PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE MINAS GERAIS Programa de Pós-graduação em Engenharia Mecânica

ANÁLISE DA TÉCNICA MOIRÉ DE SOMBRA COM DESLOCAMENTO DE FASE USANDO GENERALIZAÇÃO DO ALGORITMO DE CARRÉ

Pedro Américo Almeida Magalhães Júnior

Belo Horizonte 2009

Pedro Américo Almeida Magalhães Júnior

ANÁLISE DA TÉCNICA MOIRÉ DE SOMBRA COM DESLOCAMENTO DE FASE USANDO GENERALIZAÇÃO DO ALGORITMO DE CARRÉ

Tese apresentada ao Programa de Pós-Graduação em Engenharia Mecânica da Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais, como requisito parcial para obtenção do título de Doutor em Engenharia Mecânica. Orientador: Perrin Smith Neto Co-orientador: Clóvis Sperb de Barcellos

Belo Horizonte 2009

FICHA CATALOGRÁFICA Elaborada pela Biblioteca da Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais

Magalhães Júnior, Pedro Américo Almeida M188a Análise da técnica Moiré de sombra com deslocamento de

fase usando generalização do algoritmo de Carré / Pedro Américo Almeida Magalhães Júnior. Belo Horizonte, 2009.

257f. : il. Orientador: Perrin Smith Neto Co-Orientador: Clóvis Sperb de Barcellos

Tese (Doutorado) - Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais. Programa de Pós-Graduação em Engenharia Mecânica.

1. Método de Moiré. 2. Topografia de Moiré. 3. Física ótica.

4. Medição. I. Smith Neto, Perrin. II. Barcellos, Clóvis Sperb de. III. Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais. Programa de Pós-Graduação em Engenharia Mecânica. IV. Título.

CDU: 620.17

Aos meus pais Pedro Américo e Maria das Graças, pelo dedicado incentivo;

a minha esposa Marta, pelo amor e compreensão;

aos meus filhos Ana Laura, Pedro Henrique e Gabriel,

pelo tempo furtado de convívio; e aos meus irmãos

Afonso, Marcos, Rodrigo, Rafael e Cristina, pelo apoio e carinho.

AGRADECIMENTOS

A meu orientador, Professor Doutor Perrin Smith Neto, pela minuciosa

orientação que tornou possível a realização deste trabalho.

Ao meu co-orientador, Professor Doutor Clóvis Sperb de Barcellos, pela

importante ajuda na construção da tese.

Aos professores Doutor Denílson Laudares Rodrigues, Doutor Ernani Sales

Palma e Doutor Jánes Landre Júnior, que, além de conhecimento e dedicação ao

programa, ofereceram irrestrito incentivo além de seguras e preciosas orientações

técnicas e científicas.

Aos colegas e amigos, pelos incentivos demonstrados.

E a todos que, de alguma forma, contribuíram para a realização desta

pesquisa científica e, também a aqueles que, de alguma maneira, puderem se

beneficiar desta modesta contribuição.

RESUMO

A análise de formas tridimensionais é de grande importância para uma vasta

variedade de áreas. Diversos métodos vêm sendo empregados para a determinação

de perfis. As técnicas utilizadas diferem de várias formas e apresentam

características e margens de erro variadas. Topografia de superfície pode ser

convenientemente investigada pela clássica Técnica Moiré de Sombra. Moiré é uma

técnica sem contato e não destrutiva, com um rápido processo de digitalização. Os

fenômenos de Franjas de Moiré são o resultado da projeção de franjas

predominantes em certo objeto. Possui medição precisa comparável com a de outros

sistemas e também um baixo custo. O presente trabalho oferece novos algoritmos

para a avaliação de fase em medidas óticas. Vários algoritmos usando

deslocamento de fase com um arbitrário, mas constante passo de fase entre os

quadros de intensidade capturados são propostos. Os algoritmos são similarmente

derivados do então chamado Algoritmo de Carré. A ideia é desenvolver uma

generalização do Algoritmo de Carré que não fique restrita a quatro imagens. Erros e

ruídos aleatórios nas imagens não podem ser eliminados, mas as incertezas devido

a estes efeitos podem ser reduzidas com o aumento do número de observações.

Uma análise experimental dos erros da técnica foi realizada, assim como uma

análise detalhada de erros da medição.

Palavras-chave: Deslocamento de Fase - Moiré de Sombra - Algoritmo de Carré –

Perfilometria – Métodos Experimentais.

ABSTRACT

The analysis of three-dimensional shapes is of great importance for a vast

variety of areas. Several methods have been used for the determination of profiles.

The used techniques differ in several ways and they present characteristics and

varied margins of error. Surface topography can be conveniently investigated by

Classical Shadow Moire technique. Moire is a non contact and non destructive

technique, with a fast digitization process. The phenomena of Moire Fringes are the

result of the projection of the predominant fringes on a certain object. This low cost

technique is accurate as compared to others. The presented work proposes new

algorithms for phase evaluation in optics measurements. Several phase-shifting

algorithms with an arbitrary but constant phase-shift between captured intensity

frames are proposed. The algorithms are similarly derived as so called Carre

algorithm. The idea is to develop a generalization of Carre that is not restricted to four

images. Errors and random noise in the images cannot be eliminated, but the

uncertainty due to its effects can be reduced by increasing the number of

observations. An experimental analysis of the erros associated with the technique

was made, as well as a detailed analysis of measurement errors.

Key-words: Phase Shifting - Shadow Moire - Carre Algorithm –

Profilometry - Experimental Methods.

LISTA DE ILUSTRAÇÕES E FIGURAS

FIGURA 1 Classificação das técnicas para aqui sição da superfície de contorno ............. 19

FIGURA 2 Classificação das técnicas óticas para aquisição da superfície de contorno .. 19

FIGURA 3 Franjas de Moiré produzidas pela sobreposição de d ois ret ículos . .................. 58

FIGURA 4 Formação das franjas de Moiré pela sobreposição de retículo s constituídos de linhas paralelas ............................... ...................................................................

59

FIGURA 5 Forma ção das franjas de M oiré pela transmissão da luz através de d ois retículos constituídos de linhas paralelas superpos tos .....................................

60

FIGURA 6 Desempacotamento de fases. a) Mapa de Fases empacotadas de um perfil; b) Fases desempacotadas no mesmo perfil .......... .............................................

63

FIGURA 7 Formação das franjas no Moiré de Sombra ......................................................... 64

FIGURA 8 Sistema experimental para Moiré de S ombra com iluminação. a) Com observador localizado a um ângulo em relação à posição normal ao plano que contém o retículo de referência; b) Com o bservador localizado perpendicularmente ao plano que contém o retículo d e referência...................

64

FIGURA 9 Telas (Entr ada e Saída) do programa em Mat Lab® que impl ementa Moiré de Sombra com Deslocamento de Fase ................... .................................................

67

FIGURA 10 Tela do programa comercial R insing -Sun Moiré para a mesma entra da da Figura 9 do programa desenvolvido em MatLab® ...... ........................................

68

FIGURA 11 Gráfico da tangente de um arco em radianos ...................................................... 99

FIGURA 12 Algoritmo para tese numérico -matemático das novas equaçõe s do cálculo de fase. A função Aleatorio() retorna um número rea l randômico (aleatório) entre 0 (zero) e 1 (um), diferente a cada chamada d a função .............................

103

FIGURA 13 Tempo gasto na execução do Método Branch-and-Bound para se obter uma equação do cálculo de fase, usando o Modelo Matemát ico 3.19 com microcomputador Pentium CPU Intel Core2 Quad Q6600 2.4GHz com 2GB Memória, e escutando o programa em Delphi/Pascal qu e implementa o método de Otimização .............................. ..............................................................

106

FIGURA 14 Simetrias no numerador e no denominador dos coeficientes ........................... 109

FIGURA 15 Algoritmo que completa as matrizes de coeficiente s do numerador e do denominador usando simetrias e dados do primeiro um quarto da matriz de coeficientes do numerador, e a primeira metade do v etor de coeficientes do denominador ....................................... ....................................................................

110

FIGURA 16 Algoritmo para zerar os coeficientes do numerador e do denominador das equações do cálculo de fase ....................... ..........................................................

118

FIGURA 17 Algoritmo de formação do primeiro um quarto dos coeficientes do numerador e a primeira metade dos coeficientes do d enominador para o primeiro caso onde N é par; N é divisível por 4 e N é também divisível por 8 .

120

FIGURA 18 Algoritmo de formação do primeiro um quarto dos coeficientes do numerador e a primeira metade dos coeficientes do d enominador para o segundo caso onde N é par; N é divisível por 4, mas N não é divisível por 8 ..

122

FIGURA 19 Algoritmo de formação do primeiro um quarto dos coe ficientes do numerador e a primeira metade dos coeficientes do d enominador para o terceiro caso N é par, N+2 é divisível por 4 e N+2 é divisível por 8 ...................

124

FIGURA 20 Algoritmo de formação do primeiro um quarto dos coe ficientes do numerador e a primeira metade dos coeficientes do d enominador para o quarto caso onde N é par, N+2 é divisível por 4, ma s N+2 não é divisível por

8 ............................................................................................................................... 126

FIGURA 21 Algoritmo de formação do primeiro um quarto dos coe ficientes do numerador e a primeira metade dos coeficientes do d enominador para o quinto caso onde N é ímpar; N-1 é divisível por 4 e N-1 é divisível por 8 ........

128

FIGURA 22 Algoritmo de formação do primeiro um quarto dos coe ficientes do numerador e a primeira metade dos coeficientes do d enominador para o sexto caso onde N é ímpar; N-1 é divisível por 4, m as N-1 não é divisível por 8 ...............................................................................................................................

131

FIGURA 23 Algoritmo de formação do primeiro um quarto dos coe ficientes do numerador e a primeira metade dos coeficientes do d enominador para o sétimo caso onde N é ímpar; N+1 é divisível por 4 e N+1 é divisível por 8 .......

134

FIGURA 24 Algoritmo de formação do primeiro um quarto dos coe ficientes do numerador e a primeira metade dos coeficientes do d enominador para o oitavo caso onde N é ímpar; N+1 é divisível por 4, mas N+1 não é divisível por 8 ............................................ ............................................................................

137

FIGURA 25 Algoritmo completo para geração de equaçõe s de cálculo com núm ero de imagens (N) maior que 15 ......................... ............................................................

138

FIGURA 26 Montagem da T écnica Moiré de Sombra para obtenção das medidas de Z , que é a distância entre o objeto e o retículo em ca da pixel da fotografia .......

154

FIGURA 27 Um conjunto com 16 imagens de Franjas de Moiré de um megapixel geradas no computador. [A-P]. Nas imagens, usou-se uma reso lução gráfica de um megapixel com 1280 pixéis na horizontal e 960 pixéi s na vertical ...................

156

FIGURA 28 À direita , imagem gerada pelo computador do seio de um manequi m, e à esquerda, fotografia digital tirada dos seios do me smo manequim .................

161

FIGURA 29 Exemplo de ruídos e imperfeições de fotografias de Moiré ............................... 167

FIGURA 30 Equipamento para deslocamento de fase ........................................................... 172

FIGURA 31 Fluxograma do processamento da Técnica Moiré de Sombra com Deslocamento de Fase ............................ .............................................................

173

FIGURA 32 Um conjunto com 16 fotografias de F ranjas de Moiré de um megapixel. [A -P]. Fase empacotado[Q]. Fotografia do cilindro real de branco [R]. Resultado em 3-D [S]. (Semi-cilindro de um motor com diâmetro de 6 cm e comprimento de 12 cm) ............................ .............................................................

185

FIGURA 33 Um conjunto com 16 fotografias de F ranjas de Moiré de um megapixel. [A -P]. Fase empacotado[Q]. Globo usado como objeto a s er medido [R]. Resultado em 3-D [S]. (Metade de uma esfera com diâ metro de 6 cm) .............

189

FIGURA 34 Montagem para calib ração e blocos padrões utilizados ................................... 193

FIGURA 35 Um conj unto com 16 fotografias de F ranjas de Moiré de três mega pixéis . [A-P]. Fase empacotado[Q]. Resultado em 3-D [R]. (Bloc o Padrão inclinado com altura de 1 cm) .................................. ......................................................................

194

FIGURA 36 Em [A] manequim pintado de branco fotografado. Em [B] F ranjas de Moiré nos seios do manequim. Em [C] malha usada para faze r as medidas físicas com paquímetro das profundidades dos seios. Em [D-G ] 4 fotografias de Franjas de Moiré defasadas dos seios. Em [H] compar ação entre a fotografia e as medidas. Em [I] reconstrução em 3-D das medida s ....................................

198

FIGURA 37 Em [A] montagem para fazer as fotografias das costa do manequim. Em [B] costas do manequim a ser fotografado. Em [C] malha usada para fazer as medidas físicas com paquímetro das profundidades da s costas. Em [D-E] duas fotografias de Franjas de Moiré defasadas das costas. Em [H] fase empacotada ( Wrapped ). Em [G-I] reconstrução em 3-D das medidas ...... ........

202

FIGURA 38 Incerteza padrão combinada u( φφφφ*) em radianos em função do valor de fase

(φφφφ) também em radianos para as novas equações cálculo de fases desenvolvidas na tese. Nota-se o maior valor da inc erteza em equação com número de imagens pequeno ......................... .......................................................

216

FIGURA 39 Incerteza padrão combinada u( φφφφ*) em radianos em função do valor de fase (φφφφ) também em radianos para as novas equações cálculo de fases desenvolvidas na tese. Nota-se claramente o menor v alor da incerteza em equação com número de imagens grande. Assim para N= 4 e N=5 têm-se valores altos de u( φφφφ*) e para N=15 e N=16 têm-se valores mais baixos .. ..........

217

FIGURA 40 Gráfico em três dimensões de tod as as equaçõe s do cálculo de fase desenvolvidos da incerteza padrão combinada u( φφφφ*) em radianos em função do valor de fase ( φφφφ) em radianos ..................................... ......................................

218

FIGURA 41 Incerteza padrão combinada u( φφφφ*) em radianos em função do valor deslocamento de fase ( δδδδ) também em radianos para as novas equações cálculo de fases desenvolvidas na tese. Nota-se o m aior valor da incerteza em equação com número de imagens pequeno. Observa-s e que para δδδδ entre 85º e 115º, o valor da incerteza em todas as equaçõ es é menor .......................

219

FIGURA 42 Incerteza padrão combinada u( φφφφ*) em radianos em função do valor deslocamento de fase ( δδδδ) também em radianos para as novas equações cálculo de fases desenvolvidas na tese. Nota-se cla ramente o menor valor da incerteza em equação com número de imagens grand e. Assim para N=4 e N=5 têm-se valores altos de u( φφφφ*) e para N=15 e N=16 têm-se valores mais baixos ............................................ ...........................................................................

220

FIGURA 43 Gráfico em três dimensões de tod as as equaçõe s do cálculo de fase desenvolvidos da incerteza padrão combinada u( φφφφ*) em radianos em função do valor deslocamento de fase ( δδδδ) em radianos ..................................... .............

221

FIGURA 44 Gráfico da média da incerteza padrão de tod as as equaçõe s do cálculo de fase testadas. Destaca-se o menor valor da incertez a em equação com número de imagens grande .......................... .........................................................

222

FIGURA 45 Uma implementação em L inguagem Pascal para o cálculo dos coeficientes do numerador e do denominador para N na faixa de 4 até 90.000.512 (realizado o teste numérico matemático). As equaçõe s designadas com (a) foram geradas por este programa .................. ......................................................

257

LISTA DE TABELAS

TABELA 1 Expressões para o cá lculo de fase c om 5 imagens deduzidas p or NOVAK

(2003) ......................................................................................................................

74

TABELA 2 Expressões proporcionais a seno e cosseno da fase φφφφ para cada equação proposta por NOVAK ............................... ..............................................................

76

TABELA 3 Matriz de coeficientes do numerador e do denominado r para N=4 (Ca rré) e para N=5 (Novak) .................................. ..................................................................

80

TABELA 4 Equações encontradas resolvendo o Modelo M atemático 3.19 usando o Método Branch-and-Bound para N (número de imagens) igual a 6 ............ .....

93

TABELA 5 Equações encontradas resolvendo o Modelo M atemático 3.19 usando o Método Branch-and-Bound para N (número de imagens) igual a 7 ............ .....

94

TABELA 6 Equações encont radas resolvendo o Modelo M atemático 3.19 usando o Método Branch-and-Bound para N (número de imagens) igual a 8 ............ .....

95

TABELA 7 Produto das Imagens I 1, I2, I3, I4, I5 e I6 ................................................................. 100

TABELA 8 Equações com núm ero de imagem (N) igual á 4 e 5 .................. ........................ 174

TABELA 9 Equações com número de imagem (N) igual á 6,7,8,9,10,11 e 12 ................... .. 175

TABELA 10 Equações com número de imagem (N) igual á 13,14,15 e 16 ............................ 176

TABELA 11 Estrutura dos dados de uma amostra pareada .................................................. 180

TABELA 12 Erro médio em µµµµm dos 21 conjuntos de imagens aplicadas às equações selecionadas ..................................... .....................................................................

186

TABELA 13 Valor P das comparações dos erro s médios das equações aplicadas ............. 187

TABELA 14 Erro médio em µµµµm dos 19 conjuntos de imagens aplicadas às equações selecionadas ..................................... .....................................................................

190

TABELA 15 Valor P das comparações dos erros médios d as equações aplicadas na esfera ........................................... ...........................................................................

191

TABELA 16 Erro médio em µµµµm dos 25 conjuntos de imagens aplicadas às equações selecionadas ..................................... .....................................................................

195

TABELA 17 Valor P das comparações dos erros médios das equações aplicadas no plano inclinado .................................. ....................................................................

196

TABELA 18 Erro médio em µµµµm dos 12 conjuntos de imagens aplicadas às equações selecionadas....................................... .....................................................................

199

TABELA 19 Valor P das comparações dos erros médios d as equações aplicadas aos seios ............................................ ...........................................................................

200

TABELA 20 Erro médio em µµµµm dos 12 conjuntos de imagens aplicadas às equações selecionadas para as costas de um manequim......... ..........................................

203

TABELA 21 Valor P das comparações dos erros médios d as equações aplicadas às costas ........................................... ..........................................................................

204

TABELA 22 Erro médio em µµµµm dos 25 conjuntos de imagens aplicadas às equações selecionadas para as curvas geradas no computador.. ......................................

206

TABELA 23 Valor P das comparações dos erros médios das equações aplicadas às curvas geradas no computador ..................... ......................................................

207

TABELA 24 Erro médio em µµµµm dos 25 conjuntos de imagens aplicadas às equações selecionadas para imagens geradas no computador com ruídos aleatórios ...

209

TABELA 25 Valor P das comparações dos erros médios das equações aplicadas às imagens geradas no computador com ruído aleatório .....................................

210

TABELA 26 Equações encontradas para N (número de imagens) igual a 9 ........... ............. 249

TABELA 27 Equações encontradas para N (número de imagens) igual a 10 ...................... 250

TABELA 28 Equações encontradas para N (número de imagens) igual a 11 ....... ............... 251

TABELA 29 Equações encontradas para N (número de imagens) igual a 12 ....... ............... 252

TABELA 30 Equações encont radas para N (número de imagens) igual a 13 ..... .................. 253

TABELA 31 Equações encontradas para N (número de imagens) igual a 14 ......... ............. 254

TABELA 32 Equações encontrada s para N (número de imagens) igual a 15 ......... ............. 255

TABELA 33 Equações encontradas para N (número de imagens) igual a 16 ....................... 256

LISTA DE SIGLAS E TERMOS x = Média Aritmética da Amostra

ξ = ε = precisão numérica = dimensão ou ordem do erro numérico (adimensional)

δ = Deslocamento ou mudança de fase (rad)

φ = Mapa de fase (Distribuição de fase) = φ ∈ [0, π/2] (rad)

µ = Média Aritmética da População

φ* = φ´ = φ’ = Mapa de fase (Distribuição de fase) = φ* ∈ [-π, π] (rad)

ABNT = Associação Brasileira de Normas Técnicas é o órgão responsável pela normalização técnica no país, fornecendo a base necessária ao desenvolvimento tecnológico brasileiro

ANSI = American National Standards Institute ("Instituto Nacional Americano de Padronização")

ASA = American Standards Association (americano) = Associação de Padronização Americana

BIPM = Bureau international dês poids et mesures = International Bureau of Weights and Measures

bit = Unidade de medida da informação (Binary digIT)

byte = Conjunto de 8 bits (BinarY TErm)

Calibração = Aferição = Conjunto de operações que estabelece, sob condições especificadas, a relação entre os valores indicados por um instrumento de medição ou sistema de medição ou valores representados por uma medida materializada ou um material de referência, e os valores correspondentes das grandezas estabelecidos por padrões.

CCD = Charge Coupled Device (Dispositivo de Carga Acoplada) de câmeras digitais

d½r = coeficiente da primeira metade do vetor do denominador de ordem r

Dem = vetor de coeficientes do denominador das equações do cálculo de fase

Dem½ = primeira metade do vetor de coeficientes do denominador da equação do cálculo de fase

Deslocamento de Fase = Mudança de Fase = Phase Shifting

DIV = div = quociente da divisão inteira [ DIV(r,s) = r/s ] (resultado sempre menor ou igual à divisão exata em real) = Quociente_Inteiro(r,s)

dpi = dots per inch (pontos por polegada)

dr = coeficiente do vetor do denominador de ordem r

Erro Aleatório = Resultado de uma medição menos a média que resultaria de um infinito número de medições do mesmo mensurando efetuadas sob condições de repetitividade. (Random Error).

Erro de arredondamento = a diferença entre a representação de um número e o seu valor matemático exato, especialmente quando se usa uma quantidade finita de dígitos para representar números reais que tem uma quantidade infinita ou muito grande de dígitos.

Erro de Medição = Resultado de uma medição menos o valor verdadeiro do mensurando. (Measurement Error).

Erro Relativo = Erro da medição dividido por um valor verdadeiro do objeto da medição. (Relative Error).

Erro Sistemático = Média que resultaria de um infinito número de medições do mesmo mensurando, efetuadas sob condições de repetitividade, menos o valor verdadeiro do mensurando. (Systematic Error).

Estabilidade = Aptidão de um instrumento de medição em conservar constantes suas características metrológicas ao longo do tempo. (Stability).

Exatidão de Medição = Acurácia = Grau de concordância entre o resultado de uma medição e um valor verdadeiro do mensurando. (Measurement Accuracy).

FFT = Fast Fourier Transform (Transformada Rápida de Fourier)

Frames = Quadros = Imagens

I = Intensidade de luz

I(x,y) = Intensidade de luz em um pixel da imagem, posição (x,y)

Ia(x,y) = intensidade de modulação em cada ponto da imagem

Ik = Intensidade de luz da imagem de ordem k

Im(x,y) = intensidade luminosa do fundo em cada ponto da imagem

Incerteza de Medição (u) = Parâmetro, associado ao resultado de uma medição, que caracteriza a dispersão dos valores que podem ser fundamentadamente atribuídos a um mensurando. (Uncertainty of Measurement).

Incerteza expandida (U) = é obtida, multiplicando-se a incerteza padrão combinada por um fator de abrangência. A finalidade pretendida é fornecer um intervalo em torno do resultado de uma medição, com o qual se espera abranger uma grande fração da distribuição de valores que poderiam razoavelmente ser atribuídos ao mensurando.

Incerteza padrão = u( ) = incerteza do resultado de uma medição expressa como um desvio padrão.

Incerteza padrão combinada (uc) = é a incerteza padrão do resultado de uma medição, quando este resultado é obtido de valores de um número de outras grandezas.

INMETRO = Instituto Nacional de Metrologia, Normalização e Qualidade Industrial

ISO = International Organization for Standardization = Organização Internacional de Padronização

LPU = Lei da Propagação da Incerteza

M = metade do número de imagens (N) para N par e metade do número de imagens mais um (N+1) para N ímpar [ N par => M=N/2 e para N ímpar => M=(N+1)/2 ]

Medição = Conjunto de operações que tem por objetivo determinar um valor de uma grandeza. (measurement).

Metrologia = Ciência da medição. (metrology).

MOD = mod = resto da divisão inteira [ MOD(r,s) = r/s ] = Resto_Divisão(r, s)

N = número de imagens

n¼r,s = coeficiente do primeiro um quarto da matriz do numerador de linha r e coluna s

nr,s = coeficiente da matriz do numerador de linha r e coluna s

Num = matriz de coeficientes do numerador das equações do cálculo de fase

Num¼ = primeiro um quarto da matriz de coeficientes do numerador da equação do cálculo de fase

p = pitch = passo = distância entre as linhas do retículo de referência = frequência do retículo = frequência espacial do retículo (mm)

PDF = Probability Density Function = Função de Densidade de Probabilidade = função utilizada para representar a distribuição de probabilidade.

pixel = Picture element (elemento da imagem)

PME = Princípio da Máxima Entropia

Precisão da Medição = Precisão = grau de concordância entre indicações ou valores de quantidades medidas obtidas por repetidas medições sobre o mesmo ou objetos similares em condições especificadas. (Measurement Precision).

Precisão numérica = refere-se ao quão próximo está uma representação numérica de um número do seu valor verdadeiro. É estabelecido principalmente pela quantidade de dígitos usado na sua representação. (Número de algarismos significativos).

Rm = Retículo do Modelo

Rr = Retículo de Referência

s = Desvio Padrão da Amostra

Sensibilidade = Variação da resposta de um instrumento de medição dividida pela correspondente variação do estímulo. (Sensitivity).

Teste t = Teste “Student” = Teste T-Student = Teste Estatístico de Comparação de Duas Médias com Dados Emparelhados

u = incerteza de medição = incerteza padrão (desvio padrão)

U95 = incerteza expandida com intervalo de confiança de 95% (infinitos graus de liberdade)

Unwrapping = Unwrapped = Desempacotamento

Valor verdadeiro = Valor consistente com a definição de uma dada grandeza específica. É um valor que seria obtido por uma medição perfeita.

Valor verdadeiro convencional = Valor atribuído a uma grandeza específica e aceito, às vezes por convenção, como tendo uma incerteza apropriada para uma dada finalidade.

X = x = posição do pixel na direção horizontal da imagem (mm)

Y = y = posição do pixel na direção vertical da imagem (mm)

Z = profundidade máxima a ser medida = distância vertical do retículo plano para o ponto do objeto (mm)

Ψ = ordem de franja multiplicada por 2π (adimensional)

SUMÁRIO

CAPÍTULO I – INTRODUÇÃO .......................... .......................................... 18 1.1 Introdução do capítulo ...................... ................................................. 18 1.2 Justificativa ............................... .......................................................... 22 1.3 Problema .................................... ......................................................... 24 1.4 Hipótese .................................... .......................................................... 25 1.5 Objetivos gerais ............................ ..................................................... 26 1.6 Objetivos específicos ........................ ................................................. 27 1.7 Revisão de literatura ....................... ................................................... 27 1.7.1 Estado da Arte ............................ ..................................................... 28 1.7.2 Comentários da bibliografia consultada ..... ................................... 32 1.8 Metodologia ................................. ....................................................... 45 1.9 Recursos .................................... ......................................................... 48 1.10 Procedimentos ............................. ................................................... 51 1.11 Tópicos ................................... .......................................................... 53 1.12 Conclusão do capítulo ..................... ............................................... 54 CAPÍTULO II - TÉCNICA DE MOIRÉ .................. ...................................... 56 2.1 Introdução do capítulo ..................... ................................................. 56 2.2 A Técnica de Moiré ......................... ................................................... 57 2.3 Comparação de valores medidos ............... ...................................... 66 2.4 Conclusão do capítulo ...................... ................................................ 69 CAPÍTULO III - NOVAS EQUAÇÕES DEDUZIDAS ......... ......................... 71 3.1 Introdução do capítulo ..................... ................................................. 71 3.2 O Algoritmo de Carré e o Algoritmo de Novak . ............................... 72 3.3 Novo modelo matemático proposto nesta pesquisa ....................... 76 3.4 Modelo matemático ........................... ................................................. 80 3.5 Método Branch-and-Bound ............................................................... 84 3.6 Método de Programação Não-linear ........... ..................................... 89 3.7 Principais equações do cálculo de fase obtidas ............................ 92 3.8 Testes das equações obtidas ................ ........................................... 96 3.8.1 Teste numérico matemático das equações obtid as .................... 98 3.8.2 Testes de Moiré das equações obtidas ..... ................................... 104 3.9 Simetria nas equações do cálculo de fase .... ................................... 105 3.10 Matrizes esparsas nas equações do cálculo de fase ................... 114 3.11 Equações do cálculo de fase para muitas image ns ..................... 117 3.12 Quantas imagens usar no cálculo de fase ... ................................. 139 3.13 Conclusão do capítulo ..................... ............................................... 141 CAPÍTULO IV - TRATAMENTO DE IMAGENS ............. ............................ 144 4.1 Introdução do capítulo ..................... ................................................. 144 4.2 Passagem da fase de [0, ππππ/2] para [- ππππ, ππππ] ......................................... 145

4.3 Algoritmos de desempacotamento ( Unwrapping ) .......................... 149 4.4 Geração de imagens de Moiré no computador .. ............................. 154 4.5 Acréscimos de ruídos nas imagens ............ ..................................... 157 4.6 Filtros Iniciais antes do cálculo de fase .. ........................................ 161 4.7 Conclusão do capítulo ...................... ................................................ 164 CAPÍTULO V - ANÁLISE DE ERROS ................... .................................... 165 5.1 Introdução do capítulo ..................... ................................................. 165 5.2 Equipamentos utilizados nos experimentos ... ................................ 168 5.3 Equações de cálculo a serem testadas ....... .................................... 174 5.4 Inferências a partir de amostras emparelhadas ............................. 177 5.5 Experiências com cilindros sólidos .......... ....................................... 183 5.6 Experiências com esferas sólidas de metal ... .................................. 188 5.7 Experiências com blocos padrão em aço ....... ................................. 192 5.8 Experiências com seios de manequim .......... ................................... 197 5.9 Experiências com costas de manequim .......... .................................. 201 5.10 Experiências com imagens geradas no computado r .................... 205 5.11 Análises de incertezas para algoritmos do cál culo de fase ......... 211 5.12 Análises de erros das medições ............. ........................................ 223 5.13 Conclusões do capítulo ..................... .............................................. 226 CAPÍTULO VI - CONCLUSÕES ........................ ........................................ 228 REFERÊNCIAS .......................................................................................... 234 APÊNDICE A - EQUAÇÕES DESENVOLVIDAS COM O MODELO 3. 19 .. 249 APÊNDICE B - EQUAÇÕES DESENVOLVIDAS COM O MODELO 3. 51 .. 253 APÊNDICE C - EQUAÇÕES DESENVOLVIDAS COM O MODELO 3. 53 .. 255 APÊNDICE D – PROGRAMA DE GERAÇÃO DE EQUAÇÕES ...... ........... 257

18

CAPÍTULO I - INTRODUÇÃO

1.1 Introdução do capítulo

A medição da forma de objetos tridimensionais tem recebido uma grande

atenção da comunidade científica, devido à sua ampla gama de aplicações. Como

exemplo, pode-se citar aplicações no controle de qualidade de componentes

industriais, na medição do corpo humano para aplicações de ergonomia, no

sensoriamento de ambientes para a robótica, na indústria do cinema e muitas outras.

A utilização de técnicas perfilométricas é de grande importância para diversos

segmentos da indústria e de ciências como a Biologia, Medicina e Engenharia,

principalmente, no que se refere a práticas de controle de qualidade, modelagem

matemática e diagnósticos clínicos. Assim, as técnicas de medição da superfície de

contorno ou perfilometria têm sido utilizadas em um grande número de aplicações na

indústria, na Biologia e Medicina e na Engenharia Civil e Robótica. Na indústria,

representa uma poderosa ferramenta na manufatura, controle de qualidade,

engenharia reversa e na modelagem dos esforços estáticos e dinâmicos a que estão

submetidos os componentes mecânicos. Em Medicina e Engenharia Biomédica, são

usadas em diagnósticos, modelagem de movimentos, estudos sobre materiais

utilizados em próteses e previsão de resultados cirúrgicos. Na Engenharia Civil, seu

uso ocorre na inspeção de grandes estruturas como pontes, edifícios, estradas e

túneis. E finalmente, na Robótica, são utilizadas, principalmente, na implementação

da visão automática de máquina.

As técnicas usadas para a medição do perfil topográfico de objetos são

classificadas em dois grupos: técnicas de contato e técnicas sem contato (Figura 1).

19

Figura 1 - Classificação das técnicas para aquisição da superfície de contorno. Fonte: CURLESS, 2001. Já as técnicas perfilométricas óticas podem ser classificadas em passivas ou

ativas, dependendo da aplicação de luz, sendo ativas, as que obrigam a iluminação

especial do objeto; e passivas, as que utilizam apenas a iluminação ambiente

(Figura 2).

Figura 2 - Classificação das técnicas óticas para aquisição da superfície de contorno. Fonte: CURLESS, 2001.

As técnicas passivas se caracterizam por utilizarem apenas a luz ambiente

para iluminar a cena. A informação de distância é extraída a partir de uma ou mais

imagens de intensidade da cena. As técnicas passivas procuram extrair a

informação de distância a partir de uma ou mais imagens monoculares de

20

intensidade, obtidas com uma câmara fixa. De um modo geral, essas técnicas

permitem apenas obter informações acerca da orientação das superfícies ou da

distância relativa entre os pontos da cena, não possibilitando medir distâncias

absolutas. No entanto, existem técnicas de medida de distância absoluta que usam

imagens monoculares: o exemplo mais conhecido é o das técnicas de focagem que

recorrem à equação das lentes para determinar a distância das regiões bem focadas

de uma ou mais imagens de intensidade. Das técnicas passivas, a mais conhecida é

a estereoscopia, permitindo obter informação de distância a partir de duas ou mais

imagens de intensidade da cena, tomadas com uma ou mais câmaras colocadas em

posições diferentes, recorrendo ao principio da triangulação.

As técnicas ativas de aquisição de informação tridimensional são

caracterizadas pela projeção direta e controlada de energia sobre a cena,

recorrendo a um ou mais projetores e a um ou mais sensores. A energia projetada,

geralmente sob a forma de luz ou ultra-sons, é refletida pelos objetos da cena,

sendo detectada por sensores que, de forma mais ou menos direta, fornecem a

informação de distância. Entre as técnicas ativas está a Técnicas de Moiré, onde a

informação de distância é obtida a partir da interação entre um padrão de luz

projetado sobre uma cena e um padrão de referência.

As técnicas óticas têm como vantagem a rapidez e o fato de não ter contato

físico com os objetos em estudo, sendo, portanto, indicadas para o trabalho com

materiais biológicos sensíveis, tais como o corpo humano.

As técnicas óticas podem ainda ser classificadas em dois grupos: técnicas

com escaneamento e sem escaneamento. As técnicas com escaneamento são

representadas por triangulação, técnicas de luz estruturadas e radar laser. As duas

primeiras são baseadas em princípios de triangulação, e o radar laser é baseado na

medição do tempo de viagem do pulso de laser. Esses métodos, geralmente,

resultam em complicados sistemas computacionais e, normalmente, consomem

muito tempo para cobrir toda a superfície. Uma técnica sem escaneamento típica é a

Técnica de Moiré.

A Técnica de Moiré consiste na projeção de um conjunto de linhas paralelas

sobre a cena e na aquisição de uma imagem da mesma, recorrendo a uma câmara

deslocada em relação ao projetor, em frente da qual está colocado um retículo

idêntico ao usado para projetar as linhas. O padrão de Moiré é um padrão de

interferência de baixa frequência formado pela sobreposição de dois retículos com

21

padrões regularmente espaçados de frequência espacial mais elevada. O resultado

é um padrão constituído por franjas alternadamente brilhantes e escuras, chamadas

Franjas de Moiré.

Existe uma variante desta técnica, designada por Moiré de Sombra (Shadow

Moiré), que usa um único retículo colocada em frente de toda a extensão da

superfície em estudo, tão próxima desta quanto possível. A união das linhas do

retículo com as suas sombras na superfície do objeto dão origem ao conjunto de

Franjas de Moiré. Conhecido o espaçamento das linhas do retículo projetado, a

distância entre o projetor e a câmara, a distância do projetor/câmara ao retículo e o

número de ordem da superfície de contorno, é possível determinar a variação de

distância entre os pontos de duas franjas consecutivas.

Moiré de Sombra tem a vantagem de ser mais simples de implementar, mas

não pode ser aplicada em cenas de grandes dimensões devido à necessidade de

um retículo do tamanho da cena. Outras dificuldades são a de permitir apenas obter-

se informação da distância relativa entre as franjas e a determinação exata da linha

central de cada franja.

Nas Técnicas de Moiré tradicionais, muitas informações contidas entre duas

franjas vizinhas são perdidas. Por isso a partir dos anos 70, foram desenvolvidas

várias técnicas de medição de fase, que aplicadas às Técnicas de Moiré aumentam

grandemente sua resolução, precisão e repetibilidade.

A Técnica Moiré de Sombra necessita basicamente de uma fonte de luz, um

retículo mestre e, em geral, uma câmera fotográfica ou de vídeo como observador. A

sensibilidade em uma abordagem ordinária é da ordem do passo do padrão do

retículo utilizada. Em vista disso, técnicas para o aumento da precisão foram

desenvolvidas, como a Técnica Deslocamento de Fase (Phase Shifting).

A Técnica Deslocamento de Fase necessita normalmente de 3, 4 ou 5

imagens com pequenos deslocamentos do retículo entre elas. Estas mudanças no

retículo provocam alterações nas franjas geradas, deslocando assim a chamada

fase entre as imagens. Usando estas diferenças nas franjas obtidas em cada

imagem, a técnica consegue medir a superfície de contorno dos objetos estudados.

Essa técnica também pode ser aplicada a outras técnicas óticas além das Técnicas

de Moiré.

Quando se olha através de dois retículos sobrepostas, nota-se a formação de

padrões ou franjas, que são resultado da combinação das linhas dessas telas. Esse

22

fenômeno é chamado de fenômeno ou efeito de Moiré. A literatura relata muitos

trabalhos de sucesso usando a Técnica Moiré de Sombra, com ótima precisão.

Trata-se de uma técnica de baixo custo e alta sensibilidade.

1.2 Justificativa

A análise de formas tridimensionais é de elevada importância para uma

variedade de áreas. Na área de saúde, por exemplo, a avaliação de profundidade e

formas tridimensionais deve ser realizada constantemente durante a avaliação e o

tratamento de um grande número de patologias. Em Engenharia Mecânica, a

quantificação do desgaste de peças e mudanças de formas por vários fatores, tais

como temperatura ou carga, torna imprescindível a presença de uma análise

quantitativa segura. Na Engenharia Agrícola, fazem-se necessários estudos em

perfis topográficos de superfícies irregulares como órgãos vegetais, superfície do

solo, elementos de máquinas etc.

A utilização de uma técnica de medição sem contato, visando interferir o

mínimo possível no que se deseja medir, rápida e com níveis de erro baixos o

suficiente para a aplicação específica desejada, se torna necessária. Medições por

técnicas óticas são cada vez mais empregadas na Engenharia e na indústria.

Dentre das técnicas óticas, a Técnica Moiré é especialmente interessante, por

se tratar de um fenômeno ótico utilizado em um grande número de processos de

medição para a obtenção de valores de profundidade, forma, deslocamento,

desgaste, vibração, entre outros. Uma das formas de se utilizar a Moiré na medição

de profundidade e reconstrução de formas em três dimensões é através de uma

técnica chamada Moiré de Sombra. As principais vantagens da Técnica Moiré de

Sombra são a simplicidade, o baixo custo e a margem de erro pequena.

A medição continua presente no desenvolvimento tecnológico. É através da

medição do desempenho de um sistema que se avalia e se realimenta o seu

aperfeiçoamento. A qualidade, a segurança, o controle de um elemento ou processo

são sempre assegurados através de uma operação de medição. Medir é uma forma

de descrever o mundo. As grandes descobertas científicas e as grandes teorias

clássicas foram, e ainda são, formuladas a partir de observações experimentais.

23

Uma boa teoria é aquela que se verifica na prática. A descrição das quantidades

envolvidas em cada fenômeno se dá através da medição.

Do ponto de vista técnico, a medição é empregada para monitorar, controlar

ou investigar um processo ou fenômeno físico. Qualquer sistema de controle envolve

um sistema de medição como elemento sensor, compondo um sistema capaz de

manter uma grandeza ou processo dentro de certos limites. O valor da grandeza a

controlar é medido e comparado com o valor de referência estabelecido, e uma ação

é tomada pelo controlador, visando aproximar a grandeza sob controle deste valor

de referência.

Os recursos experimentais foram, e ainda são, uma ferramenta indispensável

com as quais diversas descobertas científicas tornaram-se possíveis. Problemas nas

fronteiras do conhecimento requerem, frequentemente, consideráveis estudos

experimentais em função de não existir ainda nenhuma teoria adequada. Estudos

teóricos e resultados experimentais são complementares e não antagônicos. A

análise combinada de teoria e experimentação pode levar ao conhecimento de

fenômenos com muito maior profundidade e em menor tempo do que cada uma das

frentes em separado. Através da experimentação é possível, por exemplo, testar a

validade de teorias e de suas simplificações, testar relacionamentos empíricos, e

determinar propriedades de materiais, componentes, sistemas ou o seu

desempenho.

Em todas as áreas da atividade humana há uma busca contínua e ininterrupta

por novos métodos, novos procedimentos que superem ou melhorem, em certo

sentido, aqueles já existentes. A pesquisa de novas técnicas de medições é de

fundamental importância para a ciência e a Engenharia. Medições mais precisas e

com erros e incertezas menores é uma constante na evolução da tecnologia.

Qualquer técnica que tenha a possibilidade de produzir melhores resultados de

Metrologia deve ser investigada e estudada. Esta é a principal motivação desta

pesquisa.

Em ensaios de Engenharia, assim como em várias outras áreas, o

conhecimento dessa incerteza é imprescindível visto que em muitos casos é

necessário fazer medições repetidas da mesma superfície para efeito de

comparação. Com o desconhecimento da margem de incerteza fica difícil confiar no

resultado da comparação.

24

1.3 Problema

Tendo em vista as dificuldades e complexidades dos métodos convencionais

para a determinação de dimensões, perfil, tensões, deformações, movimentos e

posições relativas de objetos em três dimensões, torna-se necessário concentrar

esforços na pesquisa de mecanismos alternativos para a análise experimental

desses objetos. A vantagem de se utilizar as Técnicas Moiré de Sombra é que elas

dispensam equipamentos e técnicas sofisticadas de aquisição de imagens.

Entretanto, é comum em algumas áreas, principalmente na área da saúde, as

avaliações serem realizadas apenas de forma qualitativa, ou ainda, se quantitativas,

não apresentarem dados acerca da incerteza do resultado de medição. A

apresentação de dados experimentais sem estimar suas incertezas ou, pior, sem

conhecer suas fontes de erro, torna qualquer técnica pouco confiável.

Toda medição está afetada por erros. Esses erros são provocados pela ação

isolada ou combinada de vários fatores que influenciam o processo de medição,

envolvendo o sistema de medição, o procedimento de medição, a ação de

grandezas de influência e o operador.

A repetição da operação de medição sobre o mesmo objeto leva mais tempo

e exige cálculos adicionais, mas é justificável em duas situações: quando se deseja

reduzir a incerteza da medição ou quando se trata de um mensurando variável. No

primeiro caso, a influência do erro aleatório diminui quando são efetuadas várias

medidas, o que pode vir a reduzir a incerteza da medição, portanto, a parcela de

dúvida ainda presente no resultado. Tratando-se de um mensurando variável, deve-

se necessariamente efetuar várias medições, visando coletar um número suficiente

de indicações que permitam caracterizar a faixa de variação do mensurando. A rigor,

em termos preciosistas, não existem mensurandos invariáveis.

Surgem então questões de como repetir as medições quanto estas são

obtidas a partir de imagens fotográficas. A resposta apresentada pela Técnica

Deslocamento de Fase está em obter várias imagens fotográficas do mesmo objeto

deslocando o retículo de referência, ou dizendo de outra forma, alterando sua fase, e

assim, mudando as disposições das franjas projetadas no objeto.

25

A Técnica Deslocamento de Fase tradicional é extremamente dependente do

valor da mudança de fase entre as imagens. Qualquer erro no valor do

deslocamento de fase pode acarretar falhas e erros nas medições com esta técnica.

Uma alternativa interessante é o Algoritmo de Carré, que utiliza quatro imagens para

realizar uma medida sem necessidade de conhecimento do valor do deslocamento

de fases, que pode ser arbitrário, necessitando apenas que o passo do

deslocamento de fase seja constante entre cada imagem.

Pode ser interessante utilizar este algoritmo com mais de quatro imagens.

Uma vez que cada fotografia é uma observação ou medida obtida

experimentalmente. O número de medidas pode influenciar o erro ou a incerteza do

processo de medição. Ainda mais se sabendo que normalmente as imagens contêm

muitos ruídos e imperfeições de origens diversas que podem alterar os valores das

medições óticas.

1.4 Hipóteses

Com base em revisão bibliográfica e estudo de outras pesquisas realizadas

por diversos autores, o presente trabalho de pesquisa considera as seguintes

hipóteses:

• é possível utilizar as Técnicas Moiré de Sombra para determinar, com

a necessária precisão, dimensões, perfis, deslocamentos e posições

relativas de objetos. Ou seja, a Técnica de Moiré pode ser aplicada

com resultados satisfatórios na geração de Modelos Digitais de

Elevação ou Topográficos de superfícies irregulares;

• as imagens fotográficas contêm ruídos e imperfeições que vão produzir

erros nas medidas realizadas pela Técnica de Moiré. Há inúmeras

fontes de erro provenientes de vibrações mecânicas, variações de

temperatura, sombras e reflexos nas imagens, pequenos

deslocamentos e inclinações das montagens experimentais, má

calibração dos instrumentos de medição, além de muitas outras;

26

• quanto maior a quantidade de medidas menor a influência do erro

aleatório nas medições, melhorando, assim, a precisão do processo.

Em termos estatísticos, um aumento no número de medições reduz a

incerteza das medidas;

• é possível generalizar o Algoritmo de Carré para mais de quatro

imagens, deduzindo novas equações matemáticas para estes

processos e, também, estimar suas incertezas e suas fontes de erro

para tornar as técnicas confiáveis;

• podem-se usar métodos numéricos e estatísticos para se obter e testar

as novas equações da generalização do Algoritmo de Carré. Um

grande número de testes numéricos pode avaliar ou verificar essas

novas equações ou, pelo menos, tornar mínimas ou remotas a chance

delas estarem erradas ou serem falsas.

A finalidade da pesquisa é desenvolver uma generalização do Algoritmo de

Carré, para que não fique mais restrita a quatro amostras. A razão para o fim da

restrição é o princípio de que quanto maior o número de imagens obtidas para uma

medição, menor a influência de erros aleatórios no processo. O Algoritmo de Carré é

utilizado em vários campos da Engenharia, mas, nesta tese, será aplicado a Técnica

Moiré de Sombra com Deslocamento de Fase.

Na imagem fotográfica está presente certa quantidade de ruídos e

imperfeições. Tais ruídos são as principais causas de erros nas medições realizadas

pela Técnica de Moiré. Acredita-se que com o aumento do número de observações

ou imagens com a generalização do Algoritmo de Carré, seja possível reduzir esta

falha e melhorar a precisão das medidas perfilométricas.

1.5 Objetivo geral

Esta tese tem como objetivo desenvolver uma generalização do Algoritmo de

Carré, para que não fique mais restrita a quatro amostras ou imagens. Além disso,

visa comparar estes novos algoritmos desenvolvidos de forma metrológica, usando a

Técnica Moiré de Sombra com Deslocamento de Fase.

27

1.6 Objetivos específicos

• Desenvolver modelos matemáticos para se obter novas variantes do

Algoritmo de Carré, tendo o deslocamento do passo da fase desconhecido,

mas constante, para quatro ou mais imagens;

• utilizar métodos numéricos para a obtenção dessas novas equações da

generalização do Algoritmo de Carré, alterando o enfoque do problema até

então tratado como analítico e algébrico;

• analisar e testar, de forma metrológica, usando a Técnica Moiré de Sombra

com Deslocamento de Fase, as novas equações desenvolvidas, por meio de

análise de incerteza e de caracterização e estimação das prováveis fontes de

erro;

• comparar as novas equações do cálculo de fase e, usando de Inferência

Estatística, determinar, na média, qual é a mais precisa e apresenta menor

incerteza nas medições.

1.7 Revisão de literatura

A revisão de literatura pode ser dividida em três principais grupos: o primeiro,

sobre a Técnica de Moiré; o segundo, sobre a Técnica Deslocamento de Fase com

ênfase no Algoritmo de Carré, e o terceiro, sobre métodos numéricos, mais

especificamente, sobre métodos de Otimização Inteira Não-linear.

Todos os três grupos tratam de tópicos bens abrangentes, com aplicação em

vários campos da Engenharia. É interessante notar que, apesar da importância

desses temas, eles são, em geral, desconhecidos pela maioria dos engenheiros no

Brasil. A tese ganha relevância ao discutir temas como a Técnica de Moiré, os

métodos de Otimização Inteira Não-linear, a Técnica Deslocamento de Fase e o

Algoritmo de Carré.

28

1.7.1 Estado da Arte

A Técnica de Moiré ganha importância devido ao grande avanço ocorrido com

o desenvolvimento da memória Flash, que é uma memória de computador do tipo

EEPROM, que permite que múltiplos endereços sejam apagados ou escritos numa

só operação. De maneira simplificada, trata-se de um chip reescrevível que, ao

contrário de uma RAM, preserva o seu conteúdo sem a necessidade de fonte de

alimentação. Essa memória é comumente usada em cartões de memória drives

flash, USB, em iPod e câmeras digitais. Atualmente, as câmeras digitais substituíram

as antigas câmeras com filme e, hoje em dia, apresentam um baixo custo e uma alta

resolução na imagem. Além disso, nas câmeras digitais mais modernas, parece

existir uma preocupação em reduzir o ruído e as distorções nas imagens obtidas e

aumentar a resolução em número de pixéis.

Além das câmeras digitais, a Técnica de Moiré é beneficiária da evolução das

técnicas de Processamento Digital de Imagens pelo surgimento dos

microcomputadores populares de alta performance e baixo custo, o que viabiliza o

tratamento de imagens de alta resolução em um tempo extremamente pequeno,

questão de segundos.

Esta melhora no tempo de processamento gerou o surgimento de diversos

filtros com a intenção de melhorar as imagens das fotografias tiradas antes do

processamento. A ideia principal é deixar as imagens quase sem ruído e, com isso,

obter medidas mais precisas. Uma novidade atual é o uso de filtros direcionais auto-

adaptativos. Nestes filtros, uma determinada direção em um bloco da imagem é

priorizada na melhora das franjas.

O Processamento Digital de Imagens é certamente uma área em crescimento.

O Processamento de Imagens vem, na realidade, do Processamento de Sinais. Os

sinais, como as imagens, são, na realidade, um suporte físico que carrega no seu

interior uma determinada informação. Esta informação pode estar associada a uma

medida (neste caso, fala-se de um sinal em associação a um fenômeno físico), ou

pode estar associada a um nível cognitivo (neste caso, fala-se de conhecimento).

Processar uma imagem consiste em transformá-la sucessivamente com o objetivo

de extrair mais facilmente a informação ou medida nela presente. Cabe, neste

momento, fazer uma comparação entre o Processamento Digital de Imagem e a

29

área de Computação Gráfica, técnica encontrada frequentemente aplicada nas

sequências animadas na televisão ou em filmes de cinema. A Computação Gráfica

parte de uma informação precisa para obter uma imagem ou um filme. O

Processamento de Imagens parte da imagem (de uma informação inicial que é

geralmente captada por uma câmera) ou de uma sequência de imagens para se

obter as informações ou medidas. Deste ponto de vista, o Processamento Digital de

Imagens e a Computação Gráfica são exatamente métodos opostos, mas isto não

quer dizer que as técnicas envolvidas em cada caso não possam ser as mesmas ou,

pelo menos, complementares. É evidente que, neste sentido, processar uma

imagem, como é realizado pelo sistema visual humano, é extremamente complexo.

Realizar as mesmas tarefas que o sistema visual humano, com a ajuda de

máquinas, exige, por antecedência, uma compreensão “filosófica” do mundo ou dos

conhecimentos humanos. Esta característica faz com que o processamento de

imagens seja, atualmente, uma disciplina com extrema dependência do sistema no

qual ele está associado, não existindo, no entanto, uma solução única e abrangente

para todos os problemas. Daí a não existência, até o momento, de sistemas de

análise de imagens complexos e que funcionem para todos os casos.

Normalmente, as técnicas de Processamento Digital de Imagens estão

baseadas em métodos matemáticos que permitem descrever quantitativamente

imagens das mais diversas origens. Uma imagem pode, de alguma forma, ser

descrita, independentemente do que ela representa e, a princípio, todos os

parâmetros que tem uma característica bidimensional ou topológica são

convenientes. Em cada objeto definido em um espaço, podem-se efetuar medidas

de superfície, perímetros, comprimentos, espessura, posição etc., para, em seguida,

deduzir grandezas estatísticas de uma forma automática. É importante ressaltar que

a análise automática é imprescindível quando se quiser efetuar transformações

sucessivas na imagem.

Outra evolução sentida recentemente está nas técnicas de

desempacotamento (unwrapping), processo pelo qual o valor absoluto do ângulo de

fase de uma função contínua que se estende além de 2π (relativo a um ponto inicial

predefinido) é recuperado. Esse valor absoluto é perdido quando o termo de fase é

coberto por si mesmo com distâncias repetidas de 2π, que tenham natureza senoidal

das funções de onda usada nas medições de propriedades físicas.

30

A determinação da fase é um problema geral e clássico, fundamental para a

interpretação de todo interferograma envolvendo a interferência de duas funções de

onda senoidais. A chave para se criar um algoritmo robusto de desempacotamento

de fase é se preocupar com a correta detecção dos saltos de fase. Em qualquer

padrão Moiré, as partes de mesma altura no objeto estão representadas nas franjas

como formas de colinas ou selas. O formato de sela aparece comumente nos pontos

de intersecção de mesma altura, e deve-se ter muito cuidado ao se interpretar esta

região na hora de somar ou subtrair a ordem de franja, principalmente, em mapas de

franja que apresentem ruídos.

A evolução atual está em tratar o processo de desempacotamento pelo

Método das Diferenças Finitas, como uma solução da equação de equilíbrio de

Laplace com condições de contorno de Newmann. Com esta técnica, são reduzidas

falhas na detecção dos saltos de fase, embora seja empregada a resolução de

grandes sistemas lineares, o que cria a necessidade de computadores modernos e

rápidos.

Vive-se, também, um grande desenvolvimento na Informática. Tanto em

hardware como em software, os microcomputadores são providos de enorme

capacidade de processamento (dezenas de MIPs – milhões de instruções por

segundo) e de quantidades, cada vez maiores, de memória principal (RAM com

dezenas de gigabytes) e secundária (discos e fitas de milhares de gigabytes). Isso

permite a aplicação eficiente de métodos numéricos complexos, que exigem enorme

volume de operações matemáticas com minimização dos erros cometidos na

resolução de problemas, viabilizada pelo surgimento de uma grande variedade de

programas computacionais, que implementam tais métodos e facilitam sua utilização

por parte de engenheiros, técnicos e estudantes.

A utilização da Estatística é cada vez mais acentuada em qualquer atividade

profissional da vida moderna. Nos seus diversificados ramos de atuação, as pessoas

estão frequentemente expostas à Estatística, utilizando-a com maior ou menor

intensidade. Isto se deve às múltiplas aplicações que o método proporciona àqueles

que dele necessitam. Estatística Indutiva ou Inferência Estatística (indução,

consequência, conclusão) é a parte da Estatística que, baseando-se em resultados

obtidos da análise de uma amostra da população, procura inferir, induzir ou estimar

as leis de comportamento da população da qual a amostra foi retirada. Portanto, a

Estatística Indutiva refere-se a um processo de generalização, a partir de resultados

31

particulares. Consiste em obter e generalizar conclusões, ou seja, inferir

propriedades para o todo com base na parte, no particular. A Inferência Estatística

implica, pois, um raciocínio muito mais complexo do que o restante da Estatística.

Entretanto, bem compreendida e utilizada, pode converter-se em um instrumento

muito importante para o desenvolvimento de uma disciplina científica. O processo de

generalização, que é característico do método indutivo, está associado a uma

margem de incerteza. A existência da incerteza deve-se ao fato de que a conclusão,

que se pretende obter para o conjunto de todos os indivíduos analisados quanto a

determinadas características comuns, baseia-se em uma parcela do total de

observações. A medida da incerteza é tratada mediante técnicas e métodos que se

fundamentam na Teoria da Probabilidade.

