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J. A. M. Felippe de Souza 2 – Sinais 1 2 – Sinais 2.1 – Introdução aos Sinais 3 2.2 – Exemplos de sinais 3 Circuito RC 4 Carro 5 Voz / Fala humana 6 Transmissões de rádio (AM & FM) 7 Música em CD ou no computador 9 Electrocardiograma (ECG) 10 Electroencefalograma (EEG) 11 Imagem monocromática (preto-branco) 13 Imagens coloridas e transmissões de TV 13 Sinais meteorológicos 14 Sinais geofísicos 15 Índices económicos e demográficos 17 2.3 – Sinais contínuos e discretos 18 2.4 – Sinais dinâmicos e estáticos 20 2.5 – Energia e Potência de Sinais 21 Exemplo 2.1 23 Exemplo 2.2 24 Exemplo 2.3 25 Exemplo 2.4 25

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J. A. M. Felippe de Souza 2 – Sinais

1

2 – Sinais

2.1 – Introdução aos Sinais 3

2.2 – Exemplos de sinais 3

Circuito RC 4

Carro 5

Voz / Fala humana 6

Transmissões de rádio (AM & FM) 7

Música em CD ou no computador 9

Electrocardiograma (ECG) 10

Electroencefalograma (EEG) 11

Imagem monocromática (preto-branco) 13

Imagens coloridas e transmissões de TV 13

Sinais meteorológicos 14

Sinais geofísicos 15

Índices económicos e demográficos 17

2.3 – Sinais contínuos e discretos 18

2.4 – Sinais dinâmicos e estáticos 20

2.5 – Energia e Potência de Sinais 21

Exemplo 2.1 23

Exemplo 2.2 24

Exemplo 2.3 25

Exemplo 2.4 25

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2

2.6 – Transformações da variável independente 26

Translação no tempo (“time shifting”) 26

Shift para direita (retardo) 26

Shift para esquerda (avanço) 27

Reversão no tempo / sinal reflectido (“time reversal”) 27

Escalonamento no tempo (“time scaling”) 28

Compressão ou encolhimento 28

Expansão ou esticamento 28

Caso geral 29

Exemplo 2.5 30

2.7 – Sinais periódicos 32

Exemplo 2.6 33

Exemplo 2.7 33

2.8 – Sinais pares e ímpares 33

Exemplo 2.8 34

Exemplo 2.9 35

Exemplo 2.10 35

2.9 – Sinais exponenciais e sinusoidais 37

O sinal sinusoidal contínuo x(t) = A cos(ωot + φ) 37

O sinal exponencial contínuo atC)t(x e= 40

Caso 1: C ∈ R e a ∈ R 40

Caso 2: C = 1 e a é um número imaginário puro 42

Caso 3: C ∈ C e a ∈ C 44

Exemplo 2.11 44

O sinal sinusoidal discreto 45

O sinal exponencial discreto [ ] nn CCnx β=α= e 47

Caso 1: C ∈ R e α∈ R 47

Caso 2: C = 1 e β é um número imaginário puro 49

Caso 3: C ∈ C e α∈ C 55

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3

Sinais 2.1 – Introdução aos Sinais A noção intuitiva de sinais e surge de uma variedade enorme de contextos. Qualquer apontamento que se faça: em números por exemplo; ou qualquer registo que se faça: do desempenho de uma máquina, ou da performance, ou dos consumos de um veículo ao longo de uma viagem; ou qualquer medição que se faça: com o uso de algum aparelho ou instrumento de medida; ou qualquer gravação que se faça, de um som, ou de uma imagem ou mesmo de um vídeo, pode facilmente se tornar em um sinal. Existe uma linguagem própria usada para descrever sinais, assim como existe também um conjunto bastante poderoso de ferramentas para analisá-los. Neste capítulo trataremos da linguagem que descreve os sinais. Em outros capítulos mais adiante trataremos das ferramentas de análise. 2.2 – Exemplos de Sinais Os sinais são usados para descrever uma grande variedade de fenómenos físicos e podem ser descritos de muitas maneiras: através de números, ou de gráficos, ou de uma sequência de dígitos (bits) para serem introduzidos no computador, etc. Nesta secção iremos ver alguns exemplos de sinais antes de vermos as definições básicas do mesmo.

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4

Circuito RC Considere um sistema eléctrico simples de um circuito RC, ilustrado na figura 1 abaixo.

Fig. 1 – Um circuito eléctrico (circuito RC série).

O sinal da tensão vs(t) na fonte ou o sinal da tensão vc(t) no condensador, assim como o sinal da corrente i(t) que atravessa a única malha do circuito podem ser medi-dos por aparelhos (voltímetro / amperímetro) que também são vistos na figura 1. Na figura 2 vemos um possível exemplo do sinal da tensão vs(t) na fonte (à esquerda) e do sinal da tensão vc(t) no condensador (à direita), ambos em Volts [V].

Fig. 2 – Um exemplo do sinal da tensão eléctrica vs(t) na fonte (à esquerda) e do sinal da tensão eléctrica vc(t) no condensador (à direita).

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5

Carro Os carros andam quando são acelerados. Mas isso equivale a imprimir uma força f(t) que vai puxar o carro pois, pela Segunda Lei de Newton,

a força é igual a massa x aceleração [ f(t) = m⋅a(t)] ,

onde m = massa do carro.

Fig. 3 – Um carro que se desloca puxado pela força f(t).

Suponha que o sinal da força f(t) aplicada em um carro, que como vimos é proporcio-nal à aceleração que lhe foi dada, é mostrado na figura 3. O sinal do deslocamento x(t) assim como da velocidade v(t) que o carro desenvolve, decorrente desta força aplicada, podem ser medidos por aparelhos. Na figura 4 e 5 vemos um possível exemplo destes 3 sinais em um carro: f(t) em Newtons [N], x(t) em metros [m] e v(t) em metros/segundo [m/s].

Fig. 4 – Um exemplo do sinal da força f(t) aplicada num carro.

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6

Fig. 5 – Um exemplo do sinal do deslocamento x(t) (à esquerda) e do sinal da velocidade v(t) (à direita) desenvolvidos pelo mesmo carro.

Voz / fala humana O mecanismo vocal humano produz fala criando flutuações na pressão acústica. O ar é expelido dos pulmões pelo diafragma e no seu caminho produz vibrações. Estas vibrações são modificadas, ou moldadas, ao passar pelas cordas vocais, assim como pela boca, lábios e a língua para se produzir os sons que se deseja.

O sinal de voz é obtido através do uso de um microfone que capta as variações da pressão acústica e converte em sinais eléctricos. Estes sinais podem servir para uma gravação do som da voz ou para serem transmitidos (telefone ou telemóvel por exemplo).

Exemplos do sinal de voz, obtido com o uso de um microfone, podem ser visto na figura 7.

Fig. 6 – O registo do sinal de voz, obtido com o uso de um microfone. Seja para uma gravação ou para ser transmitido, por telefone ou telemóvel, a voz humana se transforma em um sinal eléctrico.

