Amostragem por Conglomerados

UNIVASF

Janaina, Nilo,Jann Lima,Joao Lucas,

Beatriz,Silvano

Amostragem por conglomerados

Estatıstica Aplicada aEngenharia1

1Universidade Federal do Vale do Sao Francisco

16 de abril de 2015

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Beatriz,Silvano

Amostragem

Por que realizar um estudo por amostragem?

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Tipos de Amostragem

Probabilıstica

Amostragem Aleatoria SimplesAmostragem SistematicaAmostragem estratificadaAmostragem por conglomerados*

Nao-probabilıstica

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Beatriz,Silvano

AMOSTRAGEM PORCONGLOMERADOS

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Beatriz,Silvano

Exemplo:Estudar a populacao de uma cidade, dispondo apenas do mapados quarteiroes da cidade.Neste caso, nao temos a relacao dos moradores da cidade,restando o uso dos subgrupos heterogeneos (conglomerados).Para realizar o estudo estatıstico sobre a cidade, realizaremosos seguintes procedimentos:

1 Numerar os quarteiroes de 1 a n;

2 Escrever os numeros de 1 a n em pedacos de papel ecoloca-los em uma urna;

3 Retirar um pedaco de papel da urna e realizar o estudosobre os elementos do conglomerado selecionado.

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Beatriz,Silvano

Porque utilizamos amostragem por conglomerados?

Vantagens;Desvantagens.

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Beatriz,Silvano

Modalidades de sorteio

Sorteio em estagio unico:Combinacao simples: n!

p!(n−p)!

Sorteio em dois estagios:

f =np i l o t o

Np o p

f = f1 ∗ f2

f1 = nN , e a probabilidade de o j − esimo conglomerado ser

sorteado;f2 = f

f1, E a probabilidade de a i − esimo elemento ser

sorteado dentro do conglomerado j .npi l o t o = quantidade da amostra piloto;Npo p = quantidade da populacao;

Como f = f ∗ f2, segue que f2 = ff1

e bj = (f2 ∗ Bj )Ou seja,

f 2 =np i l o t o

Npo pnN

e bj = f2 ∗ Bj

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Sorteio em dois estagios com probabilidade proporcionalao tamanho dos conglomerados (PPT):

Partindo da expressao:f = f1 ∗ f2

E considerando:npi l o t o = n ∗mOnde:m = numero de subunidades/elementos a seremamostradas por conglomerado.

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Conglomerados de tamanhos iguais

Notacao

N = Numero total de potencial de conglomerados dapopulacao;M = Numero de subunidades cabıveis no conglomerado;n = Numero de conglomerados amostrados;m = Numero de subunidades amostradas porconglomerado;Xi j = Variavel de interesse.

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Estimadores

Media geral por subunidade

X =

∑ni=1

∑mj=1 Xi j

nmMedia das subunidades por conglomerado

Xi =

∑mj=1 Xi j

mVariancia total por subunidadeS2

x = 1n∗m−1

∑ni=1

∑mj=1(Xi j − X )

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Analisando a variancia, temos que:S2

x = S2e + S2

d

Onde:S2

e = Variancia entre conglomerados;S2

d = Variancia dentro dos conglomerados.As estimativas serao obtidas atraves da analise da variancia:E (QMe nt r e) = S2

d + mS2e

E (QMd e nt r o) = S2d

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Onde:

QMd e nt r o =∑n

i=1

∑mj=1(Xi j−X )2

n(m−1) = S2d , que e uma estimativa

sem tendencia de S2d .

QMe nt r e =∑m

i=1(Xi−X )2

n−1 , que e uma tendenciosa de S2e .

Ja a estimativa de S2e sem tendencia e expressa por:

S2e = QMe nt r e−QMd e nt r o

mDesta forma temos que a estimativa da variancia total e:S2

x = S2e + S2

d = QMe nt r e +(m−1)QMd e nt r o

m

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Coeficiente de correlacaointraconglomerados

O coeficiente de correlacao intraconglomerados e definidocomo o grau de similaridade entre subunidades dentro dosconglomerados.

ρ = σ2e

σ2e +σ2

d, ou r = S2

e

S2e +S2

d, 0 ≤ ρ ou r ≤ 1

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Variancia da media:

Para populacao finita: S2x =

(N−n

N

) S2e

n +S2

d

m

Para populacao infinita: S2x =

S2e

n +S2

d

nmOu:S2

x =S2

x

nm [1 + r(m − 1)], onde a variancia da media eafetada pelo coeficiente de correlacao.

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Erro padrao da media:S2

x = ±√

S2x

Erro de amostragem

Erro absoluto:Ea = ±tS2

x

Erro relativo:Er = ± tSx

x 100Onde: t

(α2 ; nm − 1g .l

)

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Intervalos de Confianca

Intervalo de Confianca para a Media:IC [x − tSx ≤ µ ≤ x + tSx ] = PTotal da Populacao:X = NmxIntervalo de Confianca para o TotalIC [X − NmtSx ≤ X + NmtSx ] = PEstimativa Mınima de ConfiancaEMC [x − tSx ≤ µ] = P

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Conglomerados de tamanhosdiferentes

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Estimador razao:

r =∑a

j yi∑aj xj

E sua variancia:

v(r) =1−f

(∑a

j xi)2 .a(s2y + r 2.s2

x − 2r .sx ,y)

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dp(r)√

0, 000153 = 0, 012354

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Efeito do delineamento

O sorteio por conglomerados resulta em alteracoes naprecisao das estimativas.

