ANAIS...contribuiÇÕes da construÇÃo de animaÇÕes no software geogebra para a mobilizaÇÃo do conhecimento matemÁtico de alunos com ah/sd bueno, adrieli basniak, maria ivete

UNIVERSIDADE ESTADUAL DO PARANÁ

CAMPUS DE UNIÃO DA VITÓRIA

ANAIS ISSN: 1983-6198

UNIÃO DA VITÓRIA

2018

SUMÁRIO

APRESENTAÇÃO ............................................................................................................... 3

ORGANIZAÇÃO .................................................................................................................. 3

REALIZAÇÃO E APOIO ..................................................................................................... 3

PROGRAMAÇÃO ............................................................................................................... 4

PALESTRA DE ABERTURA .............................................................................................. 7

MODELAGEM MATEMÁTICA E REALIDADE DO MUNDO CIBERNÉTICO: um enfoque nas potencialidades do Big Data ...................................................................................... 7

MINICURSOS ...................................................................................................................... 8

Processos do Pensamento Matemático Avançado em tarefas envolvendo conteúdos do Ensino Médio ................................................................................................................... 8

Uma introdução à Teoria de Catástrofes .......................................................................... 8

Etnomatemática, Educação e Formação de Professores ................................................ 8

RESUMOS EXPANDIDOS .................................................................................................. 9

A matematização em uma atividade de modelagem matemática .................................... 9

A modelagem matemática nos tccs do curso de matemática da Unespar campus de União da Vitória ........................................................................................................................ 15

A tecnologia da impressão 3d na construção do modelo de uma formiga para o ensino de ciências .......................................................................................................................... 18

Contribuições da construção de animações no software geogebra para a mobilização do conhecimento matemático de alunos com AH/SD ......................................................... 23

Contribuições do jogo mancala para o ensino de matemática ....................................... 26

Ensino exploratório de análise combinatória: reflexões associando teoria e prática ...... 29

investigação com os alunos do curso de pedagogia da Unespar - campus de União da Vitória com relação ao ensino da matemática ................................................................ 31

O conjunto dos números inteiros possui mais elementos que o conjunto dos naturais?: o que dizem os futuros professores de matemática .......................................................... 35

O (des)preparo dos professores para trabalhar com alunos com necessidades educacionais especiais .................................................................................................. 38

Os jogos nos trabalhos de conclusão de curso da matemática da Unespar campus de União da Vitória .............................................................................................................. 40

O uso das tecnologias no ensino da matemática: uma análise dos tcc’s de matemática da Unespar campus de União da Vitória – PR .............................................................. 43

Poliedros e construções de representações de poliedros: origami ................................ 47

Por que articular ensino exploratório de matemática e RPG? ........................................ 51

Sistemas por seidel: um aplicativo para sistemas lineares 𝟑 × 𝟑 ................................... 54

XIV Semana da Matemática União da Vitória, 27 a 31 de agosto de 2018 UNESPAR - Campus de União da Vitória ISSN: 1983-6198 Anais

Uma análise das dificuldades e tensões relatadas por professores em atividades de modelagem matemática ................................................................................................. 57

Um estudo dos campos conceituais aditivos e multiplicativos com crianças no sexto ano: uma atividade com a modelagem matemática ............................................................... 60

Um estudo sobre o inquiry no ensino exploratório de matemática ................................. 63


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APRESENTAÇA O

O objetivo do evento é proporcionar a alunos da graduação e da pós-graduação, e a professores da Educação Básica e do Ensino Superior, experiências que contribuam para a reflexão sobre os conhecimentos matemáticos e sobre os processos de ensino e de aprendizagem de Matemática. Soma-se a isso a divulgação de estudos e pesquisas na área da Matemática e da Educação Matemática.

Sendo assim, o evento visa a promover aproximação e intercâmbio entre os acadêmicos do Curso de Matemática, de outros cursos, docentes de outras universidades, docentes da Educação Básica de União da Vitória e região e pesquisadores.

ORGANIZAÇA O

COMISSÃO ORGANIZADORA

Prof. Me. Carlos Krassowski Filho Prof. Dr. David Velasco Villamizar Prof. Me. Dion Ross Pasievitch Boni Alves Profa. Me. Élida Maiara Velozo de Castro Prof. Dr. Everton José Goldoni Estevam Profa. Me. Emanueli Pereira

Profa. Dra. Gabriele Granada Veleda Prof. Me. Lucas de Siqueira Profa. Dra. Maria Ivete Basniak Profa. Natali Angela Felipe Prof. Dr. Rudinei Luiz Bogo

COMISSÃO CIENTÍFICA

Profa. Me. Élida Maiara Velozo de Castro Profa. Me. Emanueli Pereira Profa. Dra. Gabriele Granada Veleda (presidente)

REALIZAÇA O E APOIO

Colegiado de Matemática UNESPAR – Campus de União da Vitória Centro Acadêmicos de Matemática


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PROGRAMAÇA O

Segunda-Feira (27/08) – Auditório Unespar Campus de União da Vitória

Terça-feira (28/08) – Salas da Unespar Campus de União da Vitória

Sala 14

19h15min A MATEMATIZAÇÃO EM UMA ATIVIDADE DE MODELAGEM

MATEMÁTICA

KMITA, Daniel José

CASTRO, Élida Maiara Velozo

VERONEZ, Michele Regiane Dias

19h40min

O (DES)PREPARO DOS PROFESSORES PARA TRABALHAR

COM ALUNOS COM NECESSIDADES EDUCACIONAIS

ESPECIAIS

VOLINKEVICZ, Ana Lucia

Susan Lobas

TONET, Gilson

VELEDA, Gabriele Granada

20h05min

A MODELAGEM MATEMÁTICA NOS TCCS DO CURSO DE

MATEMÁTICA DA UNESPAR CAMPUS DE UNIÃO DA

VITÓRIA

KOWALEK, Maria Rosângela


20h30min INTERVALO – sala 15

20h55min POR QUE ARTICULAR ENSINO EXPLORATÓRIO DE

MATEMÁTICA E RPG? JAKIMIU, Matheus Gustavo

ESTEVAM, Everton José Goldoni

21h20min

OS JOGOS NOS TRABALHOS DE CONCLUSÃO DE CURSO DA

MATEMÁTICA DA UNESPAR CAMPUS DE UNIÃO DA

VITÓRIA

CALDART, Victor

FLORES, Caroline


21h45min

O CONJUNTO DOS NÚMEROS INTEIROS POSSUI MAIS

ELEMENTOS QUE O CONJUNTO DOS NATURAIS?: O QUE

DIZEM OS FUTUROS PROFESSORES DE MATEMÁTICA.

PASCOSKI, Jaqueline

PAULICHEN, Thiago


19h Credenciamento

19h30min Solenidade de Abertura

20h Apresentação Cultural

20h30min

Palestra de Abertura

MODELAGEM MATEMÁTICA E REALIDADE DO MUNDO CIBERNÉTICO: um enfoque nas

potencialidades do Big Data

Prof. Dr. Rodrigo Della Vecchia (UFRGS)


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Sala 16

19h15min UM ESTUDO SOBRE O INQUIRY NO ENSINO EXPLORATÓRIO

DE MATEMÁTICA LIMA, Lucas R. de

ESTEVAM, Everton J. G

19h40min

INVESTIGAÇÃO COM OS ALUNOS DO CURSO DE PEDAGOGIA

DA UNESPAR - CAMPUS DE UNIÃO DA VITÓRIA COM

RELAÇÃO AO ENSINO DA MATEMÁTICA

MASNIK, João Angelo da

Costa

FREYESLEBEN, Dayane

Aparecida

PINTO, Fernanda da Silva


20h05min

UMA ANÁLISE DAS DIFICULDADES E TENSÕES RELATADAS

POR PROFESSORES EM ATIVIDADES DE MODELAGEM

MATEMÁTICA

PINTO, Fernanda da Silva

PEREIRA, Emanueli


20h55min POLIEDROS E CONSTRUÇÕES DE REPRESENTAÇÕES DE

POLIEDROS: ORIGAMI LIMA, Lucas R. de

MARQUES, Isane M. W.

21h20min

MODELAGEM MATEMÁTICA NOS ANOS INICIAIS DO ENSINO

FUNDAMENTAL: UMA ANÁLISE DOS RELATOS DE

EXPERIÊNCIA

KOWALEK, Maria Rosângela

JOCOSKI, Juarês


21h45min CONTRIBUIÇÕES DO JOGO MANCALA PARA O ENSINO DE

MATEMÁTICA MARQUES, Isane M. W.

CASTRO, Élida M. V. de

Sala 17

19h15min

UM ESTUDO DOS CAMPOS CONCEITUAIS ADITIVOS E

MULTIPLICATIVOS COM CRIANÇAS NO SEXTO ANO: UMA

ATIVIDADE COM A MODELAGEM MATEMÁTICA

JOCOSKI, Juarês

GROSS, Giane Fernanda

Schneider

AGRANIONIH, Neila Tonin

19h40min

O USO DAS TECNOLOGIAS NO ENSINO DA MATEMÁTICA: UMA

ANÁLISE DOS TCC’S DE MATEMÁTICA DA UNESPAR CAMPUS

DE UNIÃO DA VITÓRIA – PR

BUENO, Adrieli

ZAVADZKI, Letícia


20h05min SISTEMAS POR SEIDEL: UM APLICATIVO PARA SISTEMAS

LINEARES FRANCO, Élcio


20h55min

CONTRIBUIÇÕES DA CONSTRUÇÃO DE ANIMAÇÕES NO

SOFTWARE GEOGEBRA PARA A

MOBILIZAÇÃO DO CONHECIMENTO MATEMÁTICO DE

ALUNOS COM AH/SD

BUENO, Adrieli

BASNIAK, Maria Ivete

21h20min A TECNOLOGIA DA IMPRESSÃO 3D NA CONSTRUÇÃO DO

MODELO DE UMA FORMIGA PARA O ENSINO DE CIÊNCIAS KOFTUN, Camila Maria

BASNIAK, Maria Ivete

21h45min ENSINO EXPLORATÓRIO DE ANÁLISE COMBINATÓRIA:

REFLEXÕES ASSOCIANDO TEORIA E PRÁTICA

ROSSA, Eduardo Pereira de

Oliveira

ESTEVAM, Everton José

Goldoni


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Quarta-feira e Quinta-Feira (29 e 30/08) – Salas da Unespar Campus de União da Vitória

Sexta-Feira (31/08) – Auditório da Unespar Campus de União da Vitória

19

h15

min

às

22

h15

min

Minicurso 1

Sala 14

PROCESSOS DO PENSAMENTO MATEMÁTICO AVANÇADO EM TAREFAS

ENVOLVENDO CONTEÚDOS DO ENSINO MÉDIO

Profa. Dra. Laís Cristina Viel Gereti (UFSC)

Minicurso 2

Sala 16

UMA INTRODUÇÃO À TEORIA DE CATÁSTROFES

Prof. Dr.. Jorge Luiz Deolindo Silva (UFSC)

Minicurso 3

Sala 17

ETNOMATEMÁTICA, EDUCAÇÃO E FORMAÇÃO DE PROFESSORES

Prof. Dr. Marcos Lübeck (Unioeste)

Intervalo (20:45 às 21:00) – sala 15

19h15min

Mesa de Diálogo

EDUCAÇÃO MATEMÁTICA INCLUSIVA

Profa. Drda. Valkíria de Novais Santiago (UNESPAR)

Profa. Andréa Adriana Alves Lourenço (Secretaria Estadual de Educação do Paraná)

21h Coquetel de confraternização

Quadra poliesportiva da Unespar Campus de União da Vitória


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PALESTRA DE ABERTURA

MODELAGEM MATEMÁTICA E REALIDADE DO MUNDO CIBERNÉTICO: UM

ENFOQUE NAS POTENCIALIDADES DO BIG DATA

Prof. Dr. Rodrigo Della Vecchia Universidade Federal do Rio Grande do Sul – UFRGS

O tratamento de dados provenientes da internet já está condicionando mudanças em áreas como

educação, saúde, marketing, administração, logística, entre outras. Nesse contexto, os desafios que surgirão

serão os relacionados à transformação desses dados em informações úteis. Esse grande volume de dados e

seu tratamento está atualmente sendo entendido como Big Data e está relacionado ao tratamento de bases

de dados muito grandes. Nesse contexto, a Educação Matemática, em particular a Modelagem Matemática,

pode assumir um papel fundamental, pois pode contribuir para potencializar um cenário de descobertas,

atuando tanto na construção de novas habilidades necessárias para enfrentar os desafios existentes, quanto

para formar professores que as entendam e saibam interagir com os alunos para construí-las.


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MINICURSOS

PROCESSOS DO PENSAMENTO MATEMÁTICO AVANÇADO EM TAREFAS

ENVOLVENDO CONTEÚDOS DO ENSINO MÉDIO

Profa. Dra. Laís Cristina Viel Gereti Universidade Federal de Santa Catarina – UFSC

Este minicurso tem como objetivos: apresentar aos participantes a teoria do Pensamento

Matemático Avançado, os processos cognitivos pertencentes a esse pensamento, bem como as fases da

aprendizagem segundo a perspectiva de Tommy Dreyfus; promover uma discussão a respeito de se conhecer

a teoria com o intuito de evidenciar a importância do papel do professor no processo de ensino e

aprendizagem; analisar, identificar e discutir as possíveis representações, suas mudanças e traduções

apresentadas pelos participantes nas resoluções das tarefas propostas. Para tanto, destina-se a professores

do Ensino Médio e estudantes do curso de Licenciatura em Matemática.

UMA INTRODUÇÃO À TEORIA DE CATÁSTROFES

Prof. Dr. Jorge Luiz Deolindo Silva Universidade Federal de Santa Catarina – UFSC

O que vem a ser denominado catástrofe? Catástrofe de modo genérico é a denominação pela

mudança brusca de padrão para um determinado evento. Do ponto de vista matemático, René Thom, francês

renomado criou um modo qualitativo para a matemática representar uma catástrofe. Neste minicurso,

apresentaremos essa maneira matemática de descrever uma catástrofe usando a Geometria e um exemplo

na flutuabilidade de um barco.

ETNOMATEMÁTICA, EDUCAÇÃO E FORMAÇÃO DE PROFESSORES

Prof. Dr. Marcos Lübeck Universidade Estadual do Oeste do Paraná

O objetivo principal deste minicurso é refletir sobre a Etnomatemática, relacionando-a com temas

como diferença e diversidade sociocultural, e seus procedimentos metodológicos que adentram os espaços

das matemáticas em distintas culturas, abordando os desafios educacionais modernos, as práticas

pedagógicas e a formação de professores de Matemática, levando em conta concepções, saberes e fazeres,

conhecimentos e linguagens, o currículo e a escola, contribuindo, portanto, com alternativas e ações dirigidas

à Educação Matemática.


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RESUMOS EXPANDIDOS

A MATEMATIZAÇÃO EM UMA ATIVIDADE DE MODELAGEM MATEMÁTICA1

KMITA, Daniel José2, CASTRO, Élida Maiara Velozo3, VERONEZ, Michele Regiane Dias4

PALAVRAS-CHAVE: Atividade de modelagem matemática. Matematização. Ações dos Alunos. PROBLEMÁTICA E JUSTIFICATIVA

Em atividades de modelagem matemática, o aluno tem oportunidade de modelar problemas relacionados ao seu cotidiano, selecionar variáveis que o auxiliarão na busca por uma solução para ele e utilizar ferramentas matemáticas que pré-dispõe para resolvê-lo. O uso de técnicas e procedimentos matemáticos que podem auxiliar na resolução do problema em estudo fica evidente na fase matematização; fase na qual o aluno representa matematicamente o problema e o resolve utilizando conhecimentos matemáticos já adquiridos ou construindo novos.

Como nosso objetivo é ilustrar as ações dos alunos relacionadas à fase matematização e discutirmos acerca do papel desta fase no desenvolvimento de uma atividade de modelagem matemática, trazemos o modo como um grupo de três alunos de um quarto ano do curso de Licenciatura em Matemática, na disciplina de Modelagem Matemática, desenvolveu a atividade intitulada por eles: Frete dos Correios. O problema reconhecido pelos alunos na atividade é o seguinte: Como é feito o cálculo do valor do frete pelos correios através do serviço SEDEX?

CONTEXTO INVESTIGADO E ASPECTOS METODOLÓGICOS

Nas palavras de Almeida, Silva e Vertuan (2013), atividades de modelagem matemática podem ser descritas em termos de transição de uma situação inicial (problemática) para uma situação final (solução para a problemática), que vem associada a uma representação ou modelo matemático. Nesta transição há mobilização de um conjunto de procedimentos por parte dos alunos, manifestos nos encaminhamentos que assumem enquanto investigam o problema que se propuseram estudar.

Associadas ao desenvolvimento de atividades de modelagem, na intenção de indicar caminhos aos alunos, estão algumas fases denominadas: inteiração, matematização, resolução e interpretação de resultados e validação (ALMEIDA; SILVA; VERTUAN, 2013). Neste estudo, entretanto, tratamos com maior atenção a fase matematização buscando analisar as ações dos alunos ao resolverem o problema reconhecido por eles e compreender como se comportam diante dos aspectos exigidos nessa fase, em que há a transcrição do problema em linguagem natural para um problema em linguagem matemática. Os dados analisados foram coletados na disciplina de Modelagem Matemática, em uma atividade desenvolvidas por alunos do 4º ano de Licenciatura em Matemática.

Nossa investigação segue pressupostos do estudo qualitativo, o qual, segundo Menga e André (1986), tem o ambiente natural como sua fonte direta de dados e o pesquisador como seu principal instrumento, os dados coletados são predominantemente descritivos, o interesse do pesquisador ao estudar um determinado problema é verificar como ele se manifesta nas atividades, nos procedimentos e nas interações cotidianas. Os dados utilizados em nossa análise foram coletados no trabalho escrito dos alunos, que posterior à apresentação da atividade de modelagem para a turma, foi entregue uma versão impressa. A análise corresponde a resultados parciais discutidos e refletidos no contexto de um projeto de iniciação científica que ainda se encontra em desenvolvimento.

RESULTADOS E DISCUSSÃO

A atividade de modelagem matemática com o tema “Frete dos Correios” teve origem na seguinte situação: ao enviar uma mercadoria pelos correios com as dimensões 50x40x25cm e com massa de 3kg o preço estipulado é de R$ 24,00, porém ao enviar duas dessas mercadorias embaladas juntas, obtendo uma única caixa com as dimensões 50x40x50cm e 6kg o preço estipulado é de R$ 67,30; sendo este valor diferente do esperado, R$ 48,00. A partir dessa inquietação, os alunos manifestaram interesse em saber como é

1Projeto de Iniciação Científica. 2Acadêmico, Unespar, [email protected]. 3Mestre, Unespar, [email protected]. 4 Doutora, Unespar, [email protected]


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realizado o cálculo do frete dos correios, com o seguinte problema: como é feito o cálculo do valor do frete pelos correios através do serviço SEDEX?

Uma situação da realidade, vivenciada por um dos alunos do grupo, levou ao reconhecimento do problema e, a estruturação da pergunta matemática nos leva a perceber que a matematização está presente já no momento inicial da atividade. É a partir desse reconhecimento e dessa estruturação que para além de saber que o preço não seguia um padrão, como esperado, os alunos se propuseram a investigar como e porque isso acontecia. Assim, é o problema que impulsiona o desenvolvimento da atividade.

Com o problema estruturado emerge a necessidade de busca por dados e informações no site dos Correios, visto que este disponibiliza um simulador de valor de frete. Nesse simulador, ao inserir as dimensões da embalagem e medida de massa da mercadoria, juntamente com os CEP, de origem e de entrega, os alunos conseguiram obter o valor do frete correspondente. A possibilidade de realizar várias simulações de envio de mercadorias, com CEP de origem sendo União da Vitória (84600-000) e destino sendo Curitiba (80020-000), os valores de dimensões e massas foram atribuídos arbitrariamente, o que pode ter viabilizado a percepção de que os dados obtidos não apresentam uma regularidade e tal informação poderia ser útil na resolução do problema.

Essa fase da atividade, embora seja característico da inteiração, pois os alunos buscam por informações relativas ao tema, ao delimitar os CEP de origem e destino, bem como atribuir valores de dimensões e massa, compreendemos que houve, por parte dos alunos a seleção de variáveis, o que nos remete a aspectos da fase matematização. Também referente a essa fase, notamos o fato de perceberem que os dados obtidos não seguem uma regularidade. Podemos entender que foi uma hipótese levantada por eles na busca por resolver o problema. Neste caso, a fase matematização tem o papel de levar os envolvidos a deliberar sobre o que, dos dados que possuíam, poderiam contribuir na resolução do problema e tomar decisões objetivas olhando para tais dados.

A partir dessa constatação os alunos passaram a buscar outras informações. Encontraram o site da IATA (The International Air Transport Association), que regulamenta o envio de mercadoria pelo tráfego aéreo, e que por convenção dessa instituição cada 1kg deve possuir no máximo 6000cm³. Para utilizar essa relação é feito o cálculo do peso cubado, cubagem, ou como é conhecido popularmente, peso taxado, esse cálculo se dá através da divisão do volume pelo fator de cubagem, nesse caso 6000cm³, logo Cubagem=Volume/6000.

Para utilizar o peso cúbico existem outras condições encontradas no site dos correios: a) Se o peso cúbico for menor que 10 considera-se o peso real do produto (kg). b) Se o peso cúbico for maior que 10 considera-se o maior valor entre o peso cúbico e o peso real.

Ainda na busca por informações complementares sobre o assunto problematizado, ou seja, inteirando-se do assunto, a identificação de dados matemáticos necessários para a resolução do problema, e a interpretação das informações matemáticas obtidas com base em elementos da realidade, evidencia como a matematização aconteceu.

De posse dessas novas informações, os alunos estabelecem uma relação entre o peso cúbico do objeto ou a massa (o que estiver de acordo com as condições) e o valor do frete dos correios. Novas simulações de envio de mercadorias foram realizadas pelos alunos que construíram uma tabela considerando para Massa do Produto/Peso Cúbico (kg) ou (cm³/6000) valores de 1 a 50, para ilustrar e simplificar sua investigação.

A partir dos resultados obtidos observaram que os dados possuíam duas regularidades: até 10 kg ou cm³/6000 apresentavam um comportamento e a partir disso, até 50 kg ou cm³/6000 apresentavam outro comportamento. Em sequência utilizaram o software Excel para gerar as funções e os gráficos.

Essa nova simplificação e a opção por utilizar as ferramentas matemáticas de cálculo de valores de fretes dos correios, também sinalizam aspectos relativos à fase matematização. Assim, a atitude dos alunos a partir da matematização possibilitou a fase resolução, quando realizaram os cálculos necessários para se chegar a resultados matemáticos, conforme expressos na sequência. Disso entendemos que a fase matematização pode ter desencadeado um primeiro elemento para que a fase resolução fosse possível.

A primeira função encontrada foi y = 0,0189x² + 2,0086x + 17,963; em que R² = 0,9999, para pesos de 0,3 a 10 kg. E a segunda que descrevia os dados de 10 kg ou cm³/6000 até 50 kg ou cm³/6000 foi y = 3,9x + 1 para R² = 1.

Dessa forma, conseguiram modelar uma função por partes que descreve como é calculado o frete dos correios. O gráfico obtido encontra-se ilustrado na Figura 1.


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Figura 1 - Função por partes: representação gráfica do modelo encontrado pelos alunos.

Fonte: Relatório dos alunos. A lei de formação da função encontrada é a seguinte: f(x)={0,0189x²+2,0086x+17,963, se 0,3≤ x ≤ 10}; {3,9x+1, se 10≤ x ≤ 50} A resolução encontrada pelos alunos em forma gráfica e na algébrica, pode ser consequência da

fase resolução, a qual permitiu-os, com o auxílio de ferramentas computacionais, chegar a um modelo matemático que descreve uma solução para o problema inicialmente posto. Reconhecemos ainda que a matematização, neste caso, está na opção pelos conhecimentos matemáticos que podem encontrar-se implícitos em situações do cotidiano.

Após encontrada a função utilizando o software, os alunos decidiram resolver o problema sem o auxílio tecnológico, ou seja, realizando os cálculos, para isso utilizaram-se do método dos mínimos quadrados que consiste em obter o melhor ajuste para um conjunto de dados tentando minimizar a soma dos quadrados das diferenças entre o valor estimado e os dados observados. Isso permitiu aos alunos modelar uma função por partes que descreve o frete dos correios através do serviço SEDEX.

O reconhecimento de outras alternativas ou meios matemáticos para resolver o mesmo problema, ou seja, a constatação de que outra forma matemática de se resolver seria possível, denota novamente aspectos da fase matematização. Tal fase parece estar aliada à fase interpretação dos resultados e validação, que neste caso possibilitou aos alunos a partir de dois encaminhamentos matemáticos distintos, chegar ao mesmo resultado obtido anteriormente, considerado válido e satisfatório para responder ao problema.

CONSIDERAÇÕES FINAIS

Tivemos por objetivo discutir acerca de aspectos referentes à fase matematização em uma atividade de modelagem matemática desenvolvida por alunos do 4º ano de um curso de Licenciatura, assim, buscamos ilustrar ações dos alunos relacionadas à essa fase.

Nesse sentido, da descrição e interpretação das atividades desenvolvidas pelos alunos é possível considerar que a fase matematização se faz presente ao longo de toda a atividade, pois os alunos necessitam constantemente reconhecer as informações referentes à situação problema e realizar a transição da linguagem em que se encontram e que faz menção a realidade para a linguagem matemática.

A opção dos alunos por determinadas variáveis, simplificações, hipóteses e ferramentais matemáticos para a resolução do problema, bem como a forma que o problema é estruturado e transcrito em linguagem matemática, podem ser determinantes no encaminhamento da atividade bem como na solução obtida. Desse modo, como tais aspectos parecem associados à fase matematização, ponderamos que ela é decisiva em uma atividade de modelagem matemática.

Nosso estudo permite considerar, também, que as fases da modelagem são interdependentes, não podem ser compreendidas ou realizadas de forma isolada. Aspectos da fase matematização, por exemplo, puderam ser vistos associados à todas as outras fases relativas à atividade de modelagem desenvolvida.


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Para além, notamos que os conceitos matemáticos construídos e/ou utilizados pelos alunos passam a ter significado à medida que ele interpreta, reflete e resolve problemas que lhes são de seu interesse, que fazem parte do seu dia a dia ou que conseguem perceber relações com conhecimentos de outras áreas.

Outros encaminhamentos podem levarao estudo de novos problemas e assim, a atividade de modelagem matemática pode assumir outro desenvolvimento.

REFERÊNCIAS ALMEIDA, L. W. de; SILVA, K. P. da; VERTUAN, R. E. Modelagem Matemática na Educação Básica. 1. ed. 1ª reimpressão. SP: Contexto, 2013. MENGA, L.; ANDRÉ, M. E. D. A. Pesquisa em educação: abordagens qualitativas. São Paulo: EPU, v. 986, p. 99, 1986.

A MODELAGEM MATEMÁTICA NOS RELATOS DE EXPERIÊNCIA COM OS ANOS

INICIAIS DO ENSINO FUNDAMENTAL1

KOWALEK, Maria Rosângela2, JOCOSKI, Juarês3, VELEDA, Gabriele Granada4

PALAVRAS-CHAVE: Modelagem Matemática. Anos Iniciais. Relatos de experiência. PROBLEMÁTICA E JUSTIFICATIVA

A literatura da área de Modelagem Matemática na Educação Matemática indica o uso dessa metodologia de ensino em todos os níveis de ensino. Entretanto, Silva e Klüber (2014) apontam que pesquisas que focam a prática com a Modelagem Matemática nos Anos Iniciais do Ensino Fundamental ainda são incipientes.

Alguns pesquisadores da área apresentam diferentes compreensões de Modelagem Matemática na Educação Matemática, o que implica em diferentes formas de organizar e de conduzir as atividades de modelagem em sala de aula como, por exemplo, as apresentadas por Barbosa (2003), Burak (2010), e Almeida, Silva e Vertuan (2012).

Considerando essas diferentes formas de compreender, organizar e conduzir as atividades de modelagem matemática, neste trabalho apresentamos os resultados de uma investigação realizada no âmbito do Grupo de Estudos Teóricos e Investigativos em Educação Matemática (GETIEM) – Linha de Pesquisa Modelagem Matemática na e para a Educação Matemática que teve como foco analisar os aspectos sobre Modelagem Matemática adotados pelos autores de relatos de experiência com os Anos Inicias apresentados em eventos renomados nacionalmente.


A pesquisa realizada se caracteriza como bibliográfica (GIL, 2008), que tem como fonte os Anais de eventos científicos disponibilizados na internet ou em CDs organizados pela comissão do evento.

Os eventos escolhidos são entendidos pela comunidade como de grande expressão no cenário brasileiro e contribuem significativamente na ampliação e divulgação de pesquisas e discussões sobre Modelagem Matemática na Educação Matemática. São eles: Encontro Nacional de Educação Matemática (ENEM), Conferência Nacional de Modelagem na Educação Matemática (CNMEM) e Encontro Paranaense de Modelagem na Educação Matemática (EPMEM). Escolhemos como recorte cronológico os eventos ocorridos entres 2008 e 2017.

Como cada evento possui uma organização própria, a triagem do material foi realizada de forma distinta em cada um deles. No caso da CNMEM e do EPMEM, que são eventos específicos de Modelagem Matemática, ou seja, todos os trabalhos abordam essa metodologia de ensino, a primeira triagem consistiu em selecionar os trabalhos que apresentam as seguintes palavras no corpo do texto: Anos Iniciais, Séries

1Trabalho realizado no Grupo de Estudos Teóricos e Investigativos em Educação Matemática (GETIEM) da UNESPAR campus de União da Vitória. 2Acadêmica do curso de Licenciatura em Matemática, UNESPAR, União da Vitória, Paraná, [email protected] 3Mestrando do Programa de Pós-Graduação em Ensino de Ciências e em Matemática – PPGECM – UFPR (Mestrado acadêmico). 4Doutora em Educação e Professora do curso de Licenciatura em Matemática, UNESPAR, União da Vitória, Paraná, [email protected].