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7

Fig. 7 – Exemplos do sinal de voz, obtido com o uso de um microfone.

Transmissões de rádio (AM & FM) Uma transmissão de rádio é também composta de sinais eléctricos que transportam o som (voz, música, etc.) A portadora (sinal de frequência mais alta) transporta o sinal modulado (som) seja ele modulado em amplitude (AM) ou em frequência (FM). Estes sinais podem ser vistos na figura 8 e 9.

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8

Fig. 8 – O sinal da portadora (à esquerda) e o sinal modulador, i.e., o som a

ser transmitido (à direita).

Fig. 9 – Os sinais que são realmente transmitidos: sinal modulado em ampli-

tude, no caso de modulação AM (à esquerda); e o sinal modulado em frequência, no caso de modulação FM (à direita).

Na modulação AM o som a ser transmitido molda (ou modula) a amplitude da porta-dora com o formato do seu sinal gerando um sinal modulado que é transmitido. Já na modulação FM a amplitude do sinal gerado para ser transmitido é constante. O que som a ser transmitido molda (ou modula) é a frequência da portadora com o formato do seu sinal.

Existem dispositivos electrónicos que modulam o sinal, sejam em AM ou em FM, assim como existem dispositivos electrónicos que demodulam o sinal, isto é, recupe-ram o som que vem modulando a portadora.

Fig. 10 – Os rádios, em casa ou no carro, recebem sinais modulados em AM

ou em FM e têm a capacidade de demodular estes sinais, isto é, transformarem de volta em som.

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Música em CD ou no computador A música gravada em um CD ou armazenada no computador (em formato wav, wma ou mp3, por exemplo) é feita através de uma série de números, uma sequência digital de “zeros” e “uns”, que representam as tensões eléctricas (em Volts) do sinal de áudio ao longo do tempo.

Fig. 11 – CDs (compact disc) de música.

Portanto, o sinal analógico de áudio convertido em um sinal digital, ou seja, dados binários, a uma taxa que é medida em “bps” (bits per second). Claro que quanto maior o número de bits por segundo melhor será a qualidade de reprodução do som.

Alguns valores usuais desta taxa em gravação de música são:

96 mil bits por segundo [96kbps], ou 128 mil bits por segundo [128 kbps], ou 192 mil bits por segundo [192 kbps], ou 256 mil bits por segundo [256 kbps].

Fig. 12 – Gravação de músicas em estúdio.

Existem dispositivos electrónicos que transformam um sinal analógico em digital (conversores A/D) assim como dispositivos electrónicos que transformam um sinal digital em analógico (conversores D/A).

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Electrocardiograma (ECG) O electrocardiógrafo é um dispositivo que mede sinais elétricos do coração para pro-duzir um electrocardiograma (ECG). A Electrocardiografia estuda a actividade eléctrica do coração a partir de eléctrodos colocados em determinados pontos do corpo humano. O registo do electrocardio-grama (ECG) é prática comum na medicina dos nossos dias, uma vez que é de reco-nhecido valor para a identificação e prognóstico de doenças cardiovasculares como o enfarte do miocárdio, arritmia, entre outras condições patológicas.

Fig. 13 – O electrocardiógrafo (à esquerda) e um paciente submetido a exame no mesmo (à direita).

Fig. 14 – Sinal típico de ECG, correspondendo a um ciclo completo, com o nome das

ondas que o compõe. O ECG normal é formado por uma onda P, um com-plexo QRS e uma onda T. O complexo QRS muitas vezes aparece sob a forma de três ondas: a onda Q, a onda R e a onda S.

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Os tipos de sistemas de aquisição de ECG, que podem ser encontrados, hoje, comer-cialmente, abrangem desde as grandes unidades fixas usadas em ambiente hospitalar, às pequenas unidades portáteis para uso móvel. Os sinais cardiovasculares e os próprios complexos QRS no electrocardiograma (ECG) apresentam variabilidade batimento a batimento. A análise da variabilidade de sinais cardiovasculares é susceptível de variadas aplicações clínicas, sendo corrente-mente aceite que pode ser usada como um meio não invasivo para aceder à integri-dade do sistema cardiovascular e é como uma janela para a caracterização do sistema nervoso autónomo.

Fig. 15 – Amostra do ECG de um paciente.

Electroencefalograma (EEG) O electroencefalógrafo é uma máquina que regista o gráfico dos sinais eléctricos ce-rebrais desenvolvidos no encéfalo produzindo o electroencefalograma (EEG). Isto é realizado através de eléctrodos que são aplicados no couro cabeludo, na superfície encefálica, ou até mesmo (em alguns casos) dentro da substância encefálica. Esses sinais cerebrais observados são muito fracos. Portanto coloca-se os electrodos em posições pré-definidas sobre o couro cabeludo do paciente e um amplificador aumenta a intensidade dos potenciais elétricos para então ser construído um gráfico (EEG) analógico ou digital (dependendo do equipamento). Analisando o EEG o médico pode detectar alterações dos padrões normais e isso per-mite fazer o diagnóstico clínico.

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Exemplos de descargas de ondas anormais (os casos patológicos) que são observadas em EEG são: os picos de onda, os complexos ponta-onda e atividade lentas, sejam estas locais (focais) ou generalizadas.

Algumas indicações dos exames EEG são;

o para avaliação inicial de sindromes epilépticos; o avaliação de coma; o morte encefálica; o intoxicações; o encefalites; o síndromes demenciais; o crises não epilépticas; e o distúrbios metabólicos.

Fig. 16 – Um paciente submetido a exame EEG.

Fig. 17 – Amostra do ECG se um paciente.

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Imagem monocromática (preto-branco)

Uma imagem monocromática (preto-branco) é constituída por um padrão de varia-ções no brilho através dela. Ou seja, o sinal da imagem é uma função da intensidade de brilho em todos os pontos da imagem (bidimensional).

Fig. 18 – Uma foto monocromática (preto-branco) e o sinal de intensidade de brilho.

Imagens coloridas e transmissões de TV Se a imagem for colorida, obviamente o sinal torna-se mais complexo. Normalmente a imagem é decomposta em 3 cores básicas, que comummente são

“vermelho”, “verde” e “azul”

que é chamado de código de cores RGB:

R (red), G (green) e B (blue)

mas às vezes também é usado outros códigos de cores, como o “magenta” (parecido com cor de rosa), o “ciano” (uma espécie de azul) e o “amarelo”:

“magenta”, “ cyan” e “yellow”

que é comum em impressoras coloridas e em sistemas informáticos em geral. O sinal de uma foto a cores portanto terá que ter informação de 3 cores (e não apenas uma como na foto monocromática).

A transmissão de imagens (“broadcast”) como na televisão por exemplo, requer sinais mais sofisticados ainda.

Enquanto que uma fotografia é um sinal “estático”, fixo no tempo, as transmissões de imagens via TV são sinais dinâmicos pois vão variando com o tempo. Além disso, na transmissão de TV (TV broadcast) a informação do som também tem que seguir junto com a imagem.

