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Anais do IX Seminário Nacional de História da Matemática
Sociedade Brasileira de
História da Matemática
Os Fractais: A Esponja de Menger, Uma Curiosidade na História
da Matemática Fractals: The Menger Sponge, A Curiosity in The History of Mathematics
Jacqueline Ferreira Mendonça, IFPA, [email protected]
Jéssica Raquel Valadares Fernandes, IFPA, [email protected]
Paulo Ricardo de Souza Costa, IFPA, [email protected]
Resumo
O termo Fractal foi criado em 1975 por Benoît Mandelbrot, matemático francês nascido na
Polônia, que descobriu a geometria fractal na década de 1970. A geometria fractal é o ramo
da matemática que estuda as propriedades e comportamento dos fractais. Descreve muitas
situações que não podem ser explicadas facilmente pela geometria clássica, e foram aplicadas
em ciência, tecnologia e arte gerada por computador. A geometria fractal ocorre quando
inicialmente as curvas são alimentadas pelos mesmos dados, mas em determinado momento,
há um desvio nos valores dos dados. A esponja de Menger é um dos fractais mais
interessantes, devido a um incrível paradoxo que ela possui: o de ser um objeto geométrico
com volume zero e área infinita (BOYER, 2001, p.36). É um objeto geométrico com dimensão
fracionária, inventada pelo austríaco Karl Menger (1902-1985). A parte interessante da
esponja de Menger é: quanto mais vai retirando-se cubos perde-se volume, porém ganha-se
área devido ao fato de aumentarem os números de túneis. A esponja Menger construídos em
três dimensões estende a idéia de gráficos que não são planos e podem ser incorporados em
qualquer número de dimensões. Assim, qualquer geometria da malha gravidade quântica pode
ser embutido em uma esponja de Menger. Para construir uma esponja de Menger, utiliza-se
um cubo, dividindo-o em 27 cubinhos de arestas de 1/3 do tamanho das arestas originais,
retirando a peça central do cubo e cada um dos 6 centrais de cada uma das faces. Em seguida
repete-se este processo para cada um dos cubos restantes infinitamente. Logo, temos:
Considere um cubo de aresta inicial z e com área total de 6z2
e volume total z3. Depois da
primeira retirada de cubos a área da esponja é
. (DANTE, 2004, p.257). Verifica – se que
houve redução do volume e aumento da área. Continuando sucessivamente teremos que a área
tende ao infinito e o volume a zero. Assim a paradoxal esponja de Menger é um objeto
geométrico que tem volume zero e área infinita.
Palavras-chave: Geometria fractal. Esponja de Menger. Dimensão.
Keywords: Fractal Geometry. Menger Sponge. Dimension.
Anais do IX Seminário Nacional de História da Matemática 2
Referências
BOYER, Carl Benjamim. História da Matemática, Edgard Blucher, São Paulo, 2001.
GLEICK, J. Chaos: Making a New Science. New York, Penguin Books, 1988.
DANTE, L. R. Matemática: contexto e aplicações, 2. ed. São Paulo: Ed. Ática,
2004.