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Iniciais, Ciclo de Alfabetização, Ensino Fundamental I. Seguindo esse procedimento, nos CDs dos Anais da VI, VII, VIII, IX e X CNMEM, foram encontrados 41 (quarenta e um) trabalhos. Já nos CDs dos Anais das edições III, IV, V, VI e VII do EPMEM, foram encontrados 28 (vinte e oito) trabalhos. Dentre esses, foi realizada uma segunda triagem, que consistiu em verificar quais abordam a Modelagem Matemática em sala de aula. Disso, temos que compõem o corpus de análise da nossa pesquisa 5 (cinco) trabalhos da CNMEM e 4 (quatro) trabalhos do EPMEM. Na busca pelos trabalhos do ENEM, encontramos no site da SBEM os Anais das edições X, XI, XII. Nestes Anais, foi feita uma seleção a partir da palavra-chave Modelagem Matemática. Nos trabalhos encontrados foi feita uma segunda triagem, buscando pelas seguintes palavras-chaves: Anos Iniciais, Séries Iniciais, Ciclo de Alfabetização, Ensino Fundamental I. Desse procedimento, selecionamos 27 (vinte e sete) trabalhos. Após uma leitura cuidadosa, identificamos que apenas 3 (três) traziam atividades de modelagem nos Anos Iniciais, de modo que esses foram selecionados para análise.

A partir desses procedimentos de seleção, o corpus de análise da pesquisa é constituído de 5 (cinco) relatos de experiência (Quadro1), identificados pela sigla RE, seguidos da numeração sequencial de 01 a 05.

Quadro 1 – Corpus da pesquisa

Código Título do trabalho Evento

RE-01 Descobrindo o número do calçado à luz da Modelagem Matemática

nos anos iniciais do ensino fundamental VI EPMEM

RE-02 Modelagem Matemática nos primeiros anos do ensino fundamental VI EPMEM

RE-03 Diálogos com/na Modelagem Matemática nas séries iniciais VI CNMEM

RE-04 A Modelagem na construção dos conceitos matemáticos através da

cultura do milho na cidade de Catingueira-PB XI ENEM

RE-05 Modelagem Matemática nos anos iniciais do ensino fundamental:

explorando o tamanho do pé XII ENEM

Fonte: Os autores. Estes trabalhos foram lidos na intenção de analisar o referencial teórico de Modelagem Matemática, a compreensão de Modelagem Matemática e o como conduzir uma atividade de modelagem em sala de aula.


O referencial teórico de Modelagem Matemática adotado no RE-01 é Almeida, Silva e Vertuan (2012). Nesse trabalho a Modelagem Matemática é compreendida como uma alternativa pedagógica, a qual busca um “[...] meio para a obtenção de modelos matemáticos para descrever, explicar ou predizer aspectos associados a uma determinada situação [...]” (ALMEIDA; SILVA; VERTUAN, 2012, apud BUTCKE; CARVALHO; TORTOLA, 2014, p. 2). Na perspectiva do referencial adotado, a Modelagem Matemática acontece, em sala de aula, em quatro fases: inteiração; matematização; resolução; interpretação de resultados e validação.

O RE-02 aponta que “[a] Modelagem aplicada ao ensino pode ser um caminho para despertar maior interesse, ampliar o conhecimento do aluno e auxiliar na estruturação de sua maneira de pensar e agir” (MUNDIM; OLIVEIRA, 2014, p. 8). Com relação ao uso da Modelagem Matemática na sala de aula, seguindo o referencial de Bassanezi (2009), os autores colocam que a atividade “[...] deve apresentar uma situação-problema real e, ao ser desenvolvida, deve seguir uma sequência de seis etapas, que descrevem a situação até o final, essas etapas são: Experimentação; Abstração; Resolução; Validação; Modificação e Aplicação” (BASSANEZI; 2009 apud MUNDIM; OLIVEIRA, 2014, p. 12).

Nos RE-03 e RE-05, a Modelagem é compreendida como uma metodologia de ensino, “[...] conhecida como um conjunto de procedimentos cujo objetivo é construir um paralelo para tentar explicar matematicamente, os fenômenos presentes no cotidiano do ser humano, ajudando-o a fazer predições e tomar decisões” (BURAK; 2004 apud DENTE; REHFELDT, QUARTIERI, 2016, p. 3). A condução das atividades de modelagem matemática na sala de aula, conforme o referencial teórico apresentado nesses textos, segue cinco etapas: escolha do tema; pesquisa exploratória; levantamento do(s) problema(s) ou situações problema; resolução do(s) problema(s) e desenvolvimento dos conteúdos matemáticos no contexto do tema; análise crítica das soluções.

Verificamos que os autores do RE-04 não apresentam referencial de Modelagem Matemática. Eles definem que “[a] modelagem pode ser considerada um processo artístico, porém o modelador precisa ter intuição e criatividade para interpretar o contexto, saber distinguir qual conteúdo matemático é o mais apropriado e saber jogar com as variáveis envolvidas” (OLIVEIRA; SOARES, 2013, p. 2).

O quadro a seguir ilustra os referenciais adotados, a compreensão de Modelagem Matemática e as etapas de desenvolvimento da Modelagem apresentadas nos textos.


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Quadro 2 – Aspectos sobre a Modelagem Matemática adotado pelo autor do trabalho

Trabalho Referencial adotado

Compreensão de Modelagem Matemática

Etapas de desenvolvimento da Modelagem Matemática

RE-01 Almeida, Silva e Vertuan (2012)

Alternativa pedagógica Inteiração; Matematização; Resolução; Interpretação de resultados e Validação

RE- 02 Bassanezi (2009)

Método de aplicação da Matemática

Experimentação; Abstração; Resolução; Validação; Modificação; Aplicação

RE-03 RE-05

Burak (2004) Metodologia de ensino Escolha do tema; Pesquisa exploratória; Levantamento do(s) problema(s) ou situações problema; Resolução do(s) problema(s) e desenvolvimento dos conteúdos matemáticos no contexto do tema; Análise crítica das soluções

RE-04 Não apresenta Processo artístico Não apresenta

Fonte: Os autores.

Ao analisarmos as experiências relatadas com os Anos Iniciais, identificamos quatro maneiras diferentes de conceber a Modelagem Matemática: uma alternativa pedagógica, um método de aplicação da Matemática, uma metodologia de ensino e um processo artístico. Essas diferentes concepções de Modelagem Matemática encontradas, exceto a última, estão ancoradas em pesquisadores reconhecidos e renomados da área. A existência de múltiplas compreensões acerca da Modelagem Matemática está atrelada a como seus propositores compreendem o ensino e a aprendizagem da Matemática, bem como sua concepção de Educação (KLÜBER; BURAK, 2008). Nesse sentido, acreditamos que os autores dos textos analisados optam por seguir uma ou outra concepção de Modelagem Matemática tomando como base os estudos realizados sobre a temática, seja como professor ou como pesquisador.

Ressaltamos que, assim como são diferentes as formas de conceber a Modelagem Matemática na Educação Matemática, também são diferentes a forma de conduzir e organizar uma atividade de modelagem em sala de aula. Em nossa análise verificamos que os autores dos trabalhos conduziram as atividades de modelagem conforme a sugestão do referencial teórico adotado, seguindo as etapas sugeridas.

Embora os autores tomados como referencial teórico sejam renomados e reconhecidos, nossa análise nos permite verificar que alguns trabalhos trazem uma visão reducionista da Modelagem, isto é, a percebem como uma metodologia adequada apenas para alguns momentos específicos, como datas comemorativas ou projetos temáticos desenvolvidos pela escola. Também há trabalhos que transparecem compreender a Modelagem como uma metodologia de resolução de problemas acrescida de um modelo matemático que permite certa generalização.


Entendemos que nossos resultados, se somam a outras pesquisas já realizadas, apontando a carência de experiências com Modelagem Matemática nos Anos Iniciais do Ensino Fundamental, momento escolar que os estudantes têm os primeiros contatos com os conceitos matemáticos.

Nossas análises indicam, também, que alguns professores, mesmo se apoiando em referencias teóricos renomados na área, entendem que a Modelagem Matemática deve acontecer atrelada a projetos e atividades temáticas, o que revela a uma compreensão simplista acerca da Modelagem Matemática para o ensino.

Visando ampliar e fomentar as discussões sobre o uso da Modelagem Matemática nos Anos Iniciais do Ensino Fundamental, daremos sequência na pesquisa buscando outros trabalhos que tratam da Modelagem Matemática nesse nível de ensino e ampliando os itens a serem analisados.

REFERÊNCIAS ALMEIDA, L. M. W. de; SILVA, K. P.; VERTUAN, R. E.; Modelagem Matemática na educação básica. São Paulo: Contexto, 157 p., 2012. BARBOSA, J. C. Modelagem Matemática na sala de aula. Perspectiva. Erechim, v. 27, n. 98, p. 65-74, 2003.


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BURAK, D. Modelagem Matemática sob um olhar de Educação Matemática e suas implicações para a construção do conhecimento matemático em sala de aula. Revista de Modelagem em Educação Matemática. v.1, n. 1, p. 47-60, 2010. BUTCKE, D. A. P. CARVALHO, M. E. R. F. TORTOLA, E. Descobrindo o Número do Calçado a Luz da Modelagem Matemática nos Anos Iniciais do Ensino Fundamental. ENCONTRO PARANAENSE DE MODELAGEM EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA, 6., 2014, Curitiba. Anais… Paraná: UTFPR, 2014. p. 1-15. DENTE, E. C. REHFERDT, M. J. H. QUARTIERI, M. T. Modelagem Matemática nos Anos Iniciais do Ensino Fundamental: Explorando o Tamanho do Pé. ln. ENCONTRO NACIONAL DE EDUCAÇÃO MATEMÁTICA, 12., 2016, São Paulo. Anais… Rio Grande do Sul: UNIVATES, 2016. p. 1-9. DIAS, J. L. CHAVES, M. I. A. Diálogos com/na Modelagem Matemática nas Séries Iniciais. ln. CONFERÊNCIA NACIONAL SOBRE MODELAGEM NA EDUCAÇÃO MATEMÁTICA, 6., 2009, Londrina. Anais... Pará: UFPA, 2009. p. 1- 17. GIL, A. C. Como elaborar projetos de pesquisa. São Paulo, Editora: Atlas, 2008. KLÜBER, T. E., BURAK, D. Concepções de modelagem matemática: contribuições teóricas. Educação Matemática Pesquisa, São Paulo, v. 10, n. 1, pp. 17-34, 2008. MUNDIM, J. S. M; OLIVEIRA, G. S. Modelagem Matemática nos Primeiros Anos do Ensino Fundamental. ln. ENCONTRO PARANAENSE DE MODELAGEM EM EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA, 6., 2014, Curitiba. Anais… Minas Gerais: UFU, 2014. p.1-20. OLIVEIRA, V. A. B. SOARES, F. L. A Modelagem na Construção dos Conceitos Matemáticos Através da Cultura do Milho na Cidade de Catingueira-Pb. ENCONTRO NACIONAL DE EDUCAÇÃO MATEMÁTICA, 11., 2013, Curitiba. Anais... Paraíba: UEPB, 2013.p. 1-10.

A MODELAGEM MATEMÁTICA NOS TCCs DO CURSO DE MATEMÁTICA DA

UNESPAR CAMPUS DE UNIÃO DA VITÓRIA1

KOWALEK, Maria Rosângela2, VELEDA, Gabriele Granada3 PALAVRAS-CHAVE: Modelagem Matemática. TCCs. Pesquisa Bibliográfica. PROBLEMÁTICA E JUSTIFICATIVA

Diante das diferentes metodologias para o ensino de Matemática, temos a Modelagem Matemática, caracterizada como uma metodologia que “[...] tem como pressuposto a problematização de situações do cotidiano. Ao mesmo tempo em que propõe a valorização do aluno no contexto social, procura levantar problemas que sugerem questionamentos sobre situações de vida” (PARANÁ; 2008, p.64). Ou seja, a Modelagem permite que problemas reais sejam explorados por meio de conceitos matemáticos, sendo a Matemática uma ferramenta para leitura e interpretação da realidade.

Embora a Modelagem proporcione uma aproximação entre a realidade e os conteúdos escolares, muitos professores não utilizam essa metodologia por não terem durante a sua formação inicial a oportunidade de conhecê-la, seja em disciplina específica ou em disciplinas pedagógicas. Talvez isso esteja relacionado ao fato de que os cursos de Licenciatura em Matemática ainda estão, de maneira geral, pautados na dissociação entre os conhecimentos matemáticos e os pedagógicos (ALMEIDA, 2011).

Mesmo nos cursos de formação inicial que não tem a disciplina de Modelagem, é possível estudar sobre essa metodologia de ensino em outras ocasiões durante o curso, por exemplo, no trabalho de conclusão (TCC).

Na Unespar campus de União da Vitória, o TCC é uma oportunidade para o aluno desenvolver uma pesquisa sobre assunto de interesse para contribuir para sua futura atividade profissional (UNESPAR, 2013). Assim, no referido curso, o TCC é a ocasião para os estudantes aprofundarem seus conhecimentos acerca da Matemática e do seu ensino e, mesmo o curso tendo em sua grade curricular a disciplina de Modelagem Matemática na perspectiva da Educação Matemática, o TCC também pode versar sobre Modelagem

1Pesquisa realizada no âmbito da disciplina de Iniciação a pesquisa cientifica do curso de licenciatura em matemática da

Universidade Estadual do Paraná-Campus de União da Vitória- PR 2Acadêmica do curso de Licenciatura em Matemática, UNESPAR, União da Vitória, Paraná,

[email protected] 3Doutora em Educação e Professora do curso de Licenciatura em Matemática, UNESPAR, União da Vitória, Paraná,

[email protected]


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Matemática. Assim, buscamos neste estudo investigar como a Modelagem Matemática é abordada nos TCCs já defendidos nesse curso.

Nosso trabalho é inspirado em trabalhos como o de Tambarussi e Klüber (2013), que buscam compreender, sob o enfoque da Educação Matemática, que focos se mostram nas pesquisas de Modelagem Matemática desenvolvidas em dissertações e teses, a partir dos seus resumos; o de Martens e Klüber (2016), que investigam quais são os objetivos dos trabalhos e o que dizem os resultados das dissertações e teses em Modelagem Matemática nos anos iniciais do ensino fundamental; e de Honorato e Malheiros (2015), que investigam sobre Modelagem a partir de trabalhos selecionados nos anais das VII e VIII Conferência Nacional sobre Modelagem na Educação Matemática, na perspectiva da formação inicial de professores de Matemática. CONTEXTO INVESTIGADO E ASPECTOS METODOLÓGICOS

O presente estudo trata-se de uma revisão bibliográfica, na qual buscamos fazer um levantamento e uma análise do que se tem produzido de Modelagem Matemática nos TCCs do curso de Matemática da Unespar campus de União da Vitória. Segundo Gil (2008), após definido o problema de pesquisa, uma revisão bibliográfica passa por diferentes etapas: a identificação das fontes, a obtenção das fontes, a leitura criteriosa do material e a análise.

Para identificar as fontes foi utilizado o site do curso de Matemática da Unespar campus de União da Vitória. Lá encontram-se os 63 TCCs defendidos entre os anos de 2011 e 2016. Para obter as fontes, foi feita uma busca pela palavra modelagem nos títulos, sendo encontrado 11 trabalhos. Na sequência foi realizada uma leitura criteriosa buscando observar as características dos trabalhos, o objetivo, os conteúdos abordados, a temática da atividade e o nível de ensino ao qual a atividade se destina. A análise é apresentada na continuidade. RESULTADOS E DISCUSSÃO

A partir da leitura dos 11 Trabalhos de Conclusão de Curso selecionados, pudemos organizá-los em dois grandes grupos: trabalhos teóricos, que são os trabalhos que buscam analisar, sob algum aspecto, as produções que tratam da Modelagem Matemática, e os trabalhos práticos, aqueles que trazem atividades de modelagem como propostas para o ensino de algum conteúdo matemático.

No primeiro grupo, apenas um trabalho: Komonka (2016). Nesse TCC a autora busca investigar porque a Modelagem Matemática não se faz presente nas aulas de Matemática da Educação Básica, embora faça parte de cursos de licenciatura em Matemática e de cursos de formação continuada de professores. Para responder à questão de investigação foi feita uma busca em teses e dissertações defendidas de 1999 a 2015.

No segundo grupo, temos 10 trabalhos, que foram organizados conforme o propósito da pesquisa. Nessa organização, os trabalhos foram organizados em 2 subgrupos. No primeiro, temos os trabalhos que trazem uma proposta de ensino. Considerando essas propostas, pudemos dividir os TCCs desse subgrupo nos que tratam de conteúdos do Ensino Médio e os que tratam de conteúdos do Ensino Superior. Trazem propostas de ensino para o Ensino Médio o trabalho de Araújo (2011), que apresentou uma atividade envolvendo hábitos alimentares, com a qual propôs trabalhar matrizes e sistemas lineares; Fiduniv (2011), que buscou trabalhar o conteúdo de função quadrática com uma atividade de modelagem envolvendo a Estação Ferroviária União; Kazmierczak (2011), que apresenta uma proposta para trabalhar matemática financeira através da simulação de um financiamento; Rodrigues (2012), que propôs uma atividade de modelagem com o tema concentração de álcool no sangue de uma pessoa com o passar das horas, com a finalidade de trabalhar o conteúdo de função exponencial; Ribicki (2013), que apresentou uma proposta de ensino de função afim através do tema fervura do leite. Já o trabalho de Rengel (2012) apresenta uma proposta de ensino para o Ensino Superior que busca, através da Modelagem, abordando o tema a incidência do vírus HIV no Brasil, trabalhando com o método dos Quadrados Mínimo

Compõem o segundo subgrupo dos trabalhos práticos aqueles que trazem uma atividade de modelagem conduzida pelo autor do TCC. Essas práticas aconteceram nos diferentes níveis de ensino. As práticas no Ensino Superior foram realizadas por Souza (2011), que realizou uma atividade de modelagem na disciplina de Física Geral e Experimental no 3º ano do curso de Licenciatura em Matemática com a temática Trabalho de Força, buscando observar os diferentes Registros de Representação Semiótica utilizados pelos alunos durante o desenvolvimento da atividade; e por Soares (2015), que analisou os jogos de linguagem ocorridos durante o desenvolvimento de 3 atividades de modelagem conduzidas pela professora na disciplina de Introdução à Modelagem Matemática do 4º ano do curso de Licenciatura em Matemática. A prática no Ensino Médio foi abordada por Carneiro (2015), que apresentou um relato de sua experiência ao trabalhar com o 3º ano do Ensino Médio a proposta de ensino apresentada por Ribicki (2013). Schipanski (2016), relata os envolvimentos e ações de um aluno autista de uma turma de 5º ano em uma atividade de modelagem


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matemática cujo tema foi o valor financeiro do que consumimos, portanto, esse trabalho apresenta uma prática nos Anos Iniciais do Ensino Fundamental. Uma síntese dessa análise é apresentada na figura a seguir: Figura 1 - Levantamento dos TCCs em Modelagem Matemática

Fonte: Os autores

Diante da análise realizada, observamos um grande número de TCCs classificados como práticos, os quais apresentam uma proposta de ensino que visa o trabalho com algum conteúdo matemático. Observamos que essas propostas são dirigidas a alguns níveis de ensino: Anos Iniciais, Ensino Médio e Ensino Superior, porém não há trabalhos abordados no nível do Ensino Fundamental II (6º ao 9º ano).

Ao verificarmos as temáticas das atividades dos TCCs classificados como práticos, encontramos que em cada um deles o tema do qual parte a atividade de modelagem não se repete e está relacionado com questões reais e pertinentes ao cotidiano dos alunos. Fiduniv (2011), por exemplo, propõe uma atividade pautada na estação ferroviária da cidade. Já com relação aos conteúdos matemáticos mobilizados durante as atividades, verificamos que os conceitos relacionados ao conteúdo função é o mais utilizado.

A literatura da Modelagem Matemática na Educação Matemática evidencia as interações da Matemática com as demais áreas de conhecimento e com a realidade, possibilitando aos estudantes utilizarem os conceitos matemáticos como uma ferramenta para compreensão de situações relacionadas a realidade. E isso é refletido nos TCCs analisados, que abordam diferentes temáticas que, de algum modo, trazem aspectos da realidade. No entanto, a relação com outra área de conhecimento, que também é uma possibilidade quando se trabalha com a Modelagem, é abordada em apenas um trabalho, que traz a Modelagem para o ensino da Física. CONSIDERAÇÕES FINAIS

Pesquisas bibliográficas visam uma revisão ordenada de trabalhos já pulicados no sentido de inventariar e sistematizar as produções de determinada área. No estudo desenvolvido, analisamos as produções de TCCs do curso de Licenciatura em Matemática da Unespar campus de União da Vitória que versam sobre Modelagem Matemática. Nossas análises indicam tanto o que já foi produzido, bem como o que ainda não foi abordado nos TCCs. Assim, destacamos a inexistências de trabalhos que tragam atividades e/ou experiências de modelagem no Ensino de Jovens e Adultos (EJA), no Ensino Técnico e Ensino Fundamental - Anos Finais.

Também verificamos o inexpressivo número de trabalhos teóricos. Sobre os trabalhos que relatam e analisam a prática com a Modelagem Matemática, verificamos que

eles foram realizados fora das atividades curriculares obrigatórias. Nesse sentindo, entendemos que novos trabalhos poderiam abordar a prática durante o estágio de regência, que é uma atividade obrigatória na licenciatura, e poderia ser fonte de análise. A partir das considerações apontadas neste trabalho, indicamos quais focos de pesquisa foram pouco explorados nos TCCs do curso, indicando, assim, possibilidades de pesquisas no campo da Modelagem Matemática. REFERÊNCIAS ALMEIDA, L. Modelagem em Educação Matemática. Rio de Janeiro: Autentica,2011. ARAUJO, A. L. L. A Modelagem Matemática Contemplando o Ensino de Matrizes e Sistemas Lineares. União da Vitória: FAFIUV, 2012.


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CARNEIRO, J. Um Relato de Experiência Envolvendo Modelagem Matemática. União da Vitória: UNESPAR, 2015. FIDUNIV, K. L. Aplicando Modelagem Matemática na Estação Ferroviária União com Abordagem em Funções de Segundo Grau para o Ensino Médio. União da Vitória: FAFIUV, 2011. GIL, A. C. Métodos e Técnicas de Pesquisa Social. São Paulo: Atlas, 2008. HONORATO, A. H. A.; MALHEIROS, A.P.S. Modelagem Na Formação Inicial de Professores de Matemática: Um Olhar Para os Trabalhos das Vii e Viii Cnmems. ln: Conferência Nacional sobre Modelagem na Educação Matemática, 9., 2015, São Paulo. Anais... Rio Claro: UNESP, 2015. p. 1-13. KAZMIERCZAK, L. Modelagem Matemática como Estratégia de Ensino para a Matemática Financeira. União da Vitória: FAFIUV,2011. KOMONKA, M. A. O que Revelam as Pesquisas sobre Modelagem Matemática e Formação de Professores. União da Vitória: UNESPAR, 2016. MARTENS, A.S.; KLÜBER, T. E. Uma Revisão Sobre Modelagem Matemática nos Anos Iniciais do Ensino MAYER, J. F. C. A.; CALDEIRA, A. D.; MALHEIROS, A. P. S.; ALMEIDA, L. Modelagem em Educação Matemática. Belo Horizonte: autêntica, 2011. Fundamental. ln. Encontro Nacional de Educação Matemática, 12., 2016, São Paulo. Anais... Cascavel: UNIOESTE, 2016. p. 1-12. PARANÁ. Secretaria de Estado da Educação. Diretrizes Curriculares da Educação Básica. Curitiba: SEED, 2008. RENGEL, D. Proposta de Ensino Envolvendo o Método dos Quadrados Mínimos Utilizando a Modelagem Matemática . União Da Vitória: FAFIUV,2012. RIBICKI, L. Modelando a Fervura do Leite: Uma Proposta para Ensinar Função Afim por Meio da Modelagem Matemática. União da Vitória: UNESPAR, 2013. RODRIGUES, B. G.A Concentração de Álcool no Sangue: Uma Proposta para Ensinar Função Exponencial por meio da Modelagem Matemática. União da Vitória: FAFIUV, 2012. SCHIPANSKI, A. F. S. Um Estudo Sobre a Modelagem Matemática na Formação De um Aluno Autista. União da Vitória: UNESPAR, 2016. SOARES, J. R. Jogos de Linguagem e Semelhanças de Família em Atividades de Modelagem Matemática. União da Vitória: UNESPAR, 2015. SOUZA, H. C. T. Os Registros de Representação Semiótica: Análise de uma Atividade de Modelagem Matemática no Ensino Superior. União da Vitória: FAFIUV, 2011. TAMBARUSSI, C. M.; KLÜBER, T. E. Modelagem Matemática na Educação Matemática: O que se tem Pesquisado?. ln: Conferência Nacional sobre Modelagem na Educação Matemática, 8., 2013, Rio Grande do Sul. Anais... Cascavel: UNIOESTE, 2013. p. 1-15. UNESPAR. Regulamento do trabalho de conclusão de curso, de 01 de aril de 2013. Curso de Matemática – Licenciatura. Disponível em: <http://matematicafafiuv.pbworks.com/w/file/fetch/64697171/Regulamento_TCC_Matem%C3%A1tica_2013.pdf>. Acesso em: 17 jun. 2018.

A TECNOLOGIA DA IMPRESSÃO 3D NA CONSTRUÇÃO DO MODELO DE UMA

FORMIGA PARA O ENSINO DE CIÊNCIAS1

KOFTUN, Camila Maria2, BASNIAK, Maria Ivete3

PALAVRAS-CHAVE: Ensino de Ciências. Meshmixer. Formiga. PROBLEMÁTICA E JUSTIFICATIVA

Apesar de estarmos vivenciando uma era digital contando com diversos recursos tecnológicos disponíveis, na educação estes meios ainda hoje não são largamente utilizados. Como afirma Marinho e Lobato (2008, p. 1): “[...] em uma sociedade na qual as fontes de informação se multiplicam em uma velocidade assustadora [...], continuamos, em pleno século XXI, a fazer uma educação do século XIX [...].”

1Projeto de pesquisa. 2017-2018. PIBIC/CNPq. 2Graduanda – Licenciatura Plena em Matemática – UNESPAR, Campus União da Vitória. E-mail: [email protected]. 3Doutora em Educação. Professora do Colegiado de Matemática do campus da Unespar de União da Vitória.E-mail:[email protected]


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Além dos computadores podemos contar com a tecnologia da impressão 3D, um recurso que muitas pessoas sequer têm conhecimento, mas que pode ser útil, por exemplo, na criação e impressão de materiais pedagógicos que favoreçam o ensino das diferentes áreas.

A presença de uma impressora 3D no campus da UNESPAR de União da Vitória oportunizou realizar esta pesquisa que teve como objetivo a criação e impressão de modelos 3D, colaborando assim, com o ensino de diversas áreas.


Realizou-se consulta aos professores dos colegiados do campus para que propusessem opções de modelos tridimensionais, que preferencialmente não estivessem disponíveis para compra, para que fossem construídos. O colegiado de Ciências Biológicas, apresentou uma proposta solicitando a impressão de um modelo de formiga da espécie Dorymyrmex, escolhida por ser bastante comum em nossa região. Segundo a solicitação, o modelo deveria salientar características como os escapos (parte do corpo que dão sustentação às antenas e as conectam na cabeça) mais longos que a cabeça, o tórax com mesótono (região superior do tórax) anguloso e protuberância coniforme e um pequeno pecíolo (nó) que liga o tórax ao abdômen.

Figura 1: Formiga do gênero Dorymyrmex.

Fonte: California Academy of Sciences, 2008. Para construir o modelo solicitado, após estudar diferentes programas, selecionamos o software

Meshmixer por permitir a partir de objetos 3D primitivos (cubo, cone, esfera, pirâmide, etc.), deformá-los para que se assemelhem à representação desejada, no nosso caso, às partes do corpo do inseto. Além de possuir ferramentas que permitem esticar, transladar e rotacionar, que foram necessárias na elaboração do modelo. Também foi utilizado para alguns detalhes específicos os softwares AutoCAD e 3ds Max.

Nosso trabalho para a criação e impressão do modelo consistiu na modelagem computacional para construir as peças e adaptá-las para melhorar a qualidade de impressão a fim de montar o objeto final. A irregularidade das partes do corpo da formiga, e suas peculiaridades, tornaram a construção bastante complexa, sendo um trabalho desafiador, em que cada peça do modelo exigiu um trabalho diferenciado para que os componentes se complementassem e compusessem a anatomia completa da formiga.

Iniciamos o trabalho modelando a cabeça da formiga. Enquanto criávamos essa parte ainda não conhecíamos muito o Meshmixer e transitávamos o modelo entre este programa e o 3ds Max, para realizar algumas alterações. Partimos do objeto primitivo esfera e com auxílio da ferramenta Sculpt deformamos o objeto a fim de tornar-se semelhante as imagens da formiga que tínhamos como base, além de salientar alguns componentes que caracterizam essa espécie de formiga.


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Figura 2: Foto real da cabeça da formiga (esquerda) e o modelo da cabeça (direta).

Fontes: California Academy of Sciences, 2009; Os Autores, 2018. Nas demais peças o mesmo processo foi utilizado, sempre partimos de um objeto primitivo que se

assemelhe ao formato da peça e ajustamos suas dimensões, proporcionalmente às imagens fornecidas pela professora que solicitou o trabalho. Posteriormente, deformamos o objeto com a ferramenta Sculpt, a fim de aproximar mais o modelo às imagens.

Em alguns momentos a professora solicitante do objeto acompanhava o processo de modelagem das peças, para verificar se estavam coerentes com a formiga real, dando algumas orientações e sugestões do que poderia ser alterado. Como no caso de algumas partes da cabeça da formiga, que mesmo depois de impressa, foi necessário refazer detalhes do desenho da mandíbula e da cabeça da formiga, que foram reimpressos posteriormente.

Figura 3: Formiga com as mandíbulas abertas (esquerda) e o modelo impresso com a mandíbula

aberta (direita). Fonte: Mississippi Entomological Museum, 2011; Os autores, 2018.

Vale ressaltar que dividimos a maioria das partes da formiga em pelo menos duas partes, para facilitar

a impressão, evitar a criação de suporte e a consequente perda de material, além de melhorar a qualidade do objeto e otimizar o tempo de impressão, para unir as peças que foram divididas utilizamos cianoacrilato.