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Desde que a TV à cores surgiu, muitos sistemas de transmissão já foram criados, como por exemplo: o sistema PAL (europeu), o sistema NTSC (americano), ou mais recentemente o HDTV.

Fig. 19 – Exemplo de um sinal RGB [R (red), G (green) e B (blue)] de uma

transmissão de TV.

Sinais meteorológicos Em meteorologia é comum o uso de sinais de medidas como pressão atmosférica [mbar] velocidade do vento [knots] x x altitude [km] altitude [km]

Em particular, no tráfico aéreo usam este último sinal mas com outras unidades:

velocidade do vento [knots] x

altitude [metros]

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nas proximidades dos aeroportos para examinar as condições do vento que possam afectar uma aeronave durante a aproximação final da pista e aterragem.

Estes 3 sinais mencionados acima estão ilustrados na figura 20

Fig. 20 – Sinais da velocidade do vento, da temperatura e da pressão atmosférica versus a altitude.

Sinais geofísicos

Em geofísica, sinais que representam variações de quantidades físicas do solo são usados para estudar o solo, assim como a estrutura do interior da terra, como a mesosfera e a endoesfera.

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Alguns destes sinais são mostrados na figura 21. Eles representam levantamentos geofísicos de

resistividade eléctrica [Ω⋅m], temperatura [ºC], densidade [g/cm3], raios gama [eV] e porosidade [%]

versus profundidade [metros].

Fig. 21 – Sinais de levantamento geofísico de características do solo: resistividade

eléctrica, densidade, temperatura, raios gama e porosidade versus a profundidade.

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Índices económicos e demográficos Os índices (ou indicadores) económicos (que normalmente só saem uma vez por mês) como:

inflação (mensal);

taxa de desemprego (mensal); dão origem a sinais discretos (i.e., sinal não contínuos). O índice da bolsa de valores é também um exemplo de um sinal discreto, embora este não seja mensal mas sim diário.

Fig. 22 – Um exemplo de sinal discreto (não contínuo) que retrata o índice da bolsa de valores (que só sai uma vez por dia).

Há muitos outros exemplos de índices ou indicadores económicos como as taxas de câmbio ou as taxas de crescimento do Produto Interno Bruto (PIB), etc.

Fig. 23 – Taxa de câmbio do Euro (€) em relação ao dólar americano (US $). Apesar de parecer contínuo, este sinal é discreto pois os valores foram tomados diariamente e depois os pontos foram ligados.

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Quaisquer destes índices, se forem tomados ao longo de um período grande de tempo e os pontos forem ligados, fica-se com a impressão que o sinal é contínuo. Isso pode ser visto na figura 23 com um exemplo da taxa de câmbio do Euro (€) em relação ao dolar americano (US $) ao longo de vários anos. As taxas de câmbio de uma moeda corrente em relação à outra são exemplos de sinais discretos embora possam ser tomados diariamente, de hora em hora ou até de minuto a minuto, se desejar. Isso é semelhante ao caso da música ou das imagens digitalizadas em CDs ou em computador (sistemas digitais de áudio ou de vídeo) ou da transmissão digital de ima-gens, casos já mencionados em exemplos anteriores. Outros casos de sinais discretos:

taxas de natalidade de uma nação (ano a ano, ao longo de um período);

consumo de uma veículo [l/100 km](medido a cada vez que é abastecido);

lucro de um estabelecimento comercial (mês a mês, ao longo dos anos);

etc. 2.3 – Sinais contínuos e discretos Na secção anterior viu-se alguns sinais contínuos e alguns sinais discretos.

Para distinguir os sinais contínuos e discretos no tempo nós usaremos

“ t” para denotar o tempo como variável independente contínua e

“n” para denotar o tempo como variável independente discreta. Além disso, nos sinais contínuos usaremos parêntesis normais ( ),

x(t), y(t), v(t), etc. enquanto que nos sinais discretos usaremos parêntesis recto [ ],

x[n], y[n], v[n], etc. Esta é uma notação comummente adoptada na literatura de Análise de Sinais.

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Um sinal discreto pode ser a representação de um fenómeno (sistema) inerentemente discreto, como por exemplo o caso de índices demográficos ou os índices da bolsa de valores. Por outro lado há também sinais discretos no tempo que são oriundos da amostragem de sinais contínuos. Por outro lado há também sinais discretos no tempo que são oriundos da amostragem de sinais contínuos.

os sistemas digitais de áudio ou de vídeo,

já mencionados acima, ou, para mencionar um outro exemplo:

o piloto automático digital; Estes sistemas requerem o uso de sequências discretas no tempo que são representa-ções (discretizações) de sinais contínuos no tempo. Assim, sinais que são naturalmente contínuos no tempo são tornados sinais discretos (por amostragem) para este propósito, como por exemplo:

a voz;

a música;

o som em geral; (no caso de sistemas digitais de áudio), ou

as fotografias que aparecem nos jornais e livros;

as imagens de um filme gravado em DVD;

etc. (no caso de sistemas digitais de imagem), ou

a posição da aeronave;

a velocidade da aeronave;

a direcção da aeronave; (no caso do piloto automático digital). Observe que esta digitalização é feita com uma quantidade muito grande de pontos. No caso da música digital, como já vimos, pode ter mais de 250 mil pontos em cada segundo [256 kbps].

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20

2.4 – Sinais dinâmicos e estáticos Sinais são representados matematicamente como funções de uma ou mais variáveis independentes. Em vários sinais da secção anterior o tempo ‘t’ é a variável independente (ou uma das variáveis independentes), por exemplo, no caso de:

circuito RC músicas em CDs carro ECG emissões de rádio EEG voz/fala humana transmissões de TV transmissões de rádio bolsa de valores

Logo, estes sinais são do tipo x(t), y(t), f(t) ou f(x,t), etc. e são chamados de

sinais dinâmicos, pois variam com o tempo (ou evoluem no tempo, ou propagam no tempo, etc.), e portanto representam

sistemas físicos dinâmicos. Entretanto há sinais em que o ‘tempo’ não aparece como variável independente. Estes sinais são de

sinais estáticos,

ou sinais não dinâmicos,

pois não evoluem no tempo, e portanto representam

sistemas físicos estáticos. Alguns sinais da secção anterior que são estáticos:

a imagem monocromática os sinais meteorológicos a imagem colorida os sinais geofísicos

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21

2.5 – Energia e Potência de Sinais Em muitas aplicações, embora não em todas, os sinais são directamente relacionados com quantidades físicas que captam ou absorvem energia e potência no sistema físico. Por exemplo, no caso do circuito RC que foi visto acima (na secção 2.1), a potência instantânea na resistência R é:

)t(vR

1)t(i)t(v)t(p 2=⋅=

onde:

v(t) = tensão na resistência R;

i(t) = corrente na resistência R.

e a energia total despendida no intervalo de tempo 21 t tt ≤≤ é:

∫∫ == 2

1

2

1

t

t

2t

tTotal dt)t(vR

1dt)t(pE

e a potência média neste intervalo [t1, t2] é:

( ) ( ) ∫∫ ⋅=⋅=−−

2

1

2

1

t

t

2t

tmédia dt)t(vR

11dt)t(p

1P

1212 tttt

De forma semelhante no caso do exemplo acima do carro (secção 2.1), a potência dissipada pela fricção é:

)t(v)t(p 2⋅ρ= onde ρ = coeficiente de atrito da superfície.

