Aluno Vol1 Mat Ef 6a

5a SÉRIE 6oANOENSINO FUNDAMENTAL – ANOS FINAISCaderno do AlunoVolume 1

MATEMÁTICA

MATERIAL DE APOIO AOCURRÍCULO DO ESTADO DE SÃO PAULO

CADERNO DO ALUNO

MATEMÁTICAENSINO FUNDAMENTAL – ANOS FINAIS

5a SÉRIE/6o ANOVOLUME 1

Nova edição

2014-2017

GOVERNO DO ESTADO DE SÃO PAULO

SECRETARIA DA EDUCAÇÃO

São Paulo

Governo do Estado de São Paulo

Governador

Geraldo Alckmin

Vice-Governador

Guilherme Afif Domingos

Secretário da Educação

Herman Voorwald

Secretário-Adjunto

João Cardoso Palma Filho

Chefe de Gabinete

Fernando Padula Novaes

Subsecretária de Articulação Regional

Rosania Morales Morroni

Coordenadora da Escola de Formação e Aperfeiçoamento dos Professores – EFAP

Silvia Andrade da Cunha Galletta

Coordenadora de Gestão da Educação Básica

Maria Elizabete da Costa

Coordenadora de Gestão de Recursos Humanos

Cleide Bauab Eid Bochixio

Coordenadora de Informação, Monitoramento e Avaliação

Educacional

Ione Cristina Ribeiro de Assunção

Coordenadora de Infraestrutura e Serviços Escolares

Ana Leonor Sala Alonso

Coordenadora de Orçamento e Finanças

Claudia Chiaroni Afuso

Presidente da Fundação para o Desenvolvimento da Educação – FDE

Barjas Negri

Caro(a) aluno(a),

Para viver no mundo atual com qualidade de vida é preciso ter cada vez mais conhecimentos, respeitar valores e desenvolver atitudes positivas em relação a si e aos outros. Os conhecimentos que a humanidade construiu ao longo do tempo é um valioso tesouro, que nos permite compreender o mundo que nos cerca, interagir com as pessoas, tomar decisões... Ler, observar, registrar, analisar, comparar, refletir e expressar-se são algumas formas de compartilhar esse tesouro. Sendo assim, este material foi elaborado especialmente para ajudar você a compreender e a utilizar parte desses conhecimentos.

O objetivo das Situações de Aprendizagem deste Caderno é apresentar conhecimentos matemáticos de forma contextualizada, para que a aprendizagem seja construída como parte de sua vida cotidiana e do mundo ao seu redor. Logo, as atividades propostas não devem ser consideradas simplesmente exercícios ou problemas a serem resolvidos com técnicas transformadas em rotinas automatizadas. Pelo contrário, muitas dessas situações podem ser vistas como ponto de partida para estudar ou aprofundar uma noção ou propriedade matemática.

Aprender exige esforço e dedicação, mas também envolve curiosidade e criatividade, que es-timulam a troca de ideias e conhecimentos. Por isso, sugerimos que você participe das aulas, observe as explicações do professor, faça anotações, exponha suas dúvidas; além disso, é importante que você não se intimide em fazer perguntas e que procure respostas aos seus questionamentos, e que também dê sua opinião.

Neste Caderno, você estudará os seguintes assuntos: sistema de numeração decimal e suas ope-rações, sequências numéricas, mínimo múltiplo comum, divisores de um número natural, números primos, frações e medidas, equivalência e operações com frações, números decimais (agrupamentos e valor posicional, transformações), equivalência e operações com números decimais, uso da lingua-gem mista e localizações desses números na reta numérica, e também as medidas não padronizadas.

Se precisar, peça ajuda ao professor, pois ele pode orientá-lo sobre o que estudar e pesquisar, como organizar os estudos e onde buscar mais informações sobre um assunto. Reserve todos os dias um horário para fazer as tarefas e rever os conteúdos, porque assim você evita que eles se acumulem. Ajude e peça ajuda aos colegas, pois partilhar ideias é fundamental para a construção do conhecimento.

Aprender pode ser muito prazeroso, e temos certeza de que você vai descobrir isso.

Equipe Curricular de Matemática

Coordenadoria de Gestão da Educação Básica – CGEB

Secretaria da Educação do Estado de São Paulo

Matemática – 5a série/6o ano – Volume 1

5

Contando de diferentes maneiras

Experimentação

Contexto: Gabriel tem 9 anos. Maria tem 3 irmãs. Minha classe tem 16 meninas e 20 meninos. Faltam 2 meses para o aniversário de minha irmã. Meu amigo tem 12 lápis de cores diferentes. Muitas são as situações do nosso cotidiano que envolvem algum tipo de contagem. Estamos tão habituados ao ato de contar que nem percebemos como esse processo realmente acontece. Além disso, usamos os algarismos do nosso sistema de numeração como se fosse uma coisa natural, sem nos questionarmos se poderia haver outras formas de representação das quantidades e dos valores.

Provavelmente, contamos de dez em dez porque temos um total de dez dedos nas duas mãos. Mas será que isso poderia ser diferente? Se tivéssemos quatro dedos em cada mão, nosso sistema de numeração seria diferente? Seria mais vantajoso contar de cinco em cinco em vez de dez em dez? Para tentar responder a essas perguntas, vamos propor uma atividade prática envolvendo diferentes maneiras de contar.

Objetivo: contar o número de pedrinhas contidas em uma caixa sem usar o sistema de nume-ração decimal. Para isso, deverá ser usada outra forma de contagem (de quatro em quatro, de seis em seis etc.) que não a decimal (de dez em dez). Também será necessário o uso de outros símbolos para fazer o registro dessa contagem.

Materiais: duas caixas de papelão, pedrinhas ou qualquer outro objeto de fácil manipulação (bolinhas de isopor, bolinhas de gude etc.) e uma tabela para registro da contagem.

SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 1

O SISTEMA DE NUMERAÇÃO DECIMAL

E SUAS OPERAÇÕES

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exão

Ed

itori

al


6

Tabela de contagemGrupos formados por ___ grupos de ___ unidades

Grupos de ___ unidades

Unidades

Registro de contagem

Resultado

Desenvolvimento: a turma será dividida em quatro grupos, e cada grupo receberá uma caixa contendo certo número de pedrinhas e uma caixa vazia. Eles devem contar as pedrinhas da seguinte maneira: Grupo 1 – de cinco em cinco pedrinhas; Grupo 2 – de seis em seis pedrinhas; Grupo 3 – de sete em sete pedrinhas; Grupo 4 – de oito em oito pedrinhas.

Transporte: um aluno de cada grupo será responsável por transportar, uma a uma, as pedrinhas da caixa cheia para a caixa vazia.

Contagem manual: outros três alunos deverão fazer a contagem usando os dedos da mão. Cada pedrinha transportada corresponderá a um dedo levantado. Só poderá ser usado o número de dedos equivalente aos agrupamentos da contagem.

Exemplo: se a contagem for feita de quatro em quatro unidades, os alunos só poderão usar quatro dedos da mão no processo de contagem.

Para cada pedrinha transportada, levanta-se um dedo. Quando completar quatro dedos, o pró-ximo aluno levanta um dedo, indicando a contagem de um agrupamento de quatro unidades. O primeiro aluno inicia a contagem novamente. Quando o segundo aluno levantar os quatro dedos, o terceiro aluno entra em ação levantando um dedo, indicando a contagem de um agrupamento maior, equivalente a quatro agrupamentos de quatro unidades.

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Ed

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7

Registro: um aluno será responsável pelo registro da contagem em uma tabela apresentada anteriormente. A tabela estará dividida em três colunas, uma para cada tipo de agrupamento. No exemplo anterior (contagem de quatro em quatro), o registro funcionaria da seguinte maneira.

Para cada pedrinha contada, marca-se um traço vertical ( ) na coluna da direita. Quando completar quatro traços, esses devem ser riscados ( ) e substituídos por um traço vertical na coluna seguinte. Inicia-se novamente o processo até completar os quatro traços verticais. O mesmo ocorre na coluna do meio. Quatro traços verticais devem ser riscados e subs tituídos por um traço vertical na coluna da esquerda. Veja como ficariam o registro e a contagem de 31 pedrinhas em agrupamentos de quatro em quatro:

Tabela de contagemGrupos formados

por quatro grupos de quatro unidades

Grupos de quatro unidades

Unidades


Resultado 1 grupo de 4 4 = 16 3 grupos de 4 = 12 3 unidades = 3

O resultado da contagem deve ser escrito da seguinte maneira: o número de traços verticais não riscados, da esquerda para a direita, colocados entre parênteses. Em seguida, o número da base utilizada na contagem. Chamamos base o tipo de agrupamento utilizado na contagem. No exemplo anterior, obtivemos 1 agrupamento de 4 4, 3 agrupamentos de 4 e 3 unidades. As-sim, o resultado será escrito como (133)

4, isto é, 133 na base 4. Para saber quanto isso significa

na base decimal, basta fazer as contas: 1 (4 4) + 3 4 + 3 1 = 16 + 12 + 3 = 31, ou seja, 31 pedrinhas.

Agora, cada grupo vai organizar e registrar a contagem das pedrinhas na tabela. Todos os gru-pos receberão o mesmo número de pedrinhas. Ao final da contagem, o professor organizará uma rodada para que cada grupo apresente o resultado da sua contagem. Preencha a tabela a seguir com os resultados obtidos pelos outros grupos.

