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An´ alise de correla¸c˜oes canˆonicas Prof. Caio Azevedo An´ alise de correla¸c˜oes canˆonicas) An´ alise de correla¸c˜oes canˆonicas) umero de vari´ aveis canˆonicas) Dados ) An´ alise de correla¸c˜ oes canˆ onicas Prof. Caio Azevedo 24 de novembro de 2009

An alise de correla˘c~oes can^onicas cnaber/CC1.pdf · can^onicas Prof. Caio Azevedo An alise de correla˘c~oes can^onicas) An alise de correla˘c~oes can^onicas) Numero de vari

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Analise decorrelacoescanonicas

Prof. CaioAzevedo

Analise decorrelacoescanonicas)

Analise decorrelacoescanonicas)

Numero devariaveiscanonicas)

Dados )

Analise de correlacoes canonicas

Prof. Caio Azevedo

24 de novembro de 2009

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Analise decorrelacoescanonicas

Prof. CaioAzevedo

Analise decorrelacoescanonicas)

Analise decorrelacoescanonicas)

Numero devariaveiscanonicas)

Dados )

Construir variaveis que preservem uma parte davariabilidade e que concentrem, em poucas delas, aestrutura de correlacao das variaveis originais.

Variaveis canonicas:

U(p×p) = A(p×p)X(1)(p×1) e U(q×q) = B(q×q)X

(2)(q×1).

U(Z)(p×p) = A

(Z)(p×p)Z

(1)(p×1) e U

(Z)(q×q) = B

(Z)(q×q)Z

(2)(q×1).

Em geral, trabalha-se com as variaveis canonicas obtidas apartir das variaveis padronizadas: interpretacao, menorinfluencia das medias, me nor influencia das variancias.

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Analise decorrelacoescanonicas

Prof. CaioAzevedo

Analise decorrelacoescanonicas)

Analise decorrelacoescanonicas)

Numero devariaveiscanonicas)

Dados )

Equacoes:

U(Z)1 = a

(Z)11 Z

(1)1 + a

(Z)12 Z

(1)2 + ...+ a

(Z)1p Z

(1)p

U(Z)2 = a

(Z)21 Z

(1)1 + a

(Z)22 Z

(1)2 + ...+ a

(Z)2p Z

(1)p

...

U(Z)p = a

(Z)p1 Z

(1)1 + a

(Z)p2 Z

(1)2 + ...+ a

(Z)pp Z

(1)p

V(Z)1 = b

(Z)11 Z

(2)1 + b

(Z)12 Z

(2)2 + ...+ b

(Z)1q Z

(2)q

V(Z)2 = b

(Z)21 Z

(2)1 + b

(Z)22 Z

(2)2 + ...+ b

(Z)2q Z

(2)q

...

V(Z)q = b

(Z)q1 Z

(2)1 + b

(Z)q2 Z

(2)2 + ...+ b

(Z)qq Z

(2)q

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Analise decorrelacoescanonicas

Prof. CaioAzevedo

Analise decorrelacoescanonicas)

Analise decorrelacoescanonicas)

Numero devariaveiscanonicas)

Dados )

Magnitude dos ”coeficientes canonicos”.

Correlacao entre as variaveis canonicas e as variaveisoriginais: Cor(Z(1), U(Z)) = A(Z)ρ11,Cor(Z(2), V(Z)) = B(Z)ρ22.

Proporcao da variabilidade de cada v.c. explicada pelasvariaveis originais (λ2

1, λ22, ...λ

2k)′.

Proporcao da soma das variancias das variaveis originaisexplicada pelas v.c.’s Cov(Z(1)) = A(Z)−1A

′(Z)−1,Cov(Z(2)) = B(Z)−1B

′(Z)−1. Com k variaveis canonicas,∑pi=1 Var(Z

(1)i ) = p ∼= tr(A

′(Z)−1k A

(Z)−1k ) e∑p

i=1 Var(Z(2)i ) = p ∼= tr(B

′(Z)−1k B

(Z)−1k ).

