Análise da Resposta Transitória/Estacionárialtodi.est.ips.pt/fgrilo/down/CA3.pdf · Universidade de Évora Engenharia Mecatrónica Controlo e Automação II 7. Análise da Resposta

Universidade de Évora Engenharia Mecatrónica Controlo e Automação II

7. Análise da Resposta Transitória/Estacionária

Na análise e no projecto de sistemas de controlo é necessário comparar as performances dos vários sistemas de controlo. Para tal considera-se as respostas do sistema às várias “entradas-padrão”. As “entradas-padrão mais vulgares” são funções degrau, rampas e impulsos.

Pode-se considerar que a resposta temporal de um sistema tem duas partes: A resposta transitória e a estacionária. A resposta transitória é a resposta que vai do estado inicial ao estado final. A reposta estacionária descreve a saída do sistema quando t tende parar infinito.

Ao projectar-se um sistema de controlo deve ser-se capaz de predizer o comportamento dinâmico do sistema a partir do conhecimento dos seus componentes. A mais importante característica de um sistema é a estabilidade absoluta, podendo dizer-se que um sistema está em equilíbrio se na ausência de qualquer perturbação ou entrada, a saída permanece no mesmo estado.

Um sistema de controlo linear invariante no tempo é estável se a saída volta ao seu estado de equilíbrio após o sistema ter sido submetido a uma perturbação.

Um sistema de controlo linear invariante no tempo é instável se a oscilação da saída continua indefinidamente ou se a saída cresce sem limite a partir do estado de equilíbrio

Na realidade as saídas dos sistemas físicos estão limitadas por dispositivos físicos, caso contrário o sistema avaria-se ou o seu comportamento torna-se não linear.

O comportamento dinâmico do sistema é também descrito pela estabilidade relativa e erro estacionário. Como um sistema de controlo físico envolve armazenamento de energia, a saída do sistema não segue a entrada imediatamente mas tem um transitório antes de se atingir o regime estacionário.

Os sistemas de controlo podem então caracterizar-se por: • Resposta transitória • Erro estacionário

8. Análise da Resposta Estacionária (Coeficientes de erros estacionários) Se a resposta do sistema em regime estacionário não segue a entrada, diz-se que o sistema

tem um erro estacionário. Este erro é um indicador da precisão do sistema de controlo. Os sistemas podem ter erro nulo para uma determinada entrada e o erro estacionário não

nulo para outra entrada. O erro depende então da estrutura do sistema. Os sistemas podem classificar-se quanto à sua ordem e quanto ao seu tipo.

• Ordem de um sistema = nº de polos • Tipo de um sistema=nº de pólos na origem

)1)...(1)(1()1)...(1)(1(

)()(21 +++

+++=

sTsTsTssTsTsTK

sHsGp

Nmba

À medida que o tipo aumenta, aumenta a precisão, mas em contrapartida, mais difícil

se torna estabilizar o sistema. Há então um compromisso entre o erro e a estabilidade.

• Teorema do valor final Para cálculo do erro estacionário

)()( limlim0

ssEteessst →∞→

==

Pólo na origem de multiplicidade N


• Erro estacionário em malha aberta Cálculo do erro em regime permanente ou erro estacionário ess(t):

G(s)R(s)Y(s))()()( =⇔=

sRsYsG

Erro= Saída pretendida – Saída real=R(s)-Y(s) ⇒ E(s)=R(s).(1-G(s))

• Erro estacionário em malha fechada

É conhecida a sua função de transferência como:

)()(1)(

)()(

sHsGsG

sRsC

+= , de onde se pode obter então

)()(1)()()(sHsG

sGsRsC+

=

Pode então obter-se a função de transferência entre o sinal do erro e(t) e a entrada r(t) da seguinte forma:

=+

−=−=−

=)(

)()(1)()()(

1)(

)()(1)(

)()()()()(

sRsHsG

sGsRsH

sRsCsH

sRsCsHsR

sRsE

=+

−=+

−=)()(1

)()(1)()()()(

)()()(1sHsG

sHsGsHsGsRsR

sHsGsR

)()(11

)()(1)()()()(1

sHsGsHsGsHsGsHsG

+=

+−+

=

A expressão do erro em malha fechada resulta então em:

)()(1)()(

sHsGsRsE

+=

• Doravante designaremos:

o Erro de “posição” por o erro devido a entradas em degrau unitário o Erro de “velocidade” por o erro devido a entradas em rampa unitária o Erro de “aceleração” por o erro devido a entradas parabólicas.