Na Engenharia, a Análise Numérica torna-se fundamental para a concepção,

desenvolvimento e análise de equipamentos e projetos, uma vez que as aplicações

têm de satisfazer um conjunto maior de requisitos, como: baixos custos, alta

eficiência e eficácia, elevada confiabilidade e melhoria da qualidade e performance.

Para atender consumidores mais exigentes e a competitividade característica do

mundo globalizado, torna-se economicamente inviável, na Engenharia moderna, o

uso do método de tentativa e erro. As soluções analíticas e algébricas ficaram

impossibilitadas pela necessidade crescente de melhores equipamentos e projetos,

aliada a uma grande complexidade geométrica, efeitos tridimensionais e de

fenômenos físicos e químicos (que devem ser considerados pelo engenheiro) e

presença de diferentes materiais. Restam, praticamente, como único recurso, os

métodos numéricos de alta precisão e de adequada implementação computacionais.

Numa visão simplificada, o engenheiro transforma um problema físico em um

modelo matemático, utilizando o conhecimento das leis da Física e Química. Este

modelo precisa passar por uma fase de resolução, para se chegar à solução. Nesta

fase, os métodos numéricos atuam de forma predominante, uma vez que existem

grandes limitações nos métodos matemáticos analíticos e algébricos. Em problemas

práticos, encontrados hoje em dia, que apresentam uma alta complexidade,

somadas a um aumento da exigência e eficácia dos projetos de Engenharia

modernos, as soluções numéricas são as únicas alternativas disponíveis na

resolução dos modelos matemáticos.

32

1.7.2 Comentários da bibliografia consultada

Inicialmente, serão comentados trabalhos e dissertações atuais sobre o tema,

realizados no Brasil.

Sobre Técnica de Moiré, destaca-se no Brasil trabalho de pesquisa de LINO

(2002), que aplica duas técnicas à Moiré de Sombra, Multiplicação de Franjas e

Deslocamento de Fase, como metodologias para a geração de modelos digitais

topográficos de superfícies irregulares. Para tanto, utilizou-se um modelo de uma

pêra confeccionado em parafina, que foi pintado com tinta látex branca fosca, com a

finalidade de evidenciar as franjas de Moiré. Montou-se um esquema experimental

constituído de uma câmera fotográfica digital, um sistema de iluminação, um sistema

manual para micro deslocamentos do objeto e um retículo constituído de linhas

claras e escuras com espessura de 1,0 mm. Foram tomadas 4 imagens do objeto

com as franjas de Moiré, sendo que o objeto em estudo foi deslocado (afastado)

uma pequena distância do retículo, de maneira que as franjas se deslocassem ¼ de

fase entre cada uma delas. Utilizando-se estas imagens, após tratamento para a

remoção das linhas de Moiré, gerou-se um modelo digital da superfície da pêra. Para

validação, estas técnicas foram comparadas com o outro modelo digital gerado por

um Scanner 3-D Laser, que serviu como padrão. Os resultados mostram que as

Técnicas de Moiré estudadas obtiveram altas precisão e exatidão quando

comparados ao padrão. Ficou comprovado que a Técnica de Moiré também pode

ser aplicada com resultados satisfatórios na perfilometria de objetos com superfície

irregular, tais como órgãos vegetais, fornecendo resultados consistentes e

confiáveis. A Técnica Moiré de sombra com Multiplicação de Franjas é bastante

acessível a usuários com poucos recursos, pois embora trabalhosa, é simples de ser

executada, e utiliza programas computacionais de uso comum. A Técnica de Moiré

com Deslocamento de Fase é bastante rápida de ser executada, porém exige rotinas

computacionais específicas.

Em relação aos ensaios dinâmicos com a Técnica de Moiré, especial atenção

é dada a MAZZETI (2004), que usa um sistema que utiliza uma fonte de luz comum

para iluminação do disco em movimento, retículos obtidos através de técnicas

comercialmente disponíveis e uma câmera fotográfica digital. As imagens de um

disco flexível em movimento sobre um perfil que simula a ação do solo foram

33

registradas e processadas em aplicativos computacionais, fornecendo informações

relativas às deformações provocadas pelo movimento e ação do perfil. A análise

dessas informações indicou viabilidade e elevada precisão da Técnica Moiré de

Sombra para determinar as posições relativas de um disco giratório flexível, ao

acompanhar um dado perfil que simule a ação do solo nas operações de corte basal

de plantas e um excelente desempenho de varredura do perfil, pelo disco, nas

velocidades e inclinações usualmente empregadas no corte mecanizado de cana-

de-açúcar.

Em SCALDAFERRI (2000), tem-se uma interessante e inovadora proposta

sobre o sistema de aquisição e processamento de imagens digitais obtidas a partir

da Técnica de Moiré. Trata-se de um dos primeiros trabalhos de pesquisa nacional

voltado para a criação de um programa computacional que implemente a Técnica de

Moiré sem utilizar softwares comerciais prontos. Esta pesquisa inspirou o autor desta

tese em desenvolver rotinas computacionais de simples e fácil entendimento e

manutenção, para a análise automática das franjas de fotografias de Moiré e sua

transformação em medidas científicas.

RIBEIRO (2006) apresentou o princípio ótico de Moiré de Sombra, abordando

suas qualidades e deficiências. Foi realizada, ainda, uma comparação de diversas

técnicas de remoção de salto de fase, onde uma delas foi eleita no final, sendo a

mesma utilizada em um experimento-exemplo. Uma análise experimental dos erros

da técnica foi realizada, assim como uma análise detalhada de erros da medição, de

forma numérica e prática. Discussões detalhadas dos diversos parâmetros do

sistema são apresentadas no final, complementando análise metrológica da Técnica

Moiré de Sombra.

Em COSTA (2006), é realizada uma análise de incerteza do sistema de

medição do arco medial plantar, usando Moiré de Sombra com Deslocamento de

Fase. Os resultados de medição desse sistema são imagens do perfil do pé, onde

cada pixel representa uma profundidade específica, obtendo-se uma incerteza de

medição da ordem de 5% do valor medido, significativamente menor se comparado

aos sistemas mais comumente usados. Conclui-se que a técnica pode ser usada

para a medição do arco medial plantar, visto que é um método sem contato e com

índice de incerteza adequado.

Em GOMES (2005), tem-se a proposta de uma metodologia para

investigações perfilométricas usando duas técnicas óticas: a interferometria e a

34

Técnica de Moiré. A perfilometria é uma técnica amplamente utilizada na construção

de mapas e gráficos de relevos aplicados a uma vasta área do conhecimento. Os

ensaios de Moiré foram realizados na Universidade Federal de Lavras (UFLA) e no

Instituto Agronômico de Campinas (IAC), em Jundiaí-SP. Foram usados um disco de

retículo, um mouse e um cone como corpos de prova para a determinação da

topografia e para as calibrações da metodologia. Uma vez realizada a calibração da

configuração experimental, foi promovido um mapeamento de uma lâmina elástica

imposta a ensaios de compressão. Os ensaios de interferometria foram realizados

no Centro de Investigações Óticas (CIOp) em La Plata, Argentina, utilizando-se a

lâmina elástica. A metodologia proposta para a calibração da Técnica de Moiré

geométrico mostrou-se capaz de realizar os mapeamentos com resolução máxima,

na ordem de centésimos de milímetros, confirmando-se que pode ser usada em

aplicações com níveis de precisão inferiores a esta ordem. Os ensaios com a

interferometria conseguiram resolução na ordem de 0,5 micrometros, atendendo a

faixas de deformações bem inferiores ao da Técnica de Moiré, podendo ser utilizada,

assim, em atividades que exijam maior nível de precisão e exatidão.

Em OLIVEIRA (2006), vê-se que a análise e recuperação de superfícies e

sólidos irregulares têm se tornado cada vez mais importantes nas mais diversas

áreas científicas e comerciais. As Técnicas de Moiré destacam-se como um método

ótico não invasivo, rápido e muito preciso de medição aplicável em diversas

situações. Entretanto, elas apresentam deficiências como sensibilidade a sombras e

dificuldade de recuperação de sólidos como um todo. Desta forma, propõe-se com o

presente trabalho uma nova abordagem das Técnicas de Moiré para a recuperação

de formas tridimensionais que minimizem essas deficiências, confirmando a

importância de tais métodos no estudo e determinação de superfícies e volumes

dentro de suas inúmeras áreas de aplicação.

HERTZ (2005) desenvolveu uma técnica alternativa, fidedigna e de custo

reduzido aos raios-X, para avaliar a postura humana e problemas posturais. O

método é baseado em um tipo de Técnica de Moiré que usa sombra para definir

diferentes padrões de imagens. Foram construídos, testados e comparados três

protótipos para padronizar as variáveis importantes inerentes a esta técnica. Testes

preliminares realizados com os protótipos 1 e 2 demonstraram suas limitações e

conduziram ao desenvolvimento do protótipo final, que possibilitou visualizar a região

torácica dorsal do indivíduo com melhor qualidade. A precisão desse terceiro

35

protótipo, alcançada através dos cálculos de calibração, apresentou um desvio

padrão de 0,051mm, indicando uma baixa variação entre as franjas. Acredita-se que

este estudo motiva o uso desta técnica como alternativa de baixo custo para uso em

diferentes avaliações relacionadas à postura humana e doenças associadas.

DEL-VECCHIO (2006) desenvolveu uma metodologia capaz de realizar o

mapeamento topográfico tridimensional de contornos livres e de contornos

biomecânicos, criando um sistema de medição sem partes móveis compacto, com

um número reduzido de componentes óticos mecânicos e, portanto, simples,

permitindo a sua aplicação em indústrias, consultórios médicos e instituições de

ensino, por exemplo. O sistema desenvolvido foi composto por um projetor LCD

(display de cristal líquido), uma câmera fotográfica digital CCD (dispositivo de carga

acoplada) e um microcomputador. A configuração do sistema foi tal que a unidade

de projeção iluminou a superfície em estudo (contorno livre) sob um ângulo oblíquo,

enquanto a câmera fotográfica observou a mesma superfície ortogonalmente.

Padrões de franjas compostos por linhas verticais brancas e pretas foram gerados

digitalmente e projetados sobre o contorno a ser medido. A Técnica Deslocamento

de Fase foi incorporada à Técnica de Moiré de Projeção, de forma a viabilizar

medições automáticas, ou seja, sem a intervenção do usuário. Para tais medições foi

desenvolvido um programa dedicado de processamento de imagens, que reúne

todos os algoritmos necessários ao cálculo do perfil tridimensional do contorno, a

partir de imagens bidimensionais em escala de cinza. Este trabalho apresentou os

resultados obtidos pelo sistema de medição proposto para diferentes contornos de

dimensões diversas. Uma breve análise metrológica das possíveis fontes de

incerteza do sistema medição foi apresentada e a incerteza de medição do sistema

proposto estimada. Os resultados de medição obtidos com o sistema de medição

proposto demonstram a sua aplicabilidade na indústria e na Bioengenharia.

Em termos de livros publicados sobre a Técnica de Moiré, destacam-se as

publicações abaixo citadas.

Uma competente revisão bibliográfica sobre a Técnica de Moiré é iniciada

com uma consulta a CLOUD (1998), cujo processo de pesquisa começa com um

estudo sobre análise experimental de tensão e uso de técnicas óticas de análise em

Engenharia Mecânica. O autor cita diversos métodos óticos e, entre eles, a Técnica

Moiré de Sombra. Trata-se de um ótimo ponto de partida, por detalhar muitas

36

aplicações em Engenharia. Referência universal da Técnica de Moiré, esta pesquisa

é muito usada em medições óticas.

Outra pesquisa que faz uma introdução à Técnica de Moiré, é a realizada por

DURELLI et al. (1970), que aplica Moiré na análise de tensões e deformações.

Trata-se de um dos primeiros registros acadêmicos do uso dessa técnica ótica,

constituindo-se numa referência histórica do início da análise automática de franjas.

É interessante notar como o método era aplicado e como as medições eram

processadas.

A pesquisa de DALLY et al. (1991) sobre análise experimental de tensão traz

também uma introdução didática sobre a Técnica de Moiré, e revela a intima ligação

entre medição de tensão, deformação e Moiré. Depois de uma explicação teórica, o

estudo mostra uma série de aplicações em Engenharia com ilustrações e

detalhamento dos experimentos. Outras técnicas óticas são também citadas e

comparadas.

Na sequência natural das referências sobre Moiré, vem PATORSKI (1993),

que realizou um estudo que traz, em detalhes, a descrição de experimentos e

montagens dessa técnica ótica. O estudo apresenta, também, uma forte base teórica

sobre o tema, sendo, sem dúvida, uma referência de consulta para qualquer

profissional que opte por utilizar a Técnica de Moiré.

Em POST et al. (1994), verificam-se avanços na Técnica de Moiré, através de

uma busca por métodos de alta sensibilidade e precisão. O estudo é todo voltado

para essa técnica ótica, e traz descrições de resultados muito bons com erros da

ordem de micrometros e nanômetros. Apresenta montagens com custos,

sofisticação e equipamentos bem diferentes da realizada nesta tese, mas mostra a

evolução que se está atingindo e o estado da arte em Moiré.

A pesquisa de RASTOGI (2001) mostra analogias de técnicas usadas em

Moiré e em interferometria. O autor realiza também um interessante estudo sobre

erros e incertezas em medidas óticas, com um forte apelo à implementação dos

métodos de medições.

Em ASUNDI (2002), podem ser vistas implementações completas em

MatLab® com código-fonte da Técnica de Moiré de Sombra com Deslocamento de

Fase. Esse estudo foi a base para se fazer o programa em MatLab® que

implementa a Técnica de Moiré. Acompanha a obra de ASUNDI um CDROM com as

listagens das rotinas. Trata-se de excelente consulta para quem deseja usar,

37

implementar ou programar Moiré em MatLab®. As rotinas são todas documentadas

e o texto mostra sua utilização e execução, apresentando, além disso, exemplos

comentados.

Cita-se, ainda, ROBINSON et al. (2003), sobre análise interferométrica e

técnicas óticas comuns a Moiré. A pesquisa detalha as técnicas óticas e traz

inúmeras aplicações. O autor considera o estado da arte em interferometria, o que

faz desta obra uma consulta obrigatória para os atuais pesquisadores da área de

medições óticas.

Com relação a teses e dissertações internacionais sobre a Técnica de Moiré

gostaria de citar as referências abaixo.

Em WANG (2003), tem-se o estudo da tese do criador do software Rising-Sun

Moiré® (detalha a construção do programa computacional), que foi orientado por um

dos mais importantes pesquisadores da área – BONGTAE HAN, um dos autores de

POST et al. (1994). Essa pesquisa de WANG (2003) detalha também os filtros

direcionais. É bem possível que, segundo o autor, em 2011, o programa Rising-Sun

Moiré® se torne um software livre (Freeware) com código-fonte aberto.

Outra interessante pesquisa internacional é de HAN (2005), que traz um

importante estudo sobre erro aplicado a Moiré Interferométrico, que pode ser

expandido para Moiré de Sombra. É interessante notar, neste estudo, o alto nível

das pesquisas internacionais sobre a Técnica de Moiré e a linha de pesquisa

seguida atualmente. A busca por precisão e sensibilidade é uma constante neste

trabalho.

Em termos de artigos nacionais sobre Moiré, destacam-se, nesta tese, os

abaixo citados.

O estudo de SMITH et al. (2000) traz detalhes de como gerar imagens de

Franjas de Moiré no computador e realizar medições usando as imagens geradas e

implementando a Técnica Moiré de Sombra com Deslocamento de Fase. O artigo é

muito didático e constitui uma ótima referência para quem está se iniciando no tema.

Nesta tese, o referido estudo embasou a criação de imagens por computador.

Cita-se, também, o estudo de RODRIGUES et al. (2003) sobre a utilização de

Moiré para detectar alterações posturais na coluna vertebral de pacientes, de fácil

entendimento e com aplicação na área de saúde. A pesquisa detalha o método

usado e os resultados obtidos, além de mostrar uma importante aplicação da

Técnica de Moiré com uso prático e imediato.

38

Com relação aos artigos científicos internacionais sobre Moiré, foram

catalogados, no planejamento de pesquisa desta tese, aproximadamente, mais de

100 estudos, obtidos, sem custo, em site da Internet1, usando-se a rede de

computadores da Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais. Destacam-se,

entre eles, os artigos abaixo citados.

CREATH (1988) realizou um importante estudo sobre erro na medição ótica

de imagens, sendo o mesmo utilizado no presente trabalho de pesquisa para a

formulação da análise de erro. É interessante notar que a autora segue escrevendo

dezenas de artigos, avançando o estudo do tema. O artigo é uma referência

consagrada na discussão inicial sobre incerteza nas medições.

DIRKX et al. (1990) elaborou a descrição de como a Técnica Deslocamento

de Fase melhora a precisão da aplicação pura e simples de Moiré com uma única

imagem. No referido estudo, aparece, pela primeira vez, a ideia de que se

aumentando o número de imagens se aumenta a precisão das medidas. Vale

salientar que a Técnica Deslocamento de Fase é uma alteração do método padrão

Moiré de Sombra, com o intuito de melhorar a precisão. No método padrão de Moiré

com uma única imagem, a precisão é muito dependente do espaçamento do retículo.

Na elaboração desta tese, o citado pesquisador colaborou gentilmente com este

autor, eliminando, por meio de correspondência, algumas dúvidas de natureza

técnica.

GASVIK (1983) foi utilizado, nesta tese, para o aprendizado e compreensão

da técnica. Sua pesquisa abrange o fundamento da Técnica Moiré de Sombra,

constituindo-se na base teórica para o desenvolvimento de implementações

computacionais. Trata também do uso de Processamento Digital de Imagens com

Moiré. Constituiu-se numa importante referência histórico-evolutiva das medições

óticas.

Em LU et al. (2002), têm-se estudos e variantes da Técnica de Moiré na

medição de objetos em três dimensões. O estudo se baseia na intensidade de fase e

em sua modulação. Nota-se que existe atualmente uma grande variedade e

diversidade de Técnicas de Moiré em uso e com aplicações das mais diversas, o

que complica, até mesmo, sua classificação e sistematização didática.

1 http://www.sciencedirect.com/

39

Constantemente, observam-se novas e diferentes formas de aplicar, utilizar e medir

usando Moiré. A criatividade e engenhosidade demonstradas são fantásticas.

Com relação ao Algoritmo de Carré, faz-se importante citar os principais

artigos internacionais utilizados na elaboração desta tese.

Em CARRE (1966), tem-se a descrição da criação do algoritmo e de seu uso

em um microscópio fotoelétrico. É interessante notar que o criador da técnica não

tinha a ideia da importância e do vasto campo de aplicação que o seu algoritmo

alcançaria. O autor trabalha na análise de quatro frequências defasadas entre si de

um valor desconhecido, mas igualmente espaçados.

NOVAK (2003) apresenta a expansão do Algoritmo de Carré para cinco

imagens e uma profunda análise de erros nas medidas obtidas. O autor cita

inúmeras equações com cinco imagens obtidas por meio de relações

trigonométricas, e tenta encontrar a melhor delas: a que apresenta o menor erro.

Em novo estudo, NOVAK et al. (2008) mostra a expansão do Algoritmo de

Carré para seis, sete e oito imagens, fazendo uma análise de erros nas medidas. As

várias equações obtidas por meio de relações trigonométricas são citadas. É

interessante notar que o autor não segue uma regra de formação nas equações

testadas, e que seu desenvolvimento é todo algébrico. NOVAK aplica as equações e

as testa em interferometria.

CAI et al. (2004) aplicou a Técnica Deslocamento de Fase para fases

desconhecidas e desenvolveu métodos numéricos para descobrir tais fases. A

preocupação do autor não é com a melhora da precisão das medidas, mas aplicar a

Técnica Deslocamento de Fase, quando se tem muitas imagens com os

deslocamentos de fase aleatórios.

WANG et al. (2007) também aplicou a Técnica Deslocamento de Fase para

fases desconhecidas e desenvolveram métodos numéricos para se descobrir as

fases. Da mesma forma que CAI et al. (2004), a preocupação do autor não é com a

melhora da precisão das medidas, mas com a aplicação da Técnica Deslocamento

de Fase quando se tem muitas imagens (3, 4 e 5) com os deslocamentos de fase

aleatórios.

Com relação ao algoritmo de desempacotamento (unwrapping) são

destacadas, nesta pesquisa, as referências abaixo.

GHIGLIA et al. (1998) fundamenta a teoria de desempacotamento,

apresentando um algoritmo para se realizar o processo, tornando-se um dos

40

precursores da aplicação prática da técnica. Seu estudo é basicamente didático, e

traz, passo a passo, a implementação do algoritmo proposto, sugerindo, também,

um modelo matemático.

PRITT et al. (1994) traz um algoritmo de desempacotamento em duas

dimensões, usando um modelo matemático dos Mínimos Quadrados e

Transformadas Rápidas de Fourier (FFT – Fast Fourier Transform). O autor mostra

detalhes de sua implementação computacional e exemplifica todo o processo.

HUNTLEY (1989) mostra como os algoritmos de desempacotamento são

sensíveis a ruídos e distorções, iniciando a busca por métodos que sejam imunes

ou, no mínimo, menos sensíveis a ruídos nas imagens. É interessante citar que, em

todas as etapas das aplicações das Técnicas de Moiré, existe uma busca constante

na eliminação de ruído e falhas nas imagens. A ideia é sempre tentar melhorar a

precisão das medidas.

MARROQUIN et al. (1995) traz um algoritmo alternativo para o

desempacotamento de imagens em duas dimensões, usando funções quadráticas.

Atualmente, o que existe é uma comparação entre os diversos algoritmos de

desempacotamento para verificar qual apresenta maior imunidade a ruídos e qual é

computacionalmente mais eficiente e robusto. Vários modelos matemáticos são

apresentados e comparados.

Com relação às publicações sobre Processamento Digital de Imagens, optou-

se, neste estudo, pelas referências abaixo citadas.

GONZALEZ et al. (2000) traz uma ótima introdução ao Processamento Digital

de Imagens, trabalhando, inclusive, com filtros que são usados nesta pesquisa,

como os filtros Passa Baixo e os filtros Gaussianos, utilizando, também, filtros no

domínio da frequência e transformadas de Fourier. Trata-se, sem dúvida, de uma

referência consagrada em Processamento Digital de Imagens.

Em GONZALEZ et al. (2004), toda a teoria discutida sobre Processamento

Digital de Imagens é implementada com rotinas em MatLab®. Tais rotinas foram

usadas no presente trabalho de pesquisa, e podem ser obtidas pela Internet. São

filtros que tratam inicialmente as imagens antes do cálculo de fase. O uso dessas

rotinas é estendido à geração de imagens de franjas de Moiré, para dar veracidade e

realidade a elas.

Em GOMES (2003), tem-se uma introdução sobre Computação Gráfica de

fundamental importância para a fácil compreensão da presente tese. Trata-se de

41

pesquisa de perfil didático sobre os princípios da análise de imagens, sendo uma

excelente referência em língua portuguesa.

BOVIK (2003) desenvolveu estudo sobre o estado da arte no plano do

Processamento Digital de Imagens, apresentando uma modelagem matemática

sobre ruídos e distorções nas imagens. Modelos matemáticos e estatísticos simulam

falhas em fotografias digitais.

PEDRINI et al. (2008) apresenta os fundamentos do tratamento de imagens

digitais. Modelagens matemáticas de ruídos são estudadas, sendo realizado,

também, um aprofundamento da teoria de filtros no domínio da frequência. A

pesquisa aborda o estado da arte em termos de transformadas de imagens e

métricas de qualidade em fotografias digitais. Erros em imagens são tratados em

detalhes.

Com relação à Otimização e referência sobre o Método Branch-and-Bound,

destacam-se os estudos abaixo citados.

HILLIER et al. (2006) elaborou uma introdução à Pesquisa Operacional e à

Otimização, apresentando o Método Branch-and-Bound para Programação Inteira

Linear, e detalhando o Método Simplex de Programação Linear. Neste mesmo

estudo, desenvolveu uma introdução à Programação Não-linear. Trata-se de uma

referência universal sobre Programação Matemática e Otimização.

MAHEY (1987) desenvolveu pesquisa sobre Programação Não-linear,

trazendo algoritmos prontos para sua implementação, além de fazer uma revisão

didática sobre a sua matemática. Seu estudo é de fácil compreensão, mas

inquestionavelmente desafiante, porque apresenta métodos cada vez mais

sofisticados para resolver os problemas de Otimização Não-linear.

GOLDBARG et al. (2005) realiza uma introdução à Otimização Discreta. Seu

estudo apresenta, também, um histórico da evolução dos métodos de Otimização,

fornecendo uma rica referência bibliográfica sobre novos métodos de Programação

Matemática. Algoritmos e pseudo-algoritmos são apresentados em detalhes.

BERTSEKAS (2003) apresenta um aprofundamento das técnicas de

Programação Não-linear. Nesta tese, sua pesquisa foi utilizada como base para a

implementação e programação de métodos de Otimização Não-linear acoplado com

o Método Branch-and-Bound, que minimiza e reduz a avaliação da função objetiva.

O Método Branch-and-Bound realiza uma pesquisa inteligente em uma estrutura de

árvore na busca de soluções ótimas, tendo como base o Método Simplex de

42

Programação Linear ou Método dos Gradientes Conjugados de Programação Não-

linear.

BAZARAA et al. (1993) também realizou estudo sobre Programação Não-

linear, completando a teoria sobre o tema. Algoritmos são detalhados e explicados

passo a passo. O autor se valeu de uma interessante aproximação das derivadas

por diferenças finitas e de uma extrapolação dessas, objetivando uma melhor

precisão dos cálculos das derivadas através de métodos numéricos.

TAHA (2007) finalizou o estudo sobre pesquisa operacional e otimizações.

Em sua pesquisa, o autor implementou e testou várias das técnicas de Programação

Inteira Não-linear. Nota-se que os métodos de Otimização Inteira Não-linear, dentre

eles, o Método Branch-and-Bound, são relativamente novos, e sua programação

computacional de forma eficiente apresenta certa complexidade e dificuldade.

Com relação aos métodos numéricos, foram consultadas as referências

citadas a seguir.

KHARAB et al. (2002) pesquisou os principais métodos numéricos de cálculo

implementados em MatLab®. Seu estudo foi fundamental para a elaboração desta

tese, já que boa parte dos programas e rotinas nela desenvolvidos são em MatLab®.

Nele também foram colhidas rotinas como a do Método de Newton-Raphson para

sistemas não lineares. De perfil didático, o estudo apresenta exemplos e

implementações documentados e comentados.

HOFFMAN (2001) elabora uma competente introdução sobre as disciplinas de

Métodos Numéricos e Cálculo Numérico. Uma vasta teoria sobre erros, precisão

numérica, estabilidade e convergência das técnicas numéricas pode ser encontrada

em seu estudo, altamente indicado para pesquisadores que estão se iniciando na

análise numérica e pretendem implementar e usar métodos numéricos.

CHAPRA et al. (1998), por sua vez, estudou os métodos numéricos usando o

MatLab® e o Microsoft Excel®. Sua pesquisa conquistou o prêmio de melhor obra

em Análise Numérica, no ensino da Engenharia. Detalhes sobre erros de

arredondamento e sua propagação em operações matemáticas podem ser vistos em

seu estudo. Regras e sugestões de como reduzir a propagação de erro de

arredondamento também são tratados pelo autor. Como exemplo, o autor explica

que: se multiplicar um número por um valor muito alto, o erro de arredondamento do

número é também multiplicado por este mesmo valor; logo, os métodos numéricos

43

devem ser desenvolvidos de forma a não permitir multiplicações por valores grandes

ou divisões por valores muito pequenos.

CLAUDIO et al. (2000) estudou os algoritmos dos principais e mais comuns

métodos de Cálculo Numérico. Sua pesquisa foi utilizada nesta tese como referência

para implementação das técnicas de solução de sistemas lineares usadas nos

algoritmos de desempacotamento. O Método de Gauss com Pivotação Parcial

mostrou-se muito eficiente e eficaz na solução de sistemas lineares com milhares ou

até mesmo milhões de equações e incógnitas onde a maior parte dos coeficientes

eram zero, apresentando sistemas esparsos. Como a maioria dos termos era zero e

a pivotação se baseia no escalonamento de matrizes, a solução de tais sistemas

lineares com milhões de equações e incógnitas foi realizada pelo computador de

maneira bem rápida e precisa. Portanto, esse estudo foi de fundamental importância

para o sucesso dos métodos implementados nesta tese.

CARNAHAN et al. (1969) desenvolveu estudo sobre a utilização do Método

das Diferenças Finitas na resolução da equação de Laplace, teoria utilizada nos

algoritmos de desempacotamento testados nesta tese. Apesar de antiga, sua

pesquisa é uma das melhores referências em termos de Cálculo Numérico e Análise

Numérica, pois apresenta implementações muito simples na Linguagem Fortran,

possibilitando que seja facilmente transformada em Linguagem Pascal. A teoria e

aplicação de diversos métodos numéricos podem ser estudados e pesquisados

nesta obra.

Com relação à Estatística e Inferência, foram utilizadas nesta tese as

pesquisas abaixo citadas.

TRIOLA (2008) apresenta uma introdução sobre Estatística básica, além de

técnicas que descrevem o uso do método estatístico e da inferência na comparação

de tratamentos. O livro ensina como utilizar o software Minitab® para cálculos e

análise de dados experimentais, teoria aplicada nesta tese, visando à comparação

das medidas obtidas com as várias equações novas do cálculo de fase criadas. O

texto traz informações de como usar a parte Estatística do Microsoft Excel®,

constituindo-se numa referência consagrada e mundialmente usada em Estatística e

Probabilidade. Para facilitar ainda mais a vida do pesquisar, o estudo apresenta

algoritmos e fluxogramas a serem seguidos na análise e comparação dos dados.

WALPOLE et al. (2007) elaborou uma introdução sobre Estatística, mas

detalhando muito mais a parte matemática e numérica. Como exemplo, tem-se o

44

cálculo numérico dos valores de P (é a probabilidade de que a amostra podia ter

sido tirada de uma população sendo testada, supondo que a hipótese nula seja

verdadeira; um valor de 0,05, por exemplo, indica que existe uma probabilidade de

5% de que a amostra que se está a testar possa ser tirada, supondo que a hipótese

nula é verdadeira), aonde se chega à resolução numérica de uma integral. Este

estudo mostra como fazer este tipo de cálculo usando quadratura numérica. O autor

utiliza conhecimento de Cálculo Diferencial e Integral no estudo da Estatística.

MANN (2006) apresenta vários exemplos do teste da hipótese e da

comparação de duas médias usando o Teste T-Student. O texto traz a teoria e

prática juntas, através de exercícios resolvidos que auxiliam a compreensão do

assunto. Trata-se de uma referência excelente para estudantes de Estatística e

Probabilidade.

MONTGOMERY et al. (2004) elabora uma introdução à Estatística voltada

para a Engenharia. Medições e aplicações práticas de Engenharia são apresentadas

e resolvidas. O autor se utiliza de uma matemática um pouco mais avançada, que

exige o conhecimento de cálculo diferencial e integral, complementando o estudo de

probabilidade e de distribuições contínuas.

FARIAS et al. (2003) apresenta uma ótima referência para uma introdução à

Estatística. Com uma explanação resumida e rápida, o autor aborda os principais

tópicos da Inferência Estatística e do método estatístico, através de exemplos

interessantes como o uso do Teste T-Student para se comprovar a teoria da

evolução de Darwin. Este mesmo teste é usado neste trabalho de pesquisa.

Com relação à Metrologia e estudo de medidas, foram utilizadas nesta tese as

pesquisas abaixo citadas.

GONÇALVES (1996) apresenta a base da Metrologia, além de cuidados que

devem ser tomados ao se realizar medidas. Trata-se de uma introdução às

medições em Engenharia. Com uma linguagem muito simples e clara, o autor

aborda conceitos sobre erros nas medições, incertezas e a diferença entre precisão

e exatidão, e explica porque se devem realizar várias medidas repetidas para chegar

a um resultado melhor e mais confiável.

GUIMARÃES (1999) realiza um estudo da Metrologia direcionado ao campo

da indústria, apresentando regras práticas que devem ser seguidas para se obter

uma melhor medida. Vários métodos experimentais são descritos e detalhados, e

técnicas experimentais são apresentadas.

45

LIRA (2007) realiza um estudo detalhado dos métodos experimentais. Citando

normas do INMETRO, da ABNT e da ISO, o autor explica como seguir as normas e

quais são a mais adequada para cada caso. Um glossário de termos técnicos e

definições rigorosas em Metrologia são anexados ao estudo. Trata-se de uma

referência indispensável para estudantes e pesquisadores.

CORDERO et al. (2007) propõem uma metodologia para a análise de

incerteza em algoritmos do cálculo de fase. Usando de bases Estatísticas, esta

pesquisa analisa e testa equações que utilizam muitas imagens e com deslocamento

de fase conhecidos e determinados. Chega-se a importante conclusão que se

utilizado equações com um elevado o número de imagens tem-se uma redução da

incerteza da medição. Assim, o uso de um maior número de imagens no cálculo de

fase melhora a precisão das medidas quanto o deslocamento de fase é conhecido.

Além de todas as referências citadas, foram consultados manuais de software

e programas computacionais, referências históricas e evolutivas de métodos e

técnicas científicas, acrescidas de textos sobre Programação Estruturada de

Computadores, Orientação a Objetos, Análise de Sistemas e Engenharia de

Software. A Computação e Desenvolvimento de Sistemas têm presença marcante

nesta pesquisa científica. A Informática foi parte integrante do seu desenvolvimento,

contribuindo de forma crucial para a execução de uma enorme quantidade de

cálculos e tarefas.

1.8 Metodologia

No desenvolvimento deste estudo, foi utilizada a bibliografia pertinente ao

tema, de uso comum nas redes públicas e particulares de ensino, livros encontrados

em livrarias e bibliotecas, além de vasta pesquisa na Internet. Formou-se, assim, um

grande levantamento bibliográfico sobre Técnica de Moiré, Algoritmo de Carré e

Método de Otimização Não-linear de Branch-and-Bound. Além disso, foi realizada

uma análise dos livros, trabalhos científicos, artigos e textos complementares que

poderiam ser usados na pesquisa.

A fim de se verificar a capacidade da Técnica Moiré de Sombra em

determinar a topografia de objetos (perfilometria) com superfície irregular, foi

46

realizada a montagem dos equipamentos e uma série de experimentos na medição

de objetos (manequim, frutas, peças de madeira pintadas de branco, objetos

cilíndricos ou esféricos, planos inclinados e blocos de padrões métricos) e

programas de computador em MatLab® que implementam o Moiré de Sombra com

Deslocamento de Fase. Também foram realizadas análises de incerteza e erro nas

medidas e a comparação dos resultados com softwares comerciais que

implementam a Técnica de Moiré, como o Rising-Sun Moiré (WANG, 2008) e o Fran

(JUDGE, 1996).

Após os testes de medição de topografia usando a técnica padrão Moiré de

Sombra, implementou-se o Algoritmo de Carré, onde o deslocamento de fase é

desconhecido e o passo é constante entre cada fase utilizando quatro imagens. A

ideia era testar o programa em MatLab® com o Algoritmo de Carré. E em seguida,

adaptá-lo para utilizar a generalização do Algoritmo de Carré, que não fica restrito a

quatro imagens. Para tal, desenvolveu-se um programa em Delphi/Pascal®, para

implementar o método de Otimização Inteira Não-linear de Branch-and-Bound.

Com a implementação computacional de Branch-and-Bound foram criadas

centenas de equações para o cálculo de fase, onde o deslocamento de fase é

desconhecido, mas o passo é constante entre cada fase, utilizando-se mais de

quatro imagens. Essas equações foram testadas matematicamente para verificar

sua validade e veracidade. Usou-se, também, o software comercial de Otimização

Lingo®, para confirmar essas mesmas equações do cálculo de fase. Tanto o Lingo®

como a implementação de Branch-and-Bound obtiveram sucesso no encontro de

novas equações do cálculo de fase, usando-se o modelo matemático da

generalização do Algoritmo de Carré.

Trabalhando com essas centenas de equações inéditas do cálculo de fase,

verificou-se que, em muitas delas, havia regras de formação e simetrias. Usando

estas regras, tentou-se chegar a um esquema (algoritmo) para a criação de

equações do cálculo de fase sem a utilização de qualquer técnica numérica. Este

esquema foi testado computacionalmente com o número de imagens variando de

quatro até alguns milhões de frames (quadros ou imagens), usando-se muitos

valores gerados aleatoriamente e cálculos numéricos.

Utilizando-se as rotinas dos programas feitos em MatLab® que implementam

a Técnica Moiré de Sombra, as medidas da topografia de objetos foram realizadas

com as novas equações do cálculo de fase desenvolvidas anteriormente. Usando

47

objetos com dimensões conhecidas ou de fácil estimação, obteve-se o erro em

milímetros da aplicação da Técnica Moiré de Sombra com cada uma destas novas

equações. Para comparação das medidas e dos erros encontrados nas medições

usou-se a Inferência Estatística. As melhores equações obtidas foram selecionadas.

Além disso, foi realizado um estudo com o tratamento de imagens, onde, em

vez do uso de fotografias reais de Franjas de Moiré, as imagens foram criadas no

computador. Usando-se o conhecimento de Processamento Digital de Imagens,

ruídos e distorções foram acrescidos as imagens geradas, a fim de torná-las o mais

próximo possível do real.

Utilizando-se novamente as rotinas em MatLab® que implementam a Técnica

de Moiré de Sombra com as novas equações do cálculo de fase, foram realizadas

medições e análises de erros com essas imagens geradas no computador, usando

objetos imaginários (funções matemáticas da superfície de uma curva). O objetivo

desse trabalho foi testar e comparar as novas equações do cálculo de fase criadas

com o Método Branch-and-Bound.

A simulação, ou Moiré inverso, consiste na produção de imagens Moiré de

Sombra correspondente a um dado campo de deslocamentos teórico. A utilização de

Moiré inverso tem se mostrado particularmente útil na verificação da validade das

novas técnicas para processamento automático de padrões Moiré de Sombra,

tornando-se uma ferramenta indispensável na verificação dos erros computacionais,

diferentes dos erros experimentais, presentes em qualquer método computacional

para análise de padrões Moiré de Sombra que utilize Processamento Digital de

Imagens.

Além disso, foram desenvolvidos programas em Delphi/Pascal® para analisar

de forma metrológica o erro e a incerteza padrão e expandidas das novas equações

do cálculo de fase criadas na tese. Esta análise possibilitou uma comparação entre

os algoritmos de cálculo e verificar quais apresentavam melhor precisão.

Ao final da pesquisa, há uma análise comparativa das medidas experimentais,

usando-se as Técnicas de Moiré com as novas equações do cálculo de fase criadas.

Conclusões e aproximações foram então construídas com base nesta Análise

Estatística, e a sugestão de propostas para futuros trabalhos.

48

1.9 Recursos

Todos os recursos materiais utilizados nesta pesquisa pertencem ao

Laboratório de Análise Estrutural da Pontifícia Universidade Católica de Minas

Gerais, e foram cedidos para que a tese pudesse ser elaborada. Do material

utilizado, destacam-se, com especial atenção, alguns itens descritos a seguir.

O retículo de franjas foi confeccionada com o uso de uma transparência

afixada a uma placa de vidro. A placa de vidro tem 3 mm de espessura, com 260

mm de comprimento e 220 mm de altura. O vidro foi cuidadosamente limpo, ficando

sem arranhados ou trincas. Foi utilizada uma impressora de jato de tinta para a

impressão do retículo na transparência. O padrão de impressão utilizado foi o

fotográfico, com uma resolução equivalente a 1280 x 960 dpi.

A transparência foi então cortada no tamanho da placa de vidro, de forma que

as franjas cobrissem todo o vidro. Posteriormente, a transparência com o padrão de

franjas foi afixada na placa de vidro evitando, ao máximo, a formação de bolhas de

ar entre a placa e a transparência. A fixação da transparência na placa de vidro foi

realizada com papel contact transparente colado nas laterais da transparência.

Micrômetros foram montados no retículo, para possibilitar o deslocamento de

fase entre as várias imagens fotográficas, de forma precisa e exata, e esta estrutura

foi presa a um suporte móvel.

O passo (pitch) de um retículo de Moiré é a distância entre os pontos

correspondentes nas barras (ou franjas) adjacentes, e a frequência de um retículo é

o número de barras por unidade de medida (POST et al., 1994), sendo o passo,

nesta pesquisa, utilizado como unidade de medida o milímetro.

Para escolha da câmera foram analisados os seguintes critérios: custo,

resolução, facilidade de controle e automação. A câmera utilizada foi Sony Digital

DSC-H1 de 5 megapixéis. Foi usada, também, uma fonte de luz de Fiber Optic Light

Source de 300 watts de luz branca incandescente.

Para o processamento foram utilizados os microcomputadores com

processador Pentium da Intel® tipo PC com sistema operacional Windows XP® da

Microsoft®, do Laboratório de Análise Estrutural, dando-se preferência a programas

e softwares já utilizados pela Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais.

Foram usados os seguintes softwares:

49

• Rising-Sun Moiré (WANG, 2008) – programa comercial que implementa

várias técnicas automáticas de análise de franjas de Moiré, e se encontra

disponível no site http://faculty.cua.edu/wangz/download_moire.htm;

• FRAN – The Automatic Analysis of Interferometric Data by T. R. Judge – outro

programa comercial que implementa a análise automática de franjas. Seu uso

principal é em interferometria. Informações sobre o software podem ser

obtidas no site:

http://www.eng.warwick.ac.uk/oel/courses/undergrad/lec9/FRAN%20Instructio

ns.pdf;

• IDEA – Interferometric Data Evaluation Algorithms – programa comercial que

implementa a análise automática de franjas. Seu uso principal é em

interferometria. Nesta pesquisa, este software e os dois anteriores foram

usados para comparação e teste da implementação desenvolvida da Técnica

Moiré de Sombra com Deslocamento de Fase. Informações no site:

http://www.optics.tu-graz.ac.at/idea/idea.html;

• SURFER 32 (Golden Software, INC, 1995) – software usado para construir e

analisar gráficos em três dimensões. Dado um arquivo texto com as

coordenadas x y z, este programa traça vários tipos de gráficos. Informações

e detalhes maiores sobre o software, no site:

http://www.goldensoftware.com/products/surfer/surfernew.shtml;

• MatLab® 6.5, 2004 by The MathWorks, Inc. – programa comercial de

matemática computacional que trabalha muito bem com matrizes e imagens,

sendo que várias rotinas e filtros de Processamento Digital de Imagens já

estão prontas para serem usadas. Nesta pesquisa, optou-se por este software

pela simplicidade e facilidade de programação, e por ser o adotado nos

cursos de Engenharia da Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais.

Informações sobre o software estão disponíveis no site:

http://www.mathworks.com/;

• Lingo® 11.0, Copyright © 2008 LINDO SYSTEMS – software comercial de

Otimização Linear, Não-linear, Inteira e Global, que implementa o Método

Branch-and-Bound, sendo usado, nesta pesquisa, para comparar e verificar a

veracidade do programa em Linguagem Pascal desenvolvido, que implementa

50

o Método Branch-and-Bound. Informações podem ser obtidas no site:

http://www.lindo.com/;

• Maple® 7.0 e 9.0, Maplesoft, a division of Waterloo Maple Inc. 2007 –

programa de matemática computacional que implementa manipulações

algébricas e trigonométricas de funções e equações, adotado no

Departamento de Matemática e Estatística da Pontifícia Universidade Católica

de Minas Gerais. Na tese, este software foi usado para verificar

analiticamente as novas equações do cálculo de fase desenvolvidas usando

relações trigonométricas elementares e procedimentos algébricos.

Informações e maiores detalhes sobre o software estão disponíveis no site:

http://www.maplesoft.com/;

• Delphi/Pascal® 6.0, Borland Software Corporation – compilador da

Linguagem Pascal e ambiente de desenvolvimento de aplicações Windows

(IDE, do inglês Integrated Development Environment ou Ambiente Integrado

de Desenvolvimento), adotado pelo Instituto de Informática de Pontifícia

Universidade Católica de Minas Gerais. Maiores informações sobre o

compilador são encontradas no site: http://www.borland.com/;

• DEV-C++, Copyright Bloodshed Software – compilador gratuito das

Linguagens C e C++ com ambiente de desenvolvimento de aplicações

Windows. Utiliza o padrão ANSI (American National Standards Institute) da

Linguagem de Programação “C”. É adotado pelo Instituto de Informática de

Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais. Maiores informações sobre

o compilador são encontradas no site: http://www.bloodshed.net/devcpp.html;

• Minitab® 15.0, Copyright ©2008 Minitab Inc. – programa de Matemática

Estatística para análise e inferência de dados, adotado pelo Departamento de

Matemática e Estatística da Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais.

Informações sobre o software no site: http://www.minitab.com/;

• Microsoft Excel, © 2008 Microsoft Corporation – programa de manipulação de

planilhas eletrônicas, equações matemáticas e estatísticas, usado, nesta

pesquisa, para cálculos numéricos e verificação de equações desenvolvidas.

Informações sobre o software no site: http://www.microsoft.com/brasil/.

51

1.10 Procedimentos

Nesta pesquisa, foram realizadas as seguintes atividades:

1 Revisão bibliográfica:

1.1 pesquisa bibliográfica;

1.2 revisão de literatura.

2 Montagem dos experimentos:

2.1 montagens dos equipamentos (Projetor de Luz, câmera, suporte

e retículo);

2.2 implementação em MatLab® da Técnica de Moiré com

Deslocamento de Fase e programação usando o Algoritmo de

Carré;

2.3 aquisição de imagens por fase até 4 imagens (Manequim, frutas,

peças de madeira, objetos cilíndricos, esféricos e planos

inclinados com blocos de padrões métricos);

2.4 calibração e medições da topografia de objetos (perfilometria)

com superfície irregular utilizando a Técnica de Moiré;

2.5 medições da topografia dos objetos com os programas em

MatLab®;

2.6 medições da topografia dos objetos com os softwares comerciais

– Rising-Sun® e Fran®;

2.7 comparação dos resultados das rotinas desenvolvidas no

MatLab® com as dos softwares comerciais e trabalhos

anteriores sobre a Técnica de Moiré;

3 Dedução de novas equações para cálculo de fase:

3.1 proposta de uma nova generalização do Algoritmo de Carré;

3.2 implementação em Delphi/Pascal® do método de Otimização de

Branch-and-Bound;

3.3 dedução das novas equações usando o programa em

Delphi/Pascal®;

3.4 implementação em Delphi/Pascal® de um programa para teste

matemático e validação das novas equações obtidas;

52

3.5 implementação em Lingo® de rotinas para obter novas

equações do cálculo de fase;

3.6 comparações entre as equações obtidas no programa em

Delphi/Pascal® e as obtidas em Lingo®;

3.7 expansão e criação de regras (esquemas) para gerar equações

para muitas imagens;

3.8 implementação computacional e teste matemático das regras

(esquemas e algoritmos) para gerar equações para muitas

imagens em Delphi/Pascal®;

3.9 seleção das equações que apresentaram melhores resultados

no teste matemático;

4 Teste das novas equações do cálculo de fase:

4.1 alterações do programa em MatLab® da Técnica de Moiré com

Deslocamento de Fase usando o Algoritmo de Carré para

incorporar as novas equações de cálculo;

4.2 aquisição de Imagens por Fase até 16 imagens (manequim,

frutas, peças de madeira, objetos cilíndricos, esféricos, planos

inclinados e blocos de padrões métricos);

4.3 calibração, execução e aplicação do programa em MatLab® com

as novas equações nas imagens adquiridas, realização de

medidas pela Técnica de Moiré;

4.4 obtenção da medição correta dos objetos por métodos

mecânicos de contato pelo uso de paquímetros;

4.5 levantamento do erro em milímetros das medições realizadas

com o programa em MatLab® com as novas equações do

cálculo de fase;

4.6 geração de imagens de Franjas de Moiré usando o computador

em MatLab®, com criação de imagens com e sem ruídos

aleatórios;

4.7 teste das novas equações do cálculo de fase com as imagens

geradas no computador;

4.8 desenvolvimento de programas computacionais em

Delphi/Pascal® para a análise da incerteza;

53

4.9 teste das novas equações do cálculo de fase usando a análise

de incerteza;

5 Análise dos resultados:

5.1 comparação do erro entre as novas equações do cálculo de fase

e uso da Inferência Estatística;

5.2 análise dos erros e comparação dos resultados;

5.3 conclusões e proposta de futuros trabalhos.

1.11 Tópicos

Esta tese é iniciada com um primeiro capítulo que contém uma introdução

sobre o assunto, além das justificativas, problemas, hipóteses, objetivos do trabalho

de pesquisa desenvolvido e revisão de literatura. O objetivo é informar, em detalhes,

a temática da pesquisa, e como a mesma foi planejada e executada.

O segundo capítulo detalha a Técnica de Moiré, dando ênfase à Técnica

Deslocamento de Fase. Uma revisão bibliográfica sobre a referida técnica apresenta

um caráter didático. O objetivo é oferecer, ao leitor, uma base de conhecimento que

o permita compreender todo o estudo.

O terceiro capítulo mostra deduções das equações para o cálculo de fase

quando o passo de fase é desconhecido, usando mais de quatro imagens. Trata-se

de uma expansão do Algoritmo de Carré e uma complementação do trabalho de

NOVAK (2008). Considera-se esta contribuição como inédita e muito importante,

pois mostra como as novas equações do cálculo de fase foram obtidas usando-se

métodos numéricos e programas computacionais. Este capítulo forma o corpo

principal da tese.

O quarto capítulo traz uma revisão do tratamento de imagens, abordando a

etapa de desempacotamento (unwrapping), geração de imagens de franjas de Moiré

no computador e acréscimo de ruídos e distorções, além de uma discussão sobre

filtros iniciais nas fotografias de Moiré. Este capítulo complementa uma revisão

teórica sobre a Técnica de Moiré iniciada no Capítulo II. Além disso, detalha o

tratamento dado às imagens e fotografias utilizadas na pesquisa.

54

No quinto capítulo, são apresentados os testes e comparações das novas

equações do cálculo de fase criadas. Para tal, é utilizada uma análise de incerteza e

Inferência Estatística na comparação. O objetivo é testar o erro obtido com as rotinas

computacionais que implementam a Técnica Moiré de Sombra com Deslocamento

de Fase, quando se usa, em vez da equação original de Carré para quatro imagens,

uma das novas equações desenvolvidas com mais imagens. Este capítulo justifica o

desenvolvimento destas novas equações e sua aplicação prática.

Por fim, a tese culmina com uma conclusão onde elementos, medidas e

comparações são confrontadas. Propostas de futuros trabalhos são sugeridas.

1.12 Conclusão do capítulo

Todas as técnicas de medições óticas apresentam dificuldades e limitações,

por essa razão não existe uma técnica que possa ser considerada “a melhor em

geral”. O que vai realmente definir a técnica ideal para a medição que se pretende

realizar, vai depender de uma grande quantidade de fatores, tais como o preço do

sistema, a velocidade, a automação, a resolução desejada etc.

Conclui-se, pois, que a Técnica Moiré de Sombra pode ser usada em diversas

áreas, mostrando-se capaz de ser usada amplamente dentro das áreas industriais e

automotivas, por ser uma técnica sem contato, com alta capacidade de automação,

e com índices de erro aceitáveis. Entretanto, um empreendimento pode ser

realizado, principalmente, na elaboração de novas técnicas e processos que

melhorem a precisão e reduzam os erros.

São ainda importantes mais estudos testando diversas possibilidades para a

Técnica de Moiré, a fim de refiná-la e descobrir possíveis erros, os quais, muitas

vezes, não estão descritos claramente na literatura, ou apenas são citados de forma

muito superficial. A Técnica Moiré de Sombra com Deslocamento de Fase e o

Algoritmo de Carré pode ser usada para uma infinidade de aplicações, o que

demonstra a validade de se investir esforços para aprimorar seu uso.

Destaca-se, ainda, que esta tese só foi possível, graças à formação, mesmo

que informal, de um grupo de pesquisa sobre Moiré no Laboratório de Análise

Estrutural da Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais, grupo este formado

55

por professores do Programa de Pós-graduação em Engenharia Mecânica, alunos

de mestrado e doutorado, bolsista de iniciação cientifica e estudantes de graduação

de Engenharia Mecânica e Mecatrônica da PUC-Minas. Assim, este estudo conta um

pouco o trabalho desenvolvido por este grupo de pesquisa e mostra a importância

deste tipo de estrutura para o desenvolvimento de bons trabalhos científicos.

Este capítulo apresentou a proposta desta tese de doutorado, definindo, de

forma clara, a sua relevância, sua justificativa, seu escopo, seus objetivos, sua

metodologia e sua contribuição. Uma vez definido o plano de trabalho, os capítulos

seguintes vão desenvolver a proposta, seguindo seus objetivos e delimitando seu

desenvolvimento pelo escopo do trabalho de pesquisa.

56

CAPÍTULO II – TÉCNICA DE MOIRÉ

2.1 Introdução do capítulo

Objetivando introduzir o tema desta tese, elabora-se, neste capitulo, uma

revisão da Técnica de Moiré, apresentando os fundamentos teóricos deste trabalho

de pesquisa.

Atualmente, os equipamentos de descrição da superfície de objetos e

componentes aplicados ao cotidiano da Engenharia, de modo geral, ainda possuem

limitações. Isso se deve ao fato de que, em alguns casos, é necessário o contato

entre o sensor e a superfície, dificultando o processo de análise de protótipos. Dessa

forma, o estudo de "técnicas não invasivas" que possam vir a suprir essas

deficiências é de suma importância.

Para estudos de avaliações em protótipos de máquinas e de outras

aplicações na Engenharia, a aquisição de medições das superfícies de peças e

equipamentos frente a diferentes situações é um dos temas mais importantes na

atualidade.

A perfilometria é uma técnica capaz de mostrar o relevo de uma superfície

qualquer, possibilitando seu estudo de formas variadas. Trata-se de uma linha de

aplicação multidisciplinar amplamente utilizada na Medicina, na Biomedicina, na

Engenharia Mecânica, na Robótica, nas Ciências Agrárias etc. LINO (2002) define a

perfilometria como um conjunto de técnicas utilizadas para a medição da superfície

de contorno.

Para a construção da perfílometria de uma superfície existem os métodos

convencionais de medição, como o perfilômetro, o rugosímetro, além de medidores

de deformação elétricos, como o strain gauge. Geralmente, a maioria desses

sensores, principalmente os eletrônicos, está sujeita a condições físico-químicas

ambientais (temperatura, pressão, umidade, pH etc.), que podem interferir na

medição das variáveis, além de trabalharem dentro de faixas limitadas de medidas.

De outro lado, estão as técnicas óticas que possibilitam estudos da perfilometria de

objetos em geral sob situação estática e, mais recentemente, sob situações

dinâmicas. Dentre as mais utilizadas estão as Técnicas de Moiré.

57

LINO (2002) levantou a hipótese de que a Técnica de Moiré pode ser aplicada

com resultados satisfatórios na geração de modelos digitais de elevação ou

topográficos de superfícies irregulares, como, por exemplo, os órgãos vegetais.

Relata, ainda, que as técnicas óticas possuem a vantagem de serem rápidas e de

não necessitarem um contato físico com o objeto em estudo, sendo indicadas para

estudos com materiais sensíveis como, por exemplo, as frutas.

Assim, segundo POST et al. (1994), as Técnicas de Moiré têm se mostrado

favoráveis no que diz respeito à versatilidade, agilidade e facilidade de coleta e

tratamento dos dados, além de oferecer relativa confiabilidade. Podendo ser

desenvolvido em estudos de vibrações de peças sob condição dinâmica,

determinação de tensões e deformações, portam-se como eficientes ferramentas

para medições de deslocamentos fora do plano, rotações e deslocamentos de

pontos de uma superfície observada em relação a uma superfície de referência ou,

ainda, a inclinação de uma superfície observada em relação a um estado de

referência, mostrando deslocamentos da ordem de até frações de micrometros (µm).

Numa descrição simplificada, as Técnicas de Moiré consistem na comparação

de dois retículos periódicos, quando um segue o comportamento da superfície do

objeto (retículo modelo - Rm) e outro não está deformado, seguindo o

comportamento de um plano de referência (retículo de referência - Rr). A luz que

passa entre os retículos se sobrepõe, formando padrões de Moiré ou Franjas de

Moiré que se comportam como ondas senoidais ou cosenoidais.