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Ed

itori

al


8

Grupos/Base Resultado Resultado na base dez

Grupo 1/Base cinco

Grupo 2/Base seis

Grupo 3/Base sete

Grupo 4/Base oito

LIÇÃO DE CASA

Aprendendo com a experimentação

1. Em uma escola, dois grupos realizaram a mesma atividade de contagem de pedrinhas utilizando dois conjuntos distintos de pedrinhas. O primeiro grupo contou as pedrinhas em grupos de cinco e o outro, em grupos de nove. Os resultados obtidos estão registrados nas tabelas a seguir. Na coluna das unidades estão indicadas apenas as unidades restantes após a formação dos grupos de cinco unidades, ou seja, os traços verticais riscados não aparecem.

Tabela de contagemGrupo 1

Grupos formados por

cinco grupos de cinco unidades

Grupos de

cinco unidadesUnidades


Tabela de contagem

Grupo 2

Grupos formados por

nove grupos de nove

unidades

Grupos de nove

unidadesUnidades



9

a) Escreva os resultados obtidos pelos dois grupos em cada base utilizada.

Grupo 1:

Grupo 2:

b) Determine quantas pedrinhas cada grupo contou na base decimal.

Grupo 1:

Grupo 2:

c) Qual dos grupos contou o maior número de pedrinhas?

2. Na atividade de Experimentação, você viu que uma contagem pode ser feita por meio de agrupamentos diferentes (cinco em cinco, oito em oito etc.). Os números que usamos diaria-mente são agrupados em conjuntos de dez. Dez unidades formam uma dezena, dez dezenas formam uma centena, dez centenas formam um milhar, e assim por diante. Por essa razão, o número 358 equivale a três centenas (3 100), cinco dezenas (5 10) e oito unidades (8 1), ou seja, 358 = 3 100 + 5 10 + 8 1.

Decomponha os números a seguir conforme o exemplo dado.

a) 234 =

b) 136 =

c) 1 568 =

d) 28 001 =

e) 1 203 045 =

VOCÊ APRENDEU?

Problemas envolvendo as quatro operações

3. Resolva os problemas a seguir usando as quatro operações aritméticas. Escreva cada sentença em linguagem matemática de acordo com a operação utilizada.


10

a) Antônio recebe R$ 25,00 de mesada de seu pai. Quanto ele terá recebido depois de 6 meses?

Resposta:

b) Dois irmãos possuem um cofrinho com 72 moedas. Quantas moedas estarão no cofrinho se um dos irmãos colocar 17 moedas e o outro, 25?

Resposta:

c) Maria levou R$ 20,00 para fazer compras no supermercado. Ela gastou R$ 5,00 com bolachas e chocolates e R$ 9,00 com produtos de limpeza. Quantos reais sobraram para Maria?

Resposta:

d) Uma parede retangular está coberta por ladrilhos quadrados dispostos em 15 colunas e 10 linhas. Quantos ladrilhos há nessa parede?

Resposta:


11

e) Um funcionário de uma loja precisa colocar 336 latas de refrigerantes em caixas de papelão. Se em cada caixa cabem 16 latas, quantas caixas serão necessárias para armazenar todas as latas de refrigerante?

Resposta:

f ) Em uma partida de basquete, André fez 32 pontos e Carlos, 46. Quantos pontos Carlos fez a mais que André?

Resposta:

g) João deu 15 figurinhas para um amigo e ainda lhe restaram 48. Quantas figurinhas João tinha inicialmente?

Resposta:

h) Um pai deixou de herança para seus 3 filhos uma coleção com 3 216 moedas de diversos países. Supondo uma divisão equilibrada, quantas moedas caberão a cada filho?

Resposta:


12

i) Um restaurante oferece no almoço 3 opções de salada e 5 opções de prato quente. De quantas maneiras diferentes podemos combinar as saladas e os pratos quentes nesse restaurante?

Resposta:

LIÇÃO DE CASA

As ideias associadas às quatro operações

4. Na atividade 3, você resolveu nove problemas envolvendo as quatro operações aritméticas (adição, subtração, multiplicação e divisão). Em cada um deles, havia uma ideia principal associada à operação utilizada: reunir, restaurar, retirar, comparar, abreviar a soma de parcelas iguais, combinar, calcular o número de elementos dispostos em linhas e colunas, repartir e formar agrupamentos. Preencha a tabela a seguir associando cada um dos problemas resolvi-dos com a operação utilizada e a ideia principal presente no problema (veja o exemplo na primeira linha):

Problema Operação Ideia principal

Problema a Multiplicação Abreviar a soma de parcelas

Problema b

Problema c

Problema d

Problema e

Problema f

Problema g

Problema h

Problema i


13

VOCÊ APRENDEU?

Desfazendo operações

Muitos problemas na Matemática podem ser resolvidos por meio de operações inversas. Se um número somado com 12 resulta em 20, podemos descobrir qual é esse número realizando a operação inversa da adição: 20 menos 12. Ou seja, o número é 8. Utilize essa ideia para resolver as seguintes atividades:

5. Complete os quadrados com os números adequados:

a) 2403

b) 25÷ 8

6. Agora, resolva os seguintes problemas:

a) Pensei em um número. Somando 38 a esse número obtém-se 95. Em que número pensei?

b) Um número multiplicado por 7 resultou em 119. Que número é esse?

c) Pensei em um número. Dividi por 3 e subtraí 5, obtendo 6. Qual é esse número?

d) Qual é o número que, multiplicado por 5 e somado com 12, resulta em 72?

c) 40– 60 2

d) 60+ 30 ÷ 2


14

LIÇÃO DE CASA

7. Preencha as pirâmides numéricas a seguir de acordo com a operação determinada:

a) adição

3 15

8 20

134

28

54

8. Resolva os seguintes problemas:

a) Qual é o número que, somado com 10 e multiplicado por 5, resulta em 80?

b) Descubra qual é o número cujo dobro mais 4, dividido por 2, resulta em 5.

VOCÊ APRENDEU?

Expressões numéricas

9. Qual das expressões a seguir foi resolvida corretamente?

a) 45 – 3 8 + 2 =

= 42 8 + 2 =

= 336 + 2 =

= 338

b) multiplicação

1 4

640

4

8

b) 45 – 3 8 + 2 =

= 45 – 3 10 =

= 45 – 30 =

= 15


15

c) 45 – 3 8 + 2 =

= 45 – 24 + 2 =

= 21 + 2 =

= 23

10. Explique por que as outras alternativas não estão corretas.

11. Ao digitar uma expressão numérica, esqueceu-se de colocar os parênteses. Coloque-os no lugar apropriado de modo a obter 800 como resultado final.

25 – 10 4 + 16 ÷ 2 + 50 4 =

= 15 20 ÷ 2 + 50 4 =

= 300 ÷ 2 + 50 4 =

= 150 + 50 4 =

= 200 4 =

= 800

12. Nas expressões numéricas a seguir, coloque os símbolos das operações (+, –, ou ÷) e os parên-teses, de modo a obter o resultado indicado. Não é necessário usar todos os símbolos.

a) 1 __ 2 __ 3 = 7

b) 1 __ 2 __ 3 = 5

c) 10 __ 2 __ 4 __ 5 = 7

d) 10 __ 2 __ 4 __ 5 = 25

e) 4 __ 3 __ 2 __ 1 = 9

f ) 4 __ 3 __ 2 __ 1 = 13

g) 20 __ 10 __ 4 __ 1 = 2

h) 20 __ 10 __ 4 __ 1 = 18

d) 45 – 3 8 + 2 =

= 42 10 =

= 420


16

LIÇÃO DE CASA

13. Resolva as seguintes expressões numéricas:

a) 12 3 + 15 ÷ 5 =

b) (40 – 25) ÷ 3 + 7 5 =

c) (12 – 5) (12 + 5) – 17 =

d) (20 ÷ (12 – 8)) 7 – 10 =


17

e) 100 ÷ (25 – 5) + 3 10 =

f ) (((40 ÷ 8) – 3) 4) ÷ 8 =

LIÇÃO DE CASA

Leitura e análise de texto

O cálculo mental é uma habilidade muito importante na vida do cidadão. Caixas

de banco, feirantes, lojistas, cobradores de ônibus, jornaleiros são algumas das pro-

fissões que dependem muito da habilidade de fazer contas de cabeça. Mesmo quando

se usa uma calculadora, é preciso saber avaliar bem os resultados obtidos, pois podemos

cometer erros ao digitar uma grande quantidade de algarismos. Do mesmo modo, o

cidadão comum precisa ter um bom conhecimento de cálculo mental para lidar com

pagamentos, trocos e compras. Para efetuar o cálculo mental com rapidez e precisão, é

importante conhecer diferentes estratégias. Algumas delas serão apresentadas a seguir,

mas cada um pode desenvolver seu próprio método de cálculo.

Soma dos algarismos de mesmo valor posicional: efetuar a adição de unidades com

unidades, dezenas com dezenas, centenas com centenas etc. Em seguida, somar os

resultados obtidos. Exemplo: 36 + 42 = (30 + 40) + (6 + 2) = 70 + 8 = 78.

Para adicionarmos um número terminado em oito, basta somar a dezena seguinte

e subtrair dois. Exemplo: 25 + 38 = 25 + (40 – 2) = 65 – 2 = 63.