Algumas peças que possuíam vários detalhes foram divididas em mais partes, priorizando a qualidade da impressão. Como no caso do tórax que foi separado em cinco peças.


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Figura 4: Divisões do tórax. Fonte: Os Autores, 2018.

Por fim também foram criados alguns encaixes para unir algumas peças da formiga, a maior parte

desses encaixes apresenta formato cilíndrico. Para conectar as antenas e patas da formiga ao restante do corpo, foi criado um sistema que permite a movimentação das peças livremente, permanecendo conectado ao modelo.

Figura 5: Os encaixes do modelo. Da esquerda para a direita há o encaixe da pata na coxa, o encaixe

da cabeça no tórax e os encaixes dos escapos na cabeça Fonte: Os Autores, 2018.

Figura 6: Modelo real impresso em 3D.

Fonte: Os Autores, 2018


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No total foram desenvolvidas 56 peças que compõem a formiga, levando cerca de 37horas e 41 minutos de impressão, desconsiderando as peças que precisaram ser reimpressas.


Depois que as peças foram unidas formando o modelo da formiga, realizamos uma entrevista com a professora solicitante do modelo a fim de recebermos um retorno sobre as características que o modelo apresenta estando finalizado.

Inicialmente a professora relatou o motivo da escolha dessa espécie de formiga do gênero Dorymyrmex que é a mais comum no ambiente escolar, assim como em qualquer outro ambiente. Portanto, é possível encontrá-la no pátio da escola, observa-la e estudar sobre ela, o que está fazendo naquele ambiente, como é o ninho dela, etc. A professora afirma que os alunos podem manuseá-la sem riscos, pois essa espécie não é agressiva e não pica. Com isso se o professor tiver um pouco de conhecimento em relação à este inseto poderá usar o modelo em suas aulas, como a formiga é muito pequena, o modelo em tamanho ampliado, pode auxiliar neste estudo, uma vez que ele define as características principais existentes nesta espécie de formiga.

Em relação ao modelo a professora afirma que surpreendeu o esperado, pois a maioria das partes constituintes da formiga atendeu ao solicitado e caracterizam bem as especificidades desta espécie. Destaca que algumas alterações foram fundamentais para que desta maneira o modelo tornasse mais condizente com a formiga. Relatou também que este é um material didático inovador para o ensino de Ciências, com diversos detalhes e com tamanha semelhança com a formiga real.

Já existem propostas para trabalho em sala de aula utilizando o modelo tridimensional, segundo a professora a formiga será apresentada e exposta na semana do meio ambiente, como um modelo genérico. Também destacou que pretende no futuro motivar as crianças pelo tema, a partir deste material, para que elas possam identificar as diferentes formigas que convivem com elas na escola, e assim iniciar um trabalho da educação ambiental, usando como tema a formiga.

Finaliza destacando que esse material que não se encontra em qualquer lugar, e que somente foi possível obtê-lo por meio da modelagem e impressão3D e que pode desta forma abrir caminhos e incentivar novos estudos.


Desde os PIC anteriores a este projeto buscamos informar os professores da UNESPAR, campus União da Vitória, que a impressora 3D permite vislumbrar possibilidades de criar objetos inovadores para o ensino e aprendizagem, e consequentemente inovar na forma de ensinar e aprender conteúdos relacionados a esses objetos. Com isso tivemos a solicitação do colegiado de Ciências Biológicas deste campus para criar uma representação da formiga do gênero Dorymyrmex. A criação deste modelo foi tão desafiadora e complexa quanto os demais modelos que já havíamos criado, tanto pela necessidade de buscar um novo software, o Meshmixer, para criar o modelo quanto também por aprimorar os conhecimentos sobre a impressora. A partir disso notamos que dividir uma parte a ser impressa em duas peças para depois serem coladas viabiliza, economiza e otimiza o processo de produção do modelo, principalmente porque a colagem das peças com o cianoacrilato não deixa imperfeições

Após a conclusão do modelo, e com a avaliação da professora do colegiado de Ciências Biológicas, notamos que o material recebeu aprovação, principalmente por seus detalhes e em relação as características desta espécie de formiga serem bem visíveis no modelo. A professora afirma que é um material inovador que não ter-se-ia acesso de outra forma além da impressão 3D, pois destaca todos os detalhes necessários para caracterizar a formiga.

REFERÊNCIAS MARINHO, S. P. P.; LOBATO, W. Tecnologias digitais na educação: desafios para a pesquisa na pós-graduação em educação. In: VI Colóquio de Pesquisa em Educação. Belo Horizonte. VI Colóquio de Pesquisa em Educação, 2008. v. 1. p. 1-9, 2008.


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CONTRIBUIÇÕES DA CONSTRUÇÃO DE ANIMAÇÕES NO SOFTWARE GEOGEBRA

PARA A MOBILIZAÇÃO DO CONHECIMENTO MATEMÁTICO DE ALUNOS COM

AH/SD1

BUENO, Adrieli2, BASNIAK, Maria Ivete3

PALAVRAS-CHAVE: Funções. Animações no GeoGebra. Ensino de Matemática. PROBLEMÁTICA E JUSTIFICATIVA

Uma das concepções mais conhecidas sobre o superdotado é de que seria aquele indivíduo que se sai bem em todos os testes de inteligência ou que apresenta um desempenho intelectual superior (FLEITH, 2006). No entanto, somente essas características não são suficientes para determinar se uma pessoa é superdotada ou não, pois Altas Habilidades/ Superdotação (AH/SD) não é necessariamente sinônimo de Quociente de Inteligência (QI) alto (RENZULLI, 1978).

Existem diferentes concepções sobre características dos alunos que apresentam ou desenvolvem AH/SD como, por exemplo, para Feldhusen (1986, apud FLEITH, 2006) superdotação na infância e adolescência consiste em uma aptidão psicológica ou física para a aprendizagem com performance superior. Inclui habilidade intelectual geral, autoconceito positivo, motivação e talento; para Virgolim (2007 apud SOUZA et al., 2015), AH/SD pode suceder-se em inúmeras áreas do conhecimento humano, seja intelectual, social, artística, entre outras, em um continuum de habilidades; e para a Política Nacional de Educação Especial na Perspectiva da Educação Inclusiva (BRASIL, 2008, p. 15), os alunos com AH/SD são aqueles que “[...] demonstram potencial elevado em qualquer uma das seguintes áreas, isoladas ou combinadas: intelectual, acadêmicas, liderança, psicomotricidade e artes. Também apresentam elevada criatividade, grande envolvimento na aprendizagem, realização de tarefas em áreas de seu interesse”.

Os alunos com AH/SD devem receber atenção, sendo dados os encaminhamentos necessários para que eles não se sintam desmotivados e entediados com a escola, mas sim para que potencializem e desenvolvam mais suas habilidades. De acordo com Guenther (2006b, apud SOUZA et al., 2015, p. 15): “Existe farta evidência de que a capacidade e talento humano se desenvolvem, e se expressam em produção superior, desde que o potencial seja identificado, estimulado, acompanhado e orientado”.

Logo, o trabalho com os alunos com AH/SD precisa ser diferente do habitual, pois eles necessitam de tarefas que explorem suas capacidades, agucem o gosto por pesquisar e desenvolvam o seu raciocino lógico, não ficando somente em tarefas repetitivas e monótonas (GUIMARÃES; MELLO, 2006). Para Cyrino e Oliveira (2016), o ensino deve enfatizar a participação do aluno criando condições que favoreçam a inquirição do aluno, colaborativa e individualmente, pois aquilo que o aluno faz é aquilo que aprende.

As tecnologias digitais, em especial o computador, surgem como importante aliado. Aportados em Valente (1993), é possível inferir que, principalmente quando se trata da Educação Especial, o computador deve ser utilizado em processos de ensino como ferramenta educacional, de modo a permitir a construção do conhecimento pelo aluno, sendo usado para ensinar conteúdos permitindo realizar construções, interação, trabalho colaborativo, processo de descoberta, de forma dinâmica confrontando teoria e prática, aspectos que favorecem o processo de inquirição.

Destacamos que o uso de tecnologias digitais no ensino de Matemática tem revelado grande potencial para essa abordagem de ensino. Atualmente um dos softwares que se destaca no contexto do ensino da Matemática é o GeoGebra, que apresenta como principais características sua dinamicidade e facilidade para realizar construções de objetos, utilizando conceitos da matemática. Permite que os alunos reflitam sobre representações feitas, o que requer um constante processo de investigação acerca dos objetos matemáticos que podem ser utilizados na construção.

Nesse sentido, ao realizar a construção desses objetos podem emergir investigações e discussões sobre as características e particularidades das ferramentas matemáticas envolvidas, bem como sobre a eficácia dessas ferramentas na construção. Tais investigações podem contribuir de maneira significativa para o processo de ensino e aprendizagem de conteúdos matemáticos. Nessa perspectiva, a pesquisa teve como objetivo investigar as contribuições da construção de animações no software GeoGebra, por meio da mobilização de conhecimentos matemáticos de alunos da sala de recursos multifuncionais II.

1 Projeto de Iniciação Cientifica com o apoio do CNPq. 2 Acadêmica do Curso de Licenciatura em Matemática, UNESPAR, Campus de União da Vitória – PR, [email protected]. 3 Doutora em Educação. Professora do Colegiado de Matemática do campus da UNESPAR de União da Vitória – PR,

[email protected].

mailto:[email protected]


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CONTEXTO INVESTIGADO E ASPECTOS METODOLÓGICOS Para atingir o objetivo da pesquisa, propôs-se a construção de animações no software GeoGebra

abordando o conteúdo de lógica e funções, aos alunos que frequentam a Sala de Recursos Multifuncional (SRM) de um colégio público de um município no interior do Estado do Paraná.

A pesquisa foi desenvolvida desde meados de 2017. Entretanto este artigo abordará algumas as intervenções, análises e resultados do trabalho realizado a partir de março de 2018. Cabe esclarecer que em 2017, seis alunos, do sexto ao oitavo ano do Ensino Fundamental, indicados pela professora da SRM participaram do projeto. Em 2018, devido a mudanças de ano letivo, três destes alunos continuaram no projeto e outros três iniciaram sua participação, como detalhado no Quadro 1, em que também é indicado a série que os alunos estão matriculados e a área em que possuem AH/SD.

Aluno Série Início no projeto AH/SD

Aluno 1 9º série 2017 Linguagem

Aluno 2 9º série 2017 Exatas



Aluno 5 6º série 2018 Astronomia/ Linguagem/ Oralidade

Aluno 6 6º série 2018 Linguagem

Quadro 1: Alunos de 2018. Fonte: A autora, 2018.

Realizaram-se análises das construções desenvolvidas, com intuito de verificar os resultados atingidos, bem como elencar elementos referentes aos resultados atingidos. Todas as intervenções realizadas com os alunos com AH/SD foram registradas por meio de gravações de áudio e das telas do computador das construções realizadas no GeoGebra por meio de software Camtasia que possibilita tais gravações.


No final do mês de abril de 2018, realizou-se o primeiro encontro, no qual se construiu em conjunto com os alunos que estavam iniciando o projeto a animação contagem regressiva, para a qual foi utilizada lógica e noções do sistema cartesiano. E, aos alunos que participavam do projeto desde 2017, se propôs a construção da animação de um submarino (Figura 2) submergindo e afundando na água, utilizando o conteúdo de funções constante, afim e linear. Isto porque anteriormente observou-se que estes alunos, que já participavam da pesquisa, construíram animações utilizando o sistema cartesiano e lógica sem dificuldades, entretanto não se tinha clareza quanto à sua compreensão do conteúdo funções.

Como apresentaram dificuldades na realização da construção, considerou-se necessário e oportuno para a continuidade da pesquisa retomar este conteúdo com os alunos, a fim de retomar conceitos importantes com aqueles que já participavam e introduzir o conteúdo de funções aos alunos que ingressaram no projeto.

Então foi proposto aos alunos a construção das animações do trem (Figura 1) e do submarino (Figura 2), que envolve conceitos de função constante, função crescente e decrescente, domínio, imagem, coeficiente angular e linear, em ambas construções.

Figura 1: Animação do Trem

Fonte: A autora, 2018.

Figura 2: Animação do Submarino Fonte: A autora, 2018.

Por meio das gravações de áudio, vídeo e telas, foi possível analisar e identificar o que foi compreendido, quanto aos conteúdos de matemática envolvidos na construção das animações, especialmente no que se refere a funções (constante, linear e afim) pelos alunos. Verificamos apropriações em relação ao domínio, inclinação das retas criadas pelas funções e coordenadas dos pontos sobre a função, pois os alunos conseguiram explicar esses conteúdos por meio das construções realizadas.


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Evidenciou-se nas explicações de uma aluna, que iniciou no projeto no ano de 2018, que ela compreendeu o conceito de domínio, porque conseguiu definir corretamente “o tamanho das linhas que seriam usadas no trajeto do submarino”, ou seja, conseguiu limitar o tamanho das funções criadas. Para isso explicou que para escrever a sentença do domínio, na caixa de entrada do software, era necessário considerar o eixo x, observando em que ponto a função começaria e em que ponto terminaria.

Outro fato importante ressaltado por ela é sobre a inclinação da reta, (coeficiente angular da função), que explicou ser o número que acompanha o x, independentemente do valor. Explicando que quando negativo cria a função para o submarino descer (função decrescente) e quando positivo constrói uma função para o submarino subir (função crescente). Isto indica que, apesar de pouco tempo no projeto, apropriou-se dos conceitos matemáticos por meio das construções e sua possibilidade de testar e elaborar conjecturas no software.

Continuando a explicação sobre a construção do submarino um dos alunos, que já participava do projeto no ano de 2017, explicou que era necessário alterar a legenda dos dois pontos da figura do submarino, para que se movessem de acordo com o controle deslizante. De forma que o valor da coordenada x dos dois pontos teriam que estar atrelados ao mesmo controle, mas em um deles deveria ser adicionado ou subtraído algum valor, para que esses pontos mantivessem certa distância. Já em relação às coordenadas y dos pontos, afirmou que deveriam ser iguais para que o submarino se movesse de forma alinhada. O que revela seu conhecimento quanto às coordenadas dos pontos no plano cartesiano relacionadas a variáveis.

Isto mostra o potencial da construção de animações no software para elaborar e testar as ideias iniciais, observar as conjecturas referentes ao conteúdo matemático proposto, trocando ideias com os colegas e a professora, e assim, validando-as ou não, em suma, construindo conhecimento matemático.

Com as animações construídas no software houve a mobilização do conhecimento matemático. Podemos afirmar isto embasados nos relatos e explicações feitas pelos alunos, mesmo que todo o conteúdo não tenha sido discutido abundantemente e formalmente, os alunos conseguem reconhecer, de forma algébrica e gráfica, uma função constante, crescente e decrescente, e suas características particulares.


O ensino para os alunos que possuem AH/SD precisa ser diferente do habitual, para que eles se sintam motivados e incentivados a desenvolverem mais suas habilidades, sejam intelectuais ou práticas. Isto deve acontecer de forma dinâmica, com desafios, diálogos e trocas de experiências, pois isso proporciona o pleno desenvolvimento para ambos, professor e aluno.

Foi possível compreender conceitos sobre alunos com AH/SD, juntamente com o trabalho desenvolvido com alguns alunos da SRM visando os conteúdos de matemática, neste caso de funções, e alguns resultados alcançados com as construções de animações no software GeoGebra.

A pesquisa proporcionou aos alunos contato com o conteúdo de funções antes mesmo de serem abordados na sala de aula regular dos respectivos anos em que estão matriculados, por meio das animações no software. Com o desenvolvimento das animações, a pesquisa apontou que elas apresentam grande potencial para ensinar conteúdos matemáticos, principalmente o de funções, já que os alunos mostraram, por meio dos diálogos e construções das animações, compreender satisfatoriamente esse conteúdo.

REFERÊNCIAS BRASIL. Programa Implementação de Salas de Recursos Multifuncionais. Disponível em: <http://portal.mec.gov.br/pet/194-secretarias-112877938/secad-educacao-continuada-223369541/17430-programa-implantacao-de-salas-de-recursos-multifuncionais-novo>. Acesso em 25 fev. 2018. __________. Ministério da Educação. Secretaria de Educação Especial. Decreto n. 6.571, de 17 de setembro de 2008. Básica. Brasília: SEESP/MEC. CYRINO, M. C. C. T.; OLIVEIRA, H. M.; Ensino Exploratório e casos multimídia na formação de professores que ensinam matemática. In: CYRINO, M. C. C. T. (Org.). Recurso multimídia para a formação de professores que ensinam matemática. Londrina: Eduel, 2016. FLEITH, D. S. Criatividade e altas habilidades/superdotação. Revista do Centro de Educação, Brasília - GO, nº 28, 2006. GUIMARÃES, G. R., MELLO, R, M. (2006). Grupo de trabalho sobre altas habilidades/superdotação. Curitiba: PR. RENZULLI, J. S. O que é esta coisa chamada superdotação, e como a desenvolvemos? Uma retrospectiva de vinte e cinco anos. Educação. Tradução de Susana Graciela Pérez Barrera Pérez. Porto Alegre – RS, ano XXVII, n. 1, p. 75 - 121, jan/abr. 2004.


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SOUZA, A. R., et al. Conhecendo as altas habilidades/ superdotação: definições e caracterizações. Educação, Batatais, v. 5, n. 2, p. 9-32, jul./dez., 2015 VALENTE, J. A. (1993). Diferentes usos do computado na educação. Em Aberto, Brasília, ano 12, n.57.

CONTRIBUIÇÕES DO JOGO MANCALA PARA O ENSINO DE MATEMÁTICA1

MARQUES, Isane M. W.2, CASTRO, Élida M. V. de3

PALAVRAS-CHAVE: Jogos. Jogo Mancala. Ensino de Matemática. PROBLEMÁTICA E JUSTIFICATIVA

Diante da necessidade de buscar diferentes alternativas para o ensino da matemática, reconhecemos que a Metodologia Jogos tem um grande potencial, à medida que pode contribuir tanto para o desenvolvimento da autonomia, da interação, das relações de cooperação, do raciocínio, quanto pode servir para fomentar conhecimentos diversos, inclusive matemáticos. Os Jogos, enquanto metodologia, podem levar o aluno a desenvolver capacidade de construir estratégias, tomar decisões e fazer predições.

Neste estudo temos por objetivo analisar propostas de ensino desenvolvidas em aulas de matemática, por meio da Metodologia Jogos, buscamos delinear nossa pesquisa por trabalhos que apresentam possibilidades de abordagem de conceitos matemáticos utilizando jogos da família Mancala. Esses jogos, em geral, podem favorecer o desenvolvimento do raciocínio matemático, a medida em que possibilita que o aluno se envolva na busca por estratégias, exige movimentos calculados, concentração, agilidade, antecipação e esforço intelectual individual, fazendo também com que o jogador interaja com os demais jogadores, estimulando o respeito com o próximo.

Além disso, nosso estudo justifica-se pelo fato de que a utilização desses Jogos, de origem africana, se insere na perspectiva de abordagem sugerida pela Lei de Diretrizes e Bases da Educação Nacional (LDBEN 9394/96), a qual determina a obrigatoriedade do ensino da história e da cultura afro-brasileira e africana nos currículos escolares. Assim compreendemos que esses aspectos podem ser discutidos e contextualizados no desenvolvimento do jogo em sala de aula de matemática.

CONTEXTO INVESTIGATIVO E ASPÉCTOS METODOLÓGICOS

Seguindo orientações da abordagem qualitativa, realizamos uma breve revisão de literatura na qual consideramos para análise trabalhos que tratam do uso de jogos da família Mancala, com o cuidado de trazer para discussão àqueles que foram desenvolvidos em sala de aula e, portanto, apresentam resultados sobre o seu uso. Nesse sentido, selecionamos quatro trabalhos realizados na perspectiva de utilizar o Mancala de forma a explorar conteúdos matemáticos diversos. Tais trabalhos sintetizamos no Quadro 1 a seguir.

Quadro 1: Trabalhos desenvolvidos utilizando Jogos Mancala.

Sigla - Título do trabalho

Autores Variação do Jogo

Conteúdos abordados

Ambiente e Momento em que foi trabalhado

(M1) - Mancalas No Ensino de Matemática

Mattoso; et al, 2012

Ouri Desenvolvimento do raciocínio lógico matemático. Cultura africana.

Atividade multi-classe. Oficina elaborada para a semana cultural e teve duração de 4 horas, participaram alunos do ensino fundamental e médio.

(M2) - Mancala, um jogo milenar, contribuindo na alfabetização

Câmara, 2006.

Não definiu, chamou de Mancala

Conceitos lógico-matemáticos. Exploração da contagem.

Pesquisa qualitativa. Desenvolvida em uma sala de aula de Alfabetização de Jovens e Adultos, durante um mês. Após uma

1Este estudo se constituiu parte do Trabalho de Conclusão de Curso em andamento. 2Acadêmica do Curso de Licenciatura em Matemática na Universidade Estadual do Paraná UNESPAR -Campus União da Vitória. 3Mestre em Ensino de Ciências Naturais e Matemática. Professora Colaboradora na UNESPAR - Campus União da Vitória


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matemática de jovens e adultos

Estudos dos conceitos das operações básicas (adição, subtração, multiplicação e divisão).

abordagem histórica e a familiarização com o jogo, o estudo da contagem e das operações básicas foram desenvolvidos a partir do jogo Mancala com a manipulação e distribuição das sementes nas covas.

(M3) - O Jogo Mancala como Estratégia de Ensino: Relato de uma Experiência

Gomes; et al, 2014

Oware Desenvolvimento do raciocínio lógico e o pensamento matemático. Ideias de contagem e distribuição (operações básicas). Cultura africana

Oficina realizada numa turma de 8° ano do Ensino Fundamental, durante estágio supervisionado. Iniciou-se com a discussão sobre a cultura dos povos africanos, depois confeccionaram os tabuleiros com caixas de ovos discutindo a questão ambiental. Teve como objetivo principal auxiliar alunos com dificuldade de aprendizagem em Matemática, fazendo após o jogo, uma discussão sobre os conceitos envolvidos.

(M4) - Kalah: um jogo africano de raciocínio matemático

França, 2015.

Kalah Resolução de problemas. Princípio fundamental da contagem. Correspondência um a um. Igualdade e desigualdade, espaço e direcionalidade.

Sugere que sejam confeccionados os tabuleiros de forma interdisciplinar, depois disso que seja realizado um torneio de kalah, e atividades de leitura e compreensão, por último propõe que sejam feitas algumas reflexões sobre o jogo a partir de situações problemas.

Fonte: Autoras.

A partir dessa síntese, realizamos a leitura cuidadosa de todos os trabalhos buscando identificar quais as contribuições elucidadas a partir da utilização do jogo em sala de aula.


Da análise dos trabalhos, presentes no quadro 1, identificamos algumas compreensões dos autores dos textos sobre os resultados obtidos a partir da utilização do jogo Mancala e traçamos algumas compreensões.

Mattoso; et al (2012), por exemplo, descrevem que o jogo permite “desenvolver o raciocínio lógico matemático dos alunos, relacionar a cultura africana com a matemática e também proporcionar o interesse dos alunos pela Matemática” (p. 7). Também destacam que os alunos conseguiram, com facilidade, perceber a sequência lógica do jogo, sendo que alguns apresentaram sequências que não estavam previstas e que nem mesmo os professores que propuseram o jogo haviam considerado. O que reforça a ideia de que houve aprendizado tanto dos alunos como dos professores. Além dessas percepções ainda nos trazem como sugestão a inserção do jogo durante uma oficina, pois neste espaço há um tempo maior para observar e atender às dificuldades de cada aluno, o que exige tempo e dedicação por parte dos professores.

Para Câmara (2006, s/p.) o jogo auxilia para que o aluno desenvolva “a capacidade de elaborar estratégias, o pensamento lógico matemático, as noções de quantidade e sequência, as operações básicas mentais e outras”. Desenvolvida em uma turma de Alfabetização de Jovens e Adultos, durante um mês, Câmara (2016) destaca que sua pesquisa possibilitou perceber que o Jogo proporcionou que os alunos desenvolvessem habilidades associadas à resolução de problemas, devido à necessidade de montar uma


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estratégia e assim, favoreceu e estimulou o raciocínio dos alunos, também afirma que o ensino de matemática através do jogo foi desafiador e motivador tornando-se mais consistente e proporcionou ainda que os alunos interagissem mais, utilizou-se caixas de ovos para a confecção dos tabuleiros e sementes de feijão para que todos pudessem jogar. A autora também destaca que espera que seu trabalho contribua para estimular os alunos e professores que buscam a efetividade do conhecimento matemático.

No trabalho (M3), Gomes; et al (2014, s/p.)ressaltam que “foram bons os resultados obtidos, visto que os alunos gostaram muito das atividades realizadas e era visível o quanto eles estavam motivados a participar de tudo o que era proposto, uma vez que foi algo diferente daquilo que estavam acostumados, além de ser um jogo desafiador que fez com que eles pensassem, refletissem, desenvolvessem estratégias, raciocinassem e sanassem dificuldades relacionadas aos conceitos matemáticos de contagem e distribuição”. Percebemos que esses autores também reconhecem, tanto a importância de se proporcionar um espaço de aprendizagem diferente para os alunos, como também as potencialidades de jogos da família Mancala no ensino da matemática. Ainda que a discussão sobre a cultura africana tenha sido um dos objetivos da oficina em que puderam destacar aspectos relacionados à escravidão e ao racismo, que aparecem como título de curiosidade. A grande ênfase na descrição está sobre a manipulação das operações básicas e o desenvolvimento do raciocínio e as estratégias. Aspectos como a experiência da partilha e a cooperação são citados de forma sutil.

França (2015) afirma que o desenvolvimento do jogo Kalah, por meio dos problemas por ele propostos aos alunos em sala de aula, além de estimular diversos raciocínios, pode contribuir positivamente no processo de ensino e aprendizagem de matemática. O autor apresenta uma maneira de se explorar o jogo por meio da resolução de problemas, propondo a sua utilização apenas para a ilustração, sendo que a aprendizagem fica centrada na exploração a partir dos problemas. Este trabalho também sugere o ensino de conceitos de princípio fundamental da contagem, além do desenvolvimento do raciocínio lógico. As aplicações desses conceitos podem ser observadas nos problemas que ele propõe, por exemplo: dada a posição das peças no tabuleiro, se propõe que os alunos observem qual a melhor sequência de jogadas à fim de obter o maior número de pontos, quais casas devem ser evitadas ao iniciar o jogo, qual o jogador que se apresenta em vantagem com relação ao seu adversário, ou ainda, quantas possibilidades de jogadas há para cada jogador. Assim, a partir da análise deste trabalho percebemos que o ensino a partir do desenvolvimento do Jogo está associado à metodologia de resolução de problemas.


Neste estudo, cujo objetivo era analisar como trabalhos que apresentam possibilidades de abordagem de conceitos matemáticos utilizando jogos da família Mancala. Embora ao buscarmos em sites de pesquisa por trabalhos com essa temática nos deparemos com uma série de materiais, optamos por trazer apenas aqueles que foram desenvolvidos em sala de aula e, que assim, deveriam apresentar elementos consistentes para discussão.

Os quatro trabalhos selecionados nos permitem fazer algumas inferências, tais como: os trabalhos (M1, M2 e M3) trazem que o jogo serviu para desenvolver o raciocínio lógico; os trabalhos (M2, M3 e M4) descrevem que problemas/conceitos de contagem foram explorados com o jogo; a cultura africana se faz presente em dois deles (M1, M3).

Isso nos leva a considerar que os trabalhos desenvolvidos com essa temática, embora que sejam significativas as contribuições do jogo em sala de aula, ainda são poucos e, na maioria das vezes, utilizam o Mancala para as mesmas finalidades, ou seja, para “estimular” o raciocínio lógico ou trabalhar operações básicas ou de contagem. Estudos que circundem a elaboração de propostas de ensino de outros conceitos matemáticos a partir do jogo Mancala, para serem trabalhados com os alunos, com suas respectivas aplicações também se constituem como perspectiva para outros trabalhos.

REFERÊNCIAS BRASIL. Lei no 10.639, de 9 de janeiro de 2003. Altera a Lei no 9.394, de 20 de dezembro de 1996, que estabelece as diretrizes e bases da educação nacional, para incluir no currículo oficial da Rede de Ensino a obrigatoriedade da temática "História e Cultura Afro-Brasileira", e dá outras providências. Diário Oficial da União, Brasília, 9 jan.2003.Disponível em: <http://www.planalto.gov.br/ccivil_03/leis/2003/L10.639.htm> Acesso em: 27 maio 2018. CÂMARA, L. T. Mancala, um jogo milenar, contribuindo na alfabetização matemática de jovens e adultos. 2006. MATTOSO, C.L.et al. MANCALAS NO ENSINO DE MATEMÁTICA. III EIEMAT Escola de inverno de educação matemática.Rio Grande do Sul, 01 a 03 de agosto de 2012. FRANÇA, M. A. D. Kalah: um jogo africano de raciocínio matemático, 2015, 40 p. Disponível em <https://repositorio.ufjf.br/jspui/bitstream/ufjf/1425/1/marcoaureliodefranca.pdf> acesso em 31 maio 2018.

http://www.planalto.gov.br/ccivil_03/leis/2003/L10.639.htm


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GOMES; L. F. et al. O JOGO MANCALA COMO ESTRATÉGIA DE ENSINO: RELATO DE UMA EXPERIÊNCIA. XII Encontro Paranaense de Educação Matemática. Perspectivas e diálogos entre diferentes níveis de ensino. Campo Mourão, setembro de 2014, 12 p.

ENSINO EXPLORATÓRIO DE ANÁLISE COMBINATÓRIA: REFLEXÕES

ASSOCIANDO TEORIA E PRÁTICA1

ROSSA, Eduardo Pereira de Oliveira2, ESTEVAM, Everton José Goldoni3

PALAVRAS-CHAVE: Ensino Exploratório de Matemática. Tarefas Matemáticas. Estágio. PROBLEMÁTICA E JUSTIFICATIVA

Neste trabalho, a partir de estudos teóricos e de uma experiência prática de estágio de regência envolvendo Análise Combinatória, refletimos sobre percepções relacionadas a aspectos teóricos e práticos do Ensino Exploratório de Matemática (EEM) com foco em suas dimensões fundamentais e na dinâmica de aula nesta perspectiva.