2.2 A Técnica de Moiré

A palavra “moiré” é de origem francesa, quer dizer “molhado”, e dá nome a

um tecido de seda importado da antiga China (chamalote: tecido sedoso tipo tafetá

com reflexos ondulantes; também, nome vulgar da madressilva). Esse tecido é

composto de duas camadas, e quando ocorre um movimento relativo entre estas

camadas aparecem padrões semelhantes a ondas, denominadas, então, “Franjas de

Moiré”.

O fenômeno de Moiré foi estudado primeiramente pelo físico inglês LORD

RAYLEIGH (1874), que sugeriu que ele poderia ser usado para testar a perfeição de

58

grades de difração. Em 1945, estudando o fenômeno, D. TOLLENAR descobriu que

as Franjas de Moiré são na verdade magnificadoras de movimento, e que poderiam

dar uma alta sensibilidade a medições de movimentos relativos. A partir daí,

empregou-se o fenômeno para estudar deslocamento, deformação e tensão.

Subsequentemente, o método foi refinado e aplicado numa grande variedade de

circunstâncias. TAKASAKI (1970; 1973) utilizou a sobreposição de um retículo sobre

a sua própria sombra (Moiré de Sombra) para medir o relevo de objetos e pessoas.

Neste caso, as franjas de Moiré formadas são constituídas por um conjunto de

pontos de mesma cota, semelhantes às curvas de nível de mapas topográficos.

As franjas ou padrões de Moiré são produzidos quando se sobrepõe duas

estruturas periódicas chamadas retículos ou grades (Figura 3). Esses retículos

podem constituir-se de linhas paralelas ou radiais, círculos ou elipses concêntricas

ou mesmo pontos espaçados, equidistantemente ou não.

Os retículos mais comumente utilizados são constituídos por linhas ou faixas

claras (transparentes) e escuras (opacas), paralelas e equidistantes. O centro das

faixas (claras ou escuras) é chamado linha do retículo, e a distância entre os centros

de linhas do retículo de duas faixas escuras (ou duas faixas claras) contíguas é o

período ou passo (p) do retículo, e o inverso do período é a frequência do retículo (f),

geralmente dado em linhas por milímetro (l/mm).

Quando essa superposição ocorre, formando um pequeno ângulo de

interseção entre as linhas dos dois retículos, pequeno deslocamento em um dos dois

retículos provocará grandes deslocamentos nas Franjas de Moiré, isto é, o

deslocamento será magnificado.

Figura 3 - Franjas de Moiré produzidas pela sobreposição de dois retículos. Fonte: LINO, 2002.

LINO (2002) cita o caso de dois retículos que possuem linhas

equidistantemente espaçadas, um deles (retículo R1), que possui linhas paralelas ao

59

eixo “y” com período “p1”, é sobreposto pelo outro (retículo R2) com linhas com

período “p2”, diferente de “p1”, formando um ângulo θ entre as linhas dos dois

retículos. Observa-se o aparecimento de um terceiro retículo (Franjas de Moiré)

formado pela interseção das linhas dos retículos R1 e R2 (Figura 4).

Figura 4 – Formação das Franjas de Moiré pela sobreposição de retículos constituídos de linhas paralelas. Fonte: CLOUD, 1988, p. 149.

LINO (2002) cita ainda um aspecto relevante sobre a formação das Franjas

de Moiré é que a visualização dessas franjas se comporta, na maioria das vezes,

como ondas senoidais (Figura 5). A intensidade luz observada é na verdade a média

da luz transmitida através dos retículos 1 e 2, e onde a luz transmitida é máxima

têm-se o centro das franjas claras, e onde a luz transmitida tende a zero, tem-se o

centro das franjas escuras.

60

Figura 5 - Formação das Franjas de Moiré pela transmissão da

luz através de dois retículos constituídos de linhas paralelas superpostas. Fonte: CLOUD, 1988, p. 152.

Para todas as Técnicas de Moiré são necessários dois retículos, sendo que

um deles segue o contorno do objeto e é chamado de retículo deformado ou retículo

do modelo (Rm), e o outro permanece indeformado e serve como referência, sendo

chamado, por isso, de retículo indeformado ou de referência (Rr). Esses dois

retículos podem significar tanto dois retículos fisicamente separados quanto dois

registros do mesmo retículo, um antes e outro depois da deformação.

Para a Técnica Moiré de Sombra o Rr, cujas faixas claras são transparentes,

é colocado à frente do objeto. Quando este é iluminado por uma fonte, a sombra

dele é projetada sobre a superfície do objeto (Rm). As Franjas de Moiré são

formadas pela interferência dos dois retículos quando o observador olha através do

Rr, oferecendo como vantagem a observação instantânea das Franjas de Moiré.

A sensibilidade da Técnica Moiré de Sombra depende principalmente do

período do retículo; um período menor fornece uma precisão maior, o que é

desejável para medições de deformações no plano, quando se necessita medir

deslocamentos muitos pequenos. O período (p) mais comumente usado nas

aplicações de trabalhos normais com Moiré varia de 1 a 40 linhas/mm, porém uma

maior densidade pode ser utilizada. Franjas produzidas por baixas densidades de

linhas podem ser observadas a olho nu, utilizando-se luz comum. No entanto, para

altas densidades de linhas, como o efeito de difração da luz se torna dominante, é

necessário usar luz coerente (luz coerente é aquela formada por ondas de mesma

frequência, fase e direção).

61

O passo (pitch) de um retículo de Moiré é a distância entre os pontos

correspondentes nas barras (ou franjas) adjacentes. Algumas literaturas trazem

frequência espacial do retículo ao invés do passo. Frequência é o recíproco do

passo, ou seja, o número de barras por unidade de medida (POST et al., 1994).

Frequentemente as barras dos retículos são chamadas de linhas, então o passo de

um retículo p é a distância entre as linhas adjacentes e a frequência o número linhas

por unidades de medida.

ONUMA et al. (1996) desenvolveram um método que, aplicado à

interferometria, pode aumentar grandemente as resoluções espacial e vertical

quando comparado à interferometria convencional. Os autores utilizam múltiplos

interferogramas, nos quais as fases são mudadas ou deslocadas entre um e outro.

Daí a denominação Técnica Deslocamento de Fase.

DIRKX et al. (1988) aplicaram a Técnica Deslocamento de Fase em Moiré de

Sombra, obtendo uma precisão, na prática, no mínimo 10 vezes maior que a simples

medição de franjas para um dado arranjo experimental. Além disso, o método é mais

rápido e capaz de determinar automaticamente a concavidade e a convexidade da

superfície.

WANG (2001), descrevendo a Técnica Deslocamento de Fase aplicado à

Moiré de Sombra, usa 4 imagens das Franjas de Moiré. Em cada uma delas, o

objeto é aproximado ou afastado do Retículo de Referência (Rr), de maneira a

produzir deslocamentos das Franjas de Moiré em 0, (1/2)π, 1π e (3/2)π da fase.

A intensidade luminosa em cada uma das imagens de resolução gráfica x por

y (x×y) é descrita pelas equações:

[ ][ ][ ][ ]2/3),(cos),(),(),(

),(cos),(),(),(

2/),(cos),(),(),(

),(cos),(),(),(

4

3

2

1

πφπφπφ

φ

++=++=++=

+=

yxyxIyxIyxI

yxyxIyxIyxI

yxyxIyxIyxI

yxyxIyxIyxI

am

am

am

am

(2.1)

onde:

Im(x,y) = intensidade luminosa do fundo em cada ponto da imagem;

Ia(x,y) = intensidade de modulação em cada ponto da imagem;

φ = é a fase a ser determinada;

(x,y): componentes das posições horizontais(x) e verticais(y) da imagem.

62

Resolvendo as 4 equações simultaneamente com deslocamento de fase π/2,

pode-se obter o termo fase (φ) para cada ponto da imagem:

−−=

),(),(

),(),(),(

31

24

yxIyxI

yxIyxIarctgyxφ (2.2)

O cálculo da fase realizado pelo computador resulta em valores que variam

de -π/2 a π/2, por isso a imagem resultante, que é chamada de Mapa de Fases

Empacotadas, possui descontinuidades.

Para 3 imagens com deslocamento de fase de 2π/3, tem-se:

−−−=

),(),(),(2

),(),(3),(

312

31

yxIyxIyxI

yxIyxIarctgyxφ (2.3)

Para 5 imagens com deslocamento de fase de 2π/5, tem-se:

−−−=

),(),(),(2

),(),(),(

513

42

yxIyxIyxI

yxIyxIarctgyxφ (2.4)

Uma técnica melhorada, na qual não é necessário conhecer o passo do

deslocamento de fase para 4 imagens e, assim, podem-se evitar erros de calibração,

é o Algoritmo de Carré com deslocamento de fase desconhecido (δ=?):

++==

++==

−+==

−+==

δφ

δφ

δφ

δφ

2

3),(cos),(),(),(

2

1),(cos),(),(),(

2

1),(cos),(),(),(

2

3),(cos),(),(),(

44

33

22

11

yxyxIyxIyxII

yxyxIyxIyxII

yxyxIyxIyxII

yxyxIyxIyxII

am

am

am

am

(2.5)

63

( )( )

[ ][ ]( )

+−+−−−−+−

=

+−+−+−

=

)(

)().(3.)()(

)(

)(.

2

4132

41323241

4132

3241

IIII

IIIIIIIIarctg

ou

IIII

IIIItgarctg

φ

δφ

(2.6)

Novamente o ângulo φ resulta em valores que variam de -π/2 a π/2,

possuindo, pois, descontinuidades. Estas descontinuidades são removidas por um

processo chamado desempacotamento de fase (Phase Unwrapping). A Figura 6

mostra o perfil de um objeto com mapa de fases empacotadas (a) e o mesmo perfil

com as fases desempacotadas (b).

Figura 6 – Desempacotamento de fases. a) Mapa de Fases Empacotadas de um perfil. b) Fases Desempacotadas no mesmo perfil.

Fonte: LINO, 2002, p. 16.

DIRKX et al. (1988) desenvolveram um método chamado Técnica

Deslocamento de Fase baseado em Moiré de Sombra, para a reconstrução de

superfícies 3-D. Nesse arranjo experimental, são tomadas imagens do objeto ou alvo

com as Franjas de Moiré, sendo que, entre cada imagem, o objeto foi aproximado ou

afastado do retículo distâncias de fração do período deste retículo. Após a

digitalização, as imagens foram subtraídas e, através de um programa

computacional, a reconstrução da superfície do objeto foi obtida.

A formação das Franjas de Moiré se deve à interferência ótica entre o retículo

de referência (Rr) e a sua sombra (o que é chamado de Retículo do Modelo [Rm]),

projetada sobre o componente a analisar. CLOUD (1988) demonstra a formação das

Franjas de Moiré de Sombra. O Retículo do Modelo (Rm) acompanha a topografia

do objeto e é observado através do Retículo de Referência (Rr). Em algumas áreas,

64

as linhas de Rm, sob a perspectiva do observador, se encontrarem com as linhas de

Rr, permitindo a transmissão dos raios luminosos refletidos pela superfície do objeto,

formando as franjas claras. Em outras áreas, as linhas de Rm estão alinhadas com

as linhas de Rr, não havendo, portanto, a transmissão para o observador dos raios

luminosos, formando, então, as franjas escuras. A Figura 7 mostra um ciclo

completo, que vai das franjas claras para as escuras e das escuras para as claras.

Figura 7 – Formação das franjas no Moiré de Sombra. Fonte: LINO, 2002, p. 22.

O esquema experimental apresentado na Figura 8 mostra a montagem usada

pela Técnica Moiré de Sombra com a fonte de luz, o observador (câmera), o retículo,

e o objeto a ser medido.

Figura 8 – Sistema experimental para Moiré de Sombra com iluminação. a) Com observador localizado a um ângulo em relação à normal ao plano que contém o retículo de referência; b) Com observador localizado perpendicularmente ao plano que contém o retículo de referência. Fonte: LINO, 2002, p. 22.

65

É importante destacar que se tem como finalidade principal medir o

deslocamento perpendicular do retículo em relação ao objeto ou o deslocamento do

objeto em relação ao retículo. Um feixe de luz paralela incide sobre o retículo de

referência de passo (pitch “p” - sendo o pitch a distância entre linhas adjacentes) em

um ângulo α entre a normal e o plano do retículo de referência. O perfil a ser medido

deve estar logo atrás do retículo de referência. As sombras geradas na peça pelo

retículo de referência são observadas através do próprio retículo de referência pela

câmera, a um ângulo β entre a normal e o retículo de referência. Tem-se n como a

ordem de franja formada no objeto e com n=φ/(2π) onde φ é a fase em radianos. Em

outras palavras, uma ordem inteira de franja representa uma fase 2π radianos ou

360o. E Z é a distância vertical a ser medida do retículo plana ao objeto. PATORSKI

(1993) mostra que:

)tan()tan(

βα += pn

Z (2.7)

Um caso especial de interesse, é quando o observador (ou câmera) está

normal ao plano do retículo (Figura 8 b). Neste caso, β = 0, e tem-se:

)tan(

αpn

Z = (2.8)

Estas são as equações que têm sido usadas para a maioria dos estudos de

Moiré de Sombra. A suposição do observador (ou câmera) estar no infinito não é a

única prática. Entretanto, se a estrutura é pequena e o observador (ou câmera) está

suficientemente distante, isso pode ser considerado, que é justamente o caso da

montagem experimental realizada na tese.

Deve-se citar que é comum uma etapa de pré-processamento nas imagens

fotográficas para eliminar ruído. Normalmente, as fotografias são capturadas de

forma colorida e transformadas em 256 níveis de cinza (8bits). As fotografias,

quando em tons de cinza, apresentam valores de pixéis que variam de 0 (preto) a

255 (branco). A ideia de transformar as imagens em tons de cinza ajuda a

economizar tempo de processamento sem prejudicar a qualidade do resultado de

66

medição. Um pixel é o menor ponto que forma uma imagem digital, sendo que os

conjuntos de milhares de pixéis formam a imagem inteira, e quanto maior for o

número de pixéis, melhor a resolução que a imagem terá.

HUANG et al. (2008) desenvolveu um esquema de captura de imagens de

Moiré de Sombra que utiliza o Algoritmo de Carré no qual o deslocamento de fase

pode ser arbitrário, mas que permanece completamente constante entre todas as

imagens. Diminuindo sensivelmente o erro e aumentando significativamente a

precisão. Isso mostra com o tema é atual em muitas pesquisas.

A literatura relata muitos trabalhos e pesquisas de sucesso usando a Técnica

Moiré Sombra com precisão ótima, comprovando ser a mesma uma técnica de baixo

custo e alta aplicabilidade em Engenharia.

2.3 Comparação de valores medidos

Nesta pesquisa, foi criado um software computacional em MatLab® para

implementar a Técnica de Moiré com Deslocamento de Fase, seguindo o esquema

mostrado no item anterior, e usando a Equação 2.2 para 4 imagens, a Equação 2.3

em 3 imagens, a Equação 2.4 com 5 imagens e a Equação 2.6 para 4 imagens,

segundo o Algoritmo de Carré. O programa criado em MatLab® possui o seguinte

algoritmo:

• entrada de dados e aquisição das imagens;

• transformação das imagens para monocromática com pixéis de 8 bits (0-255

tons de cinza);

• aplicação de filtros passa baixa e Gaussiana;

• cálculo de fase em cada pixel de [0; π/2];

• passagem da fase de [0; π/2] para [-π; π];

• desempacotamento de fase (unwrapping);

• cálculo da altura (Z) e cálculo das coordenadas (x e y) no plano.

Nesse programa, entram as imagens ou fotografias de Moiré para cada

deslocamento de fase, o valor de p em milímetros (passo = pitch = distância entre as

linhas do retículo de referência), o ângulo α em graus (ângulo entre a normal e o

67

feixe de luz) e o ângulo β em graus (ângulo entre a normal e o ponto de

observação). Alternativamente, em vez de entrar com α e β, o programa permite que

se entre com a distância d em milímetros (distância entre a fonte de luz e a câmera

fotográfica) e a distância h em milímetros (distância perpendicular reta entre o

retículo e a fonte de luz). Como saída do sistema tem-se um arquivo com as alturas

Z em milímetros (distância entre o retículo e o objeto a ser medido) em cada pixel da

imagem e um gráfico em 3-D destas medidas (Figura 9).

Cita-se, ainda, que implementações usando a Técnica de Moiré não são

inéditas e rotinas e fontes prontas em MatLab® podem ser encontradas em ASUNDI

(2002). Optou-se, neste estudo, em fazer uma nova implementação, em razão de

testes particulares e específicos com outras equações do cálculo de fase que serão

desenvolvidas nos capítulos seguintes.

Figura 9 – Telas (entrada e saída) do programa em MatLab® que implementa Moiré de Sombra com Deslocamento de Fase. Fonte: Resultados da pesquisa.

As medidas fornecidas pelo programa desenvolvido em MatLab® são então

comparadas com os resultados de softwares comerciais que implementam a Técnica

de Moiré, como o Rising-Sun Moiré de WANG (2008), onde são colocados os

mesmos dados de entrada e comparada às medidas dos arquivos de saída de cada

68

programa (Figura 10). O resultado, para vários exemplos, foi um erro relativo menor

que 10% dos valores medidos. Ou seja, parece que a rotina em MatLab® está

processando corretamente as medidas das imagens fotográficas de Moiré. Este

mesmo processo de comparação foi realizado entre o programa em MatLab® e

outro software comercial IDEA® – Interferometric Data Evaluation Algorithms (2005),

com resultados bem semelhantes.

Figura 10 – Tela do programa comercial Rising-Sun Moiré para a mesma entrada da Figura 9 do programa desenvolvido em MatLab®. Fonte: Resultados da pesquisa.

Nesta tese o erro relativo é calculado como o resultado de uma medição

menos o valor verdadeiro do mensurando dividido por este valor verdadeiro. Uma

vez que o valor verdadeiro não pode ser determinado, utiliza-se, na prática, um valor

verdadeiro convencional. O resultado normalmente é expresso como uma

porcentagem do valor verdadeiro. Isso é realizado para cada pixel da imagem (com

resolução gráfica Mx × My) segundo a Equação 2.9 abaixo:

∑

∑

∑∑

∑∑

=

=

= =

= =−

=−

=M

i

ei

M

i

eii

Mx

i

My

j

eji

Mx

i

My

j

ejiji

Z

ZZ

Z

ZZ

Erro

1

1

1 1,

1 1,,

(%) Relativo (2.9)

onde:

Mx é o número de pixéis na horizontal da imagem;

69

My é o número de pixéis na vertical da imagem;

M=(Mx My) é o número total de pixéis da imagem;

Z é o valor medido pela Técnica de Moiré por meio das fotografias;

Ze é o valor de referência tido como correto do perfil do objeto medido.

Compararam-se as medidas obtidas com o programa criado em MatLab®

com as medidas conhecidas de objetos com geometrias simples como cilindros,

esferas e planos inclinados. É claro que o erro no uso da Técnica de Moiré depende

de uma enorme quantidade de variáveis como largura do retículo, resolução gráfica

da máquina fotográfica, potência da fonte de luz etc.

Porém, utilizando montagens de Moiré nos experimentos realizados no

Laboratório de Análise Estrutural da PUC-Minas, e usando o programa desenvolvido,

obtêm-se erros da ordem de 2% a 9% do valor da altura do objeto medido com 4

imagens usando o Algoritmo de Carré. Esse resultado é muito parecido com o de

outros pesquisadores que usam a Técnica de Moiré, podendo ser citado: LINO

(2002), RIBEIRO (2006), DEL-VECCHIO (2006), COSTA (2006) e GOMES (2005).

Todos estes pesquisadores, trabalhando independentemente, obtiveram erros

semelhantes aos obtidos no decorrer desta pesquisa. Mais detalhes dos

experimentos realizados são mostrados no Capítulo IV.

Nota-se que um erro relativo da ordem de 2% a 9% dos valores medidos é

considerado alto em níveis metrológicos. Esforços e estudos devem ser realizados

para tentar reduzi-lo, tornando a Técnica de Moiré mais precisa e com uma maior

aplicabilidade prática.

2.4 Conclusão do capítulo

Neste capítulo, procurou-se fazer uma revisão sucinta da Técnica Moiré de

Sombra com Deslocamento de Fase e apresentar o Algoritmo de Carré. Essa

introdução é importante para a compreensão deste trabalho de pesquisa. Criou-se,

também, um programa computacional, e se construiu, em laboratório, uma

montagem experimental para implementar a medição perfilométrica de objetos

usando a Técnica de Moiré. O erro obtido foi bem semelhante ao encontrado por

70

outros pesquisados, usando essa mesma técnica, com montagens experimentais

parecidas.

A ideia foi usar a Técnica de Moiré para introduzir o Algoritmo de Carré que é

utilizada em vários campos da ciência e da Engenharia, como a Interferometria e

Metrologia Ótica. Nota-se ainda que neste trabalho de pesquisa vai-se usar a

Técnica de Moiré com a intenção de testar e avaliar experimentalmente as novas

equações do cálculo de fase desenvolvidas no capítulo seguinte.

Até este ponto não há nada de original ou inédito nesta pesquisa. Pelo

contrário, uma vasta, ampla e detalhada bibliografia pode ser encontrada sobre este

assunto e é citada neste capítulo. Mas este estudo introdutório é importante e forma

a base para o salto que se vai dar nos capítulos seguintes, onde este mesmo

processo vai ser generalizado para um número maior de imagens fotográficas com

intenção de reduzir as incertezas da medição e melhorar a precisão da Técnica de

Moiré.

71

CAPÍTULO III - NOVAS EQUAÇÕES DEDUZIDAS

3.1 Introdução do capítulo

O fenômeno Franja de Moiré é o resultado da interferência de luz pela

superposição de uma rede de linhas. O padrão de regiões claras e escuras que se

observa é chamado de Padrão de Moiré. Somente um estudo mais detalhado é

capaz de revelar a característica mais relevante e útil do efeito de Moiré, por meio do

qual uma grande mudança no padrão é obtida, a partir de, apenas, um pequeno

movimento relativo entre as redes sobrepostas. A conclusão lógica é que o

fenômeno de Moiré é uma espécie de amplificador de movimento que permite

medições de alta sensibilidade de movimento relativo.

As Técnicas de Moiré usam um sinal ótico que pode produzir os resultados

desejados de medição ótica através de algumas técnicas de processamento desse

sinal. As técnicas de processamento, normalmente, envolvem a identificação e o

acompanhamento de franjas em uma fotografia, atribuindo-lhe um correto número de

ordem de franja, e aplicando as operações necessárias para extrair os dados de

medição. Há muitos anos, o tratamento das imagens de Moiré é resumido na

identificação das franjas manualmente. A principal desvantagem do tratamento

manual é que as resoluções da franja são demasiado baixas, e por isso,

inadequadas para a medição exata. Com o desenvolvimento e diminuição dos

custos de equipamento de Processamento Digital de Imagem, um grande esforço

tem sido realizado para automatizar as técnicas de medições das franjas. Um dos

principais motivos desse esforço é o de se obter uma melhor precisão, a fim de

aumentar a velocidade e automatizar o processo. Há muitas técnicas para o

desenvolvimento de processos semi-automáticos e automáticos do processamento

de sinal ótico.

A Técnica Deslocamento de Fase é baseada na avaliação de valores de fases

de diversas medições cada uma, deslocando-se uma fase da outra. É necessário

realizar pelo menos três medições de intensidade de fase deslocada, a fim de

determinar a fase, sem ambiguidade e com muita precisão, em todos os pontos do

plano do detector. Essa técnica oferece um cálculo totalmente automático – o cálculo

72

de fase usando as intensidades luminosas defasadas. Existem diversos algoritmos

para o cálculo da defasagem que diferem quanto ao número de etapas de fases, ao

passo entre as capturas de imagens, e a sua sensibilidade para os fatores que

influenciam a prática durante as medições.

3.2 O Algoritmo de Carré e o Algoritmo de Novak

O padrão de franja é uma função cossenoidal que representa a intensidade

luminosa em cada ponto de imagens I(x,y), conforme POST et al. (1994). Essa

função pode ser escrita na forma geral como:

]),(cos[),(),(),( δφ ++= yxyxIyxIyxI am (3.1)

onde:

Im(x,y): intensidade luminosa do fundo em cada ponto da imagem.

Ia(x,y): intensidade de modulação em cada ponto da imagem.

φ(x,y): fase a ser determinada em cada ponto da imagem.

δ: deslocamento de fase com respeito à origem.

(x,y): componentes das posições horizontais(x) e verticais(y) da imagem.

Se desconhecido o deslocamento de fase são necessárias um mínimo de

quatro imagens para se determinar a fase φ e os termos Im, Ia, δ. A Técnica

Deslocamento de Fase é a técnica preferida sempre que as condições experimentais

permanecem constantes ao longo do tempo necessário para se obter todas as

imagens deslocadas de fases.

CARRÉ (1965), trabalhando em um microscópio fotoelétrico, propõe uma

nova técnica que utiliza quatro frequências com o deslocamento de fase

desconhecido (δ), mas constante entre elas.

Neste estudo, utilizam-se quatro imagens monocromáticas com os padrões de

Franjas de Moiré em pixéis de tons cinza que variam em números inteiros de 0

73

(preto) a 255 (branco). Trata-se o deslocamento de fase δ como desconhecido e as

quatro imagens com as fases deslocadas são representadas por:

[ ][ ][ ][ ]

++=

++=

−+=

−+=

23),(cos),(),(),(

2),(cos),(),(),(

2),(cos),(),(),(

23),(cos),(),(),(

4

3

2

1

δφ

δφ

δφ

δφ

yxyxIyxIyxI

yxyxIyxIyxI

yxyxIyxIyxI

yxyxIyxIyxI

am

am

am

am

(3.2)

Supondo-se que o defasamento é constante e não muda durante as

medições, o montante do passo de cada fase pode ser calculado como:

+++−−−

= −

)()(

)()(3tan2

4132

41321

IIII

IIIIδ (3.3)

e da fase em cada ponto (x,y) é determinada com:

+−+−+−= −

)()(

)()()2tan(tan

4132

32411

IIII

IIIIδφ (3.4)

ou

[ ][ ]

+−+−−−−+−

=)()(

)()(3)()(arctan

4132

41323241

IIII

IIIIIIIIφ (3.5)

A vantagem do Algoritmo de Carré está clara, pois este não requer

mecanismo de calibração do passo deslocamento de fase (δ), que pode ser qualquer

valor; apenas deve ser constante durante a medição.

NOVAK (2003) propõe uma pesquisa de generalização do Algoritmo de Carré

para cinco imagens. Na sua proposta trabalha-se com a seguinte formulação:

74

[ ][ ][ ][ ][ ]

++=++=

+=−+=

−+=

δφδφ

φδφδφ

2),(cos),(),(),(

),(cos),(),(),(

),(cos),(),(),(

),(cos),(),(),(

2),(cos.,(),(),(

5

4

3

2

1

yxyxIyxIyxI

yxyxIyxIyxI

yxyxIyxIyxI

yxyxIyxIyxI

yxyxIyxIyxI

am

am

am

am

am

(3.6)

NOVAK (2003) deduz oito equações analiticamente, trabalhando com

relações trigonométricas elementares. Para simplificar o estudo, NOVAK define

somas e diferenças de imagens como:

+=−=

kjjk

kjjk

IIb

IIa (3.7)

As equações deduzidas por NOVAK (2003) são mostradas na Tabela 1,

abaixo:

TABELA 1

Expressões para o cálculo de fase com 5 imagens deduzidas por NOVAK (2003).

Fonte: NOVAK, 2003, p. 63-68.2

2 http://www.urbanfischer.de/journals/optik

75

Existem muitas fontes de erro potenciais que podem afetar a precisão da

medição. Na prática, por exemplo, verificam-se erros: (a) na alteração da fase; (b)

nos detectores não lineares; (c) na discretização em tons de cinza; (d) no ruído da

imagem; (e) na estabilidade da fonte de energia; (f) nas vibrações e turbulência do

ar; (g) nas variações da temperatura; (h) no reflexo e claridade da luz etc. Algumas

das fontes de erro podem ser eliminadas com antecedência. Os principais elementos

ótico-eletrônicos que podem afetar a precisão do algoritmo para a avaliação da fase,

são os defasamentos dos dispositivos e do detector da intensidade da luz. O

algoritmo ideal para o cálculo da fase deve ter baixa sensibilidade para a maioria dos

erros de medição, especialmente, os erros do deslocamento de fase e erros na

detecção de intensidade de luz.

Segundo NOVAK (2003), o erro no cálculo da fase (φ) depende do ângulo

deslocamento de fase (δ), sendo que cada equação deduzida tem um ângulo de

deslocamento de fase ótimo. Após um estudo de análise de erro, estabilidade e

performance computacional, concluiu que a melhor equação para cinco imagens é o

Algoritmo A1, que pode ser reescrita como a Equação 3.8:

513

251

242

153

215

224

2

)()(4

2

4)tan(

III

IIII

bI

aa

−−−−−

=−−

=φ (3.8)

Outro detalhe importante do trabalho de NOVAK (2003), é o de se usar o

cálculo de valores proporcionais a seno e cosseno da fase (φ), para eliminar a

ambiguidade dos valores de φ ∈ [-π/2; π/2] para φ* ∈ [-π; π], usando a Tabela 2,

abaixo:

76

TABELA 2

Expressões proporcionais a seno e cosseno da fase φ para cada equação proposta por NOVAK.

Fonte: NOVAK, 2003, p. 63-68.3

NOVAK (2000) propõe um modelo matemático que permite analisar a

precisão e a estabilidade das Técnicas Deslocamento de Fase em relação a fatores

que afetam negativamente a precisão das medições das técnicas interferométricas.

3.3 Novo modelo matemático proposto nesta pesquisa

Quase todas as Técnicas Deslocamento de Fase existentes são baseados no

pressuposto de que o deslocamento de fase (δ) em todos os pixéis da imagem tem

intensidade igual e conhecida. No entanto, pode ser muito difícil de alcançar, na

prática, esta conclusão. Técnicas de medição de fase são mais ou menos sensíveis

a alguns tipos de erros que podem ocorrer durante as medições experimentais.

Nesta pesquisa, entende-se que o deslocamento de fase (δ) tem um valor

desconhecido, mas se aceita que sua alteração é constante entre as várias imagens

do campo de interferência observado. Considerando N o número de imagens

observadas com esta característica, pode-se generalizar a distribuição de

intensidade de cada imagem Ik, segundo a Equação 3.9, onde k varia de 1 até N:

3 http://www.urbanfischer.de/journals/optik

77

NkcomNk

yxyxIyxIyxI amk ..12

12),(cos),(),(),( =

−−++= δφ (3.9)

onde:

Im(x,y): intensidade luminosa do fundo em cada ponto da imagem.

Ia(x,y): intensidade de modulação em cada ponto da imagem.

φ(x,y): fase a ser determinada em cada ponto da imagem.

δ: deslocamento de fase com respeito à origem.

N: número de imagens ou quadros.

(x,y): componentes das posições horizontais(x) e verticais(y) da imagem.

Assim, para N = 6, tem-se:

=

++=

=

++=

=

++=

=

−+=

=

−+=

=

−+=

62

5),(cos),(),(),(

52

3),(cos),(),(),(

42

1),(cos),(),(),(

32

1),(cos),(),(),(

22

3),(cos),(),(),(

12

5),(cos),(),(),(

6

5

4

3

2

1

kseyxyxIyxIyxI

kseyxyxIyxIyxI

kseyxyxIyxIyxI

kseyxyxIyxIyxI

kseyxyxIyxIyxI

kseyxyxIyxIyxI

am

am

am

am

am

am

δφ

δφ

δφ

δφ

δφ

δφ

(3.10)

Assim, também para N = 7, tem-se:

[ ][ ][ ][ ][ ][ ][ ]

=++==++==++=

=+==−+==−+==−+=

73),(cos),(),(),(

62),(cos),(),(),(

5 ),(cos),(),(),(

4 ),(cos),(),(),(

3 ),(cos),(),(),(

22),(cos),(),(),(

13),(cos),(),(),(

7

6

5

4

3

2

1

kseyxyxIyxIyxI

kseyxyxIyxIyxI

kseyxyxIyxIyxI

kseyxyxIyxIyxI

kseyxyxIyxIyxI

kseyxyxIyxIyxI

kseyxyxIyxIyxI

am

am

am

am

am

am

am

δφδφ

δφφ

δφδφδφ

(3.11)

78

Comparando o Algoritmo de Carré para quatro imagens com o melhor

Algoritmo de Novak para cinco imagens, observa-se que ambas as equações

calculam a tangente da fase usando a divisão de um numerador (que é a raiz

quadrada da soma de constantes inteiras multiplicada por duas imagens Ik) pela de

um denominador (que é a soma de constantes inteiras multiplicadas por imagens Ik).

Reescrevendo essas equações, obtém-se, para Carré:

4321

24

4323

423222

41312121

23

263

222

)tan(IIII

I

III

IIIII

IIIIIII

−++−−

++−−++−+−

=φ (3.12)

ou, enfatizando e mostrando somente a matriz de coeficientes do numerador

e do denominador:

[ ]

[ ]

−−=

−

−−−−

=

=

=

=

∑

∑∑

=

= =

1111

1

23

263

2221)tan(

4321

4,4

4,33,3

4,23,22,2

4,13,12,11,1

4

1

4

1

4

,

DemNum

ddddDem

n

nn

nnn

nnnn

Num

Id

IIn

rrr

r rssrsr

φ (3.13)

Para o melhor Algoritmo de Novak, tem-se:

531

25

24

4222

5121

2

4

84

2

)tan(III

I

I

III

III

−+−

−+

−++−

=φ (3.14)

ou, enfatizando e mostrando somente a matriz de coeficientes do numerador

e do denominador:

79

[ ]

[ ]

−−=

−

−−

=

=

=

=

∑

∑∑

=

= =

10201

1

04

000

0804

20001)tan(

54321

5,5

5,44,4

5,34,33,3

5,24,23,22,2

5,14,13,12,11,1

5

1

5

1

5

,

DemNum

dddddDem

n

nn

nnn

nnnn

nnnnn

Num

Id

IIn

rrr

r rssrsr

φ (3.15)

O símbolo | | representa o valor absoluto, uma vez que só se está interessado

em valores positivos com φ ∈ [0; π/2]. Sua expansão para valores de [-π, π] será

tratada no capítulo seguinte desta tese. O uso do valor absoluto ou módulo simplifica

as equações, uma vez que a raiz quadrada só é definida para números positivos.

Propõem-se, então, uma equação geral para o cálculo da fase para qualquer

valor de N (Número de Imagens ou quadros), como sendo:

∑

∑∑

=

= ==N

rrr

N

r

N

rssrsr

Id

IIn

1

1,

)tan(φ (3.16)

ou expandindo os somatórios, e colocando o numerador disposto em linhas:

NNNN

NNN

NN

NN

NN

NN

IdIdIdIdIdId

In

IInIn

IInIInIn

IInIInIInIn

IInIInIInIInIn

++++++

+

+++++++++++++

==−− 1144332211

2,

4,4244,4

3,3434,3233,3

2,2424,2323,2222,2

1,1414,1313,1212,1211,1

...

......

...

...

...

...

)tan(φ (3.17)

ou enfatizando e mostrando somente a matriz de coeficientes do numerador e

do denominador:

80

=

==

−

=

= =

∑

∑∑

]...[

......

...

...

...

...

)tan(

14321

,

,44,4

,34,33,3

,24,23,22,2

,14,13,12,11,1

1

1,

NN

NN

N

N

N

N

N

rrr

N

r

N

rssrsr

ddddddDem

n

nn

nnn

nnnn

nnnnn

Numonde

Id

IIn

φ (3.18)

Trabalhando com esse formato nas equações, podem-se expressar as

equações utilizando apenas os coeficientes do numerador e do denominador. Assim,

os algoritmos de Carré e Novak podem ser representados pela Tabela 3, abaixo:

TABELA 3

Matriz de coeficientes do numerador e do denominador para N=4 (Carré) e para N=5 (Novak)

N = 4 Num -1 2 -2 23 -6 -2

3 2-1

Dem -1 1 1 -1

N = 5 Num -1 0 0 0 24 0 -8 0

0 0 04 0

-1Dem -1 0 2 0 -1

Fonte: Resultado da pesquisa.

É interessante notar que as equações calculam o valor da fase (φ) em cada

ponto da imagem (cada pixel), usando os valores da intensidade luminosa Ik das

diversas imagens da amostra naquele ponto, independente do valor do

deslocamento de fase (δ) dos quadros.

3.4 Modelo matemático

A ideia agora é como obter ou deduzir equações matemáticas semelhantes à

de Carré e Novak para um número qualquer de imagens (N). Este estudo faz uma

81

inovação ao tentar isso, mas não através de manipulações algébricas e relações

trigonométricas, e sim, por meios de métodos numéricos.

A mudança de enfoque do problema de obtenção de equações do cálculo de

fase de um problema analítico para uma visão numérica é uma grande inovação e

quebra um paradigma até então usado por diversos autores anteriormente.

Após várias tentativas de formulação numérica do problema, obtém-se o

modelo matemático em 3.19:

( )

−∈

−∈

∈

∈

=

−−++=

===

=≤≤−==≤≤−

=≥+

=≥+

++==

=

+

∑

∑

∑∑∑

∑ ∑∑

=

=

= ==

= ==

real e leatório]20 ;20[

real e leatório] ;[

real e leatório]127 ;0[

real e leatório ]128 ;0[

..1,2

12),(cos),(),(),(

: cada para onde

..1inteiros são

..1inteiros são

..122

..,..122

imagens as dasincluir to,..11

imagens as dasincluir to ,..11

2

1..1)(tan

is varíavede número|Dem||)/NumSqrt(|)tan(

)7

)6

)5

)4

)3

)2

)1

,

,

,

1,

2

1

2

1 1,

a

a

aI

aI

NkNk

yxyxIyxIyxI

v

Nrd

Nr..N,srn

NrNdN

NrsNrNnN

Nrdn

Nrdn

NNN

vIInId

asujeito

dnMínimizar

v

v

va

vm

vvvvvk

r

rs

r

sr

r

N

rsrs

r

N

rssr

N

r

N

rs

vs

vrsr

N

r

vrr

v

N

r

N

rr

N

rssr

am

ππδππφ

δφ

φ

φ

(3.19)

Os coeficientes das matrizes do numerador (nr,s) e denominador (dr) devem

ser inteiros, com o objetivo de aumentar a performance computacional do algoritmo,

uma vez que os valores da intensidade das imagens (Ik) são também inteiros,

variando de 0 até 255. Os computadores modernos realizam cálculos matemáticos

(adições e multiplicações) inteiros muito mais rápido do que com números reais (com

ponto flutuante). Deve-se lembrar que, atualmente, as câmeras fotográficas digitais

comerciais já apresentam resolução gráfica acima de 12 megapixéis, e que o cálculo

82

de fase (φ) deve ser realizado pixel a pixel. Outra razão é o uso de memória; os

valores inteiros podem ser armazenados em um único byte enquanto os valores

reais em pontos flutuantes gastam pelo menos 4 bytes, ficando apenas em real com

ponto flutuante uma raiz quadrada do numerador, a divisão pelo denominador e o

arcotangente de toda a operação. Nota-se que as variáveis r, s e ν são apenas

índices usados como contadores pelo modelo.

A ideia de se obter um mínimo do somatório dos valores absolutos ou módulo

dos coeficientes das matrizes do numerador (nr,s) e denominador (dr) vem da

tentativa de forçar que estes coeficientes sejam zero, para acelerar o cálculo

computacional e reduzir a memória utilizada, uma vez que o zero em matrizes

esparsas não necessita ser armazenado. É importante, também, que estes

coeficientes não sejam muito grandes, para que os valores do somatório do

numerador e do denominador não tenham valor muito alto e, assim, caibam em uma

variável inteira. Existe também uma razão numérica para que os coeficientes sejam

em módulo o menor possível, pois se multiplica um número por um valor muito alto,

o erro de arredondamento (ξa) do número é também aumentado, propagando-se e

reduzindo a precisão numérica. Na equação do cálculo de fase, esses coeficientes

vão multiplicar, justamente, os valores da intensidade das imagens (Ik) que contém

erros devido a ruídos e a sua discretização em pixéis e em tons de cinza. Em

CHAPRA (1988), a propagação numérica do erro de arredondamento é estudada em

detalhes.

A restrição (1) do Modelo 3.19 vem da Equação 3.16, que é elevada ao

quadrado e representa o formato da equação que está se buscando. Nota-se que o

resultado da resolução do Modelo Matemático 3.19 são os coeficientes das matrizes

do numerador (nr,s) e denominador (dr); assim, o número de incógnitas é dado por

N(número de imagens). Para garantir que se tenha um problema hiper-restrito,

sugere-se que o número de restrições seja maior ou, pelo menos, igual ao número

de variáveis. As ν restrições do modelo são obtidas através da escolha aleatória de

valores para Im(intensidade luminosa do fundo), Ia(intensidade de modulação),

φ(fase) e δ(deslocamento de fase), e usando a Equação 3.9, calculam-se os

Ik(intensidade luminosa). Testes mostraram que, mesmo para outros valores

menores de ν, o modelo matemático funciona apenas na busca por solução ótima,

porém, mais demorada. Na verdade, os valores de Im, Ia, φ e δ podem ser qualquer

83

número real, mas para manter uma compatibilidade com o problema de Moiré de

Sombra, optou-se por limitar Im entre 0 e 128, e Ia entre 0 e 127, para que Ik fique

entre 0 e 255. Limita-se também φ entre -π e π valores usado na etapa seguinte de

desempacotamento. Limita-se δ entre -20π e 20π, sabendo-se que, normalmente, os

valores do deslocamento de fase entre as imagens são bem menores que isso,

quando se usa as Técnicas de Moiré.

As restrições (2) e (3) do Modelo 3.19 vem da ideia que todas as imagens

Ik(intensidade luminosa) devem estar presentes na equação. O aumento da

quantidade de amostras deve diminuir o ruído aleatório das imagens. Para isso, é

necessário que todas as imagens da amostragem entrem na equação do cálculo de

fase. Isso é conseguido, impondo-se que a soma dos valores absolutos dos

coeficientes de cada linha ou de cada coluna da matriz do numerador (nr,s) mais o

módulo do coeficiente correspondente àquela imagem no denominador (dr) seja

maior ou igual a 1. Assim os coeficientes na equação do cálculo de fase para uma

dada imagem Ik não serão todos zeros, garantindo sua participação na equação.

Podem ser usadas apenas uma das duas restrições (2) ou (3), mas para garantir a

entradas de todas as amostras e simplificações de simetrias vistas mais na frente,

opta-se por usar as duas juntas.

As restrições (4) e (5) do Modelo 3.19 são usadas para acelerar a resolução

desse modelo matemático. Esta limitação no valor dos coeficientes das matrizes do

numerador (nr,s) e denominador (dr) representa uma significativa redução do

universo de busca e pesquisa da solução do modelo de Otimização. Tal redução no

universo de busca traz soluções mais rápidas e com menos esforço computacional,

para resolver este modelo de Otimização Inteira Não-linear. Para grandes valores de

N (número de imagens), quando N é maior que 16, podem-se limitar os coeficientes

das matrizes do numerador (nr,s) e denominador (dr) ao intervalo de [-4..4].

Para o caso em questão, que é a busca por equações válidas para o cálculo

de fase (φ), não existe a preocupação de que o modelo de Otimização atinja um

mínimo global, uma vez que um mínimo local (pontos de mínimo de uma função em

alguma vizinhança do ponto contido no domínio da função) já atende aos objetivos

desejados. Até mesmo achar uma solução viável qualquer já pode satisfazer a

pesquisa por novas equações. Logo, a procura se restringe a coeficientes das

matrizes do numerador (nr,s) e denominador (dr), que sejam inteiros e de valor

84

pequeno, e que atendam as restrições do modelo, não necessitando serem

minimizados (desejável, mas não necessário).

Uma vez encontrada uma equação com o Modelo 3.19, esta pode se tornar

uma restrição, para que, usando novamente o modelo, uma nova equação diferente

seja achada. Isso permite que o Modelo 3.19 encontre várias equações para um

dado valor de N(número de imagens), tornando bastante flexível e abrangente o

modelo matemático.

3.5 Método Branch-and-Bound

Para resolver numericamente o Modelo Matemático 3.19, optou-se pelo uso

do Método Branch-and-Bound. A proposta é apresentar apenas uma revisão didática

do referido método. Um detalhamento mais aprofundado pode ser encontrado em

HILLIER (2006). Este mesmo método também é usado pelo software comercial

LINGO® 11.0 (2008) da LINDO Systems Inc.4.

Uma vez que qualquer problema de Programação Inteira limitada tenha

somente um número finito de soluções viáveis, é natural que se considere o uso de

algum tipo de procedimento de enumeração para encontrar uma solução ótima.

Infelizmente, este número finito pode ser, e normalmente é, muito grande. Por

exemplo, se houver somente 10 variáveis, e cada uma tiver 10 valores viáveis, então

poderão haver 1010 soluções viáveis. Apesar do fato de alguns computadores

digitais de hoje poderem executar diversos milhões de operações aritméticas

elementares (adições e subtrações) por segundo, a enumeração exaustiva

consumiria um tempo proibitivo em problemas do tamanho deste. Por isso, é

imperativo que qualquer procedimento de enumeração seja inteligentemente

estruturado, para que apenas uma fração muito pequena das soluções viáveis,

realmente, precise ser examinada. Por exemplo, a Programação Matemática

Dinâmica fornece um tipo de procedimento como esse para muitos problemas que

tenham um número finito de soluções viáveis (embora não seja particularmente

eficiente para a maioria dos problemas de Programação Inteira). Outra abordagem

4 http://www.lindo.com

85

desse tipo é fornecida pelo Método Branch-and-Bound (Ramificar-e-Limitar). Essa

técnica, e variações dela, têm sido aplicadas, com algum sucesso, a diversos

problemas, inclusive, problemas de Programação Inteira Não-linear.

A ideia básica do Método Branch-and-Bound passa a ser descrita. Suponha-

se (para ser específico) que a função-objetivo deva ser minimizada. Suponha-se,

também, que um limite superior ao valor ótimo da função-objetivo esteja disponível

(usualmente, este é o valor da função-objetivo para a melhor solução viável

identificada até o momento). O primeiro passo é subdividir o conjunto de todas as

soluções viáveis em diversos subconjuntos, e obter, para cada um deles, um limite

inferior para o valor da função-objetivo das soluções dentro do respectivo

subconjunto. Aqueles subconjuntos cujos limites inferiores excedam o limite superior

corrente no valor da função-objetivo serão, então, excluídos de futuras

considerações (um subconjunto que seja excluído por esta ou outras razões

legítimas é dito ser sondado). Um dos subconjuntos remanescentes, diga-se, aquele

com o menor limite inferior, será, então, novamente subdividido em diversos

subconjuntos. Seus limites inferiores serão obtidos, um de cada vez, e serão usados,

como anteriormente, para excluir alguns desses subconjuntos de futuras

considerações. Dentre todos os subconjuntos remanescentes, outro é selecionado

para nova subdivisão, e assim por diante. Esse processo é repetido seguidamente,

até que seja encontrada uma solução viável tal, que o valor correspondente da

função-objetivo não seja maior que o limite inferior para qualquer subconjunto. Tal

solução terá que ser ótima, uma vez que nenhum dos subconjuntos pode conter

uma solução melhor.

Em resumo, o Método Branch-and-Bound segue os passos descritos abaixo:

• Passo de inicialização – Faça Zs=∞ (limite superior da função-objetivo).

Comece com o conjunto completo de soluções em consideração

(incluindo quaisquer soluções inviáveis que não possam ser

convenientemente eliminadas) como o único subconjunto

remanescente. Antes de começar as iterações regulares pelos passos

abaixo, aplique apenas o passo de ramificação (bound), o passo de

sondagem e a regra de parada a este subconjunto (referindo-se a isto

como iteração 0)

86

• Passo de ramificação – use alguma regra de ramificação para

selecionar um dos subconjuntos remanescentes (aqueles nem

sondados, nem subdivididos), e subdivida-o em dois ou mais

subconjunto de soluções.

• Passo de limitação – para cada novo subconjunto, obtenha um limite

inferior Zl, no valor da função-objetivo para as soluções viáveis no

subconjunto.

• Passo de sondagem – para cada novo subconjunto, exclua-o de futuras

considerações, isto é, faça a sondagem se:

o Teste 1 de Sondagem: Zl ≥ Zs, ou

o Teste 2 de Sondagem: descobre-se que o subconjunto não

contém soluções viáveis; ou

o Teste 3 de Sondagem: a melhor solução viável no subconjunto

foi identificada (então, Zl corresponde a seu valor da função-

objetivo): se isto ocorrer e Zl < Zs, então faça Zs = Zl, armazene

esta solução como a solução incumbida, e reaplique o Teste 1

de Sondagem a todos os subconjuntos remanescentes.

• Regra de parada – pare quando não houver nenhum subconjunto

remanescente insondado; a solução incumbida corrente é ótima (se

não houver nenhuma solução incumbida isto é, Zs ainda for igual a ∞,

então o problema não possuirá soluções viáveis.). Caso contrário, volte

para o passo de ramificação.

Se o objetivo for maximizar em vez de minimizar a função-objetivo, o

procedimento não mudará, exceto que os papéis dos limites superiores e inferiores

serão inversos. Assim, Zs seria substituído por Zl e vice-versa, ∞ se tornaria -∞ e as

direções das desigualdades seriam invertidas.

Os passos de ramificação e limitação permitem uma considerável flexibilidade

quanto ao projeto de um algoritmo especifico para o problema em questão, e eles

têm um efeito importante na eficiência computacional do algoritmo. As duas regras

de ramificação mais populares para selecionar o subconjunto a subdividir são a

regra do melhor limite e a regra do limite mais novo. A regra do melhor limite diz para

selecionar o subconjunto que tenha o limite mais favorável (o menor limite inferior no

caso de minimização) porque este subconjunto pareceria ser o mais promissor para

87

conter uma solução ótima. A regra do limite mais novo diz para selecionar o

subconjunto mais recentemente criado que não tenha sido sondado, desempatando

entre subconjuntos que tenham sido criados ao mesmo tempo, tomando-se aquele

que tenha o limite mais favorável. As vantagens dessas regras são de ter uma

manutenção de dados menos incômoda e de dar uma grande oportunidade para se

obter, eficientemente, os limites. O método selecionado para se obter os limites

deveria representar um compromisso cuidadoso entre o aperto dos limites e o

esforço computacional. Considera-se, agora, como exemplo, o problema geral de

Programação Linear Inteira Mista, onde algumas das variáveis (diga-se, I delas)

estão restritas a valores inteiros, porém as restantes são variáveis contínuas

comuns. Na forma de minimização, este problema é:

=≥≤=

=≥

=

∑

∑

=

=

.21 para,0

,21 parainteiro, seja

e

,21 para,1

1

,...,m,ix

n),...,I(I,jx

,...,m,ibxa

asujeito

xcZMinimizar

j

j

n

jijij

n

jjj

(3.20)

quando I=n, este se torna um problema de Programação Linear Pura. Uma

estrutura especial é usada para se obter um limite inferior, Zl, razoável, e para se

construir testes de sondagem fortes, com pouco esforço computacional. Essa

informação é obtida de uma maneira razoavelmente eficiente, usando-se

Programação Linear (o Método Simplex ou Simplex Dual). Para a versão

desenvolvida neste estudo, usa-se a regra do limite mais novo para selecionar o

próximo subconjunto de soluções a subdividir. O algoritmo, então, subdivide este

subconjunto em dois novos subconjuntos. Entretanto, como as variáveis podem ter

muitos valores possíveis, esta subdivisão é realizada dividindo os valores possíveis

de alguma variável em dois intervalos. Consequentemente, a mesma variável pode,

eventualmente, ser subdividida mais de uma vez.

O algoritmo começa (iteração 0) ignorando a restrição de inteiro, e usando o

Método Simplex para resolver o problema de Programação Linear correspondente.

Se a solução resultante tiver valores inteiros para todos os xj, então, para j=1,2,...,I

88

ela é a solução ótima desejada. Caso contrário, o passo de ramificação (a cada

iteração) encontra a primeira dessas variáveis que não tem valor inteiro, diga-se xj

tal que k<xj<k+1, onde k é um número inteiro. O Método Branch-and-Bound então,

subdivide o subconjunto de soluções correntes em dois novos subconjuntos:

1º Soluções em que xj≤k,

2º Soluções em que xj≤k+1,

onde essas soluções também têm que satisfazer todas as restrições que

definem o subconjunto corrente (ou seja, quaisquer limites similares em cada uma

das variáveis de subdivisões anteriores, mais as restrições originais do problema). O

passo de limitação obtém, então, o limite inferior Zl, para cada um desses

subconjuntos, ignorando, novamente, a restrição de inteiro, e resolvendo o problema

de Programação Linear resultante (incluindo a nova restrição limitante xj), para obter

o valor ótimo da função-objetivo. Entretanto, em lugar de resolver cada um destes

problemas desde o começo, o Método Branch-and-Bound apenas usa o

procedimento de análise de sensibilidade, aplicando o Método Simplex Dual,

começando pela solução básica que era ótima antes da introdução da nova

restrição. Note-se que a regra do limite mais novo aumenta a oportunidade para

reotimizar eficientemente dessa maneira. O passo de sondagem, então,

simplesmente verifica a nova solução de Programação Linear ótima obtida pelo

Método Simplex Dual. Em particular, o novo subconjunto será sondado se

• Teste 1 de Sondagem: Zi≥Zs, ou

• Teste 2 de Sondagem: o Método Simplex Dual descobre que não existe

solução viável, ou

• Teste 3 de Sondagem: a solução ótima obtida tiver valores inteiros para todos

os xj tais que j=1,2,...,I.

Se o Teste 3 de Sondagem tiver sucesso e Zl<Zs, então refaça Zs=Zl e

armazene esta solução como a solução incumbida. Entretanto, o Teste 1 de

Sondagem não precisa ser reaplicado aos subconjuntos remanescentes, até que

sejam selecionados pela regra do limite mais novo. Quando todos os subconjuntos

não-subdivididos tiverem sido sondados, a solução incumbida corrente será ótima

desejada.

89

Faz-se importante esclarecer que o Modelo Matemático proposto 3.19 é um

modelo não linear. Logo, em vez de se usar o Método Simplex como descrido acima,

deve-se usar um método para Otimização Não-linear, descrito a seguir.

3.6 Método de Programação Não-linear

Nesta pesquisa, usa-se uma variação do Método Branch-and-Bound com a

Técnica de Minimização Irrestrita da Sequência, descrida em detalhas por HILLIER

(2006) e por MAHEY (1987), que é um método de Programação Não-linear.

Acredita-se que outros algoritmos de Programação Não-linear tenham também

sucesso. Optou-se por este método, em razão da facilidade de sua implementação

computacional. A Técnica de Minimização Irrestrita da Sequência supõe que se

tenha um modelo matemático como o mostrado abaixo:

=≥ .21 para,0),..,,,(

),..,,,(

321

321

,...,m,ixxxxh

asujeito

xxxxgMinimizar

ni

n

(3.21)

O procedimento usado por esta técnica é muito simples. Ela lida

simultaneamente com a função-objetivo e com as restrições, combinando-as dentro

de uma única função:

,),..,,,(

1),..,,,();,..,,,(

1 321321321 ∑

=

+=m

i ninn xxxxh

rxxxxgrxxxxP (3.22)

onde r é um escalar estritamente positivo. Começando com uma solução-tentativa

inicial viável, a técnica usa, repetidamente, o procedimento de busca pelo gradiente

(ou Algoritmos de Gradiente Conjugado ou um método similar) para minimizar

P(x1,x2,x3,...,xn;r) com valores sucessivamente menores que r se aproximando de

zero. As soluções de minimização resultantes convergem para uma solução ótima

para o problema original.

90

A chave desta técnica é que cada 1/hi(x1,x2,x3,...,xn) se aproxima do infinito à

medida que hi(x1,x2,x3,...,xn) se aproxima de zero decrescendo. Portanto, começando

com uma solução-tentativa inicial tal que hi(x1,x2,x3,...,xn)>0, para todo i, é garantido

que o procedimento de busca pelo gradiente encontrará uma solução de

minimização de P(x1,x2,x3,...,xn;r) que seja viável para o problema original. Com

efeito, o termo de r em 3.22 é um termo de repulsão do limite (também chamado de

função de penalidade) que previne o procedimento de busca pelo gradiente de

atravessar (ou mesmo alcançar) os limites da região viável onde um ou mais

hi(x1,x2,x3,...,xn)=0.