43 + 78 = 43 + (80 – 2) = 123 – 2 = 121

Cálculo mental


18

A mesma estratégia pode ser utilizada na adição de números terminados em nove, sete etc.

Observação!

VOCÊ APRENDEU?

14. A estimativa é uma habilidade muito importante na Matemática, principalmente quando se trata

do cálculo mental. Responda às perguntas sem efetuar o cálculo exato.

a) 27 + 72 é maior ou menor que 110?

b) 138 + 267 é maior ou menor que 400?

c) 427 + 665 é maior ou menor que 1 100?

d) 665 – 427 é maior ou menor que 200?

e) 1 231 – 829 é maior ou menor que 400?

f ) 27 12 é maior ou menor que 300?

g) 66 15 é maior ou menor que 1 000?

h) 714 ÷ 5 é maior ou menor que 130?

i) 1 200 ÷ 24 é maior ou menor que 50?


19

15. Calcule mentalmente as operações a seguir e registre o resultado obtido.

a) 24 + 18 =

b) 55 + 38 =

c) 26 + 39 =

d) 78 + 27 =

e) 45 + 86 =

f ) 134 + 69 =

g) 143 + 48 =

h) 216 + 67 =

i) 237 + 66 =

j) 333 + 59 =

k) 444 + 117 =

l) 115 + 218 =


20

VOCÊ APRENDEU?

Sequências numéricas

1. Nas sequências numéricas a seguir, cada número é obtido a partir de uma mesma operação

aritmética. Descubra o padrão de crescimento (ou decrescimento) e complete as sequências.

Exemplo: 2, 6, 10, 14, 18, 22...

a) 3, 12, 21, 30, ___, ___, ___. e) 10, 100, 1 000, 10 000, _____, _____.

b) 5, 16, 27, 38, ___, ___, ___. f ) 800, 400, 200, 100, ___, ___.

c) 32, 27, 22, 17, ___, ___, ___. g) 1, 4, 9, 16, 25, ___, ___, ___.

d) 2, 6, 18, 54, ___, ___, ___. h) 1, 3, 6, 10, ___, ___, ___, ___.

2. Crie quatro sequências numéricas diferentes, usando as quatro operações aritméticas básicas. Em

seguida, escreva os três primeiros termos das sequências criadas em uma folha de papel e troque

com um colega. Você deverá tentar resolver as sequências propostas por ele, e ele, as suas. Após

um tempo, as trocas são desfeitas, e cada aluno verifica se o colega completou corretamente a

sequência proposta.

O objetivo principal é aprender a identificar o padrão das sequências. Não se trata de uma competição, mas sim de uma colaboração mútua.

Lembre-se!

+4 +4


EXPLORANDO OS NÚMEROS NATURAIS

!?


21

Escreva a seguir as sequências que você criou:

Sequência 1: ____, ____, ____, ____, ____, ____, ____, ____.

Sequência 2: ____, ____, ____, ____, ____, ____, ____, ____.

Sequência 3: ____, ____, ____, ____, ____, ____, ____, ____.

Sequência 4: ____, ____, ____, ____, ____, ____, ____, ____.

LIÇÃO DE CASA

3. Complete as sequências sabendo que elas são formadas pela adição de um mesmo número natural.

a) 6, 13, ___, 27, ___, ___, 48. d) 5, ___, ___, ___, 25, ___.

b) 11, ___, 17, ___, ___, 26. e) 0, ___, ___, 18, ___, 30.

c) 7, ___, ____, 28, ___, 42. f ) 0, ___, ___, ___, 48.

4. Os múltiplos dos números naturais são exemplos de sequências numéricas muito importantes na Matemática. Escreva os 15 primeiros elementos das sequências dos múltiplos de 2, 3, 4, 5, 8, 10 e 12.

a) M(2) =

b) M(3) =

c) M(4) =

d) M(5) =

e) M(8) =

f ) M(10) =

g) M(12) =


22

5. Determine os múltiplos comuns entre as seguintes sequências:

a) entre M(2) e M(3) =

b) entre M(3) e M(4) =

c) entre M(4) e M(12) =

d) entre M(2), M(5) e M(10) =

VOCÊ APRENDEU?

Mínimo múltiplo comum

6. Resolva os seguintes problemas:

a) Da estação rodoviária de uma cidade do interior saem dois ônibus de uma mesma com-panhia em direção à capital: um leito e o outro, convencional. O ônibus leito parte a cada 16 minutos e o convencional, a cada 12 minutos. A primeira saída conjunta acon-tece às 16h30 e a última, às 20h30. De quanto em quanto tempo os dois ônibus saem no mesmo horário?

Resposta:

b) Em uma avenida, os postes de iluminação estão espaçados por uma distância fixa de 120 metros. Existem telefones públicos instalados a cada 300 metros. De quan-tos em quantos metros haverá um telefone público instalado junto a um poste de iluminação?

Resposta:


23

c) No alto da torre de uma emissora de televisão, duas luzes piscam com frequências dife-rentes. A primeira luz pisca 15 vezes por minuto e a segunda, 10 vezes por minuto. Em certo instante, as luzes piscam simultaneamente. Após quantos segundos as duas voltarão a piscar juntas?

Resposta:

Divisores de um número natural

7. Encontre todos os divisores dos seguintes números:

a) Divisores de 28:

b) Divisores de 72:

c) Divisores de 100:

d) Divisores de 26:

e) Divisores de 49:

f ) Divisores de 71:

LIÇÃO DE CASA

8. Encontre os divisores comuns entre os seguintes pares de números:

a) 12 e 30

D(12) =

D(30) =

D(12, 30) =


24

b) 28 e 48

D(28) =

D(48) =

D(28, 48) =

c) 26 e 28

D(26) =

D(28) =

D(26, 28) =

d) 25 e 100

D(25) =

D(100) =

D(25, 100) =

e) 12 e 72

D(12) =

D(72) =

D(12, 72) =

f ) 7 e 16

D(7) =

D(16) =

D(7, 16) =


25

9. Determine o maior divisor comum entre os pares de números da atividade anterior:

a) entre 12 e 30:

b) entre 28 e 48:

c) entre 26 e 28:

d) entre 25 e 100:

e) entre 12 e 72:

f ) entre 7 e 16:

10. Temos dois tubos de PVC que devem ser cortados em pedaços iguais. O primeiro deles mede 24 metros e o segundo, 40 metros. Determine o maior tamanho que deve ter cada pedaço de modo que os dois tubos sejam utilizados inteiramente, sem sobras. Represente as divisões nos tubos ilustrados a seguir.

Resposta:

24 metros

40 metros


26

VOCÊ APRENDEU?

Números primos

11. Os números primos são muito importantes na Matemática. O nome “primo” vem do latim e significa “primeiro”. Um número primo só é divisível por 1 e por ele mesmo. Os números que têm mais de dois divisores são chamados números compostos.

Classifique os números a seguir em primos ou compostos, preenchendo a tabela:

3, 6, 7, 11, 12, 13, 15, 21, 23, 24 e 31.

Números primos Números compostos

Descobrindo os números primos

12. Agora você vai usar um método para descobrir todos os números primos existentes entre 1 e 100. Esse método foi inventado por um filósofo grego chamado Eratóstenes (século III a.C.), que foi o chefe da maior biblioteca da Antiguidade, localizada na cidade de Alexandria.

Etapas:

a) Preencha a Tabela 1 com os 100 primeiros números naturais a partir do 1, em ordem crescente, alinhando as dezenas por colunas.

b) Risque o número 1, pois ele não é primo.

c) Risque da tabela todos os múltiplos de 2, maiores que 2. Em seguida, os múltiplos de 3, maiores que 3. Como o 4 já estará riscado, risque em seguida os múltiplos de 5 maiores que 5. E assim por diante, até completar a tabela.

d) Anote na Tabela 2 os números que ficaram sem riscar. Eles são os 25 números primos menores que 100.


27

Tabela 1 – Crivo de Eratóstenes

Tabela 2 – Os 25 números primos menores que 100


28

13. Com base na atividade anterior, responda às seguintes perguntas:

a) Você observa alguma regularidade nessa sequência de números primos?

b) Com relação à terminação dos números, quais algarismos aparecem com mais frequência? Quais os que nunca aparecem?

Preencha a tabela a seguir:

Algarismo 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0

No de vezes


Além de encontrar um papel na espionagem, os números primos também aparecem

no mundo natural. As cigarras, mais notadamente a Magicicada septendecim, possuem o

ciclo de vida mais longo entre os insetos. A vida delas começa embaixo da terra, onde as

ninfas sugam pacientemente o suco da raiz das árvores. Então, depois de 17 anos de espera,

as cigarras adultas emergem do solo e voam em grande número, espalhando-se pelo campo.

Depois de algumas semanas elas acasalam, põem seus ovos e morrem.

A pergunta que intrigava os biólogos era: por que o ciclo de vida da cigarra é

tão longo? E será que existe um significado no fato de o ciclo ser um número primo

de anos? Outra espécie, a Magicicada tredecim, forma seus enxames a cada 13 anos,

sugerindo que um ciclo vital que dura um número primo de anos oferece alguma

vantagem evolutiva.