8.1. Erro de posição (Kp) – Entrada em degrau

Para uma entrada em degrau unitário (entrada em posição), vem que:

)()(11

)()(1

1)()(1

)()()(

limlim

limlimlim

00

00

sHsGsHsGs

s

sHsGsRsssEteess

ss

sst

+=

+=

=+

===

→→

→→∞→

define-se o coeficiente de erro de posição Kp, por:

)()(lim0

sHsGKps→

=

o erro estacionário de posição é então:

Kpess

+=

11

8.1.1. Erro de posição (Kp) - Sistemas do tipo 0

ksTsTsTsTsTsTK

sHsGKpp

mba

s=

++++++

==→ )1)...(1)(1(

)1)...(1)(1()()(

210lim

8.1.2. Erro de posição (Kp) - Sistemas do tipo 1 ou superior

∞=++++++

==→ )1)...(1)(1(

)1)...(1)(1()()(

210lim sTsTsTs

sTsTsTKsHsGKp

pN

mba

s, em que N≥1

8.2. Erro de velocidade (Kv) – Entrada em rampa Para uma entrada em rampa unitária (entrada em velocidade), vem que:

)()(1

)()(1

1)()(1

)()()(

limlim

limlimlim

0

2

0

00

sHssGsHsGs

s

sHsGsRsssEteess

ss

sst

→→

→→∞→

=+

=

=+

===

define-se o coeficiente de erro de velocidade estático Kv, por:

)()(lim0

sHssGKvs→

=

o erro de velocidade estático estacionário é então:

KvsHssGsHssGsess

ss

1)()(0

1)()(

1

limlim0

0=

+=

+=

→→

Nota: O “erro de velocidade” não é um erro de velocidade mas sim um erro de posição devido a uma entrada em rampa


8.2.1. Erro de velocidade (Kv) - Sistemas do tipo 0

0)1)...(1)(1(

)1)...(1)(1()()(

2100limlim =

++++++

==→→ sTsTsT

sTsTsTsKsHssGKv

p

mba

ss

8.2.2. Erro de velocidade (Kv) - Sistemas do tipo 1

KsTsTsTssTsTsTsK

sHssGKvp

mba

ss=

++++++

==→→ )1)...(1)(1(

)1)...(1)(1()()(

2100limlim

8.2.3. Erro de velocidade (Kv) - Sistemas do tipo 2 ou superior

∞=++++++

==→→ )1)...(1)(1(

)1)...(1)(1()()(

2100limlim sTsTsTs

sTsTsTsKsHssGKv

pN

mba

ss, em que N≥2

8.3. Erro de aceleração (Ka) – Entrada parabólica Para uma entrada parabólica (entrada em aceleração), vem que:

)()(1

)()(1

1)()(1

)()()(

20

3

0

00

limlim

limlimlim

sHsGssHsGs

s

sHsGsRsssEteess

ss

sst

→→

→→∞→

=+

=

=+

===

Define-se o coeficiente de erro de aceleração estático Ka, por:

)()(2

0lim sHsGsKa

s→=

O erro de aceleração estático estacionário é então:

KasHsGssHsGssess

ss

1)()(0

1)()(

12

0

220 limlim =

+=

+=

→→

Nota: O “erro de aceleração” não é um erro de aceleração mas sim um erro de posição devido a uma entrada em parábola