Entretanto, se uma solução ótima para o problema original cair ou estiver

suficientemente próxima dos limites da solução viável, o termo de repulsão do limite

também irá prevenir essa solução de ser a solução de minimização de

P(x1,x2,x3,...,xn;r). Esta é a razão para minimizar, repetidamente, P(x1,x2,x3,...,xn;r)

para valores sucessivamente menores que r. À medida que r se aproxima de zero,

P(x1,x2,x3,...,xn;r) aproxima-se de g(x1,x2,x3,...,xn), de modo que a solução de

minimização de P(x1,x2,x3,...,xn;r) convergirá para a solução ótima desejada.

Portanto, apenas precisarão ser obtidas soluções de minimização suficientes para

permitir a extrapolação para esta solução de limite.

Estão disponíveis informações úteis para guiar a decisão de quando esta

extrapolação deverá ser realizada. Em particular, quando se tem uma solução de

minimização de P(x1,x2,x3,...,xn;r), esta é maior ou igual à solução ótima

(desconhecida) para o problema original. Assim, g(x1,x2,x3,...,xn) não pode exceder o

valor de g na solução ótima mais que o valor do termo de repulsão. Para isso seria

razoável extrapolar para a solução ótima, sempre que o erro máximo resultante for

considerado suficientemente pequeno.

O procedimento de busca pelo gradiente para problema irrestrito multivariado

baseia-se em alcançar, eventualmente, um ponto onde todas as derivadas parciais

sejam essencialmente zero. Isso envolve usar o gradiente da função-objetivo.

Suponha-se X=(x1,x2,x3,...,xn) e f(X) a função-objetivo, uma vez que suposta ser

diferenciável com um gradiente denotado por ∇f(X). Em particular, o gradiente num

ponto especifico X=X’ é o vetor cujos elementos são respectivas derivadas parciais

avaliadas em X=X’, de modo que

91

'.,...,,,)'(321

XXparax

f

x

f

x

f

x

fXf

n

=

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂=∇ (3.23)

O significado do gradiente é que a mudança (infinitesimal) em X, que

minimiza a taxa à qual f(X) aumenta, é a mudança que é proporcional a ∇f(X). Para

expressar essas ideias geometricamente, a direção do gradiente, ∇f(X´), é

interpretada como a direção do segmento de linha direcionada (seta) da origem

(0,0,...,0) para o ponto (∂f/∂x1, ∂f/∂x2,..., ∂f/∂xn) onde ∂f/∂xj é avaliado para xj=x’j. Por

isso, pode-se dizer que a taxa que f(X) diminuirá será maximizada se as mudanças

(infinitésimas) em X forem na direção inversa do gradiente ∇f(X). Como o objetivo é

encontrar a solução viável que minimize f(X), pareceria conveniente tentar mover o

mais possível na direção contrária a do gradiente (mesma direção e sentido

contrário).

Como as restrições foram acrescidas à função-objetivo, o problema resultante

fica sem restrições. Esta interpretação do gradiente sugere que um procedimento de

busca eficiente deveria se manter em movimento na direção do mesmo, até que ele

alcance (essencialmente) uma solução ótima X*, onde ∇f(X*)=0. Entretanto,

normalmente não seria prático mudar X continuamente na direção de ∇f(X), porque

isso requereria a reavaliação continua de ∂f/∂xj e a mudança da direção do caminho.

Por isso, a melhor abordagem é continuar movendo o gradiente numa direção fixa a

partir da solução-tentativa atual, não parando até que f(X) pare de diminuir. Este

ponto de parada seria a próxima solução-tentativa, de modo que o gradiente seria,

então, recalculado, para determinar a nova direção para a qual deve mover. Com

esta abordagem, cada iteração envolve a mudança da solução-tentativa atual, X’,

como se segue: Refaça X’ = X’ – t* ∇f(X’), onde t* é o valor positivo de t que minimiza

f[X’ - t ∇f(X)]. As iterações desse procedimento de busca pelo gradiente continuariam

até que ∇f(X)=0 dentro de uma pequena tolerância de erro.

A parte mais difícil desse procedimento é, normalmente, encontrar t*, o valor

de t que minimize f na direção do gradiente, a cada iteração. Como X e ∇f(X) têm

valores fixos para a minimização, pode ser usado, para isso, um método de

procedimento de busca unidimensional como o Método da Seção Áurea ou da

Aproximação Quadrática ou o Método de Newton descrito em CHAPRA (1988).

O resumo do procedimento de busca pelo gradiente segue:

92

• Passo de inicialização – selecione a precisão numérica (ξ) e qualquer

solução-tentativa inicial X’. Vá, primeiramente, para a Regra de Parada.

• Passo Iterativo 1 – use o procedimento de busca unidimensional (Método da

Seção Áurea) para entrar t=t* minimizando f[X’ - t ∇f(X)] onde t ≥ 0.

• Passo Iterativo 2 – refaça X’ = X’ – t* ∇f(X’). Então vá para a Regra de Parada.

• Regra de parada – avalie ∇f(X’) para X= X’. Verifique se |∂f/∂xj|≤ ξ para todo

j=1,2,...,n. Se a resposta é positiva, pare com o X’ atual como a aproximação

desejada da solução ótima X*. Caso contrário, vá para o Passo Iterativo 1.

No caso da implementação computacional do Modelo 3.19, os valores

absolutos foram substituídos pelo quadrado para simplificar a matemática, em vez

de se usar o módulo como a raiz quadrada do quadrado( 2xx = ). Neste estudo,

também não se preocupou se o mínimo achado era local ou global.

3.7 Principais equações do cálculo de fase obtidas

Aplicando-se a solução descrita nas seções anteriores ao Modelo 3.19, por

meio do programa computacional desenvolvido, obtiveram-se várias equações do

cálculo de fase que são generalizações do Algoritmo de Carré. Muitas dessas

mesmas equações do cálculo de fase podem também ser obtidas, usando-se o

software comercial LINGO® 11.0 (2008) da LINDO Systems Inc.5 com as rotinas de

implementação. Ambos os programas chegaram a resultados semelhantes. Para

forçar outras soluções eram impostas aos programas certas restrições. Observa-se

que N é o número de imagens ou frames, e que as equações do cálculo de fase

seguem a Equação 3.18.

Uma vez obtida a Equação (a) da Tabela 4, o programa deve ser executado

novamente para que outra solução seja obtida. Como se trata de mínimos locais e

os valores de Im, Ia, φ e δ são aleatórios e diferentes para cada execução, basta

rodar o programa de novo que, possivelmente, uma nova equação diferente vai ser

5 http://www.lindo.com

93

calculada. Se equações repetidas começarem a aparecer, inclua alguma restrição

como n12<0 ou n12=-2, para que diferentes coeficientes sejam encontrados.

TABELA 4

Equações encontradas resolvendo o Modelo Matemático 3.19, usando o Método Branch-and-Bound

para N (número de imagens) igual a 6

N = 6 Num -1 0 -3 3 0 2 -1 -2 -2 2 2 2 -1 2 -6 6 -2 25 -1 1 -10 0 5 6 -6 -10 2 5 -6 6 -10 -2

-2 4 1 3 2 -4 -6 2 -2 4 6 6a) -2 -1 -3 b) 2 6 -2 c) -2 -6 -6

5 0 5 -2 5 2-1 -1 -1

Dem -1 0 1 1 0 -1 -1 -1 2 2 -1 -1 -1 1 0 0 1 -1

Num -1 0 -1 1 0 2 -1 0 0 0 0 2 -4 4 -7 7 -4 83 1 -1 -6 0 2 2 -2 -4 0 10 -5 5 -20 -4

0 0 -1 1 1 -2 -2 0 0 0 5 7d) 0 1 -1 e) 1 2 0 f) 0 -5 -7

3 0 2 0 10 4-1 -1 -4

Dem -1 0 1 1 0 -1 -1 0 1 1 0 -1 2 -1 -1 -1 -1 2

Num -1 4 -11 11 -4 2 -1 0 -2 2 0 2 -1 2 -2 2 -2 25 -9 9 -10 -4 4 0 0 -8 0 1 -2 2 -2 -2

2 -4 9 11 -1 2 0 2 2 -4 2 2g) 2 -9 -11 h) -1 0 -2 i) 2 -2 -2

5 4 4 0 1 2-1 -1 -1

Dem -1 2 -1 -1 2 -1 -1 0 1 1 0 -1 -1 1 0 0 1 -1

Num -1 -2 -3 3 2 2 -1 2 0 0 -2 2 -1 4 -5 5 -4 26 5 -5 -12 2 -1 0 0 2 -2 -1 -3 3 2 -4

1 -2 -5 3 4 -8 0 0 8 -16 3 5j) 1 5 -3 k) 4 0 0 l) 8 -3 -5

6 -2 -1 2 -1 4-1 -1 -1

Dem -1 -1 2 2 -1 -1 -1 1 0 0 1 -1 -1 2 -1 -1 2 -1

Num -1 0 1 -1 0 2 -1 2 -1 1 -2 2 -1 0 0 0 0 21 3 0 -5 0 0 -1 0 1 -2 2 2 -1 -5 0

-1 -1 -3 2 4 -7 1 0 0 -1 -2 1m) 2 0 -2 n) 3 0 0 o) 1 1 -1

4 0 -1 2 3 0-1 -1 -1

Dem -1 0 1 1 0 -1 -1 1 0 0 1 -1 -1 0 1 1 0 -1

Num -1 2 -1 2 -3 2 -1 0 0 0 0 20 -2 4 -3 -1 2 2 0 -6 0

1 -3 1 3 -1 0 -2 2p) 2 -3 -4 q) 1 0 -2

3 2 4 0-1 -1

Dem -1 1 0 0 1 -1 -1 0 1 1 0 -1

Fonte: Resultados da pesquisa.

Na Tabela 4 acima são mostrados apenas os coeficientes do numerador e do

denominador, por exemplo, a Equação da Tabela 4 (a) fica, na verdade, escrita

como a Equação 3.24 abaixo:

94

6431

26

25

645424

63534323

52423222

61413121

5

32

342

105

233

)tan(IIII

I

I

IIIII

IIIIIII

IIIIIII

IIIIIII

−++−−

+−−−+++−

−+−+++−−

=φ (3.24)

TABELA 5

Equações encontradas resolvendo o Modelo Matemático 3.19, usando o Método Branch-and-Bound

para N (número de imagens) igual a 7

N = 7 Num -1 -2 0 0 0 2 2 -1 2 -5 0 5 -2 2 -1 -2 -4 0 4 2 21 6 0 -6 -2 2 6 -6 0 6 -12 -2 5 6 0 -6 -10 2

5 0 -10 -6 0 0 0 0 6 5 1 0 -2 -6 4a) 0 0 0 0 b) 0 0 0 0 c) 0 0 0 0

5 6 0 0 -6 -5 1 6 -41 -2 6 2 5 -2

-1 -1 -1Dem -1 -1 1 2 1 -1 -1 -1 1 1 -2 1 1 -1 -1 -1 1 2 1 -1 -1

Num -1 -2 1 0 -1 2 2 -1 -2 -5 0 5 2 2 -1 -2 -1 0 1 2 20 6 0 -6 0 2 6 6 0 -6 -12 2 2 6 0 -6 -4 2

6 0 -12 -6 -1 0 0 0 -6 5 4 0 -8 -6 1d) 0 0 0 0 e) 0 0 0 0 f) 0 0 0 0

6 6 1 0 6 -5 4 6 -10 -2 6 -2 2 -2

-1 -1 -1Dem -1 -1 1 2 1 -1 -1 -1 -1 1 2 1 -1 -1 -1 -1 1 2 1 -1 -1

Num -1 -2 -3 0 3 2 2 -1 2 0 0 0 -2 2 -1 0 0 0 1 -1 24 6 0 -6 -8 2 1 -6 0 6 -2 -2 2 0 0 0 -5 1

2 0 -4 -6 3 5 0 -10 6 0 0 1 -1 0 0g) 0 0 0 0 h) 0 0 0 0 i) 0 -1 0 0

2 6 -3 5 -6 0 1 0 -14 -2 1 2 3 0

-1 -1 -1Dem -1 -1 1 2 1 -1 -1 -1 1 1 -2 1 1 -1 -1 0 1 0 1 0 -1

Fonte: Resultados da Pesquisa

Novamente, na Tabela 5 acima, são mostrados apenas os coeficientes do

numerador e do denominador para N=7. Por exemplo, a Equação da Tabela 5 (a)

fica, na verdade, escrita como a Equação 3.25 abaixo:

7654321

27

7626

6525

635323

7262523222

71612121

2

2

65

6105

2266

222

)tan(IIIIIII

I

III

III

IIIII

IIIIIIIII

IIIIIII

−−+++−−−

−+++

−−++−−++++−−

=φ (3.25)

95

TABELA 6

Equações encontradas resolvendo o Modelo Matemático 3.19, usando o Método Branch-and-Bound

para N (número de imagens) igual a 8

N = 8 Num -1 0 -5 0 0 5 0 2 -1 0 -9 2 -2 9 0 2 -1 2 -6 0 0 6 -2 27 0 3 -3 0 -14 0 7 2 5 -5 -2 -14 0 7 -4 0 0 4 -14 -2

-4 0 0 8 0 5 0 -2 2 0 -2 9 -1 0 0 2 4 6a) 0 0 0 -3 0 b) 0 0 2 -5 -2 c) -1 2 0 0 0

0 0 3 0 0 -2 5 2 -1 0 0 0-4 0 -5 0 2 -9 -1 -4 -6

7 0 7 0 7 2-1 -1 -1

Dem -1 0 1 0 0 1 0 -1 -1 0 -1 2 2 -1 0 -1 -1 1 1 -1 -1 1 1 -1

Num -1 0 0 0 0 0 0 2 -1 0 -5 0 0 5 0 2 -1 0 -1 0 0 1 0 22 0 -1 1 0 -4 0 7 0 1 -1 0 -14 0 3 0 0 0 0 -6 0

0 1 -1 0 0 0 -2 -2 2 4 0 5 -1 1 -1 2 0 1d) 1 -2 -1 1 0 e) -2 4 2 -1 0 f) 1 -2 -1 0 0

1 1 -1 0 -2 -2 1 0 1 1 0 00 0 0 -2 0 -5 -1 0 -1

2 0 7 0 3 0-1 -1 -1

Dem -1 0 1 0 0 1 0 -1 -1 0 1 0 0 1 0 -1 -1 0 1 0 0 1 0 -1

Num -1 0 0 2 -2 0 0 2 -1 -2 -6 -2 2 6 2 2 -1 2 -8 -2 2 8 -2 22 -2 -2 2 2 -4 0 7 6 6 -6 -6 -14 2 7 2 2 -2 -2 -14 -2

3 0 0 -6 2 0 -5 2 -2 10 -6 6 -4 -6 6 8 -2 8g) -2 4 0 2 -2 h) 3 -6 -2 -6 2 i) 0 0 6 -2 2

-2 0 -2 2 3 2 6 -2 0 -6 2 -23 -2 0 -5 6 -6 -4 2 -8

2 0 7 -2 7 2-1 -1 -1

Dem -1 0 1 0 0 1 0 -1 -1 -1 1 1 1 1 -1 -1 -1 1 0 0 0 0 1 -1

Num -1 2 -10 2 -2 10 -2 2 -1 -2 -10 -2 2 10 2 2 -1 2 -6 2 -2 6 -2 27 2 2 -2 -2 -14 -2 7 6 6 -6 -6 -14 2 7 -6 6 -6 6 -14 -2

-1 -10 10 2 -2 10 3 6 -6 -6 -6 10 -5 6 -6 10 6 6j) -1 2 10 -2 -2 k) 3 -6 -6 -6 2 l) 3 -6 -6 -6 -2

-1 -10 2 2 3 6 6 -2 3 6 6 2-1 2 -10 3 6 -10 -5 -6 -6

7 2 7 -2 7 2-1 -1 -1

Dem -1 1 -1 1 1 -1 1 -1 -1 -1 -1 3 3 -1 -1 -1 -1 1 1 -1 -1 1 1 -1

Num -1 2 -8 2 -2 8 -2 2 -1 -2 -4 2 -2 4 2 2 -1 -2 -4 4 -4 4 2 2 7 -2 2 -2 2 -14 -2 7 2 -2 2 -2 -14 2 7 0 0 0 0 -14 2 0 -6 6 0 2 8 0 -2 2 0 -2 4 0 0 0 0 0 4m) -4 8 6 -2 -2 n) 0 0 2 2 -2 o) 0 0 0 0 -4 -4 -6 2 2 0 -2 -2 2 0 0 0 4 0 -2 -8 0 2 -4 0 0 -4 7 2 7 -2 7 -2 -1 -1 -1

Dem -1 1 0 0 0 0 1 -1 -1 -1 2 0 0 2 -1 -1 -1 -1 2 0 0 2 -1 -1

Num -1 0 0 1 -1 0 0 2 -1 0 -1 0 0 1 0 2 -1 0 0 0 0 0 0 20 1 0 0 -1 0 0 3 0 -1 1 0 -6 0 0 2 0 0 -2 0 0

3 0 0 -6 -1 0 0 0 0 0 0 1 2 0 0 -4 -2 0p) 0 0 0 0 -1 q) 0 0 0 1 0 r) 1 -2 0 0 0

0 0 0 1 0 0 -1 0 1 0 0 03 1 0 0 0 -1 2 2 0

0 0 3 0 0 0-1 -1 -1

Dem -1 0 0 1 1 0 0 -1 -1 0 1 0 0 1 0 -1 -1 0 0 1 1 0 0 -1

Num -1 0 0 -1 1 0 0 2 -1 0 1 0 0 -1 0 2 -1 4 -6 -6 6 6 -4 22 1 -1 1 -1 -4 0 1 0 -2 2 0 -2 0 4 -2 -6 6 2 -8 -4

-1 1 -1 2 -1 0 1 1 -1 -2 0 -1 3 2 -2 -6 2 6s) 2 -4 -1 1 1 t) 1 -2 -1 2 0 u) 4 -8 -2 6 6

2 1 -1 -1 1 1 -2 0 4 2 -6 -6-1 1 0 1 0 1 3 -2 -6

2 0 1 0 4 4-1 -1 -1

Dem -1 0 1 0 0 1 0 -1 -1 0 1 0 0 1 0 -1 -1 2 1 -2 -2 1 2 -1

Fonte: Resultados da pesquisa.

96

De novo, na Tabela 6, são mostrados apenas os coeficientes do numerador e

do denominador para N=8. Por exemplo, a Equação da Tabela 6 (a) fica na verdade

escrita como a Equação 3.26 abaixo:

8631

28

27

8626

75

74

836323

72524222

81613121

7

54

3

3

584

14337

255

)tan(IIII

I

I

III

II

II

IIIII

IIIIIII

IIIIIII

−++−−

+−−

+−

++−−−++

++−−

=φ (3.26)

Destaca-se que estas equações são importantes resultados inéditos e

originais obtidos neste estudo, sendo generalizações do Algoritmo de Carré. Mais à

frente, no Capítulo V, será realizada uma análise de incerteza sobre algumas delas.

Outras equações do cálculo de fase podem ser encontradas no Apêndice A.

3.8 Testes das equações obtidas

Uma vez obtidas as novas equações do cálculo de fase, passa-se à

realização de vários testes com as mesmas, com o objetivo de verificar se podem

ser usadas e se não apresentam erros ou falhas. Neste estudo, são propostos

quatro testes ou ensaios para avaliar as equações.

O primeiro teste é uma verificação numérica matemática onde são atribuídos

valores aleatórios a Im (intensidade luminosa do fundo em cada ponto da imagem), Ia

(intensidade de modulação em cada ponto da imagem), φ’ (fase) e δ (deslocamento

de fase), e então, é utilizada a Equação 3.9 para se calcular os valores de Ik

(intensidade luminosa) onde k=1,2,3,..N e N é o número de imagens. Uma vez

obtido Ik, usa-se as novas equações em teste para se calcular a tan(φ) e comparar

com o valor de φ’ escolhido aleatoriamente.

97

No segundo teste, são geradas no computador N imagens de Moiré para uma

curva ou função matemática de superfície [Z=f(x,y)]. A forma como as imagens são

geradas é detalhada no Capítulo IV. Usa-se um programa desenvolvido em

MatLab® (da MathWorks, Inc.)6, que processa essas imagens aplicando a Técnica

Moiré de Sombra com Deslocamento de Fase. Esse software foi desenvolvido e

testado usando o Algoritmo de Carré para 4 imagens, mas modificado para usar N

imagens e as novas equações desenvolvidas para retornar as medidas dos objetos.

Essas medidas são então comparadas com as dimensões conhecidas, e é aplicada

uma tolerância de 20% (verificar apenas a forma do objeto) no erro relativo das

mesmas (assim se a altura de uma curva tem o valor de 10 cm vai-se tolerar um erro

relativo de 20% ou seja, 2 cm; com isso, vai se admitir uma “medição” com intervalos

entre 8 e 12 cm neste ponto da imagem). A ideia é verificar se as novas equações

funcionam de forma semelhante ao Algoritmo de Carré aplicada à Moiré de Sombra.

Vale notar que as imagens geradas têm entre 0,3 a 5 megapixéis.

No terceiro teste, as imagens geradas no computador são acrescidas de erros

aleatórios e ruídos que, normalmente são encontrados em fotografias reais de Moiré.

Como são geradas estas imagens com erros são detalhados no Capítulo IV desta

tese, e podem ser encontrados em GONZALEZ (2004). O mesmo programa

computacional usado no segundo teste é usado no terceiro, e a mesma tolerância de

20% nos erros relativos das medidas.

No quarto teste, é usado o mesmo processo do segundo e terceiro testes, só

que, nele, as imagens são fotografias reais usando a Técnica Moiré de Sombra com

Deslocamento de Fase. Essas fotografias foram tiradas no Laboratório de Análise

Estrutural da PUC-Minas, usando-se a montagem descrita no Capítulo V.

A ideia desse testes não é fazer um estudo métrico das novas equações

desenvolvidas, mas apenas verificar a validade, funcionalidade e performance

dessas novas equações do cálculo de fase. Uma análise de forma metrológica é

realizada no Capítulo V com as melhores equações que foram selecionadas nestes

testes iniciais.

6 http://www.matlab.com

98

3.8.1 Teste numérico matemático das equações obtida s

Como as novas equações obtidas foram desenvolvidas por meio de métodos

numéricos de cálculo, e não de demonstrações analíticas de relações

trigonométricas, é necessário verificá-las. Acredita-se que um grande número de

testes numéricos pode verificar ou comprovar essas novas equações ou, pelo

menos, tornar mínimas ou remotas a chance delas estarem erradas ou serem falsas.

O objetivo aqui é verificar se as novas equações calculam realmente a tangente da

fase [tan(φ)].

Para isso, são atribuídos valores reais aleatórios a Im (intensidade luminosa

do fundo em cada ponto da imagem), que variam de 0 a 128, sendo também

atribuídos valores reais e aleatórios a Ia (intensidade de modulação em cada ponto

da imagem), que variam de 0 a 127. Assim, como o cosseno varia de -1 até 1, os

valores da intensidade luminosa Ik ficarão entre 0 e 255, que é o intervalo de valores

dos pixéis obtidos em fotografias monocromáticas digitais de Moiré. É interessante

notar que, nas imagens digitais, os valores são inteiros, e aqui, para ampliar mais os

testes, estes são realizados como reais. São também atribuídos valores reais

aleatórios a φ’ (fase), que variam de -π a π, faixa comum usada nos principais

algoritmos de desempacotamento (unwrapped). E são atribuídos valores reais e

aleatórios a δ (deslocamento de fase), que variam de -20π a 20π, faixa bem ampla

de valores possíveis de deslocamento de fase.

Usa-se, então, a Equação 3.27, que é uma reescrita sem (x, y) de cada ponto

da imagem da Equação 3.9, para se calcular os valores de Ik (intensidade luminosa

da imagem) com k variando de 1 até N.

NkcomNk

III amk ..12

12cos =

−−+′+= δφ (3.27)

Aplicam-se, então, as novas equações com os valores de Ik, e obtém-se a

tan(φ), que deve ser comparado com o valor da fase atribuído aleatoriamente (φ’).

Essa comparação se dá por meio de uma precisão numérica bem pequena, em

razão de erros numéricos de arredondamento que podem ocorrer nos cálculos, diga-

99

se precisão numérica (ξ) de 0,000001 ou 10-6 (ξ≤10-6). Logo, testa-se |φ’ - φ|≤10-6.

Informações sobre precisão numérica e propagação numérica de erros de

arredondamento, podem ser obtidas em CLÁUDIO (2000).

Um cuidado especial deve ser tomado, pois como as equações contêm uma

raiz quadrada, é calculado o valor absoluto da soma no numerador e denominador;

logo, a tan(φ) será positiva, e o valor de φ estará entre 0 e π/2. Observando a Figura

11, vê-se uma simetria e anti-simetria no gráfico da tangente de um arco em

radianos. Assim como o valor de φ’ está entre -π e π, e o valor de φ está entre 0 e

π/2, na verdade, quatro testes devem ser realizados, ou seja, φ’ é comparado com φ,

-φ, φ-π e -φ+π, bastando que um deles esteja correto, portanto, se |φ’ - φ|≤10-6 ou |φ’ -

(-φ)|≤10-6 ou |φ’ - (φ-π)|≤10-6 ou |φ’ - (-φ+π)|≤10-6, para que a equação seja verificada e

considerada correta.

Figura 11 – Gráfico da tangente de um arco em radianos.

Vai-se mostrar este processo usando um exemplo: suponha que se deseje

testar a Equação (d) da Tabela 4 para N = 6, escrita abaixo:

6431

26

25

6454

6353

52423222

61413121

3

63

2

)tan(IIII

I

I

IIII

IIII

IIIIIII

IIIIIII

−++−−

+−++−

−−++++−−

=φ (3.28)

100

Escolhe-se aleatoriamente Im=3,5; Ia=2,4; φ’=1,2 e δ=0,3, calcula-se então I1,

I2, I3, I4, I5 e I6 usando a Equação 3.27, e tem-se então:

==

++=

+′+=

==

++=

+′+=

==

++=

+′+=

==

−+=

−′+=

==

−+=

−′+=

==

−+=

−′+=

6611566,23,02

52,1cos4,25,3

2

5cos

5310110,33,02

32,1cos4,25,3

2

3cos

4025616,43,02

12,1cos4,25,3

2

1cos

3694171,43,02

12,1cos4,25,3

2

1cos

2256053,53,02

32,1cos4,25,3

2

3cos

1661073,53,02

52,1cos4,25,3

2

5cos

6

5

4

3

2

1

kseIII

kseIII

kseIII

kseIII

kseIII

kseIII

am

am

am

am

am

am

δφ

δφ

δφ

δφ

δφ

δφ

(3.29)

Monta-se então uma tabela com o produto das imagens, a Tabela 7:

TABELA 7

Produto das Imagens I1, I2, I3, I4, I5 e I6

I1 I2 I3 I4 I5 I65,661073 5,256053 4,694171 4,025616 3,310110 2,611566

I1 5,661073 32,047748 29,754902 26,574042 22,789307 18,738774 14,784266I2 5,256053 27,626096 24,672810 21,158852 17,398114 13,726530I3 4,694171 22,035237 18,896928 15,538220 12,259136I4 4,025616 16,205585 13,325231 10,513162I5 3,310110 10,956827 8,644570I6 2,611566 6,820277

Produto

Fonte: Cálculos da pesquisa.

Substituindo na Equação 3.28, tem-se:

611566,2025616,4694171,4661073,5

820277,6

95683,103

51316,1032523,13

25914,1253822,15

39811,17615885,2167281,246261,273

78427,14278931,2257404,2604775,32

)tan(

6

−++−−

×+−++−

×−−+×+×++−−

=φ (3.30)

101

Efetuando a soma no numerador e no denominador, chega-se em:

572152,2447148,0

322802,1)tan( ==φ (3,31)

Calculando o arcotangente de 2,572152, obtém-se que φ=1,2 é igual ao φ’

atribuído aleatoriamente. Esse procedimento deve ser então realizado milhares ou

milhões de vezes para verificar as novas equações.

Em outro exemplo, mostra-se esse processo de teste para valores inteiros.

Suponha que se deseje testar a Equação (e) da Tabela 5 para N = 7, escrita abaixo:

7654321

27

7626

7565

7363

7262523222

716151312121

2

26

56

56

212666

22552

)tan(IIIIIII

I

III

IIII

IIII

IIIIIIIII

IIIIIIIIIII

−−+++−−−

−+−+

+−+−−+++++−−−

=φ (3.32)

Escolhe-se aleatoriamente Im=6; Ia=4; φ’=π e δ=π/2, calcula-se então I1, I2, I3,

I4, I5, I6 e I7 usando a Equação 3.27, e tem-se:

[ ][ ][ ][ ][ ][ ][ ]

==++=++===++=++===++=++===+=+===−+=−+===−+=−+=

==−+=−+=

76]2/3cos[463cos

610]2/2cos[462cos

5 6]2/cos[46cos

4 2]cos[46cos

3 6]2/cos[46cos

210]2/2cos[462cos

16]2/3cos[463cos

7

6

5

4

3

2

1

kseIII

kseIII

kseIII

kseIII

kseIII

kseIII

kseIII

am

am

am

am

am

am

am

ππδφππδφ

ππδφπφ

ππδφππδφππδφ

(3.33)

Substituindo na Equação 3.32, tem-se:

102

6106226106

6

6102106

6651066

6651066

610210101261066106106

662106266566510626

)tan(2

2

2

2

−−+×++−−−

××−×+××−××+

××+××−××+××−××−××+×+××+××+××+××−××−−

=φ (3.34)

Efetuando a soma no numerador e no denominador, chega-se em:

016

0)tan( =

−=φ (3.35)

Calculando o arcotangente de 0, obtém-se que φ=0, mas φ’=π que foi atribuído

aleatoriamente. Portanto φ’ deve ser comparado com -φ+π. Esse procedimento deve

ser então realizado milhares ou milhões de vezes para verificar as novas equações.

Acredita-se que o teste anterior realizado com valores reais seja mais geral e

abrangente e, portanto, será usado no restante da pesquisa.

Um algoritmo para teste das novas equações é mostrado na Figura 12, onde

se entra com N (Número de Imagens), NUM[r,s] (matriz de coeficientes do

numerador), DEM[r] (vetor de coeficientes do denominador), o NTESTE (número de

testes) e a precisão numérica (por exemplo ξ≤10-6). Na saída, tem-se o número de

acertos e o número de erros. A função aleatória retorna um valor randômico real

entre 0 e 1.

103

Figura 12 – Algoritmo para teste numérico-matemático das novas equações do cálculo de fase. A função Aleatorio() retorna um número real randômico (aleatório) entre 0 (zero) e 1 (um), diferente a cada chamada da função. Fonte: Resultados da pesquisa.

Nota-se que todas as equações apresentadas nesta pesquisa passaram pelo

teste numérico matemático acima descrito. Para isso, foi criado um programa em

Delphi 6.0/Pascal® da Borland Software Corporation7, onde cada equação foi

testada pelo menos um milhão de vezes, e apresentou acerto em 99,9% dos testes.

Alguns erros ocorrem em razão do valor do numerador e do denominador serem

muito pequenos, gerando uma propagação do erro de arredondamento muito

grande, maior que a precisão numérica definida. Com esta enorme quantidade de

testes e a precisão numérica bem pequena, torna-se improvável, estatisticamente,

que as equações estejam erradas.

7 http://www.borland.com

Algoritmo |Entre com N |Entre com NUM[r,s] e DEM[r] |Entre com NTESTE e PRECISAO |CONTADOR = 0 |ACERTOS = 0 |ERROS = 0 |Pi = 3.1415926535897932 |Repita ||CONTADOR = CONTADOR + 1 ||NUMERADOR = 0 ||DENOMUNADOR = 0 ||Im = 128 * Aleatorio() ||Ia = 127 * Aleatorio() ||Phi' = 2 * Pi * (Aleatorio() - 0,5) ||Delta = 2 * Pi * 5 (Aleatorio() - 0,5) ||Varie r de 1 até N || | DENOMINADOR=DENOMINADOR+DEM[r]* {Im + Ia * cos (Phi' +(2*r-N-1)/2 * Delta)} || | Varie s de r até N || | | NUMERADOR=NUMERADOR+NUM[r,s]*{Im + Ia * cos (Phi' +(2*r-N-1)/2 * Delta)} || | | *{Im + Ia * cos (Phi' +(2*s-N-1)/2 * Delta)} || | Fim Varie ||Fim Varie ||Se DENOMINADOR = 0 ||| Então Phi = Pi / 2 ||| Senão Phi = Arctan( Sqrt(Abs(NUMERADOR)) / Abs (DENOMINADOR) ) ||Fim Se ||Se Abs(Phi' - Phi) < PRECISAO ou ||| Abs(Phi' - (-Phi)) < PRECISAO ou ||| Abs(Phi' - (Phi-Pi)) < PRECISAO ou ||| Abs(Phi' - (-Phi+Pi)) < PRECISAO ||| Então ACERTO = ACERTO + 1 ||| Senão ERRO = ERRO + 1 ||Fim Se |Até CONTADOR = NTESTE Fim algoritmo

104

3.8.2 Testes de Moiré das equações obtidas

Os demais testes são realizados usando uma rotina em MatLab® (da

MathWorks, Inc.8, que implementa a Técnica Moiré de Sombra, descrita no Capítulo

II, com o Algoritmo de Carré. A diferença é que se usa N imagens (N ≥ 4), e para o

cálculo da fase utiliza-se as novas equações deduzidas. Aplica-se, ainda, uma

tolerância de 20% no erro dos valores medidos. Ou seja, dada a medida conhecida

em um dado pixel da imagem, vai-se aceitar um erro relativo de 20% desse valor;

assim, se a altura medida de um objeto é de 10 cm, tolera-se um erro de 2 cm no

algoritmo da Técnica de Moiré. A ideia é verificar se a equação funciona para Moiré

de Sombra.

Três tipos de imagens são testados. As primeiras são imagens geradas pelo

computador sem ruído de Franjas de Moiré. Nota-se que, como os valores da

intensidade da imagem são inteiros de 0 a 255, aplicando as equações

desenvolvidas, pode acontecer que, para alguns pixéis, o valor do denominador seja

zero. Neste caso, a medida é realizada por interpolação dos pontos vizinhos. Esse

fenômeno acontece, também, na equação original de Carré e de Novak.

Todas as equações do cálculo de fase mostradas na pesquisa com N ≤ 16

foram verificadas por esse processo. Cita-se, ainda, que no início são geradas

apenas quatro imagens, sendo aplicada a equação original de Carré (3.12); em

seguida, é gerada mais uma imagem defasada, sendo aplicada a equação original

de Novak (3.14). Para N = 6 é gerada mais uma imagem defasada, sendo que o

processo continua para cada valor de N (número de imagens ou frames).

No teste seguinte, usam-se imagens geradas por Computação Gráfica, só

que, neste caso, elas contêm pequenas quantidades de erros aleatórios e ruídos. A

ideia é tentar simular uma fotografia real de Franjas de Moiré. São adicionados e

subtraídos pequenos valores aleatoriamente nos pixéis das imagens. O objetivo é

testar a estabilidade e sensibilidade das equações do cálculo de fase a esses erros.

O último teste seria o de aplicar as novas equações em casos reais de

fotografias tiradas no Laboratório de Análise Estrutura da PUC-Minas ou em sites da

Internet. Destaca-se que este teste foi realizado para equação com N ≤ 16, em razão

8 http://www.matlab.com

105

do trabalho de se obter as fotografias reais, e a dificuldade prática apresentada, na

montagem, em se manter o deslocamento de fase (δ) constante.

3.9 Simetria nas equações do cálculo de fase

No Modelo Matemático 3.19 de Programação Inteira Não-linear, observa-se

que para N (número de imagens) tem N*(N+1)/2 variáveis que são os coeficientes no

numerador (nr,s), e mais N variáveis que são os coeficientes no denominador (dr).

Acontece que à medida que se aumenta N, o número de variáveis vai aumentando

na ordem ao quadrado O(N2) com N + N*(N+1)/2 variáveis [ou (N2+3N)/2 variáveis].

Para complicar, o Método Branch-and-Bound é da ordem ao cubo do número de

variáveis, o que resulta em busca de solução da ordem sexta de N, ou seja, a busca

de novas equações do cálculo de fase de O(N6). Quer dizer, se N dobra, é de se

esperar que o tempo de processamento computacional aumente 26=64 vezes.

ZIVIANI (2004) é uma ótima referência para estudo da avaliação do

desempenho de algoritmos. Nota-se, ainda, que o número de restrições (ν) do

Modelo Matemático 3.19 varia na ordem de O(N2), e que o espaço de busca dos

coeficientes também dependem de N e varia de -2N até 2N(intervalo máximo

observado em todas as equações de cálculo).

O certo é que, com o aumento de N, torna-se computacionalmente mais

trabalhoso, obter novas equações do cálculo de fase. Isso é mostrado no gráfico da

Figura 13, onde se tem o tempo gasto em minutos, para se obter uma equação

versus o número de imagens (N).

106

0,0

200,0

400,0

600,0

800,0

1000,0

1200,0

1400,0

1600,0

1800,0

2000,0

6 7 8 9 10 11 12

M

i

n

u

t

o

s

Número de Imagens

Tempo de Processamento Gasto em Minutos

(min)

Figura 13 – Tempo gasto na execução do Método Branch-and-Bound, para se obter uma equação do cálculo de fase usando o Modelo Matemático 3.19, com microcomputador Pentium CPU Intel Core2 Quad Q6600 2.4GHz com 2GB Memória. Executando o programa em Delphi/Pascal que implementa o método de Otimização. Fonte: Resultados da pesquisa.

Destaca-se que o software comercial LINGO® 11.0 (2008) da LINDO Systems

Inc.9, utilizado pelo Departamento de Matemática e Estatística da PUC-Minas, era

limitado a 150 variáveis inteiras e não lineares. O que permitiu obter equações com

N ≤ 15.

Para resolver essa questão de tempo de processamento e número de

variáveis, usa-se uma observação importante: na maioria das equações obtidas

havia simetrias na matriz de coeficientes do numerador (nr,s) e do denominador (dr).

Por exemplo, para N=6, pode-se observar a Equação (h) da Tabela 4, ou a

Equação 3.36, para notar as simetrias:

654321

26

6525

645424

63534323

6252423222

614141312121

22

26

35

352

212556

22332

)tan(IIIIII

I

III

IIIII

IIIIIII

IIIIIIIII

IIIIIIIIIII

−−++−−−

−+−+++−−++−−+++++−−−

=φ (3.36)

Para melhor visualização, vão-se traçar as linhas da diagonal principal, da

diagonal secundária, do eixo vertical central e do eixo horizontal central no

9 http://www.lindo.com

107

numerador, e uma linha do eixo vertical central no denominador, como mostrado em

3.37:

(3.37)

Pode-se notar, inicialmente, que a diagonal secundária é igual à diagonal

principal multiplicada por menos dois na metade superior dos coeficientes do

numerador, como mostrado em 3.38:

433,3233,3

522,2222,2

611,1211,1

2

2

2

)tan(

IInIn

IInIn

IInIn

−+−+

−

=φ (3.38)

Pode-se notar uma anti-simetria na metade superior da matriz de coeficientes

do numerador em relação ao eixo vertical central, como mostrado em 3.39:

42233223

5112411331132112

)tan(

IInumIInum

IInumIInumIInumIInum

−+−−++

=φ (3.39)

Pode-se, também, notar uma simetria em relação à diagonal secundária nos

coeficientes do numerador, como mostrado em 3.40:

108

261,1

652,1252,2

643,1543,2243,3

633,1533,2233,3

622,1423,2323,2222,2

512,1413,1313,1212,1211,1

)tan(In

IInIn

IInIInIn

IInIInIn

IInIInIInIn

IInIInIInIInIn

++++++−−+−−++

−−++

=φ (3.40)

Tem-se, ainda, uma simetria nos coeficientes do denominador em relação ao

eixo vertical central, como mostrado em 3.41:

615243332211

)tan(IdIdIdIdIdId +++++

=φ (3.41)

Assim, têm-se, ao todo, as simetrias e anti-simetrias mostradas em 3.42:

615243332211

261,1

652,1252,2

643,1543,2243,3

633,1533,2433,3233,3

622,1522,2423,2323,2222,2

611,1512,1413,1313,1212,1211,1

2

2

2

)tan(IdIdIdIdIdId

In

IInIn

IInIInIn

IInIInIInIn

IInIInIInIInIn

IInIInIInIInIInIn

+++++

++++++−−−+−−−++−−−++

=φ (3.42)

Ou seja, as seguintes igualdades podem ser observadas:

109

)2,(_Re)2,(_

1..;..1,

1..;..1,

11..;...1,

1..1,2

1..1,

geral mais maneira uma deou

;;

;;;

;;;

;;;

;;;

;2;2;2

,1,

,1,

,1,1

,1,

1

162534

1,16,62,16,52,25,5

3,16,43,25,43,34,4

3,16,33,25,33,16,2

3,24,22,15,13,14,1

3,34,32,25,21,16,1

NDivisãostoNInteiroQuocienteM

rNsandrsandMrsMrnn

sNsandrsandMrsMrnn

rNsandsNrandMrsMrnn

rNrandMrnn

rNrandMrdd

dddddd

nnnnnn

nnnnnn

nnnnnn

nnnnnn

nnnnnn

srrNs

srsNr

srrNsN

rrrNr

rNr

+=

−+≠>==−=−+≠>==−=

−+≠−+≠===−+≠=−=−+≠==

=========−=−=−=−=−=−=−=−=−=

−+

−+

−+−+

−+

−+

(3.43)

Ilustrando esquematicamente, é como se tivesse as figuras abaixo nas

equações: no numerador, têm-se quatro triângulos retângulos isósceles, dois

positivos e dois negativos de coeficientes iguais; no denominador, os coeficientes

são simétricos como um espelho (Figura 14).

Figura 14: Simetrias no numerador e no denominador dos coeficientes. Fonte: Resultados da pesquisa.

Simetrias semelhantes podem ser observadas para os valores ímpares de N,

como em N igual a 7, e ilustrado em 3.44:

110

71625344332211

271,1

762,1262,2

753,1653,2253,3

744,1644,2544,3244,4

733,1633,2533,3434,3233,3

722,1622,2523,2424,2323,2222,2

711,1612,1513,1414,1313,1212,1211,1

2

2

2

)tan(IdIdIdIdIdIdId

In

IInIn

IInIInIn

IInIInIInIn

IInIInIInIInIn

IInIInIInIInIInIn

IInIInIInIInIInIInIn

++++++

++++++++++−−−++−−−+++−−−+++

=φ (3.44)

Para todos os valores de números de imagens (N) obtiveram-se equações

com as simetrias descritas acima. Para essas equações com simetrias nos

coeficientes do numerador e do denominador, bastar saber o primeiro um quarto da

matriz de coeficientes do numerador e a primeira metade do vetor do denominador,

para se poder calcular o resto do numerador e do denominador.

Um algoritmo foi desenvolvido para que, dado o primeiro um quarto da matriz

de coeficientes do numerador e a primeira metade do vetor de coeficientes do

denominador, se possa obter todo o numerador e o denominador, como mostrado na

Figura 15.

Figura 15 – Algoritmo que completa as matrizes de coeficientes do numerador e do denominador, usando simetrias, dado o primeiro um quarto da matriz de coeficientes do numerador e a primeira metade do vetor de coeficientes do denominador. Fonte: Resultados da pesquisa.

Algoritmo Simetria |Entre com N | |Metade = Quociente_Inteiro(N,2) + Resto_Divisão(N, 2) //(N DIV 2) + (N MOD 2) | |Varie r de 1 até Metade | | Varie s de r até Metade | | | Entre com NUM[r,s] | | Fim Varie |Fim Varie |Varie r de 1 até Metade | | Entre com DEM[r] |Fim Varie | |Varie r de 1 até Metade | | Se (N + 1 - r) > r | | | Então DEM[N + 1 - r] = DEM[r] //Preench e segunda metade do denominador | | | NUM[r, N + 1 - r] := -2 * NUM[r, r] // Diagonal secundária do numerador | | Fim Se | | Varie s de r até Metade | | | Se (s > r) e ((N + 1 - s) > s) | | | | Então NUM[r, N + 1 - s] := -NUM[r, s] // Triangulo superior direito | | | Fim Se //ou triangulo a cima da diagonal secundária | | | Se (s > r) e ((N + 1 - r) > s) | | | | Então NUM[s, N + 1 - r] := -NUM[r, s] | | | Fim Se //Triangulo abai xo da diagonal secundária | | | Se ((N + 1 - s) > r) e ((N + 1 - r) > s) | | | | Então NUM[N + 1 - s, N + 1 - r] := NUM[r , s] //Último triangulo inferior | | | Fim Se | | Fim Varie |Fim Varie Fim algoritmo

111

Assim, podem-se representar os coeficientes do numerador e do

denominador, usando apenas o primeiro um quarto da matriz de coeficientes do

numerador e a primeira metade do vetor de coeficientes do denominador. Se a

equação segue a simetria descrita acima:

então, para N = 6, usando simetria, basta representar:

[ ]3212

1

3,3

3,22,2

3,12,11,1

41

6 dddDem

n

nn

nnn

NumN =

== (3.45)

Então, para N = 7, usando simetria, basta representar:

[ ]

=

==

43212

1

4,4

4,33,3

4,23,22,2

4,13,12,11,1

41

7

ddddDem

n

nn

nnn

nnnn

NumN (3.46)

Assim, a Equação (g) da Tabela 4 ou a Equação 3.47 mostrada abaixo:

654321

26

6525

645424

63534323

6252423222

614141312121

22

45

1192

11942

410995

2411114

)tan(IIIIII

I

III

IIIII

IIIIIII

IIIIIIIII

IIIIIIIIIII

−+−−+−−

++−−+++−+−−+−++−+−+−

=φ (3.47)

poderia ser representada, usando simetria por 3.48:

[ ]121

2

95

11412

14

1−−=

−−−

= DemNum (3.48)

112

Assim, também a Equação (c) da Tabela 5 ou a Equação 3.49, mostrada

abaixo:

7654321

27

7626

756525

73635323

7262523222

716151312121

2

25

46

462

210665

22442

)tan(IIIIIII

I

III

IIIII

IIIIIII

IIIIIIIII

IIIIIIIIIII

−−+++−−−

−+−++

+−−++−−+++++−−−

=φ (3.49)

poderia ser representada usando simetria por 3.50:

[ ]2111

0

01

065

0421

21

41

−−=

−−−

= DemNum (3.50)

A vantagem do uso de simetrias é que o número de variáveis para solucionar

o Modelo Matemático 3.9 reduz praticamente a quarta parte da quantidade original

de variáveis. Isso acelera tremendamente a solução, usando Branch-and-Bound.

Suponha que DIV(N,2) seja o resultado da divisão inteira de N por 2, e

MOD(N,2) o resto da divisão inteira de N por 2. Define-se M como a soma de

DIV(N,2)+MOD(N,2). No problema original, a matriz de coeficientes do numerador e

o vetor do denominador são da ordem N, e para o problema com simetria é da

ordem de M = [DIV(N,2)+MOD(N,2)]. Enquanto para o problema original o número

de variáveis é [N + N*(N+1)/2], para o problema com simetria a quantidade de

variáveis cai para [M + M*(M+1)/2].

Assim, o Modelo Matemático 3.19 pode ser alterado adicionando as restrições

de simetria, resultando no Modelo 3.51. Nota-se que, para restringir ainda mais o

universo de busca, limitaram-se os valores do primeiro um quarto dos coeficientes

113

do numerador e a primeira metade dos coeficientes do denominador entre -4 e 4,

tornando a obtenção das equações do cálculo de fase mais rápidas.

( )

−∈−∈

∈

∈

=

−−++=

>−+

>−+===

>−++==−=

>−++==−=

>−+==

>−+==

===

=≤≤−==≤≤−

=≥+

=≥+

++==

=+=

+

++

−+

−+

−+

+

=

=

= ==

= ==

∑

∑

∑∑∑

∑ ∑∑

real e leatório]20 ;20[

real e leatório] ;[

real e leatório]127 ;0[

real e leatório ]128 ;0[

..1,2

12),(cos),(),(),(

: cada para onde

1

1

,..,..1,n

inferior lo trianguúltimo o para Restrições

)1( ,..1,..1,

secundária diagonal da abaixo lo trianguo para Restrições

)1( ,..1,..1,

)secundária diagonal da (acima direito superior Triangulo

)1( ,..1,

numerador do secundária diagonal a para Restrições

)1( ,..1,d

rdenominado do metade segunda a para Restrições

)8

..1inteiros, são

..1inteiros, são

..1,44

..,..1,44

imagens as dasincluir to,..1,1

imagens as dasincluir to ,..1,1

2

1..1,)(tan

is varíavede número|Dem||)/NumSqrt(|)tan(

)7

)6

)5

)4

)3

)2

)1

)2,(_Re)2,(_

,r-1Ns,-1N

,1,

,1,

,1,

r-1N

,

,

,

1,

2

1

2

1 1,

a

a

aI

aI

NkNk

yxyxIyxIyxI

v

srN

e

rsN

comMrsMrn

srNcomMrsMrnn

ssNcomMrsMrnn

rrNcomMrnn

rrNcomMrd

Simetrias

Nrd

Nr..N,srn

Mrd

MrsMrn

Nrdn

Nrdn

MMM

vIInId

asujeito

NDivisãostoNInteiroQuocienteM

dnMínimizar

v

v

va

vm

vvvvvk

sr

srrNs

srsNr

rrrNr

r

r

rs

r

sr

r

N

rsrs

r

N

rssr

N

r

N

rs

vs

vrsr

N

r

vrr

v

N

r

N

rr

N

rssr

am

ππδππφ

δφ

φ

φ

(3.51)

Usando o programa que implementa o Método Branch-and-Bound, e

reduzindo o número de variáveis com a inserção de simetrias nas matrizes de

114

coeficientes do numerador e do denominador, pode-se, então, encontrar novas

equações para número de imagens (N) maiores, como mostrado no Apêndice B.

3.10 Matrizes esparsas nas equações do cálculo de f ase

Em muitas das equações do cálculo de fase desenvolvidas no item anterior,

nota-se que a maior parte dos coeficientes do numerador e do denominador é zero.

E ainda mais no caso do primeiro um quarto dos coeficientes do numerador, os

termos diferentes de zero estão na diagonal principal e nas três diagonais mais

próximas desta; assim, só os quatro primeiros coeficientes de cada linha são

diferentes de zero. Na primeira metade dos coeficientes do denominador, apenas os

quatro primeiros e o último termo são diferentes de zero. Matrizes onde a maior

parte dos termos é zero são normalmente chamadas de matrizes esparsas.

Pode-se, então, no Modelo Matemático 3.51 acrescentar a restrição de

esparsividade 3.52, transformando-o no Modelo Matemático 3.53 com simetria e

esparsividade. Onde M é a parte inteira da divisão do número de imagens (N) por

dois mais o resto da divisão do número de imagens (N) por dois [ M = DIV(N, 2) +

MOD(N, 2)].

+>+=−==−==

3s ,..4 ,5..1,0

1..5,0

41

,

21

rcomMrsMrn

MrdadeEsparsivid

sr

r (3.52)

Observa-se que tanto as restrições de simetrias quanto as restrições de

esparsividade são equações de igualdade lineares que vão diminuir o número de

incógnitas do Modelo Matemático 3.9 e, com isso, tornar a sua solução mais rápida e

fácil. Restrições lineares são facilmente tratadas pelo Método Branch-and-Bound,

que normalmente incorpora o Método Simplex de Programação Linear. O problema

delas é que agora se está encontrando equações menos gerais e com condições

que não são naturais do problema original do cálculo de fase.

115

−∈−∈

∈

∈

=

−−++=

+>+=−==−==

>−+

>−+===

>−++==−=

>−++==−=

>−+==

>−+==

===

=≤≤−==≤≤−

=≥+

=≥+

−==

=+=

+

++

−+

−+

−+

+

=

=

= ==

= ==

∑

∑

∑∑∑

∑ ∑∑

real e leatório]20 ;20[

real e leatório] ;[

real e leatório]127 ;0[

real e leatório ]128 ;0[

..1,2

12),(cos),(),(),(

: cada para onde

3s ,..4 ,5..1,0

1..5,0 )9

1

1

,..,..1,n

inferior lo trianguúltimo o para Restrições

)1( ,..1,..1,

secundária diagonal da abaixo lo trianguo para Restrições

)1( ,..1,..1,

)secundária diagonal da (acima direito superior Triangulo

)1( ,..1,

numerador do secundária diagonal a para Restrições

)1( ,..1,d

rdenominado do metade segunda a para Restrições

)8

..1inteiros, são

..1inteiros, são

..1,44

..,..1,44

imagens as dasincluir to,..1,1

imagens as dasincluir to ,..1,1

)24..(1,)(tan

is varíavede número|Dem||)/NumSqrt(|)tan(

)7

)6

)5

)4

)3

)2

)1

)2,(_Re)2,(_

,

r-1Ns,-1N

,1,

,1,

,1,

r-1N

,

,

,

,

1,

2

1

2

1 1,

a

a

aI

aI

NkNk

yxyxIyxIyxI

v

rcomMrsMrn

MrdadeEsparsivid

srN

e

rsN

comMrsMrn

srNcomMrsMrnn

ssNcomMrsMrnn

rrNcomMrnn

rrNcomMrd

Simetrias

Nrd

Nr..N,srn

Mrd

MrsMrn

Nrdn

Nrdn

MvIInId

asujeito

NDivisãostoNInteiroQuocienteM

dnMínimizar

v

v

va

vm

vvvvvk

sr

r

rs

srrNs

srsNr

rrrNr

r

r

sr

r

sr

r

N

rsrs

r

N

rssr

N

r

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rs

vs

vrsr

N

r

vrr

v

N

r

N

rr

N

rssr

am

ππδππφ

δφ

φ

φ

(3.53)

116

O primeiro um quarto dos coeficientes do numerador e a primeira metade dos

coeficientes do denominador, usando este conceito de matrizes esparsas, estão

representados como mostrado em 3.54.

[ ]

=

=

+=

−−−

−−−−−

−−−−−−−

−−−−−−−−

m

mm

mmmm

mmmmmm

mmmmmmmm

mmmmmmmm

dddddDem

n

nn

nnn

nnnn

nnnn

nnnn

nnnn

nnnn

nnnn

Num

NDivisãostoNInteiroQuocientem

0...0

0

..................

0...0

0...00

0...000

0...0000

)2,(_Re)2,(_

43212

1

,11,1

,21,22,2

,31,32,33,3

1,42,43,44,4

7,46,45,44,4

6,35,34,33,3

5,24,23,22,2

4,13,12,11,1

41 (3.54)

O número de variáveis para este novo modelo fica 4(M-3)+6+5=4M-

12+11=4M-1, pois como mostrado em 3.54, tem-se M-3 linhas com 4 incógnitas

cada uma, mais 3 incógnitas da linha M-2, mais 2 incógnitas da linha M-1, mais uma

incógnita da última linha no numerador e mais 5 incógnitas no denominador. O total

de variáveis é 4M-1, uma redução considerável em relação ao modelo anterior.

Novamente, para diminuir o universo de busca, fazem-se os coeficientes do primeiro

um quarto do numerador e os da primeira metade do denominador variarem entre -4

e 4, inclusive.

De novo, usando o programa que implementa o Método Branch-and-Bound, e

reduzindo o número de variáveis com a inserção da restrição de esparsividade nas

matrizes de coeficientes do numerador e do denominador, pode-se, então, encontrar

novas equações para número de imagens (N) maiores, como mostrado no Apêndice

C.

Com as restrições de simetria e de espasividade, o número de variáveis

torna-se bastante reduzido e o Modelo Matemático 3.53 passa a ser resolvido com

facilidade. Assim, o tempo de processamento para se encontrar uma equação do

cálculo de fase fica muito pequeno (cerca de alguns minutos). Com isso, pode-se

usar 3.53 para se obter equações para grandes valores de número de imagens (N).

117

Cita-se, ainda, que se obtém sucesso na alteração do Modelo Matemático

3.53, se as restrições 4 e 5 forem mudadas, para que os coeficientes do primeiro um

quarto do numerador e a primeira metade do denominador sejam restringidos mais

ainda entre -2 e 2, inclusive, para N≥12. Pode-se, também, fazer com que os valores

aleatórios de Im, Ia e δ não necessitem ser limitados e possam assumir qualquer

valor real de -∞ a +∞. Outra questão interessante é que o valor de ν, que dá o

número de equações com a restrição 1 em 3.53, pode também variar. Conseguiu-se

obter novas equações do cálculo de fase simplesmente variando o valor de ν entre 3

e 10N (dez vezes o número de imagens).