O EEM pode ser entendido como uma perspectiva que se situa em uma compreensão de inquiry-based teaching (PAULEK; ESTEVAM, 2017). Esta perspectiva se difere do ensino tradicional devido aos papéis que são desempenhados pelo professor e pelos alunos, às tarefas que são propostas e à dinâmica da aula (PONTE, 2005). Isso porque traz o aluno para o centro do processo pedagógico e o professor como mediador, ao invés daquele que monopoliza o conhecimento e o “transmite” para seus alunos.

Destacam-se quatro aspectos fundamentais que devem estar presentes em propostas envolvendo o EEM, sendo eles: colaboração; inquirição; reflexão; e comunicação. Para a mobilização destes aspectos, normalmente uma proposta de aula nesta perspectiva é dividida em fases sequenciadas, sendo elas: i) introdução ou apresentação da tarefa; ii) desenvolvimento ou exploração da tarefa; iii) apresentação e discussão das resoluções e; iv) sistematização das aprendizagens. Além destas fases, existe uma quinta que deve ser realizada antes da efetivação da proposta em sala de aula, envolvendo a antecipação das estratégias e possíveis resoluções dos alunos, assim como aspectos da condução da aula (CANAVARRO, 2011; OLIVEIRA; MENEZES; CANAVARRO, 2013).

Nesse sentido, práticas assentes no EEM, ao mesmo tempo em que são consideradas promissoras para mobilização de pensamentos e ideias matemáticas complexas, são consideradas exigentes ao professor. Isso justifica reflexões como esta que apresentamos.


As reflexões deste trabalho têm como base os estudos relacionados ao Ensino Exploratório de Matemática (EEM) e às características de tarefas para esta perspectiva e a realização de uma experiência prática no contexto do estágio de regência no ensino médio envolvendo o campo da Análise Combinatória, sob a perspectiva do EEM.

A pesquisa foi dividida em quatro etapas, assim organizadas: i) estudo da perspectiva do EEM; ii) estudo de fórmulas matemáticas, cujo foco incidiu na Análise Combinatória devido à possibilidade da articulação com o estágio; iii) elaboração ou adaptação de tarefas matemáticas, resultando em seis situações envolvendo combinatória e; iv) realização do estágio de regência, em que foram efetivadas as tarefas adaptadas nas fases anteriores com uma turma do 2º ano do ensino médio, com vinte e cinco alunos matriculados. O estágio foi dividido em cinco encontros de duas aulas cada um, gerando o total de dez aulas. Os conteúdos trabalhados, a partir das tarefas elaboradas, foram: Princípio Fundamental da Contagem; Operador Fatorial; Permutação simples e com repetição; Arranjo; e Combinação.


Os estudos realizados na etapa i) permitiram identificar ações do professor durante aulas pautadas no EEM. Na fase de introdução da tarefa, o professor deve propor a tarefa, garantindo a adesão dos alunos, de

1 Trabalho decorrente de Projeto de Pesquisa de Iniciação Científica, com bolsa do Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico – CNPq, associado ao Estágio de regência no Ensino Médio. 2 Acadêmico do curso de Licenciatura em Matemática, Universidade Estadual do Paraná, Campus de União da Vitória (UNESPAR), [email protected]. 3 Doutor em Ensino de Ciências e Educação Matemática, Professor Adjunto da Universidade Estadual do Paraná

(UNESPAR), [email protected].


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maneira que se sintam desafiados a realizar o que lhes é proposto (OLIVEIRA, MENEZES; CANAVARRO, 2013). Para isto, o professor necessita ouvir os alunos com atenção, percebendo suas dúvidas ou dificuldades e buscar esclarecê-las para que possam compreender o que lhes é proposto. Algumas dúvidas ou dificuldades que os alunos podem apresentar são situações que, muitas vezes, são previsíveis. Desta forma, é importante a realização da antecipação de tais situações. Além disto, o professor deve fornecer as orientações necessárias para a exploração da tarefa e disponibilizar de ambiente e materiais necessários para a realização das fases seguintes da aula (OLIVEIRA; CARVALHO, 2013).

Na fase de desenvolvimento, cujo foco é o trabalho dos alunos, o papel do professor é de garantir que todos participem de forma produtiva no desenvolvimento da tarefa, mas suas atribuições neste momento também contemplam auxiliar os alunos, contribuindo para a construção ou aprimoramento das conjecturas apresentadas (OLIVEIRA; MENEZES; CANAVARRO, 2013). Para Canavarro (2011), o professor deve dedicar-se a observar e ouvir os alunos, avaliar a validade matemática de suas ideias e interpretá-las, por mais que sejam estranhas ou diferentes daquelas antecipadas. Porém, durante estas interações o professor deve evitar que os comentários e respostas aos alunos reduzam o nível de exigência cognitiva da tarefa e/ou uniformizem as estratégias de resolução, já que poderia tornar a fase da discussão menos interessante matematicamente (STEIN; SMITH, 1998; OLIVEIRA; MENEZES; CANAVARRO, 2013).

A fim de discutir, comparar e avaliar as resoluções dos alunos selecionados na etapa anterior, na fase de discussão o professor deve gerir as discussões com o propósito de relacionar as apresentações com vista ao desenvolvimento coletivo de ideias matemáticas (CANAVARRO, 2011). De acordo com Oliveira, Menezes e Canavarro (2013), a fase de gestão das discussões é especialmente exigente ao professor, já que mesmo sendo realizado o planejamento, há muitos caminhos para a realização das intervenções.

Por fim, na fase de sistematização, o professor deve relacionar as resoluções e conhecimentos anteriores dos alunos com os objetivos da aula, podendo ser identificados, apresentados ou clarificados conceitos e procedimentos matemáticos, assim como exploradas diferentes representações (OLIVEIRA; MENEZES; CANAVARRO, 2013).

Na realização do estágio de regência, foi possível perceber diversos aspectos relacionados à dinâmica da aula e ao desenvolvimento dos alunos. Neste sentido, sobressaíram os seguintes aspectos: o contrato vigente na turma mostrou-se fortemente presente principalmente nas primeiras aulas, mesmo havendo uma “quebra” inicialmente; no início de cada aula, o professor (estagiário) buscou apontar aspectos que poderiam ser aperfeiçoados, em relação ao papel dos alunos, de acordo com a análise das discussões entre os grupos, discussões gerais e os materiais por eles produzidos; principalmente nas primeiras aulas, os alunos demonstraram certa vergonha em realizar perguntas e mesmo respondê-las, em momentos da aula que assentes em discussões coletivas.

Em relação às fases da aula, foi possível perceber os seguintes aspectos: i) Introdução da tarefa: quando questionados em relação a termos desconhecidos, os alunos não realizavam apontamentos. Porém, na fase seguinte, apresentavam suas dúvidas; situações que não foram esclarecidas nesta fase acarretaram maior demanda de tempo para a fase seguinte; ii) Desenvolvimento da tarefa: os alunos reclamavam que o professor ao invés de ajudar, acabava “complicando mais as coisas”. Isto se dava quando eram realizados questionamentos com a intenção de que percebessem aspectos particulares e/ou justificassem os procedimentos utilizados; iii) Discussão da tarefa: a fase de discussão foi a mais difícil, já que várias resoluções que surgiam durante a aula deveriam ser problematizadas em seguida. Nas primeiras propostas, a condução do professor permitiu somente a apresentação das resoluções, já que não conseguiu orquestrar de maneira adequada a discussão. Isto foi modificado nas propostas seguintes, levando os relatórios dos alunos para casa e dando sequência à discussão nas aulas posteriores; iv) Sistematização da tarefa: para a sistematização, foram preparadas apresentações bem sequenciadas, contando que, na pior das hipóteses, nenhum grupo utilizasse as estratégias consideradas mais adequadas para a discussão. Desta forma, a sistematização parecia estar sob controle, pois era possível abordar todos os aspectos do planejamento, buscando relacionar com as resoluções elaboradas pelos alunos; v) Antecipação: a elaboração de um planejamento consistente (objetivos bem definidos, possíveis estratégias e resoluções dos alunos e sequências de tarefas) auxiliou na condução e flexibilização das aulas. Porém, ainda assim ocorreram situações em que foi necessário tomar atitudes não pensadas inicialmente.


O conhecimento teórico e o planejamento foram aspectos essenciais para a realização do estágio, fornecendo segurança para o professor durante sua condução. Porém, várias situações inesperadas ocorreram, evidenciando que a prática e, consequentemente, a experiência também é um fator que corrobora para uma condução adequada.


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Foi possível perceber o avanço da turma em relação à manifestação dos aspectos fundamentais do EEM durante as aulas, melhorando a qualidade das interações, dos argumentos, questionamentos e registros, mostrando interesse e se adaptando à dinâmica.

Como sempre eram duas aulas em sequência, em alguns dias a dinâmica tornava-se muito exigente, principalmente para os alunos, já que haviam várias coisas a serem discutidas e sistematizadas, mobilizando, em alguns casos, dois conceitos “novos” em sequência.

Pode ser uma atitude interessante, especialmente para professores inexperientes com a prática do EEM, realizar as fases I e II e as fases III e IV em aulas separadas, sendo possível analisar os materiais elaborados pelos alunos neste intervalo, problematizando aspectos para a execução da discussão e da sistematização de maneira adequada e articulada.

Por fim, além da aprendizagem de Análise Combinatória, a experiência mostrou que os alunos puderam perceber diferentes aspectos em relação à Matemática e ao “aprender Matemática”, principalmente de que ela possui aplicações e que as “fórmulas” não são algo “místico”.

REFERÊNCIAS CANAVARRO, A. P. Ensino exploratório de Matemática: Práticas e desafios. Educação e Matemática, n. 115, p. 11-17, 2011. OLIVEIRA, H.; CARVALHO, R. Uma experiência de formação, com casos multimédia, em torno do ensino exploratório. In FERNANDES, J. A.; MARTINHO, M. H.; TINOCO, J.; VISEU, F (Ed.), Atas do XXIV SIEM. Lisboa: APM. 2013. p. 415-426. OLIVEIRA, H.; MENEZES, L.; CANAVARRO, A. P. Conceptualizando o ensino exploratório da Matemática: Contributos da prática de uma professora do 3.º ciclo para a elaboração de um quadro de referência. Quadrante, v. 22, n. 2, p. 28-53, 2013. PAULEK, C. M.; ESTEVAM, E. J. G. Ensino Exploratório de Matemática: uma discussão sobre tarefas e a dinâmica da aula. In: VIII Encontro Ibero-Americano de Educação Matemática - CIBEM, 2017, Madri. Actas do VIII CIBEM. Madri: SEUR, 2017. v. 7. p. 1-9 PONTE, J. P. Gestão curricular em Matemática. In GTI (Ed.), O professor e o desenvolvimento curricular. Lisboa: APM. 2005. p. 11-34. STEIN, M. K.; SMITH, M. S. Mathematical tasks as a framework for reflection: rom research to practice. Mathematics Teaching in the Middle School, n. 3, p. 268–275, 1998.

INVESTIGAÇÃO COM OS ALUNOS DO CURSO DE PEDAGOGIA DA UNESPAR -

CAMPUS DE UNIÃO DA VITÓRIA COM RELAÇÃO AO ENSINO DA MATEMÁTICA1

MASNIK, João Angelo da Costa2, FREYESLEBEN, Dayane Aparecida3, PINTO, Fernada da Silva4, VELEDA, Gabriele Granada5

PALAVRAS-CHAVE: Pedagogia. Matemática. Anos Iniciais. PROBLEMÁTICA E JUSTIFICATIVA

A atual legislação brasileira atribui ao curso de Pedagogia a responsabilidade pela formação do professor que ensina nos anos iniciais do Ensino Fundamental. Os professores que atuam nesse nível de ensino são ditos polivalentes, “[...] um sujeito capaz de apropriar-se e articular os conhecimentos básicos das diferentes áreas do conhecimento que compõem atualmente a base comum do currículo nacional dos anos iniciais do ensino fundamental, desenvolvendo um trabalho interdisciplinar (LIMA, 2007 apud CRUZ; NETO, 2012, p. 387).

Para Gatti (2008), segundo Cruz e Neto (2012), a interdisciplinaridade é complexa e necessita de certo aprofundamento disciplinar para poder se estabelecer esse diálogo interdisciplinar. Nesse sentido, as Diretrizes Curriculares Nacionais para o Curso de Pedagogia (DCNP), na resolução n. 1/2006, no artigo 5º,

1Artigo desenvolvido na disciplina de Iniciação a Pesquisa Cientifica da Unespar Campus União da Vitória. 2Acadêmico do Curso de Licenciatura em Matemática da Unespar, União da Vitoria, Paraná, joã[email protected]. 3 Acadêmica do Curso de Licenciatura em Matemática, Unespar, União da Vitória, Paraná, [email protected]. 4Acadêmica do Curso de Licenciatura em Matemática, Unespar, União da Vitória, Paraná, [email protected]. 5Doutora em Educação e Professora do Curso de Licenciatura em Matemática, Unespar, União da Vitória, Paraná, [email protected]


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orienta que os estudantes do Curso de Pedagogia tenham um conhecimento aprofundado das diferentes disciplinas e, assim, identifiquem a possibilidade do diálogo entre elas. (Conselho Nacional de Educação)

No entanto, Nacarato (2011 apud SILVA; BURAK, 2017, p. 02), destaca que “[...] muitas vezes, os professores destas etapas [Educação Infantil e anos iniciais] precisam ensinar conteúdos específicos que não sabem ou não dominam”.

Dado esse cenário, neste trabalho investigamos como os alunos do 3º e 4º anos do Curso de Pedagogia da Universidade Estadual do Paraná (Unespar), campus de União da Vitória, se sentem a respeito de sua preparação para o ensino da Matemática.


Realizamos uma pesquisa que traz aspectos qualitativos e quantitativos. A pesquisa qualitativa pode ser complementada pela pesquisa quantitativa. ”Em geral, as características da pesquisa quantitativa são: inferência dedutiva; a realidade investigada é objetiva; a amostra é geralmente grande e determinada por critérios estatísticos; generalização dos resultados[...]” (PASCHOARELLI, MEDOLA, BONFIM, 2015, p.68). A característica qualitativa está relacionada ao fato de que parte do método de investigação foca no caráter subjetivo do objeto analisado, estudando as suas particularidades e experiências individuais conforme colocam Paschoarelli, Medola e Bonfim (2015). Na pesquisa qualitativa, os entrevistados estão mais livres para apontar os seus pontos de vista sobre determinados assuntos que estejam relacionados com o objeto de estudo

A pesquisa foi realizada em quatro turmas do Curso de Pedagogia da Universidade Estadual do Paraná – Unespar: 3ª e 4ª séries do curso, dos períodos vespertino e noturno. A escolha dessas séries foi em virtude de já terem realizado estágios de regência e também porque na grade curricular do curso as disciplinas que discutem aspectos relacionados à Matemática, Metodologia do ensino de Matemática e Estatística aplicada à educação estão, respectivamente, nessas séries.

A aplicação do questionário aconteceu durante o horário regular das aulas, cada estudante recebeu o questionário que, após respondido, foi recolhido pelos investigadores. Responderam o questionário 74 (setenta e quatro) alunos, conforme é apresentado no quadro a seguir.

Quadro 1: Alunos matriculados X alunos respondentes

Turma Número alunos matriculados Número de alunos respondentes

3º Ano Vespertino 27 14

3º Ano Noturno 39 31

4º Ano Vespertino 10 6

4º Ano Noturno 33 23

Total 109 74

Fonte: Os autores, 2018. O questionário consta de 10 perguntas, porém, considerando o espaço para discussão, neste artigo

optamos por analisar três questões, que entendemos guardarem relações entre si. As perguntas analisadas são: 1. Você tem dificuldades com Matemática?, 2. Você tem dificuldades para ensinar Matemática? e 3. Com relação a carga-horária das disciplinas de Matemática no curso de Pedagogia com vistas ao ensino dessa disciplina, você considera: adequada, suficiente e insuficiente. As análises seguem na sequência.


Conforme o questionário realizado com os acadêmicos do curso de Pedagogia, na pergunta 1 obteve-se trinta e uma (31) respostas “sim”, dez (10) respostas “não” e trinta e três (33) respostas “parcialmente”. Disso, temos que 87% dos entrevistados relatam ter, pelo menos, alguma dificuldade com Matemática.

Gráfico 1 - Você tem dificuldades em Matemática?

Fonte: Questionário aplicado aos alunos

42%

13%

45%

Sim Não Parcialmente


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Dentre esses 87% que possuem alguma dificuldade, alguns a atribuem a falta de aulas estimulantes para essa disciplina, como ilustra a resposta de um dos respondentes: “Nunca encontrei um professor que deu uma aula que realmente fizesse o aprendizado do aluno” (sic). Outros relatam dificuldade em executar os algoritmos ou compreendê-los, como na seguinte resposta: “Não tinha afinidade com os números. Dificuldade em compreender o processo de cálculo no tempo da escola” (sic). Outros, ainda, listam encontrar dificuldades de aprendizado na infância, em decorrência de bloqueio para a disciplina de Matemática, como verificamos a seguir: “Desde muito pequena não conseguia aprender questões matemáticas, cresci complexada, por isso não suporto matemática”. Ainda obtivemos resposta como dificuldades em relacionar alguns conteúdos, com a realidade dos alunos, como o acadêmico relata: “Apresento mais dificuldade em questões abstratas, quando não há contextualização de aplicação do conhecimento na pratica”.

Os 13% dos entrevistados que indicaram não ter dificuldades, a atribuem ao bom desempenho do professor que vem a facilitar o aprendizado, como vemos no relato a seguir: “Se o professor repassar o conteúdo de maneira fácil de entender, não há porque ter dificuldades”. Também observamos que não há dificuldades no uso da matemática no cotidiano, como vemos nessa resposta: “No raciocínio matemático para a vivencia do dia a dia, eu não possuo dificuldades”.

Na pergunta 2. Você tem dificuldade para ensinar Matemática?, foram fornecidos como opções os eixos estruturantes do ensino da Matemática na educação infantil e ensino fundamental, além da opção “Nenhuma dificuldade”. Para essa pergunta, o entrevistado poderia marcar mais de uma opção. A partir do gráfico apresentado na sequência, verifica-se que o eixo Tratamento da informação foi o mais indicado, seguido do eixo pensamento algébrico.

Gráfico 2: Número de respostas X Eixos estruturantes do ensino da Matemática

Fonte: Questionário aplicado aos alunos Dentre os 10 acadêmicos que responderam não ter dificuldades na Matemática (pergunta 1), apenas 6

responderam não ter dificuldades em ensinar Matemática (pergunta 2). Os demais respondentes, 64 alunos, 19 informaram ter dificuldades em ensinar em 3 ou mais eixos da Matemática.

Considerando que o Curso de Pedagogia é o momento de o aluno se preparar para o ensino da Matemática nos anos iniciais e ensino infantil, questionamos os respondentes acerca da adequação da carga-horária das disciplinas relacionadas a esse preparo. Os resultados seguem no gráfico 3.

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

Nenhuma Números eoperações

Pensamentoalgébrico

Espaço e forma Grandezas emedidas

Tratamento dainformação


34

Gráfico 3: Com relação a carga horária das disciplinas de Matemática no Curso de Pedagogia com vista o ensino dessa disciplina, você considera:

Fonte: Questionário aplicado aos alunos Nessa terceira questão, 15% dos entrevistados afirmam que a carga horária é adequada, porém

escrevem que a abordagem dos conteúdos é inadequada e deveria ser mais voltada ao ensino da Matemática, como ilustra a resposta a seguir: “Adequada, porém deveria ser dado mais valor e mais ênfase na disciplina de Metodologia do Ensino da Matemática do que Estatística Aplicada a Educação [...]”.

Observamos que diversas respostas que consideram o tempo suficiente, que correspondem a 40% dos entrevistados, indicam que as disciplinas deveriam ser ministradas nos primeiros anos do curso, para suprir suas necessidades, conforme a seguinte resposta: “Se faz necessário no início para dar tempo de suprir todas as nossas dificuldades” (sic). Outros entrevistados afirmam que a abordagem é inadequada em virtude de suas necessidades, como no expresso: “Creio que com a carga horária presente seja suficiente, embora o tempo não seja bem aproveitado ou organizado, isto na Metodologia de Ensino da Matemática”.

Os acadêmicos que responderam que a carga horária é insuficiente, representando 45% dos consultados. Eles fornecerem algumas respostas que nos informam que as disciplinas estão sendo ministradas no tempo inadequado (pós começo de estágio), como o relato: “Acredito que é insuficiente, pois apenas no terceiro ano temos metodologia e no segundo ano temos a regência, onde trabalhamos com essa disciplina já. Poderia abranger mais a metodologia voltada para darmos aula”. Já outros declaram que é insuficiente, pois não supre as dificuldades existentes e que as disciplinas deveriam ser ministradas por docentes do colegiado de Matemática, como percebemos enunciado na seguinte resposta: “A carga horária das disciplinas de Matemática não somam nossas dificuldades e curiosidades. E as mesmas devem ser ministradas por docentes formados em Matemática”.

CONCLUSÃO

Considerando as informações obtidas através do questionário, levaremos os resultados ao colegiado do Curso de Pedagogia, uma vez que grande parte das respostas analisadas indicaram que a grade curricular do curso de Pedagogia, em relação às disciplinas de matemática, considerando a série de oferta, não parece adequada, pois entendem que essas disciplinas deveriam ser ministradas antes dos estágios de regência.

A partir da análise das respostas, também se mostra relevante uma revisão acerca dos conteúdos programáticos e a forma de abordagem dos professores, direcionando o ensino dessas disciplinas para uma preparação dos acadêmicos para lecionar os conteúdos matemáticos, ou seja, as aulas devem ser voltadas para o que se deve ensinar na matemática da educação infantil e anos iniciais, e como a didática a ser aplicada para transmitir esse conteúdo aos alunos das séries iniciais.

REFERÊNCIAS CONSELHO NACIONAL DE EDUCAÇÃO. Resolução CNE/CP 1/2006. Institui Diretrizes Curriculares Nacionais para o Curso de Graduação em Pedagogia, licenciatura. Diário Oficial da União, Brasília, 16 de maio de 2006. CRUZ, S. P. S., NETO J. B., A polivalência no contexto da docência nos anos iniciais da escolarização básica: refletindo sobre experiências de pesquisa. Revista Brasileira de Educação, v. 17, n.50, mai-ago. 2012. PASCHOARELLI, L. C., MEDOLA F. O., BONFIM, G. H. C. Características Qualitativas, Quantitativas e Quali-quantitativas de Abordagens Científicas: estudos de caso na subárea do Design Ergonômico. Revista de Design, Tecnologia e Sociedade, n.2(1), 2015. SILVA, V. S., BURAK, D. A formação de pedagogos para o Ensino de Matemática nas Universidades Estaduais do Paraná: Reflexões iniciais. In:SEMINÁRIO INTERNACIONAL SOBRE PROFISSIONALIZAÇÃO DOCENTE, 4., 2017, Curitiba. Anais... Curitiba: PUC, 2017.

15%

40%

45%

Adequada Suficiente Insuficiente


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O CONJUNTO DOS NÚMEROS INTEIROS POSSUI MAIS ELEMENTOS QUE O

CONJUNTO DOS NATURAIS?: O QUE DIZEM OS FUTUROS PROFESSORES DE

MATEMÁTICA1

PASCOSKI, Jaqueline2, PAULICHEN, Thiago3, VELEDA, Gabriele Granada4

PALAVRAS-CHAVE: Cardinalidade. Infinito. Conjuntos numéricos. PROBLEMÁTICA E JUSTIFICATIVA

Atualmente, o que rege a educação brasileira é a Base Nacional Comum Curricular (BNCC). Sobre os conjuntos numéricos, a BNCC “[...] propõe que, ao final da Educação Básica, o estudante seja capaz de perceber a necessidade de ampliação dos conjuntos numéricos (dos Naturais aos Reais), bem como compreender as operações e propriedades destes” (TRINDADE; 2017, p. 3). Desse modo, espera-se que as propriedades desses conjuntos estejam compreendidas pelos estudantes ao final do processo de educação.

No entanto, os materiais didáticos utilizados pelos docentes para o ensino desses conjuntos podem apresentar equívocos (RIPOLL, 2013 apud TRINDADE, 2017). As imagens presentes nos livros didáticos, como por exemplo os diagramas de Venn (utilizados como artifícios para a compreensão sobre conjuntos), não podem justificar ou representar a cardinalidade dos conjuntos numéricos (ALMEIDA, 2015 apud TRINDADE, 2017). Disso, a compreensão dos conceitos matemáticos relacionados aos conjuntos numéricos pode ocorrer de forma equivocada, principalmente em relação a cardinalidade.

A cardinalidade indica o número de elementos de um conjunto, no entanto determinar se conjuntos possuem a mesma cardinalidade nem sempre é uma tarefa muito simples. Nesse contexto “[...] o infinito, muitas vezes, acaba sendo um obstáculo para alguns estudiosos, para outros, a solução e, para a grande maioria das pessoas, um desconhecido” (SILVA; 2016, p. 31). Inclusive, há estudos relatando sobre a deficiência que alunos iniciantes da graduação de Matemática possuem sobre os diversos tipos de infinitos (YOKOYAMA; 2016).

A partir do apresentado, nossa pesquisa baseia-se em questionar os acadêmicos de um curso de Licenciatura em Matemática sobre a cardinalidade de conjuntos infinitos específicos por meio da seguinte pergunta: O conjunto dos números inteiros possui mais elementos que o conjunto dos números naturais? Justifique matematicamente.

Com essa pergunta investigamos como os graduandos compreendem a cardinalidade de conjuntos infinitos e como justificam a relação entre os elementos dos conjuntos dos números inteiros e dos números naturais. A resposta correta a essa pergunta é de que não há mais elementos no conjunto dos números inteiros, uma vez que se pode estabelecer uma relação biunívoca entre esse conjunto e o conjunto dos números naturais, conforme a seguinte demonstração:

É trivial que ℕ é enumerável, pois ℕ ⊂ ℕ e é possível estabelecer uma bijeção de ℕ em ℕ. A

enumerabilidade de ℤ pode ser verificada estabelecendo-se a seguinte relação biunívoca com o conjuntos

dos ℕ: seja f : ℕ → ℤ, com ℤ = {𝑓(0); 𝑓(1); 𝑓(2); . . . ; 𝑓(𝑛)}. Associe f(0) = 0; f(1) = 1; f(2) = −1; f(3) = 2; f(4) = −2, etc., ou seja,

𝑓(𝑛) =𝑛+1

2, para n ímpar e 𝑓(𝑛) = −

𝑛

2, para n par

Associamos os números naturais ímpares aos inteiros negativos e os naturais pares ao inteiros não-negativos. Desta forma, nota-se a enumerabilidade de ℤ e que #ℤ = #ℕ (SILVA; 2016, p. 36). CONTEXTO INVESTIGADO E ASPECTOS METODOLÓGICOS

A questão citada na problemática desse artigo foi entregue de forma impressa aos acadêmicos das quatro séries do curso de Licenciatura em Matemática da Unespar campus de União da Vitória, sendo esta ainda complementada com um diagrama de Venn, conforme é apresentado em livros didáticos. Foi garantido o anonimato dos respondentes, sendo necessário apenas indicar a qual série está matriculado.

1Trabalho desenvolvido na disciplina Iniciação à Pesquisa Científica. 2 Acadêmica do curso de Licenciatura em Matemática, Universidade Estadual do Paraná (UNESPAR), União da Vitória, PR, [email protected] 3Acadêmico do curso de Licenciatura Matemática, Universidade Estadual do Paraná (UNESPAR), União da Vitória, PR, [email protected] 4Doutora em Educação e Professora do Colegiado de Matemática da Universidade Estadual do Paraná (UNESPAR) campus de União da Vitória, União da Vitória, PR, [email protected]


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O curso em questão tem 111 alunos matriculados e 64 responderam a questão, conforme indica o quadro a seguir. Quadro 1: Alunos matriculados x alunos respondentes

Série Número de alunos matriculados Número de alunos respondentes

1 49 26

2 31 19

3 18 14

4 13 5

Fonte: Os autores. As respostas foram agrupadas, inicialmente, pela série na qual o respondente está matriculado. Isso

porque acredita-se que as disciplinas já cursadas influenciam na argumentação matemática. Na sequência, as respostas foram analisadas e agrupadas conforme similaridade na justificativa matemática apresentada.


Após a coleta de dados, podemos verificar que cerca de 53% dos respondentes afirmam que o conjunto dos números inteiros não possui mais elementos que o conjunto dos números naturais. Já 47% dos entrevistados responderam que o conjunto dos inteiros possui mais elementos. As respostas obtidas em cada série estão dispostas no quadro a seguir.

Quadro 2: Respostas obtidas através da pesquisa

Série Sim Não

1 18 8

2 7 12

3 3 11

4 2 3

Total 30 34

Fonte: Os autores. Ao analisarmos as respostas separando-as por série, foi possível perceber maior incidência de respostas relacionadas a um conjunto ser maior que outro na primeira série do curso. Nas demais séries, a maioria da turma respondeu que o conjunto dos números inteiros não é maior que o conjunto dos números naturais. Disso, nos parece que a conclusão das disciplinas da primeira série do curso já possibilita aos estudantes verificarem a relação entre a cardinalidade dos conjuntos analisados.

No entanto, nossa pesquisa pedia uma justificativa matemática para a resposta dada. Disso, verificamos que mesmo dando a resposta correta, que o conjunto dos números inteiros não possui mais elementos que o conjunto dos números naturais, nem todas as justificativas estão completamente corretas.

A maior parcela de respostas (15 respondentes) justificou que ao compreendermos ambos os conjuntos com infinitos números, esses seriam “infinitamente iguais”, ambos os conjuntos possuiriam a mesma quantidade de elementos, infinitos elementos. Tal resposta considera o infinito não como comportamento, mas como cardinalidade, o que nos leva inferir que para esses alunos quaisquer que sejam os conjuntos, desde que estes sejam infinitos, possuirão a mesma quantidade de elementos. O que não é verdade, pois o conjunto dos números reais é infinito e não enumerável, de modo que não podemos estabelecer uma relação biunívoca entre esse conjunto e o conjunto dos números naturais, por exemplo.

