Página | 0

SUGESTÕES METODOLÓGICAS PARA A REDE PÚBLICA

MUNICIPAL DE DUQUE DE CAXIAS/RJ

ANALISANDO OS ERROS

PARA CORRIGIR AS

DEFICIÊNCIAS

Luiz Carlos Marinho

Orientadoras: Eline Flores e Cristina Novikoff

Página | 1

SUGESTÕES METODOLÓGICAS

PARA A REDE PÚBLICA MUNICIPAL DE

DUQUE DE CAXIAS/RJ

ANALISANDO OS ERROS

PARA CORRIGIR AS

DEFICIÊNCIAS

Luiz Carlos Marinho

Orientadoras: Eline Flores e Cristina Novikoff

LUIZ CARLOS MARINHO DA SILVA

Página | 2

ANÁLISE DO RENDIMENTO ESCOLAR DE TURMAS DO 9º ANO

NO SIMULADO DE MATEMÁTICA DA PROVA BRASIL:

UM ESTUDO EXPLORATÓRIO NA REDE PÚBLICA

MUNICIPAL DE DUQUE DE CAXIAS/RJ

DUQUE DE CAXIAS

2010

Caderno de Sugestões Metodológicas desenvolvido como Produto Final apresentado durante a Defesa de Dissertação do Curso de Pós-Graduação Stricto-Sensu Mestrado Profissional de Ensino das Ciências na Educação Básica. Orientadora: Eline das Flores Victer Co-Orientadora: Cristina Novikoff

Página | 3

Educação é um ato político. Se algum professor julga que sua ação

é politicamente neutra, não entendeu nada de sua profissão.

Ubiratan D’Ambrosio

Página | 4

SUMÁRIO

Página

APRESENTAÇÃO………………………………………………………………... 05

Considerações Sobre o Ensino e Aprendizagem de Matemática…………………. 07

A Origem da Prova Brasil………………..……………………………………….. 11

O que é a Prova Brasil………………………..…………………………………… 12

Da Elaboração da Prova Brasil………………...………………………………….. 14

Propósito da Prova Brasil………………………………………………………..... 16

Considerações e Críticas Pertinentes à Prova Brasil…………………………….... 18

Uma Abordagem Sobre o Erro / Distrator ………………………………………... 23

Matriz de Referência em Matemática: Temas e Descritores do 9º ano do Ensino

Fundamental………………………………………………………………………...

26

Metodologia Utilizada no Desenvolvimento da Pesquisa……………..………….. 31

Análise Quantiquali dos Resultados Obtidos pelos Alunos no Simulado de

Matemática da Prova Brasil……………………………………………..…………

35

Análise dos itens do Bloco 01……...……………………………………………... 36

Análise dos itens do Bloco 02………………………….………..………………... 58

Resumo da Análise dos Resultados e das Sugestões Metodológicas……….……. 82

Considerações Finais…………………………………………………………..….. 88

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS…………………………………………….. 91

Página | 5

APRESENTAÇÃO

Prezado(a) diretor(a), prezado(a) professor(a) de Matemática,

Diversos são os fatores que a literatura nos aponta como determinantes para o

baixo desempenho escolar: qualidade dos profissionais que atuam nas instituições de

ensino, políticas equivocadas de favorecimento à aprovação de alunos sem habilidades e

competências mínimas, nível socioeconômico das famílias, infraestrutura das escolas,

escolaridade dos pais ou responsáveis, elevado quantitativo de alunos por turma,

número de horas-aula, idade de entrada no sistema escolar, entre outros podemos citar

os trabalhos de Franco (2002), Carusi (2007) e Menezes (2007). Nesse contexto

composto pela deficiência de aprendizado, a Matemática se destaca como uma das

disciplinas com os mais baixos índices de desempenho observado nas diversas

avaliações dos sistemas educacionais brasileiros.

O estudo ora apresentado tem o propósito de identificar, quantificar, analisar,

classificar, e de maneira interpretativa discutir os resultados apresentados pelos

estudantes de 9º ano do ensino fundamental da Rede Municipal de Duque de Caxias no

simulado de Matemática da Prova Brasil. O desdobramento natural do estudo recai

sobre sugestões metodológicas de ensino aprendizagem que visem corrigir tais

deficiências. Todas as sugestões apresentadas são baseadas em vinte anos de

experiência profissional do autor a partir da análise dos erros cometidos pelos alunos

nessa simulação da avaliação em larga escala. A concepção inicial do projeto foi estruturada quando em maio de 2009 o

governo federal disponibilizou no sítio do Inep/Mec uma avaliação que serviria como

simulado para a 3ª edição da Prova Brasil cuja aplicação estava prevista para outubro do

mesmo ano. Como os resultados da Prova Brasil são estruturados e apresentados a partir

da Teoria da Resposta ao Item (TRI), as questões podem ser reutilizadas em anos

distintos. Assim sendo, as avaliações originais aplicadas aos alunos não ficam

disponíveis para a consulta dos professores.

Mesmo sendo conhecedores de todas as críticas pertinentes que a Prova Brasil

sofre por parte de vários educadores, seja por suas características pedagógicas, pela

forma de apresentação dos resultados ou possíveis desdobramentos políticos, como

sugerem os trabalhos de Coelho (2008), Vianna (2003), Souza (2009) e Naujorks e

Página | 6

Silveira (2008), não objetivamos tal discussão como foco central. A proposta do projeto

consiste em nos apropriarmos dessa avaliação de âmbito nacional e de seus descritores

para que, partindo desse enfoque e dos resultados encontrados, analisemos os erros

cometidos pelos alunos. Acreditamos que a análise e compreensão desses erros nos

darão subsídios para discutirmos metodologias que nos permitam corrigi-los.

O trabalho foi estruturado como Produto Final desenvolvido a partir da defesa de

Dissertação do Curso de Pós-Graduação Stricto-Sensu Mestrado Profissional de Ensino das

Ciências na Educação Básica na Universidade do Grande Rio Prof. José de Souza Herdy –

UNIGRANRIO.

De maneira geral o estudo se propõe a aproximar o professor dessa avaliação

nacional em larga escala, viabilizando um maior conhecimento dos professores sobre a

Prova Brasil. Acreditamos que uma permanente discussão sobre os resultados

apresentados pelas unidades escolares na Prova Brasil, nos permite uma melhor

formulação sobre nossa atuação pedagógica que nos conduza a uma escola realmente

significativa e de qualidade.

O objetivo específico do trabalho consiste na análise de itens que possibilitem

aos professores de Matemática da Rede Pública Municipal de Duque de Caxias/RJ

desenvolverem uma reflexão sobre suas práticas de ensino e sobre a resolução de

problemas realmente significativos para o cotidiano de nossos alunos. Visa

prioritariamente à aquisição de conhecimentos e o desenvolvimento de habilidades

necessárias para o alcance das competências exigidas na educação básica.

Defendemos amplamente o direito do educador em desenvolver com criatividade

suas próprias atividades. Portanto, consideramos a utilização do caderno ora

apresentado apenas como mais um instrumento de contribuição no processo de

construção do conhecimento de nossos alunos e de discussão para nós professores.

LUIZ CARLOS MARINHO DA SILVA1

1MSc em Educação Matemática e Professor Regente da Rede Pública Municipal de Duque de Caxias/RJ.

Página | 7

Considerações Sobre o Ensino e Aprendizagem de Matemática

Partindo de uma visão sócio-histórica em educação, é possível caracterizar o

processo de ensino e aprendizagem como um conjunto de ações e estratégias que devem

encaminhar o educando, seja de maneira individual ou coletiva, a apropriar-se de

conhecimentos propostos por um plano de formação previamente planejado. Essas

ações devem estar centradas no aluno, tendo como foco principal tanto os métodos

utilizados como os conteúdos ministrados. Toda essa estrutura educacional compreende

também, a organização do espaço escolar, os meios de motivação dos participantes e a

avaliação constante tanto dos procedimentos de desenvolvimento das atividades quanto

dos resultados finais.

Tomando essa linha de pensamento como análise, visando uma discussão

introdutória, podemos caracterizar o processo de ensino e aprendizagem da Matemática

como um dos quais provoca mais dificuldades de implementação dessa metodologia,

tanto por parte de quem ensina como por parte daqueles que a tentam aprender. Como

observa Catapan (1996):

[…] é nessa perspectiva que o processo de trabalho escolar e seus elementos devem ser analisados, a partir de suas determinações contraditórias. Essas, enquanto fator potencialmente válido para a emancipação do homem, contribuem efetivamente para a transformação social. Uma transformação que supõe a superação do reducionismo do processo de trabalho escolar enquanto transmissão de informação para um processo de construção ou de desenvolvimento de conhecimentos. (p. 100)

Mesmo descartando qualquer tipo de hierarquização entre as áreas do

conhecimento, não há educador que discorde do fato de que o saber matemático

representa uma área imprescindível do conhecimento humano. A Matemática constitui-

se em uma ferramenta fundamental para que o cidadão desenvolva uma correta leitura

do mundo que o cerca. “Isso significa desenvolver a capacidade do aluno para manejar

situações reais, que se apresentam a cada momento, de maneira distinta”.

(D’AMBROSIO, 1990, p. 16).

Assim, torna–se evidente a utilidade social da Matemática no fornecimento de

instrumentos para que possamos agir em nosso cotidiano de maneira mais eficaz,

formando gerações constituídas por cidadãos preparados para intervir como ser social

atuante. De acordo com Machado (1993) “a primeira língua que aprendemos” (p. 09), é

da Matemática. Isso se caracteriza pelo fato de tanto a língua materna quanto a

Página | 8

linguagem simbólica Matemática possuírem valor instrumental e constituírem

ferramentas fundamentais para a compreensão e “leitura do mundo”.

A Matemática se caracteriza como uma forma de compreender e atuar no mundo

e o conhecimento gerado nessa área do saber como um fruto da construção humana na

sua interação constante com o contexto natural, social e cultural. Esta visão opõe-se

àquela presente em boa parte do senso comum que considera a Matemática como um

corpo de conhecimento imutável e verdadeiro, que deve ser assimilado a fórcipes pelo

aluno. A Matemática é uma ciência viva, não apenas no cotidiano dos cidadãos, mas

também nas universidades e centros de pesquisas, onde se verifica, hoje, uma

impressionante produção de novos conhecimentos que, partindo do seu valor intrínseco,

de natureza extremamente lógica, têm sido instrumentos úteis na solução de problemas

científicos e tecnológicos da maior relevância para o cotidiano moderno.

A importância do aprendizado de Matemática claramente surge quando

observamos o papel decisivo que essa área do conhecimento possui na resolução de

pequenos problemas da vida cotidiana. O domínio de conceitos e aplicações das

estruturas matemáticas funciona como instrumento essencial para a construção do

conhecimento em outras áreas curriculares. Além disso, possui influência direta na

formação da capacidade intelectual do cidadão, permitindo uma estruturação do

pensamento e na agilização do raciocínio lógico dedutivo.

A efetiva contribuição da Matemática para o conhecimento humano está

presente nas palavras de Gomes (2007):

Tudo em Matemática pode ser aplicado a algum assunto ou todos os assuntos, de alguma forma, têm uma “Matemática” embutida: é a crença vigente, e é, muitas vezes, o argumento usado para justificar o ensino da Matemática, mundo afora. Da Psicanálise à Biologia, da Economia à Linguística e além das já denominadas “Ciências Exatas”, tudo envolve Matemática. É o que escutamos com frequência. (p. 13)

Plenamente conscientes da importância que o saber matemático constitui, nos

causa profunda insatisfação a constatação das dificuldades encontradas para o

aprendizado da Matemática por grande parte de nossos alunos. Essa dificuldade de

aquisição dos conhecimentos torna-se evidente perante os resultados negativos

apresentados por nossos educandos durante as avaliações formais, como afirma Santos

(2009):

Página | 9

[…] em qualquer uma das macroavaliações, realizadas em âmbito local (Prova São Paulo), nacional (Prova Brasil) ou internacional (Pisa), tem chamado a atenção a forte presença da Matemática como área de conhecimento em que os índices de aproveitamento dos alunos são os mais baixos possíveis. (p. 12)

Como exemplo podemos citar a rede pública do município de Duque de Caxias

no Estado do Rio de Janeiro cuja população em 2009, segundo o IBGE era de 872.762

habitantes. Embora possua uma economia forte com base nos royalts do petróleo2 e um

dos maiores IDH (Índice de Desenvolvimento Humano) do Estado, a rede obteve índice

de apenas 2,7 pontos no IDEB (Índice de Desenvolvimento na Educação Básica) no ano

de 2009 para os anos finais do Ensino fundamental. Em todo país, o índice para os anos

finais do Ensino Fundamental atingiu a marca de 3,6 pontos. No Estado do Rio de

Janeiro o índice alcançou 3,8 pontos, quando o desejado pelos organismos

internacionais seria algo entre 5,5 e 6,0 pontos.

É de conhecimento pleno que a educação não se limita ao espaço escolar.

Diferentes estruturas educativas contribuem na formação do indivíduo. A família e a

religião são forças tão significativas e poderosas quanto à escola na formação da visão

de mundo e dos valores da criança ou do adolescente. Muito embora não possa ser

responsabilizada sozinha pelos insucessos em tão específica área do conhecimento, a

Rede Pública Municipal de Duque de Caxias necessita refletir sobre esses números,

agindo em conjunto com as unidades escolares, visando superar o fracasso desses

alunos no aprendizado e no resgate de suas competências cognitivas.

A busca por melhores rendimentos acadêmicos em Matemática não ocorrerá sem

que haja um esforço coletivo que envolva autoridades competentes, dirigentes das

escolas, comunidade escolar e principalmente professores. Convencer os profissionais

de educação a conhecer melhor os parâmetros curriculares e as metodologias que

norteiam sua área do conhecimento além de discutir sobre as dificuldades encontradas

pelos alunos, será a tarefa mais árdua na busca da melhora da qualidade do ensino em

Matemática.

Apesar dos resultados da Prova Brasil estarem diretamente relacionados com o

trabalho técnico-pedagógico desenvolvido no âmbito de cada escola, a procura por

2 De acordo com dados de 2005 do IBGE (Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística), o município de

Duque de Caxias detinha o 8º PIB (Produto Interno Bruto) nacional. Ficando atrás apenas de capitais de

Estado como São Paulo, Rio de Janeiro, Brasília, Belo Horizonte, Manaus, Curitiba e Porto Alegre.

Página | 10

melhores índices educacionais não é tarefa que compete apenas às equipes escolares. O

compromisso do poder público e da sociedade como um todo visando à busca de uma

educação de qualidade se faz necessário. Para que tais fatores ocorram, precisamos

conjugar esforços no sentido de se obter recursos materiais, humanos e pedagógicos,

que resultem na construção de novas formas de conhecimento, atitudes e valores que

reconheça o educando como sujeito ativo no processo de aprendizagem, facilitando sua

aquisição e absorção do conhecimento.

Necessitamos de uma sociedade que avance de maneira uníssona no aspecto

pedagógico. Que se aprofunde em discussões sobre um planejamento educacional

voltado para os valores realmente importantes para a sociedade, o incentivo à pesquisa,

extensão e aprimoramento dos profissionais de educação, uma gestão participativa e

democrática, que possua efetiva contribuição dos pais na escola, que busque parcerias

visando à ampliação de ambientes e espaços de aprendizagem.

Nesse sentido, devemos objetivar um processo pedagógico mais humanista que

considere aspectos de superação da visão neoliberal sedimentada em grande parte da

educação nacional. Em outras palavras, devemos nos distanciar de uma educação

tecnicista voltada para o individualismo e o consumo, nos aproximando de uma

proposta educacional direcionada para os valores humanistas, inclusivos e em favor da

ética pela virtude. Nas palavras de Aristóteles:

As coisas que temos de aprender antes de fazer, aprendemo-las fazendo-as – por exemplo, os homens se tornam construtores construindo, e se tornam citaristas tocando cítara; da mesma forma, tornamo-nos justos praticando atos justos, moderados agindo moderadamente, e corajosos agindo corajosamente. Essa asserção é confirmada pelo que acontece nas cidades, pois os legisladores formam os cidadãos habituando-os a fazerem o bem; esta é a intenção de todos os legisladores; os que não a põem corretamente em prática falham em seu objetivo, e é sob este aspecto que a boa constituição difere da má. (p. 35)

Portanto, devemos associar o aumento da oferta de ensino na escola com a

garantia de aprendizagem para todos, sem jamais se desvincular dos princípios e valores

éticos.

Mais uma vez cabe ressaltar a importância das discussões sobre atividades e

metodologias que devem ser implementadas pelos professores de Matemática visando à

melhora desse quadro. Torna-se fundamental que os professores apresentem tarefas que

permitam aos estudantes se reconhecerem como produtores de seu próprio saber e não

Página | 11

apenas executores ou meros reprodutores de algo que alguém lhes disse que deveria ser

feito assim.

A Origem da Prova Brasil

A década de 80 representou um período muito fértil para a educação brasileira

no que tange a discussões sobre políticas públicas para o direcionamento e aplicação de

verbas. A questão da qualidade e principalmente da equidade passou a assumir um lugar

de destaque nas discussões voltadas para a educação. Surgem as primeiras propostas

sobre a criação de uma avaliação nacional que nos permita mapear a real situação do

ensino público no Brasil. Um processo de avaliação em todos os níveis passa a ser

fundamental para a obtenção de informações sobre a realidade educacional no País.

A necessidade de obter informações mais gerais sobre a educação brasileira, leva

à adoção da avaliação dos sistemas responsáveis pela mesma. Essa avaliação deve

utilizar procedimentos metodológicos de pesquisa, formais e científicos, que garantam

sua confiabilidade tanto na coleta sobre os dados de desempenho dos alunos como nas

condições internas e externas que nele interferem.

O Sistema Nacional de Avaliação da Educação Básica (Saeb) representou a

primeira iniciativa brasileira, em escala nacional, que nos permitiu conhecer em

profundidade o sistema educacional brasileiro. Desde sua primeira aplicação, o Saeb

nos trouxe embutido como principal finalidade, fornecer aos gestores dos sistemas de

ensino informações que subsidiem o processo de tomada de decisões. Além disso, se

propõe a fornecer elementos que permitam o monitoramento dos resultados das

aplicações das políticas públicas voltada para a educação.

A primeira prova do Saeb foi aplicada em 1990. No ano de 1995 o Saeb sofreu

uma forte reestruturação metodológica passando a adotar a comparação do desempenho

das redes educacionais ao longo dos anos. Para permitir a comparabilidade, o sistema

adotou a Teoria da Resposta ao Item (TRI)3 e a manutenção de itens ancora ao longo da

história da avaliação.

3 A teoria da Resposta ao Item, muitas vezes abrevidas apenas por TRI, é uma modelagem estatística em medidas psicométricas, principalmente na área de avaliação de habilidades e conhecimentos em teste de múltipla escolha. Utilizada em avaliações de vários países, os programas mais conhecidos são o NAEP (National Assessment of Educational Progress), o ETS (Education Testing Service), o GMAT (Graduate Management Admision Test), todos nos Estados Unidos da América e o CITO (Institute for Education Measuremente) na Holanda. No Brasil, além do Saeb, o novo ENEM, aplicado pela primeira vez em

Página | 12

Em 2005 surge a Prova Brasil, cujo nome oficial é Avaliação Nacional do Rendimento

Escolar (Anresc). O Saeb passou então a ser composto por dois processos avaliativos: a

Avaliação Nacional da Educação Básica (Aneb) e a Avaliação Nacional do Rendimento

Escolar (Anresc), conforme estabelece a Portaria n.º 931, de 21 de março de 2005.

A Aneb é aplicada por amostragem das Redes de Ensino em cada unidade da

Federação e foca as gestões dos sistemas educacionais. Atualmente sua aplicação ocorre

a cada dois anos, fazendo a prova alunos do 5º ano e do 9º ano do Ensino Fundamental

das redes particular e pública rural, selecionados aleatoriamente, além de alunos do 3º

ano do Ensino Médio das redes pública e particular de área rural. Por manter suas

características originais, a Aneb ainda recebe o nome de Saeb e volta sua pesquisa para

a unidade escolar. Pelo seu caráter universal a Anresc é chamada de Prova Brasil por

causa de sua maior divulgação na mídia e de sua aplicação em todas as escolas públicas

urbanas brasileiras com mais de 20 alunos no ano letivo avaliado. Fazem a prova, a cada

dois anos, todos os alunos de escolas públicas urbanas do 5º ano e do 9º ano do Ensino

Fundamental.

A base metodológica das duas provas é a mesma, a diferença encontra-se apenas

na população de estudantes aos quais são aplicadas e, consequentemente, nos resultados

que cada uma fornece. Ambas avaliam as mesmas disciplinas: Língua Portuguesa e

Matemática.

Uma vez que a metodologia utilizada nas avaliações é a mesma, elas passaram a

ser operacionalizadas em conjunto desde 2007. Como representam avaliações

complementares, uma não implicará na extinção futura da outra.

O que é a Prova Brasil

A Lei de Diretrizes e Bases da Educação Nacional – LDB (Lei nº 9.394 de 20 de

dezembro de 1996), em seu Título IV, da Organização da Educação Nacional, em seu

art. 9º, no inciso VI, prevê que é de incumbência da União assegurar o processo

nacional de avaliação do rendimento escolar no ensino fundamental, médio e superior,

em colaboração com os sistemas de ensino, tendo como objetivo definir prioridades e a

dezembro de 2009, também fez uso da TRI, de forma a garantir a comparatibilidade das notas em diferentes edições.

Página | 13

melhoria da qualidade do ensino. Em conformidade com essa exigência surge um

importante instrumento avaliativo denominado Prova Brasil.

De maneira geral, a Prova Brasil representa uma avaliação diagnóstica em larga

escala desenvolvida pelo Inep4/MEC, objetivando avaliar a qualidade do ensino

oferecido pelos mais diversos sistemas educacionais brasileiros a partir de testes

padronizados e questionários socioeconômicos.

Nos testes, os alunos respondem a itens (questões) de Língua Portuguesa, com

foco em leitura, e Matemática, com foco na resolução de problemas. No questionário

socioeconômico, os estudantes fornecem informações sobre fatores de contexto que

podem estar associados ao desempenho.