O importante é que a resolução no Modelo Matemático 3.53 gera novas e

eficientes equações do cálculo de fase. Como a maior parte dos coeficientes tanto

do numerador como do denominador são zero, a aplicação destas novas equações

fica bem rápida e o volume de operações matemáticas é reduzido, pois como os

termos são zero não há necessidade de se multiplicar os valores da intensidade

luminosa Ik por estes coeficientes, uma vez que qualquer número multiplicado por

zero dará valor nulo (zero).

3.11 Equações do cálculo de fase para muitas imagen s

Observando as equações deduzidas, tentou-se obter uma regra de formação

para elas ou um algoritmo que fornecesse valores válidos de coeficientes do

numerador e do denominador para equações do cálculo de fase para grandes

quantidades de imagens (N ≥ 16).

Estas regras de formação foram obtidas e as equações do cálculo de fase

geradas pelas regras foram testadas através do teste numérico matemático descrito

no Item 3.8.1. Este foi realizado milhares de vezes (pelo menos 10.000 vezes) para

cada equação do cálculo de fase gerada, e apresentou acerto de pelo menos 99,9%

das vezes com uma precisão numérica de 10-6. Com isso, acredita-se que tornaram

mínimas ou remotas as chances delas estarem erradas ou serem falsas.

Usando o conceito de simetria e esparsividade das seções anteriores, busca-

se uma regra de formação para os quatro primeiros termos de cada linha de um

118

quarto dos coeficientes do numerador e para os cinco termos que podem ser

diferentes de zero para a metade do denominador.

A primeira coisa a fazer é zerar todos os coeficientes do numerador e do

denominador, seguindo o algoritmo mostrado na Figura 16 dado o valor de N

(número de imagens). A matriz dos coeficientes do numerador (NUM) é uma matriz

quadrada triangular superior de ordem N e o vetor dos coeficientes do denominador

(DEM) tem N elementos.

Figura 16 – Algoritmo para zerar os coeficientes do numerador e do denominador das equações do cálculo de fase. Fonte: Resultados da pesquisa.

A regra de formação criada é dividida em oito casos dependendo do valor de

número de imagens (N):

1) N é par, N é divisível por 4 e N é também divisível por 8;

2) N é par, N é divisível por 4, mas N não é divisível por 8;

3) N é par, N+2 é divisível por 4 e N+2 é divisível por 8;

4) N é par, N+2 é divisível por 4, mas N+2 não é divisível por 8;

5) N é ímpar, N-1 é divisível por 4 e N-1 é divisível por 8;

6) N é ímpar, N-1 é divisível por 4, mas N-1 não é divisível por 8;

7) N é ímpar, N+1 é divisível por 4 e N+1 é divisível por 8;

8) N é ímpar, N+1 é divisível por 4, mas N+1 não é divisível por 8.

Para cada caso tem-se uma regra de formação com mostrado a seguir.

No primeiro caso, onde N é par, N é divisível por 4 e N é também divisível por

8, o primeiro um quarto dos coeficientes do numerador e a primeira metade dos

coeficientes do denominador apresentam a forma mostrada em 3.55:

Algoritmo Zera | |Varie r de 1 até N | | Varie s de r até N | | | NUM[r,s]=0 | | Fim Varie | | DEM[r] = 0 |Fim Varie | Fim algoritmo

119

[ ]MetadeMetadeMetadeColuna

Dem

Metade

Metade

Metade

Quarta

QuartaNum

Linha

)Inteiro(N,Quociente_Quarta

)o(N,sto_Divisã)Inteiro(N,Quociente_Metade

12...654321 :

0 0 0 ...000101

1

2

...

Repete

Repete

2

1

...

Repete

Repete

4

3

2

1

1

11

101

............

...0001

...0100

...0001

...0100

...............

...0001

...0100

...0001

...0100

...0101

...0101

:

4

2Re2

21

41

−−−=

−−

++

−

−

−

−

−

−−

=

=+=

(3.55)

A regra de formação funciona assim: na primeira linha do numerador: os

coeficientes diferentes de zero são n11=-1 e n13=1; na segunda linha, os coeficientes

diferentes de zero são n22=1 e n24=-1; a partir da terceira linha, tem-se apenas o

terceiro termo da linha igual a 1; e na quarta linha apenas o primeiro termo da linha

igual a -1, sendo que esse processo se repete com uma linha com apenas o terceiro

termo igual a 1, e a linha seguinte com o primeiro termo igual a -1, até atingir a linha

de número N/4 (Quarta). A partir da linha N/4 + 1, tem-se apenas o terceiro termo da

linha igual a -1, e na linha seguinte, o primeiro termo da linha igual a, sendo que

esse processo se repete com uma linha com apenas o terceiro termo igual a -1, e a

linha seguinte, com o primeiro termo igual a 1 até atingir a linha de número N/2 – 3.

Ai, na linha de número N/2 – 2, os coeficientes diferentes de zero são o primeiro com

o valor de um e o terceiro com valor de -1; na linha seguinte, o primeiro e o segundo

coeficientes são iguais a 1 e o termo da última linha é também igual a 1. Na primeira

metade dos coeficientes do denominador, apenas o primeiro termo é -1, e o terceiro

termo é 1, e todos os outros termos são iguais a zero.

120

Seja DIV(p,q) uma função que retorna o quociente da divisão inteira de p por

q e MOD(p,q) uma função que retorna o resto da divisão inteira de p por q. Assim, o

algoritmo de formação do primeiro um quarto dos coeficientes do numerador e a

primeira metade dos coeficientes do denominador para o primeiro caso onde N é

par, N é divisível por 4 e N é também divisível por 8, como mostrado na Figura 17.

Figura 17 – Algoritmo de formação do primeiro um quarto dos coeficientes do numerador e a primeira metade dos coeficientes do denominador para o primeiro caso onde N é par; N é divisível por 4 e N é também divisível por 8. Fonte: Resultados da pesquisa.

No segundo caso, onde N é par, N é divisível por 4, mas N não é divisível por

8; o primeiro um quarto dos coeficientes do numerador e a primeira metade dos

coeficientes do denominador apresenta a forma mostrada em 3.56:

Algoritmo Caso 1) N é par, N é divisível por 4 e N é também divisível por 8. | |Se MOD(N,2)=0 e MOD(N,4)=0 e MOD(N,8)=0 | | então METADE = DIV(N,2) | | QUARTO = DIV(N,4) | | DEM[1] = -1 | | DEM[3] = 1 | | NUM[1,1] = -1 | | NUM[1,3] = 1 | | NUM[2,2] = 1 | | NUM[2,4] = -1 | | Varie r de 3 até QUARTO | | | Se MOD(r,2)=1 | | | | então NUM[r,r+2] = 1 | | | | senão NUM[r,r] = -1 | | | Fim Se | | Fim Varie | | Varie r de QUARTO+1 até METADE-3 | | | Se MOD(r,2)=1 | | | | então NUM[r,r+2] = -1 | | | | senão NUM[r,r] = 1 | | | Fim Se | | Fim Varie | | NUM[ METADE-2, METADE-2 ] = 1 | | NUM[ METADE-2, METADE ] = -1 | | NUM[ METADE-1, METADE-1 ] = 1 | | NUM[ METADE-1, METADE ] = 1 | | NUM[ METADE, METADE] = 1 | Fim Se | Fim algoritmo

121

[ ]MetadeMetadeMetadeColuna

Dem

Metade

Metade

Quarta

QuartaNum

Linha

)Inteiro(N,Quociente_Quarta

)o(N,sto_Divisã)Inteiro(N,Quociente_Metade

12...654321 :

0 0 0 ...000101

1

...

Repete

Repete

1

...

Repete

Repete

4

3

2

1

1

10

............

...0001

...0100

...0001

...0100

...............

...0001

...0100

...0001

...0100

...0101

...0101

:

4

2Re2

21

41

−−−=

−

+

−

−

−

−

−−

=

=+=

(3.56)

A regra de formação funciona assim: na primeira linha do numerador, os

coeficientes diferentes de zero são n11=-1 e n13=1; na segunda linha, os coeficientes

diferentes de zero são n22=1 e n24=-1; a partir da terceira linha, tem-se apenas o

terceiro termo da linha igual a um e na quarta linha apenas o primeiro termo da linha

igual a -1. Esse processo se repete com uma linha com apenas o terceiro termo

igual a 1, e a linha seguinte, com o primeiro termo igual a -1 até atingir a linha de

número N/4 -1. A partir da linha N/4 (Quarta), tem-se apenas o terceiro termo da

linha igual a -1 e, na linha seguinte, o primeiro termo da linha igual a 1, e esse

processo se repete com uma linha com apenas o terceiro termo igual a -1, e a linha

seguinte, com o primeiro termo igual a 1 até atingir a linha de número N/2 – 2. Na

linha de número N/2 – 1, o coeficiente diferente de zero é apenas o segundo ou

último termo com o valor de um, sendo que o termo da última linha é também igual a

um. Na primeira metade dos coeficientes do denominador, apenas o primeiro termo

é -1, e o terceiro termo é 1, e todos os outros termos são iguais a zero.

122

Assim, o algoritmo de formação do primeiro um quarto dos coeficientes do

numerador, e a primeira metade dos coeficientes do denominador para o primeiro

caso onde N é par, N é divisível por 4, mas N não é divisível por 8, como mostrado

na Figura 18.

Figura 18 – Algoritmo de formação do primeiro um quarto dos coeficientes do numerador e a primeira metade dos coeficientes do denominador para o segundo caso onde N é par; N é divisível por 4, mas N não é divisível por 8. Fonte: Resultados da pesquisa.

No terceiro caso, onde N é par, N+2 é divisível por 4 e N+2 é divisível por 8, o

primeiro um quarto dos coeficientes do numerador e a primeira metade dos

coeficientes do denominador apresenta a forma mostrada em 3.57.

Algoritmo Caso 2) N é par, N é divisível por 4, mas N não é divisível por 8. | |Se MOD(N,2)=0 e MOD(N,4)=0 e MOD(N,8) ≠0 | | então METADE = DIV(N,2) | | QUARTO = DIV(N,4) | | DEM[1] = -1 | | DEM[3] = 1 | | NUM[1,1] = -1 | | NUM[1,3] = 1 | | NUM[2,2] = 1 | | NUM[2,4] = -1 | | Varie r de 3 até QUARTO-1 | | | Se MOD(r,2)=1 | | | | então NUM[r,r+2] = 1 | | | | senão NUM[r,r] = -1 | | | Fim Se | | Fim Varie | | Varie r de QUARTO até METADE-2 | | | Se MOD(r,2)=1 | | | | então NUM[r,r+2] = -1 | | | | senão NUM[r,r] = 1 | | | Fim Se | | Fim Varie | | NUM[ METADE-1, METADE ] = 1 | | NUM[ METADE, METADE] = 1 | Fim Se | Fim algoritmo

123

[ ]MetadeMetadeMetadeColuna

Dem

Metade

Metade

Metade

Metade

Quarta

QuartaNum

Linha

),Inteiro(NQuociente_Quarta

)o(N,sto_Divisã)Inteiro(N,Quociente_Metade

12...654321 :

0 0 0 ...000101

1

2

3

...

Repete

Repete

2

1

...

Repete

Repete

4

3

2

1

1

11

101

0101

............

...0001

...0100

...0001

...0100

...............

...0001

...0100

...0001

...0100

...0101

...0101

:

42

2Re2

21

41

−−−=

−−−

++

−−

−

−

−

−

−−

=

+=+=

(3.57)

A regra de formação funciona assim na primeira linha do numerador: os

coeficientes diferentes de zero são n11=-1 e n13=1; na segunda linha, os coeficientes

diferentes de zero são n22=1 e n24=-1; a partir da terceira linha, tem-se apenas o

terceiro termo da linha igual a um; e na quarta linha apenas o primeiro termo da linha

igual a -1. Esse processo se repete com uma linha com apenas o terceiro termo

igual a 1, e a linha seguinte com o primeiro termo igual a -1 até atingir a linha de

número (N+2)/4 (Quarta). A partir da linha (N+2)/4 + 1, tem-se apenas o terceiro

termo da linha igual a -1, e na linha seguinte, o primeiro termo da linha igual a 1.

Esse processo se repete com uma linha com apenas o terceiro termo igual a -1, e a

linha seguinte com o primeiro termo igual a 1 até atingir a linha de número N/2 – 4.

Assim, na linha de número N/2 -3, os coeficientes diferentes de zero são o primeiro

com o valor de 1 e o terceiro com -1; na linha de número N/2 – 2, os coeficientes

diferentes de zero são o primeiro com o valor de 1 e o terceiro com valor de -1; na

linha seguinte, o primeiro e o segundo coeficientes são iguais a 1 e o termo da

última linha é também igual a 1. Na primeira metade dos coeficientes do

124

denominador, apenas o primeiro termo é -1 e o terceiro termo é 1, e todos os outros

termos são iguais a zero.

Assim, o algoritmo de formação do primeiro um quarto dos coeficientes do

numerador e a primeira metade dos coeficientes do denominador para o terceiro

caso onde N é par, N+2 é divisível por 4 e N+2 é divisível por 8, como mostrado na

Figura 19.

Figura 19 – Algoritmo de formação do primeiro um quarto dos coeficientes do numerador e a primeira metade dos coeficientes do denominador para o terceiro caso onde N é par; N+2 é divisível por 4 e N+2 é divisível por 8. Fonte: Resultados da pesquisa

No quarto caso, onde N é par, N+2 é divisível por 4, mas N+2 não é divisível

por 8, o primeiro um quarto dos coeficientes do numerador e a primeira metade dos

coeficientes do denominador apresenta a forma mostrada em 3.58.

Algoritmo Caso 3) N é par, N+2 é divisível por 4 e N+2 é divisível por 8. | |Se MOD(N,2)=0 e MOD(N+2,4)=0 e MOD(N+2,8)=0 | | então METADE = DIV(N,2) | | QUARTO = DIV(N+2,4) | | DEM[1] = -1 | | DEM[3] = 1 | | NUM[1,1] = -1 | | NUM[1,3] = 1 | | NUM[2,2] = 1 | | NUM[2,4] = -1 | | Varie r de 3 até QUARTO | | | Se MOD(r,2)=1 | | | | então NUM[r,r+2] = 1 | | | | senão NUM[r,r] = -1 | | | Fim Se | | Fim Varie | | Varie r de QUARTO+1 até METADE-4 | | | Se MOD(r,2)=1 | | | | então NUM[r,r+2] = -1 | | | | senão NUM[r,r] = 1 | | | Fim Se | | Fim Varie | | NUM[ METADE-3, METADE-3 ] = 1 | | NUM[ METADE-3, METADE-1 ] = -1 | | NUM[ METADE-2, METADE-2 ] = 1 | | NUM[ METADE-2, METADE ] = -1 | | NUM[ METADE-1, METADE-1 ] = 1 | | NUM[ METADE-1, METADE ] = 1 | | NUM[ METADE, METADE] = 1 | Fim Se | Fim algoritmo

125

[ ]MetadeMetadeMetadeColuna

Dem

Metade

Metade

Metade

Metade

Quarta

QuartaNum

Linha

),Inteiro(NQuociente_Quarta

)o(N,sto_Divisã)Inteiro(N,Quociente_Metade

12...654321 :

0 0 0 ...000101

1

2

3

...

Repete

Repete

1

...

Repete

Repete

4

3

2

1

1

10

001

0101

............

...0001

...0100

...0001

...0100

...............

...0001

...0100

...0001

...0100

...0101

...0101

:

42

2Re2

21

41

−−−=

−−−

+

−

−

−

−

−

−−

=

+=+=

(3.58)

A regra de formação funciona assim: na primeira linha do numerador, os

coeficientes diferentes de zero são n11=-1 e n13=1; na segunda linha, os coeficientes

diferentes de zero são n22=1 e n24=-1; a partir da terceira linha, tem-se apenas o

terceiro termo da linha igual a 1; e na quarta linha, apenas o primeiro termo da linha

igual a -1. Esse processo se repete com uma linha com apenas o terceiro termo

igual a 1, e a linha seguinte com o primeiro termo igual a -1 até atingir a linha de

número (N+2)/4 -1. A partir da linha (N+2)/4 (Quarta), tem-se apenas o terceiro

termo da linha igual a -1, e na linha seguinte, o primeiro termo da linha igual a 1.

Esse processo se repete com uma linha com apenas o terceiro termo igual a -1, e a

linha seguinte com o primeiro termo igual a 1 até atingir a linha de número N/2 – 3.

Assim, na linha de número N/2 -3, os coeficientes diferentes de zero são o primeiro

com valor de 1, e o terceiro com -1; na linha de número N/2 – 2, o coeficiente

diferente de zero é apenas o primeiro com valor de 1; na linha de número N/2 – 1, o

coeficiente diferente de zero é apenas o segundo ou último termo com o valor de

um, sendo o termo da última linha também igual a um. Na primeira metade dos

126

coeficientes do denominador, apenas o primeiro termo é -1 e o terceiro termo é 1;

todos os outros termos são iguais a zero.

Assim, o algoritmo de formação do primeiro um quarto dos coeficientes do

numerador e a primeira metade dos coeficientes do denominador para o quarto caso

onde N é par, N+2 é divisível por 4, mas N+2 não é divisível por 8, como mostrado

na Figura 20.

Figura 20 – Algoritmo de formação do primeiro um quarto dos coeficientes do numerador e a primeira metade dos coeficientes do denominador para o quarto caso onde N é par; N+2 é divisível por 4, mas N+2 não é divisível por 8. Fonte: Resultados da pesquisa.

No quinto caso, onde N é ímpar, N-1 é divisível por 4 e N-1 é divisível por 8, o

primeiro um quarto dos coeficientes do numerador e a primeira metade dos

coeficientes do denominador apresenta a forma mostrada em 3.59.

Algoritmo Caso 4) N é par, N+2 é divisível por 4, m as N+2 não é divisível por 8. | |Se MOD(N,2)=0 e MOD(N+2,4)=0 e MOD(N+2,8) ≠0 | | então METADE = DIV(N,2) | | QUARTO = DIV(N,4) | | DEM[1] = -1 | | DEM[3] = 1 | | NUM[1,1] = -1 | | NUM[1,3] = 1 | | NUM[2,2] = 1 | | NUM[2,4] = -1 | | Varie r de 3 até QUARTO-1 | | | Se MOD(r,2)=1 | | | | então NUM[r,r+2] = 1 | | | | senão NUM[r,r] = -1 | | | Fim Se | | Fim Varie | | Varie r de QUARTO até METADE-2 | | | Se MOD(r,2)=1 | | | | então NUM[r,r+2] = -1 | | | | senão NUM[r,r] = 1 | | | Fim Se | | Fim Varie | | NUM[ METADE-3, METADE-3 ] = 1 | | NUM[ METADE-3, METADE-1 ] = -1 | | NUM[ METADE-2, METADE-2 ] = 1 | | NUM[ METADE-1, METADE ] = 1 | | NUM[ METADE, METADE] = 1 | Fim Se | Fim algoritmo

127

[ ]MetadeMetadeMetadeColuna

Dem

Metade

Metade

Metade

Quarta

Quarta

Quarta

Num

Linha

),Inteiro(NQuociente_Quarta

)o(N,sto_Divisã)Inteiro(N,Quociente_Metade

12...65 4321 :

2 0 0 ...001011

1

2

...

...

Repete

Repete

2

1

...

Repete

Repete

3

2

1

0

02

020

............

............

...0010

...1000

...0020

...2022

.2200

...............

...0010

...1000

...0102

...0020

...0121

:

41

2Re2

21

41

−−−−=

−−

++

−

−

−−

−

−−−−

=

−=+=

(3.59)

A regra de formação para o primeiro um quarto dos termos do numerador

funciona assim: na primeira linha do numerador, os coeficientes diferentes de zero

são n11=-1, n12=2 e n13=-1; na segunda linha; o coeficiente diferente de zero é n23=-

2; na terceira linha; os coeficientes diferentes de zero são n33=2 e n35=-1; a partir da

quarta linha, tem-se apenas o quarto termo da linha igual a 1; e na quinta linha,

apenas o segundo termo da linha igual a -1. Esse processo se repete com uma linha

com apenas o quarto termo igual a 1, e a linha seguinte com o segundo termo igual

a -1 até atingir a linha de número (N-1)/4 - 1. A linha de número (N-1)/4 (Quarta) tem

o terceiro termo igual a 2 e o quarto termo igual a -2 e todos os outros com valor

zero. A linha seguinte de número (N-1)/4 + 1, o primeiro termo é igual a 2, o segundo

é igual a -2 e o quarto termo igual a 2. A linha de número (N-1)/4 + 2, apenas o

segundo termo da linha é igual a 2. A partir da linha (N-1)/4 + 3, tem-se apenas o

quarto termo da linha igual a -1, e na linha seguinte, o segundo termo da linha igual

a 1. Esse processo se repete com uma linha com apenas o quarto termo igual a -1, e

a linha seguinte com o segundo termo igual a 1 até atingir a linha de número (N+1)/2

128

– 3 (ou linha de número [DIV(N,2)+MOD(N,2)] - 3). Assim, na linha de número

(N+1)/2 – 2, o coeficiente diferente de zero é o segundo com o valor de -2; na linha

seguinte, o primeiro coeficiente é igual a 2; e o termo da última linha é igual a zero.

Observa-se que toda a última coluna do primeiro um quarto do numerador tem os

coeficientes iguais a zero. Na primeira metade dos coeficientes do denominador, o

primeiro termo é -1, o segundo termo é 1, o quarto termo é -1, o último termo é 2, e

todos os outros termos são iguais a zero.

Assim, o algoritmo de formação do primeiro um quarto dos coeficientes do

numerador e a primeira metade dos coeficientes do denominador para o primeiro

caso onde N é ímpar, N-1 é divisível por 4, e N-1 é divisível por 8, como mostrado na

Figura 21.

Figura 21 – Algoritmo de formação do primeiro um quarto dos coeficientes do numerador e a primeira metade dos coeficientes do denominador para o quinto caso onde N é ímpar; N-1 é divisível por 4 e N-1 é divisível por 8. Fonte: Resultados da pesquisa.

Algoritmo Caso 5) N é ímpar, N-1 é divisível por 4 e N-1 é divisível por 8. | |Se MOD(N,2)=1 e MOD(N-1,4)=0 e MOD(N-1,8)=0 | | então METADE = DIV(N,2)+MOD(N,2) | | QUARTO = DIV(N-1,4) | | DEM[1] = -1 | | DEM[2] = 1 | | DEM[4] = -1 | | DEM[ METADE ] = 2 | | NUM[1,1] = -1 | | NUM[1,2] = 2 | | NUM[1,3] = -1 | | NUM[2,3] = -2 | | NUM[3,3] = 2 | | NUM[3,5] = -1 | | Varie r de 4 até QUARTO - 1 | | | Se MOD(r,2)=1 | | | | então NUM[r,r+1] = -1 | | | | senão NUM[r,r+3] = 1 | | | Fim Se | | Fim Varie | | NUM[ QUARTO, QUARTO+2 ] = 2 | | NUM[ QUARTO, QUARTO+3 ] = -2 | | NUM[ QUARTO+1,QUARTO+1 ] = 2 | | NUM[ QUARTO+1,QUARTO+2 ] = -2 | | NUM[ QUARTO+1,QUARTO+4 ] = 2 | | NUM[ QUARTO+2,QUARTO+3 ] = 2 | | Varie r de QUARTO+3 até METADE-3 | | | Se MOD(r,2)=1 | | | | então NUM[r,r+3] = -1 | | | | senão NUM[r,r+1] = 1 | | | Fim Se | | Fim Varie | | NUM[ METADE-2, METADE-1 ] = -2 | | NUM[ METADE-1, METADE-1 ] = 2 | Fim Se | Fim algoritmo

129

No sexto caso, onde N é ímpar, N-1 é divisível por 4, mas N-1 não é divisível

por 8, o primeiro um quarto dos coeficientes do numerador e a primeira metade dos

coeficientes do denominador apresenta a forma mostrada em 3.60.

[ ]MetadeMetadeMetadeColuna

Dem

Metade

Metade

Metade

Quarta

Quarta

QuartaNum

Linha

),Inteiro(NQuociente_Quarta

)o(N,sto_Divisã)Inteiro(N,Quociente_Metade

12...65 4 321 :

2 0 0 ...001011

1

2

...

Repete

Repete

2

1

...

Repete

Repete

4

3

2

1

0

01

021

............

...001

...0100

...0020

...2022

...2200

.............

...0001

...0100

...0000

...0102

...0020

...0121

:

41

2Re2

21

41

−−−−=

−−

++

−

−

−−

−

−−−−

=

−=+=

(3.60)

A regra de formação para o primeiro um quarto dos termos do numerador

funciona assim: na primeira linha do numerador, os coeficientes diferentes de zero

são n11=-1, n12=2 e n13=-1; na segunda linha; o coeficiente diferente de zero é n23=-

2; na terceira linha; os coeficientes diferentes de zero são n33=2 e n35=-1; na quarta

linha, todos os coeficientes são zero; a partir da quinta linha, tem-se apenas o

terceiro termo da linha igual a 1; e na sexta linha, apenas o primeiro termo da linha

igual a -1. Esse processo se repete com uma linha com apenas o terceiro termo

igual a 1, e a linha seguinte com o primeiro termo igual a -1 até atingir a linha de

número (N-1)/4 - 1. A linha de número (N-1)/4 (Quarta) tem o terceiro termo igual a 2

e o quarto termo igual a -2 e todos os outros com valor zero. A linha seguinte de

número (N-1)/4 + 1, o primeiro termo é igual a 2, o segundo é igual a -2 e o quarto

termo igual a 2. A linha de número (N-1)/4 + 2, apenas o segundo termo da linha é

130

igual a 2. A partir da linha (N-1)/4 + 3, tem-se apenas o terceiro termo da linha igual

a -1, e na linha seguinte, o primeiro termo da linha igual a 1. Esse processo se

repete com uma linha com apenas o terceiro termo igual a -1, e a linha seguinte com

o primeiro termo igual a 1 até atingir a linha de número (N+1)/2 – 3 (ou linha de

número [DIV(N,2)+MOD(N,2)] - 3). Assim, na linha de número (N+1)/2 – 2, os

coeficientes diferentes de zero são o primeiro igual a 1 e o segundo com o valor de -

2; na linha seguinte, o primeiro coeficiente é igual a 1; e o termo da última linha é

igual a zero. Observa-se que toda a última coluna do primeiro um quarto do

numerador tem os coeficientes iguais a zero. Na primeira metade dos coeficientes do

denominador, o primeiro termo é -1, o segundo termo é 1, o quarto termo é -1, o

último termo é 2, e todos os outros termos são iguais a zero.

Assim, o algoritmo de formação do primeiro um quarto dos coeficientes do

numerador e a primeira metade dos coeficientes do denominador para o primeiro

caso onde N é ímpar, N-1 é divisível por 4, mas N-1 não é divisível por 8, como

mostrado na Figura 22.

131

Figura 22 – Algoritmo de formação do primeiro um quarto dos coeficientes do numerador e a primeira metade dos coeficientes do denominador para o sexto caso onde N é ímpar; N-1 é divisível por 4, mas N-1 não é divisível por 8. Fonte: Resultados da pesquisa.

No sétimo caso, onde N é ímpar, N+1 é divisível por 4 e N+1 é divisível por 8,

o primeiro um quarto dos coeficientes do numerador e a primeira metade dos

coeficientes do denominador apresenta a forma mostrada em 3.61.

Algoritmo Caso 6) N é ímpar, N-1 é divisível por 4, mas N-1 não é divisível por 8. | |Se MOD(N,2)=1 e MOD(N-1,4)=0 e MOD(N-1,8) ≠0 | | então METADE = DIV(N,2)+MOD(N,2) | | QUARTO = DIV(N-1,4) | | DEM[1] = -1 | | DEM[2] = 1 | | DEM[4] = -1 | | DEM[ METADE ] = 2 | | NUM[1,1] = -1 | | NUM[1,2] = 2 | | NUM[1,3] = -1 | | NUM[2,3] = -2 | | NUM[3,3] = 2 | | NUM[3,5] = -1 | | Varie r de 5 até QUARTO - 1 | | | Se MOD(r,2)=1 | | | | então NUM[r,r+2] = 1 | | | | senão NUM[r,r] = -1 | | | Fim Se | | Fim Varie | | NUM[ QUARTO, QUARTO+2 ] = 2 | | NUM[ QUARTO, QUARTO+3 ] = -2 | | NUM[ QUARTO+1,QUARTO+1 ] = 2 | | NUM[ QUARTO+1,QUARTO+2 ] = -2 | | NUM[ QUARTO+1,QUARTO+4 ] = 2 | | NUM[ QUARTO+2,QUARTO+3 ] = 2 | | Varie r de QUARTO+3 até METADE-3 | | | Se MOD(r,2)=1 | | | | então NUM[r,r] = 1 | | | | senão NUM[r,r+2] = -1 | | | Fim Se | | Fim Varie | | NUM[ METADE-2, METADE-2 ] = 1 | | NUM[ METADE-2, METADE-1 ] = -2 | | NUM[ METADE-1, METADE-1 ] = 1 | Fim Se | Fim algoritmo

132

[ ]MetadeMetadeMetadeColuna

Dem

Metade

Metade

Metade

Quarta

Quarta

QuartaNum

Linha

),Inteiro(NQuociente_Quarta

)o(N,sto_Divisã)Inteiro(N,Quociente_Metade

12...65432 1 :

2 0 0 ...000111

1

2

...

Repete

Repete

1

1

Repete

Repete

5

4

3

2

1

0

01

010

.........

...001

...0100

...0022

...02220

...0201

...0001

...0100

...0001

...0100

...0000

...00111

...01021

:

41

2Re2

21

41

−−−−=

−−

+

−

−−

−−

−

−

−−−

=

+=+=

(3.61)

A regra de formação para o primeiro um quarto dos termos do numerador

funciona assim: na primeira linha do numerador, os coeficientes diferentes de zero

são NUM11=-1, NUM12=-2 e NUM14=1; na segunda linha, os coeficientes diferentes

de zero são NUM22=1, NUM23=1 e NUM24=-1; a terceira linha, tem todos os

coeficientes iguais à zero; na quarta linha, apenas o terceiro termo é igual a -1; e na

quinta linha, apenas o primeiro termo é igual a 1 – se ainda não atingiu a linha de

ordem (N+1)/4 – 1, tem-se que a partir da sexta linha, apenas o terceiro termo da

linha igual a um, e na sétima linha, apenas o primeiro termo da linha igual a -1. Esse

processo se repete com uma linha com apenas o terceiro termo igual a 1, e a linha

seguinte, com o primeiro termo igual a -1 até atingir a linha de número (N+1)/4 - 2.

Na linha de número (N+1)/4 -1, se (N+1)/4 – 1 for menor que seis, o primeiro termo é

igual a 1, caso contrário, é igual a -1, e o terceiro coeficiente é sempre igual a 2. A

linha de número (N-1)/4 (Quarta) tem o segundo e o terceiro termos iguais a 2, e o

quarto igual a -2. A linha seguinte de número (N+1)/4 + 1 tem o primeiro termo igual

a 2, e o segundo coeficiente igual a -2. A partir da linha (N+1)/4 + 2, tem-se apenas

o terceiro termo da linha igual a -1, e na linha seguinte, o primeiro termo da linha

133

igual a 1. Esse processo se repete com uma linha com apenas o terceiro termo igual

a -1, e a linha seguinte com o primeiro termo igual a 1 até atingir a linha de número

(N+1)/2 – 3 (ou linha de número [DIV(N,2)+MOD(N,2)] - 3). Assim, na linha de

número (N+1)/2 – 2, o coeficiente diferente de zero é o segundo com valor de um; na

linha de número (N+1)/2 – 1, o coeficiente diferente de zero é o primeiro com o valor

de um, e o termo da última linha é igual a zero. Observa-se que toda a última coluna

do primeiro um quarto do numerador tem os coeficientes iguais a zero. Na primeira

metade dos coeficientes do denominador, o primeiro e o segundo termos são iguais

a -1, o terceiro coeficiente é igual a um, o último termo é 2, e todos os outros termos

são iguais a zero.

Assim, o algoritmo de formação do primeiro um quarto dos coeficientes do

numerador e a primeira metade dos coeficientes do denominador para o primeiro

caso onde N é ímpar, N+1 é divisível por 4 e N+1 é divisível por 8, como mostrado

na Figura 23.

134

Figura 23 – Algoritmo de formação do primeiro um quarto dos coeficientes do numerador e a primeira metade dos coeficientes do denominador para o sétimo caso onde N é ímpar, N+1 é divisível por 4 e N+1 é divisível por 8. Fonte: Resultados da pesquisa.

No oitavo caso, onde N é ímpar, N+1 é divisível por 4, mas N+1 não é

divisível por 8, o primeiro um quarto dos coeficientes do numerador e a primeira

metade dos coeficientes do denominador apresenta a forma mostrada em 3.62.

Algoritmo Caso 7) N é ímpar, N+1 é divisível por 4 e N+1 é divisível por 8. | |Se MOD(N,2)=1 e MOD(N+1,4)=0 e MOD(N+1,8)=0 | | então METADE = DIV(N,2)+MOD(N,2) | | QUARTO = DIV(N+1,4) | | DEM[1] = -1 | | DEM[2] = -1 | | DEM[3] = 1 | | DEM[ METADE ] = 2 | | NUM[1,1] = -1 | | NUM[1,2] = -2 | | NUM[1,4] = 1 | | NUM[2,2] = 1 | | NUM[2,3] = 1 | | NUM[2,4] = -1 | | Varie r de 4 até QUARTO - 1 | | | Se r < 6 | | | | então Se MOD(r,2)=1 | | | | | então NUM[r,r] = 1 | | | | | senão NUM[r,r+2] = -1 | | | | Fim Se | | | | senão Se MOD(r,2)=1 | | | | | então NUM[r,r] = -1 | | | | | senão NUM[r,r+2] = 1 | | | | Fim Se | | | Fim Se | | Fim Varie | | NUM[ QUARTO-1,QUARTO+2 ] = 2 | | NUM[ QUARTO, QUARTO+1 ] = 2 | | NUM[ QUARTO, QUARTO+2 ] = 2 | | NUM[ QUARTO, QUARTO+3 ] = -2 | | NUM[ QUARTO+1,QUARTO+1 ] = 2 | | NUM[ QUARTO+1,QUARTO+2 ] = -2 | | Varie r de QUARTO+2 até METADE-3 | | | Se MOD(r,2)=1 | | | | então NUM[r,r] = 1 | | | | senão NUM[r,r+2] = -1 | | | Fim Se | | Fim Varie | | NUM[ METADE-2, METADE-1 ] = 1 | | NUM[ METADE-1, METADE-1 ] = 1 | Fim Se | Fim algoritmo

135

[ ]MetadeMetadeMetadeColuna

Dem

Metade

Metade

Quarta

Quarta

QuartaNum

Linha

),Inteiro(NQuociente_Quarta

)o(N,sto_Divisã)Inteiro(N,Quociente_Metade

12...65432 1 :

2 0 0 ...000111

1

...

Repete

Repete

1

1

...

Repete

Repete

4

3

2

1

0

01

.........

...001

...0100

...0022

...02220

...0201

...............

...0001

...0100

...0001

...0100

...00121

...00021

:

41

2Re2

21

41

−−−−=

−

+

−

−−

−−

−

−−

−−

=

+=+=

(3.62)

A regra de formação para o primeiro um quarto dos termos do numerador

funciona assim: na primeira linha do numerador, os coeficientes diferentes de zero

são n11=-1 e n12=-2; na segunda linha, os coeficientes diferentes de zero são n22=1,

n23=2 e n24=-1; a terceira linha tem apenas o terceiro coeficientes iguais a -1; na

quarta linha, apenas o primeiro termo é igual a 1; se ainda não atingiu a linha de

ordem (N+1)/4 -, tem-se que a partir da quinta linha apenas o terceiro termo da linha

igual a um; e na sexta linha, apenas o primeiro termo da linha igual a -1. Esse

processo se repete com uma linha com apenas o terceiro termo igual a 1, e a linha

seguinte, com o primeiro termo igual a -1 até atingir a linha de número (N+1)/4 - 2.

Na linha de número (N+1)/4 -1, se (N+1)/4 – 1 for menor que cinco, o primeiro termo

é igual a 1, caso contrário, é igual a -1, e o terceiro coeficiente é sempre igual a 2. A

linha de número (N-1)/4 (Quarta) tem o segundo e o terceiro termos iguais a 2, e o

quarto igual a -2. A linha seguinte de número (N+1)/4 + 1, tem o primeiro termo igual

a 2 e o segundo coeficiente igual a -2. A partir da linha (N+1)/4 + 2, tem-se apenas o

terceiro termo da linha igual a -1, e na linha seguinte, o primeiro termo da linha igual

a 1. Esse processo se repete com uma linha com apenas o terceiro termo igual a -1,

136

e a linha seguinte com o primeiro termo igual a 1 até atingir a linha de número

(N+1)/2 – 2 (ou linha de número [DIV(N,2)+MOD(N,2)] - 2). Assim, na linha de

número (N+1)/2 – 1, o coeficiente diferente de zero é o primeiro com o valor de 1, e

o termo da última linha é igual a zero. Observa-se que toda a última coluna do

primeiro um quarto do numerador tem os coeficientes iguais a zero. Na primeira

metade dos coeficientes do denominador, o primeiro e o segundo termos são iguais

a -1, o terceiro coeficiente é igual a 1, o último termo é 2, e todos os outros termos

são iguais a zero. Assim, o algoritmo de formação do primeiro um quarto dos

coeficientes do numerador e a primeira metade dos coeficientes do denominador

para o primeiro caso onde N é ímpar, N+1 é divisível por 4, mas N+1 não é divisível

por 8, como mostrado na Figura 24.

137

Figura 24 – Algoritmo de formação do primeiro um quarto dos coeficientes do numerador e a primeira metade dos coeficientes do denominador para o oitavo caso onde N é ímpar, N+1 é divisível por 4, mas N+1 não é divisível por 8. Fonte: Resultados da pesquisa.

Ao final, tem-se o algoritmo completo para geração de equações do cálculo

de fase para o número de imagens (N) maior que 15, como mostrado na Figura 25.

Inicialmente, é executado o algoritmo que zera os coeficientes; em seguida, cada

caso é executado na sequência e, no final, roda-se o algoritmo de simetria.

Algoritmo Caso 8) N é ímpar, N+1 é divisível por 4, mas N+1 não é divisível por 8. | |Se MOD(N,2)=1 e MOD(N+1,4)=0 e MOD(N+1,8) ≠0 | | então METADE = DIV(N,2)+MOD(N,2) | | QUARTO = DIV(N+1,4) | | DEM[1] = -1 | | DEM[2] = -1 | | DEM[3] = 1 | | DEM[ METADE ] = 2 | | NUM[1,1] = -1 | | NUM[1,2] = -2 | | NUM[2,2] = 1 | | NUM[2,3] = 2 | | NUM[2,4] = -1 | | Varie r de 3 até QUARTO - 1 | | | Se r < 5 | | | | então Se MOD(r,2)=1 | | | | | então NUM[r,r+2] = -1 | | | | | senão NUM[r,r] = 1 | | | | Fim Se | | | | senão Se MOD(r,2)=1 | | | | | então NUM[r,r+2] = 1 | | | | | senão NUM[r,r] = -1 | | | | Fim Se | | | Fim Se | | Fim Varie | | NUM[ QUARTO-1,QUARTO+2 ] = 2 | | NUM[ QUARTO, QUARTO+1 ] = 2 | | NUM[ QUARTO, QUARTO+2 ] = 2 | | NUM[ QUARTO, QUARTO+3 ] = -2 | | NUM[ QUARTO+1,QUARTO+1 ] = 2 | | NUM[ QUARTO+1,QUARTO+2 ] = -2 | | Varie r de QUARTO+2 até METADE-2 | | | Se MOD(r,2)=1 | | | | então NUM[r,r+2] = -1 | | | | senão NUM[r,r] = 1 | | | Fim Se | | Fim Varie | | NUM[ METADE-1, METADE-1 ] = 1 | Fim Se | Fim algoritmo

138

Figura 25 – Algoritmo completo para geração de equações de cálculo com número de imagens (N) maior que 15. Fonte: Resultado da pesquisa.

Foi realizado então o teste numérico matemático, descrito no item 3.8.1,

usando o algoritmo completo para N variando de 16 até 90.000.000 (90 milhões) de

imagens. Para cada valor de N, as equações geradas foram testadas mais de

10.000 vezes, com índice de acerto superior a 99,9% e precisão numérica

(diferença) entre a fase (φ) gerada aleatoriamente e a fase calculada usando as

novas equações de 10-6.

A ideia desse teste foi verificar o esquema de regra criado para gerar

equações do cálculo de fase e tornar mínima ou remota as chances destas

equações geradas estarem erradas ou serem falsas. Nota-se que não se tem um

acerto de 100%, porque pode acontecer que os valores do numerador e do

denominador fiquem muito pequenos, aumentando tremendamente a propagação do

erro numérico de arredondamento e, neste caso, a diferença entre o valor de fase (φ)

gerado aleatoriamente e o calculado com a nova equação fica maior que 10-6. Vale

citar que para N na ordem de milhões, a propagação de erro de arredondamento

também cresce devido ao grande número de operações matemáticas realizadas.

Para armazenar na memória matrizes de ordem tão grande, utilizou-se um

esquema simples de matrizes esparsas. Para o numerador, foi criado um vetor de

ponteiros de 1 até 90.000.000; o índice deste enorme vetor representa o número da

linha da matriz de coeficientes do numerador. Esses ponteiros vão apontar um

registro que armazena o número da coluna, o valor do coeficiente que deve ser

diferente de zero e o ponteiro para o próximo registro da linha. Nota-se que o

número de coeficientes diferentes de zero em cada linha do numerador não supera

doze valores. Na matriz do denominador, são armazenados o número da coluna e o

Algoritmo Completo para Geração de Equações do Cálc ulo de Fase. | |Algoritmo Zera |Algoritmo Caso 1) N é par, N é divisível por 4 e N é também divisível por 8; |Algoritmo Caso 2) N é par, N é divisível por 4, ma s N não é divisível por 8; |Algoritmo Caso 3) N é par, N+2 é divisível por 4 e N+2 é divisível por 8; |Algoritmo Caso 4) N é par, N+2 é divisível por 4, mas N+2 não é divisível por 8; |Algoritmo Caso 5) N é ímpar, N-1 é divisível por 4 e N-1 é divisível por 8; |Algoritmo Caso 6) N é ímpar, N-1 é divisível por 4 , mas N-1 não é divisível por 8; |Algoritmo Caso 7) N é ímpar, N+1 é divisível por 4 e N+1 é divisível por 8; |Algoritmo Caso 8) N é ímpar, N+1 é divisível por 4 , mas N+1 não é divisível por 8. |Algoritmo Simetria | Fim algoritmo

139

valor do coeficiente diferente de zero; nota-se, então, que o número máximo de

coeficientes diferentes de zero no denominador é apenas 9 termos.

Outros esquemas e receitas de geração de equações podem ser obtidos. O

interessante do algoritmo mostrado na Figura 25, é que ele atende o Modelo

Matemático 3.19, e gera equações corretas para o cálculo de fase, contendo muitos

termos iguais a zero, o que o torna bem eficiente para a implementação

computacional.

3.12 Quantas imagens usar no cálculo de fase

Uma imagem de Franjas de Moiré tem, geralmente, milhares ou, até mesmo,

milhões de pixéis. Se imaginar agora um único pixel individual desta imagem e se

observar a Equação 3.9, tem-se para este pixel quatro incógnitas: Im, Ia, φ e δ, uma

vez que para todas as imagens o deslocamento de fase(δ), apesar de desconhecida,

é constante. Teoricamente, para 4 incógnitas, necessita-se de quatro equações para

chegar-se ao Algoritmo de Carré.

O problema surge, quando nas imagens existem ruídos e imperfeições que

atrapalham o processo de medição na Técnica de Moiré. Se o erro aparecer

somente em uma única imagem, usando o algoritmo de Carré e de Novak, poderia

se determinar este ruído, pois os valores calculados da fase (φ) dariam valores

diferentes.

Na realidade, o que acontece é que o ruído aparece em todas as imagens,

sendo modelado como um fenômeno estatístico inerente ao processo de medição.

Neste caso, o número de imagens deve ser aumentado expressivamente.

Em qualquer decisão que se toma, baseando-se em poucos dados, corre-se o

risco de que ela seja errada. Por exemplo, quando se sai de casa, carregando ou

não um guarda-chuva, coletam-se certos dados: olha-se o céu, lê-se a previsão do

tempo do jornal, escuta-se a televisão. Depois de avaliar rapidamente todos estes

dados disponíveis, incluindo a previsão do rádio de "30% de probabilidade de haver

chuva", toma-se uma decisão. De qualquer modo, faz-se o compromisso entre a

inconveniência de carregar um guarda-chuva e a possibilidade de tomar uma chuva,

sujando-se a roupa e pegando um resfriado. Neste exemplo, tomou-se uma decisão

140

baseando-se na incerteza. A incerteza não implica falta de conhecimento, mas

somente que o resultado exato não é completamente previsível.

A importância da incerteza da medição é que ela obscurece a habilidade de

se obter a informação que se quer: o valor verdadeiro da variável medida. Por causa

dos erros, a exatidão de uma medição nunca é certa. A Estatística mostra que o

valor verdadeiro conseguido em um conjunto de medições é dado por sua média

aritmética e a incerteza neste valor. Os erros aleatórios não podem ser antecipados

e evitados. O máximo que o operador pode fazer é minimizar seus efeitos, fazendo

um tratamento estatístico de todas as medições replicadas.

Medições confiáveis devem ser válidas, precisas, exatas e consistentes, por

definição e verificação. Medidas válidas são realizadas por procedimento corretos,

resultando no valor que se quer medir. Medidas precisas são repetitivas e

reprodutivas, com pouca dispersão em torno do valor esperado. Medidas exatas

estão próximas do valor verdadeiro ideal. Medidas consistentes são aquelas cujos

valores ficam cada vez mais próximos do valor verdadeiro, quando se aumenta o

número de medições replicadas.

É impossível fazer uma medição sem erro ou incerteza. Na realidade, o que

se procura é manter os erros dentro de limites toleráveis e estimar seus valores com

precisão aceitável. Cada medição é influenciada por muitas incertezas, que se

combinam para produzir resultados espalhados. As incertezas da medição nunca

podem ser completamente eliminadas, pois o valor verdadeiro para qualquer

quantidade é desconhecido. O erro é a diferença algébrica entre a indicação e o

valor verdadeiro convencional.

Erros aleatórios aparecem das variações aleatórias das observações. A cada

momento que a medição é tomada sob as mesmas condições, efeitos aleatórios de

várias fontes afetam o valor medido. Uma série de medições produz um

espalhamento em torno de um valor médio. Um número de fontes pode contribuir

para a variabilidade, cada vez que uma medição é tomada e sua influência pode

estar continuamente mudando. Elas não podem ser eliminadas, mas a incerteza

devido a seus efeitos pode ser reduzida, aumentando o número de observações e

aplicando Análise Estatística.

Aumentando o número de imagens (N), aumenta-se a quantidade de

informação e a quantidade de observação. Isso pode ser uma importante solução

para os erros aleatórios provenientes de ruídos nas fotografias de Moiré. A Técnica

141

Moiré de Sombra é prejudicada tremendamente com a degradação da qualidade da

imagem, principalmente, devido à redução do campo visual em virtude de se ter um

retículo de linhas na frente do objeto e devido à discretização em pixéis e tons de

cinza não seguirem corretamente as linhas negras dos retículos. Assim, uma linha

do retículo pode estar dividida no meio de pixel da imagem. Mesmo aplicando filtro e

outros artifícios, o efeito de ruídos é danoso para se obter medidas corretas e

precisas com a Técnica de Moiré.

Não se vê atualmente uma utilidade prática para equações do cálculo de fase

com centenas, milhares ou milhões de imagens, principalmente, porque o passo do

deslocamento de fase (δ), apesar de desconhecido, deve ser constante, o que pode

ser complicado de se obter com uma grande quantidade de imagens. Mas como a

evolução da Informática é surpreendente e o Algoritmo de Carré pode ser usado em

vários campos da Engenharia, neste trabalho de pesquisa, desenvolveram-se tais

equações.

Cita-se, também, a possibilidade de criação de dispositivos eletrônicos que

possam projetar a iluminação com o deslocamento de fase automática e, assim,

captar dezenas de quatros por segundo. A Técnica de Moiré tem um importante

caráter de magnificação do movimento, que pode ser usado na medição de objetos

muito pequenos e em microscópios eletrônicos tridimensionais. É difícil prever

aplicações futuras em Engenharia. Neste contexto, se justifica o esforço, neste

estudo, em desenvolver equações do cálculo de fase para uma grande quantidade

de imagens (N), além de complementar, de maneira definitiva, a generalização do

Algoritmo de Carré.

3.13 Conclusão do capítulo

Destaca-se, finalmente, o caráter inédito e original das novas equações do

cálculo de fase desenvolvidas neste capítulo. Este é o principal resultado desta tese

até este ponto: a generalização do Algoritmo de Carré para permitir mais de quatro

imagens vai possibilitar um processo de medição com um maior número de

observação e, com isso, espera-se uma diminuição da incerteza e do erro aleatório

no uso da Técnica Moiré de Sombra e, assim, uma maior precisão.

142

Cita-se, como importante, a verificação de que o Método Branch-and-Bound

consegue solucionar com sucesso o modelo de Programação Inteira Não-linear

proposta nesta pesquisa. É interessante observar que centenas de testes foram

realizados executando-se a implementação do método e obtiveram grande sucesso.

Esta classe de problemas apresenta, em geral, muita dificuldade na resolução e

apenas em um pequeno número de casos consegue ser resolvido. O modelo

proposto é um desses casos.

Uma razão para o sucesso do Método Branch-and-Bound pode ser atribuída à

ideia do método numérico em obter a solução ótima com uma reduzida quantidade

de avaliações das equações, restringindo o universo de busca. Acredita-se que

outros métodos numéricos também poderiam obter sucesso.

As observações das novas equações do cálculo de fase permitiram evoluir o

modelo para se obter equações com um número muito grande de imagens. Foi

importante a criação de teste para verificar e confirmar a veracidade dessas

equações. Enfatiza-se, ainda, que em todo esse trabalho foram utilizados métodos

numéricos de cálculo.

A implementação computacional desenvolvida neste projeto de pesquisa foi

um dos trabalhos mais desafiantes. São métodos de grande complexidade e que

necessitam de flexibilidade para alteração de restrições e evolução do modelo

matemático. O uso de programação orientada a objetos, classes e métodos bem

definidos foi de fundamental importância para o sucesso dos softwares.

Destaca também que se tentou no capítulo fazer um relato histórico, temporal

e sequencial de como as novas equações do cálculo de fase foram sendo

desenvolvidas. Como se trata de um trabalho cientifico, a ideia foi de registrar como

o trabalho foi sendo executado, o mais próximo possível da realidade.

A título de exemplo, foram realizadas demonstrações analíticas de equações

do cálculo de fase, usando-se o software de matemática computacional Maple®. O

trabalho analítico é considerável e, por isso, foi utilizado um programa de

computador, embora mostre que as novas equações podem ser demonstradas

matematicamente por relações trigonométricas, apesar de ser um processo bem

trabalhoso e demorado. Nota-se, ainda, que é muito mais fácil comprovar

analiticamente a veracidade da equação do cálculo de fase, uma vez que esta já foi

obtida e é conhecida, do que tentar deduzi-la analiticamente por meio de relações

trigonométricas e desenvolvimentos algébricos.

143

A principal preocupação neste capítulo da tese foi tornar fácil o entendimento

do processo de desenvolvimento das novas equações do cálculo de fase. Assim,

priorizou-se uma notação matemática mais didática e usual em ótica aplicada à

Engenharia, que fosse utilizada comumente por outras referências bibliográficas

sobre o assunto.

144

CAPÍTULO IV - TRATAMENTO DE IMAGENS

4.1 Introdução do capítulo

Além do cálculo de fase usando as equações desenvolvidas no capítulo

anterior, as imagens de Franjas de Moiré passam por outros processamentos

descritos neste Capítulo IV. Há que se esclarecer, porém, que seu conteúdo

informativo serve apenas de resumo introdutório para a compreensão desta tese,

uma vez que não se constitui no foco principal deste estudo.

Inicialmente, ressalta-se uma determinação da ambiguidade do ângulo de

fase empacotado (wrapped). Nas equações anteriores, trabalhou-se com apenas o

módulo dos valores das distribuições de fase; logo φ ∈ [0, π/2], mas os principais

algoritmos de desempacotamento (unwrapped) trabalham com φ*∈ [-π, π]. A

transformação de φ em φ* é o tema de abertura.

Em seguida, tem-se a abordagem do processo de desempacotamento (phase

unwrapping) que é o processo pelo qual o valor absoluto do ângulo de fase de uma

função contínua, que se estende além de 2π (relativo a um ponto inicial predefinido)

é recuperado. Esse valor absoluto é perdido, quando o termo de fase é coberto por

si mesmo com distâncias repetidas de 2π, que tenham natureza senoidal das

funções de onda usada nas medições de propriedades físicas. Alguns algoritmos

são citados com este objetivo.

A seguir é desenvolvida a teoria de geração pelo computador das imagens de

Franjas de Moiré. Com o desenvolvimento do Processamento Digital de Imagens,

podem-se criar Franjas de Moiré para uma determinada superfície. Tal método ajuda

na análise de erro e no teste do sistema computacional para análise automática das

fotografias de Moiré. Um estudo de geração de ruídos em imagens também é

realizado, uma vez que em fotografias reais as imperfeições estão presentes.

O capítulo é finalizado com o estudo dos principais filtros utilizados

inicialmente nas imagens de Moiré antes do cálculo de fase ser aplicado. Nesta

pesquisa foram utilizados, propositalmente, filtros muito simples como os filtros

Passa Baixo e Gaussiano. No processo evolutivo da teoria dos filtros, a novidade

145

são os filtros direcionais, aplicados diretamente nas fotografias para a eliminação de

ruídos e imperfeições.

4.2 Passagem da fase de [0, ππππ/2] para [- ππππ, ππππ]

As novas equações do cálculo de fase desenvolvidas nesta pesquisa têm a

forma da Equação 3.18. Como envolve uma raiz quadrada e valores absolutos do

numerador e do denominador, o valor da tan(φ) sempre será um número positivo.

Quanto se aplica o arcotangente para se descobrir o valor da fase (φ), tem-se um

número entre 0 e π/2, ou seja, φ ∈ [0, π/2]. O problema é que a maioria dos

algoritmos de desempacotamento (unwrapping) trabalha com ângulos entre -π e π

radianos. Na literatura, podem ser encontradas algumas soluções para este

problema que também aparece na equação original de Carré, conforme apontam

CREATH (1985) e NOVAK (2003).

Nesta tese, optou-se por soluções alternativas e diferentes. Observando o

gráfico da tangente de um ângulo em radianos, vê-se que o valor absoluto da

tangente de φ é o mesmo para quatro ângulos entre -π e π; estes ângulos são: φ, -φ,

φ-π e -φ+π. Tem-se a ideia de que, uma vez obtida à fase φ, testa-se as quatro

possibilidades para se achar φ* ∈ [-π, π], e poder aplicar os algoritmos de

desempacotamento (unwrapping).

O teste se baseia em cada pixel que, segundo posição (x,y) das imagens, são

somados e subtraídos os valores das intensidades de luz Ik, e usando de relações

trigonométricas objetivando verificar para qual dos quatros ângulos φ, -φ, φ-π e -φ+π

as sentenças ficam verdadeiras.

Uma primeira tentativa foi realizada, trabalhando-se com relações

trigonométricas e deduzindo equações como as mostradas abaixo. Por exemplo,

para N=4 ou número de imagens par, tem-se:

146

( )( )( )

( )( )

+=+

+=+

=−

=−−−

=−

=

2cos)cos(22

23cos)cos(22

2sin)sin(22

3sin)sin(2

12cos4

4

*32

*41

*32

*41

32

412

δφ

δφ

δφ

δφ

δ

am

am

a

a

IIII

IIII

III

III

II

II

NPar (4.1)

Observa-se que da primeira sentença da Equação 4.1 se pode calcular o

valor do deslocamento de fase (δ). Com este valor testam-se os quatro ângulos φ, -φ,

φ-π e -φ+π, verificando-se qual torna verdadeira ou com um erro de precisão

numérica muito pequena, tipo 10-6, as outras quatro sentenças da Equação 4.1. O

ângulo encontrado é o valor de φ*. Esse processo deve ser realizado para cada pixel

das fotografias de Moiré.