A mesma justificativa foi utilizada para a argumentação de não ser possível mensurar se um conjunto é maior que outro por conta de sua infinidade, sendo ainda relatada a seguinte observação: “embora o conjunto dos inteiros possuir ‘mais operações entre seus elementos’ (adição, subtração e produto) em relação as operações dos naturais (adição e produto), não se pode dizer que um é maior que outro”. Com essa afirmação é possível ressaltar o desconhecimento por parte desses acadêmicos sobre como realizar tal comparação, acreditando não ser possível definir a cardinalidade dos conjuntos uma vez que estes sejam infinitos.

Dentre as respostas corretas, apenas um estudante se referiu ao diagrama de Venn. Para esse aluno, “ao considerarmos o diagrama, sim o conjunto dos números inteiros é maior, porém, essa é apenas uma forma ilustrativa para representar os conjuntos”. O apontamento demonstra que o estudante compreende que o diagrama é apenas uma ilustração e que indica, de forma errônea, a ideia de um conjunto ser maior que outro. No entanto, ele não explica porque um conjunto não é maior que outro.

Estabelecer uma relação biunívoca entre os elementos dos conjuntos seria a maneira ideal de verificar sua cardinalidade. Seguindo esse raciocínio, dois acadêmicos relatam poder mensurar o tamanho ou a quantidade de elementos dos conjuntos mesmo estes sendo infinitos, porém afirmam não possuir tal


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conhecimento para realizar a justificativa ou, que por serem infinitos não poderiam afirmar que um seria maior que outro. Outras três justificativas mostram convicção de pensamento, afirmando ser possível estabelecer tal relação bijetora ou associar cada elemento do conjunto dos naturais com cada elemento do conjunto dos inteiros, e esse seria o motivo para que um conjunto não fosse maior que outro, pois dessa forma ambos possuem mesma cardinalidade. No entanto, os respondentes não fazem essa demonstração.

Nas justificativas dos acadêmicos que responderam sim, isto é, o conjunto dos números inteiros possui mais elementos que o conjunto dos números naturais, identificamos ideias diferentes que trazem como justificativa matemática que o conjunto dos números naturais é formado pelos números positivos e o conjunto dos números inteiros, além de conter os números positivos, contém também seus simétricos (os números negativos), então o conjunto dos números inteiros possui mais elementos. Isso transparece que esses alunos têm a compreensão de que o conjunto dos números inteiros possui o dobro de elementos do conjunto dos números naturais.

Outra ideia trazida como justificativa é de que o conjunto dos números naturais está contido no conjunto dos números inteiros, porém o conjunto dos números naturais não contém o conjunto dos números inteiros. Essa justificativa traz a ideia matemática de que o todo será maior que a parte. Disso, percebemos que há uma ideia de cardinalidade, porém, essa regra é estabelecida aos conjuntos finitos. A teoria dos conjuntos mostra que a relação “estar contido em” não deve ser confundida com a ideia “possui tamanho menor que” (ANDRADE; 2010).

Houveram cinco respostas compostas pelas duas justificativas anteriores, sendo assim, para esses acadêmicos o fato do conjuntos dos inteiros possuir o dobro de elementos do conjunto dos naturais, e de o conjunto dos inteiros conter o conjunto dos naturas seria a justificativa para demonstrar que o conjunto dos números inteiros possui mais elementos que o conjunto dos números naturais.

Dentre todos os levantamentos, houve uma resposta diferenciada que se referia ao diagrama de Venn. “O conjunto dos números inteiros possui mais elementos, no diagrama isso está representado de uma forma relativamente visível”. Tal resposta ilustra um dos equívocos causados pelo o uso de diagramas, que já foi salientado por Andrade (2010) a partir de Ripoll (2013).

CONCLUSÕES

Através do questionamento: O conjunto dos números inteiros possui mais elementos que o conjunto dos números naturais? Justifique matematicamente, investigamos como os acadêmicos do curso de Licenciatura em Matemática da Unespar campus de União da Vitória, compreendem questões relacionadas a Teoria dos Conjuntos e se estabelecem relações entre essa teoria e os conjuntos numéricos que são ensinados na Educação Básica.

Nossa hipótese inicial era de que os alunos que já cursaram disciplinas que tratam da Teoria de Conjuntos (Álgebra Moderna 3ª série) trariam resposta mais próximas da resposta correta. Tal hipótese não se verificou na pesquisa, uma vez que a resposta correta foi identificada na justificativa apresentada por 3 alunos, sendo dois da segunda série e uma de um aluno da quarta série. Tal conclusão nos causa certa preocupação, pois o número de justificativas matemáticas corretas é significativamente baixo. Soma-se a isso o grande índice de acadêmicos que responderam que o conjunto dos números inteiros é maior que o conjunto dos números naturais, mesmo com o avanço no curso e nas disciplinas que tratam da Teoria de Conjuntos.

A pergunta utilizada na nossa pesquisa traz, de forma implícita, a relação que existe entre a Teoria de Conjuntos, estudada na formação inicial de professores de Matemática, com os conjuntos numéricos, conteúdo a ser ensinado na Educação Básica. Considerando que boa parte dos entrevistados responderam à pergunta de forma errada, ou não souberam justificar corretamente a relação entre o número de elementos do conjunto dos números inteiros e do conjunto dos números naturais, acreditamos que muitos desses futuros professores não estabelecem relações entre os conteúdos trabalhados no Ensino Superior com os conteúdos que irão ensinar na Educação Básica e, por isso, acabam não estudando atentamente algumas propriedades e demonstrações, como é o caso da cardinalidade dos conjuntos infinitos e as ideias errôneas que um diagrama pode trazer à aprendizagem.

REFERÊNCIAS ANDRADE, M. G. C. Um breve passeio ao infinito real de Cantor. In: BIENAL DA SBM, 5,. 2010, Paraíba. Anais... Sociedade Brasileira de Matemática, 2010. SILVA, W. M. L. Um estudo sobre o infinito: enumerabilidade e densidade dos conjuntos numéricos. Dissertação (Mestrado Profissional em Matemática em Rede Nacional) – Universidade Federal do Triângulo Mineiro, Uberaba, MG, 2016. TRINDADE, S. S. Análise das propriedades dos conjuntos numéricos e operações identificadas em livros didáticos do ensino fundamental. Trabalho de Conclusão de Curso – Universidade Federal do Pampa, Caçapava do Sul, 2017.


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YOKOYAMA, L. A. Há infinitos maiores que outros?. In: ENCONTRO NACIONAL DE EDUCAÇÃO MATEMÁTICA, 12., 2016, São Paulo. Anais... São Paulo: Sociedade Brasileira de Educação Matemática, 2016.

O (DES)PREPARO DOS PROFESSORES PARA TRABALHAR COM ALUNOS COM

NECESSIDADES EDUCACIONAIS ESPECIAIS1

VOLINKEVICZ, Ana Lucia Susan Lobas2, TONET, Gilson 3, VELEDA, Gabriele Granada4

PALAVRAS-CHAVE: Inclusão. Matemática. Formação. PROBLEMÁTICA E JUSTIFICATIVA

Há anos que as escolas regulares estão cada vez mais tendo alunos com necessidades educacionais especiais, tornando-se assim escolas inclusivas. A inclusão desses alunos é amparada por lei, por exemplo, a lei nº 7.853 do ano de 1989, garante que pessoas com algum tipo de necessidade especial tenham direito à alfabetização, o acesso ao ensino formal, entre outros direitos que são básicos como direitos à saúde, ao trabalho e ao lazer.

Mesmo que a inclusão esteja prevista na lei, na formação inicial de professores, inclusive na Licenciatura em Matemática, há pouca, ou quase nenhuma, formação a respeito de como trabalhar com alunos com necessidades especiais. Por exemplo, políticas para a inserção de LIBRAS (língua brasileira de sinais) na formação inicial de professores foram implantadas recentemente, no ano de 2002, pela lei n.º 10.436.

Embora essa política revele algum avanço no preparo do futuro professor para ensinar alunos com deficiência auditiva, outras necessidades especiais, como a deficiência visual ou intelectual, não são abordadas na formação inicial do professor, exceto casos pontuais. “Existe um consenso de que é imprescindível uma participação mais qualificada dos educadores para o avanço desta importante reforma educacional. O ’despreparo dos professores’ figura entre os obstáculos mais citados para a educação inclusiva, o qual tem como efeito o estranhamento do educador com aquele sujeito que não está de acordo com ‘os padrões de ensino e aprendizagem’ da escola ” (BRASIL; 2005, p. 28).

Sendo a inclusão uma realidade atual, nossa pesquisa foca em analisar como os professores de Matemática de uma escola estadual do Paraná entendem a inclusão e como avaliam sua preparação para a inclusão de alunos com necessidades educacionais especiais em suas aulas. CONTEXTO INVESTIGADO E ASPECTOS METODOLÓGICOS

O contexto que estamos investigando são os professores de Matemática de uma escola estadual do Paraná com turmas diurnas de 6° ao 9° ano. É uma escola de uma pequena cidade do interior do Paraná, localizada no centro, que possui grande procura devido à sua tradição. Atualmente, a escola conta com 5 professores de Matemática, que serão os sujeitos dessa pesquisa.

Para analisarmos como os professores de Matemática dessa escola se sentem em relação à inclusão, elaboramos um questionário com 5 questões, na quais os professores são interrogados a respeito do que entendem por inclusão, se tem formação para o trabalho com alunos com necessidades especiais educacionais (NEE), se já tiveram alunos de inclusão em suas aulas, como lidaram com isso e se encontraram dificuldades.

Das cinco questões do questionário aplicado, neste trabalho analisamos as respostas de duas delas: 1. Em sua opinião, você se sente preparado(a) e confiante para ensinar alunos com alguma deficiência? e 2. Você já deu aulas para algum aluno com algum tipo de deficiência? Qual deficiência do aluno? As respostas são analisadas buscando aproximações e diferenças entre elas. Desse modo, a nossa pesquisa segue procedimentos analíticos próximos aos da análise de conteúdo, apresentado por Bardin (1977).

1Trabalho da Disciplina de Iniciação à Pesquisa Científica. 2Acadêmica do curso de Licenciatura em Matemática, Universidade Estadual do Paraná-UNESPAR, União da Vitória, Paraná, [email protected]. 3Acadêmico do curso de Licenciatura em Matemática, Universidade Estadual do Paraná-UNESPAR, União da Vitória, Paraná, [email protected]. 4Doutora em Educação e Professora do curso de Licenciatura em Matemática, Universidade Estadual do Paraná campus de União da Vitória, Paraná, [email protected]


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Com a finalidade de preservar a identidade dos cinco professores participantes da pesquisa, eles estão identificados como P1, P2, P3, P4 e P5. RESULTADOS E DISCUSSÃO

A partir das respostas do questionário, observamos que todos os professores dessa escola não tiveram na sua formação alguma disciplina especifica acerca da inclusão, e nenhum deles fez alguma especialização para trabalharem com alunos com NEE, ou seja, nenhum dos entrevistados buscou uma formação continuada nessa temática. A falta de preparação é a justificativa dos entrevistados para não se sentirem preparados para trabalhar com alunos com NEE. As respostas dos professores estão no quadro a seguir. Quadro 1: Respostas dos professores à questão 1.

P1 Não, pelo menos quando fiz faculdade não se falava em inclusão, não tinha nada especifico.

P2 Não, sinto que além de não ter formação adequada, você sozinha com mais de 35 alunos numa sala de aula para ensinar Matemática já é difícil, imagine que no 9º ano tenho um aluno surdo, sem interprete. Eu não tenho LIBRAS, trabalho com um livro de 2º ano [do fundamental] e sinto que ele merecia mais atenção do que posso dar.

P3 Não estou preparada para trabalhar com alunos com deficiência, mas como não temos escolha precisamos nos adaptar e aprender o mínimo para poder transmitir os ensinamentos iguais a todos.

P4 Não, pois na minha formação não havia preparo para aprender a tratar certas situações.

P5 Não, na minha formação não havia disciplina nessa área.

Fonte: Respostas dos entrevistados. Os professores P1, P4 e P5, respondem à questão de forma direta, não trazendo mais elementos para

análise. Já o entrevistado P3 destaca que, mesmo sem formação, o professor deve se adaptar e aprender a lidar com as dificuldades que aparecerem. O professor P4 traz uma resposta relacionada à sua experiência, relatando que além da falta de formação adequada, o número de alunos por turma também se configura como uma dificuldade para o professor atender de forma eficiente e adequada um aluno com NEE.

Sobre a questão 2, todos os professores entrevistados já tiveram ou tem alunos com NEE. As deficiências relatadas são: auditiva, mental, física, intelectual, déficit de atenção, hiperatividade e deficiência visual. Essas respostas indicam que uma formação em LIBRAS não é suficiente, uma vez que a inclusão não é apenas de alunos com deficiência auditiva. Além disso, ao longo da vida profissional, conforme observamos nas respostas (Quadro 2), os professores trabalham com alunos com diferentes NEE. Quadro 2: Respostas dos professores a questão 2

Professor

Necessidades Especiais Educacionais (NEE)

Auditiva Mental Física Intelectual Déficit de atenção Hiperatividade Visual

P1 X X X

P2 X X

P3 X X X

P4 X X X

P5 X X X

Fonte: Respostas dos entrevistados. Das respostas, temos que cada professor entrevistado já trabalhou com alunos com diferentes NEE,

corroborando com a resposta de P3 à questão 1, de que o professor precisa se adaptar na prática do dia a dia escolar. CONSIDERAÇÕES FINAIS

Este trabalho tem como objetivo sensibilizar os professores e a equipe pedagógica a respeito da preparação para ensinar alunos com NEE. Conforme as respostas dadas pelos entrevistados, verificamos que ensinar alunos com necessidades educativas especiais é uma experiência nova para o professor e também um desafio. Também verificamos que os professores expressaram várias dificuldades envolvidas nesse processo, destacando-se a falta de formação específica do professor, e não saber como lidar com a situação em sala de aula.

Todos os entrevistados relataram não estarem preparados para a educação inclusiva. É possível que ao aumentar o número de entrevistados, a resposta seja a mesma. Vale ressaltar que a falta de preparação pode ocasionar resistências de alguns professores em relação à inclusão. No entanto, considerando as diferentes NEE, fica praticamente impossível o professor se preparar para todas as particularidades que cada uma delas exige. Além disso, muitas vezes o professor só sabe que terá um aluno com NEE no primeiro dia de aula. Nesse sentido, é importante que a equipe pedagógica da escola informe, o quanto antes, ao professor


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e, se possível, proponha atividades pedagógicas que o capacite para lidar com as necessidades desses alunos.

Assim, mesmo que a preparação do professor para lidar com o ensino de Matemática de alunos com NEE seja difícil, a escola é um espaço de inclusão, e o professor deve buscar se capacitar, acreditar e, principalmente, aceitar a inclusão, tornando assim, a sua sala de aula um ambiente propicio à construção do conhecimento e a aceitação do sujeito como ele é. REFERÊNCIAS BARDIN. L. Análise de conteúdo. Lisboa: Editora Edições 70, 1977. BRASIL. Documento subsidiário à política de inclusão. Brasília: Ministério da Educação, Secretaria de Educação Especial, 2005. 48 p. BRASIL. LEI N.º 7.853 de 24 de out. de 1989. Dispõe sobre o apoio às pessoas portadoras de deficiência, sua integração social, sobre a Coordenadoria para a Integração da Pessoa Portadora de Deficiência – CORDE, Brasília, DF, out de 1989. BRASIL. LEI N.º 10.436 de 24 de abr. de 2002. Dispõe sobre a Língua Brasileira de Sinais, Brasília, DF, abr. de 2002.

OS JOGOS NOS TRABALHOS DE CONCLUSÃO DE CURSO DA MATEMÁTICA DA

UNESPAR CAMPUS DE UNIÃO DA VITÓRIA1

CALDART, Victor2, FLORES, Caroline3; VELEDA, Gabriele Granada4.

PALAVRAS-CHAVE: Jogo. Ensino. Matemática. PROBLEMÁTICA E JUSTIFICATIVA

O ensino da Matemática coloca o educador diante da dificuldade em elaborar um plano de aula no qual a aprendizagem se torne significativa e atrativa para o aluno. Como um auxiliador nesse desafio, os jogos didáticos podem assumir papel importante. A utilização deste recurso proporciona ao aluno a oportunidade de aprender de forma lúdica. Muitos pesquisadores defendem os jogos como um instrumento essencial para orientar a aprendizagem de maneira dinâmica, saindo das margens da mecanização e memorização, muitas vezes priorizadas em sala de aula. Assim, “[...] o jogo não é visto apenas como instrumento recreativo, mas como facilitador do processo ensino-aprendizagem” (PASDIORA, 2008, p. 5).

Nas considerações de Sommerhalder e Alves (2011), é através do jogo que a criança vivencia conflitos individuais ou coletivos e sente a necessidade de buscar soluções de forma exploratória e criativa, aprendendo o sentido da cooperação, da competição, construindo sua identidade baseando-se em valores e atitudes, como o respeito ao outro.

Com relação ao uso do jogo para o ensino, Quartieri e Rehfeldt (2009) apontam que cabe ao professor proporcionar aos alunos uma discussão sobre os aspectos levantados na dinâmica do jogo que são relevantes para a aprendizagem do conteúdo matemático. Mediante isso, é de responsabilidade do professor optar por um jogo que seja adequado ao conteúdo que ele quer abordar, ou seja, o professor deve escolher o jogo que trará os resultados mais próximos daquilo que ele espera.

Considerando a possibilidade de se utilizar o jogo para o ensino da Matemática, este trabalho consiste em fazer uma análise dos jogos apresentados nos Trabalhos de Conclusão de Curso (TCC’s) do curso de Licenciatura em Matemática da Universidade Estadual do Paraná-Campus de União da Vitória, publicados no período de 2011 a 2016, com a finalidade de verificar se esses são jogos de fixação de conceito ou jogos de construção do conhecimento.


Este estudo é inspirado no trabalho de Richeki (2014), que traz uma discussão sobre a diferença entre os jogos de fixação de conceito e de construção do conhecimento. Segundo Grando (1995), jogos de fixação são aqueles cujo objetivo está expresso no próprio nome: fixar conceitos. Eles podem ser utilizados como substitutos das listas de exercício e são repassados após o conceito. Já os jogos de construção do

1 Trabalho da disciplina de Iniciação a Pesquisa. 2 Graduando em Licenciatura em Matemática, UNESPAR, União da Vitória, Paraná, [email protected] 3 Graduanda em Licenciatura em Matemática, UNESPAR, União da Vitória, Paraná, [email protected]. 4 Professora Doutora, UNESPAR, União da Vitória, Paraná, [email protected].


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conhecimento “[...] trazem ao jogador um assunto inicialmente desconhecido e, por meio do jogo, ele pode resolver uma situação problema proposta, adquirindo então conhecimento sobre este assunto” (LARA, 2009, apud RICHESKI, 2014, p.13).

Considerando que esses tipos de jogos possuem objetivos de ensino diferentes, o foco deste estudo é analisar os jogos propostos nos TCCs do curso de Licenciatura em Matemática da Unespar campus de União da Vitória. Para tanto, buscou-se no site do referido curso os TCCs que tratam dos jogos, sendo selecionados para análise os trabalhos que possuem como palavra-chave o termo jogo. Desse levantamento foram obtidos cinco trabalhos ao todo, apresentados no quadro abaixo, dispostos em ordem alfabética dos autores:

Quadro 1: TCCs analisados

AUTOR TÍTULO DO TCC ANO

GEVIESKI, T. JOGOS MATEMÁTICOS E PROGRESSÕES: ADAPTANDO O JOGO DA PACIÊNCIA E O DOMINÓ

2012

NAUMIUK, J. O JOGO RETIRE DOZE COMO AUXÍLIO NA FIXAÇÃO DAS QUATRO OPERAÇÕES ELEMENTARES

2013

RICHESKI, S, C. JOGOS NAS AULAS DE MATEMÁTICA: DIFERENÇA ENTRE JOGOS DE CONSTRUÇÃO E JOGOS DE FIXAÇÃO DE CONCEITOS

2014

SCOTNICCI, J. VELHA DAS FRAÇÕES: UM JOGO MATEMÁTICO COMO RECURSO DIDÁTICO

2012

WOITOVICZ, T. O USO DA TORRE DE HANÓI NO ENSINO DE PROGRESSÃO GEOMÉTRICA

2015

Fonte: Os Autores, 2018. Assim, o presente trabalho é caracterizado como uma pesquisa bibliográfica, que segundo Gil (2008,

p. 50) “[...] é desenvolvida a partir do material já elaborado, constituído principalmente de livros e artigos científicos”.

A investigação realizada sobre os TCCs no sentido de identificar qual o propósito do uso do jogo. Para tanto, foi feita a leitura das regras e da dinâmica dos jogos, trazendo informações pertinentes para que possamos categorizá-los como jogos de construção de conhecimento ou de fixação de conceito.

O elemento utilizado para que seja concebível a diferenciação da natureza do jogo consiste nos conhecimentos prévios do aluno quanto ao conteúdo que o jogo aborda. Categorizamos como jogo de fixação aqueles que, de acordo com Grando (1995), são jogos que necessitam do conhecimento prévio do aluno para que o mesmo possa jogar. Quanto aos jogos de construção de conhecimento, categorizamos seguindo a ideia de Lara (2009) apresentada por Richerski (2014), como aqueles que o aluno não necessita de conhecimento prévio para jogar e que do jogo é possível construir algum conhecimento específico.


Richerski (2014) traz em seu TCC uma diferenciação entre os jogos de fixação de conceito e de construção do conhecimento, discussão que nos inspirou a realizar a análise dos jogos propostos nos outros TCCs do curso de Licenciatura em Matemática. Junto da diferenciação, a autora apresenta três jogos de construção do conhecimento, e três jogos de fixação de conceitos, que são, respectivamente: Jogo do Vinte, Mestre e Adivinho e Termômetro Maluco, e Dominó das Matrizes, Jogando com Frações e Jogo da Memória das Frações Equivalentes. Como utilizamos esse trabalho de base para nosso artigo, omitiremos a categorização dos jogos apresentados, tendo em vista que assumimos os referenciais teóricos que tratam da diferenciação entre os jogos de fixação de conceitos e os de construção do conhecimento definidos por Richerski (2014).

O TCC de Gevieski (2012) apresenta dois jogos: Paciência e Dominó. Ambos voltados para Progressão Aritmética (P.A.) e Progressão Geométrica (P.G.). No jogo Dominó, os participantes devem ordenar as peças com suas respectivas respostas ou vice-versa. Nas palavras da autora, “pretende-se possibilitar ao aluno o desenvolvimento da sua concentração e da sua paciência. O aluno deve identificar que as sequências contidas nas cartas, formam progressões geométricas e progressões aritméticas” (GEVIESKI, 2012, p. 20). Sendo assim, é notório que eles já devem ter conhecimento sobre o tema abordado, ou seja, trata-se de um jogo de fixação de conceitos. Ao tratar do jogo de Paciência, a autora coloca que com “[...] esse jogo pretende-se que o aluno resolva questões referentes ao conteúdo P.A e P.G e desta forma assimile melhor o conteúdo”


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(GEVIESKI, 2012, p.18). Isso pressupõe que o aluno deva conhecer os conceitos de aplicação das fórmulas de P.A. e P.G. Novamente, a autora traz um jogo de fixação.

Naumiuk (2013) propõe o jogo Retire Doze. Sua forma de jogar consiste em um arremesso simultâneo de dois dados no formato de um hexaedro que darão dois números, disso, os “números sorteados podem ser utilizados como o jogador desejar, em operações aritméticas escolhidas e anunciadas por ele, devendo o mesmo retirar do tabuleiro a peça com o valor correspondente ao resultado da operação” (NAUMIUK, 2013, p.19). Para o jogador escolher a operação e realizá-la, o mesmo deve conhecer as quatro operações aritméticas, o que nos permite categorizar o jogo como de fixação.

O TCC de Scotnicci (2012) traz o jogo Velha das Frações, este, segundo a autora, “é uma proposta de atividade que engloba o conteúdo relacionado à adição de frações de mesmo denominador” (SCOTNICCI, 2012 p.15). O jogo requer que os participantes já conheçam o algoritmo da adição de frações. Devido a isso, o jogo apresentado é considerado um jogo de fixação e serve para sanar eventuais dúvidas dos alunos, como também contribuir para que estes fiquem mais familiarizados com o conteúdo, diminuindo assim as dificuldades apresentadas por eles.

O último TCC analisado foi publicado por Woitovicz (2015). A autora propõe o jogo Torre de Hanói para o ensino de Progressão Aritmética. A proposta do jogo é que os alunos tentem estabelecer uma relação entre o número de jogadas com a quantia de discos na torre. Partindo desse princípio, espera-se que os alunos compreendam que o crescimento correlativo entre jogadas e números de peças segue um padrão (quanto mais peças, mais jogadas). A partir disso, é que o professor deverá formalizar o conceito de Progressão Geométrica. Por não necessitar de nenhum conhecimento prévio dos alunos quanto a P.G. e basear-se na construção do conceito a partir do jogo Torre de Hanói, podemos classificar esse jogo como um jogo de construção do conhecimento, já que este traz ao jogador um assunto inicialmente desconhecido e, por meio do jogo, ele pode criar estratégias para resolver o problema apresentado, então adquirindo conhecimento sobre esse assunto. Os jogos de construção do conhecimento permitem o aluno investigar, levantar hipóteses e testá-las, para que assim possa verificar se os seus argumentos condizem com o problema. O caráter “científico” dos jogos de construção facilita aos alunos desenvolverem a visão analítica e lógica dos conteúdos propostos, e isso é trazido por Woitovicz (2015).

Já os jogos de fixação servem como a validação e aplicação do que fora proposto pelo professor, é a forma que os alunos têm de verificar na prática aquilo repassado na teoria. Esses jogos não necessitam da sistematização posterior do conteúdo que o embasa, pelo contrário, o jogo é proposto após a sistematização, uma vez que os alunos precisam conhecer o conteúdo e suas relações matemáticas para que possa jogar corretamente, como é o caso dos jogos propostos em Gevieski (2012), Scotnicci (2012) e Naumiuk (2013).

Sendo assim, a utilização de jogos de construção do conhecimento é interessante na perspectiva em que o professor opta por aguçar os sentidos investigativos dos alunos, mas sempre levando em conta a necessidade de sistematizar o conteúdo “descoberto” por eles. Já os jogos de fixação de conceito, são úteis ao servirem como ferramentas para analisar a assimilação do conteúdo por parte dos alunos, servindo como uma alternativa aos exercícios de fixação.


Conforme citado na problemática e justificativa, é importante frisar a grande responsabilidade do professor ao levar para a sala de aula o jogo que tratará os resultados mais próximos daqueles que ele pretende obter. Para isso, é essencial que o docente compreenda o objetivo do jogo que ele apresentará a seus alunos e qual sua relação com os processos de ensino e de aprendizagem.

Assim, neste trabalho abordamos a diferença entre os jogos de fixação e de construção do conhecimento, trazendo como exemplo os jogos que são propostos nos TCCs do curso de Licenciatura em Matemática da UNESPAR Campus de União da Vitória. Além de possibilitar a compreensão da diferença entre esses tipos de jogos, o estudo realizado aponta que a maioria dos TCCs trazem sugestões de jogos de fixação de conceito, indicando que mais trabalhos que proponham jogos de construção do conhecimento devem ser realizados.

REFERÊNCIAS GEVIESKI, T. Jogos matemáticos e progressões: adaptando o jogo da paciência e o dominó. Trabalho de Conclusão de Curso – Universidade Estadual do Paraná Campus de União da Vitória. União da Vitória, 2012. GRANDO, R C. O jogo e suas possibilidades metodológicas no processo ensino-aprendizagem da matemática. 1995, 175. Dissertação (Mestrado em Educação) – Faculdade de Educação, UNICAMP, Campinas, 1995. KISHIMOTO, T, M. Jogo, Brinquedo, Brincadeira e a Educação. 2ed. São Paulo: Editora Cortez, 1997.


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NAUMIUK, J. O Jogo Retire Doze como auxilio na fixação das quatro operações elementares. Trabalho de Conclusão de Curso – Universidade Estadual do Paraná Campus de União da Vitória. União da Vitória, 2013. PADIORA, N, M,W,L. Jogos e Matemática: Uma Proposta de Trabalho para o Ensino Médio. Disponível em: < http://www.diaadiaeducacao.pr.gov.br/portals/pde/arquivos/978-4.pdf>. Acesso em: 31 de maio De 2018. QUARTIERI, M, T; REHFELDT, M, J, H. Jogos Matemáticos para o Ensino Médio. In: VIII ENCONTRO NACIONAL DE EDUCAÇÃO MATEMÁTICA, 2004. Disponível em: < https://www.univates.br/ppgece/media/docs/materiais2009/Jogos_Pedagogicos.pdf>. Acesso em: 31 de maio de 2018. RICHESKI, S, C. Jogos nas aulas de Matemática: diferença entre jogos de construção e jogos de fixação de conceitos. Trabalho de Conclusão de Curso - Universidade Estadual do Paraná Campus de União da Vitória. União da Vitória, 2014. SCOTNICCI, J. Velha das Frações: um jogo matemático como recurso didático. Trabalho de Conclusão de Curso – Universidade Estadual do Paraná Campus de União da Vitória. SOMMERHALDER, A; ALVES, F, D. Jogo e a Educação da Infância: muito prazer em aprender. 1ed. Curitiba: Editora CRV Ltda. 2011. UNESPAR, Regulamento do trabalho de conclusão de curso, de 01 de abril de 2013. Curso de Matemática – Licenciatura. Disponível em: <http://matematicafafiuv.pbworks.com/w/file/fetch/64697171/Regulamento_TCC_Matem%C3%A1tica_2013.pdf>. Acesso em: 07 de julho de 2018 WOITOVICZ, T. O uso da Torre de Hanói no ensino de Progressão. Trabalho de Conclusão de Curso – Universidade Estadual do Paraná Campus de União da Vitória. União da Vitória, 2015.

