um graacutefico do tipo da figura 5 0 correspondente valor de x

pode ser obtido de uma foacutermula empiacuterica do tipo

1 = 1 (-S)0gt67

proposta por Von Glahn

Em muitos casos assume-se S constante em todo o comprimeiv

to do canal poreacutem eacute um erro que em muitos casos nao pode ser coshy

metido

4 REATORES EM QUE 0 LIacuteQUIDO B MODERADOR E CIRCUITO PRIMAacuteRIO AO

MESMO TEMPO BOILING-REACTOR (BWR)

A aacutegua ao se movimentar atraveacutes dos vaacuterios canais do

59

Boiling-reactor encontra vaacuterias resistecircncias ao fluxo que provoshy

cam uma reduccedilatildeo de pressatildeo no fluido

As duas perdas mais importantes sao perda de pressatildeo por

atrito e perda de pressatildeo causada pela aceleraccedilatildeo do refrigerante

ao aumentar de volume por receber calor num canal Outras perdas

de pressatildeo seriam a obstruccedilatildeo ao fluxo por corpos submersos (espa_

ccediladores juntas de tubos chaves etc) e por mudanccedilas abruptas de

aacuterea de fluxo tanto na entrada como na saiacuteda do tubo

Essas perdas de pressatildeo devem ser conhecidas o melhor popound

sivel principalmente nos reatores BWR Para tanto devemos saber

o comprimento de canal em que nao ha a ebuliccedilatildeo isto eacute qual o com

primento de canal em que o refrigerante vai da temperatura de sub-

resfriamento ate temperatura de saturaccedilatildeo

Seja o elemento combustiacutevel

Aquecimento Uniforme Aquecimento Senoidal

Fig 6 Fig 7

onde

H =

H = o

H b

comprimento do elemento combustiacutevel

cota onde o liquido se torna saturado

comprimento do elemento combustiacutevel em que ocorre

ebuliccedilatildeo

60

qg = calor sensiacutevel acrescentado ao liquido para satushy

raacute-lo

qfc = calor total acrescentado ao liacutequido em todo o com

primento do canal

laquoo

q s J o qiquest sen (IIzH) n H o

T~ = TH = 2 ( 1 c o s gt ( a )

q 1 sen (HzH) Jo ^c

A expressatildeo (a) vale quando tivermos uma adiccedilatildeo de calor

senoidal para qualquer outra forma de adiccedilatildeo de calor faz-se um

caacutelculo anaacutelogo

Outra relaccedilatildeo entre q g e qfc eacute dada pela termodinacircmica

q h- - h s f m (b)

(hr +x h )-hm ^t f e fg

onde

= entalpia para o liquido saturado a pressatildeo correjs

pondente (cota z = Ho)

hffi = entalpia do liacutequido na entrada do canal

x = tiacutetulo do vapor na saiacuteda

= entalpia do vapor

Com a relaccedilatildeo (b) noacutes determinamos a relaccedilatildeo q q ecom

S L

uma relaccedilatildeo do tipo (a) (conforme seja o adicionamento de calor ao

liacutequido) podemos obter a relaccedilatildeo HoH e consequentemente H^H

21 - Perda de pressatildeo num canal de evaporaccedilatildeo

Neste item iremos determinar as perdas de pressatildeo mais

representativas que ocorrem num canal de evaporaccedilatildeo de um reator

P + dP

bull1 i- 1 gti i i

dL

onde

UM

Icirc H Icirc Icirc T dF f t f

61

Quantidade de Mov na Entrada

= i- rigVg)

dF f l

Fig 8

m i

m 8

V l V 8

A P

dF

dF

dF

fg

fl

ftf

descarga do liacutequido

descarga do vapor

velocidade do liquido

velocidade do vapor

aacuterea transversal do canal

forccedila de atrito do vapor com parede

forccedila de atrito do liacutequido com parede

forccedila de atrito das duas fases liacutequido+vapor

Fazendo o balanccedilo das forccedilas considerando o sentido posjL

tivo na vertical temos

A (P-P-dP)-(dF +dF _+dF _)-(-pound-) (p A+p A )dL = mdash dGnV+m V ) P fg ftf fl g c 1 1 g g g c

v 1 1 g g 7

- dP = ~ (dF +dF--+dF)+- S--7=- (p A+p A )dL+ mdash ~ - d (m-V+m V ) A_ fg ftf fl g c Ap v^l 1 g g g A 11 g g

Fazendo a integraccedilatildeo termo a termo entre os dois extreshy

mos entrada e saiacuteda e considerando a pressatildeo de entrada igual a

P q e a de saiacuteda igual a Pe vem

Quantidade de Mov na Saiacuteda

-= h I- lY l+ A g V g + d ( aacute l V l + aacuteeVl

Forccedila de Gravidade

= ( g f - N P A + P g V

62

b) r e F f l

o p dp^ = Ap^ = perda de pressatildeo por atrito

do liacutequido na altura Ho

Aplicando a formula de Darcy vem

bull API = f bull ir bull ^ iexcl 7

onde

f = fator de atrito

c) e Fftf

o p ^P tpound

= perda de pressao por atrito da mistura

liquido + vapor no trecho de comprimen

to Hbdquo o

Para determinar esta perda de pressao define-se o fator

de multiplicaccedilatildeo R

A P R =

tf A P 1B

Sendo A p ^ a perda de pressao se o comprimento todo fosshy

se ocupado somente pelo liquido assim

A p t f = R A P 1 B

0 calculo de Ap-^ pode ser feito pela formula de Darcy e

o de R nos veremos no item seguinte

63

d)

-e F

d ( ^ )

O P

Ap = perda de pressatildeo por atrito do vapor

No caso do reator BWR o titulo de saida e bera pequeno e

em nenhum caso ocorre a saida de vapor com x = 100 logo a perda

de pressatildeo por atrito do vapor eacute nula assim

An = 0 5

e) Ap

(p A 1 + p A ) dL = Ap - perda de pressatildeo dpound

vida ao desniacutevel

(perda hidrostaacutetica)

Anbdquo = re A A

-S- I (p + p -S ) dL H s 1 A

c o p o A

como A A Jl_ =

A P

A +A-g 1

1-a -

temos

C Q

te j jll-a)p1 + apg)^jdL = p Lo pound

onde

e jo u

+ ap ) ~I dL (Densidade media 1 S J

no tubo)

No nosso caso

Ap u = p H

f)

re d(mV + m V ) _ mdash - laquo -i bull s iquestp laquos p e r d a ltje pressatildeo devido a acele-

c p raccedilatildeo do vapor

V A

(1-x) tl^Vj

(1-a) A

X V

aA

A p -

roV + m V

c p c p L_

m (l-x)m_v m xv nbdquo -1 T 1

+ _S S I (1-a) Ap aA

P

2 g A c p

n 2 2

(1-x) m T

laquo2 8 A c p

2 2 (l-xe) raTv1

2 2 2 xm_v (1-x) m-v e T s o 1 1

a 1 - a

2 2 - x m_v o T g

a

se

X Q 0 (so ha agua nesse trecho)

a = 0 o

temos

mbdquo Ap =

1 a A 2

S A degc p laquo-

tt-V v i 1 - a

2 via T^r - v i

t Apc

2

V v l

5c Ap

1 - a

x v - 1

a e v l

65

Fazendo

G = fluxo total da massa por unidade de area do

canal

(1-x J e

V

AP r

Assim a perda de pressatildeo total sera

H p V II pV r2 P -P = f -24-Iuml+ f R+p 0 1 2g c D e 2g c g c g c

2c2 - Determinaccedilatildeo do fator de multiplicaccedilatildeo (R)

221 - Relaccedilatildeo Martinelli-Nelson

Os autores Martinelli-Nelson determinaram experimental -

te esse fator R para varias LIT1L em funccedilatildeo da pressatildeo e da r NB total J v

qualidade de saiacuteda do vapor no canal Construiacuteram assim vaacuterias

curvas do tipo da figura 9

66

E importante notar que a qualidade do vapor (x) na saiacuteshy

da nao deve ser grande pois como vemos o valor de R cresce muishy

to com um aumento pequeno de x e um valor de R muito grande acar_

reta uma perda de pressatildeo grande pois

^ d u a s fases R ^ f a s e liacutequida

Para resolvermos um problema seguindo o criteacuterio de bdquo

Martinelli escolhemos a curva R = f(px) (para a relaccedilatildeo L

N g ^ j

adequado) e tiramos R com os valores de pressatildeo p e tiacutetulo x

As curvas R = f (p x L T t )IO encontram-se nos ANL 6469 bio I

e 6561

222 - Relaccedilatildeo Lottes-Flinn

Estes autores estudaram o problema para o aquecimento uni

forme do refrigerante com baixo titule Lottes-Flinn fizeram inuacuteshy

meras experiecircncias e verificaram que para fluxo de calor uniforshy

me e baixos titulos R era independente do fluxo de calor fluxo

do refrigerante escorregamento e apenas funccedilatildeo de a g

Como a quantidade de liacutequido eacute muito maior que a de vashy

por a perda de pressatildeo daacute-se principalmente pelo atrito do liacuteshy

quido com a parede Podemos assim escrever a foacutermula de Darcy

na forma diferencial

dz

d = f __ r e amp c

onde

V = velocidade do liquido saturado na cota zbdquo X

f = coeficiente atrito

= densidade do liacutequido saturado

Teoricamente a queda de pressatildeo deve-se ao acreacutescimo de

67

velocidade do liacutequido e da diminuiccedilatildeo da aacuterea de fluxo do liacutequi

do

P fH A P t p

= f D 2g Ho

d z

fazendo

V lo

m V t lo

(velocidade do liacutequido na cota z = Ho)

(1-x) m t v 1

(1-a) A (velocidade do liacutequido na cota z gt Ho)

a bull+ fraccedilatildeo vazio na cota z geneacuterica

V 1 (1-x) m t v 1

m t V l 1 - a

x =s 0 pois o tiacutetulo eacute baixo

A p t f = f bull JT5 c e

fH V lo

H o (1-a) dz

Para fazer a integral devemos achar a relaccedilatildeo de variaccedilatildeo

entre a e z Como o fluxo de calor eacute uniforme a qualidade eacute direshy

tamente proporcional a z

bull laquo x = x e H

z = mdash x X e

Sabemos ainda que (item 113)

x

1 + [ ( I -X)AKQ x + iiacuteraquo

68

como

temos

(1-x) = 1

v

X =

z =

1-a

1 -a

1-a e

a

e

1-a pound

a

1 -a igt (assumindo S = cte)

da

Atf - f bull 2 i ^ ~ J c e o

a 1 - a e e 1 s 4 hmdash) da

a 1-a

f P lv^ Q

0 termo mdash - mdash e a parte de perda de pressatildeo pelo lj^

^c e -quido ou seja Ap liquido saturado e como

Ap

R = tf

Ap liauido saturado

temos que

R J

f ae 1 _ a e 1 4

a 1 -a o e

1 -a r-R =

3 1 -a

a 1 -a imdash

3 vl - a 3

e e

Os valores de R obtidos por esta expressatildeo aproximam-se

muito dos valores obtidos pelos aacutebacos de Martinelli

69

E - EXPANSAtildeO E COMPRESSAtildeO DE UM FLUIDO - ANAacuteLISE HIDRODINAcircMICA

DE UM CIRCUITO EM CIRCULACcedilAtildeO NATURAL

1 EXPANSAtildeO NO FLUXO DE UM FLUIDO

11 - Uma so fase

Figura 1

Ha vaacuterios meacutetodos para determinar a variaccedilatildeo de pressatildeo

numa expansatildeo de fluido estudaremos o de Romie que eacute o que daacute

maior precisatildeo

Romie considera que a pressatildeo p^ tambeacutem atua na aacuterea

imediatamente apos a expansatildeo Assim fazendo o equiliacutebrio das foi

ccedilas nas secccedilotildees tracejadas da figura 1 temos

mVj

p r A 2 + mdash

mV

bull 2- A2

mas

m = pV^A^

pV^A = p V 2 bdquo A 2

V A

v 2 -4r-logo

( P l-P 2) A 2 = f ( V ^ ) - f _ v j amp c c 2

70

2 pV A A pV A A

Chamando A l A ]

K = 1 - T e degi2 = Aiexcl bull V E M

pvj

P l P 2 = T ~ bull ( 2 deg 1 2 ) ( 1 _ a 1 2 )

Outra maneira de chegar atilde diferenccedila de pressatildeo ( P j - ^ ) s mdash

ria usar o coeficiente de perda da mecacircnica dos fluidos Assim o

equilibrio das pressotildees eacute

2 2

1 V l 1 V 2 V l P i + _ p _ ^ P 2 + I p ~ + k 1 2 p mdash

onde = coeficiente de perda

A 2 1 2

k 1 2 - (l-o 1 2) - (1 - j- )

Fazendo as transformaccedilotildees chegamos a mesma expressatildeo obshy

tida pelo balanccedilo das forccedilas

PraquoIacute pr p

2 - - ir ^ laquo-ia

12 - Duas fases

Como ha duas fases a equaccedilatildeo do balanccedilo das forccedilas fica

um pouco alterada

m pound 1 V- m - raquoV - m-V- m bdquoV _ P A + j y ^ i + _gl_JUuml P A + -11-11 + -ilsl (a)

1 2 e R 2 2 ff e

Sabendo que

71

m (1-x) m t = p fA (1-a) V f

entatildeo

fl l-o^ p fA x

6 Vf2 1-x l-a2 P fA 2

m V = mdash mdash e V 0 = gl a 1 P C T A 1 g2

m

a_ p h

2 g 2

Nas expressotildees anteriores o x nao varia porque a expansatildeo

5 adiabaacutetica porem o a varia devido a modificaccedilatildeo do tamanho da

bolha

Substituindo os valores das velocidades na expressatildeo (a)

vera

( P - P ) Abdquo =

2

2 2 m gt2 2 m t (1-x) 1 x t

ra i 2 m i 1 x t 1

p fA 1 g c ttl p Ax gpound

m t P - P = mdash

(1-x) (l-a 1)A 1A 2 (l-a2)A|

a r A r A 2

V A 2

m t P bdquo - P = mdash 2 1 g c A r A 2 p f

(1-x) 1-a f A 2(l-a 2)

bull ^ 2

72

Se

P -P

a

m

g

12

1 _1_ (1-x)

J12

1 _ a l 1 - a 2 + X (- )

Pg

1 deg12 a 2 ^

Sabemos que

mt = V o pf laquo A l

Sendo V q = velocidade do liquido num ponto onde natildeo haja vapor

P 2-P 1

u 2 2 A 2

V pr Ai

V W p f

(1-x) 12

l-a1 l-a2

+ X 2 pf

mdash

l deg12

-1 a 2 _

p -p r 2 Al (2a 1 2)

2 M f w 1 deg12 X (mdash) (

pg al a 2 )+(l-x)C l 1 12

1-a^ l-a2

Devemos notar que esta expressatildeo tambeacutem vale para quando

temos uma fase para isso basta fazer

= c t 2 = 0

X = 0

e recairemos na formula do item anterior

2 pf 1 deg12 Observemos que neste caso o termo x (mdash)( ) nao

Pg al a2

2

73

tem significado pois corresponde a mudanccedila de fase

2 CONTRACcedilAtildeO KO FLUXO DE UM FLUIDO

21 - Uma so fase raquo mdash

Aqui ocorre um fenocircmeno importante pois o fluido ao ser

contraiacutedo nao vai diretamente da area A^ para a area A 0 mas ele

contral-se ate uma area A^ e depois expande-se ate k^

Ao A2

Po IP 2

V 2

Figura 2

Fazendo o equiliacutebrio das pressotildees entre os planos (1)

(0) vem 2 2

pV pV p +~ plusmn - P + i deg bull 1 2 g o 2 g (b)

C x

Fazendo equiliacutebrio da expansatildeo (0) - (2) vem

P o + 2 - f = P 2 + 2 -T + kp- 2 F ( c )

c c b C

Subtraindo (b) - (c)

2 2 2

i p- vj i p- v2 L P l + 2 bull g c

P 2 + 2 2g c

+ k P 2g c

74

Como

P - P = mdash 2 2g

2 2

bull (1 + k) - f bdquo mdash i

k a - f2 ) 2 - d - o c )2

= o

A = a 21

Weisback obteve varias relaccedilotildees entre a e a i] c

01 02 03 a 0624 0632 0643 c

0624 0632

A r v i - V v 2

p -p 1 2

P -P 1 2 2g7

v l =

(1+k) - laquofi- a 2g 21 c

( 1 + k - o 2 1)

X[- V 2 o 2 1V 2

22 - Duas fases

0 valor de k pode ser aproximado para

k = a(l - o 2 1)

onde segundo Richardsons para fluxo de duas fases podemos supor

a = 02

Para fluxo homogeacuteneo sabemos que

75

p = p f (1 -a ) + p o a

podemos supor p bdquo a = 0 pois p e pequeno e fazendo

V = V ~ V fbdquo2 go2 v 2

Substituindo estas duas expressotildees na equaccedilatildeo de uma soacute fase vem

2 2 p V (l-ct) p V (1 -a ) bdquo

P l P 2 = 9g ( 1 + 3 - 3 0 ^ - 0 ^ ) = g (a+1) (l-a^)

Se a = 02

2 12p oV 0

p r p

2 - 9g gt d-) d-sigt

A compressatildeo de um fluido acarreta uma perda de pressatildeo

como pode ser verificado pelas formulas uma vez que lt 1deg

3 ANALISE HIDRODINAcircMICA DE UM CIRCUITO EM CIRCULACcedilAtildeO NATURAL

Esquema deacute uma caldeira com circulaccedilatildeo natural

76

Determinar a velocidade em (7) para que tenhamos circula

ccedilatildeo natural Determinar tambeacutem as perdas de pressatildeo em todos os

trechos da caldeira

31 - Contraccedilatildeo das secccedilotildees (1) - (2)

Como jaacute vimos a equaccedilatildeo do balanccedilo das pressotildees eacute

1 pr Vl 1 p 2 o V 2 P2 V2

1 2 g 2 + 2 g + K12 2g otilde c amp c e c

bullraquo 2 o2 2 e havendo uma soacute fase k 1 9 = (l-o ) = (1 mdash ) e sendo

C 2

p l = p2

v x lt lt lt v 2

P 2 V pr p2 bull ir2 bull ( 1 + k12gt

Colocando em termos de temos

A 2 V 2 P 2 = A 7 V 7 p 7 (continuidade)

V = V mdashbull = V o_bdquo ~ A 2 2 2

P 2 V - p 2

p r p 2 = ir2 - deg72 bull Ccedilrgt bull lt 1 + ki2gt

fazendo

N12 - lt^gt deg72 ( 1 + k12gt

P7 V7

Pr P2 - N12 bull HG

77

3 2 - Perda de carga no trecho ( 2 ) - ( 3 )

Como haacute apenas uma fase soacute temos perdas por atritos e

perdas hidrostaacuteticas

Sendo como jaacute vimos

2 3 p 2 2 g P 2 P 3 = f 2 3 (r~2g^~) L 2 3 g c p

atrito hidrostaacutetica

Substituindo V^ pela relaccedilatildeo do item anterior e tendo em

conta que p = vem

P -P = f 2 r 3 2 3 D

2 3 p 2 bdquo 2 2 p 7 2

2 g 7 72 p 2 3 g

Se

L 2 3 2 p 7

2 3 2 3 D 2 a 7 2 p 2

P 7 V 7 g P 2 - P 3 = N 2 3 ( mdash gt p 2 L 2 3 f

3 3 - Expansatildeo nas secccedilotildees ( 3 ) - ( 4 )

Como vimos o balanccedilo das pressotildees e

2 2 2 p V p 4 V p V

P 3 + 2 g c

P 4 + 2 g c

+ k 3 4 2 g c

onde

k 3 4 - - -

2 2 1 P 4 - V 4 P 3 v 3

P 3 P 4 = 2 g + ( k 3 4 _ 1 ) 2 g

78

Sendo

P 3 - P 4

p 3 o A 3 deg V 3 = P 7

a A 7 o V 7

P 4A 4 0V 4 = P r A r V

3 7 A 3 p 3

A7 P7 V = v mdash mdash 4 7 P 4

P - P 3 r4

Se

P bdquo - P

bdquo2 r-P 7 V 7

3 4 2g deg74 + ( k 3 4 1 ) deg73

34 p deg74 + ( k 3 4 1 ) 73

p r v2

P3- P4 ^ N34 ^ gt

(No caso e negativo)

34 - Contraccedilatildeo nas secccedilotildees (5) - (6)

Ainda temos uma so fase e fazendo o balanccedilo das pressotildees

como fizemos no item 3lt1 vem

P + vil p + vi + k vi P 5 + 2gbdquo P6 + 2gbdquo + k56 2gbdquo

k 5 6 lt 1 ^ gt 2 ( 1 - Iacute 2 i 2 6

V V6 P5degIacute 5^6 ^SS 2g c - 2g c

P - P ^ = (1+kJ

Como

79

A 6

W p 5 =

VV P6 V 5 = V 6 Jiexcl = Vff65

P 5-P 6 - lt H k 5 6 ) mdash ^ mdash (l+k 5 6-a 6 5) c c c

Sendo

Se

A 7 p 7 p 7

6 7 Ag p 6 7 76 p 6

p _p _ P6- V7- g76 iquest72 ( _ 02 P 5 P 6 2g c bull ( p 6

( 1 + k 5 6 deg65 )

p 7 2 2 N56 = p ^ deg76 ( 1 + k 5 6 ~ a 6 5 )

P 7 V 2

7

P r-P = N r 5 6 56 2g c i

35 - Perdas de pressatildeo nas zonas (6) - (7) - Pre^aquecimento

Nesta regiatildeo temos perdas por atrito e hidrostaacuteticas

Nao haacute perda por aceleraccedilatildeo pois ainda natildeo houve formaccedilatildeo de boshy

lhas

Fazendo balanccedilo das pressotildees temos

L_ ppound-V p = p + otilde L - pound _ + f -Si (-21mdashL 6 7 + p67 L67 g + t 6 7 D K 2g

p _ e ifn sao tomados como valores meacutedios 67 67

P _p _ f hl ^67jIacute uuml + - L A

6 F 7 r67 D 2g P P67 L67 g 6 s c 7 c

S e Kr pound67 L67 p67 6 7 D 6 p7

p7 V - _g_ P6- P7 - N67 mdash + P67 L67 f

c c

80

36 - Perda de pressatildeo nas zonas (7) - (8) - Zona de ebuliccedilatildeo

Nesta regiatildeo j aacute temos o aparecimento de bolhas logo a

perda de pressatildeo seraacute devida agraves t recircs parcelas aceleraccedilatildeo a t r i t o

das duas fases liacutequidas + vapor e h idros taacute t ica

onde

Assim

P-P Q = AP + AP + APbdquo 7 8 a t r i t o acel H

T M1

78 p 7 7 AP - R f- - mdash mdashr |R = fator mult ipl ica-

a t r i t o 7 D 7 2 g c L tivo

G 2

AP bull r mdash acel g c

P V

|_1 - o a p J 8 P f

2 t r 2 M2

7 7 r 7 7 A P a c e l = -J^mdash 2 r bull p 7 lt T iexcl iexcl - )

A PH p 7 8 L 7 8 fiexcl

p 7 8 iacute 7 li 1 0 0 P l i q + a P v ] d L = P 7 ( 1 - laquo 7 8 )

ag raquo fraccedilatildeo de vazio media entre 7 e 8

APH = p (1 - 5 7 g ) f- L 7 8

2 2

P 7 - P 8 a 5 - 2 T i + 2 r p 7 + P 7 ( 1 - 7 8 gt f L 7 8 7 amp c amp c amp c

81

N 7g = R mdash + 2 r p 7

P7 V7 P7- P8 = N78 + P 7 ( 1 5 7 8 gt J78

37 - Expansatildeo nas secccedilotildees 8 e 9

No caso haacute uma expansatildeo com duas fases e como vimos no

item 12 a variaccedilatildeo de pressatildeo era dada por

0f Vo P2 P1 = ~2g c ( 2 deg12

x 2 (mdash)(mdash - mdash ) + ( l - x ) 2 ^ T mdash 8 1 2 1

12

Aplicando ao nosso caso

P pound = P 7

P -P = 8 9

V - V raquo V g f 7

P 7 V 2

2 pf 1 a89 2 1 g89 x (mdash) ( ) + (1-x) (- - N

o ou abdquo 1-cu l-ot_) g 8 9 8 9

Se

N 89

= 2 a 89

2 pf 1 deg89 2 1 CT89 x (mdash) ( ) + (1-x) ( T

g 8 9 8 9

P -P = 8 9

- N P7deg V7

89 2gbdquo

38 - Perda de pressatildeo no trecho 9 e 10

No referido trecho temos apenas perda de pressatildeo por atr L

to da fase liacutequido + vapor e perda hidrostaacutetica Natildeo haacute perda por

aceleraccedilatildeo do vapor pois este natildeo recebe mais calor e portanto

o 82 o

nao ha variaccedilatildeo no a

p

Q -p i n = A P

U + A P bull 9 10 H atrito

n T -S_ P9 U10 deg 910 bull g

fio r

910 I 910

J9 L

(l- a)P + Q P I dL liq v

(l-a0) p

No caso a = (nao hatilde variaccedilatildeo de forma)

A P H - (1-a ) P (p L 0

c

AP bdquo = R o

atrito

2 f9 o L910 P9 V9

2g

Supondo

= V

P 9 = P 8 P 7

vbdquo = v 9 8 0 A r

= V 7 bull deg89

AP - R atrito

2 2

W l O p7deg V7deg g89

V P10 R -^T^ bull deg89 bull li-2 + ( W P 7 (fgt SIO

y c c

Se

- f9 L910 2 N9ol0 R Dl deg89

w 2

p rv P9 P10 = VlO + ( 1 a 9 ) p7 (f gt L910 c

33

39 - Perda ciacutee pressatildeo na expansatildeo 9 - 1 0

Analogamente a expansatildeo 8 - 9 temos

10 11 P 7 2g

10 Iacute 2 0 1 0 - 1 1 gt

2 ff

pg aio

10-11

laquo11 ) +

Ll-a 1 0 bull l-a u J

Se

V10 = V 9 = V 8 bull T9 = V 7 deg89

P -P 10 rll = - a 2g 089 ^lO-ll

4 bull T~ bull (7 1 mdash ) + Pg degio a n

+ (l-x)2(- 1 10-11

1 - aio )

N10-ll = 2 a10-ll a89 2 pf t 1 10-11 N2

-(j-r- - ) bull+ (1-x) pg aio deg 1

10-11 k l - a io

prz P10 Pll = - N10-ll bull ( 2gbdquo

310 - Calculo de V

Fazendo a somatoacuteria de todas as expressotildees (P^-Pj) tere-

84

mos 2 PbdquoV_

P bdquo - P bdquo = N 7 v 7

1 2 12 2g

bull 2 - P 3 - = N 2 3 P 2 L 2 3 f c ccedil

9 P 7 V 7 P _p = N mdash -

3 4 34 deg 2g

V P 5 = deg

2 P V

5 6 56 2 g c

ltr2

P 7 -V 6 e7 -N67 2g + p 6 7 J j67 g

c bc v 2

P 7 - P 8 = N 7 8 - 2 i ~ + p 7 ( 1 - laquo 7 8 ) L 7 8 c

P 7 V 7

P - P - -N mdash - -8 9 89 2g

c P 7 V 7

P 9 ~ P 1 0 VlO 2g + ( 1 a 9 P 7 L 9 c

P 7 V 7

bull10 11 U10-ll 2g

P v iacute j P - P

1 11

7 - v 7 3 bull r

2 8 i U L 2 23 67

(l-5 7 8) L 7 8 + ( l - laquo 9 ) P 7 bull SlOtilde]- ^

Por ou t ro lado sabemos que como secccedilotildees 1

mesmo n iacute v e l

85

s c p r v 7 j

28 Z N i ij

= P 2 L23 p67 L67 P 7 ( 1~deg78 )

78 ~ ^g) bull P 7 bull L 910 g_

V - 2 g ( p r L 2 3 - p 6 r L 6 7 - p 7 ( l - atilde 7 8 ) L 7 8 - (l-a9) p L 9 a ( )

y N

Com esse valor de podemos determinar todas as variashy

ccedilotildees de pressatildeo (P^-P )

BIBLIOGRAFIA

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tituto de Energia Atocircmica de Sao Paulo em 1966 (roteiro)

- WR Gambill - Nuclear Safety

Vol 9 - n9 5 e 6

Vol 6 - n 2 (pag 152)

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- AKL - 6469

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Journeacutees Internationales de la transmission de la chaleur

Seminaacuterios realizados em Paris em 1961 sob a supervisatildeo do

Prof Marcel Veron

Notas de aula da Cadeira de Termodinacircmica I e Transmissatildeo da

Escola Politeacutecnica da Universidade de Sao Paulo

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5

2) meacutetodo empiacuterico

3) meacutetodo integrado

Meacutetodo analiacutetico -to estudo para uma partiacutecula do flui

do da transmissatildeo de- calor levando em conta tambeacutem as

equaccedilotildees do escoamento e da continuidade do fluido o que leva a

equaccedilotildees diferenciais de difiacutecil soluccedilatildeo Tais soluccedilotildees em geral

sotilde sao possiacuteveis quando fazemos hipoacuteteses simplificadoras que se

nao forem corretas nos levaratildeo a uma soluccedilatildeo errada

Meacutetodo integrado - Eacute o estudo para um agregado de partiacuteshy

culas e tem o mesmo tipo de soluccedilatildeo que o meacutetodo analiacuteti

co poreacutem para esse agregado

Meacutetodo empiacuterico - Este meacutetodo estaacute associado agrave anaacutelise di

mensional Tal meacutetodo consiste em deduzirmos os nuacutemeros

adimensionais que influem no processo e procurarmos depois atrashy

veacutes da experiecircncia equaccedilotildees que os relacionem

6 ANALISE DIMENSIONAL

0 meacutetodo empiacuterico eacute o mais usado em virtude das dificulshy

dades que os outros apresentam apesar das suas limitaccedilotildees

Devemos tomar dois cuidados especiais para nao chegarmos

a resultados falsos o primeiro eacute obter dados experimentais os mais

corretos possiacuteveis e o outro eacute o de ao considerarmos um tipo de

convecccedilatildeo nao esquecer nenhuma variaacutevel que influa no mecanismo

pois se tal acontecer os nuacutemeros adimensionais obtidos seratildeo com

pletamente diferentes dos reais

Neste estudo usaremos o teorema de Buckingham ou teore

ma dos ir que diz o seguinte

Uma equaccedilatildeo de m variaacuteveis sect (x^ x 2 x^) que por sua

vez sao funccedilotildees de n_ dimensotildees fundamentais pode ser transformada

numa relaccedilatildeo entre (m-n) grupos adimensionais

6

Devemos notar ainda que a analise dimensional e o teore

ma dos TT nao nos permitem obter a relaccedilatildeo matemaacutetica entre os gru

pos adimensionais mas apenas quais os grupos que interferem no

fenocircmenoo

7= CONVECCcedilAtildeO NATURAL

Experimentalmente verificou-se que nesse fenoacutemeno intejr

ferem as seguintes variaacuteveis

Variaacutevel Unidade Dimensatildeo

h - coeflaquo de peliacutecula kcalhr degCm 2 ( M ) ( 0 ) 3 (T) 1

x = dimensatildeo caracteriacutestica m ( L )

AT bull-= diferenccedila de temperatu ra entre parede e flui do

degC (T)

p = massa especiacutefica fluido kgm3 (M) ( L ) 3

y = viscosidade dinacircmica kgsegm ( M ) ( e ) 1 ( L ) 1

6 = coei de expansividade teacutermica

V1

c = P

= calor especiacutefico do fluido

kcalkg degC (D2 ( e ) 2 (T) 1

k = condutividade teacutermica do fluido

kcalm hrdegC OOCDO)3^)1

g raquo aceleraccedilatildeo da gravidade mseg ( L ) ( e ) 2

Dimensotildees

(M) = massa

( L ) = comprimento

(8) = tempo

(T) = temperatura

I

Considerando que apenas estas 9 variaacuteveis influem na con-

vecccedilao natural o fenocircmeno poderaacute ser escrito na forma

B A_C D E F G H I h = A x (AT) bdquo p bdquo u o S Cp k g (1)

Sendo A B C D E F G H I expoentes reaisraquo

De acordo com o teorema dos T T se noacutes temos m = 9 variaacuteshy

veis funccedilotildees por sua vez de n = 4 dimensotildees o fenoacutemeno poderaacute

ser descrito por uma equaccedilatildeo de (9-4=5) adimensionais

Pesquisemos quais sao esses adimensionais Substituindo

na expressatildeo (1) as dimensotildees correspondentes temos

Me 3 T_1 = A LB TC (ML~3)D (Me - 1 ITV (T-1)F

a2 e~ 2 T - 1 ) g (MLe3

0T_1)H ( L e - 2 ) 1

Devido a homogeneidade de unidades da expressatildeo as somas

dos expoentes da mesma dimensatildeo nos dois membros devem ser iguais

(EM) D + E + H - 1 (I)

(26) - E - 2G - 3H - 21 = -3 (II)

(ET) C - F - G - H = -l (III)

(EL) B - 3 D - E + 2G + H + I = 0 (IV)

Solucionando o sistema acima em funccedilatildeo das variaacuteveis C

D G e T vem

Somando (I) e (II)

D - 2 G - 2 H - 2 I = - 2 o H = ~ G - I + 1

Substituindo o valor de H em (III) vem

C - F - G - | + G + I - l = - l F = C - + I

Substituindo o valor de H em (II) vem

8

- E - 2G - -y- + 3G + 31 - 3 - 21 = - 3 E = G + I - -y

Substituindo E e H em (IV) vem

B - 3 D - G - I + - y - + 2 G + | - - G - I + l + I = 0

Voltando agrave expressatildeo (1) temos

h = A x D + I - 1 ( A T ) C pdeg u G + I ~ 3 0 2 g C ~ 0 2 + 1

G D2 - 6 - 1+1 I c p k g

Agrupando os termos de mesmo expoente vem

t A 2 2 - 3 - 1 v D 2 -1 1 n = A (x p bdquo u g o k ) o (x u g k g)

o (AT g ) C (vi k 1 c p )Q o ( x - 1 k g )

h - A ( x 2

3 - p 2 k ) D 2 ( g deg Z)1 (AT g ) C

li 3

C k J x

2 2 h x x p k D 2 x u g gI

k ~ A ^ 3 o

deg 1 k deg

y 3

(AT g ) C ( ^ ) G

Chamando

h bdquo x n = mdash f mdash = Nbdquo = n9 de Nusselt 1 k Nu

T T 2 = p

k

P = N p r = ndeg de Prandtl

rr3 = AT o g

2 2 i

x o p k

4 3 R

M g

Assim os fenoacutemenos de convecccedilao natural sao descritos por

uma equaccedilatildeo do tipo

F ( IacuteW N P r V V V = deg Como as variaacuteveis 3 AT e g na convecccedilao natural soacute in

fluem nas forccedilas de empuxo provocando o movimento macroscoacutepico do

fluido devem aparecer constituindo o produto (g g AT) Para

que isso seja possivel devemos ter

~ = I = C reunindo-se assim os 3 adimensionais tr

T T ^ ir ou seja

ir AT g gt k P 2 X bull P B bull = 3 4 5 u 3 6 k

3 2 x p g g AT bdquo M O j o u c

= 7 = N_ = N9 de Grashof 2 Gr

Finalmente a convecccedilao natural pode ser descrita por uma

equaccedilatildeo da forma

F(Nbdquo N_ Nbdquo ) = 0 Nu Pr Gr

Agora soacute resta obter para cada caso possiacutevel do paraacutegra

fo 4 ps coeficientes desses 3 nuacutemeros adimensionais

8 CONVECCcedilAO FORCcedilADA

Na convecccedilao forccedilada nao influem as forccedilas de empuxo poshy

reacutem influi decisivamente a velocidade do fluido Assim as variaacuteshy

veis que intervecircm no fenocircmeno sao

h = coeficiente de peliacutecula (M) ( 8 ) ~ 3 ( T ) 1

o 10

x = dimensatildeo caracteristica (L)

-1 V = velocidade do fluido (L) (8)

I -3

u = viscosidade dinacircmica do fluido (M) (L)- (0)~

p = massa especifica do fluido (M) (L)

- 2 - 2 - 1 0^ = calor especifico do fluido (L) (6) (T)

k = condutividade teacutermica do fluido (M) (L) ( 0 ) ~ 3 ( T ) 1

0 fenocircmeno eacute determinado por estas 7 variaacuteveis logo coja

forme o teorema dos ir podemos descrever o fenocircmeno por uma equaccedilatildeo

com (7 - 4) = 3 nuacutemeros adimensionais

A equaccedilatildeo de h em funccedilatildeo das variaacuteveis seraacute do tipo

h = A x V u bull P bull c k (2)

substituindo as dimensotildees vem

M e~ 3 T - 1 = A L B (L Q~X)C (M L - 1 e 1 ) 0

(M L 3 ) E ( L 2 e 2 T _ 1 ) F (M L e - 3

T - 1 ) G

Igualando a soma dos expoentes da mesma variaacutevel dos dois membros

vem

(EM) D + E + G = 1 (I)

(Z6) - C - D - 2F - 3G - -3 (II)

(ET) - F - G = -1 (III)

(EL) B + C - D - 3 E + 2 F + G = 0 (IV)

resolvendo o sistema acima em funccedilatildeo de C e G vem

de (III) F = 1 - G

de (II) - C - D - 2 + 2 G - 3 G = - 3

bull D = 1 - C - G

substituindo o valor D em (I) vem

11

1 - C - G + E + G = 1 E = C

substituindo os valores de D E e F em (IV) vem

B + C = l + C + G - 3 C + 2 - 2 G + G = 0

B = C - 1

assim a equaccedilatildeo (2) ficaraacute sendo

C-l bdquoC 1-G-C C 1-G G h = A x V y p c k

P

colocando o coeficiente de k na forma (1-G) + l^j vem

h = A (x V y1 p ) C (ii c k - 1 ) 1 - 0 (x _ 1 k) P

u c hx p x VvC p xl-G k = A ( y gt ( k

ILJLJL = N

k Nu

y c N

e k Pr

p V x _

y N R e = N9 de Reynolds

Logo o fenocircmeno de convecccedilao forccedilada seratilde representado

por equaccedilotildees do tipo

f ( NNugt NPrlaquo N R e ) = 0

9 SIGNIFICADO FIacuteSICO DOS ADIMENSIONAIS

91 - Numero de Nusselt

N = bull h = 2L- _) Nu k AT v

v3 x x=0

eacute uma relaccedilatildeo entre o gradiente de temperatura junto a parede e a

12

variaccedilatildeo total da temperatura do fluido

92 - Numero de Prandtl

Pr = pp = 2 kpc a

P

Relaccedilatildeo entre viscosidade ci nemaacutetica v e a difusividade teacutermica a

93- Numero de Reynolds

N_ = amp Relaccedilatildeo entre as forccedilas de Re u - r bull

ineacutercia e as forccedilas viscosas que interferem no escoamento fluido

94 - Numero de Grashof

H = mdashmdash mdash^mdash 2 mdash amp a relaccedilatildeo entre o pro-u duto (forccedila de ineacutercia )

x (forccedila de empuxo) e o quadrado das forccedilas visshycosas que interferem na convecccedilao natural

11 EQUACcedilOtildeES DE CONVECCcedilAO FORCcedilADA

Por ser o caso mais importante na induacutestria soacute veremos

algumas equaccedilotildees para a convecccedilao forccedilada e deixaremos de lado a

convecccedilao natural por ser menos importante

Para cada tipo de escoamento para cada regime de transshy

ferecircncia de calor e para cada configuraccedilatildeo geomeacutetrica teremos uma

equaccedilatildeo com expoentes e coeficientes diferentes poreacutem sempre com

as mesmas trecircs variaacuteveis

Nbdquo N- N_ Nu Re Pr

Para resolver um problema de convecccedilao devemos antes

avaliar as propriedades do fluido essa avaliaccedilatildeo eacute feita considj

13

rando a temperatura media do fluido isto e a meacutedia aritmeacutetica da

temperatura entre um ponto do fluido junto agrave parede e um ponto onshy

de a temperatura do fluido seja constante longe da parede

Ha casos entretanto que na praacutetica trecircs adimensionais

so nao sao suficientes para expressar o fenocircmeno isto porque as

vezes ha uma propriedade que eacute muito sensiacutevel a uma pequena varia

ccedilao de temperatura logo para estes casos introduzem-se outros adi^

mensionais para levar em conta a dependecircncia dessa propriedade com

a temperatura

Todas as expressotildees foram obtidas experimentalmente A li

teratura especializada tem formulas para todos os tipos possiacuteveis

de geometria Vejamos alguns exemplos

101 ~ Convecccedilatildeo forccedilada sobre superfiacutecies planas

a) regime laminar ( N R g lt 400000)

N T = 0664 (N ) 1 f 2 (N ) 1 ^ 3

NuL ReL u Pr

b) regime turbulento ( N R g gt 400000)

NNuL deg 0 3 6 lt N P r ) 1 3 t gt R e L ) 0 8 1 8 7 deg deg ^

102 - Convecccedilatildeo forccedilada dentro de tubos ciliacutendricos

a) regime laminar (N_ ^ lt 2100) mdash Re D

i

b) regime turbulento Nbdquo _ gt 2100 mdash u Re D

N v _ = 0023 (N_ J 0 8 (Nbdquo ) n

NuD ReD Pr

14

n = 04 para fluido aquecendo

n =raquo 03 para fluido resfriando

Note-se que neste caso houve necessidade de considerar ou

tros adimensionais para aliar a anaacutelise dimensional agrave experiecircncia

no item a) dois outros adimensionais tiveram que ser acrescentados

(DL) e (up s)

Na expressatildeo 101 b) se o N critico for tomado como

sendo 5 x 10 (usado comumente) a expressatildeo usada eacute a mesma a me

nos do termo 18700 que passa a ser 23200

Devemos observar finalmente que estas expressotildees nao se

aplicam a metais liacutequidos e que elas nos datildeo nuacutemeros de Nussel meacuteshy

dios e natildeo locais

15

B - CONVECCcedilAtildeO COM MUDANCcedilA DE FASE - CONDENSACcedilAtildeO (I)

lo INTRODUCcedilAtildeO

Devemos considerar dois tipos de convecccedilao com mudanccedila de

fase que sao a condensaccedilatildeo e a evaporaccedilatildeo

Os problemas de convecccedilao de calor com mudanccedila de fase sao

tao importantes na industria como os de convecccedilao de uma uacutenica

faseraquo Os exemplos mais comuns de sua aplicaccedilatildeo sao os condensadoshy

res e evaporadores usados nos condicionadores de ar geladeiras

caldeiras etc

Neste capiacutetulo estudaremos apenas a condensaccedilatildeo

Os problemas de convecccedilao com fluidos condensando ou evashy

porando sao bem mais complexos que os demais processos de convecshy

ccedilao porque aleacutem de envolver variaacuteveis nao consideradas na conshy

vecccedilao de sistemas de uma so fase tecircm uma variaccedilatildeo nas propriedashy

des fiacutesicas de tal grandeza que essa variaccedilatildeo interfere decisiva

mente no fenocircmeno

2 CONDENSACcedilAtildeO

Eacute a passagem de um vapor para o estado liacutequido pela retishy

rada de calor

21 - Aspectos Gerais

A condensaccedilatildeo eacute realizada fazendo com que o fluido (vashy

por) entre em contato com uma superfiacutecie cuja temperatura esteja

abaixo da temperatura de saturaccedilatildeo do fluido correspondente atilde pres_

sao do vapor

0 coeficiente de peliacutecula relativo ao vapor de aacutegua satushy

rada que condensa sobre uma superfiacutecie fina eacute da ordem de grandeshy

za de 10000 kcalhrm^degC em casos excepcionais chega-se acirc valo-

16

res 50o000-100bdquo000 kcalhrm 2degC Isto eacute obtido a maneira pela

qual a condensaccedilatildeo se produz Ilaacute duas maneiras

1 - condensaccedilatildeo por peliacutecula daacute-se quando o liacutequido con

densado molha totalmente a parede formando urna peliacute

cula continua sobre a mesmaraquo

2 - condensaccedilatildeo por gotas daacute-se quando o liacutequido ao se

condensar rcune-se em gotas que crescem ateacute terem

peso suficiente para escoarenu

0 primeiro tipo eacute o mais comum e eacute o que daacute menor coefishy

ciente de peliacutecula porque a pelicula do liacutequido constitui uma re

sistencia adicional a passagem do calorraquo No segundo tipo chega-se

a coeficientes de pelicula muito maiores pelo fato do vapor estar

sempre em contato direto com a superficie resfriadura isto eacutepor

nao haver resistencia adicional

2o2 - Condiccedilotildees para termos condensaccedilatildeo por peliacutecula ou por

gotas

Sob o ponto de vista da transmissatildeo de calor deveriacuteamos

sempre preferir a condensaccedilatildeo por gotas pois como jaacute dissemos e

a que daacute maior eficiencia teacutermica Acontece poreacutem que tecnologji

camente eacute difiacutecil a obtenccedilatildeo da condensaccedilatildeo por gotas pois haacute

necessidade de termos um vapor puro urna superficie de resfriameii

to perfeitamente lisa (cromeada espelhada) e com resinas para fa

cilitar a formaccedilatildeo das gotas Tudo isso encareceria demais um con_

densador por isso eacute que na praacutetica usamos condensaccedilatildeo por peliacutecu

la quando podemos usar chapas ou tubos comerciais

So em casos muito especiais quando o espaccedilo eacute muito imshy

portante usa-se condensaccedilatildeo por gotas

2 3 - Remoccedilatildeo do Condensado

Um fator importante a considerar na condensaccedilatildeo eacute a remo

17

ccedilao do condensado que sempre se faz por gravidade Ha dois tipos

principais de superficies de condensaccedilatildeo

1 - Tubos ou placas verticais (ou encunadas)

2 - Tubos cilindricos horizontais

Nos tubos verticais a espessura da peliacutecula liacutequida aumen

tara do topo acirc base e com isso variaraacute ao longo do tubo o coefishy

ciente de peliacutecula loacutecalo

No caso dos tubos ciliacutendricos horizontais o liacutequido escoj

re pela parede lateral e goteja pela parte inferior natildeo havendo

possibilidade de formaccedilatildeo de camadas espessas do condensado

2raquo4 - Condensaccedilatildeo por peliacutecula sobre tubos verticais

Nusselt desenvolveu estudos analiacuteticos sobre condensaccedilatildeo

externa a tubos ciliacutendricos verticais partindo das hipoacuteteses

1 - A espessura da peliacutecula do condensado eacute nula na parte

superior do tubo e vai aumentando nas partes inferioshy

res por condensaccedil-ao e escorrimentoraquo

2 - 0 fluido escorre pela parede em regime laminar sob o

efeito combinado do seu peso e viscosidade

3 - A temperatura da camada mais interna do condensado tem

a temperatura da parederaquo

4 - A temperatura da camada mais externa tem a temperatushy

ra do vapor-

5 - A variaccedilatildeo da temperatura da camada do condensado em

sentido ortogonal agrave superfiacutecie do tubo eacute linear

6 - 0 vapor cede apenas seu calor latente

7 - A temperatura do tubo eacute uniforme e constanteraquo

8 - Nao haacute gases incondensaacuteveis no vapor (vapor puro)

Chegou a formula

18

2 3 g P - h L t

N j = 0943 ( r-EcircY~ ) 1 4 (l) NuL y bdquo k o At v

As propriedades da equaccedilatildeo (1) satildeo avaliadas agrave temperatu

ra meacutedia tm

c + t _ w sat

tm ~ onde

t = temperatura da parede

t = temperatura de saturaccedilatildeo do fluido S 3Lt

exceto o calor latente da vaporizaccedilatildeo b^ que deve ser avaliado agrave

temperatura de saturaccedilatildeo correspondente atilde pressatildeobdquo

Quando a superfiacutecie focircr inclinada vale o raciociacutenio de

Nusselt apenas o termo que atua na remoccedilatildeo do condensado natildeo eacute g

mas sim (g seno) sendo 6 a inclinaccedilatildeo da superfiacutecieraquo

Assim a equaccedilatildeo para estecaso seria

2 3 g o sene o p o h o L

NT _ = 0943 ( r~ y (2) NuL y o k o At w

25 - Efeitos a considerar na condensaccedilatildeo

Ha 3 efeitos importantes a considerar na condensaccedilatildeo que

Nusselt natildeo levou em conta sao eles

- efeito da turbulecircncia no filme liacutequidoraquo

- efeito dos gases incondensaveisraquo

- efeito da velocidade do vapor

251 - Efeito da turbulecircncia no filme liacutequido

As formulas anteriores servem para comprimentos de tubos

pequenos pois nesse caso a velocidade de escoamento do condenshy

sado natildeo eacute grande entretanto para superfiacutecies verticais longas

a peliacutecula torna-se bastante espessa e com velocidade grande deshy

mais para que o escoamento possa ser considerado em regime lamishy

nar

19

Nesse caso define-se o numero de Reynolds baseado na veshy

locidade da fase liacutequida isto eacute

p V 6

Nbdquo - m r

Rer y u

onde

V = velocidade do condensado na camada limite m 6 = espessura da camada limite

T = p V m 6 = descarga do condensado por unidade de largju

ra da superficie de condensaccedilatildeo

No calculo da determinaccedilatildeo de T haacute uma certa dificuldade

pois ele soacute pode ser determinado por iteraccedilatildeoraquo

Q = m c laquo A t = h A A t P

A = 2ir R bdquo L (para tubos)

m c = h o 2IumlIuml R laquo L P

m m braquoL _ p a _ _ li li

2TTR C c P P

Como noacutes nao sabemos o valor de h_ devemos inicialmente

adotar um V e obter atraveacutes da foacutermula

NNuL = deggt0134 (R PV L 3 gt 1 3 ( N R e r ) 0 4 ( 4 )

y

o valor de _h se os valores de h_ obtidos por (3) e (4) forem iguais

o problema esta resolvido caso contraacuterio fazem-se tantas iterashy

ccedilotildees quantas forem necessaacuterias

252 - Efeito dos gases incondensaacuteveis

A presenccedila de gases incondensaacuteveis reduz violentamente o

coeficiente de peliacutecula pois acirc medida que o vapor se condensa o

gaacutes nao condensaacutevel se acumula junto atilde superfiacutecie de resfriamento

20

formando uma barreira adicional S passagem do fluxo de calor

A reduccedilatildeo do coeficiente de peliacutecula que a presenccedila des_

ses gases causa depende da fraccedilatildeo em massa dos mesmos na mistu

ra gaacutes-vapor

Fizeram-se inuacutemeras experiecircncias e sobre o assunto a tiacute

tulo de exemplo vejamos o graacutefico abaixo onde temos em abcissas

o coeficiente de peliacutecula obtido experimentalmente e em ordenadas

a fraccedilatildeo de gases dissolvida jio vapor

5000

bullg- 4000 O

3OOO

2000

S 1000

4 6 8 10 12 lt|gt(lbm arlbm de vapor )x 10

Devemos notar a grande influecircncia dos gases incondensatilde-

veis por exemplo quando o vapor eacute puro nos temos um h = 4000se

tivermos apenas 1 de ar dissolvido o coeficiente de peliacutecula fishy

caraacute reduzido agrave metade isto ecirc h = 2000

Por isso nos condensadores sempre se coloca vapor ornais

puro possiacutevel

253 - Efeito da velocidade do vapor

Quando a velocidade do vapor junto agrave interface liacutequido-

-vapor natildeo focircr despreziacutevel surgem forccedilas de atrito entre o vapor

e o liacutequido Se a direccedilatildeo do fluxo do vapor coincide com a direshy

ccedilatildeo do movimento do liacutequido a velocidade do liacutequido aumenta (haacute

compressatildeo) e a espessura do filme liacutequido diminui e consequenshy

temente a transferecircncia teacutermica melhora pois haacute diminuiccedilatildeo da

resistecircncia teacutermica

Se entretanto a direccedilatildeo do vapor focircr contraacuteria a do fil

o 21 laquo

me de liquido ha uma tendecircncia de haver aumento da espessura da pj2

liacutecula diminuindo assim o valor de h

26 - Consideraccedilotildees sobre os resultados obtidos com as foacutermushy

las de Nusselt

Nota-se experimentalmente que os resultados obtidos pelas

equaccedilotildees de Nusselt sao em geral 10 a 20 inferiores do que os reshy

sultados reais Assim a favor da seguranccedila elas sao usadas e aaacuteo_

tadas Os motivos das discrepacircncias jaacute-foram ditas atraacutes no item

25

Devemos notar ainda que o valor de h obtido pelas foacutermushy

las anteriores e o valor meacutedio jaacute que h varia de ponto para ponto

e seria difiacutecil obter uma equaccedilatildeo que nos desse o valor de h locaL

2bdquo7 - Condensaccedilatildeo por peliacutecula externamente a tubos ciliacutendrishy

cos horizontais

0 mesmo estudo de Nusselt pode ser aplicado neste caso

baseado na hipoacutetese de que no topo do tubo a peliacutecula do condensashy

do tenha espessura nula Chega-se a expressatildeo

g p 2 h D 3 14

NT _ = 0725 ( ) (5) NuD u k o At

Analogamente ao caso anterior as propriedades do liacutequido

sao tomadas a

t + t w sat

tm = ^

exceto h que eacute tomado a t

ev n sat

Na situaccedilatildeo atual da tecnologia e possiacutevel obtermos tubos

com diacircmetros suficientemente pequenos para que tenhamos escoamenshy

to do condensado soacute em regime laminar

22

No caso de vaacuterios tubos empilhados a formula (5) deve

ser modificada pois como dissemos ela soacute vale quando no topo do

tubo a espessura do liacutequido eacute nula o que nao acontece neste caso

(Vide figura a)

Vapor

Tubo

mdash Liacutequido

Fig a

Neste caso a forma que nos da o valor meacutedio para h e

g p 2 h D 3 14

NNuD deg gt 7 2 5 lt N u k V At gt

sendo N o numero de tubos empilhados

Note-se que neste caso o coeficiente h cai bastante Uma

boa soluccedilatildeo para o caso quando dispoacuteftos de lugar eacute dispor os tushy

bos defasados (Conforme figura b)

Liquido

Fig b

Neste arranjo podemos aplicar a equaccedilatildeo (5) pois no tp_

po de cada tubo a espessura da camada de condensado eacute nula

23

B - CONVECCcedilAtildeO COM MUDANCcedilA DE FASE - EVAPORACcedilAtildeO (II)

1 INTRODUCcedilAtildeO

Evaporaccedilatildeo consiste na obtenccedilatildeo de vapor por meio de aque

cimento de um liacutequido

Apesar da importacircncia do processo e do sucesso obtido na

praacutetica em projetos de evaporadores o fenocircmeno da evaporaccedilatildeo eacute

um dos pontos menos conhecidos da transmissatildeo de calor

0 primeiro estudo seacuterio sobre o assunto foi feito em 1934

pelo japonecircs Nukiyama poreacutem somente nos uacuteltimos 10 anos tais es-

tudos se intensificaram

Os primeiros pesquisadores quando estudavam o fenocircmeno

do resfriamento de um solido num liacutequido obtiveram as seguintes

curvas

onde

temperatura

velocidade de resfriamento

3 0 v = amdashbull

A 06

Q - fluxo teacutermico

8 - tempo

A - aacuterea do soacutelido

24

tempo

Ateacute os estudos de Nukiyama nao se conseguia explicar o

porque da variaccedilatildeo crescente da velocidade de resfriamento quando

t gt t sol sat

2 PROCESSO DE FORMACcedilAtildeO DAS BOLHAS

Como a evaporaccedilatildeo do liacutequido se faz sobre uma superfiacutecie

aquecedora sobre esta irao se formar bolhas de vapor que influem

decisivamente no fenocircmeno

Aqui soacute iremos estudar as bolhas sob o ponto de vista qua

litativo bem como a sua influencia mas nao sob o ponto de vista

quantitativo

Recentemente Fritz e Jacob WR Gambill e outros estudiacutei

ram o processo da formaccedilatildeo das bolhas sobre a superfiacutecie aquecedpound

ra Atraveacutes de fotografias verificaram que a bolha de vapor ain

da em contato com a parede variava profundamente de forma confo_r

me o angulo de contato entre liacutequido e parede metaacutelica

Assim eacute que se a superfiacutecie de aquecimento nao e excesshy

sivamente polida e a tensatildeo superficial do liacutequido eacute pequena a

bolha tem a forma da figura las diz-se nesse caso que o liquishy

do molha a parede neste caso o angulo de contato e agudobull Se

as condiccedilotildees contrarias se verificarem o acircngulo de contato sera

obtuso e as bolhas tomam a forma da figura ldegb Naturalmente ve

rificara-se as condiccedilotildees intermediaacuterias para o angulo de contato da

25

fig lc

Fig la Fig lb Fig lo

0 estudo analiacutetico da formaccedilatildeo e crescimento das bolhas

pode ser encontrado em diversos livros por exemplo no El-Wakill

(Nuclear Power) no Jakob (Heat Transfer)e outros Neles faz-se

o estudo das condiccedilotildees do liquido (pressatildeo temperatura tensotildees

etc) para haver ou nao formaccedilatildeo de bolha Isto eacute feito fazendo-se

o estudo das bolhas nas seguintes posiccedilotildees

a) bolha no seio do liacutequido

para meia bolha

4 ltP g - P fgt fg

onde

P g P f

- 4 D (D

g

Pf

D

pressatildeo do vapor

pressatildeo do liquido

tensatildeo entre superfiacutecie do liacutequido e vapor

diacircmetro da bolha

^f g

P f Fig 2

26

A equaccedilatildeo (1) mostra que a pressatildeo do vapor deve ser maior

que a do liquido nas condiccedilotildees de saturaccedilatildeo e este por sua vez

deve estar no estado de superaquecimento o

b) bolhas sobre superfiacutecie solida

Fig 3

Condiccedilotildees para desprender

a mdash o_ + o_ cos a gs fs fg

tensatildeo na interfase liacutequida e vapor (depende das

propriedades do liacutequido e vapor)

tensatildeo entre o liacutequido e superfiacutecie de aquecimen

to (depende das propriedades do liquido e da sushy

perfiacutecie)

tensatildeo entre o vapor e a superfiacutecie de aquecimeri

to (depende das propriedades do vapor e da super

fiacutecie)

21 - Formas do fluxo do vapor desde a superfiacutecie de aquecishy

mento ateacute a superfiacutecie livre do liacutequido

Considerando liacutequido vaporizado em tubos verticais pode^

mos ter 4 tipos de fluxo de vapor

1 - fluxo de bolhas

2 - fluxo de agregados (plug ou slug)

3 - fluxo anular

4 - fluxo disperso

Os quatro tipos ficam bem determinados respectivamente

onde

a fg

degfs

a gs

27

pelas 4 figuras abaixo

LIacutequido - Liacutequido Liacutequido

o

^Bocirclha de

vapor

Vapor

mdash [

- Vapor

mdash 0 0

deg_ a-

jrj-

iquestiexcl5

Bolhas Agregados Anular

Liacutequido

vapor

Disperso ou

Homogecircneo

Conforme o tipo de ebuliccedilatildeo podemos ter uma so das forshy

mas acima ou uma mistura

3 INCERTEZAS NO ESTUDO DA EVAPORACcedilAtildeO

Ha trecircs incertezas principais para determinar o fluxo de

calor na evaporaccedilatildeo a saber

- Aacuterea de contato indefinida

- Diferenccedila de temperatura indefinida

- Grau de turbulecircncia

Como realmente nos nao sabemos uma dependecircncia algeacutebri

ca entre o acircngulo de contato e a superfiacutecie ocupada pelo liacutequishy

do (ou vapor) temos uma incerteza na determinaccedilatildeo da aacuterea de tro

ca de calor (A)

Outra incerteza eacute a dificuldade da obtenccedilatildeo de diferenccedila

de temperatura entre o liacutequido e a parede que normalmente assume-

-se como sendo a diferenccedila entre a temperatura da parede e da ebu

liccedilatildeo do liacutequido (temperatura de saturaccedilatildeo = t )

S cl c

Na realidade a diferenccedila de temperaturas nao eacute aquela

pois a camada de liacutequido que cobre a superfiacutecie aquecedora esta

a uma pressatildeo maior que o resto do liacutequido (pressatildeo atmosfeacuterica

mais a hidrostaacutetica) e consequentemente a temperatura de vaporiza_

ccedilao desse liacutequido e maior que a da superfiacutecie Esta diferenccedila po-

28

deria ser calculada desde que se conhecesse a relaccedilatildeo entre presshy

satildeo e temperatura de saturaccedilatildeo do liacutequido entretanto haacute incerte

za quanto ao verdadeiro peso especiacutefico da coluna de liacutequidopois

trata-se de uma mistura de bolhas de vapor e de liacutequido em proshy

porccedilatildeo variaacutevelraquo

4 REGIMES DE EBULICcedilAtildeO

Nukiyama estudando a ebuliccedilatildeo da aacutegua num recipiente a

quecendo-a com resistencias eleacutetricas construiu a curva baacutesica da

ebuliccedilatildeo Todos os liacutequidos apresentam uma curva semelhante vashy

riando apenas os valoresraquo Os pontos caracteriacutesticos da curva deshy

pendem de caracteriacutesticas difiacuteceis de definirtais como natureza

do metal estado da superficie (rugosidade) dimensotildees orientashy

ccedilatildeo do fluxo quantidade de gases dissolvidos e t c

Estudaremos o fenocircmeno para o caso de aacutegua destiladasem

gas dissolvido a temperatura de saturaccedilatildeo 100 C pressatildeo atmosfe_

re uma superficie plana

Chega-se assim acirc curva

rica sobre uma superficie plana horizontal a temperatura t^

In ltJgt

At (degC)

A curva acima representa o aquecimento de agua com uma re_

sistecircncia eleacutetrica (ate ebuliccedilatildeo)raquo Temos em abcissas as diferenccedilas

de temperatura entre o liacutequido e a resistecircncia em ordenadas o flu

29

Regiatildeo I

Regiatildeo II

Regiatildeo III

Regiatildeo IV

xo de calor por unidade de area

Na curva notam-se 4 regiotildees bem definidas tendo cada uma

o seu significado fiacutesico os quais correspondem a um tipo de ebuli

ccedilao

convecccedilao natural

ebuliccedilatildeo nucleada

ebuliccedilatildeo por peliacutecula parcial

ebuliccedilatildeo por peliacutecula estaacutevel

41 - Convecccedilao natural

Ocorre quando At eacute inferior a 8degCformam-se no liacutequido

correntes convectivas as quais transferem o calor ateacute a superfiacuteshy

cie livre do liacutequido e aiacute desprendendo o vapor Neste caso o valor

de h eacute da ordem de 2000 kcalm^hdegC

42 - Ebuliccedilatildeo nucleada

Ocorre quando o At eacute maior que 8degC e menor que 25degC Nesshy

te caso as bolhas formam-se junto a superfiacutecie de aquecimento

crescem liberam-se movimentam-se em direccedilatildeo agrave superfiacutecie livre do

liacutequido onde estouram libertando o vapor As bolhas formam-se nas

irregularidades da parede tecircm um acircngulo de contato agudo e porshy

tanto hatilde liacutequido sempre em contado com a parede (molha a parede)

cada ponto ativo (lugar onde se formam as bolhas) libera uma porshy

ccedilatildeo de bolhas e os outros pontos do liacutequido ficam em contato com a

superfiacutecie quente violentamente agitados Esta agitaccedilatildeo extrema eacute

mais eficaz que uma turbulecircncia criada artificialmente Por esse mo

tivo a curva cresce violentamente nesse trecho (m = 3 a 7) pois

bull 2 o o valor de h cresce consideravelmente (ate 46000 kcalm hr C) e

o fluxo teacutermico transmitido ao liacutequido cresce proporcionalmente a

Quando cresce crescem tambeacutem

(At) 3

30

numero de bolhas por unidade de aacuterea (num instanshy

te)

~ = crescimento da bolha (com o tempo)

frequecircncia de iacuteormaccedilao de bolhas

A medida que o At vai aumentando iraacute aumentando (jgt tam-- n o N

bem e consequentemente mdash R mdash a a a tal ponto que quando atiacuteii

girmos o ponto da curva nao haveraacute mais formaccedilatildeo de bolhas

mas sim uma peliacutecula de vapor instaacutevel passando assim a 3a re

giao que estudaremos a seguir

43 - Ebuliccedilatildeo por peliacutecula parcial

Como dissemos no item anterior se aumentarmos ainda mais

o At (entre 25degC e 125degC) teremos a formaccedilatildeo de uma peliacutecula de

vapor instaacutevel sobre a superfiacutecie quente que aacutes vezes eacute perfurashy

da pelo liacutequido A camada de vapor tanto mais estaacutevel seraacute quanshy

to maior focircr o At Essa peliacutecula de vapor iraacute provocar um decreacutes_

cimo consideraacutevel no fluxo teacutermico porque como sabemos o vapor

eacute muito pior condutor que a aacuteguaraquo

0 fluxo vai decrescendo ateacute um ponto miacutenimo (iexclgt mintilde (as vecirc

iacutebo bullraquo 1

zes chega a ser mdashj-) e e o chamado ponto de Liedenfrost 0 coeshy

ficiente de peliacutecula neste caso cai violentamente (h = 2000

kcalm^hrdegC)

44 - Ebuliccedilatildeo por peliacutecula estaacutevel

Aumentando ainda mais a diferenccedila de temperaturas

At ( gt 125degC) iremos conseguir uma camada de vapor estaacutevel Ela

transmite calor da superfiacutecie quente ao liacutequido que se vaporiza de

modo que o excesso de vapor formado na interface liquido-vapor for

ma bolhas que sobem para a superfiacutecie 0 liacutequido encontra-se agi-

31

tado poreacutem nao toma contato com a superfiacutecie soacutelida

A peliacutecula de vapor eacute estaacutevel e o fluxo eacute proporcional a

34

(At) (lei de Bromley) Para At grandes passa a influir sensivel^

mente a radiaccedilatildeo teacutermica mais uma razatildeo para demonstrar que nesshy

ta regiatildeo o fluxo cresce novamente

5 CONSIDERACcedilOtildeES E COMPARACcedilAtildeO ENTRE OS TIPOS DE EVAPORACcedilAtildeO

BURNOUT

Sob o ponto de vista de eficiecircncia teacutermica deveriacuteamos sem

pre trabalhar no ponto de fluxo maacuteximo isto eacute no ponto correspon

dente a lt(gt da curva de Nukiyama pois eacute o que daacute maior coeficieri

te de peliacutecula

Acontece poreacutem que se impomos a temperatura da parede

fixa obtemos um uacutenico valor de lt(gt e portanto o fenocircmeno eacute estaacutevel

Poreacutem se como ocorre nos reatores impomos um fluxo teacuter

mico a curva de Nukiyama apresenta 3 pontos de funcionamento posshy

siacuteveis A B C

1

SOacute os pontos A e C sao funccedilotildees estaacuteveis mas eles impotildeem

acirc superfiacutecie quente temperaturas bem diferentes

Na industria em geral trabalha-se por questotildees de segushy

ranccedila na regiatildeo IV da curva poreacutem para os reatores trabalha-se na

32

r e g i atilde o I I

0 p r o b l e m a de t r a b a l h a r n a r e g i atilde o II eacute q u e se n oacute s e s t i shy

v e r m o s t r a b a l h a n d o n o p o n t o e x t r e m o (j) e se p o r q u a l q u e r m o t i v o

h o u v e r u m p e q u e n o a c r eacute s c i m o d e ltfgt i r e m o s t r a b a l h a r i m e d i a t a m e n t e no

p o n t o M q u e t e m o m e s m o $-^0t p o r eacute m c o m A t 2 m u i t a s v e z e s m a i o r

p o d e n d o o c a s i o n a r a f u s atilde o d a s u p e r f iacute c i e a q u e c e d o r a E s t e f e n ocirc m e n o

eacute c h a m a d o d e b u r n o u t

0 f l u x o lttgt eacute c h a m a d o f l u x o c r iacute t i c o o u f l u x o d e b u r -b o

n o u t N o c a s o do r e a t o r d e v e m s e r t o m a d a s m e d i d a s r i g o r o s a s q u a n

to agrave r e g u l a g e m do f l u x o t eacute r m i c o p a r a q u e n atilde o o c o r r a o b u r n o u t 1 1

p o i s d e l e p o d e r e s u l t a r r u p t u r a d a c a m i s a do c o m b u s t iacute v e l e h a v e shy

r aacute p o r t a n t o c o n t a t o do r e f r i g e r a n t e c o m o s s oacute l i d o s e g a s e s r a shy

d i o a t i v o s

5 o l - R e l a ccedil atilde o d e B u r n o u t

E c l a r o q u e p a r a t e r m o s u m r e a t o r m a i s e f i c i e n t e d e v e shy

m o s t r a b a l h a r c o m u m f l u x o o m a i s p r oacute x i m o p o s s iacute v e l do f l u x o d e

B u r n o u t P a r a t a n t o d e v e m o s c o n h e c e r c o m o m a i o r g r a u d e certe

za p o s s iacute v e l q u a l o ^ p a r a p o d e r m o s r e d u z i r o c o e f i c i e n t e d e s e shy

g u r a n ccedil a ( W R G a m b i l l r e c o m e n d a agrave 1 5 )

N o s s e m i n aacute r i o s d e W R G a m b i l l e n c o n t r a m o s u m a s eacute r i e de

b i b l i o g r a f i a s o n d e p o d e m o s e n c o n t r a r i n uacute m e r a s f oacute r m u l a s p r o p o s t a s

p a r a a o b t e n ccedil atilde o de (q 1^)

A t i t u l o d e e x e m p l o v e j a m o s a l g u m a s

q - 2 7 0 G deg gt 8 5 D 0 2 A085 p lt 150

deg D ( L uuml ) 2

q - 140 G 0 5 D ~ deg 2 (-~-)~deg 1 5 p ~ r gt 150 c D (LD)

o n d e a m b a s as e q u a ccedil otilde e s s oacute v a l e m p a r a aacute g u a e m b a i x a p r e s s atilde o e m coii

v e c ccedil a o f o r ccedil a d a

33

D

L

fluxo teacutermico critico BTUhrft bdquo 2

descarga em massa do liquido (Ibmhrft )

diacircmetro do tubo ft

comp do tubo ft

Para cada caso temos uma expressatildeo diferente que pode ser

encontrada em literatura especializada

6 INFLUEcircNCIA DE OUTROS PARAcircMETROS NO FLUXO DE BURNOUT

Como para os usos atuais do reator a diferenccedila de temppound

ratura entre parede e fluido sao pequenas bem como o fluxo de bur

nout recentemente fiacutesicos como Jakob Bonilla WR Gambill estu

daram outros paracircmetros que influenciam bastante o sect^ 0gt isto eacute a

influecircncia desses paracircmetros faz com que o ^ seja maior Isto eacute

util pois quanto maior o fluxo de burnout maior poderaacute ser o

fluxo de calor real de funcionamento

Tais meios sao

- Sub-resfriamenCcedilo do liacutequido

61 - Influecircncia da velocidade do liacutequido

Estudos feitos pelos autores acima chegaram agraves curvas

- Aumento da velocidade imposta ao liacutequido

- Pressatildeo do liacutequido elevada

alto V

At

34

Para velocidades maiores o fluxo de burnout aumenta

porque neste caso o regime eacute turbulento e o coeficiente de peliacute

cuia h aumentao

6bdquo2 - Influencia do aumento da pressatildeo

Este estudo deve-se a Bonilla que obteve experimentalmen

te as curvas

Este estudo foi feito para vaacuterios liacutequidos e chegou a con

clusao que sempre havia uma pressatildeo oacutetima isto e uma pressatildeo que

leva ao maior iacute 1 ^ raquo mantidas as demais condiccedilotildees Experimentalmenshy

te notou que essa pressatildeo correspondia a 13 da pressatildeo critica

do liquido em questatildeo

6=3 - Influecircncia do sub-resfriamento

Consiste em manter atilde custa de uma circulaccedilatildeo intensa o

liacutequido a uma temperatura inferior atilde de saturaccedilatildeo para a pressatildeo

correspondenteraquo Experimentalmente chega-se agraves curvas

mdash A t grande sub

bullAt -0 sub sub

medio

At

35

Verificando os graacuteficos vemos que o lt)gt aumenta agrave medida bo

que aumenta a diferenccedila de temperatura de sub-resf riamento isto pojr

que o liquido como estaacute mais frio faz com que algumas das bolhas

recondensem permitindo que o liquido fique em contato com a parede

quente o que faz aumentar o h

^ f csub = t e m P e r a t u r a ddeg liacutequido - temperatura de saturaccedilatildeo

A diferenccedila de temperatura At entre fluido e parede tamshy

beacutem aumenta poit na regiatildeo proacutexima agrave parede haacute necessidade de

levar o liacutequido da temperatura do sub-resfriamento ateacute a temperatu

ra de saturaccedilatildeo quando se evapora

Atualmente os maiores estudos dos fiacutesicos nucleares locashy

lizam-se neste campo pois eacute o que oferece maiores vantagens

7 FORMULAS PARA 0 CAacuteLCULO DO COEFICIENTE DE PELIacuteCULA NA EBULICcedilAtildeO

Como ocorre no caacutelculo de todas as foacutermulas de convecccedilatildeo

temos formulas empiacutericas para determinar o h conforme o tipo de

ebuliccedilatildeo que nos consideramos

71 - Ebuliccedilatildeo Nucleada

Para o caso de aacutegua temos as relaccedilotildees

superfiacutecies

horizontais

superfiacutecies

verticais

f aacute 5000 BTUhrft 2 -gtbull h = 151 ( A t ) 1 3

A o

5000 lt 75000 -h = 0618 (At)3

^ pound 1000 -raquobull h = 8 7 ( A t ) 1 7

A o -

1000 lt $ lt 20000 -gt h = 027 (At) A o

Quando a pressatildeo e diferente da atmosfeacuterica faz-se a correccedilatildeo

3 6

72 - Ebuliccedilatildeo por peliacutecula

Bromley propocircs uma boa equaccedilatildeo para a ebuliccedilatildeo por peliacuteshy

cula estaacutevel em cilindros horizontais

Nu

_ JtjD n r 9 P v bull ( P L - P v gt - g -h

e V bull D i2

D 1 ^ U b Z u At gt

onde

V = indica vapor

L = indica liacutequido

Multiplicando ambos os membros da equaccedilatildeo acima por

kvD obteremos a expressatildeo do coeficiente de convecccedilagraveo meacutedio para

o caso

37

C - FORMULAS PARA CAacuteLCULOS ESPECIacuteFICOS - RESULTADOS ESPECIacuteFICOS

1 FLUXO DE CALOR CRIacuteTICO - BURNOUT

lol - Introduccedilatildeo

O aspecto mais importante no que se refere agrave seguranccedila

dos reatores da transferencia de calor na ebuliccedilatildeo eacute a determina

ccedilatildeo do Fluxo de calor critico ou de pico ou burnout

Como jatilde vimos quando temos a ebuliccedilatildeo nucleada a dishy

ferenccedila de temperatura entre refrigerante e superfiacutecie de aqueci

mento e pequena poreacutem quando atingimos o fluxo de calor criacutetico

essa diferenccedila de temperatura pode tornar-se imediatamente muishy

to grande podendo causar a ruptura da superfiacutecie de aquecimento

se atiigirmos o ponto de fusatildeo do soacutelidoraquo

Usando a convecccedilao

onde

At sat

w

sat At

sub

w = temperatura da parede de aquecimento

t t = temperatura de saturaccedilatildeo do liacutequido

t^ = temperatura de mistura do liacutequido

At = (t -t ) sub-resfriamento do liacutequido sub N sat b 1

nout

Ha dois tipos de burnout fast burnout e slow bur-

Ocorre o fast burnout (burnout raacutepido) quando A t g u b gt 0

38

ou para baixo x (~ lt 10) sendo x o titulo do vapor

Temos o slow burnout para x - gt 10 Assim noacutes tereshy

mos dois limites para o burnout

At bull o (ltJgt ) t =((() para t = t ) -

bo m m possiacutevel w sat

sub i

4L + 1

G c D h pl nb

(ltK ) = (ltpound para x = 1) = Dv-bo max possiacutevel e 4L

c At l + P 1 sub i

onde

L = comprimento do canal

D = diacircmetro do tubo

G = descarga de liacutequido (por unidade de aacuterea)

c ^ = calor especiacutefico do liacutequido

Agrave = calor latente de vaporizaccedilatildeo

h ^ = coeficiente de transferecircncia de calor na regiatildeo de

nao ebuliccedilatildeo

iacutendices

i = entrada

e = saiacuteda

Haacute inuacutemeras expressotildees para determinaccedilatildeo do burnout pro

postas por muitos fisicos cada uma aplicando-se a um caso especiacuteshy

fico vejamos algumas delas

12 - Equaccedilotildees para prediccedilatildeo de Burnout

121 - Equaccedilatildeo de Bragg e Smith (Zuber)

Num artigo publicado por Bragg e Smith encontramos uma f oacute_r

mula que e derivada da formula de Kutateladze e nos daacute o fluxo cri

39

tico quando nao temos sufaresfriamento

bo poolsat v V raquoc a ( p l P V )

2 PV

14

onde

ltiexclgt = fluxo de calor critico bo

k = constante

Ly = calor latente de vaporizaccedilatildeo do refrigerante

= densidade do liquido

pvr = densidade do vapor V a = tensao superficial

g = fator de conversatildeo c

a = aceleraccedilatildeo da superficie de aquecimento

Os autores encontraram para k um valor de 062 entreten

to outros autores como Zuber incluindo outras variaacuteveis que In

fluiam no fenocircmeno encontraram k variando entre 008 e 023Esshy

tudos bem elaborados mostram que o valor mais aproximado eacute

k = 015 (- 003)

1-22 - Equaccedilatildeo de Noyes

Noyes estudou o burnout para o soacutedio agua e alguns liacute

quidos orgacircnicos

( W s a t ~ bdquo 0245 bull ( r ( 1 )

iiacute_ V 1 Pr

onde

N n = Nuacutemero de Prandtl da fase liacutequida x r

Mais tarde o proacuteprio Noyes alterou a equaccedilatildeo para

n ^ - n H Iacute I Pl PV gt0538 deg g c a q 4 ( W s a t deg 1 1 6 PV ( - p 7 ~ ) (77T1^ ) ( 2 )

40

A ultima correlaccedilatildeo proposta por Noyes foi

a n prPV0560 112

1

(a bull a) 13

(ag c) 112

(3)

onde

a = difusividade teacutermica do liacutequidoraquo A equaccedilatildeo (3) eacute bashy

seada em todos os dados de burnouts do soacutedio bem

como da atildegua benzeno difenil e outros De 111 pontos usados 90

+ estatildeo relacionados dentro de - 30bdquo

ldeg2o3 - Burnout com convecccedilao forccedilada e sub-resfriamen

to

Aproveitando os resultados de aproximadamente 240 testes

de burnouts com aacutegua sub-resfriada em fluxo de convecccedilao forccedilashy

da feitos na Ruacutessia Labuntsov elaborou uma boa equaccedilatildeo empiacuterica

para o problemabdquo

Esta relaccedilatildeo aplica-se para velocidades entre 2 3 e 148

ftsec pressotildees entre 1 e 201 atmabs sub-resfriamento entre 0 deg

e 432 degF e fluxos de burnout entre 0 4 x IO 6 x 166 x 1 0 6 BTUhr

2 bdquo

bullbo

onde

e a seguinte

6 ( P ) 1 + 0 2 3 2 V 2

14

e ( P ) 1 +

15 c At _p_ sub

12 (a)

9 ( P ) - P 1 3 o ( 1 - P J 4 3

red

= pressatildeo (atm abs)

pressatildeo reduzida = mdash mdash red r P

t_ c = pressatildeo critica

= velocidade do liacutequido (ftsec)

= calor especiacutefico do liacutequido (BTUlbdegF)

4 1

^ tsub = ^ ^ e r e n Ccedil a ^ e temperatura entre a temperatura de

mistura do liacutequido e a de saturaccedilatildeo (degF)

X = calor latente de vaporizaccedilatildeo (BTUlb) 2

ltiacutegtbo = fluxo de burnout (BTUhrfl )

Uma outra correlaccedilatildeo para o caso foi proposta por

Ornatsky e Xiohigin que fizeram experiecircncias para pressotildees entre

10 e 1 5 0 3xm 90 degF lt At ^ lt 4 5 0 deg F 3 7 1 0 6 ( l b h r o f t 2 ) lt G lt

2 2 2 10 b ( l b h r bdquo f t 2 )

lt ^ = 3 2 5 0 (G o A t bdquo J deg 6 ( - i - ^ ) 2 5 ( b ) bo sub

onde

G - descarga de refrigerante por unidade de aacuterea

P ^ v P v - densidades do liacutequido e do vapor

P1~ PV -0 termo (mdash ) e incluido na expressatildeo (b) para indicar

a influecircncia da ^ pressatildeo sobre o

Uma comparaccedilatildeo entre as equaccedilotildees (a) e (b) foi feita para

o Reator de Isoacutetopos de Alto Fluxo (HFIR) nas condiccedilotildees aacutegua a

600 psia velocidade = 45 ftsec e sub-resfriamento = At^^ 1

degF obtendo-se uma diferenccedila de 6 5 entre ambos (4gt = 6 0 5 1 0 b

2 ~ 6 2 BTUhr ft pela equaccedilatildeo (a) e 6 4 5 10 3TUhrraquoft pela equaccedilatildeo

(b)

Ilatilde ainda a equaccedilatildeo de Ivey e Morris aplicaacutevel somente pa_

ra ebuliccedilatildeo com grande quantidade de liacutequido

( c sub t

Cpf bull A tsub

( bull ) s ~ V P bdquo 10 h V sat V g

onde

(ltL ) = fluxo critico com sub-resfriamento c sub

(ograve ) ^ - fluxo critico sem sub-resfriamento c sat

42

c ^ = calor especiacutefico do liacutequido

= calor latente de vaporizaccedilatildeo

124 - Burnout com convecccedilao forccedilada e ebuliccedilatildeo por bocirc-

Ihas

Gambill fez uma extensatildeo da equaccedilatildeo de Levy e aplicou o

metqdo da superposiccedilatildeo Tal extensatildeo consiste natilde subtraccedilatildeo de uma

razatildeo equivalente de massa transferida dos termos que represenshy

tam a ebuliccedilatildeo e convecccedilao para levar em conta a presenccedila do vashy

por no fluxo

A correlaccedilatildeo pode ser escrita assim

24 V P V

o g c a (p^Py) 14

+ 0696 (k p c ) 12

(

pr p v )i4 o g c a (P-L-Py) 18

bull At + h sub nb

044 p v L v G (g1) bull N2 n

p l P V

( pr p v ) d e 2-7

2 4 TT 0

14 ( f e _ ^ r l 3

lO^u

onde

k = condutividade teacutermica

c = calor especiacutefico

A t s u b ~ s ub-resfriamento do liacutequido

h = coeficiente de transferecircncia de calor de nao ebu nb mdash

liccedilatildeo

G = descarga total do refrigerante

43

d g = diacircmetro equivalente do tubo ou canalraquo

]i = viscosidade

B = constante adimensional

Os iacutendices V e 1 representam vapor e liacutequido respectiva

mente

0 primeiro termo entre chaves da equaccedilatildeo representa o flu

xo de calor no burnout de sub-resfriamento em convecccedilao forccedilada 0

segundo termo entre chaves corresponde ao fluxo de calor transferi^

do para a massa da fase vapor

1-25 - Burnout por Bloqueio da Base

Ocorre quando a profundidade do recipiente eacute muito maior

que a largura 0 bloqueio da base eacute causado pela formaccedilatildeo de uma pe_

licula de vapor na base impedindo que o liacutequido toque o fundo do

recipiente

i De

Este eacute o burnout por flooding isto eacute burnout por expul

sao do liacutequido Uma equaccedilatildeo que nos dacirc o fluxo minimo do burnout

parao caso eacute

44

onde

D g = diacircmetro equivalente

L = comprimento do tubo

= calor de vaporizaccedilatildeo

p^Py Ap = densidade do liacutequido do vapor e diferenccedila en

tre ambos

Para um fluxo de calor maior ou igual ao dado pela expres_

sao acima (mantida a mesma geometria) teremos burnout Para um deshy

terminado fluxo existiratildeo sempre um comprimento L e um diacircmetro equi

valente D e para os quais temos burnout Exemplo

L (in) D e(in)

10 11

100 51

1000 235

2 RESULTADOS ESPECIacuteFICOS - FOacuteRMULAS PARA CAacuteLCULOS ESPECIacuteFICOS

21 - Diferenccedila de temperatura At i

13 a t

sat

At sat

poundatildeJL_ raquo t - t J p T T 6 w sat

onde

o laquo tensatildeo superficial entre liquido e vapor

t - temperatura de saturaccedilatildeo do liacutequido para a corres-Scl t

pondente pressatildeo

J equivalente mecacircnico do calor

X laquobull calor latente de vaporizaccedilatildeo

py = densidade do vapor

6 = espessura da camada de liacutequido superaquecido onde

45

k l

h nc

onde

k^ = condutividade teacutermica do liacutequido

h = coeficiente de peliacutecula nc r

Segundo Eckent h ^ c e dado por

P 2 Q

nc 3 V VP + 0952

r

onde

D = diacircmetro equivalente

G r = numero de Grashoff

P = nuacutemero de Pradtl

2 o 2 - Velocidade das bolhas

A velocidade das bolhas em meacutedia pode ser dada pela exshy

pressatildeo

V bdquo = Iacute ( a bull B Apl4 bolhas 5 ^ 2

p l onde

AP = P L - P v

Expressatildeo que vale quando a aceleraccedilatildeo eacute a da gravidade

baixa viscosidade do liacutequido e bolhas separadas

Vbolha = f t s e atilde m a x para aacutegua

2 bdquo3 - Diacircmetro das bolhas

2gc deg 12 D = 0015 3 ( mdash mdash 7 ~ ) d g Ap

5 =

46

onde

8 = acircngulo de contato (20 a 90deg) geralmente assume-O -1

-se igual a 50 para a agua em contato com metal

24 - Coeficiente de peliacutecula na ebuliccedilatildeo nucleada

a) Equaccedilatildeo de Rohsenow

Esta equaccedilatildeo nos datilde o fluxo de calor q na ebuliccedilatildeo nushy

cleadaraquo E oacutetima expressatildeo para muitos liacutequidos o efeito da presshy

satildeo eacute levado em conta na variaccedilatildeo das propriedadesraquo

Pf

fg

sat 17 = c

sg k y f h f g g( P f-p g)

n033

onae

Pf

fg

Pf Pg c sg

= fluxo de calor requerido (BTUhr0ft^)

= calor especiacutefico do liacutequido saturado (BTUlbm0F)

= calor latente de vaporizaccedilatildeo (BTULbm)

= nuacutemero de Prandtl

= viscosidade do liacutequido (lbrahrraquoft) ~ 8 2

= fator de conversatildeo 417 10 Ibmftlbflaquohr 2

= aceleraccedilatildeo da gravidade (fthr )

= tensatildeo superficial na interface liacutequida vapor

(lbfft) 3

densidade do liquido e vapor (lbmft )

constante adimensiacuteonal que depende de vaacuterios fashy

tores dentre os quais o grau de aquecimento en_

tre o fluido e a superfiacutecie de aquecimento e o

mais importanteraquo Independe da pressatildeo do sistema b) Equaccedilatildeo de Levy

Equaccedilatildeo valida para a aacutegua quando 100 lt p lt 2000 psiacutea

47

43 bdquo3

qu bdquo gat ^ T J h r t f t ^

495

25 - Calculo do fluxo de calor no Ponto de Leidenfrost

0 ponto de Leidenfrost como vimos eacute o ponto em que oflu

xo de calor comeccedila ncamente a crescer isto eacute o ponto onde termal

aa a ebuliccedilatildeo instaacutevel e comeccedila a ebuliccedilatildeo por peliacutecula estaacutevel Eacute

o chanado fluxo miacutenimo (egrave ) m m

Aproximadamente quando A t g u k = 0 temos

A _ mdash _ mdash (Gambill) m m 5

Ha entretanto varias expressotildees para determinar esse flu

xo eis uma delas

A p 14 ltjgt = 009 h pbdquo (o raquo g mdash ) y m m fg P V deg 2

p l

26 - caacutelculo do fluxo de calor na regiatildeo de ebuliccedilatildeo por peliacute

cuia estaacutevel

para cilindros jmdashi i li

_ D 0172 k-V - P V A p h l V bull S 14 li - = 062 (mdashmdash) (- j- r rmdash) convecccedilao A 0 ybdquo (t -t )

c V w sat

onde

= condutividade do vapor

- 2 TT ( mdash )

c gAp Vl = significam vapor e liacutequido respectivamente

para paredes verticais

L 0172 S deg7 A p bull hlV S q 4 h - - 080 (-^-)J- (-Iuml - Iacutemdash-convecccedilao X L u (t - t J)

c V w sat

48

Como nesta regiatildeo jaacute haacute nina influecircncia marcante da radia

ccedilao devemos levar en conta tambeacutem o coeficiente de peliacutecula de

vido a radiaccedilatildeo para determinar o coeficiente de peliacutecula total

Dos estudos atildea radiaccedilatildeo temos

h = a F pound(T 4 - T 4 J ( T ~ T ) rad w sat w sat

onde amp _ emissividade de superfiacutecie

a = constante de Stefan-Boltzman

F = fator de forma

Segundo WE Gambill o coeficiente de transmissatildeo total

ceve ser

3 iacutei = h + -7 h para h lt h t conv 4 rad r rad conv

Na expressatildeo acima existe o fator 34 porque a radiaccedilatildeo

faz variar um pouco a espessura do filme de vapor reduzindo asshy

sim o l l

conv

Quando tivermos h gt h gt o h^ ^ seraacute rad conv total

h f c = h + h t conv rad

Neste ultimo caso nao ha nenhum coeficiente porque a peshy

liacutecula de vapor jaacute eacute estaacutevel

27 - Grandezas caracteriacutesticas para a apua

Para pressatildeo igual a 1 atm = 1422 psia

At ^ = t - t = 5degC (iniacutecio da ebuliccedilatildeo nucleada) sat w sat 1

At t = 30degC sat crit

49

5 2 $ = 4 10 BTUhrft (para pressatildeo 1 atm)

0 fluxo critico cresce como vimos com a pressatildeo ate

atingir o maacuteximo quando a pressatildeo eacute aproximadamente 13 da pressatildeo

criacutetica Esse fluxo eacute

bull = 13 IO 6 BTUhrft 2 para p = 11000 psia (p pound = 32062 psia)

Ainda temos que para pressatildeo igual a 15 psia

h b o = 11000 BTUhrft degF - ebuliccedilatildeo nucleada

h f b = 30 BTUhrft 2 degF - ebuliccedilatildeo pelicular

Todos os resultados e formulas para caacutelculos especiacuteficos

apresentados nos itens 21 22 23 ateacute 27 sacirco aplicados somente

para sistemas onde haja ebuliccedilatildeo com grande quantidade de liquido

51

D - HIDRODINAcircMICA DOS SISTEMAS E QUEDA

DE PRESSAtildeO DENTRO DE UM CANAL

1 HIDRO-DINAcircMICA E QUEDA DE PRESSAtildeO

11 - Hidro-dinacircmica dos sistemas estaacuteveis

111 - Regimes de escoamento

A evoluccedilatildeo do escoamento ao longo de um canal aquecedor

de secccedilatildeo constante ciliacutendrico pode ser esquematizada pela figushy

ra 1 onde temos em abcissa o comprimento z do canal e em ordenada

a temperatura (T)

52

Na figura 1 nos representamos

a) 0 aspecto do escoamento fluido quando a entalpia do

- fluido aumenta Verificamos que o fluido entra no cashy

nal no estado liacutequido e assim permanece ateacute atingirmos a zona de

ebuliccedilatildeo local onde aparecem as primeiras bolhas A entalpia do

fluido continua aumentando e tem inicioa ebuliccedilatildeo franccedila onde as

bolhas se unem formando agregados posteriormente o escoamento to

ma a forma da figura ou seja torna-se anular disperso Finalmente

atingimos duas uacuteltimas fases do escoamento disperso (vapor uacutemido)

e vapor seco

b) A evoluccedilatildeo da temperatura meacutedia do fluido e da tempeshy

ratura da parede Note-se que a partir da cota a

temperatura da parede aumenta brutalmente podendo causar o

burnout

c) A evoluccedilatildeo do tiacutetulo do vapor (x) com o comprimento

do tubo e a evoluccedilatildeo da fraccedilatildeo (a) que definiremos no

item 11laquo2 com o comprimento do tubo

112 - Definiccedilotildees

a) Tiacutetulo ou qualidade do vapor (x)

massa de vapor na mistura x ~ massa total da mistura

x =

W _g_

g f

b) Fraccedilatildeo vazio (void fraction)

volume do vapor na mistura a = volume total da mistura (agua+vapor)

A relaccedilatildeo entre x e a num sistema parado pode ser obtida

assumindo um certo volume contendo 1 lbm de mistura em equiliacutebrio

teacutermicoraquo

53

O volume da mistura seraacute igual a (v + xv ) ft onde v eacute 3 r rg

o volume especifico (lbmft )

f - refere-se ao liquido

g - refere-se ao vapor

fg - refere-se a diferenccedila entre liacutequido e vapor

Numa mistura em equiliacutebrio se o liacutequido e o vapor estatildeo

saturados o volume do vapor presente eacute igual acirc sua massa vezes

seu volume especiacutefico v assim e

xv bdquo bdquo a mdash

V c + XV c

f gf

onde

- bull-bull uumlutiacuteisa vapor na mistura de 1 Ibm

v volume especiacutefico do liacutequido

v = volume especiacutefico do vapor o

V c = v - V

gf 8 r

Fazendo uma transformaccedilatildeo na expressatildeo acima temos

xv xv JS = Z-

v r+ x(v -v c) xv +(l-x)v t ri f g f g f 1 + Ul-x)xjv fv

1 + C(l-x)x]]vfvg

A fraccedilatildeo vazia tem a influencia de baixar a reatividade

do nuacutecleo nos reatores em que o refrigerante eacute tambeacutem moderador

Na equaccedilatildeo acima os valores de x e v sao tomados em tabe

las termodinacircmicas apropriadas para a pressatildeo do sistema A equashy

ccedilatildeo (1) mostra os grandes valores de a para pequenos valores de x

especialmente para baixas pressotildees Isto ocorre porqueaumentando

54

aacute pressatildeo o v decresce muito enquanto que o v f eacute mais ou menos da

mesma ordem de grandeza

Exemplo Calcular o a correspondente para x raquo 2 para aacutegua

leve atilde pressatildeo atmosfeacuterica

Da tabela para p laquobull 1 atm

v - 001672 ft 3lbm e v - 26800 ft 3lbm

1 + [(1-002)002] 001672268

0971 ou 97U

O grafico abaixo mostra a variaccedilatildeo do a com x para vaacuterias

pressotildees e para a aacutegua leve

x ()

tObservaccedilotildees da curva

Fig 2

1 - para x constante a decresce com a pressatildeo Para presshy

sotildees proacuteximas da criacutetica a aproxima-se rapidamente de

x Para a pressatildeo criacutetica as duas fases satildeo indistinguiacuteveis ea=x

2 - para cada pressatildeo dotdx decresce com aumento de x

3 - para baixos valores de x (que e o caso dos reatores

tipo Boiling) quando p decresce dadx cresce e torr

na-se muito grande paacutera baixas pressotildees Isto tem relaccedilatildeo com a epound

55

tabilidade do reator como veremos mais tarde

113 - Sistemas com fluxo

Todas as definiccedilotildees que noacutes vimos no item anterior refeshy

rem-se acirc sistemas em que a mistura esta fechada no recipiente Nes^

te caso natildeo havia movimento relativo entre as duas fases No entan

to se as duas fases da mistura se movem na direccedilatildeo vertical em

canais entre os elementos combustiacuteveis o vapor por causa de sua

flutuaccedilatildeo tem a tendecircncia de escorregar sobre o liacutequido isto e

move-se com velocidade maior do que a do liacutequido

Real Modelo

Pig 3

S -

Define-se neste caso a relaccedilatildeo de escorregamento (slip

ratio) (S) como sendo

V _i

V f

onde

V = velocidade do vapor

= velocidade do liquido

S modifica as relaccedilotildees entre a e x do item anterior S geralmen_

te gt 1 Define-se neste caso qualidade do vapor ou tiacutetulo como

sendo

_ fluxo de massa de vapor

fluxo de massa da mistura

Entatildeo se o fluxo de massa da mistura eacute m t(lbmhr) o flushy

xo de vapor seraacute = x m e o fluxo de liacutequido sera (1-x) m onde x

56

e o titulo do vapor para a particular secccedilatildeo (AL) da figura (3)

Devemos notar que neste caso x varia de secccedilatildeo para secshy

ccedilatildeo do tubo o exposto no paraacutegrafo acima vale considerando-se que

x e a permaneceram constantes na secccedilatildeo de espessura AL

Aplicando a equaccedilatildeo da continuidade as velocidades do va

por e liacutequido sao dadas por

o xm v

V vazatildeo = g g area A

V

(1-x) amp t v f

f A f

onde A e A f sao as aacutereas medias perpendiculares ao fluxo se as

duas fases sao imaginadas completamente separadas uma da outra

(figura 3) Assim temos

V x m v o A_ A v 0 ^ - 2 = iacute S t m _2L- JL JS m

V A (l-x)ui v 1-x A v U

f g t f g f

Sabemos ainda que para a secccedilatildeo considerada

volume do vapor na mistura a = volume total da mistura (agua+vapor)

A AL A pound g g

a = mdash a a = - mdash 1

(A+A )AL A f + g

A ou f _ 1 - a

A a 8

Substituindo em (2) vem

57

Esta expressatildeo pode ser rearranjada e obteremos uma relashy

ccedilatildeo entre x e a levando em conta o escorregamento Chega-se a

a = 1 ( 3 )

1+ [U-x)x3 igt

onde

v 4 laquo -- S

v lty o

Note-se que quando S=l (nao haacute escorregamento) caimos na

expressatildeo dada no item anterior

0 efeito do escorregamento eacute decrescer o valor de a pa_

ra um mesmo xbdquo Isto pode ser visto pela foacutermula (3) pois S gt lLo

go a decresce com acreacutescimo de S

Um alto S e entatildeo uma vantagem tanto para a transferecircnshy

cia de calor como para efeitos de moderaccedilatildeo Eacute uma vantagem para

transferecircncia de calor porque alto S significa alto V e portanto

maior turbulecircncia e maior contato do liquido com as paredes quenshy

tes Ha tambeacutem melhorias na estabilidade da reaccedilatildeo nuclear isto

porque como jaacute dissemos quando mdash7 diminui a estabilidade aumenshy

ta isso pode ser verificado observando a curva a versus x para a

agua leve a 1000 psiabdquo

Fig 4

58

A relaccedilatildeo entre x e a da equaccedilatildeo (3) so vale para secccedilatildeo

de tubo bem pequena

Devemos notar que S varia tambeacutem com a pressatildeo e velocida^

de de entrada do liacutequido no tubo Este efeito pode ser observado na

figura 5 abaxxo obtida esperimentalmente

s

3

~^ ~ psig

x = 001

V 1

Fig 5

Nos projetos de reatores como veremos adiante o valor a

geralmente eacute determinado por consideraccedilotildees nucleares (moderaccedilatildeo) 0

valor de S eacute determinado atraveacutes de uma estimativa ou entatildeo atrashy

veacutes de um graacutefico do tipo da figura 5 0 correspondente valor de x

pode ser obtido de uma foacutermula empiacuterica do tipo

1 = 1 (-S)0gt67

proposta por Von Glahn

Em muitos casos assume-se S constante em todo o comprimeiv

to do canal poreacutem eacute um erro que em muitos casos nao pode ser coshy

metido

4 REATORES EM QUE 0 LIacuteQUIDO B MODERADOR E CIRCUITO PRIMAacuteRIO AO

MESMO TEMPO BOILING-REACTOR (BWR)

A aacutegua ao se movimentar atraveacutes dos vaacuterios canais do

59

Boiling-reactor encontra vaacuterias resistecircncias ao fluxo que provoshy

cam uma reduccedilatildeo de pressatildeo no fluido

As duas perdas mais importantes sao perda de pressatildeo por

atrito e perda de pressatildeo causada pela aceleraccedilatildeo do refrigerante

ao aumentar de volume por receber calor num canal Outras perdas

de pressatildeo seriam a obstruccedilatildeo ao fluxo por corpos submersos (espa_

ccediladores juntas de tubos chaves etc) e por mudanccedilas abruptas de

aacuterea de fluxo tanto na entrada como na saiacuteda do tubo

Essas perdas de pressatildeo devem ser conhecidas o melhor popound

sivel principalmente nos reatores BWR Para tanto devemos saber

o comprimento de canal em que nao ha a ebuliccedilatildeo isto eacute qual o com

primento de canal em que o refrigerante vai da temperatura de sub-

resfriamento ate temperatura de saturaccedilatildeo

Seja o elemento combustiacutevel

Aquecimento Uniforme Aquecimento Senoidal

Fig 6 Fig 7

onde

H =

H = o

H b

comprimento do elemento combustiacutevel

cota onde o liquido se torna saturado

comprimento do elemento combustiacutevel em que ocorre

ebuliccedilatildeo

60

qg = calor sensiacutevel acrescentado ao liquido para satushy

raacute-lo

qfc = calor total acrescentado ao liacutequido em todo o com

primento do canal

laquoo

q s J o qiquest sen (IIzH) n H o

T~ = TH = 2 ( 1 c o s gt ( a )

q 1 sen (HzH) Jo ^c

A expressatildeo (a) vale quando tivermos uma adiccedilatildeo de calor

senoidal para qualquer outra forma de adiccedilatildeo de calor faz-se um

caacutelculo anaacutelogo

Outra relaccedilatildeo entre q g e qfc eacute dada pela termodinacircmica

q h- - h s f m (b)

(hr +x h )-hm ^t f e fg

onde

= entalpia para o liquido saturado a pressatildeo correjs

pondente (cota z = Ho)

hffi = entalpia do liacutequido na entrada do canal

x = tiacutetulo do vapor na saiacuteda

= entalpia do vapor

Com a relaccedilatildeo (b) noacutes determinamos a relaccedilatildeo q q ecom

S L

uma relaccedilatildeo do tipo (a) (conforme seja o adicionamento de calor ao

liacutequido) podemos obter a relaccedilatildeo HoH e consequentemente H^H

21 - Perda de pressatildeo num canal de evaporaccedilatildeo

Neste item iremos determinar as perdas de pressatildeo mais

representativas que ocorrem num canal de evaporaccedilatildeo de um reator

P + dP

bull1 i- 1 gti i i

dL

onde

UM

Icirc H Icirc Icirc T dF f t f

61

Quantidade de Mov na Entrada

= i- rigVg)

dF f l

Fig 8

m i

m 8

V l V 8

A P

dF

dF

dF

fg

fl

ftf

descarga do liacutequido

descarga do vapor

velocidade do liquido

velocidade do vapor

aacuterea transversal do canal

forccedila de atrito do vapor com parede

forccedila de atrito do liacutequido com parede

forccedila de atrito das duas fases liacutequido+vapor

Fazendo o balanccedilo das forccedilas considerando o sentido posjL

tivo na vertical temos

A (P-P-dP)-(dF +dF _+dF _)-(-pound-) (p A+p A )dL = mdash dGnV+m V ) P fg ftf fl g c 1 1 g g g c

v 1 1 g g 7

- dP = ~ (dF +dF--+dF)+- S--7=- (p A+p A )dL+ mdash ~ - d (m-V+m V ) A_ fg ftf fl g c Ap v^l 1 g g g A 11 g g

Fazendo a integraccedilatildeo termo a termo entre os dois extreshy

mos entrada e saiacuteda e considerando a pressatildeo de entrada igual a

P q e a de saiacuteda igual a Pe vem

Quantidade de Mov na Saiacuteda

-= h I- lY l+ A g V g + d ( aacute l V l + aacuteeVl

Forccedila de Gravidade

= ( g f - N P A + P g V

62

b) r e F f l

o p dp^ = Ap^ = perda de pressatildeo por atrito

do liacutequido na altura Ho

Aplicando a formula de Darcy vem

bull API = f bull ir bull ^ iexcl 7

onde

f = fator de atrito

c) e Fftf

o p ^P tpound

= perda de pressao por atrito da mistura

liquido + vapor no trecho de comprimen

to Hbdquo o

Para determinar esta perda de pressao define-se o fator

de multiplicaccedilatildeo R

A P R =

tf A P 1B

Sendo A p ^ a perda de pressao se o comprimento todo fosshy

se ocupado somente pelo liquido assim

A p t f = R A P 1 B

0 calculo de Ap-^ pode ser feito pela formula de Darcy e

o de R nos veremos no item seguinte

63

d)

-e F

d ( ^ )

O P

Ap = perda de pressatildeo por atrito do vapor

No caso do reator BWR o titulo de saida e bera pequeno e

em nenhum caso ocorre a saida de vapor com x = 100 logo a perda

de pressatildeo por atrito do vapor eacute nula assim

An = 0 5

e) Ap

(p A 1 + p A ) dL = Ap - perda de pressatildeo dpound

vida ao desniacutevel

(perda hidrostaacutetica)

Anbdquo = re A A

-S- I (p + p -S ) dL H s 1 A

c o p o A

como A A Jl_ =

A P

A +A-g 1

1-a -

temos

C Q

te j jll-a)p1 + apg)^jdL = p Lo pound

onde

e jo u

+ ap ) ~I dL (Densidade media 1 S J

no tubo)

No nosso caso

Ap u = p H

f)

re d(mV + m V ) _ mdash - laquo -i bull s iquestp laquos p e r d a ltje pressatildeo devido a acele-

c p raccedilatildeo do vapor

V A

(1-x) tl^Vj

(1-a) A

X V

aA

A p -

roV + m V

c p c p L_

m (l-x)m_v m xv nbdquo -1 T 1

+ _S S I (1-a) Ap aA

P

2 g A c p

n 2 2

(1-x) m T

laquo2 8 A c p

2 2 (l-xe) raTv1

2 2 2 xm_v (1-x) m-v e T s o 1 1

a 1 - a

2 2 - x m_v o T g

a

se

X Q 0 (so ha agua nesse trecho)

a = 0 o

temos

mbdquo Ap =

1 a A 2

S A degc p laquo-

tt-V v i 1 - a

2 via T^r - v i

t Apc

2

V v l

5c Ap

1 - a

x v - 1

a e v l

65

Fazendo

G = fluxo total da massa por unidade de area do

canal

(1-x J e

V

AP r

Assim a perda de pressatildeo total sera

H p V II pV r2 P -P = f -24-Iuml+ f R+p 0 1 2g c D e 2g c g c g c

2c2 - Determinaccedilatildeo do fator de multiplicaccedilatildeo (R)

221 - Relaccedilatildeo Martinelli-Nelson

Os autores Martinelli-Nelson determinaram experimental -

te esse fator R para varias LIT1L em funccedilatildeo da pressatildeo e da r NB total J v

qualidade de saiacuteda do vapor no canal Construiacuteram assim vaacuterias

curvas do tipo da figura 9

66

E importante notar que a qualidade do vapor (x) na saiacuteshy

da nao deve ser grande pois como vemos o valor de R cresce muishy

to com um aumento pequeno de x e um valor de R muito grande acar_

reta uma perda de pressatildeo grande pois

^ d u a s fases R ^ f a s e liacutequida

Para resolvermos um problema seguindo o criteacuterio de bdquo

Martinelli escolhemos a curva R = f(px) (para a relaccedilatildeo L

N g ^ j

adequado) e tiramos R com os valores de pressatildeo p e tiacutetulo x

As curvas R = f (p x L T t )IO encontram-se nos ANL 6469 bio I

e 6561

222 - Relaccedilatildeo Lottes-Flinn

Estes autores estudaram o problema para o aquecimento uni

forme do refrigerante com baixo titule Lottes-Flinn fizeram inuacuteshy

meras experiecircncias e verificaram que para fluxo de calor uniforshy

me e baixos titulos R era independente do fluxo de calor fluxo

do refrigerante escorregamento e apenas funccedilatildeo de a g

Como a quantidade de liacutequido eacute muito maior que a de vashy

por a perda de pressatildeo daacute-se principalmente pelo atrito do liacuteshy

quido com a parede Podemos assim escrever a foacutermula de Darcy

na forma diferencial

dz

d = f __ r e amp c

onde

V = velocidade do liquido saturado na cota zbdquo X

f = coeficiente atrito

= densidade do liacutequido saturado

Teoricamente a queda de pressatildeo deve-se ao acreacutescimo de

67

velocidade do liacutequido e da diminuiccedilatildeo da aacuterea de fluxo do liacutequi

do

P fH A P t p

= f D 2g Ho

d z

fazendo

V lo

m V t lo

(velocidade do liacutequido na cota z = Ho)

(1-x) m t v 1

(1-a) A (velocidade do liacutequido na cota z gt Ho)

a bull+ fraccedilatildeo vazio na cota z geneacuterica

V 1 (1-x) m t v 1

m t V l 1 - a

x =s 0 pois o tiacutetulo eacute baixo

A p t f = f bull JT5 c e

fH V lo

H o (1-a) dz

Para fazer a integral devemos achar a relaccedilatildeo de variaccedilatildeo

entre a e z Como o fluxo de calor eacute uniforme a qualidade eacute direshy

tamente proporcional a z

bull laquo x = x e H

z = mdash x X e

Sabemos ainda que (item 113)

x

1 + [ ( I -X)AKQ x + iiacuteraquo

68

como

temos

(1-x) = 1

v

X =

z =

1-a

1 -a

1-a e

a

e

1-a pound

a

1 -a igt (assumindo S = cte)

da

Atf - f bull 2 i ^ ~ J c e o

a 1 - a e e 1 s 4 hmdash) da

a 1-a

f P lv^ Q

0 termo mdash - mdash e a parte de perda de pressatildeo pelo lj^

^c e -quido ou seja Ap liquido saturado e como

Ap

R = tf

Ap liauido saturado

temos que

R J

f ae 1 _ a e 1 4

a 1 -a o e

1 -a r-R =

3 1 -a

a 1 -a imdash

3 vl - a 3

e e

Os valores de R obtidos por esta expressatildeo aproximam-se

muito dos valores obtidos pelos aacutebacos de Martinelli

69

E - EXPANSAtildeO E COMPRESSAtildeO DE UM FLUIDO - ANAacuteLISE HIDRODINAcircMICA

DE UM CIRCUITO EM CIRCULACcedilAtildeO NATURAL

1 EXPANSAtildeO NO FLUXO DE UM FLUIDO

11 - Uma so fase

Figura 1

Ha vaacuterios meacutetodos para determinar a variaccedilatildeo de pressatildeo

numa expansatildeo de fluido estudaremos o de Romie que eacute o que daacute

maior precisatildeo

Romie considera que a pressatildeo p^ tambeacutem atua na aacuterea

imediatamente apos a expansatildeo Assim fazendo o equiliacutebrio das foi

ccedilas nas secccedilotildees tracejadas da figura 1 temos

mVj

p r A 2 + mdash

mV

bull 2- A2

mas

m = pV^A^

pV^A = p V 2 bdquo A 2

V A

v 2 -4r-logo

( P l-P 2) A 2 = f ( V ^ ) - f _ v j amp c c 2

70

2 pV A A pV A A

Chamando A l A ]

K = 1 - T e degi2 = Aiexcl bull V E M

pvj

P l P 2 = T ~ bull ( 2 deg 1 2 ) ( 1 _ a 1 2 )

Outra maneira de chegar atilde diferenccedila de pressatildeo ( P j - ^ ) s mdash

ria usar o coeficiente de perda da mecacircnica dos fluidos Assim o

equilibrio das pressotildees eacute

2 2

1 V l 1 V 2 V l P i + _ p _ ^ P 2 + I p ~ + k 1 2 p mdash

onde = coeficiente de perda

A 2 1 2

k 1 2 - (l-o 1 2) - (1 - j- )

Fazendo as transformaccedilotildees chegamos a mesma expressatildeo obshy

tida pelo balanccedilo das forccedilas

PraquoIacute pr p

2 - - ir ^ laquo-ia

12 - Duas fases

Como ha duas fases a equaccedilatildeo do balanccedilo das forccedilas fica

um pouco alterada

m pound 1 V- m - raquoV - m-V- m bdquoV _ P A + j y ^ i + _gl_JUuml P A + -11-11 + -ilsl (a)

1 2 e R 2 2 ff e

Sabendo que

71

m (1-x) m t = p fA (1-a) V f

entatildeo

fl l-o^ p fA x

6 Vf2 1-x l-a2 P fA 2

m V = mdash mdash e V 0 = gl a 1 P C T A 1 g2

m

a_ p h

2 g 2

Nas expressotildees anteriores o x nao varia porque a expansatildeo

5 adiabaacutetica porem o a varia devido a modificaccedilatildeo do tamanho da

bolha

Substituindo os valores das velocidades na expressatildeo (a)

vera

( P - P ) Abdquo =

2

2 2 m gt2 2 m t (1-x) 1 x t

ra i 2 m i 1 x t 1

p fA 1 g c ttl p Ax gpound

m t P - P = mdash

(1-x) (l-a 1)A 1A 2 (l-a2)A|

a r A r A 2

V A 2

m t P bdquo - P = mdash 2 1 g c A r A 2 p f

(1-x) 1-a f A 2(l-a 2)

bull ^ 2

72

Se

P -P

a

m

g

12

1 _1_ (1-x)

J12

1 _ a l 1 - a 2 + X (- )

Pg

1 deg12 a 2 ^

Sabemos que

mt = V o pf laquo A l

Sendo V q = velocidade do liquido num ponto onde natildeo haja vapor

P 2-P 1

u 2 2 A 2

V pr Ai

V W p f

(1-x) 12

l-a1 l-a2

+ X 2 pf

mdash

l deg12

-1 a 2 _

p -p r 2 Al (2a 1 2)

2 M f w 1 deg12 X (mdash) (

pg al a 2 )+(l-x)C l 1 12

1-a^ l-a2

Devemos notar que esta expressatildeo tambeacutem vale para quando

temos uma fase para isso basta fazer

= c t 2 = 0

X = 0

e recairemos na formula do item anterior

2 pf 1 deg12 Observemos que neste caso o termo x (mdash)( ) nao

Pg al a2

2

73

tem significado pois corresponde a mudanccedila de fase

2 CONTRACcedilAtildeO KO FLUXO DE UM FLUIDO

21 - Uma so fase raquo mdash

Aqui ocorre um fenocircmeno importante pois o fluido ao ser

contraiacutedo nao vai diretamente da area A^ para a area A 0 mas ele

contral-se ate uma area A^ e depois expande-se ate k^

Ao A2

Po IP 2

V 2

Figura 2

Fazendo o equiliacutebrio das pressotildees entre os planos (1)

(0) vem 2 2

pV pV p +~ plusmn - P + i deg bull 1 2 g o 2 g (b)

C x

Fazendo equiliacutebrio da expansatildeo (0) - (2) vem

P o + 2 - f = P 2 + 2 -T + kp- 2 F ( c )

c c b C

Subtraindo (b) - (c)

2 2 2

i p- vj i p- v2 L P l + 2 bull g c

P 2 + 2 2g c

+ k P 2g c

74

Como

P - P = mdash 2 2g

2 2

bull (1 + k) - f bdquo mdash i

k a - f2 ) 2 - d - o c )2

= o

A = a 21

Weisback obteve varias relaccedilotildees entre a e a i] c

01 02 03 a 0624 0632 0643 c

0624 0632

A r v i - V v 2

p -p 1 2

P -P 1 2 2g7

v l =

(1+k) - laquofi- a 2g 21 c

( 1 + k - o 2 1)

X[- V 2 o 2 1V 2

22 - Duas fases

0 valor de k pode ser aproximado para

k = a(l - o 2 1)

onde segundo Richardsons para fluxo de duas fases podemos supor

a = 02

Para fluxo homogeacuteneo sabemos que

75

p = p f (1 -a ) + p o a

podemos supor p bdquo a = 0 pois p e pequeno e fazendo

V = V ~ V fbdquo2 go2 v 2

Substituindo estas duas expressotildees na equaccedilatildeo de uma soacute fase vem

2 2 p V (l-ct) p V (1 -a ) bdquo

P l P 2 = 9g ( 1 + 3 - 3 0 ^ - 0 ^ ) = g (a+1) (l-a^)

Se a = 02

2 12p oV 0

p r p

2 - 9g gt d-) d-sigt

A compressatildeo de um fluido acarreta uma perda de pressatildeo

como pode ser verificado pelas formulas uma vez que lt 1deg

3 ANALISE HIDRODINAcircMICA DE UM CIRCUITO EM CIRCULACcedilAtildeO NATURAL

Esquema deacute uma caldeira com circulaccedilatildeo natural

76

Determinar a velocidade em (7) para que tenhamos circula

ccedilatildeo natural Determinar tambeacutem as perdas de pressatildeo em todos os

trechos da caldeira

31 - Contraccedilatildeo das secccedilotildees (1) - (2)

Como jaacute vimos a equaccedilatildeo do balanccedilo das pressotildees eacute

1 pr Vl 1 p 2 o V 2 P2 V2

1 2 g 2 + 2 g + K12 2g otilde c amp c e c

bullraquo 2 o2 2 e havendo uma soacute fase k 1 9 = (l-o ) = (1 mdash ) e sendo

C 2

p l = p2

v x lt lt lt v 2

P 2 V pr p2 bull ir2 bull ( 1 + k12gt

Colocando em termos de temos

A 2 V 2 P 2 = A 7 V 7 p 7 (continuidade)

V = V mdashbull = V o_bdquo ~ A 2 2 2

P 2 V - p 2

p r p 2 = ir2 - deg72 bull Ccedilrgt bull lt 1 + ki2gt

fazendo

N12 - lt^gt deg72 ( 1 + k12gt

P7 V7

Pr P2 - N12 bull HG

77

3 2 - Perda de carga no trecho ( 2 ) - ( 3 )

Como haacute apenas uma fase soacute temos perdas por atritos e

perdas hidrostaacuteticas

Sendo como jaacute vimos

2 3 p 2 2 g P 2 P 3 = f 2 3 (r~2g^~) L 2 3 g c p

atrito hidrostaacutetica

Substituindo V^ pela relaccedilatildeo do item anterior e tendo em

conta que p = vem

P -P = f 2 r 3 2 3 D

2 3 p 2 bdquo 2 2 p 7 2

2 g 7 72 p 2 3 g

Se

L 2 3 2 p 7

2 3 2 3 D 2 a 7 2 p 2

P 7 V 7 g P 2 - P 3 = N 2 3 ( mdash gt p 2 L 2 3 f

3 3 - Expansatildeo nas secccedilotildees ( 3 ) - ( 4 )

Como vimos o balanccedilo das pressotildees e

2 2 2 p V p 4 V p V

P 3 + 2 g c

P 4 + 2 g c

+ k 3 4 2 g c

onde

k 3 4 - - -

2 2 1 P 4 - V 4 P 3 v 3

P 3 P 4 = 2 g + ( k 3 4 _ 1 ) 2 g

78

Sendo

P 3 - P 4

p 3 o A 3 deg V 3 = P 7

a A 7 o V 7

P 4A 4 0V 4 = P r A r V

3 7 A 3 p 3

A7 P7 V = v mdash mdash 4 7 P 4

P - P 3 r4

Se

P bdquo - P

bdquo2 r-P 7 V 7

3 4 2g deg74 + ( k 3 4 1 ) deg73

34 p deg74 + ( k 3 4 1 ) 73

p r v2

P3- P4 ^ N34 ^ gt

(No caso e negativo)

34 - Contraccedilatildeo nas secccedilotildees (5) - (6)

Ainda temos uma so fase e fazendo o balanccedilo das pressotildees

como fizemos no item 3lt1 vem

P + vil p + vi + k vi P 5 + 2gbdquo P6 + 2gbdquo + k56 2gbdquo

k 5 6 lt 1 ^ gt 2 ( 1 - Iacute 2 i 2 6

V V6 P5degIacute 5^6 ^SS 2g c - 2g c

P - P ^ = (1+kJ

Como

79

A 6

W p 5 =

VV P6 V 5 = V 6 Jiexcl = Vff65

P 5-P 6 - lt H k 5 6 ) mdash ^ mdash (l+k 5 6-a 6 5) c c c

Sendo

Se

A 7 p 7 p 7

6 7 Ag p 6 7 76 p 6

p _p _ P6- V7- g76 iquest72 ( _ 02 P 5 P 6 2g c bull ( p 6

( 1 + k 5 6 deg65 )

p 7 2 2 N56 = p ^ deg76 ( 1 + k 5 6 ~ a 6 5 )

P 7 V 2

7

P r-P = N r 5 6 56 2g c i

35 - Perdas de pressatildeo nas zonas (6) - (7) - Pre^aquecimento

Nesta regiatildeo temos perdas por atrito e hidrostaacuteticas

Nao haacute perda por aceleraccedilatildeo pois ainda natildeo houve formaccedilatildeo de boshy

lhas

Fazendo balanccedilo das pressotildees temos

L_ ppound-V p = p + otilde L - pound _ + f -Si (-21mdashL 6 7 + p67 L67 g + t 6 7 D K 2g

p _ e ifn sao tomados como valores meacutedios 67 67

P _p _ f hl ^67jIacute uuml + - L A

6 F 7 r67 D 2g P P67 L67 g 6 s c 7 c

S e Kr pound67 L67 p67 6 7 D 6 p7

p7 V - _g_ P6- P7 - N67 mdash + P67 L67 f

c c

80

36 - Perda de pressatildeo nas zonas (7) - (8) - Zona de ebuliccedilatildeo

Nesta regiatildeo j aacute temos o aparecimento de bolhas logo a

perda de pressatildeo seraacute devida agraves t recircs parcelas aceleraccedilatildeo a t r i t o

das duas fases liacutequidas + vapor e h idros taacute t ica

onde

Assim

P-P Q = AP + AP + APbdquo 7 8 a t r i t o acel H

T M1

78 p 7 7 AP - R f- - mdash mdashr |R = fator mult ipl ica-

a t r i t o 7 D 7 2 g c L tivo

G 2

AP bull r mdash acel g c

P V

|_1 - o a p J 8 P f

2 t r 2 M2

7 7 r 7 7 A P a c e l = -J^mdash 2 r bull p 7 lt T iexcl iexcl - )

A PH p 7 8 L 7 8 fiexcl

p 7 8 iacute 7 li 1 0 0 P l i q + a P v ] d L = P 7 ( 1 - laquo 7 8 )

ag raquo fraccedilatildeo de vazio media entre 7 e 8

APH = p (1 - 5 7 g ) f- L 7 8

2 2

P 7 - P 8 a 5 - 2 T i + 2 r p 7 + P 7 ( 1 - 7 8 gt f L 7 8 7 amp c amp c amp c

81

N 7g = R mdash + 2 r p 7

P7 V7 P7- P8 = N78 + P 7 ( 1 5 7 8 gt J78

37 - Expansatildeo nas secccedilotildees 8 e 9

No caso haacute uma expansatildeo com duas fases e como vimos no

item 12 a variaccedilatildeo de pressatildeo era dada por

0f Vo P2 P1 = ~2g c ( 2 deg12

x 2 (mdash)(mdash - mdash ) + ( l - x ) 2 ^ T mdash 8 1 2 1

12

Aplicando ao nosso caso

P pound = P 7

P -P = 8 9

V - V raquo V g f 7

P 7 V 2

2 pf 1 a89 2 1 g89 x (mdash) ( ) + (1-x) (- - N

o ou abdquo 1-cu l-ot_) g 8 9 8 9

Se

N 89

= 2 a 89

2 pf 1 deg89 2 1 CT89 x (mdash) ( ) + (1-x) ( T

g 8 9 8 9

P -P = 8 9

- N P7deg V7

89 2gbdquo

38 - Perda de pressatildeo no trecho 9 e 10

No referido trecho temos apenas perda de pressatildeo por atr L

to da fase liacutequido + vapor e perda hidrostaacutetica Natildeo haacute perda por

aceleraccedilatildeo do vapor pois este natildeo recebe mais calor e portanto

o 82 o

nao ha variaccedilatildeo no a

p

Q -p i n = A P

U + A P bull 9 10 H atrito

n T -S_ P9 U10 deg 910 bull g

fio r

910 I 910

J9 L

(l- a)P + Q P I dL liq v

(l-a0) p

No caso a = (nao hatilde variaccedilatildeo de forma)

A P H - (1-a ) P (p L 0

c

AP bdquo = R o

atrito

2 f9 o L910 P9 V9

2g

Supondo

= V

P 9 = P 8 P 7

vbdquo = v 9 8 0 A r

= V 7 bull deg89

AP - R atrito

2 2

W l O p7deg V7deg g89

V P10 R -^T^ bull deg89 bull li-2 + ( W P 7 (fgt SIO

y c c

Se

- f9 L910 2 N9ol0 R Dl deg89

w 2

p rv P9 P10 = VlO + ( 1 a 9 ) p7 (f gt L910 c

33

39 - Perda ciacutee pressatildeo na expansatildeo 9 - 1 0

Analogamente a expansatildeo 8 - 9 temos

10 11 P 7 2g

10 Iacute 2 0 1 0 - 1 1 gt

2 ff

pg aio

10-11

laquo11 ) +

Ll-a 1 0 bull l-a u J

Se

V10 = V 9 = V 8 bull T9 = V 7 deg89

P -P 10 rll = - a 2g 089 ^lO-ll

4 bull T~ bull (7 1 mdash ) + Pg degio a n

+ (l-x)2(- 1 10-11

1 - aio )

N10-ll = 2 a10-ll a89 2 pf t 1 10-11 N2

-(j-r- - ) bull+ (1-x) pg aio deg 1

10-11 k l - a io

prz P10 Pll = - N10-ll bull ( 2gbdquo

310 - Calculo de V

Fazendo a somatoacuteria de todas as expressotildees (P^-Pj) tere-

84

mos 2 PbdquoV_

P bdquo - P bdquo = N 7 v 7

1 2 12 2g

bull 2 - P 3 - = N 2 3 P 2 L 2 3 f c ccedil

9 P 7 V 7 P _p = N mdash -

3 4 34 deg 2g

V P 5 = deg

2 P V

5 6 56 2 g c

ltr2

P 7 -V 6 e7 -N67 2g + p 6 7 J j67 g

c bc v 2

P 7 - P 8 = N 7 8 - 2 i ~ + p 7 ( 1 - laquo 7 8 ) L 7 8 c

P 7 V 7

P - P - -N mdash - -8 9 89 2g

c P 7 V 7

P 9 ~ P 1 0 VlO 2g + ( 1 a 9 P 7 L 9 c

P 7 V 7

bull10 11 U10-ll 2g

P v iacute j P - P

1 11

7 - v 7 3 bull r

2 8 i U L 2 23 67

(l-5 7 8) L 7 8 + ( l - laquo 9 ) P 7 bull SlOtilde]- ^

Por ou t ro lado sabemos que como secccedilotildees 1

mesmo n iacute v e l

85

s c p r v 7 j

28 Z N i ij

= P 2 L23 p67 L67 P 7 ( 1~deg78 )

78 ~ ^g) bull P 7 bull L 910 g_

V - 2 g ( p r L 2 3 - p 6 r L 6 7 - p 7 ( l - atilde 7 8 ) L 7 8 - (l-a9) p L 9 a ( )

y N

Com esse valor de podemos determinar todas as variashy

ccedilotildees de pressatildeo (P^-P )

BIBLIOGRAFIA

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Vol 9 - n9 5 e 6

Vol 6 - n 2 (pag 152)

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Seminaacuterios realizados em Paris em 1961 sob a supervisatildeo do

Prof Marcel Veron

Notas de aula da Cadeira de Termodinacircmica I e Transmissatildeo da

Escola Politeacutecnica da Universidade de Sao Paulo

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6

Devemos notar ainda que a analise dimensional e o teore

ma dos TT nao nos permitem obter a relaccedilatildeo matemaacutetica entre os gru

pos adimensionais mas apenas quais os grupos que interferem no

fenocircmenoo

7= CONVECCcedilAtildeO NATURAL

Experimentalmente verificou-se que nesse fenoacutemeno intejr

ferem as seguintes variaacuteveis

Variaacutevel Unidade Dimensatildeo

h - coeflaquo de peliacutecula kcalhr degCm 2 ( M ) ( 0 ) 3 (T) 1

x = dimensatildeo caracteriacutestica m ( L )

AT bull-= diferenccedila de temperatu ra entre parede e flui do

degC (T)

p = massa especiacutefica fluido kgm3 (M) ( L ) 3

y = viscosidade dinacircmica kgsegm ( M ) ( e ) 1 ( L ) 1

6 = coei de expansividade teacutermica

V1

c = P

= calor especiacutefico do fluido

kcalkg degC (D2 ( e ) 2 (T) 1

k = condutividade teacutermica do fluido

kcalm hrdegC OOCDO)3^)1

g raquo aceleraccedilatildeo da gravidade mseg ( L ) ( e ) 2

Dimensotildees

(M) = massa

( L ) = comprimento

(8) = tempo

(T) = temperatura

I

Considerando que apenas estas 9 variaacuteveis influem na con-

vecccedilao natural o fenocircmeno poderaacute ser escrito na forma

B A_C D E F G H I h = A x (AT) bdquo p bdquo u o S Cp k g (1)

Sendo A B C D E F G H I expoentes reaisraquo

De acordo com o teorema dos T T se noacutes temos m = 9 variaacuteshy

veis funccedilotildees por sua vez de n = 4 dimensotildees o fenoacutemeno poderaacute

ser descrito por uma equaccedilatildeo de (9-4=5) adimensionais

Pesquisemos quais sao esses adimensionais Substituindo

na expressatildeo (1) as dimensotildees correspondentes temos

Me 3 T_1 = A LB TC (ML~3)D (Me - 1 ITV (T-1)F

a2 e~ 2 T - 1 ) g (MLe3

0T_1)H ( L e - 2 ) 1

Devido a homogeneidade de unidades da expressatildeo as somas

dos expoentes da mesma dimensatildeo nos dois membros devem ser iguais

(EM) D + E + H - 1 (I)

(26) - E - 2G - 3H - 21 = -3 (II)

(ET) C - F - G - H = -l (III)

(EL) B - 3 D - E + 2G + H + I = 0 (IV)

Solucionando o sistema acima em funccedilatildeo das variaacuteveis C

D G e T vem

Somando (I) e (II)

D - 2 G - 2 H - 2 I = - 2 o H = ~ G - I + 1

Substituindo o valor de H em (III) vem

C - F - G - | + G + I - l = - l F = C - + I

Substituindo o valor de H em (II) vem

8

- E - 2G - -y- + 3G + 31 - 3 - 21 = - 3 E = G + I - -y

Substituindo E e H em (IV) vem

B - 3 D - G - I + - y - + 2 G + | - - G - I + l + I = 0

Voltando agrave expressatildeo (1) temos

h = A x D + I - 1 ( A T ) C pdeg u G + I ~ 3 0 2 g C ~ 0 2 + 1

G D2 - 6 - 1+1 I c p k g

Agrupando os termos de mesmo expoente vem

t A 2 2 - 3 - 1 v D 2 -1 1 n = A (x p bdquo u g o k ) o (x u g k g)

o (AT g ) C (vi k 1 c p )Q o ( x - 1 k g )

h - A ( x 2

3 - p 2 k ) D 2 ( g deg Z)1 (AT g ) C

li 3

C k J x

2 2 h x x p k D 2 x u g gI

k ~ A ^ 3 o

deg 1 k deg

y 3

(AT g ) C ( ^ ) G

Chamando

h bdquo x n = mdash f mdash = Nbdquo = n9 de Nusselt 1 k Nu

T T 2 = p

k

P = N p r = ndeg de Prandtl

rr3 = AT o g

2 2 i

x o p k

4 3 R

M g

Assim os fenoacutemenos de convecccedilao natural sao descritos por

uma equaccedilatildeo do tipo

F ( IacuteW N P r V V V = deg Como as variaacuteveis 3 AT e g na convecccedilao natural soacute in

fluem nas forccedilas de empuxo provocando o movimento macroscoacutepico do

fluido devem aparecer constituindo o produto (g g AT) Para

que isso seja possivel devemos ter

~ = I = C reunindo-se assim os 3 adimensionais tr

T T ^ ir ou seja

ir AT g gt k P 2 X bull P B bull = 3 4 5 u 3 6 k

3 2 x p g g AT bdquo M O j o u c

= 7 = N_ = N9 de Grashof 2 Gr

Finalmente a convecccedilao natural pode ser descrita por uma

equaccedilatildeo da forma

F(Nbdquo N_ Nbdquo ) = 0 Nu Pr Gr

Agora soacute resta obter para cada caso possiacutevel do paraacutegra

fo 4 ps coeficientes desses 3 nuacutemeros adimensionais

8 CONVECCcedilAO FORCcedilADA

Na convecccedilao forccedilada nao influem as forccedilas de empuxo poshy

reacutem influi decisivamente a velocidade do fluido Assim as variaacuteshy

veis que intervecircm no fenocircmeno sao

h = coeficiente de peliacutecula (M) ( 8 ) ~ 3 ( T ) 1

o 10

x = dimensatildeo caracteristica (L)

-1 V = velocidade do fluido (L) (8)

I -3

u = viscosidade dinacircmica do fluido (M) (L)- (0)~

p = massa especifica do fluido (M) (L)

- 2 - 2 - 1 0^ = calor especifico do fluido (L) (6) (T)

k = condutividade teacutermica do fluido (M) (L) ( 0 ) ~ 3 ( T ) 1

0 fenocircmeno eacute determinado por estas 7 variaacuteveis logo coja

forme o teorema dos ir podemos descrever o fenocircmeno por uma equaccedilatildeo

com (7 - 4) = 3 nuacutemeros adimensionais

A equaccedilatildeo de h em funccedilatildeo das variaacuteveis seraacute do tipo

h = A x V u bull P bull c k (2)

substituindo as dimensotildees vem

M e~ 3 T - 1 = A L B (L Q~X)C (M L - 1 e 1 ) 0

(M L 3 ) E ( L 2 e 2 T _ 1 ) F (M L e - 3

T - 1 ) G

Igualando a soma dos expoentes da mesma variaacutevel dos dois membros

vem

(EM) D + E + G = 1 (I)

(Z6) - C - D - 2F - 3G - -3 (II)

(ET) - F - G = -1 (III)

(EL) B + C - D - 3 E + 2 F + G = 0 (IV)

resolvendo o sistema acima em funccedilatildeo de C e G vem

de (III) F = 1 - G

de (II) - C - D - 2 + 2 G - 3 G = - 3

bull D = 1 - C - G

substituindo o valor D em (I) vem

11

1 - C - G + E + G = 1 E = C

substituindo os valores de D E e F em (IV) vem

B + C = l + C + G - 3 C + 2 - 2 G + G = 0

B = C - 1

assim a equaccedilatildeo (2) ficaraacute sendo

C-l bdquoC 1-G-C C 1-G G h = A x V y p c k

P

colocando o coeficiente de k na forma (1-G) + l^j vem

h = A (x V y1 p ) C (ii c k - 1 ) 1 - 0 (x _ 1 k) P

u c hx p x VvC p xl-G k = A ( y gt ( k

ILJLJL = N

k Nu

y c N

e k Pr

p V x _

y N R e = N9 de Reynolds

Logo o fenocircmeno de convecccedilao forccedilada seratilde representado

por equaccedilotildees do tipo

f ( NNugt NPrlaquo N R e ) = 0

9 SIGNIFICADO FIacuteSICO DOS ADIMENSIONAIS

91 - Numero de Nusselt

N = bull h = 2L- _) Nu k AT v

v3 x x=0

eacute uma relaccedilatildeo entre o gradiente de temperatura junto a parede e a

12

variaccedilatildeo total da temperatura do fluido

92 - Numero de Prandtl

Pr = pp = 2 kpc a

P

Relaccedilatildeo entre viscosidade ci nemaacutetica v e a difusividade teacutermica a

93- Numero de Reynolds

N_ = amp Relaccedilatildeo entre as forccedilas de Re u - r bull

ineacutercia e as forccedilas viscosas que interferem no escoamento fluido

94 - Numero de Grashof

H = mdashmdash mdash^mdash 2 mdash amp a relaccedilatildeo entre o pro-u duto (forccedila de ineacutercia )

x (forccedila de empuxo) e o quadrado das forccedilas visshycosas que interferem na convecccedilao natural

11 EQUACcedilOtildeES DE CONVECCcedilAO FORCcedilADA

Por ser o caso mais importante na induacutestria soacute veremos

algumas equaccedilotildees para a convecccedilao forccedilada e deixaremos de lado a

convecccedilao natural por ser menos importante

Para cada tipo de escoamento para cada regime de transshy

ferecircncia de calor e para cada configuraccedilatildeo geomeacutetrica teremos uma

equaccedilatildeo com expoentes e coeficientes diferentes poreacutem sempre com

as mesmas trecircs variaacuteveis

Nbdquo N- N_ Nu Re Pr

Para resolver um problema de convecccedilao devemos antes

avaliar as propriedades do fluido essa avaliaccedilatildeo eacute feita considj

13

rando a temperatura media do fluido isto e a meacutedia aritmeacutetica da

temperatura entre um ponto do fluido junto agrave parede e um ponto onshy

de a temperatura do fluido seja constante longe da parede

Ha casos entretanto que na praacutetica trecircs adimensionais

so nao sao suficientes para expressar o fenocircmeno isto porque as

vezes ha uma propriedade que eacute muito sensiacutevel a uma pequena varia

ccedilao de temperatura logo para estes casos introduzem-se outros adi^

mensionais para levar em conta a dependecircncia dessa propriedade com

a temperatura

Todas as expressotildees foram obtidas experimentalmente A li

teratura especializada tem formulas para todos os tipos possiacuteveis

de geometria Vejamos alguns exemplos

101 ~ Convecccedilatildeo forccedilada sobre superfiacutecies planas

a) regime laminar ( N R g lt 400000)

N T = 0664 (N ) 1 f 2 (N ) 1 ^ 3

NuL ReL u Pr

b) regime turbulento ( N R g gt 400000)

NNuL deg 0 3 6 lt N P r ) 1 3 t gt R e L ) 0 8 1 8 7 deg deg ^

102 - Convecccedilatildeo forccedilada dentro de tubos ciliacutendricos

a) regime laminar (N_ ^ lt 2100) mdash Re D

i

b) regime turbulento Nbdquo _ gt 2100 mdash u Re D

N v _ = 0023 (N_ J 0 8 (Nbdquo ) n

NuD ReD Pr

14

n = 04 para fluido aquecendo

n =raquo 03 para fluido resfriando

Note-se que neste caso houve necessidade de considerar ou

tros adimensionais para aliar a anaacutelise dimensional agrave experiecircncia

no item a) dois outros adimensionais tiveram que ser acrescentados

(DL) e (up s)

Na expressatildeo 101 b) se o N critico for tomado como

sendo 5 x 10 (usado comumente) a expressatildeo usada eacute a mesma a me

nos do termo 18700 que passa a ser 23200

Devemos observar finalmente que estas expressotildees nao se

aplicam a metais liacutequidos e que elas nos datildeo nuacutemeros de Nussel meacuteshy

dios e natildeo locais

15

B - CONVECCcedilAtildeO COM MUDANCcedilA DE FASE - CONDENSACcedilAtildeO (I)

lo INTRODUCcedilAtildeO

Devemos considerar dois tipos de convecccedilao com mudanccedila de

fase que sao a condensaccedilatildeo e a evaporaccedilatildeo

Os problemas de convecccedilao de calor com mudanccedila de fase sao

tao importantes na industria como os de convecccedilao de uma uacutenica

faseraquo Os exemplos mais comuns de sua aplicaccedilatildeo sao os condensadoshy

res e evaporadores usados nos condicionadores de ar geladeiras

caldeiras etc

Neste capiacutetulo estudaremos apenas a condensaccedilatildeo

Os problemas de convecccedilao com fluidos condensando ou evashy

porando sao bem mais complexos que os demais processos de convecshy

ccedilao porque aleacutem de envolver variaacuteveis nao consideradas na conshy

vecccedilao de sistemas de uma so fase tecircm uma variaccedilatildeo nas propriedashy

des fiacutesicas de tal grandeza que essa variaccedilatildeo interfere decisiva

mente no fenocircmeno

2 CONDENSACcedilAtildeO

Eacute a passagem de um vapor para o estado liacutequido pela retishy

rada de calor

21 - Aspectos Gerais

A condensaccedilatildeo eacute realizada fazendo com que o fluido (vashy

por) entre em contato com uma superfiacutecie cuja temperatura esteja

abaixo da temperatura de saturaccedilatildeo do fluido correspondente atilde pres_

sao do vapor

0 coeficiente de peliacutecula relativo ao vapor de aacutegua satushy

rada que condensa sobre uma superfiacutecie fina eacute da ordem de grandeshy

za de 10000 kcalhrm^degC em casos excepcionais chega-se acirc valo-

16

res 50o000-100bdquo000 kcalhrm 2degC Isto eacute obtido a maneira pela

qual a condensaccedilatildeo se produz Ilaacute duas maneiras

1 - condensaccedilatildeo por peliacutecula daacute-se quando o liacutequido con

densado molha totalmente a parede formando urna peliacute

cula continua sobre a mesmaraquo

2 - condensaccedilatildeo por gotas daacute-se quando o liacutequido ao se

condensar rcune-se em gotas que crescem ateacute terem

peso suficiente para escoarenu

0 primeiro tipo eacute o mais comum e eacute o que daacute menor coefishy

ciente de peliacutecula porque a pelicula do liacutequido constitui uma re

sistencia adicional a passagem do calorraquo No segundo tipo chega-se

a coeficientes de pelicula muito maiores pelo fato do vapor estar

sempre em contato direto com a superficie resfriadura isto eacutepor

nao haver resistencia adicional

2o2 - Condiccedilotildees para termos condensaccedilatildeo por peliacutecula ou por

gotas

Sob o ponto de vista da transmissatildeo de calor deveriacuteamos

sempre preferir a condensaccedilatildeo por gotas pois como jaacute dissemos e

a que daacute maior eficiencia teacutermica Acontece poreacutem que tecnologji

camente eacute difiacutecil a obtenccedilatildeo da condensaccedilatildeo por gotas pois haacute

necessidade de termos um vapor puro urna superficie de resfriameii

to perfeitamente lisa (cromeada espelhada) e com resinas para fa

cilitar a formaccedilatildeo das gotas Tudo isso encareceria demais um con_

densador por isso eacute que na praacutetica usamos condensaccedilatildeo por peliacutecu

la quando podemos usar chapas ou tubos comerciais

So em casos muito especiais quando o espaccedilo eacute muito imshy

portante usa-se condensaccedilatildeo por gotas

2 3 - Remoccedilatildeo do Condensado

Um fator importante a considerar na condensaccedilatildeo eacute a remo

17

ccedilao do condensado que sempre se faz por gravidade Ha dois tipos

principais de superficies de condensaccedilatildeo

1 - Tubos ou placas verticais (ou encunadas)

2 - Tubos cilindricos horizontais

Nos tubos verticais a espessura da peliacutecula liacutequida aumen

tara do topo acirc base e com isso variaraacute ao longo do tubo o coefishy

ciente de peliacutecula loacutecalo

No caso dos tubos ciliacutendricos horizontais o liacutequido escoj

re pela parede lateral e goteja pela parte inferior natildeo havendo

possibilidade de formaccedilatildeo de camadas espessas do condensado

2raquo4 - Condensaccedilatildeo por peliacutecula sobre tubos verticais

Nusselt desenvolveu estudos analiacuteticos sobre condensaccedilatildeo

externa a tubos ciliacutendricos verticais partindo das hipoacuteteses

1 - A espessura da peliacutecula do condensado eacute nula na parte

superior do tubo e vai aumentando nas partes inferioshy

res por condensaccedil-ao e escorrimentoraquo

2 - 0 fluido escorre pela parede em regime laminar sob o

efeito combinado do seu peso e viscosidade

3 - A temperatura da camada mais interna do condensado tem

a temperatura da parederaquo

4 - A temperatura da camada mais externa tem a temperatushy

ra do vapor-

5 - A variaccedilatildeo da temperatura da camada do condensado em

sentido ortogonal agrave superfiacutecie do tubo eacute linear

6 - 0 vapor cede apenas seu calor latente

7 - A temperatura do tubo eacute uniforme e constanteraquo

8 - Nao haacute gases incondensaacuteveis no vapor (vapor puro)

Chegou a formula

18

2 3 g P - h L t

N j = 0943 ( r-EcircY~ ) 1 4 (l) NuL y bdquo k o At v

As propriedades da equaccedilatildeo (1) satildeo avaliadas agrave temperatu

ra meacutedia tm

c + t _ w sat

tm ~ onde

t = temperatura da parede

t = temperatura de saturaccedilatildeo do fluido S 3Lt

exceto o calor latente da vaporizaccedilatildeo b^ que deve ser avaliado agrave

temperatura de saturaccedilatildeo correspondente atilde pressatildeobdquo

Quando a superfiacutecie focircr inclinada vale o raciociacutenio de

Nusselt apenas o termo que atua na remoccedilatildeo do condensado natildeo eacute g

mas sim (g seno) sendo 6 a inclinaccedilatildeo da superfiacutecieraquo

Assim a equaccedilatildeo para estecaso seria

2 3 g o sene o p o h o L

NT _ = 0943 ( r~ y (2) NuL y o k o At w

25 - Efeitos a considerar na condensaccedilatildeo

Ha 3 efeitos importantes a considerar na condensaccedilatildeo que

Nusselt natildeo levou em conta sao eles

- efeito da turbulecircncia no filme liacutequidoraquo

- efeito dos gases incondensaveisraquo

- efeito da velocidade do vapor

251 - Efeito da turbulecircncia no filme liacutequido

As formulas anteriores servem para comprimentos de tubos

pequenos pois nesse caso a velocidade de escoamento do condenshy

sado natildeo eacute grande entretanto para superfiacutecies verticais longas

a peliacutecula torna-se bastante espessa e com velocidade grande deshy

mais para que o escoamento possa ser considerado em regime lamishy

nar

19

Nesse caso define-se o numero de Reynolds baseado na veshy

locidade da fase liacutequida isto eacute

p V 6

Nbdquo - m r

Rer y u

onde

V = velocidade do condensado na camada limite m 6 = espessura da camada limite

T = p V m 6 = descarga do condensado por unidade de largju

ra da superficie de condensaccedilatildeo

No calculo da determinaccedilatildeo de T haacute uma certa dificuldade

pois ele soacute pode ser determinado por iteraccedilatildeoraquo

Q = m c laquo A t = h A A t P

A = 2ir R bdquo L (para tubos)

m c = h o 2IumlIuml R laquo L P

m m braquoL _ p a _ _ li li

2TTR C c P P

Como noacutes nao sabemos o valor de h_ devemos inicialmente

adotar um V e obter atraveacutes da foacutermula

NNuL = deggt0134 (R PV L 3 gt 1 3 ( N R e r ) 0 4 ( 4 )

y

o valor de _h se os valores de h_ obtidos por (3) e (4) forem iguais

o problema esta resolvido caso contraacuterio fazem-se tantas iterashy

ccedilotildees quantas forem necessaacuterias

252 - Efeito dos gases incondensaacuteveis

A presenccedila de gases incondensaacuteveis reduz violentamente o

coeficiente de peliacutecula pois acirc medida que o vapor se condensa o

gaacutes nao condensaacutevel se acumula junto atilde superfiacutecie de resfriamento

20

formando uma barreira adicional S passagem do fluxo de calor

A reduccedilatildeo do coeficiente de peliacutecula que a presenccedila des_

ses gases causa depende da fraccedilatildeo em massa dos mesmos na mistu

ra gaacutes-vapor

Fizeram-se inuacutemeras experiecircncias e sobre o assunto a tiacute

tulo de exemplo vejamos o graacutefico abaixo onde temos em abcissas

o coeficiente de peliacutecula obtido experimentalmente e em ordenadas

a fraccedilatildeo de gases dissolvida jio vapor

5000

bullg- 4000 O

3OOO

2000

S 1000

4 6 8 10 12 lt|gt(lbm arlbm de vapor )x 10

Devemos notar a grande influecircncia dos gases incondensatilde-

veis por exemplo quando o vapor eacute puro nos temos um h = 4000se

tivermos apenas 1 de ar dissolvido o coeficiente de peliacutecula fishy

caraacute reduzido agrave metade isto ecirc h = 2000

Por isso nos condensadores sempre se coloca vapor ornais

puro possiacutevel

253 - Efeito da velocidade do vapor

Quando a velocidade do vapor junto agrave interface liacutequido-

-vapor natildeo focircr despreziacutevel surgem forccedilas de atrito entre o vapor

e o liacutequido Se a direccedilatildeo do fluxo do vapor coincide com a direshy

ccedilatildeo do movimento do liacutequido a velocidade do liacutequido aumenta (haacute

compressatildeo) e a espessura do filme liacutequido diminui e consequenshy

temente a transferecircncia teacutermica melhora pois haacute diminuiccedilatildeo da

resistecircncia teacutermica

Se entretanto a direccedilatildeo do vapor focircr contraacuteria a do fil

o 21 laquo

me de liquido ha uma tendecircncia de haver aumento da espessura da pj2

liacutecula diminuindo assim o valor de h

26 - Consideraccedilotildees sobre os resultados obtidos com as foacutermushy

las de Nusselt

Nota-se experimentalmente que os resultados obtidos pelas

equaccedilotildees de Nusselt sao em geral 10 a 20 inferiores do que os reshy

sultados reais Assim a favor da seguranccedila elas sao usadas e aaacuteo_

tadas Os motivos das discrepacircncias jaacute-foram ditas atraacutes no item

25

Devemos notar ainda que o valor de h obtido pelas foacutermushy

las anteriores e o valor meacutedio jaacute que h varia de ponto para ponto

e seria difiacutecil obter uma equaccedilatildeo que nos desse o valor de h locaL

2bdquo7 - Condensaccedilatildeo por peliacutecula externamente a tubos ciliacutendrishy

cos horizontais

0 mesmo estudo de Nusselt pode ser aplicado neste caso

baseado na hipoacutetese de que no topo do tubo a peliacutecula do condensashy

do tenha espessura nula Chega-se a expressatildeo

g p 2 h D 3 14

NT _ = 0725 ( ) (5) NuD u k o At

Analogamente ao caso anterior as propriedades do liacutequido

sao tomadas a

t + t w sat

tm = ^

exceto h que eacute tomado a t

ev n sat

Na situaccedilatildeo atual da tecnologia e possiacutevel obtermos tubos

com diacircmetros suficientemente pequenos para que tenhamos escoamenshy

to do condensado soacute em regime laminar

22

No caso de vaacuterios tubos empilhados a formula (5) deve

ser modificada pois como dissemos ela soacute vale quando no topo do

tubo a espessura do liacutequido eacute nula o que nao acontece neste caso

(Vide figura a)

Vapor

Tubo

mdash Liacutequido

Fig a

Neste caso a forma que nos da o valor meacutedio para h e

g p 2 h D 3 14

NNuD deg gt 7 2 5 lt N u k V At gt

sendo N o numero de tubos empilhados

Note-se que neste caso o coeficiente h cai bastante Uma

boa soluccedilatildeo para o caso quando dispoacuteftos de lugar eacute dispor os tushy

bos defasados (Conforme figura b)

Liquido

Fig b

Neste arranjo podemos aplicar a equaccedilatildeo (5) pois no tp_

po de cada tubo a espessura da camada de condensado eacute nula

23

B - CONVECCcedilAtildeO COM MUDANCcedilA DE FASE - EVAPORACcedilAtildeO (II)

1 INTRODUCcedilAtildeO

Evaporaccedilatildeo consiste na obtenccedilatildeo de vapor por meio de aque

cimento de um liacutequido

Apesar da importacircncia do processo e do sucesso obtido na

praacutetica em projetos de evaporadores o fenocircmeno da evaporaccedilatildeo eacute

um dos pontos menos conhecidos da transmissatildeo de calor

0 primeiro estudo seacuterio sobre o assunto foi feito em 1934

pelo japonecircs Nukiyama poreacutem somente nos uacuteltimos 10 anos tais es-

tudos se intensificaram

Os primeiros pesquisadores quando estudavam o fenocircmeno

do resfriamento de um solido num liacutequido obtiveram as seguintes

curvas

onde

temperatura

velocidade de resfriamento

3 0 v = amdashbull

A 06

Q - fluxo teacutermico

8 - tempo

A - aacuterea do soacutelido

24

tempo

Ateacute os estudos de Nukiyama nao se conseguia explicar o

porque da variaccedilatildeo crescente da velocidade de resfriamento quando

t gt t sol sat

2 PROCESSO DE FORMACcedilAtildeO DAS BOLHAS

Como a evaporaccedilatildeo do liacutequido se faz sobre uma superfiacutecie

aquecedora sobre esta irao se formar bolhas de vapor que influem

decisivamente no fenocircmeno

Aqui soacute iremos estudar as bolhas sob o ponto de vista qua

litativo bem como a sua influencia mas nao sob o ponto de vista

quantitativo

Recentemente Fritz e Jacob WR Gambill e outros estudiacutei

ram o processo da formaccedilatildeo das bolhas sobre a superfiacutecie aquecedpound

ra Atraveacutes de fotografias verificaram que a bolha de vapor ain

da em contato com a parede variava profundamente de forma confo_r

me o angulo de contato entre liacutequido e parede metaacutelica

Assim eacute que se a superfiacutecie de aquecimento nao e excesshy

sivamente polida e a tensatildeo superficial do liacutequido eacute pequena a

bolha tem a forma da figura las diz-se nesse caso que o liquishy

do molha a parede neste caso o angulo de contato e agudobull Se

as condiccedilotildees contrarias se verificarem o acircngulo de contato sera

obtuso e as bolhas tomam a forma da figura ldegb Naturalmente ve

rificara-se as condiccedilotildees intermediaacuterias para o angulo de contato da

25

fig lc

Fig la Fig lb Fig lo

0 estudo analiacutetico da formaccedilatildeo e crescimento das bolhas

pode ser encontrado em diversos livros por exemplo no El-Wakill

(Nuclear Power) no Jakob (Heat Transfer)e outros Neles faz-se

o estudo das condiccedilotildees do liquido (pressatildeo temperatura tensotildees

etc) para haver ou nao formaccedilatildeo de bolha Isto eacute feito fazendo-se

o estudo das bolhas nas seguintes posiccedilotildees

a) bolha no seio do liacutequido

para meia bolha

4 ltP g - P fgt fg

onde

P g P f

- 4 D (D

g

Pf

D

pressatildeo do vapor

pressatildeo do liquido

tensatildeo entre superfiacutecie do liacutequido e vapor

diacircmetro da bolha

^f g

P f Fig 2

26

A equaccedilatildeo (1) mostra que a pressatildeo do vapor deve ser maior

que a do liquido nas condiccedilotildees de saturaccedilatildeo e este por sua vez

deve estar no estado de superaquecimento o

b) bolhas sobre superfiacutecie solida

Fig 3

Condiccedilotildees para desprender

a mdash o_ + o_ cos a gs fs fg

tensatildeo na interfase liacutequida e vapor (depende das

propriedades do liacutequido e vapor)

tensatildeo entre o liacutequido e superfiacutecie de aquecimen

to (depende das propriedades do liquido e da sushy

perfiacutecie)

tensatildeo entre o vapor e a superfiacutecie de aquecimeri

to (depende das propriedades do vapor e da super

fiacutecie)

21 - Formas do fluxo do vapor desde a superfiacutecie de aquecishy

mento ateacute a superfiacutecie livre do liacutequido

Considerando liacutequido vaporizado em tubos verticais pode^

mos ter 4 tipos de fluxo de vapor

1 - fluxo de bolhas

2 - fluxo de agregados (plug ou slug)

3 - fluxo anular

4 - fluxo disperso

Os quatro tipos ficam bem determinados respectivamente

onde

a fg

degfs

a gs

27

pelas 4 figuras abaixo

LIacutequido - Liacutequido Liacutequido

o

^Bocirclha de

vapor

Vapor

mdash [

- Vapor

mdash 0 0

deg_ a-

jrj-

iquestiexcl5

Bolhas Agregados Anular

Liacutequido

vapor

Disperso ou

Homogecircneo

Conforme o tipo de ebuliccedilatildeo podemos ter uma so das forshy

mas acima ou uma mistura

3 INCERTEZAS NO ESTUDO DA EVAPORACcedilAtildeO

Ha trecircs incertezas principais para determinar o fluxo de

calor na evaporaccedilatildeo a saber

- Aacuterea de contato indefinida

- Diferenccedila de temperatura indefinida

- Grau de turbulecircncia

Como realmente nos nao sabemos uma dependecircncia algeacutebri

ca entre o acircngulo de contato e a superfiacutecie ocupada pelo liacutequishy

do (ou vapor) temos uma incerteza na determinaccedilatildeo da aacuterea de tro

ca de calor (A)

Outra incerteza eacute a dificuldade da obtenccedilatildeo de diferenccedila

de temperatura entre o liacutequido e a parede que normalmente assume-

-se como sendo a diferenccedila entre a temperatura da parede e da ebu

liccedilatildeo do liacutequido (temperatura de saturaccedilatildeo = t )

S cl c

Na realidade a diferenccedila de temperaturas nao eacute aquela

pois a camada de liacutequido que cobre a superfiacutecie aquecedora esta

a uma pressatildeo maior que o resto do liacutequido (pressatildeo atmosfeacuterica

mais a hidrostaacutetica) e consequentemente a temperatura de vaporiza_

ccedilao desse liacutequido e maior que a da superfiacutecie Esta diferenccedila po-

28

deria ser calculada desde que se conhecesse a relaccedilatildeo entre presshy

satildeo e temperatura de saturaccedilatildeo do liacutequido entretanto haacute incerte

za quanto ao verdadeiro peso especiacutefico da coluna de liacutequidopois

trata-se de uma mistura de bolhas de vapor e de liacutequido em proshy

porccedilatildeo variaacutevelraquo

4 REGIMES DE EBULICcedilAtildeO

Nukiyama estudando a ebuliccedilatildeo da aacutegua num recipiente a

quecendo-a com resistencias eleacutetricas construiu a curva baacutesica da

ebuliccedilatildeo Todos os liacutequidos apresentam uma curva semelhante vashy

riando apenas os valoresraquo Os pontos caracteriacutesticos da curva deshy

pendem de caracteriacutesticas difiacuteceis de definirtais como natureza

do metal estado da superficie (rugosidade) dimensotildees orientashy

ccedilatildeo do fluxo quantidade de gases dissolvidos e t c

Estudaremos o fenocircmeno para o caso de aacutegua destiladasem

gas dissolvido a temperatura de saturaccedilatildeo 100 C pressatildeo atmosfe_

re uma superficie plana

Chega-se assim acirc curva

rica sobre uma superficie plana horizontal a temperatura t^

In ltJgt

At (degC)

A curva acima representa o aquecimento de agua com uma re_

sistecircncia eleacutetrica (ate ebuliccedilatildeo)raquo Temos em abcissas as diferenccedilas

de temperatura entre o liacutequido e a resistecircncia em ordenadas o flu

29

Regiatildeo I

Regiatildeo II

Regiatildeo III

Regiatildeo IV

xo de calor por unidade de area

Na curva notam-se 4 regiotildees bem definidas tendo cada uma

o seu significado fiacutesico os quais correspondem a um tipo de ebuli

ccedilao

convecccedilao natural

ebuliccedilatildeo nucleada

ebuliccedilatildeo por peliacutecula parcial

ebuliccedilatildeo por peliacutecula estaacutevel

41 - Convecccedilao natural

Ocorre quando At eacute inferior a 8degCformam-se no liacutequido

correntes convectivas as quais transferem o calor ateacute a superfiacuteshy

cie livre do liacutequido e aiacute desprendendo o vapor Neste caso o valor

de h eacute da ordem de 2000 kcalm^hdegC

42 - Ebuliccedilatildeo nucleada

Ocorre quando o At eacute maior que 8degC e menor que 25degC Nesshy

te caso as bolhas formam-se junto a superfiacutecie de aquecimento

crescem liberam-se movimentam-se em direccedilatildeo agrave superfiacutecie livre do

liacutequido onde estouram libertando o vapor As bolhas formam-se nas

irregularidades da parede tecircm um acircngulo de contato agudo e porshy

tanto hatilde liacutequido sempre em contado com a parede (molha a parede)

cada ponto ativo (lugar onde se formam as bolhas) libera uma porshy

ccedilatildeo de bolhas e os outros pontos do liacutequido ficam em contato com a

superfiacutecie quente violentamente agitados Esta agitaccedilatildeo extrema eacute

mais eficaz que uma turbulecircncia criada artificialmente Por esse mo

tivo a curva cresce violentamente nesse trecho (m = 3 a 7) pois

bull 2 o o valor de h cresce consideravelmente (ate 46000 kcalm hr C) e

o fluxo teacutermico transmitido ao liacutequido cresce proporcionalmente a

Quando cresce crescem tambeacutem

(At) 3

30

numero de bolhas por unidade de aacuterea (num instanshy

te)

~ = crescimento da bolha (com o tempo)

frequecircncia de iacuteormaccedilao de bolhas

A medida que o At vai aumentando iraacute aumentando (jgt tam-- n o N

bem e consequentemente mdash R mdash a a a tal ponto que quando atiacuteii

girmos o ponto da curva nao haveraacute mais formaccedilatildeo de bolhas

mas sim uma peliacutecula de vapor instaacutevel passando assim a 3a re

giao que estudaremos a seguir

43 - Ebuliccedilatildeo por peliacutecula parcial

Como dissemos no item anterior se aumentarmos ainda mais

o At (entre 25degC e 125degC) teremos a formaccedilatildeo de uma peliacutecula de

vapor instaacutevel sobre a superfiacutecie quente que aacutes vezes eacute perfurashy

da pelo liacutequido A camada de vapor tanto mais estaacutevel seraacute quanshy

to maior focircr o At Essa peliacutecula de vapor iraacute provocar um decreacutes_

cimo consideraacutevel no fluxo teacutermico porque como sabemos o vapor

eacute muito pior condutor que a aacuteguaraquo

0 fluxo vai decrescendo ateacute um ponto miacutenimo (iexclgt mintilde (as vecirc

iacutebo bullraquo 1

zes chega a ser mdashj-) e e o chamado ponto de Liedenfrost 0 coeshy

ficiente de peliacutecula neste caso cai violentamente (h = 2000

kcalm^hrdegC)

44 - Ebuliccedilatildeo por peliacutecula estaacutevel

Aumentando ainda mais a diferenccedila de temperaturas

At ( gt 125degC) iremos conseguir uma camada de vapor estaacutevel Ela

transmite calor da superfiacutecie quente ao liacutequido que se vaporiza de

modo que o excesso de vapor formado na interface liquido-vapor for

ma bolhas que sobem para a superfiacutecie 0 liacutequido encontra-se agi-

31

tado poreacutem nao toma contato com a superfiacutecie soacutelida

A peliacutecula de vapor eacute estaacutevel e o fluxo eacute proporcional a

34

(At) (lei de Bromley) Para At grandes passa a influir sensivel^

mente a radiaccedilatildeo teacutermica mais uma razatildeo para demonstrar que nesshy

ta regiatildeo o fluxo cresce novamente

5 CONSIDERACcedilOtildeES E COMPARACcedilAtildeO ENTRE OS TIPOS DE EVAPORACcedilAtildeO

BURNOUT

Sob o ponto de vista de eficiecircncia teacutermica deveriacuteamos sem

pre trabalhar no ponto de fluxo maacuteximo isto eacute no ponto correspon

dente a lt(gt da curva de Nukiyama pois eacute o que daacute maior coeficieri

te de peliacutecula

Acontece poreacutem que se impomos a temperatura da parede

fixa obtemos um uacutenico valor de lt(gt e portanto o fenocircmeno eacute estaacutevel

Poreacutem se como ocorre nos reatores impomos um fluxo teacuter

mico a curva de Nukiyama apresenta 3 pontos de funcionamento posshy

siacuteveis A B C

1

SOacute os pontos A e C sao funccedilotildees estaacuteveis mas eles impotildeem

acirc superfiacutecie quente temperaturas bem diferentes

Na industria em geral trabalha-se por questotildees de segushy

ranccedila na regiatildeo IV da curva poreacutem para os reatores trabalha-se na

32

r e g i atilde o I I

0 p r o b l e m a de t r a b a l h a r n a r e g i atilde o II eacute q u e se n oacute s e s t i shy

v e r m o s t r a b a l h a n d o n o p o n t o e x t r e m o (j) e se p o r q u a l q u e r m o t i v o

h o u v e r u m p e q u e n o a c r eacute s c i m o d e ltfgt i r e m o s t r a b a l h a r i m e d i a t a m e n t e no

p o n t o M q u e t e m o m e s m o $-^0t p o r eacute m c o m A t 2 m u i t a s v e z e s m a i o r

p o d e n d o o c a s i o n a r a f u s atilde o d a s u p e r f iacute c i e a q u e c e d o r a E s t e f e n ocirc m e n o

eacute c h a m a d o d e b u r n o u t

0 f l u x o lttgt eacute c h a m a d o f l u x o c r iacute t i c o o u f l u x o d e b u r -b o

n o u t N o c a s o do r e a t o r d e v e m s e r t o m a d a s m e d i d a s r i g o r o s a s q u a n

to agrave r e g u l a g e m do f l u x o t eacute r m i c o p a r a q u e n atilde o o c o r r a o b u r n o u t 1 1

p o i s d e l e p o d e r e s u l t a r r u p t u r a d a c a m i s a do c o m b u s t iacute v e l e h a v e shy

r aacute p o r t a n t o c o n t a t o do r e f r i g e r a n t e c o m o s s oacute l i d o s e g a s e s r a shy

d i o a t i v o s

5 o l - R e l a ccedil atilde o d e B u r n o u t

E c l a r o q u e p a r a t e r m o s u m r e a t o r m a i s e f i c i e n t e d e v e shy

m o s t r a b a l h a r c o m u m f l u x o o m a i s p r oacute x i m o p o s s iacute v e l do f l u x o d e

B u r n o u t P a r a t a n t o d e v e m o s c o n h e c e r c o m o m a i o r g r a u d e certe

za p o s s iacute v e l q u a l o ^ p a r a p o d e r m o s r e d u z i r o c o e f i c i e n t e d e s e shy

g u r a n ccedil a ( W R G a m b i l l r e c o m e n d a agrave 1 5 )

N o s s e m i n aacute r i o s d e W R G a m b i l l e n c o n t r a m o s u m a s eacute r i e de

b i b l i o g r a f i a s o n d e p o d e m o s e n c o n t r a r i n uacute m e r a s f oacute r m u l a s p r o p o s t a s

p a r a a o b t e n ccedil atilde o de (q 1^)

A t i t u l o d e e x e m p l o v e j a m o s a l g u m a s

q - 2 7 0 G deg gt 8 5 D 0 2 A085 p lt 150

deg D ( L uuml ) 2

q - 140 G 0 5 D ~ deg 2 (-~-)~deg 1 5 p ~ r gt 150 c D (LD)

o n d e a m b a s as e q u a ccedil otilde e s s oacute v a l e m p a r a aacute g u a e m b a i x a p r e s s atilde o e m coii

v e c ccedil a o f o r ccedil a d a

33

D

L

fluxo teacutermico critico BTUhrft bdquo 2

descarga em massa do liquido (Ibmhrft )

diacircmetro do tubo ft

comp do tubo ft

Para cada caso temos uma expressatildeo diferente que pode ser

encontrada em literatura especializada

6 INFLUEcircNCIA DE OUTROS PARAcircMETROS NO FLUXO DE BURNOUT

Como para os usos atuais do reator a diferenccedila de temppound

ratura entre parede e fluido sao pequenas bem como o fluxo de bur

nout recentemente fiacutesicos como Jakob Bonilla WR Gambill estu

daram outros paracircmetros que influenciam bastante o sect^ 0gt isto eacute a

influecircncia desses paracircmetros faz com que o ^ seja maior Isto eacute

util pois quanto maior o fluxo de burnout maior poderaacute ser o

fluxo de calor real de funcionamento

Tais meios sao

- Sub-resfriamenCcedilo do liacutequido

61 - Influecircncia da velocidade do liacutequido

Estudos feitos pelos autores acima chegaram agraves curvas

- Aumento da velocidade imposta ao liacutequido

- Pressatildeo do liacutequido elevada

alto V

At

34

Para velocidades maiores o fluxo de burnout aumenta

porque neste caso o regime eacute turbulento e o coeficiente de peliacute

cuia h aumentao

6bdquo2 - Influencia do aumento da pressatildeo

Este estudo deve-se a Bonilla que obteve experimentalmen

te as curvas

Este estudo foi feito para vaacuterios liacutequidos e chegou a con

clusao que sempre havia uma pressatildeo oacutetima isto e uma pressatildeo que

leva ao maior iacute 1 ^ raquo mantidas as demais condiccedilotildees Experimentalmenshy

te notou que essa pressatildeo correspondia a 13 da pressatildeo critica

do liquido em questatildeo

6=3 - Influecircncia do sub-resfriamento

Consiste em manter atilde custa de uma circulaccedilatildeo intensa o

liacutequido a uma temperatura inferior atilde de saturaccedilatildeo para a pressatildeo

correspondenteraquo Experimentalmente chega-se agraves curvas

mdash A t grande sub

bullAt -0 sub sub

medio

At

35

Verificando os graacuteficos vemos que o lt)gt aumenta agrave medida bo

que aumenta a diferenccedila de temperatura de sub-resf riamento isto pojr

que o liquido como estaacute mais frio faz com que algumas das bolhas

recondensem permitindo que o liquido fique em contato com a parede

quente o que faz aumentar o h

^ f csub = t e m P e r a t u r a ddeg liacutequido - temperatura de saturaccedilatildeo

A diferenccedila de temperatura At entre fluido e parede tamshy

beacutem aumenta poit na regiatildeo proacutexima agrave parede haacute necessidade de

levar o liacutequido da temperatura do sub-resfriamento ateacute a temperatu

ra de saturaccedilatildeo quando se evapora

Atualmente os maiores estudos dos fiacutesicos nucleares locashy

lizam-se neste campo pois eacute o que oferece maiores vantagens

7 FORMULAS PARA 0 CAacuteLCULO DO COEFICIENTE DE PELIacuteCULA NA EBULICcedilAtildeO

Como ocorre no caacutelculo de todas as foacutermulas de convecccedilatildeo

temos formulas empiacutericas para determinar o h conforme o tipo de

ebuliccedilatildeo que nos consideramos

71 - Ebuliccedilatildeo Nucleada

Para o caso de aacutegua temos as relaccedilotildees

superfiacutecies

horizontais

superfiacutecies

verticais

f aacute 5000 BTUhrft 2 -gtbull h = 151 ( A t ) 1 3

A o

5000 lt 75000 -h = 0618 (At)3

^ pound 1000 -raquobull h = 8 7 ( A t ) 1 7

A o -

1000 lt $ lt 20000 -gt h = 027 (At) A o

Quando a pressatildeo e diferente da atmosfeacuterica faz-se a correccedilatildeo

3 6

72 - Ebuliccedilatildeo por peliacutecula

Bromley propocircs uma boa equaccedilatildeo para a ebuliccedilatildeo por peliacuteshy

cula estaacutevel em cilindros horizontais

Nu

_ JtjD n r 9 P v bull ( P L - P v gt - g -h

e V bull D i2

D 1 ^ U b Z u At gt

onde

V = indica vapor

L = indica liacutequido

Multiplicando ambos os membros da equaccedilatildeo acima por

kvD obteremos a expressatildeo do coeficiente de convecccedilagraveo meacutedio para

o caso

37

C - FORMULAS PARA CAacuteLCULOS ESPECIacuteFICOS - RESULTADOS ESPECIacuteFICOS

1 FLUXO DE CALOR CRIacuteTICO - BURNOUT

lol - Introduccedilatildeo

O aspecto mais importante no que se refere agrave seguranccedila

dos reatores da transferencia de calor na ebuliccedilatildeo eacute a determina

ccedilatildeo do Fluxo de calor critico ou de pico ou burnout

Como jatilde vimos quando temos a ebuliccedilatildeo nucleada a dishy

ferenccedila de temperatura entre refrigerante e superfiacutecie de aqueci

mento e pequena poreacutem quando atingimos o fluxo de calor criacutetico

essa diferenccedila de temperatura pode tornar-se imediatamente muishy

to grande podendo causar a ruptura da superfiacutecie de aquecimento

se atiigirmos o ponto de fusatildeo do soacutelidoraquo

Usando a convecccedilao

onde

At sat

w

sat At

sub

w = temperatura da parede de aquecimento

t t = temperatura de saturaccedilatildeo do liacutequido

t^ = temperatura de mistura do liacutequido

At = (t -t ) sub-resfriamento do liacutequido sub N sat b 1

nout

Ha dois tipos de burnout fast burnout e slow bur-

Ocorre o fast burnout (burnout raacutepido) quando A t g u b gt 0

38

ou para baixo x (~ lt 10) sendo x o titulo do vapor

Temos o slow burnout para x - gt 10 Assim noacutes tereshy

mos dois limites para o burnout

At bull o (ltJgt ) t =((() para t = t ) -

bo m m possiacutevel w sat

sub i

4L + 1

G c D h pl nb

(ltK ) = (ltpound para x = 1) = Dv-bo max possiacutevel e 4L

c At l + P 1 sub i

onde

L = comprimento do canal

D = diacircmetro do tubo

G = descarga de liacutequido (por unidade de aacuterea)

c ^ = calor especiacutefico do liacutequido

Agrave = calor latente de vaporizaccedilatildeo

h ^ = coeficiente de transferecircncia de calor na regiatildeo de

nao ebuliccedilatildeo

iacutendices

i = entrada

e = saiacuteda

Haacute inuacutemeras expressotildees para determinaccedilatildeo do burnout pro

postas por muitos fisicos cada uma aplicando-se a um caso especiacuteshy

fico vejamos algumas delas

12 - Equaccedilotildees para prediccedilatildeo de Burnout

121 - Equaccedilatildeo de Bragg e Smith (Zuber)

Num artigo publicado por Bragg e Smith encontramos uma f oacute_r

mula que e derivada da formula de Kutateladze e nos daacute o fluxo cri

39

tico quando nao temos sufaresfriamento

bo poolsat v V raquoc a ( p l P V )

2 PV

14

onde

ltiexclgt = fluxo de calor critico bo

k = constante

Ly = calor latente de vaporizaccedilatildeo do refrigerante

= densidade do liquido

pvr = densidade do vapor V a = tensao superficial

g = fator de conversatildeo c

a = aceleraccedilatildeo da superficie de aquecimento

Os autores encontraram para k um valor de 062 entreten

to outros autores como Zuber incluindo outras variaacuteveis que In

fluiam no fenocircmeno encontraram k variando entre 008 e 023Esshy

tudos bem elaborados mostram que o valor mais aproximado eacute

k = 015 (- 003)

1-22 - Equaccedilatildeo de Noyes

Noyes estudou o burnout para o soacutedio agua e alguns liacute

quidos orgacircnicos

( W s a t ~ bdquo 0245 bull ( r ( 1 )

iiacute_ V 1 Pr

onde

N n = Nuacutemero de Prandtl da fase liacutequida x r

Mais tarde o proacuteprio Noyes alterou a equaccedilatildeo para

n ^ - n H Iacute I Pl PV gt0538 deg g c a q 4 ( W s a t deg 1 1 6 PV ( - p 7 ~ ) (77T1^ ) ( 2 )

40

A ultima correlaccedilatildeo proposta por Noyes foi

a n prPV0560 112

1

(a bull a) 13

(ag c) 112

(3)

onde

a = difusividade teacutermica do liacutequidoraquo A equaccedilatildeo (3) eacute bashy

seada em todos os dados de burnouts do soacutedio bem

como da atildegua benzeno difenil e outros De 111 pontos usados 90

+ estatildeo relacionados dentro de - 30bdquo

ldeg2o3 - Burnout com convecccedilao forccedilada e sub-resfriamen

to

Aproveitando os resultados de aproximadamente 240 testes

de burnouts com aacutegua sub-resfriada em fluxo de convecccedilao forccedilashy

da feitos na Ruacutessia Labuntsov elaborou uma boa equaccedilatildeo empiacuterica

para o problemabdquo

Esta relaccedilatildeo aplica-se para velocidades entre 2 3 e 148

ftsec pressotildees entre 1 e 201 atmabs sub-resfriamento entre 0 deg

e 432 degF e fluxos de burnout entre 0 4 x IO 6 x 166 x 1 0 6 BTUhr

2 bdquo

bullbo

onde

e a seguinte

6 ( P ) 1 + 0 2 3 2 V 2

14

e ( P ) 1 +

15 c At _p_ sub

12 (a)

9 ( P ) - P 1 3 o ( 1 - P J 4 3

red

= pressatildeo (atm abs)

pressatildeo reduzida = mdash mdash red r P

t_ c = pressatildeo critica

= velocidade do liacutequido (ftsec)

= calor especiacutefico do liacutequido (BTUlbdegF)

4 1

^ tsub = ^ ^ e r e n Ccedil a ^ e temperatura entre a temperatura de

mistura do liacutequido e a de saturaccedilatildeo (degF)

X = calor latente de vaporizaccedilatildeo (BTUlb) 2

ltiacutegtbo = fluxo de burnout (BTUhrfl )

Uma outra correlaccedilatildeo para o caso foi proposta por

Ornatsky e Xiohigin que fizeram experiecircncias para pressotildees entre

10 e 1 5 0 3xm 90 degF lt At ^ lt 4 5 0 deg F 3 7 1 0 6 ( l b h r o f t 2 ) lt G lt

2 2 2 10 b ( l b h r bdquo f t 2 )

lt ^ = 3 2 5 0 (G o A t bdquo J deg 6 ( - i - ^ ) 2 5 ( b ) bo sub

onde

G - descarga de refrigerante por unidade de aacuterea

P ^ v P v - densidades do liacutequido e do vapor

P1~ PV -0 termo (mdash ) e incluido na expressatildeo (b) para indicar

a influecircncia da ^ pressatildeo sobre o

Uma comparaccedilatildeo entre as equaccedilotildees (a) e (b) foi feita para

o Reator de Isoacutetopos de Alto Fluxo (HFIR) nas condiccedilotildees aacutegua a

600 psia velocidade = 45 ftsec e sub-resfriamento = At^^ 1

degF obtendo-se uma diferenccedila de 6 5 entre ambos (4gt = 6 0 5 1 0 b

2 ~ 6 2 BTUhr ft pela equaccedilatildeo (a) e 6 4 5 10 3TUhrraquoft pela equaccedilatildeo

(b)

Ilatilde ainda a equaccedilatildeo de Ivey e Morris aplicaacutevel somente pa_

ra ebuliccedilatildeo com grande quantidade de liacutequido

( c sub t

Cpf bull A tsub

( bull ) s ~ V P bdquo 10 h V sat V g

onde

(ltL ) = fluxo critico com sub-resfriamento c sub

(ograve ) ^ - fluxo critico sem sub-resfriamento c sat

42

c ^ = calor especiacutefico do liacutequido

= calor latente de vaporizaccedilatildeo

124 - Burnout com convecccedilao forccedilada e ebuliccedilatildeo por bocirc-

Ihas

Gambill fez uma extensatildeo da equaccedilatildeo de Levy e aplicou o

metqdo da superposiccedilatildeo Tal extensatildeo consiste natilde subtraccedilatildeo de uma

razatildeo equivalente de massa transferida dos termos que represenshy

tam a ebuliccedilatildeo e convecccedilao para levar em conta a presenccedila do vashy

por no fluxo

A correlaccedilatildeo pode ser escrita assim

24 V P V

o g c a (p^Py) 14

+ 0696 (k p c ) 12

(

pr p v )i4 o g c a (P-L-Py) 18

bull At + h sub nb

044 p v L v G (g1) bull N2 n

p l P V

( pr p v ) d e 2-7

2 4 TT 0

14 ( f e _ ^ r l 3

lO^u

onde

k = condutividade teacutermica

c = calor especiacutefico

A t s u b ~ s ub-resfriamento do liacutequido

h = coeficiente de transferecircncia de calor de nao ebu nb mdash

liccedilatildeo

G = descarga total do refrigerante

43

d g = diacircmetro equivalente do tubo ou canalraquo

]i = viscosidade

B = constante adimensional

Os iacutendices V e 1 representam vapor e liacutequido respectiva

mente

0 primeiro termo entre chaves da equaccedilatildeo representa o flu

xo de calor no burnout de sub-resfriamento em convecccedilao forccedilada 0

segundo termo entre chaves corresponde ao fluxo de calor transferi^

do para a massa da fase vapor

1-25 - Burnout por Bloqueio da Base

Ocorre quando a profundidade do recipiente eacute muito maior

que a largura 0 bloqueio da base eacute causado pela formaccedilatildeo de uma pe_

licula de vapor na base impedindo que o liacutequido toque o fundo do

recipiente

i De

Este eacute o burnout por flooding isto eacute burnout por expul

sao do liacutequido Uma equaccedilatildeo que nos dacirc o fluxo minimo do burnout

parao caso eacute

44

onde

D g = diacircmetro equivalente

L = comprimento do tubo

= calor de vaporizaccedilatildeo

p^Py Ap = densidade do liacutequido do vapor e diferenccedila en

tre ambos

Para um fluxo de calor maior ou igual ao dado pela expres_

sao acima (mantida a mesma geometria) teremos burnout Para um deshy

terminado fluxo existiratildeo sempre um comprimento L e um diacircmetro equi

valente D e para os quais temos burnout Exemplo

L (in) D e(in)

10 11

100 51

1000 235

2 RESULTADOS ESPECIacuteFICOS - FOacuteRMULAS PARA CAacuteLCULOS ESPECIacuteFICOS

21 - Diferenccedila de temperatura At i

13 a t

sat

At sat

poundatildeJL_ raquo t - t J p T T 6 w sat

onde

o laquo tensatildeo superficial entre liquido e vapor

t - temperatura de saturaccedilatildeo do liacutequido para a corres-Scl t

pondente pressatildeo

J equivalente mecacircnico do calor

X laquobull calor latente de vaporizaccedilatildeo

py = densidade do vapor

6 = espessura da camada de liacutequido superaquecido onde

45

k l

h nc

onde

k^ = condutividade teacutermica do liacutequido

h = coeficiente de peliacutecula nc r

Segundo Eckent h ^ c e dado por

P 2 Q

nc 3 V VP + 0952

r

onde

D = diacircmetro equivalente

G r = numero de Grashoff

P = nuacutemero de Pradtl

2 o 2 - Velocidade das bolhas

A velocidade das bolhas em meacutedia pode ser dada pela exshy

pressatildeo

V bdquo = Iacute ( a bull B Apl4 bolhas 5 ^ 2

p l onde

AP = P L - P v

Expressatildeo que vale quando a aceleraccedilatildeo eacute a da gravidade

baixa viscosidade do liacutequido e bolhas separadas

Vbolha = f t s e atilde m a x para aacutegua

2 bdquo3 - Diacircmetro das bolhas

2gc deg 12 D = 0015 3 ( mdash mdash 7 ~ ) d g Ap

5 =

46

onde

8 = acircngulo de contato (20 a 90deg) geralmente assume-O -1

-se igual a 50 para a agua em contato com metal

24 - Coeficiente de peliacutecula na ebuliccedilatildeo nucleada

a) Equaccedilatildeo de Rohsenow

Esta equaccedilatildeo nos datilde o fluxo de calor q na ebuliccedilatildeo nushy

cleadaraquo E oacutetima expressatildeo para muitos liacutequidos o efeito da presshy

satildeo eacute levado em conta na variaccedilatildeo das propriedadesraquo

Pf

fg

sat 17 = c

sg k y f h f g g( P f-p g)

n033

onae

Pf

fg

Pf Pg c sg

= fluxo de calor requerido (BTUhr0ft^)

= calor especiacutefico do liacutequido saturado (BTUlbm0F)

= calor latente de vaporizaccedilatildeo (BTULbm)

= nuacutemero de Prandtl

= viscosidade do liacutequido (lbrahrraquoft) ~ 8 2

= fator de conversatildeo 417 10 Ibmftlbflaquohr 2

= aceleraccedilatildeo da gravidade (fthr )

= tensatildeo superficial na interface liacutequida vapor

(lbfft) 3

densidade do liquido e vapor (lbmft )

constante adimensiacuteonal que depende de vaacuterios fashy

tores dentre os quais o grau de aquecimento en_

tre o fluido e a superfiacutecie de aquecimento e o

mais importanteraquo Independe da pressatildeo do sistema b) Equaccedilatildeo de Levy

Equaccedilatildeo valida para a aacutegua quando 100 lt p lt 2000 psiacutea

47

43 bdquo3

qu bdquo gat ^ T J h r t f t ^

495

25 - Calculo do fluxo de calor no Ponto de Leidenfrost

0 ponto de Leidenfrost como vimos eacute o ponto em que oflu

xo de calor comeccedila ncamente a crescer isto eacute o ponto onde termal

aa a ebuliccedilatildeo instaacutevel e comeccedila a ebuliccedilatildeo por peliacutecula estaacutevel Eacute

o chanado fluxo miacutenimo (egrave ) m m

Aproximadamente quando A t g u k = 0 temos

A _ mdash _ mdash (Gambill) m m 5

Ha entretanto varias expressotildees para determinar esse flu

xo eis uma delas

A p 14 ltjgt = 009 h pbdquo (o raquo g mdash ) y m m fg P V deg 2

p l

26 - caacutelculo do fluxo de calor na regiatildeo de ebuliccedilatildeo por peliacute

cuia estaacutevel

para cilindros jmdashi i li

_ D 0172 k-V - P V A p h l V bull S 14 li - = 062 (mdashmdash) (- j- r rmdash) convecccedilao A 0 ybdquo (t -t )

c V w sat

onde

= condutividade do vapor

- 2 TT ( mdash )

c gAp Vl = significam vapor e liacutequido respectivamente

para paredes verticais

L 0172 S deg7 A p bull hlV S q 4 h - - 080 (-^-)J- (-Iuml - Iacutemdash-convecccedilao X L u (t - t J)

c V w sat

48

Como nesta regiatildeo jaacute haacute nina influecircncia marcante da radia

ccedilao devemos levar en conta tambeacutem o coeficiente de peliacutecula de

vido a radiaccedilatildeo para determinar o coeficiente de peliacutecula total

Dos estudos atildea radiaccedilatildeo temos

h = a F pound(T 4 - T 4 J ( T ~ T ) rad w sat w sat

onde amp _ emissividade de superfiacutecie

a = constante de Stefan-Boltzman

F = fator de forma

Segundo WE Gambill o coeficiente de transmissatildeo total

ceve ser

3 iacutei = h + -7 h para h lt h t conv 4 rad r rad conv

Na expressatildeo acima existe o fator 34 porque a radiaccedilatildeo

faz variar um pouco a espessura do filme de vapor reduzindo asshy

sim o l l

conv

Quando tivermos h gt h gt o h^ ^ seraacute rad conv total

h f c = h + h t conv rad

Neste ultimo caso nao ha nenhum coeficiente porque a peshy

liacutecula de vapor jaacute eacute estaacutevel

27 - Grandezas caracteriacutesticas para a apua

Para pressatildeo igual a 1 atm = 1422 psia

At ^ = t - t = 5degC (iniacutecio da ebuliccedilatildeo nucleada) sat w sat 1

At t = 30degC sat crit

49

5 2 $ = 4 10 BTUhrft (para pressatildeo 1 atm)

0 fluxo critico cresce como vimos com a pressatildeo ate

atingir o maacuteximo quando a pressatildeo eacute aproximadamente 13 da pressatildeo

criacutetica Esse fluxo eacute

bull = 13 IO 6 BTUhrft 2 para p = 11000 psia (p pound = 32062 psia)

Ainda temos que para pressatildeo igual a 15 psia

h b o = 11000 BTUhrft degF - ebuliccedilatildeo nucleada

h f b = 30 BTUhrft 2 degF - ebuliccedilatildeo pelicular

Todos os resultados e formulas para caacutelculos especiacuteficos

apresentados nos itens 21 22 23 ateacute 27 sacirco aplicados somente

para sistemas onde haja ebuliccedilatildeo com grande quantidade de liquido

51

D - HIDRODINAcircMICA DOS SISTEMAS E QUEDA

DE PRESSAtildeO DENTRO DE UM CANAL

1 HIDRO-DINAcircMICA E QUEDA DE PRESSAtildeO

11 - Hidro-dinacircmica dos sistemas estaacuteveis

111 - Regimes de escoamento

A evoluccedilatildeo do escoamento ao longo de um canal aquecedor

de secccedilatildeo constante ciliacutendrico pode ser esquematizada pela figushy

ra 1 onde temos em abcissa o comprimento z do canal e em ordenada

a temperatura (T)

52

Na figura 1 nos representamos

a) 0 aspecto do escoamento fluido quando a entalpia do

- fluido aumenta Verificamos que o fluido entra no cashy

nal no estado liacutequido e assim permanece ateacute atingirmos a zona de

ebuliccedilatildeo local onde aparecem as primeiras bolhas A entalpia do

fluido continua aumentando e tem inicioa ebuliccedilatildeo franccedila onde as

bolhas se unem formando agregados posteriormente o escoamento to

ma a forma da figura ou seja torna-se anular disperso Finalmente

atingimos duas uacuteltimas fases do escoamento disperso (vapor uacutemido)

e vapor seco

b) A evoluccedilatildeo da temperatura meacutedia do fluido e da tempeshy

ratura da parede Note-se que a partir da cota a

temperatura da parede aumenta brutalmente podendo causar o

burnout

c) A evoluccedilatildeo do tiacutetulo do vapor (x) com o comprimento

do tubo e a evoluccedilatildeo da fraccedilatildeo (a) que definiremos no

item 11laquo2 com o comprimento do tubo

112 - Definiccedilotildees

a) Tiacutetulo ou qualidade do vapor (x)

massa de vapor na mistura x ~ massa total da mistura

x =

W _g_

g f

b) Fraccedilatildeo vazio (void fraction)

volume do vapor na mistura a = volume total da mistura (agua+vapor)

A relaccedilatildeo entre x e a num sistema parado pode ser obtida

assumindo um certo volume contendo 1 lbm de mistura em equiliacutebrio

teacutermicoraquo

53

O volume da mistura seraacute igual a (v + xv ) ft onde v eacute 3 r rg

o volume especifico (lbmft )

f - refere-se ao liquido

g - refere-se ao vapor

fg - refere-se a diferenccedila entre liacutequido e vapor

Numa mistura em equiliacutebrio se o liacutequido e o vapor estatildeo

saturados o volume do vapor presente eacute igual acirc sua massa vezes

seu volume especiacutefico v assim e

xv bdquo bdquo a mdash

V c + XV c

f gf

onde

- bull-bull uumlutiacuteisa vapor na mistura de 1 Ibm

v volume especiacutefico do liacutequido

v = volume especiacutefico do vapor o

V c = v - V

gf 8 r

Fazendo uma transformaccedilatildeo na expressatildeo acima temos

xv xv JS = Z-

v r+ x(v -v c) xv +(l-x)v t ri f g f g f 1 + Ul-x)xjv fv

1 + C(l-x)x]]vfvg

A fraccedilatildeo vazia tem a influencia de baixar a reatividade

do nuacutecleo nos reatores em que o refrigerante eacute tambeacutem moderador

Na equaccedilatildeo acima os valores de x e v sao tomados em tabe

las termodinacircmicas apropriadas para a pressatildeo do sistema A equashy

ccedilatildeo (1) mostra os grandes valores de a para pequenos valores de x

especialmente para baixas pressotildees Isto ocorre porqueaumentando

54

aacute pressatildeo o v decresce muito enquanto que o v f eacute mais ou menos da

mesma ordem de grandeza

Exemplo Calcular o a correspondente para x raquo 2 para aacutegua

leve atilde pressatildeo atmosfeacuterica

Da tabela para p laquobull 1 atm

v - 001672 ft 3lbm e v - 26800 ft 3lbm

1 + [(1-002)002] 001672268

0971 ou 97U

O grafico abaixo mostra a variaccedilatildeo do a com x para vaacuterias

pressotildees e para a aacutegua leve

x ()

tObservaccedilotildees da curva

Fig 2

1 - para x constante a decresce com a pressatildeo Para presshy

sotildees proacuteximas da criacutetica a aproxima-se rapidamente de

x Para a pressatildeo criacutetica as duas fases satildeo indistinguiacuteveis ea=x

2 - para cada pressatildeo dotdx decresce com aumento de x

3 - para baixos valores de x (que e o caso dos reatores

tipo Boiling) quando p decresce dadx cresce e torr

na-se muito grande paacutera baixas pressotildees Isto tem relaccedilatildeo com a epound

55

tabilidade do reator como veremos mais tarde

113 - Sistemas com fluxo

Todas as definiccedilotildees que noacutes vimos no item anterior refeshy

rem-se acirc sistemas em que a mistura esta fechada no recipiente Nes^

te caso natildeo havia movimento relativo entre as duas fases No entan

to se as duas fases da mistura se movem na direccedilatildeo vertical em

canais entre os elementos combustiacuteveis o vapor por causa de sua

flutuaccedilatildeo tem a tendecircncia de escorregar sobre o liacutequido isto e

move-se com velocidade maior do que a do liacutequido

Real Modelo

Pig 3

S -

Define-se neste caso a relaccedilatildeo de escorregamento (slip

ratio) (S) como sendo

V _i

V f

onde

V = velocidade do vapor

= velocidade do liquido

S modifica as relaccedilotildees entre a e x do item anterior S geralmen_

te gt 1 Define-se neste caso qualidade do vapor ou tiacutetulo como

sendo

_ fluxo de massa de vapor

fluxo de massa da mistura

Entatildeo se o fluxo de massa da mistura eacute m t(lbmhr) o flushy

xo de vapor seraacute = x m e o fluxo de liacutequido sera (1-x) m onde x

56

e o titulo do vapor para a particular secccedilatildeo (AL) da figura (3)

Devemos notar que neste caso x varia de secccedilatildeo para secshy

ccedilatildeo do tubo o exposto no paraacutegrafo acima vale considerando-se que

x e a permaneceram constantes na secccedilatildeo de espessura AL

Aplicando a equaccedilatildeo da continuidade as velocidades do va

por e liacutequido sao dadas por

o xm v

V vazatildeo = g g area A

V

(1-x) amp t v f

f A f

onde A e A f sao as aacutereas medias perpendiculares ao fluxo se as

duas fases sao imaginadas completamente separadas uma da outra

(figura 3) Assim temos

V x m v o A_ A v 0 ^ - 2 = iacute S t m _2L- JL JS m

V A (l-x)ui v 1-x A v U

f g t f g f

Sabemos ainda que para a secccedilatildeo considerada

volume do vapor na mistura a = volume total da mistura (agua+vapor)

A AL A pound g g

a = mdash a a = - mdash 1

(A+A )AL A f + g

A ou f _ 1 - a

A a 8

Substituindo em (2) vem

57

Esta expressatildeo pode ser rearranjada e obteremos uma relashy

ccedilatildeo entre x e a levando em conta o escorregamento Chega-se a

a = 1 ( 3 )

1+ [U-x)x3 igt

onde

v 4 laquo -- S

v lty o

Note-se que quando S=l (nao haacute escorregamento) caimos na

expressatildeo dada no item anterior

0 efeito do escorregamento eacute decrescer o valor de a pa_

ra um mesmo xbdquo Isto pode ser visto pela foacutermula (3) pois S gt lLo

go a decresce com acreacutescimo de S

Um alto S e entatildeo uma vantagem tanto para a transferecircnshy

cia de calor como para efeitos de moderaccedilatildeo Eacute uma vantagem para

transferecircncia de calor porque alto S significa alto V e portanto

maior turbulecircncia e maior contato do liquido com as paredes quenshy

tes Ha tambeacutem melhorias na estabilidade da reaccedilatildeo nuclear isto

porque como jaacute dissemos quando mdash7 diminui a estabilidade aumenshy

ta isso pode ser verificado observando a curva a versus x para a

agua leve a 1000 psiabdquo

Fig 4

58

A relaccedilatildeo entre x e a da equaccedilatildeo (3) so vale para secccedilatildeo

de tubo bem pequena

Devemos notar que S varia tambeacutem com a pressatildeo e velocida^

de de entrada do liacutequido no tubo Este efeito pode ser observado na

figura 5 abaxxo obtida esperimentalmente

s

3

~^ ~ psig

x = 001

V 1

Fig 5

Nos projetos de reatores como veremos adiante o valor a

geralmente eacute determinado por consideraccedilotildees nucleares (moderaccedilatildeo) 0

valor de S eacute determinado atraveacutes de uma estimativa ou entatildeo atrashy

veacutes de um graacutefico do tipo da figura 5 0 correspondente valor de x

pode ser obtido de uma foacutermula empiacuterica do tipo

1 = 1 (-S)0gt67

proposta por Von Glahn

Em muitos casos assume-se S constante em todo o comprimeiv

to do canal poreacutem eacute um erro que em muitos casos nao pode ser coshy

metido

4 REATORES EM QUE 0 LIacuteQUIDO B MODERADOR E CIRCUITO PRIMAacuteRIO AO

MESMO TEMPO BOILING-REACTOR (BWR)

A aacutegua ao se movimentar atraveacutes dos vaacuterios canais do

59

Boiling-reactor encontra vaacuterias resistecircncias ao fluxo que provoshy

cam uma reduccedilatildeo de pressatildeo no fluido

As duas perdas mais importantes sao perda de pressatildeo por

atrito e perda de pressatildeo causada pela aceleraccedilatildeo do refrigerante

ao aumentar de volume por receber calor num canal Outras perdas

de pressatildeo seriam a obstruccedilatildeo ao fluxo por corpos submersos (espa_

ccediladores juntas de tubos chaves etc) e por mudanccedilas abruptas de

aacuterea de fluxo tanto na entrada como na saiacuteda do tubo

Essas perdas de pressatildeo devem ser conhecidas o melhor popound

sivel principalmente nos reatores BWR Para tanto devemos saber

o comprimento de canal em que nao ha a ebuliccedilatildeo isto eacute qual o com

primento de canal em que o refrigerante vai da temperatura de sub-

resfriamento ate temperatura de saturaccedilatildeo

Seja o elemento combustiacutevel

Aquecimento Uniforme Aquecimento Senoidal

Fig 6 Fig 7

onde

H =

H = o

H b

comprimento do elemento combustiacutevel

cota onde o liquido se torna saturado

comprimento do elemento combustiacutevel em que ocorre

ebuliccedilatildeo

60

qg = calor sensiacutevel acrescentado ao liquido para satushy

raacute-lo

qfc = calor total acrescentado ao liacutequido em todo o com

primento do canal

laquoo

q s J o qiquest sen (IIzH) n H o

T~ = TH = 2 ( 1 c o s gt ( a )

q 1 sen (HzH) Jo ^c

A expressatildeo (a) vale quando tivermos uma adiccedilatildeo de calor

senoidal para qualquer outra forma de adiccedilatildeo de calor faz-se um

caacutelculo anaacutelogo

Outra relaccedilatildeo entre q g e qfc eacute dada pela termodinacircmica

q h- - h s f m (b)

(hr +x h )-hm ^t f e fg

onde

= entalpia para o liquido saturado a pressatildeo correjs

pondente (cota z = Ho)

hffi = entalpia do liacutequido na entrada do canal

x = tiacutetulo do vapor na saiacuteda

= entalpia do vapor

Com a relaccedilatildeo (b) noacutes determinamos a relaccedilatildeo q q ecom

S L

uma relaccedilatildeo do tipo (a) (conforme seja o adicionamento de calor ao

liacutequido) podemos obter a relaccedilatildeo HoH e consequentemente H^H

21 - Perda de pressatildeo num canal de evaporaccedilatildeo

Neste item iremos determinar as perdas de pressatildeo mais

representativas que ocorrem num canal de evaporaccedilatildeo de um reator

P + dP

bull1 i- 1 gti i i

dL

onde

UM

Icirc H Icirc Icirc T dF f t f

61

Quantidade de Mov na Entrada

= i- rigVg)

dF f l

Fig 8

m i

m 8

V l V 8

A P

dF

dF

dF

fg

fl

ftf

descarga do liacutequido

descarga do vapor

velocidade do liquido

velocidade do vapor

aacuterea transversal do canal

forccedila de atrito do vapor com parede

forccedila de atrito do liacutequido com parede

forccedila de atrito das duas fases liacutequido+vapor

Fazendo o balanccedilo das forccedilas considerando o sentido posjL

tivo na vertical temos

A (P-P-dP)-(dF +dF _+dF _)-(-pound-) (p A+p A )dL = mdash dGnV+m V ) P fg ftf fl g c 1 1 g g g c

v 1 1 g g 7

- dP = ~ (dF +dF--+dF)+- S--7=- (p A+p A )dL+ mdash ~ - d (m-V+m V ) A_ fg ftf fl g c Ap v^l 1 g g g A 11 g g

Fazendo a integraccedilatildeo termo a termo entre os dois extreshy

mos entrada e saiacuteda e considerando a pressatildeo de entrada igual a

P q e a de saiacuteda igual a Pe vem

Quantidade de Mov na Saiacuteda

-= h I- lY l+ A g V g + d ( aacute l V l + aacuteeVl

Forccedila de Gravidade

= ( g f - N P A + P g V

62

b) r e F f l

o p dp^ = Ap^ = perda de pressatildeo por atrito

do liacutequido na altura Ho

Aplicando a formula de Darcy vem

bull API = f bull ir bull ^ iexcl 7

onde

f = fator de atrito

c) e Fftf

o p ^P tpound

= perda de pressao por atrito da mistura

liquido + vapor no trecho de comprimen

to Hbdquo o

Para determinar esta perda de pressao define-se o fator

de multiplicaccedilatildeo R

A P R =

tf A P 1B

Sendo A p ^ a perda de pressao se o comprimento todo fosshy

se ocupado somente pelo liquido assim

A p t f = R A P 1 B

0 calculo de Ap-^ pode ser feito pela formula de Darcy e

o de R nos veremos no item seguinte

63

d)

-e F

d ( ^ )

O P

Ap = perda de pressatildeo por atrito do vapor

No caso do reator BWR o titulo de saida e bera pequeno e

em nenhum caso ocorre a saida de vapor com x = 100 logo a perda

de pressatildeo por atrito do vapor eacute nula assim

An = 0 5

e) Ap

(p A 1 + p A ) dL = Ap - perda de pressatildeo dpound

vida ao desniacutevel

(perda hidrostaacutetica)

Anbdquo = re A A

-S- I (p + p -S ) dL H s 1 A

c o p o A

como A A Jl_ =

A P

A +A-g 1

1-a -

temos

C Q

te j jll-a)p1 + apg)^jdL = p Lo pound

onde

e jo u

+ ap ) ~I dL (Densidade media 1 S J

no tubo)

No nosso caso

Ap u = p H

f)

re d(mV + m V ) _ mdash - laquo -i bull s iquestp laquos p e r d a ltje pressatildeo devido a acele-

c p raccedilatildeo do vapor

V A

(1-x) tl^Vj

(1-a) A

X V

aA

A p -

roV + m V

c p c p L_

m (l-x)m_v m xv nbdquo -1 T 1

+ _S S I (1-a) Ap aA

P

2 g A c p

n 2 2

(1-x) m T

laquo2 8 A c p

2 2 (l-xe) raTv1

2 2 2 xm_v (1-x) m-v e T s o 1 1

a 1 - a

2 2 - x m_v o T g

a

se

X Q 0 (so ha agua nesse trecho)

a = 0 o

temos

mbdquo Ap =

1 a A 2

S A degc p laquo-

tt-V v i 1 - a

2 via T^r - v i

t Apc

2

V v l

5c Ap

1 - a

x v - 1

a e v l

65

Fazendo

G = fluxo total da massa por unidade de area do

canal

(1-x J e

V

AP r

Assim a perda de pressatildeo total sera

H p V II pV r2 P -P = f -24-Iuml+ f R+p 0 1 2g c D e 2g c g c g c

2c2 - Determinaccedilatildeo do fator de multiplicaccedilatildeo (R)

221 - Relaccedilatildeo Martinelli-Nelson

Os autores Martinelli-Nelson determinaram experimental -

te esse fator R para varias LIT1L em funccedilatildeo da pressatildeo e da r NB total J v

qualidade de saiacuteda do vapor no canal Construiacuteram assim vaacuterias

curvas do tipo da figura 9

66

E importante notar que a qualidade do vapor (x) na saiacuteshy

da nao deve ser grande pois como vemos o valor de R cresce muishy

to com um aumento pequeno de x e um valor de R muito grande acar_

reta uma perda de pressatildeo grande pois

^ d u a s fases R ^ f a s e liacutequida

Para resolvermos um problema seguindo o criteacuterio de bdquo

Martinelli escolhemos a curva R = f(px) (para a relaccedilatildeo L

N g ^ j

adequado) e tiramos R com os valores de pressatildeo p e tiacutetulo x

As curvas R = f (p x L T t )IO encontram-se nos ANL 6469 bio I

e 6561

222 - Relaccedilatildeo Lottes-Flinn

Estes autores estudaram o problema para o aquecimento uni

forme do refrigerante com baixo titule Lottes-Flinn fizeram inuacuteshy

meras experiecircncias e verificaram que para fluxo de calor uniforshy

me e baixos titulos R era independente do fluxo de calor fluxo

do refrigerante escorregamento e apenas funccedilatildeo de a g

Como a quantidade de liacutequido eacute muito maior que a de vashy

por a perda de pressatildeo daacute-se principalmente pelo atrito do liacuteshy

quido com a parede Podemos assim escrever a foacutermula de Darcy

na forma diferencial

dz

d = f __ r e amp c

onde

V = velocidade do liquido saturado na cota zbdquo X

f = coeficiente atrito

= densidade do liacutequido saturado

Teoricamente a queda de pressatildeo deve-se ao acreacutescimo de

67

velocidade do liacutequido e da diminuiccedilatildeo da aacuterea de fluxo do liacutequi

do

P fH A P t p

= f D 2g Ho

d z

fazendo

V lo

m V t lo

(velocidade do liacutequido na cota z = Ho)

(1-x) m t v 1

(1-a) A (velocidade do liacutequido na cota z gt Ho)

a bull+ fraccedilatildeo vazio na cota z geneacuterica

V 1 (1-x) m t v 1

m t V l 1 - a

x =s 0 pois o tiacutetulo eacute baixo

A p t f = f bull JT5 c e

fH V lo

H o (1-a) dz

Para fazer a integral devemos achar a relaccedilatildeo de variaccedilatildeo

entre a e z Como o fluxo de calor eacute uniforme a qualidade eacute direshy

tamente proporcional a z

bull laquo x = x e H

z = mdash x X e

Sabemos ainda que (item 113)

x

1 + [ ( I -X)AKQ x + iiacuteraquo

68

como

temos

(1-x) = 1

v

X =

z =

1-a

1 -a

1-a e

a

e

1-a pound

a

1 -a igt (assumindo S = cte)

da

Atf - f bull 2 i ^ ~ J c e o

a 1 - a e e 1 s 4 hmdash) da

a 1-a

f P lv^ Q

0 termo mdash - mdash e a parte de perda de pressatildeo pelo lj^

^c e -quido ou seja Ap liquido saturado e como

Ap

R = tf

Ap liauido saturado

temos que

R J

f ae 1 _ a e 1 4

a 1 -a o e

1 -a r-R =

3 1 -a

a 1 -a imdash

3 vl - a 3

e e

Os valores de R obtidos por esta expressatildeo aproximam-se

muito dos valores obtidos pelos aacutebacos de Martinelli

69

E - EXPANSAtildeO E COMPRESSAtildeO DE UM FLUIDO - ANAacuteLISE HIDRODINAcircMICA

DE UM CIRCUITO EM CIRCULACcedilAtildeO NATURAL

1 EXPANSAtildeO NO FLUXO DE UM FLUIDO

11 - Uma so fase

Figura 1

Ha vaacuterios meacutetodos para determinar a variaccedilatildeo de pressatildeo

numa expansatildeo de fluido estudaremos o de Romie que eacute o que daacute

maior precisatildeo

Romie considera que a pressatildeo p^ tambeacutem atua na aacuterea

imediatamente apos a expansatildeo Assim fazendo o equiliacutebrio das foi

ccedilas nas secccedilotildees tracejadas da figura 1 temos

mVj

p r A 2 + mdash

mV

bull 2- A2

mas

m = pV^A^

pV^A = p V 2 bdquo A 2

V A

v 2 -4r-logo

( P l-P 2) A 2 = f ( V ^ ) - f _ v j amp c c 2

70

2 pV A A pV A A

Chamando A l A ]

K = 1 - T e degi2 = Aiexcl bull V E M

pvj

P l P 2 = T ~ bull ( 2 deg 1 2 ) ( 1 _ a 1 2 )

Outra maneira de chegar atilde diferenccedila de pressatildeo ( P j - ^ ) s mdash

ria usar o coeficiente de perda da mecacircnica dos fluidos Assim o

equilibrio das pressotildees eacute

2 2

1 V l 1 V 2 V l P i + _ p _ ^ P 2 + I p ~ + k 1 2 p mdash

onde = coeficiente de perda

A 2 1 2

k 1 2 - (l-o 1 2) - (1 - j- )

Fazendo as transformaccedilotildees chegamos a mesma expressatildeo obshy

tida pelo balanccedilo das forccedilas

PraquoIacute pr p

2 - - ir ^ laquo-ia

12 - Duas fases

Como ha duas fases a equaccedilatildeo do balanccedilo das forccedilas fica

um pouco alterada

m pound 1 V- m - raquoV - m-V- m bdquoV _ P A + j y ^ i + _gl_JUuml P A + -11-11 + -ilsl (a)

1 2 e R 2 2 ff e

Sabendo que

71

m (1-x) m t = p fA (1-a) V f

entatildeo

fl l-o^ p fA x

6 Vf2 1-x l-a2 P fA 2

m V = mdash mdash e V 0 = gl a 1 P C T A 1 g2

m

a_ p h

2 g 2

Nas expressotildees anteriores o x nao varia porque a expansatildeo

5 adiabaacutetica porem o a varia devido a modificaccedilatildeo do tamanho da

bolha

Substituindo os valores das velocidades na expressatildeo (a)

vera

( P - P ) Abdquo =

2

2 2 m gt2 2 m t (1-x) 1 x t

ra i 2 m i 1 x t 1

p fA 1 g c ttl p Ax gpound

m t P - P = mdash

(1-x) (l-a 1)A 1A 2 (l-a2)A|

a r A r A 2

V A 2

m t P bdquo - P = mdash 2 1 g c A r A 2 p f

(1-x) 1-a f A 2(l-a 2)

bull ^ 2

72

Se

P -P

a

m

g

12

1 _1_ (1-x)

J12

1 _ a l 1 - a 2 + X (- )

Pg

1 deg12 a 2 ^

Sabemos que

mt = V o pf laquo A l

Sendo V q = velocidade do liquido num ponto onde natildeo haja vapor

P 2-P 1

u 2 2 A 2

V pr Ai

V W p f

(1-x) 12

l-a1 l-a2

+ X 2 pf

mdash

l deg12

-1 a 2 _

p -p r 2 Al (2a 1 2)

2 M f w 1 deg12 X (mdash) (

pg al a 2 )+(l-x)C l 1 12

1-a^ l-a2

Devemos notar que esta expressatildeo tambeacutem vale para quando

temos uma fase para isso basta fazer

= c t 2 = 0

X = 0

e recairemos na formula do item anterior

2 pf 1 deg12 Observemos que neste caso o termo x (mdash)( ) nao

Pg al a2

2

73

tem significado pois corresponde a mudanccedila de fase

2 CONTRACcedilAtildeO KO FLUXO DE UM FLUIDO

21 - Uma so fase raquo mdash

Aqui ocorre um fenocircmeno importante pois o fluido ao ser

contraiacutedo nao vai diretamente da area A^ para a area A 0 mas ele

contral-se ate uma area A^ e depois expande-se ate k^

Ao A2

Po IP 2

V 2

Figura 2

Fazendo o equiliacutebrio das pressotildees entre os planos (1)

(0) vem 2 2

pV pV p +~ plusmn - P + i deg bull 1 2 g o 2 g (b)

C x

Fazendo equiliacutebrio da expansatildeo (0) - (2) vem

P o + 2 - f = P 2 + 2 -T + kp- 2 F ( c )

c c b C

Subtraindo (b) - (c)

2 2 2

i p- vj i p- v2 L P l + 2 bull g c

P 2 + 2 2g c

+ k P 2g c

74

Como

P - P = mdash 2 2g

2 2

bull (1 + k) - f bdquo mdash i

k a - f2 ) 2 - d - o c )2

= o

A = a 21

Weisback obteve varias relaccedilotildees entre a e a i] c

01 02 03 a 0624 0632 0643 c

0624 0632

A r v i - V v 2

p -p 1 2

P -P 1 2 2g7

v l =

(1+k) - laquofi- a 2g 21 c

( 1 + k - o 2 1)

X[- V 2 o 2 1V 2

22 - Duas fases

0 valor de k pode ser aproximado para

k = a(l - o 2 1)

onde segundo Richardsons para fluxo de duas fases podemos supor

a = 02

Para fluxo homogeacuteneo sabemos que

75

p = p f (1 -a ) + p o a

podemos supor p bdquo a = 0 pois p e pequeno e fazendo

V = V ~ V fbdquo2 go2 v 2

Substituindo estas duas expressotildees na equaccedilatildeo de uma soacute fase vem

2 2 p V (l-ct) p V (1 -a ) bdquo

P l P 2 = 9g ( 1 + 3 - 3 0 ^ - 0 ^ ) = g (a+1) (l-a^)

Se a = 02

2 12p oV 0

p r p

2 - 9g gt d-) d-sigt

A compressatildeo de um fluido acarreta uma perda de pressatildeo

como pode ser verificado pelas formulas uma vez que lt 1deg

3 ANALISE HIDRODINAcircMICA DE UM CIRCUITO EM CIRCULACcedilAtildeO NATURAL

Esquema deacute uma caldeira com circulaccedilatildeo natural

76

Determinar a velocidade em (7) para que tenhamos circula

ccedilatildeo natural Determinar tambeacutem as perdas de pressatildeo em todos os

trechos da caldeira

31 - Contraccedilatildeo das secccedilotildees (1) - (2)

Como jaacute vimos a equaccedilatildeo do balanccedilo das pressotildees eacute

1 pr Vl 1 p 2 o V 2 P2 V2

1 2 g 2 + 2 g + K12 2g otilde c amp c e c

bullraquo 2 o2 2 e havendo uma soacute fase k 1 9 = (l-o ) = (1 mdash ) e sendo

C 2

p l = p2

v x lt lt lt v 2

P 2 V pr p2 bull ir2 bull ( 1 + k12gt

Colocando em termos de temos

A 2 V 2 P 2 = A 7 V 7 p 7 (continuidade)

V = V mdashbull = V o_bdquo ~ A 2 2 2

P 2 V - p 2

p r p 2 = ir2 - deg72 bull Ccedilrgt bull lt 1 + ki2gt

fazendo

N12 - lt^gt deg72 ( 1 + k12gt

P7 V7

Pr P2 - N12 bull HG

77

3 2 - Perda de carga no trecho ( 2 ) - ( 3 )

Como haacute apenas uma fase soacute temos perdas por atritos e

perdas hidrostaacuteticas

Sendo como jaacute vimos

2 3 p 2 2 g P 2 P 3 = f 2 3 (r~2g^~) L 2 3 g c p

atrito hidrostaacutetica

Substituindo V^ pela relaccedilatildeo do item anterior e tendo em

conta que p = vem

P -P = f 2 r 3 2 3 D

2 3 p 2 bdquo 2 2 p 7 2

2 g 7 72 p 2 3 g

Se

L 2 3 2 p 7

2 3 2 3 D 2 a 7 2 p 2

P 7 V 7 g P 2 - P 3 = N 2 3 ( mdash gt p 2 L 2 3 f

3 3 - Expansatildeo nas secccedilotildees ( 3 ) - ( 4 )

Como vimos o balanccedilo das pressotildees e

2 2 2 p V p 4 V p V

P 3 + 2 g c

P 4 + 2 g c

+ k 3 4 2 g c

onde

k 3 4 - - -

2 2 1 P 4 - V 4 P 3 v 3

P 3 P 4 = 2 g + ( k 3 4 _ 1 ) 2 g

78

Sendo

P 3 - P 4

p 3 o A 3 deg V 3 = P 7

a A 7 o V 7

P 4A 4 0V 4 = P r A r V

3 7 A 3 p 3

A7 P7 V = v mdash mdash 4 7 P 4

P - P 3 r4

Se

P bdquo - P

bdquo2 r-P 7 V 7

3 4 2g deg74 + ( k 3 4 1 ) deg73

34 p deg74 + ( k 3 4 1 ) 73

p r v2

P3- P4 ^ N34 ^ gt

(No caso e negativo)

34 - Contraccedilatildeo nas secccedilotildees (5) - (6)

Ainda temos uma so fase e fazendo o balanccedilo das pressotildees

como fizemos no item 3lt1 vem

P + vil p + vi + k vi P 5 + 2gbdquo P6 + 2gbdquo + k56 2gbdquo

k 5 6 lt 1 ^ gt 2 ( 1 - Iacute 2 i 2 6

V V6 P5degIacute 5^6 ^SS 2g c - 2g c

P - P ^ = (1+kJ

Como

79

A 6

W p 5 =

VV P6 V 5 = V 6 Jiexcl = Vff65

P 5-P 6 - lt H k 5 6 ) mdash ^ mdash (l+k 5 6-a 6 5) c c c

Sendo

Se

A 7 p 7 p 7

6 7 Ag p 6 7 76 p 6

p _p _ P6- V7- g76 iquest72 ( _ 02 P 5 P 6 2g c bull ( p 6

( 1 + k 5 6 deg65 )

p 7 2 2 N56 = p ^ deg76 ( 1 + k 5 6 ~ a 6 5 )

P 7 V 2

7

P r-P = N r 5 6 56 2g c i

35 - Perdas de pressatildeo nas zonas (6) - (7) - Pre^aquecimento

Nesta regiatildeo temos perdas por atrito e hidrostaacuteticas

Nao haacute perda por aceleraccedilatildeo pois ainda natildeo houve formaccedilatildeo de boshy

lhas

Fazendo balanccedilo das pressotildees temos

L_ ppound-V p = p + otilde L - pound _ + f -Si (-21mdashL 6 7 + p67 L67 g + t 6 7 D K 2g

p _ e ifn sao tomados como valores meacutedios 67 67

P _p _ f hl ^67jIacute uuml + - L A

6 F 7 r67 D 2g P P67 L67 g 6 s c 7 c

S e Kr pound67 L67 p67 6 7 D 6 p7

p7 V - _g_ P6- P7 - N67 mdash + P67 L67 f

c c

80

36 - Perda de pressatildeo nas zonas (7) - (8) - Zona de ebuliccedilatildeo

Nesta regiatildeo j aacute temos o aparecimento de bolhas logo a

perda de pressatildeo seraacute devida agraves t recircs parcelas aceleraccedilatildeo a t r i t o

das duas fases liacutequidas + vapor e h idros taacute t ica

onde

Assim

P-P Q = AP + AP + APbdquo 7 8 a t r i t o acel H

T M1

78 p 7 7 AP - R f- - mdash mdashr |R = fator mult ipl ica-

a t r i t o 7 D 7 2 g c L tivo

G 2

AP bull r mdash acel g c

P V

|_1 - o a p J 8 P f

2 t r 2 M2

7 7 r 7 7 A P a c e l = -J^mdash 2 r bull p 7 lt T iexcl iexcl - )

A PH p 7 8 L 7 8 fiexcl

p 7 8 iacute 7 li 1 0 0 P l i q + a P v ] d L = P 7 ( 1 - laquo 7 8 )

ag raquo fraccedilatildeo de vazio media entre 7 e 8

APH = p (1 - 5 7 g ) f- L 7 8

2 2

P 7 - P 8 a 5 - 2 T i + 2 r p 7 + P 7 ( 1 - 7 8 gt f L 7 8 7 amp c amp c amp c

81

N 7g = R mdash + 2 r p 7

P7 V7 P7- P8 = N78 + P 7 ( 1 5 7 8 gt J78

37 - Expansatildeo nas secccedilotildees 8 e 9

No caso haacute uma expansatildeo com duas fases e como vimos no

item 12 a variaccedilatildeo de pressatildeo era dada por

0f Vo P2 P1 = ~2g c ( 2 deg12

x 2 (mdash)(mdash - mdash ) + ( l - x ) 2 ^ T mdash 8 1 2 1

12

Aplicando ao nosso caso

P pound = P 7

P -P = 8 9

V - V raquo V g f 7

P 7 V 2

2 pf 1 a89 2 1 g89 x (mdash) ( ) + (1-x) (- - N

o ou abdquo 1-cu l-ot_) g 8 9 8 9

Se

N 89

= 2 a 89

2 pf 1 deg89 2 1 CT89 x (mdash) ( ) + (1-x) ( T

g 8 9 8 9

P -P = 8 9

- N P7deg V7

89 2gbdquo

38 - Perda de pressatildeo no trecho 9 e 10

No referido trecho temos apenas perda de pressatildeo por atr L

to da fase liacutequido + vapor e perda hidrostaacutetica Natildeo haacute perda por

aceleraccedilatildeo do vapor pois este natildeo recebe mais calor e portanto

o 82 o

nao ha variaccedilatildeo no a

p

Q -p i n = A P

U + A P bull 9 10 H atrito

n T -S_ P9 U10 deg 910 bull g

fio r

910 I 910

J9 L

(l- a)P + Q P I dL liq v

(l-a0) p

No caso a = (nao hatilde variaccedilatildeo de forma)

A P H - (1-a ) P (p L 0

c

AP bdquo = R o

atrito

2 f9 o L910 P9 V9

2g

Supondo

= V

P 9 = P 8 P 7

vbdquo = v 9 8 0 A r

= V 7 bull deg89

AP - R atrito

2 2

W l O p7deg V7deg g89

V P10 R -^T^ bull deg89 bull li-2 + ( W P 7 (fgt SIO

y c c

Se

- f9 L910 2 N9ol0 R Dl deg89

w 2

p rv P9 P10 = VlO + ( 1 a 9 ) p7 (f gt L910 c

33

39 - Perda ciacutee pressatildeo na expansatildeo 9 - 1 0

Analogamente a expansatildeo 8 - 9 temos

10 11 P 7 2g

10 Iacute 2 0 1 0 - 1 1 gt

2 ff

pg aio

10-11

laquo11 ) +

Ll-a 1 0 bull l-a u J

Se

V10 = V 9 = V 8 bull T9 = V 7 deg89

P -P 10 rll = - a 2g 089 ^lO-ll

4 bull T~ bull (7 1 mdash ) + Pg degio a n

+ (l-x)2(- 1 10-11

1 - aio )

N10-ll = 2 a10-ll a89 2 pf t 1 10-11 N2

-(j-r- - ) bull+ (1-x) pg aio deg 1

10-11 k l - a io

prz P10 Pll = - N10-ll bull ( 2gbdquo

310 - Calculo de V

Fazendo a somatoacuteria de todas as expressotildees (P^-Pj) tere-

84

mos 2 PbdquoV_

P bdquo - P bdquo = N 7 v 7

1 2 12 2g

bull 2 - P 3 - = N 2 3 P 2 L 2 3 f c ccedil

9 P 7 V 7 P _p = N mdash -

3 4 34 deg 2g

V P 5 = deg

2 P V

5 6 56 2 g c

ltr2

P 7 -V 6 e7 -N67 2g + p 6 7 J j67 g

c bc v 2

P 7 - P 8 = N 7 8 - 2 i ~ + p 7 ( 1 - laquo 7 8 ) L 7 8 c

P 7 V 7

P - P - -N mdash - -8 9 89 2g

c P 7 V 7

P 9 ~ P 1 0 VlO 2g + ( 1 a 9 P 7 L 9 c

P 7 V 7

bull10 11 U10-ll 2g

P v iacute j P - P

1 11

7 - v 7 3 bull r

2 8 i U L 2 23 67

(l-5 7 8) L 7 8 + ( l - laquo 9 ) P 7 bull SlOtilde]- ^

Por ou t ro lado sabemos que como secccedilotildees 1

mesmo n iacute v e l

85

s c p r v 7 j

28 Z N i ij

= P 2 L23 p67 L67 P 7 ( 1~deg78 )

78 ~ ^g) bull P 7 bull L 910 g_

V - 2 g ( p r L 2 3 - p 6 r L 6 7 - p 7 ( l - atilde 7 8 ) L 7 8 - (l-a9) p L 9 a ( )

y N

Com esse valor de podemos determinar todas as variashy

ccedilotildees de pressatildeo (P^-P )

BIBLIOGRAFIA

- WoR Gambill - Notas de aula dos seminaacuterios realizados no Insshy

tituto de Energia Atocircmica de Sao Paulo em 1966 (roteiro)

- WR Gambill - Nuclear Safety

Vol 9 - n9 5 e 6

Vol 6 - n 2 (pag 152)

Vol 4 -r n9 1 (pag 30)

Volbdquo 5 - n 2 (pag 151)

- WRo Gambill - Chemical Eng Prog ndeg 54 (Outubro)

~ El Wakil - Nuclear Power

- Jakob Max - Heat Transfer (vol I)

Mc Adams - Heat Transmission

- Paul A Lottes - Argonne National Laboratory

- AKL - 6469

- ANL - 6561

86

Knudsen e Katz - Fluid Dinamics and Heat Transfer

Frank Kreith - Principles of Heat Transfer

Journeacutees Internationales de la transmission de la chaleur

Seminaacuterios realizados em Paris em 1961 sob a supervisatildeo do

Prof Marcel Veron

Notas de aula da Cadeira de Termodinacircmica I e Transmissatildeo da

Escola Politeacutecnica da Universidade de Sao Paulo

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Page 12: ALGUNS PROBLEMAS DE HIDRODINÂMICA E CONVECÇÃO DE … · alguns problemas de hidrodinÂmica e convecÇÃo de calor em reatores de potÊncia, segundo aulas do ... b - convecÇao

I

Considerando que apenas estas 9 variaacuteveis influem na con-

vecccedilao natural o fenocircmeno poderaacute ser escrito na forma

B A_C D E F G H I h = A x (AT) bdquo p bdquo u o S Cp k g (1)

Sendo A B C D E F G H I expoentes reaisraquo

De acordo com o teorema dos T T se noacutes temos m = 9 variaacuteshy

veis funccedilotildees por sua vez de n = 4 dimensotildees o fenoacutemeno poderaacute

ser descrito por uma equaccedilatildeo de (9-4=5) adimensionais

Pesquisemos quais sao esses adimensionais Substituindo

na expressatildeo (1) as dimensotildees correspondentes temos

Me 3 T_1 = A LB TC (ML~3)D (Me - 1 ITV (T-1)F

a2 e~ 2 T - 1 ) g (MLe3

0T_1)H ( L e - 2 ) 1

Devido a homogeneidade de unidades da expressatildeo as somas

dos expoentes da mesma dimensatildeo nos dois membros devem ser iguais

(EM) D + E + H - 1 (I)

(26) - E - 2G - 3H - 21 = -3 (II)

(ET) C - F - G - H = -l (III)

(EL) B - 3 D - E + 2G + H + I = 0 (IV)

Solucionando o sistema acima em funccedilatildeo das variaacuteveis C

D G e T vem

Somando (I) e (II)

D - 2 G - 2 H - 2 I = - 2 o H = ~ G - I + 1

Substituindo o valor de H em (III) vem

C - F - G - | + G + I - l = - l F = C - + I

Substituindo o valor de H em (II) vem

8

- E - 2G - -y- + 3G + 31 - 3 - 21 = - 3 E = G + I - -y

Substituindo E e H em (IV) vem

B - 3 D - G - I + - y - + 2 G + | - - G - I + l + I = 0

Voltando agrave expressatildeo (1) temos

h = A x D + I - 1 ( A T ) C pdeg u G + I ~ 3 0 2 g C ~ 0 2 + 1

G D2 - 6 - 1+1 I c p k g

Agrupando os termos de mesmo expoente vem

t A 2 2 - 3 - 1 v D 2 -1 1 n = A (x p bdquo u g o k ) o (x u g k g)

o (AT g ) C (vi k 1 c p )Q o ( x - 1 k g )

h - A ( x 2

3 - p 2 k ) D 2 ( g deg Z)1 (AT g ) C

li 3

C k J x

2 2 h x x p k D 2 x u g gI

k ~ A ^ 3 o

deg 1 k deg

y 3

(AT g ) C ( ^ ) G

Chamando

h bdquo x n = mdash f mdash = Nbdquo = n9 de Nusselt 1 k Nu

T T 2 = p

k

P = N p r = ndeg de Prandtl

rr3 = AT o g

2 2 i

x o p k

4 3 R

M g

Assim os fenoacutemenos de convecccedilao natural sao descritos por

uma equaccedilatildeo do tipo

F ( IacuteW N P r V V V = deg Como as variaacuteveis 3 AT e g na convecccedilao natural soacute in

fluem nas forccedilas de empuxo provocando o movimento macroscoacutepico do

fluido devem aparecer constituindo o produto (g g AT) Para

que isso seja possivel devemos ter

~ = I = C reunindo-se assim os 3 adimensionais tr

T T ^ ir ou seja

ir AT g gt k P 2 X bull P B bull = 3 4 5 u 3 6 k

3 2 x p g g AT bdquo M O j o u c

= 7 = N_ = N9 de Grashof 2 Gr

Finalmente a convecccedilao natural pode ser descrita por uma

equaccedilatildeo da forma

F(Nbdquo N_ Nbdquo ) = 0 Nu Pr Gr

Agora soacute resta obter para cada caso possiacutevel do paraacutegra

fo 4 ps coeficientes desses 3 nuacutemeros adimensionais

8 CONVECCcedilAO FORCcedilADA

Na convecccedilao forccedilada nao influem as forccedilas de empuxo poshy

reacutem influi decisivamente a velocidade do fluido Assim as variaacuteshy

veis que intervecircm no fenocircmeno sao

h = coeficiente de peliacutecula (M) ( 8 ) ~ 3 ( T ) 1

o 10

x = dimensatildeo caracteristica (L)

-1 V = velocidade do fluido (L) (8)

I -3

u = viscosidade dinacircmica do fluido (M) (L)- (0)~

p = massa especifica do fluido (M) (L)

- 2 - 2 - 1 0^ = calor especifico do fluido (L) (6) (T)

k = condutividade teacutermica do fluido (M) (L) ( 0 ) ~ 3 ( T ) 1

0 fenocircmeno eacute determinado por estas 7 variaacuteveis logo coja

forme o teorema dos ir podemos descrever o fenocircmeno por uma equaccedilatildeo

com (7 - 4) = 3 nuacutemeros adimensionais

A equaccedilatildeo de h em funccedilatildeo das variaacuteveis seraacute do tipo

h = A x V u bull P bull c k (2)

substituindo as dimensotildees vem

M e~ 3 T - 1 = A L B (L Q~X)C (M L - 1 e 1 ) 0

(M L 3 ) E ( L 2 e 2 T _ 1 ) F (M L e - 3

T - 1 ) G

Igualando a soma dos expoentes da mesma variaacutevel dos dois membros

vem

(EM) D + E + G = 1 (I)

(Z6) - C - D - 2F - 3G - -3 (II)

(ET) - F - G = -1 (III)

(EL) B + C - D - 3 E + 2 F + G = 0 (IV)

resolvendo o sistema acima em funccedilatildeo de C e G vem

de (III) F = 1 - G

de (II) - C - D - 2 + 2 G - 3 G = - 3

bull D = 1 - C - G

substituindo o valor D em (I) vem

11

1 - C - G + E + G = 1 E = C

substituindo os valores de D E e F em (IV) vem

B + C = l + C + G - 3 C + 2 - 2 G + G = 0

B = C - 1

assim a equaccedilatildeo (2) ficaraacute sendo

C-l bdquoC 1-G-C C 1-G G h = A x V y p c k

P

colocando o coeficiente de k na forma (1-G) + l^j vem

h = A (x V y1 p ) C (ii c k - 1 ) 1 - 0 (x _ 1 k) P

u c hx p x VvC p xl-G k = A ( y gt ( k

ILJLJL = N

k Nu

y c N

e k Pr

p V x _

y N R e = N9 de Reynolds

Logo o fenocircmeno de convecccedilao forccedilada seratilde representado

por equaccedilotildees do tipo

f ( NNugt NPrlaquo N R e ) = 0

9 SIGNIFICADO FIacuteSICO DOS ADIMENSIONAIS

91 - Numero de Nusselt

N = bull h = 2L- _) Nu k AT v

v3 x x=0

eacute uma relaccedilatildeo entre o gradiente de temperatura junto a parede e a

12

variaccedilatildeo total da temperatura do fluido

92 - Numero de Prandtl

Pr = pp = 2 kpc a

P

Relaccedilatildeo entre viscosidade ci nemaacutetica v e a difusividade teacutermica a

93- Numero de Reynolds

N_ = amp Relaccedilatildeo entre as forccedilas de Re u - r bull

ineacutercia e as forccedilas viscosas que interferem no escoamento fluido

94 - Numero de Grashof

H = mdashmdash mdash^mdash 2 mdash amp a relaccedilatildeo entre o pro-u duto (forccedila de ineacutercia )

x (forccedila de empuxo) e o quadrado das forccedilas visshycosas que interferem na convecccedilao natural

11 EQUACcedilOtildeES DE CONVECCcedilAO FORCcedilADA

Por ser o caso mais importante na induacutestria soacute veremos

algumas equaccedilotildees para a convecccedilao forccedilada e deixaremos de lado a

convecccedilao natural por ser menos importante

Para cada tipo de escoamento para cada regime de transshy

ferecircncia de calor e para cada configuraccedilatildeo geomeacutetrica teremos uma

equaccedilatildeo com expoentes e coeficientes diferentes poreacutem sempre com

as mesmas trecircs variaacuteveis

Nbdquo N- N_ Nu Re Pr

Para resolver um problema de convecccedilao devemos antes

avaliar as propriedades do fluido essa avaliaccedilatildeo eacute feita considj

13

rando a temperatura media do fluido isto e a meacutedia aritmeacutetica da

temperatura entre um ponto do fluido junto agrave parede e um ponto onshy

de a temperatura do fluido seja constante longe da parede

Ha casos entretanto que na praacutetica trecircs adimensionais

so nao sao suficientes para expressar o fenocircmeno isto porque as

vezes ha uma propriedade que eacute muito sensiacutevel a uma pequena varia

ccedilao de temperatura logo para estes casos introduzem-se outros adi^

mensionais para levar em conta a dependecircncia dessa propriedade com

a temperatura

Todas as expressotildees foram obtidas experimentalmente A li

teratura especializada tem formulas para todos os tipos possiacuteveis

de geometria Vejamos alguns exemplos

101 ~ Convecccedilatildeo forccedilada sobre superfiacutecies planas

a) regime laminar ( N R g lt 400000)

N T = 0664 (N ) 1 f 2 (N ) 1 ^ 3

NuL ReL u Pr

b) regime turbulento ( N R g gt 400000)

NNuL deg 0 3 6 lt N P r ) 1 3 t gt R e L ) 0 8 1 8 7 deg deg ^

102 - Convecccedilatildeo forccedilada dentro de tubos ciliacutendricos

a) regime laminar (N_ ^ lt 2100) mdash Re D

i

b) regime turbulento Nbdquo _ gt 2100 mdash u Re D

N v _ = 0023 (N_ J 0 8 (Nbdquo ) n

NuD ReD Pr

14

n = 04 para fluido aquecendo

n =raquo 03 para fluido resfriando

Note-se que neste caso houve necessidade de considerar ou

tros adimensionais para aliar a anaacutelise dimensional agrave experiecircncia

no item a) dois outros adimensionais tiveram que ser acrescentados

(DL) e (up s)

Na expressatildeo 101 b) se o N critico for tomado como

sendo 5 x 10 (usado comumente) a expressatildeo usada eacute a mesma a me

nos do termo 18700 que passa a ser 23200

Devemos observar finalmente que estas expressotildees nao se

aplicam a metais liacutequidos e que elas nos datildeo nuacutemeros de Nussel meacuteshy

dios e natildeo locais

15

B - CONVECCcedilAtildeO COM MUDANCcedilA DE FASE - CONDENSACcedilAtildeO (I)

lo INTRODUCcedilAtildeO

Devemos considerar dois tipos de convecccedilao com mudanccedila de

fase que sao a condensaccedilatildeo e a evaporaccedilatildeo

Os problemas de convecccedilao de calor com mudanccedila de fase sao

tao importantes na industria como os de convecccedilao de uma uacutenica

faseraquo Os exemplos mais comuns de sua aplicaccedilatildeo sao os condensadoshy

res e evaporadores usados nos condicionadores de ar geladeiras

caldeiras etc

Neste capiacutetulo estudaremos apenas a condensaccedilatildeo

Os problemas de convecccedilao com fluidos condensando ou evashy

porando sao bem mais complexos que os demais processos de convecshy

ccedilao porque aleacutem de envolver variaacuteveis nao consideradas na conshy

vecccedilao de sistemas de uma so fase tecircm uma variaccedilatildeo nas propriedashy

des fiacutesicas de tal grandeza que essa variaccedilatildeo interfere decisiva

mente no fenocircmeno

2 CONDENSACcedilAtildeO

Eacute a passagem de um vapor para o estado liacutequido pela retishy

rada de calor

21 - Aspectos Gerais

A condensaccedilatildeo eacute realizada fazendo com que o fluido (vashy

por) entre em contato com uma superfiacutecie cuja temperatura esteja

abaixo da temperatura de saturaccedilatildeo do fluido correspondente atilde pres_

sao do vapor

0 coeficiente de peliacutecula relativo ao vapor de aacutegua satushy

rada que condensa sobre uma superfiacutecie fina eacute da ordem de grandeshy

za de 10000 kcalhrm^degC em casos excepcionais chega-se acirc valo-

16

res 50o000-100bdquo000 kcalhrm 2degC Isto eacute obtido a maneira pela

qual a condensaccedilatildeo se produz Ilaacute duas maneiras

1 - condensaccedilatildeo por peliacutecula daacute-se quando o liacutequido con

densado molha totalmente a parede formando urna peliacute

cula continua sobre a mesmaraquo

2 - condensaccedilatildeo por gotas daacute-se quando o liacutequido ao se

condensar rcune-se em gotas que crescem ateacute terem

peso suficiente para escoarenu

0 primeiro tipo eacute o mais comum e eacute o que daacute menor coefishy

ciente de peliacutecula porque a pelicula do liacutequido constitui uma re

sistencia adicional a passagem do calorraquo No segundo tipo chega-se

a coeficientes de pelicula muito maiores pelo fato do vapor estar

sempre em contato direto com a superficie resfriadura isto eacutepor

nao haver resistencia adicional

2o2 - Condiccedilotildees para termos condensaccedilatildeo por peliacutecula ou por

gotas

Sob o ponto de vista da transmissatildeo de calor deveriacuteamos

sempre preferir a condensaccedilatildeo por gotas pois como jaacute dissemos e

a que daacute maior eficiencia teacutermica Acontece poreacutem que tecnologji

camente eacute difiacutecil a obtenccedilatildeo da condensaccedilatildeo por gotas pois haacute

necessidade de termos um vapor puro urna superficie de resfriameii

to perfeitamente lisa (cromeada espelhada) e com resinas para fa

cilitar a formaccedilatildeo das gotas Tudo isso encareceria demais um con_

densador por isso eacute que na praacutetica usamos condensaccedilatildeo por peliacutecu

la quando podemos usar chapas ou tubos comerciais

So em casos muito especiais quando o espaccedilo eacute muito imshy

portante usa-se condensaccedilatildeo por gotas

2 3 - Remoccedilatildeo do Condensado

Um fator importante a considerar na condensaccedilatildeo eacute a remo

17

ccedilao do condensado que sempre se faz por gravidade Ha dois tipos

principais de superficies de condensaccedilatildeo

1 - Tubos ou placas verticais (ou encunadas)

2 - Tubos cilindricos horizontais

Nos tubos verticais a espessura da peliacutecula liacutequida aumen

tara do topo acirc base e com isso variaraacute ao longo do tubo o coefishy

ciente de peliacutecula loacutecalo

No caso dos tubos ciliacutendricos horizontais o liacutequido escoj

re pela parede lateral e goteja pela parte inferior natildeo havendo

possibilidade de formaccedilatildeo de camadas espessas do condensado

2raquo4 - Condensaccedilatildeo por peliacutecula sobre tubos verticais

Nusselt desenvolveu estudos analiacuteticos sobre condensaccedilatildeo

externa a tubos ciliacutendricos verticais partindo das hipoacuteteses

1 - A espessura da peliacutecula do condensado eacute nula na parte

superior do tubo e vai aumentando nas partes inferioshy

res por condensaccedil-ao e escorrimentoraquo

2 - 0 fluido escorre pela parede em regime laminar sob o

efeito combinado do seu peso e viscosidade

3 - A temperatura da camada mais interna do condensado tem

a temperatura da parederaquo

4 - A temperatura da camada mais externa tem a temperatushy

ra do vapor-

5 - A variaccedilatildeo da temperatura da camada do condensado em

sentido ortogonal agrave superfiacutecie do tubo eacute linear

6 - 0 vapor cede apenas seu calor latente

7 - A temperatura do tubo eacute uniforme e constanteraquo

8 - Nao haacute gases incondensaacuteveis no vapor (vapor puro)

Chegou a formula

18

2 3 g P - h L t

N j = 0943 ( r-EcircY~ ) 1 4 (l) NuL y bdquo k o At v

As propriedades da equaccedilatildeo (1) satildeo avaliadas agrave temperatu

ra meacutedia tm

c + t _ w sat

tm ~ onde

t = temperatura da parede

t = temperatura de saturaccedilatildeo do fluido S 3Lt

exceto o calor latente da vaporizaccedilatildeo b^ que deve ser avaliado agrave

temperatura de saturaccedilatildeo correspondente atilde pressatildeobdquo

Quando a superfiacutecie focircr inclinada vale o raciociacutenio de

Nusselt apenas o termo que atua na remoccedilatildeo do condensado natildeo eacute g

mas sim (g seno) sendo 6 a inclinaccedilatildeo da superfiacutecieraquo

Assim a equaccedilatildeo para estecaso seria

2 3 g o sene o p o h o L

NT _ = 0943 ( r~ y (2) NuL y o k o At w

25 - Efeitos a considerar na condensaccedilatildeo

Ha 3 efeitos importantes a considerar na condensaccedilatildeo que

Nusselt natildeo levou em conta sao eles

- efeito da turbulecircncia no filme liacutequidoraquo

- efeito dos gases incondensaveisraquo

- efeito da velocidade do vapor

251 - Efeito da turbulecircncia no filme liacutequido

As formulas anteriores servem para comprimentos de tubos

pequenos pois nesse caso a velocidade de escoamento do condenshy

sado natildeo eacute grande entretanto para superfiacutecies verticais longas

a peliacutecula torna-se bastante espessa e com velocidade grande deshy

mais para que o escoamento possa ser considerado em regime lamishy

nar

19

Nesse caso define-se o numero de Reynolds baseado na veshy

locidade da fase liacutequida isto eacute

p V 6

Nbdquo - m r

Rer y u

onde

V = velocidade do condensado na camada limite m 6 = espessura da camada limite

T = p V m 6 = descarga do condensado por unidade de largju

ra da superficie de condensaccedilatildeo

No calculo da determinaccedilatildeo de T haacute uma certa dificuldade

pois ele soacute pode ser determinado por iteraccedilatildeoraquo

Q = m c laquo A t = h A A t P

A = 2ir R bdquo L (para tubos)

m c = h o 2IumlIuml R laquo L P

m m braquoL _ p a _ _ li li

2TTR C c P P

Como noacutes nao sabemos o valor de h_ devemos inicialmente

adotar um V e obter atraveacutes da foacutermula

NNuL = deggt0134 (R PV L 3 gt 1 3 ( N R e r ) 0 4 ( 4 )

y

o valor de _h se os valores de h_ obtidos por (3) e (4) forem iguais

o problema esta resolvido caso contraacuterio fazem-se tantas iterashy

ccedilotildees quantas forem necessaacuterias

252 - Efeito dos gases incondensaacuteveis

A presenccedila de gases incondensaacuteveis reduz violentamente o

coeficiente de peliacutecula pois acirc medida que o vapor se condensa o

gaacutes nao condensaacutevel se acumula junto atilde superfiacutecie de resfriamento

20

formando uma barreira adicional S passagem do fluxo de calor

A reduccedilatildeo do coeficiente de peliacutecula que a presenccedila des_

ses gases causa depende da fraccedilatildeo em massa dos mesmos na mistu

ra gaacutes-vapor

Fizeram-se inuacutemeras experiecircncias e sobre o assunto a tiacute

tulo de exemplo vejamos o graacutefico abaixo onde temos em abcissas

o coeficiente de peliacutecula obtido experimentalmente e em ordenadas

a fraccedilatildeo de gases dissolvida jio vapor

5000

bullg- 4000 O

3OOO

2000

S 1000

4 6 8 10 12 lt|gt(lbm arlbm de vapor )x 10

Devemos notar a grande influecircncia dos gases incondensatilde-

veis por exemplo quando o vapor eacute puro nos temos um h = 4000se

tivermos apenas 1 de ar dissolvido o coeficiente de peliacutecula fishy

caraacute reduzido agrave metade isto ecirc h = 2000

Por isso nos condensadores sempre se coloca vapor ornais

puro possiacutevel

253 - Efeito da velocidade do vapor

Quando a velocidade do vapor junto agrave interface liacutequido-

-vapor natildeo focircr despreziacutevel surgem forccedilas de atrito entre o vapor

e o liacutequido Se a direccedilatildeo do fluxo do vapor coincide com a direshy

ccedilatildeo do movimento do liacutequido a velocidade do liacutequido aumenta (haacute

compressatildeo) e a espessura do filme liacutequido diminui e consequenshy

temente a transferecircncia teacutermica melhora pois haacute diminuiccedilatildeo da

resistecircncia teacutermica

Se entretanto a direccedilatildeo do vapor focircr contraacuteria a do fil

o 21 laquo

me de liquido ha uma tendecircncia de haver aumento da espessura da pj2

liacutecula diminuindo assim o valor de h

26 - Consideraccedilotildees sobre os resultados obtidos com as foacutermushy

las de Nusselt

Nota-se experimentalmente que os resultados obtidos pelas

equaccedilotildees de Nusselt sao em geral 10 a 20 inferiores do que os reshy

sultados reais Assim a favor da seguranccedila elas sao usadas e aaacuteo_

tadas Os motivos das discrepacircncias jaacute-foram ditas atraacutes no item

25

Devemos notar ainda que o valor de h obtido pelas foacutermushy

las anteriores e o valor meacutedio jaacute que h varia de ponto para ponto

e seria difiacutecil obter uma equaccedilatildeo que nos desse o valor de h locaL

2bdquo7 - Condensaccedilatildeo por peliacutecula externamente a tubos ciliacutendrishy

cos horizontais

0 mesmo estudo de Nusselt pode ser aplicado neste caso

baseado na hipoacutetese de que no topo do tubo a peliacutecula do condensashy

do tenha espessura nula Chega-se a expressatildeo

g p 2 h D 3 14

NT _ = 0725 ( ) (5) NuD u k o At

Analogamente ao caso anterior as propriedades do liacutequido

sao tomadas a

t + t w sat

tm = ^

exceto h que eacute tomado a t

ev n sat

Na situaccedilatildeo atual da tecnologia e possiacutevel obtermos tubos

com diacircmetros suficientemente pequenos para que tenhamos escoamenshy

to do condensado soacute em regime laminar

22

No caso de vaacuterios tubos empilhados a formula (5) deve

ser modificada pois como dissemos ela soacute vale quando no topo do

tubo a espessura do liacutequido eacute nula o que nao acontece neste caso

(Vide figura a)

Vapor

Tubo

mdash Liacutequido

Fig a

Neste caso a forma que nos da o valor meacutedio para h e

g p 2 h D 3 14

NNuD deg gt 7 2 5 lt N u k V At gt

sendo N o numero de tubos empilhados

Note-se que neste caso o coeficiente h cai bastante Uma

boa soluccedilatildeo para o caso quando dispoacuteftos de lugar eacute dispor os tushy

bos defasados (Conforme figura b)

Liquido

Fig b

Neste arranjo podemos aplicar a equaccedilatildeo (5) pois no tp_

po de cada tubo a espessura da camada de condensado eacute nula

23

B - CONVECCcedilAtildeO COM MUDANCcedilA DE FASE - EVAPORACcedilAtildeO (II)

1 INTRODUCcedilAtildeO

Evaporaccedilatildeo consiste na obtenccedilatildeo de vapor por meio de aque

cimento de um liacutequido

Apesar da importacircncia do processo e do sucesso obtido na

praacutetica em projetos de evaporadores o fenocircmeno da evaporaccedilatildeo eacute

um dos pontos menos conhecidos da transmissatildeo de calor

0 primeiro estudo seacuterio sobre o assunto foi feito em 1934

pelo japonecircs Nukiyama poreacutem somente nos uacuteltimos 10 anos tais es-

tudos se intensificaram

Os primeiros pesquisadores quando estudavam o fenocircmeno

do resfriamento de um solido num liacutequido obtiveram as seguintes

curvas

onde

temperatura

velocidade de resfriamento

3 0 v = amdashbull

A 06

Q - fluxo teacutermico

8 - tempo

A - aacuterea do soacutelido

24

tempo

Ateacute os estudos de Nukiyama nao se conseguia explicar o

porque da variaccedilatildeo crescente da velocidade de resfriamento quando

t gt t sol sat

2 PROCESSO DE FORMACcedilAtildeO DAS BOLHAS

Como a evaporaccedilatildeo do liacutequido se faz sobre uma superfiacutecie

aquecedora sobre esta irao se formar bolhas de vapor que influem

decisivamente no fenocircmeno

Aqui soacute iremos estudar as bolhas sob o ponto de vista qua

litativo bem como a sua influencia mas nao sob o ponto de vista

quantitativo

Recentemente Fritz e Jacob WR Gambill e outros estudiacutei

ram o processo da formaccedilatildeo das bolhas sobre a superfiacutecie aquecedpound

ra Atraveacutes de fotografias verificaram que a bolha de vapor ain

da em contato com a parede variava profundamente de forma confo_r

me o angulo de contato entre liacutequido e parede metaacutelica

Assim eacute que se a superfiacutecie de aquecimento nao e excesshy

sivamente polida e a tensatildeo superficial do liacutequido eacute pequena a

bolha tem a forma da figura las diz-se nesse caso que o liquishy

do molha a parede neste caso o angulo de contato e agudobull Se

as condiccedilotildees contrarias se verificarem o acircngulo de contato sera

obtuso e as bolhas tomam a forma da figura ldegb Naturalmente ve

rificara-se as condiccedilotildees intermediaacuterias para o angulo de contato da

25

fig lc

Fig la Fig lb Fig lo

0 estudo analiacutetico da formaccedilatildeo e crescimento das bolhas

pode ser encontrado em diversos livros por exemplo no El-Wakill

(Nuclear Power) no Jakob (Heat Transfer)e outros Neles faz-se

o estudo das condiccedilotildees do liquido (pressatildeo temperatura tensotildees

etc) para haver ou nao formaccedilatildeo de bolha Isto eacute feito fazendo-se

o estudo das bolhas nas seguintes posiccedilotildees

a) bolha no seio do liacutequido

para meia bolha

4 ltP g - P fgt fg

onde

P g P f

- 4 D (D

g

Pf

D

pressatildeo do vapor

pressatildeo do liquido

tensatildeo entre superfiacutecie do liacutequido e vapor

diacircmetro da bolha

^f g

P f Fig 2

26

A equaccedilatildeo (1) mostra que a pressatildeo do vapor deve ser maior

que a do liquido nas condiccedilotildees de saturaccedilatildeo e este por sua vez

deve estar no estado de superaquecimento o

b) bolhas sobre superfiacutecie solida

Fig 3

Condiccedilotildees para desprender

a mdash o_ + o_ cos a gs fs fg

tensatildeo na interfase liacutequida e vapor (depende das

propriedades do liacutequido e vapor)

tensatildeo entre o liacutequido e superfiacutecie de aquecimen

to (depende das propriedades do liquido e da sushy

perfiacutecie)

tensatildeo entre o vapor e a superfiacutecie de aquecimeri

to (depende das propriedades do vapor e da super

fiacutecie)

21 - Formas do fluxo do vapor desde a superfiacutecie de aquecishy

mento ateacute a superfiacutecie livre do liacutequido

Considerando liacutequido vaporizado em tubos verticais pode^

mos ter 4 tipos de fluxo de vapor

1 - fluxo de bolhas

2 - fluxo de agregados (plug ou slug)

3 - fluxo anular

4 - fluxo disperso

Os quatro tipos ficam bem determinados respectivamente

onde

a fg

degfs

a gs

27

pelas 4 figuras abaixo

LIacutequido - Liacutequido Liacutequido

o

^Bocirclha de

vapor

Vapor

mdash [

- Vapor

mdash 0 0

deg_ a-

jrj-

iquestiexcl5

Bolhas Agregados Anular

Liacutequido

vapor

Disperso ou

Homogecircneo

Conforme o tipo de ebuliccedilatildeo podemos ter uma so das forshy

mas acima ou uma mistura

3 INCERTEZAS NO ESTUDO DA EVAPORACcedilAtildeO

Ha trecircs incertezas principais para determinar o fluxo de

calor na evaporaccedilatildeo a saber

- Aacuterea de contato indefinida

- Diferenccedila de temperatura indefinida

- Grau de turbulecircncia

Como realmente nos nao sabemos uma dependecircncia algeacutebri

ca entre o acircngulo de contato e a superfiacutecie ocupada pelo liacutequishy

do (ou vapor) temos uma incerteza na determinaccedilatildeo da aacuterea de tro

ca de calor (A)

Outra incerteza eacute a dificuldade da obtenccedilatildeo de diferenccedila

de temperatura entre o liacutequido e a parede que normalmente assume-

-se como sendo a diferenccedila entre a temperatura da parede e da ebu

liccedilatildeo do liacutequido (temperatura de saturaccedilatildeo = t )

S cl c

Na realidade a diferenccedila de temperaturas nao eacute aquela

pois a camada de liacutequido que cobre a superfiacutecie aquecedora esta

a uma pressatildeo maior que o resto do liacutequido (pressatildeo atmosfeacuterica

mais a hidrostaacutetica) e consequentemente a temperatura de vaporiza_

ccedilao desse liacutequido e maior que a da superfiacutecie Esta diferenccedila po-

28

deria ser calculada desde que se conhecesse a relaccedilatildeo entre presshy

satildeo e temperatura de saturaccedilatildeo do liacutequido entretanto haacute incerte

za quanto ao verdadeiro peso especiacutefico da coluna de liacutequidopois

trata-se de uma mistura de bolhas de vapor e de liacutequido em proshy

porccedilatildeo variaacutevelraquo

4 REGIMES DE EBULICcedilAtildeO

Nukiyama estudando a ebuliccedilatildeo da aacutegua num recipiente a

quecendo-a com resistencias eleacutetricas construiu a curva baacutesica da

ebuliccedilatildeo Todos os liacutequidos apresentam uma curva semelhante vashy

riando apenas os valoresraquo Os pontos caracteriacutesticos da curva deshy

pendem de caracteriacutesticas difiacuteceis de definirtais como natureza

do metal estado da superficie (rugosidade) dimensotildees orientashy

ccedilatildeo do fluxo quantidade de gases dissolvidos e t c

Estudaremos o fenocircmeno para o caso de aacutegua destiladasem

gas dissolvido a temperatura de saturaccedilatildeo 100 C pressatildeo atmosfe_

re uma superficie plana

Chega-se assim acirc curva

rica sobre uma superficie plana horizontal a temperatura t^

In ltJgt

At (degC)

A curva acima representa o aquecimento de agua com uma re_

sistecircncia eleacutetrica (ate ebuliccedilatildeo)raquo Temos em abcissas as diferenccedilas

de temperatura entre o liacutequido e a resistecircncia em ordenadas o flu

29

Regiatildeo I

Regiatildeo II

Regiatildeo III

Regiatildeo IV

xo de calor por unidade de area

Na curva notam-se 4 regiotildees bem definidas tendo cada uma

o seu significado fiacutesico os quais correspondem a um tipo de ebuli

ccedilao

convecccedilao natural

ebuliccedilatildeo nucleada

ebuliccedilatildeo por peliacutecula parcial

ebuliccedilatildeo por peliacutecula estaacutevel

41 - Convecccedilao natural

Ocorre quando At eacute inferior a 8degCformam-se no liacutequido

correntes convectivas as quais transferem o calor ateacute a superfiacuteshy

cie livre do liacutequido e aiacute desprendendo o vapor Neste caso o valor

de h eacute da ordem de 2000 kcalm^hdegC

42 - Ebuliccedilatildeo nucleada

Ocorre quando o At eacute maior que 8degC e menor que 25degC Nesshy

te caso as bolhas formam-se junto a superfiacutecie de aquecimento

crescem liberam-se movimentam-se em direccedilatildeo agrave superfiacutecie livre do

liacutequido onde estouram libertando o vapor As bolhas formam-se nas

irregularidades da parede tecircm um acircngulo de contato agudo e porshy

tanto hatilde liacutequido sempre em contado com a parede (molha a parede)

cada ponto ativo (lugar onde se formam as bolhas) libera uma porshy

ccedilatildeo de bolhas e os outros pontos do liacutequido ficam em contato com a

superfiacutecie quente violentamente agitados Esta agitaccedilatildeo extrema eacute

mais eficaz que uma turbulecircncia criada artificialmente Por esse mo

tivo a curva cresce violentamente nesse trecho (m = 3 a 7) pois

bull 2 o o valor de h cresce consideravelmente (ate 46000 kcalm hr C) e

o fluxo teacutermico transmitido ao liacutequido cresce proporcionalmente a

Quando cresce crescem tambeacutem

(At) 3

30

numero de bolhas por unidade de aacuterea (num instanshy

te)

~ = crescimento da bolha (com o tempo)

frequecircncia de iacuteormaccedilao de bolhas

A medida que o At vai aumentando iraacute aumentando (jgt tam-- n o N

bem e consequentemente mdash R mdash a a a tal ponto que quando atiacuteii

girmos o ponto da curva nao haveraacute mais formaccedilatildeo de bolhas

mas sim uma peliacutecula de vapor instaacutevel passando assim a 3a re

giao que estudaremos a seguir

43 - Ebuliccedilatildeo por peliacutecula parcial

Como dissemos no item anterior se aumentarmos ainda mais

o At (entre 25degC e 125degC) teremos a formaccedilatildeo de uma peliacutecula de

vapor instaacutevel sobre a superfiacutecie quente que aacutes vezes eacute perfurashy

da pelo liacutequido A camada de vapor tanto mais estaacutevel seraacute quanshy

to maior focircr o At Essa peliacutecula de vapor iraacute provocar um decreacutes_

cimo consideraacutevel no fluxo teacutermico porque como sabemos o vapor

eacute muito pior condutor que a aacuteguaraquo

0 fluxo vai decrescendo ateacute um ponto miacutenimo (iexclgt mintilde (as vecirc

iacutebo bullraquo 1

zes chega a ser mdashj-) e e o chamado ponto de Liedenfrost 0 coeshy

ficiente de peliacutecula neste caso cai violentamente (h = 2000

kcalm^hrdegC)

44 - Ebuliccedilatildeo por peliacutecula estaacutevel

Aumentando ainda mais a diferenccedila de temperaturas

At ( gt 125degC) iremos conseguir uma camada de vapor estaacutevel Ela

transmite calor da superfiacutecie quente ao liacutequido que se vaporiza de

modo que o excesso de vapor formado na interface liquido-vapor for

ma bolhas que sobem para a superfiacutecie 0 liacutequido encontra-se agi-

31

tado poreacutem nao toma contato com a superfiacutecie soacutelida

A peliacutecula de vapor eacute estaacutevel e o fluxo eacute proporcional a

34

(At) (lei de Bromley) Para At grandes passa a influir sensivel^

mente a radiaccedilatildeo teacutermica mais uma razatildeo para demonstrar que nesshy

ta regiatildeo o fluxo cresce novamente

5 CONSIDERACcedilOtildeES E COMPARACcedilAtildeO ENTRE OS TIPOS DE EVAPORACcedilAtildeO

BURNOUT

Sob o ponto de vista de eficiecircncia teacutermica deveriacuteamos sem

pre trabalhar no ponto de fluxo maacuteximo isto eacute no ponto correspon

dente a lt(gt da curva de Nukiyama pois eacute o que daacute maior coeficieri

te de peliacutecula

Acontece poreacutem que se impomos a temperatura da parede

fixa obtemos um uacutenico valor de lt(gt e portanto o fenocircmeno eacute estaacutevel

Poreacutem se como ocorre nos reatores impomos um fluxo teacuter

mico a curva de Nukiyama apresenta 3 pontos de funcionamento posshy

siacuteveis A B C

1

SOacute os pontos A e C sao funccedilotildees estaacuteveis mas eles impotildeem

acirc superfiacutecie quente temperaturas bem diferentes

Na industria em geral trabalha-se por questotildees de segushy

ranccedila na regiatildeo IV da curva poreacutem para os reatores trabalha-se na

32

r e g i atilde o I I

0 p r o b l e m a de t r a b a l h a r n a r e g i atilde o II eacute q u e se n oacute s e s t i shy

v e r m o s t r a b a l h a n d o n o p o n t o e x t r e m o (j) e se p o r q u a l q u e r m o t i v o

h o u v e r u m p e q u e n o a c r eacute s c i m o d e ltfgt i r e m o s t r a b a l h a r i m e d i a t a m e n t e no

p o n t o M q u e t e m o m e s m o $-^0t p o r eacute m c o m A t 2 m u i t a s v e z e s m a i o r

p o d e n d o o c a s i o n a r a f u s atilde o d a s u p e r f iacute c i e a q u e c e d o r a E s t e f e n ocirc m e n o

eacute c h a m a d o d e b u r n o u t

0 f l u x o lttgt eacute c h a m a d o f l u x o c r iacute t i c o o u f l u x o d e b u r -b o

n o u t N o c a s o do r e a t o r d e v e m s e r t o m a d a s m e d i d a s r i g o r o s a s q u a n

to agrave r e g u l a g e m do f l u x o t eacute r m i c o p a r a q u e n atilde o o c o r r a o b u r n o u t 1 1

p o i s d e l e p o d e r e s u l t a r r u p t u r a d a c a m i s a do c o m b u s t iacute v e l e h a v e shy

r aacute p o r t a n t o c o n t a t o do r e f r i g e r a n t e c o m o s s oacute l i d o s e g a s e s r a shy

d i o a t i v o s

5 o l - R e l a ccedil atilde o d e B u r n o u t

E c l a r o q u e p a r a t e r m o s u m r e a t o r m a i s e f i c i e n t e d e v e shy

m o s t r a b a l h a r c o m u m f l u x o o m a i s p r oacute x i m o p o s s iacute v e l do f l u x o d e

B u r n o u t P a r a t a n t o d e v e m o s c o n h e c e r c o m o m a i o r g r a u d e certe

za p o s s iacute v e l q u a l o ^ p a r a p o d e r m o s r e d u z i r o c o e f i c i e n t e d e s e shy

g u r a n ccedil a ( W R G a m b i l l r e c o m e n d a agrave 1 5 )

N o s s e m i n aacute r i o s d e W R G a m b i l l e n c o n t r a m o s u m a s eacute r i e de

b i b l i o g r a f i a s o n d e p o d e m o s e n c o n t r a r i n uacute m e r a s f oacute r m u l a s p r o p o s t a s

p a r a a o b t e n ccedil atilde o de (q 1^)

A t i t u l o d e e x e m p l o v e j a m o s a l g u m a s

q - 2 7 0 G deg gt 8 5 D 0 2 A085 p lt 150

deg D ( L uuml ) 2

q - 140 G 0 5 D ~ deg 2 (-~-)~deg 1 5 p ~ r gt 150 c D (LD)

o n d e a m b a s as e q u a ccedil otilde e s s oacute v a l e m p a r a aacute g u a e m b a i x a p r e s s atilde o e m coii

v e c ccedil a o f o r ccedil a d a

33

D

L

fluxo teacutermico critico BTUhrft bdquo 2

descarga em massa do liquido (Ibmhrft )

diacircmetro do tubo ft

comp do tubo ft

Para cada caso temos uma expressatildeo diferente que pode ser

encontrada em literatura especializada

6 INFLUEcircNCIA DE OUTROS PARAcircMETROS NO FLUXO DE BURNOUT

Como para os usos atuais do reator a diferenccedila de temppound

ratura entre parede e fluido sao pequenas bem como o fluxo de bur

nout recentemente fiacutesicos como Jakob Bonilla WR Gambill estu

daram outros paracircmetros que influenciam bastante o sect^ 0gt isto eacute a

influecircncia desses paracircmetros faz com que o ^ seja maior Isto eacute

util pois quanto maior o fluxo de burnout maior poderaacute ser o

fluxo de calor real de funcionamento

Tais meios sao

- Sub-resfriamenCcedilo do liacutequido

61 - Influecircncia da velocidade do liacutequido

Estudos feitos pelos autores acima chegaram agraves curvas

- Aumento da velocidade imposta ao liacutequido

- Pressatildeo do liacutequido elevada

alto V

At

34

Para velocidades maiores o fluxo de burnout aumenta

porque neste caso o regime eacute turbulento e o coeficiente de peliacute

cuia h aumentao

6bdquo2 - Influencia do aumento da pressatildeo

Este estudo deve-se a Bonilla que obteve experimentalmen

te as curvas

Este estudo foi feito para vaacuterios liacutequidos e chegou a con

clusao que sempre havia uma pressatildeo oacutetima isto e uma pressatildeo que

leva ao maior iacute 1 ^ raquo mantidas as demais condiccedilotildees Experimentalmenshy

te notou que essa pressatildeo correspondia a 13 da pressatildeo critica

do liquido em questatildeo

6=3 - Influecircncia do sub-resfriamento

Consiste em manter atilde custa de uma circulaccedilatildeo intensa o

liacutequido a uma temperatura inferior atilde de saturaccedilatildeo para a pressatildeo

correspondenteraquo Experimentalmente chega-se agraves curvas

mdash A t grande sub

bullAt -0 sub sub

medio

At

35

Verificando os graacuteficos vemos que o lt)gt aumenta agrave medida bo

que aumenta a diferenccedila de temperatura de sub-resf riamento isto pojr

que o liquido como estaacute mais frio faz com que algumas das bolhas

recondensem permitindo que o liquido fique em contato com a parede

quente o que faz aumentar o h

^ f csub = t e m P e r a t u r a ddeg liacutequido - temperatura de saturaccedilatildeo

A diferenccedila de temperatura At entre fluido e parede tamshy

beacutem aumenta poit na regiatildeo proacutexima agrave parede haacute necessidade de

levar o liacutequido da temperatura do sub-resfriamento ateacute a temperatu

ra de saturaccedilatildeo quando se evapora

Atualmente os maiores estudos dos fiacutesicos nucleares locashy

lizam-se neste campo pois eacute o que oferece maiores vantagens

7 FORMULAS PARA 0 CAacuteLCULO DO COEFICIENTE DE PELIacuteCULA NA EBULICcedilAtildeO

Como ocorre no caacutelculo de todas as foacutermulas de convecccedilatildeo

temos formulas empiacutericas para determinar o h conforme o tipo de

ebuliccedilatildeo que nos consideramos

71 - Ebuliccedilatildeo Nucleada

Para o caso de aacutegua temos as relaccedilotildees

superfiacutecies

horizontais

superfiacutecies

verticais

f aacute 5000 BTUhrft 2 -gtbull h = 151 ( A t ) 1 3

A o

5000 lt 75000 -h = 0618 (At)3

^ pound 1000 -raquobull h = 8 7 ( A t ) 1 7

A o -

1000 lt $ lt 20000 -gt h = 027 (At) A o

Quando a pressatildeo e diferente da atmosfeacuterica faz-se a correccedilatildeo

3 6

72 - Ebuliccedilatildeo por peliacutecula

Bromley propocircs uma boa equaccedilatildeo para a ebuliccedilatildeo por peliacuteshy

cula estaacutevel em cilindros horizontais

Nu

_ JtjD n r 9 P v bull ( P L - P v gt - g -h

e V bull D i2

D 1 ^ U b Z u At gt

onde

V = indica vapor

L = indica liacutequido

Multiplicando ambos os membros da equaccedilatildeo acima por

kvD obteremos a expressatildeo do coeficiente de convecccedilagraveo meacutedio para

o caso

37

C - FORMULAS PARA CAacuteLCULOS ESPECIacuteFICOS - RESULTADOS ESPECIacuteFICOS

1 FLUXO DE CALOR CRIacuteTICO - BURNOUT

lol - Introduccedilatildeo

O aspecto mais importante no que se refere agrave seguranccedila

dos reatores da transferencia de calor na ebuliccedilatildeo eacute a determina

ccedilatildeo do Fluxo de calor critico ou de pico ou burnout

Como jatilde vimos quando temos a ebuliccedilatildeo nucleada a dishy

ferenccedila de temperatura entre refrigerante e superfiacutecie de aqueci

mento e pequena poreacutem quando atingimos o fluxo de calor criacutetico

essa diferenccedila de temperatura pode tornar-se imediatamente muishy

to grande podendo causar a ruptura da superfiacutecie de aquecimento

se atiigirmos o ponto de fusatildeo do soacutelidoraquo

Usando a convecccedilao

onde

At sat

w

sat At

sub

w = temperatura da parede de aquecimento

t t = temperatura de saturaccedilatildeo do liacutequido

t^ = temperatura de mistura do liacutequido

At = (t -t ) sub-resfriamento do liacutequido sub N sat b 1

nout

Ha dois tipos de burnout fast burnout e slow bur-

Ocorre o fast burnout (burnout raacutepido) quando A t g u b gt 0

38

ou para baixo x (~ lt 10) sendo x o titulo do vapor

Temos o slow burnout para x - gt 10 Assim noacutes tereshy

mos dois limites para o burnout

At bull o (ltJgt ) t =((() para t = t ) -

bo m m possiacutevel w sat

sub i

4L + 1

G c D h pl nb

(ltK ) = (ltpound para x = 1) = Dv-bo max possiacutevel e 4L

c At l + P 1 sub i

onde

L = comprimento do canal

D = diacircmetro do tubo

G = descarga de liacutequido (por unidade de aacuterea)

c ^ = calor especiacutefico do liacutequido

Agrave = calor latente de vaporizaccedilatildeo

h ^ = coeficiente de transferecircncia de calor na regiatildeo de

nao ebuliccedilatildeo

iacutendices

i = entrada

e = saiacuteda

Haacute inuacutemeras expressotildees para determinaccedilatildeo do burnout pro

postas por muitos fisicos cada uma aplicando-se a um caso especiacuteshy

fico vejamos algumas delas

12 - Equaccedilotildees para prediccedilatildeo de Burnout

121 - Equaccedilatildeo de Bragg e Smith (Zuber)

Num artigo publicado por Bragg e Smith encontramos uma f oacute_r

mula que e derivada da formula de Kutateladze e nos daacute o fluxo cri

39

tico quando nao temos sufaresfriamento

bo poolsat v V raquoc a ( p l P V )

2 PV

14

onde

ltiexclgt = fluxo de calor critico bo

k = constante

Ly = calor latente de vaporizaccedilatildeo do refrigerante

= densidade do liquido

pvr = densidade do vapor V a = tensao superficial

g = fator de conversatildeo c

a = aceleraccedilatildeo da superficie de aquecimento

Os autores encontraram para k um valor de 062 entreten

to outros autores como Zuber incluindo outras variaacuteveis que In

fluiam no fenocircmeno encontraram k variando entre 008 e 023Esshy

tudos bem elaborados mostram que o valor mais aproximado eacute

k = 015 (- 003)

1-22 - Equaccedilatildeo de Noyes

Noyes estudou o burnout para o soacutedio agua e alguns liacute

quidos orgacircnicos

( W s a t ~ bdquo 0245 bull ( r ( 1 )

iiacute_ V 1 Pr

onde

N n = Nuacutemero de Prandtl da fase liacutequida x r

Mais tarde o proacuteprio Noyes alterou a equaccedilatildeo para

n ^ - n H Iacute I Pl PV gt0538 deg g c a q 4 ( W s a t deg 1 1 6 PV ( - p 7 ~ ) (77T1^ ) ( 2 )

40

A ultima correlaccedilatildeo proposta por Noyes foi

a n prPV0560 112

1

(a bull a) 13

(ag c) 112

(3)

onde

a = difusividade teacutermica do liacutequidoraquo A equaccedilatildeo (3) eacute bashy

seada em todos os dados de burnouts do soacutedio bem

como da atildegua benzeno difenil e outros De 111 pontos usados 90

+ estatildeo relacionados dentro de - 30bdquo

ldeg2o3 - Burnout com convecccedilao forccedilada e sub-resfriamen

to

Aproveitando os resultados de aproximadamente 240 testes

de burnouts com aacutegua sub-resfriada em fluxo de convecccedilao forccedilashy

da feitos na Ruacutessia Labuntsov elaborou uma boa equaccedilatildeo empiacuterica

para o problemabdquo

Esta relaccedilatildeo aplica-se para velocidades entre 2 3 e 148

ftsec pressotildees entre 1 e 201 atmabs sub-resfriamento entre 0 deg

e 432 degF e fluxos de burnout entre 0 4 x IO 6 x 166 x 1 0 6 BTUhr

2 bdquo

bullbo

onde

e a seguinte

6 ( P ) 1 + 0 2 3 2 V 2

14

e ( P ) 1 +

15 c At _p_ sub

12 (a)

9 ( P ) - P 1 3 o ( 1 - P J 4 3

red

= pressatildeo (atm abs)

pressatildeo reduzida = mdash mdash red r P

t_ c = pressatildeo critica

= velocidade do liacutequido (ftsec)

= calor especiacutefico do liacutequido (BTUlbdegF)

4 1

^ tsub = ^ ^ e r e n Ccedil a ^ e temperatura entre a temperatura de

mistura do liacutequido e a de saturaccedilatildeo (degF)

X = calor latente de vaporizaccedilatildeo (BTUlb) 2

ltiacutegtbo = fluxo de burnout (BTUhrfl )

Uma outra correlaccedilatildeo para o caso foi proposta por

Ornatsky e Xiohigin que fizeram experiecircncias para pressotildees entre

10 e 1 5 0 3xm 90 degF lt At ^ lt 4 5 0 deg F 3 7 1 0 6 ( l b h r o f t 2 ) lt G lt

2 2 2 10 b ( l b h r bdquo f t 2 )

lt ^ = 3 2 5 0 (G o A t bdquo J deg 6 ( - i - ^ ) 2 5 ( b ) bo sub

onde

G - descarga de refrigerante por unidade de aacuterea

P ^ v P v - densidades do liacutequido e do vapor

P1~ PV -0 termo (mdash ) e incluido na expressatildeo (b) para indicar

a influecircncia da ^ pressatildeo sobre o

Uma comparaccedilatildeo entre as equaccedilotildees (a) e (b) foi feita para

o Reator de Isoacutetopos de Alto Fluxo (HFIR) nas condiccedilotildees aacutegua a

600 psia velocidade = 45 ftsec e sub-resfriamento = At^^ 1

degF obtendo-se uma diferenccedila de 6 5 entre ambos (4gt = 6 0 5 1 0 b

2 ~ 6 2 BTUhr ft pela equaccedilatildeo (a) e 6 4 5 10 3TUhrraquoft pela equaccedilatildeo

(b)

Ilatilde ainda a equaccedilatildeo de Ivey e Morris aplicaacutevel somente pa_

ra ebuliccedilatildeo com grande quantidade de liacutequido

( c sub t

Cpf bull A tsub

( bull ) s ~ V P bdquo 10 h V sat V g

onde

(ltL ) = fluxo critico com sub-resfriamento c sub

(ograve ) ^ - fluxo critico sem sub-resfriamento c sat

42

c ^ = calor especiacutefico do liacutequido

= calor latente de vaporizaccedilatildeo

124 - Burnout com convecccedilao forccedilada e ebuliccedilatildeo por bocirc-

Ihas

Gambill fez uma extensatildeo da equaccedilatildeo de Levy e aplicou o

metqdo da superposiccedilatildeo Tal extensatildeo consiste natilde subtraccedilatildeo de uma

razatildeo equivalente de massa transferida dos termos que represenshy

tam a ebuliccedilatildeo e convecccedilao para levar em conta a presenccedila do vashy

por no fluxo

A correlaccedilatildeo pode ser escrita assim

24 V P V

o g c a (p^Py) 14

+ 0696 (k p c ) 12

(

pr p v )i4 o g c a (P-L-Py) 18

bull At + h sub nb

044 p v L v G (g1) bull N2 n

p l P V

( pr p v ) d e 2-7

2 4 TT 0

14 ( f e _ ^ r l 3

lO^u

onde

k = condutividade teacutermica

c = calor especiacutefico

A t s u b ~ s ub-resfriamento do liacutequido

h = coeficiente de transferecircncia de calor de nao ebu nb mdash

liccedilatildeo

G = descarga total do refrigerante

43

d g = diacircmetro equivalente do tubo ou canalraquo

]i = viscosidade

B = constante adimensional

Os iacutendices V e 1 representam vapor e liacutequido respectiva

mente

0 primeiro termo entre chaves da equaccedilatildeo representa o flu

xo de calor no burnout de sub-resfriamento em convecccedilao forccedilada 0

segundo termo entre chaves corresponde ao fluxo de calor transferi^

do para a massa da fase vapor

1-25 - Burnout por Bloqueio da Base

Ocorre quando a profundidade do recipiente eacute muito maior

que a largura 0 bloqueio da base eacute causado pela formaccedilatildeo de uma pe_

licula de vapor na base impedindo que o liacutequido toque o fundo do

recipiente

i De

Este eacute o burnout por flooding isto eacute burnout por expul

sao do liacutequido Uma equaccedilatildeo que nos dacirc o fluxo minimo do burnout

parao caso eacute

44

onde

D g = diacircmetro equivalente

L = comprimento do tubo

= calor de vaporizaccedilatildeo

p^Py Ap = densidade do liacutequido do vapor e diferenccedila en

tre ambos

Para um fluxo de calor maior ou igual ao dado pela expres_

sao acima (mantida a mesma geometria) teremos burnout Para um deshy

terminado fluxo existiratildeo sempre um comprimento L e um diacircmetro equi

valente D e para os quais temos burnout Exemplo

L (in) D e(in)

10 11

100 51

1000 235

2 RESULTADOS ESPECIacuteFICOS - FOacuteRMULAS PARA CAacuteLCULOS ESPECIacuteFICOS

21 - Diferenccedila de temperatura At i

13 a t

sat

At sat

poundatildeJL_ raquo t - t J p T T 6 w sat

onde

o laquo tensatildeo superficial entre liquido e vapor

t - temperatura de saturaccedilatildeo do liacutequido para a corres-Scl t

pondente pressatildeo

J equivalente mecacircnico do calor

X laquobull calor latente de vaporizaccedilatildeo

py = densidade do vapor

6 = espessura da camada de liacutequido superaquecido onde

45

k l

h nc

onde

k^ = condutividade teacutermica do liacutequido

h = coeficiente de peliacutecula nc r

Segundo Eckent h ^ c e dado por

P 2 Q

nc 3 V VP + 0952

r

onde

D = diacircmetro equivalente

G r = numero de Grashoff

P = nuacutemero de Pradtl

2 o 2 - Velocidade das bolhas

A velocidade das bolhas em meacutedia pode ser dada pela exshy

pressatildeo

V bdquo = Iacute ( a bull B Apl4 bolhas 5 ^ 2

p l onde

AP = P L - P v

Expressatildeo que vale quando a aceleraccedilatildeo eacute a da gravidade

baixa viscosidade do liacutequido e bolhas separadas

Vbolha = f t s e atilde m a x para aacutegua

2 bdquo3 - Diacircmetro das bolhas

2gc deg 12 D = 0015 3 ( mdash mdash 7 ~ ) d g Ap

5 =

46

onde

8 = acircngulo de contato (20 a 90deg) geralmente assume-O -1

-se igual a 50 para a agua em contato com metal

24 - Coeficiente de peliacutecula na ebuliccedilatildeo nucleada

a) Equaccedilatildeo de Rohsenow

Esta equaccedilatildeo nos datilde o fluxo de calor q na ebuliccedilatildeo nushy

cleadaraquo E oacutetima expressatildeo para muitos liacutequidos o efeito da presshy

satildeo eacute levado em conta na variaccedilatildeo das propriedadesraquo

Pf

fg

sat 17 = c

sg k y f h f g g( P f-p g)

n033

onae

Pf

fg

Pf Pg c sg

= fluxo de calor requerido (BTUhr0ft^)

= calor especiacutefico do liacutequido saturado (BTUlbm0F)

= calor latente de vaporizaccedilatildeo (BTULbm)

= nuacutemero de Prandtl

= viscosidade do liacutequido (lbrahrraquoft) ~ 8 2

= fator de conversatildeo 417 10 Ibmftlbflaquohr 2

= aceleraccedilatildeo da gravidade (fthr )

= tensatildeo superficial na interface liacutequida vapor

(lbfft) 3

densidade do liquido e vapor (lbmft )

constante adimensiacuteonal que depende de vaacuterios fashy

tores dentre os quais o grau de aquecimento en_

tre o fluido e a superfiacutecie de aquecimento e o

mais importanteraquo Independe da pressatildeo do sistema b) Equaccedilatildeo de Levy

Equaccedilatildeo valida para a aacutegua quando 100 lt p lt 2000 psiacutea

47

43 bdquo3

qu bdquo gat ^ T J h r t f t ^

495

25 - Calculo do fluxo de calor no Ponto de Leidenfrost

0 ponto de Leidenfrost como vimos eacute o ponto em que oflu

xo de calor comeccedila ncamente a crescer isto eacute o ponto onde termal

aa a ebuliccedilatildeo instaacutevel e comeccedila a ebuliccedilatildeo por peliacutecula estaacutevel Eacute

o chanado fluxo miacutenimo (egrave ) m m

Aproximadamente quando A t g u k = 0 temos

A _ mdash _ mdash (Gambill) m m 5

Ha entretanto varias expressotildees para determinar esse flu

xo eis uma delas

A p 14 ltjgt = 009 h pbdquo (o raquo g mdash ) y m m fg P V deg 2

p l

26 - caacutelculo do fluxo de calor na regiatildeo de ebuliccedilatildeo por peliacute

cuia estaacutevel

para cilindros jmdashi i li

_ D 0172 k-V - P V A p h l V bull S 14 li - = 062 (mdashmdash) (- j- r rmdash) convecccedilao A 0 ybdquo (t -t )

c V w sat

onde

= condutividade do vapor

- 2 TT ( mdash )

c gAp Vl = significam vapor e liacutequido respectivamente

para paredes verticais

L 0172 S deg7 A p bull hlV S q 4 h - - 080 (-^-)J- (-Iuml - Iacutemdash-convecccedilao X L u (t - t J)

c V w sat

48

Como nesta regiatildeo jaacute haacute nina influecircncia marcante da radia

ccedilao devemos levar en conta tambeacutem o coeficiente de peliacutecula de

vido a radiaccedilatildeo para determinar o coeficiente de peliacutecula total

Dos estudos atildea radiaccedilatildeo temos

h = a F pound(T 4 - T 4 J ( T ~ T ) rad w sat w sat

onde amp _ emissividade de superfiacutecie

a = constante de Stefan-Boltzman

F = fator de forma

Segundo WE Gambill o coeficiente de transmissatildeo total

ceve ser

3 iacutei = h + -7 h para h lt h t conv 4 rad r rad conv

Na expressatildeo acima existe o fator 34 porque a radiaccedilatildeo

faz variar um pouco a espessura do filme de vapor reduzindo asshy

sim o l l

conv

Quando tivermos h gt h gt o h^ ^ seraacute rad conv total

h f c = h + h t conv rad

Neste ultimo caso nao ha nenhum coeficiente porque a peshy

liacutecula de vapor jaacute eacute estaacutevel

27 - Grandezas caracteriacutesticas para a apua

Para pressatildeo igual a 1 atm = 1422 psia

At ^ = t - t = 5degC (iniacutecio da ebuliccedilatildeo nucleada) sat w sat 1

At t = 30degC sat crit

49

5 2 $ = 4 10 BTUhrft (para pressatildeo 1 atm)

0 fluxo critico cresce como vimos com a pressatildeo ate

atingir o maacuteximo quando a pressatildeo eacute aproximadamente 13 da pressatildeo

criacutetica Esse fluxo eacute

bull = 13 IO 6 BTUhrft 2 para p = 11000 psia (p pound = 32062 psia)

Ainda temos que para pressatildeo igual a 15 psia

h b o = 11000 BTUhrft degF - ebuliccedilatildeo nucleada

h f b = 30 BTUhrft 2 degF - ebuliccedilatildeo pelicular

Todos os resultados e formulas para caacutelculos especiacuteficos

apresentados nos itens 21 22 23 ateacute 27 sacirco aplicados somente

para sistemas onde haja ebuliccedilatildeo com grande quantidade de liquido

51

D - HIDRODINAcircMICA DOS SISTEMAS E QUEDA

DE PRESSAtildeO DENTRO DE UM CANAL

1 HIDRO-DINAcircMICA E QUEDA DE PRESSAtildeO

11 - Hidro-dinacircmica dos sistemas estaacuteveis

111 - Regimes de escoamento

A evoluccedilatildeo do escoamento ao longo de um canal aquecedor

de secccedilatildeo constante ciliacutendrico pode ser esquematizada pela figushy

ra 1 onde temos em abcissa o comprimento z do canal e em ordenada

a temperatura (T)

52

Na figura 1 nos representamos

a) 0 aspecto do escoamento fluido quando a entalpia do

- fluido aumenta Verificamos que o fluido entra no cashy

nal no estado liacutequido e assim permanece ateacute atingirmos a zona de

ebuliccedilatildeo local onde aparecem as primeiras bolhas A entalpia do

fluido continua aumentando e tem inicioa ebuliccedilatildeo franccedila onde as

bolhas se unem formando agregados posteriormente o escoamento to

ma a forma da figura ou seja torna-se anular disperso Finalmente

atingimos duas uacuteltimas fases do escoamento disperso (vapor uacutemido)

e vapor seco

b) A evoluccedilatildeo da temperatura meacutedia do fluido e da tempeshy

ratura da parede Note-se que a partir da cota a

temperatura da parede aumenta brutalmente podendo causar o

burnout

c) A evoluccedilatildeo do tiacutetulo do vapor (x) com o comprimento

do tubo e a evoluccedilatildeo da fraccedilatildeo (a) que definiremos no

item 11laquo2 com o comprimento do tubo

112 - Definiccedilotildees

a) Tiacutetulo ou qualidade do vapor (x)

massa de vapor na mistura x ~ massa total da mistura

x =

W _g_

g f

b) Fraccedilatildeo vazio (void fraction)

volume do vapor na mistura a = volume total da mistura (agua+vapor)

A relaccedilatildeo entre x e a num sistema parado pode ser obtida

assumindo um certo volume contendo 1 lbm de mistura em equiliacutebrio

teacutermicoraquo

53

O volume da mistura seraacute igual a (v + xv ) ft onde v eacute 3 r rg

o volume especifico (lbmft )

f - refere-se ao liquido

g - refere-se ao vapor

fg - refere-se a diferenccedila entre liacutequido e vapor

Numa mistura em equiliacutebrio se o liacutequido e o vapor estatildeo

saturados o volume do vapor presente eacute igual acirc sua massa vezes

seu volume especiacutefico v assim e

xv bdquo bdquo a mdash

V c + XV c

f gf

onde

- bull-bull uumlutiacuteisa vapor na mistura de 1 Ibm

v volume especiacutefico do liacutequido

v = volume especiacutefico do vapor o

V c = v - V

gf 8 r

Fazendo uma transformaccedilatildeo na expressatildeo acima temos

xv xv JS = Z-

v r+ x(v -v c) xv +(l-x)v t ri f g f g f 1 + Ul-x)xjv fv

1 + C(l-x)x]]vfvg

A fraccedilatildeo vazia tem a influencia de baixar a reatividade

do nuacutecleo nos reatores em que o refrigerante eacute tambeacutem moderador

Na equaccedilatildeo acima os valores de x e v sao tomados em tabe

las termodinacircmicas apropriadas para a pressatildeo do sistema A equashy

ccedilatildeo (1) mostra os grandes valores de a para pequenos valores de x

especialmente para baixas pressotildees Isto ocorre porqueaumentando

54

aacute pressatildeo o v decresce muito enquanto que o v f eacute mais ou menos da

mesma ordem de grandeza

Exemplo Calcular o a correspondente para x raquo 2 para aacutegua

leve atilde pressatildeo atmosfeacuterica

Da tabela para p laquobull 1 atm

v - 001672 ft 3lbm e v - 26800 ft 3lbm

1 + [(1-002)002] 001672268

0971 ou 97U

O grafico abaixo mostra a variaccedilatildeo do a com x para vaacuterias

pressotildees e para a aacutegua leve

x ()

tObservaccedilotildees da curva

Fig 2

1 - para x constante a decresce com a pressatildeo Para presshy

sotildees proacuteximas da criacutetica a aproxima-se rapidamente de

x Para a pressatildeo criacutetica as duas fases satildeo indistinguiacuteveis ea=x

2 - para cada pressatildeo dotdx decresce com aumento de x

3 - para baixos valores de x (que e o caso dos reatores

tipo Boiling) quando p decresce dadx cresce e torr

na-se muito grande paacutera baixas pressotildees Isto tem relaccedilatildeo com a epound

55

tabilidade do reator como veremos mais tarde

113 - Sistemas com fluxo

Todas as definiccedilotildees que noacutes vimos no item anterior refeshy

rem-se acirc sistemas em que a mistura esta fechada no recipiente Nes^

te caso natildeo havia movimento relativo entre as duas fases No entan

to se as duas fases da mistura se movem na direccedilatildeo vertical em

canais entre os elementos combustiacuteveis o vapor por causa de sua

flutuaccedilatildeo tem a tendecircncia de escorregar sobre o liacutequido isto e

move-se com velocidade maior do que a do liacutequido

Real Modelo

Pig 3

S -

Define-se neste caso a relaccedilatildeo de escorregamento (slip

ratio) (S) como sendo

V _i

V f

onde

V = velocidade do vapor

= velocidade do liquido

S modifica as relaccedilotildees entre a e x do item anterior S geralmen_

te gt 1 Define-se neste caso qualidade do vapor ou tiacutetulo como

sendo

_ fluxo de massa de vapor

fluxo de massa da mistura

Entatildeo se o fluxo de massa da mistura eacute m t(lbmhr) o flushy

xo de vapor seraacute = x m e o fluxo de liacutequido sera (1-x) m onde x

56

e o titulo do vapor para a particular secccedilatildeo (AL) da figura (3)

Devemos notar que neste caso x varia de secccedilatildeo para secshy

ccedilatildeo do tubo o exposto no paraacutegrafo acima vale considerando-se que

x e a permaneceram constantes na secccedilatildeo de espessura AL

Aplicando a equaccedilatildeo da continuidade as velocidades do va

por e liacutequido sao dadas por

o xm v

V vazatildeo = g g area A

V

(1-x) amp t v f

f A f

onde A e A f sao as aacutereas medias perpendiculares ao fluxo se as

duas fases sao imaginadas completamente separadas uma da outra

(figura 3) Assim temos

V x m v o A_ A v 0 ^ - 2 = iacute S t m _2L- JL JS m

V A (l-x)ui v 1-x A v U

f g t f g f

Sabemos ainda que para a secccedilatildeo considerada

volume do vapor na mistura a = volume total da mistura (agua+vapor)

A AL A pound g g

a = mdash a a = - mdash 1

(A+A )AL A f + g

A ou f _ 1 - a

A a 8

Substituindo em (2) vem

57

Esta expressatildeo pode ser rearranjada e obteremos uma relashy

ccedilatildeo entre x e a levando em conta o escorregamento Chega-se a

a = 1 ( 3 )

1+ [U-x)x3 igt

onde

v 4 laquo -- S

v lty o

Note-se que quando S=l (nao haacute escorregamento) caimos na

expressatildeo dada no item anterior

0 efeito do escorregamento eacute decrescer o valor de a pa_

ra um mesmo xbdquo Isto pode ser visto pela foacutermula (3) pois S gt lLo

go a decresce com acreacutescimo de S

Um alto S e entatildeo uma vantagem tanto para a transferecircnshy

cia de calor como para efeitos de moderaccedilatildeo Eacute uma vantagem para

transferecircncia de calor porque alto S significa alto V e portanto

maior turbulecircncia e maior contato do liquido com as paredes quenshy

tes Ha tambeacutem melhorias na estabilidade da reaccedilatildeo nuclear isto

porque como jaacute dissemos quando mdash7 diminui a estabilidade aumenshy

ta isso pode ser verificado observando a curva a versus x para a

agua leve a 1000 psiabdquo

Fig 4

58

A relaccedilatildeo entre x e a da equaccedilatildeo (3) so vale para secccedilatildeo

de tubo bem pequena

Devemos notar que S varia tambeacutem com a pressatildeo e velocida^

de de entrada do liacutequido no tubo Este efeito pode ser observado na

figura 5 abaxxo obtida esperimentalmente

s

3

~^ ~ psig

x = 001

V 1

Fig 5

Nos projetos de reatores como veremos adiante o valor a

geralmente eacute determinado por consideraccedilotildees nucleares (moderaccedilatildeo) 0

valor de S eacute determinado atraveacutes de uma estimativa ou entatildeo atrashy

veacutes de um graacutefico do tipo da figura 5 0 correspondente valor de x

pode ser obtido de uma foacutermula empiacuterica do tipo

1 = 1 (-S)0gt67

proposta por Von Glahn

Em muitos casos assume-se S constante em todo o comprimeiv

to do canal poreacutem eacute um erro que em muitos casos nao pode ser coshy

metido

4 REATORES EM QUE 0 LIacuteQUIDO B MODERADOR E CIRCUITO PRIMAacuteRIO AO

MESMO TEMPO BOILING-REACTOR (BWR)

A aacutegua ao se movimentar atraveacutes dos vaacuterios canais do

59

Boiling-reactor encontra vaacuterias resistecircncias ao fluxo que provoshy

cam uma reduccedilatildeo de pressatildeo no fluido

As duas perdas mais importantes sao perda de pressatildeo por

atrito e perda de pressatildeo causada pela aceleraccedilatildeo do refrigerante

ao aumentar de volume por receber calor num canal Outras perdas

de pressatildeo seriam a obstruccedilatildeo ao fluxo por corpos submersos (espa_

ccediladores juntas de tubos chaves etc) e por mudanccedilas abruptas de

aacuterea de fluxo tanto na entrada como na saiacuteda do tubo

Essas perdas de pressatildeo devem ser conhecidas o melhor popound

sivel principalmente nos reatores BWR Para tanto devemos saber

o comprimento de canal em que nao ha a ebuliccedilatildeo isto eacute qual o com

primento de canal em que o refrigerante vai da temperatura de sub-

resfriamento ate temperatura de saturaccedilatildeo

Seja o elemento combustiacutevel

Aquecimento Uniforme Aquecimento Senoidal

Fig 6 Fig 7

onde

H =

H = o

H b

comprimento do elemento combustiacutevel

cota onde o liquido se torna saturado

comprimento do elemento combustiacutevel em que ocorre

ebuliccedilatildeo

60

qg = calor sensiacutevel acrescentado ao liquido para satushy

raacute-lo

qfc = calor total acrescentado ao liacutequido em todo o com

primento do canal

laquoo

q s J o qiquest sen (IIzH) n H o

T~ = TH = 2 ( 1 c o s gt ( a )

q 1 sen (HzH) Jo ^c

A expressatildeo (a) vale quando tivermos uma adiccedilatildeo de calor

senoidal para qualquer outra forma de adiccedilatildeo de calor faz-se um

caacutelculo anaacutelogo

Outra relaccedilatildeo entre q g e qfc eacute dada pela termodinacircmica

q h- - h s f m (b)

(hr +x h )-hm ^t f e fg

onde

= entalpia para o liquido saturado a pressatildeo correjs

pondente (cota z = Ho)

hffi = entalpia do liacutequido na entrada do canal

x = tiacutetulo do vapor na saiacuteda

= entalpia do vapor

Com a relaccedilatildeo (b) noacutes determinamos a relaccedilatildeo q q ecom

S L

uma relaccedilatildeo do tipo (a) (conforme seja o adicionamento de calor ao

liacutequido) podemos obter a relaccedilatildeo HoH e consequentemente H^H

21 - Perda de pressatildeo num canal de evaporaccedilatildeo

Neste item iremos determinar as perdas de pressatildeo mais

representativas que ocorrem num canal de evaporaccedilatildeo de um reator

P + dP

bull1 i- 1 gti i i

dL

onde

UM

Icirc H Icirc Icirc T dF f t f

61

Quantidade de Mov na Entrada

= i- rigVg)

dF f l

Fig 8

m i

m 8

V l V 8

A P

dF

dF

dF

fg

fl

ftf

descarga do liacutequido

descarga do vapor

velocidade do liquido

velocidade do vapor

aacuterea transversal do canal

forccedila de atrito do vapor com parede

forccedila de atrito do liacutequido com parede

forccedila de atrito das duas fases liacutequido+vapor

Fazendo o balanccedilo das forccedilas considerando o sentido posjL

tivo na vertical temos

A (P-P-dP)-(dF +dF _+dF _)-(-pound-) (p A+p A )dL = mdash dGnV+m V ) P fg ftf fl g c 1 1 g g g c

v 1 1 g g 7

- dP = ~ (dF +dF--+dF)+- S--7=- (p A+p A )dL+ mdash ~ - d (m-V+m V ) A_ fg ftf fl g c Ap v^l 1 g g g A 11 g g

Fazendo a integraccedilatildeo termo a termo entre os dois extreshy

mos entrada e saiacuteda e considerando a pressatildeo de entrada igual a

P q e a de saiacuteda igual a Pe vem

Quantidade de Mov na Saiacuteda

-= h I- lY l+ A g V g + d ( aacute l V l + aacuteeVl

Forccedila de Gravidade

= ( g f - N P A + P g V

62

b) r e F f l

o p dp^ = Ap^ = perda de pressatildeo por atrito

do liacutequido na altura Ho

Aplicando a formula de Darcy vem

bull API = f bull ir bull ^ iexcl 7

onde

f = fator de atrito

c) e Fftf

o p ^P tpound

= perda de pressao por atrito da mistura

liquido + vapor no trecho de comprimen

to Hbdquo o

Para determinar esta perda de pressao define-se o fator

de multiplicaccedilatildeo R

A P R =

tf A P 1B

Sendo A p ^ a perda de pressao se o comprimento todo fosshy

se ocupado somente pelo liquido assim

A p t f = R A P 1 B

0 calculo de Ap-^ pode ser feito pela formula de Darcy e

o de R nos veremos no item seguinte

63

d)

-e F

d ( ^ )

O P

Ap = perda de pressatildeo por atrito do vapor

No caso do reator BWR o titulo de saida e bera pequeno e

em nenhum caso ocorre a saida de vapor com x = 100 logo a perda

de pressatildeo por atrito do vapor eacute nula assim

An = 0 5

e) Ap

(p A 1 + p A ) dL = Ap - perda de pressatildeo dpound

vida ao desniacutevel

(perda hidrostaacutetica)

Anbdquo = re A A

-S- I (p + p -S ) dL H s 1 A

c o p o A

como A A Jl_ =

A P

A +A-g 1

1-a -

temos

C Q

te j jll-a)p1 + apg)^jdL = p Lo pound

onde

e jo u

+ ap ) ~I dL (Densidade media 1 S J

no tubo)

No nosso caso

Ap u = p H

f)

re d(mV + m V ) _ mdash - laquo -i bull s iquestp laquos p e r d a ltje pressatildeo devido a acele-

c p raccedilatildeo do vapor

V A

(1-x) tl^Vj

(1-a) A

X V

aA

A p -

roV + m V

c p c p L_

m (l-x)m_v m xv nbdquo -1 T 1

+ _S S I (1-a) Ap aA

P

2 g A c p

n 2 2

(1-x) m T

laquo2 8 A c p

2 2 (l-xe) raTv1

2 2 2 xm_v (1-x) m-v e T s o 1 1

a 1 - a

2 2 - x m_v o T g

a

se

X Q 0 (so ha agua nesse trecho)

a = 0 o

temos

mbdquo Ap =

1 a A 2

S A degc p laquo-

tt-V v i 1 - a

2 via T^r - v i

t Apc

2

V v l

5c Ap

1 - a

x v - 1

a e v l

65

Fazendo

G = fluxo total da massa por unidade de area do

canal

(1-x J e

V

AP r

Assim a perda de pressatildeo total sera

H p V II pV r2 P -P = f -24-Iuml+ f R+p 0 1 2g c D e 2g c g c g c

2c2 - Determinaccedilatildeo do fator de multiplicaccedilatildeo (R)

221 - Relaccedilatildeo Martinelli-Nelson

Os autores Martinelli-Nelson determinaram experimental -

te esse fator R para varias LIT1L em funccedilatildeo da pressatildeo e da r NB total J v

qualidade de saiacuteda do vapor no canal Construiacuteram assim vaacuterias

curvas do tipo da figura 9

66

E importante notar que a qualidade do vapor (x) na saiacuteshy

da nao deve ser grande pois como vemos o valor de R cresce muishy

to com um aumento pequeno de x e um valor de R muito grande acar_

reta uma perda de pressatildeo grande pois

^ d u a s fases R ^ f a s e liacutequida

Para resolvermos um problema seguindo o criteacuterio de bdquo

Martinelli escolhemos a curva R = f(px) (para a relaccedilatildeo L

N g ^ j

adequado) e tiramos R com os valores de pressatildeo p e tiacutetulo x

As curvas R = f (p x L T t )IO encontram-se nos ANL 6469 bio I

e 6561

222 - Relaccedilatildeo Lottes-Flinn

Estes autores estudaram o problema para o aquecimento uni

forme do refrigerante com baixo titule Lottes-Flinn fizeram inuacuteshy

meras experiecircncias e verificaram que para fluxo de calor uniforshy

me e baixos titulos R era independente do fluxo de calor fluxo

do refrigerante escorregamento e apenas funccedilatildeo de a g

Como a quantidade de liacutequido eacute muito maior que a de vashy

por a perda de pressatildeo daacute-se principalmente pelo atrito do liacuteshy

quido com a parede Podemos assim escrever a foacutermula de Darcy

na forma diferencial

dz

d = f __ r e amp c

onde

V = velocidade do liquido saturado na cota zbdquo X

f = coeficiente atrito

= densidade do liacutequido saturado

Teoricamente a queda de pressatildeo deve-se ao acreacutescimo de

67

velocidade do liacutequido e da diminuiccedilatildeo da aacuterea de fluxo do liacutequi

do

P fH A P t p

= f D 2g Ho

d z

fazendo

V lo

m V t lo

(velocidade do liacutequido na cota z = Ho)

(1-x) m t v 1

(1-a) A (velocidade do liacutequido na cota z gt Ho)

a bull+ fraccedilatildeo vazio na cota z geneacuterica

V 1 (1-x) m t v 1

m t V l 1 - a

x =s 0 pois o tiacutetulo eacute baixo

A p t f = f bull JT5 c e

fH V lo

H o (1-a) dz

Para fazer a integral devemos achar a relaccedilatildeo de variaccedilatildeo

entre a e z Como o fluxo de calor eacute uniforme a qualidade eacute direshy

tamente proporcional a z

bull laquo x = x e H

z = mdash x X e

Sabemos ainda que (item 113)

x

1 + [ ( I -X)AKQ x + iiacuteraquo

68

como

temos

(1-x) = 1

v

X =

z =

1-a

1 -a

1-a e

a

e

1-a pound

a

1 -a igt (assumindo S = cte)

da

Atf - f bull 2 i ^ ~ J c e o

a 1 - a e e 1 s 4 hmdash) da

a 1-a

f P lv^ Q

0 termo mdash - mdash e a parte de perda de pressatildeo pelo lj^

^c e -quido ou seja Ap liquido saturado e como

Ap

R = tf

Ap liauido saturado

temos que

R J

f ae 1 _ a e 1 4

a 1 -a o e

1 -a r-R =

3 1 -a

a 1 -a imdash

3 vl - a 3

e e

Os valores de R obtidos por esta expressatildeo aproximam-se

muito dos valores obtidos pelos aacutebacos de Martinelli

69

E - EXPANSAtildeO E COMPRESSAtildeO DE UM FLUIDO - ANAacuteLISE HIDRODINAcircMICA

DE UM CIRCUITO EM CIRCULACcedilAtildeO NATURAL

1 EXPANSAtildeO NO FLUXO DE UM FLUIDO

11 - Uma so fase

Figura 1

Ha vaacuterios meacutetodos para determinar a variaccedilatildeo de pressatildeo

numa expansatildeo de fluido estudaremos o de Romie que eacute o que daacute

maior precisatildeo

Romie considera que a pressatildeo p^ tambeacutem atua na aacuterea

imediatamente apos a expansatildeo Assim fazendo o equiliacutebrio das foi

ccedilas nas secccedilotildees tracejadas da figura 1 temos

mVj

p r A 2 + mdash

mV

bull 2- A2

mas

m = pV^A^

pV^A = p V 2 bdquo A 2

V A

v 2 -4r-logo

( P l-P 2) A 2 = f ( V ^ ) - f _ v j amp c c 2

70

2 pV A A pV A A

Chamando A l A ]

K = 1 - T e degi2 = Aiexcl bull V E M

pvj

P l P 2 = T ~ bull ( 2 deg 1 2 ) ( 1 _ a 1 2 )

Outra maneira de chegar atilde diferenccedila de pressatildeo ( P j - ^ ) s mdash

ria usar o coeficiente de perda da mecacircnica dos fluidos Assim o

equilibrio das pressotildees eacute

2 2

1 V l 1 V 2 V l P i + _ p _ ^ P 2 + I p ~ + k 1 2 p mdash

onde = coeficiente de perda

A 2 1 2

k 1 2 - (l-o 1 2) - (1 - j- )

Fazendo as transformaccedilotildees chegamos a mesma expressatildeo obshy

tida pelo balanccedilo das forccedilas

PraquoIacute pr p

2 - - ir ^ laquo-ia

12 - Duas fases

Como ha duas fases a equaccedilatildeo do balanccedilo das forccedilas fica

um pouco alterada

m pound 1 V- m - raquoV - m-V- m bdquoV _ P A + j y ^ i + _gl_JUuml P A + -11-11 + -ilsl (a)

1 2 e R 2 2 ff e

Sabendo que

71

m (1-x) m t = p fA (1-a) V f

entatildeo

fl l-o^ p fA x

6 Vf2 1-x l-a2 P fA 2

m V = mdash mdash e V 0 = gl a 1 P C T A 1 g2

m

a_ p h

2 g 2

Nas expressotildees anteriores o x nao varia porque a expansatildeo

5 adiabaacutetica porem o a varia devido a modificaccedilatildeo do tamanho da

bolha

Substituindo os valores das velocidades na expressatildeo (a)

vera

( P - P ) Abdquo =

2

2 2 m gt2 2 m t (1-x) 1 x t

ra i 2 m i 1 x t 1

p fA 1 g c ttl p Ax gpound

m t P - P = mdash

(1-x) (l-a 1)A 1A 2 (l-a2)A|

a r A r A 2

V A 2

m t P bdquo - P = mdash 2 1 g c A r A 2 p f

(1-x) 1-a f A 2(l-a 2)

bull ^ 2

72

Se

P -P

a

m

g

12

1 _1_ (1-x)

J12

1 _ a l 1 - a 2 + X (- )

Pg

1 deg12 a 2 ^

Sabemos que

mt = V o pf laquo A l

Sendo V q = velocidade do liquido num ponto onde natildeo haja vapor

P 2-P 1

u 2 2 A 2

V pr Ai

V W p f

(1-x) 12

l-a1 l-a2

+ X 2 pf

mdash

l deg12

-1 a 2 _

p -p r 2 Al (2a 1 2)

2 M f w 1 deg12 X (mdash) (

pg al a 2 )+(l-x)C l 1 12

1-a^ l-a2

Devemos notar que esta expressatildeo tambeacutem vale para quando

temos uma fase para isso basta fazer

= c t 2 = 0

X = 0

e recairemos na formula do item anterior

2 pf 1 deg12 Observemos que neste caso o termo x (mdash)( ) nao

Pg al a2

2

73

tem significado pois corresponde a mudanccedila de fase

2 CONTRACcedilAtildeO KO FLUXO DE UM FLUIDO

21 - Uma so fase raquo mdash

Aqui ocorre um fenocircmeno importante pois o fluido ao ser

contraiacutedo nao vai diretamente da area A^ para a area A 0 mas ele

contral-se ate uma area A^ e depois expande-se ate k^

Ao A2

Po IP 2

V 2

Figura 2

Fazendo o equiliacutebrio das pressotildees entre os planos (1)

(0) vem 2 2

pV pV p +~ plusmn - P + i deg bull 1 2 g o 2 g (b)

C x

Fazendo equiliacutebrio da expansatildeo (0) - (2) vem

P o + 2 - f = P 2 + 2 -T + kp- 2 F ( c )

c c b C

Subtraindo (b) - (c)

2 2 2

i p- vj i p- v2 L P l + 2 bull g c

P 2 + 2 2g c

+ k P 2g c

74

Como

P - P = mdash 2 2g

2 2

bull (1 + k) - f bdquo mdash i

k a - f2 ) 2 - d - o c )2

= o

A = a 21

Weisback obteve varias relaccedilotildees entre a e a i] c

01 02 03 a 0624 0632 0643 c

0624 0632

A r v i - V v 2

p -p 1 2

P -P 1 2 2g7

v l =

(1+k) - laquofi- a 2g 21 c

( 1 + k - o 2 1)

X[- V 2 o 2 1V 2

22 - Duas fases

0 valor de k pode ser aproximado para

k = a(l - o 2 1)

onde segundo Richardsons para fluxo de duas fases podemos supor

a = 02

Para fluxo homogeacuteneo sabemos que

75

p = p f (1 -a ) + p o a

podemos supor p bdquo a = 0 pois p e pequeno e fazendo

V = V ~ V fbdquo2 go2 v 2

Substituindo estas duas expressotildees na equaccedilatildeo de uma soacute fase vem

2 2 p V (l-ct) p V (1 -a ) bdquo

P l P 2 = 9g ( 1 + 3 - 3 0 ^ - 0 ^ ) = g (a+1) (l-a^)

Se a = 02

2 12p oV 0

p r p

2 - 9g gt d-) d-sigt

A compressatildeo de um fluido acarreta uma perda de pressatildeo

como pode ser verificado pelas formulas uma vez que lt 1deg

3 ANALISE HIDRODINAcircMICA DE UM CIRCUITO EM CIRCULACcedilAtildeO NATURAL

Esquema deacute uma caldeira com circulaccedilatildeo natural

76

Determinar a velocidade em (7) para que tenhamos circula

ccedilatildeo natural Determinar tambeacutem as perdas de pressatildeo em todos os

trechos da caldeira

31 - Contraccedilatildeo das secccedilotildees (1) - (2)

Como jaacute vimos a equaccedilatildeo do balanccedilo das pressotildees eacute

1 pr Vl 1 p 2 o V 2 P2 V2

1 2 g 2 + 2 g + K12 2g otilde c amp c e c

bullraquo 2 o2 2 e havendo uma soacute fase k 1 9 = (l-o ) = (1 mdash ) e sendo

C 2

p l = p2

v x lt lt lt v 2

P 2 V pr p2 bull ir2 bull ( 1 + k12gt

Colocando em termos de temos

A 2 V 2 P 2 = A 7 V 7 p 7 (continuidade)

V = V mdashbull = V o_bdquo ~ A 2 2 2

P 2 V - p 2

p r p 2 = ir2 - deg72 bull Ccedilrgt bull lt 1 + ki2gt

fazendo

N12 - lt^gt deg72 ( 1 + k12gt

P7 V7

Pr P2 - N12 bull HG

77

3 2 - Perda de carga no trecho ( 2 ) - ( 3 )

Como haacute apenas uma fase soacute temos perdas por atritos e

perdas hidrostaacuteticas

Sendo como jaacute vimos

2 3 p 2 2 g P 2 P 3 = f 2 3 (r~2g^~) L 2 3 g c p

atrito hidrostaacutetica

Substituindo V^ pela relaccedilatildeo do item anterior e tendo em

conta que p = vem

P -P = f 2 r 3 2 3 D

2 3 p 2 bdquo 2 2 p 7 2

2 g 7 72 p 2 3 g

Se

L 2 3 2 p 7

2 3 2 3 D 2 a 7 2 p 2

P 7 V 7 g P 2 - P 3 = N 2 3 ( mdash gt p 2 L 2 3 f

3 3 - Expansatildeo nas secccedilotildees ( 3 ) - ( 4 )

Como vimos o balanccedilo das pressotildees e

2 2 2 p V p 4 V p V

P 3 + 2 g c

P 4 + 2 g c

+ k 3 4 2 g c

onde

k 3 4 - - -

2 2 1 P 4 - V 4 P 3 v 3

P 3 P 4 = 2 g + ( k 3 4 _ 1 ) 2 g

78

Sendo

P 3 - P 4

p 3 o A 3 deg V 3 = P 7

a A 7 o V 7

P 4A 4 0V 4 = P r A r V

3 7 A 3 p 3

A7 P7 V = v mdash mdash 4 7 P 4

P - P 3 r4

Se

P bdquo - P

bdquo2 r-P 7 V 7

3 4 2g deg74 + ( k 3 4 1 ) deg73

34 p deg74 + ( k 3 4 1 ) 73

p r v2

P3- P4 ^ N34 ^ gt

(No caso e negativo)

34 - Contraccedilatildeo nas secccedilotildees (5) - (6)

Ainda temos uma so fase e fazendo o balanccedilo das pressotildees

como fizemos no item 3lt1 vem

P + vil p + vi + k vi P 5 + 2gbdquo P6 + 2gbdquo + k56 2gbdquo

k 5 6 lt 1 ^ gt 2 ( 1 - Iacute 2 i 2 6

V V6 P5degIacute 5^6 ^SS 2g c - 2g c

P - P ^ = (1+kJ

Como

79

A 6

W p 5 =

VV P6 V 5 = V 6 Jiexcl = Vff65

P 5-P 6 - lt H k 5 6 ) mdash ^ mdash (l+k 5 6-a 6 5) c c c

Sendo

Se

A 7 p 7 p 7

6 7 Ag p 6 7 76 p 6

p _p _ P6- V7- g76 iquest72 ( _ 02 P 5 P 6 2g c bull ( p 6

( 1 + k 5 6 deg65 )

p 7 2 2 N56 = p ^ deg76 ( 1 + k 5 6 ~ a 6 5 )

P 7 V 2

7

P r-P = N r 5 6 56 2g c i

35 - Perdas de pressatildeo nas zonas (6) - (7) - Pre^aquecimento

Nesta regiatildeo temos perdas por atrito e hidrostaacuteticas

Nao haacute perda por aceleraccedilatildeo pois ainda natildeo houve formaccedilatildeo de boshy

lhas

Fazendo balanccedilo das pressotildees temos

L_ ppound-V p = p + otilde L - pound _ + f -Si (-21mdashL 6 7 + p67 L67 g + t 6 7 D K 2g

p _ e ifn sao tomados como valores meacutedios 67 67

P _p _ f hl ^67jIacute uuml + - L A

6 F 7 r67 D 2g P P67 L67 g 6 s c 7 c

S e Kr pound67 L67 p67 6 7 D 6 p7

p7 V - _g_ P6- P7 - N67 mdash + P67 L67 f

c c

80

36 - Perda de pressatildeo nas zonas (7) - (8) - Zona de ebuliccedilatildeo

Nesta regiatildeo j aacute temos o aparecimento de bolhas logo a

perda de pressatildeo seraacute devida agraves t recircs parcelas aceleraccedilatildeo a t r i t o

das duas fases liacutequidas + vapor e h idros taacute t ica

onde

Assim

P-P Q = AP + AP + APbdquo 7 8 a t r i t o acel H

T M1

78 p 7 7 AP - R f- - mdash mdashr |R = fator mult ipl ica-

a t r i t o 7 D 7 2 g c L tivo

G 2

AP bull r mdash acel g c

P V

|_1 - o a p J 8 P f

2 t r 2 M2

7 7 r 7 7 A P a c e l = -J^mdash 2 r bull p 7 lt T iexcl iexcl - )

A PH p 7 8 L 7 8 fiexcl

p 7 8 iacute 7 li 1 0 0 P l i q + a P v ] d L = P 7 ( 1 - laquo 7 8 )

ag raquo fraccedilatildeo de vazio media entre 7 e 8

APH = p (1 - 5 7 g ) f- L 7 8

2 2

P 7 - P 8 a 5 - 2 T i + 2 r p 7 + P 7 ( 1 - 7 8 gt f L 7 8 7 amp c amp c amp c

81

N 7g = R mdash + 2 r p 7

P7 V7 P7- P8 = N78 + P 7 ( 1 5 7 8 gt J78

37 - Expansatildeo nas secccedilotildees 8 e 9

No caso haacute uma expansatildeo com duas fases e como vimos no

item 12 a variaccedilatildeo de pressatildeo era dada por

0f Vo P2 P1 = ~2g c ( 2 deg12

x 2 (mdash)(mdash - mdash ) + ( l - x ) 2 ^ T mdash 8 1 2 1

12

Aplicando ao nosso caso

P pound = P 7

P -P = 8 9

V - V raquo V g f 7

P 7 V 2

2 pf 1 a89 2 1 g89 x (mdash) ( ) + (1-x) (- - N

o ou abdquo 1-cu l-ot_) g 8 9 8 9

Se

N 89

= 2 a 89

2 pf 1 deg89 2 1 CT89 x (mdash) ( ) + (1-x) ( T

g 8 9 8 9

P -P = 8 9

- N P7deg V7

89 2gbdquo

38 - Perda de pressatildeo no trecho 9 e 10

No referido trecho temos apenas perda de pressatildeo por atr L

to da fase liacutequido + vapor e perda hidrostaacutetica Natildeo haacute perda por

aceleraccedilatildeo do vapor pois este natildeo recebe mais calor e portanto

o 82 o

nao ha variaccedilatildeo no a

p

Q -p i n = A P

U + A P bull 9 10 H atrito

n T -S_ P9 U10 deg 910 bull g

fio r

910 I 910

J9 L

(l- a)P + Q P I dL liq v

(l-a0) p

No caso a = (nao hatilde variaccedilatildeo de forma)

A P H - (1-a ) P (p L 0

c

AP bdquo = R o

atrito

2 f9 o L910 P9 V9

2g

Supondo

= V

P 9 = P 8 P 7

vbdquo = v 9 8 0 A r

= V 7 bull deg89

AP - R atrito

2 2

W l O p7deg V7deg g89

V P10 R -^T^ bull deg89 bull li-2 + ( W P 7 (fgt SIO

y c c

Se

- f9 L910 2 N9ol0 R Dl deg89

w 2

p rv P9 P10 = VlO + ( 1 a 9 ) p7 (f gt L910 c

33

39 - Perda ciacutee pressatildeo na expansatildeo 9 - 1 0

Analogamente a expansatildeo 8 - 9 temos

10 11 P 7 2g

10 Iacute 2 0 1 0 - 1 1 gt

2 ff

pg aio

10-11

laquo11 ) +

Ll-a 1 0 bull l-a u J

Se

V10 = V 9 = V 8 bull T9 = V 7 deg89

P -P 10 rll = - a 2g 089 ^lO-ll

4 bull T~ bull (7 1 mdash ) + Pg degio a n

+ (l-x)2(- 1 10-11

1 - aio )

N10-ll = 2 a10-ll a89 2 pf t 1 10-11 N2

-(j-r- - ) bull+ (1-x) pg aio deg 1

10-11 k l - a io

prz P10 Pll = - N10-ll bull ( 2gbdquo

310 - Calculo de V

Fazendo a somatoacuteria de todas as expressotildees (P^-Pj) tere-

84

mos 2 PbdquoV_

P bdquo - P bdquo = N 7 v 7

1 2 12 2g

bull 2 - P 3 - = N 2 3 P 2 L 2 3 f c ccedil

9 P 7 V 7 P _p = N mdash -

3 4 34 deg 2g

V P 5 = deg

2 P V

5 6 56 2 g c

ltr2

P 7 -V 6 e7 -N67 2g + p 6 7 J j67 g

c bc v 2

P 7 - P 8 = N 7 8 - 2 i ~ + p 7 ( 1 - laquo 7 8 ) L 7 8 c

P 7 V 7

P - P - -N mdash - -8 9 89 2g

c P 7 V 7

P 9 ~ P 1 0 VlO 2g + ( 1 a 9 P 7 L 9 c

P 7 V 7

bull10 11 U10-ll 2g

P v iacute j P - P

1 11

7 - v 7 3 bull r

2 8 i U L 2 23 67

(l-5 7 8) L 7 8 + ( l - laquo 9 ) P 7 bull SlOtilde]- ^

Por ou t ro lado sabemos que como secccedilotildees 1

mesmo n iacute v e l

85

s c p r v 7 j

28 Z N i ij

= P 2 L23 p67 L67 P 7 ( 1~deg78 )

78 ~ ^g) bull P 7 bull L 910 g_

V - 2 g ( p r L 2 3 - p 6 r L 6 7 - p 7 ( l - atilde 7 8 ) L 7 8 - (l-a9) p L 9 a ( )

y N

Com esse valor de podemos determinar todas as variashy

ccedilotildees de pressatildeo (P^-P )

BIBLIOGRAFIA

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tituto de Energia Atocircmica de Sao Paulo em 1966 (roteiro)

- WR Gambill - Nuclear Safety

Vol 9 - n9 5 e 6

Vol 6 - n 2 (pag 152)

Vol 4 -r n9 1 (pag 30)

Volbdquo 5 - n 2 (pag 151)

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~ El Wakil - Nuclear Power

- Jakob Max - Heat Transfer (vol I)

Mc Adams - Heat Transmission

- Paul A Lottes - Argonne National Laboratory

- AKL - 6469

- ANL - 6561

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Frank Kreith - Principles of Heat Transfer

Journeacutees Internationales de la transmission de la chaleur

Seminaacuterios realizados em Paris em 1961 sob a supervisatildeo do

Prof Marcel Veron

Notas de aula da Cadeira de Termodinacircmica I e Transmissatildeo da

Escola Politeacutecnica da Universidade de Sao Paulo

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8

- E - 2G - -y- + 3G + 31 - 3 - 21 = - 3 E = G + I - -y

Substituindo E e H em (IV) vem

B - 3 D - G - I + - y - + 2 G + | - - G - I + l + I = 0

Voltando agrave expressatildeo (1) temos

h = A x D + I - 1 ( A T ) C pdeg u G + I ~ 3 0 2 g C ~ 0 2 + 1

G D2 - 6 - 1+1 I c p k g

Agrupando os termos de mesmo expoente vem

t A 2 2 - 3 - 1 v D 2 -1 1 n = A (x p bdquo u g o k ) o (x u g k g)

o (AT g ) C (vi k 1 c p )Q o ( x - 1 k g )

h - A ( x 2

3 - p 2 k ) D 2 ( g deg Z)1 (AT g ) C

li 3

C k J x

2 2 h x x p k D 2 x u g gI

k ~ A ^ 3 o

deg 1 k deg

y 3

(AT g ) C ( ^ ) G

Chamando

h bdquo x n = mdash f mdash = Nbdquo = n9 de Nusselt 1 k Nu

T T 2 = p

k

P = N p r = ndeg de Prandtl

rr3 = AT o g

2 2 i

x o p k

4 3 R

M g

Assim os fenoacutemenos de convecccedilao natural sao descritos por

uma equaccedilatildeo do tipo

F ( IacuteW N P r V V V = deg Como as variaacuteveis 3 AT e g na convecccedilao natural soacute in

fluem nas forccedilas de empuxo provocando o movimento macroscoacutepico do

fluido devem aparecer constituindo o produto (g g AT) Para

que isso seja possivel devemos ter

~ = I = C reunindo-se assim os 3 adimensionais tr

T T ^ ir ou seja

ir AT g gt k P 2 X bull P B bull = 3 4 5 u 3 6 k

3 2 x p g g AT bdquo M O j o u c

= 7 = N_ = N9 de Grashof 2 Gr

Finalmente a convecccedilao natural pode ser descrita por uma

equaccedilatildeo da forma

F(Nbdquo N_ Nbdquo ) = 0 Nu Pr Gr

Agora soacute resta obter para cada caso possiacutevel do paraacutegra

fo 4 ps coeficientes desses 3 nuacutemeros adimensionais

8 CONVECCcedilAO FORCcedilADA

Na convecccedilao forccedilada nao influem as forccedilas de empuxo poshy

reacutem influi decisivamente a velocidade do fluido Assim as variaacuteshy

veis que intervecircm no fenocircmeno sao

h = coeficiente de peliacutecula (M) ( 8 ) ~ 3 ( T ) 1

o 10

x = dimensatildeo caracteristica (L)

-1 V = velocidade do fluido (L) (8)

I -3

u = viscosidade dinacircmica do fluido (M) (L)- (0)~

p = massa especifica do fluido (M) (L)

- 2 - 2 - 1 0^ = calor especifico do fluido (L) (6) (T)

k = condutividade teacutermica do fluido (M) (L) ( 0 ) ~ 3 ( T ) 1

0 fenocircmeno eacute determinado por estas 7 variaacuteveis logo coja

forme o teorema dos ir podemos descrever o fenocircmeno por uma equaccedilatildeo

com (7 - 4) = 3 nuacutemeros adimensionais

A equaccedilatildeo de h em funccedilatildeo das variaacuteveis seraacute do tipo

h = A x V u bull P bull c k (2)

substituindo as dimensotildees vem

M e~ 3 T - 1 = A L B (L Q~X)C (M L - 1 e 1 ) 0

(M L 3 ) E ( L 2 e 2 T _ 1 ) F (M L e - 3

T - 1 ) G

Igualando a soma dos expoentes da mesma variaacutevel dos dois membros

vem

(EM) D + E + G = 1 (I)

(Z6) - C - D - 2F - 3G - -3 (II)

(ET) - F - G = -1 (III)

(EL) B + C - D - 3 E + 2 F + G = 0 (IV)

resolvendo o sistema acima em funccedilatildeo de C e G vem

de (III) F = 1 - G

de (II) - C - D - 2 + 2 G - 3 G = - 3

bull D = 1 - C - G

substituindo o valor D em (I) vem

11

1 - C - G + E + G = 1 E = C

substituindo os valores de D E e F em (IV) vem

B + C = l + C + G - 3 C + 2 - 2 G + G = 0

B = C - 1

assim a equaccedilatildeo (2) ficaraacute sendo

C-l bdquoC 1-G-C C 1-G G h = A x V y p c k

P

colocando o coeficiente de k na forma (1-G) + l^j vem

h = A (x V y1 p ) C (ii c k - 1 ) 1 - 0 (x _ 1 k) P

u c hx p x VvC p xl-G k = A ( y gt ( k

ILJLJL = N

k Nu

y c N

e k Pr

p V x _

y N R e = N9 de Reynolds

Logo o fenocircmeno de convecccedilao forccedilada seratilde representado

por equaccedilotildees do tipo

f ( NNugt NPrlaquo N R e ) = 0

9 SIGNIFICADO FIacuteSICO DOS ADIMENSIONAIS

91 - Numero de Nusselt

N = bull h = 2L- _) Nu k AT v

v3 x x=0

eacute uma relaccedilatildeo entre o gradiente de temperatura junto a parede e a

12

variaccedilatildeo total da temperatura do fluido

92 - Numero de Prandtl

Pr = pp = 2 kpc a

P

Relaccedilatildeo entre viscosidade ci nemaacutetica v e a difusividade teacutermica a

93- Numero de Reynolds

N_ = amp Relaccedilatildeo entre as forccedilas de Re u - r bull

ineacutercia e as forccedilas viscosas que interferem no escoamento fluido

94 - Numero de Grashof

H = mdashmdash mdash^mdash 2 mdash amp a relaccedilatildeo entre o pro-u duto (forccedila de ineacutercia )

x (forccedila de empuxo) e o quadrado das forccedilas visshycosas que interferem na convecccedilao natural

11 EQUACcedilOtildeES DE CONVECCcedilAO FORCcedilADA

Por ser o caso mais importante na induacutestria soacute veremos

algumas equaccedilotildees para a convecccedilao forccedilada e deixaremos de lado a

convecccedilao natural por ser menos importante

Para cada tipo de escoamento para cada regime de transshy

ferecircncia de calor e para cada configuraccedilatildeo geomeacutetrica teremos uma

equaccedilatildeo com expoentes e coeficientes diferentes poreacutem sempre com

as mesmas trecircs variaacuteveis

Nbdquo N- N_ Nu Re Pr

Para resolver um problema de convecccedilao devemos antes

avaliar as propriedades do fluido essa avaliaccedilatildeo eacute feita considj

13

rando a temperatura media do fluido isto e a meacutedia aritmeacutetica da

temperatura entre um ponto do fluido junto agrave parede e um ponto onshy

de a temperatura do fluido seja constante longe da parede

Ha casos entretanto que na praacutetica trecircs adimensionais

so nao sao suficientes para expressar o fenocircmeno isto porque as

vezes ha uma propriedade que eacute muito sensiacutevel a uma pequena varia

ccedilao de temperatura logo para estes casos introduzem-se outros adi^

mensionais para levar em conta a dependecircncia dessa propriedade com

a temperatura

Todas as expressotildees foram obtidas experimentalmente A li

teratura especializada tem formulas para todos os tipos possiacuteveis

de geometria Vejamos alguns exemplos

101 ~ Convecccedilatildeo forccedilada sobre superfiacutecies planas

a) regime laminar ( N R g lt 400000)

N T = 0664 (N ) 1 f 2 (N ) 1 ^ 3

NuL ReL u Pr

b) regime turbulento ( N R g gt 400000)

NNuL deg 0 3 6 lt N P r ) 1 3 t gt R e L ) 0 8 1 8 7 deg deg ^

102 - Convecccedilatildeo forccedilada dentro de tubos ciliacutendricos

a) regime laminar (N_ ^ lt 2100) mdash Re D

i

b) regime turbulento Nbdquo _ gt 2100 mdash u Re D

N v _ = 0023 (N_ J 0 8 (Nbdquo ) n

NuD ReD Pr

14

n = 04 para fluido aquecendo

n =raquo 03 para fluido resfriando

Note-se que neste caso houve necessidade de considerar ou

tros adimensionais para aliar a anaacutelise dimensional agrave experiecircncia

no item a) dois outros adimensionais tiveram que ser acrescentados

(DL) e (up s)

Na expressatildeo 101 b) se o N critico for tomado como

sendo 5 x 10 (usado comumente) a expressatildeo usada eacute a mesma a me

nos do termo 18700 que passa a ser 23200

Devemos observar finalmente que estas expressotildees nao se

aplicam a metais liacutequidos e que elas nos datildeo nuacutemeros de Nussel meacuteshy

dios e natildeo locais

15

B - CONVECCcedilAtildeO COM MUDANCcedilA DE FASE - CONDENSACcedilAtildeO (I)

lo INTRODUCcedilAtildeO

Devemos considerar dois tipos de convecccedilao com mudanccedila de

fase que sao a condensaccedilatildeo e a evaporaccedilatildeo

Os problemas de convecccedilao de calor com mudanccedila de fase sao

tao importantes na industria como os de convecccedilao de uma uacutenica

faseraquo Os exemplos mais comuns de sua aplicaccedilatildeo sao os condensadoshy

res e evaporadores usados nos condicionadores de ar geladeiras

caldeiras etc

Neste capiacutetulo estudaremos apenas a condensaccedilatildeo

Os problemas de convecccedilao com fluidos condensando ou evashy

porando sao bem mais complexos que os demais processos de convecshy

ccedilao porque aleacutem de envolver variaacuteveis nao consideradas na conshy

vecccedilao de sistemas de uma so fase tecircm uma variaccedilatildeo nas propriedashy

des fiacutesicas de tal grandeza que essa variaccedilatildeo interfere decisiva

mente no fenocircmeno

2 CONDENSACcedilAtildeO

Eacute a passagem de um vapor para o estado liacutequido pela retishy

rada de calor

21 - Aspectos Gerais

A condensaccedilatildeo eacute realizada fazendo com que o fluido (vashy

por) entre em contato com uma superfiacutecie cuja temperatura esteja

abaixo da temperatura de saturaccedilatildeo do fluido correspondente atilde pres_

sao do vapor

0 coeficiente de peliacutecula relativo ao vapor de aacutegua satushy

rada que condensa sobre uma superfiacutecie fina eacute da ordem de grandeshy

za de 10000 kcalhrm^degC em casos excepcionais chega-se acirc valo-

16

res 50o000-100bdquo000 kcalhrm 2degC Isto eacute obtido a maneira pela

qual a condensaccedilatildeo se produz Ilaacute duas maneiras

1 - condensaccedilatildeo por peliacutecula daacute-se quando o liacutequido con

densado molha totalmente a parede formando urna peliacute

cula continua sobre a mesmaraquo

2 - condensaccedilatildeo por gotas daacute-se quando o liacutequido ao se

condensar rcune-se em gotas que crescem ateacute terem

peso suficiente para escoarenu

0 primeiro tipo eacute o mais comum e eacute o que daacute menor coefishy

ciente de peliacutecula porque a pelicula do liacutequido constitui uma re

sistencia adicional a passagem do calorraquo No segundo tipo chega-se

a coeficientes de pelicula muito maiores pelo fato do vapor estar

sempre em contato direto com a superficie resfriadura isto eacutepor

nao haver resistencia adicional

2o2 - Condiccedilotildees para termos condensaccedilatildeo por peliacutecula ou por

gotas

Sob o ponto de vista da transmissatildeo de calor deveriacuteamos

sempre preferir a condensaccedilatildeo por gotas pois como jaacute dissemos e

a que daacute maior eficiencia teacutermica Acontece poreacutem que tecnologji

camente eacute difiacutecil a obtenccedilatildeo da condensaccedilatildeo por gotas pois haacute

necessidade de termos um vapor puro urna superficie de resfriameii

to perfeitamente lisa (cromeada espelhada) e com resinas para fa

cilitar a formaccedilatildeo das gotas Tudo isso encareceria demais um con_

densador por isso eacute que na praacutetica usamos condensaccedilatildeo por peliacutecu

la quando podemos usar chapas ou tubos comerciais

So em casos muito especiais quando o espaccedilo eacute muito imshy

portante usa-se condensaccedilatildeo por gotas

2 3 - Remoccedilatildeo do Condensado

Um fator importante a considerar na condensaccedilatildeo eacute a remo

17

ccedilao do condensado que sempre se faz por gravidade Ha dois tipos

principais de superficies de condensaccedilatildeo

1 - Tubos ou placas verticais (ou encunadas)

2 - Tubos cilindricos horizontais

Nos tubos verticais a espessura da peliacutecula liacutequida aumen

tara do topo acirc base e com isso variaraacute ao longo do tubo o coefishy

ciente de peliacutecula loacutecalo

No caso dos tubos ciliacutendricos horizontais o liacutequido escoj

re pela parede lateral e goteja pela parte inferior natildeo havendo

possibilidade de formaccedilatildeo de camadas espessas do condensado

2raquo4 - Condensaccedilatildeo por peliacutecula sobre tubos verticais

Nusselt desenvolveu estudos analiacuteticos sobre condensaccedilatildeo

externa a tubos ciliacutendricos verticais partindo das hipoacuteteses

1 - A espessura da peliacutecula do condensado eacute nula na parte

superior do tubo e vai aumentando nas partes inferioshy

res por condensaccedil-ao e escorrimentoraquo

2 - 0 fluido escorre pela parede em regime laminar sob o

efeito combinado do seu peso e viscosidade

3 - A temperatura da camada mais interna do condensado tem

a temperatura da parederaquo

4 - A temperatura da camada mais externa tem a temperatushy

ra do vapor-

5 - A variaccedilatildeo da temperatura da camada do condensado em

sentido ortogonal agrave superfiacutecie do tubo eacute linear

6 - 0 vapor cede apenas seu calor latente

7 - A temperatura do tubo eacute uniforme e constanteraquo

8 - Nao haacute gases incondensaacuteveis no vapor (vapor puro)

Chegou a formula

18

2 3 g P - h L t

N j = 0943 ( r-EcircY~ ) 1 4 (l) NuL y bdquo k o At v

As propriedades da equaccedilatildeo (1) satildeo avaliadas agrave temperatu

ra meacutedia tm

c + t _ w sat

tm ~ onde

t = temperatura da parede

t = temperatura de saturaccedilatildeo do fluido S 3Lt

exceto o calor latente da vaporizaccedilatildeo b^ que deve ser avaliado agrave

temperatura de saturaccedilatildeo correspondente atilde pressatildeobdquo

Quando a superfiacutecie focircr inclinada vale o raciociacutenio de

Nusselt apenas o termo que atua na remoccedilatildeo do condensado natildeo eacute g

mas sim (g seno) sendo 6 a inclinaccedilatildeo da superfiacutecieraquo

Assim a equaccedilatildeo para estecaso seria

2 3 g o sene o p o h o L

NT _ = 0943 ( r~ y (2) NuL y o k o At w

25 - Efeitos a considerar na condensaccedilatildeo

Ha 3 efeitos importantes a considerar na condensaccedilatildeo que

Nusselt natildeo levou em conta sao eles

- efeito da turbulecircncia no filme liacutequidoraquo

- efeito dos gases incondensaveisraquo

- efeito da velocidade do vapor

251 - Efeito da turbulecircncia no filme liacutequido

As formulas anteriores servem para comprimentos de tubos

pequenos pois nesse caso a velocidade de escoamento do condenshy

sado natildeo eacute grande entretanto para superfiacutecies verticais longas

a peliacutecula torna-se bastante espessa e com velocidade grande deshy

mais para que o escoamento possa ser considerado em regime lamishy

nar

19

Nesse caso define-se o numero de Reynolds baseado na veshy

locidade da fase liacutequida isto eacute

p V 6

Nbdquo - m r

Rer y u

onde

V = velocidade do condensado na camada limite m 6 = espessura da camada limite

T = p V m 6 = descarga do condensado por unidade de largju

ra da superficie de condensaccedilatildeo

No calculo da determinaccedilatildeo de T haacute uma certa dificuldade

pois ele soacute pode ser determinado por iteraccedilatildeoraquo

Q = m c laquo A t = h A A t P

A = 2ir R bdquo L (para tubos)

m c = h o 2IumlIuml R laquo L P

m m braquoL _ p a _ _ li li

2TTR C c P P

Como noacutes nao sabemos o valor de h_ devemos inicialmente

adotar um V e obter atraveacutes da foacutermula

NNuL = deggt0134 (R PV L 3 gt 1 3 ( N R e r ) 0 4 ( 4 )

y

o valor de _h se os valores de h_ obtidos por (3) e (4) forem iguais

o problema esta resolvido caso contraacuterio fazem-se tantas iterashy

ccedilotildees quantas forem necessaacuterias

252 - Efeito dos gases incondensaacuteveis

A presenccedila de gases incondensaacuteveis reduz violentamente o

coeficiente de peliacutecula pois acirc medida que o vapor se condensa o

gaacutes nao condensaacutevel se acumula junto atilde superfiacutecie de resfriamento

20

formando uma barreira adicional S passagem do fluxo de calor

A reduccedilatildeo do coeficiente de peliacutecula que a presenccedila des_

ses gases causa depende da fraccedilatildeo em massa dos mesmos na mistu

ra gaacutes-vapor

Fizeram-se inuacutemeras experiecircncias e sobre o assunto a tiacute

tulo de exemplo vejamos o graacutefico abaixo onde temos em abcissas

o coeficiente de peliacutecula obtido experimentalmente e em ordenadas

a fraccedilatildeo de gases dissolvida jio vapor

5000

bullg- 4000 O

3OOO

2000

S 1000

4 6 8 10 12 lt|gt(lbm arlbm de vapor )x 10

Devemos notar a grande influecircncia dos gases incondensatilde-

veis por exemplo quando o vapor eacute puro nos temos um h = 4000se

tivermos apenas 1 de ar dissolvido o coeficiente de peliacutecula fishy

caraacute reduzido agrave metade isto ecirc h = 2000

Por isso nos condensadores sempre se coloca vapor ornais

puro possiacutevel

253 - Efeito da velocidade do vapor

Quando a velocidade do vapor junto agrave interface liacutequido-

-vapor natildeo focircr despreziacutevel surgem forccedilas de atrito entre o vapor

e o liacutequido Se a direccedilatildeo do fluxo do vapor coincide com a direshy

ccedilatildeo do movimento do liacutequido a velocidade do liacutequido aumenta (haacute

compressatildeo) e a espessura do filme liacutequido diminui e consequenshy

temente a transferecircncia teacutermica melhora pois haacute diminuiccedilatildeo da

resistecircncia teacutermica

Se entretanto a direccedilatildeo do vapor focircr contraacuteria a do fil

o 21 laquo

me de liquido ha uma tendecircncia de haver aumento da espessura da pj2

liacutecula diminuindo assim o valor de h

26 - Consideraccedilotildees sobre os resultados obtidos com as foacutermushy

las de Nusselt

Nota-se experimentalmente que os resultados obtidos pelas

equaccedilotildees de Nusselt sao em geral 10 a 20 inferiores do que os reshy

sultados reais Assim a favor da seguranccedila elas sao usadas e aaacuteo_

tadas Os motivos das discrepacircncias jaacute-foram ditas atraacutes no item

25

Devemos notar ainda que o valor de h obtido pelas foacutermushy

las anteriores e o valor meacutedio jaacute que h varia de ponto para ponto

e seria difiacutecil obter uma equaccedilatildeo que nos desse o valor de h locaL

2bdquo7 - Condensaccedilatildeo por peliacutecula externamente a tubos ciliacutendrishy

cos horizontais

0 mesmo estudo de Nusselt pode ser aplicado neste caso

baseado na hipoacutetese de que no topo do tubo a peliacutecula do condensashy

do tenha espessura nula Chega-se a expressatildeo

g p 2 h D 3 14

NT _ = 0725 ( ) (5) NuD u k o At

Analogamente ao caso anterior as propriedades do liacutequido

sao tomadas a

t + t w sat

tm = ^

exceto h que eacute tomado a t

ev n sat

Na situaccedilatildeo atual da tecnologia e possiacutevel obtermos tubos

com diacircmetros suficientemente pequenos para que tenhamos escoamenshy

to do condensado soacute em regime laminar

22

No caso de vaacuterios tubos empilhados a formula (5) deve

ser modificada pois como dissemos ela soacute vale quando no topo do

tubo a espessura do liacutequido eacute nula o que nao acontece neste caso

(Vide figura a)

Vapor

Tubo

mdash Liacutequido

Fig a

Neste caso a forma que nos da o valor meacutedio para h e

g p 2 h D 3 14

NNuD deg gt 7 2 5 lt N u k V At gt

sendo N o numero de tubos empilhados

Note-se que neste caso o coeficiente h cai bastante Uma

boa soluccedilatildeo para o caso quando dispoacuteftos de lugar eacute dispor os tushy

bos defasados (Conforme figura b)

Liquido

Fig b

Neste arranjo podemos aplicar a equaccedilatildeo (5) pois no tp_

po de cada tubo a espessura da camada de condensado eacute nula

23

B - CONVECCcedilAtildeO COM MUDANCcedilA DE FASE - EVAPORACcedilAtildeO (II)

1 INTRODUCcedilAtildeO

Evaporaccedilatildeo consiste na obtenccedilatildeo de vapor por meio de aque

cimento de um liacutequido

Apesar da importacircncia do processo e do sucesso obtido na

praacutetica em projetos de evaporadores o fenocircmeno da evaporaccedilatildeo eacute

um dos pontos menos conhecidos da transmissatildeo de calor

0 primeiro estudo seacuterio sobre o assunto foi feito em 1934

pelo japonecircs Nukiyama poreacutem somente nos uacuteltimos 10 anos tais es-

tudos se intensificaram

Os primeiros pesquisadores quando estudavam o fenocircmeno

do resfriamento de um solido num liacutequido obtiveram as seguintes

curvas

onde

temperatura

velocidade de resfriamento

3 0 v = amdashbull

A 06

Q - fluxo teacutermico

8 - tempo

A - aacuterea do soacutelido

24

tempo

Ateacute os estudos de Nukiyama nao se conseguia explicar o

porque da variaccedilatildeo crescente da velocidade de resfriamento quando

t gt t sol sat

2 PROCESSO DE FORMACcedilAtildeO DAS BOLHAS

Como a evaporaccedilatildeo do liacutequido se faz sobre uma superfiacutecie

aquecedora sobre esta irao se formar bolhas de vapor que influem

decisivamente no fenocircmeno

Aqui soacute iremos estudar as bolhas sob o ponto de vista qua

litativo bem como a sua influencia mas nao sob o ponto de vista

quantitativo

Recentemente Fritz e Jacob WR Gambill e outros estudiacutei

ram o processo da formaccedilatildeo das bolhas sobre a superfiacutecie aquecedpound

ra Atraveacutes de fotografias verificaram que a bolha de vapor ain

da em contato com a parede variava profundamente de forma confo_r

me o angulo de contato entre liacutequido e parede metaacutelica

Assim eacute que se a superfiacutecie de aquecimento nao e excesshy

sivamente polida e a tensatildeo superficial do liacutequido eacute pequena a

bolha tem a forma da figura las diz-se nesse caso que o liquishy

do molha a parede neste caso o angulo de contato e agudobull Se

as condiccedilotildees contrarias se verificarem o acircngulo de contato sera

obtuso e as bolhas tomam a forma da figura ldegb Naturalmente ve

rificara-se as condiccedilotildees intermediaacuterias para o angulo de contato da

25

fig lc

Fig la Fig lb Fig lo

0 estudo analiacutetico da formaccedilatildeo e crescimento das bolhas

pode ser encontrado em diversos livros por exemplo no El-Wakill

(Nuclear Power) no Jakob (Heat Transfer)e outros Neles faz-se

o estudo das condiccedilotildees do liquido (pressatildeo temperatura tensotildees

etc) para haver ou nao formaccedilatildeo de bolha Isto eacute feito fazendo-se

o estudo das bolhas nas seguintes posiccedilotildees

a) bolha no seio do liacutequido

para meia bolha

4 ltP g - P fgt fg

onde

P g P f

- 4 D (D

g

Pf

D

pressatildeo do vapor

pressatildeo do liquido

tensatildeo entre superfiacutecie do liacutequido e vapor

diacircmetro da bolha

^f g

P f Fig 2

26

A equaccedilatildeo (1) mostra que a pressatildeo do vapor deve ser maior

que a do liquido nas condiccedilotildees de saturaccedilatildeo e este por sua vez

deve estar no estado de superaquecimento o

b) bolhas sobre superfiacutecie solida

Fig 3

Condiccedilotildees para desprender

a mdash o_ + o_ cos a gs fs fg

tensatildeo na interfase liacutequida e vapor (depende das

propriedades do liacutequido e vapor)

tensatildeo entre o liacutequido e superfiacutecie de aquecimen

to (depende das propriedades do liquido e da sushy

perfiacutecie)

tensatildeo entre o vapor e a superfiacutecie de aquecimeri

to (depende das propriedades do vapor e da super

fiacutecie)

21 - Formas do fluxo do vapor desde a superfiacutecie de aquecishy

mento ateacute a superfiacutecie livre do liacutequido

Considerando liacutequido vaporizado em tubos verticais pode^

mos ter 4 tipos de fluxo de vapor

1 - fluxo de bolhas

2 - fluxo de agregados (plug ou slug)

3 - fluxo anular

4 - fluxo disperso

Os quatro tipos ficam bem determinados respectivamente

onde

a fg

degfs

a gs

27

pelas 4 figuras abaixo

LIacutequido - Liacutequido Liacutequido

o

^Bocirclha de

vapor

Vapor

mdash [

- Vapor

mdash 0 0

deg_ a-

jrj-

iquestiexcl5

Bolhas Agregados Anular

Liacutequido

vapor

Disperso ou

Homogecircneo

Conforme o tipo de ebuliccedilatildeo podemos ter uma so das forshy

mas acima ou uma mistura

3 INCERTEZAS NO ESTUDO DA EVAPORACcedilAtildeO

Ha trecircs incertezas principais para determinar o fluxo de

calor na evaporaccedilatildeo a saber

- Aacuterea de contato indefinida

- Diferenccedila de temperatura indefinida

- Grau de turbulecircncia

Como realmente nos nao sabemos uma dependecircncia algeacutebri

ca entre o acircngulo de contato e a superfiacutecie ocupada pelo liacutequishy

do (ou vapor) temos uma incerteza na determinaccedilatildeo da aacuterea de tro

ca de calor (A)

Outra incerteza eacute a dificuldade da obtenccedilatildeo de diferenccedila

de temperatura entre o liacutequido e a parede que normalmente assume-

-se como sendo a diferenccedila entre a temperatura da parede e da ebu

liccedilatildeo do liacutequido (temperatura de saturaccedilatildeo = t )

S cl c

Na realidade a diferenccedila de temperaturas nao eacute aquela

pois a camada de liacutequido que cobre a superfiacutecie aquecedora esta

a uma pressatildeo maior que o resto do liacutequido (pressatildeo atmosfeacuterica

mais a hidrostaacutetica) e consequentemente a temperatura de vaporiza_

ccedilao desse liacutequido e maior que a da superfiacutecie Esta diferenccedila po-

28

deria ser calculada desde que se conhecesse a relaccedilatildeo entre presshy

satildeo e temperatura de saturaccedilatildeo do liacutequido entretanto haacute incerte

za quanto ao verdadeiro peso especiacutefico da coluna de liacutequidopois

trata-se de uma mistura de bolhas de vapor e de liacutequido em proshy

porccedilatildeo variaacutevelraquo

4 REGIMES DE EBULICcedilAtildeO

Nukiyama estudando a ebuliccedilatildeo da aacutegua num recipiente a

quecendo-a com resistencias eleacutetricas construiu a curva baacutesica da

ebuliccedilatildeo Todos os liacutequidos apresentam uma curva semelhante vashy

riando apenas os valoresraquo Os pontos caracteriacutesticos da curva deshy

pendem de caracteriacutesticas difiacuteceis de definirtais como natureza

do metal estado da superficie (rugosidade) dimensotildees orientashy

ccedilatildeo do fluxo quantidade de gases dissolvidos e t c

Estudaremos o fenocircmeno para o caso de aacutegua destiladasem

gas dissolvido a temperatura de saturaccedilatildeo 100 C pressatildeo atmosfe_

re uma superficie plana

Chega-se assim acirc curva

rica sobre uma superficie plana horizontal a temperatura t^

In ltJgt

At (degC)

A curva acima representa o aquecimento de agua com uma re_

sistecircncia eleacutetrica (ate ebuliccedilatildeo)raquo Temos em abcissas as diferenccedilas

de temperatura entre o liacutequido e a resistecircncia em ordenadas o flu

29

Regiatildeo I

Regiatildeo II

Regiatildeo III

Regiatildeo IV

xo de calor por unidade de area

Na curva notam-se 4 regiotildees bem definidas tendo cada uma

o seu significado fiacutesico os quais correspondem a um tipo de ebuli

ccedilao

convecccedilao natural

ebuliccedilatildeo nucleada

ebuliccedilatildeo por peliacutecula parcial

ebuliccedilatildeo por peliacutecula estaacutevel

41 - Convecccedilao natural

Ocorre quando At eacute inferior a 8degCformam-se no liacutequido

correntes convectivas as quais transferem o calor ateacute a superfiacuteshy

cie livre do liacutequido e aiacute desprendendo o vapor Neste caso o valor

de h eacute da ordem de 2000 kcalm^hdegC

42 - Ebuliccedilatildeo nucleada

Ocorre quando o At eacute maior que 8degC e menor que 25degC Nesshy

te caso as bolhas formam-se junto a superfiacutecie de aquecimento

crescem liberam-se movimentam-se em direccedilatildeo agrave superfiacutecie livre do

liacutequido onde estouram libertando o vapor As bolhas formam-se nas

irregularidades da parede tecircm um acircngulo de contato agudo e porshy

tanto hatilde liacutequido sempre em contado com a parede (molha a parede)

cada ponto ativo (lugar onde se formam as bolhas) libera uma porshy

ccedilatildeo de bolhas e os outros pontos do liacutequido ficam em contato com a

superfiacutecie quente violentamente agitados Esta agitaccedilatildeo extrema eacute

mais eficaz que uma turbulecircncia criada artificialmente Por esse mo

tivo a curva cresce violentamente nesse trecho (m = 3 a 7) pois

bull 2 o o valor de h cresce consideravelmente (ate 46000 kcalm hr C) e

o fluxo teacutermico transmitido ao liacutequido cresce proporcionalmente a

Quando cresce crescem tambeacutem

(At) 3

30

numero de bolhas por unidade de aacuterea (num instanshy

te)

~ = crescimento da bolha (com o tempo)

frequecircncia de iacuteormaccedilao de bolhas

A medida que o At vai aumentando iraacute aumentando (jgt tam-- n o N

bem e consequentemente mdash R mdash a a a tal ponto que quando atiacuteii

girmos o ponto da curva nao haveraacute mais formaccedilatildeo de bolhas

mas sim uma peliacutecula de vapor instaacutevel passando assim a 3a re

giao que estudaremos a seguir

43 - Ebuliccedilatildeo por peliacutecula parcial

Como dissemos no item anterior se aumentarmos ainda mais

o At (entre 25degC e 125degC) teremos a formaccedilatildeo de uma peliacutecula de

vapor instaacutevel sobre a superfiacutecie quente que aacutes vezes eacute perfurashy

da pelo liacutequido A camada de vapor tanto mais estaacutevel seraacute quanshy

to maior focircr o At Essa peliacutecula de vapor iraacute provocar um decreacutes_

cimo consideraacutevel no fluxo teacutermico porque como sabemos o vapor

eacute muito pior condutor que a aacuteguaraquo

0 fluxo vai decrescendo ateacute um ponto miacutenimo (iexclgt mintilde (as vecirc

iacutebo bullraquo 1

zes chega a ser mdashj-) e e o chamado ponto de Liedenfrost 0 coeshy

ficiente de peliacutecula neste caso cai violentamente (h = 2000

kcalm^hrdegC)

44 - Ebuliccedilatildeo por peliacutecula estaacutevel

Aumentando ainda mais a diferenccedila de temperaturas

At ( gt 125degC) iremos conseguir uma camada de vapor estaacutevel Ela

transmite calor da superfiacutecie quente ao liacutequido que se vaporiza de

modo que o excesso de vapor formado na interface liquido-vapor for

ma bolhas que sobem para a superfiacutecie 0 liacutequido encontra-se agi-

31

tado poreacutem nao toma contato com a superfiacutecie soacutelida

A peliacutecula de vapor eacute estaacutevel e o fluxo eacute proporcional a

34

(At) (lei de Bromley) Para At grandes passa a influir sensivel^

mente a radiaccedilatildeo teacutermica mais uma razatildeo para demonstrar que nesshy

ta regiatildeo o fluxo cresce novamente

5 CONSIDERACcedilOtildeES E COMPARACcedilAtildeO ENTRE OS TIPOS DE EVAPORACcedilAtildeO

BURNOUT

Sob o ponto de vista de eficiecircncia teacutermica deveriacuteamos sem

pre trabalhar no ponto de fluxo maacuteximo isto eacute no ponto correspon

dente a lt(gt da curva de Nukiyama pois eacute o que daacute maior coeficieri

te de peliacutecula

Acontece poreacutem que se impomos a temperatura da parede

fixa obtemos um uacutenico valor de lt(gt e portanto o fenocircmeno eacute estaacutevel

Poreacutem se como ocorre nos reatores impomos um fluxo teacuter

mico a curva de Nukiyama apresenta 3 pontos de funcionamento posshy

siacuteveis A B C

1

SOacute os pontos A e C sao funccedilotildees estaacuteveis mas eles impotildeem

acirc superfiacutecie quente temperaturas bem diferentes

Na industria em geral trabalha-se por questotildees de segushy

ranccedila na regiatildeo IV da curva poreacutem para os reatores trabalha-se na

32

r e g i atilde o I I

0 p r o b l e m a de t r a b a l h a r n a r e g i atilde o II eacute q u e se n oacute s e s t i shy

v e r m o s t r a b a l h a n d o n o p o n t o e x t r e m o (j) e se p o r q u a l q u e r m o t i v o

h o u v e r u m p e q u e n o a c r eacute s c i m o d e ltfgt i r e m o s t r a b a l h a r i m e d i a t a m e n t e no

p o n t o M q u e t e m o m e s m o $-^0t p o r eacute m c o m A t 2 m u i t a s v e z e s m a i o r

p o d e n d o o c a s i o n a r a f u s atilde o d a s u p e r f iacute c i e a q u e c e d o r a E s t e f e n ocirc m e n o

eacute c h a m a d o d e b u r n o u t

0 f l u x o lttgt eacute c h a m a d o f l u x o c r iacute t i c o o u f l u x o d e b u r -b o

n o u t N o c a s o do r e a t o r d e v e m s e r t o m a d a s m e d i d a s r i g o r o s a s q u a n

to agrave r e g u l a g e m do f l u x o t eacute r m i c o p a r a q u e n atilde o o c o r r a o b u r n o u t 1 1

p o i s d e l e p o d e r e s u l t a r r u p t u r a d a c a m i s a do c o m b u s t iacute v e l e h a v e shy

r aacute p o r t a n t o c o n t a t o do r e f r i g e r a n t e c o m o s s oacute l i d o s e g a s e s r a shy

d i o a t i v o s

5 o l - R e l a ccedil atilde o d e B u r n o u t

E c l a r o q u e p a r a t e r m o s u m r e a t o r m a i s e f i c i e n t e d e v e shy

m o s t r a b a l h a r c o m u m f l u x o o m a i s p r oacute x i m o p o s s iacute v e l do f l u x o d e

B u r n o u t P a r a t a n t o d e v e m o s c o n h e c e r c o m o m a i o r g r a u d e certe

za p o s s iacute v e l q u a l o ^ p a r a p o d e r m o s r e d u z i r o c o e f i c i e n t e d e s e shy

g u r a n ccedil a ( W R G a m b i l l r e c o m e n d a agrave 1 5 )

N o s s e m i n aacute r i o s d e W R G a m b i l l e n c o n t r a m o s u m a s eacute r i e de

b i b l i o g r a f i a s o n d e p o d e m o s e n c o n t r a r i n uacute m e r a s f oacute r m u l a s p r o p o s t a s

p a r a a o b t e n ccedil atilde o de (q 1^)

A t i t u l o d e e x e m p l o v e j a m o s a l g u m a s

q - 2 7 0 G deg gt 8 5 D 0 2 A085 p lt 150

deg D ( L uuml ) 2

q - 140 G 0 5 D ~ deg 2 (-~-)~deg 1 5 p ~ r gt 150 c D (LD)

o n d e a m b a s as e q u a ccedil otilde e s s oacute v a l e m p a r a aacute g u a e m b a i x a p r e s s atilde o e m coii

v e c ccedil a o f o r ccedil a d a

33

D

L

fluxo teacutermico critico BTUhrft bdquo 2

descarga em massa do liquido (Ibmhrft )

diacircmetro do tubo ft

comp do tubo ft

Para cada caso temos uma expressatildeo diferente que pode ser

encontrada em literatura especializada

6 INFLUEcircNCIA DE OUTROS PARAcircMETROS NO FLUXO DE BURNOUT

Como para os usos atuais do reator a diferenccedila de temppound

ratura entre parede e fluido sao pequenas bem como o fluxo de bur

nout recentemente fiacutesicos como Jakob Bonilla WR Gambill estu

daram outros paracircmetros que influenciam bastante o sect^ 0gt isto eacute a

influecircncia desses paracircmetros faz com que o ^ seja maior Isto eacute

util pois quanto maior o fluxo de burnout maior poderaacute ser o

fluxo de calor real de funcionamento

Tais meios sao

- Sub-resfriamenCcedilo do liacutequido

61 - Influecircncia da velocidade do liacutequido

Estudos feitos pelos autores acima chegaram agraves curvas

- Aumento da velocidade imposta ao liacutequido

- Pressatildeo do liacutequido elevada

alto V

At

34

Para velocidades maiores o fluxo de burnout aumenta

porque neste caso o regime eacute turbulento e o coeficiente de peliacute

cuia h aumentao

6bdquo2 - Influencia do aumento da pressatildeo

Este estudo deve-se a Bonilla que obteve experimentalmen

te as curvas

Este estudo foi feito para vaacuterios liacutequidos e chegou a con

clusao que sempre havia uma pressatildeo oacutetima isto e uma pressatildeo que

leva ao maior iacute 1 ^ raquo mantidas as demais condiccedilotildees Experimentalmenshy

te notou que essa pressatildeo correspondia a 13 da pressatildeo critica

do liquido em questatildeo

6=3 - Influecircncia do sub-resfriamento

Consiste em manter atilde custa de uma circulaccedilatildeo intensa o

liacutequido a uma temperatura inferior atilde de saturaccedilatildeo para a pressatildeo

correspondenteraquo Experimentalmente chega-se agraves curvas

mdash A t grande sub

bullAt -0 sub sub

medio

At

35

Verificando os graacuteficos vemos que o lt)gt aumenta agrave medida bo

que aumenta a diferenccedila de temperatura de sub-resf riamento isto pojr

que o liquido como estaacute mais frio faz com que algumas das bolhas

recondensem permitindo que o liquido fique em contato com a parede

quente o que faz aumentar o h

^ f csub = t e m P e r a t u r a ddeg liacutequido - temperatura de saturaccedilatildeo

A diferenccedila de temperatura At entre fluido e parede tamshy

beacutem aumenta poit na regiatildeo proacutexima agrave parede haacute necessidade de

levar o liacutequido da temperatura do sub-resfriamento ateacute a temperatu

ra de saturaccedilatildeo quando se evapora

Atualmente os maiores estudos dos fiacutesicos nucleares locashy

lizam-se neste campo pois eacute o que oferece maiores vantagens

7 FORMULAS PARA 0 CAacuteLCULO DO COEFICIENTE DE PELIacuteCULA NA EBULICcedilAtildeO

Como ocorre no caacutelculo de todas as foacutermulas de convecccedilatildeo

temos formulas empiacutericas para determinar o h conforme o tipo de

ebuliccedilatildeo que nos consideramos

71 - Ebuliccedilatildeo Nucleada

Para o caso de aacutegua temos as relaccedilotildees

superfiacutecies

horizontais

superfiacutecies

verticais

f aacute 5000 BTUhrft 2 -gtbull h = 151 ( A t ) 1 3

A o

5000 lt 75000 -h = 0618 (At)3

^ pound 1000 -raquobull h = 8 7 ( A t ) 1 7

A o -

1000 lt $ lt 20000 -gt h = 027 (At) A o

Quando a pressatildeo e diferente da atmosfeacuterica faz-se a correccedilatildeo

3 6

72 - Ebuliccedilatildeo por peliacutecula

Bromley propocircs uma boa equaccedilatildeo para a ebuliccedilatildeo por peliacuteshy

cula estaacutevel em cilindros horizontais

Nu

_ JtjD n r 9 P v bull ( P L - P v gt - g -h

e V bull D i2

D 1 ^ U b Z u At gt

onde

V = indica vapor

L = indica liacutequido

Multiplicando ambos os membros da equaccedilatildeo acima por

kvD obteremos a expressatildeo do coeficiente de convecccedilagraveo meacutedio para

o caso

37

C - FORMULAS PARA CAacuteLCULOS ESPECIacuteFICOS - RESULTADOS ESPECIacuteFICOS

1 FLUXO DE CALOR CRIacuteTICO - BURNOUT

lol - Introduccedilatildeo

O aspecto mais importante no que se refere agrave seguranccedila

dos reatores da transferencia de calor na ebuliccedilatildeo eacute a determina

ccedilatildeo do Fluxo de calor critico ou de pico ou burnout

Como jatilde vimos quando temos a ebuliccedilatildeo nucleada a dishy

ferenccedila de temperatura entre refrigerante e superfiacutecie de aqueci

mento e pequena poreacutem quando atingimos o fluxo de calor criacutetico

essa diferenccedila de temperatura pode tornar-se imediatamente muishy

to grande podendo causar a ruptura da superfiacutecie de aquecimento

se atiigirmos o ponto de fusatildeo do soacutelidoraquo

Usando a convecccedilao

onde

At sat

w

sat At

sub

w = temperatura da parede de aquecimento

t t = temperatura de saturaccedilatildeo do liacutequido

t^ = temperatura de mistura do liacutequido

At = (t -t ) sub-resfriamento do liacutequido sub N sat b 1

nout

Ha dois tipos de burnout fast burnout e slow bur-

Ocorre o fast burnout (burnout raacutepido) quando A t g u b gt 0

38

ou para baixo x (~ lt 10) sendo x o titulo do vapor

Temos o slow burnout para x - gt 10 Assim noacutes tereshy

mos dois limites para o burnout

At bull o (ltJgt ) t =((() para t = t ) -

bo m m possiacutevel w sat

sub i

4L + 1

G c D h pl nb

(ltK ) = (ltpound para x = 1) = Dv-bo max possiacutevel e 4L

c At l + P 1 sub i

onde

L = comprimento do canal

D = diacircmetro do tubo

G = descarga de liacutequido (por unidade de aacuterea)

c ^ = calor especiacutefico do liacutequido

Agrave = calor latente de vaporizaccedilatildeo

h ^ = coeficiente de transferecircncia de calor na regiatildeo de

nao ebuliccedilatildeo

iacutendices

i = entrada

e = saiacuteda

Haacute inuacutemeras expressotildees para determinaccedilatildeo do burnout pro

postas por muitos fisicos cada uma aplicando-se a um caso especiacuteshy

fico vejamos algumas delas

12 - Equaccedilotildees para prediccedilatildeo de Burnout

121 - Equaccedilatildeo de Bragg e Smith (Zuber)

Num artigo publicado por Bragg e Smith encontramos uma f oacute_r

mula que e derivada da formula de Kutateladze e nos daacute o fluxo cri

39

tico quando nao temos sufaresfriamento

bo poolsat v V raquoc a ( p l P V )

2 PV

14

onde

ltiexclgt = fluxo de calor critico bo

k = constante

Ly = calor latente de vaporizaccedilatildeo do refrigerante

= densidade do liquido

pvr = densidade do vapor V a = tensao superficial

g = fator de conversatildeo c

a = aceleraccedilatildeo da superficie de aquecimento

Os autores encontraram para k um valor de 062 entreten

to outros autores como Zuber incluindo outras variaacuteveis que In

fluiam no fenocircmeno encontraram k variando entre 008 e 023Esshy

tudos bem elaborados mostram que o valor mais aproximado eacute

k = 015 (- 003)

1-22 - Equaccedilatildeo de Noyes

Noyes estudou o burnout para o soacutedio agua e alguns liacute

quidos orgacircnicos

( W s a t ~ bdquo 0245 bull ( r ( 1 )

iiacute_ V 1 Pr

onde

N n = Nuacutemero de Prandtl da fase liacutequida x r

Mais tarde o proacuteprio Noyes alterou a equaccedilatildeo para

n ^ - n H Iacute I Pl PV gt0538 deg g c a q 4 ( W s a t deg 1 1 6 PV ( - p 7 ~ ) (77T1^ ) ( 2 )

40

A ultima correlaccedilatildeo proposta por Noyes foi

a n prPV0560 112

1

(a bull a) 13

(ag c) 112

(3)

onde

a = difusividade teacutermica do liacutequidoraquo A equaccedilatildeo (3) eacute bashy

seada em todos os dados de burnouts do soacutedio bem

como da atildegua benzeno difenil e outros De 111 pontos usados 90

+ estatildeo relacionados dentro de - 30bdquo

ldeg2o3 - Burnout com convecccedilao forccedilada e sub-resfriamen

to

Aproveitando os resultados de aproximadamente 240 testes

de burnouts com aacutegua sub-resfriada em fluxo de convecccedilao forccedilashy

da feitos na Ruacutessia Labuntsov elaborou uma boa equaccedilatildeo empiacuterica

para o problemabdquo

Esta relaccedilatildeo aplica-se para velocidades entre 2 3 e 148

ftsec pressotildees entre 1 e 201 atmabs sub-resfriamento entre 0 deg

e 432 degF e fluxos de burnout entre 0 4 x IO 6 x 166 x 1 0 6 BTUhr

2 bdquo

bullbo

onde

e a seguinte

6 ( P ) 1 + 0 2 3 2 V 2

14

e ( P ) 1 +

15 c At _p_ sub

12 (a)

9 ( P ) - P 1 3 o ( 1 - P J 4 3

red

= pressatildeo (atm abs)

pressatildeo reduzida = mdash mdash red r P

t_ c = pressatildeo critica

= velocidade do liacutequido (ftsec)

= calor especiacutefico do liacutequido (BTUlbdegF)

4 1

^ tsub = ^ ^ e r e n Ccedil a ^ e temperatura entre a temperatura de

mistura do liacutequido e a de saturaccedilatildeo (degF)

X = calor latente de vaporizaccedilatildeo (BTUlb) 2

ltiacutegtbo = fluxo de burnout (BTUhrfl )

Uma outra correlaccedilatildeo para o caso foi proposta por

Ornatsky e Xiohigin que fizeram experiecircncias para pressotildees entre

10 e 1 5 0 3xm 90 degF lt At ^ lt 4 5 0 deg F 3 7 1 0 6 ( l b h r o f t 2 ) lt G lt

2 2 2 10 b ( l b h r bdquo f t 2 )

lt ^ = 3 2 5 0 (G o A t bdquo J deg 6 ( - i - ^ ) 2 5 ( b ) bo sub

onde

G - descarga de refrigerante por unidade de aacuterea

P ^ v P v - densidades do liacutequido e do vapor

P1~ PV -0 termo (mdash ) e incluido na expressatildeo (b) para indicar

a influecircncia da ^ pressatildeo sobre o

Uma comparaccedilatildeo entre as equaccedilotildees (a) e (b) foi feita para

o Reator de Isoacutetopos de Alto Fluxo (HFIR) nas condiccedilotildees aacutegua a

600 psia velocidade = 45 ftsec e sub-resfriamento = At^^ 1

degF obtendo-se uma diferenccedila de 6 5 entre ambos (4gt = 6 0 5 1 0 b

2 ~ 6 2 BTUhr ft pela equaccedilatildeo (a) e 6 4 5 10 3TUhrraquoft pela equaccedilatildeo

(b)

Ilatilde ainda a equaccedilatildeo de Ivey e Morris aplicaacutevel somente pa_

ra ebuliccedilatildeo com grande quantidade de liacutequido

( c sub t

Cpf bull A tsub

( bull ) s ~ V P bdquo 10 h V sat V g

onde

(ltL ) = fluxo critico com sub-resfriamento c sub

(ograve ) ^ - fluxo critico sem sub-resfriamento c sat

42

c ^ = calor especiacutefico do liacutequido

= calor latente de vaporizaccedilatildeo

124 - Burnout com convecccedilao forccedilada e ebuliccedilatildeo por bocirc-

Ihas

Gambill fez uma extensatildeo da equaccedilatildeo de Levy e aplicou o

metqdo da superposiccedilatildeo Tal extensatildeo consiste natilde subtraccedilatildeo de uma

razatildeo equivalente de massa transferida dos termos que represenshy

tam a ebuliccedilatildeo e convecccedilao para levar em conta a presenccedila do vashy

por no fluxo

A correlaccedilatildeo pode ser escrita assim

24 V P V

o g c a (p^Py) 14

+ 0696 (k p c ) 12

(

pr p v )i4 o g c a (P-L-Py) 18

bull At + h sub nb

044 p v L v G (g1) bull N2 n

p l P V

( pr p v ) d e 2-7

2 4 TT 0

14 ( f e _ ^ r l 3

lO^u

onde

k = condutividade teacutermica

c = calor especiacutefico

A t s u b ~ s ub-resfriamento do liacutequido

h = coeficiente de transferecircncia de calor de nao ebu nb mdash

liccedilatildeo

G = descarga total do refrigerante

43

d g = diacircmetro equivalente do tubo ou canalraquo

]i = viscosidade

B = constante adimensional

Os iacutendices V e 1 representam vapor e liacutequido respectiva

mente

0 primeiro termo entre chaves da equaccedilatildeo representa o flu

xo de calor no burnout de sub-resfriamento em convecccedilao forccedilada 0

segundo termo entre chaves corresponde ao fluxo de calor transferi^

do para a massa da fase vapor

1-25 - Burnout por Bloqueio da Base

Ocorre quando a profundidade do recipiente eacute muito maior

que a largura 0 bloqueio da base eacute causado pela formaccedilatildeo de uma pe_

licula de vapor na base impedindo que o liacutequido toque o fundo do

recipiente

i De

Este eacute o burnout por flooding isto eacute burnout por expul

sao do liacutequido Uma equaccedilatildeo que nos dacirc o fluxo minimo do burnout

parao caso eacute

44

onde

D g = diacircmetro equivalente

L = comprimento do tubo

= calor de vaporizaccedilatildeo

p^Py Ap = densidade do liacutequido do vapor e diferenccedila en

tre ambos

Para um fluxo de calor maior ou igual ao dado pela expres_

sao acima (mantida a mesma geometria) teremos burnout Para um deshy

terminado fluxo existiratildeo sempre um comprimento L e um diacircmetro equi

valente D e para os quais temos burnout Exemplo

L (in) D e(in)

10 11

100 51

1000 235

2 RESULTADOS ESPECIacuteFICOS - FOacuteRMULAS PARA CAacuteLCULOS ESPECIacuteFICOS

21 - Diferenccedila de temperatura At i

13 a t

sat

At sat

poundatildeJL_ raquo t - t J p T T 6 w sat

onde

o laquo tensatildeo superficial entre liquido e vapor

t - temperatura de saturaccedilatildeo do liacutequido para a corres-Scl t

pondente pressatildeo

J equivalente mecacircnico do calor

X laquobull calor latente de vaporizaccedilatildeo

py = densidade do vapor

6 = espessura da camada de liacutequido superaquecido onde

45

k l

h nc

onde

k^ = condutividade teacutermica do liacutequido

h = coeficiente de peliacutecula nc r

Segundo Eckent h ^ c e dado por

P 2 Q

nc 3 V VP + 0952

r

onde

D = diacircmetro equivalente

G r = numero de Grashoff

P = nuacutemero de Pradtl

2 o 2 - Velocidade das bolhas

A velocidade das bolhas em meacutedia pode ser dada pela exshy

pressatildeo

V bdquo = Iacute ( a bull B Apl4 bolhas 5 ^ 2

p l onde

AP = P L - P v

Expressatildeo que vale quando a aceleraccedilatildeo eacute a da gravidade

baixa viscosidade do liacutequido e bolhas separadas

Vbolha = f t s e atilde m a x para aacutegua

2 bdquo3 - Diacircmetro das bolhas

2gc deg 12 D = 0015 3 ( mdash mdash 7 ~ ) d g Ap

5 =

46

onde

8 = acircngulo de contato (20 a 90deg) geralmente assume-O -1

-se igual a 50 para a agua em contato com metal

24 - Coeficiente de peliacutecula na ebuliccedilatildeo nucleada

a) Equaccedilatildeo de Rohsenow

Esta equaccedilatildeo nos datilde o fluxo de calor q na ebuliccedilatildeo nushy

cleadaraquo E oacutetima expressatildeo para muitos liacutequidos o efeito da presshy

satildeo eacute levado em conta na variaccedilatildeo das propriedadesraquo

Pf

fg

sat 17 = c

sg k y f h f g g( P f-p g)

n033

onae

Pf

fg

Pf Pg c sg

= fluxo de calor requerido (BTUhr0ft^)

= calor especiacutefico do liacutequido saturado (BTUlbm0F)

= calor latente de vaporizaccedilatildeo (BTULbm)

= nuacutemero de Prandtl

= viscosidade do liacutequido (lbrahrraquoft) ~ 8 2

= fator de conversatildeo 417 10 Ibmftlbflaquohr 2

= aceleraccedilatildeo da gravidade (fthr )

= tensatildeo superficial na interface liacutequida vapor

(lbfft) 3

densidade do liquido e vapor (lbmft )

constante adimensiacuteonal que depende de vaacuterios fashy

tores dentre os quais o grau de aquecimento en_

tre o fluido e a superfiacutecie de aquecimento e o

mais importanteraquo Independe da pressatildeo do sistema b) Equaccedilatildeo de Levy

Equaccedilatildeo valida para a aacutegua quando 100 lt p lt 2000 psiacutea

47

43 bdquo3

qu bdquo gat ^ T J h r t f t ^

495

25 - Calculo do fluxo de calor no Ponto de Leidenfrost

0 ponto de Leidenfrost como vimos eacute o ponto em que oflu

xo de calor comeccedila ncamente a crescer isto eacute o ponto onde termal

aa a ebuliccedilatildeo instaacutevel e comeccedila a ebuliccedilatildeo por peliacutecula estaacutevel Eacute

o chanado fluxo miacutenimo (egrave ) m m

Aproximadamente quando A t g u k = 0 temos

A _ mdash _ mdash (Gambill) m m 5

Ha entretanto varias expressotildees para determinar esse flu

xo eis uma delas

A p 14 ltjgt = 009 h pbdquo (o raquo g mdash ) y m m fg P V deg 2

p l

26 - caacutelculo do fluxo de calor na regiatildeo de ebuliccedilatildeo por peliacute

cuia estaacutevel

para cilindros jmdashi i li

_ D 0172 k-V - P V A p h l V bull S 14 li - = 062 (mdashmdash) (- j- r rmdash) convecccedilao A 0 ybdquo (t -t )

c V w sat

onde

= condutividade do vapor

- 2 TT ( mdash )

c gAp Vl = significam vapor e liacutequido respectivamente

para paredes verticais

L 0172 S deg7 A p bull hlV S q 4 h - - 080 (-^-)J- (-Iuml - Iacutemdash-convecccedilao X L u (t - t J)

c V w sat

48

Como nesta regiatildeo jaacute haacute nina influecircncia marcante da radia

ccedilao devemos levar en conta tambeacutem o coeficiente de peliacutecula de

vido a radiaccedilatildeo para determinar o coeficiente de peliacutecula total

Dos estudos atildea radiaccedilatildeo temos

h = a F pound(T 4 - T 4 J ( T ~ T ) rad w sat w sat

onde amp _ emissividade de superfiacutecie

a = constante de Stefan-Boltzman

F = fator de forma

Segundo WE Gambill o coeficiente de transmissatildeo total

ceve ser

3 iacutei = h + -7 h para h lt h t conv 4 rad r rad conv

Na expressatildeo acima existe o fator 34 porque a radiaccedilatildeo

faz variar um pouco a espessura do filme de vapor reduzindo asshy

sim o l l

conv

Quando tivermos h gt h gt o h^ ^ seraacute rad conv total

h f c = h + h t conv rad

Neste ultimo caso nao ha nenhum coeficiente porque a peshy

liacutecula de vapor jaacute eacute estaacutevel

27 - Grandezas caracteriacutesticas para a apua

Para pressatildeo igual a 1 atm = 1422 psia

At ^ = t - t = 5degC (iniacutecio da ebuliccedilatildeo nucleada) sat w sat 1

At t = 30degC sat crit

49

5 2 $ = 4 10 BTUhrft (para pressatildeo 1 atm)

0 fluxo critico cresce como vimos com a pressatildeo ate

atingir o maacuteximo quando a pressatildeo eacute aproximadamente 13 da pressatildeo

criacutetica Esse fluxo eacute

bull = 13 IO 6 BTUhrft 2 para p = 11000 psia (p pound = 32062 psia)

Ainda temos que para pressatildeo igual a 15 psia

h b o = 11000 BTUhrft degF - ebuliccedilatildeo nucleada

h f b = 30 BTUhrft 2 degF - ebuliccedilatildeo pelicular

Todos os resultados e formulas para caacutelculos especiacuteficos

apresentados nos itens 21 22 23 ateacute 27 sacirco aplicados somente

para sistemas onde haja ebuliccedilatildeo com grande quantidade de liquido

51

D - HIDRODINAcircMICA DOS SISTEMAS E QUEDA

DE PRESSAtildeO DENTRO DE UM CANAL

1 HIDRO-DINAcircMICA E QUEDA DE PRESSAtildeO

11 - Hidro-dinacircmica dos sistemas estaacuteveis

111 - Regimes de escoamento

A evoluccedilatildeo do escoamento ao longo de um canal aquecedor

de secccedilatildeo constante ciliacutendrico pode ser esquematizada pela figushy

ra 1 onde temos em abcissa o comprimento z do canal e em ordenada

a temperatura (T)

52

Na figura 1 nos representamos

a) 0 aspecto do escoamento fluido quando a entalpia do

- fluido aumenta Verificamos que o fluido entra no cashy

nal no estado liacutequido e assim permanece ateacute atingirmos a zona de

ebuliccedilatildeo local onde aparecem as primeiras bolhas A entalpia do

fluido continua aumentando e tem inicioa ebuliccedilatildeo franccedila onde as

bolhas se unem formando agregados posteriormente o escoamento to

ma a forma da figura ou seja torna-se anular disperso Finalmente

atingimos duas uacuteltimas fases do escoamento disperso (vapor uacutemido)

e vapor seco

b) A evoluccedilatildeo da temperatura meacutedia do fluido e da tempeshy

ratura da parede Note-se que a partir da cota a

temperatura da parede aumenta brutalmente podendo causar o

burnout

c) A evoluccedilatildeo do tiacutetulo do vapor (x) com o comprimento

do tubo e a evoluccedilatildeo da fraccedilatildeo (a) que definiremos no

item 11laquo2 com o comprimento do tubo

112 - Definiccedilotildees

a) Tiacutetulo ou qualidade do vapor (x)

massa de vapor na mistura x ~ massa total da mistura

x =

W _g_

g f

b) Fraccedilatildeo vazio (void fraction)

volume do vapor na mistura a = volume total da mistura (agua+vapor)

A relaccedilatildeo entre x e a num sistema parado pode ser obtida

assumindo um certo volume contendo 1 lbm de mistura em equiliacutebrio

teacutermicoraquo

53

O volume da mistura seraacute igual a (v + xv ) ft onde v eacute 3 r rg

o volume especifico (lbmft )

f - refere-se ao liquido

g - refere-se ao vapor

fg - refere-se a diferenccedila entre liacutequido e vapor

Numa mistura em equiliacutebrio se o liacutequido e o vapor estatildeo

saturados o volume do vapor presente eacute igual acirc sua massa vezes

seu volume especiacutefico v assim e

xv bdquo bdquo a mdash

V c + XV c

f gf

onde

- bull-bull uumlutiacuteisa vapor na mistura de 1 Ibm

v volume especiacutefico do liacutequido

v = volume especiacutefico do vapor o

V c = v - V

gf 8 r

Fazendo uma transformaccedilatildeo na expressatildeo acima temos

xv xv JS = Z-

v r+ x(v -v c) xv +(l-x)v t ri f g f g f 1 + Ul-x)xjv fv

1 + C(l-x)x]]vfvg

A fraccedilatildeo vazia tem a influencia de baixar a reatividade

do nuacutecleo nos reatores em que o refrigerante eacute tambeacutem moderador

Na equaccedilatildeo acima os valores de x e v sao tomados em tabe

las termodinacircmicas apropriadas para a pressatildeo do sistema A equashy

ccedilatildeo (1) mostra os grandes valores de a para pequenos valores de x

especialmente para baixas pressotildees Isto ocorre porqueaumentando

54

aacute pressatildeo o v decresce muito enquanto que o v f eacute mais ou menos da

mesma ordem de grandeza

Exemplo Calcular o a correspondente para x raquo 2 para aacutegua

leve atilde pressatildeo atmosfeacuterica

Da tabela para p laquobull 1 atm

v - 001672 ft 3lbm e v - 26800 ft 3lbm

1 + [(1-002)002] 001672268

0971 ou 97U

O grafico abaixo mostra a variaccedilatildeo do a com x para vaacuterias

pressotildees e para a aacutegua leve

x ()

tObservaccedilotildees da curva

Fig 2

1 - para x constante a decresce com a pressatildeo Para presshy

sotildees proacuteximas da criacutetica a aproxima-se rapidamente de

x Para a pressatildeo criacutetica as duas fases satildeo indistinguiacuteveis ea=x

2 - para cada pressatildeo dotdx decresce com aumento de x

3 - para baixos valores de x (que e o caso dos reatores

tipo Boiling) quando p decresce dadx cresce e torr

na-se muito grande paacutera baixas pressotildees Isto tem relaccedilatildeo com a epound

55

tabilidade do reator como veremos mais tarde

113 - Sistemas com fluxo

Todas as definiccedilotildees que noacutes vimos no item anterior refeshy

rem-se acirc sistemas em que a mistura esta fechada no recipiente Nes^

te caso natildeo havia movimento relativo entre as duas fases No entan

to se as duas fases da mistura se movem na direccedilatildeo vertical em

canais entre os elementos combustiacuteveis o vapor por causa de sua

flutuaccedilatildeo tem a tendecircncia de escorregar sobre o liacutequido isto e

move-se com velocidade maior do que a do liacutequido

Real Modelo

Pig 3

S -

Define-se neste caso a relaccedilatildeo de escorregamento (slip

ratio) (S) como sendo

V _i

V f

onde

V = velocidade do vapor

= velocidade do liquido

S modifica as relaccedilotildees entre a e x do item anterior S geralmen_

te gt 1 Define-se neste caso qualidade do vapor ou tiacutetulo como

sendo

_ fluxo de massa de vapor

fluxo de massa da mistura

Entatildeo se o fluxo de massa da mistura eacute m t(lbmhr) o flushy

xo de vapor seraacute = x m e o fluxo de liacutequido sera (1-x) m onde x

56

e o titulo do vapor para a particular secccedilatildeo (AL) da figura (3)

Devemos notar que neste caso x varia de secccedilatildeo para secshy

ccedilatildeo do tubo o exposto no paraacutegrafo acima vale considerando-se que

x e a permaneceram constantes na secccedilatildeo de espessura AL

Aplicando a equaccedilatildeo da continuidade as velocidades do va

por e liacutequido sao dadas por

o xm v

V vazatildeo = g g area A

V

(1-x) amp t v f

f A f

onde A e A f sao as aacutereas medias perpendiculares ao fluxo se as

duas fases sao imaginadas completamente separadas uma da outra

(figura 3) Assim temos

V x m v o A_ A v 0 ^ - 2 = iacute S t m _2L- JL JS m

V A (l-x)ui v 1-x A v U

f g t f g f

Sabemos ainda que para a secccedilatildeo considerada

volume do vapor na mistura a = volume total da mistura (agua+vapor)

A AL A pound g g

a = mdash a a = - mdash 1

(A+A )AL A f + g

A ou f _ 1 - a

A a 8

Substituindo em (2) vem

57

Esta expressatildeo pode ser rearranjada e obteremos uma relashy

ccedilatildeo entre x e a levando em conta o escorregamento Chega-se a

a = 1 ( 3 )

1+ [U-x)x3 igt

onde

v 4 laquo -- S

v lty o

Note-se que quando S=l (nao haacute escorregamento) caimos na

expressatildeo dada no item anterior

0 efeito do escorregamento eacute decrescer o valor de a pa_

ra um mesmo xbdquo Isto pode ser visto pela foacutermula (3) pois S gt lLo

go a decresce com acreacutescimo de S

Um alto S e entatildeo uma vantagem tanto para a transferecircnshy

cia de calor como para efeitos de moderaccedilatildeo Eacute uma vantagem para

transferecircncia de calor porque alto S significa alto V e portanto

maior turbulecircncia e maior contato do liquido com as paredes quenshy

tes Ha tambeacutem melhorias na estabilidade da reaccedilatildeo nuclear isto

porque como jaacute dissemos quando mdash7 diminui a estabilidade aumenshy

ta isso pode ser verificado observando a curva a versus x para a

agua leve a 1000 psiabdquo

Fig 4

58

A relaccedilatildeo entre x e a da equaccedilatildeo (3) so vale para secccedilatildeo

de tubo bem pequena

Devemos notar que S varia tambeacutem com a pressatildeo e velocida^

de de entrada do liacutequido no tubo Este efeito pode ser observado na

figura 5 abaxxo obtida esperimentalmente

s

3

~^ ~ psig

x = 001

V 1

Fig 5

Nos projetos de reatores como veremos adiante o valor a

geralmente eacute determinado por consideraccedilotildees nucleares (moderaccedilatildeo) 0

valor de S eacute determinado atraveacutes de uma estimativa ou entatildeo atrashy

veacutes de um graacutefico do tipo da figura 5 0 correspondente valor de x

pode ser obtido de uma foacutermula empiacuterica do tipo

1 = 1 (-S)0gt67

proposta por Von Glahn

Em muitos casos assume-se S constante em todo o comprimeiv

to do canal poreacutem eacute um erro que em muitos casos nao pode ser coshy

metido

4 REATORES EM QUE 0 LIacuteQUIDO B MODERADOR E CIRCUITO PRIMAacuteRIO AO

MESMO TEMPO BOILING-REACTOR (BWR)

A aacutegua ao se movimentar atraveacutes dos vaacuterios canais do

59

Boiling-reactor encontra vaacuterias resistecircncias ao fluxo que provoshy

cam uma reduccedilatildeo de pressatildeo no fluido

As duas perdas mais importantes sao perda de pressatildeo por

atrito e perda de pressatildeo causada pela aceleraccedilatildeo do refrigerante

ao aumentar de volume por receber calor num canal Outras perdas

de pressatildeo seriam a obstruccedilatildeo ao fluxo por corpos submersos (espa_

ccediladores juntas de tubos chaves etc) e por mudanccedilas abruptas de

aacuterea de fluxo tanto na entrada como na saiacuteda do tubo

Essas perdas de pressatildeo devem ser conhecidas o melhor popound

sivel principalmente nos reatores BWR Para tanto devemos saber

o comprimento de canal em que nao ha a ebuliccedilatildeo isto eacute qual o com

primento de canal em que o refrigerante vai da temperatura de sub-

resfriamento ate temperatura de saturaccedilatildeo

Seja o elemento combustiacutevel

Aquecimento Uniforme Aquecimento Senoidal

Fig 6 Fig 7

onde

H =

H = o

H b

comprimento do elemento combustiacutevel

cota onde o liquido se torna saturado

comprimento do elemento combustiacutevel em que ocorre

ebuliccedilatildeo

60

qg = calor sensiacutevel acrescentado ao liquido para satushy

raacute-lo

qfc = calor total acrescentado ao liacutequido em todo o com

primento do canal

laquoo

q s J o qiquest sen (IIzH) n H o

T~ = TH = 2 ( 1 c o s gt ( a )

q 1 sen (HzH) Jo ^c

A expressatildeo (a) vale quando tivermos uma adiccedilatildeo de calor

senoidal para qualquer outra forma de adiccedilatildeo de calor faz-se um

caacutelculo anaacutelogo

Outra relaccedilatildeo entre q g e qfc eacute dada pela termodinacircmica

q h- - h s f m (b)

(hr +x h )-hm ^t f e fg

onde

= entalpia para o liquido saturado a pressatildeo correjs

pondente (cota z = Ho)

hffi = entalpia do liacutequido na entrada do canal

x = tiacutetulo do vapor na saiacuteda

= entalpia do vapor

Com a relaccedilatildeo (b) noacutes determinamos a relaccedilatildeo q q ecom

S L

uma relaccedilatildeo do tipo (a) (conforme seja o adicionamento de calor ao

liacutequido) podemos obter a relaccedilatildeo HoH e consequentemente H^H

21 - Perda de pressatildeo num canal de evaporaccedilatildeo

Neste item iremos determinar as perdas de pressatildeo mais

representativas que ocorrem num canal de evaporaccedilatildeo de um reator

P + dP

bull1 i- 1 gti i i

dL

onde

UM

Icirc H Icirc Icirc T dF f t f

61

Quantidade de Mov na Entrada

= i- rigVg)

dF f l

Fig 8

m i

m 8

V l V 8

A P

dF

dF

dF

fg

fl

ftf

descarga do liacutequido

descarga do vapor

velocidade do liquido

velocidade do vapor

aacuterea transversal do canal

forccedila de atrito do vapor com parede

forccedila de atrito do liacutequido com parede

forccedila de atrito das duas fases liacutequido+vapor

Fazendo o balanccedilo das forccedilas considerando o sentido posjL

tivo na vertical temos

A (P-P-dP)-(dF +dF _+dF _)-(-pound-) (p A+p A )dL = mdash dGnV+m V ) P fg ftf fl g c 1 1 g g g c

v 1 1 g g 7

- dP = ~ (dF +dF--+dF)+- S--7=- (p A+p A )dL+ mdash ~ - d (m-V+m V ) A_ fg ftf fl g c Ap v^l 1 g g g A 11 g g

Fazendo a integraccedilatildeo termo a termo entre os dois extreshy

mos entrada e saiacuteda e considerando a pressatildeo de entrada igual a

P q e a de saiacuteda igual a Pe vem

Quantidade de Mov na Saiacuteda

-= h I- lY l+ A g V g + d ( aacute l V l + aacuteeVl

Forccedila de Gravidade

= ( g f - N P A + P g V

62

b) r e F f l

o p dp^ = Ap^ = perda de pressatildeo por atrito

do liacutequido na altura Ho

Aplicando a formula de Darcy vem

bull API = f bull ir bull ^ iexcl 7

onde

f = fator de atrito

c) e Fftf

o p ^P tpound

= perda de pressao por atrito da mistura

liquido + vapor no trecho de comprimen

to Hbdquo o

Para determinar esta perda de pressao define-se o fator

de multiplicaccedilatildeo R

A P R =

tf A P 1B

Sendo A p ^ a perda de pressao se o comprimento todo fosshy

se ocupado somente pelo liquido assim

A p t f = R A P 1 B

0 calculo de Ap-^ pode ser feito pela formula de Darcy e

o de R nos veremos no item seguinte

63

d)

-e F

d ( ^ )

O P

Ap = perda de pressatildeo por atrito do vapor

No caso do reator BWR o titulo de saida e bera pequeno e

em nenhum caso ocorre a saida de vapor com x = 100 logo a perda

de pressatildeo por atrito do vapor eacute nula assim

An = 0 5

e) Ap

(p A 1 + p A ) dL = Ap - perda de pressatildeo dpound

vida ao desniacutevel

(perda hidrostaacutetica)

Anbdquo = re A A

-S- I (p + p -S ) dL H s 1 A

c o p o A

como A A Jl_ =

A P

A +A-g 1

1-a -

temos

C Q

te j jll-a)p1 + apg)^jdL = p Lo pound

onde

e jo u

+ ap ) ~I dL (Densidade media 1 S J

no tubo)

No nosso caso

Ap u = p H

f)

re d(mV + m V ) _ mdash - laquo -i bull s iquestp laquos p e r d a ltje pressatildeo devido a acele-

c p raccedilatildeo do vapor

V A

(1-x) tl^Vj

(1-a) A

X V

aA

A p -

roV + m V

c p c p L_

m (l-x)m_v m xv nbdquo -1 T 1

+ _S S I (1-a) Ap aA

P

2 g A c p

n 2 2

(1-x) m T

laquo2 8 A c p

2 2 (l-xe) raTv1

2 2 2 xm_v (1-x) m-v e T s o 1 1

a 1 - a

2 2 - x m_v o T g

a

se

X Q 0 (so ha agua nesse trecho)

a = 0 o

temos

mbdquo Ap =

1 a A 2

S A degc p laquo-

tt-V v i 1 - a

2 via T^r - v i

t Apc

2

V v l

5c Ap

1 - a

x v - 1

a e v l

65

Fazendo

G = fluxo total da massa por unidade de area do

canal

(1-x J e

V

AP r

Assim a perda de pressatildeo total sera

H p V II pV r2 P -P = f -24-Iuml+ f R+p 0 1 2g c D e 2g c g c g c

2c2 - Determinaccedilatildeo do fator de multiplicaccedilatildeo (R)

221 - Relaccedilatildeo Martinelli-Nelson

Os autores Martinelli-Nelson determinaram experimental -

te esse fator R para varias LIT1L em funccedilatildeo da pressatildeo e da r NB total J v

qualidade de saiacuteda do vapor no canal Construiacuteram assim vaacuterias

curvas do tipo da figura 9

66

E importante notar que a qualidade do vapor (x) na saiacuteshy

da nao deve ser grande pois como vemos o valor de R cresce muishy

to com um aumento pequeno de x e um valor de R muito grande acar_

reta uma perda de pressatildeo grande pois

^ d u a s fases R ^ f a s e liacutequida

Para resolvermos um problema seguindo o criteacuterio de bdquo

Martinelli escolhemos a curva R = f(px) (para a relaccedilatildeo L

N g ^ j

adequado) e tiramos R com os valores de pressatildeo p e tiacutetulo x

As curvas R = f (p x L T t )IO encontram-se nos ANL 6469 bio I

e 6561

222 - Relaccedilatildeo Lottes-Flinn

Estes autores estudaram o problema para o aquecimento uni

forme do refrigerante com baixo titule Lottes-Flinn fizeram inuacuteshy

meras experiecircncias e verificaram que para fluxo de calor uniforshy

me e baixos titulos R era independente do fluxo de calor fluxo

do refrigerante escorregamento e apenas funccedilatildeo de a g

Como a quantidade de liacutequido eacute muito maior que a de vashy

por a perda de pressatildeo daacute-se principalmente pelo atrito do liacuteshy

quido com a parede Podemos assim escrever a foacutermula de Darcy

na forma diferencial

dz

d = f __ r e amp c

onde

V = velocidade do liquido saturado na cota zbdquo X

f = coeficiente atrito

= densidade do liacutequido saturado

Teoricamente a queda de pressatildeo deve-se ao acreacutescimo de

67

velocidade do liacutequido e da diminuiccedilatildeo da aacuterea de fluxo do liacutequi

do

P fH A P t p

= f D 2g Ho

d z

fazendo

V lo

m V t lo

(velocidade do liacutequido na cota z = Ho)

(1-x) m t v 1

(1-a) A (velocidade do liacutequido na cota z gt Ho)

a bull+ fraccedilatildeo vazio na cota z geneacuterica

V 1 (1-x) m t v 1

m t V l 1 - a

x =s 0 pois o tiacutetulo eacute baixo

A p t f = f bull JT5 c e

fH V lo

H o (1-a) dz

Para fazer a integral devemos achar a relaccedilatildeo de variaccedilatildeo

entre a e z Como o fluxo de calor eacute uniforme a qualidade eacute direshy

tamente proporcional a z

bull laquo x = x e H

z = mdash x X e

Sabemos ainda que (item 113)

x

1 + [ ( I -X)AKQ x + iiacuteraquo

68

como

temos

(1-x) = 1

v

X =

z =

1-a

1 -a

1-a e

a

e

1-a pound

a

1 -a igt (assumindo S = cte)

da

Atf - f bull 2 i ^ ~ J c e o

a 1 - a e e 1 s 4 hmdash) da

a 1-a

f P lv^ Q

0 termo mdash - mdash e a parte de perda de pressatildeo pelo lj^

^c e -quido ou seja Ap liquido saturado e como

Ap

R = tf

Ap liauido saturado

temos que

R J

f ae 1 _ a e 1 4

a 1 -a o e

1 -a r-R =

3 1 -a

a 1 -a imdash

3 vl - a 3

e e

Os valores de R obtidos por esta expressatildeo aproximam-se

muito dos valores obtidos pelos aacutebacos de Martinelli

69

E - EXPANSAtildeO E COMPRESSAtildeO DE UM FLUIDO - ANAacuteLISE HIDRODINAcircMICA

DE UM CIRCUITO EM CIRCULACcedilAtildeO NATURAL

1 EXPANSAtildeO NO FLUXO DE UM FLUIDO

11 - Uma so fase

Figura 1

Ha vaacuterios meacutetodos para determinar a variaccedilatildeo de pressatildeo

numa expansatildeo de fluido estudaremos o de Romie que eacute o que daacute

maior precisatildeo

Romie considera que a pressatildeo p^ tambeacutem atua na aacuterea

imediatamente apos a expansatildeo Assim fazendo o equiliacutebrio das foi

ccedilas nas secccedilotildees tracejadas da figura 1 temos

mVj

p r A 2 + mdash

mV

bull 2- A2

mas

m = pV^A^

pV^A = p V 2 bdquo A 2

V A

v 2 -4r-logo

( P l-P 2) A 2 = f ( V ^ ) - f _ v j amp c c 2

70

2 pV A A pV A A

Chamando A l A ]

K = 1 - T e degi2 = Aiexcl bull V E M

pvj

P l P 2 = T ~ bull ( 2 deg 1 2 ) ( 1 _ a 1 2 )

Outra maneira de chegar atilde diferenccedila de pressatildeo ( P j - ^ ) s mdash

ria usar o coeficiente de perda da mecacircnica dos fluidos Assim o

equilibrio das pressotildees eacute

2 2

1 V l 1 V 2 V l P i + _ p _ ^ P 2 + I p ~ + k 1 2 p mdash

onde = coeficiente de perda

A 2 1 2

k 1 2 - (l-o 1 2) - (1 - j- )

Fazendo as transformaccedilotildees chegamos a mesma expressatildeo obshy

tida pelo balanccedilo das forccedilas

PraquoIacute pr p

2 - - ir ^ laquo-ia

12 - Duas fases

Como ha duas fases a equaccedilatildeo do balanccedilo das forccedilas fica

um pouco alterada

m pound 1 V- m - raquoV - m-V- m bdquoV _ P A + j y ^ i + _gl_JUuml P A + -11-11 + -ilsl (a)

1 2 e R 2 2 ff e

Sabendo que

71

m (1-x) m t = p fA (1-a) V f

entatildeo

fl l-o^ p fA x

6 Vf2 1-x l-a2 P fA 2

m V = mdash mdash e V 0 = gl a 1 P C T A 1 g2

m

a_ p h

2 g 2

Nas expressotildees anteriores o x nao varia porque a expansatildeo

5 adiabaacutetica porem o a varia devido a modificaccedilatildeo do tamanho da

bolha

Substituindo os valores das velocidades na expressatildeo (a)

vera

( P - P ) Abdquo =

2

2 2 m gt2 2 m t (1-x) 1 x t

ra i 2 m i 1 x t 1

p fA 1 g c ttl p Ax gpound

m t P - P = mdash

(1-x) (l-a 1)A 1A 2 (l-a2)A|

a r A r A 2

V A 2

m t P bdquo - P = mdash 2 1 g c A r A 2 p f

(1-x) 1-a f A 2(l-a 2)

bull ^ 2

72

Se

P -P

a

m

g

12

1 _1_ (1-x)

J12

1 _ a l 1 - a 2 + X (- )

Pg

1 deg12 a 2 ^

Sabemos que

mt = V o pf laquo A l

Sendo V q = velocidade do liquido num ponto onde natildeo haja vapor

P 2-P 1

u 2 2 A 2

V pr Ai

V W p f

(1-x) 12

l-a1 l-a2

+ X 2 pf

mdash

l deg12

-1 a 2 _

p -p r 2 Al (2a 1 2)

2 M f w 1 deg12 X (mdash) (

pg al a 2 )+(l-x)C l 1 12

1-a^ l-a2

Devemos notar que esta expressatildeo tambeacutem vale para quando

temos uma fase para isso basta fazer

= c t 2 = 0

X = 0

e recairemos na formula do item anterior

2 pf 1 deg12 Observemos que neste caso o termo x (mdash)( ) nao

Pg al a2

2

73

tem significado pois corresponde a mudanccedila de fase

2 CONTRACcedilAtildeO KO FLUXO DE UM FLUIDO

21 - Uma so fase raquo mdash

Aqui ocorre um fenocircmeno importante pois o fluido ao ser

contraiacutedo nao vai diretamente da area A^ para a area A 0 mas ele

contral-se ate uma area A^ e depois expande-se ate k^

Ao A2

Po IP 2

V 2

Figura 2

Fazendo o equiliacutebrio das pressotildees entre os planos (1)

(0) vem 2 2

pV pV p +~ plusmn - P + i deg bull 1 2 g o 2 g (b)

C x

Fazendo equiliacutebrio da expansatildeo (0) - (2) vem

P o + 2 - f = P 2 + 2 -T + kp- 2 F ( c )

c c b C

Subtraindo (b) - (c)

2 2 2

i p- vj i p- v2 L P l + 2 bull g c

P 2 + 2 2g c

+ k P 2g c

74

Como

P - P = mdash 2 2g

2 2

bull (1 + k) - f bdquo mdash i

k a - f2 ) 2 - d - o c )2

= o

A = a 21

Weisback obteve varias relaccedilotildees entre a e a i] c

01 02 03 a 0624 0632 0643 c

0624 0632

A r v i - V v 2

p -p 1 2

P -P 1 2 2g7

v l =

(1+k) - laquofi- a 2g 21 c

( 1 + k - o 2 1)

X[- V 2 o 2 1V 2

22 - Duas fases

0 valor de k pode ser aproximado para

k = a(l - o 2 1)

onde segundo Richardsons para fluxo de duas fases podemos supor

a = 02

Para fluxo homogeacuteneo sabemos que

75

p = p f (1 -a ) + p o a

podemos supor p bdquo a = 0 pois p e pequeno e fazendo

V = V ~ V fbdquo2 go2 v 2

Substituindo estas duas expressotildees na equaccedilatildeo de uma soacute fase vem

2 2 p V (l-ct) p V (1 -a ) bdquo

P l P 2 = 9g ( 1 + 3 - 3 0 ^ - 0 ^ ) = g (a+1) (l-a^)

Se a = 02

2 12p oV 0

p r p

2 - 9g gt d-) d-sigt

A compressatildeo de um fluido acarreta uma perda de pressatildeo

como pode ser verificado pelas formulas uma vez que lt 1deg

3 ANALISE HIDRODINAcircMICA DE UM CIRCUITO EM CIRCULACcedilAtildeO NATURAL

Esquema deacute uma caldeira com circulaccedilatildeo natural

76

Determinar a velocidade em (7) para que tenhamos circula

ccedilatildeo natural Determinar tambeacutem as perdas de pressatildeo em todos os

trechos da caldeira

31 - Contraccedilatildeo das secccedilotildees (1) - (2)

Como jaacute vimos a equaccedilatildeo do balanccedilo das pressotildees eacute

1 pr Vl 1 p 2 o V 2 P2 V2

1 2 g 2 + 2 g + K12 2g otilde c amp c e c

bullraquo 2 o2 2 e havendo uma soacute fase k 1 9 = (l-o ) = (1 mdash ) e sendo

C 2

p l = p2

v x lt lt lt v 2

P 2 V pr p2 bull ir2 bull ( 1 + k12gt

Colocando em termos de temos

A 2 V 2 P 2 = A 7 V 7 p 7 (continuidade)

V = V mdashbull = V o_bdquo ~ A 2 2 2

P 2 V - p 2

p r p 2 = ir2 - deg72 bull Ccedilrgt bull lt 1 + ki2gt

fazendo

N12 - lt^gt deg72 ( 1 + k12gt

P7 V7

Pr P2 - N12 bull HG

77

3 2 - Perda de carga no trecho ( 2 ) - ( 3 )

Como haacute apenas uma fase soacute temos perdas por atritos e

perdas hidrostaacuteticas

Sendo como jaacute vimos

2 3 p 2 2 g P 2 P 3 = f 2 3 (r~2g^~) L 2 3 g c p

atrito hidrostaacutetica

Substituindo V^ pela relaccedilatildeo do item anterior e tendo em

conta que p = vem

P -P = f 2 r 3 2 3 D

2 3 p 2 bdquo 2 2 p 7 2

2 g 7 72 p 2 3 g

Se

L 2 3 2 p 7

2 3 2 3 D 2 a 7 2 p 2

P 7 V 7 g P 2 - P 3 = N 2 3 ( mdash gt p 2 L 2 3 f

3 3 - Expansatildeo nas secccedilotildees ( 3 ) - ( 4 )

Como vimos o balanccedilo das pressotildees e

2 2 2 p V p 4 V p V

P 3 + 2 g c

P 4 + 2 g c

+ k 3 4 2 g c

onde

k 3 4 - - -

2 2 1 P 4 - V 4 P 3 v 3

P 3 P 4 = 2 g + ( k 3 4 _ 1 ) 2 g

78

Sendo

P 3 - P 4

p 3 o A 3 deg V 3 = P 7

a A 7 o V 7

P 4A 4 0V 4 = P r A r V

3 7 A 3 p 3

A7 P7 V = v mdash mdash 4 7 P 4

P - P 3 r4

Se

P bdquo - P

bdquo2 r-P 7 V 7

3 4 2g deg74 + ( k 3 4 1 ) deg73

34 p deg74 + ( k 3 4 1 ) 73

p r v2

P3- P4 ^ N34 ^ gt

(No caso e negativo)

34 - Contraccedilatildeo nas secccedilotildees (5) - (6)

Ainda temos uma so fase e fazendo o balanccedilo das pressotildees

como fizemos no item 3lt1 vem

P + vil p + vi + k vi P 5 + 2gbdquo P6 + 2gbdquo + k56 2gbdquo

k 5 6 lt 1 ^ gt 2 ( 1 - Iacute 2 i 2 6

V V6 P5degIacute 5^6 ^SS 2g c - 2g c

P - P ^ = (1+kJ

Como

79

A 6

W p 5 =

VV P6 V 5 = V 6 Jiexcl = Vff65

P 5-P 6 - lt H k 5 6 ) mdash ^ mdash (l+k 5 6-a 6 5) c c c

Sendo

Se

A 7 p 7 p 7

6 7 Ag p 6 7 76 p 6

p _p _ P6- V7- g76 iquest72 ( _ 02 P 5 P 6 2g c bull ( p 6

( 1 + k 5 6 deg65 )

p 7 2 2 N56 = p ^ deg76 ( 1 + k 5 6 ~ a 6 5 )

P 7 V 2

7

P r-P = N r 5 6 56 2g c i

35 - Perdas de pressatildeo nas zonas (6) - (7) - Pre^aquecimento

Nesta regiatildeo temos perdas por atrito e hidrostaacuteticas

Nao haacute perda por aceleraccedilatildeo pois ainda natildeo houve formaccedilatildeo de boshy

lhas

Fazendo balanccedilo das pressotildees temos

L_ ppound-V p = p + otilde L - pound _ + f -Si (-21mdashL 6 7 + p67 L67 g + t 6 7 D K 2g

p _ e ifn sao tomados como valores meacutedios 67 67

P _p _ f hl ^67jIacute uuml + - L A

6 F 7 r67 D 2g P P67 L67 g 6 s c 7 c

S e Kr pound67 L67 p67 6 7 D 6 p7

p7 V - _g_ P6- P7 - N67 mdash + P67 L67 f

c c

80

36 - Perda de pressatildeo nas zonas (7) - (8) - Zona de ebuliccedilatildeo

Nesta regiatildeo j aacute temos o aparecimento de bolhas logo a

perda de pressatildeo seraacute devida agraves t recircs parcelas aceleraccedilatildeo a t r i t o

das duas fases liacutequidas + vapor e h idros taacute t ica

onde

Assim

P-P Q = AP + AP + APbdquo 7 8 a t r i t o acel H

T M1

78 p 7 7 AP - R f- - mdash mdashr |R = fator mult ipl ica-

a t r i t o 7 D 7 2 g c L tivo

G 2

AP bull r mdash acel g c

P V

|_1 - o a p J 8 P f

2 t r 2 M2

7 7 r 7 7 A P a c e l = -J^mdash 2 r bull p 7 lt T iexcl iexcl - )

A PH p 7 8 L 7 8 fiexcl

p 7 8 iacute 7 li 1 0 0 P l i q + a P v ] d L = P 7 ( 1 - laquo 7 8 )

ag raquo fraccedilatildeo de vazio media entre 7 e 8

APH = p (1 - 5 7 g ) f- L 7 8

2 2

P 7 - P 8 a 5 - 2 T i + 2 r p 7 + P 7 ( 1 - 7 8 gt f L 7 8 7 amp c amp c amp c

81

N 7g = R mdash + 2 r p 7

P7 V7 P7- P8 = N78 + P 7 ( 1 5 7 8 gt J78

37 - Expansatildeo nas secccedilotildees 8 e 9

No caso haacute uma expansatildeo com duas fases e como vimos no

item 12 a variaccedilatildeo de pressatildeo era dada por

0f Vo P2 P1 = ~2g c ( 2 deg12

x 2 (mdash)(mdash - mdash ) + ( l - x ) 2 ^ T mdash 8 1 2 1

12

Aplicando ao nosso caso

P pound = P 7

P -P = 8 9

V - V raquo V g f 7

P 7 V 2

2 pf 1 a89 2 1 g89 x (mdash) ( ) + (1-x) (- - N

o ou abdquo 1-cu l-ot_) g 8 9 8 9

Se

N 89

= 2 a 89

2 pf 1 deg89 2 1 CT89 x (mdash) ( ) + (1-x) ( T

g 8 9 8 9

P -P = 8 9

- N P7deg V7

89 2gbdquo

38 - Perda de pressatildeo no trecho 9 e 10

No referido trecho temos apenas perda de pressatildeo por atr L

to da fase liacutequido + vapor e perda hidrostaacutetica Natildeo haacute perda por

aceleraccedilatildeo do vapor pois este natildeo recebe mais calor e portanto

o 82 o

nao ha variaccedilatildeo no a

p

Q -p i n = A P

U + A P bull 9 10 H atrito

n T -S_ P9 U10 deg 910 bull g

fio r

910 I 910

J9 L

(l- a)P + Q P I dL liq v

(l-a0) p

No caso a = (nao hatilde variaccedilatildeo de forma)

A P H - (1-a ) P (p L 0

c

AP bdquo = R o

atrito

2 f9 o L910 P9 V9

2g

Supondo

= V

P 9 = P 8 P 7

vbdquo = v 9 8 0 A r

= V 7 bull deg89

AP - R atrito

2 2

W l O p7deg V7deg g89

V P10 R -^T^ bull deg89 bull li-2 + ( W P 7 (fgt SIO

y c c

Se

- f9 L910 2 N9ol0 R Dl deg89

w 2

p rv P9 P10 = VlO + ( 1 a 9 ) p7 (f gt L910 c

33

39 - Perda ciacutee pressatildeo na expansatildeo 9 - 1 0

Analogamente a expansatildeo 8 - 9 temos

10 11 P 7 2g

10 Iacute 2 0 1 0 - 1 1 gt

2 ff

pg aio

10-11

laquo11 ) +

Ll-a 1 0 bull l-a u J

Se

V10 = V 9 = V 8 bull T9 = V 7 deg89

P -P 10 rll = - a 2g 089 ^lO-ll

4 bull T~ bull (7 1 mdash ) + Pg degio a n

+ (l-x)2(- 1 10-11

1 - aio )

N10-ll = 2 a10-ll a89 2 pf t 1 10-11 N2

-(j-r- - ) bull+ (1-x) pg aio deg 1

10-11 k l - a io

prz P10 Pll = - N10-ll bull ( 2gbdquo

310 - Calculo de V

Fazendo a somatoacuteria de todas as expressotildees (P^-Pj) tere-

84

mos 2 PbdquoV_

P bdquo - P bdquo = N 7 v 7

1 2 12 2g

bull 2 - P 3 - = N 2 3 P 2 L 2 3 f c ccedil

9 P 7 V 7 P _p = N mdash -

3 4 34 deg 2g

V P 5 = deg

2 P V

5 6 56 2 g c

ltr2

P 7 -V 6 e7 -N67 2g + p 6 7 J j67 g

c bc v 2

P 7 - P 8 = N 7 8 - 2 i ~ + p 7 ( 1 - laquo 7 8 ) L 7 8 c

P 7 V 7

P - P - -N mdash - -8 9 89 2g

c P 7 V 7

P 9 ~ P 1 0 VlO 2g + ( 1 a 9 P 7 L 9 c

P 7 V 7

bull10 11 U10-ll 2g

P v iacute j P - P

1 11

7 - v 7 3 bull r

2 8 i U L 2 23 67

(l-5 7 8) L 7 8 + ( l - laquo 9 ) P 7 bull SlOtilde]- ^

Por ou t ro lado sabemos que como secccedilotildees 1

mesmo n iacute v e l

85

s c p r v 7 j

28 Z N i ij

= P 2 L23 p67 L67 P 7 ( 1~deg78 )

78 ~ ^g) bull P 7 bull L 910 g_

V - 2 g ( p r L 2 3 - p 6 r L 6 7 - p 7 ( l - atilde 7 8 ) L 7 8 - (l-a9) p L 9 a ( )

y N

Com esse valor de podemos determinar todas as variashy

ccedilotildees de pressatildeo (P^-P )

BIBLIOGRAFIA

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tituto de Energia Atocircmica de Sao Paulo em 1966 (roteiro)

- WR Gambill - Nuclear Safety

Vol 9 - n9 5 e 6

Vol 6 - n 2 (pag 152)

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Volbdquo 5 - n 2 (pag 151)

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~ El Wakil - Nuclear Power

- Jakob Max - Heat Transfer (vol I)

Mc Adams - Heat Transmission

- Paul A Lottes - Argonne National Laboratory

- AKL - 6469

- ANL - 6561

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Frank Kreith - Principles of Heat Transfer

Journeacutees Internationales de la transmission de la chaleur

Seminaacuterios realizados em Paris em 1961 sob a supervisatildeo do

Prof Marcel Veron

Notas de aula da Cadeira de Termodinacircmica I e Transmissatildeo da

Escola Politeacutecnica da Universidade de Sao Paulo

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Assim os fenoacutemenos de convecccedilao natural sao descritos por

uma equaccedilatildeo do tipo

F ( IacuteW N P r V V V = deg Como as variaacuteveis 3 AT e g na convecccedilao natural soacute in

fluem nas forccedilas de empuxo provocando o movimento macroscoacutepico do

fluido devem aparecer constituindo o produto (g g AT) Para

que isso seja possivel devemos ter

~ = I = C reunindo-se assim os 3 adimensionais tr

T T ^ ir ou seja

ir AT g gt k P 2 X bull P B bull = 3 4 5 u 3 6 k

3 2 x p g g AT bdquo M O j o u c

= 7 = N_ = N9 de Grashof 2 Gr

Finalmente a convecccedilao natural pode ser descrita por uma

equaccedilatildeo da forma

F(Nbdquo N_ Nbdquo ) = 0 Nu Pr Gr

Agora soacute resta obter para cada caso possiacutevel do paraacutegra

fo 4 ps coeficientes desses 3 nuacutemeros adimensionais

8 CONVECCcedilAO FORCcedilADA

Na convecccedilao forccedilada nao influem as forccedilas de empuxo poshy

reacutem influi decisivamente a velocidade do fluido Assim as variaacuteshy

veis que intervecircm no fenocircmeno sao

h = coeficiente de peliacutecula (M) ( 8 ) ~ 3 ( T ) 1

o 10

x = dimensatildeo caracteristica (L)

-1 V = velocidade do fluido (L) (8)

I -3

u = viscosidade dinacircmica do fluido (M) (L)- (0)~

p = massa especifica do fluido (M) (L)

- 2 - 2 - 1 0^ = calor especifico do fluido (L) (6) (T)

k = condutividade teacutermica do fluido (M) (L) ( 0 ) ~ 3 ( T ) 1

0 fenocircmeno eacute determinado por estas 7 variaacuteveis logo coja

forme o teorema dos ir podemos descrever o fenocircmeno por uma equaccedilatildeo

com (7 - 4) = 3 nuacutemeros adimensionais

A equaccedilatildeo de h em funccedilatildeo das variaacuteveis seraacute do tipo

h = A x V u bull P bull c k (2)

substituindo as dimensotildees vem

M e~ 3 T - 1 = A L B (L Q~X)C (M L - 1 e 1 ) 0

(M L 3 ) E ( L 2 e 2 T _ 1 ) F (M L e - 3

T - 1 ) G

Igualando a soma dos expoentes da mesma variaacutevel dos dois membros

vem

(EM) D + E + G = 1 (I)

(Z6) - C - D - 2F - 3G - -3 (II)

(ET) - F - G = -1 (III)

(EL) B + C - D - 3 E + 2 F + G = 0 (IV)

resolvendo o sistema acima em funccedilatildeo de C e G vem

de (III) F = 1 - G

de (II) - C - D - 2 + 2 G - 3 G = - 3

bull D = 1 - C - G

substituindo o valor D em (I) vem

11

1 - C - G + E + G = 1 E = C

substituindo os valores de D E e F em (IV) vem

B + C = l + C + G - 3 C + 2 - 2 G + G = 0

B = C - 1

assim a equaccedilatildeo (2) ficaraacute sendo

C-l bdquoC 1-G-C C 1-G G h = A x V y p c k

P

colocando o coeficiente de k na forma (1-G) + l^j vem

h = A (x V y1 p ) C (ii c k - 1 ) 1 - 0 (x _ 1 k) P

u c hx p x VvC p xl-G k = A ( y gt ( k

ILJLJL = N

k Nu

y c N

e k Pr

p V x _

y N R e = N9 de Reynolds

Logo o fenocircmeno de convecccedilao forccedilada seratilde representado

por equaccedilotildees do tipo

f ( NNugt NPrlaquo N R e ) = 0

9 SIGNIFICADO FIacuteSICO DOS ADIMENSIONAIS

91 - Numero de Nusselt

N = bull h = 2L- _) Nu k AT v

v3 x x=0

eacute uma relaccedilatildeo entre o gradiente de temperatura junto a parede e a

12

variaccedilatildeo total da temperatura do fluido

92 - Numero de Prandtl

Pr = pp = 2 kpc a

P

Relaccedilatildeo entre viscosidade ci nemaacutetica v e a difusividade teacutermica a

93- Numero de Reynolds

N_ = amp Relaccedilatildeo entre as forccedilas de Re u - r bull

ineacutercia e as forccedilas viscosas que interferem no escoamento fluido

94 - Numero de Grashof

H = mdashmdash mdash^mdash 2 mdash amp a relaccedilatildeo entre o pro-u duto (forccedila de ineacutercia )

x (forccedila de empuxo) e o quadrado das forccedilas visshycosas que interferem na convecccedilao natural

11 EQUACcedilOtildeES DE CONVECCcedilAO FORCcedilADA

Por ser o caso mais importante na induacutestria soacute veremos

algumas equaccedilotildees para a convecccedilao forccedilada e deixaremos de lado a

convecccedilao natural por ser menos importante

Para cada tipo de escoamento para cada regime de transshy

ferecircncia de calor e para cada configuraccedilatildeo geomeacutetrica teremos uma

equaccedilatildeo com expoentes e coeficientes diferentes poreacutem sempre com

as mesmas trecircs variaacuteveis

Nbdquo N- N_ Nu Re Pr

Para resolver um problema de convecccedilao devemos antes

avaliar as propriedades do fluido essa avaliaccedilatildeo eacute feita considj

13

rando a temperatura media do fluido isto e a meacutedia aritmeacutetica da

temperatura entre um ponto do fluido junto agrave parede e um ponto onshy

de a temperatura do fluido seja constante longe da parede

Ha casos entretanto que na praacutetica trecircs adimensionais

so nao sao suficientes para expressar o fenocircmeno isto porque as

vezes ha uma propriedade que eacute muito sensiacutevel a uma pequena varia

ccedilao de temperatura logo para estes casos introduzem-se outros adi^

mensionais para levar em conta a dependecircncia dessa propriedade com

a temperatura

Todas as expressotildees foram obtidas experimentalmente A li

teratura especializada tem formulas para todos os tipos possiacuteveis

de geometria Vejamos alguns exemplos

101 ~ Convecccedilatildeo forccedilada sobre superfiacutecies planas

a) regime laminar ( N R g lt 400000)

N T = 0664 (N ) 1 f 2 (N ) 1 ^ 3

NuL ReL u Pr

b) regime turbulento ( N R g gt 400000)

NNuL deg 0 3 6 lt N P r ) 1 3 t gt R e L ) 0 8 1 8 7 deg deg ^

102 - Convecccedilatildeo forccedilada dentro de tubos ciliacutendricos

a) regime laminar (N_ ^ lt 2100) mdash Re D

i

b) regime turbulento Nbdquo _ gt 2100 mdash u Re D

N v _ = 0023 (N_ J 0 8 (Nbdquo ) n

NuD ReD Pr

14

n = 04 para fluido aquecendo

n =raquo 03 para fluido resfriando

Note-se que neste caso houve necessidade de considerar ou

tros adimensionais para aliar a anaacutelise dimensional agrave experiecircncia

no item a) dois outros adimensionais tiveram que ser acrescentados

(DL) e (up s)

Na expressatildeo 101 b) se o N critico for tomado como

sendo 5 x 10 (usado comumente) a expressatildeo usada eacute a mesma a me

nos do termo 18700 que passa a ser 23200

Devemos observar finalmente que estas expressotildees nao se

aplicam a metais liacutequidos e que elas nos datildeo nuacutemeros de Nussel meacuteshy

dios e natildeo locais

15

B - CONVECCcedilAtildeO COM MUDANCcedilA DE FASE - CONDENSACcedilAtildeO (I)

lo INTRODUCcedilAtildeO

Devemos considerar dois tipos de convecccedilao com mudanccedila de

fase que sao a condensaccedilatildeo e a evaporaccedilatildeo

Os problemas de convecccedilao de calor com mudanccedila de fase sao

tao importantes na industria como os de convecccedilao de uma uacutenica

faseraquo Os exemplos mais comuns de sua aplicaccedilatildeo sao os condensadoshy

res e evaporadores usados nos condicionadores de ar geladeiras

caldeiras etc

Neste capiacutetulo estudaremos apenas a condensaccedilatildeo

Os problemas de convecccedilao com fluidos condensando ou evashy

porando sao bem mais complexos que os demais processos de convecshy

ccedilao porque aleacutem de envolver variaacuteveis nao consideradas na conshy

vecccedilao de sistemas de uma so fase tecircm uma variaccedilatildeo nas propriedashy

des fiacutesicas de tal grandeza que essa variaccedilatildeo interfere decisiva

mente no fenocircmeno

2 CONDENSACcedilAtildeO

Eacute a passagem de um vapor para o estado liacutequido pela retishy

rada de calor

21 - Aspectos Gerais

A condensaccedilatildeo eacute realizada fazendo com que o fluido (vashy

por) entre em contato com uma superfiacutecie cuja temperatura esteja

abaixo da temperatura de saturaccedilatildeo do fluido correspondente atilde pres_

sao do vapor

0 coeficiente de peliacutecula relativo ao vapor de aacutegua satushy

rada que condensa sobre uma superfiacutecie fina eacute da ordem de grandeshy

za de 10000 kcalhrm^degC em casos excepcionais chega-se acirc valo-

16

res 50o000-100bdquo000 kcalhrm 2degC Isto eacute obtido a maneira pela

qual a condensaccedilatildeo se produz Ilaacute duas maneiras

1 - condensaccedilatildeo por peliacutecula daacute-se quando o liacutequido con

densado molha totalmente a parede formando urna peliacute

cula continua sobre a mesmaraquo

2 - condensaccedilatildeo por gotas daacute-se quando o liacutequido ao se

condensar rcune-se em gotas que crescem ateacute terem

peso suficiente para escoarenu

0 primeiro tipo eacute o mais comum e eacute o que daacute menor coefishy

ciente de peliacutecula porque a pelicula do liacutequido constitui uma re

sistencia adicional a passagem do calorraquo No segundo tipo chega-se

a coeficientes de pelicula muito maiores pelo fato do vapor estar

sempre em contato direto com a superficie resfriadura isto eacutepor

nao haver resistencia adicional

2o2 - Condiccedilotildees para termos condensaccedilatildeo por peliacutecula ou por

gotas

Sob o ponto de vista da transmissatildeo de calor deveriacuteamos

sempre preferir a condensaccedilatildeo por gotas pois como jaacute dissemos e

a que daacute maior eficiencia teacutermica Acontece poreacutem que tecnologji

camente eacute difiacutecil a obtenccedilatildeo da condensaccedilatildeo por gotas pois haacute

necessidade de termos um vapor puro urna superficie de resfriameii

to perfeitamente lisa (cromeada espelhada) e com resinas para fa

cilitar a formaccedilatildeo das gotas Tudo isso encareceria demais um con_

densador por isso eacute que na praacutetica usamos condensaccedilatildeo por peliacutecu

la quando podemos usar chapas ou tubos comerciais

So em casos muito especiais quando o espaccedilo eacute muito imshy

portante usa-se condensaccedilatildeo por gotas

2 3 - Remoccedilatildeo do Condensado

Um fator importante a considerar na condensaccedilatildeo eacute a remo

17

ccedilao do condensado que sempre se faz por gravidade Ha dois tipos

principais de superficies de condensaccedilatildeo

1 - Tubos ou placas verticais (ou encunadas)

2 - Tubos cilindricos horizontais

Nos tubos verticais a espessura da peliacutecula liacutequida aumen

tara do topo acirc base e com isso variaraacute ao longo do tubo o coefishy

ciente de peliacutecula loacutecalo

No caso dos tubos ciliacutendricos horizontais o liacutequido escoj

re pela parede lateral e goteja pela parte inferior natildeo havendo

possibilidade de formaccedilatildeo de camadas espessas do condensado

2raquo4 - Condensaccedilatildeo por peliacutecula sobre tubos verticais

Nusselt desenvolveu estudos analiacuteticos sobre condensaccedilatildeo

externa a tubos ciliacutendricos verticais partindo das hipoacuteteses

1 - A espessura da peliacutecula do condensado eacute nula na parte

superior do tubo e vai aumentando nas partes inferioshy

res por condensaccedil-ao e escorrimentoraquo

2 - 0 fluido escorre pela parede em regime laminar sob o

efeito combinado do seu peso e viscosidade

3 - A temperatura da camada mais interna do condensado tem

a temperatura da parederaquo

4 - A temperatura da camada mais externa tem a temperatushy

ra do vapor-

5 - A variaccedilatildeo da temperatura da camada do condensado em

sentido ortogonal agrave superfiacutecie do tubo eacute linear

6 - 0 vapor cede apenas seu calor latente

7 - A temperatura do tubo eacute uniforme e constanteraquo

8 - Nao haacute gases incondensaacuteveis no vapor (vapor puro)

Chegou a formula

18

2 3 g P - h L t

N j = 0943 ( r-EcircY~ ) 1 4 (l) NuL y bdquo k o At v

As propriedades da equaccedilatildeo (1) satildeo avaliadas agrave temperatu

ra meacutedia tm

c + t _ w sat

tm ~ onde

t = temperatura da parede

t = temperatura de saturaccedilatildeo do fluido S 3Lt

exceto o calor latente da vaporizaccedilatildeo b^ que deve ser avaliado agrave

temperatura de saturaccedilatildeo correspondente atilde pressatildeobdquo

Quando a superfiacutecie focircr inclinada vale o raciociacutenio de

Nusselt apenas o termo que atua na remoccedilatildeo do condensado natildeo eacute g

mas sim (g seno) sendo 6 a inclinaccedilatildeo da superfiacutecieraquo

Assim a equaccedilatildeo para estecaso seria

2 3 g o sene o p o h o L

NT _ = 0943 ( r~ y (2) NuL y o k o At w

25 - Efeitos a considerar na condensaccedilatildeo

Ha 3 efeitos importantes a considerar na condensaccedilatildeo que

Nusselt natildeo levou em conta sao eles

- efeito da turbulecircncia no filme liacutequidoraquo

- efeito dos gases incondensaveisraquo

- efeito da velocidade do vapor

251 - Efeito da turbulecircncia no filme liacutequido

As formulas anteriores servem para comprimentos de tubos

pequenos pois nesse caso a velocidade de escoamento do condenshy

sado natildeo eacute grande entretanto para superfiacutecies verticais longas

a peliacutecula torna-se bastante espessa e com velocidade grande deshy

mais para que o escoamento possa ser considerado em regime lamishy

nar

19

Nesse caso define-se o numero de Reynolds baseado na veshy

locidade da fase liacutequida isto eacute

p V 6

Nbdquo - m r

Rer y u

onde

V = velocidade do condensado na camada limite m 6 = espessura da camada limite

T = p V m 6 = descarga do condensado por unidade de largju

ra da superficie de condensaccedilatildeo

No calculo da determinaccedilatildeo de T haacute uma certa dificuldade

pois ele soacute pode ser determinado por iteraccedilatildeoraquo

Q = m c laquo A t = h A A t P

A = 2ir R bdquo L (para tubos)

m c = h o 2IumlIuml R laquo L P

m m braquoL _ p a _ _ li li

2TTR C c P P

Como noacutes nao sabemos o valor de h_ devemos inicialmente

adotar um V e obter atraveacutes da foacutermula

NNuL = deggt0134 (R PV L 3 gt 1 3 ( N R e r ) 0 4 ( 4 )

y

o valor de _h se os valores de h_ obtidos por (3) e (4) forem iguais

o problema esta resolvido caso contraacuterio fazem-se tantas iterashy

ccedilotildees quantas forem necessaacuterias

252 - Efeito dos gases incondensaacuteveis

A presenccedila de gases incondensaacuteveis reduz violentamente o

coeficiente de peliacutecula pois acirc medida que o vapor se condensa o

gaacutes nao condensaacutevel se acumula junto atilde superfiacutecie de resfriamento

20

formando uma barreira adicional S passagem do fluxo de calor

A reduccedilatildeo do coeficiente de peliacutecula que a presenccedila des_

ses gases causa depende da fraccedilatildeo em massa dos mesmos na mistu

ra gaacutes-vapor

Fizeram-se inuacutemeras experiecircncias e sobre o assunto a tiacute

tulo de exemplo vejamos o graacutefico abaixo onde temos em abcissas

o coeficiente de peliacutecula obtido experimentalmente e em ordenadas

a fraccedilatildeo de gases dissolvida jio vapor

5000

bullg- 4000 O

3OOO

2000

S 1000

4 6 8 10 12 lt|gt(lbm arlbm de vapor )x 10

Devemos notar a grande influecircncia dos gases incondensatilde-

veis por exemplo quando o vapor eacute puro nos temos um h = 4000se

tivermos apenas 1 de ar dissolvido o coeficiente de peliacutecula fishy

caraacute reduzido agrave metade isto ecirc h = 2000

Por isso nos condensadores sempre se coloca vapor ornais

puro possiacutevel

253 - Efeito da velocidade do vapor

Quando a velocidade do vapor junto agrave interface liacutequido-

-vapor natildeo focircr despreziacutevel surgem forccedilas de atrito entre o vapor

e o liacutequido Se a direccedilatildeo do fluxo do vapor coincide com a direshy

ccedilatildeo do movimento do liacutequido a velocidade do liacutequido aumenta (haacute

compressatildeo) e a espessura do filme liacutequido diminui e consequenshy

temente a transferecircncia teacutermica melhora pois haacute diminuiccedilatildeo da

resistecircncia teacutermica

Se entretanto a direccedilatildeo do vapor focircr contraacuteria a do fil

o 21 laquo

me de liquido ha uma tendecircncia de haver aumento da espessura da pj2

liacutecula diminuindo assim o valor de h

26 - Consideraccedilotildees sobre os resultados obtidos com as foacutermushy

las de Nusselt

Nota-se experimentalmente que os resultados obtidos pelas

equaccedilotildees de Nusselt sao em geral 10 a 20 inferiores do que os reshy

sultados reais Assim a favor da seguranccedila elas sao usadas e aaacuteo_

tadas Os motivos das discrepacircncias jaacute-foram ditas atraacutes no item

25

Devemos notar ainda que o valor de h obtido pelas foacutermushy

las anteriores e o valor meacutedio jaacute que h varia de ponto para ponto

e seria difiacutecil obter uma equaccedilatildeo que nos desse o valor de h locaL

2bdquo7 - Condensaccedilatildeo por peliacutecula externamente a tubos ciliacutendrishy

cos horizontais

0 mesmo estudo de Nusselt pode ser aplicado neste caso

baseado na hipoacutetese de que no topo do tubo a peliacutecula do condensashy

do tenha espessura nula Chega-se a expressatildeo

g p 2 h D 3 14

NT _ = 0725 ( ) (5) NuD u k o At

Analogamente ao caso anterior as propriedades do liacutequido

sao tomadas a

t + t w sat

tm = ^

exceto h que eacute tomado a t

ev n sat

Na situaccedilatildeo atual da tecnologia e possiacutevel obtermos tubos

com diacircmetros suficientemente pequenos para que tenhamos escoamenshy

to do condensado soacute em regime laminar

22

No caso de vaacuterios tubos empilhados a formula (5) deve

ser modificada pois como dissemos ela soacute vale quando no topo do

tubo a espessura do liacutequido eacute nula o que nao acontece neste caso

(Vide figura a)

Vapor

Tubo

mdash Liacutequido

Fig a

Neste caso a forma que nos da o valor meacutedio para h e

g p 2 h D 3 14

NNuD deg gt 7 2 5 lt N u k V At gt

sendo N o numero de tubos empilhados

Note-se que neste caso o coeficiente h cai bastante Uma

boa soluccedilatildeo para o caso quando dispoacuteftos de lugar eacute dispor os tushy

bos defasados (Conforme figura b)

Liquido

Fig b

Neste arranjo podemos aplicar a equaccedilatildeo (5) pois no tp_

po de cada tubo a espessura da camada de condensado eacute nula

23

B - CONVECCcedilAtildeO COM MUDANCcedilA DE FASE - EVAPORACcedilAtildeO (II)

1 INTRODUCcedilAtildeO

Evaporaccedilatildeo consiste na obtenccedilatildeo de vapor por meio de aque

cimento de um liacutequido

Apesar da importacircncia do processo e do sucesso obtido na

praacutetica em projetos de evaporadores o fenocircmeno da evaporaccedilatildeo eacute

um dos pontos menos conhecidos da transmissatildeo de calor

0 primeiro estudo seacuterio sobre o assunto foi feito em 1934

pelo japonecircs Nukiyama poreacutem somente nos uacuteltimos 10 anos tais es-

tudos se intensificaram

Os primeiros pesquisadores quando estudavam o fenocircmeno

do resfriamento de um solido num liacutequido obtiveram as seguintes

curvas

onde

temperatura

velocidade de resfriamento

3 0 v = amdashbull

A 06

Q - fluxo teacutermico

8 - tempo

A - aacuterea do soacutelido

24

tempo

Ateacute os estudos de Nukiyama nao se conseguia explicar o

porque da variaccedilatildeo crescente da velocidade de resfriamento quando

t gt t sol sat

2 PROCESSO DE FORMACcedilAtildeO DAS BOLHAS

Como a evaporaccedilatildeo do liacutequido se faz sobre uma superfiacutecie

aquecedora sobre esta irao se formar bolhas de vapor que influem

decisivamente no fenocircmeno

Aqui soacute iremos estudar as bolhas sob o ponto de vista qua

litativo bem como a sua influencia mas nao sob o ponto de vista

quantitativo

Recentemente Fritz e Jacob WR Gambill e outros estudiacutei

ram o processo da formaccedilatildeo das bolhas sobre a superfiacutecie aquecedpound

ra Atraveacutes de fotografias verificaram que a bolha de vapor ain

da em contato com a parede variava profundamente de forma confo_r

me o angulo de contato entre liacutequido e parede metaacutelica

Assim eacute que se a superfiacutecie de aquecimento nao e excesshy

sivamente polida e a tensatildeo superficial do liacutequido eacute pequena a

bolha tem a forma da figura las diz-se nesse caso que o liquishy

do molha a parede neste caso o angulo de contato e agudobull Se

as condiccedilotildees contrarias se verificarem o acircngulo de contato sera

obtuso e as bolhas tomam a forma da figura ldegb Naturalmente ve

rificara-se as condiccedilotildees intermediaacuterias para o angulo de contato da

25

fig lc

Fig la Fig lb Fig lo

0 estudo analiacutetico da formaccedilatildeo e crescimento das bolhas

pode ser encontrado em diversos livros por exemplo no El-Wakill

(Nuclear Power) no Jakob (Heat Transfer)e outros Neles faz-se

o estudo das condiccedilotildees do liquido (pressatildeo temperatura tensotildees

etc) para haver ou nao formaccedilatildeo de bolha Isto eacute feito fazendo-se

o estudo das bolhas nas seguintes posiccedilotildees

a) bolha no seio do liacutequido

para meia bolha

4 ltP g - P fgt fg

onde

P g P f

- 4 D (D

g

Pf

D

pressatildeo do vapor

pressatildeo do liquido

tensatildeo entre superfiacutecie do liacutequido e vapor

diacircmetro da bolha

^f g

P f Fig 2

26

A equaccedilatildeo (1) mostra que a pressatildeo do vapor deve ser maior

que a do liquido nas condiccedilotildees de saturaccedilatildeo e este por sua vez

deve estar no estado de superaquecimento o

b) bolhas sobre superfiacutecie solida

Fig 3

Condiccedilotildees para desprender

a mdash o_ + o_ cos a gs fs fg

tensatildeo na interfase liacutequida e vapor (depende das

propriedades do liacutequido e vapor)

tensatildeo entre o liacutequido e superfiacutecie de aquecimen

to (depende das propriedades do liquido e da sushy

perfiacutecie)

tensatildeo entre o vapor e a superfiacutecie de aquecimeri

to (depende das propriedades do vapor e da super

fiacutecie)

21 - Formas do fluxo do vapor desde a superfiacutecie de aquecishy

mento ateacute a superfiacutecie livre do liacutequido

Considerando liacutequido vaporizado em tubos verticais pode^

mos ter 4 tipos de fluxo de vapor

1 - fluxo de bolhas

2 - fluxo de agregados (plug ou slug)

3 - fluxo anular

4 - fluxo disperso

Os quatro tipos ficam bem determinados respectivamente

onde

a fg

degfs

a gs

27

pelas 4 figuras abaixo

LIacutequido - Liacutequido Liacutequido

o

^Bocirclha de

vapor

Vapor

mdash [

- Vapor

mdash 0 0

deg_ a-

jrj-

iquestiexcl5

Bolhas Agregados Anular

Liacutequido

vapor

Disperso ou

Homogecircneo

Conforme o tipo de ebuliccedilatildeo podemos ter uma so das forshy

mas acima ou uma mistura

3 INCERTEZAS NO ESTUDO DA EVAPORACcedilAtildeO

Ha trecircs incertezas principais para determinar o fluxo de

calor na evaporaccedilatildeo a saber

- Aacuterea de contato indefinida

- Diferenccedila de temperatura indefinida

- Grau de turbulecircncia

Como realmente nos nao sabemos uma dependecircncia algeacutebri

ca entre o acircngulo de contato e a superfiacutecie ocupada pelo liacutequishy

do (ou vapor) temos uma incerteza na determinaccedilatildeo da aacuterea de tro

ca de calor (A)

Outra incerteza eacute a dificuldade da obtenccedilatildeo de diferenccedila

de temperatura entre o liacutequido e a parede que normalmente assume-

-se como sendo a diferenccedila entre a temperatura da parede e da ebu

liccedilatildeo do liacutequido (temperatura de saturaccedilatildeo = t )

S cl c

Na realidade a diferenccedila de temperaturas nao eacute aquela

pois a camada de liacutequido que cobre a superfiacutecie aquecedora esta

a uma pressatildeo maior que o resto do liacutequido (pressatildeo atmosfeacuterica

mais a hidrostaacutetica) e consequentemente a temperatura de vaporiza_

ccedilao desse liacutequido e maior que a da superfiacutecie Esta diferenccedila po-

28

deria ser calculada desde que se conhecesse a relaccedilatildeo entre presshy

satildeo e temperatura de saturaccedilatildeo do liacutequido entretanto haacute incerte

za quanto ao verdadeiro peso especiacutefico da coluna de liacutequidopois

trata-se de uma mistura de bolhas de vapor e de liacutequido em proshy

porccedilatildeo variaacutevelraquo

4 REGIMES DE EBULICcedilAtildeO

Nukiyama estudando a ebuliccedilatildeo da aacutegua num recipiente a

quecendo-a com resistencias eleacutetricas construiu a curva baacutesica da

ebuliccedilatildeo Todos os liacutequidos apresentam uma curva semelhante vashy

riando apenas os valoresraquo Os pontos caracteriacutesticos da curva deshy

pendem de caracteriacutesticas difiacuteceis de definirtais como natureza

do metal estado da superficie (rugosidade) dimensotildees orientashy

ccedilatildeo do fluxo quantidade de gases dissolvidos e t c

Estudaremos o fenocircmeno para o caso de aacutegua destiladasem

gas dissolvido a temperatura de saturaccedilatildeo 100 C pressatildeo atmosfe_

re uma superficie plana

Chega-se assim acirc curva

rica sobre uma superficie plana horizontal a temperatura t^

In ltJgt

At (degC)

A curva acima representa o aquecimento de agua com uma re_

sistecircncia eleacutetrica (ate ebuliccedilatildeo)raquo Temos em abcissas as diferenccedilas

de temperatura entre o liacutequido e a resistecircncia em ordenadas o flu

29

Regiatildeo I

Regiatildeo II

Regiatildeo III

Regiatildeo IV

xo de calor por unidade de area

Na curva notam-se 4 regiotildees bem definidas tendo cada uma

o seu significado fiacutesico os quais correspondem a um tipo de ebuli

ccedilao

convecccedilao natural

ebuliccedilatildeo nucleada

ebuliccedilatildeo por peliacutecula parcial

ebuliccedilatildeo por peliacutecula estaacutevel

41 - Convecccedilao natural

Ocorre quando At eacute inferior a 8degCformam-se no liacutequido

correntes convectivas as quais transferem o calor ateacute a superfiacuteshy

cie livre do liacutequido e aiacute desprendendo o vapor Neste caso o valor

de h eacute da ordem de 2000 kcalm^hdegC

42 - Ebuliccedilatildeo nucleada

Ocorre quando o At eacute maior que 8degC e menor que 25degC Nesshy

te caso as bolhas formam-se junto a superfiacutecie de aquecimento

crescem liberam-se movimentam-se em direccedilatildeo agrave superfiacutecie livre do

liacutequido onde estouram libertando o vapor As bolhas formam-se nas

irregularidades da parede tecircm um acircngulo de contato agudo e porshy

tanto hatilde liacutequido sempre em contado com a parede (molha a parede)

cada ponto ativo (lugar onde se formam as bolhas) libera uma porshy

ccedilatildeo de bolhas e os outros pontos do liacutequido ficam em contato com a

superfiacutecie quente violentamente agitados Esta agitaccedilatildeo extrema eacute

mais eficaz que uma turbulecircncia criada artificialmente Por esse mo

tivo a curva cresce violentamente nesse trecho (m = 3 a 7) pois

bull 2 o o valor de h cresce consideravelmente (ate 46000 kcalm hr C) e

o fluxo teacutermico transmitido ao liacutequido cresce proporcionalmente a

Quando cresce crescem tambeacutem

(At) 3

30

numero de bolhas por unidade de aacuterea (num instanshy

te)

~ = crescimento da bolha (com o tempo)

frequecircncia de iacuteormaccedilao de bolhas

A medida que o At vai aumentando iraacute aumentando (jgt tam-- n o N

bem e consequentemente mdash R mdash a a a tal ponto que quando atiacuteii

girmos o ponto da curva nao haveraacute mais formaccedilatildeo de bolhas

mas sim uma peliacutecula de vapor instaacutevel passando assim a 3a re

giao que estudaremos a seguir

43 - Ebuliccedilatildeo por peliacutecula parcial

Como dissemos no item anterior se aumentarmos ainda mais

o At (entre 25degC e 125degC) teremos a formaccedilatildeo de uma peliacutecula de

vapor instaacutevel sobre a superfiacutecie quente que aacutes vezes eacute perfurashy

da pelo liacutequido A camada de vapor tanto mais estaacutevel seraacute quanshy

to maior focircr o At Essa peliacutecula de vapor iraacute provocar um decreacutes_

cimo consideraacutevel no fluxo teacutermico porque como sabemos o vapor

eacute muito pior condutor que a aacuteguaraquo

0 fluxo vai decrescendo ateacute um ponto miacutenimo (iexclgt mintilde (as vecirc

iacutebo bullraquo 1

zes chega a ser mdashj-) e e o chamado ponto de Liedenfrost 0 coeshy

ficiente de peliacutecula neste caso cai violentamente (h = 2000

kcalm^hrdegC)

44 - Ebuliccedilatildeo por peliacutecula estaacutevel

Aumentando ainda mais a diferenccedila de temperaturas

At ( gt 125degC) iremos conseguir uma camada de vapor estaacutevel Ela

transmite calor da superfiacutecie quente ao liacutequido que se vaporiza de

modo que o excesso de vapor formado na interface liquido-vapor for

ma bolhas que sobem para a superfiacutecie 0 liacutequido encontra-se agi-

31

tado poreacutem nao toma contato com a superfiacutecie soacutelida

A peliacutecula de vapor eacute estaacutevel e o fluxo eacute proporcional a

34

(At) (lei de Bromley) Para At grandes passa a influir sensivel^

mente a radiaccedilatildeo teacutermica mais uma razatildeo para demonstrar que nesshy

ta regiatildeo o fluxo cresce novamente

5 CONSIDERACcedilOtildeES E COMPARACcedilAtildeO ENTRE OS TIPOS DE EVAPORACcedilAtildeO

BURNOUT

Sob o ponto de vista de eficiecircncia teacutermica deveriacuteamos sem

pre trabalhar no ponto de fluxo maacuteximo isto eacute no ponto correspon

dente a lt(gt da curva de Nukiyama pois eacute o que daacute maior coeficieri

te de peliacutecula

Acontece poreacutem que se impomos a temperatura da parede

fixa obtemos um uacutenico valor de lt(gt e portanto o fenocircmeno eacute estaacutevel

Poreacutem se como ocorre nos reatores impomos um fluxo teacuter

mico a curva de Nukiyama apresenta 3 pontos de funcionamento posshy

siacuteveis A B C

1

SOacute os pontos A e C sao funccedilotildees estaacuteveis mas eles impotildeem

acirc superfiacutecie quente temperaturas bem diferentes

Na industria em geral trabalha-se por questotildees de segushy

ranccedila na regiatildeo IV da curva poreacutem para os reatores trabalha-se na

32

r e g i atilde o I I

0 p r o b l e m a de t r a b a l h a r n a r e g i atilde o II eacute q u e se n oacute s e s t i shy

v e r m o s t r a b a l h a n d o n o p o n t o e x t r e m o (j) e se p o r q u a l q u e r m o t i v o

h o u v e r u m p e q u e n o a c r eacute s c i m o d e ltfgt i r e m o s t r a b a l h a r i m e d i a t a m e n t e no

p o n t o M q u e t e m o m e s m o $-^0t p o r eacute m c o m A t 2 m u i t a s v e z e s m a i o r

p o d e n d o o c a s i o n a r a f u s atilde o d a s u p e r f iacute c i e a q u e c e d o r a E s t e f e n ocirc m e n o

eacute c h a m a d o d e b u r n o u t

0 f l u x o lttgt eacute c h a m a d o f l u x o c r iacute t i c o o u f l u x o d e b u r -b o

n o u t N o c a s o do r e a t o r d e v e m s e r t o m a d a s m e d i d a s r i g o r o s a s q u a n

to agrave r e g u l a g e m do f l u x o t eacute r m i c o p a r a q u e n atilde o o c o r r a o b u r n o u t 1 1

p o i s d e l e p o d e r e s u l t a r r u p t u r a d a c a m i s a do c o m b u s t iacute v e l e h a v e shy

r aacute p o r t a n t o c o n t a t o do r e f r i g e r a n t e c o m o s s oacute l i d o s e g a s e s r a shy

d i o a t i v o s

5 o l - R e l a ccedil atilde o d e B u r n o u t

E c l a r o q u e p a r a t e r m o s u m r e a t o r m a i s e f i c i e n t e d e v e shy

m o s t r a b a l h a r c o m u m f l u x o o m a i s p r oacute x i m o p o s s iacute v e l do f l u x o d e

B u r n o u t P a r a t a n t o d e v e m o s c o n h e c e r c o m o m a i o r g r a u d e certe

za p o s s iacute v e l q u a l o ^ p a r a p o d e r m o s r e d u z i r o c o e f i c i e n t e d e s e shy

g u r a n ccedil a ( W R G a m b i l l r e c o m e n d a agrave 1 5 )

N o s s e m i n aacute r i o s d e W R G a m b i l l e n c o n t r a m o s u m a s eacute r i e de

b i b l i o g r a f i a s o n d e p o d e m o s e n c o n t r a r i n uacute m e r a s f oacute r m u l a s p r o p o s t a s

p a r a a o b t e n ccedil atilde o de (q 1^)

A t i t u l o d e e x e m p l o v e j a m o s a l g u m a s

q - 2 7 0 G deg gt 8 5 D 0 2 A085 p lt 150

deg D ( L uuml ) 2

q - 140 G 0 5 D ~ deg 2 (-~-)~deg 1 5 p ~ r gt 150 c D (LD)

o n d e a m b a s as e q u a ccedil otilde e s s oacute v a l e m p a r a aacute g u a e m b a i x a p r e s s atilde o e m coii

v e c ccedil a o f o r ccedil a d a

33

D

L

fluxo teacutermico critico BTUhrft bdquo 2

descarga em massa do liquido (Ibmhrft )

diacircmetro do tubo ft

comp do tubo ft

Para cada caso temos uma expressatildeo diferente que pode ser

encontrada em literatura especializada

6 INFLUEcircNCIA DE OUTROS PARAcircMETROS NO FLUXO DE BURNOUT

Como para os usos atuais do reator a diferenccedila de temppound

ratura entre parede e fluido sao pequenas bem como o fluxo de bur

nout recentemente fiacutesicos como Jakob Bonilla WR Gambill estu

daram outros paracircmetros que influenciam bastante o sect^ 0gt isto eacute a

influecircncia desses paracircmetros faz com que o ^ seja maior Isto eacute

util pois quanto maior o fluxo de burnout maior poderaacute ser o

fluxo de calor real de funcionamento

Tais meios sao

- Sub-resfriamenCcedilo do liacutequido

61 - Influecircncia da velocidade do liacutequido

Estudos feitos pelos autores acima chegaram agraves curvas

- Aumento da velocidade imposta ao liacutequido

- Pressatildeo do liacutequido elevada

alto V

At

34

Para velocidades maiores o fluxo de burnout aumenta

porque neste caso o regime eacute turbulento e o coeficiente de peliacute

cuia h aumentao

6bdquo2 - Influencia do aumento da pressatildeo

Este estudo deve-se a Bonilla que obteve experimentalmen

te as curvas

Este estudo foi feito para vaacuterios liacutequidos e chegou a con

clusao que sempre havia uma pressatildeo oacutetima isto e uma pressatildeo que

leva ao maior iacute 1 ^ raquo mantidas as demais condiccedilotildees Experimentalmenshy

te notou que essa pressatildeo correspondia a 13 da pressatildeo critica

do liquido em questatildeo

6=3 - Influecircncia do sub-resfriamento

Consiste em manter atilde custa de uma circulaccedilatildeo intensa o

liacutequido a uma temperatura inferior atilde de saturaccedilatildeo para a pressatildeo

correspondenteraquo Experimentalmente chega-se agraves curvas

mdash A t grande sub

bullAt -0 sub sub

medio

At

35

Verificando os graacuteficos vemos que o lt)gt aumenta agrave medida bo

que aumenta a diferenccedila de temperatura de sub-resf riamento isto pojr

que o liquido como estaacute mais frio faz com que algumas das bolhas

recondensem permitindo que o liquido fique em contato com a parede

quente o que faz aumentar o h

^ f csub = t e m P e r a t u r a ddeg liacutequido - temperatura de saturaccedilatildeo

A diferenccedila de temperatura At entre fluido e parede tamshy

beacutem aumenta poit na regiatildeo proacutexima agrave parede haacute necessidade de

levar o liacutequido da temperatura do sub-resfriamento ateacute a temperatu

ra de saturaccedilatildeo quando se evapora

Atualmente os maiores estudos dos fiacutesicos nucleares locashy

lizam-se neste campo pois eacute o que oferece maiores vantagens

7 FORMULAS PARA 0 CAacuteLCULO DO COEFICIENTE DE PELIacuteCULA NA EBULICcedilAtildeO

Como ocorre no caacutelculo de todas as foacutermulas de convecccedilatildeo

temos formulas empiacutericas para determinar o h conforme o tipo de

ebuliccedilatildeo que nos consideramos

71 - Ebuliccedilatildeo Nucleada

Para o caso de aacutegua temos as relaccedilotildees

superfiacutecies

horizontais

superfiacutecies

verticais

f aacute 5000 BTUhrft 2 -gtbull h = 151 ( A t ) 1 3

A o

5000 lt 75000 -h = 0618 (At)3

^ pound 1000 -raquobull h = 8 7 ( A t ) 1 7

A o -

1000 lt $ lt 20000 -gt h = 027 (At) A o

Quando a pressatildeo e diferente da atmosfeacuterica faz-se a correccedilatildeo

3 6

72 - Ebuliccedilatildeo por peliacutecula

Bromley propocircs uma boa equaccedilatildeo para a ebuliccedilatildeo por peliacuteshy

cula estaacutevel em cilindros horizontais

Nu

_ JtjD n r 9 P v bull ( P L - P v gt - g -h

e V bull D i2

D 1 ^ U b Z u At gt

onde

V = indica vapor

L = indica liacutequido

Multiplicando ambos os membros da equaccedilatildeo acima por

kvD obteremos a expressatildeo do coeficiente de convecccedilagraveo meacutedio para

o caso

37

C - FORMULAS PARA CAacuteLCULOS ESPECIacuteFICOS - RESULTADOS ESPECIacuteFICOS

1 FLUXO DE CALOR CRIacuteTICO - BURNOUT

lol - Introduccedilatildeo

O aspecto mais importante no que se refere agrave seguranccedila

dos reatores da transferencia de calor na ebuliccedilatildeo eacute a determina

ccedilatildeo do Fluxo de calor critico ou de pico ou burnout

Como jatilde vimos quando temos a ebuliccedilatildeo nucleada a dishy

ferenccedila de temperatura entre refrigerante e superfiacutecie de aqueci

mento e pequena poreacutem quando atingimos o fluxo de calor criacutetico

essa diferenccedila de temperatura pode tornar-se imediatamente muishy

to grande podendo causar a ruptura da superfiacutecie de aquecimento

se atiigirmos o ponto de fusatildeo do soacutelidoraquo

Usando a convecccedilao

onde

At sat

w

sat At

sub

w = temperatura da parede de aquecimento

t t = temperatura de saturaccedilatildeo do liacutequido

t^ = temperatura de mistura do liacutequido

At = (t -t ) sub-resfriamento do liacutequido sub N sat b 1

nout

Ha dois tipos de burnout fast burnout e slow bur-

Ocorre o fast burnout (burnout raacutepido) quando A t g u b gt 0

38

ou para baixo x (~ lt 10) sendo x o titulo do vapor

Temos o slow burnout para x - gt 10 Assim noacutes tereshy

mos dois limites para o burnout

At bull o (ltJgt ) t =((() para t = t ) -

bo m m possiacutevel w sat

sub i

4L + 1

G c D h pl nb

(ltK ) = (ltpound para x = 1) = Dv-bo max possiacutevel e 4L

c At l + P 1 sub i

onde

L = comprimento do canal

D = diacircmetro do tubo

G = descarga de liacutequido (por unidade de aacuterea)

c ^ = calor especiacutefico do liacutequido

Agrave = calor latente de vaporizaccedilatildeo

h ^ = coeficiente de transferecircncia de calor na regiatildeo de

nao ebuliccedilatildeo

iacutendices

i = entrada

e = saiacuteda

Haacute inuacutemeras expressotildees para determinaccedilatildeo do burnout pro

postas por muitos fisicos cada uma aplicando-se a um caso especiacuteshy

fico vejamos algumas delas

12 - Equaccedilotildees para prediccedilatildeo de Burnout

121 - Equaccedilatildeo de Bragg e Smith (Zuber)

Num artigo publicado por Bragg e Smith encontramos uma f oacute_r

mula que e derivada da formula de Kutateladze e nos daacute o fluxo cri

39

tico quando nao temos sufaresfriamento

bo poolsat v V raquoc a ( p l P V )

2 PV

14

onde

ltiexclgt = fluxo de calor critico bo

k = constante

Ly = calor latente de vaporizaccedilatildeo do refrigerante

= densidade do liquido

pvr = densidade do vapor V a = tensao superficial

g = fator de conversatildeo c

a = aceleraccedilatildeo da superficie de aquecimento

Os autores encontraram para k um valor de 062 entreten

to outros autores como Zuber incluindo outras variaacuteveis que In

fluiam no fenocircmeno encontraram k variando entre 008 e 023Esshy

tudos bem elaborados mostram que o valor mais aproximado eacute

k = 015 (- 003)

1-22 - Equaccedilatildeo de Noyes

Noyes estudou o burnout para o soacutedio agua e alguns liacute

quidos orgacircnicos

( W s a t ~ bdquo 0245 bull ( r ( 1 )

iiacute_ V 1 Pr

onde

N n = Nuacutemero de Prandtl da fase liacutequida x r

Mais tarde o proacuteprio Noyes alterou a equaccedilatildeo para

n ^ - n H Iacute I Pl PV gt0538 deg g c a q 4 ( W s a t deg 1 1 6 PV ( - p 7 ~ ) (77T1^ ) ( 2 )

40

A ultima correlaccedilatildeo proposta por Noyes foi

a n prPV0560 112

1

(a bull a) 13

(ag c) 112

(3)

onde

a = difusividade teacutermica do liacutequidoraquo A equaccedilatildeo (3) eacute bashy

seada em todos os dados de burnouts do soacutedio bem

como da atildegua benzeno difenil e outros De 111 pontos usados 90

+ estatildeo relacionados dentro de - 30bdquo

ldeg2o3 - Burnout com convecccedilao forccedilada e sub-resfriamen

to

Aproveitando os resultados de aproximadamente 240 testes

de burnouts com aacutegua sub-resfriada em fluxo de convecccedilao forccedilashy

da feitos na Ruacutessia Labuntsov elaborou uma boa equaccedilatildeo empiacuterica

para o problemabdquo

Esta relaccedilatildeo aplica-se para velocidades entre 2 3 e 148

ftsec pressotildees entre 1 e 201 atmabs sub-resfriamento entre 0 deg

e 432 degF e fluxos de burnout entre 0 4 x IO 6 x 166 x 1 0 6 BTUhr

2 bdquo

bullbo

onde

e a seguinte

6 ( P ) 1 + 0 2 3 2 V 2

14

e ( P ) 1 +

15 c At _p_ sub

12 (a)

9 ( P ) - P 1 3 o ( 1 - P J 4 3

red

= pressatildeo (atm abs)

pressatildeo reduzida = mdash mdash red r P

t_ c = pressatildeo critica

= velocidade do liacutequido (ftsec)

= calor especiacutefico do liacutequido (BTUlbdegF)

4 1

^ tsub = ^ ^ e r e n Ccedil a ^ e temperatura entre a temperatura de

mistura do liacutequido e a de saturaccedilatildeo (degF)

X = calor latente de vaporizaccedilatildeo (BTUlb) 2

ltiacutegtbo = fluxo de burnout (BTUhrfl )

Uma outra correlaccedilatildeo para o caso foi proposta por

Ornatsky e Xiohigin que fizeram experiecircncias para pressotildees entre

10 e 1 5 0 3xm 90 degF lt At ^ lt 4 5 0 deg F 3 7 1 0 6 ( l b h r o f t 2 ) lt G lt

2 2 2 10 b ( l b h r bdquo f t 2 )

lt ^ = 3 2 5 0 (G o A t bdquo J deg 6 ( - i - ^ ) 2 5 ( b ) bo sub

onde

G - descarga de refrigerante por unidade de aacuterea

P ^ v P v - densidades do liacutequido e do vapor

P1~ PV -0 termo (mdash ) e incluido na expressatildeo (b) para indicar

a influecircncia da ^ pressatildeo sobre o

Uma comparaccedilatildeo entre as equaccedilotildees (a) e (b) foi feita para

o Reator de Isoacutetopos de Alto Fluxo (HFIR) nas condiccedilotildees aacutegua a

600 psia velocidade = 45 ftsec e sub-resfriamento = At^^ 1

degF obtendo-se uma diferenccedila de 6 5 entre ambos (4gt = 6 0 5 1 0 b

2 ~ 6 2 BTUhr ft pela equaccedilatildeo (a) e 6 4 5 10 3TUhrraquoft pela equaccedilatildeo

(b)

Ilatilde ainda a equaccedilatildeo de Ivey e Morris aplicaacutevel somente pa_

ra ebuliccedilatildeo com grande quantidade de liacutequido

( c sub t

Cpf bull A tsub

( bull ) s ~ V P bdquo 10 h V sat V g

onde

(ltL ) = fluxo critico com sub-resfriamento c sub

(ograve ) ^ - fluxo critico sem sub-resfriamento c sat

42

c ^ = calor especiacutefico do liacutequido

= calor latente de vaporizaccedilatildeo

124 - Burnout com convecccedilao forccedilada e ebuliccedilatildeo por bocirc-

Ihas

Gambill fez uma extensatildeo da equaccedilatildeo de Levy e aplicou o

metqdo da superposiccedilatildeo Tal extensatildeo consiste natilde subtraccedilatildeo de uma

razatildeo equivalente de massa transferida dos termos que represenshy

tam a ebuliccedilatildeo e convecccedilao para levar em conta a presenccedila do vashy

por no fluxo

A correlaccedilatildeo pode ser escrita assim

24 V P V

o g c a (p^Py) 14

+ 0696 (k p c ) 12

(

pr p v )i4 o g c a (P-L-Py) 18

bull At + h sub nb

044 p v L v G (g1) bull N2 n

p l P V

( pr p v ) d e 2-7

2 4 TT 0

14 ( f e _ ^ r l 3

lO^u

onde

k = condutividade teacutermica

c = calor especiacutefico

A t s u b ~ s ub-resfriamento do liacutequido

h = coeficiente de transferecircncia de calor de nao ebu nb mdash

liccedilatildeo

G = descarga total do refrigerante

43

d g = diacircmetro equivalente do tubo ou canalraquo

]i = viscosidade

B = constante adimensional

Os iacutendices V e 1 representam vapor e liacutequido respectiva

mente

0 primeiro termo entre chaves da equaccedilatildeo representa o flu

xo de calor no burnout de sub-resfriamento em convecccedilao forccedilada 0

segundo termo entre chaves corresponde ao fluxo de calor transferi^

do para a massa da fase vapor

1-25 - Burnout por Bloqueio da Base

Ocorre quando a profundidade do recipiente eacute muito maior

que a largura 0 bloqueio da base eacute causado pela formaccedilatildeo de uma pe_

licula de vapor na base impedindo que o liacutequido toque o fundo do

recipiente

i De

Este eacute o burnout por flooding isto eacute burnout por expul

sao do liacutequido Uma equaccedilatildeo que nos dacirc o fluxo minimo do burnout

parao caso eacute

44

onde

D g = diacircmetro equivalente

L = comprimento do tubo

= calor de vaporizaccedilatildeo

p^Py Ap = densidade do liacutequido do vapor e diferenccedila en

tre ambos

Para um fluxo de calor maior ou igual ao dado pela expres_

sao acima (mantida a mesma geometria) teremos burnout Para um deshy

terminado fluxo existiratildeo sempre um comprimento L e um diacircmetro equi

valente D e para os quais temos burnout Exemplo

L (in) D e(in)

10 11

100 51

1000 235

2 RESULTADOS ESPECIacuteFICOS - FOacuteRMULAS PARA CAacuteLCULOS ESPECIacuteFICOS

21 - Diferenccedila de temperatura At i

13 a t

sat

At sat

poundatildeJL_ raquo t - t J p T T 6 w sat

onde

o laquo tensatildeo superficial entre liquido e vapor

t - temperatura de saturaccedilatildeo do liacutequido para a corres-Scl t

pondente pressatildeo

J equivalente mecacircnico do calor

X laquobull calor latente de vaporizaccedilatildeo

py = densidade do vapor

6 = espessura da camada de liacutequido superaquecido onde

45

k l

h nc

onde

k^ = condutividade teacutermica do liacutequido

h = coeficiente de peliacutecula nc r

Segundo Eckent h ^ c e dado por

P 2 Q

nc 3 V VP + 0952

r

onde

D = diacircmetro equivalente

G r = numero de Grashoff

P = nuacutemero de Pradtl

2 o 2 - Velocidade das bolhas

A velocidade das bolhas em meacutedia pode ser dada pela exshy

pressatildeo

V bdquo = Iacute ( a bull B Apl4 bolhas 5 ^ 2

p l onde

AP = P L - P v

Expressatildeo que vale quando a aceleraccedilatildeo eacute a da gravidade

baixa viscosidade do liacutequido e bolhas separadas

Vbolha = f t s e atilde m a x para aacutegua

2 bdquo3 - Diacircmetro das bolhas

2gc deg 12 D = 0015 3 ( mdash mdash 7 ~ ) d g Ap

5 =

46

onde

8 = acircngulo de contato (20 a 90deg) geralmente assume-O -1

-se igual a 50 para a agua em contato com metal

24 - Coeficiente de peliacutecula na ebuliccedilatildeo nucleada

a) Equaccedilatildeo de Rohsenow

Esta equaccedilatildeo nos datilde o fluxo de calor q na ebuliccedilatildeo nushy

cleadaraquo E oacutetima expressatildeo para muitos liacutequidos o efeito da presshy

satildeo eacute levado em conta na variaccedilatildeo das propriedadesraquo

Pf

fg

sat 17 = c

sg k y f h f g g( P f-p g)

n033

onae

Pf

fg

Pf Pg c sg

= fluxo de calor requerido (BTUhr0ft^)

= calor especiacutefico do liacutequido saturado (BTUlbm0F)

= calor latente de vaporizaccedilatildeo (BTULbm)

= nuacutemero de Prandtl

= viscosidade do liacutequido (lbrahrraquoft) ~ 8 2

= fator de conversatildeo 417 10 Ibmftlbflaquohr 2

= aceleraccedilatildeo da gravidade (fthr )

= tensatildeo superficial na interface liacutequida vapor

(lbfft) 3

densidade do liquido e vapor (lbmft )

constante adimensiacuteonal que depende de vaacuterios fashy

tores dentre os quais o grau de aquecimento en_

tre o fluido e a superfiacutecie de aquecimento e o

mais importanteraquo Independe da pressatildeo do sistema b) Equaccedilatildeo de Levy

Equaccedilatildeo valida para a aacutegua quando 100 lt p lt 2000 psiacutea

47

43 bdquo3

qu bdquo gat ^ T J h r t f t ^

495

25 - Calculo do fluxo de calor no Ponto de Leidenfrost

0 ponto de Leidenfrost como vimos eacute o ponto em que oflu

xo de calor comeccedila ncamente a crescer isto eacute o ponto onde termal

aa a ebuliccedilatildeo instaacutevel e comeccedila a ebuliccedilatildeo por peliacutecula estaacutevel Eacute

o chanado fluxo miacutenimo (egrave ) m m

Aproximadamente quando A t g u k = 0 temos

A _ mdash _ mdash (Gambill) m m 5

Ha entretanto varias expressotildees para determinar esse flu

xo eis uma delas

A p 14 ltjgt = 009 h pbdquo (o raquo g mdash ) y m m fg P V deg 2

p l

26 - caacutelculo do fluxo de calor na regiatildeo de ebuliccedilatildeo por peliacute

cuia estaacutevel

para cilindros jmdashi i li

_ D 0172 k-V - P V A p h l V bull S 14 li - = 062 (mdashmdash) (- j- r rmdash) convecccedilao A 0 ybdquo (t -t )

c V w sat

onde

= condutividade do vapor

- 2 TT ( mdash )

c gAp Vl = significam vapor e liacutequido respectivamente

para paredes verticais

L 0172 S deg7 A p bull hlV S q 4 h - - 080 (-^-)J- (-Iuml - Iacutemdash-convecccedilao X L u (t - t J)

c V w sat

48

Como nesta regiatildeo jaacute haacute nina influecircncia marcante da radia

ccedilao devemos levar en conta tambeacutem o coeficiente de peliacutecula de

vido a radiaccedilatildeo para determinar o coeficiente de peliacutecula total

Dos estudos atildea radiaccedilatildeo temos

h = a F pound(T 4 - T 4 J ( T ~ T ) rad w sat w sat

onde amp _ emissividade de superfiacutecie

a = constante de Stefan-Boltzman

F = fator de forma

Segundo WE Gambill o coeficiente de transmissatildeo total

ceve ser

3 iacutei = h + -7 h para h lt h t conv 4 rad r rad conv

Na expressatildeo acima existe o fator 34 porque a radiaccedilatildeo

faz variar um pouco a espessura do filme de vapor reduzindo asshy

sim o l l

conv

Quando tivermos h gt h gt o h^ ^ seraacute rad conv total

h f c = h + h t conv rad

Neste ultimo caso nao ha nenhum coeficiente porque a peshy

liacutecula de vapor jaacute eacute estaacutevel

27 - Grandezas caracteriacutesticas para a apua

Para pressatildeo igual a 1 atm = 1422 psia

At ^ = t - t = 5degC (iniacutecio da ebuliccedilatildeo nucleada) sat w sat 1

At t = 30degC sat crit

49

5 2 $ = 4 10 BTUhrft (para pressatildeo 1 atm)

0 fluxo critico cresce como vimos com a pressatildeo ate

atingir o maacuteximo quando a pressatildeo eacute aproximadamente 13 da pressatildeo

criacutetica Esse fluxo eacute

bull = 13 IO 6 BTUhrft 2 para p = 11000 psia (p pound = 32062 psia)