Em outro exemplo, para N=5 ou número de imagens ímpar, tem-se:

−=−+

−=−+

=−

=−

−−

=

=

]1))[cos(cos(22

]1)2)[cos(cos(22

)sin()sin(2

)2sin()sin(2

)(2)cos(

5

*342

*351

*42

*51

42

51

δφδφ

δφδφ

δ

a

a

a

a

IIII

IIII

III

III

II

II

NÍmpar (4.2)

Observa-se que, novamente, da primeira sentença da Equação 4.2 se pode

calcular o valor do deslocamento de fase (δ). Com este valor testam-se os quatro

ângulos φ, -φ, φ-π e -φ+π, verificando-se qual torna verdadeira ou com um erro de

precisão numérica muito pequena, tipo 10-6, as outras quatro sentenças da Equação

4.2. O ângulo encontrado é o valor de φ*. Esse processo deve ser repetido para

cada pixel das fotografias de Moiré. A ideia, nesse processo, é sempre somar e

subtrair as imagens com índices (k) centrais ou do meio. Generalizando para

qualquer número de imagens (N), tem-se:

147

( )

( )( )

( )( )

+=+

+=+

=−

=−

−

−

=−

+

+

−

+

+

−

+

+

−

2cos)cos(22

23cos)cos(22

2sin)sin(2

23sin)sin(2

12cos4

*

122

*

22

12

*

122

*

22

12

122

22

122

δφ

δφ

δφ

δφ

δ

amNN

amNN

aNN

aNN

NN

NN

IIII

IIII

III

III

II

II

NPar (4.3)

Ou

( )

( )

( )[ ]

( )[ ]

−=−+

−=−+

=−

=−

−

−

=

+

+

−

+

+

−

+

−

+

−

+

−

+

−

1cos)cos(22

12cos)cos(22

sin)sin(2

2sin)sin(2

2

)cos(

*

2

1

2

3

2

1

*

2

1

2

5

2

3

*

2

3

2

1

*

2

5

2

3

2

3

2

1

2

5

2

3

δφ

δφ

δφ

δφ

δ

aNNN

aNNN

aNN

aNN

NN

NN

IIII

IIII

III

III

II

II

NÍmpar (4.4)

As equações 4.3 e 4.4 foram obtidas através de relações trigonométricas bem

simples. Apesar de interessante, esse método apresenta dificuldades na

implementação, uma vez que pode acontecer que o denominador da primeira

sentença na Equação 4.3 e 4.4 pode ser zero e, neste caso, o método falha.

Uma alternativa melhor e com formulação bem mais simples é descrita

abaixo. A partir da Equação 3.9, que pode ser reescrita como 4.5, para um dado

pixel (x,y) da imagem de Franja de Moiré:

NkcomNk

III amk ..12

12cos =

−−++= δφ (4.5)

148

Para cada uma dos quatro ângulos de teste φ, -φ, φ-π e -φ+π, monta-se um

sistema não linear com 3 equações das N de 4.5. Nota-se que, como se sabe o valor

de φ, têm-se apenas três incógnitas, Im, Ia e δ; assim o sistema não linear fica:

=

−−++=

=

−−++=

=

−−++=

33

22

11

2

12*cos

2

12*cos

2

12*cos

3

2

1

kkparaNk

III

kkparaNk

III

kkparaNk

III

amk

amk

amk

δφ

δφ

δφ

(4.6)

Aplica-se, então, o Método de Newton-Raphson para resolver rapidamente o

sistema não linear, onde se conhece os valores da intensidade de luz Ik , e se deseja

descobrir os valores de Im, Ia e δ em cada pixel (ou seja, apenas 3 incógnitas e 3

equações). As três equações acima têm derivadas simples e a convergência do

Método de Newton-Raphson é bem rápida. Uma vez calculado Im, Ia e δ para cada

um dos quatro ângulos de teste φ, -φ, φ-π e -φ+π, escolhe-se o ângulo que tiver

menor erro calculado pela Equação 4.7. Ou seja, verifica-se se os valores de Im, Ia e

δ atendem todas as N equações de 4.5.

∑=

−−++−=N

kamk

NkIIIAbsolutoErro

1 2

12*cos δφ (4.7)

O ângulo encontrado que apresentar o menor erro é o valor de φ*. Especial

atenção deve ser tomada, pois para um dos quatro ângulos de teste φ, -φ, φ-π e -φ+π,

têm-se valores diferentes de Im, Ia e δ obtidos pelo Método de Newton-Raphson, mas

os valores de intensidade de luz Ik (k=1..N) são os mesmos. Outro detalhe é que

esse processo deve ser realizado para cada pixel na posição (x,y) das imagens de

franjas de Moiré. Testes práticos mostraram que esta técnica não incrementa

consideravelmente o tempo de processamento, uma vez que o Método de Newton-

Raphson converge para a solução em poucas iterações.

Nesta pesquisa, optou-se por esta última técnica para fazer a passagem da

fase de [0, π/2] para [-π, π], em razão da facilidade de implementação computacional

149

e do uso bem conhecido do Método de Newton-Raphson, além da utilização na tese

de grandes valores de N (número de imagens). O valor de φ* ∈ [-π, π] obtido está

pronto para ser a entrada nos algoritmos de desempacotamento (unwrapping)

descrito a seguir.

4.3 Algoritmos de desempacotamento ( unwrapping )

Segundo ROBINSOM & RAID (2003), desempacotamento de fase (phase

unwrapping) é o processo pelo qual o valor absoluto do ângulo de fase de uma

função contínua que se estende além de 2π (relativo a um ponto inicial predefinido) é

recuperado. Esse valor absoluto é perdido, quando o termo de fase é coberto por si

mesmo com distâncias repetidas de 2π, que tenham natureza senoidal das funções

de onda usada nas medições de propriedades físicas.

Partindo do princípio de que o processo para determinação do ângulo de fase

φ* já removeu ambiguidades, agora, quando uma fase é acrescentada de 2π, a

inclinação da função é positiva, e o contrário ocorre ao se diminuir uma fase de 2π

(PATORSKI, 1993).

Em qualquer padrão Moiré, as partes de mesma altura no objeto estão

representadas nas franjas com formas de colinas ou selas. O formato de colinas ou

sela aparece nos pontos de intersecção com a mesma altura, e deve-se ter muita

atenção ao se interpretar essa região para se somar ou subtrair a ordem de franja,

principalmente, em mapas de franja gerados de imagens com ruídos e imperfeições.

Importante fonte de erro que ocorre na fase de detecção e resolução dos

saltos de fase se dá em função da presença de ruídos. Um aspecto desse tipo de

análise é que a fase é determinada independente de cada ponto, ou seja, não é

necessária a comparação de dados de outras partes da imagem. Isso significa que

descontinuidades que possam aparecer no padrão de franjas serão corretamente

interpretadas, e ambiguidades serão resolvidas automaticamente. Uma grande

vantagem ao se utilizar a Técnica Deslocamento de Fase juntamente com Moiré de

Sombra, é que, por essa técnica, o conhecimento, a priori, do perfil medido, não se

faz necessário (POST et al., 1994).

150

A ideia central da técnica de análises de franja é que, se um padrão de linhas,

geralmente paralelas entre si, se projeta sobre a superfície de um objeto e é visto de

ângulo deslocado, a franja observada é distorcida na forma da superfície do objeto.

A distorção da franja padrão contém informações sobre a altura do objeto

perpendicular ao plano da imagem. As Técnicas de Moiré obtêm informações dessa

altura através da computação das diferenças de fase. Desde que a fase é

computada no intervalo entre -π e π, uma das mais críticas etapas do método é o

processo de desempacotamento, ou seja, o processo de eliminação das

descontinuidades 2π. Imagens reais de franjas são afetadas por muitos distúrbios,

como a aquisição do ruído, problemas de iluminação, sombras e reflexos etc. A base

em uma dimensão do algoritmo de desempacotamento trabalha apenas com um

pixel da linha da imagem de cada vez e, em caso de imagens corrompidas, não

garante um correto processo de desempacotamento. O processo de

desempacotamento em 2-D é o problema central na análise de interferometria ótica,

em ressonância magnética de uso médico, em física do estado sólido, e em várias

outras áreas de aplicação. Por essa razão, muitos algoritmos de desempacotamento

têm sido propostos. Uma boa introdução em 2-D é dada por GHIGLIA et al. (1998),

que é um dos principais algoritmos encontrados na literatura.

O princípio básico da Remoção de Salto de Fase é integrar a fase com

descontinuidades ao longo de uma trajetória pelos dados amostrados. Em cada pixel

o gradiente de fase é calculado pela diferença:

1*** −−=∆ qq φφφ (4.8)

onde q é o número do pixel. Se |∆φ*| exceder certo limiar como π, por

exemplo, então uma descontinuidade é identificada. Este salto de fase é corrigido

adicionando-se ou subtraindo-se 2π, de acordo com o sinal de ∆φ*.

Embora a Remoção de Saltos de Fase possa ser desenvolvida por circuitos

analógicos como parte de um processo de medição de fase eletrônico, muitos

pesquisadores empregam técnicas de Processamento Digital de Imagem. O

princípio mais comumente utilizado é baseado no fato de que a diferença de fase

entre quaisquer dois pontos medidos por integração da fase ao longo de um

caminho entre estes dois pontos é independente da trajetória escolhida, se esta

151

trajetória não passa através de uma descontinuidade. Assim, os Métodos de

Remoção do Salto de Fase podem ser divididos em métodos dependentes e

independentes do caminho.

O método mais simples de Remoção do Salto de Fase é o método

dependente do caminho, que envolve o escaneamento sequencial ao longo dos

dados amostrados, linha por linha. Ao final de cada linha, a diferença de fase entre o

último pixel e o pixel da linha abaixo é determinado, e a linha posterior é escaneada

na direção inversa. Esta técnica é amplamente aplicável para dados de alta

qualidade, porém, variações mais complexas são necessárias na presença de

ruídos. Uma maneira utilizada para se evitar a propagação de erros ao longo da

matriz de dados é realizar a Remoção do Salto de Fase primeiramente nas regiões

de pixéis “bons”. Os pixéis “ruins”, com grandes incertezas de medição, têm suas

descontinuidades removidas posteriormente, todavia, a propagação de erros fica

confinada a pequenas regiões (DEL-VECCHIO, 2006).

O método independente do caminho é desenvolvido a partir de uma máscara

3×3, na qual as diferenças de fase, ∆φ*, do pixel central e de seus quatro pixéis

vizinhos mais próximos, nas direções verticais e horizontais, são calculadas. Se uma

das diferenças é maior, em valor absoluto, que π, +2π ou -2π, é adicionado a ∆φ*,

dependendo da maioria das quatro diferenças ser positiva ou negativa. Quando duas

diferenças são positivas e duas são negativas, uma decisão arbitrária é tomada para

adicionar 2π. Quando nenhuma das diferenças absolutas excede π, então ∆φ*

permanece imutável. Essas iterações se processam ao longo de toda a imagem até

que repetições sequenciais não mais resultem em alterações do valor inicial para

cada matriz (array). Nesse estágio, uma iteração global é realizada, substituindo-se

cada valor de pixel pela média de cada par de pixéis na matriz (array) corrente e na

matriz (array) anterior. Esse algoritmo requer um processamento intensivo, sendo,

no entanto, imune a ruídos e artefatos (DEL-VECCHIO, 2006).

Uma forma de se evitar a propagação de erros a partir de vazios ao longo de

toda a imagem é aplicar a Remoção de Salto de Fase Temporal. A ideia principal

acerca deste método é que a fase em cada pixel é medida como uma função do

tempo. Este método é aplicável em situações em que o deslocamento de fase ocorre

ao longo do tempo, por exemplo, em análise de deformações na qual o

deslocamento de fase é proporcional ao deslocamento da superfície.

152

As opções de algoritmos de desempacotamento são muitas e várias

alternativas poderiam ser usadas, inclusive, técnicas que dispensam a fase de

passagem de [0, π/2] para [-π, π], descrita no item anterior. Nesta pesquisa, optou-se

por uma implementação conservadora, bastante trabalhada e consolidada na

literatura, uma vez que este não é o foco principal deste estudo, descrito em

GHIGLIA et al. (1994), e mostrada a seguir.

A fase φ* obtida da Técnica Deslocamento de Fase é uma fase empacotada

(wrapped phase), que varia de -π até π radianos. Uma fase empacotada tem de ser

desempacotada (unwrapping), tal que o valor da fase é incrementado por um fator

de 2πh. O relacionamento entre a fase empacotada (φ*) e a fase desempacotada (Ψ)

é estabelecida como:

+==Ψ

hW

W

πφφφ

2**)(

*)( (4.9)

onde W é a função de desempacotamento (unwrapping) e h é um número

inteiro, φ* é a fase empacotada (wrapped) e Ψ é a fase desempacotada. Logo, para

toda a imagem, tem-se:

),(.2),(*),( yxhyxyx πφ +=Ψ (4.10)

No processo de desempacotamento, vários dos valores de fase são

deslocados (adicionados e subtraídos) por um múltiplo inteiro de 2π. Este processo é

então resumido com adição e subtração de 2π em cada descontinuidade encontrada

na distribuição de fase (φ*) da imagem. O procedimento de desempacotamento

consiste em achar o correto número de ordem para cada fase medida. O número de

ordem tem apenas três possibilidades em cada pixel, h(x,y)=0 ou h(x,y)=1 ou

h(x,y)=-1.

Este método supõe que a fase da imagem é contínua, e que a amostragem é

densa bastante, tal que o verdadeiro valor da fase entre dois pontos adjacentes não

possa diferenciar mais que π. A fase empacotada também chamada de principal é

denotada por φ*, e Ψ é o valor verdadeiro da fase. As diferenças das fases na

direção horizontal e na direção vertical podem ser estimadas por (índice i para o

153

deslocamento de pontos na horizontal [x] e índice j para deslocamento de pontos na

vertical [y]):

( )( )

−=∆

−=∆

+

+

jijiy

ji

jijix

ji

W

W

,1,,

,,1,

**

**

φφ

φφ (4.11)

O quadrado do erro para uma imagem com resolução gráfica de Mx × My é:

( ) ( )2

1

1

1,,1,

21

1 1,,,1 **** ∑ ∑∑∑

=

−

=+

−

= =+ ∆−−+∆−−=

x yx y M

i

M

j

yjijiji

M

i

M

j

xjijijiS φφφφ (4.12)

Aplicando-se o critério dos mínimos quadrados chega-se a:

∆−

∆+∆−∆=

Ψ−Ψ−Ψ−Ψ+

Ψ−Ψ−Ψ−Ψ=Ψ×

=Ψ×

−−

+−−+

−−++

−−++

yjijiji

yjijiji

xjijiji

xjijiji

jijijijijijijiji

jijijijijijijijiji

C

Q

onde

CQ

1,2

1,2,

,2,

21,,1

2,1

2,,

2,

2,1

1,,2

1,2,,1,

2,

21,

,1,2

,12,,,1

2,

2,1,

)*;*min(

)*;*min().*;*min()*;*min(

))(*;*min())(*;*min(

))(*;*min())(*;*min(

φφ

φφφφφφ

φφφφ

φφφφ (4.13)

onde min(r,s) é função que retorna o menor dos dois valores r ou s. Chega-se

a um sistema linear que pode ser resolvido pelo Método de Gauss com Pivotação

Parcial para se obter o valor de Ψ. Matematicamente, a formulação 4.13 pode

também se vista como uma solução por Diferenças Finitas da equação diferencial de

Laplace com condições de contorno do tipo de Neumann, para se ter uma

continuidade dos valores da fase (Ψ). Mais detalhes podem ser encontrados também

em HUNT (1979).

A modulação de fase (Ψ) obtida no processo de desempacotamento

representa fisicamente a fração do número de ordem de franja nas imagens de

Moiré, multiplicada por 2π. A forma do objeto pode, então, ser determinada e

medida, aplicando-se a equação abaixo deduzida da Equação 2.7:

154

)tan(tan

2,

, βαπ

+

Ψ

=

ji

ji

p

Z (4.14)

onde Zi,j é profundidade a ser medida, que é a distância vertical do retículo

plano para o ponto do objeto em cada pixel; p é o passo ou distância entre as linhas

do retículo de referência ou frequência do retículo ou, ainda, frequência espacial do

retículo; α é o ângulo entre a normal e o feixe de luz (iluminação), e β é o ângulo

entre a normal e o ponto de observação (observador). Isso é mostrado na Figura 26

abaixo:

Figura 26 – Montagem da Técnica Moiré de Sombra para obtenção das medidas de Z que é a distância entre o objeto e o retículo em cada pixel da fotografia. Fonte: Resultados da pesquisa. 4.4 Geração de imagens de Moiré no computador

Outra proposta deste estudo, para se testar a precisão das novas equações

de cálculo desenvolvidas, é substituir as fotografias das franjas de Moiré pela

geração destas imagens no computador. Usando o conhecimento de

Processamento Digital de Imagens é possível criar, dada uma função matemática

Z=f(x,y), várias imagens de Moiré, uma para cada fase, e testar o processo de

medição através da Técnica Deslocamento de Fase. O processo de geração de

imagens é descrito a seguir.

Inicialmente, define-se a resolução gráfica das imagens a serem geradas,

números de pixéis na horizontal e na vertical. Aplica-se, então, a regra numérica de

discretização de funções, para se calcular o incremento de passo na horizontal

∆x=hx e o incremento de passo na vertical ∆y=hy.

155

−−

==∆

−−

==∆

)1(

)1(

y

ify

x

ifx

n

YYhy

n

XXhx

(4.15)

onde Xf é o maior valor da distância métrica na horizontal, Xi é o menor valor

da distância métrica na horizontal, Yf é o maior valor da distância métrica na vertical,

Yi é o menor valor da distância métrica na vertical, nx é o número de pixéis da

imagem na horizontal e ny é o número de pixéis na imagem vertical. Assim, para

cada pixel da imagem, pode-se obter sua posição métrica (x,y). Com o valor de x e

y, usando a função matemática f(x,y), calcula-se a altura Z=f(x,y).

A ordem de franja pode ser obtida, alterando-se a Equação 4.14 reescrita em

4.16 abaixo:

pyxZyx

)tan(tan),( 2),(

βαπ +=Ψ (4.16)

onde Z(x,y) é a profundidade a ser medida, que é a distância vertical do

retículo plano para o ponto do objeto em cada pixel; p é o passo (pitch) ou distância

entre as linhas do retículo de referência ou frequência do retículo ou, ainda,

frequência espacial do retículo; α é o ângulo entre a normal e o feixe de luz

(iluminação); β é o ângulo entre a normal e o ponto de observação (observador); e

Ψ(x,y) é a ordem de franja em cada pixel da imagem multiplicada por 2π.

Para imagens monocromáticas (preto e branco) onde cada pixel é

armazenado usando um byte de 8 bits, onde os tons de cinza variam de 0(preto) a

255(branco) e dado δ um deslocamento de fase arbitrária, pode-se calcular os

valores destes pixéis pelas equações:

NkcomNk

yxyxI k ..12

12),(2cos

2

255

2

255),( =

−−++= δπψ (4.17)

onde N é o número de imagens a serem geradas, uma para cada

deslocamento de fase; Ik é a intensidade luminosa da imagem em um dado pixel,

que é arredondado para o valor inteiro mais próximo, uma vez que cada pixel é

armazenado em um byte de 8 bits, variando de 0 a 255; k é a ordem da imagem

gerada, variando de 1(primeira imagem) até N(última imagem).

156

Nota-se que as imagens geradas por este processo não têm ruído, e as

únicas distorções são provenientes das discretizações em pixéis horizontal e vertical

e das discretizações em tons de cinza provenientes do arredondamento para inteiro

no byte dos pixéis. A Figura 27 ilustra este processo para a equação:

55,55,100

)( 23

≤≤−≤≤−−= yxcomyx

z (4.18)

A

B

C

D

E

F

G

H

I

J

K

L

M

N

O

P

Figura 27 – Um conjunto com 16 imagens de Franjas de Moiré de um megapixel geradas no computador. [A-P]. Nas imagens, usou-se uma resolução gráfica de um megapixel com 1280 pixéis na horizontal e 960 pixéis na vertical. Fonte: Resultados da pesquisa.

Estas imagens geradas no computador podem agora ser usadas para testar o

algoritmo de medição da Técnica Moiré de Sombra com Deslocamento de Fase.

157

Uma vez que se conhece a altura Z, em cada pixel, pelo valor da função matemática

f(x,y), o erro e a precisão podem ser obtidos com facilidade. Isso é realizado no

Capítulo V deste estudo.

Em outro estudo, a função f(x,y) é calculada por interpolação polinomial de

pontos medidos de um objeto com a geometria simples, usa-se uma malha

desenhada em uma transparência com 49 pontos formando uma malha com 7

pontos na horizontal e 7 pontos na vertical. Essa transparência é colada em um vidro

transparente, e usando-se um paquímetro é medida a distância do objeto até o vidro

nos 49 pontos da malha. Com os 49 pontos tabelados de x, y e z, aplicam-se uma

interpolação polinomial de Lagrange bidimensional multivariada, para se obter um

polinômio que passa por esses 49 pontos medidos. Detalhes desse procedimento

podem ser encontrados em HOFFMAN (2001).

O polinômio encontrado passa a ser a função matemática Z=f(x,y)=P(x,y), que

pode ser usada para a geração das imagens das Franjas de Moiré descritas

anteriormente neste item. Malhas maiores foram confeccionadas onde o

espaçamento horizontal e vertical não era de apenas um centímetro, mas de dois e

três centímetros. Assim, foram desenhadas malhas de 36 cm2(6x6), 144 cm2(12x12)

e 324 cm2(18x18), que foram usadas para objetos de diversos tamanhos.

No próximo item, as imagens geradas vão ganhar muito mais veracidade com

o acréscimo de ruído, imperfeições e das sombras das linhas verticais do retículo,

ficando muito difícil distinguir o que é fotografia de imagem real do que é imagem

criada no computador.

4.5 Acréscimos de ruídos nas imagens

Aqui é apresentado um resumo introdutório sobre ruídos em imagens digitais.

A ideia é mostrar como as fotografias reais sempre contêm erros e distorções que

afetam o processo de medição, usando a Técnica de Moiré. Mais detalhes podem

ser encontrados em GONZALEZ et al. (2000, 2004).

O “ruído” é o equivalente digital dos grãos dos filmes utilizados em câmeras

de filme. Outra forma de ilustrar o que é ruído, é pensar nele como o equivalente ao

sutil chiado que se percebe quando uma música é ouvida num volume muito alto de

158

voz. Para as fotografias digitais, esse ruído aparece como manchas aleatórias em

uma superfície normalmente lisa, e compromete significativamente a qualidade das

fotos. Apesar de o ruído ser considerado um “defeito” de uma foto, ele pode ser

causado propositalmente, já que pode conferir às fotos um aspecto antigo que

remeta aos filmes. Um pouco de ruído também pode aumentar a nitidez da imagem.

O ruído aumenta proporcionalmente à sensibilidade escolhida (ISO) e tempo de

exposição. A quantidade de ruído também varia muito dependendo da câmera

utilizada. Câmeras profissionais de alto nível costumam ter muito menos ruído que

câmeras compactas comuns.

Algum nível de ruído sempre existe em qualquer aparelho eletrônico que

transmite ou recebe um ’sinal’. Para as televisões esse sinal são os dados da

transmissão enviados por cabo ou recebidos pela antena da TV; para as câmeras

digitais, o sinal é a luz que atinge o sensor da câmera. Mesmo sendo inevitável, o

ruído pode se tornar tão pequeno relativamente ao sinal, que pode ser considerado

inexistente. A razão entre o sinal e o ruído (SNR, do inglês signal to noise ratio) é

uma maneira útil e universal de comparar as quantidades relativas de sinal e ruído

para qualquer sistema eletrônico; razões altas terão pouco ruído visível, enquanto o

oposto vale para baixas razões.

O ISO de uma câmera (em inglês ISO setting ou ISO speed) é um padrão que

descreve a sensibilidade absoluta da luz. O ISO normalmente é apresentado em

razões de 2, como ISO 50, ISO 100, ISO 200 e ISO 400, e pode ter uma grande

variedade de valores. Valores mais elevados representam maior sensibilidade, e a

razão entre dois valores de ISO representa a sensibilidade relativa entre elas, ou

seja, uma foto com ISO 200 demorará a metade do tempo que uma foto com ISO

100 para atingir o mesmo nível de exposição (se todos os outros parâmetros da

câmera forem fixados). O ISO das câmeras digitais é a mesma coisa que a ASA

encontrada nos filmes para câmeras analógicas. A diferença, sem dúvida, é que uma

única câmera digital pode fotografar em diferentes ISO sem troca de filmes. O

aumento do ISO é possível, amplificando-se o sinal do sensor da câmera, mas isso

também amplifica o ruído. Assim, quanto maior o ISO, mais ruído a imagem terá.

Vários tipos de ruídos podem ser encontrados nas imagens digitais. Câmeras

digitais produzem três tipos de ruído básicos: aleatório, de padrão fixo e de bandas.

O ruído aleatório é caracterizado por flutuações de intensidade e tom de cor

em relação à imagem real. Sempre haverá alguma quantidade de ruído aleatório em

159

qualquer duração de exposição, pois ela será muito influenciada pelo ISO. O padrão

do ruído aleatório muda mesmo quando as propriedades da exposição são as

mesmas (é exatamente por isso que ele é chamado de aleatório).

O ruído de padrão fixo inclui o que se costuma chamar de “hot pixéis” (do

inglês: “pixéis quentes”), que são chamados assim, quando a intensidade de um

pixel ultrapassa muito a das flutuações de ruído aleatório. O ruído de padrão fixo

geralmente aparece em situações de exposições longas, e é exacerbado por

temperaturas altas. Uma característica importante é que ele mostra

aproximadamente a mesma distribuição, se as condições nas quais a imagem é

produzida são repetidas (temperatura, exposição e ISO).

O ruído em banda depende muito da câmera utilizada, e é introduzido pela

própria câmera quando ela lê dados provenientes do sensor digital. Ele é mais

visível, quando são usados ISO altos e nas áreas de baixa luz, ou quando uma

imagem foi editada / clareada excessivamente. Dependendo da câmera, ele também

pode ser aumentado em função do balanço de branco escolhido.

Apesar de parecer ser o mais intrusivo, o ruído de padrão fixo é normalmente

o mais fácil de ser removido, em razão da sua natureza repetitiva. A eletrônica da

câmera tem que, simplesmente, saber o padrão e subtraí-lo da imagem capturada,

para revelar a imagem verdadeira. O ruído de padrão fixo é um problema muito

menor que o ruído aleatório em câmeras de última geração, apesar de pequenas

quantidades serem ainda mais facilmente percebidas que o ruído aleatório.

O ruído aleatório é muito mais complicado de ser removido sem que a

imagem seja danificada. Os algoritmos criados para isso ainda lutam para conseguir

discernir entre o ruído e texturas reais, como as que ocorrem na terra ou folhas.

Assim, tentativas de remover o ruído acabam, também, removendo essas texturas.

A mudança do ruído não depende somente da exposição da foto e da

câmera, já que pode variar dentro de uma mesma imagem. Em câmeras digitais,

regiões mais escuras terão mais ruído que regiões mais claras, e com o filme

acontece o contrário. A magnitude do ruído, normalmente, é descrita pelo “desvio

padrão”, que quantifica a variação típica que um pixel tem de seu valor “real”.

Aumentar o ISO sempre produz mais ruído em uma câmera, mas a variação

de ruído na troca de ISO muda muito de câmera para câmera. Quanto maior a área

de um pixel no sensor da câmera, maior será a capacidade de receber luz -

produzindo assim um sinal mais forte. Como resultado, câmeras com pixéis

160

fisicamente maiores, geralmente, vão aparentar ter menos ruídos, já que o sinal é

maior em relação ao ruído. É por isso, que câmeras com mais megapixéis

espremidos em uma mesma área não, necessariamente, produzem imagens

melhores. Por outro lado, um sinal mais forte, necessariamente, terá um ruído

menos visível, já que é a quantidade relativa de ruído e sinal que determina quão

ruidosa será uma imagem.

Imagens reais, frequentemente, sofrem degradações durante seu processo de

aquisição, transmissão ou processamento. Essa degradação é normalmente

chamada de ruído. O ruído pode ser considerado uma variável aleatória z,

caracterizada por uma função-densidade de probabilidade p(z). Os tipos de ruído

mais comumente modelados são ruídos impulsivo, Gaussiano, uniforme, Erlang,

exponencial, Rayleigh e Poisson (GONZALEZ et al., 2004).

Observa-se que em todos os modelos, o ruído é considerado como uma

distribuição estatística na imagem. Isso reforça a ideia de que a repetitividade e o

aumento do número de observações vai atenuar o ruído das imagens.

Neste trabalho de pesquisa, os modelos acima de ruído foram aplicados nas

fotografias com um percentual de 10% a 20% dos pixéis de uma imagem, ou seja,

cerca de um quinto dos pixéis de uma imagem contém algum tipo de ruído.

Para tornar as imagens geradas mais realistas, foi também aplicado nelas um

processo de suavização (smoothing). A suavização linear é aplicada para gerar

novas imagens com aspecto mais suave, pois calculam o novo valor de intensidade

luminosa de um dado ponto, a partir de uma média linear dos valores de intensidade

dos pontos vizinhos, de acordo com o tamanho da máscara de convolução usada

(chama-se de convolução o processo de calcular a intensidade de um determinado

pixel em função da intensidade de seus vizinhos). Numa configuração de máscara

3X3, com todos os vizinhos sendo levados em conta da mesma maneira, a operação

se resumiria na troca do valor do pixel central pela média aritmética dos pixéis mais

próximos (Filtro Passa Baixa). Porém, é possível adotar uma máscara que priorize

ou conceda maior peso para vizinhos específicos, buscando um comportamento

mais adequado para a aplicação (GONZALEZ et al., 2000).

É interessante notar que, na maior parte dos trabalhos encontrados na

literatura, se está tentando tirar o ruído e, neste estudo, a ideia é acrescentá-lo na

imagem gerada por computador, para torná-la o mais real possível. Uma rotina em

MatLab® foi desenvolvida, gerando aleatoriamente ruído as diversas imagens

161

geradas pelo programa. Além disso, foi aplicada uma suavização linear, e foram

também acrescidas as sombras das linhas verticais do retículo. O resultado é visto

na Figura 28.

Figura 28: À direita imagem gerada pelo computador do seio de um manequim, e à esquerda, fotografia digital tirada dos seios do mesmo manequim.

Fonte: Resultados da pesquisa.

É difícil perceber qual é a imagem real e qual é a imagem criada no

computador. Nota-se, que no caso dos seios do manequim, foi usada uma função

f(x,y) obtida por interpolação polinomial com base em 49 medidas realizadas com

um paquímetro.

4.6 Filtros Iniciais antes do cálculo de fase

Uma vez que se obteve a fotografia das Franjas de Moiré, esta deve,

inicialmente, ser tratada com o objetivo de remover as linhas do retículo de Moiré,

para atenuar os ruídos e as distorções. Neste estudo, foi aplicado, apenas,

recursivamente, filtro passa baixa e filtro gaussiano; mais nenhum tratamento foi

dado inicialmente às imagens digitais fotografadas.

Filtragem digital é um conjunto de técnicas destinadas a corrigir e realçar uma

imagem. A correção é a remoção de características indesejáveis, e a melhoria/realce

é a acentuação de características. O cálculo é baseado em ponderação, isto é,

utilizam-se pesos diferentes para pixéis vizinhos diferentes. A matriz de pesos é

162

chamada de kernel (núcleo) da convolução. Para obter o novo valor do pixel,

multiplica-se o kernel pelo valor da imagem original em torno do pixel, elemento a

elemento, e soma-se o produto, obtendo-se o valor do pixel na nova imagem.

As técnicas de filtragem são transformações da imagem pixel a pixel, que não

dependem apenas do nível de cinza de um determinado pixel, mas também, do valor

dos níveis de cinza dos pixéis vizinhos, na imagem original. Os filtros funcionam

como janelas ou máscaras móveis que se deslocam sobre a imagem. Por exemplo,

uma janela de três por três pixéis (nove ao todo) que percorre a imagem.

Inicialmente, ela é colocada no canto superior esquerdo da imagem, sendo que o

valor do pixel central dessa janela na imagem é dado pela soma dos valores dos 9

pixéis da imagem multiplicados pelas 9 celas da janela. Essa janela se desloca, pixel

a pixel, e essa operação é repetida, atribuindo-se novos valores aos pixéis.

Outra opção de filtragem, o processamento no domínio frequência é

semelhante ao realizado no domínio espacial, porém os operadores utilizados nas

tarefas de filtragem mudam significativamente, tendo em vista que, agora, a busca

pelas características da imagem se dá no plano da frequência, que é, na verdade,

uma nova estrutura de representação das informações da imagem original. O que

antes era analisado no domínio espacial de f(x,y), agora é analisado em F(u,v), que

é a representação da imagem f no domínio da frequência. A ferramenta utilizada

para mapear os dados de f do domínio espacial para F no domínio da frequência é a

Transformada Discreta de Fourier (DFT). Essa ferramenta mapeia as características

do sinal no tempo (espaço) para um somatório de senos e cossenos com seus

respectivos pesos, de forma a traduzir perfeitamente o sinal para o domínio da

frequência. Para retornar ao domínio do tempo, sem perdas de informações, basta

aplicar a transformada inversa ao sinal da frequência. A teoria matemática por trás

desta ferramenta é extensa e possui rica literatura, não fazendo parte do escopo

deste estudo aprofundar-se em maiores detalhes de seu funcionamento.

O processamento no domínio da frequência costuma ser mais custoso e

demorado, devido ao número maior de etapas de processamento a serem

cumpridas, e pela natureza das máscaras de convolução de frequências, que são

bem maiores do que as utilizadas no processamento espacial. O processamento de

uma imagem no domínio da frequência, segue os seguintes passos (GONZALEZ et

al., 2000) :

163

1 multiplicar a imagem no domínio espacial por um fator (−1)x+y, para

auxiliar o cálculo posterior da DFT (pois centraliza as informações da

transformada na imagem);

2 calcular a DFT da imagem f propriamente dita, gerando F(u,v);

3 aplicar uma função de filtragem H(u,v) sobre a imagem F, de acordo

com as características que se deseja realçar na imagem, gerando uma

nova imagem: G(u,v) = H(u,v)F(u,v);

4 calcular a DFT inversa do resultado da filtragem (G) realizada no passo

3, trazendo a imagem de volta ao domínio espacial com as

modificações da filtragem;

5 extrair apenas a parte real do resultado obtido da DFT inversa no

passo 4;

6 multiplicar esta parte real novamente por (−1)x+y, para rearranjar a

imagem corretamente no domínio espacial e possibilitar a visualização

dos resultados.

Na tese utilizou-se somente um filtro passa baixa e um filtro Gaussiano no

domínio espacial aplicado diversas vezes sobre as imagens fotográficas. Mas uma

alternativa muito usada é descrita a seguir. Para maiores referência consultar

COSTA (2006).

Após as fotos adquiridas já terem sido introduzidas no computador, pode-se

dividir a fase de processamento em sete etapas:

1 transformação das fotos em tons de cinza;

2 média das fotos de mesmo ângulo de fase (1ª filtragem);

3 cálculo da componente senoidal e cossenoidal da fase;

4 filtragem das componentes senoidal e cossenoidal da fase através de

Fourier (2ª filtragem);

5 cálculo da fase (com saltos 2π);

6 remoção do salto de fase;

7 cálculo do perfil e visualização em 3-D.

A diferença está nas etapas 2, 3 e 4, pois o restante é igual ao desenvolvido

neste estudo, onde se optou por substituir as 3 etapas por simples filtragem Passa

Baixo e Gaussiano, pela simplicidade e velocidade de implementação

computacional. Mas acredita-se que esse processo alternativo descrito aqui possa

164

produzir um resultado melhor e mais preciso. Variações desta técnica podem ser

encontradas em DEL-VECCHIO (2006) e RIBEIRO (2006).

Uma grande inovação nesta área de filtros iniciais é citada por WANG (2003),

que desenvolveu uma teoria de filtros direcionais que utilizam o desvio padrão para

determinar a direção das franjas e, então, aplicar um filtro nessa direção. Com isso,

é obtida uma imagem muito melhor e com menos erros. Nessa mesma pesquisa,

são também citados novos filtros auto-adaptativos para imagens de Franjas de

Moiré.

4.7 Conclusão do capítulo

Apesar do tratamento de imagens não ser o foco principal desta pesquisa,

esta temática é muito importante para a compreensão e entendimento da tese ora

defendida. Vale destacar que muitas técnicas e novos algoritmos são encontrados

na literatura científica. Neste capítulo foi apresentado apenas um resumo introdutório

do tema, sendo altamente recomendável a consulta de outras referências

bibliográficas, também porque foi muito interessante constatar a recente e

expressiva evolução da Informática e do Processamento Digital de Imagens.

Importante observar, que a opção adotada nem sempre foi a mais precisa,

uma vez que se objetivou, neste estudo, a simplicidade e a facilidade de

implementação computacional em MatLab®. A ideia da Técnica Moiré de Sombra

com Deslocamento de Fase objetivou testar, verificar e comparar as novas equações

do cálculo de fase desenvolvidas pela generalização do Algoritmo de Carré, que se

traduz no foco principal da tese.

A presença de ruídos nas imagens e erros da ordem de milímetros nas

medições usando a Técnica de Moiré serão importantes para testar, verificar e

comparar a utilidade das novas equações do cálculo de fase desenvolvidas. Assim

sendo, não se optou por uma busca extrema de tratamento de imagens de alta

precisão, pois, justamente a comparação dos erros e incertezas que são visíveis e

facilmente detectáveis é que justificará o desenvolvimento de equações de cálculo

usando muitas imagens. Essa temática será tratada no próximo capítulo.

165

CAPÍTULO V - ANÁLISE DE ERROS

5.1 Introdução do capítulo

Em quase todas as áreas da atividade humana há uma busca contínua e

ininterrupta por novos métodos, novos procedimentos que superem ou melhorem,

em certo sentido, aqueles já existentes. Assim é que, na agricultura, buscam-se

variedades mais adequadas e mais produtivas de cereais; no setor de transporte,

procuram-se motores de maior rendimento e de menor ruído; na Medicina procuram-

se drogas com maior poder de cura e o mínimo possível de efeitos colaterais; e na

Engenharia, criam-se métodos de medidas experimentais mais precisos e sujeitos e

menos erros e falhas.

Em todas essas situações, é preciso comparar as técnicas usuais com os

métodos alternativos. A comparação da eficiência de duas drogas, de dois métodos

de produção de aço, de dois procedimentos de laboratório ou, em geral, de dois

tratamentos é, pois, uma questão importante que surge frequentemente no trabalho

de pesquisa e desenvolvimento. A escolha entre dois tratamentos diferentes não é

uma tarefa tão simples como, a princípio, possa parecer. É necessário realizar

experimentos, coletar informações e fazer inferências a partir da evidência

experimental.

Tome-se o caso de duas terapias alternativas. Se todos os portadores de

determinada doença se comportassem de maneira idêntica em relação aos

tratamentos utilizados, bastaria examinar o comportamento de um, no máximo dois

deles, frente às alternativas existentes, já que a decisão sobre qual é o melhor deles

seria óbvia. Seria lógico, pois, inferir que nenhuma Análise Estatística seria

necessária. Tal, entretanto, não é o caso. A reação a um tratamento varia de

indivíduo para indivíduo e, via de regra, não há um tratamento ótimo para todos.

Como, em geral, não se conhece, a priori, a reação de cada indivíduo, prescreve-se

o tratamento que, em média, dá os melhores resultados (TRIOLA, 2008).

O procedimento para determinar qual de dois tratamentos é, em média, o

mais eficiente envolve a seleção de duas amostras e a comparação dos resultados

obtidos. Neste capítulo, discute-se como comparar a precisão média de duas

166

equações do cálculo de fase para variáveis quantitativas ou dicotômicas, com os

dados de forma emparelhados.

Uma forma bastante eficiente de se coletar dados para a comparação de dois

tratamentos consiste em medir o valor da variável de interesse em diversos pares de

amostras, tomando-se cuidado para que as características das amostras que

integram um mesmo par sejam tão semelhantes quanto possível. O tratamento é

administrado a somente um dos elementos do par. A esta amostra refere-se como

“tratamento”. A amostra que não recebeu tratamento, é denominada “controle”. A

vantagem do procedimento é clara: as amostras no par são idênticas, exceto no que

se refere ao tratamento recebido (TRIOLA, 2008).

Neste estudo, foram tiradas várias fotografias, pela Técnica Moiré de Sombra,

de um objeto com dimensões muito bem conhecidas, e cada imagem apresentou

uma defasagem arbitrária em relação às outras. Em vista disso, aplicaram-se, então,

as novas equações de cálculo para se obter o perfil do objeto. Assim, para a

equação com 4 imagens, foram usadas as quatro primeiras fotografias; para a

equação com 5 imagens usou-se as cinco primeiras fotografias (as quatro anteriores

mais uma); para as equações com 6 imagens, usaram-se as seis primeiras

fotografias (as cinco anteriores e mais uma), para as equações com 7 imagens,

usaram-se as sete primeiras fotografias (as seis anteriores e mais uma), e assim por

diante. Para cada nova equação do cálculo de fase testada, calculou-se o erro

médio que é a soma das diferenças entre as dimensões conhecidas do objeto e as

dimensões do objeto fornecido pela Técnica Moiré de Sombra em cada pixel. Com

este resultado, aplicou-se o teste estatístico de hipótese em inferência a partir de

amostras emparelhadas.

É interessante notar que na literatura internacional sobre a Técnica de Moiré o

erro é da ordem de micrometros ou nanômetros. No entanto, na montagem

experimental realizada neste estudo científico, que pretende medir objetos da ordem

de dez centímetros e utiliza um retículo com espaçamento de um milímetro, luz não-

colinear e placa de vidro e câmeras digitais comuns, o erro é da ordem de

milímetros, ou seja, um erro visível a olho nu e facilmente perceptível. Ressalta-se,

pois, que o importante no âmbito da tese ora defendida é comparar as novas

equações de cálculo, uma vez que essas novas equações do cálculo de fase podem

ser aplicadas a qualquer montagem da Técnica de Moiré, inclusive, nas de alta

precisão e de elevados custo financeiros.

167

A Figura 29 abaixo mostra alguns exemplos de ruídos em fotografias reais de

Moiré encontradas na literatura atualmente. Notam-se na figura os mais variados

tipos de defeitos, imperfeições, sujeiras e distorções nas fotografias obtidas em

ambientes extremos reais.

Figura 29 – Exemplo de ruídos e imperfeições de fotografias de Moiré. Fonte: WALKER, 2004, p. 436-439.

168

Para se obter medidas nestes tipos de imagens, deve se utilizar um grande

número de técnicas de Processamento Digital de Imagens para contornar os efeitos

dos ruídos. Além disso, as etapas da Técnica de Moiré devem apresentar imunidade

aos erros na fotografia e não deixar com que as imperfeições se propagem ou sejam

aumentadas. Vale lembrar que em alguns casos a Técnica de Moiré é utilizada como

uma alternativa de medição onde outras técnicas fracassaram ou se tornaram

inviáveis.

Por outro lado, POST et al. (1994) cita medidas utilizando a Técnica de Moiré

com erro da ordem de nanômetros (10-9m), mas para isso uma serie de cuidados

deve ser tomada. Usa retículos da ordem de 10.000 linhas por milímetros

(linhas/mm) geradas por meio de microscópio eletrônico de varredura (SEM –

Scanning Electron Microscope). A luz visível é substituída por poderosas fontes de

raios X ou raios de nêutrons, sendo estes de ondas coerentes (aquela formada por

ondas de mesma frequência, fase e direção). Os objetos medidos são bem

pequenos (ordem de micrometros: 10-6m) e com superfícies bem comportadas (sem

grandes inclinações e continuamente suaves, aproximadamente superfícies

Lambertianas – refletem a luz em. uma única direção). Utilização de ambientes

especiais, sem vibrações, sem ruídos de som ou luz, com ar limpo e sem poeira

(câmeras emerticamente fechadas). Máquinas fotográficas de alta resolução acima

de 24 megapixéis acoplada a microscópios óticos.

5.2 Equipamentos utilizados nos experimentos

A escolha dos equipamentos foi efetuada da forma a aproveitar o que já

existe no Laboratório de Análise Estrutural da PUC-Minas, e concentrar os esforços

na parte de processamento das informações. A simplicidade dos equipamentos

também reflete a inexistência de projetos específicos, podendo o experimento ser

facilmente reproduzido em futuras aplicações.

São seis os principais componentes físicos deste experimento:

• o projetor de luz estruturada;

• o dispositivo de captura de imagens (câmera digital);

169

• o sistema de processamento e armazenamento das informações;

• objetos a serem medidos (devem ser brancos);

• o retículo com listas verticais espaçadas de 1 mm;

• micrômetro preso ao retículo com uma mola para alteração da fase.

Dezesseis fotografias foram tiradas com deslocamento de fase aleatório entre

elas, mas constante nas dezesseis imagens. O arranjo utilizado para esse

experimento-exemplo foi o seguinte: da câmera fotográfica até o retículo de franjas a

distância foi de 1000 mm; da câmera fotográfica até a fonte de luz a distância foi de

250 mm.

O passo (pitch) utilizado foi de 1 mm, e antes de cada fotografia o retículo foi

cuidadosamente deslocada, ou seja, após ser retirada uma fotografia, o retículo foi

deslocada algumas frações de milímetros em direção à máquina fotográfica para a

segunda foto ser tirada. Esse mesmo deslocamento foi realizado para a obtenção

das outras fotos, o deslocamento é sempre o mesmo em cada conjunto de

dezesseis fotografias.

Visando uma melhora nos resultados obtidos, foi proposto um sistema para

calibração do sistema de medição. Inicialmente, foi pensado em se calibrar o

sistema através da medição de um plano. Após a aquisição dos valores de um plano

conhecido e sem deformidades (uma placa de vidro pintada de branco, por

exemplo), poder-se-ia corrigir os resultados obtidos na medição de outro objeto

qualquer (no caso, a medição do plano inclinado) através de um mapa de tendências

encontrado na medição do plano (desde que se utilizem as mesmas distâncias e

passo da medição do plano).

Através do plano inclinado foi realizada uma correção para os erros

sistemáticos encontrados no plano reto. Isso foi feito, pois os resultados encontrados

ao se medir o plano inclinado se apresentaram confiáveis e as imagens resultantes

da medição por Moiré de Sombra do plano inclinado tiveram melhor qualidade. Ou

seja, agora, a imagem conseguida do plano inclinado através da Técnica Moiré de

Sombra passa a ser o mapa de tendências. Após serem realizadas as devidas

correções com as tendências encontradas na medição do plano inclinado (que foi

utilizado como padrão), conseguiu-se uma melhora visível no resultado da medição.

O retículo de franjas foi confeccionada com o uso de uma transparência

afixada a uma placa de vidro. A placa de vidro tem 3 mm de espessura, com 260

170

mm de comprimento e 220 mm de altura. O vidro foi cuidadosamente limpo, ficando

sem arranhados ou trincas. Foi utilizada uma impressora de jato de tinta para a

impressão do retículo na transparência. O padrão de impressão utilizado foi o

fotográfico, com uma resolução equivalente a 1280 x 960 dpi. A transparência foi

então cortada no tamanho da placa de vidro, de forma que as franjas cobrissem todo

o vidro. Posteriormente, a transparência com o padrão de franjas foi afixado na placa

de vidro, evitando, ao máximo, a formação de bolhas de ar entre a placa e a

transparência. A fixação da transparência à placa de vidro foi feita através de papel

contact transparente colado nas laterais da transparência.

O passo de um retículo de Moiré é a distância entre os pontos

correspondentes nas barras (ou franjas) adjacentes, e a frequência de um retículo é

o número de barras por unidade de medida (POST et al., 1994), sendo utilizado,

neste caso, como unidade de medida, o milímetro. POST et al. (1994) descreve uma

relação entre a profundidade máxima a ser medida, o passo do retículo de Moiré e o

comprimento de onda da luz utilizada, dada na Equação 5.1. Através dessa equação

foi calculado o passo do retículo de Moiré, sendo ainda realizados cálculos para

diversos arranjos diferentes:

λ

2

%.5p

W = (5.1)

onde:

W = profundidade máxima a ser medida.

p = passo (pitch) do retículo física em mm.

λ = comprimento de onda da luz utilizada em mm.

Utilizando uma média para o comprimento de onda da luz branca igual a

0,00055 mm, e uma profundidade máxima, para o objeto, de 100 mm, chegou-se a

um passo de 1,05mm. Para facilitar a construção do retículo foi, então, escolhido um

passo de 1 mm para a realização da medição. Esse valor foi escolhido baseado em

diversas medições realizadas anteriormente e com diversos padrões de franjas

diferentes. Com esse valor, conseguiu-se melhor qualidade das imagens. As barras

do retículo foram orientadas de forma vertical, em função do arranjo geométrico do

experimento, que utiliza a fonte de luz ao lado da câmera fotográfica.

171

Para escolha da câmera foram analisados os seguintes critérios: custo,

resolução, facilidade de controle e automação. A câmera escolhida foi a Cyber-shot

DSC-H1 da fabricante Sony, tendo apresentado uma boa relação custo benefício.

Esta câmera apresenta vários recursos óticos como ampliação da imagem (Zoom

até 12 vezes), flash ajustável, cartão de memória stick de 512 megabytes, equilíbrio

do branco, fotografias monocromáticas (branco/preto), focagem automática e disparo

de até 16 quadros (frames) em intervalos de tempo iguais. A câmera apresenta uma

resolução gráfica ajustável até o máximo de 5 megapixéis (2592 x 1944 = 5.038.848

pixéis). Na pesquisa por uma questão de tempo de processamento e memória

utilizada no disco rígido (Hard Disk – HD) não foi usada esta resolução máxima. A

máquina fotográfica tem alta sensibilidade ISO (unidade de medida da sensibilidade

que avalia a quantidade de luz que recebe um equipamento de captação de

imagem, com isso ela grava uma imagem clara mesmo quando filma num local

escuro). Além disso, a máquina tem obturador de alta velocidade, assim objetos em

movimentos aparecem parados na fotografia e gera arquivos de imagens em vários

formatos (Bitmap [.bmp]) e em conformidade com as normas universais DCF (Design

rule for Camera File system) estabelecidas pela JEITA (Japan Electronics and

Information Technology Industries Association). Todas estas características são

vantajosas e facilitam a realização dos experimentos.

A escolha da fonte de luz para aplicações da Técnica de Moiré envolve três

principais variáveis: o comprimento de onda da luz, a área da região de emissão da

fonte de luz e a potência utilizada. Foi utilizada, nos experimentos deste estudo, uma

fonte Fiber Optic da Strainoptic Technologies, Inc. de luz branca de 300 watts de

potência. O aparelho produz brilho de até 1500 ANSI lumens.

Esta pesquisa só foi viabilizada graças ao equipamento desenvolvido no

Laboratório de Análise Estrutural da PUC-Minas. Este equipamento consiste de um

micrômetro preso a uma mola. Com este micrômetro é possível alterar, com grande

precisão, a fase em cada imagem, deslocando o retículo algumas frações de

milímetros. A Figura 30, a seguir, ilustra a montagem desenvolvida:

172

Figura 30 – Equipamento para deslocamento de fase. Fonte: Resultados da pesquisa.

Na montagem, o micrômetro foi desmontado na haste de medição e fixado a

uma mola presa no retículo. A operação desse equipamento é bem simples, uma

vez batida uma fotografia, ajusta-se o micrômetro, de forma a se deslocar o retículo

algumas frações de milímetros, alterando a fase das Franjas de Moiré e, em

seguida, uma nova fotografia é realizada. Esse equipamento apresentou grande

precisão a um custo muito baixo.

O sistema de processamento de dados consiste de um microcomputador do

Laboratório de Análise Estrutural com o MatLab® 6.5. Após a aquisição das

imagens, todo o trabalho de processamento das mesmas foi realizado a partir de um

software criado sob a plataforma MatLab®, especificamente, para o propósito do

trabalho. Após as fotos adquiridas já terem sido descarregadas no computador,

pode-se dividir o processamento em 7 etapas:

1 transformação das fotos em tons de cinza;

2 filtros iniciais das imagens (filtro Passa Baixo e filtro Gaussiano);

3 cálculos das fases (usando as novas equações desenvolvidas);

4 passagem da fase de [0; π/2] para [-π; π];

5 algoritmos de desempacotamento (remoção do salto de fase);

6 cálculo do perfil (profundidades em milímetros);

7 visualização em 3-D e armazenamento das medições.

O programa computacional em MatLab® usado era sempre o mesmo, apenas

na etapa 3 é que se alterava o procedimento, pois eram utilizadas várias equações

do cálculo de fase diferentes, que foram desenvolvidas no Capítulo III. As fotografias

que foram capturadas de forma colorida, foram agora transformadas em 256 níveis

173

de cinza (8bits). As fotografias, quando em tons de cinza, apresentam valores de

pixéis que variam de 0 (preto) a 255 (branco). A ideia de transformar as imagens em

tons de cinza ajuda a economizar tempo de processamento, sem prejudicar a

qualidade do resultado de medição.

Nesse software desenvolvido, entra-se com as imagens das Franjas de Moiré

com uma dada resolução gráfica, número de pixéis na horizontal e na vertical. Todas

as imagens devem ter a mesma resolução gráfica e a diferença é apenas a fase de

cada imagem. O programa retorna para cada pixel um valor Z(x,y), que representa a

medida da profundidade em milímetros do objeto até o retículo (Figura 31). A

visualização em 3-D é simplesmente um gráfico onde x,y são a resolução da

imagem, e Z é a profundidade obtida por meio do processamento das fotografias.

Usou-se o MatLab® com o intuito de fazer uma programação bem simples e

didática, e que pudesse ser utilizada em outros projetos.

Figura 31 – Fluxograma do processamento da Técnica Moiré de Sombra com Deslocamento de

Fase. Fonte: Resultados da pesquisa.

Uma vez obtidos os valores de Z(x,y) para cada pixel, essas medidas são

comparadas com um valor que se admite como sendo o valor exato do perfil do

objeto Ze(x,y). Esse valor é obtido por meio de medições mecânicas, usando

paquímetros e interpolado para se obter o valor exato em cada posição dos pixéis

das imagens. A princípio, os objetos têm dimensões conhecidas e formatos bem

simples (como cilindros, esferas, etc.). Uma interpolação numérica polinomial é

realizada apenas para se determinar essas dimensões na posição em cada pixel da

174

imagem. É óbvio que algum erro vai ocorrer nesse processo, mas acredita-se que

esse erro seja muito menor que o erro das medidas de perfil obtidas pela Técnica de

Moiré. Calcula-se, então, o erro médio, usando a Equação 5.2 abaixo.

M

ZZZZ

EMédioErro

M

i

eii

Mx

i

My

j

Mx

i

My

j

ejiji ∑

∑∑

∑∑=

= =

= =−

=−

= 1

1 1

1 1,,

1

)( (5.2)

onde:

Mx é o número de pixéis na horizontal da imagem;

My é o número de pixéis na vertical da imagem;

M=(Mx My) é o número total de pixéis da imagem;

Z é o valor medido pela Técnica de Moiré por meio das fotografias;

Ze é o valor de referência tido como correto do perfil do objeto medido.

Nota-se que a ideia é comparar as novas equações do cálculo de fase, e que

para todas elas se usou o mesmo programa computacional com os mesmos valores

de Ze para cada objeto medido. Várias resoluções gráficas de imagens foram

utilizadas dos experimentos até o limite de 5 megapixéis da câmera digital utilizada.

5.3 Equações de cálculo a serem testadas

Uma vez que a quantidade de equações obtidas no Capitulo III é muito

grande (mais de 200 equações), optou-se por escolher algumas para teste e Análise

Estatística. As equações seguem o padrão da Equação 3.18. As seguintes equações

do cálculo de fase foram selecionadas (Tabelas 8,9 e 10):

TABELA 8

Equações com número de imagem (N) igual á 4 e 5

N = 4 Num -1 2 -2 23 -6 -2

a) 3 2-1

Dem -1 1 1 -1

N = 5 Num -1 0 0 0 24 0 -8 0

a) 0 0 04 0

-1Dem -1 0 2 0 -1

Fonte: Resultados da pesquisa.