Para cada ano letivo são confeccionados 21 diferentes tipos de cadernos de

provas, mas cada aluno responde a apenas um. Desta forma, dois alunos não respondem

necessariamente às mesmas questões. Cada caderno de prova é constituído por quatro

blocos, sendo dois destinados a itens de Língua Portuguesa e os outros dois blocos a

questões de Matemática.

Os alunos do 5º ano respondem a 22 itens de Língua Portuguesa e a outros 22

itens de Matemática. Já os estudantes do 9º ano respondem 26 itens de Língua

Portuguesa e a outros 26 itens de Matemática. O tempo total estipulado para a avaliação

é de 2 horas e 30 minutos.

Todos os itens são de múltipla escolha, com quatro opções de alternativas de

respostas, sendo apenas uma a correta. As soluções devem ser assinaladas em um

formulário de respostas a lápis ou a caneta preta, bastando que o aluno escreva um “X”

na alternativa desejada. A prova não é divulgada, pois de acordo com a metodologia da

Teoria da Resposta ao Item, as mesmas questões podem ser utilizadas em edições

seguintes do exame.

Professores e gestores (diretores, coordenadores pedagógicos, orientadores

educacionais, etc.…) de turmas das escolas avaliadas também respondem a

questionários que coletam dados demográficos, perfil profissional e condições de

trabalho.

4 O Inep (Instituto Nacional de Pesquisas Educacionais Anísio Teixeira) é uma autarquia vinculada ao Ministério da Educação (MEC), cuja missão é promover estudos, pesquisas e avaliações sobre o sistema educacional brasileiro para subsidiar a formulação e implementação de políticas educacionais com base em parâmetros de qualidade e equidade, bem como produzir informações confiáveis a gestores, pesquisadores, educadores e ao público em geral.

Página | 14

Da Elaboração da Prova Brasil

Os itens presentes nos testes da Prova Brasil são criados a partir das chamadas

Matrizes de Referência. A Matriz é um documento que descreve os temas que servem

como base para a elaboração dos itens. Ela reúne os conteúdos que devem ser avaliados

em cada disciplina e ano letivo, dando transparência e legitimidade ao processo global

da avaliação.

De modo a facilitar a sua interpretação, os conteúdos associados às

competências e habilidades desejáveis em cada disciplina e em cada ano letivo,

presentes nas Matrizes de Referência, foram subdivididos em partes menores. Esses

pequenos fragmentos são chamados de descritores e especificam o que os itens da prova

devem medir.

A seleção e montagem dos descritores que compõem os itens que integram a

Prova Brasil presentes na Matriz de Referência, foram criados pelo Inep a partir dos

Parâmetros Curriculares Nacionais (PCNs) e dos currículos adotados pelas Secretarias

Estaduais de Educação e por redes municipais de ensino. O Inep também consultou

livros didáticos com frequente utilização por parte dos professores regentes das redes

públicas e privadas.

Os descritores representam uma associação entre os conteúdos curriculares e as

operações mentais desenvolvidas pelos alunos. Portanto, os descritores traduzem o que

implica dominar tal habilidade, e, como se deve proceder na sua utilização dos mesmos,

como base para a construção dos itens dos testes das duas disciplinas avaliadas. Como

cada descritor dá origem a diferentes itens é possível, a partir das respostas dadas pelos

alunos, verificar o que os alunos adquiriram como conhecimento e sua capacidade de

raciocínio sobre o tema.

Embora existam muitas críticas por parte dos educadores, as duas disciplinas

escolhidas para compor a prova, foram definidas pelo Inep por serem consideradas

básicas na composição do currículo escolar. A montagem dos itens que constituem a

avaliação é baseada em competências e habilidades mínimas consideradas comuns entre

os currículos de todas as unidades educacionais da federação. Tais competências e

habilidades são consideradas elementares para que os jovens avancem no processo de

aprendizagem no decorrer de sua vida escolar.

As Matrizes de Referência da Prova Brasil não englobam todo o currículo

escolar e não devem ser confundidos como procedimentos, estratégias de ensino ou

Página | 15

orientações metodológicas, pois o corte é feito com base nos conceitos mínimos que

todo aluno do Ensino Fundamental deve ter.

De maneira mais específica para esse trabalho, a prova de Matemática é

elaborada através da resolução de problemas. São consideradas competências e

habilidades como: capacidade de observação, estabelecimento de relações, comunicação

entre as diferentes linguagens, argumentação e validação de processos, além da

estimulação de diferentes formas de raciocínio como intuição, indução, dedução e

principalmente estimativa. De acordo com os elaboradores dos testes, a opção por tais

itens representa a convicção de que o conhecimento matemático adquire significado

quando os alunos se deparam com situações desafiadoras para serem superadas e

necessitam trabalhar visando o desenvolvimento de estratégias necessárias para a

resolução das questões.

As matrizes de Matemática tanto para o 5º ano quanto para o 9º ano do Ensino

Fundamental, não trazem em seu bojo orientações ou sugestões de como o professor

deve atuar em sala de aula. Tampouco sugerem algum tipo de progressão ou hierarquia

dos conteúdos nos anos letivos avaliados. Além disso, não mencionam determinadas

competências e habilidades que, mesmo sendo importantes não são passíveis de serem

aferidas através de uma objetiva.

São os itens presentes na avaliação que permitem afirmar se o aluno

desenvolveu ou não determinada habilidade matemática. A prova direciona seus itens na

capacidade do estudante de resolver problemas cotidianos a partir da utilização e

aplicação de conceitos por ele construídos. Por esse motivo, a prova procura,

prioritariamente, apresentar situações em que a resolução dos problemas matemáticos

sejam significativos para os alunos.

Como problema significativo para os alunos entende-se situações que permitam

a “recontextualização” sobre conhecimentos que lhe foram apresentados de maneira

descontextualizada no momento do seu processo de aprendizagem. A opção pelo foco

na resolução de problemas significativos não exclui totalmente a possibilidade de que

alguns itens tenham como objetivo avaliar o domínio dos alunos em determinados

conteúdos mais acadêmicos de suas competências matemáticas.

A presença de dois elementos definidores nos testes da Prova Brasil – a

padronização dos itens e o uso da medida – necessitam ser mais bem compreendidos

pela sociedade. Como o direito ao aprendizado de competências cognitivas vale para

todos os alunos, fica excluída a possibilidade de definição deste direito de forma

Página | 16

diferente para diferentes grupos de alunos nas mais distintas regiões do Brasil. Como

notória consequência, o instrumento avaliador desse direito deve ser único.

No entanto, considerando a variação natural presente nos seres humanos, é

aceitável que, garantido um nível de domínio do conhecimento compatível com o

exercício da cidadania, alunos diferentes apresentem graus diferentes de domínio das

competências e habilidades necessárias. Dito de outra maneira, é naturalmente aceitável

que alguns alunos possuam um maior desenvolvimento de sua capacidade de abstração

matemática e outros não. São pelos motivos expostos que a avaliação possui uma gama

tão grande de variáveis no que concerne a sua elaboração e a sua forma de pontuação.

Propósito da Prova Brasil

Diferentemente das clássicas avaliações aplicadas pelos professores em sala de

aula, a metodologia adotada para a confecção e aplicação dos testes tanto da Prova

Brasil quanto do Saeb é adequada para avaliar redes ou sistemas de ensino, e não alunos

individualmente.

Apesar da nomenclatura, a Prova Brasil é na realidade um teste composto apenas

de itens calibrados e pertencentes a uma escala previamente definida. Esse ponto

fundamental é ainda desconhecido e pouco ou nada discutido pelos educadores e pela

comunidade em geral.

Sabemos que o desenvolvimento da capacidade de leitura, abstração e raciocínio lógico

é uma necessidade do cidadão no mundo atual e um direito do aluno. Logo

necessitamos analisar os resultados apresentados nos testes e discutirmos métodos que

nos permitam operacionalizar atividades pedagógicas que nos levem a alcançar tais

objetivos educacionais.

Os resultados da Prova Brasil são produzidos a partir da aferição das habilidades

propostas nos currículos para serem desenvolvidas pelos estudantes em determinada

etapa da educação formal. Uma vez que os currículos são muito extensos, um aluno não

responde a questões que contemplem a todas as habilidades e competências neles

previstas.

Na verdade, o que ocorre é que um determinado conjunto de alunos responde a

várias provas contendo diferentes itens do currículo que deveriam estar sedimentados

em seus conhecimentos. Dessa forma, os resultados não refletem a porcentagem de

acertos de um aluno respondendo a uma única prova, mas de um grupo de alunos

Página | 17

respondendo a um determinado item do currículo proposto, distribuído em diversas

provas. Como cada conjunto de alunos representa uma unidade dentro do sistema

educacional, temos o resultado definido para cada escola e não para o aluno.

As médias são calculadas por meio de uma escala de desempenho que descreve

as competências e habilidades que os estudantes desenvolveram. As escalas de

pontuação são comparadas a uma escada. A escala é única e acumulativa. O aluno que

desenvolve melhor as habilidades de leitura e interpretação complexa da língua ou

realiza operações, estabelecendo relações numéricas, por exemplo, estaria no degrau

mais alto. Como a escala é feita para ambas as séries, espera-se que só os alunos do 9º

ano do Ensino Fundamental atinjam o último degrau. Esses alunos devem desenvolver

habilidades e competências ao longo de todo o percurso do Ensino Fundamental. Por

esse motivo espera-se que os resultados das turmas de 5º ano sejam sempre inferiores

aos do 9º ano do Ensino Fundamental. Pela localização numérica do desempenho na

escala é possível saber quais habilidades os alunos já construíram, as que estão

desenvolvendo e quais ainda necessitam alcançar.

As médias de desempenho nessas avaliações em conjunto com as taxas de

aprovação subsidiam o cálculo do Índice de Desenvolvimento da Educação Básica

(Ideb). O Ideb pretende ser o termômetro nacional da qualidade da educação básica em

todos os estados, municípios e unidades escolares da federação, combinando fluxo

escolar (passagem dos alunos pelos anos letivos sem repetência, contabilizado pelo

Programa Educacenso) com o desempenho dos estudantes na Prova Brasil nas áreas de

Língua Portuguesa e Matemática. O Ideb é ainda um dos eixos centrais do Plano de

Desenvolvimento da Educação (PDE), lançado em 2007 pelo governo federal através do

Ministério da Educação (MEC).

O PDE sistematiza várias ações que devem impulsionar a sociedade brasileira na

busca de uma educação equitativa e de boa qualidade. Em conjunto com o PDE, o

Governo Federal lançou o Plano de Metas Todos Pela Educação que estabelece um

conjunto de diretrizes que a União, os estados, o Distrito federal e os municípios, em

regime de colaboração, devem conjugar esforços para a superação do quadro de extrema

desigualdade de oportunidades existentes no País. O Plano de Metas tem por objetivo

criar condições para que cada brasileiro tenha acesso a uma educação de qualidade e

seja capaz de atuar de maneira crítica e reflexiva sobre o contexto no qual esta inserido,

como cidadão consciente de seu papel num mundo cada dia mais globalizado.

Página | 18

De posse do resultado do Ideb de sua escola, os gestores passam a ter um quadro

da real situação de sua unidade escolar perante as demais da mesma rede de ensino. Os

resultados da Prova Brasil permitem aos dirigentes das escolas, inclusive, trocarem

experiências sobre boas e aplicáveis práticas pedagógicas. Além disso, secretários

estaduais e municipais de educação podem, a partir do desempenho das escolas de sua

jurisdição, elaborar políticas públicas voltadas para o favorecimento do aprendizado em

sua localidade.

Considerações e Críticas Pertinentes à Prova Brasil

Uma das principais críticas relativas à Prova Brasil, refere-se a maneira como

seus resultados são contabilizados e apresentados. Hoje, a principal fonte de divulgação

desses resultados se dá por intermédio da internet no sítio

http://provabrasil.inep.gov.br/, como afirma Vianna (2005):

Ao término, o programa passa por uma fase crítica, a da divulgação dos resultados, que deve ser feita considerando a diversidade do perfil das várias clientelas interessadas. Dessa forma, diferentes relatórios, dirigidos a cada um dos públicos, devem ser elaborados, sob pena de comprometimento da validade conseqüencial de todo o processo, pela falta de compreensão das informações, e o surgimento natural de dúvidas quanto à qualidade da avaliação, fato este que reduz substancialmente o impacto esperado, impedindo que se obtenham mudanças nas formas de pensar e agir. (p.141)

Esse representa um momento ainda extremamente delicado e de total falta de

informação e conhecimento por parte dos educadores. Embora o Inep/MEC

disponibilize os resultados completos das três edições da Prova Brasil, os resultados

sobre os níveis de proficiência obtidos pelas escolas, não são discutidos pelos

professores em suas unidades escolares. Nas palavras de Rodrigues (2009): Outros professores sinalizaram que os resultados da avaliação externa parecem não chegar às escolas como deveriam. Quando há informações, os comentários são poucos e muito rápidos. Há ainda professores que afirmam não saber como se chega ao resultado final e é montada a estatística da posição da escola. Essas verbalizações revelam o quanto os resultados da Prova Brasil não têm chegado às escolas, ou quando chegam, apresentam déficit de informação. (p.77)

Alguns dos principais fatores que acarretam a ausência de tão importante

discussão no âmbito da escola passam pela falta de disponibilidade tempo dos

professores do ensino fundamental e pela complexidade técnica com que os dados são

apresentados. Novamente Rodrigues (2009) salienta que:

Página | 19

Deve-se considerar também que não é tarefa fácil compreender o conteúdo disponibilizado. Para isso é necessário ter conhecimentos prévios sobre documentos ali publicados e sobre a relação entre eles. Então o desafio é aprender a utilizar os documentos relacionando-os aos resultados encaminhados às escolas, o que parece não ser ainda uma prática concretizada. (p.80)

A compreensão das escalas de proficiências realmente demanda um tempo de

leitura para que os professores possam ser apropriar de suas informações. Uma vez que

o Ideb representa um conjunto de informações mais objetivas, há uma tendência dos

gestores de voltarem suas discussões para esse único resultado. Na verdade, a

preocupação acaba sendo única e exclusivamente a posição em que a unidade escolar se

encontra no “ranking” de sua comunidade e a consequente visibilidade externa que a

escola passa a adquirir perante esse resultado.

A falta de uma análise do desempenho da escola nas duas áreas do conhecimento

avaliadas representa uma grande perda para a elaboração de um planejamento realmente

voltado para sanar deficiências de aprendizado.

Outra grande crítica feita pelos educadores na apresentação desses resultados

recai sobre a apresentação globalizada e não individualizada dos resultados, como

afirmam Naujorks & Silveira (2008):

A forma como o resultado é apresentado é referida pela totalidade do grupo; alegam que os mesmos, deveriam expressar também o desempenho individual do aluno, sendo, esta divulgação direcionada somente a escola de origem deste e não apenas o da série ou da escola. O aluno tem o direito de ter acesso ao seu desempenho. (p. 10)

Segundo alguns educadores, um resultado individualizado permitiria aos

professores agir de maneira mais efetiva sobre o aluno com dificuldades de

aprendizado. Na prática essa crítica não procede uma vez que a avaliação é aplicada ao

final do ano letivo e seus resultados são divulgados apenas no ano seguinte quando os

alunos já estariam possivelmente em outra unidade escolar ou mesmo retidos no ano de

escolaridade. Além disso, cabe ao professor esse acompanhamento individualizado

através de avaliações diagnósticas e não seria finalidade da Prova Brasil sinalizar tais

informações.

Se levarmos em consideração que o Ideb representa na verdade o resultado da

combinação do fluxo escolar com o desempenho dos estudantes na Prova Brasil,

Página | 20

discutir tal resultado não seria tão relevante. Uma escola que possua um péssimo

rendimento acadêmico na avaliação, mas que tenha um baixo índice de retenção pode

obter um Ideb superior ao de outra unidade escolar com melhor rendimento acadêmico

que possua uma elevada taxa de reprovação no ano letivo.

Portanto, centrar a avaliação interna da escola sobre o resultado obtido na escala

de proficiência, representa algo muito mais útil, palpável e pertinente. Os gestores

deveriam voltar suas discussões sobre quais ações pedagógicas internas devem ser

tomadas visando à ascensão na escala. Essa discussão não pode e não deve ser restrita

aos professores de Língua Portuguesa e Matemática. Todas as áreas do conhecimento

devem estar engajadas nesse mesmo propósito.

As críticas dos educadores e sociólogos a esse tipo de avaliação de sistemas não

se resume à forma de apresentação dos resultados, mas também a utilização dos

resultados por parte dos gestores das políticas públicas educacionais, como atesta

Valente (2008): No entanto, estudiosos do campo apontam que a avaliação sistêmica vem impondo-se, em primeiro lugar, pela exigência de racionalização do sistema educacional ainda que, com a justificativa de elaboração de planos mais eficazes do processo educativo. É assumida como estratégia capaz de proporcionar o alcance dos objetivos da melhoria da eficiência e da qualidade da educação. Entretanto, de acordo com (Souza, 2002), as políticas de avaliação sistêmica implantadas e implementadas em vários estados do Brasil têm gerado políticas racionalizadoras sempre relacionadas a custo benefício, ou seja, correção de fluxo escolar, progressão continuada, aceleração da aprendizagem e implantação de ciclos. No que se refere a resultados mais efetivos, essa mesma autora (2007, 2008, p.699) em estudos recentes sobre os usos da avaliação e sua relação com gestão de políticas públicas afirma que:

As informações coletadas sobre eventuais impactos dos resultados da avaliação na formulação e implementação de políticas indicam serem esses tênues ou inexistentes. O gerenciamento do sistema tende a apoiar-se nas estruturas burocráticas não se orientando pelos resultados de desempenho escolares. (p. 02)

Nesse mesmo sentido, afirma Sobrinho (2002) que:

Não há claras linhas demarcatórias entre avaliação das políticas educacionais e aquelas que se desenvolvem nos distintos terrenos das políticas sociais, bem com múltiplas são as implicações de mão dupla. Faltam elementos de compreensão das bases epistemológicas e éticas e de percepção dos efeitos políticos e pedagógicos de cada modelo de avaliação. Falta adequação no uso de distintas metodologias transplantadas de diferentes disciplinas aos princípios e objetivos desejados em educação. Ocorre com grande frequência que as avaliações se resumam a acumular informações de acordo com os cânones científicos de algumas disciplinas, mais justapostas que

Página | 21

combinadas, como a psicologia, a estatística, a sociologia, e a antropologia, muito pouco oferecendo em termos reflexivos para a compreensão das causalidades e para a elaboração de projetos de superação e emancipação. (p.61)

Outro importante problema é apontado por Sacristán (2000):

Nos sistemas educativos que possuem essas avaliações externas se levantam movimentos e posições críticas para um procedimento que torna os docentes mais dependentes da ordenação externa, subtraindo-lhes autonomia profissional; por outro lado, tem importantes consequências educativas negativas. Qualquer avaliação que se faça desde fora, pretendendo fixar-se no básico, acaba ocupando-se inevitavelmente de aprendizagens relacionadas com objetivos curriculares empobrecidos, ainda que só sejam pelo fato de que são os mais fáceis de comprovar e medir. Outras metas como o desenvolvimento de atitudes, habilidades e processos educativos menos fáceis de constatar pelo avaliador externo ficarão relegadas. (p. 320)

De acordo com esses especialistas, as avaliações de sistemas representam uma

interferência do estado através do controle da educação. Esse tipo de ação estaria

diretamente vinculado a recomendações de organismos internacionais interessados

apenas em superar a crise de eficiência, eficácia e produtividade do sistema (COELHO,

2008). Seriam políticas públicas equivocadas que visariam sanar o desencontro entre

sistema educacional e as necessidades do mercado de trabalho, através da produção em

massa de diplomados não qualificados.

A adoção do mérito como fator definidor para a distribuição de recursos poderia

agravar ainda mais a crise educacional brasileira. Tais ações promoveriam uma

competitividade entre as instituições e não estaria em consonância com tudo o que se

prega em educação no que tange a inclusão, socialização e democratização das ações

pedagógicas, permitindo uma limitação e um empobrecimento dos conteúdos

ministrados. Prevaleceria uma lógica instrumental fria e mercantil que tenderia a

supervalorizar os indicadores e resultados acadêmicos mensuráveis sem levar em conta

o contexto social em que estariam inseridos a escola e o cidadão.

Os resultados negativos seriam ocultados através de questionáveis políticas de

aceleração de estudos, progressão continuada, implantação de ciclos de estudo, etc. Essa

forma eficaz na política de melhora dos indicadores acadêmicos por parte dos

governantes, acabaria negando ao cidadão alguns dos direitos sociais, além da

manutenção das imensas desigualdades sociais vigentes em nosso país.

Outro problema descrito seria a culpabilização dos profissionais de ensino pelos

maus resultados. Os professores se tornariam reféns dos resultados. A necessidade em

Página | 22

apresentar bons indicadores acarretaria o cerceamento do que há de mais importante em

educação: a criatividade durante o ato de ensinar. Esse padrão estatal de limitação dos

conteúdos aprisionaria os professores, transformando-os em meros cumpridores de

metas pré-estabelecidas.

Um artigo publicado recentemente na revista eletrônica de educação do portal

UOL (Universo On Line)5, nos alerta para os efeitos que esse tipo de avaliação de

sistemas já implantado há alguns anos nos Estados Unidos da América pode acarretar.

O modelo implantado promove à troca dos gestores das unidades escolares que

apresentam baixo desempenho nas avaliações externas por anos seguidos. Reconfigura a

escola, fechando-a e a reabrindo como uma instituição de menor porte administrada por

um grupo privado que a gerencia e invariavelmente reforma o currículo.

Além disso, é feita uma triagem de todos os professores onde os profissionais

considerados "altamente eficientes" terão suas práticas multiplicadas em outras escolas.

Os "ineficientes", àqueles cujas turmas apresentam baixo rendimento, podem ser

considerados excedentes e, consequentemente perder seu cargo. A rede justifica a

medida como necessária para garantir que todo estudante tenha chance de ter um bom

desempenho acadêmico.

Uma vez que culturalmente há uma tendência brasileira em importar

metodologias aplicadas em países mais desenvolvidos sem uma prévia avaliação

comparativa com nossa realidade, essas informações nos causam certas inseguranças.

