Análise Combinatória e Probabilidade

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Questes deraciocnio lgico Aula 3

Emerson Marcos Furtado*

Tpicos abordados:

Anlise combinatria

Probabilidade

1. (ESAF) Todos os alunos de uma escola esto matriculados no curso de Matemtica e no curso de Histria. Do total dos alunos da escola, 6% tm srias dificuldades em Matemtica e 4% tm srias dificuldades em Histria. Ainda com referncia ao total dos alunos da escola, 1% tem srias dificuldades em Matemtica e em Histria. Voc conhece, ao acaso, um dos alunos dessa escola, que lhe diz estar tendo srias dificuldades em Histria. Ento, a probabilidade de que esse aluno es-teja tendo srias dificuldades tambm em Matemtica , em termos percentuais, igual a:

a) 50%.

b) 25%.

c) 1%.

d) 33%.

e) 20%.

2. (CESPE/UnB) Em cada um dos itens a seguir, apresentada uma situa-o, seguida de uma assertiva a ser julgada.

1. Deseja-se formar uma cadeia de smbolos com os nmeros 0, 1 e 2, de modo que o 0 seja usado trs vezes, o nmero 1 seja usado duas vezes e o nmero 2, quatro vezes. Nessa situao, o nmero de cadeias diferentes que podem ser formadas maior que 1 280.

* Mestre em Mtodos Nu-mricos pela Universidade Federal do Paran (UFPR). Licenciado em Matem-tica pela UFPR. Profes-sor de Ensino Mdio de colgios nos estados do Paran e Santa Catarina desde 1992; professor do Curso Positivo de Curiti-ba desde 1996; professor da Universidade Positivo, de 2000 a 2005; autor de livros didticos destina-dos a concursos pblicos, nas reas de Matemtica, Matemtica Financeira, Raciocnio Lgico e Esta-tstica; scio-diretor do Instituto de Pesquisas e Projetos Educacionais Prxis, de 2003 a 2007; scio-professor do Col-gio Positivo de Joinville desde 2006; scio-diretor da empresa Teorema Produo de Materiais Di-dticos Ltda. desde 2005; autor de material didtico para o Sistema de Ensino do Grupo Positivo, de 2005 a 2009; professor do CEC Concursos e Editora de Curitiba, desde 1992, lecionando as disciplinas de Raciocnio Lgico, Es-tatstica, Matemtica e Matemtica Financeira; consultor da empresa Result Consultoria em Avaliao de Curitiba, de 1998 a 2000; consultor em Estatstica Aplicada com projetos de pesquisa de-senvolvidos nas reas so-cioeconmica, de qualida-de, educacional, industrial e eleies desde 1999; membro do Instituto de Promoo de Capacitao e Desenvolvimento (IPRO-CADE) desde 2008; autor de questes para concur-sos pblicos no estado do Paran desde 2003.


1

2. Com os smbolos 0 e 1, um programador deseja gerar cdigos cujos comprimentos (nmeros de smbolos) variem de 1 a 10 smbolos. Nessa situao, o nmero de cdigos diferentes que podero ser gerados no passa de 2 046.

3. Em um centro de pesquisas onde atuam 10 pesquisadores, dever ser formada uma equipe com 5 desses pesquisadores para desen-volver determinado projeto. Sabe-se que 2 dos 10 pesquisadores s aceitam participar do trabalho se ambos forem escolhidos; caso contrrio, no participam. Nessa situao, h menos de 250 manei-ras diferentes de se montar a equipe.

4. Uma empresa de engenharia de software recebeu muitas inscri-es de candidatos a um cargo de programador. Somente 60% dos inscritos eram qualificados. Um teste de aptido foi aplicado para ajudar a analisar as inscries. Dos qualificados, 80% passaram no teste, que aprovou tambm 20% dos no qualificados. Nessa situa-o, se um inscrito passou no teste (ou se foi reprovado), a proba-bilidade de ele ser qualificado maior que 86%.

3. (ESAF) Paulo possui trs quadros de Gotuzo e trs de Portinari e quer exp-los em uma mesma parede, lado a lado. Todos os seis quadros so assinados e datados. Para Paulo, os quadros podem ser dispostos em qualquer ordem, desde que os de Gotuzo apaream ordenados entre si em ordem cronolgica, da esquerda para a direita. O nme-ro de diferentes maneiras que os seis quadros podem ser expostos igual a:

a) 20.

b) 30.

c) 24.

d) 120.

e) 360.

4. (ESAF) Carlos sabe que Ana e Beatriz esto viajando pela Europa. Com as informaes que dispe, ele estima corretamente que a probabili-dade de Ana estar hoje em Paris 3/7, que a probabilidade de Beatriz estar hoje em Paris 2/7 e que a probabilidade de ambas, Ana e Be-


2

atriz, estarem hoje em Paris 1/7. Carlos, ento, recebe um telefone-ma de Ana informando que ela est hoje em Paris. Com a informao, recebida pelo telefonema de Ana, Carlos agora estima corretamente que a probabilidade de Beatriz tambm estar hoje em Paris igual a:

a) 1/7.

b) 1/3.

c) 2/3.

d) 5/7.

e) 4/7.

5. (Funrio) Quantos nmeros inteiros, cujos algarismos so todos mpa-res e distintos, existem entre 300 e 900?

a) 36.

b) 24.

c) 27.

d) 48.

e) 64.