As alteracoes resultam da composicao interna dosconglomerados e da estrategia realizada para o processode sorteio.

A verificacao do efeito do delineamento e observado pelaseguinte expressao:

deff =v(e)c o ng

v(e)ac s

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Para o calculo da variancia usando-se o procedimento deamostragem casual simples, utiliza-se a seguinte expressao:

v(p) = (1− f ) p.(1−f )n−1

Grau de Homogeneidade Intraposto (roh)Definido em funcao do efeito do delineamento e dotamanho medio das subamostras de cada conglomerado ese aplica atraves da seguinte expressao:

roh = deff −1x−1 .

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Exemplo

Por meio da amostragem por conglomerados em doisestagios com partilha proporcional ao tamanho, 1112criancas, menores de 5 anos, foram sorteadas em 20postos. A amostra final e equiprobabilıstica e os tamanhosdas subamostras dos conglomerados sao desiguais.

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Expressoes necessarias para a resolucao (considerando quea amostra e equiprobabilıstica, f = 0, 05):

r = Estimador razaocv = coeficientes de variacaocx = coeficientes de variacaoMedia de criancas matriculadasMedia de Criancas sorteadasS2

x = VarianciaS2

y = VarianciaSx ,y =Covarianciav(r) = Variancia do estimador

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Aplicacao dos estimadores emdados reais

Temos dados reais de atendimentos/consultas realizadas e aidade do paciente, distribuıdas ao longo dos dias da semana deacordo com a proxima tabela.

Colunas: dias da semana

Linhas: possıveis conglomerados

Celulas: Idade do paciente

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Notando que:

N = Numero total de potencial de conglomerados dapopulacao;

M = Numero de subunidades cabıveis no conglomerado;

n = Numero de conglomerados amostrados;

m = Numero de subunidades amostradas porconglomerado;

Xi j = Variavel de interesse.

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Segue abaixo a tabela referente aos conglomerados sorteados:

Considerando que:

npi l o t o = n ∗m

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Segue abaixo a nova tabela ja com os numeros das idades dospacientes no sorteio realizado:

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Media geral por subunidade:

X =

∑ni=1

∑mj=1 Xi j

nm=

1047

10 ∗ 3→ X = 34, 9.

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Media das subunidades por conglomerado:

Xi =

∑mj=1 Xi j

mX1 = 47+54+26

3 = 42, 33.X2 = 18+34+68

3 = 40.X3 = 35+29+38

3 = 34.X4 = 26+69+77

3 = 57, 33.X5 = 49+21+29

3 = 33.X6 = 20+41+22

3 = 27, 67.X7 = 15+2+16

3 = 11.X8 = 61+46+48

3 = 51, 67.X9 = 31+20+48

3 = 33.X10 = 14+27+16

3 = 19.

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Variancia total por subunidade:

S2x = 1

n∗m−1

∑ni=1

∑mj=1(Xi j − X ) =

(47−34,9)2+(54−34,9)2+(26−34,9)2+...+(16−34,9)2

10∗3−1

S2x = 9960,7

29 = 343, 47.Analisando a variancia, temos que:S2

x = S2e + S2

d

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sendo

QMd e nt r o =∑n

i=1

∑mj=1(Xi j−X )2

n(m−1) = S2d =

(47−42,33)2+(54−42,33)2+...+(16−192

10∗(3−1)

QMd e nt r o = S2d = 4827,68

20 = 241, 384.

QMe nt r e =∑m

i=1(Xi−X )2

n−1

QMe nt r e = 3∗(1776,59)10−1 = 592, 2

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Beatriz,Silvano

S2e = QMe nt r e−QMd e nt r o

m

S2e = 592,2−241,384

3 = 116, 93Portanto:S2

x = S2e + S2

d = 241, 384 + 116, 93 = 358, 32 (Estimativa davariancia total)

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Coeficiente de correlacao intraconglomerado

r = S2e

S2e +S2

d= 116,93

116,93+241,384 = 0, 3263

Indicando que o grau de similaridade dos elementos quequando mais proximo de zero, mais homogeneos.

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Variancia da media:

Como f =np i l o t o

Npo p, se f menor que 0, 05, caracteriza-se uma

populacao infinita e caso f for maior que 0, 05, finita.Ja que f = 30

210 = 0, 1428, quer dizer que e uma populacaofinita.Portanto:S2

x =(

N−nN

) S2e

n +S2

dm =

(30−10

30

) 116,9310 + 241,384

10∗3 = 8, 825S2

x = 8, 825

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Intensidade de amostragem:

O numero ideal de conglomerados para ser sorteado para umapopulacao infinita em questao e dada pela formula abaixo:

n = t2S2x

E 2m[1 + r(m − 1)]

Onde:E = E o erro limite (α2 ) vezes a media (x).t = t

(α2 ; nm − 1g .l

)

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Beatriz,Silvano

FIM!

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