8.3.1. Erro de aceleração (Ka) - Sistemas do tipo 0

0)1)...(1)(1(

)1)...(1)(1()()(

21

2

0

2

0limlim =

++++++

==→→ sTsTsT

sTsTsTKssHsGsKa

p

mba

ss


0)1)...(1)(1(

)1)...(1)(1()()(

21

2

0

2

0limlim =

++++++

==→→ sTsTsTs

sTsTsTKssHsGsKa

p

mba

ss


KsTsTsTssTsTsTKs

sHsGsKap

mba

ss=

++++++

==→→ )1)...(1)(1(

)1)...(1)(1()()(

212

2

0

2

0limlim

8.3.4. Erro de aceleração (Ka) - Sistemas do tipo 3 ou superior

∞=++++++

==→→ )1)...(1)(1(

)1)...(1)(1()()(

21

2

0

2

0limlim sTsTsTs

sTsTsTKssHsGsKa

pN

mba

ss, em que N≥3

8.4. Resumo dos erros estacionários

Pode-se resumir o erro estacionário em termos do ganho K conforme descrito na seguinte tabela:

Entrada em degrau

r(t)=1 Entrada em rampa

r(t)=t Entrada em parábola

r(t)=t2

Sistema do tipo 0 K+1

1 ∞ ∞

Sistema do tipo 1 0 K1 ∞

Sistema do tipo 2 0 0 K1

Kp → Coeficiente do erro de posição = )()(lim

0sHsGKp

s→=

Kv → Coeficiente do erro de velocidade = )()(lim0

sHssGKvs→

=

Ka → Coeficiente do erro de aceleração = )()(2

0lim sHsGsKa

s→=

• Em regime estacionário, um sistema do tipo 0:

o Tem um erro finito dado por K+1

1 para uma entrada em degrau. É possível

reduzir este erro fazendo K suficientemente grande, mas nunca se poderá anulá-lo completamente.

o É incapaz de seguir uma entrada em rampa ou parábola.


• Em regime estacionário, um sistema do tipo 1: o Tem um erro nulo para uma entrada em degrau

o Tem um erro finito dado por K1 para uma entrada em rampa. É possível


o É incapaz de seguir uma parábola

• Em regime estacionário, um sistema do tipo 2: o Tem um erro nulo para entradas em degrau e rampas.

o Tem um erro finito dado por K1 para uma entrada em parábola. É possível


8.5. Exercícios práticos – Resposta estacionária

8.5.1. Malha aberta / Malha fechada

Considere os sistemas de controlo (1) em malha aberta e (2) em malha fechada representados nas figuras seguintes, em que r(t)=u(t)

1)(

+=

sksG

σ

ssRtutr 1)()()( =⇒=

a) Compare os erros em regime permanente. b) Adoptando os valores do ganho de calibração Kc e Kf que tornem mínimos os erros em

regime permanente (no sistema em malha fechada considere Kf=100/K), compare os valores de ess(t) se o parâmetro k sofrer uma variação de 10% (ou seja, k←k+∆k com ∆k/k=0.1)

a) Erros em regime permanente. Sistema em malha aberta (1)

)()()( sCsRsE −=

)(1

)( sRskkasC+

=σ

Pelo teorema do valor final

kkaskka

ssssEess

ss−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

+−==

→→

11

11)( limlim00 σ


Sistema em malha fechada (2)

)()(1)(

)()(

sHsGsG

sRsC

+=

1)()(

+=

skk

sHsG f

σ, tem zero pólos na origem ⇒

kpess

+=

11 , em que

kks

kksHsGkp f

f

ss=

+===

→→ 1)()( limlim

00 σ

kkkpess

f+=

+=

11

11

b) Variação do parâmetro k

k←k+∆k, onde ∆k=0.1K (10%) Os valores ideais para os ganhos Ka e Kf são aqueles que anulam ou quase anulam o erro em

regime permanente. Desta forma, os valores ideais para Ka e Kf seriam:

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=∞

=+

=⇒∞=

=−=−=⇒=

011

1

01111

Kfe Ka de ideais Valores

kkfesskkf

kkkkaess

kka

mas como não é possível ∞=kkf , vamos assumir k

kf 100= conforme o enunciado.