E neste caso a energia total e potência média no intervalo [t1, t2] são respectivamente:

∫∫ ⋅ρ== 2

1

2

1

t

t

2t

tTotal dt)t(vdt)t(pE

( ) ( ) ∫∫ ⋅ρ⋅=⋅=−−

2

1

2

1

t

t

2t

tmédia dt)t(v1

dt)t(p1

P1212 tttt

Motivados por exemplos como estes acima definem-se potência e energia para qual-quer sinal contínuo x(t) e qualquer sinal discreto x[n] da seguinte forma:

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22

A potência instantânea de um sinal contínuo x(t) ou de um sinal discreto x[n]:

2

)t(x)t(p = ou 2

]n[x]n[p = eq. (2.1)

onde |x| é o módulo do número x (que pode ser real ou complexo).

A energia total no intervalo 21 tt t ≤≤ de um sinal contínuo x(t) é definida como:

∫∫ ⋅=⋅= 2

1

2

1

t

t

2t

tdt)t(xdt)t(pE eq. (2.2)

A potência média neste intervalo [t1 , t2] é definida como:

( ) ∫ ⋅⋅=−

2

1

t

t

2dt)t(x

1P

12 tt eq. (2.3)

A energia total e a potência média no intervalo 21 tt t ≤≤ de um sinal discreto x[n] são definidas como:

[ ]∑∑==

==2

1

2

1

n

nn

2n

nn

nx]n[pE eq. (2.4)

( ) [ ]∑=

⋅=+−

2

1

n

nn

2

12

nx1

P1nn eq. (2.5)

Para o caso de um intervalo de tempo infinito:

–∞ < t < ∞ ou –∞ < n < ∞ as definições de energia total e potência média, no caso de um sinal contínuo no tempo, ficam:

∫∫∞

∞−−∞→⋅=⋅=∞ dt)t(xdt)t(xlimE

2T

T

2

T eq. (2.6)

∫−→∞⋅⋅=∞

T

T

2

Tdt)t(x

T21

limP eq. (2.7)

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23

e, para um sinal discreto no tempo, ficam:

[ ] [ ]∑ ∑−=

−∞=∞→==∞

N

Nn n

22

NnxnxlimE eq. (2.8)

( ) [ ]∑−=∞→

⋅=+∞

N

Nn

2

NnxlimP

1N2

1 eq. (2.9)

Note que para alguns sinais E∞ e/ou P∞ podem não convergir. Por exemplo, se x(t) ou x[n] = constante ≠ 0 para todo t, então este sinal tem energia infinita (E∞ = ∞).

Se um sinal tem energia E∞ < ∞ (energia total finita), então:

P∞ = 0 Isto porque

0T2

ElimPT

== ∞∞∞ → (no caso contínuo) eq. (2.10)

ou

( ) 0E

limP1N2N

==+∞

∞∞ → (no caso discreto) eq. (2.11)

Por outro lado, pela mesma razão, isto é, usando se eq. (2.10) e eq. (2.11), concluímos que: se um sinal tem potência finita ≠ 0 (0 < P∞ < ∞), então:

E∞ = ∞.

Finalmente, existem sinais que possuem ambas: E∞ = ∞ e P∞ = ∞.

Exemplo 2.1: Considere o sinal x(t), ilustrado na figura 24.

Fig. 24 – O sinal x(t) = 2, 0 < t < 1.

[ ]

<<=

2,0tse0

2t0se1)t(x

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24

Facilmente observa-se que para este sinal x(t):

2

020

dt0dt1dt0

dt)t(xE

2

22

0

20 2

2

=++=

⋅+⋅+⋅=

⋅=

∫∫∫

∫∞

∞−

∞−∞

e portanto, pela eq. (2.10), P∞ = 0.

Exemplo 2.2: Considere o sinal n,2]n[x ∀= ilustrado na figura 25.

Fig. 25 – O sinal x[n] = 2, ∀n.

Para este sinal x[n]:

( ) [ ]

( )

( )4

4)1N2(lim

)4444(lim

nxlimP

1N2

1

1N2

1

1N2

1

N

N

N

Nn

2

N

=

=⋅+⋅=

=+++++⋅=

=⋅=

+

+

+

∞→

∞→

−=∞→∞ ∑

LL

e portanto, pela eq. (2.11),

E∞ = ∞.

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25

Exemplo 2.3:

Considere o sinal ,2,1,0,1,2n,2]n[x −−== e ,2,1,0,1,2n,0]n[x −−≠∀= ilus-trado na figura 26.

Fig. 26 – O sinal x[n] para n = 2, n = –2, –1, 0, 1, 2, e x[n] = 0, ∀n ≠ –2, –1, 0, 1, 2.

Para este sinal x[n]:

[ ] 202nxlimEN

Nn

2

2n

22

N=== ∑ ∑

−= −=∞→∞

e portanto, pela eq. (2.11),

P∞ = 0.

Exemplo 2.4:

Considere o sinal x(t) = 0,25 t, ∀t ilustrado na figura 27.

Fig. 27 – O sinal x(t) = 0,25 t, ∀t.

Facilmente observa-se que para este sinal x(t) ambos E∞ e P∞ são infinito.

E∞ = ∞, P∞ = ∞.

−−≠−−=

=2,1,0,1,2nse0

2,1,0,1,2nse2]n[x

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26

2.6 – Transformações da variável independente Nesta secção apresentamos as transformações da variável independente em sinais

Translação no tempo (“ time shifting”): A translação no tempo, “time shifting” ou simplesmente “shift” é, o deslizamento lateral, para direita ou para a esquerda, do sinal x[n] (no caso discreto) ou x(t) (no caso contínuo). Isso é obtido com a mudança da variável independente, o tempo ‘n’ ou ‘t’: n → n ± no ou t → t ± to.

Shift para direita (retardo): sinal discreto: x[n] x[n–no], no > 0.

Fig. 28 – Ilustração de “shift” para direita (retardo) no sinal discreto x[n].

sinal contínuo : x(t) x(t – to), to > 0.

Fig. 29 – Ilustração de “shift” para direita (retardo) no sinal contínuo x(t).

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27

Shift para esquerda (avanço): sinal discreto: x[n] x[n+no] , no > 0.

Fig. 30 – Ilustração de “shift” para esquerda (avanço) no sinal discreto x[n].

sinal contínuo : x(t) x(t + to), to > 0.

Fig. 31 – Ilustração de “shift” para esquerda (avanço) no sinal contínuo x(t).