Muito embora todas essas observações sejam pertinentes e passíveis das mais

profundas análises, discussões, inquietudes e receios, devemos nos apropriar dessas

avaliações da melhor maneira possível, aproveitando o que pode ser obtido de positivo,

uma vez que sua implantação aparentemente está sedimentada.

No que pesem essas importantes críticas por parte de renomados educadores

sobre a real aplicabilidade desse tipo de avaliação e seus possíveis desdobramentos,

acreditamos que a escola com atuação dos seus agentes: professores, equipe técnica,

diretores, etc., devem analisá-las e discuti-las de maneira efetiva. O aprofundamento

sobre a real importância desse tipo de avaliação institucional e sua aplicabilidade na

resolução de problemas, representa parte do universo da discussão necessária durante a

elaboração e o planejamento dos projetos escolares. Aqui, utilizaremos a avaliação em

larga escala como objeto de estudo visando somente à discussão sobre caminhos

5 http://revistaeducacao.uol.com.br/textos.asp?codigo=12974

Página | 23

teórico-metodológicos que visem superar as deficiências no ensino e aprendizagem de

Matemática, como parte integrante dessa discussão.

Nosso propósito está focado primordialmente em analisar a produção dos

alunos do 9º ano da rede pública municipal de Duque de Caxias/RJ em resposta aos

itens do Simulado da Prova Brasil. Através dos erros cometidos, pretendemos trazer à

tona uma discussão sobre como se manifesta no aluno o raciocínio utilizado para o

desenvolvimento e a resolução dos itens propostos. Partindo dessa análise, poderemos

produzir estratégias metodológicas que poderão representar futuras ações norteadoras

que visem o aprendizado desses alunos.

Uma Abordagem Sobre o Erro / Distrator

Em latim, errare significa “andar sem rumo certo”:

“– Desolado, sem perspectiva de futuro, ele errava pelas ruas de sua cidade sem

clareza sobre quem era ou o que desejava...”.

Com o passar do tempo, o sentido inicial deste verbo foi sendo transformado

para “se enganar, se equivocar, falhar, declinar-se do caminho correto”. Em nossa

sociedade, sobre o ponto de vista moral, cometer erros representa um ato indesejável

que deve ser reprimido e criticado. Sob a ótica contemporânea do aprendizado, o erro

acadêmico faz parte do processo educativo e deve ser encarado como algo plenamente

normal durante a formação do cidadão. Não há como se adquirir conhecimento sem que

erros aconteçam, pois são parte integrante do processo de aprendizagem.

Em educação, frequentemente o erro causado por déficit de aprendizado é

tratado como um ato absurdo, uma atitude inaceitável que deve ser punida com desconto

de pontos ao término do bimestre letivo. O acúmulo desses erros ao longo do ano é

compreendido como baixo rendimento e consequentemente acarretará a retenção do

aluno no ano letivo.

Tais ações por parte do educador geram no aluno o medo de ousar, de tentar

buscar soluções, de enfrentar desafios. O receio de ser repreendido por cometer erros

produz no educando a sensação de incapacidade, de impotência perante o domínio do

conhecimento muitas vezes inviabilizando o aprendizado. Cabe ao educador saber

diferenciar quando a tentativa e o erro são aceitáveis e devem ser até estimulados e

quando os alunos devem pensar e maneira mais formal e cuidadosa antes de responder

ou mesmo fazer propostas de ações que levem a resolução do problema.

Página | 24

Certo formalismo clássico na maneira de apresentação dos conteúdos, sempre

esteve diretamente associado à resolução de problemas matemáticos. Seu caráter

tecnológico, analítico e cartesiano, durante anos deram, erroneamente a Matemática

uma visão sequencial e pragmática dos conteúdos que poucas outras áreas do

conhecimento humano detêm.

Muito embora se saiba que alguns conhecimentos precedem outros e que as

formas de organização sempre encaminham um determinado percurso, não existem

amarras tão fortes como algumas que podem ser observadas comumente nos livros

didáticos, tais como: apresentar todas as operações com números inteiros para introduzir

posteriormente as mesmas operações para os números racionais; ou desenvolver o

conceito de semelhança de polígonos para só depois explorar o teorema de Pitágoras.

Desmistificar essa estruturação aparentemente mais rígida presente no ensino

aprendizagem de Matemática representa um dos aspectos que nos auxilia a enxergar e a

viabilizar a contribuição da análise do erro como ferramenta educacional. Cada vez

mais educadores da área passam a observar o erro dos estudantes como necessários à

aprendizagem e revelam um saber em construção.

Em virtude do grande número de pesquisas recentes sobre o erro6, passou-se a

compreender melhor sua utilização como ferramenta pedagógica em sala de aula.

Segundo Silva (2005, p. 49), o erro adquire um “significado pedagógico”, ou seja, ele

deixa de ser o vilão da história educacional, o motivo de punições, de apontamento do

fracasso ou incapacidade do aluno, para ganhar status de ferramenta educacional. Ainda

segundo a referida autora, através da análise dos erros é possível obter informações

sobre como o aprendizado dos alunos está acontecendo, que mecanismos e habilidades

lançam mão para chegar a soluções, mesmo que não adequadas inicialmente.

Permitir que o aluno formule suas hipóteses durante a apresentação de um novo

tema, mesmo que a princípio equivocada, contribui em muito para a construção do

aprendizado e a sedimentação do conhecimento. Em contrapartida, uma crítica

veemente por parte do professor a uma sugestão proferida pelo do aluno, pode

6 De acordo com Cordeiro (2009): “Os estudos sobre erros têm sido de grande valia para o ensino da Matemática, especialmente a partir do último século quando houve um aumento significativo no número de pesquisas e publicações sobre o assunto. Trabalhos de pesquisadores como Radatz (1979, 1980), Borasi (1985, 1987, 1996), Rico (1995), Souza (2002), Esteban (2003), Buriasco (1999, 2004), Silva e Buriasco (2005), Garnica (2006), Fiorentini (2006), Pinto (2000), Perego (2006), Santos (2007), Cury (2004, 2006, 2007, 2008) dentre outros, forneceram subsídios teóricos para a área de Ensino de Matemática.” (p. 13)

Página | 25

constrangê-lo, inviabilizando todo o processo de aprendizagem e causando danos às

vezes irreparáveis.

Construir o conhecimento em parceria com o educando, é uma das tarefas mais

difíceis e complexas por parte de quem educa. Diagnosticar por que o aluno está

cometendo determinado erro na construção do conhecimento e reformular sua maneira

de ensinar a partir desse erro representa um dos grandes desafios para nós educadores.

Devemos nos habituar a utilizarmos as respostas dos alunos como referencial

para o planejamento da ação profissional do professor em sala de aula. Além disso, é de

competência do educador enfatizar a importância de se ouvir os alunos com o intuito de

acessarmos seus conceitos já sedimentados, levantando hipóteses e compreendendo suas

dificuldades, como salienta Cury (2004):

O interesse maior, em nosso entender, [...] reside em ouvir o aluno, [...] e solicitar que expliquem o que pensaram. É nesses momentos que as dificuldades vêm à tona e podemos interferir, não impondo uma resposta certa, mas buscando levar o aluno a entender as razões pelas quais comete um determinado erro. (p. 35)

Partilhar da iniciativa em discutir a formulação do conhecimento com o aluno,

ouvindo tudo o que ele tem para propor, por mais absurda que pareça a sugestão a

princípio, não significa endeusar o erro ou aproveitar tudo o que o aluno traz de

conhecimento sem questioná-lo. Tal postura educacional desrespeita igualmente a

capacidade que os alunos têm de compreender seus próprios equívocos e de reconhecer

que podem sempre aperfeiçoar seus processos de produção do conhecimento. Como

menciona Borasi (1985):

A análise de erros se torna mais uma ferramenta para o ensino de Matemática, pois faz com que os alunos detectem seus erros, questionem suas respostas e construam seu próprio conhecimento, além de servir como base diagnóstica de suas dificuldades de aprendizagem. (p.37)

Se apropriar do erro cometido pelo aluno e aproveitá-lo para corrigir as possíveis

distorções de aprendizado através da crítica pertinente e construtiva no momento

adequado leva o educando a estimular sua curiosidade científica. É evidente que tal

realidade requer algumas condições ideais como alunos interessados, participativos e

turmas sem super lotação.

Durante a elaboração e a montagem dos itens de uma prova objetiva deve-se

levar todos esses aspectos em consideração. Uma boa avaliação deve possuir

necessariamente um caráter diagnóstico. Logo, pressupõem que os erros cometidos

Página | 26

pelos alunos devem sinalizar no sentido da correção das dificuldades encontradas pelos

mesmos na resolução dos itens propostos. Portanto, a avaliação de Matemática da Prova

Brasil deve considerar que as respostas objetivas que não contemplem a correta resposta

ao item, chamadas de distratores7 por seus elaboradores, devem necessariamente

representar um caminho equivocado que o aluno possa tomar durante a resolução do

problema. Ou seja, as opções erradas relativas ao item, os distratores, não podem ser

constituídas de informações ou valores aleatórios sem conexão com o problema.

Partindo do contexto exposto acima, a análise dos resultados observados através

dos erros cometidos pelos alunos da rede pública municipal de Duque de Caxias no

Simulado de Matemática da Prova Brasil pode representar uma excelente oportunidade

para detectarmos um conjunto de deficiências e lacunas no ensino e aprendizagem de

Matemática. A observação não apenas dos percentuais de acertos, mas principalmente

da análise dos percentuais dos distratores, irá nos permitir compreender quais os

caminhos percorridos pelos alunos para desenvolver seu raciocínio ao longo da

resolução dos itens. Discutir o erro como instrumento para compreendermos como o

raciocínio do aluno se processa, acarretará uma ampla formulação de atividades que

visem minimizar as deficiências encontradas e sobre quais temas e descritores os

profissionais da rede devem direcionar o foco do seu trabalho.

Matriz de Referência em Matemática: Temas e Descritores do 9º ano do Ensino

Fundamental

Visando aprimorar o processo de monitoramento da qualidade do ensino no

Brasil,em 1997, o Saeb introduz as chamadas “Matrizes de Referência”. O Ministério da

Educação faz uma opção teórica, de natureza cognitivista, para a construção dos

descritores que compõem essas Matrizes. Os descritores servem como base para a

elaboração dos itens que serão utilizadas para avaliar o desempenho do aluno na Prova

Brasil.

As Matrizes de Matemática estão estruturadas por anos de escolaridades

avaliados. Para cada um deles são definidos os descritores que indicam uma

7 Os distratores representam as opções incorretas contidas em cada um dos itens da Prova Brasil. Eles fornecem informações para a análise dos níveis de proficiência, na medida em que incorporam erros comuns nessa etapa de escolarização. As respostas presentes nos distratores devem ser capazes de fornecer informações acerca do raciocínio equivocado desenvolvido pelo estudante na busca pela resolução da atividade.

Página | 27

determinada habilidade que deve ter sido desenvolvida nessa fase de ensino. Os

descritores não contemplam todos os objetivos de ensino, mas apenas aqueles

considerados mais relevantes e possíveis de serem mensurados em uma prova para, com

isso, obter informações que forneçam uma visão real do ensino. Esses descritores são

agrupados por temas que relacionam um conjunto de objetivos educacionais.

Essas Matrizes e seus Descritores tem por referência os Parâmetros Curriculares

Nacionais e foram construídos a partir de uma consulta nacional aos currículos

propostos pelas diversas Secretarias de Educação Estaduais e por algumas Redes

Municipais. O MEC consultou também professores regentes e examinou livros didáticos

mais utilizados nos anos letivos pelas redes citadas. A seguir, é apresentada a matriz de referência de Matemática para o 9º ano do

ensino fundamental contendo seus temas e respectivos descritores, um dos importantes

objetos de estudo desse trabalho:

Tema I. Espaço e Forma

Este tema é fundamental para o aluno desenvolver um tipo especial de

pensamento que lhe permitirá compreender, descrever e representar o mundo em que

vive. A exploração deste campo do conhecimento permite o desenvolvimento de

habilidades e percepção espacial, possibilitando a descoberta de conceitos

matemáticos de modo experimental. Este tema também é importante para que os

alunos estabeleçam conexões entre a Matemática e outras áreas do conhecimento. Isso

pode ser explorado a partir de objetos como obras de arte, artesanato, obras de

arquitetura, elementos da natureza, etc.

As habilidades referentes aos descritores do tema Espaço e Forma são apresentadas a

seguir:

D1 – Identificar a localização/movimentação de objeto em mapas, croquis e outras

representações gráficas.

D2 – Identificar propriedades comuns e diferenças entre figuras bidimensionais e

tridimensionais, relacionando-as com as suas planificações. D3 – Identificar propriedades de triângulos pela comparação de medidas de lados e

ângulos. D4 – Identificar relação entre quadriláteros por meio de suas propriedades.

Página | 28

D5 – Reconhecer a conservação ou modificação de medidas dos lados, do perímetro, da

área em ampliação e/ou redução de figuras poligonais usando malhas quadriculadas. D6 – Reconhecer ângulos como mudança de direção ou giros, identificando ângulos

retos e não-retos. D7 – Reconhecer que as imagens de uma figura construída por uma transformação

homotética são semelhantes, identificando propriedades e/ou medidas que se modificam

ou não se alteram. D8 – Resolver problema utilizando propriedades dos polígonos (soma de seus ângulos

internos, número de diagonais, cálculo da medida de cada ângulo interno nos polígonos

regulares). D9 – Interpretar informações apresentadas por meio de coordenadas cartesianas.

D10 – Utilizar relações métricas do triângulo retângulo para resolver problemas

significativos. D11 – Reconhecer círculo/circunferência, seus elementos e algumas de suas relações.

Tema II. Grandezas e Medidas

Neste tema, são avaliadas habilidades relacionadas à resolução de problemas

envolvendo cálculo de perímetro e de área de figuras planas, noções de volume e o uso

de relações entre diferentes unidades e medida. São assuntos vividos no cotidiano dos

alunos em suas diferentes aplicações.

Em seguida, são apresentadas as habilidades referentes aos descritores do tema

Grandezas e Medidas:

D12 – Resolver problema envolvendo o cálculo de perímetro de figuras planas.

D13 – Resolver problema envolvendo o cálculo de área de figuras planas.

D14 – Resolver problema envolvendo noções de volume.

D15 – Resolver problema utilizando relações entre diferentes unidades de medida.

Tema III. Números e Operações/Álgebra e Funções

O tratamento com números e suas operações é indispensável no dia-a-dia dos

alunos. Os números, presentes em diversos campos da sociedade, além de utilizados em

cálculos e na representação de medidas, também se prestam para a localização,

Página | 29

ordenação e identificação de objetos, pessoas e eventos. Os descritores deste tema

enfocam os números com suas operações, noções de álgebra e funções.

As habilidades referentes aos descritores do tema Números e

Operações/Álgebra e Funções são apresentadas a seguir: D16 – Identificar a localização de números inteiros na reta numérica.

D17 – Identificar a localização de números racionais na reta numérica.

D18 – Efetuar cálculos com números inteiros, envolvendo as operações (adição, sub-

tração, multiplicação, divisão, potenciação).

D19 – Resolver problema com números naturais, envolvendo diferentes significados

das operações (adição, subtração, multiplicação, divisão, potenciação).

D20 – Resolver problema com números inteiros envolvendo as operações (adição,

subtração, multiplicação, divisão, potenciação).

D21 – Reconhecer as diferentes representações de um número racional.

D22 – Identificar fração como representação que pode estar associada a diferentes

significados.

D23 – Identificar frações equivalentes.

D24 – Reconhecer as representações decimais dos números racionais como uma

extensão do sistema de numeração decimal, identificando a existência de “ordens”

como décimos, centésimos e milésimos.

D25 – Efetuar cálculos que envolvam operações com números racionais (adição,

subtração, multiplicação, divisão, potenciação).

D26 – Resolver problema com números racionais envolvendo as operações (adição,

subtração, multiplicação, divisão, potenciação).

D27 – Efetuar cálculos simples com valores aproximados de radicais.

D28 – Resolver problema que envolva porcentagem.

D29 – Resolver problema que envolva variação proporcional, direta ou inversa, entre

grandezas.

D30 – Calcular o valor numérico de uma expressão algébrica.

D31 – Resolver problema que envolva equação do 2.º grau.

D32 – Identificar a expressão algébrica que expressa uma regularidade observada em

seqüências de números ou figuras (padrões).

D33 – Identificar uma equação ou inequação do 1.º grau que expressa um problema.

D34 – Identificar um sistema de equações do 1.º grau que expressa um problema.

Página | 30

D35 – Identificar a relação entre as representações algébrica e geométrica de um sistema

de equações do 1.º grau.

Tema IV. Tratamento da Informação

O tratamento da informação é introduzido por meio de atividades ligadas

diretamente à vida do aluno. A organização de uma lista ou tabela e a construção de

gráficos, com informações sobre um assunto, estimulam os alunos a absorver e

estabelecer comparações sobre o assunto tratado. Favorecem, também, a articulação

entre conceitos e fatos e ajudam no desenvolvimento de sua capacidade de estimar,

formular opiniões e tomar decisões.

Os descritores e suas respectivas habilidades que fazem parte do tema

Tratamento da Informação são definidos abaixo:

D36 – Resolver problema envolvendo informações apresentadas em tabelas e/ou

gráficos.

D37 – Associar informações apresentadas em listas e/ou tabelas simples aos gráficos que

as representam e vice-versa.

Analisando os descritores presentes nas Matrizes de Referência, verificamos que

a grande maioria aborda temas que facilmente permitem a elaboração de itens

contextualizados através de situações-problemas. No entanto, alguns descritores

focalizam conhecimentos de caráter mais técnico que darão origem a itens com

enunciados mais diretos do tipo calcule, efetue, resolva, etc. Isso, em parte, desmistifica

a necessidade extrema de que tudo em Matemática deva ser contextualizado. Os itens

elaborados a partir desses descritores específicos apresentarão significado apenas dentro

da própria Matemática. Esse tipo de avaliação exige que existam esses dois tipos de

itens. Torna-se necessário isolar a cobrança desses dois tipos de conhecimentos a fim de

que se possa distinguir se o aluno apenas não interpreta os enunciados ou se realmente

não consegue efetuar os cálculos exigidos para a resolução dos itens.

Torna-se necessário ressaltar que as Matrizes de Referência não englobam todos

os conteúdos do currículo escolar. Os descritores representam apenas um corte com base

no que é possível aferir por meio do tipo de instrumento de medida utilizado na Prova

Brasil. São conteúdos mínimos que um aluno do 9º ano do Ensino Fundamental deve

possuir visando o acesso ao Ensino Médio.

Página | 31

Metodologia Utilizada no Desenvolvimento da Pesquisa

Para melhor desenvolver cada etapa da pesquisa adotamos os referenciais de

Novikoff (2010) propondo um modelo de planejamento, desenvolvimento e

apresentação de pesquisa dialeticamente estruturada. Trata-se de uma abordagem

teórico-metodológica, com todas as dimensões de preparação do projeto, o

desenvolvimento da pesquisa e a apresentação da mesma. As Dimensões de Novikoff,

independentes da natureza ou da abordagem de pesquisa (CRESWEL, 2007) passam

por cinco etapas, didaticamente organizadas para orientar o ensino-aprendizagem da

pesquisa. A saber: epistemológica, teórica, técnica, morfológica e analítico-conclusiva.

São dimensões que dialogam entre si sem descrever um processo linear rígido ou

estático.

O desenvolvimento do projeto foi segmentado nas cinco dimensões, sendo que a

dimensão epistemológica esta retratada na introdução deste trabalho. Já a dimensão

teórica encontra-se materializada ao longo de todo trabalho.

Neste tópico estão delineadas as outras três dimensões. Na dimensão técnica

tratamos de três importantes pilares: a coleta de dados e referências (dimensão técnica),

a análise estatística (dimensão morfológica) dos resultados e a montagem de sugestões

metodológicas aplicáveis (analítico-conclusiva). Por sua vez, a etapa inicial, coleta de

dados e referências, seguiu caminhos diferentes.

No que se refere à metodologia utilizada para a pesquisa propriamente dita, tanto

a forma de coleta dos dados quanto os procedimentos adotados ao longo do

desenvolvimento e na conclusão do trabalho, dão a esse caderno de sugestões um

caráter de natureza denominada mista.

Segundo a classificação citada por Creswell (2007), “procedimentos de métodos

mistos representam métodos predeterminados e emergentes, questões abertas e

fechadas, formas múltiplas de dados contemplando todas as possibilidades, análise

estatística textual (p. 34).”

Günther (2006) descreve uma excelente justificativa para a utilização da

metodologia mista em pesquisa:

Enquanto participante do processo de construção de conhecimento, idealmente, o pesquisador não deveria escolher entre um método ou outro, mas utilizar as várias abordagens, qualitativas e quantitativas que se adequam à sua questão de pesquisa. […] Assim como é difícil ser fluente em mais de uma cultura e língua, é igualmente difícil aproximar-se de um tema de pesquisa a partir de

Página | 32

paradigmas distintos.[…] uma abordagem mista não necessariamente implica numa algaravia metodológica. À medida que perguntas de pesquisa frequentemente são multifacetadas, comportam mais de um método. (p. 207)

Dentro dessa perspectiva, uma pesquisa mista é composta necessariamente por

métodos qualitativos e quantitativos para a coleta e análise de dados e deve ser

desenvolvida a partir de uma abordagem de suposições filosóficas associadas a suas

estratégias de investigação. Preocupa-se em compreender e descrever tanto as causas

quanto os fenômenos analisados. Utiliza parâmetros fixos e pré-estabelecidos para

identificar e discutir as prováveis correlações entre causas e efeitos à que estão

submetidos os objetos de interesse a serem estudados. Sendo assim, procura descrever

através de uma análise estatística, detalhes do padrão de ocorrência dos eventos

observados, à luz da subjetividade, visando sempre buscar alternativas para sanar os

problemas encontrados.