Sistema em malha aberta (1)

1.011)(11 −=∆

−−=∆+−=−=kk

kk

kkkkkaess

Sistema em malha fechada (2)

009,0111

11.01001001

1

1001001

1100)(1

11

1==

×++=

∆++

=∆++

=+

=

kk

kk

kkkkk

essf


8.5.2. Constantes de erro kp, kv e ka – Sistema do tipo 1

Para o sistema estável da figura,

a) Determine as constantes de erro de posição, velocidade e aceleração kp, kv e ka

⎩⎨⎧

+++

=⇒⎪⎩

⎪⎨

⎧

=++

+=

+++

=

)45()2(4)()(

1)()45(

)2(445

)2(4)(2

223

sssssHsG

sHsss

ssss

ssG ⇒ Sistema do tipo 1

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

=

=

=

→

→

→

)()(

)()(

)()(

2

0

0

0

limlimlim

sHsGsKa

sHssGKv

sHsGKp

s

s

s

Num sistema do tipo 1

⇒

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=++

+=

∞=

⇒

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=

=

∞=

→→

0)45(

)2(4

0

)()( 200

limlimKa

ssssskv

Kp

Ka

sHssGKvKp

ss

⎪⎩

⎪⎨

⎧

==∞=

⇒

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=

×=

∞=

⇒

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=++

+=

∞=

⇒→ 0

2

04

24

0)45(

)2(42

0lim

KaKvKp

Ka

Kv

Kp

Kasss

ssKv

Kp

s



Para o sistema estável da figura, determine

a) As constantes de erro de posição, velocidade e aceleração kp, kv e ka

b) O erro em regime permanente ess(t) quando a entrada é 32 2113)(sss

sR +−=

a) kp, kv e ka

⎩⎨⎧

++

=⇒⎪⎩

⎪⎨

⎧

=++

=

)2()1(4)()(

1)()2(

)1(4)(2

2

ssssHsG

sHssssG

⇒ Sistema do tipo 2

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

=

=

=

→

→

→

)()(

)()(

)()(

2

0

0

0

limlimlim

sHsGsKa

sHssGKv

sHsGKp

s

s

s


⎪⎩

⎪⎨

⎧

=∞=∞=

⇒

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

=

∞=∞=

⇒

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

++

=

∞=∞=

⇒

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=

∞=∞=

→→

224

)2()1(4)()(

22

0

2

0 limlim KakvKp

Ka

kvKp

ssssKa

kvKp

sHsGsKaKvKp

ss

b) O erro em regime permanente ess(t)

32121131

211113

2113)( 3232 RRR

sssssssR +−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=+−=

)()()()( 321 tesstesstesstess RRRtotal ++=

{ 0)(degraurEntrada

2 tipodoSistema 1 1 =⇒

⎩⎨⎧

≡→ tessR R

{ 0)(ramparEntrada


⎩⎨⎧

≡→ tessR R

⎩⎨⎧

==⇒⎩⎨⎧

≡→

21

anterior)(alinea 1)(

prEntrada 2 tipodoSistema

3 3 katess

arábolaR R

41

21

210103)()()()( 321 =×+×−×=++= tesstesstesstess RRRtotal



Para o sistema da figura, determinar

a) As constantes de erro de posição, velocidade e aceleração kp, kv e ka b) O erro em regime permanente ess(t) quando a entrada é )()216()( tuttr += a) kp, kv e ka

⎩⎨⎧

+++++

=⇒⎪⎩

⎪⎨

⎧

=++++

+=

)102)(3)(1()4(12)()(

1)()102)(3)(1(

)4(12)(2

2

sssssssHsG

sHsssss

ssG ⇒

⇒ Sistema do tipo 1

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

=

=

=

→

→

→

)()(

)()(

)()(

2

0

0

0

limlimlim

sHsGsKa

sHssGKv

sHsGKp

s

s

s


⇒

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=++++

+=

∞=

⇒

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=

=

∞=

→→

0)102)(3)(1(

)4(12

0

)()( 200

limlimKa

ssssssskv

Kp

Ka

sHssGKvKp

ss

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=

=

∞=

⇒

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=×××

=

∞=

058

01031412

Ka

kv

Kp

Ka

kv

Kp


b) O erro em regime permanente ess(t)