Ainda temos que para pressatildeo igual a 15 psia

h b o = 11000 BTUhrft degF - ebuliccedilatildeo nucleada

h f b = 30 BTUhrft 2 degF - ebuliccedilatildeo pelicular

Todos os resultados e formulas para caacutelculos especiacuteficos

apresentados nos itens 21 22 23 ateacute 27 sacirco aplicados somente

para sistemas onde haja ebuliccedilatildeo com grande quantidade de liquido

51

D - HIDRODINAcircMICA DOS SISTEMAS E QUEDA

DE PRESSAtildeO DENTRO DE UM CANAL

1 HIDRO-DINAcircMICA E QUEDA DE PRESSAtildeO

11 - Hidro-dinacircmica dos sistemas estaacuteveis

111 - Regimes de escoamento

A evoluccedilatildeo do escoamento ao longo de um canal aquecedor

de secccedilatildeo constante ciliacutendrico pode ser esquematizada pela figushy

ra 1 onde temos em abcissa o comprimento z do canal e em ordenada

a temperatura (T)

52

Na figura 1 nos representamos

a) 0 aspecto do escoamento fluido quando a entalpia do

- fluido aumenta Verificamos que o fluido entra no cashy

nal no estado liacutequido e assim permanece ateacute atingirmos a zona de

ebuliccedilatildeo local onde aparecem as primeiras bolhas A entalpia do

fluido continua aumentando e tem inicioa ebuliccedilatildeo franccedila onde as

bolhas se unem formando agregados posteriormente o escoamento to

ma a forma da figura ou seja torna-se anular disperso Finalmente

atingimos duas uacuteltimas fases do escoamento disperso (vapor uacutemido)

e vapor seco

b) A evoluccedilatildeo da temperatura meacutedia do fluido e da tempeshy

ratura da parede Note-se que a partir da cota a

temperatura da parede aumenta brutalmente podendo causar o

burnout

c) A evoluccedilatildeo do tiacutetulo do vapor (x) com o comprimento

do tubo e a evoluccedilatildeo da fraccedilatildeo (a) que definiremos no

item 11laquo2 com o comprimento do tubo

112 - Definiccedilotildees

a) Tiacutetulo ou qualidade do vapor (x)

massa de vapor na mistura x ~ massa total da mistura

x =

W _g_

g f

b) Fraccedilatildeo vazio (void fraction)

volume do vapor na mistura a = volume total da mistura (agua+vapor)

A relaccedilatildeo entre x e a num sistema parado pode ser obtida

assumindo um certo volume contendo 1 lbm de mistura em equiliacutebrio

teacutermicoraquo

53

O volume da mistura seraacute igual a (v + xv ) ft onde v eacute 3 r rg

o volume especifico (lbmft )

f - refere-se ao liquido

g - refere-se ao vapor

fg - refere-se a diferenccedila entre liacutequido e vapor

Numa mistura em equiliacutebrio se o liacutequido e o vapor estatildeo

saturados o volume do vapor presente eacute igual acirc sua massa vezes

seu volume especiacutefico v assim e

xv bdquo bdquo a mdash

V c + XV c

f gf

onde

- bull-bull uumlutiacuteisa vapor na mistura de 1 Ibm

v volume especiacutefico do liacutequido

v = volume especiacutefico do vapor o

V c = v - V

gf 8 r

Fazendo uma transformaccedilatildeo na expressatildeo acima temos

xv xv JS = Z-

v r+ x(v -v c) xv +(l-x)v t ri f g f g f 1 + Ul-x)xjv fv

1 + C(l-x)x]]vfvg

A fraccedilatildeo vazia tem a influencia de baixar a reatividade

do nuacutecleo nos reatores em que o refrigerante eacute tambeacutem moderador

Na equaccedilatildeo acima os valores de x e v sao tomados em tabe

las termodinacircmicas apropriadas para a pressatildeo do sistema A equashy

ccedilatildeo (1) mostra os grandes valores de a para pequenos valores de x

especialmente para baixas pressotildees Isto ocorre porqueaumentando

54

aacute pressatildeo o v decresce muito enquanto que o v f eacute mais ou menos da

mesma ordem de grandeza

Exemplo Calcular o a correspondente para x raquo 2 para aacutegua

leve atilde pressatildeo atmosfeacuterica

Da tabela para p laquobull 1 atm

v - 001672 ft 3lbm e v - 26800 ft 3lbm

1 + [(1-002)002] 001672268

0971 ou 97U

O grafico abaixo mostra a variaccedilatildeo do a com x para vaacuterias

pressotildees e para a aacutegua leve

x ()

tObservaccedilotildees da curva

Fig 2

1 - para x constante a decresce com a pressatildeo Para presshy

sotildees proacuteximas da criacutetica a aproxima-se rapidamente de

x Para a pressatildeo criacutetica as duas fases satildeo indistinguiacuteveis ea=x

2 - para cada pressatildeo dotdx decresce com aumento de x

3 - para baixos valores de x (que e o caso dos reatores

tipo Boiling) quando p decresce dadx cresce e torr

na-se muito grande paacutera baixas pressotildees Isto tem relaccedilatildeo com a epound

55

tabilidade do reator como veremos mais tarde

113 - Sistemas com fluxo

Todas as definiccedilotildees que noacutes vimos no item anterior refeshy

rem-se acirc sistemas em que a mistura esta fechada no recipiente Nes^

te caso natildeo havia movimento relativo entre as duas fases No entan

to se as duas fases da mistura se movem na direccedilatildeo vertical em

canais entre os elementos combustiacuteveis o vapor por causa de sua

flutuaccedilatildeo tem a tendecircncia de escorregar sobre o liacutequido isto e

move-se com velocidade maior do que a do liacutequido

Real Modelo

Pig 3

S -

Define-se neste caso a relaccedilatildeo de escorregamento (slip

ratio) (S) como sendo

V _i

V f

onde

V = velocidade do vapor

= velocidade do liquido

S modifica as relaccedilotildees entre a e x do item anterior S geralmen_

te gt 1 Define-se neste caso qualidade do vapor ou tiacutetulo como

sendo

_ fluxo de massa de vapor

fluxo de massa da mistura

Entatildeo se o fluxo de massa da mistura eacute m t(lbmhr) o flushy

xo de vapor seraacute = x m e o fluxo de liacutequido sera (1-x) m onde x

56

e o titulo do vapor para a particular secccedilatildeo (AL) da figura (3)

Devemos notar que neste caso x varia de secccedilatildeo para secshy

ccedilatildeo do tubo o exposto no paraacutegrafo acima vale considerando-se que

x e a permaneceram constantes na secccedilatildeo de espessura AL

Aplicando a equaccedilatildeo da continuidade as velocidades do va

por e liacutequido sao dadas por

o xm v

V vazatildeo = g g area A

V

(1-x) amp t v f

f A f

onde A e A f sao as aacutereas medias perpendiculares ao fluxo se as

duas fases sao imaginadas completamente separadas uma da outra

(figura 3) Assim temos

V x m v o A_ A v 0 ^ - 2 = iacute S t m _2L- JL JS m

V A (l-x)ui v 1-x A v U

f g t f g f

Sabemos ainda que para a secccedilatildeo considerada

volume do vapor na mistura a = volume total da mistura (agua+vapor)

A AL A pound g g

a = mdash a a = - mdash 1

(A+A )AL A f + g

A ou f _ 1 - a

A a 8

Substituindo em (2) vem

57

Esta expressatildeo pode ser rearranjada e obteremos uma relashy

ccedilatildeo entre x e a levando em conta o escorregamento Chega-se a

a = 1 ( 3 )

1+ [U-x)x3 igt

onde

v 4 laquo -- S

v lty o

Note-se que quando S=l (nao haacute escorregamento) caimos na

expressatildeo dada no item anterior

0 efeito do escorregamento eacute decrescer o valor de a pa_

ra um mesmo xbdquo Isto pode ser visto pela foacutermula (3) pois S gt lLo

go a decresce com acreacutescimo de S

Um alto S e entatildeo uma vantagem tanto para a transferecircnshy

cia de calor como para efeitos de moderaccedilatildeo Eacute uma vantagem para

transferecircncia de calor porque alto S significa alto V e portanto

maior turbulecircncia e maior contato do liquido com as paredes quenshy

tes Ha tambeacutem melhorias na estabilidade da reaccedilatildeo nuclear isto

porque como jaacute dissemos quando mdash7 diminui a estabilidade aumenshy

ta isso pode ser verificado observando a curva a versus x para a

agua leve a 1000 psiabdquo

Fig 4

58

A relaccedilatildeo entre x e a da equaccedilatildeo (3) so vale para secccedilatildeo

de tubo bem pequena

Devemos notar que S varia tambeacutem com a pressatildeo e velocida^

de de entrada do liacutequido no tubo Este efeito pode ser observado na

figura 5 abaxxo obtida esperimentalmente

s

3

~^ ~ psig

x = 001

V 1

Fig 5

Nos projetos de reatores como veremos adiante o valor a

geralmente eacute determinado por consideraccedilotildees nucleares (moderaccedilatildeo) 0

valor de S eacute determinado atraveacutes de uma estimativa ou entatildeo atrashy

veacutes de um graacutefico do tipo da figura 5 0 correspondente valor de x

pode ser obtido de uma foacutermula empiacuterica do tipo

1 = 1 (-S)0gt67

proposta por Von Glahn

Em muitos casos assume-se S constante em todo o comprimeiv

to do canal poreacutem eacute um erro que em muitos casos nao pode ser coshy

metido

4 REATORES EM QUE 0 LIacuteQUIDO B MODERADOR E CIRCUITO PRIMAacuteRIO AO

MESMO TEMPO BOILING-REACTOR (BWR)

A aacutegua ao se movimentar atraveacutes dos vaacuterios canais do

59

Boiling-reactor encontra vaacuterias resistecircncias ao fluxo que provoshy

cam uma reduccedilatildeo de pressatildeo no fluido

As duas perdas mais importantes sao perda de pressatildeo por

atrito e perda de pressatildeo causada pela aceleraccedilatildeo do refrigerante

ao aumentar de volume por receber calor num canal Outras perdas

de pressatildeo seriam a obstruccedilatildeo ao fluxo por corpos submersos (espa_

ccediladores juntas de tubos chaves etc) e por mudanccedilas abruptas de

aacuterea de fluxo tanto na entrada como na saiacuteda do tubo

Essas perdas de pressatildeo devem ser conhecidas o melhor popound

sivel principalmente nos reatores BWR Para tanto devemos saber

o comprimento de canal em que nao ha a ebuliccedilatildeo isto eacute qual o com

primento de canal em que o refrigerante vai da temperatura de sub-

resfriamento ate temperatura de saturaccedilatildeo

Seja o elemento combustiacutevel

Aquecimento Uniforme Aquecimento Senoidal

Fig 6 Fig 7

onde

H =

H = o

H b

comprimento do elemento combustiacutevel

cota onde o liquido se torna saturado

comprimento do elemento combustiacutevel em que ocorre

ebuliccedilatildeo

60

qg = calor sensiacutevel acrescentado ao liquido para satushy

raacute-lo

qfc = calor total acrescentado ao liacutequido em todo o com

primento do canal

laquoo

q s J o qiquest sen (IIzH) n H o

T~ = TH = 2 ( 1 c o s gt ( a )

q 1 sen (HzH) Jo ^c

A expressatildeo (a) vale quando tivermos uma adiccedilatildeo de calor

senoidal para qualquer outra forma de adiccedilatildeo de calor faz-se um

caacutelculo anaacutelogo

Outra relaccedilatildeo entre q g e qfc eacute dada pela termodinacircmica

q h- - h s f m (b)

(hr +x h )-hm ^t f e fg

onde

= entalpia para o liquido saturado a pressatildeo correjs

pondente (cota z = Ho)

hffi = entalpia do liacutequido na entrada do canal

x = tiacutetulo do vapor na saiacuteda

= entalpia do vapor

Com a relaccedilatildeo (b) noacutes determinamos a relaccedilatildeo q q ecom

S L

uma relaccedilatildeo do tipo (a) (conforme seja o adicionamento de calor ao

liacutequido) podemos obter a relaccedilatildeo HoH e consequentemente H^H

21 - Perda de pressatildeo num canal de evaporaccedilatildeo

Neste item iremos determinar as perdas de pressatildeo mais

representativas que ocorrem num canal de evaporaccedilatildeo de um reator

P + dP

bull1 i- 1 gti i i

dL

onde

UM

Icirc H Icirc Icirc T dF f t f

61

Quantidade de Mov na Entrada

= i- rigVg)

dF f l

Fig 8

m i

m 8

V l V 8

A P

dF

dF

dF

fg

fl

ftf

descarga do liacutequido

descarga do vapor

velocidade do liquido

velocidade do vapor

aacuterea transversal do canal

forccedila de atrito do vapor com parede

forccedila de atrito do liacutequido com parede

forccedila de atrito das duas fases liacutequido+vapor

Fazendo o balanccedilo das forccedilas considerando o sentido posjL

tivo na vertical temos

A (P-P-dP)-(dF +dF _+dF _)-(-pound-) (p A+p A )dL = mdash dGnV+m V ) P fg ftf fl g c 1 1 g g g c

v 1 1 g g 7

- dP = ~ (dF +dF--+dF)+- S--7=- (p A+p A )dL+ mdash ~ - d (m-V+m V ) A_ fg ftf fl g c Ap v^l 1 g g g A 11 g g

Fazendo a integraccedilatildeo termo a termo entre os dois extreshy

mos entrada e saiacuteda e considerando a pressatildeo de entrada igual a

P q e a de saiacuteda igual a Pe vem

Quantidade de Mov na Saiacuteda

-= h I- lY l+ A g V g + d ( aacute l V l + aacuteeVl

Forccedila de Gravidade

= ( g f - N P A + P g V

62

b) r e F f l

o p dp^ = Ap^ = perda de pressatildeo por atrito

do liacutequido na altura Ho

Aplicando a formula de Darcy vem

bull API = f bull ir bull ^ iexcl 7

onde

f = fator de atrito

c) e Fftf

o p ^P tpound

= perda de pressao por atrito da mistura

liquido + vapor no trecho de comprimen

to Hbdquo o

Para determinar esta perda de pressao define-se o fator

de multiplicaccedilatildeo R

A P R =

tf A P 1B

Sendo A p ^ a perda de pressao se o comprimento todo fosshy

se ocupado somente pelo liquido assim

A p t f = R A P 1 B

0 calculo de Ap-^ pode ser feito pela formula de Darcy e

o de R nos veremos no item seguinte

63

d)

-e F

d ( ^ )

O P

Ap = perda de pressatildeo por atrito do vapor

No caso do reator BWR o titulo de saida e bera pequeno e

em nenhum caso ocorre a saida de vapor com x = 100 logo a perda

de pressatildeo por atrito do vapor eacute nula assim

An = 0 5

e) Ap

(p A 1 + p A ) dL = Ap - perda de pressatildeo dpound

vida ao desniacutevel

(perda hidrostaacutetica)

Anbdquo = re A A

-S- I (p + p -S ) dL H s 1 A

c o p o A

como A A Jl_ =

A P

A +A-g 1

1-a -

temos

C Q

te j jll-a)p1 + apg)^jdL = p Lo pound

onde

e jo u

+ ap ) ~I dL (Densidade media 1 S J

no tubo)

No nosso caso

Ap u = p H

f)

re d(mV + m V ) _ mdash - laquo -i bull s iquestp laquos p e r d a ltje pressatildeo devido a acele-

c p raccedilatildeo do vapor

V A

(1-x) tl^Vj

(1-a) A

X V

aA

A p -

roV + m V

c p c p L_

m (l-x)m_v m xv nbdquo -1 T 1

+ _S S I (1-a) Ap aA

P

2 g A c p

n 2 2

(1-x) m T

laquo2 8 A c p

2 2 (l-xe) raTv1

2 2 2 xm_v (1-x) m-v e T s o 1 1

a 1 - a

2 2 - x m_v o T g

a

se

X Q 0 (so ha agua nesse trecho)

a = 0 o

temos

mbdquo Ap =

1 a A 2

S A degc p laquo-

tt-V v i 1 - a

2 via T^r - v i

t Apc

2

V v l

5c Ap

1 - a

x v - 1

a e v l

65

Fazendo

G = fluxo total da massa por unidade de area do

canal

(1-x J e

V

AP r

Assim a perda de pressatildeo total sera

H p V II pV r2 P -P = f -24-Iuml+ f R+p 0 1 2g c D e 2g c g c g c

2c2 - Determinaccedilatildeo do fator de multiplicaccedilatildeo (R)

221 - Relaccedilatildeo Martinelli-Nelson

Os autores Martinelli-Nelson determinaram experimental -

te esse fator R para varias LIT1L em funccedilatildeo da pressatildeo e da r NB total J v

qualidade de saiacuteda do vapor no canal Construiacuteram assim vaacuterias

curvas do tipo da figura 9

66

E importante notar que a qualidade do vapor (x) na saiacuteshy

da nao deve ser grande pois como vemos o valor de R cresce muishy

to com um aumento pequeno de x e um valor de R muito grande acar_

reta uma perda de pressatildeo grande pois

^ d u a s fases R ^ f a s e liacutequida

Para resolvermos um problema seguindo o criteacuterio de bdquo

Martinelli escolhemos a curva R = f(px) (para a relaccedilatildeo L

N g ^ j

adequado) e tiramos R com os valores de pressatildeo p e tiacutetulo x

As curvas R = f (p x L T t )IO encontram-se nos ANL 6469 bio I

e 6561

222 - Relaccedilatildeo Lottes-Flinn

Estes autores estudaram o problema para o aquecimento uni

forme do refrigerante com baixo titule Lottes-Flinn fizeram inuacuteshy

meras experiecircncias e verificaram que para fluxo de calor uniforshy

me e baixos titulos R era independente do fluxo de calor fluxo

do refrigerante escorregamento e apenas funccedilatildeo de a g

Como a quantidade de liacutequido eacute muito maior que a de vashy

por a perda de pressatildeo daacute-se principalmente pelo atrito do liacuteshy

quido com a parede Podemos assim escrever a foacutermula de Darcy

na forma diferencial

dz

d = f __ r e amp c

onde

V = velocidade do liquido saturado na cota zbdquo X

f = coeficiente atrito

= densidade do liacutequido saturado

Teoricamente a queda de pressatildeo deve-se ao acreacutescimo de

67

velocidade do liacutequido e da diminuiccedilatildeo da aacuterea de fluxo do liacutequi

do

P fH A P t p

= f D 2g Ho

d z

fazendo

V lo

m V t lo

(velocidade do liacutequido na cota z = Ho)

(1-x) m t v 1

(1-a) A (velocidade do liacutequido na cota z gt Ho)

a bull+ fraccedilatildeo vazio na cota z geneacuterica

V 1 (1-x) m t v 1

m t V l 1 - a

x =s 0 pois o tiacutetulo eacute baixo

A p t f = f bull JT5 c e

fH V lo

H o (1-a) dz

Para fazer a integral devemos achar a relaccedilatildeo de variaccedilatildeo

entre a e z Como o fluxo de calor eacute uniforme a qualidade eacute direshy

tamente proporcional a z

bull laquo x = x e H

z = mdash x X e

Sabemos ainda que (item 113)

x

1 + [ ( I -X)AKQ x + iiacuteraquo

68

como

temos

(1-x) = 1

v

X =

z =

1-a

1 -a

1-a e

a

e

1-a pound

a

1 -a igt (assumindo S = cte)

da

Atf - f bull 2 i ^ ~ J c e o

a 1 - a e e 1 s 4 hmdash) da

a 1-a

f P lv^ Q

0 termo mdash - mdash e a parte de perda de pressatildeo pelo lj^

^c e -quido ou seja Ap liquido saturado e como

Ap

R = tf

Ap liauido saturado

temos que

R J

f ae 1 _ a e 1 4

a 1 -a o e

1 -a r-R =

3 1 -a

a 1 -a imdash

3 vl - a 3

e e

Os valores de R obtidos por esta expressatildeo aproximam-se

muito dos valores obtidos pelos aacutebacos de Martinelli

69

E - EXPANSAtildeO E COMPRESSAtildeO DE UM FLUIDO - ANAacuteLISE HIDRODINAcircMICA

DE UM CIRCUITO EM CIRCULACcedilAtildeO NATURAL

1 EXPANSAtildeO NO FLUXO DE UM FLUIDO

11 - Uma so fase

Figura 1

Ha vaacuterios meacutetodos para determinar a variaccedilatildeo de pressatildeo

numa expansatildeo de fluido estudaremos o de Romie que eacute o que daacute

maior precisatildeo

Romie considera que a pressatildeo p^ tambeacutem atua na aacuterea

imediatamente apos a expansatildeo Assim fazendo o equiliacutebrio das foi

ccedilas nas secccedilotildees tracejadas da figura 1 temos

mVj

p r A 2 + mdash

mV

bull 2- A2

mas

m = pV^A^

pV^A = p V 2 bdquo A 2

V A

v 2 -4r-logo

( P l-P 2) A 2 = f ( V ^ ) - f _ v j amp c c 2

70

2 pV A A pV A A

Chamando A l A ]

K = 1 - T e degi2 = Aiexcl bull V E M

pvj

P l P 2 = T ~ bull ( 2 deg 1 2 ) ( 1 _ a 1 2 )

Outra maneira de chegar atilde diferenccedila de pressatildeo ( P j - ^ ) s mdash

ria usar o coeficiente de perda da mecacircnica dos fluidos Assim o

equilibrio das pressotildees eacute

2 2

1 V l 1 V 2 V l P i + _ p _ ^ P 2 + I p ~ + k 1 2 p mdash

onde = coeficiente de perda

A 2 1 2

k 1 2 - (l-o 1 2) - (1 - j- )

Fazendo as transformaccedilotildees chegamos a mesma expressatildeo obshy

tida pelo balanccedilo das forccedilas

PraquoIacute pr p

2 - - ir ^ laquo-ia

12 - Duas fases

Como ha duas fases a equaccedilatildeo do balanccedilo das forccedilas fica

um pouco alterada

m pound 1 V- m - raquoV - m-V- m bdquoV _ P A + j y ^ i + _gl_JUuml P A + -11-11 + -ilsl (a)

1 2 e R 2 2 ff e

Sabendo que

71

m (1-x) m t = p fA (1-a) V f

entatildeo

fl l-o^ p fA x

6 Vf2 1-x l-a2 P fA 2

m V = mdash mdash e V 0 = gl a 1 P C T A 1 g2

m

a_ p h

2 g 2

Nas expressotildees anteriores o x nao varia porque a expansatildeo

5 adiabaacutetica porem o a varia devido a modificaccedilatildeo do tamanho da

bolha

Substituindo os valores das velocidades na expressatildeo (a)

vera

( P - P ) Abdquo =

2

2 2 m gt2 2 m t (1-x) 1 x t

ra i 2 m i 1 x t 1

p fA 1 g c ttl p Ax gpound

m t P - P = mdash

(1-x) (l-a 1)A 1A 2 (l-a2)A|

a r A r A 2

V A 2

m t P bdquo - P = mdash 2 1 g c A r A 2 p f

(1-x) 1-a f A 2(l-a 2)

bull ^ 2

72

Se

P -P

a

m

g

12

1 _1_ (1-x)

J12

1 _ a l 1 - a 2 + X (- )

Pg

1 deg12 a 2 ^

Sabemos que

mt = V o pf laquo A l

Sendo V q = velocidade do liquido num ponto onde natildeo haja vapor

P 2-P 1

u 2 2 A 2

V pr Ai

V W p f

(1-x) 12

l-a1 l-a2

+ X 2 pf

mdash

l deg12

-1 a 2 _

p -p r 2 Al (2a 1 2)

2 M f w 1 deg12 X (mdash) (

pg al a 2 )+(l-x)C l 1 12

1-a^ l-a2

Devemos notar que esta expressatildeo tambeacutem vale para quando

temos uma fase para isso basta fazer

= c t 2 = 0

X = 0

e recairemos na formula do item anterior

2 pf 1 deg12 Observemos que neste caso o termo x (mdash)( ) nao

Pg al a2

2

73

tem significado pois corresponde a mudanccedila de fase

2 CONTRACcedilAtildeO KO FLUXO DE UM FLUIDO

21 - Uma so fase raquo mdash

Aqui ocorre um fenocircmeno importante pois o fluido ao ser

contraiacutedo nao vai diretamente da area A^ para a area A 0 mas ele

contral-se ate uma area A^ e depois expande-se ate k^

Ao A2

Po IP 2

V 2

Figura 2

Fazendo o equiliacutebrio das pressotildees entre os planos (1)

(0) vem 2 2

pV pV p +~ plusmn - P + i deg bull 1 2 g o 2 g (b)

C x

Fazendo equiliacutebrio da expansatildeo (0) - (2) vem

P o + 2 - f = P 2 + 2 -T + kp- 2 F ( c )

c c b C

Subtraindo (b) - (c)

2 2 2

i p- vj i p- v2 L P l + 2 bull g c

P 2 + 2 2g c

+ k P 2g c

74

Como

P - P = mdash 2 2g

2 2

bull (1 + k) - f bdquo mdash i

k a - f2 ) 2 - d - o c )2

= o

A = a 21

Weisback obteve varias relaccedilotildees entre a e a i] c

01 02 03 a 0624 0632 0643 c

0624 0632

A r v i - V v 2

p -p 1 2

P -P 1 2 2g7

v l =

(1+k) - laquofi- a 2g 21 c

( 1 + k - o 2 1)

X[- V 2 o 2 1V 2

22 - Duas fases

0 valor de k pode ser aproximado para

k = a(l - o 2 1)

onde segundo Richardsons para fluxo de duas fases podemos supor

a = 02

Para fluxo homogeacuteneo sabemos que

75

p = p f (1 -a ) + p o a

podemos supor p bdquo a = 0 pois p e pequeno e fazendo

V = V ~ V fbdquo2 go2 v 2

Substituindo estas duas expressotildees na equaccedilatildeo de uma soacute fase vem

2 2 p V (l-ct) p V (1 -a ) bdquo

P l P 2 = 9g ( 1 + 3 - 3 0 ^ - 0 ^ ) = g (a+1) (l-a^)

Se a = 02

2 12p oV 0

p r p

2 - 9g gt d-) d-sigt

A compressatildeo de um fluido acarreta uma perda de pressatildeo

como pode ser verificado pelas formulas uma vez que lt 1deg

3 ANALISE HIDRODINAcircMICA DE UM CIRCUITO EM CIRCULACcedilAtildeO NATURAL

Esquema deacute uma caldeira com circulaccedilatildeo natural

76

Determinar a velocidade em (7) para que tenhamos circula

ccedilatildeo natural Determinar tambeacutem as perdas de pressatildeo em todos os

trechos da caldeira

31 - Contraccedilatildeo das secccedilotildees (1) - (2)

Como jaacute vimos a equaccedilatildeo do balanccedilo das pressotildees eacute

1 pr Vl 1 p 2 o V 2 P2 V2

1 2 g 2 + 2 g + K12 2g otilde c amp c e c

bullraquo 2 o2 2 e havendo uma soacute fase k 1 9 = (l-o ) = (1 mdash ) e sendo

C 2

p l = p2

v x lt lt lt v 2

P 2 V pr p2 bull ir2 bull ( 1 + k12gt

Colocando em termos de temos

A 2 V 2 P 2 = A 7 V 7 p 7 (continuidade)

V = V mdashbull = V o_bdquo ~ A 2 2 2

P 2 V - p 2

p r p 2 = ir2 - deg72 bull Ccedilrgt bull lt 1 + ki2gt

fazendo

N12 - lt^gt deg72 ( 1 + k12gt

P7 V7

Pr P2 - N12 bull HG

77

3 2 - Perda de carga no trecho ( 2 ) - ( 3 )

Como haacute apenas uma fase soacute temos perdas por atritos e

perdas hidrostaacuteticas

Sendo como jaacute vimos

2 3 p 2 2 g P 2 P 3 = f 2 3 (r~2g^~) L 2 3 g c p

atrito hidrostaacutetica

Substituindo V^ pela relaccedilatildeo do item anterior e tendo em

conta que p = vem

P -P = f 2 r 3 2 3 D

2 3 p 2 bdquo 2 2 p 7 2

2 g 7 72 p 2 3 g

Se

L 2 3 2 p 7

2 3 2 3 D 2 a 7 2 p 2

P 7 V 7 g P 2 - P 3 = N 2 3 ( mdash gt p 2 L 2 3 f

3 3 - Expansatildeo nas secccedilotildees ( 3 ) - ( 4 )

Como vimos o balanccedilo das pressotildees e

2 2 2 p V p 4 V p V

P 3 + 2 g c

P 4 + 2 g c

+ k 3 4 2 g c

onde

k 3 4 - - -

2 2 1 P 4 - V 4 P 3 v 3

P 3 P 4 = 2 g + ( k 3 4 _ 1 ) 2 g

78

Sendo

P 3 - P 4

p 3 o A 3 deg V 3 = P 7

a A 7 o V 7

P 4A 4 0V 4 = P r A r V

3 7 A 3 p 3

A7 P7 V = v mdash mdash 4 7 P 4

P - P 3 r4

Se

P bdquo - P

bdquo2 r-P 7 V 7

3 4 2g deg74 + ( k 3 4 1 ) deg73

34 p deg74 + ( k 3 4 1 ) 73

p r v2

P3- P4 ^ N34 ^ gt

(No caso e negativo)

34 - Contraccedilatildeo nas secccedilotildees (5) - (6)

Ainda temos uma so fase e fazendo o balanccedilo das pressotildees

como fizemos no item 3lt1 vem

P + vil p + vi + k vi P 5 + 2gbdquo P6 + 2gbdquo + k56 2gbdquo

k 5 6 lt 1 ^ gt 2 ( 1 - Iacute 2 i 2 6

V V6 P5degIacute 5^6 ^SS 2g c - 2g c

P - P ^ = (1+kJ

Como

79

A 6

W p 5 =

VV P6 V 5 = V 6 Jiexcl = Vff65

P 5-P 6 - lt H k 5 6 ) mdash ^ mdash (l+k 5 6-a 6 5) c c c

Sendo

Se

A 7 p 7 p 7

6 7 Ag p 6 7 76 p 6

p _p _ P6- V7- g76 iquest72 ( _ 02 P 5 P 6 2g c bull ( p 6

( 1 + k 5 6 deg65 )

p 7 2 2 N56 = p ^ deg76 ( 1 + k 5 6 ~ a 6 5 )

P 7 V 2

7

P r-P = N r 5 6 56 2g c i

35 - Perdas de pressatildeo nas zonas (6) - (7) - Pre^aquecimento

Nesta regiatildeo temos perdas por atrito e hidrostaacuteticas

Nao haacute perda por aceleraccedilatildeo pois ainda natildeo houve formaccedilatildeo de boshy

lhas

Fazendo balanccedilo das pressotildees temos

L_ ppound-V p = p + otilde L - pound _ + f -Si (-21mdashL 6 7 + p67 L67 g + t 6 7 D K 2g

p _ e ifn sao tomados como valores meacutedios 67 67

P _p _ f hl ^67jIacute uuml + - L A

6 F 7 r67 D 2g P P67 L67 g 6 s c 7 c

S e Kr pound67 L67 p67 6 7 D 6 p7

p7 V - _g_ P6- P7 - N67 mdash + P67 L67 f

c c

80

36 - Perda de pressatildeo nas zonas (7) - (8) - Zona de ebuliccedilatildeo

Nesta regiatildeo j aacute temos o aparecimento de bolhas logo a

perda de pressatildeo seraacute devida agraves t recircs parcelas aceleraccedilatildeo a t r i t o

das duas fases liacutequidas + vapor e h idros taacute t ica

onde

Assim

P-P Q = AP + AP + APbdquo 7 8 a t r i t o acel H

T M1

78 p 7 7 AP - R f- - mdash mdashr |R = fator mult ipl ica-

a t r i t o 7 D 7 2 g c L tivo

G 2

AP bull r mdash acel g c

P V

|_1 - o a p J 8 P f

2 t r 2 M2

7 7 r 7 7 A P a c e l = -J^mdash 2 r bull p 7 lt T iexcl iexcl - )

A PH p 7 8 L 7 8 fiexcl

p 7 8 iacute 7 li 1 0 0 P l i q + a P v ] d L = P 7 ( 1 - laquo 7 8 )

ag raquo fraccedilatildeo de vazio media entre 7 e 8

APH = p (1 - 5 7 g ) f- L 7 8

2 2

P 7 - P 8 a 5 - 2 T i + 2 r p 7 + P 7 ( 1 - 7 8 gt f L 7 8 7 amp c amp c amp c

81

N 7g = R mdash + 2 r p 7

P7 V7 P7- P8 = N78 + P 7 ( 1 5 7 8 gt J78

37 - Expansatildeo nas secccedilotildees 8 e 9

No caso haacute uma expansatildeo com duas fases e como vimos no

item 12 a variaccedilatildeo de pressatildeo era dada por

0f Vo P2 P1 = ~2g c ( 2 deg12

x 2 (mdash)(mdash - mdash ) + ( l - x ) 2 ^ T mdash 8 1 2 1

12

Aplicando ao nosso caso

P pound = P 7

P -P = 8 9

V - V raquo V g f 7

P 7 V 2

2 pf 1 a89 2 1 g89 x (mdash) ( ) + (1-x) (- - N

o ou abdquo 1-cu l-ot_) g 8 9 8 9

Se

N 89

= 2 a 89

2 pf 1 deg89 2 1 CT89 x (mdash) ( ) + (1-x) ( T

g 8 9 8 9

P -P = 8 9

- N P7deg V7

89 2gbdquo

38 - Perda de pressatildeo no trecho 9 e 10

No referido trecho temos apenas perda de pressatildeo por atr L

to da fase liacutequido + vapor e perda hidrostaacutetica Natildeo haacute perda por

aceleraccedilatildeo do vapor pois este natildeo recebe mais calor e portanto

o 82 o

nao ha variaccedilatildeo no a

p

Q -p i n = A P

U + A P bull 9 10 H atrito

n T -S_ P9 U10 deg 910 bull g

fio r

910 I 910

J9 L

(l- a)P + Q P I dL liq v

(l-a0) p

No caso a = (nao hatilde variaccedilatildeo de forma)

A P H - (1-a ) P (p L 0

c

AP bdquo = R o

atrito

2 f9 o L910 P9 V9

2g

Supondo

= V

P 9 = P 8 P 7

vbdquo = v 9 8 0 A r

= V 7 bull deg89

AP - R atrito

2 2

W l O p7deg V7deg g89

V P10 R -^T^ bull deg89 bull li-2 + ( W P 7 (fgt SIO

y c c

Se

- f9 L910 2 N9ol0 R Dl deg89

w 2

p rv P9 P10 = VlO + ( 1 a 9 ) p7 (f gt L910 c

33

39 - Perda ciacutee pressatildeo na expansatildeo 9 - 1 0

Analogamente a expansatildeo 8 - 9 temos

10 11 P 7 2g

10 Iacute 2 0 1 0 - 1 1 gt

2 ff

pg aio

10-11

laquo11 ) +

Ll-a 1 0 bull l-a u J

Se

V10 = V 9 = V 8 bull T9 = V 7 deg89

P -P 10 rll = - a 2g 089 ^lO-ll

4 bull T~ bull (7 1 mdash ) + Pg degio a n

+ (l-x)2(- 1 10-11

1 - aio )

N10-ll = 2 a10-ll a89 2 pf t 1 10-11 N2

-(j-r- - ) bull+ (1-x) pg aio deg 1

10-11 k l - a io

prz P10 Pll = - N10-ll bull ( 2gbdquo

310 - Calculo de V

Fazendo a somatoacuteria de todas as expressotildees (P^-Pj) tere-

84

mos 2 PbdquoV_

P bdquo - P bdquo = N 7 v 7

1 2 12 2g

bull 2 - P 3 - = N 2 3 P 2 L 2 3 f c ccedil

9 P 7 V 7 P _p = N mdash -

3 4 34 deg 2g

V P 5 = deg

2 P V

5 6 56 2 g c

ltr2

P 7 -V 6 e7 -N67 2g + p 6 7 J j67 g

c bc v 2

P 7 - P 8 = N 7 8 - 2 i ~ + p 7 ( 1 - laquo 7 8 ) L 7 8 c

P 7 V 7

P - P - -N mdash - -8 9 89 2g

c P 7 V 7

P 9 ~ P 1 0 VlO 2g + ( 1 a 9 P 7 L 9 c

P 7 V 7

bull10 11 U10-ll 2g

P v iacute j P - P

1 11

7 - v 7 3 bull r

2 8 i U L 2 23 67

(l-5 7 8) L 7 8 + ( l - laquo 9 ) P 7 bull SlOtilde]- ^

Por ou t ro lado sabemos que como secccedilotildees 1

mesmo n iacute v e l

85

s c p r v 7 j

28 Z N i ij

= P 2 L23 p67 L67 P 7 ( 1~deg78 )

78 ~ ^g) bull P 7 bull L 910 g_

V - 2 g ( p r L 2 3 - p 6 r L 6 7 - p 7 ( l - atilde 7 8 ) L 7 8 - (l-a9) p L 9 a ( )

y N

Com esse valor de podemos determinar todas as variashy

ccedilotildees de pressatildeo (P^-P )

BIBLIOGRAFIA

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tituto de Energia Atocircmica de Sao Paulo em 1966 (roteiro)

- WR Gambill - Nuclear Safety

Vol 9 - n9 5 e 6

Vol 6 - n 2 (pag 152)

Vol 4 -r n9 1 (pag 30)

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- Paul A Lottes - Argonne National Laboratory

- AKL - 6469

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Frank Kreith - Principles of Heat Transfer

Journeacutees Internationales de la transmission de la chaleur

Seminaacuterios realizados em Paris em 1961 sob a supervisatildeo do

Prof Marcel Veron

Notas de aula da Cadeira de Termodinacircmica I e Transmissatildeo da

Escola Politeacutecnica da Universidade de Sao Paulo

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o 10

x = dimensatildeo caracteristica (L)

-1 V = velocidade do fluido (L) (8)

I -3

u = viscosidade dinacircmica do fluido (M) (L)- (0)~

p = massa especifica do fluido (M) (L)

- 2 - 2 - 1 0^ = calor especifico do fluido (L) (6) (T)

k = condutividade teacutermica do fluido (M) (L) ( 0 ) ~ 3 ( T ) 1

0 fenocircmeno eacute determinado por estas 7 variaacuteveis logo coja

forme o teorema dos ir podemos descrever o fenocircmeno por uma equaccedilatildeo

com (7 - 4) = 3 nuacutemeros adimensionais

A equaccedilatildeo de h em funccedilatildeo das variaacuteveis seraacute do tipo

h = A x V u bull P bull c k (2)

substituindo as dimensotildees vem

M e~ 3 T - 1 = A L B (L Q~X)C (M L - 1 e 1 ) 0

(M L 3 ) E ( L 2 e 2 T _ 1 ) F (M L e - 3

T - 1 ) G

Igualando a soma dos expoentes da mesma variaacutevel dos dois membros

vem

(EM) D + E + G = 1 (I)

(Z6) - C - D - 2F - 3G - -3 (II)

(ET) - F - G = -1 (III)

(EL) B + C - D - 3 E + 2 F + G = 0 (IV)

resolvendo o sistema acima em funccedilatildeo de C e G vem

de (III) F = 1 - G

de (II) - C - D - 2 + 2 G - 3 G = - 3

bull D = 1 - C - G

substituindo o valor D em (I) vem

11

1 - C - G + E + G = 1 E = C

substituindo os valores de D E e F em (IV) vem

B + C = l + C + G - 3 C + 2 - 2 G + G = 0

B = C - 1

assim a equaccedilatildeo (2) ficaraacute sendo

C-l bdquoC 1-G-C C 1-G G h = A x V y p c k

P

colocando o coeficiente de k na forma (1-G) + l^j vem

h = A (x V y1 p ) C (ii c k - 1 ) 1 - 0 (x _ 1 k) P

u c hx p x VvC p xl-G k = A ( y gt ( k

ILJLJL = N

k Nu

y c N

e k Pr

p V x _

y N R e = N9 de Reynolds

Logo o fenocircmeno de convecccedilao forccedilada seratilde representado

por equaccedilotildees do tipo

f ( NNugt NPrlaquo N R e ) = 0

9 SIGNIFICADO FIacuteSICO DOS ADIMENSIONAIS

91 - Numero de Nusselt

N = bull h = 2L- _) Nu k AT v

v3 x x=0

eacute uma relaccedilatildeo entre o gradiente de temperatura junto a parede e a

12

variaccedilatildeo total da temperatura do fluido

92 - Numero de Prandtl

Pr = pp = 2 kpc a

P

Relaccedilatildeo entre viscosidade ci nemaacutetica v e a difusividade teacutermica a

93- Numero de Reynolds

N_ = amp Relaccedilatildeo entre as forccedilas de Re u - r bull

ineacutercia e as forccedilas viscosas que interferem no escoamento fluido

94 - Numero de Grashof

H = mdashmdash mdash^mdash 2 mdash amp a relaccedilatildeo entre o pro-u duto (forccedila de ineacutercia )

x (forccedila de empuxo) e o quadrado das forccedilas visshycosas que interferem na convecccedilao natural

11 EQUACcedilOtildeES DE CONVECCcedilAO FORCcedilADA

Por ser o caso mais importante na induacutestria soacute veremos

algumas equaccedilotildees para a convecccedilao forccedilada e deixaremos de lado a

convecccedilao natural por ser menos importante

Para cada tipo de escoamento para cada regime de transshy

ferecircncia de calor e para cada configuraccedilatildeo geomeacutetrica teremos uma

equaccedilatildeo com expoentes e coeficientes diferentes poreacutem sempre com

as mesmas trecircs variaacuteveis

Nbdquo N- N_ Nu Re Pr

Para resolver um problema de convecccedilao devemos antes

avaliar as propriedades do fluido essa avaliaccedilatildeo eacute feita considj

13

rando a temperatura media do fluido isto e a meacutedia aritmeacutetica da

temperatura entre um ponto do fluido junto agrave parede e um ponto onshy

de a temperatura do fluido seja constante longe da parede

Ha casos entretanto que na praacutetica trecircs adimensionais

so nao sao suficientes para expressar o fenocircmeno isto porque as

vezes ha uma propriedade que eacute muito sensiacutevel a uma pequena varia

ccedilao de temperatura logo para estes casos introduzem-se outros adi^

mensionais para levar em conta a dependecircncia dessa propriedade com

a temperatura

Todas as expressotildees foram obtidas experimentalmente A li

teratura especializada tem formulas para todos os tipos possiacuteveis

de geometria Vejamos alguns exemplos

101 ~ Convecccedilatildeo forccedilada sobre superfiacutecies planas

a) regime laminar ( N R g lt 400000)

N T = 0664 (N ) 1 f 2 (N ) 1 ^ 3

NuL ReL u Pr

b) regime turbulento ( N R g gt 400000)

NNuL deg 0 3 6 lt N P r ) 1 3 t gt R e L ) 0 8 1 8 7 deg deg ^

102 - Convecccedilatildeo forccedilada dentro de tubos ciliacutendricos

a) regime laminar (N_ ^ lt 2100) mdash Re D

i

b) regime turbulento Nbdquo _ gt 2100 mdash u Re D

N v _ = 0023 (N_ J 0 8 (Nbdquo ) n

NuD ReD Pr

14

n = 04 para fluido aquecendo

n =raquo 03 para fluido resfriando

Note-se que neste caso houve necessidade de considerar ou

tros adimensionais para aliar a anaacutelise dimensional agrave experiecircncia

no item a) dois outros adimensionais tiveram que ser acrescentados

(DL) e (up s)

Na expressatildeo 101 b) se o N critico for tomado como

sendo 5 x 10 (usado comumente) a expressatildeo usada eacute a mesma a me

nos do termo 18700 que passa a ser 23200

Devemos observar finalmente que estas expressotildees nao se

aplicam a metais liacutequidos e que elas nos datildeo nuacutemeros de Nussel meacuteshy

dios e natildeo locais

15

B - CONVECCcedilAtildeO COM MUDANCcedilA DE FASE - CONDENSACcedilAtildeO (I)

lo INTRODUCcedilAtildeO

Devemos considerar dois tipos de convecccedilao com mudanccedila de

fase que sao a condensaccedilatildeo e a evaporaccedilatildeo

Os problemas de convecccedilao de calor com mudanccedila de fase sao

tao importantes na industria como os de convecccedilao de uma uacutenica

faseraquo Os exemplos mais comuns de sua aplicaccedilatildeo sao os condensadoshy

res e evaporadores usados nos condicionadores de ar geladeiras

caldeiras etc

Neste capiacutetulo estudaremos apenas a condensaccedilatildeo

Os problemas de convecccedilao com fluidos condensando ou evashy

porando sao bem mais complexos que os demais processos de convecshy

ccedilao porque aleacutem de envolver variaacuteveis nao consideradas na conshy

vecccedilao de sistemas de uma so fase tecircm uma variaccedilatildeo nas propriedashy

des fiacutesicas de tal grandeza que essa variaccedilatildeo interfere decisiva

mente no fenocircmeno

2 CONDENSACcedilAtildeO

Eacute a passagem de um vapor para o estado liacutequido pela retishy

rada de calor

21 - Aspectos Gerais

A condensaccedilatildeo eacute realizada fazendo com que o fluido (vashy

por) entre em contato com uma superfiacutecie cuja temperatura esteja

abaixo da temperatura de saturaccedilatildeo do fluido correspondente atilde pres_

sao do vapor

0 coeficiente de peliacutecula relativo ao vapor de aacutegua satushy

rada que condensa sobre uma superfiacutecie fina eacute da ordem de grandeshy

za de 10000 kcalhrm^degC em casos excepcionais chega-se acirc valo-

16

res 50o000-100bdquo000 kcalhrm 2degC Isto eacute obtido a maneira pela

qual a condensaccedilatildeo se produz Ilaacute duas maneiras

1 - condensaccedilatildeo por peliacutecula daacute-se quando o liacutequido con

densado molha totalmente a parede formando urna peliacute

cula continua sobre a mesmaraquo

2 - condensaccedilatildeo por gotas daacute-se quando o liacutequido ao se

condensar rcune-se em gotas que crescem ateacute terem

peso suficiente para escoarenu

0 primeiro tipo eacute o mais comum e eacute o que daacute menor coefishy

ciente de peliacutecula porque a pelicula do liacutequido constitui uma re

sistencia adicional a passagem do calorraquo No segundo tipo chega-se

a coeficientes de pelicula muito maiores pelo fato do vapor estar

sempre em contato direto com a superficie resfriadura isto eacutepor

nao haver resistencia adicional

2o2 - Condiccedilotildees para termos condensaccedilatildeo por peliacutecula ou por

gotas

Sob o ponto de vista da transmissatildeo de calor deveriacuteamos

sempre preferir a condensaccedilatildeo por gotas pois como jaacute dissemos e

a que daacute maior eficiencia teacutermica Acontece poreacutem que tecnologji

camente eacute difiacutecil a obtenccedilatildeo da condensaccedilatildeo por gotas pois haacute

necessidade de termos um vapor puro urna superficie de resfriameii

to perfeitamente lisa (cromeada espelhada) e com resinas para fa

cilitar a formaccedilatildeo das gotas Tudo isso encareceria demais um con_

densador por isso eacute que na praacutetica usamos condensaccedilatildeo por peliacutecu

la quando podemos usar chapas ou tubos comerciais

So em casos muito especiais quando o espaccedilo eacute muito imshy

portante usa-se condensaccedilatildeo por gotas

2 3 - Remoccedilatildeo do Condensado

Um fator importante a considerar na condensaccedilatildeo eacute a remo

17

ccedilao do condensado que sempre se faz por gravidade Ha dois tipos

principais de superficies de condensaccedilatildeo

1 - Tubos ou placas verticais (ou encunadas)

2 - Tubos cilindricos horizontais

Nos tubos verticais a espessura da peliacutecula liacutequida aumen

tara do topo acirc base e com isso variaraacute ao longo do tubo o coefishy

ciente de peliacutecula loacutecalo

No caso dos tubos ciliacutendricos horizontais o liacutequido escoj

re pela parede lateral e goteja pela parte inferior natildeo havendo

possibilidade de formaccedilatildeo de camadas espessas do condensado

2raquo4 - Condensaccedilatildeo por peliacutecula sobre tubos verticais

Nusselt desenvolveu estudos analiacuteticos sobre condensaccedilatildeo

externa a tubos ciliacutendricos verticais partindo das hipoacuteteses

1 - A espessura da peliacutecula do condensado eacute nula na parte

superior do tubo e vai aumentando nas partes inferioshy

res por condensaccedil-ao e escorrimentoraquo

2 - 0 fluido escorre pela parede em regime laminar sob o

efeito combinado do seu peso e viscosidade

3 - A temperatura da camada mais interna do condensado tem

a temperatura da parederaquo

4 - A temperatura da camada mais externa tem a temperatushy

ra do vapor-

5 - A variaccedilatildeo da temperatura da camada do condensado em

sentido ortogonal agrave superfiacutecie do tubo eacute linear

6 - 0 vapor cede apenas seu calor latente

7 - A temperatura do tubo eacute uniforme e constanteraquo

8 - Nao haacute gases incondensaacuteveis no vapor (vapor puro)

Chegou a formula

18

2 3 g P - h L t

N j = 0943 ( r-EcircY~ ) 1 4 (l) NuL y bdquo k o At v

As propriedades da equaccedilatildeo (1) satildeo avaliadas agrave temperatu

ra meacutedia tm

c + t _ w sat

tm ~ onde

t = temperatura da parede

t = temperatura de saturaccedilatildeo do fluido S 3Lt

exceto o calor latente da vaporizaccedilatildeo b^ que deve ser avaliado agrave

temperatura de saturaccedilatildeo correspondente atilde pressatildeobdquo

Quando a superfiacutecie focircr inclinada vale o raciociacutenio de

Nusselt apenas o termo que atua na remoccedilatildeo do condensado natildeo eacute g

mas sim (g seno) sendo 6 a inclinaccedilatildeo da superfiacutecieraquo

Assim a equaccedilatildeo para estecaso seria

2 3 g o sene o p o h o L

NT _ = 0943 ( r~ y (2) NuL y o k o At w

25 - Efeitos a considerar na condensaccedilatildeo

Ha 3 efeitos importantes a considerar na condensaccedilatildeo que

Nusselt natildeo levou em conta sao eles

- efeito da turbulecircncia no filme liacutequidoraquo

- efeito dos gases incondensaveisraquo

- efeito da velocidade do vapor

251 - Efeito da turbulecircncia no filme liacutequido

As formulas anteriores servem para comprimentos de tubos

pequenos pois nesse caso a velocidade de escoamento do condenshy

sado natildeo eacute grande entretanto para superfiacutecies verticais longas

a peliacutecula torna-se bastante espessa e com velocidade grande deshy

mais para que o escoamento possa ser considerado em regime lamishy

nar

19

Nesse caso define-se o numero de Reynolds baseado na veshy

locidade da fase liacutequida isto eacute

p V 6

Nbdquo - m r

Rer y u

onde

V = velocidade do condensado na camada limite m 6 = espessura da camada limite

T = p V m 6 = descarga do condensado por unidade de largju

ra da superficie de condensaccedilatildeo

No calculo da determinaccedilatildeo de T haacute uma certa dificuldade

pois ele soacute pode ser determinado por iteraccedilatildeoraquo

Q = m c laquo A t = h A A t P

A = 2ir R bdquo L (para tubos)

m c = h o 2IumlIuml R laquo L P

m m braquoL _ p a _ _ li li

2TTR C c P P

Como noacutes nao sabemos o valor de h_ devemos inicialmente

adotar um V e obter atraveacutes da foacutermula

NNuL = deggt0134 (R PV L 3 gt 1 3 ( N R e r ) 0 4 ( 4 )

y

o valor de _h se os valores de h_ obtidos por (3) e (4) forem iguais

o problema esta resolvido caso contraacuterio fazem-se tantas iterashy

ccedilotildees quantas forem necessaacuterias

252 - Efeito dos gases incondensaacuteveis

A presenccedila de gases incondensaacuteveis reduz violentamente o

coeficiente de peliacutecula pois acirc medida que o vapor se condensa o

gaacutes nao condensaacutevel se acumula junto atilde superfiacutecie de resfriamento

20

formando uma barreira adicional S passagem do fluxo de calor

A reduccedilatildeo do coeficiente de peliacutecula que a presenccedila des_

ses gases causa depende da fraccedilatildeo em massa dos mesmos na mistu

ra gaacutes-vapor

Fizeram-se inuacutemeras experiecircncias e sobre o assunto a tiacute

tulo de exemplo vejamos o graacutefico abaixo onde temos em abcissas

o coeficiente de peliacutecula obtido experimentalmente e em ordenadas

a fraccedilatildeo de gases dissolvida jio vapor

5000

bullg- 4000 O

3OOO

2000

S 1000

4 6 8 10 12 lt|gt(lbm arlbm de vapor )x 10

Devemos notar a grande influecircncia dos gases incondensatilde-

veis por exemplo quando o vapor eacute puro nos temos um h = 4000se

tivermos apenas 1 de ar dissolvido o coeficiente de peliacutecula fishy

caraacute reduzido agrave metade isto ecirc h = 2000

Por isso nos condensadores sempre se coloca vapor ornais

puro possiacutevel

253 - Efeito da velocidade do vapor

Quando a velocidade do vapor junto agrave interface liacutequido-

-vapor natildeo focircr despreziacutevel surgem forccedilas de atrito entre o vapor

e o liacutequido Se a direccedilatildeo do fluxo do vapor coincide com a direshy

ccedilatildeo do movimento do liacutequido a velocidade do liacutequido aumenta (haacute

compressatildeo) e a espessura do filme liacutequido diminui e consequenshy

temente a transferecircncia teacutermica melhora pois haacute diminuiccedilatildeo da

resistecircncia teacutermica

Se entretanto a direccedilatildeo do vapor focircr contraacuteria a do fil

o 21 laquo

me de liquido ha uma tendecircncia de haver aumento da espessura da pj2

liacutecula diminuindo assim o valor de h

26 - Consideraccedilotildees sobre os resultados obtidos com as foacutermushy

las de Nusselt

Nota-se experimentalmente que os resultados obtidos pelas

equaccedilotildees de Nusselt sao em geral 10 a 20 inferiores do que os reshy

sultados reais Assim a favor da seguranccedila elas sao usadas e aaacuteo_

tadas Os motivos das discrepacircncias jaacute-foram ditas atraacutes no item

25

Devemos notar ainda que o valor de h obtido pelas foacutermushy

las anteriores e o valor meacutedio jaacute que h varia de ponto para ponto

e seria difiacutecil obter uma equaccedilatildeo que nos desse o valor de h locaL

2bdquo7 - Condensaccedilatildeo por peliacutecula externamente a tubos ciliacutendrishy

cos horizontais

0 mesmo estudo de Nusselt pode ser aplicado neste caso

baseado na hipoacutetese de que no topo do tubo a peliacutecula do condensashy

do tenha espessura nula Chega-se a expressatildeo

g p 2 h D 3 14

NT _ = 0725 ( ) (5) NuD u k o At

Analogamente ao caso anterior as propriedades do liacutequido

sao tomadas a

t + t w sat

tm = ^

exceto h que eacute tomado a t

ev n sat

Na situaccedilatildeo atual da tecnologia e possiacutevel obtermos tubos

com diacircmetros suficientemente pequenos para que tenhamos escoamenshy

to do condensado soacute em regime laminar

22

No caso de vaacuterios tubos empilhados a formula (5) deve

ser modificada pois como dissemos ela soacute vale quando no topo do

tubo a espessura do liacutequido eacute nula o que nao acontece neste caso

(Vide figura a)

Vapor

Tubo

mdash Liacutequido

Fig a

Neste caso a forma que nos da o valor meacutedio para h e

g p 2 h D 3 14

NNuD deg gt 7 2 5 lt N u k V At gt

sendo N o numero de tubos empilhados

Note-se que neste caso o coeficiente h cai bastante Uma

boa soluccedilatildeo para o caso quando dispoacuteftos de lugar eacute dispor os tushy

bos defasados (Conforme figura b)

Liquido

Fig b

Neste arranjo podemos aplicar a equaccedilatildeo (5) pois no tp_

po de cada tubo a espessura da camada de condensado eacute nula

23

B - CONVECCcedilAtildeO COM MUDANCcedilA DE FASE - EVAPORACcedilAtildeO (II)

1 INTRODUCcedilAtildeO

Evaporaccedilatildeo consiste na obtenccedilatildeo de vapor por meio de aque

cimento de um liacutequido

Apesar da importacircncia do processo e do sucesso obtido na

praacutetica em projetos de evaporadores o fenocircmeno da evaporaccedilatildeo eacute

um dos pontos menos conhecidos da transmissatildeo de calor

0 primeiro estudo seacuterio sobre o assunto foi feito em 1934

pelo japonecircs Nukiyama poreacutem somente nos uacuteltimos 10 anos tais es-

tudos se intensificaram

Os primeiros pesquisadores quando estudavam o fenocircmeno

do resfriamento de um solido num liacutequido obtiveram as seguintes

curvas

onde

temperatura

velocidade de resfriamento

3 0 v = amdashbull

A 06

Q - fluxo teacutermico

8 - tempo

A - aacuterea do soacutelido

24

tempo

Ateacute os estudos de Nukiyama nao se conseguia explicar o

porque da variaccedilatildeo crescente da velocidade de resfriamento quando

t gt t sol sat

2 PROCESSO DE FORMACcedilAtildeO DAS BOLHAS

Como a evaporaccedilatildeo do liacutequido se faz sobre uma superfiacutecie

aquecedora sobre esta irao se formar bolhas de vapor que influem

decisivamente no fenocircmeno

Aqui soacute iremos estudar as bolhas sob o ponto de vista qua

litativo bem como a sua influencia mas nao sob o ponto de vista

quantitativo

Recentemente Fritz e Jacob WR Gambill e outros estudiacutei

ram o processo da formaccedilatildeo das bolhas sobre a superfiacutecie aquecedpound

ra Atraveacutes de fotografias verificaram que a bolha de vapor ain

da em contato com a parede variava profundamente de forma confo_r

me o angulo de contato entre liacutequido e parede metaacutelica

Assim eacute que se a superfiacutecie de aquecimento nao e excesshy

sivamente polida e a tensatildeo superficial do liacutequido eacute pequena a

bolha tem a forma da figura las diz-se nesse caso que o liquishy

do molha a parede neste caso o angulo de contato e agudobull Se

as condiccedilotildees contrarias se verificarem o acircngulo de contato sera

obtuso e as bolhas tomam a forma da figura ldegb Naturalmente ve

rificara-se as condiccedilotildees intermediaacuterias para o angulo de contato da

25

fig lc

Fig la Fig lb Fig lo

0 estudo analiacutetico da formaccedilatildeo e crescimento das bolhas

pode ser encontrado em diversos livros por exemplo no El-Wakill

(Nuclear Power) no Jakob (Heat Transfer)e outros Neles faz-se

o estudo das condiccedilotildees do liquido (pressatildeo temperatura tensotildees

etc) para haver ou nao formaccedilatildeo de bolha Isto eacute feito fazendo-se

o estudo das bolhas nas seguintes posiccedilotildees

a) bolha no seio do liacutequido

para meia bolha

4 ltP g - P fgt fg

onde

P g P f

- 4 D (D

g

Pf

D

pressatildeo do vapor

pressatildeo do liquido

tensatildeo entre superfiacutecie do liacutequido e vapor

diacircmetro da bolha

^f g

P f Fig 2

26

A equaccedilatildeo (1) mostra que a pressatildeo do vapor deve ser maior

que a do liquido nas condiccedilotildees de saturaccedilatildeo e este por sua vez

deve estar no estado de superaquecimento o

b) bolhas sobre superfiacutecie solida

Fig 3

Condiccedilotildees para desprender

a mdash o_ + o_ cos a gs fs fg

tensatildeo na interfase liacutequida e vapor (depende das

propriedades do liacutequido e vapor)

tensatildeo entre o liacutequido e superfiacutecie de aquecimen

to (depende das propriedades do liquido e da sushy

perfiacutecie)

tensatildeo entre o vapor e a superfiacutecie de aquecimeri

to (depende das propriedades do vapor e da super

fiacutecie)

21 - Formas do fluxo do vapor desde a superfiacutecie de aquecishy

mento ateacute a superfiacutecie livre do liacutequido

Considerando liacutequido vaporizado em tubos verticais pode^

mos ter 4 tipos de fluxo de vapor

1 - fluxo de bolhas

2 - fluxo de agregados (plug ou slug)

3 - fluxo anular

4 - fluxo disperso

Os quatro tipos ficam bem determinados respectivamente

onde

a fg

degfs

a gs

27

pelas 4 figuras abaixo

LIacutequido - Liacutequido Liacutequido

o

^Bocirclha de

vapor

Vapor

mdash [

- Vapor

mdash 0 0

deg_ a-

jrj-

iquestiexcl5

Bolhas Agregados Anular

Liacutequido

vapor

Disperso ou

Homogecircneo

Conforme o tipo de ebuliccedilatildeo podemos ter uma so das forshy

mas acima ou uma mistura

3 INCERTEZAS NO ESTUDO DA EVAPORACcedilAtildeO

Ha trecircs incertezas principais para determinar o fluxo de

calor na evaporaccedilatildeo a saber

- Aacuterea de contato indefinida

- Diferenccedila de temperatura indefinida

- Grau de turbulecircncia

Como realmente nos nao sabemos uma dependecircncia algeacutebri

ca entre o acircngulo de contato e a superfiacutecie ocupada pelo liacutequishy

do (ou vapor) temos uma incerteza na determinaccedilatildeo da aacuterea de tro

ca de calor (A)

Outra incerteza eacute a dificuldade da obtenccedilatildeo de diferenccedila

de temperatura entre o liacutequido e a parede que normalmente assume-

-se como sendo a diferenccedila entre a temperatura da parede e da ebu

liccedilatildeo do liacutequido (temperatura de saturaccedilatildeo = t )

S cl c

Na realidade a diferenccedila de temperaturas nao eacute aquela

pois a camada de liacutequido que cobre a superfiacutecie aquecedora esta

a uma pressatildeo maior que o resto do liacutequido (pressatildeo atmosfeacuterica

mais a hidrostaacutetica) e consequentemente a temperatura de vaporiza_

ccedilao desse liacutequido e maior que a da superfiacutecie Esta diferenccedila po-

28

deria ser calculada desde que se conhecesse a relaccedilatildeo entre presshy

satildeo e temperatura de saturaccedilatildeo do liacutequido entretanto haacute incerte

za quanto ao verdadeiro peso especiacutefico da coluna de liacutequidopois

trata-se de uma mistura de bolhas de vapor e de liacutequido em proshy

porccedilatildeo variaacutevelraquo

4 REGIMES DE EBULICcedilAtildeO

Nukiyama estudando a ebuliccedilatildeo da aacutegua num recipiente a

quecendo-a com resistencias eleacutetricas construiu a curva baacutesica da

ebuliccedilatildeo Todos os liacutequidos apresentam uma curva semelhante vashy

riando apenas os valoresraquo Os pontos caracteriacutesticos da curva deshy

pendem de caracteriacutesticas difiacuteceis de definirtais como natureza

do metal estado da superficie (rugosidade) dimensotildees orientashy

ccedilatildeo do fluxo quantidade de gases dissolvidos e t c

Estudaremos o fenocircmeno para o caso de aacutegua destiladasem

gas dissolvido a temperatura de saturaccedilatildeo 100 C pressatildeo atmosfe_

re uma superficie plana

Chega-se assim acirc curva

rica sobre uma superficie plana horizontal a temperatura t^

In ltJgt

At (degC)

A curva acima representa o aquecimento de agua com uma re_

sistecircncia eleacutetrica (ate ebuliccedilatildeo)raquo Temos em abcissas as diferenccedilas

de temperatura entre o liacutequido e a resistecircncia em ordenadas o flu

29

Regiatildeo I

Regiatildeo II

Regiatildeo III

Regiatildeo IV

xo de calor por unidade de area

Na curva notam-se 4 regiotildees bem definidas tendo cada uma

o seu significado fiacutesico os quais correspondem a um tipo de ebuli

ccedilao

convecccedilao natural

ebuliccedilatildeo nucleada

ebuliccedilatildeo por peliacutecula parcial

ebuliccedilatildeo por peliacutecula estaacutevel

41 - Convecccedilao natural

Ocorre quando At eacute inferior a 8degCformam-se no liacutequido

correntes convectivas as quais transferem o calor ateacute a superfiacuteshy

cie livre do liacutequido e aiacute desprendendo o vapor Neste caso o valor

de h eacute da ordem de 2000 kcalm^hdegC

42 - Ebuliccedilatildeo nucleada

Ocorre quando o At eacute maior que 8degC e menor que 25degC Nesshy

te caso as bolhas formam-se junto a superfiacutecie de aquecimento

crescem liberam-se movimentam-se em direccedilatildeo agrave superfiacutecie livre do

liacutequido onde estouram libertando o vapor As bolhas formam-se nas

irregularidades da parede tecircm um acircngulo de contato agudo e porshy

tanto hatilde liacutequido sempre em contado com a parede (molha a parede)

cada ponto ativo (lugar onde se formam as bolhas) libera uma porshy

ccedilatildeo de bolhas e os outros pontos do liacutequido ficam em contato com a

superfiacutecie quente violentamente agitados Esta agitaccedilatildeo extrema eacute

mais eficaz que uma turbulecircncia criada artificialmente Por esse mo

tivo a curva cresce violentamente nesse trecho (m = 3 a 7) pois

bull 2 o o valor de h cresce consideravelmente (ate 46000 kcalm hr C) e

o fluxo teacutermico transmitido ao liacutequido cresce proporcionalmente a

Quando cresce crescem tambeacutem

(At) 3

30

numero de bolhas por unidade de aacuterea (num instanshy

te)

~ = crescimento da bolha (com o tempo)

frequecircncia de iacuteormaccedilao de bolhas

A medida que o At vai aumentando iraacute aumentando (jgt tam-- n o N

bem e consequentemente mdash R mdash a a a tal ponto que quando atiacuteii

girmos o ponto da curva nao haveraacute mais formaccedilatildeo de bolhas

mas sim uma peliacutecula de vapor instaacutevel passando assim a 3a re

giao que estudaremos a seguir

43 - Ebuliccedilatildeo por peliacutecula parcial

Como dissemos no item anterior se aumentarmos ainda mais

o At (entre 25degC e 125degC) teremos a formaccedilatildeo de uma peliacutecula de

vapor instaacutevel sobre a superfiacutecie quente que aacutes vezes eacute perfurashy

da pelo liacutequido A camada de vapor tanto mais estaacutevel seraacute quanshy

to maior focircr o At Essa peliacutecula de vapor iraacute provocar um decreacutes_

cimo consideraacutevel no fluxo teacutermico porque como sabemos o vapor

eacute muito pior condutor que a aacuteguaraquo

0 fluxo vai decrescendo ateacute um ponto miacutenimo (iexclgt mintilde (as vecirc

iacutebo bullraquo 1

zes chega a ser mdashj-) e e o chamado ponto de Liedenfrost 0 coeshy

ficiente de peliacutecula neste caso cai violentamente (h = 2000

kcalm^hrdegC)

44 - Ebuliccedilatildeo por peliacutecula estaacutevel

Aumentando ainda mais a diferenccedila de temperaturas

At ( gt 125degC) iremos conseguir uma camada de vapor estaacutevel Ela

transmite calor da superfiacutecie quente ao liacutequido que se vaporiza de

modo que o excesso de vapor formado na interface liquido-vapor for

ma bolhas que sobem para a superfiacutecie 0 liacutequido encontra-se agi-

31

tado poreacutem nao toma contato com a superfiacutecie soacutelida

A peliacutecula de vapor eacute estaacutevel e o fluxo eacute proporcional a

34

(At) (lei de Bromley) Para At grandes passa a influir sensivel^

mente a radiaccedilatildeo teacutermica mais uma razatildeo para demonstrar que nesshy

ta regiatildeo o fluxo cresce novamente

5 CONSIDERACcedilOtildeES E COMPARACcedilAtildeO ENTRE OS TIPOS DE EVAPORACcedilAtildeO

BURNOUT

Sob o ponto de vista de eficiecircncia teacutermica deveriacuteamos sem

pre trabalhar no ponto de fluxo maacuteximo isto eacute no ponto correspon

dente a lt(gt da curva de Nukiyama pois eacute o que daacute maior coeficieri

te de peliacutecula

Acontece poreacutem que se impomos a temperatura da parede

fixa obtemos um uacutenico valor de lt(gt e portanto o fenocircmeno eacute estaacutevel

Poreacutem se como ocorre nos reatores impomos um fluxo teacuter

mico a curva de Nukiyama apresenta 3 pontos de funcionamento posshy

siacuteveis A B C

1

SOacute os pontos A e C sao funccedilotildees estaacuteveis mas eles impotildeem

acirc superfiacutecie quente temperaturas bem diferentes

Na industria em geral trabalha-se por questotildees de segushy

ranccedila na regiatildeo IV da curva poreacutem para os reatores trabalha-se na

32

r e g i atilde o I I

0 p r o b l e m a de t r a b a l h a r n a r e g i atilde o II eacute q u e se n oacute s e s t i shy

v e r m o s t r a b a l h a n d o n o p o n t o e x t r e m o (j) e se p o r q u a l q u e r m o t i v o

h o u v e r u m p e q u e n o a c r eacute s c i m o d e ltfgt i r e m o s t r a b a l h a r i m e d i a t a m e n t e no

p o n t o M q u e t e m o m e s m o $-^0t p o r eacute m c o m A t 2 m u i t a s v e z e s m a i o r

p o d e n d o o c a s i o n a r a f u s atilde o d a s u p e r f iacute c i e a q u e c e d o r a E s t e f e n ocirc m e n o

eacute c h a m a d o d e b u r n o u t

0 f l u x o lttgt eacute c h a m a d o f l u x o c r iacute t i c o o u f l u x o d e b u r -b o

n o u t N o c a s o do r e a t o r d e v e m s e r t o m a d a s m e d i d a s r i g o r o s a s q u a n

to agrave r e g u l a g e m do f l u x o t eacute r m i c o p a r a q u e n atilde o o c o r r a o b u r n o u t 1 1

p o i s d e l e p o d e r e s u l t a r r u p t u r a d a c a m i s a do c o m b u s t iacute v e l e h a v e shy

r aacute p o r t a n t o c o n t a t o do r e f r i g e r a n t e c o m o s s oacute l i d o s e g a s e s r a shy

d i o a t i v o s

5 o l - R e l a ccedil atilde o d e B u r n o u t

E c l a r o q u e p a r a t e r m o s u m r e a t o r m a i s e f i c i e n t e d e v e shy

m o s t r a b a l h a r c o m u m f l u x o o m a i s p r oacute x i m o p o s s iacute v e l do f l u x o d e

B u r n o u t P a r a t a n t o d e v e m o s c o n h e c e r c o m o m a i o r g r a u d e certe

za p o s s iacute v e l q u a l o ^ p a r a p o d e r m o s r e d u z i r o c o e f i c i e n t e d e s e shy

g u r a n ccedil a ( W R G a m b i l l r e c o m e n d a agrave 1 5 )

N o s s e m i n aacute r i o s d e W R G a m b i l l e n c o n t r a m o s u m a s eacute r i e de

b i b l i o g r a f i a s o n d e p o d e m o s e n c o n t r a r i n uacute m e r a s f oacute r m u l a s p r o p o s t a s

p a r a a o b t e n ccedil atilde o de (q 1^)

A t i t u l o d e e x e m p l o v e j a m o s a l g u m a s

q - 2 7 0 G deg gt 8 5 D 0 2 A085 p lt 150

deg D ( L uuml ) 2

q - 140 G 0 5 D ~ deg 2 (-~-)~deg 1 5 p ~ r gt 150 c D (LD)

o n d e a m b a s as e q u a ccedil otilde e s s oacute v a l e m p a r a aacute g u a e m b a i x a p r e s s atilde o e m coii

v e c ccedil a o f o r ccedil a d a

33

D

L

fluxo teacutermico critico BTUhrft bdquo 2

descarga em massa do liquido (Ibmhrft )

diacircmetro do tubo ft

comp do tubo ft

Para cada caso temos uma expressatildeo diferente que pode ser

encontrada em literatura especializada

6 INFLUEcircNCIA DE OUTROS PARAcircMETROS NO FLUXO DE BURNOUT

Como para os usos atuais do reator a diferenccedila de temppound

ratura entre parede e fluido sao pequenas bem como o fluxo de bur

nout recentemente fiacutesicos como Jakob Bonilla WR Gambill estu

daram outros paracircmetros que influenciam bastante o sect^ 0gt isto eacute a

influecircncia desses paracircmetros faz com que o ^ seja maior Isto eacute

util pois quanto maior o fluxo de burnout maior poderaacute ser o

fluxo de calor real de funcionamento

Tais meios sao

- Sub-resfriamenCcedilo do liacutequido

61 - Influecircncia da velocidade do liacutequido

Estudos feitos pelos autores acima chegaram agraves curvas

- Aumento da velocidade imposta ao liacutequido

- Pressatildeo do liacutequido elevada

alto V

At

34

Para velocidades maiores o fluxo de burnout aumenta

porque neste caso o regime eacute turbulento e o coeficiente de peliacute

cuia h aumentao

6bdquo2 - Influencia do aumento da pressatildeo

Este estudo deve-se a Bonilla que obteve experimentalmen

te as curvas

Este estudo foi feito para vaacuterios liacutequidos e chegou a con

clusao que sempre havia uma pressatildeo oacutetima isto e uma pressatildeo que

leva ao maior iacute 1 ^ raquo mantidas as demais condiccedilotildees Experimentalmenshy

te notou que essa pressatildeo correspondia a 13 da pressatildeo critica

do liquido em questatildeo

6=3 - Influecircncia do sub-resfriamento

Consiste em manter atilde custa de uma circulaccedilatildeo intensa o

liacutequido a uma temperatura inferior atilde de saturaccedilatildeo para a pressatildeo

correspondenteraquo Experimentalmente chega-se agraves curvas

mdash A t grande sub

bullAt -0 sub sub

medio

At

35

Verificando os graacuteficos vemos que o lt)gt aumenta agrave medida bo

que aumenta a diferenccedila de temperatura de sub-resf riamento isto pojr

que o liquido como estaacute mais frio faz com que algumas das bolhas

recondensem permitindo que o liquido fique em contato com a parede

quente o que faz aumentar o h

^ f csub = t e m P e r a t u r a ddeg liacutequido - temperatura de saturaccedilatildeo

A diferenccedila de temperatura At entre fluido e parede tamshy

beacutem aumenta poit na regiatildeo proacutexima agrave parede haacute necessidade de

levar o liacutequido da temperatura do sub-resfriamento ateacute a temperatu

ra de saturaccedilatildeo quando se evapora

Atualmente os maiores estudos dos fiacutesicos nucleares locashy

lizam-se neste campo pois eacute o que oferece maiores vantagens

7 FORMULAS PARA 0 CAacuteLCULO DO COEFICIENTE DE PELIacuteCULA NA EBULICcedilAtildeO

Como ocorre no caacutelculo de todas as foacutermulas de convecccedilatildeo

temos formulas empiacutericas para determinar o h conforme o tipo de

ebuliccedilatildeo que nos consideramos

71 - Ebuliccedilatildeo Nucleada

Para o caso de aacutegua temos as relaccedilotildees

superfiacutecies

horizontais

superfiacutecies

verticais

f aacute 5000 BTUhrft 2 -gtbull h = 151 ( A t ) 1 3

A o

5000 lt 75000 -h = 0618 (At)3

^ pound 1000 -raquobull h = 8 7 ( A t ) 1 7

A o -

1000 lt $ lt 20000 -gt h = 027 (At) A o

Quando a pressatildeo e diferente da atmosfeacuterica faz-se a correccedilatildeo

3 6

72 - Ebuliccedilatildeo por peliacutecula

Bromley propocircs uma boa equaccedilatildeo para a ebuliccedilatildeo por peliacuteshy

cula estaacutevel em cilindros horizontais

Nu

_ JtjD n r 9 P v bull ( P L - P v gt - g -h

e V bull D i2

D 1 ^ U b Z u At gt

onde

V = indica vapor

L = indica liacutequido

Multiplicando ambos os membros da equaccedilatildeo acima por

kvD obteremos a expressatildeo do coeficiente de convecccedilagraveo meacutedio para

o caso

37

C - FORMULAS PARA CAacuteLCULOS ESPECIacuteFICOS - RESULTADOS ESPECIacuteFICOS

1 FLUXO DE CALOR CRIacuteTICO - BURNOUT

lol - Introduccedilatildeo

O aspecto mais importante no que se refere agrave seguranccedila

dos reatores da transferencia de calor na ebuliccedilatildeo eacute a determina

ccedilatildeo do Fluxo de calor critico ou de pico ou burnout

Como jatilde vimos quando temos a ebuliccedilatildeo nucleada a dishy

ferenccedila de temperatura entre refrigerante e superfiacutecie de aqueci

mento e pequena poreacutem quando atingimos o fluxo de calor criacutetico

essa diferenccedila de temperatura pode tornar-se imediatamente muishy

to grande podendo causar a ruptura da superfiacutecie de aquecimento

se atiigirmos o ponto de fusatildeo do soacutelidoraquo

Usando a convecccedilao

onde

At sat

w

sat At

sub

w = temperatura da parede de aquecimento

t t = temperatura de saturaccedilatildeo do liacutequido

t^ = temperatura de mistura do liacutequido

At = (t -t ) sub-resfriamento do liacutequido sub N sat b 1

nout

Ha dois tipos de burnout fast burnout e slow bur-

Ocorre o fast burnout (burnout raacutepido) quando A t g u b gt 0

38

ou para baixo x (~ lt 10) sendo x o titulo do vapor

Temos o slow burnout para x - gt 10 Assim noacutes tereshy

mos dois limites para o burnout

At bull o (ltJgt ) t =((() para t = t ) -

bo m m possiacutevel w sat

sub i

4L + 1

G c D h pl nb

(ltK ) = (ltpound para x = 1) = Dv-bo max possiacutevel e 4L

c At l + P 1 sub i

onde

L = comprimento do canal

D = diacircmetro do tubo

G = descarga de liacutequido (por unidade de aacuterea)

c ^ = calor especiacutefico do liacutequido

Agrave = calor latente de vaporizaccedilatildeo

h ^ = coeficiente de transferecircncia de calor na regiatildeo de

nao ebuliccedilatildeo

iacutendices

i = entrada

e = saiacuteda

Haacute inuacutemeras expressotildees para determinaccedilatildeo do burnout pro

postas por muitos fisicos cada uma aplicando-se a um caso especiacuteshy

fico vejamos algumas delas

12 - Equaccedilotildees para prediccedilatildeo de Burnout

121 - Equaccedilatildeo de Bragg e Smith (Zuber)

Num artigo publicado por Bragg e Smith encontramos uma f oacute_r

mula que e derivada da formula de Kutateladze e nos daacute o fluxo cri

39

tico quando nao temos sufaresfriamento

bo poolsat v V raquoc a ( p l P V )

2 PV

14

onde

ltiexclgt = fluxo de calor critico bo

k = constante

Ly = calor latente de vaporizaccedilatildeo do refrigerante

= densidade do liquido

pvr = densidade do vapor V a = tensao superficial

g = fator de conversatildeo c

a = aceleraccedilatildeo da superficie de aquecimento

Os autores encontraram para k um valor de 062 entreten

to outros autores como Zuber incluindo outras variaacuteveis que In

fluiam no fenocircmeno encontraram k variando entre 008 e 023Esshy

tudos bem elaborados mostram que o valor mais aproximado eacute

k = 015 (- 003)

1-22 - Equaccedilatildeo de Noyes

Noyes estudou o burnout para o soacutedio agua e alguns liacute

quidos orgacircnicos

( W s a t ~ bdquo 0245 bull ( r ( 1 )

iiacute_ V 1 Pr

onde

N n = Nuacutemero de Prandtl da fase liacutequida x r

Mais tarde o proacuteprio Noyes alterou a equaccedilatildeo para

n ^ - n H Iacute I Pl PV gt0538 deg g c a q 4 ( W s a t deg 1 1 6 PV ( - p 7 ~ ) (77T1^ ) ( 2 )

40

A ultima correlaccedilatildeo proposta por Noyes foi

a n prPV0560 112

1

(a bull a) 13

(ag c) 112

(3)

onde

a = difusividade teacutermica do liacutequidoraquo A equaccedilatildeo (3) eacute bashy

seada em todos os dados de burnouts do soacutedio bem

como da atildegua benzeno difenil e outros De 111 pontos usados 90

+ estatildeo relacionados dentro de - 30bdquo

ldeg2o3 - Burnout com convecccedilao forccedilada e sub-resfriamen

to

Aproveitando os resultados de aproximadamente 240 testes

de burnouts com aacutegua sub-resfriada em fluxo de convecccedilao forccedilashy

da feitos na Ruacutessia Labuntsov elaborou uma boa equaccedilatildeo empiacuterica

para o problemabdquo

Esta relaccedilatildeo aplica-se para velocidades entre 2 3 e 148

ftsec pressotildees entre 1 e 201 atmabs sub-resfriamento entre 0 deg

e 432 degF e fluxos de burnout entre 0 4 x IO 6 x 166 x 1 0 6 BTUhr

2 bdquo

bullbo

onde

e a seguinte

6 ( P ) 1 + 0 2 3 2 V 2

14

e ( P ) 1 +

15 c At _p_ sub

12 (a)

9 ( P ) - P 1 3 o ( 1 - P J 4 3

red

= pressatildeo (atm abs)

pressatildeo reduzida = mdash mdash red r P

t_ c = pressatildeo critica

= velocidade do liacutequido (ftsec)

= calor especiacutefico do liacutequido (BTUlbdegF)

4 1

^ tsub = ^ ^ e r e n Ccedil a ^ e temperatura entre a temperatura de

mistura do liacutequido e a de saturaccedilatildeo (degF)

X = calor latente de vaporizaccedilatildeo (BTUlb) 2

ltiacutegtbo = fluxo de burnout (BTUhrfl )

Uma outra correlaccedilatildeo para o caso foi proposta por

Ornatsky e Xiohigin que fizeram experiecircncias para pressotildees entre

10 e 1 5 0 3xm 90 degF lt At ^ lt 4 5 0 deg F 3 7 1 0 6 ( l b h r o f t 2 ) lt G lt

2 2 2 10 b ( l b h r bdquo f t 2 )

lt ^ = 3 2 5 0 (G o A t bdquo J deg 6 ( - i - ^ ) 2 5 ( b ) bo sub

onde

G - descarga de refrigerante por unidade de aacuterea

P ^ v P v - densidades do liacutequido e do vapor

P1~ PV -0 termo (mdash ) e incluido na expressatildeo (b) para indicar

a influecircncia da ^ pressatildeo sobre o

Uma comparaccedilatildeo entre as equaccedilotildees (a) e (b) foi feita para

o Reator de Isoacutetopos de Alto Fluxo (HFIR) nas condiccedilotildees aacutegua a

600 psia velocidade = 45 ftsec e sub-resfriamento = At^^ 1

degF obtendo-se uma diferenccedila de 6 5 entre ambos (4gt = 6 0 5 1 0 b

2 ~ 6 2 BTUhr ft pela equaccedilatildeo (a) e 6 4 5 10 3TUhrraquoft pela equaccedilatildeo

(b)

Ilatilde ainda a equaccedilatildeo de Ivey e Morris aplicaacutevel somente pa_

ra ebuliccedilatildeo com grande quantidade de liacutequido

( c sub t

Cpf bull A tsub

( bull ) s ~ V P bdquo 10 h V sat V g

onde

(ltL ) = fluxo critico com sub-resfriamento c sub

(ograve ) ^ - fluxo critico sem sub-resfriamento c sat

42

c ^ = calor especiacutefico do liacutequido

= calor latente de vaporizaccedilatildeo

124 - Burnout com convecccedilao forccedilada e ebuliccedilatildeo por bocirc-

Ihas

Gambill fez uma extensatildeo da equaccedilatildeo de Levy e aplicou o

metqdo da superposiccedilatildeo Tal extensatildeo consiste natilde subtraccedilatildeo de uma

razatildeo equivalente de massa transferida dos termos que represenshy

tam a ebuliccedilatildeo e convecccedilao para levar em conta a presenccedila do vashy

por no fluxo

A correlaccedilatildeo pode ser escrita assim

24 V P V

o g c a (p^Py) 14

+ 0696 (k p c ) 12

(

pr p v )i4 o g c a (P-L-Py) 18

bull At + h sub nb

044 p v L v G (g1) bull N2 n

p l P V

( pr p v ) d e 2-7

2 4 TT 0

14 ( f e _ ^ r l 3

lO^u

onde

k = condutividade teacutermica

c = calor especiacutefico

A t s u b ~ s ub-resfriamento do liacutequido

h = coeficiente de transferecircncia de calor de nao ebu nb mdash

liccedilatildeo

G = descarga total do refrigerante

43

d g = diacircmetro equivalente do tubo ou canalraquo

]i = viscosidade

B = constante adimensional

Os iacutendices V e 1 representam vapor e liacutequido respectiva

mente

0 primeiro termo entre chaves da equaccedilatildeo representa o flu

xo de calor no burnout de sub-resfriamento em convecccedilao forccedilada 0

segundo termo entre chaves corresponde ao fluxo de calor transferi^

do para a massa da fase vapor

1-25 - Burnout por Bloqueio da Base

Ocorre quando a profundidade do recipiente eacute muito maior

que a largura 0 bloqueio da base eacute causado pela formaccedilatildeo de uma pe_

licula de vapor na base impedindo que o liacutequido toque o fundo do

recipiente

i De

Este eacute o burnout por flooding isto eacute burnout por expul

sao do liacutequido Uma equaccedilatildeo que nos dacirc o fluxo minimo do burnout

parao caso eacute

44

onde

D g = diacircmetro equivalente

L = comprimento do tubo

= calor de vaporizaccedilatildeo

p^Py Ap = densidade do liacutequido do vapor e diferenccedila en

tre ambos

Para um fluxo de calor maior ou igual ao dado pela expres_

sao acima (mantida a mesma geometria) teremos burnout Para um deshy

terminado fluxo existiratildeo sempre um comprimento L e um diacircmetro equi

valente D e para os quais temos burnout Exemplo

L (in) D e(in)

10 11

100 51

1000 235

2 RESULTADOS ESPECIacuteFICOS - FOacuteRMULAS PARA CAacuteLCULOS ESPECIacuteFICOS

21 - Diferenccedila de temperatura At i

13 a t

sat

At sat

poundatildeJL_ raquo t - t J p T T 6 w sat

onde

o laquo tensatildeo superficial entre liquido e vapor

t - temperatura de saturaccedilatildeo do liacutequido para a corres-Scl t

pondente pressatildeo

J equivalente mecacircnico do calor

X laquobull calor latente de vaporizaccedilatildeo

py = densidade do vapor

6 = espessura da camada de liacutequido superaquecido onde

45

k l

h nc

onde

k^ = condutividade teacutermica do liacutequido

h = coeficiente de peliacutecula nc r

Segundo Eckent h ^ c e dado por

P 2 Q

nc 3 V VP + 0952

r

onde

D = diacircmetro equivalente

G r = numero de Grashoff

P = nuacutemero de Pradtl

2 o 2 - Velocidade das bolhas

A velocidade das bolhas em meacutedia pode ser dada pela exshy

pressatildeo

V bdquo = Iacute ( a bull B Apl4 bolhas 5 ^ 2

p l onde

AP = P L - P v

Expressatildeo que vale quando a aceleraccedilatildeo eacute a da gravidade

baixa viscosidade do liacutequido e bolhas separadas

Vbolha = f t s e atilde m a x para aacutegua

2 bdquo3 - Diacircmetro das bolhas

2gc deg 12 D = 0015 3 ( mdash mdash 7 ~ ) d g Ap

5 =

46

onde

8 = acircngulo de contato (20 a 90deg) geralmente assume-O -1

-se igual a 50 para a agua em contato com metal

24 - Coeficiente de peliacutecula na ebuliccedilatildeo nucleada

a) Equaccedilatildeo de Rohsenow

Esta equaccedilatildeo nos datilde o fluxo de calor q na ebuliccedilatildeo nushy

cleadaraquo E oacutetima expressatildeo para muitos liacutequidos o efeito da presshy

satildeo eacute levado em conta na variaccedilatildeo das propriedadesraquo

Pf

fg

sat 17 = c

sg k y f h f g g( P f-p g)

n033

onae

Pf

fg

Pf Pg c sg

= fluxo de calor requerido (BTUhr0ft^)

= calor especiacutefico do liacutequido saturado (BTUlbm0F)

= calor latente de vaporizaccedilatildeo (BTULbm)

= nuacutemero de Prandtl

= viscosidade do liacutequido (lbrahrraquoft) ~ 8 2

= fator de conversatildeo 417 10 Ibmftlbflaquohr 2

= aceleraccedilatildeo da gravidade (fthr )

= tensatildeo superficial na interface liacutequida vapor

(lbfft) 3

densidade do liquido e vapor (lbmft )

constante adimensiacuteonal que depende de vaacuterios fashy

tores dentre os quais o grau de aquecimento en_

tre o fluido e a superfiacutecie de aquecimento e o

mais importanteraquo Independe da pressatildeo do sistema b) Equaccedilatildeo de Levy

Equaccedilatildeo valida para a aacutegua quando 100 lt p lt 2000 psiacutea

47

43 bdquo3

qu bdquo gat ^ T J h r t f t ^

495

25 - Calculo do fluxo de calor no Ponto de Leidenfrost

0 ponto de Leidenfrost como vimos eacute o ponto em que oflu

xo de calor comeccedila ncamente a crescer isto eacute o ponto onde termal

aa a ebuliccedilatildeo instaacutevel e comeccedila a ebuliccedilatildeo por peliacutecula estaacutevel Eacute

o chanado fluxo miacutenimo (egrave ) m m

Aproximadamente quando A t g u k = 0 temos

A _ mdash _ mdash (Gambill) m m 5

Ha entretanto varias expressotildees para determinar esse flu

xo eis uma delas

A p 14 ltjgt = 009 h pbdquo (o raquo g mdash ) y m m fg P V deg 2

p l

26 - caacutelculo do fluxo de calor na regiatildeo de ebuliccedilatildeo por peliacute

cuia estaacutevel

para cilindros jmdashi i li

_ D 0172 k-V - P V A p h l V bull S 14 li - = 062 (mdashmdash) (- j- r rmdash) convecccedilao A 0 ybdquo (t -t )

c V w sat

onde

= condutividade do vapor

- 2 TT ( mdash )

c gAp Vl = significam vapor e liacutequido respectivamente

para paredes verticais

L 0172 S deg7 A p bull hlV S q 4 h - - 080 (-^-)J- (-Iuml - Iacutemdash-convecccedilao X L u (t - t J)

c V w sat

48

Como nesta regiatildeo jaacute haacute nina influecircncia marcante da radia

ccedilao devemos levar en conta tambeacutem o coeficiente de peliacutecula de

vido a radiaccedilatildeo para determinar o coeficiente de peliacutecula total

Dos estudos atildea radiaccedilatildeo temos

h = a F pound(T 4 - T 4 J ( T ~ T ) rad w sat w sat

onde amp _ emissividade de superfiacutecie

a = constante de Stefan-Boltzman

F = fator de forma

Segundo WE Gambill o coeficiente de transmissatildeo total

ceve ser

3 iacutei = h + -7 h para h lt h t conv 4 rad r rad conv

Na expressatildeo acima existe o fator 34 porque a radiaccedilatildeo

faz variar um pouco a espessura do filme de vapor reduzindo asshy

sim o l l

conv

Quando tivermos h gt h gt o h^ ^ seraacute rad conv total

h f c = h + h t conv rad

Neste ultimo caso nao ha nenhum coeficiente porque a peshy

liacutecula de vapor jaacute eacute estaacutevel

27 - Grandezas caracteriacutesticas para a apua

Para pressatildeo igual a 1 atm = 1422 psia

At ^ = t - t = 5degC (iniacutecio da ebuliccedilatildeo nucleada) sat w sat 1

At t = 30degC sat crit

49

5 2 $ = 4 10 BTUhrft (para pressatildeo 1 atm)

0 fluxo critico cresce como vimos com a pressatildeo ate

atingir o maacuteximo quando a pressatildeo eacute aproximadamente 13 da pressatildeo

criacutetica Esse fluxo eacute

bull = 13 IO 6 BTUhrft 2 para p = 11000 psia (p pound = 32062 psia)

Ainda temos que para pressatildeo igual a 15 psia

h b o = 11000 BTUhrft degF - ebuliccedilatildeo nucleada

h f b = 30 BTUhrft 2 degF - ebuliccedilatildeo pelicular

Todos os resultados e formulas para caacutelculos especiacuteficos

apresentados nos itens 21 22 23 ateacute 27 sacirco aplicados somente

para sistemas onde haja ebuliccedilatildeo com grande quantidade de liquido

51

D - HIDRODINAcircMICA DOS SISTEMAS E QUEDA

DE PRESSAtildeO DENTRO DE UM CANAL

1 HIDRO-DINAcircMICA E QUEDA DE PRESSAtildeO

11 - Hidro-dinacircmica dos sistemas estaacuteveis

111 - Regimes de escoamento

A evoluccedilatildeo do escoamento ao longo de um canal aquecedor

de secccedilatildeo constante ciliacutendrico pode ser esquematizada pela figushy

ra 1 onde temos em abcissa o comprimento z do canal e em ordenada

a temperatura (T)

52

Na figura 1 nos representamos

a) 0 aspecto do escoamento fluido quando a entalpia do

- fluido aumenta Verificamos que o fluido entra no cashy

nal no estado liacutequido e assim permanece ateacute atingirmos a zona de

ebuliccedilatildeo local onde aparecem as primeiras bolhas A entalpia do

fluido continua aumentando e tem inicioa ebuliccedilatildeo franccedila onde as

bolhas se unem formando agregados posteriormente o escoamento to

ma a forma da figura ou seja torna-se anular disperso Finalmente

atingimos duas uacuteltimas fases do escoamento disperso (vapor uacutemido)

e vapor seco

b) A evoluccedilatildeo da temperatura meacutedia do fluido e da tempeshy

ratura da parede Note-se que a partir da cota a

temperatura da parede aumenta brutalmente podendo causar o

burnout

c) A evoluccedilatildeo do tiacutetulo do vapor (x) com o comprimento

do tubo e a evoluccedilatildeo da fraccedilatildeo (a) que definiremos no

item 11laquo2 com o comprimento do tubo

112 - Definiccedilotildees

a) Tiacutetulo ou qualidade do vapor (x)

massa de vapor na mistura x ~ massa total da mistura

x =

W _g_

g f

b) Fraccedilatildeo vazio (void fraction)

volume do vapor na mistura a = volume total da mistura (agua+vapor)

A relaccedilatildeo entre x e a num sistema parado pode ser obtida

assumindo um certo volume contendo 1 lbm de mistura em equiliacutebrio

teacutermicoraquo

53

O volume da mistura seraacute igual a (v + xv ) ft onde v eacute 3 r rg

o volume especifico (lbmft )

f - refere-se ao liquido

g - refere-se ao vapor

fg - refere-se a diferenccedila entre liacutequido e vapor

Numa mistura em equiliacutebrio se o liacutequido e o vapor estatildeo

saturados o volume do vapor presente eacute igual acirc sua massa vezes

seu volume especiacutefico v assim e

xv bdquo bdquo a mdash

V c + XV c

f gf

onde

- bull-bull uumlutiacuteisa vapor na mistura de 1 Ibm

v volume especiacutefico do liacutequido

v = volume especiacutefico do vapor o

V c = v - V

gf 8 r

Fazendo uma transformaccedilatildeo na expressatildeo acima temos

xv xv JS = Z-

v r+ x(v -v c) xv +(l-x)v t ri f g f g f 1 + Ul-x)xjv fv

1 + C(l-x)x]]vfvg

A fraccedilatildeo vazia tem a influencia de baixar a reatividade

do nuacutecleo nos reatores em que o refrigerante eacute tambeacutem moderador

Na equaccedilatildeo acima os valores de x e v sao tomados em tabe

las termodinacircmicas apropriadas para a pressatildeo do sistema A equashy

ccedilatildeo (1) mostra os grandes valores de a para pequenos valores de x

especialmente para baixas pressotildees Isto ocorre porqueaumentando

54

aacute pressatildeo o v decresce muito enquanto que o v f eacute mais ou menos da

mesma ordem de grandeza

Exemplo Calcular o a correspondente para x raquo 2 para aacutegua

leve atilde pressatildeo atmosfeacuterica

Da tabela para p laquobull 1 atm

v - 001672 ft 3lbm e v - 26800 ft 3lbm

1 + [(1-002)002] 001672268

0971 ou 97U

O grafico abaixo mostra a variaccedilatildeo do a com x para vaacuterias

pressotildees e para a aacutegua leve

x ()

tObservaccedilotildees da curva

Fig 2

1 - para x constante a decresce com a pressatildeo Para presshy

sotildees proacuteximas da criacutetica a aproxima-se rapidamente de

x Para a pressatildeo criacutetica as duas fases satildeo indistinguiacuteveis ea=x

2 - para cada pressatildeo dotdx decresce com aumento de x

3 - para baixos valores de x (que e o caso dos reatores

tipo Boiling) quando p decresce dadx cresce e torr

na-se muito grande paacutera baixas pressotildees Isto tem relaccedilatildeo com a epound

55

tabilidade do reator como veremos mais tarde

113 - Sistemas com fluxo

Todas as definiccedilotildees que noacutes vimos no item anterior refeshy

rem-se acirc sistemas em que a mistura esta fechada no recipiente Nes^

te caso natildeo havia movimento relativo entre as duas fases No entan

to se as duas fases da mistura se movem na direccedilatildeo vertical em

canais entre os elementos combustiacuteveis o vapor por causa de sua

flutuaccedilatildeo tem a tendecircncia de escorregar sobre o liacutequido isto e

move-se com velocidade maior do que a do liacutequido

Real Modelo

Pig 3

S -

Define-se neste caso a relaccedilatildeo de escorregamento (slip

ratio) (S) como sendo

V _i

V f

onde

V = velocidade do vapor

= velocidade do liquido

S modifica as relaccedilotildees entre a e x do item anterior S geralmen_

te gt 1 Define-se neste caso qualidade do vapor ou tiacutetulo como

sendo

_ fluxo de massa de vapor

fluxo de massa da mistura

Entatildeo se o fluxo de massa da mistura eacute m t(lbmhr) o flushy

xo de vapor seraacute = x m e o fluxo de liacutequido sera (1-x) m onde x

56

e o titulo do vapor para a particular secccedilatildeo (AL) da figura (3)

Devemos notar que neste caso x varia de secccedilatildeo para secshy

ccedilatildeo do tubo o exposto no paraacutegrafo acima vale considerando-se que

x e a permaneceram constantes na secccedilatildeo de espessura AL

Aplicando a equaccedilatildeo da continuidade as velocidades do va

por e liacutequido sao dadas por

o xm v

V vazatildeo = g g area A

V

(1-x) amp t v f

f A f

onde A e A f sao as aacutereas medias perpendiculares ao fluxo se as

duas fases sao imaginadas completamente separadas uma da outra

(figura 3) Assim temos

V x m v o A_ A v 0 ^ - 2 = iacute S t m _2L- JL JS m

V A (l-x)ui v 1-x A v U

f g t f g f

Sabemos ainda que para a secccedilatildeo considerada

volume do vapor na mistura a = volume total da mistura (agua+vapor)

A AL A pound g g

a = mdash a a = - mdash 1

(A+A )AL A f + g

A ou f _ 1 - a

A a 8

Substituindo em (2) vem

57

Esta expressatildeo pode ser rearranjada e obteremos uma relashy

ccedilatildeo entre x e a levando em conta o escorregamento Chega-se a

a = 1 ( 3 )

1+ [U-x)x3 igt

onde

v 4 laquo -- S

v lty o

Note-se que quando S=l (nao haacute escorregamento) caimos na

expressatildeo dada no item anterior

0 efeito do escorregamento eacute decrescer o valor de a pa_

ra um mesmo xbdquo Isto pode ser visto pela foacutermula (3) pois S gt lLo

go a decresce com acreacutescimo de S

Um alto S e entatildeo uma vantagem tanto para a transferecircnshy

cia de calor como para efeitos de moderaccedilatildeo Eacute uma vantagem para

transferecircncia de calor porque alto S significa alto V e portanto

maior turbulecircncia e maior contato do liquido com as paredes quenshy

tes Ha tambeacutem melhorias na estabilidade da reaccedilatildeo nuclear isto

porque como jaacute dissemos quando mdash7 diminui a estabilidade aumenshy

ta isso pode ser verificado observando a curva a versus x para a

agua leve a 1000 psiabdquo

Fig 4

58

A relaccedilatildeo entre x e a da equaccedilatildeo (3) so vale para secccedilatildeo

de tubo bem pequena

Devemos notar que S varia tambeacutem com a pressatildeo e velocida^

de de entrada do liacutequido no tubo Este efeito pode ser observado na

figura 5 abaxxo obtida esperimentalmente

s

3

~^ ~ psig

x = 001

V 1

Fig 5

Nos projetos de reatores como veremos adiante o valor a

geralmente eacute determinado por consideraccedilotildees nucleares (moderaccedilatildeo) 0

valor de S eacute determinado atraveacutes de uma estimativa ou entatildeo atrashy

veacutes de um graacutefico do tipo da figura 5 0 correspondente valor de x

pode ser obtido de uma foacutermula empiacuterica do tipo

1 = 1 (-S)0gt67

proposta por Von Glahn

Em muitos casos assume-se S constante em todo o comprimeiv

to do canal poreacutem eacute um erro que em muitos casos nao pode ser coshy

metido

4 REATORES EM QUE 0 LIacuteQUIDO B MODERADOR E CIRCUITO PRIMAacuteRIO AO

MESMO TEMPO BOILING-REACTOR (BWR)

A aacutegua ao se movimentar atraveacutes dos vaacuterios canais do

59

Boiling-reactor encontra vaacuterias resistecircncias ao fluxo que provoshy

cam uma reduccedilatildeo de pressatildeo no fluido

As duas perdas mais importantes sao perda de pressatildeo por

atrito e perda de pressatildeo causada pela aceleraccedilatildeo do refrigerante

ao aumentar de volume por receber calor num canal Outras perdas

de pressatildeo seriam a obstruccedilatildeo ao fluxo por corpos submersos (espa_

ccediladores juntas de tubos chaves etc) e por mudanccedilas abruptas de

aacuterea de fluxo tanto na entrada como na saiacuteda do tubo

Essas perdas de pressatildeo devem ser conhecidas o melhor popound

sivel principalmente nos reatores BWR Para tanto devemos saber

o comprimento de canal em que nao ha a ebuliccedilatildeo isto eacute qual o com

primento de canal em que o refrigerante vai da temperatura de sub-

resfriamento ate temperatura de saturaccedilatildeo

Seja o elemento combustiacutevel

Aquecimento Uniforme Aquecimento Senoidal

Fig 6 Fig 7

onde

H =

H = o

H b

comprimento do elemento combustiacutevel

cota onde o liquido se torna saturado

comprimento do elemento combustiacutevel em que ocorre

ebuliccedilatildeo

60

qg = calor sensiacutevel acrescentado ao liquido para satushy

raacute-lo

qfc = calor total acrescentado ao liacutequido em todo o com

primento do canal

laquoo

q s J o qiquest sen (IIzH) n H o

T~ = TH = 2 ( 1 c o s gt ( a )

q 1 sen (HzH) Jo ^c

A expressatildeo (a) vale quando tivermos uma adiccedilatildeo de calor

senoidal para qualquer outra forma de adiccedilatildeo de calor faz-se um

caacutelculo anaacutelogo

Outra relaccedilatildeo entre q g e qfc eacute dada pela termodinacircmica

q h- - h s f m (b)

(hr +x h )-hm ^t f e fg

onde

= entalpia para o liquido saturado a pressatildeo correjs

pondente (cota z = Ho)

hffi = entalpia do liacutequido na entrada do canal

x = tiacutetulo do vapor na saiacuteda

= entalpia do vapor

Com a relaccedilatildeo (b) noacutes determinamos a relaccedilatildeo q q ecom

S L

uma relaccedilatildeo do tipo (a) (conforme seja o adicionamento de calor ao

liacutequido) podemos obter a relaccedilatildeo HoH e consequentemente H^H

21 - Perda de pressatildeo num canal de evaporaccedilatildeo

Neste item iremos determinar as perdas de pressatildeo mais

representativas que ocorrem num canal de evaporaccedilatildeo de um reator

P + dP

bull1 i- 1 gti i i

dL

onde

UM

Icirc H Icirc Icirc T dF f t f

61

Quantidade de Mov na Entrada

= i- rigVg)

dF f l

Fig 8

m i

m 8

V l V 8

A P

dF

dF

dF

fg

fl

ftf

descarga do liacutequido

descarga do vapor

velocidade do liquido

velocidade do vapor

aacuterea transversal do canal

forccedila de atrito do vapor com parede

forccedila de atrito do liacutequido com parede

forccedila de atrito das duas fases liacutequido+vapor

Fazendo o balanccedilo das forccedilas considerando o sentido posjL

tivo na vertical temos

A (P-P-dP)-(dF +dF _+dF _)-(-pound-) (p A+p A )dL = mdash dGnV+m V ) P fg ftf fl g c 1 1 g g g c

v 1 1 g g 7

- dP = ~ (dF +dF--+dF)+- S--7=- (p A+p A )dL+ mdash ~ - d (m-V+m V ) A_ fg ftf fl g c Ap v^l 1 g g g A 11 g g

Fazendo a integraccedilatildeo termo a termo entre os dois extreshy

mos entrada e saiacuteda e considerando a pressatildeo de entrada igual a

P q e a de saiacuteda igual a Pe vem

Quantidade de Mov na Saiacuteda

-= h I- lY l+ A g V g + d ( aacute l V l + aacuteeVl

Forccedila de Gravidade

= ( g f - N P A + P g V

62

b) r e F f l

o p dp^ = Ap^ = perda de pressatildeo por atrito

do liacutequido na altura Ho

Aplicando a formula de Darcy vem

bull API = f bull ir bull ^ iexcl 7

onde

f = fator de atrito

c) e Fftf

o p ^P tpound

= perda de pressao por atrito da mistura

liquido + vapor no trecho de comprimen

to Hbdquo o

Para determinar esta perda de pressao define-se o fator

de multiplicaccedilatildeo R

A P R =

tf A P 1B

Sendo A p ^ a perda de pressao se o comprimento todo fosshy

se ocupado somente pelo liquido assim

A p t f = R A P 1 B

0 calculo de Ap-^ pode ser feito pela formula de Darcy e

o de R nos veremos no item seguinte

63

d)

-e F

d ( ^ )

O P

Ap = perda de pressatildeo por atrito do vapor

No caso do reator BWR o titulo de saida e bera pequeno e

em nenhum caso ocorre a saida de vapor com x = 100 logo a perda

de pressatildeo por atrito do vapor eacute nula assim

An = 0 5

e) Ap

(p A 1 + p A ) dL = Ap - perda de pressatildeo dpound

vida ao desniacutevel

(perda hidrostaacutetica)

Anbdquo = re A A

-S- I (p + p -S ) dL H s 1 A

c o p o A

como A A Jl_ =

A P

A +A-g 1

1-a -

temos

C Q

te j jll-a)p1 + apg)^jdL = p Lo pound

onde

e jo u

+ ap ) ~I dL (Densidade media 1 S J

no tubo)

No nosso caso

Ap u = p H

f)

re d(mV + m V ) _ mdash - laquo -i bull s iquestp laquos p e r d a ltje pressatildeo devido a acele-

c p raccedilatildeo do vapor

V A

(1-x) tl^Vj

(1-a) A

X V

aA

A p -

roV + m V

c p c p L_

m (l-x)m_v m xv nbdquo -1 T 1

+ _S S I (1-a) Ap aA

P

2 g A c p

n 2 2

(1-x) m T

laquo2 8 A c p

2 2 (l-xe) raTv1

2 2 2 xm_v (1-x) m-v e T s o 1 1

a 1 - a

2 2 - x m_v o T g

a

se

X Q 0 (so ha agua nesse trecho)

a = 0 o

temos

mbdquo Ap =

1 a A 2

S A degc p laquo-

tt-V v i 1 - a

2 via T^r - v i

t Apc

2

V v l

5c Ap

1 - a

x v - 1

a e v l

65

Fazendo

G = fluxo total da massa por unidade de area do

canal

(1-x J e

V

AP r

Assim a perda de pressatildeo total sera

H p V II pV r2 P -P = f -24-Iuml+ f R+p 0 1 2g c D e 2g c g c g c

2c2 - Determinaccedilatildeo do fator de multiplicaccedilatildeo (R)

221 - Relaccedilatildeo Martinelli-Nelson

Os autores Martinelli-Nelson determinaram experimental -

te esse fator R para varias LIT1L em funccedilatildeo da pressatildeo e da r NB total J v

qualidade de saiacuteda do vapor no canal Construiacuteram assim vaacuterias

curvas do tipo da figura 9

66

E importante notar que a qualidade do vapor (x) na saiacuteshy

da nao deve ser grande pois como vemos o valor de R cresce muishy

to com um aumento pequeno de x e um valor de R muito grande acar_

reta uma perda de pressatildeo grande pois

^ d u a s fases R ^ f a s e liacutequida

Para resolvermos um problema seguindo o criteacuterio de bdquo

Martinelli escolhemos a curva R = f(px) (para a relaccedilatildeo L

N g ^ j

adequado) e tiramos R com os valores de pressatildeo p e tiacutetulo x

As curvas R = f (p x L T t )IO encontram-se nos ANL 6469 bio I

e 6561

222 - Relaccedilatildeo Lottes-Flinn

Estes autores estudaram o problema para o aquecimento uni

forme do refrigerante com baixo titule Lottes-Flinn fizeram inuacuteshy

meras experiecircncias e verificaram que para fluxo de calor uniforshy

me e baixos titulos R era independente do fluxo de calor fluxo

do refrigerante escorregamento e apenas funccedilatildeo de a g

Como a quantidade de liacutequido eacute muito maior que a de vashy

por a perda de pressatildeo daacute-se principalmente pelo atrito do liacuteshy

quido com a parede Podemos assim escrever a foacutermula de Darcy

na forma diferencial

dz

d = f __ r e amp c

onde

V = velocidade do liquido saturado na cota zbdquo X

f = coeficiente atrito

= densidade do liacutequido saturado

Teoricamente a queda de pressatildeo deve-se ao acreacutescimo de

67

velocidade do liacutequido e da diminuiccedilatildeo da aacuterea de fluxo do liacutequi

do

P fH A P t p

= f D 2g Ho

d z

fazendo

V lo

m V t lo

(velocidade do liacutequido na cota z = Ho)

(1-x) m t v 1

(1-a) A (velocidade do liacutequido na cota z gt Ho)

a bull+ fraccedilatildeo vazio na cota z geneacuterica

V 1 (1-x) m t v 1

m t V l 1 - a

x =s 0 pois o tiacutetulo eacute baixo

A p t f = f bull JT5 c e

fH V lo

H o (1-a) dz

Para fazer a integral devemos achar a relaccedilatildeo de variaccedilatildeo

entre a e z Como o fluxo de calor eacute uniforme a qualidade eacute direshy

tamente proporcional a z

bull laquo x = x e H

z = mdash x X e

Sabemos ainda que (item 113)

x

1 + [ ( I -X)AKQ x + iiacuteraquo

68

como

temos

(1-x) = 1

v

X =

z =

1-a

1 -a

1-a e

a

e

1-a pound

a

1 -a igt (assumindo S = cte)

da

Atf - f bull 2 i ^ ~ J c e o

a 1 - a e e 1 s 4 hmdash) da

a 1-a

f P lv^ Q

0 termo mdash - mdash e a parte de perda de pressatildeo pelo lj^

^c e -quido ou seja Ap liquido saturado e como

Ap

R = tf

Ap liauido saturado

temos que

R J

f ae 1 _ a e 1 4

a 1 -a o e

1 -a r-R =

3 1 -a

a 1 -a imdash

3 vl - a 3

e e

Os valores de R obtidos por esta expressatildeo aproximam-se

muito dos valores obtidos pelos aacutebacos de Martinelli

69

E - EXPANSAtildeO E COMPRESSAtildeO DE UM FLUIDO - ANAacuteLISE HIDRODINAcircMICA

DE UM CIRCUITO EM CIRCULACcedilAtildeO NATURAL

1 EXPANSAtildeO NO FLUXO DE UM FLUIDO

11 - Uma so fase

Figura 1

Ha vaacuterios meacutetodos para determinar a variaccedilatildeo de pressatildeo

numa expansatildeo de fluido estudaremos o de Romie que eacute o que daacute

maior precisatildeo

Romie considera que a pressatildeo p^ tambeacutem atua na aacuterea

imediatamente apos a expansatildeo Assim fazendo o equiliacutebrio das foi

ccedilas nas secccedilotildees tracejadas da figura 1 temos

mVj

p r A 2 + mdash

mV

bull 2- A2

mas

m = pV^A^

pV^A = p V 2 bdquo A 2

V A

v 2 -4r-logo

( P l-P 2) A 2 = f ( V ^ ) - f _ v j amp c c 2

70

2 pV A A pV A A

Chamando A l A ]

K = 1 - T e degi2 = Aiexcl bull V E M

pvj

P l P 2 = T ~ bull ( 2 deg 1 2 ) ( 1 _ a 1 2 )

Outra maneira de chegar atilde diferenccedila de pressatildeo ( P j - ^ ) s mdash

ria usar o coeficiente de perda da mecacircnica dos fluidos Assim o

equilibrio das pressotildees eacute

2 2

1 V l 1 V 2 V l P i + _ p _ ^ P 2 + I p ~ + k 1 2 p mdash

onde = coeficiente de perda

A 2 1 2

k 1 2 - (l-o 1 2) - (1 - j- )

Fazendo as transformaccedilotildees chegamos a mesma expressatildeo obshy

tida pelo balanccedilo das forccedilas

PraquoIacute pr p

2 - - ir ^ laquo-ia

12 - Duas fases

Como ha duas fases a equaccedilatildeo do balanccedilo das forccedilas fica

um pouco alterada

m pound 1 V- m - raquoV - m-V- m bdquoV _ P A + j y ^ i + _gl_JUuml P A + -11-11 + -ilsl (a)

1 2 e R 2 2 ff e

Sabendo que

71

m (1-x) m t = p fA (1-a) V f

entatildeo

fl l-o^ p fA x

6 Vf2 1-x l-a2 P fA 2

m V = mdash mdash e V 0 = gl a 1 P C T A 1 g2

m

a_ p h

2 g 2

Nas expressotildees anteriores o x nao varia porque a expansatildeo

5 adiabaacutetica porem o a varia devido a modificaccedilatildeo do tamanho da

bolha

Substituindo os valores das velocidades na expressatildeo (a)

vera

( P - P ) Abdquo =

2

2 2 m gt2 2 m t (1-x) 1 x t

ra i 2 m i 1 x t 1

p fA 1 g c ttl p Ax gpound

m t P - P = mdash

(1-x) (l-a 1)A 1A 2 (l-a2)A|

a r A r A 2

V A 2

m t P bdquo - P = mdash 2 1 g c A r A 2 p f

(1-x) 1-a f A 2(l-a 2)

bull ^ 2

72

Se

P -P

a

m

g

12

1 _1_ (1-x)

J12

1 _ a l 1 - a 2 + X (- )

Pg

1 deg12 a 2 ^

Sabemos que

mt = V o pf laquo A l

Sendo V q = velocidade do liquido num ponto onde natildeo haja vapor

P 2-P 1

u 2 2 A 2

V pr Ai

V W p f

(1-x) 12

l-a1 l-a2

+ X 2 pf

mdash

l deg12

-1 a 2 _

p -p r 2 Al (2a 1 2)

2 M f w 1 deg12 X (mdash) (

pg al a 2 )+(l-x)C l 1 12

1-a^ l-a2

Devemos notar que esta expressatildeo tambeacutem vale para quando

temos uma fase para isso basta fazer

= c t 2 = 0

X = 0

e recairemos na formula do item anterior

2 pf 1 deg12 Observemos que neste caso o termo x (mdash)( ) nao

Pg al a2

2

73

tem significado pois corresponde a mudanccedila de fase

2 CONTRACcedilAtildeO KO FLUXO DE UM FLUIDO

21 - Uma so fase raquo mdash

Aqui ocorre um fenocircmeno importante pois o fluido ao ser

contraiacutedo nao vai diretamente da area A^ para a area A 0 mas ele

contral-se ate uma area A^ e depois expande-se ate k^

Ao A2

Po IP 2

V 2

Figura 2

Fazendo o equiliacutebrio das pressotildees entre os planos (1)

(0) vem 2 2

pV pV p +~ plusmn - P + i deg bull 1 2 g o 2 g (b)

C x

Fazendo equiliacutebrio da expansatildeo (0) - (2) vem

P o + 2 - f = P 2 + 2 -T + kp- 2 F ( c )

c c b C

Subtraindo (b) - (c)

2 2 2

i p- vj i p- v2 L P l + 2 bull g c

P 2 + 2 2g c

+ k P 2g c

74

Como

P - P = mdash 2 2g

2 2

bull (1 + k) - f bdquo mdash i

k a - f2 ) 2 - d - o c )2

= o

A = a 21

Weisback obteve varias relaccedilotildees entre a e a i] c

01 02 03 a 0624 0632 0643 c

0624 0632

A r v i - V v 2

p -p 1 2

P -P 1 2 2g7

v l =

(1+k) - laquofi- a 2g 21 c

( 1 + k - o 2 1)

X[- V 2 o 2 1V 2

22 - Duas fases

0 valor de k pode ser aproximado para

k = a(l - o 2 1)

onde segundo Richardsons para fluxo de duas fases podemos supor

a = 02

Para fluxo homogeacuteneo sabemos que

75

p = p f (1 -a ) + p o a

podemos supor p bdquo a = 0 pois p e pequeno e fazendo

V = V ~ V fbdquo2 go2 v 2

Substituindo estas duas expressotildees na equaccedilatildeo de uma soacute fase vem

2 2 p V (l-ct) p V (1 -a ) bdquo

P l P 2 = 9g ( 1 + 3 - 3 0 ^ - 0 ^ ) = g (a+1) (l-a^)

Se a = 02

2 12p oV 0

p r p

2 - 9g gt d-) d-sigt

A compressatildeo de um fluido acarreta uma perda de pressatildeo

como pode ser verificado pelas formulas uma vez que lt 1deg

3 ANALISE HIDRODINAcircMICA DE UM CIRCUITO EM CIRCULACcedilAtildeO NATURAL

Esquema deacute uma caldeira com circulaccedilatildeo natural

76

Determinar a velocidade em (7) para que tenhamos circula

ccedilatildeo natural Determinar tambeacutem as perdas de pressatildeo em todos os

trechos da caldeira

31 - Contraccedilatildeo das secccedilotildees (1) - (2)

Como jaacute vimos a equaccedilatildeo do balanccedilo das pressotildees eacute

1 pr Vl 1 p 2 o V 2 P2 V2

1 2 g 2 + 2 g + K12 2g otilde c amp c e c

bullraquo 2 o2 2 e havendo uma soacute fase k 1 9 = (l-o ) = (1 mdash ) e sendo

C 2

p l = p2

v x lt lt lt v 2

P 2 V pr p2 bull ir2 bull ( 1 + k12gt

Colocando em termos de temos

A 2 V 2 P 2 = A 7 V 7 p 7 (continuidade)

V = V mdashbull = V o_bdquo ~ A 2 2 2

P 2 V - p 2

p r p 2 = ir2 - deg72 bull Ccedilrgt bull lt 1 + ki2gt

fazendo

N12 - lt^gt deg72 ( 1 + k12gt

P7 V7

Pr P2 - N12 bull HG

77

3 2 - Perda de carga no trecho ( 2 ) - ( 3 )

Como haacute apenas uma fase soacute temos perdas por atritos e

perdas hidrostaacuteticas

Sendo como jaacute vimos

2 3 p 2 2 g P 2 P 3 = f 2 3 (r~2g^~) L 2 3 g c p

atrito hidrostaacutetica

Substituindo V^ pela relaccedilatildeo do item anterior e tendo em

conta que p = vem

P -P = f 2 r 3 2 3 D

2 3 p 2 bdquo 2 2 p 7 2

2 g 7 72 p 2 3 g

Se

L 2 3 2 p 7

2 3 2 3 D 2 a 7 2 p 2

P 7 V 7 g P 2 - P 3 = N 2 3 ( mdash gt p 2 L 2 3 f

3 3 - Expansatildeo nas secccedilotildees ( 3 ) - ( 4 )

Como vimos o balanccedilo das pressotildees e

2 2 2 p V p 4 V p V

P 3 + 2 g c

P 4 + 2 g c

+ k 3 4 2 g c

onde

k 3 4 - - -

2 2 1 P 4 - V 4 P 3 v 3

P 3 P 4 = 2 g + ( k 3 4 _ 1 ) 2 g

78

Sendo

P 3 - P 4

p 3 o A 3 deg V 3 = P 7

a A 7 o V 7

P 4A 4 0V 4 = P r A r V

3 7 A 3 p 3

A7 P7 V = v mdash mdash 4 7 P 4

P - P 3 r4

Se

P bdquo - P

bdquo2 r-P 7 V 7

3 4 2g deg74 + ( k 3 4 1 ) deg73

34 p deg74 + ( k 3 4 1 ) 73

p r v2

P3- P4 ^ N34 ^ gt

(No caso e negativo)

34 - Contraccedilatildeo nas secccedilotildees (5) - (6)

Ainda temos uma so fase e fazendo o balanccedilo das pressotildees

como fizemos no item 3lt1 vem

P + vil p + vi + k vi P 5 + 2gbdquo P6 + 2gbdquo + k56 2gbdquo

k 5 6 lt 1 ^ gt 2 ( 1 - Iacute 2 i 2 6

V V6 P5degIacute 5^6 ^SS 2g c - 2g c

P - P ^ = (1+kJ

Como

79

A 6

W p 5 =

VV P6 V 5 = V 6 Jiexcl = Vff65

P 5-P 6 - lt H k 5 6 ) mdash ^ mdash (l+k 5 6-a 6 5) c c c

Sendo

Se

A 7 p 7 p 7

6 7 Ag p 6 7 76 p 6

p _p _ P6- V7- g76 iquest72 ( _ 02 P 5 P 6 2g c bull ( p 6

( 1 + k 5 6 deg65 )

p 7 2 2 N56 = p ^ deg76 ( 1 + k 5 6 ~ a 6 5 )

P 7 V 2

7

P r-P = N r 5 6 56 2g c i

35 - Perdas de pressatildeo nas zonas (6) - (7) - Pre^aquecimento

Nesta regiatildeo temos perdas por atrito e hidrostaacuteticas

Nao haacute perda por aceleraccedilatildeo pois ainda natildeo houve formaccedilatildeo de boshy

lhas

Fazendo balanccedilo das pressotildees temos

L_ ppound-V p = p + otilde L - pound _ + f -Si (-21mdashL 6 7 + p67 L67 g + t 6 7 D K 2g

p _ e ifn sao tomados como valores meacutedios 67 67

P _p _ f hl ^67jIacute uuml + - L A

6 F 7 r67 D 2g P P67 L67 g 6 s c 7 c

S e Kr pound67 L67 p67 6 7 D 6 p7

p7 V - _g_ P6- P7 - N67 mdash + P67 L67 f

c c

80

36 - Perda de pressatildeo nas zonas (7) - (8) - Zona de ebuliccedilatildeo

Nesta regiatildeo j aacute temos o aparecimento de bolhas logo a

perda de pressatildeo seraacute devida agraves t recircs parcelas aceleraccedilatildeo a t r i t o

das duas fases liacutequidas + vapor e h idros taacute t ica

onde

Assim

P-P Q = AP + AP + APbdquo 7 8 a t r i t o acel H

T M1

78 p 7 7 AP - R f- - mdash mdashr |R = fator mult ipl ica-

a t r i t o 7 D 7 2 g c L tivo

G 2

AP bull r mdash acel g c

P V

|_1 - o a p J 8 P f

2 t r 2 M2

7 7 r 7 7 A P a c e l = -J^mdash 2 r bull p 7 lt T iexcl iexcl - )

A PH p 7 8 L 7 8 fiexcl

p 7 8 iacute 7 li 1 0 0 P l i q + a P v ] d L = P 7 ( 1 - laquo 7 8 )

ag raquo fraccedilatildeo de vazio media entre 7 e 8

APH = p (1 - 5 7 g ) f- L 7 8

2 2

P 7 - P 8 a 5 - 2 T i + 2 r p 7 + P 7 ( 1 - 7 8 gt f L 7 8 7 amp c amp c amp c

81

N 7g = R mdash + 2 r p 7

P7 V7 P7- P8 = N78 + P 7 ( 1 5 7 8 gt J78

37 - Expansatildeo nas secccedilotildees 8 e 9

No caso haacute uma expansatildeo com duas fases e como vimos no

item 12 a variaccedilatildeo de pressatildeo era dada por

0f Vo P2 P1 = ~2g c ( 2 deg12

x 2 (mdash)(mdash - mdash ) + ( l - x ) 2 ^ T mdash 8 1 2 1

12

Aplicando ao nosso caso

P pound = P 7

P -P = 8 9

V - V raquo V g f 7

P 7 V 2

2 pf 1 a89 2 1 g89 x (mdash) ( ) + (1-x) (- - N

o ou abdquo 1-cu l-ot_) g 8 9 8 9

Se

N 89

= 2 a 89

2 pf 1 deg89 2 1 CT89 x (mdash) ( ) + (1-x) ( T

g 8 9 8 9

P -P = 8 9

- N P7deg V7

89 2gbdquo

38 - Perda de pressatildeo no trecho 9 e 10

No referido trecho temos apenas perda de pressatildeo por atr L

to da fase liacutequido + vapor e perda hidrostaacutetica Natildeo haacute perda por

aceleraccedilatildeo do vapor pois este natildeo recebe mais calor e portanto

o 82 o

nao ha variaccedilatildeo no a

p

Q -p i n = A P

U + A P bull 9 10 H atrito

n T -S_ P9 U10 deg 910 bull g

fio r

910 I 910

J9 L

(l- a)P + Q P I dL liq v

(l-a0) p

No caso a = (nao hatilde variaccedilatildeo de forma)

A P H - (1-a ) P (p L 0

c

AP bdquo = R o

atrito

2 f9 o L910 P9 V9

2g

Supondo

= V

P 9 = P 8 P 7

vbdquo = v 9 8 0 A r

= V 7 bull deg89

AP - R atrito

2 2

W l O p7deg V7deg g89

V P10 R -^T^ bull deg89 bull li-2 + ( W P 7 (fgt SIO

y c c

Se

- f9 L910 2 N9ol0 R Dl deg89

w 2

p rv P9 P10 = VlO + ( 1 a 9 ) p7 (f gt L910 c

33

39 - Perda ciacutee pressatildeo na expansatildeo 9 - 1 0

Analogamente a expansatildeo 8 - 9 temos

10 11 P 7 2g

10 Iacute 2 0 1 0 - 1 1 gt

2 ff

pg aio

10-11

laquo11 ) +

Ll-a 1 0 bull l-a u J

Se

V10 = V 9 = V 8 bull T9 = V 7 deg89

P -P 10 rll = - a 2g 089 ^lO-ll

4 bull T~ bull (7 1 mdash ) + Pg degio a n

+ (l-x)2(- 1 10-11

1 - aio )

N10-ll = 2 a10-ll a89 2 pf t 1 10-11 N2

-(j-r- - ) bull+ (1-x) pg aio deg 1

10-11 k l - a io

prz P10 Pll = - N10-ll bull ( 2gbdquo

310 - Calculo de V

Fazendo a somatoacuteria de todas as expressotildees (P^-Pj) tere-

84

mos 2 PbdquoV_

P bdquo - P bdquo = N 7 v 7

1 2 12 2g

bull 2 - P 3 - = N 2 3 P 2 L 2 3 f c ccedil

9 P 7 V 7 P _p = N mdash -

3 4 34 deg 2g

V P 5 = deg

2 P V

5 6 56 2 g c

ltr2

P 7 -V 6 e7 -N67 2g + p 6 7 J j67 g

c bc v 2

P 7 - P 8 = N 7 8 - 2 i ~ + p 7 ( 1 - laquo 7 8 ) L 7 8 c

P 7 V 7

P - P - -N mdash - -8 9 89 2g

c P 7 V 7

P 9 ~ P 1 0 VlO 2g + ( 1 a 9 P 7 L 9 c

P 7 V 7

bull10 11 U10-ll 2g

P v iacute j P - P

1 11

7 - v 7 3 bull r

2 8 i U L 2 23 67

(l-5 7 8) L 7 8 + ( l - laquo 9 ) P 7 bull SlOtilde]- ^

Por ou t ro lado sabemos que como secccedilotildees 1

mesmo n iacute v e l

85

s c p r v 7 j

28 Z N i ij

= P 2 L23 p67 L67 P 7 ( 1~deg78 )

78 ~ ^g) bull P 7 bull L 910 g_

V - 2 g ( p r L 2 3 - p 6 r L 6 7 - p 7 ( l - atilde 7 8 ) L 7 8 - (l-a9) p L 9 a ( )

y N

Com esse valor de podemos determinar todas as variashy

ccedilotildees de pressatildeo (P^-P )

BIBLIOGRAFIA

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tituto de Energia Atocircmica de Sao Paulo em 1966 (roteiro)

- WR Gambill - Nuclear Safety

Vol 9 - n9 5 e 6

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- Paul A Lottes - Argonne National Laboratory

- AKL - 6469

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Frank Kreith - Principles of Heat Transfer

Journeacutees Internationales de la transmission de la chaleur

Seminaacuterios realizados em Paris em 1961 sob a supervisatildeo do

Prof Marcel Veron

Notas de aula da Cadeira de Termodinacircmica I e Transmissatildeo da

Escola Politeacutecnica da Universidade de Sao Paulo

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11

1 - C - G + E + G = 1 E = C

substituindo os valores de D E e F em (IV) vem

B + C = l + C + G - 3 C + 2 - 2 G + G = 0

B = C - 1

assim a equaccedilatildeo (2) ficaraacute sendo

C-l bdquoC 1-G-C C 1-G G h = A x V y p c k

P

colocando o coeficiente de k na forma (1-G) + l^j vem

h = A (x V y1 p ) C (ii c k - 1 ) 1 - 0 (x _ 1 k) P

u c hx p x VvC p xl-G k = A ( y gt ( k

ILJLJL = N

k Nu

y c N

e k Pr

p V x _

y N R e = N9 de Reynolds

Logo o fenocircmeno de convecccedilao forccedilada seratilde representado

por equaccedilotildees do tipo

f ( NNugt NPrlaquo N R e ) = 0

9 SIGNIFICADO FIacuteSICO DOS ADIMENSIONAIS

91 - Numero de Nusselt

N = bull h = 2L- _) Nu k AT v

v3 x x=0

eacute uma relaccedilatildeo entre o gradiente de temperatura junto a parede e a

12

variaccedilatildeo total da temperatura do fluido

92 - Numero de Prandtl

Pr = pp = 2 kpc a

P

Relaccedilatildeo entre viscosidade ci nemaacutetica v e a difusividade teacutermica a

93- Numero de Reynolds

N_ = amp Relaccedilatildeo entre as forccedilas de Re u - r bull

ineacutercia e as forccedilas viscosas que interferem no escoamento fluido

94 - Numero de Grashof

H = mdashmdash mdash^mdash 2 mdash amp a relaccedilatildeo entre o pro-u duto (forccedila de ineacutercia )

x (forccedila de empuxo) e o quadrado das forccedilas visshycosas que interferem na convecccedilao natural

11 EQUACcedilOtildeES DE CONVECCcedilAO FORCcedilADA

Por ser o caso mais importante na induacutestria soacute veremos

algumas equaccedilotildees para a convecccedilao forccedilada e deixaremos de lado a

convecccedilao natural por ser menos importante

Para cada tipo de escoamento para cada regime de transshy

ferecircncia de calor e para cada configuraccedilatildeo geomeacutetrica teremos uma

equaccedilatildeo com expoentes e coeficientes diferentes poreacutem sempre com

as mesmas trecircs variaacuteveis

Nbdquo N- N_ Nu Re Pr

Para resolver um problema de convecccedilao devemos antes

avaliar as propriedades do fluido essa avaliaccedilatildeo eacute feita considj

13

rando a temperatura media do fluido isto e a meacutedia aritmeacutetica da

temperatura entre um ponto do fluido junto agrave parede e um ponto onshy

de a temperatura do fluido seja constante longe da parede

Ha casos entretanto que na praacutetica trecircs adimensionais

so nao sao suficientes para expressar o fenocircmeno isto porque as

vezes ha uma propriedade que eacute muito sensiacutevel a uma pequena varia

ccedilao de temperatura logo para estes casos introduzem-se outros adi^

mensionais para levar em conta a dependecircncia dessa propriedade com

a temperatura

Todas as expressotildees foram obtidas experimentalmente A li

teratura especializada tem formulas para todos os tipos possiacuteveis

de geometria Vejamos alguns exemplos

101 ~ Convecccedilatildeo forccedilada sobre superfiacutecies planas

a) regime laminar ( N R g lt 400000)

N T = 0664 (N ) 1 f 2 (N ) 1 ^ 3

NuL ReL u Pr

b) regime turbulento ( N R g gt 400000)

NNuL deg 0 3 6 lt N P r ) 1 3 t gt R e L ) 0 8 1 8 7 deg deg ^

102 - Convecccedilatildeo forccedilada dentro de tubos ciliacutendricos

a) regime laminar (N_ ^ lt 2100) mdash Re D

i

b) regime turbulento Nbdquo _ gt 2100 mdash u Re D

N v _ = 0023 (N_ J 0 8 (Nbdquo ) n

NuD ReD Pr

14

n = 04 para fluido aquecendo

n =raquo 03 para fluido resfriando

Note-se que neste caso houve necessidade de considerar ou

tros adimensionais para aliar a anaacutelise dimensional agrave experiecircncia

no item a) dois outros adimensionais tiveram que ser acrescentados

(DL) e (up s)

Na expressatildeo 101 b) se o N critico for tomado como

sendo 5 x 10 (usado comumente) a expressatildeo usada eacute a mesma a me

nos do termo 18700 que passa a ser 23200

Devemos observar finalmente que estas expressotildees nao se

aplicam a metais liacutequidos e que elas nos datildeo nuacutemeros de Nussel meacuteshy

dios e natildeo locais

15

B - CONVECCcedilAtildeO COM MUDANCcedilA DE FASE - CONDENSACcedilAtildeO (I)

lo INTRODUCcedilAtildeO

Devemos considerar dois tipos de convecccedilao com mudanccedila de

fase que sao a condensaccedilatildeo e a evaporaccedilatildeo

Os problemas de convecccedilao de calor com mudanccedila de fase sao

tao importantes na industria como os de convecccedilao de uma uacutenica

faseraquo Os exemplos mais comuns de sua aplicaccedilatildeo sao os condensadoshy

res e evaporadores usados nos condicionadores de ar geladeiras

caldeiras etc

Neste capiacutetulo estudaremos apenas a condensaccedilatildeo

Os problemas de convecccedilao com fluidos condensando ou evashy

porando sao bem mais complexos que os demais processos de convecshy

ccedilao porque aleacutem de envolver variaacuteveis nao consideradas na conshy

vecccedilao de sistemas de uma so fase tecircm uma variaccedilatildeo nas propriedashy

des fiacutesicas de tal grandeza que essa variaccedilatildeo interfere decisiva

mente no fenocircmeno

2 CONDENSACcedilAtildeO

Eacute a passagem de um vapor para o estado liacutequido pela retishy

rada de calor

21 - Aspectos Gerais

A condensaccedilatildeo eacute realizada fazendo com que o fluido (vashy

por) entre em contato com uma superfiacutecie cuja temperatura esteja

abaixo da temperatura de saturaccedilatildeo do fluido correspondente atilde pres_

sao do vapor

0 coeficiente de peliacutecula relativo ao vapor de aacutegua satushy

rada que condensa sobre uma superfiacutecie fina eacute da ordem de grandeshy

za de 10000 kcalhrm^degC em casos excepcionais chega-se acirc valo-

16

res 50o000-100bdquo000 kcalhrm 2degC Isto eacute obtido a maneira pela

qual a condensaccedilatildeo se produz Ilaacute duas maneiras

1 - condensaccedilatildeo por peliacutecula daacute-se quando o liacutequido con

densado molha totalmente a parede formando urna peliacute

cula continua sobre a mesmaraquo

2 - condensaccedilatildeo por gotas daacute-se quando o liacutequido ao se

condensar rcune-se em gotas que crescem ateacute terem

peso suficiente para escoarenu

0 primeiro tipo eacute o mais comum e eacute o que daacute menor coefishy

ciente de peliacutecula porque a pelicula do liacutequido constitui uma re

sistencia adicional a passagem do calorraquo No segundo tipo chega-se

a coeficientes de pelicula muito maiores pelo fato do vapor estar

sempre em contato direto com a superficie resfriadura isto eacutepor

nao haver resistencia adicional

2o2 - Condiccedilotildees para termos condensaccedilatildeo por peliacutecula ou por

gotas

Sob o ponto de vista da transmissatildeo de calor deveriacuteamos

sempre preferir a condensaccedilatildeo por gotas pois como jaacute dissemos e

a que daacute maior eficiencia teacutermica Acontece poreacutem que tecnologji

camente eacute difiacutecil a obtenccedilatildeo da condensaccedilatildeo por gotas pois haacute

necessidade de termos um vapor puro urna superficie de resfriameii

to perfeitamente lisa (cromeada espelhada) e com resinas para fa

cilitar a formaccedilatildeo das gotas Tudo isso encareceria demais um con_

densador por isso eacute que na praacutetica usamos condensaccedilatildeo por peliacutecu

la quando podemos usar chapas ou tubos comerciais

So em casos muito especiais quando o espaccedilo eacute muito imshy

portante usa-se condensaccedilatildeo por gotas

2 3 - Remoccedilatildeo do Condensado

Um fator importante a considerar na condensaccedilatildeo eacute a remo

17

ccedilao do condensado que sempre se faz por gravidade Ha dois tipos

principais de superficies de condensaccedilatildeo

1 - Tubos ou placas verticais (ou encunadas)

2 - Tubos cilindricos horizontais

Nos tubos verticais a espessura da peliacutecula liacutequida aumen

tara do topo acirc base e com isso variaraacute ao longo do tubo o coefishy

ciente de peliacutecula loacutecalo

No caso dos tubos ciliacutendricos horizontais o liacutequido escoj

re pela parede lateral e goteja pela parte inferior natildeo havendo

possibilidade de formaccedilatildeo de camadas espessas do condensado

2raquo4 - Condensaccedilatildeo por peliacutecula sobre tubos verticais

Nusselt desenvolveu estudos analiacuteticos sobre condensaccedilatildeo

externa a tubos ciliacutendricos verticais partindo das hipoacuteteses

1 - A espessura da peliacutecula do condensado eacute nula na parte

superior do tubo e vai aumentando nas partes inferioshy

res por condensaccedil-ao e escorrimentoraquo

2 - 0 fluido escorre pela parede em regime laminar sob o

efeito combinado do seu peso e viscosidade

3 - A temperatura da camada mais interna do condensado tem

a temperatura da parederaquo

4 - A temperatura da camada mais externa tem a temperatushy

ra do vapor-

5 - A variaccedilatildeo da temperatura da camada do condensado em

sentido ortogonal agrave superfiacutecie do tubo eacute linear

6 - 0 vapor cede apenas seu calor latente

7 - A temperatura do tubo eacute uniforme e constanteraquo

8 - Nao haacute gases incondensaacuteveis no vapor (vapor puro)

Chegou a formula

18

2 3 g P - h L t

N j = 0943 ( r-EcircY~ ) 1 4 (l) NuL y bdquo k o At v

As propriedades da equaccedilatildeo (1) satildeo avaliadas agrave temperatu

ra meacutedia tm

c + t _ w sat

tm ~ onde

t = temperatura da parede

t = temperatura de saturaccedilatildeo do fluido S 3Lt

exceto o calor latente da vaporizaccedilatildeo b^ que deve ser avaliado agrave

temperatura de saturaccedilatildeo correspondente atilde pressatildeobdquo

Quando a superfiacutecie focircr inclinada vale o raciociacutenio de

Nusselt apenas o termo que atua na remoccedilatildeo do condensado natildeo eacute g

mas sim (g seno) sendo 6 a inclinaccedilatildeo da superfiacutecieraquo

Assim a equaccedilatildeo para estecaso seria

2 3 g o sene o p o h o L

NT _ = 0943 ( r~ y (2) NuL y o k o At w

25 - Efeitos a considerar na condensaccedilatildeo

Ha 3 efeitos importantes a considerar na condensaccedilatildeo que

Nusselt natildeo levou em conta sao eles

- efeito da turbulecircncia no filme liacutequidoraquo

- efeito dos gases incondensaveisraquo

- efeito da velocidade do vapor

251 - Efeito da turbulecircncia no filme liacutequido

As formulas anteriores servem para comprimentos de tubos

pequenos pois nesse caso a velocidade de escoamento do condenshy

sado natildeo eacute grande entretanto para superfiacutecies verticais longas

a peliacutecula torna-se bastante espessa e com velocidade grande deshy

mais para que o escoamento possa ser considerado em regime lamishy

nar

19

Nesse caso define-se o numero de Reynolds baseado na veshy

locidade da fase liacutequida isto eacute

p V 6

Nbdquo - m r

Rer y u

onde

V = velocidade do condensado na camada limite m 6 = espessura da camada limite

T = p V m 6 = descarga do condensado por unidade de largju

ra da superficie de condensaccedilatildeo

No calculo da determinaccedilatildeo de T haacute uma certa dificuldade

pois ele soacute pode ser determinado por iteraccedilatildeoraquo

Q = m c laquo A t = h A A t P

A = 2ir R bdquo L (para tubos)

m c = h o 2IumlIuml R laquo L P

m m braquoL _ p a _ _ li li

2TTR C c P P

Como noacutes nao sabemos o valor de h_ devemos inicialmente

adotar um V e obter atraveacutes da foacutermula

NNuL = deggt0134 (R PV L 3 gt 1 3 ( N R e r ) 0 4 ( 4 )

y

o valor de _h se os valores de h_ obtidos por (3) e (4) forem iguais

o problema esta resolvido caso contraacuterio fazem-se tantas iterashy

ccedilotildees quantas forem necessaacuterias

252 - Efeito dos gases incondensaacuteveis

A presenccedila de gases incondensaacuteveis reduz violentamente o

coeficiente de peliacutecula pois acirc medida que o vapor se condensa o

gaacutes nao condensaacutevel se acumula junto atilde superfiacutecie de resfriamento

20

formando uma barreira adicional S passagem do fluxo de calor

A reduccedilatildeo do coeficiente de peliacutecula que a presenccedila des_

ses gases causa depende da fraccedilatildeo em massa dos mesmos na mistu

ra gaacutes-vapor

Fizeram-se inuacutemeras experiecircncias e sobre o assunto a tiacute

tulo de exemplo vejamos o graacutefico abaixo onde temos em abcissas

o coeficiente de peliacutecula obtido experimentalmente e em ordenadas

a fraccedilatildeo de gases dissolvida jio vapor

5000

bullg- 4000 O

3OOO

2000

S 1000

4 6 8 10 12 lt|gt(lbm arlbm de vapor )x 10

Devemos notar a grande influecircncia dos gases incondensatilde-

veis por exemplo quando o vapor eacute puro nos temos um h = 4000se

tivermos apenas 1 de ar dissolvido o coeficiente de peliacutecula fishy

caraacute reduzido agrave metade isto ecirc h = 2000

Por isso nos condensadores sempre se coloca vapor ornais

puro possiacutevel

253 - Efeito da velocidade do vapor

Quando a velocidade do vapor junto agrave interface liacutequido-

-vapor natildeo focircr despreziacutevel surgem forccedilas de atrito entre o vapor

e o liacutequido Se a direccedilatildeo do fluxo do vapor coincide com a direshy

ccedilatildeo do movimento do liacutequido a velocidade do liacutequido aumenta (haacute

compressatildeo) e a espessura do filme liacutequido diminui e consequenshy

temente a transferecircncia teacutermica melhora pois haacute diminuiccedilatildeo da

resistecircncia teacutermica

Se entretanto a direccedilatildeo do vapor focircr contraacuteria a do fil

o 21 laquo

me de liquido ha uma tendecircncia de haver aumento da espessura da pj2

liacutecula diminuindo assim o valor de h

26 - Consideraccedilotildees sobre os resultados obtidos com as foacutermushy

las de Nusselt

Nota-se experimentalmente que os resultados obtidos pelas

equaccedilotildees de Nusselt sao em geral 10 a 20 inferiores do que os reshy

sultados reais Assim a favor da seguranccedila elas sao usadas e aaacuteo_

tadas Os motivos das discrepacircncias jaacute-foram ditas atraacutes no item

25

Devemos notar ainda que o valor de h obtido pelas foacutermushy

las anteriores e o valor meacutedio jaacute que h varia de ponto para ponto

e seria difiacutecil obter uma equaccedilatildeo que nos desse o valor de h locaL

2bdquo7 - Condensaccedilatildeo por peliacutecula externamente a tubos ciliacutendrishy

cos horizontais

0 mesmo estudo de Nusselt pode ser aplicado neste caso

baseado na hipoacutetese de que no topo do tubo a peliacutecula do condensashy

do tenha espessura nula Chega-se a expressatildeo

g p 2 h D 3 14

NT _ = 0725 ( ) (5) NuD u k o At

Analogamente ao caso anterior as propriedades do liacutequido

sao tomadas a

t + t w sat

tm = ^

exceto h que eacute tomado a t

ev n sat

Na situaccedilatildeo atual da tecnologia e possiacutevel obtermos tubos

com diacircmetros suficientemente pequenos para que tenhamos escoamenshy

to do condensado soacute em regime laminar

22

No caso de vaacuterios tubos empilhados a formula (5) deve

ser modificada pois como dissemos ela soacute vale quando no topo do

tubo a espessura do liacutequido eacute nula o que nao acontece neste caso

(Vide figura a)

Vapor

Tubo

mdash Liacutequido

Fig a

Neste caso a forma que nos da o valor meacutedio para h e

g p 2 h D 3 14

NNuD deg gt 7 2 5 lt N u k V At gt

sendo N o numero de tubos empilhados

Note-se que neste caso o coeficiente h cai bastante Uma

boa soluccedilatildeo para o caso quando dispoacuteftos de lugar eacute dispor os tushy

bos defasados (Conforme figura b)

Liquido

Fig b

Neste arranjo podemos aplicar a equaccedilatildeo (5) pois no tp_

po de cada tubo a espessura da camada de condensado eacute nula

23

B - CONVECCcedilAtildeO COM MUDANCcedilA DE FASE - EVAPORACcedilAtildeO (II)

1 INTRODUCcedilAtildeO

Evaporaccedilatildeo consiste na obtenccedilatildeo de vapor por meio de aque

cimento de um liacutequido

Apesar da importacircncia do processo e do sucesso obtido na

praacutetica em projetos de evaporadores o fenocircmeno da evaporaccedilatildeo eacute

um dos pontos menos conhecidos da transmissatildeo de calor

0 primeiro estudo seacuterio sobre o assunto foi feito em 1934

pelo japonecircs Nukiyama poreacutem somente nos uacuteltimos 10 anos tais es-

tudos se intensificaram

Os primeiros pesquisadores quando estudavam o fenocircmeno

do resfriamento de um solido num liacutequido obtiveram as seguintes

curvas

onde

temperatura

velocidade de resfriamento

3 0 v = amdashbull

A 06

Q - fluxo teacutermico

8 - tempo

A - aacuterea do soacutelido

24

tempo

Ateacute os estudos de Nukiyama nao se conseguia explicar o

porque da variaccedilatildeo crescente da velocidade de resfriamento quando

t gt t sol sat

2 PROCESSO DE FORMACcedilAtildeO DAS BOLHAS

Como a evaporaccedilatildeo do liacutequido se faz sobre uma superfiacutecie

aquecedora sobre esta irao se formar bolhas de vapor que influem

decisivamente no fenocircmeno

Aqui soacute iremos estudar as bolhas sob o ponto de vista qua

litativo bem como a sua influencia mas nao sob o ponto de vista

quantitativo

Recentemente Fritz e Jacob WR Gambill e outros estudiacutei

ram o processo da formaccedilatildeo das bolhas sobre a superfiacutecie aquecedpound

ra Atraveacutes de fotografias verificaram que a bolha de vapor ain

da em contato com a parede variava profundamente de forma confo_r

me o angulo de contato entre liacutequido e parede metaacutelica

Assim eacute que se a superfiacutecie de aquecimento nao e excesshy

sivamente polida e a tensatildeo superficial do liacutequido eacute pequena a

bolha tem a forma da figura las diz-se nesse caso que o liquishy

do molha a parede neste caso o angulo de contato e agudobull Se

as condiccedilotildees contrarias se verificarem o acircngulo de contato sera

obtuso e as bolhas tomam a forma da figura ldegb Naturalmente ve

rificara-se as condiccedilotildees intermediaacuterias para o angulo de contato da

25

fig lc

Fig la Fig lb Fig lo

0 estudo analiacutetico da formaccedilatildeo e crescimento das bolhas

pode ser encontrado em diversos livros por exemplo no El-Wakill

(Nuclear Power) no Jakob (Heat Transfer)e outros Neles faz-se

o estudo das condiccedilotildees do liquido (pressatildeo temperatura tensotildees

etc) para haver ou nao formaccedilatildeo de bolha Isto eacute feito fazendo-se

o estudo das bolhas nas seguintes posiccedilotildees

a) bolha no seio do liacutequido

para meia bolha

4 ltP g - P fgt fg

onde

P g P f

- 4 D (D

g

Pf

D

pressatildeo do vapor

pressatildeo do liquido

tensatildeo entre superfiacutecie do liacutequido e vapor

diacircmetro da bolha

^f g

P f Fig 2

26

A equaccedilatildeo (1) mostra que a pressatildeo do vapor deve ser maior

que a do liquido nas condiccedilotildees de saturaccedilatildeo e este por sua vez

deve estar no estado de superaquecimento o

b) bolhas sobre superfiacutecie solida

Fig 3

Condiccedilotildees para desprender

a mdash o_ + o_ cos a gs fs fg

tensatildeo na interfase liacutequida e vapor (depende das

propriedades do liacutequido e vapor)

tensatildeo entre o liacutequido e superfiacutecie de aquecimen

to (depende das propriedades do liquido e da sushy

perfiacutecie)

tensatildeo entre o vapor e a superfiacutecie de aquecimeri

to (depende das propriedades do vapor e da super

fiacutecie)

21 - Formas do fluxo do vapor desde a superfiacutecie de aquecishy

mento ateacute a superfiacutecie livre do liacutequido

Considerando liacutequido vaporizado em tubos verticais pode^

mos ter 4 tipos de fluxo de vapor

1 - fluxo de bolhas

2 - fluxo de agregados (plug ou slug)

3 - fluxo anular

4 - fluxo disperso

Os quatro tipos ficam bem determinados respectivamente

onde

a fg

degfs

a gs

27

pelas 4 figuras abaixo

LIacutequido - Liacutequido Liacutequido

o

^Bocirclha de

vapor

Vapor

mdash [

- Vapor

mdash 0 0

deg_ a-

jrj-

iquestiexcl5

Bolhas Agregados Anular

Liacutequido

vapor

Disperso ou

Homogecircneo

Conforme o tipo de ebuliccedilatildeo podemos ter uma so das forshy

mas acima ou uma mistura

3 INCERTEZAS NO ESTUDO DA EVAPORACcedilAtildeO

Ha trecircs incertezas principais para determinar o fluxo de

calor na evaporaccedilatildeo a saber

- Aacuterea de contato indefinida

- Diferenccedila de temperatura indefinida

- Grau de turbulecircncia

Como realmente nos nao sabemos uma dependecircncia algeacutebri

ca entre o acircngulo de contato e a superfiacutecie ocupada pelo liacutequishy

do (ou vapor) temos uma incerteza na determinaccedilatildeo da aacuterea de tro

ca de calor (A)

Outra incerteza eacute a dificuldade da obtenccedilatildeo de diferenccedila

de temperatura entre o liacutequido e a parede que normalmente assume-

-se como sendo a diferenccedila entre a temperatura da parede e da ebu

liccedilatildeo do liacutequido (temperatura de saturaccedilatildeo = t )

S cl c

Na realidade a diferenccedila de temperaturas nao eacute aquela

pois a camada de liacutequido que cobre a superfiacutecie aquecedora esta

a uma pressatildeo maior que o resto do liacutequido (pressatildeo atmosfeacuterica

mais a hidrostaacutetica) e consequentemente a temperatura de vaporiza_

ccedilao desse liacutequido e maior que a da superfiacutecie Esta diferenccedila po-

28

deria ser calculada desde que se conhecesse a relaccedilatildeo entre presshy

satildeo e temperatura de saturaccedilatildeo do liacutequido entretanto haacute incerte

za quanto ao verdadeiro peso especiacutefico da coluna de liacutequidopois

trata-se de uma mistura de bolhas de vapor e de liacutequido em proshy

porccedilatildeo variaacutevelraquo

4 REGIMES DE EBULICcedilAtildeO

Nukiyama estudando a ebuliccedilatildeo da aacutegua num recipiente a

quecendo-a com resistencias eleacutetricas construiu a curva baacutesica da

ebuliccedilatildeo Todos os liacutequidos apresentam uma curva semelhante vashy

riando apenas os valoresraquo Os pontos caracteriacutesticos da curva deshy

pendem de caracteriacutesticas difiacuteceis de definirtais como natureza

do metal estado da superficie (rugosidade) dimensotildees orientashy

ccedilatildeo do fluxo quantidade de gases dissolvidos e t c

Estudaremos o fenocircmeno para o caso de aacutegua destiladasem

gas dissolvido a temperatura de saturaccedilatildeo 100 C pressatildeo atmosfe_

re uma superficie plana

Chega-se assim acirc curva

rica sobre uma superficie plana horizontal a temperatura t^

In ltJgt

At (degC)

A curva acima representa o aquecimento de agua com uma re_

sistecircncia eleacutetrica (ate ebuliccedilatildeo)raquo Temos em abcissas as diferenccedilas

de temperatura entre o liacutequido e a resistecircncia em ordenadas o flu

29

Regiatildeo I

Regiatildeo II

Regiatildeo III

Regiatildeo IV

xo de calor por unidade de area

Na curva notam-se 4 regiotildees bem definidas tendo cada uma

o seu significado fiacutesico os quais correspondem a um tipo de ebuli

ccedilao

convecccedilao natural

ebuliccedilatildeo nucleada

ebuliccedilatildeo por peliacutecula parcial

ebuliccedilatildeo por peliacutecula estaacutevel

41 - Convecccedilao natural

Ocorre quando At eacute inferior a 8degCformam-se no liacutequido

correntes convectivas as quais transferem o calor ateacute a superfiacuteshy

cie livre do liacutequido e aiacute desprendendo o vapor Neste caso o valor

de h eacute da ordem de 2000 kcalm^hdegC

42 - Ebuliccedilatildeo nucleada

Ocorre quando o At eacute maior que 8degC e menor que 25degC Nesshy

te caso as bolhas formam-se junto a superfiacutecie de aquecimento

crescem liberam-se movimentam-se em direccedilatildeo agrave superfiacutecie livre do

liacutequido onde estouram libertando o vapor As bolhas formam-se nas

irregularidades da parede tecircm um acircngulo de contato agudo e porshy

tanto hatilde liacutequido sempre em contado com a parede (molha a parede)

cada ponto ativo (lugar onde se formam as bolhas) libera uma porshy

ccedilatildeo de bolhas e os outros pontos do liacutequido ficam em contato com a

superfiacutecie quente violentamente agitados Esta agitaccedilatildeo extrema eacute

mais eficaz que uma turbulecircncia criada artificialmente Por esse mo

tivo a curva cresce violentamente nesse trecho (m = 3 a 7) pois

bull 2 o o valor de h cresce consideravelmente (ate 46000 kcalm hr C) e

o fluxo teacutermico transmitido ao liacutequido cresce proporcionalmente a

Quando cresce crescem tambeacutem

(At) 3

30

numero de bolhas por unidade de aacuterea (num instanshy

te)

~ = crescimento da bolha (com o tempo)

frequecircncia de iacuteormaccedilao de bolhas

A medida que o At vai aumentando iraacute aumentando (jgt tam-- n o N

bem e consequentemente mdash R mdash a a a tal ponto que quando atiacuteii

girmos o ponto da curva nao haveraacute mais formaccedilatildeo de bolhas

mas sim uma peliacutecula de vapor instaacutevel passando assim a 3a re

giao que estudaremos a seguir

43 - Ebuliccedilatildeo por peliacutecula parcial

Como dissemos no item anterior se aumentarmos ainda mais

o At (entre 25degC e 125degC) teremos a formaccedilatildeo de uma peliacutecula de

vapor instaacutevel sobre a superfiacutecie quente que aacutes vezes eacute perfurashy

da pelo liacutequido A camada de vapor tanto mais estaacutevel seraacute quanshy

to maior focircr o At Essa peliacutecula de vapor iraacute provocar um decreacutes_

cimo consideraacutevel no fluxo teacutermico porque como sabemos o vapor

eacute muito pior condutor que a aacuteguaraquo

0 fluxo vai decrescendo ateacute um ponto miacutenimo (iexclgt mintilde (as vecirc

iacutebo bullraquo 1

zes chega a ser mdashj-) e e o chamado ponto de Liedenfrost 0 coeshy

ficiente de peliacutecula neste caso cai violentamente (h = 2000

kcalm^hrdegC)

44 - Ebuliccedilatildeo por peliacutecula estaacutevel

Aumentando ainda mais a diferenccedila de temperaturas

At ( gt 125degC) iremos conseguir uma camada de vapor estaacutevel Ela

transmite calor da superfiacutecie quente ao liacutequido que se vaporiza de

modo que o excesso de vapor formado na interface liquido-vapor for

ma bolhas que sobem para a superfiacutecie 0 liacutequido encontra-se agi-

31

tado poreacutem nao toma contato com a superfiacutecie soacutelida

A peliacutecula de vapor eacute estaacutevel e o fluxo eacute proporcional a

34

(At) (lei de Bromley) Para At grandes passa a influir sensivel^

mente a radiaccedilatildeo teacutermica mais uma razatildeo para demonstrar que nesshy

ta regiatildeo o fluxo cresce novamente

5 CONSIDERACcedilOtildeES E COMPARACcedilAtildeO ENTRE OS TIPOS DE EVAPORACcedilAtildeO

BURNOUT

Sob o ponto de vista de eficiecircncia teacutermica deveriacuteamos sem

pre trabalhar no ponto de fluxo maacuteximo isto eacute no ponto correspon

dente a lt(gt da curva de Nukiyama pois eacute o que daacute maior coeficieri

te de peliacutecula

Acontece poreacutem que se impomos a temperatura da parede

fixa obtemos um uacutenico valor de lt(gt e portanto o fenocircmeno eacute estaacutevel

Poreacutem se como ocorre nos reatores impomos um fluxo teacuter

mico a curva de Nukiyama apresenta 3 pontos de funcionamento posshy

siacuteveis A B C

1

SOacute os pontos A e C sao funccedilotildees estaacuteveis mas eles impotildeem

acirc superfiacutecie quente temperaturas bem diferentes

Na industria em geral trabalha-se por questotildees de segushy

ranccedila na regiatildeo IV da curva poreacutem para os reatores trabalha-se na

32

r e g i atilde o I I

0 p r o b l e m a de t r a b a l h a r n a r e g i atilde o II eacute q u e se n oacute s e s t i shy

v e r m o s t r a b a l h a n d o n o p o n t o e x t r e m o (j) e se p o r q u a l q u e r m o t i v o

h o u v e r u m p e q u e n o a c r eacute s c i m o d e ltfgt i r e m o s t r a b a l h a r i m e d i a t a m e n t e no

p o n t o M q u e t e m o m e s m o $-^0t p o r eacute m c o m A t 2 m u i t a s v e z e s m a i o r

p o d e n d o o c a s i o n a r a f u s atilde o d a s u p e r f iacute c i e a q u e c e d o r a E s t e f e n ocirc m e n o

eacute c h a m a d o d e b u r n o u t

0 f l u x o lttgt eacute c h a m a d o f l u x o c r iacute t i c o o u f l u x o d e b u r -b o

n o u t N o c a s o do r e a t o r d e v e m s e r t o m a d a s m e d i d a s r i g o r o s a s q u a n

to agrave r e g u l a g e m do f l u x o t eacute r m i c o p a r a q u e n atilde o o c o r r a o b u r n o u t 1 1

p o i s d e l e p o d e r e s u l t a r r u p t u r a d a c a m i s a do c o m b u s t iacute v e l e h a v e shy

r aacute p o r t a n t o c o n t a t o do r e f r i g e r a n t e c o m o s s oacute l i d o s e g a s e s r a shy

d i o a t i v o s

5 o l - R e l a ccedil atilde o d e B u r n o u t

E c l a r o q u e p a r a t e r m o s u m r e a t o r m a i s e f i c i e n t e d e v e shy

m o s t r a b a l h a r c o m u m f l u x o o m a i s p r oacute x i m o p o s s iacute v e l do f l u x o d e

B u r n o u t P a r a t a n t o d e v e m o s c o n h e c e r c o m o m a i o r g r a u d e certe

za p o s s iacute v e l q u a l o ^ p a r a p o d e r m o s r e d u z i r o c o e f i c i e n t e d e s e shy

g u r a n ccedil a ( W R G a m b i l l r e c o m e n d a agrave 1 5 )

N o s s e m i n aacute r i o s d e W R G a m b i l l e n c o n t r a m o s u m a s eacute r i e de

b i b l i o g r a f i a s o n d e p o d e m o s e n c o n t r a r i n uacute m e r a s f oacute r m u l a s p r o p o s t a s

p a r a a o b t e n ccedil atilde o de (q 1^)

A t i t u l o d e e x e m p l o v e j a m o s a l g u m a s

q - 2 7 0 G deg gt 8 5 D 0 2 A085 p lt 150

deg D ( L uuml ) 2

q - 140 G 0 5 D ~ deg 2 (-~-)~deg 1 5 p ~ r gt 150 c D (LD)

o n d e a m b a s as e q u a ccedil otilde e s s oacute v a l e m p a r a aacute g u a e m b a i x a p r e s s atilde o e m coii

v e c ccedil a o f o r ccedil a d a

33

D

L

fluxo teacutermico critico BTUhrft bdquo 2

descarga em massa do liquido (Ibmhrft )

diacircmetro do tubo ft

comp do tubo ft

Para cada caso temos uma expressatildeo diferente que pode ser

encontrada em literatura especializada

6 INFLUEcircNCIA DE OUTROS PARAcircMETROS NO FLUXO DE BURNOUT

Como para os usos atuais do reator a diferenccedila de temppound

ratura entre parede e fluido sao pequenas bem como o fluxo de bur

nout recentemente fiacutesicos como Jakob Bonilla WR Gambill estu

daram outros paracircmetros que influenciam bastante o sect^ 0gt isto eacute a

influecircncia desses paracircmetros faz com que o ^ seja maior Isto eacute

util pois quanto maior o fluxo de burnout maior poderaacute ser o

fluxo de calor real de funcionamento

Tais meios sao

- Sub-resfriamenCcedilo do liacutequido

61 - Influecircncia da velocidade do liacutequido

Estudos feitos pelos autores acima chegaram agraves curvas

- Aumento da velocidade imposta ao liacutequido

- Pressatildeo do liacutequido elevada

alto V

At

34

Para velocidades maiores o fluxo de burnout aumenta

porque neste caso o regime eacute turbulento e o coeficiente de peliacute

cuia h aumentao

6bdquo2 - Influencia do aumento da pressatildeo

Este estudo deve-se a Bonilla que obteve experimentalmen

te as curvas

Este estudo foi feito para vaacuterios liacutequidos e chegou a con

clusao que sempre havia uma pressatildeo oacutetima isto e uma pressatildeo que

leva ao maior iacute 1 ^ raquo mantidas as demais condiccedilotildees Experimentalmenshy

te notou que essa pressatildeo correspondia a 13 da pressatildeo critica

do liquido em questatildeo

6=3 - Influecircncia do sub-resfriamento

Consiste em manter atilde custa de uma circulaccedilatildeo intensa o

liacutequido a uma temperatura inferior atilde de saturaccedilatildeo para a pressatildeo

correspondenteraquo Experimentalmente chega-se agraves curvas

mdash A t grande sub

bullAt -0 sub sub

medio

At

35

Verificando os graacuteficos vemos que o lt)gt aumenta agrave medida bo

que aumenta a diferenccedila de temperatura de sub-resf riamento isto pojr

que o liquido como estaacute mais frio faz com que algumas das bolhas

recondensem permitindo que o liquido fique em contato com a parede

quente o que faz aumentar o h

^ f csub = t e m P e r a t u r a ddeg liacutequido - temperatura de saturaccedilatildeo

A diferenccedila de temperatura At entre fluido e parede tamshy

beacutem aumenta poit na regiatildeo proacutexima agrave parede haacute necessidade de

levar o liacutequido da temperatura do sub-resfriamento ateacute a temperatu

ra de saturaccedilatildeo quando se evapora

Atualmente os maiores estudos dos fiacutesicos nucleares locashy

lizam-se neste campo pois eacute o que oferece maiores vantagens

7 FORMULAS PARA 0 CAacuteLCULO DO COEFICIENTE DE PELIacuteCULA NA EBULICcedilAtildeO

Como ocorre no caacutelculo de todas as foacutermulas de convecccedilatildeo

temos formulas empiacutericas para determinar o h conforme o tipo de

ebuliccedilatildeo que nos consideramos

71 - Ebuliccedilatildeo Nucleada

Para o caso de aacutegua temos as relaccedilotildees

superfiacutecies

horizontais

superfiacutecies

verticais

f aacute 5000 BTUhrft 2 -gtbull h = 151 ( A t ) 1 3

A o

5000 lt 75000 -h = 0618 (At)3

^ pound 1000 -raquobull h = 8 7 ( A t ) 1 7

A o -

1000 lt $ lt 20000 -gt h = 027 (At) A o

Quando a pressatildeo e diferente da atmosfeacuterica faz-se a correccedilatildeo

3 6

72 - Ebuliccedilatildeo por peliacutecula

Bromley propocircs uma boa equaccedilatildeo para a ebuliccedilatildeo por peliacuteshy

cula estaacutevel em cilindros horizontais

Nu

_ JtjD n r 9 P v bull ( P L - P v gt - g -h

e V bull D i2

D 1 ^ U b Z u At gt

onde

V = indica vapor

L = indica liacutequido

Multiplicando ambos os membros da equaccedilatildeo acima por

kvD obteremos a expressatildeo do coeficiente de convecccedilagraveo meacutedio para

o caso

37

C - FORMULAS PARA CAacuteLCULOS ESPECIacuteFICOS - RESULTADOS ESPECIacuteFICOS

1 FLUXO DE CALOR CRIacuteTICO - BURNOUT

lol - Introduccedilatildeo

O aspecto mais importante no que se refere agrave seguranccedila

dos reatores da transferencia de calor na ebuliccedilatildeo eacute a determina

ccedilatildeo do Fluxo de calor critico ou de pico ou burnout

Como jatilde vimos quando temos a ebuliccedilatildeo nucleada a dishy

ferenccedila de temperatura entre refrigerante e superfiacutecie de aqueci

mento e pequena poreacutem quando atingimos o fluxo de calor criacutetico

essa diferenccedila de temperatura pode tornar-se imediatamente muishy

to grande podendo causar a ruptura da superfiacutecie de aquecimento

se atiigirmos o ponto de fusatildeo do soacutelidoraquo

Usando a convecccedilao

onde

At sat

w

sat At

sub

w = temperatura da parede de aquecimento

t t = temperatura de saturaccedilatildeo do liacutequido

t^ = temperatura de mistura do liacutequido

At = (t -t ) sub-resfriamento do liacutequido sub N sat b 1

nout

Ha dois tipos de burnout fast burnout e slow bur-

Ocorre o fast burnout (burnout raacutepido) quando A t g u b gt 0

38

ou para baixo x (~ lt 10) sendo x o titulo do vapor

Temos o slow burnout para x - gt 10 Assim noacutes tereshy

mos dois limites para o burnout

At bull o (ltJgt ) t =((() para t = t ) -

bo m m possiacutevel w sat

sub i

4L + 1

G c D h pl nb

(ltK ) = (ltpound para x = 1) = Dv-bo max possiacutevel e 4L

c At l + P 1 sub i

onde

L = comprimento do canal

D = diacircmetro do tubo

G = descarga de liacutequido (por unidade de aacuterea)

c ^ = calor especiacutefico do liacutequido

Agrave = calor latente de vaporizaccedilatildeo

h ^ = coeficiente de transferecircncia de calor na regiatildeo de

nao ebuliccedilatildeo

iacutendices

i = entrada

e = saiacuteda

Haacute inuacutemeras expressotildees para determinaccedilatildeo do burnout pro

postas por muitos fisicos cada uma aplicando-se a um caso especiacuteshy

fico vejamos algumas delas

12 - Equaccedilotildees para prediccedilatildeo de Burnout

121 - Equaccedilatildeo de Bragg e Smith (Zuber)

Num artigo publicado por Bragg e Smith encontramos uma f oacute_r

mula que e derivada da formula de Kutateladze e nos daacute o fluxo cri

39

tico quando nao temos sufaresfriamento

bo poolsat v V raquoc a ( p l P V )

2 PV

14

onde

ltiexclgt = fluxo de calor critico bo

k = constante

Ly = calor latente de vaporizaccedilatildeo do refrigerante

= densidade do liquido

pvr = densidade do vapor V a = tensao superficial

g = fator de conversatildeo c

a = aceleraccedilatildeo da superficie de aquecimento

Os autores encontraram para k um valor de 062 entreten

to outros autores como Zuber incluindo outras variaacuteveis que In

fluiam no fenocircmeno encontraram k variando entre 008 e 023Esshy

tudos bem elaborados mostram que o valor mais aproximado eacute

k = 015 (- 003)

1-22 - Equaccedilatildeo de Noyes

Noyes estudou o burnout para o soacutedio agua e alguns liacute

quidos orgacircnicos

( W s a t ~ bdquo 0245 bull ( r ( 1 )

iiacute_ V 1 Pr

onde

N n = Nuacutemero de Prandtl da fase liacutequida x r

Mais tarde o proacuteprio Noyes alterou a equaccedilatildeo para

n ^ - n H Iacute I Pl PV gt0538 deg g c a q 4 ( W s a t deg 1 1 6 PV ( - p 7 ~ ) (77T1^ ) ( 2 )

40

A ultima correlaccedilatildeo proposta por Noyes foi

a n prPV0560 112

1

(a bull a) 13

(ag c) 112

(3)

onde

a = difusividade teacutermica do liacutequidoraquo A equaccedilatildeo (3) eacute bashy

seada em todos os dados de burnouts do soacutedio bem

como da atildegua benzeno difenil e outros De 111 pontos usados 90

+ estatildeo relacionados dentro de - 30bdquo

ldeg2o3 - Burnout com convecccedilao forccedilada e sub-resfriamen

to

Aproveitando os resultados de aproximadamente 240 testes

de burnouts com aacutegua sub-resfriada em fluxo de convecccedilao forccedilashy

da feitos na Ruacutessia Labuntsov elaborou uma boa equaccedilatildeo empiacuterica

para o problemabdquo

Esta relaccedilatildeo aplica-se para velocidades entre 2 3 e 148

ftsec pressotildees entre 1 e 201 atmabs sub-resfriamento entre 0 deg

e 432 degF e fluxos de burnout entre 0 4 x IO 6 x 166 x 1 0 6 BTUhr

2 bdquo

bullbo

onde

e a seguinte

6 ( P ) 1 + 0 2 3 2 V 2

14

e ( P ) 1 +

15 c At _p_ sub

12 (a)

9 ( P ) - P 1 3 o ( 1 - P J 4 3

red

= pressatildeo (atm abs)

pressatildeo reduzida = mdash mdash red r P

t_ c = pressatildeo critica

= velocidade do liacutequido (ftsec)

= calor especiacutefico do liacutequido (BTUlbdegF)

4 1

^ tsub = ^ ^ e r e n Ccedil a ^ e temperatura entre a temperatura de

mistura do liacutequido e a de saturaccedilatildeo (degF)

X = calor latente de vaporizaccedilatildeo (BTUlb) 2

ltiacutegtbo = fluxo de burnout (BTUhrfl )

Uma outra correlaccedilatildeo para o caso foi proposta por

Ornatsky e Xiohigin que fizeram experiecircncias para pressotildees entre

10 e 1 5 0 3xm 90 degF lt At ^ lt 4 5 0 deg F 3 7 1 0 6 ( l b h r o f t 2 ) lt G lt

2 2 2 10 b ( l b h r bdquo f t 2 )

lt ^ = 3 2 5 0 (G o A t bdquo J deg 6 ( - i - ^ ) 2 5 ( b ) bo sub

onde

G - descarga de refrigerante por unidade de aacuterea

P ^ v P v - densidades do liacutequido e do vapor

P1~ PV -0 termo (mdash ) e incluido na expressatildeo (b) para indicar

a influecircncia da ^ pressatildeo sobre o

Uma comparaccedilatildeo entre as equaccedilotildees (a) e (b) foi feita para

o Reator de Isoacutetopos de Alto Fluxo (HFIR) nas condiccedilotildees aacutegua a

600 psia velocidade = 45 ftsec e sub-resfriamento = At^^ 1

degF obtendo-se uma diferenccedila de 6 5 entre ambos (4gt = 6 0 5 1 0 b

2 ~ 6 2 BTUhr ft pela equaccedilatildeo (a) e 6 4 5 10 3TUhrraquoft pela equaccedilatildeo

(b)

Ilatilde ainda a equaccedilatildeo de Ivey e Morris aplicaacutevel somente pa_

ra ebuliccedilatildeo com grande quantidade de liacutequido

( c sub t

Cpf bull A tsub

( bull ) s ~ V P bdquo 10 h V sat V g

onde

(ltL ) = fluxo critico com sub-resfriamento c sub

(ograve ) ^ - fluxo critico sem sub-resfriamento c sat

42

c ^ = calor especiacutefico do liacutequido

= calor latente de vaporizaccedilatildeo

124 - Burnout com convecccedilao forccedilada e ebuliccedilatildeo por bocirc-

Ihas

Gambill fez uma extensatildeo da equaccedilatildeo de Levy e aplicou o

metqdo da superposiccedilatildeo Tal extensatildeo consiste natilde subtraccedilatildeo de uma

razatildeo equivalente de massa transferida dos termos que represenshy

tam a ebuliccedilatildeo e convecccedilao para levar em conta a presenccedila do vashy

por no fluxo

A correlaccedilatildeo pode ser escrita assim

24 V P V

o g c a (p^Py) 14

+ 0696 (k p c ) 12

(

pr p v )i4 o g c a (P-L-Py) 18

bull At + h sub nb

044 p v L v G (g1) bull N2 n

p l P V

( pr p v ) d e 2-7

2 4 TT 0

14 ( f e _ ^ r l 3

lO^u

onde

k = condutividade teacutermica

c = calor especiacutefico

A t s u b ~ s ub-resfriamento do liacutequido

h = coeficiente de transferecircncia de calor de nao ebu nb mdash

liccedilatildeo

G = descarga total do refrigerante

43

d g = diacircmetro equivalente do tubo ou canalraquo

]i = viscosidade

B = constante adimensional

Os iacutendices V e 1 representam vapor e liacutequido respectiva

mente

0 primeiro termo entre chaves da equaccedilatildeo representa o flu

xo de calor no burnout de sub-resfriamento em convecccedilao forccedilada 0

segundo termo entre chaves corresponde ao fluxo de calor transferi^

do para a massa da fase vapor

1-25 - Burnout por Bloqueio da Base

Ocorre quando a profundidade do recipiente eacute muito maior

que a largura 0 bloqueio da base eacute causado pela formaccedilatildeo de uma pe_

licula de vapor na base impedindo que o liacutequido toque o fundo do

recipiente

i De

Este eacute o burnout por flooding isto eacute burnout por expul

sao do liacutequido Uma equaccedilatildeo que nos dacirc o fluxo minimo do burnout

parao caso eacute

44

onde

D g = diacircmetro equivalente

L = comprimento do tubo

= calor de vaporizaccedilatildeo

p^Py Ap = densidade do liacutequido do vapor e diferenccedila en

tre ambos

Para um fluxo de calor maior ou igual ao dado pela expres_

sao acima (mantida a mesma geometria) teremos burnout Para um deshy

terminado fluxo existiratildeo sempre um comprimento L e um diacircmetro equi

valente D e para os quais temos burnout Exemplo

L (in) D e(in)

10 11

100 51

1000 235

2 RESULTADOS ESPECIacuteFICOS - FOacuteRMULAS PARA CAacuteLCULOS ESPECIacuteFICOS

21 - Diferenccedila de temperatura At i

13 a t

sat

At sat

poundatildeJL_ raquo t - t J p T T 6 w sat

onde

o laquo tensatildeo superficial entre liquido e vapor

t - temperatura de saturaccedilatildeo do liacutequido para a corres-Scl t

pondente pressatildeo

J equivalente mecacircnico do calor

X laquobull calor latente de vaporizaccedilatildeo

py = densidade do vapor

6 = espessura da camada de liacutequido superaquecido onde

45

k l

h nc

onde

k^ = condutividade teacutermica do liacutequido

h = coeficiente de peliacutecula nc r

Segundo Eckent h ^ c e dado por

P 2 Q

nc 3 V VP + 0952

r

onde

D = diacircmetro equivalente

G r = numero de Grashoff

P = nuacutemero de Pradtl

2 o 2 - Velocidade das bolhas

A velocidade das bolhas em meacutedia pode ser dada pela exshy

pressatildeo

V bdquo = Iacute ( a bull B Apl4 bolhas 5 ^ 2

p l onde

AP = P L - P v

Expressatildeo que vale quando a aceleraccedilatildeo eacute a da gravidade

baixa viscosidade do liacutequido e bolhas separadas

Vbolha = f t s e atilde m a x para aacutegua

2 bdquo3 - Diacircmetro das bolhas

2gc deg 12 D = 0015 3 ( mdash mdash 7 ~ ) d g Ap

5 =

46

onde

8 = acircngulo de contato (20 a 90deg) geralmente assume-O -1

-se igual a 50 para a agua em contato com metal

24 - Coeficiente de peliacutecula na ebuliccedilatildeo nucleada

a) Equaccedilatildeo de Rohsenow

Esta equaccedilatildeo nos datilde o fluxo de calor q na ebuliccedilatildeo nushy

cleadaraquo E oacutetima expressatildeo para muitos liacutequidos o efeito da presshy

satildeo eacute levado em conta na variaccedilatildeo das propriedadesraquo

Pf

fg

sat 17 = c

sg k y f h f g g( P f-p g)

n033

onae

Pf

fg

Pf Pg c sg

= fluxo de calor requerido (BTUhr0ft^)

= calor especiacutefico do liacutequido saturado (BTUlbm0F)

= calor latente de vaporizaccedilatildeo (BTULbm)

= nuacutemero de Prandtl

= viscosidade do liacutequido (lbrahrraquoft) ~ 8 2

= fator de conversatildeo 417 10 Ibmftlbflaquohr 2

= aceleraccedilatildeo da gravidade (fthr )

= tensatildeo superficial na interface liacutequida vapor

(lbfft) 3

densidade do liquido e vapor (lbmft )

constante adimensiacuteonal que depende de vaacuterios fashy

tores dentre os quais o grau de aquecimento en_

tre o fluido e a superfiacutecie de aquecimento e o

mais importanteraquo Independe da pressatildeo do sistema b) Equaccedilatildeo de Levy

Equaccedilatildeo valida para a aacutegua quando 100 lt p lt 2000 psiacutea

47

43 bdquo3

qu bdquo gat ^ T J h r t f t ^

495

25 - Calculo do fluxo de calor no Ponto de Leidenfrost

0 ponto de Leidenfrost como vimos eacute o ponto em que oflu

xo de calor comeccedila ncamente a crescer isto eacute o ponto onde termal

aa a ebuliccedilatildeo instaacutevel e comeccedila a ebuliccedilatildeo por peliacutecula estaacutevel Eacute

o chanado fluxo miacutenimo (egrave ) m m

Aproximadamente quando A t g u k = 0 temos

A _ mdash _ mdash (Gambill) m m 5

Ha entretanto varias expressotildees para determinar esse flu

xo eis uma delas

A p 14 ltjgt = 009 h pbdquo (o raquo g mdash ) y m m fg P V deg 2

p l

26 - caacutelculo do fluxo de calor na regiatildeo de ebuliccedilatildeo por peliacute

cuia estaacutevel

para cilindros jmdashi i li

_ D 0172 k-V - P V A p h l V bull S 14 li - = 062 (mdashmdash) (- j- r rmdash) convecccedilao A 0 ybdquo (t -t )

c V w sat

onde

= condutividade do vapor

- 2 TT ( mdash )

c gAp Vl = significam vapor e liacutequido respectivamente

para paredes verticais

L 0172 S deg7 A p bull hlV S q 4 h - - 080 (-^-)J- (-Iuml - Iacutemdash-convecccedilao X L u (t - t J)

c V w sat

48

Como nesta regiatildeo jaacute haacute nina influecircncia marcante da radia

ccedilao devemos levar en conta tambeacutem o coeficiente de peliacutecula de

vido a radiaccedilatildeo para determinar o coeficiente de peliacutecula total

Dos estudos atildea radiaccedilatildeo temos

h = a F pound(T 4 - T 4 J ( T ~ T ) rad w sat w sat

onde amp _ emissividade de superfiacutecie

a = constante de Stefan-Boltzman

F = fator de forma

Segundo WE Gambill o coeficiente de transmissatildeo total

ceve ser

3 iacutei = h + -7 h para h lt h t conv 4 rad r rad conv

Na expressatildeo acima existe o fator 34 porque a radiaccedilatildeo

faz variar um pouco a espessura do filme de vapor reduzindo asshy

sim o l l

conv

Quando tivermos h gt h gt o h^ ^ seraacute rad conv total

h f c = h + h t conv rad

Neste ultimo caso nao ha nenhum coeficiente porque a peshy

liacutecula de vapor jaacute eacute estaacutevel

27 - Grandezas caracteriacutesticas para a apua

Para pressatildeo igual a 1 atm = 1422 psia

At ^ = t - t = 5degC (iniacutecio da ebuliccedilatildeo nucleada) sat w sat 1

At t = 30degC sat crit

49

5 2 $ = 4 10 BTUhrft (para pressatildeo 1 atm)

0 fluxo critico cresce como vimos com a pressatildeo ate

atingir o maacuteximo quando a pressatildeo eacute aproximadamente 13 da pressatildeo

criacutetica Esse fluxo eacute

bull = 13 IO 6 BTUhrft 2 para p = 11000 psia (p pound = 32062 psia)

Ainda temos que para pressatildeo igual a 15 psia

h b o = 11000 BTUhrft degF - ebuliccedilatildeo nucleada

h f b = 30 BTUhrft 2 degF - ebuliccedilatildeo pelicular

Todos os resultados e formulas para caacutelculos especiacuteficos

apresentados nos itens 21 22 23 ateacute 27 sacirco aplicados somente

para sistemas onde haja ebuliccedilatildeo com grande quantidade de liquido

51

D - HIDRODINAcircMICA DOS SISTEMAS E QUEDA

DE PRESSAtildeO DENTRO DE UM CANAL

1 HIDRO-DINAcircMICA E QUEDA DE PRESSAtildeO

11 - Hidro-dinacircmica dos sistemas estaacuteveis

111 - Regimes de escoamento

A evoluccedilatildeo do escoamento ao longo de um canal aquecedor

de secccedilatildeo constante ciliacutendrico pode ser esquematizada pela figushy

ra 1 onde temos em abcissa o comprimento z do canal e em ordenada

a temperatura (T)

52

Na figura 1 nos representamos

a) 0 aspecto do escoamento fluido quando a entalpia do

- fluido aumenta Verificamos que o fluido entra no cashy

nal no estado liacutequido e assim permanece ateacute atingirmos a zona de

ebuliccedilatildeo local onde aparecem as primeiras bolhas A entalpia do

fluido continua aumentando e tem inicioa ebuliccedilatildeo franccedila onde as

bolhas se unem formando agregados posteriormente o escoamento to

ma a forma da figura ou seja torna-se anular disperso Finalmente

atingimos duas uacuteltimas fases do escoamento disperso (vapor uacutemido)

e vapor seco

b) A evoluccedilatildeo da temperatura meacutedia do fluido e da tempeshy

ratura da parede Note-se que a partir da cota a

temperatura da parede aumenta brutalmente podendo causar o

burnout

c) A evoluccedilatildeo do tiacutetulo do vapor (x) com o comprimento

do tubo e a evoluccedilatildeo da fraccedilatildeo (a) que definiremos no

item 11laquo2 com o comprimento do tubo

112 - Definiccedilotildees

a) Tiacutetulo ou qualidade do vapor (x)

massa de vapor na mistura x ~ massa total da mistura

x =

W _g_

g f

b) Fraccedilatildeo vazio (void fraction)

volume do vapor na mistura a = volume total da mistura (agua+vapor)

A relaccedilatildeo entre x e a num sistema parado pode ser obtida

assumindo um certo volume contendo 1 lbm de mistura em equiliacutebrio

teacutermicoraquo

53

O volume da mistura seraacute igual a (v + xv ) ft onde v eacute 3 r rg

o volume especifico (lbmft )

f - refere-se ao liquido

g - refere-se ao vapor

fg - refere-se a diferenccedila entre liacutequido e vapor

Numa mistura em equiliacutebrio se o liacutequido e o vapor estatildeo

saturados o volume do vapor presente eacute igual acirc sua massa vezes

seu volume especiacutefico v assim e

xv bdquo bdquo a mdash

V c + XV c

f gf

onde

- bull-bull uumlutiacuteisa vapor na mistura de 1 Ibm

v volume especiacutefico do liacutequido

v = volume especiacutefico do vapor o

V c = v - V

gf 8 r

Fazendo uma transformaccedilatildeo na expressatildeo acima temos

xv xv JS = Z-

v r+ x(v -v c) xv +(l-x)v t ri f g f g f 1 + Ul-x)xjv fv

1 + C(l-x)x]]vfvg

A fraccedilatildeo vazia tem a influencia de baixar a reatividade

do nuacutecleo nos reatores em que o refrigerante eacute tambeacutem moderador

Na equaccedilatildeo acima os valores de x e v sao tomados em tabe

las termodinacircmicas apropriadas para a pressatildeo do sistema A equashy

ccedilatildeo (1) mostra os grandes valores de a para pequenos valores de x

especialmente para baixas pressotildees Isto ocorre porqueaumentando

54

aacute pressatildeo o v decresce muito enquanto que o v f eacute mais ou menos da

mesma ordem de grandeza

Exemplo Calcular o a correspondente para x raquo 2 para aacutegua

leve atilde pressatildeo atmosfeacuterica

Da tabela para p laquobull 1 atm

v - 001672 ft 3lbm e v - 26800 ft 3lbm

1 + [(1-002)002] 001672268

0971 ou 97U

O grafico abaixo mostra a variaccedilatildeo do a com x para vaacuterias

pressotildees e para a aacutegua leve

x ()

tObservaccedilotildees da curva

Fig 2

1 - para x constante a decresce com a pressatildeo Para presshy

sotildees proacuteximas da criacutetica a aproxima-se rapidamente de

x Para a pressatildeo criacutetica as duas fases satildeo indistinguiacuteveis ea=x

2 - para cada pressatildeo dotdx decresce com aumento de x

3 - para baixos valores de x (que e o caso dos reatores

tipo Boiling) quando p decresce dadx cresce e torr

na-se muito grande paacutera baixas pressotildees Isto tem relaccedilatildeo com a epound

55

tabilidade do reator como veremos mais tarde

113 - Sistemas com fluxo

Todas as definiccedilotildees que noacutes vimos no item anterior refeshy

rem-se acirc sistemas em que a mistura esta fechada no recipiente Nes^

te caso natildeo havia movimento relativo entre as duas fases No entan

to se as duas fases da mistura se movem na direccedilatildeo vertical em

canais entre os elementos combustiacuteveis o vapor por causa de sua

flutuaccedilatildeo tem a tendecircncia de escorregar sobre o liacutequido isto e

move-se com velocidade maior do que a do liacutequido

Real Modelo

Pig 3

S -

Define-se neste caso a relaccedilatildeo de escorregamento (slip

ratio) (S) como sendo

V _i

V f

onde

V = velocidade do vapor

= velocidade do liquido

S modifica as relaccedilotildees entre a e x do item anterior S geralmen_

te gt 1 Define-se neste caso qualidade do vapor ou tiacutetulo como

sendo

_ fluxo de massa de vapor

fluxo de massa da mistura

Entatildeo se o fluxo de massa da mistura eacute m t(lbmhr) o flushy

xo de vapor seraacute = x m e o fluxo de liacutequido sera (1-x) m onde x

56

e o titulo do vapor para a particular secccedilatildeo (AL) da figura (3)

Devemos notar que neste caso x varia de secccedilatildeo para secshy

ccedilatildeo do tubo o exposto no paraacutegrafo acima vale considerando-se que

x e a permaneceram constantes na secccedilatildeo de espessura AL

Aplicando a equaccedilatildeo da continuidade as velocidades do va

por e liacutequido sao dadas por

o xm v

V vazatildeo = g g area A

V

(1-x) amp t v f

f A f

onde A e A f sao as aacutereas medias perpendiculares ao fluxo se as

duas fases sao imaginadas completamente separadas uma da outra

(figura 3) Assim temos

V x m v o A_ A v 0 ^ - 2 = iacute S t m _2L- JL JS m

V A (l-x)ui v 1-x A v U

f g t f g f

Sabemos ainda que para a secccedilatildeo considerada

volume do vapor na mistura a = volume total da mistura (agua+vapor)

A AL A pound g g

a = mdash a a = - mdash 1

(A+A )AL A f + g

A ou f _ 1 - a

A a 8

Substituindo em (2) vem

57

Esta expressatildeo pode ser rearranjada e obteremos uma relashy

ccedilatildeo entre x e a levando em conta o escorregamento Chega-se a

a = 1 ( 3 )

1+ [U-x)x3 igt

onde

v 4 laquo -- S

v lty o

Note-se que quando S=l (nao haacute escorregamento) caimos na

expressatildeo dada no item anterior

0 efeito do escorregamento eacute decrescer o valor de a pa_

ra um mesmo xbdquo Isto pode ser visto pela foacutermula (3) pois S gt lLo

go a decresce com acreacutescimo de S

Um alto S e entatildeo uma vantagem tanto para a transferecircnshy

cia de calor como para efeitos de moderaccedilatildeo Eacute uma vantagem para

transferecircncia de calor porque alto S significa alto V e portanto

maior turbulecircncia e maior contato do liquido com as paredes quenshy

tes Ha tambeacutem melhorias na estabilidade da reaccedilatildeo nuclear isto

porque como jaacute dissemos quando mdash7 diminui a estabilidade aumenshy

ta isso pode ser verificado observando a curva a versus x para a

agua leve a 1000 psiabdquo

Fig 4

58

A relaccedilatildeo entre x e a da equaccedilatildeo (3) so vale para secccedilatildeo

de tubo bem pequena

Devemos notar que S varia tambeacutem com a pressatildeo e velocida^

de de entrada do liacutequido no tubo Este efeito pode ser observado na

figura 5 abaxxo obtida esperimentalmente

s

3

~^ ~ psig

x = 001

V 1

Fig 5

Nos projetos de reatores como veremos adiante o valor a

geralmente eacute determinado por consideraccedilotildees nucleares (moderaccedilatildeo) 0

valor de S eacute determinado atraveacutes de uma estimativa ou entatildeo atrashy

veacutes de um graacutefico do tipo da figura 5 0 correspondente valor de x

pode ser obtido de uma foacutermula empiacuterica do tipo

1 = 1 (-S)0gt67

proposta por Von Glahn

Em muitos casos assume-se S constante em todo o comprimeiv

to do canal poreacutem eacute um erro que em muitos casos nao pode ser coshy

metido

4 REATORES EM QUE 0 LIacuteQUIDO B MODERADOR E CIRCUITO PRIMAacuteRIO AO

MESMO TEMPO BOILING-REACTOR (BWR)

A aacutegua ao se movimentar atraveacutes dos vaacuterios canais do

59

Boiling-reactor encontra vaacuterias resistecircncias ao fluxo que provoshy

cam uma reduccedilatildeo de pressatildeo no fluido

As duas perdas mais importantes sao perda de pressatildeo por

atrito e perda de pressatildeo causada pela aceleraccedilatildeo do refrigerante

ao aumentar de volume por receber calor num canal Outras perdas

de pressatildeo seriam a obstruccedilatildeo ao fluxo por corpos submersos (espa_

ccediladores juntas de tubos chaves etc) e por mudanccedilas abruptas de

aacuterea de fluxo tanto na entrada como na saiacuteda do tubo

Essas perdas de pressatildeo devem ser conhecidas o melhor popound

sivel principalmente nos reatores BWR Para tanto devemos saber

o comprimento de canal em que nao ha a ebuliccedilatildeo isto eacute qual o com

primento de canal em que o refrigerante vai da temperatura de sub-

resfriamento ate temperatura de saturaccedilatildeo

Seja o elemento combustiacutevel

Aquecimento Uniforme Aquecimento Senoidal

Fig 6 Fig 7

onde

H =

H = o

H b

comprimento do elemento combustiacutevel

cota onde o liquido se torna saturado

comprimento do elemento combustiacutevel em que ocorre

ebuliccedilatildeo

60

qg = calor sensiacutevel acrescentado ao liquido para satushy

raacute-lo

qfc = calor total acrescentado ao liacutequido em todo o com

primento do canal

laquoo

q s J o qiquest sen (IIzH) n H o

T~ = TH = 2 ( 1 c o s gt ( a )

q 1 sen (HzH) Jo ^c

A expressatildeo (a) vale quando tivermos uma adiccedilatildeo de calor

senoidal para qualquer outra forma de adiccedilatildeo de calor faz-se um

caacutelculo anaacutelogo

Outra relaccedilatildeo entre q g e qfc eacute dada pela termodinacircmica

q h- - h s f m (b)

(hr +x h )-hm ^t f e fg

onde

= entalpia para o liquido saturado a pressatildeo correjs

pondente (cota z = Ho)

hffi = entalpia do liacutequido na entrada do canal

x = tiacutetulo do vapor na saiacuteda

= entalpia do vapor

Com a relaccedilatildeo (b) noacutes determinamos a relaccedilatildeo q q ecom

S L

uma relaccedilatildeo do tipo (a) (conforme seja o adicionamento de calor ao

liacutequido) podemos obter a relaccedilatildeo HoH e consequentemente H^H

21 - Perda de pressatildeo num canal de evaporaccedilatildeo

Neste item iremos determinar as perdas de pressatildeo mais

representativas que ocorrem num canal de evaporaccedilatildeo de um reator

P + dP

bull1 i- 1 gti i i

dL

onde

UM

Icirc H Icirc Icirc T dF f t f

61

Quantidade de Mov na Entrada

= i- rigVg)

dF f l

Fig 8

m i

m 8

V l V 8

A P

dF

dF

dF

fg

fl

ftf

descarga do liacutequido

descarga do vapor

velocidade do liquido

velocidade do vapor

aacuterea transversal do canal

forccedila de atrito do vapor com parede

forccedila de atrito do liacutequido com parede

forccedila de atrito das duas fases liacutequido+vapor

Fazendo o balanccedilo das forccedilas considerando o sentido posjL

tivo na vertical temos

A (P-P-dP)-(dF +dF _+dF _)-(-pound-) (p A+p A )dL = mdash dGnV+m V ) P fg ftf fl g c 1 1 g g g c

v 1 1 g g 7

- dP = ~ (dF +dF--+dF)+- S--7=- (p A+p A )dL+ mdash ~ - d (m-V+m V ) A_ fg ftf fl g c Ap v^l 1 g g g A 11 g g

Fazendo a integraccedilatildeo termo a termo entre os dois extreshy

mos entrada e saiacuteda e considerando a pressatildeo de entrada igual a

P q e a de saiacuteda igual a Pe vem

Quantidade de Mov na Saiacuteda

-= h I- lY l+ A g V g + d ( aacute l V l + aacuteeVl

Forccedila de Gravidade

= ( g f - N P A + P g V

62

b) r e F f l

o p dp^ = Ap^ = perda de pressatildeo por atrito

do liacutequido na altura Ho

Aplicando a formula de Darcy vem

bull API = f bull ir bull ^ iexcl 7

onde

f = fator de atrito

c) e Fftf

o p ^P tpound

= perda de pressao por atrito da mistura

liquido + vapor no trecho de comprimen

to Hbdquo o

Para determinar esta perda de pressao define-se o fator

de multiplicaccedilatildeo R

A P R =

tf A P 1B

Sendo A p ^ a perda de pressao se o comprimento todo fosshy

se ocupado somente pelo liquido assim

A p t f = R A P 1 B

0 calculo de Ap-^ pode ser feito pela formula de Darcy e

o de R nos veremos no item seguinte

63

d)

-e F

d ( ^ )

O P

Ap = perda de pressatildeo por atrito do vapor

No caso do reator BWR o titulo de saida e bera pequeno e

em nenhum caso ocorre a saida de vapor com x = 100 logo a perda

de pressatildeo por atrito do vapor eacute nula assim

An = 0 5

e) Ap

(p A 1 + p A ) dL = Ap - perda de pressatildeo dpound

vida ao desniacutevel

(perda hidrostaacutetica)

Anbdquo = re A A

-S- I (p + p -S ) dL H s 1 A

c o p o A

como A A Jl_ =

A P

A +A-g 1

1-a -

temos

C Q

te j jll-a)p1 + apg)^jdL = p Lo pound

onde

e jo u

+ ap ) ~I dL (Densidade media 1 S J

no tubo)

No nosso caso

Ap u = p H

f)

re d(mV + m V ) _ mdash - laquo -i bull s iquestp laquos p e r d a ltje pressatildeo devido a acele-

c p raccedilatildeo do vapor

V A

(1-x) tl^Vj

(1-a) A

X V

aA

A p -

roV + m V

c p c p L_

m (l-x)m_v m xv nbdquo -1 T 1

+ _S S I (1-a) Ap aA

P

2 g A c p

n 2 2

(1-x) m T

laquo2 8 A c p

2 2 (l-xe) raTv1

2 2 2 xm_v (1-x) m-v e T s o 1 1

a 1 - a

2 2 - x m_v o T g

a

se

X Q 0 (so ha agua nesse trecho)

a = 0 o

temos

mbdquo Ap =

1 a A 2

S A degc p laquo-

tt-V v i 1 - a

2 via T^r - v i

t Apc

2

V v l

5c Ap

1 - a

x v - 1

a e v l

65

Fazendo

G = fluxo total da massa por unidade de area do

canal

(1-x J e

V

AP r

Assim a perda de pressatildeo total sera

H p V II pV r2 P -P = f -24-Iuml+ f R+p 0 1 2g c D e 2g c g c g c

2c2 - Determinaccedilatildeo do fator de multiplicaccedilatildeo (R)

221 - Relaccedilatildeo Martinelli-Nelson

Os autores Martinelli-Nelson determinaram experimental -

te esse fator R para varias LIT1L em funccedilatildeo da pressatildeo e da r NB total J v

qualidade de saiacuteda do vapor no canal Construiacuteram assim vaacuterias

curvas do tipo da figura 9

66

E importante notar que a qualidade do vapor (x) na saiacuteshy

da nao deve ser grande pois como vemos o valor de R cresce muishy

to com um aumento pequeno de x e um valor de R muito grande acar_

reta uma perda de pressatildeo grande pois

^ d u a s fases R ^ f a s e liacutequida

Para resolvermos um problema seguindo o criteacuterio de bdquo

Martinelli escolhemos a curva R = f(px) (para a relaccedilatildeo L

N g ^ j

adequado) e tiramos R com os valores de pressatildeo p e tiacutetulo x

As curvas R = f (p x L T t )IO encontram-se nos ANL 6469 bio I

e 6561

222 - Relaccedilatildeo Lottes-Flinn

Estes autores estudaram o problema para o aquecimento uni

forme do refrigerante com baixo titule Lottes-Flinn fizeram inuacuteshy

meras experiecircncias e verificaram que para fluxo de calor uniforshy

me e baixos titulos R era independente do fluxo de calor fluxo

do refrigerante escorregamento e apenas funccedilatildeo de a g

Como a quantidade de liacutequido eacute muito maior que a de vashy

por a perda de pressatildeo daacute-se principalmente pelo atrito do liacuteshy

quido com a parede Podemos assim escrever a foacutermula de Darcy

na forma diferencial

dz

d = f __ r e amp c

onde

V = velocidade do liquido saturado na cota zbdquo X

f = coeficiente atrito

= densidade do liacutequido saturado

Teoricamente a queda de pressatildeo deve-se ao acreacutescimo de

67

velocidade do liacutequido e da diminuiccedilatildeo da aacuterea de fluxo do liacutequi

do

P fH A P t p

= f D 2g Ho

d z

fazendo

V lo

m V t lo

(velocidade do liacutequido na cota z = Ho)

(1-x) m t v 1

(1-a) A (velocidade do liacutequido na cota z gt Ho)

a bull+ fraccedilatildeo vazio na cota z geneacuterica

V 1 (1-x) m t v 1

m t V l 1 - a

x =s 0 pois o tiacutetulo eacute baixo

A p t f = f bull JT5 c e

fH V lo

H o (1-a) dz

Para fazer a integral devemos achar a relaccedilatildeo de variaccedilatildeo

entre a e z Como o fluxo de calor eacute uniforme a qualidade eacute direshy

tamente proporcional a z

bull laquo x = x e H

z = mdash x X e

Sabemos ainda que (item 113)

x

1 + [ ( I -X)AKQ x + iiacuteraquo

68

como

temos

(1-x) = 1

v

X =

z =

1-a

1 -a

1-a e

a

e

1-a pound

a

1 -a igt (assumindo S = cte)

da

Atf - f bull 2 i ^ ~ J c e o

a 1 - a e e 1 s 4 hmdash) da

a 1-a

f P lv^ Q

0 termo mdash - mdash e a parte de perda de pressatildeo pelo lj^

^c e -quido ou seja Ap liquido saturado e como

Ap

R = tf

Ap liauido saturado

temos que

R J

f ae 1 _ a e 1 4

a 1 -a o e

1 -a r-R =

3 1 -a

a 1 -a imdash

3 vl - a 3

e e

Os valores de R obtidos por esta expressatildeo aproximam-se

muito dos valores obtidos pelos aacutebacos de Martinelli

69

E - EXPANSAtildeO E COMPRESSAtildeO DE UM FLUIDO - ANAacuteLISE HIDRODINAcircMICA

DE UM CIRCUITO EM CIRCULACcedilAtildeO NATURAL

1 EXPANSAtildeO NO FLUXO DE UM FLUIDO

11 - Uma so fase

Figura 1

Ha vaacuterios meacutetodos para determinar a variaccedilatildeo de pressatildeo

numa expansatildeo de fluido estudaremos o de Romie que eacute o que daacute

maior precisatildeo

Romie considera que a pressatildeo p^ tambeacutem atua na aacuterea

imediatamente apos a expansatildeo Assim fazendo o equiliacutebrio das foi

ccedilas nas secccedilotildees tracejadas da figura 1 temos

mVj

p r A 2 + mdash

mV

bull 2- A2

mas

m = pV^A^

pV^A = p V 2 bdquo A 2

V A

v 2 -4r-logo

( P l-P 2) A 2 = f ( V ^ ) - f _ v j amp c c 2

70

2 pV A A pV A A

Chamando A l A ]

K = 1 - T e degi2 = Aiexcl bull V E M

pvj

P l P 2 = T ~ bull ( 2 deg 1 2 ) ( 1 _ a 1 2 )

Outra maneira de chegar atilde diferenccedila de pressatildeo ( P j - ^ ) s mdash

ria usar o coeficiente de perda da mecacircnica dos fluidos Assim o

equilibrio das pressotildees eacute

2 2

1 V l 1 V 2 V l P i + _ p _ ^ P 2 + I p ~ + k 1 2 p mdash

onde = coeficiente de perda

A 2 1 2

k 1 2 - (l-o 1 2) - (1 - j- )

Fazendo as transformaccedilotildees chegamos a mesma expressatildeo obshy

tida pelo balanccedilo das forccedilas

PraquoIacute pr p

2 - - ir ^ laquo-ia

12 - Duas fases

Como ha duas fases a equaccedilatildeo do balanccedilo das forccedilas fica

um pouco alterada

m pound 1 V- m - raquoV - m-V- m bdquoV _ P A + j y ^ i + _gl_JUuml P A + -11-11 + -ilsl (a)

1 2 e R 2 2 ff e

Sabendo que

71

m (1-x) m t = p fA (1-a) V f

entatildeo

fl l-o^ p fA x

6 Vf2 1-x l-a2 P fA 2

m V = mdash mdash e V 0 = gl a 1 P C T A 1 g2

m

a_ p h

2 g 2

Nas expressotildees anteriores o x nao varia porque a expansatildeo

5 adiabaacutetica porem o a varia devido a modificaccedilatildeo do tamanho da

bolha

Substituindo os valores das velocidades na expressatildeo (a)

vera

( P - P ) Abdquo =

2

2 2 m gt2 2 m t (1-x) 1 x t

ra i 2 m i 1 x t 1

p fA 1 g c ttl p Ax gpound

m t P - P = mdash

(1-x) (l-a 1)A 1A 2 (l-a2)A|

a r A r A 2

V A 2

m t P bdquo - P = mdash 2 1 g c A r A 2 p f

(1-x) 1-a f A 2(l-a 2)

bull ^ 2

72

Se

P -P

a

m

g

12

1 _1_ (1-x)

J12

1 _ a l 1 - a 2 + X (- )

Pg

1 deg12 a 2 ^

Sabemos que

mt = V o pf laquo A l

Sendo V q = velocidade do liquido num ponto onde natildeo haja vapor

P 2-P 1

u 2 2 A 2

V pr Ai

V W p f

(1-x) 12

l-a1 l-a2

+ X 2 pf

mdash

l deg12

-1 a 2 _

p -p r 2 Al (2a 1 2)

2 M f w 1 deg12 X (mdash) (

pg al a 2 )+(l-x)C l 1 12

1-a^ l-a2

Devemos notar que esta expressatildeo tambeacutem vale para quando

temos uma fase para isso basta fazer

= c t 2 = 0

X = 0

e recairemos na formula do item anterior

2 pf 1 deg12 Observemos que neste caso o termo x (mdash)( ) nao

Pg al a2

2

73

tem significado pois corresponde a mudanccedila de fase

2 CONTRACcedilAtildeO KO FLUXO DE UM FLUIDO

21 - Uma so fase raquo mdash

Aqui ocorre um fenocircmeno importante pois o fluido ao ser

contraiacutedo nao vai diretamente da area A^ para a area A 0 mas ele

contral-se ate uma area A^ e depois expande-se ate k^

Ao A2

Po IP 2

V 2

Figura 2

Fazendo o equiliacutebrio das pressotildees entre os planos (1)

(0) vem 2 2

pV pV p +~ plusmn - P + i deg bull 1 2 g o 2 g (b)

C x

Fazendo equiliacutebrio da expansatildeo (0) - (2) vem

P o + 2 - f = P 2 + 2 -T + kp- 2 F ( c )

c c b C

Subtraindo (b) - (c)

2 2 2

i p- vj i p- v2 L P l + 2 bull g c

P 2 + 2 2g c

+ k P 2g c

74

Como

P - P = mdash 2 2g

2 2

bull (1 + k) - f bdquo mdash i

k a - f2 ) 2 - d - o c )2

= o

A = a 21

Weisback obteve varias relaccedilotildees entre a e a i] c

01 02 03 a 0624 0632 0643 c

0624 0632

A r v i - V v 2

p -p 1 2

P -P 1 2 2g7

v l =

(1+k) - laquofi- a 2g 21 c

( 1 + k - o 2 1)

X[- V 2 o 2 1V 2

22 - Duas fases

0 valor de k pode ser aproximado para

k = a(l - o 2 1)

onde segundo Richardsons para fluxo de duas fases podemos supor

a = 02

Para fluxo homogeacuteneo sabemos que

75

p = p f (1 -a ) + p o a

podemos supor p bdquo a = 0 pois p e pequeno e fazendo

V = V ~ V fbdquo2 go2 v 2

Substituindo estas duas expressotildees na equaccedilatildeo de uma soacute fase vem

2 2 p V (l-ct) p V (1 -a ) bdquo

P l P 2 = 9g ( 1 + 3 - 3 0 ^ - 0 ^ ) = g (a+1) (l-a^)

Se a = 02

2 12p oV 0

p r p

2 - 9g gt d-) d-sigt

A compressatildeo de um fluido acarreta uma perda de pressatildeo

como pode ser verificado pelas formulas uma vez que lt 1deg

3 ANALISE HIDRODINAcircMICA DE UM CIRCUITO EM CIRCULACcedilAtildeO NATURAL

Esquema deacute uma caldeira com circulaccedilatildeo natural

76

Determinar a velocidade em (7) para que tenhamos circula

ccedilatildeo natural Determinar tambeacutem as perdas de pressatildeo em todos os

trechos da caldeira

31 - Contraccedilatildeo das secccedilotildees (1) - (2)

Como jaacute vimos a equaccedilatildeo do balanccedilo das pressotildees eacute

1 pr Vl 1 p 2 o V 2 P2 V2

1 2 g 2 + 2 g + K12 2g otilde c amp c e c

bullraquo 2 o2 2 e havendo uma soacute fase k 1 9 = (l-o ) = (1 mdash ) e sendo

C 2

p l = p2

v x lt lt lt v 2

P 2 V pr p2 bull ir2 bull ( 1 + k12gt

Colocando em termos de temos

A 2 V 2 P 2 = A 7 V 7 p 7 (continuidade)

V = V mdashbull = V o_bdquo ~ A 2 2 2

P 2 V - p 2

p r p 2 = ir2 - deg72 bull Ccedilrgt bull lt 1 + ki2gt

fazendo

N12 - lt^gt deg72 ( 1 + k12gt

P7 V7

Pr P2 - N12 bull HG

77

3 2 - Perda de carga no trecho ( 2 ) - ( 3 )

Como haacute apenas uma fase soacute temos perdas por atritos e

perdas hidrostaacuteticas

Sendo como jaacute vimos

2 3 p 2 2 g P 2 P 3 = f 2 3 (r~2g^~) L 2 3 g c p

atrito hidrostaacutetica

Substituindo V^ pela relaccedilatildeo do item anterior e tendo em

conta que p = vem

P -P = f 2 r 3 2 3 D

2 3 p 2 bdquo 2 2 p 7 2

2 g 7 72 p 2 3 g

Se

L 2 3 2 p 7

2 3 2 3 D 2 a 7 2 p 2

P 7 V 7 g P 2 - P 3 = N 2 3 ( mdash gt p 2 L 2 3 f

3 3 - Expansatildeo nas secccedilotildees ( 3 ) - ( 4 )

Como vimos o balanccedilo das pressotildees e

2 2 2 p V p 4 V p V

P 3 + 2 g c

P 4 + 2 g c

+ k 3 4 2 g c

onde

k 3 4 - - -

2 2 1 P 4 - V 4 P 3 v 3

P 3 P 4 = 2 g + ( k 3 4 _ 1 ) 2 g

78

Sendo

P 3 - P 4

p 3 o A 3 deg V 3 = P 7

a A 7 o V 7

P 4A 4 0V 4 = P r A r V

3 7 A 3 p 3

A7 P7 V = v mdash mdash 4 7 P 4

P - P 3 r4

Se

P bdquo - P

bdquo2 r-P 7 V 7

3 4 2g deg74 + ( k 3 4 1 ) deg73

34 p deg74 + ( k 3 4 1 ) 73

p r v2

P3- P4 ^ N34 ^ gt

(No caso e negativo)

34 - Contraccedilatildeo nas secccedilotildees (5) - (6)

Ainda temos uma so fase e fazendo o balanccedilo das pressotildees

como fizemos no item 3lt1 vem

P + vil p + vi + k vi P 5 + 2gbdquo P6 + 2gbdquo + k56 2gbdquo

k 5 6 lt 1 ^ gt 2 ( 1 - Iacute 2 i 2 6

V V6 P5degIacute 5^6 ^SS 2g c - 2g c

P - P ^ = (1+kJ

Como

79

A 6

W p 5 =

VV P6 V 5 = V 6 Jiexcl = Vff65

P 5-P 6 - lt H k 5 6 ) mdash ^ mdash (l+k 5 6-a 6 5) c c c

Sendo

Se

A 7 p 7 p 7

6 7 Ag p 6 7 76 p 6

p _p _ P6- V7- g76 iquest72 ( _ 02 P 5 P 6 2g c bull ( p 6

( 1 + k 5 6 deg65 )

p 7 2 2 N56 = p ^ deg76 ( 1 + k 5 6 ~ a 6 5 )

P 7 V 2

7

P r-P = N r 5 6 56 2g c i

35 - Perdas de pressatildeo nas zonas (6) - (7) - Pre^aquecimento

Nesta regiatildeo temos perdas por atrito e hidrostaacuteticas

Nao haacute perda por aceleraccedilatildeo pois ainda natildeo houve formaccedilatildeo de boshy

lhas

Fazendo balanccedilo das pressotildees temos

L_ ppound-V p = p + otilde L - pound _ + f -Si (-21mdashL 6 7 + p67 L67 g + t 6 7 D K 2g

p _ e ifn sao tomados como valores meacutedios 67 67

P _p _ f hl ^67jIacute uuml + - L A

6 F 7 r67 D 2g P P67 L67 g 6 s c 7 c

S e Kr pound67 L67 p67 6 7 D 6 p7

p7 V - _g_ P6- P7 - N67 mdash + P67 L67 f

c c

80

36 - Perda de pressatildeo nas zonas (7) - (8) - Zona de ebuliccedilatildeo

Nesta regiatildeo j aacute temos o aparecimento de bolhas logo a

perda de pressatildeo seraacute devida agraves t recircs parcelas aceleraccedilatildeo a t r i t o

das duas fases liacutequidas + vapor e h idros taacute t ica

onde

Assim

P-P Q = AP + AP + APbdquo 7 8 a t r i t o acel H

T M1

78 p 7 7 AP - R f- - mdash mdashr |R = fator mult ipl ica-

a t r i t o 7 D 7 2 g c L tivo

G 2

AP bull r mdash acel g c

P V

|_1 - o a p J 8 P f

2 t r 2 M2

7 7 r 7 7 A P a c e l = -J^mdash 2 r bull p 7 lt T iexcl iexcl - )

A PH p 7 8 L 7 8 fiexcl

p 7 8 iacute 7 li 1 0 0 P l i q + a P v ] d L = P 7 ( 1 - laquo 7 8 )

ag raquo fraccedilatildeo de vazio media entre 7 e 8

APH = p (1 - 5 7 g ) f- L 7 8

2 2

P 7 - P 8 a 5 - 2 T i + 2 r p 7 + P 7 ( 1 - 7 8 gt f L 7 8 7 amp c amp c amp c

81

N 7g = R mdash + 2 r p 7

P7 V7 P7- P8 = N78 + P 7 ( 1 5 7 8 gt J78

37 - Expansatildeo nas secccedilotildees 8 e 9

No caso haacute uma expansatildeo com duas fases e como vimos no

item 12 a variaccedilatildeo de pressatildeo era dada por

0f Vo P2 P1 = ~2g c ( 2 deg12

x 2 (mdash)(mdash - mdash ) + ( l - x ) 2 ^ T mdash 8 1 2 1

12

Aplicando ao nosso caso

P pound = P 7

P -P = 8 9

V - V raquo V g f 7

P 7 V 2

2 pf 1 a89 2 1 g89 x (mdash) ( ) + (1-x) (- - N

o ou abdquo 1-cu l-ot_) g 8 9 8 9

Se

N 89

= 2 a 89

2 pf 1 deg89 2 1 CT89 x (mdash) ( ) + (1-x) ( T

g 8 9 8 9

P -P = 8 9

- N P7deg V7

89 2gbdquo

38 - Perda de pressatildeo no trecho 9 e 10

No referido trecho temos apenas perda de pressatildeo por atr L

to da fase liacutequido + vapor e perda hidrostaacutetica Natildeo haacute perda por

aceleraccedilatildeo do vapor pois este natildeo recebe mais calor e portanto

o 82 o

nao ha variaccedilatildeo no a

p

Q -p i n = A P

U + A P bull 9 10 H atrito

n T -S_ P9 U10 deg 910 bull g

fio r

910 I 910

J9 L

(l- a)P + Q P I dL liq v

(l-a0) p

No caso a = (nao hatilde variaccedilatildeo de forma)

A P H - (1-a ) P (p L 0

c

AP bdquo = R o

atrito

2 f9 o L910 P9 V9

2g

Supondo

= V

P 9 = P 8 P 7

vbdquo = v 9 8 0 A r

= V 7 bull deg89

AP - R atrito

2 2

W l O p7deg V7deg g89

V P10 R -^T^ bull deg89 bull li-2 + ( W P 7 (fgt SIO

y c c

Se

- f9 L910 2 N9ol0 R Dl deg89

w 2

p rv P9 P10 = VlO + ( 1 a 9 ) p7 (f gt L910 c

33

39 - Perda ciacutee pressatildeo na expansatildeo 9 - 1 0

Analogamente a expansatildeo 8 - 9 temos

10 11 P 7 2g

10 Iacute 2 0 1 0 - 1 1 gt

2 ff

pg aio

10-11

laquo11 ) +

Ll-a 1 0 bull l-a u J

Se

V10 = V 9 = V 8 bull T9 = V 7 deg89

P -P 10 rll = - a 2g 089 ^lO-ll

4 bull T~ bull (7 1 mdash ) + Pg degio a n

+ (l-x)2(- 1 10-11

1 - aio )

N10-ll = 2 a10-ll a89 2 pf t 1 10-11 N2

-(j-r- - ) bull+ (1-x) pg aio deg 1

10-11 k l - a io

prz P10 Pll = - N10-ll bull ( 2gbdquo

310 - Calculo de V

Fazendo a somatoacuteria de todas as expressotildees (P^-Pj) tere-

84

mos 2 PbdquoV_

P bdquo - P bdquo = N 7 v 7

1 2 12 2g

bull 2 - P 3 - = N 2 3 P 2 L 2 3 f c ccedil

9 P 7 V 7 P _p = N mdash -

3 4 34 deg 2g

V P 5 = deg

2 P V

5 6 56 2 g c

ltr2

P 7 -V 6 e7 -N67 2g + p 6 7 J j67 g

c bc v 2

P 7 - P 8 = N 7 8 - 2 i ~ + p 7 ( 1 - laquo 7 8 ) L 7 8 c

P 7 V 7

P - P - -N mdash - -8 9 89 2g

c P 7 V 7

P 9 ~ P 1 0 VlO 2g + ( 1 a 9 P 7 L 9 c

P 7 V 7

bull10 11 U10-ll 2g

P v iacute j P - P

1 11

7 - v 7 3 bull r

2 8 i U L 2 23 67

(l-5 7 8) L 7 8 + ( l - laquo 9 ) P 7 bull SlOtilde]- ^

Por ou t ro lado sabemos que como secccedilotildees 1

mesmo n iacute v e l

85

s c p r v 7 j

28 Z N i ij

= P 2 L23 p67 L67 P 7 ( 1~deg78 )

78 ~ ^g) bull P 7 bull L 910 g_

V - 2 g ( p r L 2 3 - p 6 r L 6 7 - p 7 ( l - atilde 7 8 ) L 7 8 - (l-a9) p L 9 a ( )

y N

Com esse valor de podemos determinar todas as variashy

ccedilotildees de pressatildeo (P^-P )

BIBLIOGRAFIA

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tituto de Energia Atocircmica de Sao Paulo em 1966 (roteiro)

- WR Gambill - Nuclear Safety

Vol 9 - n9 5 e 6

Vol 6 - n 2 (pag 152)

Vol 4 -r n9 1 (pag 30)

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Mc Adams - Heat Transmission

- Paul A Lottes - Argonne National Laboratory

- AKL - 6469

- ANL - 6561

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Frank Kreith - Principles of Heat Transfer

Journeacutees Internationales de la transmission de la chaleur

Seminaacuterios realizados em Paris em 1961 sob a supervisatildeo do

Prof Marcel Veron

Notas de aula da Cadeira de Termodinacircmica I e Transmissatildeo da

Escola Politeacutecnica da Universidade de Sao Paulo

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12

variaccedilatildeo total da temperatura do fluido

92 - Numero de Prandtl

Pr = pp = 2 kpc a

P

Relaccedilatildeo entre viscosidade ci nemaacutetica v e a difusividade teacutermica a

93- Numero de Reynolds

N_ = amp Relaccedilatildeo entre as forccedilas de Re u - r bull

ineacutercia e as forccedilas viscosas que interferem no escoamento fluido

94 - Numero de Grashof

H = mdashmdash mdash^mdash 2 mdash amp a relaccedilatildeo entre o pro-u duto (forccedila de ineacutercia )

x (forccedila de empuxo) e o quadrado das forccedilas visshycosas que interferem na convecccedilao natural

11 EQUACcedilOtildeES DE CONVECCcedilAO FORCcedilADA

Por ser o caso mais importante na induacutestria soacute veremos

algumas equaccedilotildees para a convecccedilao forccedilada e deixaremos de lado a

convecccedilao natural por ser menos importante

Para cada tipo de escoamento para cada regime de transshy

ferecircncia de calor e para cada configuraccedilatildeo geomeacutetrica teremos uma

equaccedilatildeo com expoentes e coeficientes diferentes poreacutem sempre com

as mesmas trecircs variaacuteveis

Nbdquo N- N_ Nu Re Pr

Para resolver um problema de convecccedilao devemos antes

avaliar as propriedades do fluido essa avaliaccedilatildeo eacute feita considj

13

rando a temperatura media do fluido isto e a meacutedia aritmeacutetica da

temperatura entre um ponto do fluido junto agrave parede e um ponto onshy

de a temperatura do fluido seja constante longe da parede

Ha casos entretanto que na praacutetica trecircs adimensionais

so nao sao suficientes para expressar o fenocircmeno isto porque as

vezes ha uma propriedade que eacute muito sensiacutevel a uma pequena varia

ccedilao de temperatura logo para estes casos introduzem-se outros adi^

mensionais para levar em conta a dependecircncia dessa propriedade com

a temperatura

Todas as expressotildees foram obtidas experimentalmente A li

teratura especializada tem formulas para todos os tipos possiacuteveis

de geometria Vejamos alguns exemplos

101 ~ Convecccedilatildeo forccedilada sobre superfiacutecies planas

a) regime laminar ( N R g lt 400000)

N T = 0664 (N ) 1 f 2 (N ) 1 ^ 3

NuL ReL u Pr

b) regime turbulento ( N R g gt 400000)

NNuL deg 0 3 6 lt N P r ) 1 3 t gt R e L ) 0 8 1 8 7 deg deg ^

102 - Convecccedilatildeo forccedilada dentro de tubos ciliacutendricos

a) regime laminar (N_ ^ lt 2100) mdash Re D

i

b) regime turbulento Nbdquo _ gt 2100 mdash u Re D

N v _ = 0023 (N_ J 0 8 (Nbdquo ) n

NuD ReD Pr

14

n = 04 para fluido aquecendo

n =raquo 03 para fluido resfriando

Note-se que neste caso houve necessidade de considerar ou

tros adimensionais para aliar a anaacutelise dimensional agrave experiecircncia

no item a) dois outros adimensionais tiveram que ser acrescentados

(DL) e (up s)

Na expressatildeo 101 b) se o N critico for tomado como

sendo 5 x 10 (usado comumente) a expressatildeo usada eacute a mesma a me

nos do termo 18700 que passa a ser 23200

Devemos observar finalmente que estas expressotildees nao se

aplicam a metais liacutequidos e que elas nos datildeo nuacutemeros de Nussel meacuteshy

dios e natildeo locais

15

B - CONVECCcedilAtildeO COM MUDANCcedilA DE FASE - CONDENSACcedilAtildeO (I)

lo INTRODUCcedilAtildeO

Devemos considerar dois tipos de convecccedilao com mudanccedila de

fase que sao a condensaccedilatildeo e a evaporaccedilatildeo

Os problemas de convecccedilao de calor com mudanccedila de fase sao

tao importantes na industria como os de convecccedilao de uma uacutenica

faseraquo Os exemplos mais comuns de sua aplicaccedilatildeo sao os condensadoshy

res e evaporadores usados nos condicionadores de ar geladeiras

caldeiras etc

Neste capiacutetulo estudaremos apenas a condensaccedilatildeo

Os problemas de convecccedilao com fluidos condensando ou evashy

porando sao bem mais complexos que os demais processos de convecshy

ccedilao porque aleacutem de envolver variaacuteveis nao consideradas na conshy

vecccedilao de sistemas de uma so fase tecircm uma variaccedilatildeo nas propriedashy

des fiacutesicas de tal grandeza que essa variaccedilatildeo interfere decisiva

mente no fenocircmeno

2 CONDENSACcedilAtildeO

Eacute a passagem de um vapor para o estado liacutequido pela retishy

rada de calor

21 - Aspectos Gerais

A condensaccedilatildeo eacute realizada fazendo com que o fluido (vashy

por) entre em contato com uma superfiacutecie cuja temperatura esteja

abaixo da temperatura de saturaccedilatildeo do fluido correspondente atilde pres_

sao do vapor

0 coeficiente de peliacutecula relativo ao vapor de aacutegua satushy

rada que condensa sobre uma superfiacutecie fina eacute da ordem de grandeshy

za de 10000 kcalhrm^degC em casos excepcionais chega-se acirc valo-

16

res 50o000-100bdquo000 kcalhrm 2degC Isto eacute obtido a maneira pela

qual a condensaccedilatildeo se produz Ilaacute duas maneiras

1 - condensaccedilatildeo por peliacutecula daacute-se quando o liacutequido con

densado molha totalmente a parede formando urna peliacute

cula continua sobre a mesmaraquo

2 - condensaccedilatildeo por gotas daacute-se quando o liacutequido ao se

condensar rcune-se em gotas que crescem ateacute terem

peso suficiente para escoarenu

0 primeiro tipo eacute o mais comum e eacute o que daacute menor coefishy

ciente de peliacutecula porque a pelicula do liacutequido constitui uma re

sistencia adicional a passagem do calorraquo No segundo tipo chega-se

a coeficientes de pelicula muito maiores pelo fato do vapor estar

sempre em contato direto com a superficie resfriadura isto eacutepor

nao haver resistencia adicional

2o2 - Condiccedilotildees para termos condensaccedilatildeo por peliacutecula ou por

gotas

Sob o ponto de vista da transmissatildeo de calor deveriacuteamos

sempre preferir a condensaccedilatildeo por gotas pois como jaacute dissemos e

a que daacute maior eficiencia teacutermica Acontece poreacutem que tecnologji

camente eacute difiacutecil a obtenccedilatildeo da condensaccedilatildeo por gotas pois haacute

necessidade de termos um vapor puro urna superficie de resfriameii

to perfeitamente lisa (cromeada espelhada) e com resinas para fa

cilitar a formaccedilatildeo das gotas Tudo isso encareceria demais um con_

densador por isso eacute que na praacutetica usamos condensaccedilatildeo por peliacutecu

la quando podemos usar chapas ou tubos comerciais

So em casos muito especiais quando o espaccedilo eacute muito imshy

portante usa-se condensaccedilatildeo por gotas

2 3 - Remoccedilatildeo do Condensado

Um fator importante a considerar na condensaccedilatildeo eacute a remo

17

ccedilao do condensado que sempre se faz por gravidade Ha dois tipos

principais de superficies de condensaccedilatildeo

1 - Tubos ou placas verticais (ou encunadas)

2 - Tubos cilindricos horizontais

Nos tubos verticais a espessura da peliacutecula liacutequida aumen

tara do topo acirc base e com isso variaraacute ao longo do tubo o coefishy

ciente de peliacutecula loacutecalo

No caso dos tubos ciliacutendricos horizontais o liacutequido escoj

re pela parede lateral e goteja pela parte inferior natildeo havendo

possibilidade de formaccedilatildeo de camadas espessas do condensado

2raquo4 - Condensaccedilatildeo por peliacutecula sobre tubos verticais

Nusselt desenvolveu estudos analiacuteticos sobre condensaccedilatildeo

externa a tubos ciliacutendricos verticais partindo das hipoacuteteses

1 - A espessura da peliacutecula do condensado eacute nula na parte

superior do tubo e vai aumentando nas partes inferioshy

res por condensaccedil-ao e escorrimentoraquo

2 - 0 fluido escorre pela parede em regime laminar sob o

efeito combinado do seu peso e viscosidade

3 - A temperatura da camada mais interna do condensado tem

a temperatura da parederaquo

4 - A temperatura da camada mais externa tem a temperatushy

ra do vapor-

5 - A variaccedilatildeo da temperatura da camada do condensado em

sentido ortogonal agrave superfiacutecie do tubo eacute linear

6 - 0 vapor cede apenas seu calor latente

7 - A temperatura do tubo eacute uniforme e constanteraquo

8 - Nao haacute gases incondensaacuteveis no vapor (vapor puro)

Chegou a formula

18

2 3 g P - h L t

N j = 0943 ( r-EcircY~ ) 1 4 (l) NuL y bdquo k o At v

As propriedades da equaccedilatildeo (1) satildeo avaliadas agrave temperatu

ra meacutedia tm

c + t _ w sat

tm ~ onde

t = temperatura da parede

t = temperatura de saturaccedilatildeo do fluido S 3Lt

exceto o calor latente da vaporizaccedilatildeo b^ que deve ser avaliado agrave

temperatura de saturaccedilatildeo correspondente atilde pressatildeobdquo

Quando a superfiacutecie focircr inclinada vale o raciociacutenio de

Nusselt apenas o termo que atua na remoccedilatildeo do condensado natildeo eacute g

mas sim (g seno) sendo 6 a inclinaccedilatildeo da superfiacutecieraquo

Assim a equaccedilatildeo para estecaso seria

2 3 g o sene o p o h o L

NT _ = 0943 ( r~ y (2) NuL y o k o At w

25 - Efeitos a considerar na condensaccedilatildeo

Ha 3 efeitos importantes a considerar na condensaccedilatildeo que

Nusselt natildeo levou em conta sao eles

- efeito da turbulecircncia no filme liacutequidoraquo

- efeito dos gases incondensaveisraquo

- efeito da velocidade do vapor

251 - Efeito da turbulecircncia no filme liacutequido

As formulas anteriores servem para comprimentos de tubos

pequenos pois nesse caso a velocidade de escoamento do condenshy

sado natildeo eacute grande entretanto para superfiacutecies verticais longas

a peliacutecula torna-se bastante espessa e com velocidade grande deshy

mais para que o escoamento possa ser considerado em regime lamishy

nar

19

Nesse caso define-se o numero de Reynolds baseado na veshy

locidade da fase liacutequida isto eacute

p V 6

Nbdquo - m r

Rer y u

onde

V = velocidade do condensado na camada limite m 6 = espessura da camada limite

T = p V m 6 = descarga do condensado por unidade de largju

ra da superficie de condensaccedilatildeo

No calculo da determinaccedilatildeo de T haacute uma certa dificuldade

pois ele soacute pode ser determinado por iteraccedilatildeoraquo

Q = m c laquo A t = h A A t P

A = 2ir R bdquo L (para tubos)

m c = h o 2IumlIuml R laquo L P

m m braquoL _ p a _ _ li li

2TTR C c P P

Como noacutes nao sabemos o valor de h_ devemos inicialmente

adotar um V e obter atraveacutes da foacutermula

NNuL = deggt0134 (R PV L 3 gt 1 3 ( N R e r ) 0 4 ( 4 )

y

o valor de _h se os valores de h_ obtidos por (3) e (4) forem iguais

o problema esta resolvido caso contraacuterio fazem-se tantas iterashy

ccedilotildees quantas forem necessaacuterias

252 - Efeito dos gases incondensaacuteveis

A presenccedila de gases incondensaacuteveis reduz violentamente o

coeficiente de peliacutecula pois acirc medida que o vapor se condensa o

gaacutes nao condensaacutevel se acumula junto atilde superfiacutecie de resfriamento

20

formando uma barreira adicional S passagem do fluxo de calor

A reduccedilatildeo do coeficiente de peliacutecula que a presenccedila des_

ses gases causa depende da fraccedilatildeo em massa dos mesmos na mistu

ra gaacutes-vapor

Fizeram-se inuacutemeras experiecircncias e sobre o assunto a tiacute

tulo de exemplo vejamos o graacutefico abaixo onde temos em abcissas

o coeficiente de peliacutecula obtido experimentalmente e em ordenadas

a fraccedilatildeo de gases dissolvida jio vapor

5000

bullg- 4000 O

3OOO

2000

S 1000

4 6 8 10 12 lt|gt(lbm arlbm de vapor )x 10

Devemos notar a grande influecircncia dos gases incondensatilde-

veis por exemplo quando o vapor eacute puro nos temos um h = 4000se

tivermos apenas 1 de ar dissolvido o coeficiente de peliacutecula fishy

caraacute reduzido agrave metade isto ecirc h = 2000

Por isso nos condensadores sempre se coloca vapor ornais

puro possiacutevel

253 - Efeito da velocidade do vapor

Quando a velocidade do vapor junto agrave interface liacutequido-

-vapor natildeo focircr despreziacutevel surgem forccedilas de atrito entre o vapor

e o liacutequido Se a direccedilatildeo do fluxo do vapor coincide com a direshy

ccedilatildeo do movimento do liacutequido a velocidade do liacutequido aumenta (haacute

compressatildeo) e a espessura do filme liacutequido diminui e consequenshy

temente a transferecircncia teacutermica melhora pois haacute diminuiccedilatildeo da

resistecircncia teacutermica

Se entretanto a direccedilatildeo do vapor focircr contraacuteria a do fil

o 21 laquo

me de liquido ha uma tendecircncia de haver aumento da espessura da pj2

liacutecula diminuindo assim o valor de h

26 - Consideraccedilotildees sobre os resultados obtidos com as foacutermushy

las de Nusselt

Nota-se experimentalmente que os resultados obtidos pelas

equaccedilotildees de Nusselt sao em geral 10 a 20 inferiores do que os reshy

sultados reais Assim a favor da seguranccedila elas sao usadas e aaacuteo_

tadas Os motivos das discrepacircncias jaacute-foram ditas atraacutes no item

25

Devemos notar ainda que o valor de h obtido pelas foacutermushy

las anteriores e o valor meacutedio jaacute que h varia de ponto para ponto

e seria difiacutecil obter uma equaccedilatildeo que nos desse o valor de h locaL

2bdquo7 - Condensaccedilatildeo por peliacutecula externamente a tubos ciliacutendrishy

cos horizontais

0 mesmo estudo de Nusselt pode ser aplicado neste caso

baseado na hipoacutetese de que no topo do tubo a peliacutecula do condensashy

do tenha espessura nula Chega-se a expressatildeo

g p 2 h D 3 14

NT _ = 0725 ( ) (5) NuD u k o At

Analogamente ao caso anterior as propriedades do liacutequido

sao tomadas a

t + t w sat

tm = ^

exceto h que eacute tomado a t

ev n sat

Na situaccedilatildeo atual da tecnologia e possiacutevel obtermos tubos

com diacircmetros suficientemente pequenos para que tenhamos escoamenshy

to do condensado soacute em regime laminar

22

No caso de vaacuterios tubos empilhados a formula (5) deve

ser modificada pois como dissemos ela soacute vale quando no topo do

tubo a espessura do liacutequido eacute nula o que nao acontece neste caso

(Vide figura a)

Vapor

Tubo

mdash Liacutequido

Fig a

Neste caso a forma que nos da o valor meacutedio para h e

g p 2 h D 3 14

NNuD deg gt 7 2 5 lt N u k V At gt

sendo N o numero de tubos empilhados

Note-se que neste caso o coeficiente h cai bastante Uma

boa soluccedilatildeo para o caso quando dispoacuteftos de lugar eacute dispor os tushy

bos defasados (Conforme figura b)

Liquido

Fig b

Neste arranjo podemos aplicar a equaccedilatildeo (5) pois no tp_

po de cada tubo a espessura da camada de condensado eacute nula

23

B - CONVECCcedilAtildeO COM MUDANCcedilA DE FASE - EVAPORACcedilAtildeO (II)

1 INTRODUCcedilAtildeO

Evaporaccedilatildeo consiste na obtenccedilatildeo de vapor por meio de aque

cimento de um liacutequido

Apesar da importacircncia do processo e do sucesso obtido na

praacutetica em projetos de evaporadores o fenocircmeno da evaporaccedilatildeo eacute

um dos pontos menos conhecidos da transmissatildeo de calor

0 primeiro estudo seacuterio sobre o assunto foi feito em 1934

pelo japonecircs Nukiyama poreacutem somente nos uacuteltimos 10 anos tais es-

tudos se intensificaram

Os primeiros pesquisadores quando estudavam o fenocircmeno

do resfriamento de um solido num liacutequido obtiveram as seguintes

curvas

onde

temperatura

velocidade de resfriamento

3 0 v = amdashbull

A 06

Q - fluxo teacutermico

8 - tempo

A - aacuterea do soacutelido

24

tempo

Ateacute os estudos de Nukiyama nao se conseguia explicar o

porque da variaccedilatildeo crescente da velocidade de resfriamento quando

t gt t sol sat

2 PROCESSO DE FORMACcedilAtildeO DAS BOLHAS

Como a evaporaccedilatildeo do liacutequido se faz sobre uma superfiacutecie

aquecedora sobre esta irao se formar bolhas de vapor que influem

decisivamente no fenocircmeno

Aqui soacute iremos estudar as bolhas sob o ponto de vista qua

litativo bem como a sua influencia mas nao sob o ponto de vista

quantitativo

Recentemente Fritz e Jacob WR Gambill e outros estudiacutei

ram o processo da formaccedilatildeo das bolhas sobre a superfiacutecie aquecedpound

ra Atraveacutes de fotografias verificaram que a bolha de vapor ain

da em contato com a parede variava profundamente de forma confo_r

me o angulo de contato entre liacutequido e parede metaacutelica

Assim eacute que se a superfiacutecie de aquecimento nao e excesshy

sivamente polida e a tensatildeo superficial do liacutequido eacute pequena a

bolha tem a forma da figura las diz-se nesse caso que o liquishy

do molha a parede neste caso o angulo de contato e agudobull Se

as condiccedilotildees contrarias se verificarem o acircngulo de contato sera

obtuso e as bolhas tomam a forma da figura ldegb Naturalmente ve

rificara-se as condiccedilotildees intermediaacuterias para o angulo de contato da

25

fig lc

Fig la Fig lb Fig lo

0 estudo analiacutetico da formaccedilatildeo e crescimento das bolhas

pode ser encontrado em diversos livros por exemplo no El-Wakill

(Nuclear Power) no Jakob (Heat Transfer)e outros Neles faz-se

o estudo das condiccedilotildees do liquido (pressatildeo temperatura tensotildees

etc) para haver ou nao formaccedilatildeo de bolha Isto eacute feito fazendo-se

o estudo das bolhas nas seguintes posiccedilotildees

a) bolha no seio do liacutequido

para meia bolha

4 ltP g - P fgt fg

onde

P g P f

- 4 D (D

g

Pf

D

pressatildeo do vapor

pressatildeo do liquido

tensatildeo entre superfiacutecie do liacutequido e vapor

diacircmetro da bolha

^f g

P f Fig 2

26

A equaccedilatildeo (1) mostra que a pressatildeo do vapor deve ser maior

que a do liquido nas condiccedilotildees de saturaccedilatildeo e este por sua vez

deve estar no estado de superaquecimento o

b) bolhas sobre superfiacutecie solida

Fig 3

Condiccedilotildees para desprender

a mdash o_ + o_ cos a gs fs fg

tensatildeo na interfase liacutequida e vapor (depende das

propriedades do liacutequido e vapor)

tensatildeo entre o liacutequido e superfiacutecie de aquecimen

to (depende das propriedades do liquido e da sushy

perfiacutecie)

tensatildeo entre o vapor e a superfiacutecie de aquecimeri

to (depende das propriedades do vapor e da super

fiacutecie)

21 - Formas do fluxo do vapor desde a superfiacutecie de aquecishy

mento ateacute a superfiacutecie livre do liacutequido

Considerando liacutequido vaporizado em tubos verticais pode^

mos ter 4 tipos de fluxo de vapor

1 - fluxo de bolhas

2 - fluxo de agregados (plug ou slug)

3 - fluxo anular

4 - fluxo disperso

Os quatro tipos ficam bem determinados respectivamente

onde

a fg

degfs

a gs

27

pelas 4 figuras abaixo

LIacutequido - Liacutequido Liacutequido

o

^Bocirclha de

vapor

Vapor

mdash [

- Vapor

mdash 0 0

deg_ a-

jrj-

iquestiexcl5

Bolhas Agregados Anular

Liacutequido

vapor

Disperso ou

Homogecircneo

Conforme o tipo de ebuliccedilatildeo podemos ter uma so das forshy

mas acima ou uma mistura

3 INCERTEZAS NO ESTUDO DA EVAPORACcedilAtildeO

Ha trecircs incertezas principais para determinar o fluxo de

calor na evaporaccedilatildeo a saber

- Aacuterea de contato indefinida

- Diferenccedila de temperatura indefinida

- Grau de turbulecircncia

Como realmente nos nao sabemos uma dependecircncia algeacutebri

ca entre o acircngulo de contato e a superfiacutecie ocupada pelo liacutequishy

do (ou vapor) temos uma incerteza na determinaccedilatildeo da aacuterea de tro

ca de calor (A)

Outra incerteza eacute a dificuldade da obtenccedilatildeo de diferenccedila

de temperatura entre o liacutequido e a parede que normalmente assume-

-se como sendo a diferenccedila entre a temperatura da parede e da ebu

liccedilatildeo do liacutequido (temperatura de saturaccedilatildeo = t )

S cl c

Na realidade a diferenccedila de temperaturas nao eacute aquela

pois a camada de liacutequido que cobre a superfiacutecie aquecedora esta

a uma pressatildeo maior que o resto do liacutequido (pressatildeo atmosfeacuterica

mais a hidrostaacutetica) e consequentemente a temperatura de vaporiza_

ccedilao desse liacutequido e maior que a da superfiacutecie Esta diferenccedila po-

28

deria ser calculada desde que se conhecesse a relaccedilatildeo entre presshy

satildeo e temperatura de saturaccedilatildeo do liacutequido entretanto haacute incerte

za quanto ao verdadeiro peso especiacutefico da coluna de liacutequidopois

trata-se de uma mistura de bolhas de vapor e de liacutequido em proshy

porccedilatildeo variaacutevelraquo

4 REGIMES DE EBULICcedilAtildeO

Nukiyama estudando a ebuliccedilatildeo da aacutegua num recipiente a

quecendo-a com resistencias eleacutetricas construiu a curva baacutesica da

ebuliccedilatildeo Todos os liacutequidos apresentam uma curva semelhante vashy

riando apenas os valoresraquo Os pontos caracteriacutesticos da curva deshy

pendem de caracteriacutesticas difiacuteceis de definirtais como natureza

do metal estado da superficie (rugosidade) dimensotildees orientashy

ccedilatildeo do fluxo quantidade de gases dissolvidos e t c

Estudaremos o fenocircmeno para o caso de aacutegua destiladasem

gas dissolvido a temperatura de saturaccedilatildeo 100 C pressatildeo atmosfe_

re uma superficie plana

Chega-se assim acirc curva

rica sobre uma superficie plana horizontal a temperatura t^

In ltJgt

At (degC)

A curva acima representa o aquecimento de agua com uma re_

sistecircncia eleacutetrica (ate ebuliccedilatildeo)raquo Temos em abcissas as diferenccedilas

de temperatura entre o liacutequido e a resistecircncia em ordenadas o flu

29

Regiatildeo I

Regiatildeo II

Regiatildeo III

Regiatildeo IV

xo de calor por unidade de area

Na curva notam-se 4 regiotildees bem definidas tendo cada uma

o seu significado fiacutesico os quais correspondem a um tipo de ebuli

ccedilao

convecccedilao natural

ebuliccedilatildeo nucleada

ebuliccedilatildeo por peliacutecula parcial

ebuliccedilatildeo por peliacutecula estaacutevel

41 - Convecccedilao natural

Ocorre quando At eacute inferior a 8degCformam-se no liacutequido

correntes convectivas as quais transferem o calor ateacute a superfiacuteshy

cie livre do liacutequido e aiacute desprendendo o vapor Neste caso o valor

de h eacute da ordem de 2000 kcalm^hdegC

42 - Ebuliccedilatildeo nucleada

Ocorre quando o At eacute maior que 8degC e menor que 25degC Nesshy

te caso as bolhas formam-se junto a superfiacutecie de aquecimento

crescem liberam-se movimentam-se em direccedilatildeo agrave superfiacutecie livre do

liacutequido onde estouram libertando o vapor As bolhas formam-se nas

irregularidades da parede tecircm um acircngulo de contato agudo e porshy

tanto hatilde liacutequido sempre em contado com a parede (molha a parede)

cada ponto ativo (lugar onde se formam as bolhas) libera uma porshy

ccedilatildeo de bolhas e os outros pontos do liacutequido ficam em contato com a

superfiacutecie quente violentamente agitados Esta agitaccedilatildeo extrema eacute

mais eficaz que uma turbulecircncia criada artificialmente Por esse mo

tivo a curva cresce violentamente nesse trecho (m = 3 a 7) pois

bull 2 o o valor de h cresce consideravelmente (ate 46000 kcalm hr C) e

o fluxo teacutermico transmitido ao liacutequido cresce proporcionalmente a

Quando cresce crescem tambeacutem

(At) 3

30

numero de bolhas por unidade de aacuterea (num instanshy

te)

~ = crescimento da bolha (com o tempo)

frequecircncia de iacuteormaccedilao de bolhas

A medida que o At vai aumentando iraacute aumentando (jgt tam-- n o N

bem e consequentemente mdash R mdash a a a tal ponto que quando atiacuteii

girmos o ponto da curva nao haveraacute mais formaccedilatildeo de bolhas

mas sim uma peliacutecula de vapor instaacutevel passando assim a 3a re

giao que estudaremos a seguir

43 - Ebuliccedilatildeo por peliacutecula parcial

Como dissemos no item anterior se aumentarmos ainda mais

o At (entre 25degC e 125degC) teremos a formaccedilatildeo de uma peliacutecula de

vapor instaacutevel sobre a superfiacutecie quente que aacutes vezes eacute perfurashy

da pelo liacutequido A camada de vapor tanto mais estaacutevel seraacute quanshy

to maior focircr o At Essa peliacutecula de vapor iraacute provocar um decreacutes_

cimo consideraacutevel no fluxo teacutermico porque como sabemos o vapor

eacute muito pior condutor que a aacuteguaraquo

0 fluxo vai decrescendo ateacute um ponto miacutenimo (iexclgt mintilde (as vecirc

iacutebo bullraquo 1

zes chega a ser mdashj-) e e o chamado ponto de Liedenfrost 0 coeshy

ficiente de peliacutecula neste caso cai violentamente (h = 2000

kcalm^hrdegC)

44 - Ebuliccedilatildeo por peliacutecula estaacutevel

Aumentando ainda mais a diferenccedila de temperaturas

At ( gt 125degC) iremos conseguir uma camada de vapor estaacutevel Ela

transmite calor da superfiacutecie quente ao liacutequido que se vaporiza de

modo que o excesso de vapor formado na interface liquido-vapor for

ma bolhas que sobem para a superfiacutecie 0 liacutequido encontra-se agi-

31

tado poreacutem nao toma contato com a superfiacutecie soacutelida

A peliacutecula de vapor eacute estaacutevel e o fluxo eacute proporcional a

34

(At) (lei de Bromley) Para At grandes passa a influir sensivel^

mente a radiaccedilatildeo teacutermica mais uma razatildeo para demonstrar que nesshy

ta regiatildeo o fluxo cresce novamente

5 CONSIDERACcedilOtildeES E COMPARACcedilAtildeO ENTRE OS TIPOS DE EVAPORACcedilAtildeO

BURNOUT

Sob o ponto de vista de eficiecircncia teacutermica deveriacuteamos sem

pre trabalhar no ponto de fluxo maacuteximo isto eacute no ponto correspon

dente a lt(gt da curva de Nukiyama pois eacute o que daacute maior coeficieri

te de peliacutecula

Acontece poreacutem que se impomos a temperatura da parede

fixa obtemos um uacutenico valor de lt(gt e portanto o fenocircmeno eacute estaacutevel

Poreacutem se como ocorre nos reatores impomos um fluxo teacuter

mico a curva de Nukiyama apresenta 3 pontos de funcionamento posshy

siacuteveis A B C

1

SOacute os pontos A e C sao funccedilotildees estaacuteveis mas eles impotildeem

acirc superfiacutecie quente temperaturas bem diferentes

Na industria em geral trabalha-se por questotildees de segushy

ranccedila na regiatildeo IV da curva poreacutem para os reatores trabalha-se na

32

r e g i atilde o I I

0 p r o b l e m a de t r a b a l h a r n a r e g i atilde o II eacute q u e se n oacute s e s t i shy

v e r m o s t r a b a l h a n d o n o p o n t o e x t r e m o (j) e se p o r q u a l q u e r m o t i v o

h o u v e r u m p e q u e n o a c r eacute s c i m o d e ltfgt i r e m o s t r a b a l h a r i m e d i a t a m e n t e no

p o n t o M q u e t e m o m e s m o $-^0t p o r eacute m c o m A t 2 m u i t a s v e z e s m a i o r

p o d e n d o o c a s i o n a r a f u s atilde o d a s u p e r f iacute c i e a q u e c e d o r a E s t e f e n ocirc m e n o

eacute c h a m a d o d e b u r n o u t

0 f l u x o lttgt eacute c h a m a d o f l u x o c r iacute t i c o o u f l u x o d e b u r -b o

n o u t N o c a s o do r e a t o r d e v e m s e r t o m a d a s m e d i d a s r i g o r o s a s q u a n

to agrave r e g u l a g e m do f l u x o t eacute r m i c o p a r a q u e n atilde o o c o r r a o b u r n o u t 1 1

p o i s d e l e p o d e r e s u l t a r r u p t u r a d a c a m i s a do c o m b u s t iacute v e l e h a v e shy

r aacute p o r t a n t o c o n t a t o do r e f r i g e r a n t e c o m o s s oacute l i d o s e g a s e s r a shy

d i o a t i v o s

5 o l - R e l a ccedil atilde o d e B u r n o u t

E c l a r o q u e p a r a t e r m o s u m r e a t o r m a i s e f i c i e n t e d e v e shy

m o s t r a b a l h a r c o m u m f l u x o o m a i s p r oacute x i m o p o s s iacute v e l do f l u x o d e

B u r n o u t P a r a t a n t o d e v e m o s c o n h e c e r c o m o m a i o r g r a u d e certe

za p o s s iacute v e l q u a l o ^ p a r a p o d e r m o s r e d u z i r o c o e f i c i e n t e d e s e shy

g u r a n ccedil a ( W R G a m b i l l r e c o m e n d a agrave 1 5 )

N o s s e m i n aacute r i o s d e W R G a m b i l l e n c o n t r a m o s u m a s eacute r i e de

b i b l i o g r a f i a s o n d e p o d e m o s e n c o n t r a r i n uacute m e r a s f oacute r m u l a s p r o p o s t a s

p a r a a o b t e n ccedil atilde o de (q 1^)

A t i t u l o d e e x e m p l o v e j a m o s a l g u m a s

q - 2 7 0 G deg gt 8 5 D 0 2 A085 p lt 150

deg D ( L uuml ) 2

q - 140 G 0 5 D ~ deg 2 (-~-)~deg 1 5 p ~ r gt 150 c D (LD)

o n d e a m b a s as e q u a ccedil otilde e s s oacute v a l e m p a r a aacute g u a e m b a i x a p r e s s atilde o e m coii

v e c ccedil a o f o r ccedil a d a

33

D

L

fluxo teacutermico critico BTUhrft bdquo 2

descarga em massa do liquido (Ibmhrft )

diacircmetro do tubo ft

comp do tubo ft

Para cada caso temos uma expressatildeo diferente que pode ser

encontrada em literatura especializada

6 INFLUEcircNCIA DE OUTROS PARAcircMETROS NO FLUXO DE BURNOUT

Como para os usos atuais do reator a diferenccedila de temppound

ratura entre parede e fluido sao pequenas bem como o fluxo de bur

nout recentemente fiacutesicos como Jakob Bonilla WR Gambill estu

daram outros paracircmetros que influenciam bastante o sect^ 0gt isto eacute a

influecircncia desses paracircmetros faz com que o ^ seja maior Isto eacute

util pois quanto maior o fluxo de burnout maior poderaacute ser o

fluxo de calor real de funcionamento

Tais meios sao

- Sub-resfriamenCcedilo do liacutequido

61 - Influecircncia da velocidade do liacutequido

Estudos feitos pelos autores acima chegaram agraves curvas

- Aumento da velocidade imposta ao liacutequido

- Pressatildeo do liacutequido elevada

alto V

At

34

Para velocidades maiores o fluxo de burnout aumenta

porque neste caso o regime eacute turbulento e o coeficiente de peliacute

cuia h aumentao

6bdquo2 - Influencia do aumento da pressatildeo

Este estudo deve-se a Bonilla que obteve experimentalmen

te as curvas

Este estudo foi feito para vaacuterios liacutequidos e chegou a con

clusao que sempre havia uma pressatildeo oacutetima isto e uma pressatildeo que

leva ao maior iacute 1 ^ raquo mantidas as demais condiccedilotildees Experimentalmenshy

te notou que essa pressatildeo correspondia a 13 da pressatildeo critica

do liquido em questatildeo

6=3 - Influecircncia do sub-resfriamento

Consiste em manter atilde custa de uma circulaccedilatildeo intensa o

liacutequido a uma temperatura inferior atilde de saturaccedilatildeo para a pressatildeo

correspondenteraquo Experimentalmente chega-se agraves curvas

mdash A t grande sub

bullAt -0 sub sub

medio

At

35

Verificando os graacuteficos vemos que o lt)gt aumenta agrave medida bo

que aumenta a diferenccedila de temperatura de sub-resf riamento isto pojr

que o liquido como estaacute mais frio faz com que algumas das bolhas

recondensem permitindo que o liquido fique em contato com a parede

quente o que faz aumentar o h

^ f csub = t e m P e r a t u r a ddeg liacutequido - temperatura de saturaccedilatildeo

A diferenccedila de temperatura At entre fluido e parede tamshy

beacutem aumenta poit na regiatildeo proacutexima agrave parede haacute necessidade de

levar o liacutequido da temperatura do sub-resfriamento ateacute a temperatu

ra de saturaccedilatildeo quando se evapora

Atualmente os maiores estudos dos fiacutesicos nucleares locashy

lizam-se neste campo pois eacute o que oferece maiores vantagens

7 FORMULAS PARA 0 CAacuteLCULO DO COEFICIENTE DE PELIacuteCULA NA EBULICcedilAtildeO

Como ocorre no caacutelculo de todas as foacutermulas de convecccedilatildeo

temos formulas empiacutericas para determinar o h conforme o tipo de

ebuliccedilatildeo que nos consideramos

71 - Ebuliccedilatildeo Nucleada

Para o caso de aacutegua temos as relaccedilotildees

superfiacutecies

horizontais

superfiacutecies

verticais

f aacute 5000 BTUhrft 2 -gtbull h = 151 ( A t ) 1 3

A o

5000 lt 75000 -h = 0618 (At)3

^ pound 1000 -raquobull h = 8 7 ( A t ) 1 7

A o -

1000 lt $ lt 20000 -gt h = 027 (At) A o

Quando a pressatildeo e diferente da atmosfeacuterica faz-se a correccedilatildeo

3 6

72 - Ebuliccedilatildeo por peliacutecula

Bromley propocircs uma boa equaccedilatildeo para a ebuliccedilatildeo por peliacuteshy

cula estaacutevel em cilindros horizontais

Nu

_ JtjD n r 9 P v bull ( P L - P v gt - g -h

e V bull D i2

D 1 ^ U b Z u At gt

onde

V = indica vapor

L = indica liacutequido

Multiplicando ambos os membros da equaccedilatildeo acima por

kvD obteremos a expressatildeo do coeficiente de convecccedilagraveo meacutedio para

o caso

37

C - FORMULAS PARA CAacuteLCULOS ESPECIacuteFICOS - RESULTADOS ESPECIacuteFICOS

1 FLUXO DE CALOR CRIacuteTICO - BURNOUT

lol - Introduccedilatildeo

O aspecto mais importante no que se refere agrave seguranccedila

dos reatores da transferencia de calor na ebuliccedilatildeo eacute a determina

ccedilatildeo do Fluxo de calor critico ou de pico ou burnout

Como jatilde vimos quando temos a ebuliccedilatildeo nucleada a dishy

ferenccedila de temperatura entre refrigerante e superfiacutecie de aqueci

mento e pequena poreacutem quando atingimos o fluxo de calor criacutetico

essa diferenccedila de temperatura pode tornar-se imediatamente muishy

to grande podendo causar a ruptura da superfiacutecie de aquecimento

se atiigirmos o ponto de fusatildeo do soacutelidoraquo

Usando a convecccedilao

onde

At sat

w

sat At

sub

w = temperatura da parede de aquecimento

t t = temperatura de saturaccedilatildeo do liacutequido

t^ = temperatura de mistura do liacutequido

At = (t -t ) sub-resfriamento do liacutequido sub N sat b 1

nout

Ha dois tipos de burnout fast burnout e slow bur-

Ocorre o fast burnout (burnout raacutepido) quando A t g u b gt 0

38

ou para baixo x (~ lt 10) sendo x o titulo do vapor

Temos o slow burnout para x - gt 10 Assim noacutes tereshy

mos dois limites para o burnout

At bull o (ltJgt ) t =((() para t = t ) -

bo m m possiacutevel w sat

sub i

4L + 1

G c D h pl nb

(ltK ) = (ltpound para x = 1) = Dv-bo max possiacutevel e 4L

c At l + P 1 sub i

onde

L = comprimento do canal

D = diacircmetro do tubo

G = descarga de liacutequido (por unidade de aacuterea)

c ^ = calor especiacutefico do liacutequido

Agrave = calor latente de vaporizaccedilatildeo

h ^ = coeficiente de transferecircncia de calor na regiatildeo de

nao ebuliccedilatildeo

iacutendices

i = entrada

e = saiacuteda

Haacute inuacutemeras expressotildees para determinaccedilatildeo do burnout pro

postas por muitos fisicos cada uma aplicando-se a um caso especiacuteshy

fico vejamos algumas delas

12 - Equaccedilotildees para prediccedilatildeo de Burnout

121 - Equaccedilatildeo de Bragg e Smith (Zuber)

Num artigo publicado por Bragg e Smith encontramos uma f oacute_r

mula que e derivada da formula de Kutateladze e nos daacute o fluxo cri

39

tico quando nao temos sufaresfriamento

bo poolsat v V raquoc a ( p l P V )

2 PV

14

onde

ltiexclgt = fluxo de calor critico bo

k = constante

Ly = calor latente de vaporizaccedilatildeo do refrigerante

= densidade do liquido

pvr = densidade do vapor V a = tensao superficial

g = fator de conversatildeo c

a = aceleraccedilatildeo da superficie de aquecimento

Os autores encontraram para k um valor de 062 entreten

to outros autores como Zuber incluindo outras variaacuteveis que In

fluiam no fenocircmeno encontraram k variando entre 008 e 023Esshy

tudos bem elaborados mostram que o valor mais aproximado eacute

k = 015 (- 003)

1-22 - Equaccedilatildeo de Noyes

Noyes estudou o burnout para o soacutedio agua e alguns liacute

quidos orgacircnicos

( W s a t ~ bdquo 0245 bull ( r ( 1 )

iiacute_ V 1 Pr

onde

N n = Nuacutemero de Prandtl da fase liacutequida x r

Mais tarde o proacuteprio Noyes alterou a equaccedilatildeo para

n ^ - n H Iacute I Pl PV gt0538 deg g c a q 4 ( W s a t deg 1 1 6 PV ( - p 7 ~ ) (77T1^ ) ( 2 )

40

A ultima correlaccedilatildeo proposta por Noyes foi

a n prPV0560 112

1

(a bull a) 13

(ag c) 112

(3)

onde

a = difusividade teacutermica do liacutequidoraquo A equaccedilatildeo (3) eacute bashy

seada em todos os dados de burnouts do soacutedio bem

como da atildegua benzeno difenil e outros De 111 pontos usados 90

+ estatildeo relacionados dentro de - 30bdquo

ldeg2o3 - Burnout com convecccedilao forccedilada e sub-resfriamen

to

Aproveitando os resultados de aproximadamente 240 testes

de burnouts com aacutegua sub-resfriada em fluxo de convecccedilao forccedilashy

da feitos na Ruacutessia Labuntsov elaborou uma boa equaccedilatildeo empiacuterica

para o problemabdquo

Esta relaccedilatildeo aplica-se para velocidades entre 2 3 e 148

ftsec pressotildees entre 1 e 201 atmabs sub-resfriamento entre 0 deg

e 432 degF e fluxos de burnout entre 0 4 x IO 6 x 166 x 1 0 6 BTUhr

2 bdquo

bullbo

onde

e a seguinte

6 ( P ) 1 + 0 2 3 2 V 2

14

e ( P ) 1 +

15 c At _p_ sub

12 (a)

9 ( P ) - P 1 3 o ( 1 - P J 4 3

red

= pressatildeo (atm abs)

pressatildeo reduzida = mdash mdash red r P

t_ c = pressatildeo critica

= velocidade do liacutequido (ftsec)

= calor especiacutefico do liacutequido (BTUlbdegF)

4 1

^ tsub = ^ ^ e r e n Ccedil a ^ e temperatura entre a temperatura de

mistura do liacutequido e a de saturaccedilatildeo (degF)

X = calor latente de vaporizaccedilatildeo (BTUlb) 2

ltiacutegtbo = fluxo de burnout (BTUhrfl )

Uma outra correlaccedilatildeo para o caso foi proposta por

Ornatsky e Xiohigin que fizeram experiecircncias para pressotildees entre

10 e 1 5 0 3xm 90 degF lt At ^ lt 4 5 0 deg F 3 7 1 0 6 ( l b h r o f t 2 ) lt G lt

2 2 2 10 b ( l b h r bdquo f t 2 )

lt ^ = 3 2 5 0 (G o A t bdquo J deg 6 ( - i - ^ ) 2 5 ( b ) bo sub

onde

G - descarga de refrigerante por unidade de aacuterea

P ^ v P v - densidades do liacutequido e do vapor

P1~ PV -0 termo (mdash ) e incluido na expressatildeo (b) para indicar

a influecircncia da ^ pressatildeo sobre o

Uma comparaccedilatildeo entre as equaccedilotildees (a) e (b) foi feita para

o Reator de Isoacutetopos de Alto Fluxo (HFIR) nas condiccedilotildees aacutegua a

600 psia velocidade = 45 ftsec e sub-resfriamento = At^^ 1

degF obtendo-se uma diferenccedila de 6 5 entre ambos (4gt = 6 0 5 1 0 b

2 ~ 6 2 BTUhr ft pela equaccedilatildeo (a) e 6 4 5 10 3TUhrraquoft pela equaccedilatildeo

(b)

Ilatilde ainda a equaccedilatildeo de Ivey e Morris aplicaacutevel somente pa_

ra ebuliccedilatildeo com grande quantidade de liacutequido

( c sub t

Cpf bull A tsub

( bull ) s ~ V P bdquo 10 h V sat V g

onde

(ltL ) = fluxo critico com sub-resfriamento c sub

(ograve ) ^ - fluxo critico sem sub-resfriamento c sat

42

c ^ = calor especiacutefico do liacutequido

= calor latente de vaporizaccedilatildeo

124 - Burnout com convecccedilao forccedilada e ebuliccedilatildeo por bocirc-

Ihas

Gambill fez uma extensatildeo da equaccedilatildeo de Levy e aplicou o

metqdo da superposiccedilatildeo Tal extensatildeo consiste natilde subtraccedilatildeo de uma

razatildeo equivalente de massa transferida dos termos que represenshy

tam a ebuliccedilatildeo e convecccedilao para levar em conta a presenccedila do vashy

por no fluxo

A correlaccedilatildeo pode ser escrita assim

24 V P V

o g c a (p^Py) 14

+ 0696 (k p c ) 12

(

pr p v )i4 o g c a (P-L-Py) 18

bull At + h sub nb

044 p v L v G (g1) bull N2 n

p l P V

( pr p v ) d e 2-7

2 4 TT 0

14 ( f e _ ^ r l 3

lO^u

onde

k = condutividade teacutermica

c = calor especiacutefico

A t s u b ~ s ub-resfriamento do liacutequido

h = coeficiente de transferecircncia de calor de nao ebu nb mdash

liccedilatildeo

G = descarga total do refrigerante

43

d g = diacircmetro equivalente do tubo ou canalraquo

]i = viscosidade

B = constante adimensional

Os iacutendices V e 1 representam vapor e liacutequido respectiva

mente

0 primeiro termo entre chaves da equaccedilatildeo representa o flu

xo de calor no burnout de sub-resfriamento em convecccedilao forccedilada 0

segundo termo entre chaves corresponde ao fluxo de calor transferi^

do para a massa da fase vapor

1-25 - Burnout por Bloqueio da Base

Ocorre quando a profundidade do recipiente eacute muito maior

que a largura 0 bloqueio da base eacute causado pela formaccedilatildeo de uma pe_

licula de vapor na base impedindo que o liacutequido toque o fundo do

recipiente

i De

Este eacute o burnout por flooding isto eacute burnout por expul

sao do liacutequido Uma equaccedilatildeo que nos dacirc o fluxo minimo do burnout

parao caso eacute

44

onde

D g = diacircmetro equivalente

L = comprimento do tubo

= calor de vaporizaccedilatildeo

p^Py Ap = densidade do liacutequido do vapor e diferenccedila en

tre ambos

Para um fluxo de calor maior ou igual ao dado pela expres_

sao acima (mantida a mesma geometria) teremos burnout Para um deshy

terminado fluxo existiratildeo sempre um comprimento L e um diacircmetro equi

valente D e para os quais temos burnout Exemplo

L (in) D e(in)

10 11

100 51

1000 235

2 RESULTADOS ESPECIacuteFICOS - FOacuteRMULAS PARA CAacuteLCULOS ESPECIacuteFICOS

21 - Diferenccedila de temperatura At i

13 a t

sat

At sat

poundatildeJL_ raquo t - t J p T T 6 w sat

onde

o laquo tensatildeo superficial entre liquido e vapor

t - temperatura de saturaccedilatildeo do liacutequido para a corres-Scl t

pondente pressatildeo

J equivalente mecacircnico do calor

X laquobull calor latente de vaporizaccedilatildeo

py = densidade do vapor

6 = espessura da camada de liacutequido superaquecido onde

45

k l

h nc

onde

k^ = condutividade teacutermica do liacutequido

h = coeficiente de peliacutecula nc r

Segundo Eckent h ^ c e dado por

P 2 Q

nc 3 V VP + 0952

r

onde

D = diacircmetro equivalente

G r = numero de Grashoff

P = nuacutemero de Pradtl

2 o 2 - Velocidade das bolhas

A velocidade das bolhas em meacutedia pode ser dada pela exshy

pressatildeo

V bdquo = Iacute ( a bull B Apl4 bolhas 5 ^ 2

p l onde

AP = P L - P v

Expressatildeo que vale quando a aceleraccedilatildeo eacute a da gravidade

baixa viscosidade do liacutequido e bolhas separadas

Vbolha = f t s e atilde m a x para aacutegua

2 bdquo3 - Diacircmetro das bolhas

2gc deg 12 D = 0015 3 ( mdash mdash 7 ~ ) d g Ap

5 =

46

onde

8 = acircngulo de contato (20 a 90deg) geralmente assume-O -1

-se igual a 50 para a agua em contato com metal

24 - Coeficiente de peliacutecula na ebuliccedilatildeo nucleada

a) Equaccedilatildeo de Rohsenow

Esta equaccedilatildeo nos datilde o fluxo de calor q na ebuliccedilatildeo nushy

cleadaraquo E oacutetima expressatildeo para muitos liacutequidos o efeito da presshy

satildeo eacute levado em conta na variaccedilatildeo das propriedadesraquo

Pf

fg

sat 17 = c

sg k y f h f g g( P f-p g)

n033

onae

Pf

fg

Pf Pg c sg

= fluxo de calor requerido (BTUhr0ft^)

= calor especiacutefico do liacutequido saturado (BTUlbm0F)

= calor latente de vaporizaccedilatildeo (BTULbm)

= nuacutemero de Prandtl

= viscosidade do liacutequido (lbrahrraquoft) ~ 8 2

= fator de conversatildeo 417 10 Ibmftlbflaquohr 2

= aceleraccedilatildeo da gravidade (fthr )

= tensatildeo superficial na interface liacutequida vapor

(lbfft) 3

densidade do liquido e vapor (lbmft )

constante adimensiacuteonal que depende de vaacuterios fashy

tores dentre os quais o grau de aquecimento en_

tre o fluido e a superfiacutecie de aquecimento e o

mais importanteraquo Independe da pressatildeo do sistema b) Equaccedilatildeo de Levy

Equaccedilatildeo valida para a aacutegua quando 100 lt p lt 2000 psiacutea

47

43 bdquo3

qu bdquo gat ^ T J h r t f t ^

495

25 - Calculo do fluxo de calor no Ponto de Leidenfrost

0 ponto de Leidenfrost como vimos eacute o ponto em que oflu

xo de calor comeccedila ncamente a crescer isto eacute o ponto onde termal

aa a ebuliccedilatildeo instaacutevel e comeccedila a ebuliccedilatildeo por peliacutecula estaacutevel Eacute

o chanado fluxo miacutenimo (egrave ) m m

Aproximadamente quando A t g u k = 0 temos

A _ mdash _ mdash (Gambill) m m 5

Ha entretanto varias expressotildees para determinar esse flu

xo eis uma delas

A p 14 ltjgt = 009 h pbdquo (o raquo g mdash ) y m m fg P V deg 2

p l

26 - caacutelculo do fluxo de calor na regiatildeo de ebuliccedilatildeo por peliacute

cuia estaacutevel

para cilindros jmdashi i li

_ D 0172 k-V - P V A p h l V bull S 14 li - = 062 (mdashmdash) (- j- r rmdash) convecccedilao A 0 ybdquo (t -t )

c V w sat

onde

= condutividade do vapor

- 2 TT ( mdash )

c gAp Vl = significam vapor e liacutequido respectivamente

para paredes verticais

L 0172 S deg7 A p bull hlV S q 4 h - - 080 (-^-)J- (-Iuml - Iacutemdash-convecccedilao X L u (t - t J)

c V w sat

48

Como nesta regiatildeo jaacute haacute nina influecircncia marcante da radia

ccedilao devemos levar en conta tambeacutem o coeficiente de peliacutecula de

vido a radiaccedilatildeo para determinar o coeficiente de peliacutecula total

Dos estudos atildea radiaccedilatildeo temos

h = a F pound(T 4 - T 4 J ( T ~ T ) rad w sat w sat

onde amp _ emissividade de superfiacutecie

a = constante de Stefan-Boltzman

F = fator de forma

Segundo WE Gambill o coeficiente de transmissatildeo total

ceve ser

3 iacutei = h + -7 h para h lt h t conv 4 rad r rad conv

Na expressatildeo acima existe o fator 34 porque a radiaccedilatildeo

faz variar um pouco a espessura do filme de vapor reduzindo asshy

sim o l l

conv

Quando tivermos h gt h gt o h^ ^ seraacute rad conv total

h f c = h + h t conv rad

Neste ultimo caso nao ha nenhum coeficiente porque a peshy

liacutecula de vapor jaacute eacute estaacutevel

27 - Grandezas caracteriacutesticas para a apua

Para pressatildeo igual a 1 atm = 1422 psia

At ^ = t - t = 5degC (iniacutecio da ebuliccedilatildeo nucleada) sat w sat 1

At t = 30degC sat crit

49

5 2 $ = 4 10 BTUhrft (para pressatildeo 1 atm)

0 fluxo critico cresce como vimos com a pressatildeo ate

atingir o maacuteximo quando a pressatildeo eacute aproximadamente 13 da pressatildeo

criacutetica Esse fluxo eacute

bull = 13 IO 6 BTUhrft 2 para p = 11000 psia (p pound = 32062 psia)

Ainda temos que para pressatildeo igual a 15 psia

h b o = 11000 BTUhrft degF - ebuliccedilatildeo nucleada

h f b = 30 BTUhrft 2 degF - ebuliccedilatildeo pelicular

Todos os resultados e formulas para caacutelculos especiacuteficos

apresentados nos itens 21 22 23 ateacute 27 sacirco aplicados somente

para sistemas onde haja ebuliccedilatildeo com grande quantidade de liquido

51

D - HIDRODINAcircMICA DOS SISTEMAS E QUEDA

DE PRESSAtildeO DENTRO DE UM CANAL

1 HIDRO-DINAcircMICA E QUEDA DE PRESSAtildeO

11 - Hidro-dinacircmica dos sistemas estaacuteveis

111 - Regimes de escoamento

A evoluccedilatildeo do escoamento ao longo de um canal aquecedor

de secccedilatildeo constante ciliacutendrico pode ser esquematizada pela figushy

ra 1 onde temos em abcissa o comprimento z do canal e em ordenada

a temperatura (T)

52

Na figura 1 nos representamos

a) 0 aspecto do escoamento fluido quando a entalpia do

- fluido aumenta Verificamos que o fluido entra no cashy

nal no estado liacutequido e assim permanece ateacute atingirmos a zona de

ebuliccedilatildeo local onde aparecem as primeiras bolhas A entalpia do

fluido continua aumentando e tem inicioa ebuliccedilatildeo franccedila onde as

bolhas se unem formando agregados posteriormente o escoamento to

ma a forma da figura ou seja torna-se anular disperso Finalmente

atingimos duas uacuteltimas fases do escoamento disperso (vapor uacutemido)

e vapor seco

b) A evoluccedilatildeo da temperatura meacutedia do fluido e da tempeshy

ratura da parede Note-se que a partir da cota a

temperatura da parede aumenta brutalmente podendo causar o

burnout

c) A evoluccedilatildeo do tiacutetulo do vapor (x) com o comprimento

do tubo e a evoluccedilatildeo da fraccedilatildeo (a) que definiremos no

item 11laquo2 com o comprimento do tubo

112 - Definiccedilotildees

a) Tiacutetulo ou qualidade do vapor (x)

massa de vapor na mistura x ~ massa total da mistura

x =

W _g_

g f

b) Fraccedilatildeo vazio (void fraction)

volume do vapor na mistura a = volume total da mistura (agua+vapor)

A relaccedilatildeo entre x e a num sistema parado pode ser obtida

assumindo um certo volume contendo 1 lbm de mistura em equiliacutebrio

teacutermicoraquo

53

O volume da mistura seraacute igual a (v + xv ) ft onde v eacute 3 r rg

o volume especifico (lbmft )

f - refere-se ao liquido

g - refere-se ao vapor

fg - refere-se a diferenccedila entre liacutequido e vapor

Numa mistura em equiliacutebrio se o liacutequido e o vapor estatildeo

saturados o volume do vapor presente eacute igual acirc sua massa vezes

seu volume especiacutefico v assim e

xv bdquo bdquo a mdash

V c + XV c

f gf

onde

- bull-bull uumlutiacuteisa vapor na mistura de 1 Ibm

v volume especiacutefico do liacutequido

v = volume especiacutefico do vapor o

V c = v - V

gf 8 r

Fazendo uma transformaccedilatildeo na expressatildeo acima temos

xv xv JS = Z-

v r+ x(v -v c) xv +(l-x)v t ri f g f g f 1 + Ul-x)xjv fv

1 + C(l-x)x]]vfvg

A fraccedilatildeo vazia tem a influencia de baixar a reatividade

do nuacutecleo nos reatores em que o refrigerante eacute tambeacutem moderador

Na equaccedilatildeo acima os valores de x e v sao tomados em tabe

las termodinacircmicas apropriadas para a pressatildeo do sistema A equashy

ccedilatildeo (1) mostra os grandes valores de a para pequenos valores de x

especialmente para baixas pressotildees Isto ocorre porqueaumentando

54

aacute pressatildeo o v decresce muito enquanto que o v f eacute mais ou menos da

mesma ordem de grandeza

Exemplo Calcular o a correspondente para x raquo 2 para aacutegua

leve atilde pressatildeo atmosfeacuterica

Da tabela para p laquobull 1 atm

v - 001672 ft 3lbm e v - 26800 ft 3lbm

1 + [(1-002)002] 001672268

0971 ou 97U

O grafico abaixo mostra a variaccedilatildeo do a com x para vaacuterias

pressotildees e para a aacutegua leve

x ()

tObservaccedilotildees da curva

Fig 2

1 - para x constante a decresce com a pressatildeo Para presshy

sotildees proacuteximas da criacutetica a aproxima-se rapidamente de

x Para a pressatildeo criacutetica as duas fases satildeo indistinguiacuteveis ea=x

2 - para cada pressatildeo dotdx decresce com aumento de x

3 - para baixos valores de x (que e o caso dos reatores

tipo Boiling) quando p decresce dadx cresce e torr

na-se muito grande paacutera baixas pressotildees Isto tem relaccedilatildeo com a epound

55

tabilidade do reator como veremos mais tarde

113 - Sistemas com fluxo

Todas as definiccedilotildees que noacutes vimos no item anterior refeshy

rem-se acirc sistemas em que a mistura esta fechada no recipiente Nes^

te caso natildeo havia movimento relativo entre as duas fases No entan

to se as duas fases da mistura se movem na direccedilatildeo vertical em

canais entre os elementos combustiacuteveis o vapor por causa de sua

flutuaccedilatildeo tem a tendecircncia de escorregar sobre o liacutequido isto e

move-se com velocidade maior do que a do liacutequido

Real Modelo

Pig 3

S -

Define-se neste caso a relaccedilatildeo de escorregamento (slip

ratio) (S) como sendo

V _i

V f

onde

V = velocidade do vapor

= velocidade do liquido

S modifica as relaccedilotildees entre a e x do item anterior S geralmen_

te gt 1 Define-se neste caso qualidade do vapor ou tiacutetulo como

sendo

_ fluxo de massa de vapor

fluxo de massa da mistura

Entatildeo se o fluxo de massa da mistura eacute m t(lbmhr) o flushy

xo de vapor seraacute = x m e o fluxo de liacutequido sera (1-x) m onde x

56

e o titulo do vapor para a particular secccedilatildeo (AL) da figura (3)

Devemos notar que neste caso x varia de secccedilatildeo para secshy

ccedilatildeo do tubo o exposto no paraacutegrafo acima vale considerando-se que

x e a permaneceram constantes na secccedilatildeo de espessura AL

Aplicando a equaccedilatildeo da continuidade as velocidades do va

por e liacutequido sao dadas por

o xm v

V vazatildeo = g g area A

V

(1-x) amp t v f

f A f

onde A e A f sao as aacutereas medias perpendiculares ao fluxo se as

duas fases sao imaginadas completamente separadas uma da outra

(figura 3) Assim temos

V x m v o A_ A v 0 ^ - 2 = iacute S t m _2L- JL JS m

V A (l-x)ui v 1-x A v U

f g t f g f

Sabemos ainda que para a secccedilatildeo considerada

volume do vapor na mistura a = volume total da mistura (agua+vapor)

A AL A pound g g

a = mdash a a = - mdash 1

(A+A )AL A f + g

A ou f _ 1 - a

A a 8

Substituindo em (2) vem

57

Esta expressatildeo pode ser rearranjada e obteremos uma relashy

ccedilatildeo entre x e a levando em conta o escorregamento Chega-se a

a = 1 ( 3 )

1+ [U-x)x3 igt

onde

v 4 laquo -- S

v lty o

Note-se que quando S=l (nao haacute escorregamento) caimos na

expressatildeo dada no item anterior

0 efeito do escorregamento eacute decrescer o valor de a pa_

ra um mesmo xbdquo Isto pode ser visto pela foacutermula (3) pois S gt lLo

go a decresce com acreacutescimo de S

Um alto S e entatildeo uma vantagem tanto para a transferecircnshy

cia de calor como para efeitos de moderaccedilatildeo Eacute uma vantagem para

transferecircncia de calor porque alto S significa alto V e portanto

maior turbulecircncia e maior contato do liquido com as paredes quenshy

tes Ha tambeacutem melhorias na estabilidade da reaccedilatildeo nuclear isto

porque como jaacute dissemos quando mdash7 diminui a estabilidade aumenshy

ta isso pode ser verificado observando a curva a versus x para a

agua leve a 1000 psiabdquo

Fig 4

58

A relaccedilatildeo entre x e a da equaccedilatildeo (3) so vale para secccedilatildeo

de tubo bem pequena

Devemos notar que S varia tambeacutem com a pressatildeo e velocida^

de de entrada do liacutequido no tubo Este efeito pode ser observado na

figura 5 abaxxo obtida esperimentalmente

s

3

~^ ~ psig

x = 001

V 1

Fig 5

Nos projetos de reatores como veremos adiante o valor a

geralmente eacute determinado por consideraccedilotildees nucleares (moderaccedilatildeo) 0

valor de S eacute determinado atraveacutes de uma estimativa ou entatildeo atrashy

veacutes de um graacutefico do tipo da figura 5 0 correspondente valor de x

pode ser obtido de uma foacutermula empiacuterica do tipo

1 = 1 (-S)0gt67

proposta por Von Glahn

Em muitos casos assume-se S constante em todo o comprimeiv

to do canal poreacutem eacute um erro que em muitos casos nao pode ser coshy

metido

4 REATORES EM QUE 0 LIacuteQUIDO B MODERADOR E CIRCUITO PRIMAacuteRIO AO

MESMO TEMPO BOILING-REACTOR (BWR)

A aacutegua ao se movimentar atraveacutes dos vaacuterios canais do

59

Boiling-reactor encontra vaacuterias resistecircncias ao fluxo que provoshy

cam uma reduccedilatildeo de pressatildeo no fluido

As duas perdas mais importantes sao perda de pressatildeo por

atrito e perda de pressatildeo causada pela aceleraccedilatildeo do refrigerante

ao aumentar de volume por receber calor num canal Outras perdas

de pressatildeo seriam a obstruccedilatildeo ao fluxo por corpos submersos (espa_

ccediladores juntas de tubos chaves etc) e por mudanccedilas abruptas de

aacuterea de fluxo tanto na entrada como na saiacuteda do tubo

Essas perdas de pressatildeo devem ser conhecidas o melhor popound

sivel principalmente nos reatores BWR Para tanto devemos saber

o comprimento de canal em que nao ha a ebuliccedilatildeo isto eacute qual o com

primento de canal em que o refrigerante vai da temperatura de sub-

resfriamento ate temperatura de saturaccedilatildeo

Seja o elemento combustiacutevel

Aquecimento Uniforme Aquecimento Senoidal

Fig 6 Fig 7

onde

H =

H = o

H b

comprimento do elemento combustiacutevel

cota onde o liquido se torna saturado

comprimento do elemento combustiacutevel em que ocorre

ebuliccedilatildeo

60

qg = calor sensiacutevel acrescentado ao liquido para satushy

raacute-lo

qfc = calor total acrescentado ao liacutequido em todo o com

primento do canal

laquoo

q s J o qiquest sen (IIzH) n H o

T~ = TH = 2 ( 1 c o s gt ( a )

q 1 sen (HzH) Jo ^c

A expressatildeo (a) vale quando tivermos uma adiccedilatildeo de calor

senoidal para qualquer outra forma de adiccedilatildeo de calor faz-se um

caacutelculo anaacutelogo

Outra relaccedilatildeo entre q g e qfc eacute dada pela termodinacircmica

q h- - h s f m (b)

(hr +x h )-hm ^t f e fg

onde

= entalpia para o liquido saturado a pressatildeo correjs

pondente (cota z = Ho)

hffi = entalpia do liacutequido na entrada do canal

x = tiacutetulo do vapor na saiacuteda

= entalpia do vapor

Com a relaccedilatildeo (b) noacutes determinamos a relaccedilatildeo q q ecom

S L

uma relaccedilatildeo do tipo (a) (conforme seja o adicionamento de calor ao

liacutequido) podemos obter a relaccedilatildeo HoH e consequentemente H^H

21 - Perda de pressatildeo num canal de evaporaccedilatildeo

Neste item iremos determinar as perdas de pressatildeo mais

representativas que ocorrem num canal de evaporaccedilatildeo de um reator

P + dP

bull1 i- 1 gti i i

dL

onde

UM

Icirc H Icirc Icirc T dF f t f

61

Quantidade de Mov na Entrada

= i- rigVg)

dF f l

Fig 8

m i

m 8

V l V 8

A P

dF

dF

dF

fg

fl

ftf

descarga do liacutequido

descarga do vapor

velocidade do liquido

velocidade do vapor

aacuterea transversal do canal

forccedila de atrito do vapor com parede

forccedila de atrito do liacutequido com parede

forccedila de atrito das duas fases liacutequido+vapor

Fazendo o balanccedilo das forccedilas considerando o sentido posjL

tivo na vertical temos

A (P-P-dP)-(dF +dF _+dF _)-(-pound-) (p A+p A )dL = mdash dGnV+m V ) P fg ftf fl g c 1 1 g g g c

v 1 1 g g 7

- dP = ~ (dF +dF--+dF)+- S--7=- (p A+p A )dL+ mdash ~ - d (m-V+m V ) A_ fg ftf fl g c Ap v^l 1 g g g A 11 g g

Fazendo a integraccedilatildeo termo a termo entre os dois extreshy

mos entrada e saiacuteda e considerando a pressatildeo de entrada igual a

P q e a de saiacuteda igual a Pe vem

Quantidade de Mov na Saiacuteda

-= h I- lY l+ A g V g + d ( aacute l V l + aacuteeVl

Forccedila de Gravidade

= ( g f - N P A + P g V

62

b) r e F f l

o p dp^ = Ap^ = perda de pressatildeo por atrito

do liacutequido na altura Ho

Aplicando a formula de Darcy vem

bull API = f bull ir bull ^ iexcl 7

onde

f = fator de atrito

c) e Fftf

o p ^P tpound

= perda de pressao por atrito da mistura

liquido + vapor no trecho de comprimen

to Hbdquo o

Para determinar esta perda de pressao define-se o fator

de multiplicaccedilatildeo R

A P R =

tf A P 1B

Sendo A p ^ a perda de pressao se o comprimento todo fosshy

se ocupado somente pelo liquido assim

A p t f = R A P 1 B

0 calculo de Ap-^ pode ser feito pela formula de Darcy e

o de R nos veremos no item seguinte

63

d)

-e F

d ( ^ )

O P

Ap = perda de pressatildeo por atrito do vapor

No caso do reator BWR o titulo de saida e bera pequeno e

em nenhum caso ocorre a saida de vapor com x = 100 logo a perda

de pressatildeo por atrito do vapor eacute nula assim

An = 0 5

e) Ap

(p A 1 + p A ) dL = Ap - perda de pressatildeo dpound

vida ao desniacutevel

(perda hidrostaacutetica)

Anbdquo = re A A

-S- I (p + p -S ) dL H s 1 A

c o p o A

como A A Jl_ =

A P

A +A-g 1

1-a -

temos

C Q

te j jll-a)p1 + apg)^jdL = p Lo pound

onde

e jo u

+ ap ) ~I dL (Densidade media 1 S J

no tubo)

No nosso caso

Ap u = p H

f)

re d(mV + m V ) _ mdash - laquo -i bull s iquestp laquos p e r d a ltje pressatildeo devido a acele-

c p raccedilatildeo do vapor

V A

(1-x) tl^Vj

(1-a) A

X V

aA

A p -

roV + m V

c p c p L_

m (l-x)m_v m xv nbdquo -1 T 1

+ _S S I (1-a) Ap aA

P

2 g A c p

n 2 2

(1-x) m T

laquo2 8 A c p

2 2 (l-xe) raTv1

2 2 2 xm_v (1-x) m-v e T s o 1 1

a 1 - a

2 2 - x m_v o T g

a

se

X Q 0 (so ha agua nesse trecho)

a = 0 o

temos

mbdquo Ap =

1 a A 2

S A degc p laquo-

tt-V v i 1 - a

2 via T^r - v i

t Apc

2

V v l

5c Ap

1 - a

x v - 1

a e v l

65

Fazendo

G = fluxo total da massa por unidade de area do

canal

(1-x J e

V

AP r

Assim a perda de pressatildeo total sera

H p V II pV r2 P -P = f -24-Iuml+ f R+p 0 1 2g c D e 2g c g c g c

2c2 - Determinaccedilatildeo do fator de multiplicaccedilatildeo (R)

221 - Relaccedilatildeo Martinelli-Nelson

Os autores Martinelli-Nelson determinaram experimental -

te esse fator R para varias LIT1L em funccedilatildeo da pressatildeo e da r NB total J v

qualidade de saiacuteda do vapor no canal Construiacuteram assim vaacuterias

curvas do tipo da figura 9

66

E importante notar que a qualidade do vapor (x) na saiacuteshy

da nao deve ser grande pois como vemos o valor de R cresce muishy

to com um aumento pequeno de x e um valor de R muito grande acar_

reta uma perda de pressatildeo grande pois

^ d u a s fases R ^ f a s e liacutequida

Para resolvermos um problema seguindo o criteacuterio de bdquo

Martinelli escolhemos a curva R = f(px) (para a relaccedilatildeo L

N g ^ j

adequado) e tiramos R com os valores de pressatildeo p e tiacutetulo x

As curvas R = f (p x L T t )IO encontram-se nos ANL 6469 bio I

e 6561

222 - Relaccedilatildeo Lottes-Flinn

Estes autores estudaram o problema para o aquecimento uni

forme do refrigerante com baixo titule Lottes-Flinn fizeram inuacuteshy

meras experiecircncias e verificaram que para fluxo de calor uniforshy

me e baixos titulos R era independente do fluxo de calor fluxo

do refrigerante escorregamento e apenas funccedilatildeo de a g

Como a quantidade de liacutequido eacute muito maior que a de vashy

por a perda de pressatildeo daacute-se principalmente pelo atrito do liacuteshy

quido com a parede Podemos assim escrever a foacutermula de Darcy

na forma diferencial

dz

d = f __ r e amp c

onde

V = velocidade do liquido saturado na cota zbdquo X

f = coeficiente atrito

= densidade do liacutequido saturado

Teoricamente a queda de pressatildeo deve-se ao acreacutescimo de

67

velocidade do liacutequido e da diminuiccedilatildeo da aacuterea de fluxo do liacutequi

do

P fH A P t p

= f D 2g Ho

d z

fazendo

V lo

m V t lo

(velocidade do liacutequido na cota z = Ho)

(1-x) m t v 1

(1-a) A (velocidade do liacutequido na cota z gt Ho)

a bull+ fraccedilatildeo vazio na cota z geneacuterica

V 1 (1-x) m t v 1

m t V l 1 - a

x =s 0 pois o tiacutetulo eacute baixo

A p t f = f bull JT5 c e

fH V lo

H o (1-a) dz

Para fazer a integral devemos achar a relaccedilatildeo de variaccedilatildeo

entre a e z Como o fluxo de calor eacute uniforme a qualidade eacute direshy

tamente proporcional a z

bull laquo x = x e H

z = mdash x X e

Sabemos ainda que (item 113)

x

1 + [ ( I -X)AKQ x + iiacuteraquo

68

como

temos

(1-x) = 1

v

X =

z =

1-a

1 -a

1-a e

a

e

1-a pound

a

1 -a igt (assumindo S = cte)

da

Atf - f bull 2 i ^ ~ J c e o

a 1 - a e e 1 s 4 hmdash) da

a 1-a

f P lv^ Q

0 termo mdash - mdash e a parte de perda de pressatildeo pelo lj^

^c e -quido ou seja Ap liquido saturado e como

Ap

R = tf

Ap liauido saturado

temos que

R J

f ae 1 _ a e 1 4

a 1 -a o e

1 -a r-R =

3 1 -a

a 1 -a imdash

3 vl - a 3

e e

Os valores de R obtidos por esta expressatildeo aproximam-se

muito dos valores obtidos pelos aacutebacos de Martinelli

69

E - EXPANSAtildeO E COMPRESSAtildeO DE UM FLUIDO - ANAacuteLISE HIDRODINAcircMICA

DE UM CIRCUITO EM CIRCULACcedilAtildeO NATURAL

1 EXPANSAtildeO NO FLUXO DE UM FLUIDO

11 - Uma so fase

Figura 1

Ha vaacuterios meacutetodos para determinar a variaccedilatildeo de pressatildeo

numa expansatildeo de fluido estudaremos o de Romie que eacute o que daacute

maior precisatildeo

Romie considera que a pressatildeo p^ tambeacutem atua na aacuterea

imediatamente apos a expansatildeo Assim fazendo o equiliacutebrio das foi

ccedilas nas secccedilotildees tracejadas da figura 1 temos

mVj

p r A 2 + mdash

mV

bull 2- A2

mas

m = pV^A^

pV^A = p V 2 bdquo A 2

V A

v 2 -4r-logo

( P l-P 2) A 2 = f ( V ^ ) - f _ v j amp c c 2

70

2 pV A A pV A A

Chamando A l A ]

K = 1 - T e degi2 = Aiexcl bull V E M

pvj

P l P 2 = T ~ bull ( 2 deg 1 2 ) ( 1 _ a 1 2 )

Outra maneira de chegar atilde diferenccedila de pressatildeo ( P j - ^ ) s mdash

ria usar o coeficiente de perda da mecacircnica dos fluidos Assim o

equilibrio das pressotildees eacute

2 2

1 V l 1 V 2 V l P i + _ p _ ^ P 2 + I p ~ + k 1 2 p mdash

onde = coeficiente de perda

A 2 1 2

k 1 2 - (l-o 1 2) - (1 - j- )

Fazendo as transformaccedilotildees chegamos a mesma expressatildeo obshy

tida pelo balanccedilo das forccedilas

PraquoIacute pr p

2 - - ir ^ laquo-ia

12 - Duas fases

Como ha duas fases a equaccedilatildeo do balanccedilo das forccedilas fica

um pouco alterada

m pound 1 V- m - raquoV - m-V- m bdquoV _ P A + j y ^ i + _gl_JUuml P A + -11-11 + -ilsl (a)

1 2 e R 2 2 ff e

Sabendo que

71

m (1-x) m t = p fA (1-a) V f

entatildeo

fl l-o^ p fA x

6 Vf2 1-x l-a2 P fA 2

m V = mdash mdash e V 0 = gl a 1 P C T A 1 g2

m

a_ p h

2 g 2

Nas expressotildees anteriores o x nao varia porque a expansatildeo

5 adiabaacutetica porem o a varia devido a modificaccedilatildeo do tamanho da

bolha

Substituindo os valores das velocidades na expressatildeo (a)

vera

( P - P ) Abdquo =

2

2 2 m gt2 2 m t (1-x) 1 x t

ra i 2 m i 1 x t 1

p fA 1 g c ttl p Ax gpound

m t P - P = mdash

(1-x) (l-a 1)A 1A 2 (l-a2)A|

a r A r A 2

V A 2

m t P bdquo - P = mdash 2 1 g c A r A 2 p f

(1-x) 1-a f A 2(l-a 2)

bull ^ 2

72

Se

P -P

a

m

g

12

1 _1_ (1-x)

J12

1 _ a l 1 - a 2 + X (- )

Pg

1 deg12 a 2 ^

Sabemos que

mt = V o pf laquo A l

Sendo V q = velocidade do liquido num ponto onde natildeo haja vapor

P 2-P 1

u 2 2 A 2

V pr Ai

V W p f

(1-x) 12

l-a1 l-a2

+ X 2 pf

mdash

l deg12

-1 a 2 _

p -p r 2 Al (2a 1 2)

2 M f w 1 deg12 X (mdash) (

pg al a 2 )+(l-x)C l 1 12

1-a^ l-a2

Devemos notar que esta expressatildeo tambeacutem vale para quando

temos uma fase para isso basta fazer

= c t 2 = 0

X = 0

e recairemos na formula do item anterior

2 pf 1 deg12 Observemos que neste caso o termo x (mdash)( ) nao

Pg al a2

2

73

tem significado pois corresponde a mudanccedila de fase

2 CONTRACcedilAtildeO KO FLUXO DE UM FLUIDO

21 - Uma so fase raquo mdash

Aqui ocorre um fenocircmeno importante pois o fluido ao ser

contraiacutedo nao vai diretamente da area A^ para a area A 0 mas ele

contral-se ate uma area A^ e depois expande-se ate k^

Ao A2

Po IP 2

V 2

Figura 2

Fazendo o equiliacutebrio das pressotildees entre os planos (1)

(0) vem 2 2

pV pV p +~ plusmn - P + i deg bull 1 2 g o 2 g (b)

C x

Fazendo equiliacutebrio da expansatildeo (0) - (2) vem

P o + 2 - f = P 2 + 2 -T + kp- 2 F ( c )

c c b C

Subtraindo (b) - (c)

2 2 2

i p- vj i p- v2 L P l + 2 bull g c

P 2 + 2 2g c

+ k P 2g c

74

Como

P - P = mdash 2 2g

2 2

bull (1 + k) - f bdquo mdash i

k a - f2 ) 2 - d - o c )2

= o

A = a 21

Weisback obteve varias relaccedilotildees entre a e a i] c

01 02 03 a 0624 0632 0643 c

0624 0632

A r v i - V v 2

p -p 1 2

P -P 1 2 2g7

v l =

(1+k) - laquofi- a 2g 21 c

( 1 + k - o 2 1)

X[- V 2 o 2 1V 2

22 - Duas fases

0 valor de k pode ser aproximado para

k = a(l - o 2 1)

onde segundo Richardsons para fluxo de duas fases podemos supor

a = 02

Para fluxo homogeacuteneo sabemos que

75

p = p f (1 -a ) + p o a

podemos supor p bdquo a = 0 pois p e pequeno e fazendo

V = V ~ V fbdquo2 go2 v 2

Substituindo estas duas expressotildees na equaccedilatildeo de uma soacute fase vem

2 2 p V (l-ct) p V (1 -a ) bdquo

P l P 2 = 9g ( 1 + 3 - 3 0 ^ - 0 ^ ) = g (a+1) (l-a^)

Se a = 02

2 12p oV 0

p r p

2 - 9g gt d-) d-sigt

A compressatildeo de um fluido acarreta uma perda de pressatildeo

como pode ser verificado pelas formulas uma vez que lt 1deg

3 ANALISE HIDRODINAcircMICA DE UM CIRCUITO EM CIRCULACcedilAtildeO NATURAL

Esquema deacute uma caldeira com circulaccedilatildeo natural

76

Determinar a velocidade em (7) para que tenhamos circula

ccedilatildeo natural Determinar tambeacutem as perdas de pressatildeo em todos os

trechos da caldeira

31 - Contraccedilatildeo das secccedilotildees (1) - (2)

Como jaacute vimos a equaccedilatildeo do balanccedilo das pressotildees eacute

1 pr Vl 1 p 2 o V 2 P2 V2

1 2 g 2 + 2 g + K12 2g otilde c amp c e c

bullraquo 2 o2 2 e havendo uma soacute fase k 1 9 = (l-o ) = (1 mdash ) e sendo

C 2

p l = p2

v x lt lt lt v 2

P 2 V pr p2 bull ir2 bull ( 1 + k12gt

Colocando em termos de temos

A 2 V 2 P 2 = A 7 V 7 p 7 (continuidade)

V = V mdashbull = V o_bdquo ~ A 2 2 2

P 2 V - p 2

p r p 2 = ir2 - deg72 bull Ccedilrgt bull lt 1 + ki2gt

fazendo

N12 - lt^gt deg72 ( 1 + k12gt

P7 V7

Pr P2 - N12 bull HG

77

3 2 - Perda de carga no trecho ( 2 ) - ( 3 )

Como haacute apenas uma fase soacute temos perdas por atritos e

perdas hidrostaacuteticas

Sendo como jaacute vimos

2 3 p 2 2 g P 2 P 3 = f 2 3 (r~2g^~) L 2 3 g c p

atrito hidrostaacutetica

Substituindo V^ pela relaccedilatildeo do item anterior e tendo em

conta que p = vem

P -P = f 2 r 3 2 3 D

2 3 p 2 bdquo 2 2 p 7 2

2 g 7 72 p 2 3 g

Se

L 2 3 2 p 7

2 3 2 3 D 2 a 7 2 p 2

P 7 V 7 g P 2 - P 3 = N 2 3 ( mdash gt p 2 L 2 3 f

3 3 - Expansatildeo nas secccedilotildees ( 3 ) - ( 4 )

Como vimos o balanccedilo das pressotildees e

2 2 2 p V p 4 V p V

P 3 + 2 g c

P 4 + 2 g c

+ k 3 4 2 g c

onde

k 3 4 - - -

2 2 1 P 4 - V 4 P 3 v 3

P 3 P 4 = 2 g + ( k 3 4 _ 1 ) 2 g

78

Sendo

P 3 - P 4

p 3 o A 3 deg V 3 = P 7

a A 7 o V 7

P 4A 4 0V 4 = P r A r V

3 7 A 3 p 3

A7 P7 V = v mdash mdash 4 7 P 4

P - P 3 r4

Se

P bdquo - P

bdquo2 r-P 7 V 7

3 4 2g deg74 + ( k 3 4 1 ) deg73

34 p deg74 + ( k 3 4 1 ) 73

p r v2

P3- P4 ^ N34 ^ gt

(No caso e negativo)

34 - Contraccedilatildeo nas secccedilotildees (5) - (6)

Ainda temos uma so fase e fazendo o balanccedilo das pressotildees

como fizemos no item 3lt1 vem

P + vil p + vi + k vi P 5 + 2gbdquo P6 + 2gbdquo + k56 2gbdquo

k 5 6 lt 1 ^ gt 2 ( 1 - Iacute 2 i 2 6

V V6 P5degIacute 5^6 ^SS 2g c - 2g c

P - P ^ = (1+kJ

Como

79

A 6

W p 5 =

VV P6 V 5 = V 6 Jiexcl = Vff65

P 5-P 6 - lt H k 5 6 ) mdash ^ mdash (l+k 5 6-a 6 5) c c c

Sendo

Se

A 7 p 7 p 7

6 7 Ag p 6 7 76 p 6

p _p _ P6- V7- g76 iquest72 ( _ 02 P 5 P 6 2g c bull ( p 6

( 1 + k 5 6 deg65 )

p 7 2 2 N56 = p ^ deg76 ( 1 + k 5 6 ~ a 6 5 )

P 7 V 2

7

P r-P = N r 5 6 56 2g c i

35 - Perdas de pressatildeo nas zonas (6) - (7) - Pre^aquecimento

Nesta regiatildeo temos perdas por atrito e hidrostaacuteticas

Nao haacute perda por aceleraccedilatildeo pois ainda natildeo houve formaccedilatildeo de boshy

lhas

Fazendo balanccedilo das pressotildees temos

L_ ppound-V p = p + otilde L - pound _ + f -Si (-21mdashL 6 7 + p67 L67 g + t 6 7 D K 2g

p _ e ifn sao tomados como valores meacutedios 67 67

P _p _ f hl ^67jIacute uuml + - L A

6 F 7 r67 D 2g P P67 L67 g 6 s c 7 c

S e Kr pound67 L67 p67 6 7 D 6 p7

p7 V - _g_ P6- P7 - N67 mdash + P67 L67 f

c c

80

36 - Perda de pressatildeo nas zonas (7) - (8) - Zona de ebuliccedilatildeo

Nesta regiatildeo j aacute temos o aparecimento de bolhas logo a

perda de pressatildeo seraacute devida agraves t recircs parcelas aceleraccedilatildeo a t r i t o

das duas fases liacutequidas + vapor e h idros taacute t ica

onde

Assim

P-P Q = AP + AP + APbdquo 7 8 a t r i t o acel H

T M1

78 p 7 7 AP - R f- - mdash mdashr |R = fator mult ipl ica-

a t r i t o 7 D 7 2 g c L tivo

G 2

AP bull r mdash acel g c

P V

|_1 - o a p J 8 P f

2 t r 2 M2

7 7 r 7 7 A P a c e l = -J^mdash 2 r bull p 7 lt T iexcl iexcl - )

A PH p 7 8 L 7 8 fiexcl

p 7 8 iacute 7 li 1 0 0 P l i q + a P v ] d L = P 7 ( 1 - laquo 7 8 )

ag raquo fraccedilatildeo de vazio media entre 7 e 8

APH = p (1 - 5 7 g ) f- L 7 8

2 2

P 7 - P 8 a 5 - 2 T i + 2 r p 7 + P 7 ( 1 - 7 8 gt f L 7 8 7 amp c amp c amp c

81

N 7g = R mdash + 2 r p 7

P7 V7 P7- P8 = N78 + P 7 ( 1 5 7 8 gt J78

37 - Expansatildeo nas secccedilotildees 8 e 9

No caso haacute uma expansatildeo com duas fases e como vimos no

item 12 a variaccedilatildeo de pressatildeo era dada por

0f Vo P2 P1 = ~2g c ( 2 deg12

x 2 (mdash)(mdash - mdash ) + ( l - x ) 2 ^ T mdash 8 1 2 1

12

Aplicando ao nosso caso

P pound = P 7

P -P = 8 9

V - V raquo V g f 7

P 7 V 2

2 pf 1 a89 2 1 g89 x (mdash) ( ) + (1-x) (- - N

o ou abdquo 1-cu l-ot_) g 8 9 8 9

Se

N 89

= 2 a 89

2 pf 1 deg89 2 1 CT89 x (mdash) ( ) + (1-x) ( T

g 8 9 8 9

P -P = 8 9

- N P7deg V7

89 2gbdquo

38 - Perda de pressatildeo no trecho 9 e 10

No referido trecho temos apenas perda de pressatildeo por atr L

to da fase liacutequido + vapor e perda hidrostaacutetica Natildeo haacute perda por

aceleraccedilatildeo do vapor pois este natildeo recebe mais calor e portanto

o 82 o

nao ha variaccedilatildeo no a

p

Q -p i n = A P

U + A P bull 9 10 H atrito

n T -S_ P9 U10 deg 910 bull g

fio r

910 I 910

J9 L

(l- a)P + Q P I dL liq v

(l-a0) p

No caso a = (nao hatilde variaccedilatildeo de forma)

A P H - (1-a ) P (p L 0

c

AP bdquo = R o

atrito

2 f9 o L910 P9 V9

2g

Supondo

= V

P 9 = P 8 P 7

vbdquo = v 9 8 0 A r

= V 7 bull deg89

AP - R atrito

2 2

W l O p7deg V7deg g89

V P10 R -^T^ bull deg89 bull li-2 + ( W P 7 (fgt SIO

y c c

Se

- f9 L910 2 N9ol0 R Dl deg89

w 2

p rv P9 P10 = VlO + ( 1 a 9 ) p7 (f gt L910 c

33

39 - Perda ciacutee pressatildeo na expansatildeo 9 - 1 0

Analogamente a expansatildeo 8 - 9 temos

10 11 P 7 2g

10 Iacute 2 0 1 0 - 1 1 gt

2 ff

pg aio

10-11

laquo11 ) +

Ll-a 1 0 bull l-a u J

Se

V10 = V 9 = V 8 bull T9 = V 7 deg89

P -P 10 rll = - a 2g 089 ^lO-ll

4 bull T~ bull (7 1 mdash ) + Pg degio a n

+ (l-x)2(- 1 10-11

1 - aio )

N10-ll = 2 a10-ll a89 2 pf t 1 10-11 N2

-(j-r- - ) bull+ (1-x) pg aio deg 1

10-11 k l - a io

prz P10 Pll = - N10-ll bull ( 2gbdquo

310 - Calculo de V

Fazendo a somatoacuteria de todas as expressotildees (P^-Pj) tere-

84

mos 2 PbdquoV_

P bdquo - P bdquo = N 7 v 7

1 2 12 2g

bull 2 - P 3 - = N 2 3 P 2 L 2 3 f c ccedil

9 P 7 V 7 P _p = N mdash -

3 4 34 deg 2g

V P 5 = deg

2 P V

5 6 56 2 g c

ltr2

P 7 -V 6 e7 -N67 2g + p 6 7 J j67 g

c bc v 2

P 7 - P 8 = N 7 8 - 2 i ~ + p 7 ( 1 - laquo 7 8 ) L 7 8 c

P 7 V 7

P - P - -N mdash - -8 9 89 2g

c P 7 V 7

P 9 ~ P 1 0 VlO 2g + ( 1 a 9 P 7 L 9 c

P 7 V 7

bull10 11 U10-ll 2g

P v iacute j P - P

1 11

7 - v 7 3 bull r

2 8 i U L 2 23 67

(l-5 7 8) L 7 8 + ( l - laquo 9 ) P 7 bull SlOtilde]- ^

Por ou t ro lado sabemos que como secccedilotildees 1

mesmo n iacute v e l

85

s c p r v 7 j

28 Z N i ij

= P 2 L23 p67 L67 P 7 ( 1~deg78 )

78 ~ ^g) bull P 7 bull L 910 g_

V - 2 g ( p r L 2 3 - p 6 r L 6 7 - p 7 ( l - atilde 7 8 ) L 7 8 - (l-a9) p L 9 a ( )

y N

Com esse valor de podemos determinar todas as variashy

ccedilotildees de pressatildeo (P^-P )

BIBLIOGRAFIA

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tituto de Energia Atocircmica de Sao Paulo em 1966 (roteiro)

- WR Gambill - Nuclear Safety

Vol 9 - n9 5 e 6

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Frank Kreith - Principles of Heat Transfer

Journeacutees Internationales de la transmission de la chaleur

Seminaacuterios realizados em Paris em 1961 sob a supervisatildeo do

Prof Marcel Veron

Notas de aula da Cadeira de Termodinacircmica I e Transmissatildeo da

Escola Politeacutecnica da Universidade de Sao Paulo

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  • 0003000
  • 0003100
  • 0003200
  • 0003300
  • 0003400
  • 0003500
  • 0003600
  • 0003700
  • 0003800
  • 0003900
  • 0004000
  • 0004100
  • 0004200
  • 0004300
  • 0004400
  • 0004500
  • 0004600
  • 0004700
  • 0004800
  • 0004900
  • 0005000
  • 0005100
  • 0005200
  • 0005300
  • 0005400
  • 0005500
  • 0005600
  • 0005700
  • 0005800
  • 0005900
  • 0006000
  • 0006100
  • 0006200
  • 0006300
  • 0006400
  • 0006500
  • 0006600
  • 0006700
  • 0006800
  • 0006900
  • 0007000
  • 0007100
  • 0007200
  • 0007300
  • 0007400
  • 0007500
  • 0007600
  • 0007700
  • 0007800
  • 0007900
  • 0008000
  • 0008100
  • 0008200
  • 0008300
  • 0008400
  • 0008500
  • 0008600
  • 0008700
  • 0008800
  • 0008900
  • 0009000
Page 18: ALGUNS PROBLEMAS DE HIDRODINÂMICA E CONVECÇÃO DE … · alguns problemas de hidrodinÂmica e convecÇÃo de calor em reatores de potÊncia, segundo aulas do ... b - convecÇao

13

rando a temperatura media do fluido isto e a meacutedia aritmeacutetica da

temperatura entre um ponto do fluido junto agrave parede e um ponto onshy

de a temperatura do fluido seja constante longe da parede

Ha casos entretanto que na praacutetica trecircs adimensionais

so nao sao suficientes para expressar o fenocircmeno isto porque as

vezes ha uma propriedade que eacute muito sensiacutevel a uma pequena varia

ccedilao de temperatura logo para estes casos introduzem-se outros adi^

mensionais para levar em conta a dependecircncia dessa propriedade com

a temperatura

Todas as expressotildees foram obtidas experimentalmente A li

teratura especializada tem formulas para todos os tipos possiacuteveis

de geometria Vejamos alguns exemplos

101 ~ Convecccedilatildeo forccedilada sobre superfiacutecies planas

a) regime laminar ( N R g lt 400000)

N T = 0664 (N ) 1 f 2 (N ) 1 ^ 3

NuL ReL u Pr

b) regime turbulento ( N R g gt 400000)

NNuL deg 0 3 6 lt N P r ) 1 3 t gt R e L ) 0 8 1 8 7 deg deg ^

102 - Convecccedilatildeo forccedilada dentro de tubos ciliacutendricos

a) regime laminar (N_ ^ lt 2100) mdash Re D

i

b) regime turbulento Nbdquo _ gt 2100 mdash u Re D

N v _ = 0023 (N_ J 0 8 (Nbdquo ) n

NuD ReD Pr

14

n = 04 para fluido aquecendo

n =raquo 03 para fluido resfriando

Note-se que neste caso houve necessidade de considerar ou

tros adimensionais para aliar a anaacutelise dimensional agrave experiecircncia

no item a) dois outros adimensionais tiveram que ser acrescentados

(DL) e (up s)

Na expressatildeo 101 b) se o N critico for tomado como

sendo 5 x 10 (usado comumente) a expressatildeo usada eacute a mesma a me

nos do termo 18700 que passa a ser 23200

Devemos observar finalmente que estas expressotildees nao se

aplicam a metais liacutequidos e que elas nos datildeo nuacutemeros de Nussel meacuteshy

dios e natildeo locais

15

B - CONVECCcedilAtildeO COM MUDANCcedilA DE FASE - CONDENSACcedilAtildeO (I)

lo INTRODUCcedilAtildeO

Devemos considerar dois tipos de convecccedilao com mudanccedila de

fase que sao a condensaccedilatildeo e a evaporaccedilatildeo

Os problemas de convecccedilao de calor com mudanccedila de fase sao

tao importantes na industria como os de convecccedilao de uma uacutenica

faseraquo Os exemplos mais comuns de sua aplicaccedilatildeo sao os condensadoshy

res e evaporadores usados nos condicionadores de ar geladeiras

caldeiras etc

Neste capiacutetulo estudaremos apenas a condensaccedilatildeo

Os problemas de convecccedilao com fluidos condensando ou evashy

porando sao bem mais complexos que os demais processos de convecshy

ccedilao porque aleacutem de envolver variaacuteveis nao consideradas na conshy

vecccedilao de sistemas de uma so fase tecircm uma variaccedilatildeo nas propriedashy

des fiacutesicas de tal grandeza que essa variaccedilatildeo interfere decisiva

mente no fenocircmeno

2 CONDENSACcedilAtildeO

Eacute a passagem de um vapor para o estado liacutequido pela retishy

rada de calor

21 - Aspectos Gerais

A condensaccedilatildeo eacute realizada fazendo com que o fluido (vashy

por) entre em contato com uma superfiacutecie cuja temperatura esteja

abaixo da temperatura de saturaccedilatildeo do fluido correspondente atilde pres_

sao do vapor

0 coeficiente de peliacutecula relativo ao vapor de aacutegua satushy

rada que condensa sobre uma superfiacutecie fina eacute da ordem de grandeshy

za de 10000 kcalhrm^degC em casos excepcionais chega-se acirc valo-

16

res 50o000-100bdquo000 kcalhrm 2degC Isto eacute obtido a maneira pela

qual a condensaccedilatildeo se produz Ilaacute duas maneiras

1 - condensaccedilatildeo por peliacutecula daacute-se quando o liacutequido con

densado molha totalmente a parede formando urna peliacute

cula continua sobre a mesmaraquo

2 - condensaccedilatildeo por gotas daacute-se quando o liacutequido ao se

condensar rcune-se em gotas que crescem ateacute terem

peso suficiente para escoarenu

0 primeiro tipo eacute o mais comum e eacute o que daacute menor coefishy

ciente de peliacutecula porque a pelicula do liacutequido constitui uma re

sistencia adicional a passagem do calorraquo No segundo tipo chega-se

a coeficientes de pelicula muito maiores pelo fato do vapor estar

sempre em contato direto com a superficie resfriadura isto eacutepor

nao haver resistencia adicional

2o2 - Condiccedilotildees para termos condensaccedilatildeo por peliacutecula ou por

gotas

Sob o ponto de vista da transmissatildeo de calor deveriacuteamos

sempre preferir a condensaccedilatildeo por gotas pois como jaacute dissemos e

a que daacute maior eficiencia teacutermica Acontece poreacutem que tecnologji

camente eacute difiacutecil a obtenccedilatildeo da condensaccedilatildeo por gotas pois haacute

necessidade de termos um vapor puro urna superficie de resfriameii

to perfeitamente lisa (cromeada espelhada) e com resinas para fa

cilitar a formaccedilatildeo das gotas Tudo isso encareceria demais um con_

densador por isso eacute que na praacutetica usamos condensaccedilatildeo por peliacutecu

la quando podemos usar chapas ou tubos comerciais

So em casos muito especiais quando o espaccedilo eacute muito imshy

portante usa-se condensaccedilatildeo por gotas

2 3 - Remoccedilatildeo do Condensado

Um fator importante a considerar na condensaccedilatildeo eacute a remo

17

ccedilao do condensado que sempre se faz por gravidade Ha dois tipos

principais de superficies de condensaccedilatildeo

1 - Tubos ou placas verticais (ou encunadas)

2 - Tubos cilindricos horizontais

Nos tubos verticais a espessura da peliacutecula liacutequida aumen

tara do topo acirc base e com isso variaraacute ao longo do tubo o coefishy

ciente de peliacutecula loacutecalo

No caso dos tubos ciliacutendricos horizontais o liacutequido escoj

re pela parede lateral e goteja pela parte inferior natildeo havendo

possibilidade de formaccedilatildeo de camadas espessas do condensado

2raquo4 - Condensaccedilatildeo por peliacutecula sobre tubos verticais

Nusselt desenvolveu estudos analiacuteticos sobre condensaccedilatildeo

externa a tubos ciliacutendricos verticais partindo das hipoacuteteses

1 - A espessura da peliacutecula do condensado eacute nula na parte

superior do tubo e vai aumentando nas partes inferioshy

res por condensaccedil-ao e escorrimentoraquo

2 - 0 fluido escorre pela parede em regime laminar sob o

efeito combinado do seu peso e viscosidade

3 - A temperatura da camada mais interna do condensado tem

a temperatura da parederaquo

4 - A temperatura da camada mais externa tem a temperatushy

ra do vapor-

5 - A variaccedilatildeo da temperatura da camada do condensado em

sentido ortogonal agrave superfiacutecie do tubo eacute linear

6 - 0 vapor cede apenas seu calor latente

7 - A temperatura do tubo eacute uniforme e constanteraquo

8 - Nao haacute gases incondensaacuteveis no vapor (vapor puro)

Chegou a formula

18

2 3 g P - h L t

N j = 0943 ( r-EcircY~ ) 1 4 (l) NuL y bdquo k o At v

As propriedades da equaccedilatildeo (1) satildeo avaliadas agrave temperatu

ra meacutedia tm

c + t _ w sat

tm ~ onde

t = temperatura da parede

t = temperatura de saturaccedilatildeo do fluido S 3Lt

exceto o calor latente da vaporizaccedilatildeo b^ que deve ser avaliado agrave

temperatura de saturaccedilatildeo correspondente atilde pressatildeobdquo

Quando a superfiacutecie focircr inclinada vale o raciociacutenio de

Nusselt apenas o termo que atua na remoccedilatildeo do condensado natildeo eacute g

mas sim (g seno) sendo 6 a inclinaccedilatildeo da superfiacutecieraquo

Assim a equaccedilatildeo para estecaso seria

2 3 g o sene o p o h o L

NT _ = 0943 ( r~ y (2) NuL y o k o At w

25 - Efeitos a considerar na condensaccedilatildeo

Ha 3 efeitos importantes a considerar na condensaccedilatildeo que

Nusselt natildeo levou em conta sao eles

- efeito da turbulecircncia no filme liacutequidoraquo

- efeito dos gases incondensaveisraquo

- efeito da velocidade do vapor

251 - Efeito da turbulecircncia no filme liacutequido

As formulas anteriores servem para comprimentos de tubos

pequenos pois nesse caso a velocidade de escoamento do condenshy

sado natildeo eacute grande entretanto para superfiacutecies verticais longas

a peliacutecula torna-se bastante espessa e com velocidade grande deshy

mais para que o escoamento possa ser considerado em regime lamishy

nar

19

Nesse caso define-se o numero de Reynolds baseado na veshy

locidade da fase liacutequida isto eacute

p V 6

Nbdquo - m r

Rer y u

onde

V = velocidade do condensado na camada limite m 6 = espessura da camada limite

T = p V m 6 = descarga do condensado por unidade de largju

ra da superficie de condensaccedilatildeo

No calculo da determinaccedilatildeo de T haacute uma certa dificuldade

pois ele soacute pode ser determinado por iteraccedilatildeoraquo

Q = m c laquo A t = h A A t P

A = 2ir R bdquo L (para tubos)

m c = h o 2IumlIuml R laquo L P

m m braquoL _ p a _ _ li li

2TTR C c P P

Como noacutes nao sabemos o valor de h_ devemos inicialmente

adotar um V e obter atraveacutes da foacutermula

NNuL = deggt0134 (R PV L 3 gt 1 3 ( N R e r ) 0 4 ( 4 )

y

o valor de _h se os valores de h_ obtidos por (3) e (4) forem iguais

o problema esta resolvido caso contraacuterio fazem-se tantas iterashy

ccedilotildees quantas forem necessaacuterias

252 - Efeito dos gases incondensaacuteveis

A presenccedila de gases incondensaacuteveis reduz violentamente o

coeficiente de peliacutecula pois acirc medida que o vapor se condensa o

gaacutes nao condensaacutevel se acumula junto atilde superfiacutecie de resfriamento

20

formando uma barreira adicional S passagem do fluxo de calor

A reduccedilatildeo do coeficiente de peliacutecula que a presenccedila des_

ses gases causa depende da fraccedilatildeo em massa dos mesmos na mistu

ra gaacutes-vapor

Fizeram-se inuacutemeras experiecircncias e sobre o assunto a tiacute

tulo de exemplo vejamos o graacutefico abaixo onde temos em abcissas

o coeficiente de peliacutecula obtido experimentalmente e em ordenadas

a fraccedilatildeo de gases dissolvida jio vapor

5000

bullg- 4000 O

3OOO

2000

S 1000

4 6 8 10 12 lt|gt(lbm arlbm de vapor )x 10

Devemos notar a grande influecircncia dos gases incondensatilde-

veis por exemplo quando o vapor eacute puro nos temos um h = 4000se

tivermos apenas 1 de ar dissolvido o coeficiente de peliacutecula fishy

caraacute reduzido agrave metade isto ecirc h = 2000

Por isso nos condensadores sempre se coloca vapor ornais

puro possiacutevel

253 - Efeito da velocidade do vapor

Quando a velocidade do vapor junto agrave interface liacutequido-

-vapor natildeo focircr despreziacutevel surgem forccedilas de atrito entre o vapor

e o liacutequido Se a direccedilatildeo do fluxo do vapor coincide com a direshy

ccedilatildeo do movimento do liacutequido a velocidade do liacutequido aumenta (haacute

compressatildeo) e a espessura do filme liacutequido diminui e consequenshy

temente a transferecircncia teacutermica melhora pois haacute diminuiccedilatildeo da

resistecircncia teacutermica

Se entretanto a direccedilatildeo do vapor focircr contraacuteria a do fil

o 21 laquo

me de liquido ha uma tendecircncia de haver aumento da espessura da pj2

liacutecula diminuindo assim o valor de h

26 - Consideraccedilotildees sobre os resultados obtidos com as foacutermushy

las de Nusselt

Nota-se experimentalmente que os resultados obtidos pelas

equaccedilotildees de Nusselt sao em geral 10 a 20 inferiores do que os reshy

sultados reais Assim a favor da seguranccedila elas sao usadas e aaacuteo_

tadas Os motivos das discrepacircncias jaacute-foram ditas atraacutes no item

25

Devemos notar ainda que o valor de h obtido pelas foacutermushy

las anteriores e o valor meacutedio jaacute que h varia de ponto para ponto

e seria difiacutecil obter uma equaccedilatildeo que nos desse o valor de h locaL

2bdquo7 - Condensaccedilatildeo por peliacutecula externamente a tubos ciliacutendrishy

cos horizontais

0 mesmo estudo de Nusselt pode ser aplicado neste caso

baseado na hipoacutetese de que no topo do tubo a peliacutecula do condensashy

do tenha espessura nula Chega-se a expressatildeo

g p 2 h D 3 14

NT _ = 0725 ( ) (5) NuD u k o At

Analogamente ao caso anterior as propriedades do liacutequido

sao tomadas a

t + t w sat

tm = ^

exceto h que eacute tomado a t

ev n sat

Na situaccedilatildeo atual da tecnologia e possiacutevel obtermos tubos

com diacircmetros suficientemente pequenos para que tenhamos escoamenshy

to do condensado soacute em regime laminar

22

No caso de vaacuterios tubos empilhados a formula (5) deve

ser modificada pois como dissemos ela soacute vale quando no topo do

tubo a espessura do liacutequido eacute nula o que nao acontece neste caso

(Vide figura a)

Vapor

Tubo

mdash Liacutequido

Fig a

Neste caso a forma que nos da o valor meacutedio para h e

g p 2 h D 3 14

NNuD deg gt 7 2 5 lt N u k V At gt

sendo N o numero de tubos empilhados

Note-se que neste caso o coeficiente h cai bastante Uma

boa soluccedilatildeo para o caso quando dispoacuteftos de lugar eacute dispor os tushy

bos defasados (Conforme figura b)

Liquido

Fig b

Neste arranjo podemos aplicar a equaccedilatildeo (5) pois no tp_

po de cada tubo a espessura da camada de condensado eacute nula

23

B - CONVECCcedilAtildeO COM MUDANCcedilA DE FASE - EVAPORACcedilAtildeO (II)

1 INTRODUCcedilAtildeO

Evaporaccedilatildeo consiste na obtenccedilatildeo de vapor por meio de aque

cimento de um liacutequido

Apesar da importacircncia do processo e do sucesso obtido na

praacutetica em projetos de evaporadores o fenocircmeno da evaporaccedilatildeo eacute

um dos pontos menos conhecidos da transmissatildeo de calor

0 primeiro estudo seacuterio sobre o assunto foi feito em 1934

pelo japonecircs Nukiyama poreacutem somente nos uacuteltimos 10 anos tais es-

tudos se intensificaram

Os primeiros pesquisadores quando estudavam o fenocircmeno

do resfriamento de um solido num liacutequido obtiveram as seguintes

curvas

onde

temperatura

velocidade de resfriamento

3 0 v = amdashbull

A 06

Q - fluxo teacutermico

8 - tempo

A - aacuterea do soacutelido

24

tempo

Ateacute os estudos de Nukiyama nao se conseguia explicar o

porque da variaccedilatildeo crescente da velocidade de resfriamento quando

t gt t sol sat

2 PROCESSO DE FORMACcedilAtildeO DAS BOLHAS

Como a evaporaccedilatildeo do liacutequido se faz sobre uma superfiacutecie

aquecedora sobre esta irao se formar bolhas de vapor que influem

decisivamente no fenocircmeno

Aqui soacute iremos estudar as bolhas sob o ponto de vista qua

litativo bem como a sua influencia mas nao sob o ponto de vista

quantitativo

Recentemente Fritz e Jacob WR Gambill e outros estudiacutei

ram o processo da formaccedilatildeo das bolhas sobre a superfiacutecie aquecedpound

ra Atraveacutes de fotografias verificaram que a bolha de vapor ain

da em contato com a parede variava profundamente de forma confo_r

me o angulo de contato entre liacutequido e parede metaacutelica

Assim eacute que se a superfiacutecie de aquecimento nao e excesshy

sivamente polida e a tensatildeo superficial do liacutequido eacute pequena a

bolha tem a forma da figura las diz-se nesse caso que o liquishy

do molha a parede neste caso o angulo de contato e agudobull Se

as condiccedilotildees contrarias se verificarem o acircngulo de contato sera

obtuso e as bolhas tomam a forma da figura ldegb Naturalmente ve

rificara-se as condiccedilotildees intermediaacuterias para o angulo de contato da

25

fig lc

Fig la Fig lb Fig lo

0 estudo analiacutetico da formaccedilatildeo e crescimento das bolhas

pode ser encontrado em diversos livros por exemplo no El-Wakill

(Nuclear Power) no Jakob (Heat Transfer)e outros Neles faz-se

o estudo das condiccedilotildees do liquido (pressatildeo temperatura tensotildees

etc) para haver ou nao formaccedilatildeo de bolha Isto eacute feito fazendo-se

o estudo das bolhas nas seguintes posiccedilotildees

a) bolha no seio do liacutequido

para meia bolha

4 ltP g - P fgt fg

onde

P g P f

- 4 D (D

g

Pf

D

pressatildeo do vapor

pressatildeo do liquido

tensatildeo entre superfiacutecie do liacutequido e vapor

diacircmetro da bolha

^f g

P f Fig 2

26

A equaccedilatildeo (1) mostra que a pressatildeo do vapor deve ser maior

que a do liquido nas condiccedilotildees de saturaccedilatildeo e este por sua vez

deve estar no estado de superaquecimento o

b) bolhas sobre superfiacutecie solida

Fig 3

Condiccedilotildees para desprender

a mdash o_ + o_ cos a gs fs fg

tensatildeo na interfase liacutequida e vapor (depende das

propriedades do liacutequido e vapor)

tensatildeo entre o liacutequido e superfiacutecie de aquecimen

to (depende das propriedades do liquido e da sushy

perfiacutecie)

tensatildeo entre o vapor e a superfiacutecie de aquecimeri

to (depende das propriedades do vapor e da super

fiacutecie)

21 - Formas do fluxo do vapor desde a superfiacutecie de aquecishy

mento ateacute a superfiacutecie livre do liacutequido

Considerando liacutequido vaporizado em tubos verticais pode^

mos ter 4 tipos de fluxo de vapor

1 - fluxo de bolhas

2 - fluxo de agregados (plug ou slug)

3 - fluxo anular

4 - fluxo disperso

Os quatro tipos ficam bem determinados respectivamente

onde

a fg

degfs

a gs

27

pelas 4 figuras abaixo

LIacutequido - Liacutequido Liacutequido

o

^Bocirclha de

vapor

Vapor

mdash [

- Vapor

mdash 0 0

deg_ a-

jrj-

iquestiexcl5

Bolhas Agregados Anular

Liacutequido

vapor

Disperso ou

Homogecircneo

Conforme o tipo de ebuliccedilatildeo podemos ter uma so das forshy

mas acima ou uma mistura

3 INCERTEZAS NO ESTUDO DA EVAPORACcedilAtildeO

Ha trecircs incertezas principais para determinar o fluxo de

calor na evaporaccedilatildeo a saber

- Aacuterea de contato indefinida

- Diferenccedila de temperatura indefinida

- Grau de turbulecircncia

Como realmente nos nao sabemos uma dependecircncia algeacutebri

ca entre o acircngulo de contato e a superfiacutecie ocupada pelo liacutequishy

do (ou vapor) temos uma incerteza na determinaccedilatildeo da aacuterea de tro

ca de calor (A)

Outra incerteza eacute a dificuldade da obtenccedilatildeo de diferenccedila

de temperatura entre o liacutequido e a parede que normalmente assume-

-se como sendo a diferenccedila entre a temperatura da parede e da ebu

liccedilatildeo do liacutequido (temperatura de saturaccedilatildeo = t )

S cl c

Na realidade a diferenccedila de temperaturas nao eacute aquela

pois a camada de liacutequido que cobre a superfiacutecie aquecedora esta

a uma pressatildeo maior que o resto do liacutequido (pressatildeo atmosfeacuterica

mais a hidrostaacutetica) e consequentemente a temperatura de vaporiza_

ccedilao desse liacutequido e maior que a da superfiacutecie Esta diferenccedila po-

28

deria ser calculada desde que se conhecesse a relaccedilatildeo entre presshy

satildeo e temperatura de saturaccedilatildeo do liacutequido entretanto haacute incerte

za quanto ao verdadeiro peso especiacutefico da coluna de liacutequidopois

trata-se de uma mistura de bolhas de vapor e de liacutequido em proshy

porccedilatildeo variaacutevelraquo

4 REGIMES DE EBULICcedilAtildeO

Nukiyama estudando a ebuliccedilatildeo da aacutegua num recipiente a

quecendo-a com resistencias eleacutetricas construiu a curva baacutesica da

ebuliccedilatildeo Todos os liacutequidos apresentam uma curva semelhante vashy

riando apenas os valoresraquo Os pontos caracteriacutesticos da curva deshy

pendem de caracteriacutesticas difiacuteceis de definirtais como natureza

do metal estado da superficie (rugosidade) dimensotildees orientashy

ccedilatildeo do fluxo quantidade de gases dissolvidos e t c

Estudaremos o fenocircmeno para o caso de aacutegua destiladasem

gas dissolvido a temperatura de saturaccedilatildeo 100 C pressatildeo atmosfe_

re uma superficie plana

Chega-se assim acirc curva

rica sobre uma superficie plana horizontal a temperatura t^

In ltJgt

At (degC)

A curva acima representa o aquecimento de agua com uma re_

sistecircncia eleacutetrica (ate ebuliccedilatildeo)raquo Temos em abcissas as diferenccedilas

de temperatura entre o liacutequido e a resistecircncia em ordenadas o flu

29

Regiatildeo I

Regiatildeo II

Regiatildeo III

Regiatildeo IV

xo de calor por unidade de area

Na curva notam-se 4 regiotildees bem definidas tendo cada uma

o seu significado fiacutesico os quais correspondem a um tipo de ebuli

ccedilao

convecccedilao natural

ebuliccedilatildeo nucleada

ebuliccedilatildeo por peliacutecula parcial

ebuliccedilatildeo por peliacutecula estaacutevel

41 - Convecccedilao natural

Ocorre quando At eacute inferior a 8degCformam-se no liacutequido

correntes convectivas as quais transferem o calor ateacute a superfiacuteshy

cie livre do liacutequido e aiacute desprendendo o vapor Neste caso o valor

de h eacute da ordem de 2000 kcalm^hdegC

42 - Ebuliccedilatildeo nucleada

Ocorre quando o At eacute maior que 8degC e menor que 25degC Nesshy

te caso as bolhas formam-se junto a superfiacutecie de aquecimento

crescem liberam-se movimentam-se em direccedilatildeo agrave superfiacutecie livre do

liacutequido onde estouram libertando o vapor As bolhas formam-se nas

irregularidades da parede tecircm um acircngulo de contato agudo e porshy

tanto hatilde liacutequido sempre em contado com a parede (molha a parede)

cada ponto ativo (lugar onde se formam as bolhas) libera uma porshy

ccedilatildeo de bolhas e os outros pontos do liacutequido ficam em contato com a

superfiacutecie quente violentamente agitados Esta agitaccedilatildeo extrema eacute

mais eficaz que uma turbulecircncia criada artificialmente Por esse mo

tivo a curva cresce violentamente nesse trecho (m = 3 a 7) pois

bull 2 o o valor de h cresce consideravelmente (ate 46000 kcalm hr C) e

o fluxo teacutermico transmitido ao liacutequido cresce proporcionalmente a

Quando cresce crescem tambeacutem

(At) 3

30

numero de bolhas por unidade de aacuterea (num instanshy

te)

~ = crescimento da bolha (com o tempo)

frequecircncia de iacuteormaccedilao de bolhas

A medida que o At vai aumentando iraacute aumentando (jgt tam-- n o N

bem e consequentemente mdash R mdash a a a tal ponto que quando atiacuteii

girmos o ponto da curva nao haveraacute mais formaccedilatildeo de bolhas

mas sim uma peliacutecula de vapor instaacutevel passando assim a 3a re

giao que estudaremos a seguir

43 - Ebuliccedilatildeo por peliacutecula parcial

Como dissemos no item anterior se aumentarmos ainda mais

o At (entre 25degC e 125degC) teremos a formaccedilatildeo de uma peliacutecula de

vapor instaacutevel sobre a superfiacutecie quente que aacutes vezes eacute perfurashy

da pelo liacutequido A camada de vapor tanto mais estaacutevel seraacute quanshy

to maior focircr o At Essa peliacutecula de vapor iraacute provocar um decreacutes_

cimo consideraacutevel no fluxo teacutermico porque como sabemos o vapor

eacute muito pior condutor que a aacuteguaraquo

0 fluxo vai decrescendo ateacute um ponto miacutenimo (iexclgt mintilde (as vecirc

iacutebo bullraquo 1

zes chega a ser mdashj-) e e o chamado ponto de Liedenfrost 0 coeshy

ficiente de peliacutecula neste caso cai violentamente (h = 2000

kcalm^hrdegC)

44 - Ebuliccedilatildeo por peliacutecula estaacutevel

Aumentando ainda mais a diferenccedila de temperaturas

At ( gt 125degC) iremos conseguir uma camada de vapor estaacutevel Ela

transmite calor da superfiacutecie quente ao liacutequido que se vaporiza de

modo que o excesso de vapor formado na interface liquido-vapor for

ma bolhas que sobem para a superfiacutecie 0 liacutequido encontra-se agi-

31

tado poreacutem nao toma contato com a superfiacutecie soacutelida

A peliacutecula de vapor eacute estaacutevel e o fluxo eacute proporcional a

34

(At) (lei de Bromley) Para At grandes passa a influir sensivel^

mente a radiaccedilatildeo teacutermica mais uma razatildeo para demonstrar que nesshy

ta regiatildeo o fluxo cresce novamente

5 CONSIDERACcedilOtildeES E COMPARACcedilAtildeO ENTRE OS TIPOS DE EVAPORACcedilAtildeO

BURNOUT

Sob o ponto de vista de eficiecircncia teacutermica deveriacuteamos sem

pre trabalhar no ponto de fluxo maacuteximo isto eacute no ponto correspon

dente a lt(gt da curva de Nukiyama pois eacute o que daacute maior coeficieri

te de peliacutecula

Acontece poreacutem que se impomos a temperatura da parede

fixa obtemos um uacutenico valor de lt(gt e portanto o fenocircmeno eacute estaacutevel

Poreacutem se como ocorre nos reatores impomos um fluxo teacuter

mico a curva de Nukiyama apresenta 3 pontos de funcionamento posshy

siacuteveis A B C

1

SOacute os pontos A e C sao funccedilotildees estaacuteveis mas eles impotildeem

acirc superfiacutecie quente temperaturas bem diferentes

Na industria em geral trabalha-se por questotildees de segushy

ranccedila na regiatildeo IV da curva poreacutem para os reatores trabalha-se na

32

r e g i atilde o I I

0 p r o b l e m a de t r a b a l h a r n a r e g i atilde o II eacute q u e se n oacute s e s t i shy

v e r m o s t r a b a l h a n d o n o p o n t o e x t r e m o (j) e se p o r q u a l q u e r m o t i v o

h o u v e r u m p e q u e n o a c r eacute s c i m o d e ltfgt i r e m o s t r a b a l h a r i m e d i a t a m e n t e no

p o n t o M q u e t e m o m e s m o $-^0t p o r eacute m c o m A t 2 m u i t a s v e z e s m a i o r

p o d e n d o o c a s i o n a r a f u s atilde o d a s u p e r f iacute c i e a q u e c e d o r a E s t e f e n ocirc m e n o

eacute c h a m a d o d e b u r n o u t

0 f l u x o lttgt eacute c h a m a d o f l u x o c r iacute t i c o o u f l u x o d e b u r -b o

n o u t N o c a s o do r e a t o r d e v e m s e r t o m a d a s m e d i d a s r i g o r o s a s q u a n

to agrave r e g u l a g e m do f l u x o t eacute r m i c o p a r a q u e n atilde o o c o r r a o b u r n o u t 1 1

p o i s d e l e p o d e r e s u l t a r r u p t u r a d a c a m i s a do c o m b u s t iacute v e l e h a v e shy

r aacute p o r t a n t o c o n t a t o do r e f r i g e r a n t e c o m o s s oacute l i d o s e g a s e s r a shy

d i o a t i v o s

5 o l - R e l a ccedil atilde o d e B u r n o u t

E c l a r o q u e p a r a t e r m o s u m r e a t o r m a i s e f i c i e n t e d e v e shy

m o s t r a b a l h a r c o m u m f l u x o o m a i s p r oacute x i m o p o s s iacute v e l do f l u x o d e

B u r n o u t P a r a t a n t o d e v e m o s c o n h e c e r c o m o m a i o r g r a u d e certe

za p o s s iacute v e l q u a l o ^ p a r a p o d e r m o s r e d u z i r o c o e f i c i e n t e d e s e shy

g u r a n ccedil a ( W R G a m b i l l r e c o m e n d a agrave 1 5 )

N o s s e m i n aacute r i o s d e W R G a m b i l l e n c o n t r a m o s u m a s eacute r i e de

b i b l i o g r a f i a s o n d e p o d e m o s e n c o n t r a r i n uacute m e r a s f oacute r m u l a s p r o p o s t a s

p a r a a o b t e n ccedil atilde o de (q 1^)

A t i t u l o d e e x e m p l o v e j a m o s a l g u m a s

q - 2 7 0 G deg gt 8 5 D 0 2 A085 p lt 150

deg D ( L uuml ) 2

q - 140 G 0 5 D ~ deg 2 (-~-)~deg 1 5 p ~ r gt 150 c D (LD)

o n d e a m b a s as e q u a ccedil otilde e s s oacute v a l e m p a r a aacute g u a e m b a i x a p r e s s atilde o e m coii

v e c ccedil a o f o r ccedil a d a

33

D

L

fluxo teacutermico critico BTUhrft bdquo 2

descarga em massa do liquido (Ibmhrft )

diacircmetro do tubo ft

comp do tubo ft

Para cada caso temos uma expressatildeo diferente que pode ser

encontrada em literatura especializada

6 INFLUEcircNCIA DE OUTROS PARAcircMETROS NO FLUXO DE BURNOUT

Como para os usos atuais do reator a diferenccedila de temppound

ratura entre parede e fluido sao pequenas bem como o fluxo de bur

nout recentemente fiacutesicos como Jakob Bonilla WR Gambill estu

daram outros paracircmetros que influenciam bastante o sect^ 0gt isto eacute a

influecircncia desses paracircmetros faz com que o ^ seja maior Isto eacute

util pois quanto maior o fluxo de burnout maior poderaacute ser o

fluxo de calor real de funcionamento

Tais meios sao

- Sub-resfriamenCcedilo do liacutequido

61 - Influecircncia da velocidade do liacutequido

Estudos feitos pelos autores acima chegaram agraves curvas

- Aumento da velocidade imposta ao liacutequido

- Pressatildeo do liacutequido elevada

alto V

At

34

Para velocidades maiores o fluxo de burnout aumenta

porque neste caso o regime eacute turbulento e o coeficiente de peliacute

cuia h aumentao

6bdquo2 - Influencia do aumento da pressatildeo

Este estudo deve-se a Bonilla que obteve experimentalmen

te as curvas

Este estudo foi feito para vaacuterios liacutequidos e chegou a con

clusao que sempre havia uma pressatildeo oacutetima isto e uma pressatildeo que

leva ao maior iacute 1 ^ raquo mantidas as demais condiccedilotildees Experimentalmenshy

te notou que essa pressatildeo correspondia a 13 da pressatildeo critica

do liquido em questatildeo

6=3 - Influecircncia do sub-resfriamento

Consiste em manter atilde custa de uma circulaccedilatildeo intensa o

liacutequido a uma temperatura inferior atilde de saturaccedilatildeo para a pressatildeo

correspondenteraquo Experimentalmente chega-se agraves curvas

mdash A t grande sub

bullAt -0 sub sub

medio

At

35

Verificando os graacuteficos vemos que o lt)gt aumenta agrave medida bo

que aumenta a diferenccedila de temperatura de sub-resf riamento isto pojr

que o liquido como estaacute mais frio faz com que algumas das bolhas

recondensem permitindo que o liquido fique em contato com a parede

quente o que faz aumentar o h

^ f csub = t e m P e r a t u r a ddeg liacutequido - temperatura de saturaccedilatildeo

A diferenccedila de temperatura At entre fluido e parede tamshy

beacutem aumenta poit na regiatildeo proacutexima agrave parede haacute necessidade de

levar o liacutequido da temperatura do sub-resfriamento ateacute a temperatu

ra de saturaccedilatildeo quando se evapora

Atualmente os maiores estudos dos fiacutesicos nucleares locashy

lizam-se neste campo pois eacute o que oferece maiores vantagens

7 FORMULAS PARA 0 CAacuteLCULO DO COEFICIENTE DE PELIacuteCULA NA EBULICcedilAtildeO

Como ocorre no caacutelculo de todas as foacutermulas de convecccedilatildeo

temos formulas empiacutericas para determinar o h conforme o tipo de

ebuliccedilatildeo que nos consideramos

71 - Ebuliccedilatildeo Nucleada

Para o caso de aacutegua temos as relaccedilotildees

superfiacutecies

horizontais

superfiacutecies

verticais

f aacute 5000 BTUhrft 2 -gtbull h = 151 ( A t ) 1 3

A o

5000 lt 75000 -h = 0618 (At)3

^ pound 1000 -raquobull h = 8 7 ( A t ) 1 7

A o -

1000 lt $ lt 20000 -gt h = 027 (At) A o

Quando a pressatildeo e diferente da atmosfeacuterica faz-se a correccedilatildeo

3 6

72 - Ebuliccedilatildeo por peliacutecula

Bromley propocircs uma boa equaccedilatildeo para a ebuliccedilatildeo por peliacuteshy

cula estaacutevel em cilindros horizontais

Nu

_ JtjD n r 9 P v bull ( P L - P v gt - g -h

e V bull D i2

D 1 ^ U b Z u At gt

onde

V = indica vapor

L = indica liacutequido

Multiplicando ambos os membros da equaccedilatildeo acima por

kvD obteremos a expressatildeo do coeficiente de convecccedilagraveo meacutedio para

o caso

37

C - FORMULAS PARA CAacuteLCULOS ESPECIacuteFICOS - RESULTADOS ESPECIacuteFICOS

1 FLUXO DE CALOR CRIacuteTICO - BURNOUT

lol - Introduccedilatildeo

O aspecto mais importante no que se refere agrave seguranccedila

dos reatores da transferencia de calor na ebuliccedilatildeo eacute a determina

ccedilatildeo do Fluxo de calor critico ou de pico ou burnout

Como jatilde vimos quando temos a ebuliccedilatildeo nucleada a dishy

ferenccedila de temperatura entre refrigerante e superfiacutecie de aqueci

mento e pequena poreacutem quando atingimos o fluxo de calor criacutetico

essa diferenccedila de temperatura pode tornar-se imediatamente muishy

to grande podendo causar a ruptura da superfiacutecie de aquecimento

se atiigirmos o ponto de fusatildeo do soacutelidoraquo

Usando a convecccedilao

onde

At sat

w

sat At

sub

w = temperatura da parede de aquecimento

t t = temperatura de saturaccedilatildeo do liacutequido

t^ = temperatura de mistura do liacutequido

At = (t -t ) sub-resfriamento do liacutequido sub N sat b 1

nout

Ha dois tipos de burnout fast burnout e slow bur-

Ocorre o fast burnout (burnout raacutepido) quando A t g u b gt 0

38

ou para baixo x (~ lt 10) sendo x o titulo do vapor

Temos o slow burnout para x - gt 10 Assim noacutes tereshy

mos dois limites para o burnout

At bull o (ltJgt ) t =((() para t = t ) -

bo m m possiacutevel w sat

sub i

4L + 1

G c D h pl nb

(ltK ) = (ltpound para x = 1) = Dv-bo max possiacutevel e 4L

c At l + P 1 sub i

onde

L = comprimento do canal

D = diacircmetro do tubo

G = descarga de liacutequido (por unidade de aacuterea)

c ^ = calor especiacutefico do liacutequido

Agrave = calor latente de vaporizaccedilatildeo

h ^ = coeficiente de transferecircncia de calor na regiatildeo de

nao ebuliccedilatildeo

iacutendices

i = entrada

e = saiacuteda

Haacute inuacutemeras expressotildees para determinaccedilatildeo do burnout pro

postas por muitos fisicos cada uma aplicando-se a um caso especiacuteshy

fico vejamos algumas delas

12 - Equaccedilotildees para prediccedilatildeo de Burnout

121 - Equaccedilatildeo de Bragg e Smith (Zuber)

Num artigo publicado por Bragg e Smith encontramos uma f oacute_r

mula que e derivada da formula de Kutateladze e nos daacute o fluxo cri

39

tico quando nao temos sufaresfriamento

bo poolsat v V raquoc a ( p l P V )

2 PV

14

onde

ltiexclgt = fluxo de calor critico bo

k = constante

Ly = calor latente de vaporizaccedilatildeo do refrigerante

= densidade do liquido

pvr = densidade do vapor V a = tensao superficial

g = fator de conversatildeo c

a = aceleraccedilatildeo da superficie de aquecimento

Os autores encontraram para k um valor de 062 entreten

to outros autores como Zuber incluindo outras variaacuteveis que In

fluiam no fenocircmeno encontraram k variando entre 008 e 023Esshy

tudos bem elaborados mostram que o valor mais aproximado eacute

k = 015 (- 003)

1-22 - Equaccedilatildeo de Noyes

Noyes estudou o burnout para o soacutedio agua e alguns liacute

quidos orgacircnicos

( W s a t ~ bdquo 0245 bull ( r ( 1 )

iiacute_ V 1 Pr

onde

N n = Nuacutemero de Prandtl da fase liacutequida x r

Mais tarde o proacuteprio Noyes alterou a equaccedilatildeo para

n ^ - n H Iacute I Pl PV gt0538 deg g c a q 4 ( W s a t deg 1 1 6 PV ( - p 7 ~ ) (77T1^ ) ( 2 )

40

A ultima correlaccedilatildeo proposta por Noyes foi

a n prPV0560 112

1

(a bull a) 13

(ag c) 112

(3)

onde

a = difusividade teacutermica do liacutequidoraquo A equaccedilatildeo (3) eacute bashy

seada em todos os dados de burnouts do soacutedio bem

como da atildegua benzeno difenil e outros De 111 pontos usados 90

+ estatildeo relacionados dentro de - 30bdquo

ldeg2o3 - Burnout com convecccedilao forccedilada e sub-resfriamen

to

Aproveitando os resultados de aproximadamente 240 testes

de burnouts com aacutegua sub-resfriada em fluxo de convecccedilao forccedilashy

da feitos na Ruacutessia Labuntsov elaborou uma boa equaccedilatildeo empiacuterica

para o problemabdquo

Esta relaccedilatildeo aplica-se para velocidades entre 2 3 e 148

ftsec pressotildees entre 1 e 201 atmabs sub-resfriamento entre 0 deg

e 432 degF e fluxos de burnout entre 0 4 x IO 6 x 166 x 1 0 6 BTUhr

2 bdquo

bullbo

onde

e a seguinte

6 ( P ) 1 + 0 2 3 2 V 2

14

e ( P ) 1 +

15 c At _p_ sub

12 (a)

9 ( P ) - P 1 3 o ( 1 - P J 4 3

red

= pressatildeo (atm abs)

pressatildeo reduzida = mdash mdash red r P

t_ c = pressatildeo critica

= velocidade do liacutequido (ftsec)

= calor especiacutefico do liacutequido (BTUlbdegF)

4 1

^ tsub = ^ ^ e r e n Ccedil a ^ e temperatura entre a temperatura de

mistura do liacutequido e a de saturaccedilatildeo (degF)

X = calor latente de vaporizaccedilatildeo (BTUlb) 2

ltiacutegtbo = fluxo de burnout (BTUhrfl )

Uma outra correlaccedilatildeo para o caso foi proposta por

Ornatsky e Xiohigin que fizeram experiecircncias para pressotildees entre

10 e 1 5 0 3xm 90 degF lt At ^ lt 4 5 0 deg F 3 7 1 0 6 ( l b h r o f t 2 ) lt G lt

2 2 2 10 b ( l b h r bdquo f t 2 )

lt ^ = 3 2 5 0 (G o A t bdquo J deg 6 ( - i - ^ ) 2 5 ( b ) bo sub

onde

G - descarga de refrigerante por unidade de aacuterea

P ^ v P v - densidades do liacutequido e do vapor

P1~ PV -0 termo (mdash ) e incluido na expressatildeo (b) para indicar

a influecircncia da ^ pressatildeo sobre o

Uma comparaccedilatildeo entre as equaccedilotildees (a) e (b) foi feita para

o Reator de Isoacutetopos de Alto Fluxo (HFIR) nas condiccedilotildees aacutegua a

600 psia velocidade = 45 ftsec e sub-resfriamento = At^^ 1

degF obtendo-se uma diferenccedila de 6 5 entre ambos (4gt = 6 0 5 1 0 b

2 ~ 6 2 BTUhr ft pela equaccedilatildeo (a) e 6 4 5 10 3TUhrraquoft pela equaccedilatildeo

(b)

Ilatilde ainda a equaccedilatildeo de Ivey e Morris aplicaacutevel somente pa_

ra ebuliccedilatildeo com grande quantidade de liacutequido

( c sub t

Cpf bull A tsub

( bull ) s ~ V P bdquo 10 h V sat V g

onde

(ltL ) = fluxo critico com sub-resfriamento c sub

(ograve ) ^ - fluxo critico sem sub-resfriamento c sat

42

c ^ = calor especiacutefico do liacutequido

= calor latente de vaporizaccedilatildeo

124 - Burnout com convecccedilao forccedilada e ebuliccedilatildeo por bocirc-

Ihas

Gambill fez uma extensatildeo da equaccedilatildeo de Levy e aplicou o

metqdo da superposiccedilatildeo Tal extensatildeo consiste natilde subtraccedilatildeo de uma

razatildeo equivalente de massa transferida dos termos que represenshy

tam a ebuliccedilatildeo e convecccedilao para levar em conta a presenccedila do vashy

por no fluxo

A correlaccedilatildeo pode ser escrita assim

24 V P V

o g c a (p^Py) 14

+ 0696 (k p c ) 12

(

pr p v )i4 o g c a (P-L-Py) 18

bull At + h sub nb

044 p v L v G (g1) bull N2 n

p l P V

( pr p v ) d e 2-7

2 4 TT 0

14 ( f e _ ^ r l 3

lO^u

onde

k = condutividade teacutermica

c = calor especiacutefico

A t s u b ~ s ub-resfriamento do liacutequido

h = coeficiente de transferecircncia de calor de nao ebu nb mdash

liccedilatildeo

G = descarga total do refrigerante

43

d g = diacircmetro equivalente do tubo ou canalraquo

]i = viscosidade

B = constante adimensional

Os iacutendices V e 1 representam vapor e liacutequido respectiva

mente

0 primeiro termo entre chaves da equaccedilatildeo representa o flu

xo de calor no burnout de sub-resfriamento em convecccedilao forccedilada 0

segundo termo entre chaves corresponde ao fluxo de calor transferi^

do para a massa da fase vapor

1-25 - Burnout por Bloqueio da Base

Ocorre quando a profundidade do recipiente eacute muito maior

que a largura 0 bloqueio da base eacute causado pela formaccedilatildeo de uma pe_

licula de vapor na base impedindo que o liacutequido toque o fundo do

recipiente

i De

Este eacute o burnout por flooding isto eacute burnout por expul

sao do liacutequido Uma equaccedilatildeo que nos dacirc o fluxo minimo do burnout

parao caso eacute

44

onde

D g = diacircmetro equivalente

L = comprimento do tubo

= calor de vaporizaccedilatildeo

p^Py Ap = densidade do liacutequido do vapor e diferenccedila en

tre ambos

Para um fluxo de calor maior ou igual ao dado pela expres_

sao acima (mantida a mesma geometria) teremos burnout Para um deshy

terminado fluxo existiratildeo sempre um comprimento L e um diacircmetro equi

valente D e para os quais temos burnout Exemplo

L (in) D e(in)

10 11

100 51

1000 235

2 RESULTADOS ESPECIacuteFICOS - FOacuteRMULAS PARA CAacuteLCULOS ESPECIacuteFICOS

21 - Diferenccedila de temperatura At i

13 a t

sat

At sat

poundatildeJL_ raquo t - t J p T T 6 w sat

onde

o laquo tensatildeo superficial entre liquido e vapor

t - temperatura de saturaccedilatildeo do liacutequido para a corres-Scl t

pondente pressatildeo

J equivalente mecacircnico do calor

X laquobull calor latente de vaporizaccedilatildeo

py = densidade do vapor

6 = espessura da camada de liacutequido superaquecido onde

45

k l

h nc

onde

k^ = condutividade teacutermica do liacutequido

h = coeficiente de peliacutecula nc r

Segundo Eckent h ^ c e dado por

P 2 Q

nc 3 V VP + 0952

r

onde

D = diacircmetro equivalente

G r = numero de Grashoff

P = nuacutemero de Pradtl

2 o 2 - Velocidade das bolhas

A velocidade das bolhas em meacutedia pode ser dada pela exshy

pressatildeo

V bdquo = Iacute ( a bull B Apl4 bolhas 5 ^ 2

p l onde

AP = P L - P v

Expressatildeo que vale quando a aceleraccedilatildeo eacute a da gravidade

baixa viscosidade do liacutequido e bolhas separadas

Vbolha = f t s e atilde m a x para aacutegua

2 bdquo3 - Diacircmetro das bolhas

2gc deg 12 D = 0015 3 ( mdash mdash 7 ~ ) d g Ap

5 =

46

onde

8 = acircngulo de contato (20 a 90deg) geralmente assume-O -1

-se igual a 50 para a agua em contato com metal

24 - Coeficiente de peliacutecula na ebuliccedilatildeo nucleada

a) Equaccedilatildeo de Rohsenow

Esta equaccedilatildeo nos datilde o fluxo de calor q na ebuliccedilatildeo nushy

cleadaraquo E oacutetima expressatildeo para muitos liacutequidos o efeito da presshy

satildeo eacute levado em conta na variaccedilatildeo das propriedadesraquo

Pf

fg

sat 17 = c

sg k y f h f g g( P f-p g)

n033

onae

Pf

fg

Pf Pg c sg

= fluxo de calor requerido (BTUhr0ft^)

= calor especiacutefico do liacutequido saturado (BTUlbm0F)

= calor latente de vaporizaccedilatildeo (BTULbm)

= nuacutemero de Prandtl

= viscosidade do liacutequido (lbrahrraquoft) ~ 8 2

= fator de conversatildeo 417 10 Ibmftlbflaquohr 2

= aceleraccedilatildeo da gravidade (fthr )

= tensatildeo superficial na interface liacutequida vapor

(lbfft) 3

densidade do liquido e vapor (lbmft )

constante adimensiacuteonal que depende de vaacuterios fashy

tores dentre os quais o grau de aquecimento en_

tre o fluido e a superfiacutecie de aquecimento e o

mais importanteraquo Independe da pressatildeo do sistema b) Equaccedilatildeo de Levy

Equaccedilatildeo valida para a aacutegua quando 100 lt p lt 2000 psiacutea

47

43 bdquo3

qu bdquo gat ^ T J h r t f t ^

495

25 - Calculo do fluxo de calor no Ponto de Leidenfrost

0 ponto de Leidenfrost como vimos eacute o ponto em que oflu

xo de calor comeccedila ncamente a crescer isto eacute o ponto onde termal

aa a ebuliccedilatildeo instaacutevel e comeccedila a ebuliccedilatildeo por peliacutecula estaacutevel Eacute

o chanado fluxo miacutenimo (egrave ) m m

Aproximadamente quando A t g u k = 0 temos

A _ mdash _ mdash (Gambill) m m 5

Ha entretanto varias expressotildees para determinar esse flu

xo eis uma delas

A p 14 ltjgt = 009 h pbdquo (o raquo g mdash ) y m m fg P V deg 2

p l

26 - caacutelculo do fluxo de calor na regiatildeo de ebuliccedilatildeo por peliacute

cuia estaacutevel

para cilindros jmdashi i li

_ D 0172 k-V - P V A p h l V bull S 14 li - = 062 (mdashmdash) (- j- r rmdash) convecccedilao A 0 ybdquo (t -t )

c V w sat

onde

= condutividade do vapor

- 2 TT ( mdash )

c gAp Vl = significam vapor e liacutequido respectivamente

para paredes verticais

L 0172 S deg7 A p bull hlV S q 4 h - - 080 (-^-)J- (-Iuml - Iacutemdash-convecccedilao X L u (t - t J)

c V w sat

48

Como nesta regiatildeo jaacute haacute nina influecircncia marcante da radia

ccedilao devemos levar en conta tambeacutem o coeficiente de peliacutecula de

vido a radiaccedilatildeo para determinar o coeficiente de peliacutecula total

Dos estudos atildea radiaccedilatildeo temos

h = a F pound(T 4 - T 4 J ( T ~ T ) rad w sat w sat

onde amp _ emissividade de superfiacutecie

a = constante de Stefan-Boltzman

F = fator de forma

Segundo WE Gambill o coeficiente de transmissatildeo total

ceve ser

3 iacutei = h + -7 h para h lt h t conv 4 rad r rad conv

Na expressatildeo acima existe o fator 34 porque a radiaccedilatildeo

faz variar um pouco a espessura do filme de vapor reduzindo asshy

sim o l l

conv

Quando tivermos h gt h gt o h^ ^ seraacute rad conv total

h f c = h + h t conv rad

Neste ultimo caso nao ha nenhum coeficiente porque a peshy

liacutecula de vapor jaacute eacute estaacutevel

27 - Grandezas caracteriacutesticas para a apua

Para pressatildeo igual a 1 atm = 1422 psia

At ^ = t - t = 5degC (iniacutecio da ebuliccedilatildeo nucleada) sat w sat 1

At t = 30degC sat crit

49

5 2 $ = 4 10 BTUhrft (para pressatildeo 1 atm)

0 fluxo critico cresce como vimos com a pressatildeo ate

atingir o maacuteximo quando a pressatildeo eacute aproximadamente 13 da pressatildeo

criacutetica Esse fluxo eacute

bull = 13 IO 6 BTUhrft 2 para p = 11000 psia (p pound = 32062 psia)

Ainda temos que para pressatildeo igual a 15 psia

h b o = 11000 BTUhrft degF - ebuliccedilatildeo nucleada

h f b = 30 BTUhrft 2 degF - ebuliccedilatildeo pelicular

Todos os resultados e formulas para caacutelculos especiacuteficos

apresentados nos itens 21 22 23 ateacute 27 sacirco aplicados somente

para sistemas onde haja ebuliccedilatildeo com grande quantidade de liquido

51

D - HIDRODINAcircMICA DOS SISTEMAS E QUEDA

DE PRESSAtildeO DENTRO DE UM CANAL

1 HIDRO-DINAcircMICA E QUEDA DE PRESSAtildeO

11 - Hidro-dinacircmica dos sistemas estaacuteveis

111 - Regimes de escoamento

A evoluccedilatildeo do escoamento ao longo de um canal aquecedor

de secccedilatildeo constante ciliacutendrico pode ser esquematizada pela figushy

ra 1 onde temos em abcissa o comprimento z do canal e em ordenada

a temperatura (T)

52

Na figura 1 nos representamos

a) 0 aspecto do escoamento fluido quando a entalpia do

- fluido aumenta Verificamos que o fluido entra no cashy

nal no estado liacutequido e assim permanece ateacute atingirmos a zona de

ebuliccedilatildeo local onde aparecem as primeiras bolhas A entalpia do

fluido continua aumentando e tem inicioa ebuliccedilatildeo franccedila onde as

bolhas se unem formando agregados posteriormente o escoamento to

ma a forma da figura ou seja torna-se anular disperso Finalmente

atingimos duas uacuteltimas fases do escoamento disperso (vapor uacutemido)

e vapor seco

b) A evoluccedilatildeo da temperatura meacutedia do fluido e da tempeshy

ratura da parede Note-se que a partir da cota a

temperatura da parede aumenta brutalmente podendo causar o

burnout

c) A evoluccedilatildeo do tiacutetulo do vapor (x) com o comprimento

do tubo e a evoluccedilatildeo da fraccedilatildeo (a) que definiremos no

item 11laquo2 com o comprimento do tubo

112 - Definiccedilotildees

a) Tiacutetulo ou qualidade do vapor (x)

massa de vapor na mistura x ~ massa total da mistura

x =

W _g_

g f

b) Fraccedilatildeo vazio (void fraction)

volume do vapor na mistura a = volume total da mistura (agua+vapor)

A relaccedilatildeo entre x e a num sistema parado pode ser obtida

assumindo um certo volume contendo 1 lbm de mistura em equiliacutebrio

teacutermicoraquo

53

O volume da mistura seraacute igual a (v + xv ) ft onde v eacute 3 r rg

o volume especifico (lbmft )

f - refere-se ao liquido

g - refere-se ao vapor

fg - refere-se a diferenccedila entre liacutequido e vapor

Numa mistura em equiliacutebrio se o liacutequido e o vapor estatildeo

saturados o volume do vapor presente eacute igual acirc sua massa vezes

seu volume especiacutefico v assim e

xv bdquo bdquo a mdash

V c + XV c

f gf

onde

- bull-bull uumlutiacuteisa vapor na mistura de 1 Ibm

v volume especiacutefico do liacutequido

v = volume especiacutefico do vapor o

V c = v - V

gf 8 r

Fazendo uma transformaccedilatildeo na expressatildeo acima temos

xv xv JS = Z-

v r+ x(v -v c) xv +(l-x)v t ri f g f g f 1 + Ul-x)xjv fv

1 + C(l-x)x]]vfvg

A fraccedilatildeo vazia tem a influencia de baixar a reatividade

do nuacutecleo nos reatores em que o refrigerante eacute tambeacutem moderador

Na equaccedilatildeo acima os valores de x e v sao tomados em tabe

las termodinacircmicas apropriadas para a pressatildeo do sistema A equashy

ccedilatildeo (1) mostra os grandes valores de a para pequenos valores de x

especialmente para baixas pressotildees Isto ocorre porqueaumentando

54

aacute pressatildeo o v decresce muito enquanto que o v f eacute mais ou menos da

mesma ordem de grandeza

Exemplo Calcular o a correspondente para x raquo 2 para aacutegua

leve atilde pressatildeo atmosfeacuterica

Da tabela para p laquobull 1 atm

v - 001672 ft 3lbm e v - 26800 ft 3lbm

1 + [(1-002)002] 001672268

0971 ou 97U

O grafico abaixo mostra a variaccedilatildeo do a com x para vaacuterias

pressotildees e para a aacutegua leve

x ()

tObservaccedilotildees da curva

Fig 2

1 - para x constante a decresce com a pressatildeo Para presshy

sotildees proacuteximas da criacutetica a aproxima-se rapidamente de

x Para a pressatildeo criacutetica as duas fases satildeo indistinguiacuteveis ea=x

2 - para cada pressatildeo dotdx decresce com aumento de x

3 - para baixos valores de x (que e o caso dos reatores

tipo Boiling) quando p decresce dadx cresce e torr

na-se muito grande paacutera baixas pressotildees Isto tem relaccedilatildeo com a epound

55

tabilidade do reator como veremos mais tarde

113 - Sistemas com fluxo

Todas as definiccedilotildees que noacutes vimos no item anterior refeshy

rem-se acirc sistemas em que a mistura esta fechada no recipiente Nes^

te caso natildeo havia movimento relativo entre as duas fases No entan

to se as duas fases da mistura se movem na direccedilatildeo vertical em

canais entre os elementos combustiacuteveis o vapor por causa de sua

flutuaccedilatildeo tem a tendecircncia de escorregar sobre o liacutequido isto e

move-se com velocidade maior do que a do liacutequido

Real Modelo

Pig 3

S -

Define-se neste caso a relaccedilatildeo de escorregamento (slip

ratio) (S) como sendo

V _i

V f

onde

V = velocidade do vapor

= velocidade do liquido

S modifica as relaccedilotildees entre a e x do item anterior S geralmen_

te gt 1 Define-se neste caso qualidade do vapor ou tiacutetulo como

sendo

_ fluxo de massa de vapor

fluxo de massa da mistura

Entatildeo se o fluxo de massa da mistura eacute m t(lbmhr) o flushy

xo de vapor seraacute = x m e o fluxo de liacutequido sera (1-x) m onde x

56

e o titulo do vapor para a particular secccedilatildeo (AL) da figura (3)

Devemos notar que neste caso x varia de secccedilatildeo para secshy

ccedilatildeo do tubo o exposto no paraacutegrafo acima vale considerando-se que

x e a permaneceram constantes na secccedilatildeo de espessura AL

Aplicando a equaccedilatildeo da continuidade as velocidades do va

por e liacutequido sao dadas por

o xm v

V vazatildeo = g g area A

V

(1-x) amp t v f

f A f

onde A e A f sao as aacutereas medias perpendiculares ao fluxo se as

duas fases sao imaginadas completamente separadas uma da outra

(figura 3) Assim temos

V x m v o A_ A v 0 ^ - 2 = iacute S t m _2L- JL JS m

V A (l-x)ui v 1-x A v U

f g t f g f

Sabemos ainda que para a secccedilatildeo considerada

volume do vapor na mistura a = volume total da mistura (agua+vapor)

A AL A pound g g

a = mdash a a = - mdash 1

(A+A )AL A f + g

A ou f _ 1 - a

A a 8

Substituindo em (2) vem

57

Esta expressatildeo pode ser rearranjada e obteremos uma relashy

ccedilatildeo entre x e a levando em conta o escorregamento Chega-se a

a = 1 ( 3 )

1+ [U-x)x3 igt

onde

v 4 laquo -- S

v lty o

Note-se que quando S=l (nao haacute escorregamento) caimos na

expressatildeo dada no item anterior

0 efeito do escorregamento eacute decrescer o valor de a pa_

ra um mesmo xbdquo Isto pode ser visto pela foacutermula (3) pois S gt lLo

go a decresce com acreacutescimo de S

Um alto S e entatildeo uma vantagem tanto para a transferecircnshy

cia de calor como para efeitos de moderaccedilatildeo Eacute uma vantagem para

transferecircncia de calor porque alto S significa alto V e portanto

maior turbulecircncia e maior contato do liquido com as paredes quenshy

tes Ha tambeacutem melhorias na estabilidade da reaccedilatildeo nuclear isto

porque como jaacute dissemos quando mdash7 diminui a estabilidade aumenshy

ta isso pode ser verificado observando a curva a versus x para a

agua leve a 1000 psiabdquo

Fig 4

58

A relaccedilatildeo entre x e a da equaccedilatildeo (3) so vale para secccedilatildeo

de tubo bem pequena

Devemos notar que S varia tambeacutem com a pressatildeo e velocida^

de de entrada do liacutequido no tubo Este efeito pode ser observado na

figura 5 abaxxo obtida esperimentalmente

s

3

~^ ~ psig

x = 001

V 1

Fig 5

Nos projetos de reatores como veremos adiante o valor a

geralmente eacute determinado por consideraccedilotildees nucleares (moderaccedilatildeo) 0

valor de S eacute determinado atraveacutes de uma estimativa ou entatildeo atrashy

veacutes de um graacutefico do tipo da figura 5 0 correspondente valor de x

pode ser obtido de uma foacutermula empiacuterica do tipo

1 = 1 (-S)0gt67

proposta por Von Glahn

Em muitos casos assume-se S constante em todo o comprimeiv

to do canal poreacutem eacute um erro que em muitos casos nao pode ser coshy

metido

4 REATORES EM QUE 0 LIacuteQUIDO B MODERADOR E CIRCUITO PRIMAacuteRIO AO

MESMO TEMPO BOILING-REACTOR (BWR)

A aacutegua ao se movimentar atraveacutes dos vaacuterios canais do

59

Boiling-reactor encontra vaacuterias resistecircncias ao fluxo que provoshy

cam uma reduccedilatildeo de pressatildeo no fluido

As duas perdas mais importantes sao perda de pressatildeo por

atrito e perda de pressatildeo causada pela aceleraccedilatildeo do refrigerante

ao aumentar de volume por receber calor num canal Outras perdas

de pressatildeo seriam a obstruccedilatildeo ao fluxo por corpos submersos (espa_

ccediladores juntas de tubos chaves etc) e por mudanccedilas abruptas de

aacuterea de fluxo tanto na entrada como na saiacuteda do tubo

Essas perdas de pressatildeo devem ser conhecidas o melhor popound

sivel principalmente nos reatores BWR Para tanto devemos saber

o comprimento de canal em que nao ha a ebuliccedilatildeo isto eacute qual o com

primento de canal em que o refrigerante vai da temperatura de sub-

resfriamento ate temperatura de saturaccedilatildeo

Seja o elemento combustiacutevel

Aquecimento Uniforme Aquecimento Senoidal

Fig 6 Fig 7

onde

H =

H = o

H b

comprimento do elemento combustiacutevel

cota onde o liquido se torna saturado

comprimento do elemento combustiacutevel em que ocorre

ebuliccedilatildeo

60

qg = calor sensiacutevel acrescentado ao liquido para satushy

raacute-lo

qfc = calor total acrescentado ao liacutequido em todo o com

primento do canal

laquoo

q s J o qiquest sen (IIzH) n H o

T~ = TH = 2 ( 1 c o s gt ( a )

q 1 sen (HzH) Jo ^c

A expressatildeo (a) vale quando tivermos uma adiccedilatildeo de calor

senoidal para qualquer outra forma de adiccedilatildeo de calor faz-se um

caacutelculo anaacutelogo

Outra relaccedilatildeo entre q g e qfc eacute dada pela termodinacircmica

q h- - h s f m (b)

(hr +x h )-hm ^t f e fg

onde

= entalpia para o liquido saturado a pressatildeo correjs

pondente (cota z = Ho)

hffi = entalpia do liacutequido na entrada do canal

x = tiacutetulo do vapor na saiacuteda

= entalpia do vapor

Com a relaccedilatildeo (b) noacutes determinamos a relaccedilatildeo q q ecom

S L

uma relaccedilatildeo do tipo (a) (conforme seja o adicionamento de calor ao

liacutequido) podemos obter a relaccedilatildeo HoH e consequentemente H^H

21 - Perda de pressatildeo num canal de evaporaccedilatildeo

Neste item iremos determinar as perdas de pressatildeo mais

representativas que ocorrem num canal de evaporaccedilatildeo de um reator

P + dP

bull1 i- 1 gti i i

dL

onde

UM

Icirc H Icirc Icirc T dF f t f

61

Quantidade de Mov na Entrada

= i- rigVg)

dF f l

Fig 8

m i

m 8

V l V 8

A P

dF

dF

dF

fg

fl

ftf

descarga do liacutequido

descarga do vapor

velocidade do liquido

velocidade do vapor

aacuterea transversal do canal

forccedila de atrito do vapor com parede

forccedila de atrito do liacutequido com parede

forccedila de atrito das duas fases liacutequido+vapor

Fazendo o balanccedilo das forccedilas considerando o sentido posjL

tivo na vertical temos

A (P-P-dP)-(dF +dF _+dF _)-(-pound-) (p A+p A )dL = mdash dGnV+m V ) P fg ftf fl g c 1 1 g g g c

v 1 1 g g 7

- dP = ~ (dF +dF--+dF)+- S--7=- (p A+p A )dL+ mdash ~ - d (m-V+m V ) A_ fg ftf fl g c Ap v^l 1 g g g A 11 g g

Fazendo a integraccedilatildeo termo a termo entre os dois extreshy

mos entrada e saiacuteda e considerando a pressatildeo de entrada igual a

P q e a de saiacuteda igual a Pe vem

Quantidade de Mov na Saiacuteda

-= h I- lY l+ A g V g + d ( aacute l V l + aacuteeVl

Forccedila de Gravidade

= ( g f - N P A + P g V

62

b) r e F f l

o p dp^ = Ap^ = perda de pressatildeo por atrito

do liacutequido na altura Ho

Aplicando a formula de Darcy vem

bull API = f bull ir bull ^ iexcl 7

onde

f = fator de atrito

c) e Fftf

o p ^P tpound

= perda de pressao por atrito da mistura

liquido + vapor no trecho de comprimen

to Hbdquo o

Para determinar esta perda de pressao define-se o fator

de multiplicaccedilatildeo R

A P R =

tf A P 1B

Sendo A p ^ a perda de pressao se o comprimento todo fosshy

se ocupado somente pelo liquido assim

A p t f = R A P 1 B

0 calculo de Ap-^ pode ser feito pela formula de Darcy e

o de R nos veremos no item seguinte

63

d)

-e F

d ( ^ )

O P

Ap = perda de pressatildeo por atrito do vapor

No caso do reator BWR o titulo de saida e bera pequeno e

em nenhum caso ocorre a saida de vapor com x = 100 logo a perda

de pressatildeo por atrito do vapor eacute nula assim

An = 0 5

e) Ap

(p A 1 + p A ) dL = Ap - perda de pressatildeo dpound

vida ao desniacutevel

(perda hidrostaacutetica)

Anbdquo = re A A

-S- I (p + p -S ) dL H s 1 A

c o p o A

como A A Jl_ =

A P

A +A-g 1

1-a -

temos

C Q

te j jll-a)p1 + apg)^jdL = p Lo pound

onde

e jo u

+ ap ) ~I dL (Densidade media 1 S J

no tubo)

No nosso caso

Ap u = p H

f)

re d(mV + m V ) _ mdash - laquo -i bull s iquestp laquos p e r d a ltje pressatildeo devido a acele-

c p raccedilatildeo do vapor

V A

(1-x) tl^Vj

(1-a) A

X V

aA

A p -

roV + m V

c p c p L_

m (l-x)m_v m xv nbdquo -1 T 1

+ _S S I (1-a) Ap aA

P

2 g A c p

n 2 2

(1-x) m T

laquo2 8 A c p

2 2 (l-xe) raTv1

2 2 2 xm_v (1-x) m-v e T s o 1 1

a 1 - a

2 2 - x m_v o T g

a

se

X Q 0 (so ha agua nesse trecho)

a = 0 o

temos

mbdquo Ap =

1 a A 2

S A degc p laquo-

tt-V v i 1 - a

2 via T^r - v i

t Apc

2

V v l

5c Ap

1 - a

x v - 1

a e v l

65

Fazendo

G = fluxo total da massa por unidade de area do

canal

(1-x J e

V

AP r

Assim a perda de pressatildeo total sera

H p V II pV r2 P -P = f -24-Iuml+ f R+p 0 1 2g c D e 2g c g c g c

2c2 - Determinaccedilatildeo do fator de multiplicaccedilatildeo (R)

221 - Relaccedilatildeo Martinelli-Nelson

Os autores Martinelli-Nelson determinaram experimental -

te esse fator R para varias LIT1L em funccedilatildeo da pressatildeo e da r NB total J v

qualidade de saiacuteda do vapor no canal Construiacuteram assim vaacuterias

curvas do tipo da figura 9

66

E importante notar que a qualidade do vapor (x) na saiacuteshy

da nao deve ser grande pois como vemos o valor de R cresce muishy

to com um aumento pequeno de x e um valor de R muito grande acar_

reta uma perda de pressatildeo grande pois

^ d u a s fases R ^ f a s e liacutequida

Para resolvermos um problema seguindo o criteacuterio de bdquo

Martinelli escolhemos a curva R = f(px) (para a relaccedilatildeo L

N g ^ j

adequado) e tiramos R com os valores de pressatildeo p e tiacutetulo x

As curvas R = f (p x L T t )IO encontram-se nos ANL 6469 bio I

e 6561

222 - Relaccedilatildeo Lottes-Flinn

Estes autores estudaram o problema para o aquecimento uni

forme do refrigerante com baixo titule Lottes-Flinn fizeram inuacuteshy

meras experiecircncias e verificaram que para fluxo de calor uniforshy

me e baixos titulos R era independente do fluxo de calor fluxo

do refrigerante escorregamento e apenas funccedilatildeo de a g

Como a quantidade de liacutequido eacute muito maior que a de vashy

por a perda de pressatildeo daacute-se principalmente pelo atrito do liacuteshy

quido com a parede Podemos assim escrever a foacutermula de Darcy

na forma diferencial

dz

d = f __ r e amp c

onde

V = velocidade do liquido saturado na cota zbdquo X

f = coeficiente atrito

= densidade do liacutequido saturado

Teoricamente a queda de pressatildeo deve-se ao acreacutescimo de

67

velocidade do liacutequido e da diminuiccedilatildeo da aacuterea de fluxo do liacutequi

do

P fH A P t p

= f D 2g Ho

d z

fazendo

V lo

m V t lo

(velocidade do liacutequido na cota z = Ho)

(1-x) m t v 1

(1-a) A (velocidade do liacutequido na cota z gt Ho)

a bull+ fraccedilatildeo vazio na cota z geneacuterica

V 1 (1-x) m t v 1

m t V l 1 - a

x =s 0 pois o tiacutetulo eacute baixo

A p t f = f bull JT5 c e

fH V lo

H o (1-a) dz

Para fazer a integral devemos achar a relaccedilatildeo de variaccedilatildeo

entre a e z Como o fluxo de calor eacute uniforme a qualidade eacute direshy

tamente proporcional a z

bull laquo x = x e H

z = mdash x X e

Sabemos ainda que (item 113)

x

1 + [ ( I -X)AKQ x + iiacuteraquo

68

como

temos

(1-x) = 1

v

X =

z =

1-a

1 -a

1-a e

a

e

1-a pound

a

1 -a igt (assumindo S = cte)

da

Atf - f bull 2 i ^ ~ J c e o

a 1 - a e e 1 s 4 hmdash) da

a 1-a

f P lv^ Q

0 termo mdash - mdash e a parte de perda de pressatildeo pelo lj^

^c e -quido ou seja Ap liquido saturado e como

Ap

R = tf

Ap liauido saturado

temos que

R J

f ae 1 _ a e 1 4

a 1 -a o e

1 -a r-R =

3 1 -a

a 1 -a imdash

3 vl - a 3

e e

Os valores de R obtidos por esta expressatildeo aproximam-se

muito dos valores obtidos pelos aacutebacos de Martinelli

69

E - EXPANSAtildeO E COMPRESSAtildeO DE UM FLUIDO - ANAacuteLISE HIDRODINAcircMICA

DE UM CIRCUITO EM CIRCULACcedilAtildeO NATURAL

1 EXPANSAtildeO NO FLUXO DE UM FLUIDO

11 - Uma so fase

Figura 1

Ha vaacuterios meacutetodos para determinar a variaccedilatildeo de pressatildeo

numa expansatildeo de fluido estudaremos o de Romie que eacute o que daacute

maior precisatildeo

Romie considera que a pressatildeo p^ tambeacutem atua na aacuterea

imediatamente apos a expansatildeo Assim fazendo o equiliacutebrio das foi

ccedilas nas secccedilotildees tracejadas da figura 1 temos

mVj

p r A 2 + mdash

mV

bull 2- A2

mas

m = pV^A^

pV^A = p V 2 bdquo A 2

V A

v 2 -4r-logo

( P l-P 2) A 2 = f ( V ^ ) - f _ v j amp c c 2

70

2 pV A A pV A A

Chamando A l A ]

K = 1 - T e degi2 = Aiexcl bull V E M

pvj

P l P 2 = T ~ bull ( 2 deg 1 2 ) ( 1 _ a 1 2 )

Outra maneira de chegar atilde diferenccedila de pressatildeo ( P j - ^ ) s mdash

ria usar o coeficiente de perda da mecacircnica dos fluidos Assim o

equilibrio das pressotildees eacute

2 2

1 V l 1 V 2 V l P i + _ p _ ^ P 2 + I p ~ + k 1 2 p mdash

onde = coeficiente de perda

A 2 1 2

k 1 2 - (l-o 1 2) - (1 - j- )

Fazendo as transformaccedilotildees chegamos a mesma expressatildeo obshy

tida pelo balanccedilo das forccedilas

PraquoIacute pr p

2 - - ir ^ laquo-ia

12 - Duas fases

Como ha duas fases a equaccedilatildeo do balanccedilo das forccedilas fica

um pouco alterada

m pound 1 V- m - raquoV - m-V- m bdquoV _ P A + j y ^ i + _gl_JUuml P A + -11-11 + -ilsl (a)

1 2 e R 2 2 ff e

Sabendo que

71

m (1-x) m t = p fA (1-a) V f

entatildeo

fl l-o^ p fA x

6 Vf2 1-x l-a2 P fA 2

m V = mdash mdash e V 0 = gl a 1 P C T A 1 g2

m

a_ p h

2 g 2

Nas expressotildees anteriores o x nao varia porque a expansatildeo

5 adiabaacutetica porem o a varia devido a modificaccedilatildeo do tamanho da

bolha

Substituindo os valores das velocidades na expressatildeo (a)

vera

( P - P ) Abdquo =

2

2 2 m gt2 2 m t (1-x) 1 x t

ra i 2 m i 1 x t 1

p fA 1 g c ttl p Ax gpound

m t P - P = mdash

(1-x) (l-a 1)A 1A 2 (l-a2)A|

a r A r A 2

V A 2

m t P bdquo - P = mdash 2 1 g c A r A 2 p f

(1-x) 1-a f A 2(l-a 2)

bull ^ 2

72

Se

P -P

a

m

g

12

1 _1_ (1-x)

J12

1 _ a l 1 - a 2 + X (- )

Pg

1 deg12 a 2 ^

Sabemos que

mt = V o pf laquo A l

Sendo V q = velocidade do liquido num ponto onde natildeo haja vapor

P 2-P 1

u 2 2 A 2

V pr Ai

V W p f

(1-x) 12

l-a1 l-a2

+ X 2 pf

mdash

l deg12

-1 a 2 _

p -p r 2 Al (2a 1 2)

2 M f w 1 deg12 X (mdash) (

pg al a 2 )+(l-x)C l 1 12

1-a^ l-a2

Devemos notar que esta expressatildeo tambeacutem vale para quando

temos uma fase para isso basta fazer

= c t 2 = 0

X = 0

e recairemos na formula do item anterior

2 pf 1 deg12 Observemos que neste caso o termo x (mdash)( ) nao

Pg al a2

2

73

tem significado pois corresponde a mudanccedila de fase

2 CONTRACcedilAtildeO KO FLUXO DE UM FLUIDO

21 - Uma so fase raquo mdash

Aqui ocorre um fenocircmeno importante pois o fluido ao ser

contraiacutedo nao vai diretamente da area A^ para a area A 0 mas ele

contral-se ate uma area A^ e depois expande-se ate k^

Ao A2

Po IP 2

V 2

Figura 2

Fazendo o equiliacutebrio das pressotildees entre os planos (1)

(0) vem 2 2

pV pV p +~ plusmn - P + i deg bull 1 2 g o 2 g (b)

C x

Fazendo equiliacutebrio da expansatildeo (0) - (2) vem

P o + 2 - f = P 2 + 2 -T + kp- 2 F ( c )

c c b C

Subtraindo (b) - (c)

2 2 2

i p- vj i p- v2 L P l + 2 bull g c

P 2 + 2 2g c

+ k P 2g c

74

Como

P - P = mdash 2 2g

2 2

bull (1 + k) - f bdquo mdash i

k a - f2 ) 2 - d - o c )2

= o

A = a 21

Weisback obteve varias relaccedilotildees entre a e a i] c

01 02 03 a 0624 0632 0643 c

0624 0632

A r v i - V v 2

p -p 1 2

P -P 1 2 2g7

v l =

(1+k) - laquofi- a 2g 21 c

( 1 + k - o 2 1)

X[- V 2 o 2 1V 2

22 - Duas fases

0 valor de k pode ser aproximado para

k = a(l - o 2 1)

onde segundo Richardsons para fluxo de duas fases podemos supor

a = 02

Para fluxo homogeacuteneo sabemos que

75

p = p f (1 -a ) + p o a

podemos supor p bdquo a = 0 pois p e pequeno e fazendo

V = V ~ V fbdquo2 go2 v 2

Substituindo estas duas expressotildees na equaccedilatildeo de uma soacute fase vem

2 2 p V (l-ct) p V (1 -a ) bdquo

P l P 2 = 9g ( 1 + 3 - 3 0 ^ - 0 ^ ) = g (a+1) (l-a^)

Se a = 02

2 12p oV 0

p r p

2 - 9g gt d-) d-sigt

A compressatildeo de um fluido acarreta uma perda de pressatildeo

como pode ser verificado pelas formulas uma vez que lt 1deg

3 ANALISE HIDRODINAcircMICA DE UM CIRCUITO EM CIRCULACcedilAtildeO NATURAL

Esquema deacute uma caldeira com circulaccedilatildeo natural

76

Determinar a velocidade em (7) para que tenhamos circula

ccedilatildeo natural Determinar tambeacutem as perdas de pressatildeo em todos os

trechos da caldeira

31 - Contraccedilatildeo das secccedilotildees (1) - (2)

Como jaacute vimos a equaccedilatildeo do balanccedilo das pressotildees eacute

1 pr Vl 1 p 2 o V 2 P2 V2

1 2 g 2 + 2 g + K12 2g otilde c amp c e c

bullraquo 2 o2 2 e havendo uma soacute fase k 1 9 = (l-o ) = (1 mdash ) e sendo

C 2

p l = p2

v x lt lt lt v 2

P 2 V pr p2 bull ir2 bull ( 1 + k12gt

Colocando em termos de temos

A 2 V 2 P 2 = A 7 V 7 p 7 (continuidade)

V = V mdashbull = V o_bdquo ~ A 2 2 2

P 2 V - p 2

p r p 2 = ir2 - deg72 bull Ccedilrgt bull lt 1 + ki2gt

fazendo

N12 - lt^gt deg72 ( 1 + k12gt

P7 V7

Pr P2 - N12 bull HG

77

3 2 - Perda de carga no trecho ( 2 ) - ( 3 )

Como haacute apenas uma fase soacute temos perdas por atritos e

perdas hidrostaacuteticas

Sendo como jaacute vimos

2 3 p 2 2 g P 2 P 3 = f 2 3 (r~2g^~) L 2 3 g c p

atrito hidrostaacutetica

Substituindo V^ pela relaccedilatildeo do item anterior e tendo em

conta que p = vem

P -P = f 2 r 3 2 3 D

2 3 p 2 bdquo 2 2 p 7 2

2 g 7 72 p 2 3 g

Se

L 2 3 2 p 7

2 3 2 3 D 2 a 7 2 p 2

P 7 V 7 g P 2 - P 3 = N 2 3 ( mdash gt p 2 L 2 3 f

3 3 - Expansatildeo nas secccedilotildees ( 3 ) - ( 4 )

Como vimos o balanccedilo das pressotildees e

2 2 2 p V p 4 V p V

P 3 + 2 g c

P 4 + 2 g c

+ k 3 4 2 g c

onde

k 3 4 - - -

2 2 1 P 4 - V 4 P 3 v 3

P 3 P 4 = 2 g + ( k 3 4 _ 1 ) 2 g

78

Sendo

P 3 - P 4

p 3 o A 3 deg V 3 = P 7

a A 7 o V 7

P 4A 4 0V 4 = P r A r V

3 7 A 3 p 3

A7 P7 V = v mdash mdash 4 7 P 4

P - P 3 r4

Se

P bdquo - P

bdquo2 r-P 7 V 7

3 4 2g deg74 + ( k 3 4 1 ) deg73

34 p deg74 + ( k 3 4 1 ) 73

p r v2

P3- P4 ^ N34 ^ gt

(No caso e negativo)

34 - Contraccedilatildeo nas secccedilotildees (5) - (6)

Ainda temos uma so fase e fazendo o balanccedilo das pressotildees

como fizemos no item 3lt1 vem

P + vil p + vi + k vi P 5 + 2gbdquo P6 + 2gbdquo + k56 2gbdquo

k 5 6 lt 1 ^ gt 2 ( 1 - Iacute 2 i 2 6

V V6 P5degIacute 5^6 ^SS 2g c - 2g c

P - P ^ = (1+kJ

Como

79

A 6

W p 5 =

VV P6 V 5 = V 6 Jiexcl = Vff65

P 5-P 6 - lt H k 5 6 ) mdash ^ mdash (l+k 5 6-a 6 5) c c c

Sendo

Se

A 7 p 7 p 7

6 7 Ag p 6 7 76 p 6

p _p _ P6- V7- g76 iquest72 ( _ 02 P 5 P 6 2g c bull ( p 6

( 1 + k 5 6 deg65 )

p 7 2 2 N56 = p ^ deg76 ( 1 + k 5 6 ~ a 6 5 )

P 7 V 2

7

P r-P = N r 5 6 56 2g c i

35 - Perdas de pressatildeo nas zonas (6) - (7) - Pre^aquecimento

Nesta regiatildeo temos perdas por atrito e hidrostaacuteticas

Nao haacute perda por aceleraccedilatildeo pois ainda natildeo houve formaccedilatildeo de boshy

lhas

Fazendo balanccedilo das pressotildees temos

L_ ppound-V p = p + otilde L - pound _ + f -Si (-21mdashL 6 7 + p67 L67 g + t 6 7 D K 2g

p _ e ifn sao tomados como valores meacutedios 67 67

P _p _ f hl ^67jIacute uuml + - L A

6 F 7 r67 D 2g P P67 L67 g 6 s c 7 c

S e Kr pound67 L67 p67 6 7 D 6 p7

p7 V - _g_ P6- P7 - N67 mdash + P67 L67 f

c c

80

36 - Perda de pressatildeo nas zonas (7) - (8) - Zona de ebuliccedilatildeo

Nesta regiatildeo j aacute temos o aparecimento de bolhas logo a

perda de pressatildeo seraacute devida agraves t recircs parcelas aceleraccedilatildeo a t r i t o

das duas fases liacutequidas + vapor e h idros taacute t ica

onde

Assim

P-P Q = AP + AP + APbdquo 7 8 a t r i t o acel H

T M1

78 p 7 7 AP - R f- - mdash mdashr |R = fator mult ipl ica-

a t r i t o 7 D 7 2 g c L tivo

G 2

AP bull r mdash acel g c

P V

|_1 - o a p J 8 P f

2 t r 2 M2

7 7 r 7 7 A P a c e l = -J^mdash 2 r bull p 7 lt T iexcl iexcl - )

A PH p 7 8 L 7 8 fiexcl

p 7 8 iacute 7 li 1 0 0 P l i q + a P v ] d L = P 7 ( 1 - laquo 7 8 )

ag raquo fraccedilatildeo de vazio media entre 7 e 8

APH = p (1 - 5 7 g ) f- L 7 8

2 2

P 7 - P 8 a 5 - 2 T i + 2 r p 7 + P 7 ( 1 - 7 8 gt f L 7 8 7 amp c amp c amp c

81

N 7g = R mdash + 2 r p 7

P7 V7 P7- P8 = N78 + P 7 ( 1 5 7 8 gt J78

37 - Expansatildeo nas secccedilotildees 8 e 9

No caso haacute uma expansatildeo com duas fases e como vimos no

item 12 a variaccedilatildeo de pressatildeo era dada por

0f Vo P2 P1 = ~2g c ( 2 deg12

x 2 (mdash)(mdash - mdash ) + ( l - x ) 2 ^ T mdash 8 1 2 1

12

Aplicando ao nosso caso

P pound = P 7

P -P = 8 9

V - V raquo V g f 7

P 7 V 2

2 pf 1 a89 2 1 g89 x (mdash) ( ) + (1-x) (- - N

o ou abdquo 1-cu l-ot_) g 8 9 8 9

Se

N 89

= 2 a 89

2 pf 1 deg89 2 1 CT89 x (mdash) ( ) + (1-x) ( T

g 8 9 8 9

P -P = 8 9

- N P7deg V7

89 2gbdquo

38 - Perda de pressatildeo no trecho 9 e 10

No referido trecho temos apenas perda de pressatildeo por atr L

to da fase liacutequido + vapor e perda hidrostaacutetica Natildeo haacute perda por

aceleraccedilatildeo do vapor pois este natildeo recebe mais calor e portanto

o 82 o

nao ha variaccedilatildeo no a

p

Q -p i n = A P

U + A P bull 9 10 H atrito

n T -S_ P9 U10 deg 910 bull g

fio r

910 I 910

J9 L

(l- a)P + Q P I dL liq v

(l-a0) p

No caso a = (nao hatilde variaccedilatildeo de forma)

A P H - (1-a ) P (p L 0

c

AP bdquo = R o

atrito

2 f9 o L910 P9 V9

2g

Supondo

= V

P 9 = P 8 P 7

vbdquo = v 9 8 0 A r

= V 7 bull deg89

AP - R atrito

2 2

W l O p7deg V7deg g89

V P10 R -^T^ bull deg89 bull li-2 + ( W P 7 (fgt SIO

y c c

Se

- f9 L910 2 N9ol0 R Dl deg89

w 2

p rv P9 P10 = VlO + ( 1 a 9 ) p7 (f gt L910 c

33

39 - Perda ciacutee pressatildeo na expansatildeo 9 - 1 0

Analogamente a expansatildeo 8 - 9 temos

10 11 P 7 2g

10 Iacute 2 0 1 0 - 1 1 gt

2 ff

pg aio

10-11

laquo11 ) +

Ll-a 1 0 bull l-a u J

Se

V10 = V 9 = V 8 bull T9 = V 7 deg89

P -P 10 rll = - a 2g 089 ^lO-ll

4 bull T~ bull (7 1 mdash ) + Pg degio a n

+ (l-x)2(- 1 10-11

1 - aio )

N10-ll = 2 a10-ll a89 2 pf t 1 10-11 N2

-(j-r- - ) bull+ (1-x) pg aio deg 1

10-11 k l - a io

prz P10 Pll = - N10-ll bull ( 2gbdquo

310 - Calculo de V

Fazendo a somatoacuteria de todas as expressotildees (P^-Pj) tere-

84

mos 2 PbdquoV_

P bdquo - P bdquo = N 7 v 7

1 2 12 2g

bull 2 - P 3 - = N 2 3 P 2 L 2 3 f c ccedil

9 P 7 V 7 P _p = N mdash -

3 4 34 deg 2g

V P 5 = deg

2 P V

5 6 56 2 g c

ltr2

P 7 -V 6 e7 -N67 2g + p 6 7 J j67 g

c bc v 2

P 7 - P 8 = N 7 8 - 2 i ~ + p 7 ( 1 - laquo 7 8 ) L 7 8 c

P 7 V 7

P - P - -N mdash - -8 9 89 2g

c P 7 V 7

P 9 ~ P 1 0 VlO 2g + ( 1 a 9 P 7 L 9 c

P 7 V 7

bull10 11 U10-ll 2g

P v iacute j P - P

1 11

7 - v 7 3 bull r

2 8 i U L 2 23 67

(l-5 7 8) L 7 8 + ( l - laquo 9 ) P 7 bull SlOtilde]- ^

Por ou t ro lado sabemos que como secccedilotildees 1

mesmo n iacute v e l

85

s c p r v 7 j

28 Z N i ij

= P 2 L23 p67 L67 P 7 ( 1~deg78 )

78 ~ ^g) bull P 7 bull L 910 g_

V - 2 g ( p r L 2 3 - p 6 r L 6 7 - p 7 ( l - atilde 7 8 ) L 7 8 - (l-a9) p L 9 a ( )

y N

Com esse valor de podemos determinar todas as variashy

ccedilotildees de pressatildeo (P^-P )

BIBLIOGRAFIA

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tituto de Energia Atocircmica de Sao Paulo em 1966 (roteiro)

- WR Gambill - Nuclear Safety

Vol 9 - n9 5 e 6

Vol 6 - n 2 (pag 152)

Vol 4 -r n9 1 (pag 30)

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Mc Adams - Heat Transmission

- Paul A Lottes - Argonne National Laboratory

- AKL - 6469

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Frank Kreith - Principles of Heat Transfer

Journeacutees Internationales de la transmission de la chaleur

Seminaacuterios realizados em Paris em 1961 sob a supervisatildeo do

Prof Marcel Veron

Notas de aula da Cadeira de Termodinacircmica I e Transmissatildeo da

Escola Politeacutecnica da Universidade de Sao Paulo

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14

n = 04 para fluido aquecendo

n =raquo 03 para fluido resfriando

Note-se que neste caso houve necessidade de considerar ou

tros adimensionais para aliar a anaacutelise dimensional agrave experiecircncia

no item a) dois outros adimensionais tiveram que ser acrescentados

(DL) e (up s)

Na expressatildeo 101 b) se o N critico for tomado como

sendo 5 x 10 (usado comumente) a expressatildeo usada eacute a mesma a me

nos do termo 18700 que passa a ser 23200

Devemos observar finalmente que estas expressotildees nao se

aplicam a metais liacutequidos e que elas nos datildeo nuacutemeros de Nussel meacuteshy

dios e natildeo locais

15

B - CONVECCcedilAtildeO COM MUDANCcedilA DE FASE - CONDENSACcedilAtildeO (I)

lo INTRODUCcedilAtildeO

Devemos considerar dois tipos de convecccedilao com mudanccedila de

fase que sao a condensaccedilatildeo e a evaporaccedilatildeo

Os problemas de convecccedilao de calor com mudanccedila de fase sao

tao importantes na industria como os de convecccedilao de uma uacutenica

faseraquo Os exemplos mais comuns de sua aplicaccedilatildeo sao os condensadoshy

res e evaporadores usados nos condicionadores de ar geladeiras

caldeiras etc

Neste capiacutetulo estudaremos apenas a condensaccedilatildeo

Os problemas de convecccedilao com fluidos condensando ou evashy

porando sao bem mais complexos que os demais processos de convecshy

ccedilao porque aleacutem de envolver variaacuteveis nao consideradas na conshy

vecccedilao de sistemas de uma so fase tecircm uma variaccedilatildeo nas propriedashy

des fiacutesicas de tal grandeza que essa variaccedilatildeo interfere decisiva

mente no fenocircmeno

2 CONDENSACcedilAtildeO

Eacute a passagem de um vapor para o estado liacutequido pela retishy

rada de calor

21 - Aspectos Gerais

A condensaccedilatildeo eacute realizada fazendo com que o fluido (vashy

por) entre em contato com uma superfiacutecie cuja temperatura esteja

abaixo da temperatura de saturaccedilatildeo do fluido correspondente atilde pres_

sao do vapor

0 coeficiente de peliacutecula relativo ao vapor de aacutegua satushy

rada que condensa sobre uma superfiacutecie fina eacute da ordem de grandeshy

za de 10000 kcalhrm^degC em casos excepcionais chega-se acirc valo-

16

res 50o000-100bdquo000 kcalhrm 2degC Isto eacute obtido a maneira pela

qual a condensaccedilatildeo se produz Ilaacute duas maneiras

1 - condensaccedilatildeo por peliacutecula daacute-se quando o liacutequido con

densado molha totalmente a parede formando urna peliacute

cula continua sobre a mesmaraquo

2 - condensaccedilatildeo por gotas daacute-se quando o liacutequido ao se

condensar rcune-se em gotas que crescem ateacute terem

peso suficiente para escoarenu

0 primeiro tipo eacute o mais comum e eacute o que daacute menor coefishy

ciente de peliacutecula porque a pelicula do liacutequido constitui uma re

sistencia adicional a passagem do calorraquo No segundo tipo chega-se

a coeficientes de pelicula muito maiores pelo fato do vapor estar

sempre em contato direto com a superficie resfriadura isto eacutepor

nao haver resistencia adicional

2o2 - Condiccedilotildees para termos condensaccedilatildeo por peliacutecula ou por

gotas

Sob o ponto de vista da transmissatildeo de calor deveriacuteamos

sempre preferir a condensaccedilatildeo por gotas pois como jaacute dissemos e

a que daacute maior eficiencia teacutermica Acontece poreacutem que tecnologji

camente eacute difiacutecil a obtenccedilatildeo da condensaccedilatildeo por gotas pois haacute

necessidade de termos um vapor puro urna superficie de resfriameii

to perfeitamente lisa (cromeada espelhada) e com resinas para fa

cilitar a formaccedilatildeo das gotas Tudo isso encareceria demais um con_

densador por isso eacute que na praacutetica usamos condensaccedilatildeo por peliacutecu

la quando podemos usar chapas ou tubos comerciais

So em casos muito especiais quando o espaccedilo eacute muito imshy

portante usa-se condensaccedilatildeo por gotas

2 3 - Remoccedilatildeo do Condensado

Um fator importante a considerar na condensaccedilatildeo eacute a remo

17

ccedilao do condensado que sempre se faz por gravidade Ha dois tipos

principais de superficies de condensaccedilatildeo

1 - Tubos ou placas verticais (ou encunadas)

2 - Tubos cilindricos horizontais

Nos tubos verticais a espessura da peliacutecula liacutequida aumen

tara do topo acirc base e com isso variaraacute ao longo do tubo o coefishy

ciente de peliacutecula loacutecalo

No caso dos tubos ciliacutendricos horizontais o liacutequido escoj

re pela parede lateral e goteja pela parte inferior natildeo havendo

possibilidade de formaccedilatildeo de camadas espessas do condensado

2raquo4 - Condensaccedilatildeo por peliacutecula sobre tubos verticais

Nusselt desenvolveu estudos analiacuteticos sobre condensaccedilatildeo

externa a tubos ciliacutendricos verticais partindo das hipoacuteteses

1 - A espessura da peliacutecula do condensado eacute nula na parte

superior do tubo e vai aumentando nas partes inferioshy

res por condensaccedil-ao e escorrimentoraquo

2 - 0 fluido escorre pela parede em regime laminar sob o

efeito combinado do seu peso e viscosidade

3 - A temperatura da camada mais interna do condensado tem

a temperatura da parederaquo

4 - A temperatura da camada mais externa tem a temperatushy

ra do vapor-

5 - A variaccedilatildeo da temperatura da camada do condensado em

sentido ortogonal agrave superfiacutecie do tubo eacute linear

6 - 0 vapor cede apenas seu calor latente

7 - A temperatura do tubo eacute uniforme e constanteraquo

8 - Nao haacute gases incondensaacuteveis no vapor (vapor puro)

Chegou a formula

18

2 3 g P - h L t

N j = 0943 ( r-EcircY~ ) 1 4 (l) NuL y bdquo k o At v

As propriedades da equaccedilatildeo (1) satildeo avaliadas agrave temperatu

ra meacutedia tm

c + t _ w sat

tm ~ onde

t = temperatura da parede

t = temperatura de saturaccedilatildeo do fluido S 3Lt

exceto o calor latente da vaporizaccedilatildeo b^ que deve ser avaliado agrave

temperatura de saturaccedilatildeo correspondente atilde pressatildeobdquo

Quando a superfiacutecie focircr inclinada vale o raciociacutenio de

Nusselt apenas o termo que atua na remoccedilatildeo do condensado natildeo eacute g

mas sim (g seno) sendo 6 a inclinaccedilatildeo da superfiacutecieraquo

Assim a equaccedilatildeo para estecaso seria

2 3 g o sene o p o h o L

NT _ = 0943 ( r~ y (2) NuL y o k o At w

25 - Efeitos a considerar na condensaccedilatildeo

Ha 3 efeitos importantes a considerar na condensaccedilatildeo que

Nusselt natildeo levou em conta sao eles

- efeito da turbulecircncia no filme liacutequidoraquo

- efeito dos gases incondensaveisraquo

- efeito da velocidade do vapor

251 - Efeito da turbulecircncia no filme liacutequido

As formulas anteriores servem para comprimentos de tubos

pequenos pois nesse caso a velocidade de escoamento do condenshy

sado natildeo eacute grande entretanto para superfiacutecies verticais longas

a peliacutecula torna-se bastante espessa e com velocidade grande deshy

mais para que o escoamento possa ser considerado em regime lamishy

nar

19

Nesse caso define-se o numero de Reynolds baseado na veshy

locidade da fase liacutequida isto eacute

p V 6

Nbdquo - m r

Rer y u

onde

V = velocidade do condensado na camada limite m 6 = espessura da camada limite

T = p V m 6 = descarga do condensado por unidade de largju

ra da superficie de condensaccedilatildeo

No calculo da determinaccedilatildeo de T haacute uma certa dificuldade

pois ele soacute pode ser determinado por iteraccedilatildeoraquo

Q = m c laquo A t = h A A t P

A = 2ir R bdquo L (para tubos)

m c = h o 2IumlIuml R laquo L P

m m braquoL _ p a _ _ li li

2TTR C c P P

Como noacutes nao sabemos o valor de h_ devemos inicialmente

adotar um V e obter atraveacutes da foacutermula

NNuL = deggt0134 (R PV L 3 gt 1 3 ( N R e r ) 0 4 ( 4 )

y

o valor de _h se os valores de h_ obtidos por (3) e (4) forem iguais

o problema esta resolvido caso contraacuterio fazem-se tantas iterashy

ccedilotildees quantas forem necessaacuterias

252 - Efeito dos gases incondensaacuteveis

A presenccedila de gases incondensaacuteveis reduz violentamente o

coeficiente de peliacutecula pois acirc medida que o vapor se condensa o

gaacutes nao condensaacutevel se acumula junto atilde superfiacutecie de resfriamento

20

formando uma barreira adicional S passagem do fluxo de calor

A reduccedilatildeo do coeficiente de peliacutecula que a presenccedila des_

ses gases causa depende da fraccedilatildeo em massa dos mesmos na mistu

ra gaacutes-vapor

Fizeram-se inuacutemeras experiecircncias e sobre o assunto a tiacute

tulo de exemplo vejamos o graacutefico abaixo onde temos em abcissas

o coeficiente de peliacutecula obtido experimentalmente e em ordenadas

a fraccedilatildeo de gases dissolvida jio vapor

5000

bullg- 4000 O

3OOO

2000

S 1000

4 6 8 10 12 lt|gt(lbm arlbm de vapor )x 10

Devemos notar a grande influecircncia dos gases incondensatilde-

veis por exemplo quando o vapor eacute puro nos temos um h = 4000se

tivermos apenas 1 de ar dissolvido o coeficiente de peliacutecula fishy

caraacute reduzido agrave metade isto ecirc h = 2000

Por isso nos condensadores sempre se coloca vapor ornais

puro possiacutevel

253 - Efeito da velocidade do vapor

Quando a velocidade do vapor junto agrave interface liacutequido-

-vapor natildeo focircr despreziacutevel surgem forccedilas de atrito entre o vapor

e o liacutequido Se a direccedilatildeo do fluxo do vapor coincide com a direshy

ccedilatildeo do movimento do liacutequido a velocidade do liacutequido aumenta (haacute

compressatildeo) e a espessura do filme liacutequido diminui e consequenshy

temente a transferecircncia teacutermica melhora pois haacute diminuiccedilatildeo da

resistecircncia teacutermica

Se entretanto a direccedilatildeo do vapor focircr contraacuteria a do fil

o 21 laquo

me de liquido ha uma tendecircncia de haver aumento da espessura da pj2

liacutecula diminuindo assim o valor de h

26 - Consideraccedilotildees sobre os resultados obtidos com as foacutermushy

las de Nusselt

Nota-se experimentalmente que os resultados obtidos pelas

equaccedilotildees de Nusselt sao em geral 10 a 20 inferiores do que os reshy

sultados reais Assim a favor da seguranccedila elas sao usadas e aaacuteo_

tadas Os motivos das discrepacircncias jaacute-foram ditas atraacutes no item

25

Devemos notar ainda que o valor de h obtido pelas foacutermushy

las anteriores e o valor meacutedio jaacute que h varia de ponto para ponto

e seria difiacutecil obter uma equaccedilatildeo que nos desse o valor de h locaL

2bdquo7 - Condensaccedilatildeo por peliacutecula externamente a tubos ciliacutendrishy

cos horizontais

0 mesmo estudo de Nusselt pode ser aplicado neste caso

baseado na hipoacutetese de que no topo do tubo a peliacutecula do condensashy

do tenha espessura nula Chega-se a expressatildeo

g p 2 h D 3 14

NT _ = 0725 ( ) (5) NuD u k o At

Analogamente ao caso anterior as propriedades do liacutequido

sao tomadas a

t + t w sat

tm = ^

exceto h que eacute tomado a t

ev n sat

Na situaccedilatildeo atual da tecnologia e possiacutevel obtermos tubos

com diacircmetros suficientemente pequenos para que tenhamos escoamenshy

to do condensado soacute em regime laminar

22

No caso de vaacuterios tubos empilhados a formula (5) deve

ser modificada pois como dissemos ela soacute vale quando no topo do

tubo a espessura do liacutequido eacute nula o que nao acontece neste caso

(Vide figura a)

Vapor

Tubo

mdash Liacutequido

Fig a

Neste caso a forma que nos da o valor meacutedio para h e

g p 2 h D 3 14

NNuD deg gt 7 2 5 lt N u k V At gt

sendo N o numero de tubos empilhados

Note-se que neste caso o coeficiente h cai bastante Uma

boa soluccedilatildeo para o caso quando dispoacuteftos de lugar eacute dispor os tushy

bos defasados (Conforme figura b)

Liquido

Fig b

Neste arranjo podemos aplicar a equaccedilatildeo (5) pois no tp_

po de cada tubo a espessura da camada de condensado eacute nula

23

B - CONVECCcedilAtildeO COM MUDANCcedilA DE FASE - EVAPORACcedilAtildeO (II)

1 INTRODUCcedilAtildeO

Evaporaccedilatildeo consiste na obtenccedilatildeo de vapor por meio de aque

cimento de um liacutequido

Apesar da importacircncia do processo e do sucesso obtido na

praacutetica em projetos de evaporadores o fenocircmeno da evaporaccedilatildeo eacute

um dos pontos menos conhecidos da transmissatildeo de calor

0 primeiro estudo seacuterio sobre o assunto foi feito em 1934

pelo japonecircs Nukiyama poreacutem somente nos uacuteltimos 10 anos tais es-

tudos se intensificaram

Os primeiros pesquisadores quando estudavam o fenocircmeno

do resfriamento de um solido num liacutequido obtiveram as seguintes

curvas

onde

temperatura

velocidade de resfriamento

3 0 v = amdashbull

A 06

Q - fluxo teacutermico

8 - tempo

A - aacuterea do soacutelido

24

tempo

Ateacute os estudos de Nukiyama nao se conseguia explicar o

porque da variaccedilatildeo crescente da velocidade de resfriamento quando

t gt t sol sat

2 PROCESSO DE FORMACcedilAtildeO DAS BOLHAS

Como a evaporaccedilatildeo do liacutequido se faz sobre uma superfiacutecie

aquecedora sobre esta irao se formar bolhas de vapor que influem

decisivamente no fenocircmeno

Aqui soacute iremos estudar as bolhas sob o ponto de vista qua

litativo bem como a sua influencia mas nao sob o ponto de vista

quantitativo

Recentemente Fritz e Jacob WR Gambill e outros estudiacutei

ram o processo da formaccedilatildeo das bolhas sobre a superfiacutecie aquecedpound

ra Atraveacutes de fotografias verificaram que a bolha de vapor ain

da em contato com a parede variava profundamente de forma confo_r

me o angulo de contato entre liacutequido e parede metaacutelica

Assim eacute que se a superfiacutecie de aquecimento nao e excesshy

sivamente polida e a tensatildeo superficial do liacutequido eacute pequena a

bolha tem a forma da figura las diz-se nesse caso que o liquishy

do molha a parede neste caso o angulo de contato e agudobull Se

as condiccedilotildees contrarias se verificarem o acircngulo de contato sera

obtuso e as bolhas tomam a forma da figura ldegb Naturalmente ve

rificara-se as condiccedilotildees intermediaacuterias para o angulo de contato da

25

fig lc

Fig la Fig lb Fig lo

0 estudo analiacutetico da formaccedilatildeo e crescimento das bolhas

pode ser encontrado em diversos livros por exemplo no El-Wakill

(Nuclear Power) no Jakob (Heat Transfer)e outros Neles faz-se

o estudo das condiccedilotildees do liquido (pressatildeo temperatura tensotildees

etc) para haver ou nao formaccedilatildeo de bolha Isto eacute feito fazendo-se

o estudo das bolhas nas seguintes posiccedilotildees

a) bolha no seio do liacutequido

para meia bolha

4 ltP g - P fgt fg

onde

P g P f

- 4 D (D

g

Pf

D

pressatildeo do vapor

pressatildeo do liquido

tensatildeo entre superfiacutecie do liacutequido e vapor

diacircmetro da bolha

^f g

P f Fig 2

26

A equaccedilatildeo (1) mostra que a pressatildeo do vapor deve ser maior

que a do liquido nas condiccedilotildees de saturaccedilatildeo e este por sua vez

deve estar no estado de superaquecimento o

b) bolhas sobre superfiacutecie solida

Fig 3

Condiccedilotildees para desprender

a mdash o_ + o_ cos a gs fs fg

tensatildeo na interfase liacutequida e vapor (depende das

propriedades do liacutequido e vapor)

tensatildeo entre o liacutequido e superfiacutecie de aquecimen

to (depende das propriedades do liquido e da sushy

perfiacutecie)

tensatildeo entre o vapor e a superfiacutecie de aquecimeri

to (depende das propriedades do vapor e da super

fiacutecie)

21 - Formas do fluxo do vapor desde a superfiacutecie de aquecishy

mento ateacute a superfiacutecie livre do liacutequido

Considerando liacutequido vaporizado em tubos verticais pode^

mos ter 4 tipos de fluxo de vapor

1 - fluxo de bolhas

2 - fluxo de agregados (plug ou slug)

3 - fluxo anular

4 - fluxo disperso

Os quatro tipos ficam bem determinados respectivamente

onde

a fg

degfs

a gs

27

pelas 4 figuras abaixo

LIacutequido - Liacutequido Liacutequido

o

^Bocirclha de

vapor

Vapor

mdash [

- Vapor

mdash 0 0

deg_ a-

jrj-

iquestiexcl5

Bolhas Agregados Anular

Liacutequido

vapor

Disperso ou

Homogecircneo

Conforme o tipo de ebuliccedilatildeo podemos ter uma so das forshy

mas acima ou uma mistura

3 INCERTEZAS NO ESTUDO DA EVAPORACcedilAtildeO

Ha trecircs incertezas principais para determinar o fluxo de

calor na evaporaccedilatildeo a saber

- Aacuterea de contato indefinida

- Diferenccedila de temperatura indefinida

- Grau de turbulecircncia

Como realmente nos nao sabemos uma dependecircncia algeacutebri

ca entre o acircngulo de contato e a superfiacutecie ocupada pelo liacutequishy

do (ou vapor) temos uma incerteza na determinaccedilatildeo da aacuterea de tro

ca de calor (A)

Outra incerteza eacute a dificuldade da obtenccedilatildeo de diferenccedila

de temperatura entre o liacutequido e a parede que normalmente assume-

-se como sendo a diferenccedila entre a temperatura da parede e da ebu

liccedilatildeo do liacutequido (temperatura de saturaccedilatildeo = t )

S cl c

Na realidade a diferenccedila de temperaturas nao eacute aquela

pois a camada de liacutequido que cobre a superfiacutecie aquecedora esta

a uma pressatildeo maior que o resto do liacutequido (pressatildeo atmosfeacuterica

mais a hidrostaacutetica) e consequentemente a temperatura de vaporiza_

ccedilao desse liacutequido e maior que a da superfiacutecie Esta diferenccedila po-

28

deria ser calculada desde que se conhecesse a relaccedilatildeo entre presshy

satildeo e temperatura de saturaccedilatildeo do liacutequido entretanto haacute incerte

za quanto ao verdadeiro peso especiacutefico da coluna de liacutequidopois

trata-se de uma mistura de bolhas de vapor e de liacutequido em proshy

porccedilatildeo variaacutevelraquo

4 REGIMES DE EBULICcedilAtildeO

Nukiyama estudando a ebuliccedilatildeo da aacutegua num recipiente a

quecendo-a com resistencias eleacutetricas construiu a curva baacutesica da

ebuliccedilatildeo Todos os liacutequidos apresentam uma curva semelhante vashy

riando apenas os valoresraquo Os pontos caracteriacutesticos da curva deshy

pendem de caracteriacutesticas difiacuteceis de definirtais como natureza

do metal estado da superficie (rugosidade) dimensotildees orientashy

ccedilatildeo do fluxo quantidade de gases dissolvidos e t c

Estudaremos o fenocircmeno para o caso de aacutegua destiladasem

gas dissolvido a temperatura de saturaccedilatildeo 100 C pressatildeo atmosfe_

re uma superficie plana

Chega-se assim acirc curva

rica sobre uma superficie plana horizontal a temperatura t^

In ltJgt

At (degC)

A curva acima representa o aquecimento de agua com uma re_

sistecircncia eleacutetrica (ate ebuliccedilatildeo)raquo Temos em abcissas as diferenccedilas

de temperatura entre o liacutequido e a resistecircncia em ordenadas o flu

29

Regiatildeo I

Regiatildeo II

Regiatildeo III

Regiatildeo IV

xo de calor por unidade de area

Na curva notam-se 4 regiotildees bem definidas tendo cada uma

o seu significado fiacutesico os quais correspondem a um tipo de ebuli

ccedilao

convecccedilao natural

ebuliccedilatildeo nucleada

ebuliccedilatildeo por peliacutecula parcial

ebuliccedilatildeo por peliacutecula estaacutevel

41 - Convecccedilao natural

Ocorre quando At eacute inferior a 8degCformam-se no liacutequido

correntes convectivas as quais transferem o calor ateacute a superfiacuteshy

cie livre do liacutequido e aiacute desprendendo o vapor Neste caso o valor

de h eacute da ordem de 2000 kcalm^hdegC

42 - Ebuliccedilatildeo nucleada

Ocorre quando o At eacute maior que 8degC e menor que 25degC Nesshy

te caso as bolhas formam-se junto a superfiacutecie de aquecimento

crescem liberam-se movimentam-se em direccedilatildeo agrave superfiacutecie livre do

liacutequido onde estouram libertando o vapor As bolhas formam-se nas

irregularidades da parede tecircm um acircngulo de contato agudo e porshy

tanto hatilde liacutequido sempre em contado com a parede (molha a parede)

cada ponto ativo (lugar onde se formam as bolhas) libera uma porshy

ccedilatildeo de bolhas e os outros pontos do liacutequido ficam em contato com a

superfiacutecie quente violentamente agitados Esta agitaccedilatildeo extrema eacute

mais eficaz que uma turbulecircncia criada artificialmente Por esse mo

tivo a curva cresce violentamente nesse trecho (m = 3 a 7) pois

bull 2 o o valor de h cresce consideravelmente (ate 46000 kcalm hr C) e

o fluxo teacutermico transmitido ao liacutequido cresce proporcionalmente a

Quando cresce crescem tambeacutem

(At) 3

30

numero de bolhas por unidade de aacuterea (num instanshy

te)

~ = crescimento da bolha (com o tempo)

frequecircncia de iacuteormaccedilao de bolhas

A medida que o At vai aumentando iraacute aumentando (jgt tam-- n o N

bem e consequentemente mdash R mdash a a a tal ponto que quando atiacuteii

girmos o ponto da curva nao haveraacute mais formaccedilatildeo de bolhas

mas sim uma peliacutecula de vapor instaacutevel passando assim a 3a re

giao que estudaremos a seguir

43 - Ebuliccedilatildeo por peliacutecula parcial

Como dissemos no item anterior se aumentarmos ainda mais

o At (entre 25degC e 125degC) teremos a formaccedilatildeo de uma peliacutecula de

vapor instaacutevel sobre a superfiacutecie quente que aacutes vezes eacute perfurashy

da pelo liacutequido A camada de vapor tanto mais estaacutevel seraacute quanshy

to maior focircr o At Essa peliacutecula de vapor iraacute provocar um decreacutes_

cimo consideraacutevel no fluxo teacutermico porque como sabemos o vapor

eacute muito pior condutor que a aacuteguaraquo

0 fluxo vai decrescendo ateacute um ponto miacutenimo (iexclgt mintilde (as vecirc

iacutebo bullraquo 1

zes chega a ser mdashj-) e e o chamado ponto de Liedenfrost 0 coeshy

ficiente de peliacutecula neste caso cai violentamente (h = 2000

kcalm^hrdegC)

44 - Ebuliccedilatildeo por peliacutecula estaacutevel

Aumentando ainda mais a diferenccedila de temperaturas

At ( gt 125degC) iremos conseguir uma camada de vapor estaacutevel Ela

transmite calor da superfiacutecie quente ao liacutequido que se vaporiza de

modo que o excesso de vapor formado na interface liquido-vapor for

ma bolhas que sobem para a superfiacutecie 0 liacutequido encontra-se agi-

31

tado poreacutem nao toma contato com a superfiacutecie soacutelida

A peliacutecula de vapor eacute estaacutevel e o fluxo eacute proporcional a

34

(At) (lei de Bromley) Para At grandes passa a influir sensivel^

mente a radiaccedilatildeo teacutermica mais uma razatildeo para demonstrar que nesshy

ta regiatildeo o fluxo cresce novamente

5 CONSIDERACcedilOtildeES E COMPARACcedilAtildeO ENTRE OS TIPOS DE EVAPORACcedilAtildeO

BURNOUT

Sob o ponto de vista de eficiecircncia teacutermica deveriacuteamos sem

pre trabalhar no ponto de fluxo maacuteximo isto eacute no ponto correspon

dente a lt(gt da curva de Nukiyama pois eacute o que daacute maior coeficieri

te de peliacutecula

Acontece poreacutem que se impomos a temperatura da parede

fixa obtemos um uacutenico valor de lt(gt e portanto o fenocircmeno eacute estaacutevel

Poreacutem se como ocorre nos reatores impomos um fluxo teacuter

mico a curva de Nukiyama apresenta 3 pontos de funcionamento posshy

siacuteveis A B C

1

SOacute os pontos A e C sao funccedilotildees estaacuteveis mas eles impotildeem

acirc superfiacutecie quente temperaturas bem diferentes

Na industria em geral trabalha-se por questotildees de segushy

ranccedila na regiatildeo IV da curva poreacutem para os reatores trabalha-se na

32

r e g i atilde o I I

0 p r o b l e m a de t r a b a l h a r n a r e g i atilde o II eacute q u e se n oacute s e s t i shy

v e r m o s t r a b a l h a n d o n o p o n t o e x t r e m o (j) e se p o r q u a l q u e r m o t i v o

h o u v e r u m p e q u e n o a c r eacute s c i m o d e ltfgt i r e m o s t r a b a l h a r i m e d i a t a m e n t e no

p o n t o M q u e t e m o m e s m o $-^0t p o r eacute m c o m A t 2 m u i t a s v e z e s m a i o r

p o d e n d o o c a s i o n a r a f u s atilde o d a s u p e r f iacute c i e a q u e c e d o r a E s t e f e n ocirc m e n o

eacute c h a m a d o d e b u r n o u t

0 f l u x o lttgt eacute c h a m a d o f l u x o c r iacute t i c o o u f l u x o d e b u r -b o

n o u t N o c a s o do r e a t o r d e v e m s e r t o m a d a s m e d i d a s r i g o r o s a s q u a n

to agrave r e g u l a g e m do f l u x o t eacute r m i c o p a r a q u e n atilde o o c o r r a o b u r n o u t 1 1

p o i s d e l e p o d e r e s u l t a r r u p t u r a d a c a m i s a do c o m b u s t iacute v e l e h a v e shy

r aacute p o r t a n t o c o n t a t o do r e f r i g e r a n t e c o m o s s oacute l i d o s e g a s e s r a shy

d i o a t i v o s

5 o l - R e l a ccedil atilde o d e B u r n o u t

E c l a r o q u e p a r a t e r m o s u m r e a t o r m a i s e f i c i e n t e d e v e shy

m o s t r a b a l h a r c o m u m f l u x o o m a i s p r oacute x i m o p o s s iacute v e l do f l u x o d e

B u r n o u t P a r a t a n t o d e v e m o s c o n h e c e r c o m o m a i o r g r a u d e certe

za p o s s iacute v e l q u a l o ^ p a r a p o d e r m o s r e d u z i r o c o e f i c i e n t e d e s e shy

g u r a n ccedil a ( W R G a m b i l l r e c o m e n d a agrave 1 5 )

N o s s e m i n aacute r i o s d e W R G a m b i l l e n c o n t r a m o s u m a s eacute r i e de

b i b l i o g r a f i a s o n d e p o d e m o s e n c o n t r a r i n uacute m e r a s f oacute r m u l a s p r o p o s t a s

p a r a a o b t e n ccedil atilde o de (q 1^)

A t i t u l o d e e x e m p l o v e j a m o s a l g u m a s

q - 2 7 0 G deg gt 8 5 D 0 2 A085 p lt 150

deg D ( L uuml ) 2

q - 140 G 0 5 D ~ deg 2 (-~-)~deg 1 5 p ~ r gt 150 c D (LD)

o n d e a m b a s as e q u a ccedil otilde e s s oacute v a l e m p a r a aacute g u a e m b a i x a p r e s s atilde o e m coii

v e c ccedil a o f o r ccedil a d a

33

D

L

fluxo teacutermico critico BTUhrft bdquo 2

descarga em massa do liquido (Ibmhrft )

diacircmetro do tubo ft

comp do tubo ft

Para cada caso temos uma expressatildeo diferente que pode ser

encontrada em literatura especializada

6 INFLUEcircNCIA DE OUTROS PARAcircMETROS NO FLUXO DE BURNOUT

Como para os usos atuais do reator a diferenccedila de temppound

ratura entre parede e fluido sao pequenas bem como o fluxo de bur

nout recentemente fiacutesicos como Jakob Bonilla WR Gambill estu

daram outros paracircmetros que influenciam bastante o sect^ 0gt isto eacute a

influecircncia desses paracircmetros faz com que o ^ seja maior Isto eacute

util pois quanto maior o fluxo de burnout maior poderaacute ser o

fluxo de calor real de funcionamento

Tais meios sao

- Sub-resfriamenCcedilo do liacutequido

61 - Influecircncia da velocidade do liacutequido

Estudos feitos pelos autores acima chegaram agraves curvas

- Aumento da velocidade imposta ao liacutequido

- Pressatildeo do liacutequido elevada

alto V

At

34

Para velocidades maiores o fluxo de burnout aumenta

porque neste caso o regime eacute turbulento e o coeficiente de peliacute

cuia h aumentao

6bdquo2 - Influencia do aumento da pressatildeo

Este estudo deve-se a Bonilla que obteve experimentalmen

te as curvas

Este estudo foi feito para vaacuterios liacutequidos e chegou a con

clusao que sempre havia uma pressatildeo oacutetima isto e uma pressatildeo que

leva ao maior iacute 1 ^ raquo mantidas as demais condiccedilotildees Experimentalmenshy

te notou que essa pressatildeo correspondia a 13 da pressatildeo critica

do liquido em questatildeo

6=3 - Influecircncia do sub-resfriamento

Consiste em manter atilde custa de uma circulaccedilatildeo intensa o

liacutequido a uma temperatura inferior atilde de saturaccedilatildeo para a pressatildeo

correspondenteraquo Experimentalmente chega-se agraves curvas

mdash A t grande sub

bullAt -0 sub sub

medio

At

35

Verificando os graacuteficos vemos que o lt)gt aumenta agrave medida bo

que aumenta a diferenccedila de temperatura de sub-resf riamento isto pojr

que o liquido como estaacute mais frio faz com que algumas das bolhas

recondensem permitindo que o liquido fique em contato com a parede

quente o que faz aumentar o h

^ f csub = t e m P e r a t u r a ddeg liacutequido - temperatura de saturaccedilatildeo

A diferenccedila de temperatura At entre fluido e parede tamshy

beacutem aumenta poit na regiatildeo proacutexima agrave parede haacute necessidade de

levar o liacutequido da temperatura do sub-resfriamento ateacute a temperatu

ra de saturaccedilatildeo quando se evapora

Atualmente os maiores estudos dos fiacutesicos nucleares locashy

lizam-se neste campo pois eacute o que oferece maiores vantagens

7 FORMULAS PARA 0 CAacuteLCULO DO COEFICIENTE DE PELIacuteCULA NA EBULICcedilAtildeO

Como ocorre no caacutelculo de todas as foacutermulas de convecccedilatildeo

temos formulas empiacutericas para determinar o h conforme o tipo de

ebuliccedilatildeo que nos consideramos

71 - Ebuliccedilatildeo Nucleada

Para o caso de aacutegua temos as relaccedilotildees

superfiacutecies

horizontais

superfiacutecies

verticais

f aacute 5000 BTUhrft 2 -gtbull h = 151 ( A t ) 1 3

A o

5000 lt 75000 -h = 0618 (At)3

^ pound 1000 -raquobull h = 8 7 ( A t ) 1 7

A o -

1000 lt $ lt 20000 -gt h = 027 (At) A o

Quando a pressatildeo e diferente da atmosfeacuterica faz-se a correccedilatildeo

3 6

72 - Ebuliccedilatildeo por peliacutecula

Bromley propocircs uma boa equaccedilatildeo para a ebuliccedilatildeo por peliacuteshy

cula estaacutevel em cilindros horizontais

Nu

_ JtjD n r 9 P v bull ( P L - P v gt - g -h

e V bull D i2

D 1 ^ U b Z u At gt

onde

V = indica vapor

L = indica liacutequido

Multiplicando ambos os membros da equaccedilatildeo acima por

kvD obteremos a expressatildeo do coeficiente de convecccedilagraveo meacutedio para

o caso

37

C - FORMULAS PARA CAacuteLCULOS ESPECIacuteFICOS - RESULTADOS ESPECIacuteFICOS

1 FLUXO DE CALOR CRIacuteTICO - BURNOUT

lol - Introduccedilatildeo

O aspecto mais importante no que se refere agrave seguranccedila

dos reatores da transferencia de calor na ebuliccedilatildeo eacute a determina

ccedilatildeo do Fluxo de calor critico ou de pico ou burnout

Como jatilde vimos quando temos a ebuliccedilatildeo nucleada a dishy

ferenccedila de temperatura entre refrigerante e superfiacutecie de aqueci

mento e pequena poreacutem quando atingimos o fluxo de calor criacutetico

essa diferenccedila de temperatura pode tornar-se imediatamente muishy

to grande podendo causar a ruptura da superfiacutecie de aquecimento

se atiigirmos o ponto de fusatildeo do soacutelidoraquo

Usando a convecccedilao

onde

At sat

w

sat At

sub

w = temperatura da parede de aquecimento

t t = temperatura de saturaccedilatildeo do liacutequido

t^ = temperatura de mistura do liacutequido

At = (t -t ) sub-resfriamento do liacutequido sub N sat b 1

nout

Ha dois tipos de burnout fast burnout e slow bur-

Ocorre o fast burnout (burnout raacutepido) quando A t g u b gt 0

38

ou para baixo x (~ lt 10) sendo x o titulo do vapor

Temos o slow burnout para x - gt 10 Assim noacutes tereshy

mos dois limites para o burnout

At bull o (ltJgt ) t =((() para t = t ) -

bo m m possiacutevel w sat

sub i

4L + 1

G c D h pl nb

(ltK ) = (ltpound para x = 1) = Dv-bo max possiacutevel e 4L

c At l + P 1 sub i

onde

L = comprimento do canal

D = diacircmetro do tubo

G = descarga de liacutequido (por unidade de aacuterea)

c ^ = calor especiacutefico do liacutequido

Agrave = calor latente de vaporizaccedilatildeo

h ^ = coeficiente de transferecircncia de calor na regiatildeo de

nao ebuliccedilatildeo

iacutendices

i = entrada

e = saiacuteda

Haacute inuacutemeras expressotildees para determinaccedilatildeo do burnout pro

postas por muitos fisicos cada uma aplicando-se a um caso especiacuteshy

fico vejamos algumas delas

12 - Equaccedilotildees para prediccedilatildeo de Burnout

121 - Equaccedilatildeo de Bragg e Smith (Zuber)

Num artigo publicado por Bragg e Smith encontramos uma f oacute_r

mula que e derivada da formula de Kutateladze e nos daacute o fluxo cri

39

tico quando nao temos sufaresfriamento

bo poolsat v V raquoc a ( p l P V )

2 PV

14

onde

ltiexclgt = fluxo de calor critico bo

k = constante

Ly = calor latente de vaporizaccedilatildeo do refrigerante

= densidade do liquido

pvr = densidade do vapor V a = tensao superficial

g = fator de conversatildeo c

a = aceleraccedilatildeo da superficie de aquecimento

Os autores encontraram para k um valor de 062 entreten

to outros autores como Zuber incluindo outras variaacuteveis que In

fluiam no fenocircmeno encontraram k variando entre 008 e 023Esshy

tudos bem elaborados mostram que o valor mais aproximado eacute

k = 015 (- 003)

1-22 - Equaccedilatildeo de Noyes

Noyes estudou o burnout para o soacutedio agua e alguns liacute

quidos orgacircnicos

( W s a t ~ bdquo 0245 bull ( r ( 1 )

iiacute_ V 1 Pr

onde

N n = Nuacutemero de Prandtl da fase liacutequida x r

Mais tarde o proacuteprio Noyes alterou a equaccedilatildeo para

n ^ - n H Iacute I Pl PV gt0538 deg g c a q 4 ( W s a t deg 1 1 6 PV ( - p 7 ~ ) (77T1^ ) ( 2 )

40

A ultima correlaccedilatildeo proposta por Noyes foi

a n prPV0560 112

1

(a bull a) 13

(ag c) 112

(3)

onde

a = difusividade teacutermica do liacutequidoraquo A equaccedilatildeo (3) eacute bashy

seada em todos os dados de burnouts do soacutedio bem

como da atildegua benzeno difenil e outros De 111 pontos usados 90

+ estatildeo relacionados dentro de - 30bdquo

ldeg2o3 - Burnout com convecccedilao forccedilada e sub-resfriamen

to

Aproveitando os resultados de aproximadamente 240 testes

de burnouts com aacutegua sub-resfriada em fluxo de convecccedilao forccedilashy

da feitos na Ruacutessia Labuntsov elaborou uma boa equaccedilatildeo empiacuterica

para o problemabdquo

Esta relaccedilatildeo aplica-se para velocidades entre 2 3 e 148

ftsec pressotildees entre 1 e 201 atmabs sub-resfriamento entre 0 deg

e 432 degF e fluxos de burnout entre 0 4 x IO 6 x 166 x 1 0 6 BTUhr

2 bdquo

bullbo

onde

e a seguinte

6 ( P ) 1 + 0 2 3 2 V 2

14

e ( P ) 1 +

15 c At _p_ sub

12 (a)

9 ( P ) - P 1 3 o ( 1 - P J 4 3

red

= pressatildeo (atm abs)

pressatildeo reduzida = mdash mdash red r P

t_ c = pressatildeo critica

= velocidade do liacutequido (ftsec)

= calor especiacutefico do liacutequido (BTUlbdegF)

4 1

^ tsub = ^ ^ e r e n Ccedil a ^ e temperatura entre a temperatura de

mistura do liacutequido e a de saturaccedilatildeo (degF)

X = calor latente de vaporizaccedilatildeo (BTUlb) 2

ltiacutegtbo = fluxo de burnout (BTUhrfl )

Uma outra correlaccedilatildeo para o caso foi proposta por

Ornatsky e Xiohigin que fizeram experiecircncias para pressotildees entre

10 e 1 5 0 3xm 90 degF lt At ^ lt 4 5 0 deg F 3 7 1 0 6 ( l b h r o f t 2 ) lt G lt

2 2 2 10 b ( l b h r bdquo f t 2 )

lt ^ = 3 2 5 0 (G o A t bdquo J deg 6 ( - i - ^ ) 2 5 ( b ) bo sub

onde

G - descarga de refrigerante por unidade de aacuterea

P ^ v P v - densidades do liacutequido e do vapor

P1~ PV -0 termo (mdash ) e incluido na expressatildeo (b) para indicar

a influecircncia da ^ pressatildeo sobre o

Uma comparaccedilatildeo entre as equaccedilotildees (a) e (b) foi feita para

o Reator de Isoacutetopos de Alto Fluxo (HFIR) nas condiccedilotildees aacutegua a

600 psia velocidade = 45 ftsec e sub-resfriamento = At^^ 1

degF obtendo-se uma diferenccedila de 6 5 entre ambos (4gt = 6 0 5 1 0 b

2 ~ 6 2 BTUhr ft pela equaccedilatildeo (a) e 6 4 5 10 3TUhrraquoft pela equaccedilatildeo

(b)

Ilatilde ainda a equaccedilatildeo de Ivey e Morris aplicaacutevel somente pa_

ra ebuliccedilatildeo com grande quantidade de liacutequido

( c sub t

Cpf bull A tsub

( bull ) s ~ V P bdquo 10 h V sat V g

onde

(ltL ) = fluxo critico com sub-resfriamento c sub

(ograve ) ^ - fluxo critico sem sub-resfriamento c sat

42

c ^ = calor especiacutefico do liacutequido

= calor latente de vaporizaccedilatildeo

124 - Burnout com convecccedilao forccedilada e ebuliccedilatildeo por bocirc-

Ihas

Gambill fez uma extensatildeo da equaccedilatildeo de Levy e aplicou o

metqdo da superposiccedilatildeo Tal extensatildeo consiste natilde subtraccedilatildeo de uma

razatildeo equivalente de massa transferida dos termos que represenshy

tam a ebuliccedilatildeo e convecccedilao para levar em conta a presenccedila do vashy

por no fluxo

A correlaccedilatildeo pode ser escrita assim

24 V P V

o g c a (p^Py) 14

+ 0696 (k p c ) 12

(

pr p v )i4 o g c a (P-L-Py) 18

bull At + h sub nb

044 p v L v G (g1) bull N2 n

p l P V

( pr p v ) d e 2-7

2 4 TT 0

14 ( f e _ ^ r l 3

lO^u

onde

k = condutividade teacutermica

c = calor especiacutefico

A t s u b ~ s ub-resfriamento do liacutequido

h = coeficiente de transferecircncia de calor de nao ebu nb mdash

liccedilatildeo

G = descarga total do refrigerante

43

d g = diacircmetro equivalente do tubo ou canalraquo

]i = viscosidade

B = constante adimensional

Os iacutendices V e 1 representam vapor e liacutequido respectiva

mente

0 primeiro termo entre chaves da equaccedilatildeo representa o flu

xo de calor no burnout de sub-resfriamento em convecccedilao forccedilada 0

segundo termo entre chaves corresponde ao fluxo de calor transferi^

do para a massa da fase vapor

1-25 - Burnout por Bloqueio da Base

Ocorre quando a profundidade do recipiente eacute muito maior

que a largura 0 bloqueio da base eacute causado pela formaccedilatildeo de uma pe_

licula de vapor na base impedindo que o liacutequido toque o fundo do

recipiente

i De

Este eacute o burnout por flooding isto eacute burnout por expul

sao do liacutequido Uma equaccedilatildeo que nos dacirc o fluxo minimo do burnout

parao caso eacute

44

onde

D g = diacircmetro equivalente

L = comprimento do tubo

= calor de vaporizaccedilatildeo

p^Py Ap = densidade do liacutequido do vapor e diferenccedila en

tre ambos

Para um fluxo de calor maior ou igual ao dado pela expres_

sao acima (mantida a mesma geometria) teremos burnout Para um deshy

terminado fluxo existiratildeo sempre um comprimento L e um diacircmetro equi

valente D e para os quais temos burnout Exemplo

L (in) D e(in)

10 11

100 51

1000 235

2 RESULTADOS ESPECIacuteFICOS - FOacuteRMULAS PARA CAacuteLCULOS ESPECIacuteFICOS

21 - Diferenccedila de temperatura At i

13 a t

sat

At sat

poundatildeJL_ raquo t - t J p T T 6 w sat

onde

o laquo tensatildeo superficial entre liquido e vapor

t - temperatura de saturaccedilatildeo do liacutequido para a corres-Scl t

pondente pressatildeo

J equivalente mecacircnico do calor

X laquobull calor latente de vaporizaccedilatildeo

py = densidade do vapor

6 = espessura da camada de liacutequido superaquecido onde

45

k l

h nc

onde

k^ = condutividade teacutermica do liacutequido

h = coeficiente de peliacutecula nc r

Segundo Eckent h ^ c e dado por

P 2 Q

nc 3 V VP + 0952

r

onde

D = diacircmetro equivalente

G r = numero de Grashoff

P = nuacutemero de Pradtl

2 o 2 - Velocidade das bolhas

A velocidade das bolhas em meacutedia pode ser dada pela exshy

pressatildeo

V bdquo = Iacute ( a bull B Apl4 bolhas 5 ^ 2

p l onde

AP = P L - P v

Expressatildeo que vale quando a aceleraccedilatildeo eacute a da gravidade

baixa viscosidade do liacutequido e bolhas separadas

Vbolha = f t s e atilde m a x para aacutegua

2 bdquo3 - Diacircmetro das bolhas

2gc deg 12 D = 0015 3 ( mdash mdash 7 ~ ) d g Ap

5 =

46

onde

8 = acircngulo de contato (20 a 90deg) geralmente assume-O -1

-se igual a 50 para a agua em contato com metal

24 - Coeficiente de peliacutecula na ebuliccedilatildeo nucleada

a) Equaccedilatildeo de Rohsenow

Esta equaccedilatildeo nos datilde o fluxo de calor q na ebuliccedilatildeo nushy

cleadaraquo E oacutetima expressatildeo para muitos liacutequidos o efeito da presshy

satildeo eacute levado em conta na variaccedilatildeo das propriedadesraquo

Pf

fg

sat 17 = c

sg k y f h f g g( P f-p g)

n033

onae

Pf

fg

Pf Pg c sg

= fluxo de calor requerido (BTUhr0ft^)

= calor especiacutefico do liacutequido saturado (BTUlbm0F)

= calor latente de vaporizaccedilatildeo (BTULbm)

= nuacutemero de Prandtl

= viscosidade do liacutequido (lbrahrraquoft) ~ 8 2

= fator de conversatildeo 417 10 Ibmftlbflaquohr 2

= aceleraccedilatildeo da gravidade (fthr )

= tensatildeo superficial na interface liacutequida vapor

(lbfft) 3

densidade do liquido e vapor (lbmft )

constante adimensiacuteonal que depende de vaacuterios fashy

tores dentre os quais o grau de aquecimento en_

tre o fluido e a superfiacutecie de aquecimento e o

mais importanteraquo Independe da pressatildeo do sistema b) Equaccedilatildeo de Levy

Equaccedilatildeo valida para a aacutegua quando 100 lt p lt 2000 psiacutea

47

43 bdquo3

qu bdquo gat ^ T J h r t f t ^

495

25 - Calculo do fluxo de calor no Ponto de Leidenfrost

0 ponto de Leidenfrost como vimos eacute o ponto em que oflu

xo de calor comeccedila ncamente a crescer isto eacute o ponto onde termal

aa a ebuliccedilatildeo instaacutevel e comeccedila a ebuliccedilatildeo por peliacutecula estaacutevel Eacute

o chanado fluxo miacutenimo (egrave ) m m

Aproximadamente quando A t g u k = 0 temos

A _ mdash _ mdash (Gambill) m m 5

Ha entretanto varias expressotildees para determinar esse flu

xo eis uma delas

A p 14 ltjgt = 009 h pbdquo (o raquo g mdash ) y m m fg P V deg 2

p l

26 - caacutelculo do fluxo de calor na regiatildeo de ebuliccedilatildeo por peliacute

cuia estaacutevel

para cilindros jmdashi i li

_ D 0172 k-V - P V A p h l V bull S 14 li - = 062 (mdashmdash) (- j- r rmdash) convecccedilao A 0 ybdquo (t -t )

c V w sat

onde

= condutividade do vapor

- 2 TT ( mdash )

c gAp Vl = significam vapor e liacutequido respectivamente

para paredes verticais

L 0172 S deg7 A p bull hlV S q 4 h - - 080 (-^-)J- (-Iuml - Iacutemdash-convecccedilao X L u (t - t J)

c V w sat

48

Como nesta regiatildeo jaacute haacute nina influecircncia marcante da radia

ccedilao devemos levar en conta tambeacutem o coeficiente de peliacutecula de

vido a radiaccedilatildeo para determinar o coeficiente de peliacutecula total

Dos estudos atildea radiaccedilatildeo temos

h = a F pound(T 4 - T 4 J ( T ~ T ) rad w sat w sat

onde amp _ emissividade de superfiacutecie

a = constante de Stefan-Boltzman

F = fator de forma

Segundo WE Gambill o coeficiente de transmissatildeo total

ceve ser

3 iacutei = h + -7 h para h lt h t conv 4 rad r rad conv

Na expressatildeo acima existe o fator 34 porque a radiaccedilatildeo

faz variar um pouco a espessura do filme de vapor reduzindo asshy

sim o l l

conv

Quando tivermos h gt h gt o h^ ^ seraacute rad conv total

h f c = h + h t conv rad

Neste ultimo caso nao ha nenhum coeficiente porque a peshy

liacutecula de vapor jaacute eacute estaacutevel

27 - Grandezas caracteriacutesticas para a apua

Para pressatildeo igual a 1 atm = 1422 psia

At ^ = t - t = 5degC (iniacutecio da ebuliccedilatildeo nucleada) sat w sat 1

At t = 30degC sat crit

49

5 2 $ = 4 10 BTUhrft (para pressatildeo 1 atm)

0 fluxo critico cresce como vimos com a pressatildeo ate

atingir o maacuteximo quando a pressatildeo eacute aproximadamente 13 da pressatildeo

criacutetica Esse fluxo eacute

bull = 13 IO 6 BTUhrft 2 para p = 11000 psia (p pound = 32062 psia)

Ainda temos que para pressatildeo igual a 15 psia

h b o = 11000 BTUhrft degF - ebuliccedilatildeo nucleada

h f b = 30 BTUhrft 2 degF - ebuliccedilatildeo pelicular

Todos os resultados e formulas para caacutelculos especiacuteficos

apresentados nos itens 21 22 23 ateacute 27 sacirco aplicados somente

para sistemas onde haja ebuliccedilatildeo com grande quantidade de liquido

51

D - HIDRODINAcircMICA DOS SISTEMAS E QUEDA

DE PRESSAtildeO DENTRO DE UM CANAL

1 HIDRO-DINAcircMICA E QUEDA DE PRESSAtildeO

11 - Hidro-dinacircmica dos sistemas estaacuteveis

111 - Regimes de escoamento

A evoluccedilatildeo do escoamento ao longo de um canal aquecedor

de secccedilatildeo constante ciliacutendrico pode ser esquematizada pela figushy

ra 1 onde temos em abcissa o comprimento z do canal e em ordenada

a temperatura (T)

52

Na figura 1 nos representamos

a) 0 aspecto do escoamento fluido quando a entalpia do

- fluido aumenta Verificamos que o fluido entra no cashy

nal no estado liacutequido e assim permanece ateacute atingirmos a zona de

ebuliccedilatildeo local onde aparecem as primeiras bolhas A entalpia do

fluido continua aumentando e tem inicioa ebuliccedilatildeo franccedila onde as

bolhas se unem formando agregados posteriormente o escoamento to

ma a forma da figura ou seja torna-se anular disperso Finalmente

atingimos duas uacuteltimas fases do escoamento disperso (vapor uacutemido)

e vapor seco

b) A evoluccedilatildeo da temperatura meacutedia do fluido e da tempeshy

ratura da parede Note-se que a partir da cota a

temperatura da parede aumenta brutalmente podendo causar o

burnout

c) A evoluccedilatildeo do tiacutetulo do vapor (x) com o comprimento

do tubo e a evoluccedilatildeo da fraccedilatildeo (a) que definiremos no

item 11laquo2 com o comprimento do tubo

112 - Definiccedilotildees

a) Tiacutetulo ou qualidade do vapor (x)

massa de vapor na mistura x ~ massa total da mistura

x =

W _g_

g f

b) Fraccedilatildeo vazio (void fraction)

volume do vapor na mistura a = volume total da mistura (agua+vapor)

A relaccedilatildeo entre x e a num sistema parado pode ser obtida

assumindo um certo volume contendo 1 lbm de mistura em equiliacutebrio

teacutermicoraquo

53

O volume da mistura seraacute igual a (v + xv ) ft onde v eacute 3 r rg

o volume especifico (lbmft )

f - refere-se ao liquido

g - refere-se ao vapor

fg - refere-se a diferenccedila entre liacutequido e vapor

Numa mistura em equiliacutebrio se o liacutequido e o vapor estatildeo

saturados o volume do vapor presente eacute igual acirc sua massa vezes

seu volume especiacutefico v assim e

xv bdquo bdquo a mdash

V c + XV c

f gf

onde

- bull-bull uumlutiacuteisa vapor na mistura de 1 Ibm

v volume especiacutefico do liacutequido

v = volume especiacutefico do vapor o

V c = v - V

gf 8 r

Fazendo uma transformaccedilatildeo na expressatildeo acima temos

xv xv JS = Z-

v r+ x(v -v c) xv +(l-x)v t ri f g f g f 1 + Ul-x)xjv fv

1 + C(l-x)x]]vfvg

A fraccedilatildeo vazia tem a influencia de baixar a reatividade

do nuacutecleo nos reatores em que o refrigerante eacute tambeacutem moderador

Na equaccedilatildeo acima os valores de x e v sao tomados em tabe

las termodinacircmicas apropriadas para a pressatildeo do sistema A equashy

ccedilatildeo (1) mostra os grandes valores de a para pequenos valores de x

especialmente para baixas pressotildees Isto ocorre porqueaumentando

54

aacute pressatildeo o v decresce muito enquanto que o v f eacute mais ou menos da

mesma ordem de grandeza

Exemplo Calcular o a correspondente para x raquo 2 para aacutegua

leve atilde pressatildeo atmosfeacuterica

Da tabela para p laquobull 1 atm

v - 001672 ft 3lbm e v - 26800 ft 3lbm

1 + [(1-002)002] 001672268

0971 ou 97U

O grafico abaixo mostra a variaccedilatildeo do a com x para vaacuterias

pressotildees e para a aacutegua leve

x ()

tObservaccedilotildees da curva

Fig 2

1 - para x constante a decresce com a pressatildeo Para presshy

sotildees proacuteximas da criacutetica a aproxima-se rapidamente de

x Para a pressatildeo criacutetica as duas fases satildeo indistinguiacuteveis ea=x

2 - para cada pressatildeo dotdx decresce com aumento de x

3 - para baixos valores de x (que e o caso dos reatores

tipo Boiling) quando p decresce dadx cresce e torr

na-se muito grande paacutera baixas pressotildees Isto tem relaccedilatildeo com a epound

55

tabilidade do reator como veremos mais tarde

113 - Sistemas com fluxo

Todas as definiccedilotildees que noacutes vimos no item anterior refeshy

rem-se acirc sistemas em que a mistura esta fechada no recipiente Nes^

te caso natildeo havia movimento relativo entre as duas fases No entan

to se as duas fases da mistura se movem na direccedilatildeo vertical em

canais entre os elementos combustiacuteveis o vapor por causa de sua

flutuaccedilatildeo tem a tendecircncia de escorregar sobre o liacutequido isto e

move-se com velocidade maior do que a do liacutequido

Real Modelo

Pig 3

S -

Define-se neste caso a relaccedilatildeo de escorregamento (slip

ratio) (S) como sendo

V _i

V f

onde

V = velocidade do vapor

= velocidade do liquido

S modifica as relaccedilotildees entre a e x do item anterior S geralmen_

te gt 1 Define-se neste caso qualidade do vapor ou tiacutetulo como

sendo

_ fluxo de massa de vapor

fluxo de massa da mistura

Entatildeo se o fluxo de massa da mistura eacute m t(lbmhr) o flushy

xo de vapor seraacute = x m e o fluxo de liacutequido sera (1-x) m onde x

56

e o titulo do vapor para a particular secccedilatildeo (AL) da figura (3)

Devemos notar que neste caso x varia de secccedilatildeo para secshy

ccedilatildeo do tubo o exposto no paraacutegrafo acima vale considerando-se que

x e a permaneceram constantes na secccedilatildeo de espessura AL

Aplicando a equaccedilatildeo da continuidade as velocidades do va

por e liacutequido sao dadas por

o xm v

V vazatildeo = g g area A

V

(1-x) amp t v f

f A f

onde A e A f sao as aacutereas medias perpendiculares ao fluxo se as

duas fases sao imaginadas completamente separadas uma da outra

(figura 3) Assim temos

V x m v o A_ A v 0 ^ - 2 = iacute S t m _2L- JL JS m

V A (l-x)ui v 1-x A v U

f g t f g f

Sabemos ainda que para a secccedilatildeo considerada

volume do vapor na mistura a = volume total da mistura (agua+vapor)

A AL A pound g g

a = mdash a a = - mdash 1

(A+A )AL A f + g

A ou f _ 1 - a

A a 8

Substituindo em (2) vem

57

Esta expressatildeo pode ser rearranjada e obteremos uma relashy

ccedilatildeo entre x e a levando em conta o escorregamento Chega-se a

a = 1 ( 3 )

1+ [U-x)x3 igt

onde

v 4 laquo -- S

v lty o

Note-se que quando S=l (nao haacute escorregamento) caimos na

expressatildeo dada no item anterior

0 efeito do escorregamento eacute decrescer o valor de a pa_

ra um mesmo xbdquo Isto pode ser visto pela foacutermula (3) pois S gt lLo

go a decresce com acreacutescimo de S

Um alto S e entatildeo uma vantagem tanto para a transferecircnshy

cia de calor como para efeitos de moderaccedilatildeo Eacute uma vantagem para

transferecircncia de calor porque alto S significa alto V e portanto

maior turbulecircncia e maior contato do liquido com as paredes quenshy

tes Ha tambeacutem melhorias na estabilidade da reaccedilatildeo nuclear isto

porque como jaacute dissemos quando mdash7 diminui a estabilidade aumenshy

ta isso pode ser verificado observando a curva a versus x para a

agua leve a 1000 psiabdquo

Fig 4

58

A relaccedilatildeo entre x e a da equaccedilatildeo (3) so vale para secccedilatildeo

de tubo bem pequena

Devemos notar que S varia tambeacutem com a pressatildeo e velocida^

de de entrada do liacutequido no tubo Este efeito pode ser observado na

figura 5 abaxxo obtida esperimentalmente

s

3

~^ ~ psig

x = 001

V 1

Fig 5

Nos projetos de reatores como veremos adiante o valor a

geralmente eacute determinado por consideraccedilotildees nucleares (moderaccedilatildeo) 0

valor de S eacute determinado atraveacutes de uma estimativa ou entatildeo atrashy

veacutes de um graacutefico do tipo da figura 5 0 correspondente valor de x

pode ser obtido de uma foacutermula empiacuterica do tipo

1 = 1 (-S)0gt67

proposta por Von Glahn

Em muitos casos assume-se S constante em todo o comprimeiv

to do canal poreacutem eacute um erro que em muitos casos nao pode ser coshy

metido

4 REATORES EM QUE 0 LIacuteQUIDO B MODERADOR E CIRCUITO PRIMAacuteRIO AO

MESMO TEMPO BOILING-REACTOR (BWR)

A aacutegua ao se movimentar atraveacutes dos vaacuterios canais do

59

Boiling-reactor encontra vaacuterias resistecircncias ao fluxo que provoshy

cam uma reduccedilatildeo de pressatildeo no fluido

As duas perdas mais importantes sao perda de pressatildeo por

atrito e perda de pressatildeo causada pela aceleraccedilatildeo do refrigerante

ao aumentar de volume por receber calor num canal Outras perdas

de pressatildeo seriam a obstruccedilatildeo ao fluxo por corpos submersos (espa_

ccediladores juntas de tubos chaves etc) e por mudanccedilas abruptas de

aacuterea de fluxo tanto na entrada como na saiacuteda do tubo

Essas perdas de pressatildeo devem ser conhecidas o melhor popound

sivel principalmente nos reatores BWR Para tanto devemos saber

o comprimento de canal em que nao ha a ebuliccedilatildeo isto eacute qual o com

primento de canal em que o refrigerante vai da temperatura de sub-

resfriamento ate temperatura de saturaccedilatildeo

Seja o elemento combustiacutevel

Aquecimento Uniforme Aquecimento Senoidal

Fig 6 Fig 7

onde

H =

H = o

H b

comprimento do elemento combustiacutevel

cota onde o liquido se torna saturado

comprimento do elemento combustiacutevel em que ocorre

ebuliccedilatildeo

60

qg = calor sensiacutevel acrescentado ao liquido para satushy

raacute-lo

qfc = calor total acrescentado ao liacutequido em todo o com

primento do canal

laquoo

q s J o qiquest sen (IIzH) n H o

T~ = TH = 2 ( 1 c o s gt ( a )

q 1 sen (HzH) Jo ^c

A expressatildeo (a) vale quando tivermos uma adiccedilatildeo de calor

senoidal para qualquer outra forma de adiccedilatildeo de calor faz-se um

caacutelculo anaacutelogo

Outra relaccedilatildeo entre q g e qfc eacute dada pela termodinacircmica

q h- - h s f m (b)

(hr +x h )-hm ^t f e fg

onde

= entalpia para o liquido saturado a pressatildeo correjs

pondente (cota z = Ho)

hffi = entalpia do liacutequido na entrada do canal

x = tiacutetulo do vapor na saiacuteda

= entalpia do vapor

Com a relaccedilatildeo (b) noacutes determinamos a relaccedilatildeo q q ecom

S L

uma relaccedilatildeo do tipo (a) (conforme seja o adicionamento de calor ao

liacutequido) podemos obter a relaccedilatildeo HoH e consequentemente H^H

21 - Perda de pressatildeo num canal de evaporaccedilatildeo

Neste item iremos determinar as perdas de pressatildeo mais

representativas que ocorrem num canal de evaporaccedilatildeo de um reator

P + dP

bull1 i- 1 gti i i

dL

onde

UM

Icirc H Icirc Icirc T dF f t f

61

Quantidade de Mov na Entrada

= i- rigVg)

dF f l

Fig 8

m i

m 8

V l V 8

A P

dF

dF

dF

fg

fl

ftf

descarga do liacutequido

descarga do vapor

velocidade do liquido

velocidade do vapor

aacuterea transversal do canal

forccedila de atrito do vapor com parede

forccedila de atrito do liacutequido com parede

forccedila de atrito das duas fases liacutequido+vapor

Fazendo o balanccedilo das forccedilas considerando o sentido posjL

tivo na vertical temos

A (P-P-dP)-(dF +dF _+dF _)-(-pound-) (p A+p A )dL = mdash dGnV+m V ) P fg ftf fl g c 1 1 g g g c

v 1 1 g g 7

- dP = ~ (dF +dF--+dF)+- S--7=- (p A+p A )dL+ mdash ~ - d (m-V+m V ) A_ fg ftf fl g c Ap v^l 1 g g g A 11 g g

Fazendo a integraccedilatildeo termo a termo entre os dois extreshy

mos entrada e saiacuteda e considerando a pressatildeo de entrada igual a

P q e a de saiacuteda igual a Pe vem

Quantidade de Mov na Saiacuteda

-= h I- lY l+ A g V g + d ( aacute l V l + aacuteeVl

Forccedila de Gravidade

= ( g f - N P A + P g V

62

b) r e F f l

o p dp^ = Ap^ = perda de pressatildeo por atrito

do liacutequido na altura Ho

Aplicando a formula de Darcy vem

bull API = f bull ir bull ^ iexcl 7

onde

f = fator de atrito

c) e Fftf

o p ^P tpound

= perda de pressao por atrito da mistura

liquido + vapor no trecho de comprimen

to Hbdquo o

Para determinar esta perda de pressao define-se o fator

de multiplicaccedilatildeo R

A P R =

tf A P 1B

Sendo A p ^ a perda de pressao se o comprimento todo fosshy

se ocupado somente pelo liquido assim

A p t f = R A P 1 B

0 calculo de Ap-^ pode ser feito pela formula de Darcy e

o de R nos veremos no item seguinte

63

d)

-e F

d ( ^ )

O P

Ap = perda de pressatildeo por atrito do vapor

No caso do reator BWR o titulo de saida e bera pequeno e

em nenhum caso ocorre a saida de vapor com x = 100 logo a perda

de pressatildeo por atrito do vapor eacute nula assim

An = 0 5

e) Ap

(p A 1 + p A ) dL = Ap - perda de pressatildeo dpound

vida ao desniacutevel

(perda hidrostaacutetica)

Anbdquo = re A A

-S- I (p + p -S ) dL H s 1 A

c o p o A

como A A Jl_ =

A P

A +A-g 1

1-a -

temos

C Q

te j jll-a)p1 + apg)^jdL = p Lo pound

onde

e jo u

+ ap ) ~I dL (Densidade media 1 S J

no tubo)

No nosso caso

Ap u = p H

f)

re d(mV + m V ) _ mdash - laquo -i bull s iquestp laquos p e r d a ltje pressatildeo devido a acele-

c p raccedilatildeo do vapor

V A

(1-x) tl^Vj

(1-a) A

X V

aA

A p -

roV + m V

c p c p L_

m (l-x)m_v m xv nbdquo -1 T 1

+ _S S I (1-a) Ap aA

P

2 g A c p

n 2 2

(1-x) m T

laquo2 8 A c p

2 2 (l-xe) raTv1

2 2 2 xm_v (1-x) m-v e T s o 1 1

a 1 - a

2 2 - x m_v o T g

a

se

X Q 0 (so ha agua nesse trecho)

a = 0 o

temos

mbdquo Ap =

1 a A 2

S A degc p laquo-

tt-V v i 1 - a

2 via T^r - v i

t Apc

2

V v l

5c Ap

1 - a

x v - 1

a e v l

65

Fazendo

G = fluxo total da massa por unidade de area do

canal

(1-x J e

V

AP r

Assim a perda de pressatildeo total sera

H p V II pV r2 P -P = f -24-Iuml+ f R+p 0 1 2g c D e 2g c g c g c

2c2 - Determinaccedilatildeo do fator de multiplicaccedilatildeo (R)

221 - Relaccedilatildeo Martinelli-Nelson

Os autores Martinelli-Nelson determinaram experimental -

te esse fator R para varias LIT1L em funccedilatildeo da pressatildeo e da r NB total J v

qualidade de saiacuteda do vapor no canal Construiacuteram assim vaacuterias

curvas do tipo da figura 9

66

E importante notar que a qualidade do vapor (x) na saiacuteshy

da nao deve ser grande pois como vemos o valor de R cresce muishy

to com um aumento pequeno de x e um valor de R muito grande acar_

reta uma perda de pressatildeo grande pois

^ d u a s fases R ^ f a s e liacutequida

Para resolvermos um problema seguindo o criteacuterio de bdquo

Martinelli escolhemos a curva R = f(px) (para a relaccedilatildeo L

N g ^ j

adequado) e tiramos R com os valores de pressatildeo p e tiacutetulo x

As curvas R = f (p x L T t )IO encontram-se nos ANL 6469 bio I

e 6561

222 - Relaccedilatildeo Lottes-Flinn

Estes autores estudaram o problema para o aquecimento uni

forme do refrigerante com baixo titule Lottes-Flinn fizeram inuacuteshy

meras experiecircncias e verificaram que para fluxo de calor uniforshy

me e baixos titulos R era independente do fluxo de calor fluxo

do refrigerante escorregamento e apenas funccedilatildeo de a g

Como a quantidade de liacutequido eacute muito maior que a de vashy

por a perda de pressatildeo daacute-se principalmente pelo atrito do liacuteshy

quido com a parede Podemos assim escrever a foacutermula de Darcy

na forma diferencial

dz

d = f __ r e amp c

onde

V = velocidade do liquido saturado na cota zbdquo X

f = coeficiente atrito

= densidade do liacutequido saturado

Teoricamente a queda de pressatildeo deve-se ao acreacutescimo de

67

velocidade do liacutequido e da diminuiccedilatildeo da aacuterea de fluxo do liacutequi

do

P fH A P t p

= f D 2g Ho

d z

fazendo

V lo

m V t lo

(velocidade do liacutequido na cota z = Ho)

(1-x) m t v 1

(1-a) A (velocidade do liacutequido na cota z gt Ho)

a bull+ fraccedilatildeo vazio na cota z geneacuterica

V 1 (1-x) m t v 1

m t V l 1 - a

x =s 0 pois o tiacutetulo eacute baixo

A p t f = f bull JT5 c e

fH V lo

H o (1-a) dz

Para fazer a integral devemos achar a relaccedilatildeo de variaccedilatildeo

entre a e z Como o fluxo de calor eacute uniforme a qualidade eacute direshy

tamente proporcional a z

bull laquo x = x e H

z = mdash x X e

Sabemos ainda que (item 113)

x

1 + [ ( I -X)AKQ x + iiacuteraquo

68

como

temos

(1-x) = 1

v

X =

z =

1-a

1 -a

1-a e

a

e

1-a pound

a

1 -a igt (assumindo S = cte)

da

Atf - f bull 2 i ^ ~ J c e o

a 1 - a e e 1 s 4 hmdash) da

a 1-a

f P lv^ Q

0 termo mdash - mdash e a parte de perda de pressatildeo pelo lj^

^c e -quido ou seja Ap liquido saturado e como

Ap

R = tf

Ap liauido saturado

temos que

R J

f ae 1 _ a e 1 4

a 1 -a o e

1 -a r-R =

3 1 -a

a 1 -a imdash

3 vl - a 3

e e

Os valores de R obtidos por esta expressatildeo aproximam-se

muito dos valores obtidos pelos aacutebacos de Martinelli

69

E - EXPANSAtildeO E COMPRESSAtildeO DE UM FLUIDO - ANAacuteLISE HIDRODINAcircMICA

DE UM CIRCUITO EM CIRCULACcedilAtildeO NATURAL

1 EXPANSAtildeO NO FLUXO DE UM FLUIDO

11 - Uma so fase

Figura 1

Ha vaacuterios meacutetodos para determinar a variaccedilatildeo de pressatildeo

numa expansatildeo de fluido estudaremos o de Romie que eacute o que daacute

maior precisatildeo

Romie considera que a pressatildeo p^ tambeacutem atua na aacuterea

imediatamente apos a expansatildeo Assim fazendo o equiliacutebrio das foi

ccedilas nas secccedilotildees tracejadas da figura 1 temos

mVj

p r A 2 + mdash

mV

bull 2- A2

mas

m = pV^A^

pV^A = p V 2 bdquo A 2

V A

v 2 -4r-logo

( P l-P 2) A 2 = f ( V ^ ) - f _ v j amp c c 2

70

2 pV A A pV A A

Chamando A l A ]

K = 1 - T e degi2 = Aiexcl bull V E M

pvj

P l P 2 = T ~ bull ( 2 deg 1 2 ) ( 1 _ a 1 2 )

Outra maneira de chegar atilde diferenccedila de pressatildeo ( P j - ^ ) s mdash

ria usar o coeficiente de perda da mecacircnica dos fluidos Assim o

equilibrio das pressotildees eacute

2 2

1 V l 1 V 2 V l P i + _ p _ ^ P 2 + I p ~ + k 1 2 p mdash

onde = coeficiente de perda

A 2 1 2

k 1 2 - (l-o 1 2) - (1 - j- )

Fazendo as transformaccedilotildees chegamos a mesma expressatildeo obshy

tida pelo balanccedilo das forccedilas

PraquoIacute pr p

2 - - ir ^ laquo-ia

12 - Duas fases

Como ha duas fases a equaccedilatildeo do balanccedilo das forccedilas fica

um pouco alterada

m pound 1 V- m - raquoV - m-V- m bdquoV _ P A + j y ^ i + _gl_JUuml P A + -11-11 + -ilsl (a)

1 2 e R 2 2 ff e

Sabendo que

71

m (1-x) m t = p fA (1-a) V f

entatildeo

fl l-o^ p fA x

6 Vf2 1-x l-a2 P fA 2

m V = mdash mdash e V 0 = gl a 1 P C T A 1 g2

m

a_ p h

2 g 2

Nas expressotildees anteriores o x nao varia porque a expansatildeo

5 adiabaacutetica porem o a varia devido a modificaccedilatildeo do tamanho da

bolha

Substituindo os valores das velocidades na expressatildeo (a)

vera

( P - P ) Abdquo =

2

2 2 m gt2 2 m t (1-x) 1 x t

ra i 2 m i 1 x t 1

p fA 1 g c ttl p Ax gpound

m t P - P = mdash

(1-x) (l-a 1)A 1A 2 (l-a2)A|

a r A r A 2

V A 2

m t P bdquo - P = mdash 2 1 g c A r A 2 p f

(1-x) 1-a f A 2(l-a 2)

bull ^ 2

72

Se

P -P

a

m

g

12

1 _1_ (1-x)

J12

1 _ a l 1 - a 2 + X (- )

Pg

1 deg12 a 2 ^

Sabemos que

mt = V o pf laquo A l

Sendo V q = velocidade do liquido num ponto onde natildeo haja vapor

P 2-P 1

u 2 2 A 2

V pr Ai

V W p f

(1-x) 12

l-a1 l-a2

+ X 2 pf

mdash

l deg12

-1 a 2 _

p -p r 2 Al (2a 1 2)

2 M f w 1 deg12 X (mdash) (

pg al a 2 )+(l-x)C l 1 12

1-a^ l-a2

Devemos notar que esta expressatildeo tambeacutem vale para quando

temos uma fase para isso basta fazer

= c t 2 = 0

X = 0

e recairemos na formula do item anterior

2 pf 1 deg12 Observemos que neste caso o termo x (mdash)( ) nao

Pg al a2

2

73

tem significado pois corresponde a mudanccedila de fase

2 CONTRACcedilAtildeO KO FLUXO DE UM FLUIDO

21 - Uma so fase raquo mdash

Aqui ocorre um fenocircmeno importante pois o fluido ao ser

contraiacutedo nao vai diretamente da area A^ para a area A 0 mas ele

contral-se ate uma area A^ e depois expande-se ate k^

Ao A2

Po IP 2

V 2

Figura 2

Fazendo o equiliacutebrio das pressotildees entre os planos (1)

(0) vem 2 2

pV pV p +~ plusmn - P + i deg bull 1 2 g o 2 g (b)

C x

Fazendo equiliacutebrio da expansatildeo (0) - (2) vem

P o + 2 - f = P 2 + 2 -T + kp- 2 F ( c )

c c b C

Subtraindo (b) - (c)

2 2 2

i p- vj i p- v2 L P l + 2 bull g c

P 2 + 2 2g c

+ k P 2g c

74

Como

P - P = mdash 2 2g

2 2

bull (1 + k) - f bdquo mdash i

k a - f2 ) 2 - d - o c )2

= o

A = a 21

Weisback obteve varias relaccedilotildees entre a e a i] c

01 02 03 a 0624 0632 0643 c

0624 0632

A r v i - V v 2

p -p 1 2

P -P 1 2 2g7

v l =

(1+k) - laquofi- a 2g 21 c

( 1 + k - o 2 1)

X[- V 2 o 2 1V 2

22 - Duas fases

0 valor de k pode ser aproximado para

k = a(l - o 2 1)

onde segundo Richardsons para fluxo de duas fases podemos supor

a = 02

Para fluxo homogeacuteneo sabemos que

75

p = p f (1 -a ) + p o a

podemos supor p bdquo a = 0 pois p e pequeno e fazendo

V = V ~ V fbdquo2 go2 v 2

Substituindo estas duas expressotildees na equaccedilatildeo de uma soacute fase vem