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Analise decorrelacoescanonicas

Prof. CaioAzevedo

Analise decorrelacoescanonicas)

Analise decorrelacoescanonicas)

Numero devariaveiscanonicas)

Dados )

Quantidade de nutrientes, vitaminas e outros compostosalimentares em porcoes (100 gramas?).

Varias marcas de cereal.

Variaveis escolhidas: calorias, proteına, gordura, fibra,sodio, carboidrato, acucar, potassio.

Como as variaveis ”nutricionais”(calorias, proteına,gordura, fibra) se relacionam com as as variaveis”elementais”(sodio, carboidrato, acucar, potassio).

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Analise decorrelacoescanonicas

Prof. CaioAzevedo

Analise decorrelacoescanonicas)

Analise decorrelacoescanonicas)

Numero devariaveiscanonicas)

Dados )

Medidas descritivas: variaveis nutricionais

Estatıstica Cal Proteina Gordura FibraMedia 149.4 3.69 1.42 3.87D.P. 62.41 2.64 1.65 6.13C.V (%) 41.72 71.74 115.80 6.13Mınimo 50.00 0.76 0.00 0.00Maximo 440.00 12.12 9.09 30.03

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Analise decorrelacoescanonicas

Prof. CaioAzevedo

Analise decorrelacoescanonicas)

Analise decorrelacoescanonicas)

Numero devariaveiscanonicas)

Dados )

Medidas descritivas: variaveis elementais

Estatıstica Sodio Carb Acucar PotassioMedia 237.80 19.97 10.05 159.10D.P. 130.63 8.46 5.83 180.29C.V (%) 54.92 42.41 58.05 113.30Mınimo 0.00 10.53 0.00 15.00Maximo 787.90 68.00 20.90 969.70

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Analise decorrelacoescanonicas

Prof. CaioAzevedo

Analise decorrelacoescanonicas)

Analise decorrelacoescanonicas)

Numero devariaveiscanonicas)

Dados )

Box plot: variaveis nutricionais

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calorias proteina gordura fibra

01

00

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00

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0

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Prof. CaioAzevedo

Analise decorrelacoescanonicas)

Analise decorrelacoescanonicas)

Numero devariaveiscanonicas)

Dados )

Box plot: variaveis elementais

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sodio carboidrato acucar potassio

02

00

40

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00

80

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00

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Analise decorrelacoescanonicas

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Analise decorrelacoescanonicas)

Analise decorrelacoescanonicas)

Numero devariaveiscanonicas)

Dados )

Histograma: variaveis elementais

calorias

m.X[, 1]

Fre

qu

en

cy

100 200 300 400

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proteina

m.X[, 2]

Fre

qu

en

cy

0 2 4 6 8 10 12 14

05

10

15

20

gordura

m.X[, 3]

Fre

qu

en

cy

0 2 4 6 8 10

05

10

15

20

25

30

fibras

m.X[, 4]

Fre

qu

en

cy

0 5 10 15 20 25 30 35

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0

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Analise decorrelacoescanonicas

Prof. CaioAzevedo

Analise decorrelacoescanonicas)

Analise decorrelacoescanonicas)

Numero devariaveiscanonicas)

Dados )

Histograma: variaveis elementais

sodio

m.Y[, 1]

Fre

qu

en

cy

0 200 400 600 800

05

10

15

20

25

30

carboidrato

m.Y[, 2]

Fre

qu

en

cy

10 20 30 40 50 60 70

01

02

03

0

acucar

m.Y[, 3]

Fre

qu

en

cy

0 5 10 15 20

02

46

81

01

2

potassio

m.Y[, 4]

Fre

qu

en

cy

0 200 400 600 800 1000

05

10

15

20

25

30

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Analise decorrelacoescanonicas

Prof. CaioAzevedo

Analise decorrelacoescanonicas)