6. (Cesgranrio) Em uma urna h 5 bolas verdes, numeradas de 1 a 5, e 6 bolas brancas, numeradas de 1 a 6. Dessa urna, retiram-se, sucessi-vamente e sem reposio, duas bolas. Quantas so as extraes nas quais a primeira bola sacada verde e a segunda contm um nmero par?

a) 15.

b) 20.

c) 23.

d) 25.

e) 27.

7. (ESAF) Um grupo de estudantes encontra-se reunido em uma sala para escolher aleatoriamente, por sorteio, quem entre eles ir ao Simpsio de Matemtica do prximo ano. O grupo composto de 15 rapazes e


3

de um certo nmero de moas. Os rapazes cumprimentam-se, todos e apenas entre si, uma nica vez; as moas cumprimentam-se, todas e apenas entre si, uma nica vez. H um total de 150 cumprimentos. O nmero de moas , portanto, igual a:

a) 10.

b) 14.

c) 20.

d) 25.

e) 45.

8. (CESPE/UnB) Para formar-se um anagrama, permutam-se as letras de uma palavra, obtendo-se ou no uma outra palavra conhecida. Por exemplo, VROAL um anagrama da palavra VALOR. Com base nessas informaes, julgue os prximos itens, relacionados aos anagramas que podem ser obtidos a partir da palavra VALOR.

1. ( ) O nmero de anagramas distintos inferior a 100.

2. ( ) O nmero de anagramas distintos que comeam com VL igual a 6.

3. ( ) O nmero de anagramas distintos que comeam e terminam com vogal superior a 15.

4. ( ) O nmero de anagramas distintos que comeam com vogal e terminam com consoante superior a 44.

9. (Funrio) O nmero de anagramas da palavra CHUMBO que comeam pela letra C :

a) 120.

b) 140.

c) 160.

d) 180.

e) 200.

10. (ESAF) Pedro e Paulo esto em uma sala que possui 10 cadeiras dis-postas em uma fila. O nmero de diferentes formas pelas quais Pedro


4

e Paulo podem escolher seus lugares para sentar, de modo que fique ao menos uma cadeira vazia entre eles, igual a:

a) 80.

b) 72.

c) 90.

d) 18.

e) 56.

11. (FCC) Em uma caixa h 8 processos a serem arquivados, em cada um dos quais foi colocada uma etiqueta marcada com um nico dos n-meros de 1 a 8. Se no interior da caixa os processos no esto orde-nados e, para dar incio execuo de tal tarefa, um funcionrio do Tribunal de Contas pegar aleatoriamente dois desses processos, a probabilidade de que nessa retirada os nmeros marcados em suas respectivas etiquetas sejam consecutivos de:

a) 25%.

b) 20%.

c) 12,5%.

d) 10%.

e) 7,5%.

12. (Funrio) Um nmero natural primo quando ele divisvel exatamen-te por dois nmeros naturais distintos. Escolhendo, ao acaso, um n-mero natural maior que zero e menor que 17, correto afirmar que a probabilidade desse nmero ser primo e deixar resto 1 na diviso por 4 :

a) 1/8.

b) 3/16.

c) 3/8.

d) 7/16.

e) 1/4.


5

13. (CESPE/UnB) Um baralho comum contm 52 cartas de 4 tipos (naipes) diferentes: paus ( ), espadas ( ), copas ( ) e ouros ( ). Em cada naipe, que consiste de 13 cartas, 3 dessas cartas contm as figuras do rei, da dama e do valete, respectivamente. Com base nessas informaes, julgue os itens subsequentes.

1. ( ) A probabilidade de se extrair aleatoriamente uma carta de um baralho e ela conter uma das figuras citadas no texto igual a 3/13.

2. ( ) Sabendo que h 4 ases em um baralho comum, sendo um de cada naipe, conclui-se que a probabilidade de se extrair uma carta e ela no ser um s de ouros igual a 1/52.

3. ( ) A probabilidade de se extrair uma carta e ela conter uma figura ou ser uma carta de paus igual a 11/26.

14. (ESAF) H trs moedas em um saco. Apenas uma delas uma moeda normal, com cara em uma face e coroa na outra. As demais so moe-das defeituosas. Uma delas tem cara em ambas as faces. A outra tem coroa em ambas as faces. Uma moeda retirada do saco, ao acaso, e colocada sobre a mesa sem que se veja qual a face que ficou voltada para baixo. V-se que a face voltada para cima cara. Considerando todas essas informaes, a probabilidade de que a face voltada para baixo seja coroa igual a:

a) 1/2.

b) 1/3.

c) 1/4.

d) 2/3.

e) 3/4.

15. (Cesgranrio) Joga-se N vezes um dado comum, de seis faces, no vicia-do, at que se obtenha 6 pela primeira vez. A probabilidade de que N seja menor do que 4 :

a) 150/216.

b) 91/216.

c) 75/216.

d) 55/216.

e) 25/216.


6

16. (ESAF) Um grupo de amigos formado por trs meninos (entre eles Caio e Beto) e seis meninas (entre elas Ana e Beatriz), compram ingressos para nove lugares localizados lado a lado, em uma mesma fila no cine-ma. Ana e Beatriz precisam sentar-se juntas porque querem comparti-lhar do mesmo pacote de pipocas. Caio e Beto, por sua vez, precisam sentar-se juntos porque querem compartilhar do mesmo pacote de salgadinhos. Alm disso, todas as meninas querem sentar-se juntas, e todos os meninos querem sentar-se juntos. Com essas informaes, o nmero de diferentes maneiras que esses amigos podem sentar-se igual a:

a) 1 920.

b) 1 152.

c) 960.

d) 540.

e) 860.