2211612116)()()216()( 2 RRss

sRtuttr +=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=⇒+=

)()()( 21 tesstesstess RRtotal +=

{ 0)(degraurEntrada


⎩⎨⎧

≡→ tessR R

⎪⎩

⎪⎨

⎧

===⇒⎩⎨⎧

≡→

85

581

anterior)(alinea 1)(

ramparEntrada 1 tipodoSistema

2 2 kvtessR R

45

852016)()()( 21 =×+×=+= tesstesstess RRtotal

9. Análise de resposta transitória

9.1. Sistemas de 1ª ordem

Considerando o sistema de primeira ordem

A função de transferência é dada por

11

)()(

+=

TssRsC

11)()(+

=Ts

sRsC

9.1.1. Resposta de um sistema de 1ª ordem a um impulso unitário Sendo a transformada de Laplace da impulso unitária 1

11

11)()(

+=

+=

TsTssRsC

cuja transformada inversa de Laplace inversa é:

Tt

eT

tc−

=1)(


( 1 /T).exp(-t/T)

00.050.1

0.150.2

0.25

0 10 20 30 40 50

EXP(-t/5)/5EXP(-t/10)/10EXP(-t/20)/20

9.1.2. Resposta de um sistema de 1ª ordem a um degrau

Sendo a transformada de Laplace do degrau unitário s1

1111

11)()(

++=

+=

+=

TsB

sA

TssTssRsC

onde:

11

1

0

=+

==sTs

A

Ts

BT

s

−==−=

1

1

fica:

11

1)(

+−=

++=

TsT

sTsB

sAsC


Tt

etc−

−= 1)(

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

1-exp(-t/5)1-exp(-t/10)1-exp(-t/20)

t=T ⇒ c(t)=0.632 t=2T ⇒ c(t)=0.865 t=3T ⇒ c(t)=0.95


9.1.3. Resposta de um sistema de 1ª ordem a uma rampa Sendo a transformada de Laplace da rampa unitária 2

1s

sB

sB

TsA

TssTssRsC 2

21

2 1111

11)()( ++

+=

+=

+=

onde, desenvolvendo as fracções parciais:

2

12

1 Ts

AT

s

==−=

TtTsxx

ts +=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡+

==− 1

11

1)(

)(

1ϕψ

TBB

tTtTTt

-Tt-TtTt

t−==

⇒

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

+

+

−−

+

2

1

22

2

1

0

01 1

Tt1 1

fica então:

sT

sTsTsC −++

= 2

2 11

)(


Tt

TeTttc−

+−=)(

t-T+Texp(-t/T)

0102030405060

0 10 20 30 40 50

tt-5+5*EXP(-t/5)t-10+10*EXP(-t/10)t-20+20*EXP(-t/20)

Na entrada de uma rampa, T traduz o erro estacionário

T


9.2. Sistemas de 2ª ordem

A função de transferencia típica de um sistema de 2ª ordem em malha fechada apresenta-se

da seguinte forma:

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−+⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛++

=++

=++

=

Jk

JF

JFs

Jk

JF

JFs

Jk

Jks

JFs

Jk

kFsJsk

sRsC

2222

2222

)()(

Os Pólos são complexos se: 042 <− JkF

Para a análise da resposta transitória vamos assumir: 2nJ

k ω=

σζω 22 2 == nJF

onde σ - Atenuação ωn – Frequência natural não amortecida

sistema do ntoamortecime de Razão- 2 Jk

FFcF

==ζ

F – Amortecimento Fc – Amortecimento critico

22

2

2)()(

nn

n

sssRsC

ωζωω

++=

• Se 0<ζ<1 Os pólos localizam-se no semi plano s esquerdo tal que:

( )1, 222221 −±−=−±−= ζωζωωωζζω nnnnnss

Diz-se então que o sistema está subamortecido e a resposta é oscilatória

• Se ζ=1, o sistema está criticamente amortecido

• Se ζ>1, o sistema está sobreamortecido


9.2.1. Resposta de um sistema de 2ª ordem a um degrau

( ) =++=

++= 22

2

22

2

22)()(

nn

n

nn

n

ssssssRsC

ωζωω

ωζωω

( ) ( ) 222222

12

21

dn

n

dn

n

nn

n

sss

ssss

s ωζωζω

ωζωζω

ωζωζω

++−

++

+−=

+++

−=

Onde: 21 ζωω −= nd é a frequência natural amortecida

( )te

ss

L dt

dn

n n ωωζω

ζω ζω cos22

1 −− =⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

++

+

( )tsene

sL d

t

dn

d n ωωζω

ω ζω−− =⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

++ 221

fica: [ ]⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ −+

−−== −

−−

ζζ

ωζ

ζω 21

2

1 1tan

11)()( tsenetcsCL d

tn

, com ( )0≥t

A frequência da oscilação transitória é a frequência natural amortecida dω que varia com a razão de amortecimento ζ.