29

Uma teoria sugere que a cigarra tem um parasita com um ciclo igualmente longo,

que ela tenta evitar. Se o ciclo de vida do parasita for de, digamos, 2 anos, então

a cigarra procura evitar um ciclo vital que seja divisível por 2, pois, de outro modo, os ci-

clos da cigarra e do parasita vão coincidir regularmente. De modo semelhante, se o ciclo de

vida do parasita for de 3 anos, então a cigarra procura evitar um ciclo que seja divisível

por 3, para que seu aparecimento, e o do parasita, não volte a coincidir. No final, para

evitar se encontrar com seu parasita, a melhor estratégia para as cigarras seria ter um

ciclo de vida longo, durando um número primo de anos. Como nenhum número vai

dividir 17, a Magicicada septendecim raramente se encontrará com seu parasita. Se o

parasita tiver um ciclo de vida de 2 anos, eles só se encontrarão uma vez a cada 34

anos, e se ele tiver um ciclo mais longo, digamos, de 16 anos, então eles só vão se en-

contrar a cada 272 anos.

SINGH, Simon. O último teorema de Fermat. Rio de Janeiro: Record, 1999. p. 112-3.

VOCÊ APRENDEU?

14. Com base no texto apresentado na seção Leitura e análise de texto, responda às questões a seguir:

a) Sublinhe no texto as palavras cujo significado você desconhece. Em seguida, consulte um dicionário e anote os significados encontrados.

b) Por que a cigarra desenvolve um ciclo de vida que dura um número primo de anos?


30

c) O que aconteceria se a cigarra tivesse um ciclo de vida de 12 anos e o parasita, de 4 anos?

d) Explique, em termos matemáticos, a última frase do texto: “Se o parasita tiver um ciclo de vida de 2 anos, eles só se encontrarão uma vez a cada 34 anos, e se ele tiver um ciclo mais longo, digamos, de 16 anos, então eles só vão se encontrar a cada 272 anos”.

Potenciação

15. Todas as pessoas possuem antepassados, vivos ou mortos. Os nossos antepassados mais próxi-mos são os nossos pais (pai e mãe). Em seguida, vêm os avós, dois por parte de pai e dois por parte de mãe, totalizando quatro antepassados. E assim por diante, a cada geração dobrando o número de antepassados.

a) Como se chamam os pais dos bisavós? E os avós dos bisavós?

b) Faça um diagrama para representar os seus antepassados até a quarta geração.

(Observação: a primeira geração é a dos pais.)


31

c) Escreva o número de pessoas em cada geração na forma de potência.

d) Quantos antepassados uma pessoa tem na décima geração anterior?

e) Quantos são os trisavós dos seus tataravós?

Resposta:

16. Quantos resultados diferentes podem-se obter no lançamento de 2 dados numerados de 1 a 6? E com 3 dados?

(Dica: desenhe um diagrama e identifique que potência representa melhor essa situação.)


32

VOCÊ APRENDEU?

As frações no Tangram

O Tangram é um quebra-cabeça chinês composto por sete figuras geométricas: cinco triângu-los, um quadrado e um paralelogramo. Nesta atividade, você vai construir um Tangram por meio de dobraduras e recortes. Acompanhe as instruções a seguir.

Material: uma folha de papel A4, tesoura, régua e lápis.

1a Etapa: recorte um quadrado da folha de papel. Em seguida, dobre o quadrado ao meio e recorte dois triângulos retângulos, unindo o ponto P ao P’.

P’

P

Excesso

Cortar

Cortar


NA MEDIDA CERTA: DOS NATURAIS ÀS FRAÇÕES

!?


33

2a Etapa: divida um dos triângulos obtidos ao meio e corte em duas partes, obtendo os triângulos 1 e 2.

Cortar

P’ P

21

3a Etapa: dobre o outro triângulo ao meio e, em seguida, junte o vértice ao ponto médio do lado oposto, como mostra a figura. Em seguida, recorte o triângulo 3.

Cortar

P’

P

3

4a Etapa: dobre e recorte o triângulo 4 e o quadrado 5.

P’P

4

5

Cortar Cortar

5a Etapa: em seguida, dobre o trapézio restante e recorte o triângulo 6.

Cortar

P

P’

67


34

Junte as sete peças e monte o quadrado maior com as figuras do Tangram.

5

3

4

2

1

6

7

Triângulos grandes: peças 1 e 2 Quadrado pequeno: peça 5

Triângulo médio: peça 3 Paralelogramo: peça 7

Triângulos pequenos: peças 4 e 6 Quadrado grande: Tangram completo

1. Tendo como base as peças do Tangram, responda às seguintes perguntas:

a) Quantos triângulos pequenos são necessários para formar um quadrado pequeno?

b) Um triângulo pequeno corresponde a que fração do quadrado pequeno?

c) Um triângulo pequeno corresponde a que fração do triângulo grande?

d) O quadrado pequeno corresponde a que fração do triângulo grande?

e) O paralelogramo corresponde a que fração do quadrado grande?

f ) Um triângulo pequeno corresponde a que fração do quadrado grande?


35

g) Um triângulo pequeno e um triângulo médio juntos correspondem a que fração do triângulo grande?

h) O paralelogramo e um triângulo pequeno juntos correspondem a que fração do quadrado grande?

PESQUISA INDIVIDUAL

2. Pesquise em jornais e revistas e selecione uma notícia que faça uso de frações. Leve a notícia encontrada na próxima aula e faça um resumo sobre ela no espaço a seguir, incluindo o valor ao qual se refere a fração encontrada.


36

VOCÊ APRENDEU?

Números mistos, frações e medidas

3. Determine a medida em polegadas dos seguintes objetos (como número misto e como fração). A régua está graduada em inteiros, meios, quartos e oitavos de polegada.

a) Comprimento da caneta:

© C

on

exão

Ed

itori

al

b) Comprimento da borracha:

© C

on

exão

Ed

itori

al


37

c) Comprimento da tesoura:

© C

on

exão

Ed

itori

al

d) Diâmetro de um CD:

© C

on

exão

Ed

itori

al


38

VOCÊ APRENDEU?

Frações equivalentes

1. Obtenha as frações equivalentes das seguintes frações, completando o numerador ou denomi-nador com o número apropriado:

a) 3

5 =

12 =

10 =

30 =

100

b) 5

4 =

30 =

40 =

100 =

100

c) 5

25 =

1 = 10

= 30 =

100

d) 40

100 =

8 = 10

= 2

e) 3

7 =

12 = 35

= 21

f ) 72

90 =

12 = 45

Comparação de frações

2. Preencha as figuras de acordo com a fração. Em seguida, compare as frações de cada série usando os sinais de desigualdade: maior que ( > ) ou menor que ( < ):

a) Denominador fixo, numeradores diferentes.

1

7

2

7


EQUIVALÊNCIAS E OPERAÇÕES COM FRAÇÕES

!?


39

7

7

1

7

2

7

7

7

9

7

b) Numerador fixo, denominadores diferentes.

2

3

2

4

2

6

2

12

2

3

2

4

2

6

2

12

c) Numeradores e denominadores diferentes. (Verifique se a fração é maior ou menor que a metade.)

2

5

4

7

7

8

2

5

4

7

7

8

9

7


40

LIÇÃO DE CASA

3. Compare as duas frações usando os sinais <, > ou .

a) 2

9

2

15

b) 11

10

5

10

c) 3

10

3

9

d) 33

100

77

100

e) 5

12

12

5

4. Usando o princípio da equivalência, transforme as frações a seguir em frações de mesmo denominador e compare-as, usando os sinais <, > ou .

a) 2

5

7

15

b) 7

4

13

10

c) 4

7

5

8

VOCÊ APRENDEU?

Fração de um número natural

5. Escreva as operações na forma de fração e calcule:

Exemplo: dois terços de 18

18 3 6

2 6 12

f ) 9

17

9

19

g) 22

45

35

60

h) 9

82

i) 4

8

7

14

j) 3 31

3

d) 5

12

7

18

e) 2

10

5

25

f ) 32

100

6

20

2 __ 3 18 12


41

a) metade de 420;

b) um quarto de 20;

c) três quartos de 60;

d) um quinto de 400;

e) três quintos de 600;

f ) dois décimos de 700;

g) um sexto de 72;


42

h) vinte centésimos de 500.

6. As frações do relógio: calcule as frações indicadas e dê a resposta em minutos.

©

Dorl

ing

Kin

der

sley

/Get

ty I

mag

es

a) 1

4 de 1 hora:

b) 1

3 de 1 hora:

c) 1

5 de 1 hora:

d) 1

6 de 1 hora:

e) 3

4 de 1 hora:

f ) 2

3 de 1 hora:

g) 2

5 de 1 hora:


43

h) 5

6 de 1 hora:

i) 1

3 de 2 horas:

j) 1

8 de 2 horas:

LIÇÃO DE CASA

7. Escreva a que fração da hora correspondem os minutos:

a) 30 minutos:

b) 10 minutos:

c) 15 minutos:

d) 1 minuto:

e) 50 minutos:

f ) 20 minutos:

g) 25 minutos:

h) 36 minutos:

VOCÊ APRENDEU?