Durante a busca pelas dimensões teóricas, foram encontrados diversos trabalhos

com historicidade, críticas e sugestões relativas às avaliações de sistemas educacionais

brasileiros, como Azevedo (2000), Coelho (2008), Naujorks & Silveira (2008), Souza

(2009) e Valente (2008), entre outros. A grande surpresa ficou por conta da ausência de

estudos que associassem a Matemática a qualquer uma dessas avaliações,

principalmente a Prova Brasil. Essa carência, além de representar um dos motivos que

originaram essa pesquisa, nos mostra claramente que a Prova Brasil ainda não

representa um instrumento do qual os professores tenham se apropriado. Em outras

palavras, ainda existe um imenso distanciamento entre a proposta original e sua

verdadeira aplicabilidade em sala de aula.

Inicialmente a aplicação da Prova Brasil em 2009 estava prevista para ocorrer

entre os dias 05 e 23 de outubro. Devido a uma série de fatores de logística associados a

um atraso no retorno às aulas no segundo semestre em função de um surto da gripe

H1N18, as avaliações foram aplicadas em âmbito nacional entre os dias 09 e 27 de

novembro do mesmo ano.

8 Influenza A subtipo H1N1 também conhecido como A(H1N1), é um subtipo de Influenzavirus A e a causa mais comum da influenza (gripe) em humanos. A letra H refere-se à proteína hemaglutinina e a letra N à proteína neuraminidase. Este subtipo deu origem, por mutação, a várias estirpes, incluindo a da gripe espanhola (atualmente extinta), estirpes moderadas de gripe humana, estirpes endémicas de gripe suína e várias estirpes encontradas em aves. Segundo a atualização nº 77 da Organização Mundial da Saúde (OMS) e disponível no site www.who.int, até 29 de novembro de 2009, um total de 207 países e territórios notificaram casos confirmados laboratorialmente de influenza pandêmica H1N1 2009, incluindo pelo menos 8.768 óbitos.

Página | 33

Contando com a colaboração de professores da rede, o simulado da Prova Brasil

foi aplicado entre os dias 26 e 30 de outubro de 2009, dentro da disponibilidade de

horário de cada um dos profissionais em suas turmas de 9º ano. O fato da aplicação do

simulado ter ocorrido antes da avaliação institucional, contribuiu como um fator

motivador tanto para os professores quanto para os alunos que desconheciam totalmente

o conteúdo da prova.

Participaram da pesquisa duzentos e cinquenta e sete alunos distribuídos em oito

turmas de 9º ano matriculados em seis escolas da rede pública municipal de Duque de

Caxias no Rio de Janeiro. Todas as turmas estudavam no 2º turno, o turno da tarde, uma

vez que a grande maioria das escolas da rede prioriza as turmas de 1º segmento do

ensino fundamental no turno da manhã. A faixa etária dos jovens variou ente 14 anos e

16 anos completos.

Para a compreensão, análise e investigação dos procedimentos e conceitos

utilizados pelos alunos na resolução dos itens, optamos pela classificação através dos

erros como metodologia de pesquisa. Para que tal discussão seja proveitosa, devemos

levar em consideração que o erro cometido por um aluno na resolução de um item, pode

derivar de mais de um tipo de erro. De acordo com Radatz (1979):

[...] é muito difícil fazer uma separação definitiva entre as possíveis causas de um mesmo erro, o mesmo problema pode suscitar erros de diferentes fontes e o mesmo erro pode surgir de diferentes processos de resolução de problemas. (p.164)

A segunda etapa do trabalho, o tratamento estatístico dado às informações

coletadas, ocorreu entre os meses de fevereiro e março de 2010 e seguiu uma

metodologia meramente percentual. Para cada um dos vinte e seis itens respondidos, foi

contabilizado o número de alunos que respondeu a cada uma das opções possíveis e, em

seguida, calculada a porcentagem que esse valor representava dentro do universo dos

duzentos e cinquenta e sete participantes. Embora pequenos, foram também

considerados os itens em branco ou que foram anuladas pelos alunos, seja por dupla

marcação ou rasura.

Os dados obtidos com o resultado do simulado foram dispostos em uma tabela

de dupla entrada contendo dez colunas de valores distribuídos em dois blocos com os

itens de um a treze. Para cada opção possível, foram apresentadas duas colunas

descrevendo o número de alunos que consideraram a opção como correta e o percentual

que esse valor numérico representa dentro do universo pesquisado de duzentos e

Página | 34

cinquenta e sete alunos. As duas últimas colunas apresentam os valores referentes às

opções anuladas ou que foram deixadas em branco pelos estudantes9.

Partindo dos resultados obtidos, deu-se início a terceira e última fase do projeto:

a dimensão analítico-conclusiva, ou seja, a análise e proposição de sugestões

metodológicas aplicáveis. Para nortear essa etapa do trabalho nos apropriamos da teoria

socio-histórica de Lev Vigotski.

Aqui abrimos um parêntese para uma rápida discussão acerca de divergências

teórico metodológicas e interpretativas sobre a concepção utilizada pela Rede Municipal

de Duque de Caxias em seus Pressupostos Teóricos (2002) para se referir as teorias de

Vigotski. Embora a rede utilize oficialmente o termo “sóciointeracionista” para se

referir as teorias vigotskianas, trabalhos recentes rejeitam essa terminologia,

considerando os trabalhos de Vigotski como sendo de uma linha da psicologia

“sóciocultural ou histórico”, como observa Duarte (2000):

[…] a teoria de Vigotski não necessita ser complementada pelo construtivismo piagetiano para valorizar o caráter ativo do processo de apropriação pelo indivíduo, da experiência sócio-histórica, pois esse caráter ativo está contido na dialética entre a objetivação e apropriação que fundamenta essa escola da psicologia soviética. (p. 112)

O outro ponto de divergência consiste na maneira como a rede descreve o

indivíduo e a formação desse cidadão de maneira padronizada e subjetiva, desassociado

da cultura e do momento histórico em que se encontra. Deste modo, fica evidente a falta

de conexão entre as teorias de Vigotski e o que é proposto pela rede.

De acordo com essas análises, Vigotski, ele se interessou por enfatizar o papel

da interação social ao longo do desenvolvimento do homem. Isto quer dizer que o

homem é herdeiro de toda a evolução filogenética (espécie) e cultural, e seu

desenvolvimento acontece em função de características do meio social em que vive.

Donde surge o termo “sóciocultural ou histórico” atribuído a essa teoria. E assim

assinalam-se constantemente a busca em explicar os processos mentais superiores

baseados na imersão social do homem que por sua vez é histórico, ontológico (estudo

investigativo e comparativo do indivíduo) e filogenético (história da evolução das

espécies).

Consideramos as propostas de Vigotski absolutamente atuais e compatíveis com

o que propõem as novas metodogias de aprendizagem e ensino. Ela possibilita a adoção

9 Uma tabulação que permite uma visão completada desses dados encontra-se na página 83 desse trabalho, logo após a descrição da análise individual dos itens propostos no simulado.

Página | 35

de estratégias que envolvam o compartilhamento de ideias permitindo a construção

coletiva do conhecimento e a formação de um indivíduo crítico e criativo.

Ao longo do desenvolvimento das sugestões metodológicas, visamos dar ênfase

a situações do cotidiano escolar que permitam a interação entre professor e aluno. Além

disso, procuramos sugerir ações que não envolvam custos financeiros uma vez que esse

acaba sendo sempre um entrave em nossa realidade nas escolas públicas brasileiras.

Análise Quantiquali dos Resultados Obtidos pelos Alunos no Simulado de

Matemática da Prova Brasil

Neste momento do projeto, analisamos individualmente cada um dos itens

desenvolvidos pelos alunos no Simulado de Matemática da Prova Brasil. Para

tornarmos a análise dos itens mais fidedigna à aplicação da avaliação, mantivemos a

mesma sequência numérica desenvolvida pelos alunos. São dois blocos contendo treze

itens cada, perfazendo um total de vinte e seis itens analisados.

Antecedendo cada item, apresentamos um quadro referente ao tema e ao descritor

correspondente. Essa disposição facilita ao leitor uma associação do tema e do descritor

apresentado ao enunciado do item. Isso torna também possível, dimensionarmos o real

valor que o descritor possui na vida cotidiana do aluno

Após a descrição de cada item, são apresentadas tabelas contendo a análise dos

resultados obtidos pelos alunos. As tabelas apresentam quatros colunas relativas às

opções de A à D e uma quinta coluna (B/N), referente aos percentuais de opções que

foram anuladas ou deixadas em branco pelos alunos. De maneira a facilitar a análise e

interpretação do leitor, a opção correta correspondente a cada item estará sempre

apresentada em negrito.

Dando sequência ao desenvolvimento do projeto, para cada um dos vinte e seis

itens descritos, são apresentadas: a análise do item, a resolução do problema proposto, a

discussão sobre do rendimento dos alunos e sugestões metodológicas para a melhora do

desenvolvimento da habilidade correspondente ao descritor.

Ao término da análise individual dos vinte e seis itens presentes no Simulado,

encaminhamos uma síntese global das sugestões metodológicas descritas. Tal ação se

justifica como estratégia voltada para darmos início às discussões que envolvam novas

metodologias de ensino-aprendizagem e análise dos conteúdos programáticos na rede.

Página | 36

Análise dos Itens do Bloco 01

Item 01

Quadro 01 – Descritor referente ao item 01 do bloco 01

Tema I. Espaço e Forma

D2 – Identificar propriedades comuns e diferenças entre figuras bidimensionais e

tridimensionais, relacionando-as com as suas planificações.

O desenho abaixo representa um sólido.

Uma possível planificação desse sólido é:

Tabela 01 – Resultados obtidos no item 01 do bloco 01

PERCENTUAL DE RESPOSTAS AO ITEM A B C D B/N

3,5% 84,4% 7,0% 4,3% 0,8%

Página | 37

Este descritor pretende avaliar a capacidade do aluno em reconhecer qual a

figura plana obtida a partir da planificação do sólido dado. Ele analisa a competência do

estudante em reconhecer propriedades comuns aos sólidos geométricos, bem como suas

diferenças no que se refere às arestas, faces e vértices. Representa um item de geometria

interessante e contextualizado por exigir do aluno uma visão tridimensional através da

associação de uma figura espacial com elementos de geometria plana. Trata-se um

descritor que deve ser trabalhado desde as séries iniciais do ensino fundamental.

Embora tenhamos cerca de 16% de distratores, esse foi o melhor desempenho

obtido pelos alunos em toda a avaliação. O fato de ser a primeira questão proposta nos

leva a crer que os alunos tiveram uma preocupação maior ao realizar a análise e

interpretação do item. A difusão do acesso a jogos eletrônicos tem levado os jovens a

uma melhora da visão tridimensional, o que representa um facilitador do aprendizado

que deve ser aproveitado pelos profissionais da área de Matemática.

Como proposta para a melhora do desenvolvimento dessa habilidade, podemos

nos apropriar da utilização de material concreto (cartolina, papel cartão, etc.) na

construção de sólidos geométricos, principalmente prismas e pirâmides, representam

uma atividade básica para a formação dessa competência. A montagem de sólidos com

canudos de plástico ou palitos de churrasco também favorece o aprendizado.

O trabalho de construção de sólidos tridimensionais e de suas planificações

permite, ao aluno, comparar as figuras e as suas propriedades. Esse trabalho é

fundamental para a compreensão das propriedades relativas às arestas, faces e vértices.

Outra sugestão interessante de atividade consiste em apresentar aos alunos os

sólidos planificados e solicitar que definam quais serão os sólidos obtidos sem que se

faça a montagem. Esse exercício permitirá ao aluno observar que uma pirâmide ou

prisma pode apresentar planificações distintas e que o número de arestas e faces implica

diretamente na sua nomenclatura.

Sugerir aos alunos que tentem planificar uma esfera, ou ao contrário, construí-la

a partir de uma planificação por eles sugerida, também representa uma atividade

interessante, pois eles constatarão a sua impossibilidade.

Página | 38

Item 02

Quadro 02 – Descritor referente ao item 02 do bloco 01 Tema III. Números e Operações/Álgebra e Funções

D34 – Identificar um sistema de equações do 1.º grau que expressa um problema.

Lucas comprou 3 canetas e 2 lápis pagando R$ 7,20. Danilo comprou 2 canetas e 1 lápis pagando R$ 4,40. O sistema de equações do 1º grau que melhor representa a situação é:

(A)

(B)

(C)

(D)

Tabela 02 – Resultados obtidos no item 02 do bloco 01

PERCENTUAL DE RESPOSTAS AO ITEM

A B C D B/N

70,8% 10,1% 11,7% 6,2% 1,2%

O descritor tem o propósito de avaliar a habilidade do aluno em identificar e

expressar equações do 1° grau, construindo um sistema de equações. O aluno deve ser

capaz de representar matematicamente a situação descrita. Ele deve reconhecer que cada

uma das frases está relacionada a uma equação linear com duas variáveis, no caso,

canetas e lápis. Necessita ainda observar que o conjunto solução que satisfaz ao sistema,

está relacionado com valores que simultaneamente atendam as duas equações.

Corresponde a um descritor desenvolvido a partir do 8º ano do ensino fundamental.

Entre os quase 30% dos alunos que assinalaram equivocadamente o item, fica

evidente a falta de associação entre a leitura e a linguagem simbólica Matemática. Cerca

de 10% dos alunos não compreenderam que os valores em reais são relativos à soma

entre as quantidades dos objetos multiplicados pelos seus respectivos valores unitários.

De maneira ainda mais preocupante, aproximadamente 12% dos estudantes

Página | 39

consideraram a soma e a diferença entre os valores unitários, como sendo a metade dos

valores totais.

O cotidiano escolar nos mostra, que de maneira geral, o trabalho com sistemas

de equações se limita a resolução dos mesmos através dos tradicionais métodos da

adição e da substituição. O uso de sistemas do 1° grau na resolução de problemas não

representa um tema comum, o que leva os alunos a enfrentarem sérias dificuldades na

sua compreensão e montagem.

Cabe ao professor encorajar o aluno a construir equações a partir de problemas

propostos. O trabalho em grupo na análise e elaboração dos sistemas pode representar o

caminho correto a ser seguido. Uma discussão onde um aluno proponha determinada

situação problema e os outros, coletivamente, construam as equações, também

representa uma interessante sugestão para o aprendizado.

Compete ao professor ampliar o conceito de sistemas, levado o aluno a apoiar-se

na idéia de função como uma relação de dependência entre duas variáveis. Torna-se

importante também discutir o significado gráfico da resolução de um sistema linear.

Essa interpretação pode ocorrer através da simples construção gráfica no quadro da sala

de aula ou utilizando softwares gratuitos disponíveis na internet10.

Item 03

Quadro 03 – Descritor referente ao item 03 do bloco 01 Tema III. Números e Operações/Álgebra e Funções

D23 – Identificar frações equivalentes.

Observe as figuras:

10 Sítios sugeridos: Graphmatica <http://www.geometriadinamica.kit.net/Graphmatica.htm>, Geogebra www.geogebra.org/cms/en/download ou o Geometry Applet <www.aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/Geometry/Geometry.htm>.

Página | 40

Pedrinho e José fizeram uma aposta para ver quem mais comia pedaços de pizza.

Pedrinho dividiu a sua em oito pedaços iguais e comeu seis; José dividiu a sua em doze pedaços iguais e comeu nove. Então,

(A) Pedrinho e José comeram a mesma quantidade de pizza.

(B) José comeu o dobro do que Pedrinho comeu.

(C) Pedrinho comeu o triplo do que José comeu.

(D) José comeu a metade do que Pedrinho comeu.

Tabela 03 – Resultados obtidos no item 03 do bloco 01

PERCENTUAL DE RESPOSTAS AO ITEM

A B C D B/N

47,9% 21,8% 8,6% 21,8% 0,0%

Corresponde a um item contextualizado que exige do aluno a capacidade de

observar a equivalência entre as duas frações. Ou seja, concluir que as frações 68

e 912

representam a mesma parte do todo. Para isso é necessário que o aluno se aproprie da

simplificação de frações e observe que 6 38 4� , assim como 9 3

12 4� . Logo, compete ao

aluno reconhecer que uma fração pode ser representada por um conjunto infinito de

frações equivalentes a ela. Embora o trabalho com esse descritor se inicie no 4º ano do

ensino fundamental, recebe maior ênfase no 6º ano.

É sintomático o fato de que 43% dos alunos tenham optado pelos distratores B e

D. Como o enunciado trabalha com os valores 6 e 12 que representam respectivamente

a metade e o dobro, possivelmente os estudantes foram influenciados em suas respostas.

Fica evidente a falta de associação com a equivalência de frações.

Inúmeras atividades podem ser realizadas em sala visando o desenvolvimento

dessa habilidade. O professor pode propor em sala situações como a apresentada no

problema. Ele pode lançar mão da representação gráfica colorindo as partes e

observando a igualdade ou não. Proponha também questões onde a figura não esteja

presente, mobilizando o conceito sem um apoio gráfico e aumentando o grau de

dificuldade do item.

Página | 41

Item 04

Quadro 04 – Descritor referente ao item 04 do bloco 01 Tema III. Números e Operações/Álgebra e Funções

D28 – Resolver problema que envolva porcentagem.

Distribuímos 120 cadernos entre as 20 crianças da 1ª série de uma escola. O número de cadernos que cada criança recebeu corresponde a que porcentagem do total de cadernos?

(A) 5%

(B) 10%

(C) 15%

(D) 20%

Tabela 04 – Resultados obtidos no item 04 do bloco 01

PERCENTUAL DE RESPOSTAS AO ITEM

A B C D B/N

24,1% 28,0 % 24,5% 21,8% 1,6%

Em outro item contextualizado, o simulado exige que o aluno seja capaz de

calcular a quantidade de cadernos recebida por cada aluno através de uma simples

divisão (120 : 20 = 6) e calcular em seguida qual a porcentagem que esse valor

representa do total de 120 cadernos. Outra maneira de se chegar ao resultado correto

seria a utilização de uma regra de três considerando-se 120 como 100%. Assim

6 %120 100%

x�

o que nos permite utilizar a propriedade fundamental das proporções para

resolver corretamente o problema. Trata-se de um assunto abordado apenas a partir do

7º ano do ensino fundamental.

Corresponde a um dos descritores mais importantes para a vida prática cotidiana

dos alunos. O que torna extremamente preocupante o fato de que apenas cerca de 24%

dos alunos sejam capazes de dominar a habilidade requerida. Nota-se claramente que o

nivelamento entre os percentuais dos distratores, nos mostra a falta de um critério por

parte dos alunos no momento da definição da opção correta. Nenhum dos distratores

possui qualquer associação com a resposta certa o que evidencia a tendência de “chute”.

Página | 42

A busca pelo aprimoramento desse descritor deve representar uma constante em

sala de aula. São inúmeros os problemas oriundos do contexto do aluno que podem ser

explorados visando o aprendizado desse descritor. Propor atividades com porcentagem

associadas ao número de alunos em sala, número de acertos em uma prova, reportagens

em jornais ou revistas, etc. Torna-se importante também apresentar ao aluno as várias

formas numéricas que a porcentagem pode adquirir como números decimais ou fração

centesimal.

Item 05

Quadro 05 – Descritor referente ao item 05 do bloco 01

Tema III. Números e Operações/Álgebra e Funções

D19 – Resolver problema com números naturais, envolvendo diferentes

significados das operações (adição, subtração, multiplicação, divisão, potenciação).

Pedro e João jogaram uma partida de bolinhas de gude. No final, João tinha 20 bolinhas, que correspondiam a 8 bolinhas a mais que Pedro. João e Pedro tinham juntos:

(A) 28 bolinhas.

(B) 32 bolinhas.

(C) 40 bolinhas.

(D) 48 bolinhas.

Tabela 05 – Resultados obtidos no item 05 do bloco 01

PERCENTUAL DE RESPOSTAS AO ITEM A B C D B/N

28,0% 58,0% 5,4% 8,2% 0,4%

Representa um item contextualizado simples que avalia apenas a interpretação

do enunciado e o cálculo com operações básicas envolvendo números naturais. Basta

que o aluno compreenda que Pedro possui 8 bolinhas a menos que João (20 – 8 = 12) e

ao final some os valores que correspondem ao que cada um dos dois meninos possui (20

+ 12 = 32). A habilidade proposta é desenvolvida a partir dos anos letivos iniciais do

ensino fundamental e deve ser exaustivamente cobrada ao longo do 6º ano letivo.

Página | 43

Muito embora estejamos falando de um item extremamente simples, obtivemos

28% dos alunos assinalando o distrator A como opção correta. Tal definição deriva

claramente do fato de que esse distrator corresponde à soma dos dois valores

apresentados no enunciado (20 + 8). Os alunos que fizeram essa opção encontraram

dificuldade para interpretar o enunciado, descartando a expressão “a mais” contida no

texto.

O professor deve explorar constantemente as expressões “a mais”, “a menos”,

“o dobro”, “a metade”, “o triplo”, etc. A uma tendência por parte dos alunos de uma

associação direta das expressões com as operações matemáticas. O termo “a mais” nem

sempre significa que devemos adicionar os valores apresentados, o mesmo ocorre, de

maneira inversa, com a expressão “a menos”. Devemos insistir também no fato de que

nem sempre um produto nos leva a obtenção de um valor maior, como ocorre na

multiplicação entre um número natural e número decimal entre zero e um (por exemplo:

4 x 0,5 = 2). De maneira análoga, na divisão nem sempre obtemos valores menores (por

exemplo: 4 : 0,5 = 8).

Logo, devemos trazer para a sala de aula diversas situações-problemas em que

possamos explorar os mais diversos significados das operações. A questão da leitura e

interpretação dos problemas representa um dos grandes desafios a ser enfrentado pelos

professores de Matemática.

Item 06

Quadro 06 – Descritor referente ao item 06 do bloco 01

Tema I. Espaço e Forma

D4 – Identificar relação entre quadriláteros por meio de suas propriedades.

Observe as figuras abaixo.

Considerando essas figuras,

Página | 44

(A) os ângulos do retângulo e do quadrado são diferentes.

(B) somente o quadrado é um quadrilátero.

(C) o retângulo e o quadrado são quadriláteros.

(D) o retângulo tem todos os lados com a mesma medida.

Tabela 06 – Resultados obtidos no item 06 do bloco 01

PERCENTUAL DE RESPOSTAS AO ITEM A B C D B/N

18,7% 19,5% 48,6% 12,0% 0,8%

Não corresponde a um item contextualizado. A proposta do item visa avaliar as

habilidades correspondentes as propriedades comuns ou específicas dos quadriláteros,

em especial dos retângulos e dos quadrados.