• Sistemas de segunda ordem com o mesmo ζ, mas diferente ωn têm o mesmo padrão de oscilação. Diz-se que tais sistemas têm a mesma estabilidade relativa

• Entre os sistemas que respondem sem oscilação, um sistema criticamente amortecido tem a resposta mais rápida.

• O desempenho característico de um sistema de controlo é normalmente especificado em termos da resposta transitória a uma entrada em degrau..


Nas características da resposta transitória a um degrau, especifica-se normalmente o seguinte:

• Tempo de atraso td – É o tempo necessário para a resposta atingir metade do seu

valor final pela 1ª vez.

• Tempo de subida tr – É o tempo necessário para a resposta ir de 10% a 90%, 5% a 95% ou 0% a 100% do seu valor final. Para sistemas de 2ª ordem subamortecidos é usado geralmente o tempo de 0-100%. Para sistemas sobreamortecidos usa-se de 10% - 90%.

O tempo de subida pode obter-se através de:

21 ζω

θπ

−

−=

n

rt , onde ζθ cos arc= , especifica o angulo de localização de ζ no

plano s.

• Coeficiente de amortecimento ζ - Exprime quantitativamente a rapidez de amortecimento do termo transitório da resposta temporal. Para um sistema dominado por 2 raízes complexas, ζ é o coseno do argumento do nº complexo da raiz situada no semi-plano superior. Para alem de se poder extrair directamente da equação característica (denominador da função de transferência da malha

fechada 02 22 =++ nn ss ωζω ), pode também obter-se por:

..1

..1

22

OPLn

OPLn

+=

πζ


• Tempo de Pico, tp - É o tempo para a resposta atingir o 1º pico de overshoot. Corresponde a meio ciclo da frequência de oscilação amortecida. É possível ser

calculado através de: 21 ζω

πωπ

−==

ndpt

• Máximo overshoot percentual, Mp – É o máximo valor de pico da resposta, medido a partir da unidade. Se o valor final estacionário da resposta diferir da unidade, é comum usar-se o Overshoot máximo percentual, que é definido por:

21%100)(

)()(%100.. ζ

ζπ

−−

=×∞

∞−=×= e

cctc

MOP pp

A altura do pico máximo (pico de ressonância) pode ser obtida por

212

1

ζζ −=rM

A frequência de ressonância pode obter-se através de

221 ζωω −= nr

• Tempo de estabelecimento, ts – É o tempo necessário para a resposta atingir (e permanecer) uma gama de valores em torno do valor final, especificada por uma percentagem absoluta do valor final (geralmente 5% ou 2%).

ns Tt

ζωσ444 === (critério dos 2%)

ns Tt

ζωσ333 === (critério dos 5%)


9.3. Sistemas de ordem elevada

Genericamente pode-se considerar que se os pólos de C(s) são reais e pares de pólos

complexos conjugados, pode-se factorizar a equação característica em termos de primeira e segunda ordem conforme a equação que se segue:

( )

( ) ( )∏ ∏

∏

= =

=

+++

+= q

j

r

kkkkj

m

ii

sspss

zsksC

1 1

22

1

2)(

ωωζ

Para uma entrada em degrau

Se os pólos em malha fechada forem distintos, o desenvolvimento em fracções parciais

dá: ( )

∑∑== ++

−+++

++=

r

k kkk

kkkkkkq

j j

j

sscsb

psa

sasC

122

2

1 21

)(ωωζ

ζωωζ

Comfirma-se que a resposta de um sistema de ordem elevada pode ser composta por termos

envolvendo funções simples encontradas em sistemas de primeira e segunda ordem. A resposta a degrau unitário é então:

( ) ( )∑∑∑=

−

=

−

=

− −+−++=r

kkk

tk

r

kkk

tk

q

j

tpj tectebeaatC kkkkj

1

2

1

2

1

1sin1cos)( ζωζω ωζωζ

• Se todos os pólos em malha fechada estiverem no semi-plano esquerdo s, então todos os termos exponenciais assim como sinusoidais amortecidos tendem para zero com t e a resposta transitória é então C(∞)=a (altura do degrau).