Reversão do tempo / sinal reflectido (“ time reversal”) em torno de t = 0:

sinal discreto: x[n] x[–n]

Fig. 32 – Ilustração de reversão do tempo “time reversal” no sinal discreto x[n].

sinal contínuo: x(t) x(–t)

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28

Fig. 33 – Ilustração de reversão do tempo “time reversal” no sinal contínuo x(t).

Escalonamento no tempo (“ time scaling”): O escalonamento no tempo é na verdade uma mudança da escala do tempo ‘n’ (no caso discreto) ou ‘t’ (no caso contínuo). Isso é obtido com a mudança da variável independente, o tempo ‘n’ ou ‘t’: n → a n ou t → a t. para uma constante a > 0.

Compressão ou encolhimento:

sinal discreto: x[n] x[an] , a > 1.

sinal contínuo: x(t) x(at), a > 1.

Expansão ou esticamento:

sinal discreto: x[n] x[an] , 0 < a < 1.

sinal contínuo: x(t) x(at), 0 < a < 1.

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29

Fig. 34 – Ilustrações de escalonamento no tempo (“time scaling”) feito ao

sinal contínuo x(t). Vê-se x(t), x(2t) e x(t/2).

Caso geral:

sinal discreto: x[n] x[αn + β]

sinal contínuo: x(t) x(αt + β)

Se | α | < 1 → sinal é esticado ( ←→ );

Se | α | > 1 → sinal é comprimido ( → ← );

Se α < 0 → sinal é invertido;

Se β < 0 → translação (shift) para direita;

Se β > 0 → translação (shift) para esquerda.

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30

Exemplo 2.5: Considere o sinal x(t) dado pela expressão:

∉≤<≤≤

=]2,0[t0

2t15,0

1t01

)t(x

e que está representado na figura 35(a). Nas figuras 35(b)-(h) estão representados algumas transformações de x(t) através de translações (“time shifting”), reversão do tempo (“time reversal”) e escalonamentos no tempo (“time scaling”). No caso do sinal x(t + 1) da figura 35(b) trata-se de uma translação (shift) para esquerda de uma unidade de tempo, enquanto que o sinal x(–t) da figura 35(c) é o sinal x(t) reflectido, isto é, uma reversão no tempo (“time reversal”).

Por outro lado, os sinais

t3

2x e

t2

3x

da figura 35(d) e (e) são escalonamentos no tempo (“ time scaling”) com ampliação escala em 1,5 (ou seja, 3/2) no primeiro deles, e com compressão da escala de 0,666 (ou seja, 2/3) no caso do segundo.

Por sua vez o sinal

+1t2

3x

da figura 35(f) trata-se de uma translação para esquerda de uma unidade, primeiro, e uma compressão da escala de 0,666 depois. Entretanto, no sinal

+2

)1t(3x

da figura 35(g) passa-se exactamente o oposto: uma compressão da escala de 0,666, primeiro, e uma translação para esquerda de uma unidade, depois. Finalmente o sinal

( )5,0t2x − da figura 35(h) é uma translação para esquerda de uma 0,5, primeiro, e uma compressão da escala de 0,5 (ou seja, ½) depois.

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31

(a) (b)

(c) (d)

(e) (f)

(g) (h)

Fig. 35 – Sinais do Exemplo 2.5.

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32

2.7 – Sinais periódicos

Um sinal contínuo x(t) é periódico se ∃ T > 0 tal que

x(t) = x(t + T) , ∀ t eq. (2.12)

T é chamado de período de x(t).

Ou seja, um sinal periódico x(t) fica imutável se fizermos uma translação (shift) de T.

Fig. 36 – Sinal periódico.

Se um sinal x(t) é periódico de período T então x(t) também é periódico de período 2T, 3T, 4T, … O período fundamental To de x(t), é o menor valor positivo de T para o qual a eq. (2.12) acima é válida. Esta definição tem uma excepção que é o caso de x(t) = C (constante) , ∀ t que também é periódico pois qualquer valor T > 0 é um período deste sinal, mas entretanto não há um período fundamental To para este sinal. Um sinal não periódico é chamado de “aperiódico”. Analogamente, um sinal discreto x[n] é periódico se ∃ N tal que

x[n] = x[n + N] , ∀ n eq. (2.13) N é chamado de período de x[n]. O período fundamental de x[n], No , é o menor valor de N para o qual eq. (2.13) é válida.

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33

Exemplo 2.6:

É fácil de verificar que To = (2π/a) é o período fundamental do sinal periódico:

x1(t) = b ⋅ cos (at + c)

e que To = (π/a) é período fundamental do sinal periódico:

x2(t) = b ⋅ | cos (at) |

Exemplo 2.7:

A figura 37 mostra um sinal discreto com período fundamental

No = 3.

Fig. 37 – Sinal do Exemplo 2.7.

2.8 – Sinais pares e ímpares Um sinal contínuo x(t) é par se:

x(–t) = x(t) Um sinal discreto x[n] é par se:

x[–n] = x[n] Um sinal contínuo x(t) é ímpar se:

x(–t) = –x(t) Um sinal discreto x[n] é ímpar se:

x[–n] = –x[n]

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34

Exemplo 2.8:

As figuras 38 e 39 mostram um sinal par e um sinal ímpar respectivamente.

Fig. 38 – Um sinal par.

Fig. 39 – Um sinal impar.

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35

Note que para um sinal ímpar x(t) (contínuo), ou x[n] (discreto), satisfaz respectiva-mente:

x(0) = 0, ou

x[n] = 0.

Exemplo 2.9: x(t) = sen (t) é um sinal ímpar; e

x(t) = cos (t) é um sinal par. Um sinal pode ser decomposto na soma de 2 sinais sendo um par e um ímpar. No caso de um sinal contínuo:

)t(xOdx(t)Evx(t) +=

onde:

( ))t(x)t(x2

1x(t)Ev −+= (sinal par)

( ))t(x)t(x2

1x(t)Od −−= (sinal ímpar)

No caso de um sinal discreto:

[ ] [ ] [ ] nxOdnxEvnx +=

onde:

[ ] [ ] [ ]( )nxnx2

1nxEv −+= (sinal par)

[ ] [ ] [ ]( )nxnx2

1nxOd −−= (sinal ímpar)

Exemplo 2.10: O sinal x[n] da figura 40 é chamado de degrau unitário (como veremos com detalhes no capítulo 3 sobre sinais singulares).

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36

Fig. 40 – Sinal degrau unitário.

Este sinal pode facilmente ser decomposto nos dois sinais

xev[n] = Evx[n] e

xod[n] = Od[n] dados abaixo:

[ ] [ ]

>

=

<

==

0nse,21

0nse,1

0nse,21

nxEvnxev [ ] [ ]

>

=

<−

==

0nse,21

0nse,0

0nse,21

nxOdnxod

e que estão representados a nas figura 41.

Fig. 41 – Sinais xev[n] e xod[n], as componentes par e ímpar de x[n].

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37

2.9 – Sinais exponenciais e sinusoidais

O sinal sinusoidal contínuo:

Fig. 42 – O sinal sinusoidal contínuo.