17. (FCC) Uma escola oferece cursos para a aprendizagem de apenas cin-co idiomas. Sabendo que cada professor dessa escola ministra aulas de exatamente dois idiomas e que, para cada dois idiomas, h um ni-co professor que ministra aulas desses dois idiomas, correto afirmar que o nmero de professores dessa escola :

a) 5.

b) 7.

c) 10.

d) 14.

e) 20.

18. (CESPE/UnB) Em geral, empresas pblicas ou privadas utilizam cdi-gos para protocolar a entrada e a sada de documentos e processos. Considere que se deseja gerar cdigos cujos caracteres pertencem ao conjunto das 26 letras de um alfabeto, que possui apenas 5 vogais. Com base nessas informaes, julgue os itens que se seguem.

1. ( ) Se os protocolos de uma empresa devem conter 4 letras, sendo permitida a repetio de caracteres, ento podem ser gerados menos de 400 000 protocolos distintos.


7

2. ( ) Se uma empresa decide no usar as 5 vogais em seus cdigos, que podero ter 1, 2 ou 3 letras, sendo permitida a repetio de caracteres, ento possvel obter mais de 11 000 cdigos distintos.

3. ( ) O nmero total de cdigos diferentes formados por 3 letras distintas superior a 15 000.

19. (ESAF) Ana tem o estranho costume de somente usar blusas brancas ou pretas. Por ocasio de seu aniversrio, Ana ganhou de sua me qua-tro blusas pretas e cinco brancas. Na mesma ocasio, o pai de Ana a presenteou com quatro blusas pretas e duas brancas. Vtor, namora-do de Ana, a presenteou com duas blusas brancas e trs pretas. Ana guardou todas essas blusas e apenas essas em uma mesma gaveta. Uma tarde, arrumando-se para ir ao parque com Vtor, Ana retira, ao acaso, uma blusa dessa gaveta. A probabilidade de a blusa retirada por Ana ser uma das blusas pretas que ganhou de sua me ou uma das blusas brancas que ganhou de seu pai igual a:

a) 4/5.

b) 7/10.

c) 3/5.

d) 3/10.

e) 2/3.

20. (FCC) Tefilo foi a um caixa eletrnico retirar algum dinheiro e, no ins-tante em que foi digitar a sua senha, no conseguiu lembrar de todos os quatro algarismos que a compunham. Ocorreu-lhe, ento, que sua senha no tinha algarismos repetidos, era um nmero par e o algaris-mo inicial era 8. Quantas senhas poderiam ser obtidas a partir do que Tefilo lembrou?

a) 224.

b) 210.

c) 168.

d) 144.

e) 96.


8

21. (ESAF) Quer-se formar um grupo de dana com 6 bailarinas, de modo que trs delas tenham menos de 18 anos, que uma delas tenha exa-tamente 18 anos, e que as demais tenham idade superior a 18 anos. Apresentaram-se, para a seleo, doze candidatas, com idades de 11 a 22 anos, sendo a idade, em anos, de cada candidata, diferente das demais. O nmero de diferentes grupos de dana que podem ser sele-cionados a partir desse conjunto de candidatas igual a:

a) 85.

b) 220.

c) 210.

d) 120.

e) 150.

22. (CESPE/UnB) Cartes numerados sequencialmente de 1 a 10 so co-locados em uma urna, completamente misturados. Trs cartes so retirados ao acaso, um de cada vez, e uma vez retirado o carto no devolvido urna. Com base nessas informaes, julgue os itens que se seguem.

1. ( ) A probabilidade de os trs cartes retirados constiturem, na ordem em que foram retirados, uma sequncia ordenada crescente, inferior a 1/103.

2. ( ) Se o primeiro carto for o nmero 7 e o segundo for o nmero 10, ento a probabilidade de o terceiro carto ser um nmero menor do que 5 igual a 1/2.

23. (ESAF) Dez amigos, entre eles Mrio e Jos, devem formar uma fila para comprar as entradas para um jogo de futebol. O nmero de di-ferentes formas como essa fila de amigos pode ser formada, de modo que Mrio e Jos fiquem sempre juntos, igual a:

a) 2! 8!

b) 0! 18!

c) 2! 9!

d) 1! 9!

e) 1! 8!


9

24. (ESAF) Ana enfermeira de um grande hospital e aguarda com ansie-dade o nascimento de trs bebs. Ela sabe que a probabilidade de nas-cer um menino igual probabilidade de nascer uma menina. Alm disso, Ana sabe que os eventos nascimento de menino e nascimento de menina so eventos independentes. Desse modo, a probabilidade de que os trs bebs sejam do mesmo sexo igual a:

a) 2/3.

b) 1/8.

c) 1/2.

d) 1/4.

e) 3/4.

Gabarito1. B

Vamos organizar as informaes segundo alguns diagramas, observe:

Matemtica Histria

1%

4%6%

A partir dos percentuais, podemos calcular os percentuais de alunos que tm srias dificuldades em apenas uma das disciplinas:

Matemtica Histria

1%

4%6%

5% 3%


10

Se o aluno escolhido tem srias dificuldades em Histria, ento o per-centual correspondente a 4% constitui o novo universo de alunos.