2 2 p V (l-ct) p V (1 -a ) bdquo

P l P 2 = 9g ( 1 + 3 - 3 0 ^ - 0 ^ ) = g (a+1) (l-a^)

Se a = 02

2 12p oV 0

p r p

2 - 9g gt d-) d-sigt

A compressatildeo de um fluido acarreta uma perda de pressatildeo

como pode ser verificado pelas formulas uma vez que lt 1deg

3 ANALISE HIDRODINAcircMICA DE UM CIRCUITO EM CIRCULACcedilAtildeO NATURAL

Esquema deacute uma caldeira com circulaccedilatildeo natural

76

Determinar a velocidade em (7) para que tenhamos circula

ccedilatildeo natural Determinar tambeacutem as perdas de pressatildeo em todos os

trechos da caldeira

31 - Contraccedilatildeo das secccedilotildees (1) - (2)

Como jaacute vimos a equaccedilatildeo do balanccedilo das pressotildees eacute

1 pr Vl 1 p 2 o V 2 P2 V2

1 2 g 2 + 2 g + K12 2g otilde c amp c e c

bullraquo 2 o2 2 e havendo uma soacute fase k 1 9 = (l-o ) = (1 mdash ) e sendo

C 2

p l = p2

v x lt lt lt v 2

P 2 V pr p2 bull ir2 bull ( 1 + k12gt

Colocando em termos de temos

A 2 V 2 P 2 = A 7 V 7 p 7 (continuidade)

V = V mdashbull = V o_bdquo ~ A 2 2 2

P 2 V - p 2

p r p 2 = ir2 - deg72 bull Ccedilrgt bull lt 1 + ki2gt

fazendo

N12 - lt^gt deg72 ( 1 + k12gt

P7 V7

Pr P2 - N12 bull HG

77

3 2 - Perda de carga no trecho ( 2 ) - ( 3 )

Como haacute apenas uma fase soacute temos perdas por atritos e

perdas hidrostaacuteticas

Sendo como jaacute vimos

2 3 p 2 2 g P 2 P 3 = f 2 3 (r~2g^~) L 2 3 g c p

atrito hidrostaacutetica

Substituindo V^ pela relaccedilatildeo do item anterior e tendo em

conta que p = vem

P -P = f 2 r 3 2 3 D

2 3 p 2 bdquo 2 2 p 7 2

2 g 7 72 p 2 3 g

Se

L 2 3 2 p 7

2 3 2 3 D 2 a 7 2 p 2

P 7 V 7 g P 2 - P 3 = N 2 3 ( mdash gt p 2 L 2 3 f

3 3 - Expansatildeo nas secccedilotildees ( 3 ) - ( 4 )

Como vimos o balanccedilo das pressotildees e

2 2 2 p V p 4 V p V

P 3 + 2 g c

P 4 + 2 g c

+ k 3 4 2 g c

onde

k 3 4 - - -

2 2 1 P 4 - V 4 P 3 v 3

P 3 P 4 = 2 g + ( k 3 4 _ 1 ) 2 g

78

Sendo

P 3 - P 4

p 3 o A 3 deg V 3 = P 7

a A 7 o V 7

P 4A 4 0V 4 = P r A r V

3 7 A 3 p 3

A7 P7 V = v mdash mdash 4 7 P 4

P - P 3 r4

Se

P bdquo - P

bdquo2 r-P 7 V 7

3 4 2g deg74 + ( k 3 4 1 ) deg73

34 p deg74 + ( k 3 4 1 ) 73

p r v2

P3- P4 ^ N34 ^ gt

(No caso e negativo)

34 - Contraccedilatildeo nas secccedilotildees (5) - (6)

Ainda temos uma so fase e fazendo o balanccedilo das pressotildees

como fizemos no item 3lt1 vem

P + vil p + vi + k vi P 5 + 2gbdquo P6 + 2gbdquo + k56 2gbdquo

k 5 6 lt 1 ^ gt 2 ( 1 - Iacute 2 i 2 6

V V6 P5degIacute 5^6 ^SS 2g c - 2g c

P - P ^ = (1+kJ

Como

79

A 6

W p 5 =

VV P6 V 5 = V 6 Jiexcl = Vff65

P 5-P 6 - lt H k 5 6 ) mdash ^ mdash (l+k 5 6-a 6 5) c c c

Sendo

Se

A 7 p 7 p 7

6 7 Ag p 6 7 76 p 6

p _p _ P6- V7- g76 iquest72 ( _ 02 P 5 P 6 2g c bull ( p 6

( 1 + k 5 6 deg65 )

p 7 2 2 N56 = p ^ deg76 ( 1 + k 5 6 ~ a 6 5 )

P 7 V 2

7

P r-P = N r 5 6 56 2g c i

35 - Perdas de pressatildeo nas zonas (6) - (7) - Pre^aquecimento

Nesta regiatildeo temos perdas por atrito e hidrostaacuteticas

Nao haacute perda por aceleraccedilatildeo pois ainda natildeo houve formaccedilatildeo de boshy

lhas

Fazendo balanccedilo das pressotildees temos

L_ ppound-V p = p + otilde L - pound _ + f -Si (-21mdashL 6 7 + p67 L67 g + t 6 7 D K 2g

p _ e ifn sao tomados como valores meacutedios 67 67

P _p _ f hl ^67jIacute uuml + - L A

6 F 7 r67 D 2g P P67 L67 g 6 s c 7 c

S e Kr pound67 L67 p67 6 7 D 6 p7

p7 V - _g_ P6- P7 - N67 mdash + P67 L67 f

c c

80

36 - Perda de pressatildeo nas zonas (7) - (8) - Zona de ebuliccedilatildeo

Nesta regiatildeo j aacute temos o aparecimento de bolhas logo a

perda de pressatildeo seraacute devida agraves t recircs parcelas aceleraccedilatildeo a t r i t o

das duas fases liacutequidas + vapor e h idros taacute t ica

onde

Assim

P-P Q = AP + AP + APbdquo 7 8 a t r i t o acel H

T M1

78 p 7 7 AP - R f- - mdash mdashr |R = fator mult ipl ica-

a t r i t o 7 D 7 2 g c L tivo

G 2

AP bull r mdash acel g c

P V

|_1 - o a p J 8 P f

2 t r 2 M2

7 7 r 7 7 A P a c e l = -J^mdash 2 r bull p 7 lt T iexcl iexcl - )

A PH p 7 8 L 7 8 fiexcl

p 7 8 iacute 7 li 1 0 0 P l i q + a P v ] d L = P 7 ( 1 - laquo 7 8 )

ag raquo fraccedilatildeo de vazio media entre 7 e 8

APH = p (1 - 5 7 g ) f- L 7 8

2 2

P 7 - P 8 a 5 - 2 T i + 2 r p 7 + P 7 ( 1 - 7 8 gt f L 7 8 7 amp c amp c amp c

81

N 7g = R mdash + 2 r p 7

P7 V7 P7- P8 = N78 + P 7 ( 1 5 7 8 gt J78

37 - Expansatildeo nas secccedilotildees 8 e 9

No caso haacute uma expansatildeo com duas fases e como vimos no

item 12 a variaccedilatildeo de pressatildeo era dada por

0f Vo P2 P1 = ~2g c ( 2 deg12

x 2 (mdash)(mdash - mdash ) + ( l - x ) 2 ^ T mdash 8 1 2 1

12

Aplicando ao nosso caso

P pound = P 7

P -P = 8 9

V - V raquo V g f 7

P 7 V 2

2 pf 1 a89 2 1 g89 x (mdash) ( ) + (1-x) (- - N

o ou abdquo 1-cu l-ot_) g 8 9 8 9

Se

N 89

= 2 a 89

2 pf 1 deg89 2 1 CT89 x (mdash) ( ) + (1-x) ( T

g 8 9 8 9

P -P = 8 9

- N P7deg V7

89 2gbdquo

38 - Perda de pressatildeo no trecho 9 e 10

No referido trecho temos apenas perda de pressatildeo por atr L

to da fase liacutequido + vapor e perda hidrostaacutetica Natildeo haacute perda por

aceleraccedilatildeo do vapor pois este natildeo recebe mais calor e portanto

o 82 o

nao ha variaccedilatildeo no a

p

Q -p i n = A P

U + A P bull 9 10 H atrito

n T -S_ P9 U10 deg 910 bull g

fio r

910 I 910

J9 L

(l- a)P + Q P I dL liq v

(l-a0) p

No caso a = (nao hatilde variaccedilatildeo de forma)

A P H - (1-a ) P (p L 0

c

AP bdquo = R o

atrito

2 f9 o L910 P9 V9

2g

Supondo

= V

P 9 = P 8 P 7

vbdquo = v 9 8 0 A r

= V 7 bull deg89

AP - R atrito

2 2

W l O p7deg V7deg g89

V P10 R -^T^ bull deg89 bull li-2 + ( W P 7 (fgt SIO

y c c

Se

- f9 L910 2 N9ol0 R Dl deg89

w 2

p rv P9 P10 = VlO + ( 1 a 9 ) p7 (f gt L910 c

33

39 - Perda ciacutee pressatildeo na expansatildeo 9 - 1 0

Analogamente a expansatildeo 8 - 9 temos

10 11 P 7 2g

10 Iacute 2 0 1 0 - 1 1 gt

2 ff

pg aio

10-11

laquo11 ) +

Ll-a 1 0 bull l-a u J

Se

V10 = V 9 = V 8 bull T9 = V 7 deg89

P -P 10 rll = - a 2g 089 ^lO-ll

4 bull T~ bull (7 1 mdash ) + Pg degio a n

+ (l-x)2(- 1 10-11

1 - aio )

N10-ll = 2 a10-ll a89 2 pf t 1 10-11 N2

-(j-r- - ) bull+ (1-x) pg aio deg 1

10-11 k l - a io

prz P10 Pll = - N10-ll bull ( 2gbdquo

310 - Calculo de V

Fazendo a somatoacuteria de todas as expressotildees (P^-Pj) tere-

84

mos 2 PbdquoV_

P bdquo - P bdquo = N 7 v 7

1 2 12 2g

bull 2 - P 3 - = N 2 3 P 2 L 2 3 f c ccedil

9 P 7 V 7 P _p = N mdash -

3 4 34 deg 2g

V P 5 = deg

2 P V

5 6 56 2 g c

ltr2

P 7 -V 6 e7 -N67 2g + p 6 7 J j67 g

c bc v 2

P 7 - P 8 = N 7 8 - 2 i ~ + p 7 ( 1 - laquo 7 8 ) L 7 8 c

P 7 V 7

P - P - -N mdash - -8 9 89 2g

c P 7 V 7

P 9 ~ P 1 0 VlO 2g + ( 1 a 9 P 7 L 9 c

P 7 V 7

bull10 11 U10-ll 2g

P v iacute j P - P

1 11

7 - v 7 3 bull r

2 8 i U L 2 23 67

(l-5 7 8) L 7 8 + ( l - laquo 9 ) P 7 bull SlOtilde]- ^

Por ou t ro lado sabemos que como secccedilotildees 1

mesmo n iacute v e l

85

s c p r v 7 j

28 Z N i ij

= P 2 L23 p67 L67 P 7 ( 1~deg78 )

78 ~ ^g) bull P 7 bull L 910 g_

V - 2 g ( p r L 2 3 - p 6 r L 6 7 - p 7 ( l - atilde 7 8 ) L 7 8 - (l-a9) p L 9 a ( )

y N

Com esse valor de podemos determinar todas as variashy

ccedilotildees de pressatildeo (P^-P )

BIBLIOGRAFIA

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tituto de Energia Atocircmica de Sao Paulo em 1966 (roteiro)

- WR Gambill - Nuclear Safety

Vol 9 - n9 5 e 6

Vol 6 - n 2 (pag 152)

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Frank Kreith - Principles of Heat Transfer

Journeacutees Internationales de la transmission de la chaleur

Seminaacuterios realizados em Paris em 1961 sob a supervisatildeo do

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Notas de aula da Cadeira de Termodinacircmica I e Transmissatildeo da

Escola Politeacutecnica da Universidade de Sao Paulo

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Page 20: ALGUNS PROBLEMAS DE HIDRODINÂMICA E CONVECÇÃO DE … · alguns problemas de hidrodinÂmica e convecÇÃo de calor em reatores de potÊncia, segundo aulas do ... b - convecÇao

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B - CONVECCcedilAtildeO COM MUDANCcedilA DE FASE - CONDENSACcedilAtildeO (I)

lo INTRODUCcedilAtildeO

Devemos considerar dois tipos de convecccedilao com mudanccedila de

fase que sao a condensaccedilatildeo e a evaporaccedilatildeo

Os problemas de convecccedilao de calor com mudanccedila de fase sao

tao importantes na industria como os de convecccedilao de uma uacutenica

faseraquo Os exemplos mais comuns de sua aplicaccedilatildeo sao os condensadoshy

res e evaporadores usados nos condicionadores de ar geladeiras

caldeiras etc

Neste capiacutetulo estudaremos apenas a condensaccedilatildeo

Os problemas de convecccedilao com fluidos condensando ou evashy

porando sao bem mais complexos que os demais processos de convecshy

ccedilao porque aleacutem de envolver variaacuteveis nao consideradas na conshy

vecccedilao de sistemas de uma so fase tecircm uma variaccedilatildeo nas propriedashy

des fiacutesicas de tal grandeza que essa variaccedilatildeo interfere decisiva

mente no fenocircmeno

2 CONDENSACcedilAtildeO

Eacute a passagem de um vapor para o estado liacutequido pela retishy

rada de calor

21 - Aspectos Gerais

A condensaccedilatildeo eacute realizada fazendo com que o fluido (vashy

por) entre em contato com uma superfiacutecie cuja temperatura esteja

abaixo da temperatura de saturaccedilatildeo do fluido correspondente atilde pres_

sao do vapor

0 coeficiente de peliacutecula relativo ao vapor de aacutegua satushy

rada que condensa sobre uma superfiacutecie fina eacute da ordem de grandeshy

za de 10000 kcalhrm^degC em casos excepcionais chega-se acirc valo-

16

res 50o000-100bdquo000 kcalhrm 2degC Isto eacute obtido a maneira pela

qual a condensaccedilatildeo se produz Ilaacute duas maneiras

1 - condensaccedilatildeo por peliacutecula daacute-se quando o liacutequido con

densado molha totalmente a parede formando urna peliacute

cula continua sobre a mesmaraquo

2 - condensaccedilatildeo por gotas daacute-se quando o liacutequido ao se

condensar rcune-se em gotas que crescem ateacute terem

peso suficiente para escoarenu

0 primeiro tipo eacute o mais comum e eacute o que daacute menor coefishy

ciente de peliacutecula porque a pelicula do liacutequido constitui uma re

sistencia adicional a passagem do calorraquo No segundo tipo chega-se

a coeficientes de pelicula muito maiores pelo fato do vapor estar

sempre em contato direto com a superficie resfriadura isto eacutepor

nao haver resistencia adicional

2o2 - Condiccedilotildees para termos condensaccedilatildeo por peliacutecula ou por

gotas

Sob o ponto de vista da transmissatildeo de calor deveriacuteamos

sempre preferir a condensaccedilatildeo por gotas pois como jaacute dissemos e

a que daacute maior eficiencia teacutermica Acontece poreacutem que tecnologji

camente eacute difiacutecil a obtenccedilatildeo da condensaccedilatildeo por gotas pois haacute

necessidade de termos um vapor puro urna superficie de resfriameii

to perfeitamente lisa (cromeada espelhada) e com resinas para fa

cilitar a formaccedilatildeo das gotas Tudo isso encareceria demais um con_

densador por isso eacute que na praacutetica usamos condensaccedilatildeo por peliacutecu

la quando podemos usar chapas ou tubos comerciais

So em casos muito especiais quando o espaccedilo eacute muito imshy

portante usa-se condensaccedilatildeo por gotas

2 3 - Remoccedilatildeo do Condensado

Um fator importante a considerar na condensaccedilatildeo eacute a remo

17

ccedilao do condensado que sempre se faz por gravidade Ha dois tipos

principais de superficies de condensaccedilatildeo

1 - Tubos ou placas verticais (ou encunadas)

2 - Tubos cilindricos horizontais

Nos tubos verticais a espessura da peliacutecula liacutequida aumen

tara do topo acirc base e com isso variaraacute ao longo do tubo o coefishy

ciente de peliacutecula loacutecalo

No caso dos tubos ciliacutendricos horizontais o liacutequido escoj

re pela parede lateral e goteja pela parte inferior natildeo havendo

possibilidade de formaccedilatildeo de camadas espessas do condensado

2raquo4 - Condensaccedilatildeo por peliacutecula sobre tubos verticais

Nusselt desenvolveu estudos analiacuteticos sobre condensaccedilatildeo

externa a tubos ciliacutendricos verticais partindo das hipoacuteteses

1 - A espessura da peliacutecula do condensado eacute nula na parte

superior do tubo e vai aumentando nas partes inferioshy

res por condensaccedil-ao e escorrimentoraquo

2 - 0 fluido escorre pela parede em regime laminar sob o

efeito combinado do seu peso e viscosidade

3 - A temperatura da camada mais interna do condensado tem

a temperatura da parederaquo

4 - A temperatura da camada mais externa tem a temperatushy

ra do vapor-

5 - A variaccedilatildeo da temperatura da camada do condensado em

sentido ortogonal agrave superfiacutecie do tubo eacute linear

6 - 0 vapor cede apenas seu calor latente

7 - A temperatura do tubo eacute uniforme e constanteraquo

8 - Nao haacute gases incondensaacuteveis no vapor (vapor puro)

Chegou a formula

18

2 3 g P - h L t

N j = 0943 ( r-EcircY~ ) 1 4 (l) NuL y bdquo k o At v

As propriedades da equaccedilatildeo (1) satildeo avaliadas agrave temperatu

ra meacutedia tm

c + t _ w sat

tm ~ onde

t = temperatura da parede

t = temperatura de saturaccedilatildeo do fluido S 3Lt

exceto o calor latente da vaporizaccedilatildeo b^ que deve ser avaliado agrave

temperatura de saturaccedilatildeo correspondente atilde pressatildeobdquo

Quando a superfiacutecie focircr inclinada vale o raciociacutenio de

Nusselt apenas o termo que atua na remoccedilatildeo do condensado natildeo eacute g

mas sim (g seno) sendo 6 a inclinaccedilatildeo da superfiacutecieraquo

Assim a equaccedilatildeo para estecaso seria

2 3 g o sene o p o h o L

NT _ = 0943 ( r~ y (2) NuL y o k o At w

25 - Efeitos a considerar na condensaccedilatildeo

Ha 3 efeitos importantes a considerar na condensaccedilatildeo que

Nusselt natildeo levou em conta sao eles

- efeito da turbulecircncia no filme liacutequidoraquo

- efeito dos gases incondensaveisraquo

- efeito da velocidade do vapor

251 - Efeito da turbulecircncia no filme liacutequido

As formulas anteriores servem para comprimentos de tubos

pequenos pois nesse caso a velocidade de escoamento do condenshy

sado natildeo eacute grande entretanto para superfiacutecies verticais longas

a peliacutecula torna-se bastante espessa e com velocidade grande deshy

mais para que o escoamento possa ser considerado em regime lamishy

nar

19

Nesse caso define-se o numero de Reynolds baseado na veshy

locidade da fase liacutequida isto eacute

p V 6

Nbdquo - m r

Rer y u

onde

V = velocidade do condensado na camada limite m 6 = espessura da camada limite

T = p V m 6 = descarga do condensado por unidade de largju

ra da superficie de condensaccedilatildeo

No calculo da determinaccedilatildeo de T haacute uma certa dificuldade

pois ele soacute pode ser determinado por iteraccedilatildeoraquo

Q = m c laquo A t = h A A t P

A = 2ir R bdquo L (para tubos)

m c = h o 2IumlIuml R laquo L P

m m braquoL _ p a _ _ li li

2TTR C c P P

Como noacutes nao sabemos o valor de h_ devemos inicialmente

adotar um V e obter atraveacutes da foacutermula

NNuL = deggt0134 (R PV L 3 gt 1 3 ( N R e r ) 0 4 ( 4 )

y

o valor de _h se os valores de h_ obtidos por (3) e (4) forem iguais

o problema esta resolvido caso contraacuterio fazem-se tantas iterashy

ccedilotildees quantas forem necessaacuterias

252 - Efeito dos gases incondensaacuteveis

A presenccedila de gases incondensaacuteveis reduz violentamente o

coeficiente de peliacutecula pois acirc medida que o vapor se condensa o

gaacutes nao condensaacutevel se acumula junto atilde superfiacutecie de resfriamento

20

formando uma barreira adicional S passagem do fluxo de calor

A reduccedilatildeo do coeficiente de peliacutecula que a presenccedila des_

ses gases causa depende da fraccedilatildeo em massa dos mesmos na mistu

ra gaacutes-vapor

Fizeram-se inuacutemeras experiecircncias e sobre o assunto a tiacute

tulo de exemplo vejamos o graacutefico abaixo onde temos em abcissas

o coeficiente de peliacutecula obtido experimentalmente e em ordenadas

a fraccedilatildeo de gases dissolvida jio vapor

5000

bullg- 4000 O

3OOO

2000

S 1000

4 6 8 10 12 lt|gt(lbm arlbm de vapor )x 10

Devemos notar a grande influecircncia dos gases incondensatilde-

veis por exemplo quando o vapor eacute puro nos temos um h = 4000se

tivermos apenas 1 de ar dissolvido o coeficiente de peliacutecula fishy

caraacute reduzido agrave metade isto ecirc h = 2000

Por isso nos condensadores sempre se coloca vapor ornais

puro possiacutevel

253 - Efeito da velocidade do vapor

Quando a velocidade do vapor junto agrave interface liacutequido-

-vapor natildeo focircr despreziacutevel surgem forccedilas de atrito entre o vapor

e o liacutequido Se a direccedilatildeo do fluxo do vapor coincide com a direshy

ccedilatildeo do movimento do liacutequido a velocidade do liacutequido aumenta (haacute

compressatildeo) e a espessura do filme liacutequido diminui e consequenshy

temente a transferecircncia teacutermica melhora pois haacute diminuiccedilatildeo da

resistecircncia teacutermica

Se entretanto a direccedilatildeo do vapor focircr contraacuteria a do fil

o 21 laquo

me de liquido ha uma tendecircncia de haver aumento da espessura da pj2

liacutecula diminuindo assim o valor de h

26 - Consideraccedilotildees sobre os resultados obtidos com as foacutermushy

las de Nusselt

Nota-se experimentalmente que os resultados obtidos pelas

equaccedilotildees de Nusselt sao em geral 10 a 20 inferiores do que os reshy

sultados reais Assim a favor da seguranccedila elas sao usadas e aaacuteo_

tadas Os motivos das discrepacircncias jaacute-foram ditas atraacutes no item

25

Devemos notar ainda que o valor de h obtido pelas foacutermushy

las anteriores e o valor meacutedio jaacute que h varia de ponto para ponto

e seria difiacutecil obter uma equaccedilatildeo que nos desse o valor de h locaL

2bdquo7 - Condensaccedilatildeo por peliacutecula externamente a tubos ciliacutendrishy

cos horizontais

0 mesmo estudo de Nusselt pode ser aplicado neste caso

baseado na hipoacutetese de que no topo do tubo a peliacutecula do condensashy

do tenha espessura nula Chega-se a expressatildeo

g p 2 h D 3 14

NT _ = 0725 ( ) (5) NuD u k o At

Analogamente ao caso anterior as propriedades do liacutequido

sao tomadas a

t + t w sat

tm = ^

exceto h que eacute tomado a t

ev n sat

Na situaccedilatildeo atual da tecnologia e possiacutevel obtermos tubos

com diacircmetros suficientemente pequenos para que tenhamos escoamenshy

to do condensado soacute em regime laminar

22

No caso de vaacuterios tubos empilhados a formula (5) deve

ser modificada pois como dissemos ela soacute vale quando no topo do

tubo a espessura do liacutequido eacute nula o que nao acontece neste caso

(Vide figura a)

Vapor

Tubo

mdash Liacutequido

Fig a

Neste caso a forma que nos da o valor meacutedio para h e

g p 2 h D 3 14

NNuD deg gt 7 2 5 lt N u k V At gt

sendo N o numero de tubos empilhados

Note-se que neste caso o coeficiente h cai bastante Uma

boa soluccedilatildeo para o caso quando dispoacuteftos de lugar eacute dispor os tushy

bos defasados (Conforme figura b)

Liquido

Fig b

Neste arranjo podemos aplicar a equaccedilatildeo (5) pois no tp_

po de cada tubo a espessura da camada de condensado eacute nula

23

B - CONVECCcedilAtildeO COM MUDANCcedilA DE FASE - EVAPORACcedilAtildeO (II)

1 INTRODUCcedilAtildeO

Evaporaccedilatildeo consiste na obtenccedilatildeo de vapor por meio de aque

cimento de um liacutequido

Apesar da importacircncia do processo e do sucesso obtido na

praacutetica em projetos de evaporadores o fenocircmeno da evaporaccedilatildeo eacute

um dos pontos menos conhecidos da transmissatildeo de calor

0 primeiro estudo seacuterio sobre o assunto foi feito em 1934

pelo japonecircs Nukiyama poreacutem somente nos uacuteltimos 10 anos tais es-

tudos se intensificaram

Os primeiros pesquisadores quando estudavam o fenocircmeno

do resfriamento de um solido num liacutequido obtiveram as seguintes

curvas

onde

temperatura

velocidade de resfriamento

3 0 v = amdashbull

A 06

Q - fluxo teacutermico

8 - tempo

A - aacuterea do soacutelido

24

tempo

Ateacute os estudos de Nukiyama nao se conseguia explicar o

porque da variaccedilatildeo crescente da velocidade de resfriamento quando

t gt t sol sat

2 PROCESSO DE FORMACcedilAtildeO DAS BOLHAS

Como a evaporaccedilatildeo do liacutequido se faz sobre uma superfiacutecie

aquecedora sobre esta irao se formar bolhas de vapor que influem

decisivamente no fenocircmeno

Aqui soacute iremos estudar as bolhas sob o ponto de vista qua

litativo bem como a sua influencia mas nao sob o ponto de vista

quantitativo

Recentemente Fritz e Jacob WR Gambill e outros estudiacutei

ram o processo da formaccedilatildeo das bolhas sobre a superfiacutecie aquecedpound

ra Atraveacutes de fotografias verificaram que a bolha de vapor ain

da em contato com a parede variava profundamente de forma confo_r

me o angulo de contato entre liacutequido e parede metaacutelica

Assim eacute que se a superfiacutecie de aquecimento nao e excesshy

sivamente polida e a tensatildeo superficial do liacutequido eacute pequena a

bolha tem a forma da figura las diz-se nesse caso que o liquishy

do molha a parede neste caso o angulo de contato e agudobull Se

as condiccedilotildees contrarias se verificarem o acircngulo de contato sera

obtuso e as bolhas tomam a forma da figura ldegb Naturalmente ve

rificara-se as condiccedilotildees intermediaacuterias para o angulo de contato da

25

fig lc

Fig la Fig lb Fig lo

0 estudo analiacutetico da formaccedilatildeo e crescimento das bolhas

pode ser encontrado em diversos livros por exemplo no El-Wakill

(Nuclear Power) no Jakob (Heat Transfer)e outros Neles faz-se

o estudo das condiccedilotildees do liquido (pressatildeo temperatura tensotildees

etc) para haver ou nao formaccedilatildeo de bolha Isto eacute feito fazendo-se

o estudo das bolhas nas seguintes posiccedilotildees

a) bolha no seio do liacutequido

para meia bolha

4 ltP g - P fgt fg

onde

P g P f

- 4 D (D

g

Pf

D

pressatildeo do vapor

pressatildeo do liquido

tensatildeo entre superfiacutecie do liacutequido e vapor

diacircmetro da bolha

^f g

P f Fig 2

26

A equaccedilatildeo (1) mostra que a pressatildeo do vapor deve ser maior

que a do liquido nas condiccedilotildees de saturaccedilatildeo e este por sua vez

deve estar no estado de superaquecimento o

b) bolhas sobre superfiacutecie solida

Fig 3

Condiccedilotildees para desprender

a mdash o_ + o_ cos a gs fs fg

tensatildeo na interfase liacutequida e vapor (depende das

propriedades do liacutequido e vapor)

tensatildeo entre o liacutequido e superfiacutecie de aquecimen

to (depende das propriedades do liquido e da sushy

perfiacutecie)

tensatildeo entre o vapor e a superfiacutecie de aquecimeri

to (depende das propriedades do vapor e da super

fiacutecie)

21 - Formas do fluxo do vapor desde a superfiacutecie de aquecishy

mento ateacute a superfiacutecie livre do liacutequido

Considerando liacutequido vaporizado em tubos verticais pode^

mos ter 4 tipos de fluxo de vapor

1 - fluxo de bolhas

2 - fluxo de agregados (plug ou slug)

3 - fluxo anular

4 - fluxo disperso

Os quatro tipos ficam bem determinados respectivamente

onde

a fg

degfs

a gs

27

pelas 4 figuras abaixo

LIacutequido - Liacutequido Liacutequido

o

^Bocirclha de

vapor

Vapor

mdash [

- Vapor

mdash 0 0

deg_ a-

jrj-

iquestiexcl5

Bolhas Agregados Anular

Liacutequido

vapor

Disperso ou

Homogecircneo

Conforme o tipo de ebuliccedilatildeo podemos ter uma so das forshy

mas acima ou uma mistura

3 INCERTEZAS NO ESTUDO DA EVAPORACcedilAtildeO

Ha trecircs incertezas principais para determinar o fluxo de

calor na evaporaccedilatildeo a saber

- Aacuterea de contato indefinida

- Diferenccedila de temperatura indefinida

- Grau de turbulecircncia

Como realmente nos nao sabemos uma dependecircncia algeacutebri

ca entre o acircngulo de contato e a superfiacutecie ocupada pelo liacutequishy

do (ou vapor) temos uma incerteza na determinaccedilatildeo da aacuterea de tro

ca de calor (A)

Outra incerteza eacute a dificuldade da obtenccedilatildeo de diferenccedila

de temperatura entre o liacutequido e a parede que normalmente assume-

-se como sendo a diferenccedila entre a temperatura da parede e da ebu

liccedilatildeo do liacutequido (temperatura de saturaccedilatildeo = t )

S cl c

Na realidade a diferenccedila de temperaturas nao eacute aquela

pois a camada de liacutequido que cobre a superfiacutecie aquecedora esta

a uma pressatildeo maior que o resto do liacutequido (pressatildeo atmosfeacuterica

mais a hidrostaacutetica) e consequentemente a temperatura de vaporiza_

ccedilao desse liacutequido e maior que a da superfiacutecie Esta diferenccedila po-

28

deria ser calculada desde que se conhecesse a relaccedilatildeo entre presshy

satildeo e temperatura de saturaccedilatildeo do liacutequido entretanto haacute incerte

za quanto ao verdadeiro peso especiacutefico da coluna de liacutequidopois

trata-se de uma mistura de bolhas de vapor e de liacutequido em proshy

porccedilatildeo variaacutevelraquo

4 REGIMES DE EBULICcedilAtildeO

Nukiyama estudando a ebuliccedilatildeo da aacutegua num recipiente a

quecendo-a com resistencias eleacutetricas construiu a curva baacutesica da

ebuliccedilatildeo Todos os liacutequidos apresentam uma curva semelhante vashy

riando apenas os valoresraquo Os pontos caracteriacutesticos da curva deshy

pendem de caracteriacutesticas difiacuteceis de definirtais como natureza

do metal estado da superficie (rugosidade) dimensotildees orientashy

ccedilatildeo do fluxo quantidade de gases dissolvidos e t c

Estudaremos o fenocircmeno para o caso de aacutegua destiladasem

gas dissolvido a temperatura de saturaccedilatildeo 100 C pressatildeo atmosfe_

re uma superficie plana

Chega-se assim acirc curva

rica sobre uma superficie plana horizontal a temperatura t^

In ltJgt

At (degC)

A curva acima representa o aquecimento de agua com uma re_

sistecircncia eleacutetrica (ate ebuliccedilatildeo)raquo Temos em abcissas as diferenccedilas

de temperatura entre o liacutequido e a resistecircncia em ordenadas o flu

29

Regiatildeo I

Regiatildeo II

Regiatildeo III

Regiatildeo IV

xo de calor por unidade de area

Na curva notam-se 4 regiotildees bem definidas tendo cada uma

o seu significado fiacutesico os quais correspondem a um tipo de ebuli

ccedilao

convecccedilao natural

ebuliccedilatildeo nucleada

ebuliccedilatildeo por peliacutecula parcial

ebuliccedilatildeo por peliacutecula estaacutevel

41 - Convecccedilao natural

Ocorre quando At eacute inferior a 8degCformam-se no liacutequido

correntes convectivas as quais transferem o calor ateacute a superfiacuteshy

cie livre do liacutequido e aiacute desprendendo o vapor Neste caso o valor

de h eacute da ordem de 2000 kcalm^hdegC

42 - Ebuliccedilatildeo nucleada

Ocorre quando o At eacute maior que 8degC e menor que 25degC Nesshy

te caso as bolhas formam-se junto a superfiacutecie de aquecimento

crescem liberam-se movimentam-se em direccedilatildeo agrave superfiacutecie livre do

liacutequido onde estouram libertando o vapor As bolhas formam-se nas

irregularidades da parede tecircm um acircngulo de contato agudo e porshy

tanto hatilde liacutequido sempre em contado com a parede (molha a parede)

cada ponto ativo (lugar onde se formam as bolhas) libera uma porshy

ccedilatildeo de bolhas e os outros pontos do liacutequido ficam em contato com a

superfiacutecie quente violentamente agitados Esta agitaccedilatildeo extrema eacute

mais eficaz que uma turbulecircncia criada artificialmente Por esse mo

tivo a curva cresce violentamente nesse trecho (m = 3 a 7) pois

bull 2 o o valor de h cresce consideravelmente (ate 46000 kcalm hr C) e

o fluxo teacutermico transmitido ao liacutequido cresce proporcionalmente a

Quando cresce crescem tambeacutem

(At) 3

30

numero de bolhas por unidade de aacuterea (num instanshy

te)

~ = crescimento da bolha (com o tempo)

frequecircncia de iacuteormaccedilao de bolhas

A medida que o At vai aumentando iraacute aumentando (jgt tam-- n o N

bem e consequentemente mdash R mdash a a a tal ponto que quando atiacuteii

girmos o ponto da curva nao haveraacute mais formaccedilatildeo de bolhas

mas sim uma peliacutecula de vapor instaacutevel passando assim a 3a re

giao que estudaremos a seguir

43 - Ebuliccedilatildeo por peliacutecula parcial

Como dissemos no item anterior se aumentarmos ainda mais

o At (entre 25degC e 125degC) teremos a formaccedilatildeo de uma peliacutecula de

vapor instaacutevel sobre a superfiacutecie quente que aacutes vezes eacute perfurashy

da pelo liacutequido A camada de vapor tanto mais estaacutevel seraacute quanshy

to maior focircr o At Essa peliacutecula de vapor iraacute provocar um decreacutes_

cimo consideraacutevel no fluxo teacutermico porque como sabemos o vapor

eacute muito pior condutor que a aacuteguaraquo

0 fluxo vai decrescendo ateacute um ponto miacutenimo (iexclgt mintilde (as vecirc

iacutebo bullraquo 1

zes chega a ser mdashj-) e e o chamado ponto de Liedenfrost 0 coeshy

ficiente de peliacutecula neste caso cai violentamente (h = 2000

kcalm^hrdegC)

44 - Ebuliccedilatildeo por peliacutecula estaacutevel

Aumentando ainda mais a diferenccedila de temperaturas

At ( gt 125degC) iremos conseguir uma camada de vapor estaacutevel Ela

transmite calor da superfiacutecie quente ao liacutequido que se vaporiza de

modo que o excesso de vapor formado na interface liquido-vapor for

ma bolhas que sobem para a superfiacutecie 0 liacutequido encontra-se agi-

31

tado poreacutem nao toma contato com a superfiacutecie soacutelida

A peliacutecula de vapor eacute estaacutevel e o fluxo eacute proporcional a

34

(At) (lei de Bromley) Para At grandes passa a influir sensivel^

mente a radiaccedilatildeo teacutermica mais uma razatildeo para demonstrar que nesshy

ta regiatildeo o fluxo cresce novamente

5 CONSIDERACcedilOtildeES E COMPARACcedilAtildeO ENTRE OS TIPOS DE EVAPORACcedilAtildeO

BURNOUT

Sob o ponto de vista de eficiecircncia teacutermica deveriacuteamos sem

pre trabalhar no ponto de fluxo maacuteximo isto eacute no ponto correspon

dente a lt(gt da curva de Nukiyama pois eacute o que daacute maior coeficieri

te de peliacutecula

Acontece poreacutem que se impomos a temperatura da parede

fixa obtemos um uacutenico valor de lt(gt e portanto o fenocircmeno eacute estaacutevel

Poreacutem se como ocorre nos reatores impomos um fluxo teacuter

mico a curva de Nukiyama apresenta 3 pontos de funcionamento posshy

siacuteveis A B C

1

SOacute os pontos A e C sao funccedilotildees estaacuteveis mas eles impotildeem

acirc superfiacutecie quente temperaturas bem diferentes

Na industria em geral trabalha-se por questotildees de segushy

ranccedila na regiatildeo IV da curva poreacutem para os reatores trabalha-se na

32

r e g i atilde o I I

0 p r o b l e m a de t r a b a l h a r n a r e g i atilde o II eacute q u e se n oacute s e s t i shy

v e r m o s t r a b a l h a n d o n o p o n t o e x t r e m o (j) e se p o r q u a l q u e r m o t i v o

h o u v e r u m p e q u e n o a c r eacute s c i m o d e ltfgt i r e m o s t r a b a l h a r i m e d i a t a m e n t e no

p o n t o M q u e t e m o m e s m o $-^0t p o r eacute m c o m A t 2 m u i t a s v e z e s m a i o r

p o d e n d o o c a s i o n a r a f u s atilde o d a s u p e r f iacute c i e a q u e c e d o r a E s t e f e n ocirc m e n o

eacute c h a m a d o d e b u r n o u t

0 f l u x o lttgt eacute c h a m a d o f l u x o c r iacute t i c o o u f l u x o d e b u r -b o

n o u t N o c a s o do r e a t o r d e v e m s e r t o m a d a s m e d i d a s r i g o r o s a s q u a n

to agrave r e g u l a g e m do f l u x o t eacute r m i c o p a r a q u e n atilde o o c o r r a o b u r n o u t 1 1

p o i s d e l e p o d e r e s u l t a r r u p t u r a d a c a m i s a do c o m b u s t iacute v e l e h a v e shy

r aacute p o r t a n t o c o n t a t o do r e f r i g e r a n t e c o m o s s oacute l i d o s e g a s e s r a shy

d i o a t i v o s

5 o l - R e l a ccedil atilde o d e B u r n o u t

E c l a r o q u e p a r a t e r m o s u m r e a t o r m a i s e f i c i e n t e d e v e shy

m o s t r a b a l h a r c o m u m f l u x o o m a i s p r oacute x i m o p o s s iacute v e l do f l u x o d e

B u r n o u t P a r a t a n t o d e v e m o s c o n h e c e r c o m o m a i o r g r a u d e certe

za p o s s iacute v e l q u a l o ^ p a r a p o d e r m o s r e d u z i r o c o e f i c i e n t e d e s e shy

g u r a n ccedil a ( W R G a m b i l l r e c o m e n d a agrave 1 5 )

N o s s e m i n aacute r i o s d e W R G a m b i l l e n c o n t r a m o s u m a s eacute r i e de

b i b l i o g r a f i a s o n d e p o d e m o s e n c o n t r a r i n uacute m e r a s f oacute r m u l a s p r o p o s t a s

p a r a a o b t e n ccedil atilde o de (q 1^)

A t i t u l o d e e x e m p l o v e j a m o s a l g u m a s

q - 2 7 0 G deg gt 8 5 D 0 2 A085 p lt 150

deg D ( L uuml ) 2

q - 140 G 0 5 D ~ deg 2 (-~-)~deg 1 5 p ~ r gt 150 c D (LD)

o n d e a m b a s as e q u a ccedil otilde e s s oacute v a l e m p a r a aacute g u a e m b a i x a p r e s s atilde o e m coii

v e c ccedil a o f o r ccedil a d a

33

D

L

fluxo teacutermico critico BTUhrft bdquo 2

descarga em massa do liquido (Ibmhrft )

diacircmetro do tubo ft

comp do tubo ft

Para cada caso temos uma expressatildeo diferente que pode ser

encontrada em literatura especializada

6 INFLUEcircNCIA DE OUTROS PARAcircMETROS NO FLUXO DE BURNOUT

Como para os usos atuais do reator a diferenccedila de temppound

ratura entre parede e fluido sao pequenas bem como o fluxo de bur

nout recentemente fiacutesicos como Jakob Bonilla WR Gambill estu

daram outros paracircmetros que influenciam bastante o sect^ 0gt isto eacute a

influecircncia desses paracircmetros faz com que o ^ seja maior Isto eacute

util pois quanto maior o fluxo de burnout maior poderaacute ser o

fluxo de calor real de funcionamento

Tais meios sao

- Sub-resfriamenCcedilo do liacutequido

61 - Influecircncia da velocidade do liacutequido

Estudos feitos pelos autores acima chegaram agraves curvas

- Aumento da velocidade imposta ao liacutequido

- Pressatildeo do liacutequido elevada

alto V

At

34

Para velocidades maiores o fluxo de burnout aumenta

porque neste caso o regime eacute turbulento e o coeficiente de peliacute

cuia h aumentao

6bdquo2 - Influencia do aumento da pressatildeo

Este estudo deve-se a Bonilla que obteve experimentalmen

te as curvas

Este estudo foi feito para vaacuterios liacutequidos e chegou a con

clusao que sempre havia uma pressatildeo oacutetima isto e uma pressatildeo que

leva ao maior iacute 1 ^ raquo mantidas as demais condiccedilotildees Experimentalmenshy

te notou que essa pressatildeo correspondia a 13 da pressatildeo critica

do liquido em questatildeo

6=3 - Influecircncia do sub-resfriamento

Consiste em manter atilde custa de uma circulaccedilatildeo intensa o

liacutequido a uma temperatura inferior atilde de saturaccedilatildeo para a pressatildeo

correspondenteraquo Experimentalmente chega-se agraves curvas

mdash A t grande sub

bullAt -0 sub sub

medio

At

35

Verificando os graacuteficos vemos que o lt)gt aumenta agrave medida bo

que aumenta a diferenccedila de temperatura de sub-resf riamento isto pojr

que o liquido como estaacute mais frio faz com que algumas das bolhas

recondensem permitindo que o liquido fique em contato com a parede

quente o que faz aumentar o h

^ f csub = t e m P e r a t u r a ddeg liacutequido - temperatura de saturaccedilatildeo

A diferenccedila de temperatura At entre fluido e parede tamshy

beacutem aumenta poit na regiatildeo proacutexima agrave parede haacute necessidade de

levar o liacutequido da temperatura do sub-resfriamento ateacute a temperatu

ra de saturaccedilatildeo quando se evapora

Atualmente os maiores estudos dos fiacutesicos nucleares locashy

lizam-se neste campo pois eacute o que oferece maiores vantagens

7 FORMULAS PARA 0 CAacuteLCULO DO COEFICIENTE DE PELIacuteCULA NA EBULICcedilAtildeO

Como ocorre no caacutelculo de todas as foacutermulas de convecccedilatildeo

temos formulas empiacutericas para determinar o h conforme o tipo de

ebuliccedilatildeo que nos consideramos

71 - Ebuliccedilatildeo Nucleada

Para o caso de aacutegua temos as relaccedilotildees

superfiacutecies

horizontais

superfiacutecies

verticais

f aacute 5000 BTUhrft 2 -gtbull h = 151 ( A t ) 1 3

A o

5000 lt 75000 -h = 0618 (At)3

^ pound 1000 -raquobull h = 8 7 ( A t ) 1 7

A o -

1000 lt $ lt 20000 -gt h = 027 (At) A o

Quando a pressatildeo e diferente da atmosfeacuterica faz-se a correccedilatildeo

3 6

72 - Ebuliccedilatildeo por peliacutecula

Bromley propocircs uma boa equaccedilatildeo para a ebuliccedilatildeo por peliacuteshy

cula estaacutevel em cilindros horizontais

Nu

_ JtjD n r 9 P v bull ( P L - P v gt - g -h

e V bull D i2

D 1 ^ U b Z u At gt

onde

V = indica vapor

L = indica liacutequido

Multiplicando ambos os membros da equaccedilatildeo acima por

kvD obteremos a expressatildeo do coeficiente de convecccedilagraveo meacutedio para

o caso

37

C - FORMULAS PARA CAacuteLCULOS ESPECIacuteFICOS - RESULTADOS ESPECIacuteFICOS

1 FLUXO DE CALOR CRIacuteTICO - BURNOUT

lol - Introduccedilatildeo

O aspecto mais importante no que se refere agrave seguranccedila

dos reatores da transferencia de calor na ebuliccedilatildeo eacute a determina

ccedilatildeo do Fluxo de calor critico ou de pico ou burnout

Como jatilde vimos quando temos a ebuliccedilatildeo nucleada a dishy

ferenccedila de temperatura entre refrigerante e superfiacutecie de aqueci

mento e pequena poreacutem quando atingimos o fluxo de calor criacutetico

essa diferenccedila de temperatura pode tornar-se imediatamente muishy

to grande podendo causar a ruptura da superfiacutecie de aquecimento

se atiigirmos o ponto de fusatildeo do soacutelidoraquo

Usando a convecccedilao

onde

At sat

w

sat At

sub

w = temperatura da parede de aquecimento

t t = temperatura de saturaccedilatildeo do liacutequido

t^ = temperatura de mistura do liacutequido

At = (t -t ) sub-resfriamento do liacutequido sub N sat b 1

nout

Ha dois tipos de burnout fast burnout e slow bur-

Ocorre o fast burnout (burnout raacutepido) quando A t g u b gt 0

38

ou para baixo x (~ lt 10) sendo x o titulo do vapor

Temos o slow burnout para x - gt 10 Assim noacutes tereshy

mos dois limites para o burnout

At bull o (ltJgt ) t =((() para t = t ) -

bo m m possiacutevel w sat

sub i

4L + 1

G c D h pl nb

(ltK ) = (ltpound para x = 1) = Dv-bo max possiacutevel e 4L

c At l + P 1 sub i

onde

L = comprimento do canal

D = diacircmetro do tubo

G = descarga de liacutequido (por unidade de aacuterea)

c ^ = calor especiacutefico do liacutequido

Agrave = calor latente de vaporizaccedilatildeo

h ^ = coeficiente de transferecircncia de calor na regiatildeo de

nao ebuliccedilatildeo

iacutendices

i = entrada

e = saiacuteda

Haacute inuacutemeras expressotildees para determinaccedilatildeo do burnout pro

postas por muitos fisicos cada uma aplicando-se a um caso especiacuteshy

fico vejamos algumas delas

12 - Equaccedilotildees para prediccedilatildeo de Burnout

121 - Equaccedilatildeo de Bragg e Smith (Zuber)

Num artigo publicado por Bragg e Smith encontramos uma f oacute_r

mula que e derivada da formula de Kutateladze e nos daacute o fluxo cri

39

tico quando nao temos sufaresfriamento

bo poolsat v V raquoc a ( p l P V )

2 PV

14

onde

ltiexclgt = fluxo de calor critico bo

k = constante

Ly = calor latente de vaporizaccedilatildeo do refrigerante

= densidade do liquido

pvr = densidade do vapor V a = tensao superficial

g = fator de conversatildeo c

a = aceleraccedilatildeo da superficie de aquecimento

Os autores encontraram para k um valor de 062 entreten

to outros autores como Zuber incluindo outras variaacuteveis que In

fluiam no fenocircmeno encontraram k variando entre 008 e 023Esshy

tudos bem elaborados mostram que o valor mais aproximado eacute

k = 015 (- 003)

1-22 - Equaccedilatildeo de Noyes

Noyes estudou o burnout para o soacutedio agua e alguns liacute

quidos orgacircnicos

( W s a t ~ bdquo 0245 bull ( r ( 1 )

iiacute_ V 1 Pr

onde

N n = Nuacutemero de Prandtl da fase liacutequida x r

Mais tarde o proacuteprio Noyes alterou a equaccedilatildeo para

n ^ - n H Iacute I Pl PV gt0538 deg g c a q 4 ( W s a t deg 1 1 6 PV ( - p 7 ~ ) (77T1^ ) ( 2 )

40

A ultima correlaccedilatildeo proposta por Noyes foi

a n prPV0560 112

1

(a bull a) 13

(ag c) 112

(3)

onde

a = difusividade teacutermica do liacutequidoraquo A equaccedilatildeo (3) eacute bashy

seada em todos os dados de burnouts do soacutedio bem

como da atildegua benzeno difenil e outros De 111 pontos usados 90

+ estatildeo relacionados dentro de - 30bdquo

ldeg2o3 - Burnout com convecccedilao forccedilada e sub-resfriamen

to

Aproveitando os resultados de aproximadamente 240 testes

de burnouts com aacutegua sub-resfriada em fluxo de convecccedilao forccedilashy

da feitos na Ruacutessia Labuntsov elaborou uma boa equaccedilatildeo empiacuterica

para o problemabdquo

Esta relaccedilatildeo aplica-se para velocidades entre 2 3 e 148

ftsec pressotildees entre 1 e 201 atmabs sub-resfriamento entre 0 deg

e 432 degF e fluxos de burnout entre 0 4 x IO 6 x 166 x 1 0 6 BTUhr

2 bdquo

bullbo

onde

e a seguinte

6 ( P ) 1 + 0 2 3 2 V 2

14

e ( P ) 1 +

15 c At _p_ sub

12 (a)

9 ( P ) - P 1 3 o ( 1 - P J 4 3

red

= pressatildeo (atm abs)

pressatildeo reduzida = mdash mdash red r P

t_ c = pressatildeo critica

= velocidade do liacutequido (ftsec)

= calor especiacutefico do liacutequido (BTUlbdegF)

4 1

^ tsub = ^ ^ e r e n Ccedil a ^ e temperatura entre a temperatura de

mistura do liacutequido e a de saturaccedilatildeo (degF)

X = calor latente de vaporizaccedilatildeo (BTUlb) 2

ltiacutegtbo = fluxo de burnout (BTUhrfl )

Uma outra correlaccedilatildeo para o caso foi proposta por

Ornatsky e Xiohigin que fizeram experiecircncias para pressotildees entre

10 e 1 5 0 3xm 90 degF lt At ^ lt 4 5 0 deg F 3 7 1 0 6 ( l b h r o f t 2 ) lt G lt

2 2 2 10 b ( l b h r bdquo f t 2 )

lt ^ = 3 2 5 0 (G o A t bdquo J deg 6 ( - i - ^ ) 2 5 ( b ) bo sub

onde

G - descarga de refrigerante por unidade de aacuterea

P ^ v P v - densidades do liacutequido e do vapor

P1~ PV -0 termo (mdash ) e incluido na expressatildeo (b) para indicar

a influecircncia da ^ pressatildeo sobre o

Uma comparaccedilatildeo entre as equaccedilotildees (a) e (b) foi feita para

o Reator de Isoacutetopos de Alto Fluxo (HFIR) nas condiccedilotildees aacutegua a

600 psia velocidade = 45 ftsec e sub-resfriamento = At^^ 1

degF obtendo-se uma diferenccedila de 6 5 entre ambos (4gt = 6 0 5 1 0 b

2 ~ 6 2 BTUhr ft pela equaccedilatildeo (a) e 6 4 5 10 3TUhrraquoft pela equaccedilatildeo

(b)

Ilatilde ainda a equaccedilatildeo de Ivey e Morris aplicaacutevel somente pa_

ra ebuliccedilatildeo com grande quantidade de liacutequido

( c sub t

Cpf bull A tsub

( bull ) s ~ V P bdquo 10 h V sat V g

onde

(ltL ) = fluxo critico com sub-resfriamento c sub

(ograve ) ^ - fluxo critico sem sub-resfriamento c sat

42

c ^ = calor especiacutefico do liacutequido

= calor latente de vaporizaccedilatildeo

124 - Burnout com convecccedilao forccedilada e ebuliccedilatildeo por bocirc-

Ihas

Gambill fez uma extensatildeo da equaccedilatildeo de Levy e aplicou o

metqdo da superposiccedilatildeo Tal extensatildeo consiste natilde subtraccedilatildeo de uma

razatildeo equivalente de massa transferida dos termos que represenshy

tam a ebuliccedilatildeo e convecccedilao para levar em conta a presenccedila do vashy

por no fluxo

A correlaccedilatildeo pode ser escrita assim

24 V P V

o g c a (p^Py) 14

+ 0696 (k p c ) 12

(

pr p v )i4 o g c a (P-L-Py) 18

bull At + h sub nb

044 p v L v G (g1) bull N2 n

p l P V

( pr p v ) d e 2-7

2 4 TT 0

14 ( f e _ ^ r l 3

lO^u

onde

k = condutividade teacutermica

c = calor especiacutefico

A t s u b ~ s ub-resfriamento do liacutequido

h = coeficiente de transferecircncia de calor de nao ebu nb mdash

liccedilatildeo

G = descarga total do refrigerante

43

d g = diacircmetro equivalente do tubo ou canalraquo

]i = viscosidade

B = constante adimensional

Os iacutendices V e 1 representam vapor e liacutequido respectiva

mente

0 primeiro termo entre chaves da equaccedilatildeo representa o flu

xo de calor no burnout de sub-resfriamento em convecccedilao forccedilada 0

segundo termo entre chaves corresponde ao fluxo de calor transferi^

do para a massa da fase vapor

1-25 - Burnout por Bloqueio da Base

Ocorre quando a profundidade do recipiente eacute muito maior

que a largura 0 bloqueio da base eacute causado pela formaccedilatildeo de uma pe_

licula de vapor na base impedindo que o liacutequido toque o fundo do

recipiente

i De

Este eacute o burnout por flooding isto eacute burnout por expul

sao do liacutequido Uma equaccedilatildeo que nos dacirc o fluxo minimo do burnout

parao caso eacute

44

onde

D g = diacircmetro equivalente

L = comprimento do tubo

= calor de vaporizaccedilatildeo

p^Py Ap = densidade do liacutequido do vapor e diferenccedila en

tre ambos

Para um fluxo de calor maior ou igual ao dado pela expres_

sao acima (mantida a mesma geometria) teremos burnout Para um deshy

terminado fluxo existiratildeo sempre um comprimento L e um diacircmetro equi

valente D e para os quais temos burnout Exemplo

L (in) D e(in)

10 11

100 51

1000 235

2 RESULTADOS ESPECIacuteFICOS - FOacuteRMULAS PARA CAacuteLCULOS ESPECIacuteFICOS

21 - Diferenccedila de temperatura At i

13 a t

sat

At sat

poundatildeJL_ raquo t - t J p T T 6 w sat

onde

o laquo tensatildeo superficial entre liquido e vapor

t - temperatura de saturaccedilatildeo do liacutequido para a corres-Scl t

pondente pressatildeo

J equivalente mecacircnico do calor

X laquobull calor latente de vaporizaccedilatildeo

py = densidade do vapor

6 = espessura da camada de liacutequido superaquecido onde

45

k l

h nc

onde

k^ = condutividade teacutermica do liacutequido

h = coeficiente de peliacutecula nc r

Segundo Eckent h ^ c e dado por

P 2 Q

nc 3 V VP + 0952

r

onde

D = diacircmetro equivalente

G r = numero de Grashoff

P = nuacutemero de Pradtl

2 o 2 - Velocidade das bolhas

A velocidade das bolhas em meacutedia pode ser dada pela exshy

pressatildeo

V bdquo = Iacute ( a bull B Apl4 bolhas 5 ^ 2

p l onde

AP = P L - P v

Expressatildeo que vale quando a aceleraccedilatildeo eacute a da gravidade

baixa viscosidade do liacutequido e bolhas separadas

Vbolha = f t s e atilde m a x para aacutegua

2 bdquo3 - Diacircmetro das bolhas

2gc deg 12 D = 0015 3 ( mdash mdash 7 ~ ) d g Ap

5 =

46

onde

8 = acircngulo de contato (20 a 90deg) geralmente assume-O -1

-se igual a 50 para a agua em contato com metal

24 - Coeficiente de peliacutecula na ebuliccedilatildeo nucleada

a) Equaccedilatildeo de Rohsenow

Esta equaccedilatildeo nos datilde o fluxo de calor q na ebuliccedilatildeo nushy

cleadaraquo E oacutetima expressatildeo para muitos liacutequidos o efeito da presshy

satildeo eacute levado em conta na variaccedilatildeo das propriedadesraquo

Pf

fg

sat 17 = c

sg k y f h f g g( P f-p g)

n033

onae

Pf

fg

Pf Pg c sg

= fluxo de calor requerido (BTUhr0ft^)

= calor especiacutefico do liacutequido saturado (BTUlbm0F)

= calor latente de vaporizaccedilatildeo (BTULbm)

= nuacutemero de Prandtl

= viscosidade do liacutequido (lbrahrraquoft) ~ 8 2

= fator de conversatildeo 417 10 Ibmftlbflaquohr 2

= aceleraccedilatildeo da gravidade (fthr )

= tensatildeo superficial na interface liacutequida vapor

(lbfft) 3

densidade do liquido e vapor (lbmft )

constante adimensiacuteonal que depende de vaacuterios fashy

tores dentre os quais o grau de aquecimento en_

tre o fluido e a superfiacutecie de aquecimento e o

mais importanteraquo Independe da pressatildeo do sistema b) Equaccedilatildeo de Levy

Equaccedilatildeo valida para a aacutegua quando 100 lt p lt 2000 psiacutea

47

43 bdquo3

qu bdquo gat ^ T J h r t f t ^

495

25 - Calculo do fluxo de calor no Ponto de Leidenfrost

0 ponto de Leidenfrost como vimos eacute o ponto em que oflu

xo de calor comeccedila ncamente a crescer isto eacute o ponto onde termal

aa a ebuliccedilatildeo instaacutevel e comeccedila a ebuliccedilatildeo por peliacutecula estaacutevel Eacute

o chanado fluxo miacutenimo (egrave ) m m

Aproximadamente quando A t g u k = 0 temos

A _ mdash _ mdash (Gambill) m m 5

Ha entretanto varias expressotildees para determinar esse flu

xo eis uma delas

A p 14 ltjgt = 009 h pbdquo (o raquo g mdash ) y m m fg P V deg 2

p l

26 - caacutelculo do fluxo de calor na regiatildeo de ebuliccedilatildeo por peliacute

cuia estaacutevel

para cilindros jmdashi i li

_ D 0172 k-V - P V A p h l V bull S 14 li - = 062 (mdashmdash) (- j- r rmdash) convecccedilao A 0 ybdquo (t -t )

c V w sat

onde

= condutividade do vapor

- 2 TT ( mdash )

c gAp Vl = significam vapor e liacutequido respectivamente

para paredes verticais

L 0172 S deg7 A p bull hlV S q 4 h - - 080 (-^-)J- (-Iuml - Iacutemdash-convecccedilao X L u (t - t J)

c V w sat

48

Como nesta regiatildeo jaacute haacute nina influecircncia marcante da radia

ccedilao devemos levar en conta tambeacutem o coeficiente de peliacutecula de

vido a radiaccedilatildeo para determinar o coeficiente de peliacutecula total

Dos estudos atildea radiaccedilatildeo temos

h = a F pound(T 4 - T 4 J ( T ~ T ) rad w sat w sat

onde amp _ emissividade de superfiacutecie

a = constante de Stefan-Boltzman

F = fator de forma

Segundo WE Gambill o coeficiente de transmissatildeo total

ceve ser

3 iacutei = h + -7 h para h lt h t conv 4 rad r rad conv

Na expressatildeo acima existe o fator 34 porque a radiaccedilatildeo

faz variar um pouco a espessura do filme de vapor reduzindo asshy

sim o l l

conv

Quando tivermos h gt h gt o h^ ^ seraacute rad conv total

h f c = h + h t conv rad

Neste ultimo caso nao ha nenhum coeficiente porque a peshy

liacutecula de vapor jaacute eacute estaacutevel

27 - Grandezas caracteriacutesticas para a apua

Para pressatildeo igual a 1 atm = 1422 psia

At ^ = t - t = 5degC (iniacutecio da ebuliccedilatildeo nucleada) sat w sat 1

At t = 30degC sat crit

49

5 2 $ = 4 10 BTUhrft (para pressatildeo 1 atm)

0 fluxo critico cresce como vimos com a pressatildeo ate

atingir o maacuteximo quando a pressatildeo eacute aproximadamente 13 da pressatildeo

criacutetica Esse fluxo eacute

bull = 13 IO 6 BTUhrft 2 para p = 11000 psia (p pound = 32062 psia)

Ainda temos que para pressatildeo igual a 15 psia

h b o = 11000 BTUhrft degF - ebuliccedilatildeo nucleada

h f b = 30 BTUhrft 2 degF - ebuliccedilatildeo pelicular

Todos os resultados e formulas para caacutelculos especiacuteficos

apresentados nos itens 21 22 23 ateacute 27 sacirco aplicados somente

para sistemas onde haja ebuliccedilatildeo com grande quantidade de liquido

51

D - HIDRODINAcircMICA DOS SISTEMAS E QUEDA

DE PRESSAtildeO DENTRO DE UM CANAL

1 HIDRO-DINAcircMICA E QUEDA DE PRESSAtildeO

11 - Hidro-dinacircmica dos sistemas estaacuteveis

111 - Regimes de escoamento

A evoluccedilatildeo do escoamento ao longo de um canal aquecedor

de secccedilatildeo constante ciliacutendrico pode ser esquematizada pela figushy

ra 1 onde temos em abcissa o comprimento z do canal e em ordenada

a temperatura (T)

52

Na figura 1 nos representamos

a) 0 aspecto do escoamento fluido quando a entalpia do

- fluido aumenta Verificamos que o fluido entra no cashy

nal no estado liacutequido e assim permanece ateacute atingirmos a zona de

ebuliccedilatildeo local onde aparecem as primeiras bolhas A entalpia do

fluido continua aumentando e tem inicioa ebuliccedilatildeo franccedila onde as

bolhas se unem formando agregados posteriormente o escoamento to

ma a forma da figura ou seja torna-se anular disperso Finalmente

atingimos duas uacuteltimas fases do escoamento disperso (vapor uacutemido)

e vapor seco

b) A evoluccedilatildeo da temperatura meacutedia do fluido e da tempeshy

ratura da parede Note-se que a partir da cota a

temperatura da parede aumenta brutalmente podendo causar o

burnout

c) A evoluccedilatildeo do tiacutetulo do vapor (x) com o comprimento

do tubo e a evoluccedilatildeo da fraccedilatildeo (a) que definiremos no

item 11laquo2 com o comprimento do tubo

112 - Definiccedilotildees

a) Tiacutetulo ou qualidade do vapor (x)

massa de vapor na mistura x ~ massa total da mistura

x =

W _g_

g f

b) Fraccedilatildeo vazio (void fraction)

volume do vapor na mistura a = volume total da mistura (agua+vapor)

A relaccedilatildeo entre x e a num sistema parado pode ser obtida

assumindo um certo volume contendo 1 lbm de mistura em equiliacutebrio

teacutermicoraquo

53

O volume da mistura seraacute igual a (v + xv ) ft onde v eacute 3 r rg

o volume especifico (lbmft )

f - refere-se ao liquido

g - refere-se ao vapor

fg - refere-se a diferenccedila entre liacutequido e vapor

Numa mistura em equiliacutebrio se o liacutequido e o vapor estatildeo

saturados o volume do vapor presente eacute igual acirc sua massa vezes

seu volume especiacutefico v assim e

xv bdquo bdquo a mdash

V c + XV c

f gf

onde

- bull-bull uumlutiacuteisa vapor na mistura de 1 Ibm

v volume especiacutefico do liacutequido

v = volume especiacutefico do vapor o

V c = v - V

gf 8 r

Fazendo uma transformaccedilatildeo na expressatildeo acima temos

xv xv JS = Z-

v r+ x(v -v c) xv +(l-x)v t ri f g f g f 1 + Ul-x)xjv fv

1 + C(l-x)x]]vfvg

A fraccedilatildeo vazia tem a influencia de baixar a reatividade

do nuacutecleo nos reatores em que o refrigerante eacute tambeacutem moderador

Na equaccedilatildeo acima os valores de x e v sao tomados em tabe

las termodinacircmicas apropriadas para a pressatildeo do sistema A equashy

ccedilatildeo (1) mostra os grandes valores de a para pequenos valores de x

especialmente para baixas pressotildees Isto ocorre porqueaumentando

54

aacute pressatildeo o v decresce muito enquanto que o v f eacute mais ou menos da

mesma ordem de grandeza

Exemplo Calcular o a correspondente para x raquo 2 para aacutegua

leve atilde pressatildeo atmosfeacuterica

Da tabela para p laquobull 1 atm

v - 001672 ft 3lbm e v - 26800 ft 3lbm

1 + [(1-002)002] 001672268

0971 ou 97U

O grafico abaixo mostra a variaccedilatildeo do a com x para vaacuterias

pressotildees e para a aacutegua leve

x ()

tObservaccedilotildees da curva

Fig 2

1 - para x constante a decresce com a pressatildeo Para presshy

sotildees proacuteximas da criacutetica a aproxima-se rapidamente de

x Para a pressatildeo criacutetica as duas fases satildeo indistinguiacuteveis ea=x

2 - para cada pressatildeo dotdx decresce com aumento de x

3 - para baixos valores de x (que e o caso dos reatores

tipo Boiling) quando p decresce dadx cresce e torr

na-se muito grande paacutera baixas pressotildees Isto tem relaccedilatildeo com a epound

55

tabilidade do reator como veremos mais tarde

113 - Sistemas com fluxo

Todas as definiccedilotildees que noacutes vimos no item anterior refeshy

rem-se acirc sistemas em que a mistura esta fechada no recipiente Nes^

te caso natildeo havia movimento relativo entre as duas fases No entan

to se as duas fases da mistura se movem na direccedilatildeo vertical em

canais entre os elementos combustiacuteveis o vapor por causa de sua

flutuaccedilatildeo tem a tendecircncia de escorregar sobre o liacutequido isto e

move-se com velocidade maior do que a do liacutequido

Real Modelo

Pig 3

S -

Define-se neste caso a relaccedilatildeo de escorregamento (slip

ratio) (S) como sendo

V _i

V f

onde

V = velocidade do vapor

= velocidade do liquido

S modifica as relaccedilotildees entre a e x do item anterior S geralmen_

te gt 1 Define-se neste caso qualidade do vapor ou tiacutetulo como

sendo

_ fluxo de massa de vapor

fluxo de massa da mistura

Entatildeo se o fluxo de massa da mistura eacute m t(lbmhr) o flushy

xo de vapor seraacute = x m e o fluxo de liacutequido sera (1-x) m onde x

56

e o titulo do vapor para a particular secccedilatildeo (AL) da figura (3)

Devemos notar que neste caso x varia de secccedilatildeo para secshy

ccedilatildeo do tubo o exposto no paraacutegrafo acima vale considerando-se que

x e a permaneceram constantes na secccedilatildeo de espessura AL

Aplicando a equaccedilatildeo da continuidade as velocidades do va

por e liacutequido sao dadas por

o xm v

V vazatildeo = g g area A

V

(1-x) amp t v f

f A f

onde A e A f sao as aacutereas medias perpendiculares ao fluxo se as

duas fases sao imaginadas completamente separadas uma da outra

(figura 3) Assim temos

V x m v o A_ A v 0 ^ - 2 = iacute S t m _2L- JL JS m

V A (l-x)ui v 1-x A v U

f g t f g f

Sabemos ainda que para a secccedilatildeo considerada

volume do vapor na mistura a = volume total da mistura (agua+vapor)

A AL A pound g g

a = mdash a a = - mdash 1

(A+A )AL A f + g

A ou f _ 1 - a

A a 8

Substituindo em (2) vem

57

Esta expressatildeo pode ser rearranjada e obteremos uma relashy

ccedilatildeo entre x e a levando em conta o escorregamento Chega-se a

a = 1 ( 3 )

1+ [U-x)x3 igt

onde

v 4 laquo -- S

v lty o

Note-se que quando S=l (nao haacute escorregamento) caimos na

expressatildeo dada no item anterior

0 efeito do escorregamento eacute decrescer o valor de a pa_

ra um mesmo xbdquo Isto pode ser visto pela foacutermula (3) pois S gt lLo

go a decresce com acreacutescimo de S

Um alto S e entatildeo uma vantagem tanto para a transferecircnshy

cia de calor como para efeitos de moderaccedilatildeo Eacute uma vantagem para

transferecircncia de calor porque alto S significa alto V e portanto

maior turbulecircncia e maior contato do liquido com as paredes quenshy

tes Ha tambeacutem melhorias na estabilidade da reaccedilatildeo nuclear isto

porque como jaacute dissemos quando mdash7 diminui a estabilidade aumenshy

ta isso pode ser verificado observando a curva a versus x para a

agua leve a 1000 psiabdquo

Fig 4

58

A relaccedilatildeo entre x e a da equaccedilatildeo (3) so vale para secccedilatildeo

de tubo bem pequena

Devemos notar que S varia tambeacutem com a pressatildeo e velocida^

de de entrada do liacutequido no tubo Este efeito pode ser observado na

figura 5 abaxxo obtida esperimentalmente

s

3

~^ ~ psig

x = 001

V 1

Fig 5

Nos projetos de reatores como veremos adiante o valor a

geralmente eacute determinado por consideraccedilotildees nucleares (moderaccedilatildeo) 0

valor de S eacute determinado atraveacutes de uma estimativa ou entatildeo atrashy

veacutes de um graacutefico do tipo da figura 5 0 correspondente valor de x

pode ser obtido de uma foacutermula empiacuterica do tipo

1 = 1 (-S)0gt67

proposta por Von Glahn

Em muitos casos assume-se S constante em todo o comprimeiv

to do canal poreacutem eacute um erro que em muitos casos nao pode ser coshy

metido

4 REATORES EM QUE 0 LIacuteQUIDO B MODERADOR E CIRCUITO PRIMAacuteRIO AO

MESMO TEMPO BOILING-REACTOR (BWR)

A aacutegua ao se movimentar atraveacutes dos vaacuterios canais do

59

Boiling-reactor encontra vaacuterias resistecircncias ao fluxo que provoshy

cam uma reduccedilatildeo de pressatildeo no fluido

As duas perdas mais importantes sao perda de pressatildeo por

atrito e perda de pressatildeo causada pela aceleraccedilatildeo do refrigerante

ao aumentar de volume por receber calor num canal Outras perdas

de pressatildeo seriam a obstruccedilatildeo ao fluxo por corpos submersos (espa_

ccediladores juntas de tubos chaves etc) e por mudanccedilas abruptas de

aacuterea de fluxo tanto na entrada como na saiacuteda do tubo

Essas perdas de pressatildeo devem ser conhecidas o melhor popound

sivel principalmente nos reatores BWR Para tanto devemos saber

o comprimento de canal em que nao ha a ebuliccedilatildeo isto eacute qual o com

primento de canal em que o refrigerante vai da temperatura de sub-

resfriamento ate temperatura de saturaccedilatildeo

Seja o elemento combustiacutevel

Aquecimento Uniforme Aquecimento Senoidal

Fig 6 Fig 7

onde

H =

H = o

H b

comprimento do elemento combustiacutevel

cota onde o liquido se torna saturado

comprimento do elemento combustiacutevel em que ocorre

ebuliccedilatildeo

60

qg = calor sensiacutevel acrescentado ao liquido para satushy

raacute-lo

qfc = calor total acrescentado ao liacutequido em todo o com

primento do canal

laquoo

q s J o qiquest sen (IIzH) n H o

T~ = TH = 2 ( 1 c o s gt ( a )

q 1 sen (HzH) Jo ^c

A expressatildeo (a) vale quando tivermos uma adiccedilatildeo de calor

senoidal para qualquer outra forma de adiccedilatildeo de calor faz-se um

caacutelculo anaacutelogo

Outra relaccedilatildeo entre q g e qfc eacute dada pela termodinacircmica

q h- - h s f m (b)

(hr +x h )-hm ^t f e fg

onde

= entalpia para o liquido saturado a pressatildeo correjs

pondente (cota z = Ho)

hffi = entalpia do liacutequido na entrada do canal

x = tiacutetulo do vapor na saiacuteda

= entalpia do vapor

Com a relaccedilatildeo (b) noacutes determinamos a relaccedilatildeo q q ecom

S L

uma relaccedilatildeo do tipo (a) (conforme seja o adicionamento de calor ao

liacutequido) podemos obter a relaccedilatildeo HoH e consequentemente H^H

21 - Perda de pressatildeo num canal de evaporaccedilatildeo

Neste item iremos determinar as perdas de pressatildeo mais

representativas que ocorrem num canal de evaporaccedilatildeo de um reator

P + dP

bull1 i- 1 gti i i

dL

onde

UM

Icirc H Icirc Icirc T dF f t f

61

Quantidade de Mov na Entrada

= i- rigVg)

dF f l

Fig 8

m i

m 8

V l V 8

A P

dF

dF

dF

fg

fl

ftf

descarga do liacutequido

descarga do vapor

velocidade do liquido

velocidade do vapor

aacuterea transversal do canal

forccedila de atrito do vapor com parede

forccedila de atrito do liacutequido com parede

forccedila de atrito das duas fases liacutequido+vapor

Fazendo o balanccedilo das forccedilas considerando o sentido posjL

tivo na vertical temos

A (P-P-dP)-(dF +dF _+dF _)-(-pound-) (p A+p A )dL = mdash dGnV+m V ) P fg ftf fl g c 1 1 g g g c

v 1 1 g g 7

- dP = ~ (dF +dF--+dF)+- S--7=- (p A+p A )dL+ mdash ~ - d (m-V+m V ) A_ fg ftf fl g c Ap v^l 1 g g g A 11 g g

Fazendo a integraccedilatildeo termo a termo entre os dois extreshy

mos entrada e saiacuteda e considerando a pressatildeo de entrada igual a

P q e a de saiacuteda igual a Pe vem

Quantidade de Mov na Saiacuteda

-= h I- lY l+ A g V g + d ( aacute l V l + aacuteeVl

Forccedila de Gravidade

= ( g f - N P A + P g V

62

b) r e F f l

o p dp^ = Ap^ = perda de pressatildeo por atrito

do liacutequido na altura Ho

Aplicando a formula de Darcy vem

bull API = f bull ir bull ^ iexcl 7

onde

f = fator de atrito

c) e Fftf

o p ^P tpound

= perda de pressao por atrito da mistura

liquido + vapor no trecho de comprimen

to Hbdquo o

Para determinar esta perda de pressao define-se o fator

de multiplicaccedilatildeo R

A P R =

tf A P 1B

Sendo A p ^ a perda de pressao se o comprimento todo fosshy

se ocupado somente pelo liquido assim

A p t f = R A P 1 B

0 calculo de Ap-^ pode ser feito pela formula de Darcy e

o de R nos veremos no item seguinte

63

d)

-e F

d ( ^ )

O P

Ap = perda de pressatildeo por atrito do vapor

No caso do reator BWR o titulo de saida e bera pequeno e

em nenhum caso ocorre a saida de vapor com x = 100 logo a perda

de pressatildeo por atrito do vapor eacute nula assim

An = 0 5

e) Ap

(p A 1 + p A ) dL = Ap - perda de pressatildeo dpound

vida ao desniacutevel

(perda hidrostaacutetica)

Anbdquo = re A A

-S- I (p + p -S ) dL H s 1 A

c o p o A

como A A Jl_ =

A P

A +A-g 1

1-a -

temos

C Q

te j jll-a)p1 + apg)^jdL = p Lo pound

onde

e jo u

+ ap ) ~I dL (Densidade media 1 S J

no tubo)

No nosso caso

Ap u = p H

f)

re d(mV + m V ) _ mdash - laquo -i bull s iquestp laquos p e r d a ltje pressatildeo devido a acele-

c p raccedilatildeo do vapor

V A

(1-x) tl^Vj

(1-a) A

X V

aA

A p -

roV + m V

c p c p L_

m (l-x)m_v m xv nbdquo -1 T 1

+ _S S I (1-a) Ap aA

P

2 g A c p

n 2 2

(1-x) m T

laquo2 8 A c p

2 2 (l-xe) raTv1

2 2 2 xm_v (1-x) m-v e T s o 1 1

a 1 - a

2 2 - x m_v o T g

a

se

X Q 0 (so ha agua nesse trecho)

a = 0 o

temos

mbdquo Ap =

1 a A 2

S A degc p laquo-

tt-V v i 1 - a

2 via T^r - v i

t Apc

2

V v l

5c Ap

1 - a

x v - 1

a e v l

65

Fazendo

G = fluxo total da massa por unidade de area do

canal

(1-x J e

V

AP r

Assim a perda de pressatildeo total sera

H p V II pV r2 P -P = f -24-Iuml+ f R+p 0 1 2g c D e 2g c g c g c

2c2 - Determinaccedilatildeo do fator de multiplicaccedilatildeo (R)

221 - Relaccedilatildeo Martinelli-Nelson

Os autores Martinelli-Nelson determinaram experimental -

te esse fator R para varias LIT1L em funccedilatildeo da pressatildeo e da r NB total J v

qualidade de saiacuteda do vapor no canal Construiacuteram assim vaacuterias

curvas do tipo da figura 9

66

E importante notar que a qualidade do vapor (x) na saiacuteshy

da nao deve ser grande pois como vemos o valor de R cresce muishy

to com um aumento pequeno de x e um valor de R muito grande acar_

reta uma perda de pressatildeo grande pois

^ d u a s fases R ^ f a s e liacutequida

Para resolvermos um problema seguindo o criteacuterio de bdquo

Martinelli escolhemos a curva R = f(px) (para a relaccedilatildeo L

N g ^ j

adequado) e tiramos R com os valores de pressatildeo p e tiacutetulo x

As curvas R = f (p x L T t )IO encontram-se nos ANL 6469 bio I

e 6561

222 - Relaccedilatildeo Lottes-Flinn

Estes autores estudaram o problema para o aquecimento uni

forme do refrigerante com baixo titule Lottes-Flinn fizeram inuacuteshy

meras experiecircncias e verificaram que para fluxo de calor uniforshy

me e baixos titulos R era independente do fluxo de calor fluxo

do refrigerante escorregamento e apenas funccedilatildeo de a g

Como a quantidade de liacutequido eacute muito maior que a de vashy

por a perda de pressatildeo daacute-se principalmente pelo atrito do liacuteshy

quido com a parede Podemos assim escrever a foacutermula de Darcy

na forma diferencial

dz

d = f __ r e amp c

onde

V = velocidade do liquido saturado na cota zbdquo X

f = coeficiente atrito

= densidade do liacutequido saturado

Teoricamente a queda de pressatildeo deve-se ao acreacutescimo de

67

velocidade do liacutequido e da diminuiccedilatildeo da aacuterea de fluxo do liacutequi

do

P fH A P t p

= f D 2g Ho

d z

fazendo

V lo

m V t lo

(velocidade do liacutequido na cota z = Ho)

(1-x) m t v 1

(1-a) A (velocidade do liacutequido na cota z gt Ho)

a bull+ fraccedilatildeo vazio na cota z geneacuterica

V 1 (1-x) m t v 1

m t V l 1 - a

x =s 0 pois o tiacutetulo eacute baixo

A p t f = f bull JT5 c e

fH V lo

H o (1-a) dz

Para fazer a integral devemos achar a relaccedilatildeo de variaccedilatildeo

entre a e z Como o fluxo de calor eacute uniforme a qualidade eacute direshy

tamente proporcional a z

bull laquo x = x e H

z = mdash x X e

Sabemos ainda que (item 113)

x

1 + [ ( I -X)AKQ x + iiacuteraquo

68

como

temos

(1-x) = 1

v

X =

z =

1-a

1 -a

1-a e

a

e

1-a pound

a

1 -a igt (assumindo S = cte)

da

Atf - f bull 2 i ^ ~ J c e o

a 1 - a e e 1 s 4 hmdash) da

a 1-a

f P lv^ Q

0 termo mdash - mdash e a parte de perda de pressatildeo pelo lj^

^c e -quido ou seja Ap liquido saturado e como

Ap

R = tf

Ap liauido saturado

temos que

R J

f ae 1 _ a e 1 4

a 1 -a o e

1 -a r-R =

3 1 -a

a 1 -a imdash

3 vl - a 3

e e

Os valores de R obtidos por esta expressatildeo aproximam-se

muito dos valores obtidos pelos aacutebacos de Martinelli

69

E - EXPANSAtildeO E COMPRESSAtildeO DE UM FLUIDO - ANAacuteLISE HIDRODINAcircMICA

DE UM CIRCUITO EM CIRCULACcedilAtildeO NATURAL

1 EXPANSAtildeO NO FLUXO DE UM FLUIDO

11 - Uma so fase

Figura 1

Ha vaacuterios meacutetodos para determinar a variaccedilatildeo de pressatildeo

numa expansatildeo de fluido estudaremos o de Romie que eacute o que daacute

maior precisatildeo

Romie considera que a pressatildeo p^ tambeacutem atua na aacuterea

imediatamente apos a expansatildeo Assim fazendo o equiliacutebrio das foi

ccedilas nas secccedilotildees tracejadas da figura 1 temos

mVj

p r A 2 + mdash

mV

bull 2- A2

mas

m = pV^A^

pV^A = p V 2 bdquo A 2

V A

v 2 -4r-logo

( P l-P 2) A 2 = f ( V ^ ) - f _ v j amp c c 2

70

2 pV A A pV A A

Chamando A l A ]

K = 1 - T e degi2 = Aiexcl bull V E M

pvj

P l P 2 = T ~ bull ( 2 deg 1 2 ) ( 1 _ a 1 2 )

Outra maneira de chegar atilde diferenccedila de pressatildeo ( P j - ^ ) s mdash

ria usar o coeficiente de perda da mecacircnica dos fluidos Assim o

equilibrio das pressotildees eacute

2 2

1 V l 1 V 2 V l P i + _ p _ ^ P 2 + I p ~ + k 1 2 p mdash

onde = coeficiente de perda

A 2 1 2

k 1 2 - (l-o 1 2) - (1 - j- )

Fazendo as transformaccedilotildees chegamos a mesma expressatildeo obshy

tida pelo balanccedilo das forccedilas

PraquoIacute pr p

2 - - ir ^ laquo-ia

12 - Duas fases

Como ha duas fases a equaccedilatildeo do balanccedilo das forccedilas fica

um pouco alterada

m pound 1 V- m - raquoV - m-V- m bdquoV _ P A + j y ^ i + _gl_JUuml P A + -11-11 + -ilsl (a)

1 2 e R 2 2 ff e

Sabendo que

71

m (1-x) m t = p fA (1-a) V f

entatildeo

fl l-o^ p fA x

6 Vf2 1-x l-a2 P fA 2

m V = mdash mdash e V 0 = gl a 1 P C T A 1 g2

m

a_ p h

2 g 2

Nas expressotildees anteriores o x nao varia porque a expansatildeo

5 adiabaacutetica porem o a varia devido a modificaccedilatildeo do tamanho da

bolha

Substituindo os valores das velocidades na expressatildeo (a)

vera

( P - P ) Abdquo =

2

2 2 m gt2 2 m t (1-x) 1 x t

ra i 2 m i 1 x t 1

p fA 1 g c ttl p Ax gpound

m t P - P = mdash

(1-x) (l-a 1)A 1A 2 (l-a2)A|

a r A r A 2

V A 2

m t P bdquo - P = mdash 2 1 g c A r A 2 p f

(1-x) 1-a f A 2(l-a 2)

bull ^ 2

72

Se

P -P

a

m

g

12

1 _1_ (1-x)

J12

1 _ a l 1 - a 2 + X (- )

Pg

1 deg12 a 2 ^

Sabemos que

mt = V o pf laquo A l

Sendo V q = velocidade do liquido num ponto onde natildeo haja vapor

P 2-P 1

u 2 2 A 2

V pr Ai

V W p f

(1-x) 12

l-a1 l-a2

+ X 2 pf

mdash

l deg12

-1 a 2 _

p -p r 2 Al (2a 1 2)

2 M f w 1 deg12 X (mdash) (

pg al a 2 )+(l-x)C l 1 12

1-a^ l-a2

Devemos notar que esta expressatildeo tambeacutem vale para quando

temos uma fase para isso basta fazer

= c t 2 = 0

X = 0

e recairemos na formula do item anterior

2 pf 1 deg12 Observemos que neste caso o termo x (mdash)( ) nao

Pg al a2

2

73

tem significado pois corresponde a mudanccedila de fase

2 CONTRACcedilAtildeO KO FLUXO DE UM FLUIDO

21 - Uma so fase raquo mdash

Aqui ocorre um fenocircmeno importante pois o fluido ao ser

contraiacutedo nao vai diretamente da area A^ para a area A 0 mas ele

contral-se ate uma area A^ e depois expande-se ate k^

Ao A2

Po IP 2

V 2

Figura 2

Fazendo o equiliacutebrio das pressotildees entre os planos (1)

(0) vem 2 2

pV pV p +~ plusmn - P + i deg bull 1 2 g o 2 g (b)

C x

Fazendo equiliacutebrio da expansatildeo (0) - (2) vem

P o + 2 - f = P 2 + 2 -T + kp- 2 F ( c )

c c b C

Subtraindo (b) - (c)

2 2 2

i p- vj i p- v2 L P l + 2 bull g c

P 2 + 2 2g c

+ k P 2g c

74

Como

P - P = mdash 2 2g

2 2

bull (1 + k) - f bdquo mdash i

k a - f2 ) 2 - d - o c )2

= o

A = a 21

Weisback obteve varias relaccedilotildees entre a e a i] c

01 02 03 a 0624 0632 0643 c

0624 0632

A r v i - V v 2

p -p 1 2

P -P 1 2 2g7

v l =

(1+k) - laquofi- a 2g 21 c

( 1 + k - o 2 1)

X[- V 2 o 2 1V 2

22 - Duas fases

0 valor de k pode ser aproximado para

k = a(l - o 2 1)

onde segundo Richardsons para fluxo de duas fases podemos supor

a = 02

Para fluxo homogeacuteneo sabemos que

75

p = p f (1 -a ) + p o a

podemos supor p bdquo a = 0 pois p e pequeno e fazendo

V = V ~ V fbdquo2 go2 v 2

Substituindo estas duas expressotildees na equaccedilatildeo de uma soacute fase vem

2 2 p V (l-ct) p V (1 -a ) bdquo

P l P 2 = 9g ( 1 + 3 - 3 0 ^ - 0 ^ ) = g (a+1) (l-a^)

Se a = 02

2 12p oV 0

p r p

2 - 9g gt d-) d-sigt

A compressatildeo de um fluido acarreta uma perda de pressatildeo

como pode ser verificado pelas formulas uma vez que lt 1deg

3 ANALISE HIDRODINAcircMICA DE UM CIRCUITO EM CIRCULACcedilAtildeO NATURAL

Esquema deacute uma caldeira com circulaccedilatildeo natural

76

Determinar a velocidade em (7) para que tenhamos circula

ccedilatildeo natural Determinar tambeacutem as perdas de pressatildeo em todos os

trechos da caldeira

31 - Contraccedilatildeo das secccedilotildees (1) - (2)

Como jaacute vimos a equaccedilatildeo do balanccedilo das pressotildees eacute

1 pr Vl 1 p 2 o V 2 P2 V2

1 2 g 2 + 2 g + K12 2g otilde c amp c e c

bullraquo 2 o2 2 e havendo uma soacute fase k 1 9 = (l-o ) = (1 mdash ) e sendo

C 2

p l = p2

v x lt lt lt v 2

P 2 V pr p2 bull ir2 bull ( 1 + k12gt

Colocando em termos de temos

A 2 V 2 P 2 = A 7 V 7 p 7 (continuidade)

V = V mdashbull = V o_bdquo ~ A 2 2 2

P 2 V - p 2

p r p 2 = ir2 - deg72 bull Ccedilrgt bull lt 1 + ki2gt

fazendo

N12 - lt^gt deg72 ( 1 + k12gt

P7 V7

Pr P2 - N12 bull HG

77

3 2 - Perda de carga no trecho ( 2 ) - ( 3 )

Como haacute apenas uma fase soacute temos perdas por atritos e

perdas hidrostaacuteticas

Sendo como jaacute vimos

2 3 p 2 2 g P 2 P 3 = f 2 3 (r~2g^~) L 2 3 g c p

atrito hidrostaacutetica

Substituindo V^ pela relaccedilatildeo do item anterior e tendo em

conta que p = vem

P -P = f 2 r 3 2 3 D

2 3 p 2 bdquo 2 2 p 7 2

2 g 7 72 p 2 3 g

Se

L 2 3 2 p 7

2 3 2 3 D 2 a 7 2 p 2

P 7 V 7 g P 2 - P 3 = N 2 3 ( mdash gt p 2 L 2 3 f

3 3 - Expansatildeo nas secccedilotildees ( 3 ) - ( 4 )

Como vimos o balanccedilo das pressotildees e

2 2 2 p V p 4 V p V

P 3 + 2 g c

P 4 + 2 g c

+ k 3 4 2 g c

onde

k 3 4 - - -

2 2 1 P 4 - V 4 P 3 v 3

P 3 P 4 = 2 g + ( k 3 4 _ 1 ) 2 g

78

Sendo

P 3 - P 4

p 3 o A 3 deg V 3 = P 7

a A 7 o V 7

P 4A 4 0V 4 = P r A r V

3 7 A 3 p 3

A7 P7 V = v mdash mdash 4 7 P 4

P - P 3 r4

Se

P bdquo - P

bdquo2 r-P 7 V 7

3 4 2g deg74 + ( k 3 4 1 ) deg73

34 p deg74 + ( k 3 4 1 ) 73

p r v2

P3- P4 ^ N34 ^ gt

(No caso e negativo)

34 - Contraccedilatildeo nas secccedilotildees (5) - (6)

Ainda temos uma so fase e fazendo o balanccedilo das pressotildees

como fizemos no item 3lt1 vem

P + vil p + vi + k vi P 5 + 2gbdquo P6 + 2gbdquo + k56 2gbdquo

k 5 6 lt 1 ^ gt 2 ( 1 - Iacute 2 i 2 6

V V6 P5degIacute 5^6 ^SS 2g c - 2g c

P - P ^ = (1+kJ

Como

79

A 6

W p 5 =

VV P6 V 5 = V 6 Jiexcl = Vff65

P 5-P 6 - lt H k 5 6 ) mdash ^ mdash (l+k 5 6-a 6 5) c c c

Sendo

Se

A 7 p 7 p 7

6 7 Ag p 6 7 76 p 6

p _p _ P6- V7- g76 iquest72 ( _ 02 P 5 P 6 2g c bull ( p 6

( 1 + k 5 6 deg65 )

p 7 2 2 N56 = p ^ deg76 ( 1 + k 5 6 ~ a 6 5 )

P 7 V 2

7

P r-P = N r 5 6 56 2g c i

35 - Perdas de pressatildeo nas zonas (6) - (7) - Pre^aquecimento

Nesta regiatildeo temos perdas por atrito e hidrostaacuteticas

Nao haacute perda por aceleraccedilatildeo pois ainda natildeo houve formaccedilatildeo de boshy

lhas

Fazendo balanccedilo das pressotildees temos

L_ ppound-V p = p + otilde L - pound _ + f -Si (-21mdashL 6 7 + p67 L67 g + t 6 7 D K 2g

p _ e ifn sao tomados como valores meacutedios 67 67

P _p _ f hl ^67jIacute uuml + - L A

6 F 7 r67 D 2g P P67 L67 g 6 s c 7 c

S e Kr pound67 L67 p67 6 7 D 6 p7

p7 V - _g_ P6- P7 - N67 mdash + P67 L67 f

c c

80

36 - Perda de pressatildeo nas zonas (7) - (8) - Zona de ebuliccedilatildeo

Nesta regiatildeo j aacute temos o aparecimento de bolhas logo a

perda de pressatildeo seraacute devida agraves t recircs parcelas aceleraccedilatildeo a t r i t o

das duas fases liacutequidas + vapor e h idros taacute t ica

onde

Assim

P-P Q = AP + AP + APbdquo 7 8 a t r i t o acel H

T M1

78 p 7 7 AP - R f- - mdash mdashr |R = fator mult ipl ica-

a t r i t o 7 D 7 2 g c L tivo

G 2

AP bull r mdash acel g c

P V

|_1 - o a p J 8 P f

2 t r 2 M2

7 7 r 7 7 A P a c e l = -J^mdash 2 r bull p 7 lt T iexcl iexcl - )

A PH p 7 8 L 7 8 fiexcl

p 7 8 iacute 7 li 1 0 0 P l i q + a P v ] d L = P 7 ( 1 - laquo 7 8 )

ag raquo fraccedilatildeo de vazio media entre 7 e 8

APH = p (1 - 5 7 g ) f- L 7 8

2 2

P 7 - P 8 a 5 - 2 T i + 2 r p 7 + P 7 ( 1 - 7 8 gt f L 7 8 7 amp c amp c amp c

81

N 7g = R mdash + 2 r p 7

P7 V7 P7- P8 = N78 + P 7 ( 1 5 7 8 gt J78

37 - Expansatildeo nas secccedilotildees 8 e 9

No caso haacute uma expansatildeo com duas fases e como vimos no

item 12 a variaccedilatildeo de pressatildeo era dada por

0f Vo P2 P1 = ~2g c ( 2 deg12

x 2 (mdash)(mdash - mdash ) + ( l - x ) 2 ^ T mdash 8 1 2 1

12

Aplicando ao nosso caso

P pound = P 7

P -P = 8 9

V - V raquo V g f 7

P 7 V 2

2 pf 1 a89 2 1 g89 x (mdash) ( ) + (1-x) (- - N

o ou abdquo 1-cu l-ot_) g 8 9 8 9

Se

N 89

= 2 a 89

2 pf 1 deg89 2 1 CT89 x (mdash) ( ) + (1-x) ( T

g 8 9 8 9

P -P = 8 9

- N P7deg V7

89 2gbdquo

38 - Perda de pressatildeo no trecho 9 e 10

No referido trecho temos apenas perda de pressatildeo por atr L

to da fase liacutequido + vapor e perda hidrostaacutetica Natildeo haacute perda por

aceleraccedilatildeo do vapor pois este natildeo recebe mais calor e portanto

o 82 o

nao ha variaccedilatildeo no a

p

Q -p i n = A P

U + A P bull 9 10 H atrito

n T -S_ P9 U10 deg 910 bull g

fio r

910 I 910

J9 L

(l- a)P + Q P I dL liq v

(l-a0) p

No caso a = (nao hatilde variaccedilatildeo de forma)

A P H - (1-a ) P (p L 0

c

AP bdquo = R o

atrito

2 f9 o L910 P9 V9

2g

Supondo

= V

P 9 = P 8 P 7

vbdquo = v 9 8 0 A r

= V 7 bull deg89

AP - R atrito

2 2

W l O p7deg V7deg g89

V P10 R -^T^ bull deg89 bull li-2 + ( W P 7 (fgt SIO

y c c

Se

- f9 L910 2 N9ol0 R Dl deg89

w 2

p rv P9 P10 = VlO + ( 1 a 9 ) p7 (f gt L910 c

33

39 - Perda ciacutee pressatildeo na expansatildeo 9 - 1 0

Analogamente a expansatildeo 8 - 9 temos

10 11 P 7 2g

10 Iacute 2 0 1 0 - 1 1 gt

2 ff

pg aio

10-11

laquo11 ) +

Ll-a 1 0 bull l-a u J

Se

V10 = V 9 = V 8 bull T9 = V 7 deg89

P -P 10 rll = - a 2g 089 ^lO-ll

4 bull T~ bull (7 1 mdash ) + Pg degio a n

+ (l-x)2(- 1 10-11

1 - aio )

N10-ll = 2 a10-ll a89 2 pf t 1 10-11 N2

-(j-r- - ) bull+ (1-x) pg aio deg 1

10-11 k l - a io

prz P10 Pll = - N10-ll bull ( 2gbdquo

310 - Calculo de V

Fazendo a somatoacuteria de todas as expressotildees (P^-Pj) tere-

84

mos 2 PbdquoV_

P bdquo - P bdquo = N 7 v 7

1 2 12 2g

bull 2 - P 3 - = N 2 3 P 2 L 2 3 f c ccedil

9 P 7 V 7 P _p = N mdash -

3 4 34 deg 2g

V P 5 = deg

2 P V

5 6 56 2 g c

ltr2

P 7 -V 6 e7 -N67 2g + p 6 7 J j67 g

c bc v 2

P 7 - P 8 = N 7 8 - 2 i ~ + p 7 ( 1 - laquo 7 8 ) L 7 8 c

P 7 V 7

P - P - -N mdash - -8 9 89 2g

c P 7 V 7

P 9 ~ P 1 0 VlO 2g + ( 1 a 9 P 7 L 9 c

P 7 V 7

bull10 11 U10-ll 2g

P v iacute j P - P

1 11

7 - v 7 3 bull r

2 8 i U L 2 23 67

(l-5 7 8) L 7 8 + ( l - laquo 9 ) P 7 bull SlOtilde]- ^

Por ou t ro lado sabemos que como secccedilotildees 1

mesmo n iacute v e l

85

s c p r v 7 j

28 Z N i ij

= P 2 L23 p67 L67 P 7 ( 1~deg78 )

78 ~ ^g) bull P 7 bull L 910 g_

V - 2 g ( p r L 2 3 - p 6 r L 6 7 - p 7 ( l - atilde 7 8 ) L 7 8 - (l-a9) p L 9 a ( )

y N

Com esse valor de podemos determinar todas as variashy

ccedilotildees de pressatildeo (P^-P )

BIBLIOGRAFIA

- WoR Gambill - Notas de aula dos seminaacuterios realizados no Insshy

tituto de Energia Atocircmica de Sao Paulo em 1966 (roteiro)

- WR Gambill - Nuclear Safety

Vol 9 - n9 5 e 6

Vol 6 - n 2 (pag 152)

Vol 4 -r n9 1 (pag 30)

Volbdquo 5 - n 2 (pag 151)

- WRo Gambill - Chemical Eng Prog ndeg 54 (Outubro)

~ El Wakil - Nuclear Power

- Jakob Max - Heat Transfer (vol I)

Mc Adams - Heat Transmission

- Paul A Lottes - Argonne National Laboratory

- AKL - 6469

- ANL - 6561

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Knudsen e Katz - Fluid Dinamics and Heat Transfer

Frank Kreith - Principles of Heat Transfer

Journeacutees Internationales de la transmission de la chaleur

Seminaacuterios realizados em Paris em 1961 sob a supervisatildeo do

Prof Marcel Veron

Notas de aula da Cadeira de Termodinacircmica I e Transmissatildeo da

Escola Politeacutecnica da Universidade de Sao Paulo

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res 50o000-100bdquo000 kcalhrm 2degC Isto eacute obtido a maneira pela

qual a condensaccedilatildeo se produz Ilaacute duas maneiras

1 - condensaccedilatildeo por peliacutecula daacute-se quando o liacutequido con

densado molha totalmente a parede formando urna peliacute

cula continua sobre a mesmaraquo

2 - condensaccedilatildeo por gotas daacute-se quando o liacutequido ao se

condensar rcune-se em gotas que crescem ateacute terem

peso suficiente para escoarenu

0 primeiro tipo eacute o mais comum e eacute o que daacute menor coefishy

ciente de peliacutecula porque a pelicula do liacutequido constitui uma re

sistencia adicional a passagem do calorraquo No segundo tipo chega-se

a coeficientes de pelicula muito maiores pelo fato do vapor estar

sempre em contato direto com a superficie resfriadura isto eacutepor

nao haver resistencia adicional

2o2 - Condiccedilotildees para termos condensaccedilatildeo por peliacutecula ou por

gotas

Sob o ponto de vista da transmissatildeo de calor deveriacuteamos

sempre preferir a condensaccedilatildeo por gotas pois como jaacute dissemos e

a que daacute maior eficiencia teacutermica Acontece poreacutem que tecnologji

camente eacute difiacutecil a obtenccedilatildeo da condensaccedilatildeo por gotas pois haacute

necessidade de termos um vapor puro urna superficie de resfriameii

to perfeitamente lisa (cromeada espelhada) e com resinas para fa

cilitar a formaccedilatildeo das gotas Tudo isso encareceria demais um con_

densador por isso eacute que na praacutetica usamos condensaccedilatildeo por peliacutecu

la quando podemos usar chapas ou tubos comerciais

So em casos muito especiais quando o espaccedilo eacute muito imshy

portante usa-se condensaccedilatildeo por gotas

2 3 - Remoccedilatildeo do Condensado

Um fator importante a considerar na condensaccedilatildeo eacute a remo

17

ccedilao do condensado que sempre se faz por gravidade Ha dois tipos

principais de superficies de condensaccedilatildeo

1 - Tubos ou placas verticais (ou encunadas)

2 - Tubos cilindricos horizontais

Nos tubos verticais a espessura da peliacutecula liacutequida aumen

tara do topo acirc base e com isso variaraacute ao longo do tubo o coefishy

ciente de peliacutecula loacutecalo

No caso dos tubos ciliacutendricos horizontais o liacutequido escoj

re pela parede lateral e goteja pela parte inferior natildeo havendo

possibilidade de formaccedilatildeo de camadas espessas do condensado

2raquo4 - Condensaccedilatildeo por peliacutecula sobre tubos verticais

Nusselt desenvolveu estudos analiacuteticos sobre condensaccedilatildeo

externa a tubos ciliacutendricos verticais partindo das hipoacuteteses

1 - A espessura da peliacutecula do condensado eacute nula na parte

superior do tubo e vai aumentando nas partes inferioshy

res por condensaccedil-ao e escorrimentoraquo

2 - 0 fluido escorre pela parede em regime laminar sob o

efeito combinado do seu peso e viscosidade

3 - A temperatura da camada mais interna do condensado tem

a temperatura da parederaquo

4 - A temperatura da camada mais externa tem a temperatushy

ra do vapor-

5 - A variaccedilatildeo da temperatura da camada do condensado em

sentido ortogonal agrave superfiacutecie do tubo eacute linear

6 - 0 vapor cede apenas seu calor latente

7 - A temperatura do tubo eacute uniforme e constanteraquo

8 - Nao haacute gases incondensaacuteveis no vapor (vapor puro)

Chegou a formula

18

2 3 g P - h L t

N j = 0943 ( r-EcircY~ ) 1 4 (l) NuL y bdquo k o At v

As propriedades da equaccedilatildeo (1) satildeo avaliadas agrave temperatu

ra meacutedia tm

c + t _ w sat

tm ~ onde

t = temperatura da parede

t = temperatura de saturaccedilatildeo do fluido S 3Lt

exceto o calor latente da vaporizaccedilatildeo b^ que deve ser avaliado agrave

temperatura de saturaccedilatildeo correspondente atilde pressatildeobdquo

Quando a superfiacutecie focircr inclinada vale o raciociacutenio de

Nusselt apenas o termo que atua na remoccedilatildeo do condensado natildeo eacute g

mas sim (g seno) sendo 6 a inclinaccedilatildeo da superfiacutecieraquo

Assim a equaccedilatildeo para estecaso seria

2 3 g o sene o p o h o L

NT _ = 0943 ( r~ y (2) NuL y o k o At w

25 - Efeitos a considerar na condensaccedilatildeo

Ha 3 efeitos importantes a considerar na condensaccedilatildeo que

Nusselt natildeo levou em conta sao eles

- efeito da turbulecircncia no filme liacutequidoraquo

- efeito dos gases incondensaveisraquo

- efeito da velocidade do vapor

251 - Efeito da turbulecircncia no filme liacutequido

As formulas anteriores servem para comprimentos de tubos

pequenos pois nesse caso a velocidade de escoamento do condenshy

sado natildeo eacute grande entretanto para superfiacutecies verticais longas

a peliacutecula torna-se bastante espessa e com velocidade grande deshy

mais para que o escoamento possa ser considerado em regime lamishy

nar

19

Nesse caso define-se o numero de Reynolds baseado na veshy

locidade da fase liacutequida isto eacute

p V 6

Nbdquo - m r

Rer y u

onde

V = velocidade do condensado na camada limite m 6 = espessura da camada limite

T = p V m 6 = descarga do condensado por unidade de largju

ra da superficie de condensaccedilatildeo

No calculo da determinaccedilatildeo de T haacute uma certa dificuldade

pois ele soacute pode ser determinado por iteraccedilatildeoraquo

Q = m c laquo A t = h A A t P

A = 2ir R bdquo L (para tubos)

m c = h o 2IumlIuml R laquo L P

m m braquoL _ p a _ _ li li

2TTR C c P P

Como noacutes nao sabemos o valor de h_ devemos inicialmente

adotar um V e obter atraveacutes da foacutermula

NNuL = deggt0134 (R PV L 3 gt 1 3 ( N R e r ) 0 4 ( 4 )

y

o valor de _h se os valores de h_ obtidos por (3) e (4) forem iguais

o problema esta resolvido caso contraacuterio fazem-se tantas iterashy

ccedilotildees quantas forem necessaacuterias

252 - Efeito dos gases incondensaacuteveis

A presenccedila de gases incondensaacuteveis reduz violentamente o

coeficiente de peliacutecula pois acirc medida que o vapor se condensa o

gaacutes nao condensaacutevel se acumula junto atilde superfiacutecie de resfriamento

20

formando uma barreira adicional S passagem do fluxo de calor

A reduccedilatildeo do coeficiente de peliacutecula que a presenccedila des_

ses gases causa depende da fraccedilatildeo em massa dos mesmos na mistu

ra gaacutes-vapor

Fizeram-se inuacutemeras experiecircncias e sobre o assunto a tiacute

tulo de exemplo vejamos o graacutefico abaixo onde temos em abcissas

o coeficiente de peliacutecula obtido experimentalmente e em ordenadas

a fraccedilatildeo de gases dissolvida jio vapor

5000

bullg- 4000 O

3OOO

2000

S 1000

4 6 8 10 12 lt|gt(lbm arlbm de vapor )x 10

Devemos notar a grande influecircncia dos gases incondensatilde-

veis por exemplo quando o vapor eacute puro nos temos um h = 4000se

tivermos apenas 1 de ar dissolvido o coeficiente de peliacutecula fishy

caraacute reduzido agrave metade isto ecirc h = 2000

Por isso nos condensadores sempre se coloca vapor ornais

puro possiacutevel

253 - Efeito da velocidade do vapor

Quando a velocidade do vapor junto agrave interface liacutequido-

-vapor natildeo focircr despreziacutevel surgem forccedilas de atrito entre o vapor

e o liacutequido Se a direccedilatildeo do fluxo do vapor coincide com a direshy

ccedilatildeo do movimento do liacutequido a velocidade do liacutequido aumenta (haacute

compressatildeo) e a espessura do filme liacutequido diminui e consequenshy

temente a transferecircncia teacutermica melhora pois haacute diminuiccedilatildeo da

resistecircncia teacutermica

Se entretanto a direccedilatildeo do vapor focircr contraacuteria a do fil

o 21 laquo

me de liquido ha uma tendecircncia de haver aumento da espessura da pj2

liacutecula diminuindo assim o valor de h

26 - Consideraccedilotildees sobre os resultados obtidos com as foacutermushy

las de Nusselt

Nota-se experimentalmente que os resultados obtidos pelas

equaccedilotildees de Nusselt sao em geral 10 a 20 inferiores do que os reshy

sultados reais Assim a favor da seguranccedila elas sao usadas e aaacuteo_

tadas Os motivos das discrepacircncias jaacute-foram ditas atraacutes no item

25

Devemos notar ainda que o valor de h obtido pelas foacutermushy

las anteriores e o valor meacutedio jaacute que h varia de ponto para ponto

e seria difiacutecil obter uma equaccedilatildeo que nos desse o valor de h locaL

2bdquo7 - Condensaccedilatildeo por peliacutecula externamente a tubos ciliacutendrishy

cos horizontais

0 mesmo estudo de Nusselt pode ser aplicado neste caso

baseado na hipoacutetese de que no topo do tubo a peliacutecula do condensashy

do tenha espessura nula Chega-se a expressatildeo

g p 2 h D 3 14

NT _ = 0725 ( ) (5) NuD u k o At

Analogamente ao caso anterior as propriedades do liacutequido

sao tomadas a

t + t w sat

tm = ^

exceto h que eacute tomado a t

ev n sat

Na situaccedilatildeo atual da tecnologia e possiacutevel obtermos tubos

com diacircmetros suficientemente pequenos para que tenhamos escoamenshy

to do condensado soacute em regime laminar

22

No caso de vaacuterios tubos empilhados a formula (5) deve

ser modificada pois como dissemos ela soacute vale quando no topo do

tubo a espessura do liacutequido eacute nula o que nao acontece neste caso

(Vide figura a)

Vapor

Tubo

mdash Liacutequido

Fig a

Neste caso a forma que nos da o valor meacutedio para h e

g p 2 h D 3 14

NNuD deg gt 7 2 5 lt N u k V At gt

sendo N o numero de tubos empilhados

Note-se que neste caso o coeficiente h cai bastante Uma

boa soluccedilatildeo para o caso quando dispoacuteftos de lugar eacute dispor os tushy

bos defasados (Conforme figura b)

Liquido

Fig b

Neste arranjo podemos aplicar a equaccedilatildeo (5) pois no tp_

po de cada tubo a espessura da camada de condensado eacute nula

23

B - CONVECCcedilAtildeO COM MUDANCcedilA DE FASE - EVAPORACcedilAtildeO (II)

1 INTRODUCcedilAtildeO

Evaporaccedilatildeo consiste na obtenccedilatildeo de vapor por meio de aque

cimento de um liacutequido

Apesar da importacircncia do processo e do sucesso obtido na

praacutetica em projetos de evaporadores o fenocircmeno da evaporaccedilatildeo eacute

um dos pontos menos conhecidos da transmissatildeo de calor

0 primeiro estudo seacuterio sobre o assunto foi feito em 1934

pelo japonecircs Nukiyama poreacutem somente nos uacuteltimos 10 anos tais es-

tudos se intensificaram

Os primeiros pesquisadores quando estudavam o fenocircmeno

do resfriamento de um solido num liacutequido obtiveram as seguintes

curvas

onde

temperatura

velocidade de resfriamento

3 0 v = amdashbull

A 06

Q - fluxo teacutermico

8 - tempo

A - aacuterea do soacutelido

24

tempo

Ateacute os estudos de Nukiyama nao se conseguia explicar o

porque da variaccedilatildeo crescente da velocidade de resfriamento quando

t gt t sol sat

2 PROCESSO DE FORMACcedilAtildeO DAS BOLHAS

Como a evaporaccedilatildeo do liacutequido se faz sobre uma superfiacutecie

aquecedora sobre esta irao se formar bolhas de vapor que influem

decisivamente no fenocircmeno

Aqui soacute iremos estudar as bolhas sob o ponto de vista qua

litativo bem como a sua influencia mas nao sob o ponto de vista

quantitativo

Recentemente Fritz e Jacob WR Gambill e outros estudiacutei

ram o processo da formaccedilatildeo das bolhas sobre a superfiacutecie aquecedpound

ra Atraveacutes de fotografias verificaram que a bolha de vapor ain

da em contato com a parede variava profundamente de forma confo_r

me o angulo de contato entre liacutequido e parede metaacutelica

Assim eacute que se a superfiacutecie de aquecimento nao e excesshy

sivamente polida e a tensatildeo superficial do liacutequido eacute pequena a

bolha tem a forma da figura las diz-se nesse caso que o liquishy

do molha a parede neste caso o angulo de contato e agudobull Se

as condiccedilotildees contrarias se verificarem o acircngulo de contato sera

obtuso e as bolhas tomam a forma da figura ldegb Naturalmente ve

rificara-se as condiccedilotildees intermediaacuterias para o angulo de contato da

25

fig lc

Fig la Fig lb Fig lo

0 estudo analiacutetico da formaccedilatildeo e crescimento das bolhas

pode ser encontrado em diversos livros por exemplo no El-Wakill

(Nuclear Power) no Jakob (Heat Transfer)e outros Neles faz-se

o estudo das condiccedilotildees do liquido (pressatildeo temperatura tensotildees

etc) para haver ou nao formaccedilatildeo de bolha Isto eacute feito fazendo-se

o estudo das bolhas nas seguintes posiccedilotildees

a) bolha no seio do liacutequido

para meia bolha

4 ltP g - P fgt fg

onde

P g P f

- 4 D (D

g

Pf

D

pressatildeo do vapor

pressatildeo do liquido

tensatildeo entre superfiacutecie do liacutequido e vapor

diacircmetro da bolha

^f g

P f Fig 2

26

A equaccedilatildeo (1) mostra que a pressatildeo do vapor deve ser maior

que a do liquido nas condiccedilotildees de saturaccedilatildeo e este por sua vez

deve estar no estado de superaquecimento o

b) bolhas sobre superfiacutecie solida

Fig 3

Condiccedilotildees para desprender

a mdash o_ + o_ cos a gs fs fg

tensatildeo na interfase liacutequida e vapor (depende das

propriedades do liacutequido e vapor)

tensatildeo entre o liacutequido e superfiacutecie de aquecimen

to (depende das propriedades do liquido e da sushy

perfiacutecie)

tensatildeo entre o vapor e a superfiacutecie de aquecimeri

to (depende das propriedades do vapor e da super

fiacutecie)

21 - Formas do fluxo do vapor desde a superfiacutecie de aquecishy

mento ateacute a superfiacutecie livre do liacutequido

Considerando liacutequido vaporizado em tubos verticais pode^

mos ter 4 tipos de fluxo de vapor

1 - fluxo de bolhas

2 - fluxo de agregados (plug ou slug)

3 - fluxo anular

4 - fluxo disperso

Os quatro tipos ficam bem determinados respectivamente

onde

a fg

degfs

a gs

27

pelas 4 figuras abaixo

LIacutequido - Liacutequido Liacutequido

o

^Bocirclha de

vapor

Vapor

mdash [

- Vapor

mdash 0 0

deg_ a-

jrj-

iquestiexcl5

Bolhas Agregados Anular

Liacutequido

vapor

Disperso ou

Homogecircneo

Conforme o tipo de ebuliccedilatildeo podemos ter uma so das forshy

mas acima ou uma mistura

3 INCERTEZAS NO ESTUDO DA EVAPORACcedilAtildeO

Ha trecircs incertezas principais para determinar o fluxo de

calor na evaporaccedilatildeo a saber

- Aacuterea de contato indefinida

- Diferenccedila de temperatura indefinida

- Grau de turbulecircncia

Como realmente nos nao sabemos uma dependecircncia algeacutebri

ca entre o acircngulo de contato e a superfiacutecie ocupada pelo liacutequishy

do (ou vapor) temos uma incerteza na determinaccedilatildeo da aacuterea de tro

ca de calor (A)

Outra incerteza eacute a dificuldade da obtenccedilatildeo de diferenccedila

de temperatura entre o liacutequido e a parede que normalmente assume-

-se como sendo a diferenccedila entre a temperatura da parede e da ebu

liccedilatildeo do liacutequido (temperatura de saturaccedilatildeo = t )

S cl c

Na realidade a diferenccedila de temperaturas nao eacute aquela

pois a camada de liacutequido que cobre a superfiacutecie aquecedora esta

a uma pressatildeo maior que o resto do liacutequido (pressatildeo atmosfeacuterica

mais a hidrostaacutetica) e consequentemente a temperatura de vaporiza_

ccedilao desse liacutequido e maior que a da superfiacutecie Esta diferenccedila po-

28

deria ser calculada desde que se conhecesse a relaccedilatildeo entre presshy

satildeo e temperatura de saturaccedilatildeo do liacutequido entretanto haacute incerte

za quanto ao verdadeiro peso especiacutefico da coluna de liacutequidopois

trata-se de uma mistura de bolhas de vapor e de liacutequido em proshy

porccedilatildeo variaacutevelraquo

4 REGIMES DE EBULICcedilAtildeO

Nukiyama estudando a ebuliccedilatildeo da aacutegua num recipiente a

quecendo-a com resistencias eleacutetricas construiu a curva baacutesica da

ebuliccedilatildeo Todos os liacutequidos apresentam uma curva semelhante vashy

riando apenas os valoresraquo Os pontos caracteriacutesticos da curva deshy

pendem de caracteriacutesticas difiacuteceis de definirtais como natureza

do metal estado da superficie (rugosidade) dimensotildees orientashy

ccedilatildeo do fluxo quantidade de gases dissolvidos e t c

Estudaremos o fenocircmeno para o caso de aacutegua destiladasem

gas dissolvido a temperatura de saturaccedilatildeo 100 C pressatildeo atmosfe_

re uma superficie plana

Chega-se assim acirc curva

rica sobre uma superficie plana horizontal a temperatura t^

In ltJgt

At (degC)

A curva acima representa o aquecimento de agua com uma re_

sistecircncia eleacutetrica (ate ebuliccedilatildeo)raquo Temos em abcissas as diferenccedilas

de temperatura entre o liacutequido e a resistecircncia em ordenadas o flu

29

Regiatildeo I

Regiatildeo II

Regiatildeo III

Regiatildeo IV

xo de calor por unidade de area

Na curva notam-se 4 regiotildees bem definidas tendo cada uma

o seu significado fiacutesico os quais correspondem a um tipo de ebuli

ccedilao

convecccedilao natural

ebuliccedilatildeo nucleada

ebuliccedilatildeo por peliacutecula parcial

ebuliccedilatildeo por peliacutecula estaacutevel

41 - Convecccedilao natural

Ocorre quando At eacute inferior a 8degCformam-se no liacutequido

correntes convectivas as quais transferem o calor ateacute a superfiacuteshy

cie livre do liacutequido e aiacute desprendendo o vapor Neste caso o valor

de h eacute da ordem de 2000 kcalm^hdegC

42 - Ebuliccedilatildeo nucleada

Ocorre quando o At eacute maior que 8degC e menor que 25degC Nesshy

te caso as bolhas formam-se junto a superfiacutecie de aquecimento

crescem liberam-se movimentam-se em direccedilatildeo agrave superfiacutecie livre do

liacutequido onde estouram libertando o vapor As bolhas formam-se nas

irregularidades da parede tecircm um acircngulo de contato agudo e porshy

tanto hatilde liacutequido sempre em contado com a parede (molha a parede)

cada ponto ativo (lugar onde se formam as bolhas) libera uma porshy

ccedilatildeo de bolhas e os outros pontos do liacutequido ficam em contato com a

superfiacutecie quente violentamente agitados Esta agitaccedilatildeo extrema eacute

mais eficaz que uma turbulecircncia criada artificialmente Por esse mo

tivo a curva cresce violentamente nesse trecho (m = 3 a 7) pois

bull 2 o o valor de h cresce consideravelmente (ate 46000 kcalm hr C) e

o fluxo teacutermico transmitido ao liacutequido cresce proporcionalmente a

Quando cresce crescem tambeacutem

(At) 3

30

numero de bolhas por unidade de aacuterea (num instanshy

te)

~ = crescimento da bolha (com o tempo)

frequecircncia de iacuteormaccedilao de bolhas

A medida que o At vai aumentando iraacute aumentando (jgt tam-- n o N

bem e consequentemente mdash R mdash a a a tal ponto que quando atiacuteii

girmos o ponto da curva nao haveraacute mais formaccedilatildeo de bolhas

mas sim uma peliacutecula de vapor instaacutevel passando assim a 3a re

giao que estudaremos a seguir

43 - Ebuliccedilatildeo por peliacutecula parcial

Como dissemos no item anterior se aumentarmos ainda mais

o At (entre 25degC e 125degC) teremos a formaccedilatildeo de uma peliacutecula de

vapor instaacutevel sobre a superfiacutecie quente que aacutes vezes eacute perfurashy

da pelo liacutequido A camada de vapor tanto mais estaacutevel seraacute quanshy

to maior focircr o At Essa peliacutecula de vapor iraacute provocar um decreacutes_

cimo consideraacutevel no fluxo teacutermico porque como sabemos o vapor

eacute muito pior condutor que a aacuteguaraquo

0 fluxo vai decrescendo ateacute um ponto miacutenimo (iexclgt mintilde (as vecirc

iacutebo bullraquo 1

zes chega a ser mdashj-) e e o chamado ponto de Liedenfrost 0 coeshy

ficiente de peliacutecula neste caso cai violentamente (h = 2000

kcalm^hrdegC)

44 - Ebuliccedilatildeo por peliacutecula estaacutevel

Aumentando ainda mais a diferenccedila de temperaturas

At ( gt 125degC) iremos conseguir uma camada de vapor estaacutevel Ela

transmite calor da superfiacutecie quente ao liacutequido que se vaporiza de

modo que o excesso de vapor formado na interface liquido-vapor for

ma bolhas que sobem para a superfiacutecie 0 liacutequido encontra-se agi-

31

tado poreacutem nao toma contato com a superfiacutecie soacutelida

A peliacutecula de vapor eacute estaacutevel e o fluxo eacute proporcional a

34

(At) (lei de Bromley) Para At grandes passa a influir sensivel^

mente a radiaccedilatildeo teacutermica mais uma razatildeo para demonstrar que nesshy

ta regiatildeo o fluxo cresce novamente

5 CONSIDERACcedilOtildeES E COMPARACcedilAtildeO ENTRE OS TIPOS DE EVAPORACcedilAtildeO

BURNOUT

Sob o ponto de vista de eficiecircncia teacutermica deveriacuteamos sem

pre trabalhar no ponto de fluxo maacuteximo isto eacute no ponto correspon

dente a lt(gt da curva de Nukiyama pois eacute o que daacute maior coeficieri

te de peliacutecula

Acontece poreacutem que se impomos a temperatura da parede

fixa obtemos um uacutenico valor de lt(gt e portanto o fenocircmeno eacute estaacutevel

Poreacutem se como ocorre nos reatores impomos um fluxo teacuter

mico a curva de Nukiyama apresenta 3 pontos de funcionamento posshy

siacuteveis A B C

1

SOacute os pontos A e C sao funccedilotildees estaacuteveis mas eles impotildeem

acirc superfiacutecie quente temperaturas bem diferentes

Na industria em geral trabalha-se por questotildees de segushy

ranccedila na regiatildeo IV da curva poreacutem para os reatores trabalha-se na

32

r e g i atilde o I I

0 p r o b l e m a de t r a b a l h a r n a r e g i atilde o II eacute q u e se n oacute s e s t i shy

v e r m o s t r a b a l h a n d o n o p o n t o e x t r e m o (j) e se p o r q u a l q u e r m o t i v o

h o u v e r u m p e q u e n o a c r eacute s c i m o d e ltfgt i r e m o s t r a b a l h a r i m e d i a t a m e n t e no

p o n t o M q u e t e m o m e s m o $-^0t p o r eacute m c o m A t 2 m u i t a s v e z e s m a i o r

p o d e n d o o c a s i o n a r a f u s atilde o d a s u p e r f iacute c i e a q u e c e d o r a E s t e f e n ocirc m e n o

eacute c h a m a d o d e b u r n o u t

0 f l u x o lttgt eacute c h a m a d o f l u x o c r iacute t i c o o u f l u x o d e b u r -b o

n o u t N o c a s o do r e a t o r d e v e m s e r t o m a d a s m e d i d a s r i g o r o s a s q u a n

to agrave r e g u l a g e m do f l u x o t eacute r m i c o p a r a q u e n atilde o o c o r r a o b u r n o u t 1 1

p o i s d e l e p o d e r e s u l t a r r u p t u r a d a c a m i s a do c o m b u s t iacute v e l e h a v e shy

r aacute p o r t a n t o c o n t a t o do r e f r i g e r a n t e c o m o s s oacute l i d o s e g a s e s r a shy

d i o a t i v o s

5 o l - R e l a ccedil atilde o d e B u r n o u t

E c l a r o q u e p a r a t e r m o s u m r e a t o r m a i s e f i c i e n t e d e v e shy

m o s t r a b a l h a r c o m u m f l u x o o m a i s p r oacute x i m o p o s s iacute v e l do f l u x o d e

B u r n o u t P a r a t a n t o d e v e m o s c o n h e c e r c o m o m a i o r g r a u d e certe

za p o s s iacute v e l q u a l o ^ p a r a p o d e r m o s r e d u z i r o c o e f i c i e n t e d e s e shy

g u r a n ccedil a ( W R G a m b i l l r e c o m e n d a agrave 1 5 )

N o s s e m i n aacute r i o s d e W R G a m b i l l e n c o n t r a m o s u m a s eacute r i e de

b i b l i o g r a f i a s o n d e p o d e m o s e n c o n t r a r i n uacute m e r a s f oacute r m u l a s p r o p o s t a s

p a r a a o b t e n ccedil atilde o de (q 1^)

A t i t u l o d e e x e m p l o v e j a m o s a l g u m a s

q - 2 7 0 G deg gt 8 5 D 0 2 A085 p lt 150

deg D ( L uuml ) 2

q - 140 G 0 5 D ~ deg 2 (-~-)~deg 1 5 p ~ r gt 150 c D (LD)

o n d e a m b a s as e q u a ccedil otilde e s s oacute v a l e m p a r a aacute g u a e m b a i x a p r e s s atilde o e m coii

v e c ccedil a o f o r ccedil a d a

33

D

L

fluxo teacutermico critico BTUhrft bdquo 2

descarga em massa do liquido (Ibmhrft )

diacircmetro do tubo ft

comp do tubo ft

Para cada caso temos uma expressatildeo diferente que pode ser

encontrada em literatura especializada

6 INFLUEcircNCIA DE OUTROS PARAcircMETROS NO FLUXO DE BURNOUT

Como para os usos atuais do reator a diferenccedila de temppound

ratura entre parede e fluido sao pequenas bem como o fluxo de bur

nout recentemente fiacutesicos como Jakob Bonilla WR Gambill estu

daram outros paracircmetros que influenciam bastante o sect^ 0gt isto eacute a

influecircncia desses paracircmetros faz com que o ^ seja maior Isto eacute

util pois quanto maior o fluxo de burnout maior poderaacute ser o

fluxo de calor real de funcionamento

Tais meios sao

- Sub-resfriamenCcedilo do liacutequido

61 - Influecircncia da velocidade do liacutequido

Estudos feitos pelos autores acima chegaram agraves curvas

- Aumento da velocidade imposta ao liacutequido

- Pressatildeo do liacutequido elevada

alto V

At

34

Para velocidades maiores o fluxo de burnout aumenta

porque neste caso o regime eacute turbulento e o coeficiente de peliacute

cuia h aumentao

6bdquo2 - Influencia do aumento da pressatildeo

Este estudo deve-se a Bonilla que obteve experimentalmen

te as curvas

Este estudo foi feito para vaacuterios liacutequidos e chegou a con

clusao que sempre havia uma pressatildeo oacutetima isto e uma pressatildeo que

leva ao maior iacute 1 ^ raquo mantidas as demais condiccedilotildees Experimentalmenshy

te notou que essa pressatildeo correspondia a 13 da pressatildeo critica

do liquido em questatildeo

6=3 - Influecircncia do sub-resfriamento

Consiste em manter atilde custa de uma circulaccedilatildeo intensa o

liacutequido a uma temperatura inferior atilde de saturaccedilatildeo para a pressatildeo

correspondenteraquo Experimentalmente chega-se agraves curvas

mdash A t grande sub

bullAt -0 sub sub

medio

At

35

Verificando os graacuteficos vemos que o lt)gt aumenta agrave medida bo

que aumenta a diferenccedila de temperatura de sub-resf riamento isto pojr

que o liquido como estaacute mais frio faz com que algumas das bolhas

recondensem permitindo que o liquido fique em contato com a parede

quente o que faz aumentar o h

^ f csub = t e m P e r a t u r a ddeg liacutequido - temperatura de saturaccedilatildeo

A diferenccedila de temperatura At entre fluido e parede tamshy

beacutem aumenta poit na regiatildeo proacutexima agrave parede haacute necessidade de

levar o liacutequido da temperatura do sub-resfriamento ateacute a temperatu

ra de saturaccedilatildeo quando se evapora

Atualmente os maiores estudos dos fiacutesicos nucleares locashy

lizam-se neste campo pois eacute o que oferece maiores vantagens

7 FORMULAS PARA 0 CAacuteLCULO DO COEFICIENTE DE PELIacuteCULA NA EBULICcedilAtildeO

Como ocorre no caacutelculo de todas as foacutermulas de convecccedilatildeo

temos formulas empiacutericas para determinar o h conforme o tipo de

ebuliccedilatildeo que nos consideramos

71 - Ebuliccedilatildeo Nucleada

Para o caso de aacutegua temos as relaccedilotildees

superfiacutecies

horizontais

superfiacutecies

verticais

f aacute 5000 BTUhrft 2 -gtbull h = 151 ( A t ) 1 3

A o

5000 lt 75000 -h = 0618 (At)3

^ pound 1000 -raquobull h = 8 7 ( A t ) 1 7

A o -

1000 lt $ lt 20000 -gt h = 027 (At) A o

Quando a pressatildeo e diferente da atmosfeacuterica faz-se a correccedilatildeo

3 6

72 - Ebuliccedilatildeo por peliacutecula

Bromley propocircs uma boa equaccedilatildeo para a ebuliccedilatildeo por peliacuteshy

cula estaacutevel em cilindros horizontais

Nu

_ JtjD n r 9 P v bull ( P L - P v gt - g -h

e V bull D i2

D 1 ^ U b Z u At gt

onde

V = indica vapor

L = indica liacutequido

Multiplicando ambos os membros da equaccedilatildeo acima por

kvD obteremos a expressatildeo do coeficiente de convecccedilagraveo meacutedio para

o caso

37

C - FORMULAS PARA CAacuteLCULOS ESPECIacuteFICOS - RESULTADOS ESPECIacuteFICOS

1 FLUXO DE CALOR CRIacuteTICO - BURNOUT

lol - Introduccedilatildeo

O aspecto mais importante no que se refere agrave seguranccedila

dos reatores da transferencia de calor na ebuliccedilatildeo eacute a determina

ccedilatildeo do Fluxo de calor critico ou de pico ou burnout

Como jatilde vimos quando temos a ebuliccedilatildeo nucleada a dishy

ferenccedila de temperatura entre refrigerante e superfiacutecie de aqueci

mento e pequena poreacutem quando atingimos o fluxo de calor criacutetico

essa diferenccedila de temperatura pode tornar-se imediatamente muishy

to grande podendo causar a ruptura da superfiacutecie de aquecimento

se atiigirmos o ponto de fusatildeo do soacutelidoraquo

Usando a convecccedilao

onde

At sat

w

sat At

sub

w = temperatura da parede de aquecimento

t t = temperatura de saturaccedilatildeo do liacutequido

t^ = temperatura de mistura do liacutequido

At = (t -t ) sub-resfriamento do liacutequido sub N sat b 1

nout

Ha dois tipos de burnout fast burnout e slow bur-

Ocorre o fast burnout (burnout raacutepido) quando A t g u b gt 0

38

ou para baixo x (~ lt 10) sendo x o titulo do vapor

Temos o slow burnout para x - gt 10 Assim noacutes tereshy

mos dois limites para o burnout

At bull o (ltJgt ) t =((() para t = t ) -

bo m m possiacutevel w sat

sub i

4L + 1

G c D h pl nb

(ltK ) = (ltpound para x = 1) = Dv-bo max possiacutevel e 4L

c At l + P 1 sub i

onde

L = comprimento do canal

D = diacircmetro do tubo

G = descarga de liacutequido (por unidade de aacuterea)

c ^ = calor especiacutefico do liacutequido

Agrave = calor latente de vaporizaccedilatildeo

h ^ = coeficiente de transferecircncia de calor na regiatildeo de

nao ebuliccedilatildeo

iacutendices

i = entrada

e = saiacuteda

Haacute inuacutemeras expressotildees para determinaccedilatildeo do burnout pro

postas por muitos fisicos cada uma aplicando-se a um caso especiacuteshy

fico vejamos algumas delas

12 - Equaccedilotildees para prediccedilatildeo de Burnout

121 - Equaccedilatildeo de Bragg e Smith (Zuber)

Num artigo publicado por Bragg e Smith encontramos uma f oacute_r

mula que e derivada da formula de Kutateladze e nos daacute o fluxo cri

39

tico quando nao temos sufaresfriamento

bo poolsat v V raquoc a ( p l P V )

2 PV

14

onde

ltiexclgt = fluxo de calor critico bo

k = constante

Ly = calor latente de vaporizaccedilatildeo do refrigerante

= densidade do liquido

pvr = densidade do vapor V a = tensao superficial

g = fator de conversatildeo c

a = aceleraccedilatildeo da superficie de aquecimento

Os autores encontraram para k um valor de 062 entreten

to outros autores como Zuber incluindo outras variaacuteveis que In

fluiam no fenocircmeno encontraram k variando entre 008 e 023Esshy

tudos bem elaborados mostram que o valor mais aproximado eacute

k = 015 (- 003)

1-22 - Equaccedilatildeo de Noyes

Noyes estudou o burnout para o soacutedio agua e alguns liacute

quidos orgacircnicos

( W s a t ~ bdquo 0245 bull ( r ( 1 )

iiacute_ V 1 Pr

onde

N n = Nuacutemero de Prandtl da fase liacutequida x r

Mais tarde o proacuteprio Noyes alterou a equaccedilatildeo para

n ^ - n H Iacute I Pl PV gt0538 deg g c a q 4 ( W s a t deg 1 1 6 PV ( - p 7 ~ ) (77T1^ ) ( 2 )

40

A ultima correlaccedilatildeo proposta por Noyes foi

a n prPV0560 112

1

(a bull a) 13

(ag c) 112

(3)

onde

a = difusividade teacutermica do liacutequidoraquo A equaccedilatildeo (3) eacute bashy

seada em todos os dados de burnouts do soacutedio bem

como da atildegua benzeno difenil e outros De 111 pontos usados 90

+ estatildeo relacionados dentro de - 30bdquo

ldeg2o3 - Burnout com convecccedilao forccedilada e sub-resfriamen

to

Aproveitando os resultados de aproximadamente 240 testes

de burnouts com aacutegua sub-resfriada em fluxo de convecccedilao forccedilashy

da feitos na Ruacutessia Labuntsov elaborou uma boa equaccedilatildeo empiacuterica

para o problemabdquo

Esta relaccedilatildeo aplica-se para velocidades entre 2 3 e 148

ftsec pressotildees entre 1 e 201 atmabs sub-resfriamento entre 0 deg

e 432 degF e fluxos de burnout entre 0 4 x IO 6 x 166 x 1 0 6 BTUhr

2 bdquo

bullbo

onde

e a seguinte

6 ( P ) 1 + 0 2 3 2 V 2

14

e ( P ) 1 +

15 c At _p_ sub

12 (a)

9 ( P ) - P 1 3 o ( 1 - P J 4 3

red

= pressatildeo (atm abs)

pressatildeo reduzida = mdash mdash red r P

t_ c = pressatildeo critica

= velocidade do liacutequido (ftsec)

= calor especiacutefico do liacutequido (BTUlbdegF)

4 1

^ tsub = ^ ^ e r e n Ccedil a ^ e temperatura entre a temperatura de

mistura do liacutequido e a de saturaccedilatildeo (degF)

X = calor latente de vaporizaccedilatildeo (BTUlb) 2

ltiacutegtbo = fluxo de burnout (BTUhrfl )

Uma outra correlaccedilatildeo para o caso foi proposta por

Ornatsky e Xiohigin que fizeram experiecircncias para pressotildees entre

10 e 1 5 0 3xm 90 degF lt At ^ lt 4 5 0 deg F 3 7 1 0 6 ( l b h r o f t 2 ) lt G lt

2 2 2 10 b ( l b h r bdquo f t 2 )

lt ^ = 3 2 5 0 (G o A t bdquo J deg 6 ( - i - ^ ) 2 5 ( b ) bo sub

onde

G - descarga de refrigerante por unidade de aacuterea

P ^ v P v - densidades do liacutequido e do vapor

P1~ PV -0 termo (mdash ) e incluido na expressatildeo (b) para indicar

a influecircncia da ^ pressatildeo sobre o

Uma comparaccedilatildeo entre as equaccedilotildees (a) e (b) foi feita para

o Reator de Isoacutetopos de Alto Fluxo (HFIR) nas condiccedilotildees aacutegua a

600 psia velocidade = 45 ftsec e sub-resfriamento = At^^ 1

degF obtendo-se uma diferenccedila de 6 5 entre ambos (4gt = 6 0 5 1 0 b

2 ~ 6 2 BTUhr ft pela equaccedilatildeo (a) e 6 4 5 10 3TUhrraquoft pela equaccedilatildeo

(b)

Ilatilde ainda a equaccedilatildeo de Ivey e Morris aplicaacutevel somente pa_

ra ebuliccedilatildeo com grande quantidade de liacutequido

( c sub t

Cpf bull A tsub

( bull ) s ~ V P bdquo 10 h V sat V g

onde

(ltL ) = fluxo critico com sub-resfriamento c sub

(ograve ) ^ - fluxo critico sem sub-resfriamento c sat

42

c ^ = calor especiacutefico do liacutequido

= calor latente de vaporizaccedilatildeo

124 - Burnout com convecccedilao forccedilada e ebuliccedilatildeo por bocirc-

Ihas

Gambill fez uma extensatildeo da equaccedilatildeo de Levy e aplicou o

metqdo da superposiccedilatildeo Tal extensatildeo consiste natilde subtraccedilatildeo de uma

razatildeo equivalente de massa transferida dos termos que represenshy

tam a ebuliccedilatildeo e convecccedilao para levar em conta a presenccedila do vashy

por no fluxo

A correlaccedilatildeo pode ser escrita assim

24 V P V

o g c a (p^Py) 14

+ 0696 (k p c ) 12

(

pr p v )i4 o g c a (P-L-Py) 18

bull At + h sub nb

044 p v L v G (g1) bull N2 n

p l P V

( pr p v ) d e 2-7

2 4 TT 0

14 ( f e _ ^ r l 3

lO^u

onde

k = condutividade teacutermica

c = calor especiacutefico

A t s u b ~ s ub-resfriamento do liacutequido

h = coeficiente de transferecircncia de calor de nao ebu nb mdash

liccedilatildeo

G = descarga total do refrigerante

43

d g = diacircmetro equivalente do tubo ou canalraquo

]i = viscosidade

B = constante adimensional

Os iacutendices V e 1 representam vapor e liacutequido respectiva

mente

0 primeiro termo entre chaves da equaccedilatildeo representa o flu

xo de calor no burnout de sub-resfriamento em convecccedilao forccedilada 0

segundo termo entre chaves corresponde ao fluxo de calor transferi^

do para a massa da fase vapor

1-25 - Burnout por Bloqueio da Base

Ocorre quando a profundidade do recipiente eacute muito maior

que a largura 0 bloqueio da base eacute causado pela formaccedilatildeo de uma pe_

licula de vapor na base impedindo que o liacutequido toque o fundo do

recipiente

i De

Este eacute o burnout por flooding isto eacute burnout por expul

sao do liacutequido Uma equaccedilatildeo que nos dacirc o fluxo minimo do burnout

parao caso eacute

44

onde

D g = diacircmetro equivalente

L = comprimento do tubo

= calor de vaporizaccedilatildeo

p^Py Ap = densidade do liacutequido do vapor e diferenccedila en

tre ambos

Para um fluxo de calor maior ou igual ao dado pela expres_

sao acima (mantida a mesma geometria) teremos burnout Para um deshy

terminado fluxo existiratildeo sempre um comprimento L e um diacircmetro equi

valente D e para os quais temos burnout Exemplo

L (in) D e(in)

10 11

100 51

1000 235

2 RESULTADOS ESPECIacuteFICOS - FOacuteRMULAS PARA CAacuteLCULOS ESPECIacuteFICOS

21 - Diferenccedila de temperatura At i

13 a t

sat

At sat

poundatildeJL_ raquo t - t J p T T 6 w sat

onde

o laquo tensatildeo superficial entre liquido e vapor

t - temperatura de saturaccedilatildeo do liacutequido para a corres-Scl t

pondente pressatildeo

J equivalente mecacircnico do calor

X laquobull calor latente de vaporizaccedilatildeo

py = densidade do vapor

6 = espessura da camada de liacutequido superaquecido onde

45

k l

h nc

onde

k^ = condutividade teacutermica do liacutequido

h = coeficiente de peliacutecula nc r

Segundo Eckent h ^ c e dado por

P 2 Q

nc 3 V VP + 0952

r

onde

D = diacircmetro equivalente

G r = numero de Grashoff

P = nuacutemero de Pradtl

2 o 2 - Velocidade das bolhas

A velocidade das bolhas em meacutedia pode ser dada pela exshy

pressatildeo

V bdquo = Iacute ( a bull B Apl4 bolhas 5 ^ 2

p l onde

AP = P L - P v

Expressatildeo que vale quando a aceleraccedilatildeo eacute a da gravidade

baixa viscosidade do liacutequido e bolhas separadas

Vbolha = f t s e atilde m a x para aacutegua

2 bdquo3 - Diacircmetro das bolhas

2gc deg 12 D = 0015 3 ( mdash mdash 7 ~ ) d g Ap

5 =

46

onde

8 = acircngulo de contato (20 a 90deg) geralmente assume-O -1

-se igual a 50 para a agua em contato com metal

24 - Coeficiente de peliacutecula na ebuliccedilatildeo nucleada

a) Equaccedilatildeo de Rohsenow

Esta equaccedilatildeo nos datilde o fluxo de calor q na ebuliccedilatildeo nushy

cleadaraquo E oacutetima expressatildeo para muitos liacutequidos o efeito da presshy

satildeo eacute levado em conta na variaccedilatildeo das propriedadesraquo

Pf

fg

sat 17 = c

sg k y f h f g g( P f-p g)

n033

onae

Pf

fg

Pf Pg c sg

= fluxo de calor requerido (BTUhr0ft^)

= calor especiacutefico do liacutequido saturado (BTUlbm0F)

= calor latente de vaporizaccedilatildeo (BTULbm)

= nuacutemero de Prandtl

= viscosidade do liacutequido (lbrahrraquoft) ~ 8 2

= fator de conversatildeo 417 10 Ibmftlbflaquohr 2

= aceleraccedilatildeo da gravidade (fthr )

= tensatildeo superficial na interface liacutequida vapor

(lbfft) 3

densidade do liquido e vapor (lbmft )

constante adimensiacuteonal que depende de vaacuterios fashy

tores dentre os quais o grau de aquecimento en_

tre o fluido e a superfiacutecie de aquecimento e o

mais importanteraquo Independe da pressatildeo do sistema b) Equaccedilatildeo de Levy

Equaccedilatildeo valida para a aacutegua quando 100 lt p lt 2000 psiacutea

47

43 bdquo3

qu bdquo gat ^ T J h r t f t ^

495

25 - Calculo do fluxo de calor no Ponto de Leidenfrost

0 ponto de Leidenfrost como vimos eacute o ponto em que oflu

xo de calor comeccedila ncamente a crescer isto eacute o ponto onde termal

aa a ebuliccedilatildeo instaacutevel e comeccedila a ebuliccedilatildeo por peliacutecula estaacutevel Eacute

o chanado fluxo miacutenimo (egrave ) m m

Aproximadamente quando A t g u k = 0 temos

A _ mdash _ mdash (Gambill) m m 5

Ha entretanto varias expressotildees para determinar esse flu

xo eis uma delas

A p 14 ltjgt = 009 h pbdquo (o raquo g mdash ) y m m fg P V deg 2

p l

26 - caacutelculo do fluxo de calor na regiatildeo de ebuliccedilatildeo por peliacute

cuia estaacutevel

para cilindros jmdashi i li

_ D 0172 k-V - P V A p h l V bull S 14 li - = 062 (mdashmdash) (- j- r rmdash) convecccedilao A 0 ybdquo (t -t )

c V w sat

onde

= condutividade do vapor

- 2 TT ( mdash )

c gAp Vl = significam vapor e liacutequido respectivamente

para paredes verticais

L 0172 S deg7 A p bull hlV S q 4 h - - 080 (-^-)J- (-Iuml - Iacutemdash-convecccedilao X L u (t - t J)

c V w sat

48

Como nesta regiatildeo jaacute haacute nina influecircncia marcante da radia

ccedilao devemos levar en conta tambeacutem o coeficiente de peliacutecula de

vido a radiaccedilatildeo para determinar o coeficiente de peliacutecula total

Dos estudos atildea radiaccedilatildeo temos

h = a F pound(T 4 - T 4 J ( T ~ T ) rad w sat w sat

onde amp _ emissividade de superfiacutecie

a = constante de Stefan-Boltzman

F = fator de forma

Segundo WE Gambill o coeficiente de transmissatildeo total

ceve ser

3 iacutei = h + -7 h para h lt h t conv 4 rad r rad conv

Na expressatildeo acima existe o fator 34 porque a radiaccedilatildeo

faz variar um pouco a espessura do filme de vapor reduzindo asshy

sim o l l

conv

Quando tivermos h gt h gt o h^ ^ seraacute rad conv total

h f c = h + h t conv rad

Neste ultimo caso nao ha nenhum coeficiente porque a peshy

liacutecula de vapor jaacute eacute estaacutevel

27 - Grandezas caracteriacutesticas para a apua

Para pressatildeo igual a 1 atm = 1422 psia

At ^ = t - t = 5degC (iniacutecio da ebuliccedilatildeo nucleada) sat w sat 1

At t = 30degC sat crit

49

5 2 $ = 4 10 BTUhrft (para pressatildeo 1 atm)

0 fluxo critico cresce como vimos com a pressatildeo ate

atingir o maacuteximo quando a pressatildeo eacute aproximadamente 13 da pressatildeo

criacutetica Esse fluxo eacute

bull = 13 IO 6 BTUhrft 2 para p = 11000 psia (p pound = 32062 psia)

Ainda temos que para pressatildeo igual a 15 psia

h b o = 11000 BTUhrft degF - ebuliccedilatildeo nucleada

h f b = 30 BTUhrft 2 degF - ebuliccedilatildeo pelicular

Todos os resultados e formulas para caacutelculos especiacuteficos

apresentados nos itens 21 22 23 ateacute 27 sacirco aplicados somente

para sistemas onde haja ebuliccedilatildeo com grande quantidade de liquido

51

D - HIDRODINAcircMICA DOS SISTEMAS E QUEDA

DE PRESSAtildeO DENTRO DE UM CANAL

1 HIDRO-DINAcircMICA E QUEDA DE PRESSAtildeO

11 - Hidro-dinacircmica dos sistemas estaacuteveis

111 - Regimes de escoamento

A evoluccedilatildeo do escoamento ao longo de um canal aquecedor

de secccedilatildeo constante ciliacutendrico pode ser esquematizada pela figushy

ra 1 onde temos em abcissa o comprimento z do canal e em ordenada

a temperatura (T)

52

Na figura 1 nos representamos

a) 0 aspecto do escoamento fluido quando a entalpia do

- fluido aumenta Verificamos que o fluido entra no cashy

nal no estado liacutequido e assim permanece ateacute atingirmos a zona de

ebuliccedilatildeo local onde aparecem as primeiras bolhas A entalpia do

fluido continua aumentando e tem inicioa ebuliccedilatildeo franccedila onde as

bolhas se unem formando agregados posteriormente o escoamento to

ma a forma da figura ou seja torna-se anular disperso Finalmente

atingimos duas uacuteltimas fases do escoamento disperso (vapor uacutemido)

e vapor seco

b) A evoluccedilatildeo da temperatura meacutedia do fluido e da tempeshy

ratura da parede Note-se que a partir da cota a

temperatura da parede aumenta brutalmente podendo causar o

burnout

c) A evoluccedilatildeo do tiacutetulo do vapor (x) com o comprimento

do tubo e a evoluccedilatildeo da fraccedilatildeo (a) que definiremos no

item 11laquo2 com o comprimento do tubo

112 - Definiccedilotildees

a) Tiacutetulo ou qualidade do vapor (x)

massa de vapor na mistura x ~ massa total da mistura

x =

W _g_

g f

b) Fraccedilatildeo vazio (void fraction)

volume do vapor na mistura a = volume total da mistura (agua+vapor)

A relaccedilatildeo entre x e a num sistema parado pode ser obtida

assumindo um certo volume contendo 1 lbm de mistura em equiliacutebrio

teacutermicoraquo

53

O volume da mistura seraacute igual a (v + xv ) ft onde v eacute 3 r rg

o volume especifico (lbmft )

f - refere-se ao liquido

g - refere-se ao vapor

fg - refere-se a diferenccedila entre liacutequido e vapor

Numa mistura em equiliacutebrio se o liacutequido e o vapor estatildeo

saturados o volume do vapor presente eacute igual acirc sua massa vezes

seu volume especiacutefico v assim e

xv bdquo bdquo a mdash

V c + XV c

f gf

onde

- bull-bull uumlutiacuteisa vapor na mistura de 1 Ibm

v volume especiacutefico do liacutequido

v = volume especiacutefico do vapor o

V c = v - V

gf 8 r

Fazendo uma transformaccedilatildeo na expressatildeo acima temos

xv xv JS = Z-

v r+ x(v -v c) xv +(l-x)v t ri f g f g f 1 + Ul-x)xjv fv

1 + C(l-x)x]]vfvg

A fraccedilatildeo vazia tem a influencia de baixar a reatividade

do nuacutecleo nos reatores em que o refrigerante eacute tambeacutem moderador

Na equaccedilatildeo acima os valores de x e v sao tomados em tabe

las termodinacircmicas apropriadas para a pressatildeo do sistema A equashy

ccedilatildeo (1) mostra os grandes valores de a para pequenos valores de x

especialmente para baixas pressotildees Isto ocorre porqueaumentando

54

aacute pressatildeo o v decresce muito enquanto que o v f eacute mais ou menos da

mesma ordem de grandeza

Exemplo Calcular o a correspondente para x raquo 2 para aacutegua

leve atilde pressatildeo atmosfeacuterica

Da tabela para p laquobull 1 atm

v - 001672 ft 3lbm e v - 26800 ft 3lbm

1 + [(1-002)002] 001672268

0971 ou 97U

O grafico abaixo mostra a variaccedilatildeo do a com x para vaacuterias

pressotildees e para a aacutegua leve

x ()

tObservaccedilotildees da curva

Fig 2

1 - para x constante a decresce com a pressatildeo Para presshy

sotildees proacuteximas da criacutetica a aproxima-se rapidamente de

x Para a pressatildeo criacutetica as duas fases satildeo indistinguiacuteveis ea=x

2 - para cada pressatildeo dotdx decresce com aumento de x

3 - para baixos valores de x (que e o caso dos reatores

tipo Boiling) quando p decresce dadx cresce e torr

na-se muito grande paacutera baixas pressotildees Isto tem relaccedilatildeo com a epound

55

tabilidade do reator como veremos mais tarde

113 - Sistemas com fluxo

Todas as definiccedilotildees que noacutes vimos no item anterior refeshy

rem-se acirc sistemas em que a mistura esta fechada no recipiente Nes^

te caso natildeo havia movimento relativo entre as duas fases No entan

to se as duas fases da mistura se movem na direccedilatildeo vertical em

canais entre os elementos combustiacuteveis o vapor por causa de sua

flutuaccedilatildeo tem a tendecircncia de escorregar sobre o liacutequido isto e

move-se com velocidade maior do que a do liacutequido

Real Modelo

Pig 3

S -

Define-se neste caso a relaccedilatildeo de escorregamento (slip

ratio) (S) como sendo

V _i

V f

onde

V = velocidade do vapor

= velocidade do liquido

S modifica as relaccedilotildees entre a e x do item anterior S geralmen_

te gt 1 Define-se neste caso qualidade do vapor ou tiacutetulo como

sendo

_ fluxo de massa de vapor

fluxo de massa da mistura

Entatildeo se o fluxo de massa da mistura eacute m t(lbmhr) o flushy

xo de vapor seraacute = x m e o fluxo de liacutequido sera (1-x) m onde x

56

e o titulo do vapor para a particular secccedilatildeo (AL) da figura (3)

Devemos notar que neste caso x varia de secccedilatildeo para secshy

ccedilatildeo do tubo o exposto no paraacutegrafo acima vale considerando-se que

x e a permaneceram constantes na secccedilatildeo de espessura AL

Aplicando a equaccedilatildeo da continuidade as velocidades do va

por e liacutequido sao dadas por

o xm v

V vazatildeo = g g area A

V

(1-x) amp t v f

f A f

onde A e A f sao as aacutereas medias perpendiculares ao fluxo se as

duas fases sao imaginadas completamente separadas uma da outra

(figura 3) Assim temos

V x m v o A_ A v 0 ^ - 2 = iacute S t m _2L- JL JS m

V A (l-x)ui v 1-x A v U

f g t f g f

Sabemos ainda que para a secccedilatildeo considerada

volume do vapor na mistura a = volume total da mistura (agua+vapor)

A AL A pound g g

a = mdash a a = - mdash 1

(A+A )AL A f + g

A ou f _ 1 - a

A a 8

Substituindo em (2) vem

57

Esta expressatildeo pode ser rearranjada e obteremos uma relashy

ccedilatildeo entre x e a levando em conta o escorregamento Chega-se a

a = 1 ( 3 )

1+ [U-x)x3 igt

onde

v 4 laquo -- S

v lty o

Note-se que quando S=l (nao haacute escorregamento) caimos na

expressatildeo dada no item anterior

0 efeito do escorregamento eacute decrescer o valor de a pa_

ra um mesmo xbdquo Isto pode ser visto pela foacutermula (3) pois S gt lLo

go a decresce com acreacutescimo de S

Um alto S e entatildeo uma vantagem tanto para a transferecircnshy

cia de calor como para efeitos de moderaccedilatildeo Eacute uma vantagem para

transferecircncia de calor porque alto S significa alto V e portanto

maior turbulecircncia e maior contato do liquido com as paredes quenshy

tes Ha tambeacutem melhorias na estabilidade da reaccedilatildeo nuclear isto

porque como jaacute dissemos quando mdash7 diminui a estabilidade aumenshy

ta isso pode ser verificado observando a curva a versus x para a

agua leve a 1000 psiabdquo

Fig 4

58

A relaccedilatildeo entre x e a da equaccedilatildeo (3) so vale para secccedilatildeo

de tubo bem pequena

Devemos notar que S varia tambeacutem com a pressatildeo e velocida^

de de entrada do liacutequido no tubo Este efeito pode ser observado na

figura 5 abaxxo obtida esperimentalmente

s

3

~^ ~ psig

x = 001

V 1

Fig 5

Nos projetos de reatores como veremos adiante o valor a

geralmente eacute determinado por consideraccedilotildees nucleares (moderaccedilatildeo) 0

valor de S eacute determinado atraveacutes de uma estimativa ou entatildeo atrashy

veacutes de um graacutefico do tipo da figura 5 0 correspondente valor de x

pode ser obtido de uma foacutermula empiacuterica do tipo

1 = 1 (-S)0gt67

proposta por Von Glahn

Em muitos casos assume-se S constante em todo o comprimeiv

to do canal poreacutem eacute um erro que em muitos casos nao pode ser coshy

metido

4 REATORES EM QUE 0 LIacuteQUIDO B MODERADOR E CIRCUITO PRIMAacuteRIO AO

MESMO TEMPO BOILING-REACTOR (BWR)

A aacutegua ao se movimentar atraveacutes dos vaacuterios canais do

59

Boiling-reactor encontra vaacuterias resistecircncias ao fluxo que provoshy

cam uma reduccedilatildeo de pressatildeo no fluido

As duas perdas mais importantes sao perda de pressatildeo por

atrito e perda de pressatildeo causada pela aceleraccedilatildeo do refrigerante

ao aumentar de volume por receber calor num canal Outras perdas

de pressatildeo seriam a obstruccedilatildeo ao fluxo por corpos submersos (espa_

ccediladores juntas de tubos chaves etc) e por mudanccedilas abruptas de

aacuterea de fluxo tanto na entrada como na saiacuteda do tubo

Essas perdas de pressatildeo devem ser conhecidas o melhor popound

sivel principalmente nos reatores BWR Para tanto devemos saber

o comprimento de canal em que nao ha a ebuliccedilatildeo isto eacute qual o com

primento de canal em que o refrigerante vai da temperatura de sub-

resfriamento ate temperatura de saturaccedilatildeo

Seja o elemento combustiacutevel

Aquecimento Uniforme Aquecimento Senoidal

Fig 6 Fig 7

onde

H =

H = o

H b

comprimento do elemento combustiacutevel

cota onde o liquido se torna saturado

comprimento do elemento combustiacutevel em que ocorre

ebuliccedilatildeo

60

qg = calor sensiacutevel acrescentado ao liquido para satushy

raacute-lo

qfc = calor total acrescentado ao liacutequido em todo o com

primento do canal

laquoo

q s J o qiquest sen (IIzH) n H o

T~ = TH = 2 ( 1 c o s gt ( a )

q 1 sen (HzH) Jo ^c

A expressatildeo (a) vale quando tivermos uma adiccedilatildeo de calor

senoidal para qualquer outra forma de adiccedilatildeo de calor faz-se um

caacutelculo anaacutelogo

Outra relaccedilatildeo entre q g e qfc eacute dada pela termodinacircmica

q h- - h s f m (b)

(hr +x h )-hm ^t f e fg

onde

= entalpia para o liquido saturado a pressatildeo correjs

pondente (cota z = Ho)

hffi = entalpia do liacutequido na entrada do canal

x = tiacutetulo do vapor na saiacuteda

= entalpia do vapor

Com a relaccedilatildeo (b) noacutes determinamos a relaccedilatildeo q q ecom

S L

uma relaccedilatildeo do tipo (a) (conforme seja o adicionamento de calor ao

liacutequido) podemos obter a relaccedilatildeo HoH e consequentemente H^H

21 - Perda de pressatildeo num canal de evaporaccedilatildeo

Neste item iremos determinar as perdas de pressatildeo mais

representativas que ocorrem num canal de evaporaccedilatildeo de um reator

P + dP

bull1 i- 1 gti i i

dL

onde

UM

Icirc H Icirc Icirc T dF f t f

61

Quantidade de Mov na Entrada

= i- rigVg)

dF f l

Fig 8

m i

m 8

V l V 8

A P

dF

dF

dF

fg

fl

ftf

descarga do liacutequido

descarga do vapor

velocidade do liquido

velocidade do vapor

aacuterea transversal do canal

forccedila de atrito do vapor com parede

forccedila de atrito do liacutequido com parede

forccedila de atrito das duas fases liacutequido+vapor

Fazendo o balanccedilo das forccedilas considerando o sentido posjL

tivo na vertical temos

A (P-P-dP)-(dF +dF _+dF _)-(-pound-) (p A+p A )dL = mdash dGnV+m V ) P fg ftf fl g c 1 1 g g g c

v 1 1 g g 7

- dP = ~ (dF +dF--+dF)+- S--7=- (p A+p A )dL+ mdash ~ - d (m-V+m V ) A_ fg ftf fl g c Ap v^l 1 g g g A 11 g g

Fazendo a integraccedilatildeo termo a termo entre os dois extreshy

mos entrada e saiacuteda e considerando a pressatildeo de entrada igual a

P q e a de saiacuteda igual a Pe vem

Quantidade de Mov na Saiacuteda

-= h I- lY l+ A g V g + d ( aacute l V l + aacuteeVl

Forccedila de Gravidade

= ( g f - N P A + P g V

62

b) r e F f l

o p dp^ = Ap^ = perda de pressatildeo por atrito

do liacutequido na altura Ho

Aplicando a formula de Darcy vem

bull API = f bull ir bull ^ iexcl 7

onde

f = fator de atrito

c) e Fftf

o p ^P tpound

= perda de pressao por atrito da mistura

liquido + vapor no trecho de comprimen

to Hbdquo o

Para determinar esta perda de pressao define-se o fator

de multiplicaccedilatildeo R

A P R =

tf A P 1B

Sendo A p ^ a perda de pressao se o comprimento todo fosshy

se ocupado somente pelo liquido assim

A p t f = R A P 1 B

0 calculo de Ap-^ pode ser feito pela formula de Darcy e

o de R nos veremos no item seguinte

63

d)

-e F

d ( ^ )

O P

Ap = perda de pressatildeo por atrito do vapor

No caso do reator BWR o titulo de saida e bera pequeno e

em nenhum caso ocorre a saida de vapor com x = 100 logo a perda

de pressatildeo por atrito do vapor eacute nula assim

An = 0 5

e) Ap

(p A 1 + p A ) dL = Ap - perda de pressatildeo dpound

vida ao desniacutevel

(perda hidrostaacutetica)

Anbdquo = re A A

-S- I (p + p -S ) dL H s 1 A

c o p o A

como A A Jl_ =

A P

A +A-g 1

1-a -

temos

C Q

te j jll-a)p1 + apg)^jdL = p Lo pound

onde

e jo u

+ ap ) ~I dL (Densidade media 1 S J

no tubo)

No nosso caso

Ap u = p H

f)

re d(mV + m V ) _ mdash - laquo -i bull s iquestp laquos p e r d a ltje pressatildeo devido a acele-

c p raccedilatildeo do vapor

V A

(1-x) tl^Vj

(1-a) A

X V

aA

A p -

roV + m V

c p c p L_

m (l-x)m_v m xv nbdquo -1 T 1

+ _S S I (1-a) Ap aA

P

2 g A c p

n 2 2

(1-x) m T

laquo2 8 A c p

2 2 (l-xe) raTv1

2 2 2 xm_v (1-x) m-v e T s o 1 1

a 1 - a

2 2 - x m_v o T g

a

se

X Q 0 (so ha agua nesse trecho)

a = 0 o

temos

mbdquo Ap =

1 a A 2

S A degc p laquo-

tt-V v i 1 - a

2 via T^r - v i

t Apc

2

V v l

5c Ap

1 - a

x v - 1

a e v l

65

Fazendo

G = fluxo total da massa por unidade de area do

canal

(1-x J e

V

AP r

Assim a perda de pressatildeo total sera

H p V II pV r2 P -P = f -24-Iuml+ f R+p 0 1 2g c D e 2g c g c g c

2c2 - Determinaccedilatildeo do fator de multiplicaccedilatildeo (R)

221 - Relaccedilatildeo Martinelli-Nelson

Os autores Martinelli-Nelson determinaram experimental -

te esse fator R para varias LIT1L em funccedilatildeo da pressatildeo e da r NB total J v

qualidade de saiacuteda do vapor no canal Construiacuteram assim vaacuterias

curvas do tipo da figura 9

66

E importante notar que a qualidade do vapor (x) na saiacuteshy

da nao deve ser grande pois como vemos o valor de R cresce muishy

to com um aumento pequeno de x e um valor de R muito grande acar_

reta uma perda de pressatildeo grande pois

^ d u a s fases R ^ f a s e liacutequida

Para resolvermos um problema seguindo o criteacuterio de bdquo

Martinelli escolhemos a curva R = f(px) (para a relaccedilatildeo L

N g ^ j

adequado) e tiramos R com os valores de pressatildeo p e tiacutetulo x

As curvas R = f (p x L T t )IO encontram-se nos ANL 6469 bio I

e 6561

222 - Relaccedilatildeo Lottes-Flinn

Estes autores estudaram o problema para o aquecimento uni

forme do refrigerante com baixo titule Lottes-Flinn fizeram inuacuteshy

meras experiecircncias e verificaram que para fluxo de calor uniforshy

me e baixos titulos R era independente do fluxo de calor fluxo

do refrigerante escorregamento e apenas funccedilatildeo de a g

Como a quantidade de liacutequido eacute muito maior que a de vashy

por a perda de pressatildeo daacute-se principalmente pelo atrito do liacuteshy

quido com a parede Podemos assim escrever a foacutermula de Darcy

na forma diferencial

dz

d = f __ r e amp c

onde

V = velocidade do liquido saturado na cota zbdquo X

f = coeficiente atrito

= densidade do liacutequido saturado

Teoricamente a queda de pressatildeo deve-se ao acreacutescimo de

67

velocidade do liacutequido e da diminuiccedilatildeo da aacuterea de fluxo do liacutequi

do

P fH A P t p

= f D 2g Ho

d z

fazendo

V lo

m V t lo

(velocidade do liacutequido na cota z = Ho)

(1-x) m t v 1

(1-a) A (velocidade do liacutequido na cota z gt Ho)

a bull+ fraccedilatildeo vazio na cota z geneacuterica

V 1 (1-x) m t v 1

m t V l 1 - a

x =s 0 pois o tiacutetulo eacute baixo

A p t f = f bull JT5 c e

fH V lo

H o (1-a) dz

Para fazer a integral devemos achar a relaccedilatildeo de variaccedilatildeo

entre a e z Como o fluxo de calor eacute uniforme a qualidade eacute direshy

tamente proporcional a z

bull laquo x = x e H

z = mdash x X e

Sabemos ainda que (item 113)

x

1 + [ ( I -X)AKQ x + iiacuteraquo

68

como

temos

(1-x) = 1

v

X =

z =

1-a

1 -a

1-a e

a

e

1-a pound

a

1 -a igt (assumindo S = cte)

da

Atf - f bull 2 i ^ ~ J c e o

a 1 - a e e 1 s 4 hmdash) da

a 1-a

f P lv^ Q

0 termo mdash - mdash e a parte de perda de pressatildeo pelo lj^

^c e -quido ou seja Ap liquido saturado e como

Ap

R = tf

Ap liauido saturado

temos que

R J

f ae 1 _ a e 1 4

a 1 -a o e

1 -a r-R =

3 1 -a

a 1 -a imdash

3 vl - a 3

e e

Os valores de R obtidos por esta expressatildeo aproximam-se

muito dos valores obtidos pelos aacutebacos de Martinelli

69

E - EXPANSAtildeO E COMPRESSAtildeO DE UM FLUIDO - ANAacuteLISE HIDRODINAcircMICA

DE UM CIRCUITO EM CIRCULACcedilAtildeO NATURAL

1 EXPANSAtildeO NO FLUXO DE UM FLUIDO

11 - Uma so fase

Figura 1

Ha vaacuterios meacutetodos para determinar a variaccedilatildeo de pressatildeo

numa expansatildeo de fluido estudaremos o de Romie que eacute o que daacute

maior precisatildeo

Romie considera que a pressatildeo p^ tambeacutem atua na aacuterea

imediatamente apos a expansatildeo Assim fazendo o equiliacutebrio das foi

ccedilas nas secccedilotildees tracejadas da figura 1 temos

mVj

p r A 2 + mdash

mV

bull 2- A2

mas

m = pV^A^

pV^A = p V 2 bdquo A 2

V A

v 2 -4r-logo

( P l-P 2) A 2 = f ( V ^ ) - f _ v j amp c c 2

70

2 pV A A pV A A

Chamando A l A ]

K = 1 - T e degi2 = Aiexcl bull V E M

pvj

P l P 2 = T ~ bull ( 2 deg 1 2 ) ( 1 _ a 1 2 )

Outra maneira de chegar atilde diferenccedila de pressatildeo ( P j - ^ ) s mdash

ria usar o coeficiente de perda da mecacircnica dos fluidos Assim o

equilibrio das pressotildees eacute

2 2

1 V l 1 V 2 V l P i + _ p _ ^ P 2 + I p ~ + k 1 2 p mdash

onde = coeficiente de perda

A 2 1 2

k 1 2 - (l-o 1 2) - (1 - j- )

Fazendo as transformaccedilotildees chegamos a mesma expressatildeo obshy

tida pelo balanccedilo das forccedilas

PraquoIacute pr p

2 - - ir ^ laquo-ia

12 - Duas fases

Como ha duas fases a equaccedilatildeo do balanccedilo das forccedilas fica

um pouco alterada

m pound 1 V- m - raquoV - m-V- m bdquoV _ P A + j y ^ i + _gl_JUuml P A + -11-11 + -ilsl (a)

1 2 e R 2 2 ff e

Sabendo que

71

m (1-x) m t = p fA (1-a) V f

entatildeo

fl l-o^ p fA x

6 Vf2 1-x l-a2 P fA 2

m V = mdash mdash e V 0 = gl a 1 P C T A 1 g2

m

a_ p h

2 g 2

Nas expressotildees anteriores o x nao varia porque a expansatildeo

5 adiabaacutetica porem o a varia devido a modificaccedilatildeo do tamanho da

bolha

Substituindo os valores das velocidades na expressatildeo (a)

vera

( P - P ) Abdquo =

2

2 2 m gt2 2 m t (1-x) 1 x t

ra i 2 m i 1 x t 1

p fA 1 g c ttl p Ax gpound

m t P - P = mdash

(1-x) (l-a 1)A 1A 2 (l-a2)A|

a r A r A 2

V A 2

m t P bdquo - P = mdash 2 1 g c A r A 2 p f

(1-x) 1-a f A 2(l-a 2)

bull ^ 2

72

Se

P -P

a

m

g

12

1 _1_ (1-x)

J12

1 _ a l 1 - a 2 + X (- )

Pg

1 deg12 a 2 ^

Sabemos que

mt = V o pf laquo A l

Sendo V q = velocidade do liquido num ponto onde natildeo haja vapor

P 2-P 1

u 2 2 A 2

V pr Ai

V W p f

(1-x) 12

l-a1 l-a2

+ X 2 pf

mdash

l deg12

-1 a 2 _

p -p r 2 Al (2a 1 2)

2 M f w 1 deg12 X (mdash) (

pg al a 2 )+(l-x)C l 1 12

1-a^ l-a2

Devemos notar que esta expressatildeo tambeacutem vale para quando

temos uma fase para isso basta fazer

= c t 2 = 0

X = 0

e recairemos na formula do item anterior

2 pf 1 deg12 Observemos que neste caso o termo x (mdash)( ) nao

Pg al a2

2

73

tem significado pois corresponde a mudanccedila de fase

2 CONTRACcedilAtildeO KO FLUXO DE UM FLUIDO

21 - Uma so fase raquo mdash

Aqui ocorre um fenocircmeno importante pois o fluido ao ser

contraiacutedo nao vai diretamente da area A^ para a area A 0 mas ele

contral-se ate uma area A^ e depois expande-se ate k^

Ao A2

Po IP 2

V 2

Figura 2

Fazendo o equiliacutebrio das pressotildees entre os planos (1)

(0) vem 2 2

pV pV p +~ plusmn - P + i deg bull 1 2 g o 2 g (b)

C x

Fazendo equiliacutebrio da expansatildeo (0) - (2) vem

P o + 2 - f = P 2 + 2 -T + kp- 2 F ( c )

c c b C

Subtraindo (b) - (c)

2 2 2

i p- vj i p- v2 L P l + 2 bull g c

P 2 + 2 2g c

+ k P 2g c

74

Como

P - P = mdash 2 2g

2 2

bull (1 + k) - f bdquo mdash i

k a - f2 ) 2 - d - o c )2

= o

A = a 21

Weisback obteve varias relaccedilotildees entre a e a i] c

01 02 03 a 0624 0632 0643 c

0624 0632

A r v i - V v 2

p -p 1 2

P -P 1 2 2g7

v l =

(1+k) - laquofi- a 2g 21 c

( 1 + k - o 2 1)

X[- V 2 o 2 1V 2

22 - Duas fases

0 valor de k pode ser aproximado para

k = a(l - o 2 1)

onde segundo Richardsons para fluxo de duas fases podemos supor

a = 02

Para fluxo homogeacuteneo sabemos que

75

p = p f (1 -a ) + p o a

podemos supor p bdquo a = 0 pois p e pequeno e fazendo

V = V ~ V fbdquo2 go2 v 2

Substituindo estas duas expressotildees na equaccedilatildeo de uma soacute fase vem

2 2 p V (l-ct) p V (1 -a ) bdquo

P l P 2 = 9g ( 1 + 3 - 3 0 ^ - 0 ^ ) = g (a+1) (l-a^)

Se a = 02

2 12p oV 0

p r p

2 - 9g gt d-) d-sigt

A compressatildeo de um fluido acarreta uma perda de pressatildeo

como pode ser verificado pelas formulas uma vez que lt 1deg

3 ANALISE HIDRODINAcircMICA DE UM CIRCUITO EM CIRCULACcedilAtildeO NATURAL

Esquema deacute uma caldeira com circulaccedilatildeo natural

76

Determinar a velocidade em (7) para que tenhamos circula

ccedilatildeo natural Determinar tambeacutem as perdas de pressatildeo em todos os

trechos da caldeira

31 - Contraccedilatildeo das secccedilotildees (1) - (2)

Como jaacute vimos a equaccedilatildeo do balanccedilo das pressotildees eacute

1 pr Vl 1 p 2 o V 2 P2 V2

1 2 g 2 + 2 g + K12 2g otilde c amp c e c

bullraquo 2 o2 2 e havendo uma soacute fase k 1 9 = (l-o ) = (1 mdash ) e sendo

C 2

p l = p2

v x lt lt lt v 2

P 2 V pr p2 bull ir2 bull ( 1 + k12gt

Colocando em termos de temos

A 2 V 2 P 2 = A 7 V 7 p 7 (continuidade)

V = V mdashbull = V o_bdquo ~ A 2 2 2

P 2 V - p 2

p r p 2 = ir2 - deg72 bull Ccedilrgt bull lt 1 + ki2gt

fazendo

N12 - lt^gt deg72 ( 1 + k12gt

P7 V7

Pr P2 - N12 bull HG

77

3 2 - Perda de carga no trecho ( 2 ) - ( 3 )

Como haacute apenas uma fase soacute temos perdas por atritos e

perdas hidrostaacuteticas

Sendo como jaacute vimos

2 3 p 2 2 g P 2 P 3 = f 2 3 (r~2g^~) L 2 3 g c p

atrito hidrostaacutetica

Substituindo V^ pela relaccedilatildeo do item anterior e tendo em

conta que p = vem

P -P = f 2 r 3 2 3 D

2 3 p 2 bdquo 2 2 p 7 2

2 g 7 72 p 2 3 g

Se

L 2 3 2 p 7

2 3 2 3 D 2 a 7 2 p 2

P 7 V 7 g P 2 - P 3 = N 2 3 ( mdash gt p 2 L 2 3 f

3 3 - Expansatildeo nas secccedilotildees ( 3 ) - ( 4 )

Como vimos o balanccedilo das pressotildees e

2 2 2 p V p 4 V p V

P 3 + 2 g c

P 4 + 2 g c

+ k 3 4 2 g c

onde

k 3 4 - - -

2 2 1 P 4 - V 4 P 3 v 3

P 3 P 4 = 2 g + ( k 3 4 _ 1 ) 2 g

78

Sendo

P 3 - P 4

p 3 o A 3 deg V 3 = P 7

a A 7 o V 7

P 4A 4 0V 4 = P r A r V

3 7 A 3 p 3

A7 P7 V = v mdash mdash 4 7 P 4

P - P 3 r4

Se

P bdquo - P

bdquo2 r-P 7 V 7

3 4 2g deg74 + ( k 3 4 1 ) deg73

34 p deg74 + ( k 3 4 1 ) 73

p r v2

P3- P4 ^ N34 ^ gt

(No caso e negativo)

34 - Contraccedilatildeo nas secccedilotildees (5) - (6)

Ainda temos uma so fase e fazendo o balanccedilo das pressotildees

como fizemos no item 3lt1 vem

P + vil p + vi + k vi P 5 + 2gbdquo P6 + 2gbdquo + k56 2gbdquo

k 5 6 lt 1 ^ gt 2 ( 1 - Iacute 2 i 2 6

V V6 P5degIacute 5^6 ^SS 2g c - 2g c

P - P ^ = (1+kJ

Como

79

A 6

W p 5 =

VV P6 V 5 = V 6 Jiexcl = Vff65

P 5-P 6 - lt H k 5 6 ) mdash ^ mdash (l+k 5 6-a 6 5) c c c

Sendo

Se

A 7 p 7 p 7

6 7 Ag p 6 7 76 p 6

p _p _ P6- V7- g76 iquest72 ( _ 02 P 5 P 6 2g c bull ( p 6

( 1 + k 5 6 deg65 )

p 7 2 2 N56 = p ^ deg76 ( 1 + k 5 6 ~ a 6 5 )

P 7 V 2

7

P r-P = N r 5 6 56 2g c i

35 - Perdas de pressatildeo nas zonas (6) - (7) - Pre^aquecimento

Nesta regiatildeo temos perdas por atrito e hidrostaacuteticas

Nao haacute perda por aceleraccedilatildeo pois ainda natildeo houve formaccedilatildeo de boshy

lhas

Fazendo balanccedilo das pressotildees temos

L_ ppound-V p = p + otilde L - pound _ + f -Si (-21mdashL 6 7 + p67 L67 g + t 6 7 D K 2g

p _ e ifn sao tomados como valores meacutedios 67 67

P _p _ f hl ^67jIacute uuml + - L A

6 F 7 r67 D 2g P P67 L67 g 6 s c 7 c

S e Kr pound67 L67 p67 6 7 D 6 p7

p7 V - _g_ P6- P7 - N67 mdash + P67 L67 f

c c

80

36 - Perda de pressatildeo nas zonas (7) - (8) - Zona de ebuliccedilatildeo

Nesta regiatildeo j aacute temos o aparecimento de bolhas logo a

perda de pressatildeo seraacute devida agraves t recircs parcelas aceleraccedilatildeo a t r i t o

das duas fases liacutequidas + vapor e h idros taacute t ica

onde

Assim

P-P Q = AP + AP + APbdquo 7 8 a t r i t o acel H

T M1

78 p 7 7 AP - R f- - mdash mdashr |R = fator mult ipl ica-

a t r i t o 7 D 7 2 g c L tivo

G 2

AP bull r mdash acel g c

P V

|_1 - o a p J 8 P f

2 t r 2 M2

7 7 r 7 7 A P a c e l = -J^mdash 2 r bull p 7 lt T iexcl iexcl - )

A PH p 7 8 L 7 8 fiexcl

p 7 8 iacute 7 li 1 0 0 P l i q + a P v ] d L = P 7 ( 1 - laquo 7 8 )

ag raquo fraccedilatildeo de vazio media entre 7 e 8

APH = p (1 - 5 7 g ) f- L 7 8

2 2

P 7 - P 8 a 5 - 2 T i + 2 r p 7 + P 7 ( 1 - 7 8 gt f L 7 8 7 amp c amp c amp c

81

N 7g = R mdash + 2 r p 7

P7 V7 P7- P8 = N78 + P 7 ( 1 5 7 8 gt J78

37 - Expansatildeo nas secccedilotildees 8 e 9

No caso haacute uma expansatildeo com duas fases e como vimos no

item 12 a variaccedilatildeo de pressatildeo era dada por

0f Vo P2 P1 = ~2g c ( 2 deg12

x 2 (mdash)(mdash - mdash ) + ( l - x ) 2 ^ T mdash 8 1 2 1

12

Aplicando ao nosso caso

P pound = P 7

P -P = 8 9

V - V raquo V g f 7

P 7 V 2

2 pf 1 a89 2 1 g89 x (mdash) ( ) + (1-x) (- - N

o ou abdquo 1-cu l-ot_) g 8 9 8 9

Se

N 89

= 2 a 89

2 pf 1 deg89 2 1 CT89 x (mdash) ( ) + (1-x) ( T

g 8 9 8 9

P -P = 8 9

- N P7deg V7

89 2gbdquo

38 - Perda de pressatildeo no trecho 9 e 10

No referido trecho temos apenas perda de pressatildeo por atr L

to da fase liacutequido + vapor e perda hidrostaacutetica Natildeo haacute perda por

aceleraccedilatildeo do vapor pois este natildeo recebe mais calor e portanto

o 82 o

nao ha variaccedilatildeo no a

p

Q -p i n = A P

U + A P bull 9 10 H atrito

n T -S_ P9 U10 deg 910 bull g

fio r

910 I 910

J9 L

(l- a)P + Q P I dL liq v

(l-a0) p

No caso a = (nao hatilde variaccedilatildeo de forma)

A P H - (1-a ) P (p L 0

c

AP bdquo = R o

atrito

2 f9 o L910 P9 V9

2g

Supondo

= V

P 9 = P 8 P 7

vbdquo = v 9 8 0 A r

= V 7 bull deg89

AP - R atrito

2 2

W l O p7deg V7deg g89

V P10 R -^T^ bull deg89 bull li-2 + ( W P 7 (fgt SIO

y c c

Se

- f9 L910 2 N9ol0 R Dl deg89

w 2

p rv P9 P10 = VlO + ( 1 a 9 ) p7 (f gt L910 c

33

39 - Perda ciacutee pressatildeo na expansatildeo 9 - 1 0

Analogamente a expansatildeo 8 - 9 temos

10 11 P 7 2g

10 Iacute 2 0 1 0 - 1 1 gt

2 ff

pg aio

10-11

laquo11 ) +

Ll-a 1 0 bull l-a u J

Se

V10 = V 9 = V 8 bull T9 = V 7 deg89

P -P 10 rll = - a 2g 089 ^lO-ll

4 bull T~ bull (7 1 mdash ) + Pg degio a n

+ (l-x)2(- 1 10-11

1 - aio )

N10-ll = 2 a10-ll a89 2 pf t 1 10-11 N2

-(j-r- - ) bull+ (1-x) pg aio deg 1

10-11 k l - a io

prz P10 Pll = - N10-ll bull ( 2gbdquo

310 - Calculo de V

Fazendo a somatoacuteria de todas as expressotildees (P^-Pj) tere-

84

mos 2 PbdquoV_

P bdquo - P bdquo = N 7 v 7

1 2 12 2g

bull 2 - P 3 - = N 2 3 P 2 L 2 3 f c ccedil

9 P 7 V 7 P _p = N mdash -

3 4 34 deg 2g

V P 5 = deg

2 P V

5 6 56 2 g c

ltr2

P 7 -V 6 e7 -N67 2g + p 6 7 J j67 g

c bc v 2

P 7 - P 8 = N 7 8 - 2 i ~ + p 7 ( 1 - laquo 7 8 ) L 7 8 c

P 7 V 7

P - P - -N mdash - -8 9 89 2g

c P 7 V 7

P 9 ~ P 1 0 VlO 2g + ( 1 a 9 P 7 L 9 c

P 7 V 7

bull10 11 U10-ll 2g

P v iacute j P - P

1 11

7 - v 7 3 bull r

2 8 i U L 2 23 67

(l-5 7 8) L 7 8 + ( l - laquo 9 ) P 7 bull SlOtilde]- ^

Por ou t ro lado sabemos que como secccedilotildees 1

mesmo n iacute v e l

85

s c p r v 7 j

28 Z N i ij

= P 2 L23 p67 L67 P 7 ( 1~deg78 )

78 ~ ^g) bull P 7 bull L 910 g_

V - 2 g ( p r L 2 3 - p 6 r L 6 7 - p 7 ( l - atilde 7 8 ) L 7 8 - (l-a9) p L 9 a ( )

y N

Com esse valor de podemos determinar todas as variashy

ccedilotildees de pressatildeo (P^-P )

BIBLIOGRAFIA

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tituto de Energia Atocircmica de Sao Paulo em 1966 (roteiro)

- WR Gambill - Nuclear Safety

Vol 9 - n9 5 e 6

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- Paul A Lottes - Argonne National Laboratory

- AKL - 6469

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Frank Kreith - Principles of Heat Transfer

Journeacutees Internationales de la transmission de la chaleur

Seminaacuterios realizados em Paris em 1961 sob a supervisatildeo do

Prof Marcel Veron

Notas de aula da Cadeira de Termodinacircmica I e Transmissatildeo da

Escola Politeacutecnica da Universidade de Sao Paulo

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17

ccedilao do condensado que sempre se faz por gravidade Ha dois tipos

principais de superficies de condensaccedilatildeo

1 - Tubos ou placas verticais (ou encunadas)

2 - Tubos cilindricos horizontais

Nos tubos verticais a espessura da peliacutecula liacutequida aumen

tara do topo acirc base e com isso variaraacute ao longo do tubo o coefishy

ciente de peliacutecula loacutecalo

No caso dos tubos ciliacutendricos horizontais o liacutequido escoj

re pela parede lateral e goteja pela parte inferior natildeo havendo

possibilidade de formaccedilatildeo de camadas espessas do condensado

2raquo4 - Condensaccedilatildeo por peliacutecula sobre tubos verticais

Nusselt desenvolveu estudos analiacuteticos sobre condensaccedilatildeo

externa a tubos ciliacutendricos verticais partindo das hipoacuteteses

1 - A espessura da peliacutecula do condensado eacute nula na parte

superior do tubo e vai aumentando nas partes inferioshy

res por condensaccedil-ao e escorrimentoraquo

2 - 0 fluido escorre pela parede em regime laminar sob o

efeito combinado do seu peso e viscosidade

3 - A temperatura da camada mais interna do condensado tem

a temperatura da parederaquo

4 - A temperatura da camada mais externa tem a temperatushy

ra do vapor-

5 - A variaccedilatildeo da temperatura da camada do condensado em

sentido ortogonal agrave superfiacutecie do tubo eacute linear

6 - 0 vapor cede apenas seu calor latente

7 - A temperatura do tubo eacute uniforme e constanteraquo

8 - Nao haacute gases incondensaacuteveis no vapor (vapor puro)

Chegou a formula

18

2 3 g P - h L t

N j = 0943 ( r-EcircY~ ) 1 4 (l) NuL y bdquo k o At v

As propriedades da equaccedilatildeo (1) satildeo avaliadas agrave temperatu

ra meacutedia tm

c + t _ w sat

tm ~ onde

t = temperatura da parede

t = temperatura de saturaccedilatildeo do fluido S 3Lt

exceto o calor latente da vaporizaccedilatildeo b^ que deve ser avaliado agrave

temperatura de saturaccedilatildeo correspondente atilde pressatildeobdquo

Quando a superfiacutecie focircr inclinada vale o raciociacutenio de

Nusselt apenas o termo que atua na remoccedilatildeo do condensado natildeo eacute g

mas sim (g seno) sendo 6 a inclinaccedilatildeo da superfiacutecieraquo

Assim a equaccedilatildeo para estecaso seria

2 3 g o sene o p o h o L

NT _ = 0943 ( r~ y (2) NuL y o k o At w

25 - Efeitos a considerar na condensaccedilatildeo

Ha 3 efeitos importantes a considerar na condensaccedilatildeo que

Nusselt natildeo levou em conta sao eles

- efeito da turbulecircncia no filme liacutequidoraquo

- efeito dos gases incondensaveisraquo

- efeito da velocidade do vapor

251 - Efeito da turbulecircncia no filme liacutequido

As formulas anteriores servem para comprimentos de tubos

pequenos pois nesse caso a velocidade de escoamento do condenshy

sado natildeo eacute grande entretanto para superfiacutecies verticais longas

a peliacutecula torna-se bastante espessa e com velocidade grande deshy

mais para que o escoamento possa ser considerado em regime lamishy

nar

19

Nesse caso define-se o numero de Reynolds baseado na veshy

locidade da fase liacutequida isto eacute

p V 6

Nbdquo - m r

Rer y u

onde

V = velocidade do condensado na camada limite m 6 = espessura da camada limite

T = p V m 6 = descarga do condensado por unidade de largju

ra da superficie de condensaccedilatildeo

No calculo da determinaccedilatildeo de T haacute uma certa dificuldade

pois ele soacute pode ser determinado por iteraccedilatildeoraquo

Q = m c laquo A t = h A A t P

A = 2ir R bdquo L (para tubos)

m c = h o 2IumlIuml R laquo L P

m m braquoL _ p a _ _ li li

2TTR C c P P

Como noacutes nao sabemos o valor de h_ devemos inicialmente

adotar um V e obter atraveacutes da foacutermula

NNuL = deggt0134 (R PV L 3 gt 1 3 ( N R e r ) 0 4 ( 4 )

y

o valor de _h se os valores de h_ obtidos por (3) e (4) forem iguais

o problema esta resolvido caso contraacuterio fazem-se tantas iterashy

ccedilotildees quantas forem necessaacuterias

252 - Efeito dos gases incondensaacuteveis

A presenccedila de gases incondensaacuteveis reduz violentamente o

coeficiente de peliacutecula pois acirc medida que o vapor se condensa o

gaacutes nao condensaacutevel se acumula junto atilde superfiacutecie de resfriamento

20

formando uma barreira adicional S passagem do fluxo de calor

A reduccedilatildeo do coeficiente de peliacutecula que a presenccedila des_

ses gases causa depende da fraccedilatildeo em massa dos mesmos na mistu

ra gaacutes-vapor

Fizeram-se inuacutemeras experiecircncias e sobre o assunto a tiacute

tulo de exemplo vejamos o graacutefico abaixo onde temos em abcissas

o coeficiente de peliacutecula obtido experimentalmente e em ordenadas

a fraccedilatildeo de gases dissolvida jio vapor

5000

bullg- 4000 O

3OOO

2000

S 1000

4 6 8 10 12 lt|gt(lbm arlbm de vapor )x 10

Devemos notar a grande influecircncia dos gases incondensatilde-

veis por exemplo quando o vapor eacute puro nos temos um h = 4000se

tivermos apenas 1 de ar dissolvido o coeficiente de peliacutecula fishy

caraacute reduzido agrave metade isto ecirc h = 2000

Por isso nos condensadores sempre se coloca vapor ornais

puro possiacutevel

253 - Efeito da velocidade do vapor

Quando a velocidade do vapor junto agrave interface liacutequido-

-vapor natildeo focircr despreziacutevel surgem forccedilas de atrito entre o vapor

e o liacutequido Se a direccedilatildeo do fluxo do vapor coincide com a direshy

ccedilatildeo do movimento do liacutequido a velocidade do liacutequido aumenta (haacute

compressatildeo) e a espessura do filme liacutequido diminui e consequenshy

temente a transferecircncia teacutermica melhora pois haacute diminuiccedilatildeo da

resistecircncia teacutermica

Se entretanto a direccedilatildeo do vapor focircr contraacuteria a do fil

o 21 laquo

me de liquido ha uma tendecircncia de haver aumento da espessura da pj2

liacutecula diminuindo assim o valor de h

26 - Consideraccedilotildees sobre os resultados obtidos com as foacutermushy

las de Nusselt

Nota-se experimentalmente que os resultados obtidos pelas

equaccedilotildees de Nusselt sao em geral 10 a 20 inferiores do que os reshy

sultados reais Assim a favor da seguranccedila elas sao usadas e aaacuteo_

tadas Os motivos das discrepacircncias jaacute-foram ditas atraacutes no item

25

Devemos notar ainda que o valor de h obtido pelas foacutermushy

las anteriores e o valor meacutedio jaacute que h varia de ponto para ponto

e seria difiacutecil obter uma equaccedilatildeo que nos desse o valor de h locaL

2bdquo7 - Condensaccedilatildeo por peliacutecula externamente a tubos ciliacutendrishy

cos horizontais

0 mesmo estudo de Nusselt pode ser aplicado neste caso

baseado na hipoacutetese de que no topo do tubo a peliacutecula do condensashy

do tenha espessura nula Chega-se a expressatildeo

g p 2 h D 3 14

NT _ = 0725 ( ) (5) NuD u k o At

Analogamente ao caso anterior as propriedades do liacutequido

sao tomadas a

t + t w sat

tm = ^

exceto h que eacute tomado a t

ev n sat

Na situaccedilatildeo atual da tecnologia e possiacutevel obtermos tubos

com diacircmetros suficientemente pequenos para que tenhamos escoamenshy

to do condensado soacute em regime laminar

22

No caso de vaacuterios tubos empilhados a formula (5) deve

ser modificada pois como dissemos ela soacute vale quando no topo do

tubo a espessura do liacutequido eacute nula o que nao acontece neste caso

(Vide figura a)

Vapor

Tubo

mdash Liacutequido

Fig a

Neste caso a forma que nos da o valor meacutedio para h e

g p 2 h D 3 14

NNuD deg gt 7 2 5 lt N u k V At gt

sendo N o numero de tubos empilhados

Note-se que neste caso o coeficiente h cai bastante Uma

boa soluccedilatildeo para o caso quando dispoacuteftos de lugar eacute dispor os tushy

bos defasados (Conforme figura b)

Liquido

Fig b

Neste arranjo podemos aplicar a equaccedilatildeo (5) pois no tp_

po de cada tubo a espessura da camada de condensado eacute nula

23

B - CONVECCcedilAtildeO COM MUDANCcedilA DE FASE - EVAPORACcedilAtildeO (II)

1 INTRODUCcedilAtildeO

Evaporaccedilatildeo consiste na obtenccedilatildeo de vapor por meio de aque

cimento de um liacutequido

Apesar da importacircncia do processo e do sucesso obtido na

praacutetica em projetos de evaporadores o fenocircmeno da evaporaccedilatildeo eacute

um dos pontos menos conhecidos da transmissatildeo de calor

0 primeiro estudo seacuterio sobre o assunto foi feito em 1934

pelo japonecircs Nukiyama poreacutem somente nos uacuteltimos 10 anos tais es-

tudos se intensificaram

Os primeiros pesquisadores quando estudavam o fenocircmeno

do resfriamento de um solido num liacutequido obtiveram as seguintes

curvas

onde

temperatura

velocidade de resfriamento

3 0 v = amdashbull

A 06

Q - fluxo teacutermico

8 - tempo

A - aacuterea do soacutelido

24

tempo

Ateacute os estudos de Nukiyama nao se conseguia explicar o

porque da variaccedilatildeo crescente da velocidade de resfriamento quando

t gt t sol sat

2 PROCESSO DE FORMACcedilAtildeO DAS BOLHAS

Como a evaporaccedilatildeo do liacutequido se faz sobre uma superfiacutecie

aquecedora sobre esta irao se formar bolhas de vapor que influem

decisivamente no fenocircmeno

Aqui soacute iremos estudar as bolhas sob o ponto de vista qua

litativo bem como a sua influencia mas nao sob o ponto de vista

quantitativo

Recentemente Fritz e Jacob WR Gambill e outros estudiacutei

ram o processo da formaccedilatildeo das bolhas sobre a superfiacutecie aquecedpound

ra Atraveacutes de fotografias verificaram que a bolha de vapor ain

da em contato com a parede variava profundamente de forma confo_r

me o angulo de contato entre liacutequido e parede metaacutelica

Assim eacute que se a superfiacutecie de aquecimento nao e excesshy

sivamente polida e a tensatildeo superficial do liacutequido eacute pequena a

bolha tem a forma da figura las diz-se nesse caso que o liquishy

do molha a parede neste caso o angulo de contato e agudobull Se

as condiccedilotildees contrarias se verificarem o acircngulo de contato sera

obtuso e as bolhas tomam a forma da figura ldegb Naturalmente ve

rificara-se as condiccedilotildees intermediaacuterias para o angulo de contato da

25

fig lc

Fig la Fig lb Fig lo

0 estudo analiacutetico da formaccedilatildeo e crescimento das bolhas

pode ser encontrado em diversos livros por exemplo no El-Wakill

(Nuclear Power) no Jakob (Heat Transfer)e outros Neles faz-se

o estudo das condiccedilotildees do liquido (pressatildeo temperatura tensotildees

etc) para haver ou nao formaccedilatildeo de bolha Isto eacute feito fazendo-se

o estudo das bolhas nas seguintes posiccedilotildees

a) bolha no seio do liacutequido

para meia bolha

4 ltP g - P fgt fg

onde

P g P f

- 4 D (D

g

Pf

D

pressatildeo do vapor

pressatildeo do liquido

tensatildeo entre superfiacutecie do liacutequido e vapor

diacircmetro da bolha

^f g

P f Fig 2

26

A equaccedilatildeo (1) mostra que a pressatildeo do vapor deve ser maior

que a do liquido nas condiccedilotildees de saturaccedilatildeo e este por sua vez

deve estar no estado de superaquecimento o

b) bolhas sobre superfiacutecie solida

Fig 3

Condiccedilotildees para desprender

a mdash o_ + o_ cos a gs fs fg

tensatildeo na interfase liacutequida e vapor (depende das

propriedades do liacutequido e vapor)

tensatildeo entre o liacutequido e superfiacutecie de aquecimen

to (depende das propriedades do liquido e da sushy

perfiacutecie)

tensatildeo entre o vapor e a superfiacutecie de aquecimeri

to (depende das propriedades do vapor e da super

fiacutecie)

21 - Formas do fluxo do vapor desde a superfiacutecie de aquecishy

mento ateacute a superfiacutecie livre do liacutequido

Considerando liacutequido vaporizado em tubos verticais pode^

mos ter 4 tipos de fluxo de vapor

1 - fluxo de bolhas

2 - fluxo de agregados (plug ou slug)

3 - fluxo anular

4 - fluxo disperso

Os quatro tipos ficam bem determinados respectivamente

onde

a fg

degfs

a gs

27

pelas 4 figuras abaixo

LIacutequido - Liacutequido Liacutequido

o

^Bocirclha de

vapor

Vapor

mdash [

- Vapor

mdash 0 0

deg_ a-

jrj-

iquestiexcl5

Bolhas Agregados Anular

Liacutequido

vapor

Disperso ou

Homogecircneo

Conforme o tipo de ebuliccedilatildeo podemos ter uma so das forshy

mas acima ou uma mistura

3 INCERTEZAS NO ESTUDO DA EVAPORACcedilAtildeO

Ha trecircs incertezas principais para determinar o fluxo de

calor na evaporaccedilatildeo a saber

- Aacuterea de contato indefinida

- Diferenccedila de temperatura indefinida

- Grau de turbulecircncia

Como realmente nos nao sabemos uma dependecircncia algeacutebri

ca entre o acircngulo de contato e a superfiacutecie ocupada pelo liacutequishy

do (ou vapor) temos uma incerteza na determinaccedilatildeo da aacuterea de tro

ca de calor (A)

Outra incerteza eacute a dificuldade da obtenccedilatildeo de diferenccedila

de temperatura entre o liacutequido e a parede que normalmente assume-

-se como sendo a diferenccedila entre a temperatura da parede e da ebu

liccedilatildeo do liacutequido (temperatura de saturaccedilatildeo = t )

S cl c

Na realidade a diferenccedila de temperaturas nao eacute aquela

pois a camada de liacutequido que cobre a superfiacutecie aquecedora esta

a uma pressatildeo maior que o resto do liacutequido (pressatildeo atmosfeacuterica

mais a hidrostaacutetica) e consequentemente a temperatura de vaporiza_

ccedilao desse liacutequido e maior que a da superfiacutecie Esta diferenccedila po-

28

deria ser calculada desde que se conhecesse a relaccedilatildeo entre presshy

satildeo e temperatura de saturaccedilatildeo do liacutequido entretanto haacute incerte

za quanto ao verdadeiro peso especiacutefico da coluna de liacutequidopois

trata-se de uma mistura de bolhas de vapor e de liacutequido em proshy

porccedilatildeo variaacutevelraquo

4 REGIMES DE EBULICcedilAtildeO

Nukiyama estudando a ebuliccedilatildeo da aacutegua num recipiente a

quecendo-a com resistencias eleacutetricas construiu a curva baacutesica da

ebuliccedilatildeo Todos os liacutequidos apresentam uma curva semelhante vashy

riando apenas os valoresraquo Os pontos caracteriacutesticos da curva deshy

pendem de caracteriacutesticas difiacuteceis de definirtais como natureza

do metal estado da superficie (rugosidade) dimensotildees orientashy

ccedilatildeo do fluxo quantidade de gases dissolvidos e t c

Estudaremos o fenocircmeno para o caso de aacutegua destiladasem

gas dissolvido a temperatura de saturaccedilatildeo 100 C pressatildeo atmosfe_

re uma superficie plana

Chega-se assim acirc curva

rica sobre uma superficie plana horizontal a temperatura t^

In ltJgt

At (degC)

A curva acima representa o aquecimento de agua com uma re_

sistecircncia eleacutetrica (ate ebuliccedilatildeo)raquo Temos em abcissas as diferenccedilas

de temperatura entre o liacutequido e a resistecircncia em ordenadas o flu

29

Regiatildeo I

Regiatildeo II

Regiatildeo III

Regiatildeo IV

xo de calor por unidade de area

Na curva notam-se 4 regiotildees bem definidas tendo cada uma

o seu significado fiacutesico os quais correspondem a um tipo de ebuli

ccedilao

convecccedilao natural

ebuliccedilatildeo nucleada

ebuliccedilatildeo por peliacutecula parcial

ebuliccedilatildeo por peliacutecula estaacutevel

41 - Convecccedilao natural

Ocorre quando At eacute inferior a 8degCformam-se no liacutequido

correntes convectivas as quais transferem o calor ateacute a superfiacuteshy

cie livre do liacutequido e aiacute desprendendo o vapor Neste caso o valor

de h eacute da ordem de 2000 kcalm^hdegC

42 - Ebuliccedilatildeo nucleada

Ocorre quando o At eacute maior que 8degC e menor que 25degC Nesshy

te caso as bolhas formam-se junto a superfiacutecie de aquecimento

crescem liberam-se movimentam-se em direccedilatildeo agrave superfiacutecie livre do

liacutequido onde estouram libertando o vapor As bolhas formam-se nas

irregularidades da parede tecircm um acircngulo de contato agudo e porshy

tanto hatilde liacutequido sempre em contado com a parede (molha a parede)

cada ponto ativo (lugar onde se formam as bolhas) libera uma porshy

ccedilatildeo de bolhas e os outros pontos do liacutequido ficam em contato com a

superfiacutecie quente violentamente agitados Esta agitaccedilatildeo extrema eacute

mais eficaz que uma turbulecircncia criada artificialmente Por esse mo

tivo a curva cresce violentamente nesse trecho (m = 3 a 7) pois

bull 2 o o valor de h cresce consideravelmente (ate 46000 kcalm hr C) e

o fluxo teacutermico transmitido ao liacutequido cresce proporcionalmente a

Quando cresce crescem tambeacutem

(At) 3

30

numero de bolhas por unidade de aacuterea (num instanshy

te)

~ = crescimento da bolha (com o tempo)

frequecircncia de iacuteormaccedilao de bolhas

A medida que o At vai aumentando iraacute aumentando (jgt tam-- n o N

bem e consequentemente mdash R mdash a a a tal ponto que quando atiacuteii

girmos o ponto da curva nao haveraacute mais formaccedilatildeo de bolhas

mas sim uma peliacutecula de vapor instaacutevel passando assim a 3a re

giao que estudaremos a seguir

43 - Ebuliccedilatildeo por peliacutecula parcial

Como dissemos no item anterior se aumentarmos ainda mais

o At (entre 25degC e 125degC) teremos a formaccedilatildeo de uma peliacutecula de

vapor instaacutevel sobre a superfiacutecie quente que aacutes vezes eacute perfurashy

da pelo liacutequido A camada de vapor tanto mais estaacutevel seraacute quanshy

to maior focircr o At Essa peliacutecula de vapor iraacute provocar um decreacutes_

cimo consideraacutevel no fluxo teacutermico porque como sabemos o vapor

eacute muito pior condutor que a aacuteguaraquo

0 fluxo vai decrescendo ateacute um ponto miacutenimo (iexclgt mintilde (as vecirc

iacutebo bullraquo 1

zes chega a ser mdashj-) e e o chamado ponto de Liedenfrost 0 coeshy

ficiente de peliacutecula neste caso cai violentamente (h = 2000

kcalm^hrdegC)

44 - Ebuliccedilatildeo por peliacutecula estaacutevel

Aumentando ainda mais a diferenccedila de temperaturas

At ( gt 125degC) iremos conseguir uma camada de vapor estaacutevel Ela

transmite calor da superfiacutecie quente ao liacutequido que se vaporiza de

modo que o excesso de vapor formado na interface liquido-vapor for

ma bolhas que sobem para a superfiacutecie 0 liacutequido encontra-se agi-

31

tado poreacutem nao toma contato com a superfiacutecie soacutelida

A peliacutecula de vapor eacute estaacutevel e o fluxo eacute proporcional a

34

(At) (lei de Bromley) Para At grandes passa a influir sensivel^

mente a radiaccedilatildeo teacutermica mais uma razatildeo para demonstrar que nesshy

ta regiatildeo o fluxo cresce novamente

5 CONSIDERACcedilOtildeES E COMPARACcedilAtildeO ENTRE OS TIPOS DE EVAPORACcedilAtildeO

BURNOUT

Sob o ponto de vista de eficiecircncia teacutermica deveriacuteamos sem

pre trabalhar no ponto de fluxo maacuteximo isto eacute no ponto correspon

dente a lt(gt da curva de Nukiyama pois eacute o que daacute maior coeficieri

te de peliacutecula

Acontece poreacutem que se impomos a temperatura da parede

fixa obtemos um uacutenico valor de lt(gt e portanto o fenocircmeno eacute estaacutevel

Poreacutem se como ocorre nos reatores impomos um fluxo teacuter

mico a curva de Nukiyama apresenta 3 pontos de funcionamento posshy

siacuteveis A B C

1

SOacute os pontos A e C sao funccedilotildees estaacuteveis mas eles impotildeem

acirc superfiacutecie quente temperaturas bem diferentes

Na industria em geral trabalha-se por questotildees de segushy

ranccedila na regiatildeo IV da curva poreacutem para os reatores trabalha-se na

32

r e g i atilde o I I

0 p r o b l e m a de t r a b a l h a r n a r e g i atilde o II eacute q u e se n oacute s e s t i shy

v e r m o s t r a b a l h a n d o n o p o n t o e x t r e m o (j) e se p o r q u a l q u e r m o t i v o

h o u v e r u m p e q u e n o a c r eacute s c i m o d e ltfgt i r e m o s t r a b a l h a r i m e d i a t a m e n t e no

p o n t o M q u e t e m o m e s m o $-^0t p o r eacute m c o m A t 2 m u i t a s v e z e s m a i o r

p o d e n d o o c a s i o n a r a f u s atilde o d a s u p e r f iacute c i e a q u e c e d o r a E s t e f e n ocirc m e n o

eacute c h a m a d o d e b u r n o u t

0 f l u x o lttgt eacute c h a m a d o f l u x o c r iacute t i c o o u f l u x o d e b u r -b o

n o u t N o c a s o do r e a t o r d e v e m s e r t o m a d a s m e d i d a s r i g o r o s a s q u a n

to agrave r e g u l a g e m do f l u x o t eacute r m i c o p a r a q u e n atilde o o c o r r a o b u r n o u t 1 1

p o i s d e l e p o d e r e s u l t a r r u p t u r a d a c a m i s a do c o m b u s t iacute v e l e h a v e shy

r aacute p o r t a n t o c o n t a t o do r e f r i g e r a n t e c o m o s s oacute l i d o s e g a s e s r a shy

d i o a t i v o s

5 o l - R e l a ccedil atilde o d e B u r n o u t

E c l a r o q u e p a r a t e r m o s u m r e a t o r m a i s e f i c i e n t e d e v e shy

m o s t r a b a l h a r c o m u m f l u x o o m a i s p r oacute x i m o p o s s iacute v e l do f l u x o d e

B u r n o u t P a r a t a n t o d e v e m o s c o n h e c e r c o m o m a i o r g r a u d e certe

za p o s s iacute v e l q u a l o ^ p a r a p o d e r m o s r e d u z i r o c o e f i c i e n t e d e s e shy

g u r a n ccedil a ( W R G a m b i l l r e c o m e n d a agrave 1 5 )

N o s s e m i n aacute r i o s d e W R G a m b i l l e n c o n t r a m o s u m a s eacute r i e de

b i b l i o g r a f i a s o n d e p o d e m o s e n c o n t r a r i n uacute m e r a s f oacute r m u l a s p r o p o s t a s

p a r a a o b t e n ccedil atilde o de (q 1^)

A t i t u l o d e e x e m p l o v e j a m o s a l g u m a s

q - 2 7 0 G deg gt 8 5 D 0 2 A085 p lt 150

deg D ( L uuml ) 2

q - 140 G 0 5 D ~ deg 2 (-~-)~deg 1 5 p ~ r gt 150 c D (LD)

o n d e a m b a s as e q u a ccedil otilde e s s oacute v a l e m p a r a aacute g u a e m b a i x a p r e s s atilde o e m coii

v e c ccedil a o f o r ccedil a d a

33

D

L

fluxo teacutermico critico BTUhrft bdquo 2

descarga em massa do liquido (Ibmhrft )

diacircmetro do tubo ft

comp do tubo ft

Para cada caso temos uma expressatildeo diferente que pode ser

encontrada em literatura especializada

6 INFLUEcircNCIA DE OUTROS PARAcircMETROS NO FLUXO DE BURNOUT

Como para os usos atuais do reator a diferenccedila de temppound

ratura entre parede e fluido sao pequenas bem como o fluxo de bur

nout recentemente fiacutesicos como Jakob Bonilla WR Gambill estu

daram outros paracircmetros que influenciam bastante o sect^ 0gt isto eacute a

influecircncia desses paracircmetros faz com que o ^ seja maior Isto eacute

util pois quanto maior o fluxo de burnout maior poderaacute ser o

fluxo de calor real de funcionamento

Tais meios sao

- Sub-resfriamenCcedilo do liacutequido

61 - Influecircncia da velocidade do liacutequido

Estudos feitos pelos autores acima chegaram agraves curvas

- Aumento da velocidade imposta ao liacutequido

- Pressatildeo do liacutequido elevada

alto V

At

34

Para velocidades maiores o fluxo de burnout aumenta

porque neste caso o regime eacute turbulento e o coeficiente de peliacute

cuia h aumentao

6bdquo2 - Influencia do aumento da pressatildeo

Este estudo deve-se a Bonilla que obteve experimentalmen

te as curvas

Este estudo foi feito para vaacuterios liacutequidos e chegou a con

clusao que sempre havia uma pressatildeo oacutetima isto e uma pressatildeo que

leva ao maior iacute 1 ^ raquo mantidas as demais condiccedilotildees Experimentalmenshy

te notou que essa pressatildeo correspondia a 13 da pressatildeo critica

do liquido em questatildeo

6=3 - Influecircncia do sub-resfriamento

Consiste em manter atilde custa de uma circulaccedilatildeo intensa o

liacutequido a uma temperatura inferior atilde de saturaccedilatildeo para a pressatildeo

correspondenteraquo Experimentalmente chega-se agraves curvas

mdash A t grande sub

bullAt -0 sub sub

medio

At

35

Verificando os graacuteficos vemos que o lt)gt aumenta agrave medida bo

que aumenta a diferenccedila de temperatura de sub-resf riamento isto pojr

que o liquido como estaacute mais frio faz com que algumas das bolhas

recondensem permitindo que o liquido fique em contato com a parede

quente o que faz aumentar o h

^ f csub = t e m P e r a t u r a ddeg liacutequido - temperatura de saturaccedilatildeo

A diferenccedila de temperatura At entre fluido e parede tamshy

beacutem aumenta poit na regiatildeo proacutexima agrave parede haacute necessidade de

levar o liacutequido da temperatura do sub-resfriamento ateacute a temperatu

ra de saturaccedilatildeo quando se evapora

Atualmente os maiores estudos dos fiacutesicos nucleares locashy

lizam-se neste campo pois eacute o que oferece maiores vantagens

7 FORMULAS PARA 0 CAacuteLCULO DO COEFICIENTE DE PELIacuteCULA NA EBULICcedilAtildeO

Como ocorre no caacutelculo de todas as foacutermulas de convecccedilatildeo

temos formulas empiacutericas para determinar o h conforme o tipo de

ebuliccedilatildeo que nos consideramos

71 - Ebuliccedilatildeo Nucleada

Para o caso de aacutegua temos as relaccedilotildees

superfiacutecies

horizontais

superfiacutecies

verticais

f aacute 5000 BTUhrft 2 -gtbull h = 151 ( A t ) 1 3

A o

5000 lt 75000 -h = 0618 (At)3

^ pound 1000 -raquobull h = 8 7 ( A t ) 1 7

A o -

1000 lt $ lt 20000 -gt h = 027 (At) A o

Quando a pressatildeo e diferente da atmosfeacuterica faz-se a correccedilatildeo

3 6

72 - Ebuliccedilatildeo por peliacutecula

Bromley propocircs uma boa equaccedilatildeo para a ebuliccedilatildeo por peliacuteshy

cula estaacutevel em cilindros horizontais

Nu

_ JtjD n r 9 P v bull ( P L - P v gt - g -h

e V bull D i2

D 1 ^ U b Z u At gt

onde

V = indica vapor

L = indica liacutequido

Multiplicando ambos os membros da equaccedilatildeo acima por

kvD obteremos a expressatildeo do coeficiente de convecccedilagraveo meacutedio para

o caso

37

C - FORMULAS PARA CAacuteLCULOS ESPECIacuteFICOS - RESULTADOS ESPECIacuteFICOS

1 FLUXO DE CALOR CRIacuteTICO - BURNOUT

lol - Introduccedilatildeo

O aspecto mais importante no que se refere agrave seguranccedila

dos reatores da transferencia de calor na ebuliccedilatildeo eacute a determina

ccedilatildeo do Fluxo de calor critico ou de pico ou burnout

Como jatilde vimos quando temos a ebuliccedilatildeo nucleada a dishy

ferenccedila de temperatura entre refrigerante e superfiacutecie de aqueci

mento e pequena poreacutem quando atingimos o fluxo de calor criacutetico

essa diferenccedila de temperatura pode tornar-se imediatamente muishy

to grande podendo causar a ruptura da superfiacutecie de aquecimento

se atiigirmos o ponto de fusatildeo do soacutelidoraquo

Usando a convecccedilao

onde

At sat

w

sat At

sub

w = temperatura da parede de aquecimento

t t = temperatura de saturaccedilatildeo do liacutequido

t^ = temperatura de mistura do liacutequido

At = (t -t ) sub-resfriamento do liacutequido sub N sat b 1

nout

Ha dois tipos de burnout fast burnout e slow bur-

Ocorre o fast burnout (burnout raacutepido) quando A t g u b gt 0

38

ou para baixo x (~ lt 10) sendo x o titulo do vapor

Temos o slow burnout para x - gt 10 Assim noacutes tereshy

mos dois limites para o burnout

At bull o (ltJgt ) t =((() para t = t ) -

bo m m possiacutevel w sat

sub i

4L + 1

G c D h pl nb

(ltK ) = (ltpound para x = 1) = Dv-bo max possiacutevel e 4L

c At l + P 1 sub i

onde

L = comprimento do canal

D = diacircmetro do tubo

G = descarga de liacutequido (por unidade de aacuterea)

c ^ = calor especiacutefico do liacutequido

Agrave = calor latente de vaporizaccedilatildeo

h ^ = coeficiente de transferecircncia de calor na regiatildeo de

nao ebuliccedilatildeo

iacutendices

i = entrada

e = saiacuteda

Haacute inuacutemeras expressotildees para determinaccedilatildeo do burnout pro

postas por muitos fisicos cada uma aplicando-se a um caso especiacuteshy

fico vejamos algumas delas

12 - Equaccedilotildees para prediccedilatildeo de Burnout

121 - Equaccedilatildeo de Bragg e Smith (Zuber)

Num artigo publicado por Bragg e Smith encontramos uma f oacute_r

mula que e derivada da formula de Kutateladze e nos daacute o fluxo cri

39

tico quando nao temos sufaresfriamento

bo poolsat v V raquoc a ( p l P V )

2 PV

14

onde

ltiexclgt = fluxo de calor critico bo

k = constante

Ly = calor latente de vaporizaccedilatildeo do refrigerante

= densidade do liquido

pvr = densidade do vapor V a = tensao superficial

g = fator de conversatildeo c

a = aceleraccedilatildeo da superficie de aquecimento

Os autores encontraram para k um valor de 062 entreten

to outros autores como Zuber incluindo outras variaacuteveis que In

fluiam no fenocircmeno encontraram k variando entre 008 e 023Esshy

tudos bem elaborados mostram que o valor mais aproximado eacute

k = 015 (- 003)

1-22 - Equaccedilatildeo de Noyes

Noyes estudou o burnout para o soacutedio agua e alguns liacute

quidos orgacircnicos

( W s a t ~ bdquo 0245 bull ( r ( 1 )

iiacute_ V 1 Pr

onde

N n = Nuacutemero de Prandtl da fase liacutequida x r

Mais tarde o proacuteprio Noyes alterou a equaccedilatildeo para

n ^ - n H Iacute I Pl PV gt0538 deg g c a q 4 ( W s a t deg 1 1 6 PV ( - p 7 ~ ) (77T1^ ) ( 2 )

40

A ultima correlaccedilatildeo proposta por Noyes foi

a n prPV0560 112

1

(a bull a) 13

(ag c) 112

(3)

onde

a = difusividade teacutermica do liacutequidoraquo A equaccedilatildeo (3) eacute bashy

seada em todos os dados de burnouts do soacutedio bem

como da atildegua benzeno difenil e outros De 111 pontos usados 90

+ estatildeo relacionados dentro de - 30bdquo

ldeg2o3 - Burnout com convecccedilao forccedilada e sub-resfriamen

to

Aproveitando os resultados de aproximadamente 240 testes

de burnouts com aacutegua sub-resfriada em fluxo de convecccedilao forccedilashy

da feitos na Ruacutessia Labuntsov elaborou uma boa equaccedilatildeo empiacuterica

para o problemabdquo

Esta relaccedilatildeo aplica-se para velocidades entre 2 3 e 148

ftsec pressotildees entre 1 e 201 atmabs sub-resfriamento entre 0 deg

e 432 degF e fluxos de burnout entre 0 4 x IO 6 x 166 x 1 0 6 BTUhr

2 bdquo

bullbo

onde

e a seguinte

6 ( P ) 1 + 0 2 3 2 V 2

14

e ( P ) 1 +

15 c At _p_ sub

12 (a)

9 ( P ) - P 1 3 o ( 1 - P J 4 3

red

= pressatildeo (atm abs)

pressatildeo reduzida = mdash mdash red r P

t_ c = pressatildeo critica

= velocidade do liacutequido (ftsec)

= calor especiacutefico do liacutequido (BTUlbdegF)

4 1

^ tsub = ^ ^ e r e n Ccedil a ^ e temperatura entre a temperatura de

mistura do liacutequido e a de saturaccedilatildeo (degF)

X = calor latente de vaporizaccedilatildeo (BTUlb) 2

ltiacutegtbo = fluxo de burnout (BTUhrfl )

Uma outra correlaccedilatildeo para o caso foi proposta por

Ornatsky e Xiohigin que fizeram experiecircncias para pressotildees entre

10 e 1 5 0 3xm 90 degF lt At ^ lt 4 5 0 deg F 3 7 1 0 6 ( l b h r o f t 2 ) lt G lt

2 2 2 10 b ( l b h r bdquo f t 2 )

lt ^ = 3 2 5 0 (G o A t bdquo J deg 6 ( - i - ^ ) 2 5 ( b ) bo sub

onde

G - descarga de refrigerante por unidade de aacuterea

P ^ v P v - densidades do liacutequido e do vapor

P1~ PV -0 termo (mdash ) e incluido na expressatildeo (b) para indicar

a influecircncia da ^ pressatildeo sobre o

Uma comparaccedilatildeo entre as equaccedilotildees (a) e (b) foi feita para

o Reator de Isoacutetopos de Alto Fluxo (HFIR) nas condiccedilotildees aacutegua a

600 psia velocidade = 45 ftsec e sub-resfriamento = At^^ 1

degF obtendo-se uma diferenccedila de 6 5 entre ambos (4gt = 6 0 5 1 0 b

2 ~ 6 2 BTUhr ft pela equaccedilatildeo (a) e 6 4 5 10 3TUhrraquoft pela equaccedilatildeo

(b)

Ilatilde ainda a equaccedilatildeo de Ivey e Morris aplicaacutevel somente pa_

ra ebuliccedilatildeo com grande quantidade de liacutequido

( c sub t

Cpf bull A tsub

( bull ) s ~ V P bdquo 10 h V sat V g

onde

(ltL ) = fluxo critico com sub-resfriamento c sub

(ograve ) ^ - fluxo critico sem sub-resfriamento c sat

42

c ^ = calor especiacutefico do liacutequido

= calor latente de vaporizaccedilatildeo

124 - Burnout com convecccedilao forccedilada e ebuliccedilatildeo por bocirc-

Ihas

Gambill fez uma extensatildeo da equaccedilatildeo de Levy e aplicou o

metqdo da superposiccedilatildeo Tal extensatildeo consiste natilde subtraccedilatildeo de uma

razatildeo equivalente de massa transferida dos termos que represenshy

tam a ebuliccedilatildeo e convecccedilao para levar em conta a presenccedila do vashy

por no fluxo

A correlaccedilatildeo pode ser escrita assim

24 V P V

o g c a (p^Py) 14

+ 0696 (k p c ) 12

(

pr p v )i4 o g c a (P-L-Py) 18

bull At + h sub nb

044 p v L v G (g1) bull N2 n

p l P V

( pr p v ) d e 2-7

2 4 TT 0

14 ( f e _ ^ r l 3

lO^u

onde

k = condutividade teacutermica

c = calor especiacutefico

A t s u b ~ s ub-resfriamento do liacutequido

h = coeficiente de transferecircncia de calor de nao ebu nb mdash

liccedilatildeo

G = descarga total do refrigerante

43

d g = diacircmetro equivalente do tubo ou canalraquo

]i = viscosidade

B = constante adimensional

Os iacutendices V e 1 representam vapor e liacutequido respectiva

mente

0 primeiro termo entre chaves da equaccedilatildeo representa o flu

xo de calor no burnout de sub-resfriamento em convecccedilao forccedilada 0

segundo termo entre chaves corresponde ao fluxo de calor transferi^

do para a massa da fase vapor

1-25 - Burnout por Bloqueio da Base

Ocorre quando a profundidade do recipiente eacute muito maior

que a largura 0 bloqueio da base eacute causado pela formaccedilatildeo de uma pe_

licula de vapor na base impedindo que o liacutequido toque o fundo do

recipiente

i De

Este eacute o burnout por flooding isto eacute burnout por expul

sao do liacutequido Uma equaccedilatildeo que nos dacirc o fluxo minimo do burnout

parao caso eacute

44

onde

D g = diacircmetro equivalente

L = comprimento do tubo

= calor de vaporizaccedilatildeo

p^Py Ap = densidade do liacutequido do vapor e diferenccedila en

tre ambos

Para um fluxo de calor maior ou igual ao dado pela expres_

sao acima (mantida a mesma geometria) teremos burnout Para um deshy

terminado fluxo existiratildeo sempre um comprimento L e um diacircmetro equi

valente D e para os quais temos burnout Exemplo

L (in) D e(in)

10 11

100 51

1000 235

2 RESULTADOS ESPECIacuteFICOS - FOacuteRMULAS PARA CAacuteLCULOS ESPECIacuteFICOS

21 - Diferenccedila de temperatura At i

13 a t

sat

At sat

poundatildeJL_ raquo t - t J p T T 6 w sat

onde

o laquo tensatildeo superficial entre liquido e vapor

t - temperatura de saturaccedilatildeo do liacutequido para a corres-Scl t

pondente pressatildeo

J equivalente mecacircnico do calor

X laquobull calor latente de vaporizaccedilatildeo

py = densidade do vapor

6 = espessura da camada de liacutequido superaquecido onde

45

k l

h nc

onde

k^ = condutividade teacutermica do liacutequido

h = coeficiente de peliacutecula nc r

Segundo Eckent h ^ c e dado por

P 2 Q

nc 3 V VP + 0952

r

onde

D = diacircmetro equivalente

G r = numero de Grashoff

P = nuacutemero de Pradtl

2 o 2 - Velocidade das bolhas

A velocidade das bolhas em meacutedia pode ser dada pela exshy

pressatildeo

V bdquo = Iacute ( a bull B Apl4 bolhas 5 ^ 2

p l onde

AP = P L - P v

Expressatildeo que vale quando a aceleraccedilatildeo eacute a da gravidade

baixa viscosidade do liacutequido e bolhas separadas

Vbolha = f t s e atilde m a x para aacutegua

2 bdquo3 - Diacircmetro das bolhas

2gc deg 12 D = 0015 3 ( mdash mdash 7 ~ ) d g Ap

5 =

46

onde

8 = acircngulo de contato (20 a 90deg) geralmente assume-O -1

-se igual a 50 para a agua em contato com metal

24 - Coeficiente de peliacutecula na ebuliccedilatildeo nucleada

a) Equaccedilatildeo de Rohsenow

Esta equaccedilatildeo nos datilde o fluxo de calor q na ebuliccedilatildeo nushy

cleadaraquo E oacutetima expressatildeo para muitos liacutequidos o efeito da presshy

satildeo eacute levado em conta na variaccedilatildeo das propriedadesraquo

Pf

fg

sat 17 = c

sg k y f h f g g( P f-p g)

n033

onae

Pf

fg

Pf Pg c sg

= fluxo de calor requerido (BTUhr0ft^)

= calor especiacutefico do liacutequido saturado (BTUlbm0F)

= calor latente de vaporizaccedilatildeo (BTULbm)

= nuacutemero de Prandtl

= viscosidade do liacutequido (lbrahrraquoft) ~ 8 2

= fator de conversatildeo 417 10 Ibmftlbflaquohr 2

= aceleraccedilatildeo da gravidade (fthr )

= tensatildeo superficial na interface liacutequida vapor

(lbfft) 3

densidade do liquido e vapor (lbmft )

constante adimensiacuteonal que depende de vaacuterios fashy

tores dentre os quais o grau de aquecimento en_

tre o fluido e a superfiacutecie de aquecimento e o

mais importanteraquo Independe da pressatildeo do sistema b) Equaccedilatildeo de Levy

Equaccedilatildeo valida para a aacutegua quando 100 lt p lt 2000 psiacutea

47

43 bdquo3

qu bdquo gat ^ T J h r t f t ^

495

25 - Calculo do fluxo de calor no Ponto de Leidenfrost

0 ponto de Leidenfrost como vimos eacute o ponto em que oflu

xo de calor comeccedila ncamente a crescer isto eacute o ponto onde termal

aa a ebuliccedilatildeo instaacutevel e comeccedila a ebuliccedilatildeo por peliacutecula estaacutevel Eacute

o chanado fluxo miacutenimo (egrave ) m m

Aproximadamente quando A t g u k = 0 temos

A _ mdash _ mdash (Gambill) m m 5

Ha entretanto varias expressotildees para determinar esse flu

xo eis uma delas

A p 14 ltjgt = 009 h pbdquo (o raquo g mdash ) y m m fg P V deg 2

p l

26 - caacutelculo do fluxo de calor na regiatildeo de ebuliccedilatildeo por peliacute

cuia estaacutevel

para cilindros jmdashi i li

_ D 0172 k-V - P V A p h l V bull S 14 li - = 062 (mdashmdash) (- j- r rmdash) convecccedilao A 0 ybdquo (t -t )

c V w sat

onde

= condutividade do vapor

- 2 TT ( mdash )

c gAp Vl = significam vapor e liacutequido respectivamente

para paredes verticais

L 0172 S deg7 A p bull hlV S q 4 h - - 080 (-^-)J- (-Iuml - Iacutemdash-convecccedilao X L u (t - t J)

c V w sat

48

Como nesta regiatildeo jaacute haacute nina influecircncia marcante da radia

ccedilao devemos levar en conta tambeacutem o coeficiente de peliacutecula de

vido a radiaccedilatildeo para determinar o coeficiente de peliacutecula total

Dos estudos atildea radiaccedilatildeo temos

h = a F pound(T 4 - T 4 J ( T ~ T ) rad w sat w sat

onde amp _ emissividade de superfiacutecie

a = constante de Stefan-Boltzman

F = fator de forma

Segundo WE Gambill o coeficiente de transmissatildeo total

ceve ser

3 iacutei = h + -7 h para h lt h t conv 4 rad r rad conv

Na expressatildeo acima existe o fator 34 porque a radiaccedilatildeo

faz variar um pouco a espessura do filme de vapor reduzindo asshy

sim o l l

conv

Quando tivermos h gt h gt o h^ ^ seraacute rad conv total

h f c = h + h t conv rad

Neste ultimo caso nao ha nenhum coeficiente porque a peshy

liacutecula de vapor jaacute eacute estaacutevel

27 - Grandezas caracteriacutesticas para a apua

Para pressatildeo igual a 1 atm = 1422 psia

At ^ = t - t = 5degC (iniacutecio da ebuliccedilatildeo nucleada) sat w sat 1

At t = 30degC sat crit

49

5 2 $ = 4 10 BTUhrft (para pressatildeo 1 atm)

0 fluxo critico cresce como vimos com a pressatildeo ate

atingir o maacuteximo quando a pressatildeo eacute aproximadamente 13 da pressatildeo

criacutetica Esse fluxo eacute

bull = 13 IO 6 BTUhrft 2 para p = 11000 psia (p pound = 32062 psia)

Ainda temos que para pressatildeo igual a 15 psia

h b o = 11000 BTUhrft degF - ebuliccedilatildeo nucleada

h f b = 30 BTUhrft 2 degF - ebuliccedilatildeo pelicular

Todos os resultados e formulas para caacutelculos especiacuteficos

apresentados nos itens 21 22 23 ateacute 27 sacirco aplicados somente

para sistemas onde haja ebuliccedilatildeo com grande quantidade de liquido

51

D - HIDRODINAcircMICA DOS SISTEMAS E QUEDA

DE PRESSAtildeO DENTRO DE UM CANAL

1 HIDRO-DINAcircMICA E QUEDA DE PRESSAtildeO

11 - Hidro-dinacircmica dos sistemas estaacuteveis

111 - Regimes de escoamento

A evoluccedilatildeo do escoamento ao longo de um canal aquecedor

de secccedilatildeo constante ciliacutendrico pode ser esquematizada pela figushy

ra 1 onde temos em abcissa o comprimento z do canal e em ordenada

a temperatura (T)

52

Na figura 1 nos representamos

a) 0 aspecto do escoamento fluido quando a entalpia do

- fluido aumenta Verificamos que o fluido entra no cashy

nal no estado liacutequido e assim permanece ateacute atingirmos a zona de

ebuliccedilatildeo local onde aparecem as primeiras bolhas A entalpia do

fluido continua aumentando e tem inicioa ebuliccedilatildeo franccedila onde as

bolhas se unem formando agregados posteriormente o escoamento to

ma a forma da figura ou seja torna-se anular disperso Finalmente

atingimos duas uacuteltimas fases do escoamento disperso (vapor uacutemido)

e vapor seco

b) A evoluccedilatildeo da temperatura meacutedia do fluido e da tempeshy

ratura da parede Note-se que a partir da cota a

temperatura da parede aumenta brutalmente podendo causar o

burnout

c) A evoluccedilatildeo do tiacutetulo do vapor (x) com o comprimento

do tubo e a evoluccedilatildeo da fraccedilatildeo (a) que definiremos no

item 11laquo2 com o comprimento do tubo

112 - Definiccedilotildees

a) Tiacutetulo ou qualidade do vapor (x)

massa de vapor na mistura x ~ massa total da mistura

x =

W _g_

g f

b) Fraccedilatildeo vazio (void fraction)

volume do vapor na mistura a = volume total da mistura (agua+vapor)

A relaccedilatildeo entre x e a num sistema parado pode ser obtida

assumindo um certo volume contendo 1 lbm de mistura em equiliacutebrio

teacutermicoraquo

53

O volume da mistura seraacute igual a (v + xv ) ft onde v eacute 3 r rg

o volume especifico (lbmft )

f - refere-se ao liquido

g - refere-se ao vapor

fg - refere-se a diferenccedila entre liacutequido e vapor

Numa mistura em equiliacutebrio se o liacutequido e o vapor estatildeo

saturados o volume do vapor presente eacute igual acirc sua massa vezes

seu volume especiacutefico v assim e

xv bdquo bdquo a mdash

V c + XV c

f gf

onde

- bull-bull uumlutiacuteisa vapor na mistura de 1 Ibm

v volume especiacutefico do liacutequido

v = volume especiacutefico do vapor o

V c = v - V

gf 8 r

Fazendo uma transformaccedilatildeo na expressatildeo acima temos

xv xv JS = Z-

v r+ x(v -v c) xv +(l-x)v t ri f g f g f 1 + Ul-x)xjv fv

1 + C(l-x)x]]vfvg

A fraccedilatildeo vazia tem a influencia de baixar a reatividade

do nuacutecleo nos reatores em que o refrigerante eacute tambeacutem moderador

Na equaccedilatildeo acima os valores de x e v sao tomados em tabe

las termodinacircmicas apropriadas para a pressatildeo do sistema A equashy

ccedilatildeo (1) mostra os grandes valores de a para pequenos valores de x

especialmente para baixas pressotildees Isto ocorre porqueaumentando

54

aacute pressatildeo o v decresce muito enquanto que o v f eacute mais ou menos da

mesma ordem de grandeza

Exemplo Calcular o a correspondente para x raquo 2 para aacutegua

leve atilde pressatildeo atmosfeacuterica

Da tabela para p laquobull 1 atm

v - 001672 ft 3lbm e v - 26800 ft 3lbm

1 + [(1-002)002] 001672268

0971 ou 97U

O grafico abaixo mostra a variaccedilatildeo do a com x para vaacuterias

pressotildees e para a aacutegua leve

x ()

tObservaccedilotildees da curva

Fig 2

1 - para x constante a decresce com a pressatildeo Para presshy

sotildees proacuteximas da criacutetica a aproxima-se rapidamente de

x Para a pressatildeo criacutetica as duas fases satildeo indistinguiacuteveis ea=x

2 - para cada pressatildeo dotdx decresce com aumento de x

3 - para baixos valores de x (que e o caso dos reatores

tipo Boiling) quando p decresce dadx cresce e torr

na-se muito grande paacutera baixas pressotildees Isto tem relaccedilatildeo com a epound

55

tabilidade do reator como veremos mais tarde

113 - Sistemas com fluxo

Todas as definiccedilotildees que noacutes vimos no item anterior refeshy

rem-se acirc sistemas em que a mistura esta fechada no recipiente Nes^

te caso natildeo havia movimento relativo entre as duas fases No entan

to se as duas fases da mistura se movem na direccedilatildeo vertical em

canais entre os elementos combustiacuteveis o vapor por causa de sua

flutuaccedilatildeo tem a tendecircncia de escorregar sobre o liacutequido isto e

move-se com velocidade maior do que a do liacutequido

Real Modelo

Pig 3

S -

Define-se neste caso a relaccedilatildeo de escorregamento (slip

ratio) (S) como sendo

V _i

V f

onde

V = velocidade do vapor

= velocidade do liquido

S modifica as relaccedilotildees entre a e x do item anterior S geralmen_

te gt 1 Define-se neste caso qualidade do vapor ou tiacutetulo como

sendo

_ fluxo de massa de vapor

fluxo de massa da mistura

Entatildeo se o fluxo de massa da mistura eacute m t(lbmhr) o flushy

xo de vapor seraacute = x m e o fluxo de liacutequido sera (1-x) m onde x

56

e o titulo do vapor para a particular secccedilatildeo (AL) da figura (3)

Devemos notar que neste caso x varia de secccedilatildeo para secshy

ccedilatildeo do tubo o exposto no paraacutegrafo acima vale considerando-se que

x e a permaneceram constantes na secccedilatildeo de espessura AL

Aplicando a equaccedilatildeo da continuidade as velocidades do va

por e liacutequido sao dadas por

o xm v

V vazatildeo = g g area A

V

(1-x) amp t v f

f A f

onde A e A f sao as aacutereas medias perpendiculares ao fluxo se as

duas fases sao imaginadas completamente separadas uma da outra

(figura 3) Assim temos

V x m v o A_ A v 0 ^ - 2 = iacute S t m _2L- JL JS m

V A (l-x)ui v 1-x A v U

f g t f g f

Sabemos ainda que para a secccedilatildeo considerada

volume do vapor na mistura a = volume total da mistura (agua+vapor)

A AL A pound g g

a = mdash a a = - mdash 1

(A+A )AL A f + g

A ou f _ 1 - a

A a 8

Substituindo em (2) vem

57

Esta expressatildeo pode ser rearranjada e obteremos uma relashy

ccedilatildeo entre x e a levando em conta o escorregamento Chega-se a

a = 1 ( 3 )

1+ [U-x)x3 igt

onde

v 4 laquo -- S

v lty o

Note-se que quando S=l (nao haacute escorregamento) caimos na

expressatildeo dada no item anterior

0 efeito do escorregamento eacute decrescer o valor de a pa_

ra um mesmo xbdquo Isto pode ser visto pela foacutermula (3) pois S gt lLo

go a decresce com acreacutescimo de S

Um alto S e entatildeo uma vantagem tanto para a transferecircnshy

cia de calor como para efeitos de moderaccedilatildeo Eacute uma vantagem para

transferecircncia de calor porque alto S significa alto V e portanto

maior turbulecircncia e maior contato do liquido com as paredes quenshy

tes Ha tambeacutem melhorias na estabilidade da reaccedilatildeo nuclear isto

porque como jaacute dissemos quando mdash7 diminui a estabilidade aumenshy

ta isso pode ser verificado observando a curva a versus x para a

agua leve a 1000 psiabdquo

Fig 4

58

A relaccedilatildeo entre x e a da equaccedilatildeo (3) so vale para secccedilatildeo

de tubo bem pequena

Devemos notar que S varia tambeacutem com a pressatildeo e velocida^

de de entrada do liacutequido no tubo Este efeito pode ser observado na

figura 5 abaxxo obtida esperimentalmente

s

3

~^ ~ psig

x = 001

V 1

Fig 5

Nos projetos de reatores como veremos adiante o valor a

geralmente eacute determinado por consideraccedilotildees nucleares (moderaccedilatildeo) 0

valor de S eacute determinado atraveacutes de uma estimativa ou entatildeo atrashy

veacutes de um graacutefico do tipo da figura 5 0 correspondente valor de x

pode ser obtido de uma foacutermula empiacuterica do tipo

1 = 1 (-S)0gt67

proposta por Von Glahn

Em muitos casos assume-se S constante em todo o comprimeiv

to do canal poreacutem eacute um erro que em muitos casos nao pode ser coshy

metido

4 REATORES EM QUE 0 LIacuteQUIDO B MODERADOR E CIRCUITO PRIMAacuteRIO AO

MESMO TEMPO BOILING-REACTOR (BWR)

A aacutegua ao se movimentar atraveacutes dos vaacuterios canais do

59

Boiling-reactor encontra vaacuterias resistecircncias ao fluxo que provoshy

cam uma reduccedilatildeo de pressatildeo no fluido

As duas perdas mais importantes sao perda de pressatildeo por

atrito e perda de pressatildeo causada pela aceleraccedilatildeo do refrigerante

ao aumentar de volume por receber calor num canal Outras perdas

de pressatildeo seriam a obstruccedilatildeo ao fluxo por corpos submersos (espa_

ccediladores juntas de tubos chaves etc) e por mudanccedilas abruptas de

aacuterea de fluxo tanto na entrada como na saiacuteda do tubo

Essas perdas de pressatildeo devem ser conhecidas o melhor popound

sivel principalmente nos reatores BWR Para tanto devemos saber

o comprimento de canal em que nao ha a ebuliccedilatildeo isto eacute qual o com

primento de canal em que o refrigerante vai da temperatura de sub-

resfriamento ate temperatura de saturaccedilatildeo

Seja o elemento combustiacutevel

Aquecimento Uniforme Aquecimento Senoidal

Fig 6 Fig 7

onde

H =

H = o

H b

comprimento do elemento combustiacutevel

cota onde o liquido se torna saturado

comprimento do elemento combustiacutevel em que ocorre

ebuliccedilatildeo

60

qg = calor sensiacutevel acrescentado ao liquido para satushy

raacute-lo

qfc = calor total acrescentado ao liacutequido em todo o com

primento do canal

laquoo

q s J o qiquest sen (IIzH) n H o

T~ = TH = 2 ( 1 c o s gt ( a )

q 1 sen (HzH) Jo ^c

A expressatildeo (a) vale quando tivermos uma adiccedilatildeo de calor

senoidal para qualquer outra forma de adiccedilatildeo de calor faz-se um

caacutelculo anaacutelogo

Outra relaccedilatildeo entre q g e qfc eacute dada pela termodinacircmica

q h- - h s f m (b)

(hr +x h )-hm ^t f e fg

onde

= entalpia para o liquido saturado a pressatildeo correjs

pondente (cota z = Ho)

hffi = entalpia do liacutequido na entrada do canal

x = tiacutetulo do vapor na saiacuteda

= entalpia do vapor

Com a relaccedilatildeo (b) noacutes determinamos a relaccedilatildeo q q ecom

S L

uma relaccedilatildeo do tipo (a) (conforme seja o adicionamento de calor ao

liacutequido) podemos obter a relaccedilatildeo HoH e consequentemente H^H

21 - Perda de pressatildeo num canal de evaporaccedilatildeo

Neste item iremos determinar as perdas de pressatildeo mais

representativas que ocorrem num canal de evaporaccedilatildeo de um reator

P + dP

bull1 i- 1 gti i i

dL

onde

UM

Icirc H Icirc Icirc T dF f t f

61

Quantidade de Mov na Entrada

= i- rigVg)

dF f l

Fig 8

m i

m 8

V l V 8

A P

dF

dF

dF

fg

fl

ftf

descarga do liacutequido

descarga do vapor

velocidade do liquido

velocidade do vapor

aacuterea transversal do canal

forccedila de atrito do vapor com parede

forccedila de atrito do liacutequido com parede

forccedila de atrito das duas fases liacutequido+vapor

Fazendo o balanccedilo das forccedilas considerando o sentido posjL

tivo na vertical temos

A (P-P-dP)-(dF +dF _+dF _)-(-pound-) (p A+p A )dL = mdash dGnV+m V ) P fg ftf fl g c 1 1 g g g c

v 1 1 g g 7

- dP = ~ (dF +dF--+dF)+- S--7=- (p A+p A )dL+ mdash ~ - d (m-V+m V ) A_ fg ftf fl g c Ap v^l 1 g g g A 11 g g

Fazendo a integraccedilatildeo termo a termo entre os dois extreshy

mos entrada e saiacuteda e considerando a pressatildeo de entrada igual a

P q e a de saiacuteda igual a Pe vem

Quantidade de Mov na Saiacuteda

-= h I- lY l+ A g V g + d ( aacute l V l + aacuteeVl

Forccedila de Gravidade

= ( g f - N P A + P g V

62

b) r e F f l

o p dp^ = Ap^ = perda de pressatildeo por atrito

do liacutequido na altura Ho

Aplicando a formula de Darcy vem

bull API = f bull ir bull ^ iexcl 7

onde

f = fator de atrito

c) e Fftf

o p ^P tpound

= perda de pressao por atrito da mistura

liquido + vapor no trecho de comprimen

to Hbdquo o

Para determinar esta perda de pressao define-se o fator

de multiplicaccedilatildeo R

A P R =

tf A P 1B

Sendo A p ^ a perda de pressao se o comprimento todo fosshy

se ocupado somente pelo liquido assim

A p t f = R A P 1 B

0 calculo de Ap-^ pode ser feito pela formula de Darcy e

o de R nos veremos no item seguinte

63

d)

-e F

d ( ^ )

O P

Ap = perda de pressatildeo por atrito do vapor

No caso do reator BWR o titulo de saida e bera pequeno e

em nenhum caso ocorre a saida de vapor com x = 100 logo a perda

de pressatildeo por atrito do vapor eacute nula assim

An = 0 5

e) Ap

(p A 1 + p A ) dL = Ap - perda de pressatildeo dpound

vida ao desniacutevel

(perda hidrostaacutetica)

Anbdquo = re A A

-S- I (p + p -S ) dL H s 1 A

c o p o A

como A A Jl_ =

A P

A +A-g 1

1-a -

temos

C Q

te j jll-a)p1 + apg)^jdL = p Lo pound

onde

e jo u

+ ap ) ~I dL (Densidade media 1 S J

no tubo)

No nosso caso

Ap u = p H

f)

re d(mV + m V ) _ mdash - laquo -i bull s iquestp laquos p e r d a ltje pressatildeo devido a acele-

c p raccedilatildeo do vapor

V A

(1-x) tl^Vj

(1-a) A

X V

aA

A p -

roV + m V

c p c p L_

m (l-x)m_v m xv nbdquo -1 T 1

+ _S S I (1-a) Ap aA

P

2 g A c p

n 2 2

(1-x) m T

laquo2 8 A c p

2 2 (l-xe) raTv1

2 2 2 xm_v (1-x) m-v e T s o 1 1

a 1 - a

2 2 - x m_v o T g

a

se

X Q 0 (so ha agua nesse trecho)

a = 0 o

temos

mbdquo Ap =

1 a A 2

S A degc p laquo-

tt-V v i 1 - a

2 via T^r - v i

t Apc

2

V v l

5c Ap

1 - a

x v - 1

a e v l

65

Fazendo

G = fluxo total da massa por unidade de area do

canal

(1-x J e

V

AP r

Assim a perda de pressatildeo total sera

H p V II pV r2 P -P = f -24-Iuml+ f R+p 0 1 2g c D e 2g c g c g c

2c2 - Determinaccedilatildeo do fator de multiplicaccedilatildeo (R)

221 - Relaccedilatildeo Martinelli-Nelson

Os autores Martinelli-Nelson determinaram experimental -

te esse fator R para varias LIT1L em funccedilatildeo da pressatildeo e da r NB total J v

qualidade de saiacuteda do vapor no canal Construiacuteram assim vaacuterias

curvas do tipo da figura 9

66

E importante notar que a qualidade do vapor (x) na saiacuteshy

da nao deve ser grande pois como vemos o valor de R cresce muishy

to com um aumento pequeno de x e um valor de R muito grande acar_

reta uma perda de pressatildeo grande pois

^ d u a s fases R ^ f a s e liacutequida

Para resolvermos um problema seguindo o criteacuterio de bdquo

Martinelli escolhemos a curva R = f(px) (para a relaccedilatildeo L

N g ^ j

adequado) e tiramos R com os valores de pressatildeo p e tiacutetulo x

As curvas R = f (p x L T t )IO encontram-se nos ANL 6469 bio I

e 6561

222 - Relaccedilatildeo Lottes-Flinn

Estes autores estudaram o problema para o aquecimento uni

forme do refrigerante com baixo titule Lottes-Flinn fizeram inuacuteshy

meras experiecircncias e verificaram que para fluxo de calor uniforshy

me e baixos titulos R era independente do fluxo de calor fluxo

do refrigerante escorregamento e apenas funccedilatildeo de a g

Como a quantidade de liacutequido eacute muito maior que a de vashy

por a perda de pressatildeo daacute-se principalmente pelo atrito do liacuteshy

quido com a parede Podemos assim escrever a foacutermula de Darcy

na forma diferencial

dz

d = f __ r e amp c

onde

V = velocidade do liquido saturado na cota zbdquo X

f = coeficiente atrito

= densidade do liacutequido saturado

Teoricamente a queda de pressatildeo deve-se ao acreacutescimo de

67

velocidade do liacutequido e da diminuiccedilatildeo da aacuterea de fluxo do liacutequi

do

P fH A P t p

= f D 2g Ho

d z

fazendo

V lo

m V t lo

(velocidade do liacutequido na cota z = Ho)

(1-x) m t v 1

(1-a) A (velocidade do liacutequido na cota z gt Ho)

a bull+ fraccedilatildeo vazio na cota z geneacuterica

V 1 (1-x) m t v 1

m t V l 1 - a

x =s 0 pois o tiacutetulo eacute baixo

A p t f = f bull JT5 c e

fH V lo

H o (1-a) dz

Para fazer a integral devemos achar a relaccedilatildeo de variaccedilatildeo

entre a e z Como o fluxo de calor eacute uniforme a qualidade eacute direshy

tamente proporcional a z

bull laquo x = x e H

z = mdash x X e

Sabemos ainda que (item 113)

x

1 + [ ( I -X)AKQ x + iiacuteraquo

68

como

temos

(1-x) = 1

v

X =

z =

1-a

1 -a

1-a e

a

e

1-a pound

a

1 -a igt (assumindo S = cte)

da

Atf - f bull 2 i ^ ~ J c e o

a 1 - a e e 1 s 4 hmdash) da

a 1-a

f P lv^ Q

0 termo mdash - mdash e a parte de perda de pressatildeo pelo lj^

^c e -quido ou seja Ap liquido saturado e como

Ap

R = tf

Ap liauido saturado

temos que

R J

f ae 1 _ a e 1 4

a 1 -a o e

1 -a r-R =

3 1 -a

a 1 -a imdash

3 vl - a 3

e e

Os valores de R obtidos por esta expressatildeo aproximam-se

muito dos valores obtidos pelos aacutebacos de Martinelli

69

E - EXPANSAtildeO E COMPRESSAtildeO DE UM FLUIDO - ANAacuteLISE HIDRODINAcircMICA

DE UM CIRCUITO EM CIRCULACcedilAtildeO NATURAL

1 EXPANSAtildeO NO FLUXO DE UM FLUIDO

11 - Uma so fase

Figura 1

Ha vaacuterios meacutetodos para determinar a variaccedilatildeo de pressatildeo

numa expansatildeo de fluido estudaremos o de Romie que eacute o que daacute

maior precisatildeo

Romie considera que a pressatildeo p^ tambeacutem atua na aacuterea

imediatamente apos a expansatildeo Assim fazendo o equiliacutebrio das foi

ccedilas nas secccedilotildees tracejadas da figura 1 temos

mVj

p r A 2 + mdash

mV

bull 2- A2

mas

m = pV^A^

pV^A = p V 2 bdquo A 2

V A

v 2 -4r-logo

( P l-P 2) A 2 = f ( V ^ ) - f _ v j amp c c 2

70

2 pV A A pV A A

Chamando A l A ]

K = 1 - T e degi2 = Aiexcl bull V E M

pvj

P l P 2 = T ~ bull ( 2 deg 1 2 ) ( 1 _ a 1 2 )

Outra maneira de chegar atilde diferenccedila de pressatildeo ( P j - ^ ) s mdash

ria usar o coeficiente de perda da mecacircnica dos fluidos Assim o

equilibrio das pressotildees eacute

2 2

1 V l 1 V 2 V l P i + _ p _ ^ P 2 + I p ~ + k 1 2 p mdash

onde = coeficiente de perda

A 2 1 2

k 1 2 - (l-o 1 2) - (1 - j- )

Fazendo as transformaccedilotildees chegamos a mesma expressatildeo obshy

tida pelo balanccedilo das forccedilas

PraquoIacute pr p

2 - - ir ^ laquo-ia

12 - Duas fases

Como ha duas fases a equaccedilatildeo do balanccedilo das forccedilas fica

um pouco alterada

m pound 1 V- m - raquoV - m-V- m bdquoV _ P A + j y ^ i + _gl_JUuml P A + -11-11 + -ilsl (a)

1 2 e R 2 2 ff e

Sabendo que

71

m (1-x) m t = p fA (1-a) V f

entatildeo

fl l-o^ p fA x

6 Vf2 1-x l-a2 P fA 2

m V = mdash mdash e V 0 = gl a 1 P C T A 1 g2

m

a_ p h

2 g 2

Nas expressotildees anteriores o x nao varia porque a expansatildeo

5 adiabaacutetica porem o a varia devido a modificaccedilatildeo do tamanho da

bolha

Substituindo os valores das velocidades na expressatildeo (a)

vera

( P - P ) Abdquo =

2

2 2 m gt2 2 m t (1-x) 1 x t

ra i 2 m i 1 x t 1

p fA 1 g c ttl p Ax gpound

m t P - P = mdash

(1-x) (l-a 1)A 1A 2 (l-a2)A|

a r A r A 2

V A 2

m t P bdquo - P = mdash 2 1 g c A r A 2 p f

(1-x) 1-a f A 2(l-a 2)

bull ^ 2

72

Se

P -P

a

m

g

12

1 _1_ (1-x)

J12

1 _ a l 1 - a 2 + X (- )

Pg

1 deg12 a 2 ^

Sabemos que

mt = V o pf laquo A l

Sendo V q = velocidade do liquido num ponto onde natildeo haja vapor

P 2-P 1

u 2 2 A 2

V pr Ai

V W p f

(1-x) 12

l-a1 l-a2

+ X 2 pf

mdash

l deg12

-1 a 2 _

p -p r 2 Al (2a 1 2)

2 M f w 1 deg12 X (mdash) (

pg al a 2 )+(l-x)C l 1 12

1-a^ l-a2

Devemos notar que esta expressatildeo tambeacutem vale para quando

temos uma fase para isso basta fazer

= c t 2 = 0

X = 0

e recairemos na formula do item anterior

2 pf 1 deg12 Observemos que neste caso o termo x (mdash)( ) nao

Pg al a2

2

73

tem significado pois corresponde a mudanccedila de fase

2 CONTRACcedilAtildeO KO FLUXO DE UM FLUIDO

21 - Uma so fase raquo mdash

Aqui ocorre um fenocircmeno importante pois o fluido ao ser

contraiacutedo nao vai diretamente da area A^ para a area A 0 mas ele

contral-se ate uma area A^ e depois expande-se ate k^

Ao A2

Po IP 2

V 2

Figura 2

Fazendo o equiliacutebrio das pressotildees entre os planos (1)

(0) vem 2 2

pV pV p +~ plusmn - P + i deg bull 1 2 g o 2 g (b)

C x

Fazendo equiliacutebrio da expansatildeo (0) - (2) vem

P o + 2 - f = P 2 + 2 -T + kp- 2 F ( c )

c c b C

Subtraindo (b) - (c)

2 2 2

i p- vj i p- v2 L P l + 2 bull g c

P 2 + 2 2g c

+ k P 2g c

74

Como

P - P = mdash 2 2g

2 2

bull (1 + k) - f bdquo mdash i

k a - f2 ) 2 - d - o c )2

= o

A = a 21

Weisback obteve varias relaccedilotildees entre a e a i] c

01 02 03 a 0624 0632 0643 c

0624 0632

A r v i - V v 2

p -p 1 2

P -P 1 2 2g7

v l =

(1+k) - laquofi- a 2g 21 c

( 1 + k - o 2 1)

X[- V 2 o 2 1V 2

22 - Duas fases

0 valor de k pode ser aproximado para

k = a(l - o 2 1)

onde segundo Richardsons para fluxo de duas fases podemos supor

a = 02

Para fluxo homogeacuteneo sabemos que

75

p = p f (1 -a ) + p o a

podemos supor p bdquo a = 0 pois p e pequeno e fazendo

V = V ~ V fbdquo2 go2 v 2

Substituindo estas duas expressotildees na equaccedilatildeo de uma soacute fase vem

2 2 p V (l-ct) p V (1 -a ) bdquo

P l P 2 = 9g ( 1 + 3 - 3 0 ^ - 0 ^ ) = g (a+1) (l-a^)

Se a = 02

2 12p oV 0

p r p

2 - 9g gt d-) d-sigt

A compressatildeo de um fluido acarreta uma perda de pressatildeo

como pode ser verificado pelas formulas uma vez que lt 1deg

3 ANALISE HIDRODINAcircMICA DE UM CIRCUITO EM CIRCULACcedilAtildeO NATURAL

Esquema deacute uma caldeira com circulaccedilatildeo natural

76

Determinar a velocidade em (7) para que tenhamos circula

ccedilatildeo natural Determinar tambeacutem as perdas de pressatildeo em todos os

trechos da caldeira

31 - Contraccedilatildeo das secccedilotildees (1) - (2)

Como jaacute vimos a equaccedilatildeo do balanccedilo das pressotildees eacute

1 pr Vl 1 p 2 o V 2 P2 V2

1 2 g 2 + 2 g + K12 2g otilde c amp c e c

bullraquo 2 o2 2 e havendo uma soacute fase k 1 9 = (l-o ) = (1 mdash ) e sendo

C 2

p l = p2

v x lt lt lt v 2

P 2 V pr p2 bull ir2 bull ( 1 + k12gt

Colocando em termos de temos

A 2 V 2 P 2 = A 7 V 7 p 7 (continuidade)

V = V mdashbull = V o_bdquo ~ A 2 2 2

P 2 V - p 2

p r p 2 = ir2 - deg72 bull Ccedilrgt bull lt 1 + ki2gt

fazendo

N12 - lt^gt deg72 ( 1 + k12gt

P7 V7

Pr P2 - N12 bull HG

77

3 2 - Perda de carga no trecho ( 2 ) - ( 3 )

Como haacute apenas uma fase soacute temos perdas por atritos e

perdas hidrostaacuteticas

Sendo como jaacute vimos

2 3 p 2 2 g P 2 P 3 = f 2 3 (r~2g^~) L 2 3 g c p

atrito hidrostaacutetica

Substituindo V^ pela relaccedilatildeo do item anterior e tendo em

conta que p = vem

P -P = f 2 r 3 2 3 D

2 3 p 2 bdquo 2 2 p 7 2

2 g 7 72 p 2 3 g

Se

L 2 3 2 p 7

2 3 2 3 D 2 a 7 2 p 2

P 7 V 7 g P 2 - P 3 = N 2 3 ( mdash gt p 2 L 2 3 f

3 3 - Expansatildeo nas secccedilotildees ( 3 ) - ( 4 )

Como vimos o balanccedilo das pressotildees e

2 2 2 p V p 4 V p V

P 3 + 2 g c

P 4 + 2 g c

+ k 3 4 2 g c

onde

k 3 4 - - -

2 2 1 P 4 - V 4 P 3 v 3

P 3 P 4 = 2 g + ( k 3 4 _ 1 ) 2 g

78

Sendo

P 3 - P 4

p 3 o A 3 deg V 3 = P 7

a A 7 o V 7

P 4A 4 0V 4 = P r A r V

3 7 A 3 p 3

A7 P7 V = v mdash mdash 4 7 P 4

P - P 3 r4

Se

P bdquo - P

bdquo2 r-P 7 V 7

3 4 2g deg74 + ( k 3 4 1 ) deg73

34 p deg74 + ( k 3 4 1 ) 73

p r v2

P3- P4 ^ N34 ^ gt

(No caso e negativo)

34 - Contraccedilatildeo nas secccedilotildees (5) - (6)

Ainda temos uma so fase e fazendo o balanccedilo das pressotildees

como fizemos no item 3lt1 vem

P + vil p + vi + k vi P 5 + 2gbdquo P6 + 2gbdquo + k56 2gbdquo

k 5 6 lt 1 ^ gt 2 ( 1 - Iacute 2 i 2 6

V V6 P5degIacute 5^6 ^SS 2g c - 2g c

P - P ^ = (1+kJ

Como

79

A 6

W p 5 =

VV P6 V 5 = V 6 Jiexcl = Vff65

P 5-P 6 - lt H k 5 6 ) mdash ^ mdash (l+k 5 6-a 6 5) c c c

Sendo

Se

A 7 p 7 p 7

6 7 Ag p 6 7 76 p 6

p _p _ P6- V7- g76 iquest72 ( _ 02 P 5 P 6 2g c bull ( p 6

( 1 + k 5 6 deg65 )

p 7 2 2 N56 = p ^ deg76 ( 1 + k 5 6 ~ a 6 5 )

P 7 V 2

7

P r-P = N r 5 6 56 2g c i

35 - Perdas de pressatildeo nas zonas (6) - (7) - Pre^aquecimento

Nesta regiatildeo temos perdas por atrito e hidrostaacuteticas

Nao haacute perda por aceleraccedilatildeo pois ainda natildeo houve formaccedilatildeo de boshy

lhas

Fazendo balanccedilo das pressotildees temos

L_ ppound-V p = p + otilde L - pound _ + f -Si (-21mdashL 6 7 + p67 L67 g + t 6 7 D K 2g

p _ e ifn sao tomados como valores meacutedios 67 67

P _p _ f hl ^67jIacute uuml + - L A

6 F 7 r67 D 2g P P67 L67 g 6 s c 7 c

S e Kr pound67 L67 p67 6 7 D 6 p7

p7 V - _g_ P6- P7 - N67 mdash + P67 L67 f

c c

80

36 - Perda de pressatildeo nas zonas (7) - (8) - Zona de ebuliccedilatildeo

Nesta regiatildeo j aacute temos o aparecimento de bolhas logo a

perda de pressatildeo seraacute devida agraves t recircs parcelas aceleraccedilatildeo a t r i t o

das duas fases liacutequidas + vapor e h idros taacute t ica

onde

Assim

P-P Q = AP + AP + APbdquo 7 8 a t r i t o acel H

T M1

78 p 7 7 AP - R f- - mdash mdashr |R = fator mult ipl ica-

a t r i t o 7 D 7 2 g c L tivo

G 2

AP bull r mdash acel g c

P V

|_1 - o a p J 8 P f

2 t r 2 M2

7 7 r 7 7 A P a c e l = -J^mdash 2 r bull p 7 lt T iexcl iexcl - )

A PH p 7 8 L 7 8 fiexcl

p 7 8 iacute 7 li 1 0 0 P l i q + a P v ] d L = P 7 ( 1 - laquo 7 8 )

ag raquo fraccedilatildeo de vazio media entre 7 e 8

APH = p (1 - 5 7 g ) f- L 7 8

2 2

P 7 - P 8 a 5 - 2 T i + 2 r p 7 + P 7 ( 1 - 7 8 gt f L 7 8 7 amp c amp c amp c

81

N 7g = R mdash + 2 r p 7

P7 V7 P7- P8 = N78 + P 7 ( 1 5 7 8 gt J78

37 - Expansatildeo nas secccedilotildees 8 e 9

No caso haacute uma expansatildeo com duas fases e como vimos no

item 12 a variaccedilatildeo de pressatildeo era dada por

0f Vo P2 P1 = ~2g c ( 2 deg12

x 2 (mdash)(mdash - mdash ) + ( l - x ) 2 ^ T mdash 8 1 2 1

12

Aplicando ao nosso caso

P pound = P 7

P -P = 8 9

V - V raquo V g f 7

P 7 V 2

2 pf 1 a89 2 1 g89 x (mdash) ( ) + (1-x) (- - N

o ou abdquo 1-cu l-ot_) g 8 9 8 9

Se

N 89

= 2 a 89

2 pf 1 deg89 2 1 CT89 x (mdash) ( ) + (1-x) ( T

g 8 9 8 9

P -P = 8 9

- N P7deg V7

89 2gbdquo

38 - Perda de pressatildeo no trecho 9 e 10

No referido trecho temos apenas perda de pressatildeo por atr L

to da fase liacutequido + vapor e perda hidrostaacutetica Natildeo haacute perda por

aceleraccedilatildeo do vapor pois este natildeo recebe mais calor e portanto

o 82 o

nao ha variaccedilatildeo no a

p

Q -p i n = A P

U + A P bull 9 10 H atrito

n T -S_ P9 U10 deg 910 bull g

fio r

910 I 910

J9 L

(l- a)P + Q P I dL liq v

(l-a0) p

No caso a = (nao hatilde variaccedilatildeo de forma)

A P H - (1-a ) P (p L 0

c

AP bdquo = R o

atrito

2 f9 o L910 P9 V9

2g

Supondo

= V

P 9 = P 8 P 7

vbdquo = v 9 8 0 A r

= V 7 bull deg89

AP - R atrito

2 2

W l O p7deg V7deg g89

V P10 R -^T^ bull deg89 bull li-2 + ( W P 7 (fgt SIO

y c c

Se

- f9 L910 2 N9ol0 R Dl deg89

w 2

p rv P9 P10 = VlO + ( 1 a 9 ) p7 (f gt L910 c

33

39 - Perda ciacutee pressatildeo na expansatildeo 9 - 1 0

Analogamente a expansatildeo 8 - 9 temos

10 11 P 7 2g

10 Iacute 2 0 1 0 - 1 1 gt

2 ff

pg aio

10-11

laquo11 ) +

Ll-a 1 0 bull l-a u J

Se

V10 = V 9 = V 8 bull T9 = V 7 deg89

P -P 10 rll = - a 2g 089 ^lO-ll

4 bull T~ bull (7 1 mdash ) + Pg degio a n

+ (l-x)2(- 1 10-11

1 - aio )

N10-ll = 2 a10-ll a89 2 pf t 1 10-11 N2

-(j-r- - ) bull+ (1-x) pg aio deg 1

10-11 k l - a io

prz P10 Pll = - N10-ll bull ( 2gbdquo

310 - Calculo de V

Fazendo a somatoacuteria de todas as expressotildees (P^-Pj) tere-

84

mos 2 PbdquoV_

P bdquo - P bdquo = N 7 v 7

1 2 12 2g

bull 2 - P 3 - = N 2 3 P 2 L 2 3 f c ccedil

9 P 7 V 7 P _p = N mdash -

3 4 34 deg 2g

V P 5 = deg

2 P V

5 6 56 2 g c

ltr2

P 7 -V 6 e7 -N67 2g + p 6 7 J j67 g

c bc v 2

P 7 - P 8 = N 7 8 - 2 i ~ + p 7 ( 1 - laquo 7 8 ) L 7 8 c

P 7 V 7

P - P - -N mdash - -8 9 89 2g

c P 7 V 7

P 9 ~ P 1 0 VlO 2g + ( 1 a 9 P 7 L 9 c

P 7 V 7

bull10 11 U10-ll 2g

P v iacute j P - P

1 11

7 - v 7 3 bull r

2 8 i U L 2 23 67

(l-5 7 8) L 7 8 + ( l - laquo 9 ) P 7 bull SlOtilde]- ^

Por ou t ro lado sabemos que como secccedilotildees 1

mesmo n iacute v e l

85

s c p r v 7 j

28 Z N i ij

= P 2 L23 p67 L67 P 7 ( 1~deg78 )

78 ~ ^g) bull P 7 bull L 910 g_

V - 2 g ( p r L 2 3 - p 6 r L 6 7 - p 7 ( l - atilde 7 8 ) L 7 8 - (l-a9) p L 9 a ( )

y N

Com esse valor de podemos determinar todas as variashy

ccedilotildees de pressatildeo (P^-P )

BIBLIOGRAFIA

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tituto de Energia Atocircmica de Sao Paulo em 1966 (roteiro)

- WR Gambill - Nuclear Safety

Vol 9 - n9 5 e 6

Vol 6 - n 2 (pag 152)

Vol 4 -r n9 1 (pag 30)

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Frank Kreith - Principles of Heat Transfer

Journeacutees Internationales de la transmission de la chaleur

Seminaacuterios realizados em Paris em 1961 sob a supervisatildeo do

Prof Marcel Veron

Notas de aula da Cadeira de Termodinacircmica I e Transmissatildeo da

Escola Politeacutecnica da Universidade de Sao Paulo

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  • 0007300
  • 0007400
  • 0007500
  • 0007600
  • 0007700
  • 0007800
  • 0007900
  • 0008000
  • 0008100
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Page 23: ALGUNS PROBLEMAS DE HIDRODINÂMICA E CONVECÇÃO DE … · alguns problemas de hidrodinÂmica e convecÇÃo de calor em reatores de potÊncia, segundo aulas do ... b - convecÇao

18

2 3 g P - h L t

N j = 0943 ( r-EcircY~ ) 1 4 (l) NuL y bdquo k o At v

As propriedades da equaccedilatildeo (1) satildeo avaliadas agrave temperatu

ra meacutedia tm

c + t _ w sat

tm ~ onde

t = temperatura da parede

t = temperatura de saturaccedilatildeo do fluido S 3Lt

exceto o calor latente da vaporizaccedilatildeo b^ que deve ser avaliado agrave

temperatura de saturaccedilatildeo correspondente atilde pressatildeobdquo

Quando a superfiacutecie focircr inclinada vale o raciociacutenio de

Nusselt apenas o termo que atua na remoccedilatildeo do condensado natildeo eacute g

mas sim (g seno) sendo 6 a inclinaccedilatildeo da superfiacutecieraquo

Assim a equaccedilatildeo para estecaso seria

2 3 g o sene o p o h o L

NT _ = 0943 ( r~ y (2) NuL y o k o At w

25 - Efeitos a considerar na condensaccedilatildeo

Ha 3 efeitos importantes a considerar na condensaccedilatildeo que

Nusselt natildeo levou em conta sao eles

- efeito da turbulecircncia no filme liacutequidoraquo

- efeito dos gases incondensaveisraquo

- efeito da velocidade do vapor

251 - Efeito da turbulecircncia no filme liacutequido

As formulas anteriores servem para comprimentos de tubos

pequenos pois nesse caso a velocidade de escoamento do condenshy

sado natildeo eacute grande entretanto para superfiacutecies verticais longas

a peliacutecula torna-se bastante espessa e com velocidade grande deshy

mais para que o escoamento possa ser considerado em regime lamishy

nar

19

Nesse caso define-se o numero de Reynolds baseado na veshy

locidade da fase liacutequida isto eacute

p V 6

Nbdquo - m r

Rer y u

onde

V = velocidade do condensado na camada limite m 6 = espessura da camada limite

T = p V m 6 = descarga do condensado por unidade de largju

ra da superficie de condensaccedilatildeo

No calculo da determinaccedilatildeo de T haacute uma certa dificuldade

pois ele soacute pode ser determinado por iteraccedilatildeoraquo

Q = m c laquo A t = h A A t P

A = 2ir R bdquo L (para tubos)

m c = h o 2IumlIuml R laquo L P

m m braquoL _ p a _ _ li li

2TTR C c P P

Como noacutes nao sabemos o valor de h_ devemos inicialmente

adotar um V e obter atraveacutes da foacutermula

NNuL = deggt0134 (R PV L 3 gt 1 3 ( N R e r ) 0 4 ( 4 )

y

o valor de _h se os valores de h_ obtidos por (3) e (4) forem iguais

o problema esta resolvido caso contraacuterio fazem-se tantas iterashy

ccedilotildees quantas forem necessaacuterias

252 - Efeito dos gases incondensaacuteveis

A presenccedila de gases incondensaacuteveis reduz violentamente o

coeficiente de peliacutecula pois acirc medida que o vapor se condensa o

gaacutes nao condensaacutevel se acumula junto atilde superfiacutecie de resfriamento

20

formando uma barreira adicional S passagem do fluxo de calor

A reduccedilatildeo do coeficiente de peliacutecula que a presenccedila des_

ses gases causa depende da fraccedilatildeo em massa dos mesmos na mistu

ra gaacutes-vapor

Fizeram-se inuacutemeras experiecircncias e sobre o assunto a tiacute

tulo de exemplo vejamos o graacutefico abaixo onde temos em abcissas

o coeficiente de peliacutecula obtido experimentalmente e em ordenadas

a fraccedilatildeo de gases dissolvida jio vapor

5000

bullg- 4000 O

3OOO

2000

S 1000

4 6 8 10 12 lt|gt(lbm arlbm de vapor )x 10

Devemos notar a grande influecircncia dos gases incondensatilde-

veis por exemplo quando o vapor eacute puro nos temos um h = 4000se

tivermos apenas 1 de ar dissolvido o coeficiente de peliacutecula fishy

caraacute reduzido agrave metade isto ecirc h = 2000

Por isso nos condensadores sempre se coloca vapor ornais

puro possiacutevel

253 - Efeito da velocidade do vapor

Quando a velocidade do vapor junto agrave interface liacutequido-

-vapor natildeo focircr despreziacutevel surgem forccedilas de atrito entre o vapor

e o liacutequido Se a direccedilatildeo do fluxo do vapor coincide com a direshy

ccedilatildeo do movimento do liacutequido a velocidade do liacutequido aumenta (haacute

compressatildeo) e a espessura do filme liacutequido diminui e consequenshy

temente a transferecircncia teacutermica melhora pois haacute diminuiccedilatildeo da

resistecircncia teacutermica

Se entretanto a direccedilatildeo do vapor focircr contraacuteria a do fil

o 21 laquo

me de liquido ha uma tendecircncia de haver aumento da espessura da pj2

liacutecula diminuindo assim o valor de h

26 - Consideraccedilotildees sobre os resultados obtidos com as foacutermushy

las de Nusselt

Nota-se experimentalmente que os resultados obtidos pelas

equaccedilotildees de Nusselt sao em geral 10 a 20 inferiores do que os reshy

sultados reais Assim a favor da seguranccedila elas sao usadas e aaacuteo_

tadas Os motivos das discrepacircncias jaacute-foram ditas atraacutes no item

25

Devemos notar ainda que o valor de h obtido pelas foacutermushy

las anteriores e o valor meacutedio jaacute que h varia de ponto para ponto

e seria difiacutecil obter uma equaccedilatildeo que nos desse o valor de h locaL

2bdquo7 - Condensaccedilatildeo por peliacutecula externamente a tubos ciliacutendrishy

cos horizontais

0 mesmo estudo de Nusselt pode ser aplicado neste caso

baseado na hipoacutetese de que no topo do tubo a peliacutecula do condensashy

do tenha espessura nula Chega-se a expressatildeo

g p 2 h D 3 14

NT _ = 0725 ( ) (5) NuD u k o At

Analogamente ao caso anterior as propriedades do liacutequido

sao tomadas a

t + t w sat

tm = ^

exceto h que eacute tomado a t

ev n sat

Na situaccedilatildeo atual da tecnologia e possiacutevel obtermos tubos

com diacircmetros suficientemente pequenos para que tenhamos escoamenshy

to do condensado soacute em regime laminar

22

No caso de vaacuterios tubos empilhados a formula (5) deve

ser modificada pois como dissemos ela soacute vale quando no topo do

tubo a espessura do liacutequido eacute nula o que nao acontece neste caso

(Vide figura a)

Vapor

Tubo

mdash Liacutequido

Fig a

Neste caso a forma que nos da o valor meacutedio para h e

g p 2 h D 3 14

NNuD deg gt 7 2 5 lt N u k V At gt

sendo N o numero de tubos empilhados

Note-se que neste caso o coeficiente h cai bastante Uma

boa soluccedilatildeo para o caso quando dispoacuteftos de lugar eacute dispor os tushy

bos defasados (Conforme figura b)

Liquido

Fig b

Neste arranjo podemos aplicar a equaccedilatildeo (5) pois no tp_

po de cada tubo a espessura da camada de condensado eacute nula

23

B - CONVECCcedilAtildeO COM MUDANCcedilA DE FASE - EVAPORACcedilAtildeO (II)

1 INTRODUCcedilAtildeO

Evaporaccedilatildeo consiste na obtenccedilatildeo de vapor por meio de aque

cimento de um liacutequido

Apesar da importacircncia do processo e do sucesso obtido na

praacutetica em projetos de evaporadores o fenocircmeno da evaporaccedilatildeo eacute

um dos pontos menos conhecidos da transmissatildeo de calor

0 primeiro estudo seacuterio sobre o assunto foi feito em 1934

pelo japonecircs Nukiyama poreacutem somente nos uacuteltimos 10 anos tais es-

tudos se intensificaram

Os primeiros pesquisadores quando estudavam o fenocircmeno

do resfriamento de um solido num liacutequido obtiveram as seguintes

curvas

onde

temperatura

velocidade de resfriamento

3 0 v = amdashbull

A 06

Q - fluxo teacutermico

8 - tempo

A - aacuterea do soacutelido

24

tempo

Ateacute os estudos de Nukiyama nao se conseguia explicar o

porque da variaccedilatildeo crescente da velocidade de resfriamento quando

t gt t sol sat

2 PROCESSO DE FORMACcedilAtildeO DAS BOLHAS

Como a evaporaccedilatildeo do liacutequido se faz sobre uma superfiacutecie

aquecedora sobre esta irao se formar bolhas de vapor que influem

decisivamente no fenocircmeno

Aqui soacute iremos estudar as bolhas sob o ponto de vista qua

litativo bem como a sua influencia mas nao sob o ponto de vista

quantitativo

Recentemente Fritz e Jacob WR Gambill e outros estudiacutei

ram o processo da formaccedilatildeo das bolhas sobre a superfiacutecie aquecedpound

ra Atraveacutes de fotografias verificaram que a bolha de vapor ain

da em contato com a parede variava profundamente de forma confo_r

me o angulo de contato entre liacutequido e parede metaacutelica

Assim eacute que se a superfiacutecie de aquecimento nao e excesshy

sivamente polida e a tensatildeo superficial do liacutequido eacute pequena a

bolha tem a forma da figura las diz-se nesse caso que o liquishy

do molha a parede neste caso o angulo de contato e agudobull Se

as condiccedilotildees contrarias se verificarem o acircngulo de contato sera

obtuso e as bolhas tomam a forma da figura ldegb Naturalmente ve

rificara-se as condiccedilotildees intermediaacuterias para o angulo de contato da

25

fig lc

Fig la Fig lb Fig lo

0 estudo analiacutetico da formaccedilatildeo e crescimento das bolhas

pode ser encontrado em diversos livros por exemplo no El-Wakill

(Nuclear Power) no Jakob (Heat Transfer)e outros Neles faz-se

o estudo das condiccedilotildees do liquido (pressatildeo temperatura tensotildees

etc) para haver ou nao formaccedilatildeo de bolha Isto eacute feito fazendo-se

o estudo das bolhas nas seguintes posiccedilotildees

a) bolha no seio do liacutequido

para meia bolha

4 ltP g - P fgt fg

onde

P g P f

- 4 D (D

g

Pf

D

pressatildeo do vapor

pressatildeo do liquido

tensatildeo entre superfiacutecie do liacutequido e vapor

diacircmetro da bolha

^f g

P f Fig 2

26

A equaccedilatildeo (1) mostra que a pressatildeo do vapor deve ser maior

que a do liquido nas condiccedilotildees de saturaccedilatildeo e este por sua vez

deve estar no estado de superaquecimento o

b) bolhas sobre superfiacutecie solida

Fig 3

Condiccedilotildees para desprender

a mdash o_ + o_ cos a gs fs fg

tensatildeo na interfase liacutequida e vapor (depende das

propriedades do liacutequido e vapor)

tensatildeo entre o liacutequido e superfiacutecie de aquecimen

to (depende das propriedades do liquido e da sushy

perfiacutecie)

tensatildeo entre o vapor e a superfiacutecie de aquecimeri

to (depende das propriedades do vapor e da super

fiacutecie)

21 - Formas do fluxo do vapor desde a superfiacutecie de aquecishy

mento ateacute a superfiacutecie livre do liacutequido

Considerando liacutequido vaporizado em tubos verticais pode^

mos ter 4 tipos de fluxo de vapor

1 - fluxo de bolhas

2 - fluxo de agregados (plug ou slug)

3 - fluxo anular

4 - fluxo disperso

Os quatro tipos ficam bem determinados respectivamente

onde

a fg

degfs

a gs

27

pelas 4 figuras abaixo

LIacutequido - Liacutequido Liacutequido

o

^Bocirclha de

vapor

Vapor

mdash [

- Vapor

mdash 0 0

deg_ a-

jrj-

iquestiexcl5

Bolhas Agregados Anular

Liacutequido

vapor

Disperso ou

Homogecircneo

Conforme o tipo de ebuliccedilatildeo podemos ter uma so das forshy

mas acima ou uma mistura

3 INCERTEZAS NO ESTUDO DA EVAPORACcedilAtildeO

Ha trecircs incertezas principais para determinar o fluxo de

calor na evaporaccedilatildeo a saber

- Aacuterea de contato indefinida

- Diferenccedila de temperatura indefinida

- Grau de turbulecircncia

Como realmente nos nao sabemos uma dependecircncia algeacutebri

ca entre o acircngulo de contato e a superfiacutecie ocupada pelo liacutequishy

do (ou vapor) temos uma incerteza na determinaccedilatildeo da aacuterea de tro

ca de calor (A)

Outra incerteza eacute a dificuldade da obtenccedilatildeo de diferenccedila

de temperatura entre o liacutequido e a parede que normalmente assume-

-se como sendo a diferenccedila entre a temperatura da parede e da ebu

liccedilatildeo do liacutequido (temperatura de saturaccedilatildeo = t )

S cl c

Na realidade a diferenccedila de temperaturas nao eacute aquela

pois a camada de liacutequido que cobre a superfiacutecie aquecedora esta

a uma pressatildeo maior que o resto do liacutequido (pressatildeo atmosfeacuterica

mais a hidrostaacutetica) e consequentemente a temperatura de vaporiza_

ccedilao desse liacutequido e maior que a da superfiacutecie Esta diferenccedila po-

28

deria ser calculada desde que se conhecesse a relaccedilatildeo entre presshy

satildeo e temperatura de saturaccedilatildeo do liacutequido entretanto haacute incerte

za quanto ao verdadeiro peso especiacutefico da coluna de liacutequidopois

trata-se de uma mistura de bolhas de vapor e de liacutequido em proshy

porccedilatildeo variaacutevelraquo

4 REGIMES DE EBULICcedilAtildeO

Nukiyama estudando a ebuliccedilatildeo da aacutegua num recipiente a

quecendo-a com resistencias eleacutetricas construiu a curva baacutesica da

ebuliccedilatildeo Todos os liacutequidos apresentam uma curva semelhante vashy

riando apenas os valoresraquo Os pontos caracteriacutesticos da curva deshy

pendem de caracteriacutesticas difiacuteceis de definirtais como natureza

do metal estado da superficie (rugosidade) dimensotildees orientashy

ccedilatildeo do fluxo quantidade de gases dissolvidos e t c

Estudaremos o fenocircmeno para o caso de aacutegua destiladasem

gas dissolvido a temperatura de saturaccedilatildeo 100 C pressatildeo atmosfe_

re uma superficie plana

Chega-se assim acirc curva

rica sobre uma superficie plana horizontal a temperatura t^

In ltJgt

At (degC)

A curva acima representa o aquecimento de agua com uma re_

sistecircncia eleacutetrica (ate ebuliccedilatildeo)raquo Temos em abcissas as diferenccedilas

de temperatura entre o liacutequido e a resistecircncia em ordenadas o flu

29

Regiatildeo I

Regiatildeo II

Regiatildeo III

Regiatildeo IV

xo de calor por unidade de area

Na curva notam-se 4 regiotildees bem definidas tendo cada uma

o seu significado fiacutesico os quais correspondem a um tipo de ebuli

ccedilao

convecccedilao natural

ebuliccedilatildeo nucleada

ebuliccedilatildeo por peliacutecula parcial

ebuliccedilatildeo por peliacutecula estaacutevel

41 - Convecccedilao natural

Ocorre quando At eacute inferior a 8degCformam-se no liacutequido

correntes convectivas as quais transferem o calor ateacute a superfiacuteshy

cie livre do liacutequido e aiacute desprendendo o vapor Neste caso o valor

de h eacute da ordem de 2000 kcalm^hdegC

42 - Ebuliccedilatildeo nucleada

Ocorre quando o At eacute maior que 8degC e menor que 25degC Nesshy

te caso as bolhas formam-se junto a superfiacutecie de aquecimento

crescem liberam-se movimentam-se em direccedilatildeo agrave superfiacutecie livre do

liacutequido onde estouram libertando o vapor As bolhas formam-se nas

irregularidades da parede tecircm um acircngulo de contato agudo e porshy

tanto hatilde liacutequido sempre em contado com a parede (molha a parede)

cada ponto ativo (lugar onde se formam as bolhas) libera uma porshy

ccedilatildeo de bolhas e os outros pontos do liacutequido ficam em contato com a

superfiacutecie quente violentamente agitados Esta agitaccedilatildeo extrema eacute

mais eficaz que uma turbulecircncia criada artificialmente Por esse mo

tivo a curva cresce violentamente nesse trecho (m = 3 a 7) pois

bull 2 o o valor de h cresce consideravelmente (ate 46000 kcalm hr C) e

o fluxo teacutermico transmitido ao liacutequido cresce proporcionalmente a

Quando cresce crescem tambeacutem

(At) 3

30

numero de bolhas por unidade de aacuterea (num instanshy

te)

~ = crescimento da bolha (com o tempo)

frequecircncia de iacuteormaccedilao de bolhas

A medida que o At vai aumentando iraacute aumentando (jgt tam-- n o N

bem e consequentemente mdash R mdash a a a tal ponto que quando atiacuteii

girmos o ponto da curva nao haveraacute mais formaccedilatildeo de bolhas

mas sim uma peliacutecula de vapor instaacutevel passando assim a 3a re

giao que estudaremos a seguir

43 - Ebuliccedilatildeo por peliacutecula parcial

Como dissemos no item anterior se aumentarmos ainda mais

o At (entre 25degC e 125degC) teremos a formaccedilatildeo de uma peliacutecula de

vapor instaacutevel sobre a superfiacutecie quente que aacutes vezes eacute perfurashy

da pelo liacutequido A camada de vapor tanto mais estaacutevel seraacute quanshy

to maior focircr o At Essa peliacutecula de vapor iraacute provocar um decreacutes_

cimo consideraacutevel no fluxo teacutermico porque como sabemos o vapor

eacute muito pior condutor que a aacuteguaraquo

0 fluxo vai decrescendo ateacute um ponto miacutenimo (iexclgt mintilde (as vecirc

iacutebo bullraquo 1

zes chega a ser mdashj-) e e o chamado ponto de Liedenfrost 0 coeshy

ficiente de peliacutecula neste caso cai violentamente (h = 2000

kcalm^hrdegC)

44 - Ebuliccedilatildeo por peliacutecula estaacutevel

Aumentando ainda mais a diferenccedila de temperaturas

At ( gt 125degC) iremos conseguir uma camada de vapor estaacutevel Ela

transmite calor da superfiacutecie quente ao liacutequido que se vaporiza de

modo que o excesso de vapor formado na interface liquido-vapor for

ma bolhas que sobem para a superfiacutecie 0 liacutequido encontra-se agi-

31

tado poreacutem nao toma contato com a superfiacutecie soacutelida

A peliacutecula de vapor eacute estaacutevel e o fluxo eacute proporcional a

34

(At) (lei de Bromley) Para At grandes passa a influir sensivel^

mente a radiaccedilatildeo teacutermica mais uma razatildeo para demonstrar que nesshy

ta regiatildeo o fluxo cresce novamente

5 CONSIDERACcedilOtildeES E COMPARACcedilAtildeO ENTRE OS TIPOS DE EVAPORACcedilAtildeO

BURNOUT

Sob o ponto de vista de eficiecircncia teacutermica deveriacuteamos sem

pre trabalhar no ponto de fluxo maacuteximo isto eacute no ponto correspon

dente a lt(gt da curva de Nukiyama pois eacute o que daacute maior coeficieri

te de peliacutecula

Acontece poreacutem que se impomos a temperatura da parede

fixa obtemos um uacutenico valor de lt(gt e portanto o fenocircmeno eacute estaacutevel

Poreacutem se como ocorre nos reatores impomos um fluxo teacuter

mico a curva de Nukiyama apresenta 3 pontos de funcionamento posshy

siacuteveis A B C

1

SOacute os pontos A e C sao funccedilotildees estaacuteveis mas eles impotildeem

acirc superfiacutecie quente temperaturas bem diferentes

Na industria em geral trabalha-se por questotildees de segushy

ranccedila na regiatildeo IV da curva poreacutem para os reatores trabalha-se na

32

r e g i atilde o I I

0 p r o b l e m a de t r a b a l h a r n a r e g i atilde o II eacute q u e se n oacute s e s t i shy

v e r m o s t r a b a l h a n d o n o p o n t o e x t r e m o (j) e se p o r q u a l q u e r m o t i v o

h o u v e r u m p e q u e n o a c r eacute s c i m o d e ltfgt i r e m o s t r a b a l h a r i m e d i a t a m e n t e no

p o n t o M q u e t e m o m e s m o $-^0t p o r eacute m c o m A t 2 m u i t a s v e z e s m a i o r

p o d e n d o o c a s i o n a r a f u s atilde o d a s u p e r f iacute c i e a q u e c e d o r a E s t e f e n ocirc m e n o

eacute c h a m a d o d e b u r n o u t

0 f l u x o lttgt eacute c h a m a d o f l u x o c r iacute t i c o o u f l u x o d e b u r -b o

n o u t N o c a s o do r e a t o r d e v e m s e r t o m a d a s m e d i d a s r i g o r o s a s q u a n

to agrave r e g u l a g e m do f l u x o t eacute r m i c o p a r a q u e n atilde o o c o r r a o b u r n o u t 1 1

p o i s d e l e p o d e r e s u l t a r r u p t u r a d a c a m i s a do c o m b u s t iacute v e l e h a v e shy

r aacute p o r t a n t o c o n t a t o do r e f r i g e r a n t e c o m o s s oacute l i d o s e g a s e s r a shy

d i o a t i v o s

5 o l - R e l a ccedil atilde o d e B u r n o u t

E c l a r o q u e p a r a t e r m o s u m r e a t o r m a i s e f i c i e n t e d e v e shy

m o s t r a b a l h a r c o m u m f l u x o o m a i s p r oacute x i m o p o s s iacute v e l do f l u x o d e

B u r n o u t P a r a t a n t o d e v e m o s c o n h e c e r c o m o m a i o r g r a u d e certe

za p o s s iacute v e l q u a l o ^ p a r a p o d e r m o s r e d u z i r o c o e f i c i e n t e d e s e shy

g u r a n ccedil a ( W R G a m b i l l r e c o m e n d a agrave 1 5 )

N o s s e m i n aacute r i o s d e W R G a m b i l l e n c o n t r a m o s u m a s eacute r i e de

b i b l i o g r a f i a s o n d e p o d e m o s e n c o n t r a r i n uacute m e r a s f oacute r m u l a s p r o p o s t a s

p a r a a o b t e n ccedil atilde o de (q 1^)

A t i t u l o d e e x e m p l o v e j a m o s a l g u m a s

q - 2 7 0 G deg gt 8 5 D 0 2 A085 p lt 150

deg D ( L uuml ) 2

q - 140 G 0 5 D ~ deg 2 (-~-)~deg 1 5 p ~ r gt 150 c D (LD)

o n d e a m b a s as e q u a ccedil otilde e s s oacute v a l e m p a r a aacute g u a e m b a i x a p r e s s atilde o e m coii

v e c ccedil a o f o r ccedil a d a

33

D

L

fluxo teacutermico critico BTUhrft bdquo 2

descarga em massa do liquido (Ibmhrft )

diacircmetro do tubo ft

comp do tubo ft

Para cada caso temos uma expressatildeo diferente que pode ser

encontrada em literatura especializada

6 INFLUEcircNCIA DE OUTROS PARAcircMETROS NO FLUXO DE BURNOUT

Como para os usos atuais do reator a diferenccedila de temppound

ratura entre parede e fluido sao pequenas bem como o fluxo de bur

nout recentemente fiacutesicos como Jakob Bonilla WR Gambill estu

daram outros paracircmetros que influenciam bastante o sect^ 0gt isto eacute a

influecircncia desses paracircmetros faz com que o ^ seja maior Isto eacute

util pois quanto maior o fluxo de burnout maior poderaacute ser o

fluxo de calor real de funcionamento

Tais meios sao

- Sub-resfriamenCcedilo do liacutequido

61 - Influecircncia da velocidade do liacutequido

Estudos feitos pelos autores acima chegaram agraves curvas

- Aumento da velocidade imposta ao liacutequido

- Pressatildeo do liacutequido elevada

alto V

At

34

Para velocidades maiores o fluxo de burnout aumenta

porque neste caso o regime eacute turbulento e o coeficiente de peliacute

cuia h aumentao

6bdquo2 - Influencia do aumento da pressatildeo

Este estudo deve-se a Bonilla que obteve experimentalmen

te as curvas

Este estudo foi feito para vaacuterios liacutequidos e chegou a con

clusao que sempre havia uma pressatildeo oacutetima isto e uma pressatildeo que

leva ao maior iacute 1 ^ raquo mantidas as demais condiccedilotildees Experimentalmenshy

te notou que essa pressatildeo correspondia a 13 da pressatildeo critica

do liquido em questatildeo

6=3 - Influecircncia do sub-resfriamento

Consiste em manter atilde custa de uma circulaccedilatildeo intensa o

liacutequido a uma temperatura inferior atilde de saturaccedilatildeo para a pressatildeo

correspondenteraquo Experimentalmente chega-se agraves curvas

mdash A t grande sub

bullAt -0 sub sub

medio

At

35

Verificando os graacuteficos vemos que o lt)gt aumenta agrave medida bo

que aumenta a diferenccedila de temperatura de sub-resf riamento isto pojr

que o liquido como estaacute mais frio faz com que algumas das bolhas

recondensem permitindo que o liquido fique em contato com a parede

quente o que faz aumentar o h

^ f csub = t e m P e r a t u r a ddeg liacutequido - temperatura de saturaccedilatildeo

A diferenccedila de temperatura At entre fluido e parede tamshy

beacutem aumenta poit na regiatildeo proacutexima agrave parede haacute necessidade de

levar o liacutequido da temperatura do sub-resfriamento ateacute a temperatu

ra de saturaccedilatildeo quando se evapora

Atualmente os maiores estudos dos fiacutesicos nucleares locashy

lizam-se neste campo pois eacute o que oferece maiores vantagens

7 FORMULAS PARA 0 CAacuteLCULO DO COEFICIENTE DE PELIacuteCULA NA EBULICcedilAtildeO

Como ocorre no caacutelculo de todas as foacutermulas de convecccedilatildeo

temos formulas empiacutericas para determinar o h conforme o tipo de

ebuliccedilatildeo que nos consideramos

71 - Ebuliccedilatildeo Nucleada

Para o caso de aacutegua temos as relaccedilotildees

superfiacutecies

horizontais

superfiacutecies

verticais

f aacute 5000 BTUhrft 2 -gtbull h = 151 ( A t ) 1 3

A o

5000 lt 75000 -h = 0618 (At)3

^ pound 1000 -raquobull h = 8 7 ( A t ) 1 7

A o -

1000 lt $ lt 20000 -gt h = 027 (At) A o

Quando a pressatildeo e diferente da atmosfeacuterica faz-se a correccedilatildeo

3 6

72 - Ebuliccedilatildeo por peliacutecula

Bromley propocircs uma boa equaccedilatildeo para a ebuliccedilatildeo por peliacuteshy

cula estaacutevel em cilindros horizontais

Nu

_ JtjD n r 9 P v bull ( P L - P v gt - g -h

e V bull D i2

D 1 ^ U b Z u At gt

onde

V = indica vapor

L = indica liacutequido

Multiplicando ambos os membros da equaccedilatildeo acima por

kvD obteremos a expressatildeo do coeficiente de convecccedilagraveo meacutedio para

o caso

37

C - FORMULAS PARA CAacuteLCULOS ESPECIacuteFICOS - RESULTADOS ESPECIacuteFICOS

1 FLUXO DE CALOR CRIacuteTICO - BURNOUT

lol - Introduccedilatildeo

O aspecto mais importante no que se refere agrave seguranccedila

dos reatores da transferencia de calor na ebuliccedilatildeo eacute a determina

ccedilatildeo do Fluxo de calor critico ou de pico ou burnout

Como jatilde vimos quando temos a ebuliccedilatildeo nucleada a dishy

ferenccedila de temperatura entre refrigerante e superfiacutecie de aqueci

mento e pequena poreacutem quando atingimos o fluxo de calor criacutetico

essa diferenccedila de temperatura pode tornar-se imediatamente muishy

to grande podendo causar a ruptura da superfiacutecie de aquecimento

se atiigirmos o ponto de fusatildeo do soacutelidoraquo

Usando a convecccedilao

onde

At sat

w

sat At

sub

w = temperatura da parede de aquecimento

t t = temperatura de saturaccedilatildeo do liacutequido

t^ = temperatura de mistura do liacutequido

At = (t -t ) sub-resfriamento do liacutequido sub N sat b 1

nout

Ha dois tipos de burnout fast burnout e slow bur-

Ocorre o fast burnout (burnout raacutepido) quando A t g u b gt 0

38

ou para baixo x (~ lt 10) sendo x o titulo do vapor

Temos o slow burnout para x - gt 10 Assim noacutes tereshy

mos dois limites para o burnout

At bull o (ltJgt ) t =((() para t = t ) -

bo m m possiacutevel w sat

sub i

4L + 1

G c D h pl nb

(ltK ) = (ltpound para x = 1) = Dv-bo max possiacutevel e 4L

c At l + P 1 sub i

onde

L = comprimento do canal

D = diacircmetro do tubo

G = descarga de liacutequido (por unidade de aacuterea)

c ^ = calor especiacutefico do liacutequido

Agrave = calor latente de vaporizaccedilatildeo

h ^ = coeficiente de transferecircncia de calor na regiatildeo de

nao ebuliccedilatildeo

iacutendices

i = entrada

e = saiacuteda

Haacute inuacutemeras expressotildees para determinaccedilatildeo do burnout pro

postas por muitos fisicos cada uma aplicando-se a um caso especiacuteshy

fico vejamos algumas delas

12 - Equaccedilotildees para prediccedilatildeo de Burnout

121 - Equaccedilatildeo de Bragg e Smith (Zuber)

Num artigo publicado por Bragg e Smith encontramos uma f oacute_r

mula que e derivada da formula de Kutateladze e nos daacute o fluxo cri

39

tico quando nao temos sufaresfriamento

bo poolsat v V raquoc a ( p l P V )

2 PV

14

onde

ltiexclgt = fluxo de calor critico bo

k = constante

Ly = calor latente de vaporizaccedilatildeo do refrigerante

= densidade do liquido

pvr = densidade do vapor V a = tensao superficial

g = fator de conversatildeo c

a = aceleraccedilatildeo da superficie de aquecimento

Os autores encontraram para k um valor de 062 entreten

to outros autores como Zuber incluindo outras variaacuteveis que In

fluiam no fenocircmeno encontraram k variando entre 008 e 023Esshy

tudos bem elaborados mostram que o valor mais aproximado eacute

k = 015 (- 003)

1-22 - Equaccedilatildeo de Noyes

Noyes estudou o burnout para o soacutedio agua e alguns liacute

quidos orgacircnicos

( W s a t ~ bdquo 0245 bull ( r ( 1 )

iiacute_ V 1 Pr

onde

N n = Nuacutemero de Prandtl da fase liacutequida x r

Mais tarde o proacuteprio Noyes alterou a equaccedilatildeo para

n ^ - n H Iacute I Pl PV gt0538 deg g c a q 4 ( W s a t deg 1 1 6 PV ( - p 7 ~ ) (77T1^ ) ( 2 )

40

A ultima correlaccedilatildeo proposta por Noyes foi

a n prPV0560 112

1

(a bull a) 13

(ag c) 112

(3)

onde

a = difusividade teacutermica do liacutequidoraquo A equaccedilatildeo (3) eacute bashy

seada em todos os dados de burnouts do soacutedio bem

como da atildegua benzeno difenil e outros De 111 pontos usados 90

+ estatildeo relacionados dentro de - 30bdquo

ldeg2o3 - Burnout com convecccedilao forccedilada e sub-resfriamen

to

Aproveitando os resultados de aproximadamente 240 testes

de burnouts com aacutegua sub-resfriada em fluxo de convecccedilao forccedilashy

da feitos na Ruacutessia Labuntsov elaborou uma boa equaccedilatildeo empiacuterica

para o problemabdquo

Esta relaccedilatildeo aplica-se para velocidades entre 2 3 e 148

ftsec pressotildees entre 1 e 201 atmabs sub-resfriamento entre 0 deg

e 432 degF e fluxos de burnout entre 0 4 x IO 6 x 166 x 1 0 6 BTUhr

2 bdquo

bullbo

onde

e a seguinte

6 ( P ) 1 + 0 2 3 2 V 2

14

e ( P ) 1 +

15 c At _p_ sub

12 (a)

9 ( P ) - P 1 3 o ( 1 - P J 4 3

red

= pressatildeo (atm abs)

pressatildeo reduzida = mdash mdash red r P

t_ c = pressatildeo critica

= velocidade do liacutequido (ftsec)

= calor especiacutefico do liacutequido (BTUlbdegF)

4 1

^ tsub = ^ ^ e r e n Ccedil a ^ e temperatura entre a temperatura de

mistura do liacutequido e a de saturaccedilatildeo (degF)

X = calor latente de vaporizaccedilatildeo (BTUlb) 2

ltiacutegtbo = fluxo de burnout (BTUhrfl )

Uma outra correlaccedilatildeo para o caso foi proposta por

Ornatsky e Xiohigin que fizeram experiecircncias para pressotildees entre

10 e 1 5 0 3xm 90 degF lt At ^ lt 4 5 0 deg F 3 7 1 0 6 ( l b h r o f t 2 ) lt G lt

2 2 2 10 b ( l b h r bdquo f t 2 )

lt ^ = 3 2 5 0 (G o A t bdquo J deg 6 ( - i - ^ ) 2 5 ( b ) bo sub

onde

G - descarga de refrigerante por unidade de aacuterea

P ^ v P v - densidades do liacutequido e do vapor

P1~ PV -0 termo (mdash ) e incluido na expressatildeo (b) para indicar

a influecircncia da ^ pressatildeo sobre o

Uma comparaccedilatildeo entre as equaccedilotildees (a) e (b) foi feita para

o Reator de Isoacutetopos de Alto Fluxo (HFIR) nas condiccedilotildees aacutegua a

600 psia velocidade = 45 ftsec e sub-resfriamento = At^^ 1

degF obtendo-se uma diferenccedila de 6 5 entre ambos (4gt = 6 0 5 1 0 b

2 ~ 6 2 BTUhr ft pela equaccedilatildeo (a) e 6 4 5 10 3TUhrraquoft pela equaccedilatildeo

(b)

Ilatilde ainda a equaccedilatildeo de Ivey e Morris aplicaacutevel somente pa_

ra ebuliccedilatildeo com grande quantidade de liacutequido

( c sub t

Cpf bull A tsub

( bull ) s ~ V P bdquo 10 h V sat V g

onde

(ltL ) = fluxo critico com sub-resfriamento c sub

(ograve ) ^ - fluxo critico sem sub-resfriamento c sat

42

c ^ = calor especiacutefico do liacutequido

= calor latente de vaporizaccedilatildeo

124 - Burnout com convecccedilao forccedilada e ebuliccedilatildeo por bocirc-

Ihas

Gambill fez uma extensatildeo da equaccedilatildeo de Levy e aplicou o

metqdo da superposiccedilatildeo Tal extensatildeo consiste natilde subtraccedilatildeo de uma

razatildeo equivalente de massa transferida dos termos que represenshy

tam a ebuliccedilatildeo e convecccedilao para levar em conta a presenccedila do vashy

por no fluxo

A correlaccedilatildeo pode ser escrita assim

24 V P V

o g c a (p^Py) 14

+ 0696 (k p c ) 12

(

pr p v )i4 o g c a (P-L-Py) 18

bull At + h sub nb

044 p v L v G (g1) bull N2 n

p l P V

( pr p v ) d e 2-7

2 4 TT 0

14 ( f e _ ^ r l 3

lO^u

onde

k = condutividade teacutermica

c = calor especiacutefico

A t s u b ~ s ub-resfriamento do liacutequido

h = coeficiente de transferecircncia de calor de nao ebu nb mdash

liccedilatildeo

G = descarga total do refrigerante

43

d g = diacircmetro equivalente do tubo ou canalraquo

]i = viscosidade

B = constante adimensional

Os iacutendices V e 1 representam vapor e liacutequido respectiva

mente

0 primeiro termo entre chaves da equaccedilatildeo representa o flu

xo de calor no burnout de sub-resfriamento em convecccedilao forccedilada 0

segundo termo entre chaves corresponde ao fluxo de calor transferi^

do para a massa da fase vapor

1-25 - Burnout por Bloqueio da Base

Ocorre quando a profundidade do recipiente eacute muito maior

que a largura 0 bloqueio da base eacute causado pela formaccedilatildeo de uma pe_

licula de vapor na base impedindo que o liacutequido toque o fundo do

recipiente

i De

Este eacute o burnout por flooding isto eacute burnout por expul

sao do liacutequido Uma equaccedilatildeo que nos dacirc o fluxo minimo do burnout

parao caso eacute

44

onde

D g = diacircmetro equivalente

L = comprimento do tubo

= calor de vaporizaccedilatildeo

p^Py Ap = densidade do liacutequido do vapor e diferenccedila en

tre ambos

Para um fluxo de calor maior ou igual ao dado pela expres_

sao acima (mantida a mesma geometria) teremos burnout Para um deshy

terminado fluxo existiratildeo sempre um comprimento L e um diacircmetro equi

valente D e para os quais temos burnout Exemplo

L (in) D e(in)

10 11

100 51

1000 235

2 RESULTADOS ESPECIacuteFICOS - FOacuteRMULAS PARA CAacuteLCULOS ESPECIacuteFICOS

21 - Diferenccedila de temperatura At i

13 a t

sat

At sat

poundatildeJL_ raquo t - t J p T T 6 w sat

onde

o laquo tensatildeo superficial entre liquido e vapor

t - temperatura de saturaccedilatildeo do liacutequido para a corres-Scl t

pondente pressatildeo

J equivalente mecacircnico do calor

X laquobull calor latente de vaporizaccedilatildeo

py = densidade do vapor

6 = espessura da camada de liacutequido superaquecido onde

45

k l

h nc

onde

k^ = condutividade teacutermica do liacutequido

h = coeficiente de peliacutecula nc r

Segundo Eckent h ^ c e dado por

P 2 Q

nc 3 V VP + 0952

r

onde

D = diacircmetro equivalente

G r = numero de Grashoff

P = nuacutemero de Pradtl

2 o 2 - Velocidade das bolhas

A velocidade das bolhas em meacutedia pode ser dada pela exshy

pressatildeo

V bdquo = Iacute ( a bull B Apl4 bolhas 5 ^ 2

p l onde

AP = P L - P v

Expressatildeo que vale quando a aceleraccedilatildeo eacute a da gravidade

baixa viscosidade do liacutequido e bolhas separadas

Vbolha = f t s e atilde m a x para aacutegua

2 bdquo3 - Diacircmetro das bolhas

2gc deg 12 D = 0015 3 ( mdash mdash 7 ~ ) d g Ap

5 =

46

onde

8 = acircngulo de contato (20 a 90deg) geralmente assume-O -1

-se igual a 50 para a agua em contato com metal

24 - Coeficiente de peliacutecula na ebuliccedilatildeo nucleada

a) Equaccedilatildeo de Rohsenow

Esta equaccedilatildeo nos datilde o fluxo de calor q na ebuliccedilatildeo nushy

cleadaraquo E oacutetima expressatildeo para muitos liacutequidos o efeito da presshy

satildeo eacute levado em conta na variaccedilatildeo das propriedadesraquo

Pf

fg

sat 17 = c

sg k y f h f g g( P f-p g)

n033

onae

Pf

fg

Pf Pg c sg

= fluxo de calor requerido (BTUhr0ft^)

= calor especiacutefico do liacutequido saturado (BTUlbm0F)

= calor latente de vaporizaccedilatildeo (BTULbm)

= nuacutemero de Prandtl

= viscosidade do liacutequido (lbrahrraquoft) ~ 8 2

= fator de conversatildeo 417 10 Ibmftlbflaquohr 2

= aceleraccedilatildeo da gravidade (fthr )

= tensatildeo superficial na interface liacutequida vapor

(lbfft) 3

densidade do liquido e vapor (lbmft )

constante adimensiacuteonal que depende de vaacuterios fashy

tores dentre os quais o grau de aquecimento en_

tre o fluido e a superfiacutecie de aquecimento e o

mais importanteraquo Independe da pressatildeo do sistema b) Equaccedilatildeo de Levy

Equaccedilatildeo valida para a aacutegua quando 100 lt p lt 2000 psiacutea

47

43 bdquo3

qu bdquo gat ^ T J h r t f t ^

495

25 - Calculo do fluxo de calor no Ponto de Leidenfrost

0 ponto de Leidenfrost como vimos eacute o ponto em que oflu

xo de calor comeccedila ncamente a crescer isto eacute o ponto onde termal

aa a ebuliccedilatildeo instaacutevel e comeccedila a ebuliccedilatildeo por peliacutecula estaacutevel Eacute

o chanado fluxo miacutenimo (egrave ) m m

Aproximadamente quando A t g u k = 0 temos

A _ mdash _ mdash (Gambill) m m 5

Ha entretanto varias expressotildees para determinar esse flu

xo eis uma delas

A p 14 ltjgt = 009 h pbdquo (o raquo g mdash ) y m m fg P V deg 2

p l

26 - caacutelculo do fluxo de calor na regiatildeo de ebuliccedilatildeo por peliacute

cuia estaacutevel

para cilindros jmdashi i li

_ D 0172 k-V - P V A p h l V bull S 14 li - = 062 (mdashmdash) (- j- r rmdash) convecccedilao A 0 ybdquo (t -t )

c V w sat

onde

= condutividade do vapor

- 2 TT ( mdash )

c gAp Vl = significam vapor e liacutequido respectivamente

para paredes verticais

L 0172 S deg7 A p bull hlV S q 4 h - - 080 (-^-)J- (-Iuml - Iacutemdash-convecccedilao X L u (t - t J)

c V w sat

48

Como nesta regiatildeo jaacute haacute nina influecircncia marcante da radia

ccedilao devemos levar en conta tambeacutem o coeficiente de peliacutecula de

vido a radiaccedilatildeo para determinar o coeficiente de peliacutecula total

Dos estudos atildea radiaccedilatildeo temos

h = a F pound(T 4 - T 4 J ( T ~ T ) rad w sat w sat

onde amp _ emissividade de superfiacutecie

a = constante de Stefan-Boltzman

F = fator de forma

Segundo WE Gambill o coeficiente de transmissatildeo total

ceve ser

3 iacutei = h + -7 h para h lt h t conv 4 rad r rad conv

Na expressatildeo acima existe o fator 34 porque a radiaccedilatildeo

faz variar um pouco a espessura do filme de vapor reduzindo asshy

sim o l l

conv

Quando tivermos h gt h gt o h^ ^ seraacute rad conv total

h f c = h + h t conv rad

Neste ultimo caso nao ha nenhum coeficiente porque a peshy

liacutecula de vapor jaacute eacute estaacutevel

27 - Grandezas caracteriacutesticas para a apua

Para pressatildeo igual a 1 atm = 1422 psia

At ^ = t - t = 5degC (iniacutecio da ebuliccedilatildeo nucleada) sat w sat 1

At t = 30degC sat crit

49

5 2 $ = 4 10 BTUhrft (para pressatildeo 1 atm)

0 fluxo critico cresce como vimos com a pressatildeo ate

atingir o maacuteximo quando a pressatildeo eacute aproximadamente 13 da pressatildeo

criacutetica Esse fluxo eacute

bull = 13 IO 6 BTUhrft 2 para p = 11000 psia (p pound = 32062 psia)

Ainda temos que para pressatildeo igual a 15 psia

h b o = 11000 BTUhrft degF - ebuliccedilatildeo nucleada

h f b = 30 BTUhrft 2 degF - ebuliccedilatildeo pelicular

Todos os resultados e formulas para caacutelculos especiacuteficos

apresentados nos itens 21 22 23 ateacute 27 sacirco aplicados somente

para sistemas onde haja ebuliccedilatildeo com grande quantidade de liquido

51

D - HIDRODINAcircMICA DOS SISTEMAS E QUEDA

DE PRESSAtildeO DENTRO DE UM CANAL

1 HIDRO-DINAcircMICA E QUEDA DE PRESSAtildeO

11 - Hidro-dinacircmica dos sistemas estaacuteveis

111 - Regimes de escoamento

A evoluccedilatildeo do escoamento ao longo de um canal aquecedor

de secccedilatildeo constante ciliacutendrico pode ser esquematizada pela figushy

ra 1 onde temos em abcissa o comprimento z do canal e em ordenada

a temperatura (T)

52

Na figura 1 nos representamos

a) 0 aspecto do escoamento fluido quando a entalpia do

- fluido aumenta Verificamos que o fluido entra no cashy

nal no estado liacutequido e assim permanece ateacute atingirmos a zona de

ebuliccedilatildeo local onde aparecem as primeiras bolhas A entalpia do

fluido continua aumentando e tem inicioa ebuliccedilatildeo franccedila onde as

bolhas se unem formando agregados posteriormente o escoamento to

ma a forma da figura ou seja torna-se anular disperso Finalmente

atingimos duas uacuteltimas fases do escoamento disperso (vapor uacutemido)

e vapor seco

b) A evoluccedilatildeo da temperatura meacutedia do fluido e da tempeshy

ratura da parede Note-se que a partir da cota a

temperatura da parede aumenta brutalmente podendo causar o

burnout

c) A evoluccedilatildeo do tiacutetulo do vapor (x) com o comprimento

do tubo e a evoluccedilatildeo da fraccedilatildeo (a) que definiremos no

item 11laquo2 com o comprimento do tubo

112 - Definiccedilotildees

a) Tiacutetulo ou qualidade do vapor (x)

massa de vapor na mistura x ~ massa total da mistura

x =

W _g_

g f

b) Fraccedilatildeo vazio (void fraction)

volume do vapor na mistura a = volume total da mistura (agua+vapor)

A relaccedilatildeo entre x e a num sistema parado pode ser obtida

assumindo um certo volume contendo 1 lbm de mistura em equiliacutebrio

teacutermicoraquo

53

O volume da mistura seraacute igual a (v + xv ) ft onde v eacute 3 r rg

o volume especifico (lbmft )

f - refere-se ao liquido

g - refere-se ao vapor

fg - refere-se a diferenccedila entre liacutequido e vapor

Numa mistura em equiliacutebrio se o liacutequido e o vapor estatildeo

saturados o volume do vapor presente eacute igual acirc sua massa vezes

seu volume especiacutefico v assim e

xv bdquo bdquo a mdash

V c + XV c

f gf

onde

- bull-bull uumlutiacuteisa vapor na mistura de 1 Ibm

v volume especiacutefico do liacutequido

v = volume especiacutefico do vapor o

V c = v - V

gf 8 r

Fazendo uma transformaccedilatildeo na expressatildeo acima temos

xv xv JS = Z-

v r+ x(v -v c) xv +(l-x)v t ri f g f g f 1 + Ul-x)xjv fv

1 + C(l-x)x]]vfvg

A fraccedilatildeo vazia tem a influencia de baixar a reatividade

do nuacutecleo nos reatores em que o refrigerante eacute tambeacutem moderador

Na equaccedilatildeo acima os valores de x e v sao tomados em tabe

las termodinacircmicas apropriadas para a pressatildeo do sistema A equashy

ccedilatildeo (1) mostra os grandes valores de a para pequenos valores de x

especialmente para baixas pressotildees Isto ocorre porqueaumentando

54

aacute pressatildeo o v decresce muito enquanto que o v f eacute mais ou menos da

mesma ordem de grandeza

Exemplo Calcular o a correspondente para x raquo 2 para aacutegua

leve atilde pressatildeo atmosfeacuterica

Da tabela para p laquobull 1 atm

v - 001672 ft 3lbm e v - 26800 ft 3lbm

1 + [(1-002)002] 001672268

0971 ou 97U

O grafico abaixo mostra a variaccedilatildeo do a com x para vaacuterias

pressotildees e para a aacutegua leve

x ()

tObservaccedilotildees da curva

Fig 2

1 - para x constante a decresce com a pressatildeo Para presshy

sotildees proacuteximas da criacutetica a aproxima-se rapidamente de

x Para a pressatildeo criacutetica as duas fases satildeo indistinguiacuteveis ea=x

2 - para cada pressatildeo dotdx decresce com aumento de x

3 - para baixos valores de x (que e o caso dos reatores

tipo Boiling) quando p decresce dadx cresce e torr

na-se muito grande paacutera baixas pressotildees Isto tem relaccedilatildeo com a epound

55

tabilidade do reator como veremos mais tarde

113 - Sistemas com fluxo

Todas as definiccedilotildees que noacutes vimos no item anterior refeshy

rem-se acirc sistemas em que a mistura esta fechada no recipiente Nes^

te caso natildeo havia movimento relativo entre as duas fases No entan

to se as duas fases da mistura se movem na direccedilatildeo vertical em

canais entre os elementos combustiacuteveis o vapor por causa de sua

flutuaccedilatildeo tem a tendecircncia de escorregar sobre o liacutequido isto e

move-se com velocidade maior do que a do liacutequido

Real Modelo

Pig 3

S -

Define-se neste caso a relaccedilatildeo de escorregamento (slip

ratio) (S) como sendo

V _i

V f

onde

V = velocidade do vapor

= velocidade do liquido

S modifica as relaccedilotildees entre a e x do item anterior S geralmen_

te gt 1 Define-se neste caso qualidade do vapor ou tiacutetulo como

sendo

_ fluxo de massa de vapor

fluxo de massa da mistura

Entatildeo se o fluxo de massa da mistura eacute m t(lbmhr) o flushy

xo de vapor seraacute = x m e o fluxo de liacutequido sera (1-x) m onde x

56

e o titulo do vapor para a particular secccedilatildeo (AL) da figura (3)

Devemos notar que neste caso x varia de secccedilatildeo para secshy

ccedilatildeo do tubo o exposto no paraacutegrafo acima vale considerando-se que

x e a permaneceram constantes na secccedilatildeo de espessura AL

Aplicando a equaccedilatildeo da continuidade as velocidades do va

por e liacutequido sao dadas por

o xm v

V vazatildeo = g g area A

V

(1-x) amp t v f

f A f

onde A e A f sao as aacutereas medias perpendiculares ao fluxo se as

duas fases sao imaginadas completamente separadas uma da outra

(figura 3) Assim temos

V x m v o A_ A v 0 ^ - 2 = iacute S t m _2L- JL JS m

V A (l-x)ui v 1-x A v U

f g t f g f

Sabemos ainda que para a secccedilatildeo considerada

volume do vapor na mistura a = volume total da mistura (agua+vapor)

A AL A pound g g

a = mdash a a = - mdash 1

(A+A )AL A f + g

A ou f _ 1 - a

A a 8

Substituindo em (2) vem

57

Esta expressatildeo pode ser rearranjada e obteremos uma relashy

ccedilatildeo entre x e a levando em conta o escorregamento Chega-se a

a = 1 ( 3 )

1+ [U-x)x3 igt

onde

v 4 laquo -- S

v lty o

Note-se que quando S=l (nao haacute escorregamento) caimos na

expressatildeo dada no item anterior

0 efeito do escorregamento eacute decrescer o valor de a pa_

ra um mesmo xbdquo Isto pode ser visto pela foacutermula (3) pois S gt lLo

go a decresce com acreacutescimo de S

Um alto S e entatildeo uma vantagem tanto para a transferecircnshy

cia de calor como para efeitos de moderaccedilatildeo Eacute uma vantagem para

transferecircncia de calor porque alto S significa alto V e portanto

maior turbulecircncia e maior contato do liquido com as paredes quenshy

tes Ha tambeacutem melhorias na estabilidade da reaccedilatildeo nuclear isto

porque como jaacute dissemos quando mdash7 diminui a estabilidade aumenshy

ta isso pode ser verificado observando a curva a versus x para a

agua leve a 1000 psiabdquo

Fig 4

58

A relaccedilatildeo entre x e a da equaccedilatildeo (3) so vale para secccedilatildeo

de tubo bem pequena

Devemos notar que S varia tambeacutem com a pressatildeo e velocida^

de de entrada do liacutequido no tubo Este efeito pode ser observado na

figura 5 abaxxo obtida esperimentalmente

s

3

~^ ~ psig

x = 001

V 1

Fig 5

Nos projetos de reatores como veremos adiante o valor a

geralmente eacute determinado por consideraccedilotildees nucleares (moderaccedilatildeo) 0

valor de S eacute determinado atraveacutes de uma estimativa ou entatildeo atrashy

veacutes de um graacutefico do tipo da figura 5 0 correspondente valor de x

pode ser obtido de uma foacutermula empiacuterica do tipo

1 = 1 (-S)0gt67

proposta por Von Glahn

Em muitos casos assume-se S constante em todo o comprimeiv

to do canal poreacutem eacute um erro que em muitos casos nao pode ser coshy

metido

4 REATORES EM QUE 0 LIacuteQUIDO B MODERADOR E CIRCUITO PRIMAacuteRIO AO

MESMO TEMPO BOILING-REACTOR (BWR)

A aacutegua ao se movimentar atraveacutes dos vaacuterios canais do

59

Boiling-reactor encontra vaacuterias resistecircncias ao fluxo que provoshy

cam uma reduccedilatildeo de pressatildeo no fluido

As duas perdas mais importantes sao perda de pressatildeo por

atrito e perda de pressatildeo causada pela aceleraccedilatildeo do refrigerante

ao aumentar de volume por receber calor num canal Outras perdas

de pressatildeo seriam a obstruccedilatildeo ao fluxo por corpos submersos (espa_

ccediladores juntas de tubos chaves etc) e por mudanccedilas abruptas de

aacuterea de fluxo tanto na entrada como na saiacuteda do tubo

Essas perdas de pressatildeo devem ser conhecidas o melhor popound

sivel principalmente nos reatores BWR Para tanto devemos saber

o comprimento de canal em que nao ha a ebuliccedilatildeo isto eacute qual o com

primento de canal em que o refrigerante vai da temperatura de sub-

resfriamento ate temperatura de saturaccedilatildeo

Seja o elemento combustiacutevel

Aquecimento Uniforme Aquecimento Senoidal

Fig 6 Fig 7

onde

H =

H = o

H b

comprimento do elemento combustiacutevel

cota onde o liquido se torna saturado

comprimento do elemento combustiacutevel em que ocorre

ebuliccedilatildeo

60

qg = calor sensiacutevel acrescentado ao liquido para satushy

raacute-lo

qfc = calor total acrescentado ao liacutequido em todo o com

primento do canal

laquoo

q s J o qiquest sen (IIzH) n H o

T~ = TH = 2 ( 1 c o s gt ( a )

q 1 sen (HzH) Jo ^c

A expressatildeo (a) vale quando tivermos uma adiccedilatildeo de calor

senoidal para qualquer outra forma de adiccedilatildeo de calor faz-se um

caacutelculo anaacutelogo

Outra relaccedilatildeo entre q g e qfc eacute dada pela termodinacircmica

q h- - h s f m (b)

(hr +x h )-hm ^t f e fg

onde

= entalpia para o liquido saturado a pressatildeo correjs

pondente (cota z = Ho)

hffi = entalpia do liacutequido na entrada do canal

x = tiacutetulo do vapor na saiacuteda

= entalpia do vapor

Com a relaccedilatildeo (b) noacutes determinamos a relaccedilatildeo q q ecom

S L

uma relaccedilatildeo do tipo (a) (conforme seja o adicionamento de calor ao

liacutequido) podemos obter a relaccedilatildeo HoH e consequentemente H^H

21 - Perda de pressatildeo num canal de evaporaccedilatildeo

Neste item iremos determinar as perdas de pressatildeo mais

representativas que ocorrem num canal de evaporaccedilatildeo de um reator

P + dP

bull1 i- 1 gti i i

dL

onde

UM

Icirc H Icirc Icirc T dF f t f

61

Quantidade de Mov na Entrada

= i- rigVg)

dF f l

Fig 8

m i

m 8

V l V 8

A P

dF

dF

dF

fg

fl

ftf

descarga do liacutequido

descarga do vapor

velocidade do liquido

velocidade do vapor

aacuterea transversal do canal

forccedila de atrito do vapor com parede

forccedila de atrito do liacutequido com parede

forccedila de atrito das duas fases liacutequido+vapor

Fazendo o balanccedilo das forccedilas considerando o sentido posjL

tivo na vertical temos

A (P-P-dP)-(dF +dF _+dF _)-(-pound-) (p A+p A )dL = mdash dGnV+m V ) P fg ftf fl g c 1 1 g g g c

v 1 1 g g 7

- dP = ~ (dF +dF--+dF)+- S--7=- (p A+p A )dL+ mdash ~ - d (m-V+m V ) A_ fg ftf fl g c Ap v^l 1 g g g A 11 g g

Fazendo a integraccedilatildeo termo a termo entre os dois extreshy

mos entrada e saiacuteda e considerando a pressatildeo de entrada igual a

P q e a de saiacuteda igual a Pe vem

Quantidade de Mov na Saiacuteda

-= h I- lY l+ A g V g + d ( aacute l V l + aacuteeVl

Forccedila de Gravidade

= ( g f - N P A + P g V

62

b) r e F f l

o p dp^ = Ap^ = perda de pressatildeo por atrito

do liacutequido na altura Ho

Aplicando a formula de Darcy vem

bull API = f bull ir bull ^ iexcl 7

onde

f = fator de atrito

c) e Fftf

o p ^P tpound

= perda de pressao por atrito da mistura

liquido + vapor no trecho de comprimen

to Hbdquo o

Para determinar esta perda de pressao define-se o fator

de multiplicaccedilatildeo R

A P R =

tf A P 1B

Sendo A p ^ a perda de pressao se o comprimento todo fosshy

se ocupado somente pelo liquido assim

A p t f = R A P 1 B

0 calculo de Ap-^ pode ser feito pela formula de Darcy e

o de R nos veremos no item seguinte

63

d)

-e F

d ( ^ )

O P

Ap = perda de pressatildeo por atrito do vapor

No caso do reator BWR o titulo de saida e bera pequeno e

em nenhum caso ocorre a saida de vapor com x = 100 logo a perda

de pressatildeo por atrito do vapor eacute nula assim

An = 0 5

e) Ap

(p A 1 + p A ) dL = Ap - perda de pressatildeo dpound

vida ao desniacutevel

(perda hidrostaacutetica)

Anbdquo = re A A

-S- I (p + p -S ) dL H s 1 A

c o p o A

como A A Jl_ =

A P

A +A-g 1

1-a -

temos

C Q

te j jll-a)p1 + apg)^jdL = p Lo pound

onde

e jo u

+ ap ) ~I dL (Densidade media 1 S J

no tubo)

No nosso caso

Ap u = p H

f)

re d(mV + m V ) _ mdash - laquo -i bull s iquestp laquos p e r d a ltje pressatildeo devido a acele-

c p raccedilatildeo do vapor

V A

(1-x) tl^Vj

(1-a) A

X V

aA

A p -

roV + m V

c p c p L_

m (l-x)m_v m xv nbdquo -1 T 1

+ _S S I (1-a) Ap aA

P

2 g A c p

n 2 2

(1-x) m T

laquo2 8 A c p

2 2 (l-xe) raTv1

2 2 2 xm_v (1-x) m-v e T s o 1 1

a 1 - a

2 2 - x m_v o T g

a

se

X Q 0 (so ha agua nesse trecho)

a = 0 o

temos

mbdquo Ap =

1 a A 2

S A degc p laquo-

tt-V v i 1 - a

2 via T^r - v i

t Apc

2

V v l

5c Ap

1 - a

x v - 1

a e v l

65

Fazendo

G = fluxo total da massa por unidade de area do

canal

(1-x J e

V

AP r

Assim a perda de pressatildeo total sera

H p V II pV r2 P -P = f -24-Iuml+ f R+p 0 1 2g c D e 2g c g c g c

2c2 - Determinaccedilatildeo do fator de multiplicaccedilatildeo (R)

221 - Relaccedilatildeo Martinelli-Nelson

Os autores Martinelli-Nelson determinaram experimental -

te esse fator R para varias LIT1L em funccedilatildeo da pressatildeo e da r NB total J v

qualidade de saiacuteda do vapor no canal Construiacuteram assim vaacuterias

curvas do tipo da figura 9

66

E importante notar que a qualidade do vapor (x) na saiacuteshy

da nao deve ser grande pois como vemos o valor de R cresce muishy

to com um aumento pequeno de x e um valor de R muito grande acar_

reta uma perda de pressatildeo grande pois

^ d u a s fases R ^ f a s e liacutequida

Para resolvermos um problema seguindo o criteacuterio de bdquo

Martinelli escolhemos a curva R = f(px) (para a relaccedilatildeo L

N g ^ j

adequado) e tiramos R com os valores de pressatildeo p e tiacutetulo x

As curvas R = f (p x L T t )IO encontram-se nos ANL 6469 bio I

e 6561

222 - Relaccedilatildeo Lottes-Flinn

Estes autores estudaram o problema para o aquecimento uni

forme do refrigerante com baixo titule Lottes-Flinn fizeram inuacuteshy

meras experiecircncias e verificaram que para fluxo de calor uniforshy

me e baixos titulos R era independente do fluxo de calor fluxo

do refrigerante escorregamento e apenas funccedilatildeo de a g

Como a quantidade de liacutequido eacute muito maior que a de vashy

por a perda de pressatildeo daacute-se principalmente pelo atrito do liacuteshy

quido com a parede Podemos assim escrever a foacutermula de Darcy

na forma diferencial

dz

d = f __ r e amp c

onde

V = velocidade do liquido saturado na cota zbdquo X

f = coeficiente atrito

= densidade do liacutequido saturado

Teoricamente a queda de pressatildeo deve-se ao acreacutescimo de

67

velocidade do liacutequido e da diminuiccedilatildeo da aacuterea de fluxo do liacutequi

do

P fH A P t p

= f D 2g Ho

d z

fazendo

V lo

m V t lo

(velocidade do liacutequido na cota z = Ho)

(1-x) m t v 1

(1-a) A (velocidade do liacutequido na cota z gt Ho)

a bull+ fraccedilatildeo vazio na cota z geneacuterica

V 1 (1-x) m t v 1

m t V l 1 - a

x =s 0 pois o tiacutetulo eacute baixo

A p t f = f bull JT5 c e

fH V lo

H o (1-a) dz

Para fazer a integral devemos achar a relaccedilatildeo de variaccedilatildeo

entre a e z Como o fluxo de calor eacute uniforme a qualidade eacute direshy

tamente proporcional a z

bull laquo x = x e H

z = mdash x X e

Sabemos ainda que (item 113)

x

1 + [ ( I -X)AKQ x + iiacuteraquo

68

como

temos

(1-x) = 1

v

X =

z =

1-a

1 -a

1-a e

a

e

1-a pound

a

1 -a igt (assumindo S = cte)

da

Atf - f bull 2 i ^ ~ J c e o

a 1 - a e e 1 s 4 hmdash) da

a 1-a

f P lv^ Q

0 termo mdash - mdash e a parte de perda de pressatildeo pelo lj^

^c e -quido ou seja Ap liquido saturado e como

Ap

R = tf

Ap liauido saturado

temos que

R J

f ae 1 _ a e 1 4

a 1 -a o e

1 -a r-R =

3 1 -a

a 1 -a imdash

3 vl - a 3

e e

Os valores de R obtidos por esta expressatildeo aproximam-se

muito dos valores obtidos pelos aacutebacos de Martinelli

69

E - EXPANSAtildeO E COMPRESSAtildeO DE UM FLUIDO - ANAacuteLISE HIDRODINAcircMICA

DE UM CIRCUITO EM CIRCULACcedilAtildeO NATURAL

1 EXPANSAtildeO NO FLUXO DE UM FLUIDO

11 - Uma so fase

Figura 1

Ha vaacuterios meacutetodos para determinar a variaccedilatildeo de pressatildeo

numa expansatildeo de fluido estudaremos o de Romie que eacute o que daacute

maior precisatildeo

Romie considera que a pressatildeo p^ tambeacutem atua na aacuterea

imediatamente apos a expansatildeo Assim fazendo o equiliacutebrio das foi

ccedilas nas secccedilotildees tracejadas da figura 1 temos

mVj

p r A 2 + mdash

mV

bull 2- A2

mas

m = pV^A^

pV^A = p V 2 bdquo A 2

V A

v 2 -4r-logo

( P l-P 2) A 2 = f ( V ^ ) - f _ v j amp c c 2

70

2 pV A A pV A A

Chamando A l A ]

K = 1 - T e degi2 = Aiexcl bull V E M

pvj

P l P 2 = T ~ bull ( 2 deg 1 2 ) ( 1 _ a 1 2 )

Outra maneira de chegar atilde diferenccedila de pressatildeo ( P j - ^ ) s mdash

ria usar o coeficiente de perda da mecacircnica dos fluidos Assim o

equilibrio das pressotildees eacute

2 2

1 V l 1 V 2 V l P i + _ p _ ^ P 2 + I p ~ + k 1 2 p mdash

onde = coeficiente de perda

A 2 1 2

k 1 2 - (l-o 1 2) - (1 - j- )

Fazendo as transformaccedilotildees chegamos a mesma expressatildeo obshy

tida pelo balanccedilo das forccedilas

PraquoIacute pr p

2 - - ir ^ laquo-ia

12 - Duas fases

Como ha duas fases a equaccedilatildeo do balanccedilo das forccedilas fica

um pouco alterada

m pound 1 V- m - raquoV - m-V- m bdquoV _ P A + j y ^ i + _gl_JUuml P A + -11-11 + -ilsl (a)

1 2 e R 2 2 ff e

Sabendo que

71

m (1-x) m t = p fA (1-a) V f

entatildeo

fl l-o^ p fA x

6 Vf2 1-x l-a2 P fA 2

m V = mdash mdash e V 0 = gl a 1 P C T A 1 g2

m

a_ p h

2 g 2

Nas expressotildees anteriores o x nao varia porque a expansatildeo

5 adiabaacutetica porem o a varia devido a modificaccedilatildeo do tamanho da

bolha

Substituindo os valores das velocidades na expressatildeo (a)

vera

( P - P ) Abdquo =

2

2 2 m gt2 2 m t (1-x) 1 x t

ra i 2 m i 1 x t 1

p fA 1 g c ttl p Ax gpound

m t P - P = mdash

(1-x) (l-a 1)A 1A 2 (l-a2)A|

a r A r A 2

V A 2

m t P bdquo - P = mdash 2 1 g c A r A 2 p f

(1-x) 1-a f A 2(l-a 2)

bull ^ 2

72

Se

P -P

a

m

g

12

1 _1_ (1-x)

J12

1 _ a l 1 - a 2 + X (- )

Pg

1 deg12 a 2 ^

Sabemos que

mt = V o pf laquo A l

Sendo V q = velocidade do liquido num ponto onde natildeo haja vapor

P 2-P 1

u 2 2 A 2

V pr Ai

V W p f

(1-x) 12

l-a1 l-a2

+ X 2 pf

mdash

l deg12

-1 a 2 _

p -p r 2 Al (2a 1 2)

2 M f w 1 deg12 X (mdash) (

pg al a 2 )+(l-x)C l 1 12

1-a^ l-a2

Devemos notar que esta expressatildeo tambeacutem vale para quando

temos uma fase para isso basta fazer

= c t 2 = 0

X = 0

e recairemos na formula do item anterior

2 pf 1 deg12 Observemos que neste caso o termo x (mdash)( ) nao

Pg al a2

2

73

tem significado pois corresponde a mudanccedila de fase

2 CONTRACcedilAtildeO KO FLUXO DE UM FLUIDO

21 - Uma so fase raquo mdash

Aqui ocorre um fenocircmeno importante pois o fluido ao ser

contraiacutedo nao vai diretamente da area A^ para a area A 0 mas ele

contral-se ate uma area A^ e depois expande-se ate k^

Ao A2

Po IP 2

V 2

Figura 2

Fazendo o equiliacutebrio das pressotildees entre os planos (1)

(0) vem 2 2

pV pV p +~ plusmn - P + i deg bull 1 2 g o 2 g (b)

C x

Fazendo equiliacutebrio da expansatildeo (0) - (2) vem

P o + 2 - f = P 2 + 2 -T + kp- 2 F ( c )

c c b C

Subtraindo (b) - (c)

2 2 2

i p- vj i p- v2 L P l + 2 bull g c

P 2 + 2 2g c

+ k P 2g c

74

Como

P - P = mdash 2 2g

2 2

bull (1 + k) - f bdquo mdash i

k a - f2 ) 2 - d - o c )2

= o

A = a 21

Weisback obteve varias relaccedilotildees entre a e a i] c

01 02 03 a 0624 0632 0643 c

0624 0632

A r v i - V v 2

p -p 1 2

P -P 1 2 2g7

v l =

(1+k) - laquofi- a 2g 21 c

( 1 + k - o 2 1)

X[- V 2 o 2 1V 2

22 - Duas fases

0 valor de k pode ser aproximado para

k = a(l - o 2 1)

onde segundo Richardsons para fluxo de duas fases podemos supor

a = 02

Para fluxo homogeacuteneo sabemos que

75

p = p f (1 -a ) + p o a

podemos supor p bdquo a = 0 pois p e pequeno e fazendo

V = V ~ V fbdquo2 go2 v 2

Substituindo estas duas expressotildees na equaccedilatildeo de uma soacute fase vem

2 2 p V (l-ct) p V (1 -a ) bdquo

P l P 2 = 9g ( 1 + 3 - 3 0 ^ - 0 ^ ) = g (a+1) (l-a^)

Se a = 02

2 12p oV 0

p r p

2 - 9g gt d-) d-sigt

A compressatildeo de um fluido acarreta uma perda de pressatildeo

como pode ser verificado pelas formulas uma vez que lt 1deg

3 ANALISE HIDRODINAcircMICA DE UM CIRCUITO EM CIRCULACcedilAtildeO NATURAL

Esquema deacute uma caldeira com circulaccedilatildeo natural

76

Determinar a velocidade em (7) para que tenhamos circula

ccedilatildeo natural Determinar tambeacutem as perdas de pressatildeo em todos os

trechos da caldeira

31 - Contraccedilatildeo das secccedilotildees (1) - (2)

Como jaacute vimos a equaccedilatildeo do balanccedilo das pressotildees eacute

1 pr Vl 1 p 2 o V 2 P2 V2

1 2 g 2 + 2 g + K12 2g otilde c amp c e c

bullraquo 2 o2 2 e havendo uma soacute fase k 1 9 = (l-o ) = (1 mdash ) e sendo

C 2

p l = p2

v x lt lt lt v 2

P 2 V pr p2 bull ir2 bull ( 1 + k12gt

Colocando em termos de temos

A 2 V 2 P 2 = A 7 V 7 p 7 (continuidade)

V = V mdashbull = V o_bdquo ~ A 2 2 2

P 2 V - p 2

p r p 2 = ir2 - deg72 bull Ccedilrgt bull lt 1 + ki2gt

fazendo

N12 - lt^gt deg72 ( 1 + k12gt

P7 V7

Pr P2 - N12 bull HG

77

3 2 - Perda de carga no trecho ( 2 ) - ( 3 )

Como haacute apenas uma fase soacute temos perdas por atritos e

perdas hidrostaacuteticas

Sendo como jaacute vimos

2 3 p 2 2 g P 2 P 3 = f 2 3 (r~2g^~) L 2 3 g c p

atrito hidrostaacutetica

Substituindo V^ pela relaccedilatildeo do item anterior e tendo em

conta que p = vem

P -P = f 2 r 3 2 3 D

2 3 p 2 bdquo 2 2 p 7 2

2 g 7 72 p 2 3 g

Se

L 2 3 2 p 7

2 3 2 3 D 2 a 7 2 p 2

P 7 V 7 g P 2 - P 3 = N 2 3 ( mdash gt p 2 L 2 3 f

3 3 - Expansatildeo nas secccedilotildees ( 3 ) - ( 4 )

Como vimos o balanccedilo das pressotildees e

2 2 2 p V p 4 V p V

P 3 + 2 g c

P 4 + 2 g c

+ k 3 4 2 g c

onde

k 3 4 - - -

2 2 1 P 4 - V 4 P 3 v 3

P 3 P 4 = 2 g + ( k 3 4 _ 1 ) 2 g

78

Sendo

P 3 - P 4

p 3 o A 3 deg V 3 = P 7

a A 7 o V 7

P 4A 4 0V 4 = P r A r V

3 7 A 3 p 3

A7 P7 V = v mdash mdash 4 7 P 4

P - P 3 r4

Se

P bdquo - P

bdquo2 r-P 7 V 7

3 4 2g deg74 + ( k 3 4 1 ) deg73

34 p deg74 + ( k 3 4 1 ) 73

p r v2

P3- P4 ^ N34 ^ gt

(No caso e negativo)

34 - Contraccedilatildeo nas secccedilotildees (5) - (6)

Ainda temos uma so fase e fazendo o balanccedilo das pressotildees

como fizemos no item 3lt1 vem

P + vil p + vi + k vi P 5 + 2gbdquo P6 + 2gbdquo + k56 2gbdquo

k 5 6 lt 1 ^ gt 2 ( 1 - Iacute 2 i 2 6

V V6 P5degIacute 5^6 ^SS 2g c - 2g c

P - P ^ = (1+kJ

Como

79

A 6

W p 5 =

VV P6 V 5 = V 6 Jiexcl = Vff65

P 5-P 6 - lt H k 5 6 ) mdash ^ mdash (l+k 5 6-a 6 5) c c c

Sendo

Se

A 7 p 7 p 7

6 7 Ag p 6 7 76 p 6

p _p _ P6- V7- g76 iquest72 ( _ 02 P 5 P 6 2g c bull ( p 6

( 1 + k 5 6 deg65 )

p 7 2 2 N56 = p ^ deg76 ( 1 + k 5 6 ~ a 6 5 )

P 7 V 2

7

P r-P = N r 5 6 56 2g c i

35 - Perdas de pressatildeo nas zonas (6) - (7) - Pre^aquecimento

Nesta regiatildeo temos perdas por atrito e hidrostaacuteticas

Nao haacute perda por aceleraccedilatildeo pois ainda natildeo houve formaccedilatildeo de boshy

lhas

Fazendo balanccedilo das pressotildees temos

L_ ppound-V p = p + otilde L - pound _ + f -Si (-21mdashL 6 7 + p67 L67 g + t 6 7 D K 2g

p _ e ifn sao tomados como valores meacutedios 67 67

P _p _ f hl ^67jIacute uuml + - L A

6 F 7 r67 D 2g P P67 L67 g 6 s c 7 c

S e Kr pound67 L67 p67 6 7 D 6 p7

p7 V - _g_ P6- P7 - N67 mdash + P67 L67 f

c c

80

36 - Perda de pressatildeo nas zonas (7) - (8) - Zona de ebuliccedilatildeo

Nesta regiatildeo j aacute temos o aparecimento de bolhas logo a

perda de pressatildeo seraacute devida agraves t recircs parcelas aceleraccedilatildeo a t r i t o

das duas fases liacutequidas + vapor e h idros taacute t ica

onde

Assim

P-P Q = AP + AP + APbdquo 7 8 a t r i t o acel H

T M1

78 p 7 7 AP - R f- - mdash mdashr |R = fator mult ipl ica-

a t r i t o 7 D 7 2 g c L tivo

G 2

AP bull r mdash acel g c

P V

|_1 - o a p J 8 P f

2 t r 2 M2

7 7 r 7 7 A P a c e l = -J^mdash 2 r bull p 7 lt T iexcl iexcl - )

A PH p 7 8 L 7 8 fiexcl

p 7 8 iacute 7 li 1 0 0 P l i q + a P v ] d L = P 7 ( 1 - laquo 7 8 )

ag raquo fraccedilatildeo de vazio media entre 7 e 8

APH = p (1 - 5 7 g ) f- L 7 8

2 2

P 7 - P 8 a 5 - 2 T i + 2 r p 7 + P 7 ( 1 - 7 8 gt f L 7 8 7 amp c amp c amp c

81

N 7g = R mdash + 2 r p 7

P7 V7 P7- P8 = N78 + P 7 ( 1 5 7 8 gt J78

37 - Expansatildeo nas secccedilotildees 8 e 9

No caso haacute uma expansatildeo com duas fases e como vimos no

item 12 a variaccedilatildeo de pressatildeo era dada por

0f Vo P2 P1 = ~2g c ( 2 deg12

x 2 (mdash)(mdash - mdash ) + ( l - x ) 2 ^ T mdash 8 1 2 1

12

Aplicando ao nosso caso

P pound = P 7

P -P = 8 9

V - V raquo V g f 7

P 7 V 2

2 pf 1 a89 2 1 g89 x (mdash) ( ) + (1-x) (- - N

o ou abdquo 1-cu l-ot_) g 8 9 8 9

Se

N 89

= 2 a 89

2 pf 1 deg89 2 1 CT89 x (mdash) ( ) + (1-x) ( T

g 8 9 8 9

P -P = 8 9

- N P7deg V7

89 2gbdquo

38 - Perda de pressatildeo no trecho 9 e 10

No referido trecho temos apenas perda de pressatildeo por atr L

to da fase liacutequido + vapor e perda hidrostaacutetica Natildeo haacute perda por

aceleraccedilatildeo do vapor pois este natildeo recebe mais calor e portanto

o 82 o

nao ha variaccedilatildeo no a

p

Q -p i n = A P

U + A P bull 9 10 H atrito

n T -S_ P9 U10 deg 910 bull g

fio r

910 I 910

J9 L

(l- a)P + Q P I dL liq v

(l-a0) p

No caso a = (nao hatilde variaccedilatildeo de forma)

A P H - (1-a ) P (p L 0

c

AP bdquo = R o

atrito

2 f9 o L910 P9 V9

2g

Supondo

= V

P 9 = P 8 P 7

vbdquo = v 9 8 0 A r

= V 7 bull deg89

AP - R atrito

2 2

W l O p7deg V7deg g89

V P10 R -^T^ bull deg89 bull li-2 + ( W P 7 (fgt SIO

y c c

Se

- f9 L910 2 N9ol0 R Dl deg89

w 2

p rv P9 P10 = VlO + ( 1 a 9 ) p7 (f gt L910 c

33

39 - Perda ciacutee pressatildeo na expansatildeo 9 - 1 0

Analogamente a expansatildeo 8 - 9 temos

10 11 P 7 2g

10 Iacute 2 0 1 0 - 1 1 gt

2 ff

pg aio

10-11

laquo11 ) +

Ll-a 1 0 bull l-a u J

Se

V10 = V 9 = V 8 bull T9 = V 7 deg89

P -P 10 rll = - a 2g 089 ^lO-ll

4 bull T~ bull (7 1 mdash ) + Pg degio a n

+ (l-x)2(- 1 10-11

1 - aio )

N10-ll = 2 a10-ll a89 2 pf t 1 10-11 N2

-(j-r- - ) bull+ (1-x) pg aio deg 1

10-11 k l - a io

prz P10 Pll = - N10-ll bull ( 2gbdquo

310 - Calculo de V

Fazendo a somatoacuteria de todas as expressotildees (P^-Pj) tere-

84

mos 2 PbdquoV_

P bdquo - P bdquo = N 7 v 7

1 2 12 2g

bull 2 - P 3 - = N 2 3 P 2 L 2 3 f c ccedil

9 P 7 V 7 P _p = N mdash -

3 4 34 deg 2g

V P 5 = deg

2 P V

5 6 56 2 g c

ltr2

P 7 -V 6 e7 -N67 2g + p 6 7 J j67 g

c bc v 2

P 7 - P 8 = N 7 8 - 2 i ~ + p 7 ( 1 - laquo 7 8 ) L 7 8 c

P 7 V 7

P - P - -N mdash - -8 9 89 2g

c P 7 V 7

P 9 ~ P 1 0 VlO 2g + ( 1 a 9 P 7 L 9 c

P 7 V 7

bull10 11 U10-ll 2g

P v iacute j P - P

1 11

7 - v 7 3 bull r

2 8 i U L 2 23 67

(l-5 7 8) L 7 8 + ( l - laquo 9 ) P 7 bull SlOtilde]- ^

Por ou t ro lado sabemos que como secccedilotildees 1

mesmo n iacute v e l

85

s c p r v 7 j

28 Z N i ij

= P 2 L23 p67 L67 P 7 ( 1~deg78 )

78 ~ ^g) bull P 7 bull L 910 g_

V - 2 g ( p r L 2 3 - p 6 r L 6 7 - p 7 ( l - atilde 7 8 ) L 7 8 - (l-a9) p L 9 a ( )

y N

Com esse valor de podemos determinar todas as variashy

ccedilotildees de pressatildeo (P^-P )

BIBLIOGRAFIA

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tituto de Energia Atocircmica de Sao Paulo em 1966 (roteiro)

- WR Gambill - Nuclear Safety

Vol 9 - n9 5 e 6

Vol 6 - n 2 (pag 152)

Vol 4 -r n9 1 (pag 30)

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Mc Adams - Heat Transmission

- Paul A Lottes - Argonne National Laboratory

- AKL - 6469

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Frank Kreith - Principles of Heat Transfer

Journeacutees Internationales de la transmission de la chaleur

Seminaacuterios realizados em Paris em 1961 sob a supervisatildeo do

Prof Marcel Veron

Notas de aula da Cadeira de Termodinacircmica I e Transmissatildeo da

Escola Politeacutecnica da Universidade de Sao Paulo

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19

Nesse caso define-se o numero de Reynolds baseado na veshy

locidade da fase liacutequida isto eacute

p V 6

Nbdquo - m r

Rer y u

onde

V = velocidade do condensado na camada limite m 6 = espessura da camada limite

T = p V m 6 = descarga do condensado por unidade de largju

ra da superficie de condensaccedilatildeo

No calculo da determinaccedilatildeo de T haacute uma certa dificuldade

pois ele soacute pode ser determinado por iteraccedilatildeoraquo

Q = m c laquo A t = h A A t P

A = 2ir R bdquo L (para tubos)

m c = h o 2IumlIuml R laquo L P

m m braquoL _ p a _ _ li li

2TTR C c P P

Como noacutes nao sabemos o valor de h_ devemos inicialmente

adotar um V e obter atraveacutes da foacutermula

NNuL = deggt0134 (R PV L 3 gt 1 3 ( N R e r ) 0 4 ( 4 )

y

o valor de _h se os valores de h_ obtidos por (3) e (4) forem iguais

o problema esta resolvido caso contraacuterio fazem-se tantas iterashy

ccedilotildees quantas forem necessaacuterias

252 - Efeito dos gases incondensaacuteveis

A presenccedila de gases incondensaacuteveis reduz violentamente o

coeficiente de peliacutecula pois acirc medida que o vapor se condensa o

gaacutes nao condensaacutevel se acumula junto atilde superfiacutecie de resfriamento

20

formando uma barreira adicional S passagem do fluxo de calor

A reduccedilatildeo do coeficiente de peliacutecula que a presenccedila des_

ses gases causa depende da fraccedilatildeo em massa dos mesmos na mistu

ra gaacutes-vapor

Fizeram-se inuacutemeras experiecircncias e sobre o assunto a tiacute

tulo de exemplo vejamos o graacutefico abaixo onde temos em abcissas

o coeficiente de peliacutecula obtido experimentalmente e em ordenadas

a fraccedilatildeo de gases dissolvida jio vapor

5000

bullg- 4000 O

3OOO

2000

S 1000

4 6 8 10 12 lt|gt(lbm arlbm de vapor )x 10

Devemos notar a grande influecircncia dos gases incondensatilde-

veis por exemplo quando o vapor eacute puro nos temos um h = 4000se

tivermos apenas 1 de ar dissolvido o coeficiente de peliacutecula fishy

caraacute reduzido agrave metade isto ecirc h = 2000

Por isso nos condensadores sempre se coloca vapor ornais

puro possiacutevel

253 - Efeito da velocidade do vapor

Quando a velocidade do vapor junto agrave interface liacutequido-

-vapor natildeo focircr despreziacutevel surgem forccedilas de atrito entre o vapor

e o liacutequido Se a direccedilatildeo do fluxo do vapor coincide com a direshy

ccedilatildeo do movimento do liacutequido a velocidade do liacutequido aumenta (haacute

compressatildeo) e a espessura do filme liacutequido diminui e consequenshy

temente a transferecircncia teacutermica melhora pois haacute diminuiccedilatildeo da

resistecircncia teacutermica

Se entretanto a direccedilatildeo do vapor focircr contraacuteria a do fil

o 21 laquo

me de liquido ha uma tendecircncia de haver aumento da espessura da pj2

liacutecula diminuindo assim o valor de h

26 - Consideraccedilotildees sobre os resultados obtidos com as foacutermushy

las de Nusselt

Nota-se experimentalmente que os resultados obtidos pelas

equaccedilotildees de Nusselt sao em geral 10 a 20 inferiores do que os reshy

sultados reais Assim a favor da seguranccedila elas sao usadas e aaacuteo_

tadas Os motivos das discrepacircncias jaacute-foram ditas atraacutes no item

25

Devemos notar ainda que o valor de h obtido pelas foacutermushy

las anteriores e o valor meacutedio jaacute que h varia de ponto para ponto

e seria difiacutecil obter uma equaccedilatildeo que nos desse o valor de h locaL

2bdquo7 - Condensaccedilatildeo por peliacutecula externamente a tubos ciliacutendrishy

cos horizontais

0 mesmo estudo de Nusselt pode ser aplicado neste caso

baseado na hipoacutetese de que no topo do tubo a peliacutecula do condensashy

do tenha espessura nula Chega-se a expressatildeo

g p 2 h D 3 14

NT _ = 0725 ( ) (5) NuD u k o At

Analogamente ao caso anterior as propriedades do liacutequido

sao tomadas a

t + t w sat

tm = ^

exceto h que eacute tomado a t

ev n sat

Na situaccedilatildeo atual da tecnologia e possiacutevel obtermos tubos

com diacircmetros suficientemente pequenos para que tenhamos escoamenshy

to do condensado soacute em regime laminar

22

No caso de vaacuterios tubos empilhados a formula (5) deve

ser modificada pois como dissemos ela soacute vale quando no topo do

tubo a espessura do liacutequido eacute nula o que nao acontece neste caso

(Vide figura a)

Vapor

Tubo

mdash Liacutequido

Fig a

Neste caso a forma que nos da o valor meacutedio para h e

g p 2 h D 3 14

NNuD deg gt 7 2 5 lt N u k V At gt

sendo N o numero de tubos empilhados

Note-se que neste caso o coeficiente h cai bastante Uma

boa soluccedilatildeo para o caso quando dispoacuteftos de lugar eacute dispor os tushy

bos defasados (Conforme figura b)

Liquido

Fig b

Neste arranjo podemos aplicar a equaccedilatildeo (5) pois no tp_

po de cada tubo a espessura da camada de condensado eacute nula

23

B - CONVECCcedilAtildeO COM MUDANCcedilA DE FASE - EVAPORACcedilAtildeO (II)

1 INTRODUCcedilAtildeO

Evaporaccedilatildeo consiste na obtenccedilatildeo de vapor por meio de aque

cimento de um liacutequido

Apesar da importacircncia do processo e do sucesso obtido na

praacutetica em projetos de evaporadores o fenocircmeno da evaporaccedilatildeo eacute

um dos pontos menos conhecidos da transmissatildeo de calor

0 primeiro estudo seacuterio sobre o assunto foi feito em 1934

pelo japonecircs Nukiyama poreacutem somente nos uacuteltimos 10 anos tais es-

tudos se intensificaram

Os primeiros pesquisadores quando estudavam o fenocircmeno

do resfriamento de um solido num liacutequido obtiveram as seguintes

curvas

onde

temperatura

velocidade de resfriamento

3 0 v = amdashbull

A 06

Q - fluxo teacutermico

8 - tempo

A - aacuterea do soacutelido

24

tempo

Ateacute os estudos de Nukiyama nao se conseguia explicar o

porque da variaccedilatildeo crescente da velocidade de resfriamento quando

t gt t sol sat

2 PROCESSO DE FORMACcedilAtildeO DAS BOLHAS

Como a evaporaccedilatildeo do liacutequido se faz sobre uma superfiacutecie

aquecedora sobre esta irao se formar bolhas de vapor que influem

decisivamente no fenocircmeno

Aqui soacute iremos estudar as bolhas sob o ponto de vista qua

litativo bem como a sua influencia mas nao sob o ponto de vista

quantitativo

Recentemente Fritz e Jacob WR Gambill e outros estudiacutei

ram o processo da formaccedilatildeo das bolhas sobre a superfiacutecie aquecedpound

ra Atraveacutes de fotografias verificaram que a bolha de vapor ain

da em contato com a parede variava profundamente de forma confo_r

me o angulo de contato entre liacutequido e parede metaacutelica

Assim eacute que se a superfiacutecie de aquecimento nao e excesshy

sivamente polida e a tensatildeo superficial do liacutequido eacute pequena a

bolha tem a forma da figura las diz-se nesse caso que o liquishy

do molha a parede neste caso o angulo de contato e agudobull Se

as condiccedilotildees contrarias se verificarem o acircngulo de contato sera

obtuso e as bolhas tomam a forma da figura ldegb Naturalmente ve

rificara-se as condiccedilotildees intermediaacuterias para o angulo de contato da

25

fig lc

Fig la Fig lb Fig lo

0 estudo analiacutetico da formaccedilatildeo e crescimento das bolhas

pode ser encontrado em diversos livros por exemplo no El-Wakill

(Nuclear Power) no Jakob (Heat Transfer)e outros Neles faz-se

o estudo das condiccedilotildees do liquido (pressatildeo temperatura tensotildees

etc) para haver ou nao formaccedilatildeo de bolha Isto eacute feito fazendo-se

o estudo das bolhas nas seguintes posiccedilotildees

a) bolha no seio do liacutequido

para meia bolha

4 ltP g - P fgt fg

onde

P g P f

- 4 D (D

g

Pf

D

pressatildeo do vapor

pressatildeo do liquido

tensatildeo entre superfiacutecie do liacutequido e vapor

diacircmetro da bolha

^f g

P f Fig 2

26

A equaccedilatildeo (1) mostra que a pressatildeo do vapor deve ser maior

que a do liquido nas condiccedilotildees de saturaccedilatildeo e este por sua vez

deve estar no estado de superaquecimento o

b) bolhas sobre superfiacutecie solida

Fig 3

Condiccedilotildees para desprender

a mdash o_ + o_ cos a gs fs fg

tensatildeo na interfase liacutequida e vapor (depende das

propriedades do liacutequido e vapor)

tensatildeo entre o liacutequido e superfiacutecie de aquecimen

to (depende das propriedades do liquido e da sushy

perfiacutecie)

tensatildeo entre o vapor e a superfiacutecie de aquecimeri

to (depende das propriedades do vapor e da super

fiacutecie)

21 - Formas do fluxo do vapor desde a superfiacutecie de aquecishy

mento ateacute a superfiacutecie livre do liacutequido

Considerando liacutequido vaporizado em tubos verticais pode^

mos ter 4 tipos de fluxo de vapor

1 - fluxo de bolhas

2 - fluxo de agregados (plug ou slug)

3 - fluxo anular

4 - fluxo disperso

Os quatro tipos ficam bem determinados respectivamente

onde

a fg

degfs

a gs

27

pelas 4 figuras abaixo

LIacutequido - Liacutequido Liacutequido

o

^Bocirclha de

vapor

Vapor

mdash [

- Vapor

mdash 0 0

deg_ a-

jrj-

iquestiexcl5

Bolhas Agregados Anular

Liacutequido

vapor

Disperso ou

Homogecircneo

Conforme o tipo de ebuliccedilatildeo podemos ter uma so das forshy

mas acima ou uma mistura

3 INCERTEZAS NO ESTUDO DA EVAPORACcedilAtildeO

Ha trecircs incertezas principais para determinar o fluxo de

calor na evaporaccedilatildeo a saber

- Aacuterea de contato indefinida

- Diferenccedila de temperatura indefinida

- Grau de turbulecircncia

Como realmente nos nao sabemos uma dependecircncia algeacutebri

ca entre o acircngulo de contato e a superfiacutecie ocupada pelo liacutequishy

do (ou vapor) temos uma incerteza na determinaccedilatildeo da aacuterea de tro

ca de calor (A)

Outra incerteza eacute a dificuldade da obtenccedilatildeo de diferenccedila

de temperatura entre o liacutequido e a parede que normalmente assume-

-se como sendo a diferenccedila entre a temperatura da parede e da ebu

liccedilatildeo do liacutequido (temperatura de saturaccedilatildeo = t )

S cl c

Na realidade a diferenccedila de temperaturas nao eacute aquela

pois a camada de liacutequido que cobre a superfiacutecie aquecedora esta

a uma pressatildeo maior que o resto do liacutequido (pressatildeo atmosfeacuterica

mais a hidrostaacutetica) e consequentemente a temperatura de vaporiza_

ccedilao desse liacutequido e maior que a da superfiacutecie Esta diferenccedila po-

28

deria ser calculada desde que se conhecesse a relaccedilatildeo entre presshy

satildeo e temperatura de saturaccedilatildeo do liacutequido entretanto haacute incerte

za quanto ao verdadeiro peso especiacutefico da coluna de liacutequidopois

trata-se de uma mistura de bolhas de vapor e de liacutequido em proshy

porccedilatildeo variaacutevelraquo

4 REGIMES DE EBULICcedilAtildeO

Nukiyama estudando a ebuliccedilatildeo da aacutegua num recipiente a

quecendo-a com resistencias eleacutetricas construiu a curva baacutesica da

ebuliccedilatildeo Todos os liacutequidos apresentam uma curva semelhante vashy

riando apenas os valoresraquo Os pontos caracteriacutesticos da curva deshy

pendem de caracteriacutesticas difiacuteceis de definirtais como natureza

do metal estado da superficie (rugosidade) dimensotildees orientashy

ccedilatildeo do fluxo quantidade de gases dissolvidos e t c

Estudaremos o fenocircmeno para o caso de aacutegua destiladasem

gas dissolvido a temperatura de saturaccedilatildeo 100 C pressatildeo atmosfe_

re uma superficie plana

Chega-se assim acirc curva

rica sobre uma superficie plana horizontal a temperatura t^

In ltJgt

At (degC)

A curva acima representa o aquecimento de agua com uma re_

sistecircncia eleacutetrica (ate ebuliccedilatildeo)raquo Temos em abcissas as diferenccedilas

de temperatura entre o liacutequido e a resistecircncia em ordenadas o flu

29

Regiatildeo I

Regiatildeo II

Regiatildeo III

Regiatildeo IV

xo de calor por unidade de area

Na curva notam-se 4 regiotildees bem definidas tendo cada uma

o seu significado fiacutesico os quais correspondem a um tipo de ebuli

ccedilao

convecccedilao natural

ebuliccedilatildeo nucleada

ebuliccedilatildeo por peliacutecula parcial

ebuliccedilatildeo por peliacutecula estaacutevel

41 - Convecccedilao natural

Ocorre quando At eacute inferior a 8degCformam-se no liacutequido

correntes convectivas as quais transferem o calor ateacute a superfiacuteshy

cie livre do liacutequido e aiacute desprendendo o vapor Neste caso o valor

de h eacute da ordem de 2000 kcalm^hdegC

42 - Ebuliccedilatildeo nucleada

Ocorre quando o At eacute maior que 8degC e menor que 25degC Nesshy

te caso as bolhas formam-se junto a superfiacutecie de aquecimento

crescem liberam-se movimentam-se em direccedilatildeo agrave superfiacutecie livre do

liacutequido onde estouram libertando o vapor As bolhas formam-se nas

irregularidades da parede tecircm um acircngulo de contato agudo e porshy

tanto hatilde liacutequido sempre em contado com a parede (molha a parede)

cada ponto ativo (lugar onde se formam as bolhas) libera uma porshy

ccedilatildeo de bolhas e os outros pontos do liacutequido ficam em contato com a

superfiacutecie quente violentamente agitados Esta agitaccedilatildeo extrema eacute

mais eficaz que uma turbulecircncia criada artificialmente Por esse mo

tivo a curva cresce violentamente nesse trecho (m = 3 a 7) pois

bull 2 o o valor de h cresce consideravelmente (ate 46000 kcalm hr C) e

o fluxo teacutermico transmitido ao liacutequido cresce proporcionalmente a

Quando cresce crescem tambeacutem

(At) 3

30

numero de bolhas por unidade de aacuterea (num instanshy

te)

~ = crescimento da bolha (com o tempo)

frequecircncia de iacuteormaccedilao de bolhas

A medida que o At vai aumentando iraacute aumentando (jgt tam-- n o N

bem e consequentemente mdash R mdash a a a tal ponto que quando atiacuteii

girmos o ponto da curva nao haveraacute mais formaccedilatildeo de bolhas

mas sim uma peliacutecula de vapor instaacutevel passando assim a 3a re

giao que estudaremos a seguir

43 - Ebuliccedilatildeo por peliacutecula parcial

Como dissemos no item anterior se aumentarmos ainda mais

o At (entre 25degC e 125degC) teremos a formaccedilatildeo de uma peliacutecula de

vapor instaacutevel sobre a superfiacutecie quente que aacutes vezes eacute perfurashy

da pelo liacutequido A camada de vapor tanto mais estaacutevel seraacute quanshy

to maior focircr o At Essa peliacutecula de vapor iraacute provocar um decreacutes_

cimo consideraacutevel no fluxo teacutermico porque como sabemos o vapor

eacute muito pior condutor que a aacuteguaraquo

0 fluxo vai decrescendo ateacute um ponto miacutenimo (iexclgt mintilde (as vecirc

iacutebo bullraquo 1

zes chega a ser mdashj-) e e o chamado ponto de Liedenfrost 0 coeshy

ficiente de peliacutecula neste caso cai violentamente (h = 2000

kcalm^hrdegC)

44 - Ebuliccedilatildeo por peliacutecula estaacutevel

Aumentando ainda mais a diferenccedila de temperaturas

At ( gt 125degC) iremos conseguir uma camada de vapor estaacutevel Ela

transmite calor da superfiacutecie quente ao liacutequido que se vaporiza de

modo que o excesso de vapor formado na interface liquido-vapor for

ma bolhas que sobem para a superfiacutecie 0 liacutequido encontra-se agi-

31

tado poreacutem nao toma contato com a superfiacutecie soacutelida

A peliacutecula de vapor eacute estaacutevel e o fluxo eacute proporcional a

34

(At) (lei de Bromley) Para At grandes passa a influir sensivel^

mente a radiaccedilatildeo teacutermica mais uma razatildeo para demonstrar que nesshy

ta regiatildeo o fluxo cresce novamente

5 CONSIDERACcedilOtildeES E COMPARACcedilAtildeO ENTRE OS TIPOS DE EVAPORACcedilAtildeO

BURNOUT

Sob o ponto de vista de eficiecircncia teacutermica deveriacuteamos sem

pre trabalhar no ponto de fluxo maacuteximo isto eacute no ponto correspon

dente a lt(gt da curva de Nukiyama pois eacute o que daacute maior coeficieri

te de peliacutecula

Acontece poreacutem que se impomos a temperatura da parede

fixa obtemos um uacutenico valor de lt(gt e portanto o fenocircmeno eacute estaacutevel

Poreacutem se como ocorre nos reatores impomos um fluxo teacuter

mico a curva de Nukiyama apresenta 3 pontos de funcionamento posshy

siacuteveis A B C

1

SOacute os pontos A e C sao funccedilotildees estaacuteveis mas eles impotildeem

acirc superfiacutecie quente temperaturas bem diferentes

Na industria em geral trabalha-se por questotildees de segushy

ranccedila na regiatildeo IV da curva poreacutem para os reatores trabalha-se na

32

r e g i atilde o I I

0 p r o b l e m a de t r a b a l h a r n a r e g i atilde o II eacute q u e se n oacute s e s t i shy

v e r m o s t r a b a l h a n d o n o p o n t o e x t r e m o (j) e se p o r q u a l q u e r m o t i v o

h o u v e r u m p e q u e n o a c r eacute s c i m o d e ltfgt i r e m o s t r a b a l h a r i m e d i a t a m e n t e no

p o n t o M q u e t e m o m e s m o $-^0t p o r eacute m c o m A t 2 m u i t a s v e z e s m a i o r

p o d e n d o o c a s i o n a r a f u s atilde o d a s u p e r f iacute c i e a q u e c e d o r a E s t e f e n ocirc m e n o

eacute c h a m a d o d e b u r n o u t

0 f l u x o lttgt eacute c h a m a d o f l u x o c r iacute t i c o o u f l u x o d e b u r -b o

n o u t N o c a s o do r e a t o r d e v e m s e r t o m a d a s m e d i d a s r i g o r o s a s q u a n

to agrave r e g u l a g e m do f l u x o t eacute r m i c o p a r a q u e n atilde o o c o r r a o b u r n o u t 1 1

p o i s d e l e p o d e r e s u l t a r r u p t u r a d a c a m i s a do c o m b u s t iacute v e l e h a v e shy

r aacute p o r t a n t o c o n t a t o do r e f r i g e r a n t e c o m o s s oacute l i d o s e g a s e s r a shy

d i o a t i v o s

5 o l - R e l a ccedil atilde o d e B u r n o u t

E c l a r o q u e p a r a t e r m o s u m r e a t o r m a i s e f i c i e n t e d e v e shy

m o s t r a b a l h a r c o m u m f l u x o o m a i s p r oacute x i m o p o s s iacute v e l do f l u x o d e

B u r n o u t P a r a t a n t o d e v e m o s c o n h e c e r c o m o m a i o r g r a u d e certe

za p o s s iacute v e l q u a l o ^ p a r a p o d e r m o s r e d u z i r o c o e f i c i e n t e d e s e shy

g u r a n ccedil a ( W R G a m b i l l r e c o m e n d a agrave 1 5 )

N o s s e m i n aacute r i o s d e W R G a m b i l l e n c o n t r a m o s u m a s eacute r i e de

b i b l i o g r a f i a s o n d e p o d e m o s e n c o n t r a r i n uacute m e r a s f oacute r m u l a s p r o p o s t a s

p a r a a o b t e n ccedil atilde o de (q 1^)

A t i t u l o d e e x e m p l o v e j a m o s a l g u m a s

q - 2 7 0 G deg gt 8 5 D 0 2 A085 p lt 150

deg D ( L uuml ) 2

q - 140 G 0 5 D ~ deg 2 (-~-)~deg 1 5 p ~ r gt 150 c D (LD)

o n d e a m b a s as e q u a ccedil otilde e s s oacute v a l e m p a r a aacute g u a e m b a i x a p r e s s atilde o e m coii

v e c ccedil a o f o r ccedil a d a

33

D

L

fluxo teacutermico critico BTUhrft bdquo 2

descarga em massa do liquido (Ibmhrft )

diacircmetro do tubo ft

comp do tubo ft

Para cada caso temos uma expressatildeo diferente que pode ser

encontrada em literatura especializada

6 INFLUEcircNCIA DE OUTROS PARAcircMETROS NO FLUXO DE BURNOUT

Como para os usos atuais do reator a diferenccedila de temppound

ratura entre parede e fluido sao pequenas bem como o fluxo de bur

nout recentemente fiacutesicos como Jakob Bonilla WR Gambill estu

daram outros paracircmetros que influenciam bastante o sect^ 0gt isto eacute a

influecircncia desses paracircmetros faz com que o ^ seja maior Isto eacute

util pois quanto maior o fluxo de burnout maior poderaacute ser o

fluxo de calor real de funcionamento

Tais meios sao

- Sub-resfriamenCcedilo do liacutequido

61 - Influecircncia da velocidade do liacutequido

Estudos feitos pelos autores acima chegaram agraves curvas

- Aumento da velocidade imposta ao liacutequido

- Pressatildeo do liacutequido elevada

alto V

At

34

Para velocidades maiores o fluxo de burnout aumenta

porque neste caso o regime eacute turbulento e o coeficiente de peliacute

cuia h aumentao

6bdquo2 - Influencia do aumento da pressatildeo

Este estudo deve-se a Bonilla que obteve experimentalmen

te as curvas

Este estudo foi feito para vaacuterios liacutequidos e chegou a con

clusao que sempre havia uma pressatildeo oacutetima isto e uma pressatildeo que

leva ao maior iacute 1 ^ raquo mantidas as demais condiccedilotildees Experimentalmenshy

te notou que essa pressatildeo correspondia a 13 da pressatildeo critica

do liquido em questatildeo

6=3 - Influecircncia do sub-resfriamento

Consiste em manter atilde custa de uma circulaccedilatildeo intensa o

liacutequido a uma temperatura inferior atilde de saturaccedilatildeo para a pressatildeo

correspondenteraquo Experimentalmente chega-se agraves curvas

mdash A t grande sub

bullAt -0 sub sub

medio

At

35

Verificando os graacuteficos vemos que o lt)gt aumenta agrave medida bo

que aumenta a diferenccedila de temperatura de sub-resf riamento isto pojr

que o liquido como estaacute mais frio faz com que algumas das bolhas

recondensem permitindo que o liquido fique em contato com a parede

quente o que faz aumentar o h

^ f csub = t e m P e r a t u r a ddeg liacutequido - temperatura de saturaccedilatildeo

A diferenccedila de temperatura At entre fluido e parede tamshy

beacutem aumenta poit na regiatildeo proacutexima agrave parede haacute necessidade de

levar o liacutequido da temperatura do sub-resfriamento ateacute a temperatu

ra de saturaccedilatildeo quando se evapora

Atualmente os maiores estudos dos fiacutesicos nucleares locashy

lizam-se neste campo pois eacute o que oferece maiores vantagens

7 FORMULAS PARA 0 CAacuteLCULO DO COEFICIENTE DE PELIacuteCULA NA EBULICcedilAtildeO

Como ocorre no caacutelculo de todas as foacutermulas de convecccedilatildeo

temos formulas empiacutericas para determinar o h conforme o tipo de

ebuliccedilatildeo que nos consideramos

71 - Ebuliccedilatildeo Nucleada

Para o caso de aacutegua temos as relaccedilotildees

superfiacutecies

horizontais

superfiacutecies

verticais

f aacute 5000 BTUhrft 2 -gtbull h = 151 ( A t ) 1 3

A o

5000 lt 75000 -h = 0618 (At)3

^ pound 1000 -raquobull h = 8 7 ( A t ) 1 7

A o -

1000 lt $ lt 20000 -gt h = 027 (At) A o

Quando a pressatildeo e diferente da atmosfeacuterica faz-se a correccedilatildeo

3 6

72 - Ebuliccedilatildeo por peliacutecula

Bromley propocircs uma boa equaccedilatildeo para a ebuliccedilatildeo por peliacuteshy

cula estaacutevel em cilindros horizontais

Nu

_ JtjD n r 9 P v bull ( P L - P v gt - g -h

e V bull D i2

D 1 ^ U b Z u At gt

onde

V = indica vapor

L = indica liacutequido

Multiplicando ambos os membros da equaccedilatildeo acima por

kvD obteremos a expressatildeo do coeficiente de convecccedilagraveo meacutedio para

o caso

37

C - FORMULAS PARA CAacuteLCULOS ESPECIacuteFICOS - RESULTADOS ESPECIacuteFICOS

1 FLUXO DE CALOR CRIacuteTICO - BURNOUT

lol - Introduccedilatildeo

O aspecto mais importante no que se refere agrave seguranccedila

dos reatores da transferencia de calor na ebuliccedilatildeo eacute a determina

ccedilatildeo do Fluxo de calor critico ou de pico ou burnout

Como jatilde vimos quando temos a ebuliccedilatildeo nucleada a dishy

ferenccedila de temperatura entre refrigerante e superfiacutecie de aqueci

mento e pequena poreacutem quando atingimos o fluxo de calor criacutetico

essa diferenccedila de temperatura pode tornar-se imediatamente muishy

to grande podendo causar a ruptura da superfiacutecie de aquecimento

se atiigirmos o ponto de fusatildeo do soacutelidoraquo

Usando a convecccedilao

onde

At sat

w

sat At

sub

w = temperatura da parede de aquecimento

t t = temperatura de saturaccedilatildeo do liacutequido

t^ = temperatura de mistura do liacutequido

At = (t -t ) sub-resfriamento do liacutequido sub N sat b 1

nout

Ha dois tipos de burnout fast burnout e slow bur-

Ocorre o fast burnout (burnout raacutepido) quando A t g u b gt 0

38

ou para baixo x (~ lt 10) sendo x o titulo do vapor

Temos o slow burnout para x - gt 10 Assim noacutes tereshy

mos dois limites para o burnout

At bull o (ltJgt ) t =((() para t = t ) -

bo m m possiacutevel w sat

sub i

4L + 1

G c D h pl nb

(ltK ) = (ltpound para x = 1) = Dv-bo max possiacutevel e 4L

c At l + P 1 sub i

onde

L = comprimento do canal

D = diacircmetro do tubo

G = descarga de liacutequido (por unidade de aacuterea)

c ^ = calor especiacutefico do liacutequido

Agrave = calor latente de vaporizaccedilatildeo

h ^ = coeficiente de transferecircncia de calor na regiatildeo de

nao ebuliccedilatildeo

iacutendices

i = entrada

e = saiacuteda

Haacute inuacutemeras expressotildees para determinaccedilatildeo do burnout pro

postas por muitos fisicos cada uma aplicando-se a um caso especiacuteshy

fico vejamos algumas delas

12 - Equaccedilotildees para prediccedilatildeo de Burnout

121 - Equaccedilatildeo de Bragg e Smith (Zuber)

Num artigo publicado por Bragg e Smith encontramos uma f oacute_r

mula que e derivada da formula de Kutateladze e nos daacute o fluxo cri

39

tico quando nao temos sufaresfriamento

bo poolsat v V raquoc a ( p l P V )

2 PV

14

onde

ltiexclgt = fluxo de calor critico bo

k = constante

Ly = calor latente de vaporizaccedilatildeo do refrigerante

= densidade do liquido

pvr = densidade do vapor V a = tensao superficial

g = fator de conversatildeo c

a = aceleraccedilatildeo da superficie de aquecimento

Os autores encontraram para k um valor de 062 entreten

to outros autores como Zuber incluindo outras variaacuteveis que In

fluiam no fenocircmeno encontraram k variando entre 008 e 023Esshy

tudos bem elaborados mostram que o valor mais aproximado eacute

k = 015 (- 003)

1-22 - Equaccedilatildeo de Noyes

Noyes estudou o burnout para o soacutedio agua e alguns liacute

quidos orgacircnicos

( W s a t ~ bdquo 0245 bull ( r ( 1 )

iiacute_ V 1 Pr

onde

N n = Nuacutemero de Prandtl da fase liacutequida x r

Mais tarde o proacuteprio Noyes alterou a equaccedilatildeo para

n ^ - n H Iacute I Pl PV gt0538 deg g c a q 4 ( W s a t deg 1 1 6 PV ( - p 7 ~ ) (77T1^ ) ( 2 )

40

A ultima correlaccedilatildeo proposta por Noyes foi

a n prPV0560 112

1

(a bull a) 13

(ag c) 112

(3)

onde

a = difusividade teacutermica do liacutequidoraquo A equaccedilatildeo (3) eacute bashy

seada em todos os dados de burnouts do soacutedio bem

como da atildegua benzeno difenil e outros De 111 pontos usados 90

+ estatildeo relacionados dentro de - 30bdquo

ldeg2o3 - Burnout com convecccedilao forccedilada e sub-resfriamen

to

Aproveitando os resultados de aproximadamente 240 testes

de burnouts com aacutegua sub-resfriada em fluxo de convecccedilao forccedilashy

da feitos na Ruacutessia Labuntsov elaborou uma boa equaccedilatildeo empiacuterica

para o problemabdquo

Esta relaccedilatildeo aplica-se para velocidades entre 2 3 e 148

ftsec pressotildees entre 1 e 201 atmabs sub-resfriamento entre 0 deg

e 432 degF e fluxos de burnout entre 0 4 x IO 6 x 166 x 1 0 6 BTUhr

2 bdquo

bullbo

onde

e a seguinte

6 ( P ) 1 + 0 2 3 2 V 2

14

e ( P ) 1 +

15 c At _p_ sub

12 (a)

9 ( P ) - P 1 3 o ( 1 - P J 4 3

red

= pressatildeo (atm abs)

pressatildeo reduzida = mdash mdash red r P

t_ c = pressatildeo critica

= velocidade do liacutequido (ftsec)

= calor especiacutefico do liacutequido (BTUlbdegF)

4 1

^ tsub = ^ ^ e r e n Ccedil a ^ e temperatura entre a temperatura de

mistura do liacutequido e a de saturaccedilatildeo (degF)

X = calor latente de vaporizaccedilatildeo (BTUlb) 2

ltiacutegtbo = fluxo de burnout (BTUhrfl )

Uma outra correlaccedilatildeo para o caso foi proposta por

Ornatsky e Xiohigin que fizeram experiecircncias para pressotildees entre

10 e 1 5 0 3xm 90 degF lt At ^ lt 4 5 0 deg F 3 7 1 0 6 ( l b h r o f t 2 ) lt G lt

2 2 2 10 b ( l b h r bdquo f t 2 )

lt ^ = 3 2 5 0 (G o A t bdquo J deg 6 ( - i - ^ ) 2 5 ( b ) bo sub

onde

G - descarga de refrigerante por unidade de aacuterea

P ^ v P v - densidades do liacutequido e do vapor

P1~ PV -0 termo (mdash ) e incluido na expressatildeo (b) para indicar

a influecircncia da ^ pressatildeo sobre o

Uma comparaccedilatildeo entre as equaccedilotildees (a) e (b) foi feita para

o Reator de Isoacutetopos de Alto Fluxo (HFIR) nas condiccedilotildees aacutegua a

600 psia velocidade = 45 ftsec e sub-resfriamento = At^^ 1

degF obtendo-se uma diferenccedila de 6 5 entre ambos (4gt = 6 0 5 1 0 b

2 ~ 6 2 BTUhr ft pela equaccedilatildeo (a) e 6 4 5 10 3TUhrraquoft pela equaccedilatildeo

(b)

Ilatilde ainda a equaccedilatildeo de Ivey e Morris aplicaacutevel somente pa_

ra ebuliccedilatildeo com grande quantidade de liacutequido

( c sub t

Cpf bull A tsub

( bull ) s ~ V P bdquo 10 h V sat V g

onde

(ltL ) = fluxo critico com sub-resfriamento c sub

(ograve ) ^ - fluxo critico sem sub-resfriamento c sat

42

c ^ = calor especiacutefico do liacutequido

= calor latente de vaporizaccedilatildeo

124 - Burnout com convecccedilao forccedilada e ebuliccedilatildeo por bocirc-

Ihas

Gambill fez uma extensatildeo da equaccedilatildeo de Levy e aplicou o

metqdo da superposiccedilatildeo Tal extensatildeo consiste natilde subtraccedilatildeo de uma

razatildeo equivalente de massa transferida dos termos que represenshy

tam a ebuliccedilatildeo e convecccedilao para levar em conta a presenccedila do vashy

por no fluxo

A correlaccedilatildeo pode ser escrita assim

24 V P V

o g c a (p^Py) 14

+ 0696 (k p c ) 12

(

pr p v )i4 o g c a (P-L-Py) 18

bull At + h sub nb

044 p v L v G (g1) bull N2 n

p l P V

( pr p v ) d e 2-7

2 4 TT 0

14 ( f e _ ^ r l 3

lO^u

onde

k = condutividade teacutermica

c = calor especiacutefico

A t s u b ~ s ub-resfriamento do liacutequido

h = coeficiente de transferecircncia de calor de nao ebu nb mdash

liccedilatildeo

G = descarga total do refrigerante

43

d g = diacircmetro equivalente do tubo ou canalraquo

]i = viscosidade

B = constante adimensional

Os iacutendices V e 1 representam vapor e liacutequido respectiva

mente

0 primeiro termo entre chaves da equaccedilatildeo representa o flu

xo de calor no burnout de sub-resfriamento em convecccedilao forccedilada 0

segundo termo entre chaves corresponde ao fluxo de calor transferi^

do para a massa da fase vapor

1-25 - Burnout por Bloqueio da Base

Ocorre quando a profundidade do recipiente eacute muito maior

que a largura 0 bloqueio da base eacute causado pela formaccedilatildeo de uma pe_

licula de vapor na base impedindo que o liacutequido toque o fundo do

recipiente

i De

Este eacute o burnout por flooding isto eacute burnout por expul

sao do liacutequido Uma equaccedilatildeo que nos dacirc o fluxo minimo do burnout

parao caso eacute

44

onde

D g = diacircmetro equivalente

L = comprimento do tubo

= calor de vaporizaccedilatildeo

p^Py Ap = densidade do liacutequido do vapor e diferenccedila en

tre ambos

Para um fluxo de calor maior ou igual ao dado pela expres_

sao acima (mantida a mesma geometria) teremos burnout Para um deshy

terminado fluxo existiratildeo sempre um comprimento L e um diacircmetro equi

valente D e para os quais temos burnout Exemplo

L (in) D e(in)

10 11

100 51

1000 235

2 RESULTADOS ESPECIacuteFICOS - FOacuteRMULAS PARA CAacuteLCULOS ESPECIacuteFICOS

21 - Diferenccedila de temperatura At i

13 a t

sat

At sat

poundatildeJL_ raquo t - t J p T T 6 w sat

onde

o laquo tensatildeo superficial entre liquido e vapor

t - temperatura de saturaccedilatildeo do liacutequido para a corres-Scl t

pondente pressatildeo

J equivalente mecacircnico do calor

X laquobull calor latente de vaporizaccedilatildeo

py = densidade do vapor

6 = espessura da camada de liacutequido superaquecido onde

45

k l

h nc

onde

k^ = condutividade teacutermica do liacutequido

h = coeficiente de peliacutecula nc r

Segundo Eckent h ^ c e dado por

P 2 Q

nc 3 V VP + 0952

r

onde

D = diacircmetro equivalente

G r = numero de Grashoff

P = nuacutemero de Pradtl

2 o 2 - Velocidade das bolhas

A velocidade das bolhas em meacutedia pode ser dada pela exshy

pressatildeo

V bdquo = Iacute ( a bull B Apl4 bolhas 5 ^ 2

p l onde

AP = P L - P v

Expressatildeo que vale quando a aceleraccedilatildeo eacute a da gravidade

baixa viscosidade do liacutequido e bolhas separadas

Vbolha = f t s e atilde m a x para aacutegua

2 bdquo3 - Diacircmetro das bolhas

2gc deg 12 D = 0015 3 ( mdash mdash 7 ~ ) d g Ap

5 =

46

onde

8 = acircngulo de contato (20 a 90deg) geralmente assume-O -1

-se igual a 50 para a agua em contato com metal

24 - Coeficiente de peliacutecula na ebuliccedilatildeo nucleada

a) Equaccedilatildeo de Rohsenow

Esta equaccedilatildeo nos datilde o fluxo de calor q na ebuliccedilatildeo nushy

cleadaraquo E oacutetima expressatildeo para muitos liacutequidos o efeito da presshy

satildeo eacute levado em conta na variaccedilatildeo das propriedadesraquo

Pf

fg

sat 17 = c

sg k y f h f g g( P f-p g)

n033

onae

Pf

fg

Pf Pg c sg

= fluxo de calor requerido (BTUhr0ft^)

= calor especiacutefico do liacutequido saturado (BTUlbm0F)

= calor latente de vaporizaccedilatildeo (BTULbm)

= nuacutemero de Prandtl

= viscosidade do liacutequido (lbrahrraquoft) ~ 8 2

= fator de conversatildeo 417 10 Ibmftlbflaquohr 2

= aceleraccedilatildeo da gravidade (fthr )

= tensatildeo superficial na interface liacutequida vapor

(lbfft) 3

densidade do liquido e vapor (lbmft )

constante adimensiacuteonal que depende de vaacuterios fashy

tores dentre os quais o grau de aquecimento en_

tre o fluido e a superfiacutecie de aquecimento e o

mais importanteraquo Independe da pressatildeo do sistema b) Equaccedilatildeo de Levy

Equaccedilatildeo valida para a aacutegua quando 100 lt p lt 2000 psiacutea

47

43 bdquo3

qu bdquo gat ^ T J h r t f t ^

495

25 - Calculo do fluxo de calor no Ponto de Leidenfrost

0 ponto de Leidenfrost como vimos eacute o ponto em que oflu

xo de calor comeccedila ncamente a crescer isto eacute o ponto onde termal

aa a ebuliccedilatildeo instaacutevel e comeccedila a ebuliccedilatildeo por peliacutecula estaacutevel Eacute

o chanado fluxo miacutenimo (egrave ) m m

Aproximadamente quando A t g u k = 0 temos

A _ mdash _ mdash (Gambill) m m 5

Ha entretanto varias expressotildees para determinar esse flu

xo eis uma delas

A p 14 ltjgt = 009 h pbdquo (o raquo g mdash ) y m m fg P V deg 2

p l

26 - caacutelculo do fluxo de calor na regiatildeo de ebuliccedilatildeo por peliacute

cuia estaacutevel

para cilindros jmdashi i li

_ D 0172 k-V - P V A p h l V bull S 14 li - = 062 (mdashmdash) (- j- r rmdash) convecccedilao A 0 ybdquo (t -t )

c V w sat

onde

= condutividade do vapor

- 2 TT ( mdash )

c gAp Vl = significam vapor e liacutequido respectivamente

para paredes verticais

L 0172 S deg7 A p bull hlV S q 4 h - - 080 (-^-)J- (-Iuml - Iacutemdash-convecccedilao X L u (t - t J)

c V w sat

48

Como nesta regiatildeo jaacute haacute nina influecircncia marcante da radia

ccedilao devemos levar en conta tambeacutem o coeficiente de peliacutecula de

vido a radiaccedilatildeo para determinar o coeficiente de peliacutecula total

Dos estudos atildea radiaccedilatildeo temos

h = a F pound(T 4 - T 4 J ( T ~ T ) rad w sat w sat

onde amp _ emissividade de superfiacutecie

a = constante de Stefan-Boltzman

F = fator de forma

Segundo WE Gambill o coeficiente de transmissatildeo total

ceve ser

3 iacutei = h + -7 h para h lt h t conv 4 rad r rad conv

Na expressatildeo acima existe o fator 34 porque a radiaccedilatildeo

faz variar um pouco a espessura do filme de vapor reduzindo asshy

sim o l l

conv

Quando tivermos h gt h gt o h^ ^ seraacute rad conv total

h f c = h + h t conv rad

Neste ultimo caso nao ha nenhum coeficiente porque a peshy

liacutecula de vapor jaacute eacute estaacutevel

27 - Grandezas caracteriacutesticas para a apua

Para pressatildeo igual a 1 atm = 1422 psia

At ^ = t - t = 5degC (iniacutecio da ebuliccedilatildeo nucleada) sat w sat 1

At t = 30degC sat crit

49

5 2 $ = 4 10 BTUhrft (para pressatildeo 1 atm)

0 fluxo critico cresce como vimos com a pressatildeo ate

atingir o maacuteximo quando a pressatildeo eacute aproximadamente 13 da pressatildeo

criacutetica Esse fluxo eacute

bull = 13 IO 6 BTUhrft 2 para p = 11000 psia (p pound = 32062 psia)

Ainda temos que para pressatildeo igual a 15 psia

h b o = 11000 BTUhrft degF - ebuliccedilatildeo nucleada

h f b = 30 BTUhrft 2 degF - ebuliccedilatildeo pelicular

Todos os resultados e formulas para caacutelculos especiacuteficos

apresentados nos itens 21 22 23 ateacute 27 sacirco aplicados somente

para sistemas onde haja ebuliccedilatildeo com grande quantidade de liquido

51

D - HIDRODINAcircMICA DOS SISTEMAS E QUEDA

DE PRESSAtildeO DENTRO DE UM CANAL

1 HIDRO-DINAcircMICA E QUEDA DE PRESSAtildeO

11 - Hidro-dinacircmica dos sistemas estaacuteveis

111 - Regimes de escoamento

A evoluccedilatildeo do escoamento ao longo de um canal aquecedor

de secccedilatildeo constante ciliacutendrico pode ser esquematizada pela figushy

ra 1 onde temos em abcissa o comprimento z do canal e em ordenada

a temperatura (T)

52

Na figura 1 nos representamos

a) 0 aspecto do escoamento fluido quando a entalpia do

- fluido aumenta Verificamos que o fluido entra no cashy

nal no estado liacutequido e assim permanece ateacute atingirmos a zona de

ebuliccedilatildeo local onde aparecem as primeiras bolhas A entalpia do

fluido continua aumentando e tem inicioa ebuliccedilatildeo franccedila onde as

bolhas se unem formando agregados posteriormente o escoamento to

ma a forma da figura ou seja torna-se anular disperso Finalmente

atingimos duas uacuteltimas fases do escoamento disperso (vapor uacutemido)

e vapor seco

b) A evoluccedilatildeo da temperatura meacutedia do fluido e da tempeshy

ratura da parede Note-se que a partir da cota a

temperatura da parede aumenta brutalmente podendo causar o

burnout

c) A evoluccedilatildeo do tiacutetulo do vapor (x) com o comprimento

do tubo e a evoluccedilatildeo da fraccedilatildeo (a) que definiremos no

item 11laquo2 com o comprimento do tubo

112 - Definiccedilotildees

a) Tiacutetulo ou qualidade do vapor (x)

massa de vapor na mistura x ~ massa total da mistura

x =

W _g_

g f

b) Fraccedilatildeo vazio (void fraction)

volume do vapor na mistura a = volume total da mistura (agua+vapor)

A relaccedilatildeo entre x e a num sistema parado pode ser obtida

assumindo um certo volume contendo 1 lbm de mistura em equiliacutebrio

teacutermicoraquo

53

O volume da mistura seraacute igual a (v + xv ) ft onde v eacute 3 r rg

o volume especifico (lbmft )

f - refere-se ao liquido

g - refere-se ao vapor

fg - refere-se a diferenccedila entre liacutequido e vapor

Numa mistura em equiliacutebrio se o liacutequido e o vapor estatildeo

saturados o volume do vapor presente eacute igual acirc sua massa vezes

seu volume especiacutefico v assim e

xv bdquo bdquo a mdash

V c + XV c

f gf

onde

- bull-bull uumlutiacuteisa vapor na mistura de 1 Ibm

v volume especiacutefico do liacutequido

v = volume especiacutefico do vapor o

V c = v - V

gf 8 r

Fazendo uma transformaccedilatildeo na expressatildeo acima temos

xv xv JS = Z-

v r+ x(v -v c) xv +(l-x)v t ri f g f g f 1 + Ul-x)xjv fv

1 + C(l-x)x]]vfvg

A fraccedilatildeo vazia tem a influencia de baixar a reatividade

do nuacutecleo nos reatores em que o refrigerante eacute tambeacutem moderador

Na equaccedilatildeo acima os valores de x e v sao tomados em tabe

las termodinacircmicas apropriadas para a pressatildeo do sistema A equashy

ccedilatildeo (1) mostra os grandes valores de a para pequenos valores de x

especialmente para baixas pressotildees Isto ocorre porqueaumentando

54

aacute pressatildeo o v decresce muito enquanto que o v f eacute mais ou menos da

mesma ordem de grandeza

Exemplo Calcular o a correspondente para x raquo 2 para aacutegua

leve atilde pressatildeo atmosfeacuterica

Da tabela para p laquobull 1 atm

v - 001672 ft 3lbm e v - 26800 ft 3lbm

1 + [(1-002)002] 001672268

0971 ou 97U

O grafico abaixo mostra a variaccedilatildeo do a com x para vaacuterias

pressotildees e para a aacutegua leve

x ()

tObservaccedilotildees da curva

Fig 2

1 - para x constante a decresce com a pressatildeo Para presshy

sotildees proacuteximas da criacutetica a aproxima-se rapidamente de

x Para a pressatildeo criacutetica as duas fases satildeo indistinguiacuteveis ea=x

2 - para cada pressatildeo dotdx decresce com aumento de x

3 - para baixos valores de x (que e o caso dos reatores

tipo Boiling) quando p decresce dadx cresce e torr

na-se muito grande paacutera baixas pressotildees Isto tem relaccedilatildeo com a epound

55

tabilidade do reator como veremos mais tarde

113 - Sistemas com fluxo

Todas as definiccedilotildees que noacutes vimos no item anterior refeshy

rem-se acirc sistemas em que a mistura esta fechada no recipiente Nes^

te caso natildeo havia movimento relativo entre as duas fases No entan

to se as duas fases da mistura se movem na direccedilatildeo vertical em

canais entre os elementos combustiacuteveis o vapor por causa de sua

flutuaccedilatildeo tem a tendecircncia de escorregar sobre o liacutequido isto e

move-se com velocidade maior do que a do liacutequido

Real Modelo

Pig 3

S -

Define-se neste caso a relaccedilatildeo de escorregamento (slip

ratio) (S) como sendo

V _i

V f

onde

V = velocidade do vapor

= velocidade do liquido

S modifica as relaccedilotildees entre a e x do item anterior S geralmen_

te gt 1 Define-se neste caso qualidade do vapor ou tiacutetulo como

sendo

_ fluxo de massa de vapor

fluxo de massa da mistura

Entatildeo se o fluxo de massa da mistura eacute m t(lbmhr) o flushy

xo de vapor seraacute = x m e o fluxo de liacutequido sera (1-x) m onde x

56

e o titulo do vapor para a particular secccedilatildeo (AL) da figura (3)

Devemos notar que neste caso x varia de secccedilatildeo para secshy

ccedilatildeo do tubo o exposto no paraacutegrafo acima vale considerando-se que

x e a permaneceram constantes na secccedilatildeo de espessura AL

Aplicando a equaccedilatildeo da continuidade as velocidades do va

por e liacutequido sao dadas por

o xm v

V vazatildeo = g g area A

V

(1-x) amp t v f

f A f

onde A e A f sao as aacutereas medias perpendiculares ao fluxo se as

duas fases sao imaginadas completamente separadas uma da outra

(figura 3) Assim temos

V x m v o A_ A v 0 ^ - 2 = iacute S t m _2L- JL JS m

V A (l-x)ui v 1-x A v U

f g t f g f

Sabemos ainda que para a secccedilatildeo considerada

volume do vapor na mistura a = volume total da mistura (agua+vapor)

A AL A pound g g

a = mdash a a = - mdash 1

(A+A )AL A f + g

A ou f _ 1 - a

A a 8

Substituindo em (2) vem

57

Esta expressatildeo pode ser rearranjada e obteremos uma relashy

ccedilatildeo entre x e a levando em conta o escorregamento Chega-se a

a = 1 ( 3 )

1+ [U-x)x3 igt

onde

v 4 laquo -- S

v lty o

Note-se que quando S=l (nao haacute escorregamento) caimos na

expressatildeo dada no item anterior

0 efeito do escorregamento eacute decrescer o valor de a pa_

ra um mesmo xbdquo Isto pode ser visto pela foacutermula (3) pois S gt lLo

go a decresce com acreacutescimo de S

Um alto S e entatildeo uma vantagem tanto para a transferecircnshy

cia de calor como para efeitos de moderaccedilatildeo Eacute uma vantagem para

transferecircncia de calor porque alto S significa alto V e portanto

maior turbulecircncia e maior contato do liquido com as paredes quenshy

tes Ha tambeacutem melhorias na estabilidade da reaccedilatildeo nuclear isto

porque como jaacute dissemos quando mdash7 diminui a estabilidade aumenshy

ta isso pode ser verificado observando a curva a versus x para a

agua leve a 1000 psiabdquo

Fig 4

58

A relaccedilatildeo entre x e a da equaccedilatildeo (3) so vale para secccedilatildeo

de tubo bem pequena

Devemos notar que S varia tambeacutem com a pressatildeo e velocida^

de de entrada do liacutequido no tubo Este efeito pode ser observado na

figura 5 abaxxo obtida esperimentalmente

s

3

~^ ~ psig

x = 001

V 1

Fig 5

Nos projetos de reatores como veremos adiante o valor a

geralmente eacute determinado por consideraccedilotildees nucleares (moderaccedilatildeo) 0

valor de S eacute determinado atraveacutes de uma estimativa ou entatildeo atrashy

veacutes de um graacutefico do tipo da figura 5 0 correspondente valor de x

pode ser obtido de uma foacutermula empiacuterica do tipo

1 = 1 (-S)0gt67

proposta por Von Glahn

Em muitos casos assume-se S constante em todo o comprimeiv

to do canal poreacutem eacute um erro que em muitos casos nao pode ser coshy

metido

4 REATORES EM QUE 0 LIacuteQUIDO B MODERADOR E CIRCUITO PRIMAacuteRIO AO

MESMO TEMPO BOILING-REACTOR (BWR)

A aacutegua ao se movimentar atraveacutes dos vaacuterios canais do

59

Boiling-reactor encontra vaacuterias resistecircncias ao fluxo que provoshy

cam uma reduccedilatildeo de pressatildeo no fluido

As duas perdas mais importantes sao perda de pressatildeo por

atrito e perda de pressatildeo causada pela aceleraccedilatildeo do refrigerante

ao aumentar de volume por receber calor num canal Outras perdas

de pressatildeo seriam a obstruccedilatildeo ao fluxo por corpos submersos (espa_

ccediladores juntas de tubos chaves etc) e por mudanccedilas abruptas de

aacuterea de fluxo tanto na entrada como na saiacuteda do tubo

Essas perdas de pressatildeo devem ser conhecidas o melhor popound

sivel principalmente nos reatores BWR Para tanto devemos saber

o comprimento de canal em que nao ha a ebuliccedilatildeo isto eacute qual o com

primento de canal em que o refrigerante vai da temperatura de sub-

resfriamento ate temperatura de saturaccedilatildeo

Seja o elemento combustiacutevel

Aquecimento Uniforme Aquecimento Senoidal

Fig 6 Fig 7

onde

H =

H = o

H b

comprimento do elemento combustiacutevel

cota onde o liquido se torna saturado

comprimento do elemento combustiacutevel em que ocorre

ebuliccedilatildeo

60

qg = calor sensiacutevel acrescentado ao liquido para satushy

raacute-lo

qfc = calor total acrescentado ao liacutequido em todo o com

primento do canal

laquoo

q s J o qiquest sen (IIzH) n H o

T~ = TH = 2 ( 1 c o s gt ( a )

q 1 sen (HzH) Jo ^c

A expressatildeo (a) vale quando tivermos uma adiccedilatildeo de calor

senoidal para qualquer outra forma de adiccedilatildeo de calor faz-se um

caacutelculo anaacutelogo

Outra relaccedilatildeo entre q g e qfc eacute dada pela termodinacircmica

q h- - h s f m (b)

(hr +x h )-hm ^t f e fg

onde

= entalpia para o liquido saturado a pressatildeo correjs

pondente (cota z = Ho)

hffi = entalpia do liacutequido na entrada do canal

x = tiacutetulo do vapor na saiacuteda

= entalpia do vapor

Com a relaccedilatildeo (b) noacutes determinamos a relaccedilatildeo q q ecom

S L

uma relaccedilatildeo do tipo (a) (conforme seja o adicionamento de calor ao

liacutequido) podemos obter a relaccedilatildeo HoH e consequentemente H^H

21 - Perda de pressatildeo num canal de evaporaccedilatildeo

Neste item iremos determinar as perdas de pressatildeo mais

representativas que ocorrem num canal de evaporaccedilatildeo de um reator

P + dP

bull1 i- 1 gti i i

dL

onde

UM

Icirc H Icirc Icirc T dF f t f

61

Quantidade de Mov na Entrada

= i- rigVg)

dF f l

Fig 8

m i

m 8

V l V 8

A P

dF

dF

dF

fg

fl

ftf

descarga do liacutequido

descarga do vapor

velocidade do liquido

velocidade do vapor

aacuterea transversal do canal

forccedila de atrito do vapor com parede

forccedila de atrito do liacutequido com parede

forccedila de atrito das duas fases liacutequido+vapor

Fazendo o balanccedilo das forccedilas considerando o sentido posjL

tivo na vertical temos

A (P-P-dP)-(dF +dF _+dF _)-(-pound-) (p A+p A )dL = mdash dGnV+m V ) P fg ftf fl g c 1 1 g g g c

v 1 1 g g 7

- dP = ~ (dF +dF--+dF)+- S--7=- (p A+p A )dL+ mdash ~ - d (m-V+m V ) A_ fg ftf fl g c Ap v^l 1 g g g A 11 g g

Fazendo a integraccedilatildeo termo a termo entre os dois extreshy

mos entrada e saiacuteda e considerando a pressatildeo de entrada igual a

P q e a de saiacuteda igual a Pe vem

Quantidade de Mov na Saiacuteda

-= h I- lY l+ A g V g + d ( aacute l V l + aacuteeVl

Forccedila de Gravidade

= ( g f - N P A + P g V

62

b) r e F f l

o p dp^ = Ap^ = perda de pressatildeo por atrito

do liacutequido na altura Ho

Aplicando a formula de Darcy vem

bull API = f bull ir bull ^ iexcl 7

onde

f = fator de atrito

c) e Fftf

o p ^P tpound

= perda de pressao por atrito da mistura

liquido + vapor no trecho de comprimen

to Hbdquo o

Para determinar esta perda de pressao define-se o fator

de multiplicaccedilatildeo R

A P R =

tf A P 1B

Sendo A p ^ a perda de pressao se o comprimento todo fosshy

se ocupado somente pelo liquido assim

A p t f = R A P 1 B

0 calculo de Ap-^ pode ser feito pela formula de Darcy e

o de R nos veremos no item seguinte

63

d)

-e F

d ( ^ )

O P

Ap = perda de pressatildeo por atrito do vapor

No caso do reator BWR o titulo de saida e bera pequeno e

em nenhum caso ocorre a saida de vapor com x = 100 logo a perda

de pressatildeo por atrito do vapor eacute nula assim

An = 0 5

e) Ap

(p A 1 + p A ) dL = Ap - perda de pressatildeo dpound

vida ao desniacutevel

(perda hidrostaacutetica)

Anbdquo = re A A

-S- I (p + p -S ) dL H s 1 A

c o p o A

como A A Jl_ =

A P

A +A-g 1

1-a -

temos

C Q

te j jll-a)p1 + apg)^jdL = p Lo pound

onde

e jo u

+ ap ) ~I dL (Densidade media 1 S J

no tubo)

No nosso caso

Ap u = p H

f)

re d(mV + m V ) _ mdash - laquo -i bull s iquestp laquos p e r d a ltje pressatildeo devido a acele-

c p raccedilatildeo do vapor

V A

(1-x) tl^Vj

(1-a) A

X V

aA

A p -

roV + m V

c p c p L_

m (l-x)m_v m xv nbdquo -1 T 1

+ _S S I (1-a) Ap aA

P

2 g A c p

n 2 2

(1-x) m T

laquo2 8 A c p

2 2 (l-xe) raTv1

2 2 2 xm_v (1-x) m-v e T s o 1 1

a 1 - a

2 2 - x m_v o T g

a

se

X Q 0 (so ha agua nesse trecho)

a = 0 o

temos

mbdquo Ap =

1 a A 2

S A degc p laquo-

tt-V v i 1 - a

2 via T^r - v i

t Apc

2

V v l

5c Ap

1 - a

x v - 1

a e v l

65

Fazendo

G = fluxo total da massa por unidade de area do

canal

(1-x J e

V

AP r

Assim a perda de pressatildeo total sera

H p V II pV r2 P -P = f -24-Iuml+ f R+p 0 1 2g c D e 2g c g c g c

2c2 - Determinaccedilatildeo do fator de multiplicaccedilatildeo (R)

221 - Relaccedilatildeo Martinelli-Nelson

Os autores Martinelli-Nelson determinaram experimental -

te esse fator R para varias LIT1L em funccedilatildeo da pressatildeo e da r NB total J v

qualidade de saiacuteda do vapor no canal Construiacuteram assim vaacuterias

curvas do tipo da figura 9

66

E importante notar que a qualidade do vapor (x) na saiacuteshy

da nao deve ser grande pois como vemos o valor de R cresce muishy

to com um aumento pequeno de x e um valor de R muito grande acar_

reta uma perda de pressatildeo grande pois

^ d u a s fases R ^ f a s e liacutequida

Para resolvermos um problema seguindo o criteacuterio de bdquo

Martinelli escolhemos a curva R = f(px) (para a relaccedilatildeo L

N g ^ j

adequado) e tiramos R com os valores de pressatildeo p e tiacutetulo x

As curvas R = f (p x L T t )IO encontram-se nos ANL 6469 bio I

e 6561

222 - Relaccedilatildeo Lottes-Flinn

Estes autores estudaram o problema para o aquecimento uni

forme do refrigerante com baixo titule Lottes-Flinn fizeram inuacuteshy

meras experiecircncias e verificaram que para fluxo de calor uniforshy

me e baixos titulos R era independente do fluxo de calor fluxo

do refrigerante escorregamento e apenas funccedilatildeo de a g

Como a quantidade de liacutequido eacute muito maior que a de vashy

por a perda de pressatildeo daacute-se principalmente pelo atrito do liacuteshy

quido com a parede Podemos assim escrever a foacutermula de Darcy

na forma diferencial

dz

d = f __ r e amp c

onde

V = velocidade do liquido saturado na cota zbdquo X

f = coeficiente atrito

= densidade do liacutequido saturado

Teoricamente a queda de pressatildeo deve-se ao acreacutescimo de

67

velocidade do liacutequido e da diminuiccedilatildeo da aacuterea de fluxo do liacutequi

do

P fH A P t p

= f D 2g Ho

d z

fazendo

V lo

m V t lo

(velocidade do liacutequido na cota z = Ho)

(1-x) m t v 1

(1-a) A (velocidade do liacutequido na cota z gt Ho)

a bull+ fraccedilatildeo vazio na cota z geneacuterica

V 1 (1-x) m t v 1

m t V l 1 - a

x =s 0 pois o tiacutetulo eacute baixo

A p t f = f bull JT5 c e

fH V lo

H o (1-a) dz

Para fazer a integral devemos achar a relaccedilatildeo de variaccedilatildeo

entre a e z Como o fluxo de calor eacute uniforme a qualidade eacute direshy

tamente proporcional a z

bull laquo x = x e H

z = mdash x X e

Sabemos ainda que (item 113)

x

1 + [ ( I -X)AKQ x + iiacuteraquo

68

como

temos

(1-x) = 1

v

X =

z =

1-a

1 -a

1-a e

a

e

1-a pound

a

1 -a igt (assumindo S = cte)

da

Atf - f bull 2 i ^ ~ J c e o

a 1 - a e e 1 s 4 hmdash) da

a 1-a

f P lv^ Q

0 termo mdash - mdash e a parte de perda de pressatildeo pelo lj^

^c e -quido ou seja Ap liquido saturado e como

Ap

R = tf

Ap liauido saturado

temos que

R J

f ae 1 _ a e 1 4

a 1 -a o e

1 -a r-R =

3 1 -a

a 1 -a imdash

3 vl - a 3

e e

Os valores de R obtidos por esta expressatildeo aproximam-se

muito dos valores obtidos pelos aacutebacos de Martinelli

69

E - EXPANSAtildeO E COMPRESSAtildeO DE UM FLUIDO - ANAacuteLISE HIDRODINAcircMICA

DE UM CIRCUITO EM CIRCULACcedilAtildeO NATURAL

1 EXPANSAtildeO NO FLUXO DE UM FLUIDO

11 - Uma so fase

Figura 1

Ha vaacuterios meacutetodos para determinar a variaccedilatildeo de pressatildeo

numa expansatildeo de fluido estudaremos o de Romie que eacute o que daacute

maior precisatildeo

Romie considera que a pressatildeo p^ tambeacutem atua na aacuterea

imediatamente apos a expansatildeo Assim fazendo o equiliacutebrio das foi

ccedilas nas secccedilotildees tracejadas da figura 1 temos

mVj

p r A 2 + mdash

mV

bull 2- A2

mas

m = pV^A^

pV^A = p V 2 bdquo A 2

V A

v 2 -4r-logo

( P l-P 2) A 2 = f ( V ^ ) - f _ v j amp c c 2

70

2 pV A A pV A A

Chamando A l A ]

K = 1 - T e degi2 = Aiexcl bull V E M

pvj

P l P 2 = T ~ bull ( 2 deg 1 2 ) ( 1 _ a 1 2 )

Outra maneira de chegar atilde diferenccedila de pressatildeo ( P j - ^ ) s mdash

ria usar o coeficiente de perda da mecacircnica dos fluidos Assim o

equilibrio das pressotildees eacute

2 2

1 V l 1 V 2 V l P i + _ p _ ^ P 2 + I p ~ + k 1 2 p mdash

onde = coeficiente de perda

A 2 1 2

k 1 2 - (l-o 1 2) - (1 - j- )

Fazendo as transformaccedilotildees chegamos a mesma expressatildeo obshy

tida pelo balanccedilo das forccedilas

PraquoIacute pr p

2 - - ir ^ laquo-ia

12 - Duas fases

Como ha duas fases a equaccedilatildeo do balanccedilo das forccedilas fica

um pouco alterada

m pound 1 V- m - raquoV - m-V- m bdquoV _ P A + j y ^ i + _gl_JUuml P A + -11-11 + -ilsl (a)

1 2 e R 2 2 ff e

Sabendo que

71

m (1-x) m t = p fA (1-a) V f

entatildeo

fl l-o^ p fA x

6 Vf2 1-x l-a2 P fA 2

m V = mdash mdash e V 0 = gl a 1 P C T A 1 g2

m

a_ p h

2 g 2

Nas expressotildees anteriores o x nao varia porque a expansatildeo

5 adiabaacutetica porem o a varia devido a modificaccedilatildeo do tamanho da

bolha

Substituindo os valores das velocidades na expressatildeo (a)

vera

( P - P ) Abdquo =

2

2 2 m gt2 2 m t (1-x) 1 x t

ra i 2 m i 1 x t 1

p fA 1 g c ttl p Ax gpound

m t P - P = mdash

(1-x) (l-a 1)A 1A 2 (l-a2)A|

a r A r A 2

V A 2

m t P bdquo - P = mdash 2 1 g c A r A 2 p f

(1-x) 1-a f A 2(l-a 2)

bull ^ 2

72

Se

P -P

a

m

g

12

1 _1_ (1-x)

J12

1 _ a l 1 - a 2 + X (- )

Pg

1 deg12 a 2 ^

Sabemos que

mt = V o pf laquo A l

Sendo V q = velocidade do liquido num ponto onde natildeo haja vapor

P 2-P 1

u 2 2 A 2

V pr Ai

V W p f

(1-x) 12

l-a1 l-a2

+ X 2 pf

mdash

l deg12

-1 a 2 _

p -p r 2 Al (2a 1 2)

2 M f w 1 deg12 X (mdash) (

pg al a 2 )+(l-x)C l 1 12

1-a^ l-a2

Devemos notar que esta expressatildeo tambeacutem vale para quando

temos uma fase para isso basta fazer

= c t 2 = 0

X = 0

e recairemos na formula do item anterior

2 pf 1 deg12 Observemos que neste caso o termo x (mdash)( ) nao

Pg al a2

2

73

tem significado pois corresponde a mudanccedila de fase

2 CONTRACcedilAtildeO KO FLUXO DE UM FLUIDO

21 - Uma so fase raquo mdash

Aqui ocorre um fenocircmeno importante pois o fluido ao ser

contraiacutedo nao vai diretamente da area A^ para a area A 0 mas ele

contral-se ate uma area A^ e depois expande-se ate k^

Ao A2

Po IP 2

V 2

Figura 2

Fazendo o equiliacutebrio das pressotildees entre os planos (1)

(0) vem 2 2

pV pV p +~ plusmn - P + i deg bull 1 2 g o 2 g (b)

C x

Fazendo equiliacutebrio da expansatildeo (0) - (2) vem

P o + 2 - f = P 2 + 2 -T + kp- 2 F ( c )

c c b C

Subtraindo (b) - (c)

2 2 2

i p- vj i p- v2 L P l + 2 bull g c

P 2 + 2 2g c

+ k P 2g c

74

Como

P - P = mdash 2 2g

2 2

bull (1 + k) - f bdquo mdash i

k a - f2 ) 2 - d - o c )2

= o

A = a 21

Weisback obteve varias relaccedilotildees entre a e a i] c

01 02 03 a 0624 0632 0643 c

0624 0632

A r v i - V v 2

p -p 1 2

P -P 1 2 2g7

v l =

(1+k) - laquofi- a 2g 21 c

( 1 + k - o 2 1)

X[- V 2 o 2 1V 2

22 - Duas fases

0 valor de k pode ser aproximado para

k = a(l - o 2 1)

onde segundo Richardsons para fluxo de duas fases podemos supor

a = 02

Para fluxo homogeacuteneo sabemos que

75

p = p f (1 -a ) + p o a

podemos supor p bdquo a = 0 pois p e pequeno e fazendo

V = V ~ V fbdquo2 go2 v 2

Substituindo estas duas expressotildees na equaccedilatildeo de uma soacute fase vem

2 2 p V (l-ct) p V (1 -a ) bdquo

P l P 2 = 9g ( 1 + 3 - 3 0 ^ - 0 ^ ) = g (a+1) (l-a^)

Se a = 02

2 12p oV 0

p r p

2 - 9g gt d-) d-sigt

A compressatildeo de um fluido acarreta uma perda de pressatildeo

como pode ser verificado pelas formulas uma vez que lt 1deg

3 ANALISE HIDRODINAcircMICA DE UM CIRCUITO EM CIRCULACcedilAtildeO NATURAL

Esquema deacute uma caldeira com circulaccedilatildeo natural

76

Determinar a velocidade em (7) para que tenhamos circula

ccedilatildeo natural Determinar tambeacutem as perdas de pressatildeo em todos os

trechos da caldeira

31 - Contraccedilatildeo das secccedilotildees (1) - (2)

Como jaacute vimos a equaccedilatildeo do balanccedilo das pressotildees eacute

1 pr Vl 1 p 2 o V 2 P2 V2

1 2 g 2 + 2 g + K12 2g otilde c amp c e c

bullraquo 2 o2 2 e havendo uma soacute fase k 1 9 = (l-o ) = (1 mdash ) e sendo

C 2

p l = p2

v x lt lt lt v 2

P 2 V pr p2 bull ir2 bull ( 1 + k12gt

Colocando em termos de temos

A 2 V 2 P 2 = A 7 V 7 p 7 (continuidade)

V = V mdashbull = V o_bdquo ~ A 2 2 2

P 2 V - p 2

p r p 2 = ir2 - deg72 bull Ccedilrgt bull lt 1 + ki2gt

fazendo

N12 - lt^gt deg72 ( 1 + k12gt

P7 V7

Pr P2 - N12 bull HG

77

3 2 - Perda de carga no trecho ( 2 ) - ( 3 )

Como haacute apenas uma fase soacute temos perdas por atritos e

perdas hidrostaacuteticas

Sendo como jaacute vimos

2 3 p 2 2 g P 2 P 3 = f 2 3 (r~2g^~) L 2 3 g c p

atrito hidrostaacutetica

Substituindo V^ pela relaccedilatildeo do item anterior e tendo em

conta que p = vem

P -P = f 2 r 3 2 3 D

2 3 p 2 bdquo 2 2 p 7 2

2 g 7 72 p 2 3 g

Se

L 2 3 2 p 7

2 3 2 3 D 2 a 7 2 p 2

P 7 V 7 g P 2 - P 3 = N 2 3 ( mdash gt p 2 L 2 3 f

3 3 - Expansatildeo nas secccedilotildees ( 3 ) - ( 4 )

Como vimos o balanccedilo das pressotildees e

2 2 2 p V p 4 V p V

P 3 + 2 g c

P 4 + 2 g c

+ k 3 4 2 g c

onde

k 3 4 - - -

2 2 1 P 4 - V 4 P 3 v 3

P 3 P 4 = 2 g + ( k 3 4 _ 1 ) 2 g

78

Sendo

P 3 - P 4

p 3 o A 3 deg V 3 = P 7

a A 7 o V 7

P 4A 4 0V 4 = P r A r V

3 7 A 3 p 3

A7 P7 V = v mdash mdash 4 7 P 4

P - P 3 r4

Se

P bdquo - P

bdquo2 r-P 7 V 7

3 4 2g deg74 + ( k 3 4 1 ) deg73

34 p deg74 + ( k 3 4 1 ) 73

p r v2

P3- P4 ^ N34 ^ gt

(No caso e negativo)

34 - Contraccedilatildeo nas secccedilotildees (5) - (6)

Ainda temos uma so fase e fazendo o balanccedilo das pressotildees

como fizemos no item 3lt1 vem

P + vil p + vi + k vi P 5 + 2gbdquo P6 + 2gbdquo + k56 2gbdquo

k 5 6 lt 1 ^ gt 2 ( 1 - Iacute 2 i 2 6

V V6 P5degIacute 5^6 ^SS 2g c - 2g c

P - P ^ = (1+kJ

Como

79

A 6

W p 5 =

VV P6 V 5 = V 6 Jiexcl = Vff65

P 5-P 6 - lt H k 5 6 ) mdash ^ mdash (l+k 5 6-a 6 5) c c c

Sendo

Se

A 7 p 7 p 7

6 7 Ag p 6 7 76 p 6

p _p _ P6- V7- g76 iquest72 ( _ 02 P 5 P 6 2g c bull ( p 6

( 1 + k 5 6 deg65 )

p 7 2 2 N56 = p ^ deg76 ( 1 + k 5 6 ~ a 6 5 )

P 7 V 2

7

P r-P = N r 5 6 56 2g c i

35 - Perdas de pressatildeo nas zonas (6) - (7) - Pre^aquecimento

Nesta regiatildeo temos perdas por atrito e hidrostaacuteticas

Nao haacute perda por aceleraccedilatildeo pois ainda natildeo houve formaccedilatildeo de boshy

lhas

Fazendo balanccedilo das pressotildees temos

L_ ppound-V p = p + otilde L - pound _ + f -Si (-21mdashL 6 7 + p67 L67 g + t 6 7 D K 2g

p _ e ifn sao tomados como valores meacutedios 67 67

P _p _ f hl ^67jIacute uuml + - L A

6 F 7 r67 D 2g P P67 L67 g 6 s c 7 c

S e Kr pound67 L67 p67 6 7 D 6 p7

p7 V - _g_ P6- P7 - N67 mdash + P67 L67 f

c c

80

36 - Perda de pressatildeo nas zonas (7) - (8) - Zona de ebuliccedilatildeo

Nesta regiatildeo j aacute temos o aparecimento de bolhas logo a

perda de pressatildeo seraacute devida agraves t recircs parcelas aceleraccedilatildeo a t r i t o

das duas fases liacutequidas + vapor e h idros taacute t ica

onde

Assim

P-P Q = AP + AP + APbdquo 7 8 a t r i t o acel H

T M1

78 p 7 7 AP - R f- - mdash mdashr |R = fator mult ipl ica-

a t r i t o 7 D 7 2 g c L tivo

G 2

AP bull r mdash acel g c

P V

|_1 - o a p J 8 P f

2 t r 2 M2

7 7 r 7 7 A P a c e l = -J^mdash 2 r bull p 7 lt T iexcl iexcl - )

A PH p 7 8 L 7 8 fiexcl

p 7 8 iacute 7 li 1 0 0 P l i q + a P v ] d L = P 7 ( 1 - laquo 7 8 )

ag raquo fraccedilatildeo de vazio media entre 7 e 8

APH = p (1 - 5 7 g ) f- L 7 8

2 2

P 7 - P 8 a 5 - 2 T i + 2 r p 7 + P 7 ( 1 - 7 8 gt f L 7 8 7 amp c amp c amp c

81

N 7g = R mdash + 2 r p 7

P7 V7 P7- P8 = N78 + P 7 ( 1 5 7 8 gt J78

37 - Expansatildeo nas secccedilotildees 8 e 9

No caso haacute uma expansatildeo com duas fases e como vimos no

item 12 a variaccedilatildeo de pressatildeo era dada por

0f Vo P2 P1 = ~2g c ( 2 deg12

x 2 (mdash)(mdash - mdash ) + ( l - x ) 2 ^ T mdash 8 1 2 1

12

Aplicando ao nosso caso

P pound = P 7

P -P = 8 9

V - V raquo V g f 7

P 7 V 2

2 pf 1 a89 2 1 g89 x (mdash) ( ) + (1-x) (- - N

o ou abdquo 1-cu l-ot_) g 8 9 8 9

Se

N 89

= 2 a 89

2 pf 1 deg89 2 1 CT89 x (mdash) ( ) + (1-x) ( T

g 8 9 8 9

P -P = 8 9

- N P7deg V7

89 2gbdquo

38 - Perda de pressatildeo no trecho 9 e 10

No referido trecho temos apenas perda de pressatildeo por atr L

to da fase liacutequido + vapor e perda hidrostaacutetica Natildeo haacute perda por

aceleraccedilatildeo do vapor pois este natildeo recebe mais calor e portanto

o 82 o

nao ha variaccedilatildeo no a

p

Q -p i n = A P

U + A P bull 9 10 H atrito

n T -S_ P9 U10 deg 910 bull g

fio r

910 I 910

J9 L

(l- a)P + Q P I dL liq v

(l-a0) p

No caso a = (nao hatilde variaccedilatildeo de forma)

A P H - (1-a ) P (p L 0

c

AP bdquo = R o

atrito

2 f9 o L910 P9 V9

2g

Supondo

= V

P 9 = P 8 P 7

vbdquo = v 9 8 0 A r

= V 7 bull deg89

AP - R atrito

2 2

W l O p7deg V7deg g89

V P10 R -^T^ bull deg89 bull li-2 + ( W P 7 (fgt SIO

y c c

Se

- f9 L910 2 N9ol0 R Dl deg89

w 2

p rv P9 P10 = VlO + ( 1 a 9 ) p7 (f gt L910 c

33

39 - Perda ciacutee pressatildeo na expansatildeo 9 - 1 0

Analogamente a expansatildeo 8 - 9 temos

10 11 P 7 2g

10 Iacute 2 0 1 0 - 1 1 gt

2 ff

pg aio

10-11

laquo11 ) +

Ll-a 1 0 bull l-a u J

Se

V10 = V 9 = V 8 bull T9 = V 7 deg89

P -P 10 rll = - a 2g 089 ^lO-ll

4 bull T~ bull (7 1 mdash ) + Pg degio a n

+ (l-x)2(- 1 10-11

1 - aio )

N10-ll = 2 a10-ll a89 2 pf t 1 10-11 N2

-(j-r- - ) bull+ (1-x) pg aio deg 1

10-11 k l - a io

prz P10 Pll = - N10-ll bull ( 2gbdquo

310 - Calculo de V

Fazendo a somatoacuteria de todas as expressotildees (P^-Pj) tere-

84

mos 2 PbdquoV_

P bdquo - P bdquo = N 7 v 7

1 2 12 2g

bull 2 - P 3 - = N 2 3 P 2 L 2 3 f c ccedil

9 P 7 V 7 P _p = N mdash -

3 4 34 deg 2g

V P 5 = deg

2 P V

5 6 56 2 g c

ltr2

P 7 -V 6 e7 -N67 2g + p 6 7 J j67 g

c bc v 2

P 7 - P 8 = N 7 8 - 2 i ~ + p 7 ( 1 - laquo 7 8 ) L 7 8 c

P 7 V 7

P - P - -N mdash - -8 9 89 2g

c P 7 V 7

P 9 ~ P 1 0 VlO 2g + ( 1 a 9 P 7 L 9 c

P 7 V 7

bull10 11 U10-ll 2g

P v iacute j P - P

1 11

7 - v 7 3 bull r

2 8 i U L 2 23 67

(l-5 7 8) L 7 8 + ( l - laquo 9 ) P 7 bull SlOtilde]- ^

Por ou t ro lado sabemos que como secccedilotildees 1

mesmo n iacute v e l

85

s c p r v 7 j

28 Z N i ij

= P 2 L23 p67 L67 P 7 ( 1~deg78 )

78 ~ ^g) bull P 7 bull L 910 g_

V - 2 g ( p r L 2 3 - p 6 r L 6 7 - p 7 ( l - atilde 7 8 ) L 7 8 - (l-a9) p L 9 a ( )

y N

Com esse valor de podemos determinar todas as variashy

ccedilotildees de pressatildeo (P^-P )

BIBLIOGRAFIA

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tituto de Energia Atocircmica de Sao Paulo em 1966 (roteiro)

- WR Gambill - Nuclear Safety

Vol 9 - n9 5 e 6

Vol 6 - n 2 (pag 152)

Vol 4 -r n9 1 (pag 30)

Volbdquo 5 - n 2 (pag 151)

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~ El Wakil - Nuclear Power

- Jakob Max - Heat Transfer (vol I)

Mc Adams - Heat Transmission

- Paul A Lottes - Argonne National Laboratory

- AKL - 6469

- ANL - 6561

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Frank Kreith - Principles of Heat Transfer

Journeacutees Internationales de la transmission de la chaleur

Seminaacuterios realizados em Paris em 1961 sob a supervisatildeo do

Prof Marcel Veron

Notas de aula da Cadeira de Termodinacircmica I e Transmissatildeo da

Escola Politeacutecnica da Universidade de Sao Paulo

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20

formando uma barreira adicional S passagem do fluxo de calor

A reduccedilatildeo do coeficiente de peliacutecula que a presenccedila des_

ses gases causa depende da fraccedilatildeo em massa dos mesmos na mistu

ra gaacutes-vapor

Fizeram-se inuacutemeras experiecircncias e sobre o assunto a tiacute

tulo de exemplo vejamos o graacutefico abaixo onde temos em abcissas

o coeficiente de peliacutecula obtido experimentalmente e em ordenadas

a fraccedilatildeo de gases dissolvida jio vapor

5000

bullg- 4000 O

3OOO

2000

S 1000

4 6 8 10 12 lt|gt(lbm arlbm de vapor )x 10

Devemos notar a grande influecircncia dos gases incondensatilde-

veis por exemplo quando o vapor eacute puro nos temos um h = 4000se

tivermos apenas 1 de ar dissolvido o coeficiente de peliacutecula fishy

caraacute reduzido agrave metade isto ecirc h = 2000

Por isso nos condensadores sempre se coloca vapor ornais

puro possiacutevel

253 - Efeito da velocidade do vapor

Quando a velocidade do vapor junto agrave interface liacutequido-

-vapor natildeo focircr despreziacutevel surgem forccedilas de atrito entre o vapor

e o liacutequido Se a direccedilatildeo do fluxo do vapor coincide com a direshy

ccedilatildeo do movimento do liacutequido a velocidade do liacutequido aumenta (haacute

compressatildeo) e a espessura do filme liacutequido diminui e consequenshy

temente a transferecircncia teacutermica melhora pois haacute diminuiccedilatildeo da

resistecircncia teacutermica

Se entretanto a direccedilatildeo do vapor focircr contraacuteria a do fil

o 21 laquo

me de liquido ha uma tendecircncia de haver aumento da espessura da pj2

liacutecula diminuindo assim o valor de h

26 - Consideraccedilotildees sobre os resultados obtidos com as foacutermushy

las de Nusselt

Nota-se experimentalmente que os resultados obtidos pelas

equaccedilotildees de Nusselt sao em geral 10 a 20 inferiores do que os reshy

sultados reais Assim a favor da seguranccedila elas sao usadas e aaacuteo_

tadas Os motivos das discrepacircncias jaacute-foram ditas atraacutes no item

25

Devemos notar ainda que o valor de h obtido pelas foacutermushy

las anteriores e o valor meacutedio jaacute que h varia de ponto para ponto

e seria difiacutecil obter uma equaccedilatildeo que nos desse o valor de h locaL

2bdquo7 - Condensaccedilatildeo por peliacutecula externamente a tubos ciliacutendrishy

cos horizontais

0 mesmo estudo de Nusselt pode ser aplicado neste caso

baseado na hipoacutetese de que no topo do tubo a peliacutecula do condensashy

do tenha espessura nula Chega-se a expressatildeo

g p 2 h D 3 14

NT _ = 0725 ( ) (5) NuD u k o At

Analogamente ao caso anterior as propriedades do liacutequido

sao tomadas a

t + t w sat

tm = ^

exceto h que eacute tomado a t

ev n sat

Na situaccedilatildeo atual da tecnologia e possiacutevel obtermos tubos

com diacircmetros suficientemente pequenos para que tenhamos escoamenshy

to do condensado soacute em regime laminar

22

No caso de vaacuterios tubos empilhados a formula (5) deve

ser modificada pois como dissemos ela soacute vale quando no topo do

tubo a espessura do liacutequido eacute nula o que nao acontece neste caso

(Vide figura a)

Vapor

Tubo

mdash Liacutequido

Fig a

Neste caso a forma que nos da o valor meacutedio para h e

g p 2 h D 3 14

NNuD deg gt 7 2 5 lt N u k V At gt

sendo N o numero de tubos empilhados

Note-se que neste caso o coeficiente h cai bastante Uma

boa soluccedilatildeo para o caso quando dispoacuteftos de lugar eacute dispor os tushy

bos defasados (Conforme figura b)

Liquido

Fig b

Neste arranjo podemos aplicar a equaccedilatildeo (5) pois no tp_

po de cada tubo a espessura da camada de condensado eacute nula

23

B - CONVECCcedilAtildeO COM MUDANCcedilA DE FASE - EVAPORACcedilAtildeO (II)

1 INTRODUCcedilAtildeO

Evaporaccedilatildeo consiste na obtenccedilatildeo de vapor por meio de aque

cimento de um liacutequido

Apesar da importacircncia do processo e do sucesso obtido na

praacutetica em projetos de evaporadores o fenocircmeno da evaporaccedilatildeo eacute

um dos pontos menos conhecidos da transmissatildeo de calor

0 primeiro estudo seacuterio sobre o assunto foi feito em 1934

pelo japonecircs Nukiyama poreacutem somente nos uacuteltimos 10 anos tais es-

tudos se intensificaram

Os primeiros pesquisadores quando estudavam o fenocircmeno

do resfriamento de um solido num liacutequido obtiveram as seguintes

curvas

onde

temperatura

velocidade de resfriamento

3 0 v = amdashbull

A 06

Q - fluxo teacutermico

8 - tempo

A - aacuterea do soacutelido

24

tempo

Ateacute os estudos de Nukiyama nao se conseguia explicar o

porque da variaccedilatildeo crescente da velocidade de resfriamento quando

t gt t sol sat

2 PROCESSO DE FORMACcedilAtildeO DAS BOLHAS

Como a evaporaccedilatildeo do liacutequido se faz sobre uma superfiacutecie

aquecedora sobre esta irao se formar bolhas de vapor que influem

decisivamente no fenocircmeno

Aqui soacute iremos estudar as bolhas sob o ponto de vista qua

litativo bem como a sua influencia mas nao sob o ponto de vista

quantitativo

Recentemente Fritz e Jacob WR Gambill e outros estudiacutei

ram o processo da formaccedilatildeo das bolhas sobre a superfiacutecie aquecedpound

ra Atraveacutes de fotografias verificaram que a bolha de vapor ain

da em contato com a parede variava profundamente de forma confo_r

me o angulo de contato entre liacutequido e parede metaacutelica

Assim eacute que se a superfiacutecie de aquecimento nao e excesshy

sivamente polida e a tensatildeo superficial do liacutequido eacute pequena a

bolha tem a forma da figura las diz-se nesse caso que o liquishy

do molha a parede neste caso o angulo de contato e agudobull Se

as condiccedilotildees contrarias se verificarem o acircngulo de contato sera

obtuso e as bolhas tomam a forma da figura ldegb Naturalmente ve

rificara-se as condiccedilotildees intermediaacuterias para o angulo de contato da

25

fig lc

Fig la Fig lb Fig lo

0 estudo analiacutetico da formaccedilatildeo e crescimento das bolhas

pode ser encontrado em diversos livros por exemplo no El-Wakill

(Nuclear Power) no Jakob (Heat Transfer)e outros Neles faz-se

o estudo das condiccedilotildees do liquido (pressatildeo temperatura tensotildees

etc) para haver ou nao formaccedilatildeo de bolha Isto eacute feito fazendo-se

o estudo das bolhas nas seguintes posiccedilotildees

a) bolha no seio do liacutequido

para meia bolha

4 ltP g - P fgt fg

onde

P g P f

- 4 D (D

g

Pf

D

pressatildeo do vapor

pressatildeo do liquido

tensatildeo entre superfiacutecie do liacutequido e vapor

diacircmetro da bolha

^f g

P f Fig 2

26

A equaccedilatildeo (1) mostra que a pressatildeo do vapor deve ser maior

que a do liquido nas condiccedilotildees de saturaccedilatildeo e este por sua vez

deve estar no estado de superaquecimento o

b) bolhas sobre superfiacutecie solida

Fig 3

Condiccedilotildees para desprender

a mdash o_ + o_ cos a gs fs fg

tensatildeo na interfase liacutequida e vapor (depende das

propriedades do liacutequido e vapor)

tensatildeo entre o liacutequido e superfiacutecie de aquecimen

to (depende das propriedades do liquido e da sushy

perfiacutecie)

tensatildeo entre o vapor e a superfiacutecie de aquecimeri

to (depende das propriedades do vapor e da super

fiacutecie)

21 - Formas do fluxo do vapor desde a superfiacutecie de aquecishy

mento ateacute a superfiacutecie livre do liacutequido

Considerando liacutequido vaporizado em tubos verticais pode^

mos ter 4 tipos de fluxo de vapor

1 - fluxo de bolhas

2 - fluxo de agregados (plug ou slug)

3 - fluxo anular

4 - fluxo disperso

Os quatro tipos ficam bem determinados respectivamente

onde

a fg

degfs

a gs

27

pelas 4 figuras abaixo

LIacutequido - Liacutequido Liacutequido

o

^Bocirclha de

vapor

Vapor

mdash [

- Vapor

mdash 0 0

deg_ a-

jrj-

iquestiexcl5

Bolhas Agregados Anular

Liacutequido

vapor

Disperso ou

Homogecircneo

Conforme o tipo de ebuliccedilatildeo podemos ter uma so das forshy

mas acima ou uma mistura

3 INCERTEZAS NO ESTUDO DA EVAPORACcedilAtildeO

Ha trecircs incertezas principais para determinar o fluxo de

calor na evaporaccedilatildeo a saber

- Aacuterea de contato indefinida

- Diferenccedila de temperatura indefinida

- Grau de turbulecircncia

Como realmente nos nao sabemos uma dependecircncia algeacutebri

ca entre o acircngulo de contato e a superfiacutecie ocupada pelo liacutequishy

do (ou vapor) temos uma incerteza na determinaccedilatildeo da aacuterea de tro

ca de calor (A)

Outra incerteza eacute a dificuldade da obtenccedilatildeo de diferenccedila

de temperatura entre o liacutequido e a parede que normalmente assume-

-se como sendo a diferenccedila entre a temperatura da parede e da ebu

liccedilatildeo do liacutequido (temperatura de saturaccedilatildeo = t )

S cl c

Na realidade a diferenccedila de temperaturas nao eacute aquela

pois a camada de liacutequido que cobre a superfiacutecie aquecedora esta

a uma pressatildeo maior que o resto do liacutequido (pressatildeo atmosfeacuterica

mais a hidrostaacutetica) e consequentemente a temperatura de vaporiza_

ccedilao desse liacutequido e maior que a da superfiacutecie Esta diferenccedila po-

28

deria ser calculada desde que se conhecesse a relaccedilatildeo entre presshy

satildeo e temperatura de saturaccedilatildeo do liacutequido entretanto haacute incerte

za quanto ao verdadeiro peso especiacutefico da coluna de liacutequidopois

trata-se de uma mistura de bolhas de vapor e de liacutequido em proshy

porccedilatildeo variaacutevelraquo

4 REGIMES DE EBULICcedilAtildeO

Nukiyama estudando a ebuliccedilatildeo da aacutegua num recipiente a

quecendo-a com resistencias eleacutetricas construiu a curva baacutesica da

ebuliccedilatildeo Todos os liacutequidos apresentam uma curva semelhante vashy

riando apenas os valoresraquo Os pontos caracteriacutesticos da curva deshy

pendem de caracteriacutesticas difiacuteceis de definirtais como natureza

do metal estado da superficie (rugosidade) dimensotildees orientashy

ccedilatildeo do fluxo quantidade de gases dissolvidos e t c

Estudaremos o fenocircmeno para o caso de aacutegua destiladasem

gas dissolvido a temperatura de saturaccedilatildeo 100 C pressatildeo atmosfe_

re uma superficie plana

Chega-se assim acirc curva

rica sobre uma superficie plana horizontal a temperatura t^

In ltJgt

At (degC)

A curva acima representa o aquecimento de agua com uma re_

sistecircncia eleacutetrica (ate ebuliccedilatildeo)raquo Temos em abcissas as diferenccedilas

de temperatura entre o liacutequido e a resistecircncia em ordenadas o flu

29

Regiatildeo I

Regiatildeo II

Regiatildeo III

Regiatildeo IV

xo de calor por unidade de area

Na curva notam-se 4 regiotildees bem definidas tendo cada uma

o seu significado fiacutesico os quais correspondem a um tipo de ebuli

ccedilao

convecccedilao natural

ebuliccedilatildeo nucleada

ebuliccedilatildeo por peliacutecula parcial

ebuliccedilatildeo por peliacutecula estaacutevel

41 - Convecccedilao natural

Ocorre quando At eacute inferior a 8degCformam-se no liacutequido

correntes convectivas as quais transferem o calor ateacute a superfiacuteshy

cie livre do liacutequido e aiacute desprendendo o vapor Neste caso o valor

de h eacute da ordem de 2000 kcalm^hdegC

42 - Ebuliccedilatildeo nucleada

Ocorre quando o At eacute maior que 8degC e menor que 25degC Nesshy

te caso as bolhas formam-se junto a superfiacutecie de aquecimento

crescem liberam-se movimentam-se em direccedilatildeo agrave superfiacutecie livre do

liacutequido onde estouram libertando o vapor As bolhas formam-se nas

irregularidades da parede tecircm um acircngulo de contato agudo e porshy

tanto hatilde liacutequido sempre em contado com a parede (molha a parede)

cada ponto ativo (lugar onde se formam as bolhas) libera uma porshy

ccedilatildeo de bolhas e os outros pontos do liacutequido ficam em contato com a

superfiacutecie quente violentamente agitados Esta agitaccedilatildeo extrema eacute

mais eficaz que uma turbulecircncia criada artificialmente Por esse mo

tivo a curva cresce violentamente nesse trecho (m = 3 a 7) pois

bull 2 o o valor de h cresce consideravelmente (ate 46000 kcalm hr C) e

o fluxo teacutermico transmitido ao liacutequido cresce proporcionalmente a

Quando cresce crescem tambeacutem

(At) 3

30

numero de bolhas por unidade de aacuterea (num instanshy

te)

~ = crescimento da bolha (com o tempo)

frequecircncia de iacuteormaccedilao de bolhas

A medida que o At vai aumentando iraacute aumentando (jgt tam-- n o N

bem e consequentemente mdash R mdash a a a tal ponto que quando atiacuteii

girmos o ponto da curva nao haveraacute mais formaccedilatildeo de bolhas

mas sim uma peliacutecula de vapor instaacutevel passando assim a 3a re

giao que estudaremos a seguir

43 - Ebuliccedilatildeo por peliacutecula parcial

Como dissemos no item anterior se aumentarmos ainda mais

o At (entre 25degC e 125degC) teremos a formaccedilatildeo de uma peliacutecula de

vapor instaacutevel sobre a superfiacutecie quente que aacutes vezes eacute perfurashy

da pelo liacutequido A camada de vapor tanto mais estaacutevel seraacute quanshy

to maior focircr o At Essa peliacutecula de vapor iraacute provocar um decreacutes_

cimo consideraacutevel no fluxo teacutermico porque como sabemos o vapor

eacute muito pior condutor que a aacuteguaraquo

0 fluxo vai decrescendo ateacute um ponto miacutenimo (iexclgt mintilde (as vecirc

iacutebo bullraquo 1

zes chega a ser mdashj-) e e o chamado ponto de Liedenfrost 0 coeshy

ficiente de peliacutecula neste caso cai violentamente (h = 2000

kcalm^hrdegC)

44 - Ebuliccedilatildeo por peliacutecula estaacutevel

Aumentando ainda mais a diferenccedila de temperaturas

At ( gt 125degC) iremos conseguir uma camada de vapor estaacutevel Ela

transmite calor da superfiacutecie quente ao liacutequido que se vaporiza de

modo que o excesso de vapor formado na interface liquido-vapor for

ma bolhas que sobem para a superfiacutecie 0 liacutequido encontra-se agi-

31

tado poreacutem nao toma contato com a superfiacutecie soacutelida

A peliacutecula de vapor eacute estaacutevel e o fluxo eacute proporcional a

34

(At) (lei de Bromley) Para At grandes passa a influir sensivel^

mente a radiaccedilatildeo teacutermica mais uma razatildeo para demonstrar que nesshy

ta regiatildeo o fluxo cresce novamente

5 CONSIDERACcedilOtildeES E COMPARACcedilAtildeO ENTRE OS TIPOS DE EVAPORACcedilAtildeO

BURNOUT

Sob o ponto de vista de eficiecircncia teacutermica deveriacuteamos sem

pre trabalhar no ponto de fluxo maacuteximo isto eacute no ponto correspon

dente a lt(gt da curva de Nukiyama pois eacute o que daacute maior coeficieri

te de peliacutecula

Acontece poreacutem que se impomos a temperatura da parede

fixa obtemos um uacutenico valor de lt(gt e portanto o fenocircmeno eacute estaacutevel

Poreacutem se como ocorre nos reatores impomos um fluxo teacuter

mico a curva de Nukiyama apresenta 3 pontos de funcionamento posshy

siacuteveis A B C

1

SOacute os pontos A e C sao funccedilotildees estaacuteveis mas eles impotildeem

acirc superfiacutecie quente temperaturas bem diferentes

Na industria em geral trabalha-se por questotildees de segushy

ranccedila na regiatildeo IV da curva poreacutem para os reatores trabalha-se na

32

r e g i atilde o I I

0 p r o b l e m a de t r a b a l h a r n a r e g i atilde o II eacute q u e se n oacute s e s t i shy

v e r m o s t r a b a l h a n d o n o p o n t o e x t r e m o (j) e se p o r q u a l q u e r m o t i v o

h o u v e r u m p e q u e n o a c r eacute s c i m o d e ltfgt i r e m o s t r a b a l h a r i m e d i a t a m e n t e no

p o n t o M q u e t e m o m e s m o $-^0t p o r eacute m c o m A t 2 m u i t a s v e z e s m a i o r

p o d e n d o o c a s i o n a r a f u s atilde o d a s u p e r f iacute c i e a q u e c e d o r a E s t e f e n ocirc m e n o

eacute c h a m a d o d e b u r n o u t

0 f l u x o lttgt eacute c h a m a d o f l u x o c r iacute t i c o o u f l u x o d e b u r -b o

n o u t N o c a s o do r e a t o r d e v e m s e r t o m a d a s m e d i d a s r i g o r o s a s q u a n

to agrave r e g u l a g e m do f l u x o t eacute r m i c o p a r a q u e n atilde o o c o r r a o b u r n o u t 1 1

p o i s d e l e p o d e r e s u l t a r r u p t u r a d a c a m i s a do c o m b u s t iacute v e l e h a v e shy

r aacute p o r t a n t o c o n t a t o do r e f r i g e r a n t e c o m o s s oacute l i d o s e g a s e s r a shy

d i o a t i v o s

5 o l - R e l a ccedil atilde o d e B u r n o u t

E c l a r o q u e p a r a t e r m o s u m r e a t o r m a i s e f i c i e n t e d e v e shy

m o s t r a b a l h a r c o m u m f l u x o o m a i s p r oacute x i m o p o s s iacute v e l do f l u x o d e

B u r n o u t P a r a t a n t o d e v e m o s c o n h e c e r c o m o m a i o r g r a u d e certe

za p o s s iacute v e l q u a l o ^ p a r a p o d e r m o s r e d u z i r o c o e f i c i e n t e d e s e shy

g u r a n ccedil a ( W R G a m b i l l r e c o m e n d a agrave 1 5 )

N o s s e m i n aacute r i o s d e W R G a m b i l l e n c o n t r a m o s u m a s eacute r i e de

b i b l i o g r a f i a s o n d e p o d e m o s e n c o n t r a r i n uacute m e r a s f oacute r m u l a s p r o p o s t a s

p a r a a o b t e n ccedil atilde o de (q 1^)

A t i t u l o d e e x e m p l o v e j a m o s a l g u m a s

q - 2 7 0 G deg gt 8 5 D 0 2 A085 p lt 150

deg D ( L uuml ) 2

q - 140 G 0 5 D ~ deg 2 (-~-)~deg 1 5 p ~ r gt 150 c D (LD)

o n d e a m b a s as e q u a ccedil otilde e s s oacute v a l e m p a r a aacute g u a e m b a i x a p r e s s atilde o e m coii

v e c ccedil a o f o r ccedil a d a

33

D

L

fluxo teacutermico critico BTUhrft bdquo 2

descarga em massa do liquido (Ibmhrft )

diacircmetro do tubo ft

comp do tubo ft

Para cada caso temos uma expressatildeo diferente que pode ser

encontrada em literatura especializada

6 INFLUEcircNCIA DE OUTROS PARAcircMETROS NO FLUXO DE BURNOUT

Como para os usos atuais do reator a diferenccedila de temppound

ratura entre parede e fluido sao pequenas bem como o fluxo de bur

nout recentemente fiacutesicos como Jakob Bonilla WR Gambill estu

daram outros paracircmetros que influenciam bastante o sect^ 0gt isto eacute a

influecircncia desses paracircmetros faz com que o ^ seja maior Isto eacute

util pois quanto maior o fluxo de burnout maior poderaacute ser o

fluxo de calor real de funcionamento

Tais meios sao

- Sub-resfriamenCcedilo do liacutequido

61 - Influecircncia da velocidade do liacutequido

Estudos feitos pelos autores acima chegaram agraves curvas

- Aumento da velocidade imposta ao liacutequido

- Pressatildeo do liacutequido elevada

alto V

At

34

Para velocidades maiores o fluxo de burnout aumenta

porque neste caso o regime eacute turbulento e o coeficiente de peliacute

cuia h aumentao

6bdquo2 - Influencia do aumento da pressatildeo

Este estudo deve-se a Bonilla que obteve experimentalmen

te as curvas

Este estudo foi feito para vaacuterios liacutequidos e chegou a con

clusao que sempre havia uma pressatildeo oacutetima isto e uma pressatildeo que

leva ao maior iacute 1 ^ raquo mantidas as demais condiccedilotildees Experimentalmenshy

te notou que essa pressatildeo correspondia a 13 da pressatildeo critica

do liquido em questatildeo

6=3 - Influecircncia do sub-resfriamento

Consiste em manter atilde custa de uma circulaccedilatildeo intensa o

liacutequido a uma temperatura inferior atilde de saturaccedilatildeo para a pressatildeo

correspondenteraquo Experimentalmente chega-se agraves curvas

mdash A t grande sub

bullAt -0 sub sub

medio

At

35

Verificando os graacuteficos vemos que o lt)gt aumenta agrave medida bo

que aumenta a diferenccedila de temperatura de sub-resf riamento isto pojr

que o liquido como estaacute mais frio faz com que algumas das bolhas

recondensem permitindo que o liquido fique em contato com a parede

quente o que faz aumentar o h

^ f csub = t e m P e r a t u r a ddeg liacutequido - temperatura de saturaccedilatildeo

A diferenccedila de temperatura At entre fluido e parede tamshy

beacutem aumenta poit na regiatildeo proacutexima agrave parede haacute necessidade de

levar o liacutequido da temperatura do sub-resfriamento ateacute a temperatu

ra de saturaccedilatildeo quando se evapora

Atualmente os maiores estudos dos fiacutesicos nucleares locashy

lizam-se neste campo pois eacute o que oferece maiores vantagens

7 FORMULAS PARA 0 CAacuteLCULO DO COEFICIENTE DE PELIacuteCULA NA EBULICcedilAtildeO

Como ocorre no caacutelculo de todas as foacutermulas de convecccedilatildeo

temos formulas empiacutericas para determinar o h conforme o tipo de

ebuliccedilatildeo que nos consideramos

71 - Ebuliccedilatildeo Nucleada

Para o caso de aacutegua temos as relaccedilotildees

superfiacutecies

horizontais

superfiacutecies

verticais

f aacute 5000 BTUhrft 2 -gtbull h = 151 ( A t ) 1 3

A o

5000 lt 75000 -h = 0618 (At)3

^ pound 1000 -raquobull h = 8 7 ( A t ) 1 7

A o -

1000 lt $ lt 20000 -gt h = 027 (At) A o

Quando a pressatildeo e diferente da atmosfeacuterica faz-se a correccedilatildeo

3 6

72 - Ebuliccedilatildeo por peliacutecula

Bromley propocircs uma boa equaccedilatildeo para a ebuliccedilatildeo por peliacuteshy

cula estaacutevel em cilindros horizontais

Nu

_ JtjD n r 9 P v bull ( P L - P v gt - g -h

e V bull D i2

D 1 ^ U b Z u At gt

onde

V = indica vapor

L = indica liacutequido

Multiplicando ambos os membros da equaccedilatildeo acima por

kvD obteremos a expressatildeo do coeficiente de convecccedilagraveo meacutedio para

o caso

37

C - FORMULAS PARA CAacuteLCULOS ESPECIacuteFICOS - RESULTADOS ESPECIacuteFICOS

1 FLUXO DE CALOR CRIacuteTICO - BURNOUT

lol - Introduccedilatildeo

O aspecto mais importante no que se refere agrave seguranccedila

dos reatores da transferencia de calor na ebuliccedilatildeo eacute a determina

ccedilatildeo do Fluxo de calor critico ou de pico ou burnout

Como jatilde vimos quando temos a ebuliccedilatildeo nucleada a dishy

ferenccedila de temperatura entre refrigerante e superfiacutecie de aqueci

mento e pequena poreacutem quando atingimos o fluxo de calor criacutetico

essa diferenccedila de temperatura pode tornar-se imediatamente muishy

to grande podendo causar a ruptura da superfiacutecie de aquecimento

se atiigirmos o ponto de fusatildeo do soacutelidoraquo

Usando a convecccedilao

onde

At sat

w

sat At

sub

w = temperatura da parede de aquecimento

t t = temperatura de saturaccedilatildeo do liacutequido

t^ = temperatura de mistura do liacutequido

At = (t -t ) sub-resfriamento do liacutequido sub N sat b 1

nout

Ha dois tipos de burnout fast burnout e slow bur-

Ocorre o fast burnout (burnout raacutepido) quando A t g u b gt 0

38

ou para baixo x (~ lt 10) sendo x o titulo do vapor

Temos o slow burnout para x - gt 10 Assim noacutes tereshy

mos dois limites para o burnout

At bull o (ltJgt ) t =((() para t = t ) -

bo m m possiacutevel w sat

sub i

4L + 1

G c D h pl nb

(ltK ) = (ltpound para x = 1) = Dv-bo max possiacutevel e 4L

c At l + P 1 sub i

onde

L = comprimento do canal

D = diacircmetro do tubo

G = descarga de liacutequido (por unidade de aacuterea)

c ^ = calor especiacutefico do liacutequido

Agrave = calor latente de vaporizaccedilatildeo

h ^ = coeficiente de transferecircncia de calor na regiatildeo de

nao ebuliccedilatildeo

iacutendices

i = entrada

e = saiacuteda

Haacute inuacutemeras expressotildees para determinaccedilatildeo do burnout pro

postas por muitos fisicos cada uma aplicando-se a um caso especiacuteshy

fico vejamos algumas delas

12 - Equaccedilotildees para prediccedilatildeo de Burnout

121 - Equaccedilatildeo de Bragg e Smith (Zuber)

Num artigo publicado por Bragg e Smith encontramos uma f oacute_r

mula que e derivada da formula de Kutateladze e nos daacute o fluxo cri

39

tico quando nao temos sufaresfriamento

bo poolsat v V raquoc a ( p l P V )

2 PV

14

onde

ltiexclgt = fluxo de calor critico bo

k = constante

Ly = calor latente de vaporizaccedilatildeo do refrigerante

= densidade do liquido

pvr = densidade do vapor V a = tensao superficial

g = fator de conversatildeo c

a = aceleraccedilatildeo da superficie de aquecimento

Os autores encontraram para k um valor de 062 entreten

to outros autores como Zuber incluindo outras variaacuteveis que In

fluiam no fenocircmeno encontraram k variando entre 008 e 023Esshy

tudos bem elaborados mostram que o valor mais aproximado eacute

k = 015 (- 003)

1-22 - Equaccedilatildeo de Noyes

Noyes estudou o burnout para o soacutedio agua e alguns liacute

quidos orgacircnicos

( W s a t ~ bdquo 0245 bull ( r ( 1 )

iiacute_ V 1 Pr

onde

N n = Nuacutemero de Prandtl da fase liacutequida x r

Mais tarde o proacuteprio Noyes alterou a equaccedilatildeo para

n ^ - n H Iacute I Pl PV gt0538 deg g c a q 4 ( W s a t deg 1 1 6 PV ( - p 7 ~ ) (77T1^ ) ( 2 )

40

A ultima correlaccedilatildeo proposta por Noyes foi

a n prPV0560 112

1

(a bull a) 13

(ag c) 112

(3)

onde

a = difusividade teacutermica do liacutequidoraquo A equaccedilatildeo (3) eacute bashy

seada em todos os dados de burnouts do soacutedio bem

como da atildegua benzeno difenil e outros De 111 pontos usados 90

+ estatildeo relacionados dentro de - 30bdquo

ldeg2o3 - Burnout com convecccedilao forccedilada e sub-resfriamen

to

Aproveitando os resultados de aproximadamente 240 testes

de burnouts com aacutegua sub-resfriada em fluxo de convecccedilao forccedilashy

da feitos na Ruacutessia Labuntsov elaborou uma boa equaccedilatildeo empiacuterica

para o problemabdquo

Esta relaccedilatildeo aplica-se para velocidades entre 2 3 e 148

ftsec pressotildees entre 1 e 201 atmabs sub-resfriamento entre 0 deg

e 432 degF e fluxos de burnout entre 0 4 x IO 6 x 166 x 1 0 6 BTUhr

2 bdquo

bullbo

onde

e a seguinte

6 ( P ) 1 + 0 2 3 2 V 2

14

e ( P ) 1 +

15 c At _p_ sub

12 (a)

9 ( P ) - P 1 3 o ( 1 - P J 4 3

red

= pressatildeo (atm abs)

pressatildeo reduzida = mdash mdash red r P

t_ c = pressatildeo critica

= velocidade do liacutequido (ftsec)

= calor especiacutefico do liacutequido (BTUlbdegF)

4 1

^ tsub = ^ ^ e r e n Ccedil a ^ e temperatura entre a temperatura de

mistura do liacutequido e a de saturaccedilatildeo (degF)

X = calor latente de vaporizaccedilatildeo (BTUlb) 2

ltiacutegtbo = fluxo de burnout (BTUhrfl )

Uma outra correlaccedilatildeo para o caso foi proposta por

Ornatsky e Xiohigin que fizeram experiecircncias para pressotildees entre

10 e 1 5 0 3xm 90 degF lt At ^ lt 4 5 0 deg F 3 7 1 0 6 ( l b h r o f t 2 ) lt G lt

2 2 2 10 b ( l b h r bdquo f t 2 )

lt ^ = 3 2 5 0 (G o A t bdquo J deg 6 ( - i - ^ ) 2 5 ( b ) bo sub

onde

G - descarga de refrigerante por unidade de aacuterea

P ^ v P v - densidades do liacutequido e do vapor

P1~ PV -0 termo (mdash ) e incluido na expressatildeo (b) para indicar

a influecircncia da ^ pressatildeo sobre o

Uma comparaccedilatildeo entre as equaccedilotildees (a) e (b) foi feita para

o Reator de Isoacutetopos de Alto Fluxo (HFIR) nas condiccedilotildees aacutegua a

600 psia velocidade = 45 ftsec e sub-resfriamento = At^^ 1

degF obtendo-se uma diferenccedila de 6 5 entre ambos (4gt = 6 0 5 1 0 b

2 ~ 6 2 BTUhr ft pela equaccedilatildeo (a) e 6 4 5 10 3TUhrraquoft pela equaccedilatildeo

(b)

Ilatilde ainda a equaccedilatildeo de Ivey e Morris aplicaacutevel somente pa_

ra ebuliccedilatildeo com grande quantidade de liacutequido

( c sub t

Cpf bull A tsub

( bull ) s ~ V P bdquo 10 h V sat V g

onde

(ltL ) = fluxo critico com sub-resfriamento c sub

(ograve ) ^ - fluxo critico sem sub-resfriamento c sat

42

c ^ = calor especiacutefico do liacutequido

= calor latente de vaporizaccedilatildeo

124 - Burnout com convecccedilao forccedilada e ebuliccedilatildeo por bocirc-

Ihas

Gambill fez uma extensatildeo da equaccedilatildeo de Levy e aplicou o

metqdo da superposiccedilatildeo Tal extensatildeo consiste natilde subtraccedilatildeo de uma

razatildeo equivalente de massa transferida dos termos que represenshy

tam a ebuliccedilatildeo e convecccedilao para levar em conta a presenccedila do vashy

por no fluxo

A correlaccedilatildeo pode ser escrita assim

24 V P V

o g c a (p^Py) 14

+ 0696 (k p c ) 12

(

pr p v )i4 o g c a (P-L-Py) 18

bull At + h sub nb

044 p v L v G (g1) bull N2 n

p l P V

( pr p v ) d e 2-7

2 4 TT 0

14 ( f e _ ^ r l 3

lO^u

onde

k = condutividade teacutermica

c = calor especiacutefico

A t s u b ~ s ub-resfriamento do liacutequido

h = coeficiente de transferecircncia de calor de nao ebu nb mdash

liccedilatildeo

G = descarga total do refrigerante

43

d g = diacircmetro equivalente do tubo ou canalraquo

]i = viscosidade

B = constante adimensional

Os iacutendices V e 1 representam vapor e liacutequido respectiva

mente

0 primeiro termo entre chaves da equaccedilatildeo representa o flu

xo de calor no burnout de sub-resfriamento em convecccedilao forccedilada 0

segundo termo entre chaves corresponde ao fluxo de calor transferi^

do para a massa da fase vapor

1-25 - Burnout por Bloqueio da Base

Ocorre quando a profundidade do recipiente eacute muito maior

que a largura 0 bloqueio da base eacute causado pela formaccedilatildeo de uma pe_

licula de vapor na base impedindo que o liacutequido toque o fundo do

recipiente

i De

Este eacute o burnout por flooding isto eacute burnout por expul

sao do liacutequido Uma equaccedilatildeo que nos dacirc o fluxo minimo do burnout

parao caso eacute

44

onde

D g = diacircmetro equivalente

L = comprimento do tubo

= calor de vaporizaccedilatildeo

p^Py Ap = densidade do liacutequido do vapor e diferenccedila en

tre ambos

Para um fluxo de calor maior ou igual ao dado pela expres_

sao acima (mantida a mesma geometria) teremos burnout Para um deshy

terminado fluxo existiratildeo sempre um comprimento L e um diacircmetro equi

valente D e para os quais temos burnout Exemplo

L (in) D e(in)

10 11

100 51

1000 235

2 RESULTADOS ESPECIacuteFICOS - FOacuteRMULAS PARA CAacuteLCULOS ESPECIacuteFICOS

21 - Diferenccedila de temperatura At i

13 a t

sat

At sat

poundatildeJL_ raquo t - t J p T T 6 w sat

onde

o laquo tensatildeo superficial entre liquido e vapor

t - temperatura de saturaccedilatildeo do liacutequido para a corres-Scl t

pondente pressatildeo

J equivalente mecacircnico do calor

X laquobull calor latente de vaporizaccedilatildeo

py = densidade do vapor

6 = espessura da camada de liacutequido superaquecido onde

45

k l

h nc

onde

k^ = condutividade teacutermica do liacutequido

h = coeficiente de peliacutecula nc r

Segundo Eckent h ^ c e dado por

P 2 Q

nc 3 V VP + 0952

r

onde

D = diacircmetro equivalente

G r = numero de Grashoff

P = nuacutemero de Pradtl

2 o 2 - Velocidade das bolhas

A velocidade das bolhas em meacutedia pode ser dada pela exshy

pressatildeo

V bdquo = Iacute ( a bull B Apl4 bolhas 5 ^ 2

p l onde

AP = P L - P v

Expressatildeo que vale quando a aceleraccedilatildeo eacute a da gravidade

baixa viscosidade do liacutequido e bolhas separadas

Vbolha = f t s e atilde m a x para aacutegua

2 bdquo3 - Diacircmetro das bolhas

2gc deg 12 D = 0015 3 ( mdash mdash 7 ~ ) d g Ap

5 =

46

onde

8 = acircngulo de contato (20 a 90deg) geralmente assume-O -1

-se igual a 50 para a agua em contato com metal

24 - Coeficiente de peliacutecula na ebuliccedilatildeo nucleada

a) Equaccedilatildeo de Rohsenow

Esta equaccedilatildeo nos datilde o fluxo de calor q na ebuliccedilatildeo nushy

cleadaraquo E oacutetima expressatildeo para muitos liacutequidos o efeito da presshy

satildeo eacute levado em conta na variaccedilatildeo das propriedadesraquo

Pf

fg

sat 17 = c

sg k y f h f g g( P f-p g)

n033

onae

Pf

fg

Pf Pg c sg

= fluxo de calor requerido (BTUhr0ft^)

= calor especiacutefico do liacutequido saturado (BTUlbm0F)

= calor latente de vaporizaccedilatildeo (BTULbm)

= nuacutemero de Prandtl

= viscosidade do liacutequido (lbrahrraquoft) ~ 8 2

= fator de conversatildeo 417 10 Ibmftlbflaquohr 2

= aceleraccedilatildeo da gravidade (fthr )

= tensatildeo superficial na interface liacutequida vapor

(lbfft) 3

densidade do liquido e vapor (lbmft )

constante adimensiacuteonal que depende de vaacuterios fashy

tores dentre os quais o grau de aquecimento en_

tre o fluido e a superfiacutecie de aquecimento e o

mais importanteraquo Independe da pressatildeo do sistema b) Equaccedilatildeo de Levy

Equaccedilatildeo valida para a aacutegua quando 100 lt p lt 2000 psiacutea

47

43 bdquo3

qu bdquo gat ^ T J h r t f t ^

495

25 - Calculo do fluxo de calor no Ponto de Leidenfrost

0 ponto de Leidenfrost como vimos eacute o ponto em que oflu

xo de calor comeccedila ncamente a crescer isto eacute o ponto onde termal

aa a ebuliccedilatildeo instaacutevel e comeccedila a ebuliccedilatildeo por peliacutecula estaacutevel Eacute

o chanado fluxo miacutenimo (egrave ) m m

Aproximadamente quando A t g u k = 0 temos

A _ mdash _ mdash (Gambill) m m 5

Ha entretanto varias expressotildees para determinar esse flu

xo eis uma delas

A p 14 ltjgt = 009 h pbdquo (o raquo g mdash ) y m m fg P V deg 2

p l

26 - caacutelculo do fluxo de calor na regiatildeo de ebuliccedilatildeo por peliacute

cuia estaacutevel

para cilindros jmdashi i li

_ D 0172 k-V - P V A p h l V bull S 14 li - = 062 (mdashmdash) (- j- r rmdash) convecccedilao A 0 ybdquo (t -t )

c V w sat

onde

= condutividade do vapor

- 2 TT ( mdash )

c gAp Vl = significam vapor e liacutequido respectivamente

para paredes verticais

L 0172 S deg7 A p bull hlV S q 4 h - - 080 (-^-)J- (-Iuml - Iacutemdash-convecccedilao X L u (t - t J)

c V w sat

48

Como nesta regiatildeo jaacute haacute nina influecircncia marcante da radia

ccedilao devemos levar en conta tambeacutem o coeficiente de peliacutecula de

vido a radiaccedilatildeo para determinar o coeficiente de peliacutecula total

Dos estudos atildea radiaccedilatildeo temos

h = a F pound(T 4 - T 4 J ( T ~ T ) rad w sat w sat

onde amp _ emissividade de superfiacutecie

a = constante de Stefan-Boltzman

F = fator de forma

Segundo WE Gambill o coeficiente de transmissatildeo total

ceve ser

3 iacutei = h + -7 h para h lt h t conv 4 rad r rad conv

Na expressatildeo acima existe o fator 34 porque a radiaccedilatildeo

faz variar um pouco a espessura do filme de vapor reduzindo asshy

sim o l l

conv

Quando tivermos h gt h gt o h^ ^ seraacute rad conv total

h f c = h + h t conv rad

Neste ultimo caso nao ha nenhum coeficiente porque a peshy

liacutecula de vapor jaacute eacute estaacutevel

27 - Grandezas caracteriacutesticas para a apua

Para pressatildeo igual a 1 atm = 1422 psia

At ^ = t - t = 5degC (iniacutecio da ebuliccedilatildeo nucleada) sat w sat 1

At t = 30degC sat crit

49

5 2 $ = 4 10 BTUhrft (para pressatildeo 1 atm)

0 fluxo critico cresce como vimos com a pressatildeo ate

atingir o maacuteximo quando a pressatildeo eacute aproximadamente 13 da pressatildeo

criacutetica Esse fluxo eacute

bull = 13 IO 6 BTUhrft 2 para p = 11000 psia (p pound = 32062 psia)

Ainda temos que para pressatildeo igual a 15 psia

h b o = 11000 BTUhrft degF - ebuliccedilatildeo nucleada

h f b = 30 BTUhrft 2 degF - ebuliccedilatildeo pelicular

Todos os resultados e formulas para caacutelculos especiacuteficos

apresentados nos itens 21 22 23 ateacute 27 sacirco aplicados somente

para sistemas onde haja ebuliccedilatildeo com grande quantidade de liquido

51

D - HIDRODINAcircMICA DOS SISTEMAS E QUEDA

DE PRESSAtildeO DENTRO DE UM CANAL

1 HIDRO-DINAcircMICA E QUEDA DE PRESSAtildeO

11 - Hidro-dinacircmica dos sistemas estaacuteveis

111 - Regimes de escoamento

A evoluccedilatildeo do escoamento ao longo de um canal aquecedor

de secccedilatildeo constante ciliacutendrico pode ser esquematizada pela figushy

ra 1 onde temos em abcissa o comprimento z do canal e em ordenada

a temperatura (T)

52

Na figura 1 nos representamos

a) 0 aspecto do escoamento fluido quando a entalpia do

- fluido aumenta Verificamos que o fluido entra no cashy

nal no estado liacutequido e assim permanece ateacute atingirmos a zona de

ebuliccedilatildeo local onde aparecem as primeiras bolhas A entalpia do

fluido continua aumentando e tem inicioa ebuliccedilatildeo franccedila onde as

bolhas se unem formando agregados posteriormente o escoamento to

ma a forma da figura ou seja torna-se anular disperso Finalmente

atingimos duas uacuteltimas fases do escoamento disperso (vapor uacutemido)

e vapor seco

b) A evoluccedilatildeo da temperatura meacutedia do fluido e da tempeshy

ratura da parede Note-se que a partir da cota a

temperatura da parede aumenta brutalmente podendo causar o

burnout

c) A evoluccedilatildeo do tiacutetulo do vapor (x) com o comprimento

do tubo e a evoluccedilatildeo da fraccedilatildeo (a) que definiremos no

item 11laquo2 com o comprimento do tubo

112 - Definiccedilotildees

a) Tiacutetulo ou qualidade do vapor (x)

massa de vapor na mistura x ~ massa total da mistura

x =

W _g_

g f

b) Fraccedilatildeo vazio (void fraction)

volume do vapor na mistura a = volume total da mistura (agua+vapor)

A relaccedilatildeo entre x e a num sistema parado pode ser obtida

assumindo um certo volume contendo 1 lbm de mistura em equiliacutebrio

teacutermicoraquo

53

O volume da mistura seraacute igual a (v + xv ) ft onde v eacute 3 r rg

o volume especifico (lbmft )

f - refere-se ao liquido

g - refere-se ao vapor

fg - refere-se a diferenccedila entre liacutequido e vapor

Numa mistura em equiliacutebrio se o liacutequido e o vapor estatildeo

saturados o volume do vapor presente eacute igual acirc sua massa vezes

seu volume especiacutefico v assim e

xv bdquo bdquo a mdash

V c + XV c

f gf

onde

- bull-bull uumlutiacuteisa vapor na mistura de 1 Ibm

v volume especiacutefico do liacutequido

v = volume especiacutefico do vapor o

V c = v - V

gf 8 r

Fazendo uma transformaccedilatildeo na expressatildeo acima temos

xv xv JS = Z-

v r+ x(v -v c) xv +(l-x)v t ri f g f g f 1 + Ul-x)xjv fv

1 + C(l-x)x]]vfvg

A fraccedilatildeo vazia tem a influencia de baixar a reatividade

do nuacutecleo nos reatores em que o refrigerante eacute tambeacutem moderador

Na equaccedilatildeo acima os valores de x e v sao tomados em tabe

las termodinacircmicas apropriadas para a pressatildeo do sistema A equashy

ccedilatildeo (1) mostra os grandes valores de a para pequenos valores de x

especialmente para baixas pressotildees Isto ocorre porqueaumentando

54

aacute pressatildeo o v decresce muito enquanto que o v f eacute mais ou menos da

mesma ordem de grandeza

Exemplo Calcular o a correspondente para x raquo 2 para aacutegua

leve atilde pressatildeo atmosfeacuterica

Da tabela para p laquobull 1 atm

v - 001672 ft 3lbm e v - 26800 ft 3lbm

1 + [(1-002)002] 001672268

0971 ou 97U

O grafico abaixo mostra a variaccedilatildeo do a com x para vaacuterias

pressotildees e para a aacutegua leve

x ()

tObservaccedilotildees da curva

Fig 2

1 - para x constante a decresce com a pressatildeo Para presshy

sotildees proacuteximas da criacutetica a aproxima-se rapidamente de

x Para a pressatildeo criacutetica as duas fases satildeo indistinguiacuteveis ea=x

2 - para cada pressatildeo dotdx decresce com aumento de x

3 - para baixos valores de x (que e o caso dos reatores

tipo Boiling) quando p decresce dadx cresce e torr

na-se muito grande paacutera baixas pressotildees Isto tem relaccedilatildeo com a epound

55

tabilidade do reator como veremos mais tarde

113 - Sistemas com fluxo

Todas as definiccedilotildees que noacutes vimos no item anterior refeshy

rem-se acirc sistemas em que a mistura esta fechada no recipiente Nes^

te caso natildeo havia movimento relativo entre as duas fases No entan

to se as duas fases da mistura se movem na direccedilatildeo vertical em

canais entre os elementos combustiacuteveis o vapor por causa de sua

flutuaccedilatildeo tem a tendecircncia de escorregar sobre o liacutequido isto e

move-se com velocidade maior do que a do liacutequido

Real Modelo

Pig 3

S -

Define-se neste caso a relaccedilatildeo de escorregamento (slip

ratio) (S) como sendo

V _i

V f

onde

V = velocidade do vapor

= velocidade do liquido

S modifica as relaccedilotildees entre a e x do item anterior S geralmen_

te gt 1 Define-se neste caso qualidade do vapor ou tiacutetulo como

sendo

_ fluxo de massa de vapor

fluxo de massa da mistura

Entatildeo se o fluxo de massa da mistura eacute m t(lbmhr) o flushy

xo de vapor seraacute = x m e o fluxo de liacutequido sera (1-x) m onde x

56

e o titulo do vapor para a particular secccedilatildeo (AL) da figura (3)

Devemos notar que neste caso x varia de secccedilatildeo para secshy

ccedilatildeo do tubo o exposto no paraacutegrafo acima vale considerando-se que

x e a permaneceram constantes na secccedilatildeo de espessura AL

Aplicando a equaccedilatildeo da continuidade as velocidades do va

por e liacutequido sao dadas por

o xm v

V vazatildeo = g g area A

V

(1-x) amp t v f

f A f

onde A e A f sao as aacutereas medias perpendiculares ao fluxo se as

duas fases sao imaginadas completamente separadas uma da outra

(figura 3) Assim temos

V x m v o A_ A v 0 ^ - 2 = iacute S t m _2L- JL JS m

V A (l-x)ui v 1-x A v U

f g t f g f

Sabemos ainda que para a secccedilatildeo considerada

volume do vapor na mistura a = volume total da mistura (agua+vapor)