Este sinal descreve as características de muitos processos físicos, em particular: siste-mas no qual a energia é conservada, como os circuitos LC; o movimento harmónico simples (MHS); a variação da pressão acústica que corresponde ao tom de uma nota musical; etc. O sinal acima x(t) = A cos(ωot + φ), ωo = 0 é periódico com período fundamental

oo

2 T

ωπ= .

e ωo é chamada de frequência fundamental. A equação acima mostra que frequência fundamental e o período fundamental são inversamente proporcionais.

Se tivermos 3 sinais:

xo(t) = A cos(ωot + φ),

x1(t) = A cos(ω1t + φ), e

x2(t) = A cos(ω2t + φ),

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38

com ω2 < ωo <ω1 (o que equivale a T1 < To < T2) então x1(t) oscila mais que xo(t) e por outro lado x2(t) oscila menos que xo(t).

Ou seja, para o sinal xo(t) = A cos(ωot + φ), quanto maior a frequência ωo, mais ele oscila, e quanto menor frequência ωo, menos ele oscila.

Fig. 43 – Três sinais periódicos (do tipo x(t) = cos ωt) com frequências diferentes.

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39

As unidades de )tcos(A x(t) o φ+ω= são:

T [segundos]

φ [radianos]

ωo [radianos / segundo] Às vezes a frequência natural ωo é escrita como

ωo = 2πfo onde fo é a frequência do sinal x(t) = A cos(2πfot + φ) e tem como unidade

fo [Hertz] Note também (os casos particulares), para

)t(cosA)t(x o φ+ω⋅=

se φ = 0, ou φ = ±2π, ±4π, … ⇒ x(t) = A cos (ωot)

se 2

π=φ , ou L,4

2,2

2π±ππ±π=φ ⇒ x(t) = − A sen (ωot)

se 2π−=φ ,

ou L,4

2,2

2π±π−π±π−=φ ⇒ x(t) = A sen (ωot)

se π=φ , ou L,7,5,3, π±π±π±π−=φ ⇒ x(t) = − A cos (ωot) Além disso: se ωo = 0 ==> x(t) = C (constante)

Fig. 44 – O sinal x(t) = C (constante).

O sinal x(t) = C (constante), ∀t é também um sinal periódico, e com período T para qualquer T > 0. Entretanto este sinal x(t) = C (constante) não tem um período funda-mental To.

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40

Outro detalhe: o sinal x(t) escrito na forma combinação linear de um seno e um co-seno com a mesma frequência ωot e sem desfasagem, isto é,

)t(cos)t(sen)t(x oo ω⋅β+ω⋅α= , pode ser escrito como um seno com a mesma frequência ωot e desfasagem φ, isto é,

)t(senA)t(x o φ+ω⋅= ; e vice-versa. Ou seja:

)t(senA

)t(cos)t(sen)t(x

o

oo

φ+ω⋅=ω⋅β+ω⋅α=

onde: φ⋅=α cosA e φ⋅=β senA eq. (2.14)

22A β+α= e

αβ=φ arctg eq. (2.15)

Por outro lado, o sinal x(t) que vimos mais acima, expresso na forma de um co-seno de frequência ωot e desfasagem φ, isto é, )t(cosA)t(x o φ+ω⋅= , pode ser escrito na

forma de combinação linear de um seno e um co-seno com a mesma frequência ωot (e vice-versa) da seguinte forma:

)t(sen)t(cos

)t(cosA)t(x

oo

o

ω⋅β−ω⋅α=φ+ω⋅=

onde α, β, A e φ são dados acima em eq. (2.14) e eq. (2.15).

O sinal exponencial contínuo:

atC)t(x e=

Caso 1: C ∈ R e a ∈ R R = conjunto dos números reais. Neste caso x(t) é chamado de um sinal exponencial real e pode ser crescente (se a > 0) ou decrescente (se a < 0).

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41

Fig. 45 – O sinal exponencial contínuo, caso 1 (C ∈ R e a ∈ R), a > 0, crescente.

Fig. 46 – O sinal exponencial contínuo, caso 1 (C ∈ R e a ∈ R), a < 0, decrescente. A exponencial crescente é usada na descrição de muitos fenómenos físicos como a reacção em cadeia em explosões atómicas e certas reacções químicas complexas.

A exponencial decrescente também aparece na descrição de muitos processos físicos como por exemplo: o decaimento radioactivo, a resposta vc(t) do circuito RC e siste-mas mecânicos amortecidos.

Obviamente se a = 0, então novamente x(t) = C eat = C = constante (já vista acima nos

sinais sinusoidais com frequência ωo = 0) e portanto x(t) deixa de ser um sinal crescente ou decrescente.

Fig. 47 – O sinal x(t) = C (constante), caso particular a = 0 do sinal exponencial

contínuo.

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42

Caso 2: C = 1 e a é um número imaginário puro taC)t(x e=

para C = 1 e a = j⋅ωo (imaginário puro)

tj o)t(x ω= e Neste caso x(t) é um sinal exponencial complexo para cada t.

Fig. 48 – O sinal exponencial contínuo, caso 2 (C = 1 e a é um número imaginário

puro)

Observe que como θ∀=θ ,1je , então:

| x(t) | = 1 , ∀t

Podemos interpretar este sinal x(t) como um ponto que se desloca na circunferência de raio 1 no plano complexo com velocidade angular | ωo | rad/s. Note que este sinal

tj o)t(x ω= e é sempre periódico pois:

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43

)t(x

e)Tt(x Tjtj)Tt(j ooo

====+ ωω+ω

ee

para muitos valores de T (período) para os quais oj T 1ω =e . De facto, se

...,2,1k,k2

To

±±=ω

π= ,

então 1Tj o =ωe e T é um período de x(t). No caso particular de

0,2

T oo

o ≠ωω

π=

então To é o período fundamental de x(t) e ωo é chamada de frequência fundamental de x(t). A família de sinais exponenciais complexos

tkj

ko)t( ω=φ e , ...,2,1,0k ±±=

é conhecida como sinais harmonicamente relacionados. Estes sinais são periódicos e a frequência fundamental de cada )t(kφ , k ≠ 0, é

ook k ω⋅=ω

e o período fundamental é

k

T

k

2T o

ook =

ω⋅π=

No caso de k = 0, então )t(oφ = constante e não há uma frequência fundamental nem um período fundamental. O termo “harmónico” advém da música e se refere aos tons resultantes de variações da pressão acústica em frequências que são múltiplas da frequência fundamental. Por exemplo, o padrão de vibração de uma corda de um instrumento musical (como o violino) pode ser descrito como a sobreposição (ou a média ponderada) de sinais ex-ponenciais periódicos harmonicamente relacionados.

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44

Exemplo 2.11:

( )t5,1jt5,1jt5,3j

t5jt2j)t(x⋅⋅−⋅

⋅⋅

+=

+=

eee

ee

agora, usando a Equação de Euler,

)t5,1cos(e2)t(x t5,3j ⋅= ⋅

e, como 1j =θe , ∀θ, temos que

)t5,1cos(2)t(x ⋅=

que é o sinal sinusoidal de onda completa rectificado, visto no gráfico da figura 49 abaixo.