Matemtica Histria

1%

4%6%

5% 3%

Pelo diagrama, observa-se tambm que 1% dos alunos tem srias difi-culdades em Matemtica e Histria.

Matemtica Histria

1%

4%6%

5% 3%

Logo, se um aluno est tendo srias dificuldades em Histria, a proba-bilidade de que tambm esteja tendo srias dificuldades em Matem-tica dada por:

p = 1%

4% =

1

100

4

100

= 1

100 .

100

4 =

1

4 = 0,25 = 25%

O clculo esclarece que a cada 4 alunos que tm srias dificuldades em Histria, um deles tambm tem em Matemtica, ou seja, 25%.

2.


11

1. E

Uma das cadeias a ser construda tem a forma: 000112222.

A quantidade de cadeias que podem ser formadas com esses sm-bolos igual ao nmero de permutaes de 9 elementos com 3 repeties do algarismo 0, com 2 repeties do algarismo 1 e com 4 repeties do algarismo 2:

9P3, 2, 4 = 9!

3! . 2! . 4! =

9 . 8 . 7 . 6 . 5 . 4!

3 . 2 . 1 . 2 . 1 . 4! =

9 . 8 . 7 . 6 . 5

6 . 2 = 1 260

Logo, o nmero de cadeias menor que 1 280.

2. C

De acordo com o sistema binrio em que apenas os smbolos 0 e 1 so utilizados, temos:

1 smbolo 2

2 smbolos 2 . 2 = 4

3 smbolos 2 . 2 . 2 = 8

4 smbolos 2 . 2 . 2 . 2 = 16

5 smbolos 2 . 2 . 2 . 2 . 2 = 32

6 smbolos 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 = 64

7 smbolos 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 = 128

8 smbolos 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 = 256

9 smbolos 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 = 512

10 smbolos 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 = 1 024

Assim, podendo utilizar de 1 at 10 smbolos, a quantidade total de cdigos dada por:

S = 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 128 + 256 + 512 + 1 024.

Multiplicando essa equao por 2, temos:


12

2 . S = 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 128 + 256 + 512 + 1 024 + 2048

2 . S = (4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 128 + 256 + 512 + 1 024) + 2048

2 . S = (S 2) + 2 048

2 . S = S 2 + 2 048

2 . S S = 2 048 2

S = 2 046

Portanto, o nmero de cdigos diferentes que podero ser gera-dos no passa de 2 046.

3. C

Inicialmente, temos:

10 pesquisadoresAB8

A equipe ser formada por 5 pesquisadores.

1. hiptese: A e B participam do trabalho.

Nesse caso, escolhemos os outros 3 pesquisadores entre os 8 restan-tes:

8C3 = 8!

3! . (8 - 3)! =

8 . 7 . 6 . 5!

3 . 2 . 1 . 5! =

8 . 7 . 6

6 = 8 . 7 = 56

2. hiptese: A e B no participam do trabalho.

Assim, escolhemos os 5 pesquisadores entre os 8 restantes:

8C5 =

8!

5! . (8 - 5)! =

8 . 7 . 6 . 5!

5! . 3 . 2 . 1 =

8 . 7 . 6

6 = 8 . 7 = 56

Os pesquisadores A e B ou participam juntos ou no participam da equipe. Logo, a quantidade de equipes nessas condies dada por:

56 + 56 = 112.


13

Portanto, h menos de 250 maneiras diferentes de se montar a equipe.

4. E

Vamos supor que a empresa tenha recebido 100 inscries. Se 60% dos inscritos eram qualificados, ento:

100 inscries60 qualificados

40 no qualificados

Se, dos qualificados, 80% passaram no teste, ento 20% no passa-ram. Assim, podemos classificar os qualificados em aprovados ou reprovados, ou seja:

0,80 . 60 = 48 qualificados aprovados.

0,20 . 60 = 12 qualificados reprovados.

Assim, podemos escrever:


40 no qualificados

48 aprovados12 reprovados

Se 20% dos no qualificados foram aprovados, ento 80% dos qualificados foram aprovados, ou seja:

0,20 . 40 = 8 no qualificados aprovados.

0,80 . 40 = 32 no qualificados reprovados.

Dessa forma, temos:


40 no qualificados



Observe que a quantidade de aprovados igual a 48 + 8 = 56.


14

Destes, exatamente 48 deles eram qualificados.

Assim, entre os aprovados o percentual de qualificados dado por:

p = 48

56 =

6

7 0,857 = 85,7%

Portanto, a probabilidade de ele ser qualificado no maior que 86%.

3. D

Vamos representar os quadros por G1, G2, G3, P1, P2 e P3, em que os qua-dros G simbolizam os quadros de Gotuzo e os quadros P simbolizam os de Portinari. Como so todos distintos, a quantidade de maneiras de ordenarmos dada por:

6! = 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 720

Entretanto, nem todas as 720 sequncias apresentam os quadros de Gotuzo em ordem cronolgica. Vamos supor que a correta ordem cro-nolgica dos quadros do Gotuzo seja:

G1 G2 G3

Nas 720 sequncias possveis, todas as ordenaes dos quadros de Gotuzo foram consideradas. Observe quais so essas ordenaes:

G1 G2 G3

G1 G3 G2

G2 G1 G3

G2 G3 G1

G3 G1 G2

G3 G2 G1

So 6 ordenaes possveis. Das 6 ordenaes apenas uma delas se apresenta em ordem cronolgica. Assim, podemos considerar que a cada 6 ordenaes realizadas, uma delas tem os quadros do Gotuzo em ordem cronolgica. Dessa forma, a quantidade de maneiras deve ser igual a um sexto da quantidade total de sequncias, ou seja:

6!