O USO DAS TECNOLOGIAS NO ENSINO DA MATEMÁTICA: UMA ANÁLISE DOS

TCC’S DE MATEMÁTICA DA UNESPAR CAMPUS DE UNIÃO DA VITÓRIA – PR 1

BUENO, Adrieli2, ZAVADZKI, Letícia3, VELEDA, Gabriele Granada4

PALAVRAS-CHAVE: Recursos tecnológicos. Trabalhos de Conclusão de Curso. Matemática. PROBLEMÁTICA E JUSTIFICATIVA Atualmente, com o mundo globalizado, dispomos de inúmeros recursos tecnológicos que são utilizados em todos os lugares e a qualquer hora. As atualizações são constantes e a cada instante encontramos novidades que nos pasmam com a rapidez que elas se propagam, afetando nossas vidas, direta ou indiretamente, em todas as áreas e meios comunicativos. Com o avanço tecnológico, os profissionais da educação devem considerar que a formas de aprendizagem estão mudando, uma vez que o perfil dos estudantes desta nova geração está totalmente envolvido com o ambiente tecnológico desenvolvido, além de possuírem facilidade no manuseio e acesso aos dispositivos com informações instantâneas. Assim, os professores não podem ficar indiferentes a esses recursos, que estão cada vez mais presentes no nosso cotidiano, podendo ser usados para o ensino e a aprendizagem (BASNIAK; SILVA; GAULOVSKI, 2017).

Sobre o uso desses recursos tecnológicos na sala de aula, as Diretrizes Curriculares da Educação Básica de Matemática do Estado do Paraná (2008, p. 65) afirmam que “[...] o software, a televisão, as calculadoras, os aplicativos da Internet, entre outros, têm favorecido as experimentações matemáticas”, ou seja, o uso desses recursos pode contribuir com as aulas de matemática e auxiliar para a obtenção do conhecimento dos alunos. Como complementam as Diretrizes (2008, p. 66): “O trabalho com as mídias

1Pesquisa elaborada na disciplina de Iniciação à Pesquisa do curso de Licenciatura em Matemática da Universidade Estadual do Paraná, Campus de União da Vitória –PR. 2Acadêmica do Curso de Licenciatura em Matemática, UNESPAR, Campus de União da Vitória – PR, [email protected]. 3Acadêmica do Curso de Licenciatura em Matemática, UNESPAR, Campus de União da Vitória – PR, [email protected]. 4Doutora em Educação e Professora do curso de Licenciatura em Matemática, UNESPAR, Campus de União da Vitória – PR, [email protected]



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tecnológicas insere diversas formas de ensinar e aprender, e valoriza o processo de produção de conhecimentos”.

De acordo com Bittar (2011, p. 159), “[...] a tecnologia deve ser usada com fins de permitir ao aluno ter acesso a propriedades ou a aspectos de um conceito; ou ainda a atividades matemáticas diferentes daquelas habitualmente tratadas no ambiente papel e lápis”, ou seja, as monótonas aulas podem dar lugar a um ambiente mais dinâmico e envolvente, em que seja perceptível o interesse dos estudantes pelo conteúdo. Mas, esta ferramenta não é válida por si só, ela deve ser um instrumento para que os alunos a utilizem e transformem as tarefas em atividade de aprendizagem, pois os recursos tecnológicos, além de despertar o interesse dos alunos, podem até mesmo explicitar um conceito já visto, trazendo aportes relevantes para este processo, afim de que ocorra o ensino e a aprendizagem, neste caso, de matemática. Nesse contexto, Mercado (2001, p.1) afirma que “As novas tecnologias criaram novas chances de reformular as relações entre alunos e professores e de rever a relação da escola com o meio social, ao diversificar os espaços de construção do conhecimento, ao revolucionar processos e metodologias de aprendizagem, permitindo à escola a um novo diálogo com os indivíduos e com o mundo”.

Com tantos recursos tecnológicos disponíveis e elaborados para serem usados em sala de aula, pensados para auxiliar no processo de educação dos alunos como jogos e softwares digitas (BASNIAK; SILVA; GAULOVSKI, 2017), o objetivo deste trabalho é o mapear os Trabalhos de Conclusão de Curso (TCC’s) do curso de Licenciatura em Matemática da UNESPAR, campus de União da Vitória- Paraná, com a finalidade de analisar como os recursos tecnológicos têm sido abordados nesses trabalhos.


Aportados em Gil (2008), temos que o presente trabalho se caracteriza como uma pesquisa bibliográfica. De acordo com o autor, “O primeiro procedimento adotado numa pesquisa bibliográfica, [...] consiste na formulação do problema que se deseja investigar”. Assim, nosso problema consiste em investigar como os recursos tecnológicos têm sido usados e apresentados nos TCC’s do Curso de Matemática da Unespar, campus de União da Vitória – Paraná.

Na sequência, Gil (2008, p. 73) aponta a necessidade da “[...] identificação das fontes capazes de fornecer as respostas adequadas à solução do problema proposto”. Disso, realizamos uma busca no site do curso de Licenciatura em Matemática, o qual disponibiliza para download os diversos TCC’s já concluídos pelos docentes formados pela Unespar campus União da Vitória entre os anos de 2011 e 2016. Como critério de escolha para nosso estudo, buscamos as palavras-chaves relacionadas à tecnologia presente nos títulos e subtítulos dos TCC’s. Foram selecionados para análise 7 (sete) trabalhos, sendo estes: Princival (2012), Bughay (2012), Kochan (2013), Gruchowski (2015), Maieski (2015), Filus (2015) e Geronço (2015).

Como o objetivo neste trabalho é analisar como as tecnologias são abordadas nos TCCs, partimos do entendimento que o uso dessas tecnologias em sala de aula pode se dar de duas formas. Os recursos tecnológicos como o computador, a calculadora, os softwares e os programas computacionais, podem ser utilizados apenas como substitutos dos recursos tradicionais como o lápis, papel e réguas, ou seja, como recursos didáticos. Ou, a apropriação dessas tecnologias pode se dar aliadas ao conhecimento de metodologias de ensino e dos processos de aprendizagem (KENSKI, 2003). Nessa segunda opção, a tecnologia pode ser entendida como uma metodologia de ensino que promove a participação de todos os envolvidos, possibilitando a aprendizagem por meio de descobertas e estabelecimento de relações matemáticas usando os recursos tecnológicos.

Assim, investigamos nos TCC’s selecionados se os recursos tecnológicos são sugeridos como recursos didáticos ou como metodologia de ensino. Faz parte da pesquisa identificar quais são os softwares e aplicativos utilizados nos trabalhos para, assim, buscarmos compreender as finalidades desses dispositivos. Buscamos também as contribuições que os autores apresentam a partir de suas análises. Nesse sentido, trazemos os pontos positivos e os cuidados que o professor deve ter ao usar a tecnologia em sala de aula, conforme a proposta dos autores dos TCC’s.

Na seção seguinte é apresentada a análise e a discussão sobre os resultados encontrados.


Todos os sete trabalhos analisados visam apresentar ao leitor uma proposta para ensinar determinado conteúdo matemático usando a tecnologia, sendo que dois deles relatam o desenvolvimento da proposta, conforme explicito na Figura 1.


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Figura 1: Tarefas apresentadas nos TCC’s.

Fonte: As autoras.

Assim, inferimos que todos os trabalhos analisados têm a tecnologia como metodologia, uma vez que as tarefas propostas (desenvolvidas ou não), não utilizaram a tecnologia somente como apoio ou base para as tarefas, mas envolvem observações sobre o que está ocorrendo no dispositivo, para que os alunos relacionem tais informações e construam o conhecimento matemático.

Algumas monografias deixam isso explicito como é o caso de Filus (2015), que propõe uma tarefa articulando a utilização da Investigação Matemática e das Tecnologias de Informação. Já outras monografias apresentam, de forma implícita, quais as metodologias utilizaram para propor as tarefas elaboradas nos TCC’s como é o caso de Maieski (2015, p. 7): “Para a realização das tarefas utiliza-se como objeto de aprendizagem um arquivo construído no software GeoGebra”. Ou, ainda, Gruchowski (2015, p. 12), que coloca da seguinte forma: “Por meio do uso do aplicativo Pad Geometria de dispositivos móveis na proposta de ensinar o conteúdo de função afim, tendo em vista a compreensão e noção intuitiva, as caraterísticas e representação gráfica da função afim”. Já Geronço (2015, p. 6) ressalta que em seu trabalho “[...] é apresentada a proposta de ensino, utilizando como recurso didático as construções apresentadas no trabalho”, logo, a tecnologia acaba também proporcionando a construção do conhecimento, se tratando de uma proposta de ensino, ou seja, pode ser considerada como metodologia.

Alguns trabalhos alegam que a tecnologia é uma forma de chamar a atenção dos alunos, podendo proporcionar uma aprendizagem de forma dinâmica. Os autores dos trabalhos também afirmam que somente a tecnologia não será suficiente para ensinar um conteúdo matemático, é necessário pensar nos conteúdos que serão abordados, juntamente com o objetivo da tarefa e como será utilizada a tecnologia de forma que contribua com a aprendizagem dos alunos. Conforme ressalta Geronço (2015), a tecnologia deve estar à serviço do aluno, permitindo a construção do conhecimento.

Os dois TCC’s que desenvolveram tarefas com os alunos, foram com alunos do ensino médio, sendo que Kochan (2013) desenvolveu com 3 (três) turmas do ensino médio em uma escola em que trabalhava, e Princival (2012) desenvolveu sua tarefa em seu Estágio Curricular Supervisionado. No relato de experiência feito pelas autoras, temos conclusões semelhantes com relação a participação dos alunos. Segundo Princival (2012, p. 49), “[...] é fato que alguns [alunos] não gostam de atividades, nas quais precisem pensar e ficam esperando auxílio do professor, ou até mesmo não confiem em suas conjecturas se não há o aval do educador, o que também pode ser reflexo da forma letárgica que sempre receberam os conteúdos”. Ou seja, nem todos os alunos iram tomar iniciativa, ou até mesmo completar a tarefa sem auxílio. Kochan (2013, p. 78) destaca que “[...] cada turma demonstrou diferentes dificuldades, em cada uma das atividades, e que boa parte dos alunos ainda precisa se habituar a escrever mais quando se solicita que justifique uma resposta, pois é nesta justificativa que a professora terá a certeza, se o aluno entendeu o conceito ou não. Também deixo claro que se eu fosse aplicar novamente algumas atividades, talvez reformulasse algumas questões, pois antes de aplicar, para mim, estava muito claro o que eu queria saber, mas para alguns alunos não ficou”.

A partir de suas experiências, Princival (2012) e Kochan (2013) afirmam que existem alunos que possuem menos agilidade com a tecnologia que outros, e isso acaba atrasando o desenvolvimento da tarefa. Relatam que é necessário estar preparado para os possíveis imprevistos em aulas que envolvem o uso de tecnologias, visto que os dispositivos selecionados podem apresentar problemas. Também evidenciam a importância de ter um bom enunciado nas tarefas propostas. Apesar das dificuldades, as autoras ressaltam que há grande entusiasmo por parte dos alunos, se comparado às aulas tradicionais de matemática.

Como nos demais trabalhos os autores apresentam propostas de ensino com uso de tecnologias, eles não trazem contribuições com relação ao que pode acontecer na sala de aula quando a proposta é aplicada.

Ao lermos os trabalhos, também buscamos o software/aplicativo utilizado nas propostas. Observamos que 6 (seis) trabalhos utilizaram o GeoGebra em sua versão 3D. Provavelmente a escolha deste software,


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seja na versão 2D ou 3D, se dê pelo fato de que é um software gratuito, de fácil acesso, compreensão e utilização para professores e alunos. Ele combina álgebra, gráfico, geometria, tabelas, cálculos e estatística e é encontrado na maioria das escolas do Paraná.

Outro software utilizado em 1 (um) dos trabalhos é o Pad Geometria, um aplicativo de geometria dinâmica para dispositivos móveis, que possui uma versão gratuita e uma paga. O aplicativo está escrito em inglês, mas, segundo Gruchowski (2015, p. 16), “exibe uma caixa de inserção de objetos simples e explicativa, o que torna seu uso objetivo e modesto”. Nele é possível criar gráficos, tabelas e formas geométricas fundamentais, por exemplo. O uso desse aplicativo requer atenção, pois, como alerta Gruchoswski (2015, p. 53), “[...] o professor poderá se deparar com a perca de foco do aluno, momento em que ele venha a se distrair com outras funções do uso do smartphone”.

O Br. Office Calc, utilizado por Princival (2012), é um software livre capaz de rodar em qualquer sistema operacional, como Linux ou Windows. Trata-se de uma planilha eletrônica similar ao Microsoft Office Excel, que pertence ao pacote Microsoft Office. O Br. Office Calc possibilita ao usuário efetuar cálculos complexos de forma mais rápida com a utilização de fórmulas matemáticas e funções. Pode ser utilizado no auxílio ao ensino da Matemática, na criação de tabelas e gráficos de funções, além de estimular habilidades lógico-matemáticas e de interpretações gráficas.

Somente um dos trabalhos analisados apresentou uma programação no software. Maieski (2015) utilizou um arquivo construído no software GeoGebra como objeto de aprendizagem, ou seja, a base da tarefa proposta no trabalho seria tal arquivo.

O GeoGebra, o Pad Geometria e o Br. Office Calc possibilitam a alteração de seus objetos, ou seja, através destes softwares é possível realizar a criação e manipulação de gráficos, tabelas, formas geométricas, etc. Se o objetivo em questão for de o aluno compreender determinados conceitos, a tecnologia pode ser uma grande aliada, pois ela não exige trabalho braçal, com tarefas monótonas e de repetição, já que se trata de um recurso dinâmico e versátil. CONSIDERAÇÕES FINAIS

Com tantos recursos tecnológicos disponíveis para serem usados em sala de aula, analisamos como eles são abordados nos TCC’s do curso de Licenciatura em Matemática da Unespar, campus de União da Vitória. Como um dos resultados, temos, de maneira geral, que autores dos TCC’S afirmam que utilizar esses recursos tecnológicos em sala de aula é de grande valia para todos os envolvidos, pois permite aos alunos experimentarem diferentes maneiras de conceber o conhecimento utilizando meios mais atuais e dinâmicos.

Dentre os trabalhos analisados, a maioria apresenta uma proposta de ensino, apenas dois investigam e analisam a prática. Entendemos que trabalhos que discutem a prática do ensino usando a tecnologia trazem subsídios importantes para compreender como se dá o uso das tecnologias no ensino de matemática. Tais trabalhos poderiam ser realizados, por exemplo, atrelado ao estágio de regência, que é uma atividade obrigatória no curso, como fez Princival (2012).

Nas conclusões dos trabalhos, os autores relatam que trabalhar com tecnologias é um desafio e se torna algo instigante. As tecnologias podem ser utilizadas no processo de ensino e aprendizagem dos alunos, de forma coerente, para aguçar o interesse e a curiosidade deles, para que haja a construção do conhecimento matemático. Esses trabalhos apontam que é necessário conhecimento e familiaridade com o recurso tecnológico que será usado, seja seus dispositivos ou softwares, e planejamento de como isso será discorrido em sala de aula.

Concluímos que se faz necessário explorar os diferentes recursos tecnológicos para se ensinar matemática. É importante insistir na utilização desde meio, por mais que haja dificuldades, pois, é assim que o professor irá adquirir experiência prática e possibilitará a seus alunos aprenderem matemática de formas diferentes do habitual. Logo, os professores e futuros professores devem estar atentos para o uso desses recursos, que se explorados de maneira correta, proporcionam diferentes caminhos para o saber.

REFERÊNCIAS BASNIAK, M. I.; SILVA, S. C. R.; GAULOVSKI, J. M. Tecnologias digitais e ensino da matemática no Brasil: uma revisão da literatura de 2010-2017. Revista Tecnologias na Educação, ano 9, n. 23, dezembro 2017. Disponível em <http://tecedu.pro.br/wp-content/uploads/2017/12/Art27-vol.23-Dezembro-2017.pdf>. Acesso em 21 maio 2018. BITTAR, M.; A abordagem instrumental para o estudo da integração da tecnologia na prática pedagógica do professor de matemática. Educar em Revista. Curitiba - PR n. Especial 1, p. 157-171, 2011. BUGHAY, J. de F. C. S.; Uma proposta de ensino para introduzir conceitos do cálculo utilizando as contribuições de Arquimedes através do uso do GeoGebra. União da Vitória: UNESPAR, 2012. FILUS, W. D.; Explorando construções dos sólidos regulares no software GeoGebra 5.0: uma proposta de ensino por meio da investigação matemática. União da Vitória: UNESPAR, 2015.

http://tecedu.pro.br/wp-content/uploads/2017/12/Art27-vol.23-Dezembro-2017.pdf

http://matematicafafiuv.pbworks.com/w/file/64898656/UMA%20PROPOSTA%20DE%20ENSINO%20PARA%20INTRODUZIR%20CONCEITOS%20DO%20C%C3%81LCULO%20UTILIZANDO%20AS%20CONTRIBUI%C3%87%C3%95ES%20DE%20AR.pdf

http://matematicafafiuv.pbworks.com/w/file/64898656/UMA%20PROPOSTA%20DE%20ENSINO%20PARA%20INTRODUZIR%20CONCEITOS%20DO%20C%C3%81LCULO%20UTILIZANDO%20AS%20CONTRIBUI%C3%87%C3%95ES%20DE%20AR.pdf


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GERONÇO, S.; Uma proposta para o ensino de área e volume de prismas utilizando o GeoGebra 3d como recurso didático. União da Vitória: UNESPAR, 2015. GIL, A. C.; Como elaborar projetos de pesquisa. 4. ed. São Paulo: Atlas, 2008. GRUCHOWSKI, J. V.; O uso do aplicativo Android Pad Geometria no ensino de função afim. União da Vitória: UNESPAR, 2015. KENSKI, V. M.; Aprendizagem mediada pela tecnologia. Revista Diálogo Educacional, Curitiba - PR, v. 4, n.10, p.47-56, set./dez. 2003. KOCHAN, K. A.; O uso do software GeoGebra no estudo das equações da reta. União da Vitória: UNESPAR, 2013. MAIESKI, P. A.; Sistemas de amortização: uma proposta de ensino no software GeoGebra. União da Vitória: UNESPAR, 2015. MERCADO, L. P. L.; A internet como ambiente auxiliar do professor no processo ensino aprendizagem. In: Conferência Internacional sobre Educación, Formación y Nuevas Tecnologías y e-Learning, 2002, Sevilla, Espanha. Actas de Virtual Educa 2002. Sevilla - Espanha: Virtual Educa 2002, v. 1, 2002, 12 p. PARANÁ, Secretaria de Estado da Educação. Diretrizes curriculares da educação básica: matemática. Curitiba: SEED, 2008. PRINCIVAL, C. J.; O uso dos softwares br. Office Calc e GeoGebra no ensino de funções quadráticas. União da Vitória: UNESPAR, 2012.

POLIEDROS E CONSTRUÇÕES DE REPRESENTAÇÕES DE POLIEDROS: ORIGAMI1

LIMA, Lucas R. de2, MARQUES, Isane M. W.3

PALAVRAS CHAVE: Origami modular. Poliedros regulares convexos. Construção de representações de

poliedros.

PROBLEMÁTICA E JUSTIFICATIVA

O que motivou o desenvolvimento deste trabalho foi a situação atual do ensino nas escolas brasileiras, a nível fundamental e médio. O ensino de Matemática no Brasil é um problema que vem sendo discutido ao longo das últimas décadas sem apresentar uma solução definitiva para o problema.

Diversas metodologias de ensino foram empregadas no Brasil durante as últimas décadas (FIORENTINI, 1995), mas o ensino de matemática continua apresentando diversos problemas, as metodologias não atingem completamente seus objetivos. Nossos alunos não demonstram interesse pela maior parte dos conteúdos apresentados nas escolas. A disciplina de matemática ainda sofre o preconceito de ser algo difícil, entediante e algo destinado a ser entendido por apenas alguns poucos, que possuem uma sabedoria e inteligência acima do normal.

Segundo Druck (2010, p. 1 apud BICALHO, 2013, p. 1) somente 10% dos alunos brasileiros atingem os níveis mais altos de proficiência matemática, enquanto em países como a Coréia do Sul, Cuba e Finlândia, a grande maioria dos alunos desenvolvem essa capacidade. Fainguelernt (2012, p. 5 apud BICALHO, 2013, p. 2) afirma que esse problema ocorre porque os alunos estão desmotivados e os professores, também desmotivados, passam a repetir modelos antigos e fora de contexto, de maneira automatizada e sem integrar a disciplina com outras áreas do conhecimento.

Nosso principal objetivo com este trabalho é trazer uma maneira diferente de apresentar aos alunos o conteúdo de poliedros, parte da geometria espacial. Acreditamos que quando os alunos têm a oportunidade de construir algo, seja um objeto, um trabalho ou um desenho, o conhecimento envolvido no processo passa a ser mais significativo para ele. Com base nesses pressupostos, trazemos uma alternativa para trabalhar o conteúdo de poliedros nas escolas, sendo ela o uso do Origami modular (técnica em que os modelos são construídos com peças oriundas de folhas diferentes de papel, ao invés de utilizar apenas uma folha), em que os alunos constroem as representações e, a partir delas, o professor pode explorar os conceitos relacionados que serão estudados.

1 Artigo Científico elaborado como parte da avaliação da disciplina de Iniciação à Pesquisa (fev. 2017). 2 Graduando do curso de licenciatura em matemática, Universidade Estadual do Paraná (UNESPAR), <[email protected]>. 3 Graduanda do curso de licenciatura em matemática, Universidade Estadual do Paraná (UNESPAR), <[email protected]>.


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Iniciamos o trabalho com um estudo bibliográfico sobre os poliedros, apresentando sua definição, características e alguns tipos de classificação. Tivemos como foco nesse estudo os poliedros regulares convexos e os sólidos de Arquimedes. Como resultados do estudo bibliográfico, destacamos o conceito de simetria, em que um poliedro é considerado simétrico quando, ao ser rotacionado sobre um eixo, seus elementos (vértices, arestas e faces) seguem sempre a mesma “órbita de simetria”. Dependendo dos elementos que estão em órbita, os poliedros são classificados como regulares, quase regulares e semirregulares.

Após a pesquisa bibliográfica, apresentamos uma maneira de construir todos os poliedros regulares convexos através do Origami modular, sendo eles o tetraedro, o octaedro, o icosaedro (MORALES, M.; MORALES, A, 2009.), o hexaedro (KANAGAE; IMAMURA, 1999.) e o dodecaedro (DODECAEDRO, 2014). No presente texto, apresentamos como exemplo apenas o passo a passo para a construção do hexaedro, devido à limitação do resumo.


O uso de tecnologias para o ensino de matemática permite trazer para a sala de aula, de uma maneira mais dinâmica, conteúdos que antes ficavam limitados ao espaço bidimensional da lousa ou do livro didático. Objetos manipuláveis também permitem aos alunos observar as características dos elementos que estão estudando, de forma que os alunos podem ver e sentir os objetos e não apenas imaginá-los com base em um desenho bidimensional.

Construir os poliedros com Origami é uma alternativa que permite aos alunos a manipulação de objetos tridimensionais representantes do conceito abstrato de poliedro, além de trazer para a sala de aula uma técnica de construção recreativa, tirando os alunos da rotina. Ao final das construções, também, cada aluno ou grupo de alunos terá para si um representante de cada poliedro convexo regular.


Com este trabalho esperamos contribuir para o ensino de matemática trazendo uma alternativa para o professor apresentar o conteúdo de poliedros. Sabemos que o ensino de matemática não é algo que muda da noite para o dia, mas se nós, professores de matemática, buscarmos sempre nos reinventar, com certeza contribuiremos para fazer da Matemática uma disciplina mais interessante para o aluno e gratificante de estudar.

Com essas construções é possível discutir com os alunos os conceitos de vértice, aresta, faces, além de conceitos da geometria plana, que aparecem durante as construções, sendo alguns exemplos, representações de retas, ângulos e segmentos. Como as construções são de poliedros convexos regulares, é possível também discutir com os alunos o que define um sólido com essas características.

O quadro 1 apresenta, como exemplo, uma das construções apresentadas no trabalho.

Quadro 1 - Construção do hexaedro regular.

Iniciamos a construção do cubo com um pedaço de papel quadrado.

Em seguida unimos duas pontas opostas do quadrado e dobramos, repetindo para as outras pontas.

Fazemos o mesmo processo unindo lado com lado, obtendo as dobras indicadas na figura.


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Prosseguimos levando duas pontas até o centro do quadrado conforme indicado, depois desdobramos

novamente.

Em seguida, usamos a dobra que se formou no passo anterior como base e dobramos da maneira indicada na figura, de forma que a lateral fique sobre o vinco.

O próximo passo consiste em levar a ponta do vinco até o centro do quadrado, marcado pelos vincos dos

passos anteriores.

Repetindo o processo na outra ponta deve-se chegar ao caso apresentado na figura.

Agora, viramos o modelo para o outro lado.

E dobramos conforme indicado.

O mesmo para o outro lado.

Agora, as partes finas das laterais devem ser dobradas para cima, deixando as pontas triangulares.


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Para finalizar a peça, basta dobrar as laterais sobre o centro, conforme a figura.

O cubo necessita de um total de seis peças iguais.

As peças devem ser encaixadas conforme a figura indica: uma ponta é encaixada por baixo da abertura

da face.

A figura apresenta as duas primeiras peças encaixadas.

E o cubo finalizado.

Fonte: os autores.

REFERÊNCIAS

BICALHO, Jossara B. de S. Um estudo sobre poliedros e atividades para o ensino de matemática: geometria da bola de futebol e pipa tetraédrica. 2013. 78 f. Dissertação (Mestrado em matemática) - Universidade Federal de Viçosa, Viçosa, 2013. Disponível em: <http://alexandria.cpd.ufv.br:8000/teses/matematica/2013/250950f.pdf>. Acesso em: 11 fev. 2017. DODECAEDRO: Origami modular. Construção de dodecaedro regular com Origami, 2014. 6'13''. Disponível em: <https://www.youtube.com/watch?v=8mpbil36gAU>. Acesso em: 13 fev. 2017. FIORENTINI, Dario. Alguns modos de ver e conceber o ensino da matemática no Brasil. Revista Zetetiké: Revista de educação matemática, Campinas, v. 3, n. 4, p. 1-38, 1995.


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KANAGAE, Mari; IMAMURA, Paulo. Origami: Arte e técnica da dobradura de papel. 10. ed. São Paulo: Ysayama Editora, 1999. 142 p. MORALES, Marcel; MORALES, Alice. Star and convex regular polyhedra by Origami: Build polyhedra by Origami. [S. l.], Edition Morales, 2009. 139p.

POR QUE ARTICULAR ENSINO EXPLORATÓRIO DE MATEMÁTICA E RPG?1

JAKIMIU, Matheus Gustavo2, ESTEVAM, Everton José Goldoni3

PALAVRAS-CHAVE: Ensino de Matemática. Jogos. Role Playing Game. PROBLEMÁTICA E JUSTIFICATIVA

Um grande desafio para o professor, não só o de Matemática, consiste em fomentar condições favoráveis à aprendizagem dos alunos, que lhes motivem a se engajarem nas tarefas propostas, bem como colabore para uma aprendizagem com sentido, transcendente à memorização de fórmulas e reprodução de exercícios. O Role Playing Game surge como um recurso proeminente nas pesquisas assentes neste campo.

O Role Playing Game, disseminado popularmente pela sigla RPG, é comumente traduzido como Jogo de Interpretação. Ele pode ser descrito, essencialmente, como “um jogo de faz-de-conta, em que cada um dos participantes conta histórias e também atua, assumindo o papel de um dos personagens principais da história” (JUNGES; GAY; ABEL, 2017, p. 8). No RPG, cada participante interpreta seu personagem, mas um deles assume o papel do mestre, também chamado de narrador, cuja função é descrever o ambiente onde se passa o jogo, narrar o que está acontecendo, interpretar todos os outros personagens não-jogadores, aplicar as regras do sistema e, acima de tudo, garantir que todos se divirtam.

Marcatto (1996), citado por Lima et al. (2006, p. 2), afirma que “o RPG é um excelente instrumento para abordarmos, na fantasia, aspectos da realidade que queremos compreender melhor. Ele permite a simulação de situações num ambiente protegido, imaginário”. Por meio do RPG podemos não apenas apresentar situações e tarefas aos alunos, em forma escrita, mas colocá-los dentro da tarefa. Referimos, deste modo, o conceito de imersão, que é definido como “a sensação de estar cercado por uma realidade completamente diferente [...] que toma conta de toda nossa atenção, todo nosso aparato sensorial” (MURRAY, 1997 apud ERMI; MÄYRA, 2005, p. 4, tradução nossa). Em uma de suas pesquisas, Brown e Cairns (2004) classificam a imersão em três níveis: engajamento, absorção e imersão total. Eles concluem que um nível mais elevado de imersão pode ser vantajoso na educação, sendo claro que o engajamento e, possivelmente, a absorção são essenciais ao processo de aprendizagem (BRANSFORD; BROWN; COCKING, 1999). Os autores afirmam que, quando engajado em um jogo, um jogador está interessado nele e deseja continuar jogando. No nível de absorção, há um investimento emocional, “o jogo se torna a parte mais importante da atenção do jogador” (BROWN; CAIRNS, 2004, p.1299, tradução nossa). Alcançando a imersão total, o jogador se esquece das coisas à sua volta e foca essencialmente o que está fazendo no jogo. Dessa forma, um entendimento mais aprofundado de imersão, bem como saber como manipulá-la, pode conduzir a melhores formas de engajar alunos em seu processo de aprendizagem, e o RPG auxilia na imersão do aluno.

Transpondo os princípios de imersão para a educação, podemos relacioná-los com pesquisas que utilizam o RPG no ensino, nomeadamente, a partir dos resultados obtidos por autores como Amaral (2013), Carolei (2012), Lima et al. (2006), Bressan (2014), Silva (2014) e Feijó (2014). De maneira geral, elas ressaltam em relação aos alunos: aumento na motivação e na participação nas aulas; sentimento de liberdade para se expressar; conhecer suas personalidades; facilidade em se lembrar de detalhes; estímulo para diferentes resoluções para um mesmo problema; colaboração entre colegas e com professor para solucionar dúvidas; discussões sobre relações entre a Matemática com seu cotidiano; empenho em resolver o que lhes é proposto; e desenvolvimento de atitudes argumentativas e questionadoras. Considerando que o Ensino Exploratório de Matemática (EEM) admite como dimensões fundamentais o inquiry, a colaboração, a comunicação e a reflexão (PAULEK; ESTEVAM, 2017), estes parecem ser aspectos que aproximam e podem evidenciar contribuições do RPG quando associados a esta perspectiva de ensino.