Mesmo representando duas das figuras mais trabalhadas e presentes em nosso

cotidiano, mais de 51% dos alunos erraram o item. Os cerca de 30% dos alunos que

assinalaram os distratores A e D, demonstram desconhecer propriedades elementares

sobre ângulos e lados dos quadriláteros. Já os estudantes que marcaram o distrator B,

apresentam falta de familiaridade com a linguagem geométrica específica, considerando

que todo quadrilátero é um quadrado.

O trabalho com desenho geométrico caiu em desuso nas nossas unidades

escolares. Houve uma transferência dessa atividade para os professores da área de

Educação Artística. Devemos urgentemente retomar o trabalho de construção das

figuras geométricas utilizando os instrumentos específicos como esquadros,

transferidor, compasso, etc. Esse tipo de atividade contribui imensamente para a

compreensão e memorização das propriedades específicas de cada figura.

Uma alternativa corresponde ao uso da tecnologia. Alguns softwares, como os

indicados para o item 02 do bloco 1, disponíveis gratuitamente na internet, se

constituem como excelentes ferramentas para o aprendizado.

De maneira específica para o descritor apresentado, torna-se necessário que o

professor reforce junto ao aluno o fato de que o quadrado representa um retângulo que

possui todos os lados congruentes.

Página | 45

Item 07

Quadro 07 – Descritor referente ao item 07 do bloco 01 Tema IV. Tratamento da informação

D37 – Associar informações apresentadas em listas e/ou tabelas simples aos gráficos

que as representam e vice-versa.

A tabela abaixo mostra as temperaturas mínimas registradas durante uma semana do mês de julho numa cidade do Rio Grande do Sul.

Qual é o gráfico que representa a variação da temperatura mínima nessa cidade, nessa semana?

Página | 46

Tabela 07 – Resultados obtidos no item 07 do bloco 01

PERCENTUAL DE RESPOSTAS AO ITEM A B C D B/N

13,2% 16,7% 57,2% 12,1% 0,8%

Constitui um item contextualizado compatível com o propósito ao qual o

descritor se propõe a avaliar. O aluno necessita demonstrar a capacidade de relacionar

informações contidas em uma tabela com o gráfico de segmentos correspondente. Esse

descritor deve ser amplamente trabalhado a partir do 8º ano do ensino fundamental.

Aqui, cabe uma crítica a maneira como os dados são apresentados nos gráficos

que representam as opções para o item. Embora a tabela descreva apenas valores

isolados relativos às temperaturas mínimas, as opções para o item são representadas por

gráficos de segmentos, quando o correto seria um gráfico composto por pontos isolados.

Essa forma equivocada de associação dos valores apresentada nos gráficos poderia

induzir o aluno ao erro e a consequente distorção na formação do seu conhecimento.

São exatamente para esses detalhes que nos professores devemos atentar durante a

elaboração de nossas avaliações.

Um elevado percentual de cerca de 43% dos alunos não foi capaz de associar

corretamente os dados apresentados. O equilíbrio entre os distratores nos mostra que

não há por parte desses alunos um pleno domínio da relação entre os dados, o que os

levou a assinalarem aleatoriamente suas opções.

Representa um item bastante simples de ser trabalhado em sala de aula além de

ser um descritor de grande relevância para o entendimento dos fatos presentes em nosso

Página | 47

cotidiano. É de fundamental relevância que o professor trabalhe de maneira exaustiva a

leitura e a interpretação de tabelas e gráficos.

Existem inúmeras maneiras para motivarmos fortemente os alunos a

pesquisarem e discutirem em sala de aula temas associados a gráficos e tabelas obtidos

em jornais, revistas, televisão e internet. A elaboração planejada dessas atividades

dessas atividades constitui uma importante ferramenta não só para o desenvolvimento

da habilidade pretendida como para situar os alunos sobre temas e acontecimentos da

atualidade. Além disso, podemos utilizar exemplos de conteúdos de outras áreas do

conhecimento como geografia ou ciências.

O trabalho de construção de gráficos em papel milimetrado com base em dados

presentes em uma tabela previamente definida pode ser complementado por uma

atividade inversa. Podemos apresentar um gráfico e solicitar que os alunos montem uma

tabela correspondente. Em uma escola que possua sala de informática, podemos

trabalhar com tabelas de planilhas do Excel para a construção de gráficos.

Item 08

Quadro 08 – Descritor referente ao item 08 do bloco 01 Tema III. Números e Operações/Álgebra e Funções

D29 – Resolver problema que envolva variação proporcional, direta ou inversa, entre

grandezas.

O desenho de um colégio foi feito na seguinte escala: cada 4 cm equivalem a 5 m. A representação ficou com 10 cm de altura. Qual é a altura real, em metros, do colégio?

(A) 2,0

(B) 12,5

(C) 50,0

(D) 125,0

Página | 48

Tabela 08 – Resultados obtidos no item 08 do bloco 01

PERCENTUAL DE RESPOSTAS AO ITEM A B C D B/N

8,6% 51,0% 27,2% 12,8% 0,4%

Esse descritor visa desenvolver no aluno a habilidade em resolver problemas que

envolvam grandezas diretamente e inversamente proporcionais. De modo geral são

utilizadas regras de três simples na resolução desses problemas.

Especificamente para o item apresentado devemos desenvolver no aluno a

capacidade em trabalhar com escalas. O trabalho com escala deve ser associado ao

conceito de razão e proporção e introduzido no 7º ano do ensino fundamental e

constantemente resgatado ao longo dos anos letivos subsequentes.

O aluno deverá ser capaz de reconhecer que a razão entre as medidas do desenho

são diretamente proporcionais as medidas reais do colégio. Ou seja, 4 510

cm mcm x m

� (lê-se

4 cm estão para 10 cm assim como 5 m estão para x m). Em seguida calculamos o

produto entre 5 e 10, dividindo posteriormente o resultado por 4 e obtendo como 12,5 m

correspondentes ao resultado correto.

Outra maneira simples de raciocínio seria observarmos que como cada 4 cm do

desenho correspondem a 5 m da dimensão real, teríamos que cada 1 cm do desenho seria

equivalente a 1,25 m (5 : 4) da dimensão real. Portanto 10 cm do desenho seriam

equivalentes aos 12,5 m (10 x 1,25) da dimensão real.

Os 49% de alunos que responderam erroneamente ao item podem ser divididos

em dois grupos: os que assinalaram a alternativa C e os que marcaram as alternativas A

ou D.

Os cerca de 27% dos alunos que assinalaram o distrator C, provavelmente são

capazes de reconhecer uma proporção ao multiplicar 10 por 5, porém não fazem a

correta associação com grandezas diretamente proporcionais. Já os alunos que

assinalaram os distratores A e D não reconhecem o conceito de proporção presente no

item além de não possuírem uma adequada noção de comprimento, ao sugerirem que o

prédio da escola pode ter 2 m ou 125 m de altura.

A montagem da estrutura de uma regra de três simples e de fácil assimilação por

parte dos alunos. As dúvidas surgem ao trabalhamos com grandezas inversamente

proporcionais.

Página | 49

O primeiro passo para o desenvolvimento dessa habilidade, consiste na

associação da regre de três com variáveis do nosso cotidiano como a própria escala,

velocidade, densidade demográfica, porcentagem, etc. Ao longo do 9º ano esses

conceitos serão amplamente utilizados em geometria na aplicação do teorema de Tales e

na resolução de questões de semelhança de triângulos.

Item 09

Quadro 09 – Descritor referente ao item 09 do bloco 01 Tema I. Espaço e Forma

D9 – Interpretar informações apresentadas por meio de coordenadas

cartesianas.

Observe a figura.

Quais as coordenadas de A, B e C, respectivamente, no gráfico?

(A) (1,4), (5,6) e (4,2)

(B) (4,1), (6,5) e (2,4)

(C) (5, 6), (1,4) e (4,2)

(D) (6,5), (4,1) e (2,4)

Tabela 09 – Resultados obtidos no item 09 do bloco 01

PERCENTUAL DE RESPOSTAS AO ITEM A B C D B/N

20,6% 13,2% 33,5% 31,5% 1,2%

Página | 50

A proposta desse descritor é verificar a habilidade do aluno em localizar pontos

de um sistema de coordenadas cartesianas ou, como no item proposto, a partir dos

pontos no sistema identificar suas coordenadas cartesianas. Apesar do item não sugerir

uma questão contextualizada, representa um descritor fundamental para o

desenvolvimento de competências associadas à compreensão e leitura de gráficos que

devem ser trabalhadas a partir do 8º ano do ensino fundamental.

Outra habilidade que deve ser considerada para a resolução do item, consiste na

suposição de valores intermediários entre os valores descritos no plano cartesiano tanto

no eixo x quanto no eixo y. Embora não esteja explícito, o aluno deve supor que o lado

de cada quadradinho corresponde a uma unidade de comprimento.

O baixo desempenho dos alunos nesse item indica com clareza que o descritor

não vem sendo bem trabalhado em sala de aula. Consequentemente, outros itens que

dependam da interpretação de gráficos ficará substancialmente prejudicado.

A proximidade do percentual de alunos que assinalaram o descritor D com o

item correto representa um indicativo da dificuldade dos alunos em conceber a ideia de

par ordenado. Claramente esses alunos trocaram as coordenadas x (abscissas) pelas

coordenadas y (ordenadas).

Os cerca de 20% de alunos que assinalaram o descritor A mostraram o domínio

da sequencia dos pares ordenados, porém, não tiveram a devida atenção quanto a ordem

dos pontos assinalados no gráfico, trocaram as coordenadas do ponto B pelas

coordenadas do ponto A.

Já o conjunto de aproximadamente 13% de alunos que consideram o distrator B

como opção correta, cometeram simultaneamente os dois equívocos: trocaram a

sequencia da ordem dos pares ordenados e a ordem dos pontos assinalados.

Uma atividade simples que auxilia na construção desse conhecimento consiste

no uso do jogo conhecido como batalha naval. Nessa atividade utilizamos um par de

informações para localizar um ponto desejado. Outra opção interessante é a utilização

da localização de endereços em guias de ruas, onde as coordenadas são representadas

por letras e números referentes a informações em linhas verticais e horizontais. Jogos

como dama ou xadrez são também bastante apropriados para a construção desse

conhecimento.

Outra abordagem que deve ser trabalhada é a dificuldade do aluno em localizar

pontos fora do 1º quadrante. Devemos enfatizar a ordem e o significado dos valores

Página | 51

negativos e positivos associados a pontos localizados no 2º, 3º e 4º quadrantes do plano

cartesiano.

Item 10

Quadro 10 – Descritor referente ao item 10 do bloco 01 Tema III. Números e Operações/Álgebra e Funções

D30 – Calcular o valor numérico de uma expressão algébrica.

Dada a expressão: 2 4. .

2.b b a cx

a� � �

� , sendo a = 1, b = – 7 e c = 10, o valor

numérico de x é

(A) – 5.

(B) – 2.

(C) 2.

(D) 5.

Tabela 10 – Resultados obtidos no item 10 do bloco 01

PERCENTUAL DE RESPOSTAS AO ITEM A B C D B/N

25,7% 17,9% 22,2% 33,5% 0,8%

Em um item nada contextualizado o descritor propõe que a partir de uma

expressão algébrica envolvendo as operações básicas, o aluno seja capaz de substituir as

variáveis dessa expressão, resgatando a hierarquia na resolução das operações. O

correto uso das regras de sinais consiste em uma das maiores dificuldades encontradas

por parte dos alunos.

De maneira específica, o item apresenta a conhecida fórmula de Bháskara como

expressão algébrica utilizada para o cálculo do valor numérico. Expressões menores e

mais simples devem ser trabalhadas a partir do 7º ano do ensino fundamental. Alguns

autores de livros didáticos utilizam símbolos, como * ou #, para representarem

“variáveis” que devem ser substituídas por números, já no 6º ano do ensino

fundamental. Essa noção inicial torna-se importante para a introdução da álgebra.

Página | 52

Levando em consideração que a expressão algébrica apresentada pelo item é a

fórmula de Bháskara e que o universo da pesquisa consistiu em alunos do 9º ano do

ensino fundamental avaliados em novembro, quando o conceito de equação do 2º grau

já havia sido exaustivamente trabalhado, o rendimento foi péssimo. O equilíbrio total

entre os distratores nos mostra que os alunos cometeram erros semelhantes nas regras de

sinais.

O fato do valor da variável b ser um número negativo (– 7), e na fórmula apresentada

termos que trabalhar com seu simétrico (– b), acarretou a provável troca dos sinais e o

consequente erro por parte dos alunos.

Fazer com que nossos alunos desenvolvam atividades frequentes explorando as

seis operações básicas (soma, subtração, multiplicação, divisão, potenciação e

radiciação), deve representar uma busca constante por parte de todos os professores de

Matemática. O aluno deve ser instigado a compreender os significados das operações e

não apenas memorizar regras que quase imediatamente são esquecidas.

A ênfase no cuidado da substituição das variáveis por números negativos deve

ser ressaltada. Torna-se importante também o aumento do grau de dificuldade das

questões através da ampliação do universo numérico, utilizando não apenas números

inteiros, mas números decimais e fracionários na substituição das variáveis.

Item 11

Quadro 11 – Descritor referente ao item 11 do bloco 01

Tema I. Espaço e Forma

D7 – Reconhecer que as imagens de uma figura construída por uma transformação

homotética são semelhantes, identificando propriedades e/ou medidas que se

modificam ou não se alteram.

Ampliando-se o triângulo ABC, obtêm-se um novo triângulo A’B’C’, em que cada lado é o dobro do seu correspondente em ABC.

Página | 53

Em figuras ampliadas ou reduzidas, os elementos que conservam a mesma medida são

(A) as áreas.

(B) os perímetros.

(C) os lados.

(D) os ângulos.

Tabela 11 – Resultados obtidos no item 11 do bloco 01

PERCENTUAL DE RESPOSTAS AO ITEM A B C D B/N

12,8% 25,7% 26,1% 32,7% 2,7%

O descritor exige que o aluno possua a habilidade em analisar a ampliação e

redução de figuras planas, reconhecendo a manutenção ou a alteração nas medidas dos

seus elementos como lados, ângulos, alturas, etc. Essa noção é referente ao conceito de

semelhança de figuras planas ou homotetia. Para a resolução correta do item, compete

ao aluno observar que a manutenção da congruência entre os ângulos dos vértices

correspondentes, acarreta a ampliação ou redução sem que haja perda das características

básicas das figuras.

Os distratores do item representam conceitos totalmente incompatíveis com a

noção semelhança de figuras planas. A noção de perspectiva e profundidade proposta

pela figura apresentada no item, evidência que os alunos que assinalaram os distratores,

Página | 54

não reconhecem o conceito de área ou perímetro. Cabe também ressaltar o elevado

percentual de alunos que deixaram em branco o não responderam o item.

Embora o tema semelhança de polígonos seja apenas trabalhado com maior

ênfase no 9º ano do ensino fundamental, algumas noções devem ser apresentadas aos

alunos já nos anos iniciais. Diversas atividades devem ser propostas, com ampliação ou

reduções de figuras. Os alunos devem medir os elementos básicos dos polígonos e

compará-los com os correspondentes da outra figura. A constância nessa prática

norteará as conclusões sobre a manutenção das medidas dos ângulos e as razões de

semelhança entre as figuras.

Uma proposta bastante eficaz corresponde ao uso de malhas quadriculadas nas

aulas. Uma simples tábua com pregos dispostos em linhas e colunas e um elástico,

permite ao aluno compreender que quando se alteram os ângulos, há uma distorção

imediata nas figuras e elas deixam e ser semelhantes.

Devem ser claramente diferenciados os conceitos entre semelhança e

congruência de polígonos, especialmente dos triângulos. Aproveitar o tema para mais

uma vez abordar o conceito de razão e proporção é também bastante significativo.

Para as unidades escolares que possuam uma sala de informática, mais uma vez

o uso do Geogebra <www.geogebra.org/cms/en/download> é recomendado. Esse

software de geometria dinâmica apresenta como vantagem a rapidez na construção e na

possibilidade de alteração das características básicas de uma determinada figura plana,

permitindo a verificação quase imediata das conseqüências sobre a que foi construída

inicialmente.

Item 12

Quadro 12 – Descritor referente ao item 12 do bloco 01

Tema I. Espaço e Forma

D6 – Reconhecer ângulos como mudança de direção ou giros, identificando ângulos

retos e não-retos.

Os ângulos formados pelos ponteiros de um relógio às 8 horas medem

Página | 55

(A) 60º e 120º.

(B) 120º e 160º.

(C) 120º e 240º.

(D) 140º e 220º.

Tabela 12 – Resultados obtidos no item 12 do bloco 01

PERCENTUAL DE RESPOSTAS AO ITEM A B C D B/N

47,9% 22,0% 22,6% 5,8% 1,2%

O domínio do descritor proposto sugere que o aluno seja capaz de reconhecer

ângulos obtidos pela mudança de direção em uma trajetória retilínea ou através do giro

de um de seus lados. Propõe também que o aluno consiga distinguir ângulos retos de

ângulos não retos.

Para a análise do item, o aluno deverá levar em conta a idéia de que, em uma

circunferência, o ângulo central mede 360º. Dessa maneira, com existem 12

espaçamentos entre as marcações do relógio, cada intervalo entre duas marcações

consecutivas equivale a um ângulo de 30º (360 : 12). Assim sendo, às 8 horas, os

ponteiros de um relógio estão afastados por 4 intervalos de 30º, o que leva a conclusão

de que o menor ângulo entre eles certamente mede 120º e o maior 240º (360º – 120º).

Cerca de 70% dos alunos avaliados que assinalaram os distratores A e B

desconhecem totalmente o fato de que uma volta completa na circunferência representa

um ângulo de 360º. Embora consigam efetuar a correta leitura das horas, nos alunos

não fazem qualquer associação com a geometria plana e o estudo dos ângulos. O

elevado percentual de alunos que não foram capazes de responder corretamente ao item,

Página | 56

nos causa uma profunda insatisfação e surpresa. Esse baixo rendimento representou o

terceiro pior resultado percentual apresentado pelos alunos em todo o simulado.

Mais uma vez percebe-se a ausência de atividades associadas ao desenho

geométrico. A simples construção e medição dos ângulos com auxílio do transferidor e

do compasso servem para sanar as dificuldades. O uso do relógio de ponteiros é outro

recurso simples de fácil aplicação. Deve-se solicitar aos alunos que associem as

mediadas dos ângulos às nomenclaturas correspondentes: ângulo reto, agudo, obtuso ou

raso.

Item 13

Quadro 13 – Descritor referente ao item 13 do bloco 01 Tema I. Espaço e Forma

D8 – Resolver problema utilizando propriedades dos polígonos (soma de seus ân-

gulos internos, número de diagonais, cálculo da medida de cada ângulo interno nos

polígonos regulares).

Observe o triângulo abaixo.

O valor de x é

(A) 110º.

(B) 80º.

(C) 60º.

(D) 50º.

Tabela 13 – Resultados obtidos no item 13 do bloco 01

PERCENTUAL DE RESPOSTAS AO ITEM A B C D B/N

18,3% 26,1% 27,6% 26,8% 1,2%

Página | 57

O descritor se propõe a avaliar a habilidade do aluno em aplicar as diversas

propriedades dos polígonos convexos na resolução de problemas a eles associados. A

ausência de qualquer contextualização presente no item, não desqualifica sua

importância como propriedade geométrica fundamental dos triângulos.

Para que o aluno resolva corretamente o item, dois caminhos podem ser

seguidos. O primeiro e mais imediato, exige que o aluno reconheça a propriedade do

ângulo externo do triângulo, segundo o qual um ângulo externo corresponde à soma dos

dois ângulos internos não adjacentes a ele. Teríamos que 110º seria igual à soma do

ângulo (x + 10º) com o ângulo x. Resolvendo-se a equação do 1º grau decorrente dessa

igualdade encontramos 50º.

A segunda alternativa seria o cálculo do ângulo interno adjacente ao ângulo de

110º, ou seja, o seu suplemento (180º – 110º = 70º). Como a soma dos ângulos internos

de qualquer triângulo é sempre 180º, montaríamos uma equação do 1º grau (x + x + 10º

+ 70º = 180º) cuja solução seria 50º.

A proximidade dos percentuais apresentados tanto na opção correta quanto nos

distratores, mais uma vez evidencia a tendência de “chute”. De maneira mais grave, os

cerca de 18% de alunos que assinalaram o distrator A, não reconhecem a figura de

ângulo agudo (menor que 90º).

Análise dos Itens do Bloco 2

Item 01 Quadro 14 – Descritor referente ao item 01 do bloco 02

Tema I. Espaço e Forma

D5 – Reconhecer a conservação ou modificação de medidas dos lados, do perímetro,

da área em ampliação e/ou redução de figuras poligonais usando malhas

quadriculadas.

Observe a figura abaixo.

Página | 58

Considere o lado de cada quadradinho como unidade de medida de comprimento.

Para que o perímetro do retângulo seja reduzido à metade, a medida de cada lado

deverá ser

(A) dividida por 2.

(B) multiplicada por 2.

(C) aumentada em 2 unidades.

(D) dividida por 3.

Tabela 14 – Resultados obtidos no item 01 do bloco 02

PERCENTUAL DE RESPOSTAS AO ITEM

A B C D B/N

54,5% 21,4% 12,5% 11,3% 0,4%

Por intermédio desse descritor pretende-se avaliar a capacidade do aluno em

conceituar perímetro e área de um polígono com o apoio de malhas quadriculadas. O

desenvolvimento dessa habilidade implica que o aluno realize ampliações ou reduções

de uma figura poligonal fechada ou a sua transferência de uma posição para outra, ou

ainda a realização de um giro a partir da posição inicial do polígono.

Para a correta resolução do item descrito, compete ao aluno reconhecer que o

perímetro de um polígono está associado a uma medida e comprimento, que é uma

mediada linear. Dessa maneira, para reduzi-lo à metade, é preciso dividir por 2 as

medidas dos lados do retângulo. O uso da malha quadriculada facilita a resolução do

Página | 59

item, pois permite que o aluno represente a figura desejada como um retângulo cuja

base teria 3 quadrados de unidade e a altura 2 quadrados de unidade.