3! =

720

6 = 120


15

Ou seja, exatamente 120 sequncias possuem os quadros de Gotuzo em ordem cronolgica.

4. B

p(A) = 3/7 probabilidade de Ana estar em Paris.

p(B) = 2/7 probabilidade de Beatriz estar em Paris.

p(A e B) = 1/7 probabilidade de Ana e Beatriz estarem em Paris.

Deseja-se calcular a probabilidade de Beatriz estar em Paris, dado que Ana est. Tal probabilidade pode ser representada por p(B/A) e dada por:

p(B/A) = p(A e B)

p(A)

Substituindo as informaes do enunciado, temos:

p(B/A) =

1

7

37

= 1

7

7

3 =

1

3

Logo, sabendo-se que Ana est em Paris, a probabilidade de Beatriz tambm estar igual a 1/3.

5. A

Existem 5 algarismos mpares: 1, 3, 5, 7 e 9.

Para que o nmero esteja compreendido entre 300 e 900, necess-rio que comece com 3, 5 ou 7, e que tenha exatamente 3 algarismos. Logo, existem 3 possibilidades de escolha para o algarismo das cente-nas (3 ou 5 ou 7).

Escolhido o algarismo das centenas e observando que os algarismos devem ser distintos, qualquer outro algarismo mpar pode ser escolhi-do para as dezenas, com exceo do algarismo utilizado nas centenas. Logo, existem 4 escolhas possveis para as dezenas.

Escolhidos os algarismos das centenas e das dezenas, restam 3 opes de escolha para o algarismo das unidades. Dessa forma, utilizando o princpio multiplicativo, a quantidade total de escolhas dada por:


16

3 . 4 . 3 = 36.

Portanto, entre 300 e 900, existem 36 nmeros inteiros, cujos algaris-mos so todos mpares e distintos.

6. C

Conjunto das bolas verdes: {V1, V2, V3, V4, V5}.

Conjunto das bolas brancas: {B1, B2, B3, B4, B5, B6}.

Vamos calcular a quantidade de extraes considerando duas hipte-ses: a 1. bola verde e par, ou a 1. bola verde e mpar.

1. hiptese: a 1. bola verde e par.

1. bola 2 opes de escolha (V2 ou V4).

2. bola 4 opes de escolha (V2 /V4 ou B2 ou B4 ou B6).

2. hiptese: a 1. bola verde e mpar

1. bola 3 opes de escolha (V1 ou V3 ou V5).

2. bola 5 opes de escolha (V2 ou V4 ou B2 ou B4 ou B6).

Assim, possvel retirar uma primeira bola verde e par (2 opes) e, para cada bola verde e par, retirar uma segunda bola par (4 opes), ou retirar uma primeira bola verde e mpar (3 opes) e, para cada bola verde e mpar, retirar uma segunda bola par (5 opes):

2 . 4 + 3 . 5 = 8 + 15 = 23.

7. A

Utilizando a frmula de combinaes simples, temos:

Cpn = n!

p!(n p)!

onde n a quantidade de elementos distintos disponveis e p a quantidade de elementos distintos escolhidos entre os n elementos disponveis.

Vamos supor que o grupo seja formado por x moas. Como qualquer cumprimento realizado por duas pessoas, no importando a ordem,


17

a quantidade de cumprimentos entre duas moas dada por:

C2x = x!

2! . (x 2)! =

x . (x 1) . (x 2)!

2 . 1 . (x 2)! =

x . (x 1)

2

A quantidade de cumprimentos entre dois homens dada por:

C215 = 15!

2! . (15 2)! =

15 . 14 . 13!

2 . 1 . 13! =

15 . 14

2 = 105

Se houve um total de 150 cumprimentos, ento a soma das quantida-des de cumprimentos entre moas e entre homens igual a 150, ou seja:

x . (x 1)

2 + 105 = 150

x . (x 1)

2 = 150 105

x . (x 1)

2 = 45

x . (x 1) = 90

O produto de dois nmeros positivos consecutivos igual a 90 apenas para:

x = 10 e x 1 = 9.

Logo, 10 moas estavam presentes.

8.

1. E

Para calcular a quantidade de anagramas, basta permutarmos as cinco letras, sem qualquer repetio. Logo, a quantidade de ana-gramas dada por:

P5 = 5! = 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 120.

Logo, a quantidade no inferior a 100.

2. C

Fixando as letras V e L, as demais podem ser permutadas. Se a palavra tem 5 letras, ento apenas 3 delas podem ser trocadas de lugar. Dessa forma, a quantidade de anagramas que comeam por VL dada por:


18

P3 = 3! = 3 . 2 . 1 = 6.