• Supondo que o sistema é estável, então os pólos em malha fechada têm partes reais negativas grandes. Os termos exponenciais que correspondem a estes pólos decaem rapidamente para zero.

• A distância horizontal de um pólo ao eixo jω determina o tempo de estabelecimento dos transitórios devidos a esse pólo.

• Os pólos devido à entrada R(s) fornecem os termos da resposta estacionária, enquanto que os pólos de C(s)/R(s) contribuem para os termos das respostas transitórias.

• A importância relativa dos pólos em malha fechada é determinada pela razão entre as partes reais dos pólos e pelas grandezas relativas dos resíduos calculados nos pólos em malha fechada. Se as razões entre as partes reais excederem 5 (ou 10 dependendo do critério), e não existirem zeros na vizinhança, então os pólos na proximidade do eixo jω dominarão a resposta transitória.

• Os pólos em malha fechada que têm efeitos dominantes sobre a resposta transitória são designados por pólos dominantes,


9.4. Resposta transitória - Exercícios práticos

9.4.1. Sistema de 2ª ordem

Para o sistema da figura sujeito a uma entrada em degrau, verificar se é possível garantir

simultaneamente o tempo de pico tp não superior a 1 segundo e a percentagem de overshoot não superior a 5%.

Caso não seja possível, qual o valor mínimo de cada uma das especificações para garantir a outra?

Resposta)

• Obtenção da equação característica

kssk

sHsGsG

sRsC

++=

+=

2)()(1)(

)()(

2

Equação característica ⎩⎨⎧

==

⇒=++⇔=++1

02022

222

n

nnn

kkssss

ζωω

ωζω

• Para garantir tp≤1s

21 ζω

πωπ

−==

ndpt

⇒−≤⇒≤

−

⇒

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

−

≤−⇒

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

≤−

=111

1

111

1

11 2

2

2

2

22

ζπ

ζζ

ζ

πζζ

π

ζωζω

π

n

n

tp

3,01

11

1111122

22

22

2 ≤⇒+

±≤⇒+

≤⇒≤+⇒−≤ ζπ

ζπ

ζζ

πζ

π (sempre positivo)

• Para garantir P.O. ≤5% (0,05)

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

+=

≤= −−

..1

..1

05,0..

22

1 2

OPLn

OPLn

eOP

πζ

ζ

ζπ


Se P.O. ≤0,05 ⇒ 69,0

05,01

05,01

22

=+

≥Ln

Ln

πζ

(ζ é uma função decrescente com oP.O.)

→≥≤

69,03,0

ζζ

Condições impossíveis de garantir simultaneamente

• Especificação no plano s

º),(arcOP

º,),(arcst p

3,46690cos 69,0%5.. 2

572300cos 3,01 1

2

1

==⇒≥⇒≤

==⇒≤⇒≤

θζ

θζ

Que são regiões incompatíveis

• Visualização das curvas

%8,36..368.0..

13,0

1

21 =⇒==⇒

⇒⎩⎨⎧

==

⇒=

−−

OPeOP

stn

p

ζ

ζπ

ζωζ

st

OP

n

p

n

99,21

169,0

%5..