Praticamente metade dos alunos errou o item, indicando mais uma vez a grande

deficiência em questões que abordem a geometria. Podemos considerar ainda, que

muitos dos que assinalaram corretamente o descritor, tenham apenas associado à idea de

metade à divisão por 2, sem utilizar necessariamente nenhum conceito geométrico.

O desenvolvimento dessa habilidade deve ocorrer através da resolução de

problemas do cotidiano escolar que envolvam a ampliação e a redução de figuras planas

por meio de malhas quadriculadas. Devemos solicitar que o aluno observe a

conservação ou a modificação de medidas, considerando o perímetro e a área dessas

figuras através da medição dos lados e o estabelecimento das relações entre elas.

Podemos utilizar uma tábua com pregos distribuídos uniformemente e construir

polígonos semelhantes com elásticos. Observando as variações das dimensões de um

retângulo podemos discutir sobre o que ocorre com o perímetro e com a área quando,

por exemplo, dobramos as medidas dos lados. Proponha distintas variações nas medidas

da altura e na medida da base e analise coletivamente as consequências tanto no

perímetro quanto na área do retângulo.

Item 02

Quadro 15 – Descritor referente ao item 02 do bloco 02

Tema III. Números e Operações/Álgebra e Funções

D21 – Reconhecer as diferentes representações de um número racional.

A fração 3100

corresponde ao número decimal

(A) 0,003.

(B) 0,3.

(C) 0,03.

(D) 0,0003

Tabela 15 – Resultados obtidos no item 02 do bloco 02

PERCENTUAL DE RESPOSTAS AO ITEM A B C D B/N

25,7% 14,4% 49,0% 9,3% 1,6%

Página | 60

O descritor pretende avaliar a habilidade do aluno em identificar números

racionais nas suas diversas representações: fracionária, decimal e percentual. Também é

proposto que o aluno desenvolva a capacidade de entender que duas ou mais frações

equivalentes representam um mesmo número, que tanto poderá ser inteiro ou decimal.

O item apresentado é meramente técnico-matemático, não incorporando

qualquer tipo de contextualização. A correta resolução do item se dá através da

transformação da fração em número decimal associada à leitura de décimos, centésimos,

milésimos, etc. Esse conhecimento é básico para a obtenção da resposta certa.

Apenas 49% dos alunos avaliados dominam essa simples habilidade. O elevado

percentual de estudantes que assinalaram os distratores do item nos mostra que tanto o

conceito de divisão quanto de leitura dos números racionais não está sendo bem

compreendido por parte dos alunos. Provavelmente os mais de 25% dos estudantes que

assinalaram o distrator A, associaram as três casas decimais ao número 100 presente no

denominador da fração, sem levar em conta apenas os dois zeros, como seria o correto.

Deveríamos supor que essa habilidade já estaria incorporada ao cotidiano do

aluno desde os anos letivos iniciais. O conceito exigido corresponde a um tema

abordado a partir do 5º ano do ensino fundamental que também faz parte dos conteúdos

abordados tanto no 6º ano quanto no 7º ano do ensino fundamental. A ausência de

atividades constantes que envolvam essa habilidade nos anos letivos seguintes acarreta,

em parte, esse déficit de conhecimento.

Torna-se necessário que constantemente apresentemos situações problemas que

envolvam a multiplicação e a divisão por 10, 100, 1000, principalmente. Devemos

mostrar que a divisão do numerador do número racional na forma fracionária por um

desses múltiplos de base 10, corresponde ao mesmo número na forma decimal. Por sua

vez, esse decimal, quando multiplicado por 100, representa a forma percentual do

número racional.

Essas atividades darão ao aluno a correta fixação das posições à direita da

vírgula dos décimos, centésimos e milésimos, conservando assim as relações de

agrupamento de 10 herdados do nosso sistema de numeração decimal, além de facilitar

a compreensão do conceito de porcentagem.

Página | 61

Item 03

Quadro 16 – Descritor referente ao item 03 do bloco 02 Tema III. Números e Operações/Álgebra e Funções

D26 – Resolver problema com números racionais envolvendo as operações (adição,

subtração, multiplicação, divisão, potenciação).

A estrada que liga Recife a Caruaru será recuperada em três etapas. Na primeira

etapa, será recuperado 16

da estrada e na segunda etapa 14

da estrada. Uma fração

que corresponde à terceira etapa é

(A)

(B)

(C)

(D)

Tabela 16 – Resultados obtidos no item 03 do bloco 02

PERCENTUAL DE RESPOSTAS AO ITEM A B C D B/N

52,5% 23,3% 14,4% 8,2% 1,6%

Esse descritor aborda um dos conceitos mais importantes dentro do tema

números e operações: a habilidade do aluno em resolver problemas utilizando operações

com números racionais. Embora muito frequente em nosso cotidiano, representa uma

habilidade pouco presente no arcabouço de conhecimento de nossos alunos.

Corresponde a um bom item contextualizado que exige do aluno não apenas

conhecimentos matemáticos, mas também leitura e interpretação do texto. O item requer

do aluno a compreensão de que o trecho correspondente à terceira etapa para a

construção da estrada representa a fração obtida da subtração do inteiro com a soma das

frações correspondentes aos trechos já construídos ( e ).

Compete ao aluno identificar que a soma de duas ou mais frações só pode ser

obtida se elas possuírem o mesmo denominador. Isso ocorre devido ao fato de que para

operarmos com frações é necessário que elas representem quantidades distintas de um

Página | 62

todo que foi dividido em partes iguais. O correto processo nos leva a obtenção de

frações equivalentes às anteriores que possuam denominadores comuns.

Para o item sugerido no simulado, isso pode ser obtido calculando-se o número

12 como o mínimo múltiplo comum (m.m.c.) entre os denominadores. O cálculo pode

ser realizado tanto por intermédio do conhecido algoritmo das decomposições

sucessivas (fatoração dos números) ou através de um simples cálculo mental. Assim, as

frações equivalentes a e seriam, respectivamente, e . Ele precisa considerar que

como 12 representa, respectivamente, o dobro e o triplo de 6 e 4, as frações equivalentes

possuirão numeradores que também representarão o dobro e triplo dos numeradores

iniciais. Após a obtenção das frações equivalentes ele deverá somá-las, obtendo . Em

seguida irá subtrair a fração encontrada ( do inteiro correspondente, cuja fração

equivalente é , encontrando finalmente a resposta correta .

Embora saibamos das dificuldades encontradas pelos nossos alunos no trato com

números fracionários, chega a causar espanto o fato de que mais de 84% dos estudantes

não sejam capazes de desenvolver corretamente o item apresentado. Esse foi o pior

resultado apresentado pelos alunos ao longo de todo o simulado.

Os alunos que assinalaram o distrator B, foram capazes de somar corretamente

as frações iniciais, mas não interpretaram corretamente o texto apresentado. Já os alunos

que assinalaram os distratores A e D demonstram desconhecer o princípio fundamental

de operações com frações, onde elas devem possuir o mesmo denominador.

O conceito de fração e suas operações são introduzidos a partir do 4º ano do

ensino fundamental e devem ser progressivamente ampliados ao longo dos anos letivos

seguintes. Porém, de maneira extremamente incoerente, como esse representa um tema

com grande dificuldade de compreensão por parte dos alunos, os professores dos anos

letivos finais do ensino fundamental tendem a pouco utilizá-lo em suas aulas. A uma

tendência dos profissionais de Matemática em trabalhar apenas com números inteiros

visando facilitar o entendimento dos alunos em situações problemas que envolvam

conceitos mais elaborados como sistemas, polinômios, equações, etc.

Devemos nos habituar a um trabalho constante com números fracionários. Vale

a pena trabalharmos problemas em que as frações superem o inteiro ou simplesmente

não o completem. Como por exemplo: Rômulo comentou com Letícia que das terras

Página | 63

do sítio de seu pai são destinados ao plantio de milho, ao pasto de cabras e a parte

restante está arrendada para o plantio de laranjas. Letícia então afirmou: “Logo, das

terras do sítio de seu pai estão arrendadas para o plantio de laranja.”. Letícia está

correta? Por quê? Cabe aos professores incentivar a discussão coletiva e observar os

argumentos e os raciocínios desenvolvidos para concluir que Letícia está errada uma

vez que a soma das três frações representaria , o que seria maior do que o inteiro .

Outra sugestão significativa representa a associação de números racionais ao

conceito de porcentagem. A observação da transformação dos números racionais em

porcentagem e vice-versa, deve ser amplamente estimulada durante a resolução de

exercícios.

Item 04

Quadro 17 – Descritor referente ao item 04 do bloco 02

Tema III. Números e Operações/Álgebra e Funções

D35 – Identificar a relação entre as representações algébrica e geométrica de um

sistema de equações do 1.º grau.

Observe o gráfico abaixo.

O gráfico representa o sistema

Página | 64

(A)

(B)

(C)

(D)

Tabela 17 – Resultados obtidos no item 04 do bloco 02

PERCENTUAL DE RESPOSTAS AO ITEM A B C D B/N

11,7% 37,7% 17,9% 30,7% 1,9%

O descritor pretende avaliar a habilidade do aluno em reconhecer um gráfico de

coordenadas cartesianas que representa um sistema de equações do primeiro grau ou,

em sentido contrário, o sistema que corresponde ao gráfico. Corresponde a um conceito

que se inicia no 8º ano do ensino fundamental é deve ser ampliado no 9º ano. Sua

importância em Matemática é fundamental para o trabalho com funções no ensino

médio e para leitura de gráficos nas outras áreas do conhecimento.

O baixo interesse dos alunos em Matemática dificulta imensamente o

desenvolvimento e a apreensão desses conhecimentos. Para que a passagem do gráfico

para o sistema seja concretizada, torna-se necessário que o aluno relacione vários

conceitos como resolução de sistemas do 1º grau, localização de pontos no plano

cartesiano, crescimento e decrescimento de uma reta, entre outros.

Em virtude dos motivos expostos, o resultado encontrado onde cerca de 63% dos

alunos assinalaram os distratores, não chega a causar estranheza. A única observação a

ser feita refere-se aos alunos que marcaram o distrator D. Nesse distrator as duas

equações representam retas crescentes por possuírem coeficientes angulares positivos.

Logo nenhuma das duas poderia representar a reta decrescente presente no gráfico.

Para a correta resolução do item, é necessário que o aluno identifique cada uma

das equações do 1º grau com duas variáveis. Em seguida, deve observar o fato de que o

ponto (2, 1) de interseção entre as retas representa a solução única do sistema do 1º

grau, por ser o único a satisfazer ambas as igualdades que formam o sistema.

Compete ao professor mostrar ao aluno que a solução de um sistema do primeiro

grau pode ser expressa por um par ordenado e esse par representa um ponto do sistema

Página | 65

cartesiano. O ponto corresponde necessariamente à interseção de duas retas que são as

representações gráficas das equações do sistema proposto.

Antes de apresentarmos a resolução de um sistema com duas equações e duas

variáveis, devemos discutir o número de soluções possíveis para uma equação do tipo y

= x + 1. Como tal igualdade pressupõe infinitas soluções, podemos pedir que os alunos

representem graficamente esse conjunto de pontos. Assim, ao associarmos uma segunda

equação, fica mais fácil para o aluno compreender o significado da interseção entre as

retas. Sistemas sem solução ou com infinitas soluções também devem ser discutidos e

explorados através da representação gráfica.

Outra maneira para desenvolvermos essa habilidade constitui-se no uso de

softwares gratuitos disponíveis na internet e já descritos anteriormente para o item 02 do

bloco 1.

Item 05

Quadro 18 – Descritor referente ao item 05 do bloco 02

Tema III. Números e Operações/Álgebra e Funções

D22 – Identificar fração como representação que pode estar associada a diferentes

significados.

Nas figuras abaixo as áreas escuras são partes tiradas do inteiro.

A parte escura que equivale aos 35

tirados do inteiro é

Página | 66

Tabela 18 – Resultados obtidos no item 05 do bloco 02

PERCENTUAL DE RESPOSTAS AO ITEM A B C D B/N

31,1% 24,9% 35,4% 6,6% 1,9%

A proposta desse descritor é verificar a habilidade do aluno em reconhecer

frações em diversas representações como, por exemplo, partes de um inteiro, relações

entre conjuntos, razão entre medidas, etc. Assim como os conceitos anteriores relativos

às frações, esse tema deve ser abordado a partir do 4º ano do ensino fundamental e

paulatinamente ampliado nos anos letivos seguintes.

Ao analisarmos o item observamos que compete ao aluno a habilidade de

reconhecer quais são os círculos que foram divididos em cinco partes, uma vez que a

fração descrita possui denominador 5 e, entre eles, identificar em qual das quatro figuras

a parte escura corresponde ao numerador 3.

Muito embora não represente um item contextualizado, corresponde a um tema

amplamente trabalhado em sala de aula nos anos iniciais do ensino fundamental. Por

esse motivo o percentual de apenas cerca de 35% dos alunos que assinalaram

corretamente o item é bastante preocupante.

O elevado percentual de 56% dos alunos que marcaram os distratores A e B

demonstraram desconhecer princípios básicos da formação e concepção de frações. Eles

consideraram o numerador 3 e o denominador 5 como partes integrantes do todo sem

respeitar o conceito de inteiro.

Colocarmos os jovens para refletir sobre o significado dos conceitos

matemáticos mais básicos representa um exercício muito importante. A relação entre o

numerador e o denominador de uma fração corresponde apenas a um dos significados

de um número racional. Devemos discutir o fato de que uma fração pode demonstrar o

resultado de uma divisão. Dessa maneira, está diretamente ligada ao quociente entre

dois números inteiros. Lembremos ainda que uma fração pode representar uma

constante de proporcionalidade como uma escala, uma velocidade, densidade

demográfica ou uma porcentagem.

Após discutirmos sobre o tema em sala, podemos solicitar que os alunos

escrevam um texto explicando para uma criança o que significa uma fração e a relação

entre parte/todo. Esse tipo de atividade auxilia imensamente na fixação dos conceitos

embora não corresponda a uma prática usual por parte dos professores de Matemática.

Página | 67

Item 06 Quadro 19 – Descritor referente ao item 06 do bloco 02

Tema III. Números e Operações/Álgebra e Funções

D29 – Resolver problema que envolva variação proporcional, direta ou inversa, entre

grandezas.

No supermercado Preço Ótimo, a manteiga é vendida em caixinhas de 200 gramas. Para levar para casa 2 quilogramas de manteiga, Marisa precisa comprar

(A) 2 caixinhas.

(B) 4 caixinhas.

(C) 5 caixinhas.

(D) 10 caixinhas.

Tabela 19 – Resultados obtidos no item 06 do bloco 02

PERCENTUAL DE RESPOSTAS AO ITEM A B C D B/N

18,7% 19,1% 13,6% 46,3% 2,3%

O descritor propõe que se desenvolva no aluno a habilidade em resolver

problemas que envolvam grandezas diretamente e inversamente proporcionais. De

modo geral são utilizadas regras de três simples na resolução desses problemas comuns

em nosso cotidiano. A importância desse descritor fica evidente através da avaliação,

pelo fato de ser o único em todo simulado que se repete. O mesmo descritor foi cobrado

também no item 08 do bloco 01.

De forma específica, o item exige que o aluno estabeleça relações de

proporcionalidade através do seguinte raciocínio elementar: se em uma caixa existem

200 gramas de manteiga, em 5 caixas teremos o equivalente a 1000 gramas, ou seja, 1

quilograma. Logo, em 10 caixas teremos as 2000 gramas ou 2 quilogramas de manteiga

desejados. O conteúdo abordado está diretamente ligado aos conceitos de medidas de

massa e proporção que são introduzidos a partir do 6º ano e do 7º ano de escolaridade

do ensino fundamental, respectivamente.

Muito embora o item apresente um conceito de massa familiar ao dia a dia dos

estudantes, cerca de 54% dos alunos assinalaram os distratores. Mais uma vez, o certo

Página | 68

equilíbrio percentual entre as marcações, demonstra uma tendência de “chute”. A

ausência de conhecimentos a respeito das noções de massa fica evidenciada quando os

alunos supõem que em 2, 4 ou 5 caixas de 200 gramas cada, é possível existir o

equivalente a 2 quilogramas de manteiga.

Trabalharmos constantemente a conversão de unidades de comprimento, área,

volume, capacidade, massa e tempo, representa um fator de vital importância para o

desenvolvimento dessa habilidade. Isso pode ser realizado através de exercícios simples

de transformação direta de unidades ou dentro de problemas contextualizados cuja

resolução exija tais conversões. Quando o aluno adquire a compreensão sobre a

equivalência entre as unidades de medida e seus submúltiplos, fica fácil estabelecer as

relações de proporcionalidade.

Item 07

Quadro 20 – Descritor referente ao item 07 do bloco 02

Tema III. Números e Operações/Álgebra e Funções

D24 – Reconhecer as representações decimais dos números racionais como uma

extensão do sistema de numeração decimal, identificando a existência de “ordens”

como décimos, centésimos e milésimos.

O número decimal que é decomposto em 5 + 0,06 + 0,002 é

(A) 5,62.

(B) 5,602.

(C) 5,206.

(D) 5,062.

Tabela 20 – Resultados obtidos no item 07 do bloco 02

PERCENTUAL DE RESPOSTAS AO ITEM A B C D B/N

19,8% 21,4% 8,2% 49,4% 1,2%

Por intermédio desse descritor pretende-se avaliar a habilidade do aluno em

decompor um número decimal reconhecendo suas ordens pelo princípio do sistema de

numeração decimal. Ele explora a capacidade do aluno em perceber situações onde os

Página | 69

agrupamentos formados pelos submúltiplos de 10, requerem uma simples variação

posicional da vírgula no número.

Para que o aluno solucione corretamente o item, é preciso que reconheça os

números decimais como um sistema no qual a primeira casa depois da vírgula

representa os décimos, a segunda, os centésimos, a terceira, os milésimos, e assim,

sucessivamente.

As habilidades necessárias para a correta resolução do item são apresentadas aos

alunos nos anos iniciais do ensino fundamental e devem ser constantemente trabalhadas

em todos os anos letivos subsequentes. O crítico resultado apresentado, onde mais de

50% dos alunos analisados erraram o item, nos causa profunda insatisfação.

Os estudantes que consideraram os descritores A e B como corretos

desconhecem plenamente a distribuição posicional dos números decimais. Além disso,

não são capazes de desenvolver corretamente uma simples operação de soma entre três

parcelas compostas por decimais de ordens distintas, correspondentes aos décimos,

centésimos e milésimos.

Além de ampliarmos o trabalho com a significação de cada posição na escrita

decimal, devemos explicitar as possíveis relações aritméticas envolvidas e o valor

posicional de cada algarismo. Esse trabalho de sedimentação do valor posicional pode e

deve ser acompanhado pelo uso de calculadora.

Item 08

Quadro 21 – Descritor referente ao item 08 do bloco 02

Tema III. Números e Operações/Álgebra e Funções

D20 – Resolver problema com números inteiros envolvendo as operações (adição,

subtração, multiplicação, divisão, potenciação).

Cíntia conduzia um carrinho de brinquedo por controle remoto em linha reta. Ela

anotou em uma tabela os metros que o carrinho andava cada vez que ela acionava o

controle. Escreveu valores positivos para as idas e negativos para as vindas

Página | 70

Após Cíntia acionar o controle pela sexta vez, a distância entre ela e o carrinho

era de

(A) – 11 m.

(B) 11 m.

(C) – 27 m.

(D) 27 m

Tabela 21 – Resultados obtidos no item 08 do bloco 02

PERCENTUAL DE RESPOSTAS AO ITEM A B C D B/N

14,8% 53,7% 18,3% 12,5% 0,8%

O descritor aborda a habilidade do aluno em resolver problemas utilizando as

cinco operações fundamentais com números inteiros. Consiste em mais um item

contextualizado simples que avalia apenas a interpretação do enunciado e o cálculo com

operações básicas envolvendo números inteiros positivos e negativos. Os conteúdos

relativos a esse descritor devem ser ministrados a partir do 7º ano do ensino

fundamental.

Basta que o aluno compreenda o significado dos dados apresentados na tabela e,

em seguida, decida sobre quais as operações devem ser realizadas para solucionar a

situação problema. O estudante pode optar por agrupar todos os valores positivos e

Página | 71

todos os negativos realizando apenas três operações, ou pode\resolver as operações na

ordem em que são descritas na tabela.

Pouco mais de 53% dos alunos avaliados mostraram dominar essa habilidade

elementar. O equilíbrio entre as marcações realizadas nos distratores nos mostra mais

uma vez a tendência de “chute” por parte dos estudantes.

Como sugestão para o desenvolvimento dessa habilidade, vale a proposição de

problemas com o objetivo de análise dos dados e decisão sobre quais as estratégias

devem ser seguidas para sua resolução. A discussão em grupo sobre os prós e contras de

cada sugestão proferida, permite que o aluno escolha a estratégia que lhe for mais

conveniente e com a qual mais se identifica. Isso lhe dará maior controle das atividades

e segurança na hora da escolha do método de resolução do problema.

Explorar jogos que contenham a ideia de reta numerada, contagem de casas entre

inteiros positivos e negativos, conceitos do tipo “perda” e “ganho”, também contribuem

na compreensão do conceito de números inteiros.

Item 09

Quadro 22 – Descritor referente ao item 09 do bloco 02

Tema III. Números e Operações/Álgebra e Funções

D17 – Identificar a localização de números racionais na reta numérica.

Observe os números que aparecem na reta abaixo.

O número indicado pela seta é

(A) 0,9.

(B) 0,54.

(C) 0,8.

(D) 0,55.

Página | 72

Tabela 22 – Resultados obtidos no item 09 do bloco 02

PERCENTUAL DE RESPOSTAS AO ITEM A B C D B/N

41,6% 34,6% 12,8 % 9,7% 1,2%

O descritor se propõe a avaliar a habilidade do aluno em localizar a disposição

dos números racionais na reta representativa do conjunto dos números reais. Ele precisa

demonstrar que compreende a existência de uma ordem lógica crescente na organização

desses números na reta numérica.