3. E

A palavra VALOR composta por duas vogais. A escolha da vogal do incio do anagrama pode ser feita de 2 maneiras (A ou O). Es-colhida a vogal do incio, a vogal do final pode ser escolhida de uma nica maneira. As trs demais letras que ficaro entre as duas vogais extremas podem ser trocadas de lugar. Logo, a quantidade de anagramas que comeam e terminam com vogal dada por:

2 . 1 . P3 = 2 . 1 . 3 . 2. 1 = 12.

Dessa forma, a quantidade no superior a 15.

4. E

A palavra VALOR composta por duas vogais e 3 consoantes. A es-colha da vogal do incio do anagrama pode ser feita de 2 maneiras (A ou O). A escolha da consoante do final da palavra pode ser feita de 3 maneiras (V ou L ou R). As trs demais letras que ficaro entre a vogal do incio e a consoante do final podem ainda ser trocadas de lugar. Assim, a quantidade de anagramas que comeam com vogal e terminam com consoante dada por:

2 . 3 . P3 = 2 . 3 . 3 . 2. 1 = 36.

Logo, a quantidade no superior a 44.

9. A

A palavra CHUMBO composta por 6 letras distintas. Fixada a letra C, as demais (5 letras) podem ser permutadas. Logo, a quantidade de anagramas que comeam com a letra C dada por:

P5 = 5! = 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 120.

10. B

Pedro pode escolher o seu lugar de 10 maneiras. Escolhido o lugar de Pedro, Paulo pode escolher o seu lugar de 9 maneiras. Logo, Pedro e Paulo podem escolher os seus lugares de:

10 . 9 = 90 maneiras.


19

Desse total, vamos encontrar a quantidade de maneiras em que eles esto sentados juntos, ou seja, sem qualquer cadeira vazia entre eles. Se numerssemos as cadeiras, constataramos que, juntos, eles pode-riam sentar nas seguintes 9 opes:

(1 e 2); (2 e 3); (3 e 4); (4 e 5); (5 e 6); (6 e 7); (7 e 8); (8 e 9); (9 e 10).

Entretanto, ainda possvel considerar que na cadeira 1 pode sentar Pedro e na cadeira 2 pode sentar Paulo, ou vice-versa. Logo, ambos podem sentar juntos de:

9 . 2 = 18 maneiras.

Assim, se das 90 maneiras possveis, subtrairmos as 18 em que ambos esto juntos, obteremos a resposta:

90 18 = 72.

Portanto, o nmero de diferentes formas pelas quais Pedro e Paulo po-dem escolher seus lugares para sentar, de modo que fique ao menos uma cadeira vazia entre eles, igual a 72.

11. A

A escolha de 2 processos entre os 8 pode ser feito de:

C28 = 8!

2! . (8 2)! =

8 . 7 . 6!

2 . 1 . 6! =

8 . 7

2 = 28

As escolhas de dois nmeros consecutivos so as seguintes:

{1, 2}; {2, 3}; {3, 4}; {4, 5}; {5, 6}; {6, 7}, {7, 8}.

Logo, existem 7 escolhas favorveis a dois nmeros consecutivos.

A probabilidade de escolhermos dois nmeros consecutivos dada pelo quociente entre a quantidade total de escolhas e a quantidade de escolhas favorveis. Assim, a probabilidade dada por:

p = 7

28 =

1

4 = 0,25 = 25%

12. A

O espao amostral formado pelos nmeros inteiros maiores que 0 e menores que 17, ou seja, so 16 nmeros:

{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16}.


20

Observe que 1, 5, 9 e 13 so os nicos nmeros do espao amostral quer deixam resto 1 quando divididos por 4:

4 . 0 + 1 = 1

4 . 1 + 1 = 5

4 . 2 + 1 = 9

4 . 3 + 1 = 13

Entretanto, dos nmeros que deixam resto 1 quando divididos por 4, apenas 5 e 13 so primos, ou seja, so apenas 2 nmeros nessas condi-es. Logo, a probabilidade de o nmero escolhido ser primo e deixar resto 1 na diviso por 4 dada por:

p = 2

16 =

1

8

13.

Das 52 cartas do baralho, exatamente 4 so reis, 4 so damas e 4 so valetes. Assim, 12 das 52 cartas so figuras.

1. C

A probabilidade da carta ser uma figura qualquer dada por:

p = 12

52 =

3

13

2. E

Das 52 cartas do baralho, apenas uma delas um s de ouro. Logo, a probabilidade de obtermos um s de ouro igual a 1/52. Por ou-tro lado, as outras 51 cartas so diferentes do s de ouro. Ou seja, a probabilidade de a carta no ser o s de ouro dada por:

p = 51

52

3. C

Existem 12 figuras e 13 cartas de paus. Das 52 cartas do baralho, exatamente 3 delas so figuras de paus. So elas: rei de paus, dama de paus e valete de paus. Logo, para calcular quantas cartas so


21

figuras ou de paus devemos adicionar a quantidade de figuras (12) com a quantidade de cartas de paus (13) e, do resultado obtido, subtrair a quantidade de cartas que so simultaneamente figuras e de paus (3). Assim, a quantidade de cartas que so figuras ou de paus dada por:

12 + 13 3 = 22.