Fig. 49 – Módulo do sinal x(t), )t5,1cos(2)t(x ⋅= .

Caso 3: C ∈ C e a ∈ C C = conjunto dos números complexos. Se C = |C| e

j θ (‘C’ está escrito na forma polar) a = σ + j ωo (‘a’ está escrito na forma cartesiana)

então o sinal exponencial contínuo

a t

( j )tj o

( j t )t o

t to o

x(t) C

C

C

C cos( t ) j C sen( t )

σ+ ωθ

ω +θσ

σ σ

=

= ⋅

= ⋅

= ⋅ ω + θ + ⋅ ⋅ ω + θ

e

e e

e e

e e

Logo:

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45

Re x(t) e Im x(t)

σ = 0 ⇒ Sinais sinusoidais

σ > 0 ⇒ Sinais sinusoidais multiplicados por exponenciais crescentes

σ < 0 ⇒ Sinais sinusoidais multiplicados por exponenciais decrescentes

Rex(t) = C eσt⋅ cos(ωot + θ) , σ > 0 Rex(t) = C eσt⋅ cos(ωot + θ) , σ < 0

Fig. 50 – Sinais sinusoidais multiplicados por exponenciais (com σ > 0 e σ < 0). Para exemplificar, a figura 50 mostra-nos dois sinais sinusoidais multiplicados por exponenciais. Um com σ > 0, logo o sinal cresce; e outro com σ < 0, logo o sinal decai, ou fica amortecido.

Exemplos de sistemas físicos onde aparecem estes sinais são: Circuitos RLC; siste-mas mecânicos com amortecimento e força restauradora (massa-mola, suspensão de automóveis, etc.). Estes sistemas têm mecanismos que dissipam energia (como resis-tências, forças amortecedoras e atritos) com oscilações que decaem no tempo.

O sinal sinusoidal discreto:

x[n] = A cos (ωon + φ)

onde as unidades de x[n] são:

n [sem dimensão]

ωo [radianos]

φ [radianos]

fo = ωo / 2π [radianos]

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46

As figuras 51, 52 e 53 acima ilustram 3 sinais sinusoidais discretos x1[n], x2[n] e x3[n].

Fig. 51 – Sinal sinusoidal discreto x1[n] = A cos (ωon), para ωo = 0,2π ≅ 0,628. Este sinal é periódico e o período fundamental é No = 10.

Fig. 52 – Sinal sinusoidal discreto x2[n] = A cos (ωon), para ωo = 0,3π ≅ 0,944. Este sinal é periódico e o período fundamental é No = 20.

Fig. 53 – Sinal sinusoidal discreto x3[n] = A cos (ωon), para ωo = 1. Este sinal não é periódico conforme veremos mais adiante. Usando as equações de Euler, um sinal sinusoidal discreto x[n] pode ser escrito como:

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47

njjj onj

o

ee2

Aee

2

A

) ( cosA x[n]

o ωφφ −−ω ⋅⋅+⋅⋅=

=φ+ω=

e, como 12j =φ

e e 12noj =ω

e , então, para este sinal temos que a energia total E∞

e a potência total P∞ são:

E∞ = ∞, e P∞ = 1.

O sinal exponencial discreto: Considere o sinal

[ ]n

n

C

Cnxβ=

α=

e , onde

β=α e .

que é uma forma análoga ao sinal exponencial contínuo.

Caso 1: C ∈ R e α∈ R: R = conjunto dos números reais. Neste caso x[n] pode ser um sinal crescente (se | α | > 1) ou um sinal decrescente (se | α | < 1). Na figuras 54 e 55 vemos os gráficos deste sinal [ ] nCnx α= para α > 1, 0 < α < 1, –1 < α < 0 e α < –1.

Fig. 54 – Sinal exponencial discreto, caso 1, α > 1 e 0 < α < 1.

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48

Fig. 55 – Sinal exponencial discreto, caso 1, –1 < α < 0 e α < –1.

Obviamente, se α = 0, então [ ] nCnx α= é sinal da figura 56.

Fig. 56 – Sinal constante discreto, caso da constante α = 0,

um caso particular do sinal exponencial discreto. De forma semelhante, se α = ±1, então [ ] nCnx α= é um dos sinais da figura 57. Ou seja, um sinal constante ± |C|.

Fig. 57 – Sinais constantes discretos, casos da constante positiva e negativa, um

casos particulares do sinal exponencial discreto.

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49

Ou seja: Se α = 0, então ⇒ [ ] nCnx α= = 0 ,

se α = 1 e C > 0, então ⇒ [ ] nCnx α= = | C | ,

se α = –1 e C < 0, então ⇒ [ ] nCnx α= = | C | ,

se α = –1 e C > 0, então ⇒ [ ] nCnx α= = –| C |.

se α = 1 e C < 0, então ⇒ [ ] nCnx α= = –| C |.

Caso 2: C = 1 e β é um número imaginário puro (isto é, | α | = 1): O sinal exponencial complexo

[ ] nn CCnx α== βe ( )β=α e

para C = 1 e β = j ωo (imaginário puro), temos que | α | = 1, e x[n] fica:

[ ] nj onx ω= e . Usando a equação de Euler temos que:

[ ] nsenjncosnx oonj o ω⋅+ω== ω

e

Observe que, como ,n,1e2nj o ∀=ω então para este sinal temos novamente que

E∞ = ∞, e P∞ = 1.

Note que o sinal exponencial [ ] nojnx ω= e satisfaz a seguinte propriedade:

[ ]

...,2,1,0m,

nx

n)mo(j

n)2o(jnoj

±±==

===

π±ω

π+ωω

e

ee

ou seja, o sinal x[n] é o mesmo para frequência ωo e (ωo + 2π). Na verdade é o mesmo para qualquer frequência (ωo ± mπ), m = 0, ±1, ±2, … Isto é, ele se repete a cada 2π a medida que a frequência ωo varia.

Esta situação é diferente do seu sinal análogo contínuo x(t), onde para cada ωo, x(t) era um sinal diferente. Nunca se repetia para valores diferentes de ωo. Na verdade, quanto maior era a frequência ωo, maior era a taxa de oscilação de x(t).

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50

No caso discreto que analisamos aqui

[ ] nojnx ω= e o que ocorre é que conforme ωo aumenta de 0 até π, obtemos sinais x[n] que oscilam cada vez mais rápido. Depois, continuando a aumentar ωo de π até 2π, os sinais x[n] vão oscilando cada vez mais lentamente até voltar a ser o mesmo que era em ωo = 0 para ωo = 2π. Os gráficos da figuras 58-61 abaixo dão uma ideia de como isto ocorre. Elas mostram a evolução da parte real de x[n], ou seja

,)ncos(Re]n[xRe]n[ oj no ω===σ ω

e desde 0 (nenhuma oscilação) até π (número máximo de oscilações) e depois conti-nuando até 2π (nenhuma oscilação novamente).