Adição e subtração de frações

8. Efetue as operações e dê o resultado em linguagem mista. Em seguida, escreva a operação na forma fracionária:

Exemplo: 3 quintos + 4 quintos = 7 quintos

3

5 + 4

5 = 7

5


44

a) 5 sétimos + 6 sétimos =

b) 2 terços + 8 terços =

c) 15 décimos – 6 décimos =

d) 18 quinze avos – 3 quinze avos =

e) 1 quarto + 5 quartos =


45

9. Escreva duas frações equivalentes à fração dada em linguagem mista:

Exemplo: 2 terços = 4 sextos = 6 nonos

a) 1 quinto =

b) 3 oitavos =

c) 7 décimos =

d) 7 sextos =

e) 20 centésimos =

10. Efetue as operações conforme o exemplo:

Linguagem mista Forma fracionária

3 quartos + 5 sétimos = 3

4 +

5

7 =

3 7 vinte e oito avos + 5 4 vinte e oito avos = 3 ⋅ 728

+5 ⋅ 428

=

21 vinte e oito avos + 20 vinte e oito avos = 21

28 +

20

28 =

41 vinte e oito avos 41

28

a) 2 quintos + 1 quarto =



46

b) 10 terços + 5 oitavos =


c) 5 meios – 2 quintos =


d) 15 quartos – 7 décimos =



47


O SOROBAN E OS NÚMEROS DECIMAIS

!?


Soroban, o ábaco japonês

Soroban é o nome do ábaco japonês. O ábaco é um dos instrumentos de cálculo e registro numérico mais antigos da história da humanidade. Ele foi utilizado por diversos povos e civilizações, entre eles os babilônios, os romanos, os árabes e os chineses. Não se sabe ao certo quando o ábaco foi inventado, embora haja indícios de que os babilônios já utilizavam esse instrumento desde o século III a.C. Na China, o ábaco surgiu por volta do século XIII, com o nome de suan-pan, que significa “tábua de contar”.

O soroban é uma versão adaptada pelos japoneses do suan-pan chinês. Uma das prin-cipais vantagens desse instrumento em relação aos outros ábacos é o menor número de peças utilizadas para registrar os números. Além disso, ele foi utilizado não apenas para contar e registrar números, mas também para realizar operações aritméticas como adição, subtração, multiplicação, divisão e extração de raiz quadrada.

O desenvolvimento das técnicas de cálculo propiciou grande rapidez na realiza ção de operações aritméticas. Em alguns casos, o cálculo com soroban chega a ser mais rápido do que com a calculadora. As crianças japonesas aprendem a manusear o soroban na escola, a partir dos 5 anos de idade. Ainda hoje, no Japão, é comum observarmos seu uso por comer ciantes locais.

© M

ich

ael M

asla

n H

isto

ric

Ph

oto

grap

hs/

Corb

is/L

atin

stock


48

A estrutura do soroban é muito semelhante à do sistema de numeração decimal. Cada haste

vertical representa uma casa decimal. As unidades estão representadas no centro, onde aparece

o sinal . .. À esquerda, estão localizadas as casas dos múltiplos da unidade (dezena, centena, milhar

etc.). À direita, os submúltiplos ou divisões da unidade (décimo, centésimo, milésimo etc.), confor-

me mostra a figura a seguir.

Mil

har

Cen

tési

mo

Déc

imo

Un

idad

e

Dez

ena

Cen

ten

a

Godama

Ichidama

Hari

Mil

ésim

o

Diferentemente do ábaco tradicional, o soroban não necessita de dez peças em cada haste para

repre sentar os algarismos de um número. Cada haste possui somente cinco peças, uma valendo

cinco e as demais, um. Desse modo, podemos representar os algarismos de 0 a 9 com menos

peças por haste.

A haste horizontal central, chamada hari, divide o soroban em duas partes. Na parte infe-

rior de cada haste vertical, existem quatro peças chamadas ichidama, que valem uma unidade

cada uma delas. O termo ichi em japonês significa “um”, e dama significa “peça”. Na parte

superior, encontra-se apenas uma peça por haste, chamada godama (go é o número cinco, em

japonês), que vale 5 unidades.

Para uma peça representar valor, ela deve estar em contato com o hari ou encostada em outra

peça que está em contato com o hari. Assim, se em uma haste vertical nenhuma das peças estiver em

contato com o hari, o valor registrado nessa casa será zero. Se houver dois ichidama e um godama

deslocados de forma a entrar em contato com o hari na casa das unidades, então o valor registrado

será 7. A mesma configuração na casa das dezenas valerá 70. Na casa dos centésimos, 7 centésimos.

Vejamos alguns exemplos de representação de números no soroban. Para facilitar a leitura, as peças

em contato com o hari estarão pintadas de preto.


49

ichidama tocando o hari das unidades

ichidama e 1 godama tocando o hari ichidama tocando o hari

1 godama ichidama

tocando o hari

Nenhuma peça tocando

o hari das dezenas1 ichidama tocando o hari

1 godama tocando o hari

ichidama tocando o hari


50

Construindo um soroban

Para construir um soroban com 7 hastes, indo

uma caixa de papelão de, aproximada-

de largura, para servir de estrutura do soroban (pode ser uma caixa de sapatos);

de 6 a 8 canudinhos de plástico, para fazer os ichidama e os godama;

8 palitos de madeira para churrasco (ou fio de barbante), para fazer 7 hastes verticais e 1 hari.

Etapas

meça o comprimento da parte frontal da caixa e calcule a distância necessária para fixar

7 hastes igualmente espaçadas entre si ( 1 __ 8 do comprimento). Em seguida, faça 7 furos nas

meça o comprimento da parte lateral da caixa e calcule a distância em que será fixado o

hari ( __ 4

superior;

1

8

4

ichidama e 7 godama;

insira 4 ichidama e 1 godama em cada haste e as 7 hastes verticais nos furos feitos na caixa;

© F

ern

and

o F

avore

tto


51

em seguida, coloque o hari pelos furos laterais, tomando o cuidado de separar os ichidama dos godama;

faça o sinal . . na região da caixa acima da haste central, que representará a casa das uni-dades. À esquerda desse sinal ficarão as hastes das dezenas, centenas e milhares. À direita, ficarão as hastes dos décimos, centésimos e milésimos.

. .

O soroban

Antes de iniciar qualquer operação ou registro numérico, procure “zerar” o soroban, de modo que nenhuma peça fique em contato com o hari, ou seja, o valor inicial deve ser sempre igual a zero.

Dica importante!

© F

ern

and

o F

avore

tto


VOCÊ APRENDEU?

1. Registre no soroban os números representados nas figuras. Em seguida, determine qual é o

100 80 0

a)

b)


c)

d)

e)


54

soroban. Posteriormente, desenhe os ichidama e/ou godama que

a) 76,8

c) 0,0015

d) 1 501,51


55

e) 987,654

LIÇÃO DE CASA

soroban. Posteriormente, desenhe os ichidama e/ou godama que


56

4. Registre os seguintes números decimais no soroban. Depois, fazendo as transformações ne-


57

5. Efetue as operações indicadas a seguir no soroban. Depois, registre o resultado obtido nas figu-ras. (Observação soroban.)


58


59


EQUIVALÊNCIAS E OPERAÇÕES COM DECIMAIS

!?

VOCÊ APRENDEU?

Frações e números decimais

1. Complete a tabela a seguir, obedecendo à correspondência entre fração decimal, linguagem mista e notação decimal.

Fração decimal Linguagem mistaNotação decimal

Unidade Décimo Centésimo Milésimo

a)9

109 décimos

b) 0, 0 7

c)1 000

d) 0, 5

e)17

1 00017 milésimos

f )

g) 0, 7 5

h) 1100

1, 5

i)

j)

k)10


60

0,35 = 3 décimos + 5 centésimos = 3 ___ 10

+ 5 ____ 100

= 0,3 + 0,05


61

Frações equivalentes e números decimais equivalentes

Linguagem mista

1

décimo10

centésimos milésimos

décimos de milésimos

...

Fração decimal

1

10...

Número decimal

0,1 ...

4. Escreva em linguagem mista e na forma decimal os números representados pelas figuras da -

dade, o retângulo representa o décimo e o quadrado menor, o centésimo.

Figura Linguagem mista Notação decimal

a)

b)


c)

d)

e)

f )

g)


LIÇÃO DE CASA

5. Preencha a tabela a seguir obedecendo à equivalência entre os submúltiplos da unidade. Use frações para indicar o fracionamento da unidade.

Quanto vale em unidades em décimos em centésimos em milésimos

1 unidade 1 10

1 décimo1

101

1 centésimo1

100

1

10

1 milésimo1

1000

1

100

1

10

centésimos

décimos

centésimos

décimos

unidades

décimos

unidades


64

VOCÊ APRENDEU?

Multiplicação e divisão por 10, 100, 1 000,...

0,012 10 = 12 milésimos 10 = 12 centésimos = 0,12

g) 0,01


65

8. Escreva os números representados nos sorobans

a)

b)

1,802

18,02

10


66

a) O que acontece com as peças do soroban quando multiplicamos um número por 10? E por 100? E por 1 000?

b) O que acontece com as peças do soroban quando dividimos um número por 10? E por 100? E por 1 000?

LIÇÃO DE CASA

10. Preencha as tabelas efetuando as operações indicadas nas laterais.

a)

M C D U d c m

1, 8

10

10

10


67

b)

M C D U d c m

5 0 7

c)

M C D U d c m

1

d)

M C D U d c m

0, 6 1 8

e) M C D U d c m

8

÷ 10

÷ 10

÷ 10

÷ 10

÷ 1 000

100

100

÷ 10

1 000

10 000

÷ 1 000

100


68

11. Efetue as operações indicadas, colocando a vírgula na posição correta e/ou acrescentando zeros

a)

4 0

4 0

4 0

4 0

b)

5

5

5

5

c)

8 1 5

8 1 5

8 1 5

8 1 5

10

1 000

10

÷ 1 000

100

÷ 100

10

÷ 1 000

÷ 1 000


69

d)

6

6

6

6

e)

1 4 5 6

1 4 5 6

1 4 5 6

1 4 5 6

VOCÊ APRENDEU?