175

TABELA 9

Equações com número de imagem (N) igual á 6,7,8,9,10,11 e 12

N = 6 Num -1 0 -1 1 0 2 -1 0 0 0 0 2 -1 0 -2 2 0 2 -1 2 -2 2 -2 2 -1 2 0 0 -2 23 1 -1 -6 0 2 2 -2 -4 0 4 0 0 -8 0 1 -2 2 -2 -2 -1 0 0 2 -2

0 0 -1 1 1 -2 -2 0 -1 2 0 2 2 -4 2 2 4 -8 0 0a) 0 1 -1 b) 1 2 0 c) -1 0 -2 d) 2 -2 -2 e) 4 0 0

3 0 2 0 4 0 1 2 -1 2-1 -1 -1 -1 -1

Dem -1 0 1 1 0 -1 -1 0 1 1 0 -1 -1 0 1 1 0 -1 -1 1 0 0 1 -1 -1 1 0 0 1 -1

N = 7 Num -1 -2 -3 0 3 2 2 -1 2 -5 0 5 -2 2 -1 -2 1 0 -1 2 2 -1 -2 0 0 0 2 2 4 6 0 -6 -8 2 6 -6 0 6 -12 -2 0 6 0 -6 0 2 1 6 0 -6 -2 2 2 0 -4 -6 3 0 0 0 6 5 6 0 -12 -6 -1 5 0 -10 -6 0

a) 0 0 0 0 b) 0 0 0 0 c) 0 0 0 0 d) 0 0 0 0 2 6 -3 0 -6 -5 6 6 1 5 6 0 4 -2 6 2 0 -2 1 -2 -1 -1 -1 -1

Dem -1 -1 1 2 1 -1 -1 -1 1 1 -2 1 1 -1 -1 -1 1 2 1 -1 -1 -1 -1 1 2 1 -1 -1

N = 8 Num -1 0 1 0 0 -1 0 2 -1 0 0 0 0 0 0 2 -1 0 0 1 -1 0 0 2 -1 0 0 0 0 0 0 21 0 -2 2 0 -2 0 2 0 -1 1 0 -4 0 0 1 0 0 -1 0 0 2 0 -2 2 0 -4 0

1 1 -1 -2 0 -1 0 1 -1 0 0 0 3 0 0 -6 -1 0 1 0 0 -2 0 0a) 1 -2 -1 2 0 b) 1 -2 -1 1 0 c) 0 0 0 0 -1 d) 0 0 0 2 0

1 1 -2 0 1 1 -1 0 0 0 0 1 0 0 -2 01 0 1 0 0 0 3 1 0 1 0 0

1 0 2 0 0 0 2 0-1 -1 -1 -1

Dem -1 0 1 0 0 1 0 -1 -1 0 1 0 0 1 0 -1 -1 0 0 1 1 0 0 -1 -1 0 1 0 0 1 0 -1

N = 9 Num -1 2 -1 1 0 -1 1 -2 2 -1 2 -1 0 0 0 1 -2 2 -1 -2 -2 0 0 0 2 2 2 0 -3 1 0 -1 3 0 -2 0 -2 0 0 0 2 0 -2 1 2 2 0 -2 -2 -2 2 5 -5 0 5 -10 3 1 6 -6 0 6 -12 2 1 4 6 0 -6 -8 -2 2

a) 1 0 -2 5 -1 -1 b) 0 0 0 6 0 0 c) 1 0 -2 -6 -2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 -5 1 1 0 -6 0 0 1 6 2 0 5 -3 -1 6 -2 -1 4 2 -2 0 2 0 2 1 -2 -1 -1 -1

Dem -1 1 0 -1 2 -1 0 1 -1 -1 1 0 -1 2 -1 0 1 -1 -1 -1 0 1 2 1 0 -1 -1

N = 10 Num -1 0 1 0 0 0 0 -1 0 2 -1 0 -1 0 0 0 0 1 0 2 -1 0 0 0 0 0 0 0 0 2 1 0 -1 0 0 1 0 -2 0 1 0 1 1 -1 -1 0 -2 0 2 0 -1 0 0 1 0 -4 0 0 0 -1 1 0 0 0 -1 1 1 0 0 -1 -2 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 a) 1 1 -1 -2 0 1 0 b) 1 0 0 -2 -1 -1 0 c) 0 1 -1 0 0 1 0 1 -2 -1 1 0 0 0 0 0 0 -1 0 1 -2 -1 0 0 0 1 1 -1 0 0 0 0 0 1 0 1 1 0 0 0 1 0 -1 0 1 1 1 0 0 0 -1 0 0 0 1 1 0 -1 0 0 0 1 0 1 0 2 0 -1 -1 -1

Dem -1 0 1 0 0 0 0 1 0 -1 -1 0 0 0 1 1 0 0 0 -1 -1 0 1 0 0 0 0 1 0 -1

N = 11 Num -1 0 -1 -2 0 0 0 2 1 0 2 -1 0 -1 -1 0 0 0 1 1 0 2 -1 -2 0 0 0 0 0 0 0 2 2 1 0 0 2 0 -2 0 0 -2 0 1 -1 0 1 0 -1 0 1 -2 0 1 2 -2 2 0 -2 2 -2 -2 2 2 2 0 0 0 -2 -4 0 1 2 3 0 0 0 -3 -4 1 1 1 2 2 0 -2 -2 -2 -2 0 a) 1 0 0 0 -2 -2 0 2 b) 1 0 0 0 -2 -3 0 1 c) 2 -2 0 2 -4 -2 2 0 2 0 -4 0 0 -2 0 2 0 -4 0 0 -1 0 2 0 -4 2 -2 -2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 0 2 0 2 0 0 1 0 2 -2 2 2 0 1 2 0 -2 1 3 0 -1 2 2 -2 0 2 0 -1 2 -1 -1 1 2 0 1 0 1 0 1 -2 -1 -1 -1 Dem -1 0 0 -1 1 2 1 -1 0 0 -1 -1 0 0 -1 1 2 1 -1 0 0 -1 -1 -1 1 0 0 2 0 0 1 -1 -1

N = 12 Num -1 0 1 0 0 0 0 0 0 -1 0 2 -1 0 1 0 0 0 0 0 0 -1 0 2 1 0 -1 0 0 0 0 1 0 -2 0 1 0 -1 0 0 0 0 1 0 -2 0 0 0 -1 0 0 1 0 0 0 -1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -1 a) 1 0 0 0 0 -2 0 1 0 b) 0 0 -1 1 0 0 0 1 0 0 1 -1 0 0 1 0 0 1 1 -1 -2 0 0 0 0 1 -2 -1 0 0 0 0 1 -2 -1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 -1 0 0 0 0 0 -1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 -1 0 0 0 -1 0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 0 -1 -1 Dem -1 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 -1 -1 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 -1

Fonte: Resultados da pesquisa.

176

TABELA 10

Equações com número de imagem (N) igual á 13,14,15 e 16

N = 13 Num -1 2 -2 -2 0 1 0 -1 0 2 2 -2 2 -1 2 -1 0 0 0 0 0 0 0 1 -2 2 1 0 0 -1 1 0 -1 1 0 0 -2 -2 0 -2 0 -2 0 0 0 2 0 2 0 -2 2 0 0 -1 0 1 0 0 -4 0 2 2 2 1 -2 0 2 -1 -2 -4 2 1 a) 2 -2 -1 0 1 2 -4 0 0 2 b) 2 -2 -1 0 1 2 -4 -2 0 0 2 -2 0 2 -4 2 0 1 0 1 -2 0 2 -2 2 -1 2 0 -1 0 2 2 1 1 -1 -1 1 0 -2 2 1 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -1 -2 -1 -1 1 1 1 -2 -1 -2 0 0 2 -2 0 -1 0 1 -2 1 -2 0 2 0 0 -2 2 2 0 0 2 0 -2 2 -2 -1 1 2 0 2 -1 -1 Dem -1 1 0 -1 0 0 2 0 0 -1 0 1 -1 -1 1 0 -1 0 0 2 0 0 -1 0 1 -1

N = 14 Num -1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 -1 0 2 -1 0 -1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 2 1 0 -1 0 0 0 0 0 0 1 0 -2 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 -1 0 -2 0 0 0 1 0 0 0 0 -1 0 0 0 -1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 -2 0 1 a) -1 0 -1 0 0 1 0 2 0 1 0 b) 0 0 -1 0 0 1 0 0 0 -1 0 1 0 -1 1 0 -2 0 -1 0 0 0 2 0 0 -2 0 0 0 0 0 1 1 -1 -2 0 1 0 0 0 0 -1 1 0 -2 1 0 0 0 1 -2 -1 1 0 0 0 0 1 -2 1 0 0 0 0 0 1 1 -1 0 0 0 0 1 -1 0 0 0 0 0 1 0 -1 0 0 0 0 2 -1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 -1 0 -1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 -1 1 0 1 0 -1 -1 Dem -1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 -1 -1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 -1

N = 15 Num -1 -2 -1 1 0 0 0 0 0 0 0 -1 1 2 2 N = 16 Num -1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -1 0 2 2 1 -2 -1 0 0 0 0 0 1 2 -1 -4 2 1 0 -1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 -2 0 1 1 -1 2 0 0 0 -2 1 -1 -2 -1 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 -1 0 0 0 -1 a) 1 2 2 -2 0 2 -2 -2 -2 -1 2 -1 a) -1 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 1 0 2 -2 1 0 -1 2 -4 -2 1 1 0 0 0 -1 0 0 1 0 0 0 -1 0 0 -1 0 0 0 2 2 -2 -2 0 0 1 0 -1 1 0 -2 0 0 0 0 0 1 0 -2 0 -1 2 0 0 0 1 1 -1 -2 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 -2 -1 1 0 0 0 0 0 1 0 1 -2 0 0 0 1 1 -1 0 0 0 0 0 -1 -2 2 2 0 0 1 0 -1 0 0 0 0 2 2 -1 -1 0 1 0 0 0 0 0 1 1 -2 1 0 0 1 0 0 1 1 -1 -1 0 -1 0 2 -2 0 0 1 -1 1 0 Dem -1 -1 1 0 0 0 0 2 0 0 0 0 1 -1 -1 -1

Dem -1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 -1 Fonte: Resultados da pesquisa.

Essas equações foram escolhidas por usarem uma quantidade de imagens

(N) até de 16 e pelos valores dos coeficientes serem pequenos. Uma questão

interessante é que as equações designadas com (a) foram geradas pela regra do

programa computacional em Linguagem Pascal da Figura 45 do Apêndice D. Esta

rotina tem como entrada com o valor de N e como saída a matriz de coeficientes do

numerador (Por exemplo - Num:TMATRIX=array [1..4000, 1..4000] of integer) e o

vetor de coeficientes do denominador (Por exemplo - Dem:TVECTOR=array

[1..4000] of integer). As equações geradas por esse programa foram testadas

matematicamente para N, variando de 4 até 90.000.064 (90 milhões) de imagens.

Para cada valor de N, as equações geradas foram testadas mais de 10.000 vezes

com índice de acerto superior a 99,9% e precisão numérica (diferença) entre a fase

(φ) gerada aleatoriamente e a fase calculada, usando as novas equações de 10-6. Os

referidos testes são descritos na Seção 3.8.1.

177

5.4 Inferências a partir de amostras emparelhadas

Faz-se importante apresentar um resumo das Inferências Estatísticas sobre

amostras emparelhadas. Mais detalhes sobre o tema podem ser encontrados em

TRIOLA (2008). A intenção é mostrar qual teste estatístico foi realizado e como foi

aplicado.

No âmbito de pesquisas, com muita frequência, tem-se que tomar decisões

acerca de populações baseadas em informações de amostras. Tais decisões são

denominadas “decisões estatísticas”. Assim, pode-se decidir, com base em dados

amostrais, se um novo soro é realmente eficaz na cura de uma doença, se um

processo educacional é melhor do que outro, se certa moeda é viciada etc.

Ao se tentar chegar a decisões, é conveniente a formulação de hipóteses ou

de conjecturas acerca das populações interessadas. Essas suposições, que podem

ser ou não verdadeiras, são denominadas hipóteses estatísticas e, em geral, são

afirmações acerca das distribuições de probabilidade das populações. Em alguns

casos, formula-se uma hipótese estatística com o único propósito de rejeitá-la ou

invalidá-la.

Admite-se uma hipótese particular como verdadeira, se verificar que os

resultados observados em uma amostra aleatória diferem acentuadamente dos

esperados para aquela hipótese. Com base na probabilidade simples mediante a

utilização da teoria da amostragem, pode-se concluir que as diferenças observadas

são significativas, e ficar-se inclinado a rejeitar a hipótese (ou, pelo menos, a não

aceitá-la com base nas provas obtidas). Os processos que habilitam a decidir se

aceita ou se rejeita as hipóteses, ou a determinar se as amostras observadas

diferem, de modo significativo, dos resultados esperados, são denominados testes

de hipótese ou de significância, ou regras de decisão.

A “distribuição t” de Student é um modelo de distribuição contínua que se

assemelha à distribuição normal padrão, sendo utilizada para Inferências

Estatísticas, particularmente, como já foi dito, quando se tem amostras com

tamanhos inferiores a 30 elementos. O nome t de Student tem origem no seu

descobridor William Gosset (1876 - 1937), que era empregado da cervejaria

Guinness e precisava de uma distribuição que pudesse ser utilizada com pequenas

amostras. Como a cervejaria irlandesa para a qual ele trabalhava não permitia a

178

publicação de resultados de pesquisa, Gosset publicou-os com o pseudônimo de

“Student”, durante a primeira parte do século XX.

Amostras pareadas são consideradas em planejamentos nos quais são

realizadas duas medidas na mesma unidade amostral, ou seja, dados pareados,

onde a unidade é o seu próprio controle. Refere-se a observações pareadas,

também, como amostras dependentes. O teste apropriado para a diferença entre

médias de amostra pareadas consiste em determinar, primeiro, a diferença entre

cada par de valores e, então, testar se as médias das diferenças são iguais a zero.

O número de graus de liberdade para um conjunto de dados corresponde ao número

de valores que podem variar após terem sido impostas certas restrições a todos os

valores. Para as aplicações da distribuição, o número de graus de liberdade é

simplesmente o tamanho da amostra menos um – graus de liberdade = n – 1.

A região crítica (ou região de rejeição) é o conjunto de todos os valores da

estatística de teste que faz rejeitar a hipótese nula.

O nível de significância (representado por α) é a probabilidade de a estatística

de teste cair na região crítica, quando a hipótese nula for realmente verdadeira. Se a

estatística de teste cair na região crítica, rejeita-se a hipótese nula, de modo que α é

a probabilidade de cometer o erro de rejeitar a hipótese nula, quando ela é

verdadeira.

Um valor crítico é qualquer valor que separa a região crítica (onde se rejeita a

hipótese nula) dos valores da estatística de teste que não levam à rejeição da

hipótese nula. Os valores críticos dependem da natureza da hipótese nula, da

distribuição amostral que se aplica e do nível de significância α.

O valor P (ou valor p ou valor de probabilidade) é a probabilidade de se obter

um valor da estatística de teste que seja, no mínimo, tão extremo quanto aquele que

representa os dados amostrais, supondo que a hipótese nula seja verdadeira. A

hipótese nula é rejeitada, se o valor P for muito pequeno, tal como 0,05 ou menos.

As caudas em uma distribuição são as regiões extremas limitadas pelos

valores críticos. No teste bilateral, a região crítica está nas duas regiões extremas

(caudas) sob a curva.

Ao se testar uma hipótese nula, chega-se à conclusão de rejeitá-la ou não

rejeitá-la. Tanto a primeira quanto a segunda opção pode ser às vezes correta ou às

vezes errada (mesmo quando se faz tudo certo). Distingue entre os dois tipos de

179

erro, chamando-os de “erros tipo I” e “erros tipo II”. O erro tipo I é o erro de se

rejeitar a hipótese nula quando ela é, de fato, verdadeira. O símbolo α (alfa) é usado

para representar a probabilidade de um erro tipo I. No erro tipo II é o erro de se

aceitar a hipótese nula quando ela é, de fato, falsa. O símbolo β (beta) é usado para

representar a probabilidade de um erro tipo II.

O poder de um teste de hipótese é a probabilidade (1-β) de se rejeitar uma

hipótese nula falsa, que é calculada usando-se um nível de significância particular α

e um valor particular do parâmetro populacional que seja uma alternativa ao valor

assumido na hipótese nula. Isto é, o poder de um teste de hipótese é a probabilidade

de se apoiar uma hipótese alternativa verdadeira.

Podem-se testar afirmativas sobre parâmetros populacionais, usando o

método do valor P, através dos passos:

• identifique à afirmativa ou hipótese específica a ser testada, e expresse-a em

forma simbólica;

• dê a forma simbólica que tem que ser verdadeira, quando a afirmativa original

é falsa;

• das duas expressões simbólicas obtidas até agora, faça da que não contém a

igualdade a hipótese alternativa H1, de modo que H1 use o símbolo < ou > ou

≠. Deixe a hipótese nula H0 ser expressão simbólica que iguala o parâmetro

ao valor fixo sendo considerado;

• selecione o nível de significância α baseado na gravidade do erro tipo I. Faça

α pequeno, se as consequências de se rejeitar uma H0 verdadeira forem

graves. Os valores 0,05 e 0,01 são muito comuns;

• identifique a estatística de teste relevante para esse teste, e determine a

distribuição amostral (tal como T-Student);

• ache a estatística de teste e o valor P. Desenhe um gráfico e mostre a

estatística de teste e o valor P;

• rejeite H0, se o valor de P for menor do que ou igual ao nível de significância.

Deixe de rejeitar H0, se o valor de P for maior que o nível de significância α;

• expresse a decisão anterior em termos simples e não-técnicos, remetendo à

afirmativa original.

A hipótese nula deve expressar igualdade e a hipótese alternativa não pode

incluir igualdade, de modo que se tem: H0:µd=0 versus H1:µd≠0. Onde dj são as

180

diferenças individuais entre os dois valores em um único par (Tabela 11); µd é o valor

médio das diferenças dj para a população de todos os pares; n é o número de pares

de dados.

TABELA 11

Estrutura dos dados de uma amostra pareada UNIDADE

AMOSTRAL 1ª MEDIDA

(antes) 2ª MEDIDA

(depois) Diferença entre as

medidas 1 x11 x12 d1 2 x21 x22 d2 . . . . . . . . n xn1 xn2 dn

Média x1 x2 d Desvio padrão s1 s2 sd

Fonte: TRIOLA 2008 onde:

xx x x

nj

j j nji

n

=+ + +

=∑ 1 2

1

L

(5.3)

e

sx x

nj

ij ji

n

=−

−=∑ ( )2

1

1 (5.4)

sendo j=1 para a 1ª medida e j=2 para a 2ª medida.

dd d d

n

ni

n

=+ + +

=∑ 1 2

1

L

(5.5)

e

sd d

nd

ii

n

=−

−=∑ ( )2

1

1 (5.6)

Considerando que as medidas tenham distribuição normal, a diferença entre

elas também terá distribuição normal. Portanto, as distribuições t são apropriadas

181

para testar a hipótese nula de que a média das diferenças é igual a zero. Os graus

de liberdade são o número de unidades amostrais menos um e a estatística utilizada

para testar a hipótese de que não existe diferença entre as condições antes e

depois, é:

ns

d

ns

d

dd //

0 =−=λ (5.7)

Se 2/,12/,1 ou αα λλ −− −<> nn tt , rejeita-se a hipótese nula, ou seja, existe

diferença significativa entre as condições antes e depois. Se 2/,12/,1 αα λ −− ≤≤− nn tt ,

não se rejeita a hipótese nula, ou seja, a amostra não fornece evidência estatística

de diferença entre as condições antes e depois.

Em Estatística, e especificamente no campo dos testes de hipóteses, o valor

P, ou também valor-p ou ainda P-valor, é a probabilidade de que a amostra podia ter

sido tirada de uma população sendo testada, supondo que a hipótese nula seja

verdadeira. Um valor de 0,05, por exemplo, indica que existe uma probabilidade de

5% de que a amostra que está a testar possa ser tirada, supondo que a hipótese

nula é verdadeira. Valor P próximo de 0 é um indicador de que a hipótese nula é

falsa. Com o valor P próximo de 1 não há evidência suficiente para rejeitar a

hipótese nula. Normalmente, considera-se um valor P de 0,05 como o patamar para

avaliar a hipótese nula. Se o valor P for inferior a 0,05 pode-se rejeitar a hipótese

nula. Em caso contrário, não se tem evidência que permita rejeitar a hipótese nula (o

que não significa automaticamente que seja verdadeira). Em situações de maior

exigência é usado um valor P inferior a 0,05.

Em Estatística, um resultado é significante, se for improvável que tenha

ocorrido por acaso, caso uma determinada hipótese nula seja verdadeira, mas não

sendo improvável caso a hipótese base seja falsa. Mais concretamente, no teste de

hipóteses com base em frequência estatística, a significância de um teste é a

probabilidade máxima de rejeitar acidentalmente uma hipótese nula verdadeira (uma

decisão conhecida como erro de tipo I). O nível de significância de um resultado é

também chamado de α e não deve ser confundido com o valor P (p-value), que é

igual a 1 − β e é chamado “poder do teste”. Por exemplo, pode-se escolher um nível

de significância de 5%, e calcular um valor crítico de um parâmetro (por exemplo, a

182

média), de modo que a probabilidade de ela exceder esse valor, dada a verdade da

hipótese nula, ser 5%. Se o valor estatístico calculado (ou seja, o nível de 5% de

significância anteriormente escolhido) exceder o valor crítico, então é significante "ao

nível de 5%".

Se o nível de significância (ex: 5% anteriormente dado) é menor, o valor é

menos provavelmente um extremo em relação ao valor crítico. Deste modo, um

resultado que é "significante ao nível de 1%" é mais significante do que um resultado

que é significante "ao nível de 5%". No entanto, um teste ao nível de 1% é mais

susceptível de padecer do erro de tipo II do que um teste de 5% e, por isso, terá

menos poder estatístico. Ao divisar um teste de hipóteses, o técnico deverá tentar

maximizar o poder de uma dada significância, mas, ultimamente, tem de reconhecer

que o melhor resultado que se pode obter é um compromisso entre significância e

poder, em outras palavras, entre os erros de tipo I e tipo II.

Na tese, vai-se usar a comparação de duas médias com dados

emparelhados. A ideia é comparar duas equações do cálculo de fase diferentes

através da comparação do erro médio – Equação (5.2) – de vários conjuntos de 16

imagens de Franjas de Moiré tiradas de objetos com as dimensões conhecidas. O

uso de dados emparelhados se deve ao fato das mesmas imagens serem usadas

em ambas as equações do cálculo de fase e, por este tipo de teste, exigir uma

quantidade de amostra menor.

A média teórica das diferenças dos erros médios dos diversos conjuntos de

16 imagens, µd, representa o ganho de precisão de uma equação de cálculo em

relação à outra. Está interessado em saber se µd é ou não igual a zero? Essa

decisão é tomada através do teste das hipóteses H0:µd=0 versus H1:µd≠0. A hipótese

nula H0 deve ser rejeitada para um nível de significância α=5%. Ou seja, se o valor P

for menor que 5%, deve-se rejeitar a hipótese na qual H0:µd=0 ou H0:µ1=µ2. Com

isso, conclui-se que uma equação do cálculo de fase é melhor ou mais precisa que a

outra. Se o valor P for maior ou igual a 5%, deve-se aceitar a hipótese na qual

H0:µd=0 ou H0:µ1=µ2. Com isso, conclui-se que as duas equações de cálculo têm a

mesma precisão ou o mesmo erro médio na aplicação da Técnica de Moiré.

Como alternativa, sob a suposição de simetria da distribuição dos dados,

pode-se utilizar o teste não paramétrico conhecido na literatura como teste de

Wilcoxon. Na ausência da suposição de normalidade, e assumindo que os dados

183

são provenientes de uma distribuição simétrica, uma alternativa ao Teste T-Student

é o Teste de Wilcoxon. Em problemas reais, quando não é razoável supor que os

dados são provenientes de uma distribuição simétrica ou normal, pode-se recorrer

ao Teste do Sinal como alternativa aos Testes T-Student e Wilcoxon. Vale lembrar

que, na prática, em geral, é mais fácil garantir a simetria do que a normalidade, o

que torna o teste de Wilcoxon uma boa alternativa não paramétrica ao Teste T-

Student. Nesta pesquisa, como se trata de comparação de médias de medidas

métricas, a suposição de normalidade parece bem razoável e, por isso, optou-se

pelo Teste T-Student.

5.5 Experiências com cilindros sólidos

Para testar as novas equações do cálculo de fase, foram realizados 21

conjuntos com 16 fotografias de Franjas de Moiré com defasagens arbitrárias, mas

constantes no deslocamento de fase. O objeto usado era um semi-cilindro metálico

pintado de branco com 12 centímetros de comprimento e 6 centímetros de diâmetro.

Foram tiradas fotografias de um megapixel (Figura 32). Utilizou uma resolução de

1.228.800 pixéis (1280x960), uma vez que se vai fazer um estudo comparativo e

com isso se obteve um tempo de processamento bem menor com menos memória

utilizada.

Para cada conjunto de 16 imagens, aplicou-se o programa em MatLab® para

se medir o perfil do objeto. Quanto se roda o programa implementando uma

equação que utiliza 4 imagens, as primeiras quatro imagens de cada conjunto são

usadas. Quando se executa o programa implementando uma equação que utiliza 5

imagens, as primeiras cinco imagens (as 4 anteriores e mais uma) de cada conjunto

são usadas, e assim por diante até as equações que utilizam as 16 imagens do

conjunto.

Para cada conjunto de imagem, toda a montagem era novamente preparada,

com ajustes mecânicos e um novo processo de medição era executado. Com isso,

era zerado o micrômetro e um novo passo com deslocamento de fase era escolhido.

Em seguida, era novamente acertada a verticalidade do retículo e realizadas novas

184

medidas da distância entre a fonte de luz e a câmera fotográfica, e da distância

perpendicular entre a câmera e o retículo.

A montagem atrás do retículo permanecia intacta, para que não se alterasse o

objeto medido, e para que se pudessem usar os mesmos dados de referência das

dimensões medidas mecanicamente com um paquímetro, e interpolada nas

posições de cada pixel da imagem do objeto nos 21 conjuntos de 16 frames

analisados.

Especial cuidado foi tomado no deslocamento de fase, de modo a tornar

constante o passo de fase entre as 16 imagens de um conjunto. O passo ser

constante é de fundamental importância e garante a correta aplicação da Técnica

Moiré de Sombra com a generalização do Algoritmo de Carré. Deve-se lembrar que

o deslocamento de fase pode ser aleatório, mas uma vez definido seu valor, deve

ser constante nas 16 imagens, não devendo variar entre as fotografias tiradas. Daí a

importância do equipamento desenvolvido com o micrômetro que possibilita uma

ótima precisão nesse processo. Sugere-se que, em futuros trabalhos, este

deslocamento de fase seja realizado eletronicamente em vez de mecanicamente,

como nesta pesquisa.

185

A

B

C

D

E

F

G

H

I

J

K

L

M

N

O

P

Q

R

S

Figura 32 – Um conjunto com 16 fotografias de Franjas de Moiré de um megapixel. [A-P]. Fase empacotado[Q]. Fotografia do cilindro real de branco [R]. Resultado em 3-D [S]. (Semi-cilindro com diâmetro de 6 cm e comprimento de 12 cm). Fonte: Resultados da pesquisa.

186

TABELA 12

Erro médio em µm dos 21 conjuntos de imagens aplicadas às equações selecionadas.

Númer

o de

Imagen

s

4 a 1006 1011 1018 1028 1014 1017 1015 1006 1010 1004 1008 1010 1033 1006 1033 1001 1015 1003 1031 1026 10225 a 969 978 967 976 998 999 972 989 990 981 981 994 999 986 994 999 984 994 995 982 999

a 950 961 946 939 963 948 949 955 949 953 955 961 965 940 937 939 943 949 962 940 946b 942 955 959 937 938 945 962 959 966 946 962 951 957 949 952 939 961 962 936 940 938c 962 958 962 964 946 964 938 964 949 941 964 952 960 963 943 939 949 956 946 938 963d 941 942 967 946 959 953 959 936 935 940 943 941 961 951 956 942 939 957 953 951 938e 949 966 939 936 936 962 966 963 948 940 964 935 943 942 952 956 937 944 953 937 956a 910 931 905 902 914 909 923 918 910 904 918 933 924 919 913 930 926 932 913 932 916b 912 912 924 910 925 924 919 914 922 921 913 900 928 915 921 926 926 920 909 905 919c 926 910 926 912 922 905 921 913 911 910 919 902 912 915 926 907 908 904 906 920 912d 916 922 917 910 925 932 904 923 906 912 912 922 925 914 929 932 905 904 909 903 921a 867 870 882 895 895 871 875 885 883 877 878 887 887 884 880 878 899 892 895 883 890b 877 872 898 900 871 873 900 887 898 870 898 892 867 887 898 889 877 897 890 869 898c 878 871 888 872 876 882 883 885 870 886 894 868 891 874 871 887 878 878 893 896 898d 881 880 892 882 882 886 899 867 875 892 884 878 873 886 869 894 882 893 873 871 883a 846 842 841 841 848 834 837 854 852 847 864 863 858 860 862 866 838 847 851 857 856b 860 851 850 844 834 863 857 847 834 847 853 862 865 850 843 838 852 850 848 840 849c 862 854 852 858 856 852 838 834 857 855 862 837 852 833 837 857 848 834 863 837 841a 814 833 832 817 807 802 816 820 832 806 825 812 830 827 819 816 805 831 825 823 802b 824 828 805 823 808 816 811 803 805 826 821 821 805 827 815 813 800 809 818 821 832c 803 812 823 815 828 821 812 820 811 829 828 801 815 810 822 815 819 801 818 828 833a 782 777 790 781 781 772 780 782 776 794 799 788 793 795 793 783 788 778 783 780 785b 783 795 775 797 788 793 773 768 780 768 785 771 776 789 800 787 771 795 782 782 783c 776 775 790 768 790 776 771 792 791 792 793 785 774 774 797 781 772 781 772 799 799a 742 763 737 766 745 764 760 749 734 744 758 747 753 747 749 751 754 754 748 748 739b 754 740 742 740 753 741 748 755 741 740 750 744 750 745 758 734 763 748 763 760 744a 716 729 708 708 714 710 727 702 703 726 730 719 704 729 731 715 727 731 731 711 720b 731 724 718 718 711 731 710 712 702 702 711 714 724 722 705 722 731 732 704 728 731a 668 696 673 698 693 695 683 681 677 672 671 672 687 691 672 681 688 695 677 669 686b 691 673 686 696 696 669 676 691 681 679 682 696 690 688 695 670 671 674 692 674 672

15 a 667 656 661 659 679 683 669 666 681 657 659 677 683 654 657 676 665 671 653 660 67216 a 623 623 637 630 629 621 629 621 649 647 617 649 640 617 642 631 626 649 633 627 641

14

Erro Médio em µm

6

7

8

9

Fórmulas

6 7 209

12

13

15 17

10

11

Conjunto de Imagens

1 2 3 4 5 18 198 16 2110 11 12 13 14

Fonte: Dados da pesquisa.

Uma vez realizadas às medições, estas são comparadas com a referência

que representa as medidas corretas do cilindro, usando-se a Equação 5.2 para se

calcular o erro médio, por meio de cada uma das novas equações de cálculo

selecionadas para o teste, como mostrado na Tabela 12. O passo seguinte é

calcular o valor P dos 21 conjuntos, comparando entre si cada par de diferentes

equações selecionadas e mostradas na Tabela 13.

187

TABELA 13

Valor P das comparações dos erros médios das equações aplicadas.

a a a b c d e a b c d a b c d a b c a b c a b c a b a b a b a

4 a

5 a 0%

a 0% 0%

b 0% 0% 92%

c 0% 0% 23% 30%

d 0% 0% 49% 47% 10%

e 0% 0% 68% 62% 14% 83%

a 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0%

b 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 75%

c 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 16% 11%

d 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 55% 70% 31%

a 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0%

b 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 41%

c 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 57% 25%

d 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 61% 18% 99%

a 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0%

b 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 66%

c 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 53% 80%

a 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0%

b 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 38%

c 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 69% 59%

a 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0%

b 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 53%

c 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 57% 89%

a 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0%

b 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 47%

a 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0%

b 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 90%

a 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0%

b 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 74%

15 a 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0%

16 a 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0%

14

Valor P

6

7

8

9

10

Número de

Imagens e

Fórmulas de Cálculo de Fase

10 11

11

12

12

13

13 14 15

Número de Imagens e Fórmulas de Cálculo de Fase

4 5 6 7 8 9

Fonte: Dados da pesquisa.

É interessante notar, na Tabela 13, que o valor P, quando comparado a

equações com número de imagens diferentes, é 0%, o que faz rejeitar-se a hipótese

nula de que as médias dos erros são iguais. Com isso, conclui-se que as equações

que utilizam mais imagens produzem um erro menor. Quando se compara equações

com o mesmo número de imagens, o valor de P é maior que 5%, o que faz com que

se deixe de rejeitar a hipótese nula de que as médias dos erros são iguais. Com

isso, concluí-se que as equações que utilizam o mesmo número de imagens têm

precisão semelhante.

188

5.6 Experiências com esferas sólidas de metal

Novamente, para testar as novas equações do cálculo de fase, foram feitos

19 conjuntos com 16 fotografias de Franjas de Moiré com defasagens arbitrárias,

mas constantes no deslocamento de fase. O objeto usado foi uma semi-esfera

metálica pintada de branco com 6 centímetros de diâmetro (Figura 33). Foram

tiradas fotografias de 1.228.800 pixéis (1280x960). Apesar de se ter uma máquina

fotográfica com resolução de cinco megapixéis, utilizou-se uma resolução menor nas

imagens, uma vez que se vai fazer apenas um estudo estatístico comparativo e com

isso se obteve um tempo de processamento bem menor e sem gastar muito

memória do computador.

Um detalhe importante é o sistema de coordenadas cartesianas em três

dimensões (destro) usadas na tese. Neste sistema de coordenadas o eixo Z é

perpendicular ao retículo e serve para medir o perfil dos objetos, o eixo Y é paralelo

as linhas verticais (pretas) do retículo com o retículo desenhado e o eixo X é

horizontal no retículo com o retículo desenhado, perpendicular as linhas verticais. A

origem do sistema de coordenadas é um ponto no canto inferior esquerdo do retículo

onde se inicia as linhas verticais, o plano XY é o plano que contém o retículo e o

eixo Z fura perpendicularmente este plano em direção ao objeto a ser medido. As

fotografias na posição do retículo com linhas paralelas verticais tiradas apresentam

os pixéis em duas dimensões, a horizontal (X) e a vertical (Y) com a origem (pixel na

posição x=0 e y=0) no canto inferior esquerdo. Esta convenção é utilizada em todo

este trabalho de pesquisa.

189

A

B

C

D

E

F

G

H

I

J

K

L

M

N

O

P

Q

R

S

Figura 33 - Um conjunto com 16 fotografias de Franjas de Moiré de um megapixel. [A-P]. Fase empacotado[Q]. Globo usado como objeto a ser medido [R]. Resultado em 3-D [S]. (Metade de uma esfera com diâmetro de 6 cm). Fonte: Resultados da pesquisa.

190

TABELA 14

Erro médio em µm dos 19 conjuntos de imagens aplicadas às equações selecionadas.

Númer

o de

Imagen

s

4 a 757 756 778 770 765 773 758 763 772 760 758 769 756 764 757 768 763 765 7735 a 726 742 731 729 754 732 742 730 742 754 737 751 727 727 747 750 740 726 750

a 728 714 716 715 715 701 707 716 707 708 715 724 706 721 728 718 726 714 727b 707 729 701 728 709 705 723 729 724 718 730 712 713 714 705 723 727 709 701c 712 703 710 726 705 724 704 701 716 729 707 704 721 703 717 729 708 705 717d 706 725 729 713 713 712 725 724 731 710 712 731 715 701 711 728 701 717 726e 726 729 711 726 724 725 706 731 712 709 722 709 715 726 712 706 704 708 707a 681 692 702 686 686 684 696 685 704 693 691 705 698 682 690 681 698 683 705b 679 699 689 699 685 691 696 689 687 705 677 685 684 698 691 687 680 700 704c 706 699 679 701 693 702 693 683 688 678 693 698 690 695 705 689 683 681 683d 686 690 701 696 679 688 692 679 705 680 696 695 690 680 691 693 697 680 686a 670 666 660 674 665 672 669 676 681 653 666 669 661 679 668 652 675 674 660b 679 673 666 669 666 674 670 677 676 660 657 675 669 653 664 668 655 658 653c 680 662 671 672 651 669 660 658 668 659 672 678 670 663 679 669 652 666 651d 665 661 666 659 681 668 660 661 676 664 668 655 680 668 673 665 658 659 656a 655 640 631 655 631 628 633 632 655 646 651 628 629 643 652 650 635 626 647b 655 646 628 642 628 646 634 654 644 640 646 639 654 628 631 628 638 641 639c 625 645 637 642 642 639 653 647 635 654 651 655 640 646 632 645 646 654 642a 612 608 623 604 627 605 627 607 623 618 620 630 618 609 611 629 602 613 615b 613 615 605 628 626 609 609 626 622 612 611 618 606 615 630 614 620 619 606c 611 608 627 629 627 617 622 612 602 627 627 615 601 627 627 607 625 613 604a 583 585 582 580 592 580 599 585 575 590 590 590 576 578 584 604 580 605 596b 597 586 588 596 576 590 588 586 593 588 605 584 586 579 597 587 579 590 583c 599 590 587 604 603 586 578 584 583 583 582 596 603 599 602 590 586 590 605a 551 575 581 555 577 562 579 575 571 572 578 579 568 556 574 575 577 561 566b 573 572 564 569 553 551 560 570 558 569 551 579 578 581 558 568 559 577 555a 534 533 539 546 550 531 550 534 529 546 528 529 542 555 552 546 531 540 549b 534 534 546 532 539 542 544 536 544 556 549 536 533 553 549 552 529 548 528a 522 507 501 529 524 511 524 515 521 525 506 507 525 503 514 514 521 503 527b 529 518 504 516 531 512 521 517 527 501 500 503 510 502 504 511 509 517 526

15 a 505 494 506 518 506 501 500 512 505 513 489 515 491 498 508 516 496 493 50716 a 487 490 480 488 473 489 487 467 477 493 489 470 466 471 478 492 477 488 473

14

Erro Médio em µm

6

7

8

9

Fórmulas

9

12

13

15 17

10

11

4 5 18 198 166 7

Conjunto de Imagens

10 11 12 13 141 2 3

Fonte: Dados da pesquisa.

Uma vez realizadas às medições, estas são comparadas com a referência

que representa as medidas corretas da metade da esfera, usando-se a Equação 5.2

para se calcular o erro médio, por meio de cada uma das novas equações de cálculo

selecionadas para o teste, como mostrado na Tabela 14. O passo seguinte é

calcular o valor P dos 19 conjuntos, comparando entre si cada par de diferentes

equações selecionadas e mostradas na Tabela 15.

191

TABELA 15

Valor P das comparações dos erros médios das equações aplicadas na esfera.

a a a b c d e a b c d a b c d a b c a b c a b c a b a b a b a

4 a

5 a 0%

a 0% 0%

b 0% 0% 96%

c 0% 0% 29% 30%

d 0% 0% 68% 72% 16%

e 0% 0% 98% 98% 31% 73%

a 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0%

b 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 72%

c 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 95% 80%

d 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 25% 73% 47%

a 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0%

b 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 55%

c 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 44% 76%

d 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 37% 72% 93%

a 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0%

b 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 95%

c 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 36% 24%

a 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0%

b 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 96%

c 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 66% 60%

a 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0%

b 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 62%

c 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 12% 20%

a 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0%

b 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 21%

a 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0%

b 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 64%

a 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0%

b 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 34%

15 a 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0%

16 a 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0%

14

Valor P

6

7

8

9

10

Número de

Imagens e

Fórmulas de Cálculo de Fase

10 11

11

12

12

13

13 14 15

Número de Imagens e Fórmulas de Cálculo de Fase

4 5 6 7 8 9

Fonte: Dados da pesquisa.

É interessante notar que, na Tabela 15, o valor P, quando comparado a

equações com número de imagens diferentes, é 0%, o que faz rejeitar a hipótese

nula de que as médias dos erros são iguais. Com isso, conclui-se que as equações

que utilizam mais imagens produzem um erro menor. Quando se compara equações

com o mesmo número de imagens, o valor de P é maior que 5%, o que faz com que

se deixe de rejeitar a hipótese nula de que as médias dos erros são iguais. Com

isso, concluí-se que as equações que utilizam o mesmo número de imagens têm

precisão semelhante.

192

5.7 Experiências com blocos padrão em aço

Após a montagem dos equipamentos para os experimentos e a calibração de

todo o sistema de medição, os seguintes procedimentos são seguidos:

1. Tiram-se vários conjuntos com 16 fotografias de Moiré cada um. Para

cada conjunto alteram-se o ângulo do deslocamento de fase (δ), a

distância entre a fonte de luz e o observador (d) e a distância entre o

observador e o retículo de referência (h). Obtém-se assim para cada

conjunto 16 arquivos bitmaps de imagens (.bmp) para cada conjunto.

2. Para cada conjunto de 16 fotografias calcula-se o perfil do objeto

usando o programa em MatLab® que implementa a Técnica de Moiré

alterando as equações do cálculo de fase (4a, 5a, 6a, 6b, 6c, 6d, 6e,

7a, 7b, 7c, 7d, 8a, 8b, 8c, 8d, 9a, 9b, 9c, 10a, 10b, 10c, 11a, 11b, 11c,

12a, 12b, 13a, 13b, 14a, 14b, 15a, 16a). Usando a resolução gráfica da

fotografia e as dimensões do retículo o programa gera para cada

conjunto de 16 fotografias e cada equação de calculo de fase testada

uma arquivo texto com os resultados das medições [x y z] para cada

pixel.

3. Usando uma pequena rotina em Linguagem Delphi/Pascal, prepara-

se um arquivo texto com as dimensões que se acredita correta e exata

com as coordenadas de referência [x y z] (em cada ponto dos pixéis

das imagens) do objeto medido fisicamente com paquímetros.

4. Outra rotina em Linguagem Dephi/Pascal implementa a Equação 5.2

que calcula o erro médio em milímetros usando os arquivos textos

gerados nos itens 2 e 3 para cada conjunto de 16 fotografias e cada

equação do cálculo de fase testada. Obtém-se uma tabela do conjunto

de imagens versus equação de cálculo testada dos erros médios (mm).

5. Calcula-se o valor “P” aplicando o teste de comparação de médias

emparelhadas “t-Sdudent” usando o Microsoft Excel® e comparando o

erro médio obtido no item 4 entre duas equações do cálculo de fase

qualquer. Obtém-se uma tabela de equação de cálculo testada versus

outra equação de cálculo dos valores “P” do teste estatístico.

193

Para testar as novas equações de cálculo de Franjas de Moiré com

defasagens arbitrárias, mas constantes no deslocamento de fase. O objeto usado foi

um bloco padrão de aço para calibração de micrômetros pintado de branco e

inclinado sobre outro bloco com um centímetro de altura. Foram tiradas fotografias

de 3.145.728 pixéis (2048x1536). Esta montagem foi criada para ser o mais precisa

possível e bem fácil de medir mecanicamente. Este tipo de montagem é também

ideal para a calibração do sistema de medição da Técnica de Moiré (medição de um

plano inclinado) e evitar os erros sistemáticos nos experimentos científicos. A Figura

34 ilustra a montagem e a Figura 35 as fotografias de entrada com filtros:

Figura 34 – Exemplo da montagem para calibração (planos inclinados) e de blocos padrões utilizada. Fonte: Resultados da pesquisa.

194

Com esta montagem, conseguiram-se as melhores precisões e os menores

erros. Foram utilizados, nesses experimentos, os blocos padrão do Laboratório de

Medidas e Metrologia da Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais.

A

B

C

D

E

F

G

H

I

J

K

L

M

N

O

P

Q

R

Figura 35 – Um conjunto com 16 fotografias de Franjas de Moiré de três megapixéis. [A-P]. Fase empacotado[Q]. Resultado em 3-D [R]. (Bloco Padrão inclinado com altura de 1 cm).

Medição de um plano inclinado para a calibração do sistema experimental. Fonte: Resultados da pesquisa.

195

TABELA 16

Erro médio em µm dos 25 conjuntos de imagens aplicadas às equações selecionadas.

Númer

o de

Imagen

s

4 a 107 110 109 107 110 108 108 108 111 109 108 110 108 110 109 109 109 109 110 110 109 110 108 108 1105 a 105 107 105 105 107 105 104 106 104 106 107 104 105 104 107 107 104 104 106 106 105 104 107 107 105

a 102 101 102 101 103 103 104 103 101 100 104 101 102 100 101 101 102 102 101 100 104 101 101 101 103b 103 101 102 101 103 101 104 103 102 102 103 103 101 102 100 101 102 100 102 102 100 101 103 103 103c 101 100 101 102 103 102 102 101 100 102 103 101 103 100 103 103 102 101 101 103 101 103 101 101 103d 100 102 100 103 103 100 100 101 101 103 102 101 102 103 101 101 101 101 103 102 101 101 101 103 103e 101 103 103 101 100 101 103 101 103 101 102 101 102 101 103 102 100 102 100 100 101 102 103 100 102a 99 97 98 100 100 100 100 97 97 99 99 98 99 98 97 98 97 97 97 98 98 99 99 99 99b 99 99 97 98 97 100 100 98 99 99 97 99 97 98 97 98 100 98 98 97 98 99 97 98 98c 100 97 97 100 98 99 99 98 100 97 98 100 97 96 98 99 99 98 99 99 98 99 99 98 99d 98 99 98 97 97 97 97 98 100 96 97 97 99 99 100 97 97 96 99 98 97 99 99 98 99a 96 94 96 94 95 96 95 95 95 93 95 95 96 93 95 95 93 94 94 94 96 96 95 96 95b 96 96 95 94 96 93 96 96 94 96 95 96 94 95 96 96 94 94 95 94 93 94 94 95 95c 96 95 96 94 96 96 95 94 94 94 96 95 95 95 96 95 93 93 94 95 95 93 95 94 96d 96 96 95 95 95 93 96 93 96 96 95 94 94 95 93 96 93 95 93 96 95 94 94 94 96a 92 92 91 90 90 91 92 90 90 90 90 91 93 90 92 92 90 92 90 92 93 90 91 91 90b 91 92 90 90 92 92 89 91 91 93 92 91 90 92 90 91 91 90 93 92 93 91 93 92 92c 91 93 93 90 93 89 92 91 92 90 91 92 92 93 90 90 91 92 92 90 90 92 92 92 90a 87 87 87 88 87 87 87 89 87 87 87 87 89 87 88 89 89 87 86 87 86 89 88 86 88b 88 86 86 87 88 88 88 87 88 88 88 88 89 87 89 88 89 87 87 86 89 87 87 89 89c 86 88 87 89 87 88 87 89 86 86 87 86 87 86 86 88 87 88 87 88 88 87 89 86 86a 84 82 83 82 85 84 83 85 84 83 84 85 84 84 85 84 83 83 84 85 83 82 85 83 85b 83 83 83 84 84 83 85 82 85 85 84 83 83 83 86 84 86 85 85 85 83 83 85 83 85c 85 83 86 84 83 85 84 85 86 82 84 85 85 82 84 82 84 82 85 86 84 85 84 84 82a 81 82 80 82 80 79 81 79 81 82 80 79 80 81 80 82 79 82 82 79 79 82 80 80 80b 80 79 79 79 81 82 80 82 82 80 81 81 81 80 81 79 81 82 80 81 79 82 79 80 79a 77 77 76 78 76 76 75 77 77 79 77 77 77 75 77 78 78 75 77 77 77 77 76 75 78b 77 77 78 78 75 77 75 78 78 76 78 76 77 76 76 77 76 77 77 77 78 77 76 76 77a 73 74 74 74 72 73 74 75 72 72 73 74 74 75 72 72 72 73 72 75 74 73 74 73 73b 73 72 75 73 73 73 74 73 75 74 73 75 73 73 75 73 73 75 73 72 73 74 74 73 74

15 a 73 73 72 71 72 70 70 72 72 72 71 73 73 71 71 71 72 71 70 71 70 73 72 71 7016 a 67 68 69 68 67 67 69 67 67 66 66 68 67 68 68 69 69 67 67 69 68 68 67 68 68

14

Erro Médio em µm

6

7

8

9

Fórmulas

209

12

13

15 17

10

11

18 198 166 7 141 2 3 4 5 22 23 24 25

Conjunto de Imagens

2110 11 12 13

Fonte: Dados da pesquisa.

Uma vez realizadas às medições, estas são comparadas com a referência

que representa as medidas corretas dos blocos inclinados, usando-se a Equação 5.2

para se calcular o erro médio, por meio de cada uma das novas equações de cálculo

selecionadas para o teste, como mostrado na Tabela 16. O passo seguinte é

calcular o valor P dos 25 conjuntos, comparando entre si cada par de diferentes

equações selecionadas e mostradas na Tabela 17.

196

TABELA 17

Valor P das comparações dos erros médios das equações aplicadas no plano inclinado.

a a a b c d e a b c d a b c d a b c a b c a b c a b a b a b a

4 a

5 a 0%

a 0% 0%

b 0% 0% 75%

c 0% 0% 57% 45%

d 0% 0% 31% 15% 43%

e 0% 0% 36% 31% 70% 79%

a 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0%

b 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 84%

c 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 65% 44%

d 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 55% 66% 26%

a 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0%

b 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 79%

c 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 75% 53%

d 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 73% 50% 87%

a 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0%

b 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 24%

c 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 39% 66%

a 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0%

b 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 26%

c 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 36% 11%

a 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0%

b 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 54%

c 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 25% 60%

a 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0%

b 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 88%

a 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0%

b 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 92%

a 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0%

b 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 54%

15 a 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0%

16 a 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0%

14

Valor P

6

7

8

9

10

Número de

Imagens e

Fórmulas de Cálculo de Fase

10 11

11

12

12

13

13 14 15

Número de Imagens e Fórmulas de Cálculo de Fase

4 5 6 7 8 9

Fonte: Dados da pesquisa.

É interessante notar que, na Tabela 17, o valor P, quando comparado a

equações com número de imagens diferentes, é 0%, e isso faz rejeitar a hipótese

nula de que as médias dos erros são iguais. Com isso, conclui-se que as equações

que utilizam mais imagens produzem um erro menor. Quando se compara equações

com o mesmo número de imagens, o valor de P é maior que 5%, e isso faz com que

se deixe de rejeitar a hipótese nula de que as médias dos erros são iguais. Com

isso, concluí-se que as equações que utilizam o mesmo número de imagens têm

precisão semelhante.

197

5.8 Experiências com seios de manequim

Novamente, para testar as novas equações do cálculo de fase, foram feitos

12 conjuntos com 16 fotografias de Franjas de Moiré com defasagens arbitrárias,

mas constantes no deslocamento de fase. O objeto usado foi os seios de um

manequim pintados de branco (Figura 36). Foram tiradas fotografias de 307.200

pixéis (640x480). Novamente, utilizou-se uma resolução menor nas imagens, uma

vez que se vai fazer apenas um estudo comparativo e com isso se obteve um tempo

de processamento bem menor e sem gastar muito memória do computador.

A determinação dos valores de referência foi obtida através de 49 medições

realizadas por um paquímetro, em uma área de 36(6x6) centímetros quadrados com

espaçamentos iguais de 1 cm, na região dos seios do manequim. Inicialmente, foram

feitas 7 medidas em linha reta na horizontal espaçadas por um centímetro. Em

seguida, desceu-se um centímetro na vertical e fez-se mais 7 medidas em linha

horizontal espaçadas por um centímetro. A seguir, desceu-se mais um centímetro e

assim por diante. Ao final, tinha-se 49 profundidades medidas entre os seios do

manequim e o retículo. Os valores intermediários foram calculados usando

interpolação polinomial bidimensional por Lagrange.

Para se eliminar o erro sistemático do sistema de medição, a calibração do

sistema foi realizada pela medição de um plano inclinado (blocos padrão de aço). O

sistema se mostrou capaz de avaliar superfícies com geometria e refletância

variáveis. Verifica-se a calibração com a medição do plano inclinado encontrando um

erro relativo médio de medição menor que 1% (Equação 2.9). Para que se tornasse

possível a calibração do sistema proposto e a avaliação de possíveis incertezas nos

dados de medição obtidos devido a distorções óticas e geométricas, foram utilizadas

várias inclinações da superfície plana para a avaliação do sistema de medição.

198

A)

B)

C)

De 1 em 1 cm.

D)

E)

F)

G)

H) I)

Figura 36 – Em [A], manequim pintado de branco fotografado. Em [B], Franjas de Moiré nos seios do manequim. Em [C], malha usada para fazer as medidas físicas com paquímetro das profundidades dos seios. Em [D-G], 4 fotografias de Franjas de Moiré defasadas dos seios. Em [H], comparação entre a fotografia e as medidas. Em [I], reconstrução em 3-D das medidas. Fonte: Resultados da pesquisa.

199

TABELA 18

Erro médio em µm dos 12 conjuntos de imagens aplicadas às equações selecionadas.

Número de

Imagens

4 a 1016 1018 1033 1017 1020 1005 1002 1000 1007 1008 1018 10185 a 993 982 971 998 976 973 971 999 992 974 991 987

a 953 933 964 942 966 960 940 956 951 949 935 950b 934 953 952 952 935 964 935 951 960 962 951 949c 944 939 952 936 960 946 957 940 946 960 937 956d 937 953 954 946 962 945 960 939 962 941 951 938e 956 946 937 939 959 949 945 936 959 962 945 940a 910 920 915 923 913 904 932 911 928 906 910 933b 906 907 921 901 905 911 933 929 930 915 929 913c 901 913 926 909 914 909 929 912 904 907 917 932d 931 927 919 921 926 900 920 918 914 917 914 924a 870 887 880 885 877 887 878 895 883 885 894 885b 868 892 878 896 894 887 875 872 885 867 881 873c 888 869 890 893 883 891 895 875 880 879 889 883d 874 871 898 879 884 872 872 899 898 869 899 872a 851 865 841 846 851 866 866 841 836 865 846 855b 835 845 849 837 852 863 846 849 848 841 864 865c 847 850 863 867 851 844 835 858 861 843 837 847a 828 816 819 827 807 815 823 816 823 822 801 806b 824 808 811 804 825 809 824 832 820 825 819 805c 825 808 809 823 811 827 811 832 829 811 825 816a 798 788 798 783 769 769 772 783 783 786 771 798b 782 799 796 781 780 771 769 779 784 790 769 778c 774 771 795 794 793 799 775 795 778 793 791 772a 742 740 767 744 765 755 752 749 763 760 735 735b 756 766 750 748 748 765 735 748 766 755 747 737a 701 707 723 731 716 721 708 711 724 732 718 708b 722 713 709 704 726 721 701 708 720 702 716 733a 672 669 688 695 697 670 692 686 685 675 691 677b 680 669 683 668 674 698 669 684 667 672 669 690

15 a 654 663 677 673 660 677 657 669 665 669 668 67416 a 619 643 626 638 628 633 630 637 622 634 644 645

Conjunto de Imagens

10 11 121 2 3 86 7 9

12

13

10

11

4 5

14

Erro Médio em µm

6

7

8

9

Fórmulas

Fonte: Dados da pesquisa.

Uma vez realizadas às medições, estas são comparadas com a referência

que representa as medidas corretas dos seios do manequim, usando-se a Equação

5.2 para calcular o erro médio, por meio de cada uma das novas equações de

cálculo selecionadas para o teste, como mostrado na Tabela 18. O passo seguinte é

calcular o valor P dos 12 conjuntos, comparando entre si cada par de diferentes

equações selecionadas e mostradas na Tabela 19.

200

TABELA 19

Valor P das comparações dos erros médios das equações aplicadas aos seios

a a a b c d e a b c d a b c d a b c a b c a b c a b a b a b a

4 a

5 a 0%

a 0% 0%

b 0% 0% 96%

c 0% 0% 47% 65%

d 0% 0% 83% 88% 70%

e 0% 0% 56% 62% 99% 69%

a 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0%

b 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 92%

c 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 34% 52%

d 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 51% 60% 19%

a 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0%

b 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 37%

c 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 82% 31%

d 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 67% 72% 61%

a 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0%

b 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 47%

c 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 70% 85%

a 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0%

b 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 95%

c 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 60% 64%

a 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0%

b 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 51%

c 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 66% 37%

a 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0%

b 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 78%

a 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0%

b 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 66%

a 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0%

b 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 23%

15 a 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0%

16 a 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0%

13 14 15

Número de Imagens e Fórmulas de Cálculo de Fase

4 5 6 7 8 9 10 11

11

12

12

13

14

Valor P

6

7

8

9

10

Número de

Imagens e

Fórmulas de Cálculo de Fase

Fonte: Dados da pesquisa.