A AL A pound g g

a = mdash a a = - mdash 1

(A+A )AL A f + g

A ou f _ 1 - a

A a 8

Substituindo em (2) vem

57

Esta expressatildeo pode ser rearranjada e obteremos uma relashy

ccedilatildeo entre x e a levando em conta o escorregamento Chega-se a

a = 1 ( 3 )

1+ [U-x)x3 igt

onde

v 4 laquo -- S

v lty o

Note-se que quando S=l (nao haacute escorregamento) caimos na

expressatildeo dada no item anterior

0 efeito do escorregamento eacute decrescer o valor de a pa_

ra um mesmo xbdquo Isto pode ser visto pela foacutermula (3) pois S gt lLo

go a decresce com acreacutescimo de S

Um alto S e entatildeo uma vantagem tanto para a transferecircnshy

cia de calor como para efeitos de moderaccedilatildeo Eacute uma vantagem para

transferecircncia de calor porque alto S significa alto V e portanto

maior turbulecircncia e maior contato do liquido com as paredes quenshy

tes Ha tambeacutem melhorias na estabilidade da reaccedilatildeo nuclear isto

porque como jaacute dissemos quando mdash7 diminui a estabilidade aumenshy

ta isso pode ser verificado observando a curva a versus x para a

agua leve a 1000 psiabdquo

Fig 4

58

A relaccedilatildeo entre x e a da equaccedilatildeo (3) so vale para secccedilatildeo

de tubo bem pequena

Devemos notar que S varia tambeacutem com a pressatildeo e velocida^

de de entrada do liacutequido no tubo Este efeito pode ser observado na

figura 5 abaxxo obtida esperimentalmente

s

3

~^ ~ psig

x = 001

V 1

Fig 5

Nos projetos de reatores como veremos adiante o valor a

geralmente eacute determinado por consideraccedilotildees nucleares (moderaccedilatildeo) 0

valor de S eacute determinado atraveacutes de uma estimativa ou entatildeo atrashy

veacutes de um graacutefico do tipo da figura 5 0 correspondente valor de x

pode ser obtido de uma foacutermula empiacuterica do tipo

1 = 1 (-S)0gt67

proposta por Von Glahn

Em muitos casos assume-se S constante em todo o comprimeiv

to do canal poreacutem eacute um erro que em muitos casos nao pode ser coshy

metido

4 REATORES EM QUE 0 LIacuteQUIDO B MODERADOR E CIRCUITO PRIMAacuteRIO AO

MESMO TEMPO BOILING-REACTOR (BWR)

A aacutegua ao se movimentar atraveacutes dos vaacuterios canais do

59

Boiling-reactor encontra vaacuterias resistecircncias ao fluxo que provoshy

cam uma reduccedilatildeo de pressatildeo no fluido

As duas perdas mais importantes sao perda de pressatildeo por

atrito e perda de pressatildeo causada pela aceleraccedilatildeo do refrigerante

ao aumentar de volume por receber calor num canal Outras perdas

de pressatildeo seriam a obstruccedilatildeo ao fluxo por corpos submersos (espa_

ccediladores juntas de tubos chaves etc) e por mudanccedilas abruptas de

aacuterea de fluxo tanto na entrada como na saiacuteda do tubo

Essas perdas de pressatildeo devem ser conhecidas o melhor popound

sivel principalmente nos reatores BWR Para tanto devemos saber

o comprimento de canal em que nao ha a ebuliccedilatildeo isto eacute qual o com

primento de canal em que o refrigerante vai da temperatura de sub-

resfriamento ate temperatura de saturaccedilatildeo

Seja o elemento combustiacutevel

Aquecimento Uniforme Aquecimento Senoidal

Fig 6 Fig 7

onde

H =

H = o

H b

comprimento do elemento combustiacutevel

cota onde o liquido se torna saturado

comprimento do elemento combustiacutevel em que ocorre

ebuliccedilatildeo

60

qg = calor sensiacutevel acrescentado ao liquido para satushy

raacute-lo

qfc = calor total acrescentado ao liacutequido em todo o com

primento do canal

laquoo

q s J o qiquest sen (IIzH) n H o

T~ = TH = 2 ( 1 c o s gt ( a )

q 1 sen (HzH) Jo ^c

A expressatildeo (a) vale quando tivermos uma adiccedilatildeo de calor

senoidal para qualquer outra forma de adiccedilatildeo de calor faz-se um

caacutelculo anaacutelogo

Outra relaccedilatildeo entre q g e qfc eacute dada pela termodinacircmica

q h- - h s f m (b)

(hr +x h )-hm ^t f e fg

onde

= entalpia para o liquido saturado a pressatildeo correjs

pondente (cota z = Ho)

hffi = entalpia do liacutequido na entrada do canal

x = tiacutetulo do vapor na saiacuteda

= entalpia do vapor

Com a relaccedilatildeo (b) noacutes determinamos a relaccedilatildeo q q ecom

S L

uma relaccedilatildeo do tipo (a) (conforme seja o adicionamento de calor ao

liacutequido) podemos obter a relaccedilatildeo HoH e consequentemente H^H

21 - Perda de pressatildeo num canal de evaporaccedilatildeo

Neste item iremos determinar as perdas de pressatildeo mais

representativas que ocorrem num canal de evaporaccedilatildeo de um reator

P + dP

bull1 i- 1 gti i i

dL

onde

UM

Icirc H Icirc Icirc T dF f t f

61

Quantidade de Mov na Entrada

= i- rigVg)

dF f l

Fig 8

m i

m 8

V l V 8

A P

dF

dF

dF

fg

fl

ftf

descarga do liacutequido

descarga do vapor

velocidade do liquido

velocidade do vapor

aacuterea transversal do canal

forccedila de atrito do vapor com parede

forccedila de atrito do liacutequido com parede

forccedila de atrito das duas fases liacutequido+vapor

Fazendo o balanccedilo das forccedilas considerando o sentido posjL

tivo na vertical temos

A (P-P-dP)-(dF +dF _+dF _)-(-pound-) (p A+p A )dL = mdash dGnV+m V ) P fg ftf fl g c 1 1 g g g c

v 1 1 g g 7

- dP = ~ (dF +dF--+dF)+- S--7=- (p A+p A )dL+ mdash ~ - d (m-V+m V ) A_ fg ftf fl g c Ap v^l 1 g g g A 11 g g

Fazendo a integraccedilatildeo termo a termo entre os dois extreshy

mos entrada e saiacuteda e considerando a pressatildeo de entrada igual a

P q e a de saiacuteda igual a Pe vem

Quantidade de Mov na Saiacuteda

-= h I- lY l+ A g V g + d ( aacute l V l + aacuteeVl

Forccedila de Gravidade

= ( g f - N P A + P g V

62

b) r e F f l

o p dp^ = Ap^ = perda de pressatildeo por atrito

do liacutequido na altura Ho

Aplicando a formula de Darcy vem

bull API = f bull ir bull ^ iexcl 7

onde

f = fator de atrito

c) e Fftf

o p ^P tpound

= perda de pressao por atrito da mistura

liquido + vapor no trecho de comprimen

to Hbdquo o

Para determinar esta perda de pressao define-se o fator

de multiplicaccedilatildeo R

A P R =

tf A P 1B

Sendo A p ^ a perda de pressao se o comprimento todo fosshy

se ocupado somente pelo liquido assim

A p t f = R A P 1 B

0 calculo de Ap-^ pode ser feito pela formula de Darcy e

o de R nos veremos no item seguinte

63

d)

-e F

d ( ^ )

O P

Ap = perda de pressatildeo por atrito do vapor

No caso do reator BWR o titulo de saida e bera pequeno e

em nenhum caso ocorre a saida de vapor com x = 100 logo a perda

de pressatildeo por atrito do vapor eacute nula assim

An = 0 5

e) Ap

(p A 1 + p A ) dL = Ap - perda de pressatildeo dpound

vida ao desniacutevel

(perda hidrostaacutetica)

Anbdquo = re A A

-S- I (p + p -S ) dL H s 1 A

c o p o A

como A A Jl_ =

A P

A +A-g 1

1-a -

temos

C Q

te j jll-a)p1 + apg)^jdL = p Lo pound

onde

e jo u

+ ap ) ~I dL (Densidade media 1 S J

no tubo)

No nosso caso

Ap u = p H

f)

re d(mV + m V ) _ mdash - laquo -i bull s iquestp laquos p e r d a ltje pressatildeo devido a acele-

c p raccedilatildeo do vapor

V A

(1-x) tl^Vj

(1-a) A

X V

aA

A p -

roV + m V

c p c p L_

m (l-x)m_v m xv nbdquo -1 T 1

+ _S S I (1-a) Ap aA

P

2 g A c p

n 2 2

(1-x) m T

laquo2 8 A c p

2 2 (l-xe) raTv1

2 2 2 xm_v (1-x) m-v e T s o 1 1

a 1 - a

2 2 - x m_v o T g

a

se

X Q 0 (so ha agua nesse trecho)

a = 0 o

temos

mbdquo Ap =

1 a A 2

S A degc p laquo-

tt-V v i 1 - a

2 via T^r - v i

t Apc

2

V v l

5c Ap

1 - a

x v - 1

a e v l

65

Fazendo

G = fluxo total da massa por unidade de area do

canal

(1-x J e

V

AP r

Assim a perda de pressatildeo total sera

H p V II pV r2 P -P = f -24-Iuml+ f R+p 0 1 2g c D e 2g c g c g c

2c2 - Determinaccedilatildeo do fator de multiplicaccedilatildeo (R)

221 - Relaccedilatildeo Martinelli-Nelson

Os autores Martinelli-Nelson determinaram experimental -

te esse fator R para varias LIT1L em funccedilatildeo da pressatildeo e da r NB total J v

qualidade de saiacuteda do vapor no canal Construiacuteram assim vaacuterias

curvas do tipo da figura 9

66

E importante notar que a qualidade do vapor (x) na saiacuteshy

da nao deve ser grande pois como vemos o valor de R cresce muishy

to com um aumento pequeno de x e um valor de R muito grande acar_

reta uma perda de pressatildeo grande pois

^ d u a s fases R ^ f a s e liacutequida

Para resolvermos um problema seguindo o criteacuterio de bdquo

Martinelli escolhemos a curva R = f(px) (para a relaccedilatildeo L

N g ^ j

adequado) e tiramos R com os valores de pressatildeo p e tiacutetulo x

As curvas R = f (p x L T t )IO encontram-se nos ANL 6469 bio I

e 6561

222 - Relaccedilatildeo Lottes-Flinn

Estes autores estudaram o problema para o aquecimento uni

forme do refrigerante com baixo titule Lottes-Flinn fizeram inuacuteshy

meras experiecircncias e verificaram que para fluxo de calor uniforshy

me e baixos titulos R era independente do fluxo de calor fluxo

do refrigerante escorregamento e apenas funccedilatildeo de a g

Como a quantidade de liacutequido eacute muito maior que a de vashy

por a perda de pressatildeo daacute-se principalmente pelo atrito do liacuteshy

quido com a parede Podemos assim escrever a foacutermula de Darcy

na forma diferencial

dz

d = f __ r e amp c

onde

V = velocidade do liquido saturado na cota zbdquo X

f = coeficiente atrito

= densidade do liacutequido saturado

Teoricamente a queda de pressatildeo deve-se ao acreacutescimo de

67

velocidade do liacutequido e da diminuiccedilatildeo da aacuterea de fluxo do liacutequi

do

P fH A P t p

= f D 2g Ho

d z

fazendo

V lo

m V t lo

(velocidade do liacutequido na cota z = Ho)

(1-x) m t v 1

(1-a) A (velocidade do liacutequido na cota z gt Ho)

a bull+ fraccedilatildeo vazio na cota z geneacuterica

V 1 (1-x) m t v 1

m t V l 1 - a

x =s 0 pois o tiacutetulo eacute baixo

A p t f = f bull JT5 c e

fH V lo

H o (1-a) dz

Para fazer a integral devemos achar a relaccedilatildeo de variaccedilatildeo

entre a e z Como o fluxo de calor eacute uniforme a qualidade eacute direshy

tamente proporcional a z

bull laquo x = x e H

z = mdash x X e

Sabemos ainda que (item 113)

x

1 + [ ( I -X)AKQ x + iiacuteraquo

68

como

temos

(1-x) = 1

v

X =

z =

1-a

1 -a

1-a e

a

e

1-a pound

a

1 -a igt (assumindo S = cte)

da

Atf - f bull 2 i ^ ~ J c e o

a 1 - a e e 1 s 4 hmdash) da

a 1-a

f P lv^ Q

0 termo mdash - mdash e a parte de perda de pressatildeo pelo lj^

^c e -quido ou seja Ap liquido saturado e como

Ap

R = tf

Ap liauido saturado

temos que

R J

f ae 1 _ a e 1 4

a 1 -a o e

1 -a r-R =

3 1 -a

a 1 -a imdash

3 vl - a 3

e e

Os valores de R obtidos por esta expressatildeo aproximam-se

muito dos valores obtidos pelos aacutebacos de Martinelli

69

E - EXPANSAtildeO E COMPRESSAtildeO DE UM FLUIDO - ANAacuteLISE HIDRODINAcircMICA

DE UM CIRCUITO EM CIRCULACcedilAtildeO NATURAL

1 EXPANSAtildeO NO FLUXO DE UM FLUIDO

11 - Uma so fase

Figura 1

Ha vaacuterios meacutetodos para determinar a variaccedilatildeo de pressatildeo

numa expansatildeo de fluido estudaremos o de Romie que eacute o que daacute

maior precisatildeo

Romie considera que a pressatildeo p^ tambeacutem atua na aacuterea

imediatamente apos a expansatildeo Assim fazendo o equiliacutebrio das foi

ccedilas nas secccedilotildees tracejadas da figura 1 temos

mVj

p r A 2 + mdash

mV

bull 2- A2

mas

m = pV^A^

pV^A = p V 2 bdquo A 2

V A

v 2 -4r-logo

( P l-P 2) A 2 = f ( V ^ ) - f _ v j amp c c 2

70

2 pV A A pV A A

Chamando A l A ]

K = 1 - T e degi2 = Aiexcl bull V E M

pvj

P l P 2 = T ~ bull ( 2 deg 1 2 ) ( 1 _ a 1 2 )

Outra maneira de chegar atilde diferenccedila de pressatildeo ( P j - ^ ) s mdash

ria usar o coeficiente de perda da mecacircnica dos fluidos Assim o

equilibrio das pressotildees eacute

2 2

1 V l 1 V 2 V l P i + _ p _ ^ P 2 + I p ~ + k 1 2 p mdash

onde = coeficiente de perda

A 2 1 2

k 1 2 - (l-o 1 2) - (1 - j- )

Fazendo as transformaccedilotildees chegamos a mesma expressatildeo obshy

tida pelo balanccedilo das forccedilas

PraquoIacute pr p

2 - - ir ^ laquo-ia

12 - Duas fases

Como ha duas fases a equaccedilatildeo do balanccedilo das forccedilas fica

um pouco alterada

m pound 1 V- m - raquoV - m-V- m bdquoV _ P A + j y ^ i + _gl_JUuml P A + -11-11 + -ilsl (a)

1 2 e R 2 2 ff e

Sabendo que

71

m (1-x) m t = p fA (1-a) V f

entatildeo

fl l-o^ p fA x

6 Vf2 1-x l-a2 P fA 2

m V = mdash mdash e V 0 = gl a 1 P C T A 1 g2

m

a_ p h

2 g 2

Nas expressotildees anteriores o x nao varia porque a expansatildeo

5 adiabaacutetica porem o a varia devido a modificaccedilatildeo do tamanho da

bolha

Substituindo os valores das velocidades na expressatildeo (a)

vera

( P - P ) Abdquo =

2

2 2 m gt2 2 m t (1-x) 1 x t

ra i 2 m i 1 x t 1

p fA 1 g c ttl p Ax gpound

m t P - P = mdash

(1-x) (l-a 1)A 1A 2 (l-a2)A|

a r A r A 2

V A 2

m t P bdquo - P = mdash 2 1 g c A r A 2 p f

(1-x) 1-a f A 2(l-a 2)

bull ^ 2

72

Se

P -P

a

m

g

12

1 _1_ (1-x)

J12

1 _ a l 1 - a 2 + X (- )

Pg

1 deg12 a 2 ^

Sabemos que

mt = V o pf laquo A l

Sendo V q = velocidade do liquido num ponto onde natildeo haja vapor

P 2-P 1

u 2 2 A 2

V pr Ai

V W p f

(1-x) 12

l-a1 l-a2

+ X 2 pf

mdash

l deg12

-1 a 2 _

p -p r 2 Al (2a 1 2)

2 M f w 1 deg12 X (mdash) (

pg al a 2 )+(l-x)C l 1 12

1-a^ l-a2

Devemos notar que esta expressatildeo tambeacutem vale para quando

temos uma fase para isso basta fazer

= c t 2 = 0

X = 0

e recairemos na formula do item anterior

2 pf 1 deg12 Observemos que neste caso o termo x (mdash)( ) nao

Pg al a2

2

73

tem significado pois corresponde a mudanccedila de fase

2 CONTRACcedilAtildeO KO FLUXO DE UM FLUIDO

21 - Uma so fase raquo mdash

Aqui ocorre um fenocircmeno importante pois o fluido ao ser

contraiacutedo nao vai diretamente da area A^ para a area A 0 mas ele

contral-se ate uma area A^ e depois expande-se ate k^

Ao A2

Po IP 2

V 2

Figura 2

Fazendo o equiliacutebrio das pressotildees entre os planos (1)

(0) vem 2 2

pV pV p +~ plusmn - P + i deg bull 1 2 g o 2 g (b)

C x

Fazendo equiliacutebrio da expansatildeo (0) - (2) vem

P o + 2 - f = P 2 + 2 -T + kp- 2 F ( c )

c c b C

Subtraindo (b) - (c)

2 2 2

i p- vj i p- v2 L P l + 2 bull g c

P 2 + 2 2g c

+ k P 2g c

74

Como

P - P = mdash 2 2g

2 2

bull (1 + k) - f bdquo mdash i

k a - f2 ) 2 - d - o c )2

= o

A = a 21

Weisback obteve varias relaccedilotildees entre a e a i] c

01 02 03 a 0624 0632 0643 c

0624 0632

A r v i - V v 2

p -p 1 2

P -P 1 2 2g7

v l =

(1+k) - laquofi- a 2g 21 c

( 1 + k - o 2 1)

X[- V 2 o 2 1V 2

22 - Duas fases

0 valor de k pode ser aproximado para

k = a(l - o 2 1)

onde segundo Richardsons para fluxo de duas fases podemos supor

a = 02

Para fluxo homogeacuteneo sabemos que

75

p = p f (1 -a ) + p o a

podemos supor p bdquo a = 0 pois p e pequeno e fazendo

V = V ~ V fbdquo2 go2 v 2

Substituindo estas duas expressotildees na equaccedilatildeo de uma soacute fase vem

2 2 p V (l-ct) p V (1 -a ) bdquo

P l P 2 = 9g ( 1 + 3 - 3 0 ^ - 0 ^ ) = g (a+1) (l-a^)

Se a = 02

2 12p oV 0

p r p

2 - 9g gt d-) d-sigt

A compressatildeo de um fluido acarreta uma perda de pressatildeo

como pode ser verificado pelas formulas uma vez que lt 1deg

3 ANALISE HIDRODINAcircMICA DE UM CIRCUITO EM CIRCULACcedilAtildeO NATURAL

Esquema deacute uma caldeira com circulaccedilatildeo natural

76

Determinar a velocidade em (7) para que tenhamos circula

ccedilatildeo natural Determinar tambeacutem as perdas de pressatildeo em todos os

trechos da caldeira

31 - Contraccedilatildeo das secccedilotildees (1) - (2)

Como jaacute vimos a equaccedilatildeo do balanccedilo das pressotildees eacute

1 pr Vl 1 p 2 o V 2 P2 V2

1 2 g 2 + 2 g + K12 2g otilde c amp c e c

bullraquo 2 o2 2 e havendo uma soacute fase k 1 9 = (l-o ) = (1 mdash ) e sendo

C 2

p l = p2

v x lt lt lt v 2

P 2 V pr p2 bull ir2 bull ( 1 + k12gt

Colocando em termos de temos

A 2 V 2 P 2 = A 7 V 7 p 7 (continuidade)

V = V mdashbull = V o_bdquo ~ A 2 2 2

P 2 V - p 2

p r p 2 = ir2 - deg72 bull Ccedilrgt bull lt 1 + ki2gt

fazendo

N12 - lt^gt deg72 ( 1 + k12gt

P7 V7

Pr P2 - N12 bull HG

77

3 2 - Perda de carga no trecho ( 2 ) - ( 3 )

Como haacute apenas uma fase soacute temos perdas por atritos e

perdas hidrostaacuteticas

Sendo como jaacute vimos

2 3 p 2 2 g P 2 P 3 = f 2 3 (r~2g^~) L 2 3 g c p

atrito hidrostaacutetica

Substituindo V^ pela relaccedilatildeo do item anterior e tendo em

conta que p = vem

P -P = f 2 r 3 2 3 D

2 3 p 2 bdquo 2 2 p 7 2

2 g 7 72 p 2 3 g

Se

L 2 3 2 p 7

2 3 2 3 D 2 a 7 2 p 2

P 7 V 7 g P 2 - P 3 = N 2 3 ( mdash gt p 2 L 2 3 f

3 3 - Expansatildeo nas secccedilotildees ( 3 ) - ( 4 )

Como vimos o balanccedilo das pressotildees e

2 2 2 p V p 4 V p V

P 3 + 2 g c

P 4 + 2 g c

+ k 3 4 2 g c

onde

k 3 4 - - -

2 2 1 P 4 - V 4 P 3 v 3

P 3 P 4 = 2 g + ( k 3 4 _ 1 ) 2 g

78

Sendo

P 3 - P 4

p 3 o A 3 deg V 3 = P 7

a A 7 o V 7

P 4A 4 0V 4 = P r A r V

3 7 A 3 p 3

A7 P7 V = v mdash mdash 4 7 P 4

P - P 3 r4

Se

P bdquo - P

bdquo2 r-P 7 V 7

3 4 2g deg74 + ( k 3 4 1 ) deg73

34 p deg74 + ( k 3 4 1 ) 73

p r v2

P3- P4 ^ N34 ^ gt

(No caso e negativo)

34 - Contraccedilatildeo nas secccedilotildees (5) - (6)

Ainda temos uma so fase e fazendo o balanccedilo das pressotildees

como fizemos no item 3lt1 vem

P + vil p + vi + k vi P 5 + 2gbdquo P6 + 2gbdquo + k56 2gbdquo

k 5 6 lt 1 ^ gt 2 ( 1 - Iacute 2 i 2 6

V V6 P5degIacute 5^6 ^SS 2g c - 2g c

P - P ^ = (1+kJ

Como

79

A 6

W p 5 =

VV P6 V 5 = V 6 Jiexcl = Vff65

P 5-P 6 - lt H k 5 6 ) mdash ^ mdash (l+k 5 6-a 6 5) c c c

Sendo

Se

A 7 p 7 p 7

6 7 Ag p 6 7 76 p 6

p _p _ P6- V7- g76 iquest72 ( _ 02 P 5 P 6 2g c bull ( p 6

( 1 + k 5 6 deg65 )

p 7 2 2 N56 = p ^ deg76 ( 1 + k 5 6 ~ a 6 5 )

P 7 V 2

7

P r-P = N r 5 6 56 2g c i

35 - Perdas de pressatildeo nas zonas (6) - (7) - Pre^aquecimento

Nesta regiatildeo temos perdas por atrito e hidrostaacuteticas

Nao haacute perda por aceleraccedilatildeo pois ainda natildeo houve formaccedilatildeo de boshy

lhas

Fazendo balanccedilo das pressotildees temos

L_ ppound-V p = p + otilde L - pound _ + f -Si (-21mdashL 6 7 + p67 L67 g + t 6 7 D K 2g

p _ e ifn sao tomados como valores meacutedios 67 67

P _p _ f hl ^67jIacute uuml + - L A

6 F 7 r67 D 2g P P67 L67 g 6 s c 7 c

S e Kr pound67 L67 p67 6 7 D 6 p7

p7 V - _g_ P6- P7 - N67 mdash + P67 L67 f

c c

80

36 - Perda de pressatildeo nas zonas (7) - (8) - Zona de ebuliccedilatildeo

Nesta regiatildeo j aacute temos o aparecimento de bolhas logo a

perda de pressatildeo seraacute devida agraves t recircs parcelas aceleraccedilatildeo a t r i t o

das duas fases liacutequidas + vapor e h idros taacute t ica

onde

Assim

P-P Q = AP + AP + APbdquo 7 8 a t r i t o acel H

T M1

78 p 7 7 AP - R f- - mdash mdashr |R = fator mult ipl ica-

a t r i t o 7 D 7 2 g c L tivo

G 2

AP bull r mdash acel g c

P V

|_1 - o a p J 8 P f

2 t r 2 M2

7 7 r 7 7 A P a c e l = -J^mdash 2 r bull p 7 lt T iexcl iexcl - )

A PH p 7 8 L 7 8 fiexcl

p 7 8 iacute 7 li 1 0 0 P l i q + a P v ] d L = P 7 ( 1 - laquo 7 8 )

ag raquo fraccedilatildeo de vazio media entre 7 e 8

APH = p (1 - 5 7 g ) f- L 7 8

2 2

P 7 - P 8 a 5 - 2 T i + 2 r p 7 + P 7 ( 1 - 7 8 gt f L 7 8 7 amp c amp c amp c

81

N 7g = R mdash + 2 r p 7

P7 V7 P7- P8 = N78 + P 7 ( 1 5 7 8 gt J78

37 - Expansatildeo nas secccedilotildees 8 e 9

No caso haacute uma expansatildeo com duas fases e como vimos no

item 12 a variaccedilatildeo de pressatildeo era dada por

0f Vo P2 P1 = ~2g c ( 2 deg12

x 2 (mdash)(mdash - mdash ) + ( l - x ) 2 ^ T mdash 8 1 2 1

12

Aplicando ao nosso caso

P pound = P 7

P -P = 8 9

V - V raquo V g f 7

P 7 V 2

2 pf 1 a89 2 1 g89 x (mdash) ( ) + (1-x) (- - N

o ou abdquo 1-cu l-ot_) g 8 9 8 9

Se

N 89

= 2 a 89

2 pf 1 deg89 2 1 CT89 x (mdash) ( ) + (1-x) ( T

g 8 9 8 9

P -P = 8 9

- N P7deg V7

89 2gbdquo

38 - Perda de pressatildeo no trecho 9 e 10

No referido trecho temos apenas perda de pressatildeo por atr L

to da fase liacutequido + vapor e perda hidrostaacutetica Natildeo haacute perda por

aceleraccedilatildeo do vapor pois este natildeo recebe mais calor e portanto

o 82 o

nao ha variaccedilatildeo no a

p

Q -p i n = A P

U + A P bull 9 10 H atrito

n T -S_ P9 U10 deg 910 bull g

fio r

910 I 910

J9 L

(l- a)P + Q P I dL liq v

(l-a0) p

No caso a = (nao hatilde variaccedilatildeo de forma)

A P H - (1-a ) P (p L 0

c

AP bdquo = R o

atrito

2 f9 o L910 P9 V9

2g

Supondo

= V

P 9 = P 8 P 7

vbdquo = v 9 8 0 A r

= V 7 bull deg89

AP - R atrito

2 2

W l O p7deg V7deg g89

V P10 R -^T^ bull deg89 bull li-2 + ( W P 7 (fgt SIO

y c c

Se

- f9 L910 2 N9ol0 R Dl deg89

w 2

p rv P9 P10 = VlO + ( 1 a 9 ) p7 (f gt L910 c

33

39 - Perda ciacutee pressatildeo na expansatildeo 9 - 1 0

Analogamente a expansatildeo 8 - 9 temos

10 11 P 7 2g

10 Iacute 2 0 1 0 - 1 1 gt

2 ff

pg aio

10-11

laquo11 ) +

Ll-a 1 0 bull l-a u J

Se

V10 = V 9 = V 8 bull T9 = V 7 deg89

P -P 10 rll = - a 2g 089 ^lO-ll

4 bull T~ bull (7 1 mdash ) + Pg degio a n

+ (l-x)2(- 1 10-11

1 - aio )

N10-ll = 2 a10-ll a89 2 pf t 1 10-11 N2

-(j-r- - ) bull+ (1-x) pg aio deg 1

10-11 k l - a io

prz P10 Pll = - N10-ll bull ( 2gbdquo

310 - Calculo de V

Fazendo a somatoacuteria de todas as expressotildees (P^-Pj) tere-

84

mos 2 PbdquoV_

P bdquo - P bdquo = N 7 v 7

1 2 12 2g

bull 2 - P 3 - = N 2 3 P 2 L 2 3 f c ccedil

9 P 7 V 7 P _p = N mdash -

3 4 34 deg 2g

V P 5 = deg

2 P V

5 6 56 2 g c

ltr2

P 7 -V 6 e7 -N67 2g + p 6 7 J j67 g

c bc v 2

P 7 - P 8 = N 7 8 - 2 i ~ + p 7 ( 1 - laquo 7 8 ) L 7 8 c

P 7 V 7

P - P - -N mdash - -8 9 89 2g

c P 7 V 7

P 9 ~ P 1 0 VlO 2g + ( 1 a 9 P 7 L 9 c

P 7 V 7

bull10 11 U10-ll 2g

P v iacute j P - P

1 11

7 - v 7 3 bull r

2 8 i U L 2 23 67

(l-5 7 8) L 7 8 + ( l - laquo 9 ) P 7 bull SlOtilde]- ^

Por ou t ro lado sabemos que como secccedilotildees 1

mesmo n iacute v e l

85

s c p r v 7 j

28 Z N i ij

= P 2 L23 p67 L67 P 7 ( 1~deg78 )

78 ~ ^g) bull P 7 bull L 910 g_

V - 2 g ( p r L 2 3 - p 6 r L 6 7 - p 7 ( l - atilde 7 8 ) L 7 8 - (l-a9) p L 9 a ( )

y N

Com esse valor de podemos determinar todas as variashy

ccedilotildees de pressatildeo (P^-P )

BIBLIOGRAFIA

- WoR Gambill - Notas de aula dos seminaacuterios realizados no Insshy

tituto de Energia Atocircmica de Sao Paulo em 1966 (roteiro)

- WR Gambill - Nuclear Safety

Vol 9 - n9 5 e 6

Vol 6 - n 2 (pag 152)

Vol 4 -r n9 1 (pag 30)

Volbdquo 5 - n 2 (pag 151)

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~ El Wakil - Nuclear Power

- Jakob Max - Heat Transfer (vol I)

Mc Adams - Heat Transmission

- Paul A Lottes - Argonne National Laboratory

- AKL - 6469

- ANL - 6561

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Frank Kreith - Principles of Heat Transfer

Journeacutees Internationales de la transmission de la chaleur

Seminaacuterios realizados em Paris em 1961 sob a supervisatildeo do

Prof Marcel Veron

Notas de aula da Cadeira de Termodinacircmica I e Transmissatildeo da

Escola Politeacutecnica da Universidade de Sao Paulo

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o 21 laquo

me de liquido ha uma tendecircncia de haver aumento da espessura da pj2

liacutecula diminuindo assim o valor de h

26 - Consideraccedilotildees sobre os resultados obtidos com as foacutermushy

las de Nusselt

Nota-se experimentalmente que os resultados obtidos pelas

equaccedilotildees de Nusselt sao em geral 10 a 20 inferiores do que os reshy

sultados reais Assim a favor da seguranccedila elas sao usadas e aaacuteo_

tadas Os motivos das discrepacircncias jaacute-foram ditas atraacutes no item

25

Devemos notar ainda que o valor de h obtido pelas foacutermushy

las anteriores e o valor meacutedio jaacute que h varia de ponto para ponto

e seria difiacutecil obter uma equaccedilatildeo que nos desse o valor de h locaL

2bdquo7 - Condensaccedilatildeo por peliacutecula externamente a tubos ciliacutendrishy

cos horizontais

0 mesmo estudo de Nusselt pode ser aplicado neste caso

baseado na hipoacutetese de que no topo do tubo a peliacutecula do condensashy

do tenha espessura nula Chega-se a expressatildeo

g p 2 h D 3 14

NT _ = 0725 ( ) (5) NuD u k o At

Analogamente ao caso anterior as propriedades do liacutequido

sao tomadas a

t + t w sat

tm = ^

exceto h que eacute tomado a t

ev n sat

Na situaccedilatildeo atual da tecnologia e possiacutevel obtermos tubos

com diacircmetros suficientemente pequenos para que tenhamos escoamenshy

to do condensado soacute em regime laminar

22

No caso de vaacuterios tubos empilhados a formula (5) deve

ser modificada pois como dissemos ela soacute vale quando no topo do

tubo a espessura do liacutequido eacute nula o que nao acontece neste caso

(Vide figura a)

Vapor

Tubo

mdash Liacutequido

Fig a

Neste caso a forma que nos da o valor meacutedio para h e

g p 2 h D 3 14

NNuD deg gt 7 2 5 lt N u k V At gt

sendo N o numero de tubos empilhados

Note-se que neste caso o coeficiente h cai bastante Uma

boa soluccedilatildeo para o caso quando dispoacuteftos de lugar eacute dispor os tushy

bos defasados (Conforme figura b)

Liquido

Fig b

Neste arranjo podemos aplicar a equaccedilatildeo (5) pois no tp_

po de cada tubo a espessura da camada de condensado eacute nula

23

B - CONVECCcedilAtildeO COM MUDANCcedilA DE FASE - EVAPORACcedilAtildeO (II)

1 INTRODUCcedilAtildeO

Evaporaccedilatildeo consiste na obtenccedilatildeo de vapor por meio de aque

cimento de um liacutequido

Apesar da importacircncia do processo e do sucesso obtido na

praacutetica em projetos de evaporadores o fenocircmeno da evaporaccedilatildeo eacute

um dos pontos menos conhecidos da transmissatildeo de calor

0 primeiro estudo seacuterio sobre o assunto foi feito em 1934

pelo japonecircs Nukiyama poreacutem somente nos uacuteltimos 10 anos tais es-

tudos se intensificaram

Os primeiros pesquisadores quando estudavam o fenocircmeno

do resfriamento de um solido num liacutequido obtiveram as seguintes

curvas

onde

temperatura

velocidade de resfriamento

3 0 v = amdashbull

A 06

Q - fluxo teacutermico

8 - tempo

A - aacuterea do soacutelido

24

tempo

Ateacute os estudos de Nukiyama nao se conseguia explicar o

porque da variaccedilatildeo crescente da velocidade de resfriamento quando

t gt t sol sat

2 PROCESSO DE FORMACcedilAtildeO DAS BOLHAS

Como a evaporaccedilatildeo do liacutequido se faz sobre uma superfiacutecie

aquecedora sobre esta irao se formar bolhas de vapor que influem

decisivamente no fenocircmeno

Aqui soacute iremos estudar as bolhas sob o ponto de vista qua

litativo bem como a sua influencia mas nao sob o ponto de vista

quantitativo

Recentemente Fritz e Jacob WR Gambill e outros estudiacutei

ram o processo da formaccedilatildeo das bolhas sobre a superfiacutecie aquecedpound

ra Atraveacutes de fotografias verificaram que a bolha de vapor ain

da em contato com a parede variava profundamente de forma confo_r

me o angulo de contato entre liacutequido e parede metaacutelica

Assim eacute que se a superfiacutecie de aquecimento nao e excesshy

sivamente polida e a tensatildeo superficial do liacutequido eacute pequena a

bolha tem a forma da figura las diz-se nesse caso que o liquishy

do molha a parede neste caso o angulo de contato e agudobull Se

as condiccedilotildees contrarias se verificarem o acircngulo de contato sera

obtuso e as bolhas tomam a forma da figura ldegb Naturalmente ve

rificara-se as condiccedilotildees intermediaacuterias para o angulo de contato da

25

fig lc

Fig la Fig lb Fig lo

0 estudo analiacutetico da formaccedilatildeo e crescimento das bolhas

pode ser encontrado em diversos livros por exemplo no El-Wakill

(Nuclear Power) no Jakob (Heat Transfer)e outros Neles faz-se

o estudo das condiccedilotildees do liquido (pressatildeo temperatura tensotildees

etc) para haver ou nao formaccedilatildeo de bolha Isto eacute feito fazendo-se

o estudo das bolhas nas seguintes posiccedilotildees

a) bolha no seio do liacutequido

para meia bolha

4 ltP g - P fgt fg

onde

P g P f

- 4 D (D

g

Pf

D

pressatildeo do vapor

pressatildeo do liquido

tensatildeo entre superfiacutecie do liacutequido e vapor

diacircmetro da bolha

^f g

P f Fig 2

26

A equaccedilatildeo (1) mostra que a pressatildeo do vapor deve ser maior

que a do liquido nas condiccedilotildees de saturaccedilatildeo e este por sua vez

deve estar no estado de superaquecimento o

b) bolhas sobre superfiacutecie solida

Fig 3

Condiccedilotildees para desprender

a mdash o_ + o_ cos a gs fs fg

tensatildeo na interfase liacutequida e vapor (depende das

propriedades do liacutequido e vapor)

tensatildeo entre o liacutequido e superfiacutecie de aquecimen

to (depende das propriedades do liquido e da sushy

perfiacutecie)

tensatildeo entre o vapor e a superfiacutecie de aquecimeri

to (depende das propriedades do vapor e da super

fiacutecie)

21 - Formas do fluxo do vapor desde a superfiacutecie de aquecishy

mento ateacute a superfiacutecie livre do liacutequido

Considerando liacutequido vaporizado em tubos verticais pode^

mos ter 4 tipos de fluxo de vapor

1 - fluxo de bolhas

2 - fluxo de agregados (plug ou slug)

3 - fluxo anular

4 - fluxo disperso

Os quatro tipos ficam bem determinados respectivamente

onde

a fg

degfs

a gs

27

pelas 4 figuras abaixo

LIacutequido - Liacutequido Liacutequido

o

^Bocirclha de

vapor

Vapor

mdash [

- Vapor

mdash 0 0

deg_ a-

jrj-

iquestiexcl5

Bolhas Agregados Anular

Liacutequido

vapor

Disperso ou

Homogecircneo

Conforme o tipo de ebuliccedilatildeo podemos ter uma so das forshy

mas acima ou uma mistura

3 INCERTEZAS NO ESTUDO DA EVAPORACcedilAtildeO

Ha trecircs incertezas principais para determinar o fluxo de

calor na evaporaccedilatildeo a saber

- Aacuterea de contato indefinida

- Diferenccedila de temperatura indefinida

- Grau de turbulecircncia

Como realmente nos nao sabemos uma dependecircncia algeacutebri

ca entre o acircngulo de contato e a superfiacutecie ocupada pelo liacutequishy

do (ou vapor) temos uma incerteza na determinaccedilatildeo da aacuterea de tro

ca de calor (A)

Outra incerteza eacute a dificuldade da obtenccedilatildeo de diferenccedila

de temperatura entre o liacutequido e a parede que normalmente assume-

-se como sendo a diferenccedila entre a temperatura da parede e da ebu

liccedilatildeo do liacutequido (temperatura de saturaccedilatildeo = t )

S cl c

Na realidade a diferenccedila de temperaturas nao eacute aquela

pois a camada de liacutequido que cobre a superfiacutecie aquecedora esta

a uma pressatildeo maior que o resto do liacutequido (pressatildeo atmosfeacuterica

mais a hidrostaacutetica) e consequentemente a temperatura de vaporiza_

ccedilao desse liacutequido e maior que a da superfiacutecie Esta diferenccedila po-

28

deria ser calculada desde que se conhecesse a relaccedilatildeo entre presshy

satildeo e temperatura de saturaccedilatildeo do liacutequido entretanto haacute incerte

za quanto ao verdadeiro peso especiacutefico da coluna de liacutequidopois

trata-se de uma mistura de bolhas de vapor e de liacutequido em proshy

porccedilatildeo variaacutevelraquo

4 REGIMES DE EBULICcedilAtildeO

Nukiyama estudando a ebuliccedilatildeo da aacutegua num recipiente a

quecendo-a com resistencias eleacutetricas construiu a curva baacutesica da

ebuliccedilatildeo Todos os liacutequidos apresentam uma curva semelhante vashy

riando apenas os valoresraquo Os pontos caracteriacutesticos da curva deshy

pendem de caracteriacutesticas difiacuteceis de definirtais como natureza

do metal estado da superficie (rugosidade) dimensotildees orientashy

ccedilatildeo do fluxo quantidade de gases dissolvidos e t c

Estudaremos o fenocircmeno para o caso de aacutegua destiladasem

gas dissolvido a temperatura de saturaccedilatildeo 100 C pressatildeo atmosfe_

re uma superficie plana

Chega-se assim acirc curva

rica sobre uma superficie plana horizontal a temperatura t^

In ltJgt

At (degC)

A curva acima representa o aquecimento de agua com uma re_

sistecircncia eleacutetrica (ate ebuliccedilatildeo)raquo Temos em abcissas as diferenccedilas

de temperatura entre o liacutequido e a resistecircncia em ordenadas o flu

29

Regiatildeo I

Regiatildeo II

Regiatildeo III

Regiatildeo IV

xo de calor por unidade de area

Na curva notam-se 4 regiotildees bem definidas tendo cada uma

o seu significado fiacutesico os quais correspondem a um tipo de ebuli

ccedilao

convecccedilao natural

ebuliccedilatildeo nucleada

ebuliccedilatildeo por peliacutecula parcial

ebuliccedilatildeo por peliacutecula estaacutevel

41 - Convecccedilao natural

Ocorre quando At eacute inferior a 8degCformam-se no liacutequido

correntes convectivas as quais transferem o calor ateacute a superfiacuteshy

cie livre do liacutequido e aiacute desprendendo o vapor Neste caso o valor

de h eacute da ordem de 2000 kcalm^hdegC

42 - Ebuliccedilatildeo nucleada

Ocorre quando o At eacute maior que 8degC e menor que 25degC Nesshy

te caso as bolhas formam-se junto a superfiacutecie de aquecimento

crescem liberam-se movimentam-se em direccedilatildeo agrave superfiacutecie livre do

liacutequido onde estouram libertando o vapor As bolhas formam-se nas

irregularidades da parede tecircm um acircngulo de contato agudo e porshy

tanto hatilde liacutequido sempre em contado com a parede (molha a parede)

cada ponto ativo (lugar onde se formam as bolhas) libera uma porshy

ccedilatildeo de bolhas e os outros pontos do liacutequido ficam em contato com a

superfiacutecie quente violentamente agitados Esta agitaccedilatildeo extrema eacute

mais eficaz que uma turbulecircncia criada artificialmente Por esse mo

tivo a curva cresce violentamente nesse trecho (m = 3 a 7) pois

bull 2 o o valor de h cresce consideravelmente (ate 46000 kcalm hr C) e

o fluxo teacutermico transmitido ao liacutequido cresce proporcionalmente a

Quando cresce crescem tambeacutem

(At) 3

30

numero de bolhas por unidade de aacuterea (num instanshy

te)

~ = crescimento da bolha (com o tempo)

frequecircncia de iacuteormaccedilao de bolhas

A medida que o At vai aumentando iraacute aumentando (jgt tam-- n o N

bem e consequentemente mdash R mdash a a a tal ponto que quando atiacuteii

girmos o ponto da curva nao haveraacute mais formaccedilatildeo de bolhas

mas sim uma peliacutecula de vapor instaacutevel passando assim a 3a re

giao que estudaremos a seguir

43 - Ebuliccedilatildeo por peliacutecula parcial

Como dissemos no item anterior se aumentarmos ainda mais

o At (entre 25degC e 125degC) teremos a formaccedilatildeo de uma peliacutecula de

vapor instaacutevel sobre a superfiacutecie quente que aacutes vezes eacute perfurashy

da pelo liacutequido A camada de vapor tanto mais estaacutevel seraacute quanshy

to maior focircr o At Essa peliacutecula de vapor iraacute provocar um decreacutes_

cimo consideraacutevel no fluxo teacutermico porque como sabemos o vapor

eacute muito pior condutor que a aacuteguaraquo

0 fluxo vai decrescendo ateacute um ponto miacutenimo (iexclgt mintilde (as vecirc

iacutebo bullraquo 1

zes chega a ser mdashj-) e e o chamado ponto de Liedenfrost 0 coeshy

ficiente de peliacutecula neste caso cai violentamente (h = 2000

kcalm^hrdegC)

44 - Ebuliccedilatildeo por peliacutecula estaacutevel

Aumentando ainda mais a diferenccedila de temperaturas

At ( gt 125degC) iremos conseguir uma camada de vapor estaacutevel Ela

transmite calor da superfiacutecie quente ao liacutequido que se vaporiza de

modo que o excesso de vapor formado na interface liquido-vapor for

ma bolhas que sobem para a superfiacutecie 0 liacutequido encontra-se agi-

31

tado poreacutem nao toma contato com a superfiacutecie soacutelida

A peliacutecula de vapor eacute estaacutevel e o fluxo eacute proporcional a

34

(At) (lei de Bromley) Para At grandes passa a influir sensivel^

mente a radiaccedilatildeo teacutermica mais uma razatildeo para demonstrar que nesshy

ta regiatildeo o fluxo cresce novamente

5 CONSIDERACcedilOtildeES E COMPARACcedilAtildeO ENTRE OS TIPOS DE EVAPORACcedilAtildeO

BURNOUT

Sob o ponto de vista de eficiecircncia teacutermica deveriacuteamos sem

pre trabalhar no ponto de fluxo maacuteximo isto eacute no ponto correspon

dente a lt(gt da curva de Nukiyama pois eacute o que daacute maior coeficieri

te de peliacutecula

Acontece poreacutem que se impomos a temperatura da parede

fixa obtemos um uacutenico valor de lt(gt e portanto o fenocircmeno eacute estaacutevel

Poreacutem se como ocorre nos reatores impomos um fluxo teacuter

mico a curva de Nukiyama apresenta 3 pontos de funcionamento posshy

siacuteveis A B C

1

SOacute os pontos A e C sao funccedilotildees estaacuteveis mas eles impotildeem

acirc superfiacutecie quente temperaturas bem diferentes

Na industria em geral trabalha-se por questotildees de segushy

ranccedila na regiatildeo IV da curva poreacutem para os reatores trabalha-se na

32

r e g i atilde o I I

0 p r o b l e m a de t r a b a l h a r n a r e g i atilde o II eacute q u e se n oacute s e s t i shy

v e r m o s t r a b a l h a n d o n o p o n t o e x t r e m o (j) e se p o r q u a l q u e r m o t i v o

h o u v e r u m p e q u e n o a c r eacute s c i m o d e ltfgt i r e m o s t r a b a l h a r i m e d i a t a m e n t e no

p o n t o M q u e t e m o m e s m o $-^0t p o r eacute m c o m A t 2 m u i t a s v e z e s m a i o r

p o d e n d o o c a s i o n a r a f u s atilde o d a s u p e r f iacute c i e a q u e c e d o r a E s t e f e n ocirc m e n o

eacute c h a m a d o d e b u r n o u t

0 f l u x o lttgt eacute c h a m a d o f l u x o c r iacute t i c o o u f l u x o d e b u r -b o

n o u t N o c a s o do r e a t o r d e v e m s e r t o m a d a s m e d i d a s r i g o r o s a s q u a n

to agrave r e g u l a g e m do f l u x o t eacute r m i c o p a r a q u e n atilde o o c o r r a o b u r n o u t 1 1

p o i s d e l e p o d e r e s u l t a r r u p t u r a d a c a m i s a do c o m b u s t iacute v e l e h a v e shy

r aacute p o r t a n t o c o n t a t o do r e f r i g e r a n t e c o m o s s oacute l i d o s e g a s e s r a shy

d i o a t i v o s

5 o l - R e l a ccedil atilde o d e B u r n o u t

E c l a r o q u e p a r a t e r m o s u m r e a t o r m a i s e f i c i e n t e d e v e shy

m o s t r a b a l h a r c o m u m f l u x o o m a i s p r oacute x i m o p o s s iacute v e l do f l u x o d e

B u r n o u t P a r a t a n t o d e v e m o s c o n h e c e r c o m o m a i o r g r a u d e certe

za p o s s iacute v e l q u a l o ^ p a r a p o d e r m o s r e d u z i r o c o e f i c i e n t e d e s e shy

g u r a n ccedil a ( W R G a m b i l l r e c o m e n d a agrave 1 5 )

N o s s e m i n aacute r i o s d e W R G a m b i l l e n c o n t r a m o s u m a s eacute r i e de

b i b l i o g r a f i a s o n d e p o d e m o s e n c o n t r a r i n uacute m e r a s f oacute r m u l a s p r o p o s t a s

p a r a a o b t e n ccedil atilde o de (q 1^)

A t i t u l o d e e x e m p l o v e j a m o s a l g u m a s

q - 2 7 0 G deg gt 8 5 D 0 2 A085 p lt 150

deg D ( L uuml ) 2

q - 140 G 0 5 D ~ deg 2 (-~-)~deg 1 5 p ~ r gt 150 c D (LD)

o n d e a m b a s as e q u a ccedil otilde e s s oacute v a l e m p a r a aacute g u a e m b a i x a p r e s s atilde o e m coii

v e c ccedil a o f o r ccedil a d a

33

D

L

fluxo teacutermico critico BTUhrft bdquo 2

descarga em massa do liquido (Ibmhrft )

diacircmetro do tubo ft

comp do tubo ft

Para cada caso temos uma expressatildeo diferente que pode ser

encontrada em literatura especializada

6 INFLUEcircNCIA DE OUTROS PARAcircMETROS NO FLUXO DE BURNOUT

Como para os usos atuais do reator a diferenccedila de temppound

ratura entre parede e fluido sao pequenas bem como o fluxo de bur

nout recentemente fiacutesicos como Jakob Bonilla WR Gambill estu

daram outros paracircmetros que influenciam bastante o sect^ 0gt isto eacute a

influecircncia desses paracircmetros faz com que o ^ seja maior Isto eacute

util pois quanto maior o fluxo de burnout maior poderaacute ser o

fluxo de calor real de funcionamento

Tais meios sao

- Sub-resfriamenCcedilo do liacutequido

61 - Influecircncia da velocidade do liacutequido

Estudos feitos pelos autores acima chegaram agraves curvas

- Aumento da velocidade imposta ao liacutequido

- Pressatildeo do liacutequido elevada

alto V

At

34

Para velocidades maiores o fluxo de burnout aumenta

porque neste caso o regime eacute turbulento e o coeficiente de peliacute

cuia h aumentao

6bdquo2 - Influencia do aumento da pressatildeo

Este estudo deve-se a Bonilla que obteve experimentalmen

te as curvas

Este estudo foi feito para vaacuterios liacutequidos e chegou a con

clusao que sempre havia uma pressatildeo oacutetima isto e uma pressatildeo que

leva ao maior iacute 1 ^ raquo mantidas as demais condiccedilotildees Experimentalmenshy

te notou que essa pressatildeo correspondia a 13 da pressatildeo critica

do liquido em questatildeo

6=3 - Influecircncia do sub-resfriamento

Consiste em manter atilde custa de uma circulaccedilatildeo intensa o

liacutequido a uma temperatura inferior atilde de saturaccedilatildeo para a pressatildeo

correspondenteraquo Experimentalmente chega-se agraves curvas

mdash A t grande sub

bullAt -0 sub sub

medio

At

35

Verificando os graacuteficos vemos que o lt)gt aumenta agrave medida bo

que aumenta a diferenccedila de temperatura de sub-resf riamento isto pojr

que o liquido como estaacute mais frio faz com que algumas das bolhas

recondensem permitindo que o liquido fique em contato com a parede

quente o que faz aumentar o h

^ f csub = t e m P e r a t u r a ddeg liacutequido - temperatura de saturaccedilatildeo

A diferenccedila de temperatura At entre fluido e parede tamshy

beacutem aumenta poit na regiatildeo proacutexima agrave parede haacute necessidade de

levar o liacutequido da temperatura do sub-resfriamento ateacute a temperatu

ra de saturaccedilatildeo quando se evapora

Atualmente os maiores estudos dos fiacutesicos nucleares locashy

lizam-se neste campo pois eacute o que oferece maiores vantagens

7 FORMULAS PARA 0 CAacuteLCULO DO COEFICIENTE DE PELIacuteCULA NA EBULICcedilAtildeO

Como ocorre no caacutelculo de todas as foacutermulas de convecccedilatildeo

temos formulas empiacutericas para determinar o h conforme o tipo de

ebuliccedilatildeo que nos consideramos

71 - Ebuliccedilatildeo Nucleada

Para o caso de aacutegua temos as relaccedilotildees

superfiacutecies

horizontais

superfiacutecies

verticais

f aacute 5000 BTUhrft 2 -gtbull h = 151 ( A t ) 1 3

A o

5000 lt 75000 -h = 0618 (At)3

^ pound 1000 -raquobull h = 8 7 ( A t ) 1 7

A o -

1000 lt $ lt 20000 -gt h = 027 (At) A o

Quando a pressatildeo e diferente da atmosfeacuterica faz-se a correccedilatildeo

3 6

72 - Ebuliccedilatildeo por peliacutecula

Bromley propocircs uma boa equaccedilatildeo para a ebuliccedilatildeo por peliacuteshy

cula estaacutevel em cilindros horizontais

Nu

_ JtjD n r 9 P v bull ( P L - P v gt - g -h

e V bull D i2

D 1 ^ U b Z u At gt

onde

V = indica vapor

L = indica liacutequido

Multiplicando ambos os membros da equaccedilatildeo acima por

kvD obteremos a expressatildeo do coeficiente de convecccedilagraveo meacutedio para

o caso

37

C - FORMULAS PARA CAacuteLCULOS ESPECIacuteFICOS - RESULTADOS ESPECIacuteFICOS

1 FLUXO DE CALOR CRIacuteTICO - BURNOUT

lol - Introduccedilatildeo

O aspecto mais importante no que se refere agrave seguranccedila

dos reatores da transferencia de calor na ebuliccedilatildeo eacute a determina

ccedilatildeo do Fluxo de calor critico ou de pico ou burnout

Como jatilde vimos quando temos a ebuliccedilatildeo nucleada a dishy

ferenccedila de temperatura entre refrigerante e superfiacutecie de aqueci

mento e pequena poreacutem quando atingimos o fluxo de calor criacutetico

essa diferenccedila de temperatura pode tornar-se imediatamente muishy

to grande podendo causar a ruptura da superfiacutecie de aquecimento

se atiigirmos o ponto de fusatildeo do soacutelidoraquo

Usando a convecccedilao

onde

At sat

w

sat At

sub

w = temperatura da parede de aquecimento

t t = temperatura de saturaccedilatildeo do liacutequido

t^ = temperatura de mistura do liacutequido

At = (t -t ) sub-resfriamento do liacutequido sub N sat b 1

nout

Ha dois tipos de burnout fast burnout e slow bur-

Ocorre o fast burnout (burnout raacutepido) quando A t g u b gt 0

38

ou para baixo x (~ lt 10) sendo x o titulo do vapor

Temos o slow burnout para x - gt 10 Assim noacutes tereshy

mos dois limites para o burnout

At bull o (ltJgt ) t =((() para t = t ) -

bo m m possiacutevel w sat

sub i

4L + 1

G c D h pl nb

(ltK ) = (ltpound para x = 1) = Dv-bo max possiacutevel e 4L

c At l + P 1 sub i

onde

L = comprimento do canal

D = diacircmetro do tubo

G = descarga de liacutequido (por unidade de aacuterea)

c ^ = calor especiacutefico do liacutequido

Agrave = calor latente de vaporizaccedilatildeo

h ^ = coeficiente de transferecircncia de calor na regiatildeo de

nao ebuliccedilatildeo

iacutendices

i = entrada

e = saiacuteda

Haacute inuacutemeras expressotildees para determinaccedilatildeo do burnout pro

postas por muitos fisicos cada uma aplicando-se a um caso especiacuteshy

fico vejamos algumas delas

12 - Equaccedilotildees para prediccedilatildeo de Burnout

121 - Equaccedilatildeo de Bragg e Smith (Zuber)

Num artigo publicado por Bragg e Smith encontramos uma f oacute_r

mula que e derivada da formula de Kutateladze e nos daacute o fluxo cri

39

tico quando nao temos sufaresfriamento

bo poolsat v V raquoc a ( p l P V )

2 PV

14

onde

ltiexclgt = fluxo de calor critico bo

k = constante

Ly = calor latente de vaporizaccedilatildeo do refrigerante

= densidade do liquido

pvr = densidade do vapor V a = tensao superficial

g = fator de conversatildeo c

a = aceleraccedilatildeo da superficie de aquecimento

Os autores encontraram para k um valor de 062 entreten

to outros autores como Zuber incluindo outras variaacuteveis que In

fluiam no fenocircmeno encontraram k variando entre 008 e 023Esshy

tudos bem elaborados mostram que o valor mais aproximado eacute

k = 015 (- 003)

1-22 - Equaccedilatildeo de Noyes

Noyes estudou o burnout para o soacutedio agua e alguns liacute

quidos orgacircnicos

( W s a t ~ bdquo 0245 bull ( r ( 1 )

iiacute_ V 1 Pr

onde

N n = Nuacutemero de Prandtl da fase liacutequida x r

Mais tarde o proacuteprio Noyes alterou a equaccedilatildeo para

n ^ - n H Iacute I Pl PV gt0538 deg g c a q 4 ( W s a t deg 1 1 6 PV ( - p 7 ~ ) (77T1^ ) ( 2 )

40

A ultima correlaccedilatildeo proposta por Noyes foi

a n prPV0560 112

1

(a bull a) 13

(ag c) 112

(3)

onde

a = difusividade teacutermica do liacutequidoraquo A equaccedilatildeo (3) eacute bashy

seada em todos os dados de burnouts do soacutedio bem

como da atildegua benzeno difenil e outros De 111 pontos usados 90

+ estatildeo relacionados dentro de - 30bdquo

ldeg2o3 - Burnout com convecccedilao forccedilada e sub-resfriamen

to

Aproveitando os resultados de aproximadamente 240 testes

de burnouts com aacutegua sub-resfriada em fluxo de convecccedilao forccedilashy

da feitos na Ruacutessia Labuntsov elaborou uma boa equaccedilatildeo empiacuterica

para o problemabdquo

Esta relaccedilatildeo aplica-se para velocidades entre 2 3 e 148

ftsec pressotildees entre 1 e 201 atmabs sub-resfriamento entre 0 deg

e 432 degF e fluxos de burnout entre 0 4 x IO 6 x 166 x 1 0 6 BTUhr

2 bdquo

bullbo

onde

e a seguinte

6 ( P ) 1 + 0 2 3 2 V 2

14

e ( P ) 1 +

15 c At _p_ sub

12 (a)

9 ( P ) - P 1 3 o ( 1 - P J 4 3

red

= pressatildeo (atm abs)

pressatildeo reduzida = mdash mdash red r P

t_ c = pressatildeo critica

= velocidade do liacutequido (ftsec)

= calor especiacutefico do liacutequido (BTUlbdegF)

4 1

^ tsub = ^ ^ e r e n Ccedil a ^ e temperatura entre a temperatura de

mistura do liacutequido e a de saturaccedilatildeo (degF)

X = calor latente de vaporizaccedilatildeo (BTUlb) 2

ltiacutegtbo = fluxo de burnout (BTUhrfl )

Uma outra correlaccedilatildeo para o caso foi proposta por

Ornatsky e Xiohigin que fizeram experiecircncias para pressotildees entre

10 e 1 5 0 3xm 90 degF lt At ^ lt 4 5 0 deg F 3 7 1 0 6 ( l b h r o f t 2 ) lt G lt

2 2 2 10 b ( l b h r bdquo f t 2 )

lt ^ = 3 2 5 0 (G o A t bdquo J deg 6 ( - i - ^ ) 2 5 ( b ) bo sub

onde

G - descarga de refrigerante por unidade de aacuterea

P ^ v P v - densidades do liacutequido e do vapor

P1~ PV -0 termo (mdash ) e incluido na expressatildeo (b) para indicar

a influecircncia da ^ pressatildeo sobre o

Uma comparaccedilatildeo entre as equaccedilotildees (a) e (b) foi feita para

o Reator de Isoacutetopos de Alto Fluxo (HFIR) nas condiccedilotildees aacutegua a

600 psia velocidade = 45 ftsec e sub-resfriamento = At^^ 1

degF obtendo-se uma diferenccedila de 6 5 entre ambos (4gt = 6 0 5 1 0 b

2 ~ 6 2 BTUhr ft pela equaccedilatildeo (a) e 6 4 5 10 3TUhrraquoft pela equaccedilatildeo

(b)

Ilatilde ainda a equaccedilatildeo de Ivey e Morris aplicaacutevel somente pa_

ra ebuliccedilatildeo com grande quantidade de liacutequido

( c sub t

Cpf bull A tsub

( bull ) s ~ V P bdquo 10 h V sat V g

onde

(ltL ) = fluxo critico com sub-resfriamento c sub

(ograve ) ^ - fluxo critico sem sub-resfriamento c sat

42

c ^ = calor especiacutefico do liacutequido

= calor latente de vaporizaccedilatildeo

124 - Burnout com convecccedilao forccedilada e ebuliccedilatildeo por bocirc-

Ihas

Gambill fez uma extensatildeo da equaccedilatildeo de Levy e aplicou o

metqdo da superposiccedilatildeo Tal extensatildeo consiste natilde subtraccedilatildeo de uma

razatildeo equivalente de massa transferida dos termos que represenshy

tam a ebuliccedilatildeo e convecccedilao para levar em conta a presenccedila do vashy

por no fluxo

A correlaccedilatildeo pode ser escrita assim

24 V P V

o g c a (p^Py) 14

+ 0696 (k p c ) 12

(

pr p v )i4 o g c a (P-L-Py) 18

bull At + h sub nb

044 p v L v G (g1) bull N2 n

p l P V

( pr p v ) d e 2-7

2 4 TT 0

14 ( f e _ ^ r l 3

lO^u

onde

k = condutividade teacutermica

c = calor especiacutefico

A t s u b ~ s ub-resfriamento do liacutequido

h = coeficiente de transferecircncia de calor de nao ebu nb mdash

liccedilatildeo

G = descarga total do refrigerante

43

d g = diacircmetro equivalente do tubo ou canalraquo

]i = viscosidade

B = constante adimensional

Os iacutendices V e 1 representam vapor e liacutequido respectiva

mente

0 primeiro termo entre chaves da equaccedilatildeo representa o flu

xo de calor no burnout de sub-resfriamento em convecccedilao forccedilada 0

segundo termo entre chaves corresponde ao fluxo de calor transferi^

do para a massa da fase vapor

1-25 - Burnout por Bloqueio da Base

Ocorre quando a profundidade do recipiente eacute muito maior

que a largura 0 bloqueio da base eacute causado pela formaccedilatildeo de uma pe_

licula de vapor na base impedindo que o liacutequido toque o fundo do

recipiente

i De

Este eacute o burnout por flooding isto eacute burnout por expul

sao do liacutequido Uma equaccedilatildeo que nos dacirc o fluxo minimo do burnout

parao caso eacute

44

onde

D g = diacircmetro equivalente

L = comprimento do tubo

= calor de vaporizaccedilatildeo

p^Py Ap = densidade do liacutequido do vapor e diferenccedila en

tre ambos

Para um fluxo de calor maior ou igual ao dado pela expres_

sao acima (mantida a mesma geometria) teremos burnout Para um deshy

terminado fluxo existiratildeo sempre um comprimento L e um diacircmetro equi

valente D e para os quais temos burnout Exemplo

L (in) D e(in)

10 11

100 51

1000 235

2 RESULTADOS ESPECIacuteFICOS - FOacuteRMULAS PARA CAacuteLCULOS ESPECIacuteFICOS

21 - Diferenccedila de temperatura At i

13 a t

sat

At sat

poundatildeJL_ raquo t - t J p T T 6 w sat

onde

o laquo tensatildeo superficial entre liquido e vapor

t - temperatura de saturaccedilatildeo do liacutequido para a corres-Scl t

pondente pressatildeo

J equivalente mecacircnico do calor

X laquobull calor latente de vaporizaccedilatildeo

py = densidade do vapor

6 = espessura da camada de liacutequido superaquecido onde

45

k l

h nc

onde

k^ = condutividade teacutermica do liacutequido

h = coeficiente de peliacutecula nc r

Segundo Eckent h ^ c e dado por

P 2 Q

nc 3 V VP + 0952

r

onde

D = diacircmetro equivalente

G r = numero de Grashoff

P = nuacutemero de Pradtl

2 o 2 - Velocidade das bolhas

A velocidade das bolhas em meacutedia pode ser dada pela exshy

pressatildeo

V bdquo = Iacute ( a bull B Apl4 bolhas 5 ^ 2

p l onde

AP = P L - P v

Expressatildeo que vale quando a aceleraccedilatildeo eacute a da gravidade

baixa viscosidade do liacutequido e bolhas separadas

Vbolha = f t s e atilde m a x para aacutegua

2 bdquo3 - Diacircmetro das bolhas

2gc deg 12 D = 0015 3 ( mdash mdash 7 ~ ) d g Ap

5 =

46

onde

8 = acircngulo de contato (20 a 90deg) geralmente assume-O -1

-se igual a 50 para a agua em contato com metal

24 - Coeficiente de peliacutecula na ebuliccedilatildeo nucleada

a) Equaccedilatildeo de Rohsenow

Esta equaccedilatildeo nos datilde o fluxo de calor q na ebuliccedilatildeo nushy

cleadaraquo E oacutetima expressatildeo para muitos liacutequidos o efeito da presshy

satildeo eacute levado em conta na variaccedilatildeo das propriedadesraquo

Pf

fg

sat 17 = c

sg k y f h f g g( P f-p g)

n033

onae

Pf

fg

Pf Pg c sg

= fluxo de calor requerido (BTUhr0ft^)

= calor especiacutefico do liacutequido saturado (BTUlbm0F)

= calor latente de vaporizaccedilatildeo (BTULbm)

= nuacutemero de Prandtl

= viscosidade do liacutequido (lbrahrraquoft) ~ 8 2

= fator de conversatildeo 417 10 Ibmftlbflaquohr 2

= aceleraccedilatildeo da gravidade (fthr )

= tensatildeo superficial na interface liacutequida vapor

(lbfft) 3

densidade do liquido e vapor (lbmft )

constante adimensiacuteonal que depende de vaacuterios fashy

tores dentre os quais o grau de aquecimento en_

tre o fluido e a superfiacutecie de aquecimento e o

mais importanteraquo Independe da pressatildeo do sistema b) Equaccedilatildeo de Levy

Equaccedilatildeo valida para a aacutegua quando 100 lt p lt 2000 psiacutea

47

43 bdquo3

qu bdquo gat ^ T J h r t f t ^

495

25 - Calculo do fluxo de calor no Ponto de Leidenfrost

0 ponto de Leidenfrost como vimos eacute o ponto em que oflu

xo de calor comeccedila ncamente a crescer isto eacute o ponto onde termal

aa a ebuliccedilatildeo instaacutevel e comeccedila a ebuliccedilatildeo por peliacutecula estaacutevel Eacute

o chanado fluxo miacutenimo (egrave ) m m

Aproximadamente quando A t g u k = 0 temos

A _ mdash _ mdash (Gambill) m m 5

Ha entretanto varias expressotildees para determinar esse flu

xo eis uma delas

A p 14 ltjgt = 009 h pbdquo (o raquo g mdash ) y m m fg P V deg 2

p l

26 - caacutelculo do fluxo de calor na regiatildeo de ebuliccedilatildeo por peliacute

cuia estaacutevel

para cilindros jmdashi i li

_ D 0172 k-V - P V A p h l V bull S 14 li - = 062 (mdashmdash) (- j- r rmdash) convecccedilao A 0 ybdquo (t -t )

c V w sat

onde

= condutividade do vapor

- 2 TT ( mdash )

c gAp Vl = significam vapor e liacutequido respectivamente

para paredes verticais

L 0172 S deg7 A p bull hlV S q 4 h - - 080 (-^-)J- (-Iuml - Iacutemdash-convecccedilao X L u (t - t J)

c V w sat

48

Como nesta regiatildeo jaacute haacute nina influecircncia marcante da radia

ccedilao devemos levar en conta tambeacutem o coeficiente de peliacutecula de

vido a radiaccedilatildeo para determinar o coeficiente de peliacutecula total

Dos estudos atildea radiaccedilatildeo temos

h = a F pound(T 4 - T 4 J ( T ~ T ) rad w sat w sat

onde amp _ emissividade de superfiacutecie

a = constante de Stefan-Boltzman

F = fator de forma

Segundo WE Gambill o coeficiente de transmissatildeo total

ceve ser

3 iacutei = h + -7 h para h lt h t conv 4 rad r rad conv

Na expressatildeo acima existe o fator 34 porque a radiaccedilatildeo

faz variar um pouco a espessura do filme de vapor reduzindo asshy

sim o l l

conv

Quando tivermos h gt h gt o h^ ^ seraacute rad conv total

h f c = h + h t conv rad

Neste ultimo caso nao ha nenhum coeficiente porque a peshy

liacutecula de vapor jaacute eacute estaacutevel

27 - Grandezas caracteriacutesticas para a apua

Para pressatildeo igual a 1 atm = 1422 psia

At ^ = t - t = 5degC (iniacutecio da ebuliccedilatildeo nucleada) sat w sat 1

At t = 30degC sat crit

49

5 2 $ = 4 10 BTUhrft (para pressatildeo 1 atm)

0 fluxo critico cresce como vimos com a pressatildeo ate

atingir o maacuteximo quando a pressatildeo eacute aproximadamente 13 da pressatildeo

criacutetica Esse fluxo eacute

bull = 13 IO 6 BTUhrft 2 para p = 11000 psia (p pound = 32062 psia)

Ainda temos que para pressatildeo igual a 15 psia

h b o = 11000 BTUhrft degF - ebuliccedilatildeo nucleada

h f b = 30 BTUhrft 2 degF - ebuliccedilatildeo pelicular

Todos os resultados e formulas para caacutelculos especiacuteficos

apresentados nos itens 21 22 23 ateacute 27 sacirco aplicados somente

para sistemas onde haja ebuliccedilatildeo com grande quantidade de liquido

51

D - HIDRODINAcircMICA DOS SISTEMAS E QUEDA

DE PRESSAtildeO DENTRO DE UM CANAL

1 HIDRO-DINAcircMICA E QUEDA DE PRESSAtildeO

11 - Hidro-dinacircmica dos sistemas estaacuteveis

111 - Regimes de escoamento

A evoluccedilatildeo do escoamento ao longo de um canal aquecedor

de secccedilatildeo constante ciliacutendrico pode ser esquematizada pela figushy

ra 1 onde temos em abcissa o comprimento z do canal e em ordenada

a temperatura (T)

52

Na figura 1 nos representamos

a) 0 aspecto do escoamento fluido quando a entalpia do

- fluido aumenta Verificamos que o fluido entra no cashy

nal no estado liacutequido e assim permanece ateacute atingirmos a zona de

ebuliccedilatildeo local onde aparecem as primeiras bolhas A entalpia do

fluido continua aumentando e tem inicioa ebuliccedilatildeo franccedila onde as

bolhas se unem formando agregados posteriormente o escoamento to

ma a forma da figura ou seja torna-se anular disperso Finalmente

atingimos duas uacuteltimas fases do escoamento disperso (vapor uacutemido)

e vapor seco

b) A evoluccedilatildeo da temperatura meacutedia do fluido e da tempeshy

ratura da parede Note-se que a partir da cota a

temperatura da parede aumenta brutalmente podendo causar o

burnout

c) A evoluccedilatildeo do tiacutetulo do vapor (x) com o comprimento

do tubo e a evoluccedilatildeo da fraccedilatildeo (a) que definiremos no

item 11laquo2 com o comprimento do tubo

112 - Definiccedilotildees

a) Tiacutetulo ou qualidade do vapor (x)

massa de vapor na mistura x ~ massa total da mistura

x =

W _g_

g f

b) Fraccedilatildeo vazio (void fraction)

volume do vapor na mistura a = volume total da mistura (agua+vapor)

A relaccedilatildeo entre x e a num sistema parado pode ser obtida

assumindo um certo volume contendo 1 lbm de mistura em equiliacutebrio

teacutermicoraquo

53

O volume da mistura seraacute igual a (v + xv ) ft onde v eacute 3 r rg

o volume especifico (lbmft )

f - refere-se ao liquido

g - refere-se ao vapor

fg - refere-se a diferenccedila entre liacutequido e vapor

Numa mistura em equiliacutebrio se o liacutequido e o vapor estatildeo

saturados o volume do vapor presente eacute igual acirc sua massa vezes

seu volume especiacutefico v assim e

xv bdquo bdquo a mdash

V c + XV c

f gf

onde

- bull-bull uumlutiacuteisa vapor na mistura de 1 Ibm

v volume especiacutefico do liacutequido

v = volume especiacutefico do vapor o

V c = v - V

gf 8 r

Fazendo uma transformaccedilatildeo na expressatildeo acima temos

xv xv JS = Z-

v r+ x(v -v c) xv +(l-x)v t ri f g f g f 1 + Ul-x)xjv fv

1 + C(l-x)x]]vfvg

A fraccedilatildeo vazia tem a influencia de baixar a reatividade

do nuacutecleo nos reatores em que o refrigerante eacute tambeacutem moderador

Na equaccedilatildeo acima os valores de x e v sao tomados em tabe

las termodinacircmicas apropriadas para a pressatildeo do sistema A equashy

ccedilatildeo (1) mostra os grandes valores de a para pequenos valores de x

especialmente para baixas pressotildees Isto ocorre porqueaumentando

54

aacute pressatildeo o v decresce muito enquanto que o v f eacute mais ou menos da

mesma ordem de grandeza

Exemplo Calcular o a correspondente para x raquo 2 para aacutegua

leve atilde pressatildeo atmosfeacuterica

Da tabela para p laquobull 1 atm

v - 001672 ft 3lbm e v - 26800 ft 3lbm

1 + [(1-002)002] 001672268

0971 ou 97U

O grafico abaixo mostra a variaccedilatildeo do a com x para vaacuterias

pressotildees e para a aacutegua leve

x ()

tObservaccedilotildees da curva

Fig 2

1 - para x constante a decresce com a pressatildeo Para presshy

sotildees proacuteximas da criacutetica a aproxima-se rapidamente de

x Para a pressatildeo criacutetica as duas fases satildeo indistinguiacuteveis ea=x

2 - para cada pressatildeo dotdx decresce com aumento de x

3 - para baixos valores de x (que e o caso dos reatores

tipo Boiling) quando p decresce dadx cresce e torr

na-se muito grande paacutera baixas pressotildees Isto tem relaccedilatildeo com a epound

55

tabilidade do reator como veremos mais tarde

113 - Sistemas com fluxo

Todas as definiccedilotildees que noacutes vimos no item anterior refeshy

rem-se acirc sistemas em que a mistura esta fechada no recipiente Nes^

te caso natildeo havia movimento relativo entre as duas fases No entan

to se as duas fases da mistura se movem na direccedilatildeo vertical em

canais entre os elementos combustiacuteveis o vapor por causa de sua

flutuaccedilatildeo tem a tendecircncia de escorregar sobre o liacutequido isto e

move-se com velocidade maior do que a do liacutequido

Real Modelo

Pig 3

S -

Define-se neste caso a relaccedilatildeo de escorregamento (slip

ratio) (S) como sendo

V _i

V f

onde

V = velocidade do vapor

= velocidade do liquido

S modifica as relaccedilotildees entre a e x do item anterior S geralmen_

te gt 1 Define-se neste caso qualidade do vapor ou tiacutetulo como

sendo

_ fluxo de massa de vapor

fluxo de massa da mistura

Entatildeo se o fluxo de massa da mistura eacute m t(lbmhr) o flushy

xo de vapor seraacute = x m e o fluxo de liacutequido sera (1-x) m onde x

56

e o titulo do vapor para a particular secccedilatildeo (AL) da figura (3)

Devemos notar que neste caso x varia de secccedilatildeo para secshy

ccedilatildeo do tubo o exposto no paraacutegrafo acima vale considerando-se que

x e a permaneceram constantes na secccedilatildeo de espessura AL

Aplicando a equaccedilatildeo da continuidade as velocidades do va

por e liacutequido sao dadas por

o xm v

V vazatildeo = g g area A

V

(1-x) amp t v f

f A f

onde A e A f sao as aacutereas medias perpendiculares ao fluxo se as

duas fases sao imaginadas completamente separadas uma da outra

(figura 3) Assim temos

V x m v o A_ A v 0 ^ - 2 = iacute S t m _2L- JL JS m

V A (l-x)ui v 1-x A v U

f g t f g f

Sabemos ainda que para a secccedilatildeo considerada

volume do vapor na mistura a = volume total da mistura (agua+vapor)

A AL A pound g g

a = mdash a a = - mdash 1

(A+A )AL A f + g

A ou f _ 1 - a

A a 8

Substituindo em (2) vem

57

Esta expressatildeo pode ser rearranjada e obteremos uma relashy

ccedilatildeo entre x e a levando em conta o escorregamento Chega-se a

a = 1 ( 3 )

1+ [U-x)x3 igt

onde

v 4 laquo -- S

v lty o

Note-se que quando S=l (nao haacute escorregamento) caimos na

expressatildeo dada no item anterior

0 efeito do escorregamento eacute decrescer o valor de a pa_

ra um mesmo xbdquo Isto pode ser visto pela foacutermula (3) pois S gt lLo

go a decresce com acreacutescimo de S

Um alto S e entatildeo uma vantagem tanto para a transferecircnshy

cia de calor como para efeitos de moderaccedilatildeo Eacute uma vantagem para

transferecircncia de calor porque alto S significa alto V e portanto

maior turbulecircncia e maior contato do liquido com as paredes quenshy

tes Ha tambeacutem melhorias na estabilidade da reaccedilatildeo nuclear isto

porque como jaacute dissemos quando mdash7 diminui a estabilidade aumenshy

ta isso pode ser verificado observando a curva a versus x para a

agua leve a 1000 psiabdquo

Fig 4

58

A relaccedilatildeo entre x e a da equaccedilatildeo (3) so vale para secccedilatildeo

de tubo bem pequena

Devemos notar que S varia tambeacutem com a pressatildeo e velocida^

de de entrada do liacutequido no tubo Este efeito pode ser observado na

figura 5 abaxxo obtida esperimentalmente

s

3

~^ ~ psig

x = 001

V 1

Fig 5

Nos projetos de reatores como veremos adiante o valor a

geralmente eacute determinado por consideraccedilotildees nucleares (moderaccedilatildeo) 0

valor de S eacute determinado atraveacutes de uma estimativa ou entatildeo atrashy

veacutes de um graacutefico do tipo da figura 5 0 correspondente valor de x

pode ser obtido de uma foacutermula empiacuterica do tipo

1 = 1 (-S)0gt67

proposta por Von Glahn

Em muitos casos assume-se S constante em todo o comprimeiv

to do canal poreacutem eacute um erro que em muitos casos nao pode ser coshy

metido

4 REATORES EM QUE 0 LIacuteQUIDO B MODERADOR E CIRCUITO PRIMAacuteRIO AO

MESMO TEMPO BOILING-REACTOR (BWR)

A aacutegua ao se movimentar atraveacutes dos vaacuterios canais do

59

Boiling-reactor encontra vaacuterias resistecircncias ao fluxo que provoshy

cam uma reduccedilatildeo de pressatildeo no fluido

As duas perdas mais importantes sao perda de pressatildeo por

atrito e perda de pressatildeo causada pela aceleraccedilatildeo do refrigerante

ao aumentar de volume por receber calor num canal Outras perdas

de pressatildeo seriam a obstruccedilatildeo ao fluxo por corpos submersos (espa_

ccediladores juntas de tubos chaves etc) e por mudanccedilas abruptas de

aacuterea de fluxo tanto na entrada como na saiacuteda do tubo

Essas perdas de pressatildeo devem ser conhecidas o melhor popound

sivel principalmente nos reatores BWR Para tanto devemos saber

o comprimento de canal em que nao ha a ebuliccedilatildeo isto eacute qual o com

primento de canal em que o refrigerante vai da temperatura de sub-

resfriamento ate temperatura de saturaccedilatildeo

Seja o elemento combustiacutevel

Aquecimento Uniforme Aquecimento Senoidal

Fig 6 Fig 7

onde

H =

H = o

H b

comprimento do elemento combustiacutevel

cota onde o liquido se torna saturado

comprimento do elemento combustiacutevel em que ocorre

ebuliccedilatildeo

60

qg = calor sensiacutevel acrescentado ao liquido para satushy

raacute-lo

qfc = calor total acrescentado ao liacutequido em todo o com

primento do canal

laquoo

q s J o qiquest sen (IIzH) n H o

T~ = TH = 2 ( 1 c o s gt ( a )

q 1 sen (HzH) Jo ^c

A expressatildeo (a) vale quando tivermos uma adiccedilatildeo de calor

senoidal para qualquer outra forma de adiccedilatildeo de calor faz-se um

caacutelculo anaacutelogo

Outra relaccedilatildeo entre q g e qfc eacute dada pela termodinacircmica

q h- - h s f m (b)

(hr +x h )-hm ^t f e fg

onde

= entalpia para o liquido saturado a pressatildeo correjs

pondente (cota z = Ho)

hffi = entalpia do liacutequido na entrada do canal

x = tiacutetulo do vapor na saiacuteda

= entalpia do vapor

Com a relaccedilatildeo (b) noacutes determinamos a relaccedilatildeo q q ecom

S L

uma relaccedilatildeo do tipo (a) (conforme seja o adicionamento de calor ao

liacutequido) podemos obter a relaccedilatildeo HoH e consequentemente H^H

21 - Perda de pressatildeo num canal de evaporaccedilatildeo

Neste item iremos determinar as perdas de pressatildeo mais

representativas que ocorrem num canal de evaporaccedilatildeo de um reator

P + dP

bull1 i- 1 gti i i

dL

onde

UM

Icirc H Icirc Icirc T dF f t f

61

Quantidade de Mov na Entrada

= i- rigVg)

dF f l

Fig 8

m i

m 8

V l V 8

A P

dF

dF

dF

fg

fl

ftf

descarga do liacutequido

descarga do vapor

velocidade do liquido

velocidade do vapor

aacuterea transversal do canal

forccedila de atrito do vapor com parede

forccedila de atrito do liacutequido com parede

forccedila de atrito das duas fases liacutequido+vapor

Fazendo o balanccedilo das forccedilas considerando o sentido posjL

tivo na vertical temos

A (P-P-dP)-(dF +dF _+dF _)-(-pound-) (p A+p A )dL = mdash dGnV+m V ) P fg ftf fl g c 1 1 g g g c

v 1 1 g g 7

- dP = ~ (dF +dF--+dF)+- S--7=- (p A+p A )dL+ mdash ~ - d (m-V+m V ) A_ fg ftf fl g c Ap v^l 1 g g g A 11 g g

Fazendo a integraccedilatildeo termo a termo entre os dois extreshy

mos entrada e saiacuteda e considerando a pressatildeo de entrada igual a

P q e a de saiacuteda igual a Pe vem

Quantidade de Mov na Saiacuteda

-= h I- lY l+ A g V g + d ( aacute l V l + aacuteeVl

Forccedila de Gravidade

= ( g f - N P A + P g V

62

b) r e F f l

o p dp^ = Ap^ = perda de pressatildeo por atrito

do liacutequido na altura Ho

Aplicando a formula de Darcy vem

bull API = f bull ir bull ^ iexcl 7

onde

f = fator de atrito

c) e Fftf

o p ^P tpound

= perda de pressao por atrito da mistura

liquido + vapor no trecho de comprimen

to Hbdquo o

Para determinar esta perda de pressao define-se o fator

de multiplicaccedilatildeo R

A P R =

tf A P 1B

Sendo A p ^ a perda de pressao se o comprimento todo fosshy

se ocupado somente pelo liquido assim

A p t f = R A P 1 B

0 calculo de Ap-^ pode ser feito pela formula de Darcy e

o de R nos veremos no item seguinte

63

d)

-e F

d ( ^ )

O P

Ap = perda de pressatildeo por atrito do vapor

No caso do reator BWR o titulo de saida e bera pequeno e

em nenhum caso ocorre a saida de vapor com x = 100 logo a perda

de pressatildeo por atrito do vapor eacute nula assim

An = 0 5

e) Ap

(p A 1 + p A ) dL = Ap - perda de pressatildeo dpound

vida ao desniacutevel

(perda hidrostaacutetica)

Anbdquo = re A A

-S- I (p + p -S ) dL H s 1 A

c o p o A

como A A Jl_ =

A P

A +A-g 1

1-a -

temos

C Q

te j jll-a)p1 + apg)^jdL = p Lo pound

onde

e jo u

+ ap ) ~I dL (Densidade media 1 S J

no tubo)

No nosso caso

Ap u = p H

f)

re d(mV + m V ) _ mdash - laquo -i bull s iquestp laquos p e r d a ltje pressatildeo devido a acele-

c p raccedilatildeo do vapor

V A

(1-x) tl^Vj

(1-a) A

X V

aA

A p -

roV + m V

c p c p L_

m (l-x)m_v m xv nbdquo -1 T 1

+ _S S I (1-a) Ap aA

P

2 g A c p

n 2 2

(1-x) m T

laquo2 8 A c p

2 2 (l-xe) raTv1

2 2 2 xm_v (1-x) m-v e T s o 1 1

a 1 - a

2 2 - x m_v o T g

a

se

X Q 0 (so ha agua nesse trecho)

a = 0 o

temos

mbdquo Ap =

1 a A 2

S A degc p laquo-

tt-V v i 1 - a

2 via T^r - v i

t Apc

2

V v l

5c Ap

1 - a

x v - 1

a e v l

65

Fazendo

G = fluxo total da massa por unidade de area do

canal

(1-x J e

V

AP r

Assim a perda de pressatildeo total sera

H p V II pV r2 P -P = f -24-Iuml+ f R+p 0 1 2g c D e 2g c g c g c

2c2 - Determinaccedilatildeo do fator de multiplicaccedilatildeo (R)

221 - Relaccedilatildeo Martinelli-Nelson

Os autores Martinelli-Nelson determinaram experimental -

te esse fator R para varias LIT1L em funccedilatildeo da pressatildeo e da r NB total J v

qualidade de saiacuteda do vapor no canal Construiacuteram assim vaacuterias

curvas do tipo da figura 9

66

E importante notar que a qualidade do vapor (x) na saiacuteshy

da nao deve ser grande pois como vemos o valor de R cresce muishy

to com um aumento pequeno de x e um valor de R muito grande acar_

reta uma perda de pressatildeo grande pois

^ d u a s fases R ^ f a s e liacutequida

Para resolvermos um problema seguindo o criteacuterio de bdquo

Martinelli escolhemos a curva R = f(px) (para a relaccedilatildeo L

N g ^ j

adequado) e tiramos R com os valores de pressatildeo p e tiacutetulo x

As curvas R = f (p x L T t )IO encontram-se nos ANL 6469 bio I

e 6561

222 - Relaccedilatildeo Lottes-Flinn

Estes autores estudaram o problema para o aquecimento uni

forme do refrigerante com baixo titule Lottes-Flinn fizeram inuacuteshy

meras experiecircncias e verificaram que para fluxo de calor uniforshy

me e baixos titulos R era independente do fluxo de calor fluxo

do refrigerante escorregamento e apenas funccedilatildeo de a g

Como a quantidade de liacutequido eacute muito maior que a de vashy

por a perda de pressatildeo daacute-se principalmente pelo atrito do liacuteshy

quido com a parede Podemos assim escrever a foacutermula de Darcy

na forma diferencial

dz

d = f __ r e amp c

onde

V = velocidade do liquido saturado na cota zbdquo X

f = coeficiente atrito

= densidade do liacutequido saturado

Teoricamente a queda de pressatildeo deve-se ao acreacutescimo de

67

velocidade do liacutequido e da diminuiccedilatildeo da aacuterea de fluxo do liacutequi

do

P fH A P t p

= f D 2g Ho

d z

fazendo

V lo

m V t lo

(velocidade do liacutequido na cota z = Ho)

(1-x) m t v 1

(1-a) A (velocidade do liacutequido na cota z gt Ho)

a bull+ fraccedilatildeo vazio na cota z geneacuterica

V 1 (1-x) m t v 1

m t V l 1 - a

x =s 0 pois o tiacutetulo eacute baixo

A p t f = f bull JT5 c e

fH V lo

H o (1-a) dz

Para fazer a integral devemos achar a relaccedilatildeo de variaccedilatildeo

entre a e z Como o fluxo de calor eacute uniforme a qualidade eacute direshy

tamente proporcional a z

bull laquo x = x e H

z = mdash x X e

Sabemos ainda que (item 113)

x

1 + [ ( I -X)AKQ x + iiacuteraquo

68

como

temos

(1-x) = 1

v

X =

z =

1-a

1 -a

1-a e

a

e

1-a pound

a

1 -a igt (assumindo S = cte)

da

Atf - f bull 2 i ^ ~ J c e o

a 1 - a e e 1 s 4 hmdash) da

a 1-a

f P lv^ Q

0 termo mdash - mdash e a parte de perda de pressatildeo pelo lj^

^c e -quido ou seja Ap liquido saturado e como

Ap

R = tf

Ap liauido saturado

temos que

R J

f ae 1 _ a e 1 4

a 1 -a o e

1 -a r-R =

3 1 -a

a 1 -a imdash

3 vl - a 3

e e

Os valores de R obtidos por esta expressatildeo aproximam-se

muito dos valores obtidos pelos aacutebacos de Martinelli

69

E - EXPANSAtildeO E COMPRESSAtildeO DE UM FLUIDO - ANAacuteLISE HIDRODINAcircMICA

DE UM CIRCUITO EM CIRCULACcedilAtildeO NATURAL

1 EXPANSAtildeO NO FLUXO DE UM FLUIDO

11 - Uma so fase

Figura 1

Ha vaacuterios meacutetodos para determinar a variaccedilatildeo de pressatildeo

numa expansatildeo de fluido estudaremos o de Romie que eacute o que daacute

maior precisatildeo

Romie considera que a pressatildeo p^ tambeacutem atua na aacuterea

imediatamente apos a expansatildeo Assim fazendo o equiliacutebrio das foi

ccedilas nas secccedilotildees tracejadas da figura 1 temos

mVj

p r A 2 + mdash

mV

bull 2- A2

mas

m = pV^A^

pV^A = p V 2 bdquo A 2

V A

v 2 -4r-logo

( P l-P 2) A 2 = f ( V ^ ) - f _ v j amp c c 2

70

2 pV A A pV A A

Chamando A l A ]

K = 1 - T e degi2 = Aiexcl bull V E M

pvj

P l P 2 = T ~ bull ( 2 deg 1 2 ) ( 1 _ a 1 2 )

Outra maneira de chegar atilde diferenccedila de pressatildeo ( P j - ^ ) s mdash

ria usar o coeficiente de perda da mecacircnica dos fluidos Assim o

equilibrio das pressotildees eacute

2 2

1 V l 1 V 2 V l P i + _ p _ ^ P 2 + I p ~ + k 1 2 p mdash

onde = coeficiente de perda

A 2 1 2

k 1 2 - (l-o 1 2) - (1 - j- )

Fazendo as transformaccedilotildees chegamos a mesma expressatildeo obshy

tida pelo balanccedilo das forccedilas

PraquoIacute pr p

2 - - ir ^ laquo-ia

12 - Duas fases

Como ha duas fases a equaccedilatildeo do balanccedilo das forccedilas fica

um pouco alterada

m pound 1 V- m - raquoV - m-V- m bdquoV _ P A + j y ^ i + _gl_JUuml P A + -11-11 + -ilsl (a)

1 2 e R 2 2 ff e

Sabendo que

71

m (1-x) m t = p fA (1-a) V f

entatildeo

fl l-o^ p fA x

6 Vf2 1-x l-a2 P fA 2

m V = mdash mdash e V 0 = gl a 1 P C T A 1 g2

m

a_ p h

2 g 2

Nas expressotildees anteriores o x nao varia porque a expansatildeo

5 adiabaacutetica porem o a varia devido a modificaccedilatildeo do tamanho da

bolha

Substituindo os valores das velocidades na expressatildeo (a)

vera

( P - P ) Abdquo =

2

2 2 m gt2 2 m t (1-x) 1 x t

ra i 2 m i 1 x t 1

p fA 1 g c ttl p Ax gpound

m t P - P = mdash

(1-x) (l-a 1)A 1A 2 (l-a2)A|

a r A r A 2

V A 2

m t P bdquo - P = mdash 2 1 g c A r A 2 p f

(1-x) 1-a f A 2(l-a 2)

bull ^ 2

72

Se

P -P

a

m

g

12

1 _1_ (1-x)

J12

1 _ a l 1 - a 2 + X (- )

Pg

1 deg12 a 2 ^

Sabemos que

mt = V o pf laquo A l

Sendo V q = velocidade do liquido num ponto onde natildeo haja vapor

P 2-P 1

u 2 2 A 2

V pr Ai

V W p f

(1-x) 12

l-a1 l-a2

+ X 2 pf

mdash

l deg12

-1 a 2 _

p -p r 2 Al (2a 1 2)

2 M f w 1 deg12 X (mdash) (

pg al a 2 )+(l-x)C l 1 12

1-a^ l-a2

Devemos notar que esta expressatildeo tambeacutem vale para quando

temos uma fase para isso basta fazer

= c t 2 = 0

X = 0

e recairemos na formula do item anterior

2 pf 1 deg12 Observemos que neste caso o termo x (mdash)( ) nao

Pg al a2

2

73

tem significado pois corresponde a mudanccedila de fase

2 CONTRACcedilAtildeO KO FLUXO DE UM FLUIDO

21 - Uma so fase raquo mdash

Aqui ocorre um fenocircmeno importante pois o fluido ao ser

contraiacutedo nao vai diretamente da area A^ para a area A 0 mas ele

contral-se ate uma area A^ e depois expande-se ate k^

Ao A2

Po IP 2

V 2

Figura 2

Fazendo o equiliacutebrio das pressotildees entre os planos (1)

(0) vem 2 2

pV pV p +~ plusmn - P + i deg bull 1 2 g o 2 g (b)

C x

Fazendo equiliacutebrio da expansatildeo (0) - (2) vem

P o + 2 - f = P 2 + 2 -T + kp- 2 F ( c )

c c b C

Subtraindo (b) - (c)

2 2 2

i p- vj i p- v2 L P l + 2 bull g c

P 2 + 2 2g c

+ k P 2g c

74

Como

P - P = mdash 2 2g

2 2

bull (1 + k) - f bdquo mdash i

k a - f2 ) 2 - d - o c )2

= o

A = a 21

Weisback obteve varias relaccedilotildees entre a e a i] c

01 02 03 a 0624 0632 0643 c

0624 0632

A r v i - V v 2

p -p 1 2

P -P 1 2 2g7

v l =

(1+k) - laquofi- a 2g 21 c

( 1 + k - o 2 1)

X[- V 2 o 2 1V 2

22 - Duas fases

0 valor de k pode ser aproximado para

k = a(l - o 2 1)

onde segundo Richardsons para fluxo de duas fases podemos supor

a = 02

Para fluxo homogeacuteneo sabemos que

75

p = p f (1 -a ) + p o a

podemos supor p bdquo a = 0 pois p e pequeno e fazendo

V = V ~ V fbdquo2 go2 v 2

Substituindo estas duas expressotildees na equaccedilatildeo de uma soacute fase vem

2 2 p V (l-ct) p V (1 -a ) bdquo

P l P 2 = 9g ( 1 + 3 - 3 0 ^ - 0 ^ ) = g (a+1) (l-a^)

Se a = 02

2 12p oV 0

p r p

2 - 9g gt d-) d-sigt

A compressatildeo de um fluido acarreta uma perda de pressatildeo

como pode ser verificado pelas formulas uma vez que lt 1deg

3 ANALISE HIDRODINAcircMICA DE UM CIRCUITO EM CIRCULACcedilAtildeO NATURAL

Esquema deacute uma caldeira com circulaccedilatildeo natural

76

Determinar a velocidade em (7) para que tenhamos circula

ccedilatildeo natural Determinar tambeacutem as perdas de pressatildeo em todos os

trechos da caldeira

31 - Contraccedilatildeo das secccedilotildees (1) - (2)

Como jaacute vimos a equaccedilatildeo do balanccedilo das pressotildees eacute

1 pr Vl 1 p 2 o V 2 P2 V2

1 2 g 2 + 2 g + K12 2g otilde c amp c e c

bullraquo 2 o2 2 e havendo uma soacute fase k 1 9 = (l-o ) = (1 mdash ) e sendo

C 2

p l = p2

v x lt lt lt v 2

P 2 V pr p2 bull ir2 bull ( 1 + k12gt

Colocando em termos de temos

A 2 V 2 P 2 = A 7 V 7 p 7 (continuidade)

V = V mdashbull = V o_bdquo ~ A 2 2 2

P 2 V - p 2

p r p 2 = ir2 - deg72 bull Ccedilrgt bull lt 1 + ki2gt

fazendo

N12 - lt^gt deg72 ( 1 + k12gt

P7 V7

Pr P2 - N12 bull HG

77

3 2 - Perda de carga no trecho ( 2 ) - ( 3 )

Como haacute apenas uma fase soacute temos perdas por atritos e

perdas hidrostaacuteticas

Sendo como jaacute vimos

2 3 p 2 2 g P 2 P 3 = f 2 3 (r~2g^~) L 2 3 g c p

atrito hidrostaacutetica

Substituindo V^ pela relaccedilatildeo do item anterior e tendo em

conta que p = vem

P -P = f 2 r 3 2 3 D

2 3 p 2 bdquo 2 2 p 7 2

2 g 7 72 p 2 3 g

Se

L 2 3 2 p 7

2 3 2 3 D 2 a 7 2 p 2

P 7 V 7 g P 2 - P 3 = N 2 3 ( mdash gt p 2 L 2 3 f

3 3 - Expansatildeo nas secccedilotildees ( 3 ) - ( 4 )

Como vimos o balanccedilo das pressotildees e

2 2 2 p V p 4 V p V

P 3 + 2 g c

P 4 + 2 g c

+ k 3 4 2 g c

onde

k 3 4 - - -

2 2 1 P 4 - V 4 P 3 v 3

P 3 P 4 = 2 g + ( k 3 4 _ 1 ) 2 g

78

Sendo

P 3 - P 4

p 3 o A 3 deg V 3 = P 7

a A 7 o V 7

P 4A 4 0V 4 = P r A r V

3 7 A 3 p 3

A7 P7 V = v mdash mdash 4 7 P 4

P - P 3 r4

Se

P bdquo - P

bdquo2 r-P 7 V 7

3 4 2g deg74 + ( k 3 4 1 ) deg73

34 p deg74 + ( k 3 4 1 ) 73

p r v2

P3- P4 ^ N34 ^ gt

(No caso e negativo)

34 - Contraccedilatildeo nas secccedilotildees (5) - (6)

Ainda temos uma so fase e fazendo o balanccedilo das pressotildees

como fizemos no item 3lt1 vem

P + vil p + vi + k vi P 5 + 2gbdquo P6 + 2gbdquo + k56 2gbdquo

k 5 6 lt 1 ^ gt 2 ( 1 - Iacute 2 i 2 6

V V6 P5degIacute 5^6 ^SS 2g c - 2g c

P - P ^ = (1+kJ

Como

79

A 6

W p 5 =

VV P6 V 5 = V 6 Jiexcl = Vff65

P 5-P 6 - lt H k 5 6 ) mdash ^ mdash (l+k 5 6-a 6 5) c c c

Sendo

Se

A 7 p 7 p 7

6 7 Ag p 6 7 76 p 6

p _p _ P6- V7- g76 iquest72 ( _ 02 P 5 P 6 2g c bull ( p 6

( 1 + k 5 6 deg65 )

p 7 2 2 N56 = p ^ deg76 ( 1 + k 5 6 ~ a 6 5 )

P 7 V 2

7

P r-P = N r 5 6 56 2g c i

35 - Perdas de pressatildeo nas zonas (6) - (7) - Pre^aquecimento

Nesta regiatildeo temos perdas por atrito e hidrostaacuteticas

Nao haacute perda por aceleraccedilatildeo pois ainda natildeo houve formaccedilatildeo de boshy

lhas

Fazendo balanccedilo das pressotildees temos

L_ ppound-V p = p + otilde L - pound _ + f -Si (-21mdashL 6 7 + p67 L67 g + t 6 7 D K 2g

p _ e ifn sao tomados como valores meacutedios 67 67

P _p _ f hl ^67jIacute uuml + - L A

6 F 7 r67 D 2g P P67 L67 g 6 s c 7 c

S e Kr pound67 L67 p67 6 7 D 6 p7

p7 V - _g_ P6- P7 - N67 mdash + P67 L67 f

c c

80

36 - Perda de pressatildeo nas zonas (7) - (8) - Zona de ebuliccedilatildeo

Nesta regiatildeo j aacute temos o aparecimento de bolhas logo a

perda de pressatildeo seraacute devida agraves t recircs parcelas aceleraccedilatildeo a t r i t o

das duas fases liacutequidas + vapor e h idros taacute t ica

onde

Assim

P-P Q = AP + AP + APbdquo 7 8 a t r i t o acel H

T M1

78 p 7 7 AP - R f- - mdash mdashr |R = fator mult ipl ica-

a t r i t o 7 D 7 2 g c L tivo

G 2

AP bull r mdash acel g c

P V

|_1 - o a p J 8 P f

2 t r 2 M2

7 7 r 7 7 A P a c e l = -J^mdash 2 r bull p 7 lt T iexcl iexcl - )

A PH p 7 8 L 7 8 fiexcl

p 7 8 iacute 7 li 1 0 0 P l i q + a P v ] d L = P 7 ( 1 - laquo 7 8 )

ag raquo fraccedilatildeo de vazio media entre 7 e 8

APH = p (1 - 5 7 g ) f- L 7 8

2 2

P 7 - P 8 a 5 - 2 T i + 2 r p 7 + P 7 ( 1 - 7 8 gt f L 7 8 7 amp c amp c amp c

81

N 7g = R mdash + 2 r p 7

P7 V7 P7- P8 = N78 + P 7 ( 1 5 7 8 gt J78

37 - Expansatildeo nas secccedilotildees 8 e 9

No caso haacute uma expansatildeo com duas fases e como vimos no

item 12 a variaccedilatildeo de pressatildeo era dada por

0f Vo P2 P1 = ~2g c ( 2 deg12

x 2 (mdash)(mdash - mdash ) + ( l - x ) 2 ^ T mdash 8 1 2 1

12

Aplicando ao nosso caso

P pound = P 7

P -P = 8 9

V - V raquo V g f 7

P 7 V 2

2 pf 1 a89 2 1 g89 x (mdash) ( ) + (1-x) (- - N

o ou abdquo 1-cu l-ot_) g 8 9 8 9

Se

N 89

= 2 a 89

2 pf 1 deg89 2 1 CT89 x (mdash) ( ) + (1-x) ( T

g 8 9 8 9

P -P = 8 9

- N P7deg V7

89 2gbdquo

38 - Perda de pressatildeo no trecho 9 e 10

No referido trecho temos apenas perda de pressatildeo por atr L

to da fase liacutequido + vapor e perda hidrostaacutetica Natildeo haacute perda por

aceleraccedilatildeo do vapor pois este natildeo recebe mais calor e portanto

o 82 o

nao ha variaccedilatildeo no a

p

Q -p i n = A P

U + A P bull 9 10 H atrito

n T -S_ P9 U10 deg 910 bull g

fio r

910 I 910

J9 L

(l- a)P + Q P I dL liq v

(l-a0) p

No caso a = (nao hatilde variaccedilatildeo de forma)

A P H - (1-a ) P (p L 0

c

AP bdquo = R o

atrito

2 f9 o L910 P9 V9

2g

Supondo

= V

P 9 = P 8 P 7

vbdquo = v 9 8 0 A r

= V 7 bull deg89

AP - R atrito

2 2

W l O p7deg V7deg g89

V P10 R -^T^ bull deg89 bull li-2 + ( W P 7 (fgt SIO

y c c

Se

- f9 L910 2 N9ol0 R Dl deg89

w 2

p rv P9 P10 = VlO + ( 1 a 9 ) p7 (f gt L910 c

33

39 - Perda ciacutee pressatildeo na expansatildeo 9 - 1 0

Analogamente a expansatildeo 8 - 9 temos

10 11 P 7 2g

10 Iacute 2 0 1 0 - 1 1 gt

2 ff

pg aio

10-11

laquo11 ) +

Ll-a 1 0 bull l-a u J

Se

V10 = V 9 = V 8 bull T9 = V 7 deg89

P -P 10 rll = - a 2g 089 ^lO-ll

4 bull T~ bull (7 1 mdash ) + Pg degio a n

+ (l-x)2(- 1 10-11

1 - aio )

N10-ll = 2 a10-ll a89 2 pf t 1 10-11 N2

-(j-r- - ) bull+ (1-x) pg aio deg 1

10-11 k l - a io

prz P10 Pll = - N10-ll bull ( 2gbdquo

310 - Calculo de V

Fazendo a somatoacuteria de todas as expressotildees (P^-Pj) tere-

84

mos 2 PbdquoV_

P bdquo - P bdquo = N 7 v 7

1 2 12 2g

bull 2 - P 3 - = N 2 3 P 2 L 2 3 f c ccedil

9 P 7 V 7 P _p = N mdash -

3 4 34 deg 2g

V P 5 = deg

2 P V

5 6 56 2 g c

ltr2

P 7 -V 6 e7 -N67 2g + p 6 7 J j67 g

c bc v 2

P 7 - P 8 = N 7 8 - 2 i ~ + p 7 ( 1 - laquo 7 8 ) L 7 8 c

P 7 V 7

P - P - -N mdash - -8 9 89 2g

c P 7 V 7

P 9 ~ P 1 0 VlO 2g + ( 1 a 9 P 7 L 9 c

P 7 V 7

bull10 11 U10-ll 2g

P v iacute j P - P

1 11

7 - v 7 3 bull r

2 8 i U L 2 23 67

(l-5 7 8) L 7 8 + ( l - laquo 9 ) P 7 bull SlOtilde]- ^

Por ou t ro lado sabemos que como secccedilotildees 1

mesmo n iacute v e l

85

s c p r v 7 j

28 Z N i ij

= P 2 L23 p67 L67 P 7 ( 1~deg78 )

78 ~ ^g) bull P 7 bull L 910 g_

V - 2 g ( p r L 2 3 - p 6 r L 6 7 - p 7 ( l - atilde 7 8 ) L 7 8 - (l-a9) p L 9 a ( )

y N

Com esse valor de podemos determinar todas as variashy

ccedilotildees de pressatildeo (P^-P )

BIBLIOGRAFIA

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tituto de Energia Atocircmica de Sao Paulo em 1966 (roteiro)

- WR Gambill - Nuclear Safety

Vol 9 - n9 5 e 6

Vol 6 - n 2 (pag 152)

Vol 4 -r n9 1 (pag 30)

Volbdquo 5 - n 2 (pag 151)

- WRo Gambill - Chemical Eng Prog ndeg 54 (Outubro)

~ El Wakil - Nuclear Power

- Jakob Max - Heat Transfer (vol I)

Mc Adams - Heat Transmission

- Paul A Lottes - Argonne National Laboratory

- AKL - 6469

- ANL - 6561

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Frank Kreith - Principles of Heat Transfer

Journeacutees Internationales de la transmission de la chaleur

Seminaacuterios realizados em Paris em 1961 sob a supervisatildeo do

Prof Marcel Veron

Notas de aula da Cadeira de Termodinacircmica I e Transmissatildeo da

Escola Politeacutecnica da Universidade de Sao Paulo

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22

No caso de vaacuterios tubos empilhados a formula (5) deve

ser modificada pois como dissemos ela soacute vale quando no topo do

tubo a espessura do liacutequido eacute nula o que nao acontece neste caso

(Vide figura a)

Vapor

Tubo

mdash Liacutequido

Fig a

Neste caso a forma que nos da o valor meacutedio para h e

g p 2 h D 3 14

NNuD deg gt 7 2 5 lt N u k V At gt

sendo N o numero de tubos empilhados

Note-se que neste caso o coeficiente h cai bastante Uma

boa soluccedilatildeo para o caso quando dispoacuteftos de lugar eacute dispor os tushy

bos defasados (Conforme figura b)

Liquido

Fig b

Neste arranjo podemos aplicar a equaccedilatildeo (5) pois no tp_

po de cada tubo a espessura da camada de condensado eacute nula

23

B - CONVECCcedilAtildeO COM MUDANCcedilA DE FASE - EVAPORACcedilAtildeO (II)

1 INTRODUCcedilAtildeO

Evaporaccedilatildeo consiste na obtenccedilatildeo de vapor por meio de aque

cimento de um liacutequido

Apesar da importacircncia do processo e do sucesso obtido na

praacutetica em projetos de evaporadores o fenocircmeno da evaporaccedilatildeo eacute

um dos pontos menos conhecidos da transmissatildeo de calor

0 primeiro estudo seacuterio sobre o assunto foi feito em 1934

pelo japonecircs Nukiyama poreacutem somente nos uacuteltimos 10 anos tais es-

tudos se intensificaram

Os primeiros pesquisadores quando estudavam o fenocircmeno

do resfriamento de um solido num liacutequido obtiveram as seguintes

curvas

onde

temperatura

velocidade de resfriamento

3 0 v = amdashbull

A 06

Q - fluxo teacutermico

8 - tempo

A - aacuterea do soacutelido

24

tempo

Ateacute os estudos de Nukiyama nao se conseguia explicar o

porque da variaccedilatildeo crescente da velocidade de resfriamento quando

t gt t sol sat

2 PROCESSO DE FORMACcedilAtildeO DAS BOLHAS

Como a evaporaccedilatildeo do liacutequido se faz sobre uma superfiacutecie

aquecedora sobre esta irao se formar bolhas de vapor que influem

decisivamente no fenocircmeno

Aqui soacute iremos estudar as bolhas sob o ponto de vista qua

litativo bem como a sua influencia mas nao sob o ponto de vista

quantitativo

Recentemente Fritz e Jacob WR Gambill e outros estudiacutei

ram o processo da formaccedilatildeo das bolhas sobre a superfiacutecie aquecedpound

ra Atraveacutes de fotografias verificaram que a bolha de vapor ain

da em contato com a parede variava profundamente de forma confo_r

me o angulo de contato entre liacutequido e parede metaacutelica

Assim eacute que se a superfiacutecie de aquecimento nao e excesshy

sivamente polida e a tensatildeo superficial do liacutequido eacute pequena a

bolha tem a forma da figura las diz-se nesse caso que o liquishy

do molha a parede neste caso o angulo de contato e agudobull Se

as condiccedilotildees contrarias se verificarem o acircngulo de contato sera

obtuso e as bolhas tomam a forma da figura ldegb Naturalmente ve

rificara-se as condiccedilotildees intermediaacuterias para o angulo de contato da

25

fig lc

Fig la Fig lb Fig lo

0 estudo analiacutetico da formaccedilatildeo e crescimento das bolhas

pode ser encontrado em diversos livros por exemplo no El-Wakill

(Nuclear Power) no Jakob (Heat Transfer)e outros Neles faz-se

o estudo das condiccedilotildees do liquido (pressatildeo temperatura tensotildees

etc) para haver ou nao formaccedilatildeo de bolha Isto eacute feito fazendo-se

o estudo das bolhas nas seguintes posiccedilotildees

a) bolha no seio do liacutequido

para meia bolha

4 ltP g - P fgt fg

onde

P g P f

- 4 D (D

g

Pf

D

pressatildeo do vapor

pressatildeo do liquido

tensatildeo entre superfiacutecie do liacutequido e vapor

diacircmetro da bolha

^f g

P f Fig 2

26

A equaccedilatildeo (1) mostra que a pressatildeo do vapor deve ser maior

que a do liquido nas condiccedilotildees de saturaccedilatildeo e este por sua vez

deve estar no estado de superaquecimento o

b) bolhas sobre superfiacutecie solida

Fig 3

Condiccedilotildees para desprender

a mdash o_ + o_ cos a gs fs fg

tensatildeo na interfase liacutequida e vapor (depende das

propriedades do liacutequido e vapor)

tensatildeo entre o liacutequido e superfiacutecie de aquecimen

to (depende das propriedades do liquido e da sushy

perfiacutecie)

tensatildeo entre o vapor e a superfiacutecie de aquecimeri

to (depende das propriedades do vapor e da super

fiacutecie)

21 - Formas do fluxo do vapor desde a superfiacutecie de aquecishy

mento ateacute a superfiacutecie livre do liacutequido

Considerando liacutequido vaporizado em tubos verticais pode^

mos ter 4 tipos de fluxo de vapor

1 - fluxo de bolhas

2 - fluxo de agregados (plug ou slug)

3 - fluxo anular

4 - fluxo disperso

Os quatro tipos ficam bem determinados respectivamente

onde

a fg

degfs

a gs

27

pelas 4 figuras abaixo

LIacutequido - Liacutequido Liacutequido

o

^Bocirclha de

vapor

Vapor

mdash [

- Vapor

mdash 0 0

deg_ a-

jrj-

iquestiexcl5

Bolhas Agregados Anular

Liacutequido

vapor

Disperso ou

Homogecircneo

Conforme o tipo de ebuliccedilatildeo podemos ter uma so das forshy

mas acima ou uma mistura

3 INCERTEZAS NO ESTUDO DA EVAPORACcedilAtildeO

Ha trecircs incertezas principais para determinar o fluxo de

calor na evaporaccedilatildeo a saber

- Aacuterea de contato indefinida

- Diferenccedila de temperatura indefinida

- Grau de turbulecircncia

Como realmente nos nao sabemos uma dependecircncia algeacutebri

ca entre o acircngulo de contato e a superfiacutecie ocupada pelo liacutequishy

do (ou vapor) temos uma incerteza na determinaccedilatildeo da aacuterea de tro

ca de calor (A)

Outra incerteza eacute a dificuldade da obtenccedilatildeo de diferenccedila

de temperatura entre o liacutequido e a parede que normalmente assume-

-se como sendo a diferenccedila entre a temperatura da parede e da ebu

liccedilatildeo do liacutequido (temperatura de saturaccedilatildeo = t )

S cl c

Na realidade a diferenccedila de temperaturas nao eacute aquela

pois a camada de liacutequido que cobre a superfiacutecie aquecedora esta

a uma pressatildeo maior que o resto do liacutequido (pressatildeo atmosfeacuterica

mais a hidrostaacutetica) e consequentemente a temperatura de vaporiza_

ccedilao desse liacutequido e maior que a da superfiacutecie Esta diferenccedila po-

28

deria ser calculada desde que se conhecesse a relaccedilatildeo entre presshy

satildeo e temperatura de saturaccedilatildeo do liacutequido entretanto haacute incerte

za quanto ao verdadeiro peso especiacutefico da coluna de liacutequidopois

trata-se de uma mistura de bolhas de vapor e de liacutequido em proshy

porccedilatildeo variaacutevelraquo

4 REGIMES DE EBULICcedilAtildeO

Nukiyama estudando a ebuliccedilatildeo da aacutegua num recipiente a

quecendo-a com resistencias eleacutetricas construiu a curva baacutesica da

ebuliccedilatildeo Todos os liacutequidos apresentam uma curva semelhante vashy

riando apenas os valoresraquo Os pontos caracteriacutesticos da curva deshy

pendem de caracteriacutesticas difiacuteceis de definirtais como natureza

do metal estado da superficie (rugosidade) dimensotildees orientashy

ccedilatildeo do fluxo quantidade de gases dissolvidos e t c

Estudaremos o fenocircmeno para o caso de aacutegua destiladasem

gas dissolvido a temperatura de saturaccedilatildeo 100 C pressatildeo atmosfe_

re uma superficie plana

Chega-se assim acirc curva

rica sobre uma superficie plana horizontal a temperatura t^

In ltJgt

At (degC)

A curva acima representa o aquecimento de agua com uma re_

sistecircncia eleacutetrica (ate ebuliccedilatildeo)raquo Temos em abcissas as diferenccedilas

de temperatura entre o liacutequido e a resistecircncia em ordenadas o flu

29

Regiatildeo I

Regiatildeo II

Regiatildeo III

Regiatildeo IV

xo de calor por unidade de area

Na curva notam-se 4 regiotildees bem definidas tendo cada uma

o seu significado fiacutesico os quais correspondem a um tipo de ebuli

ccedilao

convecccedilao natural

ebuliccedilatildeo nucleada

ebuliccedilatildeo por peliacutecula parcial

ebuliccedilatildeo por peliacutecula estaacutevel

41 - Convecccedilao natural

Ocorre quando At eacute inferior a 8degCformam-se no liacutequido

correntes convectivas as quais transferem o calor ateacute a superfiacuteshy

cie livre do liacutequido e aiacute desprendendo o vapor Neste caso o valor

de h eacute da ordem de 2000 kcalm^hdegC

42 - Ebuliccedilatildeo nucleada

Ocorre quando o At eacute maior que 8degC e menor que 25degC Nesshy

te caso as bolhas formam-se junto a superfiacutecie de aquecimento

crescem liberam-se movimentam-se em direccedilatildeo agrave superfiacutecie livre do

liacutequido onde estouram libertando o vapor As bolhas formam-se nas

irregularidades da parede tecircm um acircngulo de contato agudo e porshy

tanto hatilde liacutequido sempre em contado com a parede (molha a parede)

cada ponto ativo (lugar onde se formam as bolhas) libera uma porshy

ccedilatildeo de bolhas e os outros pontos do liacutequido ficam em contato com a

superfiacutecie quente violentamente agitados Esta agitaccedilatildeo extrema eacute

mais eficaz que uma turbulecircncia criada artificialmente Por esse mo

tivo a curva cresce violentamente nesse trecho (m = 3 a 7) pois

bull 2 o o valor de h cresce consideravelmente (ate 46000 kcalm hr C) e

o fluxo teacutermico transmitido ao liacutequido cresce proporcionalmente a

Quando cresce crescem tambeacutem

(At) 3

30

numero de bolhas por unidade de aacuterea (num instanshy

te)

~ = crescimento da bolha (com o tempo)

frequecircncia de iacuteormaccedilao de bolhas

A medida que o At vai aumentando iraacute aumentando (jgt tam-- n o N

bem e consequentemente mdash R mdash a a a tal ponto que quando atiacuteii

girmos o ponto da curva nao haveraacute mais formaccedilatildeo de bolhas

mas sim uma peliacutecula de vapor instaacutevel passando assim a 3a re

giao que estudaremos a seguir

43 - Ebuliccedilatildeo por peliacutecula parcial

Como dissemos no item anterior se aumentarmos ainda mais

o At (entre 25degC e 125degC) teremos a formaccedilatildeo de uma peliacutecula de

vapor instaacutevel sobre a superfiacutecie quente que aacutes vezes eacute perfurashy

da pelo liacutequido A camada de vapor tanto mais estaacutevel seraacute quanshy

to maior focircr o At Essa peliacutecula de vapor iraacute provocar um decreacutes_

cimo consideraacutevel no fluxo teacutermico porque como sabemos o vapor

eacute muito pior condutor que a aacuteguaraquo

0 fluxo vai decrescendo ateacute um ponto miacutenimo (iexclgt mintilde (as vecirc

iacutebo bullraquo 1

zes chega a ser mdashj-) e e o chamado ponto de Liedenfrost 0 coeshy

ficiente de peliacutecula neste caso cai violentamente (h = 2000

kcalm^hrdegC)

44 - Ebuliccedilatildeo por peliacutecula estaacutevel

Aumentando ainda mais a diferenccedila de temperaturas

At ( gt 125degC) iremos conseguir uma camada de vapor estaacutevel Ela

transmite calor da superfiacutecie quente ao liacutequido que se vaporiza de

modo que o excesso de vapor formado na interface liquido-vapor for

ma bolhas que sobem para a superfiacutecie 0 liacutequido encontra-se agi-

31

tado poreacutem nao toma contato com a superfiacutecie soacutelida

A peliacutecula de vapor eacute estaacutevel e o fluxo eacute proporcional a

34

(At) (lei de Bromley) Para At grandes passa a influir sensivel^

mente a radiaccedilatildeo teacutermica mais uma razatildeo para demonstrar que nesshy

ta regiatildeo o fluxo cresce novamente

5 CONSIDERACcedilOtildeES E COMPARACcedilAtildeO ENTRE OS TIPOS DE EVAPORACcedilAtildeO

BURNOUT

Sob o ponto de vista de eficiecircncia teacutermica deveriacuteamos sem

pre trabalhar no ponto de fluxo maacuteximo isto eacute no ponto correspon

dente a lt(gt da curva de Nukiyama pois eacute o que daacute maior coeficieri

te de peliacutecula

Acontece poreacutem que se impomos a temperatura da parede

fixa obtemos um uacutenico valor de lt(gt e portanto o fenocircmeno eacute estaacutevel

Poreacutem se como ocorre nos reatores impomos um fluxo teacuter

mico a curva de Nukiyama apresenta 3 pontos de funcionamento posshy

siacuteveis A B C

1

SOacute os pontos A e C sao funccedilotildees estaacuteveis mas eles impotildeem

acirc superfiacutecie quente temperaturas bem diferentes

Na industria em geral trabalha-se por questotildees de segushy

ranccedila na regiatildeo IV da curva poreacutem para os reatores trabalha-se na

32

r e g i atilde o I I

0 p r o b l e m a de t r a b a l h a r n a r e g i atilde o II eacute q u e se n oacute s e s t i shy

v e r m o s t r a b a l h a n d o n o p o n t o e x t r e m o (j) e se p o r q u a l q u e r m o t i v o

h o u v e r u m p e q u e n o a c r eacute s c i m o d e ltfgt i r e m o s t r a b a l h a r i m e d i a t a m e n t e no

p o n t o M q u e t e m o m e s m o $-^0t p o r eacute m c o m A t 2 m u i t a s v e z e s m a i o r

p o d e n d o o c a s i o n a r a f u s atilde o d a s u p e r f iacute c i e a q u e c e d o r a E s t e f e n ocirc m e n o

eacute c h a m a d o d e b u r n o u t

0 f l u x o lttgt eacute c h a m a d o f l u x o c r iacute t i c o o u f l u x o d e b u r -b o

n o u t N o c a s o do r e a t o r d e v e m s e r t o m a d a s m e d i d a s r i g o r o s a s q u a n

to agrave r e g u l a g e m do f l u x o t eacute r m i c o p a r a q u e n atilde o o c o r r a o b u r n o u t 1 1

p o i s d e l e p o d e r e s u l t a r r u p t u r a d a c a m i s a do c o m b u s t iacute v e l e h a v e shy

r aacute p o r t a n t o c o n t a t o do r e f r i g e r a n t e c o m o s s oacute l i d o s e g a s e s r a shy

d i o a t i v o s

5 o l - R e l a ccedil atilde o d e B u r n o u t

E c l a r o q u e p a r a t e r m o s u m r e a t o r m a i s e f i c i e n t e d e v e shy

m o s t r a b a l h a r c o m u m f l u x o o m a i s p r oacute x i m o p o s s iacute v e l do f l u x o d e

B u r n o u t P a r a t a n t o d e v e m o s c o n h e c e r c o m o m a i o r g r a u d e certe

za p o s s iacute v e l q u a l o ^ p a r a p o d e r m o s r e d u z i r o c o e f i c i e n t e d e s e shy

g u r a n ccedil a ( W R G a m b i l l r e c o m e n d a agrave 1 5 )

N o s s e m i n aacute r i o s d e W R G a m b i l l e n c o n t r a m o s u m a s eacute r i e de

b i b l i o g r a f i a s o n d e p o d e m o s e n c o n t r a r i n uacute m e r a s f oacute r m u l a s p r o p o s t a s

p a r a a o b t e n ccedil atilde o de (q 1^)

A t i t u l o d e e x e m p l o v e j a m o s a l g u m a s

q - 2 7 0 G deg gt 8 5 D 0 2 A085 p lt 150

deg D ( L uuml ) 2

q - 140 G 0 5 D ~ deg 2 (-~-)~deg 1 5 p ~ r gt 150 c D (LD)

o n d e a m b a s as e q u a ccedil otilde e s s oacute v a l e m p a r a aacute g u a e m b a i x a p r e s s atilde o e m coii

v e c ccedil a o f o r ccedil a d a

33

D

L

fluxo teacutermico critico BTUhrft bdquo 2

descarga em massa do liquido (Ibmhrft )

diacircmetro do tubo ft

comp do tubo ft

Para cada caso temos uma expressatildeo diferente que pode ser

encontrada em literatura especializada

6 INFLUEcircNCIA DE OUTROS PARAcircMETROS NO FLUXO DE BURNOUT

Como para os usos atuais do reator a diferenccedila de temppound

ratura entre parede e fluido sao pequenas bem como o fluxo de bur

nout recentemente fiacutesicos como Jakob Bonilla WR Gambill estu

daram outros paracircmetros que influenciam bastante o sect^ 0gt isto eacute a

influecircncia desses paracircmetros faz com que o ^ seja maior Isto eacute

util pois quanto maior o fluxo de burnout maior poderaacute ser o

fluxo de calor real de funcionamento

Tais meios sao

- Sub-resfriamenCcedilo do liacutequido

61 - Influecircncia da velocidade do liacutequido

Estudos feitos pelos autores acima chegaram agraves curvas

- Aumento da velocidade imposta ao liacutequido

- Pressatildeo do liacutequido elevada

alto V

At

34

Para velocidades maiores o fluxo de burnout aumenta

porque neste caso o regime eacute turbulento e o coeficiente de peliacute

cuia h aumentao

6bdquo2 - Influencia do aumento da pressatildeo

Este estudo deve-se a Bonilla que obteve experimentalmen

te as curvas

Este estudo foi feito para vaacuterios liacutequidos e chegou a con

clusao que sempre havia uma pressatildeo oacutetima isto e uma pressatildeo que

leva ao maior iacute 1 ^ raquo mantidas as demais condiccedilotildees Experimentalmenshy

te notou que essa pressatildeo correspondia a 13 da pressatildeo critica

do liquido em questatildeo

6=3 - Influecircncia do sub-resfriamento

Consiste em manter atilde custa de uma circulaccedilatildeo intensa o

liacutequido a uma temperatura inferior atilde de saturaccedilatildeo para a pressatildeo

correspondenteraquo Experimentalmente chega-se agraves curvas

mdash A t grande sub

bullAt -0 sub sub

medio

At

35

Verificando os graacuteficos vemos que o lt)gt aumenta agrave medida bo

que aumenta a diferenccedila de temperatura de sub-resf riamento isto pojr

que o liquido como estaacute mais frio faz com que algumas das bolhas

recondensem permitindo que o liquido fique em contato com a parede

quente o que faz aumentar o h

^ f csub = t e m P e r a t u r a ddeg liacutequido - temperatura de saturaccedilatildeo

A diferenccedila de temperatura At entre fluido e parede tamshy

beacutem aumenta poit na regiatildeo proacutexima agrave parede haacute necessidade de

levar o liacutequido da temperatura do sub-resfriamento ateacute a temperatu

ra de saturaccedilatildeo quando se evapora

Atualmente os maiores estudos dos fiacutesicos nucleares locashy

lizam-se neste campo pois eacute o que oferece maiores vantagens

7 FORMULAS PARA 0 CAacuteLCULO DO COEFICIENTE DE PELIacuteCULA NA EBULICcedilAtildeO

Como ocorre no caacutelculo de todas as foacutermulas de convecccedilatildeo

temos formulas empiacutericas para determinar o h conforme o tipo de

ebuliccedilatildeo que nos consideramos

71 - Ebuliccedilatildeo Nucleada

Para o caso de aacutegua temos as relaccedilotildees

superfiacutecies

horizontais

superfiacutecies

verticais

f aacute 5000 BTUhrft 2 -gtbull h = 151 ( A t ) 1 3

A o

5000 lt 75000 -h = 0618 (At)3

^ pound 1000 -raquobull h = 8 7 ( A t ) 1 7

A o -

1000 lt $ lt 20000 -gt h = 027 (At) A o

Quando a pressatildeo e diferente da atmosfeacuterica faz-se a correccedilatildeo

3 6

72 - Ebuliccedilatildeo por peliacutecula

Bromley propocircs uma boa equaccedilatildeo para a ebuliccedilatildeo por peliacuteshy

cula estaacutevel em cilindros horizontais

Nu

_ JtjD n r 9 P v bull ( P L - P v gt - g -h

e V bull D i2

D 1 ^ U b Z u At gt

onde

V = indica vapor

L = indica liacutequido

Multiplicando ambos os membros da equaccedilatildeo acima por

kvD obteremos a expressatildeo do coeficiente de convecccedilagraveo meacutedio para

o caso

37

C - FORMULAS PARA CAacuteLCULOS ESPECIacuteFICOS - RESULTADOS ESPECIacuteFICOS

1 FLUXO DE CALOR CRIacuteTICO - BURNOUT

lol - Introduccedilatildeo

O aspecto mais importante no que se refere agrave seguranccedila

dos reatores da transferencia de calor na ebuliccedilatildeo eacute a determina

ccedilatildeo do Fluxo de calor critico ou de pico ou burnout

Como jatilde vimos quando temos a ebuliccedilatildeo nucleada a dishy

ferenccedila de temperatura entre refrigerante e superfiacutecie de aqueci

mento e pequena poreacutem quando atingimos o fluxo de calor criacutetico

essa diferenccedila de temperatura pode tornar-se imediatamente muishy

to grande podendo causar a ruptura da superfiacutecie de aquecimento

se atiigirmos o ponto de fusatildeo do soacutelidoraquo

Usando a convecccedilao

onde

At sat

w

sat At

sub

w = temperatura da parede de aquecimento

t t = temperatura de saturaccedilatildeo do liacutequido

t^ = temperatura de mistura do liacutequido

At = (t -t ) sub-resfriamento do liacutequido sub N sat b 1

nout

Ha dois tipos de burnout fast burnout e slow bur-

Ocorre o fast burnout (burnout raacutepido) quando A t g u b gt 0

38

ou para baixo x (~ lt 10) sendo x o titulo do vapor

Temos o slow burnout para x - gt 10 Assim noacutes tereshy

mos dois limites para o burnout

At bull o (ltJgt ) t =((() para t = t ) -

bo m m possiacutevel w sat

sub i

4L + 1

G c D h pl nb

(ltK ) = (ltpound para x = 1) = Dv-bo max possiacutevel e 4L

c At l + P 1 sub i

onde

L = comprimento do canal

D = diacircmetro do tubo

G = descarga de liacutequido (por unidade de aacuterea)

c ^ = calor especiacutefico do liacutequido

Agrave = calor latente de vaporizaccedilatildeo

h ^ = coeficiente de transferecircncia de calor na regiatildeo de

nao ebuliccedilatildeo

iacutendices

i = entrada

e = saiacuteda

Haacute inuacutemeras expressotildees para determinaccedilatildeo do burnout pro

postas por muitos fisicos cada uma aplicando-se a um caso especiacuteshy

fico vejamos algumas delas

12 - Equaccedilotildees para prediccedilatildeo de Burnout

121 - Equaccedilatildeo de Bragg e Smith (Zuber)

Num artigo publicado por Bragg e Smith encontramos uma f oacute_r

mula que e derivada da formula de Kutateladze e nos daacute o fluxo cri

39

tico quando nao temos sufaresfriamento

bo poolsat v V raquoc a ( p l P V )

2 PV

14

onde

ltiexclgt = fluxo de calor critico bo

k = constante

Ly = calor latente de vaporizaccedilatildeo do refrigerante

= densidade do liquido

pvr = densidade do vapor V a = tensao superficial

g = fator de conversatildeo c

a = aceleraccedilatildeo da superficie de aquecimento

Os autores encontraram para k um valor de 062 entreten

to outros autores como Zuber incluindo outras variaacuteveis que In

fluiam no fenocircmeno encontraram k variando entre 008 e 023Esshy

tudos bem elaborados mostram que o valor mais aproximado eacute

k = 015 (- 003)

1-22 - Equaccedilatildeo de Noyes

Noyes estudou o burnout para o soacutedio agua e alguns liacute

quidos orgacircnicos

( W s a t ~ bdquo 0245 bull ( r ( 1 )

iiacute_ V 1 Pr

onde

N n = Nuacutemero de Prandtl da fase liacutequida x r

Mais tarde o proacuteprio Noyes alterou a equaccedilatildeo para

n ^ - n H Iacute I Pl PV gt0538 deg g c a q 4 ( W s a t deg 1 1 6 PV ( - p 7 ~ ) (77T1^ ) ( 2 )

40

A ultima correlaccedilatildeo proposta por Noyes foi

a n prPV0560 112

1

(a bull a) 13

(ag c) 112

(3)

onde

a = difusividade teacutermica do liacutequidoraquo A equaccedilatildeo (3) eacute bashy

seada em todos os dados de burnouts do soacutedio bem

como da atildegua benzeno difenil e outros De 111 pontos usados 90

+ estatildeo relacionados dentro de - 30bdquo

ldeg2o3 - Burnout com convecccedilao forccedilada e sub-resfriamen

to

Aproveitando os resultados de aproximadamente 240 testes

de burnouts com aacutegua sub-resfriada em fluxo de convecccedilao forccedilashy

da feitos na Ruacutessia Labuntsov elaborou uma boa equaccedilatildeo empiacuterica

para o problemabdquo

Esta relaccedilatildeo aplica-se para velocidades entre 2 3 e 148

ftsec pressotildees entre 1 e 201 atmabs sub-resfriamento entre 0 deg

e 432 degF e fluxos de burnout entre 0 4 x IO 6 x 166 x 1 0 6 BTUhr

2 bdquo

bullbo

onde

e a seguinte

6 ( P ) 1 + 0 2 3 2 V 2

14

e ( P ) 1 +

15 c At _p_ sub

12 (a)

9 ( P ) - P 1 3 o ( 1 - P J 4 3

red

= pressatildeo (atm abs)

pressatildeo reduzida = mdash mdash red r P

t_ c = pressatildeo critica

= velocidade do liacutequido (ftsec)

= calor especiacutefico do liacutequido (BTUlbdegF)

4 1

^ tsub = ^ ^ e r e n Ccedil a ^ e temperatura entre a temperatura de

mistura do liacutequido e a de saturaccedilatildeo (degF)

X = calor latente de vaporizaccedilatildeo (BTUlb) 2

ltiacutegtbo = fluxo de burnout (BTUhrfl )

Uma outra correlaccedilatildeo para o caso foi proposta por

Ornatsky e Xiohigin que fizeram experiecircncias para pressotildees entre

10 e 1 5 0 3xm 90 degF lt At ^ lt 4 5 0 deg F 3 7 1 0 6 ( l b h r o f t 2 ) lt G lt

2 2 2 10 b ( l b h r bdquo f t 2 )

lt ^ = 3 2 5 0 (G o A t bdquo J deg 6 ( - i - ^ ) 2 5 ( b ) bo sub

onde

G - descarga de refrigerante por unidade de aacuterea

P ^ v P v - densidades do liacutequido e do vapor

P1~ PV -0 termo (mdash ) e incluido na expressatildeo (b) para indicar

a influecircncia da ^ pressatildeo sobre o

Uma comparaccedilatildeo entre as equaccedilotildees (a) e (b) foi feita para

o Reator de Isoacutetopos de Alto Fluxo (HFIR) nas condiccedilotildees aacutegua a

600 psia velocidade = 45 ftsec e sub-resfriamento = At^^ 1

degF obtendo-se uma diferenccedila de 6 5 entre ambos (4gt = 6 0 5 1 0 b

2 ~ 6 2 BTUhr ft pela equaccedilatildeo (a) e 6 4 5 10 3TUhrraquoft pela equaccedilatildeo

(b)

Ilatilde ainda a equaccedilatildeo de Ivey e Morris aplicaacutevel somente pa_

ra ebuliccedilatildeo com grande quantidade de liacutequido

( c sub t

Cpf bull A tsub

( bull ) s ~ V P bdquo 10 h V sat V g

onde

(ltL ) = fluxo critico com sub-resfriamento c sub

(ograve ) ^ - fluxo critico sem sub-resfriamento c sat

42

c ^ = calor especiacutefico do liacutequido

= calor latente de vaporizaccedilatildeo

124 - Burnout com convecccedilao forccedilada e ebuliccedilatildeo por bocirc-

Ihas

Gambill fez uma extensatildeo da equaccedilatildeo de Levy e aplicou o

metqdo da superposiccedilatildeo Tal extensatildeo consiste natilde subtraccedilatildeo de uma

razatildeo equivalente de massa transferida dos termos que represenshy

tam a ebuliccedilatildeo e convecccedilao para levar em conta a presenccedila do vashy

por no fluxo

A correlaccedilatildeo pode ser escrita assim

24 V P V

o g c a (p^Py) 14

+ 0696 (k p c ) 12

(

pr p v )i4 o g c a (P-L-Py) 18

bull At + h sub nb

044 p v L v G (g1) bull N2 n

p l P V

( pr p v ) d e 2-7

2 4 TT 0

14 ( f e _ ^ r l 3

lO^u

onde

k = condutividade teacutermica

c = calor especiacutefico

A t s u b ~ s ub-resfriamento do liacutequido

h = coeficiente de transferecircncia de calor de nao ebu nb mdash

liccedilatildeo

G = descarga total do refrigerante

43

d g = diacircmetro equivalente do tubo ou canalraquo

]i = viscosidade

B = constante adimensional

Os iacutendices V e 1 representam vapor e liacutequido respectiva

mente

0 primeiro termo entre chaves da equaccedilatildeo representa o flu

xo de calor no burnout de sub-resfriamento em convecccedilao forccedilada 0

segundo termo entre chaves corresponde ao fluxo de calor transferi^

do para a massa da fase vapor

1-25 - Burnout por Bloqueio da Base

Ocorre quando a profundidade do recipiente eacute muito maior

que a largura 0 bloqueio da base eacute causado pela formaccedilatildeo de uma pe_

licula de vapor na base impedindo que o liacutequido toque o fundo do

recipiente

i De

Este eacute o burnout por flooding isto eacute burnout por expul

sao do liacutequido Uma equaccedilatildeo que nos dacirc o fluxo minimo do burnout

parao caso eacute

44

onde

D g = diacircmetro equivalente

L = comprimento do tubo

= calor de vaporizaccedilatildeo

p^Py Ap = densidade do liacutequido do vapor e diferenccedila en

tre ambos

Para um fluxo de calor maior ou igual ao dado pela expres_

sao acima (mantida a mesma geometria) teremos burnout Para um deshy

terminado fluxo existiratildeo sempre um comprimento L e um diacircmetro equi

valente D e para os quais temos burnout Exemplo

L (in) D e(in)

10 11

100 51

1000 235

2 RESULTADOS ESPECIacuteFICOS - FOacuteRMULAS PARA CAacuteLCULOS ESPECIacuteFICOS

21 - Diferenccedila de temperatura At i

13 a t

sat

At sat

poundatildeJL_ raquo t - t J p T T 6 w sat

onde

o laquo tensatildeo superficial entre liquido e vapor

t - temperatura de saturaccedilatildeo do liacutequido para a corres-Scl t

pondente pressatildeo

J equivalente mecacircnico do calor

X laquobull calor latente de vaporizaccedilatildeo

py = densidade do vapor

6 = espessura da camada de liacutequido superaquecido onde

45

k l

h nc

onde

k^ = condutividade teacutermica do liacutequido

h = coeficiente de peliacutecula nc r

Segundo Eckent h ^ c e dado por

P 2 Q

nc 3 V VP + 0952

r

onde

D = diacircmetro equivalente

G r = numero de Grashoff

P = nuacutemero de Pradtl

2 o 2 - Velocidade das bolhas

A velocidade das bolhas em meacutedia pode ser dada pela exshy

pressatildeo

V bdquo = Iacute ( a bull B Apl4 bolhas 5 ^ 2

p l onde

AP = P L - P v

Expressatildeo que vale quando a aceleraccedilatildeo eacute a da gravidade

baixa viscosidade do liacutequido e bolhas separadas

Vbolha = f t s e atilde m a x para aacutegua

2 bdquo3 - Diacircmetro das bolhas

2gc deg 12 D = 0015 3 ( mdash mdash 7 ~ ) d g Ap

5 =

46

onde

8 = acircngulo de contato (20 a 90deg) geralmente assume-O -1

-se igual a 50 para a agua em contato com metal

24 - Coeficiente de peliacutecula na ebuliccedilatildeo nucleada

a) Equaccedilatildeo de Rohsenow

Esta equaccedilatildeo nos datilde o fluxo de calor q na ebuliccedilatildeo nushy

cleadaraquo E oacutetima expressatildeo para muitos liacutequidos o efeito da presshy

satildeo eacute levado em conta na variaccedilatildeo das propriedadesraquo

Pf

fg

sat 17 = c

sg k y f h f g g( P f-p g)

n033

onae

Pf

fg

Pf Pg c sg

= fluxo de calor requerido (BTUhr0ft^)

= calor especiacutefico do liacutequido saturado (BTUlbm0F)

= calor latente de vaporizaccedilatildeo (BTULbm)

= nuacutemero de Prandtl

= viscosidade do liacutequido (lbrahrraquoft) ~ 8 2

= fator de conversatildeo 417 10 Ibmftlbflaquohr 2

= aceleraccedilatildeo da gravidade (fthr )

= tensatildeo superficial na interface liacutequida vapor

(lbfft) 3

densidade do liquido e vapor (lbmft )

constante adimensiacuteonal que depende de vaacuterios fashy

tores dentre os quais o grau de aquecimento en_

tre o fluido e a superfiacutecie de aquecimento e o

mais importanteraquo Independe da pressatildeo do sistema b) Equaccedilatildeo de Levy

Equaccedilatildeo valida para a aacutegua quando 100 lt p lt 2000 psiacutea

47

43 bdquo3

qu bdquo gat ^ T J h r t f t ^

495

25 - Calculo do fluxo de calor no Ponto de Leidenfrost

0 ponto de Leidenfrost como vimos eacute o ponto em que oflu

xo de calor comeccedila ncamente a crescer isto eacute o ponto onde termal

aa a ebuliccedilatildeo instaacutevel e comeccedila a ebuliccedilatildeo por peliacutecula estaacutevel Eacute

o chanado fluxo miacutenimo (egrave ) m m

Aproximadamente quando A t g u k = 0 temos

A _ mdash _ mdash (Gambill) m m 5

Ha entretanto varias expressotildees para determinar esse flu

xo eis uma delas

A p 14 ltjgt = 009 h pbdquo (o raquo g mdash ) y m m fg P V deg 2

p l

26 - caacutelculo do fluxo de calor na regiatildeo de ebuliccedilatildeo por peliacute

cuia estaacutevel

para cilindros jmdashi i li

_ D 0172 k-V - P V A p h l V bull S 14 li - = 062 (mdashmdash) (- j- r rmdash) convecccedilao A 0 ybdquo (t -t )

c V w sat

onde

= condutividade do vapor

- 2 TT ( mdash )

c gAp Vl = significam vapor e liacutequido respectivamente

para paredes verticais

L 0172 S deg7 A p bull hlV S q 4 h - - 080 (-^-)J- (-Iuml - Iacutemdash-convecccedilao X L u (t - t J)

c V w sat

48

Como nesta regiatildeo jaacute haacute nina influecircncia marcante da radia

ccedilao devemos levar en conta tambeacutem o coeficiente de peliacutecula de

vido a radiaccedilatildeo para determinar o coeficiente de peliacutecula total

Dos estudos atildea radiaccedilatildeo temos

h = a F pound(T 4 - T 4 J ( T ~ T ) rad w sat w sat

onde amp _ emissividade de superfiacutecie

a = constante de Stefan-Boltzman

F = fator de forma

Segundo WE Gambill o coeficiente de transmissatildeo total

ceve ser

3 iacutei = h + -7 h para h lt h t conv 4 rad r rad conv

Na expressatildeo acima existe o fator 34 porque a radiaccedilatildeo

faz variar um pouco a espessura do filme de vapor reduzindo asshy

sim o l l

conv

Quando tivermos h gt h gt o h^ ^ seraacute rad conv total

h f c = h + h t conv rad

Neste ultimo caso nao ha nenhum coeficiente porque a peshy

liacutecula de vapor jaacute eacute estaacutevel

27 - Grandezas caracteriacutesticas para a apua

Para pressatildeo igual a 1 atm = 1422 psia

At ^ = t - t = 5degC (iniacutecio da ebuliccedilatildeo nucleada) sat w sat 1

At t = 30degC sat crit

49

5 2 $ = 4 10 BTUhrft (para pressatildeo 1 atm)

0 fluxo critico cresce como vimos com a pressatildeo ate

atingir o maacuteximo quando a pressatildeo eacute aproximadamente 13 da pressatildeo

criacutetica Esse fluxo eacute

bull = 13 IO 6 BTUhrft 2 para p = 11000 psia (p pound = 32062 psia)

Ainda temos que para pressatildeo igual a 15 psia

h b o = 11000 BTUhrft degF - ebuliccedilatildeo nucleada

h f b = 30 BTUhrft 2 degF - ebuliccedilatildeo pelicular

Todos os resultados e formulas para caacutelculos especiacuteficos

apresentados nos itens 21 22 23 ateacute 27 sacirco aplicados somente

para sistemas onde haja ebuliccedilatildeo com grande quantidade de liquido

51

D - HIDRODINAcircMICA DOS SISTEMAS E QUEDA

DE PRESSAtildeO DENTRO DE UM CANAL

1 HIDRO-DINAcircMICA E QUEDA DE PRESSAtildeO

11 - Hidro-dinacircmica dos sistemas estaacuteveis

111 - Regimes de escoamento

A evoluccedilatildeo do escoamento ao longo de um canal aquecedor

de secccedilatildeo constante ciliacutendrico pode ser esquematizada pela figushy

ra 1 onde temos em abcissa o comprimento z do canal e em ordenada

a temperatura (T)

52

Na figura 1 nos representamos

a) 0 aspecto do escoamento fluido quando a entalpia do

- fluido aumenta Verificamos que o fluido entra no cashy

nal no estado liacutequido e assim permanece ateacute atingirmos a zona de

ebuliccedilatildeo local onde aparecem as primeiras bolhas A entalpia do

fluido continua aumentando e tem inicioa ebuliccedilatildeo franccedila onde as

bolhas se unem formando agregados posteriormente o escoamento to

ma a forma da figura ou seja torna-se anular disperso Finalmente

atingimos duas uacuteltimas fases do escoamento disperso (vapor uacutemido)

e vapor seco

b) A evoluccedilatildeo da temperatura meacutedia do fluido e da tempeshy

ratura da parede Note-se que a partir da cota a

temperatura da parede aumenta brutalmente podendo causar o

burnout

c) A evoluccedilatildeo do tiacutetulo do vapor (x) com o comprimento

do tubo e a evoluccedilatildeo da fraccedilatildeo (a) que definiremos no

item 11laquo2 com o comprimento do tubo

112 - Definiccedilotildees

a) Tiacutetulo ou qualidade do vapor (x)

massa de vapor na mistura x ~ massa total da mistura

x =

W _g_

g f

b) Fraccedilatildeo vazio (void fraction)

volume do vapor na mistura a = volume total da mistura (agua+vapor)

A relaccedilatildeo entre x e a num sistema parado pode ser obtida

assumindo um certo volume contendo 1 lbm de mistura em equiliacutebrio

teacutermicoraquo

53

O volume da mistura seraacute igual a (v + xv ) ft onde v eacute 3 r rg

o volume especifico (lbmft )

f - refere-se ao liquido

g - refere-se ao vapor

fg - refere-se a diferenccedila entre liacutequido e vapor

Numa mistura em equiliacutebrio se o liacutequido e o vapor estatildeo

saturados o volume do vapor presente eacute igual acirc sua massa vezes

seu volume especiacutefico v assim e

xv bdquo bdquo a mdash

V c + XV c

f gf

onde

- bull-bull uumlutiacuteisa vapor na mistura de 1 Ibm

v volume especiacutefico do liacutequido

v = volume especiacutefico do vapor o

V c = v - V

gf 8 r

Fazendo uma transformaccedilatildeo na expressatildeo acima temos

xv xv JS = Z-

v r+ x(v -v c) xv +(l-x)v t ri f g f g f 1 + Ul-x)xjv fv

1 + C(l-x)x]]vfvg

A fraccedilatildeo vazia tem a influencia de baixar a reatividade

do nuacutecleo nos reatores em que o refrigerante eacute tambeacutem moderador

Na equaccedilatildeo acima os valores de x e v sao tomados em tabe

las termodinacircmicas apropriadas para a pressatildeo do sistema A equashy

ccedilatildeo (1) mostra os grandes valores de a para pequenos valores de x

especialmente para baixas pressotildees Isto ocorre porqueaumentando

54

aacute pressatildeo o v decresce muito enquanto que o v f eacute mais ou menos da

mesma ordem de grandeza

Exemplo Calcular o a correspondente para x raquo 2 para aacutegua

leve atilde pressatildeo atmosfeacuterica

Da tabela para p laquobull 1 atm

v - 001672 ft 3lbm e v - 26800 ft 3lbm

1 + [(1-002)002] 001672268

0971 ou 97U

O grafico abaixo mostra a variaccedilatildeo do a com x para vaacuterias

pressotildees e para a aacutegua leve

x ()

tObservaccedilotildees da curva

Fig 2

1 - para x constante a decresce com a pressatildeo Para presshy

sotildees proacuteximas da criacutetica a aproxima-se rapidamente de

x Para a pressatildeo criacutetica as duas fases satildeo indistinguiacuteveis ea=x

2 - para cada pressatildeo dotdx decresce com aumento de x

3 - para baixos valores de x (que e o caso dos reatores

tipo Boiling) quando p decresce dadx cresce e torr

na-se muito grande paacutera baixas pressotildees Isto tem relaccedilatildeo com a epound

55

tabilidade do reator como veremos mais tarde

113 - Sistemas com fluxo

Todas as definiccedilotildees que noacutes vimos no item anterior refeshy

rem-se acirc sistemas em que a mistura esta fechada no recipiente Nes^

te caso natildeo havia movimento relativo entre as duas fases No entan

to se as duas fases da mistura se movem na direccedilatildeo vertical em

canais entre os elementos combustiacuteveis o vapor por causa de sua

flutuaccedilatildeo tem a tendecircncia de escorregar sobre o liacutequido isto e

move-se com velocidade maior do que a do liacutequido

Real Modelo

Pig 3

S -

Define-se neste caso a relaccedilatildeo de escorregamento (slip

ratio) (S) como sendo

V _i

V f

onde

V = velocidade do vapor

= velocidade do liquido

S modifica as relaccedilotildees entre a e x do item anterior S geralmen_

te gt 1 Define-se neste caso qualidade do vapor ou tiacutetulo como

sendo

_ fluxo de massa de vapor

fluxo de massa da mistura

Entatildeo se o fluxo de massa da mistura eacute m t(lbmhr) o flushy

xo de vapor seraacute = x m e o fluxo de liacutequido sera (1-x) m onde x

56

e o titulo do vapor para a particular secccedilatildeo (AL) da figura (3)

Devemos notar que neste caso x varia de secccedilatildeo para secshy

ccedilatildeo do tubo o exposto no paraacutegrafo acima vale considerando-se que

x e a permaneceram constantes na secccedilatildeo de espessura AL

Aplicando a equaccedilatildeo da continuidade as velocidades do va

por e liacutequido sao dadas por

o xm v

V vazatildeo = g g area A

V

(1-x) amp t v f

f A f

onde A e A f sao as aacutereas medias perpendiculares ao fluxo se as

duas fases sao imaginadas completamente separadas uma da outra

(figura 3) Assim temos

V x m v o A_ A v 0 ^ - 2 = iacute S t m _2L- JL JS m

V A (l-x)ui v 1-x A v U

f g t f g f

Sabemos ainda que para a secccedilatildeo considerada

volume do vapor na mistura a = volume total da mistura (agua+vapor)

A AL A pound g g

a = mdash a a = - mdash 1

(A+A )AL A f + g

A ou f _ 1 - a

A a 8

Substituindo em (2) vem

57

Esta expressatildeo pode ser rearranjada e obteremos uma relashy

ccedilatildeo entre x e a levando em conta o escorregamento Chega-se a

a = 1 ( 3 )

1+ [U-x)x3 igt

onde

v 4 laquo -- S

v lty o

Note-se que quando S=l (nao haacute escorregamento) caimos na

expressatildeo dada no item anterior

0 efeito do escorregamento eacute decrescer o valor de a pa_

ra um mesmo xbdquo Isto pode ser visto pela foacutermula (3) pois S gt lLo

go a decresce com acreacutescimo de S

Um alto S e entatildeo uma vantagem tanto para a transferecircnshy

cia de calor como para efeitos de moderaccedilatildeo Eacute uma vantagem para

transferecircncia de calor porque alto S significa alto V e portanto

maior turbulecircncia e maior contato do liquido com as paredes quenshy

tes Ha tambeacutem melhorias na estabilidade da reaccedilatildeo nuclear isto

porque como jaacute dissemos quando mdash7 diminui a estabilidade aumenshy

ta isso pode ser verificado observando a curva a versus x para a

agua leve a 1000 psiabdquo

Fig 4

58

A relaccedilatildeo entre x e a da equaccedilatildeo (3) so vale para secccedilatildeo

de tubo bem pequena

Devemos notar que S varia tambeacutem com a pressatildeo e velocida^

de de entrada do liacutequido no tubo Este efeito pode ser observado na

figura 5 abaxxo obtida esperimentalmente

s

3

~^ ~ psig

x = 001

V 1

Fig 5

Nos projetos de reatores como veremos adiante o valor a

geralmente eacute determinado por consideraccedilotildees nucleares (moderaccedilatildeo) 0

valor de S eacute determinado atraveacutes de uma estimativa ou entatildeo atrashy

veacutes de um graacutefico do tipo da figura 5 0 correspondente valor de x

pode ser obtido de uma foacutermula empiacuterica do tipo

1 = 1 (-S)0gt67

proposta por Von Glahn

Em muitos casos assume-se S constante em todo o comprimeiv

to do canal poreacutem eacute um erro que em muitos casos nao pode ser coshy

metido

4 REATORES EM QUE 0 LIacuteQUIDO B MODERADOR E CIRCUITO PRIMAacuteRIO AO

MESMO TEMPO BOILING-REACTOR (BWR)

A aacutegua ao se movimentar atraveacutes dos vaacuterios canais do

59

Boiling-reactor encontra vaacuterias resistecircncias ao fluxo que provoshy

cam uma reduccedilatildeo de pressatildeo no fluido

As duas perdas mais importantes sao perda de pressatildeo por

atrito e perda de pressatildeo causada pela aceleraccedilatildeo do refrigerante

ao aumentar de volume por receber calor num canal Outras perdas

de pressatildeo seriam a obstruccedilatildeo ao fluxo por corpos submersos (espa_

ccediladores juntas de tubos chaves etc) e por mudanccedilas abruptas de

aacuterea de fluxo tanto na entrada como na saiacuteda do tubo

Essas perdas de pressatildeo devem ser conhecidas o melhor popound

sivel principalmente nos reatores BWR Para tanto devemos saber

o comprimento de canal em que nao ha a ebuliccedilatildeo isto eacute qual o com

primento de canal em que o refrigerante vai da temperatura de sub-

resfriamento ate temperatura de saturaccedilatildeo

Seja o elemento combustiacutevel

Aquecimento Uniforme Aquecimento Senoidal

Fig 6 Fig 7

onde

H =

H = o

H b

comprimento do elemento combustiacutevel

cota onde o liquido se torna saturado

comprimento do elemento combustiacutevel em que ocorre

ebuliccedilatildeo

60

qg = calor sensiacutevel acrescentado ao liquido para satushy

raacute-lo

qfc = calor total acrescentado ao liacutequido em todo o com

primento do canal

laquoo

q s J o qiquest sen (IIzH) n H o

T~ = TH = 2 ( 1 c o s gt ( a )

q 1 sen (HzH) Jo ^c

A expressatildeo (a) vale quando tivermos uma adiccedilatildeo de calor

senoidal para qualquer outra forma de adiccedilatildeo de calor faz-se um

caacutelculo anaacutelogo

Outra relaccedilatildeo entre q g e qfc eacute dada pela termodinacircmica

q h- - h s f m (b)

(hr +x h )-hm ^t f e fg

onde

= entalpia para o liquido saturado a pressatildeo correjs

pondente (cota z = Ho)

hffi = entalpia do liacutequido na entrada do canal

x = tiacutetulo do vapor na saiacuteda

= entalpia do vapor

Com a relaccedilatildeo (b) noacutes determinamos a relaccedilatildeo q q ecom

S L

uma relaccedilatildeo do tipo (a) (conforme seja o adicionamento de calor ao

liacutequido) podemos obter a relaccedilatildeo HoH e consequentemente H^H

21 - Perda de pressatildeo num canal de evaporaccedilatildeo

Neste item iremos determinar as perdas de pressatildeo mais

representativas que ocorrem num canal de evaporaccedilatildeo de um reator

P + dP

bull1 i- 1 gti i i

dL

onde

UM

Icirc H Icirc Icirc T dF f t f

61

Quantidade de Mov na Entrada

= i- rigVg)

dF f l

Fig 8

m i

m 8

V l V 8

A P

dF

dF

dF

fg

fl

ftf

descarga do liacutequido

descarga do vapor

velocidade do liquido

velocidade do vapor

aacuterea transversal do canal

forccedila de atrito do vapor com parede

forccedila de atrito do liacutequido com parede

forccedila de atrito das duas fases liacutequido+vapor

Fazendo o balanccedilo das forccedilas considerando o sentido posjL

tivo na vertical temos

A (P-P-dP)-(dF +dF _+dF _)-(-pound-) (p A+p A )dL = mdash dGnV+m V ) P fg ftf fl g c 1 1 g g g c

v 1 1 g g 7

- dP = ~ (dF +dF--+dF)+- S--7=- (p A+p A )dL+ mdash ~ - d (m-V+m V ) A_ fg ftf fl g c Ap v^l 1 g g g A 11 g g

Fazendo a integraccedilatildeo termo a termo entre os dois extreshy

mos entrada e saiacuteda e considerando a pressatildeo de entrada igual a

P q e a de saiacuteda igual a Pe vem

Quantidade de Mov na Saiacuteda

-= h I- lY l+ A g V g + d ( aacute l V l + aacuteeVl

Forccedila de Gravidade

= ( g f - N P A + P g V

62

b) r e F f l

o p dp^ = Ap^ = perda de pressatildeo por atrito

do liacutequido na altura Ho

Aplicando a formula de Darcy vem

bull API = f bull ir bull ^ iexcl 7

onde

f = fator de atrito

c) e Fftf

o p ^P tpound

= perda de pressao por atrito da mistura

liquido + vapor no trecho de comprimen

to Hbdquo o

Para determinar esta perda de pressao define-se o fator

de multiplicaccedilatildeo R

A P R =

tf A P 1B

Sendo A p ^ a perda de pressao se o comprimento todo fosshy

se ocupado somente pelo liquido assim

A p t f = R A P 1 B

0 calculo de Ap-^ pode ser feito pela formula de Darcy e

o de R nos veremos no item seguinte

63

d)

-e F

d ( ^ )

O P

Ap = perda de pressatildeo por atrito do vapor

No caso do reator BWR o titulo de saida e bera pequeno e

em nenhum caso ocorre a saida de vapor com x = 100 logo a perda

de pressatildeo por atrito do vapor eacute nula assim

An = 0 5

e) Ap

(p A 1 + p A ) dL = Ap - perda de pressatildeo dpound

vida ao desniacutevel

(perda hidrostaacutetica)

Anbdquo = re A A

-S- I (p + p -S ) dL H s 1 A

c o p o A

como A A Jl_ =

A P

A +A-g 1

1-a -

temos

C Q

te j jll-a)p1 + apg)^jdL = p Lo pound

onde

e jo u

+ ap ) ~I dL (Densidade media 1 S J

no tubo)

No nosso caso

Ap u = p H

f)

re d(mV + m V ) _ mdash - laquo -i bull s iquestp laquos p e r d a ltje pressatildeo devido a acele-

c p raccedilatildeo do vapor

V A

(1-x) tl^Vj

(1-a) A

X V

aA

A p -

roV + m V

c p c p L_

m (l-x)m_v m xv nbdquo -1 T 1

+ _S S I (1-a) Ap aA

P

2 g A c p

n 2 2

(1-x) m T

laquo2 8 A c p

2 2 (l-xe) raTv1

2 2 2 xm_v (1-x) m-v e T s o 1 1

a 1 - a

2 2 - x m_v o T g

a

se

X Q 0 (so ha agua nesse trecho)

a = 0 o

temos

mbdquo Ap =

1 a A 2

S A degc p laquo-

tt-V v i 1 - a

2 via T^r - v i

t Apc

2

V v l

5c Ap

1 - a

x v - 1

a e v l

65

Fazendo

G = fluxo total da massa por unidade de area do

canal

(1-x J e

V

AP r

Assim a perda de pressatildeo total sera

H p V II pV r2 P -P = f -24-Iuml+ f R+p 0 1 2g c D e 2g c g c g c

2c2 - Determinaccedilatildeo do fator de multiplicaccedilatildeo (R)

221 - Relaccedilatildeo Martinelli-Nelson

Os autores Martinelli-Nelson determinaram experimental -

te esse fator R para varias LIT1L em funccedilatildeo da pressatildeo e da r NB total J v

qualidade de saiacuteda do vapor no canal Construiacuteram assim vaacuterias

curvas do tipo da figura 9

66

E importante notar que a qualidade do vapor (x) na saiacuteshy

da nao deve ser grande pois como vemos o valor de R cresce muishy

to com um aumento pequeno de x e um valor de R muito grande acar_

reta uma perda de pressatildeo grande pois

^ d u a s fases R ^ f a s e liacutequida

Para resolvermos um problema seguindo o criteacuterio de bdquo

Martinelli escolhemos a curva R = f(px) (para a relaccedilatildeo L

N g ^ j

adequado) e tiramos R com os valores de pressatildeo p e tiacutetulo x

As curvas R = f (p x L T t )IO encontram-se nos ANL 6469 bio I

e 6561

222 - Relaccedilatildeo Lottes-Flinn

Estes autores estudaram o problema para o aquecimento uni

forme do refrigerante com baixo titule Lottes-Flinn fizeram inuacuteshy

meras experiecircncias e verificaram que para fluxo de calor uniforshy

me e baixos titulos R era independente do fluxo de calor fluxo

do refrigerante escorregamento e apenas funccedilatildeo de a g

Como a quantidade de liacutequido eacute muito maior que a de vashy

por a perda de pressatildeo daacute-se principalmente pelo atrito do liacuteshy

quido com a parede Podemos assim escrever a foacutermula de Darcy

na forma diferencial

dz

d = f __ r e amp c

onde

V = velocidade do liquido saturado na cota zbdquo X

f = coeficiente atrito

= densidade do liacutequido saturado

Teoricamente a queda de pressatildeo deve-se ao acreacutescimo de

67

velocidade do liacutequido e da diminuiccedilatildeo da aacuterea de fluxo do liacutequi

do

P fH A P t p

= f D 2g Ho

d z

fazendo

V lo

m V t lo

(velocidade do liacutequido na cota z = Ho)

(1-x) m t v 1

(1-a) A (velocidade do liacutequido na cota z gt Ho)

a bull+ fraccedilatildeo vazio na cota z geneacuterica

V 1 (1-x) m t v 1

m t V l 1 - a

x =s 0 pois o tiacutetulo eacute baixo

A p t f = f bull JT5 c e

fH V lo

H o (1-a) dz

Para fazer a integral devemos achar a relaccedilatildeo de variaccedilatildeo

entre a e z Como o fluxo de calor eacute uniforme a qualidade eacute direshy

tamente proporcional a z

bull laquo x = x e H

z = mdash x X e

Sabemos ainda que (item 113)

x

1 + [ ( I -X)AKQ x + iiacuteraquo

68

como

temos

(1-x) = 1

v

X =

z =

1-a

1 -a

1-a e

a

e

1-a pound

a

1 -a igt (assumindo S = cte)

da

Atf - f bull 2 i ^ ~ J c e o

a 1 - a e e 1 s 4 hmdash) da

a 1-a

f P lv^ Q

0 termo mdash - mdash e a parte de perda de pressatildeo pelo lj^

^c e -quido ou seja Ap liquido saturado e como

Ap

R = tf

Ap liauido saturado

temos que

R J

f ae 1 _ a e 1 4

a 1 -a o e

1 -a r-R =

3 1 -a

a 1 -a imdash

3 vl - a 3

e e

Os valores de R obtidos por esta expressatildeo aproximam-se

muito dos valores obtidos pelos aacutebacos de Martinelli

69

E - EXPANSAtildeO E COMPRESSAtildeO DE UM FLUIDO - ANAacuteLISE HIDRODINAcircMICA

DE UM CIRCUITO EM CIRCULACcedilAtildeO NATURAL

1 EXPANSAtildeO NO FLUXO DE UM FLUIDO

11 - Uma so fase

Figura 1

Ha vaacuterios meacutetodos para determinar a variaccedilatildeo de pressatildeo

numa expansatildeo de fluido estudaremos o de Romie que eacute o que daacute

maior precisatildeo

Romie considera que a pressatildeo p^ tambeacutem atua na aacuterea

imediatamente apos a expansatildeo Assim fazendo o equiliacutebrio das foi

ccedilas nas secccedilotildees tracejadas da figura 1 temos

mVj

p r A 2 + mdash

mV

bull 2- A2

mas

m = pV^A^

pV^A = p V 2 bdquo A 2

V A

v 2 -4r-logo

( P l-P 2) A 2 = f ( V ^ ) - f _ v j amp c c 2

70

2 pV A A pV A A

Chamando A l A ]

K = 1 - T e degi2 = Aiexcl bull V E M

pvj

P l P 2 = T ~ bull ( 2 deg 1 2 ) ( 1 _ a 1 2 )

Outra maneira de chegar atilde diferenccedila de pressatildeo ( P j - ^ ) s mdash

ria usar o coeficiente de perda da mecacircnica dos fluidos Assim o

equilibrio das pressotildees eacute

2 2

1 V l 1 V 2 V l P i + _ p _ ^ P 2 + I p ~ + k 1 2 p mdash

onde = coeficiente de perda

A 2 1 2

k 1 2 - (l-o 1 2) - (1 - j- )

Fazendo as transformaccedilotildees chegamos a mesma expressatildeo obshy

tida pelo balanccedilo das forccedilas

PraquoIacute pr p

2 - - ir ^ laquo-ia

12 - Duas fases

Como ha duas fases a equaccedilatildeo do balanccedilo das forccedilas fica

um pouco alterada

m pound 1 V- m - raquoV - m-V- m bdquoV _ P A + j y ^ i + _gl_JUuml P A + -11-11 + -ilsl (a)

1 2 e R 2 2 ff e

Sabendo que

71

m (1-x) m t = p fA (1-a) V f

entatildeo

fl l-o^ p fA x

6 Vf2 1-x l-a2 P fA 2

m V = mdash mdash e V 0 = gl a 1 P C T A 1 g2

m

a_ p h

2 g 2

Nas expressotildees anteriores o x nao varia porque a expansatildeo

5 adiabaacutetica porem o a varia devido a modificaccedilatildeo do tamanho da

bolha

Substituindo os valores das velocidades na expressatildeo (a)

vera

( P - P ) Abdquo =

2

2 2 m gt2 2 m t (1-x) 1 x t

ra i 2 m i 1 x t 1

p fA 1 g c ttl p Ax gpound

m t P - P = mdash

(1-x) (l-a 1)A 1A 2 (l-a2)A|

a r A r A 2

V A 2

m t P bdquo - P = mdash 2 1 g c A r A 2 p f

(1-x) 1-a f A 2(l-a 2)

bull ^ 2

72

Se

P -P

a

m

g

12

1 _1_ (1-x)

J12

1 _ a l 1 - a 2 + X (- )

Pg

1 deg12 a 2 ^

Sabemos que

mt = V o pf laquo A l

Sendo V q = velocidade do liquido num ponto onde natildeo haja vapor

P 2-P 1

u 2 2 A 2

V pr Ai

V W p f

(1-x) 12

l-a1 l-a2

+ X 2 pf

mdash

l deg12

-1 a 2 _

p -p r 2 Al (2a 1 2)

2 M f w 1 deg12 X (mdash) (

pg al a 2 )+(l-x)C l 1 12

1-a^ l-a2

Devemos notar que esta expressatildeo tambeacutem vale para quando

temos uma fase para isso basta fazer

= c t 2 = 0

X = 0

e recairemos na formula do item anterior

2 pf 1 deg12 Observemos que neste caso o termo x (mdash)( ) nao

Pg al a2

2

73

tem significado pois corresponde a mudanccedila de fase

2 CONTRACcedilAtildeO KO FLUXO DE UM FLUIDO

21 - Uma so fase raquo mdash

Aqui ocorre um fenocircmeno importante pois o fluido ao ser

contraiacutedo nao vai diretamente da area A^ para a area A 0 mas ele

contral-se ate uma area A^ e depois expande-se ate k^

Ao A2

Po IP 2

V 2

Figura 2

Fazendo o equiliacutebrio das pressotildees entre os planos (1)

(0) vem 2 2

pV pV p +~ plusmn - P + i deg bull 1 2 g o 2 g (b)

C x

Fazendo equiliacutebrio da expansatildeo (0) - (2) vem

P o + 2 - f = P 2 + 2 -T + kp- 2 F ( c )

c c b C

Subtraindo (b) - (c)

2 2 2

i p- vj i p- v2 L P l + 2 bull g c

P 2 + 2 2g c

+ k P 2g c

74

Como

P - P = mdash 2 2g

2 2

bull (1 + k) - f bdquo mdash i

k a - f2 ) 2 - d - o c )2

= o

A = a 21

Weisback obteve varias relaccedilotildees entre a e a i] c

01 02 03 a 0624 0632 0643 c

0624 0632

A r v i - V v 2

p -p 1 2

P -P 1 2 2g7

v l =

(1+k) - laquofi- a 2g 21 c

( 1 + k - o 2 1)

X[- V 2 o 2 1V 2

22 - Duas fases

0 valor de k pode ser aproximado para

k = a(l - o 2 1)

onde segundo Richardsons para fluxo de duas fases podemos supor

a = 02

Para fluxo homogeacuteneo sabemos que

75

p = p f (1 -a ) + p o a

podemos supor p bdquo a = 0 pois p e pequeno e fazendo

V = V ~ V fbdquo2 go2 v 2

Substituindo estas duas expressotildees na equaccedilatildeo de uma soacute fase vem

2 2 p V (l-ct) p V (1 -a ) bdquo

P l P 2 = 9g ( 1 + 3 - 3 0 ^ - 0 ^ ) = g (a+1) (l-a^)

Se a = 02

2 12p oV 0

p r p

2 - 9g gt d-) d-sigt

A compressatildeo de um fluido acarreta uma perda de pressatildeo

como pode ser verificado pelas formulas uma vez que lt 1deg

3 ANALISE HIDRODINAcircMICA DE UM CIRCUITO EM CIRCULACcedilAtildeO NATURAL

Esquema deacute uma caldeira com circulaccedilatildeo natural

76

Determinar a velocidade em (7) para que tenhamos circula

ccedilatildeo natural Determinar tambeacutem as perdas de pressatildeo em todos os

trechos da caldeira

31 - Contraccedilatildeo das secccedilotildees (1) - (2)

Como jaacute vimos a equaccedilatildeo do balanccedilo das pressotildees eacute

1 pr Vl 1 p 2 o V 2 P2 V2

1 2 g 2 + 2 g + K12 2g otilde c amp c e c

bullraquo 2 o2 2 e havendo uma soacute fase k 1 9 = (l-o ) = (1 mdash ) e sendo

C 2

p l = p2

v x lt lt lt v 2

P 2 V pr p2 bull ir2 bull ( 1 + k12gt

Colocando em termos de temos

A 2 V 2 P 2 = A 7 V 7 p 7 (continuidade)

V = V mdashbull = V o_bdquo ~ A 2 2 2

P 2 V - p 2

p r p 2 = ir2 - deg72 bull Ccedilrgt bull lt 1 + ki2gt

fazendo

N12 - lt^gt deg72 ( 1 + k12gt

P7 V7

Pr P2 - N12 bull HG

77

3 2 - Perda de carga no trecho ( 2 ) - ( 3 )

Como haacute apenas uma fase soacute temos perdas por atritos e

perdas hidrostaacuteticas

Sendo como jaacute vimos

2 3 p 2 2 g P 2 P 3 = f 2 3 (r~2g^~) L 2 3 g c p

atrito hidrostaacutetica

Substituindo V^ pela relaccedilatildeo do item anterior e tendo em

conta que p = vem

P -P = f 2 r 3 2 3 D

2 3 p 2 bdquo 2 2 p 7 2

2 g 7 72 p 2 3 g

Se

L 2 3 2 p 7

2 3 2 3 D 2 a 7 2 p 2

P 7 V 7 g P 2 - P 3 = N 2 3 ( mdash gt p 2 L 2 3 f

3 3 - Expansatildeo nas secccedilotildees ( 3 ) - ( 4 )

Como vimos o balanccedilo das pressotildees e

2 2 2 p V p 4 V p V

P 3 + 2 g c

P 4 + 2 g c

+ k 3 4 2 g c

onde

k 3 4 - - -

2 2 1 P 4 - V 4 P 3 v 3

P 3 P 4 = 2 g + ( k 3 4 _ 1 ) 2 g

78

Sendo

P 3 - P 4

p 3 o A 3 deg V 3 = P 7

a A 7 o V 7

P 4A 4 0V 4 = P r A r V

3 7 A 3 p 3

A7 P7 V = v mdash mdash 4 7 P 4

P - P 3 r4

Se

P bdquo - P

bdquo2 r-P 7 V 7

3 4 2g deg74 + ( k 3 4 1 ) deg73

34 p deg74 + ( k 3 4 1 ) 73

p r v2

P3- P4 ^ N34 ^ gt

(No caso e negativo)

34 - Contraccedilatildeo nas secccedilotildees (5) - (6)

Ainda temos uma so fase e fazendo o balanccedilo das pressotildees

como fizemos no item 3lt1 vem

P + vil p + vi + k vi P 5 + 2gbdquo P6 + 2gbdquo + k56 2gbdquo

k 5 6 lt 1 ^ gt 2 ( 1 - Iacute 2 i 2 6

V V6 P5degIacute 5^6 ^SS 2g c - 2g c

P - P ^ = (1+kJ

Como

79

A 6

W p 5 =

VV P6 V 5 = V 6 Jiexcl = Vff65

P 5-P 6 - lt H k 5 6 ) mdash ^ mdash (l+k 5 6-a 6 5) c c c

Sendo

Se

A 7 p 7 p 7

6 7 Ag p 6 7 76 p 6

p _p _ P6- V7- g76 iquest72 ( _ 02 P 5 P 6 2g c bull ( p 6

( 1 + k 5 6 deg65 )

p 7 2 2 N56 = p ^ deg76 ( 1 + k 5 6 ~ a 6 5 )

P 7 V 2

7

P r-P = N r 5 6 56 2g c i

35 - Perdas de pressatildeo nas zonas (6) - (7) - Pre^aquecimento

Nesta regiatildeo temos perdas por atrito e hidrostaacuteticas

Nao haacute perda por aceleraccedilatildeo pois ainda natildeo houve formaccedilatildeo de boshy

lhas

Fazendo balanccedilo das pressotildees temos

L_ ppound-V p = p + otilde L - pound _ + f -Si (-21mdashL 6 7 + p67 L67 g + t 6 7 D K 2g

p _ e ifn sao tomados como valores meacutedios 67 67

P _p _ f hl ^67jIacute uuml + - L A

6 F 7 r67 D 2g P P67 L67 g 6 s c 7 c

S e Kr pound67 L67 p67 6 7 D 6 p7

p7 V - _g_ P6- P7 - N67 mdash + P67 L67 f

c c

80

36 - Perda de pressatildeo nas zonas (7) - (8) - Zona de ebuliccedilatildeo

Nesta regiatildeo j aacute temos o aparecimento de bolhas logo a

perda de pressatildeo seraacute devida agraves t recircs parcelas aceleraccedilatildeo a t r i t o

das duas fases liacutequidas + vapor e h idros taacute t ica

onde

Assim

P-P Q = AP + AP + APbdquo 7 8 a t r i t o acel H

T M1

78 p 7 7 AP - R f- - mdash mdashr |R = fator mult ipl ica-

a t r i t o 7 D 7 2 g c L tivo

G 2

AP bull r mdash acel g c

P V

|_1 - o a p J 8 P f

2 t r 2 M2

7 7 r 7 7 A P a c e l = -J^mdash 2 r bull p 7 lt T iexcl iexcl - )

A PH p 7 8 L 7 8 fiexcl

p 7 8 iacute 7 li 1 0 0 P l i q + a P v ] d L = P 7 ( 1 - laquo 7 8 )

ag raquo fraccedilatildeo de vazio media entre 7 e 8

APH = p (1 - 5 7 g ) f- L 7 8

2 2

P 7 - P 8 a 5 - 2 T i + 2 r p 7 + P 7 ( 1 - 7 8 gt f L 7 8 7 amp c amp c amp c

81

N 7g = R mdash + 2 r p 7

P7 V7 P7- P8 = N78 + P 7 ( 1 5 7 8 gt J78

37 - Expansatildeo nas secccedilotildees 8 e 9

No caso haacute uma expansatildeo com duas fases e como vimos no

item 12 a variaccedilatildeo de pressatildeo era dada por

0f Vo P2 P1 = ~2g c ( 2 deg12

x 2 (mdash)(mdash - mdash ) + ( l - x ) 2 ^ T mdash 8 1 2 1

12

Aplicando ao nosso caso

P pound = P 7

P -P = 8 9

V - V raquo V g f 7

P 7 V 2

2 pf 1 a89 2 1 g89 x (mdash) ( ) + (1-x) (- - N

o ou abdquo 1-cu l-ot_) g 8 9 8 9

Se

N 89

= 2 a 89

2 pf 1 deg89 2 1 CT89 x (mdash) ( ) + (1-x) ( T

g 8 9 8 9

P -P = 8 9

- N P7deg V7

89 2gbdquo

38 - Perda de pressatildeo no trecho 9 e 10

No referido trecho temos apenas perda de pressatildeo por atr L

to da fase liacutequido + vapor e perda hidrostaacutetica Natildeo haacute perda por

aceleraccedilatildeo do vapor pois este natildeo recebe mais calor e portanto

o 82 o

nao ha variaccedilatildeo no a

p

Q -p i n = A P

U + A P bull 9 10 H atrito

n T -S_ P9 U10 deg 910 bull g

fio r

910 I 910

J9 L

(l- a)P + Q P I dL liq v

(l-a0) p

No caso a = (nao hatilde variaccedilatildeo de forma)

A P H - (1-a ) P (p L 0

c

AP bdquo = R o

atrito

2 f9 o L910 P9 V9

2g

Supondo

= V

P 9 = P 8 P 7

vbdquo = v 9 8 0 A r

= V 7 bull deg89

AP - R atrito

2 2

W l O p7deg V7deg g89

V P10 R -^T^ bull deg89 bull li-2 + ( W P 7 (fgt SIO

y c c

Se

- f9 L910 2 N9ol0 R Dl deg89

w 2

p rv P9 P10 = VlO + ( 1 a 9 ) p7 (f gt L910 c

33

39 - Perda ciacutee pressatildeo na expansatildeo 9 - 1 0

Analogamente a expansatildeo 8 - 9 temos

10 11 P 7 2g

10 Iacute 2 0 1 0 - 1 1 gt

2 ff

pg aio

10-11

laquo11 ) +

Ll-a 1 0 bull l-a u J

Se

V10 = V 9 = V 8 bull T9 = V 7 deg89

P -P 10 rll = - a 2g 089 ^lO-ll

4 bull T~ bull (7 1 mdash ) + Pg degio a n

+ (l-x)2(- 1 10-11

1 - aio )

N10-ll = 2 a10-ll a89 2 pf t 1 10-11 N2

-(j-r- - ) bull+ (1-x) pg aio deg 1

10-11 k l - a io

prz P10 Pll = - N10-ll bull ( 2gbdquo

310 - Calculo de V

Fazendo a somatoacuteria de todas as expressotildees (P^-Pj) tere-

84

mos 2 PbdquoV_

P bdquo - P bdquo = N 7 v 7

1 2 12 2g

bull 2 - P 3 - = N 2 3 P 2 L 2 3 f c ccedil

9 P 7 V 7 P _p = N mdash -

3 4 34 deg 2g

V P 5 = deg

2 P V

5 6 56 2 g c

ltr2

P 7 -V 6 e7 -N67 2g + p 6 7 J j67 g

c bc v 2

P 7 - P 8 = N 7 8 - 2 i ~ + p 7 ( 1 - laquo 7 8 ) L 7 8 c

P 7 V 7

P - P - -N mdash - -8 9 89 2g

c P 7 V 7

P 9 ~ P 1 0 VlO 2g + ( 1 a 9 P 7 L 9 c

P 7 V 7

bull10 11 U10-ll 2g

P v iacute j P - P

1 11

7 - v 7 3 bull r

2 8 i U L 2 23 67

(l-5 7 8) L 7 8 + ( l - laquo 9 ) P 7 bull SlOtilde]- ^

Por ou t ro lado sabemos que como secccedilotildees 1

mesmo n iacute v e l

85

s c p r v 7 j

28 Z N i ij

= P 2 L23 p67 L67 P 7 ( 1~deg78 )

78 ~ ^g) bull P 7 bull L 910 g_

V - 2 g ( p r L 2 3 - p 6 r L 6 7 - p 7 ( l - atilde 7 8 ) L 7 8 - (l-a9) p L 9 a ( )

y N

Com esse valor de podemos determinar todas as variashy

ccedilotildees de pressatildeo (P^-P )

BIBLIOGRAFIA

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tituto de Energia Atocircmica de Sao Paulo em 1966 (roteiro)

- WR Gambill - Nuclear Safety

Vol 9 - n9 5 e 6

Vol 6 - n 2 (pag 152)

Vol 4 -r n9 1 (pag 30)

Volbdquo 5 - n 2 (pag 151)

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- Jakob Max - Heat Transfer (vol I)

Mc Adams - Heat Transmission

- Paul A Lottes - Argonne National Laboratory

- AKL - 6469

- ANL - 6561

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Frank Kreith - Principles of Heat Transfer

Journeacutees Internationales de la transmission de la chaleur

Seminaacuterios realizados em Paris em 1961 sob a supervisatildeo do

Prof Marcel Veron

Notas de aula da Cadeira de Termodinacircmica I e Transmissatildeo da

Escola Politeacutecnica da Universidade de Sao Paulo

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23

B - CONVECCcedilAtildeO COM MUDANCcedilA DE FASE - EVAPORACcedilAtildeO (II)

1 INTRODUCcedilAtildeO

Evaporaccedilatildeo consiste na obtenccedilatildeo de vapor por meio de aque

cimento de um liacutequido

Apesar da importacircncia do processo e do sucesso obtido na

praacutetica em projetos de evaporadores o fenocircmeno da evaporaccedilatildeo eacute

um dos pontos menos conhecidos da transmissatildeo de calor

0 primeiro estudo seacuterio sobre o assunto foi feito em 1934

pelo japonecircs Nukiyama poreacutem somente nos uacuteltimos 10 anos tais es-

tudos se intensificaram

Os primeiros pesquisadores quando estudavam o fenocircmeno

do resfriamento de um solido num liacutequido obtiveram as seguintes

curvas

onde

temperatura

velocidade de resfriamento

3 0 v = amdashbull

A 06

Q - fluxo teacutermico

8 - tempo

A - aacuterea do soacutelido

24

tempo

Ateacute os estudos de Nukiyama nao se conseguia explicar o

porque da variaccedilatildeo crescente da velocidade de resfriamento quando

t gt t sol sat

2 PROCESSO DE FORMACcedilAtildeO DAS BOLHAS

Como a evaporaccedilatildeo do liacutequido se faz sobre uma superfiacutecie

aquecedora sobre esta irao se formar bolhas de vapor que influem

decisivamente no fenocircmeno

Aqui soacute iremos estudar as bolhas sob o ponto de vista qua

litativo bem como a sua influencia mas nao sob o ponto de vista

quantitativo

Recentemente Fritz e Jacob WR Gambill e outros estudiacutei

ram o processo da formaccedilatildeo das bolhas sobre a superfiacutecie aquecedpound

ra Atraveacutes de fotografias verificaram que a bolha de vapor ain

da em contato com a parede variava profundamente de forma confo_r

me o angulo de contato entre liacutequido e parede metaacutelica

Assim eacute que se a superfiacutecie de aquecimento nao e excesshy

sivamente polida e a tensatildeo superficial do liacutequido eacute pequena a

bolha tem a forma da figura las diz-se nesse caso que o liquishy

do molha a parede neste caso o angulo de contato e agudobull Se

as condiccedilotildees contrarias se verificarem o acircngulo de contato sera

obtuso e as bolhas tomam a forma da figura ldegb Naturalmente ve

rificara-se as condiccedilotildees intermediaacuterias para o angulo de contato da

25

fig lc

Fig la Fig lb Fig lo

0 estudo analiacutetico da formaccedilatildeo e crescimento das bolhas

pode ser encontrado em diversos livros por exemplo no El-Wakill

(Nuclear Power) no Jakob (Heat Transfer)e outros Neles faz-se

o estudo das condiccedilotildees do liquido (pressatildeo temperatura tensotildees

etc) para haver ou nao formaccedilatildeo de bolha Isto eacute feito fazendo-se

o estudo das bolhas nas seguintes posiccedilotildees

a) bolha no seio do liacutequido

para meia bolha

4 ltP g - P fgt fg

onde

P g P f

- 4 D (D

g

Pf

D

pressatildeo do vapor

pressatildeo do liquido

tensatildeo entre superfiacutecie do liacutequido e vapor

diacircmetro da bolha

^f g

P f Fig 2

26

A equaccedilatildeo (1) mostra que a pressatildeo do vapor deve ser maior

que a do liquido nas condiccedilotildees de saturaccedilatildeo e este por sua vez

deve estar no estado de superaquecimento o

b) bolhas sobre superfiacutecie solida

Fig 3

Condiccedilotildees para desprender

a mdash o_ + o_ cos a gs fs fg

tensatildeo na interfase liacutequida e vapor (depende das

propriedades do liacutequido e vapor)

tensatildeo entre o liacutequido e superfiacutecie de aquecimen

to (depende das propriedades do liquido e da sushy

perfiacutecie)

tensatildeo entre o vapor e a superfiacutecie de aquecimeri

to (depende das propriedades do vapor e da super

fiacutecie)

21 - Formas do fluxo do vapor desde a superfiacutecie de aquecishy

mento ateacute a superfiacutecie livre do liacutequido

Considerando liacutequido vaporizado em tubos verticais pode^

mos ter 4 tipos de fluxo de vapor

1 - fluxo de bolhas

2 - fluxo de agregados (plug ou slug)

3 - fluxo anular

4 - fluxo disperso

Os quatro tipos ficam bem determinados respectivamente

onde

a fg

degfs

a gs

27

pelas 4 figuras abaixo

LIacutequido - Liacutequido Liacutequido

o

^Bocirclha de

vapor

Vapor

mdash [

- Vapor

mdash 0 0

deg_ a-

jrj-

iquestiexcl5

Bolhas Agregados Anular

Liacutequido

vapor

Disperso ou

Homogecircneo

Conforme o tipo de ebuliccedilatildeo podemos ter uma so das forshy

mas acima ou uma mistura

3 INCERTEZAS NO ESTUDO DA EVAPORACcedilAtildeO

Ha trecircs incertezas principais para determinar o fluxo de

calor na evaporaccedilatildeo a saber

- Aacuterea de contato indefinida

- Diferenccedila de temperatura indefinida

- Grau de turbulecircncia

Como realmente nos nao sabemos uma dependecircncia algeacutebri

ca entre o acircngulo de contato e a superfiacutecie ocupada pelo liacutequishy

do (ou vapor) temos uma incerteza na determinaccedilatildeo da aacuterea de tro

ca de calor (A)

Outra incerteza eacute a dificuldade da obtenccedilatildeo de diferenccedila

de temperatura entre o liacutequido e a parede que normalmente assume-

-se como sendo a diferenccedila entre a temperatura da parede e da ebu

liccedilatildeo do liacutequido (temperatura de saturaccedilatildeo = t )

S cl c

Na realidade a diferenccedila de temperaturas nao eacute aquela

pois a camada de liacutequido que cobre a superfiacutecie aquecedora esta

a uma pressatildeo maior que o resto do liacutequido (pressatildeo atmosfeacuterica

mais a hidrostaacutetica) e consequentemente a temperatura de vaporiza_

ccedilao desse liacutequido e maior que a da superfiacutecie Esta diferenccedila po-

28

deria ser calculada desde que se conhecesse a relaccedilatildeo entre presshy

satildeo e temperatura de saturaccedilatildeo do liacutequido entretanto haacute incerte

za quanto ao verdadeiro peso especiacutefico da coluna de liacutequidopois

trata-se de uma mistura de bolhas de vapor e de liacutequido em proshy

porccedilatildeo variaacutevelraquo

4 REGIMES DE EBULICcedilAtildeO

Nukiyama estudando a ebuliccedilatildeo da aacutegua num recipiente a

quecendo-a com resistencias eleacutetricas construiu a curva baacutesica da

ebuliccedilatildeo Todos os liacutequidos apresentam uma curva semelhante vashy

riando apenas os valoresraquo Os pontos caracteriacutesticos da curva deshy

pendem de caracteriacutesticas difiacuteceis de definirtais como natureza

do metal estado da superficie (rugosidade) dimensotildees orientashy

ccedilatildeo do fluxo quantidade de gases dissolvidos e t c

Estudaremos o fenocircmeno para o caso de aacutegua destiladasem

gas dissolvido a temperatura de saturaccedilatildeo 100 C pressatildeo atmosfe_

re uma superficie plana

Chega-se assim acirc curva

rica sobre uma superficie plana horizontal a temperatura t^

In ltJgt

At (degC)

A curva acima representa o aquecimento de agua com uma re_

sistecircncia eleacutetrica (ate ebuliccedilatildeo)raquo Temos em abcissas as diferenccedilas

de temperatura entre o liacutequido e a resistecircncia em ordenadas o flu

29

Regiatildeo I

Regiatildeo II

Regiatildeo III

Regiatildeo IV

xo de calor por unidade de area

Na curva notam-se 4 regiotildees bem definidas tendo cada uma

o seu significado fiacutesico os quais correspondem a um tipo de ebuli

ccedilao

convecccedilao natural

ebuliccedilatildeo nucleada

ebuliccedilatildeo por peliacutecula parcial

ebuliccedilatildeo por peliacutecula estaacutevel

41 - Convecccedilao natural

Ocorre quando At eacute inferior a 8degCformam-se no liacutequido

correntes convectivas as quais transferem o calor ateacute a superfiacuteshy

cie livre do liacutequido e aiacute desprendendo o vapor Neste caso o valor

de h eacute da ordem de 2000 kcalm^hdegC

42 - Ebuliccedilatildeo nucleada

Ocorre quando o At eacute maior que 8degC e menor que 25degC Nesshy

te caso as bolhas formam-se junto a superfiacutecie de aquecimento

crescem liberam-se movimentam-se em direccedilatildeo agrave superfiacutecie livre do

liacutequido onde estouram libertando o vapor As bolhas formam-se nas

irregularidades da parede tecircm um acircngulo de contato agudo e porshy

tanto hatilde liacutequido sempre em contado com a parede (molha a parede)

cada ponto ativo (lugar onde se formam as bolhas) libera uma porshy

ccedilatildeo de bolhas e os outros pontos do liacutequido ficam em contato com a

superfiacutecie quente violentamente agitados Esta agitaccedilatildeo extrema eacute

mais eficaz que uma turbulecircncia criada artificialmente Por esse mo

tivo a curva cresce violentamente nesse trecho (m = 3 a 7) pois

bull 2 o o valor de h cresce consideravelmente (ate 46000 kcalm hr C) e

o fluxo teacutermico transmitido ao liacutequido cresce proporcionalmente a

Quando cresce crescem tambeacutem

(At) 3

30

numero de bolhas por unidade de aacuterea (num instanshy

te)

~ = crescimento da bolha (com o tempo)

frequecircncia de iacuteormaccedilao de bolhas

A medida que o At vai aumentando iraacute aumentando (jgt tam-- n o N

bem e consequentemente mdash R mdash a a a tal ponto que quando atiacuteii

girmos o ponto da curva nao haveraacute mais formaccedilatildeo de bolhas

mas sim uma peliacutecula de vapor instaacutevel passando assim a 3a re

giao que estudaremos a seguir

43 - Ebuliccedilatildeo por peliacutecula parcial

Como dissemos no item anterior se aumentarmos ainda mais

o At (entre 25degC e 125degC) teremos a formaccedilatildeo de uma peliacutecula de

vapor instaacutevel sobre a superfiacutecie quente que aacutes vezes eacute perfurashy

da pelo liacutequido A camada de vapor tanto mais estaacutevel seraacute quanshy

to maior focircr o At Essa peliacutecula de vapor iraacute provocar um decreacutes_

cimo consideraacutevel no fluxo teacutermico porque como sabemos o vapor

eacute muito pior condutor que a aacuteguaraquo

0 fluxo vai decrescendo ateacute um ponto miacutenimo (iexclgt mintilde (as vecirc

iacutebo bullraquo 1

zes chega a ser mdashj-) e e o chamado ponto de Liedenfrost 0 coeshy

ficiente de peliacutecula neste caso cai violentamente (h = 2000

kcalm^hrdegC)

44 - Ebuliccedilatildeo por peliacutecula estaacutevel

Aumentando ainda mais a diferenccedila de temperaturas

At ( gt 125degC) iremos conseguir uma camada de vapor estaacutevel Ela

transmite calor da superfiacutecie quente ao liacutequido que se vaporiza de

modo que o excesso de vapor formado na interface liquido-vapor for

ma bolhas que sobem para a superfiacutecie 0 liacutequido encontra-se agi-

31

tado poreacutem nao toma contato com a superfiacutecie soacutelida

A peliacutecula de vapor eacute estaacutevel e o fluxo eacute proporcional a

34

(At) (lei de Bromley) Para At grandes passa a influir sensivel^

mente a radiaccedilatildeo teacutermica mais uma razatildeo para demonstrar que nesshy

ta regiatildeo o fluxo cresce novamente

5 CONSIDERACcedilOtildeES E COMPARACcedilAtildeO ENTRE OS TIPOS DE EVAPORACcedilAtildeO

BURNOUT

Sob o ponto de vista de eficiecircncia teacutermica deveriacuteamos sem

pre trabalhar no ponto de fluxo maacuteximo isto eacute no ponto correspon

dente a lt(gt da curva de Nukiyama pois eacute o que daacute maior coeficieri

te de peliacutecula

Acontece poreacutem que se impomos a temperatura da parede

fixa obtemos um uacutenico valor de lt(gt e portanto o fenocircmeno eacute estaacutevel

Poreacutem se como ocorre nos reatores impomos um fluxo teacuter

mico a curva de Nukiyama apresenta 3 pontos de funcionamento posshy

siacuteveis A B C

1

SOacute os pontos A e C sao funccedilotildees estaacuteveis mas eles impotildeem

acirc superfiacutecie quente temperaturas bem diferentes

Na industria em geral trabalha-se por questotildees de segushy

ranccedila na regiatildeo IV da curva poreacutem para os reatores trabalha-se na

32

r e g i atilde o I I

0 p r o b l e m a de t r a b a l h a r n a r e g i atilde o II eacute q u e se n oacute s e s t i shy

v e r m o s t r a b a l h a n d o n o p o n t o e x t r e m o (j) e se p o r q u a l q u e r m o t i v o

h o u v e r u m p e q u e n o a c r eacute s c i m o d e ltfgt i r e m o s t r a b a l h a r i m e d i a t a m e n t e no

p o n t o M q u e t e m o m e s m o $-^0t p o r eacute m c o m A t 2 m u i t a s v e z e s m a i o r

p o d e n d o o c a s i o n a r a f u s atilde o d a s u p e r f iacute c i e a q u e c e d o r a E s t e f e n ocirc m e n o

eacute c h a m a d o d e b u r n o u t

0 f l u x o lttgt eacute c h a m a d o f l u x o c r iacute t i c o o u f l u x o d e b u r -b o

n o u t N o c a s o do r e a t o r d e v e m s e r t o m a d a s m e d i d a s r i g o r o s a s q u a n

to agrave r e g u l a g e m do f l u x o t eacute r m i c o p a r a q u e n atilde o o c o r r a o b u r n o u t 1 1

p o i s d e l e p o d e r e s u l t a r r u p t u r a d a c a m i s a do c o m b u s t iacute v e l e h a v e shy

r aacute p o r t a n t o c o n t a t o do r e f r i g e r a n t e c o m o s s oacute l i d o s e g a s e s r a shy

d i o a t i v o s

5 o l - R e l a ccedil atilde o d e B u r n o u t

E c l a r o q u e p a r a t e r m o s u m r e a t o r m a i s e f i c i e n t e d e v e shy

m o s t r a b a l h a r c o m u m f l u x o o m a i s p r oacute x i m o p o s s iacute v e l do f l u x o d e

B u r n o u t P a r a t a n t o d e v e m o s c o n h e c e r c o m o m a i o r g r a u d e certe

za p o s s iacute v e l q u a l o ^ p a r a p o d e r m o s r e d u z i r o c o e f i c i e n t e d e s e shy

g u r a n ccedil a ( W R G a m b i l l r e c o m e n d a agrave 1 5 )

N o s s e m i n aacute r i o s d e W R G a m b i l l e n c o n t r a m o s u m a s eacute r i e de

b i b l i o g r a f i a s o n d e p o d e m o s e n c o n t r a r i n uacute m e r a s f oacute r m u l a s p r o p o s t a s

p a r a a o b t e n ccedil atilde o de (q 1^)

A t i t u l o d e e x e m p l o v e j a m o s a l g u m a s

q - 2 7 0 G deg gt 8 5 D 0 2 A085 p lt 150

deg D ( L uuml ) 2

q - 140 G 0 5 D ~ deg 2 (-~-)~deg 1 5 p ~ r gt 150 c D (LD)

o n d e a m b a s as e q u a ccedil otilde e s s oacute v a l e m p a r a aacute g u a e m b a i x a p r e s s atilde o e m coii

v e c ccedil a o f o r ccedil a d a

33

D

L

fluxo teacutermico critico BTUhrft bdquo 2

descarga em massa do liquido (Ibmhrft )

diacircmetro do tubo ft

comp do tubo ft

Para cada caso temos uma expressatildeo diferente que pode ser

encontrada em literatura especializada

6 INFLUEcircNCIA DE OUTROS PARAcircMETROS NO FLUXO DE BURNOUT

Como para os usos atuais do reator a diferenccedila de temppound

ratura entre parede e fluido sao pequenas bem como o fluxo de bur

nout recentemente fiacutesicos como Jakob Bonilla WR Gambill estu

daram outros paracircmetros que influenciam bastante o sect^ 0gt isto eacute a

influecircncia desses paracircmetros faz com que o ^ seja maior Isto eacute

util pois quanto maior o fluxo de burnout maior poderaacute ser o

fluxo de calor real de funcionamento

Tais meios sao

- Sub-resfriamenCcedilo do liacutequido

61 - Influecircncia da velocidade do liacutequido

Estudos feitos pelos autores acima chegaram agraves curvas

- Aumento da velocidade imposta ao liacutequido

- Pressatildeo do liacutequido elevada

alto V

At

34

Para velocidades maiores o fluxo de burnout aumenta

porque neste caso o regime eacute turbulento e o coeficiente de peliacute

cuia h aumentao

6bdquo2 - Influencia do aumento da pressatildeo

Este estudo deve-se a Bonilla que obteve experimentalmen

te as curvas

Este estudo foi feito para vaacuterios liacutequidos e chegou a con

clusao que sempre havia uma pressatildeo oacutetima isto e uma pressatildeo que

leva ao maior iacute 1 ^ raquo mantidas as demais condiccedilotildees Experimentalmenshy

te notou que essa pressatildeo correspondia a 13 da pressatildeo critica

do liquido em questatildeo

6=3 - Influecircncia do sub-resfriamento

Consiste em manter atilde custa de uma circulaccedilatildeo intensa o

liacutequido a uma temperatura inferior atilde de saturaccedilatildeo para a pressatildeo

correspondenteraquo Experimentalmente chega-se agraves curvas

mdash A t grande sub

bullAt -0 sub sub

medio

At

35

Verificando os graacuteficos vemos que o lt)gt aumenta agrave medida bo

que aumenta a diferenccedila de temperatura de sub-resf riamento isto pojr

que o liquido como estaacute mais frio faz com que algumas das bolhas

recondensem permitindo que o liquido fique em contato com a parede

quente o que faz aumentar o h

^ f csub = t e m P e r a t u r a ddeg liacutequido - temperatura de saturaccedilatildeo

A diferenccedila de temperatura At entre fluido e parede tamshy

beacutem aumenta poit na regiatildeo proacutexima agrave parede haacute necessidade de

levar o liacutequido da temperatura do sub-resfriamento ateacute a temperatu

ra de saturaccedilatildeo quando se evapora

Atualmente os maiores estudos dos fiacutesicos nucleares locashy

lizam-se neste campo pois eacute o que oferece maiores vantagens

7 FORMULAS PARA 0 CAacuteLCULO DO COEFICIENTE DE PELIacuteCULA NA EBULICcedilAtildeO

Como ocorre no caacutelculo de todas as foacutermulas de convecccedilatildeo

temos formulas empiacutericas para determinar o h conforme o tipo de

ebuliccedilatildeo que nos consideramos

71 - Ebuliccedilatildeo Nucleada

Para o caso de aacutegua temos as relaccedilotildees

superfiacutecies

horizontais

superfiacutecies

verticais

f aacute 5000 BTUhrft 2 -gtbull h = 151 ( A t ) 1 3

A o

5000 lt 75000 -h = 0618 (At)3

^ pound 1000 -raquobull h = 8 7 ( A t ) 1 7

A o -

1000 lt $ lt 20000 -gt h = 027 (At) A o

Quando a pressatildeo e diferente da atmosfeacuterica faz-se a correccedilatildeo

3 6

72 - Ebuliccedilatildeo por peliacutecula

Bromley propocircs uma boa equaccedilatildeo para a ebuliccedilatildeo por peliacuteshy

cula estaacutevel em cilindros horizontais

Nu

_ JtjD n r 9 P v bull ( P L - P v gt - g -h

e V bull D i2

D 1 ^ U b Z u At gt

onde

V = indica vapor

L = indica liacutequido

Multiplicando ambos os membros da equaccedilatildeo acima por

kvD obteremos a expressatildeo do coeficiente de convecccedilagraveo meacutedio para

o caso

37

C - FORMULAS PARA CAacuteLCULOS ESPECIacuteFICOS - RESULTADOS ESPECIacuteFICOS

1 FLUXO DE CALOR CRIacuteTICO - BURNOUT

lol - Introduccedilatildeo

O aspecto mais importante no que se refere agrave seguranccedila

dos reatores da transferencia de calor na ebuliccedilatildeo eacute a determina

ccedilatildeo do Fluxo de calor critico ou de pico ou burnout

Como jatilde vimos quando temos a ebuliccedilatildeo nucleada a dishy

ferenccedila de temperatura entre refrigerante e superfiacutecie de aqueci

mento e pequena poreacutem quando atingimos o fluxo de calor criacutetico

essa diferenccedila de temperatura pode tornar-se imediatamente muishy

to grande podendo causar a ruptura da superfiacutecie de aquecimento

se atiigirmos o ponto de fusatildeo do soacutelidoraquo

Usando a convecccedilao

onde

At sat

w

sat At

sub

w = temperatura da parede de aquecimento

t t = temperatura de saturaccedilatildeo do liacutequido

t^ = temperatura de mistura do liacutequido

At = (t -t ) sub-resfriamento do liacutequido sub N sat b 1

nout

Ha dois tipos de burnout fast burnout e slow bur-

Ocorre o fast burnout (burnout raacutepido) quando A t g u b gt 0

38

ou para baixo x (~ lt 10) sendo x o titulo do vapor

Temos o slow burnout para x - gt 10 Assim noacutes tereshy

mos dois limites para o burnout

At bull o (ltJgt ) t =((() para t = t ) -

bo m m possiacutevel w sat

sub i

4L + 1

G c D h pl nb

(ltK ) = (ltpound para x = 1) = Dv-bo max possiacutevel e 4L

c At l + P 1 sub i

onde

L = comprimento do canal

D = diacircmetro do tubo

G = descarga de liacutequido (por unidade de aacuterea)

c ^ = calor especiacutefico do liacutequido

Agrave = calor latente de vaporizaccedilatildeo

h ^ = coeficiente de transferecircncia de calor na regiatildeo de

nao ebuliccedilatildeo

iacutendices

i = entrada

e = saiacuteda

Haacute inuacutemeras expressotildees para determinaccedilatildeo do burnout pro

postas por muitos fisicos cada uma aplicando-se a um caso especiacuteshy

fico vejamos algumas delas

12 - Equaccedilotildees para prediccedilatildeo de Burnout

121 - Equaccedilatildeo de Bragg e Smith (Zuber)

Num artigo publicado por Bragg e Smith encontramos uma f oacute_r

mula que e derivada da formula de Kutateladze e nos daacute o fluxo cri

39

tico quando nao temos sufaresfriamento

bo poolsat v V raquoc a ( p l P V )

2 PV

14

onde

ltiexclgt = fluxo de calor critico bo

k = constante

Ly = calor latente de vaporizaccedilatildeo do refrigerante

= densidade do liquido

pvr = densidade do vapor V a = tensao superficial

g = fator de conversatildeo c

a = aceleraccedilatildeo da superficie de aquecimento

Os autores encontraram para k um valor de 062 entreten

to outros autores como Zuber incluindo outras variaacuteveis que In

fluiam no fenocircmeno encontraram k variando entre 008 e 023Esshy

tudos bem elaborados mostram que o valor mais aproximado eacute

k = 015 (- 003)

1-22 - Equaccedilatildeo de Noyes

Noyes estudou o burnout para o soacutedio agua e alguns liacute

quidos orgacircnicos

( W s a t ~ bdquo 0245 bull ( r ( 1 )

iiacute_ V 1 Pr

onde

N n = Nuacutemero de Prandtl da fase liacutequida x r

Mais tarde o proacuteprio Noyes alterou a equaccedilatildeo para

n ^ - n H Iacute I Pl PV gt0538 deg g c a q 4 ( W s a t deg 1 1 6 PV ( - p 7 ~ ) (77T1^ ) ( 2 )

40

A ultima correlaccedilatildeo proposta por Noyes foi

a n prPV0560 112

1

(a bull a) 13

(ag c) 112

(3)

onde

a = difusividade teacutermica do liacutequidoraquo A equaccedilatildeo (3) eacute bashy

seada em todos os dados de burnouts do soacutedio bem

como da atildegua benzeno difenil e outros De 111 pontos usados 90

+ estatildeo relacionados dentro de - 30bdquo

ldeg2o3 - Burnout com convecccedilao forccedilada e sub-resfriamen

to

Aproveitando os resultados de aproximadamente 240 testes

de burnouts com aacutegua sub-resfriada em fluxo de convecccedilao forccedilashy

da feitos na Ruacutessia Labuntsov elaborou uma boa equaccedilatildeo empiacuterica

para o problemabdquo

Esta relaccedilatildeo aplica-se para velocidades entre 2 3 e 148

ftsec pressotildees entre 1 e 201 atmabs sub-resfriamento entre 0 deg

e 432 degF e fluxos de burnout entre 0 4 x IO 6 x 166 x 1 0 6 BTUhr

2 bdquo

bullbo

onde

e a seguinte

6 ( P ) 1 + 0 2 3 2 V 2

14

e ( P ) 1 +

15 c At _p_ sub

12 (a)

9 ( P ) - P 1 3 o ( 1 - P J 4 3

red

= pressatildeo (atm abs)

pressatildeo reduzida = mdash mdash red r P

t_ c = pressatildeo critica

= velocidade do liacutequido (ftsec)

= calor especiacutefico do liacutequido (BTUlbdegF)

4 1

^ tsub = ^ ^ e r e n Ccedil a ^ e temperatura entre a temperatura de

mistura do liacutequido e a de saturaccedilatildeo (degF)

X = calor latente de vaporizaccedilatildeo (BTUlb) 2

ltiacutegtbo = fluxo de burnout (BTUhrfl )

Uma outra correlaccedilatildeo para o caso foi proposta por

Ornatsky e Xiohigin que fizeram experiecircncias para pressotildees entre

10 e 1 5 0 3xm 90 degF lt At ^ lt 4 5 0 deg F 3 7 1 0 6 ( l b h r o f t 2 ) lt G lt

2 2 2 10 b ( l b h r bdquo f t 2 )

lt ^ = 3 2 5 0 (G o A t bdquo J deg 6 ( - i - ^ ) 2 5 ( b ) bo sub

onde

G - descarga de refrigerante por unidade de aacuterea

P ^ v P v - densidades do liacutequido e do vapor

P1~ PV -0 termo (mdash ) e incluido na expressatildeo (b) para indicar

a influecircncia da ^ pressatildeo sobre o

Uma comparaccedilatildeo entre as equaccedilotildees (a) e (b) foi feita para

o Reator de Isoacutetopos de Alto Fluxo (HFIR) nas condiccedilotildees aacutegua a

600 psia velocidade = 45 ftsec e sub-resfriamento = At^^ 1

degF obtendo-se uma diferenccedila de 6 5 entre ambos (4gt = 6 0 5 1 0 b

2 ~ 6 2 BTUhr ft pela equaccedilatildeo (a) e 6 4 5 10 3TUhrraquoft pela equaccedilatildeo

(b)

Ilatilde ainda a equaccedilatildeo de Ivey e Morris aplicaacutevel somente pa_

ra ebuliccedilatildeo com grande quantidade de liacutequido

( c sub t

Cpf bull A tsub

( bull ) s ~ V P bdquo 10 h V sat V g

onde

(ltL ) = fluxo critico com sub-resfriamento c sub

(ograve ) ^ - fluxo critico sem sub-resfriamento c sat

42

c ^ = calor especiacutefico do liacutequido

= calor latente de vaporizaccedilatildeo

124 - Burnout com convecccedilao forccedilada e ebuliccedilatildeo por bocirc-

Ihas

Gambill fez uma extensatildeo da equaccedilatildeo de Levy e aplicou o

metqdo da superposiccedilatildeo Tal extensatildeo consiste natilde subtraccedilatildeo de uma

razatildeo equivalente de massa transferida dos termos que represenshy

tam a ebuliccedilatildeo e convecccedilao para levar em conta a presenccedila do vashy

por no fluxo

A correlaccedilatildeo pode ser escrita assim

24 V P V

o g c a (p^Py) 14

+ 0696 (k p c ) 12

(

pr p v )i4 o g c a (P-L-Py) 18

bull At + h sub nb

044 p v L v G (g1) bull N2 n

p l P V

( pr p v ) d e 2-7

2 4 TT 0

14 ( f e _ ^ r l 3

lO^u

onde

k = condutividade teacutermica

c = calor especiacutefico

A t s u b ~ s ub-resfriamento do liacutequido

h = coeficiente de transferecircncia de calor de nao ebu nb mdash

liccedilatildeo

G = descarga total do refrigerante

43

d g = diacircmetro equivalente do tubo ou canalraquo

]i = viscosidade

B = constante adimensional

Os iacutendices V e 1 representam vapor e liacutequido respectiva

mente

0 primeiro termo entre chaves da equaccedilatildeo representa o flu

xo de calor no burnout de sub-resfriamento em convecccedilao forccedilada 0

segundo termo entre chaves corresponde ao fluxo de calor transferi^

do para a massa da fase vapor

1-25 - Burnout por Bloqueio da Base

Ocorre quando a profundidade do recipiente eacute muito maior

que a largura 0 bloqueio da base eacute causado pela formaccedilatildeo de uma pe_

licula de vapor na base impedindo que o liacutequido toque o fundo do

recipiente

i De

Este eacute o burnout por flooding isto eacute burnout por expul

sao do liacutequido Uma equaccedilatildeo que nos dacirc o fluxo minimo do burnout

parao caso eacute

44

onde

D g = diacircmetro equivalente

L = comprimento do tubo

= calor de vaporizaccedilatildeo

p^Py Ap = densidade do liacutequido do vapor e diferenccedila en

tre ambos

Para um fluxo de calor maior ou igual ao dado pela expres_

sao acima (mantida a mesma geometria) teremos burnout Para um deshy

terminado fluxo existiratildeo sempre um comprimento L e um diacircmetro equi

valente D e para os quais temos burnout Exemplo

L (in) D e(in)

10 11

100 51

1000 235

2 RESULTADOS ESPECIacuteFICOS - FOacuteRMULAS PARA CAacuteLCULOS ESPECIacuteFICOS

21 - Diferenccedila de temperatura At i

13 a t

sat

At sat

poundatildeJL_ raquo t - t J p T T 6 w sat

onde

o laquo tensatildeo superficial entre liquido e vapor

t - temperatura de saturaccedilatildeo do liacutequido para a corres-Scl t

pondente pressatildeo

J equivalente mecacircnico do calor

X laquobull calor latente de vaporizaccedilatildeo

py = densidade do vapor

6 = espessura da camada de liacutequido superaquecido onde

45

k l

h nc

onde

k^ = condutividade teacutermica do liacutequido

h = coeficiente de peliacutecula nc r

Segundo Eckent h ^ c e dado por

P 2 Q

nc 3 V VP + 0952

r

onde

D = diacircmetro equivalente

G r = numero de Grashoff

P = nuacutemero de Pradtl

2 o 2 - Velocidade das bolhas

A velocidade das bolhas em meacutedia pode ser dada pela exshy

pressatildeo

V bdquo = Iacute ( a bull B Apl4 bolhas 5 ^ 2

p l onde

AP = P L - P v

Expressatildeo que vale quando a aceleraccedilatildeo eacute a da gravidade

baixa viscosidade do liacutequido e bolhas separadas

Vbolha = f t s e atilde m a x para aacutegua

2 bdquo3 - Diacircmetro das bolhas

2gc deg 12 D = 0015 3 ( mdash mdash 7 ~ ) d g Ap

5 =

46

onde

8 = acircngulo de contato (20 a 90deg) geralmente assume-O -1

-se igual a 50 para a agua em contato com metal

24 - Coeficiente de peliacutecula na ebuliccedilatildeo nucleada

a) Equaccedilatildeo de Rohsenow

Esta equaccedilatildeo nos datilde o fluxo de calor q na ebuliccedilatildeo nushy

cleadaraquo E oacutetima expressatildeo para muitos liacutequidos o efeito da presshy

satildeo eacute levado em conta na variaccedilatildeo das propriedadesraquo

Pf

fg

sat 17 = c

sg k y f h f g g( P f-p g)

n033

onae

Pf

fg

Pf Pg c sg

= fluxo de calor requerido (BTUhr0ft^)

= calor especiacutefico do liacutequido saturado (BTUlbm0F)

= calor latente de vaporizaccedilatildeo (BTULbm)

= nuacutemero de Prandtl

= viscosidade do liacutequido (lbrahrraquoft) ~ 8 2

= fator de conversatildeo 417 10 Ibmftlbflaquohr 2

= aceleraccedilatildeo da gravidade (fthr )

= tensatildeo superficial na interface liacutequida vapor

(lbfft) 3

densidade do liquido e vapor (lbmft )

constante adimensiacuteonal que depende de vaacuterios fashy

tores dentre os quais o grau de aquecimento en_

tre o fluido e a superfiacutecie de aquecimento e o

mais importanteraquo Independe da pressatildeo do sistema b) Equaccedilatildeo de Levy

Equaccedilatildeo valida para a aacutegua quando 100 lt p lt 2000 psiacutea

47

43 bdquo3

qu bdquo gat ^ T J h r t f t ^

495

25 - Calculo do fluxo de calor no Ponto de Leidenfrost

0 ponto de Leidenfrost como vimos eacute o ponto em que oflu

xo de calor comeccedila ncamente a crescer isto eacute o ponto onde termal

aa a ebuliccedilatildeo instaacutevel e comeccedila a ebuliccedilatildeo por peliacutecula estaacutevel Eacute

o chanado fluxo miacutenimo (egrave ) m m

Aproximadamente quando A t g u k = 0 temos

A _ mdash _ mdash (Gambill) m m 5

Ha entretanto varias expressotildees para determinar esse flu

xo eis uma delas

A p 14 ltjgt = 009 h pbdquo (o raquo g mdash ) y m m fg P V deg 2

p l

26 - caacutelculo do fluxo de calor na regiatildeo de ebuliccedilatildeo por peliacute

cuia estaacutevel

para cilindros jmdashi i li

_ D 0172 k-V - P V A p h l V bull S 14 li - = 062 (mdashmdash) (- j- r rmdash) convecccedilao A 0 ybdquo (t -t )

c V w sat

onde

= condutividade do vapor

- 2 TT ( mdash )

c gAp Vl = significam vapor e liacutequido respectivamente

para paredes verticais

L 0172 S deg7 A p bull hlV S q 4 h - - 080 (-^-)J- (-Iuml - Iacutemdash-convecccedilao X L u (t - t J)

c V w sat

48

Como nesta regiatildeo jaacute haacute nina influecircncia marcante da radia

ccedilao devemos levar en conta tambeacutem o coeficiente de peliacutecula de

vido a radiaccedilatildeo para determinar o coeficiente de peliacutecula total

Dos estudos atildea radiaccedilatildeo temos

h = a F pound(T 4 - T 4 J ( T ~ T ) rad w sat w sat

onde amp _ emissividade de superfiacutecie

a = constante de Stefan-Boltzman

F = fator de forma

Segundo WE Gambill o coeficiente de transmissatildeo total

ceve ser

3 iacutei = h + -7 h para h lt h t conv 4 rad r rad conv

Na expressatildeo acima existe o fator 34 porque a radiaccedilatildeo

faz variar um pouco a espessura do filme de vapor reduzindo asshy

sim o l l

conv

Quando tivermos h gt h gt o h^ ^ seraacute rad conv total

h f c = h + h t conv rad

Neste ultimo caso nao ha nenhum coeficiente porque a peshy

liacutecula de vapor jaacute eacute estaacutevel

27 - Grandezas caracteriacutesticas para a apua

Para pressatildeo igual a 1 atm = 1422 psia

At ^ = t - t = 5degC (iniacutecio da ebuliccedilatildeo nucleada) sat w sat 1

At t = 30degC sat crit

49

5 2 $ = 4 10 BTUhrft (para pressatildeo 1 atm)

0 fluxo critico cresce como vimos com a pressatildeo ate

atingir o maacuteximo quando a pressatildeo eacute aproximadamente 13 da pressatildeo

criacutetica Esse fluxo eacute

bull = 13 IO 6 BTUhrft 2 para p = 11000 psia (p pound = 32062 psia)

Ainda temos que para pressatildeo igual a 15 psia

h b o = 11000 BTUhrft degF - ebuliccedilatildeo nucleada

h f b = 30 BTUhrft 2 degF - ebuliccedilatildeo pelicular

Todos os resultados e formulas para caacutelculos especiacuteficos

apresentados nos itens 21 22 23 ateacute 27 sacirco aplicados somente

para sistemas onde haja ebuliccedilatildeo com grande quantidade de liquido

51

D - HIDRODINAcircMICA DOS SISTEMAS E QUEDA

DE PRESSAtildeO DENTRO DE UM CANAL

1 HIDRO-DINAcircMICA E QUEDA DE PRESSAtildeO

11 - Hidro-dinacircmica dos sistemas estaacuteveis

111 - Regimes de escoamento

A evoluccedilatildeo do escoamento ao longo de um canal aquecedor

de secccedilatildeo constante ciliacutendrico pode ser esquematizada pela figushy

ra 1 onde temos em abcissa o comprimento z do canal e em ordenada

a temperatura (T)

52

Na figura 1 nos representamos

a) 0 aspecto do escoamento fluido quando a entalpia do

- fluido aumenta Verificamos que o fluido entra no cashy

nal no estado liacutequido e assim permanece ateacute atingirmos a zona de

ebuliccedilatildeo local onde aparecem as primeiras bolhas A entalpia do

fluido continua aumentando e tem inicioa ebuliccedilatildeo franccedila onde as

bolhas se unem formando agregados posteriormente o escoamento to

ma a forma da figura ou seja torna-se anular disperso Finalmente

atingimos duas uacuteltimas fases do escoamento disperso (vapor uacutemido)

e vapor seco

b) A evoluccedilatildeo da temperatura meacutedia do fluido e da tempeshy

ratura da parede Note-se que a partir da cota a

temperatura da parede aumenta brutalmente podendo causar o

burnout

c) A evoluccedilatildeo do tiacutetulo do vapor (x) com o comprimento

do tubo e a evoluccedilatildeo da fraccedilatildeo (a) que definiremos no

item 11laquo2 com o comprimento do tubo

112 - Definiccedilotildees

a) Tiacutetulo ou qualidade do vapor (x)

massa de vapor na mistura x ~ massa total da mistura

x =

W _g_

g f

b) Fraccedilatildeo vazio (void fraction)

volume do vapor na mistura a = volume total da mistura (agua+vapor)

A relaccedilatildeo entre x e a num sistema parado pode ser obtida

assumindo um certo volume contendo 1 lbm de mistura em equiliacutebrio

teacutermicoraquo

53

O volume da mistura seraacute igual a (v + xv ) ft onde v eacute 3 r rg

o volume especifico (lbmft )

f - refere-se ao liquido

g - refere-se ao vapor

fg - refere-se a diferenccedila entre liacutequido e vapor

Numa mistura em equiliacutebrio se o liacutequido e o vapor estatildeo

saturados o volume do vapor presente eacute igual acirc sua massa vezes

seu volume especiacutefico v assim e

xv bdquo bdquo a mdash

V c + XV c

f gf

onde

- bull-bull uumlutiacuteisa vapor na mistura de 1 Ibm

v volume especiacutefico do liacutequido

v = volume especiacutefico do vapor o

V c = v - V

gf 8 r

Fazendo uma transformaccedilatildeo na expressatildeo acima temos

xv xv JS = Z-

v r+ x(v -v c) xv +(l-x)v t ri f g f g f 1 + Ul-x)xjv fv

1 + C(l-x)x]]vfvg

A fraccedilatildeo vazia tem a influencia de baixar a reatividade

do nuacutecleo nos reatores em que o refrigerante eacute tambeacutem moderador

Na equaccedilatildeo acima os valores de x e v sao tomados em tabe

las termodinacircmicas apropriadas para a pressatildeo do sistema A equashy

ccedilatildeo (1) mostra os grandes valores de a para pequenos valores de x

especialmente para baixas pressotildees Isto ocorre porqueaumentando

54

aacute pressatildeo o v decresce muito enquanto que o v f eacute mais ou menos da

mesma ordem de grandeza

Exemplo Calcular o a correspondente para x raquo 2 para aacutegua

leve atilde pressatildeo atmosfeacuterica

Da tabela para p laquobull 1 atm

v - 001672 ft 3lbm e v - 26800 ft 3lbm

1 + [(1-002)002] 001672268

0971 ou 97U

O grafico abaixo mostra a variaccedilatildeo do a com x para vaacuterias

pressotildees e para a aacutegua leve

x ()

tObservaccedilotildees da curva

Fig 2

1 - para x constante a decresce com a pressatildeo Para presshy

sotildees proacuteximas da criacutetica a aproxima-se rapidamente de

x Para a pressatildeo criacutetica as duas fases satildeo indistinguiacuteveis ea=x

2 - para cada pressatildeo dotdx decresce com aumento de x

3 - para baixos valores de x (que e o caso dos reatores

tipo Boiling) quando p decresce dadx cresce e torr

na-se muito grande paacutera baixas pressotildees Isto tem relaccedilatildeo com a epound

55

tabilidade do reator como veremos mais tarde

113 - Sistemas com fluxo

Todas as definiccedilotildees que noacutes vimos no item anterior refeshy

rem-se acirc sistemas em que a mistura esta fechada no recipiente Nes^

te caso natildeo havia movimento relativo entre as duas fases No entan

to se as duas fases da mistura se movem na direccedilatildeo vertical em

canais entre os elementos combustiacuteveis o vapor por causa de sua

flutuaccedilatildeo tem a tendecircncia de escorregar sobre o liacutequido isto e

move-se com velocidade maior do que a do liacutequido

Real Modelo

Pig 3

S -

Define-se neste caso a relaccedilatildeo de escorregamento (slip

ratio) (S) como sendo

V _i

V f

onde

V = velocidade do vapor

= velocidade do liquido

S modifica as relaccedilotildees entre a e x do item anterior S geralmen_

te gt 1 Define-se neste caso qualidade do vapor ou tiacutetulo como

sendo

_ fluxo de massa de vapor

fluxo de massa da mistura

Entatildeo se o fluxo de massa da mistura eacute m t(lbmhr) o flushy

xo de vapor seraacute = x m e o fluxo de liacutequido sera (1-x) m onde x

56

e o titulo do vapor para a particular secccedilatildeo (AL) da figura (3)

Devemos notar que neste caso x varia de secccedilatildeo para secshy

ccedilatildeo do tubo o exposto no paraacutegrafo acima vale considerando-se que

x e a permaneceram constantes na secccedilatildeo de espessura AL

Aplicando a equaccedilatildeo da continuidade as velocidades do va

por e liacutequido sao dadas por

o xm v

V vazatildeo = g g area A

V

(1-x) amp t v f

f A f

onde A e A f sao as aacutereas medias perpendiculares ao fluxo se as

duas fases sao imaginadas completamente separadas uma da outra

(figura 3) Assim temos

V x m v o A_ A v 0 ^ - 2 = iacute S t m _2L- JL JS m

V A (l-x)ui v 1-x A v U

f g t f g f

Sabemos ainda que para a secccedilatildeo considerada

volume do vapor na mistura a = volume total da mistura (agua+vapor)

A AL A pound g g

a = mdash a a = - mdash 1

(A+A )AL A f + g

A ou f _ 1 - a

A a 8

Substituindo em (2) vem

57

Esta expressatildeo pode ser rearranjada e obteremos uma relashy

ccedilatildeo entre x e a levando em conta o escorregamento Chega-se a

a = 1 ( 3 )

1+ [U-x)x3 igt

onde

v 4 laquo -- S

v lty o

Note-se que quando S=l (nao haacute escorregamento) caimos na

expressatildeo dada no item anterior

0 efeito do escorregamento eacute decrescer o valor de a pa_

ra um mesmo xbdquo Isto pode ser visto pela foacutermula (3) pois S gt lLo

go a decresce com acreacutescimo de S

Um alto S e entatildeo uma vantagem tanto para a transferecircnshy

cia de calor como para efeitos de moderaccedilatildeo Eacute uma vantagem para

transferecircncia de calor porque alto S significa alto V e portanto

maior turbulecircncia e maior contato do liquido com as paredes quenshy

tes Ha tambeacutem melhorias na estabilidade da reaccedilatildeo nuclear isto

porque como jaacute dissemos quando mdash7 diminui a estabilidade aumenshy

ta isso pode ser verificado observando a curva a versus x para a

agua leve a 1000 psiabdquo

Fig 4

58

A relaccedilatildeo entre x e a da equaccedilatildeo (3) so vale para secccedilatildeo

de tubo bem pequena

Devemos notar que S varia tambeacutem com a pressatildeo e velocida^

de de entrada do liacutequido no tubo Este efeito pode ser observado na

figura 5 abaxxo obtida esperimentalmente

s

3

~^ ~ psig

x = 001

V 1

Fig 5

Nos projetos de reatores como veremos adiante o valor a

geralmente eacute determinado por consideraccedilotildees nucleares (moderaccedilatildeo) 0

valor de S eacute determinado atraveacutes de uma estimativa ou entatildeo atrashy

veacutes de um graacutefico do tipo da figura 5 0 correspondente valor de x

pode ser obtido de uma foacutermula empiacuterica do tipo

1 = 1 (-S)0gt67

proposta por Von Glahn

Em muitos casos assume-se S constante em todo o comprimeiv

to do canal poreacutem eacute um erro que em muitos casos nao pode ser coshy

metido

4 REATORES EM QUE 0 LIacuteQUIDO B MODERADOR E CIRCUITO PRIMAacuteRIO AO

MESMO TEMPO BOILING-REACTOR (BWR)

A aacutegua ao se movimentar atraveacutes dos vaacuterios canais do

59

Boiling-reactor encontra vaacuterias resistecircncias ao fluxo que provoshy

cam uma reduccedilatildeo de pressatildeo no fluido

As duas perdas mais importantes sao perda de pressatildeo por

atrito e perda de pressatildeo causada pela aceleraccedilatildeo do refrigerante

ao aumentar de volume por receber calor num canal Outras perdas

de pressatildeo seriam a obstruccedilatildeo ao fluxo por corpos submersos (espa_

ccediladores juntas de tubos chaves etc) e por mudanccedilas abruptas de

aacuterea de fluxo tanto na entrada como na saiacuteda do tubo

Essas perdas de pressatildeo devem ser conhecidas o melhor popound

sivel principalmente nos reatores BWR Para tanto devemos saber

o comprimento de canal em que nao ha a ebuliccedilatildeo isto eacute qual o com

primento de canal em que o refrigerante vai da temperatura de sub-

resfriamento ate temperatura de saturaccedilatildeo

Seja o elemento combustiacutevel

Aquecimento Uniforme Aquecimento Senoidal

Fig 6 Fig 7

onde

H =

H = o

H b

comprimento do elemento combustiacutevel

cota onde o liquido se torna saturado

comprimento do elemento combustiacutevel em que ocorre

ebuliccedilatildeo

60

qg = calor sensiacutevel acrescentado ao liquido para satushy

raacute-lo

qfc = calor total acrescentado ao liacutequido em todo o com

primento do canal

laquoo

q s J o qiquest sen (IIzH) n H o

T~ = TH = 2 ( 1 c o s gt ( a )

q 1 sen (HzH) Jo ^c

A expressatildeo (a) vale quando tivermos uma adiccedilatildeo de calor

senoidal para qualquer outra forma de adiccedilatildeo de calor faz-se um

caacutelculo anaacutelogo

Outra relaccedilatildeo entre q g e qfc eacute dada pela termodinacircmica

q h- - h s f m (b)

(hr +x h )-hm ^t f e fg

onde

= entalpia para o liquido saturado a pressatildeo correjs

pondente (cota z = Ho)

hffi = entalpia do liacutequido na entrada do canal

x = tiacutetulo do vapor na saiacuteda

= entalpia do vapor

Com a relaccedilatildeo (b) noacutes determinamos a relaccedilatildeo q q ecom

S L

uma relaccedilatildeo do tipo (a) (conforme seja o adicionamento de calor ao

liacutequido) podemos obter a relaccedilatildeo HoH e consequentemente H^H

21 - Perda de pressatildeo num canal de evaporaccedilatildeo

Neste item iremos determinar as perdas de pressatildeo mais

representativas que ocorrem num canal de evaporaccedilatildeo de um reator

P + dP

bull1 i- 1 gti i i

dL

onde

UM

Icirc H Icirc Icirc T dF f t f

61

Quantidade de Mov na Entrada

= i- rigVg)

dF f l

Fig 8

m i

m 8

V l V 8

A P

dF

dF

dF

fg

fl

ftf

descarga do liacutequido

descarga do vapor

velocidade do liquido

velocidade do vapor

aacuterea transversal do canal

forccedila de atrito do vapor com parede

forccedila de atrito do liacutequido com parede

forccedila de atrito das duas fases liacutequido+vapor

Fazendo o balanccedilo das forccedilas considerando o sentido posjL

tivo na vertical temos

A (P-P-dP)-(dF +dF _+dF _)-(-pound-) (p A+p A )dL = mdash dGnV+m V ) P fg ftf fl g c 1 1 g g g c

v 1 1 g g 7

- dP = ~ (dF +dF--+dF)+- S--7=- (p A+p A )dL+ mdash ~ - d (m-V+m V ) A_ fg ftf fl g c Ap v^l 1 g g g A 11 g g

Fazendo a integraccedilatildeo termo a termo entre os dois extreshy

mos entrada e saiacuteda e considerando a pressatildeo de entrada igual a

P q e a de saiacuteda igual a Pe vem

Quantidade de Mov na Saiacuteda

-= h I- lY l+ A g V g + d ( aacute l V l + aacuteeVl

Forccedila de Gravidade

= ( g f - N P A + P g V

62

b) r e F f l

o p dp^ = Ap^ = perda de pressatildeo por atrito

do liacutequido na altura Ho

Aplicando a formula de Darcy vem

bull API = f bull ir bull ^ iexcl 7

onde

f = fator de atrito

c) e Fftf

o p ^P tpound

= perda de pressao por atrito da mistura

liquido + vapor no trecho de comprimen

to Hbdquo o

Para determinar esta perda de pressao define-se o fator

de multiplicaccedilatildeo R

A P R =

tf A P 1B

Sendo A p ^ a perda de pressao se o comprimento todo fosshy

se ocupado somente pelo liquido assim

A p t f = R A P 1 B

0 calculo de Ap-^ pode ser feito pela formula de Darcy e

o de R nos veremos no item seguinte

63

d)

-e F

d ( ^ )

O P

Ap = perda de pressatildeo por atrito do vapor

No caso do reator BWR o titulo de saida e bera pequeno e

em nenhum caso ocorre a saida de vapor com x = 100 logo a perda

de pressatildeo por atrito do vapor eacute nula assim

An = 0 5

e) Ap

(p A 1 + p A ) dL = Ap - perda de pressatildeo dpound

vida ao desniacutevel

(perda hidrostaacutetica)

Anbdquo = re A A

-S- I (p + p -S ) dL H s 1 A

c o p o A

como A A Jl_ =

A P

A +A-g 1

1-a -

temos

C Q

te j jll-a)p1 + apg)^jdL = p Lo pound

onde

e jo u

+ ap ) ~I dL (Densidade media 1 S J

no tubo)

No nosso caso

Ap u = p H

f)

re d(mV + m V ) _ mdash - laquo -i bull s iquestp laquos p e r d a ltje pressatildeo devido a acele-

c p raccedilatildeo do vapor

V A

(1-x) tl^Vj

(1-a) A

X V

aA

A p -

roV + m V

c p c p L_

m (l-x)m_v m xv nbdquo -1 T 1

+ _S S I (1-a) Ap aA

P

2 g A c p

n 2 2

(1-x) m T

laquo2 8 A c p

2 2 (l-xe) raTv1

2 2 2 xm_v (1-x) m-v e T s o 1 1

a 1 - a

2 2 - x m_v o T g

a

se

X Q 0 (so ha agua nesse trecho)

a = 0 o

temos

mbdquo Ap =

1 a A 2

S A degc p laquo-

tt-V v i 1 - a

2 via T^r - v i

t Apc

2

V v l

5c Ap

1 - a

x v - 1

a e v l

65

Fazendo

G = fluxo total da massa por unidade de area do

canal

(1-x J e

V

AP r

Assim a perda de pressatildeo total sera

H p V II pV r2 P -P = f -24-Iuml+ f R+p 0 1 2g c D e 2g c g c g c

2c2 - Determinaccedilatildeo do fator de multiplicaccedilatildeo (R)

221 - Relaccedilatildeo Martinelli-Nelson

Os autores Martinelli-Nelson determinaram experimental -

te esse fator R para varias LIT1L em funccedilatildeo da pressatildeo e da r NB total J v

qualidade de saiacuteda do vapor no canal Construiacuteram assim vaacuterias

curvas do tipo da figura 9

66

E importante notar que a qualidade do vapor (x) na saiacuteshy

da nao deve ser grande pois como vemos o valor de R cresce muishy

to com um aumento pequeno de x e um valor de R muito grande acar_

reta uma perda de pressatildeo grande pois

^ d u a s fases R ^ f a s e liacutequida

Para resolvermos um problema seguindo o criteacuterio de bdquo

Martinelli escolhemos a curva R = f(px) (para a relaccedilatildeo L

N g ^ j

adequado) e tiramos R com os valores de pressatildeo p e tiacutetulo x

As curvas R = f (p x L T t )IO encontram-se nos ANL 6469 bio I

e 6561

222 - Relaccedilatildeo Lottes-Flinn

Estes autores estudaram o problema para o aquecimento uni

forme do refrigerante com baixo titule Lottes-Flinn fizeram inuacuteshy

meras experiecircncias e verificaram que para fluxo de calor uniforshy

me e baixos titulos R era independente do fluxo de calor fluxo

do refrigerante escorregamento e apenas funccedilatildeo de a g

Como a quantidade de liacutequido eacute muito maior que a de vashy

por a perda de pressatildeo daacute-se principalmente pelo atrito do liacuteshy

quido com a parede Podemos assim escrever a foacutermula de Darcy

na forma diferencial

dz

d = f __ r e amp c

onde

V = velocidade do liquido saturado na cota zbdquo X

f = coeficiente atrito

= densidade do liacutequido saturado

Teoricamente a queda de pressatildeo deve-se ao acreacutescimo de

67

velocidade do liacutequido e da diminuiccedilatildeo da aacuterea de fluxo do liacutequi

do

P fH A P t p

= f D 2g Ho

d z

fazendo

V lo

m V t lo

(velocidade do liacutequido na cota z = Ho)

(1-x) m t v 1

(1-a) A (velocidade do liacutequido na cota z gt Ho)

a bull+ fraccedilatildeo vazio na cota z geneacuterica

V 1 (1-x) m t v 1

m t V l 1 - a

x =s 0 pois o tiacutetulo eacute baixo

A p t f = f bull JT5 c e

fH V lo

H o (1-a) dz

Para fazer a integral devemos achar a relaccedilatildeo de variaccedilatildeo

entre a e z Como o fluxo de calor eacute uniforme a qualidade eacute direshy

tamente proporcional a z

bull laquo x = x e H

z = mdash x X e

Sabemos ainda que (item 113)

x

1 + [ ( I -X)AKQ x + iiacuteraquo

68

como

temos

(1-x) = 1

v

X =

z =

1-a

1 -a

1-a e

a

e

1-a pound

a

1 -a igt (assumindo S = cte)

da

Atf - f bull 2 i ^ ~ J c e o

a 1 - a e e 1 s 4 hmdash) da

a 1-a

f P lv^ Q

0 termo mdash - mdash e a parte de perda de pressatildeo pelo lj^

^c e -quido ou seja Ap liquido saturado e como

Ap

R = tf

Ap liauido saturado

temos que

R J

f ae 1 _ a e 1 4

a 1 -a o e

1 -a r-R =

3 1 -a

a 1 -a imdash

3 vl - a 3

e e

Os valores de R obtidos por esta expressatildeo aproximam-se

muito dos valores obtidos pelos aacutebacos de Martinelli

69

E - EXPANSAtildeO E COMPRESSAtildeO DE UM FLUIDO - ANAacuteLISE HIDRODINAcircMICA

DE UM CIRCUITO EM CIRCULACcedilAtildeO NATURAL

1 EXPANSAtildeO NO FLUXO DE UM FLUIDO

11 - Uma so fase

Figura 1

Ha vaacuterios meacutetodos para determinar a variaccedilatildeo de pressatildeo

numa expansatildeo de fluido estudaremos o de Romie que eacute o que daacute

maior precisatildeo

Romie considera que a pressatildeo p^ tambeacutem atua na aacuterea

imediatamente apos a expansatildeo Assim fazendo o equiliacutebrio das foi

ccedilas nas secccedilotildees tracejadas da figura 1 temos

mVj

p r A 2 + mdash

mV

bull 2- A2

mas

m = pV^A^

pV^A = p V 2 bdquo A 2

V A

v 2 -4r-logo

( P l-P 2) A 2 = f ( V ^ ) - f _ v j amp c c 2

70

2 pV A A pV A A

Chamando A l A ]

K = 1 - T e degi2 = Aiexcl bull V E M

pvj

P l P 2 = T ~ bull ( 2 deg 1 2 ) ( 1 _ a 1 2 )

Outra maneira de chegar atilde diferenccedila de pressatildeo ( P j - ^ ) s mdash

ria usar o coeficiente de perda da mecacircnica dos fluidos Assim o

equilibrio das pressotildees eacute

2 2

1 V l 1 V 2 V l P i + _ p _ ^ P 2 + I p ~ + k 1 2 p mdash

onde = coeficiente de perda

A 2 1 2

k 1 2 - (l-o 1 2) - (1 - j- )

Fazendo as transformaccedilotildees chegamos a mesma expressatildeo obshy

tida pelo balanccedilo das forccedilas

PraquoIacute pr p

2 - - ir ^ laquo-ia

12 - Duas fases

Como ha duas fases a equaccedilatildeo do balanccedilo das forccedilas fica

um pouco alterada

m pound 1 V- m - raquoV - m-V- m bdquoV _ P A + j y ^ i + _gl_JUuml P A + -11-11 + -ilsl (a)

1 2 e R 2 2 ff e

Sabendo que

71

m (1-x) m t = p fA (1-a) V f

entatildeo

fl l-o^ p fA x

6 Vf2 1-x l-a2 P fA 2

m V = mdash mdash e V 0 = gl a 1 P C T A 1 g2

m

a_ p h

2 g 2

Nas expressotildees anteriores o x nao varia porque a expansatildeo

5 adiabaacutetica porem o a varia devido a modificaccedilatildeo do tamanho da

bolha

Substituindo os valores das velocidades na expressatildeo (a)

vera

( P - P ) Abdquo =

2

2 2 m gt2 2 m t (1-x) 1 x t

ra i 2 m i 1 x t 1

p fA 1 g c ttl p Ax gpound

m t P - P = mdash

(1-x) (l-a 1)A 1A 2 (l-a2)A|

a r A r A 2

V A 2

m t P bdquo - P = mdash 2 1 g c A r A 2 p f

(1-x) 1-a f A 2(l-a 2)

bull ^ 2

72

Se

P -P

a

m

g

12

1 _1_ (1-x)

J12

1 _ a l 1 - a 2 + X (- )

Pg

1 deg12 a 2 ^

Sabemos que

mt = V o pf laquo A l

Sendo V q = velocidade do liquido num ponto onde natildeo haja vapor

P 2-P 1

u 2 2 A 2

V pr Ai

V W p f

(1-x) 12

l-a1 l-a2

+ X 2 pf

mdash

l deg12

-1 a 2 _

p -p r 2 Al (2a 1 2)

2 M f w 1 deg12 X (mdash) (

pg al a 2 )+(l-x)C l 1 12

1-a^ l-a2

Devemos notar que esta expressatildeo tambeacutem vale para quando

temos uma fase para isso basta fazer

= c t 2 = 0

X = 0

e recairemos na formula do item anterior

2 pf 1 deg12 Observemos que neste caso o termo x (mdash)( ) nao

Pg al a2

2

73

tem significado pois corresponde a mudanccedila de fase

2 CONTRACcedilAtildeO KO FLUXO DE UM FLUIDO

21 - Uma so fase raquo mdash

Aqui ocorre um fenocircmeno importante pois o fluido ao ser

contraiacutedo nao vai diretamente da area A^ para a area A 0 mas ele

contral-se ate uma area A^ e depois expande-se ate k^

Ao A2

Po IP 2

V 2

Figura 2

Fazendo o equiliacutebrio das pressotildees entre os planos (1)

(0) vem 2 2

pV pV p +~ plusmn - P + i deg bull 1 2 g o 2 g (b)

C x

Fazendo equiliacutebrio da expansatildeo (0) - (2) vem

P o + 2 - f = P 2 + 2 -T + kp- 2 F ( c )

c c b C

Subtraindo (b) - (c)

2 2 2

i p- vj i p- v2 L P l + 2 bull g c

P 2 + 2 2g c

+ k P 2g c

74

Como

P - P = mdash 2 2g

2 2

bull (1 + k) - f bdquo mdash i

k a - f2 ) 2 - d - o c )2

= o

A = a 21

Weisback obteve varias relaccedilotildees entre a e a i] c

01 02 03 a 0624 0632 0643 c

0624 0632

A r v i - V v 2

p -p 1 2

P -P 1 2 2g7

v l =

(1+k) - laquofi- a 2g 21 c

( 1 + k - o 2 1)

X[- V 2 o 2 1V 2

22 - Duas fases

0 valor de k pode ser aproximado para

k = a(l - o 2 1)

onde segundo Richardsons para fluxo de duas fases podemos supor

a = 02

Para fluxo homogeacuteneo sabemos que

75

p = p f (1 -a ) + p o a

podemos supor p bdquo a = 0 pois p e pequeno e fazendo

V = V ~ V fbdquo2 go2 v 2

Substituindo estas duas expressotildees na equaccedilatildeo de uma soacute fase vem

2 2 p V (l-ct) p V (1 -a ) bdquo

P l P 2 = 9g ( 1 + 3 - 3 0 ^ - 0 ^ ) = g (a+1) (l-a^)

Se a = 02

2 12p oV 0

p r p

2 - 9g gt d-) d-sigt

A compressatildeo de um fluido acarreta uma perda de pressatildeo

como pode ser verificado pelas formulas uma vez que lt 1deg

3 ANALISE HIDRODINAcircMICA DE UM CIRCUITO EM CIRCULACcedilAtildeO NATURAL

Esquema deacute uma caldeira com circulaccedilatildeo natural

76

Determinar a velocidade em (7) para que tenhamos circula

ccedilatildeo natural Determinar tambeacutem as perdas de pressatildeo em todos os

trechos da caldeira

31 - Contraccedilatildeo das secccedilotildees (1) - (2)

Como jaacute vimos a equaccedilatildeo do balanccedilo das pressotildees eacute

1 pr Vl 1 p 2 o V 2 P2 V2

1 2 g 2 + 2 g + K12 2g otilde c amp c e c

bullraquo 2 o2 2 e havendo uma soacute fase k 1 9 = (l-o ) = (1 mdash ) e sendo

C 2

p l = p2

v x lt lt lt v 2

P 2 V pr p2 bull ir2 bull ( 1 + k12gt

Colocando em termos de temos

A 2 V 2 P 2 = A 7 V 7 p 7 (continuidade)

V = V mdashbull = V o_bdquo ~ A 2 2 2

P 2 V - p 2

p r p 2 = ir2 - deg72 bull Ccedilrgt bull lt 1 + ki2gt

fazendo

N12 - lt^gt deg72 ( 1 + k12gt

P7 V7

Pr P2 - N12 bull HG

77

3 2 - Perda de carga no trecho ( 2 ) - ( 3 )

Como haacute apenas uma fase soacute temos perdas por atritos e

perdas hidrostaacuteticas

Sendo como jaacute vimos

2 3 p 2 2 g P 2 P 3 = f 2 3 (r~2g^~) L 2 3 g c p

atrito hidrostaacutetica

Substituindo V^ pela relaccedilatildeo do item anterior e tendo em

conta que p = vem

P -P = f 2 r 3 2 3 D

2 3 p 2 bdquo 2 2 p 7 2

2 g 7 72 p 2 3 g

Se

L 2 3 2 p 7

2 3 2 3 D 2 a 7 2 p 2

P 7 V 7 g P 2 - P 3 = N 2 3 ( mdash gt p 2 L 2 3 f

3 3 - Expansatildeo nas secccedilotildees ( 3 ) - ( 4 )

Como vimos o balanccedilo das pressotildees e

2 2 2 p V p 4 V p V

P 3 + 2 g c

P 4 + 2 g c

+ k 3 4 2 g c

onde

k 3 4 - - -

2 2 1 P 4 - V 4 P 3 v 3

P 3 P 4 = 2 g + ( k 3 4 _ 1 ) 2 g

78

Sendo

P 3 - P 4

p 3 o A 3 deg V 3 = P 7

a A 7 o V 7

P 4A 4 0V 4 = P r A r V

3 7 A 3 p 3

A7 P7 V = v mdash mdash 4 7 P 4

P - P 3 r4

Se

P bdquo - P

bdquo2 r-P 7 V 7

3 4 2g deg74 + ( k 3 4 1 ) deg73

34 p deg74 + ( k 3 4 1 ) 73

p r v2

P3- P4 ^ N34 ^ gt

(No caso e negativo)

34 - Contraccedilatildeo nas secccedilotildees (5) - (6)

Ainda temos uma so fase e fazendo o balanccedilo das pressotildees

como fizemos no item 3lt1 vem

P + vil p + vi + k vi P 5 + 2gbdquo P6 + 2gbdquo + k56 2gbdquo

k 5 6 lt 1 ^ gt 2 ( 1 - Iacute 2 i 2 6

V V6 P5degIacute 5^6 ^SS 2g c - 2g c

P - P ^ = (1+kJ

Como

79

A 6

W p 5 =

VV P6 V 5 = V 6 Jiexcl = Vff65

P 5-P 6 - lt H k 5 6 ) mdash ^ mdash (l+k 5 6-a 6 5) c c c

Sendo

Se

A 7 p 7 p 7

6 7 Ag p 6 7 76 p 6

p _p _ P6- V7- g76 iquest72 ( _ 02 P 5 P 6 2g c bull ( p 6

( 1 + k 5 6 deg65 )

p 7 2 2 N56 = p ^ deg76 ( 1 + k 5 6 ~ a 6 5 )

P 7 V 2

7

P r-P = N r 5 6 56 2g c i

35 - Perdas de pressatildeo nas zonas (6) - (7) - Pre^aquecimento

Nesta regiatildeo temos perdas por atrito e hidrostaacuteticas

Nao haacute perda por aceleraccedilatildeo pois ainda natildeo houve formaccedilatildeo de boshy

lhas

Fazendo balanccedilo das pressotildees temos

L_ ppound-V p = p + otilde L - pound _ + f -Si (-21mdashL 6 7 + p67 L67 g + t 6 7 D K 2g

p _ e ifn sao tomados como valores meacutedios 67 67

P _p _ f hl ^67jIacute uuml + - L A

6 F 7 r67 D 2g P P67 L67 g 6 s c 7 c

S e Kr pound67 L67 p67 6 7 D 6 p7

p7 V - _g_ P6- P7 - N67 mdash + P67 L67 f

c c

80

36 - Perda de pressatildeo nas zonas (7) - (8) - Zona de ebuliccedilatildeo

Nesta regiatildeo j aacute temos o aparecimento de bolhas logo a

perda de pressatildeo seraacute devida agraves t recircs parcelas aceleraccedilatildeo a t r i t o

das duas fases liacutequidas + vapor e h idros taacute t ica

onde

Assim

P-P Q = AP + AP + APbdquo 7 8 a t r i t o acel H

T M1

78 p 7 7 AP - R f- - mdash mdashr |R = fator mult ipl ica-

a t r i t o 7 D 7 2 g c L tivo

G 2

AP bull r mdash acel g c

P V

|_1 - o a p J 8 P f

2 t r 2 M2

7 7 r 7 7 A P a c e l = -J^mdash 2 r bull p 7 lt T iexcl iexcl - )

A PH p 7 8 L 7 8 fiexcl

p 7 8 iacute 7 li 1 0 0 P l i q + a P v ] d L = P 7 ( 1 - laquo 7 8 )

ag raquo fraccedilatildeo de vazio media entre 7 e 8

APH = p (1 - 5 7 g ) f- L 7 8

2 2

P 7 - P 8 a 5 - 2 T i + 2 r p 7 + P 7 ( 1 - 7 8 gt f L 7 8 7 amp c amp c amp c

81

N 7g = R mdash + 2 r p 7

P7 V7 P7- P8 = N78 + P 7 ( 1 5 7 8 gt J78

37 - Expansatildeo nas secccedilotildees 8 e 9

No caso haacute uma expansatildeo com duas fases e como vimos no

item 12 a variaccedilatildeo de pressatildeo era dada por

0f Vo P2 P1 = ~2g c ( 2 deg12

x 2 (mdash)(mdash - mdash ) + ( l - x ) 2 ^ T mdash 8 1 2 1

12

Aplicando ao nosso caso

P pound = P 7

P -P = 8 9

V - V raquo V g f 7

P 7 V 2

2 pf 1 a89 2 1 g89 x (mdash) ( ) + (1-x) (- - N

o ou abdquo 1-cu l-ot_) g 8 9 8 9

Se

N 89

= 2 a 89

2 pf 1 deg89 2 1 CT89 x (mdash) ( ) + (1-x) ( T

g 8 9 8 9

P -P = 8 9

- N P7deg V7

89 2gbdquo

38 - Perda de pressatildeo no trecho 9 e 10

No referido trecho temos apenas perda de pressatildeo por atr L

to da fase liacutequido + vapor e perda hidrostaacutetica Natildeo haacute perda por

aceleraccedilatildeo do vapor pois este natildeo recebe mais calor e portanto

o 82 o

nao ha variaccedilatildeo no a

p

Q -p i n = A P

U + A P bull 9 10 H atrito

n T -S_ P9 U10 deg 910 bull g

fio r

910 I 910

J9 L

(l- a)P + Q P I dL liq v

(l-a0) p

No caso a = (nao hatilde variaccedilatildeo de forma)

A P H - (1-a ) P (p L 0

c

AP bdquo = R o

atrito

2 f9 o L910 P9 V9

2g

Supondo

= V

P 9 = P 8 P 7

vbdquo = v 9 8 0 A r

= V 7 bull deg89

AP - R atrito

2 2

W l O p7deg V7deg g89

V P10 R -^T^ bull deg89 bull li-2 + ( W P 7 (fgt SIO

y c c

Se

- f9 L910 2 N9ol0 R Dl deg89

w 2

p rv P9 P10 = VlO + ( 1 a 9 ) p7 (f gt L910 c

33

39 - Perda ciacutee pressatildeo na expansatildeo 9 - 1 0

Analogamente a expansatildeo 8 - 9 temos

10 11 P 7 2g

10 Iacute 2 0 1 0 - 1 1 gt

2 ff

pg aio

10-11

laquo11 ) +

Ll-a 1 0 bull l-a u J

Se

V10 = V 9 = V 8 bull T9 = V 7 deg89

P -P 10 rll = - a 2g 089 ^lO-ll

4 bull T~ bull (7 1 mdash ) + Pg degio a n

+ (l-x)2(- 1 10-11

1 - aio )

N10-ll = 2 a10-ll a89 2 pf t 1 10-11 N2

-(j-r- - ) bull+ (1-x) pg aio deg 1

10-11 k l - a io

prz P10 Pll = - N10-ll bull ( 2gbdquo

310 - Calculo de V

Fazendo a somatoacuteria de todas as expressotildees (P^-Pj) tere-

84

mos 2 PbdquoV_

P bdquo - P bdquo = N 7 v 7

1 2 12 2g

bull 2 - P 3 - = N 2 3 P 2 L 2 3 f c ccedil

9 P 7 V 7 P _p = N mdash -

3 4 34 deg 2g

V P 5 = deg

2 P V

5 6 56 2 g c

ltr2

P 7 -V 6 e7 -N67 2g + p 6 7 J j67 g

c bc v 2

P 7 - P 8 = N 7 8 - 2 i ~ + p 7 ( 1 - laquo 7 8 ) L 7 8 c

P 7 V 7

P - P - -N mdash - -8 9 89 2g

c P 7 V 7

P 9 ~ P 1 0 VlO 2g + ( 1 a 9 P 7 L 9 c

P 7 V 7

bull10 11 U10-ll 2g

P v iacute j P - P

1 11

7 - v 7 3 bull r

2 8 i U L 2 23 67

(l-5 7 8) L 7 8 + ( l - laquo 9 ) P 7 bull SlOtilde]- ^

Por ou t ro lado sabemos que como secccedilotildees 1

mesmo n iacute v e l

85

s c p r v 7 j

28 Z N i ij

= P 2 L23 p67 L67 P 7 ( 1~deg78 )

78 ~ ^g) bull P 7 bull L 910 g_

V - 2 g ( p r L 2 3 - p 6 r L 6 7 - p 7 ( l - atilde 7 8 ) L 7 8 - (l-a9) p L 9 a ( )

y N

Com esse valor de podemos determinar todas as variashy

ccedilotildees de pressatildeo (P^-P )

BIBLIOGRAFIA

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tituto de Energia Atocircmica de Sao Paulo em 1966 (roteiro)

- WR Gambill - Nuclear Safety

Vol 9 - n9 5 e 6

Vol 6 - n 2 (pag 152)

Vol 4 -r n9 1 (pag 30)

Volbdquo 5 - n 2 (pag 151)

- WRo Gambill - Chemical Eng Prog ndeg 54 (Outubro)

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- Jakob Max - Heat Transfer (vol I)

Mc Adams - Heat Transmission

- Paul A Lottes - Argonne National Laboratory

- AKL - 6469

- ANL - 6561

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Frank Kreith - Principles of Heat Transfer

Journeacutees Internationales de la transmission de la chaleur

Seminaacuterios realizados em Paris em 1961 sob a supervisatildeo do

Prof Marcel Veron

Notas de aula da Cadeira de Termodinacircmica I e Transmissatildeo da

Escola Politeacutecnica da Universidade de Sao Paulo

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24

tempo

Ateacute os estudos de Nukiyama nao se conseguia explicar o

porque da variaccedilatildeo crescente da velocidade de resfriamento quando

t gt t sol sat

2 PROCESSO DE FORMACcedilAtildeO DAS BOLHAS

Como a evaporaccedilatildeo do liacutequido se faz sobre uma superfiacutecie

aquecedora sobre esta irao se formar bolhas de vapor que influem

decisivamente no fenocircmeno

Aqui soacute iremos estudar as bolhas sob o ponto de vista qua

litativo bem como a sua influencia mas nao sob o ponto de vista

quantitativo

Recentemente Fritz e Jacob WR Gambill e outros estudiacutei

ram o processo da formaccedilatildeo das bolhas sobre a superfiacutecie aquecedpound

ra Atraveacutes de fotografias verificaram que a bolha de vapor ain

da em contato com a parede variava profundamente de forma confo_r

me o angulo de contato entre liacutequido e parede metaacutelica

Assim eacute que se a superfiacutecie de aquecimento nao e excesshy

sivamente polida e a tensatildeo superficial do liacutequido eacute pequena a

bolha tem a forma da figura las diz-se nesse caso que o liquishy

do molha a parede neste caso o angulo de contato e agudobull Se

as condiccedilotildees contrarias se verificarem o acircngulo de contato sera

obtuso e as bolhas tomam a forma da figura ldegb Naturalmente ve

rificara-se as condiccedilotildees intermediaacuterias para o angulo de contato da

25

fig lc

Fig la Fig lb Fig lo

0 estudo analiacutetico da formaccedilatildeo e crescimento das bolhas

pode ser encontrado em diversos livros por exemplo no El-Wakill

(Nuclear Power) no Jakob (Heat Transfer)e outros Neles faz-se

o estudo das condiccedilotildees do liquido (pressatildeo temperatura tensotildees

etc) para haver ou nao formaccedilatildeo de bolha Isto eacute feito fazendo-se

o estudo das bolhas nas seguintes posiccedilotildees

a) bolha no seio do liacutequido

para meia bolha

4 ltP g - P fgt fg

onde

P g P f

- 4 D (D

g

Pf

D

pressatildeo do vapor

pressatildeo do liquido

tensatildeo entre superfiacutecie do liacutequido e vapor

diacircmetro da bolha

^f g

P f Fig 2

26

A equaccedilatildeo (1) mostra que a pressatildeo do vapor deve ser maior

que a do liquido nas condiccedilotildees de saturaccedilatildeo e este por sua vez

deve estar no estado de superaquecimento o

b) bolhas sobre superfiacutecie solida

Fig 3

Condiccedilotildees para desprender

a mdash o_ + o_ cos a gs fs fg

tensatildeo na interfase liacutequida e vapor (depende das

propriedades do liacutequido e vapor)

tensatildeo entre o liacutequido e superfiacutecie de aquecimen

to (depende das propriedades do liquido e da sushy

perfiacutecie)

tensatildeo entre o vapor e a superfiacutecie de aquecimeri

to (depende das propriedades do vapor e da super

fiacutecie)

21 - Formas do fluxo do vapor desde a superfiacutecie de aquecishy

mento ateacute a superfiacutecie livre do liacutequido

Considerando liacutequido vaporizado em tubos verticais pode^

mos ter 4 tipos de fluxo de vapor

1 - fluxo de bolhas

2 - fluxo de agregados (plug ou slug)

3 - fluxo anular

4 - fluxo disperso

Os quatro tipos ficam bem determinados respectivamente

onde

a fg

degfs

a gs

27

pelas 4 figuras abaixo

LIacutequido - Liacutequido Liacutequido

o

^Bocirclha de

vapor

Vapor

mdash [

- Vapor

mdash 0 0

deg_ a-

jrj-

iquestiexcl5

Bolhas Agregados Anular

Liacutequido

vapor

Disperso ou

Homogecircneo

Conforme o tipo de ebuliccedilatildeo podemos ter uma so das forshy

mas acima ou uma mistura

3 INCERTEZAS NO ESTUDO DA EVAPORACcedilAtildeO

Ha trecircs incertezas principais para determinar o fluxo de

calor na evaporaccedilatildeo a saber

- Aacuterea de contato indefinida

- Diferenccedila de temperatura indefinida

- Grau de turbulecircncia

Como realmente nos nao sabemos uma dependecircncia algeacutebri

ca entre o acircngulo de contato e a superfiacutecie ocupada pelo liacutequishy

do (ou vapor) temos uma incerteza na determinaccedilatildeo da aacuterea de tro

ca de calor (A)

Outra incerteza eacute a dificuldade da obtenccedilatildeo de diferenccedila

de temperatura entre o liacutequido e a parede que normalmente assume-

-se como sendo a diferenccedila entre a temperatura da parede e da ebu

liccedilatildeo do liacutequido (temperatura de saturaccedilatildeo = t )

S cl c

Na realidade a diferenccedila de temperaturas nao eacute aquela

pois a camada de liacutequido que cobre a superfiacutecie aquecedora esta

a uma pressatildeo maior que o resto do liacutequido (pressatildeo atmosfeacuterica

mais a hidrostaacutetica) e consequentemente a temperatura de vaporiza_

ccedilao desse liacutequido e maior que a da superfiacutecie Esta diferenccedila po-

28

deria ser calculada desde que se conhecesse a relaccedilatildeo entre presshy

satildeo e temperatura de saturaccedilatildeo do liacutequido entretanto haacute incerte

za quanto ao verdadeiro peso especiacutefico da coluna de liacutequidopois

trata-se de uma mistura de bolhas de vapor e de liacutequido em proshy

porccedilatildeo variaacutevelraquo

4 REGIMES DE EBULICcedilAtildeO

Nukiyama estudando a ebuliccedilatildeo da aacutegua num recipiente a

quecendo-a com resistencias eleacutetricas construiu a curva baacutesica da

ebuliccedilatildeo Todos os liacutequidos apresentam uma curva semelhante vashy

riando apenas os valoresraquo Os pontos caracteriacutesticos da curva deshy

pendem de caracteriacutesticas difiacuteceis de definirtais como natureza

do metal estado da superficie (rugosidade) dimensotildees orientashy

ccedilatildeo do fluxo quantidade de gases dissolvidos e t c

Estudaremos o fenocircmeno para o caso de aacutegua destiladasem

gas dissolvido a temperatura de saturaccedilatildeo 100 C pressatildeo atmosfe_

re uma superficie plana

Chega-se assim acirc curva

rica sobre uma superficie plana horizontal a temperatura t^

In ltJgt

At (degC)

A curva acima representa o aquecimento de agua com uma re_

sistecircncia eleacutetrica (ate ebuliccedilatildeo)raquo Temos em abcissas as diferenccedilas

de temperatura entre o liacutequido e a resistecircncia em ordenadas o flu

29

Regiatildeo I

Regiatildeo II

Regiatildeo III

Regiatildeo IV

xo de calor por unidade de area

Na curva notam-se 4 regiotildees bem definidas tendo cada uma

o seu significado fiacutesico os quais correspondem a um tipo de ebuli

ccedilao

convecccedilao natural

ebuliccedilatildeo nucleada

ebuliccedilatildeo por peliacutecula parcial

ebuliccedilatildeo por peliacutecula estaacutevel

41 - Convecccedilao natural

Ocorre quando At eacute inferior a 8degCformam-se no liacutequido

correntes convectivas as quais transferem o calor ateacute a superfiacuteshy

cie livre do liacutequido e aiacute desprendendo o vapor Neste caso o valor

de h eacute da ordem de 2000 kcalm^hdegC

42 - Ebuliccedilatildeo nucleada

Ocorre quando o At eacute maior que 8degC e menor que 25degC Nesshy

te caso as bolhas formam-se junto a superfiacutecie de aquecimento

crescem liberam-se movimentam-se em direccedilatildeo agrave superfiacutecie livre do

liacutequido onde estouram libertando o vapor As bolhas formam-se nas

irregularidades da parede tecircm um acircngulo de contato agudo e porshy

tanto hatilde liacutequido sempre em contado com a parede (molha a parede)

cada ponto ativo (lugar onde se formam as bolhas) libera uma porshy

ccedilatildeo de bolhas e os outros pontos do liacutequido ficam em contato com a

superfiacutecie quente violentamente agitados Esta agitaccedilatildeo extrema eacute

mais eficaz que uma turbulecircncia criada artificialmente Por esse mo

tivo a curva cresce violentamente nesse trecho (m = 3 a 7) pois

bull 2 o o valor de h cresce consideravelmente (ate 46000 kcalm hr C) e

o fluxo teacutermico transmitido ao liacutequido cresce proporcionalmente a

Quando cresce crescem tambeacutem

(At) 3

30

numero de bolhas por unidade de aacuterea (num instanshy

te)

~ = crescimento da bolha (com o tempo)

frequecircncia de iacuteormaccedilao de bolhas

A medida que o At vai aumentando iraacute aumentando (jgt tam-- n o N

bem e consequentemente mdash R mdash a a a tal ponto que quando atiacuteii

girmos o ponto da curva nao haveraacute mais formaccedilatildeo de bolhas

mas sim uma peliacutecula de vapor instaacutevel passando assim a 3a re

giao que estudaremos a seguir

43 - Ebuliccedilatildeo por peliacutecula parcial

Como dissemos no item anterior se aumentarmos ainda mais

o At (entre 25degC e 125degC) teremos a formaccedilatildeo de uma peliacutecula de

vapor instaacutevel sobre a superfiacutecie quente que aacutes vezes eacute perfurashy

da pelo liacutequido A camada de vapor tanto mais estaacutevel seraacute quanshy

to maior focircr o At Essa peliacutecula de vapor iraacute provocar um decreacutes_

cimo consideraacutevel no fluxo teacutermico porque como sabemos o vapor

eacute muito pior condutor que a aacuteguaraquo

0 fluxo vai decrescendo ateacute um ponto miacutenimo (iexclgt mintilde (as vecirc

iacutebo bullraquo 1

zes chega a ser mdashj-) e e o chamado ponto de Liedenfrost 0 coeshy

ficiente de peliacutecula neste caso cai violentamente (h = 2000

kcalm^hrdegC)

44 - Ebuliccedilatildeo por peliacutecula estaacutevel

Aumentando ainda mais a diferenccedila de temperaturas

At ( gt 125degC) iremos conseguir uma camada de vapor estaacutevel Ela

transmite calor da superfiacutecie quente ao liacutequido que se vaporiza de

modo que o excesso de vapor formado na interface liquido-vapor for

ma bolhas que sobem para a superfiacutecie 0 liacutequido encontra-se agi-

31

tado poreacutem nao toma contato com a superfiacutecie soacutelida

A peliacutecula de vapor eacute estaacutevel e o fluxo eacute proporcional a

34

(At) (lei de Bromley) Para At grandes passa a influir sensivel^

mente a radiaccedilatildeo teacutermica mais uma razatildeo para demonstrar que nesshy

ta regiatildeo o fluxo cresce novamente

5 CONSIDERACcedilOtildeES E COMPARACcedilAtildeO ENTRE OS TIPOS DE EVAPORACcedilAtildeO

BURNOUT

Sob o ponto de vista de eficiecircncia teacutermica deveriacuteamos sem

pre trabalhar no ponto de fluxo maacuteximo isto eacute no ponto correspon

dente a lt(gt da curva de Nukiyama pois eacute o que daacute maior coeficieri

te de peliacutecula

Acontece poreacutem que se impomos a temperatura da parede

fixa obtemos um uacutenico valor de lt(gt e portanto o fenocircmeno eacute estaacutevel

Poreacutem se como ocorre nos reatores impomos um fluxo teacuter

mico a curva de Nukiyama apresenta 3 pontos de funcionamento posshy

siacuteveis A B C

1

SOacute os pontos A e C sao funccedilotildees estaacuteveis mas eles impotildeem

acirc superfiacutecie quente temperaturas bem diferentes

Na industria em geral trabalha-se por questotildees de segushy

ranccedila na regiatildeo IV da curva poreacutem para os reatores trabalha-se na

32

r e g i atilde o I I

0 p r o b l e m a de t r a b a l h a r n a r e g i atilde o II eacute q u e se n oacute s e s t i shy

v e r m o s t r a b a l h a n d o n o p o n t o e x t r e m o (j) e se p o r q u a l q u e r m o t i v o

h o u v e r u m p e q u e n o a c r eacute s c i m o d e ltfgt i r e m o s t r a b a l h a r i m e d i a t a m e n t e no

p o n t o M q u e t e m o m e s m o $-^0t p o r eacute m c o m A t 2 m u i t a s v e z e s m a i o r

p o d e n d o o c a s i o n a r a f u s atilde o d a s u p e r f iacute c i e a q u e c e d o r a E s t e f e n ocirc m e n o

eacute c h a m a d o d e b u r n o u t

0 f l u x o lttgt eacute c h a m a d o f l u x o c r iacute t i c o o u f l u x o d e b u r -b o

n o u t N o c a s o do r e a t o r d e v e m s e r t o m a d a s m e d i d a s r i g o r o s a s q u a n

to agrave r e g u l a g e m do f l u x o t eacute r m i c o p a r a q u e n atilde o o c o r r a o b u r n o u t 1 1

p o i s d e l e p o d e r e s u l t a r r u p t u r a d a c a m i s a do c o m b u s t iacute v e l e h a v e shy

r aacute p o r t a n t o c o n t a t o do r e f r i g e r a n t e c o m o s s oacute l i d o s e g a s e s r a shy

d i o a t i v o s

5 o l - R e l a ccedil atilde o d e B u r n o u t

E c l a r o q u e p a r a t e r m o s u m r e a t o r m a i s e f i c i e n t e d e v e shy

m o s t r a b a l h a r c o m u m f l u x o o m a i s p r oacute x i m o p o s s iacute v e l do f l u x o d e

B u r n o u t P a r a t a n t o d e v e m o s c o n h e c e r c o m o m a i o r g r a u d e certe

za p o s s iacute v e l q u a l o ^ p a r a p o d e r m o s r e d u z i r o c o e f i c i e n t e d e s e shy

g u r a n ccedil a ( W R G a m b i l l r e c o m e n d a agrave 1 5 )

N o s s e m i n aacute r i o s d e W R G a m b i l l e n c o n t r a m o s u m a s eacute r i e de

b i b l i o g r a f i a s o n d e p o d e m o s e n c o n t r a r i n uacute m e r a s f oacute r m u l a s p r o p o s t a s

p a r a a o b t e n ccedil atilde o de (q 1^)

A t i t u l o d e e x e m p l o v e j a m o s a l g u m a s

q - 2 7 0 G deg gt 8 5 D 0 2 A085 p lt 150

deg D ( L uuml ) 2

q - 140 G 0 5 D ~ deg 2 (-~-)~deg 1 5 p ~ r gt 150 c D (LD)

o n d e a m b a s as e q u a ccedil otilde e s s oacute v a l e m p a r a aacute g u a e m b a i x a p r e s s atilde o e m coii

v e c ccedil a o f o r ccedil a d a

33

D

L

fluxo teacutermico critico BTUhrft bdquo 2

descarga em massa do liquido (Ibmhrft )

diacircmetro do tubo ft

comp do tubo ft

Para cada caso temos uma expressatildeo diferente que pode ser

encontrada em literatura especializada

6 INFLUEcircNCIA DE OUTROS PARAcircMETROS NO FLUXO DE BURNOUT

Como para os usos atuais do reator a diferenccedila de temppound

ratura entre parede e fluido sao pequenas bem como o fluxo de bur

nout recentemente fiacutesicos como Jakob Bonilla WR Gambill estu

daram outros paracircmetros que influenciam bastante o sect^ 0gt isto eacute a

influecircncia desses paracircmetros faz com que o ^ seja maior Isto eacute

util pois quanto maior o fluxo de burnout maior poderaacute ser o

fluxo de calor real de funcionamento

Tais meios sao

- Sub-resfriamenCcedilo do liacutequido

61 - Influecircncia da velocidade do liacutequido

Estudos feitos pelos autores acima chegaram agraves curvas

- Aumento da velocidade imposta ao liacutequido

- Pressatildeo do liacutequido elevada

alto V

At

34

Para velocidades maiores o fluxo de burnout aumenta

porque neste caso o regime eacute turbulento e o coeficiente de peliacute

cuia h aumentao

6bdquo2 - Influencia do aumento da pressatildeo

Este estudo deve-se a Bonilla que obteve experimentalmen

te as curvas

Este estudo foi feito para vaacuterios liacutequidos e chegou a con

clusao que sempre havia uma pressatildeo oacutetima isto e uma pressatildeo que

leva ao maior iacute 1 ^ raquo mantidas as demais condiccedilotildees Experimentalmenshy

te notou que essa pressatildeo correspondia a 13 da pressatildeo critica

do liquido em questatildeo

6=3 - Influecircncia do sub-resfriamento

Consiste em manter atilde custa de uma circulaccedilatildeo intensa o

liacutequido a uma temperatura inferior atilde de saturaccedilatildeo para a pressatildeo

correspondenteraquo Experimentalmente chega-se agraves curvas

mdash A t grande sub

bullAt -0 sub sub

medio

At

35

Verificando os graacuteficos vemos que o lt)gt aumenta agrave medida bo

que aumenta a diferenccedila de temperatura de sub-resf riamento isto pojr

que o liquido como estaacute mais frio faz com que algumas das bolhas

recondensem permitindo que o liquido fique em contato com a parede

quente o que faz aumentar o h

^ f csub = t e m P e r a t u r a ddeg liacutequido - temperatura de saturaccedilatildeo

A diferenccedila de temperatura At entre fluido e parede tamshy

beacutem aumenta poit na regiatildeo proacutexima agrave parede haacute necessidade de

levar o liacutequido da temperatura do sub-resfriamento ateacute a temperatu

ra de saturaccedilatildeo quando se evapora

Atualmente os maiores estudos dos fiacutesicos nucleares locashy

lizam-se neste campo pois eacute o que oferece maiores vantagens

7 FORMULAS PARA 0 CAacuteLCULO DO COEFICIENTE DE PELIacuteCULA NA EBULICcedilAtildeO

Como ocorre no caacutelculo de todas as foacutermulas de convecccedilatildeo

temos formulas empiacutericas para determinar o h conforme o tipo de

ebuliccedilatildeo que nos consideramos

71 - Ebuliccedilatildeo Nucleada

Para o caso de aacutegua temos as relaccedilotildees

superfiacutecies

horizontais

superfiacutecies

verticais

f aacute 5000 BTUhrft 2 -gtbull h = 151 ( A t ) 1 3

A o

5000 lt 75000 -h = 0618 (At)3

^ pound 1000 -raquobull h = 8 7 ( A t ) 1 7

A o -

1000 lt $ lt 20000 -gt h = 027 (At) A o

Quando a pressatildeo e diferente da atmosfeacuterica faz-se a correccedilatildeo

3 6

72 - Ebuliccedilatildeo por peliacutecula

Bromley propocircs uma boa equaccedilatildeo para a ebuliccedilatildeo por peliacuteshy

cula estaacutevel em cilindros horizontais

Nu

_ JtjD n r 9 P v bull ( P L - P v gt - g -h

e V bull D i2

D 1 ^ U b Z u At gt

onde

V = indica vapor

L = indica liacutequido

Multiplicando ambos os membros da equaccedilatildeo acima por

kvD obteremos a expressatildeo do coeficiente de convecccedilagraveo meacutedio para

o caso

37

C - FORMULAS PARA CAacuteLCULOS ESPECIacuteFICOS - RESULTADOS ESPECIacuteFICOS

1 FLUXO DE CALOR CRIacuteTICO - BURNOUT

lol - Introduccedilatildeo

O aspecto mais importante no que se refere agrave seguranccedila

dos reatores da transferencia de calor na ebuliccedilatildeo eacute a determina

ccedilatildeo do Fluxo de calor critico ou de pico ou burnout

Como jatilde vimos quando temos a ebuliccedilatildeo nucleada a dishy

ferenccedila de temperatura entre refrigerante e superfiacutecie de aqueci

mento e pequena poreacutem quando atingimos o fluxo de calor criacutetico

essa diferenccedila de temperatura pode tornar-se imediatamente muishy

to grande podendo causar a ruptura da superfiacutecie de aquecimento

se atiigirmos o ponto de fusatildeo do soacutelidoraquo

Usando a convecccedilao

onde

At sat

w

sat At

sub

w = temperatura da parede de aquecimento

t t = temperatura de saturaccedilatildeo do liacutequido

t^ = temperatura de mistura do liacutequido

At = (t -t ) sub-resfriamento do liacutequido sub N sat b 1

nout

Ha dois tipos de burnout fast burnout e slow bur-

Ocorre o fast burnout (burnout raacutepido) quando A t g u b gt 0

38

ou para baixo x (~ lt 10) sendo x o titulo do vapor

Temos o slow burnout para x - gt 10 Assim noacutes tereshy

mos dois limites para o burnout

At bull o (ltJgt ) t =((() para t = t ) -

bo m m possiacutevel w sat

sub i

4L + 1

G c D h pl nb

(ltK ) = (ltpound para x = 1) = Dv-bo max possiacutevel e 4L

c At l + P 1 sub i

onde

L = comprimento do canal

D = diacircmetro do tubo

G = descarga de liacutequido (por unidade de aacuterea)

c ^ = calor especiacutefico do liacutequido

Agrave = calor latente de vaporizaccedilatildeo

h ^ = coeficiente de transferecircncia de calor na regiatildeo de

nao ebuliccedilatildeo

iacutendices

i = entrada

e = saiacuteda

Haacute inuacutemeras expressotildees para determinaccedilatildeo do burnout pro

postas por muitos fisicos cada uma aplicando-se a um caso especiacuteshy

fico vejamos algumas delas

12 - Equaccedilotildees para prediccedilatildeo de Burnout

121 - Equaccedilatildeo de Bragg e Smith (Zuber)

Num artigo publicado por Bragg e Smith encontramos uma f oacute_r

mula que e derivada da formula de Kutateladze e nos daacute o fluxo cri

39

tico quando nao temos sufaresfriamento

bo poolsat v V raquoc a ( p l P V )

2 PV

14

onde

ltiexclgt = fluxo de calor critico bo

k = constante

Ly = calor latente de vaporizaccedilatildeo do refrigerante

= densidade do liquido

pvr = densidade do vapor V a = tensao superficial

g = fator de conversatildeo c

a = aceleraccedilatildeo da superficie de aquecimento

Os autores encontraram para k um valor de 062 entreten

to outros autores como Zuber incluindo outras variaacuteveis que In

fluiam no fenocircmeno encontraram k variando entre 008 e 023Esshy

tudos bem elaborados mostram que o valor mais aproximado eacute

k = 015 (- 003)

1-22 - Equaccedilatildeo de Noyes

Noyes estudou o burnout para o soacutedio agua e alguns liacute

quidos orgacircnicos

( W s a t ~ bdquo 0245 bull ( r ( 1 )

iiacute_ V 1 Pr

onde

N n = Nuacutemero de Prandtl da fase liacutequida x r

Mais tarde o proacuteprio Noyes alterou a equaccedilatildeo para

n ^ - n H Iacute I Pl PV gt0538 deg g c a q 4 ( W s a t deg 1 1 6 PV ( - p 7 ~ ) (77T1^ ) ( 2 )

40

A ultima correlaccedilatildeo proposta por Noyes foi

a n prPV0560 112

1

(a bull a) 13

(ag c) 112

(3)

onde

a = difusividade teacutermica do liacutequidoraquo A equaccedilatildeo (3) eacute bashy

seada em todos os dados de burnouts do soacutedio bem

como da atildegua benzeno difenil e outros De 111 pontos usados 90

+ estatildeo relacionados dentro de - 30bdquo

ldeg2o3 - Burnout com convecccedilao forccedilada e sub-resfriamen

to

Aproveitando os resultados de aproximadamente 240 testes

de burnouts com aacutegua sub-resfriada em fluxo de convecccedilao forccedilashy

da feitos na Ruacutessia Labuntsov elaborou uma boa equaccedilatildeo empiacuterica

para o problemabdquo

Esta relaccedilatildeo aplica-se para velocidades entre 2 3 e 148

ftsec pressotildees entre 1 e 201 atmabs sub-resfriamento entre 0 deg

e 432 degF e fluxos de burnout entre 0 4 x IO 6 x 166 x 1 0 6 BTUhr

2 bdquo

bullbo

onde

e a seguinte

6 ( P ) 1 + 0 2 3 2 V 2

14

e ( P ) 1 +

15 c At _p_ sub

12 (a)

9 ( P ) - P 1 3 o ( 1 - P J 4 3

red

= pressatildeo (atm abs)

pressatildeo reduzida = mdash mdash red r P

t_ c = pressatildeo critica

= velocidade do liacutequido (ftsec)

= calor especiacutefico do liacutequido (BTUlbdegF)

4 1

^ tsub = ^ ^ e r e n Ccedil a ^ e temperatura entre a temperatura de

mistura do liacutequido e a de saturaccedilatildeo (degF)

X = calor latente de vaporizaccedilatildeo (BTUlb) 2

ltiacutegtbo = fluxo de burnout (BTUhrfl )

Uma outra correlaccedilatildeo para o caso foi proposta por

Ornatsky e Xiohigin que fizeram experiecircncias para pressotildees entre

10 e 1 5 0 3xm 90 degF lt At ^ lt 4 5 0 deg F 3 7 1 0 6 ( l b h r o f t 2 ) lt G lt

2 2 2 10 b ( l b h r bdquo f t 2 )

lt ^ = 3 2 5 0 (G o A t bdquo J deg 6 ( - i - ^ ) 2 5 ( b ) bo sub

onde

G - descarga de refrigerante por unidade de aacuterea

P ^ v P v - densidades do liacutequido e do vapor

P1~ PV -0 termo (mdash ) e incluido na expressatildeo (b) para indicar

a influecircncia da ^ pressatildeo sobre o

Uma comparaccedilatildeo entre as equaccedilotildees (a) e (b) foi feita para

o Reator de Isoacutetopos de Alto Fluxo (HFIR) nas condiccedilotildees aacutegua a

600 psia velocidade = 45 ftsec e sub-resfriamento = At^^ 1

degF obtendo-se uma diferenccedila de 6 5 entre ambos (4gt = 6 0 5 1 0 b

2 ~ 6 2 BTUhr ft pela equaccedilatildeo (a) e 6 4 5 10 3TUhrraquoft pela equaccedilatildeo

(b)

Ilatilde ainda a equaccedilatildeo de Ivey e Morris aplicaacutevel somente pa_

ra ebuliccedilatildeo com grande quantidade de liacutequido

( c sub t

Cpf bull A tsub

( bull ) s ~ V P bdquo 10 h V sat V g

onde

(ltL ) = fluxo critico com sub-resfriamento c sub

(ograve ) ^ - fluxo critico sem sub-resfriamento c sat

42

c ^ = calor especiacutefico do liacutequido

= calor latente de vaporizaccedilatildeo

124 - Burnout com convecccedilao forccedilada e ebuliccedilatildeo por bocirc-

Ihas

Gambill fez uma extensatildeo da equaccedilatildeo de Levy e aplicou o

metqdo da superposiccedilatildeo Tal extensatildeo consiste natilde subtraccedilatildeo de uma

razatildeo equivalente de massa transferida dos termos que represenshy

tam a ebuliccedilatildeo e convecccedilao para levar em conta a presenccedila do vashy

por no fluxo

A correlaccedilatildeo pode ser escrita assim

24 V P V

o g c a (p^Py) 14

+ 0696 (k p c ) 12

(

pr p v )i4 o g c a (P-L-Py) 18

bull At + h sub nb

044 p v L v G (g1) bull N2 n

p l P V

( pr p v ) d e 2-7

2 4 TT 0

14 ( f e _ ^ r l 3

lO^u

onde

k = condutividade teacutermica

c = calor especiacutefico

A t s u b ~ s ub-resfriamento do liacutequido

h = coeficiente de transferecircncia de calor de nao ebu nb mdash

liccedilatildeo

G = descarga total do refrigerante

43

d g = diacircmetro equivalente do tubo ou canalraquo

]i = viscosidade

B = constante adimensional

Os iacutendices V e 1 representam vapor e liacutequido respectiva

mente

0 primeiro termo entre chaves da equaccedilatildeo representa o flu

xo de calor no burnout de sub-resfriamento em convecccedilao forccedilada 0

segundo termo entre chaves corresponde ao fluxo de calor transferi^

do para a massa da fase vapor

1-25 - Burnout por Bloqueio da Base

Ocorre quando a profundidade do recipiente eacute muito maior

que a largura 0 bloqueio da base eacute causado pela formaccedilatildeo de uma pe_

licula de vapor na base impedindo que o liacutequido toque o fundo do

recipiente

i De

Este eacute o burnout por flooding isto eacute burnout por expul

sao do liacutequido Uma equaccedilatildeo que nos dacirc o fluxo minimo do burnout

parao caso eacute

44

onde

D g = diacircmetro equivalente

L = comprimento do tubo

= calor de vaporizaccedilatildeo

p^Py Ap = densidade do liacutequido do vapor e diferenccedila en

tre ambos

Para um fluxo de calor maior ou igual ao dado pela expres_

sao acima (mantida a mesma geometria) teremos burnout Para um deshy

terminado fluxo existiratildeo sempre um comprimento L e um diacircmetro equi

valente D e para os quais temos burnout Exemplo

L (in) D e(in)

10 11

100 51

1000 235

2 RESULTADOS ESPECIacuteFICOS - FOacuteRMULAS PARA CAacuteLCULOS ESPECIacuteFICOS

21 - Diferenccedila de temperatura At i

13 a t

sat

At sat

poundatildeJL_ raquo t - t J p T T 6 w sat

onde

o laquo tensatildeo superficial entre liquido e vapor

t - temperatura de saturaccedilatildeo do liacutequido para a corres-Scl t

pondente pressatildeo

J equivalente mecacircnico do calor

X laquobull calor latente de vaporizaccedilatildeo

py = densidade do vapor

6 = espessura da camada de liacutequido superaquecido onde

45

k l

h nc

onde

k^ = condutividade teacutermica do liacutequido

h = coeficiente de peliacutecula nc r

Segundo Eckent h ^ c e dado por

P 2 Q

nc 3 V VP + 0952

r

onde

D = diacircmetro equivalente

G r = numero de Grashoff

P = nuacutemero de Pradtl

2 o 2 - Velocidade das bolhas

A velocidade das bolhas em meacutedia pode ser dada pela exshy

pressatildeo

V bdquo = Iacute ( a bull B Apl4 bolhas 5 ^ 2

p l onde

AP = P L - P v

Expressatildeo que vale quando a aceleraccedilatildeo eacute a da gravidade

baixa viscosidade do liacutequido e bolhas separadas

Vbolha = f t s e atilde m a x para aacutegua

2 bdquo3 - Diacircmetro das bolhas

2gc deg 12 D = 0015 3 ( mdash mdash 7 ~ ) d g Ap

5 =

46

onde

8 = acircngulo de contato (20 a 90deg) geralmente assume-O -1

-se igual a 50 para a agua em contato com metal

24 - Coeficiente de peliacutecula na ebuliccedilatildeo nucleada

a) Equaccedilatildeo de Rohsenow

Esta equaccedilatildeo nos datilde o fluxo de calor q na ebuliccedilatildeo nushy

cleadaraquo E oacutetima expressatildeo para muitos liacutequidos o efeito da presshy

satildeo eacute levado em conta na variaccedilatildeo das propriedadesraquo

Pf

fg

sat 17 = c

sg k y f h f g g( P f-p g)

n033

onae

Pf

fg

Pf Pg c sg

= fluxo de calor requerido (BTUhr0ft^)

= calor especiacutefico do liacutequido saturado (BTUlbm0F)

= calor latente de vaporizaccedilatildeo (BTULbm)

= nuacutemero de Prandtl

= viscosidade do liacutequido (lbrahrraquoft) ~ 8 2

= fator de conversatildeo 417 10 Ibmftlbflaquohr 2

= aceleraccedilatildeo da gravidade (fthr )

= tensatildeo superficial na interface liacutequida vapor

(lbfft) 3

densidade do liquido e vapor (lbmft )

constante adimensiacuteonal que depende de vaacuterios fashy

tores dentre os quais o grau de aquecimento en_

tre o fluido e a superfiacutecie de aquecimento e o

mais importanteraquo Independe da pressatildeo do sistema b) Equaccedilatildeo de Levy

Equaccedilatildeo valida para a aacutegua quando 100 lt p lt 2000 psiacutea

47

43 bdquo3

qu bdquo gat ^ T J h r t f t ^

495

25 - Calculo do fluxo de calor no Ponto de Leidenfrost

0 ponto de Leidenfrost como vimos eacute o ponto em que oflu

xo de calor comeccedila ncamente a crescer isto eacute o ponto onde termal

aa a ebuliccedilatildeo instaacutevel e comeccedila a ebuliccedilatildeo por peliacutecula estaacutevel Eacute

o chanado fluxo miacutenimo (egrave ) m m

Aproximadamente quando A t g u k = 0 temos

A _ mdash _ mdash (Gambill) m m 5

Ha entretanto varias expressotildees para determinar esse flu

xo eis uma delas

A p 14 ltjgt = 009 h pbdquo (o raquo g mdash ) y m m fg P V deg 2

p l

26 - caacutelculo do fluxo de calor na regiatildeo de ebuliccedilatildeo por peliacute

cuia estaacutevel

para cilindros jmdashi i li

_ D 0172 k-V - P V A p h l V bull S 14 li - = 062 (mdashmdash) (- j- r rmdash) convecccedilao A 0 ybdquo (t -t )

c V w sat

onde

= condutividade do vapor

- 2 TT ( mdash )

c gAp Vl = significam vapor e liacutequido respectivamente

para paredes verticais

L 0172 S deg7 A p bull hlV S q 4 h - - 080 (-^-)J- (-Iuml - Iacutemdash-convecccedilao X L u (t - t J)

c V w sat

48

Como nesta regiatildeo jaacute haacute nina influecircncia marcante da radia

ccedilao devemos levar en conta tambeacutem o coeficiente de peliacutecula de

vido a radiaccedilatildeo para determinar o coeficiente de peliacutecula total

Dos estudos atildea radiaccedilatildeo temos

h = a F pound(T 4 - T 4 J ( T ~ T ) rad w sat w sat

onde amp _ emissividade de superfiacutecie

a = constante de Stefan-Boltzman

F = fator de forma

Segundo WE Gambill o coeficiente de transmissatildeo total

ceve ser

3 iacutei = h + -7 h para h lt h t conv 4 rad r rad conv

Na expressatildeo acima existe o fator 34 porque a radiaccedilatildeo

faz variar um pouco a espessura do filme de vapor reduzindo asshy

sim o l l

conv

Quando tivermos h gt h gt o h^ ^ seraacute rad conv total

h f c = h + h t conv rad

Neste ultimo caso nao ha nenhum coeficiente porque a peshy

liacutecula de vapor jaacute eacute estaacutevel

27 - Grandezas caracteriacutesticas para a apua

Para pressatildeo igual a 1 atm = 1422 psia

At ^ = t - t = 5degC (iniacutecio da ebuliccedilatildeo nucleada) sat w sat 1

At t = 30degC sat crit

49

5 2 $ = 4 10 BTUhrft (para pressatildeo 1 atm)

0 fluxo critico cresce como vimos com a pressatildeo ate

atingir o maacuteximo quando a pressatildeo eacute aproximadamente 13 da pressatildeo

criacutetica Esse fluxo eacute

bull = 13 IO 6 BTUhrft 2 para p = 11000 psia (p pound = 32062 psia)

Ainda temos que para pressatildeo igual a 15 psia

h b o = 11000 BTUhrft degF - ebuliccedilatildeo nucleada

h f b = 30 BTUhrft 2 degF - ebuliccedilatildeo pelicular

Todos os resultados e formulas para caacutelculos especiacuteficos

apresentados nos itens 21 22 23 ateacute 27 sacirco aplicados somente

para sistemas onde haja ebuliccedilatildeo com grande quantidade de liquido

51

D - HIDRODINAcircMICA DOS SISTEMAS E QUEDA

DE PRESSAtildeO DENTRO DE UM CANAL

1 HIDRO-DINAcircMICA E QUEDA DE PRESSAtildeO

11 - Hidro-dinacircmica dos sistemas estaacuteveis

111 - Regimes de escoamento

A evoluccedilatildeo do escoamento ao longo de um canal aquecedor

de secccedilatildeo constante ciliacutendrico pode ser esquematizada pela figushy

ra 1 onde temos em abcissa o comprimento z do canal e em ordenada

a temperatura (T)

52

Na figura 1 nos representamos

a) 0 aspecto do escoamento fluido quando a entalpia do

- fluido aumenta Verificamos que o fluido entra no cashy

nal no estado liacutequido e assim permanece ateacute atingirmos a zona de

ebuliccedilatildeo local onde aparecem as primeiras bolhas A entalpia do

fluido continua aumentando e tem inicioa ebuliccedilatildeo franccedila onde as

bolhas se unem formando agregados posteriormente o escoamento to

ma a forma da figura ou seja torna-se anular disperso Finalmente

atingimos duas uacuteltimas fases do escoamento disperso (vapor uacutemido)

e vapor seco

b) A evoluccedilatildeo da temperatura meacutedia do fluido e da tempeshy

ratura da parede Note-se que a partir da cota a

temperatura da parede aumenta brutalmente podendo causar o

burnout

c) A evoluccedilatildeo do tiacutetulo do vapor (x) com o comprimento

do tubo e a evoluccedilatildeo da fraccedilatildeo (a) que definiremos no

item 11laquo2 com o comprimento do tubo

112 - Definiccedilotildees

a) Tiacutetulo ou qualidade do vapor (x)

massa de vapor na mistura x ~ massa total da mistura

x =

W _g_

g f

b) Fraccedilatildeo vazio (void fraction)

volume do vapor na mistura a = volume total da mistura (agua+vapor)

A relaccedilatildeo entre x e a num sistema parado pode ser obtida

assumindo um certo volume contendo 1 lbm de mistura em equiliacutebrio

teacutermicoraquo

53

O volume da mistura seraacute igual a (v + xv ) ft onde v eacute 3 r rg

o volume especifico (lbmft )

f - refere-se ao liquido

g - refere-se ao vapor

fg - refere-se a diferenccedila entre liacutequido e vapor

Numa mistura em equiliacutebrio se o liacutequido e o vapor estatildeo

saturados o volume do vapor presente eacute igual acirc sua massa vezes

seu volume especiacutefico v assim e

xv bdquo bdquo a mdash

V c + XV c

f gf

onde

- bull-bull uumlutiacuteisa vapor na mistura de 1 Ibm

v volume especiacutefico do liacutequido

v = volume especiacutefico do vapor o

V c = v - V

gf 8 r

Fazendo uma transformaccedilatildeo na expressatildeo acima temos

xv xv JS = Z-

v r+ x(v -v c) xv +(l-x)v t ri f g f g f 1 + Ul-x)xjv fv

1 + C(l-x)x]]vfvg

A fraccedilatildeo vazia tem a influencia de baixar a reatividade

do nuacutecleo nos reatores em que o refrigerante eacute tambeacutem moderador

Na equaccedilatildeo acima os valores de x e v sao tomados em tabe

las termodinacircmicas apropriadas para a pressatildeo do sistema A equashy

ccedilatildeo (1) mostra os grandes valores de a para pequenos valores de x

especialmente para baixas pressotildees Isto ocorre porqueaumentando

54

aacute pressatildeo o v decresce muito enquanto que o v f eacute mais ou menos da

mesma ordem de grandeza

Exemplo Calcular o a correspondente para x raquo 2 para aacutegua

leve atilde pressatildeo atmosfeacuterica

Da tabela para p laquobull 1 atm

v - 001672 ft 3lbm e v - 26800 ft 3lbm

1 + [(1-002)002] 001672268

0971 ou 97U

O grafico abaixo mostra a variaccedilatildeo do a com x para vaacuterias

pressotildees e para a aacutegua leve

x ()

tObservaccedilotildees da curva

Fig 2

1 - para x constante a decresce com a pressatildeo Para presshy

sotildees proacuteximas da criacutetica a aproxima-se rapidamente de

x Para a pressatildeo criacutetica as duas fases satildeo indistinguiacuteveis ea=x

2 - para cada pressatildeo dotdx decresce com aumento de x

3 - para baixos valores de x (que e o caso dos reatores

tipo Boiling) quando p decresce dadx cresce e torr

na-se muito grande paacutera baixas pressotildees Isto tem relaccedilatildeo com a epound

55

tabilidade do reator como veremos mais tarde

113 - Sistemas com fluxo

Todas as definiccedilotildees que noacutes vimos no item anterior refeshy

rem-se acirc sistemas em que a mistura esta fechada no recipiente Nes^

te caso natildeo havia movimento relativo entre as duas fases No entan

to se as duas fases da mistura se movem na direccedilatildeo vertical em

canais entre os elementos combustiacuteveis o vapor por causa de sua

flutuaccedilatildeo tem a tendecircncia de escorregar sobre o liacutequido isto e

move-se com velocidade maior do que a do liacutequido

Real Modelo

Pig 3

S -

Define-se neste caso a relaccedilatildeo de escorregamento (slip

ratio) (S) como sendo

V _i

V f

onde

V = velocidade do vapor

= velocidade do liquido

S modifica as relaccedilotildees entre a e x do item anterior S geralmen_

te gt 1 Define-se neste caso qualidade do vapor ou tiacutetulo como

sendo

_ fluxo de massa de vapor

fluxo de massa da mistura

Entatildeo se o fluxo de massa da mistura eacute m t(lbmhr) o flushy

xo de vapor seraacute = x m e o fluxo de liacutequido sera (1-x) m onde x

56

e o titulo do vapor para a particular secccedilatildeo (AL) da figura (3)

Devemos notar que neste caso x varia de secccedilatildeo para secshy

ccedilatildeo do tubo o exposto no paraacutegrafo acima vale considerando-se que

x e a permaneceram constantes na secccedilatildeo de espessura AL

Aplicando a equaccedilatildeo da continuidade as velocidades do va

por e liacutequido sao dadas por

o xm v

V vazatildeo = g g area A

V

(1-x) amp t v f

f A f

onde A e A f sao as aacutereas medias perpendiculares ao fluxo se as

duas fases sao imaginadas completamente separadas uma da outra

(figura 3) Assim temos

V x m v o A_ A v 0 ^ - 2 = iacute S t m _2L- JL JS m

V A (l-x)ui v 1-x A v U

f g t f g f

Sabemos ainda que para a secccedilatildeo considerada

volume do vapor na mistura a = volume total da mistura (agua+vapor)

A AL A pound g g

a = mdash a a = - mdash 1

(A+A )AL A f + g

A ou f _ 1 - a

A a 8

Substituindo em (2) vem

57

Esta expressatildeo pode ser rearranjada e obteremos uma relashy

ccedilatildeo entre x e a levando em conta o escorregamento Chega-se a

a = 1 ( 3 )

1+ [U-x)x3 igt

onde

v 4 laquo -- S

v lty o

Note-se que quando S=l (nao haacute escorregamento) caimos na

expressatildeo dada no item anterior

0 efeito do escorregamento eacute decrescer o valor de a pa_

ra um mesmo xbdquo Isto pode ser visto pela foacutermula (3) pois S gt lLo

go a decresce com acreacutescimo de S

Um alto S e entatildeo uma vantagem tanto para a transferecircnshy

cia de calor como para efeitos de moderaccedilatildeo Eacute uma vantagem para

transferecircncia de calor porque alto S significa alto V e portanto

maior turbulecircncia e maior contato do liquido com as paredes quenshy

tes Ha tambeacutem melhorias na estabilidade da reaccedilatildeo nuclear isto

porque como jaacute dissemos quando mdash7 diminui a estabilidade aumenshy

ta isso pode ser verificado observando a curva a versus x para a

agua leve a 1000 psiabdquo

Fig 4

58

A relaccedilatildeo entre x e a da equaccedilatildeo (3) so vale para secccedilatildeo

de tubo bem pequena

Devemos notar que S varia tambeacutem com a pressatildeo e velocida^

de de entrada do liacutequido no tubo Este efeito pode ser observado na

figura 5 abaxxo obtida esperimentalmente

s

3

~^ ~ psig

x = 001

V 1

Fig 5

Nos projetos de reatores como veremos adiante o valor a

geralmente eacute determinado por consideraccedilotildees nucleares (moderaccedilatildeo) 0

valor de S eacute determinado atraveacutes de uma estimativa ou entatildeo atrashy

veacutes de um graacutefico do tipo da figura 5 0 correspondente valor de x

pode ser obtido de uma foacutermula empiacuterica do tipo

1 = 1 (-S)0gt67

proposta por Von Glahn

Em muitos casos assume-se S constante em todo o comprimeiv

to do canal poreacutem eacute um erro que em muitos casos nao pode ser coshy

metido

4 REATORES EM QUE 0 LIacuteQUIDO B MODERADOR E CIRCUITO PRIMAacuteRIO AO

MESMO TEMPO BOILING-REACTOR (BWR)

A aacutegua ao se movimentar atraveacutes dos vaacuterios canais do

59

Boiling-reactor encontra vaacuterias resistecircncias ao fluxo que provoshy

cam uma reduccedilatildeo de pressatildeo no fluido

As duas perdas mais importantes sao perda de pressatildeo por

atrito e perda de pressatildeo causada pela aceleraccedilatildeo do refrigerante

ao aumentar de volume por receber calor num canal Outras perdas

de pressatildeo seriam a obstruccedilatildeo ao fluxo por corpos submersos (espa_

ccediladores juntas de tubos chaves etc) e por mudanccedilas abruptas de

aacuterea de fluxo tanto na entrada como na saiacuteda do tubo

Essas perdas de pressatildeo devem ser conhecidas o melhor popound

sivel principalmente nos reatores BWR Para tanto devemos saber

o comprimento de canal em que nao ha a ebuliccedilatildeo isto eacute qual o com

primento de canal em que o refrigerante vai da temperatura de sub-

resfriamento ate temperatura de saturaccedilatildeo

Seja o elemento combustiacutevel

Aquecimento Uniforme Aquecimento Senoidal

Fig 6 Fig 7

onde

H =

H = o

H b

comprimento do elemento combustiacutevel

cota onde o liquido se torna saturado

comprimento do elemento combustiacutevel em que ocorre

ebuliccedilatildeo

60

qg = calor sensiacutevel acrescentado ao liquido para satushy

raacute-lo

qfc = calor total acrescentado ao liacutequido em todo o com

primento do canal

laquoo

q s J o qiquest sen (IIzH) n H o

T~ = TH = 2 ( 1 c o s gt ( a )

q 1 sen (HzH) Jo ^c

A expressatildeo (a) vale quando tivermos uma adiccedilatildeo de calor

senoidal para qualquer outra forma de adiccedilatildeo de calor faz-se um

caacutelculo anaacutelogo

Outra relaccedilatildeo entre q g e qfc eacute dada pela termodinacircmica

q h- - h s f m (b)

(hr +x h )-hm ^t f e fg

onde

= entalpia para o liquido saturado a pressatildeo correjs

pondente (cota z = Ho)

hffi = entalpia do liacutequido na entrada do canal

x = tiacutetulo do vapor na saiacuteda

= entalpia do vapor

Com a relaccedilatildeo (b) noacutes determinamos a relaccedilatildeo q q ecom

S L

uma relaccedilatildeo do tipo (a) (conforme seja o adicionamento de calor ao

liacutequido) podemos obter a relaccedilatildeo HoH e consequentemente H^H

21 - Perda de pressatildeo num canal de evaporaccedilatildeo

Neste item iremos determinar as perdas de pressatildeo mais

representativas que ocorrem num canal de evaporaccedilatildeo de um reator

P + dP

bull1 i- 1 gti i i

dL

onde

UM

Icirc H Icirc Icirc T dF f t f

61

Quantidade de Mov na Entrada

= i- rigVg)

dF f l

Fig 8

m i

m 8

V l V 8

A P

dF

dF

dF

fg

fl

ftf

descarga do liacutequido

descarga do vapor

velocidade do liquido

velocidade do vapor

aacuterea transversal do canal

forccedila de atrito do vapor com parede

forccedila de atrito do liacutequido com parede

forccedila de atrito das duas fases liacutequido+vapor

Fazendo o balanccedilo das forccedilas considerando o sentido posjL

tivo na vertical temos

A (P-P-dP)-(dF +dF _+dF _)-(-pound-) (p A+p A )dL = mdash dGnV+m V ) P fg ftf fl g c 1 1 g g g c

v 1 1 g g 7

- dP = ~ (dF +dF--+dF)+- S--7=- (p A+p A )dL+ mdash ~ - d (m-V+m V ) A_ fg ftf fl g c Ap v^l 1 g g g A 11 g g

Fazendo a integraccedilatildeo termo a termo entre os dois extreshy

mos entrada e saiacuteda e considerando a pressatildeo de entrada igual a

P q e a de saiacuteda igual a Pe vem

Quantidade de Mov na Saiacuteda

-= h I- lY l+ A g V g + d ( aacute l V l + aacuteeVl

Forccedila de Gravidade

= ( g f - N P A + P g V

62

b) r e F f l

o p dp^ = Ap^ = perda de pressatildeo por atrito

do liacutequido na altura Ho

Aplicando a formula de Darcy vem

bull API = f bull ir bull ^ iexcl 7

onde

f = fator de atrito

c) e Fftf

o p ^P tpound

= perda de pressao por atrito da mistura

liquido + vapor no trecho de comprimen

to Hbdquo o

Para determinar esta perda de pressao define-se o fator

de multiplicaccedilatildeo R

A P R =

tf A P 1B

Sendo A p ^ a perda de pressao se o comprimento todo fosshy

se ocupado somente pelo liquido assim

A p t f = R A P 1 B

0 calculo de Ap-^ pode ser feito pela formula de Darcy e

o de R nos veremos no item seguinte

63

d)

-e F

d ( ^ )

O P

Ap = perda de pressatildeo por atrito do vapor

No caso do reator BWR o titulo de saida e bera pequeno e

em nenhum caso ocorre a saida de vapor com x = 100 logo a perda

de pressatildeo por atrito do vapor eacute nula assim

An = 0 5

e) Ap

(p A 1 + p A ) dL = Ap - perda de pressatildeo dpound

vida ao desniacutevel

(perda hidrostaacutetica)

Anbdquo = re A A

-S- I (p + p -S ) dL H s 1 A

c o p o A

como A A Jl_ =

A P

A +A-g 1

1-a -

temos

C Q

te j jll-a)p1 + apg)^jdL = p Lo pound

onde

e jo u

+ ap ) ~I dL (Densidade media 1 S J

no tubo)

No nosso caso

Ap u = p H

f)

re d(mV + m V ) _ mdash - laquo -i bull s iquestp laquos p e r d a ltje pressatildeo devido a acele-

c p raccedilatildeo do vapor

V A

(1-x) tl^Vj

(1-a) A

X V

aA

A p -

roV + m V

c p c p L_

m (l-x)m_v m xv nbdquo -1 T 1

+ _S S I (1-a) Ap aA

P

2 g A c p

n 2 2

(1-x) m T

laquo2 8 A c p

2 2 (l-xe) raTv1

2 2 2 xm_v (1-x) m-v e T s o 1 1

a 1 - a

2 2 - x m_v o T g

a

se

X Q 0 (so ha agua nesse trecho)

a = 0 o

temos

mbdquo Ap =

1 a A 2

S A degc p laquo-

tt-V v i 1 - a

2 via T^r - v i

t Apc

2

V v l

5c Ap

1 - a

x v - 1

a e v l

65

Fazendo

G = fluxo total da massa por unidade de area do

canal

(1-x J e

V

AP r

Assim a perda de pressatildeo total sera

H p V II pV r2 P -P = f -24-Iuml+ f R+p 0 1 2g c D e 2g c g c g c

2c2 - Determinaccedilatildeo do fator de multiplicaccedilatildeo (R)

221 - Relaccedilatildeo Martinelli-Nelson

Os autores Martinelli-Nelson determinaram experimental -

te esse fator R para varias LIT1L em funccedilatildeo da pressatildeo e da r NB total J v

qualidade de saiacuteda do vapor no canal Construiacuteram assim vaacuterias

curvas do tipo da figura 9

66

E importante notar que a qualidade do vapor (x) na saiacuteshy

da nao deve ser grande pois como vemos o valor de R cresce muishy

to com um aumento pequeno de x e um valor de R muito grande acar_

reta uma perda de pressatildeo grande pois

^ d u a s fases R ^ f a s e liacutequida

Para resolvermos um problema seguindo o criteacuterio de bdquo

Martinelli escolhemos a curva R = f(px) (para a relaccedilatildeo L

N g ^ j

adequado) e tiramos R com os valores de pressatildeo p e tiacutetulo x

As curvas R = f (p x L T t )IO encontram-se nos ANL 6469 bio I

e 6561

222 - Relaccedilatildeo Lottes-Flinn

Estes autores estudaram o problema para o aquecimento uni

forme do refrigerante com baixo titule Lottes-Flinn fizeram inuacuteshy

meras experiecircncias e verificaram que para fluxo de calor uniforshy

me e baixos titulos R era independente do fluxo de calor fluxo

do refrigerante escorregamento e apenas funccedilatildeo de a g

Como a quantidade de liacutequido eacute muito maior que a de vashy

por a perda de pressatildeo daacute-se principalmente pelo atrito do liacuteshy

quido com a parede Podemos assim escrever a foacutermula de Darcy

na forma diferencial

dz

d = f __ r e amp c

onde

V = velocidade do liquido saturado na cota zbdquo X

f = coeficiente atrito

= densidade do liacutequido saturado

Teoricamente a queda de pressatildeo deve-se ao acreacutescimo de

67

velocidade do liacutequido e da diminuiccedilatildeo da aacuterea de fluxo do liacutequi

do

P fH A P t p

= f D 2g Ho

d z

fazendo

V lo

m V t lo

(velocidade do liacutequido na cota z = Ho)

(1-x) m t v 1

(1-a) A (velocidade do liacutequido na cota z gt Ho)

a bull+ fraccedilatildeo vazio na cota z geneacuterica

V 1 (1-x) m t v 1

m t V l 1 - a

x =s 0 pois o tiacutetulo eacute baixo

A p t f = f bull JT5 c e

fH V lo

H o (1-a) dz

Para fazer a integral devemos achar a relaccedilatildeo de variaccedilatildeo

entre a e z Como o fluxo de calor eacute uniforme a qualidade eacute direshy

tamente proporcional a z

bull laquo x = x e H

z = mdash x X e

Sabemos ainda que (item 113)

x

1 + [ ( I -X)AKQ x + iiacuteraquo

68

como

temos

(1-x) = 1

v

X =

z =

1-a

1 -a

1-a e

a

e

1-a pound

a

1 -a igt (assumindo S = cte)

da

Atf - f bull 2 i ^ ~ J c e o

a 1 - a e e 1 s 4 hmdash) da

a 1-a

f P lv^ Q

0 termo mdash - mdash e a parte de perda de pressatildeo pelo lj^

^c e -quido ou seja Ap liquido saturado e como

Ap

R = tf

Ap liauido saturado

temos que

R J

f ae 1 _ a e 1 4

a 1 -a o e

1 -a r-R =

3 1 -a

a 1 -a imdash

3 vl - a 3

e e

Os valores de R obtidos por esta expressatildeo aproximam-se

muito dos valores obtidos pelos aacutebacos de Martinelli

69

E - EXPANSAtildeO E COMPRESSAtildeO DE UM FLUIDO - ANAacuteLISE HIDRODINAcircMICA

DE UM CIRCUITO EM CIRCULACcedilAtildeO NATURAL

1 EXPANSAtildeO NO FLUXO DE UM FLUIDO

11 - Uma so fase

Figura 1

Ha vaacuterios meacutetodos para determinar a variaccedilatildeo de pressatildeo

numa expansatildeo de fluido estudaremos o de Romie que eacute o que daacute

maior precisatildeo

Romie considera que a pressatildeo p^ tambeacutem atua na aacuterea

imediatamente apos a expansatildeo Assim fazendo o equiliacutebrio das foi

ccedilas nas secccedilotildees tracejadas da figura 1 temos

mVj

p r A 2 + mdash

mV

bull 2- A2

mas

m = pV^A^

pV^A = p V 2 bdquo A 2

V A

v 2 -4r-logo

( P l-P 2) A 2 = f ( V ^ ) - f _ v j amp c c 2

70

2 pV A A pV A A

Chamando A l A ]

K = 1 - T e degi2 = Aiexcl bull V E M

pvj

P l P 2 = T ~ bull ( 2 deg 1 2 ) ( 1 _ a 1 2 )

Outra maneira de chegar atilde diferenccedila de pressatildeo ( P j - ^ ) s mdash

ria usar o coeficiente de perda da mecacircnica dos fluidos Assim o

equilibrio das pressotildees eacute

2 2

1 V l 1 V 2 V l P i + _ p _ ^ P 2 + I p ~ + k 1 2 p mdash

onde = coeficiente de perda

A 2 1 2

k 1 2 - (l-o 1 2) - (1 - j- )

Fazendo as transformaccedilotildees chegamos a mesma expressatildeo obshy

tida pelo balanccedilo das forccedilas

PraquoIacute pr p

2 - - ir ^ laquo-ia

12 - Duas fases

Como ha duas fases a equaccedilatildeo do balanccedilo das forccedilas fica

um pouco alterada

m pound 1 V- m - raquoV - m-V- m bdquoV _ P A + j y ^ i + _gl_JUuml P A + -11-11 + -ilsl (a)

1 2 e R 2 2 ff e

Sabendo que

71

m (1-x) m t = p fA (1-a) V f

entatildeo

fl l-o^ p fA x

6 Vf2 1-x l-a2 P fA 2

m V = mdash mdash e V 0 = gl a 1 P C T A 1 g2

m

a_ p h

2 g 2

Nas expressotildees anteriores o x nao varia porque a expansatildeo

5 adiabaacutetica porem o a varia devido a modificaccedilatildeo do tamanho da

bolha

Substituindo os valores das velocidades na expressatildeo (a)

vera

( P - P ) Abdquo =

2

2 2 m gt2 2 m t (1-x) 1 x t

ra i 2 m i 1 x t 1

p fA 1 g c ttl p Ax gpound

m t P - P = mdash

(1-x) (l-a 1)A 1A 2 (l-a2)A|

a r A r A 2

V A 2

m t P bdquo - P = mdash 2 1 g c A r A 2 p f

(1-x) 1-a f A 2(l-a 2)

bull ^ 2

72

Se

P -P

a

m

g

12

1 _1_ (1-x)

J12

1 _ a l 1 - a 2 + X (- )

Pg

1 deg12 a 2 ^

Sabemos que

mt = V o pf laquo A l

Sendo V q = velocidade do liquido num ponto onde natildeo haja vapor

P 2-P 1

u 2 2 A 2

V pr Ai

V W p f

(1-x) 12

l-a1 l-a2

+ X 2 pf

mdash

l deg12

-1 a 2 _

p -p r 2 Al (2a 1 2)

2 M f w 1 deg12 X (mdash) (

pg al a 2 )+(l-x)C l 1 12

1-a^ l-a2

Devemos notar que esta expressatildeo tambeacutem vale para quando

temos uma fase para isso basta fazer

= c t 2 = 0

X = 0

e recairemos na formula do item anterior

2 pf 1 deg12 Observemos que neste caso o termo x (mdash)( ) nao

Pg al a2

2

73

tem significado pois corresponde a mudanccedila de fase

2 CONTRACcedilAtildeO KO FLUXO DE UM FLUIDO

21 - Uma so fase raquo mdash

Aqui ocorre um fenocircmeno importante pois o fluido ao ser

contraiacutedo nao vai diretamente da area A^ para a area A 0 mas ele

contral-se ate uma area A^ e depois expande-se ate k^

Ao A2

Po IP 2

V 2

Figura 2

Fazendo o equiliacutebrio das pressotildees entre os planos (1)

(0) vem 2 2

pV pV p +~ plusmn - P + i deg bull 1 2 g o 2 g (b)

C x

Fazendo equiliacutebrio da expansatildeo (0) - (2) vem

P o + 2 - f = P 2 + 2 -T + kp- 2 F ( c )

c c b C

Subtraindo (b) - (c)

2 2 2

i p- vj i p- v2 L P l + 2 bull g c

P 2 + 2 2g c

+ k P 2g c

74

Como

P - P = mdash 2 2g

2 2

bull (1 + k) - f bdquo mdash i

k a - f2 ) 2 - d - o c )2

= o

A = a 21

Weisback obteve varias relaccedilotildees entre a e a i] c

01 02 03 a 0624 0632 0643 c

0624 0632

A r v i - V v 2

p -p 1 2

P -P 1 2 2g7

v l =

(1+k) - laquofi- a 2g 21 c

( 1 + k - o 2 1)

X[- V 2 o 2 1V 2

22 - Duas fases

0 valor de k pode ser aproximado para

k = a(l - o 2 1)

onde segundo Richardsons para fluxo de duas fases podemos supor

a = 02

Para fluxo homogeacuteneo sabemos que

75

p = p f (1 -a ) + p o a

podemos supor p bdquo a = 0 pois p e pequeno e fazendo

V = V ~ V fbdquo2 go2 v 2

Substituindo estas duas expressotildees na equaccedilatildeo de uma soacute fase vem

2 2 p V (l-ct) p V (1 -a ) bdquo

P l P 2 = 9g ( 1 + 3 - 3 0 ^ - 0 ^ ) = g (a+1) (l-a^)

Se a = 02

2 12p oV 0

p r p

2 - 9g gt d-) d-sigt

A compressatildeo de um fluido acarreta uma perda de pressatildeo

como pode ser verificado pelas formulas uma vez que lt 1deg

3 ANALISE HIDRODINAcircMICA DE UM CIRCUITO EM CIRCULACcedilAtildeO NATURAL

Esquema deacute uma caldeira com circulaccedilatildeo natural

76

Determinar a velocidade em (7) para que tenhamos circula

ccedilatildeo natural Determinar tambeacutem as perdas de pressatildeo em todos os

trechos da caldeira

31 - Contraccedilatildeo das secccedilotildees (1) - (2)

Como jaacute vimos a equaccedilatildeo do balanccedilo das pressotildees eacute

1 pr Vl 1 p 2 o V 2 P2 V2

1 2 g 2 + 2 g + K12 2g otilde c amp c e c

bullraquo 2 o2 2 e havendo uma soacute fase k 1 9 = (l-o ) = (1 mdash ) e sendo

C 2

p l = p2

v x lt lt lt v 2

P 2 V pr p2 bull ir2 bull ( 1 + k12gt

Colocando em termos de temos

A 2 V 2 P 2 = A 7 V 7 p 7 (continuidade)

V = V mdashbull = V o_bdquo ~ A 2 2 2

P 2 V - p 2

p r p 2 = ir2 - deg72 bull Ccedilrgt bull lt 1 + ki2gt

fazendo

N12 - lt^gt deg72 ( 1 + k12gt

P7 V7

Pr P2 - N12 bull HG

77

3 2 - Perda de carga no trecho ( 2 ) - ( 3 )

Como haacute apenas uma fase soacute temos perdas por atritos e

perdas hidrostaacuteticas

Sendo como jaacute vimos

2 3 p 2 2 g P 2 P 3 = f 2 3 (r~2g^~) L 2 3 g c p

atrito hidrostaacutetica

Substituindo V^ pela relaccedilatildeo do item anterior e tendo em

conta que p = vem

P -P = f 2 r 3 2 3 D

2 3 p 2 bdquo 2 2 p 7 2

2 g 7 72 p 2 3 g

Se

L 2 3 2 p 7

2 3 2 3 D 2 a 7 2 p 2

P 7 V 7 g P 2 - P 3 = N 2 3 ( mdash gt p 2 L 2 3 f

3 3 - Expansatildeo nas secccedilotildees ( 3 ) - ( 4 )

Como vimos o balanccedilo das pressotildees e

2 2 2 p V p 4 V p V

P 3 + 2 g c

P 4 + 2 g c

+ k 3 4 2 g c

onde

k 3 4 - - -

2 2 1 P 4 - V 4 P 3 v 3

P 3 P 4 = 2 g + ( k 3 4 _ 1 ) 2 g

78

Sendo

P 3 - P 4

p 3 o A 3 deg V 3 = P 7

a A 7 o V 7

P 4A 4 0V 4 = P r A r V

3 7 A 3 p 3

A7 P7 V = v mdash mdash 4 7 P 4

P - P 3 r4

Se

P bdquo - P

bdquo2 r-P 7 V 7

3 4 2g deg74 + ( k 3 4 1 ) deg73

34 p deg74 + ( k 3 4 1 ) 73

p r v2

P3- P4 ^ N34 ^ gt

(No caso e negativo)

34 - Contraccedilatildeo nas secccedilotildees (5) - (6)

Ainda temos uma so fase e fazendo o balanccedilo das pressotildees

como fizemos no item 3lt1 vem

P + vil p + vi + k vi P 5 + 2gbdquo P6 + 2gbdquo + k56 2gbdquo

k 5 6 lt 1 ^ gt 2 ( 1 - Iacute 2 i 2 6

V V6 P5degIacute 5^6 ^SS 2g c - 2g c

P - P ^ = (1+kJ

Como

79

A 6

W p 5 =

VV P6 V 5 = V 6 Jiexcl = Vff65

P 5-P 6 - lt H k 5 6 ) mdash ^ mdash (l+k 5 6-a 6 5) c c c

Sendo

Se

A 7 p 7 p 7

6 7 Ag p 6 7 76 p 6

p _p _ P6- V7- g76 iquest72 ( _ 02 P 5 P 6 2g c bull ( p 6

( 1 + k 5 6 deg65 )

p 7 2 2 N56 = p ^ deg76 ( 1 + k 5 6 ~ a 6 5 )

P 7 V 2

7

P r-P = N r 5 6 56 2g c i

35 - Perdas de pressatildeo nas zonas (6) - (7) - Pre^aquecimento

Nesta regiatildeo temos perdas por atrito e hidrostaacuteticas

Nao haacute perda por aceleraccedilatildeo pois ainda natildeo houve formaccedilatildeo de boshy

lhas

Fazendo balanccedilo das pressotildees temos

L_ ppound-V p = p + otilde L - pound _ + f -Si (-21mdashL 6 7 + p67 L67 g + t 6 7 D K 2g

p _ e ifn sao tomados como valores meacutedios 67 67

P _p _ f hl ^67jIacute uuml + - L A

6 F 7 r67 D 2g P P67 L67 g 6 s c 7 c

S e Kr pound67 L67 p67 6 7 D 6 p7

p7 V - _g_ P6- P7 - N67 mdash + P67 L67 f

c c

80

36 - Perda de pressatildeo nas zonas (7) - (8) - Zona de ebuliccedilatildeo

Nesta regiatildeo j aacute temos o aparecimento de bolhas logo a

perda de pressatildeo seraacute devida agraves t recircs parcelas aceleraccedilatildeo a t r i t o

das duas fases liacutequidas + vapor e h idros taacute t ica

onde

Assim

P-P Q = AP + AP + APbdquo 7 8 a t r i t o acel H

T M1

78 p 7 7 AP - R f- - mdash mdashr |R = fator mult ipl ica-

a t r i t o 7 D 7 2 g c L tivo

G 2

AP bull r mdash acel g c

P V

|_1 - o a p J 8 P f

2 t r 2 M2

7 7 r 7 7 A P a c e l = -J^mdash 2 r bull p 7 lt T iexcl iexcl - )

A PH p 7 8 L 7 8 fiexcl

p 7 8 iacute 7 li 1 0 0 P l i q + a P v ] d L = P 7 ( 1 - laquo 7 8 )

ag raquo fraccedilatildeo de vazio media entre 7 e 8

APH = p (1 - 5 7 g ) f- L 7 8

2 2

P 7 - P 8 a 5 - 2 T i + 2 r p 7 + P 7 ( 1 - 7 8 gt f L 7 8 7 amp c amp c amp c

81

N 7g = R mdash + 2 r p 7

P7 V7 P7- P8 = N78 + P 7 ( 1 5 7 8 gt J78

37 - Expansatildeo nas secccedilotildees 8 e 9

No caso haacute uma expansatildeo com duas fases e como vimos no

item 12 a variaccedilatildeo de pressatildeo era dada por

0f Vo P2 P1 = ~2g c ( 2 deg12

x 2 (mdash)(mdash - mdash ) + ( l - x ) 2 ^ T mdash 8 1 2 1

12

Aplicando ao nosso caso

P pound = P 7

P -P = 8 9

V - V raquo V g f 7

P 7 V 2

2 pf 1 a89 2 1 g89 x (mdash) ( ) + (1-x) (- - N

o ou abdquo 1-cu l-ot_) g 8 9 8 9

Se

N 89

= 2 a 89

2 pf 1 deg89 2 1 CT89 x (mdash) ( ) + (1-x) ( T

g 8 9 8 9

P -P = 8 9

- N P7deg V7

89 2gbdquo

38 - Perda de pressatildeo no trecho 9 e 10

No referido trecho temos apenas perda de pressatildeo por atr L

to da fase liacutequido + vapor e perda hidrostaacutetica Natildeo haacute perda por

aceleraccedilatildeo do vapor pois este natildeo recebe mais calor e portanto

o 82 o

nao ha variaccedilatildeo no a

p

Q -p i n = A P

U + A P bull 9 10 H atrito

n T -S_ P9 U10 deg 910 bull g

fio r

910 I 910

J9 L

(l- a)P + Q P I dL liq v

(l-a0) p

No caso a = (nao hatilde variaccedilatildeo de forma)

A P H - (1-a ) P (p L 0

c

AP bdquo = R o

atrito

2 f9 o L910 P9 V9

2g

Supondo

= V

P 9 = P 8 P 7

vbdquo = v 9 8 0 A r

= V 7 bull deg89

AP - R atrito

2 2

W l O p7deg V7deg g89

V P10 R -^T^ bull deg89 bull li-2 + ( W P 7 (fgt SIO

y c c

Se

- f9 L910 2 N9ol0 R Dl deg89

w 2

p rv P9 P10 = VlO + ( 1 a 9 ) p7 (f gt L910 c

33

39 - Perda ciacutee pressatildeo na expansatildeo 9 - 1 0

Analogamente a expansatildeo 8 - 9 temos

10 11 P 7 2g

10 Iacute 2 0 1 0 - 1 1 gt

2 ff

pg aio

10-11

laquo11 ) +

Ll-a 1 0 bull l-a u J

Se

V10 = V 9 = V 8 bull T9 = V 7 deg89

P -P 10 rll = - a 2g 089 ^lO-ll

4 bull T~ bull (7 1 mdash ) + Pg degio a n

+ (l-x)2(- 1 10-11

1 - aio )

N10-ll = 2 a10-ll a89 2 pf t 1 10-11 N2

-(j-r- - ) bull+ (1-x) pg aio deg 1

10-11 k l - a io

prz P10 Pll = - N10-ll bull ( 2gbdquo

310 - Calculo de V

Fazendo a somatoacuteria de todas as expressotildees (P^-Pj) tere-

84

mos 2 PbdquoV_

P bdquo - P bdquo = N 7 v 7

1 2 12 2g

bull 2 - P 3 - = N 2 3 P 2 L 2 3 f c ccedil

9 P 7 V 7 P _p = N mdash -

3 4 34 deg 2g

V P 5 = deg

2 P V

5 6 56 2 g c

ltr2

P 7 -V 6 e7 -N67 2g + p 6 7 J j67 g

c bc v 2

P 7 - P 8 = N 7 8 - 2 i ~ + p 7 ( 1 - laquo 7 8 ) L 7 8 c

P 7 V 7

P - P - -N mdash - -8 9 89 2g

c P 7 V 7

P 9 ~ P 1 0 VlO 2g + ( 1 a 9 P 7 L 9 c

P 7 V 7

bull10 11 U10-ll 2g

P v iacute j P - P

1 11

7 - v 7 3 bull r

2 8 i U L 2 23 67

(l-5 7 8) L 7 8 + ( l - laquo 9 ) P 7 bull SlOtilde]- ^

Por ou t ro lado sabemos que como secccedilotildees 1

mesmo n iacute v e l

85

s c p r v 7 j

28 Z N i ij

= P 2 L23 p67 L67 P 7 ( 1~deg78 )

78 ~ ^g) bull P 7 bull L 910 g_

V - 2 g ( p r L 2 3 - p 6 r L 6 7 - p 7 ( l - atilde 7 8 ) L 7 8 - (l-a9) p L 9 a ( )

y N

Com esse valor de podemos determinar todas as variashy

ccedilotildees de pressatildeo (P^-P )

BIBLIOGRAFIA

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tituto de Energia Atocircmica de Sao Paulo em 1966 (roteiro)

- WR Gambill - Nuclear Safety

Vol 9 - n9 5 e 6

Vol 6 - n 2 (pag 152)

Vol 4 -r n9 1 (pag 30)

Volbdquo 5 - n 2 (pag 151)

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~ El Wakil - Nuclear Power

- Jakob Max - Heat Transfer (vol I)

Mc Adams - Heat Transmission

- Paul A Lottes - Argonne National Laboratory

- AKL - 6469

- ANL - 6561

86

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Frank Kreith - Principles of Heat Transfer

Journeacutees Internationales de la transmission de la chaleur

Seminaacuterios realizados em Paris em 1961 sob a supervisatildeo do

Prof Marcel Veron

Notas de aula da Cadeira de Termodinacircmica I e Transmissatildeo da

Escola Politeacutecnica da Universidade de Sao Paulo

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25

fig lc

Fig la Fig lb Fig lo

0 estudo analiacutetico da formaccedilatildeo e crescimento das bolhas

pode ser encontrado em diversos livros por exemplo no El-Wakill

(Nuclear Power) no Jakob (Heat Transfer)e outros Neles faz-se

o estudo das condiccedilotildees do liquido (pressatildeo temperatura tensotildees

etc) para haver ou nao formaccedilatildeo de bolha Isto eacute feito fazendo-se

o estudo das bolhas nas seguintes posiccedilotildees

a) bolha no seio do liacutequido

para meia bolha

4 ltP g - P fgt fg

onde

P g P f

- 4 D (D

g

Pf

D

pressatildeo do vapor

pressatildeo do liquido

tensatildeo entre superfiacutecie do liacutequido e vapor

diacircmetro da bolha

^f g

P f Fig 2

26

A equaccedilatildeo (1) mostra que a pressatildeo do vapor deve ser maior

que a do liquido nas condiccedilotildees de saturaccedilatildeo e este por sua vez

deve estar no estado de superaquecimento o

b) bolhas sobre superfiacutecie solida

Fig 3

Condiccedilotildees para desprender

a mdash o_ + o_ cos a gs fs fg

tensatildeo na interfase liacutequida e vapor (depende das

propriedades do liacutequido e vapor)

tensatildeo entre o liacutequido e superfiacutecie de aquecimen

to (depende das propriedades do liquido e da sushy

perfiacutecie)

tensatildeo entre o vapor e a superfiacutecie de aquecimeri

to (depende das propriedades do vapor e da super

fiacutecie)

21 - Formas do fluxo do vapor desde a superfiacutecie de aquecishy

mento ateacute a superfiacutecie livre do liacutequido

Considerando liacutequido vaporizado em tubos verticais pode^

mos ter 4 tipos de fluxo de vapor

1 - fluxo de bolhas

2 - fluxo de agregados (plug ou slug)

3 - fluxo anular

4 - fluxo disperso

Os quatro tipos ficam bem determinados respectivamente

onde

a fg

degfs

a gs

27

pelas 4 figuras abaixo

LIacutequido - Liacutequido Liacutequido

o

^Bocirclha de

vapor

Vapor

mdash [

- Vapor

mdash 0 0

deg_ a-

jrj-

iquestiexcl5

Bolhas Agregados Anular

Liacutequido

vapor

Disperso ou

Homogecircneo

Conforme o tipo de ebuliccedilatildeo podemos ter uma so das forshy

mas acima ou uma mistura

3 INCERTEZAS NO ESTUDO DA EVAPORACcedilAtildeO

Ha trecircs incertezas principais para determinar o fluxo de

calor na evaporaccedilatildeo a saber

- Aacuterea de contato indefinida

- Diferenccedila de temperatura indefinida

- Grau de turbulecircncia

Como realmente nos nao sabemos uma dependecircncia algeacutebri

ca entre o acircngulo de contato e a superfiacutecie ocupada pelo liacutequishy

do (ou vapor) temos uma incerteza na determinaccedilatildeo da aacuterea de tro

ca de calor (A)

Outra incerteza eacute a dificuldade da obtenccedilatildeo de diferenccedila

de temperatura entre o liacutequido e a parede que normalmente assume-

-se como sendo a diferenccedila entre a temperatura da parede e da ebu

liccedilatildeo do liacutequido (temperatura de saturaccedilatildeo = t )

S cl c

Na realidade a diferenccedila de temperaturas nao eacute aquela

pois a camada de liacutequido que cobre a superfiacutecie aquecedora esta

a uma pressatildeo maior que o resto do liacutequido (pressatildeo atmosfeacuterica

mais a hidrostaacutetica) e consequentemente a temperatura de vaporiza_

ccedilao desse liacutequido e maior que a da superfiacutecie Esta diferenccedila po-

28

deria ser calculada desde que se conhecesse a relaccedilatildeo entre presshy

satildeo e temperatura de saturaccedilatildeo do liacutequido entretanto haacute incerte

za quanto ao verdadeiro peso especiacutefico da coluna de liacutequidopois

trata-se de uma mistura de bolhas de vapor e de liacutequido em proshy

porccedilatildeo variaacutevelraquo

4 REGIMES DE EBULICcedilAtildeO

Nukiyama estudando a ebuliccedilatildeo da aacutegua num recipiente a

quecendo-a com resistencias eleacutetricas construiu a curva baacutesica da

ebuliccedilatildeo Todos os liacutequidos apresentam uma curva semelhante vashy

riando apenas os valoresraquo Os pontos caracteriacutesticos da curva deshy

pendem de caracteriacutesticas difiacuteceis de definirtais como natureza

do metal estado da superficie (rugosidade) dimensotildees orientashy

ccedilatildeo do fluxo quantidade de gases dissolvidos e t c

Estudaremos o fenocircmeno para o caso de aacutegua destiladasem

gas dissolvido a temperatura de saturaccedilatildeo 100 C pressatildeo atmosfe_

re uma superficie plana

Chega-se assim acirc curva

rica sobre uma superficie plana horizontal a temperatura t^

In ltJgt

At (degC)

A curva acima representa o aquecimento de agua com uma re_

sistecircncia eleacutetrica (ate ebuliccedilatildeo)raquo Temos em abcissas as diferenccedilas

de temperatura entre o liacutequido e a resistecircncia em ordenadas o flu

29

Regiatildeo I

Regiatildeo II

Regiatildeo III

Regiatildeo IV

xo de calor por unidade de area

Na curva notam-se 4 regiotildees bem definidas tendo cada uma

o seu significado fiacutesico os quais correspondem a um tipo de ebuli

ccedilao

convecccedilao natural

ebuliccedilatildeo nucleada

ebuliccedilatildeo por peliacutecula parcial

ebuliccedilatildeo por peliacutecula estaacutevel

41 - Convecccedilao natural

Ocorre quando At eacute inferior a 8degCformam-se no liacutequido

correntes convectivas as quais transferem o calor ateacute a superfiacuteshy

cie livre do liacutequido e aiacute desprendendo o vapor Neste caso o valor

de h eacute da ordem de 2000 kcalm^hdegC

42 - Ebuliccedilatildeo nucleada

Ocorre quando o At eacute maior que 8degC e menor que 25degC Nesshy

te caso as bolhas formam-se junto a superfiacutecie de aquecimento

crescem liberam-se movimentam-se em direccedilatildeo agrave superfiacutecie livre do

liacutequido onde estouram libertando o vapor As bolhas formam-se nas

irregularidades da parede tecircm um acircngulo de contato agudo e porshy

tanto hatilde liacutequido sempre em contado com a parede (molha a parede)

cada ponto ativo (lugar onde se formam as bolhas) libera uma porshy

ccedilatildeo de bolhas e os outros pontos do liacutequido ficam em contato com a

superfiacutecie quente violentamente agitados Esta agitaccedilatildeo extrema eacute

mais eficaz que uma turbulecircncia criada artificialmente Por esse mo

tivo a curva cresce violentamente nesse trecho (m = 3 a 7) pois

bull 2 o o valor de h cresce consideravelmente (ate 46000 kcalm hr C) e

o fluxo teacutermico transmitido ao liacutequido cresce proporcionalmente a

Quando cresce crescem tambeacutem

(At) 3

30

numero de bolhas por unidade de aacuterea (num instanshy

te)

~ = crescimento da bolha (com o tempo)

frequecircncia de iacuteormaccedilao de bolhas

A medida que o At vai aumentando iraacute aumentando (jgt tam-- n o N

bem e consequentemente mdash R mdash a a a tal ponto que quando atiacuteii

girmos o ponto da curva nao haveraacute mais formaccedilatildeo de bolhas

mas sim uma peliacutecula de vapor instaacutevel passando assim a 3a re

giao que estudaremos a seguir

43 - Ebuliccedilatildeo por peliacutecula parcial

Como dissemos no item anterior se aumentarmos ainda mais

o At (entre 25degC e 125degC) teremos a formaccedilatildeo de uma peliacutecula de

vapor instaacutevel sobre a superfiacutecie quente que aacutes vezes eacute perfurashy

da pelo liacutequido A camada de vapor tanto mais estaacutevel seraacute quanshy

to maior focircr o At Essa peliacutecula de vapor iraacute provocar um decreacutes_

cimo consideraacutevel no fluxo teacutermico porque como sabemos o vapor

eacute muito pior condutor que a aacuteguaraquo

0 fluxo vai decrescendo ateacute um ponto miacutenimo (iexclgt mintilde (as vecirc

iacutebo bullraquo 1

zes chega a ser mdashj-) e e o chamado ponto de Liedenfrost 0 coeshy

ficiente de peliacutecula neste caso cai violentamente (h = 2000

kcalm^hrdegC)

44 - Ebuliccedilatildeo por peliacutecula estaacutevel

Aumentando ainda mais a diferenccedila de temperaturas

At ( gt 125degC) iremos conseguir uma camada de vapor estaacutevel Ela

transmite calor da superfiacutecie quente ao liacutequido que se vaporiza de

modo que o excesso de vapor formado na interface liquido-vapor for

ma bolhas que sobem para a superfiacutecie 0 liacutequido encontra-se agi-

31

tado poreacutem nao toma contato com a superfiacutecie soacutelida

A peliacutecula de vapor eacute estaacutevel e o fluxo eacute proporcional a

34

(At) (lei de Bromley) Para At grandes passa a influir sensivel^

mente a radiaccedilatildeo teacutermica mais uma razatildeo para demonstrar que nesshy

ta regiatildeo o fluxo cresce novamente

5 CONSIDERACcedilOtildeES E COMPARACcedilAtildeO ENTRE OS TIPOS DE EVAPORACcedilAtildeO

BURNOUT

Sob o ponto de vista de eficiecircncia teacutermica deveriacuteamos sem

pre trabalhar no ponto de fluxo maacuteximo isto eacute no ponto correspon

dente a lt(gt da curva de Nukiyama pois eacute o que daacute maior coeficieri

te de peliacutecula

Acontece poreacutem que se impomos a temperatura da parede

fixa obtemos um uacutenico valor de lt(gt e portanto o fenocircmeno eacute estaacutevel

Poreacutem se como ocorre nos reatores impomos um fluxo teacuter

mico a curva de Nukiyama apresenta 3 pontos de funcionamento posshy

siacuteveis A B C

1

SOacute os pontos A e C sao funccedilotildees estaacuteveis mas eles impotildeem

acirc superfiacutecie quente temperaturas bem diferentes

Na industria em geral trabalha-se por questotildees de segushy

ranccedila na regiatildeo IV da curva poreacutem para os reatores trabalha-se na

32

r e g i atilde o I I

0 p r o b l e m a de t r a b a l h a r n a r e g i atilde o II eacute q u e se n oacute s e s t i shy

v e r m o s t r a b a l h a n d o n o p o n t o e x t r e m o (j) e se p o r q u a l q u e r m o t i v o

h o u v e r u m p e q u e n o a c r eacute s c i m o d e ltfgt i r e m o s t r a b a l h a r i m e d i a t a m e n t e no

p o n t o M q u e t e m o m e s m o $-^0t p o r eacute m c o m A t 2 m u i t a s v e z e s m a i o r

p o d e n d o o c a s i o n a r a f u s atilde o d a s u p e r f iacute c i e a q u e c e d o r a E s t e f e n ocirc m e n o

eacute c h a m a d o d e b u r n o u t

0 f l u x o lttgt eacute c h a m a d o f l u x o c r iacute t i c o o u f l u x o d e b u r -b o

n o u t N o c a s o do r e a t o r d e v e m s e r t o m a d a s m e d i d a s r i g o r o s a s q u a n

to agrave r e g u l a g e m do f l u x o t eacute r m i c o p a r a q u e n atilde o o c o r r a o b u r n o u t 1 1

p o i s d e l e p o d e r e s u l t a r r u p t u r a d a c a m i s a do c o m b u s t iacute v e l e h a v e shy

r aacute p o r t a n t o c o n t a t o do r e f r i g e r a n t e c o m o s s oacute l i d o s e g a s e s r a shy

d i o a t i v o s

5 o l - R e l a ccedil atilde o d e B u r n o u t

E c l a r o q u e p a r a t e r m o s u m r e a t o r m a i s e f i c i e n t e d e v e shy

m o s t r a b a l h a r c o m u m f l u x o o m a i s p r oacute x i m o p o s s iacute v e l do f l u x o d e

B u r n o u t P a r a t a n t o d e v e m o s c o n h e c e r c o m o m a i o r g r a u d e certe

za p o s s iacute v e l q u a l o ^ p a r a p o d e r m o s r e d u z i r o c o e f i c i e n t e d e s e shy

g u r a n ccedil a ( W R G a m b i l l r e c o m e n d a agrave 1 5 )

N o s s e m i n aacute r i o s d e W R G a m b i l l e n c o n t r a m o s u m a s eacute r i e de

b i b l i o g r a f i a s o n d e p o d e m o s e n c o n t r a r i n uacute m e r a s f oacute r m u l a s p r o p o s t a s

p a r a a o b t e n ccedil atilde o de (q 1^)

A t i t u l o d e e x e m p l o v e j a m o s a l g u m a s

q - 2 7 0 G deg gt 8 5 D 0 2 A085 p lt 150

deg D ( L uuml ) 2

q - 140 G 0 5 D ~ deg 2 (-~-)~deg 1 5 p ~ r gt 150 c D (LD)

o n d e a m b a s as e q u a ccedil otilde e s s oacute v a l e m p a r a aacute g u a e m b a i x a p r e s s atilde o e m coii

v e c ccedil a o f o r ccedil a d a

33

D

L

fluxo teacutermico critico BTUhrft bdquo 2

descarga em massa do liquido (Ibmhrft )

diacircmetro do tubo ft

comp do tubo ft

Para cada caso temos uma expressatildeo diferente que pode ser

encontrada em literatura especializada

6 INFLUEcircNCIA DE OUTROS PARAcircMETROS NO FLUXO DE BURNOUT

Como para os usos atuais do reator a diferenccedila de temppound

ratura entre parede e fluido sao pequenas bem como o fluxo de bur

nout recentemente fiacutesicos como Jakob Bonilla WR Gambill estu

daram outros paracircmetros que influenciam bastante o sect^ 0gt isto eacute a

influecircncia desses paracircmetros faz com que o ^ seja maior Isto eacute

util pois quanto maior o fluxo de burnout maior poderaacute ser o

fluxo de calor real de funcionamento

Tais meios sao

- Sub-resfriamenCcedilo do liacutequido

61 - Influecircncia da velocidade do liacutequido

Estudos feitos pelos autores acima chegaram agraves curvas

- Aumento da velocidade imposta ao liacutequido

- Pressatildeo do liacutequido elevada

alto V

At

34

Para velocidades maiores o fluxo de burnout aumenta

porque neste caso o regime eacute turbulento e o coeficiente de peliacute

cuia h aumentao

6bdquo2 - Influencia do aumento da pressatildeo

Este estudo deve-se a Bonilla que obteve experimentalmen

te as curvas

Este estudo foi feito para vaacuterios liacutequidos e chegou a con

clusao que sempre havia uma pressatildeo oacutetima isto e uma pressatildeo que

leva ao maior iacute 1 ^ raquo mantidas as demais condiccedilotildees Experimentalmenshy

te notou que essa pressatildeo correspondia a 13 da pressatildeo critica

do liquido em questatildeo

6=3 - Influecircncia do sub-resfriamento

Consiste em manter atilde custa de uma circulaccedilatildeo intensa o

liacutequido a uma temperatura inferior atilde de saturaccedilatildeo para a pressatildeo

correspondenteraquo Experimentalmente chega-se agraves curvas

mdash A t grande sub

bullAt -0 sub sub

medio

At

35

Verificando os graacuteficos vemos que o lt)gt aumenta agrave medida bo

que aumenta a diferenccedila de temperatura de sub-resf riamento isto pojr

que o liquido como estaacute mais frio faz com que algumas das bolhas

recondensem permitindo que o liquido fique em contato com a parede

quente o que faz aumentar o h

^ f csub = t e m P e r a t u r a ddeg liacutequido - temperatura de saturaccedilatildeo

A diferenccedila de temperatura At entre fluido e parede tamshy

beacutem aumenta poit na regiatildeo proacutexima agrave parede haacute necessidade de

levar o liacutequido da temperatura do sub-resfriamento ateacute a temperatu

ra de saturaccedilatildeo quando se evapora

Atualmente os maiores estudos dos fiacutesicos nucleares locashy

lizam-se neste campo pois eacute o que oferece maiores vantagens

7 FORMULAS PARA 0 CAacuteLCULO DO COEFICIENTE DE PELIacuteCULA NA EBULICcedilAtildeO

Como ocorre no caacutelculo de todas as foacutermulas de convecccedilatildeo

temos formulas empiacutericas para determinar o h conforme o tipo de

ebuliccedilatildeo que nos consideramos

71 - Ebuliccedilatildeo Nucleada

Para o caso de aacutegua temos as relaccedilotildees

superfiacutecies

horizontais

superfiacutecies

verticais

f aacute 5000 BTUhrft 2 -gtbull h = 151 ( A t ) 1 3

A o

5000 lt 75000 -h = 0618 (At)3

^ pound 1000 -raquobull h = 8 7 ( A t ) 1 7

A o -

1000 lt $ lt 20000 -gt h = 027 (At) A o

Quando a pressatildeo e diferente da atmosfeacuterica faz-se a correccedilatildeo

3 6

72 - Ebuliccedilatildeo por peliacutecula

Bromley propocircs uma boa equaccedilatildeo para a ebuliccedilatildeo por peliacuteshy

cula estaacutevel em cilindros horizontais

Nu

_ JtjD n r 9 P v bull ( P L - P v gt - g -h

e V bull D i2

D 1 ^ U b Z u At gt

onde

V = indica vapor

L = indica liacutequido

Multiplicando ambos os membros da equaccedilatildeo acima por

kvD obteremos a expressatildeo do coeficiente de convecccedilagraveo meacutedio para

o caso

37

C - FORMULAS PARA CAacuteLCULOS ESPECIacuteFICOS - RESULTADOS ESPECIacuteFICOS

1 FLUXO DE CALOR CRIacuteTICO - BURNOUT

lol - Introduccedilatildeo

O aspecto mais importante no que se refere agrave seguranccedila

dos reatores da transferencia de calor na ebuliccedilatildeo eacute a determina

ccedilatildeo do Fluxo de calor critico ou de pico ou burnout

Como jatilde vimos quando temos a ebuliccedilatildeo nucleada a dishy

ferenccedila de temperatura entre refrigerante e superfiacutecie de aqueci

mento e pequena poreacutem quando atingimos o fluxo de calor criacutetico

essa diferenccedila de temperatura pode tornar-se imediatamente muishy

to grande podendo causar a ruptura da superfiacutecie de aquecimento

se atiigirmos o ponto de fusatildeo do soacutelidoraquo

Usando a convecccedilao

onde

At sat

w

sat At

sub

w = temperatura da parede de aquecimento

t t = temperatura de saturaccedilatildeo do liacutequido

t^ = temperatura de mistura do liacutequido

At = (t -t ) sub-resfriamento do liacutequido sub N sat b 1

nout

Ha dois tipos de burnout fast burnout e slow bur-

Ocorre o fast burnout (burnout raacutepido) quando A t g u b gt 0

38

ou para baixo x (~ lt 10) sendo x o titulo do vapor

Temos o slow burnout para x - gt 10 Assim noacutes tereshy

mos dois limites para o burnout

At bull o (ltJgt ) t =((() para t = t ) -

bo m m possiacutevel w sat

sub i

4L + 1

G c D h pl nb

(ltK ) = (ltpound para x = 1) = Dv-bo max possiacutevel e 4L

c At l + P 1 sub i

onde

L = comprimento do canal

D = diacircmetro do tubo

G = descarga de liacutequido (por unidade de aacuterea)

c ^ = calor especiacutefico do liacutequido

Agrave = calor latente de vaporizaccedilatildeo

h ^ = coeficiente de transferecircncia de calor na regiatildeo de

nao ebuliccedilatildeo

iacutendices

i = entrada

e = saiacuteda

Haacute inuacutemeras expressotildees para determinaccedilatildeo do burnout pro

postas por muitos fisicos cada uma aplicando-se a um caso especiacuteshy

fico vejamos algumas delas

12 - Equaccedilotildees para prediccedilatildeo de Burnout

121 - Equaccedilatildeo de Bragg e Smith (Zuber)

Num artigo publicado por Bragg e Smith encontramos uma f oacute_r

mula que e derivada da formula de Kutateladze e nos daacute o fluxo cri

39

tico quando nao temos sufaresfriamento

bo poolsat v V raquoc a ( p l P V )

2 PV

14

onde

ltiexclgt = fluxo de calor critico bo

k = constante

Ly = calor latente de vaporizaccedilatildeo do refrigerante

= densidade do liquido

pvr = densidade do vapor V a = tensao superficial

g = fator de conversatildeo c

a = aceleraccedilatildeo da superficie de aquecimento

Os autores encontraram para k um valor de 062 entreten

to outros autores como Zuber incluindo outras variaacuteveis que In

fluiam no fenocircmeno encontraram k variando entre 008 e 023Esshy

tudos bem elaborados mostram que o valor mais aproximado eacute

k = 015 (- 003)

1-22 - Equaccedilatildeo de Noyes

Noyes estudou o burnout para o soacutedio agua e alguns liacute

quidos orgacircnicos

( W s a t ~ bdquo 0245 bull ( r ( 1 )

iiacute_ V 1 Pr

onde

N n = Nuacutemero de Prandtl da fase liacutequida x r

Mais tarde o proacuteprio Noyes alterou a equaccedilatildeo para

n ^ - n H Iacute I Pl PV gt0538 deg g c a q 4 ( W s a t deg 1 1 6 PV ( - p 7 ~ ) (77T1^ ) ( 2 )

40

A ultima correlaccedilatildeo proposta por Noyes foi

a n prPV0560 112

1

(a bull a) 13

(ag c) 112

(3)

onde

a = difusividade teacutermica do liacutequidoraquo A equaccedilatildeo (3) eacute bashy

seada em todos os dados de burnouts do soacutedio bem

como da atildegua benzeno difenil e outros De 111 pontos usados 90

+ estatildeo relacionados dentro de - 30bdquo

ldeg2o3 - Burnout com convecccedilao forccedilada e sub-resfriamen

to

Aproveitando os resultados de aproximadamente 240 testes

de burnouts com aacutegua sub-resfriada em fluxo de convecccedilao forccedilashy

da feitos na Ruacutessia Labuntsov elaborou uma boa equaccedilatildeo empiacuterica

para o problemabdquo

Esta relaccedilatildeo aplica-se para velocidades entre 2 3 e 148

ftsec pressotildees entre 1 e 201 atmabs sub-resfriamento entre 0 deg

e 432 degF e fluxos de burnout entre 0 4 x IO 6 x 166 x 1 0 6 BTUhr

2 bdquo

bullbo

onde

e a seguinte

6 ( P ) 1 + 0 2 3 2 V 2

14

e ( P ) 1 +

15 c At _p_ sub

12 (a)

9 ( P ) - P 1 3 o ( 1 - P J 4 3

red

= pressatildeo (atm abs)

pressatildeo reduzida = mdash mdash red r P

t_ c = pressatildeo critica

= velocidade do liacutequido (ftsec)

= calor especiacutefico do liacutequido (BTUlbdegF)

4 1

^ tsub = ^ ^ e r e n Ccedil a ^ e temperatura entre a temperatura de

mistura do liacutequido e a de saturaccedilatildeo (degF)

X = calor latente de vaporizaccedilatildeo (BTUlb) 2

ltiacutegtbo = fluxo de burnout (BTUhrfl )

Uma outra correlaccedilatildeo para o caso foi proposta por

Ornatsky e Xiohigin que fizeram experiecircncias para pressotildees entre

10 e 1 5 0 3xm 90 degF lt At ^ lt 4 5 0 deg F 3 7 1 0 6 ( l b h r o f t 2 ) lt G lt

2 2 2 10 b ( l b h r bdquo f t 2 )

lt ^ = 3 2 5 0 (G o A t bdquo J deg 6 ( - i - ^ ) 2 5 ( b ) bo sub

onde

G - descarga de refrigerante por unidade de aacuterea

P ^ v P v - densidades do liacutequido e do vapor

P1~ PV -0 termo (mdash ) e incluido na expressatildeo (b) para indicar

a influecircncia da ^ pressatildeo sobre o

Uma comparaccedilatildeo entre as equaccedilotildees (a) e (b) foi feita para

o Reator de Isoacutetopos de Alto Fluxo (HFIR) nas condiccedilotildees aacutegua a

600 psia velocidade = 45 ftsec e sub-resfriamento = At^^ 1

degF obtendo-se uma diferenccedila de 6 5 entre ambos (4gt = 6 0 5 1 0 b

2 ~ 6 2 BTUhr ft pela equaccedilatildeo (a) e 6 4 5 10 3TUhrraquoft pela equaccedilatildeo

(b)

Ilatilde ainda a equaccedilatildeo de Ivey e Morris aplicaacutevel somente pa_

ra ebuliccedilatildeo com grande quantidade de liacutequido

( c sub t

Cpf bull A tsub

( bull ) s ~ V P bdquo 10 h V sat V g

onde

(ltL ) = fluxo critico com sub-resfriamento c sub

(ograve ) ^ - fluxo critico sem sub-resfriamento c sat

42

c ^ = calor especiacutefico do liacutequido

= calor latente de vaporizaccedilatildeo

124 - Burnout com convecccedilao forccedilada e ebuliccedilatildeo por bocirc-

Ihas

Gambill fez uma extensatildeo da equaccedilatildeo de Levy e aplicou o

metqdo da superposiccedilatildeo Tal extensatildeo consiste natilde subtraccedilatildeo de uma

razatildeo equivalente de massa transferida dos termos que represenshy

tam a ebuliccedilatildeo e convecccedilao para levar em conta a presenccedila do vashy

por no fluxo

A correlaccedilatildeo pode ser escrita assim

24 V P V

o g c a (p^Py) 14

+ 0696 (k p c ) 12

(

pr p v )i4 o g c a (P-L-Py) 18

bull At + h sub nb

044 p v L v G (g1) bull N2 n

p l P V

( pr p v ) d e 2-7

2 4 TT 0

14 ( f e _ ^ r l 3

lO^u

onde

k = condutividade teacutermica

c = calor especiacutefico

A t s u b ~ s ub-resfriamento do liacutequido

h = coeficiente de transferecircncia de calor de nao ebu nb mdash

liccedilatildeo

G = descarga total do refrigerante

43

d g = diacircmetro equivalente do tubo ou canalraquo

]i = viscosidade

B = constante adimensional

Os iacutendices V e 1 representam vapor e liacutequido respectiva

mente

0 primeiro termo entre chaves da equaccedilatildeo representa o flu

xo de calor no burnout de sub-resfriamento em convecccedilao forccedilada 0

segundo termo entre chaves corresponde ao fluxo de calor transferi^

do para a massa da fase vapor

1-25 - Burnout por Bloqueio da Base

Ocorre quando a profundidade do recipiente eacute muito maior

que a largura 0 bloqueio da base eacute causado pela formaccedilatildeo de uma pe_

licula de vapor na base impedindo que o liacutequido toque o fundo do

recipiente

i De

Este eacute o burnout por flooding isto eacute burnout por expul

sao do liacutequido Uma equaccedilatildeo que nos dacirc o fluxo minimo do burnout

parao caso eacute

44

onde

D g = diacircmetro equivalente

L = comprimento do tubo

= calor de vaporizaccedilatildeo

p^Py Ap = densidade do liacutequido do vapor e diferenccedila en

tre ambos

Para um fluxo de calor maior ou igual ao dado pela expres_

sao acima (mantida a mesma geometria) teremos burnout Para um deshy

terminado fluxo existiratildeo sempre um comprimento L e um diacircmetro equi

valente D e para os quais temos burnout Exemplo

L (in) D e(in)

10 11

100 51

1000 235

2 RESULTADOS ESPECIacuteFICOS - FOacuteRMULAS PARA CAacuteLCULOS ESPECIacuteFICOS

21 - Diferenccedila de temperatura At i

13 a t

sat

At sat

poundatildeJL_ raquo t - t J p T T 6 w sat

onde

o laquo tensatildeo superficial entre liquido e vapor

t - temperatura de saturaccedilatildeo do liacutequido para a corres-Scl t

pondente pressatildeo

J equivalente mecacircnico do calor

X laquobull calor latente de vaporizaccedilatildeo

py = densidade do vapor

6 = espessura da camada de liacutequido superaquecido onde

45

k l

h nc

onde

k^ = condutividade teacutermica do liacutequido

h = coeficiente de peliacutecula nc r

Segundo Eckent h ^ c e dado por

P 2 Q

nc 3 V VP + 0952

r

onde

D = diacircmetro equivalente

G r = numero de Grashoff

P = nuacutemero de Pradtl

2 o 2 - Velocidade das bolhas

A velocidade das bolhas em meacutedia pode ser dada pela exshy

pressatildeo

V bdquo = Iacute ( a bull B Apl4 bolhas 5 ^ 2

p l onde

AP = P L - P v

Expressatildeo que vale quando a aceleraccedilatildeo eacute a da gravidade

baixa viscosidade do liacutequido e bolhas separadas

Vbolha = f t s e atilde m a x para aacutegua

2 bdquo3 - Diacircmetro das bolhas

2gc deg 12 D = 0015 3 ( mdash mdash 7 ~ ) d g Ap

5 =

46

onde

8 = acircngulo de contato (20 a 90deg) geralmente assume-O -1

-se igual a 50 para a agua em contato com metal

24 - Coeficiente de peliacutecula na ebuliccedilatildeo nucleada

a) Equaccedilatildeo de Rohsenow

Esta equaccedilatildeo nos datilde o fluxo de calor q na ebuliccedilatildeo nushy

cleadaraquo E oacutetima expressatildeo para muitos liacutequidos o efeito da presshy

satildeo eacute levado em conta na variaccedilatildeo das propriedadesraquo

Pf

fg

sat 17 = c

sg k y f h f g g( P f-p g)

n033

onae

Pf

fg

Pf Pg c sg

= fluxo de calor requerido (BTUhr0ft^)

= calor especiacutefico do liacutequido saturado (BTUlbm0F)

= calor latente de vaporizaccedilatildeo (BTULbm)

= nuacutemero de Prandtl

= viscosidade do liacutequido (lbrahrraquoft) ~ 8 2

= fator de conversatildeo 417 10 Ibmftlbflaquohr 2

= aceleraccedilatildeo da gravidade (fthr )

= tensatildeo superficial na interface liacutequida vapor

(lbfft) 3

densidade do liquido e vapor (lbmft )

constante adimensiacuteonal que depende de vaacuterios fashy

tores dentre os quais o grau de aquecimento en_

tre o fluido e a superfiacutecie de aquecimento e o

mais importanteraquo Independe da pressatildeo do sistema b) Equaccedilatildeo de Levy

Equaccedilatildeo valida para a aacutegua quando 100 lt p lt 2000 psiacutea

47

43 bdquo3

qu bdquo gat ^ T J h r t f t ^

495

25 - Calculo do fluxo de calor no Ponto de Leidenfrost

0 ponto de Leidenfrost como vimos eacute o ponto em que oflu

xo de calor comeccedila ncamente a crescer isto eacute o ponto onde termal

aa a ebuliccedilatildeo instaacutevel e comeccedila a ebuliccedilatildeo por peliacutecula estaacutevel Eacute

o chanado fluxo miacutenimo (egrave ) m m

Aproximadamente quando A t g u k = 0 temos

A _ mdash _ mdash (Gambill) m m 5

Ha entretanto varias expressotildees para determinar esse flu

xo eis uma delas

A p 14 ltjgt = 009 h pbdquo (o raquo g mdash ) y m m fg P V deg 2

p l

26 - caacutelculo do fluxo de calor na regiatildeo de ebuliccedilatildeo por peliacute

cuia estaacutevel

para cilindros jmdashi i li

_ D 0172 k-V - P V A p h l V bull S 14 li - = 062 (mdashmdash) (- j- r rmdash) convecccedilao A 0 ybdquo (t -t )

c V w sat

onde

= condutividade do vapor

- 2 TT ( mdash )

c gAp Vl = significam vapor e liacutequido respectivamente

para paredes verticais

L 0172 S deg7 A p bull hlV S q 4 h - - 080 (-^-)J- (-Iuml - Iacutemdash-convecccedilao X L u (t - t J)

c V w sat

48

Como nesta regiatildeo jaacute haacute nina influecircncia marcante da radia

ccedilao devemos levar en conta tambeacutem o coeficiente de peliacutecula de

vido a radiaccedilatildeo para determinar o coeficiente de peliacutecula total

Dos estudos atildea radiaccedilatildeo temos

h = a F pound(T 4 - T 4 J ( T ~ T ) rad w sat w sat

onde amp _ emissividade de superfiacutecie

a = constante de Stefan-Boltzman

F = fator de forma

Segundo WE Gambill o coeficiente de transmissatildeo total

ceve ser

3 iacutei = h + -7 h para h lt h t conv 4 rad r rad conv

Na expressatildeo acima existe o fator 34 porque a radiaccedilatildeo

faz variar um pouco a espessura do filme de vapor reduzindo asshy

sim o l l

conv

Quando tivermos h gt h gt o h^ ^ seraacute rad conv total

h f c = h + h t conv rad

Neste ultimo caso nao ha nenhum coeficiente porque a peshy

liacutecula de vapor jaacute eacute estaacutevel

27 - Grandezas caracteriacutesticas para a apua

Para pressatildeo igual a 1 atm = 1422 psia

At ^ = t - t = 5degC (iniacutecio da ebuliccedilatildeo nucleada) sat w sat 1

At t = 30degC sat crit

49

5 2 $ = 4 10 BTUhrft (para pressatildeo 1 atm)

0 fluxo critico cresce como vimos com a pressatildeo ate

atingir o maacuteximo quando a pressatildeo eacute aproximadamente 13 da pressatildeo

criacutetica Esse fluxo eacute

bull = 13 IO 6 BTUhrft 2 para p = 11000 psia (p pound = 32062 psia)

Ainda temos que para pressatildeo igual a 15 psia

h b o = 11000 BTUhrft degF - ebuliccedilatildeo nucleada

h f b = 30 BTUhrft 2 degF - ebuliccedilatildeo pelicular

Todos os resultados e formulas para caacutelculos especiacuteficos

apresentados nos itens 21 22 23 ateacute 27 sacirco aplicados somente

para sistemas onde haja ebuliccedilatildeo com grande quantidade de liquido

51

D - HIDRODINAcircMICA DOS SISTEMAS E QUEDA

DE PRESSAtildeO DENTRO DE UM CANAL

1 HIDRO-DINAcircMICA E QUEDA DE PRESSAtildeO

11 - Hidro-dinacircmica dos sistemas estaacuteveis

111 - Regimes de escoamento

A evoluccedilatildeo do escoamento ao longo de um canal aquecedor

de secccedilatildeo constante ciliacutendrico pode ser esquematizada pela figushy

ra 1 onde temos em abcissa o comprimento z do canal e em ordenada

a temperatura (T)

52

Na figura 1 nos representamos

a) 0 aspecto do escoamento fluido quando a entalpia do

- fluido aumenta Verificamos que o fluido entra no cashy

nal no estado liacutequido e assim permanece ateacute atingirmos a zona de

ebuliccedilatildeo local onde aparecem as primeiras bolhas A entalpia do

fluido continua aumentando e tem inicioa ebuliccedilatildeo franccedila onde as

bolhas se unem formando agregados posteriormente o escoamento to

ma a forma da figura ou seja torna-se anular disperso Finalmente

atingimos duas uacuteltimas fases do escoamento disperso (vapor uacutemido)

e vapor seco

b) A evoluccedilatildeo da temperatura meacutedia do fluido e da tempeshy

ratura da parede Note-se que a partir da cota a

temperatura da parede aumenta brutalmente podendo causar o

burnout

c) A evoluccedilatildeo do tiacutetulo do vapor (x) com o comprimento

do tubo e a evoluccedilatildeo da fraccedilatildeo (a) que definiremos no

item 11laquo2 com o comprimento do tubo

112 - Definiccedilotildees

a) Tiacutetulo ou qualidade do vapor (x)

massa de vapor na mistura x ~ massa total da mistura

x =

W _g_

g f

b) Fraccedilatildeo vazio (void fraction)

volume do vapor na mistura a = volume total da mistura (agua+vapor)

A relaccedilatildeo entre x e a num sistema parado pode ser obtida

assumindo um certo volume contendo 1 lbm de mistura em equiliacutebrio

teacutermicoraquo

53

O volume da mistura seraacute igual a (v + xv ) ft onde v eacute 3 r rg

o volume especifico (lbmft )

f - refere-se ao liquido

g - refere-se ao vapor

fg - refere-se a diferenccedila entre liacutequido e vapor

Numa mistura em equiliacutebrio se o liacutequido e o vapor estatildeo

saturados o volume do vapor presente eacute igual acirc sua massa vezes

seu volume especiacutefico v assim e

xv bdquo bdquo a mdash

V c + XV c

f gf

onde

- bull-bull uumlutiacuteisa vapor na mistura de 1 Ibm

v volume especiacutefico do liacutequido

v = volume especiacutefico do vapor o

V c = v - V

gf 8 r

Fazendo uma transformaccedilatildeo na expressatildeo acima temos

xv xv JS = Z-

v r+ x(v -v c) xv +(l-x)v t ri f g f g f 1 + Ul-x)xjv fv

1 + C(l-x)x]]vfvg

A fraccedilatildeo vazia tem a influencia de baixar a reatividade

do nuacutecleo nos reatores em que o refrigerante eacute tambeacutem moderador

Na equaccedilatildeo acima os valores de x e v sao tomados em tabe

las termodinacircmicas apropriadas para a pressatildeo do sistema A equashy

ccedilatildeo (1) mostra os grandes valores de a para pequenos valores de x

especialmente para baixas pressotildees Isto ocorre porqueaumentando

54

aacute pressatildeo o v decresce muito enquanto que o v f eacute mais ou menos da

mesma ordem de grandeza

Exemplo Calcular o a correspondente para x raquo 2 para aacutegua

leve atilde pressatildeo atmosfeacuterica

Da tabela para p laquobull 1 atm

v - 001672 ft 3lbm e v - 26800 ft 3lbm

1 + [(1-002)002] 001672268

0971 ou 97U

O grafico abaixo mostra a variaccedilatildeo do a com x para vaacuterias

pressotildees e para a aacutegua leve

x ()

tObservaccedilotildees da curva

Fig 2

1 - para x constante a decresce com a pressatildeo Para presshy

sotildees proacuteximas da criacutetica a aproxima-se rapidamente de

x Para a pressatildeo criacutetica as duas fases satildeo indistinguiacuteveis ea=x

2 - para cada pressatildeo dotdx decresce com aumento de x

3 - para baixos valores de x (que e o caso dos reatores

tipo Boiling) quando p decresce dadx cresce e torr

na-se muito grande paacutera baixas pressotildees Isto tem relaccedilatildeo com a epound

55

tabilidade do reator como veremos mais tarde

113 - Sistemas com fluxo

Todas as definiccedilotildees que noacutes vimos no item anterior refeshy

rem-se acirc sistemas em que a mistura esta fechada no recipiente Nes^

te caso natildeo havia movimento relativo entre as duas fases No entan

to se as duas fases da mistura se movem na direccedilatildeo vertical em

canais entre os elementos combustiacuteveis o vapor por causa de sua

flutuaccedilatildeo tem a tendecircncia de escorregar sobre o liacutequido isto e

move-se com velocidade maior do que a do liacutequido

Real Modelo

Pig 3

S -

Define-se neste caso a relaccedilatildeo de escorregamento (slip

ratio) (S) como sendo

V _i

V f

onde

V = velocidade do vapor

= velocidade do liquido

S modifica as relaccedilotildees entre a e x do item anterior S geralmen_

te gt 1 Define-se neste caso qualidade do vapor ou tiacutetulo como

sendo

_ fluxo de massa de vapor

fluxo de massa da mistura

Entatildeo se o fluxo de massa da mistura eacute m t(lbmhr) o flushy

xo de vapor seraacute = x m e o fluxo de liacutequido sera (1-x) m onde x

56

e o titulo do vapor para a particular secccedilatildeo (AL) da figura (3)

Devemos notar que neste caso x varia de secccedilatildeo para secshy

ccedilatildeo do tubo o exposto no paraacutegrafo acima vale considerando-se que

x e a permaneceram constantes na secccedilatildeo de espessura AL

Aplicando a equaccedilatildeo da continuidade as velocidades do va

por e liacutequido sao dadas por

o xm v

V vazatildeo = g g area A

V

(1-x) amp t v f

f A f

onde A e A f sao as aacutereas medias perpendiculares ao fluxo se as

duas fases sao imaginadas completamente separadas uma da outra

(figura 3) Assim temos

V x m v o A_ A v 0 ^ - 2 = iacute S t m _2L- JL JS m

V A (l-x)ui v 1-x A v U

f g t f g f

Sabemos ainda que para a secccedilatildeo considerada

volume do vapor na mistura a = volume total da mistura (agua+vapor)

A AL A pound g g

a = mdash a a = - mdash 1

(A+A )AL A f + g

A ou f _ 1 - a

A a 8

Substituindo em (2) vem

57

Esta expressatildeo pode ser rearranjada e obteremos uma relashy

ccedilatildeo entre x e a levando em conta o escorregamento Chega-se a

a = 1 ( 3 )

1+ [U-x)x3 igt

onde

v 4 laquo -- S

v lty o

Note-se que quando S=l (nao haacute escorregamento) caimos na

expressatildeo dada no item anterior

0 efeito do escorregamento eacute decrescer o valor de a pa_

ra um mesmo xbdquo Isto pode ser visto pela foacutermula (3) pois S gt lLo

go a decresce com acreacutescimo de S

Um alto S e entatildeo uma vantagem tanto para a transferecircnshy

cia de calor como para efeitos de moderaccedilatildeo Eacute uma vantagem para

transferecircncia de calor porque alto S significa alto V e portanto

maior turbulecircncia e maior contato do liquido com as paredes quenshy

tes Ha tambeacutem melhorias na estabilidade da reaccedilatildeo nuclear isto

porque como jaacute dissemos quando mdash7 diminui a estabilidade aumenshy

ta isso pode ser verificado observando a curva a versus x para a

agua leve a 1000 psiabdquo

Fig 4

58

A relaccedilatildeo entre x e a da equaccedilatildeo (3) so vale para secccedilatildeo

de tubo bem pequena

Devemos notar que S varia tambeacutem com a pressatildeo e velocida^

de de entrada do liacutequido no tubo Este efeito pode ser observado na

figura 5 abaxxo obtida esperimentalmente

s

3

~^ ~ psig

x = 001

V 1

Fig 5

Nos projetos de reatores como veremos adiante o valor a

geralmente eacute determinado por consideraccedilotildees nucleares (moderaccedilatildeo) 0

valor de S eacute determinado atraveacutes de uma estimativa ou entatildeo atrashy

veacutes de um graacutefico do tipo da figura 5 0 correspondente valor de x

pode ser obtido de uma foacutermula empiacuterica do tipo

1 = 1 (-S)0gt67

proposta por Von Glahn

Em muitos casos assume-se S constante em todo o comprimeiv

to do canal poreacutem eacute um erro que em muitos casos nao pode ser coshy

metido

4 REATORES EM QUE 0 LIacuteQUIDO B MODERADOR E CIRCUITO PRIMAacuteRIO AO

MESMO TEMPO BOILING-REACTOR (BWR)

A aacutegua ao se movimentar atraveacutes dos vaacuterios canais do

59

Boiling-reactor encontra vaacuterias resistecircncias ao fluxo que provoshy

cam uma reduccedilatildeo de pressatildeo no fluido

As duas perdas mais importantes sao perda de pressatildeo por

atrito e perda de pressatildeo causada pela aceleraccedilatildeo do refrigerante

ao aumentar de volume por receber calor num canal Outras perdas

de pressatildeo seriam a obstruccedilatildeo ao fluxo por corpos submersos (espa_

ccediladores juntas de tubos chaves etc) e por mudanccedilas abruptas de

aacuterea de fluxo tanto na entrada como na saiacuteda do tubo

Essas perdas de pressatildeo devem ser conhecidas o melhor popound

sivel principalmente nos reatores BWR Para tanto devemos saber

o comprimento de canal em que nao ha a ebuliccedilatildeo isto eacute qual o com

primento de canal em que o refrigerante vai da temperatura de sub-

resfriamento ate temperatura de saturaccedilatildeo

Seja o elemento combustiacutevel

Aquecimento Uniforme Aquecimento Senoidal

Fig 6 Fig 7

onde

H =

H = o

H b

comprimento do elemento combustiacutevel

cota onde o liquido se torna saturado

comprimento do elemento combustiacutevel em que ocorre

ebuliccedilatildeo

60

qg = calor sensiacutevel acrescentado ao liquido para satushy

raacute-lo

qfc = calor total acrescentado ao liacutequido em todo o com

primento do canal

laquoo

q s J o qiquest sen (IIzH) n H o

T~ = TH = 2 ( 1 c o s gt ( a )

q 1 sen (HzH) Jo ^c

A expressatildeo (a) vale quando tivermos uma adiccedilatildeo de calor

senoidal para qualquer outra forma de adiccedilatildeo de calor faz-se um

caacutelculo anaacutelogo

Outra relaccedilatildeo entre q g e qfc eacute dada pela termodinacircmica

q h- - h s f m (b)

(hr +x h )-hm ^t f e fg

onde

= entalpia para o liquido saturado a pressatildeo correjs

pondente (cota z = Ho)

hffi = entalpia do liacutequido na entrada do canal

x = tiacutetulo do vapor na saiacuteda

= entalpia do vapor

Com a relaccedilatildeo (b) noacutes determinamos a relaccedilatildeo q q ecom

S L

uma relaccedilatildeo do tipo (a) (conforme seja o adicionamento de calor ao

liacutequido) podemos obter a relaccedilatildeo HoH e consequentemente H^H

21 - Perda de pressatildeo num canal de evaporaccedilatildeo

Neste item iremos determinar as perdas de pressatildeo mais

representativas que ocorrem num canal de evaporaccedilatildeo de um reator

P + dP

bull1 i- 1 gti i i

dL

onde

UM

Icirc H Icirc Icirc T dF f t f

61

Quantidade de Mov na Entrada

= i- rigVg)

dF f l

Fig 8

m i

m 8

V l V 8

A P

dF

dF

dF

fg

fl

ftf

descarga do liacutequido

descarga do vapor

velocidade do liquido

velocidade do vapor

aacuterea transversal do canal

forccedila de atrito do vapor com parede

forccedila de atrito do liacutequido com parede

forccedila de atrito das duas fases liacutequido+vapor

Fazendo o balanccedilo das forccedilas considerando o sentido posjL

tivo na vertical temos

A (P-P-dP)-(dF +dF _+dF _)-(-pound-) (p A+p A )dL = mdash dGnV+m V ) P fg ftf fl g c 1 1 g g g c

v 1 1 g g 7

- dP = ~ (dF +dF--+dF)+- S--7=- (p A+p A )dL+ mdash ~ - d (m-V+m V ) A_ fg ftf fl g c Ap v^l 1 g g g A 11 g g

Fazendo a integraccedilatildeo termo a termo entre os dois extreshy

mos entrada e saiacuteda e considerando a pressatildeo de entrada igual a

P q e a de saiacuteda igual a Pe vem

Quantidade de Mov na Saiacuteda

-= h I- lY l+ A g V g + d ( aacute l V l + aacuteeVl

Forccedila de Gravidade

= ( g f - N P A + P g V

62

b) r e F f l

o p dp^ = Ap^ = perda de pressatildeo por atrito

do liacutequido na altura Ho

Aplicando a formula de Darcy vem

bull API = f bull ir bull ^ iexcl 7

onde

f = fator de atrito

c) e Fftf

o p ^P tpound

= perda de pressao por atrito da mistura

liquido + vapor no trecho de comprimen

to Hbdquo o

Para determinar esta perda de pressao define-se o fator

de multiplicaccedilatildeo R

A P R =

tf A P 1B

Sendo A p ^ a perda de pressao se o comprimento todo fosshy

se ocupado somente pelo liquido assim

A p t f = R A P 1 B

0 calculo de Ap-^ pode ser feito pela formula de Darcy e

o de R nos veremos no item seguinte

63

d)

-e F

d ( ^ )

O P

Ap = perda de pressatildeo por atrito do vapor

No caso do reator BWR o titulo de saida e bera pequeno e

em nenhum caso ocorre a saida de vapor com x = 100 logo a perda

de pressatildeo por atrito do vapor eacute nula assim

An = 0 5

e) Ap

(p A 1 + p A ) dL = Ap - perda de pressatildeo dpound

vida ao desniacutevel

(perda hidrostaacutetica)

Anbdquo = re A A

-S- I (p + p -S ) dL H s 1 A

c o p o A

como A A Jl_ =

A P

A +A-g 1

1-a -

temos

C Q

te j jll-a)p1 + apg)^jdL = p Lo pound

onde

e jo u

+ ap ) ~I dL (Densidade media 1 S J

no tubo)

No nosso caso

Ap u = p H

f)

re d(mV + m V ) _ mdash - laquo -i bull s iquestp laquos p e r d a ltje pressatildeo devido a acele-

c p raccedilatildeo do vapor

V A

(1-x) tl^Vj

(1-a) A

X V

aA

A p -

roV + m V

c p c p L_

m (l-x)m_v m xv nbdquo -1 T 1

+ _S S I (1-a) Ap aA

P

2 g A c p

n 2 2

(1-x) m T

laquo2 8 A c p

2 2 (l-xe) raTv1

2 2 2 xm_v (1-x) m-v e T s o 1 1

a 1 - a

2 2 - x m_v o T g

a

se

X Q 0 (so ha agua nesse trecho)

a = 0 o

temos

mbdquo Ap =

1 a A 2

S A degc p laquo-

tt-V v i 1 - a

2 via T^r - v i

t Apc

2

V v l

5c Ap

1 - a

x v - 1

a e v l

65

Fazendo

G = fluxo total da massa por unidade de area do

canal

(1-x J e

V

AP r

Assim a perda de pressatildeo total sera

H p V II pV r2 P -P = f -24-Iuml+ f R+p 0 1 2g c D e 2g c g c g c

2c2 - Determinaccedilatildeo do fator de multiplicaccedilatildeo (R)

221 - Relaccedilatildeo Martinelli-Nelson

Os autores Martinelli-Nelson determinaram experimental -

te esse fator R para varias LIT1L em funccedilatildeo da pressatildeo e da r NB total J v

qualidade de saiacuteda do vapor no canal Construiacuteram assim vaacuterias

curvas do tipo da figura 9

66

E importante notar que a qualidade do vapor (x) na saiacuteshy

da nao deve ser grande pois como vemos o valor de R cresce muishy

to com um aumento pequeno de x e um valor de R muito grande acar_

reta uma perda de pressatildeo grande pois

^ d u a s fases R ^ f a s e liacutequida

Para resolvermos um problema seguindo o criteacuterio de bdquo

Martinelli escolhemos a curva R = f(px) (para a relaccedilatildeo L

N g ^ j

adequado) e tiramos R com os valores de pressatildeo p e tiacutetulo x

As curvas R = f (p x L T t )IO encontram-se nos ANL 6469 bio I

e 6561

222 - Relaccedilatildeo Lottes-Flinn

Estes autores estudaram o problema para o aquecimento uni

forme do refrigerante com baixo titule Lottes-Flinn fizeram inuacuteshy

meras experiecircncias e verificaram que para fluxo de calor uniforshy

me e baixos titulos R era independente do fluxo de calor fluxo

do refrigerante escorregamento e apenas funccedilatildeo de a g

Como a quantidade de liacutequido eacute muito maior que a de vashy

por a perda de pressatildeo daacute-se principalmente pelo atrito do liacuteshy

quido com a parede Podemos assim escrever a foacutermula de Darcy

na forma diferencial

dz

d = f __ r e amp c

onde

V = velocidade do liquido saturado na cota zbdquo X

f = coeficiente atrito

= densidade do liacutequido saturado

Teoricamente a queda de pressatildeo deve-se ao acreacutescimo de

67

velocidade do liacutequido e da diminuiccedilatildeo da aacuterea de fluxo do liacutequi

do

P fH A P t p

= f D 2g Ho

d z

fazendo

V lo

m V t lo

(velocidade do liacutequido na cota z = Ho)

(1-x) m t v 1

(1-a) A (velocidade do liacutequido na cota z gt Ho)

a bull+ fraccedilatildeo vazio na cota z geneacuterica

V 1 (1-x) m t v 1

m t V l 1 - a

x =s 0 pois o tiacutetulo eacute baixo

A p t f = f bull JT5 c e

fH V lo

H o (1-a) dz

Para fazer a integral devemos achar a relaccedilatildeo de variaccedilatildeo

entre a e z Como o fluxo de calor eacute uniforme a qualidade eacute direshy

tamente proporcional a z

bull laquo x = x e H

z = mdash x X e

Sabemos ainda que (item 113)

x

1 + [ ( I -X)AKQ x + iiacuteraquo

68

como

temos

(1-x) = 1

v

X =

z =

1-a

1 -a

1-a e

a

e

1-a pound

a

1 -a igt (assumindo S = cte)

da

Atf - f bull 2 i ^ ~ J c e o

a 1 - a e e 1 s 4 hmdash) da

a 1-a

f P lv^ Q

0 termo mdash - mdash e a parte de perda de pressatildeo pelo lj^

^c e -quido ou seja Ap liquido saturado e como

Ap

R = tf

Ap liauido saturado

temos que

R J

f ae 1 _ a e 1 4

a 1 -a o e

1 -a r-R =

3 1 -a

a 1 -a imdash

3 vl - a 3

e e

Os valores de R obtidos por esta expressatildeo aproximam-se

muito dos valores obtidos pelos aacutebacos de Martinelli

69

E - EXPANSAtildeO E COMPRESSAtildeO DE UM FLUIDO - ANAacuteLISE HIDRODINAcircMICA

DE UM CIRCUITO EM CIRCULACcedilAtildeO NATURAL

1 EXPANSAtildeO NO FLUXO DE UM FLUIDO

11 - Uma so fase

Figura 1

Ha vaacuterios meacutetodos para determinar a variaccedilatildeo de pressatildeo

numa expansatildeo de fluido estudaremos o de Romie que eacute o que daacute

maior precisatildeo

Romie considera que a pressatildeo p^ tambeacutem atua na aacuterea

imediatamente apos a expansatildeo Assim fazendo o equiliacutebrio das foi

ccedilas nas secccedilotildees tracejadas da figura 1 temos

mVj

p r A 2 + mdash

mV

bull 2- A2

mas

m = pV^A^

pV^A = p V 2 bdquo A 2

V A

v 2 -4r-logo

( P l-P 2) A 2 = f ( V ^ ) - f _ v j amp c c 2

70

2 pV A A pV A A

Chamando A l A ]

K = 1 - T e degi2 = Aiexcl bull V E M

pvj

P l P 2 = T ~ bull ( 2 deg 1 2 ) ( 1 _ a 1 2 )

Outra maneira de chegar atilde diferenccedila de pressatildeo ( P j - ^ ) s mdash

ria usar o coeficiente de perda da mecacircnica dos fluidos Assim o

equilibrio das pressotildees eacute

2 2

1 V l 1 V 2 V l P i + _ p _ ^ P 2 + I p ~ + k 1 2 p mdash

onde = coeficiente de perda

A 2 1 2

k 1 2 - (l-o 1 2) - (1 - j- )

Fazendo as transformaccedilotildees chegamos a mesma expressatildeo obshy

tida pelo balanccedilo das forccedilas

PraquoIacute pr p

2 - - ir ^ laquo-ia

12 - Duas fases

Como ha duas fases a equaccedilatildeo do balanccedilo das forccedilas fica

um pouco alterada

m pound 1 V- m - raquoV - m-V- m bdquoV _ P A + j y ^ i + _gl_JUuml P A + -11-11 + -ilsl (a)

1 2 e R 2 2 ff e

Sabendo que

71

m (1-x) m t = p fA (1-a) V f

entatildeo

fl l-o^ p fA x

6 Vf2 1-x l-a2 P fA 2

m V = mdash mdash e V 0 = gl a 1 P C T A 1 g2

m

a_ p h

2 g 2

Nas expressotildees anteriores o x nao varia porque a expansatildeo

5 adiabaacutetica porem o a varia devido a modificaccedilatildeo do tamanho da

bolha

Substituindo os valores das velocidades na expressatildeo (a)

vera

( P - P ) Abdquo =

2

2 2 m gt2 2 m t (1-x) 1 x t

ra i 2 m i 1 x t 1

p fA 1 g c ttl p Ax gpound

m t P - P = mdash

(1-x) (l-a 1)A 1A 2 (l-a2)A|

a r A r A 2

V A 2

m t P bdquo - P = mdash 2 1 g c A r A 2 p f

(1-x) 1-a f A 2(l-a 2)

bull ^ 2

72

Se

P -P

a

m

g

12

1 _1_ (1-x)

J12

1 _ a l 1 - a 2 + X (- )

Pg

1 deg12 a 2 ^

Sabemos que

mt = V o pf laquo A l

Sendo V q = velocidade do liquido num ponto onde natildeo haja vapor

P 2-P 1

u 2 2 A 2

V pr Ai

V W p f

(1-x) 12

l-a1 l-a2

+ X 2 pf

mdash

l deg12

-1 a 2 _

p -p r 2 Al (2a 1 2)

2 M f w 1 deg12 X (mdash) (

pg al a 2 )+(l-x)C l 1 12

1-a^ l-a2

Devemos notar que esta expressatildeo tambeacutem vale para quando

temos uma fase para isso basta fazer

= c t 2 = 0

X = 0

e recairemos na formula do item anterior

2 pf 1 deg12 Observemos que neste caso o termo x (mdash)( ) nao

Pg al a2

2

73

tem significado pois corresponde a mudanccedila de fase

2 CONTRACcedilAtildeO KO FLUXO DE UM FLUIDO

21 - Uma so fase raquo mdash

Aqui ocorre um fenocircmeno importante pois o fluido ao ser

contraiacutedo nao vai diretamente da area A^ para a area A 0 mas ele

contral-se ate uma area A^ e depois expande-se ate k^

Ao A2

Po IP 2

V 2

Figura 2

Fazendo o equiliacutebrio das pressotildees entre os planos (1)

(0) vem 2 2

pV pV p +~ plusmn - P + i deg bull 1 2 g o 2 g (b)

C x

Fazendo equiliacutebrio da expansatildeo (0) - (2) vem

P o + 2 - f = P 2 + 2 -T + kp- 2 F ( c )

c c b C

Subtraindo (b) - (c)

2 2 2

i p- vj i p- v2 L P l + 2 bull g c

P 2 + 2 2g c

+ k P 2g c

74

Como

P - P = mdash 2 2g

2 2

bull (1 + k) - f bdquo mdash i

k a - f2 ) 2 - d - o c )2

= o

A = a 21

Weisback obteve varias relaccedilotildees entre a e a i] c

01 02 03 a 0624 0632 0643 c

0624 0632

A r v i - V v 2

p -p 1 2

P -P 1 2 2g7

v l =

(1+k) - laquofi- a 2g 21 c

( 1 + k - o 2 1)

X[- V 2 o 2 1V 2

22 - Duas fases

0 valor de k pode ser aproximado para

k = a(l - o 2 1)

onde segundo Richardsons para fluxo de duas fases podemos supor

a = 02

Para fluxo homogeacuteneo sabemos que

75

p = p f (1 -a ) + p o a

podemos supor p bdquo a = 0 pois p e pequeno e fazendo

V = V ~ V fbdquo2 go2 v 2

Substituindo estas duas expressotildees na equaccedilatildeo de uma soacute fase vem

2 2 p V (l-ct) p V (1 -a ) bdquo

P l P 2 = 9g ( 1 + 3 - 3 0 ^ - 0 ^ ) = g (a+1) (l-a^)

Se a = 02

2 12p oV 0

p r p

2 - 9g gt d-) d-sigt

A compressatildeo de um fluido acarreta uma perda de pressatildeo

como pode ser verificado pelas formulas uma vez que lt 1deg

3 ANALISE HIDRODINAcircMICA DE UM CIRCUITO EM CIRCULACcedilAtildeO NATURAL

Esquema deacute uma caldeira com circulaccedilatildeo natural

76

Determinar a velocidade em (7) para que tenhamos circula

ccedilatildeo natural Determinar tambeacutem as perdas de pressatildeo em todos os

trechos da caldeira

31 - Contraccedilatildeo das secccedilotildees (1) - (2)

Como jaacute vimos a equaccedilatildeo do balanccedilo das pressotildees eacute

1 pr Vl 1 p 2 o V 2 P2 V2

1 2 g 2 + 2 g + K12 2g otilde c amp c e c

bullraquo 2 o2 2 e havendo uma soacute fase k 1 9 = (l-o ) = (1 mdash ) e sendo

C 2

p l = p2

v x lt lt lt v 2

P 2 V pr p2 bull ir2 bull ( 1 + k12gt

Colocando em termos de temos

A 2 V 2 P 2 = A 7 V 7 p 7 (continuidade)

V = V mdashbull = V o_bdquo ~ A 2 2 2

P 2 V - p 2

p r p 2 = ir2 - deg72 bull Ccedilrgt bull lt 1 + ki2gt

fazendo

N12 - lt^gt deg72 ( 1 + k12gt

P7 V7

Pr P2 - N12 bull HG

77

3 2 - Perda de carga no trecho ( 2 ) - ( 3 )

Como haacute apenas uma fase soacute temos perdas por atritos e

perdas hidrostaacuteticas

Sendo como jaacute vimos

2 3 p 2 2 g P 2 P 3 = f 2 3 (r~2g^~) L 2 3 g c p

atrito hidrostaacutetica

Substituindo V^ pela relaccedilatildeo do item anterior e tendo em

conta que p = vem

P -P = f 2 r 3 2 3 D

2 3 p 2 bdquo 2 2 p 7 2

2 g 7 72 p 2 3 g

Se

L 2 3 2 p 7

2 3 2 3 D 2 a 7 2 p 2

P 7 V 7 g P 2 - P 3 = N 2 3 ( mdash gt p 2 L 2 3 f

3 3 - Expansatildeo nas secccedilotildees ( 3 ) - ( 4 )

Como vimos o balanccedilo das pressotildees e

2 2 2 p V p 4 V p V

P 3 + 2 g c

P 4 + 2 g c

+ k 3 4 2 g c

onde

k 3 4 - - -

2 2 1 P 4 - V 4 P 3 v 3

P 3 P 4 = 2 g + ( k 3 4 _ 1 ) 2 g

78

Sendo

P 3 - P 4

p 3 o A 3 deg V 3 = P 7

a A 7 o V 7

P 4A 4 0V 4 = P r A r V

3 7 A 3 p 3

A7 P7 V = v mdash mdash 4 7 P 4

P - P 3 r4

Se

P bdquo - P

bdquo2 r-P 7 V 7

3 4 2g deg74 + ( k 3 4 1 ) deg73

34 p deg74 + ( k 3 4 1 ) 73

p r v2

P3- P4 ^ N34 ^ gt

(No caso e negativo)

34 - Contraccedilatildeo nas secccedilotildees (5) - (6)

Ainda temos uma so fase e fazendo o balanccedilo das pressotildees

como fizemos no item 3lt1 vem

P + vil p + vi + k vi P 5 + 2gbdquo P6 + 2gbdquo + k56 2gbdquo

k 5 6 lt 1 ^ gt 2 ( 1 - Iacute 2 i 2 6

V V6 P5degIacute 5^6 ^SS 2g c - 2g c

P - P ^ = (1+kJ

Como

79

A 6

W p 5 =

VV P6 V 5 = V 6 Jiexcl = Vff65

P 5-P 6 - lt H k 5 6 ) mdash ^ mdash (l+k 5 6-a 6 5) c c c

Sendo

Se

A 7 p 7 p 7

6 7 Ag p 6 7 76 p 6

p _p _ P6- V7- g76 iquest72 ( _ 02 P 5 P 6 2g c bull ( p 6

( 1 + k 5 6 deg65 )

p 7 2 2 N56 = p ^ deg76 ( 1 + k 5 6 ~ a 6 5 )

P 7 V 2

7

P r-P = N r 5 6 56 2g c i

35 - Perdas de pressatildeo nas zonas (6) - (7) - Pre^aquecimento

Nesta regiatildeo temos perdas por atrito e hidrostaacuteticas

Nao haacute perda por aceleraccedilatildeo pois ainda natildeo houve formaccedilatildeo de boshy

lhas

Fazendo balanccedilo das pressotildees temos

L_ ppound-V p = p + otilde L - pound _ + f -Si (-21mdashL 6 7 + p67 L67 g + t 6 7 D K 2g

p _ e ifn sao tomados como valores meacutedios 67 67

P _p _ f hl ^67jIacute uuml + - L A

6 F 7 r67 D 2g P P67 L67 g 6 s c 7 c

S e Kr pound67 L67 p67 6 7 D 6 p7

p7 V - _g_ P6- P7 - N67 mdash + P67 L67 f

c c

80

36 - Perda de pressatildeo nas zonas (7) - (8) - Zona de ebuliccedilatildeo

Nesta regiatildeo j aacute temos o aparecimento de bolhas logo a

perda de pressatildeo seraacute devida agraves t recircs parcelas aceleraccedilatildeo a t r i t o

das duas fases liacutequidas + vapor e h idros taacute t ica

onde

Assim

P-P Q = AP + AP + APbdquo 7 8 a t r i t o acel H

T M1

78 p 7 7 AP - R f- - mdash mdashr |R = fator mult ipl ica-

a t r i t o 7 D 7 2 g c L tivo

G 2

AP bull r mdash acel g c

P V

|_1 - o a p J 8 P f

2 t r 2 M2

7 7 r 7 7 A P a c e l = -J^mdash 2 r bull p 7 lt T iexcl iexcl - )

A PH p 7 8 L 7 8 fiexcl

p 7 8 iacute 7 li 1 0 0 P l i q + a P v ] d L = P 7 ( 1 - laquo 7 8 )

ag raquo fraccedilatildeo de vazio media entre 7 e 8

APH = p (1 - 5 7 g ) f- L 7 8

2 2

P 7 - P 8 a 5 - 2 T i + 2 r p 7 + P 7 ( 1 - 7 8 gt f L 7 8 7 amp c amp c amp c

81

N 7g = R mdash + 2 r p 7

P7 V7 P7- P8 = N78 + P 7 ( 1 5 7 8 gt J78

37 - Expansatildeo nas secccedilotildees 8 e 9

No caso haacute uma expansatildeo com duas fases e como vimos no

item 12 a variaccedilatildeo de pressatildeo era dada por

0f Vo P2 P1 = ~2g c ( 2 deg12

x 2 (mdash)(mdash - mdash ) + ( l - x ) 2 ^ T mdash 8 1 2 1

12

Aplicando ao nosso caso

P pound = P 7

P -P = 8 9

V - V raquo V g f 7

P 7 V 2

2 pf 1 a89 2 1 g89 x (mdash) ( ) + (1-x) (- - N

o ou abdquo 1-cu l-ot_) g 8 9 8 9

Se

N 89

= 2 a 89

2 pf 1 deg89 2 1 CT89 x (mdash) ( ) + (1-x) ( T

g 8 9 8 9

P -P = 8 9

- N P7deg V7

89 2gbdquo

38 - Perda de pressatildeo no trecho 9 e 10

No referido trecho temos apenas perda de pressatildeo por atr L

to da fase liacutequido + vapor e perda hidrostaacutetica Natildeo haacute perda por

aceleraccedilatildeo do vapor pois este natildeo recebe mais calor e portanto

o 82 o

nao ha variaccedilatildeo no a

p

Q -p i n = A P

U + A P bull 9 10 H atrito

n T -S_ P9 U10 deg 910 bull g

fio r

910 I 910

J9 L

(l- a)P + Q P I dL liq v

(l-a0) p

No caso a = (nao hatilde variaccedilatildeo de forma)

A P H - (1-a ) P (p L 0

c

AP bdquo = R o

atrito

2 f9 o L910 P9 V9

2g

Supondo

= V

P 9 = P 8 P 7

vbdquo = v 9 8 0 A r

= V 7 bull deg89

AP - R atrito

2 2

W l O p7deg V7deg g89

V P10 R -^T^ bull deg89 bull li-2 + ( W P 7 (fgt SIO

y c c

Se

- f9 L910 2 N9ol0 R Dl deg89

w 2

p rv P9 P10 = VlO + ( 1 a 9 ) p7 (f gt L910 c

33

39 - Perda ciacutee pressatildeo na expansatildeo 9 - 1 0

Analogamente a expansatildeo 8 - 9 temos

10 11 P 7 2g

10 Iacute 2 0 1 0 - 1 1 gt

2 ff

pg aio

10-11

laquo11 ) +

Ll-a 1 0 bull l-a u J

Se

V10 = V 9 = V 8 bull T9 = V 7 deg89

P -P 10 rll = - a 2g 089 ^lO-ll

4 bull T~ bull (7 1 mdash ) + Pg degio a n

+ (l-x)2(- 1 10-11

1 - aio )

N10-ll = 2 a10-ll a89 2 pf t 1 10-11 N2

-(j-r- - ) bull+ (1-x) pg aio deg 1

10-11 k l - a io

prz P10 Pll = - N10-ll bull ( 2gbdquo

310 - Calculo de V

Fazendo a somatoacuteria de todas as expressotildees (P^-Pj) tere-

84

mos 2 PbdquoV_

P bdquo - P bdquo = N 7 v 7

1 2 12 2g

bull 2 - P 3 - = N 2 3 P 2 L 2 3 f c ccedil

9 P 7 V 7 P _p = N mdash -

3 4 34 deg 2g

V P 5 = deg

2 P V

5 6 56 2 g c

ltr2

P 7 -V 6 e7 -N67 2g + p 6 7 J j67 g

c bc v 2

P 7 - P 8 = N 7 8 - 2 i ~ + p 7 ( 1 - laquo 7 8 ) L 7 8 c

P 7 V 7

P - P - -N mdash - -8 9 89 2g

c P 7 V 7

P 9 ~ P 1 0 VlO 2g + ( 1 a 9 P 7 L 9 c

P 7 V 7

bull10 11 U10-ll 2g

P v iacute j P - P

1 11

7 - v 7 3 bull r

2 8 i U L 2 23 67

(l-5 7 8) L 7 8 + ( l - laquo 9 ) P 7 bull SlOtilde]- ^

Por ou t ro lado sabemos que como secccedilotildees 1

mesmo n iacute v e l

85

s c p r v 7 j

28 Z N i ij

= P 2 L23 p67 L67 P 7 ( 1~deg78 )

78 ~ ^g) bull P 7 bull L 910 g_

V - 2 g ( p r L 2 3 - p 6 r L 6 7 - p 7 ( l - atilde 7 8 ) L 7 8 - (l-a9) p L 9 a ( )

y N

Com esse valor de podemos determinar todas as variashy

ccedilotildees de pressatildeo (P^-P )

BIBLIOGRAFIA

- WoR Gambill - Notas de aula dos seminaacuterios realizados no Insshy

tituto de Energia Atocircmica de Sao Paulo em 1966 (roteiro)

- WR Gambill - Nuclear Safety

Vol 9 - n9 5 e 6

Vol 6 - n 2 (pag 152)

Vol 4 -r n9 1 (pag 30)

Volbdquo 5 - n 2 (pag 151)

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- Jakob Max - Heat Transfer (vol I)

Mc Adams - Heat Transmission

- Paul A Lottes - Argonne National Laboratory

- AKL - 6469

- ANL - 6561

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Knudsen e Katz - Fluid Dinamics and Heat Transfer

Frank Kreith - Principles of Heat Transfer

Journeacutees Internationales de la transmission de la chaleur

Seminaacuterios realizados em Paris em 1961 sob a supervisatildeo do

Prof Marcel Veron

Notas de aula da Cadeira de Termodinacircmica I e Transmissatildeo da

Escola Politeacutecnica da Universidade de Sao Paulo

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26

A equaccedilatildeo (1) mostra que a pressatildeo do vapor deve ser maior

que a do liquido nas condiccedilotildees de saturaccedilatildeo e este por sua vez

deve estar no estado de superaquecimento o

b) bolhas sobre superfiacutecie solida

Fig 3

Condiccedilotildees para desprender

a mdash o_ + o_ cos a gs fs fg

tensatildeo na interfase liacutequida e vapor (depende das

propriedades do liacutequido e vapor)

tensatildeo entre o liacutequido e superfiacutecie de aquecimen

to (depende das propriedades do liquido e da sushy

perfiacutecie)

tensatildeo entre o vapor e a superfiacutecie de aquecimeri

to (depende das propriedades do vapor e da super

fiacutecie)

21 - Formas do fluxo do vapor desde a superfiacutecie de aquecishy

mento ateacute a superfiacutecie livre do liacutequido

Considerando liacutequido vaporizado em tubos verticais pode^

mos ter 4 tipos de fluxo de vapor

1 - fluxo de bolhas

2 - fluxo de agregados (plug ou slug)

3 - fluxo anular

4 - fluxo disperso

Os quatro tipos ficam bem determinados respectivamente

onde

a fg

degfs

a gs

27

pelas 4 figuras abaixo

LIacutequido - Liacutequido Liacutequido

o

^Bocirclha de

vapor

Vapor

mdash [

- Vapor

mdash 0 0

deg_ a-

jrj-

iquestiexcl5

Bolhas Agregados Anular

Liacutequido

vapor

Disperso ou

Homogecircneo

Conforme o tipo de ebuliccedilatildeo podemos ter uma so das forshy

mas acima ou uma mistura

3 INCERTEZAS NO ESTUDO DA EVAPORACcedilAtildeO

Ha trecircs incertezas principais para determinar o fluxo de

calor na evaporaccedilatildeo a saber

- Aacuterea de contato indefinida

- Diferenccedila de temperatura indefinida

- Grau de turbulecircncia

Como realmente nos nao sabemos uma dependecircncia algeacutebri

ca entre o acircngulo de contato e a superfiacutecie ocupada pelo liacutequishy

do (ou vapor) temos uma incerteza na determinaccedilatildeo da aacuterea de tro

ca de calor (A)

Outra incerteza eacute a dificuldade da obtenccedilatildeo de diferenccedila

de temperatura entre o liacutequido e a parede que normalmente assume-

-se como sendo a diferenccedila entre a temperatura da parede e da ebu

liccedilatildeo do liacutequido (temperatura de saturaccedilatildeo = t )

S cl c

Na realidade a diferenccedila de temperaturas nao eacute aquela

pois a camada de liacutequido que cobre a superfiacutecie aquecedora esta

a uma pressatildeo maior que o resto do liacutequido (pressatildeo atmosfeacuterica

mais a hidrostaacutetica) e consequentemente a temperatura de vaporiza_

ccedilao desse liacutequido e maior que a da superfiacutecie Esta diferenccedila po-

28

deria ser calculada desde que se conhecesse a relaccedilatildeo entre presshy

satildeo e temperatura de saturaccedilatildeo do liacutequido entretanto haacute incerte

za quanto ao verdadeiro peso especiacutefico da coluna de liacutequidopois

trata-se de uma mistura de bolhas de vapor e de liacutequido em proshy

porccedilatildeo variaacutevelraquo

4 REGIMES DE EBULICcedilAtildeO

Nukiyama estudando a ebuliccedilatildeo da aacutegua num recipiente a

quecendo-a com resistencias eleacutetricas construiu a curva baacutesica da

ebuliccedilatildeo Todos os liacutequidos apresentam uma curva semelhante vashy

riando apenas os valoresraquo Os pontos caracteriacutesticos da curva deshy

pendem de caracteriacutesticas difiacuteceis de definirtais como natureza

do metal estado da superficie (rugosidade) dimensotildees orientashy

ccedilatildeo do fluxo quantidade de gases dissolvidos e t c

Estudaremos o fenocircmeno para o caso de aacutegua destiladasem

gas dissolvido a temperatura de saturaccedilatildeo 100 C pressatildeo atmosfe_

re uma superficie plana

Chega-se assim acirc curva

rica sobre uma superficie plana horizontal a temperatura t^

In ltJgt

At (degC)

A curva acima representa o aquecimento de agua com uma re_

sistecircncia eleacutetrica (ate ebuliccedilatildeo)raquo Temos em abcissas as diferenccedilas

de temperatura entre o liacutequido e a resistecircncia em ordenadas o flu

29

Regiatildeo I

Regiatildeo II

Regiatildeo III

Regiatildeo IV

xo de calor por unidade de area

Na curva notam-se 4 regiotildees bem definidas tendo cada uma

o seu significado fiacutesico os quais correspondem a um tipo de ebuli

ccedilao

convecccedilao natural

ebuliccedilatildeo nucleada

ebuliccedilatildeo por peliacutecula parcial

ebuliccedilatildeo por peliacutecula estaacutevel

41 - Convecccedilao natural

Ocorre quando At eacute inferior a 8degCformam-se no liacutequido

correntes convectivas as quais transferem o calor ateacute a superfiacuteshy

cie livre do liacutequido e aiacute desprendendo o vapor Neste caso o valor

de h eacute da ordem de 2000 kcalm^hdegC

42 - Ebuliccedilatildeo nucleada

Ocorre quando o At eacute maior que 8degC e menor que 25degC Nesshy

te caso as bolhas formam-se junto a superfiacutecie de aquecimento

crescem liberam-se movimentam-se em direccedilatildeo agrave superfiacutecie livre do

liacutequido onde estouram libertando o vapor As bolhas formam-se nas

irregularidades da parede tecircm um acircngulo de contato agudo e porshy

tanto hatilde liacutequido sempre em contado com a parede (molha a parede)

cada ponto ativo (lugar onde se formam as bolhas) libera uma porshy

ccedilatildeo de bolhas e os outros pontos do liacutequido ficam em contato com a

superfiacutecie quente violentamente agitados Esta agitaccedilatildeo extrema eacute

mais eficaz que uma turbulecircncia criada artificialmente Por esse mo

tivo a curva cresce violentamente nesse trecho (m = 3 a 7) pois

bull 2 o o valor de h cresce consideravelmente (ate 46000 kcalm hr C) e

o fluxo teacutermico transmitido ao liacutequido cresce proporcionalmente a

Quando cresce crescem tambeacutem

(At) 3

30

numero de bolhas por unidade de aacuterea (num instanshy

te)

~ = crescimento da bolha (com o tempo)

frequecircncia de iacuteormaccedilao de bolhas

A medida que o At vai aumentando iraacute aumentando (jgt tam-- n o N

bem e consequentemente mdash R mdash a a a tal ponto que quando atiacuteii

girmos o ponto da curva nao haveraacute mais formaccedilatildeo de bolhas

mas sim uma peliacutecula de vapor instaacutevel passando assim a 3a re

giao que estudaremos a seguir

43 - Ebuliccedilatildeo por peliacutecula parcial

Como dissemos no item anterior se aumentarmos ainda mais

o At (entre 25degC e 125degC) teremos a formaccedilatildeo de uma peliacutecula de

vapor instaacutevel sobre a superfiacutecie quente que aacutes vezes eacute perfurashy

da pelo liacutequido A camada de vapor tanto mais estaacutevel seraacute quanshy

to maior focircr o At Essa peliacutecula de vapor iraacute provocar um decreacutes_

cimo consideraacutevel no fluxo teacutermico porque como sabemos o vapor

eacute muito pior condutor que a aacuteguaraquo

0 fluxo vai decrescendo ateacute um ponto miacutenimo (iexclgt mintilde (as vecirc

iacutebo bullraquo 1

zes chega a ser mdashj-) e e o chamado ponto de Liedenfrost 0 coeshy

ficiente de peliacutecula neste caso cai violentamente (h = 2000

kcalm^hrdegC)

44 - Ebuliccedilatildeo por peliacutecula estaacutevel

Aumentando ainda mais a diferenccedila de temperaturas

At ( gt 125degC) iremos conseguir uma camada de vapor estaacutevel Ela

transmite calor da superfiacutecie quente ao liacutequido que se vaporiza de

modo que o excesso de vapor formado na interface liquido-vapor for

ma bolhas que sobem para a superfiacutecie 0 liacutequido encontra-se agi-

31

tado poreacutem nao toma contato com a superfiacutecie soacutelida

A peliacutecula de vapor eacute estaacutevel e o fluxo eacute proporcional a

34

(At) (lei de Bromley) Para At grandes passa a influir sensivel^

mente a radiaccedilatildeo teacutermica mais uma razatildeo para demonstrar que nesshy

ta regiatildeo o fluxo cresce novamente

5 CONSIDERACcedilOtildeES E COMPARACcedilAtildeO ENTRE OS TIPOS DE EVAPORACcedilAtildeO

BURNOUT

Sob o ponto de vista de eficiecircncia teacutermica deveriacuteamos sem

pre trabalhar no ponto de fluxo maacuteximo isto eacute no ponto correspon

dente a lt(gt da curva de Nukiyama pois eacute o que daacute maior coeficieri

te de peliacutecula

Acontece poreacutem que se impomos a temperatura da parede

fixa obtemos um uacutenico valor de lt(gt e portanto o fenocircmeno eacute estaacutevel

Poreacutem se como ocorre nos reatores impomos um fluxo teacuter

mico a curva de Nukiyama apresenta 3 pontos de funcionamento posshy

siacuteveis A B C

1

SOacute os pontos A e C sao funccedilotildees estaacuteveis mas eles impotildeem

acirc superfiacutecie quente temperaturas bem diferentes

Na industria em geral trabalha-se por questotildees de segushy

ranccedila na regiatildeo IV da curva poreacutem para os reatores trabalha-se na

32

r e g i atilde o I I

0 p r o b l e m a de t r a b a l h a r n a r e g i atilde o II eacute q u e se n oacute s e s t i shy

v e r m o s t r a b a l h a n d o n o p o n t o e x t r e m o (j) e se p o r q u a l q u e r m o t i v o

h o u v e r u m p e q u e n o a c r eacute s c i m o d e ltfgt i r e m o s t r a b a l h a r i m e d i a t a m e n t e no

p o n t o M q u e t e m o m e s m o $-^0t p o r eacute m c o m A t 2 m u i t a s v e z e s m a i o r

p o d e n d o o c a s i o n a r a f u s atilde o d a s u p e r f iacute c i e a q u e c e d o r a E s t e f e n ocirc m e n o

eacute c h a m a d o d e b u r n o u t

0 f l u x o lttgt eacute c h a m a d o f l u x o c r iacute t i c o o u f l u x o d e b u r -b o

n o u t N o c a s o do r e a t o r d e v e m s e r t o m a d a s m e d i d a s r i g o r o s a s q u a n

to agrave r e g u l a g e m do f l u x o t eacute r m i c o p a r a q u e n atilde o o c o r r a o b u r n o u t 1 1

p o i s d e l e p o d e r e s u l t a r r u p t u r a d a c a m i s a do c o m b u s t iacute v e l e h a v e shy

r aacute p o r t a n t o c o n t a t o do r e f r i g e r a n t e c o m o s s oacute l i d o s e g a s e s r a shy

d i o a t i v o s

5 o l - R e l a ccedil atilde o d e B u r n o u t

E c l a r o q u e p a r a t e r m o s u m r e a t o r m a i s e f i c i e n t e d e v e shy

m o s t r a b a l h a r c o m u m f l u x o o m a i s p r oacute x i m o p o s s iacute v e l do f l u x o d e

B u r n o u t P a r a t a n t o d e v e m o s c o n h e c e r c o m o m a i o r g r a u d e certe

za p o s s iacute v e l q u a l o ^ p a r a p o d e r m o s r e d u z i r o c o e f i c i e n t e d e s e shy

g u r a n ccedil a ( W R G a m b i l l r e c o m e n d a agrave 1 5 )

N o s s e m i n aacute r i o s d e W R G a m b i l l e n c o n t r a m o s u m a s eacute r i e de

b i b l i o g r a f i a s o n d e p o d e m o s e n c o n t r a r i n uacute m e r a s f oacute r m u l a s p r o p o s t a s

p a r a a o b t e n ccedil atilde o de (q 1^)

A t i t u l o d e e x e m p l o v e j a m o s a l g u m a s

q - 2 7 0 G deg gt 8 5 D 0 2 A085 p lt 150

deg D ( L uuml ) 2

q - 140 G 0 5 D ~ deg 2 (-~-)~deg 1 5 p ~ r gt 150 c D (LD)

o n d e a m b a s as e q u a ccedil otilde e s s oacute v a l e m p a r a aacute g u a e m b a i x a p r e s s atilde o e m coii

v e c ccedil a o f o r ccedil a d a

33

D

L

fluxo teacutermico critico BTUhrft bdquo 2

descarga em massa do liquido (Ibmhrft )

diacircmetro do tubo ft

comp do tubo ft

Para cada caso temos uma expressatildeo diferente que pode ser

encontrada em literatura especializada

6 INFLUEcircNCIA DE OUTROS PARAcircMETROS NO FLUXO DE BURNOUT

Como para os usos atuais do reator a diferenccedila de temppound

ratura entre parede e fluido sao pequenas bem como o fluxo de bur

nout recentemente fiacutesicos como Jakob Bonilla WR Gambill estu

daram outros paracircmetros que influenciam bastante o sect^ 0gt isto eacute a

influecircncia desses paracircmetros faz com que o ^ seja maior Isto eacute

util pois quanto maior o fluxo de burnout maior poderaacute ser o

fluxo de calor real de funcionamento

Tais meios sao

- Sub-resfriamenCcedilo do liacutequido

61 - Influecircncia da velocidade do liacutequido

Estudos feitos pelos autores acima chegaram agraves curvas

- Aumento da velocidade imposta ao liacutequido

- Pressatildeo do liacutequido elevada

alto V

At

34

Para velocidades maiores o fluxo de burnout aumenta

porque neste caso o regime eacute turbulento e o coeficiente de peliacute

cuia h aumentao

6bdquo2 - Influencia do aumento da pressatildeo

Este estudo deve-se a Bonilla que obteve experimentalmen

te as curvas

Este estudo foi feito para vaacuterios liacutequidos e chegou a con

clusao que sempre havia uma pressatildeo oacutetima isto e uma pressatildeo que

leva ao maior iacute 1 ^ raquo mantidas as demais condiccedilotildees Experimentalmenshy

te notou que essa pressatildeo correspondia a 13 da pressatildeo critica

do liquido em questatildeo

6=3 - Influecircncia do sub-resfriamento

Consiste em manter atilde custa de uma circulaccedilatildeo intensa o

liacutequido a uma temperatura inferior atilde de saturaccedilatildeo para a pressatildeo

correspondenteraquo Experimentalmente chega-se agraves curvas

mdash A t grande sub

bullAt -0 sub sub

medio

At

35

Verificando os graacuteficos vemos que o lt)gt aumenta agrave medida bo

que aumenta a diferenccedila de temperatura de sub-resf riamento isto pojr

que o liquido como estaacute mais frio faz com que algumas das bolhas

recondensem permitindo que o liquido fique em contato com a parede

quente o que faz aumentar o h

^ f csub = t e m P e r a t u r a ddeg liacutequido - temperatura de saturaccedilatildeo

A diferenccedila de temperatura At entre fluido e parede tamshy

beacutem aumenta poit na regiatildeo proacutexima agrave parede haacute necessidade de

levar o liacutequido da temperatura do sub-resfriamento ateacute a temperatu

ra de saturaccedilatildeo quando se evapora

Atualmente os maiores estudos dos fiacutesicos nucleares locashy

lizam-se neste campo pois eacute o que oferece maiores vantagens

7 FORMULAS PARA 0 CAacuteLCULO DO COEFICIENTE DE PELIacuteCULA NA EBULICcedilAtildeO

Como ocorre no caacutelculo de todas as foacutermulas de convecccedilatildeo

temos formulas empiacutericas para determinar o h conforme o tipo de

ebuliccedilatildeo que nos consideramos

71 - Ebuliccedilatildeo Nucleada

Para o caso de aacutegua temos as relaccedilotildees

superfiacutecies

horizontais

superfiacutecies

verticais

f aacute 5000 BTUhrft 2 -gtbull h = 151 ( A t ) 1 3

A o

5000 lt 75000 -h = 0618 (At)3

^ pound 1000 -raquobull h = 8 7 ( A t ) 1 7

A o -

1000 lt $ lt 20000 -gt h = 027 (At) A o

Quando a pressatildeo e diferente da atmosfeacuterica faz-se a correccedilatildeo

3 6

72 - Ebuliccedilatildeo por peliacutecula

Bromley propocircs uma boa equaccedilatildeo para a ebuliccedilatildeo por peliacuteshy

cula estaacutevel em cilindros horizontais

Nu

_ JtjD n r 9 P v bull ( P L - P v gt - g -h

e V bull D i2

D 1 ^ U b Z u At gt

onde

V = indica vapor

L = indica liacutequido

Multiplicando ambos os membros da equaccedilatildeo acima por

kvD obteremos a expressatildeo do coeficiente de convecccedilagraveo meacutedio para

o caso

37

C - FORMULAS PARA CAacuteLCULOS ESPECIacuteFICOS - RESULTADOS ESPECIacuteFICOS

1 FLUXO DE CALOR CRIacuteTICO - BURNOUT

lol - Introduccedilatildeo

O aspecto mais importante no que se refere agrave seguranccedila

dos reatores da transferencia de calor na ebuliccedilatildeo eacute a determina

ccedilatildeo do Fluxo de calor critico ou de pico ou burnout

Como jatilde vimos quando temos a ebuliccedilatildeo nucleada a dishy

ferenccedila de temperatura entre refrigerante e superfiacutecie de aqueci

mento e pequena poreacutem quando atingimos o fluxo de calor criacutetico

essa diferenccedila de temperatura pode tornar-se imediatamente muishy

to grande podendo causar a ruptura da superfiacutecie de aquecimento

se atiigirmos o ponto de fusatildeo do soacutelidoraquo

Usando a convecccedilao

onde

At sat

w

sat At

sub

w = temperatura da parede de aquecimento

t t = temperatura de saturaccedilatildeo do liacutequido

t^ = temperatura de mistura do liacutequido

At = (t -t ) sub-resfriamento do liacutequido sub N sat b 1

nout

Ha dois tipos de burnout fast burnout e slow bur-

Ocorre o fast burnout (burnout raacutepido) quando A t g u b gt 0

38

ou para baixo x (~ lt 10) sendo x o titulo do vapor

Temos o slow burnout para x - gt 10 Assim noacutes tereshy

mos dois limites para o burnout

At bull o (ltJgt ) t =((() para t = t ) -

bo m m possiacutevel w sat

sub i

4L + 1

G c D h pl nb

(ltK ) = (ltpound para x = 1) = Dv-bo max possiacutevel e 4L

c At l + P 1 sub i

onde

L = comprimento do canal

D = diacircmetro do tubo

G = descarga de liacutequido (por unidade de aacuterea)

c ^ = calor especiacutefico do liacutequido

Agrave = calor latente de vaporizaccedilatildeo

h ^ = coeficiente de transferecircncia de calor na regiatildeo de

nao ebuliccedilatildeo

iacutendices

i = entrada

e = saiacuteda

Haacute inuacutemeras expressotildees para determinaccedilatildeo do burnout pro

postas por muitos fisicos cada uma aplicando-se a um caso especiacuteshy

fico vejamos algumas delas

12 - Equaccedilotildees para prediccedilatildeo de Burnout

121 - Equaccedilatildeo de Bragg e Smith (Zuber)

Num artigo publicado por Bragg e Smith encontramos uma f oacute_r

mula que e derivada da formula de Kutateladze e nos daacute o fluxo cri

39

tico quando nao temos sufaresfriamento

bo poolsat v V raquoc a ( p l P V )

2 PV

14

onde

ltiexclgt = fluxo de calor critico bo

k = constante

Ly = calor latente de vaporizaccedilatildeo do refrigerante

= densidade do liquido

pvr = densidade do vapor V a = tensao superficial

g = fator de conversatildeo c

a = aceleraccedilatildeo da superficie de aquecimento

Os autores encontraram para k um valor de 062 entreten

to outros autores como Zuber incluindo outras variaacuteveis que In

fluiam no fenocircmeno encontraram k variando entre 008 e 023Esshy

tudos bem elaborados mostram que o valor mais aproximado eacute

k = 015 (- 003)

1-22 - Equaccedilatildeo de Noyes

Noyes estudou o burnout para o soacutedio agua e alguns liacute

quidos orgacircnicos

( W s a t ~ bdquo 0245 bull ( r ( 1 )

iiacute_ V 1 Pr

onde

N n = Nuacutemero de Prandtl da fase liacutequida x r

Mais tarde o proacuteprio Noyes alterou a equaccedilatildeo para

n ^ - n H Iacute I Pl PV gt0538 deg g c a q 4 ( W s a t deg 1 1 6 PV ( - p 7 ~ ) (77T1^ ) ( 2 )

40

A ultima correlaccedilatildeo proposta por Noyes foi

a n prPV0560 112

1

(a bull a) 13

(ag c) 112

(3)

onde

a = difusividade teacutermica do liacutequidoraquo A equaccedilatildeo (3) eacute bashy

seada em todos os dados de burnouts do soacutedio bem

como da atildegua benzeno difenil e outros De 111 pontos usados 90

+ estatildeo relacionados dentro de - 30bdquo

ldeg2o3 - Burnout com convecccedilao forccedilada e sub-resfriamen

to

Aproveitando os resultados de aproximadamente 240 testes

de burnouts com aacutegua sub-resfriada em fluxo de convecccedilao forccedilashy

da feitos na Ruacutessia Labuntsov elaborou uma boa equaccedilatildeo empiacuterica

para o problemabdquo

Esta relaccedilatildeo aplica-se para velocidades entre 2 3 e 148

ftsec pressotildees entre 1 e 201 atmabs sub-resfriamento entre 0 deg

e 432 degF e fluxos de burnout entre 0 4 x IO 6 x 166 x 1 0 6 BTUhr

2 bdquo

bullbo

onde

e a seguinte

6 ( P ) 1 + 0 2 3 2 V 2

14

e ( P ) 1 +

15 c At _p_ sub

12 (a)

9 ( P ) - P 1 3 o ( 1 - P J 4 3

red

= pressatildeo (atm abs)

pressatildeo reduzida = mdash mdash red r P

t_ c = pressatildeo critica

= velocidade do liacutequido (ftsec)

= calor especiacutefico do liacutequido (BTUlbdegF)

4 1

^ tsub = ^ ^ e r e n Ccedil a ^ e temperatura entre a temperatura de

mistura do liacutequido e a de saturaccedilatildeo (degF)

X = calor latente de vaporizaccedilatildeo (BTUlb) 2

ltiacutegtbo = fluxo de burnout (BTUhrfl )

Uma outra correlaccedilatildeo para o caso foi proposta por

Ornatsky e Xiohigin que fizeram experiecircncias para pressotildees entre

10 e 1 5 0 3xm 90 degF lt At ^ lt 4 5 0 deg F 3 7 1 0 6 ( l b h r o f t 2 ) lt G lt

2 2 2 10 b ( l b h r bdquo f t 2 )

lt ^ = 3 2 5 0 (G o A t bdquo J deg 6 ( - i - ^ ) 2 5 ( b ) bo sub

onde

G - descarga de refrigerante por unidade de aacuterea

P ^ v P v - densidades do liacutequido e do vapor

P1~ PV -0 termo (mdash ) e incluido na expressatildeo (b) para indicar

a influecircncia da ^ pressatildeo sobre o

Uma comparaccedilatildeo entre as equaccedilotildees (a) e (b) foi feita para

o Reator de Isoacutetopos de Alto Fluxo (HFIR) nas condiccedilotildees aacutegua a

600 psia velocidade = 45 ftsec e sub-resfriamento = At^^ 1

degF obtendo-se uma diferenccedila de 6 5 entre ambos (4gt = 6 0 5 1 0 b

2 ~ 6 2 BTUhr ft pela equaccedilatildeo (a) e 6 4 5 10 3TUhrraquoft pela equaccedilatildeo

(b)

Ilatilde ainda a equaccedilatildeo de Ivey e Morris aplicaacutevel somente pa_

ra ebuliccedilatildeo com grande quantidade de liacutequido

( c sub t

Cpf bull A tsub

( bull ) s ~ V P bdquo 10 h V sat V g

onde

(ltL ) = fluxo critico com sub-resfriamento c sub

(ograve ) ^ - fluxo critico sem sub-resfriamento c sat

42

c ^ = calor especiacutefico do liacutequido

= calor latente de vaporizaccedilatildeo

124 - Burnout com convecccedilao forccedilada e ebuliccedilatildeo por bocirc-

Ihas

Gambill fez uma extensatildeo da equaccedilatildeo de Levy e aplicou o

metqdo da superposiccedilatildeo Tal extensatildeo consiste natilde subtraccedilatildeo de uma

razatildeo equivalente de massa transferida dos termos que represenshy

tam a ebuliccedilatildeo e convecccedilao para levar em conta a presenccedila do vashy

por no fluxo

A correlaccedilatildeo pode ser escrita assim

24 V P V

o g c a (p^Py) 14

+ 0696 (k p c ) 12

(

pr p v )i4 o g c a (P-L-Py) 18

bull At + h sub nb

044 p v L v G (g1) bull N2 n

p l P V

( pr p v ) d e 2-7

2 4 TT 0

14 ( f e _ ^ r l 3

lO^u

onde

k = condutividade teacutermica

c = calor especiacutefico

A t s u b ~ s ub-resfriamento do liacutequido

h = coeficiente de transferecircncia de calor de nao ebu nb mdash

liccedilatildeo

G = descarga total do refrigerante

43

d g = diacircmetro equivalente do tubo ou canalraquo

]i = viscosidade

B = constante adimensional

Os iacutendices V e 1 representam vapor e liacutequido respectiva

mente

0 primeiro termo entre chaves da equaccedilatildeo representa o flu

xo de calor no burnout de sub-resfriamento em convecccedilao forccedilada 0

segundo termo entre chaves corresponde ao fluxo de calor transferi^

do para a massa da fase vapor

1-25 - Burnout por Bloqueio da Base

Ocorre quando a profundidade do recipiente eacute muito maior

que a largura 0 bloqueio da base eacute causado pela formaccedilatildeo de uma pe_

licula de vapor na base impedindo que o liacutequido toque o fundo do

recipiente

i De

Este eacute o burnout por flooding isto eacute burnout por expul

sao do liacutequido Uma equaccedilatildeo que nos dacirc o fluxo minimo do burnout

parao caso eacute

44

onde

D g = diacircmetro equivalente

L = comprimento do tubo

= calor de vaporizaccedilatildeo

p^Py Ap = densidade do liacutequido do vapor e diferenccedila en

tre ambos

Para um fluxo de calor maior ou igual ao dado pela expres_

sao acima (mantida a mesma geometria) teremos burnout Para um deshy

terminado fluxo existiratildeo sempre um comprimento L e um diacircmetro equi

valente D e para os quais temos burnout Exemplo

L (in) D e(in)

10 11

100 51

1000 235

2 RESULTADOS ESPECIacuteFICOS - FOacuteRMULAS PARA CAacuteLCULOS ESPECIacuteFICOS

21 - Diferenccedila de temperatura At i

13 a t

sat

At sat

poundatildeJL_ raquo t - t J p T T 6 w sat

onde

o laquo tensatildeo superficial entre liquido e vapor

t - temperatura de saturaccedilatildeo do liacutequido para a corres-Scl t

pondente pressatildeo

J equivalente mecacircnico do calor

X laquobull calor latente de vaporizaccedilatildeo

py = densidade do vapor

6 = espessura da camada de liacutequido superaquecido onde

45

k l

h nc

onde

k^ = condutividade teacutermica do liacutequido

h = coeficiente de peliacutecula nc r

Segundo Eckent h ^ c e dado por

P 2 Q

nc 3 V VP + 0952

r

onde

D = diacircmetro equivalente

G r = numero de Grashoff

P = nuacutemero de Pradtl

2 o 2 - Velocidade das bolhas

A velocidade das bolhas em meacutedia pode ser dada pela exshy

pressatildeo

V bdquo = Iacute ( a bull B Apl4 bolhas 5 ^ 2

p l onde

AP = P L - P v

Expressatildeo que vale quando a aceleraccedilatildeo eacute a da gravidade

baixa viscosidade do liacutequido e bolhas separadas

Vbolha = f t s e atilde m a x para aacutegua

2 bdquo3 - Diacircmetro das bolhas

2gc deg 12 D = 0015 3 ( mdash mdash 7 ~ ) d g Ap

5 =

46

onde

8 = acircngulo de contato (20 a 90deg) geralmente assume-O -1

-se igual a 50 para a agua em contato com metal

24 - Coeficiente de peliacutecula na ebuliccedilatildeo nucleada

a) Equaccedilatildeo de Rohsenow

Esta equaccedilatildeo nos datilde o fluxo de calor q na ebuliccedilatildeo nushy

cleadaraquo E oacutetima expressatildeo para muitos liacutequidos o efeito da presshy

satildeo eacute levado em conta na variaccedilatildeo das propriedadesraquo

Pf

fg

sat 17 = c

sg k y f h f g g( P f-p g)

n033

onae

Pf

fg

Pf Pg c sg

= fluxo de calor requerido (BTUhr0ft^)

= calor especiacutefico do liacutequido saturado (BTUlbm0F)

= calor latente de vaporizaccedilatildeo (BTULbm)

= nuacutemero de Prandtl

= viscosidade do liacutequido (lbrahrraquoft) ~ 8 2

= fator de conversatildeo 417 10 Ibmftlbflaquohr 2

= aceleraccedilatildeo da gravidade (fthr )

= tensatildeo superficial na interface liacutequida vapor

(lbfft) 3

densidade do liquido e vapor (lbmft )

constante adimensiacuteonal que depende de vaacuterios fashy

tores dentre os quais o grau de aquecimento en_

tre o fluido e a superfiacutecie de aquecimento e o

mais importanteraquo Independe da pressatildeo do sistema b) Equaccedilatildeo de Levy

Equaccedilatildeo valida para a aacutegua quando 100 lt p lt 2000 psiacutea

47

43 bdquo3

qu bdquo gat ^ T J h r t f t ^

495

25 - Calculo do fluxo de calor no Ponto de Leidenfrost

0 ponto de Leidenfrost como vimos eacute o ponto em que oflu

xo de calor comeccedila ncamente a crescer isto eacute o ponto onde termal

aa a ebuliccedilatildeo instaacutevel e comeccedila a ebuliccedilatildeo por peliacutecula estaacutevel Eacute

o chanado fluxo miacutenimo (egrave ) m m

Aproximadamente quando A t g u k = 0 temos

A _ mdash _ mdash (Gambill) m m 5

Ha entretanto varias expressotildees para determinar esse flu

xo eis uma delas

A p 14 ltjgt = 009 h pbdquo (o raquo g mdash ) y m m fg P V deg 2

p l

26 - caacutelculo do fluxo de calor na regiatildeo de ebuliccedilatildeo por peliacute

cuia estaacutevel

para cilindros jmdashi i li

_ D 0172 k-V - P V A p h l V bull S 14 li - = 062 (mdashmdash) (- j- r rmdash) convecccedilao A 0 ybdquo (t -t )

c V w sat

onde

= condutividade do vapor

- 2 TT ( mdash )

c gAp Vl = significam vapor e liacutequido respectivamente

para paredes verticais

L 0172 S deg7 A p bull hlV S q 4 h - - 080 (-^-)J- (-Iuml - Iacutemdash-convecccedilao X L u (t - t J)

c V w sat

48

Como nesta regiatildeo jaacute haacute nina influecircncia marcante da radia

ccedilao devemos levar en conta tambeacutem o coeficiente de peliacutecula de

vido a radiaccedilatildeo para determinar o coeficiente de peliacutecula total

Dos estudos atildea radiaccedilatildeo temos

h = a F pound(T 4 - T 4 J ( T ~ T ) rad w sat w sat

onde amp _ emissividade de superfiacutecie

a = constante de Stefan-Boltzman

F = fator de forma

Segundo WE Gambill o coeficiente de transmissatildeo total

ceve ser

3 iacutei = h + -7 h para h lt h t conv 4 rad r rad conv

Na expressatildeo acima existe o fator 34 porque a radiaccedilatildeo

faz variar um pouco a espessura do filme de vapor reduzindo asshy

sim o l l

conv

Quando tivermos h gt h gt o h^ ^ seraacute rad conv total

h f c = h + h t conv rad

Neste ultimo caso nao ha nenhum coeficiente porque a peshy

liacutecula de vapor jaacute eacute estaacutevel

27 - Grandezas caracteriacutesticas para a apua

Para pressatildeo igual a 1 atm = 1422 psia

At ^ = t - t = 5degC (iniacutecio da ebuliccedilatildeo nucleada) sat w sat 1

At t = 30degC sat crit

49

5 2 $ = 4 10 BTUhrft (para pressatildeo 1 atm)

0 fluxo critico cresce como vimos com a pressatildeo ate

atingir o maacuteximo quando a pressatildeo eacute aproximadamente 13 da pressatildeo

criacutetica Esse fluxo eacute

bull = 13 IO 6 BTUhrft 2 para p = 11000 psia (p pound = 32062 psia)

Ainda temos que para pressatildeo igual a 15 psia

h b o = 11000 BTUhrft degF - ebuliccedilatildeo nucleada

h f b = 30 BTUhrft 2 degF - ebuliccedilatildeo pelicular

Todos os resultados e formulas para caacutelculos especiacuteficos

apresentados nos itens 21 22 23 ateacute 27 sacirco aplicados somente

para sistemas onde haja ebuliccedilatildeo com grande quantidade de liquido

51

D - HIDRODINAcircMICA DOS SISTEMAS E QUEDA

DE PRESSAtildeO DENTRO DE UM CANAL

1 HIDRO-DINAcircMICA E QUEDA DE PRESSAtildeO

11 - Hidro-dinacircmica dos sistemas estaacuteveis

111 - Regimes de escoamento

A evoluccedilatildeo do escoamento ao longo de um canal aquecedor

de secccedilatildeo constante ciliacutendrico pode ser esquematizada pela figushy

ra 1 onde temos em abcissa o comprimento z do canal e em ordenada

a temperatura (T)

52

Na figura 1 nos representamos

a) 0 aspecto do escoamento fluido quando a entalpia do

- fluido aumenta Verificamos que o fluido entra no cashy

nal no estado liacutequido e assim permanece ateacute atingirmos a zona de

ebuliccedilatildeo local onde aparecem as primeiras bolhas A entalpia do

fluido continua aumentando e tem inicioa ebuliccedilatildeo franccedila onde as

bolhas se unem formando agregados posteriormente o escoamento to

ma a forma da figura ou seja torna-se anular disperso Finalmente

atingimos duas uacuteltimas fases do escoamento disperso (vapor uacutemido)

e vapor seco

b) A evoluccedilatildeo da temperatura meacutedia do fluido e da tempeshy

ratura da parede Note-se que a partir da cota a

temperatura da parede aumenta brutalmente podendo causar o

burnout

c) A evoluccedilatildeo do tiacutetulo do vapor (x) com o comprimento

do tubo e a evoluccedilatildeo da fraccedilatildeo (a) que definiremos no

item 11laquo2 com o comprimento do tubo

112 - Definiccedilotildees

a) Tiacutetulo ou qualidade do vapor (x)

massa de vapor na mistura x ~ massa total da mistura

x =

W _g_

g f

b) Fraccedilatildeo vazio (void fraction)

volume do vapor na mistura a = volume total da mistura (agua+vapor)

A relaccedilatildeo entre x e a num sistema parado pode ser obtida

assumindo um certo volume contendo 1 lbm de mistura em equiliacutebrio

teacutermicoraquo

53

O volume da mistura seraacute igual a (v + xv ) ft onde v eacute 3 r rg

o volume especifico (lbmft )

f - refere-se ao liquido

g - refere-se ao vapor

fg - refere-se a diferenccedila entre liacutequido e vapor

Numa mistura em equiliacutebrio se o liacutequido e o vapor estatildeo

saturados o volume do vapor presente eacute igual acirc sua massa vezes

seu volume especiacutefico v assim e

xv bdquo bdquo a mdash

V c + XV c

f gf

onde

- bull-bull uumlutiacuteisa vapor na mistura de 1 Ibm

v volume especiacutefico do liacutequido

v = volume especiacutefico do vapor o

V c = v - V

gf 8 r

Fazendo uma transformaccedilatildeo na expressatildeo acima temos

xv xv JS = Z-

v r+ x(v -v c) xv +(l-x)v t ri f g f g f 1 + Ul-x)xjv fv

1 + C(l-x)x]]vfvg

A fraccedilatildeo vazia tem a influencia de baixar a reatividade

do nuacutecleo nos reatores em que o refrigerante eacute tambeacutem moderador

Na equaccedilatildeo acima os valores de x e v sao tomados em tabe

las termodinacircmicas apropriadas para a pressatildeo do sistema A equashy

ccedilatildeo (1) mostra os grandes valores de a para pequenos valores de x

especialmente para baixas pressotildees Isto ocorre porqueaumentando

54

aacute pressatildeo o v decresce muito enquanto que o v f eacute mais ou menos da

mesma ordem de grandeza

Exemplo Calcular o a correspondente para x raquo 2 para aacutegua

leve atilde pressatildeo atmosfeacuterica

Da tabela para p laquobull 1 atm

v - 001672 ft 3lbm e v - 26800 ft 3lbm

1 + [(1-002)002] 001672268

0971 ou 97U

O grafico abaixo mostra a variaccedilatildeo do a com x para vaacuterias

pressotildees e para a aacutegua leve

x ()

tObservaccedilotildees da curva

Fig 2

1 - para x constante a decresce com a pressatildeo Para presshy

sotildees proacuteximas da criacutetica a aproxima-se rapidamente de

x Para a pressatildeo criacutetica as duas fases satildeo indistinguiacuteveis ea=x

2 - para cada pressatildeo dotdx decresce com aumento de x

3 - para baixos valores de x (que e o caso dos reatores

tipo Boiling) quando p decresce dadx cresce e torr

na-se muito grande paacutera baixas pressotildees Isto tem relaccedilatildeo com a epound

55

tabilidade do reator como veremos mais tarde

113 - Sistemas com fluxo

Todas as definiccedilotildees que noacutes vimos no item anterior refeshy

rem-se acirc sistemas em que a mistura esta fechada no recipiente Nes^

te caso natildeo havia movimento relativo entre as duas fases No entan

to se as duas fases da mistura se movem na direccedilatildeo vertical em

canais entre os elementos combustiacuteveis o vapor por causa de sua

flutuaccedilatildeo tem a tendecircncia de escorregar sobre o liacutequido isto e

move-se com velocidade maior do que a do liacutequido

Real Modelo

Pig 3

S -

Define-se neste caso a relaccedilatildeo de escorregamento (slip

ratio) (S) como sendo

V _i

V f

onde

V = velocidade do vapor

= velocidade do liquido

S modifica as relaccedilotildees entre a e x do item anterior S geralmen_

te gt 1 Define-se neste caso qualidade do vapor ou tiacutetulo como

sendo

_ fluxo de massa de vapor

fluxo de massa da mistura

Entatildeo se o fluxo de massa da mistura eacute m t(lbmhr) o flushy

xo de vapor seraacute = x m e o fluxo de liacutequido sera (1-x) m onde x

56

e o titulo do vapor para a particular secccedilatildeo (AL) da figura (3)

Devemos notar que neste caso x varia de secccedilatildeo para secshy

ccedilatildeo do tubo o exposto no paraacutegrafo acima vale considerando-se que

x e a permaneceram constantes na secccedilatildeo de espessura AL

Aplicando a equaccedilatildeo da continuidade as velocidades do va

por e liacutequido sao dadas por

o xm v

V vazatildeo = g g area A

V

(1-x) amp t v f

f A f

onde A e A f sao as aacutereas medias perpendiculares ao fluxo se as

duas fases sao imaginadas completamente separadas uma da outra

(figura 3) Assim temos

V x m v o A_ A v 0 ^ - 2 = iacute S t m _2L- JL JS m

V A (l-x)ui v 1-x A v U

f g t f g f

Sabemos ainda que para a secccedilatildeo considerada

volume do vapor na mistura a = volume total da mistura (agua+vapor)

A AL A pound g g

a = mdash a a = - mdash 1

(A+A )AL A f + g

A ou f _ 1 - a

A a 8

Substituindo em (2) vem

57

Esta expressatildeo pode ser rearranjada e obteremos uma relashy

ccedilatildeo entre x e a levando em conta o escorregamento Chega-se a

a = 1 ( 3 )

1+ [U-x)x3 igt

onde

v 4 laquo -- S

v lty o

Note-se que quando S=l (nao haacute escorregamento) caimos na

expressatildeo dada no item anterior

0 efeito do escorregamento eacute decrescer o valor de a pa_

ra um mesmo xbdquo Isto pode ser visto pela foacutermula (3) pois S gt lLo

go a decresce com acreacutescimo de S

Um alto S e entatildeo uma vantagem tanto para a transferecircnshy

cia de calor como para efeitos de moderaccedilatildeo Eacute uma vantagem para

transferecircncia de calor porque alto S significa alto V e portanto

maior turbulecircncia e maior contato do liquido com as paredes quenshy

tes Ha tambeacutem melhorias na estabilidade da reaccedilatildeo nuclear isto

porque como jaacute dissemos quando mdash7 diminui a estabilidade aumenshy

ta isso pode ser verificado observando a curva a versus x para a

agua leve a 1000 psiabdquo

Fig 4

58

A relaccedilatildeo entre x e a da equaccedilatildeo (3) so vale para secccedilatildeo

de tubo bem pequena

Devemos notar que S varia tambeacutem com a pressatildeo e velocida^

de de entrada do liacutequido no tubo Este efeito pode ser observado na

figura 5 abaxxo obtida esperimentalmente

s

3

~^ ~ psig

x = 001

V 1

Fig 5

Nos projetos de reatores como veremos adiante o valor a

geralmente eacute determinado por consideraccedilotildees nucleares (moderaccedilatildeo) 0

valor de S eacute determinado atraveacutes de uma estimativa ou entatildeo atrashy

veacutes de um graacutefico do tipo da figura 5 0 correspondente valor de x

pode ser obtido de uma foacutermula empiacuterica do tipo

1 = 1 (-S)0gt67

proposta por Von Glahn

Em muitos casos assume-se S constante em todo o comprimeiv

to do canal poreacutem eacute um erro que em muitos casos nao pode ser coshy

metido

4 REATORES EM QUE 0 LIacuteQUIDO B MODERADOR E CIRCUITO PRIMAacuteRIO AO

MESMO TEMPO BOILING-REACTOR (BWR)

A aacutegua ao se movimentar atraveacutes dos vaacuterios canais do

59

Boiling-reactor encontra vaacuterias resistecircncias ao fluxo que provoshy

cam uma reduccedilatildeo de pressatildeo no fluido

As duas perdas mais importantes sao perda de pressatildeo por

atrito e perda de pressatildeo causada pela aceleraccedilatildeo do refrigerante

ao aumentar de volume por receber calor num canal Outras perdas

de pressatildeo seriam a obstruccedilatildeo ao fluxo por corpos submersos (espa_

ccediladores juntas de tubos chaves etc) e por mudanccedilas abruptas de

aacuterea de fluxo tanto na entrada como na saiacuteda do tubo

Essas perdas de pressatildeo devem ser conhecidas o melhor popound

sivel principalmente nos reatores BWR Para tanto devemos saber

o comprimento de canal em que nao ha a ebuliccedilatildeo isto eacute qual o com

primento de canal em que o refrigerante vai da temperatura de sub-

resfriamento ate temperatura de saturaccedilatildeo

Seja o elemento combustiacutevel

Aquecimento Uniforme Aquecimento Senoidal

Fig 6 Fig 7

onde

H =

H = o

H b

comprimento do elemento combustiacutevel

cota onde o liquido se torna saturado

comprimento do elemento combustiacutevel em que ocorre

ebuliccedilatildeo

60

qg = calor sensiacutevel acrescentado ao liquido para satushy

raacute-lo

qfc = calor total acrescentado ao liacutequido em todo o com

primento do canal

laquoo

q s J o qiquest sen (IIzH) n H o

T~ = TH = 2 ( 1 c o s gt ( a )

q 1 sen (HzH) Jo ^c

A expressatildeo (a) vale quando tivermos uma adiccedilatildeo de calor

senoidal para qualquer outra forma de adiccedilatildeo de calor faz-se um

caacutelculo anaacutelogo

Outra relaccedilatildeo entre q g e qfc eacute dada pela termodinacircmica

q h- - h s f m (b)

(hr +x h )-hm ^t f e fg

onde

= entalpia para o liquido saturado a pressatildeo correjs

pondente (cota z = Ho)

hffi = entalpia do liacutequido na entrada do canal

x = tiacutetulo do vapor na saiacuteda

= entalpia do vapor

Com a relaccedilatildeo (b) noacutes determinamos a relaccedilatildeo q q ecom

S L

uma relaccedilatildeo do tipo (a) (conforme seja o adicionamento de calor ao

liacutequido) podemos obter a relaccedilatildeo HoH e consequentemente H^H

21 - Perda de pressatildeo num canal de evaporaccedilatildeo

Neste item iremos determinar as perdas de pressatildeo mais

representativas que ocorrem num canal de evaporaccedilatildeo de um reator

P + dP

bull1 i- 1 gti i i

dL

onde

UM

Icirc H Icirc Icirc T dF f t f

61

Quantidade de Mov na Entrada

= i- rigVg)

dF f l

Fig 8

m i

m 8

V l V 8

A P

dF

dF

dF

fg

fl

ftf

descarga do liacutequido

descarga do vapor

velocidade do liquido

velocidade do vapor

aacuterea transversal do canal

forccedila de atrito do vapor com parede

forccedila de atrito do liacutequido com parede

forccedila de atrito das duas fases liacutequido+vapor

Fazendo o balanccedilo das forccedilas considerando o sentido posjL

tivo na vertical temos

A (P-P-dP)-(dF +dF _+dF _)-(-pound-) (p A+p A )dL = mdash dGnV+m V ) P fg ftf fl g c 1 1 g g g c

v 1 1 g g 7

- dP = ~ (dF +dF--+dF)+- S--7=- (p A+p A )dL+ mdash ~ - d (m-V+m V ) A_ fg ftf fl g c Ap v^l 1 g g g A 11 g g

Fazendo a integraccedilatildeo termo a termo entre os dois extreshy

mos entrada e saiacuteda e considerando a pressatildeo de entrada igual a

P q e a de saiacuteda igual a Pe vem

Quantidade de Mov na Saiacuteda

-= h I- lY l+ A g V g + d ( aacute l V l + aacuteeVl

Forccedila de Gravidade

= ( g f - N P A + P g V

62

b) r e F f l

o p dp^ = Ap^ = perda de pressatildeo por atrito

do liacutequido na altura Ho

Aplicando a formula de Darcy vem

bull API = f bull ir bull ^ iexcl 7

onde

f = fator de atrito

c) e Fftf

o p ^P tpound

= perda de pressao por atrito da mistura

liquido + vapor no trecho de comprimen

to Hbdquo o

Para determinar esta perda de pressao define-se o fator

de multiplicaccedilatildeo R

A P R =

tf A P 1B

Sendo A p ^ a perda de pressao se o comprimento todo fosshy

se ocupado somente pelo liquido assim

A p t f = R A P 1 B

0 calculo de Ap-^ pode ser feito pela formula de Darcy e

o de R nos veremos no item seguinte

63

d)

-e F

d ( ^ )

O P

Ap = perda de pressatildeo por atrito do vapor

No caso do reator BWR o titulo de saida e bera pequeno e

em nenhum caso ocorre a saida de vapor com x = 100 logo a perda

de pressatildeo por atrito do vapor eacute nula assim

An = 0 5

e) Ap

(p A 1 + p A ) dL = Ap - perda de pressatildeo dpound

vida ao desniacutevel

(perda hidrostaacutetica)

Anbdquo = re A A

-S- I (p + p -S ) dL H s 1 A

c o p o A

como A A Jl_ =

A P

A +A-g 1

1-a -

temos

C Q

te j jll-a)p1 + apg)^jdL = p Lo pound

onde

e jo u

+ ap ) ~I dL (Densidade media 1 S J

no tubo)

No nosso caso

Ap u = p H

f)

re d(mV + m V ) _ mdash - laquo -i bull s iquestp laquos p e r d a ltje pressatildeo devido a acele-

c p raccedilatildeo do vapor

V A

(1-x) tl^Vj

(1-a) A

X V

aA

A p -

roV + m V

c p c p L_

m (l-x)m_v m xv nbdquo -1 T 1

+ _S S I (1-a) Ap aA

P

2 g A c p

n 2 2

(1-x) m T

laquo2 8 A c p

2 2 (l-xe) raTv1

2 2 2 xm_v (1-x) m-v e T s o 1 1

a 1 - a

2 2 - x m_v o T g

a

se

X Q 0 (so ha agua nesse trecho)

a = 0 o

temos

mbdquo Ap =

1 a A 2

S A degc p laquo-

tt-V v i 1 - a

2 via T^r - v i

t Apc

2

V v l

5c Ap

1 - a

x v - 1

a e v l

65

Fazendo

G = fluxo total da massa por unidade de area do

canal

(1-x J e

V

AP r

Assim a perda de pressatildeo total sera

H p V II pV r2 P -P = f -24-Iuml+ f R+p 0 1 2g c D e 2g c g c g c

2c2 - Determinaccedilatildeo do fator de multiplicaccedilatildeo (R)

221 - Relaccedilatildeo Martinelli-Nelson

Os autores Martinelli-Nelson determinaram experimental -

te esse fator R para varias LIT1L em funccedilatildeo da pressatildeo e da r NB total J v

qualidade de saiacuteda do vapor no canal Construiacuteram assim vaacuterias

curvas do tipo da figura 9

66

E importante notar que a qualidade do vapor (x) na saiacuteshy

da nao deve ser grande pois como vemos o valor de R cresce muishy

to com um aumento pequeno de x e um valor de R muito grande acar_

reta uma perda de pressatildeo grande pois

^ d u a s fases R ^ f a s e liacutequida

Para resolvermos um problema seguindo o criteacuterio de bdquo

Martinelli escolhemos a curva R = f(px) (para a relaccedilatildeo L

N g ^ j

adequado) e tiramos R com os valores de pressatildeo p e tiacutetulo x

As curvas R = f (p x L T t )IO encontram-se nos ANL 6469 bio I

e 6561

222 - Relaccedilatildeo Lottes-Flinn

Estes autores estudaram o problema para o aquecimento uni

forme do refrigerante com baixo titule Lottes-Flinn fizeram inuacuteshy

meras experiecircncias e verificaram que para fluxo de calor uniforshy

me e baixos titulos R era independente do fluxo de calor fluxo

do refrigerante escorregamento e apenas funccedilatildeo de a g

Como a quantidade de liacutequido eacute muito maior que a de vashy

por a perda de pressatildeo daacute-se principalmente pelo atrito do liacuteshy

quido com a parede Podemos assim escrever a foacutermula de Darcy

na forma diferencial

dz

d = f __ r e amp c

onde

V = velocidade do liquido saturado na cota zbdquo X

f = coeficiente atrito

= densidade do liacutequido saturado

Teoricamente a queda de pressatildeo deve-se ao acreacutescimo de

67

velocidade do liacutequido e da diminuiccedilatildeo da aacuterea de fluxo do liacutequi

do

P fH A P t p

= f D 2g Ho

d z

fazendo

V lo

m V t lo

(velocidade do liacutequido na cota z = Ho)

(1-x) m t v 1

(1-a) A (velocidade do liacutequido na cota z gt Ho)

a bull+ fraccedilatildeo vazio na cota z geneacuterica

V 1 (1-x) m t v 1

m t V l 1 - a

x =s 0 pois o tiacutetulo eacute baixo

A p t f = f bull JT5 c e

fH V lo

H o (1-a) dz

Para fazer a integral devemos achar a relaccedilatildeo de variaccedilatildeo

entre a e z Como o fluxo de calor eacute uniforme a qualidade eacute direshy

tamente proporcional a z

bull laquo x = x e H

z = mdash x X e

Sabemos ainda que (item 113)

x

1 + [ ( I -X)AKQ x + iiacuteraquo

68

como

temos

(1-x) = 1

v

X =

z =

1-a

1 -a

1-a e

a

e

1-a pound

a

1 -a igt (assumindo S = cte)

da

Atf - f bull 2 i ^ ~ J c e o

a 1 - a e e 1 s 4 hmdash) da

a 1-a

f P lv^ Q

0 termo mdash - mdash e a parte de perda de pressatildeo pelo lj^

^c e -quido ou seja Ap liquido saturado e como

Ap

R = tf

Ap liauido saturado

temos que

R J

f ae 1 _ a e 1 4

a 1 -a o e

1 -a r-R =

3 1 -a

a 1 -a imdash

3 vl - a 3

e e

Os valores de R obtidos por esta expressatildeo aproximam-se

muito dos valores obtidos pelos aacutebacos de Martinelli

69

E - EXPANSAtildeO E COMPRESSAtildeO DE UM FLUIDO - ANAacuteLISE HIDRODINAcircMICA

DE UM CIRCUITO EM CIRCULACcedilAtildeO NATURAL

1 EXPANSAtildeO NO FLUXO DE UM FLUIDO

11 - Uma so fase

Figura 1

Ha vaacuterios meacutetodos para determinar a variaccedilatildeo de pressatildeo

numa expansatildeo de fluido estudaremos o de Romie que eacute o que daacute

maior precisatildeo

Romie considera que a pressatildeo p^ tambeacutem atua na aacuterea

imediatamente apos a expansatildeo Assim fazendo o equiliacutebrio das foi

ccedilas nas secccedilotildees tracejadas da figura 1 temos

mVj

p r A 2 + mdash

mV

bull 2- A2

mas

m = pV^A^

pV^A = p V 2 bdquo A 2

V A

v 2 -4r-logo

( P l-P 2) A 2 = f ( V ^ ) - f _ v j amp c c 2

70

2 pV A A pV A A

Chamando A l A ]

K = 1 - T e degi2 = Aiexcl bull V E M

pvj

P l P 2 = T ~ bull ( 2 deg 1 2 ) ( 1 _ a 1 2 )

Outra maneira de chegar atilde diferenccedila de pressatildeo ( P j - ^ ) s mdash

ria usar o coeficiente de perda da mecacircnica dos fluidos Assim o

equilibrio das pressotildees eacute

2 2

1 V l 1 V 2 V l P i + _ p _ ^ P 2 + I p ~ + k 1 2 p mdash

onde = coeficiente de perda

A 2 1 2

k 1 2 - (l-o 1 2) - (1 - j- )

Fazendo as transformaccedilotildees chegamos a mesma expressatildeo obshy

tida pelo balanccedilo das forccedilas

PraquoIacute pr p

2 - - ir ^ laquo-ia

12 - Duas fases

Como ha duas fases a equaccedilatildeo do balanccedilo das forccedilas fica

um pouco alterada

m pound 1 V- m - raquoV - m-V- m bdquoV _ P A + j y ^ i + _gl_JUuml P A + -11-11 + -ilsl (a)

1 2 e R 2 2 ff e

Sabendo que

71

m (1-x) m t = p fA (1-a) V f

entatildeo

fl l-o^ p fA x

6 Vf2 1-x l-a2 P fA 2

m V = mdash mdash e V 0 = gl a 1 P C T A 1 g2

m

a_ p h

2 g 2

Nas expressotildees anteriores o x nao varia porque a expansatildeo

5 adiabaacutetica porem o a varia devido a modificaccedilatildeo do tamanho da

bolha

Substituindo os valores das velocidades na expressatildeo (a)

vera

( P - P ) Abdquo =

2

2 2 m gt2 2 m t (1-x) 1 x t

ra i 2 m i 1 x t 1

p fA 1 g c ttl p Ax gpound

m t P - P = mdash

(1-x) (l-a 1)A 1A 2 (l-a2)A|

a r A r A 2

V A 2

m t P bdquo - P = mdash 2 1 g c A r A 2 p f

(1-x) 1-a f A 2(l-a 2)

bull ^ 2

72

Se

P -P

a

m

g

12

1 _1_ (1-x)

J12

1 _ a l 1 - a 2 + X (- )

Pg

1 deg12 a 2 ^

Sabemos que

mt = V o pf laquo A l

Sendo V q = velocidade do liquido num ponto onde natildeo haja vapor

P 2-P 1

u 2 2 A 2

V pr Ai

V W p f

(1-x) 12

l-a1 l-a2

+ X 2 pf

mdash

l deg12

-1 a 2 _

p -p r 2 Al (2a 1 2)

2 M f w 1 deg12 X (mdash) (

pg al a 2 )+(l-x)C l 1 12

1-a^ l-a2

Devemos notar que esta expressatildeo tambeacutem vale para quando

temos uma fase para isso basta fazer

= c t 2 = 0

X = 0

e recairemos na formula do item anterior

2 pf 1 deg12 Observemos que neste caso o termo x (mdash)( ) nao

Pg al a2

2

73

tem significado pois corresponde a mudanccedila de fase

2 CONTRACcedilAtildeO KO FLUXO DE UM FLUIDO

21 - Uma so fase raquo mdash

Aqui ocorre um fenocircmeno importante pois o fluido ao ser

contraiacutedo nao vai diretamente da area A^ para a area A 0 mas ele

contral-se ate uma area A^ e depois expande-se ate k^

Ao A2

Po IP 2

V 2

Figura 2

Fazendo o equiliacutebrio das pressotildees entre os planos (1)

(0) vem 2 2

pV pV p +~ plusmn - P + i deg bull 1 2 g o 2 g (b)

C x

Fazendo equiliacutebrio da expansatildeo (0) - (2) vem

P o + 2 - f = P 2 + 2 -T + kp- 2 F ( c )

c c b C

Subtraindo (b) - (c)

2 2 2

i p- vj i p- v2 L P l + 2 bull g c

P 2 + 2 2g c

+ k P 2g c

74

Como

P - P = mdash 2 2g

2 2

bull (1 + k) - f bdquo mdash i

k a - f2 ) 2 - d - o c )2

= o

A = a 21

Weisback obteve varias relaccedilotildees entre a e a i] c

01 02 03 a 0624 0632 0643 c

0624 0632

A r v i - V v 2

p -p 1 2

P -P 1 2 2g7

v l =

(1+k) - laquofi- a 2g 21 c

( 1 + k - o 2 1)

X[- V 2 o 2 1V 2

22 - Duas fases

0 valor de k pode ser aproximado para

k = a(l - o 2 1)

onde segundo Richardsons para fluxo de duas fases podemos supor

a = 02

Para fluxo homogeacuteneo sabemos que

75

p = p f (1 -a ) + p o a

podemos supor p bdquo a = 0 pois p e pequeno e fazendo

V = V ~ V fbdquo2 go2 v 2

Substituindo estas duas expressotildees na equaccedilatildeo de uma soacute fase vem

2 2 p V (l-ct) p V (1 -a ) bdquo

P l P 2 = 9g ( 1 + 3 - 3 0 ^ - 0 ^ ) = g (a+1) (l-a^)

Se a = 02

2 12p oV 0

p r p

2 - 9g gt d-) d-sigt

A compressatildeo de um fluido acarreta uma perda de pressatildeo

como pode ser verificado pelas formulas uma vez que lt 1deg

3 ANALISE HIDRODINAcircMICA DE UM CIRCUITO EM CIRCULACcedilAtildeO NATURAL

Esquema deacute uma caldeira com circulaccedilatildeo natural

76

Determinar a velocidade em (7) para que tenhamos circula

ccedilatildeo natural Determinar tambeacutem as perdas de pressatildeo em todos os

trechos da caldeira

31 - Contraccedilatildeo das secccedilotildees (1) - (2)

Como jaacute vimos a equaccedilatildeo do balanccedilo das pressotildees eacute

1 pr Vl 1 p 2 o V 2 P2 V2

1 2 g 2 + 2 g + K12 2g otilde c amp c e c

bullraquo 2 o2 2 e havendo uma soacute fase k 1 9 = (l-o ) = (1 mdash ) e sendo

C 2

p l = p2

v x lt lt lt v 2

P 2 V pr p2 bull ir2 bull ( 1 + k12gt

Colocando em termos de temos

A 2 V 2 P 2 = A 7 V 7 p 7 (continuidade)

V = V mdashbull = V o_bdquo ~ A 2 2 2

P 2 V - p 2

p r p 2 = ir2 - deg72 bull Ccedilrgt bull lt 1 + ki2gt

fazendo

N12 - lt^gt deg72 ( 1 + k12gt

P7 V7

Pr P2 - N12 bull HG

77

3 2 - Perda de carga no trecho ( 2 ) - ( 3 )

Como haacute apenas uma fase soacute temos perdas por atritos e

perdas hidrostaacuteticas

Sendo como jaacute vimos

2 3 p 2 2 g P 2 P 3 = f 2 3 (r~2g^~) L 2 3 g c p

atrito hidrostaacutetica

Substituindo V^ pela relaccedilatildeo do item anterior e tendo em

conta que p = vem

P -P = f 2 r 3 2 3 D

2 3 p 2 bdquo 2 2 p 7 2

2 g 7 72 p 2 3 g

Se

L 2 3 2 p 7

2 3 2 3 D 2 a 7 2 p 2

P 7 V 7 g P 2 - P 3 = N 2 3 ( mdash gt p 2 L 2 3 f

3 3 - Expansatildeo nas secccedilotildees ( 3 ) - ( 4 )

Como vimos o balanccedilo das pressotildees e

2 2 2 p V p 4 V p V

P 3 + 2 g c

P 4 + 2 g c

+ k 3 4 2 g c

onde

k 3 4 - - -

2 2 1 P 4 - V 4 P 3 v 3

P 3 P 4 = 2 g + ( k 3 4 _ 1 ) 2 g

78

Sendo

P 3 - P 4

p 3 o A 3 deg V 3 = P 7

a A 7 o V 7

P 4A 4 0V 4 = P r A r V

3 7 A 3 p 3

A7 P7 V = v mdash mdash 4 7 P 4

P - P 3 r4

Se

P bdquo - P

bdquo2 r-P 7 V 7

3 4 2g deg74 + ( k 3 4 1 ) deg73

34 p deg74 + ( k 3 4 1 ) 73

p r v2

P3- P4 ^ N34 ^ gt

(No caso e negativo)

34 - Contraccedilatildeo nas secccedilotildees (5) - (6)

Ainda temos uma so fase e fazendo o balanccedilo das pressotildees

como fizemos no item 3lt1 vem

P + vil p + vi + k vi P 5 + 2gbdquo P6 + 2gbdquo + k56 2gbdquo

k 5 6 lt 1 ^ gt 2 ( 1 - Iacute 2 i 2 6

V V6 P5degIacute 5^6 ^SS 2g c - 2g c

P - P ^ = (1+kJ

Como

79

A 6

W p 5 =

VV P6 V 5 = V 6 Jiexcl = Vff65

P 5-P 6 - lt H k 5 6 ) mdash ^ mdash (l+k 5 6-a 6 5) c c c

Sendo

Se

A 7 p 7 p 7

6 7 Ag p 6 7 76 p 6

p _p _ P6- V7- g76 iquest72 ( _ 02 P 5 P 6 2g c bull ( p 6

( 1 + k 5 6 deg65 )

p 7 2 2 N56 = p ^ deg76 ( 1 + k 5 6 ~ a 6 5 )

P 7 V 2

7

P r-P = N r 5 6 56 2g c i

35 - Perdas de pressatildeo nas zonas (6) - (7) - Pre^aquecimento

Nesta regiatildeo temos perdas por atrito e hidrostaacuteticas

Nao haacute perda por aceleraccedilatildeo pois ainda natildeo houve formaccedilatildeo de boshy

lhas

Fazendo balanccedilo das pressotildees temos

L_ ppound-V p = p + otilde L - pound _ + f -Si (-21mdashL 6 7 + p67 L67 g + t 6 7 D K 2g

p _ e ifn sao tomados como valores meacutedios 67 67

P _p _ f hl ^67jIacute uuml + - L A

6 F 7 r67 D 2g P P67 L67 g 6 s c 7 c

S e Kr pound67 L67 p67 6 7 D 6 p7

p7 V - _g_ P6- P7 - N67 mdash + P67 L67 f

c c

80

36 - Perda de pressatildeo nas zonas (7) - (8) - Zona de ebuliccedilatildeo

Nesta regiatildeo j aacute temos o aparecimento de bolhas logo a

perda de pressatildeo seraacute devida agraves t recircs parcelas aceleraccedilatildeo a t r i t o

das duas fases liacutequidas + vapor e h idros taacute t ica

onde

Assim

P-P Q = AP + AP + APbdquo 7 8 a t r i t o acel H

T M1

78 p 7 7 AP - R f- - mdash mdashr |R = fator mult ipl ica-

a t r i t o 7 D 7 2 g c L tivo

G 2

AP bull r mdash acel g c

P V

|_1 - o a p J 8 P f

2 t r 2 M2

7 7 r 7 7 A P a c e l = -J^mdash 2 r bull p 7 lt T iexcl iexcl - )

A PH p 7 8 L 7 8 fiexcl

p 7 8 iacute 7 li 1 0 0 P l i q + a P v ] d L = P 7 ( 1 - laquo 7 8 )

ag raquo fraccedilatildeo de vazio media entre 7 e 8

APH = p (1 - 5 7 g ) f- L 7 8

2 2

P 7 - P 8 a 5 - 2 T i + 2 r p 7 + P 7 ( 1 - 7 8 gt f L 7 8 7 amp c amp c amp c

81

N 7g = R mdash + 2 r p 7

P7 V7 P7- P8 = N78 + P 7 ( 1 5 7 8 gt J78

37 - Expansatildeo nas secccedilotildees 8 e 9

No caso haacute uma expansatildeo com duas fases e como vimos no

item 12 a variaccedilatildeo de pressatildeo era dada por

0f Vo P2 P1 = ~2g c ( 2 deg12

x 2 (mdash)(mdash - mdash ) + ( l - x ) 2 ^ T mdash 8 1 2 1

12

Aplicando ao nosso caso

P pound = P 7

P -P = 8 9

V - V raquo V g f 7

P 7 V 2

2 pf 1 a89 2 1 g89 x (mdash) ( ) + (1-x) (- - N

o ou abdquo 1-cu l-ot_) g 8 9 8 9

Se

N 89

= 2 a 89

2 pf 1 deg89 2 1 CT89 x (mdash) ( ) + (1-x) ( T

g 8 9 8 9

P -P = 8 9

- N P7deg V7

89 2gbdquo

38 - Perda de pressatildeo no trecho 9 e 10

No referido trecho temos apenas perda de pressatildeo por atr L

to da fase liacutequido + vapor e perda hidrostaacutetica Natildeo haacute perda por

aceleraccedilatildeo do vapor pois este natildeo recebe mais calor e portanto

o 82 o

nao ha variaccedilatildeo no a

p

Q -p i n = A P

U + A P bull 9 10 H atrito

n T -S_ P9 U10 deg 910 bull g

fio r

910 I 910

J9 L

(l- a)P + Q P I dL liq v

(l-a0) p

No caso a = (nao hatilde variaccedilatildeo de forma)

A P H - (1-a ) P (p L 0

c

AP bdquo = R o

atrito

2 f9 o L910 P9 V9

2g

Supondo

= V

P 9 = P 8 P 7

vbdquo = v 9 8 0 A r

= V 7 bull deg89

AP - R atrito

2 2

W l O p7deg V7deg g89

V P10 R -^T^ bull deg89 bull li-2 + ( W P 7 (fgt SIO

y c c

Se

- f9 L910 2 N9ol0 R Dl deg89

w 2

p rv P9 P10 = VlO + ( 1 a 9 ) p7 (f gt L910 c

33

39 - Perda ciacutee pressatildeo na expansatildeo 9 - 1 0

Analogamente a expansatildeo 8 - 9 temos

10 11 P 7 2g

10 Iacute 2 0 1 0 - 1 1 gt

2 ff

pg aio

10-11

laquo11 ) +

Ll-a 1 0 bull l-a u J

Se

V10 = V 9 = V 8 bull T9 = V 7 deg89

P -P 10 rll = - a 2g 089 ^lO-ll

4 bull T~ bull (7 1 mdash ) + Pg degio a n

+ (l-x)2(- 1 10-11

1 - aio )

N10-ll = 2 a10-ll a89 2 pf t 1 10-11 N2

-(j-r- - ) bull+ (1-x) pg aio deg 1

10-11 k l - a io

prz P10 Pll = - N10-ll bull ( 2gbdquo

310 - Calculo de V

Fazendo a somatoacuteria de todas as expressotildees (P^-Pj) tere-

84

mos 2 PbdquoV_

P bdquo - P bdquo = N 7 v 7

1 2 12 2g

bull 2 - P 3 - = N 2 3 P 2 L 2 3 f c ccedil

9 P 7 V 7 P _p = N mdash -

3 4 34 deg 2g

V P 5 = deg

2 P V

5 6 56 2 g c

ltr2

P 7 -V 6 e7 -N67 2g + p 6 7 J j67 g

c bc v 2

P 7 - P 8 = N 7 8 - 2 i ~ + p 7 ( 1 - laquo 7 8 ) L 7 8 c

P 7 V 7

P - P - -N mdash - -8 9 89 2g

c P 7 V 7

P 9 ~ P 1 0 VlO 2g + ( 1 a 9 P 7 L 9 c

P 7 V 7

bull10 11 U10-ll 2g

P v iacute j P - P

1 11

7 - v 7 3 bull r

2 8 i U L 2 23 67

(l-5 7 8) L 7 8 + ( l - laquo 9 ) P 7 bull SlOtilde]- ^

Por ou t ro lado sabemos que como secccedilotildees 1

mesmo n iacute v e l

85

s c p r v 7 j

28 Z N i ij

= P 2 L23 p67 L67 P 7 ( 1~deg78 )

78 ~ ^g) bull P 7 bull L 910 g_

V - 2 g ( p r L 2 3 - p 6 r L 6 7 - p 7 ( l - atilde 7 8 ) L 7 8 - (l-a9) p L 9 a ( )

y N

Com esse valor de podemos determinar todas as variashy

ccedilotildees de pressatildeo (P^-P )

BIBLIOGRAFIA

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- WR Gambill - Nuclear Safety

Vol 9 - n9 5 e 6

Vol 6 - n 2 (pag 152)

Vol 4 -r n9 1 (pag 30)

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- AKL - 6469

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Journeacutees Internationales de la transmission de la chaleur

Seminaacuterios realizados em Paris em 1961 sob a supervisatildeo do

Prof Marcel Veron

Notas de aula da Cadeira de Termodinacircmica I e Transmissatildeo da

Escola Politeacutecnica da Universidade de Sao Paulo

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27

pelas 4 figuras abaixo

LIacutequido - Liacutequido Liacutequido

o

^Bocirclha de

vapor

Vapor

mdash [

- Vapor

mdash 0 0

deg_ a-

jrj-

iquestiexcl5

Bolhas Agregados Anular

Liacutequido

vapor

Disperso ou

Homogecircneo

Conforme o tipo de ebuliccedilatildeo podemos ter uma so das forshy

mas acima ou uma mistura

3 INCERTEZAS NO ESTUDO DA EVAPORACcedilAtildeO

Ha trecircs incertezas principais para determinar o fluxo de

calor na evaporaccedilatildeo a saber

- Aacuterea de contato indefinida

- Diferenccedila de temperatura indefinida

- Grau de turbulecircncia

Como realmente nos nao sabemos uma dependecircncia algeacutebri

ca entre o acircngulo de contato e a superfiacutecie ocupada pelo liacutequishy

do (ou vapor) temos uma incerteza na determinaccedilatildeo da aacuterea de tro

ca de calor (A)

Outra incerteza eacute a dificuldade da obtenccedilatildeo de diferenccedila

de temperatura entre o liacutequido e a parede que normalmente assume-

-se como sendo a diferenccedila entre a temperatura da parede e da ebu

liccedilatildeo do liacutequido (temperatura de saturaccedilatildeo = t )

S cl c

Na realidade a diferenccedila de temperaturas nao eacute aquela

pois a camada de liacutequido que cobre a superfiacutecie aquecedora esta

a uma pressatildeo maior que o resto do liacutequido (pressatildeo atmosfeacuterica

mais a hidrostaacutetica) e consequentemente a temperatura de vaporiza_

ccedilao desse liacutequido e maior que a da superfiacutecie Esta diferenccedila po-