Localização de números decimais na reta

(A unidade de medida da régua é o centímetro, subdividido em milímetros.)

10 6 7 8 9 102 3 4 5

÷ 100

÷ 10 000

1 000

10 000

÷ 100

÷ 10

© C

on

exão

Ed

itori

al


70

a) 0 10

b) 0 1

c) 0,5 0,6

d)

e) 1,45


71

LIÇÃO DE CASA

< para “menor que”

> para “maior que”

= para “igual”

0,7

0,100

0,7

VOCÊ APRENDEU?

Operações com decimais

15. Efetue as operações entre as frações decimais. Transforme-as em frações equivalentes de mesmo denominador.

a) 7

100

15

1000

b) 10

18

100


c) 100 10

15

1000

d) 100

e) 7

10 100

f ) 10

5

100

16. Usando a linguagem mista, faça as transformações para as mesmas unidades e efetue as opera-

32 décimos + 4 centésimos =

320 centésimos + 4 centésimos = 324 centésimos



74

LIÇÃO DE CASA


75


MEDIDAS NÃO PADRONIZADAS

!?

Atividade experimental: medindo de diferentes maneiras

Contexto-

queno? O cachorro é um animal grande? Ora, para responder a essas questões, precisamos ter uma

O cachorro é grande quando comparado a um rato, mas pequeno em relação ao cavalo.

E o cavalo é pequeno quando comparado à girafa.

© C

on

exão

Ed

itori

al

© C

on

exão

Ed

itori

al


76

Para determinar se um objeto é grande ou pequeno, é preciso compará-lo com outro.

Essa é a ideia básica do que chamamos de medida. Medir é um processo de comparação entre

uma grandeza e outra, cujo resultado pode ser expresso por um número. Alguns exemplos de gran-

Toda medida envolve a comparação entre grandezas de mesmo tipo, isto é, podemos com-

parar a altura da girafa com a altura do cachorro, ou o peso do cavalo com o peso da girafa.

Contudo, não haveria sentido em compararmos o peso do cavalo com a altura do cachorro, pois

são grandezas diferentes.

Podemos medir a altura do cachorro comparando-a com a altura do rato. Para isso, é

preciso verificar quantas vezes a altura do rato “cabe” na do cachorro.

Nesse exemplo, podemos verificar que o resultado da medida é 5, ou seja, a altura do cachorro é

5 vezes a do rato. Nesse caso, dizemos que a unidade de medida utilizada foi a altura do rato.

Para compararmos duas grandezas de mesma espécie, geralmente escolhemos uma ter-

ceira grandeza como padrão. Ao longo da história, muitas referências foram adotadas como

Faremos, a seguir, uma atividade envolvendo medidas de comprimento utilizando diferentes

padrões.

Material necessário

Orientaçõesdeterminados objetos utilizando diferentes unidades de medida. Serão definidas duas categorias

as provenientes de objetos do cotidiano (palito de fósforo, caneta, cinto e cabo de vassoura).

© C

on

exão

Ed

itori

al


77

Unidades de medida não padronizadas

Corpo humano Objetos do cotidiano

Polegar Palito de fósforo

Palmo aberto Caneta

Passo simples Cinto

Longitude dos braços abertos Cabo de vassoura

© F

ern

and

o F

avore

tto

© J

acek

/Kin

o

Polegada

© S

amu

el S

ilva

© F

ern

and

o F

avore

tto

© S

amu

el S

ilva

© S

amu

el S

ilva

© S

amu

el S

ilva

© J

acek

/Kin

o


78

Comparação

como padrão, teremos de contar quantas vezes o comprimento do livro “cabe” no comprimento da mesa. O resultado dessa medida poderá ser um número inteiro se o livro “couber” um número exato de vezes na mesa. Por exemplo, 4 vezes. Nesse caso, o resultado da medida é o número 4. Dizemos que a mesa mede 4 unidades “livro”.

Ou, então, pode ser um número “quebrado”, isto é, um número entre dois valores inteiros. Se no comprimento da mesa “couber” mais do que 4 e menos do que 5 vezes o comprimento do livro, para

medir o comprimento total da mesa, precisaremos determinar a fração do comprimento do livro

__ de um livro. O resultado da medida é o

número misto 4 __ .

comprimento de um lápis;

altura de um aluno;

comprimento de uma carteira;

comprimento da sala;

largura da lousa.

Para cada objeto medido, escolham qual é a unidade-padrão mais adequada. Para cada objeto,

resultados de suas medidas na tabela a seguir.

Após a finalização da tarefa, os resultados obtidos pelos grupos serão compartilhados e discutidos coletivamente, sob a orientação de seu professor.

ObjetosUnidades provenientes

do corpo humanoUnidades provenientes

dos objetos do cotidiano

Comprimento de um lápis

Altura de um aluno

Comprimento de uma carteira

Comprimento da sala

Largura da lousa


79

a) Quais foram as unidades de medida usadas para medir o comprimento da carteira?

b) A longitude dos braços abertos é uma unidade adequada para medir o comprimento de um lápis? Por quê?

c) Houve diferença entre as medidas obtidas em cada grupo? Se sim, quais seriam as causas dessa diferença?


80


MEDIDAS E TRANSFORMAÇÕES

!?


A criação do metro

Antigamente, a utilização de unidades de medida como o palmo ou o passo causava

uma série de problemas para as pessoas, principalmente no comércio. Como determinar a

medida exata de um produto se a unidade-padrão variava de tamanho? O desenvolvimen-

to das grandes cidades e o consequente aumento de intercâmbio entre os povos geraram a

necessidade de estabelecer padrões estáveis e confiáveis para as medidas.

Um desses padrões foi o metro. A palavra “metro” vem do grego métron, que signifi-

ca medida. O metro foi criado no final do século XVIII por uma comissão de cientistas,

da qual faziam parte os matemáticos Pierre Simon Laplace e Joseph-Louis Lagrange. Ao

contrário dos outros padrões de medida, que tinham o corpo humano como referência, o

metro foi definido com base no meridiano terrestre.

distância entre o polo Norte e o Equador, ao longo do meridiano que passava por Paris.

Imagine a quarta parte do meridiano terrestre dividida em 10 milhões de partes iguais.

Cada uma dessas partes mede 1 metro.

Porém, em virtude da pouca praticidade em se determinar tal distância, o comprimen-

to do metro foi registrado em uma barra metálica de platina e irídio, que está guardada na

cidade de Sèvres, na França. Construído o padrão, cópias exatas foram distribuídas para

diversos países, que passaram a adotar o metro como unidade-padrão de medida.

Em 1960, foi criado o Sistema Internacional de Unidades (SI), que definiu os prefi-

mento), quilograma (massa), segundo (tempo) etc. Essas divisões seguiram o mesmo

prin cípio do sistema numérico decimal, em que cada unidade corresponde a dez unida-

des da posição anterior. Não é por acaso que os três primeiros submúltiplos do metro

milímetro.


81

Múltiplos do metro Submúltiplos do metro

quilô metro(km)

hectô metro(hm)

decâmetro(dam)

metro(m)

decímetro(dm)

centí metro(cm)

milímetro(mm)

1 000 m 100 m 10 m 1 m

1

10 m

0,1 m

1

100 m

0,01 m

1

1000 m

0,001 m

VOCÊ APRENDEU?

1. Com base no texto apresentado na seção Leitura e análise de texto, responda às seguintes

a) Por que houve a necessidade de se criar uma unidade-padrão internacional para medidas de comprimento?

b) Dê um exemplo de situação em que a adoção do palmo da mão como unidade de medida poderia causar problemas.

A tabela a seguir mostra os principais múltiplos e submúltiplos do metro.


c) Faça um desenho que ilustre a definição do padrão metro.


d) Com base nas informações do texto, determine quantos quilômetros mede o meridiano terrestre.

I. Altura de uma criança a) 1,5 centímetro

II. Comprimento de uma sala b) 1,5 metro

IV. Largura de uma borracha d) 10 metros


84

a) Quantos centímetros equivalem a 1 metro?

b) Quantos metros equivalem a 1 milímetro?

c) Quantos milímetros equivalem a 1 centímetro?

d) Quantos centímetros equivalem a 10 metros?

e) Quantos centímetros equivalem a 1 milímetro?


85

LIÇÃO DE CASA

4. A régua a seguir possui medidas em centímetros (na parte superior) e polegadas (na parte infe-

© C

on

exão

Ed

itori

al

1

1

4

4

5

5

6

6

7 8 9 10 11 14 15 16


86

5. A polegada é a unidade comumente usada para medir a tela dos televisores. Essa medida refere-se

a) Quantos centímetros tem a diagonal da tela desse televisor?

32 polegadas

© C

on

exão

Ed

itori

al


87

b) Se a diagonal da tela de um televisor mede 1 metro, quantas polegadas, aproximadamente, tem esse televisor?

PESQUISA INDIVIDUAL

6. Faça uma pesquisa e descubra qual é a diferença de significado entre as palavras peso e massa.


88

VOCÊ APRENDEU?

