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Análise da Precipitação Pluviométrica em Natal/RN Via Wavelets

CMAC-NE

José Edvaldo de Lima Júnior

Departamento de Física Teórica e Experimental, UFRN

59078-970, Campus Universitário Natal, RN

E-mail: jredvaldo@hotmail.com

Dr. Claudio Moisés Santos e Silva

Departamento de Física Teórica e Experimental, UFRN

Programa de pós-graduação em Ciência Climáticas

59078-970, Campus Universitário Natal, RN

E-mail: caludio@dfte.ufrn.br

Palavras-chave: Chuvas Natal, Variáveis Climáticas, Séries de Fourier, Wavelets, Ondeletas.

Resumo: Um breve histórico das séries temporais, com aplicação das séries wavelets às

variável climática da precipitação cidade de Natal/RN.

1- Introdução

Os matemáticos do século XIX tentavam resolver o problema de física da vibração das

cordas dado pela solução da equação diferencial

conhecida com a

equação das ondas. As primeiras tentativas de resolvê-la foram feitas pelos matemáticos

d’Alembert (1747), Euler (1748), e Daniel Bernoulli (1753). Bernoulli sugeriu uma solução

da forma e sustentava que sua solução era

absolutamente geral, mas Euler não concordava com ele. Em 1759 Lagrange entrou em cena

e mostrou uma solução que concordava com um resultado anterior proposto por Euler.

Coube a Fourier em seu tratado Teoria matemática de condução de calor, explicitar os

coeficientes e escrever as séries de senos e cosenos de várias funções. Ele afirmou que

qualquer função pode ser expressa pela série que leva hoje seu nome, o que mais tarde

mostrou não ser verdade. Os requisitos para uma função ser expressa pelas séries de Fourier

foram estudadas pelo matemático alemão Gustav Dirichlet, e ficaram conhecidas como

condições de Dirichlet (Figueredo, 1977).

A série de Fourier se mostrou muito boa para diversas aplicações como estudo de sinais

estacionários. Contudo para sinais não estacionários, ou seja, sinais cuja frequência varia

rapidamente com o tempo, foi desenvolvida a teoria das ondeletas (wavelets).

O termo “ondelette” foi introduzido pelo geofísico Morlet (1982). A base matemática

foi formalizada pelo físico teórico A. Grossmann, da mecânica quântica, que o ajudou a

formalizar a transformada de ondeleta em sua forma contínua.

Os dados estudados por Morlet exibiam frequências que mudavam rapidamente com o

tempo. Nesse caso, a transformada de Fourier não era adequada com ferramenta de análise.

Daí com a ajuda do formalismo matemático emprestado da mecânica quântica, o físico A.

Grossmann desenvolveu teoria por trás das transformadas de ondeletas.

Atualmente a análise de ondeletas é usada em vários campos da ciência, como é o caso

da climatologia e meteorologia. A meteorologia é um ramo específico da geofísica, que por

sua vez tem suas raízes na física, ou seja, estudar aspectos de meteorologia e climatologia

nada mais é que a aplicação do conhecimento adquirido em física (especialmente a

mecânica clássica e termodinâmica) para entender a variabilidade do tempo (condições em

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um dado instante) e as condições de clima (média das condições de tempo para um período

significativo de pelo menos 30 anos).

Neste sentido, o presente resumo apresenta a ferramenta matemática (Wavelets), aplicadas a

um conjunto de dados meteorológicos observados nos últimos 15 anos na cidade de Natal.

Trata-se, portanto, de um estudo que abrange aspectos matemáticos, termodinâmicos e

mecânicos aplicados à atmosfera.

2-Sinais

2.1-Definição

Um sinal é um conjunto de dados ou informação. Como exemplo, temos o sinal de

telefone ou televisão, registro de vendas de uma loja ou os valores de fechamento da bolsa

de valores. Em todos esses exemplos, os sinais são função da variável independente tempo.

2.1- Operações com Sinais

Temos três operações básicas com um sinal: Translação, compressão e dilatação. Na

translação temos: . e

Figura 1- Atraso de duas unidade de g(t) em relação à f(t).

Na operação de dilatação e compressão temos:

Figura 2-Compressão de um fator de 2 de g(t) em relação a f(t).

Na operação de dilatação:

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Figura 3- Dilatação de um fator de 1/ 2 de g(t) em relação à f(t).

3- Séries temporais

3.1- Wavelets

As transformadas de ondeletas são tão poderosas porque se aplicam a sinais não-

estacionários, ou seja, sinais cuja frequência, momentos estatístico, média, variância se

modificam rapidamente com o tempo em qualquer segmento tomado desta série. Já que os

sinais do mundo físico são, em geral, não estacionários, então, se justifica a grande utilidade

desta ferramenta. A ideia central da análise em ondeletas consiste em decompor um sinal em

diferentes níveis de resolução, processo conhecido como multiresolução (Bolzman, 2004).

3.2- Multiresolução

A representação de multiresolução fornece uma moldura hierárquica simples para

interpretação de informação do sinal. Em diferentes resoluções, os detalhes de um sinal

geralmente caracterizam diferentes estruturas físicas do sinal. A uma resolução mais grosseira,

estes detalhes geralmente caracterizam as grandes estruturas que fornecem o contexto. Com o

aumento da resolução, obtemos detalhes mais finos.

3.3- Funções Ondeletas

Reunindo as duas propriedades: dilatação e translação em um único protótipo de função

base, obtemos as chamadas funções ondeletas, onde as dilatações e translações são dadas por

duas variáveis chamadas de a e b respectivamente. Portanto, o termo ondeleta, refere-se a um

conjunto de funções com a forma de pequenas ondas geradas por dilatações

e

translações , de uma função base simples chamada de ondeleta mãe.

çã çã

4- Climatologia

4.1- Análise da Precipitação.

O período chuvoso é bem definido entre os meses de abril e junho e o período seco vai

de setembro a dezembro. Casos eventuais de chuva intensa são verificados ao longo do ano, da

mesma forma que a velocidade do vento, devendo ser um tema para análises futuras. O

escalograma e o espectro de potência (Figura 3A e 3B) mostram duas escalas bem definidas. A

primeira é o ciclo anual, com máximo em 300 dias e que explica a variabilidade da temperatura

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e da velocidade do vento e uma segunda em torno de 60 dias, que é associada à oscilação

intrasazonal.

Figura 4- (A) Diagrama tempo frequência da série temporal precipitação. (B) Espectro

de ondeleta global para precipitação.

Referências

[1] Bolzan, M. J. Análise da transformada em ondeletas aplicada em sinal geofísica.

Revista Brasileira do Ensino de Física, v.26, n.1, 37-41, 2004.

[2] Figueredo, D.G. Análise de Fourier e equações diferenciais parciais. São Paulo:

Edgard Blücher LTDA, 1977.

[3]Lathi, B.P. Sinais e Sistemas Lineares. Porto Alegre: Bookman, 2007.

[4] Torrence, G.P. Compo, G. A pratical guide to wavelet analysis. Bulletin of the

American Meteorological Society, v. 79, p 61-77, 1998.

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