28

deria ser calculada desde que se conhecesse a relaccedilatildeo entre presshy

satildeo e temperatura de saturaccedilatildeo do liacutequido entretanto haacute incerte

za quanto ao verdadeiro peso especiacutefico da coluna de liacutequidopois

trata-se de uma mistura de bolhas de vapor e de liacutequido em proshy

porccedilatildeo variaacutevelraquo

4 REGIMES DE EBULICcedilAtildeO

Nukiyama estudando a ebuliccedilatildeo da aacutegua num recipiente a

quecendo-a com resistencias eleacutetricas construiu a curva baacutesica da

ebuliccedilatildeo Todos os liacutequidos apresentam uma curva semelhante vashy

riando apenas os valoresraquo Os pontos caracteriacutesticos da curva deshy

pendem de caracteriacutesticas difiacuteceis de definirtais como natureza

do metal estado da superficie (rugosidade) dimensotildees orientashy

ccedilatildeo do fluxo quantidade de gases dissolvidos e t c

Estudaremos o fenocircmeno para o caso de aacutegua destiladasem

gas dissolvido a temperatura de saturaccedilatildeo 100 C pressatildeo atmosfe_

re uma superficie plana

Chega-se assim acirc curva

rica sobre uma superficie plana horizontal a temperatura t^

In ltJgt

At (degC)

A curva acima representa o aquecimento de agua com uma re_

sistecircncia eleacutetrica (ate ebuliccedilatildeo)raquo Temos em abcissas as diferenccedilas

de temperatura entre o liacutequido e a resistecircncia em ordenadas o flu

29

Regiatildeo I

Regiatildeo II

Regiatildeo III

Regiatildeo IV

xo de calor por unidade de area

Na curva notam-se 4 regiotildees bem definidas tendo cada uma

o seu significado fiacutesico os quais correspondem a um tipo de ebuli

ccedilao

convecccedilao natural

ebuliccedilatildeo nucleada

ebuliccedilatildeo por peliacutecula parcial

ebuliccedilatildeo por peliacutecula estaacutevel

41 - Convecccedilao natural

Ocorre quando At eacute inferior a 8degCformam-se no liacutequido

correntes convectivas as quais transferem o calor ateacute a superfiacuteshy

cie livre do liacutequido e aiacute desprendendo o vapor Neste caso o valor

de h eacute da ordem de 2000 kcalm^hdegC

42 - Ebuliccedilatildeo nucleada

Ocorre quando o At eacute maior que 8degC e menor que 25degC Nesshy

te caso as bolhas formam-se junto a superfiacutecie de aquecimento

crescem liberam-se movimentam-se em direccedilatildeo agrave superfiacutecie livre do

liacutequido onde estouram libertando o vapor As bolhas formam-se nas

irregularidades da parede tecircm um acircngulo de contato agudo e porshy

tanto hatilde liacutequido sempre em contado com a parede (molha a parede)

cada ponto ativo (lugar onde se formam as bolhas) libera uma porshy

ccedilatildeo de bolhas e os outros pontos do liacutequido ficam em contato com a

superfiacutecie quente violentamente agitados Esta agitaccedilatildeo extrema eacute

mais eficaz que uma turbulecircncia criada artificialmente Por esse mo

tivo a curva cresce violentamente nesse trecho (m = 3 a 7) pois

bull 2 o o valor de h cresce consideravelmente (ate 46000 kcalm hr C) e

o fluxo teacutermico transmitido ao liacutequido cresce proporcionalmente a

Quando cresce crescem tambeacutem

(At) 3

30

numero de bolhas por unidade de aacuterea (num instanshy

te)

~ = crescimento da bolha (com o tempo)

frequecircncia de iacuteormaccedilao de bolhas

A medida que o At vai aumentando iraacute aumentando (jgt tam-- n o N

bem e consequentemente mdash R mdash a a a tal ponto que quando atiacuteii

girmos o ponto da curva nao haveraacute mais formaccedilatildeo de bolhas

mas sim uma peliacutecula de vapor instaacutevel passando assim a 3a re

giao que estudaremos a seguir

43 - Ebuliccedilatildeo por peliacutecula parcial

Como dissemos no item anterior se aumentarmos ainda mais

o At (entre 25degC e 125degC) teremos a formaccedilatildeo de uma peliacutecula de

vapor instaacutevel sobre a superfiacutecie quente que aacutes vezes eacute perfurashy

da pelo liacutequido A camada de vapor tanto mais estaacutevel seraacute quanshy

to maior focircr o At Essa peliacutecula de vapor iraacute provocar um decreacutes_

cimo consideraacutevel no fluxo teacutermico porque como sabemos o vapor

eacute muito pior condutor que a aacuteguaraquo

0 fluxo vai decrescendo ateacute um ponto miacutenimo (iexclgt mintilde (as vecirc

iacutebo bullraquo 1

zes chega a ser mdashj-) e e o chamado ponto de Liedenfrost 0 coeshy

ficiente de peliacutecula neste caso cai violentamente (h = 2000

kcalm^hrdegC)

44 - Ebuliccedilatildeo por peliacutecula estaacutevel

Aumentando ainda mais a diferenccedila de temperaturas

At ( gt 125degC) iremos conseguir uma camada de vapor estaacutevel Ela

transmite calor da superfiacutecie quente ao liacutequido que se vaporiza de

modo que o excesso de vapor formado na interface liquido-vapor for

ma bolhas que sobem para a superfiacutecie 0 liacutequido encontra-se agi-

31

tado poreacutem nao toma contato com a superfiacutecie soacutelida

A peliacutecula de vapor eacute estaacutevel e o fluxo eacute proporcional a

34

(At) (lei de Bromley) Para At grandes passa a influir sensivel^

mente a radiaccedilatildeo teacutermica mais uma razatildeo para demonstrar que nesshy

ta regiatildeo o fluxo cresce novamente

5 CONSIDERACcedilOtildeES E COMPARACcedilAtildeO ENTRE OS TIPOS DE EVAPORACcedilAtildeO

BURNOUT

Sob o ponto de vista de eficiecircncia teacutermica deveriacuteamos sem

pre trabalhar no ponto de fluxo maacuteximo isto eacute no ponto correspon

dente a lt(gt da curva de Nukiyama pois eacute o que daacute maior coeficieri

te de peliacutecula

Acontece poreacutem que se impomos a temperatura da parede

fixa obtemos um uacutenico valor de lt(gt e portanto o fenocircmeno eacute estaacutevel

Poreacutem se como ocorre nos reatores impomos um fluxo teacuter

mico a curva de Nukiyama apresenta 3 pontos de funcionamento posshy

siacuteveis A B C

1

SOacute os pontos A e C sao funccedilotildees estaacuteveis mas eles impotildeem

acirc superfiacutecie quente temperaturas bem diferentes

Na industria em geral trabalha-se por questotildees de segushy

ranccedila na regiatildeo IV da curva poreacutem para os reatores trabalha-se na

32

r e g i atilde o I I

0 p r o b l e m a de t r a b a l h a r n a r e g i atilde o II eacute q u e se n oacute s e s t i shy

v e r m o s t r a b a l h a n d o n o p o n t o e x t r e m o (j) e se p o r q u a l q u e r m o t i v o

h o u v e r u m p e q u e n o a c r eacute s c i m o d e ltfgt i r e m o s t r a b a l h a r i m e d i a t a m e n t e no

p o n t o M q u e t e m o m e s m o $-^0t p o r eacute m c o m A t 2 m u i t a s v e z e s m a i o r

p o d e n d o o c a s i o n a r a f u s atilde o d a s u p e r f iacute c i e a q u e c e d o r a E s t e f e n ocirc m e n o

eacute c h a m a d o d e b u r n o u t

0 f l u x o lttgt eacute c h a m a d o f l u x o c r iacute t i c o o u f l u x o d e b u r -b o

n o u t N o c a s o do r e a t o r d e v e m s e r t o m a d a s m e d i d a s r i g o r o s a s q u a n

to agrave r e g u l a g e m do f l u x o t eacute r m i c o p a r a q u e n atilde o o c o r r a o b u r n o u t 1 1

p o i s d e l e p o d e r e s u l t a r r u p t u r a d a c a m i s a do c o m b u s t iacute v e l e h a v e shy

r aacute p o r t a n t o c o n t a t o do r e f r i g e r a n t e c o m o s s oacute l i d o s e g a s e s r a shy

d i o a t i v o s

5 o l - R e l a ccedil atilde o d e B u r n o u t

E c l a r o q u e p a r a t e r m o s u m r e a t o r m a i s e f i c i e n t e d e v e shy

m o s t r a b a l h a r c o m u m f l u x o o m a i s p r oacute x i m o p o s s iacute v e l do f l u x o d e

B u r n o u t P a r a t a n t o d e v e m o s c o n h e c e r c o m o m a i o r g r a u d e certe

za p o s s iacute v e l q u a l o ^ p a r a p o d e r m o s r e d u z i r o c o e f i c i e n t e d e s e shy

g u r a n ccedil a ( W R G a m b i l l r e c o m e n d a agrave 1 5 )

N o s s e m i n aacute r i o s d e W R G a m b i l l e n c o n t r a m o s u m a s eacute r i e de

b i b l i o g r a f i a s o n d e p o d e m o s e n c o n t r a r i n uacute m e r a s f oacute r m u l a s p r o p o s t a s

p a r a a o b t e n ccedil atilde o de (q 1^)

A t i t u l o d e e x e m p l o v e j a m o s a l g u m a s

q - 2 7 0 G deg gt 8 5 D 0 2 A085 p lt 150

deg D ( L uuml ) 2

q - 140 G 0 5 D ~ deg 2 (-~-)~deg 1 5 p ~ r gt 150 c D (LD)

o n d e a m b a s as e q u a ccedil otilde e s s oacute v a l e m p a r a aacute g u a e m b a i x a p r e s s atilde o e m coii

v e c ccedil a o f o r ccedil a d a

33

D

L

fluxo teacutermico critico BTUhrft bdquo 2

descarga em massa do liquido (Ibmhrft )

diacircmetro do tubo ft

comp do tubo ft

Para cada caso temos uma expressatildeo diferente que pode ser

encontrada em literatura especializada

6 INFLUEcircNCIA DE OUTROS PARAcircMETROS NO FLUXO DE BURNOUT

Como para os usos atuais do reator a diferenccedila de temppound

ratura entre parede e fluido sao pequenas bem como o fluxo de bur

nout recentemente fiacutesicos como Jakob Bonilla WR Gambill estu

daram outros paracircmetros que influenciam bastante o sect^ 0gt isto eacute a

influecircncia desses paracircmetros faz com que o ^ seja maior Isto eacute

util pois quanto maior o fluxo de burnout maior poderaacute ser o

fluxo de calor real de funcionamento

Tais meios sao

- Sub-resfriamenCcedilo do liacutequido

61 - Influecircncia da velocidade do liacutequido

Estudos feitos pelos autores acima chegaram agraves curvas

- Aumento da velocidade imposta ao liacutequido

- Pressatildeo do liacutequido elevada

alto V

At

34

Para velocidades maiores o fluxo de burnout aumenta

porque neste caso o regime eacute turbulento e o coeficiente de peliacute

cuia h aumentao

6bdquo2 - Influencia do aumento da pressatildeo

Este estudo deve-se a Bonilla que obteve experimentalmen

te as curvas

Este estudo foi feito para vaacuterios liacutequidos e chegou a con

clusao que sempre havia uma pressatildeo oacutetima isto e uma pressatildeo que

leva ao maior iacute 1 ^ raquo mantidas as demais condiccedilotildees Experimentalmenshy

te notou que essa pressatildeo correspondia a 13 da pressatildeo critica

do liquido em questatildeo

6=3 - Influecircncia do sub-resfriamento

Consiste em manter atilde custa de uma circulaccedilatildeo intensa o

liacutequido a uma temperatura inferior atilde de saturaccedilatildeo para a pressatildeo

correspondenteraquo Experimentalmente chega-se agraves curvas

mdash A t grande sub

bullAt -0 sub sub

medio

At

35

Verificando os graacuteficos vemos que o lt)gt aumenta agrave medida bo

que aumenta a diferenccedila de temperatura de sub-resf riamento isto pojr

que o liquido como estaacute mais frio faz com que algumas das bolhas

recondensem permitindo que o liquido fique em contato com a parede

quente o que faz aumentar o h

^ f csub = t e m P e r a t u r a ddeg liacutequido - temperatura de saturaccedilatildeo

A diferenccedila de temperatura At entre fluido e parede tamshy

beacutem aumenta poit na regiatildeo proacutexima agrave parede haacute necessidade de

levar o liacutequido da temperatura do sub-resfriamento ateacute a temperatu

ra de saturaccedilatildeo quando se evapora

Atualmente os maiores estudos dos fiacutesicos nucleares locashy

lizam-se neste campo pois eacute o que oferece maiores vantagens

7 FORMULAS PARA 0 CAacuteLCULO DO COEFICIENTE DE PELIacuteCULA NA EBULICcedilAtildeO

Como ocorre no caacutelculo de todas as foacutermulas de convecccedilatildeo

temos formulas empiacutericas para determinar o h conforme o tipo de

ebuliccedilatildeo que nos consideramos

71 - Ebuliccedilatildeo Nucleada

Para o caso de aacutegua temos as relaccedilotildees

superfiacutecies

horizontais

superfiacutecies

verticais

f aacute 5000 BTUhrft 2 -gtbull h = 151 ( A t ) 1 3

A o

5000 lt 75000 -h = 0618 (At)3

^ pound 1000 -raquobull h = 8 7 ( A t ) 1 7

A o -

1000 lt $ lt 20000 -gt h = 027 (At) A o

Quando a pressatildeo e diferente da atmosfeacuterica faz-se a correccedilatildeo

3 6

72 - Ebuliccedilatildeo por peliacutecula

Bromley propocircs uma boa equaccedilatildeo para a ebuliccedilatildeo por peliacuteshy

cula estaacutevel em cilindros horizontais

Nu

_ JtjD n r 9 P v bull ( P L - P v gt - g -h

e V bull D i2

D 1 ^ U b Z u At gt

onde

V = indica vapor

L = indica liacutequido

Multiplicando ambos os membros da equaccedilatildeo acima por

kvD obteremos a expressatildeo do coeficiente de convecccedilagraveo meacutedio para

o caso

37

C - FORMULAS PARA CAacuteLCULOS ESPECIacuteFICOS - RESULTADOS ESPECIacuteFICOS

1 FLUXO DE CALOR CRIacuteTICO - BURNOUT

lol - Introduccedilatildeo

O aspecto mais importante no que se refere agrave seguranccedila

dos reatores da transferencia de calor na ebuliccedilatildeo eacute a determina

ccedilatildeo do Fluxo de calor critico ou de pico ou burnout

Como jatilde vimos quando temos a ebuliccedilatildeo nucleada a dishy

ferenccedila de temperatura entre refrigerante e superfiacutecie de aqueci

mento e pequena poreacutem quando atingimos o fluxo de calor criacutetico

essa diferenccedila de temperatura pode tornar-se imediatamente muishy

to grande podendo causar a ruptura da superfiacutecie de aquecimento

se atiigirmos o ponto de fusatildeo do soacutelidoraquo

Usando a convecccedilao

onde

At sat

w

sat At

sub

w = temperatura da parede de aquecimento

t t = temperatura de saturaccedilatildeo do liacutequido

t^ = temperatura de mistura do liacutequido

At = (t -t ) sub-resfriamento do liacutequido sub N sat b 1

nout

Ha dois tipos de burnout fast burnout e slow bur-

Ocorre o fast burnout (burnout raacutepido) quando A t g u b gt 0

38

ou para baixo x (~ lt 10) sendo x o titulo do vapor

Temos o slow burnout para x - gt 10 Assim noacutes tereshy

mos dois limites para o burnout

At bull o (ltJgt ) t =((() para t = t ) -

bo m m possiacutevel w sat

sub i

4L + 1

G c D h pl nb

(ltK ) = (ltpound para x = 1) = Dv-bo max possiacutevel e 4L

c At l + P 1 sub i

onde

L = comprimento do canal

D = diacircmetro do tubo

G = descarga de liacutequido (por unidade de aacuterea)

c ^ = calor especiacutefico do liacutequido

Agrave = calor latente de vaporizaccedilatildeo

h ^ = coeficiente de transferecircncia de calor na regiatildeo de

nao ebuliccedilatildeo

iacutendices

i = entrada

e = saiacuteda

Haacute inuacutemeras expressotildees para determinaccedilatildeo do burnout pro

postas por muitos fisicos cada uma aplicando-se a um caso especiacuteshy

fico vejamos algumas delas

12 - Equaccedilotildees para prediccedilatildeo de Burnout

121 - Equaccedilatildeo de Bragg e Smith (Zuber)

Num artigo publicado por Bragg e Smith encontramos uma f oacute_r

mula que e derivada da formula de Kutateladze e nos daacute o fluxo cri

39

tico quando nao temos sufaresfriamento

bo poolsat v V raquoc a ( p l P V )

2 PV

14

onde

ltiexclgt = fluxo de calor critico bo

k = constante

Ly = calor latente de vaporizaccedilatildeo do refrigerante

= densidade do liquido

pvr = densidade do vapor V a = tensao superficial

g = fator de conversatildeo c

a = aceleraccedilatildeo da superficie de aquecimento

Os autores encontraram para k um valor de 062 entreten

to outros autores como Zuber incluindo outras variaacuteveis que In

fluiam no fenocircmeno encontraram k variando entre 008 e 023Esshy

tudos bem elaborados mostram que o valor mais aproximado eacute

k = 015 (- 003)

1-22 - Equaccedilatildeo de Noyes

Noyes estudou o burnout para o soacutedio agua e alguns liacute

quidos orgacircnicos

( W s a t ~ bdquo 0245 bull ( r ( 1 )

iiacute_ V 1 Pr

onde

N n = Nuacutemero de Prandtl da fase liacutequida x r

Mais tarde o proacuteprio Noyes alterou a equaccedilatildeo para

n ^ - n H Iacute I Pl PV gt0538 deg g c a q 4 ( W s a t deg 1 1 6 PV ( - p 7 ~ ) (77T1^ ) ( 2 )

40

A ultima correlaccedilatildeo proposta por Noyes foi

a n prPV0560 112

1

(a bull a) 13

(ag c) 112

(3)

onde

a = difusividade teacutermica do liacutequidoraquo A equaccedilatildeo (3) eacute bashy

seada em todos os dados de burnouts do soacutedio bem

como da atildegua benzeno difenil e outros De 111 pontos usados 90

+ estatildeo relacionados dentro de - 30bdquo

ldeg2o3 - Burnout com convecccedilao forccedilada e sub-resfriamen

to

Aproveitando os resultados de aproximadamente 240 testes

de burnouts com aacutegua sub-resfriada em fluxo de convecccedilao forccedilashy

da feitos na Ruacutessia Labuntsov elaborou uma boa equaccedilatildeo empiacuterica

para o problemabdquo

Esta relaccedilatildeo aplica-se para velocidades entre 2 3 e 148

ftsec pressotildees entre 1 e 201 atmabs sub-resfriamento entre 0 deg

e 432 degF e fluxos de burnout entre 0 4 x IO 6 x 166 x 1 0 6 BTUhr

2 bdquo

bullbo

onde

e a seguinte

6 ( P ) 1 + 0 2 3 2 V 2

14

e ( P ) 1 +

15 c At _p_ sub

12 (a)

9 ( P ) - P 1 3 o ( 1 - P J 4 3

red

= pressatildeo (atm abs)

pressatildeo reduzida = mdash mdash red r P

t_ c = pressatildeo critica

= velocidade do liacutequido (ftsec)

= calor especiacutefico do liacutequido (BTUlbdegF)

4 1

^ tsub = ^ ^ e r e n Ccedil a ^ e temperatura entre a temperatura de

mistura do liacutequido e a de saturaccedilatildeo (degF)

X = calor latente de vaporizaccedilatildeo (BTUlb) 2

ltiacutegtbo = fluxo de burnout (BTUhrfl )

Uma outra correlaccedilatildeo para o caso foi proposta por

Ornatsky e Xiohigin que fizeram experiecircncias para pressotildees entre

10 e 1 5 0 3xm 90 degF lt At ^ lt 4 5 0 deg F 3 7 1 0 6 ( l b h r o f t 2 ) lt G lt

2 2 2 10 b ( l b h r bdquo f t 2 )

lt ^ = 3 2 5 0 (G o A t bdquo J deg 6 ( - i - ^ ) 2 5 ( b ) bo sub

onde

G - descarga de refrigerante por unidade de aacuterea

P ^ v P v - densidades do liacutequido e do vapor

P1~ PV -0 termo (mdash ) e incluido na expressatildeo (b) para indicar

a influecircncia da ^ pressatildeo sobre o

Uma comparaccedilatildeo entre as equaccedilotildees (a) e (b) foi feita para

o Reator de Isoacutetopos de Alto Fluxo (HFIR) nas condiccedilotildees aacutegua a

600 psia velocidade = 45 ftsec e sub-resfriamento = At^^ 1

degF obtendo-se uma diferenccedila de 6 5 entre ambos (4gt = 6 0 5 1 0 b

2 ~ 6 2 BTUhr ft pela equaccedilatildeo (a) e 6 4 5 10 3TUhrraquoft pela equaccedilatildeo

(b)

Ilatilde ainda a equaccedilatildeo de Ivey e Morris aplicaacutevel somente pa_

ra ebuliccedilatildeo com grande quantidade de liacutequido

( c sub t

Cpf bull A tsub

( bull ) s ~ V P bdquo 10 h V sat V g

onde

(ltL ) = fluxo critico com sub-resfriamento c sub

(ograve ) ^ - fluxo critico sem sub-resfriamento c sat

42

c ^ = calor especiacutefico do liacutequido

= calor latente de vaporizaccedilatildeo

124 - Burnout com convecccedilao forccedilada e ebuliccedilatildeo por bocirc-

Ihas

Gambill fez uma extensatildeo da equaccedilatildeo de Levy e aplicou o

metqdo da superposiccedilatildeo Tal extensatildeo consiste natilde subtraccedilatildeo de uma

razatildeo equivalente de massa transferida dos termos que represenshy

tam a ebuliccedilatildeo e convecccedilao para levar em conta a presenccedila do vashy

por no fluxo

A correlaccedilatildeo pode ser escrita assim

24 V P V

o g c a (p^Py) 14

+ 0696 (k p c ) 12

(

pr p v )i4 o g c a (P-L-Py) 18

bull At + h sub nb

044 p v L v G (g1) bull N2 n

p l P V

( pr p v ) d e 2-7

2 4 TT 0

14 ( f e _ ^ r l 3

lO^u

onde

k = condutividade teacutermica

c = calor especiacutefico

A t s u b ~ s ub-resfriamento do liacutequido

h = coeficiente de transferecircncia de calor de nao ebu nb mdash

liccedilatildeo

G = descarga total do refrigerante

43

d g = diacircmetro equivalente do tubo ou canalraquo

]i = viscosidade

B = constante adimensional

Os iacutendices V e 1 representam vapor e liacutequido respectiva

mente

0 primeiro termo entre chaves da equaccedilatildeo representa o flu

xo de calor no burnout de sub-resfriamento em convecccedilao forccedilada 0

segundo termo entre chaves corresponde ao fluxo de calor transferi^

do para a massa da fase vapor

1-25 - Burnout por Bloqueio da Base

Ocorre quando a profundidade do recipiente eacute muito maior

que a largura 0 bloqueio da base eacute causado pela formaccedilatildeo de uma pe_

licula de vapor na base impedindo que o liacutequido toque o fundo do

recipiente

i De

Este eacute o burnout por flooding isto eacute burnout por expul

sao do liacutequido Uma equaccedilatildeo que nos dacirc o fluxo minimo do burnout

parao caso eacute

44

onde

D g = diacircmetro equivalente

L = comprimento do tubo

= calor de vaporizaccedilatildeo

p^Py Ap = densidade do liacutequido do vapor e diferenccedila en

tre ambos

Para um fluxo de calor maior ou igual ao dado pela expres_

sao acima (mantida a mesma geometria) teremos burnout Para um deshy

terminado fluxo existiratildeo sempre um comprimento L e um diacircmetro equi

valente D e para os quais temos burnout Exemplo

L (in) D e(in)

10 11

100 51

1000 235

2 RESULTADOS ESPECIacuteFICOS - FOacuteRMULAS PARA CAacuteLCULOS ESPECIacuteFICOS

21 - Diferenccedila de temperatura At i

13 a t

sat

At sat

poundatildeJL_ raquo t - t J p T T 6 w sat

onde

o laquo tensatildeo superficial entre liquido e vapor

t - temperatura de saturaccedilatildeo do liacutequido para a corres-Scl t

pondente pressatildeo

J equivalente mecacircnico do calor

X laquobull calor latente de vaporizaccedilatildeo

py = densidade do vapor

6 = espessura da camada de liacutequido superaquecido onde

45

k l

h nc

onde

k^ = condutividade teacutermica do liacutequido

h = coeficiente de peliacutecula nc r

Segundo Eckent h ^ c e dado por

P 2 Q

nc 3 V VP + 0952

r

onde

D = diacircmetro equivalente

G r = numero de Grashoff

P = nuacutemero de Pradtl

2 o 2 - Velocidade das bolhas

A velocidade das bolhas em meacutedia pode ser dada pela exshy

pressatildeo

V bdquo = Iacute ( a bull B Apl4 bolhas 5 ^ 2

p l onde

AP = P L - P v

Expressatildeo que vale quando a aceleraccedilatildeo eacute a da gravidade

baixa viscosidade do liacutequido e bolhas separadas

Vbolha = f t s e atilde m a x para aacutegua

2 bdquo3 - Diacircmetro das bolhas

2gc deg 12 D = 0015 3 ( mdash mdash 7 ~ ) d g Ap

5 =

46

onde

8 = acircngulo de contato (20 a 90deg) geralmente assume-O -1

-se igual a 50 para a agua em contato com metal

24 - Coeficiente de peliacutecula na ebuliccedilatildeo nucleada

a) Equaccedilatildeo de Rohsenow

Esta equaccedilatildeo nos datilde o fluxo de calor q na ebuliccedilatildeo nushy

cleadaraquo E oacutetima expressatildeo para muitos liacutequidos o efeito da presshy

satildeo eacute levado em conta na variaccedilatildeo das propriedadesraquo

Pf

fg

sat 17 = c

sg k y f h f g g( P f-p g)

n033

onae

Pf

fg

Pf Pg c sg

= fluxo de calor requerido (BTUhr0ft^)

= calor especiacutefico do liacutequido saturado (BTUlbm0F)

= calor latente de vaporizaccedilatildeo (BTULbm)

= nuacutemero de Prandtl

= viscosidade do liacutequido (lbrahrraquoft) ~ 8 2

= fator de conversatildeo 417 10 Ibmftlbflaquohr 2

= aceleraccedilatildeo da gravidade (fthr )

= tensatildeo superficial na interface liacutequida vapor

(lbfft) 3

densidade do liquido e vapor (lbmft )

constante adimensiacuteonal que depende de vaacuterios fashy

tores dentre os quais o grau de aquecimento en_

tre o fluido e a superfiacutecie de aquecimento e o

mais importanteraquo Independe da pressatildeo do sistema b) Equaccedilatildeo de Levy

Equaccedilatildeo valida para a aacutegua quando 100 lt p lt 2000 psiacutea

47

43 bdquo3

qu bdquo gat ^ T J h r t f t ^

495

25 - Calculo do fluxo de calor no Ponto de Leidenfrost

0 ponto de Leidenfrost como vimos eacute o ponto em que oflu

xo de calor comeccedila ncamente a crescer isto eacute o ponto onde termal

aa a ebuliccedilatildeo instaacutevel e comeccedila a ebuliccedilatildeo por peliacutecula estaacutevel Eacute

o chanado fluxo miacutenimo (egrave ) m m

Aproximadamente quando A t g u k = 0 temos

A _ mdash _ mdash (Gambill) m m 5

Ha entretanto varias expressotildees para determinar esse flu

xo eis uma delas

A p 14 ltjgt = 009 h pbdquo (o raquo g mdash ) y m m fg P V deg 2

p l

26 - caacutelculo do fluxo de calor na regiatildeo de ebuliccedilatildeo por peliacute

cuia estaacutevel

para cilindros jmdashi i li

_ D 0172 k-V - P V A p h l V bull S 14 li - = 062 (mdashmdash) (- j- r rmdash) convecccedilao A 0 ybdquo (t -t )

c V w sat

onde

= condutividade do vapor

- 2 TT ( mdash )

c gAp Vl = significam vapor e liacutequido respectivamente

para paredes verticais

L 0172 S deg7 A p bull hlV S q 4 h - - 080 (-^-)J- (-Iuml - Iacutemdash-convecccedilao X L u (t - t J)

c V w sat

48

Como nesta regiatildeo jaacute haacute nina influecircncia marcante da radia

ccedilao devemos levar en conta tambeacutem o coeficiente de peliacutecula de

vido a radiaccedilatildeo para determinar o coeficiente de peliacutecula total

Dos estudos atildea radiaccedilatildeo temos

h = a F pound(T 4 - T 4 J ( T ~ T ) rad w sat w sat

onde amp _ emissividade de superfiacutecie

a = constante de Stefan-Boltzman

F = fator de forma

Segundo WE Gambill o coeficiente de transmissatildeo total

ceve ser

3 iacutei = h + -7 h para h lt h t conv 4 rad r rad conv

Na expressatildeo acima existe o fator 34 porque a radiaccedilatildeo

faz variar um pouco a espessura do filme de vapor reduzindo asshy

sim o l l

conv

Quando tivermos h gt h gt o h^ ^ seraacute rad conv total

h f c = h + h t conv rad

Neste ultimo caso nao ha nenhum coeficiente porque a peshy

liacutecula de vapor jaacute eacute estaacutevel

27 - Grandezas caracteriacutesticas para a apua

Para pressatildeo igual a 1 atm = 1422 psia

At ^ = t - t = 5degC (iniacutecio da ebuliccedilatildeo nucleada) sat w sat 1

At t = 30degC sat crit

49

5 2 $ = 4 10 BTUhrft (para pressatildeo 1 atm)

0 fluxo critico cresce como vimos com a pressatildeo ate

atingir o maacuteximo quando a pressatildeo eacute aproximadamente 13 da pressatildeo

criacutetica Esse fluxo eacute

bull = 13 IO 6 BTUhrft 2 para p = 11000 psia (p pound = 32062 psia)

Ainda temos que para pressatildeo igual a 15 psia

h b o = 11000 BTUhrft degF - ebuliccedilatildeo nucleada

h f b = 30 BTUhrft 2 degF - ebuliccedilatildeo pelicular

Todos os resultados e formulas para caacutelculos especiacuteficos

apresentados nos itens 21 22 23 ateacute 27 sacirco aplicados somente

para sistemas onde haja ebuliccedilatildeo com grande quantidade de liquido

51

D - HIDRODINAcircMICA DOS SISTEMAS E QUEDA

DE PRESSAtildeO DENTRO DE UM CANAL

1 HIDRO-DINAcircMICA E QUEDA DE PRESSAtildeO

11 - Hidro-dinacircmica dos sistemas estaacuteveis

111 - Regimes de escoamento

A evoluccedilatildeo do escoamento ao longo de um canal aquecedor

de secccedilatildeo constante ciliacutendrico pode ser esquematizada pela figushy

ra 1 onde temos em abcissa o comprimento z do canal e em ordenada

a temperatura (T)

52

Na figura 1 nos representamos

a) 0 aspecto do escoamento fluido quando a entalpia do

- fluido aumenta Verificamos que o fluido entra no cashy

nal no estado liacutequido e assim permanece ateacute atingirmos a zona de

ebuliccedilatildeo local onde aparecem as primeiras bolhas A entalpia do

fluido continua aumentando e tem inicioa ebuliccedilatildeo franccedila onde as

bolhas se unem formando agregados posteriormente o escoamento to

ma a forma da figura ou seja torna-se anular disperso Finalmente

atingimos duas uacuteltimas fases do escoamento disperso (vapor uacutemido)

e vapor seco

b) A evoluccedilatildeo da temperatura meacutedia do fluido e da tempeshy

ratura da parede Note-se que a partir da cota a

temperatura da parede aumenta brutalmente podendo causar o

burnout

c) A evoluccedilatildeo do tiacutetulo do vapor (x) com o comprimento

do tubo e a evoluccedilatildeo da fraccedilatildeo (a) que definiremos no

item 11laquo2 com o comprimento do tubo

112 - Definiccedilotildees

a) Tiacutetulo ou qualidade do vapor (x)

massa de vapor na mistura x ~ massa total da mistura

x =

W _g_

g f

b) Fraccedilatildeo vazio (void fraction)

volume do vapor na mistura a = volume total da mistura (agua+vapor)

A relaccedilatildeo entre x e a num sistema parado pode ser obtida

assumindo um certo volume contendo 1 lbm de mistura em equiliacutebrio

teacutermicoraquo

53

O volume da mistura seraacute igual a (v + xv ) ft onde v eacute 3 r rg

o volume especifico (lbmft )

f - refere-se ao liquido

g - refere-se ao vapor

fg - refere-se a diferenccedila entre liacutequido e vapor

Numa mistura em equiliacutebrio se o liacutequido e o vapor estatildeo

saturados o volume do vapor presente eacute igual acirc sua massa vezes

seu volume especiacutefico v assim e

xv bdquo bdquo a mdash

V c + XV c

f gf

onde

- bull-bull uumlutiacuteisa vapor na mistura de 1 Ibm

v volume especiacutefico do liacutequido

v = volume especiacutefico do vapor o

V c = v - V

gf 8 r

Fazendo uma transformaccedilatildeo na expressatildeo acima temos

xv xv JS = Z-

v r+ x(v -v c) xv +(l-x)v t ri f g f g f 1 + Ul-x)xjv fv

1 + C(l-x)x]]vfvg

A fraccedilatildeo vazia tem a influencia de baixar a reatividade

do nuacutecleo nos reatores em que o refrigerante eacute tambeacutem moderador

Na equaccedilatildeo acima os valores de x e v sao tomados em tabe

las termodinacircmicas apropriadas para a pressatildeo do sistema A equashy

ccedilatildeo (1) mostra os grandes valores de a para pequenos valores de x

especialmente para baixas pressotildees Isto ocorre porqueaumentando

54

aacute pressatildeo o v decresce muito enquanto que o v f eacute mais ou menos da

mesma ordem de grandeza

Exemplo Calcular o a correspondente para x raquo 2 para aacutegua

leve atilde pressatildeo atmosfeacuterica

Da tabela para p laquobull 1 atm

v - 001672 ft 3lbm e v - 26800 ft 3lbm

1 + [(1-002)002] 001672268

0971 ou 97U

O grafico abaixo mostra a variaccedilatildeo do a com x para vaacuterias

pressotildees e para a aacutegua leve

x ()

tObservaccedilotildees da curva

Fig 2

1 - para x constante a decresce com a pressatildeo Para presshy

sotildees proacuteximas da criacutetica a aproxima-se rapidamente de

x Para a pressatildeo criacutetica as duas fases satildeo indistinguiacuteveis ea=x

2 - para cada pressatildeo dotdx decresce com aumento de x

3 - para baixos valores de x (que e o caso dos reatores

tipo Boiling) quando p decresce dadx cresce e torr

na-se muito grande paacutera baixas pressotildees Isto tem relaccedilatildeo com a epound

55

tabilidade do reator como veremos mais tarde

113 - Sistemas com fluxo

Todas as definiccedilotildees que noacutes vimos no item anterior refeshy

rem-se acirc sistemas em que a mistura esta fechada no recipiente Nes^

te caso natildeo havia movimento relativo entre as duas fases No entan

to se as duas fases da mistura se movem na direccedilatildeo vertical em

canais entre os elementos combustiacuteveis o vapor por causa de sua

flutuaccedilatildeo tem a tendecircncia de escorregar sobre o liacutequido isto e

move-se com velocidade maior do que a do liacutequido

Real Modelo

Pig 3

S -

Define-se neste caso a relaccedilatildeo de escorregamento (slip

ratio) (S) como sendo

V _i

V f

onde

V = velocidade do vapor

= velocidade do liquido

S modifica as relaccedilotildees entre a e x do item anterior S geralmen_

te gt 1 Define-se neste caso qualidade do vapor ou tiacutetulo como

sendo

_ fluxo de massa de vapor

fluxo de massa da mistura

Entatildeo se o fluxo de massa da mistura eacute m t(lbmhr) o flushy

xo de vapor seraacute = x m e o fluxo de liacutequido sera (1-x) m onde x

56

e o titulo do vapor para a particular secccedilatildeo (AL) da figura (3)

Devemos notar que neste caso x varia de secccedilatildeo para secshy

ccedilatildeo do tubo o exposto no paraacutegrafo acima vale considerando-se que

x e a permaneceram constantes na secccedilatildeo de espessura AL

Aplicando a equaccedilatildeo da continuidade as velocidades do va

por e liacutequido sao dadas por

o xm v

V vazatildeo = g g area A

V

(1-x) amp t v f

f A f

onde A e A f sao as aacutereas medias perpendiculares ao fluxo se as

duas fases sao imaginadas completamente separadas uma da outra

(figura 3) Assim temos

V x m v o A_ A v 0 ^ - 2 = iacute S t m _2L- JL JS m

V A (l-x)ui v 1-x A v U

f g t f g f

Sabemos ainda que para a secccedilatildeo considerada

volume do vapor na mistura a = volume total da mistura (agua+vapor)

A AL A pound g g

a = mdash a a = - mdash 1

(A+A )AL A f + g

A ou f _ 1 - a

A a 8

Substituindo em (2) vem

57

Esta expressatildeo pode ser rearranjada e obteremos uma relashy

ccedilatildeo entre x e a levando em conta o escorregamento Chega-se a

a = 1 ( 3 )

1+ [U-x)x3 igt

onde

v 4 laquo -- S

v lty o

Note-se que quando S=l (nao haacute escorregamento) caimos na

expressatildeo dada no item anterior

0 efeito do escorregamento eacute decrescer o valor de a pa_

ra um mesmo xbdquo Isto pode ser visto pela foacutermula (3) pois S gt lLo

go a decresce com acreacutescimo de S

Um alto S e entatildeo uma vantagem tanto para a transferecircnshy

cia de calor como para efeitos de moderaccedilatildeo Eacute uma vantagem para

transferecircncia de calor porque alto S significa alto V e portanto

maior turbulecircncia e maior contato do liquido com as paredes quenshy

tes Ha tambeacutem melhorias na estabilidade da reaccedilatildeo nuclear isto

porque como jaacute dissemos quando mdash7 diminui a estabilidade aumenshy

ta isso pode ser verificado observando a curva a versus x para a

agua leve a 1000 psiabdquo

Fig 4

58

A relaccedilatildeo entre x e a da equaccedilatildeo (3) so vale para secccedilatildeo

de tubo bem pequena

Devemos notar que S varia tambeacutem com a pressatildeo e velocida^

de de entrada do liacutequido no tubo Este efeito pode ser observado na

figura 5 abaxxo obtida esperimentalmente

s

3

~^ ~ psig

x = 001

V 1

Fig 5

Nos projetos de reatores como veremos adiante o valor a

geralmente eacute determinado por consideraccedilotildees nucleares (moderaccedilatildeo) 0

valor de S eacute determinado atraveacutes de uma estimativa ou entatildeo atrashy

veacutes de um graacutefico do tipo da figura 5 0 correspondente valor de x

pode ser obtido de uma foacutermula empiacuterica do tipo

1 = 1 (-S)0gt67

proposta por Von Glahn

Em muitos casos assume-se S constante em todo o comprimeiv

to do canal poreacutem eacute um erro que em muitos casos nao pode ser coshy

metido

4 REATORES EM QUE 0 LIacuteQUIDO B MODERADOR E CIRCUITO PRIMAacuteRIO AO

MESMO TEMPO BOILING-REACTOR (BWR)

A aacutegua ao se movimentar atraveacutes dos vaacuterios canais do

59

Boiling-reactor encontra vaacuterias resistecircncias ao fluxo que provoshy

cam uma reduccedilatildeo de pressatildeo no fluido

As duas perdas mais importantes sao perda de pressatildeo por

atrito e perda de pressatildeo causada pela aceleraccedilatildeo do refrigerante

ao aumentar de volume por receber calor num canal Outras perdas

de pressatildeo seriam a obstruccedilatildeo ao fluxo por corpos submersos (espa_

ccediladores juntas de tubos chaves etc) e por mudanccedilas abruptas de

aacuterea de fluxo tanto na entrada como na saiacuteda do tubo

Essas perdas de pressatildeo devem ser conhecidas o melhor popound

sivel principalmente nos reatores BWR Para tanto devemos saber

o comprimento de canal em que nao ha a ebuliccedilatildeo isto eacute qual o com

primento de canal em que o refrigerante vai da temperatura de sub-

resfriamento ate temperatura de saturaccedilatildeo

Seja o elemento combustiacutevel

Aquecimento Uniforme Aquecimento Senoidal

Fig 6 Fig 7

onde

H =

H = o

H b

comprimento do elemento combustiacutevel

cota onde o liquido se torna saturado

comprimento do elemento combustiacutevel em que ocorre

ebuliccedilatildeo

60

qg = calor sensiacutevel acrescentado ao liquido para satushy

raacute-lo

qfc = calor total acrescentado ao liacutequido em todo o com

primento do canal

laquoo

q s J o qiquest sen (IIzH) n H o

T~ = TH = 2 ( 1 c o s gt ( a )

q 1 sen (HzH) Jo ^c

A expressatildeo (a) vale quando tivermos uma adiccedilatildeo de calor

senoidal para qualquer outra forma de adiccedilatildeo de calor faz-se um

caacutelculo anaacutelogo

Outra relaccedilatildeo entre q g e qfc eacute dada pela termodinacircmica

q h- - h s f m (b)

(hr +x h )-hm ^t f e fg

onde

= entalpia para o liquido saturado a pressatildeo correjs

pondente (cota z = Ho)

hffi = entalpia do liacutequido na entrada do canal

x = tiacutetulo do vapor na saiacuteda

= entalpia do vapor

Com a relaccedilatildeo (b) noacutes determinamos a relaccedilatildeo q q ecom

S L

uma relaccedilatildeo do tipo (a) (conforme seja o adicionamento de calor ao

liacutequido) podemos obter a relaccedilatildeo HoH e consequentemente H^H

21 - Perda de pressatildeo num canal de evaporaccedilatildeo

Neste item iremos determinar as perdas de pressatildeo mais

representativas que ocorrem num canal de evaporaccedilatildeo de um reator

P + dP

bull1 i- 1 gti i i

dL

onde

UM

Icirc H Icirc Icirc T dF f t f

61

Quantidade de Mov na Entrada

= i- rigVg)

dF f l

Fig 8

m i

m 8

V l V 8

A P

dF

dF

dF

fg

fl

ftf

descarga do liacutequido

descarga do vapor

velocidade do liquido

velocidade do vapor

aacuterea transversal do canal

forccedila de atrito do vapor com parede

forccedila de atrito do liacutequido com parede

forccedila de atrito das duas fases liacutequido+vapor

Fazendo o balanccedilo das forccedilas considerando o sentido posjL

tivo na vertical temos

A (P-P-dP)-(dF +dF _+dF _)-(-pound-) (p A+p A )dL = mdash dGnV+m V ) P fg ftf fl g c 1 1 g g g c

v 1 1 g g 7

- dP = ~ (dF +dF--+dF)+- S--7=- (p A+p A )dL+ mdash ~ - d (m-V+m V ) A_ fg ftf fl g c Ap v^l 1 g g g A 11 g g

Fazendo a integraccedilatildeo termo a termo entre os dois extreshy

mos entrada e saiacuteda e considerando a pressatildeo de entrada igual a

P q e a de saiacuteda igual a Pe vem

Quantidade de Mov na Saiacuteda

-= h I- lY l+ A g V g + d ( aacute l V l + aacuteeVl

Forccedila de Gravidade

= ( g f - N P A + P g V

62

b) r e F f l

o p dp^ = Ap^ = perda de pressatildeo por atrito

do liacutequido na altura Ho

Aplicando a formula de Darcy vem

bull API = f bull ir bull ^ iexcl 7

onde

f = fator de atrito

c) e Fftf

o p ^P tpound

= perda de pressao por atrito da mistura

liquido + vapor no trecho de comprimen

to Hbdquo o

Para determinar esta perda de pressao define-se o fator

de multiplicaccedilatildeo R

A P R =

tf A P 1B

Sendo A p ^ a perda de pressao se o comprimento todo fosshy

se ocupado somente pelo liquido assim

A p t f = R A P 1 B

0 calculo de Ap-^ pode ser feito pela formula de Darcy e

o de R nos veremos no item seguinte

63

d)

-e F

d ( ^ )

O P

Ap = perda de pressatildeo por atrito do vapor

No caso do reator BWR o titulo de saida e bera pequeno e

em nenhum caso ocorre a saida de vapor com x = 100 logo a perda

de pressatildeo por atrito do vapor eacute nula assim

An = 0 5

e) Ap

(p A 1 + p A ) dL = Ap - perda de pressatildeo dpound

vida ao desniacutevel

(perda hidrostaacutetica)

Anbdquo = re A A

-S- I (p + p -S ) dL H s 1 A

c o p o A

como A A Jl_ =

A P

A +A-g 1

1-a -

temos

C Q

te j jll-a)p1 + apg)^jdL = p Lo pound

onde

e jo u

+ ap ) ~I dL (Densidade media 1 S J

no tubo)

No nosso caso

Ap u = p H

f)

re d(mV + m V ) _ mdash - laquo -i bull s iquestp laquos p e r d a ltje pressatildeo devido a acele-

c p raccedilatildeo do vapor

V A

(1-x) tl^Vj

(1-a) A

X V

aA

A p -

roV + m V

c p c p L_

m (l-x)m_v m xv nbdquo -1 T 1

+ _S S I (1-a) Ap aA

P

2 g A c p

n 2 2

(1-x) m T

laquo2 8 A c p

2 2 (l-xe) raTv1

2 2 2 xm_v (1-x) m-v e T s o 1 1

a 1 - a

2 2 - x m_v o T g

a

se

X Q 0 (so ha agua nesse trecho)

a = 0 o

temos

mbdquo Ap =

1 a A 2

S A degc p laquo-

tt-V v i 1 - a

2 via T^r - v i

t Apc

2

V v l

5c Ap

1 - a

x v - 1

a e v l

65

Fazendo

G = fluxo total da massa por unidade de area do

canal

(1-x J e

V

AP r

Assim a perda de pressatildeo total sera

H p V II pV r2 P -P = f -24-Iuml+ f R+p 0 1 2g c D e 2g c g c g c

2c2 - Determinaccedilatildeo do fator de multiplicaccedilatildeo (R)

221 - Relaccedilatildeo Martinelli-Nelson

Os autores Martinelli-Nelson determinaram experimental -

te esse fator R para varias LIT1L em funccedilatildeo da pressatildeo e da r NB total J v

qualidade de saiacuteda do vapor no canal Construiacuteram assim vaacuterias

curvas do tipo da figura 9

66

E importante notar que a qualidade do vapor (x) na saiacuteshy

da nao deve ser grande pois como vemos o valor de R cresce muishy

to com um aumento pequeno de x e um valor de R muito grande acar_

reta uma perda de pressatildeo grande pois

^ d u a s fases R ^ f a s e liacutequida

Para resolvermos um problema seguindo o criteacuterio de bdquo

Martinelli escolhemos a curva R = f(px) (para a relaccedilatildeo L

N g ^ j

adequado) e tiramos R com os valores de pressatildeo p e tiacutetulo x

As curvas R = f (p x L T t )IO encontram-se nos ANL 6469 bio I

e 6561

222 - Relaccedilatildeo Lottes-Flinn

Estes autores estudaram o problema para o aquecimento uni

forme do refrigerante com baixo titule Lottes-Flinn fizeram inuacuteshy

meras experiecircncias e verificaram que para fluxo de calor uniforshy

me e baixos titulos R era independente do fluxo de calor fluxo

do refrigerante escorregamento e apenas funccedilatildeo de a g

Como a quantidade de liacutequido eacute muito maior que a de vashy

por a perda de pressatildeo daacute-se principalmente pelo atrito do liacuteshy

quido com a parede Podemos assim escrever a foacutermula de Darcy

na forma diferencial

dz

d = f __ r e amp c

onde

V = velocidade do liquido saturado na cota zbdquo X

f = coeficiente atrito

= densidade do liacutequido saturado

Teoricamente a queda de pressatildeo deve-se ao acreacutescimo de

67

velocidade do liacutequido e da diminuiccedilatildeo da aacuterea de fluxo do liacutequi

do

P fH A P t p

= f D 2g Ho

d z

fazendo

V lo

m V t lo

(velocidade do liacutequido na cota z = Ho)

(1-x) m t v 1

(1-a) A (velocidade do liacutequido na cota z gt Ho)

a bull+ fraccedilatildeo vazio na cota z geneacuterica

V 1 (1-x) m t v 1

m t V l 1 - a

x =s 0 pois o tiacutetulo eacute baixo

A p t f = f bull JT5 c e

fH V lo

H o (1-a) dz

Para fazer a integral devemos achar a relaccedilatildeo de variaccedilatildeo

entre a e z Como o fluxo de calor eacute uniforme a qualidade eacute direshy

tamente proporcional a z

bull laquo x = x e H

z = mdash x X e

Sabemos ainda que (item 113)

x

1 + [ ( I -X)AKQ x + iiacuteraquo

68

como

temos

(1-x) = 1

v

X =

z =

1-a

1 -a

1-a e

a

e

1-a pound

a

1 -a igt (assumindo S = cte)

da

Atf - f bull 2 i ^ ~ J c e o

a 1 - a e e 1 s 4 hmdash) da

a 1-a

f P lv^ Q

0 termo mdash - mdash e a parte de perda de pressatildeo pelo lj^

^c e -quido ou seja Ap liquido saturado e como

Ap

R = tf

Ap liauido saturado

temos que

R J

f ae 1 _ a e 1 4

a 1 -a o e

1 -a r-R =

3 1 -a

a 1 -a imdash

3 vl - a 3

e e

Os valores de R obtidos por esta expressatildeo aproximam-se

muito dos valores obtidos pelos aacutebacos de Martinelli

69

E - EXPANSAtildeO E COMPRESSAtildeO DE UM FLUIDO - ANAacuteLISE HIDRODINAcircMICA

DE UM CIRCUITO EM CIRCULACcedilAtildeO NATURAL

1 EXPANSAtildeO NO FLUXO DE UM FLUIDO

11 - Uma so fase

Figura 1

Ha vaacuterios meacutetodos para determinar a variaccedilatildeo de pressatildeo

numa expansatildeo de fluido estudaremos o de Romie que eacute o que daacute

maior precisatildeo

Romie considera que a pressatildeo p^ tambeacutem atua na aacuterea

imediatamente apos a expansatildeo Assim fazendo o equiliacutebrio das foi

ccedilas nas secccedilotildees tracejadas da figura 1 temos

mVj

p r A 2 + mdash

mV

bull 2- A2

mas

m = pV^A^

pV^A = p V 2 bdquo A 2

V A

v 2 -4r-logo

( P l-P 2) A 2 = f ( V ^ ) - f _ v j amp c c 2

70

2 pV A A pV A A

Chamando A l A ]

K = 1 - T e degi2 = Aiexcl bull V E M

pvj

P l P 2 = T ~ bull ( 2 deg 1 2 ) ( 1 _ a 1 2 )

Outra maneira de chegar atilde diferenccedila de pressatildeo ( P j - ^ ) s mdash

ria usar o coeficiente de perda da mecacircnica dos fluidos Assim o

equilibrio das pressotildees eacute

2 2

1 V l 1 V 2 V l P i + _ p _ ^ P 2 + I p ~ + k 1 2 p mdash

onde = coeficiente de perda

A 2 1 2

k 1 2 - (l-o 1 2) - (1 - j- )

Fazendo as transformaccedilotildees chegamos a mesma expressatildeo obshy

tida pelo balanccedilo das forccedilas

PraquoIacute pr p

2 - - ir ^ laquo-ia

12 - Duas fases

Como ha duas fases a equaccedilatildeo do balanccedilo das forccedilas fica

um pouco alterada

m pound 1 V- m - raquoV - m-V- m bdquoV _ P A + j y ^ i + _gl_JUuml P A + -11-11 + -ilsl (a)

1 2 e R 2 2 ff e

Sabendo que

71

m (1-x) m t = p fA (1-a) V f

entatildeo

fl l-o^ p fA x

6 Vf2 1-x l-a2 P fA 2

m V = mdash mdash e V 0 = gl a 1 P C T A 1 g2

m

a_ p h

2 g 2

Nas expressotildees anteriores o x nao varia porque a expansatildeo

5 adiabaacutetica porem o a varia devido a modificaccedilatildeo do tamanho da

bolha

Substituindo os valores das velocidades na expressatildeo (a)

vera

( P - P ) Abdquo =

2

2 2 m gt2 2 m t (1-x) 1 x t

ra i 2 m i 1 x t 1

p fA 1 g c ttl p Ax gpound

m t P - P = mdash

(1-x) (l-a 1)A 1A 2 (l-a2)A|

a r A r A 2

V A 2

m t P bdquo - P = mdash 2 1 g c A r A 2 p f

(1-x) 1-a f A 2(l-a 2)

bull ^ 2

72

Se

P -P

a

m

g

12

1 _1_ (1-x)

J12

1 _ a l 1 - a 2 + X (- )

Pg

1 deg12 a 2 ^

Sabemos que

mt = V o pf laquo A l

Sendo V q = velocidade do liquido num ponto onde natildeo haja vapor

P 2-P 1

u 2 2 A 2

V pr Ai

V W p f

(1-x) 12

l-a1 l-a2

+ X 2 pf

mdash

l deg12

-1 a 2 _

p -p r 2 Al (2a 1 2)

2 M f w 1 deg12 X (mdash) (

pg al a 2 )+(l-x)C l 1 12

1-a^ l-a2

Devemos notar que esta expressatildeo tambeacutem vale para quando

temos uma fase para isso basta fazer

= c t 2 = 0

X = 0

e recairemos na formula do item anterior

2 pf 1 deg12 Observemos que neste caso o termo x (mdash)( ) nao

Pg al a2

2

73

tem significado pois corresponde a mudanccedila de fase

2 CONTRACcedilAtildeO KO FLUXO DE UM FLUIDO

21 - Uma so fase raquo mdash

Aqui ocorre um fenocircmeno importante pois o fluido ao ser

contraiacutedo nao vai diretamente da area A^ para a area A 0 mas ele

contral-se ate uma area A^ e depois expande-se ate k^

Ao A2

Po IP 2

V 2

Figura 2

Fazendo o equiliacutebrio das pressotildees entre os planos (1)

(0) vem 2 2

pV pV p +~ plusmn - P + i deg bull 1 2 g o 2 g (b)

C x

Fazendo equiliacutebrio da expansatildeo (0) - (2) vem

P o + 2 - f = P 2 + 2 -T + kp- 2 F ( c )

c c b C

Subtraindo (b) - (c)

2 2 2

i p- vj i p- v2 L P l + 2 bull g c

P 2 + 2 2g c

+ k P 2g c

74

Como

P - P = mdash 2 2g

2 2

bull (1 + k) - f bdquo mdash i

k a - f2 ) 2 - d - o c )2

= o

A = a 21

Weisback obteve varias relaccedilotildees entre a e a i] c

01 02 03 a 0624 0632 0643 c

0624 0632

A r v i - V v 2

p -p 1 2

P -P 1 2 2g7

v l =

(1+k) - laquofi- a 2g 21 c

( 1 + k - o 2 1)

X[- V 2 o 2 1V 2

22 - Duas fases

0 valor de k pode ser aproximado para

k = a(l - o 2 1)

onde segundo Richardsons para fluxo de duas fases podemos supor

a = 02

Para fluxo homogeacuteneo sabemos que

75

p = p f (1 -a ) + p o a

podemos supor p bdquo a = 0 pois p e pequeno e fazendo

V = V ~ V fbdquo2 go2 v 2

Substituindo estas duas expressotildees na equaccedilatildeo de uma soacute fase vem

2 2 p V (l-ct) p V (1 -a ) bdquo

P l P 2 = 9g ( 1 + 3 - 3 0 ^ - 0 ^ ) = g (a+1) (l-a^)

Se a = 02

2 12p oV 0

p r p

2 - 9g gt d-) d-sigt

A compressatildeo de um fluido acarreta uma perda de pressatildeo

como pode ser verificado pelas formulas uma vez que lt 1deg

3 ANALISE HIDRODINAcircMICA DE UM CIRCUITO EM CIRCULACcedilAtildeO NATURAL

Esquema deacute uma caldeira com circulaccedilatildeo natural

76

Determinar a velocidade em (7) para que tenhamos circula

ccedilatildeo natural Determinar tambeacutem as perdas de pressatildeo em todos os

trechos da caldeira

31 - Contraccedilatildeo das secccedilotildees (1) - (2)

Como jaacute vimos a equaccedilatildeo do balanccedilo das pressotildees eacute

1 pr Vl 1 p 2 o V 2 P2 V2

1 2 g 2 + 2 g + K12 2g otilde c amp c e c

bullraquo 2 o2 2 e havendo uma soacute fase k 1 9 = (l-o ) = (1 mdash ) e sendo

C 2

p l = p2

v x lt lt lt v 2

P 2 V pr p2 bull ir2 bull ( 1 + k12gt

Colocando em termos de temos

A 2 V 2 P 2 = A 7 V 7 p 7 (continuidade)

V = V mdashbull = V o_bdquo ~ A 2 2 2

P 2 V - p 2

p r p 2 = ir2 - deg72 bull Ccedilrgt bull lt 1 + ki2gt

fazendo

N12 - lt^gt deg72 ( 1 + k12gt

P7 V7

Pr P2 - N12 bull HG

77

3 2 - Perda de carga no trecho ( 2 ) - ( 3 )

Como haacute apenas uma fase soacute temos perdas por atritos e

perdas hidrostaacuteticas

Sendo como jaacute vimos

2 3 p 2 2 g P 2 P 3 = f 2 3 (r~2g^~) L 2 3 g c p

atrito hidrostaacutetica

Substituindo V^ pela relaccedilatildeo do item anterior e tendo em

conta que p = vem

P -P = f 2 r 3 2 3 D

2 3 p 2 bdquo 2 2 p 7 2

2 g 7 72 p 2 3 g

Se

L 2 3 2 p 7

2 3 2 3 D 2 a 7 2 p 2

P 7 V 7 g P 2 - P 3 = N 2 3 ( mdash gt p 2 L 2 3 f

3 3 - Expansatildeo nas secccedilotildees ( 3 ) - ( 4 )

Como vimos o balanccedilo das pressotildees e

2 2 2 p V p 4 V p V

P 3 + 2 g c

P 4 + 2 g c

+ k 3 4 2 g c

onde

k 3 4 - - -

2 2 1 P 4 - V 4 P 3 v 3

P 3 P 4 = 2 g + ( k 3 4 _ 1 ) 2 g

78

Sendo

P 3 - P 4

p 3 o A 3 deg V 3 = P 7

a A 7 o V 7

P 4A 4 0V 4 = P r A r V

3 7 A 3 p 3

A7 P7 V = v mdash mdash 4 7 P 4

P - P 3 r4

Se

P bdquo - P

bdquo2 r-P 7 V 7

3 4 2g deg74 + ( k 3 4 1 ) deg73

34 p deg74 + ( k 3 4 1 ) 73

p r v2

P3- P4 ^ N34 ^ gt

(No caso e negativo)

34 - Contraccedilatildeo nas secccedilotildees (5) - (6)

Ainda temos uma so fase e fazendo o balanccedilo das pressotildees

como fizemos no item 3lt1 vem

P + vil p + vi + k vi P 5 + 2gbdquo P6 + 2gbdquo + k56 2gbdquo

k 5 6 lt 1 ^ gt 2 ( 1 - Iacute 2 i 2 6

V V6 P5degIacute 5^6 ^SS 2g c - 2g c

P - P ^ = (1+kJ

Como

79

A 6

W p 5 =

VV P6 V 5 = V 6 Jiexcl = Vff65

P 5-P 6 - lt H k 5 6 ) mdash ^ mdash (l+k 5 6-a 6 5) c c c

Sendo

Se

A 7 p 7 p 7

6 7 Ag p 6 7 76 p 6

p _p _ P6- V7- g76 iquest72 ( _ 02 P 5 P 6 2g c bull ( p 6

( 1 + k 5 6 deg65 )

p 7 2 2 N56 = p ^ deg76 ( 1 + k 5 6 ~ a 6 5 )

P 7 V 2

7

P r-P = N r 5 6 56 2g c i

35 - Perdas de pressatildeo nas zonas (6) - (7) - Pre^aquecimento

Nesta regiatildeo temos perdas por atrito e hidrostaacuteticas

Nao haacute perda por aceleraccedilatildeo pois ainda natildeo houve formaccedilatildeo de boshy

lhas

Fazendo balanccedilo das pressotildees temos

L_ ppound-V p = p + otilde L - pound _ + f -Si (-21mdashL 6 7 + p67 L67 g + t 6 7 D K 2g

p _ e ifn sao tomados como valores meacutedios 67 67

P _p _ f hl ^67jIacute uuml + - L A

6 F 7 r67 D 2g P P67 L67 g 6 s c 7 c

S e Kr pound67 L67 p67 6 7 D 6 p7

p7 V - _g_ P6- P7 - N67 mdash + P67 L67 f

c c

80

36 - Perda de pressatildeo nas zonas (7) - (8) - Zona de ebuliccedilatildeo

Nesta regiatildeo j aacute temos o aparecimento de bolhas logo a

perda de pressatildeo seraacute devida agraves t recircs parcelas aceleraccedilatildeo a t r i t o

das duas fases liacutequidas + vapor e h idros taacute t ica

onde

Assim

P-P Q = AP + AP + APbdquo 7 8 a t r i t o acel H

T M1

78 p 7 7 AP - R f- - mdash mdashr |R = fator mult ipl ica-

a t r i t o 7 D 7 2 g c L tivo

G 2

AP bull r mdash acel g c

P V

|_1 - o a p J 8 P f

2 t r 2 M2

7 7 r 7 7 A P a c e l = -J^mdash 2 r bull p 7 lt T iexcl iexcl - )

A PH p 7 8 L 7 8 fiexcl

p 7 8 iacute 7 li 1 0 0 P l i q + a P v ] d L = P 7 ( 1 - laquo 7 8 )

ag raquo fraccedilatildeo de vazio media entre 7 e 8

APH = p (1 - 5 7 g ) f- L 7 8

2 2

P 7 - P 8 a 5 - 2 T i + 2 r p 7 + P 7 ( 1 - 7 8 gt f L 7 8 7 amp c amp c amp c

81

N 7g = R mdash + 2 r p 7

P7 V7 P7- P8 = N78 + P 7 ( 1 5 7 8 gt J78

37 - Expansatildeo nas secccedilotildees 8 e 9

No caso haacute uma expansatildeo com duas fases e como vimos no

item 12 a variaccedilatildeo de pressatildeo era dada por

0f Vo P2 P1 = ~2g c ( 2 deg12

x 2 (mdash)(mdash - mdash ) + ( l - x ) 2 ^ T mdash 8 1 2 1

12

Aplicando ao nosso caso

P pound = P 7

P -P = 8 9

V - V raquo V g f 7

P 7 V 2

2 pf 1 a89 2 1 g89 x (mdash) ( ) + (1-x) (- - N

o ou abdquo 1-cu l-ot_) g 8 9 8 9

Se

N 89

= 2 a 89

2 pf 1 deg89 2 1 CT89 x (mdash) ( ) + (1-x) ( T

g 8 9 8 9

P -P = 8 9

- N P7deg V7

89 2gbdquo

38 - Perda de pressatildeo no trecho 9 e 10

No referido trecho temos apenas perda de pressatildeo por atr L

to da fase liacutequido + vapor e perda hidrostaacutetica Natildeo haacute perda por

aceleraccedilatildeo do vapor pois este natildeo recebe mais calor e portanto

o 82 o

nao ha variaccedilatildeo no a

p

Q -p i n = A P

U + A P bull 9 10 H atrito

n T -S_ P9 U10 deg 910 bull g

fio r

910 I 910

J9 L

(l- a)P + Q P I dL liq v

(l-a0) p

No caso a = (nao hatilde variaccedilatildeo de forma)

A P H - (1-a ) P (p L 0

c

AP bdquo = R o

atrito

2 f9 o L910 P9 V9

2g

Supondo

= V

P 9 = P 8 P 7

vbdquo = v 9 8 0 A r

= V 7 bull deg89

AP - R atrito

2 2

W l O p7deg V7deg g89

V P10 R -^T^ bull deg89 bull li-2 + ( W P 7 (fgt SIO

y c c

Se

- f9 L910 2 N9ol0 R Dl deg89

w 2

p rv P9 P10 = VlO + ( 1 a 9 ) p7 (f gt L910 c

33

39 - Perda ciacutee pressatildeo na expansatildeo 9 - 1 0

Analogamente a expansatildeo 8 - 9 temos

10 11 P 7 2g

10 Iacute 2 0 1 0 - 1 1 gt

2 ff

pg aio

10-11

laquo11 ) +

Ll-a 1 0 bull l-a u J

Se

V10 = V 9 = V 8 bull T9 = V 7 deg89

P -P 10 rll = - a 2g 089 ^lO-ll

4 bull T~ bull (7 1 mdash ) + Pg degio a n

+ (l-x)2(- 1 10-11

1 - aio )

N10-ll = 2 a10-ll a89 2 pf t 1 10-11 N2

-(j-r- - ) bull+ (1-x) pg aio deg 1

10-11 k l - a io

prz P10 Pll = - N10-ll bull ( 2gbdquo

310 - Calculo de V

Fazendo a somatoacuteria de todas as expressotildees (P^-Pj) tere-

84

mos 2 PbdquoV_

P bdquo - P bdquo = N 7 v 7

1 2 12 2g

bull 2 - P 3 - = N 2 3 P 2 L 2 3 f c ccedil

9 P 7 V 7 P _p = N mdash -

3 4 34 deg 2g

V P 5 = deg

2 P V

5 6 56 2 g c

ltr2

P 7 -V 6 e7 -N67 2g + p 6 7 J j67 g

c bc v 2

P 7 - P 8 = N 7 8 - 2 i ~ + p 7 ( 1 - laquo 7 8 ) L 7 8 c

P 7 V 7

P - P - -N mdash - -8 9 89 2g

c P 7 V 7

P 9 ~ P 1 0 VlO 2g + ( 1 a 9 P 7 L 9 c

P 7 V 7

bull10 11 U10-ll 2g

P v iacute j P - P

1 11

7 - v 7 3 bull r

2 8 i U L 2 23 67

(l-5 7 8) L 7 8 + ( l - laquo 9 ) P 7 bull SlOtilde]- ^

Por ou t ro lado sabemos que como secccedilotildees 1

mesmo n iacute v e l

85

s c p r v 7 j

28 Z N i ij

= P 2 L23 p67 L67 P 7 ( 1~deg78 )

78 ~ ^g) bull P 7 bull L 910 g_

V - 2 g ( p r L 2 3 - p 6 r L 6 7 - p 7 ( l - atilde 7 8 ) L 7 8 - (l-a9) p L 9 a ( )

y N

Com esse valor de podemos determinar todas as variashy

ccedilotildees de pressatildeo (P^-P )

BIBLIOGRAFIA

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tituto de Energia Atocircmica de Sao Paulo em 1966 (roteiro)

- WR Gambill - Nuclear Safety

Vol 9 - n9 5 e 6

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Frank Kreith - Principles of Heat Transfer

Journeacutees Internationales de la transmission de la chaleur

Seminaacuterios realizados em Paris em 1961 sob a supervisatildeo do

Prof Marcel Veron

Notas de aula da Cadeira de Termodinacircmica I e Transmissatildeo da

Escola Politeacutecnica da Universidade de Sao Paulo

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  • 0000200
  • 0000300
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  • 0001100
  • 0001200
  • 0001300
  • 0001400
  • 0001500
  • 0001600
  • 0001700
  • 0001800
  • 0001900
  • 0002000
  • 0002100
  • 0002200
  • 0002300
  • 0002400
  • 0002500
  • 0002600
  • 0002700
  • 0002800
  • 0002900
  • 0003000
  • 0003100
  • 0003200
  • 0003300
  • 0003400
  • 0003500
  • 0003600
  • 0003700
  • 0003800
  • 0003900
  • 0004000
  • 0004100
  • 0004200
  • 0004300
  • 0004400
  • 0004500
  • 0004600
  • 0004700
  • 0004800
  • 0004900
  • 0005000
  • 0005100
  • 0005200
  • 0005300
  • 0005400
  • 0005500
  • 0005600
  • 0005700
  • 0005800
  • 0005900
  • 0006000
  • 0006100
  • 0006200
  • 0006300
  • 0006400
  • 0006500
  • 0006600
  • 0006700
  • 0006800
  • 0006900
  • 0007000
  • 0007100
  • 0007200
  • 0007300
  • 0007400
  • 0007500
  • 0007600
  • 0007700
  • 0007800
  • 0007900
  • 0008000
  • 0008100
  • 0008200
  • 0008300
  • 0008400
  • 0008500
  • 0008600
  • 0008700
  • 0008800
  • 0008900
  • 0009000
Page 33: ALGUNS PROBLEMAS DE HIDRODINÂMICA E CONVECÇÃO DE … · alguns problemas de hidrodinÂmica e convecÇÃo de calor em reatores de potÊncia, segundo aulas do ... b - convecÇao

28

deria ser calculada desde que se conhecesse a relaccedilatildeo entre presshy

satildeo e temperatura de saturaccedilatildeo do liacutequido entretanto haacute incerte

za quanto ao verdadeiro peso especiacutefico da coluna de liacutequidopois

trata-se de uma mistura de bolhas de vapor e de liacutequido em proshy

porccedilatildeo variaacutevelraquo

4 REGIMES DE EBULICcedilAtildeO

Nukiyama estudando a ebuliccedilatildeo da aacutegua num recipiente a

quecendo-a com resistencias eleacutetricas construiu a curva baacutesica da

ebuliccedilatildeo Todos os liacutequidos apresentam uma curva semelhante vashy

riando apenas os valoresraquo Os pontos caracteriacutesticos da curva deshy

pendem de caracteriacutesticas difiacuteceis de definirtais como natureza

do metal estado da superficie (rugosidade) dimensotildees orientashy

ccedilatildeo do fluxo quantidade de gases dissolvidos e t c

Estudaremos o fenocircmeno para o caso de aacutegua destiladasem

gas dissolvido a temperatura de saturaccedilatildeo 100 C pressatildeo atmosfe_

re uma superficie plana

Chega-se assim acirc curva

rica sobre uma superficie plana horizontal a temperatura t^

In ltJgt

At (degC)

A curva acima representa o aquecimento de agua com uma re_

sistecircncia eleacutetrica (ate ebuliccedilatildeo)raquo Temos em abcissas as diferenccedilas

de temperatura entre o liacutequido e a resistecircncia em ordenadas o flu

29

Regiatildeo I

Regiatildeo II

Regiatildeo III

Regiatildeo IV

xo de calor por unidade de area

Na curva notam-se 4 regiotildees bem definidas tendo cada uma

o seu significado fiacutesico os quais correspondem a um tipo de ebuli

ccedilao

convecccedilao natural

ebuliccedilatildeo nucleada

ebuliccedilatildeo por peliacutecula parcial

ebuliccedilatildeo por peliacutecula estaacutevel

41 - Convecccedilao natural

Ocorre quando At eacute inferior a 8degCformam-se no liacutequido

correntes convectivas as quais transferem o calor ateacute a superfiacuteshy

cie livre do liacutequido e aiacute desprendendo o vapor Neste caso o valor

de h eacute da ordem de 2000 kcalm^hdegC

42 - Ebuliccedilatildeo nucleada

Ocorre quando o At eacute maior que 8degC e menor que 25degC Nesshy

te caso as bolhas formam-se junto a superfiacutecie de aquecimento

crescem liberam-se movimentam-se em direccedilatildeo agrave superfiacutecie livre do

liacutequido onde estouram libertando o vapor As bolhas formam-se nas

irregularidades da parede tecircm um acircngulo de contato agudo e porshy

tanto hatilde liacutequido sempre em contado com a parede (molha a parede)

cada ponto ativo (lugar onde se formam as bolhas) libera uma porshy

ccedilatildeo de bolhas e os outros pontos do liacutequido ficam em contato com a

superfiacutecie quente violentamente agitados Esta agitaccedilatildeo extrema eacute

mais eficaz que uma turbulecircncia criada artificialmente Por esse mo

tivo a curva cresce violentamente nesse trecho (m = 3 a 7) pois

bull 2 o o valor de h cresce consideravelmente (ate 46000 kcalm hr C) e

o fluxo teacutermico transmitido ao liacutequido cresce proporcionalmente a

Quando cresce crescem tambeacutem

(At) 3

30

numero de bolhas por unidade de aacuterea (num instanshy

te)

~ = crescimento da bolha (com o tempo)

frequecircncia de iacuteormaccedilao de bolhas

A medida que o At vai aumentando iraacute aumentando (jgt tam-- n o N

bem e consequentemente mdash R mdash a a a tal ponto que quando atiacuteii

girmos o ponto da curva nao haveraacute mais formaccedilatildeo de bolhas

mas sim uma peliacutecula de vapor instaacutevel passando assim a 3a re

giao que estudaremos a seguir

43 - Ebuliccedilatildeo por peliacutecula parcial

Como dissemos no item anterior se aumentarmos ainda mais

o At (entre 25degC e 125degC) teremos a formaccedilatildeo de uma peliacutecula de

vapor instaacutevel sobre a superfiacutecie quente que aacutes vezes eacute perfurashy

da pelo liacutequido A camada de vapor tanto mais estaacutevel seraacute quanshy

to maior focircr o At Essa peliacutecula de vapor iraacute provocar um decreacutes_

cimo consideraacutevel no fluxo teacutermico porque como sabemos o vapor

eacute muito pior condutor que a aacuteguaraquo

0 fluxo vai decrescendo ateacute um ponto miacutenimo (iexclgt mintilde (as vecirc

iacutebo bullraquo 1

zes chega a ser mdashj-) e e o chamado ponto de Liedenfrost 0 coeshy

ficiente de peliacutecula neste caso cai violentamente (h = 2000

kcalm^hrdegC)

44 - Ebuliccedilatildeo por peliacutecula estaacutevel

Aumentando ainda mais a diferenccedila de temperaturas

At ( gt 125degC) iremos conseguir uma camada de vapor estaacutevel Ela

transmite calor da superfiacutecie quente ao liacutequido que se vaporiza de

modo que o excesso de vapor formado na interface liquido-vapor for

ma bolhas que sobem para a superfiacutecie 0 liacutequido encontra-se agi-

31

tado poreacutem nao toma contato com a superfiacutecie soacutelida

A peliacutecula de vapor eacute estaacutevel e o fluxo eacute proporcional a

34

(At) (lei de Bromley) Para At grandes passa a influir sensivel^

mente a radiaccedilatildeo teacutermica mais uma razatildeo para demonstrar que nesshy

ta regiatildeo o fluxo cresce novamente

5 CONSIDERACcedilOtildeES E COMPARACcedilAtildeO ENTRE OS TIPOS DE EVAPORACcedilAtildeO

BURNOUT

Sob o ponto de vista de eficiecircncia teacutermica deveriacuteamos sem

pre trabalhar no ponto de fluxo maacuteximo isto eacute no ponto correspon

dente a lt(gt da curva de Nukiyama pois eacute o que daacute maior coeficieri

te de peliacutecula

Acontece poreacutem que se impomos a temperatura da parede

fixa obtemos um uacutenico valor de lt(gt e portanto o fenocircmeno eacute estaacutevel

Poreacutem se como ocorre nos reatores impomos um fluxo teacuter

mico a curva de Nukiyama apresenta 3 pontos de funcionamento posshy

siacuteveis A B C

1

SOacute os pontos A e C sao funccedilotildees estaacuteveis mas eles impotildeem

acirc superfiacutecie quente temperaturas bem diferentes

Na industria em geral trabalha-se por questotildees de segushy

ranccedila na regiatildeo IV da curva poreacutem para os reatores trabalha-se na

32

r e g i atilde o I I

0 p r o b l e m a de t r a b a l h a r n a r e g i atilde o II eacute q u e se n oacute s e s t i shy

v e r m o s t r a b a l h a n d o n o p o n t o e x t r e m o (j) e se p o r q u a l q u e r m o t i v o

h o u v e r u m p e q u e n o a c r eacute s c i m o d e ltfgt i r e m o s t r a b a l h a r i m e d i a t a m e n t e no

p o n t o M q u e t e m o m e s m o $-^0t p o r eacute m c o m A t 2 m u i t a s v e z e s m a i o r

p o d e n d o o c a s i o n a r a f u s atilde o d a s u p e r f iacute c i e a q u e c e d o r a E s t e f e n ocirc m e n o

eacute c h a m a d o d e b u r n o u t

0 f l u x o lttgt eacute c h a m a d o f l u x o c r iacute t i c o o u f l u x o d e b u r -b o

n o u t N o c a s o do r e a t o r d e v e m s e r t o m a d a s m e d i d a s r i g o r o s a s q u a n

to agrave r e g u l a g e m do f l u x o t eacute r m i c o p a r a q u e n atilde o o c o r r a o b u r n o u t 1 1

p o i s d e l e p o d e r e s u l t a r r u p t u r a d a c a m i s a do c o m b u s t iacute v e l e h a v e shy

r aacute p o r t a n t o c o n t a t o do r e f r i g e r a n t e c o m o s s oacute l i d o s e g a s e s r a shy

d i o a t i v o s

5 o l - R e l a ccedil atilde o d e B u r n o u t

E c l a r o q u e p a r a t e r m o s u m r e a t o r m a i s e f i c i e n t e d e v e shy

m o s t r a b a l h a r c o m u m f l u x o o m a i s p r oacute x i m o p o s s iacute v e l do f l u x o d e

B u r n o u t P a r a t a n t o d e v e m o s c o n h e c e r c o m o m a i o r g r a u d e certe

za p o s s iacute v e l q u a l o ^ p a r a p o d e r m o s r e d u z i r o c o e f i c i e n t e d e s e shy

g u r a n ccedil a ( W R G a m b i l l r e c o m e n d a agrave 1 5 )

N o s s e m i n aacute r i o s d e W R G a m b i l l e n c o n t r a m o s u m a s eacute r i e de

b i b l i o g r a f i a s o n d e p o d e m o s e n c o n t r a r i n uacute m e r a s f oacute r m u l a s p r o p o s t a s

p a r a a o b t e n ccedil atilde o de (q 1^)

A t i t u l o d e e x e m p l o v e j a m o s a l g u m a s

q - 2 7 0 G deg gt 8 5 D 0 2 A085 p lt 150

deg D ( L uuml ) 2

q - 140 G 0 5 D ~ deg 2 (-~-)~deg 1 5 p ~ r gt 150 c D (LD)

o n d e a m b a s as e q u a ccedil otilde e s s oacute v a l e m p a r a aacute g u a e m b a i x a p r e s s atilde o e m coii

v e c ccedil a o f o r ccedil a d a

33

D

L

fluxo teacutermico critico BTUhrft bdquo 2

descarga em massa do liquido (Ibmhrft )

diacircmetro do tubo ft

comp do tubo ft

Para cada caso temos uma expressatildeo diferente que pode ser

encontrada em literatura especializada

6 INFLUEcircNCIA DE OUTROS PARAcircMETROS NO FLUXO DE BURNOUT

Como para os usos atuais do reator a diferenccedila de temppound

ratura entre parede e fluido sao pequenas bem como o fluxo de bur

nout recentemente fiacutesicos como Jakob Bonilla WR Gambill estu

daram outros paracircmetros que influenciam bastante o sect^ 0gt isto eacute a

influecircncia desses paracircmetros faz com que o ^ seja maior Isto eacute

util pois quanto maior o fluxo de burnout maior poderaacute ser o

fluxo de calor real de funcionamento

Tais meios sao

- Sub-resfriamenCcedilo do liacutequido

61 - Influecircncia da velocidade do liacutequido

Estudos feitos pelos autores acima chegaram agraves curvas

- Aumento da velocidade imposta ao liacutequido

- Pressatildeo do liacutequido elevada

alto V

At

34

Para velocidades maiores o fluxo de burnout aumenta

porque neste caso o regime eacute turbulento e o coeficiente de peliacute

cuia h aumentao

6bdquo2 - Influencia do aumento da pressatildeo

Este estudo deve-se a Bonilla que obteve experimentalmen

te as curvas

Este estudo foi feito para vaacuterios liacutequidos e chegou a con

clusao que sempre havia uma pressatildeo oacutetima isto e uma pressatildeo que

leva ao maior iacute 1 ^ raquo mantidas as demais condiccedilotildees Experimentalmenshy

te notou que essa pressatildeo correspondia a 13 da pressatildeo critica

do liquido em questatildeo

6=3 - Influecircncia do sub-resfriamento

Consiste em manter atilde custa de uma circulaccedilatildeo intensa o

liacutequido a uma temperatura inferior atilde de saturaccedilatildeo para a pressatildeo

correspondenteraquo Experimentalmente chega-se agraves curvas

mdash A t grande sub

bullAt -0 sub sub

medio

At

35

Verificando os graacuteficos vemos que o lt)gt aumenta agrave medida bo

que aumenta a diferenccedila de temperatura de sub-resf riamento isto pojr

que o liquido como estaacute mais frio faz com que algumas das bolhas

recondensem permitindo que o liquido fique em contato com a parede

quente o que faz aumentar o h

^ f csub = t e m P e r a t u r a ddeg liacutequido - temperatura de saturaccedilatildeo

A diferenccedila de temperatura At entre fluido e parede tamshy

beacutem aumenta poit na regiatildeo proacutexima agrave parede haacute necessidade de

levar o liacutequido da temperatura do sub-resfriamento ateacute a temperatu

ra de saturaccedilatildeo quando se evapora

Atualmente os maiores estudos dos fiacutesicos nucleares locashy

lizam-se neste campo pois eacute o que oferece maiores vantagens

7 FORMULAS PARA 0 CAacuteLCULO DO COEFICIENTE DE PELIacuteCULA NA EBULICcedilAtildeO

Como ocorre no caacutelculo de todas as foacutermulas de convecccedilatildeo

temos formulas empiacutericas para determinar o h conforme o tipo de

ebuliccedilatildeo que nos consideramos

71 - Ebuliccedilatildeo Nucleada

Para o caso de aacutegua temos as relaccedilotildees

superfiacutecies

horizontais

superfiacutecies

verticais

f aacute 5000 BTUhrft 2 -gtbull h = 151 ( A t ) 1 3

A o

5000 lt 75000 -h = 0618 (At)3

^ pound 1000 -raquobull h = 8 7 ( A t ) 1 7

A o -

1000 lt $ lt 20000 -gt h = 027 (At) A o

Quando a pressatildeo e diferente da atmosfeacuterica faz-se a correccedilatildeo

3 6

72 - Ebuliccedilatildeo por peliacutecula

Bromley propocircs uma boa equaccedilatildeo para a ebuliccedilatildeo por peliacuteshy

cula estaacutevel em cilindros horizontais

Nu

_ JtjD n r 9 P v bull ( P L - P v gt - g -h

e V bull D i2

D 1 ^ U b Z u At gt

onde

V = indica vapor

L = indica liacutequido

Multiplicando ambos os membros da equaccedilatildeo acima por

kvD obteremos a expressatildeo do coeficiente de convecccedilagraveo meacutedio para

o caso

37

C - FORMULAS PARA CAacuteLCULOS ESPECIacuteFICOS - RESULTADOS ESPECIacuteFICOS

1 FLUXO DE CALOR CRIacuteTICO - BURNOUT

lol - Introduccedilatildeo

O aspecto mais importante no que se refere agrave seguranccedila

dos reatores da transferencia de calor na ebuliccedilatildeo eacute a determina

ccedilatildeo do Fluxo de calor critico ou de pico ou burnout

Como jatilde vimos quando temos a ebuliccedilatildeo nucleada a dishy

ferenccedila de temperatura entre refrigerante e superfiacutecie de aqueci

mento e pequena poreacutem quando atingimos o fluxo de calor criacutetico

essa diferenccedila de temperatura pode tornar-se imediatamente muishy

to grande podendo causar a ruptura da superfiacutecie de aquecimento

se atiigirmos o ponto de fusatildeo do soacutelidoraquo

Usando a convecccedilao

onde

At sat

w

sat At

sub

w = temperatura da parede de aquecimento

t t = temperatura de saturaccedilatildeo do liacutequido

t^ = temperatura de mistura do liacutequido

At = (t -t ) sub-resfriamento do liacutequido sub N sat b 1

nout

Ha dois tipos de burnout fast burnout e slow bur-

Ocorre o fast burnout (burnout raacutepido) quando A t g u b gt 0

38

ou para baixo x (~ lt 10) sendo x o titulo do vapor

Temos o slow burnout para x - gt 10 Assim noacutes tereshy

mos dois limites para o burnout

At bull o (ltJgt ) t =((() para t = t ) -

bo m m possiacutevel w sat

sub i

4L + 1

G c D h pl nb

(ltK ) = (ltpound para x = 1) = Dv-bo max possiacutevel e 4L

c At l + P 1 sub i

onde

L = comprimento do canal

D = diacircmetro do tubo

G = descarga de liacutequido (por unidade de aacuterea)

c ^ = calor especiacutefico do liacutequido

Agrave = calor latente de vaporizaccedilatildeo

h ^ = coeficiente de transferecircncia de calor na regiatildeo de

nao ebuliccedilatildeo

iacutendices

i = entrada

e = saiacuteda

Haacute inuacutemeras expressotildees para determinaccedilatildeo do burnout pro

postas por muitos fisicos cada uma aplicando-se a um caso especiacuteshy

fico vejamos algumas delas

12 - Equaccedilotildees para prediccedilatildeo de Burnout

121 - Equaccedilatildeo de Bragg e Smith (Zuber)

Num artigo publicado por Bragg e Smith encontramos uma f oacute_r

mula que e derivada da formula de Kutateladze e nos daacute o fluxo cri

39

tico quando nao temos sufaresfriamento

bo poolsat v V raquoc a ( p l P V )

2 PV

14

onde

ltiexclgt = fluxo de calor critico bo

k = constante

Ly = calor latente de vaporizaccedilatildeo do refrigerante

= densidade do liquido

pvr = densidade do vapor V a = tensao superficial

g = fator de conversatildeo c

a = aceleraccedilatildeo da superficie de aquecimento

Os autores encontraram para k um valor de 062 entreten

to outros autores como Zuber incluindo outras variaacuteveis que In

fluiam no fenocircmeno encontraram k variando entre 008 e 023Esshy

tudos bem elaborados mostram que o valor mais aproximado eacute

k = 015 (- 003)

1-22 - Equaccedilatildeo de Noyes

Noyes estudou o burnout para o soacutedio agua e alguns liacute

quidos orgacircnicos

( W s a t ~ bdquo 0245 bull ( r ( 1 )

iiacute_ V 1 Pr

onde

N n = Nuacutemero de Prandtl da fase liacutequida x r

Mais tarde o proacuteprio Noyes alterou a equaccedilatildeo para

n ^ - n H Iacute I Pl PV gt0538 deg g c a q 4 ( W s a t deg 1 1 6 PV ( - p 7 ~ ) (77T1^ ) ( 2 )

40

A ultima correlaccedilatildeo proposta por Noyes foi

a n prPV0560 112

1

(a bull a) 13

(ag c) 112

(3)

onde

a = difusividade teacutermica do liacutequidoraquo A equaccedilatildeo (3) eacute bashy

seada em todos os dados de burnouts do soacutedio bem

como da atildegua benzeno difenil e outros De 111 pontos usados 90

+ estatildeo relacionados dentro de - 30bdquo

ldeg2o3 - Burnout com convecccedilao forccedilada e sub-resfriamen

to

Aproveitando os resultados de aproximadamente 240 testes

de burnouts com aacutegua sub-resfriada em fluxo de convecccedilao forccedilashy

da feitos na Ruacutessia Labuntsov elaborou uma boa equaccedilatildeo empiacuterica

para o problemabdquo

Esta relaccedilatildeo aplica-se para velocidades entre 2 3 e 148

ftsec pressotildees entre 1 e 201 atmabs sub-resfriamento entre 0 deg

e 432 degF e fluxos de burnout entre 0 4 x IO 6 x 166 x 1 0 6 BTUhr

2 bdquo

bullbo

onde

e a seguinte

6 ( P ) 1 + 0 2 3 2 V 2

14

e ( P ) 1 +

15 c At _p_ sub

12 (a)

9 ( P ) - P 1 3 o ( 1 - P J 4 3

red

= pressatildeo (atm abs)

pressatildeo reduzida = mdash mdash red r P

t_ c = pressatildeo critica

= velocidade do liacutequido (ftsec)

= calor especiacutefico do liacutequido (BTUlbdegF)

4 1

^ tsub = ^ ^ e r e n Ccedil a ^ e temperatura entre a temperatura de

mistura do liacutequido e a de saturaccedilatildeo (degF)

X = calor latente de vaporizaccedilatildeo (BTUlb) 2

ltiacutegtbo = fluxo de burnout (BTUhrfl )

Uma outra correlaccedilatildeo para o caso foi proposta por

Ornatsky e Xiohigin que fizeram experiecircncias para pressotildees entre

10 e 1 5 0 3xm 90 degF lt At ^ lt 4 5 0 deg F 3 7 1 0 6 ( l b h r o f t 2 ) lt G lt

2 2 2 10 b ( l b h r bdquo f t 2 )

lt ^ = 3 2 5 0 (G o A t bdquo J deg 6 ( - i - ^ ) 2 5 ( b ) bo sub

onde

G - descarga de refrigerante por unidade de aacuterea

P ^ v P v - densidades do liacutequido e do vapor

P1~ PV -0 termo (mdash ) e incluido na expressatildeo (b) para indicar

a influecircncia da ^ pressatildeo sobre o

Uma comparaccedilatildeo entre as equaccedilotildees (a) e (b) foi feita para

o Reator de Isoacutetopos de Alto Fluxo (HFIR) nas condiccedilotildees aacutegua a

600 psia velocidade = 45 ftsec e sub-resfriamento = At^^ 1

degF obtendo-se uma diferenccedila de 6 5 entre ambos (4gt = 6 0 5 1 0 b

2 ~ 6 2 BTUhr ft pela equaccedilatildeo (a) e 6 4 5 10 3TUhrraquoft pela equaccedilatildeo

(b)

Ilatilde ainda a equaccedilatildeo de Ivey e Morris aplicaacutevel somente pa_

ra ebuliccedilatildeo com grande quantidade de liacutequido

( c sub t

Cpf bull A tsub

( bull ) s ~ V P bdquo 10 h V sat V g

onde

(ltL ) = fluxo critico com sub-resfriamento c sub

(ograve ) ^ - fluxo critico sem sub-resfriamento c sat

42

c ^ = calor especiacutefico do liacutequido

= calor latente de vaporizaccedilatildeo

124 - Burnout com convecccedilao forccedilada e ebuliccedilatildeo por bocirc-

Ihas

Gambill fez uma extensatildeo da equaccedilatildeo de Levy e aplicou o

metqdo da superposiccedilatildeo Tal extensatildeo consiste natilde subtraccedilatildeo de uma

razatildeo equivalente de massa transferida dos termos que represenshy

tam a ebuliccedilatildeo e convecccedilao para levar em conta a presenccedila do vashy

por no fluxo

A correlaccedilatildeo pode ser escrita assim

24 V P V

o g c a (p^Py) 14

+ 0696 (k p c ) 12

(

pr p v )i4 o g c a (P-L-Py) 18

bull At + h sub nb

044 p v L v G (g1) bull N2 n

p l P V

( pr p v ) d e 2-7

2 4 TT 0

14 ( f e _ ^ r l 3

lO^u

onde

k = condutividade teacutermica

c = calor especiacutefico

A t s u b ~ s ub-resfriamento do liacutequido

h = coeficiente de transferecircncia de calor de nao ebu nb mdash

liccedilatildeo

G = descarga total do refrigerante

43

d g = diacircmetro equivalente do tubo ou canalraquo

]i = viscosidade

B = constante adimensional

Os iacutendices V e 1 representam vapor e liacutequido respectiva

mente

0 primeiro termo entre chaves da equaccedilatildeo representa o flu

xo de calor no burnout de sub-resfriamento em convecccedilao forccedilada 0

segundo termo entre chaves corresponde ao fluxo de calor transferi^

do para a massa da fase vapor

1-25 - Burnout por Bloqueio da Base

Ocorre quando a profundidade do recipiente eacute muito maior

que a largura 0 bloqueio da base eacute causado pela formaccedilatildeo de uma pe_

licula de vapor na base impedindo que o liacutequido toque o fundo do

recipiente

i De

Este eacute o burnout por flooding isto eacute burnout por expul

sao do liacutequido Uma equaccedilatildeo que nos dacirc o fluxo minimo do burnout

parao caso eacute

44

onde

D g = diacircmetro equivalente

L = comprimento do tubo

= calor de vaporizaccedilatildeo

p^Py Ap = densidade do liacutequido do vapor e diferenccedila en

tre ambos

Para um fluxo de calor maior ou igual ao dado pela expres_

sao acima (mantida a mesma geometria) teremos burnout Para um deshy

terminado fluxo existiratildeo sempre um comprimento L e um diacircmetro equi

valente D e para os quais temos burnout Exemplo

L (in) D e(in)

10 11

100 51

1000 235

2 RESULTADOS ESPECIacuteFICOS - FOacuteRMULAS PARA CAacuteLCULOS ESPECIacuteFICOS

21 - Diferenccedila de temperatura At i

13 a t

sat

At sat

poundatildeJL_ raquo t - t J p T T 6 w sat

onde

o laquo tensatildeo superficial entre liquido e vapor

t - temperatura de saturaccedilatildeo do liacutequido para a corres-Scl t

pondente pressatildeo

J equivalente mecacircnico do calor

X laquobull calor latente de vaporizaccedilatildeo

py = densidade do vapor

6 = espessura da camada de liacutequido superaquecido onde

45

k l

h nc

onde

k^ = condutividade teacutermica do liacutequido

h = coeficiente de peliacutecula nc r

Segundo Eckent h ^ c e dado por

P 2 Q

nc 3 V VP + 0952

r

onde

D = diacircmetro equivalente

G r = numero de Grashoff

P = nuacutemero de Pradtl

2 o 2 - Velocidade das bolhas

A velocidade das bolhas em meacutedia pode ser dada pela exshy

pressatildeo

V bdquo = Iacute ( a bull B Apl4 bolhas 5 ^ 2

p l onde

AP = P L - P v

Expressatildeo que vale quando a aceleraccedilatildeo eacute a da gravidade

baixa viscosidade do liacutequido e bolhas separadas

Vbolha = f t s e atilde m a x para aacutegua

2 bdquo3 - Diacircmetro das bolhas

2gc deg 12 D = 0015 3 ( mdash mdash 7 ~ ) d g Ap

5 =

46

onde

8 = acircngulo de contato (20 a 90deg) geralmente assume-O -1

-se igual a 50 para a agua em contato com metal

24 - Coeficiente de peliacutecula na ebuliccedilatildeo nucleada

a) Equaccedilatildeo de Rohsenow

Esta equaccedilatildeo nos datilde o fluxo de calor q na ebuliccedilatildeo nushy

cleadaraquo E oacutetima expressatildeo para muitos liacutequidos o efeito da presshy

satildeo eacute levado em conta na variaccedilatildeo das propriedadesraquo

Pf

fg

sat 17 = c

sg k y f h f g g( P f-p g)

n033

onae

Pf

fg

Pf Pg c sg

= fluxo de calor requerido (BTUhr0ft^)

= calor especiacutefico do liacutequido saturado (BTUlbm0F)

= calor latente de vaporizaccedilatildeo (BTULbm)

= nuacutemero de Prandtl

= viscosidade do liacutequido (lbrahrraquoft) ~ 8 2

= fator de conversatildeo 417 10 Ibmftlbflaquohr 2

= aceleraccedilatildeo da gravidade (fthr )

= tensatildeo superficial na interface liacutequida vapor

(lbfft) 3

densidade do liquido e vapor (lbmft )

constante adimensiacuteonal que depende de vaacuterios fashy

tores dentre os quais o grau de aquecimento en_

tre o fluido e a superfiacutecie de aquecimento e o

mais importanteraquo Independe da pressatildeo do sistema b) Equaccedilatildeo de Levy

Equaccedilatildeo valida para a aacutegua quando 100 lt p lt 2000 psiacutea

47

43 bdquo3

qu bdquo gat ^ T J h r t f t ^

495

25 - Calculo do fluxo de calor no Ponto de Leidenfrost

0 ponto de Leidenfrost como vimos eacute o ponto em que oflu

xo de calor comeccedila ncamente a crescer isto eacute o ponto onde termal

aa a ebuliccedilatildeo instaacutevel e comeccedila a ebuliccedilatildeo por peliacutecula estaacutevel Eacute

o chanado fluxo miacutenimo (egrave ) m m

Aproximadamente quando A t g u k = 0 temos

A _ mdash _ mdash (Gambill) m m 5

Ha entretanto varias expressotildees para determinar esse flu

xo eis uma delas

A p 14 ltjgt = 009 h pbdquo (o raquo g mdash ) y m m fg P V deg 2

p l

26 - caacutelculo do fluxo de calor na regiatildeo de ebuliccedilatildeo por peliacute

cuia estaacutevel

para cilindros jmdashi i li

_ D 0172 k-V - P V A p h l V bull S 14 li - = 062 (mdashmdash) (- j- r rmdash) convecccedilao A 0 ybdquo (t -t )

c V w sat

onde

= condutividade do vapor

- 2 TT ( mdash )

c gAp Vl = significam vapor e liacutequido respectivamente

para paredes verticais

L 0172 S deg7 A p bull hlV S q 4 h - - 080 (-^-)J- (-Iuml - Iacutemdash-convecccedilao X L u (t - t J)

c V w sat

48

Como nesta regiatildeo jaacute haacute nina influecircncia marcante da radia

ccedilao devemos levar en conta tambeacutem o coeficiente de peliacutecula de

vido a radiaccedilatildeo para determinar o coeficiente de peliacutecula total

Dos estudos atildea radiaccedilatildeo temos

h = a F pound(T 4 - T 4 J ( T ~ T ) rad w sat w sat

onde amp _ emissividade de superfiacutecie

a = constante de Stefan-Boltzman

F = fator de forma

Segundo WE Gambill o coeficiente de transmissatildeo total

ceve ser

3 iacutei = h + -7 h para h lt h t conv 4 rad r rad conv

Na expressatildeo acima existe o fator 34 porque a radiaccedilatildeo

faz variar um pouco a espessura do filme de vapor reduzindo asshy

sim o l l

conv

Quando tivermos h gt h gt o h^ ^ seraacute rad conv total

h f c = h + h t conv rad

Neste ultimo caso nao ha nenhum coeficiente porque a peshy

liacutecula de vapor jaacute eacute estaacutevel

27 - Grandezas caracteriacutesticas para a apua

Para pressatildeo igual a 1 atm = 1422 psia

At ^ = t - t = 5degC (iniacutecio da ebuliccedilatildeo nucleada) sat w sat 1

At t = 30degC sat crit

49

5 2 $ = 4 10 BTUhrft (para pressatildeo 1 atm)

0 fluxo critico cresce como vimos com a pressatildeo ate

atingir o maacuteximo quando a pressatildeo eacute aproximadamente 13 da pressatildeo

criacutetica Esse fluxo eacute

bull = 13 IO 6 BTUhrft 2 para p = 11000 psia (p pound = 32062 psia)

Ainda temos que para pressatildeo igual a 15 psia

h b o = 11000 BTUhrft degF - ebuliccedilatildeo nucleada

h f b = 30 BTUhrft 2 degF - ebuliccedilatildeo pelicular

Todos os resultados e formulas para caacutelculos especiacuteficos

apresentados nos itens 21 22 23 ateacute 27 sacirco aplicados somente

para sistemas onde haja ebuliccedilatildeo com grande quantidade de liquido

51

D - HIDRODINAcircMICA DOS SISTEMAS E QUEDA

DE PRESSAtildeO DENTRO DE UM CANAL

1 HIDRO-DINAcircMICA E QUEDA DE PRESSAtildeO

11 - Hidro-dinacircmica dos sistemas estaacuteveis

111 - Regimes de escoamento

A evoluccedilatildeo do escoamento ao longo de um canal aquecedor

de secccedilatildeo constante ciliacutendrico pode ser esquematizada pela figushy

ra 1 onde temos em abcissa o comprimento z do canal e em ordenada

a temperatura (T)

52

Na figura 1 nos representamos

a) 0 aspecto do escoamento fluido quando a entalpia do

- fluido aumenta Verificamos que o fluido entra no cashy

nal no estado liacutequido e assim permanece ateacute atingirmos a zona de

ebuliccedilatildeo local onde aparecem as primeiras bolhas A entalpia do

fluido continua aumentando e tem inicioa ebuliccedilatildeo franccedila onde as

bolhas se unem formando agregados posteriormente o escoamento to

ma a forma da figura ou seja torna-se anular disperso Finalmente

atingimos duas uacuteltimas fases do escoamento disperso (vapor uacutemido)

e vapor seco

b) A evoluccedilatildeo da temperatura meacutedia do fluido e da tempeshy

ratura da parede Note-se que a partir da cota a

temperatura da parede aumenta brutalmente podendo causar o

burnout

c) A evoluccedilatildeo do tiacutetulo do vapor (x) com o comprimento

do tubo e a evoluccedilatildeo da fraccedilatildeo (a) que definiremos no

item 11laquo2 com o comprimento do tubo

112 - Definiccedilotildees

a) Tiacutetulo ou qualidade do vapor (x)

massa de vapor na mistura x ~ massa total da mistura

x =

W _g_

g f

b) Fraccedilatildeo vazio (void fraction)

volume do vapor na mistura a = volume total da mistura (agua+vapor)

A relaccedilatildeo entre x e a num sistema parado pode ser obtida

assumindo um certo volume contendo 1 lbm de mistura em equiliacutebrio

teacutermicoraquo

53

O volume da mistura seraacute igual a (v + xv ) ft onde v eacute 3 r rg

o volume especifico (lbmft )

f - refere-se ao liquido

g - refere-se ao vapor

fg - refere-se a diferenccedila entre liacutequido e vapor

Numa mistura em equiliacutebrio se o liacutequido e o vapor estatildeo

saturados o volume do vapor presente eacute igual acirc sua massa vezes

seu volume especiacutefico v assim e

xv bdquo bdquo a mdash

V c + XV c

f gf

onde

- bull-bull uumlutiacuteisa vapor na mistura de 1 Ibm

v volume especiacutefico do liacutequido

v = volume especiacutefico do vapor o

V c = v - V

gf 8 r

Fazendo uma transformaccedilatildeo na expressatildeo acima temos

xv xv JS = Z-

v r+ x(v -v c) xv +(l-x)v t ri f g f g f 1 + Ul-x)xjv fv

1 + C(l-x)x]]vfvg

A fraccedilatildeo vazia tem a influencia de baixar a reatividade

do nuacutecleo nos reatores em que o refrigerante eacute tambeacutem moderador

Na equaccedilatildeo acima os valores de x e v sao tomados em tabe

las termodinacircmicas apropriadas para a pressatildeo do sistema A equashy

ccedilatildeo (1) mostra os grandes valores de a para pequenos valores de x

especialmente para baixas pressotildees Isto ocorre porqueaumentando

54

aacute pressatildeo o v decresce muito enquanto que o v f eacute mais ou menos da

mesma ordem de grandeza

Exemplo Calcular o a correspondente para x raquo 2 para aacutegua

leve atilde pressatildeo atmosfeacuterica

Da tabela para p laquobull 1 atm

v - 001672 ft 3lbm e v - 26800 ft 3lbm

1 + [(1-002)002] 001672268

0971 ou 97U

O grafico abaixo mostra a variaccedilatildeo do a com x para vaacuterias

pressotildees e para a aacutegua leve

x ()

tObservaccedilotildees da curva

Fig 2

1 - para x constante a decresce com a pressatildeo Para presshy

sotildees proacuteximas da criacutetica a aproxima-se rapidamente de

x Para a pressatildeo criacutetica as duas fases satildeo indistinguiacuteveis ea=x

2 - para cada pressatildeo dotdx decresce com aumento de x

3 - para baixos valores de x (que e o caso dos reatores

tipo Boiling) quando p decresce dadx cresce e torr

na-se muito grande paacutera baixas pressotildees Isto tem relaccedilatildeo com a epound

55

tabilidade do reator como veremos mais tarde

113 - Sistemas com fluxo

Todas as definiccedilotildees que noacutes vimos no item anterior refeshy

rem-se acirc sistemas em que a mistura esta fechada no recipiente Nes^

te caso natildeo havia movimento relativo entre as duas fases No entan

to se as duas fases da mistura se movem na direccedilatildeo vertical em

canais entre os elementos combustiacuteveis o vapor por causa de sua

flutuaccedilatildeo tem a tendecircncia de escorregar sobre o liacutequido isto e

move-se com velocidade maior do que a do liacutequido

Real Modelo

Pig 3

S -

Define-se neste caso a relaccedilatildeo de escorregamento (slip

ratio) (S) como sendo

V _i

V f

onde

V = velocidade do vapor

= velocidade do liquido

S modifica as relaccedilotildees entre a e x do item anterior S geralmen_

te gt 1 Define-se neste caso qualidade do vapor ou tiacutetulo como

sendo

_ fluxo de massa de vapor

fluxo de massa da mistura

Entatildeo se o fluxo de massa da mistura eacute m t(lbmhr) o flushy

xo de vapor seraacute = x m e o fluxo de liacutequido sera (1-x) m onde x

56

e o titulo do vapor para a particular secccedilatildeo (AL) da figura (3)

Devemos notar que neste caso x varia de secccedilatildeo para secshy

ccedilatildeo do tubo o exposto no paraacutegrafo acima vale considerando-se que

x e a permaneceram constantes na secccedilatildeo de espessura AL

Aplicando a equaccedilatildeo da continuidade as velocidades do va

por e liacutequido sao dadas por

o xm v

V vazatildeo = g g area A

V

(1-x) amp t v f

f A f

onde A e A f sao as aacutereas medias perpendiculares ao fluxo se as

duas fases sao imaginadas completamente separadas uma da outra

(figura 3) Assim temos

V x m v o A_ A v 0 ^ - 2 = iacute S t m _2L- JL JS m

V A (l-x)ui v 1-x A v U

f g t f g f

Sabemos ainda que para a secccedilatildeo considerada

volume do vapor na mistura a = volume total da mistura (agua+vapor)

A AL A pound g g

a = mdash a a = - mdash 1

(A+A )AL A f + g

A ou f _ 1 - a

A a 8

Substituindo em (2) vem

57

Esta expressatildeo pode ser rearranjada e obteremos uma relashy

ccedilatildeo entre x e a levando em conta o escorregamento Chega-se a

a = 1 ( 3 )

1+ [U-x)x3 igt

onde

v 4 laquo -- S

v lty o

Note-se que quando S=l (nao haacute escorregamento) caimos na

expressatildeo dada no item anterior

0 efeito do escorregamento eacute decrescer o valor de a pa_

ra um mesmo xbdquo Isto pode ser visto pela foacutermula (3) pois S gt lLo

go a decresce com acreacutescimo de S

Um alto S e entatildeo uma vantagem tanto para a transferecircnshy

cia de calor como para efeitos de moderaccedilatildeo Eacute uma vantagem para

transferecircncia de calor porque alto S significa alto V e portanto

maior turbulecircncia e maior contato do liquido com as paredes quenshy

tes Ha tambeacutem melhorias na estabilidade da reaccedilatildeo nuclear isto

porque como jaacute dissemos quando mdash7 diminui a estabilidade aumenshy

ta isso pode ser verificado observando a curva a versus x para a

agua leve a 1000 psiabdquo

Fig 4

58

A relaccedilatildeo entre x e a da equaccedilatildeo (3) so vale para secccedilatildeo

de tubo bem pequena

Devemos notar que S varia tambeacutem com a pressatildeo e velocida^

de de entrada do liacutequido no tubo Este efeito pode ser observado na

figura 5 abaxxo obtida esperimentalmente

s

3

~^ ~ psig

x = 001

V 1

Fig 5

Nos projetos de reatores como veremos adiante o valor a

geralmente eacute determinado por consideraccedilotildees nucleares (moderaccedilatildeo) 0

valor de S eacute determinado atraveacutes de uma estimativa ou entatildeo atrashy

veacutes de um graacutefico do tipo da figura 5 0 correspondente valor de x

pode ser obtido de uma foacutermula empiacuterica do tipo

1 = 1 (-S)0gt67

proposta por Von Glahn

Em muitos casos assume-se S constante em todo o comprimeiv

to do canal poreacutem eacute um erro que em muitos casos nao pode ser coshy

metido

4 REATORES EM QUE 0 LIacuteQUIDO B MODERADOR E CIRCUITO PRIMAacuteRIO AO

MESMO TEMPO BOILING-REACTOR (BWR)

A aacutegua ao se movimentar atraveacutes dos vaacuterios canais do

59

Boiling-reactor encontra vaacuterias resistecircncias ao fluxo que provoshy

cam uma reduccedilatildeo de pressatildeo no fluido

As duas perdas mais importantes sao perda de pressatildeo por

atrito e perda de pressatildeo causada pela aceleraccedilatildeo do refrigerante

ao aumentar de volume por receber calor num canal Outras perdas

de pressatildeo seriam a obstruccedilatildeo ao fluxo por corpos submersos (espa_

ccediladores juntas de tubos chaves etc) e por mudanccedilas abruptas de

aacuterea de fluxo tanto na entrada como na saiacuteda do tubo

Essas perdas de pressatildeo devem ser conhecidas o melhor popound

sivel principalmente nos reatores BWR Para tanto devemos saber

o comprimento de canal em que nao ha a ebuliccedilatildeo isto eacute qual o com

primento de canal em que o refrigerante vai da temperatura de sub-

resfriamento ate temperatura de saturaccedilatildeo

Seja o elemento combustiacutevel

Aquecimento Uniforme Aquecimento Senoidal

Fig 6 Fig 7

onde

H =

H = o

H b

comprimento do elemento combustiacutevel

cota onde o liquido se torna saturado

comprimento do elemento combustiacutevel em que ocorre

ebuliccedilatildeo

60

qg = calor sensiacutevel acrescentado ao liquido para satushy

raacute-lo

qfc = calor total acrescentado ao liacutequido em todo o com

primento do canal

laquoo

q s J o qiquest sen (IIzH) n H o

T~ = TH = 2 ( 1 c o s gt ( a )

q 1 sen (HzH) Jo ^c

A expressatildeo (a) vale quando tivermos uma adiccedilatildeo de calor

senoidal para qualquer outra forma de adiccedilatildeo de calor faz-se um

caacutelculo anaacutelogo

Outra relaccedilatildeo entre q g e qfc eacute dada pela termodinacircmica

q h- - h s f m (b)

(hr +x h )-hm ^t f e fg

onde

= entalpia para o liquido saturado a pressatildeo correjs

pondente (cota z = Ho)

hffi = entalpia do liacutequido na entrada do canal

x = tiacutetulo do vapor na saiacuteda

= entalpia do vapor

Com a relaccedilatildeo (b) noacutes determinamos a relaccedilatildeo q q ecom

S L

uma relaccedilatildeo do tipo (a) (conforme seja o adicionamento de calor ao

liacutequido) podemos obter a relaccedilatildeo HoH e consequentemente H^H

21 - Perda de pressatildeo num canal de evaporaccedilatildeo

Neste item iremos determinar as perdas de pressatildeo mais

representativas que ocorrem num canal de evaporaccedilatildeo de um reator

P + dP

bull1 i- 1 gti i i

dL

onde

UM

Icirc H Icirc Icirc T dF f t f

61

Quantidade de Mov na Entrada

= i- rigVg)

dF f l

Fig 8

m i

m 8

V l V 8

A P

dF

dF

dF

fg

fl

ftf

descarga do liacutequido

descarga do vapor

velocidade do liquido

velocidade do vapor

aacuterea transversal do canal

forccedila de atrito do vapor com parede

forccedila de atrito do liacutequido com parede

forccedila de atrito das duas fases liacutequido+vapor

Fazendo o balanccedilo das forccedilas considerando o sentido posjL

tivo na vertical temos

A (P-P-dP)-(dF +dF _+dF _)-(-pound-) (p A+p A )dL = mdash dGnV+m V ) P fg ftf fl g c 1 1 g g g c

v 1 1 g g 7

- dP = ~ (dF +dF--+dF)+- S--7=- (p A+p A )dL+ mdash ~ - d (m-V+m V ) A_ fg ftf fl g c Ap v^l 1 g g g A 11 g g

Fazendo a integraccedilatildeo termo a termo entre os dois extreshy

mos entrada e saiacuteda e considerando a pressatildeo de entrada igual a

P q e a de saiacuteda igual a Pe vem

Quantidade de Mov na Saiacuteda

-= h I- lY l+ A g V g + d ( aacute l V l + aacuteeVl

Forccedila de Gravidade

= ( g f - N P A + P g V

62

b) r e F f l

o p dp^ = Ap^ = perda de pressatildeo por atrito

do liacutequido na altura Ho

Aplicando a formula de Darcy vem

bull API = f bull ir bull ^ iexcl 7

onde

f = fator de atrito

c) e Fftf

o p ^P tpound

= perda de pressao por atrito da mistura

liquido + vapor no trecho de comprimen

to Hbdquo o

Para determinar esta perda de pressao define-se o fator

de multiplicaccedilatildeo R

A P R =

tf A P 1B

Sendo A p ^ a perda de pressao se o comprimento todo fosshy

se ocupado somente pelo liquido assim

A p t f = R A P 1 B

0 calculo de Ap-^ pode ser feito pela formula de Darcy e

o de R nos veremos no item seguinte

63

d)

-e F

d ( ^ )

O P

Ap = perda de pressatildeo por atrito do vapor

No caso do reator BWR o titulo de saida e bera pequeno e

em nenhum caso ocorre a saida de vapor com x = 100 logo a perda

de pressatildeo por atrito do vapor eacute nula assim

An = 0 5

e) Ap

(p A 1 + p A ) dL = Ap - perda de pressatildeo dpound

vida ao desniacutevel

(perda hidrostaacutetica)

Anbdquo = re A A

-S- I (p + p -S ) dL H s 1 A

c o p o A

como A A Jl_ =

A P

A +A-g 1

1-a -

temos

C Q

te j jll-a)p1 + apg)^jdL = p Lo pound

onde

e jo u

+ ap ) ~I dL (Densidade media 1 S J

no tubo)

No nosso caso

Ap u = p H

f)

re d(mV + m V ) _ mdash - laquo -i bull s iquestp laquos p e r d a ltje pressatildeo devido a acele-

c p raccedilatildeo do vapor

V A

(1-x) tl^Vj

(1-a) A

X V

aA

A p -

roV + m V

c p c p L_

m (l-x)m_v m xv nbdquo -1 T 1

+ _S S I (1-a) Ap aA

P

2 g A c p

n 2 2

(1-x) m T

laquo2 8 A c p

2 2 (l-xe) raTv1

2 2 2 xm_v (1-x) m-v e T s o 1 1

a 1 - a

2 2 - x m_v o T g

a

se

X Q 0 (so ha agua nesse trecho)

a = 0 o

temos

mbdquo Ap =

1 a A 2

S A degc p laquo-

tt-V v i 1 - a

2 via T^r - v i

t Apc

2

V v l

5c Ap

1 - a

x v - 1

a e v l

65

Fazendo

G = fluxo total da massa por unidade de area do

canal

(1-x J e

V

AP r

Assim a perda de pressatildeo total sera

H p V II pV r2 P -P = f -24-Iuml+ f R+p 0 1 2g c D e 2g c g c g c

2c2 - Determinaccedilatildeo do fator de multiplicaccedilatildeo (R)

221 - Relaccedilatildeo Martinelli-Nelson

Os autores Martinelli-Nelson determinaram experimental -

te esse fator R para varias LIT1L em funccedilatildeo da pressatildeo e da r NB total J v

qualidade de saiacuteda do vapor no canal Construiacuteram assim vaacuterias

curvas do tipo da figura 9

66

E importante notar que a qualidade do vapor (x) na saiacuteshy

da nao deve ser grande pois como vemos o valor de R cresce muishy

to com um aumento pequeno de x e um valor de R muito grande acar_

reta uma perda de pressatildeo grande pois

^ d u a s fases R ^ f a s e liacutequida

Para resolvermos um problema seguindo o criteacuterio de bdquo

Martinelli escolhemos a curva R = f(px) (para a relaccedilatildeo L

N g ^ j

adequado) e tiramos R com os valores de pressatildeo p e tiacutetulo x

As curvas R = f (p x L T t )IO encontram-se nos ANL 6469 bio I

e 6561

222 - Relaccedilatildeo Lottes-Flinn

Estes autores estudaram o problema para o aquecimento uni

forme do refrigerante com baixo titule Lottes-Flinn fizeram inuacuteshy

meras experiecircncias e verificaram que para fluxo de calor uniforshy

me e baixos titulos R era independente do fluxo de calor fluxo

do refrigerante escorregamento e apenas funccedilatildeo de a g

Como a quantidade de liacutequido eacute muito maior que a de vashy

por a perda de pressatildeo daacute-se principalmente pelo atrito do liacuteshy

quido com a parede Podemos assim escrever a foacutermula de Darcy

na forma diferencial

dz

d = f __ r e amp c

onde

V = velocidade do liquido saturado na cota zbdquo X

f = coeficiente atrito

= densidade do liacutequido saturado

Teoricamente a queda de pressatildeo deve-se ao acreacutescimo de

67

velocidade do liacutequido e da diminuiccedilatildeo da aacuterea de fluxo do liacutequi

do

P fH A P t p

= f D 2g Ho

d z

fazendo

V lo

m V t lo

(velocidade do liacutequido na cota z = Ho)

(1-x) m t v 1

(1-a) A (velocidade do liacutequido na cota z gt Ho)

a bull+ fraccedilatildeo vazio na cota z geneacuterica

V 1 (1-x) m t v 1

m t V l 1 - a

x =s 0 pois o tiacutetulo eacute baixo

A p t f = f bull JT5 c e

fH V lo

H o (1-a) dz

Para fazer a integral devemos achar a relaccedilatildeo de variaccedilatildeo

entre a e z Como o fluxo de calor eacute uniforme a qualidade eacute direshy

tamente proporcional a z

bull laquo x = x e H

z = mdash x X e

Sabemos ainda que (item 113)

x

1 + [ ( I -X)AKQ x + iiacuteraquo

68

como

temos

(1-x) = 1

v

X =

z =

1-a

1 -a

1-a e

a

e

1-a pound

a

1 -a igt (assumindo S = cte)

da

Atf - f bull 2 i ^ ~ J c e o

a 1 - a e e 1 s 4 hmdash) da

a 1-a

f P lv^ Q

0 termo mdash - mdash e a parte de perda de pressatildeo pelo lj^

^c e -quido ou seja Ap liquido saturado e como

Ap

R = tf

Ap liauido saturado

temos que

R J

f ae 1 _ a e 1 4

a 1 -a o e

1 -a r-R =

3 1 -a

a 1 -a imdash

3 vl - a 3

e e

Os valores de R obtidos por esta expressatildeo aproximam-se

muito dos valores obtidos pelos aacutebacos de Martinelli

69

E - EXPANSAtildeO E COMPRESSAtildeO DE UM FLUIDO - ANAacuteLISE HIDRODINAcircMICA

DE UM CIRCUITO EM CIRCULACcedilAtildeO NATURAL

1 EXPANSAtildeO NO FLUXO DE UM FLUIDO

11 - Uma so fase

Figura 1

Ha vaacuterios meacutetodos para determinar a variaccedilatildeo de pressatildeo

numa expansatildeo de fluido estudaremos o de Romie que eacute o que daacute

maior precisatildeo

Romie considera que a pressatildeo p^ tambeacutem atua na aacuterea

imediatamente apos a expansatildeo Assim fazendo o equiliacutebrio das foi

ccedilas nas secccedilotildees tracejadas da figura 1 temos

mVj

p r A 2 + mdash

mV

bull 2- A2

mas

m = pV^A^

pV^A = p V 2 bdquo A 2

V A

v 2 -4r-logo

( P l-P 2) A 2 = f ( V ^ ) - f _ v j amp c c 2

70

2 pV A A pV A A

Chamando A l A ]

K = 1 - T e degi2 = Aiexcl bull V E M

pvj

P l P 2 = T ~ bull ( 2 deg 1 2 ) ( 1 _ a 1 2 )

Outra maneira de chegar atilde diferenccedila de pressatildeo ( P j - ^ ) s mdash

ria usar o coeficiente de perda da mecacircnica dos fluidos Assim o

equilibrio das pressotildees eacute

2 2

1 V l 1 V 2 V l P i + _ p _ ^ P 2 + I p ~ + k 1 2 p mdash

onde = coeficiente de perda

A 2 1 2

k 1 2 - (l-o 1 2) - (1 - j- )

Fazendo as transformaccedilotildees chegamos a mesma expressatildeo obshy

tida pelo balanccedilo das forccedilas

PraquoIacute pr p

2 - - ir ^ laquo-ia

12 - Duas fases

Como ha duas fases a equaccedilatildeo do balanccedilo das forccedilas fica

um pouco alterada

m pound 1 V- m - raquoV - m-V- m bdquoV _ P A + j y ^ i + _gl_JUuml P A + -11-11 + -ilsl (a)

1 2 e R 2 2 ff e

Sabendo que

71

m (1-x) m t = p fA (1-a) V f

entatildeo

fl l-o^ p fA x

6 Vf2 1-x l-a2 P fA 2

m V = mdash mdash e V 0 = gl a 1 P C T A 1 g2

m

a_ p h

2 g 2

Nas expressotildees anteriores o x nao varia porque a expansatildeo

5 adiabaacutetica porem o a varia devido a modificaccedilatildeo do tamanho da

bolha

Substituindo os valores das velocidades na expressatildeo (a)

vera

( P - P ) Abdquo =

2

2 2 m gt2 2 m t (1-x) 1 x t

ra i 2 m i 1 x t 1

p fA 1 g c ttl p Ax gpound

m t P - P = mdash

(1-x) (l-a 1)A 1A 2 (l-a2)A|

a r A r A 2

V A 2

m t P bdquo - P = mdash 2 1 g c A r A 2 p f

(1-x) 1-a f A 2(l-a 2)

bull ^ 2

72

Se

P -P

a

m

g

12

1 _1_ (1-x)

J12

1 _ a l 1 - a 2 + X (- )

Pg

1 deg12 a 2 ^

Sabemos que

mt = V o pf laquo A l

Sendo V q = velocidade do liquido num ponto onde natildeo haja vapor

P 2-P 1

u 2 2 A 2

V pr Ai

V W p f

(1-x) 12

l-a1 l-a2

+ X 2 pf

mdash

l deg12

-1 a 2 _

p -p r 2 Al (2a 1 2)

2 M f w 1 deg12 X (mdash) (

pg al a 2 )+(l-x)C l 1 12

1-a^ l-a2

Devemos notar que esta expressatildeo tambeacutem vale para quando

temos uma fase para isso basta fazer

= c t 2 = 0

X = 0

e recairemos na formula do item anterior

2 pf 1 deg12 Observemos que neste caso o termo x (mdash)( ) nao

Pg al a2

2

73

tem significado pois corresponde a mudanccedila de fase

2 CONTRACcedilAtildeO KO FLUXO DE UM FLUIDO

21 - Uma so fase raquo mdash

Aqui ocorre um fenocircmeno importante pois o fluido ao ser

contraiacutedo nao vai diretamente da area A^ para a area A 0 mas ele

contral-se ate uma area A^ e depois expande-se ate k^

Ao A2

Po IP 2

V 2

Figura 2

Fazendo o equiliacutebrio das pressotildees entre os planos (1)

(0) vem 2 2

pV pV p +~ plusmn - P + i deg bull 1 2 g o 2 g (b)

C x

Fazendo equiliacutebrio da expansatildeo (0) - (2) vem

P o + 2 - f = P 2 + 2 -T + kp- 2 F ( c )

c c b C

Subtraindo (b) - (c)

2 2 2

i p- vj i p- v2 L P l + 2 bull g c

P 2 + 2 2g c

+ k P 2g c

74

Como

P - P = mdash 2 2g

2 2

bull (1 + k) - f bdquo mdash i

k a - f2 ) 2 - d - o c )2

= o

A = a 21

Weisback obteve varias relaccedilotildees entre a e a i] c

01 02 03 a 0624 0632 0643 c

0624 0632

A r v i - V v 2

p -p 1 2

P -P 1 2 2g7

v l =

(1+k) - laquofi- a 2g 21 c

( 1 + k - o 2 1)

X[- V 2 o 2 1V 2

22 - Duas fases

0 valor de k pode ser aproximado para

k = a(l - o 2 1)

onde segundo Richardsons para fluxo de duas fases podemos supor

a = 02

Para fluxo homogeacuteneo sabemos que

75

p = p f (1 -a ) + p o a

podemos supor p bdquo a = 0 pois p e pequeno e fazendo

V = V ~ V fbdquo2 go2 v 2

Substituindo estas duas expressotildees na equaccedilatildeo de uma soacute fase vem

2 2 p V (l-ct) p V (1 -a ) bdquo

P l P 2 = 9g ( 1 + 3 - 3 0 ^ - 0 ^ ) = g (a+1) (l-a^)

Se a = 02

2 12p oV 0

p r p

2 - 9g gt d-) d-sigt

A compressatildeo de um fluido acarreta uma perda de pressatildeo

como pode ser verificado pelas formulas uma vez que lt 1deg

3 ANALISE HIDRODINAcircMICA DE UM CIRCUITO EM CIRCULACcedilAtildeO NATURAL

Esquema deacute uma caldeira com circulaccedilatildeo natural

76

Determinar a velocidade em (7) para que tenhamos circula

ccedilatildeo natural Determinar tambeacutem as perdas de pressatildeo em todos os

trechos da caldeira

31 - Contraccedilatildeo das secccedilotildees (1) - (2)

Como jaacute vimos a equaccedilatildeo do balanccedilo das pressotildees eacute

1 pr Vl 1 p 2 o V 2 P2 V2

1 2 g 2 + 2 g + K12 2g otilde c amp c e c

bullraquo 2 o2 2 e havendo uma soacute fase k 1 9 = (l-o ) = (1 mdash ) e sendo

C 2

p l = p2

v x lt lt lt v 2

P 2 V pr p2 bull ir2 bull ( 1 + k12gt

Colocando em termos de temos

A 2 V 2 P 2 = A 7 V 7 p 7 (continuidade)

V = V mdashbull = V o_bdquo ~ A 2 2 2

P 2 V - p 2

p r p 2 = ir2 - deg72 bull Ccedilrgt bull lt 1 + ki2gt

fazendo

N12 - lt^gt deg72 ( 1 + k12gt

P7 V7

Pr P2 - N12 bull HG

77

3 2 - Perda de carga no trecho ( 2 ) - ( 3 )

Como haacute apenas uma fase soacute temos perdas por atritos e

perdas hidrostaacuteticas

Sendo como jaacute vimos

2 3 p 2 2 g P 2 P 3 = f 2 3 (r~2g^~) L 2 3 g c p

atrito hidrostaacutetica

Substituindo V^ pela relaccedilatildeo do item anterior e tendo em

conta que p = vem

P -P = f 2 r 3 2 3 D

2 3 p 2 bdquo 2 2 p 7 2

2 g 7 72 p 2 3 g

Se

L 2 3 2 p 7

2 3 2 3 D 2 a 7 2 p 2

P 7 V 7 g P 2 - P 3 = N 2 3 ( mdash gt p 2 L 2 3 f

3 3 - Expansatildeo nas secccedilotildees ( 3 ) - ( 4 )

Como vimos o balanccedilo das pressotildees e

2 2 2 p V p 4 V p V

P 3 + 2 g c

P 4 + 2 g c

+ k 3 4 2 g c

onde

k 3 4 - - -

2 2 1 P 4 - V 4 P 3 v 3

P 3 P 4 = 2 g + ( k 3 4 _ 1 ) 2 g

78

Sendo

P 3 - P 4

p 3 o A 3 deg V 3 = P 7

a A 7 o V 7

P 4A 4 0V 4 = P r A r V

3 7 A 3 p 3

A7 P7 V = v mdash mdash 4 7 P 4

P - P 3 r4

Se

P bdquo - P

bdquo2 r-P 7 V 7

3 4 2g deg74 + ( k 3 4 1 ) deg73

34 p deg74 + ( k 3 4 1 ) 73

p r v2

P3- P4 ^ N34 ^ gt

(No caso e negativo)

34 - Contraccedilatildeo nas secccedilotildees (5) - (6)

Ainda temos uma so fase e fazendo o balanccedilo das pressotildees

como fizemos no item 3lt1 vem

P + vil p + vi + k vi P 5 + 2gbdquo P6 + 2gbdquo + k56 2gbdquo

k 5 6 lt 1 ^ gt 2 ( 1 - Iacute 2 i 2 6

V V6 P5degIacute 5^6 ^SS 2g c - 2g c

P - P ^ = (1+kJ

Como

79

A 6

W p 5 =

VV P6 V 5 = V 6 Jiexcl = Vff65

P 5-P 6 - lt H k 5 6 ) mdash ^ mdash (l+k 5 6-a 6 5) c c c

Sendo

Se

A 7 p 7 p 7

6 7 Ag p 6 7 76 p 6

p _p _ P6- V7- g76 iquest72 ( _ 02 P 5 P 6 2g c bull ( p 6

( 1 + k 5 6 deg65 )

p 7 2 2 N56 = p ^ deg76 ( 1 + k 5 6 ~ a 6 5 )

P 7 V 2

7

P r-P = N r 5 6 56 2g c i

35 - Perdas de pressatildeo nas zonas (6) - (7) - Pre^aquecimento

Nesta regiatildeo temos perdas por atrito e hidrostaacuteticas

Nao haacute perda por aceleraccedilatildeo pois ainda natildeo houve formaccedilatildeo de boshy

lhas

Fazendo balanccedilo das pressotildees temos

L_ ppound-V p = p + otilde L - pound _ + f -Si (-21mdashL 6 7 + p67 L67 g + t 6 7 D K 2g

p _ e ifn sao tomados como valores meacutedios 67 67

P _p _ f hl ^67jIacute uuml + - L A

6 F 7 r67 D 2g P P67 L67 g 6 s c 7 c

S e Kr pound67 L67 p67 6 7 D 6 p7

p7 V - _g_ P6- P7 - N67 mdash + P67 L67 f

c c

80

36 - Perda de pressatildeo nas zonas (7) - (8) - Zona de ebuliccedilatildeo

Nesta regiatildeo j aacute temos o aparecimento de bolhas logo a

perda de pressatildeo seraacute devida agraves t recircs parcelas aceleraccedilatildeo a t r i t o

das duas fases liacutequidas + vapor e h idros taacute t ica

onde

Assim

P-P Q = AP + AP + APbdquo 7 8 a t r i t o acel H

T M1

78 p 7 7 AP - R f- - mdash mdashr |R = fator mult ipl ica-

a t r i t o 7 D 7 2 g c L tivo

G 2

AP bull r mdash acel g c

P V

|_1 - o a p J 8 P f

2 t r 2 M2

7 7 r 7 7 A P a c e l = -J^mdash 2 r bull p 7 lt T iexcl iexcl - )

A PH p 7 8 L 7 8 fiexcl

p 7 8 iacute 7 li 1 0 0 P l i q + a P v ] d L = P 7 ( 1 - laquo 7 8 )

ag raquo fraccedilatildeo de vazio media entre 7 e 8

APH = p (1 - 5 7 g ) f- L 7 8

2 2

P 7 - P 8 a 5 - 2 T i + 2 r p 7 + P 7 ( 1 - 7 8 gt f L 7 8 7 amp c amp c amp c

81

N 7g = R mdash + 2 r p 7

P7 V7 P7- P8 = N78 + P 7 ( 1 5 7 8 gt J78

37 - Expansatildeo nas secccedilotildees 8 e 9

No caso haacute uma expansatildeo com duas fases e como vimos no

item 12 a variaccedilatildeo de pressatildeo era dada por

0f Vo P2 P1 = ~2g c ( 2 deg12

x 2 (mdash)(mdash - mdash ) + ( l - x ) 2 ^ T mdash 8 1 2 1

12

Aplicando ao nosso caso

P pound = P 7

P -P = 8 9

V - V raquo V g f 7

P 7 V 2

2 pf 1 a89 2 1 g89 x (mdash) ( ) + (1-x) (- - N

o ou abdquo 1-cu l-ot_) g 8 9 8 9

Se

N 89

= 2 a 89

2 pf 1 deg89 2 1 CT89 x (mdash) ( ) + (1-x) ( T

g 8 9 8 9

P -P = 8 9

- N P7deg V7

89 2gbdquo

38 - Perda de pressatildeo no trecho 9 e 10

No referido trecho temos apenas perda de pressatildeo por atr L

to da fase liacutequido + vapor e perda hidrostaacutetica Natildeo haacute perda por

aceleraccedilatildeo do vapor pois este natildeo recebe mais calor e portanto

o 82 o

nao ha variaccedilatildeo no a

p

Q -p i n = A P

U + A P bull 9 10 H atrito

n T -S_ P9 U10 deg 910 bull g

fio r

910 I 910

J9 L

(l- a)P + Q P I dL liq v

(l-a0) p

No caso a = (nao hatilde variaccedilatildeo de forma)

A P H - (1-a ) P (p L 0

c

AP bdquo = R o

atrito

2 f9 o L910 P9 V9

2g

Supondo

= V

P 9 = P 8 P 7

vbdquo = v 9 8 0 A r

= V 7 bull deg89

AP - R atrito

2 2

W l O p7deg V7deg g89

V P10 R -^T^ bull deg89 bull li-2 + ( W P 7 (fgt SIO

y c c

Se

- f9 L910 2 N9ol0 R Dl deg89

w 2

p rv P9 P10 = VlO + ( 1 a 9 ) p7 (f gt L910 c

33

39 - Perda ciacutee pressatildeo na expansatildeo 9 - 1 0

Analogamente a expansatildeo 8 - 9 temos

10 11 P 7 2g

10 Iacute 2 0 1 0 - 1 1 gt

2 ff

pg aio

10-11

laquo11 ) +

Ll-a 1 0 bull l-a u J

Se

V10 = V 9 = V 8 bull T9 = V 7 deg89

P -P 10 rll = - a 2g 089 ^lO-ll

4 bull T~ bull (7 1 mdash ) + Pg degio a n

+ (l-x)2(- 1 10-11

1 - aio )

N10-ll = 2 a10-ll a89 2 pf t 1 10-11 N2

-(j-r- - ) bull+ (1-x) pg aio deg 1

10-11 k l - a io

prz P10 Pll = - N10-ll bull ( 2gbdquo

310 - Calculo de V

Fazendo a somatoacuteria de todas as expressotildees (P^-Pj) tere-

84

mos 2 PbdquoV_

P bdquo - P bdquo = N 7 v 7

1 2 12 2g

bull 2 - P 3 - = N 2 3 P 2 L 2 3 f c ccedil

9 P 7 V 7 P _p = N mdash -

3 4 34 deg 2g

V P 5 = deg

2 P V

5 6 56 2 g c

ltr2

P 7 -V 6 e7 -N67 2g + p 6 7 J j67 g

c bc v 2

P 7 - P 8 = N 7 8 - 2 i ~ + p 7 ( 1 - laquo 7 8 ) L 7 8 c

P 7 V 7

P - P - -N mdash - -8 9 89 2g

c P 7 V 7

P 9 ~ P 1 0 VlO 2g + ( 1 a 9 P 7 L 9 c

P 7 V 7

bull10 11 U10-ll 2g

P v iacute j P - P

1 11

7 - v 7 3 bull r

2 8 i U L 2 23 67

(l-5 7 8) L 7 8 + ( l - laquo 9 ) P 7 bull SlOtilde]- ^

Por ou t ro lado sabemos que como secccedilotildees 1

mesmo n iacute v e l

85

s c p r v 7 j

28 Z N i ij

= P 2 L23 p67 L67 P 7 ( 1~deg78 )

78 ~ ^g) bull P 7 bull L 910 g_

V - 2 g ( p r L 2 3 - p 6 r L 6 7 - p 7 ( l - atilde 7 8 ) L 7 8 - (l-a9) p L 9 a ( )

y N

Com esse valor de podemos determinar todas as variashy

ccedilotildees de pressatildeo (P^-P )

BIBLIOGRAFIA

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tituto de Energia Atocircmica de Sao Paulo em 1966 (roteiro)

- WR Gambill - Nuclear Safety

Vol 9 - n9 5 e 6

Vol 6 - n 2 (pag 152)

Vol 4 -r n9 1 (pag 30)

Volbdquo 5 - n 2 (pag 151)

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- Paul A Lottes - Argonne National Laboratory

- AKL - 6469

- ANL - 6561

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Frank Kreith - Principles of Heat Transfer

Journeacutees Internationales de la transmission de la chaleur

Seminaacuterios realizados em Paris em 1961 sob a supervisatildeo do

Prof Marcel Veron

Notas de aula da Cadeira de Termodinacircmica I e Transmissatildeo da

Escola Politeacutecnica da Universidade de Sao Paulo

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29

Regiatildeo I

Regiatildeo II

Regiatildeo III

Regiatildeo IV

xo de calor por unidade de area

Na curva notam-se 4 regiotildees bem definidas tendo cada uma

o seu significado fiacutesico os quais correspondem a um tipo de ebuli

ccedilao

convecccedilao natural

ebuliccedilatildeo nucleada

ebuliccedilatildeo por peliacutecula parcial

ebuliccedilatildeo por peliacutecula estaacutevel

41 - Convecccedilao natural

Ocorre quando At eacute inferior a 8degCformam-se no liacutequido

correntes convectivas as quais transferem o calor ateacute a superfiacuteshy

cie livre do liacutequido e aiacute desprendendo o vapor Neste caso o valor

de h eacute da ordem de 2000 kcalm^hdegC

42 - Ebuliccedilatildeo nucleada

Ocorre quando o At eacute maior que 8degC e menor que 25degC Nesshy

te caso as bolhas formam-se junto a superfiacutecie de aquecimento

crescem liberam-se movimentam-se em direccedilatildeo agrave superfiacutecie livre do

liacutequido onde estouram libertando o vapor As bolhas formam-se nas

irregularidades da parede tecircm um acircngulo de contato agudo e porshy

tanto hatilde liacutequido sempre em contado com a parede (molha a parede)

cada ponto ativo (lugar onde se formam as bolhas) libera uma porshy

ccedilatildeo de bolhas e os outros pontos do liacutequido ficam em contato com a

superfiacutecie quente violentamente agitados Esta agitaccedilatildeo extrema eacute

mais eficaz que uma turbulecircncia criada artificialmente Por esse mo

tivo a curva cresce violentamente nesse trecho (m = 3 a 7) pois

bull 2 o o valor de h cresce consideravelmente (ate 46000 kcalm hr C) e

o fluxo teacutermico transmitido ao liacutequido cresce proporcionalmente a

Quando cresce crescem tambeacutem

(At) 3

30

numero de bolhas por unidade de aacuterea (num instanshy

te)

~ = crescimento da bolha (com o tempo)

frequecircncia de iacuteormaccedilao de bolhas

A medida que o At vai aumentando iraacute aumentando (jgt tam-- n o N

bem e consequentemente mdash R mdash a a a tal ponto que quando atiacuteii

girmos o ponto da curva nao haveraacute mais formaccedilatildeo de bolhas

mas sim uma peliacutecula de vapor instaacutevel passando assim a 3a re

giao que estudaremos a seguir

43 - Ebuliccedilatildeo por peliacutecula parcial

Como dissemos no item anterior se aumentarmos ainda mais

o At (entre 25degC e 125degC) teremos a formaccedilatildeo de uma peliacutecula de

vapor instaacutevel sobre a superfiacutecie quente que aacutes vezes eacute perfurashy

da pelo liacutequido A camada de vapor tanto mais estaacutevel seraacute quanshy

to maior focircr o At Essa peliacutecula de vapor iraacute provocar um decreacutes_

cimo consideraacutevel no fluxo teacutermico porque como sabemos o vapor

eacute muito pior condutor que a aacuteguaraquo

0 fluxo vai decrescendo ateacute um ponto miacutenimo (iexclgt mintilde (as vecirc

iacutebo bullraquo 1

zes chega a ser mdashj-) e e o chamado ponto de Liedenfrost 0 coeshy

ficiente de peliacutecula neste caso cai violentamente (h = 2000

kcalm^hrdegC)

44 - Ebuliccedilatildeo por peliacutecula estaacutevel

Aumentando ainda mais a diferenccedila de temperaturas

At ( gt 125degC) iremos conseguir uma camada de vapor estaacutevel Ela

transmite calor da superfiacutecie quente ao liacutequido que se vaporiza de

modo que o excesso de vapor formado na interface liquido-vapor for

ma bolhas que sobem para a superfiacutecie 0 liacutequido encontra-se agi-

31

tado poreacutem nao toma contato com a superfiacutecie soacutelida

A peliacutecula de vapor eacute estaacutevel e o fluxo eacute proporcional a

34

(At) (lei de Bromley) Para At grandes passa a influir sensivel^

mente a radiaccedilatildeo teacutermica mais uma razatildeo para demonstrar que nesshy

ta regiatildeo o fluxo cresce novamente

5 CONSIDERACcedilOtildeES E COMPARACcedilAtildeO ENTRE OS TIPOS DE EVAPORACcedilAtildeO

BURNOUT

Sob o ponto de vista de eficiecircncia teacutermica deveriacuteamos sem

pre trabalhar no ponto de fluxo maacuteximo isto eacute no ponto correspon

dente a lt(gt da curva de Nukiyama pois eacute o que daacute maior coeficieri

te de peliacutecula

Acontece poreacutem que se impomos a temperatura da parede

fixa obtemos um uacutenico valor de lt(gt e portanto o fenocircmeno eacute estaacutevel

Poreacutem se como ocorre nos reatores impomos um fluxo teacuter

mico a curva de Nukiyama apresenta 3 pontos de funcionamento posshy

siacuteveis A B C

1

SOacute os pontos A e C sao funccedilotildees estaacuteveis mas eles impotildeem

acirc superfiacutecie quente temperaturas bem diferentes

Na industria em geral trabalha-se por questotildees de segushy

ranccedila na regiatildeo IV da curva poreacutem para os reatores trabalha-se na

32

r e g i atilde o I I

0 p r o b l e m a de t r a b a l h a r n a r e g i atilde o II eacute q u e se n oacute s e s t i shy

v e r m o s t r a b a l h a n d o n o p o n t o e x t r e m o (j) e se p o r q u a l q u e r m o t i v o

h o u v e r u m p e q u e n o a c r eacute s c i m o d e ltfgt i r e m o s t r a b a l h a r i m e d i a t a m e n t e no

p o n t o M q u e t e m o m e s m o $-^0t p o r eacute m c o m A t 2 m u i t a s v e z e s m a i o r

p o d e n d o o c a s i o n a r a f u s atilde o d a s u p e r f iacute c i e a q u e c e d o r a E s t e f e n ocirc m e n o

eacute c h a m a d o d e b u r n o u t

0 f l u x o lttgt eacute c h a m a d o f l u x o c r iacute t i c o o u f l u x o d e b u r -b o

n o u t N o c a s o do r e a t o r d e v e m s e r t o m a d a s m e d i d a s r i g o r o s a s q u a n

to agrave r e g u l a g e m do f l u x o t eacute r m i c o p a r a q u e n atilde o o c o r r a o b u r n o u t 1 1

p o i s d e l e p o d e r e s u l t a r r u p t u r a d a c a m i s a do c o m b u s t iacute v e l e h a v e shy

r aacute p o r t a n t o c o n t a t o do r e f r i g e r a n t e c o m o s s oacute l i d o s e g a s e s r a shy

d i o a t i v o s

5 o l - R e l a ccedil atilde o d e B u r n o u t

E c l a r o q u e p a r a t e r m o s u m r e a t o r m a i s e f i c i e n t e d e v e shy

m o s t r a b a l h a r c o m u m f l u x o o m a i s p r oacute x i m o p o s s iacute v e l do f l u x o d e

B u r n o u t P a r a t a n t o d e v e m o s c o n h e c e r c o m o m a i o r g r a u d e certe

za p o s s iacute v e l q u a l o ^ p a r a p o d e r m o s r e d u z i r o c o e f i c i e n t e d e s e shy

g u r a n ccedil a ( W R G a m b i l l r e c o m e n d a agrave 1 5 )

N o s s e m i n aacute r i o s d e W R G a m b i l l e n c o n t r a m o s u m a s eacute r i e de

b i b l i o g r a f i a s o n d e p o d e m o s e n c o n t r a r i n uacute m e r a s f oacute r m u l a s p r o p o s t a s

p a r a a o b t e n ccedil atilde o de (q 1^)

A t i t u l o d e e x e m p l o v e j a m o s a l g u m a s

q - 2 7 0 G deg gt 8 5 D 0 2 A085 p lt 150

deg D ( L uuml ) 2

q - 140 G 0 5 D ~ deg 2 (-~-)~deg 1 5 p ~ r gt 150 c D (LD)

o n d e a m b a s as e q u a ccedil otilde e s s oacute v a l e m p a r a aacute g u a e m b a i x a p r e s s atilde o e m coii

v e c ccedil a o f o r ccedil a d a

33

D

L

fluxo teacutermico critico BTUhrft bdquo 2

descarga em massa do liquido (Ibmhrft )

diacircmetro do tubo ft

comp do tubo ft

Para cada caso temos uma expressatildeo diferente que pode ser

encontrada em literatura especializada

6 INFLUEcircNCIA DE OUTROS PARAcircMETROS NO FLUXO DE BURNOUT

Como para os usos atuais do reator a diferenccedila de temppound

ratura entre parede e fluido sao pequenas bem como o fluxo de bur

nout recentemente fiacutesicos como Jakob Bonilla WR Gambill estu

daram outros paracircmetros que influenciam bastante o sect^ 0gt isto eacute a

influecircncia desses paracircmetros faz com que o ^ seja maior Isto eacute

util pois quanto maior o fluxo de burnout maior poderaacute ser o

fluxo de calor real de funcionamento

Tais meios sao

- Sub-resfriamenCcedilo do liacutequido

61 - Influecircncia da velocidade do liacutequido

Estudos feitos pelos autores acima chegaram agraves curvas

- Aumento da velocidade imposta ao liacutequido

- Pressatildeo do liacutequido elevada

alto V

At

34

Para velocidades maiores o fluxo de burnout aumenta

porque neste caso o regime eacute turbulento e o coeficiente de peliacute

cuia h aumentao

6bdquo2 - Influencia do aumento da pressatildeo

Este estudo deve-se a Bonilla que obteve experimentalmen

te as curvas

Este estudo foi feito para vaacuterios liacutequidos e chegou a con

clusao que sempre havia uma pressatildeo oacutetima isto e uma pressatildeo que

leva ao maior iacute 1 ^ raquo mantidas as demais condiccedilotildees Experimentalmenshy

te notou que essa pressatildeo correspondia a 13 da pressatildeo critica

do liquido em questatildeo

6=3 - Influecircncia do sub-resfriamento

Consiste em manter atilde custa de uma circulaccedilatildeo intensa o

liacutequido a uma temperatura inferior atilde de saturaccedilatildeo para a pressatildeo

correspondenteraquo Experimentalmente chega-se agraves curvas

mdash A t grande sub

bullAt -0 sub sub

medio

At

35

Verificando os graacuteficos vemos que o lt)gt aumenta agrave medida bo

que aumenta a diferenccedila de temperatura de sub-resf riamento isto pojr

que o liquido como estaacute mais frio faz com que algumas das bolhas

recondensem permitindo que o liquido fique em contato com a parede

quente o que faz aumentar o h

^ f csub = t e m P e r a t u r a ddeg liacutequido - temperatura de saturaccedilatildeo

A diferenccedila de temperatura At entre fluido e parede tamshy

beacutem aumenta poit na regiatildeo proacutexima agrave parede haacute necessidade de

levar o liacutequido da temperatura do sub-resfriamento ateacute a temperatu

ra de saturaccedilatildeo quando se evapora

Atualmente os maiores estudos dos fiacutesicos nucleares locashy

lizam-se neste campo pois eacute o que oferece maiores vantagens

7 FORMULAS PARA 0 CAacuteLCULO DO COEFICIENTE DE PELIacuteCULA NA EBULICcedilAtildeO

Como ocorre no caacutelculo de todas as foacutermulas de convecccedilatildeo

temos formulas empiacutericas para determinar o h conforme o tipo de

ebuliccedilatildeo que nos consideramos

71 - Ebuliccedilatildeo Nucleada

Para o caso de aacutegua temos as relaccedilotildees

superfiacutecies

horizontais

superfiacutecies

verticais

f aacute 5000 BTUhrft 2 -gtbull h = 151 ( A t ) 1 3

A o

5000 lt 75000 -h = 0618 (At)3

^ pound 1000 -raquobull h = 8 7 ( A t ) 1 7

A o -

1000 lt $ lt 20000 -gt h = 027 (At) A o

Quando a pressatildeo e diferente da atmosfeacuterica faz-se a correccedilatildeo

3 6

72 - Ebuliccedilatildeo por peliacutecula

Bromley propocircs uma boa equaccedilatildeo para a ebuliccedilatildeo por peliacuteshy

cula estaacutevel em cilindros horizontais

Nu

_ JtjD n r 9 P v bull ( P L - P v gt - g -h

e V bull D i2

D 1 ^ U b Z u At gt

onde

V = indica vapor

L = indica liacutequido

Multiplicando ambos os membros da equaccedilatildeo acima por

kvD obteremos a expressatildeo do coeficiente de convecccedilagraveo meacutedio para

o caso

37

C - FORMULAS PARA CAacuteLCULOS ESPECIacuteFICOS - RESULTADOS ESPECIacuteFICOS

1 FLUXO DE CALOR CRIacuteTICO - BURNOUT

lol - Introduccedilatildeo

O aspecto mais importante no que se refere agrave seguranccedila

dos reatores da transferencia de calor na ebuliccedilatildeo eacute a determina

ccedilatildeo do Fluxo de calor critico ou de pico ou burnout

Como jatilde vimos quando temos a ebuliccedilatildeo nucleada a dishy

ferenccedila de temperatura entre refrigerante e superfiacutecie de aqueci

mento e pequena poreacutem quando atingimos o fluxo de calor criacutetico

essa diferenccedila de temperatura pode tornar-se imediatamente muishy

to grande podendo causar a ruptura da superfiacutecie de aquecimento

se atiigirmos o ponto de fusatildeo do soacutelidoraquo

Usando a convecccedilao

onde

At sat

w

sat At

sub

w = temperatura da parede de aquecimento

t t = temperatura de saturaccedilatildeo do liacutequido

t^ = temperatura de mistura do liacutequido

At = (t -t ) sub-resfriamento do liacutequido sub N sat b 1

nout

Ha dois tipos de burnout fast burnout e slow bur-

Ocorre o fast burnout (burnout raacutepido) quando A t g u b gt 0

38

ou para baixo x (~ lt 10) sendo x o titulo do vapor

Temos o slow burnout para x - gt 10 Assim noacutes tereshy

mos dois limites para o burnout

At bull o (ltJgt ) t =((() para t = t ) -

bo m m possiacutevel w sat

sub i

4L + 1

G c D h pl nb

(ltK ) = (ltpound para x = 1) = Dv-bo max possiacutevel e 4L

c At l + P 1 sub i

onde

L = comprimento do canal

D = diacircmetro do tubo

G = descarga de liacutequido (por unidade de aacuterea)

c ^ = calor especiacutefico do liacutequido

Agrave = calor latente de vaporizaccedilatildeo

h ^ = coeficiente de transferecircncia de calor na regiatildeo de

nao ebuliccedilatildeo

iacutendices

i = entrada

e = saiacuteda

Haacute inuacutemeras expressotildees para determinaccedilatildeo do burnout pro

postas por muitos fisicos cada uma aplicando-se a um caso especiacuteshy

fico vejamos algumas delas

12 - Equaccedilotildees para prediccedilatildeo de Burnout

121 - Equaccedilatildeo de Bragg e Smith (Zuber)

Num artigo publicado por Bragg e Smith encontramos uma f oacute_r

mula que e derivada da formula de Kutateladze e nos daacute o fluxo cri

39

tico quando nao temos sufaresfriamento

bo poolsat v V raquoc a ( p l P V )

2 PV

14

onde

ltiexclgt = fluxo de calor critico bo

k = constante

Ly = calor latente de vaporizaccedilatildeo do refrigerante

= densidade do liquido

pvr = densidade do vapor V a = tensao superficial

g = fator de conversatildeo c

a = aceleraccedilatildeo da superficie de aquecimento

Os autores encontraram para k um valor de 062 entreten

to outros autores como Zuber incluindo outras variaacuteveis que In

fluiam no fenocircmeno encontraram k variando entre 008 e 023Esshy

tudos bem elaborados mostram que o valor mais aproximado eacute

k = 015 (- 003)

1-22 - Equaccedilatildeo de Noyes

Noyes estudou o burnout para o soacutedio agua e alguns liacute

quidos orgacircnicos

( W s a t ~ bdquo 0245 bull ( r ( 1 )

iiacute_ V 1 Pr

onde

N n = Nuacutemero de Prandtl da fase liacutequida x r

Mais tarde o proacuteprio Noyes alterou a equaccedilatildeo para

n ^ - n H Iacute I Pl PV gt0538 deg g c a q 4 ( W s a t deg 1 1 6 PV ( - p 7 ~ ) (77T1^ ) ( 2 )

40

A ultima correlaccedilatildeo proposta por Noyes foi

a n prPV0560 112

1

(a bull a) 13

(ag c) 112

(3)

onde

a = difusividade teacutermica do liacutequidoraquo A equaccedilatildeo (3) eacute bashy

seada em todos os dados de burnouts do soacutedio bem

como da atildegua benzeno difenil e outros De 111 pontos usados 90

+ estatildeo relacionados dentro de - 30bdquo

ldeg2o3 - Burnout com convecccedilao forccedilada e sub-resfriamen

to

Aproveitando os resultados de aproximadamente 240 testes

de burnouts com aacutegua sub-resfriada em fluxo de convecccedilao forccedilashy

da feitos na Ruacutessia Labuntsov elaborou uma boa equaccedilatildeo empiacuterica

para o problemabdquo

Esta relaccedilatildeo aplica-se para velocidades entre 2 3 e 148

ftsec pressotildees entre 1 e 201 atmabs sub-resfriamento entre 0 deg

e 432 degF e fluxos de burnout entre 0 4 x IO 6 x 166 x 1 0 6 BTUhr

2 bdquo

bullbo

onde

e a seguinte

6 ( P ) 1 + 0 2 3 2 V 2

14

e ( P ) 1 +

15 c At _p_ sub

12 (a)

9 ( P ) - P 1 3 o ( 1 - P J 4 3

red

= pressatildeo (atm abs)

pressatildeo reduzida = mdash mdash red r P

t_ c = pressatildeo critica

= velocidade do liacutequido (ftsec)

= calor especiacutefico do liacutequido (BTUlbdegF)

4 1

^ tsub = ^ ^ e r e n Ccedil a ^ e temperatura entre a temperatura de

mistura do liacutequido e a de saturaccedilatildeo (degF)

X = calor latente de vaporizaccedilatildeo (BTUlb) 2

ltiacutegtbo = fluxo de burnout (BTUhrfl )

Uma outra correlaccedilatildeo para o caso foi proposta por

Ornatsky e Xiohigin que fizeram experiecircncias para pressotildees entre

10 e 1 5 0 3xm 90 degF lt At ^ lt 4 5 0 deg F 3 7 1 0 6 ( l b h r o f t 2 ) lt G lt

2 2 2 10 b ( l b h r bdquo f t 2 )

lt ^ = 3 2 5 0 (G o A t bdquo J deg 6 ( - i - ^ ) 2 5 ( b ) bo sub

onde

G - descarga de refrigerante por unidade de aacuterea

P ^ v P v - densidades do liacutequido e do vapor

P1~ PV -0 termo (mdash ) e incluido na expressatildeo (b) para indicar

a influecircncia da ^ pressatildeo sobre o

Uma comparaccedilatildeo entre as equaccedilotildees (a) e (b) foi feita para

o Reator de Isoacutetopos de Alto Fluxo (HFIR) nas condiccedilotildees aacutegua a

600 psia velocidade = 45 ftsec e sub-resfriamento = At^^ 1

degF obtendo-se uma diferenccedila de 6 5 entre ambos (4gt = 6 0 5 1 0 b

2 ~ 6 2 BTUhr ft pela equaccedilatildeo (a) e 6 4 5 10 3TUhrraquoft pela equaccedilatildeo

(b)

Ilatilde ainda a equaccedilatildeo de Ivey e Morris aplicaacutevel somente pa_

ra ebuliccedilatildeo com grande quantidade de liacutequido

( c sub t

Cpf bull A tsub

( bull ) s ~ V P bdquo 10 h V sat V g

onde

(ltL ) = fluxo critico com sub-resfriamento c sub

(ograve ) ^ - fluxo critico sem sub-resfriamento c sat

42

c ^ = calor especiacutefico do liacutequido

= calor latente de vaporizaccedilatildeo

124 - Burnout com convecccedilao forccedilada e ebuliccedilatildeo por bocirc-

Ihas

Gambill fez uma extensatildeo da equaccedilatildeo de Levy e aplicou o

metqdo da superposiccedilatildeo Tal extensatildeo consiste natilde subtraccedilatildeo de uma

razatildeo equivalente de massa transferida dos termos que represenshy

tam a ebuliccedilatildeo e convecccedilao para levar em conta a presenccedila do vashy

por no fluxo

A correlaccedilatildeo pode ser escrita assim

24 V P V

o g c a (p^Py) 14

+ 0696 (k p c ) 12

(

pr p v )i4 o g c a (P-L-Py) 18

bull At + h sub nb

044 p v L v G (g1) bull N2 n

p l P V

( pr p v ) d e 2-7

2 4 TT 0

14 ( f e _ ^ r l 3

lO^u

onde

k = condutividade teacutermica

c = calor especiacutefico

A t s u b ~ s ub-resfriamento do liacutequido

h = coeficiente de transferecircncia de calor de nao ebu nb mdash

liccedilatildeo

G = descarga total do refrigerante

43

d g = diacircmetro equivalente do tubo ou canalraquo

]i = viscosidade

B = constante adimensional

Os iacutendices V e 1 representam vapor e liacutequido respectiva

mente

0 primeiro termo entre chaves da equaccedilatildeo representa o flu

xo de calor no burnout de sub-resfriamento em convecccedilao forccedilada 0

segundo termo entre chaves corresponde ao fluxo de calor transferi^

do para a massa da fase vapor

1-25 - Burnout por Bloqueio da Base

Ocorre quando a profundidade do recipiente eacute muito maior

que a largura 0 bloqueio da base eacute causado pela formaccedilatildeo de uma pe_

licula de vapor na base impedindo que o liacutequido toque o fundo do

recipiente

i De

Este eacute o burnout por flooding isto eacute burnout por expul

sao do liacutequido Uma equaccedilatildeo que nos dacirc o fluxo minimo do burnout

parao caso eacute

44

onde

D g = diacircmetro equivalente

L = comprimento do tubo

= calor de vaporizaccedilatildeo

p^Py Ap = densidade do liacutequido do vapor e diferenccedila en

tre ambos

Para um fluxo de calor maior ou igual ao dado pela expres_

sao acima (mantida a mesma geometria) teremos burnout Para um deshy

terminado fluxo existiratildeo sempre um comprimento L e um diacircmetro equi

valente D e para os quais temos burnout Exemplo

L (in) D e(in)

10 11

100 51

1000 235

2 RESULTADOS ESPECIacuteFICOS - FOacuteRMULAS PARA CAacuteLCULOS ESPECIacuteFICOS

21 - Diferenccedila de temperatura At i

13 a t

sat

At sat

poundatildeJL_ raquo t - t J p T T 6 w sat

onde

o laquo tensatildeo superficial entre liquido e vapor

t - temperatura de saturaccedilatildeo do liacutequido para a corres-Scl t

pondente pressatildeo

J equivalente mecacircnico do calor

X laquobull calor latente de vaporizaccedilatildeo

py = densidade do vapor

6 = espessura da camada de liacutequido superaquecido onde

45

k l

h nc

onde

k^ = condutividade teacutermica do liacutequido

h = coeficiente de peliacutecula nc r

Segundo Eckent h ^ c e dado por

P 2 Q

nc 3 V VP + 0952

r

onde

D = diacircmetro equivalente

G r = numero de Grashoff

P = nuacutemero de Pradtl

2 o 2 - Velocidade das bolhas

A velocidade das bolhas em meacutedia pode ser dada pela exshy

pressatildeo

V bdquo = Iacute ( a bull B Apl4 bolhas 5 ^ 2

p l onde

AP = P L - P v

Expressatildeo que vale quando a aceleraccedilatildeo eacute a da gravidade

baixa viscosidade do liacutequido e bolhas separadas

Vbolha = f t s e atilde m a x para aacutegua

2 bdquo3 - Diacircmetro das bolhas

2gc deg 12 D = 0015 3 ( mdash mdash 7 ~ ) d g Ap

5 =

46

onde

8 = acircngulo de contato (20 a 90deg) geralmente assume-O -1

-se igual a 50 para a agua em contato com metal

24 - Coeficiente de peliacutecula na ebuliccedilatildeo nucleada

a) Equaccedilatildeo de Rohsenow

Esta equaccedilatildeo nos datilde o fluxo de calor q na ebuliccedilatildeo nushy

cleadaraquo E oacutetima expressatildeo para muitos liacutequidos o efeito da presshy

satildeo eacute levado em conta na variaccedilatildeo das propriedadesraquo

Pf

fg

sat 17 = c

sg k y f h f g g( P f-p g)

n033

onae

Pf

fg

Pf Pg c sg

= fluxo de calor requerido (BTUhr0ft^)

= calor especiacutefico do liacutequido saturado (BTUlbm0F)

= calor latente de vaporizaccedilatildeo (BTULbm)

= nuacutemero de Prandtl

= viscosidade do liacutequido (lbrahrraquoft) ~ 8 2

= fator de conversatildeo 417 10 Ibmftlbflaquohr 2

= aceleraccedilatildeo da gravidade (fthr )

= tensatildeo superficial na interface liacutequida vapor

(lbfft) 3

densidade do liquido e vapor (lbmft )

constante adimensiacuteonal que depende de vaacuterios fashy

tores dentre os quais o grau de aquecimento en_

tre o fluido e a superfiacutecie de aquecimento e o

mais importanteraquo Independe da pressatildeo do sistema b) Equaccedilatildeo de Levy

Equaccedilatildeo valida para a aacutegua quando 100 lt p lt 2000 psiacutea

47

43 bdquo3

qu bdquo gat ^ T J h r t f t ^

495

25 - Calculo do fluxo de calor no Ponto de Leidenfrost

0 ponto de Leidenfrost como vimos eacute o ponto em que oflu

xo de calor comeccedila ncamente a crescer isto eacute o ponto onde termal

aa a ebuliccedilatildeo instaacutevel e comeccedila a ebuliccedilatildeo por peliacutecula estaacutevel Eacute

o chanado fluxo miacutenimo (egrave ) m m

Aproximadamente quando A t g u k = 0 temos

A _ mdash _ mdash (Gambill) m m 5

Ha entretanto varias expressotildees para determinar esse flu

xo eis uma delas

A p 14 ltjgt = 009 h pbdquo (o raquo g mdash ) y m m fg P V deg 2

p l

26 - caacutelculo do fluxo de calor na regiatildeo de ebuliccedilatildeo por peliacute

cuia estaacutevel

para cilindros jmdashi i li

_ D 0172 k-V - P V A p h l V bull S 14 li - = 062 (mdashmdash) (- j- r rmdash) convecccedilao A 0 ybdquo (t -t )

c V w sat

onde

= condutividade do vapor

- 2 TT ( mdash )

c gAp Vl = significam vapor e liacutequido respectivamente

para paredes verticais

L 0172 S deg7 A p bull hlV S q 4 h - - 080 (-^-)J- (-Iuml - Iacutemdash-convecccedilao X L u (t - t J)

c V w sat

48

Como nesta regiatildeo jaacute haacute nina influecircncia marcante da radia

ccedilao devemos levar en conta tambeacutem o coeficiente de peliacutecula de

vido a radiaccedilatildeo para determinar o coeficiente de peliacutecula total

Dos estudos atildea radiaccedilatildeo temos

h = a F pound(T 4 - T 4 J ( T ~ T ) rad w sat w sat

onde amp _ emissividade de superfiacutecie

a = constante de Stefan-Boltzman

F = fator de forma

Segundo WE Gambill o coeficiente de transmissatildeo total

ceve ser

3 iacutei = h + -7 h para h lt h t conv 4 rad r rad conv

Na expressatildeo acima existe o fator 34 porque a radiaccedilatildeo

faz variar um pouco a espessura do filme de vapor reduzindo asshy

sim o l l

conv

Quando tivermos h gt h gt o h^ ^ seraacute rad conv total

h f c = h + h t conv rad

Neste ultimo caso nao ha nenhum coeficiente porque a peshy

liacutecula de vapor jaacute eacute estaacutevel

27 - Grandezas caracteriacutesticas para a apua

Para pressatildeo igual a 1 atm = 1422 psia

At ^ = t - t = 5degC (iniacutecio da ebuliccedilatildeo nucleada) sat w sat 1

At t = 30degC sat crit

49

5 2 $ = 4 10 BTUhrft (para pressatildeo 1 atm)

0 fluxo critico cresce como vimos com a pressatildeo ate

atingir o maacuteximo quando a pressatildeo eacute aproximadamente 13 da pressatildeo

criacutetica Esse fluxo eacute

bull = 13 IO 6 BTUhrft 2 para p = 11000 psia (p pound = 32062 psia)

Ainda temos que para pressatildeo igual a 15 psia

h b o = 11000 BTUhrft degF - ebuliccedilatildeo nucleada

h f b = 30 BTUhrft 2 degF - ebuliccedilatildeo pelicular

Todos os resultados e formulas para caacutelculos especiacuteficos

apresentados nos itens 21 22 23 ateacute 27 sacirco aplicados somente

para sistemas onde haja ebuliccedilatildeo com grande quantidade de liquido

51

D - HIDRODINAcircMICA DOS SISTEMAS E QUEDA

DE PRESSAtildeO DENTRO DE UM CANAL

1 HIDRO-DINAcircMICA E QUEDA DE PRESSAtildeO

11 - Hidro-dinacircmica dos sistemas estaacuteveis

111 - Regimes de escoamento

A evoluccedilatildeo do escoamento ao longo de um canal aquecedor

de secccedilatildeo constante ciliacutendrico pode ser esquematizada pela figushy

ra 1 onde temos em abcissa o comprimento z do canal e em ordenada

a temperatura (T)

52

Na figura 1 nos representamos

a) 0 aspecto do escoamento fluido quando a entalpia do

- fluido aumenta Verificamos que o fluido entra no cashy

nal no estado liacutequido e assim permanece ateacute atingirmos a zona de

ebuliccedilatildeo local onde aparecem as primeiras bolhas A entalpia do

fluido continua aumentando e tem inicioa ebuliccedilatildeo franccedila onde as

bolhas se unem formando agregados posteriormente o escoamento to

ma a forma da figura ou seja torna-se anular disperso Finalmente

atingimos duas uacuteltimas fases do escoamento disperso (vapor uacutemido)

e vapor seco

b) A evoluccedilatildeo da temperatura meacutedia do fluido e da tempeshy

ratura da parede Note-se que a partir da cota a

temperatura da parede aumenta brutalmente podendo causar o

burnout

c) A evoluccedilatildeo do tiacutetulo do vapor (x) com o comprimento

do tubo e a evoluccedilatildeo da fraccedilatildeo (a) que definiremos no

item 11laquo2 com o comprimento do tubo

112 - Definiccedilotildees

a) Tiacutetulo ou qualidade do vapor (x)

massa de vapor na mistura x ~ massa total da mistura

x =

W _g_

g f

b) Fraccedilatildeo vazio (void fraction)

volume do vapor na mistura a = volume total da mistura (agua+vapor)

A relaccedilatildeo entre x e a num sistema parado pode ser obtida

assumindo um certo volume contendo 1 lbm de mistura em equiliacutebrio

teacutermicoraquo

53

O volume da mistura seraacute igual a (v + xv ) ft onde v eacute 3 r rg

o volume especifico (lbmft )

f - refere-se ao liquido

g - refere-se ao vapor

fg - refere-se a diferenccedila entre liacutequido e vapor

Numa mistura em equiliacutebrio se o liacutequido e o vapor estatildeo

saturados o volume do vapor presente eacute igual acirc sua massa vezes

seu volume especiacutefico v assim e

xv bdquo bdquo a mdash

V c + XV c

f gf

onde

- bull-bull uumlutiacuteisa vapor na mistura de 1 Ibm

v volume especiacutefico do liacutequido

v = volume especiacutefico do vapor o

V c = v - V

gf 8 r

Fazendo uma transformaccedilatildeo na expressatildeo acima temos

xv xv JS = Z-

v r+ x(v -v c) xv +(l-x)v t ri f g f g f 1 + Ul-x)xjv fv

1 + C(l-x)x]]vfvg

A fraccedilatildeo vazia tem a influencia de baixar a reatividade

do nuacutecleo nos reatores em que o refrigerante eacute tambeacutem moderador

Na equaccedilatildeo acima os valores de x e v sao tomados em tabe

las termodinacircmicas apropriadas para a pressatildeo do sistema A equashy

ccedilatildeo (1) mostra os grandes valores de a para pequenos valores de x

especialmente para baixas pressotildees Isto ocorre porqueaumentando

54

aacute pressatildeo o v decresce muito enquanto que o v f eacute mais ou menos da

mesma ordem de grandeza

Exemplo Calcular o a correspondente para x raquo 2 para aacutegua

leve atilde pressatildeo atmosfeacuterica

Da tabela para p laquobull 1 atm

v - 001672 ft 3lbm e v - 26800 ft 3lbm

1 + [(1-002)002] 001672268

0971 ou 97U

O grafico abaixo mostra a variaccedilatildeo do a com x para vaacuterias

pressotildees e para a aacutegua leve

x ()

tObservaccedilotildees da curva

Fig 2

1 - para x constante a decresce com a pressatildeo Para presshy

sotildees proacuteximas da criacutetica a aproxima-se rapidamente de

x Para a pressatildeo criacutetica as duas fases satildeo indistinguiacuteveis ea=x

2 - para cada pressatildeo dotdx decresce com aumento de x

3 - para baixos valores de x (que e o caso dos reatores

tipo Boiling) quando p decresce dadx cresce e torr

na-se muito grande paacutera baixas pressotildees Isto tem relaccedilatildeo com a epound

55

tabilidade do reator como veremos mais tarde

113 - Sistemas com fluxo

Todas as definiccedilotildees que noacutes vimos no item anterior refeshy

rem-se acirc sistemas em que a mistura esta fechada no recipiente Nes^

te caso natildeo havia movimento relativo entre as duas fases No entan

to se as duas fases da mistura se movem na direccedilatildeo vertical em

canais entre os elementos combustiacuteveis o vapor por causa de sua

flutuaccedilatildeo tem a tendecircncia de escorregar sobre o liacutequido isto e

move-se com velocidade maior do que a do liacutequido

Real Modelo

Pig 3

S -

Define-se neste caso a relaccedilatildeo de escorregamento (slip

ratio) (S) como sendo

V _i

V f

onde

V = velocidade do vapor

= velocidade do liquido

S modifica as relaccedilotildees entre a e x do item anterior S geralmen_

te gt 1 Define-se neste caso qualidade do vapor ou tiacutetulo como

sendo

_ fluxo de massa de vapor

fluxo de massa da mistura

Entatildeo se o fluxo de massa da mistura eacute m t(lbmhr) o flushy

xo de vapor seraacute = x m e o fluxo de liacutequido sera (1-x) m onde x

56

e o titulo do vapor para a particular secccedilatildeo (AL) da figura (3)

Devemos notar que neste caso x varia de secccedilatildeo para secshy

ccedilatildeo do tubo o exposto no paraacutegrafo acima vale considerando-se que

x e a permaneceram constantes na secccedilatildeo de espessura AL

Aplicando a equaccedilatildeo da continuidade as velocidades do va

por e liacutequido sao dadas por

o xm v

V vazatildeo = g g area A

V

(1-x) amp t v f

f A f

onde A e A f sao as aacutereas medias perpendiculares ao fluxo se as

duas fases sao imaginadas completamente separadas uma da outra

(figura 3) Assim temos

V x m v o A_ A v 0 ^ - 2 = iacute S t m _2L- JL JS m

V A (l-x)ui v 1-x A v U

f g t f g f

Sabemos ainda que para a secccedilatildeo considerada

volume do vapor na mistura a = volume total da mistura (agua+vapor)

A AL A pound g g

a = mdash a a = - mdash 1

(A+A )AL A f + g

A ou f _ 1 - a

A a 8

Substituindo em (2) vem

57

Esta expressatildeo pode ser rearranjada e obteremos uma relashy

ccedilatildeo entre x e a levando em conta o escorregamento Chega-se a

a = 1 ( 3 )

1+ [U-x)x3 igt

onde

v 4 laquo -- S

v lty o

Note-se que quando S=l (nao haacute escorregamento) caimos na

expressatildeo dada no item anterior

0 efeito do escorregamento eacute decrescer o valor de a pa_

ra um mesmo xbdquo Isto pode ser visto pela foacutermula (3) pois S gt lLo

go a decresce com acreacutescimo de S

Um alto S e entatildeo uma vantagem tanto para a transferecircnshy

cia de calor como para efeitos de moderaccedilatildeo Eacute uma vantagem para

transferecircncia de calor porque alto S significa alto V e portanto

maior turbulecircncia e maior contato do liquido com as paredes quenshy

tes Ha tambeacutem melhorias na estabilidade da reaccedilatildeo nuclear isto

porque como jaacute dissemos quando mdash7 diminui a estabilidade aumenshy

ta isso pode ser verificado observando a curva a versus x para a

agua leve a 1000 psiabdquo

Fig 4

58

A relaccedilatildeo entre x e a da equaccedilatildeo (3) so vale para secccedilatildeo

de tubo bem pequena

Devemos notar que S varia tambeacutem com a pressatildeo e velocida^

de de entrada do liacutequido no tubo Este efeito pode ser observado na

figura 5 abaxxo obtida esperimentalmente

s

3

~^ ~ psig

x = 001

V 1

Fig 5

Nos projetos de reatores como veremos adiante o valor a

geralmente eacute determinado por consideraccedilotildees nucleares (moderaccedilatildeo) 0

valor de S eacute determinado atraveacutes de uma estimativa ou entatildeo atrashy

veacutes de um graacutefico do tipo da figura 5 0 correspondente valor de x

pode ser obtido de uma foacutermula empiacuterica do tipo

1 = 1 (-S)0gt67

proposta por Von Glahn

Em muitos casos assume-se S constante em todo o comprimeiv

to do canal poreacutem eacute um erro que em muitos casos nao pode ser coshy

metido

4 REATORES EM QUE 0 LIacuteQUIDO B MODERADOR E CIRCUITO PRIMAacuteRIO AO

MESMO TEMPO BOILING-REACTOR (BWR)

A aacutegua ao se movimentar atraveacutes dos vaacuterios canais do

59

Boiling-reactor encontra vaacuterias resistecircncias ao fluxo que provoshy

cam uma reduccedilatildeo de pressatildeo no fluido

As duas perdas mais importantes sao perda de pressatildeo por

atrito e perda de pressatildeo causada pela aceleraccedilatildeo do refrigerante

ao aumentar de volume por receber calor num canal Outras perdas

de pressatildeo seriam a obstruccedilatildeo ao fluxo por corpos submersos (espa_

ccediladores juntas de tubos chaves etc) e por mudanccedilas abruptas de

aacuterea de fluxo tanto na entrada como na saiacuteda do tubo

Essas perdas de pressatildeo devem ser conhecidas o melhor popound

sivel principalmente nos reatores BWR Para tanto devemos saber

o comprimento de canal em que nao ha a ebuliccedilatildeo isto eacute qual o com

primento de canal em que o refrigerante vai da temperatura de sub-

resfriamento ate temperatura de saturaccedilatildeo

Seja o elemento combustiacutevel

Aquecimento Uniforme Aquecimento Senoidal

Fig 6 Fig 7

onde

H =

H = o

H b

comprimento do elemento combustiacutevel

cota onde o liquido se torna saturado

comprimento do elemento combustiacutevel em que ocorre

ebuliccedilatildeo

60

qg = calor sensiacutevel acrescentado ao liquido para satushy

raacute-lo

qfc = calor total acrescentado ao liacutequido em todo o com

primento do canal

laquoo

q s J o qiquest sen (IIzH) n H o

T~ = TH = 2 ( 1 c o s gt ( a )

q 1 sen (HzH) Jo ^c

A expressatildeo (a) vale quando tivermos uma adiccedilatildeo de calor

senoidal para qualquer outra forma de adiccedilatildeo de calor faz-se um

caacutelculo anaacutelogo

Outra relaccedilatildeo entre q g e qfc eacute dada pela termodinacircmica

q h- - h s f m (b)

(hr +x h )-hm ^t f e fg

onde

= entalpia para o liquido saturado a pressatildeo correjs

pondente (cota z = Ho)

hffi = entalpia do liacutequido na entrada do canal

x = tiacutetulo do vapor na saiacuteda

= entalpia do vapor

Com a relaccedilatildeo (b) noacutes determinamos a relaccedilatildeo q q ecom

S L

uma relaccedilatildeo do tipo (a) (conforme seja o adicionamento de calor ao

liacutequido) podemos obter a relaccedilatildeo HoH e consequentemente H^H

21 - Perda de pressatildeo num canal de evaporaccedilatildeo

Neste item iremos determinar as perdas de pressatildeo mais

representativas que ocorrem num canal de evaporaccedilatildeo de um reator

P + dP

bull1 i- 1 gti i i

dL

onde

UM

Icirc H Icirc Icirc T dF f t f

61

Quantidade de Mov na Entrada

= i- rigVg)

dF f l

Fig 8

m i

m 8

V l V 8

A P

dF

dF

dF

fg

fl

ftf

descarga do liacutequido

descarga do vapor

velocidade do liquido

velocidade do vapor

aacuterea transversal do canal

forccedila de atrito do vapor com parede

forccedila de atrito do liacutequido com parede

forccedila de atrito das duas fases liacutequido+vapor

Fazendo o balanccedilo das forccedilas considerando o sentido posjL

tivo na vertical temos

A (P-P-dP)-(dF +dF _+dF _)-(-pound-) (p A+p A )dL = mdash dGnV+m V ) P fg ftf fl g c 1 1 g g g c

v 1 1 g g 7

- dP = ~ (dF +dF--+dF)+- S--7=- (p A+p A )dL+ mdash ~ - d (m-V+m V ) A_ fg ftf fl g c Ap v^l 1 g g g A 11 g g

Fazendo a integraccedilatildeo termo a termo entre os dois extreshy

mos entrada e saiacuteda e considerando a pressatildeo de entrada igual a

P q e a de saiacuteda igual a Pe vem

Quantidade de Mov na Saiacuteda

-= h I- lY l+ A g V g + d ( aacute l V l + aacuteeVl

Forccedila de Gravidade

= ( g f - N P A + P g V

62

b) r e F f l

o p dp^ = Ap^ = perda de pressatildeo por atrito

do liacutequido na altura Ho

Aplicando a formula de Darcy vem

bull API = f bull ir bull ^ iexcl 7

onde

f = fator de atrito

c) e Fftf

o p ^P tpound

= perda de pressao por atrito da mistura

liquido + vapor no trecho de comprimen

to Hbdquo o

Para determinar esta perda de pressao define-se o fator

de multiplicaccedilatildeo R

A P R =

tf A P 1B

Sendo A p ^ a perda de pressao se o comprimento todo fosshy

se ocupado somente pelo liquido assim

A p t f = R A P 1 B

0 calculo de Ap-^ pode ser feito pela formula de Darcy e

o de R nos veremos no item seguinte

63

d)

-e F

d ( ^ )

O P

Ap = perda de pressatildeo por atrito do vapor

No caso do reator BWR o titulo de saida e bera pequeno e

em nenhum caso ocorre a saida de vapor com x = 100 logo a perda

de pressatildeo por atrito do vapor eacute nula assim

An = 0 5

e) Ap

(p A 1 + p A ) dL = Ap - perda de pressatildeo dpound

vida ao desniacutevel

(perda hidrostaacutetica)

Anbdquo = re A A

-S- I (p + p -S ) dL H s 1 A

c o p o A

como A A Jl_ =

A P

A +A-g 1

1-a -

temos

C Q

te j jll-a)p1 + apg)^jdL = p Lo pound

onde

e jo u

+ ap ) ~I dL (Densidade media 1 S J

no tubo)

No nosso caso

Ap u = p H

f)

re d(mV + m V ) _ mdash - laquo -i bull s iquestp laquos p e r d a ltje pressatildeo devido a acele-

c p raccedilatildeo do vapor

V A

(1-x) tl^Vj

(1-a) A

X V

aA

A p -

roV + m V

c p c p L_

m (l-x)m_v m xv nbdquo -1 T 1

+ _S S I (1-a) Ap aA

P

2 g A c p

n 2 2

(1-x) m T

laquo2 8 A c p

2 2 (l-xe) raTv1

2 2 2 xm_v (1-x) m-v e T s o 1 1

a 1 - a

2 2 - x m_v o T g

a

se

X Q 0 (so ha agua nesse trecho)

a = 0 o

temos

mbdquo Ap =

1 a A 2

S A degc p laquo-

tt-V v i 1 - a

2 via T^r - v i

t Apc

2

V v l

5c Ap

1 - a

x v - 1

a e v l

65

Fazendo

G = fluxo total da massa por unidade de area do

canal

(1-x J e

V

AP r

Assim a perda de pressatildeo total sera

H p V II pV r2 P -P = f -24-Iuml+ f R+p 0 1 2g c D e 2g c g c g c

2c2 - Determinaccedilatildeo do fator de multiplicaccedilatildeo (R)

221 - Relaccedilatildeo Martinelli-Nelson

Os autores Martinelli-Nelson determinaram experimental -

te esse fator R para varias LIT1L em funccedilatildeo da pressatildeo e da r NB total J v

qualidade de saiacuteda do vapor no canal Construiacuteram assim vaacuterias

curvas do tipo da figura 9

66

E importante notar que a qualidade do vapor (x) na saiacuteshy

da nao deve ser grande pois como vemos o valor de R cresce muishy

to com um aumento pequeno de x e um valor de R muito grande acar_

reta uma perda de pressatildeo grande pois

^ d u a s fases R ^ f a s e liacutequida

Para resolvermos um problema seguindo o criteacuterio de bdquo

Martinelli escolhemos a curva R = f(px) (para a relaccedilatildeo L

N g ^ j

adequado) e tiramos R com os valores de pressatildeo p e tiacutetulo x

As curvas R = f (p x L T t )IO encontram-se nos ANL 6469 bio I

e 6561

222 - Relaccedilatildeo Lottes-Flinn

Estes autores estudaram o problema para o aquecimento uni

forme do refrigerante com baixo titule Lottes-Flinn fizeram inuacuteshy

meras experiecircncias e verificaram que para fluxo de calor uniforshy

me e baixos titulos R era independente do fluxo de calor fluxo

do refrigerante escorregamento e apenas funccedilatildeo de a g

Como a quantidade de liacutequido eacute muito maior que a de vashy

por a perda de pressatildeo daacute-se principalmente pelo atrito do liacuteshy

quido com a parede Podemos assim escrever a foacutermula de Darcy

na forma diferencial

dz

d = f __ r e amp c

onde

V = velocidade do liquido saturado na cota zbdquo X

f = coeficiente atrito

= densidade do liacutequido saturado

Teoricamente a queda de pressatildeo deve-se ao acreacutescimo de

67

velocidade do liacutequido e da diminuiccedilatildeo da aacuterea de fluxo do liacutequi

do

P fH A P t p

= f D 2g Ho

d z

fazendo

V lo

m V t lo

(velocidade do liacutequido na cota z = Ho)

(1-x) m t v 1

(1-a) A (velocidade do liacutequido na cota z gt Ho)

a bull+ fraccedilatildeo vazio na cota z geneacuterica

V 1 (1-x) m t v 1

m t V l 1 - a

x =s 0 pois o tiacutetulo eacute baixo

A p t f = f bull JT5 c e

fH V lo

H o (1-a) dz

Para fazer a integral devemos achar a relaccedilatildeo de variaccedilatildeo

entre a e z Como o fluxo de calor eacute uniforme a qualidade eacute direshy

tamente proporcional a z

bull laquo x = x e H

z = mdash x X e

Sabemos ainda que (item 113)

x

1 + [ ( I -X)AKQ x + iiacuteraquo

68

como

temos

(1-x) = 1

v

X =

z =

1-a

1 -a

1-a e

a

e

1-a pound

a

1 -a igt (assumindo S = cte)

da

Atf - f bull 2 i ^ ~ J c e o

a 1 - a e e 1 s 4 hmdash) da

a 1-a

f P lv^ Q

0 termo mdash - mdash e a parte de perda de pressatildeo pelo lj^

^c e -quido ou seja Ap liquido saturado e como

Ap

R = tf

Ap liauido saturado

temos que

R J

f ae 1 _ a e 1 4

a 1 -a o e

1 -a r-R =

3 1 -a

a 1 -a imdash

3 vl - a 3

e e

Os valores de R obtidos por esta expressatildeo aproximam-se

muito dos valores obtidos pelos aacutebacos de Martinelli

69

E - EXPANSAtildeO E COMPRESSAtildeO DE UM FLUIDO - ANAacuteLISE HIDRODINAcircMICA

DE UM CIRCUITO EM CIRCULACcedilAtildeO NATURAL

1 EXPANSAtildeO NO FLUXO DE UM FLUIDO

11 - Uma so fase

Figura 1

Ha vaacuterios meacutetodos para determinar a variaccedilatildeo de pressatildeo

numa expansatildeo de fluido estudaremos o de Romie que eacute o que daacute

maior precisatildeo

Romie considera que a pressatildeo p^ tambeacutem atua na aacuterea

imediatamente apos a expansatildeo Assim fazendo o equiliacutebrio das foi

ccedilas nas secccedilotildees tracejadas da figura 1 temos

mVj

p r A 2 + mdash

mV

bull 2- A2

mas

m = pV^A^

pV^A = p V 2 bdquo A 2

V A

v 2 -4r-logo

( P l-P 2) A 2 = f ( V ^ ) - f _ v j amp c c 2

70

2 pV A A pV A A

Chamando A l A ]

K = 1 - T e degi2 = Aiexcl bull V E M

pvj

P l P 2 = T ~ bull ( 2 deg 1 2 ) ( 1 _ a 1 2 )

Outra maneira de chegar atilde diferenccedila de pressatildeo ( P j - ^ ) s mdash

ria usar o coeficiente de perda da mecacircnica dos fluidos Assim o

equilibrio das pressotildees eacute

2 2

1 V l 1 V 2 V l P i + _ p _ ^ P 2 + I p ~ + k 1 2 p mdash

onde = coeficiente de perda

A 2 1 2

k 1 2 - (l-o 1 2) - (1 - j- )

Fazendo as transformaccedilotildees chegamos a mesma expressatildeo obshy

tida pelo balanccedilo das forccedilas

PraquoIacute pr p

2 - - ir ^ laquo-ia

12 - Duas fases

Como ha duas fases a equaccedilatildeo do balanccedilo das forccedilas fica

um pouco alterada

m pound 1 V- m - raquoV - m-V- m bdquoV _ P A + j y ^ i + _gl_JUuml P A + -11-11 + -ilsl (a)

1 2 e R 2 2 ff e

Sabendo que

71

m (1-x) m t = p fA (1-a) V f

entatildeo

fl l-o^ p fA x

6 Vf2 1-x l-a2 P fA 2

m V = mdash mdash e V 0 = gl a 1 P C T A 1 g2

m

a_ p h

2 g 2

Nas expressotildees anteriores o x nao varia porque a expansatildeo

5 adiabaacutetica porem o a varia devido a modificaccedilatildeo do tamanho da

bolha

Substituindo os valores das velocidades na expressatildeo (a)

vera

( P - P ) Abdquo =

2

2 2 m gt2 2 m t (1-x) 1 x t

ra i 2 m i 1 x t 1

p fA 1 g c ttl p Ax gpound

m t P - P = mdash

(1-x) (l-a 1)A 1A 2 (l-a2)A|

a r A r A 2

V A 2

m t P bdquo - P = mdash 2 1 g c A r A 2 p f

(1-x) 1-a f A 2(l-a 2)

bull ^ 2

72

Se

P -P

a

m

g

12

1 _1_ (1-x)

J12

1 _ a l 1 - a 2 + X (- )

Pg

1 deg12 a 2 ^

Sabemos que

mt = V o pf laquo A l

Sendo V q = velocidade do liquido num ponto onde natildeo haja vapor

P 2-P 1

u 2 2 A 2

V pr Ai

V W p f

(1-x) 12

l-a1 l-a2

+ X 2 pf

mdash

l deg12

-1 a 2 _

p -p r 2 Al (2a 1 2)

2 M f w 1 deg12 X (mdash) (

pg al a 2 )+(l-x)C l 1 12

1-a^ l-a2

Devemos notar que esta expressatildeo tambeacutem vale para quando

temos uma fase para isso basta fazer

= c t 2 = 0

X = 0

e recairemos na formula do item anterior

2 pf 1 deg12 Observemos que neste caso o termo x (mdash)( ) nao

Pg al a2

2

73

tem significado pois corresponde a mudanccedila de fase

2 CONTRACcedilAtildeO KO FLUXO DE UM FLUIDO

21 - Uma so fase raquo mdash

Aqui ocorre um fenocircmeno importante pois o fluido ao ser

contraiacutedo nao vai diretamente da area A^ para a area A 0 mas ele

contral-se ate uma area A^ e depois expande-se ate k^

Ao A2

Po IP 2

V 2

Figura 2

Fazendo o equiliacutebrio das pressotildees entre os planos (1)

(0) vem 2 2

pV pV p +~ plusmn - P + i deg bull 1 2 g o 2 g (b)

C x

Fazendo equiliacutebrio da expansatildeo (0) - (2) vem

P o + 2 - f = P 2 + 2 -T + kp- 2 F ( c )

c c b C

Subtraindo (b) - (c)

2 2 2

i p- vj i p- v2 L P l + 2 bull g c

P 2 + 2 2g c

+ k P 2g c

74

Como

P - P = mdash 2 2g

2 2

bull (1 + k) - f bdquo mdash i

k a - f2 ) 2 - d - o c )2

= o

A = a 21

Weisback obteve varias relaccedilotildees entre a e a i] c

01 02 03 a 0624 0632 0643 c

0624 0632

A r v i - V v 2

p -p 1 2

P -P 1 2 2g7

v l =

(1+k) - laquofi- a 2g 21 c

( 1 + k - o 2 1)

X[- V 2 o 2 1V 2

22 - Duas fases

0 valor de k pode ser aproximado para

k = a(l - o 2 1)

onde segundo Richardsons para fluxo de duas fases podemos supor

a = 02

Para fluxo homogeacuteneo sabemos que

75

p = p f (1 -a ) + p o a

podemos supor p bdquo a = 0 pois p e pequeno e fazendo

V = V ~ V fbdquo2 go2 v 2

Substituindo estas duas expressotildees na equaccedilatildeo de uma soacute fase vem

2 2 p V (l-ct) p V (1 -a ) bdquo

P l P 2 = 9g ( 1 + 3 - 3 0 ^ - 0 ^ ) = g (a+1) (l-a^)

Se a = 02

2 12p oV 0

p r p

2 - 9g gt d-) d-sigt

A compressatildeo de um fluido acarreta uma perda de pressatildeo

como pode ser verificado pelas formulas uma vez que lt 1deg

3 ANALISE HIDRODINAcircMICA DE UM CIRCUITO EM CIRCULACcedilAtildeO NATURAL

Esquema deacute uma caldeira com circulaccedilatildeo natural

76

Determinar a velocidade em (7) para que tenhamos circula

ccedilatildeo natural Determinar tambeacutem as perdas de pressatildeo em todos os

trechos da caldeira

31 - Contraccedilatildeo das secccedilotildees (1) - (2)

Como jaacute vimos a equaccedilatildeo do balanccedilo das pressotildees eacute

1 pr Vl 1 p 2 o V 2 P2 V2

1 2 g 2 + 2 g + K12 2g otilde c amp c e c

bullraquo 2 o2 2 e havendo uma soacute fase k 1 9 = (l-o ) = (1 mdash ) e sendo

C 2

p l = p2

v x lt lt lt v 2

P 2 V pr p2 bull ir2 bull ( 1 + k12gt

Colocando em termos de temos

A 2 V 2 P 2 = A 7 V 7 p 7 (continuidade)

V = V mdashbull = V o_bdquo ~ A 2 2 2

P 2 V - p 2

p r p 2 = ir2 - deg72 bull Ccedilrgt bull lt 1 + ki2gt

fazendo

N12 - lt^gt deg72 ( 1 + k12gt

P7 V7

Pr P2 - N12 bull HG

77

3 2 - Perda de carga no trecho ( 2 ) - ( 3 )

Como haacute apenas uma fase soacute temos perdas por atritos e

perdas hidrostaacuteticas

Sendo como jaacute vimos

2 3 p 2 2 g P 2 P 3 = f 2 3 (r~2g^~) L 2 3 g c p

atrito hidrostaacutetica

Substituindo V^ pela relaccedilatildeo do item anterior e tendo em

conta que p = vem

P -P = f 2 r 3 2 3 D

2 3 p 2 bdquo 2 2 p 7 2

2 g 7 72 p 2 3 g

Se

L 2 3 2 p 7

2 3 2 3 D 2 a 7 2 p 2

P 7 V 7 g P 2 - P 3 = N 2 3 ( mdash gt p 2 L 2 3 f

3 3 - Expansatildeo nas secccedilotildees ( 3 ) - ( 4 )

Como vimos o balanccedilo das pressotildees e

2 2 2 p V p 4 V p V

P 3 + 2 g c

P 4 + 2 g c

+ k 3 4 2 g c

onde

k 3 4 - - -

2 2 1 P 4 - V 4 P 3 v 3

P 3 P 4 = 2 g + ( k 3 4 _ 1 ) 2 g

78

Sendo

P 3 - P 4

p 3 o A 3 deg V 3 = P 7

a A 7 o V 7

P 4A 4 0V 4 = P r A r V

3 7 A 3 p 3

A7 P7 V = v mdash mdash 4 7 P 4

P - P 3 r4

Se

P bdquo - P

bdquo2 r-P 7 V 7

3 4 2g deg74 + ( k 3 4 1 ) deg73

34 p deg74 + ( k 3 4 1 ) 73

p r v2

P3- P4 ^ N34 ^ gt

(No caso e negativo)

34 - Contraccedilatildeo nas secccedilotildees (5) - (6)

Ainda temos uma so fase e fazendo o balanccedilo das pressotildees

como fizemos no item 3lt1 vem

P + vil p + vi + k vi P 5 + 2gbdquo P6 + 2gbdquo + k56 2gbdquo

k 5 6 lt 1 ^ gt 2 ( 1 - Iacute 2 i 2 6

V V6 P5degIacute 5^6 ^SS 2g c - 2g c

P - P ^ = (1+kJ

Como

79

A 6

W p 5 =

VV P6 V 5 = V 6 Jiexcl = Vff65

P 5-P 6 - lt H k 5 6 ) mdash ^ mdash (l+k 5 6-a 6 5) c c c

Sendo

Se

A 7 p 7 p 7

6 7 Ag p 6 7 76 p 6

p _p _ P6- V7- g76 iquest72 ( _ 02 P 5 P 6 2g c bull ( p 6

( 1 + k 5 6 deg65 )

p 7 2 2 N56 = p ^ deg76 ( 1 + k 5 6 ~ a 6 5 )

P 7 V 2

7

P r-P = N r 5 6 56 2g c i

35 - Perdas de pressatildeo nas zonas (6) - (7) - Pre^aquecimento

Nesta regiatildeo temos perdas por atrito e hidrostaacuteticas

Nao haacute perda por aceleraccedilatildeo pois ainda natildeo houve formaccedilatildeo de boshy

lhas

Fazendo balanccedilo das pressotildees temos

L_ ppound-V p = p + otilde L - pound _ + f -Si (-21mdashL 6 7 + p67 L67 g + t 6 7 D K 2g

p _ e ifn sao tomados como valores meacutedios 67 67

P _p _ f hl ^67jIacute uuml + - L A

6 F 7 r67 D 2g P P67 L67 g 6 s c 7 c

S e Kr pound67 L67 p67 6 7 D 6 p7

p7 V - _g_ P6- P7 - N67 mdash + P67 L67 f

c c

80

36 - Perda de pressatildeo nas zonas (7) - (8) - Zona de ebuliccedilatildeo

Nesta regiatildeo j aacute temos o aparecimento de bolhas logo a

perda de pressatildeo seraacute devida agraves t recircs parcelas aceleraccedilatildeo a t r i t o

das duas fases liacutequidas + vapor e h idros taacute t ica

onde

Assim

P-P Q = AP + AP + APbdquo 7 8 a t r i t o acel H

T M1

78 p 7 7 AP - R f- - mdash mdashr |R = fator mult ipl ica-

a t r i t o 7 D 7 2 g c L tivo

G 2

AP bull r mdash acel g c

P V

|_1 - o a p J 8 P f

2 t r 2 M2

7 7 r 7 7 A P a c e l = -J^mdash 2 r bull p 7 lt T iexcl iexcl - )

A PH p 7 8 L 7 8 fiexcl

p 7 8 iacute 7 li 1 0 0 P l i q + a P v ] d L = P 7 ( 1 - laquo 7 8 )

ag raquo fraccedilatildeo de vazio media entre 7 e 8

APH = p (1 - 5 7 g ) f- L 7 8

2 2

P 7 - P 8 a 5 - 2 T i + 2 r p 7 + P 7 ( 1 - 7 8 gt f L 7 8 7 amp c amp c amp c

81

N 7g = R mdash + 2 r p 7

P7 V7 P7- P8 = N78 + P 7 ( 1 5 7 8 gt J78

37 - Expansatildeo nas secccedilotildees 8 e 9

No caso haacute uma expansatildeo com duas fases e como vimos no

item 12 a variaccedilatildeo de pressatildeo era dada por

0f Vo P2 P1 = ~2g c ( 2 deg12

x 2 (mdash)(mdash - mdash ) + ( l - x ) 2 ^ T mdash 8 1 2 1

12

Aplicando ao nosso caso

P pound = P 7

P -P = 8 9

V - V raquo V g f 7

P 7 V 2

2 pf 1 a89 2 1 g89 x (mdash) ( ) + (1-x) (- - N

o ou abdquo 1-cu l-ot_) g 8 9 8 9

Se

N 89

= 2 a 89

2 pf 1 deg89 2 1 CT89 x (mdash) ( ) + (1-x) ( T

g 8 9 8 9

P -P = 8 9

- N P7deg V7

89 2gbdquo

38 - Perda de pressatildeo no trecho 9 e 10

No referido trecho temos apenas perda de pressatildeo por atr L

to da fase liacutequido + vapor e perda hidrostaacutetica Natildeo haacute perda por

aceleraccedilatildeo do vapor pois este natildeo recebe mais calor e portanto

o 82 o

nao ha variaccedilatildeo no a

p

Q -p i n = A P

U + A P bull 9 10 H atrito

n T -S_ P9 U10 deg 910 bull g

fio r

910 I 910

J9 L

(l- a)P + Q P I dL liq v

(l-a0) p

No caso a = (nao hatilde variaccedilatildeo de forma)

A P H - (1-a ) P (p L 0

c

AP bdquo = R o

atrito

2 f9 o L910 P9 V9

2g

Supondo

= V

P 9 = P 8 P 7

vbdquo = v 9 8 0 A r

= V 7 bull deg89

AP - R atrito

2 2

W l O p7deg V7deg g89

V P10 R -^T^ bull deg89 bull li-2 + ( W P 7 (fgt SIO

y c c

Se

- f9 L910 2 N9ol0 R Dl deg89

w 2

p rv P9 P10 = VlO + ( 1 a 9 ) p7 (f gt L910 c

33

39 - Perda ciacutee pressatildeo na expansatildeo 9 - 1 0

Analogamente a expansatildeo 8 - 9 temos

10 11 P 7 2g

10 Iacute 2 0 1 0 - 1 1 gt

2 ff

pg aio

10-11

laquo11 ) +

Ll-a 1 0 bull l-a u J

Se

V10 = V 9 = V 8 bull T9 = V 7 deg89

P -P 10 rll = - a 2g 089 ^lO-ll

4 bull T~ bull (7 1 mdash ) + Pg degio a n

+ (l-x)2(- 1 10-11

1 - aio )

N10-ll = 2 a10-ll a89 2 pf t 1 10-11 N2

-(j-r- - ) bull+ (1-x) pg aio deg 1

10-11 k l - a io

prz P10 Pll = - N10-ll bull ( 2gbdquo

310 - Calculo de V

Fazendo a somatoacuteria de todas as expressotildees (P^-Pj) tere-

84

mos 2 PbdquoV_

P bdquo - P bdquo = N 7 v 7

1 2 12 2g

bull 2 - P 3 - = N 2 3 P 2 L 2 3 f c ccedil

9 P 7 V 7 P _p = N mdash -

3 4 34 deg 2g

V P 5 = deg

2 P V

5 6 56 2 g c

ltr2

P 7 -V 6 e7 -N67 2g + p 6 7 J j67 g

c bc v 2

P 7 - P 8 = N 7 8 - 2 i ~ + p 7 ( 1 - laquo 7 8 ) L 7 8 c

P 7 V 7

P - P - -N mdash - -8 9 89 2g

c P 7 V 7

P 9 ~ P 1 0 VlO 2g + ( 1 a 9 P 7 L 9 c

P 7 V 7

bull10 11 U10-ll 2g

P v iacute j P - P

1 11

7 - v 7 3 bull r

2 8 i U L 2 23 67

(l-5 7 8) L 7 8 + ( l - laquo 9 ) P 7 bull SlOtilde]- ^

Por ou t ro lado sabemos que como secccedilotildees 1

mesmo n iacute v e l

85

s c p r v 7 j

28 Z N i ij

= P 2 L23 p67 L67 P 7 ( 1~deg78 )

78 ~ ^g) bull P 7 bull L 910 g_

V - 2 g ( p r L 2 3 - p 6 r L 6 7 - p 7 ( l - atilde 7 8 ) L 7 8 - (l-a9) p L 9 a ( )

y N

Com esse valor de podemos determinar todas as variashy

ccedilotildees de pressatildeo (P^-P )

BIBLIOGRAFIA

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tituto de Energia Atocircmica de Sao Paulo em 1966 (roteiro)

- WR Gambill - Nuclear Safety

Vol 9 - n9 5 e 6

Vol 6 - n 2 (pag 152)

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~ El Wakil - Nuclear Power

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Mc Adams - Heat Transmission

- Paul A Lottes - Argonne National Laboratory

- AKL - 6469

- ANL - 6561

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Frank Kreith - Principles of Heat Transfer

Journeacutees Internationales de la transmission de la chaleur

Seminaacuterios realizados em Paris em 1961 sob a supervisatildeo do

Prof Marcel Veron

Notas de aula da Cadeira de Termodinacircmica I e Transmissatildeo da

Escola Politeacutecnica da Universidade de Sao Paulo

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30

numero de bolhas por unidade de aacuterea (num instanshy

te)

~ = crescimento da bolha (com o tempo)

frequecircncia de iacuteormaccedilao de bolhas

A medida que o At vai aumentando iraacute aumentando (jgt tam-- n o N

bem e consequentemente mdash R mdash a a a tal ponto que quando atiacuteii

girmos o ponto da curva nao haveraacute mais formaccedilatildeo de bolhas

mas sim uma peliacutecula de vapor instaacutevel passando assim a 3a re

giao que estudaremos a seguir

43 - Ebuliccedilatildeo por peliacutecula parcial

Como dissemos no item anterior se aumentarmos ainda mais

o At (entre 25degC e 125degC) teremos a formaccedilatildeo de uma peliacutecula de

vapor instaacutevel sobre a superfiacutecie quente que aacutes vezes eacute perfurashy

da pelo liacutequido A camada de vapor tanto mais estaacutevel seraacute quanshy

to maior focircr o At Essa peliacutecula de vapor iraacute provocar um decreacutes_

cimo consideraacutevel no fluxo teacutermico porque como sabemos o vapor

eacute muito pior condutor que a aacuteguaraquo

0 fluxo vai decrescendo ateacute um ponto miacutenimo (iexclgt mintilde (as vecirc

iacutebo bullraquo 1

zes chega a ser mdashj-) e e o chamado ponto de Liedenfrost 0 coeshy

ficiente de peliacutecula neste caso cai violentamente (h = 2000

kcalm^hrdegC)

44 - Ebuliccedilatildeo por peliacutecula estaacutevel

Aumentando ainda mais a diferenccedila de temperaturas

At ( gt 125degC) iremos conseguir uma camada de vapor estaacutevel Ela

transmite calor da superfiacutecie quente ao liacutequido que se vaporiza de

modo que o excesso de vapor formado na interface liquido-vapor for

ma bolhas que sobem para a superfiacutecie 0 liacutequido encontra-se agi-

31

tado poreacutem nao toma contato com a superfiacutecie soacutelida

A peliacutecula de vapor eacute estaacutevel e o fluxo eacute proporcional a

34

(At) (lei de Bromley) Para At grandes passa a influir sensivel^

mente a radiaccedilatildeo teacutermica mais uma razatildeo para demonstrar que nesshy

ta regiatildeo o fluxo cresce novamente

5 CONSIDERACcedilOtildeES E COMPARACcedilAtildeO ENTRE OS TIPOS DE EVAPORACcedilAtildeO

BURNOUT

Sob o ponto de vista de eficiecircncia teacutermica deveriacuteamos sem

pre trabalhar no ponto de fluxo maacuteximo isto eacute no ponto correspon

dente a lt(gt da curva de Nukiyama pois eacute o que daacute maior coeficieri

te de peliacutecula

Acontece poreacutem que se impomos a temperatura da parede

fixa obtemos um uacutenico valor de lt(gt e portanto o fenocircmeno eacute estaacutevel

Poreacutem se como ocorre nos reatores impomos um fluxo teacuter

mico a curva de Nukiyama apresenta 3 pontos de funcionamento posshy

siacuteveis A B C

1

SOacute os pontos A e C sao funccedilotildees estaacuteveis mas eles impotildeem

acirc superfiacutecie quente temperaturas bem diferentes

Na industria em geral trabalha-se por questotildees de segushy

ranccedila na regiatildeo IV da curva poreacutem para os reatores trabalha-se na

32

r e g i atilde o I I

0 p r o b l e m a de t r a b a l h a r n a r e g i atilde o II eacute q u e se n oacute s e s t i shy

v e r m o s t r a b a l h a n d o n o p o n t o e x t r e m o (j) e se p o r q u a l q u e r m o t i v o

h o u v e r u m p e q u e n o a c r eacute s c i m o d e ltfgt i r e m o s t r a b a l h a r i m e d i a t a m e n t e no

p o n t o M q u e t e m o m e s m o $-^0t p o r eacute m c o m A t 2 m u i t a s v e z e s m a i o r

p o d e n d o o c a s i o n a r a f u s atilde o d a s u p e r f iacute c i e a q u e c e d o r a E s t e f e n ocirc m e n o

eacute c h a m a d o d e b u r n o u t

0 f l u x o lttgt eacute c h a m a d o f l u x o c r iacute t i c o o u f l u x o d e b u r -b o

n o u t N o c a s o do r e a t o r d e v e m s e r t o m a d a s m e d i d a s r i g o r o s a s q u a n

to agrave r e g u l a g e m do f l u x o t eacute r m i c o p a r a q u e n atilde o o c o r r a o b u r n o u t 1 1

p o i s d e l e p o d e r e s u l t a r r u p t u r a d a c a m i s a do c o m b u s t iacute v e l e h a v e shy

r aacute p o r t a n t o c o n t a t o do r e f r i g e r a n t e c o m o s s oacute l i d o s e g a s e s r a shy

d i o a t i v o s

5 o l - R e l a ccedil atilde o d e B u r n o u t

E c l a r o q u e p a r a t e r m o s u m r e a t o r m a i s e f i c i e n t e d e v e shy

m o s t r a b a l h a r c o m u m f l u x o o m a i s p r oacute x i m o p o s s iacute v e l do f l u x o d e

B u r n o u t P a r a t a n t o d e v e m o s c o n h e c e r c o m o m a i o r g r a u d e certe

za p o s s iacute v e l q u a l o ^ p a r a p o d e r m o s r e d u z i r o c o e f i c i e n t e d e s e shy

g u r a n ccedil a ( W R G a m b i l l r e c o m e n d a agrave 1 5 )

N o s s e m i n aacute r i o s d e W R G a m b i l l e n c o n t r a m o s u m a s eacute r i e de

b i b l i o g r a f i a s o n d e p o d e m o s e n c o n t r a r i n uacute m e r a s f oacute r m u l a s p r o p o s t a s

p a r a a o b t e n ccedil atilde o de (q 1^)

A t i t u l o d e e x e m p l o v e j a m o s a l g u m a s

q - 2 7 0 G deg gt 8 5 D 0 2 A085 p lt 150

deg D ( L uuml ) 2

q - 140 G 0 5 D ~ deg 2 (-~-)~deg 1 5 p ~ r gt 150 c D (LD)

o n d e a m b a s as e q u a ccedil otilde e s s oacute v a l e m p a r a aacute g u a e m b a i x a p r e s s atilde o e m coii

v e c ccedil a o f o r ccedil a d a

33

D

L

fluxo teacutermico critico BTUhrft bdquo 2

descarga em massa do liquido (Ibmhrft )

diacircmetro do tubo ft

comp do tubo ft

Para cada caso temos uma expressatildeo diferente que pode ser

encontrada em literatura especializada

6 INFLUEcircNCIA DE OUTROS PARAcircMETROS NO FLUXO DE BURNOUT

Como para os usos atuais do reator a diferenccedila de temppound

ratura entre parede e fluido sao pequenas bem como o fluxo de bur

nout recentemente fiacutesicos como Jakob Bonilla WR Gambill estu

daram outros paracircmetros que influenciam bastante o sect^ 0gt isto eacute a

influecircncia desses paracircmetros faz com que o ^ seja maior Isto eacute

util pois quanto maior o fluxo de burnout maior poderaacute ser o

fluxo de calor real de funcionamento

Tais meios sao

- Sub-resfriamenCcedilo do liacutequido

61 - Influecircncia da velocidade do liacutequido

Estudos feitos pelos autores acima chegaram agraves curvas

- Aumento da velocidade imposta ao liacutequido

- Pressatildeo do liacutequido elevada

alto V

At

34

Para velocidades maiores o fluxo de burnout aumenta

porque neste caso o regime eacute turbulento e o coeficiente de peliacute

cuia h aumentao

6bdquo2 - Influencia do aumento da pressatildeo

Este estudo deve-se a Bonilla que obteve experimentalmen

te as curvas

Este estudo foi feito para vaacuterios liacutequidos e chegou a con

clusao que sempre havia uma pressatildeo oacutetima isto e uma pressatildeo que

leva ao maior iacute 1 ^ raquo mantidas as demais condiccedilotildees Experimentalmenshy

te notou que essa pressatildeo correspondia a 13 da pressatildeo critica

do liquido em questatildeo

6=3 - Influecircncia do sub-resfriamento

Consiste em manter atilde custa de uma circulaccedilatildeo intensa o

liacutequido a uma temperatura inferior atilde de saturaccedilatildeo para a pressatildeo

correspondenteraquo Experimentalmente chega-se agraves curvas

mdash A t grande sub

bullAt -0 sub sub

medio

At

35

Verificando os graacuteficos vemos que o lt)gt aumenta agrave medida bo

que aumenta a diferenccedila de temperatura de sub-resf riamento isto pojr

que o liquido como estaacute mais frio faz com que algumas das bolhas

recondensem permitindo que o liquido fique em contato com a parede

quente o que faz aumentar o h

^ f csub = t e m P e r a t u r a ddeg liacutequido - temperatura de saturaccedilatildeo

A diferenccedila de temperatura At entre fluido e parede tamshy

beacutem aumenta poit na regiatildeo proacutexima agrave parede haacute necessidade de

levar o liacutequido da temperatura do sub-resfriamento ateacute a temperatu

ra de saturaccedilatildeo quando se evapora

Atualmente os maiores estudos dos fiacutesicos nucleares locashy

lizam-se neste campo pois eacute o que oferece maiores vantagens

7 FORMULAS PARA 0 CAacuteLCULO DO COEFICIENTE DE PELIacuteCULA NA EBULICcedilAtildeO

Como ocorre no caacutelculo de todas as foacutermulas de convecccedilatildeo

temos formulas empiacutericas para determinar o h conforme o tipo de

ebuliccedilatildeo que nos consideramos

71 - Ebuliccedilatildeo Nucleada

Para o caso de aacutegua temos as relaccedilotildees

superfiacutecies

horizontais

superfiacutecies

verticais

f aacute 5000 BTUhrft 2 -gtbull h = 151 ( A t ) 1 3

A o

5000 lt 75000 -h = 0618 (At)3

^ pound 1000 -raquobull h = 8 7 ( A t ) 1 7

A o -

1000 lt $ lt 20000 -gt h = 027 (At) A o

Quando a pressatildeo e diferente da atmosfeacuterica faz-se a correccedilatildeo

3 6

72 - Ebuliccedilatildeo por peliacutecula

Bromley propocircs uma boa equaccedilatildeo para a ebuliccedilatildeo por peliacuteshy

cula estaacutevel em cilindros horizontais

Nu

_ JtjD n r 9 P v bull ( P L - P v gt - g -h

e V bull D i2

D 1 ^ U b Z u At gt

onde

V = indica vapor

L = indica liacutequido

Multiplicando ambos os membros da equaccedilatildeo acima por

kvD obteremos a expressatildeo do coeficiente de convecccedilagraveo meacutedio para

o caso

37

C - FORMULAS PARA CAacuteLCULOS ESPECIacuteFICOS - RESULTADOS ESPECIacuteFICOS

1 FLUXO DE CALOR CRIacuteTICO - BURNOUT

lol - Introduccedilatildeo

O aspecto mais importante no que se refere agrave seguranccedila

dos reatores da transferencia de calor na ebuliccedilatildeo eacute a determina

ccedilatildeo do Fluxo de calor critico ou de pico ou burnout

Como jatilde vimos quando temos a ebuliccedilatildeo nucleada a dishy

ferenccedila de temperatura entre refrigerante e superfiacutecie de aqueci

mento e pequena poreacutem quando atingimos o fluxo de calor criacutetico

essa diferenccedila de temperatura pode tornar-se imediatamente muishy

to grande podendo causar a ruptura da superfiacutecie de aquecimento

se atiigirmos o ponto de fusatildeo do soacutelidoraquo

Usando a convecccedilao

onde

At sat

w

sat At

sub

w = temperatura da parede de aquecimento

t t = temperatura de saturaccedilatildeo do liacutequido

t^ = temperatura de mistura do liacutequido

At = (t -t ) sub-resfriamento do liacutequido sub N sat b 1

nout

Ha dois tipos de burnout fast burnout e slow bur-

Ocorre o fast burnout (burnout raacutepido) quando A t g u b gt 0

38

ou para baixo x (~ lt 10) sendo x o titulo do vapor

Temos o slow burnout para x - gt 10 Assim noacutes tereshy

mos dois limites para o burnout

At bull o (ltJgt ) t =((() para t = t ) -

bo m m possiacutevel w sat

sub i

4L + 1

G c D h pl nb

(ltK ) = (ltpound para x = 1) = Dv-bo max possiacutevel e 4L

c At l + P 1 sub i

onde

L = comprimento do canal

D = diacircmetro do tubo

G = descarga de liacutequido (por unidade de aacuterea)

c ^ = calor especiacutefico do liacutequido

Agrave = calor latente de vaporizaccedilatildeo

h ^ = coeficiente de transferecircncia de calor na regiatildeo de

nao ebuliccedilatildeo

iacutendices

i = entrada

e = saiacuteda

Haacute inuacutemeras expressotildees para determinaccedilatildeo do burnout pro

postas por muitos fisicos cada uma aplicando-se a um caso especiacuteshy

fico vejamos algumas delas

12 - Equaccedilotildees para prediccedilatildeo de Burnout

121 - Equaccedilatildeo de Bragg e Smith (Zuber)

Num artigo publicado por Bragg e Smith encontramos uma f oacute_r

mula que e derivada da formula de Kutateladze e nos daacute o fluxo cri

39

tico quando nao temos sufaresfriamento

bo poolsat v V raquoc a ( p l P V )

2 PV

14

onde

ltiexclgt = fluxo de calor critico bo

k = constante

Ly = calor latente de vaporizaccedilatildeo do refrigerante

= densidade do liquido

pvr = densidade do vapor V a = tensao superficial

g = fator de conversatildeo c

a = aceleraccedilatildeo da superficie de aquecimento

Os autores encontraram para k um valor de 062 entreten

to outros autores como Zuber incluindo outras variaacuteveis que In

fluiam no fenocircmeno encontraram k variando entre 008 e 023Esshy

tudos bem elaborados mostram que o valor mais aproximado eacute

k = 015 (- 003)

1-22 - Equaccedilatildeo de Noyes

Noyes estudou o burnout para o soacutedio agua e alguns liacute

quidos orgacircnicos

( W s a t ~ bdquo 0245 bull ( r ( 1 )

iiacute_ V 1 Pr

onde

N n = Nuacutemero de Prandtl da fase liacutequida x r

Mais tarde o proacuteprio Noyes alterou a equaccedilatildeo para

n ^ - n H Iacute I Pl PV gt0538 deg g c a q 4 ( W s a t deg 1 1 6 PV ( - p 7 ~ ) (77T1^ ) ( 2 )

40

A ultima correlaccedilatildeo proposta por Noyes foi

a n prPV0560 112

1

(a bull a) 13

(ag c) 112

(3)

onde

a = difusividade teacutermica do liacutequidoraquo A equaccedilatildeo (3) eacute bashy

seada em todos os dados de burnouts do soacutedio bem

como da atildegua benzeno difenil e outros De 111 pontos usados 90

+ estatildeo relacionados dentro de - 30bdquo

ldeg2o3 - Burnout com convecccedilao forccedilada e sub-resfriamen

to

Aproveitando os resultados de aproximadamente 240 testes

de burnouts com aacutegua sub-resfriada em fluxo de convecccedilao forccedilashy

da feitos na Ruacutessia Labuntsov elaborou uma boa equaccedilatildeo empiacuterica

para o problemabdquo

Esta relaccedilatildeo aplica-se para velocidades entre 2 3 e 148

ftsec pressotildees entre 1 e 201 atmabs sub-resfriamento entre 0 deg

e 432 degF e fluxos de burnout entre 0 4 x IO 6 x 166 x 1 0 6 BTUhr

2 bdquo

bullbo

onde

e a seguinte

6 ( P ) 1 + 0 2 3 2 V 2

14

e ( P ) 1 +

15 c At _p_ sub

12 (a)

9 ( P ) - P 1 3 o ( 1 - P J 4 3

red

= pressatildeo (atm abs)

pressatildeo reduzida = mdash mdash red r P

t_ c = pressatildeo critica

= velocidade do liacutequido (ftsec)

= calor especiacutefico do liacutequido (BTUlbdegF)

4 1

^ tsub = ^ ^ e r e n Ccedil a ^ e temperatura entre a temperatura de

mistura do liacutequido e a de saturaccedilatildeo (degF)

X = calor latente de vaporizaccedilatildeo (BTUlb) 2

ltiacutegtbo = fluxo de burnout (BTUhrfl )

Uma outra correlaccedilatildeo para o caso foi proposta por

Ornatsky e Xiohigin que fizeram experiecircncias para pressotildees entre

10 e 1 5 0 3xm 90 degF lt At ^ lt 4 5 0 deg F 3 7 1 0 6 ( l b h r o f t 2 ) lt G lt

2 2 2 10 b ( l b h r bdquo f t 2 )

lt ^ = 3 2 5 0 (G o A t bdquo J deg 6 ( - i - ^ ) 2 5 ( b ) bo sub

onde

G - descarga de refrigerante por unidade de aacuterea

P ^ v P v - densidades do liacutequido e do vapor

P1~ PV -0 termo (mdash ) e incluido na expressatildeo (b) para indicar

a influecircncia da ^ pressatildeo sobre o

Uma comparaccedilatildeo entre as equaccedilotildees (a) e (b) foi feita para

o Reator de Isoacutetopos de Alto Fluxo (HFIR) nas condiccedilotildees aacutegua a

600 psia velocidade = 45 ftsec e sub-resfriamento = At^^ 1

degF obtendo-se uma diferenccedila de 6 5 entre ambos (4gt = 6 0 5 1 0 b

2 ~ 6 2 BTUhr ft pela equaccedilatildeo (a) e 6 4 5 10 3TUhrraquoft pela equaccedilatildeo

(b)

Ilatilde ainda a equaccedilatildeo de Ivey e Morris aplicaacutevel somente pa_

ra ebuliccedilatildeo com grande quantidade de liacutequido

( c sub t

Cpf bull A tsub

( bull ) s ~ V P bdquo 10 h V sat V g

onde

(ltL ) = fluxo critico com sub-resfriamento c sub

(ograve ) ^ - fluxo critico sem sub-resfriamento c sat

42

c ^ = calor especiacutefico do liacutequido

= calor latente de vaporizaccedilatildeo

124 - Burnout com convecccedilao forccedilada e ebuliccedilatildeo por bocirc-

Ihas

Gambill fez uma extensatildeo da equaccedilatildeo de Levy e aplicou o

metqdo da superposiccedilatildeo Tal extensatildeo consiste natilde subtraccedilatildeo de uma

razatildeo equivalente de massa transferida dos termos que represenshy

tam a ebuliccedilatildeo e convecccedilao para levar em conta a presenccedila do vashy

por no fluxo

A correlaccedilatildeo pode ser escrita assim

24 V P V

o g c a (p^Py) 14

+ 0696 (k p c ) 12

(

pr p v )i4 o g c a (P-L-Py) 18

bull At + h sub nb

044 p v L v G (g1) bull N2 n

p l P V

( pr p v ) d e 2-7

2 4 TT 0

14 ( f e _ ^ r l 3

lO^u

onde

k = condutividade teacutermica

c = calor especiacutefico

A t s u b ~ s ub-resfriamento do liacutequido

h = coeficiente de transferecircncia de calor de nao ebu nb mdash

liccedilatildeo

G = descarga total do refrigerante

43

d g = diacircmetro equivalente do tubo ou canalraquo

]i = viscosidade

B = constante adimensional

Os iacutendices V e 1 representam vapor e liacutequido respectiva

mente

0 primeiro termo entre chaves da equaccedilatildeo representa o flu

xo de calor no burnout de sub-resfriamento em convecccedilao forccedilada 0

segundo termo entre chaves corresponde ao fluxo de calor transferi^

do para a massa da fase vapor

1-25 - Burnout por Bloqueio da Base

Ocorre quando a profundidade do recipiente eacute muito maior

que a largura 0 bloqueio da base eacute causado pela formaccedilatildeo de uma pe_

licula de vapor na base impedindo que o liacutequido toque o fundo do

recipiente

i De

Este eacute o burnout por flooding isto eacute burnout por expul

sao do liacutequido Uma equaccedilatildeo que nos dacirc o fluxo minimo do burnout

parao caso eacute

44

onde

D g = diacircmetro equivalente

L = comprimento do tubo

= calor de vaporizaccedilatildeo

p^Py Ap = densidade do liacutequido do vapor e diferenccedila en

tre ambos

Para um fluxo de calor maior ou igual ao dado pela expres_

sao acima (mantida a mesma geometria) teremos burnout Para um deshy

terminado fluxo existiratildeo sempre um comprimento L e um diacircmetro equi

valente D e para os quais temos burnout Exemplo

L (in) D e(in)

10 11

100 51

1000 235

2 RESULTADOS ESPECIacuteFICOS - FOacuteRMULAS PARA CAacuteLCULOS ESPECIacuteFICOS

21 - Diferenccedila de temperatura At i

13 a t

sat

At sat

poundatildeJL_ raquo t - t J p T T 6 w sat

onde

o laquo tensatildeo superficial entre liquido e vapor

t - temperatura de saturaccedilatildeo do liacutequido para a corres-Scl t

pondente pressatildeo

J equivalente mecacircnico do calor

X laquobull calor latente de vaporizaccedilatildeo

py = densidade do vapor

6 = espessura da camada de liacutequido superaquecido onde

45

k l

h nc

onde

k^ = condutividade teacutermica do liacutequido

h = coeficiente de peliacutecula nc r

Segundo Eckent h ^ c e dado por

P 2 Q

nc 3 V VP + 0952

r

onde

D = diacircmetro equivalente

G r = numero de Grashoff

P = nuacutemero de Pradtl

2 o 2 - Velocidade das bolhas

A velocidade das bolhas em meacutedia pode ser dada pela exshy

pressatildeo

V bdquo = Iacute ( a bull B Apl4 bolhas 5 ^ 2

p l onde

AP = P L - P v

Expressatildeo que vale quando a aceleraccedilatildeo eacute a da gravidade

baixa viscosidade do liacutequido e bolhas separadas

Vbolha = f t s e atilde m a x para aacutegua

2 bdquo3 - Diacircmetro das bolhas

2gc deg 12 D = 0015 3 ( mdash mdash 7 ~ ) d g Ap

5 =

46

onde

8 = acircngulo de contato (20 a 90deg) geralmente assume-O -1

-se igual a 50 para a agua em contato com metal

24 - Coeficiente de peliacutecula na ebuliccedilatildeo nucleada

a) Equaccedilatildeo de Rohsenow

Esta equaccedilatildeo nos datilde o fluxo de calor q na ebuliccedilatildeo nushy

cleadaraquo E oacutetima expressatildeo para muitos liacutequidos o efeito da presshy

satildeo eacute levado em conta na variaccedilatildeo das propriedadesraquo

Pf

fg

sat 17 = c

sg k y f h f g g( P f-p g)

n033

onae

Pf

fg

Pf Pg c sg

= fluxo de calor requerido (BTUhr0ft^)

= calor especiacutefico do liacutequido saturado (BTUlbm0F)

= calor latente de vaporizaccedilatildeo (BTULbm)

= nuacutemero de Prandtl

= viscosidade do liacutequido (lbrahrraquoft) ~ 8 2

= fator de conversatildeo 417 10 Ibmftlbflaquohr 2

= aceleraccedilatildeo da gravidade (fthr )

= tensatildeo superficial na interface liacutequida vapor

(lbfft) 3

densidade do liquido e vapor (lbmft )

constante adimensiacuteonal que depende de vaacuterios fashy

tores dentre os quais o grau de aquecimento en_

tre o fluido e a superfiacutecie de aquecimento e o

mais importanteraquo Independe da pressatildeo do sistema b) Equaccedilatildeo de Levy

Equaccedilatildeo valida para a aacutegua quando 100 lt p lt 2000 psiacutea

47

43 bdquo3

qu bdquo gat ^ T J h r t f t ^

495

25 - Calculo do fluxo de calor no Ponto de Leidenfrost

0 ponto de Leidenfrost como vimos eacute o ponto em que oflu

xo de calor comeccedila ncamente a crescer isto eacute o ponto onde termal

aa a ebuliccedilatildeo instaacutevel e comeccedila a ebuliccedilatildeo por peliacutecula estaacutevel Eacute

o chanado fluxo miacutenimo (egrave ) m m

Aproximadamente quando A t g u k = 0 temos

A _ mdash _ mdash (Gambill) m m 5

Ha entretanto varias expressotildees para determinar esse flu

xo eis uma delas

A p 14 ltjgt = 009 h pbdquo (o raquo g mdash ) y m m fg P V deg 2

p l

26 - caacutelculo do fluxo de calor na regiatildeo de ebuliccedilatildeo por peliacute

cuia estaacutevel

para cilindros jmdashi i li

_ D 0172 k-V - P V A p h l V bull S 14 li - = 062 (mdashmdash) (- j- r rmdash) convecccedilao A 0 ybdquo (t -t )

c V w sat

onde

= condutividade do vapor

- 2 TT ( mdash )

c gAp Vl = significam vapor e liacutequido respectivamente

para paredes verticais

L 0172 S deg7 A p bull hlV S q 4 h - - 080 (-^-)J- (-Iuml - Iacutemdash-convecccedilao X L u (t - t J)

c V w sat

48

Como nesta regiatildeo jaacute haacute nina influecircncia marcante da radia

ccedilao devemos levar en conta tambeacutem o coeficiente de peliacutecula de

vido a radiaccedilatildeo para determinar o coeficiente de peliacutecula total

Dos estudos atildea radiaccedilatildeo temos

h = a F pound(T 4 - T 4 J ( T ~ T ) rad w sat w sat

onde amp _ emissividade de superfiacutecie

a = constante de Stefan-Boltzman

F = fator de forma

Segundo WE Gambill o coeficiente de transmissatildeo total

ceve ser

3 iacutei = h + -7 h para h lt h t conv 4 rad r rad conv

Na expressatildeo acima existe o fator 34 porque a radiaccedilatildeo

faz variar um pouco a espessura do filme de vapor reduzindo asshy

sim o l l

conv

Quando tivermos h gt h gt o h^ ^ seraacute rad conv total

h f c = h + h t conv rad

Neste ultimo caso nao ha nenhum coeficiente porque a peshy

liacutecula de vapor jaacute eacute estaacutevel

27 - Grandezas caracteriacutesticas para a apua

Para pressatildeo igual a 1 atm = 1422 psia

At ^ = t - t = 5degC (iniacutecio da ebuliccedilatildeo nucleada) sat w sat 1

At t = 30degC sat crit

49

5 2 $ = 4 10 BTUhrft (para pressatildeo 1 atm)

0 fluxo critico cresce como vimos com a pressatildeo ate

atingir o maacuteximo quando a pressatildeo eacute aproximadamente 13 da pressatildeo

criacutetica Esse fluxo eacute

bull = 13 IO 6 BTUhrft 2 para p = 11000 psia (p pound = 32062 psia)

Ainda temos que para pressatildeo igual a 15 psia

h b o = 11000 BTUhrft degF - ebuliccedilatildeo nucleada

h f b = 30 BTUhrft 2 degF - ebuliccedilatildeo pelicular

Todos os resultados e formulas para caacutelculos especiacuteficos

apresentados nos itens 21 22 23 ateacute 27 sacirco aplicados somente

para sistemas onde haja ebuliccedilatildeo com grande quantidade de liquido

51

D - HIDRODINAcircMICA DOS SISTEMAS E QUEDA

DE PRESSAtildeO DENTRO DE UM CANAL

1 HIDRO-DINAcircMICA E QUEDA DE PRESSAtildeO

11 - Hidro-dinacircmica dos sistemas estaacuteveis

111 - Regimes de escoamento

A evoluccedilatildeo do escoamento ao longo de um canal aquecedor

de secccedilatildeo constante ciliacutendrico pode ser esquematizada pela figushy

ra 1 onde temos em abcissa o comprimento z do canal e em ordenada

a temperatura (T)

52

Na figura 1 nos representamos

a) 0 aspecto do escoamento fluido quando a entalpia do

- fluido aumenta Verificamos que o fluido entra no cashy

nal no estado liacutequido e assim permanece ateacute atingirmos a zona de

ebuliccedilatildeo local onde aparecem as primeiras bolhas A entalpia do

fluido continua aumentando e tem inicioa ebuliccedilatildeo franccedila onde as

bolhas se unem formando agregados posteriormente o escoamento to

ma a forma da figura ou seja torna-se anular disperso Finalmente

atingimos duas uacuteltimas fases do escoamento disperso (vapor uacutemido)

e vapor seco

b) A evoluccedilatildeo da temperatura meacutedia do fluido e da tempeshy

ratura da parede Note-se que a partir da cota a

temperatura da parede aumenta brutalmente podendo causar o

burnout

c) A evoluccedilatildeo do tiacutetulo do vapor (x) com o comprimento

do tubo e a evoluccedilatildeo da fraccedilatildeo (a) que definiremos no

item 11laquo2 com o comprimento do tubo

112 - Definiccedilotildees

a) Tiacutetulo ou qualidade do vapor (x)

massa de vapor na mistura x ~ massa total da mistura

x =

W _g_

g f

b) Fraccedilatildeo vazio (void fraction)

volume do vapor na mistura a = volume total da mistura (agua+vapor)

A relaccedilatildeo entre x e a num sistema parado pode ser obtida

assumindo um certo volume contendo 1 lbm de mistura em equiliacutebrio

teacutermicoraquo

53

O volume da mistura seraacute igual a (v + xv ) ft onde v eacute 3 r rg

o volume especifico (lbmft )

f - refere-se ao liquido

g - refere-se ao vapor

fg - refere-se a diferenccedila entre liacutequido e vapor

Numa mistura em equiliacutebrio se o liacutequido e o vapor estatildeo

saturados o volume do vapor presente eacute igual acirc sua massa vezes

seu volume especiacutefico v assim e

xv bdquo bdquo a mdash

V c + XV c

f gf

onde

- bull-bull uumlutiacuteisa vapor na mistura de 1 Ibm

v volume especiacutefico do liacutequido

v = volume especiacutefico do vapor o

V c = v - V

gf 8 r

Fazendo uma transformaccedilatildeo na expressatildeo acima temos

xv xv JS = Z-

v r+ x(v -v c) xv +(l-x)v t ri f g f g f 1 + Ul-x)xjv fv

1 + C(l-x)x]]vfvg

A fraccedilatildeo vazia tem a influencia de baixar a reatividade

do nuacutecleo nos reatores em que o refrigerante eacute tambeacutem moderador

Na equaccedilatildeo acima os valores de x e v sao tomados em tabe

las termodinacircmicas apropriadas para a pressatildeo do sistema A equashy

ccedilatildeo (1) mostra os grandes valores de a para pequenos valores de x

especialmente para baixas pressotildees Isto ocorre porqueaumentando

54

aacute pressatildeo o v decresce muito enquanto que o v f eacute mais ou menos da

mesma ordem de grandeza

Exemplo Calcular o a correspondente para x raquo 2 para aacutegua

leve atilde pressatildeo atmosfeacuterica

Da tabela para p laquobull 1 atm

v - 001672 ft 3lbm e v - 26800 ft 3lbm

1 + [(1-002)002] 001672268

0971 ou 97U

O grafico abaixo mostra a variaccedilatildeo do a com x para vaacuterias

pressotildees e para a aacutegua leve

x ()

tObservaccedilotildees da curva

Fig 2

1 - para x constante a decresce com a pressatildeo Para presshy

sotildees proacuteximas da criacutetica a aproxima-se rapidamente de

x Para a pressatildeo criacutetica as duas fases satildeo indistinguiacuteveis ea=x

2 - para cada pressatildeo dotdx decresce com aumento de x

3 - para baixos valores de x (que e o caso dos reatores

tipo Boiling) quando p decresce dadx cresce e torr

na-se muito grande paacutera baixas pressotildees Isto tem relaccedilatildeo com a epound

55

tabilidade do reator como veremos mais tarde

113 - Sistemas com fluxo

Todas as definiccedilotildees que noacutes vimos no item anterior refeshy

rem-se acirc sistemas em que a mistura esta fechada no recipiente Nes^

te caso natildeo havia movimento relativo entre as duas fases No entan

to se as duas fases da mistura se movem na direccedilatildeo vertical em

canais entre os elementos combustiacuteveis o vapor por causa de sua

flutuaccedilatildeo tem a tendecircncia de escorregar sobre o liacutequido isto e

move-se com velocidade maior do que a do liacutequido

Real Modelo

Pig 3

S -

Define-se neste caso a relaccedilatildeo de escorregamento (slip

ratio) (S) como sendo

V _i

V f

onde

V = velocidade do vapor

= velocidade do liquido

S modifica as relaccedilotildees entre a e x do item anterior S geralmen_

te gt 1 Define-se neste caso qualidade do vapor ou tiacutetulo como

sendo

_ fluxo de massa de vapor

fluxo de massa da mistura

Entatildeo se o fluxo de massa da mistura eacute m t(lbmhr) o flushy

xo de vapor seraacute = x m e o fluxo de liacutequido sera (1-x) m onde x

56

e o titulo do vapor para a particular secccedilatildeo (AL) da figura (3)

Devemos notar que neste caso x varia de secccedilatildeo para secshy

ccedilatildeo do tubo o exposto no paraacutegrafo acima vale considerando-se que

x e a permaneceram constantes na secccedilatildeo de espessura AL

Aplicando a equaccedilatildeo da continuidade as velocidades do va

por e liacutequido sao dadas por

o xm v

V vazatildeo = g g area A

V

(1-x) amp t v f

f A f

onde A e A f sao as aacutereas medias perpendiculares ao fluxo se as

duas fases sao imaginadas completamente separadas uma da outra

(figura 3) Assim temos

V x m v o A_ A v 0 ^ - 2 = iacute S t m _2L- JL JS m

V A (l-x)ui v 1-x A v U

f g t f g f

Sabemos ainda que para a secccedilatildeo considerada

volume do vapor na mistura a = volume total da mistura (agua+vapor)

A AL A pound g g

a = mdash a a = - mdash 1

(A+A )AL A f + g

A ou f _ 1 - a

A a 8

Substituindo em (2) vem

57

Esta expressatildeo pode ser rearranjada e obteremos uma relashy

ccedilatildeo entre x e a levando em conta o escorregamento Chega-se a

a = 1 ( 3 )

1+ [U-x)x3 igt

onde

v 4 laquo -- S

v lty o

Note-se que quando S=l (nao haacute escorregamento) caimos na

expressatildeo dada no item anterior

0 efeito do escorregamento eacute decrescer o valor de a pa_

ra um mesmo xbdquo Isto pode ser visto pela foacutermula (3) pois S gt lLo

go a decresce com acreacutescimo de S

Um alto S e entatildeo uma vantagem tanto para a transferecircnshy

cia de calor como para efeitos de moderaccedilatildeo Eacute uma vantagem para

transferecircncia de calor porque alto S significa alto V e portanto

maior turbulecircncia e maior contato do liquido com as paredes quenshy

tes Ha tambeacutem melhorias na estabilidade da reaccedilatildeo nuclear isto

porque como jaacute dissemos quando mdash7 diminui a estabilidade aumenshy

ta isso pode ser verificado observando a curva a versus x para a

agua leve a 1000 psiabdquo

Fig 4

58

A relaccedilatildeo entre x e a da equaccedilatildeo (3) so vale para secccedilatildeo

de tubo bem pequena

Devemos notar que S varia tambeacutem com a pressatildeo e velocida^

de de entrada do liacutequido no tubo Este efeito pode ser observado na

figura 5 abaxxo obtida esperimentalmente

s

3

~^ ~ psig

x = 001

V 1

Fig 5

Nos projetos de reatores como veremos adiante o valor a

geralmente eacute determinado por consideraccedilotildees nucleares (moderaccedilatildeo) 0

valor de S eacute determinado atraveacutes de uma estimativa ou entatildeo atrashy

veacutes de um graacutefico do tipo da figura 5 0 correspondente valor de x

pode ser obtido de uma foacutermula empiacuterica do tipo

1 = 1 (-S)0gt67

proposta por Von Glahn

Em muitos casos assume-se S constante em todo o comprimeiv

to do canal poreacutem eacute um erro que em muitos casos nao pode ser coshy

metido

4 REATORES EM QUE 0 LIacuteQUIDO B MODERADOR E CIRCUITO PRIMAacuteRIO AO

MESMO TEMPO BOILING-REACTOR (BWR)

A aacutegua ao se movimentar atraveacutes dos vaacuterios canais do

59

Boiling-reactor encontra vaacuterias resistecircncias ao fluxo que provoshy

cam uma reduccedilatildeo de pressatildeo no fluido

As duas perdas mais importantes sao perda de pressatildeo por

atrito e perda de pressatildeo causada pela aceleraccedilatildeo do refrigerante

ao aumentar de volume por receber calor num canal Outras perdas

de pressatildeo seriam a obstruccedilatildeo ao fluxo por corpos submersos (espa_

ccediladores juntas de tubos chaves etc) e por mudanccedilas abruptas de

aacuterea de fluxo tanto na entrada como na saiacuteda do tubo

Essas perdas de pressatildeo devem ser conhecidas o melhor popound

sivel principalmente nos reatores BWR Para tanto devemos saber

o comprimento de canal em que nao ha a ebuliccedilatildeo isto eacute qual o com

primento de canal em que o refrigerante vai da temperatura de sub-

resfriamento ate temperatura de saturaccedilatildeo

Seja o elemento combustiacutevel

Aquecimento Uniforme Aquecimento Senoidal

Fig 6 Fig 7

onde

H =

H = o

H b

comprimento do elemento combustiacutevel

cota onde o liquido se torna saturado

comprimento do elemento combustiacutevel em que ocorre

ebuliccedilatildeo

60

qg = calor sensiacutevel acrescentado ao liquido para satushy

raacute-lo

qfc = calor total acrescentado ao liacutequido em todo o com

primento do canal

laquoo

q s J o qiquest sen (IIzH) n H o

T~ = TH = 2 ( 1 c o s gt ( a )

q 1 sen (HzH) Jo ^c

A expressatildeo (a) vale quando tivermos uma adiccedilatildeo de calor

senoidal para qualquer outra forma de adiccedilatildeo de calor faz-se um

caacutelculo anaacutelogo

Outra relaccedilatildeo entre q g e qfc eacute dada pela termodinacircmica

q h- - h s f m (b)

(hr +x h )-hm ^t f e fg

onde

= entalpia para o liquido saturado a pressatildeo correjs

pondente (cota z = Ho)

hffi = entalpia do liacutequido na entrada do canal

x = tiacutetulo do vapor na saiacuteda

= entalpia do vapor

Com a relaccedilatildeo (b) noacutes determinamos a relaccedilatildeo q q ecom

S L

uma relaccedilatildeo do tipo (a) (conforme seja o adicionamento de calor ao

liacutequido) podemos obter a relaccedilatildeo HoH e consequentemente H^H

21 - Perda de pressatildeo num canal de evaporaccedilatildeo

Neste item iremos determinar as perdas de pressatildeo mais

representativas que ocorrem num canal de evaporaccedilatildeo de um reator

P + dP

bull1 i- 1 gti i i

dL

onde

UM

Icirc H Icirc Icirc T dF f t f

61

Quantidade de Mov na Entrada

= i- rigVg)

dF f l

Fig 8

m i

m 8

V l V 8

A P

dF

dF

dF

fg

fl

ftf

descarga do liacutequido

descarga do vapor

velocidade do liquido

velocidade do vapor

aacuterea transversal do canal

forccedila de atrito do vapor com parede

forccedila de atrito do liacutequido com parede

forccedila de atrito das duas fases liacutequido+vapor

Fazendo o balanccedilo das forccedilas considerando o sentido posjL

tivo na vertical temos

A (P-P-dP)-(dF +dF _+dF _)-(-pound-) (p A+p A )dL = mdash dGnV+m V ) P fg ftf fl g c 1 1 g g g c

v 1 1 g g 7

- dP = ~ (dF +dF--+dF)+- S--7=- (p A+p A )dL+ mdash ~ - d (m-V+m V ) A_ fg ftf fl g c Ap v^l 1 g g g A 11 g g

Fazendo a integraccedilatildeo termo a termo entre os dois extreshy

mos entrada e saiacuteda e considerando a pressatildeo de entrada igual a

P q e a de saiacuteda igual a Pe vem

Quantidade de Mov na Saiacuteda

-= h I- lY l+ A g V g + d ( aacute l V l + aacuteeVl

Forccedila de Gravidade

= ( g f - N P A + P g V

62

b) r e F f l

o p dp^ = Ap^ = perda de pressatildeo por atrito

do liacutequido na altura Ho

Aplicando a formula de Darcy vem

bull API = f bull ir bull ^ iexcl 7

onde

f = fator de atrito

c) e Fftf

o p ^P tpound

= perda de pressao por atrito da mistura

liquido + vapor no trecho de comprimen

to Hbdquo o

Para determinar esta perda de pressao define-se o fator

de multiplicaccedilatildeo R

A P R =

tf A P 1B

Sendo A p ^ a perda de pressao se o comprimento todo fosshy

se ocupado somente pelo liquido assim

A p t f = R A P 1 B

0 calculo de Ap-^ pode ser feito pela formula de Darcy e

o de R nos veremos no item seguinte

63

d)

-e F

d ( ^ )

O P

Ap = perda de pressatildeo por atrito do vapor

No caso do reator BWR o titulo de saida e bera pequeno e

em nenhum caso ocorre a saida de vapor com x = 100 logo a perda

de pressatildeo por atrito do vapor eacute nula assim

An = 0 5

e) Ap

(p A 1 + p A ) dL = Ap - perda de pressatildeo dpound

vida ao desniacutevel

(perda hidrostaacutetica)

Anbdquo = re A A

-S- I (p + p -S ) dL H s 1 A

c o p o A

como A A Jl_ =

A P

A +A-g 1

1-a -

temos

C Q

te j jll-a)p1 + apg)^jdL = p Lo pound

onde

e jo u

+ ap ) ~I dL (Densidade media 1 S J

no tubo)

No nosso caso

Ap u = p H

f)

re d(mV + m V ) _ mdash - laquo -i bull s iquestp laquos p e r d a ltje pressatildeo devido a acele-

c p raccedilatildeo do vapor

V A

(1-x) tl^Vj

(1-a) A

X V

aA

A p -

roV + m V

c p c p L_

m (l-x)m_v m xv nbdquo -1 T 1

+ _S S I (1-a) Ap aA

P

2 g A c p

n 2 2

(1-x) m T

laquo2 8 A c p

2 2 (l-xe) raTv1

2 2 2 xm_v (1-x) m-v e T s o 1 1

a 1 - a

2 2 - x m_v o T g

a

se

X Q 0 (so ha agua nesse trecho)

a = 0 o

temos

mbdquo Ap =

1 a A 2

S A degc p laquo-

tt-V v i 1 - a

2 via T^r - v i

t Apc

2

V v l

5c Ap

1 - a

x v - 1

a e v l

65

Fazendo

G = fluxo total da massa por unidade de area do

canal

(1-x J e

V

AP r

Assim a perda de pressatildeo total sera

H p V II pV r2 P -P = f -24-Iuml+ f R+p 0 1 2g c D e 2g c g c g c

2c2 - Determinaccedilatildeo do fator de multiplicaccedilatildeo (R)

221 - Relaccedilatildeo Martinelli-Nelson

Os autores Martinelli-Nelson determinaram experimental -

te esse fator R para varias LIT1L em funccedilatildeo da pressatildeo e da r NB total J v

qualidade de saiacuteda do vapor no canal Construiacuteram assim vaacuterias

curvas do tipo da figura 9

66

E importante notar que a qualidade do vapor (x) na saiacuteshy

da nao deve ser grande pois como vemos o valor de R cresce muishy

to com um aumento pequeno de x e um valor de R muito grande acar_

reta uma perda de pressatildeo grande pois

^ d u a s fases R ^ f a s e liacutequida

Para resolvermos um problema seguindo o criteacuterio de bdquo

Martinelli escolhemos a curva R = f(px) (para a relaccedilatildeo L

N g ^ j

adequado) e tiramos R com os valores de pressatildeo p e tiacutetulo x

As curvas R = f (p x L T t )IO encontram-se nos ANL 6469 bio I

e 6561

222 - Relaccedilatildeo Lottes-Flinn

Estes autores estudaram o problema para o aquecimento uni

forme do refrigerante com baixo titule Lottes-Flinn fizeram inuacuteshy

meras experiecircncias e verificaram que para fluxo de calor uniforshy

me e baixos titulos R era independente do fluxo de calor fluxo

do refrigerante escorregamento e apenas funccedilatildeo de a g

Como a quantidade de liacutequido eacute muito maior que a de vashy

por a perda de pressatildeo daacute-se principalmente pelo atrito do liacuteshy

quido com a parede Podemos assim escrever a foacutermula de Darcy

na forma diferencial

dz

d = f __ r e amp c

onde

V = velocidade do liquido saturado na cota zbdquo X

f = coeficiente atrito

= densidade do liacutequido saturado

Teoricamente a queda de pressatildeo deve-se ao acreacutescimo de

67

velocidade do liacutequido e da diminuiccedilatildeo da aacuterea de fluxo do liacutequi

do

P fH A P t p

= f D 2g Ho

d z

fazendo

V lo

m V t lo

(velocidade do liacutequido na cota z = Ho)

(1-x) m t v 1

(1-a) A (velocidade do liacutequido na cota z gt Ho)

a bull+ fraccedilatildeo vazio na cota z geneacuterica

V 1 (1-x) m t v 1

m t V l 1 - a

x =s 0 pois o tiacutetulo eacute baixo

A p t f = f bull JT5 c e

fH V lo

H o (1-a) dz

Para fazer a integral devemos achar a relaccedilatildeo de variaccedilatildeo

entre a e z Como o fluxo de calor eacute uniforme a qualidade eacute direshy

tamente proporcional a z

bull laquo x = x e H

z = mdash x X e

Sabemos ainda que (item 113)

x

1 + [ ( I -X)AKQ x + iiacuteraquo

68

como

temos

(1-x) = 1

v

X =

z =

1-a

1 -a

1-a e

a

e

1-a pound

a

1 -a igt (assumindo S = cte)

da

Atf - f bull 2 i ^ ~ J c e o

a 1 - a e e 1 s 4 hmdash) da

a 1-a

f P lv^ Q

0 termo mdash - mdash e a parte de perda de pressatildeo pelo lj^

^c e -quido ou seja Ap liquido saturado e como

Ap

R = tf

Ap liauido saturado

temos que

R J

f ae 1 _ a e 1 4

a 1 -a o e

1 -a r-R =

3 1 -a

a 1 -a imdash

3 vl - a 3

e e

Os valores de R obtidos por esta expressatildeo aproximam-se

muito dos valores obtidos pelos aacutebacos de Martinelli

69

E - EXPANSAtildeO E COMPRESSAtildeO DE UM FLUIDO - ANAacuteLISE HIDRODINAcircMICA

DE UM CIRCUITO EM CIRCULACcedilAtildeO NATURAL

1 EXPANSAtildeO NO FLUXO DE UM FLUIDO

11 - Uma so fase

Figura 1

Ha vaacuterios meacutetodos para determinar a variaccedilatildeo de pressatildeo

numa expansatildeo de fluido estudaremos o de Romie que eacute o que daacute

maior precisatildeo

Romie considera que a pressatildeo p^ tambeacutem atua na aacuterea

imediatamente apos a expansatildeo Assim fazendo o equiliacutebrio das foi

ccedilas nas secccedilotildees tracejadas da figura 1 temos

mVj

p r A 2 + mdash

mV

bull 2- A2

mas

m = pV^A^

pV^A = p V 2 bdquo A 2

V A

v 2 -4r-logo

( P l-P 2) A 2 = f ( V ^ ) - f _ v j amp c c 2

70

2 pV A A pV A A

Chamando A l A ]

K = 1 - T e degi2 = Aiexcl bull V E M

pvj

P l P 2 = T ~ bull ( 2 deg 1 2 ) ( 1 _ a 1 2 )

Outra maneira de chegar atilde diferenccedila de pressatildeo ( P j - ^ ) s mdash

ria usar o coeficiente de perda da mecacircnica dos fluidos Assim o

equilibrio das pressotildees eacute

2 2

1 V l 1 V 2 V l P i + _ p _ ^ P 2 + I p ~ + k 1 2 p mdash

onde = coeficiente de perda

A 2 1 2

k 1 2 - (l-o 1 2) - (1 - j- )

Fazendo as transformaccedilotildees chegamos a mesma expressatildeo obshy

tida pelo balanccedilo das forccedilas

PraquoIacute pr p

2 - - ir ^ laquo-ia

12 - Duas fases

Como ha duas fases a equaccedilatildeo do balanccedilo das forccedilas fica

um pouco alterada

m pound 1 V- m - raquoV - m-V- m bdquoV _ P A + j y ^ i + _gl_JUuml P A + -11-11 + -ilsl (a)

1 2 e R 2 2 ff e

Sabendo que

71

m (1-x) m t = p fA (1-a) V f

entatildeo

fl l-o^ p fA x

6 Vf2 1-x l-a2 P fA 2

m V = mdash mdash e V 0 = gl a 1 P C T A 1 g2

m

a_ p h

2 g 2

Nas expressotildees anteriores o x nao varia porque a expansatildeo

5 adiabaacutetica porem o a varia devido a modificaccedilatildeo do tamanho da

bolha

Substituindo os valores das velocidades na expressatildeo (a)

vera

( P - P ) Abdquo =

2

2 2 m gt2 2 m t (1-x) 1 x t

ra i 2 m i 1 x t 1

p fA 1 g c ttl p Ax gpound

m t P - P = mdash

(1-x) (l-a 1)A 1A 2 (l-a2)A|

a r A r A 2

V A 2

m t P bdquo - P = mdash 2 1 g c A r A 2 p f

(1-x) 1-a f A 2(l-a 2)

bull ^ 2

72

Se

P -P

a

m

g

12

1 _1_ (1-x)

J12

1 _ a l 1 - a 2 + X (- )

Pg

1 deg12 a 2 ^

Sabemos que

mt = V o pf laquo A l

Sendo V q = velocidade do liquido num ponto onde natildeo haja vapor

P 2-P 1

u 2 2 A 2

V pr Ai

V W p f

(1-x) 12

l-a1 l-a2

+ X 2 pf

mdash

l deg12

-1 a 2 _

p -p r 2 Al (2a 1 2)

2 M f w 1 deg12 X (mdash) (

pg al a 2 )+(l-x)C l 1 12

1-a^ l-a2

Devemos notar que esta expressatildeo tambeacutem vale para quando

temos uma fase para isso basta fazer

= c t 2 = 0

X = 0

e recairemos na formula do item anterior

2 pf 1 deg12 Observemos que neste caso o termo x (mdash)( ) nao

Pg al a2

2

73

tem significado pois corresponde a mudanccedila de fase

2 CONTRACcedilAtildeO KO FLUXO DE UM FLUIDO

21 - Uma so fase raquo mdash

Aqui ocorre um fenocircmeno importante pois o fluido ao ser

contraiacutedo nao vai diretamente da area A^ para a area A 0 mas ele

contral-se ate uma area A^ e depois expande-se ate k^

Ao A2

Po IP 2

V 2

Figura 2

Fazendo o equiliacutebrio das pressotildees entre os planos (1)

(0) vem 2 2

pV pV p +~ plusmn - P + i deg bull 1 2 g o 2 g (b)

C x

Fazendo equiliacutebrio da expansatildeo (0) - (2) vem

P o + 2 - f = P 2 + 2 -T + kp- 2 F ( c )

c c b C

Subtraindo (b) - (c)

2 2 2

i p- vj i p- v2 L P l + 2 bull g c

P 2 + 2 2g c

+ k P 2g c

74

Como

P - P = mdash 2 2g

2 2

bull (1 + k) - f bdquo mdash i

k a - f2 ) 2 - d - o c )2

= o

A = a 21

Weisback obteve varias relaccedilotildees entre a e a i] c

01 02 03 a 0624 0632 0643 c

0624 0632

A r v i - V v 2

p -p 1 2

P -P 1 2 2g7

v l =

(1+k) - laquofi- a 2g 21 c

( 1 + k - o 2 1)

X[- V 2 o 2 1V 2

22 - Duas fases

0 valor de k pode ser aproximado para

k = a(l - o 2 1)

onde segundo Richardsons para fluxo de duas fases podemos supor

a = 02

Para fluxo homogeacuteneo sabemos que

75

p = p f (1 -a ) + p o a

podemos supor p bdquo a = 0 pois p e pequeno e fazendo

V = V ~ V fbdquo2 go2 v 2

Substituindo estas duas expressotildees na equaccedilatildeo de uma soacute fase vem

2 2 p V (l-ct) p V (1 -a ) bdquo

P l P 2 = 9g ( 1 + 3 - 3 0 ^ - 0 ^ ) = g (a+1) (l-a^)

Se a = 02

2 12p oV 0

p r p

2 - 9g gt d-) d-sigt

A compressatildeo de um fluido acarreta uma perda de pressatildeo

como pode ser verificado pelas formulas uma vez que lt 1deg

3 ANALISE HIDRODINAcircMICA DE UM CIRCUITO EM CIRCULACcedilAtildeO NATURAL

Esquema deacute uma caldeira com circulaccedilatildeo natural

76

Determinar a velocidade em (7) para que tenhamos circula

ccedilatildeo natural Determinar tambeacutem as perdas de pressatildeo em todos os

trechos da caldeira

31 - Contraccedilatildeo das secccedilotildees (1) - (2)

Como jaacute vimos a equaccedilatildeo do balanccedilo das pressotildees eacute

1 pr Vl 1 p 2 o V 2 P2 V2

1 2 g 2 + 2 g + K12 2g otilde c amp c e c

bullraquo 2 o2 2 e havendo uma soacute fase k 1 9 = (l-o ) = (1 mdash ) e sendo

C 2

p l = p2

v x lt lt lt v 2

P 2 V pr p2 bull ir2 bull ( 1 + k12gt

Colocando em termos de temos

A 2 V 2 P 2 = A 7 V 7 p 7 (continuidade)

V = V mdashbull = V o_bdquo ~ A 2 2 2

P 2 V - p 2

p r p 2 = ir2 - deg72 bull Ccedilrgt bull lt 1 + ki2gt

fazendo

N12 - lt^gt deg72 ( 1 + k12gt

P7 V7

Pr P2 - N12 bull HG

77

3 2 - Perda de carga no trecho ( 2 ) - ( 3 )

Como haacute apenas uma fase soacute temos perdas por atritos e

perdas hidrostaacuteticas

Sendo como jaacute vimos

2 3 p 2 2 g P 2 P 3 = f 2 3 (r~2g^~) L 2 3 g c p

atrito hidrostaacutetica

Substituindo V^ pela relaccedilatildeo do item anterior e tendo em

conta que p = vem

P -P = f 2 r 3 2 3 D

2 3 p 2 bdquo 2 2 p 7 2

2 g 7 72 p 2 3 g

Se

L 2 3 2 p 7

2 3 2 3 D 2 a 7 2 p 2

P 7 V 7 g P 2 - P 3 = N 2 3 ( mdash gt p 2 L 2 3 f

3 3 - Expansatildeo nas secccedilotildees ( 3 ) - ( 4 )

Como vimos o balanccedilo das pressotildees e

2 2 2 p V p 4 V p V

P 3 + 2 g c

P 4 + 2 g c

+ k 3 4 2 g c

onde

k 3 4 - - -

2 2 1 P 4 - V 4 P 3 v 3

P 3 P 4 = 2 g + ( k 3 4 _ 1 ) 2 g

78

Sendo

P 3 - P 4

p 3 o A 3 deg V 3 = P 7

a A 7 o V 7

P 4A 4 0V 4 = P r A r V

3 7 A 3 p 3

A7 P7 V = v mdash mdash 4 7 P 4

P - P 3 r4

Se

P bdquo - P

bdquo2 r-P 7 V 7

3 4 2g deg74 + ( k 3 4 1 ) deg73

34 p deg74 + ( k 3 4 1 ) 73

p r v2

P3- P4 ^ N34 ^ gt

(No caso e negativo)

34 - Contraccedilatildeo nas secccedilotildees (5) - (6)

Ainda temos uma so fase e fazendo o balanccedilo das pressotildees

como fizemos no item 3lt1 vem

P + vil p + vi + k vi P 5 + 2gbdquo P6 + 2gbdquo + k56 2gbdquo

k 5 6 lt 1 ^ gt 2 ( 1 - Iacute 2 i 2 6

V V6 P5degIacute 5^6 ^SS 2g c - 2g c

P - P ^ = (1+kJ

Como

79

A 6

W p 5 =

VV P6 V 5 = V 6 Jiexcl = Vff65

P 5-P 6 - lt H k 5 6 ) mdash ^ mdash (l+k 5 6-a 6 5) c c c

Sendo

Se

A 7 p 7 p 7

6 7 Ag p 6 7 76 p 6

p _p _ P6- V7- g76 iquest72 ( _ 02 P 5 P 6 2g c bull ( p 6

( 1 + k 5 6 deg65 )

p 7 2 2 N56 = p ^ deg76 ( 1 + k 5 6 ~ a 6 5 )

P 7 V 2

7

P r-P = N r 5 6 56 2g c i

35 - Perdas de pressatildeo nas zonas (6) - (7) - Pre^aquecimento

Nesta regiatildeo temos perdas por atrito e hidrostaacuteticas

Nao haacute perda por aceleraccedilatildeo pois ainda natildeo houve formaccedilatildeo de boshy

lhas

Fazendo balanccedilo das pressotildees temos

L_ ppound-V p = p + otilde L - pound _ + f -Si (-21mdashL 6 7 + p67 L67 g + t 6 7 D K 2g

p _ e ifn sao tomados como valores meacutedios 67 67

P _p _ f hl ^67jIacute uuml + - L A

6 F 7 r67 D 2g P P67 L67 g 6 s c 7 c

S e Kr pound67 L67 p67 6 7 D 6 p7

p7 V - _g_ P6- P7 - N67 mdash + P67 L67 f

c c

80

36 - Perda de pressatildeo nas zonas (7) - (8) - Zona de ebuliccedilatildeo

Nesta regiatildeo j aacute temos o aparecimento de bolhas logo a

perda de pressatildeo seraacute devida agraves t recircs parcelas aceleraccedilatildeo a t r i t o

das duas fases liacutequidas + vapor e h idros taacute t ica

onde

Assim

P-P Q = AP + AP + APbdquo 7 8 a t r i t o acel H

T M1

78 p 7 7 AP - R f- - mdash mdashr |R = fator mult ipl ica-

a t r i t o 7 D 7 2 g c L tivo

G 2

AP bull r mdash acel g c

P V

|_1 - o a p J 8 P f

2 t r 2 M2

7 7 r 7 7 A P a c e l = -J^mdash 2 r bull p 7 lt T iexcl iexcl - )

A PH p 7 8 L 7 8 fiexcl

p 7 8 iacute 7 li 1 0 0 P l i q + a P v ] d L = P 7 ( 1 - laquo 7 8 )

ag raquo fraccedilatildeo de vazio media entre 7 e 8

APH = p (1 - 5 7 g ) f- L 7 8

2 2

P 7 - P 8 a 5 - 2 T i + 2 r p 7 + P 7 ( 1 - 7 8 gt f L 7 8 7 amp c amp c amp c

81

N 7g = R mdash + 2 r p 7

P7 V7 P7- P8 = N78 + P 7 ( 1 5 7 8 gt J78

37 - Expansatildeo nas secccedilotildees 8 e 9

No caso haacute uma expansatildeo com duas fases e como vimos no

item 12 a variaccedilatildeo de pressatildeo era dada por

0f Vo P2 P1 = ~2g c ( 2 deg12

x 2 (mdash)(mdash - mdash ) + ( l - x ) 2 ^ T mdash 8 1 2 1

12

Aplicando ao nosso caso

P pound = P 7

P -P = 8 9

V - V raquo V g f 7

P 7 V 2

2 pf 1 a89 2 1 g89 x (mdash) ( ) + (1-x) (- - N

o ou abdquo 1-cu l-ot_) g 8 9 8 9

Se

N 89

= 2 a 89

2 pf 1 deg89 2 1 CT89 x (mdash) ( ) + (1-x) ( T

g 8 9 8 9

P -P = 8 9

- N P7deg V7

89 2gbdquo

38 - Perda de pressatildeo no trecho 9 e 10

No referido trecho temos apenas perda de pressatildeo por atr L

to da fase liacutequido + vapor e perda hidrostaacutetica Natildeo haacute perda por

aceleraccedilatildeo do vapor pois este natildeo recebe mais calor e portanto

o 82 o

nao ha variaccedilatildeo no a

p

Q -p i n = A P

U + A P bull 9 10 H atrito

n T -S_ P9 U10 deg 910 bull g

fio r

910 I 910

J9 L

(l- a)P + Q P I dL liq v

(l-a0) p

No caso a = (nao hatilde variaccedilatildeo de forma)

A P H - (1-a ) P (p L 0

c

AP bdquo = R o

atrito

2 f9 o L910 P9 V9

2g

Supondo

= V

P 9 = P 8 P 7

vbdquo = v 9 8 0 A r

= V 7 bull deg89

AP - R atrito

2 2

W l O p7deg V7deg g89

V P10 R -^T^ bull deg89 bull li-2 + ( W P 7 (fgt SIO

y c c

Se

- f9 L910 2 N9ol0 R Dl deg89

w 2

p rv P9 P10 = VlO + ( 1 a 9 ) p7 (f gt L910 c

33

39 - Perda ciacutee pressatildeo na expansatildeo 9 - 1 0

Analogamente a expansatildeo 8 - 9 temos

10 11 P 7 2g

10 Iacute 2 0 1 0 - 1 1 gt

2 ff

pg aio

10-11

laquo11 ) +

Ll-a 1 0 bull l-a u J

Se

V10 = V 9 = V 8 bull T9 = V 7 deg89

P -P 10 rll = - a 2g 089 ^lO-ll

4 bull T~ bull (7 1 mdash ) + Pg degio a n

+ (l-x)2(- 1 10-11

1 - aio )

N10-ll = 2 a10-ll a89 2 pf t 1 10-11 N2

-(j-r- - ) bull+ (1-x) pg aio deg 1

10-11 k l - a io

prz P10 Pll = - N10-ll bull ( 2gbdquo

310 - Calculo de V

Fazendo a somatoacuteria de todas as expressotildees (P^-Pj) tere-

84

mos 2 PbdquoV_

P bdquo - P bdquo = N 7 v 7

1 2 12 2g

bull 2 - P 3 - = N 2 3 P 2 L 2 3 f c ccedil

9 P 7 V 7 P _p = N mdash -

3 4 34 deg 2g

V P 5 = deg

2 P V

5 6 56 2 g c

ltr2

P 7 -V 6 e7 -N67 2g + p 6 7 J j67 g

c bc v 2

P 7 - P 8 = N 7 8 - 2 i ~ + p 7 ( 1 - laquo 7 8 ) L 7 8 c

P 7 V 7

P - P - -N mdash - -8 9 89 2g

c P 7 V 7

P 9 ~ P 1 0 VlO 2g + ( 1 a 9 P 7 L 9 c

P 7 V 7

bull10 11 U10-ll 2g

P v iacute j P - P

1 11

7 - v 7 3 bull r

2 8 i U L 2 23 67

(l-5 7 8) L 7 8 + ( l - laquo 9 ) P 7 bull SlOtilde]- ^

Por ou t ro lado sabemos que como secccedilotildees 1

mesmo n iacute v e l

85

s c p r v 7 j

28 Z N i ij

= P 2 L23 p67 L67 P 7 ( 1~deg78 )

78 ~ ^g) bull P 7 bull L 910 g_

V - 2 g ( p r L 2 3 - p 6 r L 6 7 - p 7 ( l - atilde 7 8 ) L 7 8 - (l-a9) p L 9 a ( )

y N

Com esse valor de podemos determinar todas as variashy

ccedilotildees de pressatildeo (P^-P )

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- WR Gambill - Nuclear Safety

Vol 9 - n9 5 e 6

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- Paul A Lottes - Argonne National Laboratory

- AKL - 6469

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Seminaacuterios realizados em Paris em 1961 sob a supervisatildeo do

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Notas de aula da Cadeira de Termodinacircmica I e Transmissatildeo da

Escola Politeacutecnica da Universidade de Sao Paulo

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31

tado poreacutem nao toma contato com a superfiacutecie soacutelida

A peliacutecula de vapor eacute estaacutevel e o fluxo eacute proporcional a

34

(At) (lei de Bromley) Para At grandes passa a influir sensivel^

mente a radiaccedilatildeo teacutermica mais uma razatildeo para demonstrar que nesshy

ta regiatildeo o fluxo cresce novamente

5 CONSIDERACcedilOtildeES E COMPARACcedilAtildeO ENTRE OS TIPOS DE EVAPORACcedilAtildeO

BURNOUT

Sob o ponto de vista de eficiecircncia teacutermica deveriacuteamos sem

pre trabalhar no ponto de fluxo maacuteximo isto eacute no ponto correspon

dente a lt(gt da curva de Nukiyama pois eacute o que daacute maior coeficieri

te de peliacutecula

Acontece poreacutem que se impomos a temperatura da parede

fixa obtemos um uacutenico valor de lt(gt e portanto o fenocircmeno eacute estaacutevel

Poreacutem se como ocorre nos reatores impomos um fluxo teacuter

mico a curva de Nukiyama apresenta 3 pontos de funcionamento posshy

siacuteveis A B C

1

SOacute os pontos A e C sao funccedilotildees estaacuteveis mas eles impotildeem

acirc superfiacutecie quente temperaturas bem diferentes

Na industria em geral trabalha-se por questotildees de segushy

ranccedila na regiatildeo IV da curva poreacutem para os reatores trabalha-se na

32

r e g i atilde o I I

0 p r o b l e m a de t r a b a l h a r n a r e g i atilde o II eacute q u e se n oacute s e s t i shy

v e r m o s t r a b a l h a n d o n o p o n t o e x t r e m o (j) e se p o r q u a l q u e r m o t i v o

h o u v e r u m p e q u e n o a c r eacute s c i m o d e ltfgt i r e m o s t r a b a l h a r i m e d i a t a m e n t e no

p o n t o M q u e t e m o m e s m o $-^0t p o r eacute m c o m A t 2 m u i t a s v e z e s m a i o r

p o d e n d o o c a s i o n a r a f u s atilde o d a s u p e r f iacute c i e a q u e c e d o r a E s t e f e n ocirc m e n o

eacute c h a m a d o d e b u r n o u t

0 f l u x o lttgt eacute c h a m a d o f l u x o c r iacute t i c o o u f l u x o d e b u r -b o

n o u t N o c a s o do r e a t o r d e v e m s e r t o m a d a s m e d i d a s r i g o r o s a s q u a n

to agrave r e g u l a g e m do f l u x o t eacute r m i c o p a r a q u e n atilde o o c o r r a o b u r n o u t 1 1

p o i s d e l e p o d e r e s u l t a r r u p t u r a d a c a m i s a do c o m b u s t iacute v e l e h a v e shy

r aacute p o r t a n t o c o n t a t o do r e f r i g e r a n t e c o m o s s oacute l i d o s e g a s e s r a shy

d i o a t i v o s

5 o l - R e l a ccedil atilde o d e B u r n o u t

E c l a r o q u e p a r a t e r m o s u m r e a t o r m a i s e f i c i e n t e d e v e shy

m o s t r a b a l h a r c o m u m f l u x o o m a i s p r oacute x i m o p o s s iacute v e l do f l u x o d e

B u r n o u t P a r a t a n t o d e v e m o s c o n h e c e r c o m o m a i o r g r a u d e certe

za p o s s iacute v e l q u a l o ^ p a r a p o d e r m o s r e d u z i r o c o e f i c i e n t e d e s e shy

g u r a n ccedil a ( W R G a m b i l l r e c o m e n d a agrave 1 5 )

N o s s e m i n aacute r i o s d e W R G a m b i l l e n c o n t r a m o s u m a s eacute r i e de

b i b l i o g r a f i a s o n d e p o d e m o s e n c o n t r a r i n uacute m e r a s f oacute r m u l a s p r o p o s t a s

p a r a a o b t e n ccedil atilde o de (q 1^)

A t i t u l o d e e x e m p l o v e j a m o s a l g u m a s

q - 2 7 0 G deg gt 8 5 D 0 2 A085 p lt 150

deg D ( L uuml ) 2

q - 140 G 0 5 D ~ deg 2 (-~-)~deg 1 5 p ~ r gt 150 c D (LD)

o n d e a m b a s as e q u a ccedil otilde e s s oacute v a l e m p a r a aacute g u a e m b a i x a p r e s s atilde o e m coii

v e c ccedil a o f o r ccedil a d a

33

D

L

fluxo teacutermico critico BTUhrft bdquo 2

descarga em massa do liquido (Ibmhrft )

diacircmetro do tubo ft

comp do tubo ft

Para cada caso temos uma expressatildeo diferente que pode ser

encontrada em literatura especializada

6 INFLUEcircNCIA DE OUTROS PARAcircMETROS NO FLUXO DE BURNOUT

Como para os usos atuais do reator a diferenccedila de temppound

ratura entre parede e fluido sao pequenas bem como o fluxo de bur

nout recentemente fiacutesicos como Jakob Bonilla WR Gambill estu

daram outros paracircmetros que influenciam bastante o sect^ 0gt isto eacute a

influecircncia desses paracircmetros faz com que o ^ seja maior Isto eacute

util pois quanto maior o fluxo de burnout maior poderaacute ser o

fluxo de calor real de funcionamento

Tais meios sao

- Sub-resfriamenCcedilo do liacutequido

61 - Influecircncia da velocidade do liacutequido

Estudos feitos pelos autores acima chegaram agraves curvas

- Aumento da velocidade imposta ao liacutequido

- Pressatildeo do liacutequido elevada

alto V

At

34

Para velocidades maiores o fluxo de burnout aumenta

porque neste caso o regime eacute turbulento e o coeficiente de peliacute

cuia h aumentao

6bdquo2 - Influencia do aumento da pressatildeo

Este estudo deve-se a Bonilla que obteve experimentalmen

te as curvas

Este estudo foi feito para vaacuterios liacutequidos e chegou a con

clusao que sempre havia uma pressatildeo oacutetima isto e uma pressatildeo que

leva ao maior iacute 1 ^ raquo mantidas as demais condiccedilotildees Experimentalmenshy

te notou que essa pressatildeo correspondia a 13 da pressatildeo critica

do liquido em questatildeo

6=3 - Influecircncia do sub-resfriamento

Consiste em manter atilde custa de uma circulaccedilatildeo intensa o

liacutequido a uma temperatura inferior atilde de saturaccedilatildeo para a pressatildeo

correspondenteraquo Experimentalmente chega-se agraves curvas

mdash A t grande sub

bullAt -0 sub sub

medio

At

35

Verificando os graacuteficos vemos que o lt)gt aumenta agrave medida bo

que aumenta a diferenccedila de temperatura de sub-resf riamento isto pojr

que o liquido como estaacute mais frio faz com que algumas das bolhas

recondensem permitindo que o liquido fique em contato com a parede

quente o que faz aumentar o h

^ f csub = t e m P e r a t u r a ddeg liacutequido - temperatura de saturaccedilatildeo

A diferenccedila de temperatura At entre fluido e parede tamshy

beacutem aumenta poit na regiatildeo proacutexima agrave parede haacute necessidade de

levar o liacutequido da temperatura do sub-resfriamento ateacute a temperatu

ra de saturaccedilatildeo quando se evapora

Atualmente os maiores estudos dos fiacutesicos nucleares locashy

lizam-se neste campo pois eacute o que oferece maiores vantagens

7 FORMULAS PARA 0 CAacuteLCULO DO COEFICIENTE DE PELIacuteCULA NA EBULICcedilAtildeO

Como ocorre no caacutelculo de todas as foacutermulas de convecccedilatildeo

temos formulas empiacutericas para determinar o h conforme o tipo de

ebuliccedilatildeo que nos consideramos

71 - Ebuliccedilatildeo Nucleada

Para o caso de aacutegua temos as relaccedilotildees

superfiacutecies

horizontais

superfiacutecies

verticais

f aacute 5000 BTUhrft 2 -gtbull h = 151 ( A t ) 1 3

A o

5000 lt 75000 -h = 0618 (At)3

^ pound 1000 -raquobull h = 8 7 ( A t ) 1 7

A o -

1000 lt $ lt 20000 -gt h = 027 (At) A o

Quando a pressatildeo e diferente da atmosfeacuterica faz-se a correccedilatildeo

3 6

72 - Ebuliccedilatildeo por peliacutecula

Bromley propocircs uma boa equaccedilatildeo para a ebuliccedilatildeo por peliacuteshy

cula estaacutevel em cilindros horizontais

Nu

_ JtjD n r 9 P v bull ( P L - P v gt - g -h

e V bull D i2

D 1 ^ U b Z u At gt

onde

V = indica vapor

L = indica liacutequido

Multiplicando ambos os membros da equaccedilatildeo acima por

kvD obteremos a expressatildeo do coeficiente de convecccedilagraveo meacutedio para

o caso

37

C - FORMULAS PARA CAacuteLCULOS ESPECIacuteFICOS - RESULTADOS ESPECIacuteFICOS

1 FLUXO DE CALOR CRIacuteTICO - BURNOUT

lol - Introduccedilatildeo

O aspecto mais importante no que se refere agrave seguranccedila

dos reatores da transferencia de calor na ebuliccedilatildeo eacute a determina

ccedilatildeo do Fluxo de calor critico ou de pico ou burnout

Como jatilde vimos quando temos a ebuliccedilatildeo nucleada a dishy

ferenccedila de temperatura entre refrigerante e superfiacutecie de aqueci

mento e pequena poreacutem quando atingimos o fluxo de calor criacutetico

essa diferenccedila de temperatura pode tornar-se imediatamente muishy

to grande podendo causar a ruptura da superfiacutecie de aquecimento

se atiigirmos o ponto de fusatildeo do soacutelidoraquo

Usando a convecccedilao

onde

At sat

w

sat At

sub

w = temperatura da parede de aquecimento

t t = temperatura de saturaccedilatildeo do liacutequido

t^ = temperatura de mistura do liacutequido

At = (t -t ) sub-resfriamento do liacutequido sub N sat b 1

nout

Ha dois tipos de burnout fast burnout e slow bur-

Ocorre o fast burnout (burnout raacutepido) quando A t g u b gt 0

38

ou para baixo x (~ lt 10) sendo x o titulo do vapor

Temos o slow burnout para x - gt 10 Assim noacutes tereshy

mos dois limites para o burnout

At bull o (ltJgt ) t =((() para t = t ) -

bo m m possiacutevel w sat

sub i

4L + 1

G c D h pl nb

(ltK ) = (ltpound para x = 1) = Dv-bo max possiacutevel e 4L

c At l + P 1 sub i

onde

L = comprimento do canal

D = diacircmetro do tubo

G = descarga de liacutequido (por unidade de aacuterea)

c ^ = calor especiacutefico do liacutequido

Agrave = calor latente de vaporizaccedilatildeo

h ^ = coeficiente de transferecircncia de calor na regiatildeo de

nao ebuliccedilatildeo

iacutendices

i = entrada

e = saiacuteda

Haacute inuacutemeras expressotildees para determinaccedilatildeo do burnout pro

postas por muitos fisicos cada uma aplicando-se a um caso especiacuteshy

fico vejamos algumas delas

12 - Equaccedilotildees para prediccedilatildeo de Burnout

121 - Equaccedilatildeo de Bragg e Smith (Zuber)

Num artigo publicado por Bragg e Smith encontramos uma f oacute_r

mula que e derivada da formula de Kutateladze e nos daacute o fluxo cri

39

tico quando nao temos sufaresfriamento

bo poolsat v V raquoc a ( p l P V )

2 PV

14

onde

ltiexclgt = fluxo de calor critico bo

k = constante

Ly = calor latente de vaporizaccedilatildeo do refrigerante

= densidade do liquido

pvr = densidade do vapor V a = tensao superficial

g = fator de conversatildeo c

a = aceleraccedilatildeo da superficie de aquecimento

Os autores encontraram para k um valor de 062 entreten

to outros autores como Zuber incluindo outras variaacuteveis que In

fluiam no fenocircmeno encontraram k variando entre 008 e 023Esshy

tudos bem elaborados mostram que o valor mais aproximado eacute

k = 015 (- 003)

1-22 - Equaccedilatildeo de Noyes

Noyes estudou o burnout para o soacutedio agua e alguns liacute

quidos orgacircnicos

( W s a t ~ bdquo 0245 bull ( r ( 1 )

iiacute_ V 1 Pr

onde

N n = Nuacutemero de Prandtl da fase liacutequida x r

Mais tarde o proacuteprio Noyes alterou a equaccedilatildeo para

n ^ - n H Iacute I Pl PV gt0538 deg g c a q 4 ( W s a t deg 1 1 6 PV ( - p 7 ~ ) (77T1^ ) ( 2 )

40

A ultima correlaccedilatildeo proposta por Noyes foi

a n prPV0560 112

1

(a bull a) 13

(ag c) 112

(3)

onde

a = difusividade teacutermica do liacutequidoraquo A equaccedilatildeo (3) eacute bashy

seada em todos os dados de burnouts do soacutedio bem

como da atildegua benzeno difenil e outros De 111 pontos usados 90

+ estatildeo relacionados dentro de - 30bdquo

ldeg2o3 - Burnout com convecccedilao forccedilada e sub-resfriamen

to

Aproveitando os resultados de aproximadamente 240 testes

de burnouts com aacutegua sub-resfriada em fluxo de convecccedilao forccedilashy

da feitos na Ruacutessia Labuntsov elaborou uma boa equaccedilatildeo empiacuterica

para o problemabdquo

Esta relaccedilatildeo aplica-se para velocidades entre 2 3 e 148

ftsec pressotildees entre 1 e 201 atmabs sub-resfriamento entre 0 deg

e 432 degF e fluxos de burnout entre 0 4 x IO 6 x 166 x 1 0 6 BTUhr

2 bdquo

bullbo

onde

e a seguinte

6 ( P ) 1 + 0 2 3 2 V 2

14

e ( P ) 1 +

15 c At _p_ sub

12 (a)

9 ( P ) - P 1 3 o ( 1 - P J 4 3

red

= pressatildeo (atm abs)

pressatildeo reduzida = mdash mdash red r P

t_ c = pressatildeo critica

= velocidade do liacutequido (ftsec)

= calor especiacutefico do liacutequido (BTUlbdegF)

4 1

^ tsub = ^ ^ e r e n Ccedil a ^ e temperatura entre a temperatura de

mistura do liacutequido e a de saturaccedilatildeo (degF)

X = calor latente de vaporizaccedilatildeo (BTUlb) 2

ltiacutegtbo = fluxo de burnout (BTUhrfl )

Uma outra correlaccedilatildeo para o caso foi proposta por

Ornatsky e Xiohigin que fizeram experiecircncias para pressotildees entre

10 e 1 5 0 3xm 90 degF lt At ^ lt 4 5 0 deg F 3 7 1 0 6 ( l b h r o f t 2 ) lt G lt

2 2 2 10 b ( l b h r bdquo f t 2 )

lt ^ = 3 2 5 0 (G o A t bdquo J deg 6 ( - i - ^ ) 2 5 ( b ) bo sub

onde

G - descarga de refrigerante por unidade de aacuterea

P ^ v P v - densidades do liacutequido e do vapor

P1~ PV -0 termo (mdash ) e incluido na expressatildeo (b) para indicar

a influecircncia da ^ pressatildeo sobre o

Uma comparaccedilatildeo entre as equaccedilotildees (a) e (b) foi feita para

o Reator de Isoacutetopos de Alto Fluxo (HFIR) nas condiccedilotildees aacutegua a

600 psia velocidade = 45 ftsec e sub-resfriamento = At^^ 1

degF obtendo-se uma diferenccedila de 6 5 entre ambos (4gt = 6 0 5 1 0 b

2 ~ 6 2 BTUhr ft pela equaccedilatildeo (a) e 6 4 5 10 3TUhrraquoft pela equaccedilatildeo

(b)

Ilatilde ainda a equaccedilatildeo de Ivey e Morris aplicaacutevel somente pa_

ra ebuliccedilatildeo com grande quantidade de liacutequido

( c sub t

Cpf bull A tsub

( bull ) s ~ V P bdquo 10 h V sat V g

onde

(ltL ) = fluxo critico com sub-resfriamento c sub

(ograve ) ^ - fluxo critico sem sub-resfriamento c sat

42

c ^ = calor especiacutefico do liacutequido

= calor latente de vaporizaccedilatildeo

124 - Burnout com convecccedilao forccedilada e ebuliccedilatildeo por bocirc-

Ihas

Gambill fez uma extensatildeo da equaccedilatildeo de Levy e aplicou o

metqdo da superposiccedilatildeo Tal extensatildeo consiste natilde subtraccedilatildeo de uma

razatildeo equivalente de massa transferida dos termos que represenshy

tam a ebuliccedilatildeo e convecccedilao para levar em conta a presenccedila do vashy

por no fluxo

A correlaccedilatildeo pode ser escrita assim

24 V P V

o g c a (p^Py) 14

+ 0696 (k p c ) 12

(

pr p v )i4 o g c a (P-L-Py) 18

bull At + h sub nb

044 p v L v G (g1) bull N2 n

p l P V

( pr p v ) d e 2-7

2 4 TT 0

14 ( f e _ ^ r l 3

lO^u

onde

k = condutividade teacutermica

c = calor especiacutefico

A t s u b ~ s ub-resfriamento do liacutequido

h = coeficiente de transferecircncia de calor de nao ebu nb mdash

liccedilatildeo

G = descarga total do refrigerante

43

d g = diacircmetro equivalente do tubo ou canalraquo

]i = viscosidade

B = constante adimensional

Os iacutendices V e 1 representam vapor e liacutequido respectiva

mente

0 primeiro termo entre chaves da equaccedilatildeo representa o flu

xo de calor no burnout de sub-resfriamento em convecccedilao forccedilada 0

segundo termo entre chaves corresponde ao fluxo de calor transferi^

do para a massa da fase vapor

1-25 - Burnout por Bloqueio da Base

Ocorre quando a profundidade do recipiente eacute muito maior

que a largura 0 bloqueio da base eacute causado pela formaccedilatildeo de uma pe_

licula de vapor na base impedindo que o liacutequido toque o fundo do

recipiente

i De

Este eacute o burnout por flooding isto eacute burnout por expul

sao do liacutequido Uma equaccedilatildeo que nos dacirc o fluxo minimo do burnout

parao caso eacute

44

onde

D g = diacircmetro equivalente

L = comprimento do tubo

= calor de vaporizaccedilatildeo

p^Py Ap = densidade do liacutequido do vapor e diferenccedila en

tre ambos

Para um fluxo de calor maior ou igual ao dado pela expres_

sao acima (mantida a mesma geometria) teremos burnout Para um deshy

terminado fluxo existiratildeo sempre um comprimento L e um diacircmetro equi

valente D e para os quais temos burnout Exemplo

L (in) D e(in)

10 11

100 51

1000 235

2 RESULTADOS ESPECIacuteFICOS - FOacuteRMULAS PARA CAacuteLCULOS ESPECIacuteFICOS

21 - Diferenccedila de temperatura At i

13 a t

sat

At sat

poundatildeJL_ raquo t - t J p T T 6 w sat

onde

o laquo tensatildeo superficial entre liquido e vapor

t - temperatura de saturaccedilatildeo do liacutequido para a corres-Scl t

pondente pressatildeo

J equivalente mecacircnico do calor

X laquobull calor latente de vaporizaccedilatildeo

py = densidade do vapor

6 = espessura da camada de liacutequido superaquecido onde

45

k l

h nc

onde

k^ = condutividade teacutermica do liacutequido

h = coeficiente de peliacutecula nc r

Segundo Eckent h ^ c e dado por

P 2 Q

nc 3 V VP + 0952

r

onde

D = diacircmetro equivalente

G r = numero de Grashoff

P = nuacutemero de Pradtl

2 o 2 - Velocidade das bolhas

A velocidade das bolhas em meacutedia pode ser dada pela exshy

pressatildeo

V bdquo = Iacute ( a bull B Apl4 bolhas 5 ^ 2

p l onde

AP = P L - P v

Expressatildeo que vale quando a aceleraccedilatildeo eacute a da gravidade

baixa viscosidade do liacutequido e bolhas separadas

Vbolha = f t s e atilde m a x para aacutegua

2 bdquo3 - Diacircmetro das bolhas

2gc deg 12 D = 0015 3 ( mdash mdash 7 ~ ) d g Ap

5 =

46

onde

8 = acircngulo de contato (20 a 90deg) geralmente assume-O -1

-se igual a 50 para a agua em contato com metal

24 - Coeficiente de peliacutecula na ebuliccedilatildeo nucleada

a) Equaccedilatildeo de Rohsenow

Esta equaccedilatildeo nos datilde o fluxo de calor q na ebuliccedilatildeo nushy

cleadaraquo E oacutetima expressatildeo para muitos liacutequidos o efeito da presshy

satildeo eacute levado em conta na variaccedilatildeo das propriedadesraquo

Pf

fg

sat 17 = c

sg k y f h f g g( P f-p g)

n033

onae

Pf

fg

Pf Pg c sg

= fluxo de calor requerido (BTUhr0ft^)

= calor especiacutefico do liacutequido saturado (BTUlbm0F)

= calor latente de vaporizaccedilatildeo (BTULbm)

= nuacutemero de Prandtl

= viscosidade do liacutequido (lbrahrraquoft) ~ 8 2

= fator de conversatildeo 417 10 Ibmftlbflaquohr 2

= aceleraccedilatildeo da gravidade (fthr )

= tensatildeo superficial na interface liacutequida vapor

(lbfft) 3

densidade do liquido e vapor (lbmft )

constante adimensiacuteonal que depende de vaacuterios fashy

tores dentre os quais o grau de aquecimento en_

tre o fluido e a superfiacutecie de aquecimento e o

mais importanteraquo Independe da pressatildeo do sistema b) Equaccedilatildeo de Levy

Equaccedilatildeo valida para a aacutegua quando 100 lt p lt 2000 psiacutea

47

43 bdquo3

qu bdquo gat ^ T J h r t f t ^

495

25 - Calculo do fluxo de calor no Ponto de Leidenfrost

0 ponto de Leidenfrost como vimos eacute o ponto em que oflu

xo de calor comeccedila ncamente a crescer isto eacute o ponto onde termal

aa a ebuliccedilatildeo instaacutevel e comeccedila a ebuliccedilatildeo por peliacutecula estaacutevel Eacute

o chanado fluxo miacutenimo (egrave ) m m

Aproximadamente quando A t g u k = 0 temos

A _ mdash _ mdash (Gambill) m m 5

Ha entretanto varias expressotildees para determinar esse flu

xo eis uma delas

A p 14 ltjgt = 009 h pbdquo (o raquo g mdash ) y m m fg P V deg 2

p l

26 - caacutelculo do fluxo de calor na regiatildeo de ebuliccedilatildeo por peliacute

cuia estaacutevel

para cilindros jmdashi i li

_ D 0172 k-V - P V A p h l V bull S 14 li - = 062 (mdashmdash) (- j- r rmdash) convecccedilao A 0 ybdquo (t -t )

c V w sat

onde

= condutividade do vapor

- 2 TT ( mdash )

c gAp Vl = significam vapor e liacutequido respectivamente

para paredes verticais

L 0172 S deg7 A p bull hlV S q 4 h - - 080 (-^-)J- (-Iuml - Iacutemdash-convecccedilao X L u (t - t J)

c V w sat

48

Como nesta regiatildeo jaacute haacute nina influecircncia marcante da radia

ccedilao devemos levar en conta tambeacutem o coeficiente de peliacutecula de

vido a radiaccedilatildeo para determinar o coeficiente de peliacutecula total

Dos estudos atildea radiaccedilatildeo temos

h = a F pound(T 4 - T 4 J ( T ~ T ) rad w sat w sat

onde amp _ emissividade de superfiacutecie

a = constante de Stefan-Boltzman

F = fator de forma

Segundo WE Gambill o coeficiente de transmissatildeo total

ceve ser

3 iacutei = h + -7 h para h lt h t conv 4 rad r rad conv

Na expressatildeo acima existe o fator 34 porque a radiaccedilatildeo

faz variar um pouco a espessura do filme de vapor reduzindo asshy

sim o l l

conv

Quando tivermos h gt h gt o h^ ^ seraacute rad conv total

h f c = h + h t conv rad

Neste ultimo caso nao ha nenhum coeficiente porque a peshy

liacutecula de vapor jaacute eacute estaacutevel

27 - Grandezas caracteriacutesticas para a apua

Para pressatildeo igual a 1 atm = 1422 psia

At ^ = t - t = 5degC (iniacutecio da ebuliccedilatildeo nucleada) sat w sat 1

At t = 30degC sat crit

49

5 2 $ = 4 10 BTUhrft (para pressatildeo 1 atm)

0 fluxo critico cresce como vimos com a pressatildeo ate

atingir o maacuteximo quando a pressatildeo eacute aproximadamente 13 da pressatildeo

criacutetica Esse fluxo eacute

bull = 13 IO 6 BTUhrft 2 para p = 11000 psia (p pound = 32062 psia)

Ainda temos que para pressatildeo igual a 15 psia

h b o = 11000 BTUhrft degF - ebuliccedilatildeo nucleada

h f b = 30 BTUhrft 2 degF - ebuliccedilatildeo pelicular

Todos os resultados e formulas para caacutelculos especiacuteficos

apresentados nos itens 21 22 23 ateacute 27 sacirco aplicados somente

para sistemas onde haja ebuliccedilatildeo com grande quantidade de liquido

51

D - HIDRODINAcircMICA DOS SISTEMAS E QUEDA

DE PRESSAtildeO DENTRO DE UM CANAL

1 HIDRO-DINAcircMICA E QUEDA DE PRESSAtildeO

11 - Hidro-dinacircmica dos sistemas estaacuteveis

111 - Regimes de escoamento

A evoluccedilatildeo do escoamento ao longo de um canal aquecedor

de secccedilatildeo constante ciliacutendrico pode ser esquematizada pela figushy

ra 1 onde temos em abcissa o comprimento z do canal e em ordenada

a temperatura (T)

52

Na figura 1 nos representamos

a) 0 aspecto do escoamento fluido quando a entalpia do

- fluido aumenta Verificamos que o fluido entra no cashy

nal no estado liacutequido e assim permanece ateacute atingirmos a zona de

ebuliccedilatildeo local onde aparecem as primeiras bolhas A entalpia do

fluido continua aumentando e tem inicioa ebuliccedilatildeo franccedila onde as

bolhas se unem formando agregados posteriormente o escoamento to

ma a forma da figura ou seja torna-se anular disperso Finalmente

atingimos duas uacuteltimas fases do escoamento disperso (vapor uacutemido)

e vapor seco

b) A evoluccedilatildeo da temperatura meacutedia do fluido e da tempeshy

ratura da parede Note-se que a partir da cota a

temperatura da parede aumenta brutalmente podendo causar o

burnout

c) A evoluccedilatildeo do tiacutetulo do vapor (x) com o comprimento

do tubo e a evoluccedilatildeo da fraccedilatildeo (a) que definiremos no

item 11laquo2 com o comprimento do tubo

112 - Definiccedilotildees

a) Tiacutetulo ou qualidade do vapor (x)

massa de vapor na mistura x ~ massa total da mistura

x =

W _g_

g f

b) Fraccedilatildeo vazio (void fraction)

volume do vapor na mistura a = volume total da mistura (agua+vapor)

A relaccedilatildeo entre x e a num sistema parado pode ser obtida

assumindo um certo volume contendo 1 lbm de mistura em equiliacutebrio

teacutermicoraquo

53

O volume da mistura seraacute igual a (v + xv ) ft onde v eacute 3 r rg

o volume especifico (lbmft )

f - refere-se ao liquido

g - refere-se ao vapor

fg - refere-se a diferenccedila entre liacutequido e vapor

Numa mistura em equiliacutebrio se o liacutequido e o vapor estatildeo

saturados o volume do vapor presente eacute igual acirc sua massa vezes

seu volume especiacutefico v assim e

xv bdquo bdquo a mdash

V c + XV c

f gf

onde

- bull-bull uumlutiacuteisa vapor na mistura de 1 Ibm

v volume especiacutefico do liacutequido

v = volume especiacutefico do vapor o

V c = v - V

gf 8 r

Fazendo uma transformaccedilatildeo na expressatildeo acima temos

xv xv JS = Z-

v r+ x(v -v c) xv +(l-x)v t ri f g f g f 1 + Ul-x)xjv fv

1 + C(l-x)x]]vfvg

A fraccedilatildeo vazia tem a influencia de baixar a reatividade

do nuacutecleo nos reatores em que o refrigerante eacute tambeacutem moderador

Na equaccedilatildeo acima os valores de x e v sao tomados em tabe

las termodinacircmicas apropriadas para a pressatildeo do sistema A equashy

ccedilatildeo (1) mostra os grandes valores de a para pequenos valores de x

especialmente para baixas pressotildees Isto ocorre porqueaumentando

54

aacute pressatildeo o v decresce muito enquanto que o v f eacute mais ou menos da

mesma ordem de grandeza

Exemplo Calcular o a correspondente para x raquo 2 para aacutegua

leve atilde pressatildeo atmosfeacuterica

Da tabela para p laquobull 1 atm

v - 001672 ft 3lbm e v - 26800 ft 3lbm

1 + [(1-002)002] 001672268

0971 ou 97U

O grafico abaixo mostra a variaccedilatildeo do a com x para vaacuterias

pressotildees e para a aacutegua leve

x ()

tObservaccedilotildees da curva

Fig 2

1 - para x constante a decresce com a pressatildeo Para presshy

sotildees proacuteximas da criacutetica a aproxima-se rapidamente de

x Para a pressatildeo criacutetica as duas fases satildeo indistinguiacuteveis ea=x

2 - para cada pressatildeo dotdx decresce com aumento de x

3 - para baixos valores de x (que e o caso dos reatores

tipo Boiling) quando p decresce dadx cresce e torr

na-se muito grande paacutera baixas pressotildees Isto tem relaccedilatildeo com a epound

55

tabilidade do reator como veremos mais tarde

113 - Sistemas com fluxo

Todas as definiccedilotildees que noacutes vimos no item anterior refeshy

rem-se acirc sistemas em que a mistura esta fechada no recipiente Nes^

te caso natildeo havia movimento relativo entre as duas fases No entan

to se as duas fases da mistura se movem na direccedilatildeo vertical em

canais entre os elementos combustiacuteveis o vapor por causa de sua

flutuaccedilatildeo tem a tendecircncia de escorregar sobre o liacutequido isto e

move-se com velocidade maior do que a do liacutequido

Real Modelo

Pig 3

S -

Define-se neste caso a relaccedilatildeo de escorregamento (slip

ratio) (S) como sendo

V _i

V f

onde

V = velocidade do vapor

= velocidade do liquido

S modifica as relaccedilotildees entre a e x do item anterior S geralmen_

te gt 1 Define-se neste caso qualidade do vapor ou tiacutetulo como

sendo

_ fluxo de massa de vapor

fluxo de massa da mistura

Entatildeo se o fluxo de massa da mistura eacute m t(lbmhr) o flushy

xo de vapor seraacute = x m e o fluxo de liacutequido sera (1-x) m onde x

56

e o titulo do vapor para a particular secccedilatildeo (AL) da figura (3)

Devemos notar que neste caso x varia de secccedilatildeo para secshy

ccedilatildeo do tubo o exposto no paraacutegrafo acima vale considerando-se que

x e a permaneceram constantes na secccedilatildeo de espessura AL

Aplicando a equaccedilatildeo da continuidade as velocidades do va

por e liacutequido sao dadas por

o xm v

V vazatildeo = g g area A

V

(1-x) amp t v f

f A f

onde A e A f sao as aacutereas medias perpendiculares ao fluxo se as

duas fases sao imaginadas completamente separadas uma da outra

(figura 3) Assim temos

V x m v o A_ A v 0 ^ - 2 = iacute S t m _2L- JL JS m

V A (l-x)ui v 1-x A v U

f g t f g f

Sabemos ainda que para a secccedilatildeo considerada

volume do vapor na mistura a = volume total da mistura (agua+vapor)

A AL A pound g g

a = mdash a a = - mdash 1

(A+A )AL A f + g

A ou f _ 1 - a

A a 8

Substituindo em (2) vem

57

Esta expressatildeo pode ser rearranjada e obteremos uma relashy

ccedilatildeo entre x e a levando em conta o escorregamento Chega-se a

a = 1 ( 3 )

1+ [U-x)x3 igt

onde

v 4 laquo -- S

v lty o

Note-se que quando S=l (nao haacute escorregamento) caimos na

expressatildeo dada no item anterior

0 efeito do escorregamento eacute decrescer o valor de a pa_

ra um mesmo xbdquo Isto pode ser visto pela foacutermula (3) pois S gt lLo

go a decresce com acreacutescimo de S

Um alto S e entatildeo uma vantagem tanto para a transferecircnshy

cia de calor como para efeitos de moderaccedilatildeo Eacute uma vantagem para

transferecircncia de calor porque alto S significa alto V e portanto

maior turbulecircncia e maior contato do liquido com as paredes quenshy

tes Ha tambeacutem melhorias na estabilidade da reaccedilatildeo nuclear isto

porque como jaacute dissemos quando mdash7 diminui a estabilidade aumenshy

ta isso pode ser verificado observando a curva a versus x para a

agua leve a 1000 psiabdquo

Fig 4

58

A relaccedilatildeo entre x e a da equaccedilatildeo (3) so vale para secccedilatildeo

de tubo bem pequena

Devemos notar que S varia tambeacutem com a pressatildeo e velocida^

de de entrada do liacutequido no tubo Este efeito pode ser observado na

figura 5 abaxxo obtida esperimentalmente

s

3

~^ ~ psig

x = 001

V 1

Fig 5

Nos projetos de reatores como veremos adiante o valor a

geralmente eacute determinado por consideraccedilotildees nucleares (moderaccedilatildeo) 0

valor de S eacute determinado atraveacutes de uma estimativa ou entatildeo atrashy

veacutes de um graacutefico do tipo da figura 5 0 correspondente valor de x

pode ser obtido de uma foacutermula empiacuterica do tipo

1 = 1 (-S)0gt67

proposta por Von Glahn

Em muitos casos assume-se S constante em todo o comprimeiv

to do canal poreacutem eacute um erro que em muitos casos nao pode ser coshy

metido

4 REATORES EM QUE 0 LIacuteQUIDO B MODERADOR E CIRCUITO PRIMAacuteRIO AO

MESMO TEMPO BOILING-REACTOR (BWR)

A aacutegua ao se movimentar atraveacutes dos vaacuterios canais do

59

Boiling-reactor encontra vaacuterias resistecircncias ao fluxo que provoshy

cam uma reduccedilatildeo de pressatildeo no fluido

As duas perdas mais importantes sao perda de pressatildeo por

atrito e perda de pressatildeo causada pela aceleraccedilatildeo do refrigerante

ao aumentar de volume por receber calor num canal Outras perdas

de pressatildeo seriam a obstruccedilatildeo ao fluxo por corpos submersos (espa_

ccediladores juntas de tubos chaves etc) e por mudanccedilas abruptas de

aacuterea de fluxo tanto na entrada como na saiacuteda do tubo

Essas perdas de pressatildeo devem ser conhecidas o melhor popound

sivel principalmente nos reatores BWR Para tanto devemos saber

o comprimento de canal em que nao ha a ebuliccedilatildeo isto eacute qual o com

primento de canal em que o refrigerante vai da temperatura de sub-

resfriamento ate temperatura de saturaccedilatildeo

Seja o elemento combustiacutevel

Aquecimento Uniforme Aquecimento Senoidal

Fig 6 Fig 7

onde

H =

H = o

H b

comprimento do elemento combustiacutevel

cota onde o liquido se torna saturado

comprimento do elemento combustiacutevel em que ocorre

ebuliccedilatildeo

60

qg = calor sensiacutevel acrescentado ao liquido para satushy

raacute-lo

qfc = calor total acrescentado ao liacutequido em todo o com

primento do canal

laquoo

q s J o qiquest sen (IIzH) n H o

T~ = TH = 2 ( 1 c o s gt ( a )

q 1 sen (HzH) Jo ^c

A expressatildeo (a) vale quando tivermos uma adiccedilatildeo de calor

senoidal para qualquer outra forma de adiccedilatildeo de calor faz-se um

caacutelculo anaacutelogo

Outra relaccedilatildeo entre q g e qfc eacute dada pela termodinacircmica

q h- - h s f m (b)

(hr +x h )-hm ^t f e fg

onde

= entalpia para o liquido saturado a pressatildeo correjs

pondente (cota z = Ho)

hffi = entalpia do liacutequido na entrada do canal

x = tiacutetulo do vapor na saiacuteda

= entalpia do vapor

Com a relaccedilatildeo (b) noacutes determinamos a relaccedilatildeo q q ecom

S L

uma relaccedilatildeo do tipo (a) (conforme seja o adicionamento de calor ao

liacutequido) podemos obter a relaccedilatildeo HoH e consequentemente H^H

21 - Perda de pressatildeo num canal de evaporaccedilatildeo

Neste item iremos determinar as perdas de pressatildeo mais

representativas que ocorrem num canal de evaporaccedilatildeo de um reator

P + dP

bull1 i- 1 gti i i

dL

onde

UM

Icirc H Icirc Icirc T dF f t f

61

Quantidade de Mov na Entrada

= i- rigVg)

dF f l

Fig 8

m i

m 8

V l V 8

A P

dF

dF

dF

fg

fl

ftf

descarga do liacutequido

descarga do vapor

velocidade do liquido

velocidade do vapor

aacuterea transversal do canal

forccedila de atrito do vapor com parede

forccedila de atrito do liacutequido com parede

forccedila de atrito das duas fases liacutequido+vapor

Fazendo o balanccedilo das forccedilas considerando o sentido posjL

tivo na vertical temos

A (P-P-dP)-(dF +dF _+dF _)-(-pound-) (p A+p A )dL = mdash dGnV+m V ) P fg ftf fl g c 1 1 g g g c

v 1 1 g g 7

- dP = ~ (dF +dF--+dF)+- S--7=- (p A+p A )dL+ mdash ~ - d (m-V+m V ) A_ fg ftf fl g c Ap v^l 1 g g g A 11 g g

Fazendo a integraccedilatildeo termo a termo entre os dois extreshy

mos entrada e saiacuteda e considerando a pressatildeo de entrada igual a

P q e a de saiacuteda igual a Pe vem

Quantidade de Mov na Saiacuteda

-= h I- lY l+ A g V g + d ( aacute l V l + aacuteeVl

Forccedila de Gravidade

= ( g f - N P A + P g V

62

b) r e F f l

o p dp^ = Ap^ = perda de pressatildeo por atrito

do liacutequido na altura Ho

Aplicando a formula de Darcy vem

bull API = f bull ir bull ^ iexcl 7

onde

f = fator de atrito

c) e Fftf

o p ^P tpound

= perda de pressao por atrito da mistura

liquido + vapor no trecho de comprimen

to Hbdquo o

Para determinar esta perda de pressao define-se o fator

de multiplicaccedilatildeo R

A P R =

tf A P 1B

Sendo A p ^ a perda de pressao se o comprimento todo fosshy

se ocupado somente pelo liquido assim

A p t f = R A P 1 B

0 calculo de Ap-^ pode ser feito pela formula de Darcy e

o de R nos veremos no item seguinte

63

d)

-e F

d ( ^ )

O P

Ap = perda de pressatildeo por atrito do vapor

No caso do reator BWR o titulo de saida e bera pequeno e

em nenhum caso ocorre a saida de vapor com x = 100 logo a perda

de pressatildeo por atrito do vapor eacute nula assim

An = 0 5

e) Ap

(p A 1 + p A ) dL = Ap - perda de pressatildeo dpound

vida ao desniacutevel

(perda hidrostaacutetica)

Anbdquo = re A A

-S- I (p + p -S ) dL H s 1 A

c o p o A

como A A Jl_ =

A P

A +A-g 1

1-a -

temos

C Q

te j jll-a)p1 + apg)^jdL = p Lo pound

onde

e jo u

+ ap ) ~I dL (Densidade media 1 S J

no tubo)

No nosso caso

Ap u = p H

f)

re d(mV + m V ) _ mdash - laquo -i bull s iquestp laquos p e r d a ltje pressatildeo devido a acele-

c p raccedilatildeo do vapor

V A

(1-x) tl^Vj

(1-a) A

X V

aA

A p -

roV + m V

c p c p L_

m (l-x)m_v m xv nbdquo -1 T 1

+ _S S I (1-a) Ap aA

P

2 g A c p

n 2 2

(1-x) m T

laquo2 8 A c p

2 2 (l-xe) raTv1

2 2 2 xm_v (1-x) m-v e T s o 1 1

a 1 - a

2 2 - x m_v o T g

a

se

X Q 0 (so ha agua nesse trecho)

a = 0 o

temos

mbdquo Ap =

1 a A 2

S A degc p laquo-

tt-V v i 1 - a

2 via T^r - v i

t Apc

2

V v l

5c Ap

1 - a

x v - 1

a e v l

65

Fazendo

G = fluxo total da massa por unidade de area do

canal

(1-x J e

V

AP r

Assim a perda de pressatildeo total sera

H p V II pV r2 P -P = f -24-Iuml+ f R+p 0 1 2g c D e 2g c g c g c

2c2 - Determinaccedilatildeo do fator de multiplicaccedilatildeo (R)

221 - Relaccedilatildeo Martinelli-Nelson

Os autores Martinelli-Nelson determinaram experimental -

te esse fator R para varias LIT1L em funccedilatildeo da pressatildeo e da r NB total J v

qualidade de saiacuteda do vapor no canal Construiacuteram assim vaacuterias

curvas do tipo da figura 9

66

E importante notar que a qualidade do vapor (x) na saiacuteshy

da nao deve ser grande pois como vemos o valor de R cresce muishy

to com um aumento pequeno de x e um valor de R muito grande acar_

reta uma perda de pressatildeo grande pois

^ d u a s fases R ^ f a s e liacutequida

Para resolvermos um problema seguindo o criteacuterio de bdquo

Martinelli escolhemos a curva R = f(px) (para a relaccedilatildeo L

N g ^ j

adequado) e tiramos R com os valores de pressatildeo p e tiacutetulo x

As curvas R = f (p x L T t )IO encontram-se nos ANL 6469 bio I

e 6561

222 - Relaccedilatildeo Lottes-Flinn

Estes autores estudaram o problema para o aquecimento uni

forme do refrigerante com baixo titule Lottes-Flinn fizeram inuacuteshy

meras experiecircncias e verificaram que para fluxo de calor uniforshy

me e baixos titulos R era independente do fluxo de calor fluxo

do refrigerante escorregamento e apenas funccedilatildeo de a g

Como a quantidade de liacutequido eacute muito maior que a de vashy

por a perda de pressatildeo daacute-se principalmente pelo atrito do liacuteshy

quido com a parede Podemos assim escrever a foacutermula de Darcy

na forma diferencial

dz

d = f __ r e amp c

onde

V = velocidade do liquido saturado na cota zbdquo X

f = coeficiente atrito

= densidade do liacutequido saturado

Teoricamente a queda de pressatildeo deve-se ao acreacutescimo de

67

velocidade do liacutequido e da diminuiccedilatildeo da aacuterea de fluxo do liacutequi

do

P fH A P t p

= f D 2g Ho

d z

fazendo

V lo

m V t lo

(velocidade do liacutequido na cota z = Ho)

(1-x) m t v 1

(1-a) A (velocidade do liacutequido na cota z gt Ho)

a bull+ fraccedilatildeo vazio na cota z geneacuterica

V 1 (1-x) m t v 1

m t V l 1 - a

x =s 0 pois o tiacutetulo eacute baixo

A p t f = f bull JT5 c e

fH V lo

H o (1-a) dz

Para fazer a integral devemos achar a relaccedilatildeo de variaccedilatildeo

entre a e z Como o fluxo de calor eacute uniforme a qualidade eacute direshy

tamente proporcional a z

bull laquo x = x e H

z = mdash x X e

Sabemos ainda que (item 113)

x

1 + [ ( I -X)AKQ x + iiacuteraquo

68

como

temos

(1-x) = 1

v

X =

z =

1-a

1 -a

1-a e

a

e

1-a pound

a

1 -a igt (assumindo S = cte)

da

Atf - f bull 2 i ^ ~ J c e o

a 1 - a e e 1 s 4 hmdash) da

a 1-a

f P lv^ Q

0 termo mdash - mdash e a parte de perda de pressatildeo pelo lj^

^c e -quido ou seja Ap liquido saturado e como

Ap

R = tf

Ap liauido saturado

temos que

R J

f ae 1 _ a e 1 4

a 1 -a o e

1 -a r-R =

3 1 -a

a 1 -a imdash

3 vl - a 3

e e

Os valores de R obtidos por esta expressatildeo aproximam-se

muito dos valores obtidos pelos aacutebacos de Martinelli

69

E - EXPANSAtildeO E COMPRESSAtildeO DE UM FLUIDO - ANAacuteLISE HIDRODINAcircMICA

DE UM CIRCUITO EM CIRCULACcedilAtildeO NATURAL

1 EXPANSAtildeO NO FLUXO DE UM FLUIDO

11 - Uma so fase

Figura 1

Ha vaacuterios meacutetodos para determinar a variaccedilatildeo de pressatildeo

numa expansatildeo de fluido estudaremos o de Romie que eacute o que daacute

maior precisatildeo

Romie considera que a pressatildeo p^ tambeacutem atua na aacuterea

imediatamente apos a expansatildeo Assim fazendo o equiliacutebrio das foi

ccedilas nas secccedilotildees tracejadas da figura 1 temos

mVj

p r A 2 + mdash

mV

bull 2- A2

mas

m = pV^A^

pV^A = p V 2 bdquo A 2

V A

v 2 -4r-logo

( P l-P 2) A 2 = f ( V ^ ) - f _ v j amp c c 2

70

2 pV A A pV A A

Chamando A l A ]

K = 1 - T e degi2 = Aiexcl bull V E M

pvj

P l P 2 = T ~ bull ( 2 deg 1 2 ) ( 1 _ a 1 2 )

Outra maneira de chegar atilde diferenccedila de pressatildeo ( P j - ^ ) s mdash

ria usar o coeficiente de perda da mecacircnica dos fluidos Assim o

equilibrio das pressotildees eacute

2 2

1 V l 1 V 2 V l P i + _ p _ ^ P 2 + I p ~ + k 1 2 p mdash

onde = coeficiente de perda

A 2 1 2

k 1 2 - (l-o 1 2) - (1 - j- )

Fazendo as transformaccedilotildees chegamos a mesma expressatildeo obshy

tida pelo balanccedilo das forccedilas

PraquoIacute pr p

2 - - ir ^ laquo-ia

12 - Duas fases

Como ha duas fases a equaccedilatildeo do balanccedilo das forccedilas fica

um pouco alterada

m pound 1 V- m - raquoV - m-V- m bdquoV _ P A + j y ^ i + _gl_JUuml P A + -11-11 + -ilsl (a)

1 2 e R 2 2 ff e

Sabendo que

71

m (1-x) m t = p fA (1-a) V f

entatildeo

fl l-o^ p fA x

6 Vf2 1-x l-a2 P fA 2

m V = mdash mdash e V 0 = gl a 1 P C T A 1 g2

m

a_ p h

2 g 2

Nas expressotildees anteriores o x nao varia porque a expansatildeo

5 adiabaacutetica porem o a varia devido a modificaccedilatildeo do tamanho da

bolha

Substituindo os valores das velocidades na expressatildeo (a)

vera

( P - P ) Abdquo =

2

2 2 m gt2 2 m t (1-x) 1 x t

ra i 2 m i 1 x t 1

p fA 1 g c ttl p Ax gpound

m t P - P = mdash

(1-x) (l-a 1)A 1A 2 (l-a2)A|

a r A r A 2

V A 2

m t P bdquo - P = mdash 2 1 g c A r A 2 p f

(1-x) 1-a f A 2(l-a 2)

bull ^ 2

72

Se

P -P

a

m

g

12

1 _1_ (1-x)

J12

1 _ a l 1 - a 2 + X (- )

Pg

1 deg12 a 2 ^

Sabemos que

mt = V o pf laquo A l

Sendo V q = velocidade do liquido num ponto onde natildeo haja vapor

P 2-P 1

u 2 2 A 2

V pr Ai

V W p f

(1-x) 12

l-a1 l-a2

+ X 2 pf

mdash

l deg12

-1 a 2 _

p -p r 2 Al (2a 1 2)

2 M f w 1 deg12 X (mdash) (

pg al a 2 )+(l-x)C l 1 12

1-a^ l-a2

Devemos notar que esta expressatildeo tambeacutem vale para quando

temos uma fase para isso basta fazer

= c t 2 = 0

X = 0

e recairemos na formula do item anterior

2 pf 1 deg12 Observemos que neste caso o termo x (mdash)( ) nao

Pg al a2

2

73

tem significado pois corresponde a mudanccedila de fase

2 CONTRACcedilAtildeO KO FLUXO DE UM FLUIDO

21 - Uma so fase raquo mdash

Aqui ocorre um fenocircmeno importante pois o fluido ao ser

contraiacutedo nao vai diretamente da area A^ para a area A 0 mas ele

contral-se ate uma area A^ e depois expande-se ate k^

Ao A2

Po IP 2

V 2

Figura 2

Fazendo o equiliacutebrio das pressotildees entre os planos (1)

(0) vem 2 2

pV pV p +~ plusmn - P + i deg bull 1 2 g o 2 g (b)

C x

Fazendo equiliacutebrio da expansatildeo (0) - (2) vem

P o + 2 - f = P 2 + 2 -T + kp- 2 F ( c )

c c b C

Subtraindo (b) - (c)

2 2 2

i p- vj i p- v2 L P l + 2 bull g c

P 2 + 2 2g c

+ k P 2g c

74

Como

P - P = mdash 2 2g

2 2

bull (1 + k) - f bdquo mdash i

k a - f2 ) 2 - d - o c )2

= o

A = a 21

Weisback obteve varias relaccedilotildees entre a e a i] c

01 02 03 a 0624 0632 0643 c

0624 0632

A r v i - V v 2

p -p 1 2

P -P 1 2 2g7

v l =

(1+k) - laquofi- a 2g 21 c

( 1 + k - o 2 1)

X[- V 2 o 2 1V 2

22 - Duas fases

0 valor de k pode ser aproximado para

k = a(l - o 2 1)

onde segundo Richardsons para fluxo de duas fases podemos supor

a = 02

Para fluxo homogeacuteneo sabemos que

75

p = p f (1 -a ) + p o a

podemos supor p bdquo a = 0 pois p e pequeno e fazendo

V = V ~ V fbdquo2 go2 v 2

Substituindo estas duas expressotildees na equaccedilatildeo de uma soacute fase vem

2 2 p V (l-ct) p V (1 -a ) bdquo

P l P 2 = 9g ( 1 + 3 - 3 0 ^ - 0 ^ ) = g (a+1) (l-a^)

Se a = 02

2 12p oV 0

p r p

2 - 9g gt d-) d-sigt

A compressatildeo de um fluido acarreta uma perda de pressatildeo

como pode ser verificado pelas formulas uma vez que lt 1deg

3 ANALISE HIDRODINAcircMICA DE UM CIRCUITO EM CIRCULACcedilAtildeO NATURAL

Esquema deacute uma caldeira com circulaccedilatildeo natural

76

Determinar a velocidade em (7) para que tenhamos circula

ccedilatildeo natural Determinar tambeacutem as perdas de pressatildeo em todos os

trechos da caldeira

31 - Contraccedilatildeo das secccedilotildees (1) - (2)

Como jaacute vimos a equaccedilatildeo do balanccedilo das pressotildees eacute

1 pr Vl 1 p 2 o V 2 P2 V2

1 2 g 2 + 2 g + K12 2g otilde c amp c e c

bullraquo 2 o2 2 e havendo uma soacute fase k 1 9 = (l-o ) = (1 mdash ) e sendo

C 2

p l = p2

v x lt lt lt v 2

P 2 V pr p2 bull ir2 bull ( 1 + k12gt

Colocando em termos de temos

A 2 V 2 P 2 = A 7 V 7 p 7 (continuidade)

V = V mdashbull = V o_bdquo ~ A 2 2 2

P 2 V - p 2

p r p 2 = ir2 - deg72 bull Ccedilrgt bull lt 1 + ki2gt

fazendo

N12 - lt^gt deg72 ( 1 + k12gt

P7 V7

Pr P2 - N12 bull HG

77

3 2 - Perda de carga no trecho ( 2 ) - ( 3 )

Como haacute apenas uma fase soacute temos perdas por atritos e

perdas hidrostaacuteticas

Sendo como jaacute vimos

2 3 p 2 2 g P 2 P 3 = f 2 3 (r~2g^~) L 2 3 g c p

atrito hidrostaacutetica

Substituindo V^ pela relaccedilatildeo do item anterior e tendo em

conta que p = vem

P -P = f 2 r 3 2 3 D

2 3 p 2 bdquo 2 2 p 7 2

2 g 7 72 p 2 3 g

Se

L 2 3 2 p 7

2 3 2 3 D 2 a 7 2 p 2

P 7 V 7 g P 2 - P 3 = N 2 3 ( mdash gt p 2 L 2 3 f

3 3 - Expansatildeo nas secccedilotildees ( 3 ) - ( 4 )

Como vimos o balanccedilo das pressotildees e

2 2 2 p V p 4 V p V

P 3 + 2 g c

P 4 + 2 g c

+ k 3 4 2 g c

onde

k 3 4 - - -

2 2 1 P 4 - V 4 P 3 v 3

P 3 P 4 = 2 g + ( k 3 4 _ 1 ) 2 g

78

Sendo

P 3 - P 4

p 3 o A 3 deg V 3 = P 7

a A 7 o V 7

P 4A 4 0V 4 = P r A r V

3 7 A 3 p 3

A7 P7 V = v mdash mdash 4 7 P 4

P - P 3 r4

Se

P bdquo - P

bdquo2 r-P 7 V 7

3 4 2g deg74 + ( k 3 4 1 ) deg73

34 p deg74 + ( k 3 4 1 ) 73

p r v2

P3- P4 ^ N34 ^ gt

(No caso e negativo)

34 - Contraccedilatildeo nas secccedilotildees (5) - (6)

Ainda temos uma so fase e fazendo o balanccedilo das pressotildees

como fizemos no item 3lt1 vem

P + vil p + vi + k vi P 5 + 2gbdquo P6 + 2gbdquo + k56 2gbdquo

k 5 6 lt 1 ^ gt 2 ( 1 - Iacute 2 i 2 6

V V6 P5degIacute 5^6 ^SS 2g c - 2g c

P - P ^ = (1+kJ

Como

79

A 6

W p 5 =

VV P6 V 5 = V 6 Jiexcl = Vff65

P 5-P 6 - lt H k 5 6 ) mdash ^ mdash (l+k 5 6-a 6 5) c c c

Sendo

Se

A 7 p 7 p 7

6 7 Ag p 6 7 76 p 6

p _p _ P6- V7- g76 iquest72 ( _ 02 P 5 P 6 2g c bull ( p 6

( 1 + k 5 6 deg65 )

p 7 2 2 N56 = p ^ deg76 ( 1 + k 5 6 ~ a 6 5 )

P 7 V 2

7

P r-P = N r 5 6 56 2g c i

35 - Perdas de pressatildeo nas zonas (6) - (7) - Pre^aquecimento

Nesta regiatildeo temos perdas por atrito e hidrostaacuteticas

Nao haacute perda por aceleraccedilatildeo pois ainda natildeo houve formaccedilatildeo de boshy

lhas

Fazendo balanccedilo das pressotildees temos

L_ ppound-V p = p + otilde L - pound _ + f -Si (-21mdashL 6 7 + p67 L67 g + t 6 7 D K 2g

p _ e ifn sao tomados como valores meacutedios 67 67

P _p _ f hl ^67jIacute uuml + - L A

6 F 7 r67 D 2g P P67 L67 g 6 s c 7 c

S e Kr pound67 L67 p67 6 7 D 6 p7

p7 V - _g_ P6- P7 - N67 mdash + P67 L67 f

c c

80

36 - Perda de pressatildeo nas zonas (7) - (8) - Zona de ebuliccedilatildeo

Nesta regiatildeo j aacute temos o aparecimento de bolhas logo a

perda de pressatildeo seraacute devida agraves t recircs parcelas aceleraccedilatildeo a t r i t o

das duas fases liacutequidas + vapor e h idros taacute t ica

onde

Assim

P-P Q = AP + AP + APbdquo 7 8 a t r i t o acel H

T M1

78 p 7 7 AP - R f- - mdash mdashr |R = fator mult ipl ica-

a t r i t o 7 D 7 2 g c L tivo

G 2

AP bull r mdash acel g c

P V

|_1 - o a p J 8 P f

2 t r 2 M2

7 7 r 7 7 A P a c e l = -J^mdash 2 r bull p 7 lt T iexcl iexcl - )

A PH p 7 8 L 7 8 fiexcl

p 7 8 iacute 7 li 1 0 0 P l i q + a P v ] d L = P 7 ( 1 - laquo 7 8 )

ag raquo fraccedilatildeo de vazio media entre 7 e 8

APH = p (1 - 5 7 g ) f- L 7 8

2 2

P 7 - P 8 a 5 - 2 T i + 2 r p 7 + P 7 ( 1 - 7 8 gt f L 7 8 7 amp c amp c amp c

81

N 7g = R mdash + 2 r p 7

P7 V7 P7- P8 = N78 + P 7 ( 1 5 7 8 gt J78

37 - Expansatildeo nas secccedilotildees 8 e 9

No caso haacute uma expansatildeo com duas fases e como vimos no

item 12 a variaccedilatildeo de pressatildeo era dada por

0f Vo P2 P1 = ~2g c ( 2 deg12

x 2 (mdash)(mdash - mdash ) + ( l - x ) 2 ^ T mdash 8 1 2 1

12

Aplicando ao nosso caso

P pound = P 7

P -P = 8 9

V - V raquo V g f 7

P 7 V 2

2 pf 1 a89 2 1 g89 x (mdash) ( ) + (1-x) (- - N

o ou abdquo 1-cu l-ot_) g 8 9 8 9

Se

N 89

= 2 a 89

2 pf 1 deg89 2 1 CT89 x (mdash) ( ) + (1-x) ( T

g 8 9 8 9

P -P = 8 9

- N P7deg V7

89 2gbdquo

38 - Perda de pressatildeo no trecho 9 e 10

No referido trecho temos apenas perda de pressatildeo por atr L

to da fase liacutequido + vapor e perda hidrostaacutetica Natildeo haacute perda por

aceleraccedilatildeo do vapor pois este natildeo recebe mais calor e portanto

o 82 o

nao ha variaccedilatildeo no a

p

Q -p i n = A P

U + A P bull 9 10 H atrito

n T -S_ P9 U10 deg 910 bull g

fio r

910 I 910

J9 L

(l- a)P + Q P I dL liq v

(l-a0) p

No caso a = (nao hatilde variaccedilatildeo de forma)

A P H - (1-a ) P (p L 0

c

AP bdquo = R o

atrito

2 f9 o L910 P9 V9

2g

Supondo

= V

P 9 = P 8 P 7

vbdquo = v 9 8 0 A r

= V 7 bull deg89

AP - R atrito

2 2

W l O p7deg V7deg g89

V P10 R -^T^ bull deg89 bull li-2 + ( W P 7 (fgt SIO

y c c

Se

- f9 L910 2 N9ol0 R Dl deg89

w 2

p rv P9 P10 = VlO + ( 1 a 9 ) p7 (f gt L910 c

33

39 - Perda ciacutee pressatildeo na expansatildeo 9 - 1 0

Analogamente a expansatildeo 8 - 9 temos

10 11 P 7 2g

10 Iacute 2 0 1 0 - 1 1 gt

2 ff

pg aio

10-11

laquo11 ) +

Ll-a 1 0 bull l-a u J

Se

V10 = V 9 = V 8 bull T9 = V 7 deg89

P -P 10 rll = - a 2g 089 ^lO-ll

4 bull T~ bull (7 1 mdash ) + Pg degio a n

+ (l-x)2(- 1 10-11

1 - aio )

N10-ll = 2 a10-ll a89 2 pf t 1 10-11 N2

-(j-r- - ) bull+ (1-x) pg aio deg 1

10-11 k l - a io

prz P10 Pll = - N10-ll bull ( 2gbdquo

310 - Calculo de V

Fazendo a somatoacuteria de todas as expressotildees (P^-Pj) tere-

84

mos 2 PbdquoV_

P bdquo - P bdquo = N 7 v 7

1 2 12 2g

bull 2 - P 3 - = N 2 3 P 2 L 2 3 f c ccedil

9 P 7 V 7 P _p = N mdash -

3 4 34 deg 2g

V P 5 = deg

2 P V

5 6 56 2 g c

ltr2

P 7 -V 6 e7 -N67 2g + p 6 7 J j67 g

c bc v 2

P 7 - P 8 = N 7 8 - 2 i ~ + p 7 ( 1 - laquo 7 8 ) L 7 8 c

P 7 V 7

P - P - -N mdash - -8 9 89 2g

c P 7 V 7

P 9 ~ P 1 0 VlO 2g + ( 1 a 9 P 7 L 9 c

P 7 V 7

bull10 11 U10-ll 2g

P v iacute j P - P

1 11

7 - v 7 3 bull r

2 8 i U L 2 23 67

(l-5 7 8) L 7 8 + ( l - laquo 9 ) P 7 bull SlOtilde]- ^

Por ou t ro lado sabemos que como secccedilotildees 1

mesmo n iacute v e l

85

s c p r v 7 j

28 Z N i ij

= P 2 L23 p67 L67 P 7 ( 1~deg78 )

78 ~ ^g) bull P 7 bull L 910 g_

V - 2 g ( p r L 2 3 - p 6 r L 6 7 - p 7 ( l - atilde 7 8 ) L 7 8 - (l-a9) p L 9 a ( )

y N

Com esse valor de podemos determinar todas as variashy

ccedilotildees de pressatildeo (P^-P )

BIBLIOGRAFIA

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tituto de Energia Atocircmica de Sao Paulo em 1966 (roteiro)

- WR Gambill - Nuclear Safety

Vol 9 - n9 5 e 6

Vol 6 - n 2 (pag 152)

Vol 4 -r n9 1 (pag 30)

Volbdquo 5 - n 2 (pag 151)

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~ El Wakil - Nuclear Power

- Jakob Max - Heat Transfer (vol I)

Mc Adams - Heat Transmission

- Paul A Lottes - Argonne National Laboratory

- AKL - 6469

- ANL - 6561

86

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Frank Kreith - Principles of Heat Transfer

Journeacutees Internationales de la transmission de la chaleur

Seminaacuterios realizados em Paris em 1961 sob a supervisatildeo do

Prof Marcel Veron

Notas de aula da Cadeira de Termodinacircmica I e Transmissatildeo da

Escola Politeacutecnica da Universidade de Sao Paulo

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32

r e g i atilde o I I

0 p r o b l e m a de t r a b a l h a r n a r e g i atilde o II eacute q u e se n oacute s e s t i shy

v e r m o s t r a b a l h a n d o n o p o n t o e x t r e m o (j) e se p o r q u a l q u e r m o t i v o

h o u v e r u m p e q u e n o a c r eacute s c i m o d e ltfgt i r e m o s t r a b a l h a r i m e d i a t a m e n t e no

p o n t o M q u e t e m o m e s m o $-^0t p o r eacute m c o m A t 2 m u i t a s v e z e s m a i o r

p o d e n d o o c a s i o n a r a f u s atilde o d a s u p e r f iacute c i e a q u e c e d o r a E s t e f e n ocirc m e n o

eacute c h a m a d o d e b u r n o u t

0 f l u x o lttgt eacute c h a m a d o f l u x o c r iacute t i c o o u f l u x o d e b u r -b o

n o u t N o c a s o do r e a t o r d e v e m s e r t o m a d a s m e d i d a s r i g o r o s a s q u a n

to agrave r e g u l a g e m do f l u x o t eacute r m i c o p a r a q u e n atilde o o c o r r a o b u r n o u t 1 1

p o i s d e l e p o d e r e s u l t a r r u p t u r a d a c a m i s a do c o m b u s t iacute v e l e h a v e shy

r aacute p o r t a n t o c o n t a t o do r e f r i g e r a n t e c o m o s s oacute l i d o s e g a s e s r a shy

d i o a t i v o s

5 o l - R e l a ccedil atilde o d e B u r n o u t

E c l a r o q u e p a r a t e r m o s u m r e a t o r m a i s e f i c i e n t e d e v e shy

m o s t r a b a l h a r c o m u m f l u x o o m a i s p r oacute x i m o p o s s iacute v e l do f l u x o d e

B u r n o u t P a r a t a n t o d e v e m o s c o n h e c e r c o m o m a i o r g r a u d e certe

za p o s s iacute v e l q u a l o ^ p a r a p o d e r m o s r e d u z i r o c o e f i c i e n t e d e s e shy

g u r a n ccedil a ( W R G a m b i l l r e c o m e n d a agrave 1 5 )

N o s s e m i n aacute r i o s d e W R G a m b i l l e n c o n t r a m o s u m a s eacute r i e de

b i b l i o g r a f i a s o n d e p o d e m o s e n c o n t r a r i n uacute m e r a s f oacute r m u l a s p r o p o s t a s

p a r a a o b t e n ccedil atilde o de (q 1^)

A t i t u l o d e e x e m p l o v e j a m o s a l g u m a s

q - 2 7 0 G deg gt 8 5 D 0 2 A085 p lt 150

deg D ( L uuml ) 2

q - 140 G 0 5 D ~ deg 2 (-~-)~deg 1 5 p ~ r gt 150 c D (LD)

o n d e a m b a s as e q u a ccedil otilde e s s oacute v a l e m p a r a aacute g u a e m b a i x a p r e s s atilde o e m coii

v e c ccedil a o f o r ccedil a d a

33

D

L

fluxo teacutermico critico BTUhrft bdquo 2

descarga em massa do liquido (Ibmhrft )

diacircmetro do tubo ft

comp do tubo ft

Para cada caso temos uma expressatildeo diferente que pode ser

encontrada em literatura especializada

6 INFLUEcircNCIA DE OUTROS PARAcircMETROS NO FLUXO DE BURNOUT

Como para os usos atuais do reator a diferenccedila de temppound

ratura entre parede e fluido sao pequenas bem como o fluxo de bur

nout recentemente fiacutesicos como Jakob Bonilla WR Gambill estu

daram outros paracircmetros que influenciam bastante o sect^ 0gt isto eacute a

influecircncia desses paracircmetros faz com que o ^ seja maior Isto eacute

util pois quanto maior o fluxo de burnout maior poderaacute ser o

fluxo de calor real de funcionamento

Tais meios sao

- Sub-resfriamenCcedilo do liacutequido

61 - Influecircncia da velocidade do liacutequido

Estudos feitos pelos autores acima chegaram agraves curvas

- Aumento da velocidade imposta ao liacutequido

- Pressatildeo do liacutequido elevada

alto V

At

34

Para velocidades maiores o fluxo de burnout aumenta

porque neste caso o regime eacute turbulento e o coeficiente de peliacute

cuia h aumentao

6bdquo2 - Influencia do aumento da pressatildeo

Este estudo deve-se a Bonilla que obteve experimentalmen

te as curvas

Este estudo foi feito para vaacuterios liacutequidos e chegou a con

clusao que sempre havia uma pressatildeo oacutetima isto e uma pressatildeo que

leva ao maior iacute 1 ^ raquo mantidas as demais condiccedilotildees Experimentalmenshy

te notou que essa pressatildeo correspondia a 13 da pressatildeo critica

do liquido em questatildeo

6=3 - Influecircncia do sub-resfriamento

Consiste em manter atilde custa de uma circulaccedilatildeo intensa o

liacutequido a uma temperatura inferior atilde de saturaccedilatildeo para a pressatildeo

correspondenteraquo Experimentalmente chega-se agraves curvas

mdash A t grande sub

bullAt -0 sub sub

medio

At

35

Verificando os graacuteficos vemos que o lt)gt aumenta agrave medida bo

que aumenta a diferenccedila de temperatura de sub-resf riamento isto pojr

que o liquido como estaacute mais frio faz com que algumas das bolhas

recondensem permitindo que o liquido fique em contato com a parede

quente o que faz aumentar o h

^ f csub = t e m P e r a t u r a ddeg liacutequido - temperatura de saturaccedilatildeo

A diferenccedila de temperatura At entre fluido e parede tamshy

beacutem aumenta poit na regiatildeo proacutexima agrave parede haacute necessidade de

levar o liacutequido da temperatura do sub-resfriamento ateacute a temperatu

ra de saturaccedilatildeo quando se evapora

Atualmente os maiores estudos dos fiacutesicos nucleares locashy

lizam-se neste campo pois eacute o que oferece maiores vantagens

7 FORMULAS PARA 0 CAacuteLCULO DO COEFICIENTE DE PELIacuteCULA NA EBULICcedilAtildeO

Como ocorre no caacutelculo de todas as foacutermulas de convecccedilatildeo

temos formulas empiacutericas para determinar o h conforme o tipo de

ebuliccedilatildeo que nos consideramos

71 - Ebuliccedilatildeo Nucleada

Para o caso de aacutegua temos as relaccedilotildees

superfiacutecies

horizontais

superfiacutecies

verticais

f aacute 5000 BTUhrft 2 -gtbull h = 151 ( A t ) 1 3

A o

5000 lt 75000 -h = 0618 (At)3

^ pound 1000 -raquobull h = 8 7 ( A t ) 1 7

A o -

1000 lt $ lt 20000 -gt h = 027 (At) A o

Quando a pressatildeo e diferente da atmosfeacuterica faz-se a correccedilatildeo

3 6

72 - Ebuliccedilatildeo por peliacutecula

Bromley propocircs uma boa equaccedilatildeo para a ebuliccedilatildeo por peliacuteshy

cula estaacutevel em cilindros horizontais

Nu

_ JtjD n r 9 P v bull ( P L - P v gt - g -h

e V bull D i2

D 1 ^ U b Z u At gt

onde

V = indica vapor

L = indica liacutequido

Multiplicando ambos os membros da equaccedilatildeo acima por

kvD obteremos a expressatildeo do coeficiente de convecccedilagraveo meacutedio para

o caso

37

C - FORMULAS PARA CAacuteLCULOS ESPECIacuteFICOS - RESULTADOS ESPECIacuteFICOS

1 FLUXO DE CALOR CRIacuteTICO - BURNOUT

lol - Introduccedilatildeo

O aspecto mais importante no que se refere agrave seguranccedila

dos reatores da transferencia de calor na ebuliccedilatildeo eacute a determina

ccedilatildeo do Fluxo de calor critico ou de pico ou burnout

Como jatilde vimos quando temos a ebuliccedilatildeo nucleada a dishy

ferenccedila de temperatura entre refrigerante e superfiacutecie de aqueci

mento e pequena poreacutem quando atingimos o fluxo de calor criacutetico

essa diferenccedila de temperatura pode tornar-se imediatamente muishy

to grande podendo causar a ruptura da superfiacutecie de aquecimento

se atiigirmos o ponto de fusatildeo do soacutelidoraquo

Usando a convecccedilao

onde

At sat

w

sat At

sub

w = temperatura da parede de aquecimento

t t = temperatura de saturaccedilatildeo do liacutequido

t^ = temperatura de mistura do liacutequido

At = (t -t ) sub-resfriamento do liacutequido sub N sat b 1

nout

Ha dois tipos de burnout fast burnout e slow bur-

Ocorre o fast burnout (burnout raacutepido) quando A t g u b gt 0

38

ou para baixo x (~ lt 10) sendo x o titulo do vapor

Temos o slow burnout para x - gt 10 Assim noacutes tereshy

mos dois limites para o burnout

At bull o (ltJgt ) t =((() para t = t ) -

bo m m possiacutevel w sat

sub i

4L + 1

G c D h pl nb

(ltK ) = (ltpound para x = 1) = Dv-bo max possiacutevel e 4L

c At l + P 1 sub i

onde

L = comprimento do canal

D = diacircmetro do tubo

G = descarga de liacutequido (por unidade de aacuterea)

c ^ = calor especiacutefico do liacutequido

Agrave = calor latente de vaporizaccedilatildeo

h ^ = coeficiente de transferecircncia de calor na regiatildeo de

nao ebuliccedilatildeo

iacutendices

i = entrada

e = saiacuteda

Haacute inuacutemeras expressotildees para determinaccedilatildeo do burnout pro

postas por muitos fisicos cada uma aplicando-se a um caso especiacuteshy

fico vejamos algumas delas

12 - Equaccedilotildees para prediccedilatildeo de Burnout

121 - Equaccedilatildeo de Bragg e Smith (Zuber)

Num artigo publicado por Bragg e Smith encontramos uma f oacute_r

mula que e derivada da formula de Kutateladze e nos daacute o fluxo cri

39

tico quando nao temos sufaresfriamento

bo poolsat v V raquoc a ( p l P V )

2 PV

14

onde

ltiexclgt = fluxo de calor critico bo

k = constante

Ly = calor latente de vaporizaccedilatildeo do refrigerante

= densidade do liquido

pvr = densidade do vapor V a = tensao superficial

g = fator de conversatildeo c

a = aceleraccedilatildeo da superficie de aquecimento

Os autores encontraram para k um valor de 062 entreten

to outros autores como Zuber incluindo outras variaacuteveis que In

fluiam no fenocircmeno encontraram k variando entre 008 e 023Esshy

tudos bem elaborados mostram que o valor mais aproximado eacute

k = 015 (- 003)

1-22 - Equaccedilatildeo de Noyes

Noyes estudou o burnout para o soacutedio agua e alguns liacute

quidos orgacircnicos

( W s a t ~ bdquo 0245 bull ( r ( 1 )

iiacute_ V 1 Pr

onde

N n = Nuacutemero de Prandtl da fase liacutequida x r

Mais tarde o proacuteprio Noyes alterou a equaccedilatildeo para

n ^ - n H Iacute I Pl PV gt0538 deg g c a q 4 ( W s a t deg 1 1 6 PV ( - p 7 ~ ) (77T1^ ) ( 2 )

40

A ultima correlaccedilatildeo proposta por Noyes foi

a n prPV0560 112

1

(a bull a) 13

(ag c) 112

(3)

onde

a = difusividade teacutermica do liacutequidoraquo A equaccedilatildeo (3) eacute bashy

seada em todos os dados de burnouts do soacutedio bem

como da atildegua benzeno difenil e outros De 111 pontos usados 90

+ estatildeo relacionados dentro de - 30bdquo

ldeg2o3 - Burnout com convecccedilao forccedilada e sub-resfriamen

to

Aproveitando os resultados de aproximadamente 240 testes

de burnouts com aacutegua sub-resfriada em fluxo de convecccedilao forccedilashy

da feitos na Ruacutessia Labuntsov elaborou uma boa equaccedilatildeo empiacuterica

para o problemabdquo

Esta relaccedilatildeo aplica-se para velocidades entre 2 3 e 148

ftsec pressotildees entre 1 e 201 atmabs sub-resfriamento entre 0 deg

e 432 degF e fluxos de burnout entre 0 4 x IO 6 x 166 x 1 0 6 BTUhr

2 bdquo

bullbo

onde

e a seguinte

6 ( P ) 1 + 0 2 3 2 V 2

14

e ( P ) 1 +

15 c At _p_ sub

12 (a)

9 ( P ) - P 1 3 o ( 1 - P J 4 3

red

= pressatildeo (atm abs)

pressatildeo reduzida = mdash mdash red r P

t_ c = pressatildeo critica

= velocidade do liacutequido (ftsec)

= calor especiacutefico do liacutequido (BTUlbdegF)

4 1

^ tsub = ^ ^ e r e n Ccedil a ^ e temperatura entre a temperatura de

mistura do liacutequido e a de saturaccedilatildeo (degF)

X = calor latente de vaporizaccedilatildeo (BTUlb) 2

ltiacutegtbo = fluxo de burnout (BTUhrfl )

Uma outra correlaccedilatildeo para o caso foi proposta por

Ornatsky e Xiohigin que fizeram experiecircncias para pressotildees entre

10 e 1 5 0 3xm 90 degF lt At ^ lt 4 5 0 deg F 3 7 1 0 6 ( l b h r o f t 2 ) lt G lt

2 2 2 10 b ( l b h r bdquo f t 2 )

lt ^ = 3 2 5 0 (G o A t bdquo J deg 6 ( - i - ^ ) 2 5 ( b ) bo sub

onde

G - descarga de refrigerante por unidade de aacuterea

P ^ v P v - densidades do liacutequido e do vapor

P1~ PV -0 termo (mdash ) e incluido na expressatildeo (b) para indicar

a influecircncia da ^ pressatildeo sobre o

Uma comparaccedilatildeo entre as equaccedilotildees (a) e (b) foi feita para

o Reator de Isoacutetopos de Alto Fluxo (HFIR) nas condiccedilotildees aacutegua a

600 psia velocidade = 45 ftsec e sub-resfriamento = At^^ 1

degF obtendo-se uma diferenccedila de 6 5 entre ambos (4gt = 6 0 5 1 0 b

2 ~ 6 2 BTUhr ft pela equaccedilatildeo (a) e 6 4 5 10 3TUhrraquoft pela equaccedilatildeo

(b)

Ilatilde ainda a equaccedilatildeo de Ivey e Morris aplicaacutevel somente pa_

ra ebuliccedilatildeo com grande quantidade de liacutequido

( c sub t

Cpf bull A tsub

( bull ) s ~ V P bdquo 10 h V sat V g

onde

(ltL ) = fluxo critico com sub-resfriamento c sub

(ograve ) ^ - fluxo critico sem sub-resfriamento c sat

42

c ^ = calor especiacutefico do liacutequido

= calor latente de vaporizaccedilatildeo

124 - Burnout com convecccedilao forccedilada e ebuliccedilatildeo por bocirc-

Ihas

Gambill fez uma extensatildeo da equaccedilatildeo de Levy e aplicou o

metqdo da superposiccedilatildeo Tal extensatildeo consiste natilde subtraccedilatildeo de uma

razatildeo equivalente de massa transferida dos termos que represenshy

tam a ebuliccedilatildeo e convecccedilao para levar em conta a presenccedila do vashy

por no fluxo

A correlaccedilatildeo pode ser escrita assim

24 V P V

o g c a (p^Py) 14

+ 0696 (k p c ) 12

(

pr p v )i4 o g c a (P-L-Py) 18

bull At + h sub nb

044 p v L v G (g1) bull N2 n

p l P V

( pr p v ) d e 2-7

2 4 TT 0

14 ( f e _ ^ r l 3

lO^u

onde

k = condutividade teacutermica

c = calor especiacutefico

A t s u b ~ s ub-resfriamento do liacutequido

h = coeficiente de transferecircncia de calor de nao ebu nb mdash

liccedilatildeo

G = descarga total do refrigerante

43

d g = diacircmetro equivalente do tubo ou canalraquo

]i = viscosidade

B = constante adimensional

Os iacutendices V e 1 representam vapor e liacutequido respectiva

mente

0 primeiro termo entre chaves da equaccedilatildeo representa o flu

xo de calor no burnout de sub-resfriamento em convecccedilao forccedilada 0

segundo termo entre chaves corresponde ao fluxo de calor transferi^

do para a massa da fase vapor

1-25 - Burnout por Bloqueio da Base

Ocorre quando a profundidade do recipiente eacute muito maior

que a largura 0 bloqueio da base eacute causado pela formaccedilatildeo de uma pe_

licula de vapor na base impedindo que o liacutequido toque o fundo do

recipiente

i De

Este eacute o burnout por flooding isto eacute burnout por expul

sao do liacutequido Uma equaccedilatildeo que nos dacirc o fluxo minimo do burnout

parao caso eacute

44

onde

D g = diacircmetro equivalente

L = comprimento do tubo

= calor de vaporizaccedilatildeo

p^Py Ap = densidade do liacutequido do vapor e diferenccedila en

tre ambos

Para um fluxo de calor maior ou igual ao dado pela expres_

sao acima (mantida a mesma geometria) teremos burnout Para um deshy

terminado fluxo existiratildeo sempre um comprimento L e um diacircmetro equi

valente D e para os quais temos burnout Exemplo

L (in) D e(in)

10 11

100 51

1000 235

2 RESULTADOS ESPECIacuteFICOS - FOacuteRMULAS PARA CAacuteLCULOS ESPECIacuteFICOS

21 - Diferenccedila de temperatura At i

13 a t

sat

At sat

poundatildeJL_ raquo t - t J p T T 6 w sat

onde

o laquo tensatildeo superficial entre liquido e vapor

t - temperatura de saturaccedilatildeo do liacutequido para a corres-Scl t

pondente pressatildeo

J equivalente mecacircnico do calor

X laquobull calor latente de vaporizaccedilatildeo

py = densidade do vapor

6 = espessura da camada de liacutequido superaquecido onde

45

k l

h nc

onde

k^ = condutividade teacutermica do liacutequido

h = coeficiente de peliacutecula nc r

Segundo Eckent h ^ c e dado por

P 2 Q

nc 3 V VP + 0952

r

onde

D = diacircmetro equivalente

G r = numero de Grashoff

P = nuacutemero de Pradtl

2 o 2 - Velocidade das bolhas

A velocidade das bolhas em meacutedia pode ser dada pela exshy

pressatildeo

V bdquo = Iacute ( a bull B Apl4 bolhas 5 ^ 2

p l onde

AP = P L - P v

Expressatildeo que vale quando a aceleraccedilatildeo eacute a da gravidade

baixa viscosidade do liacutequido e bolhas separadas

Vbolha = f t s e atilde m a x para aacutegua

2 bdquo3 - Diacircmetro das bolhas

2gc deg 12 D = 0015 3 ( mdash mdash 7 ~ ) d g Ap

5 =

46

onde

8 = acircngulo de contato (20 a 90deg) geralmente assume-O -1

-se igual a 50 para a agua em contato com metal

24 - Coeficiente de peliacutecula na ebuliccedilatildeo nucleada

a) Equaccedilatildeo de Rohsenow

Esta equaccedilatildeo nos datilde o fluxo de calor q na ebuliccedilatildeo nushy

cleadaraquo E oacutetima expressatildeo para muitos liacutequidos o efeito da presshy

satildeo eacute levado em conta na variaccedilatildeo das propriedadesraquo

Pf

fg

sat 17 = c

sg k y f h f g g( P f-p g)

n033

onae

Pf

fg

Pf Pg c sg

= fluxo de calor requerido (BTUhr0ft^)

= calor especiacutefico do liacutequido saturado (BTUlbm0F)

= calor latente de vaporizaccedilatildeo (BTULbm)

= nuacutemero de Prandtl

= viscosidade do liacutequido (lbrahrraquoft) ~ 8 2

= fator de conversatildeo 417 10 Ibmftlbflaquohr 2

= aceleraccedilatildeo da gravidade (fthr )

= tensatildeo superficial na interface liacutequida vapor

(lbfft) 3

densidade do liquido e vapor (lbmft )

constante adimensiacuteonal que depende de vaacuterios fashy

tores dentre os quais o grau de aquecimento en_

tre o fluido e a superfiacutecie de aquecimento e o

mais importanteraquo Independe da pressatildeo do sistema b) Equaccedilatildeo de Levy

Equaccedilatildeo valida para a aacutegua quando 100 lt p lt 2000 psiacutea

47

43 bdquo3

qu bdquo gat ^ T J h r t f t ^

495

25 - Calculo do fluxo de calor no Ponto de Leidenfrost

0 ponto de Leidenfrost como vimos eacute o ponto em que oflu

xo de calor comeccedila ncamente a crescer isto eacute o ponto onde termal

aa a ebuliccedilatildeo instaacutevel e comeccedila a ebuliccedilatildeo por peliacutecula estaacutevel Eacute

o chanado fluxo miacutenimo (egrave ) m m

Aproximadamente quando A t g u k = 0 temos

A _ mdash _ mdash (Gambill) m m 5

Ha entretanto varias expressotildees para determinar esse flu

xo eis uma delas

A p 14 ltjgt = 009 h pbdquo (o raquo g mdash ) y m m fg P V deg 2

p l

26 - caacutelculo do fluxo de calor na regiatildeo de ebuliccedilatildeo por peliacute

cuia estaacutevel

para cilindros jmdashi i li

_ D 0172 k-V - P V A p h l V bull S 14 li - = 062 (mdashmdash) (- j- r rmdash) convecccedilao A 0 ybdquo (t -t )

c V w sat

onde

= condutividade do vapor

- 2 TT ( mdash )

c gAp Vl = significam vapor e liacutequido respectivamente

para paredes verticais

L 0172 S deg7 A p bull hlV S q 4 h - - 080 (-^-)J- (-Iuml - Iacutemdash-convecccedilao X L u (t - t J)

c V w sat

48

Como nesta regiatildeo jaacute haacute nina influecircncia marcante da radia

ccedilao devemos levar en conta tambeacutem o coeficiente de peliacutecula de

vido a radiaccedilatildeo para determinar o coeficiente de peliacutecula total

Dos estudos atildea radiaccedilatildeo temos

h = a F pound(T 4 - T 4 J ( T ~ T ) rad w sat w sat

onde amp _ emissividade de superfiacutecie

a = constante de Stefan-Boltzman

F = fator de forma

Segundo WE Gambill o coeficiente de transmissatildeo total

ceve ser

3 iacutei = h + -7 h para h lt h t conv 4 rad r rad conv

Na expressatildeo acima existe o fator 34 porque a radiaccedilatildeo

faz variar um pouco a espessura do filme de vapor reduzindo asshy

sim o l l

conv

Quando tivermos h gt h gt o h^ ^ seraacute rad conv total

h f c = h + h t conv rad

Neste ultimo caso nao ha nenhum coeficiente porque a peshy

liacutecula de vapor jaacute eacute estaacutevel

27 - Grandezas caracteriacutesticas para a apua

Para pressatildeo igual a 1 atm = 1422 psia

At ^ = t - t = 5degC (iniacutecio da ebuliccedilatildeo nucleada) sat w sat 1

At t = 30degC sat crit

49

5 2 $ = 4 10 BTUhrft (para pressatildeo 1 atm)

0 fluxo critico cresce como vimos com a pressatildeo ate

atingir o maacuteximo quando a pressatildeo eacute aproximadamente 13 da pressatildeo

criacutetica Esse fluxo eacute

bull = 13 IO 6 BTUhrft 2 para p = 11000 psia (p pound = 32062 psia)

Ainda temos que para pressatildeo igual a 15 psia

h b o = 11000 BTUhrft degF - ebuliccedilatildeo nucleada

h f b = 30 BTUhrft 2 degF - ebuliccedilatildeo pelicular

Todos os resultados e formulas para caacutelculos especiacuteficos

apresentados nos itens 21 22 23 ateacute 27 sacirco aplicados somente

para sistemas onde haja ebuliccedilatildeo com grande quantidade de liquido

51

D - HIDRODINAcircMICA DOS SISTEMAS E QUEDA

DE PRESSAtildeO DENTRO DE UM CANAL

1 HIDRO-DINAcircMICA E QUEDA DE PRESSAtildeO

11 - Hidro-dinacircmica dos sistemas estaacuteveis

111 - Regimes de escoamento

A evoluccedilatildeo do escoamento ao longo de um canal aquecedor

de secccedilatildeo constante ciliacutendrico pode ser esquematizada pela figushy

ra 1 onde temos em abcissa o comprimento z do canal e em ordenada

a temperatura (T)

52

Na figura 1 nos representamos

a) 0 aspecto do escoamento fluido quando a entalpia do

- fluido aumenta Verificamos que o fluido entra no cashy

nal no estado liacutequido e assim permanece ateacute atingirmos a zona de

ebuliccedilatildeo local onde aparecem as primeiras bolhas A entalpia do

fluido continua aumentando e tem inicioa ebuliccedilatildeo franccedila onde as

bolhas se unem formando agregados posteriormente o escoamento to

ma a forma da figura ou seja torna-se anular disperso Finalmente

atingimos duas uacuteltimas fases do escoamento disperso (vapor uacutemido)

e vapor seco

b) A evoluccedilatildeo da temperatura meacutedia do fluido e da tempeshy

ratura da parede Note-se que a partir da cota a

temperatura da parede aumenta brutalmente podendo causar o

burnout

c) A evoluccedilatildeo do tiacutetulo do vapor (x) com o comprimento

do tubo e a evoluccedilatildeo da fraccedilatildeo (a) que definiremos no

item 11laquo2 com o comprimento do tubo

112 - Definiccedilotildees

a) Tiacutetulo ou qualidade do vapor (x)

massa de vapor na mistura x ~ massa total da mistura

x =

W _g_

g f

b) Fraccedilatildeo vazio (void fraction)

volume do vapor na mistura a = volume total da mistura (agua+vapor)

A relaccedilatildeo entre x e a num sistema parado pode ser obtida

assumindo um certo volume contendo 1 lbm de mistura em equiliacutebrio

teacutermicoraquo

53

O volume da mistura seraacute igual a (v + xv ) ft onde v eacute 3 r rg

o volume especifico (lbmft )

f - refere-se ao liquido

g - refere-se ao vapor

fg - refere-se a diferenccedila entre liacutequido e vapor

Numa mistura em equiliacutebrio se o liacutequido e o vapor estatildeo

saturados o volume do vapor presente eacute igual acirc sua massa vezes

seu volume especiacutefico v assim e

xv bdquo bdquo a mdash

V c + XV c

f gf

onde

- bull-bull uumlutiacuteisa vapor na mistura de 1 Ibm

v volume especiacutefico do liacutequido

v = volume especiacutefico do vapor o

V c = v - V

gf 8 r

Fazendo uma transformaccedilatildeo na expressatildeo acima temos

xv xv JS = Z-

v r+ x(v -v c) xv +(l-x)v t ri f g f g f 1 + Ul-x)xjv fv

1 + C(l-x)x]]vfvg

A fraccedilatildeo vazia tem a influencia de baixar a reatividade

do nuacutecleo nos reatores em que o refrigerante eacute tambeacutem moderador

Na equaccedilatildeo acima os valores de x e v sao tomados em tabe

las termodinacircmicas apropriadas para a pressatildeo do sistema A equashy

ccedilatildeo (1) mostra os grandes valores de a para pequenos valores de x

especialmente para baixas pressotildees Isto ocorre porqueaumentando

54

aacute pressatildeo o v decresce muito enquanto que o v f eacute mais ou menos da

mesma ordem de grandeza

Exemplo Calcular o a correspondente para x raquo 2 para aacutegua

leve atilde pressatildeo atmosfeacuterica

Da tabela para p laquobull 1 atm

v - 001672 ft 3lbm e v - 26800 ft 3lbm

1 + [(1-002)002] 001672268

0971 ou 97U

O grafico abaixo mostra a variaccedilatildeo do a com x para vaacuterias

pressotildees e para a aacutegua leve

x ()

tObservaccedilotildees da curva

Fig 2

1 - para x constante a decresce com a pressatildeo Para presshy

sotildees proacuteximas da criacutetica a aproxima-se rapidamente de

x Para a pressatildeo criacutetica as duas fases satildeo indistinguiacuteveis ea=x

2 - para cada pressatildeo dotdx decresce com aumento de x

3 - para baixos valores de x (que e o caso dos reatores

tipo Boiling) quando p decresce dadx cresce e torr

na-se muito grande paacutera baixas pressotildees Isto tem relaccedilatildeo com a epound

55

tabilidade do reator como veremos mais tarde

113 - Sistemas com fluxo

Todas as definiccedilotildees que noacutes vimos no item anterior refeshy

rem-se acirc sistemas em que a mistura esta fechada no recipiente Nes^

te caso natildeo havia movimento relativo entre as duas fases No entan

to se as duas fases da mistura se movem na direccedilatildeo vertical em

canais entre os elementos combustiacuteveis o vapor por causa de sua

flutuaccedilatildeo tem a tendecircncia de escorregar sobre o liacutequido isto e

move-se com velocidade maior do que a do liacutequido

Real Modelo

Pig 3

S -

Define-se neste caso a relaccedilatildeo de escorregamento (slip

ratio) (S) como sendo

V _i

V f

onde

V = velocidade do vapor

= velocidade do liquido

S modifica as relaccedilotildees entre a e x do item anterior S geralmen_

te gt 1 Define-se neste caso qualidade do vapor ou tiacutetulo como

sendo

_ fluxo de massa de vapor

fluxo de massa da mistura

Entatildeo se o fluxo de massa da mistura eacute m t(lbmhr) o flushy

xo de vapor seraacute = x m e o fluxo de liacutequido sera (1-x) m onde x

56

e o titulo do vapor para a particular secccedilatildeo (AL) da figura (3)

Devemos notar que neste caso x varia de secccedilatildeo para secshy

ccedilatildeo do tubo o exposto no paraacutegrafo acima vale considerando-se que

x e a permaneceram constantes na secccedilatildeo de espessura AL

Aplicando a equaccedilatildeo da continuidade as velocidades do va

por e liacutequido sao dadas por

o xm v

V vazatildeo = g g area A

V

(1-x) amp t v f

f A f

onde A e A f sao as aacutereas medias perpendiculares ao fluxo se as

duas fases sao imaginadas completamente separadas uma da outra

(figura 3) Assim temos

V x m v o A_ A v 0 ^ - 2 = iacute S t m _2L- JL JS m

V A (l-x)ui v 1-x A v U

f g t f g f

Sabemos ainda que para a secccedilatildeo considerada

volume do vapor na mistura a = volume total da mistura (agua+vapor)

A AL A pound g g

a = mdash a a = - mdash 1

(A+A )AL A f + g

A ou f _ 1 - a

A a 8

Substituindo em (2) vem

57

Esta expressatildeo pode ser rearranjada e obteremos uma relashy

ccedilatildeo entre x e a levando em conta o escorregamento Chega-se a

a = 1 ( 3 )

1+ [U-x)x3 igt

onde

v 4 laquo -- S

v lty o

Note-se que quando S=l (nao haacute escorregamento) caimos na

expressatildeo dada no item anterior

0 efeito do escorregamento eacute decrescer o valor de a pa_

ra um mesmo xbdquo Isto pode ser visto pela foacutermula (3) pois S gt lLo

go a decresce com acreacutescimo de S

Um alto S e entatildeo uma vantagem tanto para a transferecircnshy

cia de calor como para efeitos de moderaccedilatildeo Eacute uma vantagem para

transferecircncia de calor porque alto S significa alto V e portanto

maior turbulecircncia e maior contato do liquido com as paredes quenshy

tes Ha tambeacutem melhorias na estabilidade da reaccedilatildeo nuclear isto

porque como jaacute dissemos quando mdash7 diminui a estabilidade aumenshy

ta isso pode ser verificado observando a curva a versus x para a

agua leve a 1000 psiabdquo

Fig 4

58

A relaccedilatildeo entre x e a da equaccedilatildeo (3) so vale para secccedilatildeo

de tubo bem pequena

Devemos notar que S varia tambeacutem com a pressatildeo e velocida^

de de entrada do liacutequido no tubo Este efeito pode ser observado na

figura 5 abaxxo obtida esperimentalmente

s

3

~^ ~ psig

x = 001

V 1

Fig 5

Nos projetos de reatores como veremos adiante o valor a

geralmente eacute determinado por consideraccedilotildees nucleares (moderaccedilatildeo) 0

valor de S eacute determinado atraveacutes de uma estimativa ou entatildeo atrashy

veacutes de um graacutefico do tipo da figura 5 0 correspondente valor de x

pode ser obtido de uma foacutermula empiacuterica do tipo

1 = 1 (-S)0gt67

proposta por Von Glahn

Em muitos casos assume-se S constante em todo o comprimeiv

to do canal poreacutem eacute um erro que em muitos casos nao pode ser coshy

metido

4 REATORES EM QUE 0 LIacuteQUIDO B MODERADOR E CIRCUITO PRIMAacuteRIO AO

MESMO TEMPO BOILING-REACTOR (BWR)

A aacutegua ao se movimentar atraveacutes dos vaacuterios canais do

59

Boiling-reactor encontra vaacuterias resistecircncias ao fluxo que provoshy

cam uma reduccedilatildeo de pressatildeo no fluido

As duas perdas mais importantes sao perda de pressatildeo por

atrito e perda de pressatildeo causada pela aceleraccedilatildeo do refrigerante

ao aumentar de volume por receber calor num canal Outras perdas

de pressatildeo seriam a obstruccedilatildeo ao fluxo por corpos submersos (espa_

ccediladores juntas de tubos chaves etc) e por mudanccedilas abruptas de

aacuterea de fluxo tanto na entrada como na saiacuteda do tubo

Essas perdas de pressatildeo devem ser conhecidas o melhor popound

sivel principalmente nos reatores BWR Para tanto devemos saber

o comprimento de canal em que nao ha a ebuliccedilatildeo isto eacute qual o com

primento de canal em que o refrigerante vai da temperatura de sub-

resfriamento ate temperatura de saturaccedilatildeo

Seja o elemento combustiacutevel

Aquecimento Uniforme Aquecimento Senoidal

Fig 6 Fig 7

onde

H =

H = o

H b

comprimento do elemento combustiacutevel

cota onde o liquido se torna saturado

comprimento do elemento combustiacutevel em que ocorre

ebuliccedilatildeo

60

qg = calor sensiacutevel acrescentado ao liquido para satushy

raacute-lo

qfc = calor total acrescentado ao liacutequido em todo o com

primento do canal

laquoo

q s J o qiquest sen (IIzH) n H o

T~ = TH = 2 ( 1 c o s gt ( a )

q 1 sen (HzH) Jo ^c

A expressatildeo (a) vale quando tivermos uma adiccedilatildeo de calor

senoidal para qualquer outra forma de adiccedilatildeo de calor faz-se um

caacutelculo anaacutelogo

Outra relaccedilatildeo entre q g e qfc eacute dada pela termodinacircmica

q h- - h s f m (b)

(hr +x h )-hm ^t f e fg

onde

= entalpia para o liquido saturado a pressatildeo correjs

pondente (cota z = Ho)

hffi = entalpia do liacutequido na entrada do canal

x = tiacutetulo do vapor na saiacuteda

= entalpia do vapor

Com a relaccedilatildeo (b) noacutes determinamos a relaccedilatildeo q q ecom

S L

uma relaccedilatildeo do tipo (a) (conforme seja o adicionamento de calor ao

liacutequido) podemos obter a relaccedilatildeo HoH e consequentemente H^H

21 - Perda de pressatildeo num canal de evaporaccedilatildeo

Neste item iremos determinar as perdas de pressatildeo mais

representativas que ocorrem num canal de evaporaccedilatildeo de um reator

P + dP

bull1 i- 1 gti i i

dL

onde

UM

Icirc H Icirc Icirc T dF f t f

61

Quantidade de Mov na Entrada

= i- rigVg)

dF f l

Fig 8

m i

m 8

V l V 8

A P

dF

dF

dF

fg

fl

ftf

descarga do liacutequido

descarga do vapor

velocidade do liquido

velocidade do vapor

aacuterea transversal do canal

forccedila de atrito do vapor com parede

forccedila de atrito do liacutequido com parede

forccedila de atrito das duas fases liacutequido+vapor

Fazendo o balanccedilo das forccedilas considerando o sentido posjL

tivo na vertical temos

A (P-P-dP)-(dF +dF _+dF _)-(-pound-) (p A+p A )dL = mdash dGnV+m V ) P fg ftf fl g c 1 1 g g g c

v 1 1 g g 7

- dP = ~ (dF +dF--+dF)+- S--7=- (p A+p A )dL+ mdash ~ - d (m-V+m V ) A_ fg ftf fl g c Ap v^l 1 g g g A 11 g g

Fazendo a integraccedilatildeo termo a termo entre os dois extreshy

mos entrada e saiacuteda e considerando a pressatildeo de entrada igual a

P q e a de saiacuteda igual a Pe vem

Quantidade de Mov na Saiacuteda

-= h I- lY l+ A g V g + d ( aacute l V l + aacuteeVl

Forccedila de Gravidade

= ( g f - N P A + P g V

62

b) r e F f l

o p dp^ = Ap^ = perda de pressatildeo por atrito

do liacutequido na altura Ho

Aplicando a formula de Darcy vem

bull API = f bull ir bull ^ iexcl 7

onde

f = fator de atrito

c) e Fftf

o p ^P tpound

= perda de pressao por atrito da mistura

liquido + vapor no trecho de comprimen

to Hbdquo o

Para determinar esta perda de pressao define-se o fator

de multiplicaccedilatildeo R

A P R =

tf A P 1B

Sendo A p ^ a perda de pressao se o comprimento todo fosshy

se ocupado somente pelo liquido assim

A p t f = R A P 1 B

0 calculo de Ap-^ pode ser feito pela formula de Darcy e

o de R nos veremos no item seguinte

63

d)

-e F

d ( ^ )

O P

Ap = perda de pressatildeo por atrito do vapor

No caso do reator BWR o titulo de saida e bera pequeno e

em nenhum caso ocorre a saida de vapor com x = 100 logo a perda

de pressatildeo por atrito do vapor eacute nula assim

An = 0 5

e) Ap

(p A 1 + p A ) dL = Ap - perda de pressatildeo dpound

vida ao desniacutevel

(perda hidrostaacutetica)

Anbdquo = re A A

-S- I (p + p -S ) dL H s 1 A

c o p o A

como A A Jl_ =

A P

A +A-g 1

1-a -

temos

C Q

te j jll-a)p1 + apg)^jdL = p Lo pound

onde

e jo u

+ ap ) ~I dL (Densidade media 1 S J

no tubo)

No nosso caso

Ap u = p H

f)

re d(mV + m V ) _ mdash - laquo -i bull s iquestp laquos p e r d a ltje pressatildeo devido a acele-

c p raccedilatildeo do vapor

V A

(1-x) tl^Vj

(1-a) A

X V

aA

A p -

roV + m V

c p c p L_

m (l-x)m_v m xv nbdquo -1 T 1

+ _S S I (1-a) Ap aA

P

2 g A c p

n 2 2

(1-x) m T

laquo2 8 A c p

2 2 (l-xe) raTv1

2 2 2 xm_v (1-x) m-v e T s o 1 1

a 1 - a

2 2 - x m_v o T g

a

se

X Q 0 (so ha agua nesse trecho)

a = 0 o

temos

mbdquo Ap =

1 a A 2

S A degc p laquo-

tt-V v i 1 - a

2 via T^r - v i

t Apc

2

V v l

5c Ap

1 - a

x v - 1

a e v l

65

Fazendo

G = fluxo total da massa por unidade de area do

canal

(1-x J e

V

AP r

Assim a perda de pressatildeo total sera

H p V II pV r2 P -P = f -24-Iuml+ f R+p 0 1 2g c D e 2g c g c g c

2c2 - Determinaccedilatildeo do fator de multiplicaccedilatildeo (R)

221 - Relaccedilatildeo Martinelli-Nelson

Os autores Martinelli-Nelson determinaram experimental -

te esse fator R para varias LIT1L em funccedilatildeo da pressatildeo e da r NB total J v

qualidade de saiacuteda do vapor no canal Construiacuteram assim vaacuterias

curvas do tipo da figura 9

66

E importante notar que a qualidade do vapor (x) na saiacuteshy

da nao deve ser grande pois como vemos o valor de R cresce muishy

to com um aumento pequeno de x e um valor de R muito grande acar_

reta uma perda de pressatildeo grande pois

^ d u a s fases R ^ f a s e liacutequida

Para resolvermos um problema seguindo o criteacuterio de bdquo

Martinelli escolhemos a curva R = f(px) (para a relaccedilatildeo L

N g ^ j

adequado) e tiramos R com os valores de pressatildeo p e tiacutetulo x

As curvas R = f (p x L T t )IO encontram-se nos ANL 6469 bio I

e 6561

222 - Relaccedilatildeo Lottes-Flinn

Estes autores estudaram o problema para o aquecimento uni

forme do refrigerante com baixo titule Lottes-Flinn fizeram inuacuteshy

meras experiecircncias e verificaram que para fluxo de calor uniforshy

me e baixos titulos R era independente do fluxo de calor fluxo

do refrigerante escorregamento e apenas funccedilatildeo de a g

Como a quantidade de liacutequido eacute muito maior que a de vashy

por a perda de pressatildeo daacute-se principalmente pelo atrito do liacuteshy

quido com a parede Podemos assim escrever a foacutermula de Darcy

na forma diferencial

dz

d = f __ r e amp c

onde

V = velocidade do liquido saturado na cota zbdquo X

f = coeficiente atrito

= densidade do liacutequido saturado

Teoricamente a queda de pressatildeo deve-se ao acreacutescimo de

67

velocidade do liacutequido e da diminuiccedilatildeo da aacuterea de fluxo do liacutequi

do

P fH A P t p

= f D 2g Ho

d z

fazendo

V lo

m V t lo

(velocidade do liacutequido na cota z = Ho)

(1-x) m t v 1

(1-a) A (velocidade do liacutequido na cota z gt Ho)

a bull+ fraccedilatildeo vazio na cota z geneacuterica

V 1 (1-x) m t v 1

m t V l 1 - a

x =s 0 pois o tiacutetulo eacute baixo

A p t f = f bull JT5 c e

fH V lo

H o (1-a) dz

Para fazer a integral devemos achar a relaccedilatildeo de variaccedilatildeo

entre a e z Como o fluxo de calor eacute uniforme a qualidade eacute direshy

tamente proporcional a z

bull laquo x = x e H

z = mdash x X e

Sabemos ainda que (item 113)

x

1 + [ ( I -X)AKQ x + iiacuteraquo

68

como

temos

(1-x) = 1

v

X =

z =

1-a

1 -a

1-a e

a

e

1-a pound

a

1 -a igt (assumindo S = cte)

da

Atf - f bull 2 i ^ ~ J c e o

a 1 - a e e 1 s 4 hmdash) da

a 1-a

f P lv^ Q

0 termo mdash - mdash e a parte de perda de pressatildeo pelo lj^

^c e -quido ou seja Ap liquido saturado e como

Ap

R = tf

Ap liauido saturado

temos que

R J

f ae 1 _ a e 1 4

a 1 -a o e

1 -a r-R =

3 1 -a

a 1 -a imdash

3 vl - a 3

e e

Os valores de R obtidos por esta expressatildeo aproximam-se

muito dos valores obtidos pelos aacutebacos de Martinelli

69

E - EXPANSAtildeO E COMPRESSAtildeO DE UM FLUIDO - ANAacuteLISE HIDRODINAcircMICA

DE UM CIRCUITO EM CIRCULACcedilAtildeO NATURAL

1 EXPANSAtildeO NO FLUXO DE UM FLUIDO

11 - Uma so fase

Figura 1

Ha vaacuterios meacutetodos para determinar a variaccedilatildeo de pressatildeo

numa expansatildeo de fluido estudaremos o de Romie que eacute o que daacute

maior precisatildeo

Romie considera que a pressatildeo p^ tambeacutem atua na aacuterea

imediatamente apos a expansatildeo Assim fazendo o equiliacutebrio das foi

ccedilas nas secccedilotildees tracejadas da figura 1 temos

mVj

p r A 2 + mdash

mV

bull 2- A2

mas

m = pV^A^

pV^A = p V 2 bdquo A 2

V A

v 2 -4r-logo

( P l-P 2) A 2 = f ( V ^ ) - f _ v j amp c c 2

70

2 pV A A pV A A

Chamando A l A ]

K = 1 - T e degi2 = Aiexcl bull V E M

pvj

P l P 2 = T ~ bull ( 2 deg 1 2 ) ( 1 _ a 1 2 )

Outra maneira de chegar atilde diferenccedila de pressatildeo ( P j - ^ ) s mdash

ria usar o coeficiente de perda da mecacircnica dos fluidos Assim o

equilibrio das pressotildees eacute

2 2

1 V l 1 V 2 V l P i + _ p _ ^ P 2 + I p ~ + k 1 2 p mdash

onde = coeficiente de perda

A 2 1 2

k 1 2 - (l-o 1 2) - (1 - j- )

Fazendo as transformaccedilotildees chegamos a mesma expressatildeo obshy

tida pelo balanccedilo das forccedilas

PraquoIacute pr p

2 - - ir ^ laquo-ia

12 - Duas fases

Como ha duas fases a equaccedilatildeo do balanccedilo das forccedilas fica

um pouco alterada

m pound 1 V- m - raquoV - m-V- m bdquoV _ P A + j y ^ i + _gl_JUuml P A + -11-11 + -ilsl (a)

1 2 e R 2 2 ff e

Sabendo que

71

m (1-x) m t = p fA (1-a) V f

entatildeo

fl l-o^ p fA x

6 Vf2 1-x l-a2 P fA 2

m V = mdash mdash e V 0 = gl a 1 P C T A 1 g2

m

a_ p h

2 g 2

Nas expressotildees anteriores o x nao varia porque a expansatildeo

5 adiabaacutetica porem o a varia devido a modificaccedilatildeo do tamanho da

bolha

Substituindo os valores das velocidades na expressatildeo (a)

vera

( P - P ) Abdquo =

2

2 2 m gt2 2 m t (1-x) 1 x t

ra i 2 m i 1 x t 1

p fA 1 g c ttl p Ax gpound

m t P - P = mdash

(1-x) (l-a 1)A 1A 2 (l-a2)A|

a r A r A 2

V A 2

m t P bdquo - P = mdash 2 1 g c A r A 2 p f

(1-x) 1-a f A 2(l-a 2)

bull ^ 2

72

Se

P -P

a

m

g

12

1 _1_ (1-x)

J12

1 _ a l 1 - a 2 + X (- )

Pg

1 deg12 a 2 ^

Sabemos que

mt = V o pf laquo A l

Sendo V q = velocidade do liquido num ponto onde natildeo haja vapor

P 2-P 1

u 2 2 A 2

V pr Ai

V W p f

(1-x) 12

l-a1 l-a2

+ X 2 pf

mdash

l deg12

-1 a 2 _

p -p r 2 Al (2a 1 2)

2 M f w 1 deg12 X (mdash) (

pg al a 2 )+(l-x)C l 1 12

1-a^ l-a2

Devemos notar que esta expressatildeo tambeacutem vale para quando

temos uma fase para isso basta fazer

= c t 2 = 0

X = 0

e recairemos na formula do item anterior

2 pf 1 deg12 Observemos que neste caso o termo x (mdash)( ) nao

Pg al a2

2

73

tem significado pois corresponde a mudanccedila de fase

2 CONTRACcedilAtildeO KO FLUXO DE UM FLUIDO

21 - Uma so fase raquo mdash

Aqui ocorre um fenocircmeno importante pois o fluido ao ser

contraiacutedo nao vai diretamente da area A^ para a area A 0 mas ele

contral-se ate uma area A^ e depois expande-se ate k^

Ao A2

Po IP 2

V 2

Figura 2

Fazendo o equiliacutebrio das pressotildees entre os planos (1)

(0) vem 2 2

pV pV p +~ plusmn - P + i deg bull 1 2 g o 2 g (b)

C x

Fazendo equiliacutebrio da expansatildeo (0) - (2) vem

P o + 2 - f = P 2 + 2 -T + kp- 2 F ( c )

c c b C

Subtraindo (b) - (c)

2 2 2

i p- vj i p- v2 L P l + 2 bull g c

P 2 + 2 2g c

+ k P 2g c

74

Como

P - P = mdash 2 2g

2 2

bull (1 + k) - f bdquo mdash i

k a - f2 ) 2 - d - o c )2

= o

A = a 21

Weisback obteve varias relaccedilotildees entre a e a i] c

01 02 03 a 0624 0632 0643 c

0624 0632

A r v i - V v 2

p -p 1 2

P -P 1 2 2g7

v l =

(1+k) - laquofi- a 2g 21 c

( 1 + k - o 2 1)

X[- V 2 o 2 1V 2

22 - Duas fases

0 valor de k pode ser aproximado para

k = a(l - o 2 1)

onde segundo Richardsons para fluxo de duas fases podemos supor

a = 02

Para fluxo homogeacuteneo sabemos que

75

p = p f (1 -a ) + p o a

podemos supor p bdquo a = 0 pois p e pequeno e fazendo

V = V ~ V fbdquo2 go2 v 2

Substituindo estas duas expressotildees na equaccedilatildeo de uma soacute fase vem

2 2 p V (l-ct) p V (1 -a ) bdquo

P l P 2 = 9g ( 1 + 3 - 3 0 ^ - 0 ^ ) = g (a+1) (l-a^)

Se a = 02

2 12p oV 0

p r p

2 - 9g gt d-) d-sigt

A compressatildeo de um fluido acarreta uma perda de pressatildeo

como pode ser verificado pelas formulas uma vez que lt 1deg

3 ANALISE HIDRODINAcircMICA DE UM CIRCUITO EM CIRCULACcedilAtildeO NATURAL

Esquema deacute uma caldeira com circulaccedilatildeo natural

76

Determinar a velocidade em (7) para que tenhamos circula

ccedilatildeo natural Determinar tambeacutem as perdas de pressatildeo em todos os

trechos da caldeira

31 - Contraccedilatildeo das secccedilotildees (1) - (2)

Como jaacute vimos a equaccedilatildeo do balanccedilo das pressotildees eacute

1 pr Vl 1 p 2 o V 2 P2 V2

1 2 g 2 + 2 g + K12 2g otilde c amp c e c

bullraquo 2 o2 2 e havendo uma soacute fase k 1 9 = (l-o ) = (1 mdash ) e sendo

C 2

p l = p2

v x lt lt lt v 2

P 2 V pr p2 bull ir2 bull ( 1 + k12gt

Colocando em termos de temos

A 2 V 2 P 2 = A 7 V 7 p 7 (continuidade)

V = V mdashbull = V o_bdquo ~ A 2 2 2

P 2 V - p 2

p r p 2 = ir2 - deg72 bull Ccedilrgt bull lt 1 + ki2gt

fazendo

N12 - lt^gt deg72 ( 1 + k12gt

P7 V7

Pr P2 - N12 bull HG

77

3 2 - Perda de carga no trecho ( 2 ) - ( 3 )

Como haacute apenas uma fase soacute temos perdas por atritos e

perdas hidrostaacuteticas

Sendo como jaacute vimos

2 3 p 2 2 g P 2 P 3 = f 2 3 (r~2g^~) L 2 3 g c p

atrito hidrostaacutetica

Substituindo V^ pela relaccedilatildeo do item anterior e tendo em

conta que p = vem

P -P = f 2 r 3 2 3 D

2 3 p 2 bdquo 2 2 p 7 2

2 g 7 72 p 2 3 g

Se

L 2 3 2 p 7

2 3 2 3 D 2 a 7 2 p 2

P 7 V 7 g P 2 - P 3 = N 2 3 ( mdash gt p 2 L 2 3 f

3 3 - Expansatildeo nas secccedilotildees ( 3 ) - ( 4 )

Como vimos o balanccedilo das pressotildees e

2 2 2 p V p 4 V p V

P 3 + 2 g c

P 4 + 2 g c

+ k 3 4 2 g c

onde

k 3 4 - - -

2 2 1 P 4 - V 4 P 3 v 3

P 3 P 4 = 2 g + ( k 3 4 _ 1 ) 2 g

78

Sendo

P 3 - P 4

p 3 o A 3 deg V 3 = P 7

a A 7 o V 7

P 4A 4 0V 4 = P r A r V

3 7 A 3 p 3

A7 P7 V = v mdash mdash 4 7 P 4

P - P 3 r4

Se

P bdquo - P

bdquo2 r-P 7 V 7

3 4 2g deg74 + ( k 3 4 1 ) deg73

34 p deg74 + ( k 3 4 1 ) 73

p r v2

P3- P4 ^ N34 ^ gt

(No caso e negativo)

34 - Contraccedilatildeo nas secccedilotildees (5) - (6)

Ainda temos uma so fase e fazendo o balanccedilo das pressotildees

como fizemos no item 3lt1 vem

P + vil p + vi + k vi P 5 + 2gbdquo P6 + 2gbdquo + k56 2gbdquo

k 5 6 lt 1 ^ gt 2 ( 1 - Iacute 2 i 2 6

V V6 P5degIacute 5^6 ^SS 2g c - 2g c

P - P ^ = (1+kJ

Como

79

A 6

W p 5 =

VV P6 V 5 = V 6 Jiexcl = Vff65

P 5-P 6 - lt H k 5 6 ) mdash ^ mdash (l+k 5 6-a 6 5) c c c

Sendo

Se

A 7 p 7 p 7

6 7 Ag p 6 7 76 p 6

p _p _ P6- V7- g76 iquest72 ( _ 02 P 5 P 6 2g c bull ( p 6

( 1 + k 5 6 deg65 )

p 7 2 2 N56 = p ^ deg76 ( 1 + k 5 6 ~ a 6 5 )

P 7 V 2

7

P r-P = N r 5 6 56 2g c i

35 - Perdas de pressatildeo nas zonas (6) - (7) - Pre^aquecimento

Nesta regiatildeo temos perdas por atrito e hidrostaacuteticas

Nao haacute perda por aceleraccedilatildeo pois ainda natildeo houve formaccedilatildeo de boshy

lhas

Fazendo balanccedilo das pressotildees temos

L_ ppound-V p = p + otilde L - pound _ + f -Si (-21mdashL 6 7 + p67 L67 g + t 6 7 D K 2g

p _ e ifn sao tomados como valores meacutedios 67 67

P _p _ f hl ^67jIacute uuml + - L A

6 F 7 r67 D 2g P P67 L67 g 6 s c 7 c

S e Kr pound67 L67 p67 6 7 D 6 p7

p7 V - _g_ P6- P7 - N67 mdash + P67 L67 f

c c

80

36 - Perda de pressatildeo nas zonas (7) - (8) - Zona de ebuliccedilatildeo

Nesta regiatildeo j aacute temos o aparecimento de bolhas logo a

perda de pressatildeo seraacute devida agraves t recircs parcelas aceleraccedilatildeo a t r i t o

das duas fases liacutequidas + vapor e h idros taacute t ica

onde

Assim

P-P Q = AP + AP + APbdquo 7 8 a t r i t o acel H

T M1

78 p 7 7 AP - R f- - mdash mdashr |R = fator mult ipl ica-

a t r i t o 7 D 7 2 g c L tivo

G 2

AP bull r mdash acel g c

P V

|_1 - o a p J 8 P f

2 t r 2 M2

7 7 r 7 7 A P a c e l = -J^mdash 2 r bull p 7 lt T iexcl iexcl - )

A PH p 7 8 L 7 8 fiexcl

p 7 8 iacute 7 li 1 0 0 P l i q + a P v ] d L = P 7 ( 1 - laquo 7 8 )

ag raquo fraccedilatildeo de vazio media entre 7 e 8

APH = p (1 - 5 7 g ) f- L 7 8

2 2

P 7 - P 8 a 5 - 2 T i + 2 r p 7 + P 7 ( 1 - 7 8 gt f L 7 8 7 amp c amp c amp c

81

N 7g = R mdash + 2 r p 7

P7 V7 P7- P8 = N78 + P 7 ( 1 5 7 8 gt J78

37 - Expansatildeo nas secccedilotildees 8 e 9

No caso haacute uma expansatildeo com duas fases e como vimos no

item 12 a variaccedilatildeo de pressatildeo era dada por

0f Vo P2 P1 = ~2g c ( 2 deg12

x 2 (mdash)(mdash - mdash ) + ( l - x ) 2 ^ T mdash 8 1 2 1

12

Aplicando ao nosso caso

P pound = P 7

P -P = 8 9

V - V raquo V g f 7

P 7 V 2

2 pf 1 a89 2 1 g89 x (mdash) ( ) + (1-x) (- - N

o ou abdquo 1-cu l-ot_) g 8 9 8 9

Se

N 89

= 2 a 89

2 pf 1 deg89 2 1 CT89 x (mdash) ( ) + (1-x) ( T

g 8 9 8 9

P -P = 8 9

- N P7deg V7

89 2gbdquo

38 - Perda de pressatildeo no trecho 9 e 10

No referido trecho temos apenas perda de pressatildeo por atr L

to da fase liacutequido + vapor e perda hidrostaacutetica Natildeo haacute perda por

aceleraccedilatildeo do vapor pois este natildeo recebe mais calor e portanto

o 82 o

nao ha variaccedilatildeo no a

p

Q -p i n = A P

U + A P bull 9 10 H atrito

n T -S_ P9 U10 deg 910 bull g

fio r

910 I 910

J9 L

(l- a)P + Q P I dL liq v

(l-a0) p

No caso a = (nao hatilde variaccedilatildeo de forma)

A P H - (1-a ) P (p L 0

c

AP bdquo = R o

atrito

2 f9 o L910 P9 V9

2g

Supondo

= V

P 9 = P 8 P 7

vbdquo = v 9 8 0 A r

= V 7 bull deg89

AP - R atrito

2 2

W l O p7deg V7deg g89

V P10 R -^T^ bull deg89 bull li-2 + ( W P 7 (fgt SIO

y c c

Se

- f9 L910 2 N9ol0 R Dl deg89

w 2

p rv P9 P10 = VlO + ( 1 a 9 ) p7 (f gt L910 c

33

39 - Perda ciacutee pressatildeo na expansatildeo 9 - 1 0

Analogamente a expansatildeo 8 - 9 temos

10 11 P 7 2g

10 Iacute 2 0 1 0 - 1 1 gt

2 ff

pg aio

10-11

laquo11 ) +

Ll-a 1 0 bull l-a u J

Se

V10 = V 9 = V 8 bull T9 = V 7 deg89

P -P 10 rll = - a 2g 089 ^lO-ll

4 bull T~ bull (7 1 mdash ) + Pg degio a n

+ (l-x)2(- 1 10-11

1 - aio )

N10-ll = 2 a10-ll a89 2 pf t 1 10-11 N2

-(j-r- - ) bull+ (1-x) pg aio deg 1

10-11 k l - a io

prz P10 Pll = - N10-ll bull ( 2gbdquo

310 - Calculo de V

Fazendo a somatoacuteria de todas as expressotildees (P^-Pj) tere-

84

mos 2 PbdquoV_

P bdquo - P bdquo = N 7 v 7

1 2 12 2g

bull 2 - P 3 - = N 2 3 P 2 L 2 3 f c ccedil

9 P 7 V 7 P _p = N mdash -

3 4 34 deg 2g

V P 5 = deg

2 P V

5 6 56 2 g c

ltr2

P 7 -V 6 e7 -N67 2g + p 6 7 J j67 g

c bc v 2

P 7 - P 8 = N 7 8 - 2 i ~ + p 7 ( 1 - laquo 7 8 ) L 7 8 c

P 7 V 7

P - P - -N mdash - -8 9 89 2g

c P 7 V 7

P 9 ~ P 1 0 VlO 2g + ( 1 a 9 P 7 L 9 c

P 7 V 7

bull10 11 U10-ll 2g

P v iacute j P - P

1 11

7 - v 7 3 bull r

2 8 i U L 2 23 67

(l-5 7 8) L 7 8 + ( l - laquo 9 ) P 7 bull SlOtilde]- ^

Por ou t ro lado sabemos que como secccedilotildees 1

mesmo n iacute v e l

85

s c p r v 7 j

28 Z N i ij

= P 2 L23 p67 L67 P 7 ( 1~deg78 )

78 ~ ^g) bull P 7 bull L 910 g_

V - 2 g ( p r L 2 3 - p 6 r L 6 7 - p 7 ( l - atilde 7 8 ) L 7 8 - (l-a9) p L 9 a ( )

y N

Com esse valor de podemos determinar todas as variashy

ccedilotildees de pressatildeo (P^-P )

BIBLIOGRAFIA

- WoR Gambill - Notas de aula dos seminaacuterios realizados no Insshy

tituto de Energia Atocircmica de Sao Paulo em 1966 (roteiro)

- WR Gambill - Nuclear Safety

Vol 9 - n9 5 e 6

Vol 6 - n 2 (pag 152)

Vol 4 -r n9 1 (pag 30)

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~ El Wakil - Nuclear Power

- Jakob Max - Heat Transfer (vol I)

Mc Adams - Heat Transmission

- Paul A Lottes - Argonne National Laboratory

- AKL - 6469

- ANL - 6561

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Frank Kreith - Principles of Heat Transfer

Journeacutees Internationales de la transmission de la chaleur

Seminaacuterios realizados em Paris em 1961 sob a supervisatildeo do

Prof Marcel Veron

Notas de aula da Cadeira de Termodinacircmica I e Transmissatildeo da

Escola Politeacutecnica da Universidade de Sao Paulo

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33

D

L

fluxo teacutermico critico BTUhrft bdquo 2

descarga em massa do liquido (Ibmhrft )

diacircmetro do tubo ft

comp do tubo ft

Para cada caso temos uma expressatildeo diferente que pode ser

encontrada em literatura especializada

6 INFLUEcircNCIA DE OUTROS PARAcircMETROS NO FLUXO DE BURNOUT

Como para os usos atuais do reator a diferenccedila de temppound

ratura entre parede e fluido sao pequenas bem como o fluxo de bur

nout recentemente fiacutesicos como Jakob Bonilla WR Gambill estu

daram outros paracircmetros que influenciam bastante o sect^ 0gt isto eacute a

influecircncia desses paracircmetros faz com que o ^ seja maior Isto eacute

util pois quanto maior o fluxo de burnout maior poderaacute ser o

fluxo de calor real de funcionamento

Tais meios sao

- Sub-resfriamenCcedilo do liacutequido

61 - Influecircncia da velocidade do liacutequido

Estudos feitos pelos autores acima chegaram agraves curvas

- Aumento da velocidade imposta ao liacutequido

- Pressatildeo do liacutequido elevada

alto V

At

34

Para velocidades maiores o fluxo de burnout aumenta

porque neste caso o regime eacute turbulento e o coeficiente de peliacute

cuia h aumentao

6bdquo2 - Influencia do aumento da pressatildeo

Este estudo deve-se a Bonilla que obteve experimentalmen

te as curvas

Este estudo foi feito para vaacuterios liacutequidos e chegou a con

clusao que sempre havia uma pressatildeo oacutetima isto e uma pressatildeo que

leva ao maior iacute 1 ^ raquo mantidas as demais condiccedilotildees Experimentalmenshy

te notou que essa pressatildeo correspondia a 13 da pressatildeo critica

do liquido em questatildeo

6=3 - Influecircncia do sub-resfriamento

Consiste em manter atilde custa de uma circulaccedilatildeo intensa o

liacutequido a uma temperatura inferior atilde de saturaccedilatildeo para a pressatildeo

correspondenteraquo Experimentalmente chega-se agraves curvas

mdash A t grande sub

bullAt -0 sub sub

medio

At

35

Verificando os graacuteficos vemos que o lt)gt aumenta agrave medida bo

que aumenta a diferenccedila de temperatura de sub-resf riamento isto pojr

que o liquido como estaacute mais frio faz com que algumas das bolhas

recondensem permitindo que o liquido fique em contato com a parede

quente o que faz aumentar o h

^ f csub = t e m P e r a t u r a ddeg liacutequido - temperatura de saturaccedilatildeo

A diferenccedila de temperatura At entre fluido e parede tamshy

beacutem aumenta poit na regiatildeo proacutexima agrave parede haacute necessidade de

levar o liacutequido da temperatura do sub-resfriamento ateacute a temperatu

ra de saturaccedilatildeo quando se evapora

Atualmente os maiores estudos dos fiacutesicos nucleares locashy

lizam-se neste campo pois eacute o que oferece maiores vantagens

7 FORMULAS PARA 0 CAacuteLCULO DO COEFICIENTE DE PELIacuteCULA NA EBULICcedilAtildeO

Como ocorre no caacutelculo de todas as foacutermulas de convecccedilatildeo

temos formulas empiacutericas para determinar o h conforme o tipo de

ebuliccedilatildeo que nos consideramos

71 - Ebuliccedilatildeo Nucleada

Para o caso de aacutegua temos as relaccedilotildees

superfiacutecies

horizontais

superfiacutecies

verticais

f aacute 5000 BTUhrft 2 -gtbull h = 151 ( A t ) 1 3

A o

5000 lt 75000 -h = 0618 (At)3

^ pound 1000 -raquobull h = 8 7 ( A t ) 1 7

A o -

1000 lt $ lt 20000 -gt h = 027 (At) A o

Quando a pressatildeo e diferente da atmosfeacuterica faz-se a correccedilatildeo

3 6

72 - Ebuliccedilatildeo por peliacutecula

Bromley propocircs uma boa equaccedilatildeo para a ebuliccedilatildeo por peliacuteshy

cula estaacutevel em cilindros horizontais

Nu

_ JtjD n r 9 P v bull ( P L - P v gt - g -h

e V bull D i2

D 1 ^ U b Z u At gt

onde

V = indica vapor

L = indica liacutequido

Multiplicando ambos os membros da equaccedilatildeo acima por

kvD obteremos a expressatildeo do coeficiente de convecccedilagraveo meacutedio para

o caso

37

C - FORMULAS PARA CAacuteLCULOS ESPECIacuteFICOS - RESULTADOS ESPECIacuteFICOS

1 FLUXO DE CALOR CRIacuteTICO - BURNOUT

lol - Introduccedilatildeo

O aspecto mais importante no que se refere agrave seguranccedila

dos reatores da transferencia de calor na ebuliccedilatildeo eacute a determina

ccedilatildeo do Fluxo de calor critico ou de pico ou burnout

Como jatilde vimos quando temos a ebuliccedilatildeo nucleada a dishy

ferenccedila de temperatura entre refrigerante e superfiacutecie de aqueci

mento e pequena poreacutem quando atingimos o fluxo de calor criacutetico

essa diferenccedila de temperatura pode tornar-se imediatamente muishy

to grande podendo causar a ruptura da superfiacutecie de aquecimento

se atiigirmos o ponto de fusatildeo do soacutelidoraquo

Usando a convecccedilao

onde

At sat

w

sat At

sub

w = temperatura da parede de aquecimento

t t = temperatura de saturaccedilatildeo do liacutequido

t^ = temperatura de mistura do liacutequido

At = (t -t ) sub-resfriamento do liacutequido sub N sat b 1

nout

Ha dois tipos de burnout fast burnout e slow bur-

Ocorre o fast burnout (burnout raacutepido) quando A t g u b gt 0

38

ou para baixo x (~ lt 10) sendo x o titulo do vapor

Temos o slow burnout para x - gt 10 Assim noacutes tereshy

mos dois limites para o burnout

At bull o (ltJgt ) t =((() para t = t ) -

bo m m possiacutevel w sat

sub i

4L + 1

G c D h pl nb

(ltK ) = (ltpound para x = 1) = Dv-bo max possiacutevel e 4L

c At l + P 1 sub i

onde

L = comprimento do canal

D = diacircmetro do tubo

G = descarga de liacutequido (por unidade de aacuterea)

c ^ = calor especiacutefico do liacutequido

Agrave = calor latente de vaporizaccedilatildeo

h ^ = coeficiente de transferecircncia de calor na regiatildeo de

nao ebuliccedilatildeo

iacutendices

i = entrada

e = saiacuteda

Haacute inuacutemeras expressotildees para determinaccedilatildeo do burnout pro

postas por muitos fisicos cada uma aplicando-se a um caso especiacuteshy

fico vejamos algumas delas

12 - Equaccedilotildees para prediccedilatildeo de Burnout

121 - Equaccedilatildeo de Bragg e Smith (Zuber)

Num artigo publicado por Bragg e Smith encontramos uma f oacute_r

mula que e derivada da formula de Kutateladze e nos daacute o fluxo cri

39

tico quando nao temos sufaresfriamento

bo poolsat v V raquoc a ( p l P V )

2 PV

14

onde

ltiexclgt = fluxo de calor critico bo

k = constante

Ly = calor latente de vaporizaccedilatildeo do refrigerante

= densidade do liquido

pvr = densidade do vapor V a = tensao superficial

g = fator de conversatildeo c

a = aceleraccedilatildeo da superficie de aquecimento

Os autores encontraram para k um valor de 062 entreten

to outros autores como Zuber incluindo outras variaacuteveis que In

fluiam no fenocircmeno encontraram k variando entre 008 e 023Esshy

tudos bem elaborados mostram que o valor mais aproximado eacute

k = 015 (- 003)

1-22 - Equaccedilatildeo de Noyes

Noyes estudou o burnout para o soacutedio agua e alguns liacute

quidos orgacircnicos

( W s a t ~ bdquo 0245 bull ( r ( 1 )

iiacute_ V 1 Pr

onde

N n = Nuacutemero de Prandtl da fase liacutequida x r

Mais tarde o proacuteprio Noyes alterou a equaccedilatildeo para

n ^ - n H Iacute I Pl PV gt0538 deg g c a q 4 ( W s a t deg 1 1 6 PV ( - p 7 ~ ) (77T1^ ) ( 2 )

40

A ultima correlaccedilatildeo proposta por Noyes foi

a n prPV0560 112

1

(a bull a) 13

(ag c) 112

(3)

onde

a = difusividade teacutermica do liacutequidoraquo A equaccedilatildeo (3) eacute bashy

seada em todos os dados de burnouts do soacutedio bem

como da atildegua benzeno difenil e outros De 111 pontos usados 90

+ estatildeo relacionados dentro de - 30bdquo

ldeg2o3 - Burnout com convecccedilao forccedilada e sub-resfriamen

to

Aproveitando os resultados de aproximadamente 240 testes

de burnouts com aacutegua sub-resfriada em fluxo de convecccedilao forccedilashy

da feitos na Ruacutessia Labuntsov elaborou uma boa equaccedilatildeo empiacuterica

para o problemabdquo

Esta relaccedilatildeo aplica-se para velocidades entre 2 3 e 148

ftsec pressotildees entre 1 e 201 atmabs sub-resfriamento entre 0 deg

e 432 degF e fluxos de burnout entre 0 4 x IO 6 x 166 x 1 0 6 BTUhr

2 bdquo

bullbo

onde

e a seguinte

6 ( P ) 1 + 0 2 3 2 V 2

14

e ( P ) 1 +

15 c At _p_ sub

12 (a)

9 ( P ) - P 1 3 o ( 1 - P J 4 3

red

= pressatildeo (atm abs)

pressatildeo reduzida = mdash mdash red r P

t_ c = pressatildeo critica

= velocidade do liacutequido (ftsec)

= calor especiacutefico do liacutequido (BTUlbdegF)

4 1

^ tsub = ^ ^ e r e n Ccedil a ^ e temperatura entre a temperatura de

mistura do liacutequido e a de saturaccedilatildeo (degF)

X = calor latente de vaporizaccedilatildeo (BTUlb) 2

ltiacutegtbo = fluxo de burnout (BTUhrfl )

Uma outra correlaccedilatildeo para o caso foi proposta por

Ornatsky e Xiohigin que fizeram experiecircncias para pressotildees entre

10 e 1 5 0 3xm 90 degF lt At ^ lt 4 5 0 deg F 3 7 1 0 6 ( l b h r o f t 2 ) lt G lt

2 2 2 10 b ( l b h r bdquo f t 2 )

lt ^ = 3 2 5 0 (G o A t bdquo J deg 6 ( - i - ^ ) 2 5 ( b ) bo sub

onde

G - descarga de refrigerante por unidade de aacuterea

P ^ v P v - densidades do liacutequido e do vapor

P1~ PV -0 termo (mdash ) e incluido na expressatildeo (b) para indicar

a influecircncia da ^ pressatildeo sobre o

Uma comparaccedilatildeo entre as equaccedilotildees (a) e (b) foi feita para

o Reator de Isoacutetopos de Alto Fluxo (HFIR) nas condiccedilotildees aacutegua a

600 psia velocidade = 45 ftsec e sub-resfriamento = At^^ 1

degF obtendo-se uma diferenccedila de 6 5 entre ambos (4gt = 6 0 5 1 0 b

2 ~ 6 2 BTUhr ft pela equaccedilatildeo (a) e 6 4 5 10 3TUhrraquoft pela equaccedilatildeo

(b)

Ilatilde ainda a equaccedilatildeo de Ivey e Morris aplicaacutevel somente pa_

ra ebuliccedilatildeo com grande quantidade de liacutequido

( c sub t

Cpf bull A tsub

( bull ) s ~ V P bdquo 10 h V sat V g

onde

(ltL ) = fluxo critico com sub-resfriamento c sub

(ograve ) ^ - fluxo critico sem sub-resfriamento c sat

42

c ^ = calor especiacutefico do liacutequido

= calor latente de vaporizaccedilatildeo

124 - Burnout com convecccedilao forccedilada e ebuliccedilatildeo por bocirc-

Ihas

Gambill fez uma extensatildeo da equaccedilatildeo de Levy e aplicou o

metqdo da superposiccedilatildeo Tal extensatildeo consiste natilde subtraccedilatildeo de uma

razatildeo equivalente de massa transferida dos termos que represenshy

tam a ebuliccedilatildeo e convecccedilao para levar em conta a presenccedila do vashy

por no fluxo

A correlaccedilatildeo pode ser escrita assim

24 V P V

o g c a (p^Py) 14

+ 0696 (k p c ) 12

(

pr p v )i4 o g c a (P-L-Py) 18

bull At + h sub nb

044 p v L v G (g1) bull N2 n

p l P V

( pr p v ) d e 2-7

2 4 TT 0

14 ( f e _ ^ r l 3

lO^u

onde

k = condutividade teacutermica

c = calor especiacutefico

A t s u b ~ s ub-resfriamento do liacutequido

h = coeficiente de transferecircncia de calor de nao ebu nb mdash

liccedilatildeo

G = descarga total do refrigerante

43

d g = diacircmetro equivalente do tubo ou canalraquo

]i = viscosidade

B = constante adimensional

Os iacutendices V e 1 representam vapor e liacutequido respectiva

mente

0 primeiro termo entre chaves da equaccedilatildeo representa o flu

xo de calor no burnout de sub-resfriamento em convecccedilao forccedilada 0

segundo termo entre chaves corresponde ao fluxo de calor transferi^

do para a massa da fase vapor

1-25 - Burnout por Bloqueio da Base

Ocorre quando a profundidade do recipiente eacute muito maior

que a largura 0 bloqueio da base eacute causado pela formaccedilatildeo de uma pe_

licula de vapor na base impedindo que o liacutequido toque o fundo do

recipiente

i De

Este eacute o burnout por flooding isto eacute burnout por expul

sao do liacutequido Uma equaccedilatildeo que nos dacirc o fluxo minimo do burnout

parao caso eacute

44

onde

D g = diacircmetro equivalente

L = comprimento do tubo

= calor de vaporizaccedilatildeo

p^Py Ap = densidade do liacutequido do vapor e diferenccedila en

tre ambos

Para um fluxo de calor maior ou igual ao dado pela expres_

sao acima (mantida a mesma geometria) teremos burnout Para um deshy

terminado fluxo existiratildeo sempre um comprimento L e um diacircmetro equi

valente D e para os quais temos burnout Exemplo

L (in) D e(in)

10 11

100 51

1000 235

2 RESULTADOS ESPECIacuteFICOS - FOacuteRMULAS PARA CAacuteLCULOS ESPECIacuteFICOS

21 - Diferenccedila de temperatura At i

13 a t

sat

At sat

poundatildeJL_ raquo t - t J p T T 6 w sat

onde

o laquo tensatildeo superficial entre liquido e vapor

t - temperatura de saturaccedilatildeo do liacutequido para a corres-Scl t

pondente pressatildeo

J equivalente mecacircnico do calor

X laquobull calor latente de vaporizaccedilatildeo

py = densidade do vapor

6 = espessura da camada de liacutequido superaquecido onde

45

k l

h nc

onde

k^ = condutividade teacutermica do liacutequido

h = coeficiente de peliacutecula nc r

Segundo Eckent h ^ c e dado por

P 2 Q

nc 3 V VP + 0952

r

onde

D = diacircmetro equivalente

G r = numero de Grashoff

P = nuacutemero de Pradtl

2 o 2 - Velocidade das bolhas

A velocidade das bolhas em meacutedia pode ser dada pela exshy

pressatildeo

V bdquo = Iacute ( a bull B Apl4 bolhas 5 ^ 2

p l onde

AP = P L - P v

Expressatildeo que vale quando a aceleraccedilatildeo eacute a da gravidade

baixa viscosidade do liacutequido e bolhas separadas

Vbolha = f t s e atilde m a x para aacutegua

2 bdquo3 - Diacircmetro das bolhas

2gc deg 12 D = 0015 3 ( mdash mdash 7 ~ ) d g Ap

5 =

46

onde

8 = acircngulo de contato (20 a 90deg) geralmente assume-O -1

-se igual a 50 para a agua em contato com metal

24 - Coeficiente de peliacutecula na ebuliccedilatildeo nucleada

a) Equaccedilatildeo de Rohsenow

Esta equaccedilatildeo nos datilde o fluxo de calor q na ebuliccedilatildeo nushy

cleadaraquo E oacutetima expressatildeo para muitos liacutequidos o efeito da presshy

satildeo eacute levado em conta na variaccedilatildeo das propriedadesraquo

Pf

fg

sat 17 = c

sg k y f h f g g( P f-p g)

n033

onae

Pf

fg

Pf Pg c sg

= fluxo de calor requerido (BTUhr0ft^)

= calor especiacutefico do liacutequido saturado (BTUlbm0F)

= calor latente de vaporizaccedilatildeo (BTULbm)

= nuacutemero de Prandtl

= viscosidade do liacutequido (lbrahrraquoft) ~ 8 2

= fator de conversatildeo 417 10 Ibmftlbflaquohr 2

= aceleraccedilatildeo da gravidade (fthr )

= tensatildeo superficial na interface liacutequida vapor

(lbfft) 3

densidade do liquido e vapor (lbmft )

constante adimensiacuteonal que depende de vaacuterios fashy

tores dentre os quais o grau de aquecimento en_

tre o fluido e a superfiacutecie de aquecimento e o

mais importanteraquo Independe da pressatildeo do sistema b) Equaccedilatildeo de Levy

Equaccedilatildeo valida para a aacutegua quando 100 lt p lt 2000 psiacutea

47

43 bdquo3

qu bdquo gat ^ T J h r t f t ^

495

25 - Calculo do fluxo de calor no Ponto de Leidenfrost

0 ponto de Leidenfrost como vimos eacute o ponto em que oflu

xo de calor comeccedila ncamente a crescer isto eacute o ponto onde termal

aa a ebuliccedilatildeo instaacutevel e comeccedila a ebuliccedilatildeo por peliacutecula estaacutevel Eacute

o chanado fluxo miacutenimo (egrave ) m m

Aproximadamente quando A t g u k = 0 temos

A _ mdash _ mdash (Gambill) m m 5

Ha entretanto varias expressotildees para determinar esse flu

xo eis uma delas

A p 14 ltjgt = 009 h pbdquo (o raquo g mdash ) y m m fg P V deg 2

p l

26 - caacutelculo do fluxo de calor na regiatildeo de ebuliccedilatildeo por peliacute

cuia estaacutevel

para cilindros jmdashi i li

_ D 0172 k-V - P V A p h l V bull S 14 li - = 062 (mdashmdash) (- j- r rmdash) convecccedilao A 0 ybdquo (t -t )

c V w sat

onde

= condutividade do vapor

- 2 TT ( mdash )

c gAp Vl = significam vapor e liacutequido respectivamente

para paredes verticais

L 0172 S deg7 A p bull hlV S q 4 h - - 080 (-^-)J- (-Iuml - Iacutemdash-convecccedilao X L u (t - t J)

c V w sat

48

Como nesta regiatildeo jaacute haacute nina influecircncia marcante da radia

ccedilao devemos levar en conta tambeacutem o coeficiente de peliacutecula de

vido a radiaccedilatildeo para determinar o coeficiente de peliacutecula total

Dos estudos atildea radiaccedilatildeo temos

h = a F pound(T 4 - T 4 J ( T ~ T ) rad w sat w sat

onde amp _ emissividade de superfiacutecie

a = constante de Stefan-Boltzman

F = fator de forma

Segundo WE Gambill o coeficiente de transmissatildeo total

ceve ser

3 iacutei = h + -7 h para h lt h t conv 4 rad r rad conv

Na expressatildeo acima existe o fator 34 porque a radiaccedilatildeo

faz variar um pouco a espessura do filme de vapor reduzindo asshy

sim o l l

conv

Quando tivermos h gt h gt o h^ ^ seraacute rad conv total

h f c = h + h t conv rad

Neste ultimo caso nao ha nenhum coeficiente porque a peshy

liacutecula de vapor jaacute eacute estaacutevel

27 - Grandezas caracteriacutesticas para a apua

Para pressatildeo igual a 1 atm = 1422 psia

At ^ = t - t = 5degC (iniacutecio da ebuliccedilatildeo nucleada) sat w sat 1

At t = 30degC sat crit

49

5 2 $ = 4 10 BTUhrft (para pressatildeo 1 atm)

0 fluxo critico cresce como vimos com a pressatildeo ate

atingir o maacuteximo quando a pressatildeo eacute aproximadamente 13 da pressatildeo

criacutetica Esse fluxo eacute

bull = 13 IO 6 BTUhrft 2 para p = 11000 psia (p pound = 32062 psia)

Ainda temos que para pressatildeo igual a 15 psia

h b o = 11000 BTUhrft degF - ebuliccedilatildeo nucleada

h f b = 30 BTUhrft 2 degF - ebuliccedilatildeo pelicular

Todos os resultados e formulas para caacutelculos especiacuteficos

apresentados nos itens 21 22 23 ateacute 27 sacirco aplicados somente

para sistemas onde haja ebuliccedilatildeo com grande quantidade de liquido

51

D - HIDRODINAcircMICA DOS SISTEMAS E QUEDA

DE PRESSAtildeO DENTRO DE UM CANAL

1 HIDRO-DINAcircMICA E QUEDA DE PRESSAtildeO

11 - Hidro-dinacircmica dos sistemas estaacuteveis

111 - Regimes de escoamento

A evoluccedilatildeo do escoamento ao longo de um canal aquecedor

de secccedilatildeo constante ciliacutendrico pode ser esquematizada pela figushy

ra 1 onde temos em abcissa o comprimento z do canal e em ordenada

a temperatura (T)

52

Na figura 1 nos representamos

a) 0 aspecto do escoamento fluido quando a entalpia do

- fluido aumenta Verificamos que o fluido entra no cashy

nal no estado liacutequido e assim permanece ateacute atingirmos a zona de

ebuliccedilatildeo local onde aparecem as primeiras bolhas A entalpia do

fluido continua aumentando e tem inicioa ebuliccedilatildeo franccedila onde as

bolhas se unem formando agregados posteriormente o escoamento to

ma a forma da figura ou seja torna-se anular disperso Finalmente

atingimos duas uacuteltimas fases do escoamento disperso (vapor uacutemido)

e vapor seco

b) A evoluccedilatildeo da temperatura meacutedia do fluido e da tempeshy

ratura da parede Note-se que a partir da cota a

temperatura da parede aumenta brutalmente podendo causar o

burnout

c) A evoluccedilatildeo do tiacutetulo do vapor (x) com o comprimento

do tubo e a evoluccedilatildeo da fraccedilatildeo (a) que definiremos no

item 11laquo2 com o comprimento do tubo

112 - Definiccedilotildees

a) Tiacutetulo ou qualidade do vapor (x)

massa de vapor na mistura x ~ massa total da mistura

x =

W _g_

g f

b) Fraccedilatildeo vazio (void fraction)

volume do vapor na mistura a = volume total da mistura (agua+vapor)

A relaccedilatildeo entre x e a num sistema parado pode ser obtida

assumindo um certo volume contendo 1 lbm de mistura em equiliacutebrio

teacutermicoraquo

53

O volume da mistura seraacute igual a (v + xv ) ft onde v eacute 3 r rg

o volume especifico (lbmft )

f - refere-se ao liquido

g - refere-se ao vapor

fg - refere-se a diferenccedila entre liacutequido e vapor

Numa mistura em equiliacutebrio se o liacutequido e o vapor estatildeo

saturados o volume do vapor presente eacute igual acirc sua massa vezes

seu volume especiacutefico v assim e

xv bdquo bdquo a mdash

V c + XV c

f gf

onde

- bull-bull uumlutiacuteisa vapor na mistura de 1 Ibm

v volume especiacutefico do liacutequido

v = volume especiacutefico do vapor o

V c = v - V

gf 8 r

Fazendo uma transformaccedilatildeo na expressatildeo acima temos

xv xv JS = Z-

v r+ x(v -v c) xv +(l-x)v t ri f g f g f 1 + Ul-x)xjv fv

1 + C(l-x)x]]vfvg

A fraccedilatildeo vazia tem a influencia de baixar a reatividade

do nuacutecleo nos reatores em que o refrigerante eacute tambeacutem moderador

Na equaccedilatildeo acima os valores de x e v sao tomados em tabe

las termodinacircmicas apropriadas para a pressatildeo do sistema A equashy

ccedilatildeo (1) mostra os grandes valores de a para pequenos valores de x

especialmente para baixas pressotildees Isto ocorre porqueaumentando

54

aacute pressatildeo o v decresce muito enquanto que o v f eacute mais ou menos da

mesma ordem de grandeza

Exemplo Calcular o a correspondente para x raquo 2 para aacutegua

leve atilde pressatildeo atmosfeacuterica

Da tabela para p laquobull 1 atm

v - 001672 ft 3lbm e v - 26800 ft 3lbm

1 + [(1-002)002] 001672268

0971 ou 97U

O grafico abaixo mostra a variaccedilatildeo do a com x para vaacuterias

pressotildees e para a aacutegua leve

x ()

tObservaccedilotildees da curva

Fig 2

1 - para x constante a decresce com a pressatildeo Para presshy

sotildees proacuteximas da criacutetica a aproxima-se rapidamente de

x Para a pressatildeo criacutetica as duas fases satildeo indistinguiacuteveis ea=x

2 - para cada pressatildeo dotdx decresce com aumento de x

3 - para baixos valores de x (que e o caso dos reatores

tipo Boiling) quando p decresce dadx cresce e torr

na-se muito grande paacutera baixas pressotildees Isto tem relaccedilatildeo com a epound

55

tabilidade do reator como veremos mais tarde

113 - Sistemas com fluxo

Todas as definiccedilotildees que noacutes vimos no item anterior refeshy

rem-se acirc sistemas em que a mistura esta fechada no recipiente Nes^

te caso natildeo havia movimento relativo entre as duas fases No entan

to se as duas fases da mistura se movem na direccedilatildeo vertical em

canais entre os elementos combustiacuteveis o vapor por causa de sua

flutuaccedilatildeo tem a tendecircncia de escorregar sobre o liacutequido isto e

move-se com velocidade maior do que a do liacutequido

Real Modelo

Pig 3

S -

Define-se neste caso a relaccedilatildeo de escorregamento (slip

ratio) (S) como sendo

V _i

V f

onde

V = velocidade do vapor

= velocidade do liquido

S modifica as relaccedilotildees entre a e x do item anterior S geralmen_

te gt 1 Define-se neste caso qualidade do vapor ou tiacutetulo como

sendo

_ fluxo de massa de vapor

fluxo de massa da mistura

Entatildeo se o fluxo de massa da mistura eacute m t(lbmhr) o flushy

xo de vapor seraacute = x m e o fluxo de liacutequido sera (1-x) m onde x

56

e o titulo do vapor para a particular secccedilatildeo (AL) da figura (3)

Devemos notar que neste caso x varia de secccedilatildeo para secshy

ccedilatildeo do tubo o exposto no paraacutegrafo acima vale considerando-se que

x e a permaneceram constantes na secccedilatildeo de espessura AL

Aplicando a equaccedilatildeo da continuidade as velocidades do va

por e liacutequido sao dadas por

o xm v

V vazatildeo = g g area A

V

(1-x) amp t v f

f A f

onde A e A f sao as aacutereas medias perpendiculares ao fluxo se as

duas fases sao imaginadas completamente separadas uma da outra

(figura 3) Assim temos

V x m v o A_ A v 0 ^ - 2 = iacute S t m _2L- JL JS m

V A (l-x)ui v 1-x A v U

f g t f g f

Sabemos ainda que para a secccedilatildeo considerada

volume do vapor na mistura a = volume total da mistura (agua+vapor)

A AL A pound g g

a = mdash a a = - mdash 1

(A+A )AL A f + g

A ou f _ 1 - a

A a 8

Substituindo em (2) vem

57

Esta expressatildeo pode ser rearranjada e obteremos uma relashy

ccedilatildeo entre x e a levando em conta o escorregamento Chega-se a

a = 1 ( 3 )

1+ [U-x)x3 igt

onde

v 4 laquo -- S

v lty o

Note-se que quando S=l (nao haacute escorregamento) caimos na

expressatildeo dada no item anterior

0 efeito do escorregamento eacute decrescer o valor de a pa_

ra um mesmo xbdquo Isto pode ser visto pela foacutermula (3) pois S gt lLo

go a decresce com acreacutescimo de S

Um alto S e entatildeo uma vantagem tanto para a transferecircnshy

cia de calor como para efeitos de moderaccedilatildeo Eacute uma vantagem para

transferecircncia de calor porque alto S significa alto V e portanto

maior turbulecircncia e maior contato do liquido com as paredes quenshy

tes Ha tambeacutem melhorias na estabilidade da reaccedilatildeo nuclear isto

porque como jaacute dissemos quando mdash7 diminui a estabilidade aumenshy

ta isso pode ser verificado observando a curva a versus x para a

agua leve a 1000 psiabdquo

Fig 4

58

A relaccedilatildeo entre x e a da equaccedilatildeo (3) so vale para secccedilatildeo

de tubo bem pequena

Devemos notar que S varia tambeacutem com a pressatildeo e velocida^

de de entrada do liacutequido no tubo Este efeito pode ser observado na

figura 5 abaxxo obtida esperimentalmente

s

3

~^ ~ psig

x = 001

V 1

Fig 5

Nos projetos de reatores como veremos adiante o valor a

geralmente eacute determinado por consideraccedilotildees nucleares (moderaccedilatildeo) 0

valor de S eacute determinado atraveacutes de uma estimativa ou entatildeo atrashy

veacutes de um graacutefico do tipo da figura 5 0 correspondente valor de x

pode ser obtido de uma foacutermula empiacuterica do tipo

1 = 1 (-S)0gt67

proposta por Von Glahn

Em muitos casos assume-se S constante em todo o comprimeiv

to do canal poreacutem eacute um erro que em muitos casos nao pode ser coshy

metido

4 REATORES EM QUE 0 LIacuteQUIDO B MODERADOR E CIRCUITO PRIMAacuteRIO AO

MESMO TEMPO BOILING-REACTOR (BWR)

A aacutegua ao se movimentar atraveacutes dos vaacuterios canais do

59

Boiling-reactor encontra vaacuterias resistecircncias ao fluxo que provoshy

cam uma reduccedilatildeo de pressatildeo no fluido

As duas perdas mais importantes sao perda de pressatildeo por

atrito e perda de pressatildeo causada pela aceleraccedilatildeo do refrigerante

ao aumentar de volume por receber calor num canal Outras perdas

de pressatildeo seriam a obstruccedilatildeo ao fluxo por corpos submersos (espa_

ccediladores juntas de tubos chaves etc) e por mudanccedilas abruptas de

aacuterea de fluxo tanto na entrada como na saiacuteda do tubo

Essas perdas de pressatildeo devem ser conhecidas o melhor popound

sivel principalmente nos reatores BWR Para tanto devemos saber

o comprimento de canal em que nao ha a ebuliccedilatildeo isto eacute qual o com

primento de canal em que o refrigerante vai da temperatura de sub-

resfriamento ate temperatura de saturaccedilatildeo

Seja o elemento combustiacutevel

Aquecimento Uniforme Aquecimento Senoidal

Fig 6 Fig 7

onde

H =

H = o

H b

comprimento do elemento combustiacutevel

cota onde o liquido se torna saturado

comprimento do elemento combustiacutevel em que ocorre

ebuliccedilatildeo

60

qg = calor sensiacutevel acrescentado ao liquido para satushy

raacute-lo

qfc = calor total acrescentado ao liacutequido em todo o com

primento do canal

laquoo

q s J o qiquest sen (IIzH) n H o

T~ = TH = 2 ( 1 c o s gt ( a )

q 1 sen (HzH) Jo ^c

A expressatildeo (a) vale quando tivermos uma adiccedilatildeo de calor

senoidal para qualquer outra forma de adiccedilatildeo de calor faz-se um

caacutelculo anaacutelogo

Outra relaccedilatildeo entre q g e qfc eacute dada pela termodinacircmica

q h- - h s f m (b)

(hr +x h )-hm ^t f e fg

onde

= entalpia para o liquido saturado a pressatildeo correjs

pondente (cota z = Ho)

hffi = entalpia do liacutequido na entrada do canal

x = tiacutetulo do vapor na saiacuteda

= entalpia do vapor

Com a relaccedilatildeo (b) noacutes determinamos a relaccedilatildeo q q ecom

S L

uma relaccedilatildeo do tipo (a) (conforme seja o adicionamento de calor ao

liacutequido) podemos obter a relaccedilatildeo HoH e consequentemente H^H

21 - Perda de pressatildeo num canal de evaporaccedilatildeo

Neste item iremos determinar as perdas de pressatildeo mais

representativas que ocorrem num canal de evaporaccedilatildeo de um reator

P + dP

bull1 i- 1 gti i i

dL

onde

UM

Icirc H Icirc Icirc T dF f t f

61

Quantidade de Mov na Entrada

= i- rigVg)

dF f l

Fig 8

m i

m 8

V l V 8

A P

dF

dF

dF

fg

fl

ftf

descarga do liacutequido

descarga do vapor

velocidade do liquido

velocidade do vapor

aacuterea transversal do canal

forccedila de atrito do vapor com parede

forccedila de atrito do liacutequido com parede

forccedila de atrito das duas fases liacutequido+vapor

Fazendo o balanccedilo das forccedilas considerando o sentido posjL

tivo na vertical temos

A (P-P-dP)-(dF +dF _+dF _)-(-pound-) (p A+p A )dL = mdash dGnV+m V ) P fg ftf fl g c 1 1 g g g c

v 1 1 g g 7

- dP = ~ (dF +dF--+dF)+- S--7=- (p A+p A )dL+ mdash ~ - d (m-V+m V ) A_ fg ftf fl g c Ap v^l 1 g g g A 11 g g

Fazendo a integraccedilatildeo termo a termo entre os dois extreshy

mos entrada e saiacuteda e considerando a pressatildeo de entrada igual a

P q e a de saiacuteda igual a Pe vem

Quantidade de Mov na Saiacuteda

-= h I- lY l+ A g V g + d ( aacute l V l + aacuteeVl

Forccedila de Gravidade

= ( g f - N P A + P g V

62

b) r e F f l

o p dp^ = Ap^ = perda de pressatildeo por atrito

do liacutequido na altura Ho

Aplicando a formula de Darcy vem

bull API = f bull ir bull ^ iexcl 7

onde

f = fator de atrito

c) e Fftf

o p ^P tpound

= perda de pressao por atrito da mistura

liquido + vapor no trecho de comprimen

to Hbdquo o

Para determinar esta perda de pressao define-se o fator

de multiplicaccedilatildeo R

A P R =

tf A P 1B

Sendo A p ^ a perda de pressao se o comprimento todo fosshy

se ocupado somente pelo liquido assim

A p t f = R A P 1 B

0 calculo de Ap-^ pode ser feito pela formula de Darcy e

o de R nos veremos no item seguinte

63

d)

-e F

d ( ^ )

O P

Ap = perda de pressatildeo por atrito do vapor

No caso do reator BWR o titulo de saida e bera pequeno e

em nenhum caso ocorre a saida de vapor com x = 100 logo a perda

de pressatildeo por atrito do vapor eacute nula assim

An = 0 5

e) Ap

(p A 1 + p A ) dL = Ap - perda de pressatildeo dpound

vida ao desniacutevel

(perda hidrostaacutetica)

Anbdquo = re A A

-S- I (p + p -S ) dL H s 1 A

c o p o A

como A A Jl_ =

A P

A +A-g 1

1-a -

temos

C Q

te j jll-a)p1 + apg)^jdL = p Lo pound

onde

e jo u

+ ap ) ~I dL (Densidade media 1 S J

no tubo)

No nosso caso

Ap u = p H

f)

re d(mV + m V ) _ mdash - laquo -i bull s iquestp laquos p e r d a ltje pressatildeo devido a acele-

c p raccedilatildeo do vapor

V A

(1-x) tl^Vj

(1-a) A

X V

aA

A p -

roV + m V

c p c p L_

m (l-x)m_v m xv nbdquo -1 T 1

+ _S S I (1-a) Ap aA

P

2 g A c p

n 2 2

(1-x) m T

laquo2 8 A c p

2 2 (l-xe) raTv1

2 2 2 xm_v (1-x) m-v e T s o 1 1

a 1 - a

2 2 - x m_v o T g

a

se

X Q 0 (so ha agua nesse trecho)

a = 0 o

temos

mbdquo Ap =

1 a A 2

S A degc p laquo-

tt-V v i 1 - a

2 via T^r - v i

t Apc

2

V v l

5c Ap

1 - a

x v - 1

a e v l

65

Fazendo

G = fluxo total da massa por unidade de area do

canal

(1-x J e

V

AP r

Assim a perda de pressatildeo total sera

H p V II pV r2 P -P = f -24-Iuml+ f R+p 0 1 2g c D e 2g c g c g c

2c2 - Determinaccedilatildeo do fator de multiplicaccedilatildeo (R)

221 - Relaccedilatildeo Martinelli-Nelson

Os autores Martinelli-Nelson determinaram experimental -

te esse fator R para varias LIT1L em funccedilatildeo da pressatildeo e da r NB total J v

qualidade de saiacuteda do vapor no canal Construiacuteram assim vaacuterias

curvas do tipo da figura 9

66

E importante notar que a qualidade do vapor (x) na saiacuteshy

da nao deve ser grande pois como vemos o valor de R cresce muishy

to com um aumento pequeno de x e um valor de R muito grande acar_

reta uma perda de pressatildeo grande pois

^ d u a s fases R ^ f a s e liacutequida

Para resolvermos um problema seguindo o criteacuterio de bdquo

Martinelli escolhemos a curva R = f(px) (para a relaccedilatildeo L

N g ^ j

adequado) e tiramos R com os valores de pressatildeo p e tiacutetulo x

As curvas R = f (p x L T t )IO encontram-se nos ANL 6469 bio I

e 6561

222 - Relaccedilatildeo Lottes-Flinn

Estes autores estudaram o problema para o aquecimento uni

forme do refrigerante com baixo titule Lottes-Flinn fizeram inuacuteshy

meras experiecircncias e verificaram que para fluxo de calor uniforshy

me e baixos titulos R era independente do fluxo de calor fluxo

do refrigerante escorregamento e apenas funccedilatildeo de a g

Como a quantidade de liacutequido eacute muito maior que a de vashy

por a perda de pressatildeo daacute-se principalmente pelo atrito do liacuteshy

quido com a parede Podemos assim escrever a foacutermula de Darcy

na forma diferencial

dz

d = f __ r e amp c

onde

V = velocidade do liquido saturado na cota zbdquo X

f = coeficiente atrito

= densidade do liacutequido saturado

Teoricamente a queda de pressatildeo deve-se ao acreacutescimo de

67

velocidade do liacutequido e da diminuiccedilatildeo da aacuterea de fluxo do liacutequi

do

P fH A P t p

= f D 2g Ho

d z

fazendo

V lo

m V t lo

(velocidade do liacutequido na cota z = Ho)

(1-x) m t v 1

(1-a) A (velocidade do liacutequido na cota z gt Ho)

a bull+ fraccedilatildeo vazio na cota z geneacuterica

V 1 (1-x) m t v 1

m t V l 1 - a

x =s 0 pois o tiacutetulo eacute baixo

A p t f = f bull JT5 c e

fH V lo

H o (1-a) dz

Para fazer a integral devemos achar a relaccedilatildeo de variaccedilatildeo

entre a e z Como o fluxo de calor eacute uniforme a qualidade eacute direshy

tamente proporcional a z

bull laquo x = x e H

z = mdash x X e

Sabemos ainda que (item 113)

x

1 + [ ( I -X)AKQ x + iiacuteraquo

68

como

temos

(1-x) = 1

v

X =

z =

1-a

1 -a

1-a e

a

e

1-a pound

a

1 -a igt (assumindo S = cte)

da

Atf - f bull 2 i ^ ~ J c e o

a 1 - a e e 1 s 4 hmdash) da

a 1-a

f P lv^ Q

0 termo mdash - mdash e a parte de perda de pressatildeo pelo lj^

^c e -quido ou seja Ap liquido saturado e como

Ap

R = tf

Ap liauido saturado

temos que

R J

f ae 1 _ a e 1 4

a 1 -a o e

1 -a r-R =

3 1 -a

a 1 -a imdash

3 vl - a 3

e e

Os valores de R obtidos por esta expressatildeo aproximam-se

muito dos valores obtidos pelos aacutebacos de Martinelli

69

E - EXPANSAtildeO E COMPRESSAtildeO DE UM FLUIDO - ANAacuteLISE HIDRODINAcircMICA

DE UM CIRCUITO EM CIRCULACcedilAtildeO NATURAL

1 EXPANSAtildeO NO FLUXO DE UM FLUIDO

11 - Uma so fase

Figura 1

Ha vaacuterios meacutetodos para determinar a variaccedilatildeo de pressatildeo

numa expansatildeo de fluido estudaremos o de Romie que eacute o que daacute

maior precisatildeo

Romie considera que a pressatildeo p^ tambeacutem atua na aacuterea

imediatamente apos a expansatildeo Assim fazendo o equiliacutebrio das foi

ccedilas nas secccedilotildees tracejadas da figura 1 temos

mVj

p r A 2 + mdash

mV

bull 2- A2

mas

m = pV^A^

pV^A = p V 2 bdquo A 2

V A

v 2 -4r-logo

( P l-P 2) A 2 = f ( V ^ ) - f _ v j amp c c 2

70

2 pV A A pV A A

Chamando A l A ]

K = 1 - T e degi2 = Aiexcl bull V E M

pvj

P l P 2 = T ~ bull ( 2 deg 1 2 ) ( 1 _ a 1 2 )

Outra maneira de chegar atilde diferenccedila de pressatildeo ( P j - ^ ) s mdash

ria usar o coeficiente de perda da mecacircnica dos fluidos Assim o

equilibrio das pressotildees eacute

2 2

1 V l 1 V 2 V l P i + _ p _ ^ P 2 + I p ~ + k 1 2 p mdash

onde = coeficiente de perda

A 2 1 2

k 1 2 - (l-o 1 2) - (1 - j- )

Fazendo as transformaccedilotildees chegamos a mesma expressatildeo obshy

tida pelo balanccedilo das forccedilas

PraquoIacute pr p

2 - - ir ^ laquo-ia

12 - Duas fases

Como ha duas fases a equaccedilatildeo do balanccedilo das forccedilas fica

um pouco alterada

m pound 1 V- m - raquoV - m-V- m bdquoV _ P A + j y ^ i + _gl_JUuml P A + -11-11 + -ilsl (a)

1 2 e R 2 2 ff e

Sabendo que

71

m (1-x) m t = p fA (1-a) V f

entatildeo

fl l-o^ p fA x

6 Vf2 1-x l-a2 P fA 2

m V = mdash mdash e V 0 = gl a 1 P C T A 1 g2

m

a_ p h

2 g 2

Nas expressotildees anteriores o x nao varia porque a expansatildeo

5 adiabaacutetica porem o a varia devido a modificaccedilatildeo do tamanho da

bolha

Substituindo os valores das velocidades na expressatildeo (a)

vera

( P - P ) Abdquo =

2

2 2 m gt2 2 m t (1-x) 1 x t

ra i 2 m i 1 x t 1

p fA 1 g c ttl p Ax gpound

m t P - P = mdash

(1-x) (l-a 1)A 1A 2 (l-a2)A|

a r A r A 2

V A 2

m t P bdquo - P = mdash 2 1 g c A r A 2 p f

(1-x) 1-a f A 2(l-a 2)

bull ^ 2

72

Se

P -P

a

m

g

12

1 _1_ (1-x)

J12

1 _ a l 1 - a 2 + X (- )

Pg

1 deg12 a 2 ^

Sabemos que

mt = V o pf laquo A l

Sendo V q = velocidade do liquido num ponto onde natildeo haja vapor

P 2-P 1

u 2 2 A 2

V pr Ai

V W p f

(1-x) 12

l-a1 l-a2

+ X 2 pf

mdash

l deg12

-1 a 2 _

p -p r 2 Al (2a 1 2)

2 M f w 1 deg12 X (mdash) (

pg al a 2 )+(l-x)C l 1 12

1-a^ l-a2

Devemos notar que esta expressatildeo tambeacutem vale para quando

temos uma fase para isso basta fazer

= c t 2 = 0

X = 0

e recairemos na formula do item anterior

2 pf 1 deg12 Observemos que neste caso o termo x (mdash)( ) nao

Pg al a2

2

73

tem significado pois corresponde a mudanccedila de fase

2 CONTRACcedilAtildeO KO FLUXO DE UM FLUIDO

21 - Uma so fase raquo mdash

Aqui ocorre um fenocircmeno importante pois o fluido ao ser

contraiacutedo nao vai diretamente da area A^ para a area A 0 mas ele

contral-se ate uma area A^ e depois expande-se ate k^

Ao A2

Po IP 2

V 2

Figura 2

Fazendo o equiliacutebrio das pressotildees entre os planos (1)

(0) vem 2 2

pV pV p +~ plusmn - P + i deg bull 1 2 g o 2 g (b)

C x

Fazendo equiliacutebrio da expansatildeo (0) - (2) vem

P o + 2 - f = P 2 + 2 -T + kp- 2 F ( c )

c c b C

Subtraindo (b) - (c)

2 2 2

i p- vj i p- v2 L P l + 2 bull g c

P 2 + 2 2g c

+ k P 2g c

74

Como

P - P = mdash 2 2g

2 2

bull (1 + k) - f bdquo mdash i

k a - f2 ) 2 - d - o c )2

= o

A = a 21

Weisback obteve varias relaccedilotildees entre a e a i] c

01 02 03 a 0624 0632 0643 c

0624 0632

A r v i - V v 2

p -p 1 2

P -P 1 2 2g7

v l =

(1+k) - laquofi- a 2g 21 c

( 1 + k - o 2 1)

X[- V 2 o 2 1V 2

22 - Duas fases

0 valor de k pode ser aproximado para

k = a(l - o 2 1)

onde segundo Richardsons para fluxo de duas fases podemos supor

a = 02

Para fluxo homogeacuteneo sabemos que

75

p = p f (1 -a ) + p o a

podemos supor p bdquo a = 0 pois p e pequeno e fazendo

V = V ~ V fbdquo2 go2 v 2

Substituindo estas duas expressotildees na equaccedilatildeo de uma soacute fase vem

2 2 p V (l-ct) p V (1 -a ) bdquo

P l P 2 = 9g ( 1 + 3 - 3 0 ^ - 0 ^ ) = g (a+1) (l-a^)

Se a = 02

2 12p oV 0

p r p

2 - 9g gt d-) d-sigt

A compressatildeo de um fluido acarreta uma perda de pressatildeo

como pode ser verificado pelas formulas uma vez que lt 1deg

3 ANALISE HIDRODINAcircMICA DE UM CIRCUITO EM CIRCULACcedilAtildeO NATURAL

Esquema deacute uma caldeira com circulaccedilatildeo natural

76

Determinar a velocidade em (7) para que tenhamos circula

ccedilatildeo natural Determinar tambeacutem as perdas de pressatildeo em todos os

trechos da caldeira

31 - Contraccedilatildeo das secccedilotildees (1) - (2)

Como jaacute vimos a equaccedilatildeo do balanccedilo das pressotildees eacute

1 pr Vl 1 p 2 o V 2 P2 V2

1 2 g 2 + 2 g + K12 2g otilde c amp c e c

bullraquo 2 o2 2 e havendo uma soacute fase k 1 9 = (l-o ) = (1 mdash ) e sendo

C 2

p l = p2

v x lt lt lt v 2

P 2 V pr p2 bull ir2 bull ( 1 + k12gt

Colocando em termos de temos

A 2 V 2 P 2 = A 7 V 7 p 7 (continuidade)

V = V mdashbull = V o_bdquo ~ A 2 2 2

P 2 V - p 2

p r p 2 = ir2 - deg72 bull Ccedilrgt bull lt 1 + ki2gt

fazendo

N12 - lt^gt deg72 ( 1 + k12gt

P7 V7

Pr P2 - N12 bull HG

77

3 2 - Perda de carga no trecho ( 2 ) - ( 3 )

Como haacute apenas uma fase soacute temos perdas por atritos e

perdas hidrostaacuteticas

Sendo como jaacute vimos

2 3 p 2 2 g P 2 P 3 = f 2 3 (r~2g^~) L 2 3 g c p

atrito hidrostaacutetica

Substituindo V^ pela relaccedilatildeo do item anterior e tendo em

conta que p = vem

P -P = f 2 r 3 2 3 D

2 3 p 2 bdquo 2 2 p 7 2

2 g 7 72 p 2 3 g

Se

L 2 3 2 p 7

2 3 2 3 D 2 a 7 2 p 2

P 7 V 7 g P 2 - P 3 = N 2 3 ( mdash gt p 2 L 2 3 f

3 3 - Expansatildeo nas secccedilotildees ( 3 ) - ( 4 )

Como vimos o balanccedilo das pressotildees e

2 2 2 p V p 4 V p V

P 3 + 2 g c

P 4 + 2 g c

+ k 3 4 2 g c

onde

k 3 4 - - -

2 2 1 P 4 - V 4 P 3 v 3

P 3 P 4 = 2 g + ( k 3 4 _ 1 ) 2 g

78

Sendo

P 3 - P 4

p 3 o A 3 deg V 3 = P 7

a A 7 o V 7

P 4A 4 0V 4 = P r A r V

3 7 A 3 p 3

A7 P7 V = v mdash mdash 4 7 P 4

P - P 3 r4

Se

P bdquo - P

bdquo2 r-P 7 V 7

3 4 2g deg74 + ( k 3 4 1 ) deg73

34 p deg74 + ( k 3 4 1 ) 73

p r v2

P3- P4 ^ N34 ^ gt

(No caso e negativo)

34 - Contraccedilatildeo nas secccedilotildees (5) - (6)

Ainda temos uma so fase e fazendo o balanccedilo das pressotildees

como fizemos no item 3lt1 vem

P + vil p + vi + k vi P 5 + 2gbdquo P6 + 2gbdquo + k56 2gbdquo

k 5 6 lt 1 ^ gt 2 ( 1 - Iacute 2 i 2 6

V V6 P5degIacute 5^6 ^SS 2g c - 2g c

P - P ^ = (1+kJ

Como

79

A 6

W p 5 =

VV P6 V 5 = V 6 Jiexcl = Vff65

P 5-P 6 - lt H k 5 6 ) mdash ^ mdash (l+k 5 6-a 6 5) c c c

Sendo

Se

A 7 p 7 p 7

6 7 Ag p 6 7 76 p 6

p _p _ P6- V7- g76 iquest72 ( _ 02 P 5 P 6 2g c bull ( p 6

( 1 + k 5 6 deg65 )

p 7 2 2 N56 = p ^ deg76 ( 1 + k 5 6 ~ a 6 5 )

P 7 V 2

7

P r-P = N r 5 6 56 2g c i

35 - Perdas de pressatildeo nas zonas (6) - (7) - Pre^aquecimento

Nesta regiatildeo temos perdas por atrito e hidrostaacuteticas

Nao haacute perda por aceleraccedilatildeo pois ainda natildeo houve formaccedilatildeo de boshy

lhas

Fazendo balanccedilo das pressotildees temos

L_ ppound-V p = p + otilde L - pound _ + f -Si (-21mdashL 6 7 + p67 L67 g + t 6 7 D K 2g

p _ e ifn sao tomados como valores meacutedios 67 67

P _p _ f hl ^67jIacute uuml + - L A

6 F 7 r67 D 2g P P67 L67 g 6 s c 7 c

S e Kr pound67 L67 p67 6 7 D 6 p7

p7 V - _g_ P6- P7 - N67 mdash + P67 L67 f

c c

80

36 - Perda de pressatildeo nas zonas (7) - (8) - Zona de ebuliccedilatildeo

Nesta regiatildeo j aacute temos o aparecimento de bolhas logo a

perda de pressatildeo seraacute devida agraves t recircs parcelas aceleraccedilatildeo a t r i t o

das duas fases liacutequidas + vapor e h idros taacute t ica

onde

Assim

P-P Q = AP + AP + APbdquo 7 8 a t r i t o acel H

T M1

78 p 7 7 AP - R f- - mdash mdashr |R = fator mult ipl ica-

a t r i t o 7 D 7 2 g c L tivo

G 2

AP bull r mdash acel g c

P V

|_1 - o a p J 8 P f

2 t r 2 M2

7 7 r 7 7 A P a c e l = -J^mdash 2 r bull p 7 lt T iexcl iexcl - )

A PH p 7 8 L 7 8 fiexcl

p 7 8 iacute 7 li 1 0 0 P l i q + a P v ] d L = P 7 ( 1 - laquo 7 8 )

ag raquo fraccedilatildeo de vazio media entre 7 e 8

APH = p (1 - 5 7 g ) f- L 7 8

2 2

P 7 - P 8 a 5 - 2 T i + 2 r p 7 + P 7 ( 1 - 7 8 gt f L 7 8 7 amp c amp c amp c

81

N 7g = R mdash + 2 r p 7

P7 V7 P7- P8 = N78 + P 7 ( 1 5 7 8 gt J78

37 - Expansatildeo nas secccedilotildees 8 e 9

No caso haacute uma expansatildeo com duas fases e como vimos no

item 12 a variaccedilatildeo de pressatildeo era dada por

0f Vo P2 P1 = ~2g c ( 2 deg12

x 2 (mdash)(mdash - mdash ) + ( l - x ) 2 ^ T mdash 8 1 2 1

12

Aplicando ao nosso caso

P pound = P 7

P -P = 8 9

V - V raquo V g f 7

P 7 V 2

2 pf 1 a89 2 1 g89 x (mdash) ( ) + (1-x) (- - N

o ou abdquo 1-cu l-ot_) g 8 9 8 9

Se

N 89

= 2 a 89

2 pf 1 deg89 2 1 CT89 x (mdash) ( ) + (1-x) ( T

g 8 9 8 9

P -P = 8 9

- N P7deg V7

89 2gbdquo

38 - Perda de pressatildeo no trecho 9 e 10

No referido trecho temos apenas perda de pressatildeo por atr L

to da fase liacutequido + vapor e perda hidrostaacutetica Natildeo haacute perda por

aceleraccedilatildeo do vapor pois este natildeo recebe mais calor e portanto

o 82 o

nao ha variaccedilatildeo no a

p

Q -p i n = A P

U + A P bull 9 10 H atrito

n T -S_ P9 U10 deg 910 bull g

fio r

910 I 910

J9 L

(l- a)P + Q P I dL liq v

(l-a0) p

No caso a = (nao hatilde variaccedilatildeo de forma)

A P H - (1-a ) P (p L 0

c

AP bdquo = R o

atrito

2 f9 o L910 P9 V9

2g

Supondo

= V

P 9 = P 8 P 7

vbdquo = v 9 8 0 A r

= V 7 bull deg89

AP - R atrito

2 2

W l O p7deg V7deg g89

V P10 R -^T^ bull deg89 bull li-2 + ( W P 7 (fgt SIO

y c c

Se

- f9 L910 2 N9ol0 R Dl deg89

w 2

p rv P9 P10 = VlO + ( 1 a 9 ) p7 (f gt L910 c

33

39 - Perda ciacutee pressatildeo na expansatildeo 9 - 1 0

Analogamente a expansatildeo 8 - 9 temos

10 11 P 7 2g

10 Iacute 2 0 1 0 - 1 1 gt

2 ff

pg aio

10-11

laquo11 ) +

Ll-a 1 0 bull l-a u J

Se

V10 = V 9 = V 8 bull T9 = V 7 deg89

P -P 10 rll = - a 2g 089 ^lO-ll

4 bull T~ bull (7 1 mdash ) + Pg degio a n

+ (l-x)2(- 1 10-11

1 - aio )

N10-ll = 2 a10-ll a89 2 pf t 1 10-11 N2

-(j-r- - ) bull+ (1-x) pg aio deg 1

10-11 k l - a io

prz P10 Pll = - N10-ll bull ( 2gbdquo

310 - Calculo de V

Fazendo a somatoacuteria de todas as expressotildees (P^-Pj) tere-

84

mos 2 PbdquoV_

P bdquo - P bdquo = N 7 v 7

1 2 12 2g

bull 2 - P 3 - = N 2 3 P 2 L 2 3 f c ccedil

9 P 7 V 7 P _p = N mdash -

3 4 34 deg 2g

V P 5 = deg

2 P V

5 6 56 2 g c

ltr2

P 7 -V 6 e7 -N67 2g + p 6 7 J j67 g

c bc v 2

P 7 - P 8 = N 7 8 - 2 i ~ + p 7 ( 1 - laquo 7 8 ) L 7 8 c

P 7 V 7

P - P - -N mdash - -8 9 89 2g

c P 7 V 7

P 9 ~ P 1 0 VlO 2g + ( 1 a 9 P 7 L 9 c

P 7 V 7

bull10 11 U10-ll 2g

P v iacute j P - P

1 11

7 - v 7 3 bull r

2 8 i U L 2 23 67

(l-5 7 8) L 7 8 + ( l - laquo 9 ) P 7 bull SlOtilde]- ^

Por ou t ro lado sabemos que como secccedilotildees 1

mesmo n iacute v e l

85

s c p r v 7 j

28 Z N i ij

= P 2 L23 p67 L67 P 7 ( 1~deg78 )

78 ~ ^g) bull P 7 bull L 910 g_

V - 2 g ( p r L 2 3 - p 6 r L 6 7 - p 7 ( l - atilde 7 8 ) L 7 8 - (l-a9) p L 9 a ( )

y N

Com esse valor de podemos determinar todas as variashy

ccedilotildees de pressatildeo (P^-P )

BIBLIOGRAFIA

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tituto de Energia Atocircmica de Sao Paulo em 1966 (roteiro)

- WR Gambill - Nuclear Safety

Vol 9 - n9 5 e 6

Vol 6 - n 2 (pag 152)

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- Paul A Lottes - Argonne National Laboratory

- AKL - 6469

- ANL - 6561

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Frank Kreith - Principles of Heat Transfer

Journeacutees Internationales de la transmission de la chaleur

Seminaacuterios realizados em Paris em 1961 sob a supervisatildeo do

Prof Marcel Veron

Notas de aula da Cadeira de Termodinacircmica I e Transmissatildeo da

Escola Politeacutecnica da Universidade de Sao Paulo

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34

Para velocidades maiores o fluxo de burnout aumenta

porque neste caso o regime eacute turbulento e o coeficiente de peliacute

cuia h aumentao

6bdquo2 - Influencia do aumento da pressatildeo

Este estudo deve-se a Bonilla que obteve experimentalmen

te as curvas

Este estudo foi feito para vaacuterios liacutequidos e chegou a con

clusao que sempre havia uma pressatildeo oacutetima isto e uma pressatildeo que

leva ao maior iacute 1 ^ raquo mantidas as demais condiccedilotildees Experimentalmenshy

te notou que essa pressatildeo correspondia a 13 da pressatildeo critica

do liquido em questatildeo

6=3 - Influecircncia do sub-resfriamento

Consiste em manter atilde custa de uma circulaccedilatildeo intensa o

liacutequido a uma temperatura inferior atilde de saturaccedilatildeo para a pressatildeo

correspondenteraquo Experimentalmente chega-se agraves curvas

mdash A t grande sub

bullAt -0 sub sub

medio

At

35

Verificando os graacuteficos vemos que o lt)gt aumenta agrave medida bo

que aumenta a diferenccedila de temperatura de sub-resf riamento isto pojr

que o liquido como estaacute mais frio faz com que algumas das bolhas

recondensem permitindo que o liquido fique em contato com a parede

quente o que faz aumentar o h

^ f csub = t e m P e r a t u r a ddeg liacutequido - temperatura de saturaccedilatildeo

A diferenccedila de temperatura At entre fluido e parede tamshy

beacutem aumenta poit na regiatildeo proacutexima agrave parede haacute necessidade de

levar o liacutequido da temperatura do sub-resfriamento ateacute a temperatu

ra de saturaccedilatildeo quando se evapora

Atualmente os maiores estudos dos fiacutesicos nucleares locashy

lizam-se neste campo pois eacute o que oferece maiores vantagens

7 FORMULAS PARA 0 CAacuteLCULO DO COEFICIENTE DE PELIacuteCULA NA EBULICcedilAtildeO

Como ocorre no caacutelculo de todas as foacutermulas de convecccedilatildeo

temos formulas empiacutericas para determinar o h conforme o tipo de

ebuliccedilatildeo que nos consideramos

71 - Ebuliccedilatildeo Nucleada

Para o caso de aacutegua temos as relaccedilotildees

superfiacutecies

horizontais

superfiacutecies

verticais

f aacute 5000 BTUhrft 2 -gtbull h = 151 ( A t ) 1 3

A o

5000 lt 75000 -h = 0618 (At)3

^ pound 1000 -raquobull h = 8 7 ( A t ) 1 7

A o -

1000 lt $ lt 20000 -gt h = 027 (At) A o

Quando a pressatildeo e diferente da atmosfeacuterica faz-se a correccedilatildeo

3 6

72 - Ebuliccedilatildeo por peliacutecula

Bromley propocircs uma boa equaccedilatildeo para a ebuliccedilatildeo por peliacuteshy

cula estaacutevel em cilindros horizontais

Nu

_ JtjD n r 9 P v bull ( P L - P v gt - g -h

e V bull D i2

D 1 ^ U b Z u At gt

onde

V = indica vapor

L = indica liacutequido

Multiplicando ambos os membros da equaccedilatildeo acima por

kvD obteremos a expressatildeo do coeficiente de convecccedilagraveo meacutedio para

o caso

37

C - FORMULAS PARA CAacuteLCULOS ESPECIacuteFICOS - RESULTADOS ESPECIacuteFICOS

1 FLUXO DE CALOR CRIacuteTICO - BURNOUT

lol - Introduccedilatildeo

O aspecto mais importante no que se refere agrave seguranccedila

dos reatores da transferencia de calor na ebuliccedilatildeo eacute a determina

ccedilatildeo do Fluxo de calor critico ou de pico ou burnout

Como jatilde vimos quando temos a ebuliccedilatildeo nucleada a dishy

ferenccedila de temperatura entre refrigerante e superfiacutecie de aqueci

mento e pequena poreacutem quando atingimos o fluxo de calor criacutetico

essa diferenccedila de temperatura pode tornar-se imediatamente muishy

to grande podendo causar a ruptura da superfiacutecie de aquecimento

se atiigirmos o ponto de fusatildeo do soacutelidoraquo

Usando a convecccedilao

onde

At sat

w

sat At

sub

w = temperatura da parede de aquecimento

t t = temperatura de saturaccedilatildeo do liacutequido

t^ = temperatura de mistura do liacutequido

At = (t -t ) sub-resfriamento do liacutequido sub N sat b 1

nout

Ha dois tipos de burnout fast burnout e slow bur-

Ocorre o fast burnout (burnout raacutepido) quando A t g u b gt 0

38

ou para baixo x (~ lt 10) sendo x o titulo do vapor

Temos o slow burnout para x - gt 10 Assim noacutes tereshy

mos dois limites para o burnout

At bull o (ltJgt ) t =((() para t = t ) -

bo m m possiacutevel w sat

sub i

4L + 1

G c D h pl nb

(ltK ) = (ltpound para x = 1) = Dv-bo max possiacutevel e 4L

c At l + P 1 sub i

onde

L = comprimento do canal

D = diacircmetro do tubo

G = descarga de liacutequido (por unidade de aacuterea)

c ^ = calor especiacutefico do liacutequido

Agrave = calor latente de vaporizaccedilatildeo

h ^ = coeficiente de transferecircncia de calor na regiatildeo de

nao ebuliccedilatildeo

iacutendices

i = entrada

e = saiacuteda

Haacute inuacutemeras expressotildees para determinaccedilatildeo do burnout pro

postas por muitos fisicos cada uma aplicando-se a um caso especiacuteshy

fico vejamos algumas delas

12 - Equaccedilotildees para prediccedilatildeo de Burnout

121 - Equaccedilatildeo de Bragg e Smith (Zuber)

Num artigo publicado por Bragg e Smith encontramos uma f oacute_r

mula que e derivada da formula de Kutateladze e nos daacute o fluxo cri

39

tico quando nao temos sufaresfriamento

bo poolsat v V raquoc a ( p l P V )

2 PV

14

onde

ltiexclgt = fluxo de calor critico bo

k = constante

Ly = calor latente de vaporizaccedilatildeo do refrigerante

= densidade do liquido

pvr = densidade do vapor V a = tensao superficial

g = fator de conversatildeo c

a = aceleraccedilatildeo da superficie de aquecimento

Os autores encontraram para k um valor de 062 entreten

to outros autores como Zuber incluindo outras variaacuteveis que In

fluiam no fenocircmeno encontraram k variando entre 008 e 023Esshy

tudos bem elaborados mostram que o valor mais aproximado eacute

k = 015 (- 003)

1-22 - Equaccedilatildeo de Noyes

Noyes estudou o burnout para o soacutedio agua e alguns liacute

quidos orgacircnicos

( W s a t ~ bdquo 0245 bull ( r ( 1 )

iiacute_ V 1 Pr

onde

N n = Nuacutemero de Prandtl da fase liacutequida x r

Mais tarde o proacuteprio Noyes alterou a equaccedilatildeo para

n ^ - n H Iacute I Pl PV gt0538 deg g c a q 4 ( W s a t deg 1 1 6 PV ( - p 7 ~ ) (77T1^ ) ( 2 )

40

A ultima correlaccedilatildeo proposta por Noyes foi

a n prPV0560 112

1

(a bull a) 13

(ag c) 112

(3)

onde

a = difusividade teacutermica do liacutequidoraquo A equaccedilatildeo (3) eacute bashy

seada em todos os dados de burnouts do soacutedio bem

como da atildegua benzeno difenil e outros De 111 pontos usados 90

+ estatildeo relacionados dentro de - 30bdquo

ldeg2o3 - Burnout com convecccedilao forccedilada e sub-resfriamen

to

Aproveitando os resultados de aproximadamente 240 testes

de burnouts com aacutegua sub-resfriada em fluxo de convecccedilao forccedilashy

da feitos na Ruacutessia Labuntsov elaborou uma boa equaccedilatildeo empiacuterica

para o problemabdquo

Esta relaccedilatildeo aplica-se para velocidades entre 2 3 e 148

ftsec pressotildees entre 1 e 201 atmabs sub-resfriamento entre 0 deg

e 432 degF e fluxos de burnout entre 0 4 x IO 6 x 166 x 1 0 6 BTUhr

2 bdquo

bullbo

onde

e a seguinte

6 ( P ) 1 + 0 2 3 2 V 2

14

e ( P ) 1 +

15 c At _p_ sub

12 (a)

9 ( P ) - P 1 3 o ( 1 - P J 4 3

red

= pressatildeo (atm abs)

pressatildeo reduzida = mdash mdash red r P

t_ c = pressatildeo critica

= velocidade do liacutequido (ftsec)

= calor especiacutefico do liacutequido (BTUlbdegF)

4 1

^ tsub = ^ ^ e r e n Ccedil a ^ e temperatura entre a temperatura de

mistura do liacutequido e a de saturaccedilatildeo (degF)

X = calor latente de vaporizaccedilatildeo (BTUlb) 2

ltiacutegtbo = fluxo de burnout (BTUhrfl )

Uma outra correlaccedilatildeo para o caso foi proposta por

Ornatsky e Xiohigin que fizeram experiecircncias para pressotildees entre

10 e 1 5 0 3xm 90 degF lt At ^ lt 4 5 0 deg F 3 7 1 0 6 ( l b h r o f t 2 ) lt G lt

2 2 2 10 b ( l b h r bdquo f t 2 )

lt ^ = 3 2 5 0 (G o A t bdquo J deg 6 ( - i - ^ ) 2 5 ( b ) bo sub

onde

G - descarga de refrigerante por unidade de aacuterea

P ^ v P v - densidades do liacutequido e do vapor

P1~ PV -0 termo (mdash ) e incluido na expressatildeo (b) para indicar

a influecircncia da ^ pressatildeo sobre o

Uma comparaccedilatildeo entre as equaccedilotildees (a) e (b) foi feita para

o Reator de Isoacutetopos de Alto Fluxo (HFIR) nas condiccedilotildees aacutegua a

600 psia velocidade = 45 ftsec e sub-resfriamento = At^^ 1

degF obtendo-se uma diferenccedila de 6 5 entre ambos (4gt = 6 0 5 1 0 b

2 ~ 6 2 BTUhr ft pela equaccedilatildeo (a) e 6 4 5 10 3TUhrraquoft pela equaccedilatildeo

(b)

Ilatilde ainda a equaccedilatildeo de Ivey e Morris aplicaacutevel somente pa_

ra ebuliccedilatildeo com grande quantidade de liacutequido

( c sub t

Cpf bull A tsub

( bull ) s ~ V P bdquo 10 h V sat V g

onde

(ltL ) = fluxo critico com sub-resfriamento c sub

(ograve ) ^ - fluxo critico sem sub-resfriamento c sat

42

c ^ = calor especiacutefico do liacutequido

= calor latente de vaporizaccedilatildeo

124 - Burnout com convecccedilao forccedilada e ebuliccedilatildeo por bocirc-

Ihas

Gambill fez uma extensatildeo da equaccedilatildeo de Levy e aplicou o

metqdo da superposiccedilatildeo Tal extensatildeo consiste natilde subtraccedilatildeo de uma

razatildeo equivalente de massa transferida dos termos que represenshy

tam a ebuliccedilatildeo e convecccedilao para levar em conta a presenccedila do vashy

por no fluxo

A correlaccedilatildeo pode ser escrita assim

24 V P V

o g c a (p^Py) 14

+ 0696 (k p c ) 12

(

pr p v )i4 o g c a (P-L-Py) 18

bull At + h sub nb

044 p v L v G (g1) bull N2 n

p l P V

( pr p v ) d e 2-7

2 4 TT 0

14 ( f e _ ^ r l 3

lO^u

onde

k = condutividade teacutermica

c = calor especiacutefico

A t s u b ~ s ub-resfriamento do liacutequido

h = coeficiente de transferecircncia de calor de nao ebu nb mdash

liccedilatildeo

G = descarga total do refrigerante

43

d g = diacircmetro equivalente do tubo ou canalraquo

]i = viscosidade

B = constante adimensional

Os iacutendices V e 1 representam vapor e liacutequido respectiva

mente

0 primeiro termo entre chaves da equaccedilatildeo representa o flu

xo de calor no burnout de sub-resfriamento em convecccedilao forccedilada 0

segundo termo entre chaves corresponde ao fluxo de calor transferi^

do para a massa da fase vapor

1-25 - Burnout por Bloqueio da Base

Ocorre quando a profundidade do recipiente eacute muito maior

que a largura 0 bloqueio da base eacute causado pela formaccedilatildeo de uma pe_

licula de vapor na base impedindo que o liacutequido toque o fundo do

recipiente

i De

Este eacute o burnout por flooding isto eacute burnout por expul

sao do liacutequido Uma equaccedilatildeo que nos dacirc o fluxo minimo do burnout

parao caso eacute

44

onde

D g = diacircmetro equivalente

L = comprimento do tubo

= calor de vaporizaccedilatildeo

p^Py Ap = densidade do liacutequido do vapor e diferenccedila en

tre ambos

Para um fluxo de calor maior ou igual ao dado pela expres_

sao acima (mantida a mesma geometria) teremos burnout Para um deshy

terminado fluxo existiratildeo sempre um comprimento L e um diacircmetro equi

valente D e para os quais temos burnout Exemplo

L (in) D e(in)

10 11

100 51

1000 235

2 RESULTADOS ESPECIacuteFICOS - FOacuteRMULAS PARA CAacuteLCULOS ESPECIacuteFICOS

21 - Diferenccedila de temperatura At i

13 a t

sat

At sat

poundatildeJL_ raquo t - t J p T T 6 w sat

onde

o laquo tensatildeo superficial entre liquido e vapor

t - temperatura de saturaccedilatildeo do liacutequido para a corres-Scl t

pondente pressatildeo

J equivalente mecacircnico do calor

X laquobull calor latente de vaporizaccedilatildeo

py = densidade do vapor

6 = espessura da camada de liacutequido superaquecido onde

45

k l

h nc

onde

k^ = condutividade teacutermica do liacutequido

h = coeficiente de peliacutecula nc r

Segundo Eckent h ^ c e dado por

P 2 Q

nc 3 V VP + 0952

r

onde

D = diacircmetro equivalente

G r = numero de Grashoff

P = nuacutemero de Pradtl

2 o 2 - Velocidade das bolhas

A velocidade das bolhas em meacutedia pode ser dada pela exshy

pressatildeo

V bdquo = Iacute ( a bull B Apl4 bolhas 5 ^ 2

p l onde

AP = P L - P v

Expressatildeo que vale quando a aceleraccedilatildeo eacute a da gravidade

baixa viscosidade do liacutequido e bolhas separadas

Vbolha = f t s e atilde m a x para aacutegua

2 bdquo3 - Diacircmetro das bolhas

2gc deg 12 D = 0015 3 ( mdash mdash 7 ~ ) d g Ap

5 =

46

onde

8 = acircngulo de contato (20 a 90deg) geralmente assume-O -1

-se igual a 50 para a agua em contato com metal

24 - Coeficiente de peliacutecula na ebuliccedilatildeo nucleada

a) Equaccedilatildeo de Rohsenow

Esta equaccedilatildeo nos datilde o fluxo de calor q na ebuliccedilatildeo nushy

cleadaraquo E oacutetima expressatildeo para muitos liacutequidos o efeito da presshy

satildeo eacute levado em conta na variaccedilatildeo das propriedadesraquo

Pf

fg

sat 17 = c

sg k y f h f g g( P f-p g)

n033

onae

Pf

fg

Pf Pg c sg

= fluxo de calor requerido (BTUhr0ft^)

= calor especiacutefico do liacutequido saturado (BTUlbm0F)

= calor latente de vaporizaccedilatildeo (BTULbm)

= nuacutemero de Prandtl

= viscosidade do liacutequido (lbrahrraquoft) ~ 8 2

= fator de conversatildeo 417 10 Ibmftlbflaquohr 2

= aceleraccedilatildeo da gravidade (fthr )

= tensatildeo superficial na interface liacutequida vapor

(lbfft) 3

densidade do liquido e vapor (lbmft )

constante adimensiacuteonal que depende de vaacuterios fashy

tores dentre os quais o grau de aquecimento en_

tre o fluido e a superfiacutecie de aquecimento e o

mais importanteraquo Independe da pressatildeo do sistema b) Equaccedilatildeo de Levy

Equaccedilatildeo valida para a aacutegua quando 100 lt p lt 2000 psiacutea

47

43 bdquo3

qu bdquo gat ^ T J h r t f t ^

495

25 - Calculo do fluxo de calor no Ponto de Leidenfrost

0 ponto de Leidenfrost como vimos eacute o ponto em que oflu

xo de calor comeccedila ncamente a crescer isto eacute o ponto onde termal

aa a ebuliccedilatildeo instaacutevel e comeccedila a ebuliccedilatildeo por peliacutecula estaacutevel Eacute

o chanado fluxo miacutenimo (egrave ) m m

Aproximadamente quando A t g u k = 0 temos

A _ mdash _ mdash (Gambill) m m 5

Ha entretanto varias expressotildees para determinar esse flu

xo eis uma delas

A p 14 ltjgt = 009 h pbdquo (o raquo g mdash ) y m m fg P V deg 2

p l

26 - caacutelculo do fluxo de calor na regiatildeo de ebuliccedilatildeo por peliacute

cuia estaacutevel

para cilindros jmdashi i li

_ D 0172 k-V - P V A p h l V bull S 14 li - = 062 (mdashmdash) (- j- r rmdash) convecccedilao A 0 ybdquo (t -t )

c V w sat

onde

= condutividade do vapor

- 2 TT ( mdash )

c gAp Vl = significam vapor e liacutequido respectivamente

para paredes verticais

L 0172 S deg7 A p bull hlV S q 4 h - - 080 (-^-)J- (-Iuml - Iacutemdash-convecccedilao X L u (t - t J)

c V w sat

48

Como nesta regiatildeo jaacute haacute nina influecircncia marcante da radia

ccedilao devemos levar en conta tambeacutem o coeficiente de peliacutecula de

vido a radiaccedilatildeo para determinar o coeficiente de peliacutecula total

Dos estudos atildea radiaccedilatildeo temos

h = a F pound(T 4 - T 4 J ( T ~ T ) rad w sat w sat

onde amp _ emissividade de superfiacutecie

a = constante de Stefan-Boltzman

F = fator de forma

Segundo WE Gambill o coeficiente de transmissatildeo total

ceve ser

3 iacutei = h + -7 h para h lt h t conv 4 rad r rad conv

Na expressatildeo acima existe o fator 34 porque a radiaccedilatildeo

faz variar um pouco a espessura do filme de vapor reduzindo asshy

sim o l l

conv

Quando tivermos h gt h gt o h^ ^ seraacute rad conv total

h f c = h + h t conv rad

Neste ultimo caso nao ha nenhum coeficiente porque a peshy

liacutecula de vapor jaacute eacute estaacutevel

27 - Grandezas caracteriacutesticas para a apua

Para pressatildeo igual a 1 atm = 1422 psia

At ^ = t - t = 5degC (iniacutecio da ebuliccedilatildeo nucleada) sat w sat 1

At t = 30degC sat crit

49

5 2 $ = 4 10 BTUhrft (para pressatildeo 1 atm)

0 fluxo critico cresce como vimos com a pressatildeo ate

atingir o maacuteximo quando a pressatildeo eacute aproximadamente 13 da pressatildeo

criacutetica Esse fluxo eacute

bull = 13 IO 6 BTUhrft 2 para p = 11000 psia (p pound = 32062 psia)

Ainda temos que para pressatildeo igual a 15 psia

h b o = 11000 BTUhrft degF - ebuliccedilatildeo nucleada

h f b = 30 BTUhrft 2 degF - ebuliccedilatildeo pelicular

Todos os resultados e formulas para caacutelculos especiacuteficos

apresentados nos itens 21 22 23 ateacute 27 sacirco aplicados somente

para sistemas onde haja ebuliccedilatildeo com grande quantidade de liquido

51

D - HIDRODINAcircMICA DOS SISTEMAS E QUEDA

DE PRESSAtildeO DENTRO DE UM CANAL

1 HIDRO-DINAcircMICA E QUEDA DE PRESSAtildeO

11 - Hidro-dinacircmica dos sistemas estaacuteveis

111 - Regimes de escoamento

A evoluccedilatildeo do escoamento ao longo de um canal aquecedor

de secccedilatildeo constante ciliacutendrico pode ser esquematizada pela figushy

ra 1 onde temos em abcissa o comprimento z do canal e em ordenada

a temperatura (T)

52

Na figura 1 nos representamos

a) 0 aspecto do escoamento fluido quando a entalpia do

- fluido aumenta Verificamos que o fluido entra no cashy

nal no estado liacutequido e assim permanece ateacute atingirmos a zona de

ebuliccedilatildeo local onde aparecem as primeiras bolhas A entalpia do

fluido continua aumentando e tem inicioa ebuliccedilatildeo franccedila onde as

bolhas se unem formando agregados posteriormente o escoamento to

ma a forma da figura ou seja torna-se anular disperso Finalmente

atingimos duas uacuteltimas fases do escoamento disperso (vapor uacutemido)

e vapor seco

b) A evoluccedilatildeo da temperatura meacutedia do fluido e da tempeshy

ratura da parede Note-se que a partir da cota a

temperatura da parede aumenta brutalmente podendo causar o

burnout

c) A evoluccedilatildeo do tiacutetulo do vapor (x) com o comprimento

do tubo e a evoluccedilatildeo da fraccedilatildeo (a) que definiremos no

item 11laquo2 com o comprimento do tubo

112 - Definiccedilotildees

a) Tiacutetulo ou qualidade do vapor (x)

massa de vapor na mistura x ~ massa total da mistura

x =

W _g_

g f

b) Fraccedilatildeo vazio (void fraction)

volume do vapor na mistura a = volume total da mistura (agua+vapor)

A relaccedilatildeo entre x e a num sistema parado pode ser obtida

assumindo um certo volume contendo 1 lbm de mistura em equiliacutebrio

teacutermicoraquo

53

O volume da mistura seraacute igual a (v + xv ) ft onde v eacute 3 r rg

o volume especifico (lbmft )

f - refere-se ao liquido

g - refere-se ao vapor

fg - refere-se a diferenccedila entre liacutequido e vapor

Numa mistura em equiliacutebrio se o liacutequido e o vapor estatildeo

saturados o volume do vapor presente eacute igual acirc sua massa vezes

seu volume especiacutefico v assim e

xv bdquo bdquo a mdash

V c + XV c

f gf

onde

- bull-bull uumlutiacuteisa vapor na mistura de 1 Ibm

v volume especiacutefico do liacutequido

v = volume especiacutefico do vapor o

V c = v - V

gf 8 r

Fazendo uma transformaccedilatildeo na expressatildeo acima temos

xv xv JS = Z-

v r+ x(v -v c) xv +(l-x)v t ri f g f g f 1 + Ul-x)xjv fv

1 + C(l-x)x]]vfvg

A fraccedilatildeo vazia tem a influencia de baixar a reatividade

do nuacutecleo nos reatores em que o refrigerante eacute tambeacutem moderador

Na equaccedilatildeo acima os valores de x e v sao tomados em tabe

las termodinacircmicas apropriadas para a pressatildeo do sistema A equashy

ccedilatildeo (1) mostra os grandes valores de a para pequenos valores de x

especialmente para baixas pressotildees Isto ocorre porqueaumentando

54

aacute pressatildeo o v decresce muito enquanto que o v f eacute mais ou menos da

mesma ordem de grandeza

Exemplo Calcular o a correspondente para x raquo 2 para aacutegua

leve atilde pressatildeo atmosfeacuterica

Da tabela para p laquobull 1 atm

v - 001672 ft 3lbm e v - 26800 ft 3lbm

1 + [(1-002)002] 001672268

0971 ou 97U

O grafico abaixo mostra a variaccedilatildeo do a com x para vaacuterias

pressotildees e para a aacutegua leve

x ()

tObservaccedilotildees da curva

Fig 2

1 - para x constante a decresce com a pressatildeo Para presshy

sotildees proacuteximas da criacutetica a aproxima-se rapidamente de

x Para a pressatildeo criacutetica as duas fases satildeo indistinguiacuteveis ea=x

2 - para cada pressatildeo dotdx decresce com aumento de x

3 - para baixos valores de x (que e o caso dos reatores

tipo Boiling) quando p decresce dadx cresce e torr

na-se muito grande paacutera baixas pressotildees Isto tem relaccedilatildeo com a epound