2=

−=⇒

⇒⎩⎨⎧

==

⇒=

ζω

πζωζ


9.4.2. Sistema de 2ª ordem/3ª ordem

Um sistema de 2ª ordem com realimentação unitária é projectado para apresentar uma resposta subamortecida a uma entrada em degrau. As especificações do sistema são:

10%≤P.O. ≤30% e ts≤4 segundos

a) Identificar a área desejada para as raízes dominantes do sistema b) Determinar o valor mínimo para uma 3ª raiz (passando a um sistema de 3ª ordem)vse a

resposta for dominada pelas raízes complexas conjugadas. c) Se a função de transferência em malha fechada for de 3ª ordem, determinar a função de

transferência para obter P.O.=30% e ts=0,4segundos.

stOP

s 4%30..%10

≤≤≤

a) Área das raízes

1144 1 −≤−⇒≥⇒≤= nnn

s st ζωζωζω

º9,68)36,0cos( 36,0

..1

..1

3030 2 1122

=⇒=⇒≥⇒+

≥⇒=≤ θθζπ

ζ arc

OPLn

OPLn

.%P.O.

º8,53)59,0cos( 59,0

..1

..1

1010 3 2222

=⇒=⇒≤⇒+

≤⇒=≥ θθζπ

ζ arc

OPLn

OPLn

.%P.O.


b) Raízes dominantes Sistema de 2ª ordem

Função de transferência em malha aberta )2(

2

n

n

ssG

ζωω+

=

Pólos do sistema ja

acbbs nn2

2

12

4 ζωζω −±−=−±−

=

Sistema de 3ª ordem

Pólos do sistema⎪⎩

⎪⎨

⎧

−=

−±−=−±−

=

Ps

ja

acbbs nn2

2

12

4 ζωζω


REGRA – Se a 3ª raíz (-P) se situar K vezes mais à esquerda que a parte real dos pólos complexos )( nζω− então a resposta total é dominada pelas raízes complexas conjugadas.

510

==

KK

→ ×→>×→>

5 de Critério 510 de Critério 10

n

n

PP

ζωζω

c) Função de transferência de 3ª ordem, P.O.=30% e ts=0,4segundos

• P.O.=30% ⇒ º9,6836,0

3,01

3,01

22

=⇒=+

= θπ

ζLn

Ln

• ts=0,4s ⇒ 36,0

10104,04=⇒=⇒== nn

n

ts ωζωζω

• Nos sistemas de 2ª ordem, a função de transferência em malha aberta é do tipo

)2(

2

n

n

ssG

ζωω+

=

Pólos do sistema js nn

21 ζωζω −±−= , neste caso, com ζ=0,36 e 36,0

10=nω , implica

js 9,2510 ±−=


• O sistema de 3ª ordem será

Pólos do sistema ( )( )PsssRY

nn

n

+++= 22

2

2 ωζωω

, com jsn

9,251036,0

1036,0

±−=⇒⎪⎩

⎪⎨⎧

=

=

ω

ζ

Usando por exemplo o critério 10x ⇒ P>100 (=10xζωn), assegura-se que os pólos complexos são os dominantes. Ou seja, a resposta do sistema será “insensível” ao terceiro pólo. O sistema de 3ª ordem terá uma resposta semelhante à do sistema de 2ª ordem que contém apenas os pólos complexos.

9.4.3. Sistema de 2ª ordem

Para a entrada r(t) da figura, esboce, dimensionando os pontos mais importantes (Overshoot

máximo percentual – PO, Tempo de subida – tr, Tempo de estabelecimento – ts, Tempo de pico, y∞ e ymax), a resposta c(t) do sistema.

10210

10)2(10

)()(

2 ++=

++=

sssssRsY

A equação característica é: 01022 =++ ss


Por comparação com o sistema genérico de segunda ordem

⎩⎨⎧

==

⇒⎩⎨⎧

==

⇒

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

++

++16,3

31,01

10

2

10210

2

22

2

2

nn

n

nn

n

ss

ssωζ

ζωω

ωζωω

• %09,3535,0..21 === −

−ζ

ζπ

eOP

• stsn

44==

ζω

• stpn

05,11 2

=−

=ζω

π

• strtr

n 63,0arccos

1 2 =⇒⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

−

−=

ζθζω

θπ

• 5102

105lim)(lim)(lim 200=

++===

→→∞→∞ ssssssYtyy

sst

• 75,6.).1(5)( =+== OPtpyyMAX

Documents

Análise da Resposta Transitória/Estacionárialtodi.est.ips.pt/fgrilo/down/CA3.pdf · Universidade de Évora Engenharia Mecatrónica Controlo e Automação II 7. Análise da Resposta