Unidades de massa

7. Com base na tabela dos múltiplos e submúltiplos do metro, complete a tabela a seguir com o valor de cada múltiplo e submúltiplo das unidades de massa.

Múltiplos do grama Submúltiplos do grama

quilograma

(kg)

hectograma

(hg)

decagrama

(dag)

grama

(g)

decigrama

(dg)

centigrama

(cg)

miligrama

(mg)

1 g

a) Quantos gramas há em 1 quilograma?

b) Quantos miligramas há em 1 quilograma?

c) Quantos quilogramas há em 1 tonelada?

d) Quantos gramas há em 1 tonelada?

e) Quantos quilogramas equivalem a 1 grama?


89

PESQUISA INDIVIDUAL

9. Faça uma pesquisa e descubra quanto valem as seguintes unidades de medida de massa e em que situações geralmente são utilizadas.

1 arroba

1 onça

1 libra

1 quilate

Situações em que são utilizadas


90

VOCÊ APRENDEU?

Estimativas

a) a largura de uma caixa de fósforos;

b) o comprimento de uma sala de aula;

c) a espessura de um palito de fósforo;

d) a largura de uma rua;

e) a distância entre duas cidades;

f ) a massa de uma caixa de fósforos;


91

g) a massa de uma pessoa;

h) a massa de um grão de arroz;

i) o volume de uma lata de refrigerante;

j) o volume de uma banheira.

a) o comprimento de uma caixa de fósforos;

b) a largura de uma folha de jornal aberta;

c) a altura em que se encontra uma cesta de basquete;


d) o comprimento de um campo de futebol oficial;

e) as dimensões de uma folha de caderno;

f ) o diâmetro de uma bola de futebol;

g) a massa de um ovo de galinha;

h) a massa de um abacaxi;

i) o volume de uma bola de futebol;

j) o volume de uma lata de refrigerante.


LIÇÃO DE CASA

Transformação de medidas

OCEANOATLÂNTICO

Porto Alegre

BeloHorizonte

N

S

LO

c) Qual das unidades anteriores lhe parece mais adequada para expressar essa distância?

nylon

c) Qual das unidades anteriores lhe parece mais adequada para expressar

essa espessura?

© C

on

exão

Ed

itori

alMapa ilustrativo sem escala.

Elaborado especialmente para o São Paulo faz escola.

© F

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tto


94

c) Qual das unidades anteriores lhe parece mais adequada para expressar essa altura?

c) Qual das unidades anteriores lhe parece mais adequada para expressar a massa de um elefante?

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CONCEPÇÃO E COORDENAÇÃO GERALNOVA EDIÇÃO 2014-2017

COORDENADORIA DE GESTÃO DA EDUCAÇÃO BÁSICA – CGEB

Coordenadora Maria Elizabete da Costa

Diretor do Departamento de Desenvolvimento Curricular de Gestão da Educação Básica João Freitas da Silva

Diretora do Centro de Ensino Fundamental dos Anos Finais, Ensino Médio e Educação Profissional – CEFAF Valéria Tarantello de Georgel

Coordenadora Geral do Programa São Paulo faz escolaValéria Tarantello de Georgel

Coordenação Técnica Roberto Canossa Roberto Liberato S el Cristina de lb er e o

EQUIPES CURRICULARES

Área de Linguagens Arte: Ana Cristina dos Santos Siqueira, Carlos Eduardo Povinha, Kátia Lucila Bueno e Roseli Ventrela.

Educação Física: Marcelo Ortega Amorim, Maria Elisa Kobs Zacarias, Mirna Leia Violin Brandt, Rosângela Aparecida de Paiva e Sergio Roberto Silveira.

Língua Estrangeira Moderna (Inglês e Espanhol): Ana Paula de Oliveira Lopes, Jucimeire de Souza Bispo, Marina Tsunokawa Shimabukuro, Neide Ferreira Gaspar e Sílvia Cristina Gomes Nogueira.

Língua Portuguesa e Literatura: Angela Maria Baltieri Souza, Claricia Akemi Eguti, Idê Moraes dos Santos, João Mário Santana, Kátia Regina Pessoa, Mara Lúcia David, Marcos Rodrigues Ferreira, Roseli Cordeiro Cardoso e Rozeli Frasca Bueno Alves.

Área de Matemática Matemática: Carlos Tadeu da Graça Barros, Ivan Castilho, João dos Santos, Otavio Yoshio Yamanaka, Rodrigo Soares de Sá, Rosana Jorge Monteiro, Sandra Maira Zen Zacarias e Vanderley Aparecido Cornatione.

Área de Ciências da Natureza Biologia: Aparecida Kida Sanches, Elizabeth Reymi Rodrigues, Juliana Pavani de Paula Bueno e Rodrigo Ponce.

Ciências: Eleuza Vania Maria Lagos Guazzelli, Gisele Nanini Mathias, Herbert Gomes da Silva e Maria da Graça de Jesus Mendes.

Física: Carolina dos Santos Batista, Fábio Bresighello Beig, Renata Cristina de Andrade

Oliveira e Tatiana Souza da Luz Stroeymeyte.

Química: Ana Joaquina Simões S. de Matos Carvalho, Jeronimo da Silva Barbosa Filho, João Batista Santos Junior e Natalina de Fátima Mateus.

Área de Ciências Humanas Filosofia: Emerson Costa, Tânia Gonçalves e Teônia de Abreu Ferreira.

Geografia: Andréia Cristina Barroso Cardoso, Débora Regina Aversan e Sérgio Luiz Damiati.

História: Cynthia Moreira Marcucci, Maria Margarete dos Santos e Walter Nicolas Otheguy Fernandez.

Sociologia: Alan Vitor Corrêa, Carlos Fernando de Almeida e Tony Shigueki Nakatani.

PROFESSORES COORDENADORES DO NÚCLEO PEDAGÓGICO

Área de Linguagens Educação Física: Ana Lucia Steidle, Eliana Cristine Budisk de Lima, Fabiana Oliveira da Silva, Isabel Cristina Albergoni, Karina Xavier, Katia Mendes e Silva, Liliane Renata Tank Gullo, Marcia Magali Rodrigues dos Santos, Mônica Antonia Cucatto da Silva, Patrícia Pinto Santiago, Regina Maria Lopes, Sandra Pereira Mendes, Sebastiana Gonçalves Ferreira Viscardi, Silvana Alves Muniz.

Língua Estrangeira Moderna (Inglês): Célia Regina Teixeira da Costa, Cleide Antunes Silva, Ednéa Boso, Edney Couto de Souza, Elana Simone Schiavo Caramano, Eliane Graciela dos Santos Santana, Elisabeth Pacheco Lomba Kozokoski, Fabiola Maciel Saldão, Isabel Cristina dos Santos Dias, Juliana Munhoz dos Santos, Kátia Vitorian Gellers, Lídia Maria Batista Bom m, Lindomar Alves de Oliveira, Lúcia Aparecida Arantes, Mauro Celso de Souza, Neusa A. Abrunhosa Tápias, Patrícia Helena Passos, Renata Motta Chicoli Belchior, Renato José de Souza, Sandra Regina Teixeira Batista de Campos e Silmara Santade Masiero.

Língua Portuguesa: Andrea Righeto, Edilene Bachega R. Viveiros, Eliane Cristina Gonçalves Ramos, Graciana B. Ignacio Cunha, Letícia M. de Barros L. Viviani, Luciana de Paula Diniz, Márcia Regina Xavier Gardenal, Maria Cristina Cunha Riondet Costa, Maria José de Miranda Nascimento, Maria Márcia Zamprônio Pedroso, Patrícia Fernanda Morande Roveri, Ronaldo Cesar Alexandre Formici, Selma Rodrigues e Sílvia Regina Peres.

Área de Matemática Matemática: Carlos Alexandre Emídio, Clóvis Antonio de Lima, Delizabeth Evanir Malavazzi, Edinei Pereira de Sousa, Eduardo Granado Garcia, Evaristo Glória, Everaldo José Machado de Lima, Fabio Augusto Trevisan, Inês Chiarelli Dias, Ivan Castilho, José Maria Sales Júnior, Luciana Moraes Funada, Luciana Vanessa de Almeida Buranello, Mário José Pagotto, Paula Pereira Guanais, Regina Helena de Oliveira Rodrigues, Robson Rossi, Rodrigo Soares de Sá, Rosana Jorge Monteiro,

Rosângela Teodoro Gonçalves, Roseli Soares Jacomini, Silvia Ignês Peruquetti Bortolatto e Zilda Meira de Aguiar Gomes.

Área de Ciências da Natureza Biologia: Aureli Martins Sartori de Toledo, Evandro Rodrigues Vargas Silvério, Fernanda Rezende Pedroza, Regiani Braguim Chioderoli e Rosimara Santana da Silva Alves.

Ciências: Davi Andrade Pacheco, Franklin Julio de Melo, Liamara P. Rocha da Silva, Marceline de Lima, Paulo Garcez Fernandes, Paulo Roberto Orlandi Valdastri, Rosimeire da Cunha e Wilson Luís Prati.

Física: Ana Claudia Cossini Martins, Ana Paula Vieira Costa, André Henrique Ghel Ru no, Cristiane Gislene Bezerra, Fabiana Hernandes M. Garcia, Leandro dos Reis Marques, Marcio Bortoletto Fessel, Marta Ferreira Mafra, Rafael Plana Simões e Rui Buosi.