55

tabilidade do reator como veremos mais tarde

113 - Sistemas com fluxo

Todas as definiccedilotildees que noacutes vimos no item anterior refeshy

rem-se acirc sistemas em que a mistura esta fechada no recipiente Nes^

te caso natildeo havia movimento relativo entre as duas fases No entan

to se as duas fases da mistura se movem na direccedilatildeo vertical em

canais entre os elementos combustiacuteveis o vapor por causa de sua

flutuaccedilatildeo tem a tendecircncia de escorregar sobre o liacutequido isto e

move-se com velocidade maior do que a do liacutequido

Real Modelo

Pig 3

S -

Define-se neste caso a relaccedilatildeo de escorregamento (slip

ratio) (S) como sendo

V _i

V f

onde

V = velocidade do vapor

= velocidade do liquido

S modifica as relaccedilotildees entre a e x do item anterior S geralmen_

te gt 1 Define-se neste caso qualidade do vapor ou tiacutetulo como

sendo

_ fluxo de massa de vapor

fluxo de massa da mistura

Entatildeo se o fluxo de massa da mistura eacute m t(lbmhr) o flushy

xo de vapor seraacute = x m e o fluxo de liacutequido sera (1-x) m onde x

56

e o titulo do vapor para a particular secccedilatildeo (AL) da figura (3)

Devemos notar que neste caso x varia de secccedilatildeo para secshy

ccedilatildeo do tubo o exposto no paraacutegrafo acima vale considerando-se que

x e a permaneceram constantes na secccedilatildeo de espessura AL

Aplicando a equaccedilatildeo da continuidade as velocidades do va

por e liacutequido sao dadas por

o xm v

V vazatildeo = g g area A

V

(1-x) amp t v f

f A f

onde A e A f sao as aacutereas medias perpendiculares ao fluxo se as

duas fases sao imaginadas completamente separadas uma da outra

(figura 3) Assim temos

V x m v o A_ A v 0 ^ - 2 = iacute S t m _2L- JL JS m

V A (l-x)ui v 1-x A v U

f g t f g f

Sabemos ainda que para a secccedilatildeo considerada

volume do vapor na mistura a = volume total da mistura (agua+vapor)

A AL A pound g g

a = mdash a a = - mdash 1

(A+A )AL A f + g

A ou f _ 1 - a

A a 8

Substituindo em (2) vem

57

Esta expressatildeo pode ser rearranjada e obteremos uma relashy

ccedilatildeo entre x e a levando em conta o escorregamento Chega-se a

a = 1 ( 3 )

1+ [U-x)x3 igt

onde

v 4 laquo -- S

v lty o

Note-se que quando S=l (nao haacute escorregamento) caimos na

expressatildeo dada no item anterior

0 efeito do escorregamento eacute decrescer o valor de a pa_

ra um mesmo xbdquo Isto pode ser visto pela foacutermula (3) pois S gt lLo

go a decresce com acreacutescimo de S

Um alto S e entatildeo uma vantagem tanto para a transferecircnshy

cia de calor como para efeitos de moderaccedilatildeo Eacute uma vantagem para

transferecircncia de calor porque alto S significa alto V e portanto

maior turbulecircncia e maior contato do liquido com as paredes quenshy

tes Ha tambeacutem melhorias na estabilidade da reaccedilatildeo nuclear isto

porque como jaacute dissemos quando mdash7 diminui a estabilidade aumenshy

ta isso pode ser verificado observando a curva a versus x para a

agua leve a 1000 psiabdquo

Fig 4

58

A relaccedilatildeo entre x e a da equaccedilatildeo (3) so vale para secccedilatildeo

de tubo bem pequena

Devemos notar que S varia tambeacutem com a pressatildeo e velocida^

de de entrada do liacutequido no tubo Este efeito pode ser observado na

figura 5 abaxxo obtida esperimentalmente

s

3

~^ ~ psig

x = 001

V 1

Fig 5

Nos projetos de reatores como veremos adiante o valor a

geralmente eacute determinado por consideraccedilotildees nucleares (moderaccedilatildeo) 0

valor de S eacute determinado atraveacutes de uma estimativa ou entatildeo atrashy

veacutes de um graacutefico do tipo da figura 5 0 correspondente valor de x

pode ser obtido de uma foacutermula empiacuterica do tipo

1 = 1 (-S)0gt67

proposta por Von Glahn

Em muitos casos assume-se S constante em todo o comprimeiv

to do canal poreacutem eacute um erro que em muitos casos nao pode ser coshy

metido

4 REATORES EM QUE 0 LIacuteQUIDO B MODERADOR E CIRCUITO PRIMAacuteRIO AO

MESMO TEMPO BOILING-REACTOR (BWR)

A aacutegua ao se movimentar atraveacutes dos vaacuterios canais do

59

Boiling-reactor encontra vaacuterias resistecircncias ao fluxo que provoshy

cam uma reduccedilatildeo de pressatildeo no fluido

As duas perdas mais importantes sao perda de pressatildeo por

atrito e perda de pressatildeo causada pela aceleraccedilatildeo do refrigerante

ao aumentar de volume por receber calor num canal Outras perdas

de pressatildeo seriam a obstruccedilatildeo ao fluxo por corpos submersos (espa_

ccediladores juntas de tubos chaves etc) e por mudanccedilas abruptas de

aacuterea de fluxo tanto na entrada como na saiacuteda do tubo

Essas perdas de pressatildeo devem ser conhecidas o melhor popound

sivel principalmente nos reatores BWR Para tanto devemos saber

o comprimento de canal em que nao ha a ebuliccedilatildeo isto eacute qual o com

primento de canal em que o refrigerante vai da temperatura de sub-

resfriamento ate temperatura de saturaccedilatildeo

Seja o elemento combustiacutevel

Aquecimento Uniforme Aquecimento Senoidal

Fig 6 Fig 7

onde

H =

H = o

H b

comprimento do elemento combustiacutevel

cota onde o liquido se torna saturado

comprimento do elemento combustiacutevel em que ocorre

ebuliccedilatildeo

60

qg = calor sensiacutevel acrescentado ao liquido para satushy

raacute-lo

qfc = calor total acrescentado ao liacutequido em todo o com

primento do canal

laquoo

q s J o qiquest sen (IIzH) n H o

T~ = TH = 2 ( 1 c o s gt ( a )

q 1 sen (HzH) Jo ^c

A expressatildeo (a) vale quando tivermos uma adiccedilatildeo de calor

senoidal para qualquer outra forma de adiccedilatildeo de calor faz-se um

caacutelculo anaacutelogo

Outra relaccedilatildeo entre q g e qfc eacute dada pela termodinacircmica

q h- - h s f m (b)

(hr +x h )-hm ^t f e fg

onde

= entalpia para o liquido saturado a pressatildeo correjs

pondente (cota z = Ho)

hffi = entalpia do liacutequido na entrada do canal

x = tiacutetulo do vapor na saiacuteda

= entalpia do vapor

Com a relaccedilatildeo (b) noacutes determinamos a relaccedilatildeo q q ecom

S L

uma relaccedilatildeo do tipo (a) (conforme seja o adicionamento de calor ao

liacutequido) podemos obter a relaccedilatildeo HoH e consequentemente H^H

21 - Perda de pressatildeo num canal de evaporaccedilatildeo

Neste item iremos determinar as perdas de pressatildeo mais

representativas que ocorrem num canal de evaporaccedilatildeo de um reator

P + dP

bull1 i- 1 gti i i

dL

onde

UM

Icirc H Icirc Icirc T dF f t f

61

Quantidade de Mov na Entrada

= i- rigVg)

dF f l

Fig 8

m i

m 8

V l V 8

A P

dF

dF

dF

fg

fl

ftf

descarga do liacutequido

descarga do vapor

velocidade do liquido

velocidade do vapor

aacuterea transversal do canal

forccedila de atrito do vapor com parede

forccedila de atrito do liacutequido com parede

forccedila de atrito das duas fases liacutequido+vapor

Fazendo o balanccedilo das forccedilas considerando o sentido posjL

tivo na vertical temos

A (P-P-dP)-(dF +dF _+dF _)-(-pound-) (p A+p A )dL = mdash dGnV+m V ) P fg ftf fl g c 1 1 g g g c

v 1 1 g g 7

- dP = ~ (dF +dF--+dF)+- S--7=- (p A+p A )dL+ mdash ~ - d (m-V+m V ) A_ fg ftf fl g c Ap v^l 1 g g g A 11 g g

Fazendo a integraccedilatildeo termo a termo entre os dois extreshy

mos entrada e saiacuteda e considerando a pressatildeo de entrada igual a

P q e a de saiacuteda igual a Pe vem

Quantidade de Mov na Saiacuteda

-= h I- lY l+ A g V g + d ( aacute l V l + aacuteeVl

Forccedila de Gravidade

= ( g f - N P A + P g V

62

b) r e F f l

o p dp^ = Ap^ = perda de pressatildeo por atrito

do liacutequido na altura Ho

Aplicando a formula de Darcy vem

bull API = f bull ir bull ^ iexcl 7

onde

f = fator de atrito

c) e Fftf

o p ^P tpound

= perda de pressao por atrito da mistura

liquido + vapor no trecho de comprimen

to Hbdquo o

Para determinar esta perda de pressao define-se o fator

de multiplicaccedilatildeo R

A P R =

tf A P 1B

Sendo A p ^ a perda de pressao se o comprimento todo fosshy

se ocupado somente pelo liquido assim

A p t f = R A P 1 B

0 calculo de Ap-^ pode ser feito pela formula de Darcy e

o de R nos veremos no item seguinte

63

d)

-e F

d ( ^ )

O P

Ap = perda de pressatildeo por atrito do vapor

No caso do reator BWR o titulo de saida e bera pequeno e

em nenhum caso ocorre a saida de vapor com x = 100 logo a perda

de pressatildeo por atrito do vapor eacute nula assim

An = 0 5

e) Ap

(p A 1 + p A ) dL = Ap - perda de pressatildeo dpound

vida ao desniacutevel

(perda hidrostaacutetica)

Anbdquo = re A A

-S- I (p + p -S ) dL H s 1 A

c o p o A

como A A Jl_ =

A P

A +A-g 1

1-a -

temos

C Q

te j jll-a)p1 + apg)^jdL = p Lo pound

onde

e jo u

+ ap ) ~I dL (Densidade media 1 S J

no tubo)

No nosso caso

Ap u = p H

f)

re d(mV + m V ) _ mdash - laquo -i bull s iquestp laquos p e r d a ltje pressatildeo devido a acele-

c p raccedilatildeo do vapor

V A

(1-x) tl^Vj

(1-a) A

X V

aA

A p -

roV + m V

c p c p L_

m (l-x)m_v m xv nbdquo -1 T 1

+ _S S I (1-a) Ap aA

P

2 g A c p

n 2 2

(1-x) m T

laquo2 8 A c p

2 2 (l-xe) raTv1

2 2 2 xm_v (1-x) m-v e T s o 1 1

a 1 - a

2 2 - x m_v o T g

a

se

X Q 0 (so ha agua nesse trecho)

a = 0 o

temos

mbdquo Ap =

1 a A 2

S A degc p laquo-

tt-V v i 1 - a

2 via T^r - v i

t Apc

2

V v l

5c Ap

1 - a

x v - 1

a e v l

65

Fazendo

G = fluxo total da massa por unidade de area do

canal

(1-x J e

V

AP r

Assim a perda de pressatildeo total sera

H p V II pV r2 P -P = f -24-Iuml+ f R+p 0 1 2g c D e 2g c g c g c

2c2 - Determinaccedilatildeo do fator de multiplicaccedilatildeo (R)

221 - Relaccedilatildeo Martinelli-Nelson

Os autores Martinelli-Nelson determinaram experimental -

te esse fator R para varias LIT1L em funccedilatildeo da pressatildeo e da r NB total J v

qualidade de saiacuteda do vapor no canal Construiacuteram assim vaacuterias

curvas do tipo da figura 9

66

E importante notar que a qualidade do vapor (x) na saiacuteshy

da nao deve ser grande pois como vemos o valor de R cresce muishy

to com um aumento pequeno de x e um valor de R muito grande acar_

reta uma perda de pressatildeo grande pois

^ d u a s fases R ^ f a s e liacutequida

Para resolvermos um problema seguindo o criteacuterio de bdquo

Martinelli escolhemos a curva R = f(px) (para a relaccedilatildeo L

N g ^ j

adequado) e tiramos R com os valores de pressatildeo p e tiacutetulo x

As curvas R = f (p x L T t )IO encontram-se nos ANL 6469 bio I

e 6561

222 - Relaccedilatildeo Lottes-Flinn

Estes autores estudaram o problema para o aquecimento uni

forme do refrigerante com baixo titule Lottes-Flinn fizeram inuacuteshy

meras experiecircncias e verificaram que para fluxo de calor uniforshy

me e baixos titulos R era independente do fluxo de calor fluxo

do refrigerante escorregamento e apenas funccedilatildeo de a g

Como a quantidade de liacutequido eacute muito maior que a de vashy

por a perda de pressatildeo daacute-se principalmente pelo atrito do liacuteshy

quido com a parede Podemos assim escrever a foacutermula de Darcy

na forma diferencial

dz

d = f __ r e amp c

onde

V = velocidade do liquido saturado na cota zbdquo X

f = coeficiente atrito

= densidade do liacutequido saturado

Teoricamente a queda de pressatildeo deve-se ao acreacutescimo de

67

velocidade do liacutequido e da diminuiccedilatildeo da aacuterea de fluxo do liacutequi

do

P fH A P t p

= f D 2g Ho

d z

fazendo

V lo

m V t lo

(velocidade do liacutequido na cota z = Ho)

(1-x) m t v 1

(1-a) A (velocidade do liacutequido na cota z gt Ho)

a bull+ fraccedilatildeo vazio na cota z geneacuterica

V 1 (1-x) m t v 1

m t V l 1 - a

x =s 0 pois o tiacutetulo eacute baixo

A p t f = f bull JT5 c e

fH V lo

H o (1-a) dz

Para fazer a integral devemos achar a relaccedilatildeo de variaccedilatildeo

entre a e z Como o fluxo de calor eacute uniforme a qualidade eacute direshy

tamente proporcional a z

bull laquo x = x e H

z = mdash x X e

Sabemos ainda que (item 113)

x

1 + [ ( I -X)AKQ x + iiacuteraquo

68

como

temos

(1-x) = 1

v

X =

z =

1-a

1 -a

1-a e

a

e

1-a pound

a

1 -a igt (assumindo S = cte)

da

Atf - f bull 2 i ^ ~ J c e o

a 1 - a e e 1 s 4 hmdash) da

a 1-a

f P lv^ Q

0 termo mdash - mdash e a parte de perda de pressatildeo pelo lj^

^c e -quido ou seja Ap liquido saturado e como

Ap

R = tf

Ap liauido saturado

temos que

R J

f ae 1 _ a e 1 4

a 1 -a o e

1 -a r-R =

3 1 -a

a 1 -a imdash

3 vl - a 3

e e

Os valores de R obtidos por esta expressatildeo aproximam-se

muito dos valores obtidos pelos aacutebacos de Martinelli

69

E - EXPANSAtildeO E COMPRESSAtildeO DE UM FLUIDO - ANAacuteLISE HIDRODINAcircMICA

DE UM CIRCUITO EM CIRCULACcedilAtildeO NATURAL

1 EXPANSAtildeO NO FLUXO DE UM FLUIDO

11 - Uma so fase

Figura 1

Ha vaacuterios meacutetodos para determinar a variaccedilatildeo de pressatildeo

numa expansatildeo de fluido estudaremos o de Romie que eacute o que daacute

maior precisatildeo

Romie considera que a pressatildeo p^ tambeacutem atua na aacuterea

imediatamente apos a expansatildeo Assim fazendo o equiliacutebrio das foi

ccedilas nas secccedilotildees tracejadas da figura 1 temos

mVj

p r A 2 + mdash

mV

bull 2- A2

mas

m = pV^A^

pV^A = p V 2 bdquo A 2

V A

v 2 -4r-logo

( P l-P 2) A 2 = f ( V ^ ) - f _ v j amp c c 2

70

2 pV A A pV A A

Chamando A l A ]

K = 1 - T e degi2 = Aiexcl bull V E M

pvj

P l P 2 = T ~ bull ( 2 deg 1 2 ) ( 1 _ a 1 2 )

Outra maneira de chegar atilde diferenccedila de pressatildeo ( P j - ^ ) s mdash

ria usar o coeficiente de perda da mecacircnica dos fluidos Assim o

equilibrio das pressotildees eacute

2 2

1 V l 1 V 2 V l P i + _ p _ ^ P 2 + I p ~ + k 1 2 p mdash

onde = coeficiente de perda

A 2 1 2

k 1 2 - (l-o 1 2) - (1 - j- )

Fazendo as transformaccedilotildees chegamos a mesma expressatildeo obshy

tida pelo balanccedilo das forccedilas

PraquoIacute pr p

2 - - ir ^ laquo-ia

12 - Duas fases

Como ha duas fases a equaccedilatildeo do balanccedilo das forccedilas fica

um pouco alterada

m pound 1 V- m - raquoV - m-V- m bdquoV _ P A + j y ^ i + _gl_JUuml P A + -11-11 + -ilsl (a)

1 2 e R 2 2 ff e

Sabendo que

71

m (1-x) m t = p fA (1-a) V f

entatildeo

fl l-o^ p fA x

6 Vf2 1-x l-a2 P fA 2

m V = mdash mdash e V 0 = gl a 1 P C T A 1 g2

m

a_ p h

2 g 2

Nas expressotildees anteriores o x nao varia porque a expansatildeo

5 adiabaacutetica porem o a varia devido a modificaccedilatildeo do tamanho da

bolha

Substituindo os valores das velocidades na expressatildeo (a)

vera

( P - P ) Abdquo =

2

2 2 m gt2 2 m t (1-x) 1 x t

ra i 2 m i 1 x t 1

p fA 1 g c ttl p Ax gpound

m t P - P = mdash

(1-x) (l-a 1)A 1A 2 (l-a2)A|

a r A r A 2

V A 2

m t P bdquo - P = mdash 2 1 g c A r A 2 p f

(1-x) 1-a f A 2(l-a 2)

bull ^ 2

72

Se

P -P

a

m

g

12

1 _1_ (1-x)

J12

1 _ a l 1 - a 2 + X (- )

Pg

1 deg12 a 2 ^

Sabemos que

mt = V o pf laquo A l

Sendo V q = velocidade do liquido num ponto onde natildeo haja vapor

P 2-P 1

u 2 2 A 2

V pr Ai

V W p f

(1-x) 12

l-a1 l-a2

+ X 2 pf

mdash

l deg12

-1 a 2 _

p -p r 2 Al (2a 1 2)

2 M f w 1 deg12 X (mdash) (

pg al a 2 )+(l-x)C l 1 12

1-a^ l-a2

Devemos notar que esta expressatildeo tambeacutem vale para quando

temos uma fase para isso basta fazer

= c t 2 = 0

X = 0

e recairemos na formula do item anterior

2 pf 1 deg12 Observemos que neste caso o termo x (mdash)( ) nao

Pg al a2

2

73

tem significado pois corresponde a mudanccedila de fase

2 CONTRACcedilAtildeO KO FLUXO DE UM FLUIDO

21 - Uma so fase raquo mdash

Aqui ocorre um fenocircmeno importante pois o fluido ao ser

contraiacutedo nao vai diretamente da area A^ para a area A 0 mas ele

contral-se ate uma area A^ e depois expande-se ate k^

Ao A2

Po IP 2

V 2

Figura 2

Fazendo o equiliacutebrio das pressotildees entre os planos (1)

(0) vem 2 2

pV pV p +~ plusmn - P + i deg bull 1 2 g o 2 g (b)

C x

Fazendo equiliacutebrio da expansatildeo (0) - (2) vem

P o + 2 - f = P 2 + 2 -T + kp- 2 F ( c )

c c b C

Subtraindo (b) - (c)

2 2 2

i p- vj i p- v2 L P l + 2 bull g c

P 2 + 2 2g c

+ k P 2g c

74

Como

P - P = mdash 2 2g

2 2

bull (1 + k) - f bdquo mdash i

k a - f2 ) 2 - d - o c )2

= o

A = a 21

Weisback obteve varias relaccedilotildees entre a e a i] c

01 02 03 a 0624 0632 0643 c

0624 0632

A r v i - V v 2

p -p 1 2

P -P 1 2 2g7

v l =

(1+k) - laquofi- a 2g 21 c

( 1 + k - o 2 1)

X[- V 2 o 2 1V 2

22 - Duas fases

0 valor de k pode ser aproximado para

k = a(l - o 2 1)

onde segundo Richardsons para fluxo de duas fases podemos supor

a = 02

Para fluxo homogeacuteneo sabemos que

75

p = p f (1 -a ) + p o a

podemos supor p bdquo a = 0 pois p e pequeno e fazendo

V = V ~ V fbdquo2 go2 v 2

Substituindo estas duas expressotildees na equaccedilatildeo de uma soacute fase vem

2 2 p V (l-ct) p V (1 -a ) bdquo

P l P 2 = 9g ( 1 + 3 - 3 0 ^ - 0 ^ ) = g (a+1) (l-a^)

Se a = 02

2 12p oV 0

p r p

2 - 9g gt d-) d-sigt

A compressatildeo de um fluido acarreta uma perda de pressatildeo

como pode ser verificado pelas formulas uma vez que lt 1deg

3 ANALISE HIDRODINAcircMICA DE UM CIRCUITO EM CIRCULACcedilAtildeO NATURAL

Esquema deacute uma caldeira com circulaccedilatildeo natural

76

Determinar a velocidade em (7) para que tenhamos circula

ccedilatildeo natural Determinar tambeacutem as perdas de pressatildeo em todos os

trechos da caldeira

31 - Contraccedilatildeo das secccedilotildees (1) - (2)

Como jaacute vimos a equaccedilatildeo do balanccedilo das pressotildees eacute

1 pr Vl 1 p 2 o V 2 P2 V2

1 2 g 2 + 2 g + K12 2g otilde c amp c e c

bullraquo 2 o2 2 e havendo uma soacute fase k 1 9 = (l-o ) = (1 mdash ) e sendo

C 2

p l = p2

v x lt lt lt v 2

P 2 V pr p2 bull ir2 bull ( 1 + k12gt

Colocando em termos de temos

A 2 V 2 P 2 = A 7 V 7 p 7 (continuidade)

V = V mdashbull = V o_bdquo ~ A 2 2 2

P 2 V - p 2

p r p 2 = ir2 - deg72 bull Ccedilrgt bull lt 1 + ki2gt

fazendo

N12 - lt^gt deg72 ( 1 + k12gt

P7 V7

Pr P2 - N12 bull HG

77

3 2 - Perda de carga no trecho ( 2 ) - ( 3 )

Como haacute apenas uma fase soacute temos perdas por atritos e

perdas hidrostaacuteticas

Sendo como jaacute vimos

2 3 p 2 2 g P 2 P 3 = f 2 3 (r~2g^~) L 2 3 g c p

atrito hidrostaacutetica

Substituindo V^ pela relaccedilatildeo do item anterior e tendo em

conta que p = vem

P -P = f 2 r 3 2 3 D

2 3 p 2 bdquo 2 2 p 7 2

2 g 7 72 p 2 3 g

Se

L 2 3 2 p 7

2 3 2 3 D 2 a 7 2 p 2

P 7 V 7 g P 2 - P 3 = N 2 3 ( mdash gt p 2 L 2 3 f

3 3 - Expansatildeo nas secccedilotildees ( 3 ) - ( 4 )

Como vimos o balanccedilo das pressotildees e

2 2 2 p V p 4 V p V

P 3 + 2 g c

P 4 + 2 g c

+ k 3 4 2 g c

onde

k 3 4 - - -

2 2 1 P 4 - V 4 P 3 v 3

P 3 P 4 = 2 g + ( k 3 4 _ 1 ) 2 g

78

Sendo

P 3 - P 4

p 3 o A 3 deg V 3 = P 7

a A 7 o V 7

P 4A 4 0V 4 = P r A r V

3 7 A 3 p 3

A7 P7 V = v mdash mdash 4 7 P 4

P - P 3 r4

Se

P bdquo - P

bdquo2 r-P 7 V 7

3 4 2g deg74 + ( k 3 4 1 ) deg73

34 p deg74 + ( k 3 4 1 ) 73

p r v2

P3- P4 ^ N34 ^ gt

(No caso e negativo)

34 - Contraccedilatildeo nas secccedilotildees (5) - (6)

Ainda temos uma so fase e fazendo o balanccedilo das pressotildees

como fizemos no item 3lt1 vem

P + vil p + vi + k vi P 5 + 2gbdquo P6 + 2gbdquo + k56 2gbdquo

k 5 6 lt 1 ^ gt 2 ( 1 - Iacute 2 i 2 6

V V6 P5degIacute 5^6 ^SS 2g c - 2g c

P - P ^ = (1+kJ

Como

79

A 6

W p 5 =

VV P6 V 5 = V 6 Jiexcl = Vff65

P 5-P 6 - lt H k 5 6 ) mdash ^ mdash (l+k 5 6-a 6 5) c c c

Sendo

Se

A 7 p 7 p 7

6 7 Ag p 6 7 76 p 6

p _p _ P6- V7- g76 iquest72 ( _ 02 P 5 P 6 2g c bull ( p 6

( 1 + k 5 6 deg65 )

p 7 2 2 N56 = p ^ deg76 ( 1 + k 5 6 ~ a 6 5 )

P 7 V 2

7

P r-P = N r 5 6 56 2g c i

35 - Perdas de pressatildeo nas zonas (6) - (7) - Pre^aquecimento

Nesta regiatildeo temos perdas por atrito e hidrostaacuteticas

Nao haacute perda por aceleraccedilatildeo pois ainda natildeo houve formaccedilatildeo de boshy

lhas

Fazendo balanccedilo das pressotildees temos

L_ ppound-V p = p + otilde L - pound _ + f -Si (-21mdashL 6 7 + p67 L67 g + t 6 7 D K 2g

p _ e ifn sao tomados como valores meacutedios 67 67

P _p _ f hl ^67jIacute uuml + - L A

6 F 7 r67 D 2g P P67 L67 g 6 s c 7 c

S e Kr pound67 L67 p67 6 7 D 6 p7

p7 V - _g_ P6- P7 - N67 mdash + P67 L67 f

c c

80

36 - Perda de pressatildeo nas zonas (7) - (8) - Zona de ebuliccedilatildeo

Nesta regiatildeo j aacute temos o aparecimento de bolhas logo a

perda de pressatildeo seraacute devida agraves t recircs parcelas aceleraccedilatildeo a t r i t o

das duas fases liacutequidas + vapor e h idros taacute t ica

onde

Assim

P-P Q = AP + AP + APbdquo 7 8 a t r i t o acel H

T M1

78 p 7 7 AP - R f- - mdash mdashr |R = fator mult ipl ica-

a t r i t o 7 D 7 2 g c L tivo

G 2

AP bull r mdash acel g c

P V

|_1 - o a p J 8 P f

2 t r 2 M2

7 7 r 7 7 A P a c e l = -J^mdash 2 r bull p 7 lt T iexcl iexcl - )

A PH p 7 8 L 7 8 fiexcl

p 7 8 iacute 7 li 1 0 0 P l i q + a P v ] d L = P 7 ( 1 - laquo 7 8 )

ag raquo fraccedilatildeo de vazio media entre 7 e 8

APH = p (1 - 5 7 g ) f- L 7 8

2 2

P 7 - P 8 a 5 - 2 T i + 2 r p 7 + P 7 ( 1 - 7 8 gt f L 7 8 7 amp c amp c amp c

81

N 7g = R mdash + 2 r p 7

P7 V7 P7- P8 = N78 + P 7 ( 1 5 7 8 gt J78

37 - Expansatildeo nas secccedilotildees 8 e 9

No caso haacute uma expansatildeo com duas fases e como vimos no

item 12 a variaccedilatildeo de pressatildeo era dada por

0f Vo P2 P1 = ~2g c ( 2 deg12

x 2 (mdash)(mdash - mdash ) + ( l - x ) 2 ^ T mdash 8 1 2 1

12

Aplicando ao nosso caso

P pound = P 7

P -P = 8 9

V - V raquo V g f 7

P 7 V 2

2 pf 1 a89 2 1 g89 x (mdash) ( ) + (1-x) (- - N

o ou abdquo 1-cu l-ot_) g 8 9 8 9

Se

N 89

= 2 a 89

2 pf 1 deg89 2 1 CT89 x (mdash) ( ) + (1-x) ( T

g 8 9 8 9

P -P = 8 9

- N P7deg V7

89 2gbdquo

38 - Perda de pressatildeo no trecho 9 e 10

No referido trecho temos apenas perda de pressatildeo por atr L

to da fase liacutequido + vapor e perda hidrostaacutetica Natildeo haacute perda por

aceleraccedilatildeo do vapor pois este natildeo recebe mais calor e portanto

o 82 o

nao ha variaccedilatildeo no a

p

Q -p i n = A P

U + A P bull 9 10 H atrito

n T -S_ P9 U10 deg 910 bull g

fio r

910 I 910

J9 L

(l- a)P + Q P I dL liq v

(l-a0) p

No caso a = (nao hatilde variaccedilatildeo de forma)

A P H - (1-a ) P (p L 0

c

AP bdquo = R o

atrito

2 f9 o L910 P9 V9

2g

Supondo

= V

P 9 = P 8 P 7

vbdquo = v 9 8 0 A r

= V 7 bull deg89

AP - R atrito

2 2

W l O p7deg V7deg g89

V P10 R -^T^ bull deg89 bull li-2 + ( W P 7 (fgt SIO

y c c

Se

- f9 L910 2 N9ol0 R Dl deg89

w 2

p rv P9 P10 = VlO + ( 1 a 9 ) p7 (f gt L910 c

33

39 - Perda ciacutee pressatildeo na expansatildeo 9 - 1 0

Analogamente a expansatildeo 8 - 9 temos

10 11 P 7 2g

10 Iacute 2 0 1 0 - 1 1 gt

2 ff

pg aio

10-11

laquo11 ) +

Ll-a 1 0 bull l-a u J

Se

V10 = V 9 = V 8 bull T9 = V 7 deg89

P -P 10 rll = - a 2g 089 ^lO-ll

4 bull T~ bull (7 1 mdash ) + Pg degio a n

+ (l-x)2(- 1 10-11

1 - aio )

N10-ll = 2 a10-ll a89 2 pf t 1 10-11 N2

-(j-r- - ) bull+ (1-x) pg aio deg 1

10-11 k l - a io

prz P10 Pll = - N10-ll bull ( 2gbdquo

310 - Calculo de V

Fazendo a somatoacuteria de todas as expressotildees (P^-Pj) tere-

84

mos 2 PbdquoV_

P bdquo - P bdquo = N 7 v 7

1 2 12 2g

bull 2 - P 3 - = N 2 3 P 2 L 2 3 f c ccedil

9 P 7 V 7 P _p = N mdash -

3 4 34 deg 2g

V P 5 = deg

2 P V

5 6 56 2 g c

ltr2

P 7 -V 6 e7 -N67 2g + p 6 7 J j67 g

c bc v 2

P 7 - P 8 = N 7 8 - 2 i ~ + p 7 ( 1 - laquo 7 8 ) L 7 8 c

P 7 V 7

P - P - -N mdash - -8 9 89 2g

c P 7 V 7

P 9 ~ P 1 0 VlO 2g + ( 1 a 9 P 7 L 9 c

P 7 V 7

bull10 11 U10-ll 2g

P v iacute j P - P

1 11

7 - v 7 3 bull r

2 8 i U L 2 23 67

(l-5 7 8) L 7 8 + ( l - laquo 9 ) P 7 bull SlOtilde]- ^

Por ou t ro lado sabemos que como secccedilotildees 1

mesmo n iacute v e l

85

s c p r v 7 j

28 Z N i ij

= P 2 L23 p67 L67 P 7 ( 1~deg78 )

78 ~ ^g) bull P 7 bull L 910 g_

V - 2 g ( p r L 2 3 - p 6 r L 6 7 - p 7 ( l - atilde 7 8 ) L 7 8 - (l-a9) p L 9 a ( )

y N

Com esse valor de podemos determinar todas as variashy

ccedilotildees de pressatildeo (P^-P )

BIBLIOGRAFIA

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tituto de Energia Atocircmica de Sao Paulo em 1966 (roteiro)

- WR Gambill - Nuclear Safety

Vol 9 - n9 5 e 6

Vol 6 - n 2 (pag 152)

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Volbdquo 5 - n 2 (pag 151)

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- Jakob Max - Heat Transfer (vol I)

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Frank Kreith - Principles of Heat Transfer

Journeacutees Internationales de la transmission de la chaleur

Seminaacuterios realizados em Paris em 1961 sob a supervisatildeo do

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Notas de aula da Cadeira de Termodinacircmica I e Transmissatildeo da

Escola Politeacutecnica da Universidade de Sao Paulo

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Verificando os graacuteficos vemos que o lt)gt aumenta agrave medida bo

que aumenta a diferenccedila de temperatura de sub-resf riamento isto pojr

que o liquido como estaacute mais frio faz com que algumas das bolhas

recondensem permitindo que o liquido fique em contato com a parede

quente o que faz aumentar o h

^ f csub = t e m P e r a t u r a ddeg liacutequido - temperatura de saturaccedilatildeo

A diferenccedila de temperatura At entre fluido e parede tamshy

beacutem aumenta poit na regiatildeo proacutexima agrave parede haacute necessidade de

levar o liacutequido da temperatura do sub-resfriamento ateacute a temperatu

ra de saturaccedilatildeo quando se evapora

Atualmente os maiores estudos dos fiacutesicos nucleares locashy

lizam-se neste campo pois eacute o que oferece maiores vantagens

7 FORMULAS PARA 0 CAacuteLCULO DO COEFICIENTE DE PELIacuteCULA NA EBULICcedilAtildeO

Como ocorre no caacutelculo de todas as foacutermulas de convecccedilatildeo

temos formulas empiacutericas para determinar o h conforme o tipo de

ebuliccedilatildeo que nos consideramos

71 - Ebuliccedilatildeo Nucleada

Para o caso de aacutegua temos as relaccedilotildees

superfiacutecies

horizontais

superfiacutecies

verticais

f aacute 5000 BTUhrft 2 -gtbull h = 151 ( A t ) 1 3

A o

5000 lt 75000 -h = 0618 (At)3

^ pound 1000 -raquobull h = 8 7 ( A t ) 1 7

A o -

1000 lt $ lt 20000 -gt h = 027 (At) A o

Quando a pressatildeo e diferente da atmosfeacuterica faz-se a correccedilatildeo

3 6

72 - Ebuliccedilatildeo por peliacutecula

Bromley propocircs uma boa equaccedilatildeo para a ebuliccedilatildeo por peliacuteshy

cula estaacutevel em cilindros horizontais

Nu

_ JtjD n r 9 P v bull ( P L - P v gt - g -h

e V bull D i2

D 1 ^ U b Z u At gt

onde

V = indica vapor

L = indica liacutequido

Multiplicando ambos os membros da equaccedilatildeo acima por

kvD obteremos a expressatildeo do coeficiente de convecccedilagraveo meacutedio para

o caso

37

C - FORMULAS PARA CAacuteLCULOS ESPECIacuteFICOS - RESULTADOS ESPECIacuteFICOS

1 FLUXO DE CALOR CRIacuteTICO - BURNOUT

lol - Introduccedilatildeo

O aspecto mais importante no que se refere agrave seguranccedila

dos reatores da transferencia de calor na ebuliccedilatildeo eacute a determina

ccedilatildeo do Fluxo de calor critico ou de pico ou burnout

Como jatilde vimos quando temos a ebuliccedilatildeo nucleada a dishy

ferenccedila de temperatura entre refrigerante e superfiacutecie de aqueci

mento e pequena poreacutem quando atingimos o fluxo de calor criacutetico

essa diferenccedila de temperatura pode tornar-se imediatamente muishy

to grande podendo causar a ruptura da superfiacutecie de aquecimento

se atiigirmos o ponto de fusatildeo do soacutelidoraquo

Usando a convecccedilao

onde

At sat

w

sat At

sub

w = temperatura da parede de aquecimento

t t = temperatura de saturaccedilatildeo do liacutequido

t^ = temperatura de mistura do liacutequido

At = (t -t ) sub-resfriamento do liacutequido sub N sat b 1

nout

Ha dois tipos de burnout fast burnout e slow bur-

Ocorre o fast burnout (burnout raacutepido) quando A t g u b gt 0

38

ou para baixo x (~ lt 10) sendo x o titulo do vapor

Temos o slow burnout para x - gt 10 Assim noacutes tereshy

mos dois limites para o burnout

At bull o (ltJgt ) t =((() para t = t ) -

bo m m possiacutevel w sat

sub i

4L + 1

G c D h pl nb

(ltK ) = (ltpound para x = 1) = Dv-bo max possiacutevel e 4L

c At l + P 1 sub i

onde

L = comprimento do canal

D = diacircmetro do tubo

G = descarga de liacutequido (por unidade de aacuterea)

c ^ = calor especiacutefico do liacutequido

Agrave = calor latente de vaporizaccedilatildeo

h ^ = coeficiente de transferecircncia de calor na regiatildeo de

nao ebuliccedilatildeo

iacutendices

i = entrada

e = saiacuteda

Haacute inuacutemeras expressotildees para determinaccedilatildeo do burnout pro

postas por muitos fisicos cada uma aplicando-se a um caso especiacuteshy

fico vejamos algumas delas

12 - Equaccedilotildees para prediccedilatildeo de Burnout

121 - Equaccedilatildeo de Bragg e Smith (Zuber)

Num artigo publicado por Bragg e Smith encontramos uma f oacute_r

mula que e derivada da formula de Kutateladze e nos daacute o fluxo cri

39

tico quando nao temos sufaresfriamento

bo poolsat v V raquoc a ( p l P V )

2 PV

14

onde

ltiexclgt = fluxo de calor critico bo

k = constante

Ly = calor latente de vaporizaccedilatildeo do refrigerante

= densidade do liquido

pvr = densidade do vapor V a = tensao superficial

g = fator de conversatildeo c

a = aceleraccedilatildeo da superficie de aquecimento

Os autores encontraram para k um valor de 062 entreten

to outros autores como Zuber incluindo outras variaacuteveis que In

fluiam no fenocircmeno encontraram k variando entre 008 e 023Esshy

tudos bem elaborados mostram que o valor mais aproximado eacute

k = 015 (- 003)

1-22 - Equaccedilatildeo de Noyes

Noyes estudou o burnout para o soacutedio agua e alguns liacute

quidos orgacircnicos

( W s a t ~ bdquo 0245 bull ( r ( 1 )

iiacute_ V 1 Pr

onde

N n = Nuacutemero de Prandtl da fase liacutequida x r

Mais tarde o proacuteprio Noyes alterou a equaccedilatildeo para

n ^ - n H Iacute I Pl PV gt0538 deg g c a q 4 ( W s a t deg 1 1 6 PV ( - p 7 ~ ) (77T1^ ) ( 2 )

40

A ultima correlaccedilatildeo proposta por Noyes foi

a n prPV0560 112

1

(a bull a) 13

(ag c) 112

(3)

onde

a = difusividade teacutermica do liacutequidoraquo A equaccedilatildeo (3) eacute bashy

seada em todos os dados de burnouts do soacutedio bem

como da atildegua benzeno difenil e outros De 111 pontos usados 90

+ estatildeo relacionados dentro de - 30bdquo

ldeg2o3 - Burnout com convecccedilao forccedilada e sub-resfriamen

to

Aproveitando os resultados de aproximadamente 240 testes

de burnouts com aacutegua sub-resfriada em fluxo de convecccedilao forccedilashy

da feitos na Ruacutessia Labuntsov elaborou uma boa equaccedilatildeo empiacuterica

para o problemabdquo

Esta relaccedilatildeo aplica-se para velocidades entre 2 3 e 148

ftsec pressotildees entre 1 e 201 atmabs sub-resfriamento entre 0 deg

e 432 degF e fluxos de burnout entre 0 4 x IO 6 x 166 x 1 0 6 BTUhr

2 bdquo

bullbo

onde

e a seguinte

6 ( P ) 1 + 0 2 3 2 V 2

14

e ( P ) 1 +

15 c At _p_ sub

12 (a)

9 ( P ) - P 1 3 o ( 1 - P J 4 3

red

= pressatildeo (atm abs)

pressatildeo reduzida = mdash mdash red r P

t_ c = pressatildeo critica

= velocidade do liacutequido (ftsec)

= calor especiacutefico do liacutequido (BTUlbdegF)

4 1

^ tsub = ^ ^ e r e n Ccedil a ^ e temperatura entre a temperatura de

mistura do liacutequido e a de saturaccedilatildeo (degF)

X = calor latente de vaporizaccedilatildeo (BTUlb) 2

ltiacutegtbo = fluxo de burnout (BTUhrfl )

Uma outra correlaccedilatildeo para o caso foi proposta por

Ornatsky e Xiohigin que fizeram experiecircncias para pressotildees entre

10 e 1 5 0 3xm 90 degF lt At ^ lt 4 5 0 deg F 3 7 1 0 6 ( l b h r o f t 2 ) lt G lt

2 2 2 10 b ( l b h r bdquo f t 2 )

lt ^ = 3 2 5 0 (G o A t bdquo J deg 6 ( - i - ^ ) 2 5 ( b ) bo sub

onde

G - descarga de refrigerante por unidade de aacuterea

P ^ v P v - densidades do liacutequido e do vapor

P1~ PV -0 termo (mdash ) e incluido na expressatildeo (b) para indicar

a influecircncia da ^ pressatildeo sobre o

Uma comparaccedilatildeo entre as equaccedilotildees (a) e (b) foi feita para

o Reator de Isoacutetopos de Alto Fluxo (HFIR) nas condiccedilotildees aacutegua a

600 psia velocidade = 45 ftsec e sub-resfriamento = At^^ 1

degF obtendo-se uma diferenccedila de 6 5 entre ambos (4gt = 6 0 5 1 0 b

2 ~ 6 2 BTUhr ft pela equaccedilatildeo (a) e 6 4 5 10 3TUhrraquoft pela equaccedilatildeo

(b)

Ilatilde ainda a equaccedilatildeo de Ivey e Morris aplicaacutevel somente pa_

ra ebuliccedilatildeo com grande quantidade de liacutequido

( c sub t

Cpf bull A tsub

( bull ) s ~ V P bdquo 10 h V sat V g

onde

(ltL ) = fluxo critico com sub-resfriamento c sub

(ograve ) ^ - fluxo critico sem sub-resfriamento c sat

42

c ^ = calor especiacutefico do liacutequido

= calor latente de vaporizaccedilatildeo

124 - Burnout com convecccedilao forccedilada e ebuliccedilatildeo por bocirc-

Ihas

Gambill fez uma extensatildeo da equaccedilatildeo de Levy e aplicou o

metqdo da superposiccedilatildeo Tal extensatildeo consiste natilde subtraccedilatildeo de uma

razatildeo equivalente de massa transferida dos termos que represenshy

tam a ebuliccedilatildeo e convecccedilao para levar em conta a presenccedila do vashy

por no fluxo

A correlaccedilatildeo pode ser escrita assim

24 V P V

o g c a (p^Py) 14

+ 0696 (k p c ) 12

(

pr p v )i4 o g c a (P-L-Py) 18

bull At + h sub nb

044 p v L v G (g1) bull N2 n

p l P V

( pr p v ) d e 2-7

2 4 TT 0

14 ( f e _ ^ r l 3

lO^u

onde

k = condutividade teacutermica

c = calor especiacutefico

A t s u b ~ s ub-resfriamento do liacutequido

h = coeficiente de transferecircncia de calor de nao ebu nb mdash

liccedilatildeo

G = descarga total do refrigerante

43

d g = diacircmetro equivalente do tubo ou canalraquo

]i = viscosidade

B = constante adimensional

Os iacutendices V e 1 representam vapor e liacutequido respectiva

mente

0 primeiro termo entre chaves da equaccedilatildeo representa o flu

xo de calor no burnout de sub-resfriamento em convecccedilao forccedilada 0

segundo termo entre chaves corresponde ao fluxo de calor transferi^

do para a massa da fase vapor

1-25 - Burnout por Bloqueio da Base

Ocorre quando a profundidade do recipiente eacute muito maior

que a largura 0 bloqueio da base eacute causado pela formaccedilatildeo de uma pe_

licula de vapor na base impedindo que o liacutequido toque o fundo do

recipiente

i De

Este eacute o burnout por flooding isto eacute burnout por expul

sao do liacutequido Uma equaccedilatildeo que nos dacirc o fluxo minimo do burnout

parao caso eacute

44

onde

D g = diacircmetro equivalente

L = comprimento do tubo

= calor de vaporizaccedilatildeo

p^Py Ap = densidade do liacutequido do vapor e diferenccedila en

tre ambos

Para um fluxo de calor maior ou igual ao dado pela expres_

sao acima (mantida a mesma geometria) teremos burnout Para um deshy

terminado fluxo existiratildeo sempre um comprimento L e um diacircmetro equi

valente D e para os quais temos burnout Exemplo

L (in) D e(in)

10 11

100 51

1000 235

2 RESULTADOS ESPECIacuteFICOS - FOacuteRMULAS PARA CAacuteLCULOS ESPECIacuteFICOS

21 - Diferenccedila de temperatura At i

13 a t

sat

At sat

poundatildeJL_ raquo t - t J p T T 6 w sat

onde

o laquo tensatildeo superficial entre liquido e vapor

t - temperatura de saturaccedilatildeo do liacutequido para a corres-Scl t

pondente pressatildeo

J equivalente mecacircnico do calor

X laquobull calor latente de vaporizaccedilatildeo

py = densidade do vapor

6 = espessura da camada de liacutequido superaquecido onde

45

k l

h nc

onde

k^ = condutividade teacutermica do liacutequido

h = coeficiente de peliacutecula nc r

Segundo Eckent h ^ c e dado por

P 2 Q

nc 3 V VP + 0952

r

onde

D = diacircmetro equivalente

G r = numero de Grashoff

P = nuacutemero de Pradtl

2 o 2 - Velocidade das bolhas

A velocidade das bolhas em meacutedia pode ser dada pela exshy

pressatildeo

V bdquo = Iacute ( a bull B Apl4 bolhas 5 ^ 2

p l onde

AP = P L - P v

Expressatildeo que vale quando a aceleraccedilatildeo eacute a da gravidade

baixa viscosidade do liacutequido e bolhas separadas

Vbolha = f t s e atilde m a x para aacutegua

2 bdquo3 - Diacircmetro das bolhas

2gc deg 12 D = 0015 3 ( mdash mdash 7 ~ ) d g Ap

5 =

46

onde

8 = acircngulo de contato (20 a 90deg) geralmente assume-O -1

-se igual a 50 para a agua em contato com metal

24 - Coeficiente de peliacutecula na ebuliccedilatildeo nucleada

a) Equaccedilatildeo de Rohsenow

Esta equaccedilatildeo nos datilde o fluxo de calor q na ebuliccedilatildeo nushy

cleadaraquo E oacutetima expressatildeo para muitos liacutequidos o efeito da presshy

satildeo eacute levado em conta na variaccedilatildeo das propriedadesraquo

Pf

fg

sat 17 = c

sg k y f h f g g( P f-p g)

n033

onae

Pf

fg

Pf Pg c sg

= fluxo de calor requerido (BTUhr0ft^)

= calor especiacutefico do liacutequido saturado (BTUlbm0F)

= calor latente de vaporizaccedilatildeo (BTULbm)

= nuacutemero de Prandtl

= viscosidade do liacutequido (lbrahrraquoft) ~ 8 2

= fator de conversatildeo 417 10 Ibmftlbflaquohr 2

= aceleraccedilatildeo da gravidade (fthr )

= tensatildeo superficial na interface liacutequida vapor

(lbfft) 3

densidade do liquido e vapor (lbmft )

constante adimensiacuteonal que depende de vaacuterios fashy

tores dentre os quais o grau de aquecimento en_

tre o fluido e a superfiacutecie de aquecimento e o

mais importanteraquo Independe da pressatildeo do sistema b) Equaccedilatildeo de Levy

Equaccedilatildeo valida para a aacutegua quando 100 lt p lt 2000 psiacutea

47

43 bdquo3

qu bdquo gat ^ T J h r t f t ^

495

25 - Calculo do fluxo de calor no Ponto de Leidenfrost

0 ponto de Leidenfrost como vimos eacute o ponto em que oflu

xo de calor comeccedila ncamente a crescer isto eacute o ponto onde termal

aa a ebuliccedilatildeo instaacutevel e comeccedila a ebuliccedilatildeo por peliacutecula estaacutevel Eacute

o chanado fluxo miacutenimo (egrave ) m m

Aproximadamente quando A t g u k = 0 temos

A _ mdash _ mdash (Gambill) m m 5

Ha entretanto varias expressotildees para determinar esse flu

xo eis uma delas

A p 14 ltjgt = 009 h pbdquo (o raquo g mdash ) y m m fg P V deg 2

p l

26 - caacutelculo do fluxo de calor na regiatildeo de ebuliccedilatildeo por peliacute

cuia estaacutevel

para cilindros jmdashi i li

_ D 0172 k-V - P V A p h l V bull S 14 li - = 062 (mdashmdash) (- j- r rmdash) convecccedilao A 0 ybdquo (t -t )

c V w sat

onde

= condutividade do vapor

- 2 TT ( mdash )

c gAp Vl = significam vapor e liacutequido respectivamente

para paredes verticais

L 0172 S deg7 A p bull hlV S q 4 h - - 080 (-^-)J- (-Iuml - Iacutemdash-convecccedilao X L u (t - t J)

c V w sat

48

Como nesta regiatildeo jaacute haacute nina influecircncia marcante da radia

ccedilao devemos levar en conta tambeacutem o coeficiente de peliacutecula de

vido a radiaccedilatildeo para determinar o coeficiente de peliacutecula total

Dos estudos atildea radiaccedilatildeo temos

h = a F pound(T 4 - T 4 J ( T ~ T ) rad w sat w sat

onde amp _ emissividade de superfiacutecie

a = constante de Stefan-Boltzman

F = fator de forma

Segundo WE Gambill o coeficiente de transmissatildeo total

ceve ser

3 iacutei = h + -7 h para h lt h t conv 4 rad r rad conv

Na expressatildeo acima existe o fator 34 porque a radiaccedilatildeo

faz variar um pouco a espessura do filme de vapor reduzindo asshy

sim o l l

conv

Quando tivermos h gt h gt o h^ ^ seraacute rad conv total

h f c = h + h t conv rad

Neste ultimo caso nao ha nenhum coeficiente porque a peshy

liacutecula de vapor jaacute eacute estaacutevel

27 - Grandezas caracteriacutesticas para a apua

Para pressatildeo igual a 1 atm = 1422 psia

At ^ = t - t = 5degC (iniacutecio da ebuliccedilatildeo nucleada) sat w sat 1

At t = 30degC sat crit

49

5 2 $ = 4 10 BTUhrft (para pressatildeo 1 atm)

0 fluxo critico cresce como vimos com a pressatildeo ate

atingir o maacuteximo quando a pressatildeo eacute aproximadamente 13 da pressatildeo

criacutetica Esse fluxo eacute

bull = 13 IO 6 BTUhrft 2 para p = 11000 psia (p pound = 32062 psia)

Ainda temos que para pressatildeo igual a 15 psia

h b o = 11000 BTUhrft degF - ebuliccedilatildeo nucleada

h f b = 30 BTUhrft 2 degF - ebuliccedilatildeo pelicular

Todos os resultados e formulas para caacutelculos especiacuteficos

apresentados nos itens 21 22 23 ateacute 27 sacirco aplicados somente

para sistemas onde haja ebuliccedilatildeo com grande quantidade de liquido

51

D - HIDRODINAcircMICA DOS SISTEMAS E QUEDA

DE PRESSAtildeO DENTRO DE UM CANAL

1 HIDRO-DINAcircMICA E QUEDA DE PRESSAtildeO

11 - Hidro-dinacircmica dos sistemas estaacuteveis

111 - Regimes de escoamento

A evoluccedilatildeo do escoamento ao longo de um canal aquecedor

de secccedilatildeo constante ciliacutendrico pode ser esquematizada pela figushy

ra 1 onde temos em abcissa o comprimento z do canal e em ordenada

a temperatura (T)

52

Na figura 1 nos representamos

a) 0 aspecto do escoamento fluido quando a entalpia do

- fluido aumenta Verificamos que o fluido entra no cashy

nal no estado liacutequido e assim permanece ateacute atingirmos a zona de

ebuliccedilatildeo local onde aparecem as primeiras bolhas A entalpia do

fluido continua aumentando e tem inicioa ebuliccedilatildeo franccedila onde as

bolhas se unem formando agregados posteriormente o escoamento to

ma a forma da figura ou seja torna-se anular disperso Finalmente

atingimos duas uacuteltimas fases do escoamento disperso (vapor uacutemido)

e vapor seco

b) A evoluccedilatildeo da temperatura meacutedia do fluido e da tempeshy

ratura da parede Note-se que a partir da cota a

temperatura da parede aumenta brutalmente podendo causar o

burnout

c) A evoluccedilatildeo do tiacutetulo do vapor (x) com o comprimento

do tubo e a evoluccedilatildeo da fraccedilatildeo (a) que definiremos no

item 11laquo2 com o comprimento do tubo

112 - Definiccedilotildees

a) Tiacutetulo ou qualidade do vapor (x)

massa de vapor na mistura x ~ massa total da mistura

x =

W _g_

g f

b) Fraccedilatildeo vazio (void fraction)

volume do vapor na mistura a = volume total da mistura (agua+vapor)

A relaccedilatildeo entre x e a num sistema parado pode ser obtida

assumindo um certo volume contendo 1 lbm de mistura em equiliacutebrio

teacutermicoraquo

53

O volume da mistura seraacute igual a (v + xv ) ft onde v eacute 3 r rg

o volume especifico (lbmft )

f - refere-se ao liquido

g - refere-se ao vapor

fg - refere-se a diferenccedila entre liacutequido e vapor

Numa mistura em equiliacutebrio se o liacutequido e o vapor estatildeo

saturados o volume do vapor presente eacute igual acirc sua massa vezes

seu volume especiacutefico v assim e

xv bdquo bdquo a mdash

V c + XV c

f gf

onde

- bull-bull uumlutiacuteisa vapor na mistura de 1 Ibm

v volume especiacutefico do liacutequido

v = volume especiacutefico do vapor o

V c = v - V

gf 8 r

Fazendo uma transformaccedilatildeo na expressatildeo acima temos

xv xv JS = Z-

v r+ x(v -v c) xv +(l-x)v t ri f g f g f 1 + Ul-x)xjv fv

1 + C(l-x)x]]vfvg

A fraccedilatildeo vazia tem a influencia de baixar a reatividade

do nuacutecleo nos reatores em que o refrigerante eacute tambeacutem moderador

Na equaccedilatildeo acima os valores de x e v sao tomados em tabe

las termodinacircmicas apropriadas para a pressatildeo do sistema A equashy

ccedilatildeo (1) mostra os grandes valores de a para pequenos valores de x

especialmente para baixas pressotildees Isto ocorre porqueaumentando

54

aacute pressatildeo o v decresce muito enquanto que o v f eacute mais ou menos da

mesma ordem de grandeza

Exemplo Calcular o a correspondente para x raquo 2 para aacutegua

leve atilde pressatildeo atmosfeacuterica

Da tabela para p laquobull 1 atm

v - 001672 ft 3lbm e v - 26800 ft 3lbm

1 + [(1-002)002] 001672268

0971 ou 97U

O grafico abaixo mostra a variaccedilatildeo do a com x para vaacuterias

pressotildees e para a aacutegua leve

x ()

tObservaccedilotildees da curva

Fig 2

1 - para x constante a decresce com a pressatildeo Para presshy

sotildees proacuteximas da criacutetica a aproxima-se rapidamente de

x Para a pressatildeo criacutetica as duas fases satildeo indistinguiacuteveis ea=x

2 - para cada pressatildeo dotdx decresce com aumento de x

3 - para baixos valores de x (que e o caso dos reatores

tipo Boiling) quando p decresce dadx cresce e torr

na-se muito grande paacutera baixas pressotildees Isto tem relaccedilatildeo com a epound

55

tabilidade do reator como veremos mais tarde

113 - Sistemas com fluxo

Todas as definiccedilotildees que noacutes vimos no item anterior refeshy

rem-se acirc sistemas em que a mistura esta fechada no recipiente Nes^

te caso natildeo havia movimento relativo entre as duas fases No entan

to se as duas fases da mistura se movem na direccedilatildeo vertical em

canais entre os elementos combustiacuteveis o vapor por causa de sua

flutuaccedilatildeo tem a tendecircncia de escorregar sobre o liacutequido isto e

move-se com velocidade maior do que a do liacutequido

Real Modelo

Pig 3

S -

Define-se neste caso a relaccedilatildeo de escorregamento (slip

ratio) (S) como sendo

V _i

V f

onde

V = velocidade do vapor

= velocidade do liquido

S modifica as relaccedilotildees entre a e x do item anterior S geralmen_

te gt 1 Define-se neste caso qualidade do vapor ou tiacutetulo como

sendo

_ fluxo de massa de vapor

fluxo de massa da mistura

Entatildeo se o fluxo de massa da mistura eacute m t(lbmhr) o flushy

xo de vapor seraacute = x m e o fluxo de liacutequido sera (1-x) m onde x

56

e o titulo do vapor para a particular secccedilatildeo (AL) da figura (3)

Devemos notar que neste caso x varia de secccedilatildeo para secshy

ccedilatildeo do tubo o exposto no paraacutegrafo acima vale considerando-se que

x e a permaneceram constantes na secccedilatildeo de espessura AL

Aplicando a equaccedilatildeo da continuidade as velocidades do va

por e liacutequido sao dadas por

o xm v

V vazatildeo = g g area A

V

(1-x) amp t v f

f A f

onde A e A f sao as aacutereas medias perpendiculares ao fluxo se as

duas fases sao imaginadas completamente separadas uma da outra

(figura 3) Assim temos

V x m v o A_ A v 0 ^ - 2 = iacute S t m _2L- JL JS m

V A (l-x)ui v 1-x A v U

f g t f g f

Sabemos ainda que para a secccedilatildeo considerada

volume do vapor na mistura a = volume total da mistura (agua+vapor)

A AL A pound g g

a = mdash a a = - mdash 1

(A+A )AL A f + g

A ou f _ 1 - a

A a 8

Substituindo em (2) vem

57

Esta expressatildeo pode ser rearranjada e obteremos uma relashy

ccedilatildeo entre x e a levando em conta o escorregamento Chega-se a

a = 1 ( 3 )

1+ [U-x)x3 igt

onde

v 4 laquo -- S

v lty o

Note-se que quando S=l (nao haacute escorregamento) caimos na

expressatildeo dada no item anterior

0 efeito do escorregamento eacute decrescer o valor de a pa_

ra um mesmo xbdquo Isto pode ser visto pela foacutermula (3) pois S gt lLo

go a decresce com acreacutescimo de S

Um alto S e entatildeo uma vantagem tanto para a transferecircnshy

cia de calor como para efeitos de moderaccedilatildeo Eacute uma vantagem para

transferecircncia de calor porque alto S significa alto V e portanto

maior turbulecircncia e maior contato do liquido com as paredes quenshy

tes Ha tambeacutem melhorias na estabilidade da reaccedilatildeo nuclear isto

porque como jaacute dissemos quando mdash7 diminui a estabilidade aumenshy

ta isso pode ser verificado observando a curva a versus x para a

agua leve a 1000 psiabdquo

Fig 4

58

A relaccedilatildeo entre x e a da equaccedilatildeo (3) so vale para secccedilatildeo

de tubo bem pequena

Devemos notar que S varia tambeacutem com a pressatildeo e velocida^

de de entrada do liacutequido no tubo Este efeito pode ser observado na

figura 5 abaxxo obtida esperimentalmente

s

3

~^ ~ psig

x = 001

V 1

Fig 5

Nos projetos de reatores como veremos adiante o valor a

geralmente eacute determinado por consideraccedilotildees nucleares (moderaccedilatildeo) 0

valor de S eacute determinado atraveacutes de uma estimativa ou entatildeo atrashy

veacutes de um graacutefico do tipo da figura 5 0 correspondente valor de x

pode ser obtido de uma foacutermula empiacuterica do tipo

1 = 1 (-S)0gt67

proposta por Von Glahn

Em muitos casos assume-se S constante em todo o comprimeiv

to do canal poreacutem eacute um erro que em muitos casos nao pode ser coshy

metido

4 REATORES EM QUE 0 LIacuteQUIDO B MODERADOR E CIRCUITO PRIMAacuteRIO AO

MESMO TEMPO BOILING-REACTOR (BWR)

A aacutegua ao se movimentar atraveacutes dos vaacuterios canais do

59

Boiling-reactor encontra vaacuterias resistecircncias ao fluxo que provoshy

cam uma reduccedilatildeo de pressatildeo no fluido

As duas perdas mais importantes sao perda de pressatildeo por

atrito e perda de pressatildeo causada pela aceleraccedilatildeo do refrigerante

ao aumentar de volume por receber calor num canal Outras perdas

de pressatildeo seriam a obstruccedilatildeo ao fluxo por corpos submersos (espa_

ccediladores juntas de tubos chaves etc) e por mudanccedilas abruptas de

aacuterea de fluxo tanto na entrada como na saiacuteda do tubo

Essas perdas de pressatildeo devem ser conhecidas o melhor popound

sivel principalmente nos reatores BWR Para tanto devemos saber

o comprimento de canal em que nao ha a ebuliccedilatildeo isto eacute qual o com

primento de canal em que o refrigerante vai da temperatura de sub-

resfriamento ate temperatura de saturaccedilatildeo

Seja o elemento combustiacutevel

Aquecimento Uniforme Aquecimento Senoidal

Fig 6 Fig 7

onde

H =

H = o

H b

comprimento do elemento combustiacutevel

cota onde o liquido se torna saturado

comprimento do elemento combustiacutevel em que ocorre

ebuliccedilatildeo

60

qg = calor sensiacutevel acrescentado ao liquido para satushy

raacute-lo

qfc = calor total acrescentado ao liacutequido em todo o com

primento do canal

laquoo

q s J o qiquest sen (IIzH) n H o

T~ = TH = 2 ( 1 c o s gt ( a )

q 1 sen (HzH) Jo ^c

A expressatildeo (a) vale quando tivermos uma adiccedilatildeo de calor

senoidal para qualquer outra forma de adiccedilatildeo de calor faz-se um

caacutelculo anaacutelogo

Outra relaccedilatildeo entre q g e qfc eacute dada pela termodinacircmica

q h- - h s f m (b)

(hr +x h )-hm ^t f e fg

onde

= entalpia para o liquido saturado a pressatildeo correjs

pondente (cota z = Ho)

hffi = entalpia do liacutequido na entrada do canal

x = tiacutetulo do vapor na saiacuteda

= entalpia do vapor

Com a relaccedilatildeo (b) noacutes determinamos a relaccedilatildeo q q ecom

S L

uma relaccedilatildeo do tipo (a) (conforme seja o adicionamento de calor ao

liacutequido) podemos obter a relaccedilatildeo HoH e consequentemente H^H

21 - Perda de pressatildeo num canal de evaporaccedilatildeo

Neste item iremos determinar as perdas de pressatildeo mais

representativas que ocorrem num canal de evaporaccedilatildeo de um reator

P + dP

bull1 i- 1 gti i i

dL

onde

UM

Icirc H Icirc Icirc T dF f t f

61

Quantidade de Mov na Entrada

= i- rigVg)

dF f l

Fig 8

m i

m 8

V l V 8

A P

dF

dF

dF

fg

fl

ftf

descarga do liacutequido

descarga do vapor

velocidade do liquido

velocidade do vapor

aacuterea transversal do canal

forccedila de atrito do vapor com parede

forccedila de atrito do liacutequido com parede

forccedila de atrito das duas fases liacutequido+vapor

Fazendo o balanccedilo das forccedilas considerando o sentido posjL

tivo na vertical temos

A (P-P-dP)-(dF +dF _+dF _)-(-pound-) (p A+p A )dL = mdash dGnV+m V ) P fg ftf fl g c 1 1 g g g c

v 1 1 g g 7

- dP = ~ (dF +dF--+dF)+- S--7=- (p A+p A )dL+ mdash ~ - d (m-V+m V ) A_ fg ftf fl g c Ap v^l 1 g g g A 11 g g

Fazendo a integraccedilatildeo termo a termo entre os dois extreshy

mos entrada e saiacuteda e considerando a pressatildeo de entrada igual a

P q e a de saiacuteda igual a Pe vem

Quantidade de Mov na Saiacuteda

-= h I- lY l+ A g V g + d ( aacute l V l + aacuteeVl

Forccedila de Gravidade

= ( g f - N P A + P g V

62

b) r e F f l

o p dp^ = Ap^ = perda de pressatildeo por atrito

do liacutequido na altura Ho

Aplicando a formula de Darcy vem

bull API = f bull ir bull ^ iexcl 7

onde

f = fator de atrito

c) e Fftf

o p ^P tpound

= perda de pressao por atrito da mistura

liquido + vapor no trecho de comprimen

to Hbdquo o

Para determinar esta perda de pressao define-se o fator

de multiplicaccedilatildeo R

A P R =

tf A P 1B

Sendo A p ^ a perda de pressao se o comprimento todo fosshy

se ocupado somente pelo liquido assim

A p t f = R A P 1 B

0 calculo de Ap-^ pode ser feito pela formula de Darcy e

o de R nos veremos no item seguinte

63

d)

-e F

d ( ^ )

O P

Ap = perda de pressatildeo por atrito do vapor

No caso do reator BWR o titulo de saida e bera pequeno e

em nenhum caso ocorre a saida de vapor com x = 100 logo a perda

de pressatildeo por atrito do vapor eacute nula assim

An = 0 5

e) Ap

(p A 1 + p A ) dL = Ap - perda de pressatildeo dpound

vida ao desniacutevel

(perda hidrostaacutetica)

Anbdquo = re A A

-S- I (p + p -S ) dL H s 1 A

c o p o A

como A A Jl_ =

A P

A +A-g 1

1-a -

temos

C Q

te j jll-a)p1 + apg)^jdL = p Lo pound

onde

e jo u

+ ap ) ~I dL (Densidade media 1 S J

no tubo)

No nosso caso

Ap u = p H

f)

re d(mV + m V ) _ mdash - laquo -i bull s iquestp laquos p e r d a ltje pressatildeo devido a acele-

c p raccedilatildeo do vapor

V A

(1-x) tl^Vj

(1-a) A

X V

aA

A p -

roV + m V

c p c p L_

m (l-x)m_v m xv nbdquo -1 T 1

+ _S S I (1-a) Ap aA

P

2 g A c p

n 2 2

(1-x) m T

laquo2 8 A c p

2 2 (l-xe) raTv1

2 2 2 xm_v (1-x) m-v e T s o 1 1

a 1 - a

2 2 - x m_v o T g

a

se

X Q 0 (so ha agua nesse trecho)

a = 0 o

temos

mbdquo Ap =

1 a A 2

S A degc p laquo-

tt-V v i 1 - a

2 via T^r - v i

t Apc

2

V v l

5c Ap

1 - a

x v - 1

a e v l

65

Fazendo

G = fluxo total da massa por unidade de area do

canal

(1-x J e

V

AP r

Assim a perda de pressatildeo total sera

H p V II pV r2 P -P = f -24-Iuml+ f R+p 0 1 2g c D e 2g c g c g c

2c2 - Determinaccedilatildeo do fator de multiplicaccedilatildeo (R)

221 - Relaccedilatildeo Martinelli-Nelson

Os autores Martinelli-Nelson determinaram experimental -

te esse fator R para varias LIT1L em funccedilatildeo da pressatildeo e da r NB total J v

qualidade de saiacuteda do vapor no canal Construiacuteram assim vaacuterias

curvas do tipo da figura 9

66

E importante notar que a qualidade do vapor (x) na saiacuteshy

da nao deve ser grande pois como vemos o valor de R cresce muishy

to com um aumento pequeno de x e um valor de R muito grande acar_

reta uma perda de pressatildeo grande pois

^ d u a s fases R ^ f a s e liacutequida

Para resolvermos um problema seguindo o criteacuterio de bdquo

Martinelli escolhemos a curva R = f(px) (para a relaccedilatildeo L

N g ^ j

adequado) e tiramos R com os valores de pressatildeo p e tiacutetulo x

As curvas R = f (p x L T t )IO encontram-se nos ANL 6469 bio I

e 6561

222 - Relaccedilatildeo Lottes-Flinn

Estes autores estudaram o problema para o aquecimento uni

forme do refrigerante com baixo titule Lottes-Flinn fizeram inuacuteshy

meras experiecircncias e verificaram que para fluxo de calor uniforshy

me e baixos titulos R era independente do fluxo de calor fluxo

do refrigerante escorregamento e apenas funccedilatildeo de a g

Como a quantidade de liacutequido eacute muito maior que a de vashy

por a perda de pressatildeo daacute-se principalmente pelo atrito do liacuteshy

quido com a parede Podemos assim escrever a foacutermula de Darcy

na forma diferencial

dz

d = f __ r e amp c

onde

V = velocidade do liquido saturado na cota zbdquo X

f = coeficiente atrito

= densidade do liacutequido saturado

Teoricamente a queda de pressatildeo deve-se ao acreacutescimo de

67

velocidade do liacutequido e da diminuiccedilatildeo da aacuterea de fluxo do liacutequi

do

P fH A P t p

= f D 2g Ho

d z

fazendo

V lo

m V t lo

(velocidade do liacutequido na cota z = Ho)

(1-x) m t v 1

(1-a) A (velocidade do liacutequido na cota z gt Ho)

a bull+ fraccedilatildeo vazio na cota z geneacuterica

V 1 (1-x) m t v 1

m t V l 1 - a

x =s 0 pois o tiacutetulo eacute baixo

A p t f = f bull JT5 c e

fH V lo

H o (1-a) dz

Para fazer a integral devemos achar a relaccedilatildeo de variaccedilatildeo

entre a e z Como o fluxo de calor eacute uniforme a qualidade eacute direshy

tamente proporcional a z

bull laquo x = x e H

z = mdash x X e

Sabemos ainda que (item 113)

x

1 + [ ( I -X)AKQ x + iiacuteraquo

68

como

temos

(1-x) = 1

v

X =

z =

1-a

1 -a

1-a e

a

e

1-a pound

a

1 -a igt (assumindo S = cte)

da

Atf - f bull 2 i ^ ~ J c e o

a 1 - a e e 1 s 4 hmdash) da

a 1-a

f P lv^ Q

0 termo mdash - mdash e a parte de perda de pressatildeo pelo lj^

^c e -quido ou seja Ap liquido saturado e como

Ap

R = tf

Ap liauido saturado

temos que

R J

f ae 1 _ a e 1 4

a 1 -a o e

1 -a r-R =

3 1 -a

a 1 -a imdash

3 vl - a 3

e e

Os valores de R obtidos por esta expressatildeo aproximam-se

muito dos valores obtidos pelos aacutebacos de Martinelli

69

E - EXPANSAtildeO E COMPRESSAtildeO DE UM FLUIDO - ANAacuteLISE HIDRODINAcircMICA

DE UM CIRCUITO EM CIRCULACcedilAtildeO NATURAL

1 EXPANSAtildeO NO FLUXO DE UM FLUIDO

11 - Uma so fase

Figura 1

Ha vaacuterios meacutetodos para determinar a variaccedilatildeo de pressatildeo

numa expansatildeo de fluido estudaremos o de Romie que eacute o que daacute

maior precisatildeo

Romie considera que a pressatildeo p^ tambeacutem atua na aacuterea

imediatamente apos a expansatildeo Assim fazendo o equiliacutebrio das foi

ccedilas nas secccedilotildees tracejadas da figura 1 temos

mVj

p r A 2 + mdash

mV

bull 2- A2

mas

m = pV^A^

pV^A = p V 2 bdquo A 2

V A

v 2 -4r-logo

( P l-P 2) A 2 = f ( V ^ ) - f _ v j amp c c 2

70

2 pV A A pV A A

Chamando A l A ]

K = 1 - T e degi2 = Aiexcl bull V E M

pvj

P l P 2 = T ~ bull ( 2 deg 1 2 ) ( 1 _ a 1 2 )

Outra maneira de chegar atilde diferenccedila de pressatildeo ( P j - ^ ) s mdash

ria usar o coeficiente de perda da mecacircnica dos fluidos Assim o

equilibrio das pressotildees eacute

2 2

1 V l 1 V 2 V l P i + _ p _ ^ P 2 + I p ~ + k 1 2 p mdash

onde = coeficiente de perda

A 2 1 2

k 1 2 - (l-o 1 2) - (1 - j- )

Fazendo as transformaccedilotildees chegamos a mesma expressatildeo obshy

tida pelo balanccedilo das forccedilas

PraquoIacute pr p

2 - - ir ^ laquo-ia

12 - Duas fases

Como ha duas fases a equaccedilatildeo do balanccedilo das forccedilas fica

um pouco alterada

m pound 1 V- m - raquoV - m-V- m bdquoV _ P A + j y ^ i + _gl_JUuml P A + -11-11 + -ilsl (a)

1 2 e R 2 2 ff e

Sabendo que

71

m (1-x) m t = p fA (1-a) V f

entatildeo

fl l-o^ p fA x

6 Vf2 1-x l-a2 P fA 2

m V = mdash mdash e V 0 = gl a 1 P C T A 1 g2

m

a_ p h

2 g 2

Nas expressotildees anteriores o x nao varia porque a expansatildeo

5 adiabaacutetica porem o a varia devido a modificaccedilatildeo do tamanho da

bolha

Substituindo os valores das velocidades na expressatildeo (a)

vera

( P - P ) Abdquo =

2

2 2 m gt2 2 m t (1-x) 1 x t

ra i 2 m i 1 x t 1

p fA 1 g c ttl p Ax gpound

m t P - P = mdash

(1-x) (l-a 1)A 1A 2 (l-a2)A|

a r A r A 2

V A 2

m t P bdquo - P = mdash 2 1 g c A r A 2 p f

(1-x) 1-a f A 2(l-a 2)

bull ^ 2

72

Se

P -P

a

m

g

12

1 _1_ (1-x)

J12

1 _ a l 1 - a 2 + X (- )

Pg

1 deg12 a 2 ^

Sabemos que

mt = V o pf laquo A l

Sendo V q = velocidade do liquido num ponto onde natildeo haja vapor

P 2-P 1

u 2 2 A 2

V pr Ai

V W p f

(1-x) 12

l-a1 l-a2

+ X 2 pf

mdash

l deg12

-1 a 2 _

p -p r 2 Al (2a 1 2)

2 M f w 1 deg12 X (mdash) (

pg al a 2 )+(l-x)C l 1 12

1-a^ l-a2

Devemos notar que esta expressatildeo tambeacutem vale para quando

temos uma fase para isso basta fazer

= c t 2 = 0

X = 0

e recairemos na formula do item anterior

2 pf 1 deg12 Observemos que neste caso o termo x (mdash)( ) nao

Pg al a2

2

73

tem significado pois corresponde a mudanccedila de fase

2 CONTRACcedilAtildeO KO FLUXO DE UM FLUIDO

21 - Uma so fase raquo mdash

Aqui ocorre um fenocircmeno importante pois o fluido ao ser

contraiacutedo nao vai diretamente da area A^ para a area A 0 mas ele

contral-se ate uma area A^ e depois expande-se ate k^

Ao A2

Po IP 2

V 2

Figura 2

Fazendo o equiliacutebrio das pressotildees entre os planos (1)

(0) vem 2 2

pV pV p +~ plusmn - P + i deg bull 1 2 g o 2 g (b)

C x

Fazendo equiliacutebrio da expansatildeo (0) - (2) vem

P o + 2 - f = P 2 + 2 -T + kp- 2 F ( c )

c c b C

Subtraindo (b) - (c)

2 2 2

i p- vj i p- v2 L P l + 2 bull g c

P 2 + 2 2g c

+ k P 2g c

74

Como

P - P = mdash 2 2g

2 2

bull (1 + k) - f bdquo mdash i

k a - f2 ) 2 - d - o c )2

= o

A = a 21

Weisback obteve varias relaccedilotildees entre a e a i] c

01 02 03 a 0624 0632 0643 c

0624 0632

A r v i - V v 2

p -p 1 2

P -P 1 2 2g7

v l =

(1+k) - laquofi- a 2g 21 c

( 1 + k - o 2 1)

X[- V 2 o 2 1V 2

22 - Duas fases

0 valor de k pode ser aproximado para

k = a(l - o 2 1)

onde segundo Richardsons para fluxo de duas fases podemos supor

a = 02

Para fluxo homogeacuteneo sabemos que

75

p = p f (1 -a ) + p o a

podemos supor p bdquo a = 0 pois p e pequeno e fazendo

V = V ~ V fbdquo2 go2 v 2

Substituindo estas duas expressotildees na equaccedilatildeo de uma soacute fase vem

2 2 p V (l-ct) p V (1 -a ) bdquo

P l P 2 = 9g ( 1 + 3 - 3 0 ^ - 0 ^ ) = g (a+1) (l-a^)

Se a = 02

2 12p oV 0

p r p

2 - 9g gt d-) d-sigt

A compressatildeo de um fluido acarreta uma perda de pressatildeo

como pode ser verificado pelas formulas uma vez que lt 1deg

3 ANALISE HIDRODINAcircMICA DE UM CIRCUITO EM CIRCULACcedilAtildeO NATURAL

Esquema deacute uma caldeira com circulaccedilatildeo natural

76

Determinar a velocidade em (7) para que tenhamos circula

ccedilatildeo natural Determinar tambeacutem as perdas de pressatildeo em todos os

trechos da caldeira

31 - Contraccedilatildeo das secccedilotildees (1) - (2)

Como jaacute vimos a equaccedilatildeo do balanccedilo das pressotildees eacute

1 pr Vl 1 p 2 o V 2 P2 V2

1 2 g 2 + 2 g + K12 2g otilde c amp c e c

bullraquo 2 o2 2 e havendo uma soacute fase k 1 9 = (l-o ) = (1 mdash ) e sendo

C 2

p l = p2

v x lt lt lt v 2

P 2 V pr p2 bull ir2 bull ( 1 + k12gt

Colocando em termos de temos

A 2 V 2 P 2 = A 7 V 7 p 7 (continuidade)

V = V mdashbull = V o_bdquo ~ A 2 2 2

P 2 V - p 2

p r p 2 = ir2 - deg72 bull Ccedilrgt bull lt 1 + ki2gt

fazendo

N12 - lt^gt deg72 ( 1 + k12gt

P7 V7

Pr P2 - N12 bull HG

77

3 2 - Perda de carga no trecho ( 2 ) - ( 3 )

Como haacute apenas uma fase soacute temos perdas por atritos e

perdas hidrostaacuteticas

Sendo como jaacute vimos

2 3 p 2 2 g P 2 P 3 = f 2 3 (r~2g^~) L 2 3 g c p

atrito hidrostaacutetica

Substituindo V^ pela relaccedilatildeo do item anterior e tendo em

conta que p = vem

P -P = f 2 r 3 2 3 D

2 3 p 2 bdquo 2 2 p 7 2

2 g 7 72 p 2 3 g

Se

L 2 3 2 p 7

2 3 2 3 D 2 a 7 2 p 2

P 7 V 7 g P 2 - P 3 = N 2 3 ( mdash gt p 2 L 2 3 f

3 3 - Expansatildeo nas secccedilotildees ( 3 ) - ( 4 )

Como vimos o balanccedilo das pressotildees e

2 2 2 p V p 4 V p V

P 3 + 2 g c

P 4 + 2 g c

+ k 3 4 2 g c

onde

k 3 4 - - -

2 2 1 P 4 - V 4 P 3 v 3

P 3 P 4 = 2 g + ( k 3 4 _ 1 ) 2 g

78

Sendo

P 3 - P 4

p 3 o A 3 deg V 3 = P 7

a A 7 o V 7

P 4A 4 0V 4 = P r A r V

3 7 A 3 p 3

A7 P7 V = v mdash mdash 4 7 P 4

P - P 3 r4

Se

P bdquo - P

bdquo2 r-P 7 V 7

3 4 2g deg74 + ( k 3 4 1 ) deg73

34 p deg74 + ( k 3 4 1 ) 73

p r v2

P3- P4 ^ N34 ^ gt

(No caso e negativo)

34 - Contraccedilatildeo nas secccedilotildees (5) - (6)

Ainda temos uma so fase e fazendo o balanccedilo das pressotildees

como fizemos no item 3lt1 vem

P + vil p + vi + k vi P 5 + 2gbdquo P6 + 2gbdquo + k56 2gbdquo

k 5 6 lt 1 ^ gt 2 ( 1 - Iacute 2 i 2 6

V V6 P5degIacute 5^6 ^SS 2g c - 2g c

P - P ^ = (1+kJ

Como

79

A 6

W p 5 =

VV P6 V 5 = V 6 Jiexcl = Vff65

P 5-P 6 - lt H k 5 6 ) mdash ^ mdash (l+k 5 6-a 6 5) c c c

Sendo

Se

A 7 p 7 p 7

6 7 Ag p 6 7 76 p 6

p _p _ P6- V7- g76 iquest72 ( _ 02 P 5 P 6 2g c bull ( p 6

( 1 + k 5 6 deg65 )

p 7 2 2 N56 = p ^ deg76 ( 1 + k 5 6 ~ a 6 5 )

P 7 V 2

7

P r-P = N r 5 6 56 2g c i

35 - Perdas de pressatildeo nas zonas (6) - (7) - Pre^aquecimento

Nesta regiatildeo temos perdas por atrito e hidrostaacuteticas

Nao haacute perda por aceleraccedilatildeo pois ainda natildeo houve formaccedilatildeo de boshy

lhas

Fazendo balanccedilo das pressotildees temos

L_ ppound-V p = p + otilde L - pound _ + f -Si (-21mdashL 6 7 + p67 L67 g + t 6 7 D K 2g

p _ e ifn sao tomados como valores meacutedios 67 67

P _p _ f hl ^67jIacute uuml + - L A

6 F 7 r67 D 2g P P67 L67 g 6 s c 7 c

S e Kr pound67 L67 p67 6 7 D 6 p7

p7 V - _g_ P6- P7 - N67 mdash + P67 L67 f

c c

80

36 - Perda de pressatildeo nas zonas (7) - (8) - Zona de ebuliccedilatildeo

Nesta regiatildeo j aacute temos o aparecimento de bolhas logo a

perda de pressatildeo seraacute devida agraves t recircs parcelas aceleraccedilatildeo a t r i t o

das duas fases liacutequidas + vapor e h idros taacute t ica

onde

Assim

P-P Q = AP + AP + APbdquo 7 8 a t r i t o acel H

T M1

78 p 7 7 AP - R f- - mdash mdashr |R = fator mult ipl ica-

a t r i t o 7 D 7 2 g c L tivo

G 2

AP bull r mdash acel g c

P V

|_1 - o a p J 8 P f

2 t r 2 M2

7 7 r 7 7 A P a c e l = -J^mdash 2 r bull p 7 lt T iexcl iexcl - )

A PH p 7 8 L 7 8 fiexcl

p 7 8 iacute 7 li 1 0 0 P l i q + a P v ] d L = P 7 ( 1 - laquo 7 8 )

ag raquo fraccedilatildeo de vazio media entre 7 e 8

APH = p (1 - 5 7 g ) f- L 7 8

2 2

P 7 - P 8 a 5 - 2 T i + 2 r p 7 + P 7 ( 1 - 7 8 gt f L 7 8 7 amp c amp c amp c

81

N 7g = R mdash + 2 r p 7

P7 V7 P7- P8 = N78 + P 7 ( 1 5 7 8 gt J78

37 - Expansatildeo nas secccedilotildees 8 e 9

No caso haacute uma expansatildeo com duas fases e como vimos no

item 12 a variaccedilatildeo de pressatildeo era dada por

0f Vo P2 P1 = ~2g c ( 2 deg12

x 2 (mdash)(mdash - mdash ) + ( l - x ) 2 ^ T mdash 8 1 2 1

12

Aplicando ao nosso caso

P pound = P 7

P -P = 8 9

V - V raquo V g f 7

P 7 V 2

2 pf 1 a89 2 1 g89 x (mdash) ( ) + (1-x) (- - N

o ou abdquo 1-cu l-ot_) g 8 9 8 9

Se

N 89

= 2 a 89

2 pf 1 deg89 2 1 CT89 x (mdash) ( ) + (1-x) ( T

g 8 9 8 9

P -P = 8 9

- N P7deg V7

89 2gbdquo

38 - Perda de pressatildeo no trecho 9 e 10

No referido trecho temos apenas perda de pressatildeo por atr L

to da fase liacutequido + vapor e perda hidrostaacutetica Natildeo haacute perda por

aceleraccedilatildeo do vapor pois este natildeo recebe mais calor e portanto

o 82 o

nao ha variaccedilatildeo no a

p

Q -p i n = A P

U + A P bull 9 10 H atrito

n T -S_ P9 U10 deg 910 bull g

fio r

910 I 910

J9 L

(l- a)P + Q P I dL liq v

(l-a0) p

No caso a = (nao hatilde variaccedilatildeo de forma)

A P H - (1-a ) P (p L 0

c

AP bdquo = R o

atrito

2 f9 o L910 P9 V9

2g

Supondo

= V

P 9 = P 8 P 7

vbdquo = v 9 8 0 A r

= V 7 bull deg89

AP - R atrito

2 2

W l O p7deg V7deg g89

V P10 R -^T^ bull deg89 bull li-2 + ( W P 7 (fgt SIO

y c c

Se

- f9 L910 2 N9ol0 R Dl deg89

w 2

p rv P9 P10 = VlO + ( 1 a 9 ) p7 (f gt L910 c

33

39 - Perda ciacutee pressatildeo na expansatildeo 9 - 1 0

Analogamente a expansatildeo 8 - 9 temos

10 11 P 7 2g

10 Iacute 2 0 1 0 - 1 1 gt

2 ff

pg aio

10-11

laquo11 ) +

Ll-a 1 0 bull l-a u J

Se

V10 = V 9 = V 8 bull T9 = V 7 deg89

P -P 10 rll = - a 2g 089 ^lO-ll

4 bull T~ bull (7 1 mdash ) + Pg degio a n

+ (l-x)2(- 1 10-11

1 - aio )

N10-ll = 2 a10-ll a89 2 pf t 1 10-11 N2

-(j-r- - ) bull+ (1-x) pg aio deg 1

10-11 k l - a io

prz P10 Pll = - N10-ll bull ( 2gbdquo

310 - Calculo de V

Fazendo a somatoacuteria de todas as expressotildees (P^-Pj) tere-

84

mos 2 PbdquoV_

P bdquo - P bdquo = N 7 v 7

1 2 12 2g

bull 2 - P 3 - = N 2 3 P 2 L 2 3 f c ccedil

9 P 7 V 7 P _p = N mdash -

3 4 34 deg 2g

V P 5 = deg

2 P V

5 6 56 2 g c

ltr2

P 7 -V 6 e7 -N67 2g + p 6 7 J j67 g

c bc v 2

P 7 - P 8 = N 7 8 - 2 i ~ + p 7 ( 1 - laquo 7 8 ) L 7 8 c

P 7 V 7

P - P - -N mdash - -8 9 89 2g

c P 7 V 7

P 9 ~ P 1 0 VlO 2g + ( 1 a 9 P 7 L 9 c

P 7 V 7

bull10 11 U10-ll 2g

P v iacute j P - P

1 11

7 - v 7 3 bull r

2 8 i U L 2 23 67

(l-5 7 8) L 7 8 + ( l - laquo 9 ) P 7 bull SlOtilde]- ^

Por ou t ro lado sabemos que como secccedilotildees 1

mesmo n iacute v e l

85

s c p r v 7 j

28 Z N i ij

= P 2 L23 p67 L67 P 7 ( 1~deg78 )

78 ~ ^g) bull P 7 bull L 910 g_

V - 2 g ( p r L 2 3 - p 6 r L 6 7 - p 7 ( l - atilde 7 8 ) L 7 8 - (l-a9) p L 9 a ( )

y N

Com esse valor de podemos determinar todas as variashy

ccedilotildees de pressatildeo (P^-P )

BIBLIOGRAFIA

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tituto de Energia Atocircmica de Sao Paulo em 1966 (roteiro)

- WR Gambill - Nuclear Safety

Vol 9 - n9 5 e 6

Vol 6 - n 2 (pag 152)

Vol 4 -r n9 1 (pag 30)

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- WRo Gambill - Chemical Eng Prog ndeg 54 (Outubro)

~ El Wakil - Nuclear Power

- Jakob Max - Heat Transfer (vol I)

Mc Adams - Heat Transmission

- Paul A Lottes - Argonne National Laboratory

- AKL - 6469

- ANL - 6561

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Frank Kreith - Principles of Heat Transfer

Journeacutees Internationales de la transmission de la chaleur

Seminaacuterios realizados em Paris em 1961 sob a supervisatildeo do

Prof Marcel Veron

Notas de aula da Cadeira de Termodinacircmica I e Transmissatildeo da

Escola Politeacutecnica da Universidade de Sao Paulo

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3 6

72 - Ebuliccedilatildeo por peliacutecula

Bromley propocircs uma boa equaccedilatildeo para a ebuliccedilatildeo por peliacuteshy

cula estaacutevel em cilindros horizontais

Nu

_ JtjD n r 9 P v bull ( P L - P v gt - g -h

e V bull D i2

D 1 ^ U b Z u At gt

onde

V = indica vapor

L = indica liacutequido

Multiplicando ambos os membros da equaccedilatildeo acima por

kvD obteremos a expressatildeo do coeficiente de convecccedilagraveo meacutedio para

o caso

37

C - FORMULAS PARA CAacuteLCULOS ESPECIacuteFICOS - RESULTADOS ESPECIacuteFICOS

1 FLUXO DE CALOR CRIacuteTICO - BURNOUT

lol - Introduccedilatildeo

O aspecto mais importante no que se refere agrave seguranccedila

dos reatores da transferencia de calor na ebuliccedilatildeo eacute a determina

ccedilatildeo do Fluxo de calor critico ou de pico ou burnout

Como jatilde vimos quando temos a ebuliccedilatildeo nucleada a dishy

ferenccedila de temperatura entre refrigerante e superfiacutecie de aqueci

mento e pequena poreacutem quando atingimos o fluxo de calor criacutetico

essa diferenccedila de temperatura pode tornar-se imediatamente muishy

to grande podendo causar a ruptura da superfiacutecie de aquecimento

se atiigirmos o ponto de fusatildeo do soacutelidoraquo

Usando a convecccedilao

onde

At sat

w

sat At

sub

w = temperatura da parede de aquecimento

t t = temperatura de saturaccedilatildeo do liacutequido

t^ = temperatura de mistura do liacutequido

At = (t -t ) sub-resfriamento do liacutequido sub N sat b 1

nout

Ha dois tipos de burnout fast burnout e slow bur-

Ocorre o fast burnout (burnout raacutepido) quando A t g u b gt 0

38

ou para baixo x (~ lt 10) sendo x o titulo do vapor

Temos o slow burnout para x - gt 10 Assim noacutes tereshy

mos dois limites para o burnout

At bull o (ltJgt ) t =((() para t = t ) -

bo m m possiacutevel w sat

sub i

4L + 1

G c D h pl nb

(ltK ) = (ltpound para x = 1) = Dv-bo max possiacutevel e 4L

c At l + P 1 sub i

onde

L = comprimento do canal

D = diacircmetro do tubo

G = descarga de liacutequido (por unidade de aacuterea)

c ^ = calor especiacutefico do liacutequido

Agrave = calor latente de vaporizaccedilatildeo

h ^ = coeficiente de transferecircncia de calor na regiatildeo de

nao ebuliccedilatildeo

iacutendices

i = entrada

e = saiacuteda

Haacute inuacutemeras expressotildees para determinaccedilatildeo do burnout pro

postas por muitos fisicos cada uma aplicando-se a um caso especiacuteshy

fico vejamos algumas delas

12 - Equaccedilotildees para prediccedilatildeo de Burnout

121 - Equaccedilatildeo de Bragg e Smith (Zuber)

Num artigo publicado por Bragg e Smith encontramos uma f oacute_r

mula que e derivada da formula de Kutateladze e nos daacute o fluxo cri

39

tico quando nao temos sufaresfriamento

bo poolsat v V raquoc a ( p l P V )

2 PV

14

onde

ltiexclgt = fluxo de calor critico bo

k = constante

Ly = calor latente de vaporizaccedilatildeo do refrigerante

= densidade do liquido

pvr = densidade do vapor V a = tensao superficial

g = fator de conversatildeo c

a = aceleraccedilatildeo da superficie de aquecimento

Os autores encontraram para k um valor de 062 entreten

to outros autores como Zuber incluindo outras variaacuteveis que In

fluiam no fenocircmeno encontraram k variando entre 008 e 023Esshy

tudos bem elaborados mostram que o valor mais aproximado eacute

k = 015 (- 003)

1-22 - Equaccedilatildeo de Noyes

Noyes estudou o burnout para o soacutedio agua e alguns liacute

quidos orgacircnicos

( W s a t ~ bdquo 0245 bull ( r ( 1 )

iiacute_ V 1 Pr

onde

N n = Nuacutemero de Prandtl da fase liacutequida x r

Mais tarde o proacuteprio Noyes alterou a equaccedilatildeo para

n ^ - n H Iacute I Pl PV gt0538 deg g c a q 4 ( W s a t deg 1 1 6 PV ( - p 7 ~ ) (77T1^ ) ( 2 )

40

A ultima correlaccedilatildeo proposta por Noyes foi

a n prPV0560 112

1

(a bull a) 13

(ag c) 112

(3)

onde

a = difusividade teacutermica do liacutequidoraquo A equaccedilatildeo (3) eacute bashy

seada em todos os dados de burnouts do soacutedio bem

como da atildegua benzeno difenil e outros De 111 pontos usados 90

+ estatildeo relacionados dentro de - 30bdquo

ldeg2o3 - Burnout com convecccedilao forccedilada e sub-resfriamen

to

Aproveitando os resultados de aproximadamente 240 testes

de burnouts com aacutegua sub-resfriada em fluxo de convecccedilao forccedilashy

da feitos na Ruacutessia Labuntsov elaborou uma boa equaccedilatildeo empiacuterica

para o problemabdquo

Esta relaccedilatildeo aplica-se para velocidades entre 2 3 e 148

ftsec pressotildees entre 1 e 201 atmabs sub-resfriamento entre 0 deg

e 432 degF e fluxos de burnout entre 0 4 x IO 6 x 166 x 1 0 6 BTUhr

2 bdquo

bullbo

onde

e a seguinte

6 ( P ) 1 + 0 2 3 2 V 2

14

e ( P ) 1 +

15 c At _p_ sub

12 (a)

9 ( P ) - P 1 3 o ( 1 - P J 4 3

red

= pressatildeo (atm abs)

pressatildeo reduzida = mdash mdash red r P

t_ c = pressatildeo critica

= velocidade do liacutequido (ftsec)

= calor especiacutefico do liacutequido (BTUlbdegF)

4 1

^ tsub = ^ ^ e r e n Ccedil a ^ e temperatura entre a temperatura de

mistura do liacutequido e a de saturaccedilatildeo (degF)

X = calor latente de vaporizaccedilatildeo (BTUlb) 2

ltiacutegtbo = fluxo de burnout (BTUhrfl )

Uma outra correlaccedilatildeo para o caso foi proposta por

Ornatsky e Xiohigin que fizeram experiecircncias para pressotildees entre

10 e 1 5 0 3xm 90 degF lt At ^ lt 4 5 0 deg F 3 7 1 0 6 ( l b h r o f t 2 ) lt G lt

2 2 2 10 b ( l b h r bdquo f t 2 )

lt ^ = 3 2 5 0 (G o A t bdquo J deg 6 ( - i - ^ ) 2 5 ( b ) bo sub

onde

G - descarga de refrigerante por unidade de aacuterea

P ^ v P v - densidades do liacutequido e do vapor

P1~ PV -0 termo (mdash ) e incluido na expressatildeo (b) para indicar

a influecircncia da ^ pressatildeo sobre o

Uma comparaccedilatildeo entre as equaccedilotildees (a) e (b) foi feita para

o Reator de Isoacutetopos de Alto Fluxo (HFIR) nas condiccedilotildees aacutegua a

600 psia velocidade = 45 ftsec e sub-resfriamento = At^^ 1

degF obtendo-se uma diferenccedila de 6 5 entre ambos (4gt = 6 0 5 1 0 b

2 ~ 6 2 BTUhr ft pela equaccedilatildeo (a) e 6 4 5 10 3TUhrraquoft pela equaccedilatildeo

(b)

Ilatilde ainda a equaccedilatildeo de Ivey e Morris aplicaacutevel somente pa_

ra ebuliccedilatildeo com grande quantidade de liacutequido

( c sub t

Cpf bull A tsub

( bull ) s ~ V P bdquo 10 h V sat V g

onde

(ltL ) = fluxo critico com sub-resfriamento c sub

(ograve ) ^ - fluxo critico sem sub-resfriamento c sat

42

c ^ = calor especiacutefico do liacutequido

= calor latente de vaporizaccedilatildeo

124 - Burnout com convecccedilao forccedilada e ebuliccedilatildeo por bocirc-

Ihas

Gambill fez uma extensatildeo da equaccedilatildeo de Levy e aplicou o

metqdo da superposiccedilatildeo Tal extensatildeo consiste natilde subtraccedilatildeo de uma

razatildeo equivalente de massa transferida dos termos que represenshy

tam a ebuliccedilatildeo e convecccedilao para levar em conta a presenccedila do vashy

por no fluxo

A correlaccedilatildeo pode ser escrita assim

24 V P V

o g c a (p^Py) 14

+ 0696 (k p c ) 12

(

pr p v )i4 o g c a (P-L-Py) 18

bull At + h sub nb

044 p v L v G (g1) bull N2 n

p l P V

( pr p v ) d e 2-7

2 4 TT 0

14 ( f e _ ^ r l 3

lO^u

onde

k = condutividade teacutermica

c = calor especiacutefico

A t s u b ~ s ub-resfriamento do liacutequido

h = coeficiente de transferecircncia de calor de nao ebu nb mdash

liccedilatildeo

G = descarga total do refrigerante

43

d g = diacircmetro equivalente do tubo ou canalraquo

]i = viscosidade

B = constante adimensional

Os iacutendices V e 1 representam vapor e liacutequido respectiva

mente

0 primeiro termo entre chaves da equaccedilatildeo representa o flu

xo de calor no burnout de sub-resfriamento em convecccedilao forccedilada 0

segundo termo entre chaves corresponde ao fluxo de calor transferi^

do para a massa da fase vapor

1-25 - Burnout por Bloqueio da Base

Ocorre quando a profundidade do recipiente eacute muito maior

que a largura 0 bloqueio da base eacute causado pela formaccedilatildeo de uma pe_

licula de vapor na base impedindo que o liacutequido toque o fundo do

recipiente

i De

Este eacute o burnout por flooding isto eacute burnout por expul

sao do liacutequido Uma equaccedilatildeo que nos dacirc o fluxo minimo do burnout

parao caso eacute

44

onde

D g = diacircmetro equivalente

L = comprimento do tubo

= calor de vaporizaccedilatildeo

p^Py Ap = densidade do liacutequido do vapor e diferenccedila en

tre ambos

Para um fluxo de calor maior ou igual ao dado pela expres_

sao acima (mantida a mesma geometria) teremos burnout Para um deshy

terminado fluxo existiratildeo sempre um comprimento L e um diacircmetro equi

valente D e para os quais temos burnout Exemplo

L (in) D e(in)

10 11

100 51

1000 235

2 RESULTADOS ESPECIacuteFICOS - FOacuteRMULAS PARA CAacuteLCULOS ESPECIacuteFICOS

21 - Diferenccedila de temperatura At i

13 a t

sat

At sat

poundatildeJL_ raquo t - t J p T T 6 w sat

onde

o laquo tensatildeo superficial entre liquido e vapor

t - temperatura de saturaccedilatildeo do liacutequido para a corres-Scl t

pondente pressatildeo

J equivalente mecacircnico do calor

X laquobull calor latente de vaporizaccedilatildeo

py = densidade do vapor

6 = espessura da camada de liacutequido superaquecido onde

45

k l

h nc

onde

k^ = condutividade teacutermica do liacutequido

h = coeficiente de peliacutecula nc r

Segundo Eckent h ^ c e dado por

P 2 Q

nc 3 V VP + 0952

r

onde

D = diacircmetro equivalente

G r = numero de Grashoff

P = nuacutemero de Pradtl

2 o 2 - Velocidade das bolhas

A velocidade das bolhas em meacutedia pode ser dada pela exshy

pressatildeo

V bdquo = Iacute ( a bull B Apl4 bolhas 5 ^ 2

p l onde

AP = P L - P v

Expressatildeo que vale quando a aceleraccedilatildeo eacute a da gravidade

baixa viscosidade do liacutequido e bolhas separadas

Vbolha = f t s e atilde m a x para aacutegua

2 bdquo3 - Diacircmetro das bolhas

2gc deg 12 D = 0015 3 ( mdash mdash 7 ~ ) d g Ap

5 =

46

onde

8 = acircngulo de contato (20 a 90deg) geralmente assume-O -1

-se igual a 50 para a agua em contato com metal

24 - Coeficiente de peliacutecula na ebuliccedilatildeo nucleada

a) Equaccedilatildeo de Rohsenow

Esta equaccedilatildeo nos datilde o fluxo de calor q na ebuliccedilatildeo nushy

cleadaraquo E oacutetima expressatildeo para muitos liacutequidos o efeito da presshy

satildeo eacute levado em conta na variaccedilatildeo das propriedadesraquo

Pf

fg

sat 17 = c

sg k y f h f g g( P f-p g)

n033

onae

Pf

fg

Pf Pg c sg

= fluxo de calor requerido (BTUhr0ft^)

= calor especiacutefico do liacutequido saturado (BTUlbm0F)

= calor latente de vaporizaccedilatildeo (BTULbm)

= nuacutemero de Prandtl

= viscosidade do liacutequido (lbrahrraquoft) ~ 8 2

= fator de conversatildeo 417 10 Ibmftlbflaquohr 2

= aceleraccedilatildeo da gravidade (fthr )

= tensatildeo superficial na interface liacutequida vapor

(lbfft) 3

densidade do liquido e vapor (lbmft )

constante adimensiacuteonal que depende de vaacuterios fashy

tores dentre os quais o grau de aquecimento en_

tre o fluido e a superfiacutecie de aquecimento e o

mais importanteraquo Independe da pressatildeo do sistema b) Equaccedilatildeo de Levy

Equaccedilatildeo valida para a aacutegua quando 100 lt p lt 2000 psiacutea

47

43 bdquo3

qu bdquo gat ^ T J h r t f t ^

495

25 - Calculo do fluxo de calor no Ponto de Leidenfrost

0 ponto de Leidenfrost como vimos eacute o ponto em que oflu

xo de calor comeccedila ncamente a crescer isto eacute o ponto onde termal

aa a ebuliccedilatildeo instaacutevel e comeccedila a ebuliccedilatildeo por peliacutecula estaacutevel Eacute

o chanado fluxo miacutenimo (egrave ) m m

Aproximadamente quando A t g u k = 0 temos

A _ mdash _ mdash (Gambill) m m 5

Ha entretanto varias expressotildees para determinar esse flu

xo eis uma delas

A p 14 ltjgt = 009 h pbdquo (o raquo g mdash ) y m m fg P V deg 2

p l

26 - caacutelculo do fluxo de calor na regiatildeo de ebuliccedilatildeo por peliacute

cuia estaacutevel

para cilindros jmdashi i li

_ D 0172 k-V - P V A p h l V bull S 14 li - = 062 (mdashmdash) (- j- r rmdash) convecccedilao A 0 ybdquo (t -t )

c V w sat

onde

= condutividade do vapor

- 2 TT ( mdash )

c gAp Vl = significam vapor e liacutequido respectivamente

para paredes verticais

L 0172 S deg7 A p bull hlV S q 4 h - - 080 (-^-)J- (-Iuml - Iacutemdash-convecccedilao X L u (t - t J)

c V w sat

48

Como nesta regiatildeo jaacute haacute nina influecircncia marcante da radia

ccedilao devemos levar en conta tambeacutem o coeficiente de peliacutecula de

vido a radiaccedilatildeo para determinar o coeficiente de peliacutecula total

Dos estudos atildea radiaccedilatildeo temos

h = a F pound(T 4 - T 4 J ( T ~ T ) rad w sat w sat

onde amp _ emissividade de superfiacutecie

a = constante de Stefan-Boltzman

F = fator de forma

Segundo WE Gambill o coeficiente de transmissatildeo total

ceve ser

3 iacutei = h + -7 h para h lt h t conv 4 rad r rad conv

Na expressatildeo acima existe o fator 34 porque a radiaccedilatildeo

faz variar um pouco a espessura do filme de vapor reduzindo asshy

sim o l l

conv

Quando tivermos h gt h gt o h^ ^ seraacute rad conv total

h f c = h + h t conv rad

Neste ultimo caso nao ha nenhum coeficiente porque a peshy

liacutecula de vapor jaacute eacute estaacutevel

27 - Grandezas caracteriacutesticas para a apua

Para pressatildeo igual a 1 atm = 1422 psia

At ^ = t - t = 5degC (iniacutecio da ebuliccedilatildeo nucleada) sat w sat 1

At t = 30degC sat crit

49

5 2 $ = 4 10 BTUhrft (para pressatildeo 1 atm)

0 fluxo critico cresce como vimos com a pressatildeo ate

atingir o maacuteximo quando a pressatildeo eacute aproximadamente 13 da pressatildeo

criacutetica Esse fluxo eacute

bull = 13 IO 6 BTUhrft 2 para p = 11000 psia (p pound = 32062 psia)

Ainda temos que para pressatildeo igual a 15 psia

h b o = 11000 BTUhrft degF - ebuliccedilatildeo nucleada

h f b = 30 BTUhrft 2 degF - ebuliccedilatildeo pelicular

Todos os resultados e formulas para caacutelculos especiacuteficos

apresentados nos itens 21 22 23 ateacute 27 sacirco aplicados somente

para sistemas onde haja ebuliccedilatildeo com grande quantidade de liquido

51

D - HIDRODINAcircMICA DOS SISTEMAS E QUEDA

DE PRESSAtildeO DENTRO DE UM CANAL

1 HIDRO-DINAcircMICA E QUEDA DE PRESSAtildeO

11 - Hidro-dinacircmica dos sistemas estaacuteveis

111 - Regimes de escoamento

A evoluccedilatildeo do escoamento ao longo de um canal aquecedor

de secccedilatildeo constante ciliacutendrico pode ser esquematizada pela figushy

ra 1 onde temos em abcissa o comprimento z do canal e em ordenada

a temperatura (T)

52

Na figura 1 nos representamos

a) 0 aspecto do escoamento fluido quando a entalpia do

- fluido aumenta Verificamos que o fluido entra no cashy

nal no estado liacutequido e assim permanece ateacute atingirmos a zona de

ebuliccedilatildeo local onde aparecem as primeiras bolhas A entalpia do

fluido continua aumentando e tem inicioa ebuliccedilatildeo franccedila onde as

bolhas se unem formando agregados posteriormente o escoamento to

ma a forma da figura ou seja torna-se anular disperso Finalmente

atingimos duas uacuteltimas fases do escoamento disperso (vapor uacutemido)

e vapor seco

b) A evoluccedilatildeo da temperatura meacutedia do fluido e da tempeshy

ratura da parede Note-se que a partir da cota a

temperatura da parede aumenta brutalmente podendo causar o

burnout

c) A evoluccedilatildeo do tiacutetulo do vapor (x) com o comprimento

do tubo e a evoluccedilatildeo da fraccedilatildeo (a) que definiremos no

item 11laquo2 com o comprimento do tubo

112 - Definiccedilotildees

a) Tiacutetulo ou qualidade do vapor (x)

massa de vapor na mistura x ~ massa total da mistura

x =

W _g_

g f

b) Fraccedilatildeo vazio (void fraction)

volume do vapor na mistura a = volume total da mistura (agua+vapor)

A relaccedilatildeo entre x e a num sistema parado pode ser obtida

assumindo um certo volume contendo 1 lbm de mistura em equiliacutebrio

teacutermicoraquo

53

O volume da mistura seraacute igual a (v + xv ) ft onde v eacute 3 r rg

o volume especifico (lbmft )

f - refere-se ao liquido

g - refere-se ao vapor

fg - refere-se a diferenccedila entre liacutequido e vapor

Numa mistura em equiliacutebrio se o liacutequido e o vapor estatildeo

saturados o volume do vapor presente eacute igual acirc sua massa vezes

seu volume especiacutefico v assim e

xv bdquo bdquo a mdash

V c + XV c

f gf

onde

- bull-bull uumlutiacuteisa vapor na mistura de 1 Ibm

v volume especiacutefico do liacutequido

v = volume especiacutefico do vapor o

V c = v - V

gf 8 r

Fazendo uma transformaccedilatildeo na expressatildeo acima temos

xv xv JS = Z-

v r+ x(v -v c) xv +(l-x)v t ri f g f g f 1 + Ul-x)xjv fv

1 + C(l-x)x]]vfvg

A fraccedilatildeo vazia tem a influencia de baixar a reatividade

do nuacutecleo nos reatores em que o refrigerante eacute tambeacutem moderador

Na equaccedilatildeo acima os valores de x e v sao tomados em tabe

las termodinacircmicas apropriadas para a pressatildeo do sistema A equashy

ccedilatildeo (1) mostra os grandes valores de a para pequenos valores de x

especialmente para baixas pressotildees Isto ocorre porqueaumentando

54

aacute pressatildeo o v decresce muito enquanto que o v f eacute mais ou menos da

mesma ordem de grandeza

Exemplo Calcular o a correspondente para x raquo 2 para aacutegua

leve atilde pressatildeo atmosfeacuterica

Da tabela para p laquobull 1 atm

v - 001672 ft 3lbm e v - 26800 ft 3lbm

1 + [(1-002)002] 001672268

0971 ou 97U

O grafico abaixo mostra a variaccedilatildeo do a com x para vaacuterias

pressotildees e para a aacutegua leve

x ()

tObservaccedilotildees da curva

Fig 2

1 - para x constante a decresce com a pressatildeo Para presshy

sotildees proacuteximas da criacutetica a aproxima-se rapidamente de

x Para a pressatildeo criacutetica as duas fases satildeo indistinguiacuteveis ea=x

2 - para cada pressatildeo dotdx decresce com aumento de x

3 - para baixos valores de x (que e o caso dos reatores

tipo Boiling) quando p decresce dadx cresce e torr

na-se muito grande paacutera baixas pressotildees Isto tem relaccedilatildeo com a epound

55

tabilidade do reator como veremos mais tarde

113 - Sistemas com fluxo

Todas as definiccedilotildees que noacutes vimos no item anterior refeshy

rem-se acirc sistemas em que a mistura esta fechada no recipiente Nes^

te caso natildeo havia movimento relativo entre as duas fases No entan

to se as duas fases da mistura se movem na direccedilatildeo vertical em

canais entre os elementos combustiacuteveis o vapor por causa de sua

flutuaccedilatildeo tem a tendecircncia de escorregar sobre o liacutequido isto e

move-se com velocidade maior do que a do liacutequido

Real Modelo

Pig 3

S -

Define-se neste caso a relaccedilatildeo de escorregamento (slip

ratio) (S) como sendo

V _i

V f

onde

V = velocidade do vapor

= velocidade do liquido

S modifica as relaccedilotildees entre a e x do item anterior S geralmen_

te gt 1 Define-se neste caso qualidade do vapor ou tiacutetulo como

sendo

_ fluxo de massa de vapor

fluxo de massa da mistura

Entatildeo se o fluxo de massa da mistura eacute m t(lbmhr) o flushy

xo de vapor seraacute = x m e o fluxo de liacutequido sera (1-x) m onde x

56

e o titulo do vapor para a particular secccedilatildeo (AL) da figura (3)

Devemos notar que neste caso x varia de secccedilatildeo para secshy

ccedilatildeo do tubo o exposto no paraacutegrafo acima vale considerando-se que

x e a permaneceram constantes na secccedilatildeo de espessura AL

Aplicando a equaccedilatildeo da continuidade as velocidades do va

por e liacutequido sao dadas por

o xm v

V vazatildeo = g g area A

V

(1-x) amp t v f

f A f

onde A e A f sao as aacutereas medias perpendiculares ao fluxo se as

duas fases sao imaginadas completamente separadas uma da outra

(figura 3) Assim temos

V x m v o A_ A v 0 ^ - 2 = iacute S t m _2L- JL JS m

V A (l-x)ui v 1-x A v U

f g t f g f

Sabemos ainda que para a secccedilatildeo considerada

volume do vapor na mistura a = volume total da mistura (agua+vapor)

A AL A pound g g

a = mdash a a = - mdash 1

(A+A )AL A f + g

A ou f _ 1 - a

A a 8

Substituindo em (2) vem

57

Esta expressatildeo pode ser rearranjada e obteremos uma relashy

ccedilatildeo entre x e a levando em conta o escorregamento Chega-se a

a = 1 ( 3 )

1+ [U-x)x3 igt

onde

v 4 laquo -- S

v lty o

Note-se que quando S=l (nao haacute escorregamento) caimos na

expressatildeo dada no item anterior

0 efeito do escorregamento eacute decrescer o valor de a pa_

ra um mesmo xbdquo Isto pode ser visto pela foacutermula (3) pois S gt lLo

go a decresce com acreacutescimo de S

Um alto S e entatildeo uma vantagem tanto para a transferecircnshy

cia de calor como para efeitos de moderaccedilatildeo Eacute uma vantagem para

transferecircncia de calor porque alto S significa alto V e portanto

maior turbulecircncia e maior contato do liquido com as paredes quenshy

tes Ha tambeacutem melhorias na estabilidade da reaccedilatildeo nuclear isto

porque como jaacute dissemos quando mdash7 diminui a estabilidade aumenshy

ta isso pode ser verificado observando a curva a versus x para a

agua leve a 1000 psiabdquo

Fig 4

58

A relaccedilatildeo entre x e a da equaccedilatildeo (3) so vale para secccedilatildeo

de tubo bem pequena

Devemos notar que S varia tambeacutem com a pressatildeo e velocida^

de de entrada do liacutequido no tubo Este efeito pode ser observado na

figura 5 abaxxo obtida esperimentalmente

s

3

~^ ~ psig

x = 001

V 1

Fig 5

Nos projetos de reatores como veremos adiante o valor a

geralmente eacute determinado por consideraccedilotildees nucleares (moderaccedilatildeo) 0

valor de S eacute determinado atraveacutes de uma estimativa ou entatildeo atrashy

veacutes de um graacutefico do tipo da figura 5 0 correspondente valor de x

pode ser obtido de uma foacutermula empiacuterica do tipo

1 = 1 (-S)0gt67

proposta por Von Glahn

Em muitos casos assume-se S constante em todo o comprimeiv

to do canal poreacutem eacute um erro que em muitos casos nao pode ser coshy

metido

4 REATORES EM QUE 0 LIacuteQUIDO B MODERADOR E CIRCUITO PRIMAacuteRIO AO

MESMO TEMPO BOILING-REACTOR (BWR)

A aacutegua ao se movimentar atraveacutes dos vaacuterios canais do

59

Boiling-reactor encontra vaacuterias resistecircncias ao fluxo que provoshy

cam uma reduccedilatildeo de pressatildeo no fluido

As duas perdas mais importantes sao perda de pressatildeo por

atrito e perda de pressatildeo causada pela aceleraccedilatildeo do refrigerante

ao aumentar de volume por receber calor num canal Outras perdas

de pressatildeo seriam a obstruccedilatildeo ao fluxo por corpos submersos (espa_

ccediladores juntas de tubos chaves etc) e por mudanccedilas abruptas de

aacuterea de fluxo tanto na entrada como na saiacuteda do tubo

Essas perdas de pressatildeo devem ser conhecidas o melhor popound

sivel principalmente nos reatores BWR Para tanto devemos saber

o comprimento de canal em que nao ha a ebuliccedilatildeo isto eacute qual o com

primento de canal em que o refrigerante vai da temperatura de sub-

resfriamento ate temperatura de saturaccedilatildeo

Seja o elemento combustiacutevel

Aquecimento Uniforme Aquecimento Senoidal

Fig 6 Fig 7

onde

H =

H = o

H b

comprimento do elemento combustiacutevel

cota onde o liquido se torna saturado

comprimento do elemento combustiacutevel em que ocorre

ebuliccedilatildeo

60

qg = calor sensiacutevel acrescentado ao liquido para satushy

raacute-lo

qfc = calor total acrescentado ao liacutequido em todo o com

primento do canal

laquoo

q s J o qiquest sen (IIzH) n H o

T~ = TH = 2 ( 1 c o s gt ( a )

q 1 sen (HzH) Jo ^c

A expressatildeo (a) vale quando tivermos uma adiccedilatildeo de calor

senoidal para qualquer outra forma de adiccedilatildeo de calor faz-se um

caacutelculo anaacutelogo

Outra relaccedilatildeo entre q g e qfc eacute dada pela termodinacircmica

q h- - h s f m (b)

(hr +x h )-hm ^t f e fg

onde

= entalpia para o liquido saturado a pressatildeo correjs

pondente (cota z = Ho)

hffi = entalpia do liacutequido na entrada do canal

x = tiacutetulo do vapor na saiacuteda

= entalpia do vapor

Com a relaccedilatildeo (b) noacutes determinamos a relaccedilatildeo q q ecom

S L

uma relaccedilatildeo do tipo (a) (conforme seja o adicionamento de calor ao

liacutequido) podemos obter a relaccedilatildeo HoH e consequentemente H^H

21 - Perda de pressatildeo num canal de evaporaccedilatildeo

Neste item iremos determinar as perdas de pressatildeo mais

representativas que ocorrem num canal de evaporaccedilatildeo de um reator

P + dP

bull1 i- 1 gti i i

dL

onde

UM

Icirc H Icirc Icirc T dF f t f

61

Quantidade de Mov na Entrada

= i- rigVg)

dF f l

Fig 8

m i

m 8

V l V 8

A P

dF

dF

dF

fg

fl

ftf

descarga do liacutequido

descarga do vapor

velocidade do liquido

velocidade do vapor

aacuterea transversal do canal

forccedila de atrito do vapor com parede

forccedila de atrito do liacutequido com parede

forccedila de atrito das duas fases liacutequido+vapor

Fazendo o balanccedilo das forccedilas considerando o sentido posjL

tivo na vertical temos

A (P-P-dP)-(dF +dF _+dF _)-(-pound-) (p A+p A )dL = mdash dGnV+m V ) P fg ftf fl g c 1 1 g g g c

v 1 1 g g 7

- dP = ~ (dF +dF--+dF)+- S--7=- (p A+p A )dL+ mdash ~ - d (m-V+m V ) A_ fg ftf fl g c Ap v^l 1 g g g A 11 g g

Fazendo a integraccedilatildeo termo a termo entre os dois extreshy

mos entrada e saiacuteda e considerando a pressatildeo de entrada igual a

P q e a de saiacuteda igual a Pe vem

Quantidade de Mov na Saiacuteda

-= h I- lY l+ A g V g + d ( aacute l V l + aacuteeVl

Forccedila de Gravidade

= ( g f - N P A + P g V

62

b) r e F f l

o p dp^ = Ap^ = perda de pressatildeo por atrito

do liacutequido na altura Ho

Aplicando a formula de Darcy vem

bull API = f bull ir bull ^ iexcl 7

onde

f = fator de atrito

c) e Fftf

o p ^P tpound

= perda de pressao por atrito da mistura

liquido + vapor no trecho de comprimen

to Hbdquo o

Para determinar esta perda de pressao define-se o fator

de multiplicaccedilatildeo R

A P R =

tf A P 1B

Sendo A p ^ a perda de pressao se o comprimento todo fosshy

se ocupado somente pelo liquido assim

A p t f = R A P 1 B

0 calculo de Ap-^ pode ser feito pela formula de Darcy e

o de R nos veremos no item seguinte

63

d)

-e F

d ( ^ )

O P

Ap = perda de pressatildeo por atrito do vapor

No caso do reator BWR o titulo de saida e bera pequeno e

em nenhum caso ocorre a saida de vapor com x = 100 logo a perda

de pressatildeo por atrito do vapor eacute nula assim

An = 0 5

e) Ap

(p A 1 + p A ) dL = Ap - perda de pressatildeo dpound

vida ao desniacutevel

(perda hidrostaacutetica)

Anbdquo = re A A

-S- I (p + p -S ) dL H s 1 A

c o p o A

como A A Jl_ =

A P

A +A-g 1

1-a -

temos

C Q

te j jll-a)p1 + apg)^jdL = p Lo pound

onde

e jo u

+ ap ) ~I dL (Densidade media 1 S J

no tubo)

No nosso caso

Ap u = p H

f)

re d(mV + m V ) _ mdash - laquo -i bull s iquestp laquos p e r d a ltje pressatildeo devido a acele-

c p raccedilatildeo do vapor

V A

(1-x) tl^Vj

(1-a) A

X V

aA

A p -

roV + m V

c p c p L_

m (l-x)m_v m xv nbdquo -1 T 1

+ _S S I (1-a) Ap aA

P

2 g A c p

n 2 2

(1-x) m T

laquo2 8 A c p

2 2 (l-xe) raTv1

2 2 2 xm_v (1-x) m-v e T s o 1 1

a 1 - a

2 2 - x m_v o T g

a

se

X Q 0 (so ha agua nesse trecho)

a = 0 o

temos

mbdquo Ap =

1 a A 2

S A degc p laquo-

tt-V v i 1 - a

2 via T^r - v i

t Apc

2

V v l

5c Ap

1 - a

x v - 1

a e v l

65

Fazendo

G = fluxo total da massa por unidade de area do

canal

(1-x J e

V

AP r

Assim a perda de pressatildeo total sera

H p V II pV r2 P -P = f -24-Iuml+ f R+p 0 1 2g c D e 2g c g c g c

2c2 - Determinaccedilatildeo do fator de multiplicaccedilatildeo (R)

221 - Relaccedilatildeo Martinelli-Nelson

Os autores Martinelli-Nelson determinaram experimental -

te esse fator R para varias LIT1L em funccedilatildeo da pressatildeo e da r NB total J v

qualidade de saiacuteda do vapor no canal Construiacuteram assim vaacuterias

curvas do tipo da figura 9

66

E importante notar que a qualidade do vapor (x) na saiacuteshy

da nao deve ser grande pois como vemos o valor de R cresce muishy

to com um aumento pequeno de x e um valor de R muito grande acar_

reta uma perda de pressatildeo grande pois

^ d u a s fases R ^ f a s e liacutequida

Para resolvermos um problema seguindo o criteacuterio de bdquo

Martinelli escolhemos a curva R = f(px) (para a relaccedilatildeo L

N g ^ j

adequado) e tiramos R com os valores de pressatildeo p e tiacutetulo x

As curvas R = f (p x L T t )IO encontram-se nos ANL 6469 bio I

e 6561

222 - Relaccedilatildeo Lottes-Flinn

Estes autores estudaram o problema para o aquecimento uni

forme do refrigerante com baixo titule Lottes-Flinn fizeram inuacuteshy

meras experiecircncias e verificaram que para fluxo de calor uniforshy

me e baixos titulos R era independente do fluxo de calor fluxo

do refrigerante escorregamento e apenas funccedilatildeo de a g

Como a quantidade de liacutequido eacute muito maior que a de vashy

por a perda de pressatildeo daacute-se principalmente pelo atrito do liacuteshy

quido com a parede Podemos assim escrever a foacutermula de Darcy

na forma diferencial

dz

d = f __ r e amp c

onde

V = velocidade do liquido saturado na cota zbdquo X

f = coeficiente atrito

= densidade do liacutequido saturado

Teoricamente a queda de pressatildeo deve-se ao acreacutescimo de

67

velocidade do liacutequido e da diminuiccedilatildeo da aacuterea de fluxo do liacutequi

do

P fH A P t p

= f D 2g Ho

d z

fazendo

V lo

m V t lo

(velocidade do liacutequido na cota z = Ho)

(1-x) m t v 1

(1-a) A (velocidade do liacutequido na cota z gt Ho)

a bull+ fraccedilatildeo vazio na cota z geneacuterica

V 1 (1-x) m t v 1

m t V l 1 - a

x =s 0 pois o tiacutetulo eacute baixo

A p t f = f bull JT5 c e

fH V lo

H o (1-a) dz

Para fazer a integral devemos achar a relaccedilatildeo de variaccedilatildeo

entre a e z Como o fluxo de calor eacute uniforme a qualidade eacute direshy

tamente proporcional a z

bull laquo x = x e H

z = mdash x X e

Sabemos ainda que (item 113)

x

1 + [ ( I -X)AKQ x + iiacuteraquo

68

como

temos

(1-x) = 1

v

X =

z =

1-a

1 -a

1-a e

a

e

1-a pound

a

1 -a igt (assumindo S = cte)

da

Atf - f bull 2 i ^ ~ J c e o

a 1 - a e e 1 s 4 hmdash) da

a 1-a

f P lv^ Q

0 termo mdash - mdash e a parte de perda de pressatildeo pelo lj^

^c e -quido ou seja Ap liquido saturado e como

Ap

R = tf

Ap liauido saturado

temos que

R J

f ae 1 _ a e 1 4

a 1 -a o e

1 -a r-R =

3 1 -a

a 1 -a imdash

3 vl - a 3

e e

Os valores de R obtidos por esta expressatildeo aproximam-se

muito dos valores obtidos pelos aacutebacos de Martinelli

69

E - EXPANSAtildeO E COMPRESSAtildeO DE UM FLUIDO - ANAacuteLISE HIDRODINAcircMICA

DE UM CIRCUITO EM CIRCULACcedilAtildeO NATURAL

1 EXPANSAtildeO NO FLUXO DE UM FLUIDO

11 - Uma so fase

Figura 1

Ha vaacuterios meacutetodos para determinar a variaccedilatildeo de pressatildeo

numa expansatildeo de fluido estudaremos o de Romie que eacute o que daacute

maior precisatildeo

Romie considera que a pressatildeo p^ tambeacutem atua na aacuterea

imediatamente apos a expansatildeo Assim fazendo o equiliacutebrio das foi

ccedilas nas secccedilotildees tracejadas da figura 1 temos

mVj

p r A 2 + mdash

mV

bull 2- A2

mas

m = pV^A^

pV^A = p V 2 bdquo A 2

V A

v 2 -4r-logo

( P l-P 2) A 2 = f ( V ^ ) - f _ v j amp c c 2

70

2 pV A A pV A A

Chamando A l A ]

K = 1 - T e degi2 = Aiexcl bull V E M

pvj

P l P 2 = T ~ bull ( 2 deg 1 2 ) ( 1 _ a 1 2 )

Outra maneira de chegar atilde diferenccedila de pressatildeo ( P j - ^ ) s mdash

ria usar o coeficiente de perda da mecacircnica dos fluidos Assim o

equilibrio das pressotildees eacute

2 2

1 V l 1 V 2 V l P i + _ p _ ^ P 2 + I p ~ + k 1 2 p mdash

onde = coeficiente de perda

A 2 1 2

k 1 2 - (l-o 1 2) - (1 - j- )

Fazendo as transformaccedilotildees chegamos a mesma expressatildeo obshy

tida pelo balanccedilo das forccedilas

PraquoIacute pr p

2 - - ir ^ laquo-ia

12 - Duas fases

Como ha duas fases a equaccedilatildeo do balanccedilo das forccedilas fica

um pouco alterada

m pound 1 V- m - raquoV - m-V- m bdquoV _ P A + j y ^ i + _gl_JUuml P A + -11-11 + -ilsl (a)

1 2 e R 2 2 ff e

Sabendo que

71

m (1-x) m t = p fA (1-a) V f

entatildeo

fl l-o^ p fA x

6 Vf2 1-x l-a2 P fA 2

m V = mdash mdash e V 0 = gl a 1 P C T A 1 g2

m

a_ p h

2 g 2

Nas expressotildees anteriores o x nao varia porque a expansatildeo

5 adiabaacutetica porem o a varia devido a modificaccedilatildeo do tamanho da

bolha

Substituindo os valores das velocidades na expressatildeo (a)

vera

( P - P ) Abdquo =

2

2 2 m gt2 2 m t (1-x) 1 x t

ra i 2 m i 1 x t 1

p fA 1 g c ttl p Ax gpound

m t P - P = mdash

(1-x) (l-a 1)A 1A 2 (l-a2)A|

a r A r A 2

V A 2

m t P bdquo - P = mdash 2 1 g c A r A 2 p f

(1-x) 1-a f A 2(l-a 2)

bull ^ 2

72

Se

P -P

a

m

g

12

1 _1_ (1-x)

J12

1 _ a l 1 - a 2 + X (- )

Pg

1 deg12 a 2 ^

Sabemos que

mt = V o pf laquo A l

Sendo V q = velocidade do liquido num ponto onde natildeo haja vapor

P 2-P 1

u 2 2 A 2

V pr Ai

V W p f

(1-x) 12

l-a1 l-a2

+ X 2 pf

mdash

l deg12

-1 a 2 _

p -p r 2 Al (2a 1 2)

2 M f w 1 deg12 X (mdash) (

pg al a 2 )+(l-x)C l 1 12

1-a^ l-a2

Devemos notar que esta expressatildeo tambeacutem vale para quando

temos uma fase para isso basta fazer

= c t 2 = 0

X = 0

e recairemos na formula do item anterior

2 pf 1 deg12 Observemos que neste caso o termo x (mdash)( ) nao

Pg al a2

2

73

tem significado pois corresponde a mudanccedila de fase

2 CONTRACcedilAtildeO KO FLUXO DE UM FLUIDO

21 - Uma so fase raquo mdash

Aqui ocorre um fenocircmeno importante pois o fluido ao ser

contraiacutedo nao vai diretamente da area A^ para a area A 0 mas ele

contral-se ate uma area A^ e depois expande-se ate k^

Ao A2

Po IP 2

V 2

Figura 2

Fazendo o equiliacutebrio das pressotildees entre os planos (1)

(0) vem 2 2

pV pV p +~ plusmn - P + i deg bull 1 2 g o 2 g (b)

C x

Fazendo equiliacutebrio da expansatildeo (0) - (2) vem

P o + 2 - f = P 2 + 2 -T + kp- 2 F ( c )

c c b C

Subtraindo (b) - (c)

2 2 2

i p- vj i p- v2 L P l + 2 bull g c

P 2 + 2 2g c

+ k P 2g c

74

Como

P - P = mdash 2 2g

2 2

bull (1 + k) - f bdquo mdash i

k a - f2 ) 2 - d - o c )2

= o

A = a 21

Weisback obteve varias relaccedilotildees entre a e a i] c

01 02 03 a 0624 0632 0643 c

0624 0632

A r v i - V v 2

p -p 1 2

P -P 1 2 2g7

v l =

(1+k) - laquofi- a 2g 21 c

( 1 + k - o 2 1)

X[- V 2 o 2 1V 2

22 - Duas fases

0 valor de k pode ser aproximado para

k = a(l - o 2 1)

onde segundo Richardsons para fluxo de duas fases podemos supor

a = 02

Para fluxo homogeacuteneo sabemos que

75

p = p f (1 -a ) + p o a

podemos supor p bdquo a = 0 pois p e pequeno e fazendo

V = V ~ V fbdquo2 go2 v 2

Substituindo estas duas expressotildees na equaccedilatildeo de uma soacute fase vem

2 2 p V (l-ct) p V (1 -a ) bdquo

P l P 2 = 9g ( 1 + 3 - 3 0 ^ - 0 ^ ) = g (a+1) (l-a^)

Se a = 02

2 12p oV 0

p r p

2 - 9g gt d-) d-sigt

A compressatildeo de um fluido acarreta uma perda de pressatildeo

como pode ser verificado pelas formulas uma vez que lt 1deg

3 ANALISE HIDRODINAcircMICA DE UM CIRCUITO EM CIRCULACcedilAtildeO NATURAL

Esquema deacute uma caldeira com circulaccedilatildeo natural

76

Determinar a velocidade em (7) para que tenhamos circula

ccedilatildeo natural Determinar tambeacutem as perdas de pressatildeo em todos os

trechos da caldeira

31 - Contraccedilatildeo das secccedilotildees (1) - (2)

Como jaacute vimos a equaccedilatildeo do balanccedilo das pressotildees eacute

1 pr Vl 1 p 2 o V 2 P2 V2

1 2 g 2 + 2 g + K12 2g otilde c amp c e c

bullraquo 2 o2 2 e havendo uma soacute fase k 1 9 = (l-o ) = (1 mdash ) e sendo

C 2

p l = p2

v x lt lt lt v 2

P 2 V pr p2 bull ir2 bull ( 1 + k12gt

Colocando em termos de temos

A 2 V 2 P 2 = A 7 V 7 p 7 (continuidade)

V = V mdashbull = V o_bdquo ~ A 2 2 2

P 2 V - p 2

p r p 2 = ir2 - deg72 bull Ccedilrgt bull lt 1 + ki2gt

fazendo

N12 - lt^gt deg72 ( 1 + k12gt

P7 V7

Pr P2 - N12 bull HG

77

3 2 - Perda de carga no trecho ( 2 ) - ( 3 )

Como haacute apenas uma fase soacute temos perdas por atritos e

perdas hidrostaacuteticas

Sendo como jaacute vimos

2 3 p 2 2 g P 2 P 3 = f 2 3 (r~2g^~) L 2 3 g c p

atrito hidrostaacutetica

Substituindo V^ pela relaccedilatildeo do item anterior e tendo em

conta que p = vem

P -P = f 2 r 3 2 3 D

2 3 p 2 bdquo 2 2 p 7 2

2 g 7 72 p 2 3 g

Se

L 2 3 2 p 7

2 3 2 3 D 2 a 7 2 p 2

P 7 V 7 g P 2 - P 3 = N 2 3 ( mdash gt p 2 L 2 3 f

3 3 - Expansatildeo nas secccedilotildees ( 3 ) - ( 4 )

Como vimos o balanccedilo das pressotildees e

2 2 2 p V p 4 V p V

P 3 + 2 g c

P 4 + 2 g c

+ k 3 4 2 g c

onde

k 3 4 - - -

2 2 1 P 4 - V 4 P 3 v 3

P 3 P 4 = 2 g + ( k 3 4 _ 1 ) 2 g

78

Sendo

P 3 - P 4

p 3 o A 3 deg V 3 = P 7

a A 7 o V 7

P 4A 4 0V 4 = P r A r V

3 7 A 3 p 3

A7 P7 V = v mdash mdash 4 7 P 4

P - P 3 r4

Se

P bdquo - P

bdquo2 r-P 7 V 7

3 4 2g deg74 + ( k 3 4 1 ) deg73

34 p deg74 + ( k 3 4 1 ) 73

p r v2

P3- P4 ^ N34 ^ gt

(No caso e negativo)

34 - Contraccedilatildeo nas secccedilotildees (5) - (6)

Ainda temos uma so fase e fazendo o balanccedilo das pressotildees

como fizemos no item 3lt1 vem

P + vil p + vi + k vi P 5 + 2gbdquo P6 + 2gbdquo + k56 2gbdquo

k 5 6 lt 1 ^ gt 2 ( 1 - Iacute 2 i 2 6

V V6 P5degIacute 5^6 ^SS 2g c - 2g c

P - P ^ = (1+kJ

Como

79

A 6

W p 5 =

VV P6 V 5 = V 6 Jiexcl = Vff65

P 5-P 6 - lt H k 5 6 ) mdash ^ mdash (l+k 5 6-a 6 5) c c c

Sendo

Se

A 7 p 7 p 7

6 7 Ag p 6 7 76 p 6

p _p _ P6- V7- g76 iquest72 ( _ 02 P 5 P 6 2g c bull ( p 6

( 1 + k 5 6 deg65 )

p 7 2 2 N56 = p ^ deg76 ( 1 + k 5 6 ~ a 6 5 )

P 7 V 2

7

P r-P = N r 5 6 56 2g c i

35 - Perdas de pressatildeo nas zonas (6) - (7) - Pre^aquecimento

Nesta regiatildeo temos perdas por atrito e hidrostaacuteticas

Nao haacute perda por aceleraccedilatildeo pois ainda natildeo houve formaccedilatildeo de boshy

lhas

Fazendo balanccedilo das pressotildees temos

L_ ppound-V p = p + otilde L - pound _ + f -Si (-21mdashL 6 7 + p67 L67 g + t 6 7 D K 2g

p _ e ifn sao tomados como valores meacutedios 67 67

P _p _ f hl ^67jIacute uuml + - L A

6 F 7 r67 D 2g P P67 L67 g 6 s c 7 c

S e Kr pound67 L67 p67 6 7 D 6 p7

p7 V - _g_ P6- P7 - N67 mdash + P67 L67 f

c c

80

36 - Perda de pressatildeo nas zonas (7) - (8) - Zona de ebuliccedilatildeo

Nesta regiatildeo j aacute temos o aparecimento de bolhas logo a

perda de pressatildeo seraacute devida agraves t recircs parcelas aceleraccedilatildeo a t r i t o

das duas fases liacutequidas + vapor e h idros taacute t ica

onde

Assim

P-P Q = AP + AP + APbdquo 7 8 a t r i t o acel H

T M1

78 p 7 7 AP - R f- - mdash mdashr |R = fator mult ipl ica-

a t r i t o 7 D 7 2 g c L tivo

G 2

AP bull r mdash acel g c

P V

|_1 - o a p J 8 P f

2 t r 2 M2

7 7 r 7 7 A P a c e l = -J^mdash 2 r bull p 7 lt T iexcl iexcl - )

A PH p 7 8 L 7 8 fiexcl

p 7 8 iacute 7 li 1 0 0 P l i q + a P v ] d L = P 7 ( 1 - laquo 7 8 )

ag raquo fraccedilatildeo de vazio media entre 7 e 8

APH = p (1 - 5 7 g ) f- L 7 8

2 2

P 7 - P 8 a 5 - 2 T i + 2 r p 7 + P 7 ( 1 - 7 8 gt f L 7 8 7 amp c amp c amp c

81

N 7g = R mdash + 2 r p 7

P7 V7 P7- P8 = N78 + P 7 ( 1 5 7 8 gt J78

37 - Expansatildeo nas secccedilotildees 8 e 9

No caso haacute uma expansatildeo com duas fases e como vimos no

item 12 a variaccedilatildeo de pressatildeo era dada por

0f Vo P2 P1 = ~2g c ( 2 deg12

x 2 (mdash)(mdash - mdash ) + ( l - x ) 2 ^ T mdash 8 1 2 1

12

Aplicando ao nosso caso

P pound = P 7

P -P = 8 9

V - V raquo V g f 7

P 7 V 2

2 pf 1 a89 2 1 g89 x (mdash) ( ) + (1-x) (- - N

o ou abdquo 1-cu l-ot_) g 8 9 8 9

Se

N 89

= 2 a 89

2 pf 1 deg89 2 1 CT89 x (mdash) ( ) + (1-x) ( T

g 8 9 8 9

P -P = 8 9

- N P7deg V7

89 2gbdquo

38 - Perda de pressatildeo no trecho 9 e 10

No referido trecho temos apenas perda de pressatildeo por atr L

to da fase liacutequido + vapor e perda hidrostaacutetica Natildeo haacute perda por

aceleraccedilatildeo do vapor pois este natildeo recebe mais calor e portanto

o 82 o

nao ha variaccedilatildeo no a

p

Q -p i n = A P

U + A P bull 9 10 H atrito

n T -S_ P9 U10 deg 910 bull g

fio r

910 I 910

J9 L

(l- a)P + Q P I dL liq v

(l-a0) p

No caso a = (nao hatilde variaccedilatildeo de forma)

A P H - (1-a ) P (p L 0

c

AP bdquo = R o

atrito

2 f9 o L910 P9 V9

2g

Supondo

= V

P 9 = P 8 P 7

vbdquo = v 9 8 0 A r

= V 7 bull deg89

AP - R atrito

2 2

W l O p7deg V7deg g89

V P10 R -^T^ bull deg89 bull li-2 + ( W P 7 (fgt SIO

y c c

Se

- f9 L910 2 N9ol0 R Dl deg89

w 2

p rv P9 P10 = VlO + ( 1 a 9 ) p7 (f gt L910 c

33

39 - Perda ciacutee pressatildeo na expansatildeo 9 - 1 0

Analogamente a expansatildeo 8 - 9 temos

10 11 P 7 2g

10 Iacute 2 0 1 0 - 1 1 gt

2 ff

pg aio

10-11

laquo11 ) +

Ll-a 1 0 bull l-a u J

Se

V10 = V 9 = V 8 bull T9 = V 7 deg89

P -P 10 rll = - a 2g 089 ^lO-ll

4 bull T~ bull (7 1 mdash ) + Pg degio a n

+ (l-x)2(- 1 10-11

1 - aio )

N10-ll = 2 a10-ll a89 2 pf t 1 10-11 N2

-(j-r- - ) bull+ (1-x) pg aio deg 1

10-11 k l - a io

prz P10 Pll = - N10-ll bull ( 2gbdquo

310 - Calculo de V

Fazendo a somatoacuteria de todas as expressotildees (P^-Pj) tere-

84

mos 2 PbdquoV_

P bdquo - P bdquo = N 7 v 7

1 2 12 2g

bull 2 - P 3 - = N 2 3 P 2 L 2 3 f c ccedil

9 P 7 V 7 P _p = N mdash -

3 4 34 deg 2g

V P 5 = deg

2 P V

5 6 56 2 g c

ltr2

P 7 -V 6 e7 -N67 2g + p 6 7 J j67 g

c bc v 2

P 7 - P 8 = N 7 8 - 2 i ~ + p 7 ( 1 - laquo 7 8 ) L 7 8 c

P 7 V 7

P - P - -N mdash - -8 9 89 2g

c P 7 V 7

P 9 ~ P 1 0 VlO 2g + ( 1 a 9 P 7 L 9 c

P 7 V 7

bull10 11 U10-ll 2g

P v iacute j P - P

1 11

7 - v 7 3 bull r

2 8 i U L 2 23 67

(l-5 7 8) L 7 8 + ( l - laquo 9 ) P 7 bull SlOtilde]- ^

Por ou t ro lado sabemos que como secccedilotildees 1

mesmo n iacute v e l

85

s c p r v 7 j

28 Z N i ij

= P 2 L23 p67 L67 P 7 ( 1~deg78 )

78 ~ ^g) bull P 7 bull L 910 g_

V - 2 g ( p r L 2 3 - p 6 r L 6 7 - p 7 ( l - atilde 7 8 ) L 7 8 - (l-a9) p L 9 a ( )

y N

Com esse valor de podemos determinar todas as variashy

ccedilotildees de pressatildeo (P^-P )

BIBLIOGRAFIA

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tituto de Energia Atocircmica de Sao Paulo em 1966 (roteiro)

- WR Gambill - Nuclear Safety

Vol 9 - n9 5 e 6

Vol 6 - n 2 (pag 152)

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~ El Wakil - Nuclear Power

- Jakob Max - Heat Transfer (vol I)

Mc Adams - Heat Transmission

- Paul A Lottes - Argonne National Laboratory

- AKL - 6469

- ANL - 6561

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Frank Kreith - Principles of Heat Transfer

Journeacutees Internationales de la transmission de la chaleur

Seminaacuterios realizados em Paris em 1961 sob a supervisatildeo do

Prof Marcel Veron

Notas de aula da Cadeira de Termodinacircmica I e Transmissatildeo da

Escola Politeacutecnica da Universidade de Sao Paulo

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37

C - FORMULAS PARA CAacuteLCULOS ESPECIacuteFICOS - RESULTADOS ESPECIacuteFICOS

1 FLUXO DE CALOR CRIacuteTICO - BURNOUT

lol - Introduccedilatildeo

O aspecto mais importante no que se refere agrave seguranccedila

dos reatores da transferencia de calor na ebuliccedilatildeo eacute a determina

ccedilatildeo do Fluxo de calor critico ou de pico ou burnout

Como jatilde vimos quando temos a ebuliccedilatildeo nucleada a dishy

ferenccedila de temperatura entre refrigerante e superfiacutecie de aqueci

mento e pequena poreacutem quando atingimos o fluxo de calor criacutetico

essa diferenccedila de temperatura pode tornar-se imediatamente muishy

to grande podendo causar a ruptura da superfiacutecie de aquecimento

se atiigirmos o ponto de fusatildeo do soacutelidoraquo

Usando a convecccedilao

onde

At sat

w

sat At

sub

w = temperatura da parede de aquecimento

t t = temperatura de saturaccedilatildeo do liacutequido

t^ = temperatura de mistura do liacutequido

At = (t -t ) sub-resfriamento do liacutequido sub N sat b 1

nout

Ha dois tipos de burnout fast burnout e slow bur-

Ocorre o fast burnout (burnout raacutepido) quando A t g u b gt 0

38

ou para baixo x (~ lt 10) sendo x o titulo do vapor

Temos o slow burnout para x - gt 10 Assim noacutes tereshy

mos dois limites para o burnout

At bull o (ltJgt ) t =((() para t = t ) -

bo m m possiacutevel w sat

sub i

4L + 1

G c D h pl nb

(ltK ) = (ltpound para x = 1) = Dv-bo max possiacutevel e 4L

c At l + P 1 sub i

onde

L = comprimento do canal

D = diacircmetro do tubo

G = descarga de liacutequido (por unidade de aacuterea)

c ^ = calor especiacutefico do liacutequido

Agrave = calor latente de vaporizaccedilatildeo

h ^ = coeficiente de transferecircncia de calor na regiatildeo de

nao ebuliccedilatildeo

iacutendices

i = entrada

e = saiacuteda

Haacute inuacutemeras expressotildees para determinaccedilatildeo do burnout pro

postas por muitos fisicos cada uma aplicando-se a um caso especiacuteshy

fico vejamos algumas delas

12 - Equaccedilotildees para prediccedilatildeo de Burnout

121 - Equaccedilatildeo de Bragg e Smith (Zuber)

Num artigo publicado por Bragg e Smith encontramos uma f oacute_r

mula que e derivada da formula de Kutateladze e nos daacute o fluxo cri

39

tico quando nao temos sufaresfriamento

bo poolsat v V raquoc a ( p l P V )

2 PV

14

onde

ltiexclgt = fluxo de calor critico bo

k = constante

Ly = calor latente de vaporizaccedilatildeo do refrigerante

= densidade do liquido

pvr = densidade do vapor V a = tensao superficial

g = fator de conversatildeo c

a = aceleraccedilatildeo da superficie de aquecimento

Os autores encontraram para k um valor de 062 entreten

to outros autores como Zuber incluindo outras variaacuteveis que In

fluiam no fenocircmeno encontraram k variando entre 008 e 023Esshy

tudos bem elaborados mostram que o valor mais aproximado eacute

k = 015 (- 003)

1-22 - Equaccedilatildeo de Noyes

Noyes estudou o burnout para o soacutedio agua e alguns liacute

quidos orgacircnicos

( W s a t ~ bdquo 0245 bull ( r ( 1 )

iiacute_ V 1 Pr

onde

N n = Nuacutemero de Prandtl da fase liacutequida x r

Mais tarde o proacuteprio Noyes alterou a equaccedilatildeo para

n ^ - n H Iacute I Pl PV gt0538 deg g c a q 4 ( W s a t deg 1 1 6 PV ( - p 7 ~ ) (77T1^ ) ( 2 )

40

A ultima correlaccedilatildeo proposta por Noyes foi

a n prPV0560 112

1

(a bull a) 13

(ag c) 112

(3)

onde

a = difusividade teacutermica do liacutequidoraquo A equaccedilatildeo (3) eacute bashy

seada em todos os dados de burnouts do soacutedio bem

como da atildegua benzeno difenil e outros De 111 pontos usados 90

+ estatildeo relacionados dentro de - 30bdquo

ldeg2o3 - Burnout com convecccedilao forccedilada e sub-resfriamen

to

Aproveitando os resultados de aproximadamente 240 testes

de burnouts com aacutegua sub-resfriada em fluxo de convecccedilao forccedilashy

da feitos na Ruacutessia Labuntsov elaborou uma boa equaccedilatildeo empiacuterica

para o problemabdquo

Esta relaccedilatildeo aplica-se para velocidades entre 2 3 e 148

ftsec pressotildees entre 1 e 201 atmabs sub-resfriamento entre 0 deg

e 432 degF e fluxos de burnout entre 0 4 x IO 6 x 166 x 1 0 6 BTUhr

2 bdquo

bullbo

onde

e a seguinte

6 ( P ) 1 + 0 2 3 2 V 2

14

e ( P ) 1 +

15 c At _p_ sub

12 (a)

9 ( P ) - P 1 3 o ( 1 - P J 4 3

red

= pressatildeo (atm abs)

pressatildeo reduzida = mdash mdash red r P

t_ c = pressatildeo critica

= velocidade do liacutequido (ftsec)

= calor especiacutefico do liacutequido (BTUlbdegF)

4 1

^ tsub = ^ ^ e r e n Ccedil a ^ e temperatura entre a temperatura de

mistura do liacutequido e a de saturaccedilatildeo (degF)

X = calor latente de vaporizaccedilatildeo (BTUlb) 2

ltiacutegtbo = fluxo de burnout (BTUhrfl )

Uma outra correlaccedilatildeo para o caso foi proposta por

Ornatsky e Xiohigin que fizeram experiecircncias para pressotildees entre

10 e 1 5 0 3xm 90 degF lt At ^ lt 4 5 0 deg F 3 7 1 0 6 ( l b h r o f t 2 ) lt G lt

2 2 2 10 b ( l b h r bdquo f t 2 )

lt ^ = 3 2 5 0 (G o A t bdquo J deg 6 ( - i - ^ ) 2 5 ( b ) bo sub

onde

G - descarga de refrigerante por unidade de aacuterea

P ^ v P v - densidades do liacutequido e do vapor

P1~ PV -0 termo (mdash ) e incluido na expressatildeo (b) para indicar

a influecircncia da ^ pressatildeo sobre o

Uma comparaccedilatildeo entre as equaccedilotildees (a) e (b) foi feita para

o Reator de Isoacutetopos de Alto Fluxo (HFIR) nas condiccedilotildees aacutegua a

600 psia velocidade = 45 ftsec e sub-resfriamento = At^^ 1

degF obtendo-se uma diferenccedila de 6 5 entre ambos (4gt = 6 0 5 1 0 b

2 ~ 6 2 BTUhr ft pela equaccedilatildeo (a) e 6 4 5 10 3TUhrraquoft pela equaccedilatildeo

(b)

Ilatilde ainda a equaccedilatildeo de Ivey e Morris aplicaacutevel somente pa_

ra ebuliccedilatildeo com grande quantidade de liacutequido

( c sub t

Cpf bull A tsub

( bull ) s ~ V P bdquo 10 h V sat V g

onde

(ltL ) = fluxo critico com sub-resfriamento c sub

(ograve ) ^ - fluxo critico sem sub-resfriamento c sat

42

c ^ = calor especiacutefico do liacutequido

= calor latente de vaporizaccedilatildeo

124 - Burnout com convecccedilao forccedilada e ebuliccedilatildeo por bocirc-

Ihas

Gambill fez uma extensatildeo da equaccedilatildeo de Levy e aplicou o

metqdo da superposiccedilatildeo Tal extensatildeo consiste natilde subtraccedilatildeo de uma

razatildeo equivalente de massa transferida dos termos que represenshy

tam a ebuliccedilatildeo e convecccedilao para levar em conta a presenccedila do vashy

por no fluxo

A correlaccedilatildeo pode ser escrita assim

24 V P V

o g c a (p^Py) 14

+ 0696 (k p c ) 12

(

pr p v )i4 o g c a (P-L-Py) 18

bull At + h sub nb

044 p v L v G (g1) bull N2 n

p l P V

( pr p v ) d e 2-7

2 4 TT 0

14 ( f e _ ^ r l 3

lO^u

onde

k = condutividade teacutermica

c = calor especiacutefico

A t s u b ~ s ub-resfriamento do liacutequido

h = coeficiente de transferecircncia de calor de nao ebu nb mdash

liccedilatildeo

G = descarga total do refrigerante

43

d g = diacircmetro equivalente do tubo ou canalraquo

]i = viscosidade

B = constante adimensional

Os iacutendices V e 1 representam vapor e liacutequido respectiva

mente

0 primeiro termo entre chaves da equaccedilatildeo representa o flu

xo de calor no burnout de sub-resfriamento em convecccedilao forccedilada 0

segundo termo entre chaves corresponde ao fluxo de calor transferi^

do para a massa da fase vapor

1-25 - Burnout por Bloqueio da Base

Ocorre quando a profundidade do recipiente eacute muito maior

que a largura 0 bloqueio da base eacute causado pela formaccedilatildeo de uma pe_

licula de vapor na base impedindo que o liacutequido toque o fundo do

recipiente

i De

Este eacute o burnout por flooding isto eacute burnout por expul

sao do liacutequido Uma equaccedilatildeo que nos dacirc o fluxo minimo do burnout

parao caso eacute

44

onde

D g = diacircmetro equivalente

L = comprimento do tubo

= calor de vaporizaccedilatildeo

p^Py Ap = densidade do liacutequido do vapor e diferenccedila en

tre ambos

Para um fluxo de calor maior ou igual ao dado pela expres_

sao acima (mantida a mesma geometria) teremos burnout Para um deshy

terminado fluxo existiratildeo sempre um comprimento L e um diacircmetro equi

valente D e para os quais temos burnout Exemplo

L (in) D e(in)

10 11

100 51

1000 235

2 RESULTADOS ESPECIacuteFICOS - FOacuteRMULAS PARA CAacuteLCULOS ESPECIacuteFICOS

21 - Diferenccedila de temperatura At i

13 a t

sat

At sat

poundatildeJL_ raquo t - t J p T T 6 w sat

onde

o laquo tensatildeo superficial entre liquido e vapor

t - temperatura de saturaccedilatildeo do liacutequido para a corres-Scl t

pondente pressatildeo

J equivalente mecacircnico do calor

X laquobull calor latente de vaporizaccedilatildeo

py = densidade do vapor

6 = espessura da camada de liacutequido superaquecido onde

45

k l

h nc

onde

k^ = condutividade teacutermica do liacutequido

h = coeficiente de peliacutecula nc r

Segundo Eckent h ^ c e dado por

P 2 Q

nc 3 V VP + 0952

r

onde

D = diacircmetro equivalente

G r = numero de Grashoff

P = nuacutemero de Pradtl

2 o 2 - Velocidade das bolhas

A velocidade das bolhas em meacutedia pode ser dada pela exshy

pressatildeo

V bdquo = Iacute ( a bull B Apl4 bolhas 5 ^ 2

p l onde

AP = P L - P v

Expressatildeo que vale quando a aceleraccedilatildeo eacute a da gravidade

baixa viscosidade do liacutequido e bolhas separadas

Vbolha = f t s e atilde m a x para aacutegua

2 bdquo3 - Diacircmetro das bolhas

2gc deg 12 D = 0015 3 ( mdash mdash 7 ~ ) d g Ap

5 =

46

onde

8 = acircngulo de contato (20 a 90deg) geralmente assume-O -1

-se igual a 50 para a agua em contato com metal

24 - Coeficiente de peliacutecula na ebuliccedilatildeo nucleada

a) Equaccedilatildeo de Rohsenow

Esta equaccedilatildeo nos datilde o fluxo de calor q na ebuliccedilatildeo nushy

cleadaraquo E oacutetima expressatildeo para muitos liacutequidos o efeito da presshy

satildeo eacute levado em conta na variaccedilatildeo das propriedadesraquo

Pf

fg

sat 17 = c

sg k y f h f g g( P f-p g)

n033

onae

Pf

fg

Pf Pg c sg

= fluxo de calor requerido (BTUhr0ft^)

= calor especiacutefico do liacutequido saturado (BTUlbm0F)

= calor latente de vaporizaccedilatildeo (BTULbm)

= nuacutemero de Prandtl

= viscosidade do liacutequido (lbrahrraquoft) ~ 8 2

= fator de conversatildeo 417 10 Ibmftlbflaquohr 2

= aceleraccedilatildeo da gravidade (fthr )

= tensatildeo superficial na interface liacutequida vapor

(lbfft) 3

densidade do liquido e vapor (lbmft )

constante adimensiacuteonal que depende de vaacuterios fashy

tores dentre os quais o grau de aquecimento en_

tre o fluido e a superfiacutecie de aquecimento e o

mais importanteraquo Independe da pressatildeo do sistema b) Equaccedilatildeo de Levy

Equaccedilatildeo valida para a aacutegua quando 100 lt p lt 2000 psiacutea

47

43 bdquo3

qu bdquo gat ^ T J h r t f t ^

495

25 - Calculo do fluxo de calor no Ponto de Leidenfrost

0 ponto de Leidenfrost como vimos eacute o ponto em que oflu

xo de calor comeccedila ncamente a crescer isto eacute o ponto onde termal

aa a ebuliccedilatildeo instaacutevel e comeccedila a ebuliccedilatildeo por peliacutecula estaacutevel Eacute

o chanado fluxo miacutenimo (egrave ) m m

Aproximadamente quando A t g u k = 0 temos

A _ mdash _ mdash (Gambill) m m 5

Ha entretanto varias expressotildees para determinar esse flu

xo eis uma delas

A p 14 ltjgt = 009 h pbdquo (o raquo g mdash ) y m m fg P V deg 2

p l

26 - caacutelculo do fluxo de calor na regiatildeo de ebuliccedilatildeo por peliacute

cuia estaacutevel

para cilindros jmdashi i li

_ D 0172 k-V - P V A p h l V bull S 14 li - = 062 (mdashmdash) (- j- r rmdash) convecccedilao A 0 ybdquo (t -t )

c V w sat

onde

= condutividade do vapor

- 2 TT ( mdash )

c gAp Vl = significam vapor e liacutequido respectivamente

para paredes verticais

L 0172 S deg7 A p bull hlV S q 4 h - - 080 (-^-)J- (-Iuml - Iacutemdash-convecccedilao X L u (t - t J)

c V w sat

48

Como nesta regiatildeo jaacute haacute nina influecircncia marcante da radia

ccedilao devemos levar en conta tambeacutem o coeficiente de peliacutecula de

vido a radiaccedilatildeo para determinar o coeficiente de peliacutecula total

Dos estudos atildea radiaccedilatildeo temos

h = a F pound(T 4 - T 4 J ( T ~ T ) rad w sat w sat

onde amp _ emissividade de superfiacutecie

a = constante de Stefan-Boltzman

F = fator de forma

Segundo WE Gambill o coeficiente de transmissatildeo total

ceve ser

3 iacutei = h + -7 h para h lt h t conv 4 rad r rad conv

Na expressatildeo acima existe o fator 34 porque a radiaccedilatildeo

faz variar um pouco a espessura do filme de vapor reduzindo asshy

sim o l l

conv

Quando tivermos h gt h gt o h^ ^ seraacute rad conv total

h f c = h + h t conv rad

Neste ultimo caso nao ha nenhum coeficiente porque a peshy

liacutecula de vapor jaacute eacute estaacutevel

27 - Grandezas caracteriacutesticas para a apua

Para pressatildeo igual a 1 atm = 1422 psia

At ^ = t - t = 5degC (iniacutecio da ebuliccedilatildeo nucleada) sat w sat 1

At t = 30degC sat crit

49

5 2 $ = 4 10 BTUhrft (para pressatildeo 1 atm)

0 fluxo critico cresce como vimos com a pressatildeo ate

atingir o maacuteximo quando a pressatildeo eacute aproximadamente 13 da pressatildeo

criacutetica Esse fluxo eacute

bull = 13 IO 6 BTUhrft 2 para p = 11000 psia (p pound = 32062 psia)

Ainda temos que para pressatildeo igual a 15 psia

h b o = 11000 BTUhrft degF - ebuliccedilatildeo nucleada

h f b = 30 BTUhrft 2 degF - ebuliccedilatildeo pelicular

Todos os resultados e formulas para caacutelculos especiacuteficos

apresentados nos itens 21 22 23 ateacute 27 sacirco aplicados somente

para sistemas onde haja ebuliccedilatildeo com grande quantidade de liquido

51

D - HIDRODINAcircMICA DOS SISTEMAS E QUEDA

DE PRESSAtildeO DENTRO DE UM CANAL

1 HIDRO-DINAcircMICA E QUEDA DE PRESSAtildeO

11 - Hidro-dinacircmica dos sistemas estaacuteveis

111 - Regimes de escoamento

A evoluccedilatildeo do escoamento ao longo de um canal aquecedor

de secccedilatildeo constante ciliacutendrico pode ser esquematizada pela figushy

ra 1 onde temos em abcissa o comprimento z do canal e em ordenada

a temperatura (T)

52

Na figura 1 nos representamos

a) 0 aspecto do escoamento fluido quando a entalpia do

- fluido aumenta Verificamos que o fluido entra no cashy

nal no estado liacutequido e assim permanece ateacute atingirmos a zona de

ebuliccedilatildeo local onde aparecem as primeiras bolhas A entalpia do

fluido continua aumentando e tem inicioa ebuliccedilatildeo franccedila onde as

bolhas se unem formando agregados posteriormente o escoamento to

ma a forma da figura ou seja torna-se anular disperso Finalmente

atingimos duas uacuteltimas fases do escoamento disperso (vapor uacutemido)

e vapor seco

b) A evoluccedilatildeo da temperatura meacutedia do fluido e da tempeshy

ratura da parede Note-se que a partir da cota a

temperatura da parede aumenta brutalmente podendo causar o

burnout

c) A evoluccedilatildeo do tiacutetulo do vapor (x) com o comprimento

do tubo e a evoluccedilatildeo da fraccedilatildeo (a) que definiremos no

item 11laquo2 com o comprimento do tubo

112 - Definiccedilotildees

a) Tiacutetulo ou qualidade do vapor (x)

massa de vapor na mistura x ~ massa total da mistura

x =

W _g_

g f

b) Fraccedilatildeo vazio (void fraction)

volume do vapor na mistura a = volume total da mistura (agua+vapor)

A relaccedilatildeo entre x e a num sistema parado pode ser obtida

assumindo um certo volume contendo 1 lbm de mistura em equiliacutebrio

teacutermicoraquo

53

O volume da mistura seraacute igual a (v + xv ) ft onde v eacute 3 r rg

o volume especifico (lbmft )

f - refere-se ao liquido

g - refere-se ao vapor

fg - refere-se a diferenccedila entre liacutequido e vapor

Numa mistura em equiliacutebrio se o liacutequido e o vapor estatildeo

saturados o volume do vapor presente eacute igual acirc sua massa vezes

seu volume especiacutefico v assim e

xv bdquo bdquo a mdash

V c + XV c

f gf

onde

- bull-bull uumlutiacuteisa vapor na mistura de 1 Ibm

v volume especiacutefico do liacutequido

v = volume especiacutefico do vapor o

V c = v - V

gf 8 r

Fazendo uma transformaccedilatildeo na expressatildeo acima temos

xv xv JS = Z-

v r+ x(v -v c) xv +(l-x)v t ri f g f g f 1 + Ul-x)xjv fv

1 + C(l-x)x]]vfvg

A fraccedilatildeo vazia tem a influencia de baixar a reatividade

do nuacutecleo nos reatores em que o refrigerante eacute tambeacutem moderador

Na equaccedilatildeo acima os valores de x e v sao tomados em tabe

las termodinacircmicas apropriadas para a pressatildeo do sistema A equashy

ccedilatildeo (1) mostra os grandes valores de a para pequenos valores de x

especialmente para baixas pressotildees Isto ocorre porqueaumentando

54

aacute pressatildeo o v decresce muito enquanto que o v f eacute mais ou menos da

mesma ordem de grandeza

Exemplo Calcular o a correspondente para x raquo 2 para aacutegua

leve atilde pressatildeo atmosfeacuterica

Da tabela para p laquobull 1 atm

v - 001672 ft 3lbm e v - 26800 ft 3lbm

1 + [(1-002)002] 001672268

0971 ou 97U

O grafico abaixo mostra a variaccedilatildeo do a com x para vaacuterias

pressotildees e para a aacutegua leve

x ()

tObservaccedilotildees da curva

Fig 2

1 - para x constante a decresce com a pressatildeo Para presshy

sotildees proacuteximas da criacutetica a aproxima-se rapidamente de

x Para a pressatildeo criacutetica as duas fases satildeo indistinguiacuteveis ea=x

2 - para cada pressatildeo dotdx decresce com aumento de x

3 - para baixos valores de x (que e o caso dos reatores

tipo Boiling) quando p decresce dadx cresce e torr

na-se muito grande paacutera baixas pressotildees Isto tem relaccedilatildeo com a epound

55

tabilidade do reator como veremos mais tarde

113 - Sistemas com fluxo

Todas as definiccedilotildees que noacutes vimos no item anterior refeshy

rem-se acirc sistemas em que a mistura esta fechada no recipiente Nes^

te caso natildeo havia movimento relativo entre as duas fases No entan

to se as duas fases da mistura se movem na direccedilatildeo vertical em

canais entre os elementos combustiacuteveis o vapor por causa de sua

flutuaccedilatildeo tem a tendecircncia de escorregar sobre o liacutequido isto e

move-se com velocidade maior do que a do liacutequido

Real Modelo

Pig 3

S -

Define-se neste caso a relaccedilatildeo de escorregamento (slip

ratio) (S) como sendo

V _i

V f

onde

V = velocidade do vapor

= velocidade do liquido

S modifica as relaccedilotildees entre a e x do item anterior S geralmen_

te gt 1 Define-se neste caso qualidade do vapor ou tiacutetulo como

sendo

_ fluxo de massa de vapor

fluxo de massa da mistura

Entatildeo se o fluxo de massa da mistura eacute m t(lbmhr) o flushy

xo de vapor seraacute = x m e o fluxo de liacutequido sera (1-x) m onde x

56

e o titulo do vapor para a particular secccedilatildeo (AL) da figura (3)

Devemos notar que neste caso x varia de secccedilatildeo para secshy

ccedilatildeo do tubo o exposto no paraacutegrafo acima vale considerando-se que

x e a permaneceram constantes na secccedilatildeo de espessura AL

Aplicando a equaccedilatildeo da continuidade as velocidades do va

por e liacutequido sao dadas por

o xm v

V vazatildeo = g g area A

V

(1-x) amp t v f

f A f

onde A e A f sao as aacutereas medias perpendiculares ao fluxo se as

duas fases sao imaginadas completamente separadas uma da outra

(figura 3) Assim temos

V x m v o A_ A v 0 ^ - 2 = iacute S t m _2L- JL JS m

V A (l-x)ui v 1-x A v U

f g t f g f

Sabemos ainda que para a secccedilatildeo considerada

volume do vapor na mistura a = volume total da mistura (agua+vapor)

A AL A pound g g

a = mdash a a = - mdash 1

(A+A )AL A f + g

A ou f _ 1 - a

A a 8

Substituindo em (2) vem

57

Esta expressatildeo pode ser rearranjada e obteremos uma relashy

ccedilatildeo entre x e a levando em conta o escorregamento Chega-se a

a = 1 ( 3 )

1+ [U-x)x3 igt

onde

v 4 laquo -- S

v lty o

Note-se que quando S=l (nao haacute escorregamento) caimos na

expressatildeo dada no item anterior

0 efeito do escorregamento eacute decrescer o valor de a pa_

ra um mesmo xbdquo Isto pode ser visto pela foacutermula (3) pois S gt lLo

go a decresce com acreacutescimo de S

Um alto S e entatildeo uma vantagem tanto para a transferecircnshy

cia de calor como para efeitos de moderaccedilatildeo Eacute uma vantagem para

transferecircncia de calor porque alto S significa alto V e portanto

maior turbulecircncia e maior contato do liquido com as paredes quenshy

tes Ha tambeacutem melhorias na estabilidade da reaccedilatildeo nuclear isto

porque como jaacute dissemos quando mdash7 diminui a estabilidade aumenshy

ta isso pode ser verificado observando a curva a versus x para a

agua leve a 1000 psiabdquo

Fig 4

58

A relaccedilatildeo entre x e a da equaccedilatildeo (3) so vale para secccedilatildeo

de tubo bem pequena

Devemos notar que S varia tambeacutem com a pressatildeo e velocida^

de de entrada do liacutequido no tubo Este efeito pode ser observado na

figura 5 abaxxo obtida esperimentalmente

s

3

~^ ~ psig

x = 001

V 1

Fig 5

Nos projetos de reatores como veremos adiante o valor a

geralmente eacute determinado por consideraccedilotildees nucleares (moderaccedilatildeo) 0

valor de S eacute determinado atraveacutes de uma estimativa ou entatildeo atrashy

veacutes de um graacutefico do tipo da figura 5 0 correspondente valor de x

pode ser obtido de uma foacutermula empiacuterica do tipo

1 = 1 (-S)0gt67

proposta por Von Glahn

Em muitos casos assume-se S constante em todo o comprimeiv

to do canal poreacutem eacute um erro que em muitos casos nao pode ser coshy

metido

4 REATORES EM QUE 0 LIacuteQUIDO B MODERADOR E CIRCUITO PRIMAacuteRIO AO

MESMO TEMPO BOILING-REACTOR (BWR)

A aacutegua ao se movimentar atraveacutes dos vaacuterios canais do

59

Boiling-reactor encontra vaacuterias resistecircncias ao fluxo que provoshy

cam uma reduccedilatildeo de pressatildeo no fluido

As duas perdas mais importantes sao perda de pressatildeo por

atrito e perda de pressatildeo causada pela aceleraccedilatildeo do refrigerante

ao aumentar de volume por receber calor num canal Outras perdas

de pressatildeo seriam a obstruccedilatildeo ao fluxo por corpos submersos (espa_

ccediladores juntas de tubos chaves etc) e por mudanccedilas abruptas de

aacuterea de fluxo tanto na entrada como na saiacuteda do tubo

Essas perdas de pressatildeo devem ser conhecidas o melhor popound

sivel principalmente nos reatores BWR Para tanto devemos saber

o comprimento de canal em que nao ha a ebuliccedilatildeo isto eacute qual o com

primento de canal em que o refrigerante vai da temperatura de sub-

resfriamento ate temperatura de saturaccedilatildeo

Seja o elemento combustiacutevel

Aquecimento Uniforme Aquecimento Senoidal

Fig 6 Fig 7

onde

H =

H = o

H b

comprimento do elemento combustiacutevel

cota onde o liquido se torna saturado

comprimento do elemento combustiacutevel em que ocorre

ebuliccedilatildeo

60

qg = calor sensiacutevel acrescentado ao liquido para satushy

raacute-lo

qfc = calor total acrescentado ao liacutequido em todo o com

primento do canal

laquoo

q s J o qiquest sen (IIzH) n H o

T~ = TH = 2 ( 1 c o s gt ( a )

q 1 sen (HzH) Jo ^c

A expressatildeo (a) vale quando tivermos uma adiccedilatildeo de calor

senoidal para qualquer outra forma de adiccedilatildeo de calor faz-se um

caacutelculo anaacutelogo

Outra relaccedilatildeo entre q g e qfc eacute dada pela termodinacircmica

q h- - h s f m (b)

(hr +x h )-hm ^t f e fg

onde

= entalpia para o liquido saturado a pressatildeo correjs

pondente (cota z = Ho)

hffi = entalpia do liacutequido na entrada do canal

x = tiacutetulo do vapor na saiacuteda

= entalpia do vapor

Com a relaccedilatildeo (b) noacutes determinamos a relaccedilatildeo q q ecom

S L

uma relaccedilatildeo do tipo (a) (conforme seja o adicionamento de calor ao

liacutequido) podemos obter a relaccedilatildeo HoH e consequentemente H^H

21 - Perda de pressatildeo num canal de evaporaccedilatildeo

Neste item iremos determinar as perdas de pressatildeo mais

representativas que ocorrem num canal de evaporaccedilatildeo de um reator

P + dP

bull1 i- 1 gti i i

dL

onde

UM

Icirc H Icirc Icirc T dF f t f

61

Quantidade de Mov na Entrada

= i- rigVg)

dF f l

Fig 8

m i

m 8

V l V 8

A P

dF

dF

dF

fg

fl

ftf

descarga do liacutequido

descarga do vapor

velocidade do liquido

velocidade do vapor

aacuterea transversal do canal

forccedila de atrito do vapor com parede

forccedila de atrito do liacutequido com parede

forccedila de atrito das duas fases liacutequido+vapor

Fazendo o balanccedilo das forccedilas considerando o sentido posjL

tivo na vertical temos

A (P-P-dP)-(dF +dF _+dF _)-(-pound-) (p A+p A )dL = mdash dGnV+m V ) P fg ftf fl g c 1 1 g g g c

v 1 1 g g 7

- dP = ~ (dF +dF--+dF)+- S--7=- (p A+p A )dL+ mdash ~ - d (m-V+m V ) A_ fg ftf fl g c Ap v^l 1 g g g A 11 g g

Fazendo a integraccedilatildeo termo a termo entre os dois extreshy

mos entrada e saiacuteda e considerando a pressatildeo de entrada igual a

P q e a de saiacuteda igual a Pe vem

Quantidade de Mov na Saiacuteda

-= h I- lY l+ A g V g + d ( aacute l V l + aacuteeVl

Forccedila de Gravidade

= ( g f - N P A + P g V

62

b) r e F f l

o p dp^ = Ap^ = perda de pressatildeo por atrito

do liacutequido na altura Ho

Aplicando a formula de Darcy vem

bull API = f bull ir bull ^ iexcl 7

onde

f = fator de atrito

c) e Fftf

o p ^P tpound

= perda de pressao por atrito da mistura

liquido + vapor no trecho de comprimen

to Hbdquo o

Para determinar esta perda de pressao define-se o fator

de multiplicaccedilatildeo R

A P R =

tf A P 1B

Sendo A p ^ a perda de pressao se o comprimento todo fosshy

se ocupado somente pelo liquido assim

A p t f = R A P 1 B

0 calculo de Ap-^ pode ser feito pela formula de Darcy e

o de R nos veremos no item seguinte

63

d)

-e F

d ( ^ )

O P

Ap = perda de pressatildeo por atrito do vapor

No caso do reator BWR o titulo de saida e bera pequeno e

em nenhum caso ocorre a saida de vapor com x = 100 logo a perda

de pressatildeo por atrito do vapor eacute nula assim

An = 0 5

e) Ap

(p A 1 + p A ) dL = Ap - perda de pressatildeo dpound

vida ao desniacutevel

(perda hidrostaacutetica)

Anbdquo = re A A

-S- I (p + p -S ) dL H s 1 A

c o p o A

como A A Jl_ =

A P

A +A-g 1

1-a -

temos

C Q

te j jll-a)p1 + apg)^jdL = p Lo pound

onde

e jo u

+ ap ) ~I dL (Densidade media 1 S J

no tubo)

No nosso caso

Ap u = p H

f)

re d(mV + m V ) _ mdash - laquo -i bull s iquestp laquos p e r d a ltje pressatildeo devido a acele-

c p raccedilatildeo do vapor

V A

(1-x) tl^Vj

(1-a) A

X V

aA

A p -

roV + m V

c p c p L_

m (l-x)m_v m xv nbdquo -1 T 1

+ _S S I (1-a) Ap aA

P

2 g A c p

n 2 2

(1-x) m T

laquo2 8 A c p

2 2 (l-xe) raTv1

2 2 2 xm_v (1-x) m-v e T s o 1 1

a 1 - a

2 2 - x m_v o T g

a

se

X Q 0 (so ha agua nesse trecho)

a = 0 o

temos

mbdquo Ap =

1 a A 2

S A degc p laquo-

tt-V v i 1 - a

2 via T^r - v i

t Apc

2

V v l

5c Ap

1 - a

x v - 1

a e v l

65

Fazendo

G = fluxo total da massa por unidade de area do

canal

(1-x J e

V

AP r

Assim a perda de pressatildeo total sera

H p V II pV r2 P -P = f -24-Iuml+ f R+p 0 1 2g c D e 2g c g c g c

2c2 - Determinaccedilatildeo do fator de multiplicaccedilatildeo (R)

221 - Relaccedilatildeo Martinelli-Nelson

Os autores Martinelli-Nelson determinaram experimental -

te esse fator R para varias LIT1L em funccedilatildeo da pressatildeo e da r NB total J v

qualidade de saiacuteda do vapor no canal Construiacuteram assim vaacuterias

curvas do tipo da figura 9

66

E importante notar que a qualidade do vapor (x) na saiacuteshy

da nao deve ser grande pois como vemos o valor de R cresce muishy

to com um aumento pequeno de x e um valor de R muito grande acar_

reta uma perda de pressatildeo grande pois

^ d u a s fases R ^ f a s e liacutequida

Para resolvermos um problema seguindo o criteacuterio de bdquo

Martinelli escolhemos a curva R = f(px) (para a relaccedilatildeo L

N g ^ j

adequado) e tiramos R com os valores de pressatildeo p e tiacutetulo x

As curvas R = f (p x L T t )IO encontram-se nos ANL 6469 bio I

e 6561

222 - Relaccedilatildeo Lottes-Flinn

Estes autores estudaram o problema para o aquecimento uni

forme do refrigerante com baixo titule Lottes-Flinn fizeram inuacuteshy

meras experiecircncias e verificaram que para fluxo de calor uniforshy

me e baixos titulos R era independente do fluxo de calor fluxo

do refrigerante escorregamento e apenas funccedilatildeo de a g

Como a quantidade de liacutequido eacute muito maior que a de vashy

por a perda de pressatildeo daacute-se principalmente pelo atrito do liacuteshy

quido com a parede Podemos assim escrever a foacutermula de Darcy

na forma diferencial

dz

d = f __ r e amp c

onde

V = velocidade do liquido saturado na cota zbdquo X

f = coeficiente atrito

= densidade do liacutequido saturado

Teoricamente a queda de pressatildeo deve-se ao acreacutescimo de

67

velocidade do liacutequido e da diminuiccedilatildeo da aacuterea de fluxo do liacutequi

do

P fH A P t p

= f D 2g Ho

d z

fazendo

V lo

m V t lo

(velocidade do liacutequido na cota z = Ho)

(1-x) m t v 1

(1-a) A (velocidade do liacutequido na cota z gt Ho)

a bull+ fraccedilatildeo vazio na cota z geneacuterica

V 1 (1-x) m t v 1

m t V l 1 - a

x =s 0 pois o tiacutetulo eacute baixo

A p t f = f bull JT5 c e

fH V lo

H o (1-a) dz

Para fazer a integral devemos achar a relaccedilatildeo de variaccedilatildeo

entre a e z Como o fluxo de calor eacute uniforme a qualidade eacute direshy

tamente proporcional a z

bull laquo x = x e H

z = mdash x X e

Sabemos ainda que (item 113)

x

1 + [ ( I -X)AKQ x + iiacuteraquo

68

como

temos

(1-x) = 1

v

X =

z =

1-a

1 -a

1-a e

a

e

1-a pound

a

1 -a igt (assumindo S = cte)

da

Atf - f bull 2 i ^ ~ J c e o

a 1 - a e e 1 s 4 hmdash) da

a 1-a

f P lv^ Q

0 termo mdash - mdash e a parte de perda de pressatildeo pelo lj^

^c e -quido ou seja Ap liquido saturado e como

Ap

R = tf

Ap liauido saturado

temos que

R J

f ae 1 _ a e 1 4

a 1 -a o e

1 -a r-R =

3 1 -a

a 1 -a imdash

3 vl - a 3

e e

Os valores de R obtidos por esta expressatildeo aproximam-se

muito dos valores obtidos pelos aacutebacos de Martinelli

69

E - EXPANSAtildeO E COMPRESSAtildeO DE UM FLUIDO - ANAacuteLISE HIDRODINAcircMICA

DE UM CIRCUITO EM CIRCULACcedilAtildeO NATURAL

1 EXPANSAtildeO NO FLUXO DE UM FLUIDO

11 - Uma so fase

Figura 1

Ha vaacuterios meacutetodos para determinar a variaccedilatildeo de pressatildeo

numa expansatildeo de fluido estudaremos o de Romie que eacute o que daacute

maior precisatildeo

Romie considera que a pressatildeo p^ tambeacutem atua na aacuterea

imediatamente apos a expansatildeo Assim fazendo o equiliacutebrio das foi

ccedilas nas secccedilotildees tracejadas da figura 1 temos

mVj

p r A 2 + mdash

mV

bull 2- A2

mas

m = pV^A^

pV^A = p V 2 bdquo A 2

V A

v 2 -4r-logo

( P l-P 2) A 2 = f ( V ^ ) - f _ v j amp c c 2

70

2 pV A A pV A A

Chamando A l A ]

K = 1 - T e degi2 = Aiexcl bull V E M

pvj

P l P 2 = T ~ bull ( 2 deg 1 2 ) ( 1 _ a 1 2 )

Outra maneira de chegar atilde diferenccedila de pressatildeo ( P j - ^ ) s mdash

ria usar o coeficiente de perda da mecacircnica dos fluidos Assim o

equilibrio das pressotildees eacute

2 2

1 V l 1 V 2 V l P i + _ p _ ^ P 2 + I p ~ + k 1 2 p mdash

onde = coeficiente de perda

A 2 1 2

k 1 2 - (l-o 1 2) - (1 - j- )

Fazendo as transformaccedilotildees chegamos a mesma expressatildeo obshy

tida pelo balanccedilo das forccedilas

PraquoIacute pr p

2 - - ir ^ laquo-ia

12 - Duas fases

Como ha duas fases a equaccedilatildeo do balanccedilo das forccedilas fica

um pouco alterada

m pound 1 V- m - raquoV - m-V- m bdquoV _ P A + j y ^ i + _gl_JUuml P A + -11-11 + -ilsl (a)

1 2 e R 2 2 ff e

Sabendo que

71

m (1-x) m t = p fA (1-a) V f

entatildeo

fl l-o^ p fA x

6 Vf2 1-x l-a2 P fA 2

m V = mdash mdash e V 0 = gl a 1 P C T A 1 g2

m

a_ p h

2 g 2

Nas expressotildees anteriores o x nao varia porque a expansatildeo

5 adiabaacutetica porem o a varia devido a modificaccedilatildeo do tamanho da

bolha

Substituindo os valores das velocidades na expressatildeo (a)

vera

( P - P ) Abdquo =

2

2 2 m gt2 2 m t (1-x) 1 x t

ra i 2 m i 1 x t 1

p fA 1 g c ttl p Ax gpound

m t P - P = mdash

(1-x) (l-a 1)A 1A 2 (l-a2)A|

a r A r A 2

V A 2

m t P bdquo - P = mdash 2 1 g c A r A 2 p f

(1-x) 1-a f A 2(l-a 2)

bull ^ 2

72

Se

P -P

a

m

g

12

1 _1_ (1-x)

J12

1 _ a l 1 - a 2 + X (- )

Pg

1 deg12 a 2 ^

Sabemos que

mt = V o pf laquo A l

Sendo V q = velocidade do liquido num ponto onde natildeo haja vapor

P 2-P 1

u 2 2 A 2

V pr Ai

V W p f

(1-x) 12

l-a1 l-a2

+ X 2 pf

mdash

l deg12

-1 a 2 _

p -p r 2 Al (2a 1 2)

2 M f w 1 deg12 X (mdash) (

pg al a 2 )+(l-x)C l 1 12

1-a^ l-a2

Devemos notar que esta expressatildeo tambeacutem vale para quando

temos uma fase para isso basta fazer

= c t 2 = 0

X = 0

e recairemos na formula do item anterior

2 pf 1 deg12 Observemos que neste caso o termo x (mdash)( ) nao

Pg al a2

2

73

tem significado pois corresponde a mudanccedila de fase

2 CONTRACcedilAtildeO KO FLUXO DE UM FLUIDO

21 - Uma so fase raquo mdash

Aqui ocorre um fenocircmeno importante pois o fluido ao ser

contraiacutedo nao vai diretamente da area A^ para a area A 0 mas ele

contral-se ate uma area A^ e depois expande-se ate k^

Ao A2

Po IP 2

V 2

Figura 2

Fazendo o equiliacutebrio das pressotildees entre os planos (1)

(0) vem 2 2

pV pV p +~ plusmn - P + i deg bull 1 2 g o 2 g (b)

C x

Fazendo equiliacutebrio da expansatildeo (0) - (2) vem

P o + 2 - f = P 2 + 2 -T + kp- 2 F ( c )

c c b C

Subtraindo (b) - (c)

2 2 2

i p- vj i p- v2 L P l + 2 bull g c

P 2 + 2 2g c

+ k P 2g c

74

Como

P - P = mdash 2 2g

2 2

bull (1 + k) - f bdquo mdash i

k a - f2 ) 2 - d - o c )2

= o

A = a 21

Weisback obteve varias relaccedilotildees entre a e a i] c

01 02 03 a 0624 0632 0643 c

0624 0632

A r v i - V v 2

p -p 1 2

P -P 1 2 2g7

v l =

(1+k) - laquofi- a 2g 21 c

( 1 + k - o 2 1)

X[- V 2 o 2 1V 2

22 - Duas fases

0 valor de k pode ser aproximado para

k = a(l - o 2 1)

onde segundo Richardsons para fluxo de duas fases podemos supor

a = 02

Para fluxo homogeacuteneo sabemos que

75

p = p f (1 -a ) + p o a

podemos supor p bdquo a = 0 pois p e pequeno e fazendo

V = V ~ V fbdquo2 go2 v 2

Substituindo estas duas expressotildees na equaccedilatildeo de uma soacute fase vem

2 2 p V (l-ct) p V (1 -a ) bdquo

P l P 2 = 9g ( 1 + 3 - 3 0 ^ - 0 ^ ) = g (a+1) (l-a^)

Se a = 02

2 12p oV 0

p r p

2 - 9g gt d-) d-sigt

A compressatildeo de um fluido acarreta uma perda de pressatildeo

como pode ser verificado pelas formulas uma vez que lt 1deg

3 ANALISE HIDRODINAcircMICA DE UM CIRCUITO EM CIRCULACcedilAtildeO NATURAL

Esquema deacute uma caldeira com circulaccedilatildeo natural

76

Determinar a velocidade em (7) para que tenhamos circula

ccedilatildeo natural Determinar tambeacutem as perdas de pressatildeo em todos os

trechos da caldeira

31 - Contraccedilatildeo das secccedilotildees (1) - (2)

Como jaacute vimos a equaccedilatildeo do balanccedilo das pressotildees eacute

1 pr Vl 1 p 2 o V 2 P2 V2

1 2 g 2 + 2 g + K12 2g otilde c amp c e c

bullraquo 2 o2 2 e havendo uma soacute fase k 1 9 = (l-o ) = (1 mdash ) e sendo

C 2

p l = p2

v x lt lt lt v 2

P 2 V pr p2 bull ir2 bull ( 1 + k12gt

Colocando em termos de temos

A 2 V 2 P 2 = A 7 V 7 p 7 (continuidade)

V = V mdashbull = V o_bdquo ~ A 2 2 2

P 2 V - p 2

p r p 2 = ir2 - deg72 bull Ccedilrgt bull lt 1 + ki2gt

fazendo

N12 - lt^gt deg72 ( 1 + k12gt

P7 V7

Pr P2 - N12 bull HG

77

3 2 - Perda de carga no trecho ( 2 ) - ( 3 )

Como haacute apenas uma fase soacute temos perdas por atritos e

perdas hidrostaacuteticas

Sendo como jaacute vimos

2 3 p 2 2 g P 2 P 3 = f 2 3 (r~2g^~) L 2 3 g c p

atrito hidrostaacutetica

Substituindo V^ pela relaccedilatildeo do item anterior e tendo em

conta que p = vem

P -P = f 2 r 3 2 3 D

2 3 p 2 bdquo 2 2 p 7 2

2 g 7 72 p 2 3 g

Se

L 2 3 2 p 7

2 3 2 3 D 2 a 7 2 p 2

P 7 V 7 g P 2 - P 3 = N 2 3 ( mdash gt p 2 L 2 3 f

3 3 - Expansatildeo nas secccedilotildees ( 3 ) - ( 4 )

Como vimos o balanccedilo das pressotildees e

2 2 2 p V p 4 V p V

P 3 + 2 g c

P 4 + 2 g c

+ k 3 4 2 g c

onde

k 3 4 - - -

2 2 1 P 4 - V 4 P 3 v 3

P 3 P 4 = 2 g + ( k 3 4 _ 1 ) 2 g

78

Sendo

P 3 - P 4

p 3 o A 3 deg V 3 = P 7

a A 7 o V 7

P 4A 4 0V 4 = P r A r V

3 7 A 3 p 3

A7 P7 V = v mdash mdash 4 7 P 4

P - P 3 r4

Se

P bdquo - P

bdquo2 r-P 7 V 7

3 4 2g deg74 + ( k 3 4 1 ) deg73

34 p deg74 + ( k 3 4 1 ) 73

p r v2

P3- P4 ^ N34 ^ gt

(No caso e negativo)

34 - Contraccedilatildeo nas secccedilotildees (5) - (6)

Ainda temos uma so fase e fazendo o balanccedilo das pressotildees

como fizemos no item 3lt1 vem

P + vil p + vi + k vi P 5 + 2gbdquo P6 + 2gbdquo + k56 2gbdquo

k 5 6 lt 1 ^ gt 2 ( 1 - Iacute 2 i 2 6

V V6 P5degIacute 5^6 ^SS 2g c - 2g c

P - P ^ = (1+kJ

Como

79

A 6

W p 5 =

VV P6 V 5 = V 6 Jiexcl = Vff65

P 5-P 6 - lt H k 5 6 ) mdash ^ mdash (l+k 5 6-a 6 5) c c c

Sendo

Se

A 7 p 7 p 7

6 7 Ag p 6 7 76 p 6

p _p _ P6- V7- g76 iquest72 ( _ 02 P 5 P 6 2g c bull ( p 6

( 1 + k 5 6 deg65 )

p 7 2 2 N56 = p ^ deg76 ( 1 + k 5 6 ~ a 6 5 )

P 7 V 2

7

P r-P = N r 5 6 56 2g c i

35 - Perdas de pressatildeo nas zonas (6) - (7) - Pre^aquecimento

Nesta regiatildeo temos perdas por atrito e hidrostaacuteticas

Nao haacute perda por aceleraccedilatildeo pois ainda natildeo houve formaccedilatildeo de boshy

lhas

Fazendo balanccedilo das pressotildees temos

L_ ppound-V p = p + otilde L - pound _ + f -Si (-21mdashL 6 7 + p67 L67 g + t 6 7 D K 2g

p _ e ifn sao tomados como valores meacutedios 67 67

P _p _ f hl ^67jIacute uuml + - L A

6 F 7 r67 D 2g P P67 L67 g 6 s c 7 c

S e Kr pound67 L67 p67 6 7 D 6 p7

p7 V - _g_ P6- P7 - N67 mdash + P67 L67 f

c c

80

36 - Perda de pressatildeo nas zonas (7) - (8) - Zona de ebuliccedilatildeo

Nesta regiatildeo j aacute temos o aparecimento de bolhas logo a

perda de pressatildeo seraacute devida agraves t recircs parcelas aceleraccedilatildeo a t r i t o

das duas fases liacutequidas + vapor e h idros taacute t ica

onde

Assim

P-P Q = AP + AP + APbdquo 7 8 a t r i t o acel H

T M1

78 p 7 7 AP - R f- - mdash mdashr |R = fator mult ipl ica-

a t r i t o 7 D 7 2 g c L tivo

G 2

AP bull r mdash acel g c

P V

|_1 - o a p J 8 P f

2 t r 2 M2

7 7 r 7 7 A P a c e l = -J^mdash 2 r bull p 7 lt T iexcl iexcl - )

A PH p 7 8 L 7 8 fiexcl

p 7 8 iacute 7 li 1 0 0 P l i q + a P v ] d L = P 7 ( 1 - laquo 7 8 )

ag raquo fraccedilatildeo de vazio media entre 7 e 8

APH = p (1 - 5 7 g ) f- L 7 8

2 2

P 7 - P 8 a 5 - 2 T i + 2 r p 7 + P 7 ( 1 - 7 8 gt f L 7 8 7 amp c amp c amp c

81

N 7g = R mdash + 2 r p 7

P7 V7 P7- P8 = N78 + P 7 ( 1 5 7 8 gt J78

37 - Expansatildeo nas secccedilotildees 8 e 9

No caso haacute uma expansatildeo com duas fases e como vimos no

item 12 a variaccedilatildeo de pressatildeo era dada por

0f Vo P2 P1 = ~2g c ( 2 deg12

x 2 (mdash)(mdash - mdash ) + ( l - x ) 2 ^ T mdash 8 1 2 1

12

Aplicando ao nosso caso

P pound = P 7

P -P = 8 9

V - V raquo V g f 7

P 7 V 2

2 pf 1 a89 2 1 g89 x (mdash) ( ) + (1-x) (- - N

o ou abdquo 1-cu l-ot_) g 8 9 8 9

Se

N 89

= 2 a 89

2 pf 1 deg89 2 1 CT89 x (mdash) ( ) + (1-x) ( T

g 8 9 8 9

P -P = 8 9

- N P7deg V7

89 2gbdquo

38 - Perda de pressatildeo no trecho 9 e 10

No referido trecho temos apenas perda de pressatildeo por atr L

to da fase liacutequido + vapor e perda hidrostaacutetica Natildeo haacute perda por

aceleraccedilatildeo do vapor pois este natildeo recebe mais calor e portanto

o 82 o

nao ha variaccedilatildeo no a

p

Q -p i n = A P

U + A P bull 9 10 H atrito

n T -S_ P9 U10 deg 910 bull g

fio r

910 I 910

J9 L

(l- a)P + Q P I dL liq v

(l-a0) p

No caso a = (nao hatilde variaccedilatildeo de forma)

A P H - (1-a ) P (p L 0

c

AP bdquo = R o

atrito

2 f9 o L910 P9 V9

2g

Supondo

= V

P 9 = P 8 P 7

vbdquo = v 9 8 0 A r

= V 7 bull deg89

AP - R atrito

2 2

W l O p7deg V7deg g89

V P10 R -^T^ bull deg89 bull li-2 + ( W P 7 (fgt SIO

y c c

Se

- f9 L910 2 N9ol0 R Dl deg89

w 2

p rv P9 P10 = VlO + ( 1 a 9 ) p7 (f gt L910 c

33

39 - Perda ciacutee pressatildeo na expansatildeo 9 - 1 0

Analogamente a expansatildeo 8 - 9 temos

10 11 P 7 2g

10 Iacute 2 0 1 0 - 1 1 gt

2 ff

pg aio

10-11

laquo11 ) +

Ll-a 1 0 bull l-a u J

Se

V10 = V 9 = V 8 bull T9 = V 7 deg89

P -P 10 rll = - a 2g 089 ^lO-ll

4 bull T~ bull (7 1 mdash ) + Pg degio a n

+ (l-x)2(- 1 10-11

1 - aio )

N10-ll = 2 a10-ll a89 2 pf t 1 10-11 N2

-(j-r- - ) bull+ (1-x) pg aio deg 1

10-11 k l - a io

prz P10 Pll = - N10-ll bull ( 2gbdquo

310 - Calculo de V

Fazendo a somatoacuteria de todas as expressotildees (P^-Pj) tere-

84

mos 2 PbdquoV_

P bdquo - P bdquo = N 7 v 7

1 2 12 2g

bull 2 - P 3 - = N 2 3 P 2 L 2 3 f c ccedil

9 P 7 V 7 P _p = N mdash -

3 4 34 deg 2g

V P 5 = deg

2 P V

5 6 56 2 g c

ltr2

P 7 -V 6 e7 -N67 2g + p 6 7 J j67 g

c bc v 2

P 7 - P 8 = N 7 8 - 2 i ~ + p 7 ( 1 - laquo 7 8 ) L 7 8 c

P 7 V 7

P - P - -N mdash - -8 9 89 2g

c P 7 V 7

P 9 ~ P 1 0 VlO 2g + ( 1 a 9 P 7 L 9 c

P 7 V 7

bull10 11 U10-ll 2g

P v iacute j P - P

1 11

7 - v 7 3 bull r

2 8 i U L 2 23 67

(l-5 7 8) L 7 8 + ( l - laquo 9 ) P 7 bull SlOtilde]- ^

Por ou t ro lado sabemos que como secccedilotildees 1

mesmo n iacute v e l

85

s c p r v 7 j

28 Z N i ij

= P 2 L23 p67 L67 P 7 ( 1~deg78 )

78 ~ ^g) bull P 7 bull L 910 g_

V - 2 g ( p r L 2 3 - p 6 r L 6 7 - p 7 ( l - atilde 7 8 ) L 7 8 - (l-a9) p L 9 a ( )

y N

Com esse valor de podemos determinar todas as variashy

ccedilotildees de pressatildeo (P^-P )

BIBLIOGRAFIA

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tituto de Energia Atocircmica de Sao Paulo em 1966 (roteiro)

- WR Gambill - Nuclear Safety

Vol 9 - n9 5 e 6

Vol 6 - n 2 (pag 152)

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Volbdquo 5 - n 2 (pag 151)

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~ El Wakil - Nuclear Power

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- Paul A Lottes - Argonne National Laboratory

- AKL - 6469

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Frank Kreith - Principles of Heat Transfer

Journeacutees Internationales de la transmission de la chaleur

Seminaacuterios realizados em Paris em 1961 sob a supervisatildeo do

Prof Marcel Veron

Notas de aula da Cadeira de Termodinacircmica I e Transmissatildeo da

Escola Politeacutecnica da Universidade de Sao Paulo

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38

ou para baixo x (~ lt 10) sendo x o titulo do vapor

Temos o slow burnout para x - gt 10 Assim noacutes tereshy

mos dois limites para o burnout

At bull o (ltJgt ) t =((() para t = t ) -

bo m m possiacutevel w sat

sub i

4L + 1

G c D h pl nb

(ltK ) = (ltpound para x = 1) = Dv-bo max possiacutevel e 4L

c At l + P 1 sub i

onde

L = comprimento do canal

D = diacircmetro do tubo

G = descarga de liacutequido (por unidade de aacuterea)

c ^ = calor especiacutefico do liacutequido

Agrave = calor latente de vaporizaccedilatildeo

h ^ = coeficiente de transferecircncia de calor na regiatildeo de

nao ebuliccedilatildeo

iacutendices

i = entrada

e = saiacuteda

Haacute inuacutemeras expressotildees para determinaccedilatildeo do burnout pro

postas por muitos fisicos cada uma aplicando-se a um caso especiacuteshy

fico vejamos algumas delas

12 - Equaccedilotildees para prediccedilatildeo de Burnout

121 - Equaccedilatildeo de Bragg e Smith (Zuber)

Num artigo publicado por Bragg e Smith encontramos uma f oacute_r

mula que e derivada da formula de Kutateladze e nos daacute o fluxo cri

39

tico quando nao temos sufaresfriamento

bo poolsat v V raquoc a ( p l P V )

2 PV

14

onde

ltiexclgt = fluxo de calor critico bo

k = constante

Ly = calor latente de vaporizaccedilatildeo do refrigerante

= densidade do liquido

pvr = densidade do vapor V a = tensao superficial

g = fator de conversatildeo c

a = aceleraccedilatildeo da superficie de aquecimento

Os autores encontraram para k um valor de 062 entreten

to outros autores como Zuber incluindo outras variaacuteveis que In

fluiam no fenocircmeno encontraram k variando entre 008 e 023Esshy

tudos bem elaborados mostram que o valor mais aproximado eacute

k = 015 (- 003)

1-22 - Equaccedilatildeo de Noyes

Noyes estudou o burnout para o soacutedio agua e alguns liacute

quidos orgacircnicos

( W s a t ~ bdquo 0245 bull ( r ( 1 )

iiacute_ V 1 Pr

onde

N n = Nuacutemero de Prandtl da fase liacutequida x r

Mais tarde o proacuteprio Noyes alterou a equaccedilatildeo para

n ^ - n H Iacute I Pl PV gt0538 deg g c a q 4 ( W s a t deg 1 1 6 PV ( - p 7 ~ ) (77T1^ ) ( 2 )

40

A ultima correlaccedilatildeo proposta por Noyes foi

a n prPV0560 112

1

(a bull a) 13

(ag c) 112

(3)

onde

a = difusividade teacutermica do liacutequidoraquo A equaccedilatildeo (3) eacute bashy

seada em todos os dados de burnouts do soacutedio bem

como da atildegua benzeno difenil e outros De 111 pontos usados 90

+ estatildeo relacionados dentro de - 30bdquo

ldeg2o3 - Burnout com convecccedilao forccedilada e sub-resfriamen

to

Aproveitando os resultados de aproximadamente 240 testes

de burnouts com aacutegua sub-resfriada em fluxo de convecccedilao forccedilashy

da feitos na Ruacutessia Labuntsov elaborou uma boa equaccedilatildeo empiacuterica

para o problemabdquo

Esta relaccedilatildeo aplica-se para velocidades entre 2 3 e 148

ftsec pressotildees entre 1 e 201 atmabs sub-resfriamento entre 0 deg

e 432 degF e fluxos de burnout entre 0 4 x IO 6 x 166 x 1 0 6 BTUhr

2 bdquo

bullbo

onde

e a seguinte

6 ( P ) 1 + 0 2 3 2 V 2

14

e ( P ) 1 +

15 c At _p_ sub

12 (a)

9 ( P ) - P 1 3 o ( 1 - P J 4 3

red

= pressatildeo (atm abs)

pressatildeo reduzida = mdash mdash red r P

t_ c = pressatildeo critica

= velocidade do liacutequido (ftsec)

= calor especiacutefico do liacutequido (BTUlbdegF)

4 1

^ tsub = ^ ^ e r e n Ccedil a ^ e temperatura entre a temperatura de

mistura do liacutequido e a de saturaccedilatildeo (degF)

X = calor latente de vaporizaccedilatildeo (BTUlb) 2

ltiacutegtbo = fluxo de burnout (BTUhrfl )

Uma outra correlaccedilatildeo para o caso foi proposta por

Ornatsky e Xiohigin que fizeram experiecircncias para pressotildees entre

10 e 1 5 0 3xm 90 degF lt At ^ lt 4 5 0 deg F 3 7 1 0 6 ( l b h r o f t 2 ) lt G lt

2 2 2 10 b ( l b h r bdquo f t 2 )

lt ^ = 3 2 5 0 (G o A t bdquo J deg 6 ( - i - ^ ) 2 5 ( b ) bo sub

onde

G - descarga de refrigerante por unidade de aacuterea

P ^ v P v - densidades do liacutequido e do vapor

P1~ PV -0 termo (mdash ) e incluido na expressatildeo (b) para indicar

a influecircncia da ^ pressatildeo sobre o

Uma comparaccedilatildeo entre as equaccedilotildees (a) e (b) foi feita para

o Reator de Isoacutetopos de Alto Fluxo (HFIR) nas condiccedilotildees aacutegua a

600 psia velocidade = 45 ftsec e sub-resfriamento = At^^ 1

degF obtendo-se uma diferenccedila de 6 5 entre ambos (4gt = 6 0 5 1 0 b

2 ~ 6 2 BTUhr ft pela equaccedilatildeo (a) e 6 4 5 10 3TUhrraquoft pela equaccedilatildeo

(b)

Ilatilde ainda a equaccedilatildeo de Ivey e Morris aplicaacutevel somente pa_

ra ebuliccedilatildeo com grande quantidade de liacutequido

( c sub t

Cpf bull A tsub

( bull ) s ~ V P bdquo 10 h V sat V g

onde

(ltL ) = fluxo critico com sub-resfriamento c sub

(ograve ) ^ - fluxo critico sem sub-resfriamento c sat

42

c ^ = calor especiacutefico do liacutequido

= calor latente de vaporizaccedilatildeo

124 - Burnout com convecccedilao forccedilada e ebuliccedilatildeo por bocirc-

Ihas

Gambill fez uma extensatildeo da equaccedilatildeo de Levy e aplicou o

metqdo da superposiccedilatildeo Tal extensatildeo consiste natilde subtraccedilatildeo de uma

razatildeo equivalente de massa transferida dos termos que represenshy

tam a ebuliccedilatildeo e convecccedilao para levar em conta a presenccedila do vashy

por no fluxo

A correlaccedilatildeo pode ser escrita assim

24 V P V

o g c a (p^Py) 14

+ 0696 (k p c ) 12

(

pr p v )i4 o g c a (P-L-Py) 18

bull At + h sub nb

044 p v L v G (g1) bull N2 n

p l P V

( pr p v ) d e 2-7

2 4 TT 0

14 ( f e _ ^ r l 3

lO^u

onde

k = condutividade teacutermica

c = calor especiacutefico

A t s u b ~ s ub-resfriamento do liacutequido

h = coeficiente de transferecircncia de calor de nao ebu nb mdash

liccedilatildeo

G = descarga total do refrigerante

43

d g = diacircmetro equivalente do tubo ou canalraquo

]i = viscosidade

B = constante adimensional

Os iacutendices V e 1 representam vapor e liacutequido respectiva

mente

0 primeiro termo entre chaves da equaccedilatildeo representa o flu

xo de calor no burnout de sub-resfriamento em convecccedilao forccedilada 0

segundo termo entre chaves corresponde ao fluxo de calor transferi^

do para a massa da fase vapor

1-25 - Burnout por Bloqueio da Base

Ocorre quando a profundidade do recipiente eacute muito maior

que a largura 0 bloqueio da base eacute causado pela formaccedilatildeo de uma pe_

licula de vapor na base impedindo que o liacutequido toque o fundo do

recipiente

i De

Este eacute o burnout por flooding isto eacute burnout por expul

sao do liacutequido Uma equaccedilatildeo que nos dacirc o fluxo minimo do burnout

parao caso eacute

44

onde

D g = diacircmetro equivalente

L = comprimento do tubo

= calor de vaporizaccedilatildeo

p^Py Ap = densidade do liacutequido do vapor e diferenccedila en

tre ambos

Para um fluxo de calor maior ou igual ao dado pela expres_

sao acima (mantida a mesma geometria) teremos burnout Para um deshy

terminado fluxo existiratildeo sempre um comprimento L e um diacircmetro equi

valente D e para os quais temos burnout Exemplo

L (in) D e(in)

10 11

100 51

1000 235

2 RESULTADOS ESPECIacuteFICOS - FOacuteRMULAS PARA CAacuteLCULOS ESPECIacuteFICOS

21 - Diferenccedila de temperatura At i

13 a t

sat

At sat

poundatildeJL_ raquo t - t J p T T 6 w sat

onde

o laquo tensatildeo superficial entre liquido e vapor

t - temperatura de saturaccedilatildeo do liacutequido para a corres-Scl t

pondente pressatildeo

J equivalente mecacircnico do calor

X laquobull calor latente de vaporizaccedilatildeo

py = densidade do vapor

6 = espessura da camada de liacutequido superaquecido onde

45

k l

h nc

onde

k^ = condutividade teacutermica do liacutequido

h = coeficiente de peliacutecula nc r

Segundo Eckent h ^ c e dado por

P 2 Q

nc 3 V VP + 0952

r

onde

D = diacircmetro equivalente

G r = numero de Grashoff

P = nuacutemero de Pradtl

2 o 2 - Velocidade das bolhas

A velocidade das bolhas em meacutedia pode ser dada pela exshy

pressatildeo

V bdquo = Iacute ( a bull B Apl4 bolhas 5 ^ 2

p l onde

AP = P L - P v

Expressatildeo que vale quando a aceleraccedilatildeo eacute a da gravidade

baixa viscosidade do liacutequido e bolhas separadas

Vbolha = f t s e atilde m a x para aacutegua

2 bdquo3 - Diacircmetro das bolhas

2gc deg 12 D = 0015 3 ( mdash mdash 7 ~ ) d g Ap

5 =

46

onde

8 = acircngulo de contato (20 a 90deg) geralmente assume-O -1

-se igual a 50 para a agua em contato com metal

24 - Coeficiente de peliacutecula na ebuliccedilatildeo nucleada

a) Equaccedilatildeo de Rohsenow

Esta equaccedilatildeo nos datilde o fluxo de calor q na ebuliccedilatildeo nushy

cleadaraquo E oacutetima expressatildeo para muitos liacutequidos o efeito da presshy

satildeo eacute levado em conta na variaccedilatildeo das propriedadesraquo

Pf

fg

sat 17 = c

sg k y f h f g g( P f-p g)

n033

onae

Pf

fg

Pf Pg c sg

= fluxo de calor requerido (BTUhr0ft^)

= calor especiacutefico do liacutequido saturado (BTUlbm0F)

= calor latente de vaporizaccedilatildeo (BTULbm)

= nuacutemero de Prandtl

= viscosidade do liacutequido (lbrahrraquoft) ~ 8 2

= fator de conversatildeo 417 10 Ibmftlbflaquohr 2

= aceleraccedilatildeo da gravidade (fthr )

= tensatildeo superficial na interface liacutequida vapor

(lbfft) 3

densidade do liquido e vapor (lbmft )

constante adimensiacuteonal que depende de vaacuterios fashy

tores dentre os quais o grau de aquecimento en_

tre o fluido e a superfiacutecie de aquecimento e o

mais importanteraquo Independe da pressatildeo do sistema b) Equaccedilatildeo de Levy

Equaccedilatildeo valida para a aacutegua quando 100 lt p lt 2000 psiacutea

47

43 bdquo3

qu bdquo gat ^ T J h r t f t ^

495

25 - Calculo do fluxo de calor no Ponto de Leidenfrost

0 ponto de Leidenfrost como vimos eacute o ponto em que oflu

xo de calor comeccedila ncamente a crescer isto eacute o ponto onde termal

aa a ebuliccedilatildeo instaacutevel e comeccedila a ebuliccedilatildeo por peliacutecula estaacutevel Eacute

o chanado fluxo miacutenimo (egrave ) m m

Aproximadamente quando A t g u k = 0 temos

A _ mdash _ mdash (Gambill) m m 5

Ha entretanto varias expressotildees para determinar esse flu

xo eis uma delas

A p 14 ltjgt = 009 h pbdquo (o raquo g mdash ) y m m fg P V deg 2

p l

26 - caacutelculo do fluxo de calor na regiatildeo de ebuliccedilatildeo por peliacute

cuia estaacutevel

para cilindros jmdashi i li

_ D 0172 k-V - P V A p h l V bull S 14 li - = 062 (mdashmdash) (- j- r rmdash) convecccedilao A 0 ybdquo (t -t )

c V w sat

onde

= condutividade do vapor

- 2 TT ( mdash )

c gAp Vl = significam vapor e liacutequido respectivamente

para paredes verticais

L 0172 S deg7 A p bull hlV S q 4 h - - 080 (-^-)J- (-Iuml - Iacutemdash-convecccedilao X L u (t - t J)

c V w sat

48

Como nesta regiatildeo jaacute haacute nina influecircncia marcante da radia

ccedilao devemos levar en conta tambeacutem o coeficiente de peliacutecula de

vido a radiaccedilatildeo para determinar o coeficiente de peliacutecula total

Dos estudos atildea radiaccedilatildeo temos

h = a F pound(T 4 - T 4 J ( T ~ T ) rad w sat w sat

onde amp _ emissividade de superfiacutecie

a = constante de Stefan-Boltzman

F = fator de forma

Segundo WE Gambill o coeficiente de transmissatildeo total

ceve ser

3 iacutei = h + -7 h para h lt h t conv 4 rad r rad conv

Na expressatildeo acima existe o fator 34 porque a radiaccedilatildeo

faz variar um pouco a espessura do filme de vapor reduzindo asshy

sim o l l

conv

Quando tivermos h gt h gt o h^ ^ seraacute rad conv total

h f c = h + h t conv rad

Neste ultimo caso nao ha nenhum coeficiente porque a peshy

liacutecula de vapor jaacute eacute estaacutevel

27 - Grandezas caracteriacutesticas para a apua

Para pressatildeo igual a 1 atm = 1422 psia

At ^ = t - t = 5degC (iniacutecio da ebuliccedilatildeo nucleada) sat w sat 1

At t = 30degC sat crit

49

5 2 $ = 4 10 BTUhrft (para pressatildeo 1 atm)

0 fluxo critico cresce como vimos com a pressatildeo ate

atingir o maacuteximo quando a pressatildeo eacute aproximadamente 13 da pressatildeo

criacutetica Esse fluxo eacute

bull = 13 IO 6 BTUhrft 2 para p = 11000 psia (p pound = 32062 psia)

Ainda temos que para pressatildeo igual a 15 psia

h b o = 11000 BTUhrft degF - ebuliccedilatildeo nucleada

h f b = 30 BTUhrft 2 degF - ebuliccedilatildeo pelicular

Todos os resultados e formulas para caacutelculos especiacuteficos

apresentados nos itens 21 22 23 ateacute 27 sacirco aplicados somente

para sistemas onde haja ebuliccedilatildeo com grande quantidade de liquido

51

D - HIDRODINAcircMICA DOS SISTEMAS E QUEDA

DE PRESSAtildeO DENTRO DE UM CANAL

1 HIDRO-DINAcircMICA E QUEDA DE PRESSAtildeO

11 - Hidro-dinacircmica dos sistemas estaacuteveis

111 - Regimes de escoamento

A evoluccedilatildeo do escoamento ao longo de um canal aquecedor

de secccedilatildeo constante ciliacutendrico pode ser esquematizada pela figushy

ra 1 onde temos em abcissa o comprimento z do canal e em ordenada

a temperatura (T)

52

Na figura 1 nos representamos

a) 0 aspecto do escoamento fluido quando a entalpia do

- fluido aumenta Verificamos que o fluido entra no cashy

nal no estado liacutequido e assim permanece ateacute atingirmos a zona de

ebuliccedilatildeo local onde aparecem as primeiras bolhas A entalpia do

fluido continua aumentando e tem inicioa ebuliccedilatildeo franccedila onde as

bolhas se unem formando agregados posteriormente o escoamento to

ma a forma da figura ou seja torna-se anular disperso Finalmente

atingimos duas uacuteltimas fases do escoamento disperso (vapor uacutemido)

e vapor seco

b) A evoluccedilatildeo da temperatura meacutedia do fluido e da tempeshy

ratura da parede Note-se que a partir da cota a

temperatura da parede aumenta brutalmente podendo causar o

burnout

c) A evoluccedilatildeo do tiacutetulo do vapor (x) com o comprimento

do tubo e a evoluccedilatildeo da fraccedilatildeo (a) que definiremos no

item 11laquo2 com o comprimento do tubo

112 - Definiccedilotildees

a) Tiacutetulo ou qualidade do vapor (x)

massa de vapor na mistura x ~ massa total da mistura

x =

W _g_

g f

b) Fraccedilatildeo vazio (void fraction)

volume do vapor na mistura a = volume total da mistura (agua+vapor)

A relaccedilatildeo entre x e a num sistema parado pode ser obtida

assumindo um certo volume contendo 1 lbm de mistura em equiliacutebrio

teacutermicoraquo

53

O volume da mistura seraacute igual a (v + xv ) ft onde v eacute 3 r rg

o volume especifico (lbmft )

f - refere-se ao liquido

g - refere-se ao vapor

fg - refere-se a diferenccedila entre liacutequido e vapor

Numa mistura em equiliacutebrio se o liacutequido e o vapor estatildeo

saturados o volume do vapor presente eacute igual acirc sua massa vezes

seu volume especiacutefico v assim e

xv bdquo bdquo a mdash

V c + XV c

f gf

onde

- bull-bull uumlutiacuteisa vapor na mistura de 1 Ibm

v volume especiacutefico do liacutequido

v = volume especiacutefico do vapor o

V c = v - V

gf 8 r

Fazendo uma transformaccedilatildeo na expressatildeo acima temos

xv xv JS = Z-

v r+ x(v -v c) xv +(l-x)v t ri f g f g f 1 + Ul-x)xjv fv

1 + C(l-x)x]]vfvg

A fraccedilatildeo vazia tem a influencia de baixar a reatividade

do nuacutecleo nos reatores em que o refrigerante eacute tambeacutem moderador

Na equaccedilatildeo acima os valores de x e v sao tomados em tabe

las termodinacircmicas apropriadas para a pressatildeo do sistema A equashy

ccedilatildeo (1) mostra os grandes valores de a para pequenos valores de x

especialmente para baixas pressotildees Isto ocorre porqueaumentando

54

aacute pressatildeo o v decresce muito enquanto que o v f eacute mais ou menos da

mesma ordem de grandeza

Exemplo Calcular o a correspondente para x raquo 2 para aacutegua

leve atilde pressatildeo atmosfeacuterica

Da tabela para p laquobull 1 atm

v - 001672 ft 3lbm e v - 26800 ft 3lbm

1 + [(1-002)002] 001672268

0971 ou 97U

O grafico abaixo mostra a variaccedilatildeo do a com x para vaacuterias

pressotildees e para a aacutegua leve

x ()

tObservaccedilotildees da curva

Fig 2

1 - para x constante a decresce com a pressatildeo Para presshy

sotildees proacuteximas da criacutetica a aproxima-se rapidamente de

x Para a pressatildeo criacutetica as duas fases satildeo indistinguiacuteveis ea=x

2 - para cada pressatildeo dotdx decresce com aumento de x

3 - para baixos valores de x (que e o caso dos reatores

tipo Boiling) quando p decresce dadx cresce e torr

na-se muito grande paacutera baixas pressotildees Isto tem relaccedilatildeo com a epound

55

tabilidade do reator como veremos mais tarde

113 - Sistemas com fluxo

Todas as definiccedilotildees que noacutes vimos no item anterior refeshy

rem-se acirc sistemas em que a mistura esta fechada no recipiente Nes^

te caso natildeo havia movimento relativo entre as duas fases No entan

to se as duas fases da mistura se movem na direccedilatildeo vertical em

canais entre os elementos combustiacuteveis o vapor por causa de sua

flutuaccedilatildeo tem a tendecircncia de escorregar sobre o liacutequido isto e

move-se com velocidade maior do que a do liacutequido

Real Modelo

Pig 3

S -

Define-se neste caso a relaccedilatildeo de escorregamento (slip

ratio) (S) como sendo

V _i

V f

onde

V = velocidade do vapor

= velocidade do liquido

S modifica as relaccedilotildees entre a e x do item anterior S geralmen_

te gt 1 Define-se neste caso qualidade do vapor ou tiacutetulo como

sendo

_ fluxo de massa de vapor

fluxo de massa da mistura

Entatildeo se o fluxo de massa da mistura eacute m t(lbmhr) o flushy

xo de vapor seraacute = x m e o fluxo de liacutequido sera (1-x) m onde x

56

e o titulo do vapor para a particular secccedilatildeo (AL) da figura (3)

Devemos notar que neste caso x varia de secccedilatildeo para secshy

ccedilatildeo do tubo o exposto no paraacutegrafo acima vale considerando-se que

x e a permaneceram constantes na secccedilatildeo de espessura AL

Aplicando a equaccedilatildeo da continuidade as velocidades do va

por e liacutequido sao dadas por

o xm v

V vazatildeo = g g area A

V

(1-x) amp t v f

f A f

onde A e A f sao as aacutereas medias perpendiculares ao fluxo se as

duas fases sao imaginadas completamente separadas uma da outra

(figura 3) Assim temos

V x m v o A_ A v 0 ^ - 2 = iacute S t m _2L- JL JS m

V A (l-x)ui v 1-x A v U

f g t f g f

Sabemos ainda que para a secccedilatildeo considerada

volume do vapor na mistura a = volume total da mistura (agua+vapor)

A AL A pound g g

a = mdash a a = - mdash 1

(A+A )AL A f + g

A ou f _ 1 - a

A a 8

Substituindo em (2) vem

57

Esta expressatildeo pode ser rearranjada e obteremos uma relashy

ccedilatildeo entre x e a levando em conta o escorregamento Chega-se a

a = 1 ( 3 )

1+ [U-x)x3 igt

onde

v 4 laquo -- S

v lty o

Note-se que quando S=l (nao haacute escorregamento) caimos na

expressatildeo dada no item anterior

0 efeito do escorregamento eacute decrescer o valor de a pa_

ra um mesmo xbdquo Isto pode ser visto pela foacutermula (3) pois S gt lLo

go a decresce com acreacutescimo de S

Um alto S e entatildeo uma vantagem tanto para a transferecircnshy

cia de calor como para efeitos de moderaccedilatildeo Eacute uma vantagem para

transferecircncia de calor porque alto S significa alto V e portanto

maior turbulecircncia e maior contato do liquido com as paredes quenshy

tes Ha tambeacutem melhorias na estabilidade da reaccedilatildeo nuclear isto

porque como jaacute dissemos quando mdash7 diminui a estabilidade aumenshy

ta isso pode ser verificado observando a curva a versus x para a

agua leve a 1000 psiabdquo

Fig 4

58

A relaccedilatildeo entre x e a da equaccedilatildeo (3) so vale para secccedilatildeo

de tubo bem pequena

Devemos notar que S varia tambeacutem com a pressatildeo e velocida^

de de entrada do liacutequido no tubo Este efeito pode ser observado na

figura 5 abaxxo obtida esperimentalmente

s

3

~^ ~ psig

x = 001

V 1

Fig 5

Nos projetos de reatores como veremos adiante o valor a

geralmente eacute determinado por consideraccedilotildees nucleares (moderaccedilatildeo) 0

valor de S eacute determinado atraveacutes de uma estimativa ou entatildeo atrashy

veacutes de um graacutefico do tipo da figura 5 0 correspondente valor de x

pode ser obtido de uma foacutermula empiacuterica do tipo

1 = 1 (-S)0gt67

proposta por Von Glahn

Em muitos casos assume-se S constante em todo o comprimeiv

to do canal poreacutem eacute um erro que em muitos casos nao pode ser coshy

metido

4 REATORES EM QUE 0 LIacuteQUIDO B MODERADOR E CIRCUITO PRIMAacuteRIO AO

MESMO TEMPO BOILING-REACTOR (BWR)

A aacutegua ao se movimentar atraveacutes dos vaacuterios canais do

59

Boiling-reactor encontra vaacuterias resistecircncias ao fluxo que provoshy

cam uma reduccedilatildeo de pressatildeo no fluido

As duas perdas mais importantes sao perda de pressatildeo por

atrito e perda de pressatildeo causada pela aceleraccedilatildeo do refrigerante

ao aumentar de volume por receber calor num canal Outras perdas

de pressatildeo seriam a obstruccedilatildeo ao fluxo por corpos submersos (espa_

ccediladores juntas de tubos chaves etc) e por mudanccedilas abruptas de

aacuterea de fluxo tanto na entrada como na saiacuteda do tubo

Essas perdas de pressatildeo devem ser conhecidas o melhor popound

sivel principalmente nos reatores BWR Para tanto devemos saber

o comprimento de canal em que nao ha a ebuliccedilatildeo isto eacute qual o com

primento de canal em que o refrigerante vai da temperatura de sub-

resfriamento ate temperatura de saturaccedilatildeo

Seja o elemento combustiacutevel

Aquecimento Uniforme Aquecimento Senoidal

Fig 6 Fig 7

onde

H =

H = o

H b

comprimento do elemento combustiacutevel

cota onde o liquido se torna saturado

comprimento do elemento combustiacutevel em que ocorre

ebuliccedilatildeo

60

qg = calor sensiacutevel acrescentado ao liquido para satushy

raacute-lo

qfc = calor total acrescentado ao liacutequido em todo o com

primento do canal

laquoo

q s J o qiquest sen (IIzH) n H o

T~ = TH = 2 ( 1 c o s gt ( a )

q 1 sen (HzH) Jo ^c

A expressatildeo (a) vale quando tivermos uma adiccedilatildeo de calor

senoidal para qualquer outra forma de adiccedilatildeo de calor faz-se um

caacutelculo anaacutelogo

Outra relaccedilatildeo entre q g e qfc eacute dada pela termodinacircmica

q h- - h s f m (b)

(hr +x h )-hm ^t f e fg

onde

= entalpia para o liquido saturado a pressatildeo correjs

pondente (cota z = Ho)

hffi = entalpia do liacutequido na entrada do canal

x = tiacutetulo do vapor na saiacuteda

= entalpia do vapor

Com a relaccedilatildeo (b) noacutes determinamos a relaccedilatildeo q q ecom

S L

uma relaccedilatildeo do tipo (a) (conforme seja o adicionamento de calor ao

liacutequido) podemos obter a relaccedilatildeo HoH e consequentemente H^H

21 - Perda de pressatildeo num canal de evaporaccedilatildeo

Neste item iremos determinar as perdas de pressatildeo mais

representativas que ocorrem num canal de evaporaccedilatildeo de um reator

P + dP

bull1 i- 1 gti i i

dL

onde

UM

Icirc H Icirc Icirc T dF f t f

61

Quantidade de Mov na Entrada

= i- rigVg)

dF f l

Fig 8

m i

m 8

V l V 8

A P

dF

dF

dF

fg

fl

ftf

descarga do liacutequido

descarga do vapor

velocidade do liquido

velocidade do vapor

aacuterea transversal do canal

forccedila de atrito do vapor com parede

forccedila de atrito do liacutequido com parede

forccedila de atrito das duas fases liacutequido+vapor

Fazendo o balanccedilo das forccedilas considerando o sentido posjL

tivo na vertical temos

A (P-P-dP)-(dF +dF _+dF _)-(-pound-) (p A+p A )dL = mdash dGnV+m V ) P fg ftf fl g c 1 1 g g g c

v 1 1 g g 7

- dP = ~ (dF +dF--+dF)+- S--7=- (p A+p A )dL+ mdash ~ - d (m-V+m V ) A_ fg ftf fl g c Ap v^l 1 g g g A 11 g g

Fazendo a integraccedilatildeo termo a termo entre os dois extreshy

mos entrada e saiacuteda e considerando a pressatildeo de entrada igual a

P q e a de saiacuteda igual a Pe vem

Quantidade de Mov na Saiacuteda

-= h I- lY l+ A g V g + d ( aacute l V l + aacuteeVl

Forccedila de Gravidade

= ( g f - N P A + P g V

62

b) r e F f l

o p dp^ = Ap^ = perda de pressatildeo por atrito

do liacutequido na altura Ho

Aplicando a formula de Darcy vem

bull API = f bull ir bull ^ iexcl 7

onde

f = fator de atrito

c) e Fftf

o p ^P tpound

= perda de pressao por atrito da mistura

liquido + vapor no trecho de comprimen

to Hbdquo o

Para determinar esta perda de pressao define-se o fator

de multiplicaccedilatildeo R

A P R =

tf A P 1B

Sendo A p ^ a perda de pressao se o comprimento todo fosshy

se ocupado somente pelo liquido assim

A p t f = R A P 1 B

0 calculo de Ap-^ pode ser feito pela formula de Darcy e

o de R nos veremos no item seguinte

63

d)

-e F

d ( ^ )

O P

Ap = perda de pressatildeo por atrito do vapor

No caso do reator BWR o titulo de saida e bera pequeno e

em nenhum caso ocorre a saida de vapor com x = 100 logo a perda

de pressatildeo por atrito do vapor eacute nula assim

An = 0 5

e) Ap

(p A 1 + p A ) dL = Ap - perda de pressatildeo dpound

vida ao desniacutevel

(perda hidrostaacutetica)

Anbdquo = re A A

-S- I (p + p -S ) dL H s 1 A

c o p o A

como A A Jl_ =

A P

A +A-g 1

1-a -

temos

C Q

te j jll-a)p1 + apg)^jdL = p Lo pound

onde

e jo u

+ ap ) ~I dL (Densidade media 1 S J

no tubo)

No nosso caso

Ap u = p H

f)

re d(mV + m V ) _ mdash - laquo -i bull s iquestp laquos p e r d a ltje pressatildeo devido a acele-

c p raccedilatildeo do vapor

V A

(1-x) tl^Vj

(1-a) A

X V

aA

A p -

roV + m V

c p c p L_

m (l-x)m_v m xv nbdquo -1 T 1

+ _S S I (1-a) Ap aA

P

2 g A c p

n 2 2

(1-x) m T

laquo2 8 A c p

2 2 (l-xe) raTv1

2 2 2 xm_v (1-x) m-v e T s o 1 1

a 1 - a

2 2 - x m_v o T g

a

se

X Q 0 (so ha agua nesse trecho)

a = 0 o

temos

mbdquo Ap =

1 a A 2

S A degc p laquo-

tt-V v i 1 - a

2 via T^r - v i

t Apc

2

V v l

5c Ap

1 - a

x v - 1

a e v l

65

Fazendo

G = fluxo total da massa por unidade de area do

canal

(1-x J e

V

AP r

Assim a perda de pressatildeo total sera

H p V II pV r2 P -P = f -24-Iuml+ f R+p 0 1 2g c D e 2g c g c g c

2c2 - Determinaccedilatildeo do fator de multiplicaccedilatildeo (R)

221 - Relaccedilatildeo Martinelli-Nelson

Os autores Martinelli-Nelson determinaram experimental -

te esse fator R para varias LIT1L em funccedilatildeo da pressatildeo e da r NB total J v

qualidade de saiacuteda do vapor no canal Construiacuteram assim vaacuterias

curvas do tipo da figura 9

66

E importante notar que a qualidade do vapor (x) na saiacuteshy

da nao deve ser grande pois como vemos o valor de R cresce muishy

to com um aumento pequeno de x e um valor de R muito grande acar_

reta uma perda de pressatildeo grande pois

^ d u a s fases R ^ f a s e liacutequida

Para resolvermos um problema seguindo o criteacuterio de bdquo

Martinelli escolhemos a curva R = f(px) (para a relaccedilatildeo L

N g ^ j

adequado) e tiramos R com os valores de pressatildeo p e tiacutetulo x

As curvas R = f (p x L T t )IO encontram-se nos ANL 6469 bio I

e 6561

222 - Relaccedilatildeo Lottes-Flinn

Estes autores estudaram o problema para o aquecimento uni

forme do refrigerante com baixo titule Lottes-Flinn fizeram inuacuteshy

meras experiecircncias e verificaram que para fluxo de calor uniforshy

me e baixos titulos R era independente do fluxo de calor fluxo

do refrigerante escorregamento e apenas funccedilatildeo de a g

Como a quantidade de liacutequido eacute muito maior que a de vashy

por a perda de pressatildeo daacute-se principalmente pelo atrito do liacuteshy

quido com a parede Podemos assim escrever a foacutermula de Darcy

na forma diferencial

dz

d = f __ r e amp c

onde

V = velocidade do liquido saturado na cota zbdquo X

f = coeficiente atrito

= densidade do liacutequido saturado

Teoricamente a queda de pressatildeo deve-se ao acreacutescimo de

67

velocidade do liacutequido e da diminuiccedilatildeo da aacuterea de fluxo do liacutequi

do

P fH A P t p

= f D 2g Ho

d z

fazendo

V lo

m V t lo

(velocidade do liacutequido na cota z = Ho)

(1-x) m t v 1

(1-a) A (velocidade do liacutequido na cota z gt Ho)

a bull+ fraccedilatildeo vazio na cota z geneacuterica

V 1 (1-x) m t v 1

m t V l 1 - a

x =s 0 pois o tiacutetulo eacute baixo

A p t f = f bull JT5 c e

fH V lo

H o (1-a) dz

Para fazer a integral devemos achar a relaccedilatildeo de variaccedilatildeo

entre a e z Como o fluxo de calor eacute uniforme a qualidade eacute direshy

tamente proporcional a z

bull laquo x = x e H

z = mdash x X e

Sabemos ainda que (item 113)

x

1 + [ ( I -X)AKQ x + iiacuteraquo

68

como

temos

(1-x) = 1

v

X =

z =

1-a

1 -a

1-a e

a

e

1-a pound

a

1 -a igt (assumindo S = cte)

da

Atf - f bull 2 i ^ ~ J c e o

a 1 - a e e 1 s 4 hmdash) da

a 1-a

f P lv^ Q

0 termo mdash - mdash e a parte de perda de pressatildeo pelo lj^

^c e -quido ou seja Ap liquido saturado e como

Ap

R = tf

Ap liauido saturado

temos que

R J

f ae 1 _ a e 1 4

a 1 -a o e

1 -a r-R =

3 1 -a

a 1 -a imdash

3 vl - a 3

e e

Os valores de R obtidos por esta expressatildeo aproximam-se

muito dos valores obtidos pelos aacutebacos de Martinelli

69

E - EXPANSAtildeO E COMPRESSAtildeO DE UM FLUIDO - ANAacuteLISE HIDRODINAcircMICA

DE UM CIRCUITO EM CIRCULACcedilAtildeO NATURAL

1 EXPANSAtildeO NO FLUXO DE UM FLUIDO

11 - Uma so fase

Figura 1

Ha vaacuterios meacutetodos para determinar a variaccedilatildeo de pressatildeo

numa expansatildeo de fluido estudaremos o de Romie que eacute o que daacute

maior precisatildeo

Romie considera que a pressatildeo p^ tambeacutem atua na aacuterea

imediatamente apos a expansatildeo Assim fazendo o equiliacutebrio das foi

ccedilas nas secccedilotildees tracejadas da figura 1 temos

mVj

p r A 2 + mdash

mV

bull 2- A2

mas

m = pV^A^

pV^A = p V 2 bdquo A 2

V A

v 2 -4r-logo

( P l-P 2) A 2 = f ( V ^ ) - f _ v j amp c c 2

70

2 pV A A pV A A

Chamando A l A ]

K = 1 - T e degi2 = Aiexcl bull V E M

pvj

P l P 2 = T ~ bull ( 2 deg 1 2 ) ( 1 _ a 1 2 )

Outra maneira de chegar atilde diferenccedila de pressatildeo ( P j - ^ ) s mdash

ria usar o coeficiente de perda da mecacircnica dos fluidos Assim o

equilibrio das pressotildees eacute

2 2

1 V l 1 V 2 V l P i + _ p _ ^ P 2 + I p ~ + k 1 2 p mdash

onde = coeficiente de perda

A 2 1 2

k 1 2 - (l-o 1 2) - (1 - j- )

Fazendo as transformaccedilotildees chegamos a mesma expressatildeo obshy

tida pelo balanccedilo das forccedilas

PraquoIacute pr p

2 - - ir ^ laquo-ia

12 - Duas fases

Como ha duas fases a equaccedilatildeo do balanccedilo das forccedilas fica

um pouco alterada

m pound 1 V- m - raquoV - m-V- m bdquoV _ P A + j y ^ i + _gl_JUuml P A + -11-11 + -ilsl (a)

1 2 e R 2 2 ff e

Sabendo que

71

m (1-x) m t = p fA (1-a) V f

entatildeo

fl l-o^ p fA x

6 Vf2 1-x l-a2 P fA 2

m V = mdash mdash e V 0 = gl a 1 P C T A 1 g2

m

a_ p h

2 g 2

Nas expressotildees anteriores o x nao varia porque a expansatildeo

5 adiabaacutetica porem o a varia devido a modificaccedilatildeo do tamanho da

bolha

Substituindo os valores das velocidades na expressatildeo (a)

vera

( P - P ) Abdquo =

2

2 2 m gt2 2 m t (1-x) 1 x t

ra i 2 m i 1 x t 1

p fA 1 g c ttl p Ax gpound

m t P - P = mdash

(1-x) (l-a 1)A 1A 2 (l-a2)A|

a r A r A 2

V A 2

m t P bdquo - P = mdash 2 1 g c A r A 2 p f

(1-x) 1-a f A 2(l-a 2)

bull ^ 2

72

Se

P -P

a

m

g

12

1 _1_ (1-x)

J12

1 _ a l 1 - a 2 + X (- )

Pg

1 deg12 a 2 ^

Sabemos que

mt = V o pf laquo A l

Sendo V q = velocidade do liquido num ponto onde natildeo haja vapor

P 2-P 1

u 2 2 A 2

V pr Ai

V W p f

(1-x) 12

l-a1 l-a2

+ X 2 pf

mdash

l deg12

-1 a 2 _

p -p r 2 Al (2a 1 2)

2 M f w 1 deg12 X (mdash) (

pg al a 2 )+(l-x)C l 1 12

1-a^ l-a2

Devemos notar que esta expressatildeo tambeacutem vale para quando

temos uma fase para isso basta fazer

= c t 2 = 0

X = 0

e recairemos na formula do item anterior

2 pf 1 deg12 Observemos que neste caso o termo x (mdash)( ) nao

Pg al a2

2

73

tem significado pois corresponde a mudanccedila de fase

2 CONTRACcedilAtildeO KO FLUXO DE UM FLUIDO

21 - Uma so fase raquo mdash

Aqui ocorre um fenocircmeno importante pois o fluido ao ser

contraiacutedo nao vai diretamente da area A^ para a area A 0 mas ele

contral-se ate uma area A^ e depois expande-se ate k^

Ao A2

Po IP 2

V 2

Figura 2

Fazendo o equiliacutebrio das pressotildees entre os planos (1)

(0) vem 2 2

pV pV p +~ plusmn - P + i deg bull 1 2 g o 2 g (b)

C x

Fazendo equiliacutebrio da expansatildeo (0) - (2) vem

P o + 2 - f = P 2 + 2 -T + kp- 2 F ( c )

c c b C

Subtraindo (b) - (c)

2 2 2

i p- vj i p- v2 L P l + 2 bull g c

P 2 + 2 2g c

+ k P 2g c

74

Como

P - P = mdash 2 2g

2 2

bull (1 + k) - f bdquo mdash i

k a - f2 ) 2 - d - o c )2

= o

A = a 21

Weisback obteve varias relaccedilotildees entre a e a i] c

01 02 03 a 0624 0632 0643 c

0624 0632

A r v i - V v 2

p -p 1 2

P -P 1 2 2g7

v l =

(1+k) - laquofi- a 2g 21 c

( 1 + k - o 2 1)

X[- V 2 o 2 1V 2

22 - Duas fases

0 valor de k pode ser aproximado para

k = a(l - o 2 1)

onde segundo Richardsons para fluxo de duas fases podemos supor

a = 02

Para fluxo homogeacuteneo sabemos que

75

p = p f (1 -a ) + p o a

podemos supor p bdquo a = 0 pois p e pequeno e fazendo

V = V ~ V fbdquo2 go2 v 2

Substituindo estas duas expressotildees na equaccedilatildeo de uma soacute fase vem

2 2 p V (l-ct) p V (1 -a ) bdquo

P l P 2 = 9g ( 1 + 3 - 3 0 ^ - 0 ^ ) = g (a+1) (l-a^)

Se a = 02

2 12p oV 0

p r p

2 - 9g gt d-) d-sigt

A compressatildeo de um fluido acarreta uma perda de pressatildeo

como pode ser verificado pelas formulas uma vez que lt 1deg

3 ANALISE HIDRODINAcircMICA DE UM CIRCUITO EM CIRCULACcedilAtildeO NATURAL

Esquema deacute uma caldeira com circulaccedilatildeo natural

76

Determinar a velocidade em (7) para que tenhamos circula

ccedilatildeo natural Determinar tambeacutem as perdas de pressatildeo em todos os

trechos da caldeira

31 - Contraccedilatildeo das secccedilotildees (1) - (2)

Como jaacute vimos a equaccedilatildeo do balanccedilo das pressotildees eacute

1 pr Vl 1 p 2 o V 2 P2 V2

1 2 g 2 + 2 g + K12 2g otilde c amp c e c

bullraquo 2 o2 2 e havendo uma soacute fase k 1 9 = (l-o ) = (1 mdash ) e sendo

C 2

p l = p2

v x lt lt lt v 2

P 2 V pr p2 bull ir2 bull ( 1 + k12gt

Colocando em termos de temos

A 2 V 2 P 2 = A 7 V 7 p 7 (continuidade)

V = V mdashbull = V o_bdquo ~ A 2 2 2

P 2 V - p 2

p r p 2 = ir2 - deg72 bull Ccedilrgt bull lt 1 + ki2gt

fazendo

N12 - lt^gt deg72 ( 1 + k12gt

P7 V7

Pr P2 - N12 bull HG

77

3 2 - Perda de carga no trecho ( 2 ) - ( 3 )

Como haacute apenas uma fase soacute temos perdas por atritos e

perdas hidrostaacuteticas

Sendo como jaacute vimos

2 3 p 2 2 g P 2 P 3 = f 2 3 (r~2g^~) L 2 3 g c p

atrito hidrostaacutetica

Substituindo V^ pela relaccedilatildeo do item anterior e tendo em

conta que p = vem

P -P = f 2 r 3 2 3 D

2 3 p 2 bdquo 2 2 p 7 2

2 g 7 72 p 2 3 g

Se

L 2 3 2 p 7

2 3 2 3 D 2 a 7 2 p 2

P 7 V 7 g P 2 - P 3 = N 2 3 ( mdash gt p 2 L 2 3 f

3 3 - Expansatildeo nas secccedilotildees ( 3 ) - ( 4 )

Como vimos o balanccedilo das pressotildees e

2 2 2 p V p 4 V p V

P 3 + 2 g c

P 4 + 2 g c

+ k 3 4 2 g c

onde

k 3 4 - - -

2 2 1 P 4 - V 4 P 3 v 3

P 3 P 4 = 2 g + ( k 3 4 _ 1 ) 2 g

78

Sendo

P 3 - P 4

p 3 o A 3 deg V 3 = P 7

a A 7 o V 7

P 4A 4 0V 4 = P r A r V

3 7 A 3 p 3

A7 P7 V = v mdash mdash 4 7 P 4

P - P 3 r4

Se

P bdquo - P

bdquo2 r-P 7 V 7

3 4 2g deg74 + ( k 3 4 1 ) deg73

34 p deg74 + ( k 3 4 1 ) 73

p r v2

P3- P4 ^ N34 ^ gt

(No caso e negativo)

34 - Contraccedilatildeo nas secccedilotildees (5) - (6)

Ainda temos uma so fase e fazendo o balanccedilo das pressotildees

como fizemos no item 3lt1 vem

P + vil p + vi + k vi P 5 + 2gbdquo P6 + 2gbdquo + k56 2gbdquo

k 5 6 lt 1 ^ gt 2 ( 1 - Iacute 2 i 2 6

V V6 P5degIacute 5^6 ^SS 2g c - 2g c

P - P ^ = (1+kJ

Como

79

A 6

W p 5 =

VV P6 V 5 = V 6 Jiexcl = Vff65

P 5-P 6 - lt H k 5 6 ) mdash ^ mdash (l+k 5 6-a 6 5) c c c

Sendo

Se

A 7 p 7 p 7

6 7 Ag p 6 7 76 p 6

p _p _ P6- V7- g76 iquest72 ( _ 02 P 5 P 6 2g c bull ( p 6

( 1 + k 5 6 deg65 )

p 7 2 2 N56 = p ^ deg76 ( 1 + k 5 6 ~ a 6 5 )

P 7 V 2

7

P r-P = N r 5 6 56 2g c i

35 - Perdas de pressatildeo nas zonas (6) - (7) - Pre^aquecimento

Nesta regiatildeo temos perdas por atrito e hidrostaacuteticas

Nao haacute perda por aceleraccedilatildeo pois ainda natildeo houve formaccedilatildeo de boshy

lhas

Fazendo balanccedilo das pressotildees temos

L_ ppound-V p = p + otilde L - pound _ + f -Si (-21mdashL 6 7 + p67 L67 g + t 6 7 D K 2g

p _ e ifn sao tomados como valores meacutedios 67 67

P _p _ f hl ^67jIacute uuml + - L A

6 F 7 r67 D 2g P P67 L67 g 6 s c 7 c

S e Kr pound67 L67 p67 6 7 D 6 p7

p7 V - _g_ P6- P7 - N67 mdash + P67 L67 f

c c

80

36 - Perda de pressatildeo nas zonas (7) - (8) - Zona de ebuliccedilatildeo

Nesta regiatildeo j aacute temos o aparecimento de bolhas logo a

perda de pressatildeo seraacute devida agraves t recircs parcelas aceleraccedilatildeo a t r i t o

das duas fases liacutequidas + vapor e h idros taacute t ica

onde

Assim

P-P Q = AP + AP + APbdquo 7 8 a t r i t o acel H

T M1

78 p 7 7 AP - R f- - mdash mdashr |R = fator mult ipl ica-

a t r i t o 7 D 7 2 g c L tivo

G 2

AP bull r mdash acel g c

P V

|_1 - o a p J 8 P f

2 t r 2 M2

7 7 r 7 7 A P a c e l = -J^mdash 2 r bull p 7 lt T iexcl iexcl - )

A PH p 7 8 L 7 8 fiexcl

p 7 8 iacute 7 li 1 0 0 P l i q + a P v ] d L = P 7 ( 1 - laquo 7 8 )

ag raquo fraccedilatildeo de vazio media entre 7 e 8

APH = p (1 - 5 7 g ) f- L 7 8

2 2

P 7 - P 8 a 5 - 2 T i + 2 r p 7 + P 7 ( 1 - 7 8 gt f L 7 8 7 amp c amp c amp c

81

N 7g = R mdash + 2 r p 7

P7 V7 P7- P8 = N78 + P 7 ( 1 5 7 8 gt J78

37 - Expansatildeo nas secccedilotildees 8 e 9

No caso haacute uma expansatildeo com duas fases e como vimos no

item 12 a variaccedilatildeo de pressatildeo era dada por

0f Vo P2 P1 = ~2g c ( 2 deg12

x 2 (mdash)(mdash - mdash ) + ( l - x ) 2 ^ T mdash 8 1 2 1

12

Aplicando ao nosso caso

P pound = P 7

P -P = 8 9

V - V raquo V g f 7

P 7 V 2

2 pf 1 a89 2 1 g89 x (mdash) ( ) + (1-x) (- - N

o ou abdquo 1-cu l-ot_) g 8 9 8 9

Se

N 89

= 2 a 89

2 pf 1 deg89 2 1 CT89 x (mdash) ( ) + (1-x) ( T

g 8 9 8 9

P -P = 8 9

- N P7deg V7

89 2gbdquo

38 - Perda de pressatildeo no trecho 9 e 10

No referido trecho temos apenas perda de pressatildeo por atr L

to da fase liacutequido + vapor e perda hidrostaacutetica Natildeo haacute perda por

aceleraccedilatildeo do vapor pois este natildeo recebe mais calor e portanto

o 82 o

nao ha variaccedilatildeo no a

p

Q -p i n = A P

U + A P bull 9 10 H atrito

n T -S_ P9 U10 deg 910 bull g

fio r

910 I 910

J9 L

(l- a)P + Q P I dL liq v

(l-a0) p

No caso a = (nao hatilde variaccedilatildeo de forma)

A P H - (1-a ) P (p L 0

c

AP bdquo = R o

atrito

2 f9 o L910 P9 V9

2g

Supondo

= V

P 9 = P 8 P 7

vbdquo = v 9 8 0 A r

= V 7 bull deg89

AP - R atrito

2 2

W l O p7deg V7deg g89

V P10 R -^T^ bull deg89 bull li-2 + ( W P 7 (fgt SIO

y c c

Se

- f9 L910 2 N9ol0 R Dl deg89

w 2

p rv P9 P10 = VlO + ( 1 a 9 ) p7 (f gt L910 c

33

39 - Perda ciacutee pressatildeo na expansatildeo 9 - 1 0

Analogamente a expansatildeo 8 - 9 temos

10 11 P 7 2g

10 Iacute 2 0 1 0 - 1 1 gt

2 ff

pg aio

10-11

laquo11 ) +

Ll-a 1 0 bull l-a u J

Se

V10 = V 9 = V 8 bull T9 = V 7 deg89

P -P 10 rll = - a 2g 089 ^lO-ll

4 bull T~ bull (7 1 mdash ) + Pg degio a n

+ (l-x)2(- 1 10-11

1 - aio )

N10-ll = 2 a10-ll a89 2 pf t 1 10-11 N2

-(j-r- - ) bull+ (1-x) pg aio deg 1

10-11 k l - a io

prz P10 Pll = - N10-ll bull ( 2gbdquo

310 - Calculo de V

Fazendo a somatoacuteria de todas as expressotildees (P^-Pj) tere-

84

mos 2 PbdquoV_

P bdquo - P bdquo = N 7 v 7

1 2 12 2g

bull 2 - P 3 - = N 2 3 P 2 L 2 3 f c ccedil

9 P 7 V 7 P _p = N mdash -

3 4 34 deg 2g

V P 5 = deg

2 P V

5 6 56 2 g c

ltr2

P 7 -V 6 e7 -N67 2g + p 6 7 J j67 g

c bc v 2

P 7 - P 8 = N 7 8 - 2 i ~ + p 7 ( 1 - laquo 7 8 ) L 7 8 c

P 7 V 7

P - P - -N mdash - -8 9 89 2g

c P 7 V 7

P 9 ~ P 1 0 VlO 2g + ( 1 a 9 P 7 L 9 c

P 7 V 7

bull10 11 U10-ll 2g

P v iacute j P - P

1 11

7 - v 7 3 bull r

2 8 i U L 2 23 67

(l-5 7 8) L 7 8 + ( l - laquo 9 ) P 7 bull SlOtilde]- ^

Por ou t ro lado sabemos que como secccedilotildees 1

mesmo n iacute v e l

85

s c p r v 7 j

28 Z N i ij

= P 2 L23 p67 L67 P 7 ( 1~deg78 )

78 ~ ^g) bull P 7 bull L 910 g_

V - 2 g ( p r L 2 3 - p 6 r L 6 7 - p 7 ( l - atilde 7 8 ) L 7 8 - (l-a9) p L 9 a ( )

y N

Com esse valor de podemos determinar todas as variashy

ccedilotildees de pressatildeo (P^-P )

BIBLIOGRAFIA

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tituto de Energia Atocircmica de Sao Paulo em 1966 (roteiro)

- WR Gambill - Nuclear Safety

Vol 9 - n9 5 e 6

Vol 6 - n 2 (pag 152)

Vol 4 -r n9 1 (pag 30)

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- AKL - 6469

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Frank Kreith - Principles of Heat Transfer

Journeacutees Internationales de la transmission de la chaleur

Seminaacuterios realizados em Paris em 1961 sob a supervisatildeo do

Prof Marcel Veron

Notas de aula da Cadeira de Termodinacircmica I e Transmissatildeo da

Escola Politeacutecnica da Universidade de Sao Paulo

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39

tico quando nao temos sufaresfriamento

bo poolsat v V raquoc a ( p l P V )

2 PV

14

onde

ltiexclgt = fluxo de calor critico bo

k = constante

Ly = calor latente de vaporizaccedilatildeo do refrigerante

= densidade do liquido

pvr = densidade do vapor V a = tensao superficial

g = fator de conversatildeo c

a = aceleraccedilatildeo da superficie de aquecimento

Os autores encontraram para k um valor de 062 entreten

to outros autores como Zuber incluindo outras variaacuteveis que In

fluiam no fenocircmeno encontraram k variando entre 008 e 023Esshy

tudos bem elaborados mostram que o valor mais aproximado eacute

k = 015 (- 003)

1-22 - Equaccedilatildeo de Noyes

Noyes estudou o burnout para o soacutedio agua e alguns liacute

quidos orgacircnicos

( W s a t ~ bdquo 0245 bull ( r ( 1 )

iiacute_ V 1 Pr

onde

N n = Nuacutemero de Prandtl da fase liacutequida x r

Mais tarde o proacuteprio Noyes alterou a equaccedilatildeo para

n ^ - n H Iacute I Pl PV gt0538 deg g c a q 4 ( W s a t deg 1 1 6 PV ( - p 7 ~ ) (77T1^ ) ( 2 )

40

A ultima correlaccedilatildeo proposta por Noyes foi

a n prPV0560 112

1

(a bull a) 13

(ag c) 112

(3)

onde

a = difusividade teacutermica do liacutequidoraquo A equaccedilatildeo (3) eacute bashy

seada em todos os dados de burnouts do soacutedio bem

como da atildegua benzeno difenil e outros De 111 pontos usados 90

+ estatildeo relacionados dentro de - 30bdquo

ldeg2o3 - Burnout com convecccedilao forccedilada e sub-resfriamen

to

Aproveitando os resultados de aproximadamente 240 testes

de burnouts com aacutegua sub-resfriada em fluxo de convecccedilao forccedilashy

da feitos na Ruacutessia Labuntsov elaborou uma boa equaccedilatildeo empiacuterica

para o problemabdquo

Esta relaccedilatildeo aplica-se para velocidades entre 2 3 e 148

ftsec pressotildees entre 1 e 201 atmabs sub-resfriamento entre 0 deg

e 432 degF e fluxos de burnout entre 0 4 x IO 6 x 166 x 1 0 6 BTUhr

2 bdquo

bullbo

onde

e a seguinte

6 ( P ) 1 + 0 2 3 2 V 2

14

e ( P ) 1 +

15 c At _p_ sub

12 (a)

9 ( P ) - P 1 3 o ( 1 - P J 4 3

red

= pressatildeo (atm abs)

pressatildeo reduzida = mdash mdash red r P

t_ c = pressatildeo critica

= velocidade do liacutequido (ftsec)

= calor especiacutefico do liacutequido (BTUlbdegF)

4 1

^ tsub = ^ ^ e r e n Ccedil a ^ e temperatura entre a temperatura de

mistura do liacutequido e a de saturaccedilatildeo (degF)

X = calor latente de vaporizaccedilatildeo (BTUlb) 2

ltiacutegtbo = fluxo de burnout (BTUhrfl )

Uma outra correlaccedilatildeo para o caso foi proposta por

Ornatsky e Xiohigin que fizeram experiecircncias para pressotildees entre

10 e 1 5 0 3xm 90 degF lt At ^ lt 4 5 0 deg F 3 7 1 0 6 ( l b h r o f t 2 ) lt G lt

2 2 2 10 b ( l b h r bdquo f t 2 )

lt ^ = 3 2 5 0 (G o A t bdquo J deg 6 ( - i - ^ ) 2 5 ( b ) bo sub

onde

G - descarga de refrigerante por unidade de aacuterea

P ^ v P v - densidades do liacutequido e do vapor

P1~ PV -0 termo (mdash ) e incluido na expressatildeo (b) para indicar

a influecircncia da ^ pressatildeo sobre o

Uma comparaccedilatildeo entre as equaccedilotildees (a) e (b) foi feita para

o Reator de Isoacutetopos de Alto Fluxo (HFIR) nas condiccedilotildees aacutegua a

600 psia velocidade = 45 ftsec e sub-resfriamento = At^^ 1

degF obtendo-se uma diferenccedila de 6 5 entre ambos (4gt = 6 0 5 1 0 b

2 ~ 6 2 BTUhr ft pela equaccedilatildeo (a) e 6 4 5 10 3TUhrraquoft pela equaccedilatildeo

(b)

Ilatilde ainda a equaccedilatildeo de Ivey e Morris aplicaacutevel somente pa_

ra ebuliccedilatildeo com grande quantidade de liacutequido

( c sub t

Cpf bull A tsub

( bull ) s ~ V P bdquo 10 h V sat V g

onde

(ltL ) = fluxo critico com sub-resfriamento c sub

(ograve ) ^ - fluxo critico sem sub-resfriamento c sat

42

c ^ = calor especiacutefico do liacutequido

= calor latente de vaporizaccedilatildeo

124 - Burnout com convecccedilao forccedilada e ebuliccedilatildeo por bocirc-

Ihas

Gambill fez uma extensatildeo da equaccedilatildeo de Levy e aplicou o

metqdo da superposiccedilatildeo Tal extensatildeo consiste natilde subtraccedilatildeo de uma

razatildeo equivalente de massa transferida dos termos que represenshy

tam a ebuliccedilatildeo e convecccedilao para levar em conta a presenccedila do vashy

por no fluxo

A correlaccedilatildeo pode ser escrita assim

24 V P V

o g c a (p^Py) 14

+ 0696 (k p c ) 12

(

pr p v )i4 o g c a (P-L-Py) 18

bull At + h sub nb

044 p v L v G (g1) bull N2 n

p l P V

( pr p v ) d e 2-7

2 4 TT 0

14 ( f e _ ^ r l 3

lO^u

onde

k = condutividade teacutermica

c = calor especiacutefico

A t s u b ~ s ub-resfriamento do liacutequido

h = coeficiente de transferecircncia de calor de nao ebu nb mdash

liccedilatildeo

G = descarga total do refrigerante

43

d g = diacircmetro equivalente do tubo ou canalraquo

]i = viscosidade

B = constante adimensional

Os iacutendices V e 1 representam vapor e liacutequido respectiva

mente

0 primeiro termo entre chaves da equaccedilatildeo representa o flu

xo de calor no burnout de sub-resfriamento em convecccedilao forccedilada 0

segundo termo entre chaves corresponde ao fluxo de calor transferi^

do para a massa da fase vapor

1-25 - Burnout por Bloqueio da Base

Ocorre quando a profundidade do recipiente eacute muito maior

que a largura 0 bloqueio da base eacute causado pela formaccedilatildeo de uma pe_

licula de vapor na base impedindo que o liacutequido toque o fundo do

recipiente

i De

Este eacute o burnout por flooding isto eacute burnout por expul

sao do liacutequido Uma equaccedilatildeo que nos dacirc o fluxo minimo do burnout

parao caso eacute

44

onde

D g = diacircmetro equivalente

L = comprimento do tubo

= calor de vaporizaccedilatildeo

p^Py Ap = densidade do liacutequido do vapor e diferenccedila en

tre ambos

Para um fluxo de calor maior ou igual ao dado pela expres_

sao acima (mantida a mesma geometria) teremos burnout Para um deshy

terminado fluxo existiratildeo sempre um comprimento L e um diacircmetro equi

valente D e para os quais temos burnout Exemplo

L (in) D e(in)

10 11

100 51

1000 235

2 RESULTADOS ESPECIacuteFICOS - FOacuteRMULAS PARA CAacuteLCULOS ESPECIacuteFICOS

21 - Diferenccedila de temperatura At i

13 a t

sat

At sat

poundatildeJL_ raquo t - t J p T T 6 w sat

onde

o laquo tensatildeo superficial entre liquido e vapor

t - temperatura de saturaccedilatildeo do liacutequido para a corres-Scl t

pondente pressatildeo

J equivalente mecacircnico do calor

X laquobull calor latente de vaporizaccedilatildeo

py = densidade do vapor

6 = espessura da camada de liacutequido superaquecido onde

45

k l

h nc

onde

k^ = condutividade teacutermica do liacutequido

h = coeficiente de peliacutecula nc r

Segundo Eckent h ^ c e dado por

P 2 Q

nc 3 V VP + 0952

r

onde

D = diacircmetro equivalente

G r = numero de Grashoff

P = nuacutemero de Pradtl

2 o 2 - Velocidade das bolhas

A velocidade das bolhas em meacutedia pode ser dada pela exshy

pressatildeo

V bdquo = Iacute ( a bull B Apl4 bolhas 5 ^ 2

p l onde

AP = P L - P v

Expressatildeo que vale quando a aceleraccedilatildeo eacute a da gravidade

baixa viscosidade do liacutequido e bolhas separadas

Vbolha = f t s e atilde m a x para aacutegua

2 bdquo3 - Diacircmetro das bolhas

2gc deg 12 D = 0015 3 ( mdash mdash 7 ~ ) d g Ap

5 =

46

onde

8 = acircngulo de contato (20 a 90deg) geralmente assume-O -1

-se igual a 50 para a agua em contato com metal

24 - Coeficiente de peliacutecula na ebuliccedilatildeo nucleada

a) Equaccedilatildeo de Rohsenow

Esta equaccedilatildeo nos datilde o fluxo de calor q na ebuliccedilatildeo nushy

cleadaraquo E oacutetima expressatildeo para muitos liacutequidos o efeito da presshy

satildeo eacute levado em conta na variaccedilatildeo das propriedadesraquo

Pf

fg

sat 17 = c

sg k y f h f g g( P f-p g)

n033

onae

Pf

fg

Pf Pg c sg

= fluxo de calor requerido (BTUhr0ft^)

= calor especiacutefico do liacutequido saturado (BTUlbm0F)

= calor latente de vaporizaccedilatildeo (BTULbm)

= nuacutemero de Prandtl

= viscosidade do liacutequido (lbrahrraquoft) ~ 8 2

= fator de conversatildeo 417 10 Ibmftlbflaquohr 2

= aceleraccedilatildeo da gravidade (fthr )

= tensatildeo superficial na interface liacutequida vapor

(lbfft) 3

densidade do liquido e vapor (lbmft )

constante adimensiacuteonal que depende de vaacuterios fashy

tores dentre os quais o grau de aquecimento en_

tre o fluido e a superfiacutecie de aquecimento e o

mais importanteraquo Independe da pressatildeo do sistema b) Equaccedilatildeo de Levy

Equaccedilatildeo valida para a aacutegua quando 100 lt p lt 2000 psiacutea

47

43 bdquo3

qu bdquo gat ^ T J h r t f t ^

495

25 - Calculo do fluxo de calor no Ponto de Leidenfrost

0 ponto de Leidenfrost como vimos eacute o ponto em que oflu

xo de calor comeccedila ncamente a crescer isto eacute o ponto onde termal

aa a ebuliccedilatildeo instaacutevel e comeccedila a ebuliccedilatildeo por peliacutecula estaacutevel Eacute

o chanado fluxo miacutenimo (egrave ) m m

Aproximadamente quando A t g u k = 0 temos

A _ mdash _ mdash (Gambill) m m 5

Ha entretanto varias expressotildees para determinar esse flu

xo eis uma delas

A p 14 ltjgt = 009 h pbdquo (o raquo g mdash ) y m m fg P V deg 2

p l

26 - caacutelculo do fluxo de calor na regiatildeo de ebuliccedilatildeo por peliacute

cuia estaacutevel

para cilindros jmdashi i li

_ D 0172 k-V - P V A p h l V bull S 14 li - = 062 (mdashmdash) (- j- r rmdash) convecccedilao A 0 ybdquo (t -t )

c V w sat

onde

= condutividade do vapor

- 2 TT ( mdash )

c gAp Vl = significam vapor e liacutequido respectivamente

para paredes verticais

L 0172 S deg7 A p bull hlV S q 4 h - - 080 (-^-)J- (-Iuml - Iacutemdash-convecccedilao X L u (t - t J)

c V w sat

48

Como nesta regiatildeo jaacute haacute nina influecircncia marcante da radia

ccedilao devemos levar en conta tambeacutem o coeficiente de peliacutecula de

vido a radiaccedilatildeo para determinar o coeficiente de peliacutecula total

Dos estudos atildea radiaccedilatildeo temos

h = a F pound(T 4 - T 4 J ( T ~ T ) rad w sat w sat

onde amp _ emissividade de superfiacutecie

a = constante de Stefan-Boltzman

F = fator de forma

Segundo WE Gambill o coeficiente de transmissatildeo total

ceve ser

3 iacutei = h + -7 h para h lt h t conv 4 rad r rad conv

Na expressatildeo acima existe o fator 34 porque a radiaccedilatildeo

faz variar um pouco a espessura do filme de vapor reduzindo asshy

sim o l l

conv

Quando tivermos h gt h gt o h^ ^ seraacute rad conv total

h f c = h + h t conv rad

Neste ultimo caso nao ha nenhum coeficiente porque a peshy

liacutecula de vapor jaacute eacute estaacutevel

27 - Grandezas caracteriacutesticas para a apua

Para pressatildeo igual a 1 atm = 1422 psia

At ^ = t - t = 5degC (iniacutecio da ebuliccedilatildeo nucleada) sat w sat 1

At t = 30degC sat crit

49

5 2 $ = 4 10 BTUhrft (para pressatildeo 1 atm)

0 fluxo critico cresce como vimos com a pressatildeo ate

atingir o maacuteximo quando a pressatildeo eacute aproximadamente 13 da pressatildeo

criacutetica Esse fluxo eacute

bull = 13 IO 6 BTUhrft 2 para p = 11000 psia (p pound = 32062 psia)

Ainda temos que para pressatildeo igual a 15 psia

h b o = 11000 BTUhrft degF - ebuliccedilatildeo nucleada

h f b = 30 BTUhrft 2 degF - ebuliccedilatildeo pelicular

Todos os resultados e formulas para caacutelculos especiacuteficos

apresentados nos itens 21 22 23 ateacute 27 sacirco aplicados somente

para sistemas onde haja ebuliccedilatildeo com grande quantidade de liquido

51

D - HIDRODINAcircMICA DOS SISTEMAS E QUEDA

DE PRESSAtildeO DENTRO DE UM CANAL

1 HIDRO-DINAcircMICA E QUEDA DE PRESSAtildeO

11 - Hidro-dinacircmica dos sistemas estaacuteveis

111 - Regimes de escoamento

A evoluccedilatildeo do escoamento ao longo de um canal aquecedor

de secccedilatildeo constante ciliacutendrico pode ser esquematizada pela figushy

ra 1 onde temos em abcissa o comprimento z do canal e em ordenada

a temperatura (T)

52

Na figura 1 nos representamos

a) 0 aspecto do escoamento fluido quando a entalpia do

- fluido aumenta Verificamos que o fluido entra no cashy

nal no estado liacutequido e assim permanece ateacute atingirmos a zona de

ebuliccedilatildeo local onde aparecem as primeiras bolhas A entalpia do

fluido continua aumentando e tem inicioa ebuliccedilatildeo franccedila onde as

bolhas se unem formando agregados posteriormente o escoamento to

ma a forma da figura ou seja torna-se anular disperso Finalmente

atingimos duas uacuteltimas fases do escoamento disperso (vapor uacutemido)

e vapor seco

b) A evoluccedilatildeo da temperatura meacutedia do fluido e da tempeshy

ratura da parede Note-se que a partir da cota a

temperatura da parede aumenta brutalmente podendo causar o

burnout

c) A evoluccedilatildeo do tiacutetulo do vapor (x) com o comprimento

do tubo e a evoluccedilatildeo da fraccedilatildeo (a) que definiremos no

item 11laquo2 com o comprimento do tubo

112 - Definiccedilotildees

a) Tiacutetulo ou qualidade do vapor (x)

massa de vapor na mistura x ~ massa total da mistura

x =

W _g_

g f

b) Fraccedilatildeo vazio (void fraction)

volume do vapor na mistura a = volume total da mistura (agua+vapor)

A relaccedilatildeo entre x e a num sistema parado pode ser obtida

assumindo um certo volume contendo 1 lbm de mistura em equiliacutebrio

teacutermicoraquo

53

O volume da mistura seraacute igual a (v + xv ) ft onde v eacute 3 r rg

o volume especifico (lbmft )

f - refere-se ao liquido

g - refere-se ao vapor

fg - refere-se a diferenccedila entre liacutequido e vapor

Numa mistura em equiliacutebrio se o liacutequido e o vapor estatildeo

saturados o volume do vapor presente eacute igual acirc sua massa vezes

seu volume especiacutefico v assim e

xv bdquo bdquo a mdash

V c + XV c

f gf

onde

- bull-bull uumlutiacuteisa vapor na mistura de 1 Ibm

v volume especiacutefico do liacutequido

v = volume especiacutefico do vapor o

V c = v - V

gf 8 r

Fazendo uma transformaccedilatildeo na expressatildeo acima temos

xv xv JS = Z-

v r+ x(v -v c) xv +(l-x)v t ri f g f g f 1 + Ul-x)xjv fv

1 + C(l-x)x]]vfvg

A fraccedilatildeo vazia tem a influencia de baixar a reatividade

do nuacutecleo nos reatores em que o refrigerante eacute tambeacutem moderador

Na equaccedilatildeo acima os valores de x e v sao tomados em tabe

las termodinacircmicas apropriadas para a pressatildeo do sistema A equashy

ccedilatildeo (1) mostra os grandes valores de a para pequenos valores de x

especialmente para baixas pressotildees Isto ocorre porqueaumentando

54

aacute pressatildeo o v decresce muito enquanto que o v f eacute mais ou menos da

mesma ordem de grandeza

Exemplo Calcular o a correspondente para x raquo 2 para aacutegua

leve atilde pressatildeo atmosfeacuterica

Da tabela para p laquobull 1 atm

v - 001672 ft 3lbm e v - 26800 ft 3lbm

1 + [(1-002)002] 001672268

0971 ou 97U

O grafico abaixo mostra a variaccedilatildeo do a com x para vaacuterias

pressotildees e para a aacutegua leve

x ()

tObservaccedilotildees da curva

Fig 2

1 - para x constante a decresce com a pressatildeo Para presshy

sotildees proacuteximas da criacutetica a aproxima-se rapidamente de

x Para a pressatildeo criacutetica as duas fases satildeo indistinguiacuteveis ea=x

2 - para cada pressatildeo dotdx decresce com aumento de x

3 - para baixos valores de x (que e o caso dos reatores

tipo Boiling) quando p decresce dadx cresce e torr

na-se muito grande paacutera baixas pressotildees Isto tem relaccedilatildeo com a epound

55

tabilidade do reator como veremos mais tarde

113 - Sistemas com fluxo

Todas as definiccedilotildees que noacutes vimos no item anterior refeshy

rem-se acirc sistemas em que a mistura esta fechada no recipiente Nes^

te caso natildeo havia movimento relativo entre as duas fases No entan

to se as duas fases da mistura se movem na direccedilatildeo vertical em

canais entre os elementos combustiacuteveis o vapor por causa de sua

flutuaccedilatildeo tem a tendecircncia de escorregar sobre o liacutequido isto e

move-se com velocidade maior do que a do liacutequido

Real Modelo

Pig 3

S -

Define-se neste caso a relaccedilatildeo de escorregamento (slip

ratio) (S) como sendo

V _i

V f

onde

V = velocidade do vapor

= velocidade do liquido

S modifica as relaccedilotildees entre a e x do item anterior S geralmen_

te gt 1 Define-se neste caso qualidade do vapor ou tiacutetulo como

sendo

_ fluxo de massa de vapor

fluxo de massa da mistura

Entatildeo se o fluxo de massa da mistura eacute m t(lbmhr) o flushy

xo de vapor seraacute = x m e o fluxo de liacutequido sera (1-x) m onde x

56

e o titulo do vapor para a particular secccedilatildeo (AL) da figura (3)

Devemos notar que neste caso x varia de secccedilatildeo para secshy

ccedilatildeo do tubo o exposto no paraacutegrafo acima vale considerando-se que

x e a permaneceram constantes na secccedilatildeo de espessura AL

Aplicando a equaccedilatildeo da continuidade as velocidades do va

por e liacutequido sao dadas por

o xm v

V vazatildeo = g g area A

V

(1-x) amp t v f

f A f

onde A e A f sao as aacutereas medias perpendiculares ao fluxo se as

duas fases sao imaginadas completamente separadas uma da outra

(figura 3) Assim temos

V x m v o A_ A v 0 ^ - 2 = iacute S t m _2L- JL JS m

V A (l-x)ui v 1-x A v U

f g t f g f

Sabemos ainda que para a secccedilatildeo considerada

volume do vapor na mistura a = volume total da mistura (agua+vapor)

A AL A pound g g

a = mdash a a = - mdash 1

(A+A )AL A f + g

A ou f _ 1 - a

A a 8

Substituindo em (2) vem

57

Esta expressatildeo pode ser rearranjada e obteremos uma relashy

ccedilatildeo entre x e a levando em conta o escorregamento Chega-se a

a = 1 ( 3 )

1+ [U-x)x3 igt

onde

v 4 laquo -- S

v lty o

Note-se que quando S=l (nao haacute escorregamento) caimos na

expressatildeo dada no item anterior

0 efeito do escorregamento eacute decrescer o valor de a pa_

ra um mesmo xbdquo Isto pode ser visto pela foacutermula (3) pois S gt lLo

go a decresce com acreacutescimo de S

Um alto S e entatildeo uma vantagem tanto para a transferecircnshy

cia de calor como para efeitos de moderaccedilatildeo Eacute uma vantagem para

transferecircncia de calor porque alto S significa alto V e portanto

maior turbulecircncia e maior contato do liquido com as paredes quenshy

tes Ha tambeacutem melhorias na estabilidade da reaccedilatildeo nuclear isto

porque como jaacute dissemos quando mdash7 diminui a estabilidade aumenshy

ta isso pode ser verificado observando a curva a versus x para a

agua leve a 1000 psiabdquo

Fig 4

58

A relaccedilatildeo entre x e a da equaccedilatildeo (3) so vale para secccedilatildeo

de tubo bem pequena

Devemos notar que S varia tambeacutem com a pressatildeo e velocida^

de de entrada do liacutequido no tubo Este efeito pode ser observado na

figura 5 abaxxo obtida esperimentalmente

s

3

~^ ~ psig

x = 001

V 1

Fig 5

Nos projetos de reatores como veremos adiante o valor a

geralmente eacute determinado por consideraccedilotildees nucleares (moderaccedilatildeo) 0

valor de S eacute determinado atraveacutes de uma estimativa ou entatildeo atrashy

veacutes de um graacutefico do tipo da figura 5 0 correspondente valor de x

pode ser obtido de uma foacutermula empiacuterica do tipo

1 = 1 (-S)0gt67

proposta por Von Glahn

Em muitos casos assume-se S constante em todo o comprimeiv

to do canal poreacutem eacute um erro que em muitos casos nao pode ser coshy

metido

4 REATORES EM QUE 0 LIacuteQUIDO B MODERADOR E CIRCUITO PRIMAacuteRIO AO

MESMO TEMPO BOILING-REACTOR (BWR)

A aacutegua ao se movimentar atraveacutes dos vaacuterios canais do

59

Boiling-reactor encontra vaacuterias resistecircncias ao fluxo que provoshy

cam uma reduccedilatildeo de pressatildeo no fluido

As duas perdas mais importantes sao perda de pressatildeo por

atrito e perda de pressatildeo causada pela aceleraccedilatildeo do refrigerante

ao aumentar de volume por receber calor num canal Outras perdas

de pressatildeo seriam a obstruccedilatildeo ao fluxo por corpos submersos (espa_

ccediladores juntas de tubos chaves etc) e por mudanccedilas abruptas de

aacuterea de fluxo tanto na entrada como na saiacuteda do tubo

Essas perdas de pressatildeo devem ser conhecidas o melhor popound

sivel principalmente nos reatores BWR Para tanto devemos saber

o comprimento de canal em que nao ha a ebuliccedilatildeo isto eacute qual o com

primento de canal em que o refrigerante vai da temperatura de sub-

resfriamento ate temperatura de saturaccedilatildeo

Seja o elemento combustiacutevel

Aquecimento Uniforme Aquecimento Senoidal

Fig 6 Fig 7

onde

H =

H = o

H b

comprimento do elemento combustiacutevel

cota onde o liquido se torna saturado

comprimento do elemento combustiacutevel em que ocorre

ebuliccedilatildeo

60

qg = calor sensiacutevel acrescentado ao liquido para satushy

raacute-lo

qfc = calor total acrescentado ao liacutequido em todo o com

primento do canal

laquoo

q s J o qiquest sen (IIzH) n H o

T~ = TH = 2 ( 1 c o s gt ( a )

q 1 sen (HzH) Jo ^c

A expressatildeo (a) vale quando tivermos uma adiccedilatildeo de calor

senoidal para qualquer outra forma de adiccedilatildeo de calor faz-se um

caacutelculo anaacutelogo

Outra relaccedilatildeo entre q g e qfc eacute dada pela termodinacircmica

q h- - h s f m (b)

(hr +x h )-hm ^t f e fg

onde

= entalpia para o liquido saturado a pressatildeo correjs

pondente (cota z = Ho)

hffi = entalpia do liacutequido na entrada do canal

x = tiacutetulo do vapor na saiacuteda

= entalpia do vapor

Com a relaccedilatildeo (b) noacutes determinamos a relaccedilatildeo q q ecom

S L

uma relaccedilatildeo do tipo (a) (conforme seja o adicionamento de calor ao

liacutequido) podemos obter a relaccedilatildeo HoH e consequentemente H^H

21 - Perda de pressatildeo num canal de evaporaccedilatildeo

Neste item iremos determinar as perdas de pressatildeo mais

representativas que ocorrem num canal de evaporaccedilatildeo de um reator

P + dP

bull1 i- 1 gti i i

dL

onde

UM

Icirc H Icirc Icirc T dF f t f

61

Quantidade de Mov na Entrada

= i- rigVg)

dF f l

Fig 8

m i

m 8

V l V 8

A P

dF

dF

dF

fg

fl

ftf

descarga do liacutequido

descarga do vapor

velocidade do liquido

velocidade do vapor

aacuterea transversal do canal

forccedila de atrito do vapor com parede

forccedila de atrito do liacutequido com parede

forccedila de atrito das duas fases liacutequido+vapor

Fazendo o balanccedilo das forccedilas considerando o sentido posjL

tivo na vertical temos

A (P-P-dP)-(dF +dF _+dF _)-(-pound-) (p A+p A )dL = mdash dGnV+m V ) P fg ftf fl g c 1 1 g g g c

v 1 1 g g 7

- dP = ~ (dF +dF--+dF)+- S--7=- (p A+p A )dL+ mdash ~ - d (m-V+m V ) A_ fg ftf fl g c Ap v^l 1 g g g A 11 g g

Fazendo a integraccedilatildeo termo a termo entre os dois extreshy

mos entrada e saiacuteda e considerando a pressatildeo de entrada igual a

P q e a de saiacuteda igual a Pe vem

Quantidade de Mov na Saiacuteda

-= h I- lY l+ A g V g + d ( aacute l V l + aacuteeVl

Forccedila de Gravidade

= ( g f - N P A + P g V

62

b) r e F f l

o p dp^ = Ap^ = perda de pressatildeo por atrito

do liacutequido na altura Ho

Aplicando a formula de Darcy vem

bull API = f bull ir bull ^ iexcl 7

onde

f = fator de atrito

c) e Fftf

o p ^P tpound

= perda de pressao por atrito da mistura

liquido + vapor no trecho de comprimen

to Hbdquo o

Para determinar esta perda de pressao define-se o fator

de multiplicaccedilatildeo R

A P R =

tf A P 1B

Sendo A p ^ a perda de pressao se o comprimento todo fosshy

se ocupado somente pelo liquido assim

A p t f = R A P 1 B

0 calculo de Ap-^ pode ser feito pela formula de Darcy e

o de R nos veremos no item seguinte

63

d)

-e F

d ( ^ )

O P

Ap = perda de pressatildeo por atrito do vapor

No caso do reator BWR o titulo de saida e bera pequeno e

em nenhum caso ocorre a saida de vapor com x = 100 logo a perda

de pressatildeo por atrito do vapor eacute nula assim

An = 0 5

e) Ap

(p A 1 + p A ) dL = Ap - perda de pressatildeo dpound

vida ao desniacutevel

(perda hidrostaacutetica)

Anbdquo = re A A

-S- I (p + p -S ) dL H s 1 A

c o p o A

como A A Jl_ =

A P

A +A-g 1

1-a -

temos

C Q

te j jll-a)p1 + apg)^jdL = p Lo pound

onde

e jo u

+ ap ) ~I dL (Densidade media 1 S J

no tubo)

No nosso caso

Ap u = p H

f)

re d(mV + m V ) _ mdash - laquo -i bull s iquestp laquos p e r d a ltje pressatildeo devido a acele-

c p raccedilatildeo do vapor

V A

(1-x) tl^Vj

(1-a) A

X V

aA

A p -

roV + m V

c p c p L_

m (l-x)m_v m xv nbdquo -1 T 1

+ _S S I (1-a) Ap aA

P

2 g A c p

n 2 2

(1-x) m T

laquo2 8 A c p

2 2 (l-xe) raTv1

2 2 2 xm_v (1-x) m-v e T s o 1 1

a 1 - a

2 2 - x m_v o T g

a

se

X Q 0 (so ha agua nesse trecho)

a = 0 o

temos

mbdquo Ap =

1 a A 2

S A degc p laquo-

tt-V v i 1 - a

2 via T^r - v i

t Apc

2

V v l

5c Ap

1 - a

x v - 1

a e v l

65

Fazendo

G = fluxo total da massa por unidade de area do

canal

(1-x J e

V

AP r

Assim a perda de pressatildeo total sera

H p V II pV r2 P -P = f -24-Iuml+ f R+p 0 1 2g c D e 2g c g c g c

2c2 - Determinaccedilatildeo do fator de multiplicaccedilatildeo (R)

221 - Relaccedilatildeo Martinelli-Nelson

Os autores Martinelli-Nelson determinaram experimental -

te esse fator R para varias LIT1L em funccedilatildeo da pressatildeo e da r NB total J v

qualidade de saiacuteda do vapor no canal Construiacuteram assim vaacuterias

curvas do tipo da figura 9

66

E importante notar que a qualidade do vapor (x) na saiacuteshy

da nao deve ser grande pois como vemos o valor de R cresce muishy

to com um aumento pequeno de x e um valor de R muito grande acar_

reta uma perda de pressatildeo grande pois

^ d u a s fases R ^ f a s e liacutequida

Para resolvermos um problema seguindo o criteacuterio de bdquo

Martinelli escolhemos a curva R = f(px) (para a relaccedilatildeo L

N g ^ j

adequado) e tiramos R com os valores de pressatildeo p e tiacutetulo x

As curvas R = f (p x L T t )IO encontram-se nos ANL 6469 bio I

e 6561

222 - Relaccedilatildeo Lottes-Flinn

Estes autores estudaram o problema para o aquecimento uni

forme do refrigerante com baixo titule Lottes-Flinn fizeram inuacuteshy

meras experiecircncias e verificaram que para fluxo de calor uniforshy

me e baixos titulos R era independente do fluxo de calor fluxo

do refrigerante escorregamento e apenas funccedilatildeo de a g

Como a quantidade de liacutequido eacute muito maior que a de vashy

por a perda de pressatildeo daacute-se principalmente pelo atrito do liacuteshy

quido com a parede Podemos assim escrever a foacutermula de Darcy

na forma diferencial

dz

d = f __ r e amp c

onde

V = velocidade do liquido saturado na cota zbdquo X

f = coeficiente atrito

= densidade do liacutequido saturado

Teoricamente a queda de pressatildeo deve-se ao acreacutescimo de

67

velocidade do liacutequido e da diminuiccedilatildeo da aacuterea de fluxo do liacutequi

do

P fH A P t p

= f D 2g Ho

d z

fazendo

V lo

m V t lo

(velocidade do liacutequido na cota z = Ho)

(1-x) m t v 1

(1-a) A (velocidade do liacutequido na cota z gt Ho)

a bull+ fraccedilatildeo vazio na cota z geneacuterica

V 1 (1-x) m t v 1

m t V l 1 - a

x =s 0 pois o tiacutetulo eacute baixo

A p t f = f bull JT5 c e

fH V lo

H o (1-a) dz

Para fazer a integral devemos achar a relaccedilatildeo de variaccedilatildeo

entre a e z Como o fluxo de calor eacute uniforme a qualidade eacute direshy

tamente proporcional a z

bull laquo x = x e H

z = mdash x X e

Sabemos ainda que (item 113)

x

1 + [ ( I -X)AKQ x + iiacuteraquo

68

como

temos

(1-x) = 1

v

X =

z =

1-a

1 -a

1-a e

a

e

1-a pound

a

1 -a igt (assumindo S = cte)

da

Atf - f bull 2 i ^ ~ J c e o

a 1 - a e e 1 s 4 hmdash) da

a 1-a

f P lv^ Q

0 termo mdash - mdash e a parte de perda de pressatildeo pelo lj^

^c e -quido ou seja Ap liquido saturado e como

Ap

R = tf

Ap liauido saturado

temos que

R J

f ae 1 _ a e 1 4

a 1 -a o e

1 -a r-R =

3 1 -a

a 1 -a imdash

3 vl - a 3

e e

Os valores de R obtidos por esta expressatildeo aproximam-se

muito dos valores obtidos pelos aacutebacos de Martinelli

69

E - EXPANSAtildeO E COMPRESSAtildeO DE UM FLUIDO - ANAacuteLISE HIDRODINAcircMICA

DE UM CIRCUITO EM CIRCULACcedilAtildeO NATURAL

1 EXPANSAtildeO NO FLUXO DE UM FLUIDO

11 - Uma so fase

Figura 1

Ha vaacuterios meacutetodos para determinar a variaccedilatildeo de pressatildeo

numa expansatildeo de fluido estudaremos o de Romie que eacute o que daacute

maior precisatildeo

Romie considera que a pressatildeo p^ tambeacutem atua na aacuterea

imediatamente apos a expansatildeo Assim fazendo o equiliacutebrio das foi

ccedilas nas secccedilotildees tracejadas da figura 1 temos

mVj

p r A 2 + mdash

mV

bull 2- A2

mas

m = pV^A^

pV^A = p V 2 bdquo A 2

V A

v 2 -4r-logo

( P l-P 2) A 2 = f ( V ^ ) - f _ v j amp c c 2

70

2 pV A A pV A A

Chamando A l A ]

K = 1 - T e degi2 = Aiexcl bull V E M

pvj

P l P 2 = T ~ bull ( 2 deg 1 2 ) ( 1 _ a 1 2 )

Outra maneira de chegar atilde diferenccedila de pressatildeo ( P j - ^ ) s mdash

ria usar o coeficiente de perda da mecacircnica dos fluidos Assim o

equilibrio das pressotildees eacute

2 2

1 V l 1 V 2 V l P i + _ p _ ^ P 2 + I p ~ + k 1 2 p mdash

onde = coeficiente de perda

A 2 1 2

k 1 2 - (l-o 1 2) - (1 - j- )

Fazendo as transformaccedilotildees chegamos a mesma expressatildeo obshy

tida pelo balanccedilo das forccedilas

PraquoIacute pr p

2 - - ir ^ laquo-ia

12 - Duas fases

Como ha duas fases a equaccedilatildeo do balanccedilo das forccedilas fica

um pouco alterada

m pound 1 V- m - raquoV - m-V- m bdquoV _ P A + j y ^ i + _gl_JUuml P A + -11-11 + -ilsl (a)

1 2 e R 2 2 ff e

Sabendo que

71

m (1-x) m t = p fA (1-a) V f

entatildeo

fl l-o^ p fA x

6 Vf2 1-x l-a2 P fA 2

m V = mdash mdash e V 0 = gl a 1 P C T A 1 g2

m

a_ p h

2 g 2

Nas expressotildees anteriores o x nao varia porque a expansatildeo

5 adiabaacutetica porem o a varia devido a modificaccedilatildeo do tamanho da

bolha

Substituindo os valores das velocidades na expressatildeo (a)

vera

( P - P ) Abdquo =

2

2 2 m gt2 2 m t (1-x) 1 x t

ra i 2 m i 1 x t 1

p fA 1 g c ttl p Ax gpound

m t P - P = mdash

(1-x) (l-a 1)A 1A 2 (l-a2)A|

a r A r A 2

V A 2

m t P bdquo - P = mdash 2 1 g c A r A 2 p f

(1-x) 1-a f A 2(l-a 2)

bull ^ 2

72

Se

P -P

a

m

g

12

1 _1_ (1-x)

J12

1 _ a l 1 - a 2 + X (- )

Pg

1 deg12 a 2 ^

Sabemos que

mt = V o pf laquo A l

Sendo V q = velocidade do liquido num ponto onde natildeo haja vapor

P 2-P 1

u 2 2 A 2

V pr Ai

V W p f

(1-x) 12

l-a1 l-a2

+ X 2 pf

mdash

l deg12

-1 a 2 _

p -p r 2 Al (2a 1 2)

2 M f w 1 deg12 X (mdash) (

pg al a 2 )+(l-x)C l 1 12

1-a^ l-a2

Devemos notar que esta expressatildeo tambeacutem vale para quando

temos uma fase para isso basta fazer

= c t 2 = 0

X = 0

e recairemos na formula do item anterior

2 pf 1 deg12 Observemos que neste caso o termo x (mdash)( ) nao

Pg al a2

2

73

tem significado pois corresponde a mudanccedila de fase

2 CONTRACcedilAtildeO KO FLUXO DE UM FLUIDO

21 - Uma so fase raquo mdash

Aqui ocorre um fenocircmeno importante pois o fluido ao ser

contraiacutedo nao vai diretamente da area A^ para a area A 0 mas ele

contral-se ate uma area A^ e depois expande-se ate k^

Ao A2

Po IP 2

V 2

Figura 2

Fazendo o equiliacutebrio das pressotildees entre os planos (1)

(0) vem 2 2

pV pV p +~ plusmn - P + i deg bull 1 2 g o 2 g (b)

C x

Fazendo equiliacutebrio da expansatildeo (0) - (2) vem

P o + 2 - f = P 2 + 2 -T + kp- 2 F ( c )

c c b C

Subtraindo (b) - (c)

2 2 2

i p- vj i p- v2 L P l + 2 bull g c

P 2 + 2 2g c

+ k P 2g c

74

Como

P - P = mdash 2 2g

2 2

bull (1 + k) - f bdquo mdash i

k a - f2 ) 2 - d - o c )2

= o

A = a 21

Weisback obteve varias relaccedilotildees entre a e a i] c

01 02 03 a 0624 0632 0643 c

0624 0632

A r v i - V v 2

p -p 1 2

P -P 1 2 2g7

v l =

(1+k) - laquofi- a 2g 21 c

( 1 + k - o 2 1)

X[- V 2 o 2 1V 2

22 - Duas fases

0 valor de k pode ser aproximado para

k = a(l - o 2 1)

onde segundo Richardsons para fluxo de duas fases podemos supor

a = 02

Para fluxo homogeacuteneo sabemos que

75

p = p f (1 -a ) + p o a

podemos supor p bdquo a = 0 pois p e pequeno e fazendo

V = V ~ V fbdquo2 go2 v 2

Substituindo estas duas expressotildees na equaccedilatildeo de uma soacute fase vem

2 2 p V (l-ct) p V (1 -a ) bdquo

P l P 2 = 9g ( 1 + 3 - 3 0 ^ - 0 ^ ) = g (a+1) (l-a^)

Se a = 02

2 12p oV 0

p r p

2 - 9g gt d-) d-sigt

A compressatildeo de um fluido acarreta uma perda de pressatildeo

como pode ser verificado pelas formulas uma vez que lt 1deg

3 ANALISE HIDRODINAcircMICA DE UM CIRCUITO EM CIRCULACcedilAtildeO NATURAL

Esquema deacute uma caldeira com circulaccedilatildeo natural

76

Determinar a velocidade em (7) para que tenhamos circula

ccedilatildeo natural Determinar tambeacutem as perdas de pressatildeo em todos os

trechos da caldeira

31 - Contraccedilatildeo das secccedilotildees (1) - (2)

Como jaacute vimos a equaccedilatildeo do balanccedilo das pressotildees eacute

1 pr Vl 1 p 2 o V 2 P2 V2

1 2 g 2 + 2 g + K12 2g otilde c amp c e c

bullraquo 2 o2 2 e havendo uma soacute fase k 1 9 = (l-o ) = (1 mdash ) e sendo

C 2

p l = p2

v x lt lt lt v 2

P 2 V pr p2 bull ir2 bull ( 1 + k12gt

Colocando em termos de temos

A 2 V 2 P 2 = A 7 V 7 p 7 (continuidade)

V = V mdashbull = V o_bdquo ~ A 2 2 2

P 2 V - p 2

p r p 2 = ir2 - deg72 bull Ccedilrgt bull lt 1 + ki2gt

fazendo

N12 - lt^gt deg72 ( 1 + k12gt

P7 V7

Pr P2 - N12 bull HG

77

3 2 - Perda de carga no trecho ( 2 ) - ( 3 )

Como haacute apenas uma fase soacute temos perdas por atritos e

perdas hidrostaacuteticas

Sendo como jaacute vimos

2 3 p 2 2 g P 2 P 3 = f 2 3 (r~2g^~) L 2 3 g c p

atrito hidrostaacutetica

Substituindo V^ pela relaccedilatildeo do item anterior e tendo em

conta que p = vem

P -P = f 2 r 3 2 3 D

2 3 p 2 bdquo 2 2 p 7 2

2 g 7 72 p 2 3 g

Se

L 2 3 2 p 7

2 3 2 3 D 2 a 7 2 p 2

P 7 V 7 g P 2 - P 3 = N 2 3 ( mdash gt p 2 L 2 3 f

3 3 - Expansatildeo nas secccedilotildees ( 3 ) - ( 4 )

Como vimos o balanccedilo das pressotildees e

2 2 2 p V p 4 V p V

P 3 + 2 g c

P 4 + 2 g c

+ k 3 4 2 g c

onde

k 3 4 - - -

2 2 1 P 4 - V 4 P 3 v 3

P 3 P 4 = 2 g + ( k 3 4 _ 1 ) 2 g

78

Sendo

P 3 - P 4

p 3 o A 3 deg V 3 = P 7

a A 7 o V 7

P 4A 4 0V 4 = P r A r V

3 7 A 3 p 3

A7 P7 V = v mdash mdash 4 7 P 4

P - P 3 r4

Se

P bdquo - P

bdquo2 r-P 7 V 7

3 4 2g deg74 + ( k 3 4 1 ) deg73

34 p deg74 + ( k 3 4 1 ) 73

p r v2

P3- P4 ^ N34 ^ gt

(No caso e negativo)

34 - Contraccedilatildeo nas secccedilotildees (5) - (6)

Ainda temos uma so fase e fazendo o balanccedilo das pressotildees

como fizemos no item 3lt1 vem

P + vil p + vi + k vi P 5 + 2gbdquo P6 + 2gbdquo + k56 2gbdquo

k 5 6 lt 1 ^ gt 2 ( 1 - Iacute 2 i 2 6

V V6 P5degIacute 5^6 ^SS 2g c - 2g c

P - P ^ = (1+kJ

Como

79

A 6

W p 5 =

VV P6 V 5 = V 6 Jiexcl = Vff65

P 5-P 6 - lt H k 5 6 ) mdash ^ mdash (l+k 5 6-a 6 5) c c c

Sendo

Se

A 7 p 7 p 7

6 7 Ag p 6 7 76 p 6

p _p _ P6- V7- g76 iquest72 ( _ 02 P 5 P 6 2g c bull ( p 6

( 1 + k 5 6 deg65 )

p 7 2 2 N56 = p ^ deg76 ( 1 + k 5 6 ~ a 6 5 )

P 7 V 2

7

P r-P = N r 5 6 56 2g c i

35 - Perdas de pressatildeo nas zonas (6) - (7) - Pre^aquecimento

Nesta regiatildeo temos perdas por atrito e hidrostaacuteticas

Nao haacute perda por aceleraccedilatildeo pois ainda natildeo houve formaccedilatildeo de boshy

lhas

Fazendo balanccedilo das pressotildees temos

L_ ppound-V p = p + otilde L - pound _ + f -Si (-21mdashL 6 7 + p67 L67 g + t 6 7 D K 2g

p _ e ifn sao tomados como valores meacutedios 67 67

P _p _ f hl ^67jIacute uuml + - L A

6 F 7 r67 D 2g P P67 L67 g 6 s c 7 c

S e Kr pound67 L67 p67 6 7 D 6 p7

p7 V - _g_ P6- P7 - N67 mdash + P67 L67 f

c c

80

36 - Perda de pressatildeo nas zonas (7) - (8) - Zona de ebuliccedilatildeo

Nesta regiatildeo j aacute temos o aparecimento de bolhas logo a

perda de pressatildeo seraacute devida agraves t recircs parcelas aceleraccedilatildeo a t r i t o

das duas fases liacutequidas + vapor e h idros taacute t ica

onde

Assim

P-P Q = AP + AP + APbdquo 7 8 a t r i t o acel H

T M1

78 p 7 7 AP - R f- - mdash mdashr |R = fator mult ipl ica-

a t r i t o 7 D 7 2 g c L tivo

G 2

AP bull r mdash acel g c

P V

|_1 - o a p J 8 P f

2 t r 2 M2

7 7 r 7 7 A P a c e l = -J^mdash 2 r bull p 7 lt T iexcl iexcl - )

A PH p 7 8 L 7 8 fiexcl

p 7 8 iacute 7 li 1 0 0 P l i q + a P v ] d L = P 7 ( 1 - laquo 7 8 )

ag raquo fraccedilatildeo de vazio media entre 7 e 8

APH = p (1 - 5 7 g ) f- L 7 8

2 2

P 7 - P 8 a 5 - 2 T i + 2 r p 7 + P 7 ( 1 - 7 8 gt f L 7 8 7 amp c amp c amp c

81

N 7g = R mdash + 2 r p 7

P7 V7 P7- P8 = N78 + P 7 ( 1 5 7 8 gt J78

37 - Expansatildeo nas secccedilotildees 8 e 9

No caso haacute uma expansatildeo com duas fases e como vimos no

item 12 a variaccedilatildeo de pressatildeo era dada por

0f Vo P2 P1 = ~2g c ( 2 deg12

x 2 (mdash)(mdash - mdash ) + ( l - x ) 2 ^ T mdash 8 1 2 1

12

Aplicando ao nosso caso

P pound = P 7

P -P = 8 9

V - V raquo V g f 7

P 7 V 2

2 pf 1 a89 2 1 g89 x (mdash) ( ) + (1-x) (- - N

o ou abdquo 1-cu l-ot_) g 8 9 8 9

Se

N 89

= 2 a 89

2 pf 1 deg89 2 1 CT89 x (mdash) ( ) + (1-x) ( T

g 8 9 8 9

P -P = 8 9

- N P7deg V7

89 2gbdquo

38 - Perda de pressatildeo no trecho 9 e 10

No referido trecho temos apenas perda de pressatildeo por atr L

to da fase liacutequido + vapor e perda hidrostaacutetica Natildeo haacute perda por

aceleraccedilatildeo do vapor pois este natildeo recebe mais calor e portanto

o 82 o

nao ha variaccedilatildeo no a

p

Q -p i n = A P

U + A P bull 9 10 H atrito

n T -S_ P9 U10 deg 910 bull g

fio r

910 I 910

J9 L

(l- a)P + Q P I dL liq v

(l-a0) p

No caso a = (nao hatilde variaccedilatildeo de forma)

A P H - (1-a ) P (p L 0

c

AP bdquo = R o

atrito

2 f9 o L910 P9 V9

2g

Supondo

= V

P 9 = P 8 P 7

vbdquo = v 9 8 0 A r

= V 7 bull deg89

AP - R atrito

2 2

W l O p7deg V7deg g89

V P10 R -^T^ bull deg89 bull li-2 + ( W P 7 (fgt SIO

y c c

Se

- f9 L910 2 N9ol0 R Dl deg89

w 2

p rv P9 P10 = VlO + ( 1 a 9 ) p7 (f gt L910 c

33

39 - Perda ciacutee pressatildeo na expansatildeo 9 - 1 0

Analogamente a expansatildeo 8 - 9 temos

10 11 P 7 2g

10 Iacute 2 0 1 0 - 1 1 gt

2 ff

pg aio

10-11

laquo11 ) +

Ll-a 1 0 bull l-a u J

Se

V10 = V 9 = V 8 bull T9 = V 7 deg89

P -P 10 rll = - a 2g 089 ^lO-ll

4 bull T~ bull (7 1 mdash ) + Pg degio a n

+ (l-x)2(- 1 10-11

1 - aio )

N10-ll = 2 a10-ll a89 2 pf t 1 10-11 N2

-(j-r- - ) bull+ (1-x) pg aio deg 1

10-11 k l - a io

prz P10 Pll = - N10-ll bull ( 2gbdquo

310 - Calculo de V

Fazendo a somatoacuteria de todas as expressotildees (P^-Pj) tere-

84

mos 2 PbdquoV_

P bdquo - P bdquo = N 7 v 7

1 2 12 2g

bull 2 - P 3 - = N 2 3 P 2 L 2 3 f c ccedil

9 P 7 V 7 P _p = N mdash -

3 4 34 deg 2g

V P 5 = deg

2 P V

5 6 56 2 g c

ltr2

P 7 -V 6 e7 -N67 2g + p 6 7 J j67 g

c bc v 2

P 7 - P 8 = N 7 8 - 2 i ~ + p 7 ( 1 - laquo 7 8 ) L 7 8 c

P 7 V 7

P - P - -N mdash - -8 9 89 2g

c P 7 V 7

P 9 ~ P 1 0 VlO 2g + ( 1 a 9 P 7 L 9 c

P 7 V 7

bull10 11 U10-ll 2g

P v iacute j P - P

1 11

7 - v 7 3 bull r

2 8 i U L 2 23 67

(l-5 7 8) L 7 8 + ( l - laquo 9 ) P 7 bull SlOtilde]- ^

Por ou t ro lado sabemos que como secccedilotildees 1

mesmo n iacute v e l

85

s c p r v 7 j

28 Z N i ij

= P 2 L23 p67 L67 P 7 ( 1~deg78 )

78 ~ ^g) bull P 7 bull L 910 g_

V - 2 g ( p r L 2 3 - p 6 r L 6 7 - p 7 ( l - atilde 7 8 ) L 7 8 - (l-a9) p L 9 a ( )

y N

Com esse valor de podemos determinar todas as variashy

ccedilotildees de pressatildeo (P^-P )

BIBLIOGRAFIA

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tituto de Energia Atocircmica de Sao Paulo em 1966 (roteiro)

- WR Gambill - Nuclear Safety

Vol 9 - n9 5 e 6

Vol 6 - n 2 (pag 152)

Vol 4 -r n9 1 (pag 30)

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- Jakob Max - Heat Transfer (vol I)

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- Paul A Lottes - Argonne National Laboratory

- AKL - 6469

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Frank Kreith - Principles of Heat Transfer

Journeacutees Internationales de la transmission de la chaleur

Seminaacuterios realizados em Paris em 1961 sob a supervisatildeo do

Prof Marcel Veron

Notas de aula da Cadeira de Termodinacircmica I e Transmissatildeo da

Escola Politeacutecnica da Universidade de Sao Paulo

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40

A ultima correlaccedilatildeo proposta por Noyes foi

a n prPV0560 112

1

(a bull a) 13

(ag c) 112

(3)

onde

a = difusividade teacutermica do liacutequidoraquo A equaccedilatildeo (3) eacute bashy

seada em todos os dados de burnouts do soacutedio bem

como da atildegua benzeno difenil e outros De 111 pontos usados 90

+ estatildeo relacionados dentro de - 30bdquo

ldeg2o3 - Burnout com convecccedilao forccedilada e sub-resfriamen

to

Aproveitando os resultados de aproximadamente 240 testes

de burnouts com aacutegua sub-resfriada em fluxo de convecccedilao forccedilashy

da feitos na Ruacutessia Labuntsov elaborou uma boa equaccedilatildeo empiacuterica

para o problemabdquo

Esta relaccedilatildeo aplica-se para velocidades entre 2 3 e 148

ftsec pressotildees entre 1 e 201 atmabs sub-resfriamento entre 0 deg

e 432 degF e fluxos de burnout entre 0 4 x IO 6 x 166 x 1 0 6 BTUhr

2 bdquo

bullbo

onde

e a seguinte

6 ( P ) 1 + 0 2 3 2 V 2

14

e ( P ) 1 +

15 c At _p_ sub

12 (a)

9 ( P ) - P 1 3 o ( 1 - P J 4 3

red

= pressatildeo (atm abs)

pressatildeo reduzida = mdash mdash red r P

t_ c = pressatildeo critica

= velocidade do liacutequido (ftsec)

= calor especiacutefico do liacutequido (BTUlbdegF)

4 1

^ tsub = ^ ^ e r e n Ccedil a ^ e temperatura entre a temperatura de

mistura do liacutequido e a de saturaccedilatildeo (degF)

X = calor latente de vaporizaccedilatildeo (BTUlb) 2

ltiacutegtbo = fluxo de burnout (BTUhrfl )

Uma outra correlaccedilatildeo para o caso foi proposta por

Ornatsky e Xiohigin que fizeram experiecircncias para pressotildees entre

10 e 1 5 0 3xm 90 degF lt At ^ lt 4 5 0 deg F 3 7 1 0 6 ( l b h r o f t 2 ) lt G lt

2 2 2 10 b ( l b h r bdquo f t 2 )

lt ^ = 3 2 5 0 (G o A t bdquo J deg 6 ( - i - ^ ) 2 5 ( b ) bo sub

onde

G - descarga de refrigerante por unidade de aacuterea

P ^ v P v - densidades do liacutequido e do vapor

P1~ PV -0 termo (mdash ) e incluido na expressatildeo (b) para indicar

a influecircncia da ^ pressatildeo sobre o

Uma comparaccedilatildeo entre as equaccedilotildees (a) e (b) foi feita para

o Reator de Isoacutetopos de Alto Fluxo (HFIR) nas condiccedilotildees aacutegua a

600 psia velocidade = 45 ftsec e sub-resfriamento = At^^ 1

degF obtendo-se uma diferenccedila de 6 5 entre ambos (4gt = 6 0 5 1 0 b

2 ~ 6 2 BTUhr ft pela equaccedilatildeo (a) e 6 4 5 10 3TUhrraquoft pela equaccedilatildeo

(b)

Ilatilde ainda a equaccedilatildeo de Ivey e Morris aplicaacutevel somente pa_

ra ebuliccedilatildeo com grande quantidade de liacutequido

( c sub t

Cpf bull A tsub

( bull ) s ~ V P bdquo 10 h V sat V g

onde

(ltL ) = fluxo critico com sub-resfriamento c sub

(ograve ) ^ - fluxo critico sem sub-resfriamento c sat

42

c ^ = calor especiacutefico do liacutequido

= calor latente de vaporizaccedilatildeo

124 - Burnout com convecccedilao forccedilada e ebuliccedilatildeo por bocirc-

Ihas

Gambill fez uma extensatildeo da equaccedilatildeo de Levy e aplicou o

metqdo da superposiccedilatildeo Tal extensatildeo consiste natilde subtraccedilatildeo de uma

razatildeo equivalente de massa transferida dos termos que represenshy

tam a ebuliccedilatildeo e convecccedilao para levar em conta a presenccedila do vashy

por no fluxo

A correlaccedilatildeo pode ser escrita assim

24 V P V

o g c a (p^Py) 14

+ 0696 (k p c ) 12

(

pr p v )i4 o g c a (P-L-Py) 18

bull At + h sub nb

044 p v L v G (g1) bull N2 n

p l P V

( pr p v ) d e 2-7

2 4 TT 0

14 ( f e _ ^ r l 3

lO^u

onde

k = condutividade teacutermica

c = calor especiacutefico

A t s u b ~ s ub-resfriamento do liacutequido

h = coeficiente de transferecircncia de calor de nao ebu nb mdash

liccedilatildeo

G = descarga total do refrigerante

43

d g = diacircmetro equivalente do tubo ou canalraquo

]i = viscosidade

B = constante adimensional

Os iacutendices V e 1 representam vapor e liacutequido respectiva

mente

0 primeiro termo entre chaves da equaccedilatildeo representa o flu

xo de calor no burnout de sub-resfriamento em convecccedilao forccedilada 0

segundo termo entre chaves corresponde ao fluxo de calor transferi^

do para a massa da fase vapor

1-25 - Burnout por Bloqueio da Base

Ocorre quando a profundidade do recipiente eacute muito maior

que a largura 0 bloqueio da base eacute causado pela formaccedilatildeo de uma pe_

licula de vapor na base impedindo que o liacutequido toque o fundo do

recipiente

i De

Este eacute o burnout por flooding isto eacute burnout por expul

sao do liacutequido Uma equaccedilatildeo que nos dacirc o fluxo minimo do burnout

parao caso eacute

44

onde

D g = diacircmetro equivalente

L = comprimento do tubo

= calor de vaporizaccedilatildeo

p^Py Ap = densidade do liacutequido do vapor e diferenccedila en

tre ambos

Para um fluxo de calor maior ou igual ao dado pela expres_

sao acima (mantida a mesma geometria) teremos burnout Para um deshy

terminado fluxo existiratildeo sempre um comprimento L e um diacircmetro equi

valente D e para os quais temos burnout Exemplo

L (in) D e(in)

10 11

100 51

1000 235

2 RESULTADOS ESPECIacuteFICOS - FOacuteRMULAS PARA CAacuteLCULOS ESPECIacuteFICOS

21 - Diferenccedila de temperatura At i

13 a t

sat

At sat

poundatildeJL_ raquo t - t J p T T 6 w sat

onde

o laquo tensatildeo superficial entre liquido e vapor

t - temperatura de saturaccedilatildeo do liacutequido para a corres-Scl t

pondente pressatildeo

J equivalente mecacircnico do calor

X laquobull calor latente de vaporizaccedilatildeo

py = densidade do vapor

6 = espessura da camada de liacutequido superaquecido onde

45

k l

h nc

onde

k^ = condutividade teacutermica do liacutequido

h = coeficiente de peliacutecula nc r

Segundo Eckent h ^ c e dado por

P 2 Q

nc 3 V VP + 0952

r

onde

D = diacircmetro equivalente

G r = numero de Grashoff

P = nuacutemero de Pradtl

2 o 2 - Velocidade das bolhas

A velocidade das bolhas em meacutedia pode ser dada pela exshy

pressatildeo

V bdquo = Iacute ( a bull B Apl4 bolhas 5 ^ 2

p l onde

AP = P L - P v

Expressatildeo que vale quando a aceleraccedilatildeo eacute a da gravidade

baixa viscosidade do liacutequido e bolhas separadas

Vbolha = f t s e atilde m a x para aacutegua

2 bdquo3 - Diacircmetro das bolhas

2gc deg 12 D = 0015 3 ( mdash mdash 7 ~ ) d g Ap

5 =

46

onde

8 = acircngulo de contato (20 a 90deg) geralmente assume-O -1

-se igual a 50 para a agua em contato com metal

24 - Coeficiente de peliacutecula na ebuliccedilatildeo nucleada

a) Equaccedilatildeo de Rohsenow

Esta equaccedilatildeo nos datilde o fluxo de calor q na ebuliccedilatildeo nushy

cleadaraquo E oacutetima expressatildeo para muitos liacutequidos o efeito da presshy

satildeo eacute levado em conta na variaccedilatildeo das propriedadesraquo

Pf

fg

sat 17 = c

sg k y f h f g g( P f-p g)

n033

onae

Pf

fg

Pf Pg c sg

= fluxo de calor requerido (BTUhr0ft^)

= calor especiacutefico do liacutequido saturado (BTUlbm0F)

= calor latente de vaporizaccedilatildeo (BTULbm)

= nuacutemero de Prandtl

= viscosidade do liacutequido (lbrahrraquoft) ~ 8 2

= fator de conversatildeo 417 10 Ibmftlbflaquohr 2

= aceleraccedilatildeo da gravidade (fthr )

= tensatildeo superficial na interface liacutequida vapor

(lbfft) 3

densidade do liquido e vapor (lbmft )

constante adimensiacuteonal que depende de vaacuterios fashy

tores dentre os quais o grau de aquecimento en_

tre o fluido e a superfiacutecie de aquecimento e o

mais importanteraquo Independe da pressatildeo do sistema b) Equaccedilatildeo de Levy

Equaccedilatildeo valida para a aacutegua quando 100 lt p lt 2000 psiacutea

47

43 bdquo3

qu bdquo gat ^ T J h r t f t ^

495

25 - Calculo do fluxo de calor no Ponto de Leidenfrost

0 ponto de Leidenfrost como vimos eacute o ponto em que oflu

xo de calor comeccedila ncamente a crescer isto eacute o ponto onde termal

aa a ebuliccedilatildeo instaacutevel e comeccedila a ebuliccedilatildeo por peliacutecula estaacutevel Eacute

o chanado fluxo miacutenimo (egrave ) m m

Aproximadamente quando A t g u k = 0 temos

A _ mdash _ mdash (Gambill) m m 5

Ha entretanto varias expressotildees para determinar esse flu

xo eis uma delas

A p 14 ltjgt = 009 h pbdquo (o raquo g mdash ) y m m fg P V deg 2

p l

26 - caacutelculo do fluxo de calor na regiatildeo de ebuliccedilatildeo por peliacute

cuia estaacutevel

para cilindros jmdashi i li

_ D 0172 k-V - P V A p h l V bull S 14 li - = 062 (mdashmdash) (- j- r rmdash) convecccedilao A 0 ybdquo (t -t )

c V w sat

onde

= condutividade do vapor

- 2 TT ( mdash )

c gAp Vl = significam vapor e liacutequido respectivamente

para paredes verticais

L 0172 S deg7 A p bull hlV S q 4 h - - 080 (-^-)J- (-Iuml - Iacutemdash-convecccedilao X L u (t - t J)

c V w sat

48

Como nesta regiatildeo jaacute haacute nina influecircncia marcante da radia

ccedilao devemos levar en conta tambeacutem o coeficiente de peliacutecula de

vido a radiaccedilatildeo para determinar o coeficiente de peliacutecula total

Dos estudos atildea radiaccedilatildeo temos

h = a F pound(T 4 - T 4 J ( T ~ T ) rad w sat w sat

onde amp _ emissividade de superfiacutecie

a = constante de Stefan-Boltzman

F = fator de forma

Segundo WE Gambill o coeficiente de transmissatildeo total

ceve ser

3 iacutei = h + -7 h para h lt h t conv 4 rad r rad conv

Na expressatildeo acima existe o fator 34 porque a radiaccedilatildeo

faz variar um pouco a espessura do filme de vapor reduzindo asshy

sim o l l

conv

Quando tivermos h gt h gt o h^ ^ seraacute rad conv total

h f c = h + h t conv rad

Neste ultimo caso nao ha nenhum coeficiente porque a peshy

liacutecula de vapor jaacute eacute estaacutevel

27 - Grandezas caracteriacutesticas para a apua

Para pressatildeo igual a 1 atm = 1422 psia

At ^ = t - t = 5degC (iniacutecio da ebuliccedilatildeo nucleada) sat w sat 1

At t = 30degC sat crit

49

5 2 $ = 4 10 BTUhrft (para pressatildeo 1 atm)

0 fluxo critico cresce como vimos com a pressatildeo ate

atingir o maacuteximo quando a pressatildeo eacute aproximadamente 13 da pressatildeo

criacutetica Esse fluxo eacute

bull = 13 IO 6 BTUhrft 2 para p = 11000 psia (p pound = 32062 psia)

Ainda temos que para pressatildeo igual a 15 psia

h b o = 11000 BTUhrft degF - ebuliccedilatildeo nucleada

h f b = 30 BTUhrft 2 degF - ebuliccedilatildeo pelicular

Todos os resultados e formulas para caacutelculos especiacuteficos

apresentados nos itens 21 22 23 ateacute 27 sacirco aplicados somente

para sistemas onde haja ebuliccedilatildeo com grande quantidade de liquido

51

D - HIDRODINAcircMICA DOS SISTEMAS E QUEDA

DE PRESSAtildeO DENTRO DE UM CANAL

1 HIDRO-DINAcircMICA E QUEDA DE PRESSAtildeO

11 - Hidro-dinacircmica dos sistemas estaacuteveis

111 - Regimes de escoamento

A evoluccedilatildeo do escoamento ao longo de um canal aquecedor

de secccedilatildeo constante ciliacutendrico pode ser esquematizada pela figushy

ra 1 onde temos em abcissa o comprimento z do canal e em ordenada

a temperatura (T)

52

Na figura 1 nos representamos

a) 0 aspecto do escoamento fluido quando a entalpia do

- fluido aumenta Verificamos que o fluido entra no cashy

nal no estado liacutequido e assim permanece ateacute atingirmos a zona de

ebuliccedilatildeo local onde aparecem as primeiras bolhas A entalpia do

fluido continua aumentando e tem inicioa ebuliccedilatildeo franccedila onde as

bolhas se unem formando agregados posteriormente o escoamento to

ma a forma da figura ou seja torna-se anular disperso Finalmente

atingimos duas uacuteltimas fases do escoamento disperso (vapor uacutemido)

e vapor seco

b) A evoluccedilatildeo da temperatura meacutedia do fluido e da tempeshy

ratura da parede Note-se que a partir da cota a

temperatura da parede aumenta brutalmente podendo causar o

burnout

c) A evoluccedilatildeo do tiacutetulo do vapor (x) com o comprimento

do tubo e a evoluccedilatildeo da fraccedilatildeo (a) que definiremos no

item 11laquo2 com o comprimento do tubo

112 - Definiccedilotildees

a) Tiacutetulo ou qualidade do vapor (x)

massa de vapor na mistura x ~ massa total da mistura

x =

W _g_

g f

b) Fraccedilatildeo vazio (void fraction)

volume do vapor na mistura a = volume total da mistura (agua+vapor)

A relaccedilatildeo entre x e a num sistema parado pode ser obtida

assumindo um certo volume contendo 1 lbm de mistura em equiliacutebrio

teacutermicoraquo

53

O volume da mistura seraacute igual a (v + xv ) ft onde v eacute 3 r rg

o volume especifico (lbmft )

f - refere-se ao liquido

g - refere-se ao vapor

fg - refere-se a diferenccedila entre liacutequido e vapor

Numa mistura em equiliacutebrio se o liacutequido e o vapor estatildeo

saturados o volume do vapor presente eacute igual acirc sua massa vezes

seu volume especiacutefico v assim e

xv bdquo bdquo a mdash

V c + XV c

f gf

onde

- bull-bull uumlutiacuteisa vapor na mistura de 1 Ibm

v volume especiacutefico do liacutequido

v = volume especiacutefico do vapor o

V c = v - V

gf 8 r

Fazendo uma transformaccedilatildeo na expressatildeo acima temos

xv xv JS = Z-

v r+ x(v -v c) xv +(l-x)v t ri f g f g f 1 + Ul-x)xjv fv

1 + C(l-x)x]]vfvg

A fraccedilatildeo vazia tem a influencia de baixar a reatividade

do nuacutecleo nos reatores em que o refrigerante eacute tambeacutem moderador

Na equaccedilatildeo acima os valores de x e v sao tomados em tabe

las termodinacircmicas apropriadas para a pressatildeo do sistema A equashy

ccedilatildeo (1) mostra os grandes valores de a para pequenos valores de x

especialmente para baixas pressotildees Isto ocorre porqueaumentando

54

aacute pressatildeo o v decresce muito enquanto que o v f eacute mais ou menos da

mesma ordem de grandeza

Exemplo Calcular o a correspondente para x raquo 2 para aacutegua

leve atilde pressatildeo atmosfeacuterica

Da tabela para p laquobull 1 atm

v - 001672 ft 3lbm e v - 26800 ft 3lbm

1 + [(1-002)002] 001672268

0971 ou 97U

O grafico abaixo mostra a variaccedilatildeo do a com x para vaacuterias

pressotildees e para a aacutegua leve

x ()

tObservaccedilotildees da curva

Fig 2

1 - para x constante a decresce com a pressatildeo Para presshy

sotildees proacuteximas da criacutetica a aproxima-se rapidamente de

x Para a pressatildeo criacutetica as duas fases satildeo indistinguiacuteveis ea=x

2 - para cada pressatildeo dotdx decresce com aumento de x

3 - para baixos valores de x (que e o caso dos reatores

tipo Boiling) quando p decresce dadx cresce e torr

na-se muito grande paacutera baixas pressotildees Isto tem relaccedilatildeo com a epound

55

tabilidade do reator como veremos mais tarde

113 - Sistemas com fluxo

Todas as definiccedilotildees que noacutes vimos no item anterior refeshy

rem-se acirc sistemas em que a mistura esta fechada no recipiente Nes^

te caso natildeo havia movimento relativo entre as duas fases No entan

to se as duas fases da mistura se movem na direccedilatildeo vertical em

canais entre os elementos combustiacuteveis o vapor por causa de sua

flutuaccedilatildeo tem a tendecircncia de escorregar sobre o liacutequido isto e

move-se com velocidade maior do que a do liacutequido

Real Modelo

Pig 3

S -

Define-se neste caso a relaccedilatildeo de escorregamento (slip

ratio) (S) como sendo

V _i

V f

onde

V = velocidade do vapor

= velocidade do liquido

S modifica as relaccedilotildees entre a e x do item anterior S geralmen_

te gt 1 Define-se neste caso qualidade do vapor ou tiacutetulo como

sendo

_ fluxo de massa de vapor

fluxo de massa da mistura

Entatildeo se o fluxo de massa da mistura eacute m t(lbmhr) o flushy

xo de vapor seraacute = x m e o fluxo de liacutequido sera (1-x) m onde x

56

e o titulo do vapor para a particular secccedilatildeo (AL) da figura (3)

Devemos notar que neste caso x varia de secccedilatildeo para secshy

ccedilatildeo do tubo o exposto no paraacutegrafo acima vale considerando-se que

x e a permaneceram constantes na secccedilatildeo de espessura AL

Aplicando a equaccedilatildeo da continuidade as velocidades do va

por e liacutequido sao dadas por

o xm v

V vazatildeo = g g area A

V

(1-x) amp t v f

f A f

onde A e A f sao as aacutereas medias perpendiculares ao fluxo se as

duas fases sao imaginadas completamente separadas uma da outra

(figura 3) Assim temos

V x m v o A_ A v 0 ^ - 2 = iacute S t m _2L- JL JS m

V A (l-x)ui v 1-x A v U

f g t f g f

Sabemos ainda que para a secccedilatildeo considerada

volume do vapor na mistura a = volume total da mistura (agua+vapor)

A AL A pound g g

a = mdash a a = - mdash 1

(A+A )AL A f + g

A ou f _ 1 - a

A a 8

Substituindo em (2) vem

57

Esta expressatildeo pode ser rearranjada e obteremos uma relashy

ccedilatildeo entre x e a levando em conta o escorregamento Chega-se a

a = 1 ( 3 )

1+ [U-x)x3 igt

onde

v 4 laquo -- S

v lty o

Note-se que quando S=l (nao haacute escorregamento) caimos na

expressatildeo dada no item anterior

0 efeito do escorregamento eacute decrescer o valor de a pa_

ra um mesmo xbdquo Isto pode ser visto pela foacutermula (3) pois S gt lLo

go a decresce com acreacutescimo de S

Um alto S e entatildeo uma vantagem tanto para a transferecircnshy

cia de calor como para efeitos de moderaccedilatildeo Eacute uma vantagem para

transferecircncia de calor porque alto S significa alto V e portanto

maior turbulecircncia e maior contato do liquido com as paredes quenshy

tes Ha tambeacutem melhorias na estabilidade da reaccedilatildeo nuclear isto

porque como jaacute dissemos quando mdash7 diminui a estabilidade aumenshy

ta isso pode ser verificado observando a curva a versus x para a

agua leve a 1000 psiabdquo

Fig 4

58

A relaccedilatildeo entre x e a da equaccedilatildeo (3) so vale para secccedilatildeo

de tubo bem pequena

Devemos notar que S varia tambeacutem com a pressatildeo e velocida^

de de entrada do liacutequido no tubo Este efeito pode ser observado na

figura 5 abaxxo obtida esperimentalmente

s

3

~^ ~ psig

x = 001

V 1

Fig 5

Nos projetos de reatores como veremos adiante o valor a

geralmente eacute determinado por consideraccedilotildees nucleares (moderaccedilatildeo) 0

valor de S eacute determinado atraveacutes de uma estimativa ou entatildeo atrashy

veacutes de um graacutefico do tipo da figura 5 0 correspondente valor de x

pode ser obtido de uma foacutermula empiacuterica do tipo

1 = 1 (-S)0gt67

proposta por Von Glahn

Em muitos casos assume-se S constante em todo o comprimeiv

to do canal poreacutem eacute um erro que em muitos casos nao pode ser coshy

metido

4 REATORES EM QUE 0 LIacuteQUIDO B MODERADOR E CIRCUITO PRIMAacuteRIO AO

MESMO TEMPO BOILING-REACTOR (BWR)

A aacutegua ao se movimentar atraveacutes dos vaacuterios canais do

59

Boiling-reactor encontra vaacuterias resistecircncias ao fluxo que provoshy

cam uma reduccedilatildeo de pressatildeo no fluido

As duas perdas mais importantes sao perda de pressatildeo por

atrito e perda de pressatildeo causada pela aceleraccedilatildeo do refrigerante

ao aumentar de volume por receber calor num canal Outras perdas

de pressatildeo seriam a obstruccedilatildeo ao fluxo por corpos submersos (espa_

ccediladores juntas de tubos chaves etc) e por mudanccedilas abruptas de

aacuterea de fluxo tanto na entrada como na saiacuteda do tubo

Essas perdas de pressatildeo devem ser conhecidas o melhor popound

sivel principalmente nos reatores BWR Para tanto devemos saber

o comprimento de canal em que nao ha a ebuliccedilatildeo isto eacute qual o com

primento de canal em que o refrigerante vai da temperatura de sub-

resfriamento ate temperatura de saturaccedilatildeo

Seja o elemento combustiacutevel

Aquecimento Uniforme Aquecimento Senoidal

Fig 6 Fig 7

onde

H =

H = o

H b

comprimento do elemento combustiacutevel

cota onde o liquido se torna saturado

comprimento do elemento combustiacutevel em que ocorre

ebuliccedilatildeo

60

qg = calor sensiacutevel acrescentado ao liquido para satushy

raacute-lo

qfc = calor total acrescentado ao liacutequido em todo o com

primento do canal

laquoo

q s J o qiquest sen (IIzH) n H o

T~ = TH = 2 ( 1 c o s gt ( a )

q 1 sen (HzH) Jo ^c

A expressatildeo (a) vale quando tivermos uma adiccedilatildeo de calor

senoidal para qualquer outra forma de adiccedilatildeo de calor faz-se um

caacutelculo anaacutelogo

Outra relaccedilatildeo entre q g e qfc eacute dada pela termodinacircmica

q h- - h s f m (b)

(hr +x h )-hm ^t f e fg

onde

= entalpia para o liquido saturado a pressatildeo correjs

pondente (cota z = Ho)

hffi = entalpia do liacutequido na entrada do canal

x = tiacutetulo do vapor na saiacuteda

= entalpia do vapor

Com a relaccedilatildeo (b) noacutes determinamos a relaccedilatildeo q q ecom

S L

uma relaccedilatildeo do tipo (a) (conforme seja o adicionamento de calor ao

liacutequido) podemos obter a relaccedilatildeo HoH e consequentemente H^H

21 - Perda de pressatildeo num canal de evaporaccedilatildeo

Neste item iremos determinar as perdas de pressatildeo mais

representativas que ocorrem num canal de evaporaccedilatildeo de um reator

P + dP

bull1 i- 1 gti i i

dL

onde

UM

Icirc H Icirc Icirc T dF f t f

61

Quantidade de Mov na Entrada

= i- rigVg)

dF f l

Fig 8

m i

m 8

V l V 8

A P

dF

dF

dF

fg

fl

ftf

descarga do liacutequido

descarga do vapor

velocidade do liquido

velocidade do vapor

aacuterea transversal do canal

forccedila de atrito do vapor com parede

forccedila de atrito do liacutequido com parede

forccedila de atrito das duas fases liacutequido+vapor

Fazendo o balanccedilo das forccedilas considerando o sentido posjL

tivo na vertical temos

A (P-P-dP)-(dF +dF _+dF _)-(-pound-) (p A+p A )dL = mdash dGnV+m V ) P fg ftf fl g c 1 1 g g g c

v 1 1 g g 7

- dP = ~ (dF +dF--+dF)+- S--7=- (p A+p A )dL+ mdash ~ - d (m-V+m V ) A_ fg ftf fl g c Ap v^l 1 g g g A 11 g g

Fazendo a integraccedilatildeo termo a termo entre os dois extreshy

mos entrada e saiacuteda e considerando a pressatildeo de entrada igual a

P q e a de saiacuteda igual a Pe vem

Quantidade de Mov na Saiacuteda

-= h I- lY l+ A g V g + d ( aacute l V l + aacuteeVl

Forccedila de Gravidade

= ( g f - N P A + P g V

62

b) r e F f l

o p dp^ = Ap^ = perda de pressatildeo por atrito

do liacutequido na altura Ho

Aplicando a formula de Darcy vem

bull API = f bull ir bull ^ iexcl 7

onde

f = fator de atrito

c) e Fftf

o p ^P tpound

= perda de pressao por atrito da mistura

liquido + vapor no trecho de comprimen

to Hbdquo o

Para determinar esta perda de pressao define-se o fator

de multiplicaccedilatildeo R

A P R =

tf A P 1B

Sendo A p ^ a perda de pressao se o comprimento todo fosshy

se ocupado somente pelo liquido assim

A p t f = R A P 1 B

0 calculo de Ap-^ pode ser feito pela formula de Darcy e

o de R nos veremos no item seguinte

63

d)

-e F

d ( ^ )

O P

Ap = perda de pressatildeo por atrito do vapor

No caso do reator BWR o titulo de saida e bera pequeno e

em nenhum caso ocorre a saida de vapor com x = 100 logo a perda

de pressatildeo por atrito do vapor eacute nula assim

An = 0 5

e) Ap

(p A 1 + p A ) dL = Ap - perda de pressatildeo dpound

vida ao desniacutevel

(perda hidrostaacutetica)

Anbdquo = re A A

-S- I (p + p -S ) dL H s 1 A

c o p o A

como A A Jl_ =

A P

A +A-g 1

1-a -

temos

C Q

te j jll-a)p1 + apg)^jdL = p Lo pound

onde

e jo u

+ ap ) ~I dL (Densidade media 1 S J

no tubo)

No nosso caso

Ap u = p H

f)

re d(mV + m V ) _ mdash - laquo -i bull s iquestp laquos p e r d a ltje pressatildeo devido a acele-

c p raccedilatildeo do vapor

V A

(1-x) tl^Vj

(1-a) A

X V

aA

A p -

roV + m V

c p c p L_

m (l-x)m_v m xv nbdquo -1 T 1

+ _S S I (1-a) Ap aA

P

2 g A c p

n 2 2

(1-x) m T

laquo2 8 A c p

2 2 (l-xe) raTv1

2 2 2 xm_v (1-x) m-v e T s o 1 1

a 1 - a

2 2 - x m_v o T g

a

se

X Q 0 (so ha agua nesse trecho)

a = 0 o

temos

mbdquo Ap =

1 a A 2

S A degc p laquo-

tt-V v i 1 - a

2 via T^r - v i

t Apc

2

V v l

5c Ap

1 - a

x v - 1

a e v l

65

Fazendo

G = fluxo total da massa por unidade de area do

canal

(1-x J e

V

AP r

Assim a perda de pressatildeo total sera

H p V II pV r2 P -P = f -24-Iuml+ f R+p 0 1 2g c D e 2g c g c g c

2c2 - Determinaccedilatildeo do fator de multiplicaccedilatildeo (R)

221 - Relaccedilatildeo Martinelli-Nelson

Os autores Martinelli-Nelson determinaram experimental -

te esse fator R para varias LIT1L em funccedilatildeo da pressatildeo e da r NB total J v

qualidade de saiacuteda do vapor no canal Construiacuteram assim vaacuterias

curvas do tipo da figura 9

66

E importante notar que a qualidade do vapor (x) na saiacuteshy

da nao deve ser grande pois como vemos o valor de R cresce muishy

to com um aumento pequeno de x e um valor de R muito grande acar_

reta uma perda de pressatildeo grande pois

^ d u a s fases R ^ f a s e liacutequida

Para resolvermos um problema seguindo o criteacuterio de bdquo

Martinelli escolhemos a curva R = f(px) (para a relaccedilatildeo L

N g ^ j

adequado) e tiramos R com os valores de pressatildeo p e tiacutetulo x

As curvas R = f (p x L T t )IO encontram-se nos ANL 6469 bio I

e 6561

222 - Relaccedilatildeo Lottes-Flinn

Estes autores estudaram o problema para o aquecimento uni

forme do refrigerante com baixo titule Lottes-Flinn fizeram inuacuteshy

meras experiecircncias e verificaram que para fluxo de calor uniforshy

me e baixos titulos R era independente do fluxo de calor fluxo

do refrigerante escorregamento e apenas funccedilatildeo de a g

Como a quantidade de liacutequido eacute muito maior que a de vashy

por a perda de pressatildeo daacute-se principalmente pelo atrito do liacuteshy

quido com a parede Podemos assim escrever a foacutermula de Darcy

na forma diferencial

dz

d = f __ r e amp c

onde

V = velocidade do liquido saturado na cota zbdquo X

f = coeficiente atrito

= densidade do liacutequido saturado

Teoricamente a queda de pressatildeo deve-se ao acreacutescimo de

67

velocidade do liacutequido e da diminuiccedilatildeo da aacuterea de fluxo do liacutequi

do

P fH A P t p

= f D 2g Ho

d z

fazendo

V lo

m V t lo

(velocidade do liacutequido na cota z = Ho)

(1-x) m t v 1

(1-a) A (velocidade do liacutequido na cota z gt Ho)

a bull+ fraccedilatildeo vazio na cota z geneacuterica

V 1 (1-x) m t v 1

m t V l 1 - a

x =s 0 pois o tiacutetulo eacute baixo

A p t f = f bull JT5 c e

fH V lo

H o (1-a) dz

Para fazer a integral devemos achar a relaccedilatildeo de variaccedilatildeo

entre a e z Como o fluxo de calor eacute uniforme a qualidade eacute direshy

tamente proporcional a z

bull laquo x = x e H

z = mdash x X e

Sabemos ainda que (item 113)

x

1 + [ ( I -X)AKQ x + iiacuteraquo

68

como

temos

(1-x) = 1

v

X =

z =

1-a

1 -a

1-a e

a

e

1-a pound

a

1 -a igt (assumindo S = cte)

da

Atf - f bull 2 i ^ ~ J c e o

a 1 - a e e 1 s 4 hmdash) da

a 1-a

f P lv^ Q

0 termo mdash - mdash e a parte de perda de pressatildeo pelo lj^

^c e -quido ou seja Ap liquido saturado e como

Ap

R = tf

Ap liauido saturado

temos que

R J

f ae 1 _ a e 1 4

a 1 -a o e

1 -a r-R =

3 1 -a

a 1 -a imdash

3 vl - a 3

e e

Os valores de R obtidos por esta expressatildeo aproximam-se

muito dos valores obtidos pelos aacutebacos de Martinelli

69

E - EXPANSAtildeO E COMPRESSAtildeO DE UM FLUIDO - ANAacuteLISE HIDRODINAcircMICA

DE UM CIRCUITO EM CIRCULACcedilAtildeO NATURAL

1 EXPANSAtildeO NO FLUXO DE UM FLUIDO

11 - Uma so fase

Figura 1

Ha vaacuterios meacutetodos para determinar a variaccedilatildeo de pressatildeo

numa expansatildeo de fluido estudaremos o de Romie que eacute o que daacute

maior precisatildeo

Romie considera que a pressatildeo p^ tambeacutem atua na aacuterea

imediatamente apos a expansatildeo Assim fazendo o equiliacutebrio das foi

ccedilas nas secccedilotildees tracejadas da figura 1 temos

mVj

p r A 2 + mdash

mV

bull 2- A2

mas

m = pV^A^

pV^A = p V 2 bdquo A 2

V A

v 2 -4r-logo

( P l-P 2) A 2 = f ( V ^ ) - f _ v j amp c c 2

70

2 pV A A pV A A

Chamando A l A ]

K = 1 - T e degi2 = Aiexcl bull V E M

pvj

P l P 2 = T ~ bull ( 2 deg 1 2 ) ( 1 _ a 1 2 )

Outra maneira de chegar atilde diferenccedila de pressatildeo ( P j - ^ ) s mdash

ria usar o coeficiente de perda da mecacircnica dos fluidos Assim o

equilibrio das pressotildees eacute

2 2

1 V l 1 V 2 V l P i + _ p _ ^ P 2 + I p ~ + k 1 2 p mdash

onde = coeficiente de perda

A 2 1 2

k 1 2 - (l-o 1 2) - (1 - j- )

Fazendo as transformaccedilotildees chegamos a mesma expressatildeo obshy

tida pelo balanccedilo das forccedilas

PraquoIacute pr p

2 - - ir ^ laquo-ia

12 - Duas fases

Como ha duas fases a equaccedilatildeo do balanccedilo das forccedilas fica

um pouco alterada

m pound 1 V- m - raquoV - m-V- m bdquoV _ P A + j y ^ i + _gl_JUuml P A + -11-11 + -ilsl (a)

1 2 e R 2 2 ff e

Sabendo que

71

m (1-x) m t = p fA (1-a) V f

entatildeo

fl l-o^ p fA x

6 Vf2 1-x l-a2 P fA 2

m V = mdash mdash e V 0 = gl a 1 P C T A 1 g2

m

a_ p h

2 g 2

Nas expressotildees anteriores o x nao varia porque a expansatildeo

5 adiabaacutetica porem o a varia devido a modificaccedilatildeo do tamanho da

bolha

Substituindo os valores das velocidades na expressatildeo (a)

vera

( P - P ) Abdquo =

2

2 2 m gt2 2 m t (1-x) 1 x t

ra i 2 m i 1 x t 1

p fA 1 g c ttl p Ax gpound

m t P - P = mdash

(1-x) (l-a 1)A 1A 2 (l-a2)A|

a r A r A 2

V A 2

m t P bdquo - P = mdash 2 1 g c A r A 2 p f

(1-x) 1-a f A 2(l-a 2)

bull ^ 2

72

Se

P -P

a

m

g

12

1 _1_ (1-x)

J12

1 _ a l 1 - a 2 + X (- )

Pg

1 deg12 a 2 ^

Sabemos que

mt = V o pf laquo A l

Sendo V q = velocidade do liquido num ponto onde natildeo haja vapor

P 2-P 1

u 2 2 A 2

V pr Ai

V W p f

(1-x) 12

l-a1 l-a2

+ X 2 pf

mdash

l deg12

-1 a 2 _

p -p r 2 Al (2a 1 2)

2 M f w 1 deg12 X (mdash) (

pg al a 2 )+(l-x)C l 1 12

1-a^ l-a2

Devemos notar que esta expressatildeo tambeacutem vale para quando

temos uma fase para isso basta fazer

= c t 2 = 0

X = 0

e recairemos na formula do item anterior

2 pf 1 deg12 Observemos que neste caso o termo x (mdash)( ) nao

Pg al a2

2

73

tem significado pois corresponde a mudanccedila de fase

2 CONTRACcedilAtildeO KO FLUXO DE UM FLUIDO

21 - Uma so fase raquo mdash

Aqui ocorre um fenocircmeno importante pois o fluido ao ser

contraiacutedo nao vai diretamente da area A^ para a area A 0 mas ele

contral-se ate uma area A^ e depois expande-se ate k^

Ao A2

Po IP 2

V 2

Figura 2

Fazendo o equiliacutebrio das pressotildees entre os planos (1)

(0) vem 2 2

pV pV p +~ plusmn - P + i deg bull 1 2 g o 2 g (b)

C x

Fazendo equiliacutebrio da expansatildeo (0) - (2) vem

P o + 2 - f = P 2 + 2 -T + kp- 2 F ( c )

c c b C

Subtraindo (b) - (c)

2 2 2

i p- vj i p- v2 L P l + 2 bull g c

P 2 + 2 2g c

+ k P 2g c

74

Como

P - P = mdash 2 2g

2 2

bull (1 + k) - f bdquo mdash i

k a - f2 ) 2 - d - o c )2

= o

A = a 21

Weisback obteve varias relaccedilotildees entre a e a i] c

01 02 03 a 0624 0632 0643 c

0624 0632

A r v i - V v 2

p -p 1 2

P -P 1 2 2g7

v l =

(1+k) - laquofi- a 2g 21 c

( 1 + k - o 2 1)

X[- V 2 o 2 1V 2

22 - Duas fases

0 valor de k pode ser aproximado para

k = a(l - o 2 1)

onde segundo Richardsons para fluxo de duas fases podemos supor

a = 02

Para fluxo homogeacuteneo sabemos que

75

p = p f (1 -a ) + p o a

podemos supor p bdquo a = 0 pois p e pequeno e fazendo

V = V ~ V fbdquo2 go2 v 2

Substituindo estas duas expressotildees na equaccedilatildeo de uma soacute fase vem

2 2 p V (l-ct) p V (1 -a ) bdquo

P l P 2 = 9g ( 1 + 3 - 3 0 ^ - 0 ^ ) = g (a+1) (l-a^)

Se a = 02

2 12p oV 0

p r p

2 - 9g gt d-) d-sigt

A compressatildeo de um fluido acarreta uma perda de pressatildeo

como pode ser verificado pelas formulas uma vez que lt 1deg

3 ANALISE HIDRODINAcircMICA DE UM CIRCUITO EM CIRCULACcedilAtildeO NATURAL

Esquema deacute uma caldeira com circulaccedilatildeo natural

76

Determinar a velocidade em (7) para que tenhamos circula

ccedilatildeo natural Determinar tambeacutem as perdas de pressatildeo em todos os

trechos da caldeira

31 - Contraccedilatildeo das secccedilotildees (1) - (2)

Como jaacute vimos a equaccedilatildeo do balanccedilo das pressotildees eacute

1 pr Vl 1 p 2 o V 2 P2 V2

1 2 g 2 + 2 g + K12 2g otilde c amp c e c

bullraquo 2 o2 2 e havendo uma soacute fase k 1 9 = (l-o ) = (1 mdash ) e sendo

C 2

p l = p2

v x lt lt lt v 2

P 2 V pr p2 bull ir2 bull ( 1 + k12gt

Colocando em termos de temos

A 2 V 2 P 2 = A 7 V 7 p 7 (continuidade)

V = V mdashbull = V o_bdquo ~ A 2 2 2

P 2 V - p 2

p r p 2 = ir2 - deg72 bull Ccedilrgt bull lt 1 + ki2gt

fazendo

N12 - lt^gt deg72 ( 1 + k12gt

P7 V7

Pr P2 - N12 bull HG

77

3 2 - Perda de carga no trecho ( 2 ) - ( 3 )

Como haacute apenas uma fase soacute temos perdas por atritos e

perdas hidrostaacuteticas

Sendo como jaacute vimos

2 3 p 2 2 g P 2 P 3 = f 2 3 (r~2g^~) L 2 3 g c p

atrito hidrostaacutetica

Substituindo V^ pela relaccedilatildeo do item anterior e tendo em

conta que p = vem

P -P = f 2 r 3 2 3 D

2 3 p 2 bdquo 2 2 p 7 2

2 g 7 72 p 2 3 g

Se

L 2 3 2 p 7

2 3 2 3 D 2 a 7 2 p 2

P 7 V 7 g P 2 - P 3 = N 2 3 ( mdash gt p 2 L 2 3 f

3 3 - Expansatildeo nas secccedilotildees ( 3 ) - ( 4 )

Como vimos o balanccedilo das pressotildees e

2 2 2 p V p 4 V p V

P 3 + 2 g c

P 4 + 2 g c

+ k 3 4 2 g c

onde

k 3 4 - - -

2 2 1 P 4 - V 4 P 3 v 3

P 3 P 4 = 2 g + ( k 3 4 _ 1 ) 2 g

78

Sendo

P 3 - P 4

p 3 o A 3 deg V 3 = P 7

a A 7 o V 7

P 4A 4 0V 4 = P r A r V

3 7 A 3 p 3

A7 P7 V = v mdash mdash 4 7 P 4

P - P 3 r4

Se

P bdquo - P

bdquo2 r-P 7 V 7

3 4 2g deg74 + ( k 3 4 1 ) deg73

34 p deg74 + ( k 3 4 1 ) 73

p r v2

P3- P4 ^ N34 ^ gt

(No caso e negativo)

34 - Contraccedilatildeo nas secccedilotildees (5) - (6)

Ainda temos uma so fase e fazendo o balanccedilo das pressotildees

como fizemos no item 3lt1 vem

P + vil p + vi + k vi P 5 + 2gbdquo P6 + 2gbdquo + k56 2gbdquo

k 5 6 lt 1 ^ gt 2 ( 1 - Iacute 2 i 2 6

V V6 P5degIacute 5^6 ^SS 2g c - 2g c

P - P ^ = (1+kJ

Como

79

A 6

W p 5 =

VV P6 V 5 = V 6 Jiexcl = Vff65

P 5-P 6 - lt H k 5 6 ) mdash ^ mdash (l+k 5 6-a 6 5) c c c

Sendo

Se

A 7 p 7 p 7

6 7 Ag p 6 7 76 p 6

p _p _ P6- V7- g76 iquest72 ( _ 02 P 5 P 6 2g c bull ( p 6

( 1 + k 5 6 deg65 )

p 7 2 2 N56 = p ^ deg76 ( 1 + k 5 6 ~ a 6 5 )

P 7 V 2

7

P r-P = N r 5 6 56 2g c i

35 - Perdas de pressatildeo nas zonas (6) - (7) - Pre^aquecimento

Nesta regiatildeo temos perdas por atrito e hidrostaacuteticas

Nao haacute perda por aceleraccedilatildeo pois ainda natildeo houve formaccedilatildeo de boshy

lhas

Fazendo balanccedilo das pressotildees temos

L_ ppound-V p = p + otilde L - pound _ + f -Si (-21mdashL 6 7 + p67 L67 g + t 6 7 D K 2g

p _ e ifn sao tomados como valores meacutedios 67 67

P _p _ f hl ^67jIacute uuml + - L A

6 F 7 r67 D 2g P P67 L67 g 6 s c 7 c

S e Kr pound67 L67 p67 6 7 D 6 p7

p7 V - _g_ P6- P7 - N67 mdash + P67 L67 f

c c

80

36 - Perda de pressatildeo nas zonas (7) - (8) - Zona de ebuliccedilatildeo

Nesta regiatildeo j aacute temos o aparecimento de bolhas logo a

perda de pressatildeo seraacute devida agraves t recircs parcelas aceleraccedilatildeo a t r i t o

das duas fases liacutequidas + vapor e h idros taacute t ica

onde

Assim

P-P Q = AP + AP + APbdquo 7 8 a t r i t o acel H

T M1

78 p 7 7 AP - R f- - mdash mdashr |R = fator mult ipl ica-

a t r i t o 7 D 7 2 g c L tivo

G 2

AP bull r mdash acel g c

P V

|_1 - o a p J 8 P f

2 t r 2 M2

7 7 r 7 7 A P a c e l = -J^mdash 2 r bull p 7 lt T iexcl iexcl - )

A PH p 7 8 L 7 8 fiexcl

p 7 8 iacute 7 li 1 0 0 P l i q + a P v ] d L = P 7 ( 1 - laquo 7 8 )

ag raquo fraccedilatildeo de vazio media entre 7 e 8

APH = p (1 - 5 7 g ) f- L 7 8

2 2

P 7 - P 8 a 5 - 2 T i + 2 r p 7 + P 7 ( 1 - 7 8 gt f L 7 8 7 amp c amp c amp c

81

N 7g = R mdash + 2 r p 7

P7 V7 P7- P8 = N78 + P 7 ( 1 5 7 8 gt J78

37 - Expansatildeo nas secccedilotildees 8 e 9

No caso haacute uma expansatildeo com duas fases e como vimos no

item 12 a variaccedilatildeo de pressatildeo era dada por

0f Vo P2 P1 = ~2g c ( 2 deg12

x 2 (mdash)(mdash - mdash ) + ( l - x ) 2 ^ T mdash 8 1 2 1

12

Aplicando ao nosso caso

P pound = P 7

P -P = 8 9

V - V raquo V g f 7

P 7 V 2

2 pf 1 a89 2 1 g89 x (mdash) ( ) + (1-x) (- - N

o ou abdquo 1-cu l-ot_) g 8 9 8 9

Se

N 89

= 2 a 89

2 pf 1 deg89 2 1 CT89 x (mdash) ( ) + (1-x) ( T

g 8 9 8 9

P -P = 8 9

- N P7deg V7

89 2gbdquo

38 - Perda de pressatildeo no trecho 9 e 10

No referido trecho temos apenas perda de pressatildeo por atr L

to da fase liacutequido + vapor e perda hidrostaacutetica Natildeo haacute perda por

aceleraccedilatildeo do vapor pois este natildeo recebe mais calor e portanto

o 82 o

nao ha variaccedilatildeo no a

p

Q -p i n = A P

U + A P bull 9 10 H atrito

n T -S_ P9 U10 deg 910 bull g

fio r

910 I 910

J9 L

(l- a)P + Q P I dL liq v

(l-a0) p

No caso a = (nao hatilde variaccedilatildeo de forma)

A P H - (1-a ) P (p L 0

c

AP bdquo = R o

atrito

2 f9 o L910 P9 V9

2g

Supondo

= V

P 9 = P 8 P 7

vbdquo = v 9 8 0 A r

= V 7 bull deg89

AP - R atrito

2 2

W l O p7deg V7deg g89

V P10 R -^T^ bull deg89 bull li-2 + ( W P 7 (fgt SIO

y c c

Se

- f9 L910 2 N9ol0 R Dl deg89

w 2

p rv P9 P10 = VlO + ( 1 a 9 ) p7 (f gt L910 c

33

39 - Perda ciacutee pressatildeo na expansatildeo 9 - 1 0

Analogamente a expansatildeo 8 - 9 temos

10 11 P 7 2g

10 Iacute 2 0 1 0 - 1 1 gt

2 ff

pg aio

10-11

laquo11 ) +

Ll-a 1 0 bull l-a u J

Se

V10 = V 9 = V 8 bull T9 = V 7 deg89

P -P 10 rll = - a 2g 089 ^lO-ll

4 bull T~ bull (7 1 mdash ) + Pg degio a n

+ (l-x)2(- 1 10-11

1 - aio )

N10-ll = 2 a10-ll a89 2 pf t 1 10-11 N2

-(j-r- - ) bull+ (1-x) pg aio deg 1

10-11 k l - a io

prz P10 Pll = - N10-ll bull ( 2gbdquo

310 - Calculo de V

Fazendo a somatoacuteria de todas as expressotildees (P^-Pj) tere-

84

mos 2 PbdquoV_

P bdquo - P bdquo = N 7 v 7

1 2 12 2g

bull 2 - P 3 - = N 2 3 P 2 L 2 3 f c ccedil

9 P 7 V 7 P _p = N mdash -

3 4 34 deg 2g

V P 5 = deg

2 P V

5 6 56 2 g c

ltr2

P 7 -V 6 e7 -N67 2g + p 6 7 J j67 g

c bc v 2

P 7 - P 8 = N 7 8 - 2 i ~ + p 7 ( 1 - laquo 7 8 ) L 7 8 c

P 7 V 7

P - P - -N mdash - -8 9 89 2g

c P 7 V 7

P 9 ~ P 1 0 VlO 2g + ( 1 a 9 P 7 L 9 c

P 7 V 7

bull10 11 U10-ll 2g

P v iacute j P - P

1 11

7 - v 7 3 bull r

2 8 i U L 2 23 67

(l-5 7 8) L 7 8 + ( l - laquo 9 ) P 7 bull SlOtilde]- ^

Por ou t ro lado sabemos que como secccedilotildees 1

mesmo n iacute v e l

85

s c p r v 7 j

28 Z N i ij

= P 2 L23 p67 L67 P 7 ( 1~deg78 )

78 ~ ^g) bull P 7 bull L 910 g_

V - 2 g ( p r L 2 3 - p 6 r L 6 7 - p 7 ( l - atilde 7 8 ) L 7 8 - (l-a9) p L 9 a ( )

y N

Com esse valor de podemos determinar todas as variashy

ccedilotildees de pressatildeo (P^-P )

BIBLIOGRAFIA

- WoR Gambill - Notas de aula dos seminaacuterios realizados no Insshy

tituto de Energia Atocircmica de Sao Paulo em 1966 (roteiro)

- WR Gambill - Nuclear Safety

Vol 9 - n9 5 e 6

Vol 6 - n 2 (pag 152)

Vol 4 -r n9 1 (pag 30)

Volbdquo 5 - n 2 (pag 151)

- WRo Gambill - Chemical Eng Prog ndeg 54 (Outubro)

~ El Wakil - Nuclear Power

- Jakob Max - Heat Transfer (vol I)

Mc Adams - Heat Transmission

- Paul A Lottes - Argonne National Laboratory

- AKL - 6469

- ANL - 6561

86

Knudsen e Katz - Fluid Dinamics and Heat Transfer

Frank Kreith - Principles of Heat Transfer

Journeacutees Internationales de la transmission de la chaleur

Seminaacuterios realizados em Paris em 1961 sob a supervisatildeo do

Prof Marcel Veron

Notas de aula da Cadeira de Termodinacircmica I e Transmissatildeo da

Escola Politeacutecnica da Universidade de Sao Paulo

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4 1

^ tsub = ^ ^ e r e n Ccedil a ^ e temperatura entre a temperatura de

mistura do liacutequido e a de saturaccedilatildeo (degF)

X = calor latente de vaporizaccedilatildeo (BTUlb) 2

ltiacutegtbo = fluxo de burnout (BTUhrfl )

Uma outra correlaccedilatildeo para o caso foi proposta por

Ornatsky e Xiohigin que fizeram experiecircncias para pressotildees entre

10 e 1 5 0 3xm 90 degF lt At ^ lt 4 5 0 deg F 3 7 1 0 6 ( l b h r o f t 2 ) lt G lt

2 2 2 10 b ( l b h r bdquo f t 2 )

lt ^ = 3 2 5 0 (G o A t bdquo J deg 6 ( - i - ^ ) 2 5 ( b ) bo sub

onde

G - descarga de refrigerante por unidade de aacuterea

P ^ v P v - densidades do liacutequido e do vapor

P1~ PV -0 termo (mdash ) e incluido na expressatildeo (b) para indicar

a influecircncia da ^ pressatildeo sobre o

Uma comparaccedilatildeo entre as equaccedilotildees (a) e (b) foi feita para

o Reator de Isoacutetopos de Alto Fluxo (HFIR) nas condiccedilotildees aacutegua a

600 psia velocidade = 45 ftsec e sub-resfriamento = At^^ 1

degF obtendo-se uma diferenccedila de 6 5 entre ambos (4gt = 6 0 5 1 0 b

2 ~ 6 2 BTUhr ft pela equaccedilatildeo (a) e 6 4 5 10 3TUhrraquoft pela equaccedilatildeo

(b)

Ilatilde ainda a equaccedilatildeo de Ivey e Morris aplicaacutevel somente pa_

ra ebuliccedilatildeo com grande quantidade de liacutequido

( c sub t

Cpf bull A tsub

( bull ) s ~ V P bdquo 10 h V sat V g

onde

(ltL ) = fluxo critico com sub-resfriamento c sub

(ograve ) ^ - fluxo critico sem sub-resfriamento c sat

42

c ^ = calor especiacutefico do liacutequido

= calor latente de vaporizaccedilatildeo

124 - Burnout com convecccedilao forccedilada e ebuliccedilatildeo por bocirc-

Ihas

Gambill fez uma extensatildeo da equaccedilatildeo de Levy e aplicou o

metqdo da superposiccedilatildeo Tal extensatildeo consiste natilde subtraccedilatildeo de uma

razatildeo equivalente de massa transferida dos termos que represenshy

tam a ebuliccedilatildeo e convecccedilao para levar em conta a presenccedila do vashy

por no fluxo

A correlaccedilatildeo pode ser escrita assim

24 V P V

o g c a (p^Py) 14

+ 0696 (k p c ) 12

(

pr p v )i4 o g c a (P-L-Py) 18

bull At + h sub nb

044 p v L v G (g1) bull N2 n

p l P V

( pr p v ) d e 2-7

2 4 TT 0

14 ( f e _ ^ r l 3

lO^u

onde

k = condutividade teacutermica

c = calor especiacutefico

A t s u b ~ s ub-resfriamento do liacutequido

h = coeficiente de transferecircncia de calor de nao ebu nb mdash

liccedilatildeo

G = descarga total do refrigerante

43

d g = diacircmetro equivalente do tubo ou canalraquo

]i = viscosidade

B = constante adimensional

Os iacutendices V e 1 representam vapor e liacutequido respectiva

mente

0 primeiro termo entre chaves da equaccedilatildeo representa o flu

xo de calor no burnout de sub-resfriamento em convecccedilao forccedilada 0

segundo termo entre chaves corresponde ao fluxo de calor transferi^

do para a massa da fase vapor

1-25 - Burnout por Bloqueio da Base

Ocorre quando a profundidade do recipiente eacute muito maior

que a largura 0 bloqueio da base eacute causado pela formaccedilatildeo de uma pe_

licula de vapor na base impedindo que o liacutequido toque o fundo do

recipiente

i De

Este eacute o burnout por flooding isto eacute burnout por expul

sao do liacutequido Uma equaccedilatildeo que nos dacirc o fluxo minimo do burnout

parao caso eacute

44

onde

D g = diacircmetro equivalente

L = comprimento do tubo

= calor de vaporizaccedilatildeo

p^Py Ap = densidade do liacutequido do vapor e diferenccedila en

tre ambos

Para um fluxo de calor maior ou igual ao dado pela expres_

sao acima (mantida a mesma geometria) teremos burnout Para um deshy

terminado fluxo existiratildeo sempre um comprimento L e um diacircmetro equi

valente D e para os quais temos burnout Exemplo

L (in) D e(in)

10 11

100 51

1000 235

2 RESULTADOS ESPECIacuteFICOS - FOacuteRMULAS PARA CAacuteLCULOS ESPECIacuteFICOS

21 - Diferenccedila de temperatura At i

13 a t

sat

At sat

poundatildeJL_ raquo t - t J p T T 6 w sat

onde

o laquo tensatildeo superficial entre liquido e vapor

t - temperatura de saturaccedilatildeo do liacutequido para a corres-Scl t

pondente pressatildeo

J equivalente mecacircnico do calor

X laquobull calor latente de vaporizaccedilatildeo

py = densidade do vapor

6 = espessura da camada de liacutequido superaquecido onde

45

k l

h nc

onde

k^ = condutividade teacutermica do liacutequido

h = coeficiente de peliacutecula nc r

Segundo Eckent h ^ c e dado por

P 2 Q

nc 3 V VP + 0952

r

onde

D = diacircmetro equivalente

G r = numero de Grashoff

P = nuacutemero de Pradtl

2 o 2 - Velocidade das bolhas

A velocidade das bolhas em meacutedia pode ser dada pela exshy

pressatildeo

V bdquo = Iacute ( a bull B Apl4 bolhas 5 ^ 2

p l onde

AP = P L - P v

Expressatildeo que vale quando a aceleraccedilatildeo eacute a da gravidade

baixa viscosidade do liacutequido e bolhas separadas

Vbolha = f t s e atilde m a x para aacutegua

2 bdquo3 - Diacircmetro das bolhas

2gc deg 12 D = 0015 3 ( mdash mdash 7 ~ ) d g Ap

5 =

46

onde

8 = acircngulo de contato (20 a 90deg) geralmente assume-O -1

-se igual a 50 para a agua em contato com metal

24 - Coeficiente de peliacutecula na ebuliccedilatildeo nucleada

a) Equaccedilatildeo de Rohsenow

Esta equaccedilatildeo nos datilde o fluxo de calor q na ebuliccedilatildeo nushy

cleadaraquo E oacutetima expressatildeo para muitos liacutequidos o efeito da presshy

satildeo eacute levado em conta na variaccedilatildeo das propriedadesraquo

Pf

fg

sat 17 = c

sg k y f h f g g( P f-p g)

n033

onae

Pf

fg

Pf Pg c sg

= fluxo de calor requerido (BTUhr0ft^)

= calor especiacutefico do liacutequido saturado (BTUlbm0F)

= calor latente de vaporizaccedilatildeo (BTULbm)

= nuacutemero de Prandtl

= viscosidade do liacutequido (lbrahrraquoft) ~ 8 2

= fator de conversatildeo 417 10 Ibmftlbflaquohr 2

= aceleraccedilatildeo da gravidade (fthr )

= tensatildeo superficial na interface liacutequida vapor

(lbfft) 3

densidade do liquido e vapor (lbmft )

constante adimensiacuteonal que depende de vaacuterios fashy

tores dentre os quais o grau de aquecimento en_

tre o fluido e a superfiacutecie de aquecimento e o

mais importanteraquo Independe da pressatildeo do sistema b) Equaccedilatildeo de Levy

Equaccedilatildeo valida para a aacutegua quando 100 lt p lt 2000 psiacutea

47

43 bdquo3

qu bdquo gat ^ T J h r t f t ^

495

25 - Calculo do fluxo de calor no Ponto de Leidenfrost

0 ponto de Leidenfrost como vimos eacute o ponto em que oflu

xo de calor comeccedila ncamente a crescer isto eacute o ponto onde termal

aa a ebuliccedilatildeo instaacutevel e comeccedila a ebuliccedilatildeo por peliacutecula estaacutevel Eacute

o chanado fluxo miacutenimo (egrave ) m m

Aproximadamente quando A t g u k = 0 temos

A _ mdash _ mdash (Gambill) m m 5

Ha entretanto varias expressotildees para determinar esse flu

xo eis uma delas

A p 14 ltjgt = 009 h pbdquo (o raquo g mdash ) y m m fg P V deg 2

p l

26 - caacutelculo do fluxo de calor na regiatildeo de ebuliccedilatildeo por peliacute

cuia estaacutevel

para cilindros jmdashi i li

_ D 0172 k-V - P V A p h l V bull S 14 li - = 062 (mdashmdash) (- j- r rmdash) convecccedilao A 0 ybdquo (t -t )

c V w sat

onde

= condutividade do vapor

- 2 TT ( mdash )

c gAp Vl = significam vapor e liacutequido respectivamente

para paredes verticais

L 0172 S deg7 A p bull hlV S q 4 h - - 080 (-^-)J- (-Iuml - Iacutemdash-convecccedilao X L u (t - t J)

c V w sat

48

Como nesta regiatildeo jaacute haacute nina influecircncia marcante da radia

ccedilao devemos levar en conta tambeacutem o coeficiente de peliacutecula de

vido a radiaccedilatildeo para determinar o coeficiente de peliacutecula total

Dos estudos atildea radiaccedilatildeo temos

h = a F pound(T 4 - T 4 J ( T ~ T ) rad w sat w sat

onde amp _ emissividade de superfiacutecie

a = constante de Stefan-Boltzman

F = fator de forma

Segundo WE Gambill o coeficiente de transmissatildeo total

ceve ser

3 iacutei = h + -7 h para h lt h t conv 4 rad r rad conv

Na expressatildeo acima existe o fator 34 porque a radiaccedilatildeo

faz variar um pouco a espessura do filme de vapor reduzindo asshy

sim o l l

conv

Quando tivermos h gt h gt o h^ ^ seraacute rad conv total

h f c = h + h t conv rad

Neste ultimo caso nao ha nenhum coeficiente porque a peshy

liacutecula de vapor jaacute eacute estaacutevel

27 - Grandezas caracteriacutesticas para a apua

Para pressatildeo igual a 1 atm = 1422 psia

At ^ = t - t = 5degC (iniacutecio da ebuliccedilatildeo nucleada) sat w sat 1

At t = 30degC sat crit

49

5 2 $ = 4 10 BTUhrft (para pressatildeo 1 atm)

0 fluxo critico cresce como vimos com a pressatildeo ate

atingir o maacuteximo quando a pressatildeo eacute aproximadamente 13 da pressatildeo

criacutetica Esse fluxo eacute

bull = 13 IO 6 BTUhrft 2 para p = 11000 psia (p pound = 32062 psia)

Ainda temos que para pressatildeo igual a 15 psia

h b o = 11000 BTUhrft degF - ebuliccedilatildeo nucleada

h f b = 30 BTUhrft 2 degF - ebuliccedilatildeo pelicular

Todos os resultados e formulas para caacutelculos especiacuteficos

apresentados nos itens 21 22 23 ateacute 27 sacirco aplicados somente

para sistemas onde haja ebuliccedilatildeo com grande quantidade de liquido

51

D - HIDRODINAcircMICA DOS SISTEMAS E QUEDA

DE PRESSAtildeO DENTRO DE UM CANAL

1 HIDRO-DINAcircMICA E QUEDA DE PRESSAtildeO

11 - Hidro-dinacircmica dos sistemas estaacuteveis

111 - Regimes de escoamento

A evoluccedilatildeo do escoamento ao longo de um canal aquecedor

de secccedilatildeo constante ciliacutendrico pode ser esquematizada pela figushy

ra 1 onde temos em abcissa o comprimento z do canal e em ordenada

a temperatura (T)

52

Na figura 1 nos representamos

a) 0 aspecto do escoamento fluido quando a entalpia do

- fluido aumenta Verificamos que o fluido entra no cashy

nal no estado liacutequido e assim permanece ateacute atingirmos a zona de

ebuliccedilatildeo local onde aparecem as primeiras bolhas A entalpia do

fluido continua aumentando e tem inicioa ebuliccedilatildeo franccedila onde as

bolhas se unem formando agregados posteriormente o escoamento to

ma a forma da figura ou seja torna-se anular disperso Finalmente

atingimos duas uacuteltimas fases do escoamento disperso (vapor uacutemido)

e vapor seco

b) A evoluccedilatildeo da temperatura meacutedia do fluido e da tempeshy

ratura da parede Note-se que a partir da cota a

temperatura da parede aumenta brutalmente podendo causar o

burnout

c) A evoluccedilatildeo do tiacutetulo do vapor (x) com o comprimento

do tubo e a evoluccedilatildeo da fraccedilatildeo (a) que definiremos no

item 11laquo2 com o comprimento do tubo

112 - Definiccedilotildees

a) Tiacutetulo ou qualidade do vapor (x)

massa de vapor na mistura x ~ massa total da mistura

x =

W _g_

g f

b) Fraccedilatildeo vazio (void fraction)

volume do vapor na mistura a = volume total da mistura (agua+vapor)

A relaccedilatildeo entre x e a num sistema parado pode ser obtida

assumindo um certo volume contendo 1 lbm de mistura em equiliacutebrio

teacutermicoraquo

53

O volume da mistura seraacute igual a (v + xv ) ft onde v eacute 3 r rg

o volume especifico (lbmft )

f - refere-se ao liquido

g - refere-se ao vapor

fg - refere-se a diferenccedila entre liacutequido e vapor

Numa mistura em equiliacutebrio se o liacutequido e o vapor estatildeo

saturados o volume do vapor presente eacute igual acirc sua massa vezes

seu volume especiacutefico v assim e

xv bdquo bdquo a mdash

V c + XV c

f gf

onde

- bull-bull uumlutiacuteisa vapor na mistura de 1 Ibm

v volume especiacutefico do liacutequido

v = volume especiacutefico do vapor o

V c = v - V

gf 8 r

Fazendo uma transformaccedilatildeo na expressatildeo acima temos

xv xv JS = Z-

v r+ x(v -v c) xv +(l-x)v t ri f g f g f 1 + Ul-x)xjv fv

1 + C(l-x)x]]vfvg

A fraccedilatildeo vazia tem a influencia de baixar a reatividade

do nuacutecleo nos reatores em que o refrigerante eacute tambeacutem moderador

Na equaccedilatildeo acima os valores de x e v sao tomados em tabe

las termodinacircmicas apropriadas para a pressatildeo do sistema A equashy

ccedilatildeo (1) mostra os grandes valores de a para pequenos valores de x

especialmente para baixas pressotildees Isto ocorre porqueaumentando

54

aacute pressatildeo o v decresce muito enquanto que o v f eacute mais ou menos da

mesma ordem de grandeza

Exemplo Calcular o a correspondente para x raquo 2 para aacutegua

leve atilde pressatildeo atmosfeacuterica

Da tabela para p laquobull 1 atm

v - 001672 ft 3lbm e v - 26800 ft 3lbm

1 + [(1-002)002] 001672268

0971 ou 97U

O grafico abaixo mostra a variaccedilatildeo do a com x para vaacuterias

pressotildees e para a aacutegua leve

x ()

tObservaccedilotildees da curva

Fig 2

1 - para x constante a decresce com a pressatildeo Para presshy

sotildees proacuteximas da criacutetica a aproxima-se rapidamente de

x Para a pressatildeo criacutetica as duas fases satildeo indistinguiacuteveis ea=x

2 - para cada pressatildeo dotdx decresce com aumento de x

3 - para baixos valores de x (que e o caso dos reatores

tipo Boiling) quando p decresce dadx cresce e torr

na-se muito grande paacutera baixas pressotildees Isto tem relaccedilatildeo com a epound

55

tabilidade do reator como veremos mais tarde

113 - Sistemas com fluxo

Todas as definiccedilotildees que noacutes vimos no item anterior refeshy

rem-se acirc sistemas em que a mistura esta fechada no recipiente Nes^

te caso natildeo havia movimento relativo entre as duas fases No entan

to se as duas fases da mistura se movem na direccedilatildeo vertical em

canais entre os elementos combustiacuteveis o vapor por causa de sua

flutuaccedilatildeo tem a tendecircncia de escorregar sobre o liacutequido isto e

move-se com velocidade maior do que a do liacutequido

Real Modelo

Pig 3

S -

Define-se neste caso a relaccedilatildeo de escorregamento (slip

ratio) (S) como sendo

V _i

V f

onde

V = velocidade do vapor

= velocidade do liquido

S modifica as relaccedilotildees entre a e x do item anterior S geralmen_

te gt 1 Define-se neste caso qualidade do vapor ou tiacutetulo como

sendo

_ fluxo de massa de vapor

fluxo de massa da mistura

Entatildeo se o fluxo de massa da mistura eacute m t(lbmhr) o flushy

xo de vapor seraacute = x m e o fluxo de liacutequido sera (1-x) m onde x

56

e o titulo do vapor para a particular secccedilatildeo (AL) da figura (3)

Devemos notar que neste caso x varia de secccedilatildeo para secshy

ccedilatildeo do tubo o exposto no paraacutegrafo acima vale considerando-se que

x e a permaneceram constantes na secccedilatildeo de espessura AL

Aplicando a equaccedilatildeo da continuidade as velocidades do va

por e liacutequido sao dadas por

o xm v

V vazatildeo = g g area A

V

(1-x) amp t v f

f A f

onde A e A f sao as aacutereas medias perpendiculares ao fluxo se as

duas fases sao imaginadas completamente separadas uma da outra

(figura 3) Assim temos

V x m v o A_ A v 0 ^ - 2 = iacute S t m _2L- JL JS m

V A (l-x)ui v 1-x A v U

f g t f g f

Sabemos ainda que para a secccedilatildeo considerada

volume do vapor na mistura a = volume total da mistura (agua+vapor)

A AL A pound g g

a = mdash a a = - mdash 1

(A+A )AL A f + g

A ou f _ 1 - a

A a 8

Substituindo em (2) vem

57

Esta expressatildeo pode ser rearranjada e obteremos uma relashy

ccedilatildeo entre x e a levando em conta o escorregamento Chega-se a

a = 1 ( 3 )

1+ [U-x)x3 igt

onde

v 4 laquo -- S

v lty o

Note-se que quando S=l (nao haacute escorregamento) caimos na

expressatildeo dada no item anterior

0 efeito do escorregamento eacute decrescer o valor de a pa_

ra um mesmo xbdquo Isto pode ser visto pela foacutermula (3) pois S gt lLo

go a decresce com acreacutescimo de S

Um alto S e entatildeo uma vantagem tanto para a transferecircnshy

cia de calor como para efeitos de moderaccedilatildeo Eacute uma vantagem para

transferecircncia de calor porque alto S significa alto V e portanto

maior turbulecircncia e maior contato do liquido com as paredes quenshy

tes Ha tambeacutem melhorias na estabilidade da reaccedilatildeo nuclear isto

porque como jaacute dissemos quando mdash7 diminui a estabilidade aumenshy

ta isso pode ser verificado observando a curva a versus x para a

agua leve a 1000 psiabdquo

Fig 4

58

A relaccedilatildeo entre x e a da equaccedilatildeo (3) so vale para secccedilatildeo

de tubo bem pequena

Devemos notar que S varia tambeacutem com a pressatildeo e velocida^

de de entrada do liacutequido no tubo Este efeito pode ser observado na

figura 5 abaxxo obtida esperimentalmente

s

3

~^ ~ psig

x = 001

V 1

Fig 5

Nos projetos de reatores como veremos adiante o valor a

geralmente eacute determinado por consideraccedilotildees nucleares (moderaccedilatildeo) 0

valor de S eacute determinado atraveacutes de uma estimativa ou entatildeo atrashy

veacutes de um graacutefico do tipo da figura 5 0 correspondente valor de x

pode ser obtido de uma foacutermula empiacuterica do tipo

1 = 1 (-S)0gt67

proposta por Von Glahn

Em muitos casos assume-se S constante em todo o comprimeiv

to do canal poreacutem eacute um erro que em muitos casos nao pode ser coshy

metido

4 REATORES EM QUE 0 LIacuteQUIDO B MODERADOR E CIRCUITO PRIMAacuteRIO AO

MESMO TEMPO BOILING-REACTOR (BWR)

A aacutegua ao se movimentar atraveacutes dos vaacuterios canais do

59

Boiling-reactor encontra vaacuterias resistecircncias ao fluxo que provoshy

cam uma reduccedilatildeo de pressatildeo no fluido

As duas perdas mais importantes sao perda de pressatildeo por

atrito e perda de pressatildeo causada pela aceleraccedilatildeo do refrigerante

ao aumentar de volume por receber calor num canal Outras perdas

de pressatildeo seriam a obstruccedilatildeo ao fluxo por corpos submersos (espa_

ccediladores juntas de tubos chaves etc) e por mudanccedilas abruptas de

aacuterea de fluxo tanto na entrada como na saiacuteda do tubo

Essas perdas de pressatildeo devem ser conhecidas o melhor popound

sivel principalmente nos reatores BWR Para tanto devemos saber

o comprimento de canal em que nao ha a ebuliccedilatildeo isto eacute qual o com

primento de canal em que o refrigerante vai da temperatura de sub-

resfriamento ate temperatura de saturaccedilatildeo

Seja o elemento combustiacutevel

Aquecimento Uniforme Aquecimento Senoidal

Fig 6 Fig 7

onde

H =

H = o

H b

comprimento do elemento combustiacutevel

cota onde o liquido se torna saturado

comprimento do elemento combustiacutevel em que ocorre

ebuliccedilatildeo

60

qg = calor sensiacutevel acrescentado ao liquido para satushy

raacute-lo

qfc = calor total acrescentado ao liacutequido em todo o com

primento do canal

laquoo

q s J o qiquest sen (IIzH) n H o

T~ = TH = 2 ( 1 c o s gt ( a )

q 1 sen (HzH) Jo ^c

A expressatildeo (a) vale quando tivermos uma adiccedilatildeo de calor

senoidal para qualquer outra forma de adiccedilatildeo de calor faz-se um

caacutelculo anaacutelogo

Outra relaccedilatildeo entre q g e qfc eacute dada pela termodinacircmica

q h- - h s f m (b)

(hr +x h )-hm ^t f e fg

onde

= entalpia para o liquido saturado a pressatildeo correjs

pondente (cota z = Ho)

hffi = entalpia do liacutequido na entrada do canal

x = tiacutetulo do vapor na saiacuteda

= entalpia do vapor

Com a relaccedilatildeo (b) noacutes determinamos a relaccedilatildeo q q ecom

S L

uma relaccedilatildeo do tipo (a) (conforme seja o adicionamento de calor ao

liacutequido) podemos obter a relaccedilatildeo HoH e consequentemente H^H

21 - Perda de pressatildeo num canal de evaporaccedilatildeo

Neste item iremos determinar as perdas de pressatildeo mais

representativas que ocorrem num canal de evaporaccedilatildeo de um reator

P + dP

bull1 i- 1 gti i i

dL

onde

UM

Icirc H Icirc Icirc T dF f t f

61

Quantidade de Mov na Entrada

= i- rigVg)

dF f l

Fig 8

m i

m 8

V l V 8

A P

dF

dF

dF

fg

fl

ftf

descarga do liacutequido

descarga do vapor

velocidade do liquido

velocidade do vapor

aacuterea transversal do canal

forccedila de atrito do vapor com parede

forccedila de atrito do liacutequido com parede

forccedila de atrito das duas fases liacutequido+vapor

Fazendo o balanccedilo das forccedilas considerando o sentido posjL

tivo na vertical temos

A (P-P-dP)-(dF +dF _+dF _)-(-pound-) (p A+p A )dL = mdash dGnV+m V ) P fg ftf fl g c 1 1 g g g c

v 1 1 g g 7

- dP = ~ (dF +dF--+dF)+- S--7=- (p A+p A )dL+ mdash ~ - d (m-V+m V ) A_ fg ftf fl g c Ap v^l 1 g g g A 11 g g

Fazendo a integraccedilatildeo termo a termo entre os dois extreshy

mos entrada e saiacuteda e considerando a pressatildeo de entrada igual a

P q e a de saiacuteda igual a Pe vem

Quantidade de Mov na Saiacuteda

-= h I- lY l+ A g V g + d ( aacute l V l + aacuteeVl

Forccedila de Gravidade

= ( g f - N P A + P g V

62

b) r e F f l

o p dp^ = Ap^ = perda de pressatildeo por atrito

do liacutequido na altura Ho

Aplicando a formula de Darcy vem

bull API = f bull ir bull ^ iexcl 7

onde

f = fator de atrito

c) e Fftf

o p ^P tpound

= perda de pressao por atrito da mistura

liquido + vapor no trecho de comprimen

to Hbdquo o

Para determinar esta perda de pressao define-se o fator

de multiplicaccedilatildeo R

A P R =

tf A P 1B

Sendo A p ^ a perda de pressao se o comprimento todo fosshy

se ocupado somente pelo liquido assim

A p t f = R A P 1 B

0 calculo de Ap-^ pode ser feito pela formula de Darcy e

o de R nos veremos no item seguinte

63

d)

-e F

d ( ^ )

O P

Ap = perda de pressatildeo por atrito do vapor

No caso do reator BWR o titulo de saida e bera pequeno e

em nenhum caso ocorre a saida de vapor com x = 100 logo a perda

de pressatildeo por atrito do vapor eacute nula assim

An = 0 5

e) Ap

(p A 1 + p A ) dL = Ap - perda de pressatildeo dpound

vida ao desniacutevel

(perda hidrostaacutetica)

Anbdquo = re A A

-S- I (p + p -S ) dL H s 1 A

c o p o A

como A A Jl_ =

A P

A +A-g 1

1-a -

temos

C Q

te j jll-a)p1 + apg)^jdL = p Lo pound

onde

e jo u

+ ap ) ~I dL (Densidade media 1 S J

no tubo)

No nosso caso

Ap u = p H

f)

re d(mV + m V ) _ mdash - laquo -i bull s iquestp laquos p e r d a ltje pressatildeo devido a acele-

c p raccedilatildeo do vapor

V A

(1-x) tl^Vj

(1-a) A

X V

aA

A p -

roV + m V

c p c p L_

m (l-x)m_v m xv nbdquo -1 T 1

+ _S S I (1-a) Ap aA

P

2 g A c p

n 2 2

(1-x) m T

laquo2 8 A c p

2 2 (l-xe) raTv1

2 2 2 xm_v (1-x) m-v e T s o 1 1

a 1 - a

2 2 - x m_v o T g

a

se

X Q 0 (so ha agua nesse trecho)

a = 0 o

temos

mbdquo Ap =

1 a A 2

S A degc p laquo-

tt-V v i 1 - a

2 via T^r - v i

t Apc

2

V v l

5c Ap

1 - a

x v - 1

a e v l

65

Fazendo

G = fluxo total da massa por unidade de area do

canal

(1-x J e

V

AP r

Assim a perda de pressatildeo total sera

H p V II pV r2 P -P = f -24-Iuml+ f R+p 0 1 2g c D e 2g c g c g c

2c2 - Determinaccedilatildeo do fator de multiplicaccedilatildeo (R)

221 - Relaccedilatildeo Martinelli-Nelson

Os autores Martinelli-Nelson determinaram experimental -

te esse fator R para varias LIT1L em funccedilatildeo da pressatildeo e da r NB total J v

qualidade de saiacuteda do vapor no canal Construiacuteram assim vaacuterias

curvas do tipo da figura 9

66

E importante notar que a qualidade do vapor (x) na saiacuteshy

da nao deve ser grande pois como vemos o valor de R cresce muishy

to com um aumento pequeno de x e um valor de R muito grande acar_

reta uma perda de pressatildeo grande pois

^ d u a s fases R ^ f a s e liacutequida

Para resolvermos um problema seguindo o criteacuterio de bdquo

Martinelli escolhemos a curva R = f(px) (para a relaccedilatildeo L

N g ^ j

adequado) e tiramos R com os valores de pressatildeo p e tiacutetulo x

As curvas R = f (p x L T t )IO encontram-se nos ANL 6469 bio I

e 6561

222 - Relaccedilatildeo Lottes-Flinn

Estes autores estudaram o problema para o aquecimento uni

forme do refrigerante com baixo titule Lottes-Flinn fizeram inuacuteshy

meras experiecircncias e verificaram que para fluxo de calor uniforshy

me e baixos titulos R era independente do fluxo de calor fluxo

do refrigerante escorregamento e apenas funccedilatildeo de a g

Como a quantidade de liacutequido eacute muito maior que a de vashy

por a perda de pressatildeo daacute-se principalmente pelo atrito do liacuteshy

quido com a parede Podemos assim escrever a foacutermula de Darcy

na forma diferencial

dz

d = f __ r e amp c

onde

V = velocidade do liquido saturado na cota zbdquo X

f = coeficiente atrito

= densidade do liacutequido saturado

Teoricamente a queda de pressatildeo deve-se ao acreacutescimo de

67

velocidade do liacutequido e da diminuiccedilatildeo da aacuterea de fluxo do liacutequi

do

P fH A P t p

= f D 2g Ho

d z

fazendo

V lo

m V t lo

(velocidade do liacutequido na cota z = Ho)

(1-x) m t v 1

(1-a) A (velocidade do liacutequido na cota z gt Ho)

a bull+ fraccedilatildeo vazio na cota z geneacuterica

V 1 (1-x) m t v 1

m t V l 1 - a

x =s 0 pois o tiacutetulo eacute baixo

A p t f = f bull JT5 c e

fH V lo

H o (1-a) dz

Para fazer a integral devemos achar a relaccedilatildeo de variaccedilatildeo

entre a e z Como o fluxo de calor eacute uniforme a qualidade eacute direshy

tamente proporcional a z

bull laquo x = x e H

z = mdash x X e

Sabemos ainda que (item 113)

x

1 + [ ( I -X)AKQ x + iiacuteraquo

68

como

temos

(1-x) = 1

v

X =

z =

1-a

1 -a

1-a e

a

e

1-a pound

a

1 -a igt (assumindo S = cte)

da

Atf - f bull 2 i ^ ~ J c e o

a 1 - a e e 1 s 4 hmdash) da

a 1-a

f P lv^ Q

0 termo mdash - mdash e a parte de perda de pressatildeo pelo lj^

^c e -quido ou seja Ap liquido saturado e como

Ap

R = tf

Ap liauido saturado

temos que

R J

f ae 1 _ a e 1 4

a 1 -a o e

1 -a r-R =

3 1 -a

a 1 -a imdash

3 vl - a 3

e e

Os valores de R obtidos por esta expressatildeo aproximam-se

muito dos valores obtidos pelos aacutebacos de Martinelli

69

E - EXPANSAtildeO E COMPRESSAtildeO DE UM FLUIDO - ANAacuteLISE HIDRODINAcircMICA

DE UM CIRCUITO EM CIRCULACcedilAtildeO NATURAL

1 EXPANSAtildeO NO FLUXO DE UM FLUIDO

11 - Uma so fase

Figura 1

Ha vaacuterios meacutetodos para determinar a variaccedilatildeo de pressatildeo

numa expansatildeo de fluido estudaremos o de Romie que eacute o que daacute

maior precisatildeo

Romie considera que a pressatildeo p^ tambeacutem atua na aacuterea

imediatamente apos a expansatildeo Assim fazendo o equiliacutebrio das foi

ccedilas nas secccedilotildees tracejadas da figura 1 temos

mVj

p r A 2 + mdash

mV

bull 2- A2

mas

m = pV^A^

pV^A = p V 2 bdquo A 2

V A

v 2 -4r-logo

( P l-P 2) A 2 = f ( V ^ ) - f _ v j amp c c 2

70

2 pV A A pV A A

Chamando A l A ]

K = 1 - T e degi2 = Aiexcl bull V E M

pvj

P l P 2 = T ~ bull ( 2 deg 1 2 ) ( 1 _ a 1 2 )

Outra maneira de chegar atilde diferenccedila de pressatildeo ( P j - ^ ) s mdash

ria usar o coeficiente de perda da mecacircnica dos fluidos Assim o

equilibrio das pressotildees eacute

2 2

1 V l 1 V 2 V l P i + _ p _ ^ P 2 + I p ~ + k 1 2 p mdash

onde = coeficiente de perda

A 2 1 2

k 1 2 - (l-o 1 2) - (1 - j- )

Fazendo as transformaccedilotildees chegamos a mesma expressatildeo obshy

tida pelo balanccedilo das forccedilas

PraquoIacute pr p

2 - - ir ^ laquo-ia

12 - Duas fases

Como ha duas fases a equaccedilatildeo do balanccedilo das forccedilas fica

um pouco alterada

m pound 1 V- m - raquoV - m-V- m bdquoV _ P A + j y ^ i + _gl_JUuml P A + -11-11 + -ilsl (a)

1 2 e R 2 2 ff e

Sabendo que

71

m (1-x) m t = p fA (1-a) V f

entatildeo

fl l-o^ p fA x

6 Vf2 1-x l-a2 P fA 2

m V = mdash mdash e V 0 = gl a 1 P C T A 1 g2

m

a_ p h

2 g 2

Nas expressotildees anteriores o x nao varia porque a expansatildeo

5 adiabaacutetica porem o a varia devido a modificaccedilatildeo do tamanho da

bolha

Substituindo os valores das velocidades na expressatildeo (a)

vera

( P - P ) Abdquo =

2

2 2 m gt2 2 m t (1-x) 1 x t

ra i 2 m i 1 x t 1

p fA 1 g c ttl p Ax gpound

m t P - P = mdash

(1-x) (l-a 1)A 1A 2 (l-a2)A|

a r A r A 2

V A 2

m t P bdquo - P = mdash 2 1 g c A r A 2 p f

(1-x) 1-a f A 2(l-a 2)

bull ^ 2

72

Se

P -P

a

m

g

12

1 _1_ (1-x)

J12

1 _ a l 1 - a 2 + X (- )

Pg

1 deg12 a 2 ^

Sabemos que

mt = V o pf laquo A l

Sendo V q = velocidade do liquido num ponto onde natildeo haja vapor

P 2-P 1

u 2 2 A 2

V pr Ai

V W p f

(1-x) 12

l-a1 l-a2

+ X 2 pf

mdash

l deg12

-1 a 2 _

p -p r 2 Al (2a 1 2)

2 M f w 1 deg12 X (mdash) (

pg al a 2 )+(l-x)C l 1 12

1-a^ l-a2

Devemos notar que esta expressatildeo tambeacutem vale para quando

temos uma fase para isso basta fazer

= c t 2 = 0

X = 0

e recairemos na formula do item anterior

2 pf 1 deg12 Observemos que neste caso o termo x (mdash)( ) nao

Pg al a2

2

73

tem significado pois corresponde a mudanccedila de fase

2 CONTRACcedilAtildeO KO FLUXO DE UM FLUIDO

21 - Uma so fase raquo mdash

Aqui ocorre um fenocircmeno importante pois o fluido ao ser

contraiacutedo nao vai diretamente da area A^ para a area A 0 mas ele

contral-se ate uma area A^ e depois expande-se ate k^

Ao A2

Po IP 2

V 2

Figura 2

Fazendo o equiliacutebrio das pressotildees entre os planos (1)

(0) vem 2 2

pV pV p +~ plusmn - P + i deg bull 1 2 g o 2 g (b)

C x

Fazendo equiliacutebrio da expansatildeo (0) - (2) vem

P o + 2 - f = P 2 + 2 -T + kp- 2 F ( c )

c c b C

Subtraindo (b) - (c)

2 2 2

i p- vj i p- v2 L P l + 2 bull g c

P 2 + 2 2g c

+ k P 2g c

74

Como

P - P = mdash 2 2g

2 2

bull (1 + k) - f bdquo mdash i

k a - f2 ) 2 - d - o c )2

= o

A = a 21

Weisback obteve varias relaccedilotildees entre a e a i] c

01 02 03 a 0624 0632 0643 c

0624 0632

A r v i - V v 2

p -p 1 2

P -P 1 2 2g7

v l =

(1+k) - laquofi- a 2g 21 c

( 1 + k - o 2 1)

X[- V 2 o 2 1V 2

22 - Duas fases

0 valor de k pode ser aproximado para

k = a(l - o 2 1)

onde segundo Richardsons para fluxo de duas fases podemos supor

a = 02

Para fluxo homogeacuteneo sabemos que

75

p = p f (1 -a ) + p o a

podemos supor p bdquo a = 0 pois p e pequeno e fazendo

V = V ~ V fbdquo2 go2 v 2

Substituindo estas duas expressotildees na equaccedilatildeo de uma soacute fase vem

2 2 p V (l-ct) p V (1 -a ) bdquo

P l P 2 = 9g ( 1 + 3 - 3 0 ^ - 0 ^ ) = g (a+1) (l-a^)

Se a = 02

2 12p oV 0

p r p

2 - 9g gt d-) d-sigt

A compressatildeo de um fluido acarreta uma perda de pressatildeo

como pode ser verificado pelas formulas uma vez que lt 1deg

3 ANALISE HIDRODINAcircMICA DE UM CIRCUITO EM CIRCULACcedilAtildeO NATURAL

Esquema deacute uma caldeira com circulaccedilatildeo natural

76

Determinar a velocidade em (7) para que tenhamos circula

ccedilatildeo natural Determinar tambeacutem as perdas de pressatildeo em todos os

trechos da caldeira

31 - Contraccedilatildeo das secccedilotildees (1) - (2)

Como jaacute vimos a equaccedilatildeo do balanccedilo das pressotildees eacute

1 pr Vl 1 p 2 o V 2 P2 V2

1 2 g 2 + 2 g + K12 2g otilde c amp c e c

bullraquo 2 o2 2 e havendo uma soacute fase k 1 9 = (l-o ) = (1 mdash ) e sendo

C 2

p l = p2

v x lt lt lt v 2

P 2 V pr p2 bull ir2 bull ( 1 + k12gt

Colocando em termos de temos

A 2 V 2 P 2 = A 7 V 7 p 7 (continuidade)

V = V mdashbull = V o_bdquo ~ A 2 2 2

P 2 V - p 2

p r p 2 = ir2 - deg72 bull Ccedilrgt bull lt 1 + ki2gt

fazendo

N12 - lt^gt deg72 ( 1 + k12gt

P7 V7

Pr P2 - N12 bull HG

77

3 2 - Perda de carga no trecho ( 2 ) - ( 3 )

Como haacute apenas uma fase soacute temos perdas por atritos e

perdas hidrostaacuteticas

Sendo como jaacute vimos

2 3 p 2 2 g P 2 P 3 = f 2 3 (r~2g^~) L 2 3 g c p

atrito hidrostaacutetica

Substituindo V^ pela relaccedilatildeo do item anterior e tendo em

conta que p = vem

P -P = f 2 r 3 2 3 D

2 3 p 2 bdquo 2 2 p 7 2

2 g 7 72 p 2 3 g

Se

L 2 3 2 p 7

2 3 2 3 D 2 a 7 2 p 2

P 7 V 7 g P 2 - P 3 = N 2 3 ( mdash gt p 2 L 2 3 f

3 3 - Expansatildeo nas secccedilotildees ( 3 ) - ( 4 )

Como vimos o balanccedilo das pressotildees e

2 2 2 p V p 4 V p V

P 3 + 2 g c

P 4 + 2 g c

+ k 3 4 2 g c

onde

k 3 4 - - -

2 2 1 P 4 - V 4 P 3 v 3

P 3 P 4 = 2 g + ( k 3 4 _ 1 ) 2 g

78

Sendo

P 3 - P 4

p 3 o A 3 deg V 3 = P 7

a A 7 o V 7

P 4A 4 0V 4 = P r A r V

3 7 A 3 p 3

A7 P7 V = v mdash mdash 4 7 P 4

P - P 3 r4

Se

P bdquo - P

bdquo2 r-P 7 V 7

3 4 2g deg74 + ( k 3 4 1 ) deg73

34 p deg74 + ( k 3 4 1 ) 73

p r v2

P3- P4 ^ N34 ^ gt

(No caso e negativo)

34 - Contraccedilatildeo nas secccedilotildees (5) - (6)

Ainda temos uma so fase e fazendo o balanccedilo das pressotildees

como fizemos no item 3lt1 vem

P + vil p + vi + k vi P 5 + 2gbdquo P6 + 2gbdquo + k56 2gbdquo

k 5 6 lt 1 ^ gt 2 ( 1 - Iacute 2 i 2 6

V V6 P5degIacute 5^6 ^SS 2g c - 2g c

P - P ^ = (1+kJ

Como

79

A 6

W p 5 =

VV P6 V 5 = V 6 Jiexcl = Vff65

P 5-P 6 - lt H k 5 6 ) mdash ^ mdash (l+k 5 6-a 6 5) c c c

Sendo

Se

A 7 p 7 p 7

6 7 Ag p 6 7 76 p 6

p _p _ P6- V7- g76 iquest72 ( _ 02 P 5 P 6 2g c bull ( p 6

( 1 + k 5 6 deg65 )

p 7 2 2 N56 = p ^ deg76 ( 1 + k 5 6 ~ a 6 5 )

P 7 V 2

7

P r-P = N r 5 6 56 2g c i

35 - Perdas de pressatildeo nas zonas (6) - (7) - Pre^aquecimento

Nesta regiatildeo temos perdas por atrito e hidrostaacuteticas

Nao haacute perda por aceleraccedilatildeo pois ainda natildeo houve formaccedilatildeo de boshy

lhas

Fazendo balanccedilo das pressotildees temos

L_ ppound-V p = p + otilde L - pound _ + f -Si (-21mdashL 6 7 + p67 L67 g + t 6 7 D K 2g

p _ e ifn sao tomados como valores meacutedios 67 67

P _p _ f hl ^67jIacute uuml + - L A

6 F 7 r67 D 2g P P67 L67 g 6 s c 7 c

S e Kr pound67 L67 p67 6 7 D 6 p7

p7 V - _g_ P6- P7 - N67 mdash + P67 L67 f

c c

80

36 - Perda de pressatildeo nas zonas (7) - (8) - Zona de ebuliccedilatildeo

Nesta regiatildeo j aacute temos o aparecimento de bolhas logo a

perda de pressatildeo seraacute devida agraves t recircs parcelas aceleraccedilatildeo a t r i t o

das duas fases liacutequidas + vapor e h idros taacute t ica

onde

Assim

P-P Q = AP + AP + APbdquo 7 8 a t r i t o acel H

T M1

78 p 7 7 AP - R f- - mdash mdashr |R = fator mult ipl ica-

a t r i t o 7 D 7 2 g c L tivo

G 2

AP bull r mdash acel g c

P V

|_1 - o a p J 8 P f

2 t r 2 M2

7 7 r 7 7 A P a c e l = -J^mdash 2 r bull p 7 lt T iexcl iexcl - )

A PH p 7 8 L 7 8 fiexcl

p 7 8 iacute 7 li 1 0 0 P l i q + a P v ] d L = P 7 ( 1 - laquo 7 8 )

ag raquo fraccedilatildeo de vazio media entre 7 e 8

APH = p (1 - 5 7 g ) f- L 7 8

2 2

P 7 - P 8 a 5 - 2 T i + 2 r p 7 + P 7 ( 1 - 7 8 gt f L 7 8 7 amp c amp c amp c

81

N 7g = R mdash + 2 r p 7

P7 V7 P7- P8 = N78 + P 7 ( 1 5 7 8 gt J78

37 - Expansatildeo nas secccedilotildees 8 e 9

No caso haacute uma expansatildeo com duas fases e como vimos no

item 12 a variaccedilatildeo de pressatildeo era dada por

0f Vo P2 P1 = ~2g c ( 2 deg12

x 2 (mdash)(mdash - mdash ) + ( l - x ) 2 ^ T mdash 8 1 2 1

12

Aplicando ao nosso caso

P pound = P 7

P -P = 8 9

V - V raquo V g f 7

P 7 V 2

2 pf 1 a89 2 1 g89 x (mdash) ( ) + (1-x) (- - N

o ou abdquo 1-cu l-ot_) g 8 9 8 9

Se

N 89

= 2 a 89

2 pf 1 deg89 2 1 CT89 x (mdash) ( ) + (1-x) ( T

g 8 9 8 9

P -P = 8 9

- N P7deg V7

89 2gbdquo

38 - Perda de pressatildeo no trecho 9 e 10

No referido trecho temos apenas perda de pressatildeo por atr L

to da fase liacutequido + vapor e perda hidrostaacutetica Natildeo haacute perda por

aceleraccedilatildeo do vapor pois este natildeo recebe mais calor e portanto

o 82 o

nao ha variaccedilatildeo no a

p

Q -p i n = A P

U + A P bull 9 10 H atrito

n T -S_ P9 U10 deg 910 bull g

fio r

910 I 910

J9 L

(l- a)P + Q P I dL liq v

(l-a0) p

No caso a = (nao hatilde variaccedilatildeo de forma)

A P H - (1-a ) P (p L 0

c

AP bdquo = R o

atrito

2 f9 o L910 P9 V9

2g

Supondo

= V

P 9 = P 8 P 7

vbdquo = v 9 8 0 A r

= V 7 bull deg89

AP - R atrito

2 2

W l O p7deg V7deg g89

V P10 R -^T^ bull deg89 bull li-2 + ( W P 7 (fgt SIO

y c c

Se

- f9 L910 2 N9ol0 R Dl deg89

w 2

p rv P9 P10 = VlO + ( 1 a 9 ) p7 (f gt L910 c

33

39 - Perda ciacutee pressatildeo na expansatildeo 9 - 1 0

Analogamente a expansatildeo 8 - 9 temos

10 11 P 7 2g

10 Iacute 2 0 1 0 - 1 1 gt

2 ff

pg aio

10-11

laquo11 ) +

Ll-a 1 0 bull l-a u J

Se

V10 = V 9 = V 8 bull T9 = V 7 deg89

P -P 10 rll = - a 2g 089 ^lO-ll

4 bull T~ bull (7 1 mdash ) + Pg degio a n

+ (l-x)2(- 1 10-11

1 - aio )

N10-ll = 2 a10-ll a89 2 pf t 1 10-11 N2

-(j-r- - ) bull+ (1-x) pg aio deg 1

10-11 k l - a io

prz P10 Pll = - N10-ll bull ( 2gbdquo

310 - Calculo de V

Fazendo a somatoacuteria de todas as expressotildees (P^-Pj) tere-

84

mos 2 PbdquoV_

P bdquo - P bdquo = N 7 v 7

1 2 12 2g

bull 2 - P 3 - = N 2 3 P 2 L 2 3 f c ccedil

9 P 7 V 7 P _p = N mdash -

3 4 34 deg 2g

V P 5 = deg

2 P V

5 6 56 2 g c

ltr2

P 7 -V 6 e7 -N67 2g + p 6 7 J j67 g

c bc v 2

P 7 - P 8 = N 7 8 - 2 i ~ + p 7 ( 1 - laquo 7 8 ) L 7 8 c

P 7 V 7

P - P - -N mdash - -8 9 89 2g

c P 7 V 7

P 9 ~ P 1 0 VlO 2g + ( 1 a 9 P 7 L 9 c

P 7 V 7

bull10 11 U10-ll 2g

P v iacute j P - P

1 11

7 - v 7 3 bull r

2 8 i U L 2 23 67

(l-5 7 8) L 7 8 + ( l - laquo 9 ) P 7 bull SlOtilde]- ^

Por ou t ro lado sabemos que como secccedilotildees 1

mesmo n iacute v e l

85

s c p r v 7 j

28 Z N i ij

= P 2 L23 p67 L67 P 7 ( 1~deg78 )

78 ~ ^g) bull P 7 bull L 910 g_

V - 2 g ( p r L 2 3 - p 6 r L 6 7 - p 7 ( l - atilde 7 8 ) L 7 8 - (l-a9) p L 9 a ( )

y N

Com esse valor de podemos determinar todas as variashy

ccedilotildees de pressatildeo (P^-P )

BIBLIOGRAFIA

- WoR Gambill - Notas de aula dos seminaacuterios realizados no Insshy

tituto de Energia Atocircmica de Sao Paulo em 1966 (roteiro)

- WR Gambill - Nuclear Safety

Vol 9 - n9 5 e 6

Vol 6 - n 2 (pag 152)

Vol 4 -r n9 1 (pag 30)

Volbdquo 5 - n 2 (pag 151)

- WRo Gambill - Chemical Eng Prog ndeg 54 (Outubro)

~ El Wakil - Nuclear Power

- Jakob Max - Heat Transfer (vol I)

Mc Adams - Heat Transmission

- Paul A Lottes - Argonne National Laboratory

- AKL - 6469

- ANL - 6561

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Frank Kreith - Principles of Heat Transfer

Journeacutees Internationales de la transmission de la chaleur

Seminaacuterios realizados em Paris em 1961 sob a supervisatildeo do

Prof Marcel Veron

Notas de aula da Cadeira de Termodinacircmica I e Transmissatildeo da

Escola Politeacutecnica da Universidade de Sao Paulo

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42

c ^ = calor especiacutefico do liacutequido

= calor latente de vaporizaccedilatildeo

124 - Burnout com convecccedilao forccedilada e ebuliccedilatildeo por bocirc-

Ihas

Gambill fez uma extensatildeo da equaccedilatildeo de Levy e aplicou o

metqdo da superposiccedilatildeo Tal extensatildeo consiste natilde subtraccedilatildeo de uma

razatildeo equivalente de massa transferida dos termos que represenshy

tam a ebuliccedilatildeo e convecccedilao para levar em conta a presenccedila do vashy

por no fluxo

A correlaccedilatildeo pode ser escrita assim

24 V P V

o g c a (p^Py) 14

+ 0696 (k p c ) 12

(

pr p v )i4 o g c a (P-L-Py) 18

bull At + h sub nb

044 p v L v G (g1) bull N2 n

p l P V

( pr p v ) d e 2-7

2 4 TT 0

14 ( f e _ ^ r l 3

lO^u

onde

k = condutividade teacutermica

c = calor especiacutefico

A t s u b ~ s ub-resfriamento do liacutequido

h = coeficiente de transferecircncia de calor de nao ebu nb mdash

liccedilatildeo

G = descarga total do refrigerante

43

d g = diacircmetro equivalente do tubo ou canalraquo

]i = viscosidade

B = constante adimensional

Os iacutendices V e 1 representam vapor e liacutequido respectiva

mente

0 primeiro termo entre chaves da equaccedilatildeo representa o flu

xo de calor no burnout de sub-resfriamento em convecccedilao forccedilada 0

segundo termo entre chaves corresponde ao fluxo de calor transferi^

do para a massa da fase vapor

1-25 - Burnout por Bloqueio da Base

Ocorre quando a profundidade do recipiente eacute muito maior

que a largura 0 bloqueio da base eacute causado pela formaccedilatildeo de uma pe_

licula de vapor na base impedindo que o liacutequido toque o fundo do

recipiente

i De

Este eacute o burnout por flooding isto eacute burnout por expul

sao do liacutequido Uma equaccedilatildeo que nos dacirc o fluxo minimo do burnout

parao caso eacute

44

onde

D g = diacircmetro equivalente

L = comprimento do tubo

= calor de vaporizaccedilatildeo

p^Py Ap = densidade do liacutequido do vapor e diferenccedila en

tre ambos

Para um fluxo de calor maior ou igual ao dado pela expres_

sao acima (mantida a mesma geometria) teremos burnout Para um deshy

terminado fluxo existiratildeo sempre um comprimento L e um diacircmetro equi

valente D e para os quais temos burnout Exemplo

L (in) D e(in)

10 11

100 51

1000 235

2 RESULTADOS ESPECIacuteFICOS - FOacuteRMULAS PARA CAacuteLCULOS ESPECIacuteFICOS

21 - Diferenccedila de temperatura At i

13 a t

sat

At sat

poundatildeJL_ raquo t - t J p T T 6 w sat

onde

o laquo tensatildeo superficial entre liquido e vapor

t - temperatura de saturaccedilatildeo do liacutequido para a corres-Scl t

pondente pressatildeo

J equivalente mecacircnico do calor

X laquobull calor latente de vaporizaccedilatildeo

py = densidade do vapor

6 = espessura da camada de liacutequido superaquecido onde

45

k l

h nc

onde

k^ = condutividade teacutermica do liacutequido

h = coeficiente de peliacutecula nc r

Segundo Eckent h ^ c e dado por

P 2 Q

nc 3 V VP + 0952

r

onde

D = diacircmetro equivalente

G r = numero de Grashoff

P = nuacutemero de Pradtl

2 o 2 - Velocidade das bolhas

A velocidade das bolhas em meacutedia pode ser dada pela exshy

pressatildeo

V bdquo = Iacute ( a bull B Apl4 bolhas 5 ^ 2

p l onde

AP = P L - P v

Expressatildeo que vale quando a aceleraccedilatildeo eacute a da gravidade

baixa viscosidade do liacutequido e bolhas separadas

Vbolha = f t s e atilde m a x para aacutegua

2 bdquo3 - Diacircmetro das bolhas

2gc deg 12 D = 0015 3 ( mdash mdash 7 ~ ) d g Ap

5 =

46

onde

8 = acircngulo de contato (20 a 90deg) geralmente assume-O -1

-se igual a 50 para a agua em contato com metal

24 - Coeficiente de peliacutecula na ebuliccedilatildeo nucleada

a) Equaccedilatildeo de Rohsenow

Esta equaccedilatildeo nos datilde o fluxo de calor q na ebuliccedilatildeo nushy

cleadaraquo E oacutetima expressatildeo para muitos liacutequidos o efeito da presshy

satildeo eacute levado em conta na variaccedilatildeo das propriedadesraquo

Pf

fg

sat 17 = c

sg k y f h f g g( P f-p g)

n033

onae

Pf

fg

Pf Pg c sg

= fluxo de calor requerido (BTUhr0ft^)

= calor especiacutefico do liacutequido saturado (BTUlbm0F)

= calor latente de vaporizaccedilatildeo (BTULbm)

= nuacutemero de Prandtl

= viscosidade do liacutequido (lbrahrraquoft) ~ 8 2

= fator de conversatildeo 417 10 Ibmftlbflaquohr 2

= aceleraccedilatildeo da gravidade (fthr )

= tensatildeo superficial na interface liacutequida vapor

(lbfft) 3

densidade do liquido e vapor (lbmft )

constante adimensiacuteonal que depende de vaacuterios fashy

tores dentre os quais o grau de aquecimento en_

tre o fluido e a superfiacutecie de aquecimento e o

mais importanteraquo Independe da pressatildeo do sistema b) Equaccedilatildeo de Levy

Equaccedilatildeo valida para a aacutegua quando 100 lt p lt 2000 psiacutea

47

43 bdquo3

qu bdquo gat ^ T J h r t f t ^

495

25 - Calculo do fluxo de calor no Ponto de Leidenfrost

0 ponto de Leidenfrost como vimos eacute o ponto em que oflu

xo de calor comeccedila ncamente a crescer isto eacute o ponto onde termal

aa a ebuliccedilatildeo instaacutevel e comeccedila a ebuliccedilatildeo por peliacutecula estaacutevel Eacute

o chanado fluxo miacutenimo (egrave ) m m

Aproximadamente quando A t g u k = 0 temos

A _ mdash _ mdash (Gambill) m m 5

Ha entretanto varias expressotildees para determinar esse flu

xo eis uma delas

A p 14 ltjgt = 009 h pbdquo (o raquo g mdash ) y m m fg P V deg 2

p l

26 - caacutelculo do fluxo de calor na regiatildeo de ebuliccedilatildeo por peliacute

cuia estaacutevel

para cilindros jmdashi i li

_ D 0172 k-V - P V A p h l V bull S 14 li - = 062 (mdashmdash) (- j- r rmdash) convecccedilao A 0 ybdquo (t -t )

c V w sat

onde

= condutividade do vapor

- 2 TT ( mdash )

c gAp Vl = significam vapor e liacutequido respectivamente

para paredes verticais

L 0172 S deg7 A p bull hlV S q 4 h - - 080 (-^-)J- (-Iuml - Iacutemdash-convecccedilao X L u (t - t J)

c V w sat

48

Como nesta regiatildeo jaacute haacute nina influecircncia marcante da radia

ccedilao devemos levar en conta tambeacutem o coeficiente de peliacutecula de

vido a radiaccedilatildeo para determinar o coeficiente de peliacutecula total

Dos estudos atildea radiaccedilatildeo temos

h = a F pound(T 4 - T 4 J ( T ~ T ) rad w sat w sat

onde amp _ emissividade de superfiacutecie

a = constante de Stefan-Boltzman

F = fator de forma

Segundo WE Gambill o coeficiente de transmissatildeo total

ceve ser

3 iacutei = h + -7 h para h lt h t conv 4 rad r rad conv

Na expressatildeo acima existe o fator 34 porque a radiaccedilatildeo

faz variar um pouco a espessura do filme de vapor reduzindo asshy

sim o l l

conv

Quando tivermos h gt h gt o h^ ^ seraacute rad conv total

h f c = h + h t conv rad

Neste ultimo caso nao ha nenhum coeficiente porque a peshy

liacutecula de vapor jaacute eacute estaacutevel

27 - Grandezas caracteriacutesticas para a apua

Para pressatildeo igual a 1 atm = 1422 psia

At ^ = t - t = 5degC (iniacutecio da ebuliccedilatildeo nucleada) sat w sat 1

At t = 30degC sat crit

49

5 2 $ = 4 10 BTUhrft (para pressatildeo 1 atm)

0 fluxo critico cresce como vimos com a pressatildeo ate

atingir o maacuteximo quando a pressatildeo eacute aproximadamente 13 da pressatildeo

criacutetica Esse fluxo eacute

bull = 13 IO 6 BTUhrft 2 para p = 11000 psia (p pound = 32062 psia)

Ainda temos que para pressatildeo igual a 15 psia

h b o = 11000 BTUhrft degF - ebuliccedilatildeo nucleada

h f b = 30 BTUhrft 2 degF - ebuliccedilatildeo pelicular

Todos os resultados e formulas para caacutelculos especiacuteficos

apresentados nos itens 21 22 23 ateacute 27 sacirco aplicados somente

para sistemas onde haja ebuliccedilatildeo com grande quantidade de liquido

51

D - HIDRODINAcircMICA DOS SISTEMAS E QUEDA

DE PRESSAtildeO DENTRO DE UM CANAL

1 HIDRO-DINAcircMICA E QUEDA DE PRESSAtildeO

11 - Hidro-dinacircmica dos sistemas estaacuteveis

111 - Regimes de escoamento

A evoluccedilatildeo do escoamento ao longo de um canal aquecedor

de secccedilatildeo constante ciliacutendrico pode ser esquematizada pela figushy

ra 1 onde temos em abcissa o comprimento z do canal e em ordenada

a temperatura (T)

52

Na figura 1 nos representamos

a) 0 aspecto do escoamento fluido quando a entalpia do

- fluido aumenta Verificamos que o fluido entra no cashy

nal no estado liacutequido e assim permanece ateacute atingirmos a zona de

ebuliccedilatildeo local onde aparecem as primeiras bolhas A entalpia do

fluido continua aumentando e tem inicioa ebuliccedilatildeo franccedila onde as

bolhas se unem formando agregados posteriormente o escoamento to

ma a forma da figura ou seja torna-se anular disperso Finalmente

atingimos duas uacuteltimas fases do escoamento disperso (vapor uacutemido)

e vapor seco

b) A evoluccedilatildeo da temperatura meacutedia do fluido e da tempeshy

ratura da parede Note-se que a partir da cota a

temperatura da parede aumenta brutalmente podendo causar o

burnout

c) A evoluccedilatildeo do tiacutetulo do vapor (x) com o comprimento

do tubo e a evoluccedilatildeo da fraccedilatildeo (a) que definiremos no

item 11laquo2 com o comprimento do tubo

112 - Definiccedilotildees

a) Tiacutetulo ou qualidade do vapor (x)

massa de vapor na mistura x ~ massa total da mistura

x =

W _g_

g f

b) Fraccedilatildeo vazio (void fraction)

volume do vapor na mistura a = volume total da mistura (agua+vapor)

A relaccedilatildeo entre x e a num sistema parado pode ser obtida

assumindo um certo volume contendo 1 lbm de mistura em equiliacutebrio

teacutermicoraquo

53

O volume da mistura seraacute igual a (v + xv ) ft onde v eacute 3 r rg

o volume especifico (lbmft )

f - refere-se ao liquido

g - refere-se ao vapor

fg - refere-se a diferenccedila entre liacutequido e vapor

Numa mistura em equiliacutebrio se o liacutequido e o vapor estatildeo

saturados o volume do vapor presente eacute igual acirc sua massa vezes

seu volume especiacutefico v assim e

xv bdquo bdquo a mdash

V c + XV c

f gf

onde

- bull-bull uumlutiacuteisa vapor na mistura de 1 Ibm

v volume especiacutefico do liacutequido

v = volume especiacutefico do vapor o

V c = v - V

gf 8 r

Fazendo uma transformaccedilatildeo na expressatildeo acima temos

xv xv JS = Z-

v r+ x(v -v c) xv +(l-x)v t ri f g f g f 1 + Ul-x)xjv fv

1 + C(l-x)x]]vfvg

A fraccedilatildeo vazia tem a influencia de baixar a reatividade

do nuacutecleo nos reatores em que o refrigerante eacute tambeacutem moderador

Na equaccedilatildeo acima os valores de x e v sao tomados em tabe

las termodinacircmicas apropriadas para a pressatildeo do sistema A equashy

ccedilatildeo (1) mostra os grandes valores de a para pequenos valores de x

especialmente para baixas pressotildees Isto ocorre porqueaumentando

54

aacute pressatildeo o v decresce muito enquanto que o v f eacute mais ou menos da

mesma ordem de grandeza

Exemplo Calcular o a correspondente para x raquo 2 para aacutegua

leve atilde pressatildeo atmosfeacuterica

Da tabela para p laquobull 1 atm

v - 001672 ft 3lbm e v - 26800 ft 3lbm

1 + [(1-002)002] 001672268

0971 ou 97U

O grafico abaixo mostra a variaccedilatildeo do a com x para vaacuterias

pressotildees e para a aacutegua leve

x ()

tObservaccedilotildees da curva

Fig 2

1 - para x constante a decresce com a pressatildeo Para presshy

sotildees proacuteximas da criacutetica a aproxima-se rapidamente de

x Para a pressatildeo criacutetica as duas fases satildeo indistinguiacuteveis ea=x

2 - para cada pressatildeo dotdx decresce com aumento de x

3 - para baixos valores de x (que e o caso dos reatores

tipo Boiling) quando p decresce dadx cresce e torr

na-se muito grande paacutera baixas pressotildees Isto tem relaccedilatildeo com a epound

55

tabilidade do reator como veremos mais tarde

113 - Sistemas com fluxo

Todas as definiccedilotildees que noacutes vimos no item anterior refeshy

rem-se acirc sistemas em que a mistura esta fechada no recipiente Nes^

te caso natildeo havia movimento relativo entre as duas fases No entan

to se as duas fases da mistura se movem na direccedilatildeo vertical em

canais entre os elementos combustiacuteveis o vapor por causa de sua

flutuaccedilatildeo tem a tendecircncia de escorregar sobre o liacutequido isto e

move-se com velocidade maior do que a do liacutequido

Real Modelo

Pig 3

S -

Define-se neste caso a relaccedilatildeo de escorregamento (slip

ratio) (S) como sendo

V _i

V f

onde

V = velocidade do vapor

= velocidade do liquido

S modifica as relaccedilotildees entre a e x do item anterior S geralmen_

te gt 1 Define-se neste caso qualidade do vapor ou tiacutetulo como

sendo

_ fluxo de massa de vapor

fluxo de massa da mistura

Entatildeo se o fluxo de massa da mistura eacute m t(lbmhr) o flushy

xo de vapor seraacute = x m e o fluxo de liacutequido sera (1-x) m onde x

56

e o titulo do vapor para a particular secccedilatildeo (AL) da figura (3)

Devemos notar que neste caso x varia de secccedilatildeo para secshy

ccedilatildeo do tubo o exposto no paraacutegrafo acima vale considerando-se que

x e a permaneceram constantes na secccedilatildeo de espessura AL

Aplicando a equaccedilatildeo da continuidade as velocidades do va

por e liacutequido sao dadas por

o xm v

V vazatildeo = g g area A

V

(1-x) amp t v f

f A f

onde A e A f sao as aacutereas medias perpendiculares ao fluxo se as

duas fases sao imaginadas completamente separadas uma da outra

(figura 3) Assim temos

V x m v o A_ A v 0 ^ - 2 = iacute S t m _2L- JL JS m

V A (l-x)ui v 1-x A v U

f g t f g f

Sabemos ainda que para a secccedilatildeo considerada

volume do vapor na mistura a = volume total da mistura (agua+vapor)

A AL A pound g g

a = mdash a a = - mdash 1

(A+A )AL A f + g

A ou f _ 1 - a

A a 8

Substituindo em (2) vem

57

Esta expressatildeo pode ser rearranjada e obteremos uma relashy

ccedilatildeo entre x e a levando em conta o escorregamento Chega-se a

a = 1 ( 3 )

1+ [U-x)x3 igt

onde

v 4 laquo -- S

v lty o

Note-se que quando S=l (nao haacute escorregamento) caimos na

expressatildeo dada no item anterior

0 efeito do escorregamento eacute decrescer o valor de a pa_

ra um mesmo xbdquo Isto pode ser visto pela foacutermula (3) pois S gt lLo

go a decresce com acreacutescimo de S

Um alto S e entatildeo uma vantagem tanto para a transferecircnshy

cia de calor como para efeitos de moderaccedilatildeo Eacute uma vantagem para

transferecircncia de calor porque alto S significa alto V e portanto

maior turbulecircncia e maior contato do liquido com as paredes quenshy

tes Ha tambeacutem melhorias na estabilidade da reaccedilatildeo nuclear isto

porque como jaacute dissemos quando mdash7 diminui a estabilidade aumenshy

ta isso pode ser verificado observando a curva a versus x para a

agua leve a 1000 psiabdquo

Fig 4

58

A relaccedilatildeo entre x e a da equaccedilatildeo (3) so vale para secccedilatildeo

de tubo bem pequena

Devemos notar que S varia tambeacutem com a pressatildeo e velocida^

de de entrada do liacutequido no tubo Este efeito pode ser observado na

figura 5 abaxxo obtida esperimentalmente

s

3

~^ ~ psig

x = 001

V 1

Fig 5

Nos projetos de reatores como veremos adiante o valor a

geralmente eacute determinado por consideraccedilotildees nucleares (moderaccedilatildeo) 0

valor de S eacute determinado atraveacutes de uma estimativa ou entatildeo atrashy

veacutes de um graacutefico do tipo da figura 5 0 correspondente valor de x

pode ser obtido de uma foacutermula empiacuterica do tipo

1 = 1 (-S)0gt67

proposta por Von Glahn

Em muitos casos assume-se S constante em todo o comprimeiv

to do canal poreacutem eacute um erro que em muitos casos nao pode ser coshy

metido

4 REATORES EM QUE 0 LIacuteQUIDO B MODERADOR E CIRCUITO PRIMAacuteRIO AO

MESMO TEMPO BOILING-REACTOR (BWR)

A aacutegua ao se movimentar atraveacutes dos vaacuterios canais do

59

Boiling-reactor encontra vaacuterias resistecircncias ao fluxo que provoshy

cam uma reduccedilatildeo de pressatildeo no fluido

As duas perdas mais importantes sao perda de pressatildeo por

atrito e perda de pressatildeo causada pela aceleraccedilatildeo do refrigerante

ao aumentar de volume por receber calor num canal Outras perdas

de pressatildeo seriam a obstruccedilatildeo ao fluxo por corpos submersos (espa_

ccediladores juntas de tubos chaves etc) e por mudanccedilas abruptas de

aacuterea de fluxo tanto na entrada como na saiacuteda do tubo

Essas perdas de pressatildeo devem ser conhecidas o melhor popound

sivel principalmente nos reatores BWR Para tanto devemos saber

o comprimento de canal em que nao ha a ebuliccedilatildeo isto eacute qual o com

primento de canal em que o refrigerante vai da temperatura de sub-

resfriamento ate temperatura de saturaccedilatildeo

Seja o elemento combustiacutevel

Aquecimento Uniforme Aquecimento Senoidal

Fig 6 Fig 7

onde

H =

H = o

H b

comprimento do elemento combustiacutevel

cota onde o liquido se torna saturado

comprimento do elemento combustiacutevel em que ocorre

ebuliccedilatildeo

60

qg = calor sensiacutevel acrescentado ao liquido para satushy

raacute-lo

qfc = calor total acrescentado ao liacutequido em todo o com

primento do canal

laquoo

q s J o qiquest sen (IIzH) n H o

T~ = TH = 2 ( 1 c o s gt ( a )

q 1 sen (HzH) Jo ^c

A expressatildeo (a) vale quando tivermos uma adiccedilatildeo de calor

senoidal para qualquer outra forma de adiccedilatildeo de calor faz-se um

caacutelculo anaacutelogo

Outra relaccedilatildeo entre q g e qfc eacute dada pela termodinacircmica

q h- - h s f m (b)

(hr +x h )-hm ^t f e fg

onde

= entalpia para o liquido saturado a pressatildeo correjs

pondente (cota z = Ho)

hffi = entalpia do liacutequido na entrada do canal

x = tiacutetulo do vapor na saiacuteda

= entalpia do vapor

Com a relaccedilatildeo (b) noacutes determinamos a relaccedilatildeo q q ecom

S L

uma relaccedilatildeo do tipo (a) (conforme seja o adicionamento de calor ao

liacutequido) podemos obter a relaccedilatildeo HoH e consequentemente H^H

21 - Perda de pressatildeo num canal de evaporaccedilatildeo

Neste item iremos determinar as perdas de pressatildeo mais

representativas que ocorrem num canal de evaporaccedilatildeo de um reator

P + dP

bull1 i- 1 gti i i

dL

onde

UM

Icirc H Icirc Icirc T dF f t f

61

Quantidade de Mov na Entrada

= i- rigVg)

dF f l

Fig 8

m i

m 8

V l V 8

A P

dF

dF

dF

fg

fl

ftf

descarga do liacutequido

descarga do vapor

velocidade do liquido

velocidade do vapor

aacuterea transversal do canal

forccedila de atrito do vapor com parede

forccedila de atrito do liacutequido com parede

forccedila de atrito das duas fases liacutequido+vapor

Fazendo o balanccedilo das forccedilas considerando o sentido posjL

tivo na vertical temos

A (P-P-dP)-(dF +dF _+dF _)-(-pound-) (p A+p A )dL = mdash dGnV+m V ) P fg ftf fl g c 1 1 g g g c

v 1 1 g g 7

- dP = ~ (dF +dF--+dF)+- S--7=- (p A+p A )dL+ mdash ~ - d (m-V+m V ) A_ fg ftf fl g c Ap v^l 1 g g g A 11 g g

Fazendo a integraccedilatildeo termo a termo entre os dois extreshy

mos entrada e saiacuteda e considerando a pressatildeo de entrada igual a

P q e a de saiacuteda igual a Pe vem

Quantidade de Mov na Saiacuteda

-= h I- lY l+ A g V g + d ( aacute l V l + aacuteeVl

Forccedila de Gravidade

= ( g f - N P A + P g V

62

b) r e F f l

o p dp^ = Ap^ = perda de pressatildeo por atrito

do liacutequido na altura Ho

Aplicando a formula de Darcy vem

bull API = f bull ir bull ^ iexcl 7

onde

f = fator de atrito

c) e Fftf

o p ^P tpound

= perda de pressao por atrito da mistura

liquido + vapor no trecho de comprimen

to Hbdquo o

Para determinar esta perda de pressao define-se o fator

de multiplicaccedilatildeo R

A P R =

tf A P 1B

Sendo A p ^ a perda de pressao se o comprimento todo fosshy

se ocupado somente pelo liquido assim

A p t f = R A P 1 B

0 calculo de Ap-^ pode ser feito pela formula de Darcy e

o de R nos veremos no item seguinte

63

d)

-e F

d ( ^ )

O P

Ap = perda de pressatildeo por atrito do vapor

No caso do reator BWR o titulo de saida e bera pequeno e

em nenhum caso ocorre a saida de vapor com x = 100 logo a perda

de pressatildeo por atrito do vapor eacute nula assim

An = 0 5

e) Ap

(p A 1 + p A ) dL = Ap - perda de pressatildeo dpound

vida ao desniacutevel

(perda hidrostaacutetica)

Anbdquo = re A A

-S- I (p + p -S ) dL H s 1 A

c o p o A

como A A Jl_ =

A P

A +A-g 1

1-a -

temos

C Q

te j jll-a)p1 + apg)^jdL = p Lo pound

onde

e jo u

+ ap ) ~I dL (Densidade media 1 S J

no tubo)

No nosso caso

Ap u = p H

f)

re d(mV + m V ) _ mdash - laquo -i bull s iquestp laquos p e r d a ltje pressatildeo devido a acele-

c p raccedilatildeo do vapor

V A

(1-x) tl^Vj

(1-a) A

X V

aA

A p -

roV + m V

c p c p L_

m (l-x)m_v m xv nbdquo -1 T 1

+ _S S I (1-a) Ap aA

P

2 g A c p

n 2 2

(1-x) m T

laquo2 8 A c p

2 2 (l-xe) raTv1

2 2 2 xm_v (1-x) m-v e T s o 1 1

a 1 - a

2 2 - x m_v o T g

a

se

X Q 0 (so ha agua nesse trecho)

a = 0 o

temos

mbdquo Ap =

1 a A 2

S A degc p laquo-

tt-V v i 1 - a

2 via T^r - v i

t Apc

2

V v l

5c Ap

1 - a

x v - 1

a e v l

65

Fazendo

G = fluxo total da massa por unidade de area do

canal

(1-x J e

V

AP r

Assim a perda de pressatildeo total sera

H p V II pV r2 P -P = f -24-Iuml+ f R+p 0 1 2g c D e 2g c g c g c

2c2 - Determinaccedilatildeo do fator de multiplicaccedilatildeo (R)

221 - Relaccedilatildeo Martinelli-Nelson

Os autores Martinelli-Nelson determinaram experimental -

te esse fator R para varias LIT1L em funccedilatildeo da pressatildeo e da r NB total J v

qualidade de saiacuteda do vapor no canal Construiacuteram assim vaacuterias

curvas do tipo da figura 9

66

E importante notar que a qualidade do vapor (x) na saiacuteshy

da nao deve ser grande pois como vemos o valor de R cresce muishy

to com um aumento pequeno de x e um valor de R muito grande acar_

reta uma perda de pressatildeo grande pois

^ d u a s fases R ^ f a s e liacutequida

Para resolvermos um problema seguindo o criteacuterio de bdquo

Martinelli escolhemos a curva R = f(px) (para a relaccedilatildeo L

N g ^ j

adequado) e tiramos R com os valores de pressatildeo p e tiacutetulo x

As curvas R = f (p x L T t )IO encontram-se nos ANL 6469 bio I

e 6561

222 - Relaccedilatildeo Lottes-Flinn

Estes autores estudaram o problema para o aquecimento uni

forme do refrigerante com baixo titule Lottes-Flinn fizeram inuacuteshy

meras experiecircncias e verificaram que para fluxo de calor uniforshy

me e baixos titulos R era independente do fluxo de calor fluxo

do refrigerante escorregamento e apenas funccedilatildeo de a g

Como a quantidade de liacutequido eacute muito maior que a de vashy

por a perda de pressatildeo daacute-se principalmente pelo atrito do liacuteshy

quido com a parede Podemos assim escrever a foacutermula de Darcy

na forma diferencial

dz

d = f __ r e amp c

onde

V = velocidade do liquido saturado na cota zbdquo X

f = coeficiente atrito

= densidade do liacutequido saturado

Teoricamente a queda de pressatildeo deve-se ao acreacutescimo de

67

velocidade do liacutequido e da diminuiccedilatildeo da aacuterea de fluxo do liacutequi

do

P fH A P t p

= f D 2g Ho

d z

fazendo

V lo

m V t lo

(velocidade do liacutequido na cota z = Ho)

(1-x) m t v 1

(1-a) A (velocidade do liacutequido na cota z gt Ho)

a bull+ fraccedilatildeo vazio na cota z geneacuterica

V 1 (1-x) m t v 1

m t V l 1 - a

x =s 0 pois o tiacutetulo eacute baixo

A p t f = f bull JT5 c e

fH V lo

H o (1-a) dz

Para fazer a integral devemos achar a relaccedilatildeo de variaccedilatildeo

entre a e z Como o fluxo de calor eacute uniforme a qualidade eacute direshy

tamente proporcional a z

bull laquo x = x e H

z = mdash x X e

Sabemos ainda que (item 113)

x

1 + [ ( I -X)AKQ x + iiacuteraquo

68

como

temos

(1-x) = 1

v

X =

z =

1-a

1 -a

1-a e

a

e

1-a pound

a

1 -a igt (assumindo S = cte)

da

Atf - f bull 2 i ^ ~ J c e o

a 1 - a e e 1 s 4 hmdash) da

a 1-a

f P lv^ Q

0 termo mdash - mdash e a parte de perda de pressatildeo pelo lj^

^c e -quido ou seja Ap liquido saturado e como

Ap

R = tf

Ap liauido saturado

temos que

R J

f ae 1 _ a e 1 4

a 1 -a o e

1 -a r-R =

3 1 -a

a 1 -a imdash

3 vl - a 3

e e

Os valores de R obtidos por esta expressatildeo aproximam-se

muito dos valores obtidos pelos aacutebacos de Martinelli

69

E - EXPANSAtildeO E COMPRESSAtildeO DE UM FLUIDO - ANAacuteLISE HIDRODINAcircMICA

DE UM CIRCUITO EM CIRCULACcedilAtildeO NATURAL

1 EXPANSAtildeO NO FLUXO DE UM FLUIDO

11 - Uma so fase

Figura 1

Ha vaacuterios meacutetodos para determinar a variaccedilatildeo de pressatildeo

numa expansatildeo de fluido estudaremos o de Romie que eacute o que daacute

maior precisatildeo

Romie considera que a pressatildeo p^ tambeacutem atua na aacuterea

imediatamente apos a expansatildeo Assim fazendo o equiliacutebrio das foi

ccedilas nas secccedilotildees tracejadas da figura 1 temos

mVj

p r A 2 + mdash

mV

bull 2- A2

mas

m = pV^A^

pV^A = p V 2 bdquo A 2

V A

v 2 -4r-logo

( P l-P 2) A 2 = f ( V ^ ) - f _ v j amp c c 2

70

2 pV A A pV A A

Chamando A l A ]

K = 1 - T e degi2 = Aiexcl bull V E M

pvj

P l P 2 = T ~ bull ( 2 deg 1 2 ) ( 1 _ a 1 2 )

Outra maneira de chegar atilde diferenccedila de pressatildeo ( P j - ^ ) s mdash

ria usar o coeficiente de perda da mecacircnica dos fluidos Assim o

equilibrio das pressotildees eacute

2 2

1 V l 1 V 2 V l P i + _ p _ ^ P 2 + I p ~ + k 1 2 p mdash

onde = coeficiente de perda

A 2 1 2

k 1 2 - (l-o 1 2) - (1 - j- )

Fazendo as transformaccedilotildees chegamos a mesma expressatildeo obshy

tida pelo balanccedilo das forccedilas

PraquoIacute pr p

2 - - ir ^ laquo-ia

12 - Duas fases

Como ha duas fases a equaccedilatildeo do balanccedilo das forccedilas fica

um pouco alterada

m pound 1 V- m - raquoV - m-V- m bdquoV _ P A + j y ^ i + _gl_JUuml P A + -11-11 + -ilsl (a)

1 2 e R 2 2 ff e

Sabendo que

71

m (1-x) m t = p fA (1-a) V f

entatildeo

fl l-o^ p fA x

6 Vf2 1-x l-a2 P fA 2

m V = mdash mdash e V 0 = gl a 1 P C T A 1 g2

m

a_ p h

2 g 2

Nas expressotildees anteriores o x nao varia porque a expansatildeo

5 adiabaacutetica porem o a varia devido a modificaccedilatildeo do tamanho da

bolha

Substituindo os valores das velocidades na expressatildeo (a)

vera

( P - P ) Abdquo =

2

2 2 m gt2 2 m t (1-x) 1 x t

ra i 2 m i 1 x t 1

p fA 1 g c ttl p Ax gpound

m t P - P = mdash

(1-x) (l-a 1)A 1A 2 (l-a2)A|

a r A r A 2

V A 2

m t P bdquo - P = mdash 2 1 g c A r A 2 p f

(1-x) 1-a f A 2(l-a 2)

bull ^ 2

72

Se

P -P

a

m

g

12

1 _1_ (1-x)

J12

1 _ a l 1 - a 2 + X (- )

Pg

1 deg12 a 2 ^

Sabemos que

mt = V o pf laquo A l

Sendo V q = velocidade do liquido num ponto onde natildeo haja vapor

P 2-P 1

u 2 2 A 2

V pr Ai

V W p f

(1-x) 12

l-a1 l-a2

+ X 2 pf

mdash

l deg12

-1 a 2 _

p -p r 2 Al (2a 1 2)

2 M f w 1 deg12 X (mdash) (

pg al a 2 )+(l-x)C l 1 12

1-a^ l-a2

Devemos notar que esta expressatildeo tambeacutem vale para quando

temos uma fase para isso basta fazer

= c t 2 = 0

X = 0

e recairemos na formula do item anterior

2 pf 1 deg12 Observemos que neste caso o termo x (mdash)( ) nao

Pg al a2

2

73

tem significado pois corresponde a mudanccedila de fase

2 CONTRACcedilAtildeO KO FLUXO DE UM FLUIDO

21 - Uma so fase raquo mdash

Aqui ocorre um fenocircmeno importante pois o fluido ao ser

contraiacutedo nao vai diretamente da area A^ para a area A 0 mas ele

contral-se ate uma area A^ e depois expande-se ate k^

Ao A2

Po IP 2

V 2

Figura 2

Fazendo o equiliacutebrio das pressotildees entre os planos (1)

(0) vem 2 2

pV pV p +~ plusmn - P + i deg bull 1 2 g o 2 g (b)

C x

Fazendo equiliacutebrio da expansatildeo (0) - (2) vem

P o + 2 - f = P 2 + 2 -T + kp- 2 F ( c )

c c b C

Subtraindo (b) - (c)

2 2 2

i p- vj i p- v2 L P l + 2 bull g c

P 2 + 2 2g c

+ k P 2g c

74

Como

P - P = mdash 2 2g

2 2

bull (1 + k) - f bdquo mdash i

k a - f2 ) 2 - d - o c )2

= o

A = a 21

Weisback obteve varias relaccedilotildees entre a e a i] c

01 02 03 a 0624 0632 0643 c

0624 0632

A r v i - V v 2

p -p 1 2

P -P 1 2 2g7

v l =

(1+k) - laquofi- a 2g 21 c

( 1 + k - o 2 1)

X[- V 2 o 2 1V 2

22 - Duas fases

0 valor de k pode ser aproximado para

k = a(l - o 2 1)

onde segundo Richardsons para fluxo de duas fases podemos supor

a = 02

Para fluxo homogeacuteneo sabemos que

75

p = p f (1 -a ) + p o a

podemos supor p bdquo a = 0 pois p e pequeno e fazendo

V = V ~ V fbdquo2 go2 v 2

Substituindo estas duas expressotildees na equaccedilatildeo de uma soacute fase vem

2 2 p V (l-ct) p V (1 -a ) bdquo

P l P 2 = 9g ( 1 + 3 - 3 0 ^ - 0 ^ ) = g (a+1) (l-a^)

Se a = 02

2 12p oV 0

p r p

2 - 9g gt d-) d-sigt

A compressatildeo de um fluido acarreta uma perda de pressatildeo

como pode ser verificado pelas formulas uma vez que lt 1deg

3 ANALISE HIDRODINAcircMICA DE UM CIRCUITO EM CIRCULACcedilAtildeO NATURAL

Esquema deacute uma caldeira com circulaccedilatildeo natural

76

Determinar a velocidade em (7) para que tenhamos circula

ccedilatildeo natural Determinar tambeacutem as perdas de pressatildeo em todos os

trechos da caldeira

31 - Contraccedilatildeo das secccedilotildees (1) - (2)

Como jaacute vimos a equaccedilatildeo do balanccedilo das pressotildees eacute

1 pr Vl 1 p 2 o V 2 P2 V2

1 2 g 2 + 2 g + K12 2g otilde c amp c e c

bullraquo 2 o2 2 e havendo uma soacute fase k 1 9 = (l-o ) = (1 mdash ) e sendo

C 2

p l = p2

v x lt lt lt v 2

P 2 V pr p2 bull ir2 bull ( 1 + k12gt

Colocando em termos de temos

A 2 V 2 P 2 = A 7 V 7 p 7 (continuidade)

V = V mdashbull = V o_bdquo ~ A 2 2 2

P 2 V - p 2

p r p 2 = ir2 - deg72 bull Ccedilrgt bull lt 1 + ki2gt

fazendo

N12 - lt^gt deg72 ( 1 + k12gt

P7 V7

Pr P2 - N12 bull HG

77

3 2 - Perda de carga no trecho ( 2 ) - ( 3 )

Como haacute apenas uma fase soacute temos perdas por atritos e

perdas hidrostaacuteticas

Sendo como jaacute vimos

2 3 p 2 2 g P 2 P 3 = f 2 3 (r~2g^~) L 2 3 g c p

atrito hidrostaacutetica

Substituindo V^ pela relaccedilatildeo do item anterior e tendo em

conta que p = vem

P -P = f 2 r 3 2 3 D

2 3 p 2 bdquo 2 2 p 7 2

2 g 7 72 p 2 3 g

Se

L 2 3 2 p 7

2 3 2 3 D 2 a 7 2 p 2

P 7 V 7 g P 2 - P 3 = N 2 3 ( mdash gt p 2 L 2 3 f

3 3 - Expansatildeo nas secccedilotildees ( 3 ) - ( 4 )

Como vimos o balanccedilo das pressotildees e

2 2 2 p V p 4 V p V

P 3 + 2 g c

P 4 + 2 g c

+ k 3 4 2 g c

onde

k 3 4 - - -

2 2 1 P 4 - V 4 P 3 v 3

P 3 P 4 = 2 g + ( k 3 4 _ 1 ) 2 g

78

Sendo

P 3 - P 4

p 3 o A 3 deg V 3 = P 7

a A 7 o V 7

P 4A 4 0V 4 = P r A r V

3 7 A 3 p 3

A7 P7 V = v mdash mdash 4 7 P 4

P - P 3 r4

Se

P bdquo - P

bdquo2 r-P 7 V 7

3 4 2g deg74 + ( k 3 4 1 ) deg73

34 p deg74 + ( k 3 4 1 ) 73

p r v2

P3- P4 ^ N34 ^ gt

(No caso e negativo)

34 - Contraccedilatildeo nas secccedilotildees (5) - (6)

Ainda temos uma so fase e fazendo o balanccedilo das pressotildees

como fizemos no item 3lt1 vem

P + vil p + vi + k vi P 5 + 2gbdquo P6 + 2gbdquo + k56 2gbdquo

k 5 6 lt 1 ^ gt 2 ( 1 - Iacute 2 i 2 6

V V6 P5degIacute 5^6 ^SS 2g c - 2g c

P - P ^ = (1+kJ

Como

79

A 6

W p 5 =

VV P6 V 5 = V 6 Jiexcl = Vff65

P 5-P 6 - lt H k 5 6 ) mdash ^ mdash (l+k 5 6-a 6 5) c c c

Sendo

Se

A 7 p 7 p 7

6 7 Ag p 6 7 76 p 6

p _p _ P6- V7- g76 iquest72 ( _ 02 P 5 P 6 2g c bull ( p 6

( 1 + k 5 6 deg65 )

p 7 2 2 N56 = p ^ deg76 ( 1 + k 5 6 ~ a 6 5 )

P 7 V 2

7

P r-P = N r 5 6 56 2g c i

35 - Perdas de pressatildeo nas zonas (6) - (7) - Pre^aquecimento

Nesta regiatildeo temos perdas por atrito e hidrostaacuteticas

Nao haacute perda por aceleraccedilatildeo pois ainda natildeo houve formaccedilatildeo de boshy

lhas

Fazendo balanccedilo das pressotildees temos

L_ ppound-V p = p + otilde L - pound _ + f -Si (-21mdashL 6 7 + p67 L67 g + t 6 7 D K 2g

p _ e ifn sao tomados como valores meacutedios 67 67

P _p _ f hl ^67jIacute uuml + - L A

6 F 7 r67 D 2g P P67 L67 g 6 s c 7 c

S e Kr pound67 L67 p67 6 7 D 6 p7

p7 V - _g_ P6- P7 - N67 mdash + P67 L67 f

c c

80

36 - Perda de pressatildeo nas zonas (7) - (8) - Zona de ebuliccedilatildeo

Nesta regiatildeo j aacute temos o aparecimento de bolhas logo a

perda de pressatildeo seraacute devida agraves t recircs parcelas aceleraccedilatildeo a t r i t o

das duas fases liacutequidas + vapor e h idros taacute t ica

onde

Assim

P-P Q = AP + AP + APbdquo 7 8 a t r i t o acel H

T M1

78 p 7 7 AP - R f- - mdash mdashr |R = fator mult ipl ica-

a t r i t o 7 D 7 2 g c L tivo

G 2

AP bull r mdash acel g c

P V

|_1 - o a p J 8 P f

2 t r 2 M2

7 7 r 7 7 A P a c e l = -J^mdash 2 r bull p 7 lt T iexcl iexcl - )

A PH p 7 8 L 7 8 fiexcl

p 7 8 iacute 7 li 1 0 0 P l i q + a P v ] d L = P 7 ( 1 - laquo 7 8 )

ag raquo fraccedilatildeo de vazio media entre 7 e 8

APH = p (1 - 5 7 g ) f- L 7 8

2 2

P 7 - P 8 a 5 - 2 T i + 2 r p 7 + P 7 ( 1 - 7 8 gt f L 7 8 7 amp c amp c amp c

81

N 7g = R mdash + 2 r p 7

P7 V7 P7- P8 = N78 + P 7 ( 1 5 7 8 gt J78

37 - Expansatildeo nas secccedilotildees 8 e 9

No caso haacute uma expansatildeo com duas fases e como vimos no

item 12 a variaccedilatildeo de pressatildeo era dada por

0f Vo P2 P1 = ~2g c ( 2 deg12

x 2 (mdash)(mdash - mdash ) + ( l - x ) 2 ^ T mdash 8 1 2 1

12

Aplicando ao nosso caso

P pound = P 7

P -P = 8 9

V - V raquo V g f 7

P 7 V 2

2 pf 1 a89 2 1 g89 x (mdash) ( ) + (1-x) (- - N

o ou abdquo 1-cu l-ot_) g 8 9 8 9

Se

N 89

= 2 a 89

2 pf 1 deg89 2 1 CT89 x (mdash) ( ) + (1-x) ( T

g 8 9 8 9

P -P = 8 9

- N P7deg V7

89 2gbdquo

38 - Perda de pressatildeo no trecho 9 e 10

No referido trecho temos apenas perda de pressatildeo por atr L

to da fase liacutequido + vapor e perda hidrostaacutetica Natildeo haacute perda por

aceleraccedilatildeo do vapor pois este natildeo recebe mais calor e portanto

o 82 o

nao ha variaccedilatildeo no a

p

Q -p i n = A P

U + A P bull 9 10 H atrito

n T -S_ P9 U10 deg 910 bull g

fio r

910 I 910

J9 L

(l- a)P + Q P I dL liq v

(l-a0) p

No caso a = (nao hatilde variaccedilatildeo de forma)

A P H - (1-a ) P (p L 0

c

AP bdquo = R o

atrito

2 f9 o L910 P9 V9

2g

Supondo

= V

P 9 = P 8 P 7

vbdquo = v 9 8 0 A r

= V 7 bull deg89

AP - R atrito

2 2

W l O p7deg V7deg g89

V P10 R -^T^ bull deg89 bull li-2 + ( W P 7 (fgt SIO

y c c

Se

- f9 L910 2 N9ol0 R Dl deg89

w 2

p rv P9 P10 = VlO + ( 1 a 9 ) p7 (f gt L910 c

33

39 - Perda ciacutee pressatildeo na expansatildeo 9 - 1 0

Analogamente a expansatildeo 8 - 9 temos

10 11 P 7 2g

10 Iacute 2 0 1 0 - 1 1 gt

2 ff

pg aio

10-11

laquo11 ) +

Ll-a 1 0 bull l-a u J

Se

V10 = V 9 = V 8 bull T9 = V 7 deg89

P -P 10 rll = - a 2g 089 ^lO-ll

4 bull T~ bull (7 1 mdash ) + Pg degio a n

+ (l-x)2(- 1 10-11

1 - aio )

N10-ll = 2 a10-ll a89 2 pf t 1 10-11 N2

-(j-r- - ) bull+ (1-x) pg aio deg 1

10-11 k l - a io

prz P10 Pll = - N10-ll bull ( 2gbdquo

310 - Calculo de V

Fazendo a somatoacuteria de todas as expressotildees (P^-Pj) tere-

84

mos 2 PbdquoV_

P bdquo - P bdquo = N 7 v 7

1 2 12 2g

bull 2 - P 3 - = N 2 3 P 2 L 2 3 f c ccedil

9 P 7 V 7 P _p = N mdash -

3 4 34 deg 2g

V P 5 = deg

2 P V

5 6 56 2 g c

ltr2

P 7 -V 6 e7 -N67 2g + p 6 7 J j67 g

c bc v 2

P 7 - P 8 = N 7 8 - 2 i ~ + p 7 ( 1 - laquo 7 8 ) L 7 8 c

P 7 V 7

P - P - -N mdash - -8 9 89 2g

c P 7 V 7

P 9 ~ P 1 0 VlO 2g + ( 1 a 9 P 7 L 9 c

P 7 V 7

bull10 11 U10-ll 2g

P v iacute j P - P

1 11

7 - v 7 3 bull r

2 8 i U L 2 23 67

(l-5 7 8) L 7 8 + ( l - laquo 9 ) P 7 bull SlOtilde]- ^

Por ou t ro lado sabemos que como secccedilotildees 1

mesmo n iacute v e l

85

s c p r v 7 j

28 Z N i ij

= P 2 L23 p67 L67 P 7 ( 1~deg78 )

78 ~ ^g) bull P 7 bull L 910 g_

V - 2 g ( p r L 2 3 - p 6 r L 6 7 - p 7 ( l - atilde 7 8 ) L 7 8 - (l-a9) p L 9 a ( )

y N

Com esse valor de podemos determinar todas as variashy

ccedilotildees de pressatildeo (P^-P )

BIBLIOGRAFIA

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tituto de Energia Atocircmica de Sao Paulo em 1966 (roteiro)

- WR Gambill - Nuclear Safety

Vol 9 - n9 5 e 6

Vol 6 - n 2 (pag 152)

Vol 4 -r n9 1 (pag 30)

Volbdquo 5 - n 2 (pag 151)

- WRo Gambill - Chemical Eng Prog ndeg 54 (Outubro)

~ El Wakil - Nuclear Power

- Jakob Max - Heat Transfer (vol I)

Mc Adams - Heat Transmission

- Paul A Lottes - Argonne National Laboratory

- AKL - 6469

- ANL - 6561

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Knudsen e Katz - Fluid Dinamics and Heat Transfer

Frank Kreith - Principles of Heat Transfer

Journeacutees Internationales de la transmission de la chaleur

Seminaacuterios realizados em Paris em 1961 sob a supervisatildeo do

Prof Marcel Veron

Notas de aula da Cadeira de Termodinacircmica I e Transmissatildeo da

Escola Politeacutecnica da Universidade de Sao Paulo

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43

d g = diacircmetro equivalente do tubo ou canalraquo

]i = viscosidade

B = constante adimensional

Os iacutendices V e 1 representam vapor e liacutequido respectiva

mente

0 primeiro termo entre chaves da equaccedilatildeo representa o flu

xo de calor no burnout de sub-resfriamento em convecccedilao forccedilada 0

segundo termo entre chaves corresponde ao fluxo de calor transferi^

do para a massa da fase vapor

1-25 - Burnout por Bloqueio da Base

Ocorre quando a profundidade do recipiente eacute muito maior

que a largura 0 bloqueio da base eacute causado pela formaccedilatildeo de uma pe_

licula de vapor na base impedindo que o liacutequido toque o fundo do

recipiente

i De

Este eacute o burnout por flooding isto eacute burnout por expul

sao do liacutequido Uma equaccedilatildeo que nos dacirc o fluxo minimo do burnout

parao caso eacute

44

onde

D g = diacircmetro equivalente

L = comprimento do tubo

= calor de vaporizaccedilatildeo

p^Py Ap = densidade do liacutequido do vapor e diferenccedila en

tre ambos

Para um fluxo de calor maior ou igual ao dado pela expres_

sao acima (mantida a mesma geometria) teremos burnout Para um deshy

terminado fluxo existiratildeo sempre um comprimento L e um diacircmetro equi

valente D e para os quais temos burnout Exemplo

L (in) D e(in)

10 11

100 51

1000 235

2 RESULTADOS ESPECIacuteFICOS - FOacuteRMULAS PARA CAacuteLCULOS ESPECIacuteFICOS

21 - Diferenccedila de temperatura At i

13 a t

sat

At sat

poundatildeJL_ raquo t - t J p T T 6 w sat

onde

o laquo tensatildeo superficial entre liquido e vapor

t - temperatura de saturaccedilatildeo do liacutequido para a corres-Scl t

pondente pressatildeo

J equivalente mecacircnico do calor

X laquobull calor latente de vaporizaccedilatildeo

py = densidade do vapor

6 = espessura da camada de liacutequido superaquecido onde

45

k l

h nc

onde

k^ = condutividade teacutermica do liacutequido

h = coeficiente de peliacutecula nc r

Segundo Eckent h ^ c e dado por

P 2 Q

nc 3 V VP + 0952

r

onde

D = diacircmetro equivalente

G r = numero de Grashoff

P = nuacutemero de Pradtl

2 o 2 - Velocidade das bolhas

A velocidade das bolhas em meacutedia pode ser dada pela exshy

pressatildeo

V bdquo = Iacute ( a bull B Apl4 bolhas 5 ^ 2

p l onde

AP = P L - P v

Expressatildeo que vale quando a aceleraccedilatildeo eacute a da gravidade

baixa viscosidade do liacutequido e bolhas separadas

Vbolha = f t s e atilde m a x para aacutegua

2 bdquo3 - Diacircmetro das bolhas

2gc deg 12 D = 0015 3 ( mdash mdash 7 ~ ) d g Ap

5 =

46

onde

8 = acircngulo de contato (20 a 90deg) geralmente assume-O -1

-se igual a 50 para a agua em contato com metal

24 - Coeficiente de peliacutecula na ebuliccedilatildeo nucleada

a) Equaccedilatildeo de Rohsenow

Esta equaccedilatildeo nos datilde o fluxo de calor q na ebuliccedilatildeo nushy

cleadaraquo E oacutetima expressatildeo para muitos liacutequidos o efeito da presshy

satildeo eacute levado em conta na variaccedilatildeo das propriedadesraquo

Pf

fg

sat 17 = c

sg k y f h f g g( P f-p g)

n033

onae

Pf

fg

Pf Pg c sg

= fluxo de calor requerido (BTUhr0ft^)

= calor especiacutefico do liacutequido saturado (BTUlbm0F)

= calor latente de vaporizaccedilatildeo (BTULbm)

= nuacutemero de Prandtl

= viscosidade do liacutequido (lbrahrraquoft) ~ 8 2

= fator de conversatildeo 417 10 Ibmftlbflaquohr 2

= aceleraccedilatildeo da gravidade (fthr )

= tensatildeo superficial na interface liacutequida vapor

(lbfft) 3

densidade do liquido e vapor (lbmft )

constante adimensiacuteonal que depende de vaacuterios fashy

tores dentre os quais o grau de aquecimento en_

tre o fluido e a superfiacutecie de aquecimento e o

mais importanteraquo Independe da pressatildeo do sistema b) Equaccedilatildeo de Levy

Equaccedilatildeo valida para a aacutegua quando 100 lt p lt 2000 psiacutea

47

43 bdquo3

qu bdquo gat ^ T J h r t f t ^

495

25 - Calculo do fluxo de calor no Ponto de Leidenfrost

0 ponto de Leidenfrost como vimos eacute o ponto em que oflu

xo de calor comeccedila ncamente a crescer isto eacute o ponto onde termal

aa a ebuliccedilatildeo instaacutevel e comeccedila a ebuliccedilatildeo por peliacutecula estaacutevel Eacute

o chanado fluxo miacutenimo (egrave ) m m

Aproximadamente quando A t g u k = 0 temos

A _ mdash _ mdash (Gambill) m m 5

Ha entretanto varias expressotildees para determinar esse flu

xo eis uma delas

A p 14 ltjgt = 009 h pbdquo (o raquo g mdash ) y m m fg P V deg 2

p l

26 - caacutelculo do fluxo de calor na regiatildeo de ebuliccedilatildeo por peliacute

cuia estaacutevel

para cilindros jmdashi i li

_ D 0172 k-V - P V A p h l V bull S 14 li - = 062 (mdashmdash) (- j- r rmdash) convecccedilao A 0 ybdquo (t -t )

c V w sat

onde

= condutividade do vapor

- 2 TT ( mdash )

c gAp Vl = significam vapor e liacutequido respectivamente

para paredes verticais

L 0172 S deg7 A p bull hlV S q 4 h - - 080 (-^-)J- (-Iuml - Iacutemdash-convecccedilao X L u (t - t J)

c V w sat

48

Como nesta regiatildeo jaacute haacute nina influecircncia marcante da radia

ccedilao devemos levar en conta tambeacutem o coeficiente de peliacutecula de

vido a radiaccedilatildeo para determinar o coeficiente de peliacutecula total

Dos estudos atildea radiaccedilatildeo temos

h = a F pound(T 4 - T 4 J ( T ~ T ) rad w sat w sat

onde amp _ emissividade de superfiacutecie

a = constante de Stefan-Boltzman

F = fator de forma

Segundo WE Gambill o coeficiente de transmissatildeo total

ceve ser

3 iacutei = h + -7 h para h lt h t conv 4 rad r rad conv

Na expressatildeo acima existe o fator 34 porque a radiaccedilatildeo

faz variar um pouco a espessura do filme de vapor reduzindo asshy

sim o l l

conv

Quando tivermos h gt h gt o h^ ^ seraacute rad conv total

h f c = h + h t conv rad

Neste ultimo caso nao ha nenhum coeficiente porque a peshy

liacutecula de vapor jaacute eacute estaacutevel

27 - Grandezas caracteriacutesticas para a apua

Para pressatildeo igual a 1 atm = 1422 psia

At ^ = t - t = 5degC (iniacutecio da ebuliccedilatildeo nucleada) sat w sat 1

At t = 30degC sat crit

49

5 2 $ = 4 10 BTUhrft (para pressatildeo 1 atm)

0 fluxo critico cresce como vimos com a pressatildeo ate

atingir o maacuteximo quando a pressatildeo eacute aproximadamente 13 da pressatildeo

criacutetica Esse fluxo eacute

bull = 13 IO 6 BTUhrft 2 para p = 11000 psia (p pound = 32062 psia)

Ainda temos que para pressatildeo igual a 15 psia

h b o = 11000 BTUhrft degF - ebuliccedilatildeo nucleada

h f b = 30 BTUhrft 2 degF - ebuliccedilatildeo pelicular

Todos os resultados e formulas para caacutelculos especiacuteficos

apresentados nos itens 21 22 23 ateacute 27 sacirco aplicados somente

para sistemas onde haja ebuliccedilatildeo com grande quantidade de liquido

51

D - HIDRODINAcircMICA DOS SISTEMAS E QUEDA

DE PRESSAtildeO DENTRO DE UM CANAL

1 HIDRO-DINAcircMICA E QUEDA DE PRESSAtildeO

11 - Hidro-dinacircmica dos sistemas estaacuteveis

111 - Regimes de escoamento

A evoluccedilatildeo do escoamento ao longo de um canal aquecedor

de secccedilatildeo constante ciliacutendrico pode ser esquematizada pela figushy

ra 1 onde temos em abcissa o comprimento z do canal e em ordenada

a temperatura (T)

52

Na figura 1 nos representamos

a) 0 aspecto do escoamento fluido quando a entalpia do

- fluido aumenta Verificamos que o fluido entra no cashy

nal no estado liacutequido e assim permanece ateacute atingirmos a zona de

ebuliccedilatildeo local onde aparecem as primeiras bolhas A entalpia do

fluido continua aumentando e tem inicioa ebuliccedilatildeo franccedila onde as

bolhas se unem formando agregados posteriormente o escoamento to

ma a forma da figura ou seja torna-se anular disperso Finalmente

atingimos duas uacuteltimas fases do escoamento disperso (vapor uacutemido)

e vapor seco

b) A evoluccedilatildeo da temperatura meacutedia do fluido e da tempeshy

ratura da parede Note-se que a partir da cota a

temperatura da parede aumenta brutalmente podendo causar o

burnout

c) A evoluccedilatildeo do tiacutetulo do vapor (x) com o comprimento

do tubo e a evoluccedilatildeo da fraccedilatildeo (a) que definiremos no

item 11laquo2 com o comprimento do tubo

112 - Definiccedilotildees

a) Tiacutetulo ou qualidade do vapor (x)

massa de vapor na mistura x ~ massa total da mistura

x =

W _g_

g f

b) Fraccedilatildeo vazio (void fraction)

volume do vapor na mistura a = volume total da mistura (agua+vapor)

A relaccedilatildeo entre x e a num sistema parado pode ser obtida

assumindo um certo volume contendo 1 lbm de mistura em equiliacutebrio

teacutermicoraquo

53

O volume da mistura seraacute igual a (v + xv ) ft onde v eacute 3 r rg

o volume especifico (lbmft )

f - refere-se ao liquido

g - refere-se ao vapor

fg - refere-se a diferenccedila entre liacutequido e vapor

Numa mistura em equiliacutebrio se o liacutequido e o vapor estatildeo

saturados o volume do vapor presente eacute igual acirc sua massa vezes

seu volume especiacutefico v assim e

xv bdquo bdquo a mdash

V c + XV c

f gf

onde

- bull-bull uumlutiacuteisa vapor na mistura de 1 Ibm

v volume especiacutefico do liacutequido

v = volume especiacutefico do vapor o

V c = v - V

gf 8 r

Fazendo uma transformaccedilatildeo na expressatildeo acima temos

xv xv JS = Z-

v r+ x(v -v c) xv +(l-x)v t ri f g f g f 1 + Ul-x)xjv fv

1 + C(l-x)x]]vfvg

A fraccedilatildeo vazia tem a influencia de baixar a reatividade

do nuacutecleo nos reatores em que o refrigerante eacute tambeacutem moderador

Na equaccedilatildeo acima os valores de x e v sao tomados em tabe

las termodinacircmicas apropriadas para a pressatildeo do sistema A equashy

ccedilatildeo (1) mostra os grandes valores de a para pequenos valores de x

especialmente para baixas pressotildees Isto ocorre porqueaumentando

54

aacute pressatildeo o v decresce muito enquanto que o v f eacute mais ou menos da

mesma ordem de grandeza

Exemplo Calcular o a correspondente para x raquo 2 para aacutegua

leve atilde pressatildeo atmosfeacuterica

Da tabela para p laquobull 1 atm

v - 001672 ft 3lbm e v - 26800 ft 3lbm

1 + [(1-002)002] 001672268

0971 ou 97U

O grafico abaixo mostra a variaccedilatildeo do a com x para vaacuterias

pressotildees e para a aacutegua leve

x ()

tObservaccedilotildees da curva

Fig 2

1 - para x constante a decresce com a pressatildeo Para presshy

sotildees proacuteximas da criacutetica a aproxima-se rapidamente de

x Para a pressatildeo criacutetica as duas fases satildeo indistinguiacuteveis ea=x

2 - para cada pressatildeo dotdx decresce com aumento de x

3 - para baixos valores de x (que e o caso dos reatores

tipo Boiling) quando p decresce dadx cresce e torr

na-se muito grande paacutera baixas pressotildees Isto tem relaccedilatildeo com a epound

55

tabilidade do reator como veremos mais tarde

113 - Sistemas com fluxo

Todas as definiccedilotildees que noacutes vimos no item anterior refeshy

rem-se acirc sistemas em que a mistura esta fechada no recipiente Nes^

te caso natildeo havia movimento relativo entre as duas fases No entan

to se as duas fases da mistura se movem na direccedilatildeo vertical em

canais entre os elementos combustiacuteveis o vapor por causa de sua

flutuaccedilatildeo tem a tendecircncia de escorregar sobre o liacutequido isto e

move-se com velocidade maior do que a do liacutequido

Real Modelo

Pig 3

S -

Define-se neste caso a relaccedilatildeo de escorregamento (slip

ratio) (S) como sendo

V _i

V f

onde

V = velocidade do vapor

= velocidade do liquido

S modifica as relaccedilotildees entre a e x do item anterior S geralmen_

te gt 1 Define-se neste caso qualidade do vapor ou tiacutetulo como

sendo

_ fluxo de massa de vapor

fluxo de massa da mistura

Entatildeo se o fluxo de massa da mistura eacute m t(lbmhr) o flushy

xo de vapor seraacute = x m e o fluxo de liacutequido sera (1-x) m onde x

56

e o titulo do vapor para a particular secccedilatildeo (AL) da figura (3)

Devemos notar que neste caso x varia de secccedilatildeo para secshy

ccedilatildeo do tubo o exposto no paraacutegrafo acima vale considerando-se que

x e a permaneceram constantes na secccedilatildeo de espessura AL

Aplicando a equaccedilatildeo da continuidade as velocidades do va

por e liacutequido sao dadas por

o xm v

V vazatildeo = g g area A

V

(1-x) amp t v f

f A f

onde A e A f sao as aacutereas medias perpendiculares ao fluxo se as

duas fases sao imaginadas completamente separadas uma da outra

(figura 3) Assim temos

V x m v o A_ A v 0 ^ - 2 = iacute S t m _2L- JL JS m

V A (l-x)ui v 1-x A v U

f g t f g f

Sabemos ainda que para a secccedilatildeo considerada

volume do vapor na mistura a = volume total da mistura (agua+vapor)

A AL A pound g g

a = mdash a a = - mdash 1

(A+A )AL A f + g

A ou f _ 1 - a

A a 8

Substituindo em (2) vem

57

Esta expressatildeo pode ser rearranjada e obteremos uma relashy

ccedilatildeo entre x e a levando em conta o escorregamento Chega-se a

a = 1 ( 3 )

1+ [U-x)x3 igt

onde

v 4 laquo -- S

v lty o

Note-se que quando S=l (nao haacute escorregamento) caimos na

expressatildeo dada no item anterior

0 efeito do escorregamento eacute decrescer o valor de a pa_

ra um mesmo xbdquo Isto pode ser visto pela foacutermula (3) pois S gt lLo

go a decresce com acreacutescimo de S

Um alto S e entatildeo uma vantagem tanto para a transferecircnshy

cia de calor como para efeitos de moderaccedilatildeo Eacute uma vantagem para

transferecircncia de calor porque alto S significa alto V e portanto

maior turbulecircncia e maior contato do liquido com as paredes quenshy

tes Ha tambeacutem melhorias na estabilidade da reaccedilatildeo nuclear isto

porque como jaacute dissemos quando mdash7 diminui a estabilidade aumenshy

ta isso pode ser verificado observando a curva a versus x para a

agua leve a 1000 psiabdquo

Fig 4

58

A relaccedilatildeo entre x e a da equaccedilatildeo (3) so vale para secccedilatildeo

de tubo bem pequena

Devemos notar que S varia tambeacutem com a pressatildeo e velocida^

de de entrada do liacutequido no tubo Este efeito pode ser observado na

figura 5 abaxxo obtida esperimentalmente

s

3

~^ ~ psig

x = 001

V 1

Fig 5

Nos projetos de reatores como veremos adiante o valor a

geralmente eacute determinado por consideraccedilotildees nucleares (moderaccedilatildeo) 0

valor de S eacute determinado atraveacutes de uma estimativa ou entatildeo atrashy

veacutes de um graacutefico do tipo da figura 5 0 correspondente valor de x

pode ser obtido de uma foacutermula empiacuterica do tipo

1 = 1 (-S)0gt67

proposta por Von Glahn

Em muitos casos assume-se S constante em todo o comprimeiv

to do canal poreacutem eacute um erro que em muitos casos nao pode ser coshy

metido

4 REATORES EM QUE 0 LIacuteQUIDO B MODERADOR E CIRCUITO PRIMAacuteRIO AO

MESMO TEMPO BOILING-REACTOR (BWR)

A aacutegua ao se movimentar atraveacutes dos vaacuterios canais do

59

Boiling-reactor encontra vaacuterias resistecircncias ao fluxo que provoshy

cam uma reduccedilatildeo de pressatildeo no fluido

As duas perdas mais importantes sao perda de pressatildeo por

atrito e perda de pressatildeo causada pela aceleraccedilatildeo do refrigerante

ao aumentar de volume por receber calor num canal Outras perdas

de pressatildeo seriam a obstruccedilatildeo ao fluxo por corpos submersos (espa_

ccediladores juntas de tubos chaves etc) e por mudanccedilas abruptas de

aacuterea de fluxo tanto na entrada como na saiacuteda do tubo

Essas perdas de pressatildeo devem ser conhecidas o melhor popound

sivel principalmente nos reatores BWR Para tanto devemos saber

o comprimento de canal em que nao ha a ebuliccedilatildeo isto eacute qual o com

primento de canal em que o refrigerante vai da temperatura de sub-

resfriamento ate temperatura de saturaccedilatildeo

Seja o elemento combustiacutevel

Aquecimento Uniforme Aquecimento Senoidal

Fig 6 Fig 7

onde

H =

H = o

H b

comprimento do elemento combustiacutevel

cota onde o liquido se torna saturado

comprimento do elemento combustiacutevel em que ocorre

ebuliccedilatildeo

60

qg = calor sensiacutevel acrescentado ao liquido para satushy

raacute-lo

qfc = calor total acrescentado ao liacutequido em todo o com

primento do canal

laquoo

q s J o qiquest sen (IIzH) n H o

T~ = TH = 2 ( 1 c o s gt ( a )

q 1 sen (HzH) Jo ^c

A expressatildeo (a) vale quando tivermos uma adiccedilatildeo de calor

senoidal para qualquer outra forma de adiccedilatildeo de calor faz-se um

caacutelculo anaacutelogo

Outra relaccedilatildeo entre q g e qfc eacute dada pela termodinacircmica

q h- - h s f m (b)

(hr +x h )-hm ^t f e fg

onde

= entalpia para o liquido saturado a pressatildeo correjs

pondente (cota z = Ho)

hffi = entalpia do liacutequido na entrada do canal

x = tiacutetulo do vapor na saiacuteda

= entalpia do vapor

Com a relaccedilatildeo (b) noacutes determinamos a relaccedilatildeo q q ecom

S L

uma relaccedilatildeo do tipo (a) (conforme seja o adicionamento de calor ao

liacutequido) podemos obter a relaccedilatildeo HoH e consequentemente H^H

21 - Perda de pressatildeo num canal de evaporaccedilatildeo

Neste item iremos determinar as perdas de pressatildeo mais

representativas que ocorrem num canal de evaporaccedilatildeo de um reator

P + dP

bull1 i- 1 gti i i

dL

onde

UM

Icirc H Icirc Icirc T dF f t f

61

Quantidade de Mov na Entrada

= i- rigVg)

dF f l

Fig 8

m i

m 8

V l V 8

A P

dF

dF

dF

fg

fl

ftf

descarga do liacutequido

descarga do vapor

velocidade do liquido

velocidade do vapor

aacuterea transversal do canal

forccedila de atrito do vapor com parede

forccedila de atrito do liacutequido com parede

forccedila de atrito das duas fases liacutequido+vapor

Fazendo o balanccedilo das forccedilas considerando o sentido posjL

tivo na vertical temos

A (P-P-dP)-(dF +dF _+dF _)-(-pound-) (p A+p A )dL = mdash dGnV+m V ) P fg ftf fl g c 1 1 g g g c

v 1 1 g g 7

- dP = ~ (dF +dF--+dF)+- S--7=- (p A+p A )dL+ mdash ~ - d (m-V+m V ) A_ fg ftf fl g c Ap v^l 1 g g g A 11 g g

Fazendo a integraccedilatildeo termo a termo entre os dois extreshy

mos entrada e saiacuteda e considerando a pressatildeo de entrada igual a

P q e a de saiacuteda igual a Pe vem

Quantidade de Mov na Saiacuteda

-= h I- lY l+ A g V g + d ( aacute l V l + aacuteeVl

Forccedila de Gravidade

= ( g f - N P A + P g V

62

b) r e F f l

o p dp^ = Ap^ = perda de pressatildeo por atrito

do liacutequido na altura Ho

Aplicando a formula de Darcy vem

bull API = f bull ir bull ^ iexcl 7

onde

f = fator de atrito

c) e Fftf

o p ^P tpound

= perda de pressao por atrito da mistura

liquido + vapor no trecho de comprimen

to Hbdquo o

Para determinar esta perda de pressao define-se o fator

de multiplicaccedilatildeo R

A P R =

tf A P 1B

Sendo A p ^ a perda de pressao se o comprimento todo fosshy

se ocupado somente pelo liquido assim

A p t f = R A P 1 B

0 calculo de Ap-^ pode ser feito pela formula de Darcy e

o de R nos veremos no item seguinte

63

d)

-e F

d ( ^ )

O P

Ap = perda de pressatildeo por atrito do vapor

No caso do reator BWR o titulo de saida e bera pequeno e

em nenhum caso ocorre a saida de vapor com x = 100 logo a perda

de pressatildeo por atrito do vapor eacute nula assim

An = 0 5

e) Ap

(p A 1 + p A ) dL = Ap - perda de pressatildeo dpound

vida ao desniacutevel

(perda hidrostaacutetica)

Anbdquo = re A A

-S- I (p + p -S ) dL H s 1 A

c o p o A

como A A Jl_ =

A P

A +A-g 1

1-a -

temos

C Q

te j jll-a)p1 + apg)^jdL = p Lo pound

onde

e jo u

+ ap ) ~I dL (Densidade media 1 S J

no tubo)

No nosso caso

Ap u = p H

f)

re d(mV + m V ) _ mdash - laquo -i bull s iquestp laquos p e r d a ltje pressatildeo devido a acele-

c p raccedilatildeo do vapor

V A

(1-x) tl^Vj

(1-a) A

X V

aA

A p -

roV + m V

c p c p L_

m (l-x)m_v m xv nbdquo -1 T 1

+ _S S I (1-a) Ap aA

P

2 g A c p

n 2 2

(1-x) m T

laquo2 8 A c p

2 2 (l-xe) raTv1

2 2 2 xm_v (1-x) m-v e T s o 1 1

a 1 - a

2 2 - x m_v o T g

a

se

X Q 0 (so ha agua nesse trecho)

a = 0 o

temos

mbdquo Ap =

1 a A 2

S A degc p laquo-

tt-V v i 1 - a

2 via T^r - v i

t Apc

2

V v l

5c Ap

1 - a

x v - 1

a e v l

65

Fazendo

G = fluxo total da massa por unidade de area do

canal

(1-x J e

V

AP r

Assim a perda de pressatildeo total sera

H p V II pV r2 P -P = f -24-Iuml+ f R+p 0 1 2g c D e 2g c g c g c

2c2 - Determinaccedilatildeo do fator de multiplicaccedilatildeo (R)

221 - Relaccedilatildeo Martinelli-Nelson

Os autores Martinelli-Nelson determinaram experimental -

te esse fator R para varias LIT1L em funccedilatildeo da pressatildeo e da r NB total J v

qualidade de saiacuteda do vapor no canal Construiacuteram assim vaacuterias

curvas do tipo da figura 9

66

E importante notar que a qualidade do vapor (x) na saiacuteshy

da nao deve ser grande pois como vemos o valor de R cresce muishy

to com um aumento pequeno de x e um valor de R muito grande acar_

reta uma perda de pressatildeo grande pois

^ d u a s fases R ^ f a s e liacutequida

Para resolvermos um problema seguindo o criteacuterio de bdquo

Martinelli escolhemos a curva R = f(px) (para a relaccedilatildeo L

N g ^ j

adequado) e tiramos R com os valores de pressatildeo p e tiacutetulo x

As curvas R = f (p x L T t )IO encontram-se nos ANL 6469 bio I

e 6561

222 - Relaccedilatildeo Lottes-Flinn

Estes autores estudaram o problema para o aquecimento uni

forme do refrigerante com baixo titule Lottes-Flinn fizeram inuacuteshy

meras experiecircncias e verificaram que para fluxo de calor uniforshy

me e baixos titulos R era independente do fluxo de calor fluxo

do refrigerante escorregamento e apenas funccedilatildeo de a g

Como a quantidade de liacutequido eacute muito maior que a de vashy

por a perda de pressatildeo daacute-se principalmente pelo atrito do liacuteshy

quido com a parede Podemos assim escrever a foacutermula de Darcy

na forma diferencial

dz

d = f __ r e amp c

onde

V = velocidade do liquido saturado na cota zbdquo X

f = coeficiente atrito

= densidade do liacutequido saturado

Teoricamente a queda de pressatildeo deve-se ao acreacutescimo de

67

velocidade do liacutequido e da diminuiccedilatildeo da aacuterea de fluxo do liacutequi

do

P fH A P t p

= f D 2g Ho

d z

fazendo

V lo

m V t lo

(velocidade do liacutequido na cota z = Ho)

(1-x) m t v 1

(1-a) A (velocidade do liacutequido na cota z gt Ho)

a bull+ fraccedilatildeo vazio na cota z geneacuterica

V 1 (1-x) m t v 1

m t V l 1 - a

x =s 0 pois o tiacutetulo eacute baixo

A p t f = f bull JT5 c e

fH V lo

H o (1-a) dz

Para fazer a integral devemos achar a relaccedilatildeo de variaccedilatildeo

entre a e z Como o fluxo de calor eacute uniforme a qualidade eacute direshy

tamente proporcional a z

bull laquo x = x e H

z = mdash x X e

Sabemos ainda que (item 113)

x

1 + [ ( I -X)AKQ x + iiacuteraquo

68

como

temos

(1-x) = 1

v

X =

z =

1-a

1 -a

1-a e

a

e

1-a pound

a

1 -a igt (assumindo S = cte)

da

Atf - f bull 2 i ^ ~ J c e o

a 1 - a e e 1 s 4 hmdash) da

a 1-a

f P lv^ Q

0 termo mdash - mdash e a parte de perda de pressatildeo pelo lj^

^c e -quido ou seja Ap liquido saturado e como

Ap

R = tf

Ap liauido saturado

temos que

R J

f ae 1 _ a e 1 4

a 1 -a o e

1 -a r-R =

3 1 -a

a 1 -a imdash

3 vl - a 3

e e

Os valores de R obtidos por esta expressatildeo aproximam-se

muito dos valores obtidos pelos aacutebacos de Martinelli

69

E - EXPANSAtildeO E COMPRESSAtildeO DE UM FLUIDO - ANAacuteLISE HIDRODINAcircMICA