Analise decorrelacoescanonicas)

Numero devariaveiscanonicas)

Dados )

Grafico de dispersao

calorias

2 4 6 8 10 12

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0 200 600 1000

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proteina

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●● ●

●●● ●●

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● ●

● ●●●

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● ●

● ●

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●●●

● ●

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●● ●

potassio

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Analise decorrelacoescanonicas

Prof. CaioAzevedo

Analise decorrelacoescanonicas)

Analise decorrelacoescanonicas)

Numero devariaveiscanonicas)

Dados )

Solucao considerando dois pares:

Correlacao canonicas: λ1 = 0.99, λ2 = 0.97

Percentual da variabilidade explicada de cada variavel

canonica (U(Z)1 ,V

(Z)1 ) = λ2

1 = 0.97 e

(U(Z)2 ,V

(Z)2 ) = λ2

2 = 0.95.

Proporcao das somas das variancias explicadas:Z(1) = 0.75 e Z(2) = 0.59.

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Numero devariaveiscanonicas)

Dados )

Coeficientes Canonicos:

U(Z)1 = 1.31(0.77)cal− 0.23(0.17)prot− 0.32(0.25)gordura− 0.47(0.22)fibra

V(Z)1 = 0.03(0.24)sodio + 0.89(0.76)carb + 0.57(0.41)acucar− 0.52(−0.13)potassio

U(Z)2 = 0.19(0.59)cal + 0.15(0.91)prot− 0.01(0.34)gordura + 0.77(0.96)fibra

V(Z)2 = −0.02(0.58)sodio + 0.17(0.39)carb− 0.01(0.24)acucar + 0.96(0.98)potassio

A variavel canonica U(Z)1 e um contraste entre caloria e proteına -

gordura - fibra.

A variavel canonica V(Z)1 e um contraste entre acucar e carboidrato -

potassio.

A variavel canonica U(Z)2 e uma media ponderada entre

caloria-proteına-fibra.

A variavel canonica V(Z)2 e uma media ponderada entre carboidrato e

potassio.

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Numero devariaveiscanonicas)

Dados )

Carboidrato, acucar e potassio influenciam (conjuntamente), nocomportamento de todas variaveis nutricionais.

Carboidrato e potassio influenciam (conjuntamente), nocomportamento de quantidade de caloria, proteına e fibra.

Gordura e acucar parecem ter algum tipo de influencia mutua.

Um modelo de regressao normal linear simples, entre U(Z)1 e V

(Z)1

com interceprto nulo, revela que o aumento de uma unidade da

variavel V(Z)1 imlplica, em media, no aumento de uma unidade na

variavel U(Z)1 . O modelo se ajustou adequadamente aos dados

(estrutura linear e suposicao de normalidade).

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Analise decorrelacoescanonicas)

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Numero devariaveiscanonicas)

Dados )

Dipersao entre U(Z)1 e V

(Z)1

●●

●●

●●

●●

●●●

●●

●●

●●

−2 0 2 4

−2

02

4

m.U[, 1]

m.V

[, 1

]

N K

K

KR

P

QG

G

K

G

K

K

P

KPG

P

P

P

Q

G

P

K

G

QG

K

G

G

P

Q

Q

K

K

GG

G

G

G

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Analise decorrelacoescanonicas)

Analise decorrelacoescanonicas)

Numero devariaveiscanonicas)

Dados )

Dipersao entre U(Z)1 e V

(Z)2

●●

● ●●

●●

● ●

●●

● ●

●●

●●

●●

●● ●

●●

●●

−2 0 2 4

−1

01

23

4

m.U[, 1]

m.V

[, 2

]

N

K

K

G

G

R

P

QG

G

G

K

K

K

G

K

K

PK

PG

P

P

P

G

P

K

G

Q

G

K

G K

KG

P

KQ

Q

KG K

R

NN

KK

GG

G

R

G