Fig. 58 – Sinais discretos σ[n] = cos (ωon), ωo = 0 e ωo = π/8.

8o

π=ω

0o =ω

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51

Fig. 59 – Sinais discretos σ[n] = = cos (ωon), ωo = π/4 , ωo = π/2 e ωo = π.

4o

π=ω

2o

π=ω

π=ωo

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52

Fig. 60 – Sinais discretos σ[n] = cos (ωon), ωo = 3π/2 , ωo = 7π/4 e ωo = 15π/8.

2

3o

π=ω

4

7o

π=ω

8

15o

π=ω

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53

Fig. 61 – Sinal discreto σ[n] = cos (ωon), ωo = 2π.

Se ωo = π, ou ωo = ±nπ para um valor de n ímpar, a oscilação é máxima pois

[ ]

.)1()(

ímparnpara,nx

nn

nnoj

j

j

−==

==

π

πω

e

ee

ou seja, o sinal x[n] salta de +1 para –1 a cada ponto n no tempo. Por outro lado se ωo = 0, ou ωo = ±nπ para m par, não há oscilação pois

[ ] n,10noj jnx ∀=⋅== ⋅ω⋅

ee

ou seja, o sinal x[n] é constante para todos os valores n no tempo.

Portanto, as oscilações baixas (ou variações lentas) do sinal x[n] tem valores ωo pró-ximo a 0, 2π, etc. (múltiplos pares de π), enquanto que as oscilações altas (ou varia-ções rápidas) do sinal x[n] estão localizadas próximas a ±π e múltiplos ímpares de π.

Outra propriedade importante é a “periodicidade”. Esta situação aqui em x[n] tam-bém é diferente que no seu análogo contínuo x(t). Enquanto que o sinal x(t) é sempre periódico, para o sinal x[n] isto não ocorre sempre.

Note que a equação

[ ] [ ]nxNnx nojNojNn(o nj)j o ==ωω+ω ⋅==+ ω

eeee

só é válida quando 1Noj =ωe , ou seja, se

...,2,1,0m,m2No ±±=π=ω

isto é, se

...,2,1,0m,N

m

2o ±±==π

ω eq. (2.16)

o que equivale a dizer

πω2

o ∈ Q = conjunto dos números racionais. eq. (2.17)

π=ω 2o

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54

Logo, o sinal discreto

[ ] nojnx ω= e

só é periódico quando π

ω2

o é um número racional.

Considere os 3 sinais ilustrados na figuras 51, 52 e 53,

x1[n] = A cos (ωon), para ωo = 0,2π , eq. (2.18)

x2[n] = A cos (ωon), para ωo = 0,3π , eq. (2.19)

x3[n] = A cos (ωon), para ωo = 1. eq. (2.20) Somente os 2 primeiros sinais, i.e., x1[n] da eq. (2.18) e x2[n] da eq. (2.19), são periódicos pois têm frequências múltiplas de π por um número racional.

Nota-se que na ilustração de x1[n] (figura 51) e x2[n] (figura 52) que os pontos voltam a ter o mesmo valor de x[n] periodicamente. Já com o terceiro destes sinais, i.e., x3[n] da eq. (2.20), isso não acontece pois ωo = 1 não é múltiplo de π por um número racional e portanto ele não é um sinal periódico.

Observe que x2[n] e x3[n] são sinais muito próximos pois

x2[n] = A cos (3π n) = A cos (0.9425 n) e x3[n] = A cos (1 n).

Entretanto, para o sinal x3[n] (figura 53) os pontos nunca voltam a ter um mesmo valor, pois não é periódico. Ele oscila infinitamente mas as sequências de valores nunca torna a se repetir. Por exemplo, x3[0] = 1, pois o cos(0) = 1. No entanto este valor 1 nunca torna a acontecer para nenhum outro x3[n], ∀n ≠ 0.

M x3[–2] = –0.4161 x3[–1] = 0.5403 x3[0] = 1,0 x3[1] = 0,5403 x3[2] = –0,4161

x3[3] = –0,9899 x3[4] = –0,6536 x3[5] = 0,2837 x3[6] = 0,9602 x3[7] = 0,7539 x3[8] = –0,1455

x3[9] = –0,9111 x3[10] = –0,8391 x3[11] = 0,0044 x3[12] = 0,8439 x3[13] = 0,9074 x3[14] = 0,1367

x3[15] = –0,7597 x3[16] = –0,9577 x3[17] = –0,2752 x3[18] = 0,6603 x3[19] = 0,9887

M

Podemos escrever a condição das eq. (2.16) e eq. (2.17), i.e., (ωo/2π) ∈ Q, de uma outra forma equivalente:

Se (ωo/2π) ∈ Q, então qualquer N que satisfaz

...,2,1,0m,2

mNo

±±=

ωπ⋅= eq. (2.21)

é um período de x[n].

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55

Na verdade, se ωo ≠ 0, e se N e m forem primos entre si (não têm factores comuns), sendo N > 0, então o período fundamental é

No = N , ou seja,

ωπ⋅=o

o

2mN .

Resumindo o Caso 2 para os sinais contínuos e discretos:

tj o)t(x ω= e [ ] nj onx ω= e

x(t) ≠ para valores de ωo ≠

x[n] se repete para

ωo, (ωo + 2π), (ωo + 4π), etc

x(t) é periódico ∀ ωo x[n] só é periódico se

π=ωN

m2o

Para algum inteiro N > 0 e m inteiro.

(m e N primos entre si)

frequência fundamental de x(t)

ωo

frequência fundamental de x[n]

moω

(m e N primos entre si)

período fundamental de x(t)

se ωo = 0 ⇒ não existe!

se ωo ≠ 0 ⇒ o

o

2T

ωπ=

período fundamental de x[n]

se ωo = 0 ⇒ não existe!

se ωo ≠ 0 ⇒

ωπ⋅=o

o

2mN

Caso 3: C ∈ C e α∈ C: C = conjunto dos números complexos Se C = |C| e j θ (C escrito na forma polar) α = |α| e j ωo (α escrito na forma polar) então o sinal exponencial contínuo

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56

[ ]

)nsin(Cj)ncos(C

C nx

oo

nn

n

θ+ω⋅α⋅⋅+θ+ω⋅α⋅=

α=

Logo,

Re x[n] e Im x[n]

| α | = 1 ⇒ Sinais sinusoidais discretos

| α | > 1 ⇒ Sinais sinusoidais multiplicados por exponenciais crescentes

| α | < 1 ⇒ Sinais sinusoidais multiplicados por exponenciais decrescentes

Fig. 62 – Sinal exponencial discreto, caso 3, | α | > 1.

Fig. 63 – Sinal exponencial discreto, caso 3, | α | < 1.

[ ] [ ] 1

)ncos(nxRen o

n

θ+ω⋅α==σ

[ ] [ ] 1

)ncos(nxRen o

n

θ+ω⋅α==σ