1 Projeto de Pesquisa de Iniciação Científica. 2 Acadêmico do curso de Licenciatura em Matemática, Universidade Estadual do Paraná (UNESPAR), [email protected]. 3 Doutor em Ensino de Ciências e Educação Matemática, Professor Adjunto da Universidade Estadual do Paraná

(UNESPAR), [email protected].


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Portanto, este trabalho busca investigar aspectos quer permitem associar o Role Playing Game – RPG à perspectiva do Ensino Exploratório de Matemática.


Através da investigação de textos teóricos, este trabalho constitui-se em um estudo de natureza qualitativa documental sobre bibliografias selecionadas que possibilitam compreender e explicitar aspectos que permitam articular o RPG com o Ensino Exploratório de Matemática.

Para delinear o corpus documental da pesquisa, os textos foram selecionados a partir de buscas no Google, Google Acadêmico e portal de teses e dissertações da CAPES, por meio da inserção dos seguintes termos: RPG; Role Playing Game; RPG no ensino; RPG e educação; RPG pedagógico. O refinamento dos resultados se deu a partir da análise do título dos textos, considerando aqueles que relacionavam explicitamente o RPG ao ensino de Matemática. Contudo, alguns trabalhos que tratavam dimensões amplas do RPG pedagógico também foram considerados, sob o pressuposto de que poderiam oferecer elementos relevantes ao objetivo proposto. De posse dos artigos selecionados, foi realizada a leitura dos resumos de todos os trabalhos, dos artigos na íntegra, e de seções específicas de dissertações e livros que explicitavam fundamentos e resultados relacionados à experiências com o RPG.

Para estudo acerca do Ensino Exploratório de Matemática, foram considerados artigos e capítulos de livros previamente conhecidos pelos autores e proeminentes na literatura internacional. Particularmente, foram considerados os trabalhos resultantes do projeto P3M, realizado por um grupo de pesquisadores portugueses e coordenados pelo professor João Pedro da Ponte, da Universidade de Lisboa; e do projeto Recursos Multimídia para a formação de Professores que ensinam Matemática, coordenado pela professora Márcia Cyrino e desenvolvido pelo Gepefopem, na Universidade Estadual de Londrina, no Brasil.

Durante os estudos bibliográficos foi construído um quadro com a identificação dos aspectos característicos e fundantes do RPG e do Ensino Exploratório. Este quadro foi analisado meticulosamente e, em conjunto com as experiências dos autores em ambos os campos, possibilitou traçar articulações entre essas perspectivas.


Na década de 90 surgiram os primeiros estudos sobre a utilização do RPG na educação, e hoje o Brasil já é um dos países mais avançados na área (PAVÃO, 2000 apud AMARAL, 2013; RIYIS, 2017). Segundo observações de Amaral (2013), comprovou-se na prática que o RPG utilizado na educação gera participação ativa dos alunos, fortalecimento das relações sociais, motivação para escrever, interesse pelas aulas e associação entre conceitos científicos vistos em aula e seu conhecimento cotidiano. Um aluno do 2º ano do ensino médio, que participou de sessões de RPG voltadas para a educação, disse que “na escola, aprendemos primeiro as soluções para depois encontrarmos os problemas. No RPG surge a oportunidade de inverter essa ordem” (AMARAL, 2013, p. 20).

As pesquisas parecem corroborar, portanto, o potencial do RPG para a mobilização das dimensões fundamentais do Ensino Exploratório de Matemática, as quais as tarefas que suportam as aulas e a dinâmica das aulas devem encorajar (PAULEK; ESTEVAM, 2017). A comunicação, a colaboração e o inquiry estão intrinsecamente presentes no RPG, facilitando a sua integração como um recurso para o EEM. Normalmente, as aulas são organizadas em três fases, propostas por Stein et al. (2008) e citadas por Oliveira, Menezes e Canavarro (2013), que consistem no “lançamento” da tarefa, na “exploração” pelos alunos, e na “discussão e sintetização”. Estudos brasileiros têm ampliado essas fases para quatro, quando separam a terceira, proposta por Stein et al. (2008), em outras duas: discussão coletiva; e sistematização das aprendizagens (CYRINO, 2016). Independentemente, as duas primeiras fases podem facilmente ser relacionadas ao RPG de maneira que, da mesma forma que o mestre apresenta um desafio e cabe aos jogadores encontrarem formas de superá-lo, o professor apresenta uma tarefa e cabe aos alunos encontrarem formas de resolvê-la. O lançamento da tarefa ocorre na apresentação da situação, a exploração através de inquiry, colaboração e comunicação acontece enquanto os alunos/jogadores buscam a resolução da tarefa, e a reflexão por meio de discussão e sistematização pode ser realizada após a sua conclusão.

Além disso, Canavarro (2011) afirma que no EEM é importante que o professor esteja preparado para criar um ambiente estimulante em sala de aula, que encoraje os alunos a participarem de forma ativa, desenvolvendo seu trabalho em conjunto, ouvindo, falando, explicando e questionando. O professor pode fazer isso utilizando tarefas que podem caracterizar problemas, investigações ou explorações (PONTE, 2005), partindo sempre de uma situação desafiadora com potencial de envolver os alunos e desencadear formas complexas de pensamento (CANAVARRO, 2011). A criação desse ambiente pode ser auxiliada pelo RPG, apresentando as tarefas como desafios dentro do jogo e favorecendo o engajamento e consequente imersão dos alunos, que poderão trabalhar na sua resolução como seus personagens, mas ainda assim sendo responsáveis pelo trabalho de exploração e elaboração do conhecimento (PAULEK; ESTEVAM, 2017), com


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sua aprendizagem decorrendo “da possibilidade de trabalharem com tarefas matemáticas ricas e de poderem partilhar com os colegas e o professor as suas ideias” (OLIVEIRA; MENEZES; CANAVARRO, 2013, p. 3), o que é reforçado pela natureza cooperativa do RPG.

Ao ler reflexões de um professor a partir do relato de uma aula na perspectiva do Ensino Exploratório (ESTEVAM, 2016), pode-se notar paralelos entre o trabalho de um professor e de um mestre de RPG, principalmente com um grande desafio em comum que é o planejamento da aula/sessão. Assim, a antecipação de possíveis ações e estratégias dos alunos/jogadores e a forma como o professor/mestre reage a isso para não desviar o foco do objetivo da aula/sessão mantendo o engajamento dos alunos/jogadores e sem direcionar suas ações é algo extremamente complexo, mas que pode se tornar mais fácil com a prática. A preparação de sessões de RPG pode contribuir para a preparação de aulas e vice-versa, de forma que o RPG contribua também com o desenvolvimento do professor.

Portanto, o RPG pode ser explorado como contexto para o desenvolvimento de tarefas assentes no Ensino Exploratório de Matemática e envolvendo conteúdos diversos da Matemática, sejam eles novos para os alunos ou não. O desenvolvimento de níveis de imersão mais elevados pode conduzir seu engajamento, sua motivação e sua atenção em relação à tarefa proposta, cuja cooperação em grupo permite e promove o alcance conjunto dos objetivos. O avanço acontece a partir de acertos, mas também dos erros que, ao serem percebidos, estimulam os próprios alunos a buscar formas de corrigi-los e evitá-los no futuro, entendendo sua origem e como poderiam encaminhá-los. CONSIDERAÇÕES FINAIS

Os resultados deste estudo colaboram para a elucidação de aspectos que esclarecem as contribuições que o RPG pode oferecer para o Ensino Exploratório de Matemática, assim como possíveis potenciais dessa perspectiva de ensino para o RPG pedagógico. Dessa forma, além de trazer resultados significativos para o contexto científico no campo da Educação Matemática, eles auxiliam a elucidação do potencial e das implicações de práticas assentes no Ensino Exploratório de Matemática e, por conseguinte, para admissão deste como possibilidade promissora para o ensino de Matemática nos diferentes níveis, especialmente na Educação Básica, já que os conteúdos envolvidos nas aulas que suportam este estudo referem aqueles do Ensino Fundamental e Médio.

Com base na discussão apresentada, concluímos que a articulação entre RPG e Ensino Exploratório de Matemática é possível, em virtude das semelhanças identificadas entre essas duas práticas. Nomeadamente, ficam explícitos os paralelos entre a preparação de uma aula pelo professor e de uma sessão de RPG pelo mestre; os papéis desempenhados pelo professor e pelo mestre, bem como aquele dos alunos e dos demais participantes do RPG, considerando as dimensões fundamentais do Ensino Exploratório; bem como, as dinâmicas que orientam as duas perspectivas de ensino, já que no jogo podem ser facilmente identificadas algumas fases de uma aula pautada no Ensino Exploratório, como o lançamento da tarefa e sua exploração.

Como perspectiva futura, as articulações entre RPG e Ensino Exploratório de Matemática aqui apresentadas serão verificadas empiricamente, a partir da estruturação de RPGs pedagógicos articulados ao Ensino Exploratório de Matemática.

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SISTEMAS POR SEIDEL: UM APLICATIVO PARA SISTEMAS LINEARES 𝟑 × 𝟑1

FRANCO, Élcio2, SOBRENOME, Nome do autor3

PALAVRAS-CHAVE: Sistemas lineares. Gauss-Seidel. Aplicativo.

PROBLEMÁTICA E JUSTIFICATIVA É notória a existência de diversos métodos para resolver sistemas lineares, dentre estes, está o método

interativo de Gauss-Seidel. Esse método consiste em encontrar raízes para sistemas lineares por meio de uma série de interações a partir de uma aproximação inicial da raiz.

Observa-se que existem diversos softwares de computador capazes de resolver sistemas lineares utilizando o método interativo de Gauss-Seidel. Porém com o avanço da tecnologia e o surgimento de celulares cada vez mais modernos, tem-se a praticidade de utilizar aplicativos para resolver diversas situações, que antes só eram possíveis utilizando computadores. Baseando-se nesta ideia de praticidade surgiu a inquietação se era possível construir um aplicativo para resolver sistemas lineares utilizando o método interativo de Gauss-Seidel.

A criação deste aplicativo trás como contribuição uma alternativa prática para utilizar o método de Gauss-Seidel raízes de equações de sistemas lineares em relação ao uso de computadores, pois muitas vezes não se tem a disposição computadores já os celulares possuem a vantagem de estar presente a maior parte do tempo no dia a dia da população permitido assim um acesso mais fácil e rápido.

De posse dessa inquietação, o objetivo deste trabalho é a criação de um aplicativo que resolva sistemas lineares por meio do método de Gauss-Seidel.

ASPECTOS METODOLÓGICOS

A metodologia utilizada nesse trabalho foi a criação de um aplicativo utilizando o Web Service App Inventor.O App Inventor utiliza como linguagem de programação, a programação em blocos. Fazendo com

1 Trabalho realizado na disciplina de Cálculo Numérico do curso de licenciatura em Matemática da UNESPAR - Campus de União da Vitória no ano de 2017. 2Graduando do 4ºano de Licenciatura em Matemática - UNESPAR – Campus União da Vitória, [email protected]. 3 Idem ao item 2, devendo ser repetida para a quantidade de autores do trabalho, sendo, no máximo, 4 autores.


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que a mesma torne-se mais fácil e permitindo que qualquer pessoa, mesmo sendo iniciante comece a construir aplicativos totalmente funcionais para celulares que possuam o sistema operacional android.

A linha de código foi escrita na forma do método de Gauss-Seidel, por este motivo houve a necessidade de reescrever o método de maneira diferente.

RESULTADOS E DISCUSSÃO.

Há diversas formas de resolver sistemas lineares, dentre elas está o método interativo de Gauss-Seidel. Dado um sistema linear 𝐴𝑥 = 𝑏 onde: 𝐴 é a matriz dos coeficientes, da forma 𝑛 × 𝑛, 𝑥 é vetor das variáveis,

na forma 𝑛 × 1 e 𝑏 é o vetor dos termos constantes na forma 𝑛 × 1. No método de Gauss-Seidel esse sistema linear é reescrito na forma 𝑥 = 𝐶𝑥 + 𝑔 por meio de separação diagonal, sendo 𝐶: a matriz 𝑛 × 𝑛 e 𝑔 é o vetor

𝑛 × 1. Segundo Ruggiero e Lopes (2009) o método de Gauss-Seidel consiste em realizar uma série de

interações sucessivas a partir de uma aproximação inicial para encontrar a raiz do sistema linear, ou seja, a

partir de um 𝑥(0) calcula-se 𝑥(1), 𝑥(2), … , 𝑥(𝑘), … da seguinte maneira:

𝑥1(𝑘+1)

=1

𝑎11

(𝑏1 − 𝑎12𝑥2(𝑘)

− 𝑎13𝑥3(𝑘)

− ⋯ − 𝑎1𝑛𝑥𝑛(𝑘)

)

𝑥2(𝑘+1)

=1

𝑎22

(𝑏2 − 𝑎21𝑥1(𝑘+1)

− 𝑎23𝑥3(𝑘)

− ⋯ − 𝑎2𝑛𝑥𝑛(𝑘)

)

𝑥3(𝑘+1)

=1

𝑎33

(𝑏3 − 𝑎31𝑥1(𝑘+1)

− 𝑎32𝑥2(𝑘+1)

− ⋯ − 𝑎3𝑛𝑥𝑛(𝑘)

)

⋮ ⋮ ⋮ ⋮

𝑥𝑛(𝑘+1)

=1

𝑎𝑛𝑛

(𝑏𝑛 − 𝑎𝑛1𝑥1(𝑘+1)

− 𝑎𝑛2𝑥2(𝑘+1)

− ⋯ − 𝑎𝑛,𝑛−1𝑥𝑛−1(𝑘+1)

).

Para operar com o método de Gauss-Seidel, existe a necessidade de um 𝑥(0) = (𝑥1(0)

, 𝑥2(0)

, 𝑥3(0)

, . . , 𝑥𝑛(0)

)

ou seja, há a necessidade de uma aproximação inicial para a raiz do sistema de equação. Também existe a necessidade de uma margem de erro aproximada para o valor da raiz, um erro dado 𝜀. A partir dessa aproximação inicial são calculadas as interações, contudo para cada interação calculada se faz verificar se o resultado obtido é uma aproximação satisfatória para a raiz do sistema linear, ou seja, existe a necessidade de estipular um critério de parada para as interações. A seguir é apresentado um critério de parada para o método de Gauss-Seidel, baseado no critério de Ruggiero e Lopes (2009).

Seja 𝑥(𝑘) = (𝑥1(𝑘)

, 𝑥2(𝑘)

, … , 𝑥𝑛(𝑘)

) e 𝑥(𝑘+1) = (𝑥1(𝑘+1)

, 𝑥2(𝑘+1)

, … , 𝑥𝑛(𝑘+1)

)

O critério de parada será 𝑚𝑎𝑥|𝑥(𝑘+1)−𝑥(𝑘)|

𝑚𝑎𝑥|𝑥(𝑘+1)|< 𝜀, sendo 𝜀 o erro dado.

Em alguns casos o sistema linear não converge para uma solução, então existe a necessidade de verificar se um sistema é convergente ou não. Uma das formas de fazer essa verificação é utilizar o critério de Sassenfeld, esse critério é apresentado na obra de Ruggiero e Lopes (2009) sejam 𝛽1 e𝛽𝑗 tais que

𝛽1 =|𝑎12| + |𝑎13| + ⋯ + |𝑎𝑛1|

|𝑎11|

e 𝛽𝑗 =|𝑎𝑗1|𝛽1+|𝑎𝑗2|𝛽2+⋯+|𝑎𝑗𝑗−1|𝛽𝑗−1+|𝑎𝑗𝑗+1|+⋯+|𝑎𝑗𝑛|

|𝑎𝑗𝑗|.

Seja 𝛽 = .1≤𝑗≤𝑛

𝑚á𝑥 {𝛽𝑗}

Então uma sequência será convergente para qualquer que seja o 𝑥(0)quando 𝛽 < 1. Pode-se notar que esse método utiliza uma série de interações o que torna o processo de cálculo muito

difícil e trabalhoso, por este motivo é muito comum utilizar intervenções computacionais para realizar essas interações.

Existem diversos softwares de computador capazes de resolver sistemas lineares utilizando o método de Gauss-Seidel, mas tendo como inquietação a utilização de um aplicativo para resolver sistemas lineares utilizando o método de Gauss-Seidel. O objetivo desse trabalho é a e criação de um aplicativo que resolva sistemas lineares pelo método de Gauss-Seidel.

Inicialmente foram definidas algumas características para a criação do aplicativo, tais como o tipo de sistema linear que o app seria capaz de resolver e como seria desenvolvido, sendo então definido que o app resolveria sistemas 3 × 3 e seria desenvolvido no App Inventor.A escolha do App Inventor justifica-se pois o App inventor é uma ferramenta de criação de aplicativos que utiliza programação em blocos e permite a qualquer pessoa mesmo não sendo programador a criação e desenvolvimento de apps de maneira fácil e


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funcional. O App Inventor funciona como uma web service administrado pelos membros da MTI’s. Segundo Barbosa, Batista e Barcelos (2015, pg. 2) “O App Inventor é um ambiente de programação visual on-line que permite a criação de aplicativos para dispositivos móveis Android, por meio de blocos de código. Dessa forma, o processo de desenvolvimento é facilitado”.

Como o App Inventor trabalha com programação em blocos a ideia foi utilizar o próprio método de Gauss-Seidel como linha de código, como definido anteriormente que o aplicativo resolveria apenas sistemas lineares 3 × 3, a partir disto foi generalizado o método para sistemas nesta forma.

x1(k+1)

=1

a11

(b1 − a12x2(k)

− a13x3(k)

)

x2(k+1)

=1

a22

(b2 − a21x1(k+1)

− a23x3(k)

)

x3(k+1)

=1

a33

(b3 − a31x1(k+1)

− a32x2(k+1)

)

Notando que o processo para a criação do aplicativo se tornaria muito trabalhoso foi definido que o número de interações realizadas pelo app seria limitado somente a cinco. Primeiramente foram criadas seis caixas de textos que seriam utilizadas para inserir os valores de a11, a12, a13, a21, a22, a23, a31, a32, a33 esses foram agrupados na forma de uma matriz 3 × 3, também foram cridas duas matrizes 3 × 1 com três caixas

de texto cada, sendo a primeira utilizada para inserir os valores de 𝑥1, 𝑥2 e 𝑥3 ou seja, utilizada para inserir os

valores de 𝑥(0) = (𝑥1(0)

, 𝑥2(0)

, 𝑥3(0)

) e a segunda para inserir os valores de 𝑏1, 𝑏2 e 𝑏3.

Foram inseridas uma caixa de texto para o erro dado e um botão chamado de botão “calcular”, este que seria utilizado para calcular as interações, para os valores de cada interação foram criados cinco matrizes 3 × 1 utilizando três legendas cada. Sabendo que alguns sistemas lineares podem não convergir para a solução, foram inseridas uma caixa de texto e um botão o qual foi denominado de botão “convergência” com o intuito de acrescentar ao aplicativo um critério para verificar convergência ou não do sistema linear.

A linha de código do aplicativo foi construída a partir do método de Gauss-Seidel, foram construídos dois grupos de blocos um para a programação das interações e outro pra a verificação da convergência.

Para a programação das interações foram utilizados os blocos das caixas de texto criadas e conectados a blocos de matemática de maneira a formar as interações iguais ao próprio método, foi criado um bloco para o botão calcular, para que ao ser clicado o botão efetuasse as interações. Sendo estipulado que após realizar a primeira interação seria testado o critério de parada, caso o critério de parada fosse satisfeito, a matriz com os resultados obtidos da interação ficasse verde, caso contrario seria realizada uma nova interação repetindo o mesmo procedimento sucessivamente até encontrar uma aproximação de raiz satisfatória ou realizasse o número máximo de interações permitidas pelo aplicativo.

Para a verificação da convergência foi utilizado o critério de Sassenfeld, sendo inserido um bloco para o botão “convergência”, para que ao ser clicado o botão efetue o teste do critério de Sassenfeld, caso o critério seja satisfeito a cor da caixa de texto “convergência” torne-se verde o que indica que o sistema é convergente, caso o contrário a cor da caixa de texto torna-se vermelha indicando que o sistema não converge para a solução.

Após escrita toda a linha de código e realizado o primeiro teste do app, foram constatados dois problemas, o primeiro fato constatado foi que depois de inseridos os dados nos campos de entrada, estes tinham que ser apagados um a um para que se possa ser inseridos novos dados, o que torna o processo muito trabalhoso, diante disso foi criado um botão “limpar” para que quando clicado efetue limpeza de todos dados dos campos de entrada de uma só vez.

O segundo problema constatado foi o fato de que todas as interações realizadas nos exercícios testados não geravam os resultados esperados. Esse problema foi decorrente do App Inventor não conseguir fazer distribuições do sinal de menos nas interações, a solução encontrada foi reescrever o método de Gauss-Seidel de maneira a não haver a necessidade de uma distribuição de sinal. O método foi reescrito da seguinte maneira:

𝑥1(𝑘+1)

=(𝑏1 + (𝑎12𝑥2

(𝑘)∙ (−1)) + (𝑎13𝑥3

(𝑘)∙ (−1)))

𝑎11

𝑥2(𝑘+1)

=(𝑏2 + (𝑎21𝑥1

(𝑘+1)∙ (−1)) + (𝑎23𝑥3

(𝑘)∙ (−1)))

𝑎22

𝑥3(𝑘+1)

=(𝑏3 + (𝑎31𝑥1

(𝑘+1)∙ (−1)) + (𝑎32𝑥2

(𝑘+1)∙ (−1)))

𝑎33

⋮ ⋮ ⋮


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𝑥𝑛(𝑘+1)

=(𝑏𝑛 + (𝑎𝑛2𝑥2

(𝑘+1)∙ (−1)) + (𝑎𝑛3𝑥3

(𝑘+1)∙ (−1)))

𝑎𝑛1

Após o método de Gauss-Seidel ser reescrito, o conjunto de blocos das interações foi reformulado solucionando assim o problema encontrado anteriormente. Desta maneira foi desenvolvido o aplicativo para sistemas lineares que utiliza o método de Gauss-Seidel o qual foi intitulado de Sistemas por Seidel.

CONCLUSÃO

O aplicativo mostrou-se muito eficaz na resolução dos sistemas lineares embora possua a limitação de calcular no máximo cinco interações. Outro ponto a ser destacado é a praticidade de verificar se o sistema linear é convergente.

Para a criação do aplicativo Sistemas por Seidel, foi necessário compreender muito bem como funcionava o método de Gauss-Seidel bem como o critério de parada e o critério de Sassenfeld. Foi a partir da forma de como eram feitas as interações e procedimentos do método que foi escrita a linha de código do aplicativo, a programação por blocos permitiu que a medida com que foram sendo criados e encaixados os blocos fez com que o conhecimento matemático envolvido tornando-se mais significativo, propiciando uma solidificação do conhecimento matemático a respeito do método Gauss-Seidel. Com isso conclui-se que a utilização do App Inventor é uma alternativa muito interessante para o ensino da matemática, pois a criação de um aplicativo possibilita ao aluno compreender o conceito matemático de determinado conteúdo e a forma de utilizá-lo, promovendo assim uma aprendizagem mais significativa.

REFERÊNCIAS RUGGIERO, M.A.G; LOPES, V.L.R. Cálculo Numérico: aspectos teóricos e computacionais. 2. Ed. São Paulo, Pearson Makron Books. BARBOSA, Eliana. S; BATISTA, Silvia Cristina F; BARCELOS, Gilmara Teixeira. App Inventor: Análise de Potencialidades para o Desenvolvimento de Aplicativos para Matemática. Disponível em: <MIT_App_Inventor_como_ferramenta_de_apoio_a_aprendizagem/links/58cc80ccaca272335513ca2d/Aplicacao-do-MIT-App-Inventor-como-ferramenta-de-apoio-a-aprendizagem.pdf?origin=publication_detail>. Acesso em: 27 de Julho de 2018.

UMA ANÁLISE DAS DIFICULDADES E TENSÕES RELATADAS POR PROFESSORES

EM ATIVIDADES DE MODELAGEM MATEMÁTICA1

PINTO, Fernanda da Silva2; PEREIRA, Emanueli3.

PALAVRAS-CHAVE: Modelagem Matemática. Relatos de Experiência. Tensões e Dificuldades. PROBLEMÁTICA E JUSTIFICATIVA A Modelagem Matemática é uma metodologia para o ensino da Matemática que tem sido amplamente debatida por pesquisadores e professores em formação inicial ou continuada. Haja vista que tem sido crescente o número de relatos de atividades de Modelagem realizadas em sala de aula, sejam publicados em anais de eventos, revistas científicas e livros. Contudo, pesquisadores (BARBOSA, 2001; MEYER, CALDEIRA e MALHEIROS, 2011) afirmam que, ainda que sejam reconhecidas as contribuições da Modelagem para o processo de ensino e aprendizagem, muitas vezes os professores sentem-se despreparados e/ou inseguros para adotá-la como metodologia em suas aulas. Dessa forma, entendemos ser necessário discutir a Modelagem Matemática e suas implicações para a formação de professores. Assim, este trabalho tem por objetivo investigar as tensões e dificuldades relatadas pelos professores ao desenvolver atividades de Modelagem Matemática em sala de aula. Para isso, são feitas análises de relatos de experiência, desenvolvidos no Ensino Fundamental – Anos Finais e publicados nos anais do VII Encontro Paranaense de Modelagem em Educação Matemática – VII EPMEM.

1Artigo desenvolvido em um projeto de pesquisa do grupo de estudos GETIEM- grupo de estudos teóricos e investigativos em educação matemática da UNESPAR campus de União da Vitória. 2Acadêmica do segundo ano do curso de licenciatura em matemática Universidade Estadual do Paraná, UNESPAR, campus de União da Vitória, Paraná, [email protected]. 3Mestre em Educação e Professora Assistente da Universidade Estadual do Paraná, UNESPAR, campus de União da Vitória, Paraná, [email protected]



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CONTEXTO INVESTIGADO E ASPECTOS METODOLÓGICOS Para atender ao objetivo de pesquisa é feita análise de relatos de experiência desenvolvidos na Educação Básica e constantes nos anais do VII EPMEM, ocorrido no ano de dois mil e dezesseis. Para este trabalho fazemos um recorte e, nos propomos a olhar para os relatos desenvolvidos no Ensino Fundamental – Anos Finais. Para isso buscamos pressupostos na pesquisa qualitativa que, para Bicudo (2006), “[…] engloba a ideia do subjetivo, passível de expor sensações e opiniões. O significado atribuído a essa concepção de pesquisa também engloba noções a respeito de percepções de diferenças e semelhanças de aspectos comparáveis de experiência […]” (p. 106). Consiste numa pesquisa metaanalítica que, para Fiorentini e Lorenzato (2006), constitui-se numa revisão sistemática de outras pesquisas, visando realizar uma avaliação crítica das mesmas e/ou produzir novos resultados ou sínteses a partir do confronto desses estudos, transcendendo aqueles anteriormente obtidos. Dos trinta e cinco relatos de experiência publicados nos anais do VII EPMEM, doze diz respeito a atividades de Modelagem desenvolvidas no Ensino Fundamental - Anos Finais. Ao fazer uma consulta no currículo lattes dos autores desses doze trabalhos, foi possível identificar que ao menos um dos autores de cada trabalho, é professor de Matemática na Educação Básica, discentes da Licenciatura em Matemática ou discentes de Programas de Pós-Graduação. Isto é, refere-se a produções de professores em formação inicial ou continuada. Os trabalhos que constituíram o lócus da investigação estão listados no quadro a seguir: Quadro 1 – Trabalhos Analisados

Relato Título Autores

RE1 A sensibilização dos alunos diante da destinação de resíduos sólidos em um projeto de modelagem

PINTO, Amanda Ribeiro

RE2 Atividade de modelagem matemática desenvolvida na Educação Jovens e Adultos: analisando embalagens

UMBEZEIRO, Denis de Aquino. SILVA, Karina Alessandra Pessoa da

RE3 Modelagem Matemática e Materiais Concretos: uma possibilidade para o ensino de matemática

SILVA, Michele Martins da. SILVA, Vanessa Santos da. ROSA, Claudia Carreira da.

RE4 Modelagem Matemática e as Tecnologias Educacionais: construindo o conceito de funções por meio do trabalho

LITTIG, Jonisario. NOVAIS, Ivonilton Pereira de.

RE5 Modelagem Matemática como estratégia para desenvolver a habilidade investigativa de alunos do Ensino Médio

MELO, Charles Bruno da Silva. BISOGNIN, Eleni.

RE6 Modelagem Matemática em uma Sala de Aula de Física: relato de experiência

FREIRE, Talita Breschiliare Piffer. BORSSOI, Adriana Helena.

RE7 Modelagem Matemática: algumas dificuldades e contribuições observadas na sala de aula

VICENTIN, Fábio Roberto. PASSOS, Marinez Meneghello.

RE8 Modelagem Matemática: experiências de ensino em sala de aula

PEREIRA, Caroline Conrado. BISOGNIN, Eleni.

RE9 Modelagem Matemática: reflexões sobre ações dos estudantes e do professor mediante a primeira experiência vivida

HUF, Samuel Francisco. BURAK, Dionísio.

RE10 O pensamento algébrico de alunos do sétimo ano do Ensino Fundamental em uma atividade de Modelagem Matemática

CARDOSO, Milene Aparecida Malaquias. DALTO, Jader Otavio. VERTUAN, Rodolfo Eduardo.

RE11 Matemática e Conscientização Alimentar: uma experiência por meio da modelagem

SCAPATICCI, Laísa Maria.

RE12 Uma Atividade de Modelagem Matemática na Educação Básica: debates sobre consumo de água

QUEIROZ, Ana Clara Resende. CARMO, Daniele Silva. NETO, Silvino Domingos.

Fonte: Os autores RESULTADOS E DISCUSSÃO


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Para análise dos trabalhos selecionados foi feita leitura de cada um deles, em que se buscou identificar as dificuldades e tensões relatadas pelos professores que desenvolveram a atividade em sala de aula. As tensões e dificuldades em atividades de Modelagem identificadas nos relatos, podemos categorizar como dificuldades relacionadas ao professor, ao aluno, ao processo de ensino e aprendizagem e ao contexto escolar. Quadro 2 – Dificuldades e Tensões Identificadas nos Relatos de Experiência

Dificuldades relacionadas aos alunos RE7, RE8, RE9, RE11

- Elaboração e resolução das situações-problema; - Falta de tempo para realizar a coleta de dados; - Dificuldade de trabalhar em equipe; - Falta de autonomia; - Dificuldade em utilizar editores computacionais; - Não estarem habituados com a rotina diferenciada em sala de aula; - Estarem acostumados a receber o conteúdo pronto; - Cumprimento de prazos para entrega das tarefas.