DE UM CIRCUITO EM CIRCULACcedilAtildeO NATURAL

1 EXPANSAtildeO NO FLUXO DE UM FLUIDO

11 - Uma so fase

Figura 1

Ha vaacuterios meacutetodos para determinar a variaccedilatildeo de pressatildeo

numa expansatildeo de fluido estudaremos o de Romie que eacute o que daacute

maior precisatildeo

Romie considera que a pressatildeo p^ tambeacutem atua na aacuterea

imediatamente apos a expansatildeo Assim fazendo o equiliacutebrio das foi

ccedilas nas secccedilotildees tracejadas da figura 1 temos

mVj

p r A 2 + mdash

mV

bull 2- A2

mas

m = pV^A^

pV^A = p V 2 bdquo A 2

V A

v 2 -4r-logo

( P l-P 2) A 2 = f ( V ^ ) - f _ v j amp c c 2

70

2 pV A A pV A A

Chamando A l A ]

K = 1 - T e degi2 = Aiexcl bull V E M

pvj

P l P 2 = T ~ bull ( 2 deg 1 2 ) ( 1 _ a 1 2 )

Outra maneira de chegar atilde diferenccedila de pressatildeo ( P j - ^ ) s mdash

ria usar o coeficiente de perda da mecacircnica dos fluidos Assim o

equilibrio das pressotildees eacute

2 2

1 V l 1 V 2 V l P i + _ p _ ^ P 2 + I p ~ + k 1 2 p mdash

onde = coeficiente de perda

A 2 1 2

k 1 2 - (l-o 1 2) - (1 - j- )

Fazendo as transformaccedilotildees chegamos a mesma expressatildeo obshy

tida pelo balanccedilo das forccedilas

PraquoIacute pr p

2 - - ir ^ laquo-ia

12 - Duas fases

Como ha duas fases a equaccedilatildeo do balanccedilo das forccedilas fica

um pouco alterada

m pound 1 V- m - raquoV - m-V- m bdquoV _ P A + j y ^ i + _gl_JUuml P A + -11-11 + -ilsl (a)

1 2 e R 2 2 ff e

Sabendo que

71

m (1-x) m t = p fA (1-a) V f

entatildeo

fl l-o^ p fA x

6 Vf2 1-x l-a2 P fA 2

m V = mdash mdash e V 0 = gl a 1 P C T A 1 g2

m

a_ p h

2 g 2

Nas expressotildees anteriores o x nao varia porque a expansatildeo

5 adiabaacutetica porem o a varia devido a modificaccedilatildeo do tamanho da

bolha

Substituindo os valores das velocidades na expressatildeo (a)

vera

( P - P ) Abdquo =

2

2 2 m gt2 2 m t (1-x) 1 x t

ra i 2 m i 1 x t 1

p fA 1 g c ttl p Ax gpound

m t P - P = mdash

(1-x) (l-a 1)A 1A 2 (l-a2)A|

a r A r A 2

V A 2

m t P bdquo - P = mdash 2 1 g c A r A 2 p f

(1-x) 1-a f A 2(l-a 2)

bull ^ 2

72

Se

P -P

a

m

g

12

1 _1_ (1-x)

J12

1 _ a l 1 - a 2 + X (- )

Pg

1 deg12 a 2 ^

Sabemos que

mt = V o pf laquo A l

Sendo V q = velocidade do liquido num ponto onde natildeo haja vapor

P 2-P 1

u 2 2 A 2

V pr Ai

V W p f

(1-x) 12

l-a1 l-a2

+ X 2 pf

mdash

l deg12

-1 a 2 _

p -p r 2 Al (2a 1 2)

2 M f w 1 deg12 X (mdash) (

pg al a 2 )+(l-x)C l 1 12

1-a^ l-a2

Devemos notar que esta expressatildeo tambeacutem vale para quando

temos uma fase para isso basta fazer

= c t 2 = 0

X = 0

e recairemos na formula do item anterior

2 pf 1 deg12 Observemos que neste caso o termo x (mdash)( ) nao

Pg al a2

2

73

tem significado pois corresponde a mudanccedila de fase

2 CONTRACcedilAtildeO KO FLUXO DE UM FLUIDO

21 - Uma so fase raquo mdash

Aqui ocorre um fenocircmeno importante pois o fluido ao ser

contraiacutedo nao vai diretamente da area A^ para a area A 0 mas ele

contral-se ate uma area A^ e depois expande-se ate k^

Ao A2

Po IP 2

V 2

Figura 2

Fazendo o equiliacutebrio das pressotildees entre os planos (1)

(0) vem 2 2

pV pV p +~ plusmn - P + i deg bull 1 2 g o 2 g (b)

C x

Fazendo equiliacutebrio da expansatildeo (0) - (2) vem

P o + 2 - f = P 2 + 2 -T + kp- 2 F ( c )

c c b C

Subtraindo (b) - (c)

2 2 2

i p- vj i p- v2 L P l + 2 bull g c

P 2 + 2 2g c

+ k P 2g c

74

Como

P - P = mdash 2 2g

2 2

bull (1 + k) - f bdquo mdash i

k a - f2 ) 2 - d - o c )2

= o

A = a 21

Weisback obteve varias relaccedilotildees entre a e a i] c

01 02 03 a 0624 0632 0643 c

0624 0632

A r v i - V v 2

p -p 1 2

P -P 1 2 2g7

v l =

(1+k) - laquofi- a 2g 21 c

( 1 + k - o 2 1)

X[- V 2 o 2 1V 2

22 - Duas fases

0 valor de k pode ser aproximado para

k = a(l - o 2 1)

onde segundo Richardsons para fluxo de duas fases podemos supor

a = 02

Para fluxo homogeacuteneo sabemos que

75

p = p f (1 -a ) + p o a

podemos supor p bdquo a = 0 pois p e pequeno e fazendo

V = V ~ V fbdquo2 go2 v 2

Substituindo estas duas expressotildees na equaccedilatildeo de uma soacute fase vem

2 2 p V (l-ct) p V (1 -a ) bdquo

P l P 2 = 9g ( 1 + 3 - 3 0 ^ - 0 ^ ) = g (a+1) (l-a^)

Se a = 02

2 12p oV 0

p r p

2 - 9g gt d-) d-sigt

A compressatildeo de um fluido acarreta uma perda de pressatildeo

como pode ser verificado pelas formulas uma vez que lt 1deg

3 ANALISE HIDRODINAcircMICA DE UM CIRCUITO EM CIRCULACcedilAtildeO NATURAL

Esquema deacute uma caldeira com circulaccedilatildeo natural

76

Determinar a velocidade em (7) para que tenhamos circula

ccedilatildeo natural Determinar tambeacutem as perdas de pressatildeo em todos os

trechos da caldeira

31 - Contraccedilatildeo das secccedilotildees (1) - (2)

Como jaacute vimos a equaccedilatildeo do balanccedilo das pressotildees eacute

1 pr Vl 1 p 2 o V 2 P2 V2

1 2 g 2 + 2 g + K12 2g otilde c amp c e c

bullraquo 2 o2 2 e havendo uma soacute fase k 1 9 = (l-o ) = (1 mdash ) e sendo

C 2

p l = p2

v x lt lt lt v 2

P 2 V pr p2 bull ir2 bull ( 1 + k12gt

Colocando em termos de temos

A 2 V 2 P 2 = A 7 V 7 p 7 (continuidade)

V = V mdashbull = V o_bdquo ~ A 2 2 2

P 2 V - p 2

p r p 2 = ir2 - deg72 bull Ccedilrgt bull lt 1 + ki2gt

fazendo

N12 - lt^gt deg72 ( 1 + k12gt

P7 V7

Pr P2 - N12 bull HG

77

3 2 - Perda de carga no trecho ( 2 ) - ( 3 )

Como haacute apenas uma fase soacute temos perdas por atritos e

perdas hidrostaacuteticas

Sendo como jaacute vimos

2 3 p 2 2 g P 2 P 3 = f 2 3 (r~2g^~) L 2 3 g c p

atrito hidrostaacutetica

Substituindo V^ pela relaccedilatildeo do item anterior e tendo em

conta que p = vem

P -P = f 2 r 3 2 3 D

2 3 p 2 bdquo 2 2 p 7 2

2 g 7 72 p 2 3 g

Se

L 2 3 2 p 7

2 3 2 3 D 2 a 7 2 p 2

P 7 V 7 g P 2 - P 3 = N 2 3 ( mdash gt p 2 L 2 3 f

3 3 - Expansatildeo nas secccedilotildees ( 3 ) - ( 4 )

Como vimos o balanccedilo das pressotildees e

2 2 2 p V p 4 V p V

P 3 + 2 g c

P 4 + 2 g c

+ k 3 4 2 g c

onde

k 3 4 - - -

2 2 1 P 4 - V 4 P 3 v 3

P 3 P 4 = 2 g + ( k 3 4 _ 1 ) 2 g

78

Sendo

P 3 - P 4

p 3 o A 3 deg V 3 = P 7

a A 7 o V 7

P 4A 4 0V 4 = P r A r V

3 7 A 3 p 3

A7 P7 V = v mdash mdash 4 7 P 4

P - P 3 r4

Se

P bdquo - P

bdquo2 r-P 7 V 7

3 4 2g deg74 + ( k 3 4 1 ) deg73

34 p deg74 + ( k 3 4 1 ) 73

p r v2

P3- P4 ^ N34 ^ gt

(No caso e negativo)

34 - Contraccedilatildeo nas secccedilotildees (5) - (6)

Ainda temos uma so fase e fazendo o balanccedilo das pressotildees

como fizemos no item 3lt1 vem

P + vil p + vi + k vi P 5 + 2gbdquo P6 + 2gbdquo + k56 2gbdquo

k 5 6 lt 1 ^ gt 2 ( 1 - Iacute 2 i 2 6

V V6 P5degIacute 5^6 ^SS 2g c - 2g c

P - P ^ = (1+kJ

Como

79

A 6

W p 5 =

VV P6 V 5 = V 6 Jiexcl = Vff65

P 5-P 6 - lt H k 5 6 ) mdash ^ mdash (l+k 5 6-a 6 5) c c c

Sendo

Se

A 7 p 7 p 7

6 7 Ag p 6 7 76 p 6

p _p _ P6- V7- g76 iquest72 ( _ 02 P 5 P 6 2g c bull ( p 6

( 1 + k 5 6 deg65 )

p 7 2 2 N56 = p ^ deg76 ( 1 + k 5 6 ~ a 6 5 )

P 7 V 2

7

P r-P = N r 5 6 56 2g c i

35 - Perdas de pressatildeo nas zonas (6) - (7) - Pre^aquecimento

Nesta regiatildeo temos perdas por atrito e hidrostaacuteticas

Nao haacute perda por aceleraccedilatildeo pois ainda natildeo houve formaccedilatildeo de boshy

lhas

Fazendo balanccedilo das pressotildees temos

L_ ppound-V p = p + otilde L - pound _ + f -Si (-21mdashL 6 7 + p67 L67 g + t 6 7 D K 2g

p _ e ifn sao tomados como valores meacutedios 67 67

P _p _ f hl ^67jIacute uuml + - L A

6 F 7 r67 D 2g P P67 L67 g 6 s c 7 c

S e Kr pound67 L67 p67 6 7 D 6 p7

p7 V - _g_ P6- P7 - N67 mdash + P67 L67 f

c c

80

36 - Perda de pressatildeo nas zonas (7) - (8) - Zona de ebuliccedilatildeo

Nesta regiatildeo j aacute temos o aparecimento de bolhas logo a

perda de pressatildeo seraacute devida agraves t recircs parcelas aceleraccedilatildeo a t r i t o

das duas fases liacutequidas + vapor e h idros taacute t ica

onde

Assim

P-P Q = AP + AP + APbdquo 7 8 a t r i t o acel H

T M1

78 p 7 7 AP - R f- - mdash mdashr |R = fator mult ipl ica-

a t r i t o 7 D 7 2 g c L tivo

G 2

AP bull r mdash acel g c

P V

|_1 - o a p J 8 P f

2 t r 2 M2

7 7 r 7 7 A P a c e l = -J^mdash 2 r bull p 7 lt T iexcl iexcl - )

A PH p 7 8 L 7 8 fiexcl

p 7 8 iacute 7 li 1 0 0 P l i q + a P v ] d L = P 7 ( 1 - laquo 7 8 )

ag raquo fraccedilatildeo de vazio media entre 7 e 8

APH = p (1 - 5 7 g ) f- L 7 8

2 2

P 7 - P 8 a 5 - 2 T i + 2 r p 7 + P 7 ( 1 - 7 8 gt f L 7 8 7 amp c amp c amp c

81

N 7g = R mdash + 2 r p 7

P7 V7 P7- P8 = N78 + P 7 ( 1 5 7 8 gt J78

37 - Expansatildeo nas secccedilotildees 8 e 9

No caso haacute uma expansatildeo com duas fases e como vimos no

item 12 a variaccedilatildeo de pressatildeo era dada por

0f Vo P2 P1 = ~2g c ( 2 deg12

x 2 (mdash)(mdash - mdash ) + ( l - x ) 2 ^ T mdash 8 1 2 1

12

Aplicando ao nosso caso

P pound = P 7

P -P = 8 9

V - V raquo V g f 7

P 7 V 2

2 pf 1 a89 2 1 g89 x (mdash) ( ) + (1-x) (- - N

o ou abdquo 1-cu l-ot_) g 8 9 8 9

Se

N 89

= 2 a 89

2 pf 1 deg89 2 1 CT89 x (mdash) ( ) + (1-x) ( T

g 8 9 8 9

P -P = 8 9

- N P7deg V7

89 2gbdquo

38 - Perda de pressatildeo no trecho 9 e 10

No referido trecho temos apenas perda de pressatildeo por atr L

to da fase liacutequido + vapor e perda hidrostaacutetica Natildeo haacute perda por

aceleraccedilatildeo do vapor pois este natildeo recebe mais calor e portanto

o 82 o

nao ha variaccedilatildeo no a

p

Q -p i n = A P

U + A P bull 9 10 H atrito

n T -S_ P9 U10 deg 910 bull g

fio r

910 I 910

J9 L

(l- a)P + Q P I dL liq v

(l-a0) p

No caso a = (nao hatilde variaccedilatildeo de forma)

A P H - (1-a ) P (p L 0

c

AP bdquo = R o

atrito

2 f9 o L910 P9 V9

2g

Supondo

= V

P 9 = P 8 P 7

vbdquo = v 9 8 0 A r

= V 7 bull deg89

AP - R atrito

2 2

W l O p7deg V7deg g89

V P10 R -^T^ bull deg89 bull li-2 + ( W P 7 (fgt SIO

y c c

Se

- f9 L910 2 N9ol0 R Dl deg89

w 2

p rv P9 P10 = VlO + ( 1 a 9 ) p7 (f gt L910 c

33

39 - Perda ciacutee pressatildeo na expansatildeo 9 - 1 0

Analogamente a expansatildeo 8 - 9 temos

10 11 P 7 2g

10 Iacute 2 0 1 0 - 1 1 gt

2 ff

pg aio

10-11

laquo11 ) +

Ll-a 1 0 bull l-a u J

Se

V10 = V 9 = V 8 bull T9 = V 7 deg89

P -P 10 rll = - a 2g 089 ^lO-ll

4 bull T~ bull (7 1 mdash ) + Pg degio a n

+ (l-x)2(- 1 10-11

1 - aio )

N10-ll = 2 a10-ll a89 2 pf t 1 10-11 N2

-(j-r- - ) bull+ (1-x) pg aio deg 1

10-11 k l - a io

prz P10 Pll = - N10-ll bull ( 2gbdquo

310 - Calculo de V

Fazendo a somatoacuteria de todas as expressotildees (P^-Pj) tere-

84

mos 2 PbdquoV_

P bdquo - P bdquo = N 7 v 7

1 2 12 2g

bull 2 - P 3 - = N 2 3 P 2 L 2 3 f c ccedil

9 P 7 V 7 P _p = N mdash -

3 4 34 deg 2g

V P 5 = deg

2 P V

5 6 56 2 g c

ltr2

P 7 -V 6 e7 -N67 2g + p 6 7 J j67 g

c bc v 2

P 7 - P 8 = N 7 8 - 2 i ~ + p 7 ( 1 - laquo 7 8 ) L 7 8 c

P 7 V 7

P - P - -N mdash - -8 9 89 2g

c P 7 V 7

P 9 ~ P 1 0 VlO 2g + ( 1 a 9 P 7 L 9 c

P 7 V 7

bull10 11 U10-ll 2g

P v iacute j P - P

1 11

7 - v 7 3 bull r

2 8 i U L 2 23 67

(l-5 7 8) L 7 8 + ( l - laquo 9 ) P 7 bull SlOtilde]- ^

Por ou t ro lado sabemos que como secccedilotildees 1

mesmo n iacute v e l

85

s c p r v 7 j

28 Z N i ij

= P 2 L23 p67 L67 P 7 ( 1~deg78 )

78 ~ ^g) bull P 7 bull L 910 g_

V - 2 g ( p r L 2 3 - p 6 r L 6 7 - p 7 ( l - atilde 7 8 ) L 7 8 - (l-a9) p L 9 a ( )

y N

Com esse valor de podemos determinar todas as variashy

ccedilotildees de pressatildeo (P^-P )

BIBLIOGRAFIA

- WoR Gambill - Notas de aula dos seminaacuterios realizados no Insshy

tituto de Energia Atocircmica de Sao Paulo em 1966 (roteiro)

- WR Gambill - Nuclear Safety

Vol 9 - n9 5 e 6

Vol 6 - n 2 (pag 152)

Vol 4 -r n9 1 (pag 30)

Volbdquo 5 - n 2 (pag 151)

- WRo Gambill - Chemical Eng Prog ndeg 54 (Outubro)

~ El Wakil - Nuclear Power

- Jakob Max - Heat Transfer (vol I)

Mc Adams - Heat Transmission

- Paul A Lottes - Argonne National Laboratory

- AKL - 6469

- ANL - 6561

86

Knudsen e Katz - Fluid Dinamics and Heat Transfer

Frank Kreith - Principles of Heat Transfer

Journeacutees Internationales de la transmission de la chaleur

Seminaacuterios realizados em Paris em 1961 sob a supervisatildeo do

Prof Marcel Veron

Notas de aula da Cadeira de Termodinacircmica I e Transmissatildeo da

Escola Politeacutecnica da Universidade de Sao Paulo

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44

onde

D g = diacircmetro equivalente

L = comprimento do tubo

= calor de vaporizaccedilatildeo

p^Py Ap = densidade do liacutequido do vapor e diferenccedila en

tre ambos

Para um fluxo de calor maior ou igual ao dado pela expres_

sao acima (mantida a mesma geometria) teremos burnout Para um deshy

terminado fluxo existiratildeo sempre um comprimento L e um diacircmetro equi

valente D e para os quais temos burnout Exemplo

L (in) D e(in)

10 11

100 51

1000 235

2 RESULTADOS ESPECIacuteFICOS - FOacuteRMULAS PARA CAacuteLCULOS ESPECIacuteFICOS

21 - Diferenccedila de temperatura At i

13 a t

sat

At sat

poundatildeJL_ raquo t - t J p T T 6 w sat

onde

o laquo tensatildeo superficial entre liquido e vapor

t - temperatura de saturaccedilatildeo do liacutequido para a corres-Scl t

pondente pressatildeo

J equivalente mecacircnico do calor

X laquobull calor latente de vaporizaccedilatildeo

py = densidade do vapor

6 = espessura da camada de liacutequido superaquecido onde

45

k l

h nc

onde

k^ = condutividade teacutermica do liacutequido

h = coeficiente de peliacutecula nc r

Segundo Eckent h ^ c e dado por

P 2 Q

nc 3 V VP + 0952

r

onde

D = diacircmetro equivalente

G r = numero de Grashoff

P = nuacutemero de Pradtl

2 o 2 - Velocidade das bolhas

A velocidade das bolhas em meacutedia pode ser dada pela exshy

pressatildeo

V bdquo = Iacute ( a bull B Apl4 bolhas 5 ^ 2

p l onde

AP = P L - P v

Expressatildeo que vale quando a aceleraccedilatildeo eacute a da gravidade

baixa viscosidade do liacutequido e bolhas separadas

Vbolha = f t s e atilde m a x para aacutegua

2 bdquo3 - Diacircmetro das bolhas

2gc deg 12 D = 0015 3 ( mdash mdash 7 ~ ) d g Ap

5 =

46

onde

8 = acircngulo de contato (20 a 90deg) geralmente assume-O -1

-se igual a 50 para a agua em contato com metal

24 - Coeficiente de peliacutecula na ebuliccedilatildeo nucleada

a) Equaccedilatildeo de Rohsenow

Esta equaccedilatildeo nos datilde o fluxo de calor q na ebuliccedilatildeo nushy

cleadaraquo E oacutetima expressatildeo para muitos liacutequidos o efeito da presshy

satildeo eacute levado em conta na variaccedilatildeo das propriedadesraquo

Pf

fg

sat 17 = c

sg k y f h f g g( P f-p g)

n033

onae

Pf

fg

Pf Pg c sg

= fluxo de calor requerido (BTUhr0ft^)

= calor especiacutefico do liacutequido saturado (BTUlbm0F)

= calor latente de vaporizaccedilatildeo (BTULbm)

= nuacutemero de Prandtl

= viscosidade do liacutequido (lbrahrraquoft) ~ 8 2

= fator de conversatildeo 417 10 Ibmftlbflaquohr 2

= aceleraccedilatildeo da gravidade (fthr )

= tensatildeo superficial na interface liacutequida vapor

(lbfft) 3

densidade do liquido e vapor (lbmft )

constante adimensiacuteonal que depende de vaacuterios fashy

tores dentre os quais o grau de aquecimento en_

tre o fluido e a superfiacutecie de aquecimento e o

mais importanteraquo Independe da pressatildeo do sistema b) Equaccedilatildeo de Levy

Equaccedilatildeo valida para a aacutegua quando 100 lt p lt 2000 psiacutea

47

43 bdquo3

qu bdquo gat ^ T J h r t f t ^

495

25 - Calculo do fluxo de calor no Ponto de Leidenfrost

0 ponto de Leidenfrost como vimos eacute o ponto em que oflu

xo de calor comeccedila ncamente a crescer isto eacute o ponto onde termal

aa a ebuliccedilatildeo instaacutevel e comeccedila a ebuliccedilatildeo por peliacutecula estaacutevel Eacute

o chanado fluxo miacutenimo (egrave ) m m

Aproximadamente quando A t g u k = 0 temos

A _ mdash _ mdash (Gambill) m m 5

Ha entretanto varias expressotildees para determinar esse flu

xo eis uma delas

A p 14 ltjgt = 009 h pbdquo (o raquo g mdash ) y m m fg P V deg 2

p l

26 - caacutelculo do fluxo de calor na regiatildeo de ebuliccedilatildeo por peliacute

cuia estaacutevel

para cilindros jmdashi i li

_ D 0172 k-V - P V A p h l V bull S 14 li - = 062 (mdashmdash) (- j- r rmdash) convecccedilao A 0 ybdquo (t -t )

c V w sat

onde

= condutividade do vapor

- 2 TT ( mdash )

c gAp Vl = significam vapor e liacutequido respectivamente

para paredes verticais

L 0172 S deg7 A p bull hlV S q 4 h - - 080 (-^-)J- (-Iuml - Iacutemdash-convecccedilao X L u (t - t J)

c V w sat

48

Como nesta regiatildeo jaacute haacute nina influecircncia marcante da radia

ccedilao devemos levar en conta tambeacutem o coeficiente de peliacutecula de

vido a radiaccedilatildeo para determinar o coeficiente de peliacutecula total

Dos estudos atildea radiaccedilatildeo temos

h = a F pound(T 4 - T 4 J ( T ~ T ) rad w sat w sat

onde amp _ emissividade de superfiacutecie

a = constante de Stefan-Boltzman

F = fator de forma

Segundo WE Gambill o coeficiente de transmissatildeo total

ceve ser

3 iacutei = h + -7 h para h lt h t conv 4 rad r rad conv

Na expressatildeo acima existe o fator 34 porque a radiaccedilatildeo

faz variar um pouco a espessura do filme de vapor reduzindo asshy

sim o l l

conv

Quando tivermos h gt h gt o h^ ^ seraacute rad conv total

h f c = h + h t conv rad

Neste ultimo caso nao ha nenhum coeficiente porque a peshy

liacutecula de vapor jaacute eacute estaacutevel

27 - Grandezas caracteriacutesticas para a apua

Para pressatildeo igual a 1 atm = 1422 psia

At ^ = t - t = 5degC (iniacutecio da ebuliccedilatildeo nucleada) sat w sat 1

At t = 30degC sat crit

49

5 2 $ = 4 10 BTUhrft (para pressatildeo 1 atm)

0 fluxo critico cresce como vimos com a pressatildeo ate

atingir o maacuteximo quando a pressatildeo eacute aproximadamente 13 da pressatildeo

criacutetica Esse fluxo eacute

bull = 13 IO 6 BTUhrft 2 para p = 11000 psia (p pound = 32062 psia)

Ainda temos que para pressatildeo igual a 15 psia

h b o = 11000 BTUhrft degF - ebuliccedilatildeo nucleada

h f b = 30 BTUhrft 2 degF - ebuliccedilatildeo pelicular

Todos os resultados e formulas para caacutelculos especiacuteficos

apresentados nos itens 21 22 23 ateacute 27 sacirco aplicados somente

para sistemas onde haja ebuliccedilatildeo com grande quantidade de liquido

51

D - HIDRODINAcircMICA DOS SISTEMAS E QUEDA

DE PRESSAtildeO DENTRO DE UM CANAL

1 HIDRO-DINAcircMICA E QUEDA DE PRESSAtildeO

11 - Hidro-dinacircmica dos sistemas estaacuteveis

111 - Regimes de escoamento

A evoluccedilatildeo do escoamento ao longo de um canal aquecedor

de secccedilatildeo constante ciliacutendrico pode ser esquematizada pela figushy

ra 1 onde temos em abcissa o comprimento z do canal e em ordenada

a temperatura (T)

52

Na figura 1 nos representamos

a) 0 aspecto do escoamento fluido quando a entalpia do

- fluido aumenta Verificamos que o fluido entra no cashy

nal no estado liacutequido e assim permanece ateacute atingirmos a zona de

ebuliccedilatildeo local onde aparecem as primeiras bolhas A entalpia do

fluido continua aumentando e tem inicioa ebuliccedilatildeo franccedila onde as

bolhas se unem formando agregados posteriormente o escoamento to

ma a forma da figura ou seja torna-se anular disperso Finalmente

atingimos duas uacuteltimas fases do escoamento disperso (vapor uacutemido)

e vapor seco

b) A evoluccedilatildeo da temperatura meacutedia do fluido e da tempeshy

ratura da parede Note-se que a partir da cota a

temperatura da parede aumenta brutalmente podendo causar o

burnout

c) A evoluccedilatildeo do tiacutetulo do vapor (x) com o comprimento

do tubo e a evoluccedilatildeo da fraccedilatildeo (a) que definiremos no

item 11laquo2 com o comprimento do tubo

112 - Definiccedilotildees

a) Tiacutetulo ou qualidade do vapor (x)

massa de vapor na mistura x ~ massa total da mistura

x =

W _g_

g f

b) Fraccedilatildeo vazio (void fraction)

volume do vapor na mistura a = volume total da mistura (agua+vapor)

A relaccedilatildeo entre x e a num sistema parado pode ser obtida

assumindo um certo volume contendo 1 lbm de mistura em equiliacutebrio

teacutermicoraquo

53

O volume da mistura seraacute igual a (v + xv ) ft onde v eacute 3 r rg

o volume especifico (lbmft )

f - refere-se ao liquido

g - refere-se ao vapor

fg - refere-se a diferenccedila entre liacutequido e vapor

Numa mistura em equiliacutebrio se o liacutequido e o vapor estatildeo

saturados o volume do vapor presente eacute igual acirc sua massa vezes

seu volume especiacutefico v assim e

xv bdquo bdquo a mdash

V c + XV c

f gf

onde

- bull-bull uumlutiacuteisa vapor na mistura de 1 Ibm

v volume especiacutefico do liacutequido

v = volume especiacutefico do vapor o

V c = v - V

gf 8 r

Fazendo uma transformaccedilatildeo na expressatildeo acima temos

xv xv JS = Z-

v r+ x(v -v c) xv +(l-x)v t ri f g f g f 1 + Ul-x)xjv fv

1 + C(l-x)x]]vfvg

A fraccedilatildeo vazia tem a influencia de baixar a reatividade

do nuacutecleo nos reatores em que o refrigerante eacute tambeacutem moderador

Na equaccedilatildeo acima os valores de x e v sao tomados em tabe

las termodinacircmicas apropriadas para a pressatildeo do sistema A equashy

ccedilatildeo (1) mostra os grandes valores de a para pequenos valores de x

especialmente para baixas pressotildees Isto ocorre porqueaumentando

54

aacute pressatildeo o v decresce muito enquanto que o v f eacute mais ou menos da

mesma ordem de grandeza

Exemplo Calcular o a correspondente para x raquo 2 para aacutegua

leve atilde pressatildeo atmosfeacuterica

Da tabela para p laquobull 1 atm

v - 001672 ft 3lbm e v - 26800 ft 3lbm

1 + [(1-002)002] 001672268

0971 ou 97U

O grafico abaixo mostra a variaccedilatildeo do a com x para vaacuterias

pressotildees e para a aacutegua leve

x ()

tObservaccedilotildees da curva

Fig 2

1 - para x constante a decresce com a pressatildeo Para presshy

sotildees proacuteximas da criacutetica a aproxima-se rapidamente de

x Para a pressatildeo criacutetica as duas fases satildeo indistinguiacuteveis ea=x

2 - para cada pressatildeo dotdx decresce com aumento de x

3 - para baixos valores de x (que e o caso dos reatores

tipo Boiling) quando p decresce dadx cresce e torr

na-se muito grande paacutera baixas pressotildees Isto tem relaccedilatildeo com a epound

55

tabilidade do reator como veremos mais tarde

113 - Sistemas com fluxo

Todas as definiccedilotildees que noacutes vimos no item anterior refeshy

rem-se acirc sistemas em que a mistura esta fechada no recipiente Nes^

te caso natildeo havia movimento relativo entre as duas fases No entan

to se as duas fases da mistura se movem na direccedilatildeo vertical em

canais entre os elementos combustiacuteveis o vapor por causa de sua

flutuaccedilatildeo tem a tendecircncia de escorregar sobre o liacutequido isto e

move-se com velocidade maior do que a do liacutequido

Real Modelo

Pig 3

S -

Define-se neste caso a relaccedilatildeo de escorregamento (slip

ratio) (S) como sendo

V _i

V f

onde

V = velocidade do vapor

= velocidade do liquido

S modifica as relaccedilotildees entre a e x do item anterior S geralmen_

te gt 1 Define-se neste caso qualidade do vapor ou tiacutetulo como

sendo

_ fluxo de massa de vapor

fluxo de massa da mistura

Entatildeo se o fluxo de massa da mistura eacute m t(lbmhr) o flushy

xo de vapor seraacute = x m e o fluxo de liacutequido sera (1-x) m onde x

56

e o titulo do vapor para a particular secccedilatildeo (AL) da figura (3)

Devemos notar que neste caso x varia de secccedilatildeo para secshy

ccedilatildeo do tubo o exposto no paraacutegrafo acima vale considerando-se que

x e a permaneceram constantes na secccedilatildeo de espessura AL

Aplicando a equaccedilatildeo da continuidade as velocidades do va

por e liacutequido sao dadas por

o xm v

V vazatildeo = g g area A

V

(1-x) amp t v f

f A f

onde A e A f sao as aacutereas medias perpendiculares ao fluxo se as

duas fases sao imaginadas completamente separadas uma da outra

(figura 3) Assim temos

V x m v o A_ A v 0 ^ - 2 = iacute S t m _2L- JL JS m

V A (l-x)ui v 1-x A v U

f g t f g f

Sabemos ainda que para a secccedilatildeo considerada

volume do vapor na mistura a = volume total da mistura (agua+vapor)

A AL A pound g g

a = mdash a a = - mdash 1

(A+A )AL A f + g

A ou f _ 1 - a

A a 8

Substituindo em (2) vem

57

Esta expressatildeo pode ser rearranjada e obteremos uma relashy

ccedilatildeo entre x e a levando em conta o escorregamento Chega-se a

a = 1 ( 3 )

1+ [U-x)x3 igt

onde

v 4 laquo -- S

v lty o

Note-se que quando S=l (nao haacute escorregamento) caimos na

expressatildeo dada no item anterior

0 efeito do escorregamento eacute decrescer o valor de a pa_

ra um mesmo xbdquo Isto pode ser visto pela foacutermula (3) pois S gt lLo

go a decresce com acreacutescimo de S

Um alto S e entatildeo uma vantagem tanto para a transferecircnshy

cia de calor como para efeitos de moderaccedilatildeo Eacute uma vantagem para

transferecircncia de calor porque alto S significa alto V e portanto

maior turbulecircncia e maior contato do liquido com as paredes quenshy

tes Ha tambeacutem melhorias na estabilidade da reaccedilatildeo nuclear isto

porque como jaacute dissemos quando mdash7 diminui a estabilidade aumenshy

ta isso pode ser verificado observando a curva a versus x para a

agua leve a 1000 psiabdquo

Fig 4

58

A relaccedilatildeo entre x e a da equaccedilatildeo (3) so vale para secccedilatildeo

de tubo bem pequena

Devemos notar que S varia tambeacutem com a pressatildeo e velocida^

de de entrada do liacutequido no tubo Este efeito pode ser observado na

figura 5 abaxxo obtida esperimentalmente

s

3

~^ ~ psig

x = 001

V 1

Fig 5

Nos projetos de reatores como veremos adiante o valor a

geralmente eacute determinado por consideraccedilotildees nucleares (moderaccedilatildeo) 0

valor de S eacute determinado atraveacutes de uma estimativa ou entatildeo atrashy

veacutes de um graacutefico do tipo da figura 5 0 correspondente valor de x

pode ser obtido de uma foacutermula empiacuterica do tipo

1 = 1 (-S)0gt67

proposta por Von Glahn

Em muitos casos assume-se S constante em todo o comprimeiv

to do canal poreacutem eacute um erro que em muitos casos nao pode ser coshy

metido

4 REATORES EM QUE 0 LIacuteQUIDO B MODERADOR E CIRCUITO PRIMAacuteRIO AO

MESMO TEMPO BOILING-REACTOR (BWR)

A aacutegua ao se movimentar atraveacutes dos vaacuterios canais do

59

Boiling-reactor encontra vaacuterias resistecircncias ao fluxo que provoshy

cam uma reduccedilatildeo de pressatildeo no fluido

As duas perdas mais importantes sao perda de pressatildeo por

atrito e perda de pressatildeo causada pela aceleraccedilatildeo do refrigerante

ao aumentar de volume por receber calor num canal Outras perdas

de pressatildeo seriam a obstruccedilatildeo ao fluxo por corpos submersos (espa_

ccediladores juntas de tubos chaves etc) e por mudanccedilas abruptas de

aacuterea de fluxo tanto na entrada como na saiacuteda do tubo

Essas perdas de pressatildeo devem ser conhecidas o melhor popound

sivel principalmente nos reatores BWR Para tanto devemos saber

o comprimento de canal em que nao ha a ebuliccedilatildeo isto eacute qual o com

primento de canal em que o refrigerante vai da temperatura de sub-

resfriamento ate temperatura de saturaccedilatildeo

Seja o elemento combustiacutevel

Aquecimento Uniforme Aquecimento Senoidal

Fig 6 Fig 7

onde

H =

H = o

H b

comprimento do elemento combustiacutevel

cota onde o liquido se torna saturado

comprimento do elemento combustiacutevel em que ocorre

ebuliccedilatildeo

60

qg = calor sensiacutevel acrescentado ao liquido para satushy

raacute-lo

qfc = calor total acrescentado ao liacutequido em todo o com

primento do canal

laquoo

q s J o qiquest sen (IIzH) n H o

T~ = TH = 2 ( 1 c o s gt ( a )

q 1 sen (HzH) Jo ^c

A expressatildeo (a) vale quando tivermos uma adiccedilatildeo de calor

senoidal para qualquer outra forma de adiccedilatildeo de calor faz-se um

caacutelculo anaacutelogo

Outra relaccedilatildeo entre q g e qfc eacute dada pela termodinacircmica

q h- - h s f m (b)

(hr +x h )-hm ^t f e fg

onde

= entalpia para o liquido saturado a pressatildeo correjs

pondente (cota z = Ho)

hffi = entalpia do liacutequido na entrada do canal

x = tiacutetulo do vapor na saiacuteda

= entalpia do vapor

Com a relaccedilatildeo (b) noacutes determinamos a relaccedilatildeo q q ecom

S L

uma relaccedilatildeo do tipo (a) (conforme seja o adicionamento de calor ao

liacutequido) podemos obter a relaccedilatildeo HoH e consequentemente H^H

21 - Perda de pressatildeo num canal de evaporaccedilatildeo

Neste item iremos determinar as perdas de pressatildeo mais

representativas que ocorrem num canal de evaporaccedilatildeo de um reator

P + dP

bull1 i- 1 gti i i

dL

onde

UM

Icirc H Icirc Icirc T dF f t f

61

Quantidade de Mov na Entrada

= i- rigVg)

dF f l

Fig 8

m i

m 8

V l V 8

A P

dF

dF

dF

fg

fl

ftf

descarga do liacutequido

descarga do vapor

velocidade do liquido

velocidade do vapor

aacuterea transversal do canal

forccedila de atrito do vapor com parede

forccedila de atrito do liacutequido com parede

forccedila de atrito das duas fases liacutequido+vapor

Fazendo o balanccedilo das forccedilas considerando o sentido posjL

tivo na vertical temos

A (P-P-dP)-(dF +dF _+dF _)-(-pound-) (p A+p A )dL = mdash dGnV+m V ) P fg ftf fl g c 1 1 g g g c

v 1 1 g g 7

- dP = ~ (dF +dF--+dF)+- S--7=- (p A+p A )dL+ mdash ~ - d (m-V+m V ) A_ fg ftf fl g c Ap v^l 1 g g g A 11 g g

Fazendo a integraccedilatildeo termo a termo entre os dois extreshy

mos entrada e saiacuteda e considerando a pressatildeo de entrada igual a

P q e a de saiacuteda igual a Pe vem

Quantidade de Mov na Saiacuteda

-= h I- lY l+ A g V g + d ( aacute l V l + aacuteeVl

Forccedila de Gravidade

= ( g f - N P A + P g V

62

b) r e F f l

o p dp^ = Ap^ = perda de pressatildeo por atrito

do liacutequido na altura Ho

Aplicando a formula de Darcy vem

bull API = f bull ir bull ^ iexcl 7

onde

f = fator de atrito

c) e Fftf

o p ^P tpound

= perda de pressao por atrito da mistura

liquido + vapor no trecho de comprimen

to Hbdquo o

Para determinar esta perda de pressao define-se o fator

de multiplicaccedilatildeo R

A P R =

tf A P 1B

Sendo A p ^ a perda de pressao se o comprimento todo fosshy

se ocupado somente pelo liquido assim

A p t f = R A P 1 B

0 calculo de Ap-^ pode ser feito pela formula de Darcy e

o de R nos veremos no item seguinte

63

d)

-e F

d ( ^ )

O P

Ap = perda de pressatildeo por atrito do vapor

No caso do reator BWR o titulo de saida e bera pequeno e

em nenhum caso ocorre a saida de vapor com x = 100 logo a perda

de pressatildeo por atrito do vapor eacute nula assim

An = 0 5

e) Ap

(p A 1 + p A ) dL = Ap - perda de pressatildeo dpound

vida ao desniacutevel

(perda hidrostaacutetica)

Anbdquo = re A A

-S- I (p + p -S ) dL H s 1 A

c o p o A

como A A Jl_ =

A P

A +A-g 1

1-a -

temos

C Q

te j jll-a)p1 + apg)^jdL = p Lo pound

onde

e jo u

+ ap ) ~I dL (Densidade media 1 S J

no tubo)

No nosso caso

Ap u = p H

f)

re d(mV + m V ) _ mdash - laquo -i bull s iquestp laquos p e r d a ltje pressatildeo devido a acele-

c p raccedilatildeo do vapor

V A

(1-x) tl^Vj

(1-a) A

X V

aA

A p -

roV + m V

c p c p L_

m (l-x)m_v m xv nbdquo -1 T 1

+ _S S I (1-a) Ap aA

P

2 g A c p

n 2 2

(1-x) m T

laquo2 8 A c p

2 2 (l-xe) raTv1

2 2 2 xm_v (1-x) m-v e T s o 1 1

a 1 - a

2 2 - x m_v o T g

a

se

X Q 0 (so ha agua nesse trecho)

a = 0 o

temos

mbdquo Ap =

1 a A 2

S A degc p laquo-

tt-V v i 1 - a

2 via T^r - v i

t Apc

2

V v l

5c Ap

1 - a

x v - 1

a e v l

65

Fazendo

G = fluxo total da massa por unidade de area do

canal

(1-x J e

V

AP r

Assim a perda de pressatildeo total sera

H p V II pV r2 P -P = f -24-Iuml+ f R+p 0 1 2g c D e 2g c g c g c

2c2 - Determinaccedilatildeo do fator de multiplicaccedilatildeo (R)

221 - Relaccedilatildeo Martinelli-Nelson

Os autores Martinelli-Nelson determinaram experimental -

te esse fator R para varias LIT1L em funccedilatildeo da pressatildeo e da r NB total J v

qualidade de saiacuteda do vapor no canal Construiacuteram assim vaacuterias

curvas do tipo da figura 9

66

E importante notar que a qualidade do vapor (x) na saiacuteshy

da nao deve ser grande pois como vemos o valor de R cresce muishy

to com um aumento pequeno de x e um valor de R muito grande acar_

reta uma perda de pressatildeo grande pois

^ d u a s fases R ^ f a s e liacutequida

Para resolvermos um problema seguindo o criteacuterio de bdquo

Martinelli escolhemos a curva R = f(px) (para a relaccedilatildeo L

N g ^ j

adequado) e tiramos R com os valores de pressatildeo p e tiacutetulo x

As curvas R = f (p x L T t )IO encontram-se nos ANL 6469 bio I

e 6561

222 - Relaccedilatildeo Lottes-Flinn

Estes autores estudaram o problema para o aquecimento uni

forme do refrigerante com baixo titule Lottes-Flinn fizeram inuacuteshy

meras experiecircncias e verificaram que para fluxo de calor uniforshy

me e baixos titulos R era independente do fluxo de calor fluxo

do refrigerante escorregamento e apenas funccedilatildeo de a g

Como a quantidade de liacutequido eacute muito maior que a de vashy

por a perda de pressatildeo daacute-se principalmente pelo atrito do liacuteshy

quido com a parede Podemos assim escrever a foacutermula de Darcy

na forma diferencial

dz

d = f __ r e amp c

onde

V = velocidade do liquido saturado na cota zbdquo X

f = coeficiente atrito

= densidade do liacutequido saturado

Teoricamente a queda de pressatildeo deve-se ao acreacutescimo de

67

velocidade do liacutequido e da diminuiccedilatildeo da aacuterea de fluxo do liacutequi

do

P fH A P t p

= f D 2g Ho

d z

fazendo

V lo

m V t lo

(velocidade do liacutequido na cota z = Ho)

(1-x) m t v 1

(1-a) A (velocidade do liacutequido na cota z gt Ho)

a bull+ fraccedilatildeo vazio na cota z geneacuterica

V 1 (1-x) m t v 1

m t V l 1 - a

x =s 0 pois o tiacutetulo eacute baixo

A p t f = f bull JT5 c e

fH V lo

H o (1-a) dz

Para fazer a integral devemos achar a relaccedilatildeo de variaccedilatildeo

entre a e z Como o fluxo de calor eacute uniforme a qualidade eacute direshy

tamente proporcional a z

bull laquo x = x e H

z = mdash x X e

Sabemos ainda que (item 113)

x

1 + [ ( I -X)AKQ x + iiacuteraquo

68

como

temos

(1-x) = 1

v

X =

z =

1-a

1 -a

1-a e

a

e

1-a pound

a

1 -a igt (assumindo S = cte)

da

Atf - f bull 2 i ^ ~ J c e o

a 1 - a e e 1 s 4 hmdash) da

a 1-a

f P lv^ Q

0 termo mdash - mdash e a parte de perda de pressatildeo pelo lj^

^c e -quido ou seja Ap liquido saturado e como

Ap

R = tf

Ap liauido saturado

temos que

R J

f ae 1 _ a e 1 4

a 1 -a o e

1 -a r-R =

3 1 -a

a 1 -a imdash

3 vl - a 3

e e

Os valores de R obtidos por esta expressatildeo aproximam-se

muito dos valores obtidos pelos aacutebacos de Martinelli

69

E - EXPANSAtildeO E COMPRESSAtildeO DE UM FLUIDO - ANAacuteLISE HIDRODINAcircMICA

DE UM CIRCUITO EM CIRCULACcedilAtildeO NATURAL

1 EXPANSAtildeO NO FLUXO DE UM FLUIDO

11 - Uma so fase

Figura 1

Ha vaacuterios meacutetodos para determinar a variaccedilatildeo de pressatildeo

numa expansatildeo de fluido estudaremos o de Romie que eacute o que daacute

maior precisatildeo

Romie considera que a pressatildeo p^ tambeacutem atua na aacuterea

imediatamente apos a expansatildeo Assim fazendo o equiliacutebrio das foi

ccedilas nas secccedilotildees tracejadas da figura 1 temos

mVj

p r A 2 + mdash

mV

bull 2- A2

mas

m = pV^A^

pV^A = p V 2 bdquo A 2

V A

v 2 -4r-logo

( P l-P 2) A 2 = f ( V ^ ) - f _ v j amp c c 2

70

2 pV A A pV A A

Chamando A l A ]

K = 1 - T e degi2 = Aiexcl bull V E M

pvj

P l P 2 = T ~ bull ( 2 deg 1 2 ) ( 1 _ a 1 2 )

Outra maneira de chegar atilde diferenccedila de pressatildeo ( P j - ^ ) s mdash

ria usar o coeficiente de perda da mecacircnica dos fluidos Assim o

equilibrio das pressotildees eacute

2 2

1 V l 1 V 2 V l P i + _ p _ ^ P 2 + I p ~ + k 1 2 p mdash

onde = coeficiente de perda

A 2 1 2

k 1 2 - (l-o 1 2) - (1 - j- )

Fazendo as transformaccedilotildees chegamos a mesma expressatildeo obshy

tida pelo balanccedilo das forccedilas

PraquoIacute pr p

2 - - ir ^ laquo-ia

12 - Duas fases

Como ha duas fases a equaccedilatildeo do balanccedilo das forccedilas fica

um pouco alterada

m pound 1 V- m - raquoV - m-V- m bdquoV _ P A + j y ^ i + _gl_JUuml P A + -11-11 + -ilsl (a)

1 2 e R 2 2 ff e

Sabendo que

71

m (1-x) m t = p fA (1-a) V f

entatildeo

fl l-o^ p fA x

6 Vf2 1-x l-a2 P fA 2

m V = mdash mdash e V 0 = gl a 1 P C T A 1 g2

m

a_ p h

2 g 2

Nas expressotildees anteriores o x nao varia porque a expansatildeo

5 adiabaacutetica porem o a varia devido a modificaccedilatildeo do tamanho da

bolha

Substituindo os valores das velocidades na expressatildeo (a)

vera

( P - P ) Abdquo =

2

2 2 m gt2 2 m t (1-x) 1 x t

ra i 2 m i 1 x t 1

p fA 1 g c ttl p Ax gpound

m t P - P = mdash

(1-x) (l-a 1)A 1A 2 (l-a2)A|

a r A r A 2

V A 2

m t P bdquo - P = mdash 2 1 g c A r A 2 p f

(1-x) 1-a f A 2(l-a 2)

bull ^ 2

72

Se

P -P

a

m

g

12

1 _1_ (1-x)

J12

1 _ a l 1 - a 2 + X (- )

Pg

1 deg12 a 2 ^

Sabemos que

mt = V o pf laquo A l

Sendo V q = velocidade do liquido num ponto onde natildeo haja vapor

P 2-P 1

u 2 2 A 2

V pr Ai

V W p f

(1-x) 12

l-a1 l-a2

+ X 2 pf

mdash

l deg12

-1 a 2 _

p -p r 2 Al (2a 1 2)

2 M f w 1 deg12 X (mdash) (

pg al a 2 )+(l-x)C l 1 12

1-a^ l-a2

Devemos notar que esta expressatildeo tambeacutem vale para quando

temos uma fase para isso basta fazer

= c t 2 = 0

X = 0

e recairemos na formula do item anterior

2 pf 1 deg12 Observemos que neste caso o termo x (mdash)( ) nao

Pg al a2

2

73

tem significado pois corresponde a mudanccedila de fase

2 CONTRACcedilAtildeO KO FLUXO DE UM FLUIDO

21 - Uma so fase raquo mdash

Aqui ocorre um fenocircmeno importante pois o fluido ao ser

contraiacutedo nao vai diretamente da area A^ para a area A 0 mas ele

contral-se ate uma area A^ e depois expande-se ate k^

Ao A2

Po IP 2

V 2

Figura 2

Fazendo o equiliacutebrio das pressotildees entre os planos (1)

(0) vem 2 2

pV pV p +~ plusmn - P + i deg bull 1 2 g o 2 g (b)

C x

Fazendo equiliacutebrio da expansatildeo (0) - (2) vem

P o + 2 - f = P 2 + 2 -T + kp- 2 F ( c )

c c b C

Subtraindo (b) - (c)

2 2 2

i p- vj i p- v2 L P l + 2 bull g c

P 2 + 2 2g c

+ k P 2g c

74

Como

P - P = mdash 2 2g

2 2

bull (1 + k) - f bdquo mdash i

k a - f2 ) 2 - d - o c )2

= o

A = a 21

Weisback obteve varias relaccedilotildees entre a e a i] c

01 02 03 a 0624 0632 0643 c

0624 0632

A r v i - V v 2

p -p 1 2

P -P 1 2 2g7

v l =

(1+k) - laquofi- a 2g 21 c

( 1 + k - o 2 1)

X[- V 2 o 2 1V 2

22 - Duas fases

0 valor de k pode ser aproximado para

k = a(l - o 2 1)

onde segundo Richardsons para fluxo de duas fases podemos supor

a = 02

Para fluxo homogeacuteneo sabemos que

75

p = p f (1 -a ) + p o a

podemos supor p bdquo a = 0 pois p e pequeno e fazendo

V = V ~ V fbdquo2 go2 v 2

Substituindo estas duas expressotildees na equaccedilatildeo de uma soacute fase vem

2 2 p V (l-ct) p V (1 -a ) bdquo

P l P 2 = 9g ( 1 + 3 - 3 0 ^ - 0 ^ ) = g (a+1) (l-a^)

Se a = 02

2 12p oV 0

p r p

2 - 9g gt d-) d-sigt

A compressatildeo de um fluido acarreta uma perda de pressatildeo

como pode ser verificado pelas formulas uma vez que lt 1deg

3 ANALISE HIDRODINAcircMICA DE UM CIRCUITO EM CIRCULACcedilAtildeO NATURAL

Esquema deacute uma caldeira com circulaccedilatildeo natural

76

Determinar a velocidade em (7) para que tenhamos circula

ccedilatildeo natural Determinar tambeacutem as perdas de pressatildeo em todos os

trechos da caldeira

31 - Contraccedilatildeo das secccedilotildees (1) - (2)

Como jaacute vimos a equaccedilatildeo do balanccedilo das pressotildees eacute

1 pr Vl 1 p 2 o V 2 P2 V2

1 2 g 2 + 2 g + K12 2g otilde c amp c e c

bullraquo 2 o2 2 e havendo uma soacute fase k 1 9 = (l-o ) = (1 mdash ) e sendo

C 2

p l = p2

v x lt lt lt v 2

P 2 V pr p2 bull ir2 bull ( 1 + k12gt

Colocando em termos de temos

A 2 V 2 P 2 = A 7 V 7 p 7 (continuidade)

V = V mdashbull = V o_bdquo ~ A 2 2 2

P 2 V - p 2

p r p 2 = ir2 - deg72 bull Ccedilrgt bull lt 1 + ki2gt

fazendo

N12 - lt^gt deg72 ( 1 + k12gt

P7 V7

Pr P2 - N12 bull HG

77

3 2 - Perda de carga no trecho ( 2 ) - ( 3 )

Como haacute apenas uma fase soacute temos perdas por atritos e

perdas hidrostaacuteticas

Sendo como jaacute vimos

2 3 p 2 2 g P 2 P 3 = f 2 3 (r~2g^~) L 2 3 g c p

atrito hidrostaacutetica

Substituindo V^ pela relaccedilatildeo do item anterior e tendo em

conta que p = vem

P -P = f 2 r 3 2 3 D

2 3 p 2 bdquo 2 2 p 7 2

2 g 7 72 p 2 3 g

Se

L 2 3 2 p 7

2 3 2 3 D 2 a 7 2 p 2

P 7 V 7 g P 2 - P 3 = N 2 3 ( mdash gt p 2 L 2 3 f

3 3 - Expansatildeo nas secccedilotildees ( 3 ) - ( 4 )

Como vimos o balanccedilo das pressotildees e

2 2 2 p V p 4 V p V

P 3 + 2 g c

P 4 + 2 g c

+ k 3 4 2 g c

onde

k 3 4 - - -

2 2 1 P 4 - V 4 P 3 v 3

P 3 P 4 = 2 g + ( k 3 4 _ 1 ) 2 g

78

Sendo

P 3 - P 4

p 3 o A 3 deg V 3 = P 7

a A 7 o V 7

P 4A 4 0V 4 = P r A r V

3 7 A 3 p 3

A7 P7 V = v mdash mdash 4 7 P 4

P - P 3 r4

Se

P bdquo - P

bdquo2 r-P 7 V 7

3 4 2g deg74 + ( k 3 4 1 ) deg73

34 p deg74 + ( k 3 4 1 ) 73

p r v2

P3- P4 ^ N34 ^ gt

(No caso e negativo)

34 - Contraccedilatildeo nas secccedilotildees (5) - (6)

Ainda temos uma so fase e fazendo o balanccedilo das pressotildees

como fizemos no item 3lt1 vem

P + vil p + vi + k vi P 5 + 2gbdquo P6 + 2gbdquo + k56 2gbdquo

k 5 6 lt 1 ^ gt 2 ( 1 - Iacute 2 i 2 6

V V6 P5degIacute 5^6 ^SS 2g c - 2g c

P - P ^ = (1+kJ

Como

79

A 6

W p 5 =

VV P6 V 5 = V 6 Jiexcl = Vff65

P 5-P 6 - lt H k 5 6 ) mdash ^ mdash (l+k 5 6-a 6 5) c c c

Sendo

Se

A 7 p 7 p 7

6 7 Ag p 6 7 76 p 6

p _p _ P6- V7- g76 iquest72 ( _ 02 P 5 P 6 2g c bull ( p 6

( 1 + k 5 6 deg65 )

p 7 2 2 N56 = p ^ deg76 ( 1 + k 5 6 ~ a 6 5 )

P 7 V 2

7

P r-P = N r 5 6 56 2g c i

35 - Perdas de pressatildeo nas zonas (6) - (7) - Pre^aquecimento

Nesta regiatildeo temos perdas por atrito e hidrostaacuteticas

Nao haacute perda por aceleraccedilatildeo pois ainda natildeo houve formaccedilatildeo de boshy

lhas

Fazendo balanccedilo das pressotildees temos

L_ ppound-V p = p + otilde L - pound _ + f -Si (-21mdashL 6 7 + p67 L67 g + t 6 7 D K 2g

p _ e ifn sao tomados como valores meacutedios 67 67

P _p _ f hl ^67jIacute uuml + - L A

6 F 7 r67 D 2g P P67 L67 g 6 s c 7 c

S e Kr pound67 L67 p67 6 7 D 6 p7

p7 V - _g_ P6- P7 - N67 mdash + P67 L67 f

c c

80

36 - Perda de pressatildeo nas zonas (7) - (8) - Zona de ebuliccedilatildeo

Nesta regiatildeo j aacute temos o aparecimento de bolhas logo a

perda de pressatildeo seraacute devida agraves t recircs parcelas aceleraccedilatildeo a t r i t o

das duas fases liacutequidas + vapor e h idros taacute t ica

onde

Assim

P-P Q = AP + AP + APbdquo 7 8 a t r i t o acel H

T M1

78 p 7 7 AP - R f- - mdash mdashr |R = fator mult ipl ica-

a t r i t o 7 D 7 2 g c L tivo

G 2

AP bull r mdash acel g c

P V

|_1 - o a p J 8 P f

2 t r 2 M2

7 7 r 7 7 A P a c e l = -J^mdash 2 r bull p 7 lt T iexcl iexcl - )

A PH p 7 8 L 7 8 fiexcl

p 7 8 iacute 7 li 1 0 0 P l i q + a P v ] d L = P 7 ( 1 - laquo 7 8 )

ag raquo fraccedilatildeo de vazio media entre 7 e 8

APH = p (1 - 5 7 g ) f- L 7 8

2 2

P 7 - P 8 a 5 - 2 T i + 2 r p 7 + P 7 ( 1 - 7 8 gt f L 7 8 7 amp c amp c amp c

81

N 7g = R mdash + 2 r p 7

P7 V7 P7- P8 = N78 + P 7 ( 1 5 7 8 gt J78

37 - Expansatildeo nas secccedilotildees 8 e 9

No caso haacute uma expansatildeo com duas fases e como vimos no

item 12 a variaccedilatildeo de pressatildeo era dada por

0f Vo P2 P1 = ~2g c ( 2 deg12

x 2 (mdash)(mdash - mdash ) + ( l - x ) 2 ^ T mdash 8 1 2 1

12

Aplicando ao nosso caso

P pound = P 7

P -P = 8 9

V - V raquo V g f 7

P 7 V 2

2 pf 1 a89 2 1 g89 x (mdash) ( ) + (1-x) (- - N

o ou abdquo 1-cu l-ot_) g 8 9 8 9

Se

N 89

= 2 a 89

2 pf 1 deg89 2 1 CT89 x (mdash) ( ) + (1-x) ( T

g 8 9 8 9

P -P = 8 9

- N P7deg V7

89 2gbdquo

38 - Perda de pressatildeo no trecho 9 e 10

No referido trecho temos apenas perda de pressatildeo por atr L

to da fase liacutequido + vapor e perda hidrostaacutetica Natildeo haacute perda por

aceleraccedilatildeo do vapor pois este natildeo recebe mais calor e portanto

o 82 o

nao ha variaccedilatildeo no a

p

Q -p i n = A P

U + A P bull 9 10 H atrito

n T -S_ P9 U10 deg 910 bull g

fio r

910 I 910

J9 L

(l- a)P + Q P I dL liq v

(l-a0) p

No caso a = (nao hatilde variaccedilatildeo de forma)

A P H - (1-a ) P (p L 0

c

AP bdquo = R o

atrito

2 f9 o L910 P9 V9

2g

Supondo

= V

P 9 = P 8 P 7

vbdquo = v 9 8 0 A r

= V 7 bull deg89

AP - R atrito

2 2

W l O p7deg V7deg g89

V P10 R -^T^ bull deg89 bull li-2 + ( W P 7 (fgt SIO

y c c

Se

- f9 L910 2 N9ol0 R Dl deg89

w 2

p rv P9 P10 = VlO + ( 1 a 9 ) p7 (f gt L910 c

33

39 - Perda ciacutee pressatildeo na expansatildeo 9 - 1 0

Analogamente a expansatildeo 8 - 9 temos

10 11 P 7 2g

10 Iacute 2 0 1 0 - 1 1 gt

2 ff

pg aio

10-11

laquo11 ) +

Ll-a 1 0 bull l-a u J

Se

V10 = V 9 = V 8 bull T9 = V 7 deg89

P -P 10 rll = - a 2g 089 ^lO-ll

4 bull T~ bull (7 1 mdash ) + Pg degio a n

+ (l-x)2(- 1 10-11

1 - aio )

N10-ll = 2 a10-ll a89 2 pf t 1 10-11 N2

-(j-r- - ) bull+ (1-x) pg aio deg 1

10-11 k l - a io

prz P10 Pll = - N10-ll bull ( 2gbdquo

310 - Calculo de V

Fazendo a somatoacuteria de todas as expressotildees (P^-Pj) tere-

84

mos 2 PbdquoV_

P bdquo - P bdquo = N 7 v 7

1 2 12 2g

bull 2 - P 3 - = N 2 3 P 2 L 2 3 f c ccedil

9 P 7 V 7 P _p = N mdash -

3 4 34 deg 2g

V P 5 = deg

2 P V

5 6 56 2 g c

ltr2

P 7 -V 6 e7 -N67 2g + p 6 7 J j67 g

c bc v 2

P 7 - P 8 = N 7 8 - 2 i ~ + p 7 ( 1 - laquo 7 8 ) L 7 8 c

P 7 V 7

P - P - -N mdash - -8 9 89 2g

c P 7 V 7

P 9 ~ P 1 0 VlO 2g + ( 1 a 9 P 7 L 9 c

P 7 V 7

bull10 11 U10-ll 2g

P v iacute j P - P

1 11

7 - v 7 3 bull r

2 8 i U L 2 23 67

(l-5 7 8) L 7 8 + ( l - laquo 9 ) P 7 bull SlOtilde]- ^

Por ou t ro lado sabemos que como secccedilotildees 1

mesmo n iacute v e l

85

s c p r v 7 j

28 Z N i ij

= P 2 L23 p67 L67 P 7 ( 1~deg78 )

78 ~ ^g) bull P 7 bull L 910 g_

V - 2 g ( p r L 2 3 - p 6 r L 6 7 - p 7 ( l - atilde 7 8 ) L 7 8 - (l-a9) p L 9 a ( )

y N

Com esse valor de podemos determinar todas as variashy

ccedilotildees de pressatildeo (P^-P )

BIBLIOGRAFIA

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tituto de Energia Atocircmica de Sao Paulo em 1966 (roteiro)

- WR Gambill - Nuclear Safety

Vol 9 - n9 5 e 6

Vol 6 - n 2 (pag 152)

Vol 4 -r n9 1 (pag 30)

Volbdquo 5 - n 2 (pag 151)

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- Jakob Max - Heat Transfer (vol I)

Mc Adams - Heat Transmission

- Paul A Lottes - Argonne National Laboratory

- AKL - 6469

- ANL - 6561

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Frank Kreith - Principles of Heat Transfer

Journeacutees Internationales de la transmission de la chaleur

Seminaacuterios realizados em Paris em 1961 sob a supervisatildeo do

Prof Marcel Veron

Notas de aula da Cadeira de Termodinacircmica I e Transmissatildeo da

Escola Politeacutecnica da Universidade de Sao Paulo

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45

k l

h nc

onde

k^ = condutividade teacutermica do liacutequido

h = coeficiente de peliacutecula nc r

Segundo Eckent h ^ c e dado por

P 2 Q

nc 3 V VP + 0952

r

onde

D = diacircmetro equivalente

G r = numero de Grashoff

P = nuacutemero de Pradtl

2 o 2 - Velocidade das bolhas

A velocidade das bolhas em meacutedia pode ser dada pela exshy

pressatildeo

V bdquo = Iacute ( a bull B Apl4 bolhas 5 ^ 2

p l onde

AP = P L - P v

Expressatildeo que vale quando a aceleraccedilatildeo eacute a da gravidade

baixa viscosidade do liacutequido e bolhas separadas

Vbolha = f t s e atilde m a x para aacutegua

2 bdquo3 - Diacircmetro das bolhas

2gc deg 12 D = 0015 3 ( mdash mdash 7 ~ ) d g Ap

5 =

46

onde

8 = acircngulo de contato (20 a 90deg) geralmente assume-O -1

-se igual a 50 para a agua em contato com metal

24 - Coeficiente de peliacutecula na ebuliccedilatildeo nucleada

a) Equaccedilatildeo de Rohsenow

Esta equaccedilatildeo nos datilde o fluxo de calor q na ebuliccedilatildeo nushy

cleadaraquo E oacutetima expressatildeo para muitos liacutequidos o efeito da presshy

satildeo eacute levado em conta na variaccedilatildeo das propriedadesraquo

Pf

fg

sat 17 = c

sg k y f h f g g( P f-p g)

n033

onae

Pf

fg

Pf Pg c sg

= fluxo de calor requerido (BTUhr0ft^)

= calor especiacutefico do liacutequido saturado (BTUlbm0F)

= calor latente de vaporizaccedilatildeo (BTULbm)

= nuacutemero de Prandtl

= viscosidade do liacutequido (lbrahrraquoft) ~ 8 2

= fator de conversatildeo 417 10 Ibmftlbflaquohr 2

= aceleraccedilatildeo da gravidade (fthr )

= tensatildeo superficial na interface liacutequida vapor

(lbfft) 3

densidade do liquido e vapor (lbmft )

constante adimensiacuteonal que depende de vaacuterios fashy

tores dentre os quais o grau de aquecimento en_

tre o fluido e a superfiacutecie de aquecimento e o

mais importanteraquo Independe da pressatildeo do sistema b) Equaccedilatildeo de Levy

Equaccedilatildeo valida para a aacutegua quando 100 lt p lt 2000 psiacutea

47

43 bdquo3

qu bdquo gat ^ T J h r t f t ^

495

25 - Calculo do fluxo de calor no Ponto de Leidenfrost

0 ponto de Leidenfrost como vimos eacute o ponto em que oflu

xo de calor comeccedila ncamente a crescer isto eacute o ponto onde termal

aa a ebuliccedilatildeo instaacutevel e comeccedila a ebuliccedilatildeo por peliacutecula estaacutevel Eacute

o chanado fluxo miacutenimo (egrave ) m m

Aproximadamente quando A t g u k = 0 temos

A _ mdash _ mdash (Gambill) m m 5

Ha entretanto varias expressotildees para determinar esse flu

xo eis uma delas

A p 14 ltjgt = 009 h pbdquo (o raquo g mdash ) y m m fg P V deg 2

p l

26 - caacutelculo do fluxo de calor na regiatildeo de ebuliccedilatildeo por peliacute

cuia estaacutevel

para cilindros jmdashi i li

_ D 0172 k-V - P V A p h l V bull S 14 li - = 062 (mdashmdash) (- j- r rmdash) convecccedilao A 0 ybdquo (t -t )

c V w sat

onde

= condutividade do vapor

- 2 TT ( mdash )

c gAp Vl = significam vapor e liacutequido respectivamente

para paredes verticais

L 0172 S deg7 A p bull hlV S q 4 h - - 080 (-^-)J- (-Iuml - Iacutemdash-convecccedilao X L u (t - t J)

c V w sat

48

Como nesta regiatildeo jaacute haacute nina influecircncia marcante da radia

ccedilao devemos levar en conta tambeacutem o coeficiente de peliacutecula de

vido a radiaccedilatildeo para determinar o coeficiente de peliacutecula total

Dos estudos atildea radiaccedilatildeo temos

h = a F pound(T 4 - T 4 J ( T ~ T ) rad w sat w sat

onde amp _ emissividade de superfiacutecie

a = constante de Stefan-Boltzman

F = fator de forma

Segundo WE Gambill o coeficiente de transmissatildeo total

ceve ser

3 iacutei = h + -7 h para h lt h t conv 4 rad r rad conv

Na expressatildeo acima existe o fator 34 porque a radiaccedilatildeo

faz variar um pouco a espessura do filme de vapor reduzindo asshy

sim o l l

conv

Quando tivermos h gt h gt o h^ ^ seraacute rad conv total

h f c = h + h t conv rad

Neste ultimo caso nao ha nenhum coeficiente porque a peshy

liacutecula de vapor jaacute eacute estaacutevel

27 - Grandezas caracteriacutesticas para a apua

Para pressatildeo igual a 1 atm = 1422 psia

At ^ = t - t = 5degC (iniacutecio da ebuliccedilatildeo nucleada) sat w sat 1

At t = 30degC sat crit

49

5 2 $ = 4 10 BTUhrft (para pressatildeo 1 atm)

0 fluxo critico cresce como vimos com a pressatildeo ate

atingir o maacuteximo quando a pressatildeo eacute aproximadamente 13 da pressatildeo

criacutetica Esse fluxo eacute

bull = 13 IO 6 BTUhrft 2 para p = 11000 psia (p pound = 32062 psia)

Ainda temos que para pressatildeo igual a 15 psia

h b o = 11000 BTUhrft degF - ebuliccedilatildeo nucleada

h f b = 30 BTUhrft 2 degF - ebuliccedilatildeo pelicular

Todos os resultados e formulas para caacutelculos especiacuteficos

apresentados nos itens 21 22 23 ateacute 27 sacirco aplicados somente

para sistemas onde haja ebuliccedilatildeo com grande quantidade de liquido

51

D - HIDRODINAcircMICA DOS SISTEMAS E QUEDA

DE PRESSAtildeO DENTRO DE UM CANAL

1 HIDRO-DINAcircMICA E QUEDA DE PRESSAtildeO

11 - Hidro-dinacircmica dos sistemas estaacuteveis

111 - Regimes de escoamento

A evoluccedilatildeo do escoamento ao longo de um canal aquecedor

de secccedilatildeo constante ciliacutendrico pode ser esquematizada pela figushy

ra 1 onde temos em abcissa o comprimento z do canal e em ordenada

a temperatura (T)

52

Na figura 1 nos representamos

a) 0 aspecto do escoamento fluido quando a entalpia do

- fluido aumenta Verificamos que o fluido entra no cashy

nal no estado liacutequido e assim permanece ateacute atingirmos a zona de

ebuliccedilatildeo local onde aparecem as primeiras bolhas A entalpia do

fluido continua aumentando e tem inicioa ebuliccedilatildeo franccedila onde as

bolhas se unem formando agregados posteriormente o escoamento to

ma a forma da figura ou seja torna-se anular disperso Finalmente

atingimos duas uacuteltimas fases do escoamento disperso (vapor uacutemido)

e vapor seco

b) A evoluccedilatildeo da temperatura meacutedia do fluido e da tempeshy

ratura da parede Note-se que a partir da cota a

temperatura da parede aumenta brutalmente podendo causar o

burnout

c) A evoluccedilatildeo do tiacutetulo do vapor (x) com o comprimento

do tubo e a evoluccedilatildeo da fraccedilatildeo (a) que definiremos no

item 11laquo2 com o comprimento do tubo

112 - Definiccedilotildees

a) Tiacutetulo ou qualidade do vapor (x)

massa de vapor na mistura x ~ massa total da mistura

x =

W _g_

g f

b) Fraccedilatildeo vazio (void fraction)

volume do vapor na mistura a = volume total da mistura (agua+vapor)

A relaccedilatildeo entre x e a num sistema parado pode ser obtida

assumindo um certo volume contendo 1 lbm de mistura em equiliacutebrio

teacutermicoraquo

53

O volume da mistura seraacute igual a (v + xv ) ft onde v eacute 3 r rg

o volume especifico (lbmft )

f - refere-se ao liquido

g - refere-se ao vapor

fg - refere-se a diferenccedila entre liacutequido e vapor

Numa mistura em equiliacutebrio se o liacutequido e o vapor estatildeo

saturados o volume do vapor presente eacute igual acirc sua massa vezes

seu volume especiacutefico v assim e

xv bdquo bdquo a mdash

V c + XV c

f gf

onde

- bull-bull uumlutiacuteisa vapor na mistura de 1 Ibm

v volume especiacutefico do liacutequido

v = volume especiacutefico do vapor o

V c = v - V

gf 8 r

Fazendo uma transformaccedilatildeo na expressatildeo acima temos

xv xv JS = Z-

v r+ x(v -v c) xv +(l-x)v t ri f g f g f 1 + Ul-x)xjv fv

1 + C(l-x)x]]vfvg

A fraccedilatildeo vazia tem a influencia de baixar a reatividade

do nuacutecleo nos reatores em que o refrigerante eacute tambeacutem moderador

Na equaccedilatildeo acima os valores de x e v sao tomados em tabe

las termodinacircmicas apropriadas para a pressatildeo do sistema A equashy

ccedilatildeo (1) mostra os grandes valores de a para pequenos valores de x

especialmente para baixas pressotildees Isto ocorre porqueaumentando

54

aacute pressatildeo o v decresce muito enquanto que o v f eacute mais ou menos da

mesma ordem de grandeza

Exemplo Calcular o a correspondente para x raquo 2 para aacutegua

leve atilde pressatildeo atmosfeacuterica

Da tabela para p laquobull 1 atm

v - 001672 ft 3lbm e v - 26800 ft 3lbm

1 + [(1-002)002] 001672268

0971 ou 97U

O grafico abaixo mostra a variaccedilatildeo do a com x para vaacuterias

pressotildees e para a aacutegua leve

x ()

tObservaccedilotildees da curva

Fig 2

1 - para x constante a decresce com a pressatildeo Para presshy

sotildees proacuteximas da criacutetica a aproxima-se rapidamente de

x Para a pressatildeo criacutetica as duas fases satildeo indistinguiacuteveis ea=x

2 - para cada pressatildeo dotdx decresce com aumento de x

3 - para baixos valores de x (que e o caso dos reatores

tipo Boiling) quando p decresce dadx cresce e torr

na-se muito grande paacutera baixas pressotildees Isto tem relaccedilatildeo com a epound

55

tabilidade do reator como veremos mais tarde

113 - Sistemas com fluxo

Todas as definiccedilotildees que noacutes vimos no item anterior refeshy

rem-se acirc sistemas em que a mistura esta fechada no recipiente Nes^

te caso natildeo havia movimento relativo entre as duas fases No entan

to se as duas fases da mistura se movem na direccedilatildeo vertical em

canais entre os elementos combustiacuteveis o vapor por causa de sua

flutuaccedilatildeo tem a tendecircncia de escorregar sobre o liacutequido isto e

move-se com velocidade maior do que a do liacutequido

Real Modelo

Pig 3

S -

Define-se neste caso a relaccedilatildeo de escorregamento (slip

ratio) (S) como sendo

V _i

V f

onde

V = velocidade do vapor

= velocidade do liquido

S modifica as relaccedilotildees entre a e x do item anterior S geralmen_

te gt 1 Define-se neste caso qualidade do vapor ou tiacutetulo como

sendo

_ fluxo de massa de vapor

fluxo de massa da mistura

Entatildeo se o fluxo de massa da mistura eacute m t(lbmhr) o flushy

xo de vapor seraacute = x m e o fluxo de liacutequido sera (1-x) m onde x

56

e o titulo do vapor para a particular secccedilatildeo (AL) da figura (3)

Devemos notar que neste caso x varia de secccedilatildeo para secshy

ccedilatildeo do tubo o exposto no paraacutegrafo acima vale considerando-se que

x e a permaneceram constantes na secccedilatildeo de espessura AL

Aplicando a equaccedilatildeo da continuidade as velocidades do va

por e liacutequido sao dadas por

o xm v

V vazatildeo = g g area A

V

(1-x) amp t v f

f A f

onde A e A f sao as aacutereas medias perpendiculares ao fluxo se as

duas fases sao imaginadas completamente separadas uma da outra

(figura 3) Assim temos

V x m v o A_ A v 0 ^ - 2 = iacute S t m _2L- JL JS m

V A (l-x)ui v 1-x A v U

f g t f g f

Sabemos ainda que para a secccedilatildeo considerada

volume do vapor na mistura a = volume total da mistura (agua+vapor)

A AL A pound g g

a = mdash a a = - mdash 1

(A+A )AL A f + g

A ou f _ 1 - a

A a 8

Substituindo em (2) vem

57

Esta expressatildeo pode ser rearranjada e obteremos uma relashy

ccedilatildeo entre x e a levando em conta o escorregamento Chega-se a

a = 1 ( 3 )

1+ [U-x)x3 igt

onde

v 4 laquo -- S

v lty o

Note-se que quando S=l (nao haacute escorregamento) caimos na

expressatildeo dada no item anterior

0 efeito do escorregamento eacute decrescer o valor de a pa_

ra um mesmo xbdquo Isto pode ser visto pela foacutermula (3) pois S gt lLo

go a decresce com acreacutescimo de S

Um alto S e entatildeo uma vantagem tanto para a transferecircnshy

cia de calor como para efeitos de moderaccedilatildeo Eacute uma vantagem para

transferecircncia de calor porque alto S significa alto V e portanto

maior turbulecircncia e maior contato do liquido com as paredes quenshy

tes Ha tambeacutem melhorias na estabilidade da reaccedilatildeo nuclear isto

porque como jaacute dissemos quando mdash7 diminui a estabilidade aumenshy

ta isso pode ser verificado observando a curva a versus x para a

agua leve a 1000 psiabdquo

Fig 4

58

A relaccedilatildeo entre x e a da equaccedilatildeo (3) so vale para secccedilatildeo

de tubo bem pequena

Devemos notar que S varia tambeacutem com a pressatildeo e velocida^

de de entrada do liacutequido no tubo Este efeito pode ser observado na

figura 5 abaxxo obtida esperimentalmente

s

3

~^ ~ psig

x = 001

V 1

Fig 5

Nos projetos de reatores como veremos adiante o valor a

geralmente eacute determinado por consideraccedilotildees nucleares (moderaccedilatildeo) 0

valor de S eacute determinado atraveacutes de uma estimativa ou entatildeo atrashy

veacutes de um graacutefico do tipo da figura 5 0 correspondente valor de x

pode ser obtido de uma foacutermula empiacuterica do tipo

1 = 1 (-S)0gt67

proposta por Von Glahn

Em muitos casos assume-se S constante em todo o comprimeiv

to do canal poreacutem eacute um erro que em muitos casos nao pode ser coshy

metido

4 REATORES EM QUE 0 LIacuteQUIDO B MODERADOR E CIRCUITO PRIMAacuteRIO AO

MESMO TEMPO BOILING-REACTOR (BWR)

A aacutegua ao se movimentar atraveacutes dos vaacuterios canais do

59

Boiling-reactor encontra vaacuterias resistecircncias ao fluxo que provoshy

cam uma reduccedilatildeo de pressatildeo no fluido

As duas perdas mais importantes sao perda de pressatildeo por

atrito e perda de pressatildeo causada pela aceleraccedilatildeo do refrigerante

ao aumentar de volume por receber calor num canal Outras perdas

de pressatildeo seriam a obstruccedilatildeo ao fluxo por corpos submersos (espa_

ccediladores juntas de tubos chaves etc) e por mudanccedilas abruptas de

aacuterea de fluxo tanto na entrada como na saiacuteda do tubo

Essas perdas de pressatildeo devem ser conhecidas o melhor popound

sivel principalmente nos reatores BWR Para tanto devemos saber

o comprimento de canal em que nao ha a ebuliccedilatildeo isto eacute qual o com

primento de canal em que o refrigerante vai da temperatura de sub-

resfriamento ate temperatura de saturaccedilatildeo

Seja o elemento combustiacutevel

Aquecimento Uniforme Aquecimento Senoidal

Fig 6 Fig 7

onde

H =

H = o

H b

comprimento do elemento combustiacutevel

cota onde o liquido se torna saturado

comprimento do elemento combustiacutevel em que ocorre

ebuliccedilatildeo

60

qg = calor sensiacutevel acrescentado ao liquido para satushy

raacute-lo

qfc = calor total acrescentado ao liacutequido em todo o com

primento do canal

laquoo

q s J o qiquest sen (IIzH) n H o

T~ = TH = 2 ( 1 c o s gt ( a )

q 1 sen (HzH) Jo ^c

A expressatildeo (a) vale quando tivermos uma adiccedilatildeo de calor

senoidal para qualquer outra forma de adiccedilatildeo de calor faz-se um

caacutelculo anaacutelogo

Outra relaccedilatildeo entre q g e qfc eacute dada pela termodinacircmica

q h- - h s f m (b)

(hr +x h )-hm ^t f e fg

onde

= entalpia para o liquido saturado a pressatildeo correjs

pondente (cota z = Ho)

hffi = entalpia do liacutequido na entrada do canal

x = tiacutetulo do vapor na saiacuteda

= entalpia do vapor

Com a relaccedilatildeo (b) noacutes determinamos a relaccedilatildeo q q ecom

S L

uma relaccedilatildeo do tipo (a) (conforme seja o adicionamento de calor ao

liacutequido) podemos obter a relaccedilatildeo HoH e consequentemente H^H

21 - Perda de pressatildeo num canal de evaporaccedilatildeo

Neste item iremos determinar as perdas de pressatildeo mais

representativas que ocorrem num canal de evaporaccedilatildeo de um reator

P + dP

bull1 i- 1 gti i i

dL

onde

UM

Icirc H Icirc Icirc T dF f t f

61

Quantidade de Mov na Entrada

= i- rigVg)

dF f l

Fig 8

m i

m 8

V l V 8

A P

dF

dF

dF

fg

fl

ftf

descarga do liacutequido

descarga do vapor

velocidade do liquido

velocidade do vapor

aacuterea transversal do canal

forccedila de atrito do vapor com parede

forccedila de atrito do liacutequido com parede

forccedila de atrito das duas fases liacutequido+vapor

Fazendo o balanccedilo das forccedilas considerando o sentido posjL

tivo na vertical temos

A (P-P-dP)-(dF +dF _+dF _)-(-pound-) (p A+p A )dL = mdash dGnV+m V ) P fg ftf fl g c 1 1 g g g c

v 1 1 g g 7

- dP = ~ (dF +dF--+dF)+- S--7=- (p A+p A )dL+ mdash ~ - d (m-V+m V ) A_ fg ftf fl g c Ap v^l 1 g g g A 11 g g

Fazendo a integraccedilatildeo termo a termo entre os dois extreshy

mos entrada e saiacuteda e considerando a pressatildeo de entrada igual a

P q e a de saiacuteda igual a Pe vem

Quantidade de Mov na Saiacuteda

-= h I- lY l+ A g V g + d ( aacute l V l + aacuteeVl

Forccedila de Gravidade

= ( g f - N P A + P g V

62

b) r e F f l

o p dp^ = Ap^ = perda de pressatildeo por atrito

do liacutequido na altura Ho

Aplicando a formula de Darcy vem

bull API = f bull ir bull ^ iexcl 7

onde

f = fator de atrito

c) e Fftf

o p ^P tpound

= perda de pressao por atrito da mistura

liquido + vapor no trecho de comprimen

to Hbdquo o

Para determinar esta perda de pressao define-se o fator

de multiplicaccedilatildeo R

A P R =

tf A P 1B

Sendo A p ^ a perda de pressao se o comprimento todo fosshy

se ocupado somente pelo liquido assim

A p t f = R A P 1 B

0 calculo de Ap-^ pode ser feito pela formula de Darcy e

o de R nos veremos no item seguinte

63

d)

-e F

d ( ^ )

O P

Ap = perda de pressatildeo por atrito do vapor

No caso do reator BWR o titulo de saida e bera pequeno e

em nenhum caso ocorre a saida de vapor com x = 100 logo a perda

de pressatildeo por atrito do vapor eacute nula assim

An = 0 5

e) Ap

(p A 1 + p A ) dL = Ap - perda de pressatildeo dpound

vida ao desniacutevel

(perda hidrostaacutetica)

Anbdquo = re A A

-S- I (p + p -S ) dL H s 1 A

c o p o A

como A A Jl_ =

A P

A +A-g 1

1-a -

temos

C Q

te j jll-a)p1 + apg)^jdL = p Lo pound

onde

e jo u

+ ap ) ~I dL (Densidade media 1 S J

no tubo)

No nosso caso

Ap u = p H

f)

re d(mV + m V ) _ mdash - laquo -i bull s iquestp laquos p e r d a ltje pressatildeo devido a acele-

c p raccedilatildeo do vapor

V A

(1-x) tl^Vj

(1-a) A

X V

aA

A p -

roV + m V

c p c p L_

m (l-x)m_v m xv nbdquo -1 T 1

+ _S S I (1-a) Ap aA

P

2 g A c p

n 2 2

(1-x) m T

laquo2 8 A c p

2 2 (l-xe) raTv1

2 2 2 xm_v (1-x) m-v e T s o 1 1

a 1 - a

2 2 - x m_v o T g

a

se

X Q 0 (so ha agua nesse trecho)

a = 0 o

temos

mbdquo Ap =

1 a A 2

S A degc p laquo-

tt-V v i 1 - a

2 via T^r - v i

t Apc

2

V v l

5c Ap

1 - a

x v - 1

a e v l

65

Fazendo

G = fluxo total da massa por unidade de area do

canal

(1-x J e

V

AP r

Assim a perda de pressatildeo total sera

H p V II pV r2 P -P = f -24-Iuml+ f R+p 0 1 2g c D e 2g c g c g c

2c2 - Determinaccedilatildeo do fator de multiplicaccedilatildeo (R)

221 - Relaccedilatildeo Martinelli-Nelson

Os autores Martinelli-Nelson determinaram experimental -

te esse fator R para varias LIT1L em funccedilatildeo da pressatildeo e da r NB total J v

qualidade de saiacuteda do vapor no canal Construiacuteram assim vaacuterias

curvas do tipo da figura 9

66

E importante notar que a qualidade do vapor (x) na saiacuteshy

da nao deve ser grande pois como vemos o valor de R cresce muishy

to com um aumento pequeno de x e um valor de R muito grande acar_

reta uma perda de pressatildeo grande pois

^ d u a s fases R ^ f a s e liacutequida

Para resolvermos um problema seguindo o criteacuterio de bdquo

Martinelli escolhemos a curva R = f(px) (para a relaccedilatildeo L

N g ^ j

adequado) e tiramos R com os valores de pressatildeo p e tiacutetulo x

As curvas R = f (p x L T t )IO encontram-se nos ANL 6469 bio I

e 6561

222 - Relaccedilatildeo Lottes-Flinn

Estes autores estudaram o problema para o aquecimento uni

forme do refrigerante com baixo titule Lottes-Flinn fizeram inuacuteshy

meras experiecircncias e verificaram que para fluxo de calor uniforshy

me e baixos titulos R era independente do fluxo de calor fluxo

do refrigerante escorregamento e apenas funccedilatildeo de a g

Como a quantidade de liacutequido eacute muito maior que a de vashy

por a perda de pressatildeo daacute-se principalmente pelo atrito do liacuteshy

quido com a parede Podemos assim escrever a foacutermula de Darcy

na forma diferencial

dz

d = f __ r e amp c

onde

V = velocidade do liquido saturado na cota zbdquo X

f = coeficiente atrito

= densidade do liacutequido saturado

Teoricamente a queda de pressatildeo deve-se ao acreacutescimo de

67

velocidade do liacutequido e da diminuiccedilatildeo da aacuterea de fluxo do liacutequi

do

P fH A P t p

= f D 2g Ho

d z

fazendo

V lo

m V t lo

(velocidade do liacutequido na cota z = Ho)

(1-x) m t v 1

(1-a) A (velocidade do liacutequido na cota z gt Ho)

a bull+ fraccedilatildeo vazio na cota z geneacuterica

V 1 (1-x) m t v 1

m t V l 1 - a

x =s 0 pois o tiacutetulo eacute baixo

A p t f = f bull JT5 c e

fH V lo

H o (1-a) dz

Para fazer a integral devemos achar a relaccedilatildeo de variaccedilatildeo

entre a e z Como o fluxo de calor eacute uniforme a qualidade eacute direshy

tamente proporcional a z

bull laquo x = x e H

z = mdash x X e

Sabemos ainda que (item 113)

x

1 + [ ( I -X)AKQ x + iiacuteraquo

68

como

temos

(1-x) = 1

v

X =

z =

1-a

1 -a

1-a e

a

e

1-a pound

a

1 -a igt (assumindo S = cte)

da

Atf - f bull 2 i ^ ~ J c e o

a 1 - a e e 1 s 4 hmdash) da

a 1-a

f P lv^ Q

0 termo mdash - mdash e a parte de perda de pressatildeo pelo lj^

^c e -quido ou seja Ap liquido saturado e como

Ap

R = tf

Ap liauido saturado

temos que

R J

f ae 1 _ a e 1 4

a 1 -a o e

1 -a r-R =

3 1 -a

a 1 -a imdash

3 vl - a 3

e e

Os valores de R obtidos por esta expressatildeo aproximam-se

muito dos valores obtidos pelos aacutebacos de Martinelli

69

E - EXPANSAtildeO E COMPRESSAtildeO DE UM FLUIDO - ANAacuteLISE HIDRODINAcircMICA

DE UM CIRCUITO EM CIRCULACcedilAtildeO NATURAL

1 EXPANSAtildeO NO FLUXO DE UM FLUIDO

11 - Uma so fase

Figura 1

Ha vaacuterios meacutetodos para determinar a variaccedilatildeo de pressatildeo

numa expansatildeo de fluido estudaremos o de Romie que eacute o que daacute

maior precisatildeo

Romie considera que a pressatildeo p^ tambeacutem atua na aacuterea

imediatamente apos a expansatildeo Assim fazendo o equiliacutebrio das foi

ccedilas nas secccedilotildees tracejadas da figura 1 temos

mVj

p r A 2 + mdash

mV

bull 2- A2

mas

m = pV^A^

pV^A = p V 2 bdquo A 2

V A

v 2 -4r-logo

( P l-P 2) A 2 = f ( V ^ ) - f _ v j amp c c 2

70

2 pV A A pV A A

Chamando A l A ]

K = 1 - T e degi2 = Aiexcl bull V E M

pvj

P l P 2 = T ~ bull ( 2 deg 1 2 ) ( 1 _ a 1 2 )

Outra maneira de chegar atilde diferenccedila de pressatildeo ( P j - ^ ) s mdash

ria usar o coeficiente de perda da mecacircnica dos fluidos Assim o

equilibrio das pressotildees eacute

2 2

1 V l 1 V 2 V l P i + _ p _ ^ P 2 + I p ~ + k 1 2 p mdash

onde = coeficiente de perda

A 2 1 2

k 1 2 - (l-o 1 2) - (1 - j- )

Fazendo as transformaccedilotildees chegamos a mesma expressatildeo obshy

tida pelo balanccedilo das forccedilas

PraquoIacute pr p

2 - - ir ^ laquo-ia

12 - Duas fases

Como ha duas fases a equaccedilatildeo do balanccedilo das forccedilas fica

um pouco alterada

m pound 1 V- m - raquoV - m-V- m bdquoV _ P A + j y ^ i + _gl_JUuml P A + -11-11 + -ilsl (a)

1 2 e R 2 2 ff e

Sabendo que

71

m (1-x) m t = p fA (1-a) V f

entatildeo

fl l-o^ p fA x

6 Vf2 1-x l-a2 P fA 2

m V = mdash mdash e V 0 = gl a 1 P C T A 1 g2

m

a_ p h

2 g 2

Nas expressotildees anteriores o x nao varia porque a expansatildeo

5 adiabaacutetica porem o a varia devido a modificaccedilatildeo do tamanho da

bolha

Substituindo os valores das velocidades na expressatildeo (a)

vera

( P - P ) Abdquo =

2

2 2 m gt2 2 m t (1-x) 1 x t

ra i 2 m i 1 x t 1

p fA 1 g c ttl p Ax gpound

m t P - P = mdash

(1-x) (l-a 1)A 1A 2 (l-a2)A|

a r A r A 2

V A 2

m t P bdquo - P = mdash 2 1 g c A r A 2 p f

(1-x) 1-a f A 2(l-a 2)

bull ^ 2

72

Se

P -P

a

m

g

12

1 _1_ (1-x)

J12

1 _ a l 1 - a 2 + X (- )

Pg

1 deg12 a 2 ^

Sabemos que

mt = V o pf laquo A l

Sendo V q = velocidade do liquido num ponto onde natildeo haja vapor

P 2-P 1

u 2 2 A 2

V pr Ai

V W p f

(1-x) 12

l-a1 l-a2

+ X 2 pf

mdash

l deg12

-1 a 2 _

p -p r 2 Al (2a 1 2)

2 M f w 1 deg12 X (mdash) (

pg al a 2 )+(l-x)C l 1 12

1-a^ l-a2

Devemos notar que esta expressatildeo tambeacutem vale para quando

temos uma fase para isso basta fazer

= c t 2 = 0

X = 0

e recairemos na formula do item anterior

2 pf 1 deg12 Observemos que neste caso o termo x (mdash)( ) nao

Pg al a2

2

73

tem significado pois corresponde a mudanccedila de fase

2 CONTRACcedilAtildeO KO FLUXO DE UM FLUIDO

21 - Uma so fase raquo mdash

Aqui ocorre um fenocircmeno importante pois o fluido ao ser

contraiacutedo nao vai diretamente da area A^ para a area A 0 mas ele

contral-se ate uma area A^ e depois expande-se ate k^

Ao A2

Po IP 2

V 2

Figura 2

Fazendo o equiliacutebrio das pressotildees entre os planos (1)

(0) vem 2 2

pV pV p +~ plusmn - P + i deg bull 1 2 g o 2 g (b)

C x

Fazendo equiliacutebrio da expansatildeo (0) - (2) vem

P o + 2 - f = P 2 + 2 -T + kp- 2 F ( c )

c c b C

Subtraindo (b) - (c)

2 2 2

i p- vj i p- v2 L P l + 2 bull g c

P 2 + 2 2g c

+ k P 2g c

74

Como

P - P = mdash 2 2g

2 2

bull (1 + k) - f bdquo mdash i

k a - f2 ) 2 - d - o c )2

= o

A = a 21

Weisback obteve varias relaccedilotildees entre a e a i] c

01 02 03 a 0624 0632 0643 c

0624 0632

A r v i - V v 2

p -p 1 2

P -P 1 2 2g7

v l =

(1+k) - laquofi- a 2g 21 c

( 1 + k - o 2 1)

X[- V 2 o 2 1V 2

22 - Duas fases

0 valor de k pode ser aproximado para

k = a(l - o 2 1)

onde segundo Richardsons para fluxo de duas fases podemos supor

a = 02

Para fluxo homogeacuteneo sabemos que

75

p = p f (1 -a ) + p o a

podemos supor p bdquo a = 0 pois p e pequeno e fazendo

V = V ~ V fbdquo2 go2 v 2

Substituindo estas duas expressotildees na equaccedilatildeo de uma soacute fase vem

2 2 p V (l-ct) p V (1 -a ) bdquo

P l P 2 = 9g ( 1 + 3 - 3 0 ^ - 0 ^ ) = g (a+1) (l-a^)

Se a = 02

2 12p oV 0

p r p

2 - 9g gt d-) d-sigt

A compressatildeo de um fluido acarreta uma perda de pressatildeo

como pode ser verificado pelas formulas uma vez que lt 1deg

3 ANALISE HIDRODINAcircMICA DE UM CIRCUITO EM CIRCULACcedilAtildeO NATURAL

Esquema deacute uma caldeira com circulaccedilatildeo natural

76

Determinar a velocidade em (7) para que tenhamos circula

ccedilatildeo natural Determinar tambeacutem as perdas de pressatildeo em todos os

trechos da caldeira

31 - Contraccedilatildeo das secccedilotildees (1) - (2)

Como jaacute vimos a equaccedilatildeo do balanccedilo das pressotildees eacute

1 pr Vl 1 p 2 o V 2 P2 V2

1 2 g 2 + 2 g + K12 2g otilde c amp c e c

bullraquo 2 o2 2 e havendo uma soacute fase k 1 9 = (l-o ) = (1 mdash ) e sendo

C 2

p l = p2

v x lt lt lt v 2

P 2 V pr p2 bull ir2 bull ( 1 + k12gt

Colocando em termos de temos

A 2 V 2 P 2 = A 7 V 7 p 7 (continuidade)

V = V mdashbull = V o_bdquo ~ A 2 2 2

P 2 V - p 2

p r p 2 = ir2 - deg72 bull Ccedilrgt bull lt 1 + ki2gt

fazendo

N12 - lt^gt deg72 ( 1 + k12gt

P7 V7

Pr P2 - N12 bull HG

77

3 2 - Perda de carga no trecho ( 2 ) - ( 3 )

Como haacute apenas uma fase soacute temos perdas por atritos e

perdas hidrostaacuteticas

Sendo como jaacute vimos

2 3 p 2 2 g P 2 P 3 = f 2 3 (r~2g^~) L 2 3 g c p

atrito hidrostaacutetica

Substituindo V^ pela relaccedilatildeo do item anterior e tendo em

conta que p = vem

P -P = f 2 r 3 2 3 D

2 3 p 2 bdquo 2 2 p 7 2

2 g 7 72 p 2 3 g

Se

L 2 3 2 p 7

2 3 2 3 D 2 a 7 2 p 2

P 7 V 7 g P 2 - P 3 = N 2 3 ( mdash gt p 2 L 2 3 f

3 3 - Expansatildeo nas secccedilotildees ( 3 ) - ( 4 )

Como vimos o balanccedilo das pressotildees e

2 2 2 p V p 4 V p V

P 3 + 2 g c

P 4 + 2 g c

+ k 3 4 2 g c

onde

k 3 4 - - -

2 2 1 P 4 - V 4 P 3 v 3

P 3 P 4 = 2 g + ( k 3 4 _ 1 ) 2 g

78

Sendo

P 3 - P 4

p 3 o A 3 deg V 3 = P 7

a A 7 o V 7

P 4A 4 0V 4 = P r A r V

3 7 A 3 p 3

A7 P7 V = v mdash mdash 4 7 P 4

P - P 3 r4

Se

P bdquo - P

bdquo2 r-P 7 V 7

3 4 2g deg74 + ( k 3 4 1 ) deg73

34 p deg74 + ( k 3 4 1 ) 73

p r v2

P3- P4 ^ N34 ^ gt

(No caso e negativo)

34 - Contraccedilatildeo nas secccedilotildees (5) - (6)

Ainda temos uma so fase e fazendo o balanccedilo das pressotildees

como fizemos no item 3lt1 vem

P + vil p + vi + k vi P 5 + 2gbdquo P6 + 2gbdquo + k56 2gbdquo

k 5 6 lt 1 ^ gt 2 ( 1 - Iacute 2 i 2 6

V V6 P5degIacute 5^6 ^SS 2g c - 2g c

P - P ^ = (1+kJ

Como

79

A 6

W p 5 =

VV P6 V 5 = V 6 Jiexcl = Vff65

P 5-P 6 - lt H k 5 6 ) mdash ^ mdash (l+k 5 6-a 6 5) c c c

Sendo

Se

A 7 p 7 p 7

6 7 Ag p 6 7 76 p 6

p _p _ P6- V7- g76 iquest72 ( _ 02 P 5 P 6 2g c bull ( p 6

( 1 + k 5 6 deg65 )

p 7 2 2 N56 = p ^ deg76 ( 1 + k 5 6 ~ a 6 5 )

P 7 V 2

7

P r-P = N r 5 6 56 2g c i

35 - Perdas de pressatildeo nas zonas (6) - (7) - Pre^aquecimento

Nesta regiatildeo temos perdas por atrito e hidrostaacuteticas

Nao haacute perda por aceleraccedilatildeo pois ainda natildeo houve formaccedilatildeo de boshy

lhas

Fazendo balanccedilo das pressotildees temos

L_ ppound-V p = p + otilde L - pound _ + f -Si (-21mdashL 6 7 + p67 L67 g + t 6 7 D K 2g

p _ e ifn sao tomados como valores meacutedios 67 67

P _p _ f hl ^67jIacute uuml + - L A

6 F 7 r67 D 2g P P67 L67 g 6 s c 7 c

S e Kr pound67 L67 p67 6 7 D 6 p7

p7 V - _g_ P6- P7 - N67 mdash + P67 L67 f

c c

80

36 - Perda de pressatildeo nas zonas (7) - (8) - Zona de ebuliccedilatildeo

Nesta regiatildeo j aacute temos o aparecimento de bolhas logo a

perda de pressatildeo seraacute devida agraves t recircs parcelas aceleraccedilatildeo a t r i t o

das duas fases liacutequidas + vapor e h idros taacute t ica

onde

Assim

P-P Q = AP + AP + APbdquo 7 8 a t r i t o acel H

T M1

78 p 7 7 AP - R f- - mdash mdashr |R = fator mult ipl ica-

a t r i t o 7 D 7 2 g c L tivo

G 2

AP bull r mdash acel g c

P V

|_1 - o a p J 8 P f

2 t r 2 M2

7 7 r 7 7 A P a c e l = -J^mdash 2 r bull p 7 lt T iexcl iexcl - )

A PH p 7 8 L 7 8 fiexcl

p 7 8 iacute 7 li 1 0 0 P l i q + a P v ] d L = P 7 ( 1 - laquo 7 8 )

ag raquo fraccedilatildeo de vazio media entre 7 e 8

APH = p (1 - 5 7 g ) f- L 7 8

2 2

P 7 - P 8 a 5 - 2 T i + 2 r p 7 + P 7 ( 1 - 7 8 gt f L 7 8 7 amp c amp c amp c

81

N 7g = R mdash + 2 r p 7

P7 V7 P7- P8 = N78 + P 7 ( 1 5 7 8 gt J78

37 - Expansatildeo nas secccedilotildees 8 e 9

No caso haacute uma expansatildeo com duas fases e como vimos no

item 12 a variaccedilatildeo de pressatildeo era dada por

0f Vo P2 P1 = ~2g c ( 2 deg12

x 2 (mdash)(mdash - mdash ) + ( l - x ) 2 ^ T mdash 8 1 2 1

12

Aplicando ao nosso caso

P pound = P 7

P -P = 8 9

V - V raquo V g f 7

P 7 V 2

2 pf 1 a89 2 1 g89 x (mdash) ( ) + (1-x) (- - N

o ou abdquo 1-cu l-ot_) g 8 9 8 9

Se

N 89

= 2 a 89

2 pf 1 deg89 2 1 CT89 x (mdash) ( ) + (1-x) ( T

g 8 9 8 9

P -P = 8 9

- N P7deg V7

89 2gbdquo

38 - Perda de pressatildeo no trecho 9 e 10

No referido trecho temos apenas perda de pressatildeo por atr L

to da fase liacutequido + vapor e perda hidrostaacutetica Natildeo haacute perda por

aceleraccedilatildeo do vapor pois este natildeo recebe mais calor e portanto

o 82 o

nao ha variaccedilatildeo no a

p

Q -p i n = A P

U + A P bull 9 10 H atrito

n T -S_ P9 U10 deg 910 bull g

fio r

910 I 910

J9 L

(l- a)P + Q P I dL liq v

(l-a0) p

No caso a = (nao hatilde variaccedilatildeo de forma)

A P H - (1-a ) P (p L 0

c

AP bdquo = R o

atrito

2 f9 o L910 P9 V9

2g

Supondo

= V

P 9 = P 8 P 7

vbdquo = v 9 8 0 A r

= V 7 bull deg89

AP - R atrito

2 2

W l O p7deg V7deg g89

V P10 R -^T^ bull deg89 bull li-2 + ( W P 7 (fgt SIO

y c c

Se

- f9 L910 2 N9ol0 R Dl deg89

w 2

p rv P9 P10 = VlO + ( 1 a 9 ) p7 (f gt L910 c

33

39 - Perda ciacutee pressatildeo na expansatildeo 9 - 1 0

Analogamente a expansatildeo 8 - 9 temos

10 11 P 7 2g

10 Iacute 2 0 1 0 - 1 1 gt

2 ff

pg aio

10-11

laquo11 ) +

Ll-a 1 0 bull l-a u J

Se

V10 = V 9 = V 8 bull T9 = V 7 deg89

P -P 10 rll = - a 2g 089 ^lO-ll

4 bull T~ bull (7 1 mdash ) + Pg degio a n

+ (l-x)2(- 1 10-11

1 - aio )

N10-ll = 2 a10-ll a89 2 pf t 1 10-11 N2

-(j-r- - ) bull+ (1-x) pg aio deg 1

10-11 k l - a io

prz P10 Pll = - N10-ll bull ( 2gbdquo

310 - Calculo de V

Fazendo a somatoacuteria de todas as expressotildees (P^-Pj) tere-

84

mos 2 PbdquoV_

P bdquo - P bdquo = N 7 v 7

1 2 12 2g

bull 2 - P 3 - = N 2 3 P 2 L 2 3 f c ccedil

9 P 7 V 7 P _p = N mdash -

3 4 34 deg 2g

V P 5 = deg

2 P V

5 6 56 2 g c

ltr2

P 7 -V 6 e7 -N67 2g + p 6 7 J j67 g

c bc v 2

P 7 - P 8 = N 7 8 - 2 i ~ + p 7 ( 1 - laquo 7 8 ) L 7 8 c

P 7 V 7

P - P - -N mdash - -8 9 89 2g

c P 7 V 7

P 9 ~ P 1 0 VlO 2g + ( 1 a 9 P 7 L 9 c

P 7 V 7

bull10 11 U10-ll 2g

P v iacute j P - P

1 11

7 - v 7 3 bull r

2 8 i U L 2 23 67

(l-5 7 8) L 7 8 + ( l - laquo 9 ) P 7 bull SlOtilde]- ^

Por ou t ro lado sabemos que como secccedilotildees 1

mesmo n iacute v e l

85

s c p r v 7 j

28 Z N i ij

= P 2 L23 p67 L67 P 7 ( 1~deg78 )

78 ~ ^g) bull P 7 bull L 910 g_

V - 2 g ( p r L 2 3 - p 6 r L 6 7 - p 7 ( l - atilde 7 8 ) L 7 8 - (l-a9) p L 9 a ( )

y N

Com esse valor de podemos determinar todas as variashy

ccedilotildees de pressatildeo (P^-P )

BIBLIOGRAFIA

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tituto de Energia Atocircmica de Sao Paulo em 1966 (roteiro)

- WR Gambill - Nuclear Safety

Vol 9 - n9 5 e 6

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Volbdquo 5 - n 2 (pag 151)

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- Jakob Max - Heat Transfer (vol I)

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- Paul A Lottes - Argonne National Laboratory

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86

Knudsen e Katz - Fluid Dinamics and Heat Transfer

Frank Kreith - Principles of Heat Transfer

Journeacutees Internationales de la transmission de la chaleur

Seminaacuterios realizados em Paris em 1961 sob a supervisatildeo do

Prof Marcel Veron

Notas de aula da Cadeira de Termodinacircmica I e Transmissatildeo da

Escola Politeacutecnica da Universidade de Sao Paulo

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Page 51: ALGUNS PROBLEMAS DE HIDRODINÂMICA E CONVECÇÃO DE … · alguns problemas de hidrodinÂmica e convecÇÃo de calor em reatores de potÊncia, segundo aulas do ... b - convecÇao

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onde

8 = acircngulo de contato (20 a 90deg) geralmente assume-O -1

-se igual a 50 para a agua em contato com metal

24 - Coeficiente de peliacutecula na ebuliccedilatildeo nucleada

a) Equaccedilatildeo de Rohsenow

Esta equaccedilatildeo nos datilde o fluxo de calor q na ebuliccedilatildeo nushy

cleadaraquo E oacutetima expressatildeo para muitos liacutequidos o efeito da presshy

satildeo eacute levado em conta na variaccedilatildeo das propriedadesraquo

Pf

fg

sat 17 = c

sg k y f h f g g( P f-p g)

n033

onae

Pf

fg

Pf Pg c sg

= fluxo de calor requerido (BTUhr0ft^)

= calor especiacutefico do liacutequido saturado (BTUlbm0F)

= calor latente de vaporizaccedilatildeo (BTULbm)

= nuacutemero de Prandtl

= viscosidade do liacutequido (lbrahrraquoft) ~ 8 2

= fator de conversatildeo 417 10 Ibmftlbflaquohr 2

= aceleraccedilatildeo da gravidade (fthr )

= tensatildeo superficial na interface liacutequida vapor

(lbfft) 3

densidade do liquido e vapor (lbmft )

constante adimensiacuteonal que depende de vaacuterios fashy

tores dentre os quais o grau de aquecimento en_

tre o fluido e a superfiacutecie de aquecimento e o

mais importanteraquo Independe da pressatildeo do sistema b) Equaccedilatildeo de Levy

Equaccedilatildeo valida para a aacutegua quando 100 lt p lt 2000 psiacutea

47

43 bdquo3

qu bdquo gat ^ T J h r t f t ^

495

25 - Calculo do fluxo de calor no Ponto de Leidenfrost

0 ponto de Leidenfrost como vimos eacute o ponto em que oflu

xo de calor comeccedila ncamente a crescer isto eacute o ponto onde termal

aa a ebuliccedilatildeo instaacutevel e comeccedila a ebuliccedilatildeo por peliacutecula estaacutevel Eacute

o chanado fluxo miacutenimo (egrave ) m m

Aproximadamente quando A t g u k = 0 temos

A _ mdash _ mdash (Gambill) m m 5

Ha entretanto varias expressotildees para determinar esse flu

xo eis uma delas

A p 14 ltjgt = 009 h pbdquo (o raquo g mdash ) y m m fg P V deg 2

p l

26 - caacutelculo do fluxo de calor na regiatildeo de ebuliccedilatildeo por peliacute

cuia estaacutevel

para cilindros jmdashi i li

_ D 0172 k-V - P V A p h l V bull S 14 li - = 062 (mdashmdash) (- j- r rmdash) convecccedilao A 0 ybdquo (t -t )

c V w sat

onde

= condutividade do vapor

- 2 TT ( mdash )

c gAp Vl = significam vapor e liacutequido respectivamente

para paredes verticais

L 0172 S deg7 A p bull hlV S q 4 h - - 080 (-^-)J- (-Iuml - Iacutemdash-convecccedilao X L u (t - t J)

c V w sat

48

Como nesta regiatildeo jaacute haacute nina influecircncia marcante da radia

ccedilao devemos levar en conta tambeacutem o coeficiente de peliacutecula de

vido a radiaccedilatildeo para determinar o coeficiente de peliacutecula total

Dos estudos atildea radiaccedilatildeo temos

h = a F pound(T 4 - T 4 J ( T ~ T ) rad w sat w sat

onde amp _ emissividade de superfiacutecie

a = constante de Stefan-Boltzman

F = fator de forma

Segundo WE Gambill o coeficiente de transmissatildeo total

ceve ser

3 iacutei = h + -7 h para h lt h t conv 4 rad r rad conv

Na expressatildeo acima existe o fator 34 porque a radiaccedilatildeo

faz variar um pouco a espessura do filme de vapor reduzindo asshy

sim o l l

conv

Quando tivermos h gt h gt o h^ ^ seraacute rad conv total

h f c = h + h t conv rad

Neste ultimo caso nao ha nenhum coeficiente porque a peshy

liacutecula de vapor jaacute eacute estaacutevel

27 - Grandezas caracteriacutesticas para a apua

Para pressatildeo igual a 1 atm = 1422 psia

At ^ = t - t = 5degC (iniacutecio da ebuliccedilatildeo nucleada) sat w sat 1

At t = 30degC sat crit

49

5 2 $ = 4 10 BTUhrft (para pressatildeo 1 atm)

0 fluxo critico cresce como vimos com a pressatildeo ate

atingir o maacuteximo quando a pressatildeo eacute aproximadamente 13 da pressatildeo

criacutetica Esse fluxo eacute

bull = 13 IO 6 BTUhrft 2 para p = 11000 psia (p pound = 32062 psia)

Ainda temos que para pressatildeo igual a 15 psia

h b o = 11000 BTUhrft degF - ebuliccedilatildeo nucleada

h f b = 30 BTUhrft 2 degF - ebuliccedilatildeo pelicular

Todos os resultados e formulas para caacutelculos especiacuteficos

apresentados nos itens 21 22 23 ateacute 27 sacirco aplicados somente

para sistemas onde haja ebuliccedilatildeo com grande quantidade de liquido

51

D - HIDRODINAcircMICA DOS SISTEMAS E QUEDA

DE PRESSAtildeO DENTRO DE UM CANAL

1 HIDRO-DINAcircMICA E QUEDA DE PRESSAtildeO

11 - Hidro-dinacircmica dos sistemas estaacuteveis

111 - Regimes de escoamento

A evoluccedilatildeo do escoamento ao longo de um canal aquecedor

de secccedilatildeo constante ciliacutendrico pode ser esquematizada pela figushy

ra 1 onde temos em abcissa o comprimento z do canal e em ordenada

a temperatura (T)

52

Na figura 1 nos representamos

a) 0 aspecto do escoamento fluido quando a entalpia do

- fluido aumenta Verificamos que o fluido entra no cashy

nal no estado liacutequido e assim permanece ateacute atingirmos a zona de

ebuliccedilatildeo local onde aparecem as primeiras bolhas A entalpia do

fluido continua aumentando e tem inicioa ebuliccedilatildeo franccedila onde as

bolhas se unem formando agregados posteriormente o escoamento to

ma a forma da figura ou seja torna-se anular disperso Finalmente

atingimos duas uacuteltimas fases do escoamento disperso (vapor uacutemido)

e vapor seco

b) A evoluccedilatildeo da temperatura meacutedia do fluido e da tempeshy

ratura da parede Note-se que a partir da cota a

temperatura da parede aumenta brutalmente podendo causar o

burnout

c) A evoluccedilatildeo do tiacutetulo do vapor (x) com o comprimento

do tubo e a evoluccedilatildeo da fraccedilatildeo (a) que definiremos no

item 11laquo2 com o comprimento do tubo

112 - Definiccedilotildees

a) Tiacutetulo ou qualidade do vapor (x)

massa de vapor na mistura x ~ massa total da mistura

x =

W _g_

g f

b) Fraccedilatildeo vazio (void fraction)

volume do vapor na mistura a = volume total da mistura (agua+vapor)

A relaccedilatildeo entre x e a num sistema parado pode ser obtida

assumindo um certo volume contendo 1 lbm de mistura em equiliacutebrio

teacutermicoraquo

53

O volume da mistura seraacute igual a (v + xv ) ft onde v eacute 3 r rg

o volume especifico (lbmft )

f - refere-se ao liquido

g - refere-se ao vapor

fg - refere-se a diferenccedila entre liacutequido e vapor

Numa mistura em equiliacutebrio se o liacutequido e o vapor estatildeo

saturados o volume do vapor presente eacute igual acirc sua massa vezes

seu volume especiacutefico v assim e

xv bdquo bdquo a mdash

V c + XV c

f gf

onde

- bull-bull uumlutiacuteisa vapor na mistura de 1 Ibm

v volume especiacutefico do liacutequido

v = volume especiacutefico do vapor o

V c = v - V

gf 8 r

Fazendo uma transformaccedilatildeo na expressatildeo acima temos

xv xv JS = Z-

v r+ x(v -v c) xv +(l-x)v t ri f g f g f 1 + Ul-x)xjv fv

1 + C(l-x)x]]vfvg

A fraccedilatildeo vazia tem a influencia de baixar a reatividade

do nuacutecleo nos reatores em que o refrigerante eacute tambeacutem moderador

Na equaccedilatildeo acima os valores de x e v sao tomados em tabe

las termodinacircmicas apropriadas para a pressatildeo do sistema A equashy

ccedilatildeo (1) mostra os grandes valores de a para pequenos valores de x

especialmente para baixas pressotildees Isto ocorre porqueaumentando

54

aacute pressatildeo o v decresce muito enquanto que o v f eacute mais ou menos da

mesma ordem de grandeza

Exemplo Calcular o a correspondente para x raquo 2 para aacutegua

leve atilde pressatildeo atmosfeacuterica

Da tabela para p laquobull 1 atm

v - 001672 ft 3lbm e v - 26800 ft 3lbm

1 + [(1-002)002] 001672268

0971 ou 97U

O grafico abaixo mostra a variaccedilatildeo do a com x para vaacuterias

pressotildees e para a aacutegua leve

x ()

tObservaccedilotildees da curva

Fig 2

1 - para x constante a decresce com a pressatildeo Para presshy

sotildees proacuteximas da criacutetica a aproxima-se rapidamente de

x Para a pressatildeo criacutetica as duas fases satildeo indistinguiacuteveis ea=x

2 - para cada pressatildeo dotdx decresce com aumento de x

3 - para baixos valores de x (que e o caso dos reatores

tipo Boiling) quando p decresce dadx cresce e torr

na-se muito grande paacutera baixas pressotildees Isto tem relaccedilatildeo com a epound

55

tabilidade do reator como veremos mais tarde

113 - Sistemas com fluxo

Todas as definiccedilotildees que noacutes vimos no item anterior refeshy

rem-se acirc sistemas em que a mistura esta fechada no recipiente Nes^

te caso natildeo havia movimento relativo entre as duas fases No entan

to se as duas fases da mistura se movem na direccedilatildeo vertical em

canais entre os elementos combustiacuteveis o vapor por causa de sua

flutuaccedilatildeo tem a tendecircncia de escorregar sobre o liacutequido isto e

move-se com velocidade maior do que a do liacutequido

Real Modelo

Pig 3

S -

Define-se neste caso a relaccedilatildeo de escorregamento (slip

ratio) (S) como sendo

V _i

V f

onde

V = velocidade do vapor

= velocidade do liquido

S modifica as relaccedilotildees entre a e x do item anterior S geralmen_

te gt 1 Define-se neste caso qualidade do vapor ou tiacutetulo como

sendo

_ fluxo de massa de vapor

fluxo de massa da mistura

Entatildeo se o fluxo de massa da mistura eacute m t(lbmhr) o flushy

xo de vapor seraacute = x m e o fluxo de liacutequido sera (1-x) m onde x

56

e o titulo do vapor para a particular secccedilatildeo (AL) da figura (3)

Devemos notar que neste caso x varia de secccedilatildeo para secshy

ccedilatildeo do tubo o exposto no paraacutegrafo acima vale considerando-se que

x e a permaneceram constantes na secccedilatildeo de espessura AL

Aplicando a equaccedilatildeo da continuidade as velocidades do va

por e liacutequido sao dadas por

o xm v

V vazatildeo = g g area A

V

(1-x) amp t v f

f A f

onde A e A f sao as aacutereas medias perpendiculares ao fluxo se as

duas fases sao imaginadas completamente separadas uma da outra

(figura 3) Assim temos

V x m v o A_ A v 0 ^ - 2 = iacute S t m _2L- JL JS m

V A (l-x)ui v 1-x A v U

f g t f g f

Sabemos ainda que para a secccedilatildeo considerada

volume do vapor na mistura a = volume total da mistura (agua+vapor)

A AL A pound g g

a = mdash a a = - mdash 1

(A+A )AL A f + g

A ou f _ 1 - a

A a 8

Substituindo em (2) vem

57

Esta expressatildeo pode ser rearranjada e obteremos uma relashy

ccedilatildeo entre x e a levando em conta o escorregamento Chega-se a

a = 1 ( 3 )

1+ [U-x)x3 igt

onde

v 4 laquo -- S

v lty o

Note-se que quando S=l (nao haacute escorregamento) caimos na

expressatildeo dada no item anterior

0 efeito do escorregamento eacute decrescer o valor de a pa_

ra um mesmo xbdquo Isto pode ser visto pela foacutermula (3) pois S gt lLo

go a decresce com acreacutescimo de S

Um alto S e entatildeo uma vantagem tanto para a transferecircnshy

cia de calor como para efeitos de moderaccedilatildeo Eacute uma vantagem para

transferecircncia de calor porque alto S significa alto V e portanto

maior turbulecircncia e maior contato do liquido com as paredes quenshy

tes Ha tambeacutem melhorias na estabilidade da reaccedilatildeo nuclear isto

porque como jaacute dissemos quando mdash7 diminui a estabilidade aumenshy

ta isso pode ser verificado observando a curva a versus x para a

agua leve a 1000 psiabdquo

Fig 4

58

A relaccedilatildeo entre x e a da equaccedilatildeo (3) so vale para secccedilatildeo

de tubo bem pequena

Devemos notar que S varia tambeacutem com a pressatildeo e velocida^

de de entrada do liacutequido no tubo Este efeito pode ser observado na

figura 5 abaxxo obtida esperimentalmente

s

3

~^ ~ psig

x = 001

V 1

Fig 5

Nos projetos de reatores como veremos adiante o valor a

geralmente eacute determinado por consideraccedilotildees nucleares (moderaccedilatildeo) 0

valor de S eacute determinado atraveacutes de uma estimativa ou entatildeo atrashy

veacutes de um graacutefico do tipo da figura 5 0 correspondente valor de x

pode ser obtido de uma foacutermula empiacuterica do tipo

1 = 1 (-S)0gt67

proposta por Von Glahn

Em muitos casos assume-se S constante em todo o comprimeiv

to do canal poreacutem eacute um erro que em muitos casos nao pode ser coshy

metido

4 REATORES EM QUE 0 LIacuteQUIDO B MODERADOR E CIRCUITO PRIMAacuteRIO AO

MESMO TEMPO BOILING-REACTOR (BWR)

A aacutegua ao se movimentar atraveacutes dos vaacuterios canais do

59

Boiling-reactor encontra vaacuterias resistecircncias ao fluxo que provoshy

cam uma reduccedilatildeo de pressatildeo no fluido

As duas perdas mais importantes sao perda de pressatildeo por

atrito e perda de pressatildeo causada pela aceleraccedilatildeo do refrigerante

ao aumentar de volume por receber calor num canal Outras perdas

de pressatildeo seriam a obstruccedilatildeo ao fluxo por corpos submersos (espa_

ccediladores juntas de tubos chaves etc) e por mudanccedilas abruptas de

aacuterea de fluxo tanto na entrada como na saiacuteda do tubo

Essas perdas de pressatildeo devem ser conhecidas o melhor popound

sivel principalmente nos reatores BWR Para tanto devemos saber

o comprimento de canal em que nao ha a ebuliccedilatildeo isto eacute qual o com

primento de canal em que o refrigerante vai da temperatura de sub-

resfriamento ate temperatura de saturaccedilatildeo

Seja o elemento combustiacutevel

Aquecimento Uniforme Aquecimento Senoidal

Fig 6 Fig 7

onde

H =

H = o

H b

comprimento do elemento combustiacutevel

cota onde o liquido se torna saturado

comprimento do elemento combustiacutevel em que ocorre

ebuliccedilatildeo

60

qg = calor sensiacutevel acrescentado ao liquido para satushy

raacute-lo

qfc = calor total acrescentado ao liacutequido em todo o com

primento do canal

laquoo

q s J o qiquest sen (IIzH) n H o

T~ = TH = 2 ( 1 c o s gt ( a )

q 1 sen (HzH) Jo ^c

A expressatildeo (a) vale quando tivermos uma adiccedilatildeo de calor

senoidal para qualquer outra forma de adiccedilatildeo de calor faz-se um

caacutelculo anaacutelogo

Outra relaccedilatildeo entre q g e qfc eacute dada pela termodinacircmica

q h- - h s f m (b)

(hr +x h )-hm ^t f e fg

onde

= entalpia para o liquido saturado a pressatildeo correjs

pondente (cota z = Ho)

hffi = entalpia do liacutequido na entrada do canal

x = tiacutetulo do vapor na saiacuteda

= entalpia do vapor

Com a relaccedilatildeo (b) noacutes determinamos a relaccedilatildeo q q ecom

S L

uma relaccedilatildeo do tipo (a) (conforme seja o adicionamento de calor ao

liacutequido) podemos obter a relaccedilatildeo HoH e consequentemente H^H

21 - Perda de pressatildeo num canal de evaporaccedilatildeo

Neste item iremos determinar as perdas de pressatildeo mais

representativas que ocorrem num canal de evaporaccedilatildeo de um reator

P + dP

bull1 i- 1 gti i i

dL

onde

UM

Icirc H Icirc Icirc T dF f t f

61

Quantidade de Mov na Entrada

= i- rigVg)

dF f l

Fig 8

m i

m 8

V l V 8

A P

dF

dF

dF

fg

fl

ftf

descarga do liacutequido

descarga do vapor

velocidade do liquido

velocidade do vapor

aacuterea transversal do canal

forccedila de atrito do vapor com parede

forccedila de atrito do liacutequido com parede

forccedila de atrito das duas fases liacutequido+vapor

Fazendo o balanccedilo das forccedilas considerando o sentido posjL

tivo na vertical temos

A (P-P-dP)-(dF +dF _+dF _)-(-pound-) (p A+p A )dL = mdash dGnV+m V ) P fg ftf fl g c 1 1 g g g c

v 1 1 g g 7

- dP = ~ (dF +dF--+dF)+- S--7=- (p A+p A )dL+ mdash ~ - d (m-V+m V ) A_ fg ftf fl g c Ap v^l 1 g g g A 11 g g

Fazendo a integraccedilatildeo termo a termo entre os dois extreshy

mos entrada e saiacuteda e considerando a pressatildeo de entrada igual a

P q e a de saiacuteda igual a Pe vem

Quantidade de Mov na Saiacuteda

-= h I- lY l+ A g V g + d ( aacute l V l + aacuteeVl

Forccedila de Gravidade

= ( g f - N P A + P g V

62

b) r e F f l

o p dp^ = Ap^ = perda de pressatildeo por atrito

do liacutequido na altura Ho

Aplicando a formula de Darcy vem

bull API = f bull ir bull ^ iexcl 7

onde

f = fator de atrito

c) e Fftf

o p ^P tpound

= perda de pressao por atrito da mistura

liquido + vapor no trecho de comprimen

to Hbdquo o

Para determinar esta perda de pressao define-se o fator

de multiplicaccedilatildeo R

A P R =

tf A P 1B

Sendo A p ^ a perda de pressao se o comprimento todo fosshy

se ocupado somente pelo liquido assim

A p t f = R A P 1 B

0 calculo de Ap-^ pode ser feito pela formula de Darcy e

o de R nos veremos no item seguinte

63

d)

-e F

d ( ^ )

O P

Ap = perda de pressatildeo por atrito do vapor

No caso do reator BWR o titulo de saida e bera pequeno e

em nenhum caso ocorre a saida de vapor com x = 100 logo a perda

de pressatildeo por atrito do vapor eacute nula assim

An = 0 5

e) Ap

(p A 1 + p A ) dL = Ap - perda de pressatildeo dpound

vida ao desniacutevel

(perda hidrostaacutetica)

Anbdquo = re A A

-S- I (p + p -S ) dL H s 1 A

c o p o A

como A A Jl_ =

A P

A +A-g 1

1-a -

temos

C Q

te j jll-a)p1 + apg)^jdL = p Lo pound

onde

e jo u

+ ap ) ~I dL (Densidade media 1 S J

no tubo)

No nosso caso

Ap u = p H

f)

re d(mV + m V ) _ mdash - laquo -i bull s iquestp laquos p e r d a ltje pressatildeo devido a acele-

c p raccedilatildeo do vapor

V A

(1-x) tl^Vj

(1-a) A

X V

aA

A p -

roV + m V

c p c p L_

m (l-x)m_v m xv nbdquo -1 T 1

+ _S S I (1-a) Ap aA

P

2 g A c p

n 2 2

(1-x) m T

laquo2 8 A c p

2 2 (l-xe) raTv1

2 2 2 xm_v (1-x) m-v e T s o 1 1

a 1 - a

2 2 - x m_v o T g

a

se

X Q 0 (so ha agua nesse trecho)

a = 0 o

temos

mbdquo Ap =

1 a A 2

S A degc p laquo-

tt-V v i 1 - a

2 via T^r - v i

t Apc

2

V v l

5c Ap

1 - a

x v - 1

a e v l

65

Fazendo

G = fluxo total da massa por unidade de area do

canal

(1-x J e

V

AP r

Assim a perda de pressatildeo total sera

H p V II pV r2 P -P = f -24-Iuml+ f R+p 0 1 2g c D e 2g c g c g c

2c2 - Determinaccedilatildeo do fator de multiplicaccedilatildeo (R)

221 - Relaccedilatildeo Martinelli-Nelson

Os autores Martinelli-Nelson determinaram experimental -

te esse fator R para varias LIT1L em funccedilatildeo da pressatildeo e da r NB total J v

qualidade de saiacuteda do vapor no canal Construiacuteram assim vaacuterias

curvas do tipo da figura 9

66

E importante notar que a qualidade do vapor (x) na saiacuteshy

da nao deve ser grande pois como vemos o valor de R cresce muishy

to com um aumento pequeno de x e um valor de R muito grande acar_

reta uma perda de pressatildeo grande pois

^ d u a s fases R ^ f a s e liacutequida

Para resolvermos um problema seguindo o criteacuterio de bdquo

Martinelli escolhemos a curva R = f(px) (para a relaccedilatildeo L

N g ^ j

adequado) e tiramos R com os valores de pressatildeo p e tiacutetulo x

As curvas R = f (p x L T t )IO encontram-se nos ANL 6469 bio I

e 6561

222 - Relaccedilatildeo Lottes-Flinn

Estes autores estudaram o problema para o aquecimento uni

forme do refrigerante com baixo titule Lottes-Flinn fizeram inuacuteshy

meras experiecircncias e verificaram que para fluxo de calor uniforshy

me e baixos titulos R era independente do fluxo de calor fluxo

do refrigerante escorregamento e apenas funccedilatildeo de a g

Como a quantidade de liacutequido eacute muito maior que a de vashy

por a perda de pressatildeo daacute-se principalmente pelo atrito do liacuteshy

quido com a parede Podemos assim escrever a foacutermula de Darcy

na forma diferencial

dz

d = f __ r e amp c

onde

V = velocidade do liquido saturado na cota zbdquo X

f = coeficiente atrito

= densidade do liacutequido saturado

Teoricamente a queda de pressatildeo deve-se ao acreacutescimo de

67

velocidade do liacutequido e da diminuiccedilatildeo da aacuterea de fluxo do liacutequi

do

P fH A P t p

= f D 2g Ho

d z

fazendo

V lo

m V t lo

(velocidade do liacutequido na cota z = Ho)

(1-x) m t v 1

(1-a) A (velocidade do liacutequido na cota z gt Ho)

a bull+ fraccedilatildeo vazio na cota z geneacuterica

V 1 (1-x) m t v 1

m t V l 1 - a

x =s 0 pois o tiacutetulo eacute baixo

A p t f = f bull JT5 c e

fH V lo

H o (1-a) dz

Para fazer a integral devemos achar a relaccedilatildeo de variaccedilatildeo

entre a e z Como o fluxo de calor eacute uniforme a qualidade eacute direshy

tamente proporcional a z

bull laquo x = x e H

z = mdash x X e

Sabemos ainda que (item 113)

x

1 + [ ( I -X)AKQ x + iiacuteraquo

68

como

temos

(1-x) = 1

v

X =

z =

1-a

1 -a

1-a e

a

e

1-a pound

a

1 -a igt (assumindo S = cte)

da

Atf - f bull 2 i ^ ~ J c e o

a 1 - a e e 1 s 4 hmdash) da

a 1-a

f P lv^ Q

0 termo mdash - mdash e a parte de perda de pressatildeo pelo lj^

^c e -quido ou seja Ap liquido saturado e como

Ap

R = tf

Ap liauido saturado

temos que

R J

f ae 1 _ a e 1 4

a 1 -a o e

1 -a r-R =

3 1 -a

a 1 -a imdash

3 vl - a 3

e e

Os valores de R obtidos por esta expressatildeo aproximam-se

muito dos valores obtidos pelos aacutebacos de Martinelli

69

E - EXPANSAtildeO E COMPRESSAtildeO DE UM FLUIDO - ANAacuteLISE HIDRODINAcircMICA

DE UM CIRCUITO EM CIRCULACcedilAtildeO NATURAL

1 EXPANSAtildeO NO FLUXO DE UM FLUIDO

11 - Uma so fase

Figura 1

Ha vaacuterios meacutetodos para determinar a variaccedilatildeo de pressatildeo

numa expansatildeo de fluido estudaremos o de Romie que eacute o que daacute

maior precisatildeo

Romie considera que a pressatildeo p^ tambeacutem atua na aacuterea

imediatamente apos a expansatildeo Assim fazendo o equiliacutebrio das foi

ccedilas nas secccedilotildees tracejadas da figura 1 temos

mVj

p r A 2 + mdash

mV

bull 2- A2

mas

m = pV^A^

pV^A = p V 2 bdquo A 2

V A

v 2 -4r-logo

( P l-P 2) A 2 = f ( V ^ ) - f _ v j amp c c 2

70

2 pV A A pV A A

Chamando A l A ]

K = 1 - T e degi2 = Aiexcl bull V E M

pvj

P l P 2 = T ~ bull ( 2 deg 1 2 ) ( 1 _ a 1 2 )

Outra maneira de chegar atilde diferenccedila de pressatildeo ( P j - ^ ) s mdash

ria usar o coeficiente de perda da mecacircnica dos fluidos Assim o

equilibrio das pressotildees eacute

2 2

1 V l 1 V 2 V l P i + _ p _ ^ P 2 + I p ~ + k 1 2 p mdash

onde = coeficiente de perda

A 2 1 2

k 1 2 - (l-o 1 2) - (1 - j- )

Fazendo as transformaccedilotildees chegamos a mesma expressatildeo obshy

tida pelo balanccedilo das forccedilas

PraquoIacute pr p

2 - - ir ^ laquo-ia

12 - Duas fases

Como ha duas fases a equaccedilatildeo do balanccedilo das forccedilas fica

um pouco alterada

m pound 1 V- m - raquoV - m-V- m bdquoV _ P A + j y ^ i + _gl_JUuml P A + -11-11 + -ilsl (a)

1 2 e R 2 2 ff e

Sabendo que

71

m (1-x) m t = p fA (1-a) V f

entatildeo

fl l-o^ p fA x

6 Vf2 1-x l-a2 P fA 2

m V = mdash mdash e V 0 = gl a 1 P C T A 1 g2

m

a_ p h

2 g 2

Nas expressotildees anteriores o x nao varia porque a expansatildeo

5 adiabaacutetica porem o a varia devido a modificaccedilatildeo do tamanho da

bolha

Substituindo os valores das velocidades na expressatildeo (a)

vera

( P - P ) Abdquo =

2

2 2 m gt2 2 m t (1-x) 1 x t

ra i 2 m i 1 x t 1

p fA 1 g c ttl p Ax gpound

m t P - P = mdash

(1-x) (l-a 1)A 1A 2 (l-a2)A|

a r A r A 2

V A 2

m t P bdquo - P = mdash 2 1 g c A r A 2 p f

(1-x) 1-a f A 2(l-a 2)

bull ^ 2

72

Se

P -P

a

m

g

12

1 _1_ (1-x)

J12

1 _ a l 1 - a 2 + X (- )

Pg

1 deg12 a 2 ^

Sabemos que

mt = V o pf laquo A l

Sendo V q = velocidade do liquido num ponto onde natildeo haja vapor

P 2-P 1

u 2 2 A 2

V pr Ai

V W p f

(1-x) 12

l-a1 l-a2

+ X 2 pf

mdash

l deg12

-1 a 2 _

p -p r 2 Al (2a 1 2)

2 M f w 1 deg12 X (mdash) (

pg al a 2 )+(l-x)C l 1 12

1-a^ l-a2

Devemos notar que esta expressatildeo tambeacutem vale para quando

temos uma fase para isso basta fazer

= c t 2 = 0

X = 0

e recairemos na formula do item anterior

2 pf 1 deg12 Observemos que neste caso o termo x (mdash)( ) nao

Pg al a2

2

73

tem significado pois corresponde a mudanccedila de fase

2 CONTRACcedilAtildeO KO FLUXO DE UM FLUIDO

21 - Uma so fase raquo mdash

Aqui ocorre um fenocircmeno importante pois o fluido ao ser

contraiacutedo nao vai diretamente da area A^ para a area A 0 mas ele

contral-se ate uma area A^ e depois expande-se ate k^

Ao A2

Po IP 2

V 2

Figura 2

Fazendo o equiliacutebrio das pressotildees entre os planos (1)

(0) vem 2 2

pV pV p +~ plusmn - P + i deg bull 1 2 g o 2 g (b)

C x

Fazendo equiliacutebrio da expansatildeo (0) - (2) vem

P o + 2 - f = P 2 + 2 -T + kp- 2 F ( c )

c c b C

Subtraindo (b) - (c)

2 2 2

i p- vj i p- v2 L P l + 2 bull g c

P 2 + 2 2g c

+ k P 2g c

74

Como

P - P = mdash 2 2g

2 2

bull (1 + k) - f bdquo mdash i

k a - f2 ) 2 - d - o c )2

= o

A = a 21

Weisback obteve varias relaccedilotildees entre a e a i] c

01 02 03 a 0624 0632 0643 c

0624 0632

A r v i - V v 2

p -p 1 2

P -P 1 2 2g7

v l =

(1+k) - laquofi- a 2g 21 c

( 1 + k - o 2 1)

X[- V 2 o 2 1V 2

22 - Duas fases

0 valor de k pode ser aproximado para

k = a(l - o 2 1)

onde segundo Richardsons para fluxo de duas fases podemos supor

a = 02

Para fluxo homogeacuteneo sabemos que

75

p = p f (1 -a ) + p o a

podemos supor p bdquo a = 0 pois p e pequeno e fazendo

V = V ~ V fbdquo2 go2 v 2

Substituindo estas duas expressotildees na equaccedilatildeo de uma soacute fase vem

2 2 p V (l-ct) p V (1 -a ) bdquo

P l P 2 = 9g ( 1 + 3 - 3 0 ^ - 0 ^ ) = g (a+1) (l-a^)

Se a = 02

2 12p oV 0

p r p

2 - 9g gt d-) d-sigt

A compressatildeo de um fluido acarreta uma perda de pressatildeo

como pode ser verificado pelas formulas uma vez que lt 1deg

3 ANALISE HIDRODINAcircMICA DE UM CIRCUITO EM CIRCULACcedilAtildeO NATURAL

Esquema deacute uma caldeira com circulaccedilatildeo natural

76

Determinar a velocidade em (7) para que tenhamos circula

ccedilatildeo natural Determinar tambeacutem as perdas de pressatildeo em todos os

trechos da caldeira

31 - Contraccedilatildeo das secccedilotildees (1) - (2)

Como jaacute vimos a equaccedilatildeo do balanccedilo das pressotildees eacute

1 pr Vl 1 p 2 o V 2 P2 V2

1 2 g 2 + 2 g + K12 2g otilde c amp c e c

bullraquo 2 o2 2 e havendo uma soacute fase k 1 9 = (l-o ) = (1 mdash ) e sendo

C 2

p l = p2

v x lt lt lt v 2

P 2 V pr p2 bull ir2 bull ( 1 + k12gt

Colocando em termos de temos

A 2 V 2 P 2 = A 7 V 7 p 7 (continuidade)

V = V mdashbull = V o_bdquo ~ A 2 2 2

P 2 V - p 2

p r p 2 = ir2 - deg72 bull Ccedilrgt bull lt 1 + ki2gt

fazendo

N12 - lt^gt deg72 ( 1 + k12gt

P7 V7

Pr P2 - N12 bull HG

77

3 2 - Perda de carga no trecho ( 2 ) - ( 3 )

Como haacute apenas uma fase soacute temos perdas por atritos e

perdas hidrostaacuteticas

Sendo como jaacute vimos

2 3 p 2 2 g P 2 P 3 = f 2 3 (r~2g^~) L 2 3 g c p

atrito hidrostaacutetica

Substituindo V^ pela relaccedilatildeo do item anterior e tendo em

conta que p = vem

P -P = f 2 r 3 2 3 D

2 3 p 2 bdquo 2 2 p 7 2

2 g 7 72 p 2 3 g

Se

L 2 3 2 p 7

2 3 2 3 D 2 a 7 2 p 2

P 7 V 7 g P 2 - P 3 = N 2 3 ( mdash gt p 2 L 2 3 f

3 3 - Expansatildeo nas secccedilotildees ( 3 ) - ( 4 )

Como vimos o balanccedilo das pressotildees e

2 2 2 p V p 4 V p V

P 3 + 2 g c

P 4 + 2 g c

+ k 3 4 2 g c

onde

k 3 4 - - -

2 2 1 P 4 - V 4 P 3 v 3

P 3 P 4 = 2 g + ( k 3 4 _ 1 ) 2 g

78

Sendo

P 3 - P 4

p 3 o A 3 deg V 3 = P 7

a A 7 o V 7

P 4A 4 0V 4 = P r A r V

3 7 A 3 p 3

A7 P7 V = v mdash mdash 4 7 P 4

P - P 3 r4

Se

P bdquo - P

bdquo2 r-P 7 V 7

3 4 2g deg74 + ( k 3 4 1 ) deg73

34 p deg74 + ( k 3 4 1 ) 73

p r v2

P3- P4 ^ N34 ^ gt

(No caso e negativo)

34 - Contraccedilatildeo nas secccedilotildees (5) - (6)

Ainda temos uma so fase e fazendo o balanccedilo das pressotildees

como fizemos no item 3lt1 vem

P + vil p + vi + k vi P 5 + 2gbdquo P6 + 2gbdquo + k56 2gbdquo

k 5 6 lt 1 ^ gt 2 ( 1 - Iacute 2 i 2 6

V V6 P5degIacute 5^6 ^SS 2g c - 2g c

P - P ^ = (1+kJ

Como

79

A 6

W p 5 =

VV P6 V 5 = V 6 Jiexcl = Vff65

P 5-P 6 - lt H k 5 6 ) mdash ^ mdash (l+k 5 6-a 6 5) c c c

Sendo

Se

A 7 p 7 p 7

6 7 Ag p 6 7 76 p 6

p _p _ P6- V7- g76 iquest72 ( _ 02 P 5 P 6 2g c bull ( p 6

( 1 + k 5 6 deg65 )

p 7 2 2 N56 = p ^ deg76 ( 1 + k 5 6 ~ a 6 5 )

P 7 V 2

7

P r-P = N r 5 6 56 2g c i

35 - Perdas de pressatildeo nas zonas (6) - (7) - Pre^aquecimento

Nesta regiatildeo temos perdas por atrito e hidrostaacuteticas

Nao haacute perda por aceleraccedilatildeo pois ainda natildeo houve formaccedilatildeo de boshy

lhas

Fazendo balanccedilo das pressotildees temos

L_ ppound-V p = p + otilde L - pound _ + f -Si (-21mdashL 6 7 + p67 L67 g + t 6 7 D K 2g

p _ e ifn sao tomados como valores meacutedios 67 67

P _p _ f hl ^67jIacute uuml + - L A

6 F 7 r67 D 2g P P67 L67 g 6 s c 7 c

S e Kr pound67 L67 p67 6 7 D 6 p7

p7 V - _g_ P6- P7 - N67 mdash + P67 L67 f

c c

80

36 - Perda de pressatildeo nas zonas (7) - (8) - Zona de ebuliccedilatildeo

Nesta regiatildeo j aacute temos o aparecimento de bolhas logo a

perda de pressatildeo seraacute devida agraves t recircs parcelas aceleraccedilatildeo a t r i t o

das duas fases liacutequidas + vapor e h idros taacute t ica

onde

Assim

P-P Q = AP + AP + APbdquo 7 8 a t r i t o acel H

T M1

78 p 7 7 AP - R f- - mdash mdashr |R = fator mult ipl ica-

a t r i t o 7 D 7 2 g c L tivo

G 2

AP bull r mdash acel g c

P V

|_1 - o a p J 8 P f

2 t r 2 M2

7 7 r 7 7 A P a c e l = -J^mdash 2 r bull p 7 lt T iexcl iexcl - )

A PH p 7 8 L 7 8 fiexcl

p 7 8 iacute 7 li 1 0 0 P l i q + a P v ] d L = P 7 ( 1 - laquo 7 8 )

ag raquo fraccedilatildeo de vazio media entre 7 e 8

APH = p (1 - 5 7 g ) f- L 7 8

2 2

P 7 - P 8 a 5 - 2 T i + 2 r p 7 + P 7 ( 1 - 7 8 gt f L 7 8 7 amp c amp c amp c

81

N 7g = R mdash + 2 r p 7

P7 V7 P7- P8 = N78 + P 7 ( 1 5 7 8 gt J78

37 - Expansatildeo nas secccedilotildees 8 e 9

No caso haacute uma expansatildeo com duas fases e como vimos no

item 12 a variaccedilatildeo de pressatildeo era dada por

0f Vo P2 P1 = ~2g c ( 2 deg12

x 2 (mdash)(mdash - mdash ) + ( l - x ) 2 ^ T mdash 8 1 2 1

12

Aplicando ao nosso caso

P pound = P 7

P -P = 8 9

V - V raquo V g f 7

P 7 V 2

2 pf 1 a89 2 1 g89 x (mdash) ( ) + (1-x) (- - N

o ou abdquo 1-cu l-ot_) g 8 9 8 9

Se

N 89

= 2 a 89

2 pf 1 deg89 2 1 CT89 x (mdash) ( ) + (1-x) ( T

g 8 9 8 9

P -P = 8 9

- N P7deg V7

89 2gbdquo

38 - Perda de pressatildeo no trecho 9 e 10

No referido trecho temos apenas perda de pressatildeo por atr L

to da fase liacutequido + vapor e perda hidrostaacutetica Natildeo haacute perda por

aceleraccedilatildeo do vapor pois este natildeo recebe mais calor e portanto

o 82 o

nao ha variaccedilatildeo no a

p

Q -p i n = A P

U + A P bull 9 10 H atrito

n T -S_ P9 U10 deg 910 bull g

fio r

910 I 910

J9 L

(l- a)P + Q P I dL liq v

(l-a0) p

No caso a = (nao hatilde variaccedilatildeo de forma)

A P H - (1-a ) P (p L 0

c

AP bdquo = R o

atrito

2 f9 o L910 P9 V9

2g

Supondo

= V

P 9 = P 8 P 7

vbdquo = v 9 8 0 A r

= V 7 bull deg89

AP - R atrito

2 2

W l O p7deg V7deg g89

V P10 R -^T^ bull deg89 bull li-2 + ( W P 7 (fgt SIO

y c c

Se

- f9 L910 2 N9ol0 R Dl deg89

w 2

p rv P9 P10 = VlO + ( 1 a 9 ) p7 (f gt L910 c

33

39 - Perda ciacutee pressatildeo na expansatildeo 9 - 1 0

Analogamente a expansatildeo 8 - 9 temos

10 11 P 7 2g

10 Iacute 2 0 1 0 - 1 1 gt

2 ff

pg aio

10-11

laquo11 ) +

Ll-a 1 0 bull l-a u J

Se

V10 = V 9 = V 8 bull T9 = V 7 deg89

P -P 10 rll = - a 2g 089 ^lO-ll

4 bull T~ bull (7 1 mdash ) + Pg degio a n

+ (l-x)2(- 1 10-11

1 - aio )

N10-ll = 2 a10-ll a89 2 pf t 1 10-11 N2

-(j-r- - ) bull+ (1-x) pg aio deg 1

10-11 k l - a io

prz P10 Pll = - N10-ll bull ( 2gbdquo

310 - Calculo de V

Fazendo a somatoacuteria de todas as expressotildees (P^-Pj) tere-

84

mos 2 PbdquoV_

P bdquo - P bdquo = N 7 v 7

1 2 12 2g

bull 2 - P 3 - = N 2 3 P 2 L 2 3 f c ccedil

9 P 7 V 7 P _p = N mdash -

3 4 34 deg 2g

V P 5 = deg

2 P V

5 6 56 2 g c

ltr2

P 7 -V 6 e7 -N67 2g + p 6 7 J j67 g

c bc v 2

P 7 - P 8 = N 7 8 - 2 i ~ + p 7 ( 1 - laquo 7 8 ) L 7 8 c

P 7 V 7

P - P - -N mdash - -8 9 89 2g

c P 7 V 7

P 9 ~ P 1 0 VlO 2g + ( 1 a 9 P 7 L 9 c

P 7 V 7

bull10 11 U10-ll 2g

P v iacute j P - P

1 11

7 - v 7 3 bull r

2 8 i U L 2 23 67

(l-5 7 8) L 7 8 + ( l - laquo 9 ) P 7 bull SlOtilde]- ^

Por ou t ro lado sabemos que como secccedilotildees 1

mesmo n iacute v e l

85

s c p r v 7 j

28 Z N i ij

= P 2 L23 p67 L67 P 7 ( 1~deg78 )

78 ~ ^g) bull P 7 bull L 910 g_

V - 2 g ( p r L 2 3 - p 6 r L 6 7 - p 7 ( l - atilde 7 8 ) L 7 8 - (l-a9) p L 9 a ( )

y N

Com esse valor de podemos determinar todas as variashy

ccedilotildees de pressatildeo (P^-P )

BIBLIOGRAFIA

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tituto de Energia Atocircmica de Sao Paulo em 1966 (roteiro)

- WR Gambill - Nuclear Safety

Vol 9 - n9 5 e 6

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Frank Kreith - Principles of Heat Transfer

Journeacutees Internationales de la transmission de la chaleur

Seminaacuterios realizados em Paris em 1961 sob a supervisatildeo do

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Notas de aula da Cadeira de Termodinacircmica I e Transmissatildeo da

Escola Politeacutecnica da Universidade de Sao Paulo

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43 bdquo3

qu bdquo gat ^ T J h r t f t ^

495

25 - Calculo do fluxo de calor no Ponto de Leidenfrost

0 ponto de Leidenfrost como vimos eacute o ponto em que oflu

xo de calor comeccedila ncamente a crescer isto eacute o ponto onde termal

aa a ebuliccedilatildeo instaacutevel e comeccedila a ebuliccedilatildeo por peliacutecula estaacutevel Eacute

o chanado fluxo miacutenimo (egrave ) m m

Aproximadamente quando A t g u k = 0 temos

A _ mdash _ mdash (Gambill) m m 5

Ha entretanto varias expressotildees para determinar esse flu

xo eis uma delas

A p 14 ltjgt = 009 h pbdquo (o raquo g mdash ) y m m fg P V deg 2

p l

26 - caacutelculo do fluxo de calor na regiatildeo de ebuliccedilatildeo por peliacute

cuia estaacutevel

para cilindros jmdashi i li

_ D 0172 k-V - P V A p h l V bull S 14 li - = 062 (mdashmdash) (- j- r rmdash) convecccedilao A 0 ybdquo (t -t )

c V w sat

onde

= condutividade do vapor

- 2 TT ( mdash )

c gAp Vl = significam vapor e liacutequido respectivamente

para paredes verticais

L 0172 S deg7 A p bull hlV S q 4 h - - 080 (-^-)J- (-Iuml - Iacutemdash-convecccedilao X L u (t - t J)

c V w sat

48

Como nesta regiatildeo jaacute haacute nina influecircncia marcante da radia

ccedilao devemos levar en conta tambeacutem o coeficiente de peliacutecula de

vido a radiaccedilatildeo para determinar o coeficiente de peliacutecula total

Dos estudos atildea radiaccedilatildeo temos

h = a F pound(T 4 - T 4 J ( T ~ T ) rad w sat w sat

onde amp _ emissividade de superfiacutecie

a = constante de Stefan-Boltzman

F = fator de forma

Segundo WE Gambill o coeficiente de transmissatildeo total

ceve ser

3 iacutei = h + -7 h para h lt h t conv 4 rad r rad conv

Na expressatildeo acima existe o fator 34 porque a radiaccedilatildeo

faz variar um pouco a espessura do filme de vapor reduzindo asshy

sim o l l

conv

Quando tivermos h gt h gt o h^ ^ seraacute rad conv total

h f c = h + h t conv rad

Neste ultimo caso nao ha nenhum coeficiente porque a peshy

liacutecula de vapor jaacute eacute estaacutevel

27 - Grandezas caracteriacutesticas para a apua

Para pressatildeo igual a 1 atm = 1422 psia

At ^ = t - t = 5degC (iniacutecio da ebuliccedilatildeo nucleada) sat w sat 1

At t = 30degC sat crit

49

5 2 $ = 4 10 BTUhrft (para pressatildeo 1 atm)

0 fluxo critico cresce como vimos com a pressatildeo ate

atingir o maacuteximo quando a pressatildeo eacute aproximadamente 13 da pressatildeo

criacutetica Esse fluxo eacute

bull = 13 IO 6 BTUhrft 2 para p = 11000 psia (p pound = 32062 psia)

Ainda temos que para pressatildeo igual a 15 psia

h b o = 11000 BTUhrft degF - ebuliccedilatildeo nucleada

h f b = 30 BTUhrft 2 degF - ebuliccedilatildeo pelicular

Todos os resultados e formulas para caacutelculos especiacuteficos

apresentados nos itens 21 22 23 ateacute 27 sacirco aplicados somente

para sistemas onde haja ebuliccedilatildeo com grande quantidade de liquido

51

D - HIDRODINAcircMICA DOS SISTEMAS E QUEDA

DE PRESSAtildeO DENTRO DE UM CANAL

1 HIDRO-DINAcircMICA E QUEDA DE PRESSAtildeO

11 - Hidro-dinacircmica dos sistemas estaacuteveis

111 - Regimes de escoamento

A evoluccedilatildeo do escoamento ao longo de um canal aquecedor

de secccedilatildeo constante ciliacutendrico pode ser esquematizada pela figushy

ra 1 onde temos em abcissa o comprimento z do canal e em ordenada

a temperatura (T)

52

Na figura 1 nos representamos

a) 0 aspecto do escoamento fluido quando a entalpia do

- fluido aumenta Verificamos que o fluido entra no cashy

nal no estado liacutequido e assim permanece ateacute atingirmos a zona de

ebuliccedilatildeo local onde aparecem as primeiras bolhas A entalpia do

fluido continua aumentando e tem inicioa ebuliccedilatildeo franccedila onde as

bolhas se unem formando agregados posteriormente o escoamento to

ma a forma da figura ou seja torna-se anular disperso Finalmente

atingimos duas uacuteltimas fases do escoamento disperso (vapor uacutemido)

e vapor seco

b) A evoluccedilatildeo da temperatura meacutedia do fluido e da tempeshy

ratura da parede Note-se que a partir da cota a

temperatura da parede aumenta brutalmente podendo causar o

burnout

c) A evoluccedilatildeo do tiacutetulo do vapor (x) com o comprimento

do tubo e a evoluccedilatildeo da fraccedilatildeo (a) que definiremos no

item 11laquo2 com o comprimento do tubo

112 - Definiccedilotildees

a) Tiacutetulo ou qualidade do vapor (x)

massa de vapor na mistura x ~ massa total da mistura

x =

W _g_

g f

b) Fraccedilatildeo vazio (void fraction)

volume do vapor na mistura a = volume total da mistura (agua+vapor)

A relaccedilatildeo entre x e a num sistema parado pode ser obtida

assumindo um certo volume contendo 1 lbm de mistura em equiliacutebrio

teacutermicoraquo

53

O volume da mistura seraacute igual a (v + xv ) ft onde v eacute 3 r rg

o volume especifico (lbmft )

f - refere-se ao liquido

g - refere-se ao vapor

fg - refere-se a diferenccedila entre liacutequido e vapor

Numa mistura em equiliacutebrio se o liacutequido e o vapor estatildeo

saturados o volume do vapor presente eacute igual acirc sua massa vezes

seu volume especiacutefico v assim e

xv bdquo bdquo a mdash

V c + XV c

f gf

onde

- bull-bull uumlutiacuteisa vapor na mistura de 1 Ibm

v volume especiacutefico do liacutequido

v = volume especiacutefico do vapor o

V c = v - V

gf 8 r

Fazendo uma transformaccedilatildeo na expressatildeo acima temos

xv xv JS = Z-

v r+ x(v -v c) xv +(l-x)v t ri f g f g f 1 + Ul-x)xjv fv

1 + C(l-x)x]]vfvg

A fraccedilatildeo vazia tem a influencia de baixar a reatividade

do nuacutecleo nos reatores em que o refrigerante eacute tambeacutem moderador

Na equaccedilatildeo acima os valores de x e v sao tomados em tabe

las termodinacircmicas apropriadas para a pressatildeo do sistema A equashy

ccedilatildeo (1) mostra os grandes valores de a para pequenos valores de x

especialmente para baixas pressotildees Isto ocorre porqueaumentando

54

aacute pressatildeo o v decresce muito enquanto que o v f eacute mais ou menos da

mesma ordem de grandeza

Exemplo Calcular o a correspondente para x raquo 2 para aacutegua

leve atilde pressatildeo atmosfeacuterica

Da tabela para p laquobull 1 atm

v - 001672 ft 3lbm e v - 26800 ft 3lbm

1 + [(1-002)002] 001672268

0971 ou 97U

O grafico abaixo mostra a variaccedilatildeo do a com x para vaacuterias

pressotildees e para a aacutegua leve

x ()

tObservaccedilotildees da curva

Fig 2

1 - para x constante a decresce com a pressatildeo Para presshy

sotildees proacuteximas da criacutetica a aproxima-se rapidamente de

x Para a pressatildeo criacutetica as duas fases satildeo indistinguiacuteveis ea=x

2 - para cada pressatildeo dotdx decresce com aumento de x

3 - para baixos valores de x (que e o caso dos reatores

tipo Boiling) quando p decresce dadx cresce e torr

na-se muito grande paacutera baixas pressotildees Isto tem relaccedilatildeo com a epound

55

tabilidade do reator como veremos mais tarde

113 - Sistemas com fluxo

Todas as definiccedilotildees que noacutes vimos no item anterior refeshy

rem-se acirc sistemas em que a mistura esta fechada no recipiente Nes^

te caso natildeo havia movimento relativo entre as duas fases No entan

to se as duas fases da mistura se movem na direccedilatildeo vertical em

canais entre os elementos combustiacuteveis o vapor por causa de sua

flutuaccedilatildeo tem a tendecircncia de escorregar sobre o liacutequido isto e

move-se com velocidade maior do que a do liacutequido

Real Modelo

Pig 3

S -

Define-se neste caso a relaccedilatildeo de escorregamento (slip

ratio) (S) como sendo

V _i

V f

onde

V = velocidade do vapor

= velocidade do liquido

S modifica as relaccedilotildees entre a e x do item anterior S geralmen_

te gt 1 Define-se neste caso qualidade do vapor ou tiacutetulo como

sendo

_ fluxo de massa de vapor

fluxo de massa da mistura

Entatildeo se o fluxo de massa da mistura eacute m t(lbmhr) o flushy

xo de vapor seraacute = x m e o fluxo de liacutequido sera (1-x) m onde x

56

e o titulo do vapor para a particular secccedilatildeo (AL) da figura (3)

Devemos notar que neste caso x varia de secccedilatildeo para secshy

ccedilatildeo do tubo o exposto no paraacutegrafo acima vale considerando-se que

x e a permaneceram constantes na secccedilatildeo de espessura AL

Aplicando a equaccedilatildeo da continuidade as velocidades do va

por e liacutequido sao dadas por

o xm v

V vazatildeo = g g area A

V

(1-x) amp t v f

f A f

onde A e A f sao as aacutereas medias perpendiculares ao fluxo se as

duas fases sao imaginadas completamente separadas uma da outra

(figura 3) Assim temos

V x m v o A_ A v 0 ^ - 2 = iacute S t m _2L- JL JS m

V A (l-x)ui v 1-x A v U

f g t f g f

Sabemos ainda que para a secccedilatildeo considerada

volume do vapor na mistura a = volume total da mistura (agua+vapor)

A AL A pound g g

a = mdash a a = - mdash 1

(A+A )AL A f + g

A ou f _ 1 - a

A a 8

Substituindo em (2) vem

57

Esta expressatildeo pode ser rearranjada e obteremos uma relashy

ccedilatildeo entre x e a levando em conta o escorregamento Chega-se a

a = 1 ( 3 )

1+ [U-x)x3 igt

onde

v 4 laquo -- S

v lty o

Note-se que quando S=l (nao haacute escorregamento) caimos na

expressatildeo dada no item anterior

0 efeito do escorregamento eacute decrescer o valor de a pa_

ra um mesmo xbdquo Isto pode ser visto pela foacutermula (3) pois S gt lLo

go a decresce com acreacutescimo de S

Um alto S e entatildeo uma vantagem tanto para a transferecircnshy

cia de calor como para efeitos de moderaccedilatildeo Eacute uma vantagem para

transferecircncia de calor porque alto S significa alto V e portanto

maior turbulecircncia e maior contato do liquido com as paredes quenshy

tes Ha tambeacutem melhorias na estabilidade da reaccedilatildeo nuclear isto

porque como jaacute dissemos quando mdash7 diminui a estabilidade aumenshy

ta isso pode ser verificado observando a curva a versus x para a

agua leve a 1000 psiabdquo

Fig 4

58

A relaccedilatildeo entre x e a da equaccedilatildeo (3) so vale para secccedilatildeo

de tubo bem pequena

Devemos notar que S varia tambeacutem com a pressatildeo e velocida^

de de entrada do liacutequido no tubo Este efeito pode ser observado na

figura 5 abaxxo obtida esperimentalmente

s

3

~^ ~ psig

x = 001

V 1

Fig 5

Nos projetos de reatores como veremos adiante o valor a

geralmente eacute determinado por consideraccedilotildees nucleares (moderaccedilatildeo) 0

valor de S eacute determinado atraveacutes de uma estimativa ou entatildeo atrashy

veacutes de um graacutefico do tipo da figura 5 0 correspondente valor de x

pode ser obtido de uma foacutermula empiacuterica do tipo

1 = 1 (-S)0gt67

proposta por Von Glahn

Em muitos casos assume-se S constante em todo o comprimeiv

to do canal poreacutem eacute um erro que em muitos casos nao pode ser coshy

metido

4 REATORES EM QUE 0 LIacuteQUIDO B MODERADOR E CIRCUITO PRIMAacuteRIO AO

MESMO TEMPO BOILING-REACTOR (BWR)

A aacutegua ao se movimentar atraveacutes dos vaacuterios canais do

59

Boiling-reactor encontra vaacuterias resistecircncias ao fluxo que provoshy

cam uma reduccedilatildeo de pressatildeo no fluido

As duas perdas mais importantes sao perda de pressatildeo por

atrito e perda de pressatildeo causada pela aceleraccedilatildeo do refrigerante

ao aumentar de volume por receber calor num canal Outras perdas

de pressatildeo seriam a obstruccedilatildeo ao fluxo por corpos submersos (espa_

ccediladores juntas de tubos chaves etc) e por mudanccedilas abruptas de

aacuterea de fluxo tanto na entrada como na saiacuteda do tubo

Essas perdas de pressatildeo devem ser conhecidas o melhor popound

sivel principalmente nos reatores BWR Para tanto devemos saber

o comprimento de canal em que nao ha a ebuliccedilatildeo isto eacute qual o com

primento de canal em que o refrigerante vai da temperatura de sub-

resfriamento ate temperatura de saturaccedilatildeo

Seja o elemento combustiacutevel

Aquecimento Uniforme Aquecimento Senoidal

Fig 6 Fig 7

onde

H =

H = o

H b

comprimento do elemento combustiacutevel

cota onde o liquido se torna saturado

comprimento do elemento combustiacutevel em que ocorre

ebuliccedilatildeo

60

qg = calor sensiacutevel acrescentado ao liquido para satushy

raacute-lo

qfc = calor total acrescentado ao liacutequido em todo o com

primento do canal

laquoo

q s J o qiquest sen (IIzH) n H o

T~ = TH = 2 ( 1 c o s gt ( a )

q 1 sen (HzH) Jo ^c

A expressatildeo (a) vale quando tivermos uma adiccedilatildeo de calor

senoidal para qualquer outra forma de adiccedilatildeo de calor faz-se um

caacutelculo anaacutelogo

Outra relaccedilatildeo entre q g e qfc eacute dada pela termodinacircmica

q h- - h s f m (b)

(hr +x h )-hm ^t f e fg

onde

= entalpia para o liquido saturado a pressatildeo correjs

pondente (cota z = Ho)

hffi = entalpia do liacutequido na entrada do canal

x = tiacutetulo do vapor na saiacuteda

= entalpia do vapor

Com a relaccedilatildeo (b) noacutes determinamos a relaccedilatildeo q q ecom

S L

uma relaccedilatildeo do tipo (a) (conforme seja o adicionamento de calor ao

liacutequido) podemos obter a relaccedilatildeo HoH e consequentemente H^H

21 - Perda de pressatildeo num canal de evaporaccedilatildeo

Neste item iremos determinar as perdas de pressatildeo mais

representativas que ocorrem num canal de evaporaccedilatildeo de um reator

P + dP

bull1 i- 1 gti i i

dL

onde

UM

Icirc H Icirc Icirc T dF f t f

61

Quantidade de Mov na Entrada

= i- rigVg)

dF f l

Fig 8

m i

m 8

V l V 8

A P

dF

dF

dF

fg

fl

ftf

descarga do liacutequido

descarga do vapor

velocidade do liquido

velocidade do vapor

aacuterea transversal do canal

forccedila de atrito do vapor com parede

forccedila de atrito do liacutequido com parede

forccedila de atrito das duas fases liacutequido+vapor

Fazendo o balanccedilo das forccedilas considerando o sentido posjL

tivo na vertical temos

A (P-P-dP)-(dF +dF _+dF _)-(-pound-) (p A+p A )dL = mdash dGnV+m V ) P fg ftf fl g c 1 1 g g g c

v 1 1 g g 7

- dP = ~ (dF +dF--+dF)+- S--7=- (p A+p A )dL+ mdash ~ - d (m-V+m V ) A_ fg ftf fl g c Ap v^l 1 g g g A 11 g g

Fazendo a integraccedilatildeo termo a termo entre os dois extreshy

mos entrada e saiacuteda e considerando a pressatildeo de entrada igual a

P q e a de saiacuteda igual a Pe vem

Quantidade de Mov na Saiacuteda

-= h I- lY l+ A g V g + d ( aacute l V l + aacuteeVl

Forccedila de Gravidade

= ( g f - N P A + P g V

62

b) r e F f l

o p dp^ = Ap^ = perda de pressatildeo por atrito

do liacutequido na altura Ho

Aplicando a formula de Darcy vem

bull API = f bull ir bull ^ iexcl 7

onde

f = fator de atrito

c) e Fftf

o p ^P tpound

= perda de pressao por atrito da mistura

liquido + vapor no trecho de comprimen

to Hbdquo o

Para determinar esta perda de pressao define-se o fator

de multiplicaccedilatildeo R

A P R =

tf A P 1B

Sendo A p ^ a perda de pressao se o comprimento todo fosshy

se ocupado somente pelo liquido assim

A p t f = R A P 1 B

0 calculo de Ap-^ pode ser feito pela formula de Darcy e

o de R nos veremos no item seguinte

63

d)

-e F

d ( ^ )

O P

Ap = perda de pressatildeo por atrito do vapor

No caso do reator BWR o titulo de saida e bera pequeno e

em nenhum caso ocorre a saida de vapor com x = 100 logo a perda

de pressatildeo por atrito do vapor eacute nula assim

An = 0 5

e) Ap

(p A 1 + p A ) dL = Ap - perda de pressatildeo dpound

vida ao desniacutevel

(perda hidrostaacutetica)

Anbdquo = re A A

-S- I (p + p -S ) dL H s 1 A

c o p o A

como A A Jl_ =

A P

A +A-g 1

1-a -

temos

C Q

te j jll-a)p1 + apg)^jdL = p Lo pound

onde

e jo u

+ ap ) ~I dL (Densidade media 1 S J

no tubo)

No nosso caso

Ap u = p H

f)

re d(mV + m V ) _ mdash - laquo -i bull s iquestp laquos p e r d a ltje pressatildeo devido a acele-

c p raccedilatildeo do vapor

V A

(1-x) tl^Vj

(1-a) A

X V

aA

A p -

roV + m V

c p c p L_

m (l-x)m_v m xv nbdquo -1 T 1

+ _S S I (1-a) Ap aA

P

2 g A c p

n 2 2

(1-x) m T

laquo2 8 A c p

2 2 (l-xe) raTv1

2 2 2 xm_v (1-x) m-v e T s o 1 1

a 1 - a

2 2 - x m_v o T g

a

se

X Q 0 (so ha agua nesse trecho)

a = 0 o

temos

mbdquo Ap =

1 a A 2

S A degc p laquo-

tt-V v i 1 - a

2 via T^r - v i

t Apc

2

V v l

5c Ap

1 - a

x v - 1

a e v l

65

Fazendo

G = fluxo total da massa por unidade de area do

canal

(1-x J e

V

AP r

Assim a perda de pressatildeo total sera

H p V II pV r2 P -P = f -24-Iuml+ f R+p 0 1 2g c D e 2g c g c g c

2c2 - Determinaccedilatildeo do fator de multiplicaccedilatildeo (R)

221 - Relaccedilatildeo Martinelli-Nelson

Os autores Martinelli-Nelson determinaram experimental -

te esse fator R para varias LIT1L em funccedilatildeo da pressatildeo e da r NB total J v

qualidade de saiacuteda do vapor no canal Construiacuteram assim vaacuterias

curvas do tipo da figura 9

66

E importante notar que a qualidade do vapor (x) na saiacuteshy

da nao deve ser grande pois como vemos o valor de R cresce muishy

to com um aumento pequeno de x e um valor de R muito grande acar_

reta uma perda de pressatildeo grande pois

^ d u a s fases R ^ f a s e liacutequida

Para resolvermos um problema seguindo o criteacuterio de bdquo

Martinelli escolhemos a curva R = f(px) (para a relaccedilatildeo L

N g ^ j

adequado) e tiramos R com os valores de pressatildeo p e tiacutetulo x

As curvas R = f (p x L T t )IO encontram-se nos ANL 6469 bio I

e 6561

222 - Relaccedilatildeo Lottes-Flinn

Estes autores estudaram o problema para o aquecimento uni

forme do refrigerante com baixo titule Lottes-Flinn fizeram inuacuteshy

meras experiecircncias e verificaram que para fluxo de calor uniforshy

me e baixos titulos R era independente do fluxo de calor fluxo

do refrigerante escorregamento e apenas funccedilatildeo de a g

Como a quantidade de liacutequido eacute muito maior que a de vashy

por a perda de pressatildeo daacute-se principalmente pelo atrito do liacuteshy

quido com a parede Podemos assim escrever a foacutermula de Darcy

na forma diferencial

dz

d = f __ r e amp c

onde

V = velocidade do liquido saturado na cota zbdquo X

f = coeficiente atrito

= densidade do liacutequido saturado

Teoricamente a queda de pressatildeo deve-se ao acreacutescimo de

67

velocidade do liacutequido e da diminuiccedilatildeo da aacuterea de fluxo do liacutequi

do

P fH A P t p

= f D 2g Ho

d z

fazendo

V lo

m V t lo

(velocidade do liacutequido na cota z = Ho)

(1-x) m t v 1

(1-a) A (velocidade do liacutequido na cota z gt Ho)

a bull+ fraccedilatildeo vazio na cota z geneacuterica

V 1 (1-x) m t v 1

m t V l 1 - a

x =s 0 pois o tiacutetulo eacute baixo

A p t f = f bull JT5 c e

fH V lo

H o (1-a) dz

Para fazer a integral devemos achar a relaccedilatildeo de variaccedilatildeo

entre a e z Como o fluxo de calor eacute uniforme a qualidade eacute direshy

tamente proporcional a z

bull laquo x = x e H

z = mdash x X e

Sabemos ainda que (item 113)

x

1 + [ ( I -X)AKQ x + iiacuteraquo

68

como

temos

(1-x) = 1

v

X =

z =

1-a

1 -a

1-a e

a

e

1-a pound

a

1 -a igt (assumindo S = cte)

da

Atf - f bull 2 i ^ ~ J c e o

a 1 - a e e 1 s 4 hmdash) da

a 1-a

f P lv^ Q

0 termo mdash - mdash e a parte de perda de pressatildeo pelo lj^

^c e -quido ou seja Ap liquido saturado e como

Ap

R = tf

Ap liauido saturado

temos que

R J

f ae 1 _ a e 1 4

a 1 -a o e

1 -a r-R =

3 1 -a

a 1 -a imdash

3 vl - a 3

e e

Os valores de R obtidos por esta expressatildeo aproximam-se

muito dos valores obtidos pelos aacutebacos de Martinelli

69

E - EXPANSAtildeO E COMPRESSAtildeO DE UM FLUIDO - ANAacuteLISE HIDRODINAcircMICA

DE UM CIRCUITO EM CIRCULACcedilAtildeO NATURAL

1 EXPANSAtildeO NO FLUXO DE UM FLUIDO

11 - Uma so fase

Figura 1

Ha vaacuterios meacutetodos para determinar a variaccedilatildeo de pressatildeo

numa expansatildeo de fluido estudaremos o de Romie que eacute o que daacute

maior precisatildeo

Romie considera que a pressatildeo p^ tambeacutem atua na aacuterea

imediatamente apos a expansatildeo Assim fazendo o equiliacutebrio das foi

ccedilas nas secccedilotildees tracejadas da figura 1 temos

mVj

p r A 2 + mdash

mV

bull 2- A2

mas

m = pV^A^

pV^A = p V 2 bdquo A 2

V A

v 2 -4r-logo

( P l-P 2) A 2 = f ( V ^ ) - f _ v j amp c c 2

70

2 pV A A pV A A

Chamando A l A ]

K = 1 - T e degi2 = Aiexcl bull V E M

pvj

P l P 2 = T ~ bull ( 2 deg 1 2 ) ( 1 _ a 1 2 )

Outra maneira de chegar atilde diferenccedila de pressatildeo ( P j - ^ ) s mdash

ria usar o coeficiente de perda da mecacircnica dos fluidos Assim o

equilibrio das pressotildees eacute

2 2

1 V l 1 V 2 V l P i + _ p _ ^ P 2 + I p ~ + k 1 2 p mdash

onde = coeficiente de perda

A 2 1 2

k 1 2 - (l-o 1 2) - (1 - j- )

Fazendo as transformaccedilotildees chegamos a mesma expressatildeo obshy

tida pelo balanccedilo das forccedilas

PraquoIacute pr p

2 - - ir ^ laquo-ia

12 - Duas fases

Como ha duas fases a equaccedilatildeo do balanccedilo das forccedilas fica

um pouco alterada

m pound 1 V- m - raquoV - m-V- m bdquoV _ P A + j y ^ i + _gl_JUuml P A + -11-11 + -ilsl (a)

1 2 e R 2 2 ff e

Sabendo que

71

m (1-x) m t = p fA (1-a) V f

entatildeo

fl l-o^ p fA x

6 Vf2 1-x l-a2 P fA 2

m V = mdash mdash e V 0 = gl a 1 P C T A 1 g2

m

a_ p h

2 g 2

Nas expressotildees anteriores o x nao varia porque a expansatildeo

5 adiabaacutetica porem o a varia devido a modificaccedilatildeo do tamanho da

bolha

Substituindo os valores das velocidades na expressatildeo (a)

vera

( P - P ) Abdquo =

2

2 2 m gt2 2 m t (1-x) 1 x t

ra i 2 m i 1 x t 1

p fA 1 g c ttl p Ax gpound

m t P - P = mdash

(1-x) (l-a 1)A 1A 2 (l-a2)A|

a r A r A 2

V A 2

m t P bdquo - P = mdash 2 1 g c A r A 2 p f

(1-x) 1-a f A 2(l-a 2)

bull ^ 2

72

Se

P -P

a

m

g

12

1 _1_ (1-x)

J12

1 _ a l 1 - a 2 + X (- )

Pg

1 deg12 a 2 ^

Sabemos que

mt = V o pf laquo A l

Sendo V q = velocidade do liquido num ponto onde natildeo haja vapor

P 2-P 1

u 2 2 A 2

V pr Ai

V W p f

(1-x) 12

l-a1 l-a2

+ X 2 pf

mdash

l deg12

-1 a 2 _

p -p r 2 Al (2a 1 2)

2 M f w 1 deg12 X (mdash) (

pg al a 2 )+(l-x)C l 1 12

1-a^ l-a2

Devemos notar que esta expressatildeo tambeacutem vale para quando

temos uma fase para isso basta fazer

= c t 2 = 0

X = 0

e recairemos na formula do item anterior

2 pf 1 deg12 Observemos que neste caso o termo x (mdash)( ) nao

Pg al a2

2

73

tem significado pois corresponde a mudanccedila de fase

2 CONTRACcedilAtildeO KO FLUXO DE UM FLUIDO

21 - Uma so fase raquo mdash

Aqui ocorre um fenocircmeno importante pois o fluido ao ser

contraiacutedo nao vai diretamente da area A^ para a area A 0 mas ele

contral-se ate uma area A^ e depois expande-se ate k^

Ao A2

Po IP 2

V 2

Figura 2

Fazendo o equiliacutebrio das pressotildees entre os planos (1)

(0) vem 2 2

pV pV p +~ plusmn - P + i deg bull 1 2 g o 2 g (b)

C x

Fazendo equiliacutebrio da expansatildeo (0) - (2) vem

P o + 2 - f = P 2 + 2 -T + kp- 2 F ( c )

c c b C

Subtraindo (b) - (c)

2 2 2

i p- vj i p- v2 L P l + 2 bull g c

P 2 + 2 2g c

+ k P 2g c

74

Como

P - P = mdash 2 2g

2 2

bull (1 + k) - f bdquo mdash i

k a - f2 ) 2 - d - o c )2

= o

A = a 21

Weisback obteve varias relaccedilotildees entre a e a i] c

01 02 03 a 0624 0632 0643 c

0624 0632

A r v i - V v 2

p -p 1 2

P -P 1 2 2g7

v l =

(1+k) - laquofi- a 2g 21 c

( 1 + k - o 2 1)

X[- V 2 o 2 1V 2

22 - Duas fases

0 valor de k pode ser aproximado para

k = a(l - o 2 1)

onde segundo Richardsons para fluxo de duas fases podemos supor

a = 02

Para fluxo homogeacuteneo sabemos que

75

p = p f (1 -a ) + p o a

podemos supor p bdquo a = 0 pois p e pequeno e fazendo

V = V ~ V fbdquo2 go2 v 2

Substituindo estas duas expressotildees na equaccedilatildeo de uma soacute fase vem

2 2 p V (l-ct) p V (1 -a ) bdquo

P l P 2 = 9g ( 1 + 3 - 3 0 ^ - 0 ^ ) = g (a+1) (l-a^)

Se a = 02

2 12p oV 0

p r p

2 - 9g gt d-) d-sigt

A compressatildeo de um fluido acarreta uma perda de pressatildeo

como pode ser verificado pelas formulas uma vez que lt 1deg

3 ANALISE HIDRODINAcircMICA DE UM CIRCUITO EM CIRCULACcedilAtildeO NATURAL

Esquema deacute uma caldeira com circulaccedilatildeo natural

76

Determinar a velocidade em (7) para que tenhamos circula

ccedilatildeo natural Determinar tambeacutem as perdas de pressatildeo em todos os

trechos da caldeira

31 - Contraccedilatildeo das secccedilotildees (1) - (2)

Como jaacute vimos a equaccedilatildeo do balanccedilo das pressotildees eacute

1 pr Vl 1 p 2 o V 2 P2 V2

1 2 g 2 + 2 g + K12 2g otilde c amp c e c

bullraquo 2 o2 2 e havendo uma soacute fase k 1 9 = (l-o ) = (1 mdash ) e sendo

C 2

p l = p2

v x lt lt lt v 2

P 2 V pr p2 bull ir2 bull ( 1 + k12gt

Colocando em termos de temos

A 2 V 2 P 2 = A 7 V 7 p 7 (continuidade)

V = V mdashbull = V o_bdquo ~ A 2 2 2

P 2 V - p 2

p r p 2 = ir2 - deg72 bull Ccedilrgt bull lt 1 + ki2gt

fazendo

N12 - lt^gt deg72 ( 1 + k12gt

P7 V7

Pr P2 - N12 bull HG

77

3 2 - Perda de carga no trecho ( 2 ) - ( 3 )

Como haacute apenas uma fase soacute temos perdas por atritos e

perdas hidrostaacuteticas

Sendo como jaacute vimos

2 3 p 2 2 g P 2 P 3 = f 2 3 (r~2g^~) L 2 3 g c p

atrito hidrostaacutetica

Substituindo V^ pela relaccedilatildeo do item anterior e tendo em

conta que p = vem

P -P = f 2 r 3 2 3 D

2 3 p 2 bdquo 2 2 p 7 2

2 g 7 72 p 2 3 g

Se

L 2 3 2 p 7

2 3 2 3 D 2 a 7 2 p 2

P 7 V 7 g P 2 - P 3 = N 2 3 ( mdash gt p 2 L 2 3 f

3 3 - Expansatildeo nas secccedilotildees ( 3 ) - ( 4 )

Como vimos o balanccedilo das pressotildees e

2 2 2 p V p 4 V p V

P 3 + 2 g c

P 4 + 2 g c

+ k 3 4 2 g c

onde

k 3 4 - - -

2 2 1 P 4 - V 4 P 3 v 3

P 3 P 4 = 2 g + ( k 3 4 _ 1 ) 2 g

78

Sendo

P 3 - P 4

p 3 o A 3 deg V 3 = P 7

a A 7 o V 7

P 4A 4 0V 4 = P r A r V

3 7 A 3 p 3

A7 P7 V = v mdash mdash 4 7 P 4

P - P 3 r4

Se

P bdquo - P

bdquo2 r-P 7 V 7

3 4 2g deg74 + ( k 3 4 1 ) deg73

34 p deg74 + ( k 3 4 1 ) 73

p r v2

P3- P4 ^ N34 ^ gt

(No caso e negativo)

34 - Contraccedilatildeo nas secccedilotildees (5) - (6)

Ainda temos uma so fase e fazendo o balanccedilo das pressotildees

como fizemos no item 3lt1 vem

P + vil p + vi + k vi P 5 + 2gbdquo P6 + 2gbdquo + k56 2gbdquo

k 5 6 lt 1 ^ gt 2 ( 1 - Iacute 2 i 2 6

V V6 P5degIacute 5^6 ^SS 2g c - 2g c

P - P ^ = (1+kJ

Como

79

A 6

W p 5 =

VV P6 V 5 = V 6 Jiexcl = Vff65

P 5-P 6 - lt H k 5 6 ) mdash ^ mdash (l+k 5 6-a 6 5) c c c

Sendo

Se

A 7 p 7 p 7

6 7 Ag p 6 7 76 p 6

p _p _ P6- V7- g76 iquest72 ( _ 02 P 5 P 6 2g c bull ( p 6

( 1 + k 5 6 deg65 )

p 7 2 2 N56 = p ^ deg76 ( 1 + k 5 6 ~ a 6 5 )

P 7 V 2

7

P r-P = N r 5 6 56 2g c i

35 - Perdas de pressatildeo nas zonas (6) - (7) - Pre^aquecimento

Nesta regiatildeo temos perdas por atrito e hidrostaacuteticas

Nao haacute perda por aceleraccedilatildeo pois ainda natildeo houve formaccedilatildeo de boshy

lhas

Fazendo balanccedilo das pressotildees temos

L_ ppound-V p = p + otilde L - pound _ + f -Si (-21mdashL 6 7 + p67 L67 g + t 6 7 D K 2g

p _ e ifn sao tomados como valores meacutedios 67 67

P _p _ f hl ^67jIacute uuml + - L A

6 F 7 r67 D 2g P P67 L67 g 6 s c 7 c

S e Kr pound67 L67 p67 6 7 D 6 p7

p7 V - _g_ P6- P7 - N67 mdash + P67 L67 f

c c

80

36 - Perda de pressatildeo nas zonas (7) - (8) - Zona de ebuliccedilatildeo

Nesta regiatildeo j aacute temos o aparecimento de bolhas logo a

perda de pressatildeo seraacute devida agraves t recircs parcelas aceleraccedilatildeo a t r i t o

das duas fases liacutequidas + vapor e h idros taacute t ica

onde

Assim

P-P Q = AP + AP + APbdquo 7 8 a t r i t o acel H

T M1

78 p 7 7 AP - R f- - mdash mdashr |R = fator mult ipl ica-

a t r i t o 7 D 7 2 g c L tivo

G 2

AP bull r mdash acel g c

P V

|_1 - o a p J 8 P f

2 t r 2 M2

7 7 r 7 7 A P a c e l = -J^mdash 2 r bull p 7 lt T iexcl iexcl - )

A PH p 7 8 L 7 8 fiexcl

p 7 8 iacute 7 li 1 0 0 P l i q + a P v ] d L = P 7 ( 1 - laquo 7 8 )

ag raquo fraccedilatildeo de vazio media entre 7 e 8

APH = p (1 - 5 7 g ) f- L 7 8

2 2

P 7 - P 8 a 5 - 2 T i + 2 r p 7 + P 7 ( 1 - 7 8 gt f L 7 8 7 amp c amp c amp c

81

N 7g = R mdash + 2 r p 7

P7 V7 P7- P8 = N78 + P 7 ( 1 5 7 8 gt J78

37 - Expansatildeo nas secccedilotildees 8 e 9

No caso haacute uma expansatildeo com duas fases e como vimos no

item 12 a variaccedilatildeo de pressatildeo era dada por

0f Vo P2 P1 = ~2g c ( 2 deg12

x 2 (mdash)(mdash - mdash ) + ( l - x ) 2 ^ T mdash 8 1 2 1

12

Aplicando ao nosso caso

P pound = P 7

P -P = 8 9

V - V raquo V g f 7

P 7 V 2

2 pf 1 a89 2 1 g89 x (mdash) ( ) + (1-x) (- - N

o ou abdquo 1-cu l-ot_) g 8 9 8 9

Se

N 89

= 2 a 89

2 pf 1 deg89 2 1 CT89 x (mdash) ( ) + (1-x) ( T

g 8 9 8 9

P -P = 8 9

- N P7deg V7

89 2gbdquo

38 - Perda de pressatildeo no trecho 9 e 10

No referido trecho temos apenas perda de pressatildeo por atr L

to da fase liacutequido + vapor e perda hidrostaacutetica Natildeo haacute perda por

aceleraccedilatildeo do vapor pois este natildeo recebe mais calor e portanto

o 82 o

nao ha variaccedilatildeo no a

p

Q -p i n = A P

U + A P bull 9 10 H atrito

n T -S_ P9 U10 deg 910 bull g

fio r

910 I 910

J9 L

(l- a)P + Q P I dL liq v

(l-a0) p

No caso a = (nao hatilde variaccedilatildeo de forma)

A P H - (1-a ) P (p L 0

c

AP bdquo = R o

atrito

2 f9 o L910 P9 V9

2g

Supondo

= V

P 9 = P 8 P 7

vbdquo = v 9 8 0 A r

= V 7 bull deg89

AP - R atrito

2 2

W l O p7deg V7deg g89

V P10 R -^T^ bull deg89 bull li-2 + ( W P 7 (fgt SIO

y c c

Se

- f9 L910 2 N9ol0 R Dl deg89

w 2

p rv P9 P10 = VlO + ( 1 a 9 ) p7 (f gt L910 c

33

39 - Perda ciacutee pressatildeo na expansatildeo 9 - 1 0

Analogamente a expansatildeo 8 - 9 temos

10 11 P 7 2g

10 Iacute 2 0 1 0 - 1 1 gt

2 ff

pg aio

10-11

laquo11 ) +

Ll-a 1 0 bull l-a u J

Se

V10 = V 9 = V 8 bull T9 = V 7 deg89

P -P 10 rll = - a 2g 089 ^lO-ll

4 bull T~ bull (7 1 mdash ) + Pg degio a n

+ (l-x)2(- 1 10-11

1 - aio )

N10-ll = 2 a10-ll a89 2 pf t 1 10-11 N2

-(j-r- - ) bull+ (1-x) pg aio deg 1

10-11 k l - a io

prz P10 Pll = - N10-ll bull ( 2gbdquo

310 - Calculo de V

Fazendo a somatoacuteria de todas as expressotildees (P^-Pj) tere-

84

mos 2 PbdquoV_

P bdquo - P bdquo = N 7 v 7

1 2 12 2g

bull 2 - P 3 - = N 2 3 P 2 L 2 3 f c ccedil

9 P 7 V 7 P _p = N mdash -

3 4 34 deg 2g

V P 5 = deg

2 P V

5 6 56 2 g c

ltr2

P 7 -V 6 e7 -N67 2g + p 6 7 J j67 g

c bc v 2

P 7 - P 8 = N 7 8 - 2 i ~ + p 7 ( 1 - laquo 7 8 ) L 7 8 c

P 7 V 7

P - P - -N mdash - -8 9 89 2g

c P 7 V 7

P 9 ~ P 1 0 VlO 2g + ( 1 a 9 P 7 L 9 c

P 7 V 7

bull10 11 U10-ll 2g

P v iacute j P - P

1 11

7 - v 7 3 bull r

2 8 i U L 2 23 67

(l-5 7 8) L 7 8 + ( l - laquo 9 ) P 7 bull SlOtilde]- ^

Por ou t ro lado sabemos que como secccedilotildees 1

mesmo n iacute v e l

85

s c p r v 7 j

28 Z N i ij

= P 2 L23 p67 L67 P 7 ( 1~deg78 )

78 ~ ^g) bull P 7 bull L 910 g_

V - 2 g ( p r L 2 3 - p 6 r L 6 7 - p 7 ( l - atilde 7 8 ) L 7 8 - (l-a9) p L 9 a ( )

y N

Com esse valor de podemos determinar todas as variashy

ccedilotildees de pressatildeo (P^-P )

BIBLIOGRAFIA

- WoR Gambill - Notas de aula dos seminaacuterios realizados no Insshy

tituto de Energia Atocircmica de Sao Paulo em 1966 (roteiro)

- WR Gambill - Nuclear Safety

Vol 9 - n9 5 e 6

Vol 6 - n 2 (pag 152)

Vol 4 -r n9 1 (pag 30)

Volbdquo 5 - n 2 (pag 151)

- WRo Gambill - Chemical Eng Prog ndeg 54 (Outubro)

~ El Wakil - Nuclear Power

- Jakob Max - Heat Transfer (vol I)

Mc Adams - Heat Transmission

- Paul A Lottes - Argonne National Laboratory

- AKL - 6469

- ANL - 6561

86

Knudsen e Katz - Fluid Dinamics and Heat Transfer

Frank Kreith - Principles of Heat Transfer

Journeacutees Internationales de la transmission de la chaleur

Seminaacuterios realizados em Paris em 1961 sob a supervisatildeo do

Prof Marcel Veron

Notas de aula da Cadeira de Termodinacircmica I e Transmissatildeo da

Escola Politeacutecnica da Universidade de Sao Paulo

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48

Como nesta regiatildeo jaacute haacute nina influecircncia marcante da radia

ccedilao devemos levar en conta tambeacutem o coeficiente de peliacutecula de

vido a radiaccedilatildeo para determinar o coeficiente de peliacutecula total

Dos estudos atildea radiaccedilatildeo temos

h = a F pound(T 4 - T 4 J ( T ~ T ) rad w sat w sat

onde amp _ emissividade de superfiacutecie

a = constante de Stefan-Boltzman

F = fator de forma

Segundo WE Gambill o coeficiente de transmissatildeo total

ceve ser

3 iacutei = h + -7 h para h lt h t conv 4 rad r rad conv

Na expressatildeo acima existe o fator 34 porque a radiaccedilatildeo

faz variar um pouco a espessura do filme de vapor reduzindo asshy

sim o l l

conv

Quando tivermos h gt h gt o h^ ^ seraacute rad conv total

h f c = h + h t conv rad

Neste ultimo caso nao ha nenhum coeficiente porque a peshy

liacutecula de vapor jaacute eacute estaacutevel

27 - Grandezas caracteriacutesticas para a apua

Para pressatildeo igual a 1 atm = 1422 psia

At ^ = t - t = 5degC (iniacutecio da ebuliccedilatildeo nucleada) sat w sat 1

At t = 30degC sat crit

49

5 2 $ = 4 10 BTUhrft (para pressatildeo 1 atm)

0 fluxo critico cresce como vimos com a pressatildeo ate

atingir o maacuteximo quando a pressatildeo eacute aproximadamente 13 da pressatildeo

criacutetica Esse fluxo eacute

bull = 13 IO 6 BTUhrft 2 para p = 11000 psia (p pound = 32062 psia)

Ainda temos que para pressatildeo igual a 15 psia

h b o = 11000 BTUhrft degF - ebuliccedilatildeo nucleada

h f b = 30 BTUhrft 2 degF - ebuliccedilatildeo pelicular

Todos os resultados e formulas para caacutelculos especiacuteficos

apresentados nos itens 21 22 23 ateacute 27 sacirco aplicados somente

para sistemas onde haja ebuliccedilatildeo com grande quantidade de liquido

51

D - HIDRODINAcircMICA DOS SISTEMAS E QUEDA

DE PRESSAtildeO DENTRO DE UM CANAL

1 HIDRO-DINAcircMICA E QUEDA DE PRESSAtildeO

11 - Hidro-dinacircmica dos sistemas estaacuteveis

111 - Regimes de escoamento

A evoluccedilatildeo do escoamento ao longo de um canal aquecedor

de secccedilatildeo constante ciliacutendrico pode ser esquematizada pela figushy

ra 1 onde temos em abcissa o comprimento z do canal e em ordenada

a temperatura (T)

52

Na figura 1 nos representamos

a) 0 aspecto do escoamento fluido quando a entalpia do

- fluido aumenta Verificamos que o fluido entra no cashy

nal no estado liacutequido e assim permanece ateacute atingirmos a zona de

ebuliccedilatildeo local onde aparecem as primeiras bolhas A entalpia do

fluido continua aumentando e tem inicioa ebuliccedilatildeo franccedila onde as

bolhas se unem formando agregados posteriormente o escoamento to

ma a forma da figura ou seja torna-se anular disperso Finalmente

atingimos duas uacuteltimas fases do escoamento disperso (vapor uacutemido)

e vapor seco

b) A evoluccedilatildeo da temperatura meacutedia do fluido e da tempeshy

ratura da parede Note-se que a partir da cota a

temperatura da parede aumenta brutalmente podendo causar o

burnout

c) A evoluccedilatildeo do tiacutetulo do vapor (x) com o comprimento

do tubo e a evoluccedilatildeo da fraccedilatildeo (a) que definiremos no

item 11laquo2 com o comprimento do tubo

112 - Definiccedilotildees

a) Tiacutetulo ou qualidade do vapor (x)

massa de vapor na mistura x ~ massa total da mistura

x =

W _g_

g f

b) Fraccedilatildeo vazio (void fraction)

volume do vapor na mistura a = volume total da mistura (agua+vapor)

A relaccedilatildeo entre x e a num sistema parado pode ser obtida

assumindo um certo volume contendo 1 lbm de mistura em equiliacutebrio

teacutermicoraquo

53

O volume da mistura seraacute igual a (v + xv ) ft onde v eacute 3 r rg

o volume especifico (lbmft )

f - refere-se ao liquido

g - refere-se ao vapor

fg - refere-se a diferenccedila entre liacutequido e vapor

Numa mistura em equiliacutebrio se o liacutequido e o vapor estatildeo

saturados o volume do vapor presente eacute igual acirc sua massa vezes

seu volume especiacutefico v assim e

xv bdquo bdquo a mdash

V c + XV c

f gf

onde

- bull-bull uumlutiacuteisa vapor na mistura de 1 Ibm

v volume especiacutefico do liacutequido

v = volume especiacutefico do vapor o

V c = v - V

gf 8 r

Fazendo uma transformaccedilatildeo na expressatildeo acima temos

xv xv JS = Z-

v r+ x(v -v c) xv +(l-x)v t ri f g f g f 1 + Ul-x)xjv fv

1 + C(l-x)x]]vfvg

A fraccedilatildeo vazia tem a influencia de baixar a reatividade

do nuacutecleo nos reatores em que o refrigerante eacute tambeacutem moderador

Na equaccedilatildeo acima os valores de x e v sao tomados em tabe

las termodinacircmicas apropriadas para a pressatildeo do sistema A equashy

ccedilatildeo (1) mostra os grandes valores de a para pequenos valores de x

especialmente para baixas pressotildees Isto ocorre porqueaumentando

54

aacute pressatildeo o v decresce muito enquanto que o v f eacute mais ou menos da

mesma ordem de grandeza

Exemplo Calcular o a correspondente para x raquo 2 para aacutegua

leve atilde pressatildeo atmosfeacuterica

Da tabela para p laquobull 1 atm

v - 001672 ft 3lbm e v - 26800 ft 3lbm

1 + [(1-002)002] 001672268

0971 ou 97U

O grafico abaixo mostra a variaccedilatildeo do a com x para vaacuterias

pressotildees e para a aacutegua leve

x ()

tObservaccedilotildees da curva

Fig 2

1 - para x constante a decresce com a pressatildeo Para presshy

sotildees proacuteximas da criacutetica a aproxima-se rapidamente de

x Para a pressatildeo criacutetica as duas fases satildeo indistinguiacuteveis ea=x

2 - para cada pressatildeo dotdx decresce com aumento de x

3 - para baixos valores de x (que e o caso dos reatores

tipo Boiling) quando p decresce dadx cresce e torr

na-se muito grande paacutera baixas pressotildees Isto tem relaccedilatildeo com a epound

55

tabilidade do reator como veremos mais tarde

113 - Sistemas com fluxo

Todas as definiccedilotildees que noacutes vimos no item anterior refeshy

rem-se acirc sistemas em que a mistura esta fechada no recipiente Nes^

te caso natildeo havia movimento relativo entre as duas fases No entan

to se as duas fases da mistura se movem na direccedilatildeo vertical em

canais entre os elementos combustiacuteveis o vapor por causa de sua

flutuaccedilatildeo tem a tendecircncia de escorregar sobre o liacutequido isto e

move-se com velocidade maior do que a do liacutequido

Real Modelo

Pig 3

S -

Define-se neste caso a relaccedilatildeo de escorregamento (slip

ratio) (S) como sendo

V _i

V f

onde

V = velocidade do vapor

= velocidade do liquido

S modifica as relaccedilotildees entre a e x do item anterior S geralmen_

te gt 1 Define-se neste caso qualidade do vapor ou tiacutetulo como

sendo

_ fluxo de massa de vapor

fluxo de massa da mistura

Entatildeo se o fluxo de massa da mistura eacute m t(lbmhr) o flushy

xo de vapor seraacute = x m e o fluxo de liacutequido sera (1-x) m onde x

56

e o titulo do vapor para a particular secccedilatildeo (AL) da figura (3)

Devemos notar que neste caso x varia de secccedilatildeo para secshy

ccedilatildeo do tubo o exposto no paraacutegrafo acima vale considerando-se que

x e a permaneceram constantes na secccedilatildeo de espessura AL

Aplicando a equaccedilatildeo da continuidade as velocidades do va

por e liacutequido sao dadas por

o xm v

V vazatildeo = g g area A

V

(1-x) amp t v f

f A f

onde A e A f sao as aacutereas medias perpendiculares ao fluxo se as

duas fases sao imaginadas completamente separadas uma da outra

(figura 3) Assim temos

V x m v o A_ A v 0 ^ - 2 = iacute S t m _2L- JL JS m

V A (l-x)ui v 1-x A v U

f g t f g f

Sabemos ainda que para a secccedilatildeo considerada

volume do vapor na mistura a = volume total da mistura (agua+vapor)

A AL A pound g g

a = mdash a a = - mdash 1

(A+A )AL A f + g

A ou f _ 1 - a

A a 8

Substituindo em (2) vem

57

Esta expressatildeo pode ser rearranjada e obteremos uma relashy

ccedilatildeo entre x e a levando em conta o escorregamento Chega-se a

a = 1 ( 3 )

1+ [U-x)x3 igt

onde

v 4 laquo -- S

v lty o

Note-se que quando S=l (nao haacute escorregamento) caimos na

expressatildeo dada no item anterior

0 efeito do escorregamento eacute decrescer o valor de a pa_

ra um mesmo xbdquo Isto pode ser visto pela foacutermula (3) pois S gt lLo

go a decresce com acreacutescimo de S

Um alto S e entatildeo uma vantagem tanto para a transferecircnshy

cia de calor como para efeitos de moderaccedilatildeo Eacute uma vantagem para

transferecircncia de calor porque alto S significa alto V e portanto

maior turbulecircncia e maior contato do liquido com as paredes quenshy

tes Ha tambeacutem melhorias na estabilidade da reaccedilatildeo nuclear isto

porque como jaacute dissemos quando mdash7 diminui a estabilidade aumenshy

ta isso pode ser verificado observando a curva a versus x para a

agua leve a 1000 psiabdquo

Fig 4

58

A relaccedilatildeo entre x e a da equaccedilatildeo (3) so vale para secccedilatildeo

de tubo bem pequena

Devemos notar que S varia tambeacutem com a pressatildeo e velocida^

de de entrada do liacutequido no tubo Este efeito pode ser observado na

figura 5 abaxxo obtida esperimentalmente

s

3

~^ ~ psig

x = 001

V 1

Fig 5

Nos projetos de reatores como veremos adiante o valor a

geralmente eacute determinado por consideraccedilotildees nucleares (moderaccedilatildeo) 0

valor de S eacute determinado atraveacutes de uma estimativa ou entatildeo atrashy

veacutes de um graacutefico do tipo da figura 5 0 correspondente valor de x

pode ser obtido de uma foacutermula empiacuterica do tipo

1 = 1 (-S)0gt67

proposta por Von Glahn

Em muitos casos assume-se S constante em todo o comprimeiv

to do canal poreacutem eacute um erro que em muitos casos nao pode ser coshy

metido

4 REATORES EM QUE 0 LIacuteQUIDO B MODERADOR E CIRCUITO PRIMAacuteRIO AO

MESMO TEMPO BOILING-REACTOR (BWR)

A aacutegua ao se movimentar atraveacutes dos vaacuterios canais do

59

Boiling-reactor encontra vaacuterias resistecircncias ao fluxo que provoshy

cam uma reduccedilatildeo de pressatildeo no fluido

As duas perdas mais importantes sao perda de pressatildeo por

atrito e perda de pressatildeo causada pela aceleraccedilatildeo do refrigerante

ao aumentar de volume por receber calor num canal Outras perdas

de pressatildeo seriam a obstruccedilatildeo ao fluxo por corpos submersos (espa_

ccediladores juntas de tubos chaves etc) e por mudanccedilas abruptas de

aacuterea de fluxo tanto na entrada como na saiacuteda do tubo

Essas perdas de pressatildeo devem ser conhecidas o melhor popound

sivel principalmente nos reatores BWR Para tanto devemos saber

o comprimento de canal em que nao ha a ebuliccedilatildeo isto eacute qual o com

primento de canal em que o refrigerante vai da temperatura de sub-

resfriamento ate temperatura de saturaccedilatildeo

Seja o elemento combustiacutevel

Aquecimento Uniforme Aquecimento Senoidal

Fig 6 Fig 7

onde

H =

H = o

H b

comprimento do elemento combustiacutevel

cota onde o liquido se torna saturado

comprimento do elemento combustiacutevel em que ocorre

ebuliccedilatildeo

60

qg = calor sensiacutevel acrescentado ao liquido para satushy

raacute-lo

qfc = calor total acrescentado ao liacutequido em todo o com

primento do canal

laquoo

q s J o qiquest sen (IIzH) n H o

T~ = TH = 2 ( 1 c o s gt ( a )

q 1 sen (HzH) Jo ^c

A expressatildeo (a) vale quando tivermos uma adiccedilatildeo de calor

senoidal para qualquer outra forma de adiccedilatildeo de calor faz-se um

caacutelculo anaacutelogo

Outra relaccedilatildeo entre q g e qfc eacute dada pela termodinacircmica

q h- - h s f m (b)

(hr +x h )-hm ^t f e fg

onde

= entalpia para o liquido saturado a pressatildeo correjs

pondente (cota z = Ho)

hffi = entalpia do liacutequido na entrada do canal

x = tiacutetulo do vapor na saiacuteda

= entalpia do vapor

Com a relaccedilatildeo (b) noacutes determinamos a relaccedilatildeo q q ecom

S L

uma relaccedilatildeo do tipo (a) (conforme seja o adicionamento de calor ao

liacutequido) podemos obter a relaccedilatildeo HoH e consequentemente H^H

21 - Perda de pressatildeo num canal de evaporaccedilatildeo

Neste item iremos determinar as perdas de pressatildeo mais

representativas que ocorrem num canal de evaporaccedilatildeo de um reator

P + dP

bull1 i- 1 gti i i

dL

onde

UM

Icirc H Icirc Icirc T dF f t f

61

Quantidade de Mov na Entrada

= i- rigVg)

dF f l

Fig 8

m i

m 8

V l V 8

A P

dF

dF

dF

fg

fl

ftf

descarga do liacutequido

descarga do vapor

velocidade do liquido

velocidade do vapor

aacuterea transversal do canal

forccedila de atrito do vapor com parede

forccedila de atrito do liacutequido com parede

forccedila de atrito das duas fases liacutequido+vapor

Fazendo o balanccedilo das forccedilas considerando o sentido posjL

tivo na vertical temos

A (P-P-dP)-(dF +dF _+dF _)-(-pound-) (p A+p A )dL = mdash dGnV+m V ) P fg ftf fl g c 1 1 g g g c

v 1 1 g g 7

- dP = ~ (dF +dF--+dF)+- S--7=- (p A+p A )dL+ mdash ~ - d (m-V+m V ) A_ fg ftf fl g c Ap v^l 1 g g g A 11 g g

Fazendo a integraccedilatildeo termo a termo entre os dois extreshy

mos entrada e saiacuteda e considerando a pressatildeo de entrada igual a

P q e a de saiacuteda igual a Pe vem

Quantidade de Mov na Saiacuteda

-= h I- lY l+ A g V g + d ( aacute l V l + aacuteeVl

Forccedila de Gravidade

= ( g f - N P A + P g V

62

b) r e F f l

o p dp^ = Ap^ = perda de pressatildeo por atrito

do liacutequido na altura Ho

Aplicando a formula de Darcy vem

bull API = f bull ir bull ^ iexcl 7

onde

f = fator de atrito

c) e Fftf

o p ^P tpound

= perda de pressao por atrito da mistura

liquido + vapor no trecho de comprimen

to Hbdquo o

Para determinar esta perda de pressao define-se o fator

de multiplicaccedilatildeo R

A P R =

tf A P 1B

Sendo A p ^ a perda de pressao se o comprimento todo fosshy

se ocupado somente pelo liquido assim

A p t f = R A P 1 B

0 calculo de Ap-^ pode ser feito pela formula de Darcy e

o de R nos veremos no item seguinte

63

d)

-e F

d ( ^ )

O P

Ap = perda de pressatildeo por atrito do vapor

No caso do reator BWR o titulo de saida e bera pequeno e

em nenhum caso ocorre a saida de vapor com x = 100 logo a perda

de pressatildeo por atrito do vapor eacute nula assim

An = 0 5

e) Ap

(p A 1 + p A ) dL = Ap - perda de pressatildeo dpound

vida ao desniacutevel

(perda hidrostaacutetica)

Anbdquo = re A A

-S- I (p + p -S ) dL H s 1 A

c o p o A

como A A Jl_ =

A P

A +A-g 1

1-a -

temos

C Q

te j jll-a)p1 + apg)^jdL = p Lo pound

onde

e jo u

+ ap ) ~I dL (Densidade media 1 S J

no tubo)

No nosso caso

Ap u = p H

f)

re d(mV + m V ) _ mdash - laquo -i bull s iquestp laquos p e r d a ltje pressatildeo devido a acele-

c p raccedilatildeo do vapor

V A

(1-x) tl^Vj

(1-a) A

X V

aA

A p -

roV + m V

c p c p L_

m (l-x)m_v m xv nbdquo -1 T 1

+ _S S I (1-a) Ap aA

P

2 g A c p

n 2 2

(1-x) m T

laquo2 8 A c p

2 2 (l-xe) raTv1

2 2 2 xm_v (1-x) m-v e T s o 1 1

a 1 - a

2 2 - x m_v o T g

a

se

X Q 0 (so ha agua nesse trecho)

a = 0 o

temos

mbdquo Ap =

1 a A 2

S A degc p laquo-

tt-V v i 1 - a

2 via T^r - v i

t Apc

2

V v l

5c Ap

1 - a

x v - 1

a e v l

65

Fazendo

G = fluxo total da massa por unidade de area do

canal

(1-x J e

V

AP r

Assim a perda de pressatildeo total sera

H p V II pV r2 P -P = f -24-Iuml+ f R+p 0 1 2g c D e 2g c g c g c

2c2 - Determinaccedilatildeo do fator de multiplicaccedilatildeo (R)

221 - Relaccedilatildeo Martinelli-Nelson

Os autores Martinelli-Nelson determinaram experimental -

te esse fator R para varias LIT1L em funccedilatildeo da pressatildeo e da r NB total J v

qualidade de saiacuteda do vapor no canal Construiacuteram assim vaacuterias

curvas do tipo da figura 9

66

E importante notar que a qualidade do vapor (x) na saiacuteshy

da nao deve ser grande pois como vemos o valor de R cresce muishy

to com um aumento pequeno de x e um valor de R muito grande acar_

reta uma perda de pressatildeo grande pois

^ d u a s fases R ^ f a s e liacutequida

Para resolvermos um problema seguindo o criteacuterio de bdquo

Martinelli escolhemos a curva R = f(px) (para a relaccedilatildeo L

N g ^ j

adequado) e tiramos R com os valores de pressatildeo p e tiacutetulo x

As curvas R = f (p x L T t )IO encontram-se nos ANL 6469 bio I

e 6561

222 - Relaccedilatildeo Lottes-Flinn

Estes autores estudaram o problema para o aquecimento uni

forme do refrigerante com baixo titule Lottes-Flinn fizeram inuacuteshy

meras experiecircncias e verificaram que para fluxo de calor uniforshy

me e baixos titulos R era independente do fluxo de calor fluxo

do refrigerante escorregamento e apenas funccedilatildeo de a g

Como a quantidade de liacutequido eacute muito maior que a de vashy

por a perda de pressatildeo daacute-se principalmente pelo atrito do liacuteshy

quido com a parede Podemos assim escrever a foacutermula de Darcy

na forma diferencial

dz

d = f __ r e amp c

onde

V = velocidade do liquido saturado na cota zbdquo X

f = coeficiente atrito

= densidade do liacutequido saturado

Teoricamente a queda de pressatildeo deve-se ao acreacutescimo de

67

velocidade do liacutequido e da diminuiccedilatildeo da aacuterea de fluxo do liacutequi

do

P fH A P t p

= f D 2g Ho

d z

fazendo

V lo

m V t lo

(velocidade do liacutequido na cota z = Ho)

(1-x) m t v 1

(1-a) A (velocidade do liacutequido na cota z gt Ho)

a bull+ fraccedilatildeo vazio na cota z geneacuterica

V 1 (1-x) m t v 1

m t V l 1 - a

x =s 0 pois o tiacutetulo eacute baixo

A p t f = f bull JT5 c e

fH V lo

H o (1-a) dz

Para fazer a integral devemos achar a relaccedilatildeo de variaccedilatildeo

entre a e z Como o fluxo de calor eacute uniforme a qualidade eacute direshy

tamente proporcional a z

bull laquo x = x e H

z = mdash x X e

Sabemos ainda que (item 113)

x

1 + [ ( I -X)AKQ x + iiacuteraquo

68

como

temos

(1-x) = 1

v

X =

z =

1-a

1 -a

1-a e

a

e

1-a pound

a

1 -a igt (assumindo S = cte)

da

Atf - f bull 2 i ^ ~ J c e o

a 1 - a e e 1 s 4 hmdash) da

a 1-a

f P lv^ Q

0 termo mdash - mdash e a parte de perda de pressatildeo pelo lj^

^c e -quido ou seja Ap liquido saturado e como

Ap

R = tf

Ap liauido saturado

temos que

R J

f ae 1 _ a e 1 4

a 1 -a o e

1 -a r-R =

3 1 -a

a 1 -a imdash

3 vl - a 3

e e

Os valores de R obtidos por esta expressatildeo aproximam-se

muito dos valores obtidos pelos aacutebacos de Martinelli

69

E - EXPANSAtildeO E COMPRESSAtildeO DE UM FLUIDO - ANAacuteLISE HIDRODINAcircMICA

DE UM CIRCUITO EM CIRCULACcedilAtildeO NATURAL

1 EXPANSAtildeO NO FLUXO DE UM FLUIDO

11 - Uma so fase

Figura 1

Ha vaacuterios meacutetodos para determinar a variaccedilatildeo de pressatildeo

numa expansatildeo de fluido estudaremos o de Romie que eacute o que daacute

maior precisatildeo

Romie considera que a pressatildeo p^ tambeacutem atua na aacuterea

imediatamente apos a expansatildeo Assim fazendo o equiliacutebrio das foi

ccedilas nas secccedilotildees tracejadas da figura 1 temos

mVj

p r A 2 + mdash

mV

bull 2- A2

mas

m = pV^A^

pV^A = p V 2 bdquo A 2

V A

v 2 -4r-logo

( P l-P 2) A 2 = f ( V ^ ) - f _ v j amp c c 2

70

2 pV A A pV A A

Chamando A l A ]

K = 1 - T e degi2 = Aiexcl bull V E M

pvj

P l P 2 = T ~ bull ( 2 deg 1 2 ) ( 1 _ a 1 2 )

Outra maneira de chegar atilde diferenccedila de pressatildeo ( P j - ^ ) s mdash

ria usar o coeficiente de perda da mecacircnica dos fluidos Assim o

equilibrio das pressotildees eacute

2 2

1 V l 1 V 2 V l P i + _ p _ ^ P 2 + I p ~ + k 1 2 p mdash

onde = coeficiente de perda

A 2 1 2

k 1 2 - (l-o 1 2) - (1 - j- )

Fazendo as transformaccedilotildees chegamos a mesma expressatildeo obshy

tida pelo balanccedilo das forccedilas

PraquoIacute pr p

2 - - ir ^ laquo-ia

12 - Duas fases

Como ha duas fases a equaccedilatildeo do balanccedilo das forccedilas fica

um pouco alterada

m pound 1 V- m - raquoV - m-V- m bdquoV _ P A + j y ^ i + _gl_JUuml P A + -11-11 + -ilsl (a)

1 2 e R 2 2 ff e

Sabendo que

71

m (1-x) m t = p fA (1-a) V f

entatildeo

fl l-o^ p fA x

6 Vf2 1-x l-a2 P fA 2

m V = mdash mdash e V 0 = gl a 1 P C T A 1 g2

m

a_ p h

2 g 2

Nas expressotildees anteriores o x nao varia porque a expansatildeo

5 adiabaacutetica porem o a varia devido a modificaccedilatildeo do tamanho da

bolha

Substituindo os valores das velocidades na expressatildeo (a)

vera

( P - P ) Abdquo =

2

2 2 m gt2 2 m t (1-x) 1 x t

ra i 2 m i 1 x t 1

p fA 1 g c ttl p Ax gpound

m t P - P = mdash

(1-x) (l-a 1)A 1A 2 (l-a2)A|

a r A r A 2

V A 2

m t P bdquo - P = mdash 2 1 g c A r A 2 p f

(1-x) 1-a f A 2(l-a 2)

bull ^ 2

72

Se

P -P

a

m

g

12

1 _1_ (1-x)

J12

1 _ a l 1 - a 2 + X (- )

Pg

1 deg12 a 2 ^

Sabemos que

mt = V o pf laquo A l

Sendo V q = velocidade do liquido num ponto onde natildeo haja vapor

P 2-P 1

u 2 2 A 2

V pr Ai

V W p f

(1-x) 12

l-a1 l-a2

+ X 2 pf

mdash

l deg12

-1 a 2 _

p -p r 2 Al (2a 1 2)

2 M f w 1 deg12 X (mdash) (

pg al a 2 )+(l-x)C l 1 12

1-a^ l-a2

Devemos notar que esta expressatildeo tambeacutem vale para quando

temos uma fase para isso basta fazer

= c t 2 = 0

X = 0

e recairemos na formula do item anterior

2 pf 1 deg12 Observemos que neste caso o termo x (mdash)( ) nao

Pg al a2

2

73

tem significado pois corresponde a mudanccedila de fase

2 CONTRACcedilAtildeO KO FLUXO DE UM FLUIDO

21 - Uma so fase raquo mdash

Aqui ocorre um fenocircmeno importante pois o fluido ao ser

contraiacutedo nao vai diretamente da area A^ para a area A 0 mas ele

contral-se ate uma area A^ e depois expande-se ate k^

Ao A2

Po IP 2

V 2

Figura 2

Fazendo o equiliacutebrio das pressotildees entre os planos (1)

(0) vem 2 2

pV pV p +~ plusmn - P + i deg bull 1 2 g o 2 g (b)

C x

Fazendo equiliacutebrio da expansatildeo (0) - (2) vem

P o + 2 - f = P 2 + 2 -T + kp- 2 F ( c )

c c b C

Subtraindo (b) - (c)

2 2 2

i p- vj i p- v2 L P l + 2 bull g c

P 2 + 2 2g c

+ k P 2g c

74

Como

P - P = mdash 2 2g

2 2

bull (1 + k) - f bdquo mdash i

k a - f2 ) 2 - d - o c )2

= o

A = a 21

Weisback obteve varias relaccedilotildees entre a e a i] c

01 02 03 a 0624 0632 0643 c

0624 0632

A r v i - V v 2

p -p 1 2

P -P 1 2 2g7

v l =

(1+k) - laquofi- a 2g 21 c

( 1 + k - o 2 1)

X[- V 2 o 2 1V 2

22 - Duas fases

0 valor de k pode ser aproximado para

k = a(l - o 2 1)

onde segundo Richardsons para fluxo de duas fases podemos supor

a = 02

Para fluxo homogeacuteneo sabemos que

75

p = p f (1 -a ) + p o a

podemos supor p bdquo a = 0 pois p e pequeno e fazendo

V = V ~ V fbdquo2 go2 v 2

Substituindo estas duas expressotildees na equaccedilatildeo de uma soacute fase vem

2 2 p V (l-ct) p V (1 -a ) bdquo

P l P 2 = 9g ( 1 + 3 - 3 0 ^ - 0 ^ ) = g (a+1) (l-a^)

Se a = 02

2 12p oV 0

p r p

2 - 9g gt d-) d-sigt

A compressatildeo de um fluido acarreta uma perda de pressatildeo

como pode ser verificado pelas formulas uma vez que lt 1deg

3 ANALISE HIDRODINAcircMICA DE UM CIRCUITO EM CIRCULACcedilAtildeO NATURAL

Esquema deacute uma caldeira com circulaccedilatildeo natural

76

Determinar a velocidade em (7) para que tenhamos circula

ccedilatildeo natural Determinar tambeacutem as perdas de pressatildeo em todos os

trechos da caldeira

31 - Contraccedilatildeo das secccedilotildees (1) - (2)

Como jaacute vimos a equaccedilatildeo do balanccedilo das pressotildees eacute

1 pr Vl 1 p 2 o V 2 P2 V2

1 2 g 2 + 2 g + K12 2g otilde c amp c e c

bullraquo 2 o2 2 e havendo uma soacute fase k 1 9 = (l-o ) = (1 mdash ) e sendo

C 2

p l = p2

v x lt lt lt v 2

P 2 V pr p2 bull ir2 bull ( 1 + k12gt

Colocando em termos de temos

A 2 V 2 P 2 = A 7 V 7 p 7 (continuidade)

V = V mdashbull = V o_bdquo ~ A 2 2 2

P 2 V - p 2

p r p 2 = ir2 - deg72 bull Ccedilrgt bull lt 1 + ki2gt

fazendo

N12 - lt^gt deg72 ( 1 + k12gt

P7 V7

Pr P2 - N12 bull HG

77

3 2 - Perda de carga no trecho ( 2 ) - ( 3 )

Como haacute apenas uma fase soacute temos perdas por atritos e

perdas hidrostaacuteticas

Sendo como jaacute vimos

2 3 p 2 2 g P 2 P 3 = f 2 3 (r~2g^~) L 2 3 g c p

atrito hidrostaacutetica

Substituindo V^ pela relaccedilatildeo do item anterior e tendo em

conta que p = vem

P -P = f 2 r 3 2 3 D

2 3 p 2 bdquo 2 2 p 7 2

2 g 7 72 p 2 3 g

Se

L 2 3 2 p 7

2 3 2 3 D 2 a 7 2 p 2

P 7 V 7 g P 2 - P 3 = N 2 3 ( mdash gt p 2 L 2 3 f

3 3 - Expansatildeo nas secccedilotildees ( 3 ) - ( 4 )

Como vimos o balanccedilo das pressotildees e

2 2 2 p V p 4 V p V

P 3 + 2 g c

P 4 + 2 g c

+ k 3 4 2 g c

onde

k 3 4 - - -

2 2 1 P 4 - V 4 P 3 v 3

P 3 P 4 = 2 g + ( k 3 4 _ 1 ) 2 g

78

Sendo

P 3 - P 4

p 3 o A 3 deg V 3 = P 7

a A 7 o V 7

P 4A 4 0V 4 = P r A r V

3 7 A 3 p 3

A7 P7 V = v mdash mdash 4 7 P 4

P - P 3 r4

Se

P bdquo - P

bdquo2 r-P 7 V 7

3 4 2g deg74 + ( k 3 4 1 ) deg73

34 p deg74 + ( k 3 4 1 ) 73

p r v2

P3- P4 ^ N34 ^ gt

(No caso e negativo)

34 - Contraccedilatildeo nas secccedilotildees (5) - (6)

Ainda temos uma so fase e fazendo o balanccedilo das pressotildees

como fizemos no item 3lt1 vem

P + vil p + vi + k vi P 5 + 2gbdquo P6 + 2gbdquo + k56 2gbdquo

k 5 6 lt 1 ^ gt 2 ( 1 - Iacute 2 i 2 6

V V6 P5degIacute 5^6 ^SS 2g c - 2g c

P - P ^ = (1+kJ

Como

79

A 6

W p 5 =

VV P6 V 5 = V 6 Jiexcl = Vff65

P 5-P 6 - lt H k 5 6 ) mdash ^ mdash (l+k 5 6-a 6 5) c c c

Sendo

Se

A 7 p 7 p 7

6 7 Ag p 6 7 76 p 6

p _p _ P6- V7- g76 iquest72 ( _ 02 P 5 P 6 2g c bull ( p 6

( 1 + k 5 6 deg65 )

p 7 2 2 N56 = p ^ deg76 ( 1 + k 5 6 ~ a 6 5 )

P 7 V 2

7

P r-P = N r 5 6 56 2g c i

35 - Perdas de pressatildeo nas zonas (6) - (7) - Pre^aquecimento

Nesta regiatildeo temos perdas por atrito e hidrostaacuteticas

Nao haacute perda por aceleraccedilatildeo pois ainda natildeo houve formaccedilatildeo de boshy

lhas

Fazendo balanccedilo das pressotildees temos

L_ ppound-V p = p + otilde L - pound _ + f -Si (-21mdashL 6 7 + p67 L67 g + t 6 7 D K 2g

p _ e ifn sao tomados como valores meacutedios 67 67

P _p _ f hl ^67jIacute uuml + - L A

6 F 7 r67 D 2g P P67 L67 g 6 s c 7 c

S e Kr pound67 L67 p67 6 7 D 6 p7

p7 V - _g_ P6- P7 - N67 mdash + P67 L67 f

c c

80

36 - Perda de pressatildeo nas zonas (7) - (8) - Zona de ebuliccedilatildeo

Nesta regiatildeo j aacute temos o aparecimento de bolhas logo a

perda de pressatildeo seraacute devida agraves t recircs parcelas aceleraccedilatildeo a t r i t o

das duas fases liacutequidas + vapor e h idros taacute t ica

onde

Assim

P-P Q = AP + AP + APbdquo 7 8 a t r i t o acel H

T M1

78 p 7 7 AP - R f- - mdash mdashr |R = fator mult ipl ica-

a t r i t o 7 D 7 2 g c L tivo

G 2

AP bull r mdash acel g c

P V

|_1 - o a p J 8 P f

2 t r 2 M2

7 7 r 7 7 A P a c e l = -J^mdash 2 r bull p 7 lt T iexcl iexcl - )

A PH p 7 8 L 7 8 fiexcl

p 7 8 iacute 7 li 1 0 0 P l i q + a P v ] d L = P 7 ( 1 - laquo 7 8 )

ag raquo fraccedilatildeo de vazio media entre 7 e 8

APH = p (1 - 5 7 g ) f- L 7 8

2 2

P 7 - P 8 a 5 - 2 T i + 2 r p 7 + P 7 ( 1 - 7 8 gt f L 7 8 7 amp c amp c amp c

81

N 7g = R mdash + 2 r p 7

P7 V7 P7- P8 = N78 + P 7 ( 1 5 7 8 gt J78

37 - Expansatildeo nas secccedilotildees 8 e 9

No caso haacute uma expansatildeo com duas fases e como vimos no

item 12 a variaccedilatildeo de pressatildeo era dada por

0f Vo P2 P1 = ~2g c ( 2 deg12

x 2 (mdash)(mdash - mdash ) + ( l - x ) 2 ^ T mdash 8 1 2 1

12

Aplicando ao nosso caso

P pound = P 7

P -P = 8 9

V - V raquo V g f 7

P 7 V 2

2 pf 1 a89 2 1 g89 x (mdash) ( ) + (1-x) (- - N

o ou abdquo 1-cu l-ot_) g 8 9 8 9

Se

N 89

= 2 a 89

2 pf 1 deg89 2 1 CT89 x (mdash) ( ) + (1-x) ( T

g 8 9 8 9

P -P = 8 9

- N P7deg V7

89 2gbdquo

38 - Perda de pressatildeo no trecho 9 e 10

No referido trecho temos apenas perda de pressatildeo por atr L

to da fase liacutequido + vapor e perda hidrostaacutetica Natildeo haacute perda por

aceleraccedilatildeo do vapor pois este natildeo recebe mais calor e portanto

o 82 o

nao ha variaccedilatildeo no a

p

Q -p i n = A P

U + A P bull 9 10 H atrito

n T -S_ P9 U10 deg 910 bull g

fio r

910 I 910

J9 L

(l- a)P + Q P I dL liq v

(l-a0) p

No caso a = (nao hatilde variaccedilatildeo de forma)

A P H - (1-a ) P (p L 0

c

AP bdquo = R o

atrito

2 f9 o L910 P9 V9

2g

Supondo

= V

P 9 = P 8 P 7

vbdquo = v 9 8 0 A r

= V 7 bull deg89

AP - R atrito

2 2

W l O p7deg V7deg g89

V P10 R -^T^ bull deg89 bull li-2 + ( W P 7 (fgt SIO

y c c

Se

- f9 L910 2 N9ol0 R Dl deg89

w 2

p rv P9 P10 = VlO + ( 1 a 9 ) p7 (f gt L910 c

33

39 - Perda ciacutee pressatildeo na expansatildeo 9 - 1 0

Analogamente a expansatildeo 8 - 9 temos

10 11 P 7 2g

10 Iacute 2 0 1 0 - 1 1 gt

2 ff

pg aio

10-11

laquo11 ) +

Ll-a 1 0 bull l-a u J

Se

V10 = V 9 = V 8 bull T9 = V 7 deg89

P -P 10 rll = - a 2g 089 ^lO-ll

4 bull T~ bull (7 1 mdash ) + Pg degio a n

+ (l-x)2(- 1 10-11

1 - aio )

N10-ll = 2 a10-ll a89 2 pf t 1 10-11 N2

-(j-r- - ) bull+ (1-x) pg aio deg 1

10-11 k l - a io

prz P10 Pll = - N10-ll bull ( 2gbdquo

310 - Calculo de V

Fazendo a somatoacuteria de todas as expressotildees (P^-Pj) tere-

84

mos 2 PbdquoV_

P bdquo - P bdquo = N 7 v 7

1 2 12 2g

bull 2 - P 3 - = N 2 3 P 2 L 2 3 f c ccedil

9 P 7 V 7 P _p = N mdash -

3 4 34 deg 2g

V P 5 = deg

2 P V

5 6 56 2 g c

ltr2

P 7 -V 6 e7 -N67 2g + p 6 7 J j67 g

c bc v 2

P 7 - P 8 = N 7 8 - 2 i ~ + p 7 ( 1 - laquo 7 8 ) L 7 8 c

P 7 V 7

P - P - -N mdash - -8 9 89 2g

c P 7 V 7

P 9 ~ P 1 0 VlO 2g + ( 1 a 9 P 7 L 9 c

P 7 V 7

bull10 11 U10-ll 2g

P v iacute j P - P

1 11

7 - v 7 3 bull r

2 8 i U L 2 23 67

(l-5 7 8) L 7 8 + ( l - laquo 9 ) P 7 bull SlOtilde]- ^

Por ou t ro lado sabemos que como secccedilotildees 1

mesmo n iacute v e l

85

s c p r v 7 j

28 Z N i ij

= P 2 L23 p67 L67 P 7 ( 1~deg78 )

78 ~ ^g) bull P 7 bull L 910 g_

V - 2 g ( p r L 2 3 - p 6 r L 6 7 - p 7 ( l - atilde 7 8 ) L 7 8 - (l-a9) p L 9 a ( )

y N

Com esse valor de podemos determinar todas as variashy

ccedilotildees de pressatildeo (P^-P )

BIBLIOGRAFIA

- WoR Gambill - Notas de aula dos seminaacuterios realizados no Insshy

tituto de Energia Atocircmica de Sao Paulo em 1966 (roteiro)

- WR Gambill - Nuclear Safety

Vol 9 - n9 5 e 6

Vol 6 - n 2 (pag 152)

Vol 4 -r n9 1 (pag 30)

Volbdquo 5 - n 2 (pag 151)

- WRo Gambill - Chemical Eng Prog ndeg 54 (Outubro)

~ El Wakil - Nuclear Power

- Jakob Max - Heat Transfer (vol I)

Mc Adams - Heat Transmission

- Paul A Lottes - Argonne National Laboratory

- AKL - 6469

- ANL - 6561

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Frank Kreith - Principles of Heat Transfer

Journeacutees Internationales de la transmission de la chaleur

Seminaacuterios realizados em Paris em 1961 sob a supervisatildeo do

Prof Marcel Veron

Notas de aula da Cadeira de Termodinacircmica I e Transmissatildeo da

Escola Politeacutecnica da Universidade de Sao Paulo

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49

5 2 $ = 4 10 BTUhrft (para pressatildeo 1 atm)

0 fluxo critico cresce como vimos com a pressatildeo ate

atingir o maacuteximo quando a pressatildeo eacute aproximadamente 13 da pressatildeo

criacutetica Esse fluxo eacute

bull = 13 IO 6 BTUhrft 2 para p = 11000 psia (p pound = 32062 psia)

Ainda temos que para pressatildeo igual a 15 psia

h b o = 11000 BTUhrft degF - ebuliccedilatildeo nucleada

h f b = 30 BTUhrft 2 degF - ebuliccedilatildeo pelicular

Todos os resultados e formulas para caacutelculos especiacuteficos

apresentados nos itens 21 22 23 ateacute 27 sacirco aplicados somente

para sistemas onde haja ebuliccedilatildeo com grande quantidade de liquido

51

D - HIDRODINAcircMICA DOS SISTEMAS E QUEDA

DE PRESSAtildeO DENTRO DE UM CANAL

1 HIDRO-DINAcircMICA E QUEDA DE PRESSAtildeO

11 - Hidro-dinacircmica dos sistemas estaacuteveis

111 - Regimes de escoamento

A evoluccedilatildeo do escoamento ao longo de um canal aquecedor

de secccedilatildeo constante ciliacutendrico pode ser esquematizada pela figushy

ra 1 onde temos em abcissa o comprimento z do canal e em ordenada

a temperatura (T)

52

Na figura 1 nos representamos

a) 0 aspecto do escoamento fluido quando a entalpia do

- fluido aumenta Verificamos que o fluido entra no cashy

nal no estado liacutequido e assim permanece ateacute atingirmos a zona de

ebuliccedilatildeo local onde aparecem as primeiras bolhas A entalpia do

fluido continua aumentando e tem inicioa ebuliccedilatildeo franccedila onde as

bolhas se unem formando agregados posteriormente o escoamento to

ma a forma da figura ou seja torna-se anular disperso Finalmente

atingimos duas uacuteltimas fases do escoamento disperso (vapor uacutemido)

e vapor seco

b) A evoluccedilatildeo da temperatura meacutedia do fluido e da tempeshy

ratura da parede Note-se que a partir da cota a

temperatura da parede aumenta brutalmente podendo causar o

burnout

c) A evoluccedilatildeo do tiacutetulo do vapor (x) com o comprimento

do tubo e a evoluccedilatildeo da fraccedilatildeo (a) que definiremos no

item 11laquo2 com o comprimento do tubo

112 - Definiccedilotildees

a) Tiacutetulo ou qualidade do vapor (x)

massa de vapor na mistura x ~ massa total da mistura

x =

W _g_

g f

b) Fraccedilatildeo vazio (void fraction)

volume do vapor na mistura a = volume total da mistura (agua+vapor)

A relaccedilatildeo entre x e a num sistema parado pode ser obtida

assumindo um certo volume contendo 1 lbm de mistura em equiliacutebrio

teacutermicoraquo

53

O volume da mistura seraacute igual a (v + xv ) ft onde v eacute 3 r rg

o volume especifico (lbmft )

f - refere-se ao liquido

g - refere-se ao vapor

fg - refere-se a diferenccedila entre liacutequido e vapor

Numa mistura em equiliacutebrio se o liacutequido e o vapor estatildeo

saturados o volume do vapor presente eacute igual acirc sua massa vezes

seu volume especiacutefico v assim e

xv bdquo bdquo a mdash

V c + XV c

f gf

onde

- bull-bull uumlutiacuteisa vapor na mistura de 1 Ibm

v volume especiacutefico do liacutequido

v = volume especiacutefico do vapor o

V c = v - V

gf 8 r

Fazendo uma transformaccedilatildeo na expressatildeo acima temos

xv xv JS = Z-

v r+ x(v -v c) xv +(l-x)v t ri f g f g f 1 + Ul-x)xjv fv

1 + C(l-x)x]]vfvg

A fraccedilatildeo vazia tem a influencia de baixar a reatividade

do nuacutecleo nos reatores em que o refrigerante eacute tambeacutem moderador

Na equaccedilatildeo acima os valores de x e v sao tomados em tabe

las termodinacircmicas apropriadas para a pressatildeo do sistema A equashy

ccedilatildeo (1) mostra os grandes valores de a para pequenos valores de x

especialmente para baixas pressotildees Isto ocorre porqueaumentando

54

aacute pressatildeo o v decresce muito enquanto que o v f eacute mais ou menos da

mesma ordem de grandeza

Exemplo Calcular o a correspondente para x raquo 2 para aacutegua

leve atilde pressatildeo atmosfeacuterica

Da tabela para p laquobull 1 atm

v - 001672 ft 3lbm e v - 26800 ft 3lbm

1 + [(1-002)002] 001672268

0971 ou 97U

O grafico abaixo mostra a variaccedilatildeo do a com x para vaacuterias

pressotildees e para a aacutegua leve

x ()

tObservaccedilotildees da curva

Fig 2

1 - para x constante a decresce com a pressatildeo Para presshy

sotildees proacuteximas da criacutetica a aproxima-se rapidamente de

x Para a pressatildeo criacutetica as duas fases satildeo indistinguiacuteveis ea=x

2 - para cada pressatildeo dotdx decresce com aumento de x

3 - para baixos valores de x (que e o caso dos reatores

tipo Boiling) quando p decresce dadx cresce e torr

na-se muito grande paacutera baixas pressotildees Isto tem relaccedilatildeo com a epound

55

tabilidade do reator como veremos mais tarde

113 - Sistemas com fluxo

Todas as definiccedilotildees que noacutes vimos no item anterior refeshy

rem-se acirc sistemas em que a mistura esta fechada no recipiente Nes^

te caso natildeo havia movimento relativo entre as duas fases No entan

to se as duas fases da mistura se movem na direccedilatildeo vertical em

canais entre os elementos combustiacuteveis o vapor por causa de sua

flutuaccedilatildeo tem a tendecircncia de escorregar sobre o liacutequido isto e

move-se com velocidade maior do que a do liacutequido

Real Modelo

Pig 3

S -

Define-se neste caso a relaccedilatildeo de escorregamento (slip

ratio) (S) como sendo

V _i

V f

onde

V = velocidade do vapor

= velocidade do liquido

S modifica as relaccedilotildees entre a e x do item anterior S geralmen_

te gt 1 Define-se neste caso qualidade do vapor ou tiacutetulo como

sendo

_ fluxo de massa de vapor

fluxo de massa da mistura

Entatildeo se o fluxo de massa da mistura eacute m t(lbmhr) o flushy

xo de vapor seraacute = x m e o fluxo de liacutequido sera (1-x) m onde x

56

e o titulo do vapor para a particular secccedilatildeo (AL) da figura (3)

Devemos notar que neste caso x varia de secccedilatildeo para secshy

ccedilatildeo do tubo o exposto no paraacutegrafo acima vale considerando-se que

x e a permaneceram constantes na secccedilatildeo de espessura AL

Aplicando a equaccedilatildeo da continuidade as velocidades do va

por e liacutequido sao dadas por

o xm v

V vazatildeo = g g area A

V

(1-x) amp t v f

f A f

onde A e A f sao as aacutereas medias perpendiculares ao fluxo se as

duas fases sao imaginadas completamente separadas uma da outra

(figura 3) Assim temos

V x m v o A_ A v 0 ^ - 2 = iacute S t m _2L- JL JS m

V A (l-x)ui v 1-x A v U

f g t f g f

Sabemos ainda que para a secccedilatildeo considerada

volume do vapor na mistura a = volume total da mistura (agua+vapor)

A AL A pound g g

a = mdash a a = - mdash 1

(A+A )AL A f + g

A ou f _ 1 - a

A a 8

Substituindo em (2) vem

57

Esta expressatildeo pode ser rearranjada e obteremos uma relashy

ccedilatildeo entre x e a levando em conta o escorregamento Chega-se a

a = 1 ( 3 )

1+ [U-x)x3 igt

onde

v 4 laquo -- S

v lty o

Note-se que quando S=l (nao haacute escorregamento) caimos na

expressatildeo dada no item anterior

0 efeito do escorregamento eacute decrescer o valor de a pa_

ra um mesmo xbdquo Isto pode ser visto pela foacutermula (3) pois S gt lLo

go a decresce com acreacutescimo de S

Um alto S e entatildeo uma vantagem tanto para a transferecircnshy

cia de calor como para efeitos de moderaccedilatildeo Eacute uma vantagem para

transferecircncia de calor porque alto S significa alto V e portanto

maior turbulecircncia e maior contato do liquido com as paredes quenshy

tes Ha tambeacutem melhorias na estabilidade da reaccedilatildeo nuclear isto

porque como jaacute dissemos quando mdash7 diminui a estabilidade aumenshy

ta isso pode ser verificado observando a curva a versus x para a

agua leve a 1000 psiabdquo

Fig 4

58

A relaccedilatildeo entre x e a da equaccedilatildeo (3) so vale para secccedilatildeo

de tubo bem pequena

Devemos notar que S varia tambeacutem com a pressatildeo e velocida^

de de entrada do liacutequido no tubo Este efeito pode ser observado na

figura 5 abaxxo obtida esperimentalmente

s

3

~^ ~ psig

x = 001

V 1

Fig 5

Nos projetos de reatores como veremos adiante o valor a

geralmente eacute determinado por consideraccedilotildees nucleares (moderaccedilatildeo) 0

valor de S eacute determinado atraveacutes de uma estimativa ou entatildeo atrashy

veacutes de um graacutefico do tipo da figura 5 0 correspondente valor de x

pode ser obtido de uma foacutermula empiacuterica do tipo

1 = 1 (-S)0gt67

proposta por Von Glahn

Em muitos casos assume-se S constante em todo o comprimeiv

to do canal poreacutem eacute um erro que em muitos casos nao pode ser coshy

metido

4 REATORES EM QUE 0 LIacuteQUIDO B MODERADOR E CIRCUITO PRIMAacuteRIO AO

MESMO TEMPO BOILING-REACTOR (BWR)

A aacutegua ao se movimentar atraveacutes dos vaacuterios canais do

59

Boiling-reactor encontra vaacuterias resistecircncias ao fluxo que provoshy

cam uma reduccedilatildeo de pressatildeo no fluido

As duas perdas mais importantes sao perda de pressatildeo por

atrito e perda de pressatildeo causada pela aceleraccedilatildeo do refrigerante

ao aumentar de volume por receber calor num canal Outras perdas

de pressatildeo seriam a obstruccedilatildeo ao fluxo por corpos submersos (espa_

ccediladores juntas de tubos chaves etc) e por mudanccedilas abruptas de

aacuterea de fluxo tanto na entrada como na saiacuteda do tubo

Essas perdas de pressatildeo devem ser conhecidas o melhor popound

sivel principalmente nos reatores BWR Para tanto devemos saber

o comprimento de canal em que nao ha a ebuliccedilatildeo isto eacute qual o com

primento de canal em que o refrigerante vai da temperatura de sub-

resfriamento ate temperatura de saturaccedilatildeo

Seja o elemento combustiacutevel

Aquecimento Uniforme Aquecimento Senoidal

Fig 6 Fig 7

onde

H =

H = o

H b

comprimento do elemento combustiacutevel

cota onde o liquido se torna saturado

comprimento do elemento combustiacutevel em que ocorre

ebuliccedilatildeo

60

qg = calor sensiacutevel acrescentado ao liquido para satushy

raacute-lo

qfc = calor total acrescentado ao liacutequido em todo o com

primento do canal

laquoo

q s J o qiquest sen (IIzH) n H o

T~ = TH = 2 ( 1 c o s gt ( a )

q 1 sen (HzH) Jo ^c

A expressatildeo (a) vale quando tivermos uma adiccedilatildeo de calor

senoidal para qualquer outra forma de adiccedilatildeo de calor faz-se um

caacutelculo anaacutelogo

Outra relaccedilatildeo entre q g e qfc eacute dada pela termodinacircmica

q h- - h s f m (b)

(hr +x h )-hm ^t f e fg

onde

= entalpia para o liquido saturado a pressatildeo correjs

pondente (cota z = Ho)

hffi = entalpia do liacutequido na entrada do canal

x = tiacutetulo do vapor na saiacuteda

= entalpia do vapor

Com a relaccedilatildeo (b) noacutes determinamos a relaccedilatildeo q q ecom

S L

uma relaccedilatildeo do tipo (a) (conforme seja o adicionamento de calor ao

liacutequido) podemos obter a relaccedilatildeo HoH e consequentemente H^H

21 - Perda de pressatildeo num canal de evaporaccedilatildeo

Neste item iremos determinar as perdas de pressatildeo mais

representativas que ocorrem num canal de evaporaccedilatildeo de um reator

P + dP

bull1 i- 1 gti i i

dL

onde

UM

Icirc H Icirc Icirc T dF f t f

61

Quantidade de Mov na Entrada

= i- rigVg)

dF f l

Fig 8

m i

m 8

V l V 8

A P

dF

dF

dF

fg

fl

ftf

descarga do liacutequido

descarga do vapor

velocidade do liquido

velocidade do vapor

aacuterea transversal do canal

forccedila de atrito do vapor com parede

forccedila de atrito do liacutequido com parede

forccedila de atrito das duas fases liacutequido+vapor

Fazendo o balanccedilo das forccedilas considerando o sentido posjL

tivo na vertical temos

A (P-P-dP)-(dF +dF _+dF _)-(-pound-) (p A+p A )dL = mdash dGnV+m V ) P fg ftf fl g c 1 1 g g g c

v 1 1 g g 7

- dP = ~ (dF +dF--+dF)+- S--7=- (p A+p A )dL+ mdash ~ - d (m-V+m V ) A_ fg ftf fl g c Ap v^l 1 g g g A 11 g g

Fazendo a integraccedilatildeo termo a termo entre os dois extreshy

mos entrada e saiacuteda e considerando a pressatildeo de entrada igual a

P q e a de saiacuteda igual a Pe vem

Quantidade de Mov na Saiacuteda

-= h I- lY l+ A g V g + d ( aacute l V l + aacuteeVl

Forccedila de Gravidade

= ( g f - N P A + P g V

62

b) r e F f l

o p dp^ = Ap^ = perda de pressatildeo por atrito

do liacutequido na altura Ho

Aplicando a formula de Darcy vem

bull API = f bull ir bull ^ iexcl 7

onde

f = fator de atrito

c) e Fftf

o p ^P tpound

= perda de pressao por atrito da mistura

liquido + vapor no trecho de comprimen

to Hbdquo o

Para determinar esta perda de pressao define-se o fator

de multiplicaccedilatildeo R

A P R =

tf A P 1B

Sendo A p ^ a perda de pressao se o comprimento todo fosshy

se ocupado somente pelo liquido assim

A p t f = R A P 1 B

0 calculo de Ap-^ pode ser feito pela formula de Darcy e

o de R nos veremos no item seguinte

63

d)

-e F

d ( ^ )

O P

Ap = perda de pressatildeo por atrito do vapor

No caso do reator BWR o titulo de saida e bera pequeno e

em nenhum caso ocorre a saida de vapor com x = 100 logo a perda

de pressatildeo por atrito do vapor eacute nula assim

An = 0 5

e) Ap

(p A 1 + p A ) dL = Ap - perda de pressatildeo dpound

vida ao desniacutevel

(perda hidrostaacutetica)

Anbdquo = re A A

-S- I (p + p -S ) dL H s 1 A

c o p o A

como A A Jl_ =

A P

A +A-g 1

1-a -

temos

C Q

te j jll-a)p1 + apg)^jdL = p Lo pound

onde

e jo u

+ ap ) ~I dL (Densidade media 1 S J

no tubo)

No nosso caso

Ap u = p H

f)

re d(mV + m V ) _ mdash - laquo -i bull s iquestp laquos p e r d a ltje pressatildeo devido a acele-

c p raccedilatildeo do vapor

V A

(1-x) tl^Vj

(1-a) A

X V

aA

A p -

roV + m V

c p c p L_

m (l-x)m_v m xv nbdquo -1 T 1

+ _S S I (1-a) Ap aA

P

2 g A c p

n 2 2

(1-x) m T

laquo2 8 A c p

2 2 (l-xe) raTv1

2 2 2 xm_v (1-x) m-v e T s o 1 1

a 1 - a

2 2 - x m_v o T g

a

se

X Q 0 (so ha agua nesse trecho)

a = 0 o

temos

mbdquo Ap =

1 a A 2

S A degc p laquo-

tt-V v i 1 - a

2 via T^r - v i

t Apc

2

V v l

5c Ap

1 - a

x v - 1

a e v l

65

Fazendo

G = fluxo total da massa por unidade de area do

canal

(1-x J e

V

AP r

Assim a perda de pressatildeo total sera

H p V II pV r2 P -P = f -24-Iuml+ f R+p 0 1 2g c D e 2g c g c g c

2c2 - Determinaccedilatildeo do fator de multiplicaccedilatildeo (R)

221 - Relaccedilatildeo Martinelli-Nelson

Os autores Martinelli-Nelson determinaram experimental -

te esse fator R para varias LIT1L em funccedilatildeo da pressatildeo e da r NB total J v

qualidade de saiacuteda do vapor no canal Construiacuteram assim vaacuterias

curvas do tipo da figura 9

66

E importante notar que a qualidade do vapor (x) na saiacuteshy

da nao deve ser grande pois como vemos o valor de R cresce muishy

to com um aumento pequeno de x e um valor de R muito grande acar_

reta uma perda de pressatildeo grande pois

^ d u a s fases R ^ f a s e liacutequida

Para resolvermos um problema seguindo o criteacuterio de bdquo

Martinelli escolhemos a curva R = f(px) (para a relaccedilatildeo L

N g ^ j

adequado) e tiramos R com os valores de pressatildeo p e tiacutetulo x

As curvas R = f (p x L T t )IO encontram-se nos ANL 6469 bio I

e 6561

222 - Relaccedilatildeo Lottes-Flinn

Estes autores estudaram o problema para o aquecimento uni

forme do refrigerante com baixo titule Lottes-Flinn fizeram inuacuteshy

meras experiecircncias e verificaram que para fluxo de calor uniforshy

me e baixos titulos R era independente do fluxo de calor fluxo

do refrigerante escorregamento e apenas funccedilatildeo de a g

Como a quantidade de liacutequido eacute muito maior que a de vashy

por a perda de pressatildeo daacute-se principalmente pelo atrito do liacuteshy

quido com a parede Podemos assim escrever a foacutermula de Darcy

na forma diferencial

dz

d = f __ r e amp c

onde

V = velocidade do liquido saturado na cota zbdquo X

f = coeficiente atrito

= densidade do liacutequido saturado

Teoricamente a queda de pressatildeo deve-se ao acreacutescimo de

67

velocidade do liacutequido e da diminuiccedilatildeo da aacuterea de fluxo do liacutequi

do

P fH A P t p

= f D 2g Ho

d z

fazendo

V lo

m V t lo

(velocidade do liacutequido na cota z = Ho)

(1-x) m t v 1

(1-a) A (velocidade do liacutequido na cota z gt Ho)

a bull+ fraccedilatildeo vazio na cota z geneacuterica

V 1 (1-x) m t v 1

m t V l 1 - a

x =s 0 pois o tiacutetulo eacute baixo

A p t f = f bull JT5 c e

fH V lo

H o (1-a) dz

Para fazer a integral devemos achar a relaccedilatildeo de variaccedilatildeo

entre a e z Como o fluxo de calor eacute uniforme a qualidade eacute direshy

tamente proporcional a z

bull laquo x = x e H

z = mdash x X e

Sabemos ainda que (item 113)

x

1 + [ ( I -X)AKQ x + iiacuteraquo

68

como

temos

(1-x) = 1

v

X =

z =

1-a

1 -a

1-a e

a

e

1-a pound

a

1 -a igt (assumindo S = cte)

da

Atf - f bull 2 i ^ ~ J c e o

a 1 - a e e 1 s 4 hmdash) da

a 1-a

f P lv^ Q

0 termo mdash - mdash e a parte de perda de pressatildeo pelo lj^

^c e -quido ou seja Ap liquido saturado e como

Ap

R = tf

Ap liauido saturado

temos que

R J

f ae 1 _ a e 1 4

a 1 -a o e

1 -a r-R =

3 1 -a

a 1 -a imdash

3 vl - a 3

e e

Os valores de R obtidos por esta expressatildeo aproximam-se

muito dos valores obtidos pelos aacutebacos de Martinelli

69

E - EXPANSAtildeO E COMPRESSAtildeO DE UM FLUIDO - ANAacuteLISE HIDRODINAcircMICA

DE UM CIRCUITO EM CIRCULACcedilAtildeO NATURAL

1 EXPANSAtildeO NO FLUXO DE UM FLUIDO

11 - Uma so fase

Figura 1

Ha vaacuterios meacutetodos para determinar a variaccedilatildeo de pressatildeo

numa expansatildeo de fluido estudaremos o de Romie que eacute o que daacute

maior precisatildeo

Romie considera que a pressatildeo p^ tambeacutem atua na aacuterea

imediatamente apos a expansatildeo Assim fazendo o equiliacutebrio das foi

ccedilas nas secccedilotildees tracejadas da figura 1 temos

mVj

p r A 2 + mdash

mV

bull 2- A2

mas

m = pV^A^

pV^A = p V 2 bdquo A 2

V A

v 2 -4r-logo

( P l-P 2) A 2 = f ( V ^ ) - f _ v j amp c c 2

70

2 pV A A pV A A

Chamando A l A ]

K = 1 - T e degi2 = Aiexcl bull V E M

pvj

P l P 2 = T ~ bull ( 2 deg 1 2 ) ( 1 _ a 1 2 )

Outra maneira de chegar atilde diferenccedila de pressatildeo ( P j - ^ ) s mdash

ria usar o coeficiente de perda da mecacircnica dos fluidos Assim o

equilibrio das pressotildees eacute

2 2

1 V l 1 V 2 V l P i + _ p _ ^ P 2 + I p ~ + k 1 2 p mdash

onde = coeficiente de perda

A 2 1 2

k 1 2 - (l-o 1 2) - (1 - j- )

Fazendo as transformaccedilotildees chegamos a mesma expressatildeo obshy

tida pelo balanccedilo das forccedilas

PraquoIacute pr p

2 - - ir ^ laquo-ia

12 - Duas fases

Como ha duas fases a equaccedilatildeo do balanccedilo das forccedilas fica

um pouco alterada

m pound 1 V- m - raquoV - m-V- m bdquoV _ P A + j y ^ i + _gl_JUuml P A + -11-11 + -ilsl (a)

1 2 e R 2 2 ff e

Sabendo que

71

m (1-x) m t = p fA (1-a) V f

entatildeo

fl l-o^ p fA x

6 Vf2 1-x l-a2 P fA 2

m V = mdash mdash e V 0 = gl a 1 P C T A 1 g2

m

a_ p h

2 g 2

Nas expressotildees anteriores o x nao varia porque a expansatildeo

5 adiabaacutetica porem o a varia devido a modificaccedilatildeo do tamanho da

bolha

Substituindo os valores das velocidades na expressatildeo (a)

vera

( P - P ) Abdquo =

2

2 2 m gt2 2 m t (1-x) 1 x t

ra i 2 m i 1 x t 1

p fA 1 g c ttl p Ax gpound

m t P - P = mdash

(1-x) (l-a 1)A 1A 2 (l-a2)A|

a r A r A 2

V A 2

m t P bdquo - P = mdash 2 1 g c A r A 2 p f

(1-x) 1-a f A 2(l-a 2)

bull ^ 2

72

Se

P -P

a

m

g

12

1 _1_ (1-x)

J12

1 _ a l 1 - a 2 + X (- )

Pg

1 deg12 a 2 ^

Sabemos que

mt = V o pf laquo A l

Sendo V q = velocidade do liquido num ponto onde natildeo haja vapor

P 2-P 1

u 2 2 A 2

V pr Ai

V W p f

(1-x) 12

l-a1 l-a2

+ X 2 pf

mdash

l deg12

-1 a 2 _

p -p r 2 Al (2a 1 2)

2 M f w 1 deg12 X (mdash) (

pg al a 2 )+(l-x)C l 1 12

1-a^ l-a2

Devemos notar que esta expressatildeo tambeacutem vale para quando

temos uma fase para isso basta fazer

= c t 2 = 0

X = 0

e recairemos na formula do item anterior

2 pf 1 deg12 Observemos que neste caso o termo x (mdash)( ) nao

Pg al a2

2

73

tem significado pois corresponde a mudanccedila de fase

2 CONTRACcedilAtildeO KO FLUXO DE UM FLUIDO

21 - Uma so fase raquo mdash

Aqui ocorre um fenocircmeno importante pois o fluido ao ser

contraiacutedo nao vai diretamente da area A^ para a area A 0 mas ele

contral-se ate uma area A^ e depois expande-se ate k^

Ao A2

Po IP 2

V 2

Figura 2

Fazendo o equiliacutebrio das pressotildees entre os planos (1)

(0) vem 2 2

pV pV p +~ plusmn - P + i deg bull 1 2 g o 2 g (b)

C x

Fazendo equiliacutebrio da expansatildeo (0) - (2) vem

P o + 2 - f = P 2 + 2 -T + kp- 2 F ( c )

c c b C

Subtraindo (b) - (c)

2 2 2

i p- vj i p- v2 L P l + 2 bull g c

P 2 + 2 2g c

+ k P 2g c

74

Como

P - P = mdash 2 2g

2 2

bull (1 + k) - f bdquo mdash i

k a - f2 ) 2 - d - o c )2

= o

A = a 21

Weisback obteve varias relaccedilotildees entre a e a i] c

01 02 03 a 0624 0632 0643 c

0624 0632

A r v i - V v 2

p -p 1 2

P -P 1 2 2g7

v l =

(1+k) - laquofi- a 2g 21 c

( 1 + k - o 2 1)

X[- V 2 o 2 1V 2

22 - Duas fases

0 valor de k pode ser aproximado para

k = a(l - o 2 1)

onde segundo Richardsons para fluxo de duas fases podemos supor

a = 02

Para fluxo homogeacuteneo sabemos que

75

p = p f (1 -a ) + p o a

podemos supor p bdquo a = 0 pois p e pequeno e fazendo

V = V ~ V fbdquo2 go2 v 2

Substituindo estas duas expressotildees na equaccedilatildeo de uma soacute fase vem

2 2 p V (l-ct) p V (1 -a ) bdquo

P l P 2 = 9g ( 1 + 3 - 3 0 ^ - 0 ^ ) = g (a+1) (l-a^)

Se a = 02

2 12p oV 0

p r p

2 - 9g gt d-) d-sigt

A compressatildeo de um fluido acarreta uma perda de pressatildeo

como pode ser verificado pelas formulas uma vez que lt 1deg

3 ANALISE HIDRODINAcircMICA DE UM CIRCUITO EM CIRCULACcedilAtildeO NATURAL

Esquema deacute uma caldeira com circulaccedilatildeo natural

76

Determinar a velocidade em (7) para que tenhamos circula

ccedilatildeo natural Determinar tambeacutem as perdas de pressatildeo em todos os

trechos da caldeira

31 - Contraccedilatildeo das secccedilotildees (1) - (2)

Como jaacute vimos a equaccedilatildeo do balanccedilo das pressotildees eacute

1 pr Vl 1 p 2 o V 2 P2 V2

1 2 g 2 + 2 g + K12 2g otilde c amp c e c

bullraquo 2 o2 2 e havendo uma soacute fase k 1 9 = (l-o ) = (1 mdash ) e sendo

C 2

p l = p2

v x lt lt lt v 2

P 2 V pr p2 bull ir2 bull ( 1 + k12gt

Colocando em termos de temos

A 2 V 2 P 2 = A 7 V 7 p 7 (continuidade)

V = V mdashbull = V o_bdquo ~ A 2 2 2

P 2 V - p 2

p r p 2 = ir2 - deg72 bull Ccedilrgt bull lt 1 + ki2gt

fazendo

N12 - lt^gt deg72 ( 1 + k12gt

P7 V7

Pr P2 - N12 bull HG

77

3 2 - Perda de carga no trecho ( 2 ) - ( 3 )

Como haacute apenas uma fase soacute temos perdas por atritos e

perdas hidrostaacuteticas

Sendo como jaacute vimos

2 3 p 2 2 g P 2 P 3 = f 2 3 (r~2g^~) L 2 3 g c p

atrito hidrostaacutetica

Substituindo V^ pela relaccedilatildeo do item anterior e tendo em

conta que p = vem

P -P = f 2 r 3 2 3 D

2 3 p 2 bdquo 2 2 p 7 2

2 g 7 72 p 2 3 g

Se

L 2 3 2 p 7

2 3 2 3 D 2 a 7 2 p 2

P 7 V 7 g P 2 - P 3 = N 2 3 ( mdash gt p 2 L 2 3 f

3 3 - Expansatildeo nas secccedilotildees ( 3 ) - ( 4 )

Como vimos o balanccedilo das pressotildees e

2 2 2 p V p 4 V p V

P 3 + 2 g c

P 4 + 2 g c

+ k 3 4 2 g c

onde

k 3 4 - - -

2 2 1 P 4 - V 4 P 3 v 3

P 3 P 4 = 2 g + ( k 3 4 _ 1 ) 2 g

78

Sendo

P 3 - P 4

p 3 o A 3 deg V 3 = P 7

a A 7 o V 7

P 4A 4 0V 4 = P r A r V

3 7 A 3 p 3

A7 P7 V = v mdash mdash 4 7 P 4

P - P 3 r4

Se

P bdquo - P

bdquo2 r-P 7 V 7

3 4 2g deg74 + ( k 3 4 1 ) deg73

34 p deg74 + ( k 3 4 1 ) 73

p r v2

P3- P4 ^ N34 ^ gt

(No caso e negativo)

34 - Contraccedilatildeo nas secccedilotildees (5) - (6)

Ainda temos uma so fase e fazendo o balanccedilo das pressotildees

como fizemos no item 3lt1 vem

P + vil p + vi + k vi P 5 + 2gbdquo P6 + 2gbdquo + k56 2gbdquo

k 5 6 lt 1 ^ gt 2 ( 1 - Iacute 2 i 2 6

V V6 P5degIacute 5^6 ^SS 2g c - 2g c

P - P ^ = (1+kJ

Como

79

A 6

W p 5 =

VV P6 V 5 = V 6 Jiexcl = Vff65

P 5-P 6 - lt H k 5 6 ) mdash ^ mdash (l+k 5 6-a 6 5) c c c

Sendo

Se

A 7 p 7 p 7

6 7 Ag p 6 7 76 p 6

p _p _ P6- V7- g76 iquest72 ( _ 02 P 5 P 6 2g c bull ( p 6

( 1 + k 5 6 deg65 )

p 7 2 2 N56 = p ^ deg76 ( 1 + k 5 6 ~ a 6 5 )

P 7 V 2

7

P r-P = N r 5 6 56 2g c i

35 - Perdas de pressatildeo nas zonas (6) - (7) - Pre^aquecimento

Nesta regiatildeo temos perdas por atrito e hidrostaacuteticas

Nao haacute perda por aceleraccedilatildeo pois ainda natildeo houve formaccedilatildeo de boshy

lhas

Fazendo balanccedilo das pressotildees temos

L_ ppound-V p = p + otilde L - pound _ + f -Si (-21mdashL 6 7 + p67 L67 g + t 6 7 D K 2g

p _ e ifn sao tomados como valores meacutedios 67 67

P _p _ f hl ^67jIacute uuml + - L A

6 F 7 r67 D 2g P P67 L67 g 6 s c 7 c

S e Kr pound67 L67 p67 6 7 D 6 p7

p7 V - _g_ P6- P7 - N67 mdash + P67 L67 f

c c

80

36 - Perda de pressatildeo nas zonas (7) - (8) - Zona de ebuliccedilatildeo

Nesta regiatildeo j aacute temos o aparecimento de bolhas logo a

perda de pressatildeo seraacute devida agraves t recircs parcelas aceleraccedilatildeo a t r i t o

das duas fases liacutequidas + vapor e h idros taacute t ica

onde

Assim

P-P Q = AP + AP + APbdquo 7 8 a t r i t o acel H

T M1

78 p 7 7 AP - R f- - mdash mdashr |R = fator mult ipl ica-

a t r i t o 7 D 7 2 g c L tivo

G 2

AP bull r mdash acel g c

P V

|_1 - o a p J 8 P f

2 t r 2 M2

7 7 r 7 7 A P a c e l = -J^mdash 2 r bull p 7 lt T iexcl iexcl - )

A PH p 7 8 L 7 8 fiexcl

p 7 8 iacute 7 li 1 0 0 P l i q + a P v ] d L = P 7 ( 1 - laquo 7 8 )

ag raquo fraccedilatildeo de vazio media entre 7 e 8

APH = p (1 - 5 7 g ) f- L 7 8

2 2

P 7 - P 8 a 5 - 2 T i + 2 r p 7 + P 7 ( 1 - 7 8 gt f L 7 8 7 amp c amp c amp c

81

N 7g = R mdash + 2 r p 7

P7 V7 P7- P8 = N78 + P 7 ( 1 5 7 8 gt J78

37 - Expansatildeo nas secccedilotildees 8 e 9

No caso haacute uma expansatildeo com duas fases e como vimos no

item 12 a variaccedilatildeo de pressatildeo era dada por

0f Vo P2 P1 = ~2g c ( 2 deg12

x 2 (mdash)(mdash - mdash ) + ( l - x ) 2 ^ T mdash 8 1 2 1

12

Aplicando ao nosso caso

P pound = P 7

P -P = 8 9

V - V raquo V g f 7

P 7 V 2

2 pf 1 a89 2 1 g89 x (mdash) ( ) + (1-x) (- - N

o ou abdquo 1-cu l-ot_) g 8 9 8 9

Se

N 89

= 2 a 89

2 pf 1 deg89 2 1 CT89 x (mdash) ( ) + (1-x) ( T

g 8 9 8 9

P -P = 8 9

- N P7deg V7

89 2gbdquo

38 - Perda de pressatildeo no trecho 9 e 10

No referido trecho temos apenas perda de pressatildeo por atr L

to da fase liacutequido + vapor e perda hidrostaacutetica Natildeo haacute perda por

aceleraccedilatildeo do vapor pois este natildeo recebe mais calor e portanto

o 82 o

nao ha variaccedilatildeo no a

p

Q -p i n = A P

U + A P bull 9 10 H atrito

n T -S_ P9 U10 deg 910 bull g

fio r

910 I 910

J9 L

(l- a)P + Q P I dL liq v

(l-a0) p

No caso a = (nao hatilde variaccedilatildeo de forma)

A P H - (1-a ) P (p L 0

c

AP bdquo = R o

atrito

2 f9 o L910 P9 V9

2g

Supondo

= V

P 9 = P 8 P 7

vbdquo = v 9 8 0 A r

= V 7 bull deg89

AP - R atrito

2 2

W l O p7deg V7deg g89

V P10 R -^T^ bull deg89 bull li-2 + ( W P 7 (fgt SIO

y c c

Se

- f9 L910 2 N9ol0 R Dl deg89

w 2

p rv P9 P10 = VlO + ( 1 a 9 ) p7 (f gt L910 c

33

39 - Perda ciacutee pressatildeo na expansatildeo 9 - 1 0

Analogamente a expansatildeo 8 - 9 temos

10 11 P 7 2g

10 Iacute 2 0 1 0 - 1 1 gt

2 ff

pg aio

10-11

laquo11 ) +

Ll-a 1 0 bull l-a u J

Se

V10 = V 9 = V 8 bull T9 = V 7 deg89

P -P 10 rll = - a 2g 089 ^lO-ll

4 bull T~ bull (7 1 mdash ) + Pg degio a n

+ (l-x)2(- 1 10-11

1 - aio )

N10-ll = 2 a10-ll a89 2 pf t 1 10-11 N2

-(j-r- - ) bull+ (1-x) pg aio deg 1

10-11 k l - a io

prz P10 Pll = - N10-ll bull ( 2gbdquo

310 - Calculo de V

Fazendo a somatoacuteria de todas as expressotildees (P^-Pj) tere-

84

mos 2 PbdquoV_

P bdquo - P bdquo = N 7 v 7

1 2 12 2g

bull 2 - P 3 - = N 2 3 P 2 L 2 3 f c ccedil

9 P 7 V 7 P _p = N mdash -

3 4 34 deg 2g

V P 5 = deg

2 P V

5 6 56 2 g c

ltr2

P 7 -V 6 e7 -N67 2g + p 6 7 J j67 g

c bc v 2

P 7 - P 8 = N 7 8 - 2 i ~ + p 7 ( 1 - laquo 7 8 ) L 7 8 c

P 7 V 7

P - P - -N mdash - -8 9 89 2g

c P 7 V 7

P 9 ~ P 1 0 VlO 2g + ( 1 a 9 P 7 L 9 c

P 7 V 7

bull10 11 U10-ll 2g

P v iacute j P - P

1 11

7 - v 7 3 bull r

2 8 i U L 2 23 67

(l-5 7 8) L 7 8 + ( l - laquo 9 ) P 7 bull SlOtilde]- ^

Por ou t ro lado sabemos que como secccedilotildees 1

mesmo n iacute v e l

85

s c p r v 7 j

28 Z N i ij

= P 2 L23 p67 L67 P 7 ( 1~deg78 )

78 ~ ^g) bull P 7 bull L 910 g_

V - 2 g ( p r L 2 3 - p 6 r L 6 7 - p 7 ( l - atilde 7 8 ) L 7 8 - (l-a9) p L 9 a ( )

y N

Com esse valor de podemos determinar todas as variashy

ccedilotildees de pressatildeo (P^-P )

BIBLIOGRAFIA

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tituto de Energia Atocircmica de Sao Paulo em 1966 (roteiro)

- WR Gambill - Nuclear Safety

Vol 9 - n9 5 e 6

Vol 6 - n 2 (pag 152)

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Volbdquo 5 - n 2 (pag 151)

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- Paul A Lottes - Argonne National Laboratory

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Frank Kreith - Principles of Heat Transfer

Journeacutees Internationales de la transmission de la chaleur

Seminaacuterios realizados em Paris em 1961 sob a supervisatildeo do

Prof Marcel Veron

Notas de aula da Cadeira de Termodinacircmica I e Transmissatildeo da

Escola Politeacutecnica da Universidade de Sao Paulo

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  • 0003600
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  • 0003800
  • 0003900
  • 0004000
  • 0004100
  • 0004200
  • 0004300
  • 0004400
  • 0004500
  • 0004600
  • 0004700
  • 0004800
  • 0004900
  • 0005000
  • 0005100
  • 0005200
  • 0005300
  • 0005400
  • 0005500
  • 0005600
  • 0005700
  • 0005800
  • 0005900
  • 0006000
  • 0006100
  • 0006200
  • 0006300
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  • 0007000
  • 0007100
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  • 0007300
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  • 0007700
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Page 55: ALGUNS PROBLEMAS DE HIDRODINÂMICA E CONVECÇÃO DE … · alguns problemas de hidrodinÂmica e convecÇÃo de calor em reatores de potÊncia, segundo aulas do ... b - convecÇao

51

D - HIDRODINAcircMICA DOS SISTEMAS E QUEDA

DE PRESSAtildeO DENTRO DE UM CANAL

1 HIDRO-DINAcircMICA E QUEDA DE PRESSAtildeO

11 - Hidro-dinacircmica dos sistemas estaacuteveis

111 - Regimes de escoamento

A evoluccedilatildeo do escoamento ao longo de um canal aquecedor

de secccedilatildeo constante ciliacutendrico pode ser esquematizada pela figushy

ra 1 onde temos em abcissa o comprimento z do canal e em ordenada

a temperatura (T)

52

Na figura 1 nos representamos

a) 0 aspecto do escoamento fluido quando a entalpia do

- fluido aumenta Verificamos que o fluido entra no cashy

nal no estado liacutequido e assim permanece ateacute atingirmos a zona de

ebuliccedilatildeo local onde aparecem as primeiras bolhas A entalpia do

fluido continua aumentando e tem inicioa ebuliccedilatildeo franccedila onde as

bolhas se unem formando agregados posteriormente o escoamento to

ma a forma da figura ou seja torna-se anular disperso Finalmente

atingimos duas uacuteltimas fases do escoamento disperso (vapor uacutemido)

e vapor seco

b) A evoluccedilatildeo da temperatura meacutedia do fluido e da tempeshy

ratura da parede Note-se que a partir da cota a

temperatura da parede aumenta brutalmente podendo causar o

burnout

c) A evoluccedilatildeo do tiacutetulo do vapor (x) com o comprimento

do tubo e a evoluccedilatildeo da fraccedilatildeo (a) que definiremos no

item 11laquo2 com o comprimento do tubo

112 - Definiccedilotildees

a) Tiacutetulo ou qualidade do vapor (x)

massa de vapor na mistura x ~ massa total da mistura

x =

W _g_

g f

b) Fraccedilatildeo vazio (void fraction)

volume do vapor na mistura a = volume total da mistura (agua+vapor)

A relaccedilatildeo entre x e a num sistema parado pode ser obtida

assumindo um certo volume contendo 1 lbm de mistura em equiliacutebrio

teacutermicoraquo

53

O volume da mistura seraacute igual a (v + xv ) ft onde v eacute 3 r rg

o volume especifico (lbmft )

f - refere-se ao liquido

g - refere-se ao vapor

fg - refere-se a diferenccedila entre liacutequido e vapor

Numa mistura em equiliacutebrio se o liacutequido e o vapor estatildeo

saturados o volume do vapor presente eacute igual acirc sua massa vezes

seu volume especiacutefico v assim e

xv bdquo bdquo a mdash

V c + XV c

f gf

onde

- bull-bull uumlutiacuteisa vapor na mistura de 1 Ibm

v volume especiacutefico do liacutequido

v = volume especiacutefico do vapor o

V c = v - V

gf 8 r

Fazendo uma transformaccedilatildeo na expressatildeo acima temos

xv xv JS = Z-

v r+ x(v -v c) xv +(l-x)v t ri f g f g f 1 + Ul-x)xjv fv

1 + C(l-x)x]]vfvg

A fraccedilatildeo vazia tem a influencia de baixar a reatividade

do nuacutecleo nos reatores em que o refrigerante eacute tambeacutem moderador

Na equaccedilatildeo acima os valores de x e v sao tomados em tabe

las termodinacircmicas apropriadas para a pressatildeo do sistema A equashy

ccedilatildeo (1) mostra os grandes valores de a para pequenos valores de x

especialmente para baixas pressotildees Isto ocorre porqueaumentando

54

aacute pressatildeo o v decresce muito enquanto que o v f eacute mais ou menos da

mesma ordem de grandeza

Exemplo Calcular o a correspondente para x raquo 2 para aacutegua

leve atilde pressatildeo atmosfeacuterica

Da tabela para p laquobull 1 atm

v - 001672 ft 3lbm e v - 26800 ft 3lbm

1 + [(1-002)002] 001672268

0971 ou 97U

O grafico abaixo mostra a variaccedilatildeo do a com x para vaacuterias

pressotildees e para a aacutegua leve

x ()

tObservaccedilotildees da curva

Fig 2

1 - para x constante a decresce com a pressatildeo Para presshy

sotildees proacuteximas da criacutetica a aproxima-se rapidamente de

x Para a pressatildeo criacutetica as duas fases satildeo indistinguiacuteveis ea=x

2 - para cada pressatildeo dotdx decresce com aumento de x

3 - para baixos valores de x (que e o caso dos reatores

tipo Boiling) quando p decresce dadx cresce e torr

na-se muito grande paacutera baixas pressotildees Isto tem relaccedilatildeo com a epound

55

tabilidade do reator como veremos mais tarde

113 - Sistemas com fluxo

Todas as definiccedilotildees que noacutes vimos no item anterior refeshy

rem-se acirc sistemas em que a mistura esta fechada no recipiente Nes^

te caso natildeo havia movimento relativo entre as duas fases No entan

to se as duas fases da mistura se movem na direccedilatildeo vertical em

canais entre os elementos combustiacuteveis o vapor por causa de sua

flutuaccedilatildeo tem a tendecircncia de escorregar sobre o liacutequido isto e

move-se com velocidade maior do que a do liacutequido

Real Modelo

Pig 3

S -

Define-se neste caso a relaccedilatildeo de escorregamento (slip

ratio) (S) como sendo

V _i

V f

onde

V = velocidade do vapor

= velocidade do liquido

S modifica as relaccedilotildees entre a e x do item anterior S geralmen_

te gt 1 Define-se neste caso qualidade do vapor ou tiacutetulo como

sendo

_ fluxo de massa de vapor

fluxo de massa da mistura

Entatildeo se o fluxo de massa da mistura eacute m t(lbmhr) o flushy

xo de vapor seraacute = x m e o fluxo de liacutequido sera (1-x) m onde x

56

e o titulo do vapor para a particular secccedilatildeo (AL) da figura (3)

Devemos notar que neste caso x varia de secccedilatildeo para secshy

ccedilatildeo do tubo o exposto no paraacutegrafo acima vale considerando-se que

x e a permaneceram constantes na secccedilatildeo de espessura AL

Aplicando a equaccedilatildeo da continuidade as velocidades do va

por e liacutequido sao dadas por

o xm v

V vazatildeo = g g area A

V

(1-x) amp t v f

f A f

onde A e A f sao as aacutereas medias perpendiculares ao fluxo se as

duas fases sao imaginadas completamente separadas uma da outra

(figura 3) Assim temos

V x m v o A_ A v 0 ^ - 2 = iacute S t m _2L- JL JS m

V A (l-x)ui v 1-x A v U

f g t f g f

Sabemos ainda que para a secccedilatildeo considerada

volume do vapor na mistura a = volume total da mistura (agua+vapor)

A AL A pound g g

a = mdash a a = - mdash 1

(A+A )AL A f + g

A ou f _ 1 - a

A a 8

Substituindo em (2) vem

57

Esta expressatildeo pode ser rearranjada e obteremos uma relashy

ccedilatildeo entre x e a levando em conta o escorregamento Chega-se a

a = 1 ( 3 )

1+ [U-x)x3 igt

onde

v 4 laquo -- S

v lty o

Note-se que quando S=l (nao haacute escorregamento) caimos na

expressatildeo dada no item anterior

0 efeito do escorregamento eacute decrescer o valor de a pa_

ra um mesmo xbdquo Isto pode ser visto pela foacutermula (3) pois S gt lLo

go a decresce com acreacutescimo de S

Um alto S e entatildeo uma vantagem tanto para a transferecircnshy

cia de calor como para efeitos de moderaccedilatildeo Eacute uma vantagem para

transferecircncia de calor porque alto S significa alto V e portanto

maior turbulecircncia e maior contato do liquido com as paredes quenshy

tes Ha tambeacutem melhorias na estabilidade da reaccedilatildeo nuclear isto

porque como jaacute dissemos quando mdash7 diminui a estabilidade aumenshy

ta isso pode ser verificado observando a curva a versus x para a

agua leve a 1000 psiabdquo

Fig 4

58

A relaccedilatildeo entre x e a da equaccedilatildeo (3) so vale para secccedilatildeo

de tubo bem pequena

Devemos notar que S varia tambeacutem com a pressatildeo e velocida^

de de entrada do liacutequido no tubo Este efeito pode ser observado na

figura 5 abaxxo obtida esperimentalmente

s

3

~^ ~ psig

x = 001

V 1

Fig 5

Nos projetos de reatores como veremos adiante o valor a

geralmente eacute determinado por consideraccedilotildees nucleares (moderaccedilatildeo) 0

valor de S eacute determinado atraveacutes de uma estimativa ou entatildeo atrashy

veacutes de um graacutefico do tipo da figura 5 0 correspondente valor de x

pode ser obtido de uma foacutermula empiacuterica do tipo

1 = 1 (-S)0gt67

proposta por Von Glahn

Em muitos casos assume-se S constante em todo o comprimeiv

to do canal poreacutem eacute um erro que em muitos casos nao pode ser coshy

metido

4 REATORES EM QUE 0 LIacuteQUIDO B MODERADOR E CIRCUITO PRIMAacuteRIO AO

MESMO TEMPO BOILING-REACTOR (BWR)

A aacutegua ao se movimentar atraveacutes dos vaacuterios canais do

59

Boiling-reactor encontra vaacuterias resistecircncias ao fluxo que provoshy

cam uma reduccedilatildeo de pressatildeo no fluido

As duas perdas mais importantes sao perda de pressatildeo por

atrito e perda de pressatildeo causada pela aceleraccedilatildeo do refrigerante

ao aumentar de volume por receber calor num canal Outras perdas

de pressatildeo seriam a obstruccedilatildeo ao fluxo por corpos submersos (espa_

ccediladores juntas de tubos chaves etc) e por mudanccedilas abruptas de

aacuterea de fluxo tanto na entrada como na saiacuteda do tubo

Essas perdas de pressatildeo devem ser conhecidas o melhor popound

sivel principalmente nos reatores BWR Para tanto devemos saber

o comprimento de canal em que nao ha a ebuliccedilatildeo isto eacute qual o com

primento de canal em que o refrigerante vai da temperatura de sub-

resfriamento ate temperatura de saturaccedilatildeo

Seja o elemento combustiacutevel

Aquecimento Uniforme Aquecimento Senoidal

Fig 6 Fig 7

onde

H =

H = o

H b

comprimento do elemento combustiacutevel

cota onde o liquido se torna saturado

comprimento do elemento combustiacutevel em que ocorre

ebuliccedilatildeo

60

qg = calor sensiacutevel acrescentado ao liquido para satushy

raacute-lo

qfc = calor total acrescentado ao liacutequido em todo o com

primento do canal

laquoo

q s J o qiquest sen (IIzH) n H o

T~ = TH = 2 ( 1 c o s gt ( a )

q 1 sen (HzH) Jo ^c

A expressatildeo (a) vale quando tivermos uma adiccedilatildeo de calor

senoidal para qualquer outra forma de adiccedilatildeo de calor faz-se um

caacutelculo anaacutelogo

Outra relaccedilatildeo entre q g e qfc eacute dada pela termodinacircmica

q h- - h s f m (b)

(hr +x h )-hm ^t f e fg

onde

= entalpia para o liquido saturado a pressatildeo correjs

pondente (cota z = Ho)

hffi = entalpia do liacutequido na entrada do canal

x = tiacutetulo do vapor na saiacuteda

= entalpia do vapor

Com a relaccedilatildeo (b) noacutes determinamos a relaccedilatildeo q q ecom

S L

uma relaccedilatildeo do tipo (a) (conforme seja o adicionamento de calor ao

liacutequido) podemos obter a relaccedilatildeo HoH e consequentemente H^H

21 - Perda de pressatildeo num canal de evaporaccedilatildeo

Neste item iremos determinar as perdas de pressatildeo mais

representativas que ocorrem num canal de evaporaccedilatildeo de um reator

P + dP

bull1 i- 1 gti i i

dL

onde

UM

Icirc H Icirc Icirc T dF f t f

61

Quantidade de Mov na Entrada

= i- rigVg)

dF f l

Fig 8

m i

m 8

V l V 8

A P

dF

dF

dF

fg

fl

ftf

descarga do liacutequido

descarga do vapor

velocidade do liquido

velocidade do vapor

aacuterea transversal do canal

forccedila de atrito do vapor com parede

forccedila de atrito do liacutequido com parede

forccedila de atrito das duas fases liacutequido+vapor

Fazendo o balanccedilo das forccedilas considerando o sentido posjL

tivo na vertical temos

A (P-P-dP)-(dF +dF _+dF _)-(-pound-) (p A+p A )dL = mdash dGnV+m V ) P fg ftf fl g c 1 1 g g g c

v 1 1 g g 7

- dP = ~ (dF +dF--+dF)+- S--7=- (p A+p A )dL+ mdash ~ - d (m-V+m V ) A_ fg ftf fl g c Ap v^l 1 g g g A 11 g g

Fazendo a integraccedilatildeo termo a termo entre os dois extreshy

mos entrada e saiacuteda e considerando a pressatildeo de entrada igual a

P q e a de saiacuteda igual a Pe vem

Quantidade de Mov na Saiacuteda

-= h I- lY l+ A g V g + d ( aacute l V l + aacuteeVl

Forccedila de Gravidade

= ( g f - N P A + P g V

62

b) r e F f l

o p dp^ = Ap^ = perda de pressatildeo por atrito

do liacutequido na altura Ho

Aplicando a formula de Darcy vem

bull API = f bull ir bull ^ iexcl 7

onde

f = fator de atrito

c) e Fftf

o p ^P tpound

= perda de pressao por atrito da mistura

liquido + vapor no trecho de comprimen

to Hbdquo o

Para determinar esta perda de pressao define-se o fator

de multiplicaccedilatildeo R

A P R =

tf A P 1B

Sendo A p ^ a perda de pressao se o comprimento todo fosshy

se ocupado somente pelo liquido assim

A p t f = R A P 1 B

0 calculo de Ap-^ pode ser feito pela formula de Darcy e

o de R nos veremos no item seguinte

63

d)

-e F

d ( ^ )

O P

Ap = perda de pressatildeo por atrito do vapor

No caso do reator BWR o titulo de saida e bera pequeno e

em nenhum caso ocorre a saida de vapor com x = 100 logo a perda

de pressatildeo por atrito do vapor eacute nula assim

An = 0 5

e) Ap

(p A 1 + p A ) dL = Ap - perda de pressatildeo dpound

vida ao desniacutevel

(perda hidrostaacutetica)

Anbdquo = re A A

-S- I (p + p -S ) dL H s 1 A

c o p o A

como A A Jl_ =

A P

A +A-g 1

1-a -

temos

C Q

te j jll-a)p1 + apg)^jdL = p Lo pound

onde

e jo u

+ ap ) ~I dL (Densidade media 1 S J

no tubo)

No nosso caso

Ap u = p H

f)

re d(mV + m V ) _ mdash - laquo -i bull s iquestp laquos p e r d a ltje pressatildeo devido a acele-

c p raccedilatildeo do vapor

V A

(1-x) tl^Vj

(1-a) A

X V

aA

A p -

roV + m V

c p c p L_

m (l-x)m_v m xv nbdquo -1 T 1

+ _S S I (1-a) Ap aA

P

2 g A c p

n 2 2

(1-x) m T

laquo2 8 A c p

2 2 (l-xe) raTv1

2 2 2 xm_v (1-x) m-v e T s o 1 1

a 1 - a

2 2 - x m_v o T g

a

se

X Q 0 (so ha agua nesse trecho)

a = 0 o

temos

mbdquo Ap =

1 a A 2

S A degc p laquo-

tt-V v i 1 - a

2 via T^r - v i

t Apc

2

V v l

5c Ap

1 - a

x v - 1

a e v l

65

Fazendo

G = fluxo total da massa por unidade de area do

canal

(1-x J e

V

AP r

Assim a perda de pressatildeo total sera

H p V II pV r2 P -P = f -24-Iuml+ f R+p 0 1 2g c D e 2g c g c g c

2c2 - Determinaccedilatildeo do fator de multiplicaccedilatildeo (R)

221 - Relaccedilatildeo Martinelli-Nelson

Os autores Martinelli-Nelson determinaram experimental -

te esse fator R para varias LIT1L em funccedilatildeo da pressatildeo e da r NB total J v

qualidade de saiacuteda do vapor no canal Construiacuteram assim vaacuterias

curvas do tipo da figura 9

66

E importante notar que a qualidade do vapor (x) na saiacuteshy

da nao deve ser grande pois como vemos o valor de R cresce muishy

to com um aumento pequeno de x e um valor de R muito grande acar_

reta uma perda de pressatildeo grande pois

^ d u a s fases R ^ f a s e liacutequida

Para resolvermos um problema seguindo o criteacuterio de bdquo

Martinelli escolhemos a curva R = f(px) (para a relaccedilatildeo L

N g ^ j

adequado) e tiramos R com os valores de pressatildeo p e tiacutetulo x

As curvas R = f (p x L T t )IO encontram-se nos ANL 6469 bio I

e 6561

222 - Relaccedilatildeo Lottes-Flinn

Estes autores estudaram o problema para o aquecimento uni

forme do refrigerante com baixo titule Lottes-Flinn fizeram inuacuteshy

meras experiecircncias e verificaram que para fluxo de calor uniforshy

me e baixos titulos R era independente do fluxo de calor fluxo

do refrigerante escorregamento e apenas funccedilatildeo de a g

Como a quantidade de liacutequido eacute muito maior que a de vashy

por a perda de pressatildeo daacute-se principalmente pelo atrito do liacuteshy

quido com a parede Podemos assim escrever a foacutermula de Darcy

na forma diferencial

dz

d = f __ r e amp c

onde

V = velocidade do liquido saturado na cota zbdquo X

f = coeficiente atrito

= densidade do liacutequido saturado

Teoricamente a queda de pressatildeo deve-se ao acreacutescimo de

67

velocidade do liacutequido e da diminuiccedilatildeo da aacuterea de fluxo do liacutequi

do

P fH A P t p

= f D 2g Ho

d z

fazendo

V lo

m V t lo

(velocidade do liacutequido na cota z = Ho)

(1-x) m t v 1

(1-a) A (velocidade do liacutequido na cota z gt Ho)

a bull+ fraccedilatildeo vazio na cota z geneacuterica

V 1 (1-x) m t v 1

m t V l 1 - a

x =s 0 pois o tiacutetulo eacute baixo

A p t f = f bull JT5 c e

fH V lo

H o (1-a) dz

Para fazer a integral devemos achar a relaccedilatildeo de variaccedilatildeo

entre a e z Como o fluxo de calor eacute uniforme a qualidade eacute direshy

tamente proporcional a z

bull laquo x = x e H

z = mdash x X e

Sabemos ainda que (item 113)

x

1 + [ ( I -X)AKQ x + iiacuteraquo

68

como

temos

(1-x) = 1

v

X =

z =

1-a

1 -a

1-a e

a

e

1-a pound

a

1 -a igt (assumindo S = cte)

da

Atf - f bull 2 i ^ ~ J c e o

a 1 - a e e 1 s 4 hmdash) da

a 1-a

f P lv^ Q

0 termo mdash - mdash e a parte de perda de pressatildeo pelo lj^

^c e -quido ou seja Ap liquido saturado e como

Ap

R = tf

Ap liauido saturado

temos que

R J

f ae 1 _ a e 1 4

a 1 -a o e

1 -a r-R =

3 1 -a

a 1 -a imdash

3 vl - a 3

e e

Os valores de R obtidos por esta expressatildeo aproximam-se

muito dos valores obtidos pelos aacutebacos de Martinelli

69

E - EXPANSAtildeO E COMPRESSAtildeO DE UM FLUIDO - ANAacuteLISE HIDRODINAcircMICA

DE UM CIRCUITO EM CIRCULACcedilAtildeO NATURAL

1 EXPANSAtildeO NO FLUXO DE UM FLUIDO

11 - Uma so fase

Figura 1

Ha vaacuterios meacutetodos para determinar a variaccedilatildeo de pressatildeo

numa expansatildeo de fluido estudaremos o de Romie que eacute o que daacute

maior precisatildeo

Romie considera que a pressatildeo p^ tambeacutem atua na aacuterea

imediatamente apos a expansatildeo Assim fazendo o equiliacutebrio das foi

ccedilas nas secccedilotildees tracejadas da figura 1 temos

mVj

p r A 2 + mdash

mV

bull 2- A2

mas

m = pV^A^

pV^A = p V 2 bdquo A 2

V A

v 2 -4r-logo

( P l-P 2) A 2 = f ( V ^ ) - f _ v j amp c c 2

70

2 pV A A pV A A

Chamando A l A ]

K = 1 - T e degi2 = Aiexcl bull V E M

pvj

P l P 2 = T ~ bull ( 2 deg 1 2 ) ( 1 _ a 1 2 )

Outra maneira de chegar atilde diferenccedila de pressatildeo ( P j - ^ ) s mdash

ria usar o coeficiente de perda da mecacircnica dos fluidos Assim o

equilibrio das pressotildees eacute

2 2

1 V l 1 V 2 V l P i + _ p _ ^ P 2 + I p ~ + k 1 2 p mdash

onde = coeficiente de perda

A 2 1 2

k 1 2 - (l-o 1 2) - (1 - j- )

Fazendo as transformaccedilotildees chegamos a mesma expressatildeo obshy

tida pelo balanccedilo das forccedilas

PraquoIacute pr p

2 - - ir ^ laquo-ia

12 - Duas fases

Como ha duas fases a equaccedilatildeo do balanccedilo das forccedilas fica

um pouco alterada

m pound 1 V- m - raquoV - m-V- m bdquoV _ P A + j y ^ i + _gl_JUuml P A + -11-11 + -ilsl (a)

1 2 e R 2 2 ff e

Sabendo que

71

m (1-x) m t = p fA (1-a) V f

entatildeo

fl l-o^ p fA x

6 Vf2 1-x l-a2 P fA 2

m V = mdash mdash e V 0 = gl a 1 P C T A 1 g2

m

a_ p h

2 g 2

Nas expressotildees anteriores o x nao varia porque a expansatildeo

5 adiabaacutetica porem o a varia devido a modificaccedilatildeo do tamanho da

bolha

Substituindo os valores das velocidades na expressatildeo (a)

vera

( P - P ) Abdquo =

2

2 2 m gt2 2 m t (1-x) 1 x t

ra i 2 m i 1 x t 1

p fA 1 g c ttl p Ax gpound

m t P - P = mdash

(1-x) (l-a 1)A 1A 2 (l-a2)A|

a r A r A 2

V A 2

m t P bdquo - P = mdash 2 1 g c A r A 2 p f

(1-x) 1-a f A 2(l-a 2)

bull ^ 2

72

Se

P -P

a

m

g

12

1 _1_ (1-x)

J12

1 _ a l 1 - a 2 + X (- )

Pg

1 deg12 a 2 ^

Sabemos que

mt = V o pf laquo A l

Sendo V q = velocidade do liquido num ponto onde natildeo haja vapor

P 2-P 1

u 2 2 A 2

V pr Ai

V W p f

(1-x) 12

l-a1 l-a2

+ X 2 pf

mdash

l deg12

-1 a 2 _

p -p r 2 Al (2a 1 2)

2 M f w 1 deg12 X (mdash) (

pg al a 2 )+(l-x)C l 1 12

1-a^ l-a2

Devemos notar que esta expressatildeo tambeacutem vale para quando

temos uma fase para isso basta fazer

= c t 2 = 0

X = 0

e recairemos na formula do item anterior

2 pf 1 deg12 Observemos que neste caso o termo x (mdash)( ) nao

Pg al a2

2

73

tem significado pois corresponde a mudanccedila de fase

2 CONTRACcedilAtildeO KO FLUXO DE UM FLUIDO

21 - Uma so fase raquo mdash

Aqui ocorre um fenocircmeno importante pois o fluido ao ser

contraiacutedo nao vai diretamente da area A^ para a area A 0 mas ele

contral-se ate uma area A^ e depois expande-se ate k^

Ao A2

Po IP 2

V 2

Figura 2

Fazendo o equiliacutebrio das pressotildees entre os planos (1)

(0) vem 2 2

pV pV p +~ plusmn - P + i deg bull 1 2 g o 2 g (b)

C x

Fazendo equiliacutebrio da expansatildeo (0) - (2) vem

P o + 2 - f = P 2 + 2 -T + kp- 2 F ( c )

c c b C

Subtraindo (b) - (c)

2 2 2

i p- vj i p- v2 L P l + 2 bull g c

P 2 + 2 2g c

+ k P 2g c

74

Como

P - P = mdash 2 2g

2 2

bull (1 + k) - f bdquo mdash i

k a - f2 ) 2 - d - o c )2

= o

A = a 21

Weisback obteve varias relaccedilotildees entre a e a i] c

01 02 03 a 0624 0632 0643 c

0624 0632

A r v i - V v 2

p -p 1 2

P -P 1 2 2g7

v l =

(1+k) - laquofi- a 2g 21 c

( 1 + k - o 2 1)

X[- V 2 o 2 1V 2

22 - Duas fases

0 valor de k pode ser aproximado para

k = a(l - o 2 1)

onde segundo Richardsons para fluxo de duas fases podemos supor

a = 02

Para fluxo homogeacuteneo sabemos que

75

p = p f (1 -a ) + p o a

podemos supor p bdquo a = 0 pois p e pequeno e fazendo

V = V ~ V fbdquo2 go2 v 2

Substituindo estas duas expressotildees na equaccedilatildeo de uma soacute fase vem

2 2 p V (l-ct) p V (1 -a ) bdquo

P l P 2 = 9g ( 1 + 3 - 3 0 ^ - 0 ^ ) = g (a+1) (l-a^)

Se a = 02

2 12p oV 0

p r p

2 - 9g gt d-) d-sigt

A compressatildeo de um fluido acarreta uma perda de pressatildeo

como pode ser verificado pelas formulas uma vez que lt 1deg

3 ANALISE HIDRODINAcircMICA DE UM CIRCUITO EM CIRCULACcedilAtildeO NATURAL

Esquema deacute uma caldeira com circulaccedilatildeo natural

76

Determinar a velocidade em (7) para que tenhamos circula

ccedilatildeo natural Determinar tambeacutem as perdas de pressatildeo em todos os

trechos da caldeira

31 - Contraccedilatildeo das secccedilotildees (1) - (2)

Como jaacute vimos a equaccedilatildeo do balanccedilo das pressotildees eacute

1 pr Vl 1 p 2 o V 2 P2 V2

1 2 g 2 + 2 g + K12 2g otilde c amp c e c

bullraquo 2 o2 2 e havendo uma soacute fase k 1 9 = (l-o ) = (1 mdash ) e sendo

C 2

p l = p2

v x lt lt lt v 2

P 2 V pr p2 bull ir2 bull ( 1 + k12gt

Colocando em termos de temos

A 2 V 2 P 2 = A 7 V 7 p 7 (continuidade)

V = V mdashbull = V o_bdquo ~ A 2 2 2

P 2 V - p 2

p r p 2 = ir2 - deg72 bull Ccedilrgt bull lt 1 + ki2gt

fazendo

N12 - lt^gt deg72 ( 1 + k12gt

P7 V7

Pr P2 - N12 bull HG

77

3 2 - Perda de carga no trecho ( 2 ) - ( 3 )

Como haacute apenas uma fase soacute temos perdas por atritos e

perdas hidrostaacuteticas

Sendo como jaacute vimos

2 3 p 2 2 g P 2 P 3 = f 2 3 (r~2g^~) L 2 3 g c p

atrito hidrostaacutetica

Substituindo V^ pela relaccedilatildeo do item anterior e tendo em

conta que p = vem

P -P = f 2 r 3 2 3 D

2 3 p 2 bdquo 2 2 p 7 2

2 g 7 72 p 2 3 g

Se

L 2 3 2 p 7

2 3 2 3 D 2 a 7 2 p 2

P 7 V 7 g P 2 - P 3 = N 2 3 ( mdash gt p 2 L 2 3 f

3 3 - Expansatildeo nas secccedilotildees ( 3 ) - ( 4 )

Como vimos o balanccedilo das pressotildees e

2 2 2 p V p 4 V p V

P 3 + 2 g c

P 4 + 2 g c

+ k 3 4 2 g c

onde

k 3 4 - - -

2 2 1 P 4 - V 4 P 3 v 3

P 3 P 4 = 2 g + ( k 3 4 _ 1 ) 2 g

78

Sendo

P 3 - P 4

p 3 o A 3 deg V 3 = P 7

a A 7 o V 7

P 4A 4 0V 4 = P r A r V

3 7 A 3 p 3

A7 P7 V = v mdash mdash 4 7 P 4

P - P 3 r4

Se

P bdquo - P

bdquo2 r-P 7 V 7

3 4 2g deg74 + ( k 3 4 1 ) deg73

34 p deg74 + ( k 3 4 1 ) 73

p r v2

P3- P4 ^ N34 ^ gt

(No caso e negativo)

34 - Contraccedilatildeo nas secccedilotildees (5) - (6)

Ainda temos uma so fase e fazendo o balanccedilo das pressotildees

como fizemos no item 3lt1 vem

P + vil p + vi + k vi P 5 + 2gbdquo P6 + 2gbdquo + k56 2gbdquo

k 5 6 lt 1 ^ gt 2 ( 1 - Iacute 2 i 2 6

V V6 P5degIacute 5^6 ^SS 2g c - 2g c

P - P ^ = (1+kJ

Como

79

A 6

W p 5 =

VV P6 V 5 = V 6 Jiexcl = Vff65

P 5-P 6 - lt H k 5 6 ) mdash ^ mdash (l+k 5 6-a 6 5) c c c

Sendo

Se

A 7 p 7 p 7

6 7 Ag p 6 7 76 p 6

p _p _ P6- V7- g76 iquest72 ( _ 02 P 5 P 6 2g c bull ( p 6

( 1 + k 5 6 deg65 )

p 7 2 2 N56 = p ^ deg76 ( 1 + k 5 6 ~ a 6 5 )

P 7 V 2

7

P r-P = N r 5 6 56 2g c i

35 - Perdas de pressatildeo nas zonas (6) - (7) - Pre^aquecimento

Nesta regiatildeo temos perdas por atrito e hidrostaacuteticas

Nao haacute perda por aceleraccedilatildeo pois ainda natildeo houve formaccedilatildeo de boshy

lhas

Fazendo balanccedilo das pressotildees temos

L_ ppound-V p = p + otilde L - pound _ + f -Si (-21mdashL 6 7 + p67 L67 g + t 6 7 D K 2g

p _ e ifn sao tomados como valores meacutedios 67 67

P _p _ f hl ^67jIacute uuml + - L A

6 F 7 r67 D 2g P P67 L67 g 6 s c 7 c

S e Kr pound67 L67 p67 6 7 D 6 p7

p7 V - _g_ P6- P7 - N67 mdash + P67 L67 f

c c

80

36 - Perda de pressatildeo nas zonas (7) - (8) - Zona de ebuliccedilatildeo

Nesta regiatildeo j aacute temos o aparecimento de bolhas logo a

perda de pressatildeo seraacute devida agraves t recircs parcelas aceleraccedilatildeo a t r i t o

das duas fases liacutequidas + vapor e h idros taacute t ica

onde

Assim

P-P Q = AP + AP + APbdquo 7 8 a t r i t o acel H

T M1

78 p 7 7 AP - R f- - mdash mdashr |R = fator mult ipl ica-

a t r i t o 7 D 7 2 g c L tivo

G 2

AP bull r mdash acel g c

P V

|_1 - o a p J 8 P f

2 t r 2 M2

7 7 r 7 7 A P a c e l = -J^mdash 2 r bull p 7 lt T iexcl iexcl - )

A PH p 7 8 L 7 8 fiexcl

p 7 8 iacute 7 li 1 0 0 P l i q + a P v ] d L = P 7 ( 1 - laquo 7 8 )

ag raquo fraccedilatildeo de vazio media entre 7 e 8

APH = p (1 - 5 7 g ) f- L 7 8

2 2

P 7 - P 8 a 5 - 2 T i + 2 r p 7 + P 7 ( 1 - 7 8 gt f L 7 8 7 amp c amp c amp c

81

N 7g = R mdash + 2 r p 7

P7 V7 P7- P8 = N78 + P 7 ( 1 5 7 8 gt J78

37 - Expansatildeo nas secccedilotildees 8 e 9

No caso haacute uma expansatildeo com duas fases e como vimos no

item 12 a variaccedilatildeo de pressatildeo era dada por

0f Vo P2 P1 = ~2g c ( 2 deg12

x 2 (mdash)(mdash - mdash ) + ( l - x ) 2 ^ T mdash 8 1 2 1

12

Aplicando ao nosso caso

P pound = P 7

P -P = 8 9

V - V raquo V g f 7

P 7 V 2

2 pf 1 a89 2 1 g89 x (mdash) ( ) + (1-x) (- - N

o ou abdquo 1-cu l-ot_) g 8 9 8 9

Se

N 89

= 2 a 89

2 pf 1 deg89 2 1 CT89 x (mdash) ( ) + (1-x) ( T

g 8 9 8 9

P -P = 8 9

- N P7deg V7

89 2gbdquo

38 - Perda de pressatildeo no trecho 9 e 10

No referido trecho temos apenas perda de pressatildeo por atr L

to da fase liacutequido + vapor e perda hidrostaacutetica Natildeo haacute perda por

aceleraccedilatildeo do vapor pois este natildeo recebe mais calor e portanto

o 82 o

nao ha variaccedilatildeo no a

p

Q -p i n = A P

U + A P bull 9 10 H atrito

n T -S_ P9 U10 deg 910 bull g

fio r

910 I 910

J9 L

(l- a)P + Q P I dL liq v

(l-a0) p

No caso a = (nao hatilde variaccedilatildeo de forma)

A P H - (1-a ) P (p L 0

c

AP bdquo = R o

atrito

2 f9 o L910 P9 V9

2g

Supondo

= V

P 9 = P 8 P 7

vbdquo = v 9 8 0 A r

= V 7 bull deg89

AP - R atrito

2 2

W l O p7deg V7deg g89

V P10 R -^T^ bull deg89 bull li-2 + ( W P 7 (fgt SIO

y c c

Se

- f9 L910 2 N9ol0 R Dl deg89

w 2

p rv P9 P10 = VlO + ( 1 a 9 ) p7 (f gt L910 c

33

39 - Perda ciacutee pressatildeo na expansatildeo 9 - 1 0

Analogamente a expansatildeo 8 - 9 temos

10 11 P 7 2g

10 Iacute 2 0 1 0 - 1 1 gt

2 ff

pg aio

10-11

laquo11 ) +

Ll-a 1 0 bull l-a u J

Se

V10 = V 9 = V 8 bull T9 = V 7 deg89

P -P 10 rll = - a 2g 089 ^lO-ll

4 bull T~ bull (7 1 mdash ) + Pg degio a n

+ (l-x)2(- 1 10-11

1 - aio )

N10-ll = 2 a10-ll a89 2 pf t 1 10-11 N2

-(j-r- - ) bull+ (1-x) pg aio deg 1

10-11 k l - a io

prz P10 Pll = - N10-ll bull ( 2gbdquo

310 - Calculo de V

Fazendo a somatoacuteria de todas as expressotildees (P^-Pj) tere-

84

mos 2 PbdquoV_

P bdquo - P bdquo = N 7 v 7

1 2 12 2g

bull 2 - P 3 - = N 2 3 P 2 L 2 3 f c ccedil

9 P 7 V 7 P _p = N mdash -

3 4 34 deg 2g

V P 5 = deg

2 P V

5 6 56 2 g c

ltr2

P 7 -V 6 e7 -N67 2g + p 6 7 J j67 g

c bc v 2

P 7 - P 8 = N 7 8 - 2 i ~ + p 7 ( 1 - laquo 7 8 ) L 7 8 c

P 7 V 7

P - P - -N mdash - -8 9 89 2g

c P 7 V 7

P 9 ~ P 1 0 VlO 2g + ( 1 a 9 P 7 L 9 c

P 7 V 7

bull10 11 U10-ll 2g

P v iacute j P - P

1 11

7 - v 7 3 bull r

2 8 i U L 2 23 67

(l-5 7 8) L 7 8 + ( l - laquo 9 ) P 7 bull SlOtilde]- ^

Por ou t ro lado sabemos que como secccedilotildees 1

mesmo n iacute v e l

85

s c p r v 7 j

28 Z N i ij

= P 2 L23 p67 L67 P 7 ( 1~deg78 )

78 ~ ^g) bull P 7 bull L 910 g_

V - 2 g ( p r L 2 3 - p 6 r L 6 7 - p 7 ( l - atilde 7 8 ) L 7 8 - (l-a9) p L 9 a ( )

y N

Com esse valor de podemos determinar todas as variashy

ccedilotildees de pressatildeo (P^-P )

BIBLIOGRAFIA

- WoR Gambill - Notas de aula dos seminaacuterios realizados no Insshy

tituto de Energia Atocircmica de Sao Paulo em 1966 (roteiro)

- WR Gambill - Nuclear Safety

Vol 9 - n9 5 e 6

Vol 6 - n 2 (pag 152)

Vol 4 -r n9 1 (pag 30)

Volbdquo 5 - n 2 (pag 151)

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~ El Wakil - Nuclear Power

- Jakob Max - Heat Transfer (vol I)

Mc Adams - Heat Transmission

- Paul A Lottes - Argonne National Laboratory

- AKL - 6469

- ANL - 6561

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Frank Kreith - Principles of Heat Transfer

Journeacutees Internationales de la transmission de la chaleur

Seminaacuterios realizados em Paris em 1961 sob a supervisatildeo do

Prof Marcel Veron

Notas de aula da Cadeira de Termodinacircmica I e Transmissatildeo da

Escola Politeacutecnica da Universidade de Sao Paulo

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52

Na figura 1 nos representamos

a) 0 aspecto do escoamento fluido quando a entalpia do

- fluido aumenta Verificamos que o fluido entra no cashy

nal no estado liacutequido e assim permanece ateacute atingirmos a zona de

ebuliccedilatildeo local onde aparecem as primeiras bolhas A entalpia do

fluido continua aumentando e tem inicioa ebuliccedilatildeo franccedila onde as

bolhas se unem formando agregados posteriormente o escoamento to

ma a forma da figura ou seja torna-se anular disperso Finalmente

atingimos duas uacuteltimas fases do escoamento disperso (vapor uacutemido)

e vapor seco

b) A evoluccedilatildeo da temperatura meacutedia do fluido e da tempeshy

ratura da parede Note-se que a partir da cota a

temperatura da parede aumenta brutalmente podendo causar o

burnout

c) A evoluccedilatildeo do tiacutetulo do vapor (x) com o comprimento

do tubo e a evoluccedilatildeo da fraccedilatildeo (a) que definiremos no

item 11laquo2 com o comprimento do tubo

112 - Definiccedilotildees

a) Tiacutetulo ou qualidade do vapor (x)

massa de vapor na mistura x ~ massa total da mistura

x =

W _g_

g f

b) Fraccedilatildeo vazio (void fraction)

volume do vapor na mistura a = volume total da mistura (agua+vapor)

A relaccedilatildeo entre x e a num sistema parado pode ser obtida

assumindo um certo volume contendo 1 lbm de mistura em equiliacutebrio

teacutermicoraquo

53

O volume da mistura seraacute igual a (v + xv ) ft onde v eacute 3 r rg

o volume especifico (lbmft )

f - refere-se ao liquido

g - refere-se ao vapor

fg - refere-se a diferenccedila entre liacutequido e vapor

Numa mistura em equiliacutebrio se o liacutequido e o vapor estatildeo

saturados o volume do vapor presente eacute igual acirc sua massa vezes

seu volume especiacutefico v assim e

xv bdquo bdquo a mdash

V c + XV c

f gf

onde

- bull-bull uumlutiacuteisa vapor na mistura de 1 Ibm

v volume especiacutefico do liacutequido

v = volume especiacutefico do vapor o

V c = v - V

gf 8 r

Fazendo uma transformaccedilatildeo na expressatildeo acima temos

xv xv JS = Z-

v r+ x(v -v c) xv +(l-x)v t ri f g f g f 1 + Ul-x)xjv fv

1 + C(l-x)x]]vfvg

A fraccedilatildeo vazia tem a influencia de baixar a reatividade

do nuacutecleo nos reatores em que o refrigerante eacute tambeacutem moderador

Na equaccedilatildeo acima os valores de x e v sao tomados em tabe

las termodinacircmicas apropriadas para a pressatildeo do sistema A equashy

ccedilatildeo (1) mostra os grandes valores de a para pequenos valores de x

especialmente para baixas pressotildees Isto ocorre porqueaumentando

54

aacute pressatildeo o v decresce muito enquanto que o v f eacute mais ou menos da

mesma ordem de grandeza

Exemplo Calcular o a correspondente para x raquo 2 para aacutegua

leve atilde pressatildeo atmosfeacuterica

Da tabela para p laquobull 1 atm

v - 001672 ft 3lbm e v - 26800 ft 3lbm

1 + [(1-002)002] 001672268

0971 ou 97U

O grafico abaixo mostra a variaccedilatildeo do a com x para vaacuterias

pressotildees e para a aacutegua leve

x ()

tObservaccedilotildees da curva

Fig 2

1 - para x constante a decresce com a pressatildeo Para presshy

sotildees proacuteximas da criacutetica a aproxima-se rapidamente de

x Para a pressatildeo criacutetica as duas fases satildeo indistinguiacuteveis ea=x

2 - para cada pressatildeo dotdx decresce com aumento de x

3 - para baixos valores de x (que e o caso dos reatores

tipo Boiling) quando p decresce dadx cresce e torr

na-se muito grande paacutera baixas pressotildees Isto tem relaccedilatildeo com a epound

55

tabilidade do reator como veremos mais tarde

113 - Sistemas com fluxo

Todas as definiccedilotildees que noacutes vimos no item anterior refeshy

rem-se acirc sistemas em que a mistura esta fechada no recipiente Nes^

te caso natildeo havia movimento relativo entre as duas fases No entan

to se as duas fases da mistura se movem na direccedilatildeo vertical em

canais entre os elementos combustiacuteveis o vapor por causa de sua

flutuaccedilatildeo tem a tendecircncia de escorregar sobre o liacutequido isto e

move-se com velocidade maior do que a do liacutequido

Real Modelo

Pig 3

S -

Define-se neste caso a relaccedilatildeo de escorregamento (slip

ratio) (S) como sendo

V _i

V f

onde

V = velocidade do vapor

= velocidade do liquido

S modifica as relaccedilotildees entre a e x do item anterior S geralmen_

te gt 1 Define-se neste caso qualidade do vapor ou tiacutetulo como

sendo

_ fluxo de massa de vapor

fluxo de massa da mistura

Entatildeo se o fluxo de massa da mistura eacute m t(lbmhr) o flushy

xo de vapor seraacute = x m e o fluxo de liacutequido sera (1-x) m onde x

56

e o titulo do vapor para a particular secccedilatildeo (AL) da figura (3)

Devemos notar que neste caso x varia de secccedilatildeo para secshy

ccedilatildeo do tubo o exposto no paraacutegrafo acima vale considerando-se que

x e a permaneceram constantes na secccedilatildeo de espessura AL

Aplicando a equaccedilatildeo da continuidade as velocidades do va

por e liacutequido sao dadas por

o xm v

V vazatildeo = g g area A

V

(1-x) amp t v f

f A f

onde A e A f sao as aacutereas medias perpendiculares ao fluxo se as

duas fases sao imaginadas completamente separadas uma da outra

(figura 3) Assim temos

V x m v o A_ A v 0 ^ - 2 = iacute S t m _2L- JL JS m

V A (l-x)ui v 1-x A v U

f g t f g f

Sabemos ainda que para a secccedilatildeo considerada

volume do vapor na mistura a = volume total da mistura (agua+vapor)

A AL A pound g g

a = mdash a a = - mdash 1

(A+A )AL A f + g

A ou f _ 1 - a

A a 8

Substituindo em (2) vem

57

Esta expressatildeo pode ser rearranjada e obteremos uma relashy

ccedilatildeo entre x e a levando em conta o escorregamento Chega-se a

a = 1 ( 3 )

1+ [U-x)x3 igt

onde

v 4 laquo -- S

v lty o

Note-se que quando S=l (nao haacute escorregamento) caimos na

expressatildeo dada no item anterior

0 efeito do escorregamento eacute decrescer o valor de a pa_

ra um mesmo xbdquo Isto pode ser visto pela foacutermula (3) pois S gt lLo

go a decresce com acreacutescimo de S

Um alto S e entatildeo uma vantagem tanto para a transferecircnshy

cia de calor como para efeitos de moderaccedilatildeo Eacute uma vantagem para

transferecircncia de calor porque alto S significa alto V e portanto

maior turbulecircncia e maior contato do liquido com as paredes quenshy

tes Ha tambeacutem melhorias na estabilidade da reaccedilatildeo nuclear isto

porque como jaacute dissemos quando mdash7 diminui a estabilidade aumenshy

ta isso pode ser verificado observando a curva a versus x para a

agua leve a 1000 psiabdquo

Fig 4

58

A relaccedilatildeo entre x e a da equaccedilatildeo (3) so vale para secccedilatildeo

de tubo bem pequena

Devemos notar que S varia tambeacutem com a pressatildeo e velocida^

de de entrada do liacutequido no tubo Este efeito pode ser observado na

figura 5 abaxxo obtida esperimentalmente

s

3

~^ ~ psig

x = 001

V 1

Fig 5

Nos projetos de reatores como veremos adiante o valor a

geralmente eacute determinado por consideraccedilotildees nucleares (moderaccedilatildeo) 0

valor de S eacute determinado atraveacutes de uma estimativa ou entatildeo atrashy

veacutes de um graacutefico do tipo da figura 5 0 correspondente valor de x

pode ser obtido de uma foacutermula empiacuterica do tipo

1 = 1 (-S)0gt67

proposta por Von Glahn

Em muitos casos assume-se S constante em todo o comprimeiv

to do canal poreacutem eacute um erro que em muitos casos nao pode ser coshy

metido

4 REATORES EM QUE 0 LIacuteQUIDO B MODERADOR E CIRCUITO PRIMAacuteRIO AO

MESMO TEMPO BOILING-REACTOR (BWR)

A aacutegua ao se movimentar atraveacutes dos vaacuterios canais do

59

Boiling-reactor encontra vaacuterias resistecircncias ao fluxo que provoshy

cam uma reduccedilatildeo de pressatildeo no fluido

As duas perdas mais importantes sao perda de pressatildeo por

atrito e perda de pressatildeo causada pela aceleraccedilatildeo do refrigerante

ao aumentar de volume por receber calor num canal Outras perdas

de pressatildeo seriam a obstruccedilatildeo ao fluxo por corpos submersos (espa_

ccediladores juntas de tubos chaves etc) e por mudanccedilas abruptas de

aacuterea de fluxo tanto na entrada como na saiacuteda do tubo

Essas perdas de pressatildeo devem ser conhecidas o melhor popound

sivel principalmente nos reatores BWR Para tanto devemos saber

o comprimento de canal em que nao ha a ebuliccedilatildeo isto eacute qual o com

primento de canal em que o refrigerante vai da temperatura de sub-

resfriamento ate temperatura de saturaccedilatildeo

Seja o elemento combustiacutevel

Aquecimento Uniforme Aquecimento Senoidal

Fig 6 Fig 7

onde

H =

H = o

H b

comprimento do elemento combustiacutevel

cota onde o liquido se torna saturado

comprimento do elemento combustiacutevel em que ocorre

ebuliccedilatildeo

60

qg = calor sensiacutevel acrescentado ao liquido para satushy

raacute-lo

qfc = calor total acrescentado ao liacutequido em todo o com

primento do canal

laquoo

q s J o qiquest sen (IIzH) n H o

T~ = TH = 2 ( 1 c o s gt ( a )

q 1 sen (HzH) Jo ^c

A expressatildeo (a) vale quando tivermos uma adiccedilatildeo de calor

senoidal para qualquer outra forma de adiccedilatildeo de calor faz-se um

caacutelculo anaacutelogo

Outra relaccedilatildeo entre q g e qfc eacute dada pela termodinacircmica

q h- - h s f m (b)

(hr +x h )-hm ^t f e fg

onde

= entalpia para o liquido saturado a pressatildeo correjs

pondente (cota z = Ho)

hffi = entalpia do liacutequido na entrada do canal

x = tiacutetulo do vapor na saiacuteda

= entalpia do vapor

Com a relaccedilatildeo (b) noacutes determinamos a relaccedilatildeo q q ecom

S L

uma relaccedilatildeo do tipo (a) (conforme seja o adicionamento de calor ao

liacutequido) podemos obter a relaccedilatildeo HoH e consequentemente H^H

21 - Perda de pressatildeo num canal de evaporaccedilatildeo

Neste item iremos determinar as perdas de pressatildeo mais

representativas que ocorrem num canal de evaporaccedilatildeo de um reator

P + dP

bull1 i- 1 gti i i

dL

onde

UM

Icirc H Icirc Icirc T dF f t f

61

Quantidade de Mov na Entrada

= i- rigVg)

dF f l

Fig 8

m i

m 8

V l V 8

A P

dF

dF

dF

fg

fl

ftf

descarga do liacutequido

descarga do vapor

velocidade do liquido

velocidade do vapor

aacuterea transversal do canal

forccedila de atrito do vapor com parede

forccedila de atrito do liacutequido com parede

forccedila de atrito das duas fases liacutequido+vapor

Fazendo o balanccedilo das forccedilas considerando o sentido posjL

tivo na vertical temos

A (P-P-dP)-(dF +dF _+dF _)-(-pound-) (p A+p A )dL = mdash dGnV+m V ) P fg ftf fl g c 1 1 g g g c

v 1 1 g g 7

- dP = ~ (dF +dF--+dF)+- S--7=- (p A+p A )dL+ mdash ~ - d (m-V+m V ) A_ fg ftf fl g c Ap v^l 1 g g g A 11 g g

Fazendo a integraccedilatildeo termo a termo entre os dois extreshy

mos entrada e saiacuteda e considerando a pressatildeo de entrada igual a

P q e a de saiacuteda igual a Pe vem

Quantidade de Mov na Saiacuteda

-= h I- lY l+ A g V g + d ( aacute l V l + aacuteeVl

Forccedila de Gravidade

= ( g f - N P A + P g V

62

b) r e F f l

o p dp^ = Ap^ = perda de pressatildeo por atrito

do liacutequido na altura Ho

Aplicando a formula de Darcy vem

bull API = f bull ir bull ^ iexcl 7

onde

f = fator de atrito

c) e Fftf

o p ^P tpound

= perda de pressao por atrito da mistura

liquido + vapor no trecho de comprimen

to Hbdquo o

Para determinar esta perda de pressao define-se o fator

de multiplicaccedilatildeo R

A P R =

tf A P 1B

Sendo A p ^ a perda de pressao se o comprimento todo fosshy

se ocupado somente pelo liquido assim

A p t f = R A P 1 B

0 calculo de Ap-^ pode ser feito pela formula de Darcy e

o de R nos veremos no item seguinte

63

d)

-e F

d ( ^ )

O P

Ap = perda de pressatildeo por atrito do vapor

No caso do reator BWR o titulo de saida e bera pequeno e

em nenhum caso ocorre a saida de vapor com x = 100 logo a perda

de pressatildeo por atrito do vapor eacute nula assim

An = 0 5

e) Ap

(p A 1 + p A ) dL = Ap - perda de pressatildeo dpound

vida ao desniacutevel

(perda hidrostaacutetica)

Anbdquo = re A A

-S- I (p + p -S ) dL H s 1 A

c o p o A

como A A Jl_ =

A P

A +A-g 1

1-a -

temos

C Q

te j jll-a)p1 + apg)^jdL = p Lo pound

onde

e jo u

+ ap ) ~I dL (Densidade media 1 S J

no tubo)

No nosso caso

Ap u = p H

f)

re d(mV + m V ) _ mdash - laquo -i bull s iquestp laquos p e r d a ltje pressatildeo devido a acele-

c p raccedilatildeo do vapor

V A

(1-x) tl^Vj

(1-a) A

X V

aA

A p -

roV + m V

c p c p L_

m (l-x)m_v m xv nbdquo -1 T 1

+ _S S I (1-a) Ap aA

P

2 g A c p

n 2 2

(1-x) m T

laquo2 8 A c p

2 2 (l-xe) raTv1

2 2 2 xm_v (1-x) m-v e T s o 1 1

a 1 - a

2 2 - x m_v o T g

a

se

X Q 0 (so ha agua nesse trecho)

a = 0 o

temos

mbdquo Ap =

1 a A 2

S A degc p laquo-

tt-V v i 1 - a

2 via T^r - v i

t Apc

2

V v l

5c Ap

1 - a

x v - 1

a e v l

65

Fazendo

G = fluxo total da massa por unidade de area do

canal

(1-x J e

V

AP r

Assim a perda de pressatildeo total sera

H p V II pV r2 P -P = f -24-Iuml+ f R+p 0 1 2g c D e 2g c g c g c

2c2 - Determinaccedilatildeo do fator de multiplicaccedilatildeo (R)

221 - Relaccedilatildeo Martinelli-Nelson

Os autores Martinelli-Nelson determinaram experimental -

te esse fator R para varias LIT1L em funccedilatildeo da pressatildeo e da r NB total J v

qualidade de saiacuteda do vapor no canal Construiacuteram assim vaacuterias

curvas do tipo da figura 9

66

E importante notar que a qualidade do vapor (x) na saiacuteshy

da nao deve ser grande pois como vemos o valor de R cresce muishy

to com um aumento pequeno de x e um valor de R muito grande acar_

reta uma perda de pressatildeo grande pois

^ d u a s fases R ^ f a s e liacutequida

Para resolvermos um problema seguindo o criteacuterio de bdquo

Martinelli escolhemos a curva R = f(px) (para a relaccedilatildeo L

N g ^ j

adequado) e tiramos R com os valores de pressatildeo p e tiacutetulo x

As curvas R = f (p x L T t )IO encontram-se nos ANL 6469 bio I

e 6561

222 - Relaccedilatildeo Lottes-Flinn

Estes autores estudaram o problema para o aquecimento uni

forme do refrigerante com baixo titule Lottes-Flinn fizeram inuacuteshy

meras experiecircncias e verificaram que para fluxo de calor uniforshy

me e baixos titulos R era independente do fluxo de calor fluxo

do refrigerante escorregamento e apenas funccedilatildeo de a g

Como a quantidade de liacutequido eacute muito maior que a de vashy

por a perda de pressatildeo daacute-se principalmente pelo atrito do liacuteshy

quido com a parede Podemos assim escrever a foacutermula de Darcy

na forma diferencial

dz

d = f __ r e amp c

onde

V = velocidade do liquido saturado na cota zbdquo X

f = coeficiente atrito

= densidade do liacutequido saturado

Teoricamente a queda de pressatildeo deve-se ao acreacutescimo de

67

velocidade do liacutequido e da diminuiccedilatildeo da aacuterea de fluxo do liacutequi

do

P fH A P t p

= f D 2g Ho

d z

fazendo

V lo

m V t lo

(velocidade do liacutequido na cota z = Ho)

(1-x) m t v 1

(1-a) A (velocidade do liacutequido na cota z gt Ho)

a bull+ fraccedilatildeo vazio na cota z geneacuterica

V 1 (1-x) m t v 1

m t V l 1 - a

x =s 0 pois o tiacutetulo eacute baixo

A p t f = f bull JT5 c e

fH V lo

H o (1-a) dz

Para fazer a integral devemos achar a relaccedilatildeo de variaccedilatildeo

entre a e z Como o fluxo de calor eacute uniforme a qualidade eacute direshy

tamente proporcional a z

bull laquo x = x e H

z = mdash x X e

Sabemos ainda que (item 113)

x

1 + [ ( I -X)AKQ x + iiacuteraquo

68

como

temos

(1-x) = 1

v

X =

z =

1-a

1 -a

1-a e

a

e

1-a pound

a

1 -a igt (assumindo S = cte)

da

Atf - f bull 2 i ^ ~ J c e o

a 1 - a e e 1 s 4 hmdash) da

a 1-a

f P lv^ Q

0 termo mdash - mdash e a parte de perda de pressatildeo pelo lj^

^c e -quido ou seja Ap liquido saturado e como

Ap

R = tf

Ap liauido saturado

temos que

R J

f ae 1 _ a e 1 4

a 1 -a o e

1 -a r-R =

3 1 -a

a 1 -a imdash

3 vl - a 3

e e

Os valores de R obtidos por esta expressatildeo aproximam-se

muito dos valores obtidos pelos aacutebacos de Martinelli

69

E - EXPANSAtildeO E COMPRESSAtildeO DE UM FLUIDO - ANAacuteLISE HIDRODINAcircMICA

DE UM CIRCUITO EM CIRCULACcedilAtildeO NATURAL

1 EXPANSAtildeO NO FLUXO DE UM FLUIDO

11 - Uma so fase

Figura 1

Ha vaacuterios meacutetodos para determinar a variaccedilatildeo de pressatildeo

numa expansatildeo de fluido estudaremos o de Romie que eacute o que daacute

maior precisatildeo

Romie considera que a pressatildeo p^ tambeacutem atua na aacuterea

imediatamente apos a expansatildeo Assim fazendo o equiliacutebrio das foi

ccedilas nas secccedilotildees tracejadas da figura 1 temos

mVj

p r A 2 + mdash

mV

bull 2- A2

mas

m = pV^A^

pV^A = p V 2 bdquo A 2

V A

v 2 -4r-logo

( P l-P 2) A 2 = f ( V ^ ) - f _ v j amp c c 2

70

2 pV A A pV A A

Chamando A l A ]

K = 1 - T e degi2 = Aiexcl bull V E M

pvj

P l P 2 = T ~ bull ( 2 deg 1 2 ) ( 1 _ a 1 2 )

Outra maneira de chegar atilde diferenccedila de pressatildeo ( P j - ^ ) s mdash

ria usar o coeficiente de perda da mecacircnica dos fluidos Assim o

equilibrio das pressotildees eacute

2 2

1 V l 1 V 2 V l P i + _ p _ ^ P 2 + I p ~ + k 1 2 p mdash

onde = coeficiente de perda

A 2 1 2

k 1 2 - (l-o 1 2) - (1 - j- )

Fazendo as transformaccedilotildees chegamos a mesma expressatildeo obshy

tida pelo balanccedilo das forccedilas

PraquoIacute pr p

2 - - ir ^ laquo-ia

12 - Duas fases

Como ha duas fases a equaccedilatildeo do balanccedilo das forccedilas fica

um pouco alterada

m pound 1 V- m - raquoV - m-V- m bdquoV _ P A + j y ^ i + _gl_JUuml P A + -11-11 + -ilsl (a)

1 2 e R 2 2 ff e

Sabendo que

71

m (1-x) m t = p fA (1-a) V f

entatildeo

fl l-o^ p fA x

6 Vf2 1-x l-a2 P fA 2

m V = mdash mdash e V 0 = gl a 1 P C T A 1 g2

m

a_ p h

2 g 2

Nas expressotildees anteriores o x nao varia porque a expansatildeo

5 adiabaacutetica porem o a varia devido a modificaccedilatildeo do tamanho da

bolha

Substituindo os valores das velocidades na expressatildeo (a)

vera

( P - P ) Abdquo =

2

2 2 m gt2 2 m t (1-x) 1 x t

ra i 2 m i 1 x t 1

p fA 1 g c ttl p Ax gpound

m t P - P = mdash

(1-x) (l-a 1)A 1A 2 (l-a2)A|

a r A r A 2

V A 2

m t P bdquo - P = mdash 2 1 g c A r A 2 p f

(1-x) 1-a f A 2(l-a 2)

bull ^ 2

72

Se

P -P

a

m

g

12

1 _1_ (1-x)

J12

1 _ a l 1 - a 2 + X (- )

Pg

1 deg12 a 2 ^

Sabemos que

mt = V o pf laquo A l

Sendo V q = velocidade do liquido num ponto onde natildeo haja vapor

P 2-P 1

u 2 2 A 2

V pr Ai

V W p f

(1-x) 12

l-a1 l-a2

+ X 2 pf

mdash

l deg12

-1 a 2 _

p -p r 2 Al (2a 1 2)

2 M f w 1 deg12 X (mdash) (

pg al a 2 )+(l-x)C l 1 12

1-a^ l-a2

Devemos notar que esta expressatildeo tambeacutem vale para quando

temos uma fase para isso basta fazer

= c t 2 = 0

X = 0

e recairemos na formula do item anterior

2 pf 1 deg12 Observemos que neste caso o termo x (mdash)( ) nao

Pg al a2

2

73

tem significado pois corresponde a mudanccedila de fase

2 CONTRACcedilAtildeO KO FLUXO DE UM FLUIDO

21 - Uma so fase raquo mdash

Aqui ocorre um fenocircmeno importante pois o fluido ao ser

contraiacutedo nao vai diretamente da area A^ para a area A 0 mas ele

contral-se ate uma area A^ e depois expande-se ate k^

Ao A2

Po IP 2

V 2

Figura 2

Fazendo o equiliacutebrio das pressotildees entre os planos (1)

(0) vem 2 2

pV pV p +~ plusmn - P + i deg bull 1 2 g o 2 g (b)

C x

Fazendo equiliacutebrio da expansatildeo (0) - (2) vem

P o + 2 - f = P 2 + 2 -T + kp- 2 F ( c )

c c b C

Subtraindo (b) - (c)

2 2 2

i p- vj i p- v2 L P l + 2 bull g c

P 2 + 2 2g c

+ k P 2g c

74

Como

P - P = mdash 2 2g

2 2

bull (1 + k) - f bdquo mdash i

k a - f2 ) 2 - d - o c )2

= o

A = a 21

Weisback obteve varias relaccedilotildees entre a e a i] c

01 02 03 a 0624 0632 0643 c

0624 0632

A r v i - V v 2

p -p 1 2

P -P 1 2 2g7

v l =

(1+k) - laquofi- a 2g 21 c

( 1 + k - o 2 1)

X[- V 2 o 2 1V 2

22 - Duas fases

0 valor de k pode ser aproximado para

k = a(l - o 2 1)

onde segundo Richardsons para fluxo de duas fases podemos supor

a = 02

Para fluxo homogeacuteneo sabemos que

75

p = p f (1 -a ) + p o a

podemos supor p bdquo a = 0 pois p e pequeno e fazendo

V = V ~ V fbdquo2 go2 v 2

Substituindo estas duas expressotildees na equaccedilatildeo de uma soacute fase vem

2 2 p V (l-ct) p V (1 -a ) bdquo

P l P 2 = 9g ( 1 + 3 - 3 0 ^ - 0 ^ ) = g (a+1) (l-a^)

Se a = 02

2 12p oV 0

p r p

2 - 9g gt d-) d-sigt

A compressatildeo de um fluido acarreta uma perda de pressatildeo

como pode ser verificado pelas formulas uma vez que lt 1deg

3 ANALISE HIDRODINAcircMICA DE UM CIRCUITO EM CIRCULACcedilAtildeO NATURAL

Esquema deacute uma caldeira com circulaccedilatildeo natural

76

Determinar a velocidade em (7) para que tenhamos circula

ccedilatildeo natural Determinar tambeacutem as perdas de pressatildeo em todos os

trechos da caldeira

31 - Contraccedilatildeo das secccedilotildees (1) - (2)

Como jaacute vimos a equaccedilatildeo do balanccedilo das pressotildees eacute

1 pr Vl 1 p 2 o V 2 P2 V2

1 2 g 2 + 2 g + K12 2g otilde c amp c e c

bullraquo 2 o2 2 e havendo uma soacute fase k 1 9 = (l-o ) = (1 mdash ) e sendo

C 2

p l = p2

v x lt lt lt v 2

P 2 V pr p2 bull ir2 bull ( 1 + k12gt

Colocando em termos de temos

A 2 V 2 P 2 = A 7 V 7 p 7 (continuidade)

V = V mdashbull = V o_bdquo ~ A 2 2 2

P 2 V - p 2

p r p 2 = ir2 - deg72 bull Ccedilrgt bull lt 1 + ki2gt

fazendo

N12 - lt^gt deg72 ( 1 + k12gt

P7 V7

Pr P2 - N12 bull HG

77

3 2 - Perda de carga no trecho ( 2 ) - ( 3 )

Como haacute apenas uma fase soacute temos perdas por atritos e

perdas hidrostaacuteticas

Sendo como jaacute vimos

2 3 p 2 2 g P 2 P 3 = f 2 3 (r~2g^~) L 2 3 g c p

atrito hidrostaacutetica

Substituindo V^ pela relaccedilatildeo do item anterior e tendo em

conta que p = vem

P -P = f 2 r 3 2 3 D

2 3 p 2 bdquo 2 2 p 7 2

2 g 7 72 p 2 3 g

Se

L 2 3 2 p 7

2 3 2 3 D 2 a 7 2 p 2

P 7 V 7 g P 2 - P 3 = N 2 3 ( mdash gt p 2 L 2 3 f

3 3 - Expansatildeo nas secccedilotildees ( 3 ) - ( 4 )

Como vimos o balanccedilo das pressotildees e

2 2 2 p V p 4 V p V

P 3 + 2 g c

P 4 + 2 g c

+ k 3 4 2 g c

onde

k 3 4 - - -

2 2 1 P 4 - V 4 P 3 v 3

P 3 P 4 = 2 g + ( k 3 4 _ 1 ) 2 g

78

Sendo

P 3 - P 4

p 3 o A 3 deg V 3 = P 7

a A 7 o V 7

P 4A 4 0V 4 = P r A r V

3 7 A 3 p 3

A7 P7 V = v mdash mdash 4 7 P 4

P - P 3 r4

Se

P bdquo - P

bdquo2 r-P 7 V 7

3 4 2g deg74 + ( k 3 4 1 ) deg73

34 p deg74 + ( k 3 4 1 ) 73

p r v2

P3- P4 ^ N34 ^ gt

(No caso e negativo)

34 - Contraccedilatildeo nas secccedilotildees (5) - (6)

Ainda temos uma so fase e fazendo o balanccedilo das pressotildees

como fizemos no item 3lt1 vem

P + vil p + vi + k vi P 5 + 2gbdquo P6 + 2gbdquo + k56 2gbdquo

k 5 6 lt 1 ^ gt 2 ( 1 - Iacute 2 i 2 6

V V6 P5degIacute 5^6 ^SS 2g c - 2g c

P - P ^ = (1+kJ

Como

79

A 6

W p 5 =

VV P6 V 5 = V 6 Jiexcl = Vff65

P 5-P 6 - lt H k 5 6 ) mdash ^ mdash (l+k 5 6-a 6 5) c c c

Sendo

Se

A 7 p 7 p 7

6 7 Ag p 6 7 76 p 6

p _p _ P6- V7- g76 iquest72 ( _ 02 P 5 P 6 2g c bull ( p 6

( 1 + k 5 6 deg65 )

p 7 2 2 N56 = p ^ deg76 ( 1 + k 5 6 ~ a 6 5 )

P 7 V 2

7

P r-P = N r 5 6 56 2g c i

35 - Perdas de pressatildeo nas zonas (6) - (7) - Pre^aquecimento

Nesta regiatildeo temos perdas por atrito e hidrostaacuteticas

Nao haacute perda por aceleraccedilatildeo pois ainda natildeo houve formaccedilatildeo de boshy

lhas

Fazendo balanccedilo das pressotildees temos

L_ ppound-V p = p + otilde L - pound _ + f -Si (-21mdashL 6 7 + p67 L67 g + t 6 7 D K 2g

p _ e ifn sao tomados como valores meacutedios 67 67

P _p _ f hl ^67jIacute uuml + - L A

6 F 7 r67 D 2g P P67 L67 g 6 s c 7 c

S e Kr pound67 L67 p67 6 7 D 6 p7

p7 V - _g_ P6- P7 - N67 mdash + P67 L67 f

c c

80

36 - Perda de pressatildeo nas zonas (7) - (8) - Zona de ebuliccedilatildeo

Nesta regiatildeo j aacute temos o aparecimento de bolhas logo a

perda de pressatildeo seraacute devida agraves t recircs parcelas aceleraccedilatildeo a t r i t o

das duas fases liacutequidas + vapor e h idros taacute t ica

onde

Assim

P-P Q = AP + AP + APbdquo 7 8 a t r i t o acel H

T M1

78 p 7 7 AP - R f- - mdash mdashr |R = fator mult ipl ica-

a t r i t o 7 D 7 2 g c L tivo

G 2

AP bull r mdash acel g c

P V

|_1 - o a p J 8 P f

2 t r 2 M2

7 7 r 7 7 A P a c e l = -J^mdash 2 r bull p 7 lt T iexcl iexcl - )

A PH p 7 8 L 7 8 fiexcl

p 7 8 iacute 7 li 1 0 0 P l i q + a P v ] d L = P 7 ( 1 - laquo 7 8 )

ag raquo fraccedilatildeo de vazio media entre 7 e 8

APH = p (1 - 5 7 g ) f- L 7 8

2 2

P 7 - P 8 a 5 - 2 T i + 2 r p 7 + P 7 ( 1 - 7 8 gt f L 7 8 7 amp c amp c amp c

81

N 7g = R mdash + 2 r p 7

P7 V7 P7- P8 = N78 + P 7 ( 1 5 7 8 gt J78

37 - Expansatildeo nas secccedilotildees 8 e 9

No caso haacute uma expansatildeo com duas fases e como vimos no

item 12 a variaccedilatildeo de pressatildeo era dada por

0f Vo P2 P1 = ~2g c ( 2 deg12

x 2 (mdash)(mdash - mdash ) + ( l - x ) 2 ^ T mdash 8 1 2 1

12

Aplicando ao nosso caso

P pound = P 7

P -P = 8 9

V - V raquo V g f 7

P 7 V 2

2 pf 1 a89 2 1 g89 x (mdash) ( ) + (1-x) (- - N

o ou abdquo 1-cu l-ot_) g 8 9 8 9

Se

N 89

= 2 a 89

2 pf 1 deg89 2 1 CT89 x (mdash) ( ) + (1-x) ( T

g 8 9 8 9

P -P = 8 9

- N P7deg V7

89 2gbdquo

38 - Perda de pressatildeo no trecho 9 e 10

No referido trecho temos apenas perda de pressatildeo por atr L

to da fase liacutequido + vapor e perda hidrostaacutetica Natildeo haacute perda por

aceleraccedilatildeo do vapor pois este natildeo recebe mais calor e portanto

o 82 o

nao ha variaccedilatildeo no a

p

Q -p i n = A P

U + A P bull 9 10 H atrito

n T -S_ P9 U10 deg 910 bull g

fio r

910 I 910

J9 L

(l- a)P + Q P I dL liq v

(l-a0) p

No caso a = (nao hatilde variaccedilatildeo de forma)

A P H - (1-a ) P (p L 0

c

AP bdquo = R o

atrito

2 f9 o L910 P9 V9

2g

Supondo

= V

P 9 = P 8 P 7

vbdquo = v 9 8 0 A r

= V 7 bull deg89

AP - R atrito

2 2

W l O p7deg V7deg g89

V P10 R -^T^ bull deg89 bull li-2 + ( W P 7 (fgt SIO

y c c

Se

- f9 L910 2 N9ol0 R Dl deg89

w 2

p rv P9 P10 = VlO + ( 1 a 9 ) p7 (f gt L910 c

33

39 - Perda ciacutee pressatildeo na expansatildeo 9 - 1 0

Analogamente a expansatildeo 8 - 9 temos

10 11 P 7 2g

10 Iacute 2 0 1 0 - 1 1 gt

2 ff

pg aio

10-11

laquo11 ) +

Ll-a 1 0 bull l-a u J

Se

V10 = V 9 = V 8 bull T9 = V 7 deg89

P -P 10 rll = - a 2g 089 ^lO-ll

4 bull T~ bull (7 1 mdash ) + Pg degio a n

+ (l-x)2(- 1 10-11

1 - aio )

N10-ll = 2 a10-ll a89 2 pf t 1 10-11 N2

-(j-r- - ) bull+ (1-x) pg aio deg 1

10-11 k l - a io

prz P10 Pll = - N10-ll bull ( 2gbdquo

310 - Calculo de V

Fazendo a somatoacuteria de todas as expressotildees (P^-Pj) tere-

84

mos 2 PbdquoV_

P bdquo - P bdquo = N 7 v 7

1 2 12 2g

bull 2 - P 3 - = N 2 3 P 2 L 2 3 f c ccedil

9 P 7 V 7 P _p = N mdash -

3 4 34 deg 2g

V P 5 = deg

2 P V

5 6 56 2 g c

ltr2

P 7 -V 6 e7 -N67 2g + p 6 7 J j67 g

c bc v 2

P 7 - P 8 = N 7 8 - 2 i ~ + p 7 ( 1 - laquo 7 8 ) L 7 8 c

P 7 V 7

P - P - -N mdash - -8 9 89 2g

c P 7 V 7

P 9 ~ P 1 0 VlO 2g + ( 1 a 9 P 7 L 9 c

P 7 V 7

bull10 11 U10-ll 2g

P v iacute j P - P

1 11

7 - v 7 3 bull r

2 8 i U L 2 23 67

(l-5 7 8) L 7 8 + ( l - laquo 9 ) P 7 bull SlOtilde]- ^

Por ou t ro lado sabemos que como secccedilotildees 1

mesmo n iacute v e l

85

s c p r v 7 j

28 Z N i ij

= P 2 L23 p67 L67 P 7 ( 1~deg78 )

78 ~ ^g) bull P 7 bull L 910 g_

V - 2 g ( p r L 2 3 - p 6 r L 6 7 - p 7 ( l - atilde 7 8 ) L 7 8 - (l-a9) p L 9 a ( )

y N

Com esse valor de podemos determinar todas as variashy

ccedilotildees de pressatildeo (P^-P )

BIBLIOGRAFIA

- WoR Gambill - Notas de aula dos seminaacuterios realizados no Insshy

tituto de Energia Atocircmica de Sao Paulo em 1966 (roteiro)

- WR Gambill - Nuclear Safety

Vol 9 - n9 5 e 6

Vol 6 - n 2 (pag 152)

Vol 4 -r n9 1 (pag 30)

Volbdquo 5 - n 2 (pag 151)

- WRo Gambill - Chemical Eng Prog ndeg 54 (Outubro)

~ El Wakil - Nuclear Power

- Jakob Max - Heat Transfer (vol I)

Mc Adams - Heat Transmission

- Paul A Lottes - Argonne National Laboratory

- AKL - 6469

- ANL - 6561

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Frank Kreith - Principles of Heat Transfer

Journeacutees Internationales de la transmission de la chaleur

Seminaacuterios realizados em Paris em 1961 sob a supervisatildeo do

Prof Marcel Veron

Notas de aula da Cadeira de Termodinacircmica I e Transmissatildeo da

Escola Politeacutecnica da Universidade de Sao Paulo

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Page 57: ALGUNS PROBLEMAS DE HIDRODINÂMICA E CONVECÇÃO DE … · alguns problemas de hidrodinÂmica e convecÇÃo de calor em reatores de potÊncia, segundo aulas do ... b - convecÇao

53

O volume da mistura seraacute igual a (v + xv ) ft onde v eacute 3 r rg

o volume especifico (lbmft )

f - refere-se ao liquido

g - refere-se ao vapor

fg - refere-se a diferenccedila entre liacutequido e vapor

Numa mistura em equiliacutebrio se o liacutequido e o vapor estatildeo

saturados o volume do vapor presente eacute igual acirc sua massa vezes

seu volume especiacutefico v assim e

xv bdquo bdquo a mdash

V c + XV c

f gf

onde

- bull-bull uumlutiacuteisa vapor na mistura de 1 Ibm

v volume especiacutefico do liacutequido

v = volume especiacutefico do vapor o

V c = v - V

gf 8 r

Fazendo uma transformaccedilatildeo na expressatildeo acima temos

xv xv JS = Z-

v r+ x(v -v c) xv +(l-x)v t ri f g f g f 1 + Ul-x)xjv fv

1 + C(l-x)x]]vfvg

A fraccedilatildeo vazia tem a influencia de baixar a reatividade

do nuacutecleo nos reatores em que o refrigerante eacute tambeacutem moderador

Na equaccedilatildeo acima os valores de x e v sao tomados em tabe

las termodinacircmicas apropriadas para a pressatildeo do sistema A equashy

ccedilatildeo (1) mostra os grandes valores de a para pequenos valores de x

especialmente para baixas pressotildees Isto ocorre porqueaumentando

54

aacute pressatildeo o v decresce muito enquanto que o v f eacute mais ou menos da

mesma ordem de grandeza

Exemplo Calcular o a correspondente para x raquo 2 para aacutegua

leve atilde pressatildeo atmosfeacuterica

Da tabela para p laquobull 1 atm

v - 001672 ft 3lbm e v - 26800 ft 3lbm

1 + [(1-002)002] 001672268

0971 ou 97U

O grafico abaixo mostra a variaccedilatildeo do a com x para vaacuterias

pressotildees e para a aacutegua leve

x ()

tObservaccedilotildees da curva

Fig 2

1 - para x constante a decresce com a pressatildeo Para presshy

sotildees proacuteximas da criacutetica a aproxima-se rapidamente de

x Para a pressatildeo criacutetica as duas fases satildeo indistinguiacuteveis ea=x

2 - para cada pressatildeo dotdx decresce com aumento de x

3 - para baixos valores de x (que e o caso dos reatores

tipo Boiling) quando p decresce dadx cresce e torr

na-se muito grande paacutera baixas pressotildees Isto tem relaccedilatildeo com a epound

55

tabilidade do reator como veremos mais tarde

113 - Sistemas com fluxo

Todas as definiccedilotildees que noacutes vimos no item anterior refeshy

rem-se acirc sistemas em que a mistura esta fechada no recipiente Nes^

te caso natildeo havia movimento relativo entre as duas fases No entan

to se as duas fases da mistura se movem na direccedilatildeo vertical em

canais entre os elementos combustiacuteveis o vapor por causa de sua

flutuaccedilatildeo tem a tendecircncia de escorregar sobre o liacutequido isto e

move-se com velocidade maior do que a do liacutequido

Real Modelo

Pig 3

S -

Define-se neste caso a relaccedilatildeo de escorregamento (slip

ratio) (S) como sendo

V _i

V f

onde

V = velocidade do vapor

= velocidade do liquido

S modifica as relaccedilotildees entre a e x do item anterior S geralmen_

te gt 1 Define-se neste caso qualidade do vapor ou tiacutetulo como

sendo

_ fluxo de massa de vapor

fluxo de massa da mistura

Entatildeo se o fluxo de massa da mistura eacute m t(lbmhr) o flushy

xo de vapor seraacute = x m e o fluxo de liacutequido sera (1-x) m onde x

56

e o titulo do vapor para a particular secccedilatildeo (AL) da figura (3)

Devemos notar que neste caso x varia de secccedilatildeo para secshy

ccedilatildeo do tubo o exposto no paraacutegrafo acima vale considerando-se que

x e a permaneceram constantes na secccedilatildeo de espessura AL

Aplicando a equaccedilatildeo da continuidade as velocidades do va

por e liacutequido sao dadas por

o xm v

V vazatildeo = g g area A

V

(1-x) amp t v f

f A f

onde A e A f sao as aacutereas medias perpendiculares ao fluxo se as

duas fases sao imaginadas completamente separadas uma da outra

(figura 3) Assim temos

V x m v o A_ A v 0 ^ - 2 = iacute S t m _2L- JL JS m

V A (l-x)ui v 1-x A v U

f g t f g f

Sabemos ainda que para a secccedilatildeo considerada

volume do vapor na mistura a = volume total da mistura (agua+vapor)

A AL A pound g g

a = mdash a a = - mdash 1

(A+A )AL A f + g

A ou f _ 1 - a

A a 8

Substituindo em (2) vem

57

Esta expressatildeo pode ser rearranjada e obteremos uma relashy

ccedilatildeo entre x e a levando em conta o escorregamento Chega-se a

a = 1 ( 3 )

1+ [U-x)x3 igt

onde

v 4 laquo -- S

v lty o

Note-se que quando S=l (nao haacute escorregamento) caimos na

expressatildeo dada no item anterior

0 efeito do escorregamento eacute decrescer o valor de a pa_

ra um mesmo xbdquo Isto pode ser visto pela foacutermula (3) pois S gt lLo

go a decresce com acreacutescimo de S

Um alto S e entatildeo uma vantagem tanto para a transferecircnshy

cia de calor como para efeitos de moderaccedilatildeo Eacute uma vantagem para

transferecircncia de calor porque alto S significa alto V e portanto

maior turbulecircncia e maior contato do liquido com as paredes quenshy

tes Ha tambeacutem melhorias na estabilidade da reaccedilatildeo nuclear isto

porque como jaacute dissemos quando mdash7 diminui a estabilidade aumenshy

ta isso pode ser verificado observando a curva a versus x para a

agua leve a 1000 psiabdquo

Fig 4

58

A relaccedilatildeo entre x e a da equaccedilatildeo (3) so vale para secccedilatildeo

de tubo bem pequena

Devemos notar que S varia tambeacutem com a pressatildeo e velocida^

de de entrada do liacutequido no tubo Este efeito pode ser observado na

figura 5 abaxxo obtida esperimentalmente

s

3

~^ ~ psig

x = 001

V 1

Fig 5

Nos projetos de reatores como veremos adiante o valor a

geralmente eacute determinado por consideraccedilotildees nucleares (moderaccedilatildeo) 0

valor de S eacute determinado atraveacutes de uma estimativa ou entatildeo atrashy

veacutes de um graacutefico do tipo da figura 5 0 correspondente valor de x

pode ser obtido de uma foacutermula empiacuterica do tipo

1 = 1 (-S)0gt67

proposta por Von Glahn

Em muitos casos assume-se S constante em todo o comprimeiv

to do canal poreacutem eacute um erro que em muitos casos nao pode ser coshy

metido

4 REATORES EM QUE 0 LIacuteQUIDO B MODERADOR E CIRCUITO PRIMAacuteRIO AO

MESMO TEMPO BOILING-REACTOR (BWR)

A aacutegua ao se movimentar atraveacutes dos vaacuterios canais do

59

Boiling-reactor encontra vaacuterias resistecircncias ao fluxo que provoshy

cam uma reduccedilatildeo de pressatildeo no fluido

As duas perdas mais importantes sao perda de pressatildeo por

atrito e perda de pressatildeo causada pela aceleraccedilatildeo do refrigerante

ao aumentar de volume por receber calor num canal Outras perdas

de pressatildeo seriam a obstruccedilatildeo ao fluxo por corpos submersos (espa_

ccediladores juntas de tubos chaves etc) e por mudanccedilas abruptas de

aacuterea de fluxo tanto na entrada como na saiacuteda do tubo

Essas perdas de pressatildeo devem ser conhecidas o melhor popound

sivel principalmente nos reatores BWR Para tanto devemos saber

o comprimento de canal em que nao ha a ebuliccedilatildeo isto eacute qual o com

primento de canal em que o refrigerante vai da temperatura de sub-

resfriamento ate temperatura de saturaccedilatildeo

Seja o elemento combustiacutevel

Aquecimento Uniforme Aquecimento Senoidal

Fig 6 Fig 7

onde

H =

H = o

H b

comprimento do elemento combustiacutevel

cota onde o liquido se torna saturado

comprimento do elemento combustiacutevel em que ocorre

ebuliccedilatildeo

60

qg = calor sensiacutevel acrescentado ao liquido para satushy

raacute-lo

qfc = calor total acrescentado ao liacutequido em todo o com

primento do canal

laquoo

q s J o qiquest sen (IIzH) n H o

T~ = TH = 2 ( 1 c o s gt ( a )

q 1 sen (HzH) Jo ^c

A expressatildeo (a) vale quando tivermos uma adiccedilatildeo de calor

senoidal para qualquer outra forma de adiccedilatildeo de calor faz-se um

caacutelculo anaacutelogo

Outra relaccedilatildeo entre q g e qfc eacute dada pela termodinacircmica

q h- - h s f m (b)

(hr +x h )-hm ^t f e fg

onde

= entalpia para o liquido saturado a pressatildeo correjs

pondente (cota z = Ho)

hffi = entalpia do liacutequido na entrada do canal

x = tiacutetulo do vapor na saiacuteda

= entalpia do vapor

Com a relaccedilatildeo (b) noacutes determinamos a relaccedilatildeo q q ecom

S L

uma relaccedilatildeo do tipo (a) (conforme seja o adicionamento de calor ao

liacutequido) podemos obter a relaccedilatildeo HoH e consequentemente H^H

21 - Perda de pressatildeo num canal de evaporaccedilatildeo

Neste item iremos determinar as perdas de pressatildeo mais

representativas que ocorrem num canal de evaporaccedilatildeo de um reator

P + dP

bull1 i- 1 gti i i

dL

onde

UM

Icirc H Icirc Icirc T dF f t f

61

Quantidade de Mov na Entrada

= i- rigVg)

dF f l

Fig 8

m i

m 8

V l V 8

A P

dF

dF

dF

fg

fl

ftf

descarga do liacutequido

descarga do vapor

velocidade do liquido

velocidade do vapor

aacuterea transversal do canal

forccedila de atrito do vapor com parede

forccedila de atrito do liacutequido com parede

forccedila de atrito das duas fases liacutequido+vapor

Fazendo o balanccedilo das forccedilas considerando o sentido posjL

tivo na vertical temos

A (P-P-dP)-(dF +dF _+dF _)-(-pound-) (p A+p A )dL = mdash dGnV+m V ) P fg ftf fl g c 1 1 g g g c

v 1 1 g g 7

- dP = ~ (dF +dF--+dF)+- S--7=- (p A+p A )dL+ mdash ~ - d (m-V+m V ) A_ fg ftf fl g c Ap v^l 1 g g g A 11 g g

Fazendo a integraccedilatildeo termo a termo entre os dois extreshy

mos entrada e saiacuteda e considerando a pressatildeo de entrada igual a

P q e a de saiacuteda igual a Pe vem

Quantidade de Mov na Saiacuteda

-= h I- lY l+ A g V g + d ( aacute l V l + aacuteeVl

Forccedila de Gravidade

= ( g f - N P A + P g V

62

b) r e F f l

o p dp^ = Ap^ = perda de pressatildeo por atrito

do liacutequido na altura Ho

Aplicando a formula de Darcy vem

bull API = f bull ir bull ^ iexcl 7

onde

f = fator de atrito

c) e Fftf

o p ^P tpound

= perda de pressao por atrito da mistura

liquido + vapor no trecho de comprimen

to Hbdquo o

Para determinar esta perda de pressao define-se o fator

de multiplicaccedilatildeo R

A P R =

tf A P 1B

Sendo A p ^ a perda de pressao se o comprimento todo fosshy

se ocupado somente pelo liquido assim

A p t f = R A P 1 B

0 calculo de Ap-^ pode ser feito pela formula de Darcy e

o de R nos veremos no item seguinte

63

d)

-e F

d ( ^ )

O P

Ap = perda de pressatildeo por atrito do vapor

No caso do reator BWR o titulo de saida e bera pequeno e

em nenhum caso ocorre a saida de vapor com x = 100 logo a perda

de pressatildeo por atrito do vapor eacute nula assim

An = 0 5

e) Ap

(p A 1 + p A ) dL = Ap - perda de pressatildeo dpound

vida ao desniacutevel

(perda hidrostaacutetica)

Anbdquo = re A A

-S- I (p + p -S ) dL H s 1 A

c o p o A

como A A Jl_ =

A P

A +A-g 1

1-a -

temos

C Q

te j jll-a)p1 + apg)^jdL = p Lo pound

onde

e jo u

+ ap ) ~I dL (Densidade media 1 S J

no tubo)

No nosso caso

Ap u = p H

f)

re d(mV + m V ) _ mdash - laquo -i bull s iquestp laquos p e r d a ltje pressatildeo devido a acele-

c p raccedilatildeo do vapor

V A

(1-x) tl^Vj

(1-a) A

X V

aA

A p -

roV + m V

c p c p L_

m (l-x)m_v m xv nbdquo -1 T 1

+ _S S I (1-a) Ap aA

P

2 g A c p

n 2 2

(1-x) m T

laquo2 8 A c p

2 2 (l-xe) raTv1

2 2 2 xm_v (1-x) m-v e T s o 1 1

a 1 - a

2 2 - x m_v o T g

a

se

X Q 0 (so ha agua nesse trecho)

a = 0 o

temos

mbdquo Ap =

1 a A 2

S A degc p laquo-

tt-V v i 1 - a

2 via T^r - v i

t Apc

2

V v l

5c Ap

1 - a

x v - 1

a e v l

65

Fazendo

G = fluxo total da massa por unidade de area do

canal

(1-x J e

V

AP r

Assim a perda de pressatildeo total sera

H p V II pV r2 P -P = f -24-Iuml+ f R+p 0 1 2g c D e 2g c g c g c

2c2 - Determinaccedilatildeo do fator de multiplicaccedilatildeo (R)

221 - Relaccedilatildeo Martinelli-Nelson

Os autores Martinelli-Nelson determinaram experimental -

te esse fator R para varias LIT1L em funccedilatildeo da pressatildeo e da r NB total J v

qualidade de saiacuteda do vapor no canal Construiacuteram assim vaacuterias

curvas do tipo da figura 9

66

E importante notar que a qualidade do vapor (x) na saiacuteshy

da nao deve ser grande pois como vemos o valor de R cresce muishy

to com um aumento pequeno de x e um valor de R muito grande acar_

reta uma perda de pressatildeo grande pois

^ d u a s fases R ^ f a s e liacutequida

Para resolvermos um problema seguindo o criteacuterio de bdquo

Martinelli escolhemos a curva R = f(px) (para a relaccedilatildeo L

N g ^ j

adequado) e tiramos R com os valores de pressatildeo p e tiacutetulo x

As curvas R = f (p x L T t )IO encontram-se nos ANL 6469 bio I

e 6561

222 - Relaccedilatildeo Lottes-Flinn

Estes autores estudaram o problema para o aquecimento uni

forme do refrigerante com baixo titule Lottes-Flinn fizeram inuacuteshy

meras experiecircncias e verificaram que para fluxo de calor uniforshy

me e baixos titulos R era independente do fluxo de calor fluxo

do refrigerante escorregamento e apenas funccedilatildeo de a g

Como a quantidade de liacutequido eacute muito maior que a de vashy

por a perda de pressatildeo daacute-se principalmente pelo atrito do liacuteshy

quido com a parede Podemos assim escrever a foacutermula de Darcy

na forma diferencial

dz

d = f __ r e amp c

onde

V = velocidade do liquido saturado na cota zbdquo X

f = coeficiente atrito

= densidade do liacutequido saturado

Teoricamente a queda de pressatildeo deve-se ao acreacutescimo de

67

velocidade do liacutequido e da diminuiccedilatildeo da aacuterea de fluxo do liacutequi

do

P fH A P t p

= f D 2g Ho

d z

fazendo

V lo

m V t lo

(velocidade do liacutequido na cota z = Ho)

(1-x) m t v 1

(1-a) A (velocidade do liacutequido na cota z gt Ho)

a bull+ fraccedilatildeo vazio na cota z geneacuterica

V 1 (1-x) m t v 1

m t V l 1 - a

x =s 0 pois o tiacutetulo eacute baixo

A p t f = f bull JT5 c e

fH V lo

H o (1-a) dz

Para fazer a integral devemos achar a relaccedilatildeo de variaccedilatildeo

entre a e z Como o fluxo de calor eacute uniforme a qualidade eacute direshy

tamente proporcional a z

bull laquo x = x e H

z = mdash x X e

Sabemos ainda que (item 113)

x

1 + [ ( I -X)AKQ x + iiacuteraquo

68

como

temos

(1-x) = 1

v

X =

z =

1-a

1 -a

1-a e

a

e

1-a pound

a

1 -a igt (assumindo S = cte)

da

Atf - f bull 2 i ^ ~ J c e o

a 1 - a e e 1 s 4 hmdash) da

a 1-a

f P lv^ Q

0 termo mdash - mdash e a parte de perda de pressatildeo pelo lj^

^c e -quido ou seja Ap liquido saturado e como

Ap

R = tf

Ap liauido saturado

temos que

R J

f ae 1 _ a e 1 4

a 1 -a o e

1 -a r-R =

3 1 -a

a 1 -a imdash

3 vl - a 3

e e

Os valores de R obtidos por esta expressatildeo aproximam-se

muito dos valores obtidos pelos aacutebacos de Martinelli

69

E - EXPANSAtildeO E COMPRESSAtildeO DE UM FLUIDO - ANAacuteLISE HIDRODINAcircMICA

DE UM CIRCUITO EM CIRCULACcedilAtildeO NATURAL

1 EXPANSAtildeO NO FLUXO DE UM FLUIDO

11 - Uma so fase

Figura 1

Ha vaacuterios meacutetodos para determinar a variaccedilatildeo de pressatildeo

numa expansatildeo de fluido estudaremos o de Romie que eacute o que daacute

maior precisatildeo

Romie considera que a pressatildeo p^ tambeacutem atua na aacuterea

imediatamente apos a expansatildeo Assim fazendo o equiliacutebrio das foi

ccedilas nas secccedilotildees tracejadas da figura 1 temos

mVj

p r A 2 + mdash

mV

bull 2- A2

mas

m = pV^A^

pV^A = p V 2 bdquo A 2

V A

v 2 -4r-logo

( P l-P 2) A 2 = f ( V ^ ) - f _ v j amp c c 2

70

2 pV A A pV A A

Chamando A l A ]

K = 1 - T e degi2 = Aiexcl bull V E M

pvj

P l P 2 = T ~ bull ( 2 deg 1 2 ) ( 1 _ a 1 2 )

Outra maneira de chegar atilde diferenccedila de pressatildeo ( P j - ^ ) s mdash

ria usar o coeficiente de perda da mecacircnica dos fluidos Assim o

equilibrio das pressotildees eacute

2 2

1 V l 1 V 2 V l P i + _ p _ ^ P 2 + I p ~ + k 1 2 p mdash

onde = coeficiente de perda

A 2 1 2

k 1 2 - (l-o 1 2) - (1 - j- )

Fazendo as transformaccedilotildees chegamos a mesma expressatildeo obshy

tida pelo balanccedilo das forccedilas

PraquoIacute pr p

2 - - ir ^ laquo-ia

12 - Duas fases

Como ha duas fases a equaccedilatildeo do balanccedilo das forccedilas fica

um pouco alterada

m pound 1 V- m - raquoV - m-V- m bdquoV _ P A + j y ^ i + _gl_JUuml P A + -11-11 + -ilsl (a)

1 2 e R 2 2 ff e

Sabendo que

71

m (1-x) m t = p fA (1-a) V f

entatildeo

fl l-o^ p fA x

6 Vf2 1-x l-a2 P fA 2

m V = mdash mdash e V 0 = gl a 1 P C T A 1 g2

m

a_ p h

2 g 2

Nas expressotildees anteriores o x nao varia porque a expansatildeo

5 adiabaacutetica porem o a varia devido a modificaccedilatildeo do tamanho da

bolha

Substituindo os valores das velocidades na expressatildeo (a)

vera

( P - P ) Abdquo =

2

2 2 m gt2 2 m t (1-x) 1 x t

ra i 2 m i 1 x t 1

p fA 1 g c ttl p Ax gpound

m t P - P = mdash

(1-x) (l-a 1)A 1A 2 (l-a2)A|

a r A r A 2

V A 2

m t P bdquo - P = mdash 2 1 g c A r A 2 p f

(1-x) 1-a f A 2(l-a 2)

bull ^ 2

72

Se

P -P

a

m

g

12

1 _1_ (1-x)

J12

1 _ a l 1 - a 2 + X (- )

Pg

1 deg12 a 2 ^

Sabemos que

mt = V o pf laquo A l

Sendo V q = velocidade do liquido num ponto onde natildeo haja vapor

P 2-P 1

u 2 2 A 2

V pr Ai

V W p f

(1-x) 12

l-a1 l-a2

+ X 2 pf

mdash

l deg12

-1 a 2 _

p -p r 2 Al (2a 1 2)

2 M f w 1 deg12 X (mdash) (

pg al a 2 )+(l-x)C l 1 12

1-a^ l-a2

Devemos notar que esta expressatildeo tambeacutem vale para quando

temos uma fase para isso basta fazer

= c t 2 = 0

X = 0

e recairemos na formula do item anterior

2 pf 1 deg12 Observemos que neste caso o termo x (mdash)( ) nao

Pg al a2

2

73

tem significado pois corresponde a mudanccedila de fase

2 CONTRACcedilAtildeO KO FLUXO DE UM FLUIDO

21 - Uma so fase raquo mdash

Aqui ocorre um fenocircmeno importante pois o fluido ao ser

contraiacutedo nao vai diretamente da area A^ para a area A 0 mas ele

contral-se ate uma area A^ e depois expande-se ate k^

Ao A2

Po IP 2

V 2

Figura 2

Fazendo o equiliacutebrio das pressotildees entre os planos (1)

(0) vem 2 2

pV pV p +~ plusmn - P + i deg bull 1 2 g o 2 g (b)

C x

Fazendo equiliacutebrio da expansatildeo (0) - (2) vem

P o + 2 - f = P 2 + 2 -T + kp- 2 F ( c )

c c b C

Subtraindo (b) - (c)

2 2 2

i p- vj i p- v2 L P l + 2 bull g c

P 2 + 2 2g c

+ k P 2g c

74

Como

P - P = mdash 2 2g

2 2

bull (1 + k) - f bdquo mdash i

k a - f2 ) 2 - d - o c )2

= o

A = a 21

Weisback obteve varias relaccedilotildees entre a e a i] c

01 02 03 a 0624 0632 0643 c

0624 0632

A r v i - V v 2

p -p 1 2

P -P 1 2 2g7

v l =

(1+k) - laquofi- a 2g 21 c

( 1 + k - o 2 1)

X[- V 2 o 2 1V 2

22 - Duas fases

0 valor de k pode ser aproximado para

k = a(l - o 2 1)

onde segundo Richardsons para fluxo de duas fases podemos supor

a = 02

Para fluxo homogeacuteneo sabemos que

75

p = p f (1 -a ) + p o a

podemos supor p bdquo a = 0 pois p e pequeno e fazendo

V = V ~ V fbdquo2 go2 v 2

Substituindo estas duas expressotildees na equaccedilatildeo de uma soacute fase vem

2 2 p V (l-ct) p V (1 -a ) bdquo

P l P 2 = 9g ( 1 + 3 - 3 0 ^ - 0 ^ ) = g (a+1) (l-a^)

Se a = 02

2 12p oV 0

p r p

2 - 9g gt d-) d-sigt

A compressatildeo de um fluido acarreta uma perda de pressatildeo

como pode ser verificado pelas formulas uma vez que lt 1deg

3 ANALISE HIDRODINAcircMICA DE UM CIRCUITO EM CIRCULACcedilAtildeO NATURAL

Esquema deacute uma caldeira com circulaccedilatildeo natural

76

Determinar a velocidade em (7) para que tenhamos circula

ccedilatildeo natural Determinar tambeacutem as perdas de pressatildeo em todos os

trechos da caldeira

31 - Contraccedilatildeo das secccedilotildees (1) - (2)

Como jaacute vimos a equaccedilatildeo do balanccedilo das pressotildees eacute

1 pr Vl 1 p 2 o V 2 P2 V2

1 2 g 2 + 2 g + K12 2g otilde c amp c e c

bullraquo 2 o2 2 e havendo uma soacute fase k 1 9 = (l-o ) = (1 mdash ) e sendo

C 2

p l = p2

v x lt lt lt v 2

P 2 V pr p2 bull ir2 bull ( 1 + k12gt

Colocando em termos de temos

A 2 V 2 P 2 = A 7 V 7 p 7 (continuidade)

V = V mdashbull = V o_bdquo ~ A 2 2 2

P 2 V - p 2

p r p 2 = ir2 - deg72 bull Ccedilrgt bull lt 1 + ki2gt

fazendo

N12 - lt^gt deg72 ( 1 + k12gt

P7 V7

Pr P2 - N12 bull HG

77

3 2 - Perda de carga no trecho ( 2 ) - ( 3 )

Como haacute apenas uma fase soacute temos perdas por atritos e

perdas hidrostaacuteticas

Sendo como jaacute vimos

2 3 p 2 2 g P 2 P 3 = f 2 3 (r~2g^~) L 2 3 g c p

atrito hidrostaacutetica

Substituindo V^ pela relaccedilatildeo do item anterior e tendo em

conta que p = vem

P -P = f 2 r 3 2 3 D

2 3 p 2 bdquo 2 2 p 7 2

2 g 7 72 p 2 3 g

Se

L 2 3 2 p 7

2 3 2 3 D 2 a 7 2 p 2

P 7 V 7 g P 2 - P 3 = N 2 3 ( mdash gt p 2 L 2 3 f

3 3 - Expansatildeo nas secccedilotildees ( 3 ) - ( 4 )

Como vimos o balanccedilo das pressotildees e

2 2 2 p V p 4 V p V

P 3 + 2 g c

P 4 + 2 g c

+ k 3 4 2 g c

onde

k 3 4 - - -

2 2 1 P 4 - V 4 P 3 v 3

P 3 P 4 = 2 g + ( k 3 4 _ 1 ) 2 g

78

Sendo

P 3 - P 4

p 3 o A 3 deg V 3 = P 7

a A 7 o V 7

P 4A 4 0V 4 = P r A r V

3 7 A 3 p 3

A7 P7 V = v mdash mdash 4 7 P 4

P - P 3 r4

Se

P bdquo - P

bdquo2 r-P 7 V 7

3 4 2g deg74 + ( k 3 4 1 ) deg73

34 p deg74 + ( k 3 4 1 ) 73

p r v2

P3- P4 ^ N34 ^ gt

(No caso e negativo)

34 - Contraccedilatildeo nas secccedilotildees (5) - (6)

Ainda temos uma so fase e fazendo o balanccedilo das pressotildees

como fizemos no item 3lt1 vem

P + vil p + vi + k vi P 5 + 2gbdquo P6 + 2gbdquo + k56 2gbdquo

k 5 6 lt 1 ^ gt 2 ( 1 - Iacute 2 i 2 6

V V6 P5degIacute 5^6 ^SS 2g c - 2g c

P - P ^ = (1+kJ

Como

79

A 6

W p 5 =

VV P6 V 5 = V 6 Jiexcl = Vff65

P 5-P 6 - lt H k 5 6 ) mdash ^ mdash (l+k 5 6-a 6 5) c c c

Sendo

Se

A 7 p 7 p 7

6 7 Ag p 6 7 76 p 6

p _p _ P6- V7- g76 iquest72 ( _ 02 P 5 P 6 2g c bull ( p 6

( 1 + k 5 6 deg65 )

p 7 2 2 N56 = p ^ deg76 ( 1 + k 5 6 ~ a 6 5 )

P 7 V 2

7

P r-P = N r 5 6 56 2g c i

35 - Perdas de pressatildeo nas zonas (6) - (7) - Pre^aquecimento

Nesta regiatildeo temos perdas por atrito e hidrostaacuteticas

Nao haacute perda por aceleraccedilatildeo pois ainda natildeo houve formaccedilatildeo de boshy

lhas

Fazendo balanccedilo das pressotildees temos

L_ ppound-V p = p + otilde L - pound _ + f -Si (-21mdashL 6 7 + p67 L67 g + t 6 7 D K 2g

p _ e ifn sao tomados como valores meacutedios 67 67

P _p _ f hl ^67jIacute uuml + - L A

6 F 7 r67 D 2g P P67 L67 g 6 s c 7 c

S e Kr pound67 L67 p67 6 7 D 6 p7

p7 V - _g_ P6- P7 - N67 mdash + P67 L67 f

c c

80

36 - Perda de pressatildeo nas zonas (7) - (8) - Zona de ebuliccedilatildeo

Nesta regiatildeo j aacute temos o aparecimento de bolhas logo a

perda de pressatildeo seraacute devida agraves t recircs parcelas aceleraccedilatildeo a t r i t o

das duas fases liacutequidas + vapor e h idros taacute t ica

onde

Assim

P-P Q = AP + AP + APbdquo 7 8 a t r i t o acel H

T M1

78 p 7 7 AP - R f- - mdash mdashr |R = fator mult ipl ica-

a t r i t o 7 D 7 2 g c L tivo

G 2

AP bull r mdash acel g c

P V

|_1 - o a p J 8 P f

2 t r 2 M2

7 7 r 7 7 A P a c e l = -J^mdash 2 r bull p 7 lt T iexcl iexcl - )

A PH p 7 8 L 7 8 fiexcl

p 7 8 iacute 7 li 1 0 0 P l i q + a P v ] d L = P 7 ( 1 - laquo 7 8 )

ag raquo fraccedilatildeo de vazio media entre 7 e 8

APH = p (1 - 5 7 g ) f- L 7 8

2 2

P 7 - P 8 a 5 - 2 T i + 2 r p 7 + P 7 ( 1 - 7 8 gt f L 7 8 7 amp c amp c amp c

81

N 7g = R mdash + 2 r p 7

P7 V7 P7- P8 = N78 + P 7 ( 1 5 7 8 gt J78

37 - Expansatildeo nas secccedilotildees 8 e 9

No caso haacute uma expansatildeo com duas fases e como vimos no

item 12 a variaccedilatildeo de pressatildeo era dada por

0f Vo P2 P1 = ~2g c ( 2 deg12

x 2 (mdash)(mdash - mdash ) + ( l - x ) 2 ^ T mdash 8 1 2 1

12

Aplicando ao nosso caso

P pound = P 7

P -P = 8 9

V - V raquo V g f 7

P 7 V 2

2 pf 1 a89 2 1 g89 x (mdash) ( ) + (1-x) (- - N

o ou abdquo 1-cu l-ot_) g 8 9 8 9

Se

N 89

= 2 a 89

2 pf 1 deg89 2 1 CT89 x (mdash) ( ) + (1-x) ( T

g 8 9 8 9

P -P = 8 9

- N P7deg V7

89 2gbdquo

38 - Perda de pressatildeo no trecho 9 e 10

No referido trecho temos apenas perda de pressatildeo por atr L

to da fase liacutequido + vapor e perda hidrostaacutetica Natildeo haacute perda por

aceleraccedilatildeo do vapor pois este natildeo recebe mais calor e portanto

o 82 o

nao ha variaccedilatildeo no a

p

Q -p i n = A P

U + A P bull 9 10 H atrito

n T -S_ P9 U10 deg 910 bull g

fio r

910 I 910

J9 L

(l- a)P + Q P I dL liq v

(l-a0) p

No caso a = (nao hatilde variaccedilatildeo de forma)

A P H - (1-a ) P (p L 0

c

AP bdquo = R o

atrito

2 f9 o L910 P9 V9

2g

Supondo

= V

P 9 = P 8 P 7

vbdquo = v 9 8 0 A r

= V 7 bull deg89

AP - R atrito

2 2

W l O p7deg V7deg g89

V P10 R -^T^ bull deg89 bull li-2 + ( W P 7 (fgt SIO

y c c

Se

- f9 L910 2 N9ol0 R Dl deg89

w 2

p rv P9 P10 = VlO + ( 1 a 9 ) p7 (f gt L910 c

33

39 - Perda ciacutee pressatildeo na expansatildeo 9 - 1 0

Analogamente a expansatildeo 8 - 9 temos

10 11 P 7 2g

10 Iacute 2 0 1 0 - 1 1 gt

2 ff

pg aio

10-11

laquo11 ) +

Ll-a 1 0 bull l-a u J

Se

V10 = V 9 = V 8 bull T9 = V 7 deg89

P -P 10 rll = - a 2g 089 ^lO-ll

4 bull T~ bull (7 1 mdash ) + Pg degio a n

+ (l-x)2(- 1 10-11

1 - aio )

N10-ll = 2 a10-ll a89 2 pf t 1 10-11 N2

-(j-r- - ) bull+ (1-x) pg aio deg 1

10-11 k l - a io

prz P10 Pll = - N10-ll bull ( 2gbdquo

310 - Calculo de V

Fazendo a somatoacuteria de todas as expressotildees (P^-Pj) tere-

84

mos 2 PbdquoV_

P bdquo - P bdquo = N 7 v 7

1 2 12 2g

bull 2 - P 3 - = N 2 3 P 2 L 2 3 f c ccedil

9 P 7 V 7 P _p = N mdash -

3 4 34 deg 2g

V P 5 = deg

2 P V

5 6 56 2 g c

ltr2

P 7 -V 6 e7 -N67 2g + p 6 7 J j67 g

c bc v 2

P 7 - P 8 = N 7 8 - 2 i ~ + p 7 ( 1 - laquo 7 8 ) L 7 8 c

P 7 V 7

P - P - -N mdash - -8 9 89 2g

c P 7 V 7

P 9 ~ P 1 0 VlO 2g + ( 1 a 9 P 7 L 9 c

P 7 V 7

bull10 11 U10-ll 2g

P v iacute j P - P

1 11

7 - v 7 3 bull r

2 8 i U L 2 23 67

(l-5 7 8) L 7 8 + ( l - laquo 9 ) P 7 bull SlOtilde]- ^

Por ou t ro lado sabemos que como secccedilotildees 1

mesmo n iacute v e l

85

s c p r v 7 j

28 Z N i ij

= P 2 L23 p67 L67 P 7 ( 1~deg78 )

78 ~ ^g) bull P 7 bull L 910 g_

V - 2 g ( p r L 2 3 - p 6 r L 6 7 - p 7 ( l - atilde 7 8 ) L 7 8 - (l-a9) p L 9 a ( )

y N

Com esse valor de podemos determinar todas as variashy

ccedilotildees de pressatildeo (P^-P )

BIBLIOGRAFIA

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tituto de Energia Atocircmica de Sao Paulo em 1966 (roteiro)

- WR Gambill - Nuclear Safety

Vol 9 - n9 5 e 6

Vol 6 - n 2 (pag 152)

Vol 4 -r n9 1 (pag 30)

Volbdquo 5 - n 2 (pag 151)

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~ El Wakil - Nuclear Power

- Jakob Max - Heat Transfer (vol I)

Mc Adams - Heat Transmission

- Paul A Lottes - Argonne National Laboratory

- AKL - 6469

- ANL - 6561

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Frank Kreith - Principles of Heat Transfer

Journeacutees Internationales de la transmission de la chaleur

Seminaacuterios realizados em Paris em 1961 sob a supervisatildeo do

Prof Marcel Veron

Notas de aula da Cadeira de Termodinacircmica I e Transmissatildeo da

Escola Politeacutecnica da Universidade de Sao Paulo

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54

aacute pressatildeo o v decresce muito enquanto que o v f eacute mais ou menos da

mesma ordem de grandeza

Exemplo Calcular o a correspondente para x raquo 2 para aacutegua

leve atilde pressatildeo atmosfeacuterica

Da tabela para p laquobull 1 atm

v - 001672 ft 3lbm e v - 26800 ft 3lbm

1 + [(1-002)002] 001672268

0971 ou 97U

O grafico abaixo mostra a variaccedilatildeo do a com x para vaacuterias

pressotildees e para a aacutegua leve

x ()

tObservaccedilotildees da curva

Fig 2

1 - para x constante a decresce com a pressatildeo Para presshy

sotildees proacuteximas da criacutetica a aproxima-se rapidamente de

x Para a pressatildeo criacutetica as duas fases satildeo indistinguiacuteveis ea=x

2 - para cada pressatildeo dotdx decresce com aumento de x

3 - para baixos valores de x (que e o caso dos reatores

tipo Boiling) quando p decresce dadx cresce e torr

na-se muito grande paacutera baixas pressotildees Isto tem relaccedilatildeo com a epound

55

tabilidade do reator como veremos mais tarde

113 - Sistemas com fluxo

Todas as definiccedilotildees que noacutes vimos no item anterior refeshy

rem-se acirc sistemas em que a mistura esta fechada no recipiente Nes^

te caso natildeo havia movimento relativo entre as duas fases No entan

to se as duas fases da mistura se movem na direccedilatildeo vertical em

canais entre os elementos combustiacuteveis o vapor por causa de sua

flutuaccedilatildeo tem a tendecircncia de escorregar sobre o liacutequido isto e

move-se com velocidade maior do que a do liacutequido

Real Modelo

Pig 3

S -

Define-se neste caso a relaccedilatildeo de escorregamento (slip

ratio) (S) como sendo

V _i

V f

onde

V = velocidade do vapor

= velocidade do liquido

S modifica as relaccedilotildees entre a e x do item anterior S geralmen_

te gt 1 Define-se neste caso qualidade do vapor ou tiacutetulo como

sendo

_ fluxo de massa de vapor

fluxo de massa da mistura

Entatildeo se o fluxo de massa da mistura eacute m t(lbmhr) o flushy

xo de vapor seraacute = x m e o fluxo de liacutequido sera (1-x) m onde x

56

e o titulo do vapor para a particular secccedilatildeo (AL) da figura (3)

Devemos notar que neste caso x varia de secccedilatildeo para secshy

ccedilatildeo do tubo o exposto no paraacutegrafo acima vale considerando-se que

x e a permaneceram constantes na secccedilatildeo de espessura AL

Aplicando a equaccedilatildeo da continuidade as velocidades do va

por e liacutequido sao dadas por

o xm v

V vazatildeo = g g area A

V

(1-x) amp t v f

f A f

onde A e A f sao as aacutereas medias perpendiculares ao fluxo se as

duas fases sao imaginadas completamente separadas uma da outra

(figura 3) Assim temos

V x m v o A_ A v 0 ^ - 2 = iacute S t m _2L- JL JS m

V A (l-x)ui v 1-x A v U

f g t f g f

Sabemos ainda que para a secccedilatildeo considerada

volume do vapor na mistura a = volume total da mistura (agua+vapor)

A AL A pound g g

a = mdash a a = - mdash 1

(A+A )AL A f + g

A ou f _ 1 - a

A a 8

Substituindo em (2) vem

57

Esta expressatildeo pode ser rearranjada e obteremos uma relashy

ccedilatildeo entre x e a levando em conta o escorregamento Chega-se a

a = 1 ( 3 )

1+ [U-x)x3 igt

onde

v 4 laquo -- S

v lty o

Note-se que quando S=l (nao haacute escorregamento) caimos na

expressatildeo dada no item anterior

0 efeito do escorregamento eacute decrescer o valor de a pa_

ra um mesmo xbdquo Isto pode ser visto pela foacutermula (3) pois S gt lLo

go a decresce com acreacutescimo de S

Um alto S e entatildeo uma vantagem tanto para a transferecircnshy

cia de calor como para efeitos de moderaccedilatildeo Eacute uma vantagem para

transferecircncia de calor porque alto S significa alto V e portanto

maior turbulecircncia e maior contato do liquido com as paredes quenshy

tes Ha tambeacutem melhorias na estabilidade da reaccedilatildeo nuclear isto

porque como jaacute dissemos quando mdash7 diminui a estabilidade aumenshy

ta isso pode ser verificado observando a curva a versus x para a

agua leve a 1000 psiabdquo

Fig 4

58

A relaccedilatildeo entre x e a da equaccedilatildeo (3) so vale para secccedilatildeo

de tubo bem pequena

Devemos notar que S varia tambeacutem com a pressatildeo e velocida^

de de entrada do liacutequido no tubo Este efeito pode ser observado na

figura 5 abaxxo obtida esperimentalmente

s

3

~^ ~ psig

x = 001

V 1

Fig 5

Nos projetos de reatores como veremos adiante o valor a

geralmente eacute determinado por consideraccedilotildees nucleares (moderaccedilatildeo) 0

valor de S eacute determinado atraveacutes de uma estimativa ou entatildeo atrashy

veacutes de um graacutefico do tipo da figura 5 0 correspondente valor de x

pode ser obtido de uma foacutermula empiacuterica do tipo

1 = 1 (-S)0gt67

proposta por Von Glahn

Em muitos casos assume-se S constante em todo o comprimeiv

to do canal poreacutem eacute um erro que em muitos casos nao pode ser coshy

metido

4 REATORES EM QUE 0 LIacuteQUIDO B MODERADOR E CIRCUITO PRIMAacuteRIO AO

MESMO TEMPO BOILING-REACTOR (BWR)

A aacutegua ao se movimentar atraveacutes dos vaacuterios canais do

59

Boiling-reactor encontra vaacuterias resistecircncias ao fluxo que provoshy

cam uma reduccedilatildeo de pressatildeo no fluido

As duas perdas mais importantes sao perda de pressatildeo por

atrito e perda de pressatildeo causada pela aceleraccedilatildeo do refrigerante

ao aumentar de volume por receber calor num canal Outras perdas

de pressatildeo seriam a obstruccedilatildeo ao fluxo por corpos submersos (espa_

ccediladores juntas de tubos chaves etc) e por mudanccedilas abruptas de

aacuterea de fluxo tanto na entrada como na saiacuteda do tubo

Essas perdas de pressatildeo devem ser conhecidas o melhor popound

sivel principalmente nos reatores BWR Para tanto devemos saber

o comprimento de canal em que nao ha a ebuliccedilatildeo isto eacute qual o com

primento de canal em que o refrigerante vai da temperatura de sub-

resfriamento ate temperatura de saturaccedilatildeo

Seja o elemento combustiacutevel

Aquecimento Uniforme Aquecimento Senoidal

Fig 6 Fig 7

onde

H =

H = o

H b

comprimento do elemento combustiacutevel

cota onde o liquido se torna saturado

comprimento do elemento combustiacutevel em que ocorre

ebuliccedilatildeo

60

qg = calor sensiacutevel acrescentado ao liquido para satushy

raacute-lo

qfc = calor total acrescentado ao liacutequido em todo o com

primento do canal

laquoo

q s J o qiquest sen (IIzH) n H o

T~ = TH = 2 ( 1 c o s gt ( a )

q 1 sen (HzH) Jo ^c

A expressatildeo (a) vale quando tivermos uma adiccedilatildeo de calor

senoidal para qualquer outra forma de adiccedilatildeo de calor faz-se um

caacutelculo anaacutelogo

Outra relaccedilatildeo entre q g e qfc eacute dada pela termodinacircmica

q h- - h s f m (b)

(hr +x h )-hm ^t f e fg

onde

= entalpia para o liquido saturado a pressatildeo correjs

pondente (cota z = Ho)

hffi = entalpia do liacutequido na entrada do canal

x = tiacutetulo do vapor na saiacuteda

= entalpia do vapor

Com a relaccedilatildeo (b) noacutes determinamos a relaccedilatildeo q q ecom

S L

uma relaccedilatildeo do tipo (a) (conforme seja o adicionamento de calor ao

liacutequido) podemos obter a relaccedilatildeo HoH e consequentemente H^H

21 - Perda de pressatildeo num canal de evaporaccedilatildeo

Neste item iremos determinar as perdas de pressatildeo mais

representativas que ocorrem num canal de evaporaccedilatildeo de um reator

P + dP

bull1 i- 1 gti i i

dL

onde

UM

Icirc H Icirc Icirc T dF f t f

61

Quantidade de Mov na Entrada

= i- rigVg)

dF f l

Fig 8

m i

m 8

V l V 8

A P

dF

dF

dF

fg

fl

ftf

descarga do liacutequido

descarga do vapor

velocidade do liquido

velocidade do vapor

aacuterea transversal do canal

forccedila de atrito do vapor com parede

forccedila de atrito do liacutequido com parede

forccedila de atrito das duas fases liacutequido+vapor

Fazendo o balanccedilo das forccedilas considerando o sentido posjL

tivo na vertical temos

A (P-P-dP)-(dF +dF _+dF _)-(-pound-) (p A+p A )dL = mdash dGnV+m V ) P fg ftf fl g c 1 1 g g g c

v 1 1 g g 7

- dP = ~ (dF +dF--+dF)+- S--7=- (p A+p A )dL+ mdash ~ - d (m-V+m V ) A_ fg ftf fl g c Ap v^l 1 g g g A 11 g g

Fazendo a integraccedilatildeo termo a termo entre os dois extreshy

mos entrada e saiacuteda e considerando a pressatildeo de entrada igual a

P q e a de saiacuteda igual a Pe vem

Quantidade de Mov na Saiacuteda

-= h I- lY l+ A g V g + d ( aacute l V l + aacuteeVl

Forccedila de Gravidade

= ( g f - N P A + P g V

62

b) r e F f l

o p dp^ = Ap^ = perda de pressatildeo por atrito

do liacutequido na altura Ho

Aplicando a formula de Darcy vem

bull API = f bull ir bull ^ iexcl 7

onde

f = fator de atrito

c) e Fftf

o p ^P tpound

= perda de pressao por atrito da mistura

liquido + vapor no trecho de comprimen

to Hbdquo o

Para determinar esta perda de pressao define-se o fator

de multiplicaccedilatildeo R

A P R =

tf A P 1B

Sendo A p ^ a perda de pressao se o comprimento todo fosshy

se ocupado somente pelo liquido assim

A p t f = R A P 1 B

0 calculo de Ap-^ pode ser feito pela formula de Darcy e

o de R nos veremos no item seguinte

63

d)

-e F

d ( ^ )

O P

Ap = perda de pressatildeo por atrito do vapor

No caso do reator BWR o titulo de saida e bera pequeno e

em nenhum caso ocorre a saida de vapor com x = 100 logo a perda

de pressatildeo por atrito do vapor eacute nula assim

An = 0 5

e) Ap

(p A 1 + p A ) dL = Ap - perda de pressatildeo dpound

vida ao desniacutevel

(perda hidrostaacutetica)

Anbdquo = re A A

-S- I (p + p -S ) dL H s 1 A

c o p o A

como A A Jl_ =

A P

A +A-g 1

1-a -

temos

C Q

te j jll-a)p1 + apg)^jdL = p Lo pound

onde

e jo u

+ ap ) ~I dL (Densidade media 1 S J

no tubo)

No nosso caso

Ap u = p H

f)

re d(mV + m V ) _ mdash - laquo -i bull s iquestp laquos p e r d a ltje pressatildeo devido a acele-

c p raccedilatildeo do vapor

V A

(1-x) tl^Vj

(1-a) A

X V

aA

A p -

roV + m V

c p c p L_

m (l-x)m_v m xv nbdquo -1 T 1

+ _S S I (1-a) Ap aA

P

2 g A c p

n 2 2

(1-x) m T

laquo2 8 A c p

2 2 (l-xe) raTv1

2 2 2 xm_v (1-x) m-v e T s o 1 1

a 1 - a

2 2 - x m_v o T g

a

se

X Q 0 (so ha agua nesse trecho)

a = 0 o

temos

mbdquo Ap =

1 a A 2

S A degc p laquo-

tt-V v i 1 - a

2 via T^r - v i

t Apc

2

V v l

5c Ap

1 - a

x v - 1

a e v l

65

Fazendo

G = fluxo total da massa por unidade de area do

canal

(1-x J e

V

AP r

Assim a perda de pressatildeo total sera

H p V II pV r2 P -P = f -24-Iuml+ f R+p 0 1 2g c D e 2g c g c g c

2c2 - Determinaccedilatildeo do fator de multiplicaccedilatildeo (R)

221 - Relaccedilatildeo Martinelli-Nelson

Os autores Martinelli-Nelson determinaram experimental -

te esse fator R para varias LIT1L em funccedilatildeo da pressatildeo e da r NB total J v

qualidade de saiacuteda do vapor no canal Construiacuteram assim vaacuterias

curvas do tipo da figura 9

66

E importante notar que a qualidade do vapor (x) na saiacuteshy

da nao deve ser grande pois como vemos o valor de R cresce muishy

to com um aumento pequeno de x e um valor de R muito grande acar_

reta uma perda de pressatildeo grande pois

^ d u a s fases R ^ f a s e liacutequida

Para resolvermos um problema seguindo o criteacuterio de bdquo

Martinelli escolhemos a curva R = f(px) (para a relaccedilatildeo L

N g ^ j

adequado) e tiramos R com os valores de pressatildeo p e tiacutetulo x

As curvas R = f (p x L T t )IO encontram-se nos ANL 6469 bio I

e 6561

222 - Relaccedilatildeo Lottes-Flinn

Estes autores estudaram o problema para o aquecimento uni

forme do refrigerante com baixo titule Lottes-Flinn fizeram inuacuteshy

meras experiecircncias e verificaram que para fluxo de calor uniforshy

me e baixos titulos R era independente do fluxo de calor fluxo

do refrigerante escorregamento e apenas funccedilatildeo de a g

Como a quantidade de liacutequido eacute muito maior que a de vashy

por a perda de pressatildeo daacute-se principalmente pelo atrito do liacuteshy

quido com a parede Podemos assim escrever a foacutermula de Darcy

na forma diferencial

dz

d = f __ r e amp c

onde

V = velocidade do liquido saturado na cota zbdquo X

f = coeficiente atrito

= densidade do liacutequido saturado

Teoricamente a queda de pressatildeo deve-se ao acreacutescimo de

67

velocidade do liacutequido e da diminuiccedilatildeo da aacuterea de fluxo do liacutequi

do

P fH A P t p

= f D 2g Ho

d z

fazendo

V lo

m V t lo

(velocidade do liacutequido na cota z = Ho)

(1-x) m t v 1

(1-a) A (velocidade do liacutequido na cota z gt Ho)

a bull+ fraccedilatildeo vazio na cota z geneacuterica

V 1 (1-x) m t v 1

m t V l 1 - a

x =s 0 pois o tiacutetulo eacute baixo

A p t f = f bull JT5 c e

fH V lo

H o (1-a) dz

Para fazer a integral devemos achar a relaccedilatildeo de variaccedilatildeo

entre a e z Como o fluxo de calor eacute uniforme a qualidade eacute direshy

tamente proporcional a z

bull laquo x = x e H

z = mdash x X e

Sabemos ainda que (item 113)

x

1 + [ ( I -X)AKQ x + iiacuteraquo

68

como

temos

(1-x) = 1

v

X =

z =

1-a

1 -a

1-a e

a

e

1-a pound

a

1 -a igt (assumindo S = cte)

da

Atf - f bull 2 i ^ ~ J c e o

a 1 - a e e 1 s 4 hmdash) da

a 1-a

f P lv^ Q

0 termo mdash - mdash e a parte de perda de pressatildeo pelo lj^

^c e -quido ou seja Ap liquido saturado e como

Ap

R = tf

Ap liauido saturado

temos que

R J

f ae 1 _ a e 1 4

a 1 -a o e

1 -a r-R =

3 1 -a

a 1 -a imdash

3 vl - a 3

e e

Os valores de R obtidos por esta expressatildeo aproximam-se

muito dos valores obtidos pelos aacutebacos de Martinelli

69

E - EXPANSAtildeO E COMPRESSAtildeO DE UM FLUIDO - ANAacuteLISE HIDRODINAcircMICA

DE UM CIRCUITO EM CIRCULACcedilAtildeO NATURAL

1 EXPANSAtildeO NO FLUXO DE UM FLUIDO

11 - Uma so fase

Figura 1

Ha vaacuterios meacutetodos para determinar a variaccedilatildeo de pressatildeo

numa expansatildeo de fluido estudaremos o de Romie que eacute o que daacute

maior precisatildeo

Romie considera que a pressatildeo p^ tambeacutem atua na aacuterea

imediatamente apos a expansatildeo Assim fazendo o equiliacutebrio das foi

ccedilas nas secccedilotildees tracejadas da figura 1 temos

mVj

p r A 2 + mdash

mV

bull 2- A2

mas

m = pV^A^

pV^A = p V 2 bdquo A 2

V A

v 2 -4r-logo

( P l-P 2) A 2 = f ( V ^ ) - f _ v j amp c c 2

70

2 pV A A pV A A

Chamando A l A ]

K = 1 - T e degi2 = Aiexcl bull V E M

pvj

P l P 2 = T ~ bull ( 2 deg 1 2 ) ( 1 _ a 1 2 )

Outra maneira de chegar atilde diferenccedila de pressatildeo ( P j - ^ ) s mdash

ria usar o coeficiente de perda da mecacircnica dos fluidos Assim o

equilibrio das pressotildees eacute

2 2

1 V l 1 V 2 V l P i + _ p _ ^ P 2 + I p ~ + k 1 2 p mdash

onde = coeficiente de perda

A 2 1 2

k 1 2 - (l-o 1 2) - (1 - j- )

Fazendo as transformaccedilotildees chegamos a mesma expressatildeo obshy

tida pelo balanccedilo das forccedilas

PraquoIacute pr p

2 - - ir ^ laquo-ia

12 - Duas fases

Como ha duas fases a equaccedilatildeo do balanccedilo das forccedilas fica

um pouco alterada

m pound 1 V- m - raquoV - m-V- m bdquoV _ P A + j y ^ i + _gl_JUuml P A + -11-11 + -ilsl (a)

1 2 e R 2 2 ff e

Sabendo que

71

m (1-x) m t = p fA (1-a) V f

entatildeo

fl l-o^ p fA x

6 Vf2 1-x l-a2 P fA 2

m V = mdash mdash e V 0 = gl a 1 P C T A 1 g2

m

a_ p h

2 g 2

Nas expressotildees anteriores o x nao varia porque a expansatildeo

5 adiabaacutetica porem o a varia devido a modificaccedilatildeo do tamanho da

bolha

Substituindo os valores das velocidades na expressatildeo (a)

vera

( P - P ) Abdquo =

2

2 2 m gt2 2 m t (1-x) 1 x t

ra i 2 m i 1 x t 1

p fA 1 g c ttl p Ax gpound

m t P - P = mdash

(1-x) (l-a 1)A 1A 2 (l-a2)A|

a r A r A 2

V A 2

m t P bdquo - P = mdash 2 1 g c A r A 2 p f

(1-x) 1-a f A 2(l-a 2)

bull ^ 2

72

Se

P -P

a

m

g

12

1 _1_ (1-x)

J12

1 _ a l 1 - a 2 + X (- )

Pg

1 deg12 a 2 ^

Sabemos que

mt = V o pf laquo A l

Sendo V q = velocidade do liquido num ponto onde natildeo haja vapor

P 2-P 1

u 2 2 A 2

V pr Ai

V W p f

(1-x) 12

l-a1 l-a2

+ X 2 pf

mdash

l deg12

-1 a 2 _

p -p r 2 Al (2a 1 2)

2 M f w 1 deg12 X (mdash) (

pg al a 2 )+(l-x)C l 1 12

1-a^ l-a2

Devemos notar que esta expressatildeo tambeacutem vale para quando

temos uma fase para isso basta fazer

= c t 2 = 0

X = 0

e recairemos na formula do item anterior

2 pf 1 deg12 Observemos que neste caso o termo x (mdash)( ) nao

Pg al a2

2

73

tem significado pois corresponde a mudanccedila de fase

2 CONTRACcedilAtildeO KO FLUXO DE UM FLUIDO

21 - Uma so fase raquo mdash

Aqui ocorre um fenocircmeno importante pois o fluido ao ser

contraiacutedo nao vai diretamente da area A^ para a area A 0 mas ele

contral-se ate uma area A^ e depois expande-se ate k^

Ao A2

Po IP 2

V 2

Figura 2

Fazendo o equiliacutebrio das pressotildees entre os planos (1)

(0) vem 2 2

pV pV p +~ plusmn - P + i deg bull 1 2 g o 2 g (b)

C x

Fazendo equiliacutebrio da expansatildeo (0) - (2) vem

P o + 2 - f = P 2 + 2 -T + kp- 2 F ( c )

c c b C

Subtraindo (b) - (c)

2 2 2

i p- vj i p- v2 L P l + 2 bull g c

P 2 + 2 2g c

+ k P 2g c

74

Como

P - P = mdash 2 2g

2 2

bull (1 + k) - f bdquo mdash i

k a - f2 ) 2 - d - o c )2

= o

A = a 21

Weisback obteve varias relaccedilotildees entre a e a i] c

01 02 03 a 0624 0632 0643 c

0624 0632

A r v i - V v 2

p -p 1 2

P -P 1 2 2g7

v l =

(1+k) - laquofi- a 2g 21 c

( 1 + k - o 2 1)

X[- V 2 o 2 1V 2

22 - Duas fases

0 valor de k pode ser aproximado para

k = a(l - o 2 1)

onde segundo Richardsons para fluxo de duas fases podemos supor

a = 02

Para fluxo homogeacuteneo sabemos que

75

p = p f (1 -a ) + p o a

podemos supor p bdquo a = 0 pois p e pequeno e fazendo

V = V ~ V fbdquo2 go2 v 2

Substituindo estas duas expressotildees na equaccedilatildeo de uma soacute fase vem

2 2 p V (l-ct) p V (1 -a ) bdquo

P l P 2 = 9g ( 1 + 3 - 3 0 ^ - 0 ^ ) = g (a+1) (l-a^)

Se a = 02

2 12p oV 0

p r p

2 - 9g gt d-) d-sigt

A compressatildeo de um fluido acarreta uma perda de pressatildeo

como pode ser verificado pelas formulas uma vez que lt 1deg

3 ANALISE HIDRODINAcircMICA DE UM CIRCUITO EM CIRCULACcedilAtildeO NATURAL

Esquema deacute uma caldeira com circulaccedilatildeo natural

76

Determinar a velocidade em (7) para que tenhamos circula

ccedilatildeo natural Determinar tambeacutem as perdas de pressatildeo em todos os

trechos da caldeira

31 - Contraccedilatildeo das secccedilotildees (1) - (2)

Como jaacute vimos a equaccedilatildeo do balanccedilo das pressotildees eacute

1 pr Vl 1 p 2 o V 2 P2 V2

1 2 g 2 + 2 g + K12 2g otilde c amp c e c

bullraquo 2 o2 2 e havendo uma soacute fase k 1 9 = (l-o ) = (1 mdash ) e sendo

C 2

p l = p2

v x lt lt lt v 2

P 2 V pr p2 bull ir2 bull ( 1 + k12gt

Colocando em termos de temos

A 2 V 2 P 2 = A 7 V 7 p 7 (continuidade)

V = V mdashbull = V o_bdquo ~ A 2 2 2

P 2 V - p 2

p r p 2 = ir2 - deg72 bull Ccedilrgt bull lt 1 + ki2gt

fazendo

N12 - lt^gt deg72 ( 1 + k12gt

P7 V7

Pr P2 - N12 bull HG

77

3 2 - Perda de carga no trecho ( 2 ) - ( 3 )

Como haacute apenas uma fase soacute temos perdas por atritos e

perdas hidrostaacuteticas

Sendo como jaacute vimos

2 3 p 2 2 g P 2 P 3 = f 2 3 (r~2g^~) L 2 3 g c p

atrito hidrostaacutetica

Substituindo V^ pela relaccedilatildeo do item anterior e tendo em

conta que p = vem

P -P = f 2 r 3 2 3 D

2 3 p 2 bdquo 2 2 p 7 2

2 g 7 72 p 2 3 g

Se

L 2 3 2 p 7

2 3 2 3 D 2 a 7 2 p 2

P 7 V 7 g P 2 - P 3 = N 2 3 ( mdash gt p 2 L 2 3 f

3 3 - Expansatildeo nas secccedilotildees ( 3 ) - ( 4 )

Como vimos o balanccedilo das pressotildees e

2 2 2 p V p 4 V p V

P 3 + 2 g c

P 4 + 2 g c

+ k 3 4 2 g c

onde

k 3 4 - - -

2 2 1 P 4 - V 4 P 3 v 3

P 3 P 4 = 2 g + ( k 3 4 _ 1 ) 2 g

78

Sendo

P 3 - P 4

p 3 o A 3 deg V 3 = P 7

a A 7 o V 7

P 4A 4 0V 4 = P r A r V

3 7 A 3 p 3

A7 P7 V = v mdash mdash 4 7 P 4

P - P 3 r4

Se

P bdquo - P

bdquo2 r-P 7 V 7

3 4 2g deg74 + ( k 3 4 1 ) deg73

34 p deg74 + ( k 3 4 1 ) 73

p r v2

P3- P4 ^ N34 ^ gt

(No caso e negativo)

34 - Contraccedilatildeo nas secccedilotildees (5) - (6)

Ainda temos uma so fase e fazendo o balanccedilo das pressotildees

como fizemos no item 3lt1 vem

P + vil p + vi + k vi P 5 + 2gbdquo P6 + 2gbdquo + k56 2gbdquo

k 5 6 lt 1 ^ gt 2 ( 1 - Iacute 2 i 2 6

V V6 P5degIacute 5^6 ^SS 2g c - 2g c

P - P ^ = (1+kJ

Como

79

A 6

W p 5 =

VV P6 V 5 = V 6 Jiexcl = Vff65

P 5-P 6 - lt H k 5 6 ) mdash ^ mdash (l+k 5 6-a 6 5) c c c

Sendo

Se

A 7 p 7 p 7

6 7 Ag p 6 7 76 p 6

p _p _ P6- V7- g76 iquest72 ( _ 02 P 5 P 6 2g c bull ( p 6

( 1 + k 5 6 deg65 )

p 7 2 2 N56 = p ^ deg76 ( 1 + k 5 6 ~ a 6 5 )

P 7 V 2

7

P r-P = N r 5 6 56 2g c i

35 - Perdas de pressatildeo nas zonas (6) - (7) - Pre^aquecimento

Nesta regiatildeo temos perdas por atrito e hidrostaacuteticas

Nao haacute perda por aceleraccedilatildeo pois ainda natildeo houve formaccedilatildeo de boshy

lhas

Fazendo balanccedilo das pressotildees temos

L_ ppound-V p = p + otilde L - pound _ + f -Si (-21mdashL 6 7 + p67 L67 g + t 6 7 D K 2g

p _ e ifn sao tomados como valores meacutedios 67 67

P _p _ f hl ^67jIacute uuml + - L A

6 F 7 r67 D 2g P P67 L67 g 6 s c 7 c

S e Kr pound67 L67 p67 6 7 D 6 p7

p7 V - _g_ P6- P7 - N67 mdash + P67 L67 f

c c

80

36 - Perda de pressatildeo nas zonas (7) - (8) - Zona de ebuliccedilatildeo

Nesta regiatildeo j aacute temos o aparecimento de bolhas logo a

perda de pressatildeo seraacute devida agraves t recircs parcelas aceleraccedilatildeo a t r i t o

das duas fases liacutequidas + vapor e h idros taacute t ica

onde

Assim

P-P Q = AP + AP + APbdquo 7 8 a t r i t o acel H

T M1

78 p 7 7 AP - R f- - mdash mdashr |R = fator mult ipl ica-

a t r i t o 7 D 7 2 g c L tivo

G 2

AP bull r mdash acel g c

P V

|_1 - o a p J 8 P f

2 t r 2 M2

7 7 r 7 7 A P a c e l = -J^mdash 2 r bull p 7 lt T iexcl iexcl - )

A PH p 7 8 L 7 8 fiexcl

p 7 8 iacute 7 li 1 0 0 P l i q + a P v ] d L = P 7 ( 1 - laquo 7 8 )

ag raquo fraccedilatildeo de vazio media entre 7 e 8

APH = p (1 - 5 7 g ) f- L 7 8

2 2

P 7 - P 8 a 5 - 2 T i + 2 r p 7 + P 7 ( 1 - 7 8 gt f L 7 8 7 amp c amp c amp c

81

N 7g = R mdash + 2 r p 7

P7 V7 P7- P8 = N78 + P 7 ( 1 5 7 8 gt J78

37 - Expansatildeo nas secccedilotildees 8 e 9

No caso haacute uma expansatildeo com duas fases e como vimos no

item 12 a variaccedilatildeo de pressatildeo era dada por

0f Vo P2 P1 = ~2g c ( 2 deg12

x 2 (mdash)(mdash - mdash ) + ( l - x ) 2 ^ T mdash 8 1 2 1

12

Aplicando ao nosso caso

P pound = P 7

P -P = 8 9

V - V raquo V g f 7

P 7 V 2

2 pf 1 a89 2 1 g89 x (mdash) ( ) + (1-x) (- - N

o ou abdquo 1-cu l-ot_) g 8 9 8 9

Se

N 89

= 2 a 89

2 pf 1 deg89 2 1 CT89 x (mdash) ( ) + (1-x) ( T

g 8 9 8 9

P -P = 8 9

- N P7deg V7

89 2gbdquo

38 - Perda de pressatildeo no trecho 9 e 10

No referido trecho temos apenas perda de pressatildeo por atr L

to da fase liacutequido + vapor e perda hidrostaacutetica Natildeo haacute perda por

aceleraccedilatildeo do vapor pois este natildeo recebe mais calor e portanto

o 82 o

nao ha variaccedilatildeo no a

p

Q -p i n = A P

U + A P bull 9 10 H atrito

n T -S_ P9 U10 deg 910 bull g

fio r

910 I 910

J9 L

(l- a)P + Q P I dL liq v

(l-a0) p

No caso a = (nao hatilde variaccedilatildeo de forma)

A P H - (1-a ) P (p L 0

c

AP bdquo = R o

atrito

2 f9 o L910 P9 V9

2g

Supondo

= V

P 9 = P 8 P 7

vbdquo = v 9 8 0 A r

= V 7 bull deg89

AP - R atrito

2 2

W l O p7deg V7deg g89

V P10 R -^T^ bull deg89 bull li-2 + ( W P 7 (fgt SIO

y c c

Se

- f9 L910 2 N9ol0 R Dl deg89

w 2

p rv P9 P10 = VlO + ( 1 a 9 ) p7 (f gt L910 c

33

39 - Perda ciacutee pressatildeo na expansatildeo 9 - 1 0

Analogamente a expansatildeo 8 - 9 temos

10 11 P 7 2g

10 Iacute 2 0 1 0 - 1 1 gt

2 ff

pg aio

10-11

laquo11 ) +

Ll-a 1 0 bull l-a u J

Se

V10 = V 9 = V 8 bull T9 = V 7 deg89

P -P 10 rll = - a 2g 089 ^lO-ll

4 bull T~ bull (7 1 mdash ) + Pg degio a n

+ (l-x)2(- 1 10-11

1 - aio )

N10-ll = 2 a10-ll a89 2 pf t 1 10-11 N2

-(j-r- - ) bull+ (1-x) pg aio deg 1

10-11 k l - a io

prz P10 Pll = - N10-ll bull ( 2gbdquo

310 - Calculo de V

Fazendo a somatoacuteria de todas as expressotildees (P^-Pj) tere-

84

mos 2 PbdquoV_

P bdquo - P bdquo = N 7 v 7

1 2 12 2g

bull 2 - P 3 - = N 2 3 P 2 L 2 3 f c ccedil

9 P 7 V 7 P _p = N mdash -

3 4 34 deg 2g

V P 5 = deg

2 P V

5 6 56 2 g c

ltr2

P 7 -V 6 e7 -N67 2g + p 6 7 J j67 g

c bc v 2

P 7 - P 8 = N 7 8 - 2 i ~ + p 7 ( 1 - laquo 7 8 ) L 7 8 c

P 7 V 7

P - P - -N mdash - -8 9 89 2g

c P 7 V 7

P 9 ~ P 1 0 VlO 2g + ( 1 a 9 P 7 L 9 c

P 7 V 7

bull10 11 U10-ll 2g

P v iacute j P - P

1 11

7 - v 7 3 bull r

2 8 i U L 2 23 67

(l-5 7 8) L 7 8 + ( l - laquo 9 ) P 7 bull SlOtilde]- ^

Por ou t ro lado sabemos que como secccedilotildees 1

mesmo n iacute v e l

85

s c p r v 7 j

28 Z N i ij

= P 2 L23 p67 L67 P 7 ( 1~deg78 )

78 ~ ^g) bull P 7 bull L 910 g_

V - 2 g ( p r L 2 3 - p 6 r L 6 7 - p 7 ( l - atilde 7 8 ) L 7 8 - (l-a9) p L 9 a ( )

y N

Com esse valor de podemos determinar todas as variashy

ccedilotildees de pressatildeo (P^-P )

BIBLIOGRAFIA

- WoR Gambill - Notas de aula dos seminaacuterios realizados no Insshy

tituto de Energia Atocircmica de Sao Paulo em 1966 (roteiro)

- WR Gambill - Nuclear Safety

Vol 9 - n9 5 e 6

Vol 6 - n 2 (pag 152)

Vol 4 -r n9 1 (pag 30)

Volbdquo 5 - n 2 (pag 151)

- WRo Gambill - Chemical Eng Prog ndeg 54 (Outubro)

~ El Wakil - Nuclear Power

- Jakob Max - Heat Transfer (vol I)

Mc Adams - Heat Transmission

- Paul A Lottes - Argonne National Laboratory

- AKL - 6469

- ANL - 6561

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Knudsen e Katz - Fluid Dinamics and Heat Transfer

Frank Kreith - Principles of Heat Transfer

Journeacutees Internationales de la transmission de la chaleur

Seminaacuterios realizados em Paris em 1961 sob a supervisatildeo do

Prof Marcel Veron

Notas de aula da Cadeira de Termodinacircmica I e Transmissatildeo da

Escola Politeacutecnica da Universidade de Sao Paulo

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55

tabilidade do reator como veremos mais tarde

113 - Sistemas com fluxo

Todas as definiccedilotildees que noacutes vimos no item anterior refeshy

rem-se acirc sistemas em que a mistura esta fechada no recipiente Nes^

te caso natildeo havia movimento relativo entre as duas fases No entan

to se as duas fases da mistura se movem na direccedilatildeo vertical em

canais entre os elementos combustiacuteveis o vapor por causa de sua

flutuaccedilatildeo tem a tendecircncia de escorregar sobre o liacutequido isto e

move-se com velocidade maior do que a do liacutequido

Real Modelo

Pig 3

S -

Define-se neste caso a relaccedilatildeo de escorregamento (slip

ratio) (S) como sendo

V _i

V f

onde

V = velocidade do vapor

= velocidade do liquido

S modifica as relaccedilotildees entre a e x do item anterior S geralmen_

te gt 1 Define-se neste caso qualidade do vapor ou tiacutetulo como

sendo

_ fluxo de massa de vapor

fluxo de massa da mistura

Entatildeo se o fluxo de massa da mistura eacute m t(lbmhr) o flushy

xo de vapor seraacute = x m e o fluxo de liacutequido sera (1-x) m onde x

56

e o titulo do vapor para a particular secccedilatildeo (AL) da figura (3)

Devemos notar que neste caso x varia de secccedilatildeo para secshy

ccedilatildeo do tubo o exposto no paraacutegrafo acima vale considerando-se que

x e a permaneceram constantes na secccedilatildeo de espessura AL

Aplicando a equaccedilatildeo da continuidade as velocidades do va

por e liacutequido sao dadas por

o xm v

V vazatildeo = g g area A

V

(1-x) amp t v f

f A f

onde A e A f sao as aacutereas medias perpendiculares ao fluxo se as

duas fases sao imaginadas completamente separadas uma da outra

(figura 3) Assim temos

V x m v o A_ A v 0 ^ - 2 = iacute S t m _2L- JL JS m

V A (l-x)ui v 1-x A v U

f g t f g f

Sabemos ainda que para a secccedilatildeo considerada

volume do vapor na mistura a = volume total da mistura (agua+vapor)

A AL A pound g g

a = mdash a a = - mdash 1

(A+A )AL A f + g

A ou f _ 1 - a

A a 8

Substituindo em (2) vem

57

Esta expressatildeo pode ser rearranjada e obteremos uma relashy

ccedilatildeo entre x e a levando em conta o escorregamento Chega-se a

a = 1 ( 3 )

1+ [U-x)x3 igt

onde

v 4 laquo -- S

v lty o

Note-se que quando S=l (nao haacute escorregamento) caimos na

expressatildeo dada no item anterior

0 efeito do escorregamento eacute decrescer o valor de a pa_

ra um mesmo xbdquo Isto pode ser visto pela foacutermula (3) pois S gt lLo

go a decresce com acreacutescimo de S

Um alto S e entatildeo uma vantagem tanto para a transferecircnshy

cia de calor como para efeitos de moderaccedilatildeo Eacute uma vantagem para

transferecircncia de calor porque alto S significa alto V e portanto

maior turbulecircncia e maior contato do liquido com as paredes quenshy

tes Ha tambeacutem melhorias na estabilidade da reaccedilatildeo nuclear isto

porque como jaacute dissemos quando mdash7 diminui a estabilidade aumenshy

ta isso pode ser verificado observando a curva a versus x para a

agua leve a 1000 psiabdquo

Fig 4

58

A relaccedilatildeo entre x e a da equaccedilatildeo (3) so vale para secccedilatildeo

de tubo bem pequena

Devemos notar que S varia tambeacutem com a pressatildeo e velocida^

de de entrada do liacutequido no tubo Este efeito pode ser observado na

figura 5 abaxxo obtida esperimentalmente

s

3

~^ ~ psig

x = 001

V 1

Fig 5

Nos projetos de reatores como veremos adiante o valor a

geralmente eacute determinado por consideraccedilotildees nucleares (moderaccedilatildeo) 0

valor de S eacute determinado atraveacutes de uma estimativa ou entatildeo atrashy

veacutes de um graacutefico do tipo da figura 5 0 correspondente valor de x

pode ser obtido de uma foacutermula empiacuterica do tipo

1 = 1 (-S)0gt67

proposta por Von Glahn

Em muitos casos assume-se S constante em todo o comprimeiv

to do canal poreacutem eacute um erro que em muitos casos nao pode ser coshy

metido

4 REATORES EM QUE 0 LIacuteQUIDO B MODERADOR E CIRCUITO PRIMAacuteRIO AO

MESMO TEMPO BOILING-REACTOR (BWR)

A aacutegua ao se movimentar atraveacutes dos vaacuterios canais do

59

Boiling-reactor encontra vaacuterias resistecircncias ao fluxo que provoshy

cam uma reduccedilatildeo de pressatildeo no fluido

As duas perdas mais importantes sao perda de pressatildeo por

atrito e perda de pressatildeo causada pela aceleraccedilatildeo do refrigerante

ao aumentar de volume por receber calor num canal Outras perdas

de pressatildeo seriam a obstruccedilatildeo ao fluxo por corpos submersos (espa_

ccediladores juntas de tubos chaves etc) e por mudanccedilas abruptas de

aacuterea de fluxo tanto na entrada como na saiacuteda do tubo

Essas perdas de pressatildeo devem ser conhecidas o melhor popound

sivel principalmente nos reatores BWR Para tanto devemos saber

o comprimento de canal em que nao ha a ebuliccedilatildeo isto eacute qual o com

primento de canal em que o refrigerante vai da temperatura de sub-

resfriamento ate temperatura de saturaccedilatildeo

Seja o elemento combustiacutevel

Aquecimento Uniforme Aquecimento Senoidal

Fig 6 Fig 7

onde

H =

H = o

H b

comprimento do elemento combustiacutevel

cota onde o liquido se torna saturado

comprimento do elemento combustiacutevel em que ocorre

ebuliccedilatildeo

60

qg = calor sensiacutevel acrescentado ao liquido para satushy

raacute-lo

qfc = calor total acrescentado ao liacutequido em todo o com

primento do canal

laquoo

q s J o qiquest sen (IIzH) n H o

T~ = TH = 2 ( 1 c o s gt ( a )

q 1 sen (HzH) Jo ^c

A expressatildeo (a) vale quando tivermos uma adiccedilatildeo de calor

senoidal para qualquer outra forma de adiccedilatildeo de calor faz-se um

caacutelculo anaacutelogo

Outra relaccedilatildeo entre q g e qfc eacute dada pela termodinacircmica

q h- - h s f m (b)

(hr +x h )-hm ^t f e fg

onde

= entalpia para o liquido saturado a pressatildeo correjs

pondente (cota z = Ho)

hffi = entalpia do liacutequido na entrada do canal

x = tiacutetulo do vapor na saiacuteda

= entalpia do vapor

Com a relaccedilatildeo (b) noacutes determinamos a relaccedilatildeo q q ecom

S L

uma relaccedilatildeo do tipo (a) (conforme seja o adicionamento de calor ao

liacutequido) podemos obter a relaccedilatildeo HoH e consequentemente H^H

21 - Perda de pressatildeo num canal de evaporaccedilatildeo

Neste item iremos determinar as perdas de pressatildeo mais

representativas que ocorrem num canal de evaporaccedilatildeo de um reator

P + dP

bull1 i- 1 gti i i

dL

onde

UM

Icirc H Icirc Icirc T dF f t f

61

Quantidade de Mov na Entrada

= i- rigVg)

dF f l

Fig 8

m i

m 8

V l V 8

A P

dF

dF

dF

fg

fl

ftf

descarga do liacutequido

descarga do vapor

velocidade do liquido

velocidade do vapor

aacuterea transversal do canal

forccedila de atrito do vapor com parede

forccedila de atrito do liacutequido com parede

forccedila de atrito das duas fases liacutequido+vapor

Fazendo o balanccedilo das forccedilas considerando o sentido posjL

tivo na vertical temos

A (P-P-dP)-(dF +dF _+dF _)-(-pound-) (p A+p A )dL = mdash dGnV+m V ) P fg ftf fl g c 1 1 g g g c

v 1 1 g g 7

- dP = ~ (dF +dF--+dF)+- S--7=- (p A+p A )dL+ mdash ~ - d (m-V+m V ) A_ fg ftf fl g c Ap v^l 1 g g g A 11 g g

Fazendo a integraccedilatildeo termo a termo entre os dois extreshy

mos entrada e saiacuteda e considerando a pressatildeo de entrada igual a

P q e a de saiacuteda igual a Pe vem

Quantidade de Mov na Saiacuteda

-= h I- lY l+ A g V g + d ( aacute l V l + aacuteeVl

Forccedila de Gravidade

= ( g f - N P A + P g V

62

b) r e F f l

o p dp^ = Ap^ = perda de pressatildeo por atrito

do liacutequido na altura Ho

Aplicando a formula de Darcy vem

bull API = f bull ir bull ^ iexcl 7

onde

f = fator de atrito

c) e Fftf

o p ^P tpound

= perda de pressao por atrito da mistura

liquido + vapor no trecho de comprimen

to Hbdquo o

Para determinar esta perda de pressao define-se o fator

de multiplicaccedilatildeo R

A P R =

tf A P 1B

Sendo A p ^ a perda de pressao se o comprimento todo fosshy

se ocupado somente pelo liquido assim

A p t f = R A P 1 B

0 calculo de Ap-^ pode ser feito pela formula de Darcy e

o de R nos veremos no item seguinte

63

d)

-e F

d ( ^ )

O P

Ap = perda de pressatildeo por atrito do vapor

No caso do reator BWR o titulo de saida e bera pequeno e

em nenhum caso ocorre a saida de vapor com x = 100 logo a perda

de pressatildeo por atrito do vapor eacute nula assim

An = 0 5

e) Ap

(p A 1 + p A ) dL = Ap - perda de pressatildeo dpound

vida ao desniacutevel

(perda hidrostaacutetica)

Anbdquo = re A A

-S- I (p + p -S ) dL H s 1 A

c o p o A

como A A Jl_ =

A P

A +A-g 1

1-a -

temos

C Q

te j jll-a)p1 + apg)^jdL = p Lo pound

onde

e jo u

+ ap ) ~I dL (Densidade media 1 S J

no tubo)

No nosso caso

Ap u = p H

f)

re d(mV + m V ) _ mdash - laquo -i bull s iquestp laquos p e r d a ltje pressatildeo devido a acele-

c p raccedilatildeo do vapor

V A

(1-x) tl^Vj

(1-a) A

X V

aA

A p -

roV + m V

c p c p L_

m (l-x)m_v m xv nbdquo -1 T 1

+ _S S I (1-a) Ap aA

P

2 g A c p

n 2 2

(1-x) m T

laquo2 8 A c p

2 2 (l-xe) raTv1

2 2 2 xm_v (1-x) m-v e T s o 1 1

a 1 - a

2 2 - x m_v o T g

a

se

X Q 0 (so ha agua nesse trecho)

a = 0 o

temos

mbdquo Ap =

1 a A 2

S A degc p laquo-

tt-V v i 1 - a

2 via T^r - v i

t Apc

2

V v l

5c Ap

1 - a

x v - 1

a e v l

65

Fazendo

G = fluxo total da massa por unidade de area do

canal

(1-x J e

V

AP r

Assim a perda de pressatildeo total sera

H p V II pV r2 P -P = f -24-Iuml+ f R+p 0 1 2g c D e 2g c g c g c

2c2 - Determinaccedilatildeo do fator de multiplicaccedilatildeo (R)

221 - Relaccedilatildeo Martinelli-Nelson

Os autores Martinelli-Nelson determinaram experimental -

te esse fator R para varias LIT1L em funccedilatildeo da pressatildeo e da r NB total J v

qualidade de saiacuteda do vapor no canal Construiacuteram assim vaacuterias

curvas do tipo da figura 9

66

E importante notar que a qualidade do vapor (x) na saiacuteshy

da nao deve ser grande pois como vemos o valor de R cresce muishy

to com um aumento pequeno de x e um valor de R muito grande acar_

reta uma perda de pressatildeo grande pois

^ d u a s fases R ^ f a s e liacutequida

Para resolvermos um problema seguindo o criteacuterio de bdquo

Martinelli escolhemos a curva R = f(px) (para a relaccedilatildeo L

N g ^ j

adequado) e tiramos R com os valores de pressatildeo p e tiacutetulo x

As curvas R = f (p x L T t )IO encontram-se nos ANL 6469 bio I

e 6561

222 - Relaccedilatildeo Lottes-Flinn

Estes autores estudaram o problema para o aquecimento uni

forme do refrigerante com baixo titule Lottes-Flinn fizeram inuacuteshy

meras experiecircncias e verificaram que para fluxo de calor uniforshy

me e baixos titulos R era independente do fluxo de calor fluxo

do refrigerante escorregamento e apenas funccedilatildeo de a g

Como a quantidade de liacutequido eacute muito maior que a de vashy

por a perda de pressatildeo daacute-se principalmente pelo atrito do liacuteshy

quido com a parede Podemos assim escrever a foacutermula de Darcy

na forma diferencial

dz

d = f __ r e amp c

onde

V = velocidade do liquido saturado na cota zbdquo X

f = coeficiente atrito

= densidade do liacutequido saturado

Teoricamente a queda de pressatildeo deve-se ao acreacutescimo de

67

velocidade do liacutequido e da diminuiccedilatildeo da aacuterea de fluxo do liacutequi

do

P fH A P t p

= f D 2g Ho

d z

fazendo

V lo

m V t lo

(velocidade do liacutequido na cota z = Ho)

(1-x) m t v 1

(1-a) A (velocidade do liacutequido na cota z gt Ho)

a bull+ fraccedilatildeo vazio na cota z geneacuterica

V 1 (1-x) m t v 1

m t V l 1 - a

x =s 0 pois o tiacutetulo eacute baixo

A p t f = f bull JT5 c e

fH V lo

H o (1-a) dz

Para fazer a integral devemos achar a relaccedilatildeo de variaccedilatildeo

entre a e z Como o fluxo de calor eacute uniforme a qualidade eacute direshy

tamente proporcional a z

bull laquo x = x e H

z = mdash x X e

Sabemos ainda que (item 113)

x

1 + [ ( I -X)AKQ x + iiacuteraquo

68

como

temos

(1-x) = 1

v

X =

z =

1-a

1 -a

1-a e

a

e

1-a pound

a

1 -a igt (assumindo S = cte)

da

Atf - f bull 2 i ^ ~ J c e o

a 1 - a e e 1 s 4 hmdash) da

a 1-a

f P lv^ Q

0 termo mdash - mdash e a parte de perda de pressatildeo pelo lj^

^c e -quido ou seja Ap liquido saturado e como

Ap

R = tf

Ap liauido saturado

temos que

R J

f ae 1 _ a e 1 4

a 1 -a o e

1 -a r-R =

3 1 -a

a 1 -a imdash

3 vl - a 3

e e

Os valores de R obtidos por esta expressatildeo aproximam-se

muito dos valores obtidos pelos aacutebacos de Martinelli

69

E - EXPANSAtildeO E COMPRESSAtildeO DE UM FLUIDO - ANAacuteLISE HIDRODINAcircMICA

DE UM CIRCUITO EM CIRCULACcedilAtildeO NATURAL

1 EXPANSAtildeO NO FLUXO DE UM FLUIDO

11 - Uma so fase

Figura 1

Ha vaacuterios meacutetodos para determinar a variaccedilatildeo de pressatildeo

numa expansatildeo de fluido estudaremos o de Romie que eacute o que daacute

maior precisatildeo

Romie considera que a pressatildeo p^ tambeacutem atua na aacuterea

imediatamente apos a expansatildeo Assim fazendo o equiliacutebrio das foi

ccedilas nas secccedilotildees tracejadas da figura 1 temos

mVj

p r A 2 + mdash

mV

bull 2- A2

mas

m = pV^A^

pV^A = p V 2 bdquo A 2

V A

v 2 -4r-logo

( P l-P 2) A 2 = f ( V ^ ) - f _ v j amp c c 2

70

2 pV A A pV A A

Chamando A l A ]

K = 1 - T e degi2 = Aiexcl bull V E M

pvj

P l P 2 = T ~ bull ( 2 deg 1 2 ) ( 1 _ a 1 2 )

Outra maneira de chegar atilde diferenccedila de pressatildeo ( P j - ^ ) s mdash

ria usar o coeficiente de perda da mecacircnica dos fluidos Assim o

equilibrio das pressotildees eacute

2 2

1 V l 1 V 2 V l P i + _ p _ ^ P 2 + I p ~ + k 1 2 p mdash

onde = coeficiente de perda

A 2 1 2

k 1 2 - (l-o 1 2) - (1 - j- )

Fazendo as transformaccedilotildees chegamos a mesma expressatildeo obshy

tida pelo balanccedilo das forccedilas

PraquoIacute pr p

2 - - ir ^ laquo-ia

12 - Duas fases

Como ha duas fases a equaccedilatildeo do balanccedilo das forccedilas fica

um pouco alterada

m pound 1 V- m - raquoV - m-V- m bdquoV _ P A + j y ^ i + _gl_JUuml P A + -11-11 + -ilsl (a)

1 2 e R 2 2 ff e

Sabendo que

71

m (1-x) m t = p fA (1-a) V f

entatildeo

fl l-o^ p fA x

6 Vf2 1-x l-a2 P fA 2

m V = mdash mdash e V 0 = gl a 1 P C T A 1 g2

m

a_ p h

2 g 2

Nas expressotildees anteriores o x nao varia porque a expansatildeo

5 adiabaacutetica porem o a varia devido a modificaccedilatildeo do tamanho da

bolha

Substituindo os valores das velocidades na expressatildeo (a)

vera

( P - P ) Abdquo =

2

2 2 m gt2 2 m t (1-x) 1 x t

ra i 2 m i 1 x t 1

p fA 1 g c ttl p Ax gpound

m t P - P = mdash

(1-x) (l-a 1)A 1A 2 (l-a2)A|

a r A r A 2

V A 2

m t P bdquo - P = mdash 2 1 g c A r A 2 p f

(1-x) 1-a f A 2(l-a 2)

bull ^ 2

72

Se

P -P

a

m

g

12

1 _1_ (1-x)

J12

1 _ a l 1 - a 2 + X (- )

Pg

1 deg12 a 2 ^

Sabemos que

mt = V o pf laquo A l

Sendo V q = velocidade do liquido num ponto onde natildeo haja vapor

P 2-P 1

u 2 2 A 2

V pr Ai

V W p f

(1-x) 12

l-a1 l-a2

+ X 2 pf

mdash

l deg12

-1 a 2 _

p -p r 2 Al (2a 1 2)

2 M f w 1 deg12 X (mdash) (

pg al a 2 )+(l-x)C l 1 12

1-a^ l-a2

Devemos notar que esta expressatildeo tambeacutem vale para quando

temos uma fase para isso basta fazer

= c t 2 = 0

X = 0

e recairemos na formula do item anterior

2 pf 1 deg12 Observemos que neste caso o termo x (mdash)( ) nao

Pg al a2

2

73

tem significado pois corresponde a mudanccedila de fase

2 CONTRACcedilAtildeO KO FLUXO DE UM FLUIDO

21 - Uma so fase raquo mdash

Aqui ocorre um fenocircmeno importante pois o fluido ao ser

contraiacutedo nao vai diretamente da area A^ para a area A 0 mas ele

contral-se ate uma area A^ e depois expande-se ate k^

Ao A2

Po IP 2

V 2

Figura 2

Fazendo o equiliacutebrio das pressotildees entre os planos (1)

(0) vem 2 2

pV pV p +~ plusmn - P + i deg bull 1 2 g o 2 g (b)

C x

Fazendo equiliacutebrio da expansatildeo (0) - (2) vem

P o + 2 - f = P 2 + 2 -T + kp- 2 F ( c )

c c b C

Subtraindo (b) - (c)

2 2 2

i p- vj i p- v2 L P l + 2 bull g c

P 2 + 2 2g c

+ k P 2g c

74

Como

P - P = mdash 2 2g

2 2

bull (1 + k) - f bdquo mdash i

k a - f2 ) 2 - d - o c )2

= o

A = a 21

Weisback obteve varias relaccedilotildees entre a e a i] c

01 02 03 a 0624 0632 0643 c

0624 0632

A r v i - V v 2

p -p 1 2

P -P 1 2 2g7

v l =

(1+k) - laquofi- a 2g 21 c

( 1 + k - o 2 1)

X[- V 2 o 2 1V 2

22 - Duas fases

0 valor de k pode ser aproximado para

k = a(l - o 2 1)

onde segundo Richardsons para fluxo de duas fases podemos supor

a = 02

Para fluxo homogeacuteneo sabemos que

75

p = p f (1 -a ) + p o a

podemos supor p bdquo a = 0 pois p e pequeno e fazendo

V = V ~ V fbdquo2 go2 v 2

Substituindo estas duas expressotildees na equaccedilatildeo de uma soacute fase vem

2 2 p V (l-ct) p V (1 -a ) bdquo

P l P 2 = 9g ( 1 + 3 - 3 0 ^ - 0 ^ ) = g (a+1) (l-a^)

Se a = 02

2 12p oV 0

p r p

2 - 9g gt d-) d-sigt

A compressatildeo de um fluido acarreta uma perda de pressatildeo

como pode ser verificado pelas formulas uma vez que lt 1deg

3 ANALISE HIDRODINAcircMICA DE UM CIRCUITO EM CIRCULACcedilAtildeO NATURAL

Esquema deacute uma caldeira com circulaccedilatildeo natural

76

Determinar a velocidade em (7) para que tenhamos circula

ccedilatildeo natural Determinar tambeacutem as perdas de pressatildeo em todos os

trechos da caldeira

31 - Contraccedilatildeo das secccedilotildees (1) - (2)

Como jaacute vimos a equaccedilatildeo do balanccedilo das pressotildees eacute

1 pr Vl 1 p 2 o V 2 P2 V2

1 2 g 2 + 2 g + K12 2g otilde c amp c e c

bullraquo 2 o2 2 e havendo uma soacute fase k 1 9 = (l-o ) = (1 mdash ) e sendo

C 2

p l = p2

v x lt lt lt v 2

P 2 V pr p2 bull ir2 bull ( 1 + k12gt

Colocando em termos de temos

A 2 V 2 P 2 = A 7 V 7 p 7 (continuidade)

V = V mdashbull = V o_bdquo ~ A 2 2 2

P 2 V - p 2

p r p 2 = ir2 - deg72 bull Ccedilrgt bull lt 1 + ki2gt

fazendo

N12 - lt^gt deg72 ( 1 + k12gt

P7 V7

Pr P2 - N12 bull HG

77

3 2 - Perda de carga no trecho ( 2 ) - ( 3 )

Como haacute apenas uma fase soacute temos perdas por atritos e

perdas hidrostaacuteticas

Sendo como jaacute vimos

2 3 p 2 2 g P 2 P 3 = f 2 3 (r~2g^~) L 2 3 g c p

atrito hidrostaacutetica

Substituindo V^ pela relaccedilatildeo do item anterior e tendo em

conta que p = vem

P -P = f 2 r 3 2 3 D

2 3 p 2 bdquo 2 2 p 7 2

2 g 7 72 p 2 3 g

Se

L 2 3 2 p 7

2 3 2 3 D 2 a 7 2 p 2

P 7 V 7 g P 2 - P 3 = N 2 3 ( mdash gt p 2 L 2 3 f

3 3 - Expansatildeo nas secccedilotildees ( 3 ) - ( 4 )

Como vimos o balanccedilo das pressotildees e

2 2 2 p V p 4 V p V

P 3 + 2 g c

P 4 + 2 g c

+ k 3 4 2 g c

onde

k 3 4 - - -

2 2 1 P 4 - V 4 P 3 v 3

P 3 P 4 = 2 g + ( k 3 4 _ 1 ) 2 g

78

Sendo

P 3 - P 4

p 3 o A 3 deg V 3 = P 7

a A 7 o V 7

P 4A 4 0V 4 = P r A r V

3 7 A 3 p 3

A7 P7 V = v mdash mdash 4 7 P 4

P - P 3 r4

Se

P bdquo - P

bdquo2 r-P 7 V 7

3 4 2g deg74 + ( k 3 4 1 ) deg73

34 p deg74 + ( k 3 4 1 ) 73

p r v2

P3- P4 ^ N34 ^ gt

(No caso e negativo)

34 - Contraccedilatildeo nas secccedilotildees (5) - (6)

Ainda temos uma so fase e fazendo o balanccedilo das pressotildees

como fizemos no item 3lt1 vem

P + vil p + vi + k vi P 5 + 2gbdquo P6 + 2gbdquo + k56 2gbdquo

k 5 6 lt 1 ^ gt 2 ( 1 - Iacute 2 i 2 6

V V6 P5degIacute 5^6 ^SS 2g c - 2g c

P - P ^ = (1+kJ

Como

79

A 6

W p 5 =

VV P6 V 5 = V 6 Jiexcl = Vff65

P 5-P 6 - lt H k 5 6 ) mdash ^ mdash (l+k 5 6-a 6 5) c c c

Sendo

Se

A 7 p 7 p 7

6 7 Ag p 6 7 76 p 6

p _p _ P6- V7- g76 iquest72 ( _ 02 P 5 P 6 2g c bull ( p 6

( 1 + k 5 6 deg65 )

p 7 2 2 N56 = p ^ deg76 ( 1 + k 5 6 ~ a 6 5 )

P 7 V 2

7

P r-P = N r 5 6 56 2g c i

35 - Perdas de pressatildeo nas zonas (6) - (7) - Pre^aquecimento

Nesta regiatildeo temos perdas por atrito e hidrostaacuteticas

Nao haacute perda por aceleraccedilatildeo pois ainda natildeo houve formaccedilatildeo de boshy

lhas

Fazendo balanccedilo das pressotildees temos

L_ ppound-V p = p + otilde L - pound _ + f -Si (-21mdashL 6 7 + p67 L67 g + t 6 7 D K 2g

p _ e ifn sao tomados como valores meacutedios 67 67

P _p _ f hl ^67jIacute uuml + - L A

6 F 7 r67 D 2g P P67 L67 g 6 s c 7 c

S e Kr pound67 L67 p67 6 7 D 6 p7

p7 V - _g_ P6- P7 - N67 mdash + P67 L67 f

c c

80

36 - Perda de pressatildeo nas zonas (7) - (8) - Zona de ebuliccedilatildeo

Nesta regiatildeo j aacute temos o aparecimento de bolhas logo a

perda de pressatildeo seraacute devida agraves t recircs parcelas aceleraccedilatildeo a t r i t o

das duas fases liacutequidas + vapor e h idros taacute t ica

onde

Assim

P-P Q = AP + AP + APbdquo 7 8 a t r i t o acel H

T M1

78 p 7 7 AP - R f- - mdash mdashr |R = fator mult ipl ica-

a t r i t o 7 D 7 2 g c L tivo

G 2

AP bull r mdash acel g c

P V

|_1 - o a p J 8 P f

2 t r 2 M2

7 7 r 7 7 A P a c e l = -J^mdash 2 r bull p 7 lt T iexcl iexcl - )

A PH p 7 8 L 7 8 fiexcl

p 7 8 iacute 7 li 1 0 0 P l i q + a P v ] d L = P 7 ( 1 - laquo 7 8 )

ag raquo fraccedilatildeo de vazio media entre 7 e 8

APH = p (1 - 5 7 g ) f- L 7 8

2 2

P 7 - P 8 a 5 - 2 T i + 2 r p 7 + P 7 ( 1 - 7 8 gt f L 7 8 7 amp c amp c amp c

81

N 7g = R mdash + 2 r p 7

P7 V7 P7- P8 = N78 + P 7 ( 1 5 7 8 gt J78

37 - Expansatildeo nas secccedilotildees 8 e 9

No caso haacute uma expansatildeo com duas fases e como vimos no

item 12 a variaccedilatildeo de pressatildeo era dada por

0f Vo P2 P1 = ~2g c ( 2 deg12

x 2 (mdash)(mdash - mdash ) + ( l - x ) 2 ^ T mdash 8 1 2 1

12

Aplicando ao nosso caso

P pound = P 7

P -P = 8 9

V - V raquo V g f 7

P 7 V 2

2 pf 1 a89 2 1 g89 x (mdash) ( ) + (1-x) (- - N

o ou abdquo 1-cu l-ot_) g 8 9 8 9

Se

N 89

= 2 a 89

2 pf 1 deg89 2 1 CT89 x (mdash) ( ) + (1-x) ( T

g 8 9 8 9

P -P = 8 9

- N P7deg V7

89 2gbdquo

38 - Perda de pressatildeo no trecho 9 e 10

No referido trecho temos apenas perda de pressatildeo por atr L

to da fase liacutequido + vapor e perda hidrostaacutetica Natildeo haacute perda por

aceleraccedilatildeo do vapor pois este natildeo recebe mais calor e portanto

o 82 o

nao ha variaccedilatildeo no a

p

Q -p i n = A P

U + A P bull 9 10 H atrito

n T -S_ P9 U10 deg 910 bull g

fio r

910 I 910

J9 L

(l- a)P + Q P I dL liq v

(l-a0) p

No caso a = (nao hatilde variaccedilatildeo de forma)

A P H - (1-a ) P (p L 0

c

AP bdquo = R o

atrito

2 f9 o L910 P9 V9

2g

Supondo

= V

P 9 = P 8 P 7

vbdquo = v 9 8 0 A r

= V 7 bull deg89

AP - R atrito

2 2

W l O p7deg V7deg g89

V P10 R -^T^ bull deg89 bull li-2 + ( W P 7 (fgt SIO

y c c

Se

- f9 L910 2 N9ol0 R Dl deg89

w 2

p rv P9 P10 = VlO + ( 1 a 9 ) p7 (f gt L910 c

33

39 - Perda ciacutee pressatildeo na expansatildeo 9 - 1 0

Analogamente a expansatildeo 8 - 9 temos

10 11 P 7 2g

10 Iacute 2 0 1 0 - 1 1 gt

2 ff

pg aio

10-11

laquo11 ) +

Ll-a 1 0 bull l-a u J

Se

V10 = V 9 = V 8 bull T9 = V 7 deg89

P -P 10 rll = - a 2g 089 ^lO-ll

4 bull T~ bull (7 1 mdash ) + Pg degio a n

+ (l-x)2(- 1 10-11

1 - aio )

N10-ll = 2 a10-ll a89 2 pf t 1 10-11 N2

-(j-r- - ) bull+ (1-x) pg aio deg 1

10-11 k l - a io

prz P10 Pll = - N10-ll bull ( 2gbdquo

310 - Calculo de V

Fazendo a somatoacuteria de todas as expressotildees (P^-Pj) tere-

84

mos 2 PbdquoV_

P bdquo - P bdquo = N 7 v 7

1 2 12 2g

bull 2 - P 3 - = N 2 3 P 2 L 2 3 f c ccedil

9 P 7 V 7 P _p = N mdash -

3 4 34 deg 2g

V P 5 = deg

2 P V

5 6 56 2 g c

ltr2

P 7 -V 6 e7 -N67 2g + p 6 7 J j67 g

c bc v 2

P 7 - P 8 = N 7 8 - 2 i ~ + p 7 ( 1 - laquo 7 8 ) L 7 8 c

P 7 V 7

P - P - -N mdash - -8 9 89 2g

c P 7 V 7

P 9 ~ P 1 0 VlO 2g + ( 1 a 9 P 7 L 9 c

P 7 V 7

bull10 11 U10-ll 2g

P v iacute j P - P

1 11

7 - v 7 3 bull r

2 8 i U L 2 23 67

(l-5 7 8) L 7 8 + ( l - laquo 9 ) P 7 bull SlOtilde]- ^

Por ou t ro lado sabemos que como secccedilotildees 1

mesmo n iacute v e l

85

s c p r v 7 j

28 Z N i ij

= P 2 L23 p67 L67 P 7 ( 1~deg78 )

78 ~ ^g) bull P 7 bull L 910 g_

V - 2 g ( p r L 2 3 - p 6 r L 6 7 - p 7 ( l - atilde 7 8 ) L 7 8 - (l-a9) p L 9 a ( )

y N

Com esse valor de podemos determinar todas as variashy

ccedilotildees de pressatildeo (P^-P )

BIBLIOGRAFIA

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tituto de Energia Atocircmica de Sao Paulo em 1966 (roteiro)

- WR Gambill - Nuclear Safety

Vol 9 - n9 5 e 6

Vol 6 - n 2 (pag 152)

Vol 4 -r n9 1 (pag 30)

Volbdquo 5 - n 2 (pag 151)

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~ El Wakil - Nuclear Power

- Jakob Max - Heat Transfer (vol I)

Mc Adams - Heat Transmission

- Paul A Lottes - Argonne National Laboratory

- AKL - 6469

- ANL - 6561

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Frank Kreith - Principles of Heat Transfer

Journeacutees Internationales de la transmission de la chaleur

Seminaacuterios realizados em Paris em 1961 sob a supervisatildeo do

Prof Marcel Veron

Notas de aula da Cadeira de Termodinacircmica I e Transmissatildeo da

Escola Politeacutecnica da Universidade de Sao Paulo

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56

e o titulo do vapor para a particular secccedilatildeo (AL) da figura (3)

Devemos notar que neste caso x varia de secccedilatildeo para secshy

ccedilatildeo do tubo o exposto no paraacutegrafo acima vale considerando-se que

x e a permaneceram constantes na secccedilatildeo de espessura AL

Aplicando a equaccedilatildeo da continuidade as velocidades do va

por e liacutequido sao dadas por

o xm v

V vazatildeo = g g area A

V

(1-x) amp t v f

f A f

onde A e A f sao as aacutereas medias perpendiculares ao fluxo se as

duas fases sao imaginadas completamente separadas uma da outra

(figura 3) Assim temos

V x m v o A_ A v 0 ^ - 2 = iacute S t m _2L- JL JS m

V A (l-x)ui v 1-x A v U

f g t f g f

Sabemos ainda que para a secccedilatildeo considerada

volume do vapor na mistura a = volume total da mistura (agua+vapor)

A AL A pound g g

a = mdash a a = - mdash 1

(A+A )AL A f + g

A ou f _ 1 - a

A a 8

Substituindo em (2) vem

57

Esta expressatildeo pode ser rearranjada e obteremos uma relashy

ccedilatildeo entre x e a levando em conta o escorregamento Chega-se a

a = 1 ( 3 )

1+ [U-x)x3 igt

onde

v 4 laquo -- S

v lty o

Note-se que quando S=l (nao haacute escorregamento) caimos na

expressatildeo dada no item anterior

0 efeito do escorregamento eacute decrescer o valor de a pa_

ra um mesmo xbdquo Isto pode ser visto pela foacutermula (3) pois S gt lLo

go a decresce com acreacutescimo de S

Um alto S e entatildeo uma vantagem tanto para a transferecircnshy

cia de calor como para efeitos de moderaccedilatildeo Eacute uma vantagem para

transferecircncia de calor porque alto S significa alto V e portanto

maior turbulecircncia e maior contato do liquido com as paredes quenshy

tes Ha tambeacutem melhorias na estabilidade da reaccedilatildeo nuclear isto

porque como jaacute dissemos quando mdash7 diminui a estabilidade aumenshy

ta isso pode ser verificado observando a curva a versus x para a

agua leve a 1000 psiabdquo

Fig 4

58

A relaccedilatildeo entre x e a da equaccedilatildeo (3) so vale para secccedilatildeo

de tubo bem pequena

Devemos notar que S varia tambeacutem com a pressatildeo e velocida^

de de entrada do liacutequido no tubo Este efeito pode ser observado na

figura 5 abaxxo obtida esperimentalmente

s

3

~^ ~ psig

x = 001

V 1

Fig 5

Nos projetos de reatores como veremos adiante o valor a

geralmente eacute determinado por consideraccedilotildees nucleares (moderaccedilatildeo) 0

valor de S eacute determinado atraveacutes de uma estimativa ou entatildeo atrashy

veacutes de um graacutefico do tipo da figura 5 0 correspondente valor de x

pode ser obtido de uma foacutermula empiacuterica do tipo

1 = 1 (-S)0gt67

proposta por Von Glahn

Em muitos casos assume-se S constante em todo o comprimeiv

to do canal poreacutem eacute um erro que em muitos casos nao pode ser coshy

metido

4 REATORES EM QUE 0 LIacuteQUIDO B MODERADOR E CIRCUITO PRIMAacuteRIO AO

MESMO TEMPO BOILING-REACTOR (BWR)

A aacutegua ao se movimentar atraveacutes dos vaacuterios canais do

59

Boiling-reactor encontra vaacuterias resistecircncias ao fluxo que provoshy

cam uma reduccedilatildeo de pressatildeo no fluido

As duas perdas mais importantes sao perda de pressatildeo por

atrito e perda de pressatildeo causada pela aceleraccedilatildeo do refrigerante

ao aumentar de volume por receber calor num canal Outras perdas

de pressatildeo seriam a obstruccedilatildeo ao fluxo por corpos submersos (espa_

ccediladores juntas de tubos chaves etc) e por mudanccedilas abruptas de

aacuterea de fluxo tanto na entrada como na saiacuteda do tubo

Essas perdas de pressatildeo devem ser conhecidas o melhor popound

sivel principalmente nos reatores BWR Para tanto devemos saber

o comprimento de canal em que nao ha a ebuliccedilatildeo isto eacute qual o com

primento de canal em que o refrigerante vai da temperatura de sub-

resfriamento ate temperatura de saturaccedilatildeo

Seja o elemento combustiacutevel

Aquecimento Uniforme Aquecimento Senoidal

Fig 6 Fig 7

onde

H =

H = o

H b

comprimento do elemento combustiacutevel

cota onde o liquido se torna saturado

comprimento do elemento combustiacutevel em que ocorre

ebuliccedilatildeo

60

qg = calor sensiacutevel acrescentado ao liquido para satushy

raacute-lo

qfc = calor total acrescentado ao liacutequido em todo o com

primento do canal

laquoo

q s J o qiquest sen (IIzH) n H o

T~ = TH = 2 ( 1 c o s gt ( a )

q 1 sen (HzH) Jo ^c

A expressatildeo (a) vale quando tivermos uma adiccedilatildeo de calor

senoidal para qualquer outra forma de adiccedilatildeo de calor faz-se um

caacutelculo anaacutelogo

Outra relaccedilatildeo entre q g e qfc eacute dada pela termodinacircmica

q h- - h s f m (b)

(hr +x h )-hm ^t f e fg

onde

= entalpia para o liquido saturado a pressatildeo correjs

pondente (cota z = Ho)

hffi = entalpia do liacutequido na entrada do canal

x = tiacutetulo do vapor na saiacuteda

= entalpia do vapor

Com a relaccedilatildeo (b) noacutes determinamos a relaccedilatildeo q q ecom

S L

uma relaccedilatildeo do tipo (a) (conforme seja o adicionamento de calor ao

liacutequido) podemos obter a relaccedilatildeo HoH e consequentemente H^H

21 - Perda de pressatildeo num canal de evaporaccedilatildeo

Neste item iremos determinar as perdas de pressatildeo mais

representativas que ocorrem num canal de evaporaccedilatildeo de um reator

P + dP

bull1 i- 1 gti i i

dL

onde

UM

Icirc H Icirc Icirc T dF f t f

61

Quantidade de Mov na Entrada

= i- rigVg)

dF f l

Fig 8

m i

m 8

V l V 8

A P

dF

dF

dF

fg

fl

ftf

descarga do liacutequido

descarga do vapor

velocidade do liquido

velocidade do vapor

aacuterea transversal do canal

forccedila de atrito do vapor com parede

forccedila de atrito do liacutequido com parede

forccedila de atrito das duas fases liacutequido+vapor

Fazendo o balanccedilo das forccedilas considerando o sentido posjL

tivo na vertical temos

A (P-P-dP)-(dF +dF _+dF _)-(-pound-) (p A+p A )dL = mdash dGnV+m V ) P fg ftf fl g c 1 1 g g g c

v 1 1 g g 7

- dP = ~ (dF +dF--+dF)+- S--7=- (p A+p A )dL+ mdash ~ - d (m-V+m V ) A_ fg ftf fl g c Ap v^l 1 g g g A 11 g g

Fazendo a integraccedilatildeo termo a termo entre os dois extreshy

mos entrada e saiacuteda e considerando a pressatildeo de entrada igual a

P q e a de saiacuteda igual a Pe vem

Quantidade de Mov na Saiacuteda

-= h I- lY l+ A g V g + d ( aacute l V l + aacuteeVl

Forccedila de Gravidade

= ( g f - N P A + P g V

62

b) r e F f l

o p dp^ = Ap^ = perda de pressatildeo por atrito

do liacutequido na altura Ho

Aplicando a formula de Darcy vem

bull API = f bull ir bull ^ iexcl 7

onde

f = fator de atrito

c) e Fftf

o p ^P tpound

= perda de pressao por atrito da mistura

liquido + vapor no trecho de comprimen

to Hbdquo o

Para determinar esta perda de pressao define-se o fator

de multiplicaccedilatildeo R

A P R =

tf A P 1B

Sendo A p ^ a perda de pressao se o comprimento todo fosshy

se ocupado somente pelo liquido assim

A p t f = R A P 1 B

0 calculo de Ap-^ pode ser feito pela formula de Darcy e

o de R nos veremos no item seguinte

63

d)

-e F

d ( ^ )

O P

Ap = perda de pressatildeo por atrito do vapor

No caso do reator BWR o titulo de saida e bera pequeno e

em nenhum caso ocorre a saida de vapor com x = 100 logo a perda

de pressatildeo por atrito do vapor eacute nula assim

An = 0 5

e) Ap

(p A 1 + p A ) dL = Ap - perda de pressatildeo dpound

vida ao desniacutevel

(perda hidrostaacutetica)

Anbdquo = re A A

-S- I (p + p -S ) dL H s 1 A

c o p o A

como A A Jl_ =

A P

A +A-g 1

1-a -

temos

C Q

te j jll-a)p1 + apg)^jdL = p Lo pound

onde

e jo u

+ ap ) ~I dL (Densidade media 1 S J

no tubo)

No nosso caso

Ap u = p H

f)

re d(mV + m V ) _ mdash - laquo -i bull s iquestp laquos p e r d a ltje pressatildeo devido a acele-

c p raccedilatildeo do vapor

V A

(1-x) tl^Vj

(1-a) A

X V

aA

A p -

roV + m V

c p c p L_

m (l-x)m_v m xv nbdquo -1 T 1

+ _S S I (1-a) Ap aA

P

2 g A c p

n 2 2

(1-x) m T

laquo2 8 A c p

2 2 (l-xe) raTv1

2 2 2 xm_v (1-x) m-v e T s o 1 1

a 1 - a

2 2 - x m_v o T g

a

se

X Q 0 (so ha agua nesse trecho)

a = 0 o

temos

mbdquo Ap =

1 a A 2

S A degc p laquo-

tt-V v i 1 - a

2 via T^r - v i

t Apc

2

V v l

5c Ap

1 - a

x v - 1

a e v l

65

Fazendo

G = fluxo total da massa por unidade de area do

canal

(1-x J e

V

AP r

Assim a perda de pressatildeo total sera

H p V II pV r2 P -P = f -24-Iuml+ f R+p 0 1 2g c D e 2g c g c g c

2c2 - Determinaccedilatildeo do fator de multiplicaccedilatildeo (R)

221 - Relaccedilatildeo Martinelli-Nelson

Os autores Martinelli-Nelson determinaram experimental -

te esse fator R para varias LIT1L em funccedilatildeo da pressatildeo e da r NB total J v

qualidade de saiacuteda do vapor no canal Construiacuteram assim vaacuterias

curvas do tipo da figura 9

66

E importante notar que a qualidade do vapor (x) na saiacuteshy

da nao deve ser grande pois como vemos o valor de R cresce muishy

to com um aumento pequeno de x e um valor de R muito grande acar_

reta uma perda de pressatildeo grande pois

^ d u a s fases R ^ f a s e liacutequida

Para resolvermos um problema seguindo o criteacuterio de bdquo

Martinelli escolhemos a curva R = f(px) (para a relaccedilatildeo L

N g ^ j

adequado) e tiramos R com os valores de pressatildeo p e tiacutetulo x

As curvas R = f (p x L T t )IO encontram-se nos ANL 6469 bio I

e 6561

222 - Relaccedilatildeo Lottes-Flinn

Estes autores estudaram o problema para o aquecimento uni

forme do refrigerante com baixo titule Lottes-Flinn fizeram inuacuteshy

meras experiecircncias e verificaram que para fluxo de calor uniforshy

me e baixos titulos R era independente do fluxo de calor fluxo

do refrigerante escorregamento e apenas funccedilatildeo de a g

Como a quantidade de liacutequido eacute muito maior que a de vashy

por a perda de pressatildeo daacute-se principalmente pelo atrito do liacuteshy

quido com a parede Podemos assim escrever a foacutermula de Darcy

na forma diferencial

dz

d = f __ r e amp c

onde

V = velocidade do liquido saturado na cota zbdquo X

f = coeficiente atrito

= densidade do liacutequido saturado

Teoricamente a queda de pressatildeo deve-se ao acreacutescimo de

67

velocidade do liacutequido e da diminuiccedilatildeo da aacuterea de fluxo do liacutequi

do

P fH A P t p

= f D 2g Ho

d z

fazendo

V lo

m V t lo

(velocidade do liacutequido na cota z = Ho)

(1-x) m t v 1

(1-a) A (velocidade do liacutequido na cota z gt Ho)

a bull+ fraccedilatildeo vazio na cota z geneacuterica

V 1 (1-x) m t v 1

m t V l 1 - a

x =s 0 pois o tiacutetulo eacute baixo

A p t f = f bull JT5 c e

fH V lo

H o (1-a) dz

Para fazer a integral devemos achar a relaccedilatildeo de variaccedilatildeo

entre a e z Como o fluxo de calor eacute uniforme a qualidade eacute direshy

tamente proporcional a z

bull laquo x = x e H

z = mdash x X e

Sabemos ainda que (item 113)

x

1 + [ ( I -X)AKQ x + iiacuteraquo

68

como

temos

(1-x) = 1

v

X =

z =

1-a

1 -a

1-a e

a

e

1-a pound

a

1 -a igt (assumindo S = cte)

da

Atf - f bull 2 i ^ ~ J c e o

a 1 - a e e 1 s 4 hmdash) da

a 1-a

f P lv^ Q

0 termo mdash - mdash e a parte de perda de pressatildeo pelo lj^

^c e -quido ou seja Ap liquido saturado e como

Ap

R = tf

Ap liauido saturado

temos que

R J

f ae 1 _ a e 1 4

a 1 -a o e

1 -a r-R =

3 1 -a

a 1 -a imdash

3 vl - a 3

e e

Os valores de R obtidos por esta expressatildeo aproximam-se

muito dos valores obtidos pelos aacutebacos de Martinelli

69

E - EXPANSAtildeO E COMPRESSAtildeO DE UM FLUIDO - ANAacuteLISE HIDRODINAcircMICA

DE UM CIRCUITO EM CIRCULACcedilAtildeO NATURAL

1 EXPANSAtildeO NO FLUXO DE UM FLUIDO

11 - Uma so fase

Figura 1

Ha vaacuterios meacutetodos para determinar a variaccedilatildeo de pressatildeo

numa expansatildeo de fluido estudaremos o de Romie que eacute o que daacute

maior precisatildeo

Romie considera que a pressatildeo p^ tambeacutem atua na aacuterea

imediatamente apos a expansatildeo Assim fazendo o equiliacutebrio das foi

ccedilas nas secccedilotildees tracejadas da figura 1 temos

mVj

p r A 2 + mdash

mV

bull 2- A2

mas

m = pV^A^

pV^A = p V 2 bdquo A 2

V A

v 2 -4r-logo

( P l-P 2) A 2 = f ( V ^ ) - f _ v j amp c c 2

70

2 pV A A pV A A

Chamando A l A ]

K = 1 - T e degi2 = Aiexcl bull V E M

pvj

P l P 2 = T ~ bull ( 2 deg 1 2 ) ( 1 _ a 1 2 )

Outra maneira de chegar atilde diferenccedila de pressatildeo ( P j - ^ ) s mdash

ria usar o coeficiente de perda da mecacircnica dos fluidos Assim o

equilibrio das pressotildees eacute

2 2

1 V l 1 V 2 V l P i + _ p _ ^ P 2 + I p ~ + k 1 2 p mdash

onde = coeficiente de perda

A 2 1 2

k 1 2 - (l-o 1 2) - (1 - j- )

Fazendo as transformaccedilotildees chegamos a mesma expressatildeo obshy

tida pelo balanccedilo das forccedilas

PraquoIacute pr p

2 - - ir ^ laquo-ia

12 - Duas fases

Como ha duas fases a equaccedilatildeo do balanccedilo das forccedilas fica

um pouco alterada

m pound 1 V- m - raquoV - m-V- m bdquoV _ P A + j y ^ i + _gl_JUuml P A + -11-11 + -ilsl (a)

1 2 e R 2 2 ff e

Sabendo que

71

m (1-x) m t = p fA (1-a) V f

entatildeo

fl l-o^ p fA x

6 Vf2 1-x l-a2 P fA 2

m V = mdash mdash e V 0 = gl a 1 P C T A 1 g2

m

a_ p h

2 g 2

Nas expressotildees anteriores o x nao varia porque a expansatildeo

5 adiabaacutetica porem o a varia devido a modificaccedilatildeo do tamanho da

bolha

Substituindo os valores das velocidades na expressatildeo (a)

vera

( P - P ) Abdquo =

2

2 2 m gt2 2 m t (1-x) 1 x t

ra i 2 m i 1 x t 1

p fA 1 g c ttl p Ax gpound

m t P - P = mdash

(1-x) (l-a 1)A 1A 2 (l-a2)A|

a r A r A 2

V A 2

m t P bdquo - P = mdash 2 1 g c A r A 2 p f

(1-x) 1-a f A 2(l-a 2)

bull ^ 2

72

Se

P -P

a

m

g

12

1 _1_ (1-x)

J12

1 _ a l 1 - a 2 + X (- )

Pg

1 deg12 a 2 ^

Sabemos que

mt = V o pf laquo A l

Sendo V q = velocidade do liquido num ponto onde natildeo haja vapor

P 2-P 1

u 2 2 A 2

V pr Ai

V W p f

(1-x) 12

l-a1 l-a2

+ X 2 pf

mdash

l deg12

-1 a 2 _

p -p r 2 Al (2a 1 2)

2 M f w 1 deg12 X (mdash) (

pg al a 2 )+(l-x)C l 1 12

1-a^ l-a2

Devemos notar que esta expressatildeo tambeacutem vale para quando

temos uma fase para isso basta fazer

= c t 2 = 0

X = 0

e recairemos na formula do item anterior

2 pf 1 deg12 Observemos que neste caso o termo x (mdash)( ) nao

Pg al a2

2

73

tem significado pois corresponde a mudanccedila de fase

2 CONTRACcedilAtildeO KO FLUXO DE UM FLUIDO

21 - Uma so fase raquo mdash

Aqui ocorre um fenocircmeno importante pois o fluido ao ser

contraiacutedo nao vai diretamente da area A^ para a area A 0 mas ele

contral-se ate uma area A^ e depois expande-se ate k^

Ao A2

Po IP 2

V 2

Figura 2

Fazendo o equiliacutebrio das pressotildees entre os planos (1)

(0) vem 2 2

pV pV p +~ plusmn - P + i deg bull 1 2 g o 2 g (b)

C x

Fazendo equiliacutebrio da expansatildeo (0) - (2) vem

P o + 2 - f = P 2 + 2 -T + kp- 2 F ( c )

c c b C

Subtraindo (b) - (c)

2 2 2

i p- vj i p- v2 L P l + 2 bull g c

P 2 + 2 2g c

+ k P 2g c

74

Como

P - P = mdash 2 2g

2 2

bull (1 + k) - f bdquo mdash i

k a - f2 ) 2 - d - o c )2

= o

A = a 21

Weisback obteve varias relaccedilotildees entre a e a i] c

01 02 03 a 0624 0632 0643 c

0624 0632

A r v i - V v 2

p -p 1 2

P -P 1 2 2g7

v l =

(1+k) - laquofi- a 2g 21 c

( 1 + k - o 2 1)

X[- V 2 o 2 1V 2

22 - Duas fases

0 valor de k pode ser aproximado para

k = a(l - o 2 1)

onde segundo Richardsons para fluxo de duas fases podemos supor

a = 02

Para fluxo homogeacuteneo sabemos que

75

p = p f (1 -a ) + p o a

podemos supor p bdquo a = 0 pois p e pequeno e fazendo

V = V ~ V fbdquo2 go2 v 2

Substituindo estas duas expressotildees na equaccedilatildeo de uma soacute fase vem

2 2 p V (l-ct) p V (1 -a ) bdquo

P l P 2 = 9g ( 1 + 3 - 3 0 ^ - 0 ^ ) = g (a+1) (l-a^)

Se a = 02

2 12p oV 0

p r p

2 - 9g gt d-) d-sigt

A compressatildeo de um fluido acarreta uma perda de pressatildeo

como pode ser verificado pelas formulas uma vez que lt 1deg

3 ANALISE HIDRODINAcircMICA DE UM CIRCUITO EM CIRCULACcedilAtildeO NATURAL

Esquema deacute uma caldeira com circulaccedilatildeo natural

76

Determinar a velocidade em (7) para que tenhamos circula

ccedilatildeo natural Determinar tambeacutem as perdas de pressatildeo em todos os

trechos da caldeira

31 - Contraccedilatildeo das secccedilotildees (1) - (2)

Como jaacute vimos a equaccedilatildeo do balanccedilo das pressotildees eacute

1 pr Vl 1 p 2 o V 2 P2 V2

1 2 g 2 + 2 g + K12 2g otilde c amp c e c

bullraquo 2 o2 2 e havendo uma soacute fase k 1 9 = (l-o ) = (1 mdash ) e sendo

C 2

p l = p2

v x lt lt lt v 2

P 2 V pr p2 bull ir2 bull ( 1 + k12gt

Colocando em termos de temos

A 2 V 2 P 2 = A 7 V 7 p 7 (continuidade)

V = V mdashbull = V o_bdquo ~ A 2 2 2

P 2 V - p 2

p r p 2 = ir2 - deg72 bull Ccedilrgt bull lt 1 + ki2gt

fazendo

N12 - lt^gt deg72 ( 1 + k12gt

P7 V7

Pr P2 - N12 bull HG

77

3 2 - Perda de carga no trecho ( 2 ) - ( 3 )

Como haacute apenas uma fase soacute temos perdas por atritos e

perdas hidrostaacuteticas

Sendo como jaacute vimos

2 3 p 2 2 g P 2 P 3 = f 2 3 (r~2g^~) L 2 3 g c p

atrito hidrostaacutetica

Substituindo V^ pela relaccedilatildeo do item anterior e tendo em

conta que p = vem

P -P = f 2 r 3 2 3 D

2 3 p 2 bdquo 2 2 p 7 2

2 g 7 72 p 2 3 g

Se

L 2 3 2 p 7

2 3 2 3 D 2 a 7 2 p 2

P 7 V 7 g P 2 - P 3 = N 2 3 ( mdash gt p 2 L 2 3 f

3 3 - Expansatildeo nas secccedilotildees ( 3 ) - ( 4 )

Como vimos o balanccedilo das pressotildees e

2 2 2 p V p 4 V p V

P 3 + 2 g c

P 4 + 2 g c

+ k 3 4 2 g c

onde

k 3 4 - - -

2 2 1 P 4 - V 4 P 3 v 3

P 3 P 4 = 2 g + ( k 3 4 _ 1 ) 2 g

78

Sendo

P 3 - P 4

p 3 o A 3 deg V 3 = P 7

a A 7 o V 7

P 4A 4 0V 4 = P r A r V

3 7 A 3 p 3

A7 P7 V = v mdash mdash 4 7 P 4

P - P 3 r4

Se

P bdquo - P

bdquo2 r-P 7 V 7

3 4 2g deg74 + ( k 3 4 1 ) deg73

34 p deg74 + ( k 3 4 1 ) 73

p r v2

P3- P4 ^ N34 ^ gt

(No caso e negativo)

34 - Contraccedilatildeo nas secccedilotildees (5) - (6)

Ainda temos uma so fase e fazendo o balanccedilo das pressotildees

como fizemos no item 3lt1 vem

P + vil p + vi + k vi P 5 + 2gbdquo P6 + 2gbdquo + k56 2gbdquo

k 5 6 lt 1 ^ gt 2 ( 1 - Iacute 2 i 2 6

V V6 P5degIacute 5^6 ^SS 2g c - 2g c

P - P ^ = (1+kJ

Como

79

A 6

W p 5 =

VV P6 V 5 = V 6 Jiexcl = Vff65

P 5-P 6 - lt H k 5 6 ) mdash ^ mdash (l+k 5 6-a 6 5) c c c

Sendo

Se

A 7 p 7 p 7

6 7 Ag p 6 7 76 p 6

p _p _ P6- V7- g76 iquest72 ( _ 02 P 5 P 6 2g c bull ( p 6

( 1 + k 5 6 deg65 )

p 7 2 2 N56 = p ^ deg76 ( 1 + k 5 6 ~ a 6 5 )

P 7 V 2

7

P r-P = N r 5 6 56 2g c i

35 - Perdas de pressatildeo nas zonas (6) - (7) - Pre^aquecimento

Nesta regiatildeo temos perdas por atrito e hidrostaacuteticas

Nao haacute perda por aceleraccedilatildeo pois ainda natildeo houve formaccedilatildeo de boshy

lhas

Fazendo balanccedilo das pressotildees temos

L_ ppound-V p = p + otilde L - pound _ + f -Si (-21mdashL 6 7 + p67 L67 g + t 6 7 D K 2g

p _ e ifn sao tomados como valores meacutedios 67 67

P _p _ f hl ^67jIacute uuml + - L A

6 F 7 r67 D 2g P P67 L67 g 6 s c 7 c

S e Kr pound67 L67 p67 6 7 D 6 p7

p7 V - _g_ P6- P7 - N67 mdash + P67 L67 f

c c

80

36 - Perda de pressatildeo nas zonas (7) - (8) - Zona de ebuliccedilatildeo

Nesta regiatildeo j aacute temos o aparecimento de bolhas logo a

perda de pressatildeo seraacute devida agraves t recircs parcelas aceleraccedilatildeo a t r i t o

das duas fases liacutequidas + vapor e h idros taacute t ica

onde

Assim

P-P Q = AP + AP + APbdquo 7 8 a t r i t o acel H

T M1

78 p 7 7 AP - R f- - mdash mdashr |R = fator mult ipl ica-

a t r i t o 7 D 7 2 g c L tivo

G 2

AP bull r mdash acel g c

P V

|_1 - o a p J 8 P f

2 t r 2 M2

7 7 r 7 7 A P a c e l = -J^mdash 2 r bull p 7 lt T iexcl iexcl - )

A PH p 7 8 L 7 8 fiexcl

p 7 8 iacute 7 li 1 0 0 P l i q + a P v ] d L = P 7 ( 1 - laquo 7 8 )

ag raquo fraccedilatildeo de vazio media entre 7 e 8

APH = p (1 - 5 7 g ) f- L 7 8

2 2

P 7 - P 8 a 5 - 2 T i + 2 r p 7 + P 7 ( 1 - 7 8 gt f L 7 8 7 amp c amp c amp c

81

N 7g = R mdash + 2 r p 7

P7 V7 P7- P8 = N78 + P 7 ( 1 5 7 8 gt J78

37 - Expansatildeo nas secccedilotildees 8 e 9

No caso haacute uma expansatildeo com duas fases e como vimos no

item 12 a variaccedilatildeo de pressatildeo era dada por

0f Vo P2 P1 = ~2g c ( 2 deg12

x 2 (mdash)(mdash - mdash ) + ( l - x ) 2 ^ T mdash 8 1 2 1

12

Aplicando ao nosso caso

P pound = P 7

P -P = 8 9

V - V raquo V g f 7

P 7 V 2

2 pf 1 a89 2 1 g89 x (mdash) ( ) + (1-x) (- - N

o ou abdquo 1-cu l-ot_) g 8 9 8 9

Se

N 89

= 2 a 89

2 pf 1 deg89 2 1 CT89 x (mdash) ( ) + (1-x) ( T

g 8 9 8 9

P -P = 8 9

- N P7deg V7

89 2gbdquo

38 - Perda de pressatildeo no trecho 9 e 10

No referido trecho temos apenas perda de pressatildeo por atr L

to da fase liacutequido + vapor e perda hidrostaacutetica Natildeo haacute perda por

aceleraccedilatildeo do vapor pois este natildeo recebe mais calor e portanto

o 82 o

nao ha variaccedilatildeo no a

p

Q -p i n = A P

U + A P bull 9 10 H atrito

n T -S_ P9 U10 deg 910 bull g

fio r

910 I 910

J9 L

(l- a)P + Q P I dL liq v

(l-a0) p

No caso a = (nao hatilde variaccedilatildeo de forma)

A P H - (1-a ) P (p L 0

c

AP bdquo = R o

atrito

2 f9 o L910 P9 V9

2g

Supondo

= V

P 9 = P 8 P 7

vbdquo = v 9 8 0 A r

= V 7 bull deg89

AP - R atrito

2 2

W l O p7deg V7deg g89

V P10 R -^T^ bull deg89 bull li-2 + ( W P 7 (fgt SIO

y c c

Se

- f9 L910 2 N9ol0 R Dl deg89

w 2

p rv P9 P10 = VlO + ( 1 a 9 ) p7 (f gt L910 c

33

39 - Perda ciacutee pressatildeo na expansatildeo 9 - 1 0

Analogamente a expansatildeo 8 - 9 temos

10 11 P 7 2g

10 Iacute 2 0 1 0 - 1 1 gt

2 ff

pg aio

10-11

laquo11 ) +

Ll-a 1 0 bull l-a u J

Se

V10 = V 9 = V 8 bull T9 = V 7 deg89

P -P 10 rll = - a 2g 089 ^lO-ll

4 bull T~ bull (7 1 mdash ) + Pg degio a n

+ (l-x)2(- 1 10-11

1 - aio )