Logo, a probabilidade da carta ser uma figura ou de paus dada por:

p = 22

52 =

11

26

14. B

Se uma das faces cara, certamente a moeda de duas coroas no foi escolhida. Assim, a moeda escolhida pode ser a moeda comum, com uma cara e uma coroa, ou a moeda com duas caras. Como uma face cara est visvel, das quatro faces (duas da moeda comum e duas da moeda com duas caras), apenas 3 faces ainda so possveis. Entre as 3 faces possveis, uma coroa (moeda comum) e duas so caras (moeda com duas caras). Logo, das 3 faces possveis, exatamente uma delas coroa. Logo, a probabilidade dada por:

p = 1

3

15. B

A probabilidade de o nmero 6 aparecer no 1. lanamento igual a 1/6.

A probabilidade de o nmero 6 no aparecer no 1. lanamento igual a 5/6.

O nmero 6 deve aparecer, no mximo, at o 3. lanamento. Assim, o nmero 6 pode aparecer no 1. lanamento ou, caso no aparea no 1., pode aparecer no 2. ou, caso no aparea no 2., pode aparecer no 3.. Dessa forma, temos:

p = 1

6 +

5

6 .

1

6 +

5

6 .

5

6 .

1

6

p = 1

6 +

5

36 .

25

216


22

p = 36 + 30 + 25

216

p = 91

216

16. A

Para calcularmos a quantidade de maneiras em que Caio e Beto ficam juntos, podemos considerar a dupla como se fosse um nico elemen-to. Assim, poderamos permutar apenas dois elementos (Caio e Beto como sendo um elemento e o outro menino como sendo o outro ele-mento). Alm disso, o Caio e Beto podem ficar juntos de duas dife-rentes maneiras: Caio e Beto ou Beto e Caio. Logo, a quantidade de maneiras de Caio e Beto ficarem juntos dada por:

P2 . 2 = 2! . 2 = 2 . 1 . 2 = 4.

O mesmo ocorrer com as meninas. Vamos considerar Ana e Beatriz como sendo um nico elemento a ser permutado. Assim, seriam cin-co meninas (Ana e beatriz como sendo um nico elemento e outras cinco meninas). Da mesma forma, Ana e Beatriz tambm podem ser trocadas entre si de lugar. Portanto, a quantidade de maneiras de Ana e Beatriz ficarem juntas dada por:

P5 . 2 = 5! . 2 = 5 . 4 . 3 . 2 . 1 . 2 = 240.

Alm disso, possvel trocar de lugar os grupos, ou seja, colocar o gru-po dos meninos esquerda e o das meninas direita ou vice-versa.

Nessas condies, a quantidade total dada por:

4 . 240 . 2 = 1 920.

17. C

A cada dois idiomas, h exatamente um professor. Logo, a quantidade de professores igual ao nmero de escolhas que se pode fazer de dois idiomas entre os cinco disponveis. Dessa forma, a quantidade de professores dada por:

C25 = 5!

2! . (5 2)! =

5 . 4 . 3!

2 . 1 . 3! =

5 . 4

2 = 10

18.

1. C


23

Se os protocolos de uma empresa devem conter 4 letras, sendo permitida a repetio de caracteres, ento a 1. letra pode ser escolhida de 26 ma-neiras. Escolhida a 1. letra, a 2. letra pode ser escolhida de 25 maneiras. Escolhidas a 1. e a 2. letras, a 3. pode ser escolhida de 24 maneiras. Es-colhidas a 1., a 2. e a 3. letras, a 4. pode ser escolhida de 23 maneiras. Assim, a quantidade de protocolos dada por:

26 . 25 . 24 . 23 = 358 800.

Logo, podem ser gerados menos de 400 000 protocolos distintos.

2. E

Se a empresa decide no usar as 5 vogais em seus cdigos, ento ape-nas as 21 consoantes podero ser utilizadas. Existem 21 maneiras de escolher o cdigo de um nico caractere. Para calcular a quantida-de de cdigos com 2 caracteres, preciso escolher as duas letras que o compe. Existem 21 escolhas para o 1. caractere e, escolhido o 1., existem tambm 21 escolhas para o 2. caractere. Assim, existem 21 . 21 = 441 cdigos distintos com exatamente 2 caracteres. Raciocinando da mesma maneira, podemos calcular a quantidade de cdigos com 3 caracteres. A escolha do 1. caractere pode ser feita de 21 maneiras, a escolha do 2. caractere tambm de 21 maneiras, bem como a escolha do 3. que pode ser escolhido de 21 maneiras. Dessa forma, existem 21 . 21 . 21 = 9 261 cdigos distintos com 3 caracteres.

Portanto, a quantidade total com um, dois ou trs caracteres dada por:

21 + 21 . 21 + 21 . 21 . 21 = 21 + 441 + 9 261 = 9 723.

Logo, no possvel obter mais de 11 000 cdigos distintos.

3. C

O nmero total de cdigos diferentes formados por 3 letras distintas dado por:

26 . 25 . 24 = 15 600.

Assim, o nmero total de cdigos diferentes formados por 3 letras distin-tas superior a 15 000.

19. D

Me: 4 pretas + 5 brancas.


24

Pai: 4 pretas + 2 brancas.

Namorado: 3 pretas + 2 brancas.

Total de blusas: 4 + 5 + 4 + 2 + 3 + 2 = 20.

Das 20 blusas que ganhou, 4 blusas pretas so presentes de sua me e 2 blusas brancas so presentes de seu pai, ou seja, 4 + 2 = 6 blusas.