Dificuldades e tensões relacionadas ao professor RE1, RE8, RE9, RE10

- Dificuldade em trabalhar com conceitos de outras áreas do conhecimento; - Receio de que os alunos não participassem; - Receio de não saber responder às perguntas dos alunos ou errar; - Dúvidas de como conduzir a atividade; - Despreparo e inadequação da formação inicial para trabalhar com a Modelagem.

Dificuldades relacionadas ao processo de ensino e aprendizagem e ao contexto escolar RE2, RE7, RE9, RE11

- Desafio em obter um modelo matemático cabível a situação estudada; - Tempo disponibilizado ao estudo do tema; - Deslocamento dos alunos para o laboratório de informática; - Necessidade de ruptura com o currículo linear; - Dificuldade em utilizar os recursos tecnológicos da escola.

Fonte: Os autores. Dos doze trabalhos analisados, sete retratam dificuldades e/ou tensões em atividades de Modelagem Matemática. Salienta-se o despreparo para conduzir a atividade que pode estar relacionado à inadequação da formação inicial e continuada para trabalhar com a Modelagem. Destaca-se ainda, o receio em não saber responder aos questionamentos dos alunos ou de abordar conceitos de outras áreas do conhecimento. As quais são dificuldades ou tensões pessoais do professor e relacionadas a sua formação. Além disso, são evidenciadas algumas dificuldades relacionadas aos alunos e ao contexto escolar. Barbosa (2001), em estudos realizados com professores, já sinalizava as dificuldades evidenciadas por eles, como: o despreparo para desenvolver as atividades, receio de não saber responder às perguntas dos alunos, limitações no contexto de trabalho e em suas próprias competências. Dessa forma, fica explícito que, quinze anos após os estudos do autor, as mesmas dificuldades e tensões ainda se fazem presentes no desenvolvimento de atividades de Modelagem Matemática em sala de aula. Isso nos leva a concordar com Klüber (2017) sobre a existência de limitações dos programas de formação de professores em Modelagem. O que aponta para, como o próprio autor infere, a necessidade de criar coletivos de pensamento em que os professores sejam parte constituinte do grupo, que esteja alinhado ao paradigma investigativo. CONSIDERAÇÕES FINAIS Das dificuldades e/ou tensões identificadas às relacionadas ao professor e relacionadas à sua formação, como o reconhecimento do despreparo para conduzir atividades de Modelagem Matemática em sala de aula. Existe uma reafirmação das dificuldades e tensões pontuadas pelos professores ao desenvolver atividade de Modelagem, com as pontuadas em estudos anteriores. Assim, é possível reconhecer que existe insuficiência na formação inicial e continuada de professores no âmbito da Modelagem Matemática na Educação Matemática. Ações apresentadas na literatura, como o estabelecimento de grupos com a construção de coletivos de pensamentos, podem ser possíveis soluções para minimizar as dificuldades relatadas pelos professores. Mas, principalmente, para fomentar discussões acerca da formação de professores na Modelagem Matemática.


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REFERÊNCIAS BARBOSA, J. C. Modelagem Matemática e os Professores: a questão da formação. Bolema, Rio Claro, n. 15, p. 5-23, 2001. BICUDO, Maria A. Viggiani. Pesquisa Qualitativa e Pesquisa Qualitativa segundo a abordagem fenomenológica. In: BORBA, M. de C.; ARAÚJO, J. de L.. Pesquisa Qualitativa em Educação Matemática. 2 ed. – Belo Horizonte: Autêntica, 2006. CALDEIRA, A. D. Modelagem matemática e a prática dos professores do ensino fundamental e médio. In: I EPMEM - Encontro Paranaense de Modelagem na Educação Matemática, 2004, Londrina. Anais do I EPMEM. Londrina: UEL, 2004. v. 1. p. 1-2. FIORENTINI, Dario; LORENZATO, Sergio. Investigação em educação matemática: percursos teóricos e metodológicos. Campinas, SP: Autores Associados, 2006. KLÜBER, T. E. Formação de Professores em Modelagem Matemática na Educação Matemática Brasileira: questões emergentes. Educere et Educere, Cascavel, v. 12, n. 24, p. 1-11, jan./abr. 2017. MEYER, J. F. da C. de A.; CALDEIRA, A. D.; MALHEIROS, A. P. dos S. Modelagem em Educação Matemática. Belo Horizonte: Autêntica, 2011.

UM ESTUDO DOS CAMPOS CONCEITUAIS ADITIVOS E MULTIPLICATIVOS COM

CRIANÇAS NO SEXTO ANO: UMA ATIVIDADE COM A MODELAGEM MATEMÁTICA1

JOCOSKI, Juarês2, GROSS, Giane Fernanda Schneider3, AGRANIONIH, Neila Tonin4

PALAVRAS-CHAVE: Modelagem Matemática. Teoria dos Campos Conceituais, Esquemas dos Alunos. PROBLEMÁTICA E JUSTIFICATIVA

Segundo Vergnaud (1990, p. 133) a Teoria dos Campos Conceituais (TCC) é uma teoria cognitivista que visa fornecer um quadro coerente e alguns princípios de base para o estudo do desenvolvimento e da aprendizagem das competências complexas, sobretudo aquelas relacionadas com as ciências e as técnicas. Para Vergnaud (1982, p. 40) o conhecimento está organizado em campos conceituais que “constituem um conjunto informal e heterogêneo de problemas, situações, conceitos, relações, estruturas, conteúdos e operações de pensamento, conectados uns com os outros e provavelmente entrelaçados no processo de aquisição.” Para esta teoria, o estudo da especificidade dos conteúdos envolvidos no processo ensino-aprendizagem é fundamental, pois através deles pode se analisar as dificuldades apresentadas pelos alunos.

Outro aspecto importante apontado por Vergnaud diz respeito à conceitualização e neste sentido desenvolver modelos matemáticos aplicados ao Ensino de Matemática exige que os conceitos matemáticos sejam apreendidos para que as relações sejam estabelecidas e se elabore o modelo matemático. As situações, segundo o autor, dão sentido aos conceitos e para tanto, a Modelagem Matemática se insere neste caso, uma vez que possibilita modelizar fenômenos relacionados ao cotidiano do aluno.

A Modelagem Matemática na Educação Matemática possui aspectos favoráveis ao ensino, oportunizando momentos de diálogo, investigação, problematização, relação entre as diferentes áreas do conhecimento. Para além disso, a Modelagem Matemática evidência o aluno como sujeito da aprendizagem e o professor como mediador entre o conhecimento e o aluno.

Alguns pesquisadores da área apresentam diferentes concepções de Modelagem Matemática na Educação Matemática, o que implica em diferentes formas de organizar e de conduzir as atividades de Modelagem em sala de aula como, por exemplo, as apresentadas por Barbosa (2003), Burak (2010), e Almeida, Silva e Vertuan (2012).

Sendo assim, a concepção de Modelagem Matemática na Educação Matemática que adotamos é aquela apresentada por Burak: “Modelagem Matemática constitui-se em um conjunto de procedimentos cujo

1 Artigo científico apresentado como requisito avaliativo da disciplina: teoria dos campos conceituais, do Programa de Pós-Graduação em Ensino de Ciências e em Matemática - PPGECM - UFPR (Mestrado acadêmico). 2 Mestrando do Programa de Pós-Graduação em Ensino de Ciências e em Matemática – PPGECM – UFPR (Mestrado acadêmico). 3 Aluna externa do Mestrado do Programa de Pós-Graduação em Ensino de Ciências e em Matemática – PPGECM – UFPR (Mestrado acadêmico) e docente do Colégio Estadual do Campo Vila Palmira de São João do Triunfo – Pr. 4 Docente do Programa de Pós-Graduação em Educação: Teoria e Prática de Ensino - PPGE: TPEn - UFPR (Mestrado Profissional) e do Programa de Pós-Graduação em Ensino de Ciências e em Matemática - PPGECM - UFPR (Mestrado acadêmico).


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objetivo é construir um paralelo para tentar explicar, matematicamente, os fenômenos presentes no cotidiano do ser humano, ajudando-o a fazer predições e tomar decisões” (BURAK, 2010, p. 48).

Com relação a forma de conduzir uma atividade de modelagem em sala de aula, Burak (2010) apresenta cinco etapas, que são: 1) escolha do tema; 2) pesquisa exploratória; 3) levantamento do(s) problema(s); 4) resolução dos problemas e o desenvolvimento dos conteúdos matemáticos no contexto do tema; 5) análise crítica da(s) solução(ões).

A partir do aqui exposto, entendemos que a Modelagem Matemática é uma metodologia de ensino que pode ser utilizada em qualquer nível de ensino, e aliada a TCC de Vergnaud ambas poderão favorecer a análise da atividade de modelagem proposta, e desvelar os esquemas utilizados pelos alunos.


Do ponto de vista metodológico, fazemos uma pesquisa qualitativa e de análise interpretativa. O fato de se pretender recolher dados no ambiente natural em que as ações ocorrem, descrever as situações vividas pelos participantes e interpretar os significados que estes lhes atribuem justifica a realização de uma abordagem qualitativa de cunho interpretativo.

Participaram desta intervenção 16 (dezesseis) alunos do 6º ano, 8 (oito) alunos do período da manhã e 8 (oito) alunos do período da tarde do Ensino Fundamental de um estabelecimento de ensino da rede pública do Sul do estado do Paraná e a atividade com modelagem teve duração aproximada de cinco aulas de 50 (cinquenta) minutos cada. Salientamos que: 1º) a atividade de modelagem ocorreu com toda a turma, chegando num total de 45 alunos, mas para a pesquisa foram selecionados 16 (dezesseis) alunos para a análise. O critério utilizado para a seleção dos mesmos foi o fato de terem tornado explícitas as estratégias utilizadas na resolução dos problemas; 2º) um dos autores deste relato, professora regente das referidas turmas, foi quem conduziu a atividade com Modelagem Matemática na sala de aula.

Os dados foram coletados por meio de registros escritos realizados durante o trabalho em sala de aula e registros orais transcritos de áudio.


Um dos autores desse artigo é participante do GETIEM (Grupo de Estudos Teóricos e Investigativos em Educação Matemática, Linha de Pesquisa: Modelagem Matemática na e para a Educação Matemática), o mesmo auxiliou no planejamento da atividade de modelagem que foi desenvolvido pela outra autora desse artigo em suas turmas do 6º ano. Por esse motivo a escolha do tema “Iguaçu: da nascente à foz”, partiu dos autores, principalmente da professora regente da turma, pois a mesma já conhecia a realidade em que a escola estava inserida, embora não tinha desenvolvida em nenhum momento outra atividade de modelagem nessas turmas, mas já tinha ouvido falar dessa metodologia em cursos de formação continuada. Nessas turmas do 6º ano do Ensino Fundamental tínhamos alunos que conheciam muito bem a realidade do Rio Iguaçu, sua limpeza e manutenção, pois fazendo parte da realidade dos alunos eles ouviam com frequência falar sobre o assunto, o que de certa forma contribuiu para o interesse dos alunos pelo tema.

Após essa primeira etapa, os alunos receberam informações a respeito da temática, para que em pequenos grupos de 3 (três) a 4 (quatro) integrantes fizessem uma pesquisa exploratória por meio de um vídeo apresentado na TV da sala de aula e de um texto entregue impresso para cada aluno, fornecidos pela professora, pois a escola não possuía estrutura tecnológica suficiente e tão pouco material bibliográfico a respeito do Rio Iguaçu, por isso a condição de levar parte do material de pesquisa aos alunos se fez necessário em horário escolar.

Durante a apresentação do vídeo, os alunos permaneceram concentrados e impressionados com a situação do Rio Iguaçu e com os investimentos que seriam realizados entre acordo do IBAMA e SANEPAR . O primeiro ponto que mais chamou atenção de todos foi a extensão do Rio, os seus 1320 km, segundo eles não imaginavam que era deste tamanho, o segundo ponto mais discutido por eles foi sobre a vazão da água, no texto entregue a eles, consta a vazão média, a vazão nas maiores cheias e nos períodos de estiagem. Eles questionaram também sobre as unidades de Tratamento da Sanepar (UTEs) que monitoram o Rio, pois segundo o vídeo das 225 UTEs, 137 estavam irregulares, conforme ouvimos em gravações de áudio.

Após a apresentação do tema aos alunos, percebemos os vários questionamentos que surgiram durante a aula, dentre eles apresentamos o seguinte: como determinar o tempo que seria gasto para atravessar todo o percurso do Rio Iguaçu? Mas eles tinham apenas a informação da distância total do Rio Iguaçu. Nesse momento a professora os indagou sobre como os grupos iriam proceder na resolução desse problema. Um grupo em suas falas gravadas em áudio propôs ir até a balsa da comunidade e calcular o tempo que levariam para atravessá-la, a professora, portanto comentou que isso era possível, desde que todos colaborassem e anotassem as conclusões nessa busca de coletar informações.

Ao chegarem à balsa foram recepcionados pelo funcionário que cuida da balsa e do transporte de veículos na mesma. Os alunos perguntaram ao funcionário sobre a distância que a balsa percorre ao levar os


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veículos de um lado ao outro do Rio. O funcionário comentou que seria de aproximadamente 30 metros. A professora propôs de atravessarem a balsa e calcularem o tempo gasto, utilizando um cronômetro e então encontraram os seguintes resultados, em 30 metros percorridos pela balsa ela leva 3 minutos e 27 segundos.

Figura 1: Alunos do 6º ano na coleta de informações em umas das balsas que atravessa o Rio Iguaçu – Pr.

Fonte: Os autores (2018)

Ao voltarem para a sala de aula, a pergunta foi reformulada pelos alunos juntamente com a professora: A largura do Rio Iguaçu onde a balsa atravessa em nossa comunidade é de aproximadamente 30 m, tendo como referência o tempo coletado de 3 min e 27 s para cruzar essa distância, quanto tempo levaríamos para navegar por toda a extensão do Rio Iguaçu na mesma velocidade da balsa?

Quadro 1: Esquemas em ação usados pelos alunos.

Percebemos que os alunos desse grupo utilizaram da distância 1320 km (informação já presente na resolução de uma das questões propostas) e a transformaram em metros. Porém dividiram por 60 que não corresponde a nenhum valor conhecido por eles, a não ser 60 segundos. Nota-se que os alunos mesmo efetuando as operações corretamente não compreenderam o problema proposto.

Nesse grupo os alunos apenas utilizaram a tempo gasto pela balsa para atravessar a largura de 30 m do Rio. O 3270 corresponde aos 3min e 27s multiplicados por 1000, os alunos compreendem a necessidade de transformar os quilômetros para metros, mas utilizaram valores impróprios. E ainda multiplicam novamente por esse tempo agora registrado por 327. Não compreendem as posições corretas da vírgula na casa decimal.

Nos registros desse grupo, notamos que boa parte do problema está resolvido, mas os alunos na última operação efetuada (1320000 x 207) um dos produtos escolhidos está incorreto, na verdade 207 deveria ser substituído por 6,9 segundos, que é o tempo gasto por metro, já que os alunos buscam efetuar esse produto para encontrar o tempo gasto para atravessar todo o percurso do Rio. Ou os alunos poderiam realizar a operação (13200000 x 207) mas no entanto deveriam dividir esse resultado por 30, fazendo uso portanto de uma proporção simples. O que os levaria a chegar à resposta correta 9108000 segundos e caso fizessem a transformação para horas: 9108000:3600 = 2530 horas ou em dias 2530:24 = 105 dias.

Fonte: Os autores (2018)



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Com o exposto, inferimos que as estratégias de ação desenvolvidas pelos alunos organizados em pequenos grupos em uma atividade de modelagem abordam segundo a literatura o raciocínio aditivo e raciocínio multiplicativo ambos, pertencentes à primeira classe de problemas da estrutura aditiva e multiplicativa, respectivamente.

Com relação à atividade que foi aplicada nas turmas, as conversas que os alunos tinham durante a aula foi em sua totalidade voltada ao assunto, percebe-se que a escolha do tema por ser do interesse e da realidade social deles contribuiu para o desenvolvimento da atividade. Além do mais, a organização em pequenos grupos favoreceu o diálogo e a troca de informações.

Com relação ao profissional envolvido na atividade, verificamos que houve uma parceria, embora ainda seja um tabu e, por isso, não se efetiva em sala de aula, mesmo no desenvolvimento de atividades que envolvam várias áreas do conhecimento, como são as atividades de modelagem matemática. Consideramos que esse momento proporcionado pela Modelagem oportunizou aos alunos a retirada de dúvidas e esclarecimentos de questões que os mesmos apresentaram em sala de aula, e que o professor não tinha parado para pensar.

Nas discussões dos resultados alcançados, etapa essa em que os alunos comentaram também sobre a situação presente do Rio Iguaçu, sendo que boa parte da poluição, emerge da irresponsabilidade que nós seres humanos temos aos cuidados ambientais e, portanto, estamos contribuindo para a poluição da natureza. Ainda, os alunos relataram que na localidade em que vivem costumam ver vários objetos passarem com a correnteza, ou pararem nas margens do Rio, como: capacetes, calçados, sacolas, lixo de todo o tipo. Muitas famílias se alimentam e vendem os peixes pescados no Rio, logo, os alunos relatam a necessidade do Rio, tanto para alimentação, quanto para a natureza.

Acreditamos que nosso estudo poderá trazer contribuições significativas para a discussão científica sobre o ensino da matemática ancorado em duas teorias da Educação Matemática: A Modelagem Matemática e a Teoria dos Campos Conceituais, teorias essas que oportunizam ao aluno ser protagonista em sala de aula.

REFERÊNCIAS ALMEIDA, L. M. W. de; SILVA, K. P.; VERTUAN, R. E.; Modelagem Matemática na educação básica. São Paulo: Contexto, 157 p., 2012. BOGDAN, R.; BIKLEN, S. Investigação qualitativa em educação. Porto: Porto Editora, 1994. BARBOSA, J. C. Modelagem Matemática na sala de aula. In: Perspectiva. Erechim, v. 27, n. 98, p. 65-74, 2003. BURAK, D. Modelagem Matemática sob um olhar de Educação Matemática e suas implicações para a construção do conhecimento matemático em sala de aula. Revista de Modelagem em Educação Matemática. v.1, n. 1, p. 47-60, 2010. G1, Sanepar e Ibama fazem acordo para resolver problema de poluição no Rio Iguaçu. 2018. Disponível em: <http://g1.globo.com/pr/parana/videos/v/sanepar-e-ibama-fazem-acordo-para-resolver-problema-de-poluicao-no-rio-iguacu/6558944/> acesso em: 12 de mai. 2018. SANEPAR, Iguaçu: da Nascente à Foz. 2018. Disponível em: < http://site.sanepar.com.br/conteudo/iguacu-da-nascente-foz> acesso em: 17 de mai. 2018. VERGNAUD, G. A Teoria dos Campos conceituais. In: BRUN, J. Didáctica das matemáticas. Tradução de Maria José Figueiredo. Lisboa: Instituto Piaget,1982. p. 23-51. VERGNAUD, G. La théorie des champs conceptuels. Recherches en Didactique des Mathématiques, 10 (23), p.133-170,1990.

UM ESTUDO SOBRE O INQUIRY NO ENSINO EXPLORATÓRIO DE MATEMÁTICA1

LIMA, Lucas R. de2, ESTEVAM, Everton J. G.3

PALAVRAS-CHAVE: Pensamento reflexivo. Ensino de Matemática. Aprendizagem exploratória.

1 Trabalho produzido de acordo com Projeto de Pesquisa de Iniciação Científica como parte do Programa de Iniciação Científica – PIC 2017 – 2018 com o apoio da Fundação Araucária. 2Graduando do curso de Licenciatura em Matemática, Universidade Estadual do Paraná (UNESPAR), [email protected]. 3 Doutor em Ensino de Ciências e Educação Matemática, Professor Adjunto da Universidade Estadual do Paraná (UNESPAR), [email protected].


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PROBLEMÁTICA E JUSTIFICATIVA O Ensino Exploratório de Matemática (EEM) constitui uma perspectiva que se contrapõe ao modelo de

transmissão do conhecimento do ensino tradicional de Matemática. De maneira resumida, o EEM distingue-se do ensino direto pelos papéis desempenhados pelo professor e pelos alunos, pelas tarefas que são propostas e a forma como são geridas, e pela comunicação que é originada na aula (PONTE, 2005). No ensino tradicional ou direto, o processo está essencialmente centrado no professor e na transmissão da informação deste para os alunos. De forma distintiva, no EEM a aprendizagem dos alunos decorre da possibilidade de trabalharem com tarefas matemáticas ricas e de poderem partilhar com os colegas e o professor as suas ideias, no contexto de negociação de significados (PONTE, 2005). “Neste tipo de ensino, a aprendizagem é um processo simultaneamente individual e coletivo, resultado da interação dos alunos com o conhecimento matemático, no contexto de uma certa atividade matemática, e também da interação com os outros (colegas e professor)” (OLIVEIRA; MENEZES; CANAVARRO, 2013, p. 31, grifo do autor).

Paralelamente, o inquiry pode ser definido como “[...] qualquer processo que tem por objetivo acumular conhecimento, esclarecer uma dúvida ou solucionar um problema [..]'' (BURKE, não paginado, 2015) e significa, desta forma, uma das dimensões fundamentais do EEM (PAULEK; ESTEVAM, 2017). Apesar da vasta literatura relacionada com o EEM, há uma carência de trabalhos investigando a razão do inquiry constituir uma das dimensões do EEM bem como as contribuições do inquiry para essa perspectiva de ensino. Desta forma, este trabalho teve por objetivo investigar estes aspectos e como eles se manifestam em aulas pautadas no EEM.


A realização deste trabalho abrangeu duas etapas de investigação: (i) estudo teórico sobre o inquiry e o EEM; e (ii) análise de relatórios e gravações em áudio de aulas desenvolvidas com alunos do primeiro ano de um curso de Licenciatura em Matemática, no decurso de uma disciplina alicerçada na abordagem exploratória de conteúdos matemáticos do Ensino Fundamental.

Para a análise na segunda etapa, primeiramente foi realizada a resolução das tarefas propostas na disciplina. Em seguida, foram verificados os aspectos do inquiry que se manifestaram na resolução dos investigadores. A análise dos relatórios consistiu em uma comparação destas resoluções com aquelas dos alunos da licenciatura, observando, principalmente, os aspectos do inquiry que levaram os alunos a utilizar estratégias de resolução diferentes das resoluções sugeridas pelos autores. Foram analisadas duas tarefas: (a) a primeira delas consistia em uma situação relacionada com a proporcionalidade de grandezas em triângulos retângulos. Essa tarefa tinha por principal objetivo discutir as seis operações matemáticas básicas e noções de proporção. Além disso, era possível explorar conceitos como as relações entre as operações básicas, equações, operações algébricas, teorema de Pitágoras, características de triângulos retângulos, racionalização de denominadores e área de figuras geométricas. Foram analisados sete relatórios elaborados pelos alunos; (b) a segunda tarefa propunha uma situação em que era necessário realizar a soma e a subtração de frações através de pictogramas, tendo por principal objetivo trabalhar e compreender a soma e subtração de frações a partir da relação com frações equivalentes, as quais permitem operar frações com denominadores desiguais. Foram analisados doze relatórios acrescidos do áudio produzido nas aulas em que a tarefa foi realizada.


O estudo teórico revelou que, pela perspectiva do EEM, o conhecimento não é transmitido do professor para o aluno, mas é construído pelos alunos por meio de situações didáticas previamente planejadas pelo professor. Essa construção ocorre quando os alunos se deparam com situações desafiadoras que provocam a elaboração, fundamentação e discussão das ideias entre os alunos e com o professor.

Para compreender as dimensões do inquiry em totalidade, a parte teórica teve início com um estudo relacionado ao pensamento. Esses estudos permitiram classificar os pensamentos em três formas, sendo elas: os pensamentos simples (consciência de situações e objetos que estão presentes); a consciência de situações e objetos que não estão presentes ou sendo vivenciadas no momento; e, a terceira, relacionada às crenças que um indivíduo possui. Esta terceira forma é que tem maiores impactos, pois as crenças que um indivíduo possui o conduz a tomar decisões e a agir de maneiras diferentes. Essa forma de pensamento ainda pode ser dividida em duas dimensões: na primeira delas estão as crenças aceitas sem a verificação de seus fundamentos; e, na segunda estão as crenças em que suas bases e fundamentos foram verificados antes de sua aceitação como verdadeiras.

O processo pelo qual uma pessoa fundamenta, justifica e organiza as crenças que possui é chamado de pensamento reflexivo. Esse processo ocorre por meio do inquiry e é um aspecto fundamental do EEM. O inquiry ocorre de três formas diferentes, indutiva, dedutiva e abdutiva, que trabalham em conjunto e se


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complementam. O que difere uma forma de inquiry de outra são os elementos que formam a base desse processo (premissas) e o resultado a que chegam.

Para que o pensamento reflexivo ocorra de maneira efetiva, é necessário que o indivíduo possua uma base de conhecimentos prévios sobre a qual trabalhar em relação a uma situação com a qual se depara. Neste processo o indivíduo deve, inicialmente, compreender a situação, observar aspectos dela que não se evidenciaram em um primeiro momento e, através do inquiry, elaborar possíveis soluções para essa situação. As situações que são sugeridas devem então ser analisadas, verificando quais consequências implicam da aceitação delas como verdadeira. Uma vez verificadas essas implicações, faz-se necessário confirmar se elas se fazem presentes na situação proposta ou não, para que a solução possa ser aceita ou refutada. O inquiry indutivo permite a elaboração de possíveis soluções. O inquiry dedutivo permite a análise dessas soluções, verificando quais implicações decorrem da aceitação da solução como verdadeira. O inquiry abdutivo permite a formulação de hipóteses acerca de uma situação, que requerem uma investigação posterior.

O inquiry na sua forma indutiva tem um papel fundamental na aprendizagem dos indivíduos, de forma que, sem esse processo, não há aprendizagem, apenas memorização. A aprendizagem por intermédio do inquiry indutivo ocorre por meio das relações que um indivíduo desenvolve entre os conhecimentos que já possui, permitindo que esses conhecimentos tenham mais aplicações, e com a compreensão e articulação de novas ideias, porém estabelecendo relações entre estas e os conhecimentos anteriores.

Todos estes estudos forneceram o subsídio necessário para a análise dos relatórios na segunda fase da pesquisa, permitindo observar de que maneira esses aspectos se manifestam na resolução das tarefas em aulas pautadas no EEM. O pensamento reflexivo é um processo bastante complexo e em todas as etapas da sua realização está sujeito a falhas que se manifestam através de erros. As falhas nesse processo podem ocorrer devido à ausência de elementos na base de conhecimentos para subsidiar a resolução da situação proposta; aceitação de algum aspecto da situação como verdade, sem verificar sua presença e fundamentação; aceitar uma solução sem verificar as consequências que dela implicam; ou aceitar uma solução verificando suas implicações, porém não confirmando a presença dessas implicações na situação.

Como resultados da segunda etapa da pesquisa, verificou-se a predominância do inquiry nas suas formas indutiva e dedutiva no EEM. A forma indutiva manifesta-se durante a observação de regularidades e formulação de conjecturas, enquanto a forma dedutiva permite, por meio da lógica, confirmar ou refutar sua validade. A forma abdutiva, que apresenta resultados que não podem ser validados em um primeiro momento, não tem espaço durante a resolução das tarefas, pois, ao assumir como válida uma ideia sem poder verificar suas fundamentações, o pensamento reflexivo deixa de existir. O estudo evidencia, assim, o papel essencial exercido pelo inquiry no EEM, que alicerça seu reconhecimento como dimensão fundamental dessa perspectiva de ensino.


O estudo teórico revelou que o inquiry e o pensamento reflexivo são temas bastante abrangentes, complexos e de grande importância para as metodologias de ensino que têm esses elementos como uma de suas dimensões, indo bastante além do escopo desta pesquisa. Além disso, foi possível perceber que o inquiry constitui elemento fundamental para a aprendizagem, de maneira que as metodologias que não têm o inquiry como uma dimensão de relevância carecem de um processo elementar para aprendizagem, fazendo com que alguns poucos alunos consigam estabelecer esse processo por conta própria, dando sentido a tudo que estão aprendendo, e os demais apenas memorizando conceitos que não têm significados válidos e práticos.

A compreensão de como o processo de inquiry ocorre nas aulas pautadas no EEM permite ao professor elaborar tarefas levando em conta esses aspectos. Esse conhecimento também traz contribuições para o momento em que as tarefas estão sendo realizadas pelos alunos, pois o professor pode auxiliá-los chamando a atenção para elementos essenciais desse processo sem, no entanto, comprometer o nível de cognição da tarefa. Além disso, compreender esse processo permite ao professor entender a causa dos erros cometidos pelos alunos, possibilitando o trabalho sobre esses aspectos em aulas posteriores.

REFERÊNCIAS BURKE, Peter J. Elements of Inquiry. [S.l.]: Cram101, 2015. Não paginado. (Collection Just the facts 101: Textbook Key Facts). Disponível em: <https://books.google.com.br/books?id=tJZwBAAAQBAJ>. Acesso em: 31 out. 2017. OLIVEIRA, Hélia; MENEZES, Luís; CANAVARRO, Ana P. Conceptualizando o ensino exploratório de matemática: contributos da prática de uma professora do 3º ciclo para a construção de um quadro de referência. Quadrante: Revista de Investigação em Educação Matemática, Lisboa, v. 22, n. 2, p. 29-53, 2º semestre 2013. Disponível em: <http://hdl.handle.net/10174/10618>. Acesso em: 26 mar. 2018.


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PAULEK, C. M. ; ESTEVAM, E. J. G. . Ensino Exploratório de Matemática: uma discussão sobre tarefas e a dinâmica da aula. In: VIII Encontro Ibero-Americano de Educação Matemática - CIBEM, 2017, Madri. Actas do VIII CIBEM. Madri: SEUR, 2017. v. 7. p. 1-9. PONTE, J. P. (2005). Gestão curricular em Matemática. In GTI (Ed.), O professor e o desenvolvimento curricular (pp. 11–34). Lisboa: APM.

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