N10-ll = 2 a10-ll a89 2 pf t 1 10-11 N2

-(j-r- - ) bull+ (1-x) pg aio deg 1

10-11 k l - a io

prz P10 Pll = - N10-ll bull ( 2gbdquo

310 - Calculo de V

Fazendo a somatoacuteria de todas as expressotildees (P^-Pj) tere-

84

mos 2 PbdquoV_

P bdquo - P bdquo = N 7 v 7

1 2 12 2g

bull 2 - P 3 - = N 2 3 P 2 L 2 3 f c ccedil

9 P 7 V 7 P _p = N mdash -

3 4 34 deg 2g

V P 5 = deg

2 P V

5 6 56 2 g c

ltr2

P 7 -V 6 e7 -N67 2g + p 6 7 J j67 g

c bc v 2

P 7 - P 8 = N 7 8 - 2 i ~ + p 7 ( 1 - laquo 7 8 ) L 7 8 c

P 7 V 7

P - P - -N mdash - -8 9 89 2g

c P 7 V 7

P 9 ~ P 1 0 VlO 2g + ( 1 a 9 P 7 L 9 c

P 7 V 7

bull10 11 U10-ll 2g

P v iacute j P - P

1 11

7 - v 7 3 bull r

2 8 i U L 2 23 67

(l-5 7 8) L 7 8 + ( l - laquo 9 ) P 7 bull SlOtilde]- ^

Por ou t ro lado sabemos que como secccedilotildees 1

mesmo n iacute v e l

85

s c p r v 7 j

28 Z N i ij

= P 2 L23 p67 L67 P 7 ( 1~deg78 )

78 ~ ^g) bull P 7 bull L 910 g_

V - 2 g ( p r L 2 3 - p 6 r L 6 7 - p 7 ( l - atilde 7 8 ) L 7 8 - (l-a9) p L 9 a ( )

y N

Com esse valor de podemos determinar todas as variashy

ccedilotildees de pressatildeo (P^-P )

BIBLIOGRAFIA

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tituto de Energia Atocircmica de Sao Paulo em 1966 (roteiro)

- WR Gambill - Nuclear Safety

Vol 9 - n9 5 e 6

Vol 6 - n 2 (pag 152)

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- Paul A Lottes - Argonne National Laboratory

- AKL - 6469

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Frank Kreith - Principles of Heat Transfer

Journeacutees Internationales de la transmission de la chaleur

Seminaacuterios realizados em Paris em 1961 sob a supervisatildeo do

Prof Marcel Veron

Notas de aula da Cadeira de Termodinacircmica I e Transmissatildeo da

Escola Politeacutecnica da Universidade de Sao Paulo

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57

Esta expressatildeo pode ser rearranjada e obteremos uma relashy

ccedilatildeo entre x e a levando em conta o escorregamento Chega-se a

a = 1 ( 3 )

1+ [U-x)x3 igt

onde

v 4 laquo -- S

v lty o

Note-se que quando S=l (nao haacute escorregamento) caimos na

expressatildeo dada no item anterior

0 efeito do escorregamento eacute decrescer o valor de a pa_

ra um mesmo xbdquo Isto pode ser visto pela foacutermula (3) pois S gt lLo

go a decresce com acreacutescimo de S

Um alto S e entatildeo uma vantagem tanto para a transferecircnshy

cia de calor como para efeitos de moderaccedilatildeo Eacute uma vantagem para

transferecircncia de calor porque alto S significa alto V e portanto

maior turbulecircncia e maior contato do liquido com as paredes quenshy

tes Ha tambeacutem melhorias na estabilidade da reaccedilatildeo nuclear isto

porque como jaacute dissemos quando mdash7 diminui a estabilidade aumenshy

ta isso pode ser verificado observando a curva a versus x para a

agua leve a 1000 psiabdquo

Fig 4

58

A relaccedilatildeo entre x e a da equaccedilatildeo (3) so vale para secccedilatildeo

de tubo bem pequena

Devemos notar que S varia tambeacutem com a pressatildeo e velocida^

de de entrada do liacutequido no tubo Este efeito pode ser observado na

figura 5 abaxxo obtida esperimentalmente

s

3

~^ ~ psig

x = 001

V 1

Fig 5

Nos projetos de reatores como veremos adiante o valor a

geralmente eacute determinado por consideraccedilotildees nucleares (moderaccedilatildeo) 0

valor de S eacute determinado atraveacutes de uma estimativa ou entatildeo atrashy

veacutes de um graacutefico do tipo da figura 5 0 correspondente valor de x

pode ser obtido de uma foacutermula empiacuterica do tipo

1 = 1 (-S)0gt67

proposta por Von Glahn

Em muitos casos assume-se S constante em todo o comprimeiv

to do canal poreacutem eacute um erro que em muitos casos nao pode ser coshy

metido

4 REATORES EM QUE 0 LIacuteQUIDO B MODERADOR E CIRCUITO PRIMAacuteRIO AO

MESMO TEMPO BOILING-REACTOR (BWR)

A aacutegua ao se movimentar atraveacutes dos vaacuterios canais do

59

Boiling-reactor encontra vaacuterias resistecircncias ao fluxo que provoshy

cam uma reduccedilatildeo de pressatildeo no fluido

As duas perdas mais importantes sao perda de pressatildeo por

atrito e perda de pressatildeo causada pela aceleraccedilatildeo do refrigerante

ao aumentar de volume por receber calor num canal Outras perdas

de pressatildeo seriam a obstruccedilatildeo ao fluxo por corpos submersos (espa_

ccediladores juntas de tubos chaves etc) e por mudanccedilas abruptas de

aacuterea de fluxo tanto na entrada como na saiacuteda do tubo

Essas perdas de pressatildeo devem ser conhecidas o melhor popound

sivel principalmente nos reatores BWR Para tanto devemos saber

o comprimento de canal em que nao ha a ebuliccedilatildeo isto eacute qual o com

primento de canal em que o refrigerante vai da temperatura de sub-

resfriamento ate temperatura de saturaccedilatildeo

Seja o elemento combustiacutevel

Aquecimento Uniforme Aquecimento Senoidal

Fig 6 Fig 7

onde

H =

H = o

H b

comprimento do elemento combustiacutevel

cota onde o liquido se torna saturado

comprimento do elemento combustiacutevel em que ocorre

ebuliccedilatildeo

60

qg = calor sensiacutevel acrescentado ao liquido para satushy

raacute-lo

qfc = calor total acrescentado ao liacutequido em todo o com

primento do canal

laquoo

q s J o qiquest sen (IIzH) n H o

T~ = TH = 2 ( 1 c o s gt ( a )

q 1 sen (HzH) Jo ^c

A expressatildeo (a) vale quando tivermos uma adiccedilatildeo de calor

senoidal para qualquer outra forma de adiccedilatildeo de calor faz-se um

caacutelculo anaacutelogo

Outra relaccedilatildeo entre q g e qfc eacute dada pela termodinacircmica

q h- - h s f m (b)

(hr +x h )-hm ^t f e fg

onde

= entalpia para o liquido saturado a pressatildeo correjs

pondente (cota z = Ho)

hffi = entalpia do liacutequido na entrada do canal

x = tiacutetulo do vapor na saiacuteda

= entalpia do vapor

Com a relaccedilatildeo (b) noacutes determinamos a relaccedilatildeo q q ecom

S L

uma relaccedilatildeo do tipo (a) (conforme seja o adicionamento de calor ao

liacutequido) podemos obter a relaccedilatildeo HoH e consequentemente H^H

21 - Perda de pressatildeo num canal de evaporaccedilatildeo

Neste item iremos determinar as perdas de pressatildeo mais

representativas que ocorrem num canal de evaporaccedilatildeo de um reator

P + dP

bull1 i- 1 gti i i

dL

onde

UM

Icirc H Icirc Icirc T dF f t f

61

Quantidade de Mov na Entrada

= i- rigVg)

dF f l

Fig 8

m i

m 8

V l V 8

A P

dF

dF

dF

fg

fl

ftf

descarga do liacutequido

descarga do vapor

velocidade do liquido

velocidade do vapor

aacuterea transversal do canal

forccedila de atrito do vapor com parede

forccedila de atrito do liacutequido com parede

forccedila de atrito das duas fases liacutequido+vapor

Fazendo o balanccedilo das forccedilas considerando o sentido posjL

tivo na vertical temos

A (P-P-dP)-(dF +dF _+dF _)-(-pound-) (p A+p A )dL = mdash dGnV+m V ) P fg ftf fl g c 1 1 g g g c

v 1 1 g g 7

- dP = ~ (dF +dF--+dF)+- S--7=- (p A+p A )dL+ mdash ~ - d (m-V+m V ) A_ fg ftf fl g c Ap v^l 1 g g g A 11 g g

Fazendo a integraccedilatildeo termo a termo entre os dois extreshy

mos entrada e saiacuteda e considerando a pressatildeo de entrada igual a

P q e a de saiacuteda igual a Pe vem

Quantidade de Mov na Saiacuteda

-= h I- lY l+ A g V g + d ( aacute l V l + aacuteeVl

Forccedila de Gravidade

= ( g f - N P A + P g V

62

b) r e F f l

o p dp^ = Ap^ = perda de pressatildeo por atrito

do liacutequido na altura Ho

Aplicando a formula de Darcy vem

bull API = f bull ir bull ^ iexcl 7

onde

f = fator de atrito

c) e Fftf

o p ^P tpound

= perda de pressao por atrito da mistura

liquido + vapor no trecho de comprimen

to Hbdquo o

Para determinar esta perda de pressao define-se o fator

de multiplicaccedilatildeo R

A P R =

tf A P 1B

Sendo A p ^ a perda de pressao se o comprimento todo fosshy

se ocupado somente pelo liquido assim

A p t f = R A P 1 B

0 calculo de Ap-^ pode ser feito pela formula de Darcy e

o de R nos veremos no item seguinte

63

d)

-e F

d ( ^ )

O P

Ap = perda de pressatildeo por atrito do vapor

No caso do reator BWR o titulo de saida e bera pequeno e

em nenhum caso ocorre a saida de vapor com x = 100 logo a perda

de pressatildeo por atrito do vapor eacute nula assim

An = 0 5

e) Ap

(p A 1 + p A ) dL = Ap - perda de pressatildeo dpound

vida ao desniacutevel

(perda hidrostaacutetica)

Anbdquo = re A A

-S- I (p + p -S ) dL H s 1 A

c o p o A

como A A Jl_ =

A P

A +A-g 1

1-a -

temos

C Q

te j jll-a)p1 + apg)^jdL = p Lo pound

onde

e jo u

+ ap ) ~I dL (Densidade media 1 S J

no tubo)

No nosso caso

Ap u = p H

f)

re d(mV + m V ) _ mdash - laquo -i bull s iquestp laquos p e r d a ltje pressatildeo devido a acele-

c p raccedilatildeo do vapor

V A

(1-x) tl^Vj

(1-a) A

X V

aA

A p -

roV + m V

c p c p L_

m (l-x)m_v m xv nbdquo -1 T 1

+ _S S I (1-a) Ap aA

P

2 g A c p

n 2 2

(1-x) m T

laquo2 8 A c p

2 2 (l-xe) raTv1

2 2 2 xm_v (1-x) m-v e T s o 1 1

a 1 - a

2 2 - x m_v o T g

a

se

X Q 0 (so ha agua nesse trecho)

a = 0 o

temos

mbdquo Ap =

1 a A 2

S A degc p laquo-

tt-V v i 1 - a

2 via T^r - v i

t Apc

2

V v l

5c Ap

1 - a

x v - 1

a e v l

65

Fazendo

G = fluxo total da massa por unidade de area do

canal

(1-x J e

V

AP r

Assim a perda de pressatildeo total sera

H p V II pV r2 P -P = f -24-Iuml+ f R+p 0 1 2g c D e 2g c g c g c

2c2 - Determinaccedilatildeo do fator de multiplicaccedilatildeo (R)

221 - Relaccedilatildeo Martinelli-Nelson

Os autores Martinelli-Nelson determinaram experimental -

te esse fator R para varias LIT1L em funccedilatildeo da pressatildeo e da r NB total J v

qualidade de saiacuteda do vapor no canal Construiacuteram assim vaacuterias

curvas do tipo da figura 9

66

E importante notar que a qualidade do vapor (x) na saiacuteshy

da nao deve ser grande pois como vemos o valor de R cresce muishy

to com um aumento pequeno de x e um valor de R muito grande acar_

reta uma perda de pressatildeo grande pois

^ d u a s fases R ^ f a s e liacutequida

Para resolvermos um problema seguindo o criteacuterio de bdquo

Martinelli escolhemos a curva R = f(px) (para a relaccedilatildeo L

N g ^ j

adequado) e tiramos R com os valores de pressatildeo p e tiacutetulo x

As curvas R = f (p x L T t )IO encontram-se nos ANL 6469 bio I

e 6561

222 - Relaccedilatildeo Lottes-Flinn

Estes autores estudaram o problema para o aquecimento uni

forme do refrigerante com baixo titule Lottes-Flinn fizeram inuacuteshy

meras experiecircncias e verificaram que para fluxo de calor uniforshy

me e baixos titulos R era independente do fluxo de calor fluxo

do refrigerante escorregamento e apenas funccedilatildeo de a g

Como a quantidade de liacutequido eacute muito maior que a de vashy

por a perda de pressatildeo daacute-se principalmente pelo atrito do liacuteshy

quido com a parede Podemos assim escrever a foacutermula de Darcy

na forma diferencial

dz

d = f __ r e amp c

onde

V = velocidade do liquido saturado na cota zbdquo X

f = coeficiente atrito

= densidade do liacutequido saturado

Teoricamente a queda de pressatildeo deve-se ao acreacutescimo de

67

velocidade do liacutequido e da diminuiccedilatildeo da aacuterea de fluxo do liacutequi

do

P fH A P t p

= f D 2g Ho

d z

fazendo

V lo

m V t lo

(velocidade do liacutequido na cota z = Ho)

(1-x) m t v 1

(1-a) A (velocidade do liacutequido na cota z gt Ho)

a bull+ fraccedilatildeo vazio na cota z geneacuterica

V 1 (1-x) m t v 1

m t V l 1 - a

x =s 0 pois o tiacutetulo eacute baixo

A p t f = f bull JT5 c e

fH V lo

H o (1-a) dz

Para fazer a integral devemos achar a relaccedilatildeo de variaccedilatildeo

entre a e z Como o fluxo de calor eacute uniforme a qualidade eacute direshy

tamente proporcional a z

bull laquo x = x e H

z = mdash x X e

Sabemos ainda que (item 113)

x

1 + [ ( I -X)AKQ x + iiacuteraquo

68

como

temos

(1-x) = 1

v

X =

z =

1-a

1 -a

1-a e

a

e

1-a pound

a

1 -a igt (assumindo S = cte)

da

Atf - f bull 2 i ^ ~ J c e o

a 1 - a e e 1 s 4 hmdash) da

a 1-a

f P lv^ Q

0 termo mdash - mdash e a parte de perda de pressatildeo pelo lj^

^c e -quido ou seja Ap liquido saturado e como

Ap

R = tf

Ap liauido saturado

temos que

R J

f ae 1 _ a e 1 4

a 1 -a o e

1 -a r-R =

3 1 -a

a 1 -a imdash

3 vl - a 3

e e

Os valores de R obtidos por esta expressatildeo aproximam-se

muito dos valores obtidos pelos aacutebacos de Martinelli

69

E - EXPANSAtildeO E COMPRESSAtildeO DE UM FLUIDO - ANAacuteLISE HIDRODINAcircMICA

DE UM CIRCUITO EM CIRCULACcedilAtildeO NATURAL

1 EXPANSAtildeO NO FLUXO DE UM FLUIDO

11 - Uma so fase

Figura 1

Ha vaacuterios meacutetodos para determinar a variaccedilatildeo de pressatildeo

numa expansatildeo de fluido estudaremos o de Romie que eacute o que daacute

maior precisatildeo

Romie considera que a pressatildeo p^ tambeacutem atua na aacuterea

imediatamente apos a expansatildeo Assim fazendo o equiliacutebrio das foi

ccedilas nas secccedilotildees tracejadas da figura 1 temos

mVj

p r A 2 + mdash

mV

bull 2- A2

mas

m = pV^A^

pV^A = p V 2 bdquo A 2

V A

v 2 -4r-logo

( P l-P 2) A 2 = f ( V ^ ) - f _ v j amp c c 2

70

2 pV A A pV A A

Chamando A l A ]

K = 1 - T e degi2 = Aiexcl bull V E M

pvj

P l P 2 = T ~ bull ( 2 deg 1 2 ) ( 1 _ a 1 2 )

Outra maneira de chegar atilde diferenccedila de pressatildeo ( P j - ^ ) s mdash

ria usar o coeficiente de perda da mecacircnica dos fluidos Assim o

equilibrio das pressotildees eacute

2 2

1 V l 1 V 2 V l P i + _ p _ ^ P 2 + I p ~ + k 1 2 p mdash

onde = coeficiente de perda

A 2 1 2

k 1 2 - (l-o 1 2) - (1 - j- )

Fazendo as transformaccedilotildees chegamos a mesma expressatildeo obshy

tida pelo balanccedilo das forccedilas

PraquoIacute pr p

2 - - ir ^ laquo-ia

12 - Duas fases

Como ha duas fases a equaccedilatildeo do balanccedilo das forccedilas fica

um pouco alterada

m pound 1 V- m - raquoV - m-V- m bdquoV _ P A + j y ^ i + _gl_JUuml P A + -11-11 + -ilsl (a)

1 2 e R 2 2 ff e

Sabendo que

71

m (1-x) m t = p fA (1-a) V f

entatildeo

fl l-o^ p fA x

6 Vf2 1-x l-a2 P fA 2

m V = mdash mdash e V 0 = gl a 1 P C T A 1 g2

m

a_ p h

2 g 2

Nas expressotildees anteriores o x nao varia porque a expansatildeo

5 adiabaacutetica porem o a varia devido a modificaccedilatildeo do tamanho da

bolha

Substituindo os valores das velocidades na expressatildeo (a)

vera

( P - P ) Abdquo =

2

2 2 m gt2 2 m t (1-x) 1 x t

ra i 2 m i 1 x t 1

p fA 1 g c ttl p Ax gpound

m t P - P = mdash

(1-x) (l-a 1)A 1A 2 (l-a2)A|

a r A r A 2

V A 2

m t P bdquo - P = mdash 2 1 g c A r A 2 p f

(1-x) 1-a f A 2(l-a 2)

bull ^ 2

72

Se

P -P

a

m

g

12

1 _1_ (1-x)

J12

1 _ a l 1 - a 2 + X (- )

Pg

1 deg12 a 2 ^

Sabemos que

mt = V o pf laquo A l

Sendo V q = velocidade do liquido num ponto onde natildeo haja vapor

P 2-P 1

u 2 2 A 2

V pr Ai

V W p f

(1-x) 12

l-a1 l-a2

+ X 2 pf

mdash

l deg12

-1 a 2 _

p -p r 2 Al (2a 1 2)

2 M f w 1 deg12 X (mdash) (

pg al a 2 )+(l-x)C l 1 12

1-a^ l-a2

Devemos notar que esta expressatildeo tambeacutem vale para quando

temos uma fase para isso basta fazer

= c t 2 = 0

X = 0

e recairemos na formula do item anterior

2 pf 1 deg12 Observemos que neste caso o termo x (mdash)( ) nao

Pg al a2

2

73

tem significado pois corresponde a mudanccedila de fase

2 CONTRACcedilAtildeO KO FLUXO DE UM FLUIDO

21 - Uma so fase raquo mdash

Aqui ocorre um fenocircmeno importante pois o fluido ao ser

contraiacutedo nao vai diretamente da area A^ para a area A 0 mas ele

contral-se ate uma area A^ e depois expande-se ate k^

Ao A2

Po IP 2

V 2

Figura 2

Fazendo o equiliacutebrio das pressotildees entre os planos (1)

(0) vem 2 2

pV pV p +~ plusmn - P + i deg bull 1 2 g o 2 g (b)

C x

Fazendo equiliacutebrio da expansatildeo (0) - (2) vem

P o + 2 - f = P 2 + 2 -T + kp- 2 F ( c )

c c b C

Subtraindo (b) - (c)

2 2 2

i p- vj i p- v2 L P l + 2 bull g c

P 2 + 2 2g c

+ k P 2g c

74

Como

P - P = mdash 2 2g

2 2

bull (1 + k) - f bdquo mdash i

k a - f2 ) 2 - d - o c )2

= o

A = a 21

Weisback obteve varias relaccedilotildees entre a e a i] c

01 02 03 a 0624 0632 0643 c

0624 0632

A r v i - V v 2

p -p 1 2

P -P 1 2 2g7

v l =

(1+k) - laquofi- a 2g 21 c

( 1 + k - o 2 1)

X[- V 2 o 2 1V 2

22 - Duas fases

0 valor de k pode ser aproximado para

k = a(l - o 2 1)

onde segundo Richardsons para fluxo de duas fases podemos supor

a = 02

Para fluxo homogeacuteneo sabemos que

75

p = p f (1 -a ) + p o a

podemos supor p bdquo a = 0 pois p e pequeno e fazendo

V = V ~ V fbdquo2 go2 v 2

Substituindo estas duas expressotildees na equaccedilatildeo de uma soacute fase vem

2 2 p V (l-ct) p V (1 -a ) bdquo

P l P 2 = 9g ( 1 + 3 - 3 0 ^ - 0 ^ ) = g (a+1) (l-a^)

Se a = 02

2 12p oV 0

p r p

2 - 9g gt d-) d-sigt

A compressatildeo de um fluido acarreta uma perda de pressatildeo

como pode ser verificado pelas formulas uma vez que lt 1deg

3 ANALISE HIDRODINAcircMICA DE UM CIRCUITO EM CIRCULACcedilAtildeO NATURAL

Esquema deacute uma caldeira com circulaccedilatildeo natural

76

Determinar a velocidade em (7) para que tenhamos circula

ccedilatildeo natural Determinar tambeacutem as perdas de pressatildeo em todos os

trechos da caldeira

31 - Contraccedilatildeo das secccedilotildees (1) - (2)

Como jaacute vimos a equaccedilatildeo do balanccedilo das pressotildees eacute

1 pr Vl 1 p 2 o V 2 P2 V2

1 2 g 2 + 2 g + K12 2g otilde c amp c e c

bullraquo 2 o2 2 e havendo uma soacute fase k 1 9 = (l-o ) = (1 mdash ) e sendo

C 2

p l = p2

v x lt lt lt v 2

P 2 V pr p2 bull ir2 bull ( 1 + k12gt

Colocando em termos de temos

A 2 V 2 P 2 = A 7 V 7 p 7 (continuidade)

V = V mdashbull = V o_bdquo ~ A 2 2 2

P 2 V - p 2

p r p 2 = ir2 - deg72 bull Ccedilrgt bull lt 1 + ki2gt

fazendo

N12 - lt^gt deg72 ( 1 + k12gt

P7 V7

Pr P2 - N12 bull HG

77

3 2 - Perda de carga no trecho ( 2 ) - ( 3 )

Como haacute apenas uma fase soacute temos perdas por atritos e

perdas hidrostaacuteticas

Sendo como jaacute vimos

2 3 p 2 2 g P 2 P 3 = f 2 3 (r~2g^~) L 2 3 g c p

atrito hidrostaacutetica

Substituindo V^ pela relaccedilatildeo do item anterior e tendo em

conta que p = vem

P -P = f 2 r 3 2 3 D

2 3 p 2 bdquo 2 2 p 7 2

2 g 7 72 p 2 3 g

Se

L 2 3 2 p 7

2 3 2 3 D 2 a 7 2 p 2

P 7 V 7 g P 2 - P 3 = N 2 3 ( mdash gt p 2 L 2 3 f

3 3 - Expansatildeo nas secccedilotildees ( 3 ) - ( 4 )

Como vimos o balanccedilo das pressotildees e

2 2 2 p V p 4 V p V

P 3 + 2 g c

P 4 + 2 g c

+ k 3 4 2 g c

onde

k 3 4 - - -

2 2 1 P 4 - V 4 P 3 v 3

P 3 P 4 = 2 g + ( k 3 4 _ 1 ) 2 g

78

Sendo

P 3 - P 4

p 3 o A 3 deg V 3 = P 7

a A 7 o V 7

P 4A 4 0V 4 = P r A r V

3 7 A 3 p 3

A7 P7 V = v mdash mdash 4 7 P 4

P - P 3 r4

Se

P bdquo - P

bdquo2 r-P 7 V 7

3 4 2g deg74 + ( k 3 4 1 ) deg73

34 p deg74 + ( k 3 4 1 ) 73

p r v2

P3- P4 ^ N34 ^ gt

(No caso e negativo)

34 - Contraccedilatildeo nas secccedilotildees (5) - (6)

Ainda temos uma so fase e fazendo o balanccedilo das pressotildees

como fizemos no item 3lt1 vem

P + vil p + vi + k vi P 5 + 2gbdquo P6 + 2gbdquo + k56 2gbdquo

k 5 6 lt 1 ^ gt 2 ( 1 - Iacute 2 i 2 6

V V6 P5degIacute 5^6 ^SS 2g c - 2g c

P - P ^ = (1+kJ

Como

79

A 6

W p 5 =

VV P6 V 5 = V 6 Jiexcl = Vff65

P 5-P 6 - lt H k 5 6 ) mdash ^ mdash (l+k 5 6-a 6 5) c c c

Sendo

Se

A 7 p 7 p 7

6 7 Ag p 6 7 76 p 6

p _p _ P6- V7- g76 iquest72 ( _ 02 P 5 P 6 2g c bull ( p 6

( 1 + k 5 6 deg65 )

p 7 2 2 N56 = p ^ deg76 ( 1 + k 5 6 ~ a 6 5 )

P 7 V 2

7

P r-P = N r 5 6 56 2g c i

35 - Perdas de pressatildeo nas zonas (6) - (7) - Pre^aquecimento

Nesta regiatildeo temos perdas por atrito e hidrostaacuteticas

Nao haacute perda por aceleraccedilatildeo pois ainda natildeo houve formaccedilatildeo de boshy

lhas

Fazendo balanccedilo das pressotildees temos

L_ ppound-V p = p + otilde L - pound _ + f -Si (-21mdashL 6 7 + p67 L67 g + t 6 7 D K 2g

p _ e ifn sao tomados como valores meacutedios 67 67

P _p _ f hl ^67jIacute uuml + - L A

6 F 7 r67 D 2g P P67 L67 g 6 s c 7 c

S e Kr pound67 L67 p67 6 7 D 6 p7

p7 V - _g_ P6- P7 - N67 mdash + P67 L67 f

c c

80

36 - Perda de pressatildeo nas zonas (7) - (8) - Zona de ebuliccedilatildeo

Nesta regiatildeo j aacute temos o aparecimento de bolhas logo a

perda de pressatildeo seraacute devida agraves t recircs parcelas aceleraccedilatildeo a t r i t o

das duas fases liacutequidas + vapor e h idros taacute t ica

onde

Assim

P-P Q = AP + AP + APbdquo 7 8 a t r i t o acel H

T M1

78 p 7 7 AP - R f- - mdash mdashr |R = fator mult ipl ica-

a t r i t o 7 D 7 2 g c L tivo

G 2

AP bull r mdash acel g c

P V

|_1 - o a p J 8 P f

2 t r 2 M2

7 7 r 7 7 A P a c e l = -J^mdash 2 r bull p 7 lt T iexcl iexcl - )

A PH p 7 8 L 7 8 fiexcl

p 7 8 iacute 7 li 1 0 0 P l i q + a P v ] d L = P 7 ( 1 - laquo 7 8 )

ag raquo fraccedilatildeo de vazio media entre 7 e 8

APH = p (1 - 5 7 g ) f- L 7 8

2 2

P 7 - P 8 a 5 - 2 T i + 2 r p 7 + P 7 ( 1 - 7 8 gt f L 7 8 7 amp c amp c amp c

81

N 7g = R mdash + 2 r p 7

P7 V7 P7- P8 = N78 + P 7 ( 1 5 7 8 gt J78

37 - Expansatildeo nas secccedilotildees 8 e 9

No caso haacute uma expansatildeo com duas fases e como vimos no

item 12 a variaccedilatildeo de pressatildeo era dada por

0f Vo P2 P1 = ~2g c ( 2 deg12

x 2 (mdash)(mdash - mdash ) + ( l - x ) 2 ^ T mdash 8 1 2 1

12

Aplicando ao nosso caso

P pound = P 7

P -P = 8 9

V - V raquo V g f 7

P 7 V 2

2 pf 1 a89 2 1 g89 x (mdash) ( ) + (1-x) (- - N

o ou abdquo 1-cu l-ot_) g 8 9 8 9

Se

N 89

= 2 a 89

2 pf 1 deg89 2 1 CT89 x (mdash) ( ) + (1-x) ( T

g 8 9 8 9

P -P = 8 9

- N P7deg V7

89 2gbdquo

38 - Perda de pressatildeo no trecho 9 e 10

No referido trecho temos apenas perda de pressatildeo por atr L

to da fase liacutequido + vapor e perda hidrostaacutetica Natildeo haacute perda por

aceleraccedilatildeo do vapor pois este natildeo recebe mais calor e portanto

o 82 o

nao ha variaccedilatildeo no a

p

Q -p i n = A P

U + A P bull 9 10 H atrito

n T -S_ P9 U10 deg 910 bull g

fio r

910 I 910

J9 L

(l- a)P + Q P I dL liq v

(l-a0) p

No caso a = (nao hatilde variaccedilatildeo de forma)

A P H - (1-a ) P (p L 0

c

AP bdquo = R o

atrito

2 f9 o L910 P9 V9

2g

Supondo

= V

P 9 = P 8 P 7

vbdquo = v 9 8 0 A r

= V 7 bull deg89

AP - R atrito

2 2

W l O p7deg V7deg g89

V P10 R -^T^ bull deg89 bull li-2 + ( W P 7 (fgt SIO

y c c

Se

- f9 L910 2 N9ol0 R Dl deg89

w 2

p rv P9 P10 = VlO + ( 1 a 9 ) p7 (f gt L910 c

33

39 - Perda ciacutee pressatildeo na expansatildeo 9 - 1 0

Analogamente a expansatildeo 8 - 9 temos

10 11 P 7 2g

10 Iacute 2 0 1 0 - 1 1 gt

2 ff

pg aio

10-11

laquo11 ) +

Ll-a 1 0 bull l-a u J

Se

V10 = V 9 = V 8 bull T9 = V 7 deg89

P -P 10 rll = - a 2g 089 ^lO-ll

4 bull T~ bull (7 1 mdash ) + Pg degio a n

+ (l-x)2(- 1 10-11

1 - aio )

N10-ll = 2 a10-ll a89 2 pf t 1 10-11 N2

-(j-r- - ) bull+ (1-x) pg aio deg 1

10-11 k l - a io

prz P10 Pll = - N10-ll bull ( 2gbdquo

310 - Calculo de V

Fazendo a somatoacuteria de todas as expressotildees (P^-Pj) tere-

84

mos 2 PbdquoV_

P bdquo - P bdquo = N 7 v 7

1 2 12 2g

bull 2 - P 3 - = N 2 3 P 2 L 2 3 f c ccedil

9 P 7 V 7 P _p = N mdash -

3 4 34 deg 2g

V P 5 = deg

2 P V

5 6 56 2 g c

ltr2

P 7 -V 6 e7 -N67 2g + p 6 7 J j67 g

c bc v 2

P 7 - P 8 = N 7 8 - 2 i ~ + p 7 ( 1 - laquo 7 8 ) L 7 8 c

P 7 V 7

P - P - -N mdash - -8 9 89 2g

c P 7 V 7

P 9 ~ P 1 0 VlO 2g + ( 1 a 9 P 7 L 9 c

P 7 V 7

bull10 11 U10-ll 2g

P v iacute j P - P

1 11

7 - v 7 3 bull r

2 8 i U L 2 23 67

(l-5 7 8) L 7 8 + ( l - laquo 9 ) P 7 bull SlOtilde]- ^

Por ou t ro lado sabemos que como secccedilotildees 1

mesmo n iacute v e l

85

s c p r v 7 j

28 Z N i ij

= P 2 L23 p67 L67 P 7 ( 1~deg78 )

78 ~ ^g) bull P 7 bull L 910 g_

V - 2 g ( p r L 2 3 - p 6 r L 6 7 - p 7 ( l - atilde 7 8 ) L 7 8 - (l-a9) p L 9 a ( )

y N

Com esse valor de podemos determinar todas as variashy

ccedilotildees de pressatildeo (P^-P )

BIBLIOGRAFIA

- WoR Gambill - Notas de aula dos seminaacuterios realizados no Insshy

tituto de Energia Atocircmica de Sao Paulo em 1966 (roteiro)

- WR Gambill - Nuclear Safety

Vol 9 - n9 5 e 6

Vol 6 - n 2 (pag 152)

Vol 4 -r n9 1 (pag 30)

Volbdquo 5 - n 2 (pag 151)

- WRo Gambill - Chemical Eng Prog ndeg 54 (Outubro)

~ El Wakil - Nuclear Power

- Jakob Max - Heat Transfer (vol I)

Mc Adams - Heat Transmission

- Paul A Lottes - Argonne National Laboratory

- AKL - 6469

- ANL - 6561

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Knudsen e Katz - Fluid Dinamics and Heat Transfer

Frank Kreith - Principles of Heat Transfer

Journeacutees Internationales de la transmission de la chaleur

Seminaacuterios realizados em Paris em 1961 sob a supervisatildeo do

Prof Marcel Veron

Notas de aula da Cadeira de Termodinacircmica I e Transmissatildeo da

Escola Politeacutecnica da Universidade de Sao Paulo

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58

A relaccedilatildeo entre x e a da equaccedilatildeo (3) so vale para secccedilatildeo

de tubo bem pequena

Devemos notar que S varia tambeacutem com a pressatildeo e velocida^

de de entrada do liacutequido no tubo Este efeito pode ser observado na

figura 5 abaxxo obtida esperimentalmente

s

3

~^ ~ psig

x = 001

V 1

Fig 5

Nos projetos de reatores como veremos adiante o valor a

geralmente eacute determinado por consideraccedilotildees nucleares (moderaccedilatildeo) 0

valor de S eacute determinado atraveacutes de uma estimativa ou entatildeo atrashy

veacutes de um graacutefico do tipo da figura 5 0 correspondente valor de x

pode ser obtido de uma foacutermula empiacuterica do tipo

1 = 1 (-S)0gt67

proposta por Von Glahn

Em muitos casos assume-se S constante em todo o comprimeiv

to do canal poreacutem eacute um erro que em muitos casos nao pode ser coshy

metido

4 REATORES EM QUE 0 LIacuteQUIDO B MODERADOR E CIRCUITO PRIMAacuteRIO AO

MESMO TEMPO BOILING-REACTOR (BWR)

A aacutegua ao se movimentar atraveacutes dos vaacuterios canais do

59

Boiling-reactor encontra vaacuterias resistecircncias ao fluxo que provoshy

cam uma reduccedilatildeo de pressatildeo no fluido

As duas perdas mais importantes sao perda de pressatildeo por

atrito e perda de pressatildeo causada pela aceleraccedilatildeo do refrigerante

ao aumentar de volume por receber calor num canal Outras perdas

de pressatildeo seriam a obstruccedilatildeo ao fluxo por corpos submersos (espa_

ccediladores juntas de tubos chaves etc) e por mudanccedilas abruptas de

aacuterea de fluxo tanto na entrada como na saiacuteda do tubo

Essas perdas de pressatildeo devem ser conhecidas o melhor popound

sivel principalmente nos reatores BWR Para tanto devemos saber

o comprimento de canal em que nao ha a ebuliccedilatildeo isto eacute qual o com

primento de canal em que o refrigerante vai da temperatura de sub-

resfriamento ate temperatura de saturaccedilatildeo

Seja o elemento combustiacutevel

Aquecimento Uniforme Aquecimento Senoidal

Fig 6 Fig 7

onde

H =

H = o

H b

comprimento do elemento combustiacutevel

cota onde o liquido se torna saturado

comprimento do elemento combustiacutevel em que ocorre

ebuliccedilatildeo

60

qg = calor sensiacutevel acrescentado ao liquido para satushy

raacute-lo

qfc = calor total acrescentado ao liacutequido em todo o com

primento do canal

laquoo

q s J o qiquest sen (IIzH) n H o

T~ = TH = 2 ( 1 c o s gt ( a )

q 1 sen (HzH) Jo ^c

A expressatildeo (a) vale quando tivermos uma adiccedilatildeo de calor

senoidal para qualquer outra forma de adiccedilatildeo de calor faz-se um

caacutelculo anaacutelogo

Outra relaccedilatildeo entre q g e qfc eacute dada pela termodinacircmica

q h- - h s f m (b)

(hr +x h )-hm ^t f e fg

onde

= entalpia para o liquido saturado a pressatildeo correjs

pondente (cota z = Ho)

hffi = entalpia do liacutequido na entrada do canal

x = tiacutetulo do vapor na saiacuteda

= entalpia do vapor

Com a relaccedilatildeo (b) noacutes determinamos a relaccedilatildeo q q ecom

S L

uma relaccedilatildeo do tipo (a) (conforme seja o adicionamento de calor ao

liacutequido) podemos obter a relaccedilatildeo HoH e consequentemente H^H

21 - Perda de pressatildeo num canal de evaporaccedilatildeo

Neste item iremos determinar as perdas de pressatildeo mais

representativas que ocorrem num canal de evaporaccedilatildeo de um reator

P + dP

bull1 i- 1 gti i i

dL

onde

UM

Icirc H Icirc Icirc T dF f t f

61

Quantidade de Mov na Entrada

= i- rigVg)

dF f l

Fig 8

m i

m 8

V l V 8

A P

dF

dF

dF

fg

fl

ftf

descarga do liacutequido

descarga do vapor

velocidade do liquido

velocidade do vapor

aacuterea transversal do canal

forccedila de atrito do vapor com parede

forccedila de atrito do liacutequido com parede

forccedila de atrito das duas fases liacutequido+vapor

Fazendo o balanccedilo das forccedilas considerando o sentido posjL

tivo na vertical temos

A (P-P-dP)-(dF +dF _+dF _)-(-pound-) (p A+p A )dL = mdash dGnV+m V ) P fg ftf fl g c 1 1 g g g c

v 1 1 g g 7

- dP = ~ (dF +dF--+dF)+- S--7=- (p A+p A )dL+ mdash ~ - d (m-V+m V ) A_ fg ftf fl g c Ap v^l 1 g g g A 11 g g

Fazendo a integraccedilatildeo termo a termo entre os dois extreshy

mos entrada e saiacuteda e considerando a pressatildeo de entrada igual a

P q e a de saiacuteda igual a Pe vem

Quantidade de Mov na Saiacuteda

-= h I- lY l+ A g V g + d ( aacute l V l + aacuteeVl

Forccedila de Gravidade

= ( g f - N P A + P g V

62

b) r e F f l

o p dp^ = Ap^ = perda de pressatildeo por atrito

do liacutequido na altura Ho

Aplicando a formula de Darcy vem

bull API = f bull ir bull ^ iexcl 7

onde

f = fator de atrito

c) e Fftf

o p ^P tpound

= perda de pressao por atrito da mistura

liquido + vapor no trecho de comprimen

to Hbdquo o

Para determinar esta perda de pressao define-se o fator

de multiplicaccedilatildeo R

A P R =

tf A P 1B

Sendo A p ^ a perda de pressao se o comprimento todo fosshy

se ocupado somente pelo liquido assim

A p t f = R A P 1 B

0 calculo de Ap-^ pode ser feito pela formula de Darcy e

o de R nos veremos no item seguinte

63

d)

-e F

d ( ^ )

O P

Ap = perda de pressatildeo por atrito do vapor

No caso do reator BWR o titulo de saida e bera pequeno e

em nenhum caso ocorre a saida de vapor com x = 100 logo a perda

de pressatildeo por atrito do vapor eacute nula assim

An = 0 5

e) Ap

(p A 1 + p A ) dL = Ap - perda de pressatildeo dpound

vida ao desniacutevel

(perda hidrostaacutetica)

Anbdquo = re A A

-S- I (p + p -S ) dL H s 1 A

c o p o A

como A A Jl_ =

A P

A +A-g 1

1-a -

temos

C Q

te j jll-a)p1 + apg)^jdL = p Lo pound

onde

e jo u

+ ap ) ~I dL (Densidade media 1 S J

no tubo)

No nosso caso

Ap u = p H

f)

re d(mV + m V ) _ mdash - laquo -i bull s iquestp laquos p e r d a ltje pressatildeo devido a acele-

c p raccedilatildeo do vapor

V A

(1-x) tl^Vj

(1-a) A

X V

aA

A p -

roV + m V

c p c p L_

m (l-x)m_v m xv nbdquo -1 T 1

+ _S S I (1-a) Ap aA

P

2 g A c p

n 2 2

(1-x) m T

laquo2 8 A c p

2 2 (l-xe) raTv1

2 2 2 xm_v (1-x) m-v e T s o 1 1

a 1 - a

2 2 - x m_v o T g

a

se

X Q 0 (so ha agua nesse trecho)

a = 0 o

temos

mbdquo Ap =

1 a A 2

S A degc p laquo-

tt-V v i 1 - a

2 via T^r - v i

t Apc

2

V v l

5c Ap

1 - a

x v - 1

a e v l

65

Fazendo

G = fluxo total da massa por unidade de area do

canal

(1-x J e

V

AP r

Assim a perda de pressatildeo total sera

H p V II pV r2 P -P = f -24-Iuml+ f R+p 0 1 2g c D e 2g c g c g c

2c2 - Determinaccedilatildeo do fator de multiplicaccedilatildeo (R)

221 - Relaccedilatildeo Martinelli-Nelson

Os autores Martinelli-Nelson determinaram experimental -

te esse fator R para varias LIT1L em funccedilatildeo da pressatildeo e da r NB total J v

qualidade de saiacuteda do vapor no canal Construiacuteram assim vaacuterias

curvas do tipo da figura 9

66

E importante notar que a qualidade do vapor (x) na saiacuteshy

da nao deve ser grande pois como vemos o valor de R cresce muishy

to com um aumento pequeno de x e um valor de R muito grande acar_

reta uma perda de pressatildeo grande pois

^ d u a s fases R ^ f a s e liacutequida

Para resolvermos um problema seguindo o criteacuterio de bdquo

Martinelli escolhemos a curva R = f(px) (para a relaccedilatildeo L

N g ^ j

adequado) e tiramos R com os valores de pressatildeo p e tiacutetulo x

As curvas R = f (p x L T t )IO encontram-se nos ANL 6469 bio I

e 6561

222 - Relaccedilatildeo Lottes-Flinn

Estes autores estudaram o problema para o aquecimento uni

forme do refrigerante com baixo titule Lottes-Flinn fizeram inuacuteshy

meras experiecircncias e verificaram que para fluxo de calor uniforshy

me e baixos titulos R era independente do fluxo de calor fluxo

do refrigerante escorregamento e apenas funccedilatildeo de a g

Como a quantidade de liacutequido eacute muito maior que a de vashy

por a perda de pressatildeo daacute-se principalmente pelo atrito do liacuteshy

quido com a parede Podemos assim escrever a foacutermula de Darcy

na forma diferencial

dz

d = f __ r e amp c

onde

V = velocidade do liquido saturado na cota zbdquo X

f = coeficiente atrito

= densidade do liacutequido saturado

Teoricamente a queda de pressatildeo deve-se ao acreacutescimo de

67

velocidade do liacutequido e da diminuiccedilatildeo da aacuterea de fluxo do liacutequi

do

P fH A P t p

= f D 2g Ho

d z

fazendo

V lo

m V t lo

(velocidade do liacutequido na cota z = Ho)

(1-x) m t v 1

(1-a) A (velocidade do liacutequido na cota z gt Ho)

a bull+ fraccedilatildeo vazio na cota z geneacuterica

V 1 (1-x) m t v 1

m t V l 1 - a

x =s 0 pois o tiacutetulo eacute baixo

A p t f = f bull JT5 c e

fH V lo

H o (1-a) dz

Para fazer a integral devemos achar a relaccedilatildeo de variaccedilatildeo

entre a e z Como o fluxo de calor eacute uniforme a qualidade eacute direshy

tamente proporcional a z

bull laquo x = x e H

z = mdash x X e

Sabemos ainda que (item 113)

x

1 + [ ( I -X)AKQ x + iiacuteraquo

68

como

temos

(1-x) = 1

v

X =

z =

1-a

1 -a

1-a e

a

e

1-a pound

a

1 -a igt (assumindo S = cte)

da

Atf - f bull 2 i ^ ~ J c e o

a 1 - a e e 1 s 4 hmdash) da

a 1-a

f P lv^ Q

0 termo mdash - mdash e a parte de perda de pressatildeo pelo lj^

^c e -quido ou seja Ap liquido saturado e como

Ap

R = tf

Ap liauido saturado

temos que

R J

f ae 1 _ a e 1 4

a 1 -a o e

1 -a r-R =

3 1 -a

a 1 -a imdash

3 vl - a 3

e e

Os valores de R obtidos por esta expressatildeo aproximam-se

muito dos valores obtidos pelos aacutebacos de Martinelli

69

E - EXPANSAtildeO E COMPRESSAtildeO DE UM FLUIDO - ANAacuteLISE HIDRODINAcircMICA

DE UM CIRCUITO EM CIRCULACcedilAtildeO NATURAL

1 EXPANSAtildeO NO FLUXO DE UM FLUIDO

11 - Uma so fase

Figura 1

Ha vaacuterios meacutetodos para determinar a variaccedilatildeo de pressatildeo

numa expansatildeo de fluido estudaremos o de Romie que eacute o que daacute

maior precisatildeo

Romie considera que a pressatildeo p^ tambeacutem atua na aacuterea

imediatamente apos a expansatildeo Assim fazendo o equiliacutebrio das foi

ccedilas nas secccedilotildees tracejadas da figura 1 temos

mVj

p r A 2 + mdash

mV

bull 2- A2

mas

m = pV^A^

pV^A = p V 2 bdquo A 2

V A

v 2 -4r-logo

( P l-P 2) A 2 = f ( V ^ ) - f _ v j amp c c 2

70

2 pV A A pV A A

Chamando A l A ]

K = 1 - T e degi2 = Aiexcl bull V E M

pvj

P l P 2 = T ~ bull ( 2 deg 1 2 ) ( 1 _ a 1 2 )

Outra maneira de chegar atilde diferenccedila de pressatildeo ( P j - ^ ) s mdash

ria usar o coeficiente de perda da mecacircnica dos fluidos Assim o

equilibrio das pressotildees eacute

2 2

1 V l 1 V 2 V l P i + _ p _ ^ P 2 + I p ~ + k 1 2 p mdash

onde = coeficiente de perda

A 2 1 2

k 1 2 - (l-o 1 2) - (1 - j- )

Fazendo as transformaccedilotildees chegamos a mesma expressatildeo obshy

tida pelo balanccedilo das forccedilas

PraquoIacute pr p

2 - - ir ^ laquo-ia

12 - Duas fases

Como ha duas fases a equaccedilatildeo do balanccedilo das forccedilas fica

um pouco alterada

m pound 1 V- m - raquoV - m-V- m bdquoV _ P A + j y ^ i + _gl_JUuml P A + -11-11 + -ilsl (a)

1 2 e R 2 2 ff e

Sabendo que

71

m (1-x) m t = p fA (1-a) V f

entatildeo

fl l-o^ p fA x

6 Vf2 1-x l-a2 P fA 2

m V = mdash mdash e V 0 = gl a 1 P C T A 1 g2

m

a_ p h

2 g 2

Nas expressotildees anteriores o x nao varia porque a expansatildeo

5 adiabaacutetica porem o a varia devido a modificaccedilatildeo do tamanho da

bolha

Substituindo os valores das velocidades na expressatildeo (a)

vera

( P - P ) Abdquo =

2

2 2 m gt2 2 m t (1-x) 1 x t

ra i 2 m i 1 x t 1

p fA 1 g c ttl p Ax gpound

m t P - P = mdash

(1-x) (l-a 1)A 1A 2 (l-a2)A|

a r A r A 2

V A 2

m t P bdquo - P = mdash 2 1 g c A r A 2 p f

(1-x) 1-a f A 2(l-a 2)

bull ^ 2

72

Se

P -P

a

m

g

12

1 _1_ (1-x)

J12

1 _ a l 1 - a 2 + X (- )

Pg

1 deg12 a 2 ^

Sabemos que

mt = V o pf laquo A l

Sendo V q = velocidade do liquido num ponto onde natildeo haja vapor

P 2-P 1

u 2 2 A 2

V pr Ai

V W p f

(1-x) 12

l-a1 l-a2

+ X 2 pf

mdash

l deg12

-1 a 2 _

p -p r 2 Al (2a 1 2)

2 M f w 1 deg12 X (mdash) (

pg al a 2 )+(l-x)C l 1 12

1-a^ l-a2

Devemos notar que esta expressatildeo tambeacutem vale para quando

temos uma fase para isso basta fazer

= c t 2 = 0

X = 0

e recairemos na formula do item anterior

2 pf 1 deg12 Observemos que neste caso o termo x (mdash)( ) nao

Pg al a2

2

73

tem significado pois corresponde a mudanccedila de fase

2 CONTRACcedilAtildeO KO FLUXO DE UM FLUIDO

21 - Uma so fase raquo mdash

Aqui ocorre um fenocircmeno importante pois o fluido ao ser

contraiacutedo nao vai diretamente da area A^ para a area A 0 mas ele

contral-se ate uma area A^ e depois expande-se ate k^

Ao A2

Po IP 2

V 2

Figura 2

Fazendo o equiliacutebrio das pressotildees entre os planos (1)

(0) vem 2 2

pV pV p +~ plusmn - P + i deg bull 1 2 g o 2 g (b)

C x

Fazendo equiliacutebrio da expansatildeo (0) - (2) vem

P o + 2 - f = P 2 + 2 -T + kp- 2 F ( c )

c c b C

Subtraindo (b) - (c)

2 2 2

i p- vj i p- v2 L P l + 2 bull g c

P 2 + 2 2g c

+ k P 2g c

74

Como

P - P = mdash 2 2g

2 2

bull (1 + k) - f bdquo mdash i

k a - f2 ) 2 - d - o c )2

= o

A = a 21

Weisback obteve varias relaccedilotildees entre a e a i] c

01 02 03 a 0624 0632 0643 c

0624 0632

A r v i - V v 2

p -p 1 2

P -P 1 2 2g7

v l =

(1+k) - laquofi- a 2g 21 c

( 1 + k - o 2 1)

X[- V 2 o 2 1V 2

22 - Duas fases

0 valor de k pode ser aproximado para

k = a(l - o 2 1)

onde segundo Richardsons para fluxo de duas fases podemos supor

a = 02

Para fluxo homogeacuteneo sabemos que

75

p = p f (1 -a ) + p o a

podemos supor p bdquo a = 0 pois p e pequeno e fazendo

V = V ~ V fbdquo2 go2 v 2

Substituindo estas duas expressotildees na equaccedilatildeo de uma soacute fase vem

2 2 p V (l-ct) p V (1 -a ) bdquo

P l P 2 = 9g ( 1 + 3 - 3 0 ^ - 0 ^ ) = g (a+1) (l-a^)

Se a = 02

2 12p oV 0

p r p

2 - 9g gt d-) d-sigt

A compressatildeo de um fluido acarreta uma perda de pressatildeo

como pode ser verificado pelas formulas uma vez que lt 1deg

3 ANALISE HIDRODINAcircMICA DE UM CIRCUITO EM CIRCULACcedilAtildeO NATURAL

Esquema deacute uma caldeira com circulaccedilatildeo natural

76

Determinar a velocidade em (7) para que tenhamos circula

ccedilatildeo natural Determinar tambeacutem as perdas de pressatildeo em todos os

trechos da caldeira

31 - Contraccedilatildeo das secccedilotildees (1) - (2)

Como jaacute vimos a equaccedilatildeo do balanccedilo das pressotildees eacute

1 pr Vl 1 p 2 o V 2 P2 V2

1 2 g 2 + 2 g + K12 2g otilde c amp c e c

bullraquo 2 o2 2 e havendo uma soacute fase k 1 9 = (l-o ) = (1 mdash ) e sendo

C 2

p l = p2

v x lt lt lt v 2

P 2 V pr p2 bull ir2 bull ( 1 + k12gt

Colocando em termos de temos

A 2 V 2 P 2 = A 7 V 7 p 7 (continuidade)

V = V mdashbull = V o_bdquo ~ A 2 2 2

P 2 V - p 2

p r p 2 = ir2 - deg72 bull Ccedilrgt bull lt 1 + ki2gt

fazendo

N12 - lt^gt deg72 ( 1 + k12gt

P7 V7

Pr P2 - N12 bull HG

77

3 2 - Perda de carga no trecho ( 2 ) - ( 3 )

Como haacute apenas uma fase soacute temos perdas por atritos e

perdas hidrostaacuteticas

Sendo como jaacute vimos

2 3 p 2 2 g P 2 P 3 = f 2 3 (r~2g^~) L 2 3 g c p

atrito hidrostaacutetica

Substituindo V^ pela relaccedilatildeo do item anterior e tendo em

conta que p = vem

P -P = f 2 r 3 2 3 D

2 3 p 2 bdquo 2 2 p 7 2

2 g 7 72 p 2 3 g

Se

L 2 3 2 p 7

2 3 2 3 D 2 a 7 2 p 2

P 7 V 7 g P 2 - P 3 = N 2 3 ( mdash gt p 2 L 2 3 f

3 3 - Expansatildeo nas secccedilotildees ( 3 ) - ( 4 )

Como vimos o balanccedilo das pressotildees e

2 2 2 p V p 4 V p V

P 3 + 2 g c

P 4 + 2 g c

+ k 3 4 2 g c

onde

k 3 4 - - -

2 2 1 P 4 - V 4 P 3 v 3

P 3 P 4 = 2 g + ( k 3 4 _ 1 ) 2 g

78

Sendo

P 3 - P 4

p 3 o A 3 deg V 3 = P 7

a A 7 o V 7

P 4A 4 0V 4 = P r A r V

3 7 A 3 p 3

A7 P7 V = v mdash mdash 4 7 P 4

P - P 3 r4

Se

P bdquo - P

bdquo2 r-P 7 V 7

3 4 2g deg74 + ( k 3 4 1 ) deg73

34 p deg74 + ( k 3 4 1 ) 73

p r v2

P3- P4 ^ N34 ^ gt

(No caso e negativo)

34 - Contraccedilatildeo nas secccedilotildees (5) - (6)

Ainda temos uma so fase e fazendo o balanccedilo das pressotildees

como fizemos no item 3lt1 vem

P + vil p + vi + k vi P 5 + 2gbdquo P6 + 2gbdquo + k56 2gbdquo

k 5 6 lt 1 ^ gt 2 ( 1 - Iacute 2 i 2 6

V V6 P5degIacute 5^6 ^SS 2g c - 2g c

P - P ^ = (1+kJ

Como

79

A 6

W p 5 =

VV P6 V 5 = V 6 Jiexcl = Vff65

P 5-P 6 - lt H k 5 6 ) mdash ^ mdash (l+k 5 6-a 6 5) c c c

Sendo

Se

A 7 p 7 p 7

6 7 Ag p 6 7 76 p 6

p _p _ P6- V7- g76 iquest72 ( _ 02 P 5 P 6 2g c bull ( p 6

( 1 + k 5 6 deg65 )

p 7 2 2 N56 = p ^ deg76 ( 1 + k 5 6 ~ a 6 5 )

P 7 V 2

7

P r-P = N r 5 6 56 2g c i

35 - Perdas de pressatildeo nas zonas (6) - (7) - Pre^aquecimento

Nesta regiatildeo temos perdas por atrito e hidrostaacuteticas

Nao haacute perda por aceleraccedilatildeo pois ainda natildeo houve formaccedilatildeo de boshy

lhas

Fazendo balanccedilo das pressotildees temos

L_ ppound-V p = p + otilde L - pound _ + f -Si (-21mdashL 6 7 + p67 L67 g + t 6 7 D K 2g

p _ e ifn sao tomados como valores meacutedios 67 67

P _p _ f hl ^67jIacute uuml + - L A

6 F 7 r67 D 2g P P67 L67 g 6 s c 7 c

S e Kr pound67 L67 p67 6 7 D 6 p7

p7 V - _g_ P6- P7 - N67 mdash + P67 L67 f

c c

80

36 - Perda de pressatildeo nas zonas (7) - (8) - Zona de ebuliccedilatildeo

Nesta regiatildeo j aacute temos o aparecimento de bolhas logo a

perda de pressatildeo seraacute devida agraves t recircs parcelas aceleraccedilatildeo a t r i t o

das duas fases liacutequidas + vapor e h idros taacute t ica

onde

Assim

P-P Q = AP + AP + APbdquo 7 8 a t r i t o acel H

T M1

78 p 7 7 AP - R f- - mdash mdashr |R = fator mult ipl ica-

a t r i t o 7 D 7 2 g c L tivo

G 2

AP bull r mdash acel g c

P V

|_1 - o a p J 8 P f

2 t r 2 M2

7 7 r 7 7 A P a c e l = -J^mdash 2 r bull p 7 lt T iexcl iexcl - )

A PH p 7 8 L 7 8 fiexcl

p 7 8 iacute 7 li 1 0 0 P l i q + a P v ] d L = P 7 ( 1 - laquo 7 8 )

ag raquo fraccedilatildeo de vazio media entre 7 e 8

APH = p (1 - 5 7 g ) f- L 7 8

2 2

P 7 - P 8 a 5 - 2 T i + 2 r p 7 + P 7 ( 1 - 7 8 gt f L 7 8 7 amp c amp c amp c

81

N 7g = R mdash + 2 r p 7

P7 V7 P7- P8 = N78 + P 7 ( 1 5 7 8 gt J78

37 - Expansatildeo nas secccedilotildees 8 e 9

No caso haacute uma expansatildeo com duas fases e como vimos no

item 12 a variaccedilatildeo de pressatildeo era dada por

0f Vo P2 P1 = ~2g c ( 2 deg12

x 2 (mdash)(mdash - mdash ) + ( l - x ) 2 ^ T mdash 8 1 2 1

12

Aplicando ao nosso caso

P pound = P 7

P -P = 8 9

V - V raquo V g f 7

P 7 V 2

2 pf 1 a89 2 1 g89 x (mdash) ( ) + (1-x) (- - N

o ou abdquo 1-cu l-ot_) g 8 9 8 9

Se

N 89

= 2 a 89

2 pf 1 deg89 2 1 CT89 x (mdash) ( ) + (1-x) ( T

g 8 9 8 9

P -P = 8 9

- N P7deg V7

89 2gbdquo

38 - Perda de pressatildeo no trecho 9 e 10

No referido trecho temos apenas perda de pressatildeo por atr L

to da fase liacutequido + vapor e perda hidrostaacutetica Natildeo haacute perda por

aceleraccedilatildeo do vapor pois este natildeo recebe mais calor e portanto

o 82 o

nao ha variaccedilatildeo no a

p

Q -p i n = A P

U + A P bull 9 10 H atrito

n T -S_ P9 U10 deg 910 bull g

fio r

910 I 910

J9 L

(l- a)P + Q P I dL liq v

(l-a0) p

No caso a = (nao hatilde variaccedilatildeo de forma)

A P H - (1-a ) P (p L 0

c

AP bdquo = R o

atrito

2 f9 o L910 P9 V9

2g

Supondo

= V

P 9 = P 8 P 7

vbdquo = v 9 8 0 A r

= V 7 bull deg89

AP - R atrito

2 2

W l O p7deg V7deg g89

V P10 R -^T^ bull deg89 bull li-2 + ( W P 7 (fgt SIO

y c c

Se

- f9 L910 2 N9ol0 R Dl deg89

w 2

p rv P9 P10 = VlO + ( 1 a 9 ) p7 (f gt L910 c

33

39 - Perda ciacutee pressatildeo na expansatildeo 9 - 1 0

Analogamente a expansatildeo 8 - 9 temos

10 11 P 7 2g

10 Iacute 2 0 1 0 - 1 1 gt

2 ff

pg aio

10-11

laquo11 ) +

Ll-a 1 0 bull l-a u J

Se

V10 = V 9 = V 8 bull T9 = V 7 deg89

P -P 10 rll = - a 2g 089 ^lO-ll

4 bull T~ bull (7 1 mdash ) + Pg degio a n

+ (l-x)2(- 1 10-11

1 - aio )

N10-ll = 2 a10-ll a89 2 pf t 1 10-11 N2

-(j-r- - ) bull+ (1-x) pg aio deg 1

10-11 k l - a io

prz P10 Pll = - N10-ll bull ( 2gbdquo

310 - Calculo de V

Fazendo a somatoacuteria de todas as expressotildees (P^-Pj) tere-

84

mos 2 PbdquoV_

P bdquo - P bdquo = N 7 v 7

1 2 12 2g

bull 2 - P 3 - = N 2 3 P 2 L 2 3 f c ccedil

9 P 7 V 7 P _p = N mdash -

3 4 34 deg 2g

V P 5 = deg

2 P V

5 6 56 2 g c

ltr2

P 7 -V 6 e7 -N67 2g + p 6 7 J j67 g

c bc v 2

P 7 - P 8 = N 7 8 - 2 i ~ + p 7 ( 1 - laquo 7 8 ) L 7 8 c

P 7 V 7

P - P - -N mdash - -8 9 89 2g

c P 7 V 7

P 9 ~ P 1 0 VlO 2g + ( 1 a 9 P 7 L 9 c

P 7 V 7

bull10 11 U10-ll 2g

P v iacute j P - P

1 11

7 - v 7 3 bull r

2 8 i U L 2 23 67

(l-5 7 8) L 7 8 + ( l - laquo 9 ) P 7 bull SlOtilde]- ^

Por ou t ro lado sabemos que como secccedilotildees 1

mesmo n iacute v e l

85

s c p r v 7 j

28 Z N i ij

= P 2 L23 p67 L67 P 7 ( 1~deg78 )

78 ~ ^g) bull P 7 bull L 910 g_

V - 2 g ( p r L 2 3 - p 6 r L 6 7 - p 7 ( l - atilde 7 8 ) L 7 8 - (l-a9) p L 9 a ( )

y N

Com esse valor de podemos determinar todas as variashy

ccedilotildees de pressatildeo (P^-P )

BIBLIOGRAFIA

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tituto de Energia Atocircmica de Sao Paulo em 1966 (roteiro)

- WR Gambill - Nuclear Safety

Vol 9 - n9 5 e 6

Vol 6 - n 2 (pag 152)

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Frank Kreith - Principles of Heat Transfer

Journeacutees Internationales de la transmission de la chaleur

Seminaacuterios realizados em Paris em 1961 sob a supervisatildeo do

Prof Marcel Veron

Notas de aula da Cadeira de Termodinacircmica I e Transmissatildeo da

Escola Politeacutecnica da Universidade de Sao Paulo

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  • 0006600
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Page 63: ALGUNS PROBLEMAS DE HIDRODINÂMICA E CONVECÇÃO DE … · alguns problemas de hidrodinÂmica e convecÇÃo de calor em reatores de potÊncia, segundo aulas do ... b - convecÇao

59

Boiling-reactor encontra vaacuterias resistecircncias ao fluxo que provoshy

cam uma reduccedilatildeo de pressatildeo no fluido

As duas perdas mais importantes sao perda de pressatildeo por

atrito e perda de pressatildeo causada pela aceleraccedilatildeo do refrigerante

ao aumentar de volume por receber calor num canal Outras perdas

de pressatildeo seriam a obstruccedilatildeo ao fluxo por corpos submersos (espa_

ccediladores juntas de tubos chaves etc) e por mudanccedilas abruptas de

aacuterea de fluxo tanto na entrada como na saiacuteda do tubo

Essas perdas de pressatildeo devem ser conhecidas o melhor popound

sivel principalmente nos reatores BWR Para tanto devemos saber

o comprimento de canal em que nao ha a ebuliccedilatildeo isto eacute qual o com

primento de canal em que o refrigerante vai da temperatura de sub-

resfriamento ate temperatura de saturaccedilatildeo

Seja o elemento combustiacutevel

Aquecimento Uniforme Aquecimento Senoidal

Fig 6 Fig 7

onde

H =

H = o

H b

comprimento do elemento combustiacutevel

cota onde o liquido se torna saturado

comprimento do elemento combustiacutevel em que ocorre

ebuliccedilatildeo

60

qg = calor sensiacutevel acrescentado ao liquido para satushy

raacute-lo

qfc = calor total acrescentado ao liacutequido em todo o com

primento do canal

laquoo

q s J o qiquest sen (IIzH) n H o

T~ = TH = 2 ( 1 c o s gt ( a )

q 1 sen (HzH) Jo ^c

A expressatildeo (a) vale quando tivermos uma adiccedilatildeo de calor

senoidal para qualquer outra forma de adiccedilatildeo de calor faz-se um

caacutelculo anaacutelogo

Outra relaccedilatildeo entre q g e qfc eacute dada pela termodinacircmica

q h- - h s f m (b)

(hr +x h )-hm ^t f e fg

onde

= entalpia para o liquido saturado a pressatildeo correjs

pondente (cota z = Ho)

hffi = entalpia do liacutequido na entrada do canal

x = tiacutetulo do vapor na saiacuteda

= entalpia do vapor

Com a relaccedilatildeo (b) noacutes determinamos a relaccedilatildeo q q ecom

S L

uma relaccedilatildeo do tipo (a) (conforme seja o adicionamento de calor ao

liacutequido) podemos obter a relaccedilatildeo HoH e consequentemente H^H

21 - Perda de pressatildeo num canal de evaporaccedilatildeo

Neste item iremos determinar as perdas de pressatildeo mais

representativas que ocorrem num canal de evaporaccedilatildeo de um reator

P + dP

bull1 i- 1 gti i i

dL

onde

UM

Icirc H Icirc Icirc T dF f t f

61

Quantidade de Mov na Entrada

= i- rigVg)

dF f l

Fig 8

m i

m 8

V l V 8

A P

dF

dF

dF

fg

fl

ftf

descarga do liacutequido

descarga do vapor

velocidade do liquido

velocidade do vapor

aacuterea transversal do canal

forccedila de atrito do vapor com parede

forccedila de atrito do liacutequido com parede

forccedila de atrito das duas fases liacutequido+vapor

Fazendo o balanccedilo das forccedilas considerando o sentido posjL

tivo na vertical temos

A (P-P-dP)-(dF +dF _+dF _)-(-pound-) (p A+p A )dL = mdash dGnV+m V ) P fg ftf fl g c 1 1 g g g c

v 1 1 g g 7

- dP = ~ (dF +dF--+dF)+- S--7=- (p A+p A )dL+ mdash ~ - d (m-V+m V ) A_ fg ftf fl g c Ap v^l 1 g g g A 11 g g

Fazendo a integraccedilatildeo termo a termo entre os dois extreshy

mos entrada e saiacuteda e considerando a pressatildeo de entrada igual a

P q e a de saiacuteda igual a Pe vem

Quantidade de Mov na Saiacuteda

-= h I- lY l+ A g V g + d ( aacute l V l + aacuteeVl

Forccedila de Gravidade

= ( g f - N P A + P g V

62

b) r e F f l

o p dp^ = Ap^ = perda de pressatildeo por atrito

do liacutequido na altura Ho

Aplicando a formula de Darcy vem

bull API = f bull ir bull ^ iexcl 7

onde

f = fator de atrito

c) e Fftf

o p ^P tpound

= perda de pressao por atrito da mistura

liquido + vapor no trecho de comprimen

to Hbdquo o

Para determinar esta perda de pressao define-se o fator

de multiplicaccedilatildeo R

A P R =

tf A P 1B

Sendo A p ^ a perda de pressao se o comprimento todo fosshy

se ocupado somente pelo liquido assim

A p t f = R A P 1 B

0 calculo de Ap-^ pode ser feito pela formula de Darcy e

o de R nos veremos no item seguinte

63

d)

-e F

d ( ^ )

O P

Ap = perda de pressatildeo por atrito do vapor

No caso do reator BWR o titulo de saida e bera pequeno e

em nenhum caso ocorre a saida de vapor com x = 100 logo a perda

de pressatildeo por atrito do vapor eacute nula assim

An = 0 5

e) Ap

(p A 1 + p A ) dL = Ap - perda de pressatildeo dpound

vida ao desniacutevel

(perda hidrostaacutetica)

Anbdquo = re A A

-S- I (p + p -S ) dL H s 1 A

c o p o A

como A A Jl_ =

A P

A +A-g 1

1-a -

temos

C Q

te j jll-a)p1 + apg)^jdL = p Lo pound

onde

e jo u

+ ap ) ~I dL (Densidade media 1 S J

no tubo)

No nosso caso

Ap u = p H

f)

re d(mV + m V ) _ mdash - laquo -i bull s iquestp laquos p e r d a ltje pressatildeo devido a acele-

c p raccedilatildeo do vapor

V A

(1-x) tl^Vj

(1-a) A

X V

aA

A p -

roV + m V

c p c p L_

m (l-x)m_v m xv nbdquo -1 T 1

+ _S S I (1-a) Ap aA

P

2 g A c p

n 2 2

(1-x) m T

laquo2 8 A c p

2 2 (l-xe) raTv1

2 2 2 xm_v (1-x) m-v e T s o 1 1

a 1 - a

2 2 - x m_v o T g

a

se

X Q 0 (so ha agua nesse trecho)

a = 0 o

temos

mbdquo Ap =

1 a A 2

S A degc p laquo-

tt-V v i 1 - a

2 via T^r - v i

t Apc

2

V v l

5c Ap

1 - a

x v - 1

a e v l

65

Fazendo

G = fluxo total da massa por unidade de area do

canal

(1-x J e

V

AP r

Assim a perda de pressatildeo total sera

H p V II pV r2 P -P = f -24-Iuml+ f R+p 0 1 2g c D e 2g c g c g c

2c2 - Determinaccedilatildeo do fator de multiplicaccedilatildeo (R)

221 - Relaccedilatildeo Martinelli-Nelson

Os autores Martinelli-Nelson determinaram experimental -

te esse fator R para varias LIT1L em funccedilatildeo da pressatildeo e da r NB total J v

qualidade de saiacuteda do vapor no canal Construiacuteram assim vaacuterias

curvas do tipo da figura 9

66

E importante notar que a qualidade do vapor (x) na saiacuteshy

da nao deve ser grande pois como vemos o valor de R cresce muishy

to com um aumento pequeno de x e um valor de R muito grande acar_

reta uma perda de pressatildeo grande pois

^ d u a s fases R ^ f a s e liacutequida

Para resolvermos um problema seguindo o criteacuterio de bdquo

Martinelli escolhemos a curva R = f(px) (para a relaccedilatildeo L

N g ^ j

adequado) e tiramos R com os valores de pressatildeo p e tiacutetulo x

As curvas R = f (p x L T t )IO encontram-se nos ANL 6469 bio I

e 6561

222 - Relaccedilatildeo Lottes-Flinn

Estes autores estudaram o problema para o aquecimento uni

forme do refrigerante com baixo titule Lottes-Flinn fizeram inuacuteshy

meras experiecircncias e verificaram que para fluxo de calor uniforshy

me e baixos titulos R era independente do fluxo de calor fluxo

do refrigerante escorregamento e apenas funccedilatildeo de a g

Como a quantidade de liacutequido eacute muito maior que a de vashy

por a perda de pressatildeo daacute-se principalmente pelo atrito do liacuteshy

quido com a parede Podemos assim escrever a foacutermula de Darcy

na forma diferencial

dz

d = f __ r e amp c

onde

V = velocidade do liquido saturado na cota zbdquo X

f = coeficiente atrito

= densidade do liacutequido saturado

Teoricamente a queda de pressatildeo deve-se ao acreacutescimo de

67

velocidade do liacutequido e da diminuiccedilatildeo da aacuterea de fluxo do liacutequi

do

P fH A P t p

= f D 2g Ho

d z

fazendo

V lo

m V t lo

(velocidade do liacutequido na cota z = Ho)

(1-x) m t v 1

(1-a) A (velocidade do liacutequido na cota z gt Ho)

a bull+ fraccedilatildeo vazio na cota z geneacuterica

V 1 (1-x) m t v 1

m t V l 1 - a

x =s 0 pois o tiacutetulo eacute baixo

A p t f = f bull JT5 c e

fH V lo

H o (1-a) dz

Para fazer a integral devemos achar a relaccedilatildeo de variaccedilatildeo

entre a e z Como o fluxo de calor eacute uniforme a qualidade eacute direshy

tamente proporcional a z

bull laquo x = x e H

z = mdash x X e

Sabemos ainda que (item 113)

x

1 + [ ( I -X)AKQ x + iiacuteraquo

68

como

temos

(1-x) = 1

v

X =

z =

1-a

1 -a

1-a e

a

e

1-a pound

a

1 -a igt (assumindo S = cte)

da

Atf - f bull 2 i ^ ~ J c e o

a 1 - a e e 1 s 4 hmdash) da

a 1-a

f P lv^ Q

0 termo mdash - mdash e a parte de perda de pressatildeo pelo lj^

^c e -quido ou seja Ap liquido saturado e como

Ap

R = tf

Ap liauido saturado

temos que

R J

f ae 1 _ a e 1 4

a 1 -a o e

1 -a r-R =

3 1 -a

a 1 -a imdash

3 vl - a 3

e e

Os valores de R obtidos por esta expressatildeo aproximam-se

muito dos valores obtidos pelos aacutebacos de Martinelli

69

E - EXPANSAtildeO E COMPRESSAtildeO DE UM FLUIDO - ANAacuteLISE HIDRODINAcircMICA

DE UM CIRCUITO EM CIRCULACcedilAtildeO NATURAL

1 EXPANSAtildeO NO FLUXO DE UM FLUIDO

11 - Uma so fase

Figura 1

Ha vaacuterios meacutetodos para determinar a variaccedilatildeo de pressatildeo

numa expansatildeo de fluido estudaremos o de Romie que eacute o que daacute

maior precisatildeo

Romie considera que a pressatildeo p^ tambeacutem atua na aacuterea

imediatamente apos a expansatildeo Assim fazendo o equiliacutebrio das foi

ccedilas nas secccedilotildees tracejadas da figura 1 temos

mVj

p r A 2 + mdash

mV

bull 2- A2

mas

m = pV^A^

pV^A = p V 2 bdquo A 2

V A

v 2 -4r-logo

( P l-P 2) A 2 = f ( V ^ ) - f _ v j amp c c 2

70

2 pV A A pV A A

Chamando A l A ]

K = 1 - T e degi2 = Aiexcl bull V E M

pvj

P l P 2 = T ~ bull ( 2 deg 1 2 ) ( 1 _ a 1 2 )

Outra maneira de chegar atilde diferenccedila de pressatildeo ( P j - ^ ) s mdash

ria usar o coeficiente de perda da mecacircnica dos fluidos Assim o

equilibrio das pressotildees eacute

2 2

1 V l 1 V 2 V l P i + _ p _ ^ P 2 + I p ~ + k 1 2 p mdash

onde = coeficiente de perda

A 2 1 2

k 1 2 - (l-o 1 2) - (1 - j- )

Fazendo as transformaccedilotildees chegamos a mesma expressatildeo obshy

tida pelo balanccedilo das forccedilas

PraquoIacute pr p

2 - - ir ^ laquo-ia

12 - Duas fases

Como ha duas fases a equaccedilatildeo do balanccedilo das forccedilas fica

um pouco alterada

m pound 1 V- m - raquoV - m-V- m bdquoV _ P A + j y ^ i + _gl_JUuml P A + -11-11 + -ilsl (a)

1 2 e R 2 2 ff e

Sabendo que

71

m (1-x) m t = p fA (1-a) V f

entatildeo

fl l-o^ p fA x

6 Vf2 1-x l-a2 P fA 2

m V = mdash mdash e V 0 = gl a 1 P C T A 1 g2

m

a_ p h

2 g 2

Nas expressotildees anteriores o x nao varia porque a expansatildeo

5 adiabaacutetica porem o a varia devido a modificaccedilatildeo do tamanho da

bolha

Substituindo os valores das velocidades na expressatildeo (a)

vera

( P - P ) Abdquo =

2

2 2 m gt2 2 m t (1-x) 1 x t

ra i 2 m i 1 x t 1

p fA 1 g c ttl p Ax gpound

m t P - P = mdash

(1-x) (l-a 1)A 1A 2 (l-a2)A|

a r A r A 2

V A 2

m t P bdquo - P = mdash 2 1 g c A r A 2 p f

(1-x) 1-a f A 2(l-a 2)

bull ^ 2

72

Se

P -P

a

m

g

12

1 _1_ (1-x)

J12

1 _ a l 1 - a 2 + X (- )

Pg

1 deg12 a 2 ^

Sabemos que

mt = V o pf laquo A l

Sendo V q = velocidade do liquido num ponto onde natildeo haja vapor

P 2-P 1

u 2 2 A 2

V pr Ai

V W p f

(1-x) 12

l-a1 l-a2

+ X 2 pf

mdash

l deg12

-1 a 2 _

p -p r 2 Al (2a 1 2)

2 M f w 1 deg12 X (mdash) (

pg al a 2 )+(l-x)C l 1 12

1-a^ l-a2

Devemos notar que esta expressatildeo tambeacutem vale para quando

temos uma fase para isso basta fazer

= c t 2 = 0

X = 0

e recairemos na formula do item anterior

2 pf 1 deg12 Observemos que neste caso o termo x (mdash)( ) nao

Pg al a2

2

73

tem significado pois corresponde a mudanccedila de fase

2 CONTRACcedilAtildeO KO FLUXO DE UM FLUIDO

21 - Uma so fase raquo mdash

Aqui ocorre um fenocircmeno importante pois o fluido ao ser

contraiacutedo nao vai diretamente da area A^ para a area A 0 mas ele

contral-se ate uma area A^ e depois expande-se ate k^

Ao A2

Po IP 2

V 2

Figura 2

Fazendo o equiliacutebrio das pressotildees entre os planos (1)

(0) vem 2 2

pV pV p +~ plusmn - P + i deg bull 1 2 g o 2 g (b)

C x

Fazendo equiliacutebrio da expansatildeo (0) - (2) vem

P o + 2 - f = P 2 + 2 -T + kp- 2 F ( c )

c c b C

Subtraindo (b) - (c)

2 2 2

i p- vj i p- v2 L P l + 2 bull g c

P 2 + 2 2g c

+ k P 2g c

74

Como

P - P = mdash 2 2g

2 2

bull (1 + k) - f bdquo mdash i

k a - f2 ) 2 - d - o c )2

= o

A = a 21

Weisback obteve varias relaccedilotildees entre a e a i] c

01 02 03 a 0624 0632 0643 c

0624 0632

A r v i - V v 2

p -p 1 2

P -P 1 2 2g7

v l =

(1+k) - laquofi- a 2g 21 c

( 1 + k - o 2 1)

X[- V 2 o 2 1V 2

22 - Duas fases

0 valor de k pode ser aproximado para

k = a(l - o 2 1)

onde segundo Richardsons para fluxo de duas fases podemos supor

a = 02

Para fluxo homogeacuteneo sabemos que

75

p = p f (1 -a ) + p o a

podemos supor p bdquo a = 0 pois p e pequeno e fazendo

V = V ~ V fbdquo2 go2 v 2

Substituindo estas duas expressotildees na equaccedilatildeo de uma soacute fase vem

2 2 p V (l-ct) p V (1 -a ) bdquo

P l P 2 = 9g ( 1 + 3 - 3 0 ^ - 0 ^ ) = g (a+1) (l-a^)

Se a = 02

2 12p oV 0

p r p

2 - 9g gt d-) d-sigt

A compressatildeo de um fluido acarreta uma perda de pressatildeo

como pode ser verificado pelas formulas uma vez que lt 1deg

3 ANALISE HIDRODINAcircMICA DE UM CIRCUITO EM CIRCULACcedilAtildeO NATURAL

Esquema deacute uma caldeira com circulaccedilatildeo natural

76

Determinar a velocidade em (7) para que tenhamos circula

ccedilatildeo natural Determinar tambeacutem as perdas de pressatildeo em todos os

trechos da caldeira

31 - Contraccedilatildeo das secccedilotildees (1) - (2)

Como jaacute vimos a equaccedilatildeo do balanccedilo das pressotildees eacute

1 pr Vl 1 p 2 o V 2 P2 V2

1 2 g 2 + 2 g + K12 2g otilde c amp c e c

bullraquo 2 o2 2 e havendo uma soacute fase k 1 9 = (l-o ) = (1 mdash ) e sendo

C 2

p l = p2

v x lt lt lt v 2

P 2 V pr p2 bull ir2 bull ( 1 + k12gt

Colocando em termos de temos

A 2 V 2 P 2 = A 7 V 7 p 7 (continuidade)

V = V mdashbull = V o_bdquo ~ A 2 2 2

P 2 V - p 2

p r p 2 = ir2 - deg72 bull Ccedilrgt bull lt 1 + ki2gt

fazendo

N12 - lt^gt deg72 ( 1 + k12gt

P7 V7

Pr P2 - N12 bull HG

77

3 2 - Perda de carga no trecho ( 2 ) - ( 3 )

Como haacute apenas uma fase soacute temos perdas por atritos e

perdas hidrostaacuteticas

Sendo como jaacute vimos

2 3 p 2 2 g P 2 P 3 = f 2 3 (r~2g^~) L 2 3 g c p

atrito hidrostaacutetica

Substituindo V^ pela relaccedilatildeo do item anterior e tendo em

conta que p = vem

P -P = f 2 r 3 2 3 D

2 3 p 2 bdquo 2 2 p 7 2

2 g 7 72 p 2 3 g

Se

L 2 3 2 p 7

2 3 2 3 D 2 a 7 2 p 2

P 7 V 7 g P 2 - P 3 = N 2 3 ( mdash gt p 2 L 2 3 f

3 3 - Expansatildeo nas secccedilotildees ( 3 ) - ( 4 )

Como vimos o balanccedilo das pressotildees e

2 2 2 p V p 4 V p V

P 3 + 2 g c

P 4 + 2 g c

+ k 3 4 2 g c

onde

k 3 4 - - -

2 2 1 P 4 - V 4 P 3 v 3

P 3 P 4 = 2 g + ( k 3 4 _ 1 ) 2 g

78

Sendo

P 3 - P 4

p 3 o A 3 deg V 3 = P 7

a A 7 o V 7

P 4A 4 0V 4 = P r A r V

3 7 A 3 p 3

A7 P7 V = v mdash mdash 4 7 P 4

P - P 3 r4

Se

P bdquo - P

bdquo2 r-P 7 V 7

3 4 2g deg74 + ( k 3 4 1 ) deg73

34 p deg74 + ( k 3 4 1 ) 73

p r v2

P3- P4 ^ N34 ^ gt

(No caso e negativo)

34 - Contraccedilatildeo nas secccedilotildees (5) - (6)

Ainda temos uma so fase e fazendo o balanccedilo das pressotildees

como fizemos no item 3lt1 vem

P + vil p + vi + k vi P 5 + 2gbdquo P6 + 2gbdquo + k56 2gbdquo

k 5 6 lt 1 ^ gt 2 ( 1 - Iacute 2 i 2 6

V V6 P5degIacute 5^6 ^SS 2g c - 2g c

P - P ^ = (1+kJ

Como

79

A 6

W p 5 =

VV P6 V 5 = V 6 Jiexcl = Vff65

P 5-P 6 - lt H k 5 6 ) mdash ^ mdash (l+k 5 6-a 6 5) c c c

Sendo

Se

A 7 p 7 p 7

6 7 Ag p 6 7 76 p 6

p _p _ P6- V7- g76 iquest72 ( _ 02 P 5 P 6 2g c bull ( p 6

( 1 + k 5 6 deg65 )

p 7 2 2 N56 = p ^ deg76 ( 1 + k 5 6 ~ a 6 5 )

P 7 V 2

7

P r-P = N r 5 6 56 2g c i

35 - Perdas de pressatildeo nas zonas (6) - (7) - Pre^aquecimento

Nesta regiatildeo temos perdas por atrito e hidrostaacuteticas

Nao haacute perda por aceleraccedilatildeo pois ainda natildeo houve formaccedilatildeo de boshy

lhas

Fazendo balanccedilo das pressotildees temos

L_ ppound-V p = p + otilde L - pound _ + f -Si (-21mdashL 6 7 + p67 L67 g + t 6 7 D K 2g

p _ e ifn sao tomados como valores meacutedios 67 67

P _p _ f hl ^67jIacute uuml + - L A

6 F 7 r67 D 2g P P67 L67 g 6 s c 7 c

S e Kr pound67 L67 p67 6 7 D 6 p7

p7 V - _g_ P6- P7 - N67 mdash + P67 L67 f

c c

80

36 - Perda de pressatildeo nas zonas (7) - (8) - Zona de ebuliccedilatildeo

Nesta regiatildeo j aacute temos o aparecimento de bolhas logo a

perda de pressatildeo seraacute devida agraves t recircs parcelas aceleraccedilatildeo a t r i t o

das duas fases liacutequidas + vapor e h idros taacute t ica

onde

Assim

P-P Q = AP + AP + APbdquo 7 8 a t r i t o acel H

T M1

78 p 7 7 AP - R f- - mdash mdashr |R = fator mult ipl ica-

a t r i t o 7 D 7 2 g c L tivo

G 2

AP bull r mdash acel g c

P V

|_1 - o a p J 8 P f

2 t r 2 M2

7 7 r 7 7 A P a c e l = -J^mdash 2 r bull p 7 lt T iexcl iexcl - )

A PH p 7 8 L 7 8 fiexcl

p 7 8 iacute 7 li 1 0 0 P l i q + a P v ] d L = P 7 ( 1 - laquo 7 8 )

ag raquo fraccedilatildeo de vazio media entre 7 e 8

APH = p (1 - 5 7 g ) f- L 7 8

2 2

P 7 - P 8 a 5 - 2 T i + 2 r p 7 + P 7 ( 1 - 7 8 gt f L 7 8 7 amp c amp c amp c

81

N 7g = R mdash + 2 r p 7

P7 V7 P7- P8 = N78 + P 7 ( 1 5 7 8 gt J78

37 - Expansatildeo nas secccedilotildees 8 e 9

No caso haacute uma expansatildeo com duas fases e como vimos no

item 12 a variaccedilatildeo de pressatildeo era dada por

0f Vo P2 P1 = ~2g c ( 2 deg12

x 2 (mdash)(mdash - mdash ) + ( l - x ) 2 ^ T mdash 8 1 2 1

12

Aplicando ao nosso caso

P pound = P 7

P -P = 8 9

V - V raquo V g f 7

P 7 V 2

2 pf 1 a89 2 1 g89 x (mdash) ( ) + (1-x) (- - N

o ou abdquo 1-cu l-ot_) g 8 9 8 9

Se

N 89

= 2 a 89

2 pf 1 deg89 2 1 CT89 x (mdash) ( ) + (1-x) ( T

g 8 9 8 9

P -P = 8 9

- N P7deg V7

89 2gbdquo

38 - Perda de pressatildeo no trecho 9 e 10

No referido trecho temos apenas perda de pressatildeo por atr L

to da fase liacutequido + vapor e perda hidrostaacutetica Natildeo haacute perda por

aceleraccedilatildeo do vapor pois este natildeo recebe mais calor e portanto

o 82 o

nao ha variaccedilatildeo no a

p

Q -p i n = A P

U + A P bull 9 10 H atrito

n T -S_ P9 U10 deg 910 bull g

fio r

910 I 910

J9 L

(l- a)P + Q P I dL liq v

(l-a0) p

No caso a = (nao hatilde variaccedilatildeo de forma)

A P H - (1-a ) P (p L 0

c

AP bdquo = R o

atrito

2 f9 o L910 P9 V9

2g

Supondo

= V

P 9 = P 8 P 7

vbdquo = v 9 8 0 A r

= V 7 bull deg89

AP - R atrito

2 2

W l O p7deg V7deg g89

V P10 R -^T^ bull deg89 bull li-2 + ( W P 7 (fgt SIO

y c c

Se

- f9 L910 2 N9ol0 R Dl deg89

w 2

p rv P9 P10 = VlO + ( 1 a 9 ) p7 (f gt L910 c

33

39 - Perda ciacutee pressatildeo na expansatildeo 9 - 1 0

Analogamente a expansatildeo 8 - 9 temos

10 11 P 7 2g

10 Iacute 2 0 1 0 - 1 1 gt

2 ff

pg aio

10-11

laquo11 ) +

Ll-a 1 0 bull l-a u J

Se

V10 = V 9 = V 8 bull T9 = V 7 deg89

P -P 10 rll = - a 2g 089 ^lO-ll

4 bull T~ bull (7 1 mdash ) + Pg degio a n

+ (l-x)2(- 1 10-11

1 - aio )

N10-ll = 2 a10-ll a89 2 pf t 1 10-11 N2

-(j-r- - ) bull+ (1-x) pg aio deg 1

10-11 k l - a io

prz P10 Pll = - N10-ll bull ( 2gbdquo

310 - Calculo de V

Fazendo a somatoacuteria de todas as expressotildees (P^-Pj) tere-

84

mos 2 PbdquoV_

P bdquo - P bdquo = N 7 v 7

1 2 12 2g

bull 2 - P 3 - = N 2 3 P 2 L 2 3 f c ccedil

9 P 7 V 7 P _p = N mdash -

3 4 34 deg 2g

V P 5 = deg

2 P V

5 6 56 2 g c

ltr2

P 7 -V 6 e7 -N67 2g + p 6 7 J j67 g

c bc v 2

P 7 - P 8 = N 7 8 - 2 i ~ + p 7 ( 1 - laquo 7 8 ) L 7 8 c

P 7 V 7

P - P - -N mdash - -8 9 89 2g

c P 7 V 7

P 9 ~ P 1 0 VlO 2g + ( 1 a 9 P 7 L 9 c

P 7 V 7

bull10 11 U10-ll 2g

P v iacute j P - P

1 11

7 - v 7 3 bull r

2 8 i U L 2 23 67

(l-5 7 8) L 7 8 + ( l - laquo 9 ) P 7 bull SlOtilde]- ^

Por ou t ro lado sabemos que como secccedilotildees 1

mesmo n iacute v e l

85

s c p r v 7 j

28 Z N i ij

= P 2 L23 p67 L67 P 7 ( 1~deg78 )

78 ~ ^g) bull P 7 bull L 910 g_

V - 2 g ( p r L 2 3 - p 6 r L 6 7 - p 7 ( l - atilde 7 8 ) L 7 8 - (l-a9) p L 9 a ( )

y N

Com esse valor de podemos determinar todas as variashy

ccedilotildees de pressatildeo (P^-P )

BIBLIOGRAFIA

- WoR Gambill - Notas de aula dos seminaacuterios realizados no Insshy

tituto de Energia Atocircmica de Sao Paulo em 1966 (roteiro)

- WR Gambill - Nuclear Safety

Vol 9 - n9 5 e 6

Vol 6 - n 2 (pag 152)

Vol 4 -r n9 1 (pag 30)

Volbdquo 5 - n 2 (pag 151)

- WRo Gambill - Chemical Eng Prog ndeg 54 (Outubro)

~ El Wakil - Nuclear Power

- Jakob Max - Heat Transfer (vol I)

Mc Adams - Heat Transmission

- Paul A Lottes - Argonne National Laboratory

- AKL - 6469

- ANL - 6561

86

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Frank Kreith - Principles of Heat Transfer

Journeacutees Internationales de la transmission de la chaleur

Seminaacuterios realizados em Paris em 1961 sob a supervisatildeo do

Prof Marcel Veron

Notas de aula da Cadeira de Termodinacircmica I e Transmissatildeo da

Escola Politeacutecnica da Universidade de Sao Paulo

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60

qg = calor sensiacutevel acrescentado ao liquido para satushy

raacute-lo

qfc = calor total acrescentado ao liacutequido em todo o com

primento do canal

laquoo

q s J o qiquest sen (IIzH) n H o

T~ = TH = 2 ( 1 c o s gt ( a )

q 1 sen (HzH) Jo ^c

A expressatildeo (a) vale quando tivermos uma adiccedilatildeo de calor

senoidal para qualquer outra forma de adiccedilatildeo de calor faz-se um

caacutelculo anaacutelogo

Outra relaccedilatildeo entre q g e qfc eacute dada pela termodinacircmica

q h- - h s f m (b)

(hr +x h )-hm ^t f e fg

onde

= entalpia para o liquido saturado a pressatildeo correjs

pondente (cota z = Ho)

hffi = entalpia do liacutequido na entrada do canal

x = tiacutetulo do vapor na saiacuteda

= entalpia do vapor

Com a relaccedilatildeo (b) noacutes determinamos a relaccedilatildeo q q ecom

S L

uma relaccedilatildeo do tipo (a) (conforme seja o adicionamento de calor ao

liacutequido) podemos obter a relaccedilatildeo HoH e consequentemente H^H

21 - Perda de pressatildeo num canal de evaporaccedilatildeo

Neste item iremos determinar as perdas de pressatildeo mais

representativas que ocorrem num canal de evaporaccedilatildeo de um reator

P + dP

bull1 i- 1 gti i i

dL

onde

UM

Icirc H Icirc Icirc T dF f t f

61

Quantidade de Mov na Entrada

= i- rigVg)

dF f l

Fig 8

m i

m 8

V l V 8

A P

dF

dF

dF

fg

fl

ftf

descarga do liacutequido

descarga do vapor

velocidade do liquido

velocidade do vapor

aacuterea transversal do canal

forccedila de atrito do vapor com parede

forccedila de atrito do liacutequido com parede

forccedila de atrito das duas fases liacutequido+vapor

Fazendo o balanccedilo das forccedilas considerando o sentido posjL

tivo na vertical temos

A (P-P-dP)-(dF +dF _+dF _)-(-pound-) (p A+p A )dL = mdash dGnV+m V ) P fg ftf fl g c 1 1 g g g c

v 1 1 g g 7

- dP = ~ (dF +dF--+dF)+- S--7=- (p A+p A )dL+ mdash ~ - d (m-V+m V ) A_ fg ftf fl g c Ap v^l 1 g g g A 11 g g

Fazendo a integraccedilatildeo termo a termo entre os dois extreshy

mos entrada e saiacuteda e considerando a pressatildeo de entrada igual a

P q e a de saiacuteda igual a Pe vem

Quantidade de Mov na Saiacuteda

-= h I- lY l+ A g V g + d ( aacute l V l + aacuteeVl

Forccedila de Gravidade

= ( g f - N P A + P g V

62

b) r e F f l

o p dp^ = Ap^ = perda de pressatildeo por atrito

do liacutequido na altura Ho

Aplicando a formula de Darcy vem

bull API = f bull ir bull ^ iexcl 7

onde

f = fator de atrito

c) e Fftf

o p ^P tpound

= perda de pressao por atrito da mistura

liquido + vapor no trecho de comprimen

to Hbdquo o

Para determinar esta perda de pressao define-se o fator

de multiplicaccedilatildeo R

A P R =

tf A P 1B

Sendo A p ^ a perda de pressao se o comprimento todo fosshy

se ocupado somente pelo liquido assim

A p t f = R A P 1 B

0 calculo de Ap-^ pode ser feito pela formula de Darcy e

o de R nos veremos no item seguinte

63

d)

-e F

d ( ^ )

O P

Ap = perda de pressatildeo por atrito do vapor

No caso do reator BWR o titulo de saida e bera pequeno e

em nenhum caso ocorre a saida de vapor com x = 100 logo a perda

de pressatildeo por atrito do vapor eacute nula assim

An = 0 5

e) Ap

(p A 1 + p A ) dL = Ap - perda de pressatildeo dpound

vida ao desniacutevel

(perda hidrostaacutetica)

Anbdquo = re A A

-S- I (p + p -S ) dL H s 1 A

c o p o A

como A A Jl_ =

A P

A +A-g 1

1-a -

temos

C Q

te j jll-a)p1 + apg)^jdL = p Lo pound

onde

e jo u

+ ap ) ~I dL (Densidade media 1 S J

no tubo)

No nosso caso

Ap u = p H

f)

re d(mV + m V ) _ mdash - laquo -i bull s iquestp laquos p e r d a ltje pressatildeo devido a acele-

c p raccedilatildeo do vapor

V A

(1-x) tl^Vj

(1-a) A

X V

aA

A p -

roV + m V

c p c p L_

m (l-x)m_v m xv nbdquo -1 T 1

+ _S S I (1-a) Ap aA

P

2 g A c p

n 2 2

(1-x) m T

laquo2 8 A c p

2 2 (l-xe) raTv1

2 2 2 xm_v (1-x) m-v e T s o 1 1

a 1 - a

2 2 - x m_v o T g

a

se

X Q 0 (so ha agua nesse trecho)

a = 0 o

temos

mbdquo Ap =

1 a A 2

S A degc p laquo-

tt-V v i 1 - a

2 via T^r - v i

t Apc

2

V v l

5c Ap

1 - a

x v - 1

a e v l

65

Fazendo

G = fluxo total da massa por unidade de area do

canal

(1-x J e

V

AP r

Assim a perda de pressatildeo total sera

H p V II pV r2 P -P = f -24-Iuml+ f R+p 0 1 2g c D e 2g c g c g c

2c2 - Determinaccedilatildeo do fator de multiplicaccedilatildeo (R)

221 - Relaccedilatildeo Martinelli-Nelson

Os autores Martinelli-Nelson determinaram experimental -

te esse fator R para varias LIT1L em funccedilatildeo da pressatildeo e da r NB total J v

qualidade de saiacuteda do vapor no canal Construiacuteram assim vaacuterias

curvas do tipo da figura 9

66

E importante notar que a qualidade do vapor (x) na saiacuteshy

da nao deve ser grande pois como vemos o valor de R cresce muishy

to com um aumento pequeno de x e um valor de R muito grande acar_

reta uma perda de pressatildeo grande pois

^ d u a s fases R ^ f a s e liacutequida

Para resolvermos um problema seguindo o criteacuterio de bdquo

Martinelli escolhemos a curva R = f(px) (para a relaccedilatildeo L

N g ^ j

adequado) e tiramos R com os valores de pressatildeo p e tiacutetulo x

As curvas R = f (p x L T t )IO encontram-se nos ANL 6469 bio I

e 6561

222 - Relaccedilatildeo Lottes-Flinn

Estes autores estudaram o problema para o aquecimento uni

forme do refrigerante com baixo titule Lottes-Flinn fizeram inuacuteshy

meras experiecircncias e verificaram que para fluxo de calor uniforshy

me e baixos titulos R era independente do fluxo de calor fluxo

do refrigerante escorregamento e apenas funccedilatildeo de a g

Como a quantidade de liacutequido eacute muito maior que a de vashy

por a perda de pressatildeo daacute-se principalmente pelo atrito do liacuteshy

quido com a parede Podemos assim escrever a foacutermula de Darcy

na forma diferencial

dz

d = f __ r e amp c

onde

V = velocidade do liquido saturado na cota zbdquo X

f = coeficiente atrito

= densidade do liacutequido saturado

Teoricamente a queda de pressatildeo deve-se ao acreacutescimo de

67

velocidade do liacutequido e da diminuiccedilatildeo da aacuterea de fluxo do liacutequi

do

P fH A P t p

= f D 2g Ho

d z

fazendo

V lo

m V t lo

(velocidade do liacutequido na cota z = Ho)

(1-x) m t v 1

(1-a) A (velocidade do liacutequido na cota z gt Ho)

a bull+ fraccedilatildeo vazio na cota z geneacuterica

V 1 (1-x) m t v 1

m t V l 1 - a

x =s 0 pois o tiacutetulo eacute baixo

A p t f = f bull JT5 c e

fH V lo

H o (1-a) dz

Para fazer a integral devemos achar a relaccedilatildeo de variaccedilatildeo

entre a e z Como o fluxo de calor eacute uniforme a qualidade eacute direshy

tamente proporcional a z

bull laquo x = x e H

z = mdash x X e

Sabemos ainda que (item 113)

x

1 + [ ( I -X)AKQ x + iiacuteraquo

68

como

temos

(1-x) = 1

v

X =

z =

1-a

1 -a

1-a e

a

e

1-a pound

a

1 -a igt (assumindo S = cte)

da

Atf - f bull 2 i ^ ~ J c e o

a 1 - a e e 1 s 4 hmdash) da

a 1-a

f P lv^ Q

0 termo mdash - mdash e a parte de perda de pressatildeo pelo lj^

^c e -quido ou seja Ap liquido saturado e como

Ap

R = tf

Ap liauido saturado

temos que

R J

f ae 1 _ a e 1 4

a 1 -a o e

1 -a r-R =

3 1 -a

a 1 -a imdash

3 vl - a 3

e e

Os valores de R obtidos por esta expressatildeo aproximam-se

muito dos valores obtidos pelos aacutebacos de Martinelli

69

E - EXPANSAtildeO E COMPRESSAtildeO DE UM FLUIDO - ANAacuteLISE HIDRODINAcircMICA

DE UM CIRCUITO EM CIRCULACcedilAtildeO NATURAL

1 EXPANSAtildeO NO FLUXO DE UM FLUIDO

11 - Uma so fase

Figura 1

Ha vaacuterios meacutetodos para determinar a variaccedilatildeo de pressatildeo

numa expansatildeo de fluido estudaremos o de Romie que eacute o que daacute

maior precisatildeo

Romie considera que a pressatildeo p^ tambeacutem atua na aacuterea

imediatamente apos a expansatildeo Assim fazendo o equiliacutebrio das foi

ccedilas nas secccedilotildees tracejadas da figura 1 temos

mVj

p r A 2 + mdash

mV

bull 2- A2

mas

m = pV^A^

pV^A = p V 2 bdquo A 2

V A

v 2 -4r-logo

( P l-P 2) A 2 = f ( V ^ ) - f _ v j amp c c 2

70

2 pV A A pV A A

Chamando A l A ]

K = 1 - T e degi2 = Aiexcl bull V E M

pvj

P l P 2 = T ~ bull ( 2 deg 1 2 ) ( 1 _ a 1 2 )

Outra maneira de chegar atilde diferenccedila de pressatildeo ( P j - ^ ) s mdash

ria usar o coeficiente de perda da mecacircnica dos fluidos Assim o

equilibrio das pressotildees eacute

2 2

1 V l 1 V 2 V l P i + _ p _ ^ P 2 + I p ~ + k 1 2 p mdash

onde = coeficiente de perda

A 2 1 2

k 1 2 - (l-o 1 2) - (1 - j- )

Fazendo as transformaccedilotildees chegamos a mesma expressatildeo obshy

tida pelo balanccedilo das forccedilas

PraquoIacute pr p

2 - - ir ^ laquo-ia

12 - Duas fases

Como ha duas fases a equaccedilatildeo do balanccedilo das forccedilas fica

um pouco alterada

m pound 1 V- m - raquoV - m-V- m bdquoV _ P A + j y ^ i + _gl_JUuml P A + -11-11 + -ilsl (a)

1 2 e R 2 2 ff e

Sabendo que

71

m (1-x) m t = p fA (1-a) V f

entatildeo

fl l-o^ p fA x

6 Vf2 1-x l-a2 P fA 2

m V = mdash mdash e V 0 = gl a 1 P C T A 1 g2

m

a_ p h

2 g 2

Nas expressotildees anteriores o x nao varia porque a expansatildeo

5 adiabaacutetica porem o a varia devido a modificaccedilatildeo do tamanho da

bolha

Substituindo os valores das velocidades na expressatildeo (a)

vera

( P - P ) Abdquo =

2

2 2 m gt2 2 m t (1-x) 1 x t

ra i 2 m i 1 x t 1

p fA 1 g c ttl p Ax gpound

m t P - P = mdash

(1-x) (l-a 1)A 1A 2 (l-a2)A|

a r A r A 2

V A 2

m t P bdquo - P = mdash 2 1 g c A r A 2 p f

(1-x) 1-a f A 2(l-a 2)

bull ^ 2

72

Se

P -P

a

m

g

12

1 _1_ (1-x)

J12

1 _ a l 1 - a 2 + X (- )

Pg

1 deg12 a 2 ^

Sabemos que

mt = V o pf laquo A l

Sendo V q = velocidade do liquido num ponto onde natildeo haja vapor

P 2-P 1

u 2 2 A 2

V pr Ai

V W p f

(1-x) 12

l-a1 l-a2

+ X 2 pf

mdash

l deg12

-1 a 2 _

p -p r 2 Al (2a 1 2)

2 M f w 1 deg12 X (mdash) (

pg al a 2 )+(l-x)C l 1 12

1-a^ l-a2

Devemos notar que esta expressatildeo tambeacutem vale para quando

temos uma fase para isso basta fazer

= c t 2 = 0

X = 0

e recairemos na formula do item anterior

2 pf 1 deg12 Observemos que neste caso o termo x (mdash)( ) nao

Pg al a2

2

73

tem significado pois corresponde a mudanccedila de fase

2 CONTRACcedilAtildeO KO FLUXO DE UM FLUIDO

21 - Uma so fase raquo mdash

Aqui ocorre um fenocircmeno importante pois o fluido ao ser

contraiacutedo nao vai diretamente da area A^ para a area A 0 mas ele

contral-se ate uma area A^ e depois expande-se ate k^

Ao A2

Po IP 2

V 2

Figura 2

Fazendo o equiliacutebrio das pressotildees entre os planos (1)

(0) vem 2 2

pV pV p +~ plusmn - P + i deg bull 1 2 g o 2 g (b)

C x

Fazendo equiliacutebrio da expansatildeo (0) - (2) vem

P o + 2 - f = P 2 + 2 -T + kp- 2 F ( c )

c c b C

Subtraindo (b) - (c)

2 2 2

i p- vj i p- v2 L P l + 2 bull g c

P 2 + 2 2g c

+ k P 2g c

74

Como

P - P = mdash 2 2g

2 2

bull (1 + k) - f bdquo mdash i

k a - f2 ) 2 - d - o c )2

= o

A = a 21

Weisback obteve varias relaccedilotildees entre a e a i] c

01 02 03 a 0624 0632 0643 c

0624 0632

A r v i - V v 2

p -p 1 2

P -P 1 2 2g7

v l =

(1+k) - laquofi- a 2g 21 c

( 1 + k - o 2 1)

X[- V 2 o 2 1V 2

22 - Duas fases

0 valor de k pode ser aproximado para

k = a(l - o 2 1)

onde segundo Richardsons para fluxo de duas fases podemos supor

a = 02

Para fluxo homogeacuteneo sabemos que

75

p = p f (1 -a ) + p o a

podemos supor p bdquo a = 0 pois p e pequeno e fazendo

V = V ~ V fbdquo2 go2 v 2

Substituindo estas duas expressotildees na equaccedilatildeo de uma soacute fase vem

2 2 p V (l-ct) p V (1 -a ) bdquo

P l P 2 = 9g ( 1 + 3 - 3 0 ^ - 0 ^ ) = g (a+1) (l-a^)

Se a = 02

2 12p oV 0

p r p

2 - 9g gt d-) d-sigt

A compressatildeo de um fluido acarreta uma perda de pressatildeo

como pode ser verificado pelas formulas uma vez que lt 1deg

3 ANALISE HIDRODINAcircMICA DE UM CIRCUITO EM CIRCULACcedilAtildeO NATURAL

Esquema deacute uma caldeira com circulaccedilatildeo natural

76

Determinar a velocidade em (7) para que tenhamos circula

ccedilatildeo natural Determinar tambeacutem as perdas de pressatildeo em todos os

trechos da caldeira

31 - Contraccedilatildeo das secccedilotildees (1) - (2)

Como jaacute vimos a equaccedilatildeo do balanccedilo das pressotildees eacute

1 pr Vl 1 p 2 o V 2 P2 V2

1 2 g 2 + 2 g + K12 2g otilde c amp c e c

bullraquo 2 o2 2 e havendo uma soacute fase k 1 9 = (l-o ) = (1 mdash ) e sendo

C 2

p l = p2

v x lt lt lt v 2

P 2 V pr p2 bull ir2 bull ( 1 + k12gt

Colocando em termos de temos

A 2 V 2 P 2 = A 7 V 7 p 7 (continuidade)

V = V mdashbull = V o_bdquo ~ A 2 2 2

P 2 V - p 2

p r p 2 = ir2 - deg72 bull Ccedilrgt bull lt 1 + ki2gt

fazendo

N12 - lt^gt deg72 ( 1 + k12gt

P7 V7

Pr P2 - N12 bull HG

77

3 2 - Perda de carga no trecho ( 2 ) - ( 3 )

Como haacute apenas uma fase soacute temos perdas por atritos e

perdas hidrostaacuteticas

Sendo como jaacute vimos

2 3 p 2 2 g P 2 P 3 = f 2 3 (r~2g^~) L 2 3 g c p

atrito hidrostaacutetica

Substituindo V^ pela relaccedilatildeo do item anterior e tendo em

conta que p = vem

P -P = f 2 r 3 2 3 D

2 3 p 2 bdquo 2 2 p 7 2

2 g 7 72 p 2 3 g

Se

L 2 3 2 p 7

2 3 2 3 D 2 a 7 2 p 2

P 7 V 7 g P 2 - P 3 = N 2 3 ( mdash gt p 2 L 2 3 f

3 3 - Expansatildeo nas secccedilotildees ( 3 ) - ( 4 )

Como vimos o balanccedilo das pressotildees e

2 2 2 p V p 4 V p V

P 3 + 2 g c

P 4 + 2 g c

+ k 3 4 2 g c

onde

k 3 4 - - -

2 2 1 P 4 - V 4 P 3 v 3

P 3 P 4 = 2 g + ( k 3 4 _ 1 ) 2 g

78

Sendo

P 3 - P 4

p 3 o A 3 deg V 3 = P 7

a A 7 o V 7

P 4A 4 0V 4 = P r A r V

3 7 A 3 p 3

A7 P7 V = v mdash mdash 4 7 P 4

P - P 3 r4

Se

P bdquo - P

bdquo2 r-P 7 V 7

3 4 2g deg74 + ( k 3 4 1 ) deg73

34 p deg74 + ( k 3 4 1 ) 73

p r v2

P3- P4 ^ N34 ^ gt

(No caso e negativo)

34 - Contraccedilatildeo nas secccedilotildees (5) - (6)

Ainda temos uma so fase e fazendo o balanccedilo das pressotildees

como fizemos no item 3lt1 vem

P + vil p + vi + k vi P 5 + 2gbdquo P6 + 2gbdquo + k56 2gbdquo

k 5 6 lt 1 ^ gt 2 ( 1 - Iacute 2 i 2 6

V V6 P5degIacute 5^6 ^SS 2g c - 2g c

P - P ^ = (1+kJ

Como

79

A 6

W p 5 =

VV P6 V 5 = V 6 Jiexcl = Vff65

P 5-P 6 - lt H k 5 6 ) mdash ^ mdash (l+k 5 6-a 6 5) c c c

Sendo

Se

A 7 p 7 p 7

6 7 Ag p 6 7 76 p 6

p _p _ P6- V7- g76 iquest72 ( _ 02 P 5 P 6 2g c bull ( p 6

( 1 + k 5 6 deg65 )

p 7 2 2 N56 = p ^ deg76 ( 1 + k 5 6 ~ a 6 5 )

P 7 V 2

7

P r-P = N r 5 6 56 2g c i

35 - Perdas de pressatildeo nas zonas (6) - (7) - Pre^aquecimento

Nesta regiatildeo temos perdas por atrito e hidrostaacuteticas

Nao haacute perda por aceleraccedilatildeo pois ainda natildeo houve formaccedilatildeo de boshy

lhas

Fazendo balanccedilo das pressotildees temos

L_ ppound-V p = p + otilde L - pound _ + f -Si (-21mdashL 6 7 + p67 L67 g + t 6 7 D K 2g

p _ e ifn sao tomados como valores meacutedios 67 67

P _p _ f hl ^67jIacute uuml + - L A

6 F 7 r67 D 2g P P67 L67 g 6 s c 7 c

S e Kr pound67 L67 p67 6 7 D 6 p7

p7 V - _g_ P6- P7 - N67 mdash + P67 L67 f

c c

80

36 - Perda de pressatildeo nas zonas (7) - (8) - Zona de ebuliccedilatildeo

Nesta regiatildeo j aacute temos o aparecimento de bolhas logo a

perda de pressatildeo seraacute devida agraves t recircs parcelas aceleraccedilatildeo a t r i t o

das duas fases liacutequidas + vapor e h idros taacute t ica

onde

Assim

P-P Q = AP + AP + APbdquo 7 8 a t r i t o acel H

T M1

78 p 7 7 AP - R f- - mdash mdashr |R = fator mult ipl ica-

a t r i t o 7 D 7 2 g c L tivo

G 2

AP bull r mdash acel g c

P V

|_1 - o a p J 8 P f

2 t r 2 M2

7 7 r 7 7 A P a c e l = -J^mdash 2 r bull p 7 lt T iexcl iexcl - )

A PH p 7 8 L 7 8 fiexcl

p 7 8 iacute 7 li 1 0 0 P l i q + a P v ] d L = P 7 ( 1 - laquo 7 8 )

ag raquo fraccedilatildeo de vazio media entre 7 e 8

APH = p (1 - 5 7 g ) f- L 7 8

2 2

P 7 - P 8 a 5 - 2 T i + 2 r p 7 + P 7 ( 1 - 7 8 gt f L 7 8 7 amp c amp c amp c

81

N 7g = R mdash + 2 r p 7

P7 V7 P7- P8 = N78 + P 7 ( 1 5 7 8 gt J78

37 - Expansatildeo nas secccedilotildees 8 e 9

No caso haacute uma expansatildeo com duas fases e como vimos no

item 12 a variaccedilatildeo de pressatildeo era dada por

0f Vo P2 P1 = ~2g c ( 2 deg12

x 2 (mdash)(mdash - mdash ) + ( l - x ) 2 ^ T mdash 8 1 2 1

12

Aplicando ao nosso caso

P pound = P 7

P -P = 8 9

V - V raquo V g f 7

P 7 V 2

2 pf 1 a89 2 1 g89 x (mdash) ( ) + (1-x) (- - N

o ou abdquo 1-cu l-ot_) g 8 9 8 9

Se

N 89

= 2 a 89

2 pf 1 deg89 2 1 CT89 x (mdash) ( ) + (1-x) ( T

g 8 9 8 9

P -P = 8 9

- N P7deg V7

89 2gbdquo

38 - Perda de pressatildeo no trecho 9 e 10

No referido trecho temos apenas perda de pressatildeo por atr L

to da fase liacutequido + vapor e perda hidrostaacutetica Natildeo haacute perda por

aceleraccedilatildeo do vapor pois este natildeo recebe mais calor e portanto

o 82 o

nao ha variaccedilatildeo no a

p

Q -p i n = A P

U + A P bull 9 10 H atrito

n T -S_ P9 U10 deg 910 bull g

fio r

910 I 910

J9 L

(l- a)P + Q P I dL liq v

(l-a0) p

No caso a = (nao hatilde variaccedilatildeo de forma)

A P H - (1-a ) P (p L 0

c

AP bdquo = R o

atrito

2 f9 o L910 P9 V9

2g

Supondo

= V

P 9 = P 8 P 7

vbdquo = v 9 8 0 A r

= V 7 bull deg89

AP - R atrito

2 2

W l O p7deg V7deg g89

V P10 R -^T^ bull deg89 bull li-2 + ( W P 7 (fgt SIO

y c c

Se

- f9 L910 2 N9ol0 R Dl deg89

w 2

p rv P9 P10 = VlO + ( 1 a 9 ) p7 (f gt L910 c

33

39 - Perda ciacutee pressatildeo na expansatildeo 9 - 1 0

Analogamente a expansatildeo 8 - 9 temos

10 11 P 7 2g

10 Iacute 2 0 1 0 - 1 1 gt

2 ff

pg aio

10-11

laquo11 ) +

Ll-a 1 0 bull l-a u J

Se

V10 = V 9 = V 8 bull T9 = V 7 deg89

P -P 10 rll = - a 2g 089 ^lO-ll

4 bull T~ bull (7 1 mdash ) + Pg degio a n

+ (l-x)2(- 1 10-11

1 - aio )

N10-ll = 2 a10-ll a89 2 pf t 1 10-11 N2

-(j-r- - ) bull+ (1-x) pg aio deg 1

10-11 k l - a io

prz P10 Pll = - N10-ll bull ( 2gbdquo

310 - Calculo de V

Fazendo a somatoacuteria de todas as expressotildees (P^-Pj) tere-

84

mos 2 PbdquoV_

P bdquo - P bdquo = N 7 v 7

1 2 12 2g

bull 2 - P 3 - = N 2 3 P 2 L 2 3 f c ccedil

9 P 7 V 7 P _p = N mdash -

3 4 34 deg 2g

V P 5 = deg

2 P V

5 6 56 2 g c

ltr2

P 7 -V 6 e7 -N67 2g + p 6 7 J j67 g

c bc v 2

P 7 - P 8 = N 7 8 - 2 i ~ + p 7 ( 1 - laquo 7 8 ) L 7 8 c

P 7 V 7

P - P - -N mdash - -8 9 89 2g

c P 7 V 7

P 9 ~ P 1 0 VlO 2g + ( 1 a 9 P 7 L 9 c

P 7 V 7

bull10 11 U10-ll 2g

P v iacute j P - P

1 11

7 - v 7 3 bull r

2 8 i U L 2 23 67

(l-5 7 8) L 7 8 + ( l - laquo 9 ) P 7 bull SlOtilde]- ^

Por ou t ro lado sabemos que como secccedilotildees 1

mesmo n iacute v e l

85

s c p r v 7 j

28 Z N i ij

= P 2 L23 p67 L67 P 7 ( 1~deg78 )

78 ~ ^g) bull P 7 bull L 910 g_

V - 2 g ( p r L 2 3 - p 6 r L 6 7 - p 7 ( l - atilde 7 8 ) L 7 8 - (l-a9) p L 9 a ( )

y N

Com esse valor de podemos determinar todas as variashy

ccedilotildees de pressatildeo (P^-P )

BIBLIOGRAFIA

- WoR Gambill - Notas de aula dos seminaacuterios realizados no Insshy

tituto de Energia Atocircmica de Sao Paulo em 1966 (roteiro)

- WR Gambill - Nuclear Safety

Vol 9 - n9 5 e 6

Vol 6 - n 2 (pag 152)

Vol 4 -r n9 1 (pag 30)

Volbdquo 5 - n 2 (pag 151)

- WRo Gambill - Chemical Eng Prog ndeg 54 (Outubro)

~ El Wakil - Nuclear Power

- Jakob Max - Heat Transfer (vol I)

Mc Adams - Heat Transmission

- Paul A Lottes - Argonne National Laboratory

- AKL - 6469

- ANL - 6561

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Knudsen e Katz - Fluid Dinamics and Heat Transfer

Frank Kreith - Principles of Heat Transfer

Journeacutees Internationales de la transmission de la chaleur

Seminaacuterios realizados em Paris em 1961 sob a supervisatildeo do

Prof Marcel Veron

Notas de aula da Cadeira de Termodinacircmica I e Transmissatildeo da

Escola Politeacutecnica da Universidade de Sao Paulo

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Page 65: ALGUNS PROBLEMAS DE HIDRODINÂMICA E CONVECÇÃO DE … · alguns problemas de hidrodinÂmica e convecÇÃo de calor em reatores de potÊncia, segundo aulas do ... b - convecÇao

P + dP

bull1 i- 1 gti i i

dL

onde

UM

Icirc H Icirc Icirc T dF f t f

61

Quantidade de Mov na Entrada

= i- rigVg)

dF f l

Fig 8

m i

m 8

V l V 8

A P

dF

dF

dF

fg

fl

ftf

descarga do liacutequido

descarga do vapor

velocidade do liquido

velocidade do vapor

aacuterea transversal do canal

forccedila de atrito do vapor com parede

forccedila de atrito do liacutequido com parede

forccedila de atrito das duas fases liacutequido+vapor

Fazendo o balanccedilo das forccedilas considerando o sentido posjL

tivo na vertical temos

A (P-P-dP)-(dF +dF _+dF _)-(-pound-) (p A+p A )dL = mdash dGnV+m V ) P fg ftf fl g c 1 1 g g g c

v 1 1 g g 7

- dP = ~ (dF +dF--+dF)+- S--7=- (p A+p A )dL+ mdash ~ - d (m-V+m V ) A_ fg ftf fl g c Ap v^l 1 g g g A 11 g g

Fazendo a integraccedilatildeo termo a termo entre os dois extreshy

mos entrada e saiacuteda e considerando a pressatildeo de entrada igual a

P q e a de saiacuteda igual a Pe vem

Quantidade de Mov na Saiacuteda

-= h I- lY l+ A g V g + d ( aacute l V l + aacuteeVl

Forccedila de Gravidade

= ( g f - N P A + P g V

62

b) r e F f l

o p dp^ = Ap^ = perda de pressatildeo por atrito

do liacutequido na altura Ho

Aplicando a formula de Darcy vem

bull API = f bull ir bull ^ iexcl 7

onde

f = fator de atrito

c) e Fftf

o p ^P tpound

= perda de pressao por atrito da mistura

liquido + vapor no trecho de comprimen

to Hbdquo o

Para determinar esta perda de pressao define-se o fator

de multiplicaccedilatildeo R

A P R =

tf A P 1B

Sendo A p ^ a perda de pressao se o comprimento todo fosshy

se ocupado somente pelo liquido assim

A p t f = R A P 1 B

0 calculo de Ap-^ pode ser feito pela formula de Darcy e

o de R nos veremos no item seguinte

63

d)

-e F

d ( ^ )

O P

Ap = perda de pressatildeo por atrito do vapor

No caso do reator BWR o titulo de saida e bera pequeno e

em nenhum caso ocorre a saida de vapor com x = 100 logo a perda

de pressatildeo por atrito do vapor eacute nula assim

An = 0 5

e) Ap

(p A 1 + p A ) dL = Ap - perda de pressatildeo dpound

vida ao desniacutevel

(perda hidrostaacutetica)

Anbdquo = re A A

-S- I (p + p -S ) dL H s 1 A

c o p o A

como A A Jl_ =

A P

A +A-g 1

1-a -

temos

C Q

te j jll-a)p1 + apg)^jdL = p Lo pound

onde

e jo u

+ ap ) ~I dL (Densidade media 1 S J

no tubo)

No nosso caso

Ap u = p H

f)

re d(mV + m V ) _ mdash - laquo -i bull s iquestp laquos p e r d a ltje pressatildeo devido a acele-

c p raccedilatildeo do vapor

V A

(1-x) tl^Vj

(1-a) A

X V

aA

A p -

roV + m V

c p c p L_

m (l-x)m_v m xv nbdquo -1 T 1

+ _S S I (1-a) Ap aA

P

2 g A c p

n 2 2

(1-x) m T

laquo2 8 A c p

2 2 (l-xe) raTv1

2 2 2 xm_v (1-x) m-v e T s o 1 1

a 1 - a

2 2 - x m_v o T g

a

se

X Q 0 (so ha agua nesse trecho)

a = 0 o

temos

mbdquo Ap =

1 a A 2

S A degc p laquo-

tt-V v i 1 - a

2 via T^r - v i

t Apc

2

V v l

5c Ap

1 - a

x v - 1

a e v l

65

Fazendo

G = fluxo total da massa por unidade de area do

canal

(1-x J e

V

AP r

Assim a perda de pressatildeo total sera

H p V II pV r2 P -P = f -24-Iuml+ f R+p 0 1 2g c D e 2g c g c g c

2c2 - Determinaccedilatildeo do fator de multiplicaccedilatildeo (R)

221 - Relaccedilatildeo Martinelli-Nelson

Os autores Martinelli-Nelson determinaram experimental -

te esse fator R para varias LIT1L em funccedilatildeo da pressatildeo e da r NB total J v

qualidade de saiacuteda do vapor no canal Construiacuteram assim vaacuterias

curvas do tipo da figura 9

66

E importante notar que a qualidade do vapor (x) na saiacuteshy

da nao deve ser grande pois como vemos o valor de R cresce muishy

to com um aumento pequeno de x e um valor de R muito grande acar_

reta uma perda de pressatildeo grande pois

^ d u a s fases R ^ f a s e liacutequida

Para resolvermos um problema seguindo o criteacuterio de bdquo

Martinelli escolhemos a curva R = f(px) (para a relaccedilatildeo L

N g ^ j

adequado) e tiramos R com os valores de pressatildeo p e tiacutetulo x

As curvas R = f (p x L T t )IO encontram-se nos ANL 6469 bio I

e 6561

222 - Relaccedilatildeo Lottes-Flinn

Estes autores estudaram o problema para o aquecimento uni

forme do refrigerante com baixo titule Lottes-Flinn fizeram inuacuteshy

meras experiecircncias e verificaram que para fluxo de calor uniforshy

me e baixos titulos R era independente do fluxo de calor fluxo

do refrigerante escorregamento e apenas funccedilatildeo de a g

Como a quantidade de liacutequido eacute muito maior que a de vashy

por a perda de pressatildeo daacute-se principalmente pelo atrito do liacuteshy

quido com a parede Podemos assim escrever a foacutermula de Darcy

na forma diferencial

dz

d = f __ r e amp c

onde

V = velocidade do liquido saturado na cota zbdquo X

f = coeficiente atrito

= densidade do liacutequido saturado

Teoricamente a queda de pressatildeo deve-se ao acreacutescimo de

67

velocidade do liacutequido e da diminuiccedilatildeo da aacuterea de fluxo do liacutequi

do

P fH A P t p

= f D 2g Ho

d z

fazendo

V lo

m V t lo

(velocidade do liacutequido na cota z = Ho)

(1-x) m t v 1

(1-a) A (velocidade do liacutequido na cota z gt Ho)

a bull+ fraccedilatildeo vazio na cota z geneacuterica

V 1 (1-x) m t v 1

m t V l 1 - a

x =s 0 pois o tiacutetulo eacute baixo

A p t f = f bull JT5 c e

fH V lo

H o (1-a) dz

Para fazer a integral devemos achar a relaccedilatildeo de variaccedilatildeo

entre a e z Como o fluxo de calor eacute uniforme a qualidade eacute direshy

tamente proporcional a z

bull laquo x = x e H

z = mdash x X e

Sabemos ainda que (item 113)

x

1 + [ ( I -X)AKQ x + iiacuteraquo

68

como

temos

(1-x) = 1

v

X =

z =

1-a

1 -a

1-a e

a

e

1-a pound

a

1 -a igt (assumindo S = cte)

da

Atf - f bull 2 i ^ ~ J c e o

a 1 - a e e 1 s 4 hmdash) da

a 1-a

f P lv^ Q

0 termo mdash - mdash e a parte de perda de pressatildeo pelo lj^

^c e -quido ou seja Ap liquido saturado e como

Ap

R = tf

Ap liauido saturado

temos que

R J

f ae 1 _ a e 1 4

a 1 -a o e

1 -a r-R =

3 1 -a

a 1 -a imdash

3 vl - a 3

e e

Os valores de R obtidos por esta expressatildeo aproximam-se

muito dos valores obtidos pelos aacutebacos de Martinelli

69

E - EXPANSAtildeO E COMPRESSAtildeO DE UM FLUIDO - ANAacuteLISE HIDRODINAcircMICA

DE UM CIRCUITO EM CIRCULACcedilAtildeO NATURAL

1 EXPANSAtildeO NO FLUXO DE UM FLUIDO

11 - Uma so fase

Figura 1

Ha vaacuterios meacutetodos para determinar a variaccedilatildeo de pressatildeo

numa expansatildeo de fluido estudaremos o de Romie que eacute o que daacute

maior precisatildeo

Romie considera que a pressatildeo p^ tambeacutem atua na aacuterea

imediatamente apos a expansatildeo Assim fazendo o equiliacutebrio das foi

ccedilas nas secccedilotildees tracejadas da figura 1 temos

mVj

p r A 2 + mdash

mV

bull 2- A2

mas

m = pV^A^

pV^A = p V 2 bdquo A 2

V A

v 2 -4r-logo

( P l-P 2) A 2 = f ( V ^ ) - f _ v j amp c c 2

70

2 pV A A pV A A

Chamando A l A ]

K = 1 - T e degi2 = Aiexcl bull V E M

pvj

P l P 2 = T ~ bull ( 2 deg 1 2 ) ( 1 _ a 1 2 )

Outra maneira de chegar atilde diferenccedila de pressatildeo ( P j - ^ ) s mdash

ria usar o coeficiente de perda da mecacircnica dos fluidos Assim o

equilibrio das pressotildees eacute

2 2

1 V l 1 V 2 V l P i + _ p _ ^ P 2 + I p ~ + k 1 2 p mdash

onde = coeficiente de perda

A 2 1 2

k 1 2 - (l-o 1 2) - (1 - j- )

Fazendo as transformaccedilotildees chegamos a mesma expressatildeo obshy

tida pelo balanccedilo das forccedilas

PraquoIacute pr p

2 - - ir ^ laquo-ia

12 - Duas fases

Como ha duas fases a equaccedilatildeo do balanccedilo das forccedilas fica

um pouco alterada

m pound 1 V- m - raquoV - m-V- m bdquoV _ P A + j y ^ i + _gl_JUuml P A + -11-11 + -ilsl (a)

1 2 e R 2 2 ff e

Sabendo que

71

m (1-x) m t = p fA (1-a) V f

entatildeo

fl l-o^ p fA x

6 Vf2 1-x l-a2 P fA 2

m V = mdash mdash e V 0 = gl a 1 P C T A 1 g2

m

a_ p h

2 g 2

Nas expressotildees anteriores o x nao varia porque a expansatildeo

5 adiabaacutetica porem o a varia devido a modificaccedilatildeo do tamanho da

bolha

Substituindo os valores das velocidades na expressatildeo (a)

vera

( P - P ) Abdquo =

2

2 2 m gt2 2 m t (1-x) 1 x t

ra i 2 m i 1 x t 1

p fA 1 g c ttl p Ax gpound

m t P - P = mdash

(1-x) (l-a 1)A 1A 2 (l-a2)A|

a r A r A 2

V A 2

m t P bdquo - P = mdash 2 1 g c A r A 2 p f

(1-x) 1-a f A 2(l-a 2)

bull ^ 2

72

Se

P -P

a

m

g

12

1 _1_ (1-x)

J12

1 _ a l 1 - a 2 + X (- )

Pg

1 deg12 a 2 ^

Sabemos que

mt = V o pf laquo A l

Sendo V q = velocidade do liquido num ponto onde natildeo haja vapor

P 2-P 1

u 2 2 A 2

V pr Ai

V W p f

(1-x) 12

l-a1 l-a2

+ X 2 pf

mdash

l deg12

-1 a 2 _

p -p r 2 Al (2a 1 2)

2 M f w 1 deg12 X (mdash) (

pg al a 2 )+(l-x)C l 1 12

1-a^ l-a2

Devemos notar que esta expressatildeo tambeacutem vale para quando

temos uma fase para isso basta fazer

= c t 2 = 0

X = 0

e recairemos na formula do item anterior

2 pf 1 deg12 Observemos que neste caso o termo x (mdash)( ) nao

Pg al a2

2

73

tem significado pois corresponde a mudanccedila de fase

2 CONTRACcedilAtildeO KO FLUXO DE UM FLUIDO

21 - Uma so fase raquo mdash

Aqui ocorre um fenocircmeno importante pois o fluido ao ser

contraiacutedo nao vai diretamente da area A^ para a area A 0 mas ele

contral-se ate uma area A^ e depois expande-se ate k^

Ao A2

Po IP 2

V 2

Figura 2

Fazendo o equiliacutebrio das pressotildees entre os planos (1)

(0) vem 2 2

pV pV p +~ plusmn - P + i deg bull 1 2 g o 2 g (b)

C x

Fazendo equiliacutebrio da expansatildeo (0) - (2) vem

P o + 2 - f = P 2 + 2 -T + kp- 2 F ( c )

c c b C

Subtraindo (b) - (c)

2 2 2

i p- vj i p- v2 L P l + 2 bull g c

P 2 + 2 2g c

+ k P 2g c

74

Como

P - P = mdash 2 2g

2 2

bull (1 + k) - f bdquo mdash i

k a - f2 ) 2 - d - o c )2

= o

A = a 21

Weisback obteve varias relaccedilotildees entre a e a i] c

01 02 03 a 0624 0632 0643 c

0624 0632

A r v i - V v 2

p -p 1 2

P -P 1 2 2g7

v l =

(1+k) - laquofi- a 2g 21 c

( 1 + k - o 2 1)

X[- V 2 o 2 1V 2

22 - Duas fases

0 valor de k pode ser aproximado para

k = a(l - o 2 1)

onde segundo Richardsons para fluxo de duas fases podemos supor

a = 02

Para fluxo homogeacuteneo sabemos que

75

p = p f (1 -a ) + p o a

podemos supor p bdquo a = 0 pois p e pequeno e fazendo

V = V ~ V fbdquo2 go2 v 2

Substituindo estas duas expressotildees na equaccedilatildeo de uma soacute fase vem

2 2 p V (l-ct) p V (1 -a ) bdquo

P l P 2 = 9g ( 1 + 3 - 3 0 ^ - 0 ^ ) = g (a+1) (l-a^)

Se a = 02

2 12p oV 0

p r p

2 - 9g gt d-) d-sigt

A compressatildeo de um fluido acarreta uma perda de pressatildeo

como pode ser verificado pelas formulas uma vez que lt 1deg

3 ANALISE HIDRODINAcircMICA DE UM CIRCUITO EM CIRCULACcedilAtildeO NATURAL

Esquema deacute uma caldeira com circulaccedilatildeo natural

76

Determinar a velocidade em (7) para que tenhamos circula

ccedilatildeo natural Determinar tambeacutem as perdas de pressatildeo em todos os

trechos da caldeira

31 - Contraccedilatildeo das secccedilotildees (1) - (2)

Como jaacute vimos a equaccedilatildeo do balanccedilo das pressotildees eacute

1 pr Vl 1 p 2 o V 2 P2 V2

1 2 g 2 + 2 g + K12 2g otilde c amp c e c

bullraquo 2 o2 2 e havendo uma soacute fase k 1 9 = (l-o ) = (1 mdash ) e sendo

C 2

p l = p2

v x lt lt lt v 2

P 2 V pr p2 bull ir2 bull ( 1 + k12gt

Colocando em termos de temos

A 2 V 2 P 2 = A 7 V 7 p 7 (continuidade)

V = V mdashbull = V o_bdquo ~ A 2 2 2

P 2 V - p 2

p r p 2 = ir2 - deg72 bull Ccedilrgt bull lt 1 + ki2gt

fazendo

N12 - lt^gt deg72 ( 1 + k12gt

P7 V7

Pr P2 - N12 bull HG

77

3 2 - Perda de carga no trecho ( 2 ) - ( 3 )

Como haacute apenas uma fase soacute temos perdas por atritos e

perdas hidrostaacuteticas

Sendo como jaacute vimos

2 3 p 2 2 g P 2 P 3 = f 2 3 (r~2g^~) L 2 3 g c p

atrito hidrostaacutetica

Substituindo V^ pela relaccedilatildeo do item anterior e tendo em

conta que p = vem

P -P = f 2 r 3 2 3 D

2 3 p 2 bdquo 2 2 p 7 2

2 g 7 72 p 2 3 g

Se

L 2 3 2 p 7

2 3 2 3 D 2 a 7 2 p 2

P 7 V 7 g P 2 - P 3 = N 2 3 ( mdash gt p 2 L 2 3 f

3 3 - Expansatildeo nas secccedilotildees ( 3 ) - ( 4 )

Como vimos o balanccedilo das pressotildees e

2 2 2 p V p 4 V p V

P 3 + 2 g c

P 4 + 2 g c

+ k 3 4 2 g c

onde

k 3 4 - - -

2 2 1 P 4 - V 4 P 3 v 3

P 3 P 4 = 2 g + ( k 3 4 _ 1 ) 2 g

78

Sendo

P 3 - P 4

p 3 o A 3 deg V 3 = P 7

a A 7 o V 7

P 4A 4 0V 4 = P r A r V

3 7 A 3 p 3

A7 P7 V = v mdash mdash 4 7 P 4

P - P 3 r4

Se

P bdquo - P

bdquo2 r-P 7 V 7

3 4 2g deg74 + ( k 3 4 1 ) deg73

34 p deg74 + ( k 3 4 1 ) 73

p r v2

P3- P4 ^ N34 ^ gt

(No caso e negativo)

34 - Contraccedilatildeo nas secccedilotildees (5) - (6)

Ainda temos uma so fase e fazendo o balanccedilo das pressotildees

como fizemos no item 3lt1 vem

P + vil p + vi + k vi P 5 + 2gbdquo P6 + 2gbdquo + k56 2gbdquo

k 5 6 lt 1 ^ gt 2 ( 1 - Iacute 2 i 2 6

V V6 P5degIacute 5^6 ^SS 2g c - 2g c

P - P ^ = (1+kJ

Como

79

A 6

W p 5 =

VV P6 V 5 = V 6 Jiexcl = Vff65

P 5-P 6 - lt H k 5 6 ) mdash ^ mdash (l+k 5 6-a 6 5) c c c

Sendo

Se

A 7 p 7 p 7

6 7 Ag p 6 7 76 p 6

p _p _ P6- V7- g76 iquest72 ( _ 02 P 5 P 6 2g c bull ( p 6

( 1 + k 5 6 deg65 )

p 7 2 2 N56 = p ^ deg76 ( 1 + k 5 6 ~ a 6 5 )

P 7 V 2

7

P r-P = N r 5 6 56 2g c i

35 - Perdas de pressatildeo nas zonas (6) - (7) - Pre^aquecimento

Nesta regiatildeo temos perdas por atrito e hidrostaacuteticas

Nao haacute perda por aceleraccedilatildeo pois ainda natildeo houve formaccedilatildeo de boshy

lhas

Fazendo balanccedilo das pressotildees temos

L_ ppound-V p = p + otilde L - pound _ + f -Si (-21mdashL 6 7 + p67 L67 g + t 6 7 D K 2g

p _ e ifn sao tomados como valores meacutedios 67 67

P _p _ f hl ^67jIacute uuml + - L A

6 F 7 r67 D 2g P P67 L67 g 6 s c 7 c

S e Kr pound67 L67 p67 6 7 D 6 p7

p7 V - _g_ P6- P7 - N67 mdash + P67 L67 f

c c

80

36 - Perda de pressatildeo nas zonas (7) - (8) - Zona de ebuliccedilatildeo

Nesta regiatildeo j aacute temos o aparecimento de bolhas logo a

perda de pressatildeo seraacute devida agraves t recircs parcelas aceleraccedilatildeo a t r i t o

das duas fases liacutequidas + vapor e h idros taacute t ica

onde

Assim

P-P Q = AP + AP + APbdquo 7 8 a t r i t o acel H

T M1

78 p 7 7 AP - R f- - mdash mdashr |R = fator mult ipl ica-

a t r i t o 7 D 7 2 g c L tivo

G 2

AP bull r mdash acel g c

P V

|_1 - o a p J 8 P f

2 t r 2 M2

7 7 r 7 7 A P a c e l = -J^mdash 2 r bull p 7 lt T iexcl iexcl - )

A PH p 7 8 L 7 8 fiexcl

p 7 8 iacute 7 li 1 0 0 P l i q + a P v ] d L = P 7 ( 1 - laquo 7 8 )

ag raquo fraccedilatildeo de vazio media entre 7 e 8

APH = p (1 - 5 7 g ) f- L 7 8

2 2

P 7 - P 8 a 5 - 2 T i + 2 r p 7 + P 7 ( 1 - 7 8 gt f L 7 8 7 amp c amp c amp c

81

N 7g = R mdash + 2 r p 7

P7 V7 P7- P8 = N78 + P 7 ( 1 5 7 8 gt J78

37 - Expansatildeo nas secccedilotildees 8 e 9

No caso haacute uma expansatildeo com duas fases e como vimos no

item 12 a variaccedilatildeo de pressatildeo era dada por

0f Vo P2 P1 = ~2g c ( 2 deg12

x 2 (mdash)(mdash - mdash ) + ( l - x ) 2 ^ T mdash 8 1 2 1

12

Aplicando ao nosso caso

P pound = P 7

P -P = 8 9

V - V raquo V g f 7

P 7 V 2

2 pf 1 a89 2 1 g89 x (mdash) ( ) + (1-x) (- - N

o ou abdquo 1-cu l-ot_) g 8 9 8 9

Se

N 89

= 2 a 89

2 pf 1 deg89 2 1 CT89 x (mdash) ( ) + (1-x) ( T

g 8 9 8 9

P -P = 8 9

- N P7deg V7

89 2gbdquo

38 - Perda de pressatildeo no trecho 9 e 10

No referido trecho temos apenas perda de pressatildeo por atr L

to da fase liacutequido + vapor e perda hidrostaacutetica Natildeo haacute perda por

aceleraccedilatildeo do vapor pois este natildeo recebe mais calor e portanto

o 82 o

nao ha variaccedilatildeo no a

p

Q -p i n = A P

U + A P bull 9 10 H atrito

n T -S_ P9 U10 deg 910 bull g

fio r

910 I 910

J9 L

(l- a)P + Q P I dL liq v

(l-a0) p

No caso a = (nao hatilde variaccedilatildeo de forma)

A P H - (1-a ) P (p L 0

c

AP bdquo = R o

atrito

2 f9 o L910 P9 V9

2g

Supondo

= V

P 9 = P 8 P 7

vbdquo = v 9 8 0 A r

= V 7 bull deg89

AP - R atrito

2 2

W l O p7deg V7deg g89

V P10 R -^T^ bull deg89 bull li-2 + ( W P 7 (fgt SIO

y c c

Se

- f9 L910 2 N9ol0 R Dl deg89

w 2

p rv P9 P10 = VlO + ( 1 a 9 ) p7 (f gt L910 c

33

39 - Perda ciacutee pressatildeo na expansatildeo 9 - 1 0

Analogamente a expansatildeo 8 - 9 temos

10 11 P 7 2g

10 Iacute 2 0 1 0 - 1 1 gt

2 ff

pg aio

10-11

laquo11 ) +

Ll-a 1 0 bull l-a u J

Se

V10 = V 9 = V 8 bull T9 = V 7 deg89

P -P 10 rll = - a 2g 089 ^lO-ll

4 bull T~ bull (7 1 mdash ) + Pg degio a n

+ (l-x)2(- 1 10-11

1 - aio )

N10-ll = 2 a10-ll a89 2 pf t 1 10-11 N2

-(j-r- - ) bull+ (1-x) pg aio deg 1

10-11 k l - a io

prz P10 Pll = - N10-ll bull ( 2gbdquo

310 - Calculo de V

Fazendo a somatoacuteria de todas as expressotildees (P^-Pj) tere-

84

mos 2 PbdquoV_

P bdquo - P bdquo = N 7 v 7

1 2 12 2g

bull 2 - P 3 - = N 2 3 P 2 L 2 3 f c ccedil

9 P 7 V 7 P _p = N mdash -

3 4 34 deg 2g

V P 5 = deg

2 P V

5 6 56 2 g c

ltr2

P 7 -V 6 e7 -N67 2g + p 6 7 J j67 g

c bc v 2

P 7 - P 8 = N 7 8 - 2 i ~ + p 7 ( 1 - laquo 7 8 ) L 7 8 c

P 7 V 7

P - P - -N mdash - -8 9 89 2g

c P 7 V 7

P 9 ~ P 1 0 VlO 2g + ( 1 a 9 P 7 L 9 c

P 7 V 7

bull10 11 U10-ll 2g

P v iacute j P - P

1 11

7 - v 7 3 bull r

2 8 i U L 2 23 67

(l-5 7 8) L 7 8 + ( l - laquo 9 ) P 7 bull SlOtilde]- ^

Por ou t ro lado sabemos que como secccedilotildees 1

mesmo n iacute v e l

85

s c p r v 7 j

28 Z N i ij

= P 2 L23 p67 L67 P 7 ( 1~deg78 )

78 ~ ^g) bull P 7 bull L 910 g_

V - 2 g ( p r L 2 3 - p 6 r L 6 7 - p 7 ( l - atilde 7 8 ) L 7 8 - (l-a9) p L 9 a ( )

y N

Com esse valor de podemos determinar todas as variashy

ccedilotildees de pressatildeo (P^-P )

BIBLIOGRAFIA

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tituto de Energia Atocircmica de Sao Paulo em 1966 (roteiro)

- WR Gambill - Nuclear Safety

Vol 9 - n9 5 e 6

Vol 6 - n 2 (pag 152)

Vol 4 -r n9 1 (pag 30)

Volbdquo 5 - n 2 (pag 151)

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~ El Wakil - Nuclear Power

- Jakob Max - Heat Transfer (vol I)

Mc Adams - Heat Transmission

- Paul A Lottes - Argonne National Laboratory

- AKL - 6469

- ANL - 6561

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Frank Kreith - Principles of Heat Transfer

Journeacutees Internationales de la transmission de la chaleur

Seminaacuterios realizados em Paris em 1961 sob a supervisatildeo do

Prof Marcel Veron

Notas de aula da Cadeira de Termodinacircmica I e Transmissatildeo da

Escola Politeacutecnica da Universidade de Sao Paulo

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62

b) r e F f l

o p dp^ = Ap^ = perda de pressatildeo por atrito

do liacutequido na altura Ho

Aplicando a formula de Darcy vem

bull API = f bull ir bull ^ iexcl 7

onde

f = fator de atrito

c) e Fftf

o p ^P tpound

= perda de pressao por atrito da mistura

liquido + vapor no trecho de comprimen

to Hbdquo o

Para determinar esta perda de pressao define-se o fator

de multiplicaccedilatildeo R

A P R =

tf A P 1B

Sendo A p ^ a perda de pressao se o comprimento todo fosshy

se ocupado somente pelo liquido assim

A p t f = R A P 1 B

0 calculo de Ap-^ pode ser feito pela formula de Darcy e

o de R nos veremos no item seguinte

63

d)

-e F

d ( ^ )

O P

Ap = perda de pressatildeo por atrito do vapor

No caso do reator BWR o titulo de saida e bera pequeno e

em nenhum caso ocorre a saida de vapor com x = 100 logo a perda

de pressatildeo por atrito do vapor eacute nula assim

An = 0 5

e) Ap

(p A 1 + p A ) dL = Ap - perda de pressatildeo dpound

vida ao desniacutevel

(perda hidrostaacutetica)

Anbdquo = re A A

-S- I (p + p -S ) dL H s 1 A

c o p o A

como A A Jl_ =

A P

A +A-g 1

1-a -

temos

C Q

te j jll-a)p1 + apg)^jdL = p Lo pound

onde

e jo u

+ ap ) ~I dL (Densidade media 1 S J

no tubo)

No nosso caso

Ap u = p H

f)

re d(mV + m V ) _ mdash - laquo -i bull s iquestp laquos p e r d a ltje pressatildeo devido a acele-

c p raccedilatildeo do vapor

V A

(1-x) tl^Vj

(1-a) A

X V

aA

A p -

roV + m V

c p c p L_

m (l-x)m_v m xv nbdquo -1 T 1

+ _S S I (1-a) Ap aA

P

2 g A c p

n 2 2

(1-x) m T

laquo2 8 A c p

2 2 (l-xe) raTv1

2 2 2 xm_v (1-x) m-v e T s o 1 1

a 1 - a

2 2 - x m_v o T g

a

se

X Q 0 (so ha agua nesse trecho)

a = 0 o

temos

mbdquo Ap =

1 a A 2

S A degc p laquo-

tt-V v i 1 - a

2 via T^r - v i

t Apc

2

V v l

5c Ap

1 - a

x v - 1

a e v l

65

Fazendo

G = fluxo total da massa por unidade de area do

canal

(1-x J e

V

AP r

Assim a perda de pressatildeo total sera

H p V II pV r2 P -P = f -24-Iuml+ f R+p 0 1 2g c D e 2g c g c g c

2c2 - Determinaccedilatildeo do fator de multiplicaccedilatildeo (R)

221 - Relaccedilatildeo Martinelli-Nelson

Os autores Martinelli-Nelson determinaram experimental -

te esse fator R para varias LIT1L em funccedilatildeo da pressatildeo e da r NB total J v

qualidade de saiacuteda do vapor no canal Construiacuteram assim vaacuterias

curvas do tipo da figura 9

66

E importante notar que a qualidade do vapor (x) na saiacuteshy

da nao deve ser grande pois como vemos o valor de R cresce muishy

to com um aumento pequeno de x e um valor de R muito grande acar_

reta uma perda de pressatildeo grande pois

^ d u a s fases R ^ f a s e liacutequida

Para resolvermos um problema seguindo o criteacuterio de bdquo

Martinelli escolhemos a curva R = f(px) (para a relaccedilatildeo L

N g ^ j

adequado) e tiramos R com os valores de pressatildeo p e tiacutetulo x

As curvas R = f (p x L T t )IO encontram-se nos ANL 6469 bio I

e 6561

222 - Relaccedilatildeo Lottes-Flinn

Estes autores estudaram o problema para o aquecimento uni

forme do refrigerante com baixo titule Lottes-Flinn fizeram inuacuteshy

meras experiecircncias e verificaram que para fluxo de calor uniforshy

me e baixos titulos R era independente do fluxo de calor fluxo

do refrigerante escorregamento e apenas funccedilatildeo de a g

Como a quantidade de liacutequido eacute muito maior que a de vashy

por a perda de pressatildeo daacute-se principalmente pelo atrito do liacuteshy

quido com a parede Podemos assim escrever a foacutermula de Darcy

na forma diferencial

dz

d = f __ r e amp c

onde

V = velocidade do liquido saturado na cota zbdquo X

f = coeficiente atrito

= densidade do liacutequido saturado

Teoricamente a queda de pressatildeo deve-se ao acreacutescimo de

67

velocidade do liacutequido e da diminuiccedilatildeo da aacuterea de fluxo do liacutequi

do

P fH A P t p

= f D 2g Ho

d z

fazendo

V lo

m V t lo

(velocidade do liacutequido na cota z = Ho)

(1-x) m t v 1

(1-a) A (velocidade do liacutequido na cota z gt Ho)

a bull+ fraccedilatildeo vazio na cota z geneacuterica

V 1 (1-x) m t v 1

m t V l 1 - a

x =s 0 pois o tiacutetulo eacute baixo

A p t f = f bull JT5 c e

fH V lo

H o (1-a) dz

Para fazer a integral devemos achar a relaccedilatildeo de variaccedilatildeo

entre a e z Como o fluxo de calor eacute uniforme a qualidade eacute direshy

tamente proporcional a z

bull laquo x = x e H

z = mdash x X e

Sabemos ainda que (item 113)

x

1 + [ ( I -X)AKQ x + iiacuteraquo

68

como

temos

(1-x) = 1

v

X =

z =

1-a

1 -a

1-a e

a

e

1-a pound

a

1 -a igt (assumindo S = cte)

da

Atf - f bull 2 i ^ ~ J c e o

a 1 - a e e 1 s 4 hmdash) da

a 1-a

f P lv^ Q

0 termo mdash - mdash e a parte de perda de pressatildeo pelo lj^

^c e -quido ou seja Ap liquido saturado e como

Ap

R = tf

Ap liauido saturado

temos que

R J

f ae 1 _ a e 1 4

a 1 -a o e

1 -a r-R =

3 1 -a

a 1 -a imdash

3 vl - a 3

e e

Os valores de R obtidos por esta expressatildeo aproximam-se

muito dos valores obtidos pelos aacutebacos de Martinelli

69

E - EXPANSAtildeO E COMPRESSAtildeO DE UM FLUIDO - ANAacuteLISE HIDRODINAcircMICA

DE UM CIRCUITO EM CIRCULACcedilAtildeO NATURAL

1 EXPANSAtildeO NO FLUXO DE UM FLUIDO

11 - Uma so fase

Figura 1

Ha vaacuterios meacutetodos para determinar a variaccedilatildeo de pressatildeo

numa expansatildeo de fluido estudaremos o de Romie que eacute o que daacute

maior precisatildeo

Romie considera que a pressatildeo p^ tambeacutem atua na aacuterea

imediatamente apos a expansatildeo Assim fazendo o equiliacutebrio das foi

ccedilas nas secccedilotildees tracejadas da figura 1 temos

mVj

p r A 2 + mdash

mV

bull 2- A2

mas

m = pV^A^

pV^A = p V 2 bdquo A 2

V A

v 2 -4r-logo

( P l-P 2) A 2 = f ( V ^ ) - f _ v j amp c c 2

70

2 pV A A pV A A

Chamando A l A ]

K = 1 - T e degi2 = Aiexcl bull V E M

pvj

P l P 2 = T ~ bull ( 2 deg 1 2 ) ( 1 _ a 1 2 )

Outra maneira de chegar atilde diferenccedila de pressatildeo ( P j - ^ ) s mdash

ria usar o coeficiente de perda da mecacircnica dos fluidos Assim o

equilibrio das pressotildees eacute

2 2

1 V l 1 V 2 V l P i + _ p _ ^ P 2 + I p ~ + k 1 2 p mdash

onde = coeficiente de perda

A 2 1 2

k 1 2 - (l-o 1 2) - (1 - j- )

Fazendo as transformaccedilotildees chegamos a mesma expressatildeo obshy

tida pelo balanccedilo das forccedilas

PraquoIacute pr p

2 - - ir ^ laquo-ia

12 - Duas fases

Como ha duas fases a equaccedilatildeo do balanccedilo das forccedilas fica

um pouco alterada

m pound 1 V- m - raquoV - m-V- m bdquoV _ P A + j y ^ i + _gl_JUuml P A + -11-11 + -ilsl (a)

1 2 e R 2 2 ff e

Sabendo que

71

m (1-x) m t = p fA (1-a) V f

entatildeo

fl l-o^ p fA x

6 Vf2 1-x l-a2 P fA 2

m V = mdash mdash e V 0 = gl a 1 P C T A 1 g2

m

a_ p h

2 g 2

Nas expressotildees anteriores o x nao varia porque a expansatildeo

5 adiabaacutetica porem o a varia devido a modificaccedilatildeo do tamanho da

bolha

Substituindo os valores das velocidades na expressatildeo (a)

vera

( P - P ) Abdquo =

2

2 2 m gt2 2 m t (1-x) 1 x t

ra i 2 m i 1 x t 1

p fA 1 g c ttl p Ax gpound

m t P - P = mdash

(1-x) (l-a 1)A 1A 2 (l-a2)A|

a r A r A 2

V A 2

m t P bdquo - P = mdash 2 1 g c A r A 2 p f

(1-x) 1-a f A 2(l-a 2)

bull ^ 2

72

Se

P -P

a

m

g

12

1 _1_ (1-x)

J12

1 _ a l 1 - a 2 + X (- )

Pg

1 deg12 a 2 ^

Sabemos que

mt = V o pf laquo A l

Sendo V q = velocidade do liquido num ponto onde natildeo haja vapor

P 2-P 1

u 2 2 A 2

V pr Ai

V W p f

(1-x) 12

l-a1 l-a2

+ X 2 pf

mdash

l deg12

-1 a 2 _

p -p r 2 Al (2a 1 2)

2 M f w 1 deg12 X (mdash) (

pg al a 2 )+(l-x)C l 1 12

1-a^ l-a2

Devemos notar que esta expressatildeo tambeacutem vale para quando

temos uma fase para isso basta fazer

= c t 2 = 0

X = 0

e recairemos na formula do item anterior

2 pf 1 deg12 Observemos que neste caso o termo x (mdash)( ) nao

Pg al a2

2

73

tem significado pois corresponde a mudanccedila de fase

2 CONTRACcedilAtildeO KO FLUXO DE UM FLUIDO

21 - Uma so fase raquo mdash

Aqui ocorre um fenocircmeno importante pois o fluido ao ser

contraiacutedo nao vai diretamente da area A^ para a area A 0 mas ele

contral-se ate uma area A^ e depois expande-se ate k^

Ao A2

Po IP 2

V 2

Figura 2

Fazendo o equiliacutebrio das pressotildees entre os planos (1)

(0) vem 2 2

pV pV p +~ plusmn - P + i deg bull 1 2 g o 2 g (b)

C x

Fazendo equiliacutebrio da expansatildeo (0) - (2) vem

P o + 2 - f = P 2 + 2 -T + kp- 2 F ( c )

c c b C

Subtraindo (b) - (c)

2 2 2

i p- vj i p- v2 L P l + 2 bull g c

P 2 + 2 2g c

+ k P 2g c

74

Como

P - P = mdash 2 2g

2 2

bull (1 + k) - f bdquo mdash i

k a - f2 ) 2 - d - o c )2

= o

A = a 21

Weisback obteve varias relaccedilotildees entre a e a i] c

01 02 03 a 0624 0632 0643 c

0624 0632

A r v i - V v 2

p -p 1 2

P -P 1 2 2g7

v l =

(1+k) - laquofi- a 2g 21 c

( 1 + k - o 2 1)

X[- V 2 o 2 1V 2

22 - Duas fases

0 valor de k pode ser aproximado para

k = a(l - o 2 1)

onde segundo Richardsons para fluxo de duas fases podemos supor

a = 02

Para fluxo homogeacuteneo sabemos que

75

p = p f (1 -a ) + p o a

podemos supor p bdquo a = 0 pois p e pequeno e fazendo

V = V ~ V fbdquo2 go2 v 2

Substituindo estas duas expressotildees na equaccedilatildeo de uma soacute fase vem

2 2 p V (l-ct) p V (1 -a ) bdquo

P l P 2 = 9g ( 1 + 3 - 3 0 ^ - 0 ^ ) = g (a+1) (l-a^)

Se a = 02

2 12p oV 0

p r p

2 - 9g gt d-) d-sigt

A compressatildeo de um fluido acarreta uma perda de pressatildeo

como pode ser verificado pelas formulas uma vez que lt 1deg

3 ANALISE HIDRODINAcircMICA DE UM CIRCUITO EM CIRCULACcedilAtildeO NATURAL

Esquema deacute uma caldeira com circulaccedilatildeo natural

76

Determinar a velocidade em (7) para que tenhamos circula

ccedilatildeo natural Determinar tambeacutem as perdas de pressatildeo em todos os

trechos da caldeira

31 - Contraccedilatildeo das secccedilotildees (1) - (2)

Como jaacute vimos a equaccedilatildeo do balanccedilo das pressotildees eacute

1 pr Vl 1 p 2 o V 2 P2 V2

1 2 g 2 + 2 g + K12 2g otilde c amp c e c

bullraquo 2 o2 2 e havendo uma soacute fase k 1 9 = (l-o ) = (1 mdash ) e sendo

C 2

p l = p2

v x lt lt lt v 2

P 2 V pr p2 bull ir2 bull ( 1 + k12gt

Colocando em termos de temos

A 2 V 2 P 2 = A 7 V 7 p 7 (continuidade)

V = V mdashbull = V o_bdquo ~ A 2 2 2

P 2 V - p 2

p r p 2 = ir2 - deg72 bull Ccedilrgt bull lt 1 + ki2gt

fazendo

N12 - lt^gt deg72 ( 1 + k12gt

P7 V7

Pr P2 - N12 bull HG

77

3 2 - Perda de carga no trecho ( 2 ) - ( 3 )

Como haacute apenas uma fase soacute temos perdas por atritos e

perdas hidrostaacuteticas

Sendo como jaacute vimos

2 3 p 2 2 g P 2 P 3 = f 2 3 (r~2g^~) L 2 3 g c p

atrito hidrostaacutetica

Substituindo V^ pela relaccedilatildeo do item anterior e tendo em

conta que p = vem

P -P = f 2 r 3 2 3 D

2 3 p 2 bdquo 2 2 p 7 2

2 g 7 72 p 2 3 g

Se

L 2 3 2 p 7

2 3 2 3 D 2 a 7 2 p 2

P 7 V 7 g P 2 - P 3 = N 2 3 ( mdash gt p 2 L 2 3 f

3 3 - Expansatildeo nas secccedilotildees ( 3 ) - ( 4 )

Como vimos o balanccedilo das pressotildees e

2 2 2 p V p 4 V p V

P 3 + 2 g c

P 4 + 2 g c

+ k 3 4 2 g c

onde

k 3 4 - - -

2 2 1 P 4 - V 4 P 3 v 3

P 3 P 4 = 2 g + ( k 3 4 _ 1 ) 2 g

78

Sendo

P 3 - P 4

p 3 o A 3 deg V 3 = P 7

a A 7 o V 7

P 4A 4 0V 4 = P r A r V

3 7 A 3 p 3

A7 P7 V = v mdash mdash 4 7 P 4

P - P 3 r4

Se

P bdquo - P

bdquo2 r-P 7 V 7

3 4 2g deg74 + ( k 3 4 1 ) deg73

34 p deg74 + ( k 3 4 1 ) 73

p r v2

P3- P4 ^ N34 ^ gt

(No caso e negativo)

34 - Contraccedilatildeo nas secccedilotildees (5) - (6)

Ainda temos uma so fase e fazendo o balanccedilo das pressotildees

como fizemos no item 3lt1 vem

P + vil p + vi + k vi P 5 + 2gbdquo P6 + 2gbdquo + k56 2gbdquo

k 5 6 lt 1 ^ gt 2 ( 1 - Iacute 2 i 2 6

V V6 P5degIacute 5^6 ^SS 2g c - 2g c

P - P ^ = (1+kJ

Como

79

A 6

W p 5 =

VV P6 V 5 = V 6 Jiexcl = Vff65

P 5-P 6 - lt H k 5 6 ) mdash ^ mdash (l+k 5 6-a 6 5) c c c

Sendo

Se

A 7 p 7 p 7

6 7 Ag p 6 7 76 p 6

p _p _ P6- V7- g76 iquest72 ( _ 02 P 5 P 6 2g c bull ( p 6

( 1 + k 5 6 deg65 )

p 7 2 2 N56 = p ^ deg76 ( 1 + k 5 6 ~ a 6 5 )

P 7 V 2

7

P r-P = N r 5 6 56 2g c i

35 - Perdas de pressatildeo nas zonas (6) - (7) - Pre^aquecimento

Nesta regiatildeo temos perdas por atrito e hidrostaacuteticas

Nao haacute perda por aceleraccedilatildeo pois ainda natildeo houve formaccedilatildeo de boshy

lhas

Fazendo balanccedilo das pressotildees temos

L_ ppound-V p = p + otilde L - pound _ + f -Si (-21mdashL 6 7 + p67 L67 g + t 6 7 D K 2g

p _ e ifn sao tomados como valores meacutedios 67 67

P _p _ f hl ^67jIacute uuml + - L A

6 F 7 r67 D 2g P P67 L67 g 6 s c 7 c

S e Kr pound67 L67 p67 6 7 D 6 p7

p7 V - _g_ P6- P7 - N67 mdash + P67 L67 f

c c

80

36 - Perda de pressatildeo nas zonas (7) - (8) - Zona de ebuliccedilatildeo

Nesta regiatildeo j aacute temos o aparecimento de bolhas logo a

perda de pressatildeo seraacute devida agraves t recircs parcelas aceleraccedilatildeo a t r i t o

das duas fases liacutequidas + vapor e h idros taacute t ica

onde

Assim

P-P Q = AP + AP + APbdquo 7 8 a t r i t o acel H

T M1

78 p 7 7 AP - R f- - mdash mdashr |R = fator mult ipl ica-

a t r i t o 7 D 7 2 g c L tivo

G 2

AP bull r mdash acel g c

P V

|_1 - o a p J 8 P f

2 t r 2 M2

7 7 r 7 7 A P a c e l = -J^mdash 2 r bull p 7 lt T iexcl iexcl - )

A PH p 7 8 L 7 8 fiexcl

p 7 8 iacute 7 li 1 0 0 P l i q + a P v ] d L = P 7 ( 1 - laquo 7 8 )

ag raquo fraccedilatildeo de vazio media entre 7 e 8

APH = p (1 - 5 7 g ) f- L 7 8

2 2

P 7 - P 8 a 5 - 2 T i + 2 r p 7 + P 7 ( 1 - 7 8 gt f L 7 8 7 amp c amp c amp c

81

N 7g = R mdash + 2 r p 7

P7 V7 P7- P8 = N78 + P 7 ( 1 5 7 8 gt J78

37 - Expansatildeo nas secccedilotildees 8 e 9

No caso haacute uma expansatildeo com duas fases e como vimos no

item 12 a variaccedilatildeo de pressatildeo era dada por

0f Vo P2 P1 = ~2g c ( 2 deg12

x 2 (mdash)(mdash - mdash ) + ( l - x ) 2 ^ T mdash 8 1 2 1

12

Aplicando ao nosso caso

P pound = P 7

P -P = 8 9

V - V raquo V g f 7

P 7 V 2

2 pf 1 a89 2 1 g89 x (mdash) ( ) + (1-x) (- - N

o ou abdquo 1-cu l-ot_) g 8 9 8 9

Se

N 89

= 2 a 89

2 pf 1 deg89 2 1 CT89 x (mdash) ( ) + (1-x) ( T

g 8 9 8 9

P -P = 8 9

- N P7deg V7

89 2gbdquo

38 - Perda de pressatildeo no trecho 9 e 10

No referido trecho temos apenas perda de pressatildeo por atr L

to da fase liacutequido + vapor e perda hidrostaacutetica Natildeo haacute perda por

aceleraccedilatildeo do vapor pois este natildeo recebe mais calor e portanto

o 82 o

nao ha variaccedilatildeo no a

p

Q -p i n = A P

U + A P bull 9 10 H atrito

n T -S_ P9 U10 deg 910 bull g

fio r

910 I 910

J9 L

(l- a)P + Q P I dL liq v

(l-a0) p

No caso a = (nao hatilde variaccedilatildeo de forma)

A P H - (1-a ) P (p L 0

c

AP bdquo = R o

atrito

2 f9 o L910 P9 V9

2g

Supondo

= V

P 9 = P 8 P 7

vbdquo = v 9 8 0 A r

= V 7 bull deg89

AP - R atrito

2 2

W l O p7deg V7deg g89

V P10 R -^T^ bull deg89 bull li-2 + ( W P 7 (fgt SIO

y c c

Se

- f9 L910 2 N9ol0 R Dl deg89

w 2

p rv P9 P10 = VlO + ( 1 a 9 ) p7 (f gt L910 c

33

39 - Perda ciacutee pressatildeo na expansatildeo 9 - 1 0

Analogamente a expansatildeo 8 - 9 temos

10 11 P 7 2g

10 Iacute 2 0 1 0 - 1 1 gt

2 ff

pg aio

10-11

laquo11 ) +

Ll-a 1 0 bull l-a u J

Se

V10 = V 9 = V 8 bull T9 = V 7 deg89

P -P 10 rll = - a 2g 089 ^lO-ll

4 bull T~ bull (7 1 mdash ) + Pg degio a n

+ (l-x)2(- 1 10-11

1 - aio )

N10-ll = 2 a10-ll a89 2 pf t 1 10-11 N2

-(j-r- - ) bull+ (1-x) pg aio deg 1

10-11 k l - a io

prz P10 Pll = - N10-ll bull ( 2gbdquo

310 - Calculo de V

Fazendo a somatoacuteria de todas as expressotildees (P^-Pj) tere-

84

mos 2 PbdquoV_

P bdquo - P bdquo = N 7 v 7

1 2 12 2g

bull 2 - P 3 - = N 2 3 P 2 L 2 3 f c ccedil

9 P 7 V 7 P _p = N mdash -

3 4 34 deg 2g

V P 5 = deg

2 P V

5 6 56 2 g c

ltr2

P 7 -V 6 e7 -N67 2g + p 6 7 J j67 g

c bc v 2

P 7 - P 8 = N 7 8 - 2 i ~ + p 7 ( 1 - laquo 7 8 ) L 7 8 c

P 7 V 7

P - P - -N mdash - -8 9 89 2g

c P 7 V 7

P 9 ~ P 1 0 VlO 2g + ( 1 a 9 P 7 L 9 c

P 7 V 7

bull10 11 U10-ll 2g

P v iacute j P - P

1 11

7 - v 7 3 bull r

2 8 i U L 2 23 67

(l-5 7 8) L 7 8 + ( l - laquo 9 ) P 7 bull SlOtilde]- ^

Por ou t ro lado sabemos que como secccedilotildees 1

mesmo n iacute v e l

85

s c p r v 7 j

28 Z N i ij

= P 2 L23 p67 L67 P 7 ( 1~deg78 )

78 ~ ^g) bull P 7 bull L 910 g_

V - 2 g ( p r L 2 3 - p 6 r L 6 7 - p 7 ( l - atilde 7 8 ) L 7 8 - (l-a9) p L 9 a ( )

y N

Com esse valor de podemos determinar todas as variashy

ccedilotildees de pressatildeo (P^-P )

BIBLIOGRAFIA

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tituto de Energia Atocircmica de Sao Paulo em 1966 (roteiro)

- WR Gambill - Nuclear Safety

Vol 9 - n9 5 e 6

Vol 6 - n 2 (pag 152)

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Volbdquo 5 - n 2 (pag 151)

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- Paul A Lottes - Argonne National Laboratory

- AKL - 6469

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Frank Kreith - Principles of Heat Transfer

Journeacutees Internationales de la transmission de la chaleur

Seminaacuterios realizados em Paris em 1961 sob a supervisatildeo do

Prof Marcel Veron

Notas de aula da Cadeira de Termodinacircmica I e Transmissatildeo da

Escola Politeacutecnica da Universidade de Sao Paulo

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d)

-e F

d ( ^ )

O P

Ap = perda de pressatildeo por atrito do vapor

No caso do reator BWR o titulo de saida e bera pequeno e

em nenhum caso ocorre a saida de vapor com x = 100 logo a perda

de pressatildeo por atrito do vapor eacute nula assim

An = 0 5

e) Ap

(p A 1 + p A ) dL = Ap - perda de pressatildeo dpound

vida ao desniacutevel

(perda hidrostaacutetica)

Anbdquo = re A A

-S- I (p + p -S ) dL H s 1 A

c o p o A

como A A Jl_ =

A P

A +A-g 1

1-a -

temos

C Q

te j jll-a)p1 + apg)^jdL = p Lo pound

onde

e jo u

+ ap ) ~I dL (Densidade media 1 S J

no tubo)

No nosso caso

Ap u = p H

f)

re d(mV + m V ) _ mdash - laquo -i bull s iquestp laquos p e r d a ltje pressatildeo devido a acele-

c p raccedilatildeo do vapor

V A

(1-x) tl^Vj

(1-a) A

X V

aA

A p -

roV + m V

c p c p L_

m (l-x)m_v m xv nbdquo -1 T 1

+ _S S I (1-a) Ap aA

P

2 g A c p

n 2 2

(1-x) m T

laquo2 8 A c p

2 2 (l-xe) raTv1

2 2 2 xm_v (1-x) m-v e T s o 1 1

a 1 - a

2 2 - x m_v o T g

a

se

X Q 0 (so ha agua nesse trecho)

a = 0 o

temos

mbdquo Ap =

1 a A 2

S A degc p laquo-

tt-V v i 1 - a

2 via T^r - v i

t Apc

2

V v l

5c Ap

1 - a

x v - 1

a e v l

65

Fazendo

G = fluxo total da massa por unidade de area do

canal

(1-x J e

V

AP r

Assim a perda de pressatildeo total sera

H p V II pV r2 P -P = f -24-Iuml+ f R+p 0 1 2g c D e 2g c g c g c

2c2 - Determinaccedilatildeo do fator de multiplicaccedilatildeo (R)

221 - Relaccedilatildeo Martinelli-Nelson

Os autores Martinelli-Nelson determinaram experimental -

te esse fator R para varias LIT1L em funccedilatildeo da pressatildeo e da r NB total J v

qualidade de saiacuteda do vapor no canal Construiacuteram assim vaacuterias

curvas do tipo da figura 9

66

E importante notar que a qualidade do vapor (x) na saiacuteshy

da nao deve ser grande pois como vemos o valor de R cresce muishy

to com um aumento pequeno de x e um valor de R muito grande acar_

reta uma perda de pressatildeo grande pois

^ d u a s fases R ^ f a s e liacutequida

Para resolvermos um problema seguindo o criteacuterio de bdquo

Martinelli escolhemos a curva R = f(px) (para a relaccedilatildeo L

N g ^ j

adequado) e tiramos R com os valores de pressatildeo p e tiacutetulo x

As curvas R = f (p x L T t )IO encontram-se nos ANL 6469 bio I

e 6561

222 - Relaccedilatildeo Lottes-Flinn

Estes autores estudaram o problema para o aquecimento uni

forme do refrigerante com baixo titule Lottes-Flinn fizeram inuacuteshy

meras experiecircncias e verificaram que para fluxo de calor uniforshy

me e baixos titulos R era independente do fluxo de calor fluxo

do refrigerante escorregamento e apenas funccedilatildeo de a g

Como a quantidade de liacutequido eacute muito maior que a de vashy

por a perda de pressatildeo daacute-se principalmente pelo atrito do liacuteshy

quido com a parede Podemos assim escrever a foacutermula de Darcy

na forma diferencial

dz

d = f __ r e amp c

onde

V = velocidade do liquido saturado na cota zbdquo X

f = coeficiente atrito

= densidade do liacutequido saturado

Teoricamente a queda de pressatildeo deve-se ao acreacutescimo de

67

velocidade do liacutequido e da diminuiccedilatildeo da aacuterea de fluxo do liacutequi

do

P fH A P t p

= f D 2g Ho

d z

fazendo

V lo

m V t lo

(velocidade do liacutequido na cota z = Ho)

(1-x) m t v 1

(1-a) A (velocidade do liacutequido na cota z gt Ho)

a bull+ fraccedilatildeo vazio na cota z geneacuterica

V 1 (1-x) m t v 1

m t V l 1 - a

x =s 0 pois o tiacutetulo eacute baixo

A p t f = f bull JT5 c e

fH V lo

H o (1-a) dz

Para fazer a integral devemos achar a relaccedilatildeo de variaccedilatildeo

entre a e z Como o fluxo de calor eacute uniforme a qualidade eacute direshy

tamente proporcional a z

bull laquo x = x e H

z = mdash x X e

Sabemos ainda que (item 113)

x

1 + [ ( I -X)AKQ x + iiacuteraquo

68

como

temos

(1-x) = 1

v

X =

z =

1-a

1 -a

1-a e

a

e

1-a pound

a

1 -a igt (assumindo S = cte)

da

Atf - f bull 2 i ^ ~ J c e o

a 1 - a e e 1 s 4 hmdash) da

a 1-a

f P lv^ Q

0 termo mdash - mdash e a parte de perda de pressatildeo pelo lj^

^c e -quido ou seja Ap liquido saturado e como

Ap

R = tf

Ap liauido saturado

temos que

R J

f ae 1 _ a e 1 4

a 1 -a o e

1 -a r-R =

3 1 -a

a 1 -a imdash

3 vl - a 3

e e

Os valores de R obtidos por esta expressatildeo aproximam-se

muito dos valores obtidos pelos aacutebacos de Martinelli

69

E - EXPANSAtildeO E COMPRESSAtildeO DE UM FLUIDO - ANAacuteLISE HIDRODINAcircMICA

DE UM CIRCUITO EM CIRCULACcedilAtildeO NATURAL

1 EXPANSAtildeO NO FLUXO DE UM FLUIDO

11 - Uma so fase

Figura 1

Ha vaacuterios meacutetodos para determinar a variaccedilatildeo de pressatildeo

numa expansatildeo de fluido estudaremos o de Romie que eacute o que daacute

maior precisatildeo

Romie considera que a pressatildeo p^ tambeacutem atua na aacuterea

imediatamente apos a expansatildeo Assim fazendo o equiliacutebrio das foi

ccedilas nas secccedilotildees tracejadas da figura 1 temos

mVj

p r A 2 + mdash

mV

bull 2- A2

mas

m = pV^A^

pV^A = p V 2 bdquo A 2

V A

v 2 -4r-logo

( P l-P 2) A 2 = f ( V ^ ) - f _ v j amp c c 2

70

2 pV A A pV A A

Chamando A l A ]

K = 1 - T e degi2 = Aiexcl bull V E M

pvj

P l P 2 = T ~ bull ( 2 deg 1 2 ) ( 1 _ a 1 2 )

Outra maneira de chegar atilde diferenccedila de pressatildeo ( P j - ^ ) s mdash

ria usar o coeficiente de perda da mecacircnica dos fluidos Assim o

equilibrio das pressotildees eacute

2 2

1 V l 1 V 2 V l P i + _ p _ ^ P 2 + I p ~ + k 1 2 p mdash

onde = coeficiente de perda

A 2 1 2

k 1 2 - (l-o 1 2) - (1 - j- )

Fazendo as transformaccedilotildees chegamos a mesma expressatildeo obshy

tida pelo balanccedilo das forccedilas

PraquoIacute pr p

2 - - ir ^ laquo-ia

12 - Duas fases

Como ha duas fases a equaccedilatildeo do balanccedilo das forccedilas fica

um pouco alterada

m pound 1 V- m - raquoV - m-V- m bdquoV _ P A + j y ^ i + _gl_JUuml P A + -11-11 + -ilsl (a)

1 2 e R 2 2 ff e

Sabendo que

71

m (1-x) m t = p fA (1-a) V f

entatildeo

fl l-o^ p fA x

6 Vf2 1-x l-a2 P fA 2

m V = mdash mdash e V 0 = gl a 1 P C T A 1 g2

m

a_ p h

2 g 2

Nas expressotildees anteriores o x nao varia porque a expansatildeo

5 adiabaacutetica porem o a varia devido a modificaccedilatildeo do tamanho da

bolha

Substituindo os valores das velocidades na expressatildeo (a)

vera

( P - P ) Abdquo =

2

2 2 m gt2 2 m t (1-x) 1 x t

ra i 2 m i 1 x t 1

p fA 1 g c ttl p Ax gpound

m t P - P = mdash

(1-x) (l-a 1)A 1A 2 (l-a2)A|

a r A r A 2

V A 2

m t P bdquo - P = mdash 2 1 g c A r A 2 p f

(1-x) 1-a f A 2(l-a 2)

bull ^ 2

72

Se

P -P

a

m

g

12

1 _1_ (1-x)

J12

1 _ a l 1 - a 2 + X (- )

Pg

1 deg12 a 2 ^

Sabemos que

mt = V o pf laquo A l

Sendo V q = velocidade do liquido num ponto onde natildeo haja vapor

P 2-P 1

u 2 2 A 2

V pr Ai

V W p f

(1-x) 12

l-a1 l-a2

+ X 2 pf

mdash

l deg12

-1 a 2 _

p -p r 2 Al (2a 1 2)

2 M f w 1 deg12 X (mdash) (

pg al a 2 )+(l-x)C l 1 12

1-a^ l-a2

Devemos notar que esta expressatildeo tambeacutem vale para quando

temos uma fase para isso basta fazer

= c t 2 = 0

X = 0

e recairemos na formula do item anterior

2 pf 1 deg12 Observemos que neste caso o termo x (mdash)( ) nao

Pg al a2

2

73

tem significado pois corresponde a mudanccedila de fase

2 CONTRACcedilAtildeO KO FLUXO DE UM FLUIDO

21 - Uma so fase raquo mdash

Aqui ocorre um fenocircmeno importante pois o fluido ao ser

contraiacutedo nao vai diretamente da area A^ para a area A 0 mas ele

contral-se ate uma area A^ e depois expande-se ate k^

Ao A2

Po IP 2

V 2

Figura 2

Fazendo o equiliacutebrio das pressotildees entre os planos (1)

(0) vem 2 2

pV pV p +~ plusmn - P + i deg bull 1 2 g o 2 g (b)

C x

Fazendo equiliacutebrio da expansatildeo (0) - (2) vem

P o + 2 - f = P 2 + 2 -T + kp- 2 F ( c )

c c b C

Subtraindo (b) - (c)

2 2 2

i p- vj i p- v2 L P l + 2 bull g c

P 2 + 2 2g c

+ k P 2g c

74

Como

P - P = mdash 2 2g

2 2

bull (1 + k) - f bdquo mdash i

k a - f2 ) 2 - d - o c )2

= o

A = a 21

Weisback obteve varias relaccedilotildees entre a e a i] c

01 02 03 a 0624 0632 0643 c

0624 0632

A r v i - V v 2

p -p 1 2

P -P 1 2 2g7

v l =

(1+k) - laquofi- a 2g 21 c

( 1 + k - o 2 1)

X[- V 2 o 2 1V 2

22 - Duas fases

0 valor de k pode ser aproximado para

k = a(l - o 2 1)

onde segundo Richardsons para fluxo de duas fases podemos supor

a = 02

Para fluxo homogeacuteneo sabemos que

75

p = p f (1 -a ) + p o a

podemos supor p bdquo a = 0 pois p e pequeno e fazendo

V = V ~ V fbdquo2 go2 v 2

Substituindo estas duas expressotildees na equaccedilatildeo de uma soacute fase vem

2 2 p V (l-ct) p V (1 -a ) bdquo

P l P 2 = 9g ( 1 + 3 - 3 0 ^ - 0 ^ ) = g (a+1) (l-a^)

Se a = 02

2 12p oV 0

p r p

2 - 9g gt d-) d-sigt

A compressatildeo de um fluido acarreta uma perda de pressatildeo

como pode ser verificado pelas formulas uma vez que lt 1deg

3 ANALISE HIDRODINAcircMICA DE UM CIRCUITO EM CIRCULACcedilAtildeO NATURAL

Esquema deacute uma caldeira com circulaccedilatildeo natural

76

Determinar a velocidade em (7) para que tenhamos circula

ccedilatildeo natural Determinar tambeacutem as perdas de pressatildeo em todos os

trechos da caldeira

31 - Contraccedilatildeo das secccedilotildees (1) - (2)

Como jaacute vimos a equaccedilatildeo do balanccedilo das pressotildees eacute

1 pr Vl 1 p 2 o V 2 P2 V2

1 2 g 2 + 2 g + K12 2g otilde c amp c e c

bullraquo 2 o2 2 e havendo uma soacute fase k 1 9 = (l-o ) = (1 mdash ) e sendo

C 2

p l = p2

v x lt lt lt v 2

P 2 V pr p2 bull ir2 bull ( 1 + k12gt

Colocando em termos de temos

A 2 V 2 P 2 = A 7 V 7 p 7 (continuidade)

V = V mdashbull = V o_bdquo ~ A 2 2 2

P 2 V - p 2

p r p 2 = ir2 - deg72 bull Ccedilrgt bull lt 1 + ki2gt

fazendo

N12 - lt^gt deg72 ( 1 + k12gt

P7 V7

Pr P2 - N12 bull HG

77

3 2 - Perda de carga no trecho ( 2 ) - ( 3 )

Como haacute apenas uma fase soacute temos perdas por atritos e

perdas hidrostaacuteticas

Sendo como jaacute vimos

2 3 p 2 2 g P 2 P 3 = f 2 3 (r~2g^~) L 2 3 g c p

atrito hidrostaacutetica

Substituindo V^ pela relaccedilatildeo do item anterior e tendo em

conta que p = vem

P -P = f 2 r 3 2 3 D

2 3 p 2 bdquo 2 2 p 7 2

2 g 7 72 p 2 3 g

Se

L 2 3 2 p 7

2 3 2 3 D 2 a 7 2 p 2

P 7 V 7 g P 2 - P 3 = N 2 3 ( mdash gt p 2 L 2 3 f

3 3 - Expansatildeo nas secccedilotildees ( 3 ) - ( 4 )

Como vimos o balanccedilo das pressotildees e

2 2 2 p V p 4 V p V

P 3 + 2 g c

P 4 + 2 g c

+ k 3 4 2 g c

onde

k 3 4 - - -

2 2 1 P 4 - V 4 P 3 v 3

P 3 P 4 = 2 g + ( k 3 4 _ 1 ) 2 g

78

Sendo

P 3 - P 4

p 3 o A 3 deg V 3 = P 7

a A 7 o V 7

P 4A 4 0V 4 = P r A r V

3 7 A 3 p 3

A7 P7 V = v mdash mdash 4 7 P 4

P - P 3 r4

Se

P bdquo - P

bdquo2 r-P 7 V 7

3 4 2g deg74 + ( k 3 4 1 ) deg73

34 p deg74 + ( k 3 4 1 ) 73

p r v2

P3- P4 ^ N34 ^ gt

(No caso e negativo)

34 - Contraccedilatildeo nas secccedilotildees (5) - (6)

Ainda temos uma so fase e fazendo o balanccedilo das pressotildees

como fizemos no item 3lt1 vem

P + vil p + vi + k vi P 5 + 2gbdquo P6 + 2gbdquo + k56 2gbdquo

k 5 6 lt 1 ^ gt 2 ( 1 - Iacute 2 i 2 6

V V6 P5degIacute 5^6 ^SS 2g c - 2g c

P - P ^ = (1+kJ

Como

79

A 6

W p 5 =

VV P6 V 5 = V 6 Jiexcl = Vff65

P 5-P 6 - lt H k 5 6 ) mdash ^ mdash (l+k 5 6-a 6 5) c c c

Sendo

Se

A 7 p 7 p 7

6 7 Ag p 6 7 76 p 6

p _p _ P6- V7- g76 iquest72 ( _ 02 P 5 P 6 2g c bull ( p 6

( 1 + k 5 6 deg65 )

p 7 2 2 N56 = p ^ deg76 ( 1 + k 5 6 ~ a 6 5 )

P 7 V 2

7

P r-P = N r 5 6 56 2g c i

35 - Perdas de pressatildeo nas zonas (6) - (7) - Pre^aquecimento

Nesta regiatildeo temos perdas por atrito e hidrostaacuteticas

Nao haacute perda por aceleraccedilatildeo pois ainda natildeo houve formaccedilatildeo de boshy

lhas

Fazendo balanccedilo das pressotildees temos

L_ ppound-V p = p + otilde L - pound _ + f -Si (-21mdashL 6 7 + p67 L67 g + t 6 7 D K 2g

p _ e ifn sao tomados como valores meacutedios 67 67

P _p _ f hl ^67jIacute uuml + - L A

6 F 7 r67 D 2g P P67 L67 g 6 s c 7 c

S e Kr pound67 L67 p67 6 7 D 6 p7

p7 V - _g_ P6- P7 - N67 mdash + P67 L67 f

c c

80

36 - Perda de pressatildeo nas zonas (7) - (8) - Zona de ebuliccedilatildeo

Nesta regiatildeo j aacute temos o aparecimento de bolhas logo a

perda de pressatildeo seraacute devida agraves t recircs parcelas aceleraccedilatildeo a t r i t o

das duas fases liacutequidas + vapor e h idros taacute t ica

onde

Assim

P-P Q = AP + AP + APbdquo 7 8 a t r i t o acel H

T M1

78 p 7 7 AP - R f- - mdash mdashr |R = fator mult ipl ica-

a t r i t o 7 D 7 2 g c L tivo

G 2

AP bull r mdash acel g c

P V

|_1 - o a p J 8 P f

2 t r 2 M2

7 7 r 7 7 A P a c e l = -J^mdash 2 r bull p 7 lt T iexcl iexcl - )

A PH p 7 8 L 7 8 fiexcl

p 7 8 iacute 7 li 1 0 0 P l i q + a P v ] d L = P 7 ( 1 - laquo 7 8 )

ag raquo fraccedilatildeo de vazio media entre 7 e 8

APH = p (1 - 5 7 g ) f- L 7 8

2 2

P 7 - P 8 a 5 - 2 T i + 2 r p 7 + P 7 ( 1 - 7 8 gt f L 7 8 7 amp c amp c amp c

81

N 7g = R mdash + 2 r p 7

P7 V7 P7- P8 = N78 + P 7 ( 1 5 7 8 gt J78

37 - Expansatildeo nas secccedilotildees 8 e 9

No caso haacute uma expansatildeo com duas fases e como vimos no

item 12 a variaccedilatildeo de pressatildeo era dada por

0f Vo P2 P1 = ~2g c ( 2 deg12

x 2 (mdash)(mdash - mdash ) + ( l - x ) 2 ^ T mdash 8 1 2 1

12

Aplicando ao nosso caso

P pound = P 7

P -P = 8 9

V - V raquo V g f 7

P 7 V 2

2 pf 1 a89 2 1 g89 x (mdash) ( ) + (1-x) (- - N

o ou abdquo 1-cu l-ot_) g 8 9 8 9

Se

N 89

= 2 a 89

2 pf 1 deg89 2 1 CT89 x (mdash) ( ) + (1-x) ( T

g 8 9 8 9

P -P = 8 9

- N P7deg V7

89 2gbdquo

38 - Perda de pressatildeo no trecho 9 e 10

No referido trecho temos apenas perda de pressatildeo por atr L

to da fase liacutequido + vapor e perda hidrostaacutetica Natildeo haacute perda por

aceleraccedilatildeo do vapor pois este natildeo recebe mais calor e portanto

o 82 o

nao ha variaccedilatildeo no a

p

Q -p i n = A P

U + A P bull 9 10 H atrito

n T -S_ P9 U10 deg 910 bull g

fio r

910 I 910

J9 L

(l- a)P + Q P I dL liq v

(l-a0) p

No caso a = (nao hatilde variaccedilatildeo de forma)

A P H - (1-a ) P (p L 0

c

AP bdquo = R o

atrito

2 f9 o L910 P9 V9

2g

Supondo

= V

P 9 = P 8 P 7

vbdquo = v 9 8 0 A r

= V 7 bull deg89

AP - R atrito

2 2

W l O p7deg V7deg g89

V P10 R -^T^ bull deg89 bull li-2 + ( W P 7 (fgt SIO

y c c

Se

- f9 L910 2 N9ol0 R Dl deg89

w 2

p rv P9 P10 = VlO + ( 1 a 9 ) p7 (f gt L910 c

33

39 - Perda ciacutee pressatildeo na expansatildeo 9 - 1 0

Analogamente a expansatildeo 8 - 9 temos

10 11 P 7 2g

10 Iacute 2 0 1 0 - 1 1 gt

2 ff

pg aio

10-11

laquo11 ) +

Ll-a 1 0 bull l-a u J

Se

V10 = V 9 = V 8 bull T9 = V 7 deg89

P -P 10 rll = - a 2g 089 ^lO-ll

4 bull T~ bull (7 1 mdash ) + Pg degio a n

+ (l-x)2(- 1 10-11

1 - aio )

N10-ll = 2 a10-ll a89 2 pf t 1 10-11 N2

-(j-r- - ) bull+ (1-x) pg aio deg 1

10-11 k l - a io

prz P10 Pll = - N10-ll bull ( 2gbdquo

310 - Calculo de V

Fazendo a somatoacuteria de todas as expressotildees (P^-Pj) tere-

84

mos 2 PbdquoV_

P bdquo - P bdquo = N 7 v 7

1 2 12 2g

bull 2 - P 3 - = N 2 3 P 2 L 2 3 f c ccedil

9 P 7 V 7 P _p = N mdash -

3 4 34 deg 2g

V P 5 = deg

2 P V

5 6 56 2 g c

ltr2

P 7 -V 6 e7 -N67 2g + p 6 7 J j67 g

c bc v 2

P 7 - P 8 = N 7 8 - 2 i ~ + p 7 ( 1 - laquo 7 8 ) L 7 8 c

P 7 V 7

P - P - -N mdash - -8 9 89 2g

c P 7 V 7

P 9 ~ P 1 0 VlO 2g + ( 1 a 9 P 7 L 9 c

P 7 V 7

bull10 11 U10-ll 2g

P v iacute j P - P

1 11

7 - v 7 3 bull r

2 8 i U L 2 23 67

(l-5 7 8) L 7 8 + ( l - laquo 9 ) P 7 bull SlOtilde]- ^

Por ou t ro lado sabemos que como secccedilotildees 1

mesmo n iacute v e l

85

s c p r v 7 j

28 Z N i ij

= P 2 L23 p67 L67 P 7 ( 1~deg78 )

78 ~ ^g) bull P 7 bull L 910 g_

V - 2 g ( p r L 2 3 - p 6 r L 6 7 - p 7 ( l - atilde 7 8 ) L 7 8 - (l-a9) p L 9 a ( )

y N

Com esse valor de podemos determinar todas as variashy

ccedilotildees de pressatildeo (P^-P )

BIBLIOGRAFIA

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tituto de Energia Atocircmica de Sao Paulo em 1966 (roteiro)

- WR Gambill - Nuclear Safety

Vol 9 - n9 5 e 6

Vol 6 - n 2 (pag 152)

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Volbdquo 5 - n 2 (pag 151)

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Mc Adams - Heat Transmission

- Paul A Lottes - Argonne National Laboratory

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Frank Kreith - Principles of Heat Transfer

Journeacutees Internationales de la transmission de la chaleur

Seminaacuterios realizados em Paris em 1961 sob a supervisatildeo do

Prof Marcel Veron

Notas de aula da Cadeira de Termodinacircmica I e Transmissatildeo da

Escola Politeacutecnica da Universidade de Sao Paulo

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  • 0000200
  • 0000300
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  • 0001000
  • 0001100
  • 0001200
  • 0001300
  • 0001400
  • 0001500
  • 0001600
  • 0001700
  • 0001800
  • 0001900
  • 0002000
  • 0002100
  • 0002200
  • 0002300
  • 0002400
  • 0002500
  • 0002600
  • 0002700
  • 0002800
  • 0002900
  • 0003000
  • 0003100
  • 0003200
  • 0003300
  • 0003400
  • 0003500
  • 0003600
  • 0003700
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  • 0003900
  • 0004000
  • 0004100
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  • 0004500
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  • 0004700
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  • 0005000
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  • 0006000
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Page 68: ALGUNS PROBLEMAS DE HIDRODINÂMICA E CONVECÇÃO DE … · alguns problemas de hidrodinÂmica e convecÇÃo de calor em reatores de potÊncia, segundo aulas do ... b - convecÇao

f)

re d(mV + m V ) _ mdash - laquo -i bull s iquestp laquos p e r d a ltje pressatildeo devido a acele-

c p raccedilatildeo do vapor

V A

(1-x) tl^Vj

(1-a) A

X V

aA

A p -

roV + m V

c p c p L_

m (l-x)m_v m xv nbdquo -1 T 1

+ _S S I (1-a) Ap aA

P

2 g A c p

n 2 2

(1-x) m T

laquo2 8 A c p

2 2 (l-xe) raTv1

2 2 2 xm_v (1-x) m-v e T s o 1 1

a 1 - a

2 2 - x m_v o T g

a

se

X Q 0 (so ha agua nesse trecho)

a = 0 o

temos

mbdquo Ap =

1 a A 2

S A degc p laquo-

tt-V v i 1 - a

2 via T^r - v i

t Apc

2

V v l

5c Ap

1 - a

x v - 1

a e v l

65

Fazendo

G = fluxo total da massa por unidade de area do

canal

(1-x J e

V

AP r

Assim a perda de pressatildeo total sera

H p V II pV r2 P -P = f -24-Iuml+ f R+p 0 1 2g c D e 2g c g c g c

2c2 - Determinaccedilatildeo do fator de multiplicaccedilatildeo (R)

221 - Relaccedilatildeo Martinelli-Nelson

Os autores Martinelli-Nelson determinaram experimental -

te esse fator R para varias LIT1L em funccedilatildeo da pressatildeo e da r NB total J v

qualidade de saiacuteda do vapor no canal Construiacuteram assim vaacuterias

curvas do tipo da figura 9

66

E importante notar que a qualidade do vapor (x) na saiacuteshy

da nao deve ser grande pois como vemos o valor de R cresce muishy

to com um aumento pequeno de x e um valor de R muito grande acar_

reta uma perda de pressatildeo grande pois

^ d u a s fases R ^ f a s e liacutequida

Para resolvermos um problema seguindo o criteacuterio de bdquo

Martinelli escolhemos a curva R = f(px) (para a relaccedilatildeo L

N g ^ j

adequado) e tiramos R com os valores de pressatildeo p e tiacutetulo x

As curvas R = f (p x L T t )IO encontram-se nos ANL 6469 bio I

e 6561

222 - Relaccedilatildeo Lottes-Flinn

Estes autores estudaram o problema para o aquecimento uni

forme do refrigerante com baixo titule Lottes-Flinn fizeram inuacuteshy

meras experiecircncias e verificaram que para fluxo de calor uniforshy

me e baixos titulos R era independente do fluxo de calor fluxo

do refrigerante escorregamento e apenas funccedilatildeo de a g

Como a quantidade de liacutequido eacute muito maior que a de vashy

por a perda de pressatildeo daacute-se principalmente pelo atrito do liacuteshy

quido com a parede Podemos assim escrever a foacutermula de Darcy

na forma diferencial

dz

d = f __ r e amp c

onde

V = velocidade do liquido saturado na cota zbdquo X

f = coeficiente atrito

= densidade do liacutequido saturado

Teoricamente a queda de pressatildeo deve-se ao acreacutescimo de

67

velocidade do liacutequido e da diminuiccedilatildeo da aacuterea de fluxo do liacutequi

do

P fH A P t p

= f D 2g Ho

d z

fazendo

V lo

m V t lo

(velocidade do liacutequido na cota z = Ho)

(1-x) m t v 1

(1-a) A (velocidade do liacutequido na cota z gt Ho)

a bull+ fraccedilatildeo vazio na cota z geneacuterica

V 1 (1-x) m t v 1

m t V l 1 - a

x =s 0 pois o tiacutetulo eacute baixo

A p t f = f bull JT5 c e

fH V lo

H o (1-a) dz

Para fazer a integral devemos achar a relaccedilatildeo de variaccedilatildeo

entre a e z Como o fluxo de calor eacute uniforme a qualidade eacute direshy

tamente proporcional a z

bull laquo x = x e H

z = mdash x X e

Sabemos ainda que (item 113)

x

1 + [ ( I -X)AKQ x + iiacuteraquo

68

como

temos

(1-x) = 1

v

X =

z =

1-a

1 -a

1-a e

a

e

1-a pound

a

1 -a igt (assumindo S = cte)

da

Atf - f bull 2 i ^ ~ J c e o

a 1 - a e e 1 s 4 hmdash) da

a 1-a

f P lv^ Q

0 termo mdash - mdash e a parte de perda de pressatildeo pelo lj^

^c e -quido ou seja Ap liquido saturado e como

Ap

R = tf

Ap liauido saturado

temos que

R J

f ae 1 _ a e 1 4

a 1 -a o e

1 -a r-R =

3 1 -a

a 1 -a imdash

3 vl - a 3

e e

Os valores de R obtidos por esta expressatildeo aproximam-se

muito dos valores obtidos pelos aacutebacos de Martinelli

69

E - EXPANSAtildeO E COMPRESSAtildeO DE UM FLUIDO - ANAacuteLISE HIDRODINAcircMICA

DE UM CIRCUITO EM CIRCULACcedilAtildeO NATURAL

1 EXPANSAtildeO NO FLUXO DE UM FLUIDO

11 - Uma so fase

Figura 1

Ha vaacuterios meacutetodos para determinar a variaccedilatildeo de pressatildeo

numa expansatildeo de fluido estudaremos o de Romie que eacute o que daacute

maior precisatildeo

Romie considera que a pressatildeo p^ tambeacutem atua na aacuterea

imediatamente apos a expansatildeo Assim fazendo o equiliacutebrio das foi

ccedilas nas secccedilotildees tracejadas da figura 1 temos

mVj

p r A 2 + mdash

mV

bull 2- A2

mas

m = pV^A^

pV^A = p V 2 bdquo A 2

V A

v 2 -4r-logo

( P l-P 2) A 2 = f ( V ^ ) - f _ v j amp c c 2

70

2 pV A A pV A A

Chamando A l A ]

K = 1 - T e degi2 = Aiexcl bull V E M

pvj

P l P 2 = T ~ bull ( 2 deg 1 2 ) ( 1 _ a 1 2 )

Outra maneira de chegar atilde diferenccedila de pressatildeo ( P j - ^ ) s mdash

ria usar o coeficiente de perda da mecacircnica dos fluidos Assim o

equilibrio das pressotildees eacute

2 2

1 V l 1 V 2 V l P i + _ p _ ^ P 2 + I p ~ + k 1 2 p mdash

onde = coeficiente de perda

A 2 1 2

k 1 2 - (l-o 1 2) - (1 - j- )

Fazendo as transformaccedilotildees chegamos a mesma expressatildeo obshy

tida pelo balanccedilo das forccedilas

PraquoIacute pr p

2 - - ir ^ laquo-ia

12 - Duas fases

Como ha duas fases a equaccedilatildeo do balanccedilo das forccedilas fica

um pouco alterada

m pound 1 V- m - raquoV - m-V- m bdquoV _ P A + j y ^ i + _gl_JUuml P A + -11-11 + -ilsl (a)

1 2 e R 2 2 ff e

Sabendo que

71

m (1-x) m t = p fA (1-a) V f

entatildeo

fl l-o^ p fA x

6 Vf2 1-x l-a2 P fA 2

m V = mdash mdash e V 0 = gl a 1 P C T A 1 g2

m

a_ p h

2 g 2

Nas expressotildees anteriores o x nao varia porque a expansatildeo

5 adiabaacutetica porem o a varia devido a modificaccedilatildeo do tamanho da

bolha

Substituindo os valores das velocidades na expressatildeo (a)

vera

( P - P ) Abdquo =

2

2 2 m gt2 2 m t (1-x) 1 x t

ra i 2 m i 1 x t 1

p fA 1 g c ttl p Ax gpound

m t P - P = mdash

(1-x) (l-a 1)A 1A 2 (l-a2)A|

a r A r A 2

V A 2

m t P bdquo - P = mdash 2 1 g c A r A 2 p f

(1-x) 1-a f A 2(l-a 2)

bull ^ 2

72

Se

P -P

a

m

g

12

1 _1_ (1-x)

J12

1 _ a l 1 - a 2 + X (- )

Pg

1 deg12 a 2 ^

Sabemos que

mt = V o pf laquo A l

Sendo V q = velocidade do liquido num ponto onde natildeo haja vapor

P 2-P 1

u 2 2 A 2

V pr Ai

V W p f

(1-x) 12

l-a1 l-a2

+ X 2 pf

mdash

l deg12

-1 a 2 _

p -p r 2 Al (2a 1 2)

2 M f w 1 deg12 X (mdash) (

pg al a 2 )+(l-x)C l 1 12

1-a^ l-a2

Devemos notar que esta expressatildeo tambeacutem vale para quando

temos uma fase para isso basta fazer

= c t 2 = 0

X = 0

e recairemos na formula do item anterior

2 pf 1 deg12 Observemos que neste caso o termo x (mdash)( ) nao

Pg al a2

2

73

tem significado pois corresponde a mudanccedila de fase

2 CONTRACcedilAtildeO KO FLUXO DE UM FLUIDO

21 - Uma so fase raquo mdash

Aqui ocorre um fenocircmeno importante pois o fluido ao ser

contraiacutedo nao vai diretamente da area A^ para a area A 0 mas ele

contral-se ate uma area A^ e depois expande-se ate k^

Ao A2

Po IP 2

V 2

Figura 2

Fazendo o equiliacutebrio das pressotildees entre os planos (1)

(0) vem 2 2

pV pV p +~ plusmn - P + i deg bull 1 2 g o 2 g (b)

C x

Fazendo equiliacutebrio da expansatildeo (0) - (2) vem

P o + 2 - f = P 2 + 2 -T + kp- 2 F ( c )

c c b C

Subtraindo (b) - (c)

2 2 2

i p- vj i p- v2 L P l + 2 bull g c

P 2 + 2 2g c

+ k P 2g c

74

Como

P - P = mdash 2 2g

2 2

bull (1 + k) - f bdquo mdash i

k a - f2 ) 2 - d - o c )2

= o

A = a 21

Weisback obteve varias relaccedilotildees entre a e a i] c

01 02 03 a 0624 0632 0643 c

0624 0632

A r v i - V v 2

p -p 1 2

P -P 1 2 2g7

v l =

(1+k) - laquofi- a 2g 21 c

( 1 + k - o 2 1)

X[- V 2 o 2 1V 2

22 - Duas fases

0 valor de k pode ser aproximado para

k = a(l - o 2 1)

onde segundo Richardsons para fluxo de duas fases podemos supor

a = 02

Para fluxo homogeacuteneo sabemos que

75

p = p f (1 -a ) + p o a

podemos supor p bdquo a = 0 pois p e pequeno e fazendo

V = V ~ V fbdquo2 go2 v 2

Substituindo estas duas expressotildees na equaccedilatildeo de uma soacute fase vem

2 2 p V (l-ct) p V (1 -a ) bdquo

P l P 2 = 9g ( 1 + 3 - 3 0 ^ - 0 ^ ) = g (a+1) (l-a^)

Se a = 02

2 12p oV 0

p r p

2 - 9g gt d-) d-sigt

A compressatildeo de um fluido acarreta uma perda de pressatildeo

como pode ser verificado pelas formulas uma vez que lt 1deg

3 ANALISE HIDRODINAcircMICA DE UM CIRCUITO EM CIRCULACcedilAtildeO NATURAL

Esquema deacute uma caldeira com circulaccedilatildeo natural

76

Determinar a velocidade em (7) para que tenhamos circula

ccedilatildeo natural Determinar tambeacutem as perdas de pressatildeo em todos os

trechos da caldeira

31 - Contraccedilatildeo das secccedilotildees (1) - (2)

Como jaacute vimos a equaccedilatildeo do balanccedilo das pressotildees eacute

1 pr Vl 1 p 2 o V 2 P2 V2

1 2 g 2 + 2 g + K12 2g otilde c amp c e c

bullraquo 2 o2 2 e havendo uma soacute fase k 1 9 = (l-o ) = (1 mdash ) e sendo

C 2

p l = p2

v x lt lt lt v 2

P 2 V pr p2 bull ir2 bull ( 1 + k12gt

Colocando em termos de temos

A 2 V 2 P 2 = A 7 V 7 p 7 (continuidade)

V = V mdashbull = V o_bdquo ~ A 2 2 2

P 2 V - p 2

p r p 2 = ir2 - deg72 bull Ccedilrgt bull lt 1 + ki2gt

fazendo

N12 - lt^gt deg72 ( 1 + k12gt

P7 V7

Pr P2 - N12 bull HG

77

3 2 - Perda de carga no trecho ( 2 ) - ( 3 )

Como haacute apenas uma fase soacute temos perdas por atritos e

perdas hidrostaacuteticas

Sendo como jaacute vimos

2 3 p 2 2 g P 2 P 3 = f 2 3 (r~2g^~) L 2 3 g c p

atrito hidrostaacutetica

Substituindo V^ pela relaccedilatildeo do item anterior e tendo em

conta que p = vem

P -P = f 2 r 3 2 3 D

2 3 p 2 bdquo 2 2 p 7 2

2 g 7 72 p 2 3 g

Se

L 2 3 2 p 7

2 3 2 3 D 2 a 7 2 p 2

P 7 V 7 g P 2 - P 3 = N 2 3 ( mdash gt p 2 L 2 3 f

3 3 - Expansatildeo nas secccedilotildees ( 3 ) - ( 4 )

Como vimos o balanccedilo das pressotildees e

2 2 2 p V p 4 V p V

P 3 + 2 g c

P 4 + 2 g c

+ k 3 4 2 g c

onde

k 3 4 - - -

2 2 1 P 4 - V 4 P 3 v 3

P 3 P 4 = 2 g + ( k 3 4 _ 1 ) 2 g

78

Sendo

P 3 - P 4

p 3 o A 3 deg V 3 = P 7

a A 7 o V 7

P 4A 4 0V 4 = P r A r V

3 7 A 3 p 3

A7 P7 V = v mdash mdash 4 7 P 4

P - P 3 r4

Se

P bdquo - P

bdquo2 r-P 7 V 7

3 4 2g deg74 + ( k 3 4 1 ) deg73

34 p deg74 + ( k 3 4 1 ) 73

p r v2

P3- P4 ^ N34 ^ gt

(No caso e negativo)

34 - Contraccedilatildeo nas secccedilotildees (5) - (6)

Ainda temos uma so fase e fazendo o balanccedilo das pressotildees

como fizemos no item 3lt1 vem

P + vil p + vi + k vi P 5 + 2gbdquo P6 + 2gbdquo + k56 2gbdquo

k 5 6 lt 1 ^ gt 2 ( 1 - Iacute 2 i 2 6

V V6 P5degIacute 5^6 ^SS 2g c - 2g c

P - P ^ = (1+kJ

Como

79

A 6

W p 5 =

VV P6 V 5 = V 6 Jiexcl = Vff65

P 5-P 6 - lt H k 5 6 ) mdash ^ mdash (l+k 5 6-a 6 5) c c c

Sendo

Se

A 7 p 7 p 7

6 7 Ag p 6 7 76 p 6

p _p _ P6- V7- g76 iquest72 ( _ 02 P 5 P 6 2g c bull ( p 6

( 1 + k 5 6 deg65 )

p 7 2 2 N56 = p ^ deg76 ( 1 + k 5 6 ~ a 6 5 )

P 7 V 2

7

P r-P = N r 5 6 56 2g c i

35 - Perdas de pressatildeo nas zonas (6) - (7) - Pre^aquecimento

Nesta regiatildeo temos perdas por atrito e hidrostaacuteticas

Nao haacute perda por aceleraccedilatildeo pois ainda natildeo houve formaccedilatildeo de boshy

lhas

Fazendo balanccedilo das pressotildees temos

L_ ppound-V p = p + otilde L - pound _ + f -Si (-21mdashL 6 7 + p67 L67 g + t 6 7 D K 2g

p _ e ifn sao tomados como valores meacutedios 67 67

P _p _ f hl ^67jIacute uuml + - L A

6 F 7 r67 D 2g P P67 L67 g 6 s c 7 c

S e Kr pound67 L67 p67 6 7 D 6 p7

p7 V - _g_ P6- P7 - N67 mdash + P67 L67 f

c c

80

36 - Perda de pressatildeo nas zonas (7) - (8) - Zona de ebuliccedilatildeo

Nesta regiatildeo j aacute temos o aparecimento de bolhas logo a

perda de pressatildeo seraacute devida agraves t recircs parcelas aceleraccedilatildeo a t r i t o

das duas fases liacutequidas + vapor e h idros taacute t ica

onde

Assim

P-P Q = AP + AP + APbdquo 7 8 a t r i t o acel H

T M1

78 p 7 7 AP - R f- - mdash mdashr |R = fator mult ipl ica-

a t r i t o 7 D 7 2 g c L tivo

G 2

AP bull r mdash acel g c

P V

|_1 - o a p J 8 P f

2 t r 2 M2

7 7 r 7 7 A P a c e l = -J^mdash 2 r bull p 7 lt T iexcl iexcl - )

A PH p 7 8 L 7 8 fiexcl

p 7 8 iacute 7 li 1 0 0 P l i q + a P v ] d L = P 7 ( 1 - laquo 7 8 )

ag raquo fraccedilatildeo de vazio media entre 7 e 8

APH = p (1 - 5 7 g ) f- L 7 8

2 2

P 7 - P 8 a 5 - 2 T i + 2 r p 7 + P 7 ( 1 - 7 8 gt f L 7 8 7 amp c amp c amp c

81

N 7g = R mdash + 2 r p 7

P7 V7 P7- P8 = N78 + P 7 ( 1 5 7 8 gt J78

37 - Expansatildeo nas secccedilotildees 8 e 9

No caso haacute uma expansatildeo com duas fases e como vimos no

item 12 a variaccedilatildeo de pressatildeo era dada por

0f Vo P2 P1 = ~2g c ( 2 deg12

x 2 (mdash)(mdash - mdash ) + ( l - x ) 2 ^ T mdash 8 1 2 1

12

Aplicando ao nosso caso

P pound = P 7

P -P = 8 9

V - V raquo V g f 7

P 7 V 2

2 pf 1 a89 2 1 g89 x (mdash) ( ) + (1-x) (- - N

o ou abdquo 1-cu l-ot_) g 8 9 8 9

Se

N 89

= 2 a 89

2 pf 1 deg89 2 1 CT89 x (mdash) ( ) + (1-x) ( T

g 8 9 8 9

P -P = 8 9

- N P7deg V7

89 2gbdquo

38 - Perda de pressatildeo no trecho 9 e 10

No referido trecho temos apenas perda de pressatildeo por atr L

to da fase liacutequido + vapor e perda hidrostaacutetica Natildeo haacute perda por

aceleraccedilatildeo do vapor pois este natildeo recebe mais calor e portanto

o 82 o

nao ha variaccedilatildeo no a

p

Q -p i n = A P

U + A P bull 9 10 H atrito

n T -S_ P9 U10 deg 910 bull g

fio r

910 I 910

J9 L

(l- a)P + Q P I dL liq v

(l-a0) p

No caso a = (nao hatilde variaccedilatildeo de forma)

A P H - (1-a ) P (p L 0

c

AP bdquo = R o

atrito

2 f9 o L910 P9 V9

2g

Supondo

= V

P 9 = P 8 P 7

vbdquo = v 9 8 0 A r

= V 7 bull deg89

AP - R atrito

2 2

W l O p7deg V7deg g89

V P10 R -^T^ bull deg89 bull li-2 + ( W P 7 (fgt SIO

y c c

Se

- f9 L910 2 N9ol0 R Dl deg89

w 2

p rv P9 P10 = VlO + ( 1 a 9 ) p7 (f gt L910 c

33

39 - Perda ciacutee pressatildeo na expansatildeo 9 - 1 0

Analogamente a expansatildeo 8 - 9 temos

10 11 P 7 2g

10 Iacute 2 0 1 0 - 1 1 gt

2 ff

pg aio

10-11

laquo11 ) +

Ll-a 1 0 bull l-a u J

Se

V10 = V 9 = V 8 bull T9 = V 7 deg89

P -P 10 rll = - a 2g 089 ^lO-ll

4 bull T~ bull (7 1 mdash ) + Pg degio a n

+ (l-x)2(- 1 10-11

1 - aio )

N10-ll = 2 a10-ll a89 2 pf t 1 10-11 N2

-(j-r- - ) bull+ (1-x) pg aio deg 1

10-11 k l - a io

prz P10 Pll = - N10-ll bull ( 2gbdquo

310 - Calculo de V

Fazendo a somatoacuteria de todas as expressotildees (P^-Pj) tere-

84

mos 2 PbdquoV_

P bdquo - P bdquo = N 7 v 7

1 2 12 2g

bull 2 - P 3 - = N 2 3 P 2 L 2 3 f c ccedil

9 P 7 V 7 P _p = N mdash -

3 4 34 deg 2g

V P 5 = deg

2 P V

5 6 56 2 g c

ltr2

P 7 -V 6 e7 -N67 2g + p 6 7 J j67 g

c bc v 2

P 7 - P 8 = N 7 8 - 2 i ~ + p 7 ( 1 - laquo 7 8 ) L 7 8 c

P 7 V 7

P - P - -N mdash - -8 9 89 2g

c P 7 V 7

P 9 ~ P 1 0 VlO 2g + ( 1 a 9 P 7 L 9 c

P 7 V 7

bull10 11 U10-ll 2g

P v iacute j P - P

1 11

7 - v 7 3 bull r

2 8 i U L 2 23 67

(l-5 7 8) L 7 8 + ( l - laquo 9 ) P 7 bull SlOtilde]- ^

Por ou t ro lado sabemos que como secccedilotildees 1

mesmo n iacute v e l

85

s c p r v 7 j

28 Z N i ij

= P 2 L23 p67 L67 P 7 ( 1~deg78 )

78 ~ ^g) bull P 7 bull L 910 g_

V - 2 g ( p r L 2 3 - p 6 r L 6 7 - p 7 ( l - atilde 7 8 ) L 7 8 - (l-a9) p L 9 a ( )

y N

Com esse valor de podemos determinar todas as variashy

ccedilotildees de pressatildeo (P^-P )

BIBLIOGRAFIA

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tituto de Energia Atocircmica de Sao Paulo em 1966 (roteiro)

- WR Gambill - Nuclear Safety

Vol 9 - n9 5 e 6

Vol 6 - n 2 (pag 152)

Vol 4 -r n9 1 (pag 30)

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- Paul A Lottes - Argonne National Laboratory

- AKL - 6469

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Journeacutees Internationales de la transmission de la chaleur

Seminaacuterios realizados em Paris em 1961 sob a supervisatildeo do

Prof Marcel Veron

Notas de aula da Cadeira de Termodinacircmica I e Transmissatildeo da

Escola Politeacutecnica da Universidade de Sao Paulo

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65

Fazendo

G = fluxo total da massa por unidade de area do

canal

(1-x J e

V

AP r

Assim a perda de pressatildeo total sera

H p V II pV r2 P -P = f -24-Iuml+ f R+p 0 1 2g c D e 2g c g c g c

2c2 - Determinaccedilatildeo do fator de multiplicaccedilatildeo (R)

221 - Relaccedilatildeo Martinelli-Nelson

Os autores Martinelli-Nelson determinaram experimental -

te esse fator R para varias LIT1L em funccedilatildeo da pressatildeo e da r NB total J v

qualidade de saiacuteda do vapor no canal Construiacuteram assim vaacuterias

curvas do tipo da figura 9

66

E importante notar que a qualidade do vapor (x) na saiacuteshy

da nao deve ser grande pois como vemos o valor de R cresce muishy

to com um aumento pequeno de x e um valor de R muito grande acar_

reta uma perda de pressatildeo grande pois

^ d u a s fases R ^ f a s e liacutequida

Para resolvermos um problema seguindo o criteacuterio de bdquo

Martinelli escolhemos a curva R = f(px) (para a relaccedilatildeo L

N g ^ j

adequado) e tiramos R com os valores de pressatildeo p e tiacutetulo x

As curvas R = f (p x L T t )IO encontram-se nos ANL 6469 bio I

e 6561

222 - Relaccedilatildeo Lottes-Flinn

Estes autores estudaram o problema para o aquecimento uni

forme do refrigerante com baixo titule Lottes-Flinn fizeram inuacuteshy

meras experiecircncias e verificaram que para fluxo de calor uniforshy

me e baixos titulos R era independente do fluxo de calor fluxo

do refrigerante escorregamento e apenas funccedilatildeo de a g

Como a quantidade de liacutequido eacute muito maior que a de vashy

por a perda de pressatildeo daacute-se principalmente pelo atrito do liacuteshy

quido com a parede Podemos assim escrever a foacutermula de Darcy

na forma diferencial

dz

d = f __ r e amp c

onde

V = velocidade do liquido saturado na cota zbdquo X

f = coeficiente atrito

= densidade do liacutequido saturado

Teoricamente a queda de pressatildeo deve-se ao acreacutescimo de

67

velocidade do liacutequido e da diminuiccedilatildeo da aacuterea de fluxo do liacutequi

do

P fH A P t p

= f D 2g Ho

d z

fazendo

V lo

m V t lo

(velocidade do liacutequido na cota z = Ho)

(1-x) m t v 1

(1-a) A (velocidade do liacutequido na cota z gt Ho)

a bull+ fraccedilatildeo vazio na cota z geneacuterica

V 1 (1-x) m t v 1

m t V l 1 - a

x =s 0 pois o tiacutetulo eacute baixo

A p t f = f bull JT5 c e

fH V lo

H o (1-a) dz

Para fazer a integral devemos achar a relaccedilatildeo de variaccedilatildeo

entre a e z Como o fluxo de calor eacute uniforme a qualidade eacute direshy

tamente proporcional a z

bull laquo x = x e H

z = mdash x X e

Sabemos ainda que (item 113)

x

1 + [ ( I -X)AKQ x + iiacuteraquo

68

como

temos

(1-x) = 1

v

X =

z =

1-a

1 -a

1-a e

a

e

1-a pound

a

1 -a igt (assumindo S = cte)

da

Atf - f bull 2 i ^ ~ J c e o

a 1 - a e e 1 s 4 hmdash) da

a 1-a

f P lv^ Q

0 termo mdash - mdash e a parte de perda de pressatildeo pelo lj^

^c e -quido ou seja Ap liquido saturado e como

Ap

R = tf

Ap liauido saturado

temos que

R J

f ae 1 _ a e 1 4

a 1 -a o e

1 -a r-R =

3 1 -a

a 1 -a imdash

3 vl - a 3

e e

Os valores de R obtidos por esta expressatildeo aproximam-se

muito dos valores obtidos pelos aacutebacos de Martinelli

69

E - EXPANSAtildeO E COMPRESSAtildeO DE UM FLUIDO - ANAacuteLISE HIDRODINAcircMICA

DE UM CIRCUITO EM CIRCULACcedilAtildeO NATURAL

1 EXPANSAtildeO NO FLUXO DE UM FLUIDO

11 - Uma so fase

Figura 1

Ha vaacuterios meacutetodos para determinar a variaccedilatildeo de pressatildeo

numa expansatildeo de fluido estudaremos o de Romie que eacute o que daacute

maior precisatildeo

Romie considera que a pressatildeo p^ tambeacutem atua na aacuterea

imediatamente apos a expansatildeo Assim fazendo o equiliacutebrio das foi

ccedilas nas secccedilotildees tracejadas da figura 1 temos

mVj

p r A 2 + mdash

mV

bull 2- A2

mas

m = pV^A^

pV^A = p V 2 bdquo A 2

V A

v 2 -4r-logo

( P l-P 2) A 2 = f ( V ^ ) - f _ v j amp c c 2

70

2 pV A A pV A A

Chamando A l A ]

K = 1 - T e degi2 = Aiexcl bull V E M

pvj

P l P 2 = T ~ bull ( 2 deg 1 2 ) ( 1 _ a 1 2 )

Outra maneira de chegar atilde diferenccedila de pressatildeo ( P j - ^ ) s mdash

ria usar o coeficiente de perda da mecacircnica dos fluidos Assim o

equilibrio das pressotildees eacute

2 2

1 V l 1 V 2 V l P i + _ p _ ^ P 2 + I p ~ + k 1 2 p mdash

onde = coeficiente de perda

A 2 1 2

k 1 2 - (l-o 1 2) - (1 - j- )

Fazendo as transformaccedilotildees chegamos a mesma expressatildeo obshy

tida pelo balanccedilo das forccedilas

PraquoIacute pr p

2 - - ir ^ laquo-ia

12 - Duas fases

Como ha duas fases a equaccedilatildeo do balanccedilo das forccedilas fica

um pouco alterada

m pound 1 V- m - raquoV - m-V- m bdquoV _ P A + j y ^ i + _gl_JUuml P A + -11-11 + -ilsl (a)

1 2 e R 2 2 ff e

Sabendo que

71

m (1-x) m t = p fA (1-a) V f

entatildeo

fl l-o^ p fA x

6 Vf2 1-x l-a2 P fA 2

m V = mdash mdash e V 0 = gl a 1 P C T A 1 g2

m

a_ p h

2 g 2

Nas expressotildees anteriores o x nao varia porque a expansatildeo

5 adiabaacutetica porem o a varia devido a modificaccedilatildeo do tamanho da

bolha

Substituindo os valores das velocidades na expressatildeo (a)

vera

( P - P ) Abdquo =

2

2 2 m gt2 2 m t (1-x) 1 x t

ra i 2 m i 1 x t 1

p fA 1 g c ttl p Ax gpound

m t P - P = mdash

(1-x) (l-a 1)A 1A 2 (l-a2)A|

a r A r A 2

V A 2

m t P bdquo - P = mdash 2 1 g c A r A 2 p f

(1-x) 1-a f A 2(l-a 2)

bull ^ 2

72

Se

P -P

a

m

g

12

1 _1_ (1-x)

J12

1 _ a l 1 - a 2 + X (- )

Pg

1 deg12 a 2 ^

Sabemos que

mt = V o pf laquo A l

Sendo V q = velocidade do liquido num ponto onde natildeo haja vapor

P 2-P 1

u 2 2 A 2

V pr Ai

V W p f

(1-x) 12

l-a1 l-a2

+ X 2 pf

mdash

l deg12

-1 a 2 _

p -p r 2 Al (2a 1 2)

2 M f w 1 deg12 X (mdash) (

pg al a 2 )+(l-x)C l 1 12

1-a^ l-a2

Devemos notar que esta expressatildeo tambeacutem vale para quando

temos uma fase para isso basta fazer

= c t 2 = 0

X = 0

e recairemos na formula do item anterior

2 pf 1 deg12 Observemos que neste caso o termo x (mdash)( ) nao

Pg al a2

2

73

tem significado pois corresponde a mudanccedila de fase

2 CONTRACcedilAtildeO KO FLUXO DE UM FLUIDO

21 - Uma so fase raquo mdash

Aqui ocorre um fenocircmeno importante pois o fluido ao ser

contraiacutedo nao vai diretamente da area A^ para a area A 0 mas ele

contral-se ate uma area A^ e depois expande-se ate k^

Ao A2

Po IP 2

V 2

Figura 2

Fazendo o equiliacutebrio das pressotildees entre os planos (1)

(0) vem 2 2

pV pV p +~ plusmn - P + i deg bull 1 2 g o 2 g (b)

C x

Fazendo equiliacutebrio da expansatildeo (0) - (2) vem

P o + 2 - f = P 2 + 2 -T + kp- 2 F ( c )

c c b C

Subtraindo (b) - (c)

2 2 2

i p- vj i p- v2 L P l + 2 bull g c

P 2 + 2 2g c

+ k P 2g c

74

Como

P - P = mdash 2 2g

2 2

bull (1 + k) - f bdquo mdash i

k a - f2 ) 2 - d - o c )2

= o

A = a 21

Weisback obteve varias relaccedilotildees entre a e a i] c

01 02 03 a 0624 0632 0643 c

0624 0632

A r v i - V v 2

p -p 1 2

P -P 1 2 2g7

v l =

(1+k) - laquofi- a 2g 21 c

( 1 + k - o 2 1)

X[- V 2 o 2 1V 2

22 - Duas fases

0 valor de k pode ser aproximado para

k = a(l - o 2 1)

onde segundo Richardsons para fluxo de duas fases podemos supor

a = 02

Para fluxo homogeacuteneo sabemos que

75

p = p f (1 -a ) + p o a

podemos supor p bdquo a = 0 pois p e pequeno e fazendo

V = V ~ V fbdquo2 go2 v 2

Substituindo estas duas expressotildees na equaccedilatildeo de uma soacute fase vem

2 2 p V (l-ct) p V (1 -a ) bdquo

P l P 2 = 9g ( 1 + 3 - 3 0 ^ - 0 ^ ) = g (a+1) (l-a^)

Se a = 02

2 12p oV 0

p r p

2 - 9g gt d-) d-sigt

A compressatildeo de um fluido acarreta uma perda de pressatildeo

como pode ser verificado pelas formulas uma vez que lt 1deg

3 ANALISE HIDRODINAcircMICA DE UM CIRCUITO EM CIRCULACcedilAtildeO NATURAL

Esquema deacute uma caldeira com circulaccedilatildeo natural

76

Determinar a velocidade em (7) para que tenhamos circula

ccedilatildeo natural Determinar tambeacutem as perdas de pressatildeo em todos os

trechos da caldeira

31 - Contraccedilatildeo das secccedilotildees (1) - (2)

Como jaacute vimos a equaccedilatildeo do balanccedilo das pressotildees eacute

1 pr Vl 1 p 2 o V 2 P2 V2

1 2 g 2 + 2 g + K12 2g otilde c amp c e c

bullraquo 2 o2 2 e havendo uma soacute fase k 1 9 = (l-o ) = (1 mdash ) e sendo

C 2

p l = p2

v x lt lt lt v 2

P 2 V pr p2 bull ir2 bull ( 1 + k12gt

Colocando em termos de temos

A 2 V 2 P 2 = A 7 V 7 p 7 (continuidade)

V = V mdashbull = V o_bdquo ~ A 2 2 2

P 2 V - p 2

p r p 2 = ir2 - deg72 bull Ccedilrgt bull lt 1 + ki2gt

fazendo

N12 - lt^gt deg72 ( 1 + k12gt

P7 V7

Pr P2 - N12 bull HG

77

3 2 - Perda de carga no trecho ( 2 ) - ( 3 )

Como haacute apenas uma fase soacute temos perdas por atritos e

perdas hidrostaacuteticas

Sendo como jaacute vimos

2 3 p 2 2 g P 2 P 3 = f 2 3 (r~2g^~) L 2 3 g c p

atrito hidrostaacutetica

Substituindo V^ pela relaccedilatildeo do item anterior e tendo em

conta que p = vem

P -P = f 2 r 3 2 3 D

2 3 p 2 bdquo 2 2 p 7 2

2 g 7 72 p 2 3 g

Se

L 2 3 2 p 7

2 3 2 3 D 2 a 7 2 p 2

P 7 V 7 g P 2 - P 3 = N 2 3 ( mdash gt p 2 L 2 3 f

3 3 - Expansatildeo nas secccedilotildees ( 3 ) - ( 4 )

Como vimos o balanccedilo das pressotildees e

2 2 2 p V p 4 V p V

P 3 + 2 g c

P 4 + 2 g c

+ k 3 4 2 g c

onde

k 3 4 - - -

2 2 1 P 4 - V 4 P 3 v 3

P 3 P 4 = 2 g + ( k 3 4 _ 1 ) 2 g

78

Sendo

P 3 - P 4

p 3 o A 3 deg V 3 = P 7

a A 7 o V 7

P 4A 4 0V 4 = P r A r V

3 7 A 3 p 3

A7 P7 V = v mdash mdash 4 7 P 4

P - P 3 r4

Se

P bdquo - P

bdquo2 r-P 7 V 7

3 4 2g deg74 + ( k 3 4 1 ) deg73

34 p deg74 + ( k 3 4 1 ) 73

p r v2

P3- P4 ^ N34 ^ gt

(No caso e negativo)

34 - Contraccedilatildeo nas secccedilotildees (5) - (6)

Ainda temos uma so fase e fazendo o balanccedilo das pressotildees

como fizemos no item 3lt1 vem

P + vil p + vi + k vi P 5 + 2gbdquo P6 + 2gbdquo + k56 2gbdquo

k 5 6 lt 1 ^ gt 2 ( 1 - Iacute 2 i 2 6

V V6 P5degIacute 5^6 ^SS 2g c - 2g c

P - P ^ = (1+kJ

Como

79

A 6

W p 5 =

VV P6 V 5 = V 6 Jiexcl = Vff65

P 5-P 6 - lt H k 5 6 ) mdash ^ mdash (l+k 5 6-a 6 5) c c c

Sendo

Se

A 7 p 7 p 7

6 7 Ag p 6 7 76 p 6

p _p _ P6- V7- g76 iquest72 ( _ 02 P 5 P 6 2g c bull ( p 6

( 1 + k 5 6 deg65 )

p 7 2 2 N56 = p ^ deg76 ( 1 + k 5 6 ~ a 6 5 )

P 7 V 2

7

P r-P = N r 5 6 56 2g c i

35 - Perdas de pressatildeo nas zonas (6) - (7) - Pre^aquecimento

Nesta regiatildeo temos perdas por atrito e hidrostaacuteticas

Nao haacute perda por aceleraccedilatildeo pois ainda natildeo houve formaccedilatildeo de boshy

lhas

Fazendo balanccedilo das pressotildees temos

L_ ppound-V p = p + otilde L - pound _ + f -Si (-21mdashL 6 7 + p67 L67 g + t 6 7 D K 2g

p _ e ifn sao tomados como valores meacutedios 67 67

P _p _ f hl ^67jIacute uuml + - L A

6 F 7 r67 D 2g P P67 L67 g 6 s c 7 c

S e Kr pound67 L67 p67 6 7 D 6 p7

p7 V - _g_ P6- P7 - N67 mdash + P67 L67 f

c c

80

36 - Perda de pressatildeo nas zonas (7) - (8) - Zona de ebuliccedilatildeo

Nesta regiatildeo j aacute temos o aparecimento de bolhas logo a

perda de pressatildeo seraacute devida agraves t recircs parcelas aceleraccedilatildeo a t r i t o

das duas fases liacutequidas + vapor e h idros taacute t ica

onde

Assim

P-P Q = AP + AP + APbdquo 7 8 a t r i t o acel H

T M1

78 p 7 7 AP - R f- - mdash mdashr |R = fator mult ipl ica-

a t r i t o 7 D 7 2 g c L tivo

G 2

AP bull r mdash acel g c

P V

|_1 - o a p J 8 P f

2 t r 2 M2

7 7 r 7 7 A P a c e l = -J^mdash 2 r bull p 7 lt T iexcl iexcl - )

A PH p 7 8 L 7 8 fiexcl

p 7 8 iacute 7 li 1 0 0 P l i q + a P v ] d L = P 7 ( 1 - laquo 7 8 )

ag raquo fraccedilatildeo de vazio media entre 7 e 8

APH = p (1 - 5 7 g ) f- L 7 8

2 2

P 7 - P 8 a 5 - 2 T i + 2 r p 7 + P 7 ( 1 - 7 8 gt f L 7 8 7 amp c amp c amp c

81

N 7g = R mdash + 2 r p 7

P7 V7 P7- P8 = N78 + P 7 ( 1 5 7 8 gt J78

37 - Expansatildeo nas secccedilotildees 8 e 9

No caso haacute uma expansatildeo com duas fases e como vimos no

item 12 a variaccedilatildeo de pressatildeo era dada por

0f Vo P2 P1 = ~2g c ( 2 deg12

x 2 (mdash)(mdash - mdash ) + ( l - x ) 2 ^ T mdash 8 1 2 1

12

Aplicando ao nosso caso

P pound = P 7

P -P = 8 9

V - V raquo V g f 7

P 7 V 2

2 pf 1 a89 2 1 g89 x (mdash) ( ) + (1-x) (- - N

o ou abdquo 1-cu l-ot_) g 8 9 8 9

Se

N 89

= 2 a 89

2 pf 1 deg89 2 1 CT89 x (mdash) ( ) + (1-x) ( T

g 8 9 8 9

P -P = 8 9

- N P7deg V7

89 2gbdquo

38 - Perda de pressatildeo no trecho 9 e 10

No referido trecho temos apenas perda de pressatildeo por atr L

to da fase liacutequido + vapor e perda hidrostaacutetica Natildeo haacute perda por

aceleraccedilatildeo do vapor pois este natildeo recebe mais calor e portanto

o 82 o

nao ha variaccedilatildeo no a

p

Q -p i n = A P

U + A P bull 9 10 H atrito

n T -S_ P9 U10 deg 910 bull g

fio r

910 I 910

J9 L

(l- a)P + Q P I dL liq v

(l-a0) p

No caso a = (nao hatilde variaccedilatildeo de forma)

A P H - (1-a ) P (p L 0

c

AP bdquo = R o

atrito

2 f9 o L910 P9 V9

2g

Supondo

= V

P 9 = P 8 P 7

vbdquo = v 9 8 0 A r

= V 7 bull deg89

AP - R atrito

2 2

W l O p7deg V7deg g89

V P10 R -^T^ bull deg89 bull li-2 + ( W P 7 (fgt SIO

y c c

Se

- f9 L910 2 N9ol0 R Dl deg89

w 2

p rv P9 P10 = VlO + ( 1 a 9 ) p7 (f gt L910 c

33

39 - Perda ciacutee pressatildeo na expansatildeo 9 - 1 0

Analogamente a expansatildeo 8 - 9 temos

10 11 P 7 2g

10 Iacute 2 0 1 0 - 1 1 gt

2 ff

pg aio

10-11

laquo11 ) +

Ll-a 1 0 bull l-a u J

Se

V10 = V 9 = V 8 bull T9 = V 7 deg89

P -P 10 rll = - a 2g 089 ^lO-ll

4 bull T~ bull (7 1 mdash ) + Pg degio a n

+ (l-x)2(- 1 10-11

1 - aio )

N10-ll = 2 a10-ll a89 2 pf t 1 10-11 N2

-(j-r- - ) bull+ (1-x) pg aio deg 1

10-11 k l - a io

prz P10 Pll = - N10-ll bull ( 2gbdquo

310 - Calculo de V

Fazendo a somatoacuteria de todas as expressotildees (P^-Pj) tere-

84

mos 2 PbdquoV_

P bdquo - P bdquo = N 7 v 7

1 2 12 2g

bull 2 - P 3 - = N 2 3 P 2 L 2 3 f c ccedil

9 P 7 V 7 P _p = N mdash -

3 4 34 deg 2g

V P 5 = deg

2 P V

5 6 56 2 g c

ltr2

P 7 -V 6 e7 -N67 2g + p 6 7 J j67 g

c bc v 2

P 7 - P 8 = N 7 8 - 2 i ~ + p 7 ( 1 - laquo 7 8 ) L 7 8 c

P 7 V 7

P - P - -N mdash - -8 9 89 2g

c P 7 V 7

P 9 ~ P 1 0 VlO 2g + ( 1 a 9 P 7 L 9 c

P 7 V 7

bull10 11 U10-ll 2g

P v iacute j P - P

1 11

7 - v 7 3 bull r

2 8 i U L 2 23 67

(l-5 7 8) L 7 8 + ( l - laquo 9 ) P 7 bull SlOtilde]- ^

Por ou t ro lado sabemos que como secccedilotildees 1

mesmo n iacute v e l

85

s c p r v 7 j

28 Z N i ij

= P 2 L23 p67 L67 P 7 ( 1~deg78 )

78 ~ ^g) bull P 7 bull L 910 g_

V - 2 g ( p r L 2 3 - p 6 r L 6 7 - p 7 ( l - atilde 7 8 ) L 7 8 - (l-a9) p L 9 a ( )

y N

Com esse valor de podemos determinar todas as variashy

ccedilotildees de pressatildeo (P^-P )

BIBLIOGRAFIA

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tituto de Energia Atocircmica de Sao Paulo em 1966 (roteiro)

- WR Gambill - Nuclear Safety

Vol 9 - n9 5 e 6

Vol 6 - n 2 (pag 152)

Vol 4 -r n9 1 (pag 30)

Volbdquo 5 - n 2 (pag 151)

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~ El Wakil - Nuclear Power

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- Paul A Lottes - Argonne National Laboratory

- AKL - 6469

- ANL - 6561

86

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Frank Kreith - Principles of Heat Transfer

Journeacutees Internationales de la transmission de la chaleur

Seminaacuterios realizados em Paris em 1961 sob a supervisatildeo do

Prof Marcel Veron

Notas de aula da Cadeira de Termodinacircmica I e Transmissatildeo da

Escola Politeacutecnica da Universidade de Sao Paulo

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66

E importante notar que a qualidade do vapor (x) na saiacuteshy

da nao deve ser grande pois como vemos o valor de R cresce muishy

to com um aumento pequeno de x e um valor de R muito grande acar_

reta uma perda de pressatildeo grande pois

^ d u a s fases R ^ f a s e liacutequida

Para resolvermos um problema seguindo o criteacuterio de bdquo

Martinelli escolhemos a curva R = f(px) (para a relaccedilatildeo L

N g ^ j

adequado) e tiramos R com os valores de pressatildeo p e tiacutetulo x

As curvas R = f (p x L T t )IO encontram-se nos ANL 6469 bio I

e 6561

222 - Relaccedilatildeo Lottes-Flinn

Estes autores estudaram o problema para o aquecimento uni

forme do refrigerante com baixo titule Lottes-Flinn fizeram inuacuteshy

meras experiecircncias e verificaram que para fluxo de calor uniforshy

me e baixos titulos R era independente do fluxo de calor fluxo

do refrigerante escorregamento e apenas funccedilatildeo de a g

Como a quantidade de liacutequido eacute muito maior que a de vashy

por a perda de pressatildeo daacute-se principalmente pelo atrito do liacuteshy

quido com a parede Podemos assim escrever a foacutermula de Darcy

na forma diferencial

dz

d = f __ r e amp c

onde

V = velocidade do liquido saturado na cota zbdquo X

f = coeficiente atrito

= densidade do liacutequido saturado

Teoricamente a queda de pressatildeo deve-se ao acreacutescimo de

67

velocidade do liacutequido e da diminuiccedilatildeo da aacuterea de fluxo do liacutequi

do

P fH A P t p

= f D 2g Ho

d z

fazendo

V lo

m V t lo

(velocidade do liacutequido na cota z = Ho)

(1-x) m t v 1

(1-a) A (velocidade do liacutequido na cota z gt Ho)

a bull+ fraccedilatildeo vazio na cota z geneacuterica

V 1 (1-x) m t v 1

m t V l 1 - a

x =s 0 pois o tiacutetulo eacute baixo

A p t f = f bull JT5 c e

fH V lo

H o (1-a) dz

Para fazer a integral devemos achar a relaccedilatildeo de variaccedilatildeo

entre a e z Como o fluxo de calor eacute uniforme a qualidade eacute direshy

tamente proporcional a z

bull laquo x = x e H

z = mdash x X e

Sabemos ainda que (item 113)

x

1 + [ ( I -X)AKQ x + iiacuteraquo

68

como

temos

(1-x) = 1

v

X =

z =

1-a

1 -a

1-a e

a

e

1-a pound

a

1 -a igt (assumindo S = cte)

da

Atf - f bull 2 i ^ ~ J c e o

a 1 - a e e 1 s 4 hmdash) da

a 1-a

f P lv^ Q

0 termo mdash - mdash e a parte de perda de pressatildeo pelo lj^

^c e -quido ou seja Ap liquido saturado e como

Ap

R = tf

Ap liauido saturado

temos que

R J

f ae 1 _ a e 1 4

a 1 -a o e

1 -a r-R =

3 1 -a

a 1 -a imdash

3 vl - a 3

e e

Os valores de R obtidos por esta expressatildeo aproximam-se

muito dos valores obtidos pelos aacutebacos de Martinelli

69

E - EXPANSAtildeO E COMPRESSAtildeO DE UM FLUIDO - ANAacuteLISE HIDRODINAcircMICA

DE UM CIRCUITO EM CIRCULACcedilAtildeO NATURAL

1 EXPANSAtildeO NO FLUXO DE UM FLUIDO

11 - Uma so fase

Figura 1

Ha vaacuterios meacutetodos para determinar a variaccedilatildeo de pressatildeo

numa expansatildeo de fluido estudaremos o de Romie que eacute o que daacute

maior precisatildeo

Romie considera que a pressatildeo p^ tambeacutem atua na aacuterea

imediatamente apos a expansatildeo Assim fazendo o equiliacutebrio das foi

ccedilas nas secccedilotildees tracejadas da figura 1 temos

mVj

p r A 2 + mdash

mV

bull 2- A2

mas

m = pV^A^

pV^A = p V 2 bdquo A 2

V A

v 2 -4r-logo

( P l-P 2) A 2 = f ( V ^ ) - f _ v j amp c c 2

70

2 pV A A pV A A

Chamando A l A ]

K = 1 - T e degi2 = Aiexcl bull V E M

pvj

P l P 2 = T ~ bull ( 2 deg 1 2 ) ( 1 _ a 1 2 )

Outra maneira de chegar atilde diferenccedila de pressatildeo ( P j - ^ ) s mdash

ria usar o coeficiente de perda da mecacircnica dos fluidos Assim o

equilibrio das pressotildees eacute

2 2

1 V l 1 V 2 V l P i + _ p _ ^ P 2 + I p ~ + k 1 2 p mdash

onde = coeficiente de perda

A 2 1 2

k 1 2 - (l-o 1 2) - (1 - j- )

Fazendo as transformaccedilotildees chegamos a mesma expressatildeo obshy

tida pelo balanccedilo das forccedilas

PraquoIacute pr p

2 - - ir ^ laquo-ia

12 - Duas fases

Como ha duas fases a equaccedilatildeo do balanccedilo das forccedilas fica

um pouco alterada

m pound 1 V- m - raquoV - m-V- m bdquoV _ P A + j y ^ i + _gl_JUuml P A + -11-11 + -ilsl (a)

1 2 e R 2 2 ff e

Sabendo que

71

m (1-x) m t = p fA (1-a) V f

entatildeo

fl l-o^ p fA x

6 Vf2 1-x l-a2 P fA 2

m V = mdash mdash e V 0 = gl a 1 P C T A 1 g2

m

a_ p h

2 g 2

Nas expressotildees anteriores o x nao varia porque a expansatildeo

5 adiabaacutetica porem o a varia devido a modificaccedilatildeo do tamanho da

bolha

Substituindo os valores das velocidades na expressatildeo (a)

vera

( P - P ) Abdquo =

2

2 2 m gt2 2 m t (1-x) 1 x t

ra i 2 m i 1 x t 1

p fA 1 g c ttl p Ax gpound

m t P - P = mdash

(1-x) (l-a 1)A 1A 2 (l-a2)A|

a r A r A 2

V A 2

m t P bdquo - P = mdash 2 1 g c A r A 2 p f

(1-x) 1-a f A 2(l-a 2)

bull ^ 2

72

Se

P -P

a

m

g

12

1 _1_ (1-x)

J12

1 _ a l 1 - a 2 + X (- )

Pg

1 deg12 a 2 ^

Sabemos que

mt = V o pf laquo A l

Sendo V q = velocidade do liquido num ponto onde natildeo haja vapor

P 2-P 1

u 2 2 A 2

V pr Ai

V W p f

(1-x) 12

l-a1 l-a2

+ X 2 pf

mdash

l deg12

-1 a 2 _

p -p r 2 Al (2a 1 2)

2 M f w 1 deg12 X (mdash) (

pg al a 2 )+(l-x)C l 1 12

1-a^ l-a2

Devemos notar que esta expressatildeo tambeacutem vale para quando

temos uma fase para isso basta fazer

= c t 2 = 0

X = 0

e recairemos na formula do item anterior

2 pf 1 deg12 Observemos que neste caso o termo x (mdash)( ) nao

Pg al a2

2

73

tem significado pois corresponde a mudanccedila de fase

2 CONTRACcedilAtildeO KO FLUXO DE UM FLUIDO

21 - Uma so fase raquo mdash

Aqui ocorre um fenocircmeno importante pois o fluido ao ser

contraiacutedo nao vai diretamente da area A^ para a area A 0 mas ele

contral-se ate uma area A^ e depois expande-se ate k^

Ao A2

Po IP 2

V 2

Figura 2

Fazendo o equiliacutebrio das pressotildees entre os planos (1)

(0) vem 2 2

pV pV p +~ plusmn - P + i deg bull 1 2 g o 2 g (b)

C x

Fazendo equiliacutebrio da expansatildeo (0) - (2) vem

P o + 2 - f = P 2 + 2 -T + kp- 2 F ( c )

c c b C

Subtraindo (b) - (c)

2 2 2

i p- vj i p- v2 L P l + 2 bull g c

P 2 + 2 2g c

+ k P 2g c

74

Como

P - P = mdash 2 2g

2 2

bull (1 + k) - f bdquo mdash i

k a - f2 ) 2 - d - o c )2

= o

A = a 21

Weisback obteve varias relaccedilotildees entre a e a i] c

01 02 03 a 0624 0632 0643 c

0624 0632

A r v i - V v 2

p -p 1 2

P -P 1 2 2g7

v l =

(1+k) - laquofi- a 2g 21 c

( 1 + k - o 2 1)

X[- V 2 o 2 1V 2

22 - Duas fases

0 valor de k pode ser aproximado para

k = a(l - o 2 1)

onde segundo Richardsons para fluxo de duas fases podemos supor

a = 02

Para fluxo homogeacuteneo sabemos que

75

p = p f (1 -a ) + p o a

podemos supor p bdquo a = 0 pois p e pequeno e fazendo

V = V ~ V fbdquo2 go2 v 2

Substituindo estas duas expressotildees na equaccedilatildeo de uma soacute fase vem

2 2 p V (l-ct) p V (1 -a ) bdquo

P l P 2 = 9g ( 1 + 3 - 3 0 ^ - 0 ^ ) = g (a+1) (l-a^)

Se a = 02

2 12p oV 0

p r p

2 - 9g gt d-) d-sigt

A compressatildeo de um fluido acarreta uma perda de pressatildeo

como pode ser verificado pelas formulas uma vez que lt 1deg

3 ANALISE HIDRODINAcircMICA DE UM CIRCUITO EM CIRCULACcedilAtildeO NATURAL

Esquema deacute uma caldeira com circulaccedilatildeo natural

76

Determinar a velocidade em (7) para que tenhamos circula

ccedilatildeo natural Determinar tambeacutem as perdas de pressatildeo em todos os

trechos da caldeira

31 - Contraccedilatildeo das secccedilotildees (1) - (2)

Como jaacute vimos a equaccedilatildeo do balanccedilo das pressotildees eacute

1 pr Vl 1 p 2 o V 2 P2 V2

1 2 g 2 + 2 g + K12 2g otilde c amp c e c

bullraquo 2 o2 2 e havendo uma soacute fase k 1 9 = (l-o ) = (1 mdash ) e sendo

C 2

p l = p2

v x lt lt lt v 2

P 2 V pr p2 bull ir2 bull ( 1 + k12gt

Colocando em termos de temos

A 2 V 2 P 2 = A 7 V 7 p 7 (continuidade)

V = V mdashbull = V o_bdquo ~ A 2 2 2

P 2 V - p 2

p r p 2 = ir2 - deg72 bull Ccedilrgt bull lt 1 + ki2gt

fazendo

N12 - lt^gt deg72 ( 1 + k12gt

P7 V7

Pr P2 - N12 bull HG

77

3 2 - Perda de carga no trecho ( 2 ) - ( 3 )

Como haacute apenas uma fase soacute temos perdas por atritos e

perdas hidrostaacuteticas

Sendo como jaacute vimos

2 3 p 2 2 g P 2 P 3 = f 2 3 (r~2g^~) L 2 3 g c p

atrito hidrostaacutetica

Substituindo V^ pela relaccedilatildeo do item anterior e tendo em

conta que p = vem

P -P = f 2 r 3 2 3 D

2 3 p 2 bdquo 2 2 p 7 2

2 g 7 72 p 2 3 g

Se

L 2 3 2 p 7

2 3 2 3 D 2 a 7 2 p 2

P 7 V 7 g P 2 - P 3 = N 2 3 ( mdash gt p 2 L 2 3 f

3 3 - Expansatildeo nas secccedilotildees ( 3 ) - ( 4 )

Como vimos o balanccedilo das pressotildees e

2 2 2 p V p 4 V p V

P 3 + 2 g c

P 4 + 2 g c

+ k 3 4 2 g c

onde

k 3 4 - - -

2 2 1 P 4 - V 4 P 3 v 3

P 3 P 4 = 2 g + ( k 3 4 _ 1 ) 2 g

78

Sendo

P 3 - P 4

p 3 o A 3 deg V 3 = P 7

a A 7 o V 7

P 4A 4 0V 4 = P r A r V

3 7 A 3 p 3

A7 P7 V = v mdash mdash 4 7 P 4

P - P 3 r4

Se

P bdquo - P

bdquo2 r-P 7 V 7

3 4 2g deg74 + ( k 3 4 1 ) deg73

34 p deg74 + ( k 3 4 1 ) 73

p r v2

P3- P4 ^ N34 ^ gt

(No caso e negativo)

34 - Contraccedilatildeo nas secccedilotildees (5) - (6)

Ainda temos uma so fase e fazendo o balanccedilo das pressotildees

como fizemos no item 3lt1 vem

P + vil p + vi + k vi P 5 + 2gbdquo P6 + 2gbdquo + k56 2gbdquo

k 5 6 lt 1 ^ gt 2 ( 1 - Iacute 2 i 2 6

V V6 P5degIacute 5^6 ^SS 2g c - 2g c

P - P ^ = (1+kJ

Como

79

A 6

W p 5 =

VV P6 V 5 = V 6 Jiexcl = Vff65

P 5-P 6 - lt H k 5 6 ) mdash ^ mdash (l+k 5 6-a 6 5) c c c

Sendo

Se

A 7 p 7 p 7

6 7 Ag p 6 7 76 p 6

p _p _ P6- V7- g76 iquest72 ( _ 02 P 5 P 6 2g c bull ( p 6

( 1 + k 5 6 deg65 )

p 7 2 2 N56 = p ^ deg76 ( 1 + k 5 6 ~ a 6 5 )

P 7 V 2

7

P r-P = N r 5 6 56 2g c i

35 - Perdas de pressatildeo nas zonas (6) - (7) - Pre^aquecimento

Nesta regiatildeo temos perdas por atrito e hidrostaacuteticas

Nao haacute perda por aceleraccedilatildeo pois ainda natildeo houve formaccedilatildeo de boshy

lhas

Fazendo balanccedilo das pressotildees temos

L_ ppound-V p = p + otilde L - pound _ + f -Si (-21mdashL 6 7 + p67 L67 g + t 6 7 D K 2g

p _ e ifn sao tomados como valores meacutedios 67 67

P _p _ f hl ^67jIacute uuml + - L A

6 F 7 r67 D 2g P P67 L67 g 6 s c 7 c

S e Kr pound67 L67 p67 6 7 D 6 p7

p7 V - _g_ P6- P7 - N67 mdash + P67 L67 f

c c

80

36 - Perda de pressatildeo nas zonas (7) - (8) - Zona de ebuliccedilatildeo

Nesta regiatildeo j aacute temos o aparecimento de bolhas logo a

perda de pressatildeo seraacute devida agraves t recircs parcelas aceleraccedilatildeo a t r i t o

das duas fases liacutequidas + vapor e h idros taacute t ica

onde

Assim

P-P Q = AP + AP + APbdquo 7 8 a t r i t o acel H

T M1

78 p 7 7 AP - R f- - mdash mdashr |R = fator mult ipl ica-

a t r i t o 7 D 7 2 g c L tivo

G 2

AP bull r mdash acel g c

P V

|_1 - o a p J 8 P f

2 t r 2 M2

7 7 r 7 7 A P a c e l = -J^mdash 2 r bull p 7 lt T iexcl iexcl - )

A PH p 7 8 L 7 8 fiexcl

p 7 8 iacute 7 li 1 0 0 P l i q + a P v ] d L = P 7 ( 1 - laquo 7 8 )

ag raquo fraccedilatildeo de vazio media entre 7 e 8

APH = p (1 - 5 7 g ) f- L 7 8

2 2

P 7 - P 8 a 5 - 2 T i + 2 r p 7 + P 7 ( 1 - 7 8 gt f L 7 8 7 amp c amp c amp c

81

N 7g = R mdash + 2 r p 7

P7 V7 P7- P8 = N78 + P 7 ( 1 5 7 8 gt J78

37 - Expansatildeo nas secccedilotildees 8 e 9

No caso haacute uma expansatildeo com duas fases e como vimos no

item 12 a variaccedilatildeo de pressatildeo era dada por

0f Vo P2 P1 = ~2g c ( 2 deg12

x 2 (mdash)(mdash - mdash ) + ( l - x ) 2 ^ T mdash 8 1 2 1

12

Aplicando ao nosso caso

P pound = P 7

P -P = 8 9

V - V raquo V g f 7

P 7 V 2

2 pf 1 a89 2 1 g89 x (mdash) ( ) + (1-x) (- - N

o ou abdquo 1-cu l-ot_) g 8 9 8 9

Se

N 89

= 2 a 89

2 pf 1 deg89 2 1 CT89 x (mdash) ( ) + (1-x) ( T

g 8 9 8 9

P -P = 8 9

- N P7deg V7

89 2gbdquo

38 - Perda de pressatildeo no trecho 9 e 10

No referido trecho temos apenas perda de pressatildeo por atr L

to da fase liacutequido + vapor e perda hidrostaacutetica Natildeo haacute perda por

aceleraccedilatildeo do vapor pois este natildeo recebe mais calor e portanto

o 82 o

nao ha variaccedilatildeo no a

p

Q -p i n = A P

U + A P bull 9 10 H atrito

n T -S_ P9 U10 deg 910 bull g

fio r

910 I 910

J9 L

(l- a)P + Q P I dL liq v

(l-a0) p

No caso a = (nao hatilde variaccedilatildeo de forma)

A P H - (1-a ) P (p L 0

c

AP bdquo = R o

atrito

2 f9 o L910 P9 V9

2g

Supondo

= V

P 9 = P 8 P 7

vbdquo = v 9 8 0 A r

= V 7 bull deg89

AP - R atrito

2 2

W l O p7deg V7deg g89

V P10 R -^T^ bull deg89 bull li-2 + ( W P 7 (fgt SIO

y c c

Se

- f9 L910 2 N9ol0 R Dl deg89

w 2

p rv P9 P10 = VlO + ( 1 a 9 ) p7 (f gt L910 c

33

39 - Perda ciacutee pressatildeo na expansatildeo 9 - 1 0

Analogamente a expansatildeo 8 - 9 temos

10 11 P 7 2g

10 Iacute 2 0 1 0 - 1 1 gt

2 ff

pg aio

10-11

laquo11 ) +

Ll-a 1 0 bull l-a u J

Se

V10 = V 9 = V 8 bull T9 = V 7 deg89

P -P 10 rll = - a 2g 089 ^lO-ll

4 bull T~ bull (7 1 mdash ) + Pg degio a n

+ (l-x)2(- 1 10-11

1 - aio )

N10-ll = 2 a10-ll a89 2 pf t 1 10-11 N2

-(j-r- - ) bull+ (1-x) pg aio deg 1

10-11 k l - a io

prz P10 Pll = - N10-ll bull ( 2gbdquo

310 - Calculo de V

Fazendo a somatoacuteria de todas as expressotildees (P^-Pj) tere-

84

mos 2 PbdquoV_

P bdquo - P bdquo = N 7 v 7

1 2 12 2g

bull 2 - P 3 - = N 2 3 P 2 L 2 3 f c ccedil

9 P 7 V 7 P _p = N mdash -

3 4 34 deg 2g

V P 5 = deg

2 P V

5 6 56 2 g c

ltr2

P 7 -V 6 e7 -N67 2g + p 6 7 J j67 g

c bc v 2

P 7 - P 8 = N 7 8 - 2 i ~ + p 7 ( 1 - laquo 7 8 ) L 7 8 c

P 7 V 7

P - P - -N mdash - -8 9 89 2g

c P 7 V 7

P 9 ~ P 1 0 VlO 2g + ( 1 a 9 P 7 L 9 c

P 7 V 7

bull10 11 U10-ll 2g

P v iacute j P - P

1 11

7 - v 7 3 bull r

2 8 i U L 2 23 67

(l-5 7 8) L 7 8 + ( l - laquo 9 ) P 7 bull SlOtilde]- ^

Por ou t ro lado sabemos que como secccedilotildees 1

mesmo n iacute v e l

85

s c p r v 7 j

28 Z N i ij

= P 2 L23 p67 L67 P 7 ( 1~deg78 )

78 ~ ^g) bull P 7 bull L 910 g_

V - 2 g ( p r L 2 3 - p 6 r L 6 7 - p 7 ( l - atilde 7 8 ) L 7 8 - (l-a9) p L 9 a ( )

y N

Com esse valor de podemos determinar todas as variashy

ccedilotildees de pressatildeo (P^-P )

BIBLIOGRAFIA

- WoR Gambill - Notas de aula dos seminaacuterios realizados no Insshy

tituto de Energia Atocircmica de Sao Paulo em 1966 (roteiro)

- WR Gambill - Nuclear Safety

Vol 9 - n9 5 e 6

Vol 6 - n 2 (pag 152)

Vol 4 -r n9 1 (pag 30)

Volbdquo 5 - n 2 (pag 151)

- WRo Gambill - Chemical Eng Prog ndeg 54 (Outubro)

~ El Wakil - Nuclear Power

- Jakob Max - Heat Transfer (vol I)

Mc Adams - Heat Transmission

- Paul A Lottes - Argonne National Laboratory

- AKL - 6469

- ANL - 6561

86

Knudsen e Katz - Fluid Dinamics and Heat Transfer

Frank Kreith - Principles of Heat Transfer

Journeacutees Internationales de la transmission de la chaleur

Seminaacuterios realizados em Paris em 1961 sob a supervisatildeo do

Prof Marcel Veron

Notas de aula da Cadeira de Termodinacircmica I e Transmissatildeo da

Escola Politeacutecnica da Universidade de Sao Paulo

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67

velocidade do liacutequido e da diminuiccedilatildeo da aacuterea de fluxo do liacutequi

do

P fH A P t p

= f D 2g Ho

d z

fazendo

V lo

m V t lo

(velocidade do liacutequido na cota z = Ho)

(1-x) m t v 1

(1-a) A (velocidade do liacutequido na cota z gt Ho)

a bull+ fraccedilatildeo vazio na cota z geneacuterica

V 1 (1-x) m t v 1

m t V l 1 - a

x =s 0 pois o tiacutetulo eacute baixo

A p t f = f bull JT5 c e

fH V lo

H o (1-a) dz

Para fazer a integral devemos achar a relaccedilatildeo de variaccedilatildeo

entre a e z Como o fluxo de calor eacute uniforme a qualidade eacute direshy

tamente proporcional a z

bull laquo x = x e H

z = mdash x X e

Sabemos ainda que (item 113)

x

1 + [ ( I -X)AKQ x + iiacuteraquo

68

como

temos

(1-x) = 1

v

X =

z =

1-a

1 -a

1-a e

a

e

1-a pound

a

1 -a igt (assumindo S = cte)

da

Atf - f bull 2 i ^ ~ J c e o

a 1 - a e e 1 s 4 hmdash) da

a 1-a

f P lv^ Q

0 termo mdash - mdash e a parte de perda de pressatildeo pelo lj^

^c e -quido ou seja Ap liquido saturado e como

Ap

R = tf

Ap liauido saturado

temos que

R J

f ae 1 _ a e 1 4

a 1 -a o e

1 -a r-R =

3 1 -a

a 1 -a imdash

3 vl - a 3

e e

Os valores de R obtidos por esta expressatildeo aproximam-se

muito dos valores obtidos pelos aacutebacos de Martinelli

69

E - EXPANSAtildeO E COMPRESSAtildeO DE UM FLUIDO - ANAacuteLISE HIDRODINAcircMICA

DE UM CIRCUITO EM CIRCULACcedilAtildeO NATURAL

1 EXPANSAtildeO NO FLUXO DE UM FLUIDO

11 - Uma so fase

Figura 1

Ha vaacuterios meacutetodos para determinar a variaccedilatildeo de pressatildeo

numa expansatildeo de fluido estudaremos o de Romie que eacute o que daacute

maior precisatildeo

Romie considera que a pressatildeo p^ tambeacutem atua na aacuterea

imediatamente apos a expansatildeo Assim fazendo o equiliacutebrio das foi

ccedilas nas secccedilotildees tracejadas da figura 1 temos

mVj

p r A 2 + mdash

mV

bull 2- A2

mas

m = pV^A^

pV^A = p V 2 bdquo A 2

V A

v 2 -4r-logo

( P l-P 2) A 2 = f ( V ^ ) - f _ v j amp c c 2

70

2 pV A A pV A A

Chamando A l A ]

K = 1 - T e degi2 = Aiexcl bull V E M

pvj

P l P 2 = T ~ bull ( 2 deg 1 2 ) ( 1 _ a 1 2 )

Outra maneira de chegar atilde diferenccedila de pressatildeo ( P j - ^ ) s mdash

ria usar o coeficiente de perda da mecacircnica dos fluidos Assim o

equilibrio das pressotildees eacute

2 2

1 V l 1 V 2 V l P i + _ p _ ^ P 2 + I p ~ + k 1 2 p mdash

onde = coeficiente de perda

A 2 1 2

k 1 2 - (l-o 1 2) - (1 - j- )

Fazendo as transformaccedilotildees chegamos a mesma expressatildeo obshy

tida pelo balanccedilo das forccedilas

PraquoIacute pr p

2 - - ir ^ laquo-ia

12 - Duas fases

Como ha duas fases a equaccedilatildeo do balanccedilo das forccedilas fica

um pouco alterada

m pound 1 V- m - raquoV - m-V- m bdquoV _ P A + j y ^ i + _gl_JUuml P A + -11-11 + -ilsl (a)

1 2 e R 2 2 ff e

Sabendo que

71

m (1-x) m t = p fA (1-a) V f

entatildeo

fl l-o^ p fA x

6 Vf2 1-x l-a2 P fA 2

m V = mdash mdash e V 0 = gl a 1 P C T A 1 g2

m

a_ p h

2 g 2

Nas expressotildees anteriores o x nao varia porque a expansatildeo

5 adiabaacutetica porem o a varia devido a modificaccedilatildeo do tamanho da

bolha

Substituindo os valores das velocidades na expressatildeo (a)

vera

( P - P ) Abdquo =

2

2 2 m gt2 2 m t (1-x) 1 x t

ra i 2 m i 1 x t 1

p fA 1 g c ttl p Ax gpound

m t P - P = mdash

(1-x) (l-a 1)A 1A 2 (l-a2)A|

a r A r A 2

V A 2

m t P bdquo - P = mdash 2 1 g c A r A 2 p f

(1-x) 1-a f A 2(l-a 2)

bull ^ 2

72

Se

P -P

a

m

g

12

1 _1_ (1-x)

J12

1 _ a l 1 - a 2 + X (- )

Pg

1 deg12 a 2 ^

Sabemos que

mt = V o pf laquo A l

Sendo V q = velocidade do liquido num ponto onde natildeo haja vapor

P 2-P 1

u 2 2 A 2

V pr Ai

V W p f

(1-x) 12

l-a1 l-a2

+ X 2 pf

mdash

l deg12

-1 a 2 _

p -p r 2 Al (2a 1 2)

2 M f w 1 deg12 X (mdash) (

pg al a 2 )+(l-x)C l 1 12

1-a^ l-a2

Devemos notar que esta expressatildeo tambeacutem vale para quando

temos uma fase para isso basta fazer

= c t 2 = 0

X = 0

e recairemos na formula do item anterior

2 pf 1 deg12 Observemos que neste caso o termo x (mdash)( ) nao

Pg al a2

2

73

tem significado pois corresponde a mudanccedila de fase

2 CONTRACcedilAtildeO KO FLUXO DE UM FLUIDO

21 - Uma so fase raquo mdash

Aqui ocorre um fenocircmeno importante pois o fluido ao ser

contraiacutedo nao vai diretamente da area A^ para a area A 0 mas ele

contral-se ate uma area A^ e depois expande-se ate k^

Ao A2

Po IP 2

V 2

Figura 2

Fazendo o equiliacutebrio das pressotildees entre os planos (1)

(0) vem 2 2

pV pV p +~ plusmn - P + i deg bull 1 2 g o 2 g (b)

C x

Fazendo equiliacutebrio da expansatildeo (0) - (2) vem

P o + 2 - f = P 2 + 2 -T + kp- 2 F ( c )

c c b C

Subtraindo (b) - (c)

2 2 2

i p- vj i p- v2 L P l + 2 bull g c

P 2 + 2 2g c

+ k P 2g c

74

Como

P - P = mdash 2 2g

2 2

bull (1 + k) - f bdquo mdash i

k a - f2 ) 2 - d - o c )2

= o

A = a 21

Weisback obteve varias relaccedilotildees entre a e a i] c

01 02 03 a 0624 0632 0643 c

0624 0632

A r v i - V v 2

p -p 1 2

P -P 1 2 2g7

v l =

(1+k) - laquofi- a 2g 21 c

( 1 + k - o 2 1)

X[- V 2 o 2 1V 2

22 - Duas fases

0 valor de k pode ser aproximado para

k = a(l - o 2 1)

onde segundo Richardsons para fluxo de duas fases podemos supor

a = 02

Para fluxo homogeacuteneo sabemos que

75

p = p f (1 -a ) + p o a

podemos supor p bdquo a = 0 pois p e pequeno e fazendo

V = V ~ V fbdquo2 go2 v 2

Substituindo estas duas expressotildees na equaccedilatildeo de uma soacute fase vem

2 2 p V (l-ct) p V (1 -a ) bdquo

P l P 2 = 9g ( 1 + 3 - 3 0 ^ - 0 ^ ) = g (a+1) (l-a^)

Se a = 02

2 12p oV 0

p r p

2 - 9g gt d-) d-sigt

A compressatildeo de um fluido acarreta uma perda de pressatildeo

como pode ser verificado pelas formulas uma vez que lt 1deg

3 ANALISE HIDRODINAcircMICA DE UM CIRCUITO EM CIRCULACcedilAtildeO NATURAL

Esquema deacute uma caldeira com circulaccedilatildeo natural

76

Determinar a velocidade em (7) para que tenhamos circula

ccedilatildeo natural Determinar tambeacutem as perdas de pressatildeo em todos os

trechos da caldeira

31 - Contraccedilatildeo das secccedilotildees (1) - (2)

Como jaacute vimos a equaccedilatildeo do balanccedilo das pressotildees eacute

1 pr Vl 1 p 2 o V 2 P2 V2

1 2 g 2 + 2 g + K12 2g otilde c amp c e c

bullraquo 2 o2 2 e havendo uma soacute fase k 1 9 = (l-o ) = (1 mdash ) e sendo

C 2

p l = p2

v x lt lt lt v 2

P 2 V pr p2 bull ir2 bull ( 1 + k12gt

Colocando em termos de temos

A 2 V 2 P 2 = A 7 V 7 p 7 (continuidade)

V = V mdashbull = V o_bdquo ~ A 2 2 2

P 2 V - p 2

p r p 2 = ir2 - deg72 bull Ccedilrgt bull lt 1 + ki2gt

fazendo

N12 - lt^gt deg72 ( 1 + k12gt

P7 V7

Pr P2 - N12 bull HG

77

3 2 - Perda de carga no trecho ( 2 ) - ( 3 )

Como haacute apenas uma fase soacute temos perdas por atritos e

perdas hidrostaacuteticas

Sendo como jaacute vimos

2 3 p 2 2 g P 2 P 3 = f 2 3 (r~2g^~) L 2 3 g c p

atrito hidrostaacutetica

Substituindo V^ pela relaccedilatildeo do item anterior e tendo em

conta que p = vem

P -P = f 2 r 3 2 3 D

2 3 p 2 bdquo 2 2 p 7 2

2 g 7 72 p 2 3 g

Se

L 2 3 2 p 7

2 3 2 3 D 2 a 7 2 p 2

P 7 V 7 g P 2 - P 3 = N 2 3 ( mdash gt p 2 L 2 3 f

3 3 - Expansatildeo nas secccedilotildees ( 3 ) - ( 4 )

Como vimos o balanccedilo das pressotildees e

2 2 2 p V p 4 V p V

P 3 + 2 g c

P 4 + 2 g c

+ k 3 4 2 g c

onde

k 3 4 - - -

2 2 1 P 4 - V 4 P 3 v 3

P 3 P 4 = 2 g + ( k 3 4 _ 1 ) 2 g

78

Sendo

P 3 - P 4

p 3 o A 3 deg V 3 = P 7

a A 7 o V 7

P 4A 4 0V 4 = P r A r V

3 7 A 3 p 3

A7 P7 V = v mdash mdash 4 7 P 4

P - P 3 r4

Se

P bdquo - P

bdquo2 r-P 7 V 7

3 4 2g deg74 + ( k 3 4 1 ) deg73

34 p deg74 + ( k 3 4 1 ) 73

p r v2

P3- P4 ^ N34 ^ gt

(No caso e negativo)

34 - Contraccedilatildeo nas secccedilotildees (5) - (6)

Ainda temos uma so fase e fazendo o balanccedilo das pressotildees

como fizemos no item 3lt1 vem

P + vil p + vi + k vi P 5 + 2gbdquo P6 + 2gbdquo + k56 2gbdquo

k 5 6 lt 1 ^ gt 2 ( 1 - Iacute 2 i 2 6

V V6 P5degIacute 5^6 ^SS 2g c - 2g c

P - P ^ = (1+kJ

Como

79

A 6

W p 5 =

VV P6 V 5 = V 6 Jiexcl = Vff65

P 5-P 6 - lt H k 5 6 ) mdash ^ mdash (l+k 5 6-a 6 5) c c c

Sendo

Se

A 7 p 7 p 7

6 7 Ag p 6 7 76 p 6

p _p _ P6- V7- g76 iquest72 ( _ 02 P 5 P 6 2g c bull ( p 6

( 1 + k 5 6 deg65 )

p 7 2 2 N56 = p ^ deg76 ( 1 + k 5 6 ~ a 6 5 )

P 7 V 2

7

P r-P = N r 5 6 56 2g c i

35 - Perdas de pressatildeo nas zonas (6) - (7) - Pre^aquecimento

Nesta regiatildeo temos perdas por atrito e hidrostaacuteticas

Nao haacute perda por aceleraccedilatildeo pois ainda natildeo houve formaccedilatildeo de boshy

lhas

Fazendo balanccedilo das pressotildees temos

L_ ppound-V p = p + otilde L - pound _ + f -Si (-21mdashL 6 7 + p67 L67 g + t 6 7 D K 2g

p _ e ifn sao tomados como valores meacutedios 67 67

P _p _ f hl ^67jIacute uuml + - L A

6 F 7 r67 D 2g P P67 L67 g 6 s c 7 c

S e Kr pound67 L67 p67 6 7 D 6 p7

p7 V - _g_ P6- P7 - N67 mdash + P67 L67 f

c c

80

36 - Perda de pressatildeo nas zonas (7) - (8) - Zona de ebuliccedilatildeo

Nesta regiatildeo j aacute temos o aparecimento de bolhas logo a

perda de pressatildeo seraacute devida agraves t recircs parcelas aceleraccedilatildeo a t r i t o

das duas fases liacutequidas + vapor e h idros taacute t ica

onde

Assim

P-P Q = AP + AP + APbdquo 7 8 a t r i t o acel H

T M1

78 p 7 7 AP - R f- - mdash mdashr |R = fator mult ipl ica-

a t r i t o 7 D 7 2 g c L tivo

G 2

AP bull r mdash acel g c

P V

|_1 - o a p J 8 P f

2 t r 2 M2

7 7 r 7 7 A P a c e l = -J^mdash 2 r bull p 7 lt T iexcl iexcl - )

A PH p 7 8 L 7 8 fiexcl

p 7 8 iacute 7 li 1 0 0 P l i q + a P v ] d L = P 7 ( 1 - laquo 7 8 )

ag raquo fraccedilatildeo de vazio media entre 7 e 8

APH = p (1 - 5 7 g ) f- L 7 8

2 2

P 7 - P 8 a 5 - 2 T i + 2 r p 7 + P 7 ( 1 - 7 8 gt f L 7 8 7 amp c amp c amp c

81

N 7g = R mdash + 2 r p 7

P7 V7 P7- P8 = N78 + P 7 ( 1 5 7 8 gt J78

37 - Expansatildeo nas secccedilotildees 8 e 9

No caso haacute uma expansatildeo com duas fases e como vimos no

item 12 a variaccedilatildeo de pressatildeo era dada por

0f Vo P2 P1 = ~2g c ( 2 deg12

x 2 (mdash)(mdash - mdash ) + ( l - x ) 2 ^ T mdash 8 1 2 1

12

Aplicando ao nosso caso

P pound = P 7

P -P = 8 9

V - V raquo V g f 7

P 7 V 2

2 pf 1 a89 2 1 g89 x (mdash) ( ) + (1-x) (- - N

o ou abdquo 1-cu l-ot_) g 8 9 8 9

Se

N 89

= 2 a 89

2 pf 1 deg89 2 1 CT89 x (mdash) ( ) + (1-x) ( T

g 8 9 8 9

P -P = 8 9

- N P7deg V7

89 2gbdquo

38 - Perda de pressatildeo no trecho 9 e 10

No referido trecho temos apenas perda de pressatildeo por atr L

to da fase liacutequido + vapor e perda hidrostaacutetica Natildeo haacute perda por

aceleraccedilatildeo do vapor pois este natildeo recebe mais calor e portanto

o 82 o

nao ha variaccedilatildeo no a

p

Q -p i n = A P

U + A P bull 9 10 H atrito

n T -S_ P9 U10 deg 910 bull g

fio r

910 I 910

J9 L

(l- a)P + Q P I dL liq v

(l-a0) p

No caso a = (nao hatilde variaccedilatildeo de forma)

A P H - (1-a ) P (p L 0

c

AP bdquo = R o

atrito

2 f9 o L910 P9 V9

2g

Supondo

= V

P 9 = P 8 P 7

vbdquo = v 9 8 0 A r

= V 7 bull deg89

AP - R atrito

2 2

W l O p7deg V7deg g89

V P10 R -^T^ bull deg89 bull li-2 + ( W P 7 (fgt SIO

y c c

Se

- f9 L910 2 N9ol0 R Dl deg89

w 2

p rv P9 P10 = VlO + ( 1 a 9 ) p7 (f gt L910 c

33

39 - Perda ciacutee pressatildeo na expansatildeo 9 - 1 0

Analogamente a expansatildeo 8 - 9 temos

10 11 P 7 2g

10 Iacute 2 0 1 0 - 1 1 gt

2 ff

pg aio

10-11

laquo11 ) +

Ll-a 1 0 bull l-a u J

Se

V10 = V 9 = V 8 bull T9 = V 7 deg89

P -P 10 rll = - a 2g 089 ^lO-ll

4 bull T~ bull (7 1 mdash ) + Pg degio a n

+ (l-x)2(- 1 10-11

1 - aio )

N10-ll = 2 a10-ll a89 2 pf t 1 10-11 N2

-(j-r- - ) bull+ (1-x) pg aio deg 1

10-11 k l - a io

prz P10 Pll = - N10-ll bull ( 2gbdquo

310 - Calculo de V

Fazendo a somatoacuteria de todas as expressotildees (P^-Pj) tere-

84

mos 2 PbdquoV_

P bdquo - P bdquo = N 7 v 7

1 2 12 2g

bull 2 - P 3 - = N 2 3 P 2 L 2 3 f c ccedil

9 P 7 V 7 P _p = N mdash -

3 4 34 deg 2g

V P 5 = deg

2 P V

5 6 56 2 g c

ltr2

P 7 -V 6 e7 -N67 2g + p 6 7 J j67 g

c bc v 2

P 7 - P 8 = N 7 8 - 2 i ~ + p 7 ( 1 - laquo 7 8 ) L 7 8 c

P 7 V 7

P - P - -N mdash - -8 9 89 2g

c P 7 V 7

P 9 ~ P 1 0 VlO 2g + ( 1 a 9 P 7 L 9 c

P 7 V 7

bull10 11 U10-ll 2g

P v iacute j P - P

1 11

7 - v 7 3 bull r

2 8 i U L 2 23 67

(l-5 7 8) L 7 8 + ( l - laquo 9 ) P 7 bull SlOtilde]- ^

Por ou t ro lado sabemos que como secccedilotildees 1

mesmo n iacute v e l

85

s c p r v 7 j

28 Z N i ij

= P 2 L23 p67 L67 P 7 ( 1~deg78 )

78 ~ ^g) bull P 7 bull L 910 g_

V - 2 g ( p r L 2 3 - p 6 r L 6 7 - p 7 ( l - atilde 7 8 ) L 7 8 - (l-a9) p L 9 a ( )

y N

Com esse valor de podemos determinar todas as variashy

ccedilotildees de pressatildeo (P^-P )

BIBLIOGRAFIA

- WoR Gambill - Notas de aula dos seminaacuterios realizados no Insshy

tituto de Energia Atocircmica de Sao Paulo em 1966 (roteiro)

- WR Gambill - Nuclear Safety

Vol 9 - n9 5 e 6

Vol 6 - n 2 (pag 152)

Vol 4 -r n9 1 (pag 30)

Volbdquo 5 - n 2 (pag 151)

- WRo Gambill - Chemical Eng Prog ndeg 54 (Outubro)

~ El Wakil - Nuclear Power

- Jakob Max - Heat Transfer (vol I)

Mc Adams - Heat Transmission

- Paul A Lottes - Argonne National Laboratory

- AKL - 6469

- ANL - 6561

86

Knudsen e Katz - Fluid Dinamics and Heat Transfer

Frank Kreith - Principles of Heat Transfer

Journeacutees Internationales de la transmission de la chaleur

Seminaacuterios realizados em Paris em 1961 sob a supervisatildeo do

Prof Marcel Veron

Notas de aula da Cadeira de Termodinacircmica I e Transmissatildeo da

Escola Politeacutecnica da Universidade de Sao Paulo

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68

como

temos

(1-x) = 1

v

X =

z =

1-a

1 -a

1-a e

a

e

1-a pound

a

1 -a igt (assumindo S = cte)

da

Atf - f bull 2 i ^ ~ J c e o

a 1 - a e e 1 s 4 hmdash) da

a 1-a

f P lv^ Q

0 termo mdash - mdash e a parte de perda de pressatildeo pelo lj^

^c e -quido ou seja Ap liquido saturado e como

Ap

R = tf

Ap liauido saturado

temos que

R J

f ae 1 _ a e 1 4

a 1 -a o e

1 -a r-R =

3 1 -a

a 1 -a imdash

3 vl - a 3

e e

Os valores de R obtidos por esta expressatildeo aproximam-se

muito dos valores obtidos pelos aacutebacos de Martinelli

69

E - EXPANSAtildeO E COMPRESSAtildeO DE UM FLUIDO - ANAacuteLISE HIDRODINAcircMICA

DE UM CIRCUITO EM CIRCULACcedilAtildeO NATURAL

1 EXPANSAtildeO NO FLUXO DE UM FLUIDO

11 - Uma so fase

Figura 1

Ha vaacuterios meacutetodos para determinar a variaccedilatildeo de pressatildeo

numa expansatildeo de fluido estudaremos o de Romie que eacute o que daacute

maior precisatildeo

Romie considera que a pressatildeo p^ tambeacutem atua na aacuterea

imediatamente apos a expansatildeo Assim fazendo o equiliacutebrio das foi

ccedilas nas secccedilotildees tracejadas da figura 1 temos

mVj

p r A 2 + mdash

mV

bull 2- A2

mas

m = pV^A^

pV^A = p V 2 bdquo A 2

V A

v 2 -4r-logo

( P l-P 2) A 2 = f ( V ^ ) - f _ v j amp c c 2

70

2 pV A A pV A A

Chamando A l A ]

K = 1 - T e degi2 = Aiexcl bull V E M

pvj

P l P 2 = T ~ bull ( 2 deg 1 2 ) ( 1 _ a 1 2 )

Outra maneira de chegar atilde diferenccedila de pressatildeo ( P j - ^ ) s mdash

ria usar o coeficiente de perda da mecacircnica dos fluidos Assim o

equilibrio das pressotildees eacute

2 2

1 V l 1 V 2 V l P i + _ p _ ^ P 2 + I p ~ + k 1 2 p mdash

onde = coeficiente de perda

A 2 1 2

k 1 2 - (l-o 1 2) - (1 - j- )

Fazendo as transformaccedilotildees chegamos a mesma expressatildeo obshy

tida pelo balanccedilo das forccedilas

PraquoIacute pr p

2 - - ir ^ laquo-ia

12 - Duas fases

Como ha duas fases a equaccedilatildeo do balanccedilo das forccedilas fica

um pouco alterada

m pound 1 V- m - raquoV - m-V- m bdquoV _ P A + j y ^ i + _gl_JUuml P A + -11-11 + -ilsl (a)

1 2 e R 2 2 ff e

Sabendo que

71

m (1-x) m t = p fA (1-a) V f

entatildeo

fl l-o^ p fA x

6 Vf2 1-x l-a2 P fA 2

m V = mdash mdash e V 0 = gl a 1 P C T A 1 g2

m

a_ p h

2 g 2

Nas expressotildees anteriores o x nao varia porque a expansatildeo

5 adiabaacutetica porem o a varia devido a modificaccedilatildeo do tamanho da

bolha

Substituindo os valores das velocidades na expressatildeo (a)

vera

( P - P ) Abdquo =

2

2 2 m gt2 2 m t (1-x) 1 x t

ra i 2 m i 1 x t 1

p fA 1 g c ttl p Ax gpound

m t P - P = mdash

(1-x) (l-a 1)A 1A 2 (l-a2)A|

a r A r A 2

V A 2

m t P bdquo - P = mdash 2 1 g c A r A 2 p f

(1-x) 1-a f A 2(l-a 2)

bull ^ 2

72

Se

P -P

a

m

g

12

1 _1_ (1-x)

J12

1 _ a l 1 - a 2 + X (- )

Pg

1 deg12 a 2 ^

Sabemos que

mt = V o pf laquo A l

Sendo V q = velocidade do liquido num ponto onde natildeo haja vapor

P 2-P 1

u 2 2 A 2

V pr Ai

V W p f

(1-x) 12

l-a1 l-a2

+ X 2 pf

mdash

l deg12

-1 a 2 _

p -p r 2 Al (2a 1 2)

2 M f w 1 deg12 X (mdash) (

pg al a 2 )+(l-x)C l 1 12

1-a^ l-a2

Devemos notar que esta expressatildeo tambeacutem vale para quando

temos uma fase para isso basta fazer

= c t 2 = 0

X = 0

e recairemos na formula do item anterior

2 pf 1 deg12 Observemos que neste caso o termo x (mdash)( ) nao

Pg al a2

2

73

tem significado pois corresponde a mudanccedila de fase

2 CONTRACcedilAtildeO KO FLUXO DE UM FLUIDO

21 - Uma so fase raquo mdash

Aqui ocorre um fenocircmeno importante pois o fluido ao ser

contraiacutedo nao vai diretamente da area A^ para a area A 0 mas ele

contral-se ate uma area A^ e depois expande-se ate k^

Ao A2

Po IP 2

V 2

Figura 2

Fazendo o equiliacutebrio das pressotildees entre os planos (1)

(0) vem 2 2

pV pV p +~ plusmn - P + i deg bull 1 2 g o 2 g (b)

C x

Fazendo equiliacutebrio da expansatildeo (0) - (2) vem

P o + 2 - f = P 2 + 2 -T + kp- 2 F ( c )

c c b C

Subtraindo (b) - (c)

2 2 2

i p- vj i p- v2 L P l + 2 bull g c

P 2 + 2 2g c

+ k P 2g c

74

Como

P - P = mdash 2 2g

2 2

bull (1 + k) - f bdquo mdash i

k a - f2 ) 2 - d - o c )2

= o

A = a 21

Weisback obteve varias relaccedilotildees entre a e a i] c

01 02 03 a 0624 0632 0643 c

0624 0632

A r v i - V v 2

p -p 1 2

P -P 1 2 2g7

v l =

(1+k) - laquofi- a 2g 21 c

( 1 + k - o 2 1)

X[- V 2 o 2 1V 2

22 - Duas fases

0 valor de k pode ser aproximado para

k = a(l - o 2 1)

onde segundo Richardsons para fluxo de duas fases podemos supor

a = 02

Para fluxo homogeacuteneo sabemos que

75

p = p f (1 -a ) + p o a

podemos supor p bdquo a = 0 pois p e pequeno e fazendo

V = V ~ V fbdquo2 go2 v 2

Substituindo estas duas expressotildees na equaccedilatildeo de uma soacute fase vem

2 2 p V (l-ct) p V (1 -a ) bdquo

P l P 2 = 9g ( 1 + 3 - 3 0 ^ - 0 ^ ) = g (a+1) (l-a^)

Se a = 02

2 12p oV 0

p r p

2 - 9g gt d-) d-sigt

A compressatildeo de um fluido acarreta uma perda de pressatildeo

como pode ser verificado pelas formulas uma vez que lt 1deg

3 ANALISE HIDRODINAcircMICA DE UM CIRCUITO EM CIRCULACcedilAtildeO NATURAL

Esquema deacute uma caldeira com circulaccedilatildeo natural

76

Determinar a velocidade em (7) para que tenhamos circula

ccedilatildeo natural Determinar tambeacutem as perdas de pressatildeo em todos os

trechos da caldeira

31 - Contraccedilatildeo das secccedilotildees (1) - (2)

Como jaacute vimos a equaccedilatildeo do balanccedilo das pressotildees eacute

1 pr Vl 1 p 2 o V 2 P2 V2

1 2 g 2 + 2 g + K12 2g otilde c amp c e c

bullraquo 2 o2 2 e havendo uma soacute fase k 1 9 = (l-o ) = (1 mdash ) e sendo

C 2

p l = p2

v x lt lt lt v 2

P 2 V pr p2 bull ir2 bull ( 1 + k12gt

Colocando em termos de temos

A 2 V 2 P 2 = A 7 V 7 p 7 (continuidade)

V = V mdashbull = V o_bdquo ~ A 2 2 2

P 2 V - p 2

p r p 2 = ir2 - deg72 bull Ccedilrgt bull lt 1 + ki2gt

fazendo

N12 - lt^gt deg72 ( 1 + k12gt

P7 V7

Pr P2 - N12 bull HG

77

3 2 - Perda de carga no trecho ( 2 ) - ( 3 )

Como haacute apenas uma fase soacute temos perdas por atritos e

perdas hidrostaacuteticas

Sendo como jaacute vimos

2 3 p 2 2 g P 2 P 3 = f 2 3 (r~2g^~) L 2 3 g c p

atrito hidrostaacutetica

Substituindo V^ pela relaccedilatildeo do item anterior e tendo em

conta que p = vem

P -P = f 2 r 3 2 3 D

2 3 p 2 bdquo 2 2 p 7 2

2 g 7 72 p 2 3 g

Se

L 2 3 2 p 7

2 3 2 3 D 2 a 7 2 p 2

P 7 V 7 g P 2 - P 3 = N 2 3 ( mdash gt p 2 L 2 3 f

3 3 - Expansatildeo nas secccedilotildees ( 3 ) - ( 4 )

Como vimos o balanccedilo das pressotildees e

2 2 2 p V p 4 V p V

P 3 + 2 g c

P 4 + 2 g c

+ k 3 4 2 g c

onde

k 3 4 - - -

2 2 1 P 4 - V 4 P 3 v 3

P 3 P 4 = 2 g + ( k 3 4 _ 1 ) 2 g

78

Sendo

P 3 - P 4

p 3 o A 3 deg V 3 = P 7

a A 7 o V 7

P 4A 4 0V 4 = P r A r V

3 7 A 3 p 3

A7 P7 V = v mdash mdash 4 7 P 4

P - P 3 r4

Se

P bdquo - P

bdquo2 r-P 7 V 7

3 4 2g deg74 + ( k 3 4 1 ) deg73

34 p deg74 + ( k 3 4 1 ) 73

p r v2

P3- P4 ^ N34 ^ gt

(No caso e negativo)

34 - Contraccedilatildeo nas secccedilotildees (5) - (6)

Ainda temos uma so fase e fazendo o balanccedilo das pressotildees

como fizemos no item 3lt1 vem

P + vil p + vi + k vi P 5 + 2gbdquo P6 + 2gbdquo + k56 2gbdquo

k 5 6 lt 1 ^ gt 2 ( 1 - Iacute 2 i 2 6

V V6 P5degIacute 5^6 ^SS 2g c - 2g c

P - P ^ = (1+kJ

Como

79

A 6

W p 5 =

VV P6 V 5 = V 6 Jiexcl = Vff65

P 5-P 6 - lt H k 5 6 ) mdash ^ mdash (l+k 5 6-a 6 5) c c c

Sendo

Se

A 7 p 7 p 7

6 7 Ag p 6 7 76 p 6

p _p _ P6- V7- g76 iquest72 ( _ 02 P 5 P 6 2g c bull ( p 6

( 1 + k 5 6 deg65 )

p 7 2 2 N56 = p ^ deg76 ( 1 + k 5 6 ~ a 6 5 )

P 7 V 2

7

P r-P = N r 5 6 56 2g c i

35 - Perdas de pressatildeo nas zonas (6) - (7) - Pre^aquecimento

Nesta regiatildeo temos perdas por atrito e hidrostaacuteticas

Nao haacute perda por aceleraccedilatildeo pois ainda natildeo houve formaccedilatildeo de boshy

lhas

Fazendo balanccedilo das pressotildees temos

L_ ppound-V p = p + otilde L - pound _ + f -Si (-21mdashL 6 7 + p67 L67 g + t 6 7 D K 2g

p _ e ifn sao tomados como valores meacutedios 67 67

P _p _ f hl ^67jIacute uuml + - L A

6 F 7 r67 D 2g P P67 L67 g 6 s c 7 c

S e Kr pound67 L67 p67 6 7 D 6 p7

p7 V - _g_ P6- P7 - N67 mdash + P67 L67 f

c c

80

36 - Perda de pressatildeo nas zonas (7) - (8) - Zona de ebuliccedilatildeo

Nesta regiatildeo j aacute temos o aparecimento de bolhas logo a

perda de pressatildeo seraacute devida agraves t recircs parcelas aceleraccedilatildeo a t r i t o

das duas fases liacutequidas + vapor e h idros taacute t ica

onde

Assim

P-P Q = AP + AP + APbdquo 7 8 a t r i t o acel H

T M1

78 p 7 7 AP - R f- - mdash mdashr |R = fator mult ipl ica-

a t r i t o 7 D 7 2 g c L tivo

G 2

AP bull r mdash acel g c

P V

|_1 - o a p J 8 P f

2 t r 2 M2

7 7 r 7 7 A P a c e l = -J^mdash 2 r bull p 7 lt T iexcl iexcl - )

A PH p 7 8 L 7 8 fiexcl

p 7 8 iacute 7 li 1 0 0 P l i q + a P v ] d L = P 7 ( 1 - laquo 7 8 )

ag raquo fraccedilatildeo de vazio media entre 7 e 8

APH = p (1 - 5 7 g ) f- L 7 8

2 2

P 7 - P 8 a 5 - 2 T i + 2 r p 7 + P 7 ( 1 - 7 8 gt f L 7 8 7 amp c amp c amp c

81

N 7g = R mdash + 2 r p 7

P7 V7 P7- P8 = N78 + P 7 ( 1 5 7 8 gt J78

37 - Expansatildeo nas secccedilotildees 8 e 9

No caso haacute uma expansatildeo com duas fases e como vimos no

item 12 a variaccedilatildeo de pressatildeo era dada por

0f Vo P2 P1 = ~2g c ( 2 deg12

x 2 (mdash)(mdash - mdash ) + ( l - x ) 2 ^ T mdash 8 1 2 1

12

Aplicando ao nosso caso

P pound = P 7

P -P = 8 9

V - V raquo V g f 7

P 7 V 2

2 pf 1 a89 2 1 g89 x (mdash) ( ) + (1-x) (- - N

o ou abdquo 1-cu l-ot_) g 8 9 8 9

Se

N 89

= 2 a 89

2 pf 1 deg89 2 1 CT89 x (mdash) ( ) + (1-x) ( T

g 8 9 8 9

P -P = 8 9

- N P7deg V7

89 2gbdquo

38 - Perda de pressatildeo no trecho 9 e 10

No referido trecho temos apenas perda de pressatildeo por atr L

to da fase liacutequido + vapor e perda hidrostaacutetica Natildeo haacute perda por

aceleraccedilatildeo do vapor pois este natildeo recebe mais calor e portanto

o 82 o

nao ha variaccedilatildeo no a

p

Q -p i n = A P

U + A P bull 9 10 H atrito

n T -S_ P9 U10 deg 910 bull g

fio r

910 I 910

J9 L

(l- a)P + Q P I dL liq v

(l-a0) p

No caso a = (nao hatilde variaccedilatildeo de forma)

A P H - (1-a ) P (p L 0

c

AP bdquo = R o

atrito

2 f9 o L910 P9 V9

2g

Supondo

= V

P 9 = P 8 P 7

vbdquo = v 9 8 0 A r

= V 7 bull deg89

AP - R atrito

2 2

W l O p7deg V7deg g89

V P10 R -^T^ bull deg89 bull li-2 + ( W P 7 (fgt SIO

y c c

Se

- f9 L910 2 N9ol0 R Dl deg89

w 2

p rv P9 P10 = VlO + ( 1 a 9 ) p7 (f gt L910 c

33

39 - Perda ciacutee pressatildeo na expansatildeo 9 - 1 0

Analogamente a expansatildeo 8 - 9 temos

10 11 P 7 2g

10 Iacute 2 0 1 0 - 1 1 gt

2 ff

pg aio

10-11

laquo11 ) +

Ll-a 1 0 bull l-a u J

Se

V10 = V 9 = V 8 bull T9 = V 7 deg89

P -P 10 rll = - a 2g 089 ^lO-ll

4 bull T~ bull (7 1 mdash ) + Pg degio a n

+ (l-x)2(- 1 10-11

1 - aio )

N10-ll = 2 a10-ll a89 2 pf t 1 10-11 N2

-(j-r- - ) bull+ (1-x) pg aio deg 1

10-11 k l - a io

prz P10 Pll = - N10-ll bull ( 2gbdquo

310 - Calculo de V

Fazendo a somatoacuteria de todas as expressotildees (P^-Pj) tere-

84

mos 2 PbdquoV_

P bdquo - P bdquo = N 7 v 7

1 2 12 2g

bull 2 - P 3 - = N 2 3 P 2 L 2 3 f c ccedil

9 P 7 V 7 P _p = N mdash -

3 4 34 deg 2g

V P 5 = deg

2 P V

5 6 56 2 g c

ltr2

P 7 -V 6 e7 -N67 2g + p 6 7 J j67 g

c bc v 2

P 7 - P 8 = N 7 8 - 2 i ~ + p 7 ( 1 - laquo 7 8 ) L 7 8 c

P 7 V 7

P - P - -N mdash - -8 9 89 2g

c P 7 V 7

P 9 ~ P 1 0 VlO 2g + ( 1 a 9 P 7 L 9 c

P 7 V 7

bull10 11 U10-ll 2g

P v iacute j P - P

1 11

7 - v 7 3 bull r

2 8 i U L 2 23 67

(l-5 7 8) L 7 8 + ( l - laquo 9 ) P 7 bull SlOtilde]- ^

Por ou t ro lado sabemos que como secccedilotildees 1

mesmo n iacute v e l

85

s c p r v 7 j

28 Z N i ij

= P 2 L23 p67 L67 P 7 ( 1~deg78 )

78 ~ ^g) bull P 7 bull L 910 g_

V - 2 g ( p r L 2 3 - p 6 r L 6 7 - p 7 ( l - atilde 7 8 ) L 7 8 - (l-a9) p L 9 a ( )

y N

Com esse valor de podemos determinar todas as variashy

ccedilotildees de pressatildeo (P^-P )

BIBLIOGRAFIA

- WoR Gambill - Notas de aula dos seminaacuterios realizados no Insshy

tituto de Energia Atocircmica de Sao Paulo em 1966 (roteiro)

- WR Gambill - Nuclear Safety

Vol 9 - n9 5 e 6

Vol 6 - n 2 (pag 152)

Vol 4 -r n9 1 (pag 30)

Volbdquo 5 - n 2 (pag 151)

- WRo Gambill - Chemical Eng Prog ndeg 54 (Outubro)

~ El Wakil - Nuclear Power

- Jakob Max - Heat Transfer (vol I)

Mc Adams - Heat Transmission

- Paul A Lottes - Argonne National Laboratory

- AKL - 6469

- ANL - 6561

86

Knudsen e Katz - Fluid Dinamics and Heat Transfer

Frank Kreith - Principles of Heat Transfer

Journeacutees Internationales de la transmission de la chaleur

Seminaacuterios realizados em Paris em 1961 sob a supervisatildeo do

Prof Marcel Veron

Notas de aula da Cadeira de Termodinacircmica I e Transmissatildeo da

Escola Politeacutecnica da Universidade de Sao Paulo

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E - EXPANSAtildeO E COMPRESSAtildeO DE UM FLUIDO - ANAacuteLISE HIDRODINAcircMICA

DE UM CIRCUITO EM CIRCULACcedilAtildeO NATURAL

1 EXPANSAtildeO NO FLUXO DE UM FLUIDO

11 - Uma so fase

Figura 1

Ha vaacuterios meacutetodos para determinar a variaccedilatildeo de pressatildeo

numa expansatildeo de fluido estudaremos o de Romie que eacute o que daacute

maior precisatildeo

Romie considera que a pressatildeo p^ tambeacutem atua na aacuterea

imediatamente apos a expansatildeo Assim fazendo o equiliacutebrio das foi

ccedilas nas secccedilotildees tracejadas da figura 1 temos

mVj

p r A 2 + mdash

mV

bull 2- A2

mas

m = pV^A^

pV^A = p V 2 bdquo A 2

V A

v 2 -4r-logo

( P l-P 2) A 2 = f ( V ^ ) - f _ v j amp c c 2

70

2 pV A A pV A A

Chamando A l A ]

K = 1 - T e degi2 = Aiexcl bull V E M

pvj

P l P 2 = T ~ bull ( 2 deg 1 2 ) ( 1 _ a 1 2 )

Outra maneira de chegar atilde diferenccedila de pressatildeo ( P j - ^ ) s mdash

ria usar o coeficiente de perda da mecacircnica dos fluidos Assim o

equilibrio das pressotildees eacute

2 2

1 V l 1 V 2 V l P i + _ p _ ^ P 2 + I p ~ + k 1 2 p mdash

onde = coeficiente de perda

A 2 1 2

k 1 2 - (l-o 1 2) - (1 - j- )

Fazendo as transformaccedilotildees chegamos a mesma expressatildeo obshy

tida pelo balanccedilo das forccedilas

PraquoIacute pr p

2 - - ir ^ laquo-ia

12 - Duas fases

Como ha duas fases a equaccedilatildeo do balanccedilo das forccedilas fica

um pouco alterada

m pound 1 V- m - raquoV - m-V- m bdquoV _ P A + j y ^ i + _gl_JUuml P A + -11-11 + -ilsl (a)

1 2 e R 2 2 ff e

Sabendo que

71

m (1-x) m t = p fA (1-a) V f

entatildeo

fl l-o^ p fA x

6 Vf2 1-x l-a2 P fA 2

m V = mdash mdash e V 0 = gl a 1 P C T A 1 g2

m

a_ p h

2 g 2

Nas expressotildees anteriores o x nao varia porque a expansatildeo

5 adiabaacutetica porem o a varia devido a modificaccedilatildeo do tamanho da

bolha

Substituindo os valores das velocidades na expressatildeo (a)

vera

( P - P ) Abdquo =

2

2 2 m gt2 2 m t (1-x) 1 x t

ra i 2 m i 1 x t 1

p fA 1 g c ttl p Ax gpound

m t P - P = mdash

(1-x) (l-a 1)A 1A 2 (l-a2)A|

a r A r A 2

V A 2

m t P bdquo - P = mdash 2 1 g c A r A 2 p f

(1-x) 1-a f A 2(l-a 2)

bull ^ 2

72

Se

P -P

a

m

g

12

1 _1_ (1-x)

J12

1 _ a l 1 - a 2 + X (- )

Pg

1 deg12 a 2 ^

Sabemos que

mt = V o pf laquo A l

Sendo V q = velocidade do liquido num ponto onde natildeo haja vapor

P 2-P 1

u 2 2 A 2

V pr Ai

V W p f

(1-x) 12

l-a1 l-a2

+ X 2 pf

mdash

l deg12

-1 a 2 _

p -p r 2 Al (2a 1 2)

2 M f w 1 deg12 X (mdash) (

pg al a 2 )+(l-x)C l 1 12

1-a^ l-a2

Devemos notar que esta expressatildeo tambeacutem vale para quando

temos uma fase para isso basta fazer

= c t 2 = 0

X = 0

e recairemos na formula do item anterior

2 pf 1 deg12 Observemos que neste caso o termo x (mdash)( ) nao

Pg al a2

2

73

tem significado pois corresponde a mudanccedila de fase

2 CONTRACcedilAtildeO KO FLUXO DE UM FLUIDO

21 - Uma so fase raquo mdash

Aqui ocorre um fenocircmeno importante pois o fluido ao ser

contraiacutedo nao vai diretamente da area A^ para a area A 0 mas ele

contral-se ate uma area A^ e depois expande-se ate k^

Ao A2

Po IP 2

V 2

Figura 2

Fazendo o equiliacutebrio das pressotildees entre os planos (1)

(0) vem 2 2

pV pV p +~ plusmn - P + i deg bull 1 2 g o 2 g (b)

C x

Fazendo equiliacutebrio da expansatildeo (0) - (2) vem

P o + 2 - f = P 2 + 2 -T + kp- 2 F ( c )

c c b C

Subtraindo (b) - (c)

2 2 2

i p- vj i p- v2 L P l + 2 bull g c

P 2 + 2 2g c

+ k P 2g c

74

Como

P - P = mdash 2 2g

2 2

bull (1 + k) - f bdquo mdash i

k a - f2 ) 2 - d - o c )2

= o

A = a 21

Weisback obteve varias relaccedilotildees entre a e a i] c

01 02 03 a 0624 0632 0643 c

0624 0632

A r v i - V v 2

p -p 1 2

P -P 1 2 2g7

v l =

(1+k) - laquofi- a 2g 21 c

( 1 + k - o 2 1)

X[- V 2 o 2 1V 2

22 - Duas fases

0 valor de k pode ser aproximado para

k = a(l - o 2 1)

onde segundo Richardsons para fluxo de duas fases podemos supor

a = 02

Para fluxo homogeacuteneo sabemos que

75

p = p f (1 -a ) + p o a

podemos supor p bdquo a = 0 pois p e pequeno e fazendo

V = V ~ V fbdquo2 go2 v 2

Substituindo estas duas expressotildees na equaccedilatildeo de uma soacute fase vem

2 2 p V (l-ct) p V (1 -a ) bdquo

P l P 2 = 9g ( 1 + 3 - 3 0 ^ - 0 ^ ) = g (a+1) (l-a^)

Se a = 02

2 12p oV 0

p r p

2 - 9g gt d-) d-sigt

A compressatildeo de um fluido acarreta uma perda de pressatildeo

como pode ser verificado pelas formulas uma vez que lt 1deg

3 ANALISE HIDRODINAcircMICA DE UM CIRCUITO EM CIRCULACcedilAtildeO NATURAL

Esquema deacute uma caldeira com circulaccedilatildeo natural

76

Determinar a velocidade em (7) para que tenhamos circula

ccedilatildeo natural Determinar tambeacutem as perdas de pressatildeo em todos os

trechos da caldeira

31 - Contraccedilatildeo das secccedilotildees (1) - (2)

Como jaacute vimos a equaccedilatildeo do balanccedilo das pressotildees eacute

1 pr Vl 1 p 2 o V 2 P2 V2

1 2 g 2 + 2 g + K12 2g otilde c amp c e c

bullraquo 2 o2 2 e havendo uma soacute fase k 1 9 = (l-o ) = (1 mdash ) e sendo

C 2

p l = p2

v x lt lt lt v 2

P 2 V pr p2 bull ir2 bull ( 1 + k12gt

Colocando em termos de temos

A 2 V 2 P 2 = A 7 V 7 p 7 (continuidade)

V = V mdashbull = V o_bdquo ~ A 2 2 2

P 2 V - p 2

p r p 2 = ir2 - deg72 bull Ccedilrgt bull lt 1 + ki2gt

fazendo

N12 - lt^gt deg72 ( 1 + k12gt

P7 V7

Pr P2 - N12 bull HG

77

3 2 - Perda de carga no trecho ( 2 ) - ( 3 )

Como haacute apenas uma fase soacute temos perdas por atritos e

perdas hidrostaacuteticas

Sendo como jaacute vimos

2 3 p 2 2 g P 2 P 3 = f 2 3 (r~2g^~) L 2 3 g c p

atrito hidrostaacutetica

Substituindo V^ pela relaccedilatildeo do item anterior e tendo em

conta que p = vem

P -P = f 2 r 3 2 3 D

2 3 p 2 bdquo 2 2 p 7 2

2 g 7 72 p 2 3 g

Se

L 2 3 2 p 7

2 3 2 3 D 2 a 7 2 p 2

P 7 V 7 g P 2 - P 3 = N 2 3 ( mdash gt p 2 L 2 3 f

3 3 - Expansatildeo nas secccedilotildees ( 3 ) - ( 4 )

Como vimos o balanccedilo das pressotildees e

2 2 2 p V p 4 V p V

P 3 + 2 g c

P 4 + 2 g c

+ k 3 4 2 g c

onde

k 3 4 - - -

2 2 1 P 4 - V 4 P 3 v 3

P 3 P 4 = 2 g + ( k 3 4 _ 1 ) 2 g

78

Sendo

P 3 - P 4

p 3 o A 3 deg V 3 = P 7

a A 7 o V 7

P 4A 4 0V 4 = P r A r V

3 7 A 3 p 3

A7 P7 V = v mdash mdash 4 7 P 4

P - P 3 r4

Se

P bdquo - P

bdquo2 r-P 7 V 7

3 4 2g deg74 + ( k 3 4 1 ) deg73

34 p deg74 + ( k 3 4 1 ) 73

p r v2

P3- P4 ^ N34 ^ gt

(No caso e negativo)

34 - Contraccedilatildeo nas secccedilotildees (5) - (6)

Ainda temos uma so fase e fazendo o balanccedilo das pressotildees

como fizemos no item 3lt1 vem

P + vil p + vi + k vi P 5 + 2gbdquo P6 + 2gbdquo + k56 2gbdquo

k 5 6 lt 1 ^ gt 2 ( 1 - Iacute 2 i 2 6

V V6 P5degIacute 5^6 ^SS 2g c - 2g c

P - P ^ = (1+kJ

Como

79

A 6

W p 5 =

VV P6 V 5 = V 6 Jiexcl = Vff65

P 5-P 6 - lt H k 5 6 ) mdash ^ mdash (l+k 5 6-a 6 5) c c c

Sendo

Se

A 7 p 7 p 7

6 7 Ag p 6 7 76 p 6

p _p _ P6- V7- g76 iquest72 ( _ 02 P 5 P 6 2g c bull ( p 6

( 1 + k 5 6 deg65 )

p 7 2 2 N56 = p ^ deg76 ( 1 + k 5 6 ~ a 6 5 )

P 7 V 2

7

P r-P = N r 5 6 56 2g c i

35 - Perdas de pressatildeo nas zonas (6) - (7) - Pre^aquecimento

Nesta regiatildeo temos perdas por atrito e hidrostaacuteticas

Nao haacute perda por aceleraccedilatildeo pois ainda natildeo houve formaccedilatildeo de boshy

lhas

Fazendo balanccedilo das pressotildees temos

L_ ppound-V p = p + otilde L - pound _ + f -Si (-21mdashL 6 7 + p67 L67 g + t 6 7 D K 2g

p _ e ifn sao tomados como valores meacutedios 67 67

P _p _ f hl ^67jIacute uuml + - L A

6 F 7 r67 D 2g P P67 L67 g 6 s c 7 c

S e Kr pound67 L67 p67 6 7 D 6 p7

p7 V - _g_ P6- P7 - N67 mdash + P67 L67 f

c c

80

36 - Perda de pressatildeo nas zonas (7) - (8) - Zona de ebuliccedilatildeo

Nesta regiatildeo j aacute temos o aparecimento de bolhas logo a

perda de pressatildeo seraacute devida agraves t recircs parcelas aceleraccedilatildeo a t r i t o

das duas fases liacutequidas + vapor e h idros taacute t ica

onde

Assim

P-P Q = AP + AP + APbdquo 7 8 a t r i t o acel H

T M1

78 p 7 7 AP - R f- - mdash mdashr |R = fator mult ipl ica-

a t r i t o 7 D 7 2 g c L tivo

G 2

AP bull r mdash acel g c

P V

|_1 - o a p J 8 P f

2 t r 2 M2

7 7 r 7 7 A P a c e l = -J^mdash 2 r bull p 7 lt T iexcl iexcl - )

A PH p 7 8 L 7 8 fiexcl

p 7 8 iacute 7 li 1 0 0 P l i q + a P v ] d L = P 7 ( 1 - laquo 7 8 )

ag raquo fraccedilatildeo de vazio media entre 7 e 8

APH = p (1 - 5 7 g ) f- L 7 8

2 2

P 7 - P 8 a 5 - 2 T i + 2 r p 7 + P 7 ( 1 - 7 8 gt f L 7 8 7 amp c amp c amp c

81

N 7g = R mdash + 2 r p 7

P7 V7 P7- P8 = N78 + P 7 ( 1 5 7 8 gt J78

37 - Expansatildeo nas secccedilotildees 8 e 9

No caso haacute uma expansatildeo com duas fases e como vimos no

item 12 a variaccedilatildeo de pressatildeo era dada por

0f Vo P2 P1 = ~2g c ( 2 deg12

x 2 (mdash)(mdash - mdash ) + ( l - x ) 2 ^ T mdash 8 1 2 1

12

Aplicando ao nosso caso

P pound = P 7

P -P = 8 9

V - V raquo V g f 7

P 7 V 2

2 pf 1 a89 2 1 g89 x (mdash) ( ) + (1-x) (- - N

o ou abdquo 1-cu l-ot_) g 8 9 8 9

Se

N 89

= 2 a 89

2 pf 1 deg89 2 1 CT89 x (mdash) ( ) + (1-x) ( T

g 8 9 8 9

P -P = 8 9

- N P7deg V7

89 2gbdquo

38 - Perda de pressatildeo no trecho 9 e 10

No referido trecho temos apenas perda de pressatildeo por atr L

to da fase liacutequido + vapor e perda hidrostaacutetica Natildeo haacute perda por

aceleraccedilatildeo do vapor pois este natildeo recebe mais calor e portanto

o 82 o

nao ha variaccedilatildeo no a

p

Q -p i n = A P

U + A P bull 9 10 H atrito

n T -S_ P9 U10 deg 910 bull g

fio r

910 I 910

J9 L

(l- a)P + Q P I dL liq v

(l-a0) p

No caso a = (nao hatilde variaccedilatildeo de forma)

A P H - (1-a ) P (p L 0

c

AP bdquo = R o

atrito

2 f9 o L910 P9 V9

2g

Supondo

= V

P 9 = P 8 P 7

vbdquo = v 9 8 0 A r

= V 7 bull deg89

AP - R atrito

2 2

W l O p7deg V7deg g89

V P10 R -^T^ bull deg89 bull li-2 + ( W P 7 (fgt SIO

y c c

Se

- f9 L910 2 N9ol0 R Dl deg89

w 2

p rv P9 P10 = VlO + ( 1 a 9 ) p7 (f gt L910 c

33

39 - Perda ciacutee pressatildeo na expansatildeo 9 - 1 0

Analogamente a expansatildeo 8 - 9 temos

10 11 P 7 2g

10 Iacute 2 0 1 0 - 1 1 gt

2 ff

pg aio

10-11

laquo11 ) +

Ll-a 1 0 bull l-a u J

Se

V10 = V 9 = V 8 bull T9 = V 7 deg89

P -P 10 rll = - a 2g 089 ^lO-ll

4 bull T~ bull (7 1 mdash ) + Pg degio a n

+ (l-x)2(- 1 10-11

1 - aio )

N10-ll = 2 a10-ll a89 2 pf t 1 10-11 N2

-(j-r- - ) bull+ (1-x) pg aio deg 1

10-11 k l - a io

prz P10 Pll = - N10-ll bull ( 2gbdquo

310 - Calculo de V

Fazendo a somatoacuteria de todas as expressotildees (P^-Pj) tere-

84

mos 2 PbdquoV_

P bdquo - P bdquo = N 7 v 7

1 2 12 2g

bull 2 - P 3 - = N 2 3 P 2 L 2 3 f c ccedil

9 P 7 V 7 P _p = N mdash -

3 4 34 deg 2g

V P 5 = deg

2 P V

5 6 56 2 g c

ltr2

P 7 -V 6 e7 -N67 2g + p 6 7 J j67 g

c bc v 2

P 7 - P 8 = N 7 8 - 2 i ~ + p 7 ( 1 - laquo 7 8 ) L 7 8 c

P 7 V 7

P - P - -N mdash - -8 9 89 2g

c P 7 V 7

P 9 ~ P 1 0 VlO 2g + ( 1 a 9 P 7 L 9 c

P 7 V 7

bull10 11 U10-ll 2g

P v iacute j P - P

1 11

7 - v 7 3 bull r

2 8 i U L 2 23 67

(l-5 7 8) L 7 8 + ( l - laquo 9 ) P 7 bull SlOtilde]- ^

Por ou t ro lado sabemos que como secccedilotildees 1

mesmo n iacute v e l

85

s c p r v 7 j

28 Z N i ij

= P 2 L23 p67 L67 P 7 ( 1~deg78 )

78 ~ ^g) bull P 7 bull L 910 g_

V - 2 g ( p r L 2 3 - p 6 r L 6 7 - p 7 ( l - atilde 7 8 ) L 7 8 - (l-a9) p L 9 a ( )

y N

Com esse valor de podemos determinar todas as variashy

ccedilotildees de pressatildeo (P^-P )

BIBLIOGRAFIA

- WoR Gambill - Notas de aula dos seminaacuterios realizados no Insshy

tituto de Energia Atocircmica de Sao Paulo em 1966 (roteiro)

- WR Gambill - Nuclear Safety

Vol 9 - n9 5 e 6

Vol 6 - n 2 (pag 152)

Vol 4 -r n9 1 (pag 30)

Volbdquo 5 - n 2 (pag 151)

- WRo Gambill - Chemical Eng Prog ndeg 54 (Outubro)

~ El Wakil - Nuclear Power

- Jakob Max - Heat Transfer (vol I)

Mc Adams - Heat Transmission

- Paul A Lottes - Argonne National Laboratory

- AKL - 6469

- ANL - 6561

86

Knudsen e Katz - Fluid Dinamics and Heat Transfer

Frank Kreith - Principles of Heat Transfer

Journeacutees Internationales de la transmission de la chaleur

Seminaacuterios realizados em Paris em 1961 sob a supervisatildeo do

Prof Marcel Veron

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Escola Politeacutecnica da Universidade de Sao Paulo

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70

2 pV A A pV A A

Chamando A l A ]

K = 1 - T e degi2 = Aiexcl bull V E M

pvj

P l P 2 = T ~ bull ( 2 deg 1 2 ) ( 1 _ a 1 2 )

Outra maneira de chegar atilde diferenccedila de pressatildeo ( P j - ^ ) s mdash

ria usar o coeficiente de perda da mecacircnica dos fluidos Assim o

equilibrio das pressotildees eacute

2 2

1 V l 1 V 2 V l P i + _ p _ ^ P 2 + I p ~ + k 1 2 p mdash

onde = coeficiente de perda

A 2 1 2

k 1 2 - (l-o 1 2) - (1 - j- )

Fazendo as transformaccedilotildees chegamos a mesma expressatildeo obshy

tida pelo balanccedilo das forccedilas

PraquoIacute pr p

2 - - ir ^ laquo-ia

12 - Duas fases

Como ha duas fases a equaccedilatildeo do balanccedilo das forccedilas fica

um pouco alterada

m pound 1 V- m - raquoV - m-V- m bdquoV _ P A + j y ^ i + _gl_JUuml P A + -11-11 + -ilsl (a)

1 2 e R 2 2 ff e

Sabendo que

71

m (1-x) m t = p fA (1-a) V f

entatildeo

fl l-o^ p fA x

6 Vf2 1-x l-a2 P fA 2

m V = mdash mdash e V 0 = gl a 1 P C T A 1 g2

m

a_ p h

2 g 2

Nas expressotildees anteriores o x nao varia porque a expansatildeo

5 adiabaacutetica porem o a varia devido a modificaccedilatildeo do tamanho da

bolha

Substituindo os valores das velocidades na expressatildeo (a)

vera

( P - P ) Abdquo =

2

2 2 m gt2 2 m t (1-x) 1 x t

ra i 2 m i 1 x t 1

p fA 1 g c ttl p Ax gpound

m t P - P = mdash

(1-x) (l-a 1)A 1A 2 (l-a2)A|

a r A r A 2

V A 2

m t P bdquo - P = mdash 2 1 g c A r A 2 p f

(1-x) 1-a f A 2(l-a 2)

bull ^ 2

72

Se

P -P

a

m

g

12

1 _1_ (1-x)

J12

1 _ a l 1 - a 2 + X (- )

Pg

1 deg12 a 2 ^

Sabemos que

mt = V o pf laquo A l

Sendo V q = velocidade do liquido num ponto onde natildeo haja vapor

P 2-P 1

u 2 2 A 2

V pr Ai

V W p f

(1-x) 12

l-a1 l-a2

+ X 2 pf

mdash

l deg12

-1 a 2 _

p -p r 2 Al (2a 1 2)

2 M f w 1 deg12 X (mdash) (

pg al a 2 )+(l-x)C l 1 12

1-a^ l-a2

Devemos notar que esta expressatildeo tambeacutem vale para quando

temos uma fase para isso basta fazer

= c t 2 = 0

X = 0

e recairemos na formula do item anterior

2 pf 1 deg12 Observemos que neste caso o termo x (mdash)( ) nao

Pg al a2

2

73

tem significado pois corresponde a mudanccedila de fase

2 CONTRACcedilAtildeO KO FLUXO DE UM FLUIDO

21 - Uma so fase raquo mdash

Aqui ocorre um fenocircmeno importante pois o fluido ao ser

contraiacutedo nao vai diretamente da area A^ para a area A 0 mas ele

contral-se ate uma area A^ e depois expande-se ate k^

Ao A2

Po IP 2

V 2

Figura 2

Fazendo o equiliacutebrio das pressotildees entre os planos (1)

(0) vem 2 2

pV pV p +~ plusmn - P + i deg bull 1 2 g o 2 g (b)

C x

Fazendo equiliacutebrio da expansatildeo (0) - (2) vem

P o + 2 - f = P 2 + 2 -T + kp- 2 F ( c )

c c b C

Subtraindo (b) - (c)

2 2 2

i p- vj i p- v2 L P l + 2 bull g c

P 2 + 2 2g c

+ k P 2g c

74

Como

P - P = mdash 2 2g

2 2

bull (1 + k) - f bdquo mdash i

k a - f2 ) 2 - d - o c )2

= o

A = a 21

Weisback obteve varias relaccedilotildees entre a e a i] c

01 02 03 a 0624 0632 0643 c

0624 0632

A r v i - V v 2

p -p 1 2

P -P 1 2 2g7

v l =

(1+k) - laquofi- a 2g 21 c

( 1 + k - o 2 1)

X[- V 2 o 2 1V 2

22 - Duas fases

0 valor de k pode ser aproximado para

k = a(l - o 2 1)

onde segundo Richardsons para fluxo de duas fases podemos supor

a = 02

Para fluxo homogeacuteneo sabemos que

75

p = p f (1 -a ) + p o a

podemos supor p bdquo a = 0 pois p e pequeno e fazendo

V = V ~ V fbdquo2 go2 v 2

Substituindo estas duas expressotildees na equaccedilatildeo de uma soacute fase vem

2 2 p V (l-ct) p V (1 -a ) bdquo

P l P 2 = 9g ( 1 + 3 - 3 0 ^ - 0 ^ ) = g (a+1) (l-a^)

Se a = 02

2 12p oV 0

p r p

2 - 9g gt d-) d-sigt

A compressatildeo de um fluido acarreta uma perda de pressatildeo

como pode ser verificado pelas formulas uma vez que lt 1deg

3 ANALISE HIDRODINAcircMICA DE UM CIRCUITO EM CIRCULACcedilAtildeO NATURAL

Esquema deacute uma caldeira com circulaccedilatildeo natural

76

Determinar a velocidade em (7) para que tenhamos circula

ccedilatildeo natural Determinar tambeacutem as perdas de pressatildeo em todos os

trechos da caldeira

31 - Contraccedilatildeo das secccedilotildees (1) - (2)

Como jaacute vimos a equaccedilatildeo do balanccedilo das pressotildees eacute

1 pr Vl 1 p 2 o V 2 P2 V2

1 2 g 2 + 2 g + K12 2g otilde c amp c e c

bullraquo 2 o2 2 e havendo uma soacute fase k 1 9 = (l-o ) = (1 mdash ) e sendo

C 2

p l = p2

v x lt lt lt v 2

P 2 V pr p2 bull ir2 bull ( 1 + k12gt

Colocando em termos de temos

A 2 V 2 P 2 = A 7 V 7 p 7 (continuidade)

V = V mdashbull = V o_bdquo ~ A 2 2 2

P 2 V - p 2

p r p 2 = ir2 - deg72 bull Ccedilrgt bull lt 1 + ki2gt

fazendo

N12 - lt^gt deg72 ( 1 + k12gt

P7 V7

Pr P2 - N12 bull HG

77

3 2 - Perda de carga no trecho ( 2 ) - ( 3 )

Como haacute apenas uma fase soacute temos perdas por atritos e

perdas hidrostaacuteticas

Sendo como jaacute vimos

2 3 p 2 2 g P 2 P 3 = f 2 3 (r~2g^~) L 2 3 g c p

atrito hidrostaacutetica

Substituindo V^ pela relaccedilatildeo do item anterior e tendo em

conta que p = vem

P -P = f 2 r 3 2 3 D

2 3 p 2 bdquo 2 2 p 7 2

2 g 7 72 p 2 3 g

Se

L 2 3 2 p 7

2 3 2 3 D 2 a 7 2 p 2

P 7 V 7 g P 2 - P 3 = N 2 3 ( mdash gt p 2 L 2 3 f

3 3 - Expansatildeo nas secccedilotildees ( 3 ) - ( 4 )

Como vimos o balanccedilo das pressotildees e

2 2 2 p V p 4 V p V

P 3 + 2 g c

P 4 + 2 g c

+ k 3 4 2 g c

onde

k 3 4 - - -

2 2 1 P 4 - V 4 P 3 v 3

P 3 P 4 = 2 g + ( k 3 4 _ 1 ) 2 g

78

Sendo

P 3 - P 4

p 3 o A 3 deg V 3 = P 7

a A 7 o V 7

P 4A 4 0V 4 = P r A r V

3 7 A 3 p 3

A7 P7 V = v mdash mdash 4 7 P 4

P - P 3 r4

Se

P bdquo - P

bdquo2 r-P 7 V 7

3 4 2g deg74 + ( k 3 4 1 ) deg73

34 p deg74 + ( k 3 4 1 ) 73

p r v2

P3- P4 ^ N34 ^ gt

(No caso e negativo)

34 - Contraccedilatildeo nas secccedilotildees (5) - (6)

Ainda temos uma so fase e fazendo o balanccedilo das pressotildees

como fizemos no item 3lt1 vem

P + vil p + vi + k vi P 5 + 2gbdquo P6 + 2gbdquo + k56 2gbdquo

k 5 6 lt 1 ^ gt 2 ( 1 - Iacute 2 i 2 6

V V6 P5degIacute 5^6 ^SS 2g c - 2g c

P - P ^ = (1+kJ

Como

79

A 6

W p 5 =

VV P6 V 5 = V 6 Jiexcl = Vff65

P 5-P 6 - lt H k 5 6 ) mdash ^ mdash (l+k 5 6-a 6 5) c c c

Sendo

Se

A 7 p 7 p 7

6 7 Ag p 6 7 76 p 6

p _p _ P6- V7- g76 iquest72 ( _ 02 P 5 P 6 2g c bull ( p 6

( 1 + k 5 6 deg65 )

p 7 2 2 N56 = p ^ deg76 ( 1 + k 5 6 ~ a 6 5 )

P 7 V 2

7

P r-P = N r 5 6 56 2g c i

35 - Perdas de pressatildeo nas zonas (6) - (7) - Pre^aquecimento

Nesta regiatildeo temos perdas por atrito e hidrostaacuteticas

Nao haacute perda por aceleraccedilatildeo pois ainda natildeo houve formaccedilatildeo de boshy

lhas

Fazendo balanccedilo das pressotildees temos

L_ ppound-V p = p + otilde L - pound _ + f -Si (-21mdashL 6 7 + p67 L67 g + t 6 7 D K 2g

p _ e ifn sao tomados como valores meacutedios 67 67

P _p _ f hl ^67jIacute uuml + - L A

6 F 7 r67 D 2g P P67 L67 g 6 s c 7 c

S e Kr pound67 L67 p67 6 7 D 6 p7

p7 V - _g_ P6- P7 - N67 mdash + P67 L67 f

c c

80

36 - Perda de pressatildeo nas zonas (7) - (8) - Zona de ebuliccedilatildeo

Nesta regiatildeo j aacute temos o aparecimento de bolhas logo a

perda de pressatildeo seraacute devida agraves t recircs parcelas aceleraccedilatildeo a t r i t o

das duas fases liacutequidas + vapor e h idros taacute t ica

onde

Assim

P-P Q = AP + AP + APbdquo 7 8 a t r i t o acel H

T M1

78 p 7 7 AP - R f- - mdash mdashr |R = fator mult ipl ica-

a t r i t o 7 D 7 2 g c L tivo

G 2

AP bull r mdash acel g c

P V

|_1 - o a p J 8 P f

2 t r 2 M2

7 7 r 7 7 A P a c e l = -J^mdash 2 r bull p 7 lt T iexcl iexcl - )

A PH p 7 8 L 7 8 fiexcl

p 7 8 iacute 7 li 1 0 0 P l i q + a P v ] d L = P 7 ( 1 - laquo 7 8 )

ag raquo fraccedilatildeo de vazio media entre 7 e 8

APH = p (1 - 5 7 g ) f- L 7 8

2 2

P 7 - P 8 a 5 - 2 T i + 2 r p 7 + P 7 ( 1 - 7 8 gt f L 7 8 7 amp c amp c amp c

81

N 7g = R mdash + 2 r p 7

P7 V7 P7- P8 = N78 + P 7 ( 1 5 7 8 gt J78

37 - Expansatildeo nas secccedilotildees 8 e 9

No caso haacute uma expansatildeo com duas fases e como vimos no

item 12 a variaccedilatildeo de pressatildeo era dada por

0f Vo P2 P1 = ~2g c ( 2 deg12

x 2 (mdash)(mdash - mdash ) + ( l - x ) 2 ^ T mdash 8 1 2 1

12

Aplicando ao nosso caso

P pound = P 7

P -P = 8 9

V - V raquo V g f 7

P 7 V 2

2 pf 1 a89 2 1 g89 x (mdash) ( ) + (1-x) (- - N

o ou abdquo 1-cu l-ot_) g 8 9 8 9

Se

N 89

= 2 a 89

2 pf 1 deg89 2 1 CT89 x (mdash) ( ) + (1-x) ( T

g 8 9 8 9

P -P = 8 9

- N P7deg V7

89 2gbdquo

38 - Perda de pressatildeo no trecho 9 e 10

No referido trecho temos apenas perda de pressatildeo por atr L

to da fase liacutequido + vapor e perda hidrostaacutetica Natildeo haacute perda por

aceleraccedilatildeo do vapor pois este natildeo recebe mais calor e portanto

o 82 o

nao ha variaccedilatildeo no a

p

Q -p i n = A P

U + A P bull 9 10 H atrito

n T -S_ P9 U10 deg 910 bull g

fio r

910 I 910

J9 L

(l- a)P + Q P I dL liq v

(l-a0) p

No caso a = (nao hatilde variaccedilatildeo de forma)

A P H - (1-a ) P (p L 0

c

AP bdquo = R o

atrito

2 f9 o L910 P9 V9

2g

Supondo

= V

P 9 = P 8 P 7

vbdquo = v 9 8 0 A r

= V 7 bull deg89

AP - R atrito

2 2

W l O p7deg V7deg g89

V P10 R -^T^ bull deg89 bull li-2 + ( W P 7 (fgt SIO

y c c

Se

- f9 L910 2 N9ol0 R Dl deg89

w 2

p rv P9 P10 = VlO + ( 1 a 9 ) p7 (f gt L910 c

33

39 - Perda ciacutee pressatildeo na expansatildeo 9 - 1 0

Analogamente a expansatildeo 8 - 9 temos

10 11 P 7 2g

10 Iacute 2 0 1 0 - 1 1 gt

2 ff

pg aio

10-11

laquo11 ) +

Ll-a 1 0 bull l-a u J

Se

V10 = V 9 = V 8 bull T9 = V 7 deg89

P -P 10 rll = - a 2g 089 ^lO-ll

4 bull T~ bull (7 1 mdash ) + Pg degio a n

+ (l-x)2(- 1 10-11

1 - aio )

N10-ll = 2 a10-ll a89 2 pf t 1 10-11 N2

-(j-r- - ) bull+ (1-x) pg aio deg 1

10-11 k l - a io

prz P10 Pll = - N10-ll bull ( 2gbdquo

310 - Calculo de V

Fazendo a somatoacuteria de todas as expressotildees (P^-Pj) tere-

84

mos 2 PbdquoV_

P bdquo - P bdquo = N 7 v 7

1 2 12 2g

bull 2 - P 3 - = N 2 3 P 2 L 2 3 f c ccedil

9 P 7 V 7 P _p = N mdash -

3 4 34 deg 2g

V P 5 = deg

2 P V

5 6 56 2 g c

ltr2

P 7 -V 6 e7 -N67 2g + p 6 7 J j67 g

c bc v 2

P 7 - P 8 = N 7 8 - 2 i ~ + p 7 ( 1 - laquo 7 8 ) L 7 8 c

P 7 V 7

P - P - -N mdash - -8 9 89 2g

c P 7 V 7

P 9 ~ P 1 0 VlO 2g + ( 1 a 9 P 7 L 9 c

P 7 V 7

bull10 11 U10-ll 2g

P v iacute j P - P

1 11

7 - v 7 3 bull r

2 8 i U L 2 23 67

(l-5 7 8) L 7 8 + ( l - laquo 9 ) P 7 bull SlOtilde]- ^

Por ou t ro lado sabemos que como secccedilotildees 1

mesmo n iacute v e l

85

s c p r v 7 j

28 Z N i ij

= P 2 L23 p67 L67 P 7 ( 1~deg78 )

78 ~ ^g) bull P 7 bull L 910 g_

V - 2 g ( p r L 2 3 - p 6 r L 6 7 - p 7 ( l - atilde 7 8 ) L 7 8 - (l-a9) p L 9 a ( )

y N

Com esse valor de podemos determinar todas as variashy

ccedilotildees de pressatildeo (P^-P )

BIBLIOGRAFIA

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tituto de Energia Atocircmica de Sao Paulo em 1966 (roteiro)

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Vol 9 - n9 5 e 6

Vol 6 - n 2 (pag 152)

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- Paul A Lottes - Argonne National Laboratory

- AKL - 6469

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86

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Frank Kreith - Principles of Heat Transfer

Journeacutees Internationales de la transmission de la chaleur

Seminaacuterios realizados em Paris em 1961 sob a supervisatildeo do

Prof Marcel Veron

Notas de aula da Cadeira de Termodinacircmica I e Transmissatildeo da

Escola Politeacutecnica da Universidade de Sao Paulo

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m (1-x) m t = p fA (1-a) V f

entatildeo

fl l-o^ p fA x

6 Vf2 1-x l-a2 P fA 2

m V = mdash mdash e V 0 = gl a 1 P C T A 1 g2

m

a_ p h

2 g 2

Nas expressotildees anteriores o x nao varia porque a expansatildeo

5 adiabaacutetica porem o a varia devido a modificaccedilatildeo do tamanho da

bolha

Substituindo os valores das velocidades na expressatildeo (a)

vera

( P - P ) Abdquo =

2

2 2 m gt2 2 m t (1-x) 1 x t

ra i 2 m i 1 x t 1

p fA 1 g c ttl p Ax gpound

m t P - P = mdash

(1-x) (l-a 1)A 1A 2 (l-a2)A|

a r A r A 2

V A 2

m t P bdquo - P = mdash 2 1 g c A r A 2 p f

(1-x) 1-a f A 2(l-a 2)

bull ^ 2

72

Se

P -P

a

m

g

12

1 _1_ (1-x)

J12

1 _ a l 1 - a 2 + X (- )

Pg

1 deg12 a 2 ^

Sabemos que

mt = V o pf laquo A l

Sendo V q = velocidade do liquido num ponto onde natildeo haja vapor

P 2-P 1

u 2 2 A 2

V pr Ai

V W p f

(1-x) 12

l-a1 l-a2

+ X 2 pf

mdash

l deg12

-1 a 2 _

p -p r 2 Al (2a 1 2)

2 M f w 1 deg12 X (mdash) (

pg al a 2 )+(l-x)C l 1 12

1-a^ l-a2

Devemos notar que esta expressatildeo tambeacutem vale para quando

temos uma fase para isso basta fazer

= c t 2 = 0

X = 0

e recairemos na formula do item anterior

2 pf 1 deg12 Observemos que neste caso o termo x (mdash)( ) nao

Pg al a2

2

73

tem significado pois corresponde a mudanccedila de fase

2 CONTRACcedilAtildeO KO FLUXO DE UM FLUIDO

21 - Uma so fase raquo mdash

Aqui ocorre um fenocircmeno importante pois o fluido ao ser

contraiacutedo nao vai diretamente da area A^ para a area A 0 mas ele

contral-se ate uma area A^ e depois expande-se ate k^

Ao A2

Po IP 2

V 2

Figura 2

Fazendo o equiliacutebrio das pressotildees entre os planos (1)

(0) vem 2 2

pV pV p +~ plusmn - P + i deg bull 1 2 g o 2 g (b)

C x

Fazendo equiliacutebrio da expansatildeo (0) - (2) vem

P o + 2 - f = P 2 + 2 -T + kp- 2 F ( c )

c c b C

Subtraindo (b) - (c)

2 2 2

i p- vj i p- v2 L P l + 2 bull g c

P 2 + 2 2g c

+ k P 2g c

74

Como

P - P = mdash 2 2g

2 2

bull (1 + k) - f bdquo mdash i

k a - f2 ) 2 - d - o c )2

= o

A = a 21

Weisback obteve varias relaccedilotildees entre a e a i] c

01 02 03 a 0624 0632 0643 c

0624 0632

A r v i - V v 2

p -p 1 2

P -P 1 2 2g7

v l =

(1+k) - laquofi- a 2g 21 c

( 1 + k - o 2 1)

X[- V 2 o 2 1V 2

22 - Duas fases

0 valor de k pode ser aproximado para

k = a(l - o 2 1)

onde segundo Richardsons para fluxo de duas fases podemos supor

a = 02

Para fluxo homogeacuteneo sabemos que

75

p = p f (1 -a ) + p o a

podemos supor p bdquo a = 0 pois p e pequeno e fazendo

V = V ~ V fbdquo2 go2 v 2

Substituindo estas duas expressotildees na equaccedilatildeo de uma soacute fase vem

2 2 p V (l-ct) p V (1 -a ) bdquo

P l P 2 = 9g ( 1 + 3 - 3 0 ^ - 0 ^ ) = g (a+1) (l-a^)

Se a = 02

2 12p oV 0

p r p

2 - 9g gt d-) d-sigt

A compressatildeo de um fluido acarreta uma perda de pressatildeo

como pode ser verificado pelas formulas uma vez que lt 1deg

3 ANALISE HIDRODINAcircMICA DE UM CIRCUITO EM CIRCULACcedilAtildeO NATURAL

Esquema deacute uma caldeira com circulaccedilatildeo natural

76

Determinar a velocidade em (7) para que tenhamos circula

ccedilatildeo natural Determinar tambeacutem as perdas de pressatildeo em todos os

trechos da caldeira

31 - Contraccedilatildeo das secccedilotildees (1) - (2)

Como jaacute vimos a equaccedilatildeo do balanccedilo das pressotildees eacute

1 pr Vl 1 p 2 o V 2 P2 V2

1 2 g 2 + 2 g + K12 2g otilde c amp c e c

bullraquo 2 o2 2 e havendo uma soacute fase k 1 9 = (l-o ) = (1 mdash ) e sendo

C 2

p l = p2

v x lt lt lt v 2

P 2 V pr p2 bull ir2 bull ( 1 + k12gt

Colocando em termos de temos

A 2 V 2 P 2 = A 7 V 7 p 7 (continuidade)

V = V mdashbull = V o_bdquo ~ A 2 2 2

P 2 V - p 2

p r p 2 = ir2 - deg72 bull Ccedilrgt bull lt 1 + ki2gt

fazendo

N12 - lt^gt deg72 ( 1 + k12gt

P7 V7

Pr P2 - N12 bull HG

77

3 2 - Perda de carga no trecho ( 2 ) - ( 3 )

Como haacute apenas uma fase soacute temos perdas por atritos e

perdas hidrostaacuteticas

Sendo como jaacute vimos

2 3 p 2 2 g P 2 P 3 = f 2 3 (r~2g^~) L 2 3 g c p

atrito hidrostaacutetica

Substituindo V^ pela relaccedilatildeo do item anterior e tendo em

conta que p = vem

P -P = f 2 r 3 2 3 D

2 3 p 2 bdquo 2 2 p 7 2

2 g 7 72 p 2 3 g

Se

L 2 3 2 p 7

2 3 2 3 D 2 a 7 2 p 2

P 7 V 7 g P 2 - P 3 = N 2 3 ( mdash gt p 2 L 2 3 f

3 3 - Expansatildeo nas secccedilotildees ( 3 ) - ( 4 )

Como vimos o balanccedilo das pressotildees e

2 2 2 p V p 4 V p V

P 3 + 2 g c

P 4 + 2 g c

+ k 3 4 2 g c

onde

k 3 4 - - -

2 2 1 P 4 - V 4 P 3 v 3

P 3 P 4 = 2 g + ( k 3 4 _ 1 ) 2 g

78

Sendo

P 3 - P 4

p 3 o A 3 deg V 3 = P 7

a A 7 o V 7

P 4A 4 0V 4 = P r A r V

3 7 A 3 p 3

A7 P7 V = v mdash mdash 4 7 P 4

P - P 3 r4

Se

P bdquo - P

bdquo2 r-P 7 V 7

3 4 2g deg74 + ( k 3 4 1 ) deg73

34 p deg74 + ( k 3 4 1 ) 73

p r v2

P3- P4 ^ N34 ^ gt

(No caso e negativo)

34 - Contraccedilatildeo nas secccedilotildees (5) - (6)

Ainda temos uma so fase e fazendo o balanccedilo das pressotildees

como fizemos no item 3lt1 vem

P + vil p + vi + k vi P 5 + 2gbdquo P6 + 2gbdquo + k56 2gbdquo

k 5 6 lt 1 ^ gt 2 ( 1 - Iacute 2 i 2 6

V V6 P5degIacute 5^6 ^SS 2g c - 2g c

P - P ^ = (1+kJ

Como

79

A 6

W p 5 =

VV P6 V 5 = V 6 Jiexcl = Vff65

P 5-P 6 - lt H k 5 6 ) mdash ^ mdash (l+k 5 6-a 6 5) c c c

Sendo

Se

A 7 p 7 p 7

6 7 Ag p 6 7 76 p 6

p _p _ P6- V7- g76 iquest72 ( _ 02 P 5 P 6 2g c bull ( p 6

( 1 + k 5 6 deg65 )

p 7 2 2 N56 = p ^ deg76 ( 1 + k 5 6 ~ a 6 5 )

P 7 V 2

7

P r-P = N r 5 6 56 2g c i

35 - Perdas de pressatildeo nas zonas (6) - (7) - Pre^aquecimento

Nesta regiatildeo temos perdas por atrito e hidrostaacuteticas

Nao haacute perda por aceleraccedilatildeo pois ainda natildeo houve formaccedilatildeo de boshy

lhas

Fazendo balanccedilo das pressotildees temos

L_ ppound-V p = p + otilde L - pound _ + f -Si (-21mdashL 6 7 + p67 L67 g + t 6 7 D K 2g

p _ e ifn sao tomados como valores meacutedios 67 67

P _p _ f hl ^67jIacute uuml + - L A

6 F 7 r67 D 2g P P67 L67 g 6 s c 7 c

S e Kr pound67 L67 p67 6 7 D 6 p7

p7 V - _g_ P6- P7 - N67 mdash + P67 L67 f

c c

80

36 - Perda de pressatildeo nas zonas (7) - (8) - Zona de ebuliccedilatildeo

Nesta regiatildeo j aacute temos o aparecimento de bolhas logo a

perda de pressatildeo seraacute devida agraves t recircs parcelas aceleraccedilatildeo a t r i t o

das duas fases liacutequidas + vapor e h idros taacute t ica

onde

Assim

P-P Q = AP + AP + APbdquo 7 8 a t r i t o acel H

T M1

78 p 7 7 AP - R f- - mdash mdashr |R = fator mult ipl ica-

a t r i t o 7 D 7 2 g c L tivo

G 2

AP bull r mdash acel g c

P V

|_1 - o a p J 8 P f

2 t r 2 M2

7 7 r 7 7 A P a c e l = -J^mdash 2 r bull p 7 lt T iexcl iexcl - )

A PH p 7 8 L 7 8 fiexcl

p 7 8 iacute 7 li 1 0 0 P l i q + a P v ] d L = P 7 ( 1 - laquo 7 8 )

ag raquo fraccedilatildeo de vazio media entre 7 e 8

APH = p (1 - 5 7 g ) f- L 7 8

2 2

P 7 - P 8 a 5 - 2 T i + 2 r p 7 + P 7 ( 1 - 7 8 gt f L 7 8 7 amp c amp c amp c

81

N 7g = R mdash + 2 r p 7

P7 V7 P7- P8 = N78 + P 7 ( 1 5 7 8 gt J78

37 - Expansatildeo nas secccedilotildees 8 e 9

No caso haacute uma expansatildeo com duas fases e como vimos no

item 12 a variaccedilatildeo de pressatildeo era dada por

0f Vo P2 P1 = ~2g c ( 2 deg12

x 2 (mdash)(mdash - mdash ) + ( l - x ) 2 ^ T mdash 8 1 2 1

12

Aplicando ao nosso caso

P pound = P 7

P -P = 8 9

V - V raquo V g f 7

P 7 V 2

2 pf 1 a89 2 1 g89 x (mdash) ( ) + (1-x) (- - N

o ou abdquo 1-cu l-ot_) g 8 9 8 9

Se

N 89

= 2 a 89

2 pf 1 deg89 2 1 CT89 x (mdash) ( ) + (1-x) ( T

g 8 9 8 9

P -P = 8 9

- N P7deg V7

89 2gbdquo

38 - Perda de pressatildeo no trecho 9 e 10

No referido trecho temos apenas perda de pressatildeo por atr L

to da fase liacutequido + vapor e perda hidrostaacutetica Natildeo haacute perda por

aceleraccedilatildeo do vapor pois este natildeo recebe mais calor e portanto

o 82 o

nao ha variaccedilatildeo no a

p

Q -p i n = A P

U + A P bull 9 10 H atrito

n T -S_ P9 U10 deg 910 bull g

fio r

910 I 910

J9 L

(l- a)P + Q P I dL liq v

(l-a0) p

No caso a = (nao hatilde variaccedilatildeo de forma)

A P H - (1-a ) P (p L 0

c

AP bdquo = R o

atrito

2 f9 o L910 P9 V9

2g

Supondo

= V

P 9 = P 8 P 7

vbdquo = v 9 8 0 A r

= V 7 bull deg89

AP - R atrito

2 2

W l O p7deg V7deg g89

V P10 R -^T^ bull deg89 bull li-2 + ( W P 7 (fgt SIO

y c c

Se

- f9 L910 2 N9ol0 R Dl deg89

w 2

p rv P9 P10 = VlO + ( 1 a 9 ) p7 (f gt L910 c

33

39 - Perda ciacutee pressatildeo na expansatildeo 9 - 1 0

Analogamente a expansatildeo 8 - 9 temos

10 11 P 7 2g

10 Iacute 2 0 1 0 - 1 1 gt

2 ff

pg aio

10-11

laquo11 ) +

Ll-a 1 0 bull l-a u J

Se

V10 = V 9 = V 8 bull T9 = V 7 deg89

P -P 10 rll = - a 2g 089 ^lO-ll

4 bull T~ bull (7 1 mdash ) + Pg degio a n

+ (l-x)2(- 1 10-11

1 - aio )

N10-ll = 2 a10-ll a89 2 pf t 1 10-11 N2

-(j-r- - ) bull+ (1-x) pg aio deg 1

10-11 k l - a io

prz P10 Pll = - N10-ll bull ( 2gbdquo

310 - Calculo de V

Fazendo a somatoacuteria de todas as expressotildees (P^-Pj) tere-

84

mos 2 PbdquoV_

P bdquo - P bdquo = N 7 v 7

1 2 12 2g

bull 2 - P 3 - = N 2 3 P 2 L 2 3 f c ccedil

9 P 7 V 7 P _p = N mdash -

3 4 34 deg 2g

V P 5 = deg

2 P V

5 6 56 2 g c

ltr2

P 7 -V 6 e7 -N67 2g + p 6 7 J j67 g

c bc v 2

P 7 - P 8 = N 7 8 - 2 i ~ + p 7 ( 1 - laquo 7 8 ) L 7 8 c

P 7 V 7

P - P - -N mdash - -8 9 89 2g

c P 7 V 7

P 9 ~ P 1 0 VlO 2g + ( 1 a 9 P 7 L 9 c

P 7 V 7

bull10 11 U10-ll 2g

P v iacute j P - P

1 11

7 - v 7 3 bull r

2 8 i U L 2 23 67

(l-5 7 8) L 7 8 + ( l - laquo 9 ) P 7 bull SlOtilde]- ^

Por ou t ro lado sabemos que como secccedilotildees 1

mesmo n iacute v e l

85

s c p r v 7 j

28 Z N i ij

= P 2 L23 p67 L67 P 7 ( 1~deg78 )

78 ~ ^g) bull P 7 bull L 910 g_

V - 2 g ( p r L 2 3 - p 6 r L 6 7 - p 7 ( l - atilde 7 8 ) L 7 8 - (l-a9) p L 9 a ( )

y N

Com esse valor de podemos determinar todas as variashy

ccedilotildees de pressatildeo (P^-P )

BIBLIOGRAFIA

- WoR Gambill - Notas de aula dos seminaacuterios realizados no Insshy

tituto de Energia Atocircmica de Sao Paulo em 1966 (roteiro)

- WR Gambill - Nuclear Safety

Vol 9 - n9 5 e 6

Vol 6 - n 2 (pag 152)

Vol 4 -r n9 1 (pag 30)

Volbdquo 5 - n 2 (pag 151)

- WRo Gambill - Chemical Eng Prog ndeg 54 (Outubro)

~ El Wakil - Nuclear Power

- Jakob Max - Heat Transfer (vol I)

Mc Adams - Heat Transmission

- Paul A Lottes - Argonne National Laboratory

- AKL - 6469

- ANL - 6561

86

Knudsen e Katz - Fluid Dinamics and Heat Transfer

Frank Kreith - Principles of Heat Transfer

Journeacutees Internationales de la transmission de la chaleur

Seminaacuterios realizados em Paris em 1961 sob a supervisatildeo do

Prof Marcel Veron

Notas de aula da Cadeira de Termodinacircmica I e Transmissatildeo da

Escola Politeacutecnica da Universidade de Sao Paulo

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Page 76: ALGUNS PROBLEMAS DE HIDRODINÂMICA E CONVECÇÃO DE … · alguns problemas de hidrodinÂmica e convecÇÃo de calor em reatores de potÊncia, segundo aulas do ... b - convecÇao

72

Se

P -P

a

m

g

12

1 _1_ (1-x)

J12

1 _ a l 1 - a 2 + X (- )

Pg

1 deg12 a 2 ^

Sabemos que

mt = V o pf laquo A l

Sendo V q = velocidade do liquido num ponto onde natildeo haja vapor

P 2-P 1

u 2 2 A 2

V pr Ai

V W p f

(1-x) 12

l-a1 l-a2

+ X 2 pf

mdash

l deg12

-1 a 2 _

p -p r 2 Al (2a 1 2)

2 M f w 1 deg12 X (mdash) (

pg al a 2 )+(l-x)C l 1 12

1-a^ l-a2

Devemos notar que esta expressatildeo tambeacutem vale para quando

temos uma fase para isso basta fazer

= c t 2 = 0

X = 0

e recairemos na formula do item anterior

2 pf 1 deg12 Observemos que neste caso o termo x (mdash)( ) nao

Pg al a2

2

73

tem significado pois corresponde a mudanccedila de fase

2 CONTRACcedilAtildeO KO FLUXO DE UM FLUIDO

21 - Uma so fase raquo mdash

Aqui ocorre um fenocircmeno importante pois o fluido ao ser

contraiacutedo nao vai diretamente da area A^ para a area A 0 mas ele

contral-se ate uma area A^ e depois expande-se ate k^

Ao A2

Po IP 2

V 2

Figura 2

Fazendo o equiliacutebrio das pressotildees entre os planos (1)

(0) vem 2 2

pV pV p +~ plusmn - P + i deg bull 1 2 g o 2 g (b)

C x

Fazendo equiliacutebrio da expansatildeo (0) - (2) vem

P o + 2 - f = P 2 + 2 -T + kp- 2 F ( c )

c c b C

Subtraindo (b) - (c)

2 2 2

i p- vj i p- v2 L P l + 2 bull g c

P 2 + 2 2g c

+ k P 2g c

74

Como

P - P = mdash 2 2g

2 2

bull (1 + k) - f bdquo mdash i

k a - f2 ) 2 - d - o c )2

= o

A = a 21

Weisback obteve varias relaccedilotildees entre a e a i] c

01 02 03 a 0624 0632 0643 c

0624 0632

A r v i - V v 2

p -p 1 2

P -P 1 2 2g7

v l =

(1+k) - laquofi- a 2g 21 c

( 1 + k - o 2 1)

X[- V 2 o 2 1V 2

22 - Duas fases

0 valor de k pode ser aproximado para

k = a(l - o 2 1)

onde segundo Richardsons para fluxo de duas fases podemos supor

a = 02

Para fluxo homogeacuteneo sabemos que

75

p = p f (1 -a ) + p o a

podemos supor p bdquo a = 0 pois p e pequeno e fazendo

V = V ~ V fbdquo2 go2 v 2

Substituindo estas duas expressotildees na equaccedilatildeo de uma soacute fase vem

2 2 p V (l-ct) p V (1 -a ) bdquo

P l P 2 = 9g ( 1 + 3 - 3 0 ^ - 0 ^ ) = g (a+1) (l-a^)

Se a = 02

2 12p oV 0

p r p

2 - 9g gt d-) d-sigt

A compressatildeo de um fluido acarreta uma perda de pressatildeo

como pode ser verificado pelas formulas uma vez que lt 1deg

3 ANALISE HIDRODINAcircMICA DE UM CIRCUITO EM CIRCULACcedilAtildeO NATURAL

Esquema deacute uma caldeira com circulaccedilatildeo natural

76

Determinar a velocidade em (7) para que tenhamos circula

ccedilatildeo natural Determinar tambeacutem as perdas de pressatildeo em todos os

trechos da caldeira

31 - Contraccedilatildeo das secccedilotildees (1) - (2)

Como jaacute vimos a equaccedilatildeo do balanccedilo das pressotildees eacute

1 pr Vl 1 p 2 o V 2 P2 V2

1 2 g 2 + 2 g + K12 2g otilde c amp c e c

bullraquo 2 o2 2 e havendo uma soacute fase k 1 9 = (l-o ) = (1 mdash ) e sendo

C 2

p l = p2

v x lt lt lt v 2

P 2 V pr p2 bull ir2 bull ( 1 + k12gt

Colocando em termos de temos

A 2 V 2 P 2 = A 7 V 7 p 7 (continuidade)

V = V mdashbull = V o_bdquo ~ A 2 2 2

P 2 V - p 2

p r p 2 = ir2 - deg72 bull Ccedilrgt bull lt 1 + ki2gt

fazendo

N12 - lt^gt deg72 ( 1 + k12gt

P7 V7

Pr P2 - N12 bull HG

77

3 2 - Perda de carga no trecho ( 2 ) - ( 3 )

Como haacute apenas uma fase soacute temos perdas por atritos e

perdas hidrostaacuteticas

Sendo como jaacute vimos

2 3 p 2 2 g P 2 P 3 = f 2 3 (r~2g^~) L 2 3 g c p

atrito hidrostaacutetica

Substituindo V^ pela relaccedilatildeo do item anterior e tendo em

conta que p = vem

P -P = f 2 r 3 2 3 D

2 3 p 2 bdquo 2 2 p 7 2

2 g 7 72 p 2 3 g

Se

L 2 3 2 p 7

2 3 2 3 D 2 a 7 2 p 2

P 7 V 7 g P 2 - P 3 = N 2 3 ( mdash gt p 2 L 2 3 f

3 3 - Expansatildeo nas secccedilotildees ( 3 ) - ( 4 )

Como vimos o balanccedilo das pressotildees e

2 2 2 p V p 4 V p V

P 3 + 2 g c

P 4 + 2 g c

+ k 3 4 2 g c

onde

k 3 4 - - -

2 2 1 P 4 - V 4 P 3 v 3

P 3 P 4 = 2 g + ( k 3 4 _ 1 ) 2 g

78

Sendo

P 3 - P 4

p 3 o A 3 deg V 3 = P 7

a A 7 o V 7

P 4A 4 0V 4 = P r A r V

3 7 A 3 p 3

A7 P7 V = v mdash mdash 4 7 P 4

P - P 3 r4

Se

P bdquo - P

bdquo2 r-P 7 V 7

3 4 2g deg74 + ( k 3 4 1 ) deg73

34 p deg74 + ( k 3 4 1 ) 73

p r v2

P3- P4 ^ N34 ^ gt

(No caso e negativo)

34 - Contraccedilatildeo nas secccedilotildees (5) - (6)

Ainda temos uma so fase e fazendo o balanccedilo das pressotildees

como fizemos no item 3lt1 vem

P + vil p + vi + k vi P 5 + 2gbdquo P6 + 2gbdquo + k56 2gbdquo

k 5 6 lt 1 ^ gt 2 ( 1 - Iacute 2 i 2 6

V V6 P5degIacute 5^6 ^SS 2g c - 2g c

P - P ^ = (1+kJ

Como

79

A 6

W p 5 =

VV P6 V 5 = V 6 Jiexcl = Vff65

P 5-P 6 - lt H k 5 6 ) mdash ^ mdash (l+k 5 6-a 6 5) c c c

Sendo

Se

A 7 p 7 p 7

6 7 Ag p 6 7 76 p 6

p _p _ P6- V7- g76 iquest72 ( _ 02 P 5 P 6 2g c bull ( p 6

( 1 + k 5 6 deg65 )

p 7 2 2 N56 = p ^ deg76 ( 1 + k 5 6 ~ a 6 5 )

P 7 V 2

7

P r-P = N r 5 6 56 2g c i

35 - Perdas de pressatildeo nas zonas (6) - (7) - Pre^aquecimento

Nesta regiatildeo temos perdas por atrito e hidrostaacuteticas

Nao haacute perda por aceleraccedilatildeo pois ainda natildeo houve formaccedilatildeo de boshy

lhas

Fazendo balanccedilo das pressotildees temos

L_ ppound-V p = p + otilde L - pound _ + f -Si (-21mdashL 6 7 + p67 L67 g + t 6 7 D K 2g

p _ e ifn sao tomados como valores meacutedios 67 67

P _p _ f hl ^67jIacute uuml + - L A

6 F 7 r67 D 2g P P67 L67 g 6 s c 7 c

S e Kr pound67 L67 p67 6 7 D 6 p7

p7 V - _g_ P6- P7 - N67 mdash + P67 L67 f

c c

80

36 - Perda de pressatildeo nas zonas (7) - (8) - Zona de ebuliccedilatildeo

Nesta regiatildeo j aacute temos o aparecimento de bolhas logo a

perda de pressatildeo seraacute devida agraves t recircs parcelas aceleraccedilatildeo a t r i t o

das duas fases liacutequidas + vapor e h idros taacute t ica

onde

Assim

P-P Q = AP + AP + APbdquo 7 8 a t r i t o acel H

T M1

78 p 7 7 AP - R f- - mdash mdashr |R = fator mult ipl ica-

a t r i t o 7 D 7 2 g c L tivo

G 2

AP bull r mdash acel g c

P V

|_1 - o a p J 8 P f

2 t r 2 M2

7 7 r 7 7 A P a c e l = -J^mdash 2 r bull p 7 lt T iexcl iexcl - )

A PH p 7 8 L 7 8 fiexcl

p 7 8 iacute 7 li 1 0 0 P l i q + a P v ] d L = P 7 ( 1 - laquo 7 8 )

ag raquo fraccedilatildeo de vazio media entre 7 e 8

APH = p (1 - 5 7 g ) f- L 7 8

2 2

P 7 - P 8 a 5 - 2 T i + 2 r p 7 + P 7 ( 1 - 7 8 gt f L 7 8 7 amp c amp c amp c

81

N 7g = R mdash + 2 r p 7

P7 V7 P7- P8 = N78 + P 7 ( 1 5 7 8 gt J78

37 - Expansatildeo nas secccedilotildees 8 e 9

No caso haacute uma expansatildeo com duas fases e como vimos no

item 12 a variaccedilatildeo de pressatildeo era dada por

0f Vo P2 P1 = ~2g c ( 2 deg12

x 2 (mdash)(mdash - mdash ) + ( l - x ) 2 ^ T mdash 8 1 2 1

12

Aplicando ao nosso caso

P pound = P 7

P -P = 8 9

V - V raquo V g f 7

P 7 V 2

2 pf 1 a89 2 1 g89 x (mdash) ( ) + (1-x) (- - N

o ou abdquo 1-cu l-ot_) g 8 9 8 9

Se

N 89

= 2 a 89

2 pf 1 deg89 2 1 CT89 x (mdash) ( ) + (1-x) ( T

g 8 9 8 9

P -P = 8 9

- N P7deg V7

89 2gbdquo

38 - Perda de pressatildeo no trecho 9 e 10

No referido trecho temos apenas perda de pressatildeo por atr L

to da fase liacutequido + vapor e perda hidrostaacutetica Natildeo haacute perda por

aceleraccedilatildeo do vapor pois este natildeo recebe mais calor e portanto

o 82 o

nao ha variaccedilatildeo no a

p

Q -p i n = A P

U + A P bull 9 10 H atrito

n T -S_ P9 U10 deg 910 bull g

fio r

910 I 910

J9 L

(l- a)P + Q P I dL liq v

(l-a0) p

No caso a = (nao hatilde variaccedilatildeo de forma)

A P H - (1-a ) P (p L 0

c

AP bdquo = R o

atrito

2 f9 o L910 P9 V9

2g

Supondo

= V

P 9 = P 8 P 7

vbdquo = v 9 8 0 A r

= V 7 bull deg89

AP - R atrito

2 2

W l O p7deg V7deg g89

V P10 R -^T^ bull deg89 bull li-2 + ( W P 7 (fgt SIO

y c c

Se

- f9 L910 2 N9ol0 R Dl deg89

w 2

p rv P9 P10 = VlO + ( 1 a 9 ) p7 (f gt L910 c

33

39 - Perda ciacutee pressatildeo na expansatildeo 9 - 1 0

Analogamente a expansatildeo 8 - 9 temos

10 11 P 7 2g

10 Iacute 2 0 1 0 - 1 1 gt

2 ff

pg aio

10-11

laquo11 ) +

Ll-a 1 0 bull l-a u J

Se

V10 = V 9 = V 8 bull T9 = V 7 deg89

P -P 10 rll = - a 2g 089 ^lO-ll

4 bull T~ bull (7 1 mdash ) + Pg degio a n

+ (l-x)2(- 1 10-11

1 - aio )

N10-ll = 2 a10-ll a89 2 pf t 1 10-11 N2

-(j-r- - ) bull+ (1-x) pg aio deg 1

10-11 k l - a io

prz P10 Pll = - N10-ll bull ( 2gbdquo

310 - Calculo de V

Fazendo a somatoacuteria de todas as expressotildees (P^-Pj) tere-

84

mos 2 PbdquoV_

P bdquo - P bdquo = N 7 v 7

1 2 12 2g

bull 2 - P 3 - = N 2 3 P 2 L 2 3 f c ccedil

9 P 7 V 7 P _p = N mdash -

3 4 34 deg 2g

V P 5 = deg

2 P V

5 6 56 2 g c

ltr2

P 7 -V 6 e7 -N67 2g + p 6 7 J j67 g

c bc v 2

P 7 - P 8 = N 7 8 - 2 i ~ + p 7 ( 1 - laquo 7 8 ) L 7 8 c

P 7 V 7

P - P - -N mdash - -8 9 89 2g

c P 7 V 7

P 9 ~ P 1 0 VlO 2g + ( 1 a 9 P 7 L 9 c

P 7 V 7

bull10 11 U10-ll 2g

P v iacute j P - P

1 11

7 - v 7 3 bull r

2 8 i U L 2 23 67

(l-5 7 8) L 7 8 + ( l - laquo 9 ) P 7 bull SlOtilde]- ^

Por ou t ro lado sabemos que como secccedilotildees 1

mesmo n iacute v e l

85

s c p r v 7 j

28 Z N i ij

= P 2 L23 p67 L67 P 7 ( 1~deg78 )

78 ~ ^g) bull P 7 bull L 910 g_

V - 2 g ( p r L 2 3 - p 6 r L 6 7 - p 7 ( l - atilde 7 8 ) L 7 8 - (l-a9) p L 9 a ( )

y N

Com esse valor de podemos determinar todas as variashy

ccedilotildees de pressatildeo (P^-P )

BIBLIOGRAFIA

- WoR Gambill - Notas de aula dos seminaacuterios realizados no Insshy

tituto de Energia Atocircmica de Sao Paulo em 1966 (roteiro)

- WR Gambill - Nuclear Safety

Vol 9 - n9 5 e 6

Vol 6 - n 2 (pag 152)

Vol 4 -r n9 1 (pag 30)

Volbdquo 5 - n 2 (pag 151)

- WRo Gambill - Chemical Eng Prog ndeg 54 (Outubro)

~ El Wakil - Nuclear Power

- Jakob Max - Heat Transfer (vol I)

Mc Adams - Heat Transmission

- Paul A Lottes - Argonne National Laboratory

- AKL - 6469

- ANL - 6561

86

Knudsen e Katz - Fluid Dinamics and Heat Transfer

Frank Kreith - Principles of Heat Transfer

Journeacutees Internationales de la transmission de la chaleur

Seminaacuterios realizados em Paris em 1961 sob a supervisatildeo do

Prof Marcel Veron

Notas de aula da Cadeira de Termodinacircmica I e Transmissatildeo da

Escola Politeacutecnica da Universidade de Sao Paulo

  • 0000100
  • 0000200
  • 0000300
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Page 77: ALGUNS PROBLEMAS DE HIDRODINÂMICA E CONVECÇÃO DE … · alguns problemas de hidrodinÂmica e convecÇÃo de calor em reatores de potÊncia, segundo aulas do ... b - convecÇao

73

tem significado pois corresponde a mudanccedila de fase

2 CONTRACcedilAtildeO KO FLUXO DE UM FLUIDO

21 - Uma so fase raquo mdash

Aqui ocorre um fenocircmeno importante pois o fluido ao ser

contraiacutedo nao vai diretamente da area A^ para a area A 0 mas ele

contral-se ate uma area A^ e depois expande-se ate k^

Ao A2

Po IP 2

V 2

Figura 2

Fazendo o equiliacutebrio das pressotildees entre os planos (1)

(0) vem 2 2

pV pV p +~ plusmn - P + i deg bull 1 2 g o 2 g (b)

C x

Fazendo equiliacutebrio da expansatildeo (0) - (2) vem

P o + 2 - f = P 2 + 2 -T + kp- 2 F ( c )

c c b C

Subtraindo (b) - (c)

2 2 2

i p- vj i p- v2 L P l + 2 bull g c

P 2 + 2 2g c

+ k P 2g c

74

Como

P - P = mdash 2 2g

2 2

bull (1 + k) - f bdquo mdash i

k a - f2 ) 2 - d - o c )2

= o

A = a 21

Weisback obteve varias relaccedilotildees entre a e a i] c

01 02 03 a 0624 0632 0643 c

0624 0632

A r v i - V v 2

p -p 1 2

P -P 1 2 2g7

v l =

(1+k) - laquofi- a 2g 21 c

( 1 + k - o 2 1)

X[- V 2 o 2 1V 2

22 - Duas fases

0 valor de k pode ser aproximado para

k = a(l - o 2 1)

onde segundo Richardsons para fluxo de duas fases podemos supor

a = 02

Para fluxo homogeacuteneo sabemos que

75

p = p f (1 -a ) + p o a

podemos supor p bdquo a = 0 pois p e pequeno e fazendo

V = V ~ V fbdquo2 go2 v 2

Substituindo estas duas expressotildees na equaccedilatildeo de uma soacute fase vem

2 2 p V (l-ct) p V (1 -a ) bdquo

P l P 2 = 9g ( 1 + 3 - 3 0 ^ - 0 ^ ) = g (a+1) (l-a^)

Se a = 02

2 12p oV 0

p r p

2 - 9g gt d-) d-sigt

A compressatildeo de um fluido acarreta uma perda de pressatildeo

como pode ser verificado pelas formulas uma vez que lt 1deg

3 ANALISE HIDRODINAcircMICA DE UM CIRCUITO EM CIRCULACcedilAtildeO NATURAL

Esquema deacute uma caldeira com circulaccedilatildeo natural

76

Determinar a velocidade em (7) para que tenhamos circula

ccedilatildeo natural Determinar tambeacutem as perdas de pressatildeo em todos os

trechos da caldeira

31 - Contraccedilatildeo das secccedilotildees (1) - (2)

Como jaacute vimos a equaccedilatildeo do balanccedilo das pressotildees eacute

1 pr Vl 1 p 2 o V 2 P2 V2

1 2 g 2 + 2 g + K12 2g otilde c amp c e c

bullraquo 2 o2 2 e havendo uma soacute fase k 1 9 = (l-o ) = (1 mdash ) e sendo

C 2

p l = p2

v x lt lt lt v 2

P 2 V pr p2 bull ir2 bull ( 1 + k12gt

Colocando em termos de temos

A 2 V 2 P 2 = A 7 V 7 p 7 (continuidade)

V = V mdashbull = V o_bdquo ~ A 2 2 2

P 2 V - p 2

p r p 2 = ir2 - deg72 bull Ccedilrgt bull lt 1 + ki2gt

fazendo

N12 - lt^gt deg72 ( 1 + k12gt

P7 V7

Pr P2 - N12 bull HG

77

3 2 - Perda de carga no trecho ( 2 ) - ( 3 )

Como haacute apenas uma fase soacute temos perdas por atritos e

perdas hidrostaacuteticas

Sendo como jaacute vimos

2 3 p 2 2 g P 2 P 3 = f 2 3 (r~2g^~) L 2 3 g c p

atrito hidrostaacutetica

Substituindo V^ pela relaccedilatildeo do item anterior e tendo em

conta que p = vem

P -P = f 2 r 3 2 3 D

2 3 p 2 bdquo 2 2 p 7 2

2 g 7 72 p 2 3 g

Se

L 2 3 2 p 7

2 3 2 3 D 2 a 7 2 p 2

P 7 V 7 g P 2 - P 3 = N 2 3 ( mdash gt p 2 L 2 3 f

3 3 - Expansatildeo nas secccedilotildees ( 3 ) - ( 4 )

Como vimos o balanccedilo das pressotildees e

2 2 2 p V p 4 V p V

P 3 + 2 g c

P 4 + 2 g c

+ k 3 4 2 g c

onde

k 3 4 - - -

2 2 1 P 4 - V 4 P 3 v 3

P 3 P 4 = 2 g + ( k 3 4 _ 1 ) 2 g

78

Sendo

P 3 - P 4

p 3 o A 3 deg V 3 = P 7

a A 7 o V 7

P 4A 4 0V 4 = P r A r V

3 7 A 3 p 3

A7 P7 V = v mdash mdash 4 7 P 4

P - P 3 r4

Se

P bdquo - P

bdquo2 r-P 7 V 7

3 4 2g deg74 + ( k 3 4 1 ) deg73

34 p deg74 + ( k 3 4 1 ) 73

p r v2

P3- P4 ^ N34 ^ gt

(No caso e negativo)

34 - Contraccedilatildeo nas secccedilotildees (5) - (6)

Ainda temos uma so fase e fazendo o balanccedilo das pressotildees

como fizemos no item 3lt1 vem

P + vil p + vi + k vi P 5 + 2gbdquo P6 + 2gbdquo + k56 2gbdquo

k 5 6 lt 1 ^ gt 2 ( 1 - Iacute 2 i 2 6

V V6 P5degIacute 5^6 ^SS 2g c - 2g c

P - P ^ = (1+kJ

Como

79

A 6

W p 5 =

VV P6 V 5 = V 6 Jiexcl = Vff65

P 5-P 6 - lt H k 5 6 ) mdash ^ mdash (l+k 5 6-a 6 5) c c c

Sendo

Se

A 7 p 7 p 7

6 7 Ag p 6 7 76 p 6

p _p _ P6- V7- g76 iquest72 ( _ 02 P 5 P 6 2g c bull ( p 6

( 1 + k 5 6 deg65 )

p 7 2 2 N56 = p ^ deg76 ( 1 + k 5 6 ~ a 6 5 )

P 7 V 2

7

P r-P = N r 5 6 56 2g c i

35 - Perdas de pressatildeo nas zonas (6) - (7) - Pre^aquecimento

Nesta regiatildeo temos perdas por atrito e hidrostaacuteticas

Nao haacute perda por aceleraccedilatildeo pois ainda natildeo houve formaccedilatildeo de boshy

lhas

Fazendo balanccedilo das pressotildees temos

L_ ppound-V p = p + otilde L - pound _ + f -Si (-21mdashL 6 7 + p67 L67 g + t 6 7 D K 2g

p _ e ifn sao tomados como valores meacutedios 67 67

P _p _ f hl ^67jIacute uuml + - L A

6 F 7 r67 D 2g P P67 L67 g 6 s c 7 c

S e Kr pound67 L67 p67 6 7 D 6 p7

p7 V - _g_ P6- P7 - N67 mdash + P67 L67 f

c c

80

36 - Perda de pressatildeo nas zonas (7) - (8) - Zona de ebuliccedilatildeo

Nesta regiatildeo j aacute temos o aparecimento de bolhas logo a

perda de pressatildeo seraacute devida agraves t recircs parcelas aceleraccedilatildeo a t r i t o

das duas fases liacutequidas + vapor e h idros taacute t ica

onde

Assim

P-P Q = AP + AP + APbdquo 7 8 a t r i t o acel H

T M1

78 p 7 7 AP - R f- - mdash mdashr |R = fator mult ipl ica-

a t r i t o 7 D 7 2 g c L tivo

G 2

AP bull r mdash acel g c

P V

|_1 - o a p J 8 P f

2 t r 2 M2

7 7 r 7 7 A P a c e l = -J^mdash 2 r bull p 7 lt T iexcl iexcl - )

A PH p 7 8 L 7 8 fiexcl

p 7 8 iacute 7 li 1 0 0 P l i q + a P v ] d L = P 7 ( 1 - laquo 7 8 )

ag raquo fraccedilatildeo de vazio media entre 7 e 8

APH = p (1 - 5 7 g ) f- L 7 8

2 2

P 7 - P 8 a 5 - 2 T i + 2 r p 7 + P 7 ( 1 - 7 8 gt f L 7 8 7 amp c amp c amp c

81

N 7g = R mdash + 2 r p 7

P7 V7 P7- P8 = N78 + P 7 ( 1 5 7 8 gt J78

37 - Expansatildeo nas secccedilotildees 8 e 9

No caso haacute uma expansatildeo com duas fases e como vimos no

item 12 a variaccedilatildeo de pressatildeo era dada por

0f Vo P2 P1 = ~2g c ( 2 deg12

x 2 (mdash)(mdash - mdash ) + ( l - x ) 2 ^ T mdash 8 1 2 1

12

Aplicando ao nosso caso

P pound = P 7

P -P = 8 9

V - V raquo V g f 7

P 7 V 2

2 pf 1 a89 2 1 g89 x (mdash) ( ) + (1-x) (- - N

o ou abdquo 1-cu l-ot_) g 8 9 8 9

Se

N 89

= 2 a 89

2 pf 1 deg89 2 1 CT89 x (mdash) ( ) + (1-x) ( T

g 8 9 8 9

P -P = 8 9

- N P7deg V7

89 2gbdquo

38 - Perda de pressatildeo no trecho 9 e 10

No referido trecho temos apenas perda de pressatildeo por atr L

to da fase liacutequido + vapor e perda hidrostaacutetica Natildeo haacute perda por

aceleraccedilatildeo do vapor pois este natildeo recebe mais calor e portanto

o 82 o

nao ha variaccedilatildeo no a

p

Q -p i n = A P

U + A P bull 9 10 H atrito

n T -S_ P9 U10 deg 910 bull g

fio r

910 I 910

J9 L

(l- a)P + Q P I dL liq v

(l-a0) p

No caso a = (nao hatilde variaccedilatildeo de forma)

A P H - (1-a ) P (p L 0

c

AP bdquo = R o

atrito

2 f9 o L910 P9 V9

2g

Supondo

= V

P 9 = P 8 P 7

vbdquo = v 9 8 0 A r

= V 7 bull deg89

AP - R atrito

2 2

W l O p7deg V7deg g89

V P10 R -^T^ bull deg89 bull li-2 + ( W P 7 (fgt SIO

y c c

Se

- f9 L910 2 N9ol0 R Dl deg89

w 2

p rv P9 P10 = VlO + ( 1 a 9 ) p7 (f gt L910 c

33

39 - Perda ciacutee pressatildeo na expansatildeo 9 - 1 0

Analogamente a expansatildeo 8 - 9 temos

10 11 P 7 2g

10 Iacute 2 0 1 0 - 1 1 gt

2 ff

pg aio

10-11

laquo11 ) +

Ll-a 1 0 bull l-a u J

Se

V10 = V 9 = V 8 bull T9 = V 7 deg89

P -P 10 rll = - a 2g 089 ^lO-ll

4 bull T~ bull (7 1 mdash ) + Pg degio a n

+ (l-x)2(- 1 10-11

1 - aio )

N10-ll = 2 a10-ll a89 2 pf t 1 10-11 N2

-(j-r- - ) bull+ (1-x) pg aio deg 1

10-11 k l - a io

prz P10 Pll = - N10-ll bull ( 2gbdquo

310 - Calculo de V

Fazendo a somatoacuteria de todas as expressotildees (P^-Pj) tere-

84

mos 2 PbdquoV_

P bdquo - P bdquo = N 7 v 7

1 2 12 2g

bull 2 - P 3 - = N 2 3 P 2 L 2 3 f c ccedil

9 P 7 V 7 P _p = N mdash -

3 4 34 deg 2g

V P 5 = deg

2 P V

5 6 56 2 g c

ltr2

P 7 -V 6 e7 -N67 2g + p 6 7 J j67 g

c bc v 2

P 7 - P 8 = N 7 8 - 2 i ~ + p 7 ( 1 - laquo 7 8 ) L 7 8 c

P 7 V 7

P - P - -N mdash - -8 9 89 2g

c P 7 V 7

P 9 ~ P 1 0 VlO 2g + ( 1 a 9 P 7 L 9 c

P 7 V 7

bull10 11 U10-ll 2g

P v iacute j P - P

1 11

7 - v 7 3 bull r

2 8 i U L 2 23 67

(l-5 7 8) L 7 8 + ( l - laquo 9 ) P 7 bull SlOtilde]- ^

Por ou t ro lado sabemos que como secccedilotildees 1

mesmo n iacute v e l

85

s c p r v 7 j

28 Z N i ij

= P 2 L23 p67 L67 P 7 ( 1~deg78 )

78 ~ ^g) bull P 7 bull L 910 g_

V - 2 g ( p r L 2 3 - p 6 r L 6 7 - p 7 ( l - atilde 7 8 ) L 7 8 - (l-a9) p L 9 a ( )

y N

Com esse valor de podemos determinar todas as variashy

ccedilotildees de pressatildeo (P^-P )

BIBLIOGRAFIA

- WoR Gambill - Notas de aula dos seminaacuterios realizados no Insshy

tituto de Energia Atocircmica de Sao Paulo em 1966 (roteiro)

- WR Gambill - Nuclear Safety

Vol 9 - n9 5 e 6

Vol 6 - n 2 (pag 152)

Vol 4 -r n9 1 (pag 30)

Volbdquo 5 - n 2 (pag 151)

- WRo Gambill - Chemical Eng Prog ndeg 54 (Outubro)

~ El Wakil - Nuclear Power

- Jakob Max - Heat Transfer (vol I)

Mc Adams - Heat Transmission

- Paul A Lottes - Argonne National Laboratory

- AKL - 6469

- ANL - 6561

86

Knudsen e Katz - Fluid Dinamics and Heat Transfer

Frank Kreith - Principles of Heat Transfer

Journeacutees Internationales de la transmission de la chaleur

Seminaacuterios realizados em Paris em 1961 sob a supervisatildeo do

Prof Marcel Veron

Notas de aula da Cadeira de Termodinacircmica I e Transmissatildeo da

Escola Politeacutecnica da Universidade de Sao Paulo

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  • 0000200
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Page 78: ALGUNS PROBLEMAS DE HIDRODINÂMICA E CONVECÇÃO DE … · alguns problemas de hidrodinÂmica e convecÇÃo de calor em reatores de potÊncia, segundo aulas do ... b - convecÇao

74

Como

P - P = mdash 2 2g

2 2

bull (1 + k) - f bdquo mdash i

k a - f2 ) 2 - d - o c )2

= o

A = a 21

Weisback obteve varias relaccedilotildees entre a e a i] c

01 02 03 a 0624 0632 0643 c

0624 0632

A r v i - V v 2

p -p 1 2

P -P 1 2 2g7

v l =

(1+k) - laquofi- a 2g 21 c

( 1 + k - o 2 1)

X[- V 2 o 2 1V 2

22 - Duas fases

0 valor de k pode ser aproximado para

k = a(l - o 2 1)

onde segundo Richardsons para fluxo de duas fases podemos supor

a = 02

Para fluxo homogeacuteneo sabemos que

75

p = p f (1 -a ) + p o a

podemos supor p bdquo a = 0 pois p e pequeno e fazendo

V = V ~ V fbdquo2 go2 v 2

Substituindo estas duas expressotildees na equaccedilatildeo de uma soacute fase vem

2 2 p V (l-ct) p V (1 -a ) bdquo

P l P 2 = 9g ( 1 + 3 - 3 0 ^ - 0 ^ ) = g (a+1) (l-a^)

Se a = 02

2 12p oV 0

p r p

2 - 9g gt d-) d-sigt

A compressatildeo de um fluido acarreta uma perda de pressatildeo

como pode ser verificado pelas formulas uma vez que lt 1deg

3 ANALISE HIDRODINAcircMICA DE UM CIRCUITO EM CIRCULACcedilAtildeO NATURAL

Esquema deacute uma caldeira com circulaccedilatildeo natural

76

Determinar a velocidade em (7) para que tenhamos circula

ccedilatildeo natural Determinar tambeacutem as perdas de pressatildeo em todos os

trechos da caldeira

31 - Contraccedilatildeo das secccedilotildees (1) - (2)

Como jaacute vimos a equaccedilatildeo do balanccedilo das pressotildees eacute

1 pr Vl 1 p 2 o V 2 P2 V2

1 2 g 2 + 2 g + K12 2g otilde c amp c e c

bullraquo 2 o2 2 e havendo uma soacute fase k 1 9 = (l-o ) = (1 mdash ) e sendo

C 2

p l = p2

v x lt lt lt v 2

P 2 V pr p2 bull ir2 bull ( 1 + k12gt

Colocando em termos de temos

A 2 V 2 P 2 = A 7 V 7 p 7 (continuidade)

V = V mdashbull = V o_bdquo ~ A 2 2 2

P 2 V - p 2

p r p 2 = ir2 - deg72 bull Ccedilrgt bull lt 1 + ki2gt

fazendo

N12 - lt^gt deg72 ( 1 + k12gt

P7 V7

Pr P2 - N12 bull HG

77

3 2 - Perda de carga no trecho ( 2 ) - ( 3 )

Como haacute apenas uma fase soacute temos perdas por atritos e

perdas hidrostaacuteticas

Sendo como jaacute vimos

2 3 p 2 2 g P 2 P 3 = f 2 3 (r~2g^~) L 2 3 g c p

atrito hidrostaacutetica

Substituindo V^ pela relaccedilatildeo do item anterior e tendo em

conta que p = vem

P -P = f 2 r 3 2 3 D

2 3 p 2 bdquo 2 2 p 7 2

2 g 7 72 p 2 3 g

Se

L 2 3 2 p 7

2 3 2 3 D 2 a 7 2 p 2

P 7 V 7 g P 2 - P 3 = N 2 3 ( mdash gt p 2 L 2 3 f

3 3 - Expansatildeo nas secccedilotildees ( 3 ) - ( 4 )

Como vimos o balanccedilo das pressotildees e

2 2 2 p V p 4 V p V

P 3 + 2 g c

P 4 + 2 g c

+ k 3 4 2 g c

onde

k 3 4 - - -

2 2 1 P 4 - V 4 P 3 v 3

P 3 P 4 = 2 g + ( k 3 4 _ 1 ) 2 g

78

Sendo

P 3 - P 4

p 3 o A 3 deg V 3 = P 7

a A 7 o V 7

P 4A 4 0V 4 = P r A r V

3 7 A 3 p 3

A7 P7 V = v mdash mdash 4 7 P 4

P - P 3 r4

Se

P bdquo - P

bdquo2 r-P 7 V 7

3 4 2g deg74 + ( k 3 4 1 ) deg73

34 p deg74 + ( k 3 4 1 ) 73

p r v2

P3- P4 ^ N34 ^ gt

(No caso e negativo)

34 - Contraccedilatildeo nas secccedilotildees (5) - (6)

Ainda temos uma so fase e fazendo o balanccedilo das pressotildees

como fizemos no item 3lt1 vem

P + vil p + vi + k vi P 5 + 2gbdquo P6 + 2gbdquo + k56 2gbdquo

k 5 6 lt 1 ^ gt 2 ( 1 - Iacute 2 i 2 6

V V6 P5degIacute 5^6 ^SS 2g c - 2g c

P - P ^ = (1+kJ

Como

79

A 6

W p 5 =

VV P6 V 5 = V 6 Jiexcl = Vff65

P 5-P 6 - lt H k 5 6 ) mdash ^ mdash (l+k 5 6-a 6 5) c c c

Sendo

Se

A 7 p 7 p 7

6 7 Ag p 6 7 76 p 6

p _p _ P6- V7- g76 iquest72 ( _ 02 P 5 P 6 2g c bull ( p 6

( 1 + k 5 6 deg65 )

p 7 2 2 N56 = p ^ deg76 ( 1 + k 5 6 ~ a 6 5 )

P 7 V 2

7

P r-P = N r 5 6 56 2g c i

35 - Perdas de pressatildeo nas zonas (6) - (7) - Pre^aquecimento

Nesta regiatildeo temos perdas por atrito e hidrostaacuteticas

Nao haacute perda por aceleraccedilatildeo pois ainda natildeo houve formaccedilatildeo de boshy

lhas

Fazendo balanccedilo das pressotildees temos

L_ ppound-V p = p + otilde L - pound _ + f -Si (-21mdashL 6 7 + p67 L67 g + t 6 7 D K 2g

p _ e ifn sao tomados como valores meacutedios 67 67

P _p _ f hl ^67jIacute uuml + - L A

6 F 7 r67 D 2g P P67 L67 g 6 s c 7 c

S e Kr pound67 L67 p67 6 7 D 6 p7

p7 V - _g_ P6- P7 - N67 mdash + P67 L67 f

c c

80

36 - Perda de pressatildeo nas zonas (7) - (8) - Zona de ebuliccedilatildeo

Nesta regiatildeo j aacute temos o aparecimento de bolhas logo a

perda de pressatildeo seraacute devida agraves t recircs parcelas aceleraccedilatildeo a t r i t o

das duas fases liacutequidas + vapor e h idros taacute t ica

onde

Assim

P-P Q = AP + AP + APbdquo 7 8 a t r i t o acel H

T M1

78 p 7 7 AP - R f- - mdash mdashr |R = fator mult ipl ica-

a t r i t o 7 D 7 2 g c L tivo

G 2

AP bull r mdash acel g c

P V

|_1 - o a p J 8 P f

2 t r 2 M2

7 7 r 7 7 A P a c e l = -J^mdash 2 r bull p 7 lt T iexcl iexcl - )

A PH p 7 8 L 7 8 fiexcl

p 7 8 iacute 7 li 1 0 0 P l i q + a P v ] d L = P 7 ( 1 - laquo 7 8 )

ag raquo fraccedilatildeo de vazio media entre 7 e 8

APH = p (1 - 5 7 g ) f- L 7 8

2 2

P 7 - P 8 a 5 - 2 T i + 2 r p 7 + P 7 ( 1 - 7 8 gt f L 7 8 7 amp c amp c amp c

81

N 7g = R mdash + 2 r p 7

P7 V7 P7- P8 = N78 + P 7 ( 1 5 7 8 gt J78

37 - Expansatildeo nas secccedilotildees 8 e 9

No caso haacute uma expansatildeo com duas fases e como vimos no

item 12 a variaccedilatildeo de pressatildeo era dada por

0f Vo P2 P1 = ~2g c ( 2 deg12

x 2 (mdash)(mdash - mdash ) + ( l - x ) 2 ^ T mdash 8 1 2 1

12

Aplicando ao nosso caso

P pound = P 7

P -P = 8 9

V - V raquo V g f 7

P 7 V 2

2 pf 1 a89 2 1 g89 x (mdash) ( ) + (1-x) (- - N

o ou abdquo 1-cu l-ot_) g 8 9 8 9

Se

N 89

= 2 a 89

2 pf 1 deg89 2 1 CT89 x (mdash) ( ) + (1-x) ( T

g 8 9 8 9

P -P = 8 9

- N P7deg V7

89 2gbdquo

38 - Perda de pressatildeo no trecho 9 e 10

No referido trecho temos apenas perda de pressatildeo por atr L

to da fase liacutequido + vapor e perda hidrostaacutetica Natildeo haacute perda por

aceleraccedilatildeo do vapor pois este natildeo recebe mais calor e portanto

o 82 o

nao ha variaccedilatildeo no a

p

Q -p i n = A P

U + A P bull 9 10 H atrito

n T -S_ P9 U10 deg 910 bull g

fio r

910 I 910

J9 L

(l- a)P + Q P I dL liq v

(l-a0) p

No caso a = (nao hatilde variaccedilatildeo de forma)

A P H - (1-a ) P (p L 0

c

AP bdquo = R o

atrito

2 f9 o L910 P9 V9

2g

Supondo

= V

P 9 = P 8 P 7

vbdquo = v 9 8 0 A r

= V 7 bull deg89

AP - R atrito

2 2

W l O p7deg V7deg g89

V P10 R -^T^ bull deg89 bull li-2 + ( W P 7 (fgt SIO

y c c

Se

- f9 L910 2 N9ol0 R Dl deg89

w 2

p rv P9 P10 = VlO + ( 1 a 9 ) p7 (f gt L910 c

33

39 - Perda ciacutee pressatildeo na expansatildeo 9 - 1 0

Analogamente a expansatildeo 8 - 9 temos

10 11 P 7 2g

10 Iacute 2 0 1 0 - 1 1 gt

2 ff

pg aio

10-11

laquo11 ) +

Ll-a 1 0 bull l-a u J

Se

V10 = V 9 = V 8 bull T9 = V 7 deg89

P -P 10 rll = - a 2g 089 ^lO-ll

4 bull T~ bull (7 1 mdash ) + Pg degio a n

+ (l-x)2(- 1 10-11

1 - aio )

N10-ll = 2 a10-ll a89 2 pf t 1 10-11 N2

-(j-r- - ) bull+ (1-x) pg aio deg 1

10-11 k l - a io

prz P10 Pll = - N10-ll bull ( 2gbdquo

310 - Calculo de V

Fazendo a somatoacuteria de todas as expressotildees (P^-Pj) tere-

84

mos 2 PbdquoV_

P bdquo - P bdquo = N 7 v 7

1 2 12 2g

bull 2 - P 3 - = N 2 3 P 2 L 2 3 f c ccedil

9 P 7 V 7 P _p = N mdash -

3 4 34 deg 2g

V P 5 = deg

2 P V

5 6 56 2 g c

ltr2

P 7 -V 6 e7 -N67 2g + p 6 7 J j67 g

c bc v 2

P 7 - P 8 = N 7 8 - 2 i ~ + p 7 ( 1 - laquo 7 8 ) L 7 8 c

P 7 V 7

P - P - -N mdash - -8 9 89 2g

c P 7 V 7

P 9 ~ P 1 0 VlO 2g + ( 1 a 9 P 7 L 9 c

P 7 V 7

bull10 11 U10-ll 2g

P v iacute j P - P

1 11

7 - v 7 3 bull r

2 8 i U L 2 23 67

(l-5 7 8) L 7 8 + ( l - laquo 9 ) P 7 bull SlOtilde]- ^

Por ou t ro lado sabemos que como secccedilotildees 1

mesmo n iacute v e l

85

s c p r v 7 j

28 Z N i ij

= P 2 L23 p67 L67 P 7 ( 1~deg78 )

78 ~ ^g) bull P 7 bull L 910 g_

V - 2 g ( p r L 2 3 - p 6 r L 6 7 - p 7 ( l - atilde 7 8 ) L 7 8 - (l-a9) p L 9 a ( )

y N

Com esse valor de podemos determinar todas as variashy

ccedilotildees de pressatildeo (P^-P )

BIBLIOGRAFIA

- WoR Gambill - Notas de aula dos seminaacuterios realizados no Insshy

tituto de Energia Atocircmica de Sao Paulo em 1966 (roteiro)

- WR Gambill - Nuclear Safety

Vol 9 - n9 5 e 6

Vol 6 - n 2 (pag 152)

Vol 4 -r n9 1 (pag 30)

Volbdquo 5 - n 2 (pag 151)

- WRo Gambill - Chemical Eng Prog ndeg 54 (Outubro)

~ El Wakil - Nuclear Power

- Jakob Max - Heat Transfer (vol I)

Mc Adams - Heat Transmission

- Paul A Lottes - Argonne National Laboratory

- AKL - 6469

- ANL - 6561

86

Knudsen e Katz - Fluid Dinamics and Heat Transfer

Frank Kreith - Principles of Heat Transfer

Journeacutees Internationales de la transmission de la chaleur

Seminaacuterios realizados em Paris em 1961 sob a supervisatildeo do

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75

p = p f (1 -a ) + p o a

podemos supor p bdquo a = 0 pois p e pequeno e fazendo

V = V ~ V fbdquo2 go2 v 2

Substituindo estas duas expressotildees na equaccedilatildeo de uma soacute fase vem

2 2 p V (l-ct) p V (1 -a ) bdquo

P l P 2 = 9g ( 1 + 3 - 3 0 ^ - 0 ^ ) = g (a+1) (l-a^)

Se a = 02

2 12p oV 0

p r p

2 - 9g gt d-) d-sigt

A compressatildeo de um fluido acarreta uma perda de pressatildeo

como pode ser verificado pelas formulas uma vez que lt 1deg

3 ANALISE HIDRODINAcircMICA DE UM CIRCUITO EM CIRCULACcedilAtildeO NATURAL

Esquema deacute uma caldeira com circulaccedilatildeo natural

76

Determinar a velocidade em (7) para que tenhamos circula

ccedilatildeo natural Determinar tambeacutem as perdas de pressatildeo em todos os

trechos da caldeira

31 - Contraccedilatildeo das secccedilotildees (1) - (2)

Como jaacute vimos a equaccedilatildeo do balanccedilo das pressotildees eacute

1 pr Vl 1 p 2 o V 2 P2 V2

1 2 g 2 + 2 g + K12 2g otilde c amp c e c

bullraquo 2 o2 2 e havendo uma soacute fase k 1 9 = (l-o ) = (1 mdash ) e sendo

C 2

p l = p2

v x lt lt lt v 2

P 2 V pr p2 bull ir2 bull ( 1 + k12gt

Colocando em termos de temos

A 2 V 2 P 2 = A 7 V 7 p 7 (continuidade)

V = V mdashbull = V o_bdquo ~ A 2 2 2

P 2 V - p 2

p r p 2 = ir2 - deg72 bull Ccedilrgt bull lt 1 + ki2gt

fazendo

N12 - lt^gt deg72 ( 1 + k12gt

P7 V7

Pr P2 - N12 bull HG

77

3 2 - Perda de carga no trecho ( 2 ) - ( 3 )

Como haacute apenas uma fase soacute temos perdas por atritos e

perdas hidrostaacuteticas

Sendo como jaacute vimos

2 3 p 2 2 g P 2 P 3 = f 2 3 (r~2g^~) L 2 3 g c p

atrito hidrostaacutetica

Substituindo V^ pela relaccedilatildeo do item anterior e tendo em

conta que p = vem

P -P = f 2 r 3 2 3 D

2 3 p 2 bdquo 2 2 p 7 2

2 g 7 72 p 2 3 g

Se

L 2 3 2 p 7

2 3 2 3 D 2 a 7 2 p 2

P 7 V 7 g P 2 - P 3 = N 2 3 ( mdash gt p 2 L 2 3 f

3 3 - Expansatildeo nas secccedilotildees ( 3 ) - ( 4 )

Como vimos o balanccedilo das pressotildees e

2 2 2 p V p 4 V p V

P 3 + 2 g c

P 4 + 2 g c

+ k 3 4 2 g c

onde

k 3 4 - - -

2 2 1 P 4 - V 4 P 3 v 3

P 3 P 4 = 2 g + ( k 3 4 _ 1 ) 2 g

78

Sendo

P 3 - P 4

p 3 o A 3 deg V 3 = P 7

a A 7 o V 7

P 4A 4 0V 4 = P r A r V

3 7 A 3 p 3

A7 P7 V = v mdash mdash 4 7 P 4

P - P 3 r4

Se

P bdquo - P

bdquo2 r-P 7 V 7

3 4 2g deg74 + ( k 3 4 1 ) deg73

34 p deg74 + ( k 3 4 1 ) 73

p r v2

P3- P4 ^ N34 ^ gt

(No caso e negativo)

34 - Contraccedilatildeo nas secccedilotildees (5) - (6)

Ainda temos uma so fase e fazendo o balanccedilo das pressotildees

como fizemos no item 3lt1 vem

P + vil p + vi + k vi P 5 + 2gbdquo P6 + 2gbdquo + k56 2gbdquo

k 5 6 lt 1 ^ gt 2 ( 1 - Iacute 2 i 2 6

V V6 P5degIacute 5^6 ^SS 2g c - 2g c

P - P ^ = (1+kJ

Como

79

A 6

W p 5 =

VV P6 V 5 = V 6 Jiexcl = Vff65

P 5-P 6 - lt H k 5 6 ) mdash ^ mdash (l+k 5 6-a 6 5) c c c

Sendo

Se

A 7 p 7 p 7

6 7 Ag p 6 7 76 p 6

p _p _ P6- V7- g76 iquest72 ( _ 02 P 5 P 6 2g c bull ( p 6

( 1 + k 5 6 deg65 )

p 7 2 2 N56 = p ^ deg76 ( 1 + k 5 6 ~ a 6 5 )

P 7 V 2

7

P r-P = N r 5 6 56 2g c i

35 - Perdas de pressatildeo nas zonas (6) - (7) - Pre^aquecimento

Nesta regiatildeo temos perdas por atrito e hidrostaacuteticas

Nao haacute perda por aceleraccedilatildeo pois ainda natildeo houve formaccedilatildeo de boshy

lhas

Fazendo balanccedilo das pressotildees temos

L_ ppound-V p = p + otilde L - pound _ + f -Si (-21mdashL 6 7 + p67 L67 g + t 6 7 D K 2g

p _ e ifn sao tomados como valores meacutedios 67 67

P _p _ f hl ^67jIacute uuml + - L A

6 F 7 r67 D 2g P P67 L67 g 6 s c 7 c

S e Kr pound67 L67 p67 6 7 D 6 p7

p7 V - _g_ P6- P7 - N67 mdash + P67 L67 f

c c

80

36 - Perda de pressatildeo nas zonas (7) - (8) - Zona de ebuliccedilatildeo

Nesta regiatildeo j aacute temos o aparecimento de bolhas logo a

perda de pressatildeo seraacute devida agraves t recircs parcelas aceleraccedilatildeo a t r i t o

das duas fases liacutequidas + vapor e h idros taacute t ica

onde

Assim

P-P Q = AP + AP + APbdquo 7 8 a t r i t o acel H

T M1

78 p 7 7 AP - R f- - mdash mdashr |R = fator mult ipl ica-

a t r i t o 7 D 7 2 g c L tivo

G 2

AP bull r mdash acel g c

P V

|_1 - o a p J 8 P f

2 t r 2 M2

7 7 r 7 7 A P a c e l = -J^mdash 2 r bull p 7 lt T iexcl iexcl - )

A PH p 7 8 L 7 8 fiexcl

p 7 8 iacute 7 li 1 0 0 P l i q + a P v ] d L = P 7 ( 1 - laquo 7 8 )

ag raquo fraccedilatildeo de vazio media entre 7 e 8

APH = p (1 - 5 7 g ) f- L 7 8

2 2

P 7 - P 8 a 5 - 2 T i + 2 r p 7 + P 7 ( 1 - 7 8 gt f L 7 8 7 amp c amp c amp c

81

N 7g = R mdash + 2 r p 7

P7 V7 P7- P8 = N78 + P 7 ( 1 5 7 8 gt J78

37 - Expansatildeo nas secccedilotildees 8 e 9

No caso haacute uma expansatildeo com duas fases e como vimos no

item 12 a variaccedilatildeo de pressatildeo era dada por

0f Vo P2 P1 = ~2g c ( 2 deg12

x 2 (mdash)(mdash - mdash ) + ( l - x ) 2 ^ T mdash 8 1 2 1

12

Aplicando ao nosso caso

P pound = P 7

P -P = 8 9

V - V raquo V g f 7

P 7 V 2

2 pf 1 a89 2 1 g89 x (mdash) ( ) + (1-x) (- - N

o ou abdquo 1-cu l-ot_) g 8 9 8 9

Se

N 89

= 2 a 89

2 pf 1 deg89 2 1 CT89 x (mdash) ( ) + (1-x) ( T

g 8 9 8 9

P -P = 8 9

- N P7deg V7

89 2gbdquo

38 - Perda de pressatildeo no trecho 9 e 10

No referido trecho temos apenas perda de pressatildeo por atr L

to da fase liacutequido + vapor e perda hidrostaacutetica Natildeo haacute perda por

aceleraccedilatildeo do vapor pois este natildeo recebe mais calor e portanto

o 82 o

nao ha variaccedilatildeo no a

p

Q -p i n = A P

U + A P bull 9 10 H atrito

n T -S_ P9 U10 deg 910 bull g

fio r

910 I 910

J9 L

(l- a)P + Q P I dL liq v

(l-a0) p

No caso a = (nao hatilde variaccedilatildeo de forma)

A P H - (1-a ) P (p L 0

c

AP bdquo = R o

atrito

2 f9 o L910 P9 V9

2g

Supondo

= V

P 9 = P 8 P 7

vbdquo = v 9 8 0 A r

= V 7 bull deg89

AP - R atrito

2 2

W l O p7deg V7deg g89

V P10 R -^T^ bull deg89 bull li-2 + ( W P 7 (fgt SIO

y c c

Se

- f9 L910 2 N9ol0 R Dl deg89

w 2

p rv P9 P10 = VlO + ( 1 a 9 ) p7 (f gt L910 c

33

39 - Perda ciacutee pressatildeo na expansatildeo 9 - 1 0

Analogamente a expansatildeo 8 - 9 temos

10 11 P 7 2g

10 Iacute 2 0 1 0 - 1 1 gt

2 ff

pg aio

10-11

laquo11 ) +

Ll-a 1 0 bull l-a u J

Se

V10 = V 9 = V 8 bull T9 = V 7 deg89

P -P 10 rll = - a 2g 089 ^lO-ll

4 bull T~ bull (7 1 mdash ) + Pg degio a n

+ (l-x)2(- 1 10-11

1 - aio )

N10-ll = 2 a10-ll a89 2 pf t 1 10-11 N2

-(j-r- - ) bull+ (1-x) pg aio deg 1

10-11 k l - a io

prz P10 Pll = - N10-ll bull ( 2gbdquo

310 - Calculo de V

Fazendo a somatoacuteria de todas as expressotildees (P^-Pj) tere-

84

mos 2 PbdquoV_

P bdquo - P bdquo = N 7 v 7

1 2 12 2g

bull 2 - P 3 - = N 2 3 P 2 L 2 3 f c ccedil

9 P 7 V 7 P _p = N mdash -

3 4 34 deg 2g

V P 5 = deg

2 P V

5 6 56 2 g c

ltr2

P 7 -V 6 e7 -N67 2g + p 6 7 J j67 g

c bc v 2

P 7 - P 8 = N 7 8 - 2 i ~ + p 7 ( 1 - laquo 7 8 ) L 7 8 c

P 7 V 7

P - P - -N mdash - -8 9 89 2g

c P 7 V 7

P 9 ~ P 1 0 VlO 2g + ( 1 a 9 P 7 L 9 c

P 7 V 7

bull10 11 U10-ll 2g

P v iacute j P - P

1 11

7 - v 7 3 bull r

2 8 i U L 2 23 67

(l-5 7 8) L 7 8 + ( l - laquo 9 ) P 7 bull SlOtilde]- ^

Por ou t ro lado sabemos que como secccedilotildees 1

mesmo n iacute v e l

85

s c p r v 7 j

28 Z N i ij

= P 2 L23 p67 L67 P 7 ( 1~deg78 )

78 ~ ^g) bull P 7 bull L 910 g_

V - 2 g ( p r L 2 3 - p 6 r L 6 7 - p 7 ( l - atilde 7 8 ) L 7 8 - (l-a9) p L 9 a ( )

y N

Com esse valor de podemos determinar todas as variashy

ccedilotildees de pressatildeo (P^-P )

BIBLIOGRAFIA

- WoR Gambill - Notas de aula dos seminaacuterios realizados no Insshy

tituto de Energia Atocircmica de Sao Paulo em 1966 (roteiro)

- WR Gambill - Nuclear Safety

Vol 9 - n9 5 e 6

Vol 6 - n 2 (pag 152)

Vol 4 -r n9 1 (pag 30)

Volbdquo 5 - n 2 (pag 151)

- WRo Gambill - Chemical Eng Prog ndeg 54 (Outubro)

~ El Wakil - Nuclear Power

- Jakob Max - Heat Transfer (vol I)

Mc Adams - Heat Transmission

- Paul A Lottes - Argonne National Laboratory

- AKL - 6469

- ANL - 6561

86

Knudsen e Katz - Fluid Dinamics and Heat Transfer

Frank Kreith - Principles of Heat Transfer

Journeacutees Internationales de la transmission de la chaleur

Seminaacuterios realizados em Paris em 1961 sob a supervisatildeo do

Prof Marcel Veron

Notas de aula da Cadeira de Termodinacircmica I e Transmissatildeo da

Escola Politeacutecnica da Universidade de Sao Paulo

  • 0000100
  • 0000200
  • 0000300
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  • 0000500
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76

Determinar a velocidade em (7) para que tenhamos circula

ccedilatildeo natural Determinar tambeacutem as perdas de pressatildeo em todos os

trechos da caldeira

31 - Contraccedilatildeo das secccedilotildees (1) - (2)

Como jaacute vimos a equaccedilatildeo do balanccedilo das pressotildees eacute

1 pr Vl 1 p 2 o V 2 P2 V2

1 2 g 2 + 2 g + K12 2g otilde c amp c e c

bullraquo 2 o2 2 e havendo uma soacute fase k 1 9 = (l-o ) = (1 mdash ) e sendo

C 2

p l = p2

v x lt lt lt v 2

P 2 V pr p2 bull ir2 bull ( 1 + k12gt

Colocando em termos de temos

A 2 V 2 P 2 = A 7 V 7 p 7 (continuidade)

V = V mdashbull = V o_bdquo ~ A 2 2 2

P 2 V - p 2

p r p 2 = ir2 - deg72 bull Ccedilrgt bull lt 1 + ki2gt

fazendo

N12 - lt^gt deg72 ( 1 + k12gt

P7 V7

Pr P2 - N12 bull HG

77

3 2 - Perda de carga no trecho ( 2 ) - ( 3 )

Como haacute apenas uma fase soacute temos perdas por atritos e

perdas hidrostaacuteticas

Sendo como jaacute vimos

2 3 p 2 2 g P 2 P 3 = f 2 3 (r~2g^~) L 2 3 g c p

atrito hidrostaacutetica

Substituindo V^ pela relaccedilatildeo do item anterior e tendo em

conta que p = vem

P -P = f 2 r 3 2 3 D

2 3 p 2 bdquo 2 2 p 7 2

2 g 7 72 p 2 3 g

Se

L 2 3 2 p 7

2 3 2 3 D 2 a 7 2 p 2

P 7 V 7 g P 2 - P 3 = N 2 3 ( mdash gt p 2 L 2 3 f

3 3 - Expansatildeo nas secccedilotildees ( 3 ) - ( 4 )

Como vimos o balanccedilo das pressotildees e

2 2 2 p V p 4 V p V

P 3 + 2 g c

P 4 + 2 g c

+ k 3 4 2 g c

onde

k 3 4 - - -

2 2 1 P 4 - V 4 P 3 v 3

P 3 P 4 = 2 g + ( k 3 4 _ 1 ) 2 g

78

Sendo

P 3 - P 4

p 3 o A 3 deg V 3 = P 7

a A 7 o V 7

P 4A 4 0V 4 = P r A r V

3 7 A 3 p 3

A7 P7 V = v mdash mdash 4 7 P 4

P - P 3 r4

Se

P bdquo - P

bdquo2 r-P 7 V 7

3 4 2g deg74 + ( k 3 4 1 ) deg73

34 p deg74 + ( k 3 4 1 ) 73

p r v2

P3- P4 ^ N34 ^ gt

(No caso e negativo)

34 - Contraccedilatildeo nas secccedilotildees (5) - (6)

Ainda temos uma so fase e fazendo o balanccedilo das pressotildees

como fizemos no item 3lt1 vem

P + vil p + vi + k vi P 5 + 2gbdquo P6 + 2gbdquo + k56 2gbdquo

k 5 6 lt 1 ^ gt 2 ( 1 - Iacute 2 i 2 6

V V6 P5degIacute 5^6 ^SS 2g c - 2g c

P - P ^ = (1+kJ

Como

79

A 6

W p 5 =

VV P6 V 5 = V 6 Jiexcl = Vff65

P 5-P 6 - lt H k 5 6 ) mdash ^ mdash (l+k 5 6-a 6 5) c c c

Sendo

Se

A 7 p 7 p 7

6 7 Ag p 6 7 76 p 6

p _p _ P6- V7- g76 iquest72 ( _ 02 P 5 P 6 2g c bull ( p 6

( 1 + k 5 6 deg65 )

p 7 2 2 N56 = p ^ deg76 ( 1 + k 5 6 ~ a 6 5 )

P 7 V 2

7

P r-P = N r 5 6 56 2g c i

35 - Perdas de pressatildeo nas zonas (6) - (7) - Pre^aquecimento

Nesta regiatildeo temos perdas por atrito e hidrostaacuteticas

Nao haacute perda por aceleraccedilatildeo pois ainda natildeo houve formaccedilatildeo de boshy

lhas

Fazendo balanccedilo das pressotildees temos

L_ ppound-V p = p + otilde L - pound _ + f -Si (-21mdashL 6 7 + p67 L67 g + t 6 7 D K 2g

p _ e ifn sao tomados como valores meacutedios 67 67

P _p _ f hl ^67jIacute uuml + - L A

6 F 7 r67 D 2g P P67 L67 g 6 s c 7 c

S e Kr pound67 L67 p67 6 7 D 6 p7

p7 V - _g_ P6- P7 - N67 mdash + P67 L67 f

c c

80

36 - Perda de pressatildeo nas zonas (7) - (8) - Zona de ebuliccedilatildeo

Nesta regiatildeo j aacute temos o aparecimento de bolhas logo a

perda de pressatildeo seraacute devida agraves t recircs parcelas aceleraccedilatildeo a t r i t o

das duas fases liacutequidas + vapor e h idros taacute t ica

onde

Assim

P-P Q = AP + AP + APbdquo 7 8 a t r i t o acel H

T M1

78 p 7 7 AP - R f- - mdash mdashr |R = fator mult ipl ica-

a t r i t o 7 D 7 2 g c L tivo

G 2

AP bull r mdash acel g c

P V

|_1 - o a p J 8 P f

2 t r 2 M2

7 7 r 7 7 A P a c e l = -J^mdash 2 r bull p 7 lt T iexcl iexcl - )

A PH p 7 8 L 7 8 fiexcl

p 7 8 iacute 7 li 1 0 0 P l i q + a P v ] d L = P 7 ( 1 - laquo 7 8 )

ag raquo fraccedilatildeo de vazio media entre 7 e 8

APH = p (1 - 5 7 g ) f- L 7 8

2 2

P 7 - P 8 a 5 - 2 T i + 2 r p 7 + P 7 ( 1 - 7 8 gt f L 7 8 7 amp c amp c amp c

81

N 7g = R mdash + 2 r p 7

P7 V7 P7- P8 = N78 + P 7 ( 1 5 7 8 gt J78

37 - Expansatildeo nas secccedilotildees 8 e 9

No caso haacute uma expansatildeo com duas fases e como vimos no

item 12 a variaccedilatildeo de pressatildeo era dada por

0f Vo P2 P1 = ~2g c ( 2 deg12

x 2 (mdash)(mdash - mdash ) + ( l - x ) 2 ^ T mdash 8 1 2 1

12

Aplicando ao nosso caso

P pound = P 7

P -P = 8 9

V - V raquo V g f 7

P 7 V 2

2 pf 1 a89 2 1 g89 x (mdash) ( ) + (1-x) (- - N

o ou abdquo 1-cu l-ot_) g 8 9 8 9

Se

N 89

= 2 a 89

2 pf 1 deg89 2 1 CT89 x (mdash) ( ) + (1-x) ( T

g 8 9 8 9

P -P = 8 9

- N P7deg V7

89 2gbdquo

38 - Perda de pressatildeo no trecho 9 e 10

No referido trecho temos apenas perda de pressatildeo por atr L

to da fase liacutequido + vapor e perda hidrostaacutetica Natildeo haacute perda por

aceleraccedilatildeo do vapor pois este natildeo recebe mais calor e portanto

o 82 o

nao ha variaccedilatildeo no a

p

Q -p i n = A P

U + A P bull 9 10 H atrito

n T -S_ P9 U10 deg 910 bull g

fio r

910 I 910

J9 L

(l- a)P + Q P I dL liq v

(l-a0) p

No caso a = (nao hatilde variaccedilatildeo de forma)

A P H - (1-a ) P (p L 0

c

AP bdquo = R o

atrito

2 f9 o L910 P9 V9

2g

Supondo

= V

P 9 = P 8 P 7

vbdquo = v 9 8 0 A r

= V 7 bull deg89

AP - R atrito

2 2

W l O p7deg V7deg g89

V P10 R -^T^ bull deg89 bull li-2 + ( W P 7 (fgt SIO

y c c

Se

- f9 L910 2 N9ol0 R Dl deg89

w 2

p rv P9 P10 = VlO + ( 1 a 9 ) p7 (f gt L910 c

33

39 - Perda ciacutee pressatildeo na expansatildeo 9 - 1 0

Analogamente a expansatildeo 8 - 9 temos

10 11 P 7 2g

10 Iacute 2 0 1 0 - 1 1 gt

2 ff

pg aio

10-11

laquo11 ) +

Ll-a 1 0 bull l-a u J

Se

V10 = V 9 = V 8 bull T9 = V 7 deg89

P -P 10 rll = - a 2g 089 ^lO-ll

4 bull T~ bull (7 1 mdash ) + Pg degio a n

+ (l-x)2(- 1 10-11

1 - aio )

N10-ll = 2 a10-ll a89 2 pf t 1 10-11 N2

-(j-r- - ) bull+ (1-x) pg aio deg 1

10-11 k l - a io

prz P10 Pll = - N10-ll bull ( 2gbdquo

310 - Calculo de V

Fazendo a somatoacuteria de todas as expressotildees (P^-Pj) tere-

84

mos 2 PbdquoV_

P bdquo - P bdquo = N 7 v 7

1 2 12 2g

bull 2 - P 3 - = N 2 3 P 2 L 2 3 f c ccedil

9 P 7 V 7 P _p = N mdash -

3 4 34 deg 2g

V P 5 = deg

2 P V

5 6 56 2 g c

ltr2

P 7 -V 6 e7 -N67 2g + p 6 7 J j67 g

c bc v 2

P 7 - P 8 = N 7 8 - 2 i ~ + p 7 ( 1 - laquo 7 8 ) L 7 8 c

P 7 V 7

P - P - -N mdash - -8 9 89 2g

c P 7 V 7

P 9 ~ P 1 0 VlO 2g + ( 1 a 9 P 7 L 9 c

P 7 V 7

bull10 11 U10-ll 2g

P v iacute j P - P

1 11

7 - v 7 3 bull r

2 8 i U L 2 23 67

(l-5 7 8) L 7 8 + ( l - laquo 9 ) P 7 bull SlOtilde]- ^

Por ou t ro lado sabemos que como secccedilotildees 1

mesmo n iacute v e l

85

s c p r v 7 j

28 Z N i ij

= P 2 L23 p67 L67 P 7 ( 1~deg78 )

78 ~ ^g) bull P 7 bull L 910 g_

V - 2 g ( p r L 2 3 - p 6 r L 6 7 - p 7 ( l - atilde 7 8 ) L 7 8 - (l-a9) p L 9 a ( )

y N

Com esse valor de podemos determinar todas as variashy

ccedilotildees de pressatildeo (P^-P )

BIBLIOGRAFIA

- WoR Gambill - Notas de aula dos seminaacuterios realizados no Insshy

tituto de Energia Atocircmica de Sao Paulo em 1966 (roteiro)

- WR Gambill - Nuclear Safety

Vol 9 - n9 5 e 6

Vol 6 - n 2 (pag 152)

Vol 4 -r n9 1 (pag 30)

Volbdquo 5 - n 2 (pag 151)

- WRo Gambill - Chemical Eng Prog ndeg 54 (Outubro)

~ El Wakil - Nuclear Power

- Jakob Max - Heat Transfer (vol I)

Mc Adams - Heat Transmission

- Paul A Lottes - Argonne National Laboratory

- AKL - 6469

- ANL - 6561

86

Knudsen e Katz - Fluid Dinamics and Heat Transfer

Frank Kreith - Principles of Heat Transfer

Journeacutees Internationales de la transmission de la chaleur

Seminaacuterios realizados em Paris em 1961 sob a supervisatildeo do

Prof Marcel Veron

Notas de aula da Cadeira de Termodinacircmica I e Transmissatildeo da

Escola Politeacutecnica da Universidade de Sao Paulo

  • 0000100
  • 0000200
  • 0000300
  • 0000400
  • 0000500
  • 0000600
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77

3 2 - Perda de carga no trecho ( 2 ) - ( 3 )

Como haacute apenas uma fase soacute temos perdas por atritos e

perdas hidrostaacuteticas

Sendo como jaacute vimos

2 3 p 2 2 g P 2 P 3 = f 2 3 (r~2g^~) L 2 3 g c p

atrito hidrostaacutetica

Substituindo V^ pela relaccedilatildeo do item anterior e tendo em

conta que p = vem

P -P = f 2 r 3 2 3 D

2 3 p 2 bdquo 2 2 p 7 2

2 g 7 72 p 2 3 g

Se

L 2 3 2 p 7

2 3 2 3 D 2 a 7 2 p 2

P 7 V 7 g P 2 - P 3 = N 2 3 ( mdash gt p 2 L 2 3 f

3 3 - Expansatildeo nas secccedilotildees ( 3 ) - ( 4 )

Como vimos o balanccedilo das pressotildees e

2 2 2 p V p 4 V p V

P 3 + 2 g c

P 4 + 2 g c

+ k 3 4 2 g c

onde

k 3 4 - - -

2 2 1 P 4 - V 4 P 3 v 3

P 3 P 4 = 2 g + ( k 3 4 _ 1 ) 2 g

78

Sendo

P 3 - P 4

p 3 o A 3 deg V 3 = P 7

a A 7 o V 7

P 4A 4 0V 4 = P r A r V

3 7 A 3 p 3

A7 P7 V = v mdash mdash 4 7 P 4

P - P 3 r4

Se

P bdquo - P

bdquo2 r-P 7 V 7

3 4 2g deg74 + ( k 3 4 1 ) deg73

34 p deg74 + ( k 3 4 1 ) 73

p r v2

P3- P4 ^ N34 ^ gt

(No caso e negativo)

34 - Contraccedilatildeo nas secccedilotildees (5) - (6)

Ainda temos uma so fase e fazendo o balanccedilo das pressotildees

como fizemos no item 3lt1 vem

P + vil p + vi + k vi P 5 + 2gbdquo P6 + 2gbdquo + k56 2gbdquo

k 5 6 lt 1 ^ gt 2 ( 1 - Iacute 2 i 2 6

V V6 P5degIacute 5^6 ^SS 2g c - 2g c

P - P ^ = (1+kJ

Como

79

A 6

W p 5 =

VV P6 V 5 = V 6 Jiexcl = Vff65

P 5-P 6 - lt H k 5 6 ) mdash ^ mdash (l+k 5 6-a 6 5) c c c

Sendo

Se

A 7 p 7 p 7

6 7 Ag p 6 7 76 p 6

p _p _ P6- V7- g76 iquest72 ( _ 02 P 5 P 6 2g c bull ( p 6

( 1 + k 5 6 deg65 )

p 7 2 2 N56 = p ^ deg76 ( 1 + k 5 6 ~ a 6 5 )

P 7 V 2

7

P r-P = N r 5 6 56 2g c i

35 - Perdas de pressatildeo nas zonas (6) - (7) - Pre^aquecimento

Nesta regiatildeo temos perdas por atrito e hidrostaacuteticas

Nao haacute perda por aceleraccedilatildeo pois ainda natildeo houve formaccedilatildeo de boshy

lhas

Fazendo balanccedilo das pressotildees temos

L_ ppound-V p = p + otilde L - pound _ + f -Si (-21mdashL 6 7 + p67 L67 g + t 6 7 D K 2g

p _ e ifn sao tomados como valores meacutedios 67 67

P _p _ f hl ^67jIacute uuml + - L A

6 F 7 r67 D 2g P P67 L67 g 6 s c 7 c

S e Kr pound67 L67 p67 6 7 D 6 p7

p7 V - _g_ P6- P7 - N67 mdash + P67 L67 f

c c

80

36 - Perda de pressatildeo nas zonas (7) - (8) - Zona de ebuliccedilatildeo

Nesta regiatildeo j aacute temos o aparecimento de bolhas logo a

perda de pressatildeo seraacute devida agraves t recircs parcelas aceleraccedilatildeo a t r i t o

das duas fases liacutequidas + vapor e h idros taacute t ica

onde

Assim

P-P Q = AP + AP + APbdquo 7 8 a t r i t o acel H

T M1

78 p 7 7 AP - R f- - mdash mdashr |R = fator mult ipl ica-

a t r i t o 7 D 7 2 g c L tivo

G 2

AP bull r mdash acel g c

P V

|_1 - o a p J 8 P f

2 t r 2 M2

7 7 r 7 7 A P a c e l = -J^mdash 2 r bull p 7 lt T iexcl iexcl - )

A PH p 7 8 L 7 8 fiexcl

p 7 8 iacute 7 li 1 0 0 P l i q + a P v ] d L = P 7 ( 1 - laquo 7 8 )

ag raquo fraccedilatildeo de vazio media entre 7 e 8

APH = p (1 - 5 7 g ) f- L 7 8

2 2

P 7 - P 8 a 5 - 2 T i + 2 r p 7 + P 7 ( 1 - 7 8 gt f L 7 8 7 amp c amp c amp c

81

N 7g = R mdash + 2 r p 7

P7 V7 P7- P8 = N78 + P 7 ( 1 5 7 8 gt J78

37 - Expansatildeo nas secccedilotildees 8 e 9

No caso haacute uma expansatildeo com duas fases e como vimos no

item 12 a variaccedilatildeo de pressatildeo era dada por

0f Vo P2 P1 = ~2g c ( 2 deg12

x 2 (mdash)(mdash - mdash ) + ( l - x ) 2 ^ T mdash 8 1 2 1

12

Aplicando ao nosso caso

P pound = P 7

P -P = 8 9

V - V raquo V g f 7

P 7 V 2

2 pf 1 a89 2 1 g89 x (mdash) ( ) + (1-x) (- - N

o ou abdquo 1-cu l-ot_) g 8 9 8 9

Se

N 89

= 2 a 89

2 pf 1 deg89 2 1 CT89 x (mdash) ( ) + (1-x) ( T

g 8 9 8 9

P -P = 8 9

- N P7deg V7

89 2gbdquo

38 - Perda de pressatildeo no trecho 9 e 10

No referido trecho temos apenas perda de pressatildeo por atr L

to da fase liacutequido + vapor e perda hidrostaacutetica Natildeo haacute perda por

aceleraccedilatildeo do vapor pois este natildeo recebe mais calor e portanto

o 82 o

nao ha variaccedilatildeo no a

p

Q -p i n = A P

U + A P bull 9 10 H atrito

n T -S_ P9 U10 deg 910 bull g

fio r

910 I 910

J9 L

(l- a)P + Q P I dL liq v

(l-a0) p

No caso a = (nao hatilde variaccedilatildeo de forma)

A P H - (1-a ) P (p L 0

c

AP bdquo = R o

atrito

2 f9 o L910 P9 V9

2g

Supondo

= V

P 9 = P 8 P 7

vbdquo = v 9 8 0 A r

= V 7 bull deg89

AP - R atrito

2 2

W l O p7deg V7deg g89

V P10 R -^T^ bull deg89 bull li-2 + ( W P 7 (fgt SIO

y c c

Se

- f9 L910 2 N9ol0 R Dl deg89

w 2

p rv P9 P10 = VlO + ( 1 a 9 ) p7 (f gt L910 c

33

39 - Perda ciacutee pressatildeo na expansatildeo 9 - 1 0

Analogamente a expansatildeo 8 - 9 temos

10 11 P 7 2g

10 Iacute 2 0 1 0 - 1 1 gt

2 ff

pg aio

10-11

laquo11 ) +

Ll-a 1 0 bull l-a u J

Se

V10 = V 9 = V 8 bull T9 = V 7 deg89

P -P 10 rll = - a 2g 089 ^lO-ll

4 bull T~ bull (7 1 mdash ) + Pg degio a n

+ (l-x)2(- 1 10-11

1 - aio )

N10-ll = 2 a10-ll a89 2 pf t 1 10-11 N2

-(j-r- - ) bull+ (1-x) pg aio deg 1

10-11 k l - a io

prz P10 Pll = - N10-ll bull ( 2gbdquo

310 - Calculo de V

Fazendo a somatoacuteria de todas as expressotildees (P^-Pj) tere-

84

mos 2 PbdquoV_

P bdquo - P bdquo = N 7 v 7

1 2 12 2g

bull 2 - P 3 - = N 2 3 P 2 L 2 3 f c ccedil

9 P 7 V 7 P _p = N mdash -

3 4 34 deg 2g

V P 5 = deg

2 P V

5 6 56 2 g c

ltr2

P 7 -V 6 e7 -N67 2g + p 6 7 J j67 g

c bc v 2

P 7 - P 8 = N 7 8 - 2 i ~ + p 7 ( 1 - laquo 7 8 ) L 7 8 c

P 7 V 7

P - P - -N mdash - -8 9 89 2g

c P 7 V 7

P 9 ~ P 1 0 VlO 2g + ( 1 a 9 P 7 L 9 c

P 7 V 7

bull10 11 U10-ll 2g

P v iacute j P - P

1 11

7 - v 7 3 bull r

2 8 i U L 2 23 67

(l-5 7 8) L 7 8 + ( l - laquo 9 ) P 7 bull SlOtilde]- ^

Por ou t ro lado sabemos que como secccedilotildees 1

mesmo n iacute v e l

85

s c p r v 7 j

28 Z N i ij

= P 2 L23 p67 L67 P 7 ( 1~deg78 )

78 ~ ^g) bull P 7 bull L 910 g_

V - 2 g ( p r L 2 3 - p 6 r L 6 7 - p 7 ( l - atilde 7 8 ) L 7 8 - (l-a9) p L 9 a ( )

y N

Com esse valor de podemos determinar todas as variashy

ccedilotildees de pressatildeo (P^-P )

BIBLIOGRAFIA

- WoR Gambill - Notas de aula dos seminaacuterios realizados no Insshy

tituto de Energia Atocircmica de Sao Paulo em 1966 (roteiro)

- WR Gambill - Nuclear Safety

Vol 9 - n9 5 e 6

Vol 6 - n 2 (pag 152)

Vol 4 -r n9 1 (pag 30)

Volbdquo 5 - n 2 (pag 151)

- WRo Gambill - Chemical Eng Prog ndeg 54 (Outubro)

~ El Wakil - Nuclear Power

- Jakob Max - Heat Transfer (vol I)

Mc Adams - Heat Transmission

- Paul A Lottes - Argonne National Laboratory

- AKL - 6469

- ANL - 6561

86

Knudsen e Katz - Fluid Dinamics and Heat Transfer

Frank Kreith - Principles of Heat Transfer

Journeacutees Internationales de la transmission de la chaleur

Seminaacuterios realizados em Paris em 1961 sob a supervisatildeo do

Prof Marcel Veron

Notas de aula da Cadeira de Termodinacircmica I e Transmissatildeo da

Escola Politeacutecnica da Universidade de Sao Paulo

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  • 0000200
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78

Sendo

P 3 - P 4

p 3 o A 3 deg V 3 = P 7

a A 7 o V 7

P 4A 4 0V 4 = P r A r V

3 7 A 3 p 3

A7 P7 V = v mdash mdash 4 7 P 4

P - P 3 r4

Se

P bdquo - P

bdquo2 r-P 7 V 7

3 4 2g deg74 + ( k 3 4 1 ) deg73

34 p deg74 + ( k 3 4 1 ) 73

p r v2

P3- P4 ^ N34 ^ gt

(No caso e negativo)

34 - Contraccedilatildeo nas secccedilotildees (5) - (6)

Ainda temos uma so fase e fazendo o balanccedilo das pressotildees

como fizemos no item 3lt1 vem

P + vil p + vi + k vi P 5 + 2gbdquo P6 + 2gbdquo + k56 2gbdquo

k 5 6 lt 1 ^ gt 2 ( 1 - Iacute 2 i 2 6

V V6 P5degIacute 5^6 ^SS 2g c - 2g c

P - P ^ = (1+kJ

Como

79

A 6

W p 5 =

VV P6 V 5 = V 6 Jiexcl = Vff65

P 5-P 6 - lt H k 5 6 ) mdash ^ mdash (l+k 5 6-a 6 5) c c c

Sendo

Se

A 7 p 7 p 7

6 7 Ag p 6 7 76 p 6

p _p _ P6- V7- g76 iquest72 ( _ 02 P 5 P 6 2g c bull ( p 6

( 1 + k 5 6 deg65 )

p 7 2 2 N56 = p ^ deg76 ( 1 + k 5 6 ~ a 6 5 )

P 7 V 2

7

P r-P = N r 5 6 56 2g c i

35 - Perdas de pressatildeo nas zonas (6) - (7) - Pre^aquecimento

Nesta regiatildeo temos perdas por atrito e hidrostaacuteticas

Nao haacute perda por aceleraccedilatildeo pois ainda natildeo houve formaccedilatildeo de boshy

lhas

Fazendo balanccedilo das pressotildees temos

L_ ppound-V p = p + otilde L - pound _ + f -Si (-21mdashL 6 7 + p67 L67 g + t 6 7 D K 2g

p _ e ifn sao tomados como valores meacutedios 67 67

P _p _ f hl ^67jIacute uuml + - L A

6 F 7 r67 D 2g P P67 L67 g 6 s c 7 c

S e Kr pound67 L67 p67 6 7 D 6 p7

p7 V - _g_ P6- P7 - N67 mdash + P67 L67 f

c c

80

36 - Perda de pressatildeo nas zonas (7) - (8) - Zona de ebuliccedilatildeo

Nesta regiatildeo j aacute temos o aparecimento de bolhas logo a

perda de pressatildeo seraacute devida agraves t recircs parcelas aceleraccedilatildeo a t r i t o

das duas fases liacutequidas + vapor e h idros taacute t ica

onde

Assim

P-P Q = AP + AP + APbdquo 7 8 a t r i t o acel H

T M1

78 p 7 7 AP - R f- - mdash mdashr |R = fator mult ipl ica-

a t r i t o 7 D 7 2 g c L tivo

G 2

AP bull r mdash acel g c

P V

|_1 - o a p J 8 P f

2 t r 2 M2

7 7 r 7 7 A P a c e l = -J^mdash 2 r bull p 7 lt T iexcl iexcl - )

A PH p 7 8 L 7 8 fiexcl

p 7 8 iacute 7 li 1 0 0 P l i q + a P v ] d L = P 7 ( 1 - laquo 7 8 )

ag raquo fraccedilatildeo de vazio media entre 7 e 8

APH = p (1 - 5 7 g ) f- L 7 8

2 2

P 7 - P 8 a 5 - 2 T i + 2 r p 7 + P 7 ( 1 - 7 8 gt f L 7 8 7 amp c amp c amp c

81

N 7g = R mdash + 2 r p 7

P7 V7 P7- P8 = N78 + P 7 ( 1 5 7 8 gt J78

37 - Expansatildeo nas secccedilotildees 8 e 9

No caso haacute uma expansatildeo com duas fases e como vimos no

item 12 a variaccedilatildeo de pressatildeo era dada por

0f Vo P2 P1 = ~2g c ( 2 deg12

x 2 (mdash)(mdash - mdash ) + ( l - x ) 2 ^ T mdash 8 1 2 1

12

Aplicando ao nosso caso

P pound = P 7

P -P = 8 9

V - V raquo V g f 7

P 7 V 2

2 pf 1 a89 2 1 g89 x (mdash) ( ) + (1-x) (- - N

o ou abdquo 1-cu l-ot_) g 8 9 8 9

Se

N 89

= 2 a 89

2 pf 1 deg89 2 1 CT89 x (mdash) ( ) + (1-x) ( T

g 8 9 8 9

P -P = 8 9

- N P7deg V7

89 2gbdquo

38 - Perda de pressatildeo no trecho 9 e 10

No referido trecho temos apenas perda de pressatildeo por atr L

to da fase liacutequido + vapor e perda hidrostaacutetica Natildeo haacute perda por

aceleraccedilatildeo do vapor pois este natildeo recebe mais calor e portanto

o 82 o

nao ha variaccedilatildeo no a

p

Q -p i n = A P

U + A P bull 9 10 H atrito

n T -S_ P9 U10 deg 910 bull g

fio r

910 I 910

J9 L

(l- a)P + Q P I dL liq v

(l-a0) p

No caso a = (nao hatilde variaccedilatildeo de forma)

A P H - (1-a ) P (p L 0

c

AP bdquo = R o

atrito

2 f9 o L910 P9 V9

2g

Supondo

= V

P 9 = P 8 P 7

vbdquo = v 9 8 0 A r

= V 7 bull deg89

AP - R atrito

2 2

W l O p7deg V7deg g89

V P10 R -^T^ bull deg89 bull li-2 + ( W P 7 (fgt SIO

y c c

Se

- f9 L910 2 N9ol0 R Dl deg89

w 2

p rv P9 P10 = VlO + ( 1 a 9 ) p7 (f gt L910 c

33

39 - Perda ciacutee pressatildeo na expansatildeo 9 - 1 0

Analogamente a expansatildeo 8 - 9 temos

10 11 P 7 2g

10 Iacute 2 0 1 0 - 1 1 gt

2 ff

pg aio

10-11

laquo11 ) +

Ll-a 1 0 bull l-a u J

Se

V10 = V 9 = V 8 bull T9 = V 7 deg89

P -P 10 rll = - a 2g 089 ^lO-ll

4 bull T~ bull (7 1 mdash ) + Pg degio a n

+ (l-x)2(- 1 10-11

1 - aio )

N10-ll = 2 a10-ll a89 2 pf t 1 10-11 N2

-(j-r- - ) bull+ (1-x) pg aio deg 1

10-11 k l - a io

prz P10 Pll = - N10-ll bull ( 2gbdquo

310 - Calculo de V

Fazendo a somatoacuteria de todas as expressotildees (P^-Pj) tere-

84

mos 2 PbdquoV_

P bdquo - P bdquo = N 7 v 7

1 2 12 2g

bull 2 - P 3 - = N 2 3 P 2 L 2 3 f c ccedil

9 P 7 V 7 P _p = N mdash -

3 4 34 deg 2g

V P 5 = deg

2 P V

5 6 56 2 g c

ltr2

P 7 -V 6 e7 -N67 2g + p 6 7 J j67 g

c bc v 2

P 7 - P 8 = N 7 8 - 2 i ~ + p 7 ( 1 - laquo 7 8 ) L 7 8 c

P 7 V 7

P - P - -N mdash - -8 9 89 2g

c P 7 V 7

P 9 ~ P 1 0 VlO 2g + ( 1 a 9 P 7 L 9 c

P 7 V 7

bull10 11 U10-ll 2g

P v iacute j P - P

1 11

7 - v 7 3 bull r

2 8 i U L 2 23 67

(l-5 7 8) L 7 8 + ( l - laquo 9 ) P 7 bull SlOtilde]- ^

Por ou t ro lado sabemos que como secccedilotildees 1

mesmo n iacute v e l

85

s c p r v 7 j

28 Z N i ij

= P 2 L23 p67 L67 P 7 ( 1~deg78 )

78 ~ ^g) bull P 7 bull L 910 g_

V - 2 g ( p r L 2 3 - p 6 r L 6 7 - p 7 ( l - atilde 7 8 ) L 7 8 - (l-a9) p L 9 a ( )

y N

Com esse valor de podemos determinar todas as variashy

ccedilotildees de pressatildeo (P^-P )

BIBLIOGRAFIA

- WoR Gambill - Notas de aula dos seminaacuterios realizados no Insshy

tituto de Energia Atocircmica de Sao Paulo em 1966 (roteiro)

- WR Gambill - Nuclear Safety

Vol 9 - n9 5 e 6

Vol 6 - n 2 (pag 152)

Vol 4 -r n9 1 (pag 30)

Volbdquo 5 - n 2 (pag 151)

- WRo Gambill - Chemical Eng Prog ndeg 54 (Outubro)

~ El Wakil - Nuclear Power

- Jakob Max - Heat Transfer (vol I)

Mc Adams - Heat Transmission

- Paul A Lottes - Argonne National Laboratory

- AKL - 6469

- ANL - 6561

86

Knudsen e Katz - Fluid Dinamics and Heat Transfer

Frank Kreith - Principles of Heat Transfer

Journeacutees Internationales de la transmission de la chaleur

Seminaacuterios realizados em Paris em 1961 sob a supervisatildeo do

Prof Marcel Veron

Notas de aula da Cadeira de Termodinacircmica I e Transmissatildeo da

Escola Politeacutecnica da Universidade de Sao Paulo

  • 0000100
  • 0000200
  • 0000300
  • 0000400
  • 0000500
  • 0000600
  • 0000700
  • 0000800
  • 0000900
  • 0001000
  • 0001100
  • 0001200
  • 0001300
  • 0001400
  • 0001500
  • 0001600
  • 0001700
  • 0001800
  • 0001900
  • 0002000
  • 0002100
  • 0002200
  • 0002300
  • 0002400
  • 0002500
  • 0002600
  • 0002700
  • 0002800
  • 0002900
  • 0003000
  • 0003100
  • 0003200
  • 0003300
  • 0003400
  • 0003500
  • 0003600
  • 0003700
  • 0003800
  • 0003900
  • 0004000
  • 0004100
  • 0004200
  • 0004300
  • 0004400
  • 0004500
  • 0004600
  • 0004700
  • 0004800
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  • 0005000
  • 0005100
  • 0005200
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  • 0005500
  • 0005600
  • 0005700
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  • 0006000
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  • 0006400
  • 0006500
  • 0006600
  • 0006700
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  • 0007000
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  • 0009000
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79

A 6

W p 5 =

VV P6 V 5 = V 6 Jiexcl = Vff65

P 5-P 6 - lt H k 5 6 ) mdash ^ mdash (l+k 5 6-a 6 5) c c c

Sendo

Se

A 7 p 7 p 7

6 7 Ag p 6 7 76 p 6

p _p _ P6- V7- g76 iquest72 ( _ 02 P 5 P 6 2g c bull ( p 6

( 1 + k 5 6 deg65 )

p 7 2 2 N56 = p ^ deg76 ( 1 + k 5 6 ~ a 6 5 )

P 7 V 2

7

P r-P = N r 5 6 56 2g c i

35 - Perdas de pressatildeo nas zonas (6) - (7) - Pre^aquecimento

Nesta regiatildeo temos perdas por atrito e hidrostaacuteticas

Nao haacute perda por aceleraccedilatildeo pois ainda natildeo houve formaccedilatildeo de boshy

lhas

Fazendo balanccedilo das pressotildees temos

L_ ppound-V p = p + otilde L - pound _ + f -Si (-21mdashL 6 7 + p67 L67 g + t 6 7 D K 2g

p _ e ifn sao tomados como valores meacutedios 67 67

P _p _ f hl ^67jIacute uuml + - L A

6 F 7 r67 D 2g P P67 L67 g 6 s c 7 c

S e Kr pound67 L67 p67 6 7 D 6 p7

p7 V - _g_ P6- P7 - N67 mdash + P67 L67 f

c c

80

36 - Perda de pressatildeo nas zonas (7) - (8) - Zona de ebuliccedilatildeo

Nesta regiatildeo j aacute temos o aparecimento de bolhas logo a

perda de pressatildeo seraacute devida agraves t recircs parcelas aceleraccedilatildeo a t r i t o

das duas fases liacutequidas + vapor e h idros taacute t ica

onde

Assim

P-P Q = AP + AP + APbdquo 7 8 a t r i t o acel H

T M1

78 p 7 7 AP - R f- - mdash mdashr |R = fator mult ipl ica-

a t r i t o 7 D 7 2 g c L tivo

G 2

AP bull r mdash acel g c

P V

|_1 - o a p J 8 P f

2 t r 2 M2

7 7 r 7 7 A P a c e l = -J^mdash 2 r bull p 7 lt T iexcl iexcl - )

A PH p 7 8 L 7 8 fiexcl

p 7 8 iacute 7 li 1 0 0 P l i q + a P v ] d L = P 7 ( 1 - laquo 7 8 )

ag raquo fraccedilatildeo de vazio media entre 7 e 8

APH = p (1 - 5 7 g ) f- L 7 8

2 2

P 7 - P 8 a 5 - 2 T i + 2 r p 7 + P 7 ( 1 - 7 8 gt f L 7 8 7 amp c amp c amp c

81

N 7g = R mdash + 2 r p 7

P7 V7 P7- P8 = N78 + P 7 ( 1 5 7 8 gt J78

37 - Expansatildeo nas secccedilotildees 8 e 9

No caso haacute uma expansatildeo com duas fases e como vimos no

item 12 a variaccedilatildeo de pressatildeo era dada por

0f Vo P2 P1 = ~2g c ( 2 deg12

x 2 (mdash)(mdash - mdash ) + ( l - x ) 2 ^ T mdash 8 1 2 1

12

Aplicando ao nosso caso

P pound = P 7

P -P = 8 9

V - V raquo V g f 7

P 7 V 2

2 pf 1 a89 2 1 g89 x (mdash) ( ) + (1-x) (- - N

o ou abdquo 1-cu l-ot_) g 8 9 8 9

Se

N 89

= 2 a 89

2 pf 1 deg89 2 1 CT89 x (mdash) ( ) + (1-x) ( T

g 8 9 8 9

P -P = 8 9

- N P7deg V7

89 2gbdquo

38 - Perda de pressatildeo no trecho 9 e 10

No referido trecho temos apenas perda de pressatildeo por atr L

to da fase liacutequido + vapor e perda hidrostaacutetica Natildeo haacute perda por

aceleraccedilatildeo do vapor pois este natildeo recebe mais calor e portanto

o 82 o

nao ha variaccedilatildeo no a

p

Q -p i n = A P

U + A P bull 9 10 H atrito

n T -S_ P9 U10 deg 910 bull g

fio r

910 I 910

J9 L

(l- a)P + Q P I dL liq v

(l-a0) p

No caso a = (nao hatilde variaccedilatildeo de forma)

A P H - (1-a ) P (p L 0

c

AP bdquo = R o

atrito

2 f9 o L910 P9 V9

2g

Supondo

= V

P 9 = P 8 P 7

vbdquo = v 9 8 0 A r

= V 7 bull deg89

AP - R atrito

2 2

W l O p7deg V7deg g89

V P10 R -^T^ bull deg89 bull li-2 + ( W P 7 (fgt SIO

y c c

Se

- f9 L910 2 N9ol0 R Dl deg89

w 2

p rv P9 P10 = VlO + ( 1 a 9 ) p7 (f gt L910 c

33

39 - Perda ciacutee pressatildeo na expansatildeo 9 - 1 0

Analogamente a expansatildeo 8 - 9 temos

10 11 P 7 2g

10 Iacute 2 0 1 0 - 1 1 gt

2 ff

pg aio

10-11

laquo11 ) +

Ll-a 1 0 bull l-a u J

Se

V10 = V 9 = V 8 bull T9 = V 7 deg89

P -P 10 rll = - a 2g 089 ^lO-ll

4 bull T~ bull (7 1 mdash ) + Pg degio a n

+ (l-x)2(- 1 10-11

1 - aio )

N10-ll = 2 a10-ll a89 2 pf t 1 10-11 N2

-(j-r- - ) bull+ (1-x) pg aio deg 1

10-11 k l - a io

prz P10 Pll = - N10-ll bull ( 2gbdquo

310 - Calculo de V

Fazendo a somatoacuteria de todas as expressotildees (P^-Pj) tere-

84

mos 2 PbdquoV_

P bdquo - P bdquo = N 7 v 7

1 2 12 2g

bull 2 - P 3 - = N 2 3 P 2 L 2 3 f c ccedil

9 P 7 V 7 P _p = N mdash -

3 4 34 deg 2g

V P 5 = deg

2 P V

5 6 56 2 g c

ltr2

P 7 -V 6 e7 -N67 2g + p 6 7 J j67 g

c bc v 2

P 7 - P 8 = N 7 8 - 2 i ~ + p 7 ( 1 - laquo 7 8 ) L 7 8 c

P 7 V 7

P - P - -N mdash - -8 9 89 2g

c P 7 V 7

P 9 ~ P 1 0 VlO 2g + ( 1 a 9 P 7 L 9 c

P 7 V 7

bull10 11 U10-ll 2g

P v iacute j P - P

1 11

7 - v 7 3 bull r

2 8 i U L 2 23 67

(l-5 7 8) L 7 8 + ( l - laquo 9 ) P 7 bull SlOtilde]- ^

Por ou t ro lado sabemos que como secccedilotildees 1

mesmo n iacute v e l

85

s c p r v 7 j

28 Z N i ij

= P 2 L23 p67 L67 P 7 ( 1~deg78 )

78 ~ ^g) bull P 7 bull L 910 g_

V - 2 g ( p r L 2 3 - p 6 r L 6 7 - p 7 ( l - atilde 7 8 ) L 7 8 - (l-a9) p L 9 a ( )

y N

Com esse valor de podemos determinar todas as variashy

ccedilotildees de pressatildeo (P^-P )

BIBLIOGRAFIA

- WoR Gambill - Notas de aula dos seminaacuterios realizados no Insshy

tituto de Energia Atocircmica de Sao Paulo em 1966 (roteiro)

- WR Gambill - Nuclear Safety

Vol 9 - n9 5 e 6

Vol 6 - n 2 (pag 152)

Vol 4 -r n9 1 (pag 30)

Volbdquo 5 - n 2 (pag 151)

- WRo Gambill - Chemical Eng Prog ndeg 54 (Outubro)

~ El Wakil - Nuclear Power

- Jakob Max - Heat Transfer (vol I)

Mc Adams - Heat Transmission

- Paul A Lottes - Argonne National Laboratory

- AKL - 6469

- ANL - 6561

86

Knudsen e Katz - Fluid Dinamics and Heat Transfer

Frank Kreith - Principles of Heat Transfer

Journeacutees Internationales de la transmission de la chaleur

Seminaacuterios realizados em Paris em 1961 sob a supervisatildeo do

Prof Marcel Veron

Notas de aula da Cadeira de Termodinacircmica I e Transmissatildeo da

Escola Politeacutecnica da Universidade de Sao Paulo

  • 0000100
  • 0000200
  • 0000300
  • 0000400
  • 0000500
  • 0000600
  • 0000700
  • 0000800
  • 0000900
  • 0001000
  • 0001100
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  • 0001400
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  • 0001700
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  • 0001900
  • 0002000
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  • 0002400
  • 0002500
  • 0002600
  • 0002700
  • 0002800
  • 0002900
  • 0003000
  • 0003100
  • 0003200
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  • 0003400
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  • 0008900
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36 - Perda de pressatildeo nas zonas (7) - (8) - Zona de ebuliccedilatildeo

Nesta regiatildeo j aacute temos o aparecimento de bolhas logo a

perda de pressatildeo seraacute devida agraves t recircs parcelas aceleraccedilatildeo a t r i t o

das duas fases liacutequidas + vapor e h idros taacute t ica

onde

Assim

P-P Q = AP + AP + APbdquo 7 8 a t r i t o acel H

T M1

78 p 7 7 AP - R f- - mdash mdashr |R = fator mult ipl ica-

a t r i t o 7 D 7 2 g c L tivo

G 2

AP bull r mdash acel g c

P V

|_1 - o a p J 8 P f

2 t r 2 M2

7 7 r 7 7 A P a c e l = -J^mdash 2 r bull p 7 lt T iexcl iexcl - )

A PH p 7 8 L 7 8 fiexcl

p 7 8 iacute 7 li 1 0 0 P l i q + a P v ] d L = P 7 ( 1 - laquo 7 8 )

ag raquo fraccedilatildeo de vazio media entre 7 e 8

APH = p (1 - 5 7 g ) f- L 7 8

2 2

P 7 - P 8 a 5 - 2 T i + 2 r p 7 + P 7 ( 1 - 7 8 gt f L 7 8 7 amp c amp c amp c

81

N 7g = R mdash + 2 r p 7

P7 V7 P7- P8 = N78 + P 7 ( 1 5 7 8 gt J78

37 - Expansatildeo nas secccedilotildees 8 e 9

No caso haacute uma expansatildeo com duas fases e como vimos no

item 12 a variaccedilatildeo de pressatildeo era dada por

0f Vo P2 P1 = ~2g c ( 2 deg12

x 2 (mdash)(mdash - mdash ) + ( l - x ) 2 ^ T mdash 8 1 2 1

12

Aplicando ao nosso caso

P pound = P 7

P -P = 8 9

V - V raquo V g f 7

P 7 V 2

2 pf 1 a89 2 1 g89 x (mdash) ( ) + (1-x) (- - N

o ou abdquo 1-cu l-ot_) g 8 9 8 9

Se

N 89

= 2 a 89

2 pf 1 deg89 2 1 CT89 x (mdash) ( ) + (1-x) ( T

g 8 9 8 9

P -P = 8 9

- N P7deg V7

89 2gbdquo

38 - Perda de pressatildeo no trecho 9 e 10

No referido trecho temos apenas perda de pressatildeo por atr L

to da fase liacutequido + vapor e perda hidrostaacutetica Natildeo haacute perda por

aceleraccedilatildeo do vapor pois este natildeo recebe mais calor e portanto

o 82 o

nao ha variaccedilatildeo no a

p

Q -p i n = A P

U + A P bull 9 10 H atrito

n T -S_ P9 U10 deg 910 bull g

fio r

910 I 910

J9 L

(l- a)P + Q P I dL liq v

(l-a0) p

No caso a = (nao hatilde variaccedilatildeo de forma)

A P H - (1-a ) P (p L 0

c

AP bdquo = R o

atrito

2 f9 o L910 P9 V9

2g

Supondo

= V

P 9 = P 8 P 7

vbdquo = v 9 8 0 A r

= V 7 bull deg89

AP - R atrito

2 2

W l O p7deg V7deg g89

V P10 R -^T^ bull deg89 bull li-2 + ( W P 7 (fgt SIO

y c c

Se

- f9 L910 2 N9ol0 R Dl deg89

w 2

p rv P9 P10 = VlO + ( 1 a 9 ) p7 (f gt L910 c

33

39 - Perda ciacutee pressatildeo na expansatildeo 9 - 1 0

Analogamente a expansatildeo 8 - 9 temos

10 11 P 7 2g

10 Iacute 2 0 1 0 - 1 1 gt

2 ff

pg aio

10-11

laquo11 ) +

Ll-a 1 0 bull l-a u J

Se

V10 = V 9 = V 8 bull T9 = V 7 deg89

P -P 10 rll = - a 2g 089 ^lO-ll

4 bull T~ bull (7 1 mdash ) + Pg degio a n

+ (l-x)2(- 1 10-11

1 - aio )

N10-ll = 2 a10-ll a89 2 pf t 1 10-11 N2

-(j-r- - ) bull+ (1-x) pg aio deg 1

10-11 k l - a io

prz P10 Pll = - N10-ll bull ( 2gbdquo

310 - Calculo de V

Fazendo a somatoacuteria de todas as expressotildees (P^-Pj) tere-

84

mos 2 PbdquoV_

P bdquo - P bdquo = N 7 v 7

1 2 12 2g

bull 2 - P 3 - = N 2 3 P 2 L 2 3 f c ccedil

9 P 7 V 7 P _p = N mdash -

3 4 34 deg 2g

V P 5 = deg

2 P V

5 6 56 2 g c

ltr2

P 7 -V 6 e7 -N67 2g + p 6 7 J j67 g

c bc v 2

P 7 - P 8 = N 7 8 - 2 i ~ + p 7 ( 1 - laquo 7 8 ) L 7 8 c

P 7 V 7

P - P - -N mdash - -8 9 89 2g

c P 7 V 7

P 9 ~ P 1 0 VlO 2g + ( 1 a 9 P 7 L 9 c

P 7 V 7

bull10 11 U10-ll 2g

P v iacute j P - P

1 11

7 - v 7 3 bull r

2 8 i U L 2 23 67

(l-5 7 8) L 7 8 + ( l - laquo 9 ) P 7 bull SlOtilde]- ^

Por ou t ro lado sabemos que como secccedilotildees 1

mesmo n iacute v e l

85

s c p r v 7 j

28 Z N i ij

= P 2 L23 p67 L67 P 7 ( 1~deg78 )

78 ~ ^g) bull P 7 bull L 910 g_

V - 2 g ( p r L 2 3 - p 6 r L 6 7 - p 7 ( l - atilde 7 8 ) L 7 8 - (l-a9) p L 9 a ( )

y N

Com esse valor de podemos determinar todas as variashy

ccedilotildees de pressatildeo (P^-P )

BIBLIOGRAFIA

- WoR Gambill - Notas de aula dos seminaacuterios realizados no Insshy

tituto de Energia Atocircmica de Sao Paulo em 1966 (roteiro)

- WR Gambill - Nuclear Safety

Vol 9 - n9 5 e 6

Vol 6 - n 2 (pag 152)

Vol 4 -r n9 1 (pag 30)

Volbdquo 5 - n 2 (pag 151)

- WRo Gambill - Chemical Eng Prog ndeg 54 (Outubro)

~ El Wakil - Nuclear Power

- Jakob Max - Heat Transfer (vol I)

Mc Adams - Heat Transmission

- Paul A Lottes - Argonne National Laboratory

- AKL - 6469

- ANL - 6561

86

Knudsen e Katz - Fluid Dinamics and Heat Transfer

Frank Kreith - Principles of Heat Transfer

Journeacutees Internationales de la transmission de la chaleur

Seminaacuterios realizados em Paris em 1961 sob a supervisatildeo do

Prof Marcel Veron

Notas de aula da Cadeira de Termodinacircmica I e Transmissatildeo da

Escola Politeacutecnica da Universidade de Sao Paulo

  • 0000100
  • 0000200
  • 0000300
  • 0000400
  • 0000500
  • 0000600
  • 0000700
  • 0000800
  • 0000900
  • 0001000
  • 0001100
  • 0001200
  • 0001300
  • 0001400
  • 0001500
  • 0001600
  • 0001700
  • 0001800
  • 0001900
  • 0002000
  • 0002100
  • 0002200
  • 0002300
  • 0002400
  • 0002500
  • 0002600
  • 0002700
  • 0002800
  • 0002900
  • 0003000
  • 0003100
  • 0003200
  • 0003300
  • 0003400
  • 0003500
  • 0003600
  • 0003700
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  • 0004000
  • 0004100
  • 0004200
  • 0004300
  • 0004400
  • 0004500
  • 0004600
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  • 0005400
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  • 0006800
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  • 0007000
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  • 0007400
  • 0007500
  • 0007600
  • 0007700
  • 0007800
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  • 0008300
  • 0008400
  • 0008500
  • 0008600
  • 0008700
  • 0008800
  • 0008900
  • 0009000
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81

N 7g = R mdash + 2 r p 7

P7 V7 P7- P8 = N78 + P 7 ( 1 5 7 8 gt J78

37 - Expansatildeo nas secccedilotildees 8 e 9

No caso haacute uma expansatildeo com duas fases e como vimos no

item 12 a variaccedilatildeo de pressatildeo era dada por

0f Vo P2 P1 = ~2g c ( 2 deg12

x 2 (mdash)(mdash - mdash ) + ( l - x ) 2 ^ T mdash 8 1 2 1

12

Aplicando ao nosso caso

P pound = P 7

P -P = 8 9

V - V raquo V g f 7

P 7 V 2

2 pf 1 a89 2 1 g89 x (mdash) ( ) + (1-x) (- - N

o ou abdquo 1-cu l-ot_) g 8 9 8 9

Se

N 89

= 2 a 89

2 pf 1 deg89 2 1 CT89 x (mdash) ( ) + (1-x) ( T

g 8 9 8 9

P -P = 8 9

- N P7deg V7

89 2gbdquo

38 - Perda de pressatildeo no trecho 9 e 10

No referido trecho temos apenas perda de pressatildeo por atr L

to da fase liacutequido + vapor e perda hidrostaacutetica Natildeo haacute perda por

aceleraccedilatildeo do vapor pois este natildeo recebe mais calor e portanto

o 82 o

nao ha variaccedilatildeo no a

p

Q -p i n = A P

U + A P bull 9 10 H atrito

n T -S_ P9 U10 deg 910 bull g

fio r

910 I 910

J9 L

(l- a)P + Q P I dL liq v

(l-a0) p

No caso a = (nao hatilde variaccedilatildeo de forma)

A P H - (1-a ) P (p L 0

c

AP bdquo = R o

atrito

2 f9 o L910 P9 V9

2g

Supondo

= V

P 9 = P 8 P 7

vbdquo = v 9 8 0 A r

= V 7 bull deg89

AP - R atrito

2 2

W l O p7deg V7deg g89

V P10 R -^T^ bull deg89 bull li-2 + ( W P 7 (fgt SIO

y c c

Se

- f9 L910 2 N9ol0 R Dl deg89

w 2

p rv P9 P10 = VlO + ( 1 a 9 ) p7 (f gt L910 c

33

39 - Perda ciacutee pressatildeo na expansatildeo 9 - 1 0

Analogamente a expansatildeo 8 - 9 temos

10 11 P 7 2g

10 Iacute 2 0 1 0 - 1 1 gt

2 ff

pg aio

10-11

laquo11 ) +

Ll-a 1 0 bull l-a u J

Se

V10 = V 9 = V 8 bull T9 = V 7 deg89

P -P 10 rll = - a 2g 089 ^lO-ll

4 bull T~ bull (7 1 mdash ) + Pg degio a n

+ (l-x)2(- 1 10-11

1 - aio )

N10-ll = 2 a10-ll a89 2 pf t 1 10-11 N2

-(j-r- - ) bull+ (1-x) pg aio deg 1

10-11 k l - a io

prz P10 Pll = - N10-ll bull ( 2gbdquo

310 - Calculo de V

Fazendo a somatoacuteria de todas as expressotildees (P^-Pj) tere-

84

mos 2 PbdquoV_

P bdquo - P bdquo = N 7 v 7

1 2 12 2g

bull 2 - P 3 - = N 2 3 P 2 L 2 3 f c ccedil

9 P 7 V 7 P _p = N mdash -

3 4 34 deg 2g

V P 5 = deg

2 P V

5 6 56 2 g c

ltr2

P 7 -V 6 e7 -N67 2g + p 6 7 J j67 g

c bc v 2

P 7 - P 8 = N 7 8 - 2 i ~ + p 7 ( 1 - laquo 7 8 ) L 7 8 c

P 7 V 7

P - P - -N mdash - -8 9 89 2g

c P 7 V 7

P 9 ~ P 1 0 VlO 2g + ( 1 a 9 P 7 L 9 c

P 7 V 7

bull10 11 U10-ll 2g

P v iacute j P - P

1 11

7 - v 7 3 bull r

2 8 i U L 2 23 67

(l-5 7 8) L 7 8 + ( l - laquo 9 ) P 7 bull SlOtilde]- ^

Por ou t ro lado sabemos que como secccedilotildees 1

mesmo n iacute v e l

85

s c p r v 7 j

28 Z N i ij

= P 2 L23 p67 L67 P 7 ( 1~deg78 )

78 ~ ^g) bull P 7 bull L 910 g_

V - 2 g ( p r L 2 3 - p 6 r L 6 7 - p 7 ( l - atilde 7 8 ) L 7 8 - (l-a9) p L 9 a ( )

y N

Com esse valor de podemos determinar todas as variashy

ccedilotildees de pressatildeo (P^-P )

BIBLIOGRAFIA

- WoR Gambill - Notas de aula dos seminaacuterios realizados no Insshy

tituto de Energia Atocircmica de Sao Paulo em 1966 (roteiro)

- WR Gambill - Nuclear Safety

Vol 9 - n9 5 e 6

Vol 6 - n 2 (pag 152)

Vol 4 -r n9 1 (pag 30)

Volbdquo 5 - n 2 (pag 151)

- WRo Gambill - Chemical Eng Prog ndeg 54 (Outubro)

~ El Wakil - Nuclear Power

- Jakob Max - Heat Transfer (vol I)

Mc Adams - Heat Transmission

- Paul A Lottes - Argonne National Laboratory

- AKL - 6469

- ANL - 6561

86

Knudsen e Katz - Fluid Dinamics and Heat Transfer

Frank Kreith - Principles of Heat Transfer

Journeacutees Internationales de la transmission de la chaleur

Seminaacuterios realizados em Paris em 1961 sob a supervisatildeo do

Prof Marcel Veron

Notas de aula da Cadeira de Termodinacircmica I e Transmissatildeo da

Escola Politeacutecnica da Universidade de Sao Paulo

  • 0000100
  • 0000200
  • 0000300
  • 0000400
  • 0000500
  • 0000600
  • 0000700
  • 0000800
  • 0000900
  • 0001000
  • 0001100
  • 0001200
  • 0001300
  • 0001400
  • 0001500
  • 0001600
  • 0001700
  • 0001800
  • 0001900
  • 0002000
  • 0002100
  • 0002200
  • 0002300
  • 0002400
  • 0002500
  • 0002600
  • 0002700
  • 0002800
  • 0002900
  • 0003000
  • 0003100
  • 0003200
  • 0003300
  • 0003400
  • 0003500
  • 0003600
  • 0003700
  • 0003800
  • 0003900
  • 0004000
  • 0004100
  • 0004200
  • 0004300
  • 0004400
  • 0004500
  • 0004600
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  • 0004800
  • 0004900
  • 0005000
  • 0005100
  • 0005200
  • 0005300
  • 0005400
  • 0005500
  • 0005600
  • 0005700
  • 0005800
  • 0005900
  • 0006000
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  • 0006300
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  • 0006500
  • 0006600
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  • 0007000
  • 0007100
  • 0007200
  • 0007300
  • 0007400
  • 0007500
  • 0007600
  • 0007700
  • 0007800
  • 0007900
  • 0008000
  • 0008100
  • 0008200
  • 0008300
  • 0008400
  • 0008500
  • 0008600
  • 0008700
  • 0008800
  • 0008900
  • 0009000
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o 82 o

nao ha variaccedilatildeo no a

p

Q -p i n = A P

U + A P bull 9 10 H atrito

n T -S_ P9 U10 deg 910 bull g

fio r

910 I 910

J9 L

(l- a)P + Q P I dL liq v

(l-a0) p

No caso a = (nao hatilde variaccedilatildeo de forma)

A P H - (1-a ) P (p L 0

c

AP bdquo = R o

atrito

2 f9 o L910 P9 V9

2g

Supondo

= V

P 9 = P 8 P 7

vbdquo = v 9 8 0 A r

= V 7 bull deg89

AP - R atrito

2 2

W l O p7deg V7deg g89

V P10 R -^T^ bull deg89 bull li-2 + ( W P 7 (fgt SIO

y c c

Se

- f9 L910 2 N9ol0 R Dl deg89

w 2

p rv P9 P10 = VlO + ( 1 a 9 ) p7 (f gt L910 c

33

39 - Perda ciacutee pressatildeo na expansatildeo 9 - 1 0

Analogamente a expansatildeo 8 - 9 temos

10 11 P 7 2g

10 Iacute 2 0 1 0 - 1 1 gt

2 ff

pg aio

10-11

laquo11 ) +

Ll-a 1 0 bull l-a u J

Se

V10 = V 9 = V 8 bull T9 = V 7 deg89

P -P 10 rll = - a 2g 089 ^lO-ll

4 bull T~ bull (7 1 mdash ) + Pg degio a n

+ (l-x)2(- 1 10-11

1 - aio )

N10-ll = 2 a10-ll a89 2 pf t 1 10-11 N2

-(j-r- - ) bull+ (1-x) pg aio deg 1

10-11 k l - a io

prz P10 Pll = - N10-ll bull ( 2gbdquo

310 - Calculo de V

Fazendo a somatoacuteria de todas as expressotildees (P^-Pj) tere-

84

mos 2 PbdquoV_

P bdquo - P bdquo = N 7 v 7

1 2 12 2g

bull 2 - P 3 - = N 2 3 P 2 L 2 3 f c ccedil

9 P 7 V 7 P _p = N mdash -

3 4 34 deg 2g

V P 5 = deg

2 P V

5 6 56 2 g c

ltr2

P 7 -V 6 e7 -N67 2g + p 6 7 J j67 g

c bc v 2

P 7 - P 8 = N 7 8 - 2 i ~ + p 7 ( 1 - laquo 7 8 ) L 7 8 c

P 7 V 7

P - P - -N mdash - -8 9 89 2g

c P 7 V 7

P 9 ~ P 1 0 VlO 2g + ( 1 a 9 P 7 L 9 c

P 7 V 7

bull10 11 U10-ll 2g

P v iacute j P - P

1 11

7 - v 7 3 bull r

2 8 i U L 2 23 67

(l-5 7 8) L 7 8 + ( l - laquo 9 ) P 7 bull SlOtilde]- ^

Por ou t ro lado sabemos que como secccedilotildees 1

mesmo n iacute v e l

85

s c p r v 7 j

28 Z N i ij

= P 2 L23 p67 L67 P 7 ( 1~deg78 )

78 ~ ^g) bull P 7 bull L 910 g_

V - 2 g ( p r L 2 3 - p 6 r L 6 7 - p 7 ( l - atilde 7 8 ) L 7 8 - (l-a9) p L 9 a ( )

y N

Com esse valor de podemos determinar todas as variashy

ccedilotildees de pressatildeo (P^-P )

BIBLIOGRAFIA

- WoR Gambill - Notas de aula dos seminaacuterios realizados no Insshy

tituto de Energia Atocircmica de Sao Paulo em 1966 (roteiro)

- WR Gambill - Nuclear Safety

Vol 9 - n9 5 e 6

Vol 6 - n 2 (pag 152)

Vol 4 -r n9 1 (pag 30)

Volbdquo 5 - n 2 (pag 151)

- WRo Gambill - Chemical Eng Prog ndeg 54 (Outubro)

~ El Wakil - Nuclear Power

- Jakob Max - Heat Transfer (vol I)

Mc Adams - Heat Transmission

- Paul A Lottes - Argonne National Laboratory

- AKL - 6469

- ANL - 6561

86

Knudsen e Katz - Fluid Dinamics and Heat Transfer

Frank Kreith - Principles of Heat Transfer

Journeacutees Internationales de la transmission de la chaleur

Seminaacuterios realizados em Paris em 1961 sob a supervisatildeo do

Prof Marcel Veron

Notas de aula da Cadeira de Termodinacircmica I e Transmissatildeo da

Escola Politeacutecnica da Universidade de Sao Paulo

  • 0000100
  • 0000200
  • 0000300
  • 0000400
  • 0000500
  • 0000600
  • 0000700
  • 0000800
  • 0000900
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39 - Perda ciacutee pressatildeo na expansatildeo 9 - 1 0

Analogamente a expansatildeo 8 - 9 temos

10 11 P 7 2g

10 Iacute 2 0 1 0 - 1 1 gt

2 ff

pg aio

10-11

laquo11 ) +

Ll-a 1 0 bull l-a u J

Se

V10 = V 9 = V 8 bull T9 = V 7 deg89

P -P 10 rll = - a 2g 089 ^lO-ll

4 bull T~ bull (7 1 mdash ) + Pg degio a n

+ (l-x)2(- 1 10-11

1 - aio )

N10-ll = 2 a10-ll a89 2 pf t 1 10-11 N2

-(j-r- - ) bull+ (1-x) pg aio deg 1

10-11 k l - a io

prz P10 Pll = - N10-ll bull ( 2gbdquo

310 - Calculo de V

Fazendo a somatoacuteria de todas as expressotildees (P^-Pj) tere-

84

mos 2 PbdquoV_

P bdquo - P bdquo = N 7 v 7

1 2 12 2g

bull 2 - P 3 - = N 2 3 P 2 L 2 3 f c ccedil

9 P 7 V 7 P _p = N mdash -

3 4 34 deg 2g

V P 5 = deg

2 P V

5 6 56 2 g c

ltr2

P 7 -V 6 e7 -N67 2g + p 6 7 J j67 g

c bc v 2

P 7 - P 8 = N 7 8 - 2 i ~ + p 7 ( 1 - laquo 7 8 ) L 7 8 c

P 7 V 7

P - P - -N mdash - -8 9 89 2g

c P 7 V 7

P 9 ~ P 1 0 VlO 2g + ( 1 a 9 P 7 L 9 c

P 7 V 7

bull10 11 U10-ll 2g

P v iacute j P - P

1 11

7 - v 7 3 bull r

2 8 i U L 2 23 67

(l-5 7 8) L 7 8 + ( l - laquo 9 ) P 7 bull SlOtilde]- ^

Por ou t ro lado sabemos que como secccedilotildees 1

mesmo n iacute v e l

85

s c p r v 7 j

28 Z N i ij

= P 2 L23 p67 L67 P 7 ( 1~deg78 )

78 ~ ^g) bull P 7 bull L 910 g_

V - 2 g ( p r L 2 3 - p 6 r L 6 7 - p 7 ( l - atilde 7 8 ) L 7 8 - (l-a9) p L 9 a ( )

y N

Com esse valor de podemos determinar todas as variashy

ccedilotildees de pressatildeo (P^-P )

BIBLIOGRAFIA

- WoR Gambill - Notas de aula dos seminaacuterios realizados no Insshy

tituto de Energia Atocircmica de Sao Paulo em 1966 (roteiro)

- WR Gambill - Nuclear Safety

Vol 9 - n9 5 e 6

Vol 6 - n 2 (pag 152)

Vol 4 -r n9 1 (pag 30)

Volbdquo 5 - n 2 (pag 151)

- WRo Gambill - Chemical Eng Prog ndeg 54 (Outubro)

~ El Wakil - Nuclear Power

- Jakob Max - Heat Transfer (vol I)

Mc Adams - Heat Transmission

- Paul A Lottes - Argonne National Laboratory

- AKL - 6469

- ANL - 6561

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Knudsen e Katz - Fluid Dinamics and Heat Transfer

Frank Kreith - Principles of Heat Transfer

Journeacutees Internationales de la transmission de la chaleur

Seminaacuterios realizados em Paris em 1961 sob a supervisatildeo do

Prof Marcel Veron

Notas de aula da Cadeira de Termodinacircmica I e Transmissatildeo da

Escola Politeacutecnica da Universidade de Sao Paulo

  • 0000100
  • 0000200
  • 0000300
  • 0000400
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  • 0000600
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mos 2 PbdquoV_

P bdquo - P bdquo = N 7 v 7

1 2 12 2g

bull 2 - P 3 - = N 2 3 P 2 L 2 3 f c ccedil

9 P 7 V 7 P _p = N mdash -

3 4 34 deg 2g

V P 5 = deg

2 P V

5 6 56 2 g c

ltr2

P 7 -V 6 e7 -N67 2g + p 6 7 J j67 g

c bc v 2

P 7 - P 8 = N 7 8 - 2 i ~ + p 7 ( 1 - laquo 7 8 ) L 7 8 c

P 7 V 7

P - P - -N mdash - -8 9 89 2g

c P 7 V 7

P 9 ~ P 1 0 VlO 2g + ( 1 a 9 P 7 L 9 c

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bull10 11 U10-ll 2g

P v iacute j P - P

1 11

7 - v 7 3 bull r

2 8 i U L 2 23 67

(l-5 7 8) L 7 8 + ( l - laquo 9 ) P 7 bull SlOtilde]- ^

Por ou t ro lado sabemos que como secccedilotildees 1

mesmo n iacute v e l

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s c p r v 7 j

28 Z N i ij

= P 2 L23 p67 L67 P 7 ( 1~deg78 )

78 ~ ^g) bull P 7 bull L 910 g_

V - 2 g ( p r L 2 3 - p 6 r L 6 7 - p 7 ( l - atilde 7 8 ) L 7 8 - (l-a9) p L 9 a ( )

y N

Com esse valor de podemos determinar todas as variashy

ccedilotildees de pressatildeo (P^-P )

BIBLIOGRAFIA

- WoR Gambill - Notas de aula dos seminaacuterios realizados no Insshy

tituto de Energia Atocircmica de Sao Paulo em 1966 (roteiro)

- WR Gambill - Nuclear Safety

Vol 9 - n9 5 e 6

Vol 6 - n 2 (pag 152)

Vol 4 -r n9 1 (pag 30)

Volbdquo 5 - n 2 (pag 151)

- WRo Gambill - Chemical Eng Prog ndeg 54 (Outubro)

~ El Wakil - Nuclear Power

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Seminaacuterios realizados em Paris em 1961 sob a supervisatildeo do

Prof Marcel Veron

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Escola Politeacutecnica da Universidade de Sao Paulo

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s c p r v 7 j

28 Z N i ij

= P 2 L23 p67 L67 P 7 ( 1~deg78 )

78 ~ ^g) bull P 7 bull L 910 g_

V - 2 g ( p r L 2 3 - p 6 r L 6 7 - p 7 ( l - atilde 7 8 ) L 7 8 - (l-a9) p L 9 a ( )

y N

Com esse valor de podemos determinar todas as variashy

ccedilotildees de pressatildeo (P^-P )

BIBLIOGRAFIA

- WoR Gambill - Notas de aula dos seminaacuterios realizados no Insshy

tituto de Energia Atocircmica de Sao Paulo em 1966 (roteiro)

- WR Gambill - Nuclear Safety

Vol 9 - n9 5 e 6

Vol 6 - n 2 (pag 152)

Vol 4 -r n9 1 (pag 30)

Volbdquo 5 - n 2 (pag 151)

- WRo Gambill - Chemical Eng Prog ndeg 54 (Outubro)

~ El Wakil - Nuclear Power

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Notas de aula da Cadeira de Termodinacircmica I e Transmissatildeo da

Escola Politeacutecnica da Universidade de Sao Paulo

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