Química: Armenak Bolean, Cátia Lunardi, Cirila Tacconi, Daniel B. Nascimento, Elizandra C. S. Lopes, Gerson N. Silva, Idma A. C. Ferreira, Laura C. A. Xavier, Marcos Antônio Gimenes, Massuko S. Warigoda, Roza K. Morikawa, Sílvia H. M. Fernandes, Valdir P. Berti e Willian G. Jesus.

Área de Ciências Humanas Filosofia: Álex Roberto Genelhu Soares, Anderson Gomes de Paiva, Anderson Luiz Pereira, Claudio Nitsch Medeiros e José Aparecido Vidal.

Geografia: Ana Helena Veneziani Vitor, Célio Batista da Silva, Edison Luiz Barbosa de Souza, Edivaldo Bezerra Viana, Elizete Buranello Perez, Márcio Luiz Verni, Milton Paulo dos Santos, Mônica Estevan, Regina Célia Batista, Rita de Cássia Araujo, Rosinei Aparecida Ribeiro Libório, Sandra Raquel Scassola Dias, Selma Marli Trivellato e Sonia Maria M. Romano.

História: Aparecida de Fátima dos Santos Pereira, Carla Flaitt Valentini, Claudia Elisabete Silva, Cristiane Gonçalves de Campos, Cristina de Lima Cardoso Leme, Ellen Claudia Cardoso Doretto, Ester Galesi Gryga, Karin Sant’Ana Kossling, Marcia Aparecida Ferrari Salgado de Barros, Mercia Albertina de Lima Camargo, Priscila Lourenço, Rogerio Sicchieri, Sandra Maria Fodra e Walter Garcia de Carvalho Vilas Boas.

Sociologia: Anselmo Luis Fernandes Gonçalves, Celso Francisco do Ó, Lucila Conceição Pereira e Tânia Fetchir.

Apoio:Fundação para o Desenvolvimento da Educação - FDE

CTP, Impressão e acabamentoEscala Empresa de Comunicação Integrada Ltda.

A Secretaria da Educação do Estado de São Paulo autoriza a reprodução do conteúdo do material de sua titularidade pelas demais secretarias de educação do país, desde que mantida a integri-dade da obra e dos créditos, ressaltando que direitos autorais protegidos*deverão ser diretamente negociados com seus próprios titulares, sob pena de infração aos artigos da Lei no 9.610/98.

* Constituem “direitos autorais protegidos” todas e quaisquer obras de terceiros reproduzidas no material da SEE-SP que não estejam em domínio público nos termos do artigo 41 da Lei de Direitos Autorais.

* Nos Cadernos do Programa São Paulo faz escola são indicados sites para o aprofundamento de conhecimentos, como fonte de consulta dos conteúdos apresentados e como referências bibliográficas. Todos esses endereços eletrônicos foram checados. No entanto, como a internet é um meio dinâmico e sujeito a mudanças, a Secretaria da Educação do Estado de São Paulo não garante que os sites indicados permaneçam acessíveis ou inalterados.* Os mapas reproduzidos no material são de autoria de terceiros e mantêm as características dos originais, no que diz respeito à grafia adotada e à inclusão e composição dos elementos cartográficos (escala, legenda e rosa dos ventos).

Ciências Humanas Coordenador de área: Paulo Miceli. Filosofia: Paulo Miceli, Luiza Christov, Adilton Luís Martins e Renê José Trentin Silveira.

Geografia: Angela Corrêa da Silva, Jaime Tadeu Oliva, Raul Borges Guimarães, Regina Araujo e Sérgio Adas.

História: Paulo Miceli, Diego López Silva, Glaydson José da Silva, Mônica Lungov Bugelli e Raquel dos Santos Funari.

Sociologia: Heloisa Helena Teixeira de Souza Martins, Marcelo Santos Masset Lacombe, Melissa de Mattos Pimenta e Stella Christina Schrijnemaekers.

Ciências da Natureza Coordenador de área: Luis Carlos de Menezes. Biologia: Ghisleine Trigo Silveira, Fabíola Bovo Mendonça, Felipe Bandoni de Oliveira, Lucilene Aparecida Esperante Limp, Maria Augusta Querubim Rodrigues Pereira, Olga Aguilar Santana, Paulo Roberto da Cunha, Rodrigo Venturoso Mendes da Silveira e Solange Soares de Camargo.

Ciências: Ghisleine Trigo Silveira, Cristina Leite, João Carlos Miguel Tomaz Micheletti Neto, Julio Cézar Foschini Lisbôa, Lucilene Aparecida Esperante Limp, Maíra Batistoni e Silva, Maria Augusta Querubim Rodrigues Pereira, Paulo Rogério Miranda Correia, Renata Alves Ribeiro, Ricardo Rechi Aguiar, Rosana dos Santos Jordão, Simone Jaconetti Ydi e Yassuko Hosoume.

Física: Luis Carlos de Menezes, Estevam Rouxinol, Guilherme Brockington, Ivã Gurgel, Luís Paulo de Carvalho Piassi, Marcelo de Carvalho Bonetti, Maurício Pietrocola Pinto de Oliveira, Maxwell Roger da Puri cação Siqueira, Sonia Salem e Yassuko Hosoume.

Química: Maria Eunice Ribeiro Marcondes, Denilse Morais Zambom, Fabio Luiz de Souza, Hebe Ribeiro da Cruz Peixoto, Isis Valença de Sousa Santos, Luciane Hiromi Akahoshi, Maria Fernanda Penteado Lamas e Yvone Mussa Esperidião.

Caderno do Gestor Lino de Macedo, Maria Eliza Fini e Zuleika de Felice Murrie.

GESTÃO DO PROCESSO DE PRODUÇÃO EDITORIAL 2014-2017

FUNDAÇÃO CARLOS ALBERTO VANZOLINI

Presidente da Diretoria Executiva Antonio Rafael Namur Muscat

Vice-presidente da Diretoria Executiva Alberto Wunderler Ramos

GESTÃO DE TECNOLOGIAS APLICADAS À EDUCAÇÃO

Direção da Área Guilherme Ary Plonski

Coordenação Executiva do Projeto Angela Sprenger e Beatriz Scavazza

Gestão Editorial Denise Blanes

Equipe de Produção

Editorial: Amarilis L. Maciel, Angélica dos Santos Angelo, Bóris Fatigati da Silva, Bruno Reis, Carina Carvalho, Carla Fernanda Nascimento, Carolina H. Mestriner, Carolina Pedro Soares, Cíntia Leitão, Eloiza Lopes, Érika Domingues do Nascimento, Flávia Medeiros, Gisele Manoel, Jean Xavier, Karinna Alessandra Carvalho Taddeo, Leandro Calbente Câmara, Leslie Sandes, Mainã Greeb Vicente, Marina Murphy, Michelangelo Russo, Natália S. Moreira, Olivia Frade Zambone, Paula Felix Palma, Priscila Risso, Regiane Monteiro Pimentel Barboza, Rodolfo Marinho, Stella Assumpção Mendes Mesquita, Tatiana F. Souza e Tiago Jonas de Almeida.

Direitos autorais e iconografia: Beatriz Fonseca Micsik, Érica Marques, José Carlos Augusto, Juliana Prado da Silva, Marcus Ecclissi, Maria Aparecida Acunzo Forli, Maria Magalhães de Alencastro e Vanessa Leite Rios.

Edição e Produção editorial: R2 Editorial, Jairo Souza Design Grá co e Occy Design projeto grá co .

CONCEPÇÃO DO PROGRAMA E ELABORAÇÃO DOS CONTEÚDOS ORIGINAIS

COORDENAÇÃO DO DESENVOLVIMENTO DOS CONTEÚDOS PROGRAMÁTICOS DOS CADERNOS DOS PROFESSORES E DOS CADERNOS DOS ALUNOS Ghisleine Trigo Silveira

CONCEPÇÃO Guiomar Namo de Mello, Lino de Macedo, Luis Carlos de Menezes, Maria Inês Fini coordenadora e Ruy Berger em memória .

AUTORES

Linguagens Coordenador de área: Alice Vieira. Arte: Gisa Picosque, Mirian Celeste Martins, Geraldo de Oliveira Suzigan, Jéssica Mami Makino e Sayonara Pereira.

Educação Física: Adalberto dos Santos Souza, Carla de Meira Leite, Jocimar Daolio, Luciana Venâncio, Luiz Sanches Neto, Mauro Betti, Renata Elsa Stark e Sérgio Roberto Silveira.

LEM – Inglês: Adriana Ranelli Weigel Borges, Alzira da Silva Shimoura, Lívia de Araújo Donnini Rodrigues, Priscila Mayumi Hayama e Sueli Salles Fidalgo.

LEM – Espanhol: Ana Maria López Ramírez, Isabel Gretel María Eres Fernández, Ivan Rodrigues Martin, Margareth dos Santos e Neide T. Maia González.

Língua Portuguesa: Alice Vieira, Débora Mallet Pezarim de Angelo, Eliane Aparecida de Aguiar, José Luís Marques López Landeira e João Henrique Nogueira Mateos.

Matemática Coordenador de área: Nílson José Machado. Matemática: Nílson José Machado, Carlos Eduardo de Souza Campos Granja, José Luiz Pastore Mello, Roberto Perides Moisés, Rogério Ferreira da Fonseca, Ruy César Pietropaolo e Walter Spinelli.

Documents

Aluno Vol1 Mat Ef 6a