Logo, a probabilidade de a blusa retirada por Ana ser uma das blusas pretas que ganhou de sua me ou uma das blusas brancas que ga-nhou de seu pai igual a:

p = 6

20 =

3

1020. A

A senha comea com o algarismo 8, logo, existe uma nica opo de escolha para o 1. algarismo. Se os algarismos so distintos e 8 um deles, existem 4 opes de escolha para que a senha seja representada por um nmero par, ou seja, o ltimo algarismo pode ser 0, 2, 4 ou 6. Dos algarismos que existem no sistema decimal, dois deles j foram considerados (1. e 4. algarismos). Escolhidos o 1. e o 4. algarismos, o 2. algarismo pode ser escolhido de 8 maneiras possveis, pois dis-tinto dos dois primeiros j considerados. Escolhidos o 1., o 2. e o 4. algarismos, restam 7 opes de escolha para o 3.. Logo, a quantidade de senhas que poderiam ser obtidas a partir das lembranas de Tefilo dada por:

1 . 8 . 7 . 4 = 224.

21. C

O grupo deve ser formado por 6 bailarinas.

Se apareceram 12 candidatas, com idades de 11 a 22 anos, todas com idades distintas, certamente as 12 idades das bailarinas correspondem aos nmeros inteiros de 11 a 22, ou seja, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21 e 22.

Logo, existem 7 bailarinas com menos de 18 anos. Como exatamente 3 bailarinas com menos de 18 anos devem ser escolhidas, a quantidade de escolhas dada por:

C37 = 7!

3! . (7 3)! =

7 . 6 . 5 . 4!

3 . 2 . 1 . 4! =

7 . 6 . 5

6 = 7 . 5 = 35


25

Das 12 bailarinas candidatas, exatamente uma delas tem 18 anos. Como uma delas das escolhidas deve ter exatamente 18 anos, existe uma nica possibilidade de escolha.

Das 6 bailarinas escolhidas, 3 devem ter menos de 18 anos, uma deve ter exatamente 18 anos e, portanto, apenas 2 devem ter idade supe-rior a 18 anos. Mas, das 12 bailarinas candidatas, 4 delas tem idade superior a 18 anos. Assim, devemos escolher 2 bailarinas que possuem mais de 18 anos entre as 4 bailarinas candidatas. Isso pode ser feito da seguinte maneira:

C24 = 4!

2! . (4 2)! =

4 . 3 . 2!

2 . 1 . 2! =

4 . 3

2 = 6

Assim, se devem ser escolhidas 3 bailarinas com menos de 18 anos, exa-tamente 1 com 18 anos e 2 com mais de 18 anos, ento a quantidade total de maneiras com que essas escolhas podem ser feitas dada por:

35 . 1 . 6 = 210.

Portanto, o nmero de diferentes grupos de dana que podem ser se-lecionados a partir desse conjunto de candidatas igual a 210.

22.

1. E

Escolhidos trs nmeros distintos de 1 a 10, a sequncia formada e crescente destes trs nmeros sempre ser nica. Assim, a quantidade de sequncias crescentes ser obtida pela quantidade de escolhas de trs nmeros quaisquer e distintos de 1 a 10, ou seja:

10!

3! . (10 3)!

10 . 9 . 8 . 7!

3 . 2 . 1 . 7!

A quantidade total de escolhas ordenadas de trs nmeros distintos dada por:

= 10!

(10 3)! =

10 . 9 . 8 . 7!

7! = 10 . 9 . 8 = 720

Assim, a probabilidade dada por:

p = = 120

720 =

1

6 0,1667


26

O valor 0,1667 no inferior a 1/103, ou 0,001.

2. C

Se o primeiro carto for o nmero 7 e o segundo for o nmero 10, ento restam 8 cartes disponveis, uma vez que os dois primeiros car-tes no so devolvidos. Existem exatamente 4 nmeros menores que 5 (1, 2, 3 ou 4). Logo, a probabilidade dada por:

p = 4

8 =

1

223. C

Para que Mrio e Jos fiquem juntos, podemos consider-los como se fossem um nico elemento. Assim, nesse raciocnio, existiriam P9 ma-neiras de formarmos a fila. Entretanto, Mrio pode vir frente de Jos, ou Jos pode vir frente de Mrio, ou seja, ainda necessrio efetuar a troca de lugares entre os dois. Assim, a quantidade de modos que essa fila de amigos pode ser formada, com Mrio e Jos juntos dada por:

P9 . P2 = 9! . 2! = 2! . 9!

24. D

Os trs bebs podem ser do mesmo sexo sendo do sexo masculino ou do sexo feminino. A probabilidade de o 1. beb ser do sexo masculino igual a 1/2. Como os nascimentos so independentes, a probabilida-de de o 2. beb tambm ser do sexo masculino igual a 1/2. Da mes-ma forma, a probabilidade de o 3. filho ser do sexo masculino igual a 1/2. Logo, a probabilidade de os 3 bebs serem do sexo masculino igual a:

p = 1

2 .

1

2 .

1

2 =

1

8

A probabilidade de os 3 bebs serem do sexo feminino igual pro-babilidade de os 3 bebs serem do sexo masculino. Assim, a probabi-lidade de os 3 bebs serem do mesmo sexo pode ser obtida multipli-cando por 2 a probabilidade de os 3 bebs serem do sexo masculino. Portanto, a resposta dada por:

p = 1

8 . 2 =

2

8 =

1

4


27

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Análise Combinatória e Probabilidade