Para desenvolver corretamente o item, o aluno pode simplesmente contar as

casas decimais considerando os centésimos existentes entre os décimos 0,5 e 0,6.

Aproximadamente 65% dos alunos avaliados demonstraram não ter se apropriado

corretamente dessa habilidade.

Fica evidente que o elevado percentual de mais de 42% dos alunos que assinalaram o

distrator A, não compreendem a correta sequencia dos números racionais e a divisão

adequada entre esses números na reta real.

A partir do 7º ano de escolaridade torna-se necessário que o professor crie

atividades para que o aluno construa e localize números racionais na reta numerada. A

sucessiva localização de números racionais entre dois outros racionais, permitirá ao

estudante concluir que existem infinitos números racionais. Na continuidade da

atividade, podemos sugerir que o aluno interpole números racionais entre duas frações

de denominadores iguais a potências de 2. Como por exemplo, interpolar três frações

entre as frações e .

Item 10

Quadro 23 – Descritor referente ao item 10 do bloco 02

Tema IV. Tratamento da informação

D36 – Resolver problema envolvendo informações apresentadas em tabelas e/ou

gráficos.

Página | 73

Observe o gráfico.

Veja/Sua Saúde. Ano 34 – n.º 12/2001 Ao marcar no gráfico o ponto de interseção entre as medidas de altura e peso,

saberemos localizar a situação de uma pessoa em uma das três zonas. Para aqueles que

tem 1,65 m e querem permanecer na zona de segurança, o peso deve manter-se,

aproximadamente, entre

(A) 48 e 65 quilos.

(B) 50 e 65 quilos.

(C) 55 e 68 quilos.

(D) 60 e 75 quilos.

Tabela 23 – Resultados obtidos no item 10 do bloco 02

PERCENTUAL DE RESPOSTAS AO ITEM A B C D B/N

23,0% 28,0% 32,3% 14,8% 1,9%

Representa um excelente item contextualizado voltado plenamente para o

propósito ao qual o descritor se propõe a avaliar. O aluno deve demonstrar a capacidade

em analisar tabelas ou gráficos e, a partir dessas informações, extrair dados que lhe

permitam solucionar problemas cotidianos. O aluno deve ser motivado a desenvolver

essa habilidade já a partir dos anos letivos iniciais do ensino fundamental.

Página | 74

Compete ao estudante, em primeiro lugar, identificar as grandezas representadas

no gráfico: altura de uma pessoa em metros e o peso em quilos. Depois de ler o

enunciado, cabe ao aluno, compreender que o problema deseja verificar o peso de uma

pessoa com 1,65 m de altura dentro do que o gráfico chama de zona de segurança. A

plena identificação dessa faixa de valores acima de 55 quilos e abaixo de 70 quilos

permitiria uma correta resolução do item.

Duas críticas pertinentes podem ser atribuídas a esse item. A primeira diz

respeito ao fato de que o a nomenclatura correta seria o gráfico denominar o peso como

massa e quilo como quilograma. Embora saibamos que um excessivo formalismo no

cotidiano escolar pouco contribui com o aprendizado, devemos levar em consideração

que uma avaliação em larga escala como a Prova Brasil acaba sendo norteadora tanto

das diretrizes curriculares quanto do linguajar usado pelos educandos e educadores.

A segunda refere-se aos dados presentes no eixo das alturas. A forma confusa

como os valores decimais são distribuídos entre os quadradinhos que representam o

gráfico e o padrão pequeno utilizado para as letras, prejudicaram o pleno entendimento

por parte dos estudantes avaliados.

Quase 68% dos alunos demonstraram não possuir as habilidades de leitura e

interpretação necessárias para a resolução do item. Como os dados foram dispostos em

intervalos compostos por números pares, o valor de 1,65 m não se encontra disponível

visualmente no eixo das alturas. Esse fator levou 51% dos alunos a assinalarem os

distratores A ou B cujas variações máximas são inferiores a 65 quilos.

Esse tema aborda um assunto de grande relevância para o entendimento dos

fatos nos dias atuais. È fundamental que o professor trabalhe exaustivamente com

gráficos e tabelas em sala de aula. Existem exemplos em profusão na mídia e os

estudantes devem ser fortemente motivados a pesquisar e discutir sobre as informações

presentes em gráficos e tabelas obtidos em revistas, jornais, televisão e internet. Discuta

sobre a clareza e a veracidade dos dados apresentados e, em última instância, proponha

uma análise mais profunda sobre a pertinência ou não da utilização desse recurso junto à

reportagem na qual as informações estão associadas.

Em sítios como do Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística – IBGE

<www.ibge.gov.br> ou em órgãos de pesquisa particulares como o IBOPE

<www.ibope.com.br>, estão disponíveis inúmeros gráficos e tabelas sobre os mais

abrangentes temas da atualidade que podem ser utilizados no desenvolvimento do

trabalho com leitura e interpretação de dados.

Página | 75

Item 11

Quadro 24 – Descritor referente ao item 11 do bloco 02

Tema III. Números e Operações/Álgebra e Funções

D18 – Efetuar cálculos com números inteiros, envolvendo as operações (adição,

subtração, multiplicação, divisão, potenciação).

Ao resolver corretamente a expressão 1 ( 5).( 3) ( 4)3: ( 4)� � � � � � � , o resultado é

(A) – 13.

(B) – 2.

(C) 0.

(D) 30.

Tabela 24 – Resultados obtidos no item 11 do bloco 02

PERCENTUAL DE RESPOSTAS AO ITEM

A B C D B/N

33,9% 24,9% 23,7% 15,6% 1,9%

Em outro item meramente técnico, sem qualquer tipo de contextualização, o

descritor propõe avaliarmos a habilidade do aluno em efetuar as cinco principais

operações com números inteiros. Esse descritor claramente pretende avaliar a

capacidade do aluno em fazer contas, sem se preocupar com a problematização do tema,

como ocorre com o descritor 20.

Para solucionar o item, deve-se dominar plenamente as regras referentes aos

sinais resultantes dos cálculos com números inteiros. Além disso, é necessário saber que

em uma expressão numérica resolve-se primeiro as divisões e as multiplicações, na

ordem em que aparecem e, posteriormente, as adições e subtrações, também na ordem

em que aparecem.

Corresponde a um conteúdo ministrado no 7º ano do ensino fundamental que

mesmo estando fortemente presente em todos os anos letivos subseqentes, acarreta uma

Página | 76

imensa dificuldade de aprendizado para os estudantes. É bastante comum encontrarmos

mesmo alunos do ensino superior com essa deficiência.

A imensa dificuldade por parte dos estudantes no trato principalmente com a

multiplicação e divisão de números com sinais diferentes, levou cerca de 67% dos

estudantes avaliados a responderem erroneamente ao item. Os valores aleatórios

presentes nos distratores demonstram que esses alunos não associam corretamente as

sequencias operatórias e/ou não dominam plenamente as chamadas regras de sinais.

Torna-se evidente que as deficiências apresentadas, inviabilizarão toda e qualquer

tentativa por parte desses alunos, de resolução de um item contextualizado que necessite

dessas habilidades.

Mas uma vez a utilização da reta numérica é essencial para a plena compreensão

do conteúdo. Devemos desenvolver inúmeras atividades de cálculos envolvendo

números inteiros. Inicialmente utilizando apenas uma operação e posteriormente

mesclando as cinco operações exigidas pelo descritor.

As regras de sinais não podem ser meramente decoradas através da repetição. A

ideia de número simétrico e número oposto auxiliam na construção dessas habilidades.

Explore o fato de que a soma de um número inteiro com o seu simétrico é sempre igual

a zero.

Item 12

Quadro 25 – Descritor referente ao item 12 do bloco 02

Tema III. Números e Operações/Álgebra e Funções

D27 – Efetuar cálculos simples com valores aproximados de radicais.

O número irracional está compreendido entre os números

(A) 2 e 3.

(B) 13 e 15.

(C) 3 e 4.

(D) 6 e 8.

Página | 77

Tabela 25 – Resultados obtidos no item 12 do bloco 02

PERCENTUAL DE RESPOSTAS AO ITEM

A B C D B/N

25,7% 11,3% 28,0% 31,5% 3,5%

O presente descritor visa desenvolver no aluno a habilidade em resolver

expressões com números irracionais, escrevendo os radicais na forma inteira ou decimal

com aproximações. Refere-se a um conteúdo associado ao conjunto dos números reais

que deve ser introduzido ao longo do 8º ano do ensino fundamental e aprimorado no 9º

ano.

A correta solução do item exige do aluno o entendimento de que o valor da

corresponde a um número compreendido entre dois números inteiros cujos quadrados

são, respectivamente, um valor menor e outro maior do que o radicando 7. Em termos

matemáticos, podemos escrever que como , teremos que .

Logo podemos concluir que .

Mais de 74% dos estudantes demonstraram ignorar essa habilidade. O

preocupante percentual de mais 31% estudantes analisados que marcaram o distrator D,

desconhecem totalmente as relações entre os elementos dos conjuntos numéricos. Esses

alunos confundem as noções elementares que relacionam o conjunto dos números

inteiros como um subconjunto dos números reais.

Uma atividade interessante pode ser solicitar que os alunos localizem na reta

numérica, valores de raízes quadradas. O uso do compasso associado à aplicação do

Teorema de Pitágoras permitirá a visualização geométrica do significado e da correta

localização desses números racionais. Quando o aluno enxerga o posicionamento do

número racional na reta numérica, torna-se mais fácil compreender sua existência.

Item 13

Quadro 26 – Descritor referente ao item 13 do bloco 02

Tema II. Grandezas e Medidas

D13 – Resolver problema envolvendo o cálculo de área de figuras planas.

Página | 78

O piso de entrada de um prédio está sendo reformado. Serão feitas duas

jardineiras nas laterais, conforme indicado na figura, e o piso restante será revestido

de cerâmica.

Qual é a área do piso que será revestido de cerâmica?

(A) 3 m2

(B) 6 m2

(C) 9 m2

(D) 12 m2

Tabela 26 – Resultados obtidos no item 13 do bloco 02

PERCENTUAL DE RESPOSTAS AO ITEM A B C D B/N

20,6% 38,5% 18,7% 19,8% 2,3%

O descritor possui o propósito em avaliar a habilidade do aluno em resolver

problemas envolvendo o cálculo da área de figuras planas. Corresponde a uma

habilidade muito solicitada no dia a dia, relativa ao cálculo da área de um terreno, do

piso de uma residência, da parede de um cômodo, etc.

Existem distintas maneiras para se resolver corretamente o item. Uma das

soluções possíveis envolve o cálculo da área do retângulo corresponde ao piso (4 m x 3

m = 12 m) e descontar a área do retângulo formado pelos dois triângulos justapostos (1

m x 3 m = 3 m), chegando ao correto valor de 9 m.

Página | 79

Outra maneira seria considerarmos apenas a superfície do trapézio isósceles,

como sendo à área desejada cuja base maior mede 4 m, a base menor 2 m e altura 3 m.

Essa área seria calculada utilizando-se a conhecida fórmula

.

Em mais um item envolvendo conceitos geométricos, o resultado apresentado

pelos alunos foi muito ruim. No segundo pior percentual de acertos em todo o simulado,

os estudantes assinalaram aproximadamente 82% dos distratores. Os mais de 38% dos

alunos que consideraram o distrator B como a opção correta, provavelmente utilizaram

equivocadamente a fórmula da área do retângulo para calcular a área do trapézio,

multiplicando a altura 3 m pelos 2 m da base menor.

Devemos nos valer de exemplos concretos como o piso e as paredes da sala de

aula para fixar o as fórmulas e cálculo das áreas das principais figuras planas. Mostrar

como a área do triângulo pode ser obtida como sendo metade da área de um retângulo

através do traçado de uma de suas diagonais.

Outros polígonos podem ser desmembrados em retângulos e triângulos para o

cálculo de sua área, como por exemplo os retângulos e os losangos. Para o cálculo de

áreas de setores circulares, devemos apresentá-los como sendo frações de um círculo.

A utilização de malhas quadriculadas auxilia a interpretação das figuras e

permite que diferentes estratégias surjam entre os estudantes. Uma interessante

atividade consiste na representação em escala de diferentes ambientes da escola, para

que os alunos calculem o custo para o revestimento do piso. Esse tipo e trabalho além

de desenvolver a noção do conceito de superfície, coloca em prática também as noções

de escala, conversão de unidades de medida tanto de área quanto de comprimento e a

ideia de proporcionalidade.

Resumo da Análise dos Resultados e das Sugestões Metodológicas

Essa seção tem o propósito de apresentar uma descrição abrangente, porém

resumida, tanto dos dados estatísticos coletados como das discussões provenientes

desses resultados obtidos em cada um dos itens propostos aos alunos no simulado da

Prova Brasil.

Página | 80

Torna-se também pertinente, observarmos dois aspectos interessantes relativos

aos resultados encontrados. O primeiro reside no fato de que esse resultado representa a

análise de um estudo de caso específico de um determinado grupo de alunos da Rede

Municipal de Duque de Caxias/RJ. Portanto, esse mesmo simulado quando aplicado em

outra rede de ensino poderia naturalmente apresentar um resultado bastante distinto do

que foi obtido por esse estudo.

O segundo aspecto é que todas as sugestões metodológicas descritas são

baseadas nos vinte anos de experiência profissional do autor, ministrando aulas no nível

fundamental e médio, tanto em rede públicas quanto privadas. Logo, outro profissional

poderia desenvolver uma interpretação distinta relativa às sugestões metodológicas

descritas. Sendo assim, seria bastante saudável que críticas construtivas a essas

sugestões ocorressem.

Como já foi descrito em vários momentos ao longo desse trabalho, nossa

proposta fundamental e fomentar uma discussão inicial acerca do erro como ferramenta

educacional de observação e correção das distorções de aprendizado. Em momento

algum pretendemos nos colocar como detentores do conhecimento de metodologias

inovadoras que possam substituir a capacidade de criação dos professores em seu

universo de trabalho.

Para favorecer uma visão global dos valores analisados, os dados obtidos com o

resultado do simulado foram dispostos em uma tabela de dupla entrada contendo dez

colunas de valores distribuídos em dois blocos com os itens de um a treze. Para cada

opção possível, foram apresentadas duas colunas descrevendo o número de alunos que

consideraram a opção como correta e o percentual que esse valor numérico representa

dentro do universo pesquisado de duzentos e cinquenta e sete alunos. As duas últimas

colunas apresentam os valores referentes às opções anuladas ou que foram deixadas em

branco pelos estudantes As duas tabelas a seguir nos apresentam uma visão

completa do tratamento estatístico dado aos resultados obtidos:

Página | 81

Tabela 27 – Tratamento estatístico dado ao resultado do Simulado – Bloco 01

BLOCO 01 - SIMULADO DA PROVA BRASIL / 2009 Nº A B C D B/N QT % QT % QT % QT % QT %

1 9 3,5 217 84,4 18 7,0 11 4,3 2 0,8 2 182 70,8 26 10,1 30 11,7 16 6,2 3 1,2 3 123 47,9 56 21,8 22 8,5 56 21,8 0 0,0 4 62 24,1 72 28,0 63 24,5 56 21,8 4 1,6 5 72 28,0 149 58,0 14 5,4 21 8,2 1 0,4 6 48 18,7 50 19,5 125 48,6 32 12,4 2 0,8 7 34 13,2 43 16,7 147 57,2 31 12,1 2 0,8 8 22 8,6 131 51,0 70 27,2 33 12,8 1 0,4 9 53 20,6 34 13,2 86 33,5 81 31,5 3 1,2 10 66 25,7 46 17,8 57 22,2 86 33,5 2 0,8 11 33 12,8 66 25,7 67 26,1 84 32,7 7 2,7 12 123 47,9 58 22,6 58 22,6 15 5,7 3 1,2 13 47 18,3 67 26,1 71 27,6 69 26,8 3 1,2

Tabela 28 – Tratamento estatístico dado ao resultado do Simulado – Bloco 02

BLOCO 02 - SIMULADO DA PROVA BRASIL / 2009 Nº A B C D B/N QT % QT % QT % QT % QT % 1 140 54,5 55 21,4 32 12,5 29 11,3 1 0,4 2 66 25,7 37 14,4 126 49,0 24 9,3 4 1,6 3 135 52,5 60 23,3 37 14,4 21 8,2 4 1,6 4 30 11,7 97 37,7 46 17,9 79 30,7 5 1,9 5 80 31,1 64 24,9 91 35,4 17 6,6 5 1,9 6 48 18,7 49 19,1 35 13,6 119 46,3 6 2,3 7 51 19,8 55 21,4 21 8,2 127 49,4 3 1,2 8 38 14,8 138 53,7 47 18,3 32 12,5 2 0,8 9 107 41,6 89 34,6 33 12,8 25 9,7 3 1,2 10 59 23,0 72 28,0 83 32,3 38 14,8 5 1,9 11 87 33,9 64 24,9 61 23,7 40 15,6 5 1,9 12 66 25,7 29 11,3 72 28,0 81 31,5 9 3,5 13 53 20,6 99 38,5 48 18,7 51 19,8 6 2,3

De maneira mais didática, visando facilitar a compreensão de leitor,

estruturamos a análise dos resultados a partir dos quatro temas presentes na matriz de

referência de Matemática para o 9º ano do ensino fundamental. Em termos percentuais,

o Simulado privilegia o Tema III (Números e Operações/ Álgebra e Funções) com

Página | 82

aproximadamente 61% dos itens. Em seguida temos o Tema I (Espaço e Forma) com

cerca de 27% dos itens. Os Temas II (Grandezas e Medidas) e IV (Tratamento da

Informação) estão presentes em apenas 4% e 8% dos itens, respectivamente. Essa

distribuição embora aparentemente pareça injusta, é proporcional ao número de

Descritores presentes em cada um dos Temas.

O Tema I é fundamental para que o aluno desenvolva uma visão tridimensional

que lhe permita compreender, descrever e representar o mundo que o cerca. A

exploração deste campo do conhecimento facilita ao aluno desenvolver habilidades e

percepções espaciais, que lhe possibilitem a descoberta de conceitos matemáticos de

maneira experimental. Favorece também o estabelecimento de conexões entre a

Matemática e outras áreas do conhecimento.

Historicamente o ensino e a aprendizagem de geometria representam um dos

grandes fatores de dificuldade para professores e alunos. Os itens relativos a esse Tema

obtiveram uma média de 59% de distratores. O resultado só não foi pior porque o Item

01 do Bloco 1 representou o Item com o maior percentual individual de acerto (84,4%),

o que acabou por diminuir essa média. Se desconsiderássemos esse Item, elevaríamos o

percentual de distratores para cerca de 67%. A análise dos resultados mostrou

claramente a dificuldade dos alunos com questões relativas à geometria. A ausência de

visão espacial, de conceitos e propriedades elementares ficou evidenciada através dos

resultados obtidos pela pesquisa.

O baixo rendimento mostrado pelos alunos no simulado reforça todas as teses

que relacionam a geometria como o ramo da Matemática que apresenta o maior déficit

de aprendizado entre os alunos. Em particular defendemos, antes de qualquer coisa, que

sejam destinados tempos de aula, não professores, exclusivos para geometria e o

trabalho com desenho geométrico desde as séries inicias.

Com principal sugestão metodológica para gerarmos esse conhecimento, surge à

proposta em resgatarmos o trabalho de construção das propriedades dos polígonos e dos

sólidos geométricos através do resgate do trabalho com desenho geométrico. O uso de

material concreto (cartolina, papel cartão, etc.) na construção das figuras além de jogos

lúdicos bastante conhecidos como a batalha naval, dama ou xadrez constituem também

importantes ferramentas de aprendizado.

A utilização, dentro das possibilidades da escola, de softwares gratuitos como os

descritos para o item 02 do bloco 01, representam outro importante fator para a

aquisição e apreensão do conhecimento.

Página | 83

No Tema II é proposto que o aluno desenvolva habilidades relacionadas à

resolução de problemas envolvendo cálculo de perímetro e de área de figuras planas,

noções de volume e o uso de relações entre diferentes unidades e medida.

Cerca de 81% dos alunos assinalaram os distratores desse Tema. Ressaltando

mais uma vez a grande importância em darmos ênfase ao trabalho implementado em

geometria. Não podemos nos fixar na memorização de fórmulas envolvendo as áreas

das principais figuras planas, mas darmos ênfase a associação desses conceitos entre as

figuras.

Trabalharmos com exemplos concretos como piso e paredes da sala de aula para

fixar a idéia tanto do cálculo de área como de perímetro do retângulo, representa uma

sugestão metodológica simples cujos resultados são bastante positivos. Em seguida

observarmos que a área do triângulo é obtida como metade da área de um retângulo

através do traçado de uma das suas diagonais, permite darmos consistência a construção

desses conhecimentos. A obtenção das áreas de outros polígonos como sendo uma

composição de retângulos e triângulos, representa outra estratégia importante. Devemos

associar o cálculo da área do círculo e dos setores circulares ao estudo de frações e

proporções.

Os Itens relativos ao Tema III estão diretamente ligados ao tratamento dado aos

números e as suas operações, consistindo em um aspecto indispensável ao cotidiano dos

alunos. Os números, presentes em diversos campos da sociedade, além de utilizados em

cálculos e na representação de medidas, são ferramentas fundamentais para a

localização, ordenação e identificação de objetos, pessoas e eventos. Os descritores

presentes neste tema enfocam os números com suas operações, noções de álgebra e

funções.

Sem sombra de dúvida representa o Tema mais abrangente e presente no

cotidiano escolar. Por esse motivo possui o maior número de descritores e recebe tanta

ênfase por parte dos professores, sendo privilegiada em detrimento principalmente da

geometria.

Por tudo que foi exposto acima impressiona negativamente o fato de termos

obtido aproximadamente 71% de distratores como respostas ao Item. O baixíssimo

desempenho dos alunos nos revela a total falta de habilidade dos alunos com um Tema

matemático tão relevante e presente no seu dia a dia.

Inúmeras são as sugestões metodológicas que derivam da análise dos itens

relativos a esse Tema. Cabe ao professor encorajar o aluno construção e resolução de

Página | 84

equações a partir de problemas propostos. O trabalho em grupo na análise e elaboração

dos sistemas pode representar o caminho correto a ser seguido. Uma discussão onde um

aluno proponha determinada situação problema e os outros, coletivamente, construam as

equações, também representa uma interessante sugestão para o aprendizado.

Devemos trazer para a sala de aula diversas situações-problemas em que

possamos explorar os mais diversos significados das operações. A questão da leitura e

interpretação dos problemas representa um dos grandes desafios a ser enfrentado pelos

professores de Matemática.

Fazer com que nossos alunos desenvolvam atividades frequentes explorando as

seis operações básicas (soma, subtração, multiplicação, divisão, potenciação e

radiciação), deve representar uma busca constante por parte de todos os professores de

Matemática. O aluno deve ser instigado a compreender os significados das operações e

não apenas memorizar regras que quase imediatamente são esquecidas.

A ênfase no trabalho com números negativos deve ser ressaltada. Torna-se

importante também o aumento do grau de dificuldade das questões através da ampliação

do universo numérico, utilizando não apenas números inteiros, mas números decimais e

fracionários na substituição das variáveis.

Com relação aos problemas aritméticos associados à regra de três, devemos

centrar nossos esforços na interpretação e montagem dos problemas. Consiste num

conceito de fácil assimilação por parte dos alunos. As dúvidas surgem quando

trabalhamos com grandezas inversamente proporcionais. O primeiro passo, para o

desenvolvimento dessa habilidade está na associação da regra de três com variáveis do

nosso cotidiano como a escala, velocidade, densidade demográfica, porcentagem, etc.

Ao longo do 9º ano esses conceitos serão amplamente utilizados em geometria na

aplicação do teorema de Tales e na resolução de questões de semelhança de triângulos.

O Tema IV propõe a análise e o tratamento da informação, consistindo em uma

abordagem fundamental no mundo contemporâneo. A organização de dados seja em

uma lista ou tabela, permitem que o aluno faça conexões e conjecturas sobre conceitos e

fatos e o auxiliem no desenvolvimento de sua capacidade de estimar, formular opiniões

e tomar decisões fundamentais para o seu dia a dia.

Um percentual de aproximadamente 56% de distratores foram assinalados pelos

alunos. A análise dos resultados nos mostra a dificuldade dos alunos na leitura de

gráficos e tabelas além da associação e interpretação dos resultados neles presentes.

Página | 85

O tratamento da informação deve ser introduzido por meio de atividades e

problemáticas diretamente ligadas ao universo do aluno. A organização em tabelas e

listas de informações do cotidiano escolar como resultados nas avaliações escolares,

informações presentes em jornais e revistas, etc.

As unidades escolares que possuem sala de informática podem se apropriar de

planilhas eletrônicas que geram tabelas e gráficos para a construção e solidificação

dessa habilidade. Entre outros, podemos citar o sítio do Instituto Brasileiro de Geografia

e Estatística – IBGE <www.ibge.gov.br> ou o IBOPE <www.ibope.com.br>, onde

estão disponíveis inúmeros gráficos e tabelas sobre os mais abrangentes temas da

atualidade que podem ser utilizados no desenvolvimento do trabalho com leitura e

interpretação dessas informações.

Outra constatação interessante ao observarmos o quadro geral, reside no

aumento significativo do percentual de itens que foram anulados ou deixados em branco

pelos alunos no segundo bloco do Simulado. Poderíamos concluir que houve certo

desgaste mental por parte dos alunos ao longo da avaliação. Fato que evidência a

ausência de hábitos de concentração e leitura por um período mais longo.

Em uma análise mais global, podemos observar que os resultados obtidos nos

mostram claramente que a grande maioria das competências relacionadas aos itens não

foram construídas por parte dos alunos. Naturalmente cabe a nós professores uma

profunda reflexão sobre o que estamos ensinando e como estamos ensinando,

reavaliando constantemente nossa prática de sala de aula.

Considerações Finais

Com toda experiência profissional adquirida ao longo desses anos de trabalho,

em hipótese alguma reduziríamos ao professor a responsabilidade pelos maus resultados

apresentados pelos alunos. Os maiores entraves para melhoria da qualidade da educação

pública em nosso país estão presentes nas políticas equivocadas de favorecimento à

aprovação de alunos sem habilidades e competências mínimas, famílias socialmente

desestruturadas que não acompanham o processo de formação de seus filhos, jovens

desmotivados que não enxergam à educação como uma via de acesso para uma melhora

de sua condição social, interpretações incorretas de algumas teorias pedagógicas por

parte de alguns educadores brasileiros, condições aviltantes de trabalho e retorno

Página | 86

financeiro para grande parte dos profissionais da educação, ausência de incentivos à

categoria para um constante aprimoramento técnico através de formação continuada,

pesquisa e extensão, etc.

Mesmo cientes de toda essa complexa problemática que envolve a educação

pública em nosso país, não podemos jamais nos afastar de nosso compromisso social de

ensinar. Buscar a universalização do conhecimento representa o compromisso cívico de

todo professor brasileiro, principalmente daqueles que atuam junto às classes menos

favorecidas socialmente.

Devemos reaprender a ensinar a partir dos erros de nossos alunos. Não nos é

possível impor um único método de ensino validado a partir da generalização para todos

os alunos. Cada educando tem estilos próprios de aprendizagem, assim como cada

professor possui sua forma particular de ensinar. Através dos resultados abordados com essa pesquisa, além das sugestões

pedagógicas já descritas, podemos analisar outras propostas pertinentes para a reflexão

por parte dos professores.

A primeira delas seria a importância em conhecermos melhor as chamadas

Matrizes de Referência em Matemática e seus descritores. Não obstante o fato dos

descritores representarem habilidades e competências mínimas que os alunos devem

desenvolver, conhecê-los em profundidade representa uma ampliação do campo de

atividades associadas à resolução de problemas. As Matrizes de Referência

funcionariam não como uma diretriz única a ser seguida pelos professores, mas como

uma espécie de coluna dorsal do seu planejamento.

A segunda proposta consiste em centrarmos nossas discussões pedagógicas na

escala relativa aos Níveis de Proficiência obtidos pelos alunos na Prova Brasil ao invés

de nos concentrarmos apenas no Ideb. Muito embora a compreensão das escalas de

proficiências demande um tempo de leitura para que os professores possam ser

apropriar de suas informações, ela representa o resumo do que nossos alunos sabem e o

que ainda necessitam aprender. Analisar a frequência da distribuição de nossos alunos

dentro dessa escala representa um ponto de partida para a elaboração do planejamento e

das atividades pedagógicas.

Uma vez que o Ideb representa um conjunto de informações mais objetivas, há

uma tendência dos gestores de voltarem suas discussões para esse único resultado. De

maneira equivocada, a preocupação acaba sendo única e exclusivamente a posição em

Página | 87

que a unidade escolar se encontra no “ranking” de sua comunidade e a consequente

visibilidade externa que a escola passa a adquirir perante esse resultado.

A terceira proposta é direcionada à Secretaria Municipal de Educação de Duque

de Caxias/RJ. Através do estudo e análise de seus Pressupostos Curriculares, nos foi

possível concluir que tais propostas já se encontram desatualizadas. Nesse momento

histórico, em que os maus resultados em educação se apresentam como um dos entraves

para o crescimento social e econômico em nosso país compete a essa Secretaria

promover uma revisão nesse documento em conjunto com os profissionais de educação

da rede. Afinal, um conceito metodológico defasado mal interpretado pode adquirir

força e se tornar um fator determinante de práticas educacionais equivocadas.

A quarta e última sugestão, que consideramos a mais importante, se refere à

incorporação definitiva do erro como parte natural do processo de construção do

conhecimento. Nos apropriarmos dos erros cometidos pelos alunos e aproveitá-los para

corrigir as possíveis distorções de aprendizado através da crítica pertinente e construtiva

no momento adequado, leva o educando a estimular sua curiosidade científica.

Permitir que o aluno formule suas hipóteses durante a apresentação de um novo

tema, mesmo que a princípio equivocada, contribui em muito para a construção do

aprendizado e a sedimentação do conhecimento. Em contrapartida, uma crítica

veemente por parte do professor a uma sugestão proferida pelo do aluno, pode

constrangê-lo, inviabilizando todo o processo de aprendizagem e causando danos às

vezes irreparáveis.

Construir o conhecimento em parceria com o educando, é uma das tarefas mais

difíceis e complexas por parte de quem educa. Diagnosticar por que o aluno está

cometendo determinado erro na construção do conhecimento e reformular sua maneira

de ensinar a partir desse erro representa um dos grandes desafios para nós educadores.

Devemos nos habituar a utilizarmos as respostas dos alunos como referencial para o

planejamento da ação profissional do professor em sala de aula. Além disso, é de

competência do educador enfatizar a importância de se ouvir os alunos com o intuito de

acessarmos seus conceitos já sedimentados, levantando hipóteses e compreendendo suas

dificuldades.

Por fim, convém mais uma vez lembrar que os conhecimentos relativos à

Matemática pela sua importância e abrangência, só fazem sentido quando possuem

significado para os alunos. O que não significa em hipótese alguma, uma busca

frenética por aplicabilidade, por exemplos práticos. A confirmação disso reside no fato

Página | 88

de que o próprio Simulado da Prova Brasil apresenta itens sem qualquer

contextualização.

Em alguns casos o professor acaba optando por um determinado conteúdo pelo

simples fato de ser de fácil exemplificação, de suposta aplicação prática mesmo que seja

de sentido vazio, limitando sua matriz curricular a assuntos contextualizáveis.

A opção pelo foco na resolução de problemas traz implícita a convicção de que o

conhecimento matemático adquire maior significado quando os alunos se deparam com

situações desafiadoras. A criatividade dos alunos e instigada quando são obrigados a

buscar estratégias que lhes permitam resolver os problemas apresentados.

Por tudo que foi exposto nesse estudo, esperamos ter atingido nosso objetivo de

contribuir para uma reflexão sobre o ensino de Matemática no sentido de superar as

dificuldades e avançar para o sucesso dos nossos alunos com relação a essa

imprescindível área do conhecimento humano.

Página | 89

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ARISTÓTELES: Ética a Nicômacos. trad: Mário Gama Kury. 4ªed. Brasília: UNB,

2001.

ÁVILA, Geraldo: Reflexões sobre o ensino de geometria. Revista do Professor de

Matemática, RPM, nº 71, p. 3-8, 2010.

AZEVEDO, J. M. L.: O Estado, a política educacional e a regulação do setor

educação no Brasil: uma abordagem histórica. In: FERREIRA, N. S. C.; AGUIAR,

M. A. S. (Org.). Gestão da educação: impasses, perspectivas e compromissos. São

Paulo: Cortez, 2000.

BARROS, Ricardo Paes de; QUINTAES, Giovani; SANTOS, Daniel. : Determinantes

do desempenho educacional no Brasil. Pesquisa e Planejamento Econômico, Rio de

Janeiro, v. 31, n.1, 2001.

BENTO, Flávio & PADILHA, Norma S.: A relação de trabalho entre o professor e a

instituição de ensino: recordando os direitos especiais do professor empregado.

Artigo associado à Dissertação do Curso de Mestrado em Direito do Centro

Universitário Toledo/UNITOLEDO de Araçatuba/SP, 2008.

BRASIL.: Constituição (1988) – Constituição da República Federativa do Brasil.

Disponível em: www.planalto.gov.br/ccivil_03/Constituicao/Constitui%E7ao.htm,

acessado em 21/04/10.

.: Documento Base do CONAE/2010 – Vol. 01. Disponível em:

www.conae.mec.gov.br/images/stories/pdf/mec.pdf acessado em 18/04/10.

.: Estudo Exploratório sobre o Professor Brasileiro com Base nos

Resultados do Censo Escolar da Educação Básica 2007. Instituto Nacional de

Estudos e Pesquisas Educacionais Anísio Teixeira. – Brasília : Inep, 2009. Disponível

em: http://www.inep.gov.br/download/censo/2009/Estudo_Professor_1.pdf, acessado

em 28/07/10

_____ .: Lei n. 9.394, de 20 de dezembro de 1996 – Lei de Diretrizes e Bases

da Educação Nacional. Disponível em:

http://www.planalto.gov.br/ccivil_03/Leis/L9394.htm, acessado em 21/04/10.

____________.: Parâmetros Curriculares Nacionais: Matemática – Brasília, DF:

MEC/SEF, 1998.

.: Plano Decenal de Educação para Todos. Brasília, DF: MEC, 1993.

Página | 90

.: Matemática: orientações para o professor – Saeb/Prova Brasil, 4ª

série/5º ano, ensino fundamental - Inep, Brasília. 2009.

.: Prova Brasil – Ensino Fundamental: matrizes de referência,

tópicos e descritores. MEC, SEB, Inep, Brasília. 2008.

BURIASCO, R. L. C.: Avaliação em Matemática: um estudo das respostas dos

alunos e professores. Marília, 1999. Tese (Doutorado em Educação) – Universidade

Estadual Paulista, Marília. 1999.

______ .: Algumas considerações sobre avaliação educacional. In: Estudos em

Avaliação Educacional, São Paulo, n. 22, jul./dez. 2000.

______ .: Sobre a avaliação em matemática: uma reflexão. Educação em

Revista, Belo Horizonte, v. 7, n. 36, dez. 2002.

CAMPBELL, D. T.; FISK, D.: Convergent and Discriminant Validation by the

Multitrait-Multimethod Matrix. Psychological Bulletin, 56(2), 81-105, 1959.

CARUSI, Danielle.: Uma análise da frequência e do atraso escolar das crianças

brasileiras. – Sinais Sociais, SESC, Rio de Janeiro, n. 3, p. 36-65, 2007.

CATAPAN, A. Hack.: O processo do trabalho escolar: determinações e

contradições – Perspectiva. Florianópolis. V.14. n.26, p.93 - 104. jul./dez, 1996

COELHO, Maria I. de M.: Vinte anos de avaliação da educação básica no Brasil -

Ensaio: Avaliação e políticas públicas em Educação - vol.16 nº 59, UFRJ, 2008.

CORDEIRO, Clayton C.: Análise e classificação de erros de questões de geometria

plana da olimpíada brasileira de matemática das escolas públicas. Dissertação

(Mestrado em Ensino de Matemática) da Universidade do Grande Rio, 2009.

CRESWELL, J. W.: Projeto de pesquisa: métodos qualitativo, quantitativo e misto.

2a. ed. Porto Alegre: Bookman, 2007.

.: Research Design: Qualitative and Quantitative Approaches.

Thousand Oaks: Sage, 1994.

CURY, Helena N.: Análise de erros: o que podemos aprender com as respostas dos

alunos. Belo Horizonte: Autêntica, 2007.

.: Análise de Erros em Cálculo: uma pesquisa para embasar

mudanças. In Acta Scientiae, v.6, n.1, p.27-36. jan./ jun.2004.

D'AMBRÓSIO, Ubiratan: Educação Matemática: da teoria à prática. Campinas, SP:

Coleção Perspectivas em Educação Matemática, Papirus, 1996

.: Etnomatemática – elo entre as tradições e a modernidade. São

Paulo, Brasil: Ática, 1990.

Página | 91

.: Uma história concisa da Matemática no Brasil. Petrópolis, RJ: Ed.

Vozes, 2008

DENZIN, N. K..: The Research Act: A Theoretical Introduction to Sociological

Methods. 2nd ed. New York: McGraw-Hill, 1978.

DUARTE, N..: Vigotski e o “aprender a aprender”: crítica às apropriações

neoliberais e pós-modernas da teoria vigotskiana. Campinas: Autores Associados,

2000.

EDUCAÇÃO, Secretaria Municipal: Proposta Pedagógica da Secretaria de

Educação de Duque de Caxias. Volume 1: Princípios Teóricos, Duque de Caxias, RJ:

SME, 2002.

ESTEBAN, M. T. : Avaliar: ato tecido pelas imprecisões do cotidiano. Disponível

em:

www.anped.org.br/0611t.htm, acessado em: 05/06/2010.

FRANCO, Creso; BONAMINO, Alicia; COSCARELLI, Carla.: Avaliação e

letramento: concepções de aluno letrado subjacentes ao Saeb e ao Pisa. Educação &

Sociedade, Campinas, n. 81, vol. 23, p. 91-113, 2002.

FREITAS, Luiz C. (Org.).: Avaliação: construindo o campo e a crítica. Florianópolis:

Insular, 2002.

GAUDIO, Eduardo V.: O uso de multimeios digitais como o suporte metodológico

no processo didático da educação matemática. Disponível em:

www.somatematica.com.br/Artigos/a12/index.php, acessado em: 19/03/10.

GOMES, Ivanil C. S. : Matemática e Linguagem - um diálogo possível e promissor.

Disponível em: <www.somatematica.com.br/artigos.php?pag=2>, acessado em

11/04/10.

GREENE, J. C.; CARACELLI, V. J.; GRAHAM, W. F. : Toward a Conceptual

Framework for Mixed-Method Evaluation Designs. Educational Evaluation and

Policy Analysis, 11(3), 255-274, 1989.

GUNTER, H.: Pesquisa Qualitativa Versus Pesquisa Quantitativa: Esta é a

Questão? Revista: Psicologia: Teoria e Pesquisa, vol. 22 n. 2, pp. 201-210, Brasília,

2006.

LEONTIEV, A. N.: O desenvolvimento do psiquismo. 2. ed. São Paulo: Centauro,

2004.

Página | 92

LUZ, Luciana S.: Os determinantes do desempenho escolar: a estratificação

educacional e o efeito valor adicionado. Trabalho apresentado no XV Encontro

Nacional de Estudos Populacionais, ABEP, realizado em Caxambú- MG – Brasil, 2006.

MACHADO, Nilson J.: Matemática e Língua Materna: análise de uma

impregnação mútua - São Paulo: Cortez, 1993

.: Matemática e Educação: Alegorias, tecnologias e temas afins – São

Paulo: Cortez, 1992.

.: Matemática e Realidade: análise dos pressupostos filosóficos que

fundamentam o ensino da matemática – 3ª ed. - São Paulo: Cortez, 1994. .

.: Metodologia zero, Matemática dez – Revista Pátio, ano XII, nº 47 –

Disponível em: <www.revistapatio.com.br/sumario_conteudo.aspx?id=646>, acessado

em 11/04/10.

MENEZES F., NAÉRCIO Aquino: Determinantes do desempenho escolar no Brasil.

São Paulo: Instituto Futuro Brasil, 2007. Disponível em: http://www.ifb.com.br/estudos,

acessado em 08/06/10.

MOACIR, Gadotti: História das idéias Pedagógicas. São Paulo: Ática, 8ª edição,

1999.

NAUJORKS, Maria I. & SILVEIRA, Elizabeth F. G.: A Prova Brasil como

possibilidade de qualificação da educação básica – artigo UFSM/2008. Disponível

em: http://www.pucpr.br/eventos/educere/educere2008/anais/pdf/392_170, acessado em

18/11/09

NOVIKOFF, Cristina: Dimensões Novikoff: um constructo para o ensino-

aprendizado da pesquisa. In ROCHA, J.G. e NOVIKOFF, C. (orgs.). Desafios da

práxis educacional à promoção humana na contemporaneidade. Rio de Janeiro:

Espalhafato Comunicação, p. 211-242, 2010.

NOVA, Escola: Grandes Pensadores. Edição Especial, São Paulo: Ed. Abril, Julho,

2009.

ORLANDI, E. P.: Análise do Discurso: Princípios e Procedimentos – Campinas, SP:

Pontes, 6ª edição, 2005.

PARO, Vítor H.: Situação e perspectivas da administração da educação brasileira:

uma contribuição. Revista brasileira de administração da educação, Brasília, v. 12, n.

2, 2a. parte, p. 207-224, jul./dez. 1996.

PINTO, N. B. : O Erro como Estratégia Didática. Campinas: Papirus, 2000.

Página | 93

RADATZ, Hendrik: Error Analysis in Mathematics Education. Journal for Research

in Mathematics Education v.10, n.2, p. 163-172. Maio, 1979.

RUIZ, Fernando. M.: Pesquisa Qualitativa e Pesquisa Quantitativa:

Complementaridade cada vez mais Enriquecedora. Adm. de Emp. em Revista, n. 3,

p. 37-47, Curitiba, 2004. SACRISTÁN, J.G. : A avaliação no ensino. In: SACRISTÁN, J.G. Gomez. A. I. P.

Compreender e transformar o ensino. Porto Alegre: Artes Médicas, 1998.

SANTOS, Vinício M. : A relação e as dificuldades dos alunos com a matemática:

um objeto de investigação, ZETETIKE – CEMPEM – FE/UNICAMP – v. 17, 2009.

SOUZA, Elisete R. de – Accountability de professores: um estudo de caso sobre o

efeito da Prova Brasil em escolas de Brasília. Dissertação (Mestrado em Educação) –

Universidade Estadual de Campinas, 2009.

SANCHO, Juana M. : Para uma tecnologia educacional. Ed. Artmed. Porto Alegre:

1998.

SILVA, M. C. N.: Do observável para o oculto: um estudo da produção escrita de

alunos da 4ª série em questões de Matemática. 123 p. Dissertação (Mestrado em

Ensino de Ciências e Educação Matemática) – Departamento de Matemática,

Universidade Estadual de Londrina, Londrina, 2005.

STEIN, Jim.: Como a Matemática explica o mundo: o poder dos números no

cotidiano. Trad. Márcio de Paula S. Hack, Rio de Janeiro: Elseiver, 2008.

RADATZ, H.: Error Analysis in Mathematics Education. Journal for Research in

Mathematics Education v.10, n.2, p. 163-172. Maio, 1979.

RIVERO, C. M. L.; GALLO, S. Apresentação. In: RIVERO, C. M. L.; GALLO, S. A:

Formação de professores na sociedade do conhecimento. São Paulo: EDUSC, 2004.

VALENTE, Lúcia de F.: Políticas de avaliação da educação básica em Minas

Gerais: concepções, modalidades e objetivos. Universidade Federal de Uberlândia,

2008. Disponível em: www.unam.edu.ar/2008/educacion/trabajos/Eje%202/103%20-

valente.pdf, acessado em 21/11/09.

VYGOTSKY, L. S.: Psicología del arte., Barral, Barcelona,1972.

WAISELFISZ, J.: O Sistema Nacional de Avaliação do Ensino Público de 1º grau.

Estudos em Avaliação Educacional, nº 4, p. 65-72, São Paulo, 1991.