É interessante notar que, na Tabela 19, o valor P, quando se compara

equações com número de imagens diferentes, é 0%, o que faz rejeitar a hipótese

nula de que as médias dos erros são iguais. Com isso, conclui-se que as equações

que utilizam mais imagens produzem um erro menor. Quando se compara equações

com o mesmo número de imagens, o valor de P é maior que 5%, o que faz com que

se deixe de rejeitar a hipótese nula de que as médias dos erros são iguais. Com

isso, concluí-se que as equações que utilizam o mesmo número de imagens têm

precisão semelhante.

201

5.9 Experiências com costas de manequim

Novamente, para testar as novas equações do cálculo de fase, foram feitos

12 conjuntos com 16 fotografias de Franjas de Moiré com defasagens arbitrárias,

mas constantes na fase. O objeto usado foi às costas de um manequim pintado de

branco (Figura 37). Foram tiradas fotografias de 1.228.800 pixéis (1280x960).

A determinação dos valores de referência foi obtida por meio de 49 medições

realizadas por um paquímetro em uma área de 324(18x18) centímetros quadrados,

com espaçamentos iguais de 3 centímetros, na região das costas do manequim.

Inicialmente, foram medidos 7 valores em linha reta na horizontal espaçados por três

centímetros. Em seguida, desceram-se três centímetros na vertical, e fez-se mais 7

medidas em linha horizontal espaçadas por três centímetros. Novamente, desceram-

se mais três centímetros, e assim por diante. Ao final, tinha-se 49 profundidades

medidas entre as costas do manequim e o retículo. Os valores intermediários foram

calculados, usando-se interpolação polinomial bidimensional por Lagrange.

202

A)

B)

C)

De 3 em 3 cm.

D)

E)

F)

G)

H) I)

Figura 37 – Em [A], montagem para fazer as fotografias das costa do manequim. Em [B], costas do manequim a ser fotografado. Em [C], malha usada para fazer as medidas físicas com paquímetro das profundidades das costas. Em [D-E], duas fotografias de Franjas de Moiré defasados das costas. Em [F], fase empacotada (Wrapped). Em [G-I], reconstrução em 3-D das medidas. Fonte: Resultados da pesquisa.

203

TABELA 20

Erro médio em µm dos 12 conjuntos de imagens aplicadas às equações

selecionadas para as costas de um manequim

Número de

Imagens

4 a 1322 1302 1312 1302 1313 1331 1304 1305 1321 1319 1312 13345 a 1290 1266 1262 1283 1283 1287 1289 1285 1259 1290 1264 1291

a 1246 1217 1229 1222 1215 1219 1236 1230 1235 1217 1244 1238b 1219 1244 1229 1233 1230 1244 1214 1226 1221 1249 1249 1244c 1242 1221 1239 1221 1240 1242 1213 1220 1236 1215 1228 1241d 1221 1245 1235 1245 1234 1223 1243 1215 1249 1227 1242 1214e 1229 1223 1239 1243 1224 1217 1244 1219 1247 1229 1242 1224a 1188 1187 1183 1173 1171 1181 1181 1201 1175 1204 1204 1171b 1173 1202 1206 1197 1196 1204 1182 1184 1196 1177 1188 1184c 1192 1173 1195 1193 1187 1198 1179 1171 1191 1193 1170 1200d 1195 1197 1174 1200 1194 1190 1182 1186 1194 1193 1181 1187a 1132 1151 1129 1159 1159 1149 1145 1162 1150 1152 1139 1127b 1150 1162 1158 1135 1135 1129 1150 1141 1160 1149 1130 1148c 1139 1148 1139 1128 1143 1149 1138 1159 1154 1134 1138 1133d 1134 1141 1149 1154 1141 1130 1152 1130 1133 1151 1136 1133a 1112 1108 1112 1104 1116 1111 1089 1096 1113 1094 1115 1115b 1092 1109 1097 1091 1119 1109 1093 1114 1087 1107 1103 1089c 1103 1090 1117 1087 1096 1109 1087 1118 1111 1097 1109 1116a 1051 1069 1054 1069 1066 1044 1059 1066 1062 1048 1071 1048b 1047 1066 1050 1068 1054 1047 1071 1075 1073 1072 1041 1042c 1062 1047 1041 1071 1057 1073 1056 1052 1066 1073 1075 1059a 1011 1004 1004 1001 1002 1014 1019 1027 1016 1006 1033 1006b 1015 1008 1018 1031 1008 1014 1000 1012 1024 1021 1004 1020c 1019 1015 1012 1026 1014 1014 1028 1006 1005 1012 1031 1024a 987 987 954 976 979 963 973 973 966 967 984 984b 964 969 968 983 980 980 970 978 988 973 988 974a 917 912 934 937 932 927 946 939 929 914 934 911b 921 939 922 932 936 924 929 918 938 932 913 922a 885 897 869 873 875 878 876 870 893 889 879 886b 888 868 897 876 885 888 881 875 893 875 898 882

15 a 879 849 851 853 878 865 850 851 880 863 877 84716 a 825 823 829 810 825 823 824 836 820 834 813 803

Conjunto de Imagens

10 11 121 2 3 86 7 9

12

13

10

11

4 5

14

Erro Médio em µm

6

7

8

9

Fórmulas

Fonte: Dados da pesquisa.

Uma vez realizadas às medições, estas são comparadas com a referência

que representa as medidas corretas das costas do manequim, usando-se a Equação

5.2 para calcular o erro médio, por meio de cada uma das novas equações de

cálculo selecionadas para o teste, como mostrado na Tabela 20. O passo seguinte é

calcular o valor P dos 12 conjuntos, comparando entre si cada par de diferentes

equações selecionadas e mostradas na Tabela 21.

204

TABELA 21

Valor P das comparações dos erros médios das equações aplicadas às costas

a a a b c d e a b c d a b c d a b c a b c a b c a b a b a b a

4 a

5 a 0%

a 0% 0%

b 0% 0% 43%

c 0% 0% 81% 49%

d 0% 0% 46% 91% 62%

e 0% 0% 44% 75% 74% 66%

a 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0%

b 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 32%

c 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 73% 38%

d 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 34% 74% 51%

a 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0%

b 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 94%

c 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 24% 34%

d 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 18% 19% 75%

a 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0%

b 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 17%

c 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 29% 61%

a 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0%

b 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 100%

c 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 63% 68%

a 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0%

b 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 58%

c 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 16% 53%

a 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0%

b 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 60%

a 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0%

b 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 93%

a 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0%

b 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 48%

15 a 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0%

16 a 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0%

13 14 15

Número de Imagens e Fórmulas de Cálculo de Fase

4 5 6 7 8 9 10 11

11

12

12

13

14

Valor P

6

7

8

9

10

Número de

Imagens e

Fórmulas de Cálculo de Fase

Fonte: Dados da pesquisa.

É interessante notar que na Tabela 21, o valor P, quando comparado a

equações com número de imagens diferentes, é 0%, o que faz rejeitar a hipótese

nula de que as médias dos erros são iguais. Com isso, conclui-se que as equações

que utilizam mais imagens produzem um erro menor. Quando se compara equações

com o mesmo número de imagens, o valor de P é maior que 5%, o que faz com que

se deixe de rejeitar a hipótese nula de que as médias dos erros são iguais. Com

isso, concluí-se que as equações que utilizam o mesmo número de imagens têm

precisão semelhante.

205

Com a montagem realizada no laboratório, onde a alteração de fase é feita

mecanicamente, fica difícil e trabalhoso testar equações de cálculo que usam muitas

imagens. Por esta razão, testaram-se equações com número de imagens até

dezesseis. O deslocamento de fase era realizado manualmente, por meio de ajustes

no micrômetro, o que torna susceptível a erros e não assegura que o passo do

deslocamento de fase seja exatamente constante e com o mesmo valor entre todas

as imagens.

Faz-se importante observar que as fotografias possuíam alta taxa de ruídos e

imperfeições, em consequência de poeira no ar, na lente da câmera fotográfica e na

placa de vidro; de vibrações mecânicas presentes no laboratório; de variações na

temperatura da sala; de reflexo da luz branca no vidro do retículo, pelo fato do

laboratório não ser completamente escuro; de erros no processo de deslocamento

de fase, que devia ser absolutamente constante entre as imagens; de redução das

imagens em razão das linhas verticais do retículo; de erro no paralelismo do retículo,

que deve formar um ângulo reto perfeito em relação à fonte de luz e a câmera; de

erro na medição da distância entre o retículo e a câmera e entre a câmera e a fonte

de luz; e de erros na discretização da imagem em pixéis e em tons de cinza. Apesar

dos cuidados e da antecipação de várias medições de calibração usando planos

inclinados com blocos padrões métricos, as fotografias apresentam muitos pequenos

erros. Na literatura sobre a Técnica de Moiré esses erros são também citados e

estudados em detalhes, como nas referências de POST (1994) e PATORSKI (1993).

5.10 Experiências com imagens geradas no computador

Na sequência da pesquisa, em vez de fazer as fotografias com câmera digital,

seguiu-se a proposta mostrada em SMITH (2000), onde as imagens são geradas

pelo computador. Assim, foram criados 25 conjuntos com 16 imagens de Franjas de

Moiré com defasagens arbitrárias, mas constantes na fase. Cada conjunto difere do

outro apenas pelo valor do deslocamento de fase. Usou-se, nas imagens, o Modelo

5.8:

206

55,55,100

)( 23

≤≤−≤≤−−= yxcomyx

z (5.8)

Assim, obtiveram-se imagens com resolução gráfica de aproximadamente um

megapixel com 1280 pixéis na horizontal e 960 pixéis na vertical (total de 1.228.800

pixéis). Para gerá-las, foram utilizadas as seguintes equações de passo:

=−==−+==−==−+=

1024,5,5,)1(

1024,5,5,)1(

yifyyif

xifxxif

nYYhnYY

nXXhnXX (5.9)

TABELA 22

Erro médio em µm dos 25 conjuntos de imagens aplicadas às equações

selecionadas para as curvas geradas no computador

Númer

o de

Imagen

s

4 a 96 95 98 99 97 97 96 97 97 97 96 96 97 95 97 99 96 96 98 96 98 98 98 97 975 a 97 96 97 99 97 98 97 97 97 98 98 98 96 97 96 98 98 98 98 95 97 96 98 99 97

a 98 96 95 97 96 98 98 95 99 96 99 98 97 96 98 98 95 99 97 99 96 98 97 97 97b 96 96 99 98 98 96 98 96 96 96 98 96 99 98 96 98 99 97 97 97 99 99 97 97 96c 98 97 98 96 97 95 98 96 99 99 99 95 97 98 95 99 95 98 99 96 97 96 96 99 97d 98 98 97 97 99 97 96 97 97 97 96 97 96 99 96 99 96 99 98 96 96 98 97 97 97e 95 99 97 96 95 99 97 96 96 97 96 98 96 96 99 97 98 99 96 97 98 96 98 98 98a 99 97 98 97 96 97 96 99 98 98 97 97 98 97 98 98 97 98 95 96 98 96 96 96 97b 97 97 98 96 96 96 97 98 98 98 99 98 98 97 96 98 97 98 98 97 98 95 97 98 98c 99 99 96 98 97 96 97 98 97 96 97 96 99 97 99 95 99 98 96 99 96 98 96 96 99d 97 96 97 97 98 98 97 98 98 95 96 98 98 97 99 98 98 98 97 97 96 96 96 99 99a 97 97 97 95 98 96 98 97 99 96 96 99 99 98 98 97 98 96 96 96 99 98 98 98 99b 99 97 96 96 99 99 98 95 99 97 98 98 97 97 99 98 96 97 98 97 95 95 96 98 97c 96 97 99 99 99 98 96 96 97 96 96 97 96 98 98 99 96 97 99 97 96 96 98 99 97d 96 98 96 96 96 98 97 97 96 96 96 97 98 97 98 99 99 97 96 98 96 96 98 98 96a 98 98 99 96 99 97 98 97 96 97 98 98 99 99 98 98 98 97 96 97 96 96 97 98 96b 98 97 98 98 96 97 99 97 98 98 97 96 98 96 97 98 97 97 97 98 98 99 98 96 95c 98 97 98 99 99 96 96 97 98 98 96 98 96 98 99 96 96 96 97 95 98 99 98 97 98a 97 98 97 97 97 97 99 97 96 96 99 95 98 99 97 97 98 98 98 98 96 96 97 98 98b 96 97 96 96 98 99 98 95 96 97 96 99 99 96 95 97 96 97 97 99 98 99 98 96 97c 98 98 97 99 98 99 98 96 99 95 97 97 96 98 97 98 99 97 96 97 97 99 98 99 96a 98 96 96 98 97 97 98 98 98 95 98 96 99 98 98 98 96 99 96 98 95 98 96 96 98b 98 96 97 96 96 96 98 99 96 98 98 96 97 97 96 97 96 97 96 98 96 97 97 99 95c 98 96 96 98 96 97 98 99 97 97 98 98 98 97 98 97 97 95 99 95 99 98 98 97 98a 97 97 98 99 96 96 97 98 96 95 97 97 96 97 98 96 96 98 97 96 96 96 98 99 98b 96 99 98 97 99 97 97 99 95 98 95 96 97 96 99 97 98 97 97 95 97 98 98 99 98a 96 97 96 98 99 98 97 96 96 98 97 99 98 96 98 99 96 97 97 97 98 96 96 98 98b 97 97 97 99 96 96 95 96 97 97 97 95 98 98 99 98 99 97 96 98 96 96 96 96 98a 96 98 99 99 97 96 99 96 96 99 96 96 96 95 98 97 97 99 98 99 97 97 98 96 98b 98 97 99 96 98 96 98 98 98 96 95 96 98 98 98 96 99 97 99 99 99 97 95 99 96

15 a 95 98 97 96 98 95 97 98 98 96 98 98 99 98 97 98 96 97 96 97 99 98 99 96 9616 a 95 96 98 97 97 98 99 98 98 97 99 97 99 98 97 99 97 97 98 96 97 95 98 98 96

14

Erro Médio em µm

6

7

8

9

Fórmulas

209

12

13

15 17

10

11

18 198 166 7 141 2 3 4 5 22 23 24 25

Conjunto de Imagens

2110 11 12 13

Fonte: Dados da pesquisa.

207

Uma vez realizadas as “medições” com as imagens geradas

computacionalmente, estas são comparadas com a referência que é a Equação 5.8

das curvas geradas no computador, usando-se a Equação 5.2 para se calcular o

erro médio, por meio de cada uma das novas equações de cálculo selecionadas

para o teste, como mostrado na Tabela 22. Nas imagens, não existe erros ou ruídos,

a não ser pela discretização dos tons de cinza e discretização em pixéis. O passo

seguinte é calcular o valor P dos 25 conjuntos, comparando entre si cada par de

diferentes equações selecionadas e mostradas na Tabela 23.

TABELA 23

Valor P das comparações dos erros médios das equações aplicadas às curvas geradas no

computador

a a a b c d e a b c d a b c d a b c a b c a b c a b a b a b a

4 a

5 a 25%

a 55% 88%

b 55% 76% 89%

c 58% 81% 94% 94%

d 64% 64% 82% 94% 85%

e 68% 67% 83% 96% 90% 99%

a 77% 56% 72% 84% 76% 90% 89%

b 25% 74% 69% 55% 47% 50% 52% 28%

c 38% 84% 71% 59% 71% 57% 56% 40% 99%

d 42% 93% 93% 83% 89% 73% 73% 61% 74% 75%

a 28% 77% 68% 49% 64% 49% 52% 42% 93% 95% 68%

b 51% 97% 89% 83% 85% 72% 76% 63% 79% 81% 97% 74%

c 31% 90% 96% 84% 90% 72% 79% 71% 74% 79% 98% 72% 95%

d 91% 30% 44% 58% 58% 58% 46% 67% 22% 24% 26% 19% 34% 38%

a 24% 60% 58% 41% 49% 35% 45% 23% 79% 85% 57% 89% 55% 57% 9%

b 16% 78% 66% 49% 62% 52% 57% 34% 99% 100% 77% 95% 79% 75% 24% 83%

c 25% 86% 79% 65% 74% 55% 63% 48% 96% 95% 82% 88% 85% 77% 37% 81% 95%

a 34% 81% 71% 53% 64% 53% 54% 46% 98% 97% 75% 92% 78% 75% 17% 75% 97% 98%

b 84% 57% 64% 76% 77% 83% 82% 93% 44% 43% 63% 32% 61% 66% 75% 33% 35% 49% 44%

c 10% 34% 36% 25% 40% 18% 25% 25% 62% 63% 39% 66% 42% 35% 6% 74% 57% 56% 57% 19%

a 65% 76% 79% 98% 93% 95% 97% 82% 58% 46% 74% 56% 76% 83% 55% 43% 53% 65% 54% 79% 28%

b 83% 23% 40% 49% 38% 54% 56% 56% 9% 26% 37% 25% 39% 41% 92% 9% 10% 31% 14% 72% 10% 49%

c 9% 51% 54% 37% 49% 41% 42% 22% 71% 80% 55% 82% 62% 58% 17% 96% 75% 72% 75% 29% 81% 40% 11%

a 67% 14% 37% 44% 42% 45% 37% 50% 11% 15% 19% 17% 35% 21% 80% 12% 16% 14% 10% 65% 6% 40% 87% 5%

b 34% 100% 91% 77% 86% 68% 66% 62% 83% 82% 94% 76% 97% 92% 31% 66% 81% 85% 83% 60% 45% 78% 33% 62% 17%

a 35% 96% 91% 79% 86% 70% 70% 59% 73% 78% 97% 70% 100% 95% 30% 56% 75% 82% 79% 45% 41% 76% 35% 55% 26% 97%

b 91% 38% 48% 52% 56% 63% 60% 59% 22% 13% 36% 29% 44% 43% 99% 15% 23% 34% 21% 80% 12% 50% 94% 17% 81% 40% 35%

a 24% 80% 72% 59% 67% 55% 49% 47% 98% 99% 78% 96% 82% 74% 27% 87% 99% 94% 97% 39% 65% 60% 25% 83% 13% 80% 74% 21%

b 30% 75% 67% 45% 58% 52% 52% 38% 88% 88% 65% 94% 71% 68% 23% 95% 88% 86% 85% 41% 74% 55% 18% 91% 18% 74% 71% 24% 91%

15 a 31% 94% 83% 65% 78% 61% 67% 50% 82% 86% 89% 72% 92% 87% 27% 66% 83% 90% 88% 47% 49% 68% 25% 61% 21% 95% 90% 34% 86% 76%

16 a 15% 62% 63% 48% 52% 48% 52% 35% 87% 94% 65% 98% 69% 63% 17% 89% 91% 89% 88% 39% 69% 52% 9% 85% 12% 75% 67% 26% 94% 97% 73%

14

Valor P

6

7

8

9

10

Número de

Imagens e

Fórmulas de Cálculo de Fase

10 11

11

12

12

13

13 14 15

Número de Imagens e Fórmulas de Cálculo de Fase

4 5 6 7 8 9

Fonte: Dados da pesquisa.

208

É interessante notar que, na Tabela 23, o valor P, quando comparado a

equações independentes do número de imagens, é maior ou igual a 5%, o que faz

deixar de se rejeitar a hipótese nula de que as médias dos erros são iguais. Com

isso, conclui-se que as equações para este caso têm erros semelhantes. Ou seja,

todas as equações têm a mesma precisão. Isso se deve ao fato das imagens não

apresentarem ruídos aleatórios ou imperfeições randômicas. As imagens são

relativamente perfeitas e os erros médios são muito pequenos, em razão, apenas,

do processo de discretização em pixéis e em tons de cinza.

Para verificar este resultado, serão gerados, nas imagens anteriores, ruídos

aleatórios, como descritos no Capítulo IV. A quantidade de imperfeições deve ser

grande, para se obter o efeito desejado até as equações com dezesseis imagens. As

tabelas seguintes mostram o referido processo.

209

TABELA 24

Erro médio em µm dos 25 conjuntos de imagens aplicadas às equações selecionadas

para imagens geradas no computador com ruídos aleatórios

Númer

o de

Imagen

s

4 a 865 862 879 862 866 865 860 881 864 859 872 873 862 859 873 859 868 862 861 870 876 862 873 868 8745 a 835 830 851 843 836 829 840 851 832 846 831 835 831 835 846 839 850 830 832 835 851 833 851 842 850

a 819 816 802 808 811 802 808 803 802 806 815 823 812 814 814 812 816 820 808 807 801 821 802 820 809b 811 813 819 808 805 815 801 805 821 815 815 819 821 822 800 821 822 811 814 819 816 801 814 811 811c 814 809 810 806 815 806 818 807 823 809 818 817 810 815 809 818 802 804 818 821 823 811 807 806 804d 804 818 813 808 812 811 805 803 805 817 816 801 806 802 818 802 808 816 814 818 807 808 802 807 823e 821 805 817 815 816 800 813 805 820 803 801 809 811 818 815 807 803 807 801 803 820 822 811 809 811a 783 778 778 777 789 785 791 781 789 780 774 781 786 777 778 775 792 783 790 781 772 784 787 782 795b 775 774 785 787 779 787 780 777 779 787 772 778 774 774 779 778 792 794 783 789 783 785 788 778 789c 780 779 794 772 778 778 776 794 790 784 782 792 794 774 791 784 776 778 775 774 773 793 791 791 778d 776 789 784 785 792 778 789 792 784 773 790 783 780 781 785 781 793 784 791 779 775 781 782 774 791a 749 759 755 743 747 756 750 746 762 757 754 751 753 750 745 766 765 746 761 762 763 751 754 746 764b 757 762 749 748 766 761 761 754 751 758 760 764 748 744 749 755 749 757 751 755 754 747 763 756 765c 751 763 760 746 752 766 763 753 762 762 762 751 759 763 752 757 752 762 764 750 756 762 746 745 745d 745 743 761 744 757 747 765 759 751 752 760 760 750 757 765 746 755 761 766 755 756 761 755 756 753a 729 727 734 738 715 724 730 721 716 738 737 730 718 728 734 719 717 719 724 728 719 729 716 726 716b 732 724 726 738 733 722 733 726 719 718 725 735 731 715 720 718 729 715 731 733 718 729 732 726 720c 714 735 722 723 722 732 723 731 728 721 718 729 722 721 717 728 730 735 717 734 716 732 734 716 727a 704 688 703 705 708 707 699 705 696 709 696 686 697 690 702 699 694 704 704 691 701 695 697 709 702b 696 704 702 694 692 691 703 694 703 708 689 690 707 699 694 708 698 708 706 694 709 708 709 699 707c 704 696 695 692 700 701 690 694 706 696 687 689 688 705 686 691 700 705 691 694 687 703 690 702 698a 678 665 664 673 662 679 658 673 678 659 658 663 668 661 668 674 668 659 660 660 662 668 680 658 675b 673 664 659 675 671 677 664 667 662 662 664 680 667 679 667 660 669 666 665 664 665 668 674 673 674c 676 670 674 675 670 676 663 668 681 664 659 677 668 676 661 662 667 664 662 664 680 660 680 676 666a 650 631 635 641 647 637 642 643 642 643 650 647 634 643 639 647 636 645 650 640 633 650 646 635 631b 652 637 641 645 633 633 638 643 631 641 640 637 641 640 643 650 652 644 634 641 631 641 646 637 644a 621 612 622 605 616 608 607 602 611 618 614 619 602 612 621 612 611 613 612 611 623 602 620 622 611b 616 611 609 608 618 621 602 613 602 615 602 601 605 624 624 608 600 624 605 619 612 614 610 600 606a 578 586 579 593 576 593 574 586 584 573 591 590 582 586 585 584 592 576 575 573 572 593 581 592 580b 574 573 595 577 572 594 587 584 582 583 577 573 587 574 585 580 580 578 572 591 581 575 580 589 588

15 a 565 580 578 580 565 571 563 567 560 573 578 569 563 571 570 581 562 558 569 574 575 561 574 570 56016 a 551 532 550 542 539 537 539 539 530 532 545 545 536 550 550 549 552 546 533 549 545 535 534 547 547

14

Erro Médio em µm

6

7

8

9

Fórmulas

209

12

13

15 17

10

11

18 198 166 7 141 2 3 4 5 22 23 24 25

Conjunto de Imagens

2110 11 12 13

Fonte: Dados da pesquisa.

Uma vez realizadas as “medições” (de imagens geradas), estas são

comparadas com a referência das dimensões corretas da curva, usando-se a

Equação 5.2 para se calcular o erro médio, por meio de cada uma das novas

equações de cálculo selecionadas para o teste, como mostrado na Tabela 24. O

passo seguinte é calcular o valor P dos 25 conjuntos, comparando entre si cada par

de diferentes equações selecionadas e mostradas na Tabela 25.

210

TABELA 25

Valor P das comparações dos erros médios das equações aplicadas

às imagens geradas no computador com ruído aleatório

a a a b c d e a b c d a b c d a b c a b c a b c a b a b a b a

4 a

5 a 0%

a 0% 0%

b 0% 0% 27%

c 0% 0% 54% 52%

d 0% 0% 57% 10% 25%

e 0% 0% 85% 23% 33% 74%

a 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0%

b 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 58%

c 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 89% 64%

d 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 39% 27% 68%

a 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0%

b 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 54%

c 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 29% 68%

d 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 66% 93% 58%

a 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0%

b 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 72%

c 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 91% 62%

a 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0%

b 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 71%

c 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 2% 1%

a 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0%

b 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 38%

c 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 11% 36%

a 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0%

b 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 57%

a 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0%

b 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 27%

a 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0%

b 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 39%

15 a 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0%

16 a 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0%

14

Valor P

6

7

8

9

10

Número de

Imagens e

Fórmulas de Cálculo de Fase

10 11

11

12

12

13

13 14 15

Número de Imagens e Fórmulas de Cálculo de Fase

4 5 6 7 8 9

Fonte: Dados da pesquisa.

É interessante notar que, na Tabela 25, o valor P, quando comparado a

equações com número de imagens diferentes, é 0%, o que faz rejeitar a hipótese

nula de que as médias dos erros são iguais. Com isso, conclui-se que as equações

que utilizam mais imagens produzem um erro menor. Quando se compara as

equações com o mesmo número de imagens, o valor de P é maior que 5%, o que

faz com que se deixe de rejeitar a hipótese nula de que as médias dos erros são

iguais. Com isso, conclui-se que as equações que utilizam o mesmo número de

211

imagens têm precisão semelhante. Isso ocorre porque as imagens têm bastantes

ruídos e imperfeições aleatórias.

Observa-se que nas medições realizadas a maior parte do erro cometido vem

do deslocamento de fase entre as imagens que deve ser constante. Com o

deslocamento de fase é realizada por meio de ajuste mecânicos no micrômetro,

pequenos erros são cometido nesta regulagem manual do micrômetro. Além, da

substituição deste ajuste manual por um dispositivo eletrônico automático melhor,

cita-se como fontes de erros e sugestões de melhoria: (a) retículo com passo menor

que 1 mm (entre 0,01 e 0,2mm); (b) uso de fonte de luz completamente coerente; (c)

fonte de luz mais potente (acima de 500 watts); (d) resolução fotográfica maiores

(acima de 5 megapixéis); (e) melhor regulagem do retículo para ficar perfeitamente

paralela ao plano de referência do objeto medido; (f) acertos finos em colocar

câmera, fonte de luz, retículo e objeto no mesmo plano geométrico; (g) sala

completamente escura; (h) eliminação de vibrações mecânicas e ruídos sonoros de

motores no laboratório; (i) substituição da discretização monocromática em tons de

cinza de 8 bits (256 tons) para 16 bits (65536 tons); (j) implementação de melhores

filtros iniciais de Processamento Digital de Imagens nas fotografias; (k) evitar

contaminação de poeira e sujeira nos equipamento e na sala; (l) aperfeiçoamentos

no sistema de calibração da montagem experimental da Técnica Moiré de Sombra;

(m) em vez de fazer o ajuste em três micrômetros na direção de z, trocar o sistema

pelo ajuste de um único micrômetro na direção x para o deslocamento de fase; (n)

utilização de objetos para medição menores e mais planos; e (o) controlar as

variações na temperatura e umidade do ar durante os experimentos.

5.11 Análises de incertezas para algoritmos do cálc ulo de fase

Em CORDERO et al. (2007) é desenvolvida uma metodologia para a análise

de incertezas de algoritmos do cálculo de fase. Esse estudo segue as

recomendações da ISO (International Organization for Standardization) sobre a

expressão da incerteza em medições. Segue-se a aplicação desta metodologia nas

novas equações do cálculo de fase mostrada nas Tabelas 8, 9 e 10.

212

A incerteza associada ao resultado de uma medição é um parâmetro que

caracteriza a dispersão dos valores que podem razoavelmente ser atribuídos ao

mensurando. Operacionalmente, a dispersão dos valores de alguma quantidade Q é

descrita por uma função densidade de probabilidade (PDF – Probability density

function), f(q). O domínio da PDF é constituída por todos os possíveis valores de Q,

e sua faixa é o intervalo (0, 1). Se o PDF está disponível, a estimativa do Q é obtida

através da avaliação do valor esperado e sua incerteza padrão é considerada como

sendo igual ao desvio-padrão.

Embora a obtenção do PDF mais adequado para uma determinada aplicação

particular não seja simples, se o mensurando Q está relacionado a um conjunto de

outras quantidades P=(P1,P2,P3,...,Pp)t através de um modelo de medição Q = M(P),

linear ou fracamente não-linear, a incerteza padrão de Q pode ser expressos em

termos das incertezas dos padrões das quantidades de entrada (P1,P2,P3,...,Pp)

usando a chamada lei de propagação de incertezas (LPU – Law of propagation of

uncertainties). Em vez da LPU, a técnica baseada no Método de Monte Carlo pode

ser aplicada a modelos lineares, bem como aos modelos não lineares.

A técnica baseada no Método de Monte Carlo requer que primeiro seja

atribuindo funções densidade de probabilidades (PDF) para cada quantidade de

entrada. A seguir, um algoritmo de computador, é criado para gerar um vetor de

entrada p=(p1,p2, p3,...,pp)t ; cada elemento pj deste vetor é gerado de acordo com as

especificidades da PDF atribuída à quantidade correspondente Pj. Ao aplicar o vetor

gerado p ao modelo Q = M(P), um correspondente valor de saída q pode ser

computado. Se o processo é repetido simulando n vezes (n muito maior que 1), o

resultado é uma série de indicações (q1,q2,q3,...,qn), cuja a distribuição de frequência

permite identificar o PDF de Q, f(q). Então, independentemente da forma do

presente PDF, a estimativa qe e seu associado padrão de incerteza u(qe) pode ser

calculado por:

∑=

=n

lle q

nq

1

,1

(5.10)

e

213

∑=

−−

=n

lele qq

nqu

1

2)()1(

1)( . (5.11)

As quantidades de entrada (P1,P2,P3,...,Pp) no modelo Q = M(P) são

normalmente primárias. Isto significa que a sua correspondente PDF deve ser

determinada a partir das informações obtidas através das medições. Por exemplo,

se Pj é uma variável de quantidade não-estáveis, sua PDF pode ser inferida pela

medição direta e repetidamente em condições de repetibilidade Pj com um

instrumento que mostra insignificante sua variação durante o período de

observação. Se estas condições não podem ser alcançadas, uma situação de

escassez de informação surge e outras informações de dados experimentais devem

ser consideradas para atribuir o PDF para Pj e avaliar a sua incerteza.

No contexto de escassez de informações, existe um critério

internacionalmente aceito para a atribuição de um PDF a uma quantidade, que é

referenciado como Princípio da Máxima Entropia (PME – Principle of Maximum

Entropy) e é composto por uma seleção do que é mais provável, entre todas as

possíveis PDFs que cumpram com as restrições impostas pelas informações

disponíveis. Por exemplo, se apenas uma faixa de erro dj pode ser associado com o

único dado disponível pj da quantidade Pj, recomenda-se que a PDF para pj seja

retangular no intervalo (pj-dj, pj+dj); em seguida, a incerteza padrão associada à pj é:

3)( j

e

dqu = . (5.12)

Note que, embora as PME ofereçam uns critérios objetivos para a atribuição

do tipo da PDF, ele continua a ser desconhecido se o atual dado pj não fornece

qualquer informação sobre sua faixa de erro associado dj. Nesse caso, o valor de dj

é considerado como sendo igual ao erro máximo que pode razoavelmente atribuído

ao valor medido pj. Esta abordagem permite inclusive no processo de avaliação da

incerteza, algumas fontes de erro que caso contrario dificilmente seriam

consideradas explicitamente no contexto da falta de informação.

CORDERO et al. (2007) sugere que as influencias das fontes de erro que

afetam os valores de fase sejam considerados no modelo por meio dos valores de

214

intensidade Ik. Isso é realizado pela modificação da Equação 3.9, mostrado a seguir

onde k varia de 1 até N (número de imagens):

( ) ),(2

12),(cos),(),(),( yx

NkyxyxIyxIyxI kkamk ζξεδφ +

++

−−++= (5.13)

Comparando-se as Equações 3.9 e 5.13, pode-se observar que foram

incluídas três novas quantidades [ε, ξk,ζk(x,y)]. ε permite considerar a propagação de

incerteza proveniente de um erro sistemático na calibração do deslocamento de fase

(δ). Considera que ε tenha valor máximo de π/10. Assim a faixa do erro designado

para ε seja um PDF retangular variando no intervalo de [-π/10, π/10]. ξk permite

considerar influência de perturbações no ambiente devido a vibrações que alteração

para cada imagem (k) capturada. Estas vibrações são de alta frequência e a faixa do

erro é um PDF retangular variando no intervalo de [-π/20, π/20], tendo valores

diferentes para imagem capturada pela câmera fotográfica. ζk(x,y) permite

considerar a propagação de incerteza devido a ruídos óticos aleatórios. Estes ruídos

assumem valores diferentes para cada imagem (k) e para cada pixel (x,y) de uma

imagem.Estes ruídos ζk(x,y) de intensidade luminosa variam no intervalo de [-10, 10]

para frames monocromáticos com pixéis de 8 bits com os tons de cinza entre 0 e

255. Todas estas considerações acima são sugeridas por CORDERO et al. (2007) e

foram seguidas.

Nota-se que a distribuição de fase φ* variou-se de [-π, π] radianos e que o

deslocamento de fase (δ) oscilou-se no intervalo de [0, π] que são os valores mais

comumente utilizados na Técnica Moiré de Sombra. Assim o modelo, Q=M(P),

permite calcular as quantidades de saída Q = (φ*) dos valores das quantidades de

entrada P=[φ(x,y), δ, ε, ξk, ζk(x,y)]t. Este processo de simulação e a correspondente

cálculo de fase é repetido 10.000 vezes (104). Assim foram geradas entradas

segundo as PDF de todas as quantidades [φ(x,y), δ, ε, ξk, ζk(x,y)] e obtidas às saídas

(φ*1, φ*2, φ*3,..., φ*10000). Com as saídas (φ*1, φ*2, φ*3,..., φ*10000) e usando as

Equações 5.10 e 5.11, a incerteza padrão de φ*, u(φ*), é igual ao desvio padrão da

série de saída.

Em razão do modelo de medição Q=M(P) ser fortemente não linear, a

incerteza padrão das quantidades de saídas φ* devem ser expressas em termos das

215

incertezas padrões das quantidades de entrada [φ(x,y), δ, ε, ξk, ζk(x,y)] pelo uso da

técnica de propagação de incerteza baseada no Método de Monte Carlo. Os

resultados da aplicação desta metodologia desenvolvida por CORDERO (2007) para

as novas equações do cálculo de fase desenvolvidas na tese são apresentadas a

seguir. Foram desenvolvidos programas computacionais para se realizar tais

análises de incerteza.

CORDERO et al. (2007) realiza o estudo para dois algoritmos, o convencional

N-bucket e o de auto-calibração (N+1)-bucket, que admite o uso de N imagens (N ≥

4), mas que exige o deslocamento de fase (δ) seja fixa e igual a 2π/N. Como as

novas equações do cálculo de fase desenvolvidas na tese são derivadas do

Algoritmo de Carré onde o deslocamento de fase (δ) pode ser arbitrário, a incerteza

padrão de todas as equações do cálculo de fase em relação às variações de ε são

u(φ*)=0. Nota-se que este é um resultado teórico proveniente da metodologia

proposta, onde o deslocamento de fase é somado à quantidade ε ou, seja (δ+ε), pois

na prática pode haver erros devido ao deslocamento de fase (δ) não ser constante

entre as imagens.

Optou-se na tese por uma questão de simplicidade e sintetização de estudar

e analisar todas as fontes de erros combinados. Assim nos resultados mostrados

são a soma das fontes de erro proveniente das perturbações do ambiente ξk mais as

influencias causadas pelos ruídos aleatórios ζk(x,y). Dando-se maior importância a

distinção da incerteza padrão u(φ*) para um dado valor de fase φ e também para um

valor do deslocamento de fase δ específico. Foram assim testadas 32 equações do

cálculo de fase (4a, 5a, 6a, 6b, 6c, 6d, 6e, 7a, 7b, 7c, 7d, 8a, 8b, 8c, 8d, 9a, 9b, 9c,

10a, 10b, 10c, 11a, 11b, 11c, 12a, 12b, 13a, 13b, 14a, 14b, 15a, 16a) mostradas nas

Tabelas 8, 9 e 10. Na aplicação da metodologia de propagação da incerteza, levou-

se também em conta o processo de troca de φ∈[0,π/2] para φ*∈[-π,π].

O gráfico da Figura 38 mostra a incerteza padrão u(φ*) em função do valor da

fase φ usando todas as fontes de erros combinados. Observa-se no gráfico como a

incerteza padrão é menor para equações com valores alto do número de imagens

(N). Nota-se, também que a incerteza padrão é maior quanto o valor da fase se

aproxima de π/2 e de seus múltiplos (-3π/2, -π/2, 0, π/2, 3π/2). Uma possível

explicação para este fenômeno pode estar na avaliação do arcotangente de valores

muito grandes para esta faixa de ângulos.

216

0,000

0,050

0,100

0,150

0,200

0,250

Equação 4a Equação 5a Equação 6a Equação 6b Equação 6c Equação 6d Equação 6e Equação 7a

Equação 7b Equação 7c Equação 7d Equação 8a Equação 8b Equação 8c Equação 8d Equação 9a

Equação 9b Equação 9c Equação 10a Equação 10b Equação 10c Equação 11a Equação 11b Equação 11c

Equação 12a Equação 12b Equação 13a Equação 13b Equação 14a Equação 14b Equação 15a Equação 16a

In

ce

rte

za

Pa

drã

o u

(φ

*) ra

dia

no

s

Valor da Fase (φ) radianos

Figura 38 – Incerteza padrão combinada u(φ*) em radianos em função do valor de fase (φ) também

em radianos para as novas equações cálculo de fases desenvolvidas na tese. Nota-se o maior valor da incerteza em equação com número de imagens pequeno.

Fonte: Resultados da pesquisa.

A Figura 39 mostra mais claramente o efeito do uso de equações com um

número de imagens maior sobre a incerteza padrão. Foram escolhidas apenas

algumas equações de cálculo nos extremos da quantidade de imagens para não

sobrecarregar visualmente o gráfico.

217

0,000

0,050

0,100

0,150

0,200

0,250

-3,20 -2,58 -1,96 -1,34 -0,72 -0,10 0,52 1,14 1,76 2,38 3,00

Equação 4a

Equação 5a

Equação 6a

Equação 8a

Equação 12a

Equação 15a

Equação 16a

Valor da Fase (φ) radianos

In

ce

rte

za

P

ad

rã

o u

(φ

*) ra

dia

no

s

Figura 39 – Incerteza padrão combinada u(φ*) em radianos em função do valor de fase (φ) também

em radianos para as novas equações cálculo de fases desenvolvidas na tese. Nota-se claramente o menor valor da incerteza em equação com número de imagens grande. Assim para N=4 e N=5 têm-se valores altos de u(φ*) e para N=15 e N=16 têm-se valores mais baixos.

Fonte: Resultados da pesquisa.

A Figura 40 mostra um gráfico em três dimensões da incerteza padrão versos

a fase para todas as equações de cálculo testas segundo o modelo proposto por

CORDERO et al. (2007). É interessante que como as equações de cálculo têm o

mesmo formado matemático, a variação (forma da curva) em função do valor de fase

φ é aproximadamente a mesma. Nota-se que as equações com maiores valores de

números de imagens as curvas ficam levemente mais achatadas, mostrando uma

oscilação menor nos valores da incerteza padrão. Observa-se o decrescimento do

valor da incerteza padrão com o aumento do valor do número de imagens (N) usado

na equação do cálculo de fase.

218

0,00

0,05

0,10

0,15

0,20

0,25

In

ce

rte

za

P

ad

ão

u

(φ

*) ra

d

Valores

de Fase

(φ) rad

Figura 40 – Gráfico em três dimensões de todas as equações do cálculo de fase desenvolvidos da

incerteza padrão combinada u(φ*) em radianos em função do valor de fase (φ) em radianos.

Fonte: Resultados da pesquisa.

Na Figura 41 é mostrada a variação da incerteza padrão combinada u(φ*) em

função do ângulo do deslocamento de fase δ. Novamente, nota-se que a incerteza

padrão é menor para equações com valores alto do número de imagens (N).

Observa-se também que a incerteza é menor quanto o deslocamento de fase δ está

próxima de π/2 ou levemente acima deste valor. Parece existir um ângulo ótimo do

deslocamento de fase δ em que a incerteza padrão é mínima que não é o mesmo

para todas as equações de cálculo, mas que em todas as equações testadas esta

próxima de 90º (π/2 rad).

219

0,000

0,050

0,100

0,150

0,200

0,250

0,000 0,196 0,393 0,589 0,785 0,982 1,178 1,374 1,571 1,767 1,963 2,160 2,356 2,553 2,749 2,945 3,142

Equação 4a Equação 5a Equação 6a Equação 6b Equação 6c Equação 6d Equação 6e Equação 7a

Equação 7b Equação 7c Equação 7d Equação 8a Equação 8b Equação 8c Equação 8d Equação 9a

Equação 9b Equação 9c Equação 10a Equação 10b Equação 10c Equação 11a Equação 11b Equação 11c

Equação 12a Equação 12b Equação 13a Equação 13b Equação 14a Equação 14b Equação 15a Equação 16a

In

ce

rte

za

Pa

drã

o u

(φ

*)

ra

dia

no

s

Deslocamento de Fase (δ) radianos

Figura 41 – Incerteza padrão combinada u(φ*) em radianos em função do valor deslocamento de fase

(δ) também em radianos para as novas equações cálculo de fases desenvolvidas na tese. Nota-se o maior valor da incerteza em equação com número de imagens pequeno. Observa-se que para δ entre 85º e 115º, o valor da incerteza em todas as equações é menor.

Fonte: Resultados da pesquisa.

Na Figura 42 tem-se uma visão mais clara do efeito do uso de equações com

um número de imagens maior sobre a incerteza padrão. Foram escolhidas apenas

algumas equações de cálculo nos extremos da quantidade de imagens para não

sobrecarregar visualmente o gráfico. Observa-se que para o deslocamento de fase δ

entre 85º (1,48 rad) e 115º (2,00 rad), o valor da incerteza em todas as equações é

menor. Parece ser possível usando esta análise de propagação de incerteza,

determinar para cada equação de cálculo um valor ótimo de δ que certamente não é

o mesmo para todas as equações; em KEMAO et al. (2000) pode ser encontrado

material que auxilie o desenvolvimento deste estudo. Por uma questão de não se

abandonar o foco da tese, esta busca por um valor ótimo de δ é sugerida para

trabalhos futuros.

220

0,000

0,050

0,100

0,150

0,200

0,250

0,00 0,31 0,63 0,94 1,26 1,57 1,88 2,20 2,51 2,83 3,14

Equação 4a

Equação 5a

Equação 6a

Equação 8a

Equação 12a

Equação 15a

Equação 16a

Ince

rte

za

Pa

drã

o d

oa

va

lore

s d

e f

ase

u(φ

*)

ra

dia

no

s

Deslocamento de Fase (δ) radianos

Figura 43 – Incerteza padrão combinada u(φ*) em radianos em função do valor deslocamento de fase

(δ) também em radianos para as novas equações cálculo de fases desenvolvidas na tese. Nota-se claramente o menor valor da incerteza em equação com número de imagens grande. Assim para N=4 e N=5 têm-se valores altos de u(φ*) e para N=15 e N=16 têm-se valores mais baixos.

Fonte: Resultados da pesquisa.

A Figura 43 mostra um gráfico em três dimensões da incerteza padrão u(φ*)

versos o deslocamento de fase δ para todas as equações de cálculo testas segundo

o modelo proposto por CORDERO et al. (2007). É interessante que como as

equações de cálculo têm o mesmo formado matemático, a variação (forma da curva)

em função do valor deslocamento de fase δ é aproximadamente a mesma. Nota-se

novamente a queda da incerteza com o aumento do número de imagens (N).

221

0,00

0,05

0,10

0,15

0,20

0,25

In

ce

rte

za

Pa

dã

o u

(φ

*) r

ad

ian

os

Deslocamento

de Fase

(δ) radianos

Figura 43 – Gráfico em três dimensões de todas as equações do cálculo de fase desenvolvidos da

incerteza padrão combinada u(φ*) em radianos em função do valor deslocamento de fase (δ) em radianos.

Fonte: Resultados da pesquisa.

A Figura 44 mostra as médias das incertezas padrão combinadas para todas

as equações do cálculo de fase testadas. Nota-se que as equações com o mesmo

número de imagens apresentam incertezas semelhantes. E que com aumento do

número de imagens a incerteza diminui. Em Metrologia, a diminuição da incerteza

padrão esta relacionada com o aumento da precisão das medidas (grau de

concordância entre indicações ou valores de quantidades medidas obtidas por

repetidas medições sobre o mesmo ou objetos similares em condições

especificadas).

Observa-se que as equações com a letra (a) se apresentam um pouco

melhores (menor incerteza) e parecem serem mais robustas experimentalmente em

aplicações práticas. Deve ser dito que das centenas de novas equações de cálculo

desenvolvidas na tese seguindo o modelo descrito no Capítulo 3, foi escolhida para

esta análise de incerteza as que se acreditavam serem melhores e que

apresentaram excelentes resultados experimentais com Moiré de Sombra.

222

0,00

0,02

0,04

0,06

0,08

0,10

0,12

0,14

0,16

0,18E

qu

aç

ão

4

a

Eq

ua

çã

o

5a

Eq

ua

çã

o

6a

Eq

ua

çã

o

6b

Eq

ua

çã

o

6c

Eq

ua

çã

o

6d

Eq

ua

çã

o

6e

Eq

ua

çã

o

7a

Eq

ua

çã

o

7b

Eq

ua

çã

o

7c

Eq

ua

çã

o

7d

Eq

ua

çã

o

8a

Eq

ua

çã

o

8b

Eq

ua

çã

o

8c

Eq

ua

çã

o

8d

Eq

ua

çã

o

9a

Eq

ua

çã

o

9b

Eq

ua

çã

o

9c

Eq

ua

çã

o 1

0a

Eq

ua

çã

o 1

0b

Eq

ua

çã

o 1

0c

Eq

ua

çã

o 1

1a

Eq

ua

çã

o 1

1b

Eq

ua

çã

o 1

1c

Eq

ua

çã

o 1

2a

Eq

ua

çã

o 1

2b

Eq

ua

çã

o 1

3a

Eq

ua

çã

o 1

3b

Eq

ua

çã

o 1

4a

Eq

ua

çã

o 1

4b

Eq

ua

çã

o 1

5a

Eq

ua

çã

o 1

6a

Média da Incerteza Padrão u(φφφφ*) em radianos

Figura 44 – Gráfico da média da incerteza padrão de todas as equações do cálculo de fase testadas.

Destaca-se o menor valor da incerteza em equação com número de imagens grande. Fonte: Resultados da pesquisa.

O erro de quantização é devido à limitação da resolução da câmera usada

para capturar as imagens. A resolução R é a menor diferença entre indicações de

que pode ser destacada e que é, obviamente, limitada, no caso dos instrumentos

digitais. O efeito de uma resolução limitada é o arredondamento da intensidade de

vários valores. Este efeito é geralmente significante em imagens. Mas se o desvio

padrão esperado de um conjunto de medidas for igual ou superior a R/2, o efeito da

resolução é insignificante. Por exemplo, se uma câmera CCD de 8-bits é utilizada, a

intensidade de uma imagem é capturada como um nível de cinza monogramático

com valores discretos entre 0 e 255; neste caso, a resolução R é igual a um, e

independentemente da técnica ótica usada nas imagens, como o desvio padrão do

ruído aleatório ζk(x,y) é de cerca de 10/√3, usando a Equação (5.12). Isto significa

que, ao aplicar a lei de propagação de incertezas (LPU – Law of Propagation of

Uncertainties), o desvio padrão mínimo de Ik deve ser próximo de 10/√3. Este valor é

claramente superior a R/2 e, portanto, concluí-se que o erro de quantização da

intensidade pode ser negligenciado neste caso.

Deve notar que CORDERO et al. (2007) chega às mesmas conclusões que a

análise de incerteza desenvolvida na tese em que usando equação do cálculo de

fase com um maior número de imagens (N) e incerteza padrão u(φ*) diminuir. A

223

diferença é que CORDERO et al. (2007) realiza o estudo para os algoritmos de N-

bucket e o de (N+1)-bucket.

5.12 Análises de erros das medições

Seguindo o estudo realizado em RIBEIRO (2006), e visando estimar os erros

de medição do sistema descrito acima, uma expansão da série de Taylor foi aplicada

para a Equação 2.17 ou Equação 4.14 e reescrita na Equação 5.14 da equação

principal da Técnica Moiré de Sombra para distâncias infinitas, extraídas também de

KEPRT et al. (1998), supondo uma distribuição normal e estatisticamente

independente de cada variável do sistema. Os dados aplicados para a análise do

erro foram os mesmos utilizados para as medições dos objetos descritos nos itens

anteriores.

( ))tan(tan

2tantan

βαπ

βα +

Ψ=

+=

pZou

pnZ (5.14)

onde p = passo (pitch) = distância entre as linhas do retículo de referência =

frequência do retículo = frequência espacial do retículo; α = ângulo entre a normal e

o feixe de luz; β = ângulo entre a normal e o ponto de observação (observador); n =

φ / (2π) ou Ψ / (2π) = ordem de franja e Z = profundidade máxima a ser medida =

distância vertical do plano do retículo para o ponto do objeto.

Na análise de incerteza, consideram-se uma distribuição retangular, infinitos

graus de liberdade e intervalo de confiança de 95%. Então, a incerteza de medição

pode ser simplificada para L = distância perpendicular da fonte de luz do retículo =

(1000±10)mm; D0 = L tan β = (0±2,5)mm; Ds = L tan α=(250±2,5)mm; p=(1±0,01)mm

e φ=(2π±π/10)radianos = (6,28±0,314)rad. O valor da incerteza expandida para a

fase (φ), foi escolhida conforme YATAGAI (1993). Os demais valores correspondem

às incertezas dos instrumentos de medição utilizados na montagem do sistema

proposto.

224

)(2

2

tantan oSoSoS DD

Lp

L

D

L

D

p

L

D

L

D

npnpZ

+=

+=

+=

+=

πφ

π

φβα

(5.15)

A Equação 5.16 ilustra a incerteza expandida para o mapa de profundidade(Z)

usando a lei de propagação de incertezas (LPU – Law of propagation of

uncertainties). Abaixo, segue o cálculo para se encontrar a incerteza combinada do

sistema, onde U95 representa a incerteza expandida de cada variável:

2

952

2

952

2

95

2

95

2

95295

)()(2

)()(2

)()(2

)()(2

)()(2

)(

+

+

++

+

+

++

+=

ooS

SoSoS

oSoS

DUDD

pL

DUDD

pLLU

DD

p

pUDD

LU

DD

pLZU

πφ

πφ

πφ

πφφ

π

(5.16)

Onde:

6369,01570

1000

)0250(28,6

10001

)(2)(

)( ==+

×=+

=∂∂

oS DD

pLZ

πφ (5.17)

0000,41570

6280

)0250(28,6

100028,6

)(2

)(

)( ==+

×=+

=∂∂

oS DD

L

p

Z

πφ (5.18)

0040,01570

28,6

)0250(28,6

128,6

)(2

)(

)( ==+

×=+

=∂∂

oS DD

p

L

Z

πφ (5.19)

0160,0392500

6280

)0250(28,6

1000128,6

)(2

)(

)(22

==+

××=+

=∂∂

oSS DD

Lp

D

Z

πφ (5.20)

0160,0392500

6280

)0250(28,6

1000128,6

)(2

)(

)(22

==+

××=+

=∂∂

oSo DD

Lp

D

Z

πφ (5.21)

Logo:

222

22295

)5,2016,0()5,2016,0()10004,0(

)01,04()314,0/6369,0()(

mmmmmm

mmradradmmZU

×+×+×

+×+×= (5.22)

mmZU 0464,0)(295 = (5.23)

mmZU 2154,0)(95 ±= (5.24)

225

Abaixo, segue o cálculo para se encontrar a incerteza relativa expandida do

sistema, segundo modelo proposto por YATAGAI (1993):

2

95

2

95

2

95

2

95

2

95

2

95

)(

)(

)(

)()()()()(

++

++

+

+

=

oS

o

oS

S

DD

DU

DD

DU

L

LU

p

pUU

Z

ZU

φφ (5.25)

222222

95

250

5,2

250

5,2

1000

10

0,1

01,0

28,6

314,0)(

+

+

+

+

=

Z

ZU (5.26)

0028,0)(

2

95 =

Z

ZU (5.27)

%3,50529,0)(95 ==

Z

ZU (5.28)

Com isso, a incerteza expandida relativa do sistema é de 5,3% do valor

medido aproximadamente, onde a Equação 5.29 mostra as incertezas expandidas

relativa a cada variável:

==+

==+

==

==

==

01,0%1)(

)(

01,0%1)(

)(

01,0%1)(

01,0%1)(

05,0%5)(

95

95

95

95

95

oS

o

oS

S

DD

DUDD

DUp

pUL

LU

U

φφ

(5.29)

Nota-se que esta análise de erro é elaborada, usando-se a equação do

cálculo de fase com 4 imagens. A incerteza expandida em relação à fase φ é bem

maior que todas as outras, mas com o aumentando do número de imagens

possivelmente a incerteza em relação à fase U95(φ) irá cair sensivelmente. Daí a

importância de se ter novas equações de cálculo que dão uma precisão maior no

valor da fase.

Experimentalmente, esta análise é aproximada, pois é difícil estimar o valor

da incerteza expandida de φ com um dado intervalo de confiança. Acredita-se que a

226

principal fonte erro esteja em manter o deslocamento de fase (δ) constante entre as

N imagens que vão ser usadas no cálculo de fase. O deslocamento de fase nos

experimentos realizados foi feito manualmente, ajustando-se o micrômetro.

Melhorias na montagem do experimento poderiam diminuir o erro

significativamente, como um sistema que possibilitasse um movimento contínuo do

retículo com velocidade constante, e que a máquina fotográfica tirasse dezenas de

fotografias em intervalos de tempos iguais, como se fosse uma filmagem. Isso

possibilitaria a aplicação de equações de cálculo com muitas imagens e de alta

precisão, em HUANG et al. (2008) pode ser encontrado alternativas para este

desenvolvimento.

5.13 Conclusões do capítulo

Com base na Inferência Estatística, pode-se concluir que para fotografias

reais da Técnica Moiré de Sombra e imagens geradas por computador com erros e

ruídos aleatórios, quanto maior o número de imagens nas equações do cálculo de

fase, menor o erro nas medições e maior a precisão no uso da Técnica de Moiré.

Todas as equações com o mesmo número de imagens apresentam precisão

semelhante, não se podendo concluir que uma é melhor que a outra.

A conclusão que se conseguiu extrair, estatisticamente, é que as equações do

cálculo de fase, utilizando-se maior número de imagens, têm melhor precisão e

possivelmente menor erro do que as equações que utilizam uma quantidade menor

de imagens. Uma possível razão para isso seria porque com mais imagens tem-se

mais informação e maior redundância de medições, o que reduz os erros aleatórios

das medidas obtidas por meios das fotografias.

A intenção deste capítulo foi testar as novas equações do cálculo de fase que

utilizam mais de quatro imagens, comprovando-se que sua utilização é viável e

indicada para compor algoritmos melhores e com maior precisão na implementação

da Técnica Moiré de Sombra com Deslocamento de Fase.

Após inúmeras tentativas, não se conseguiu determinar o quanto o erro

diminui com o aumento do número de imagens. Talvez a Técnica Moiré de Sombra

não seja a mais indicada para isso, pelo fato do erro ser dependente de um grande

227

número de variáveis como o espaçamento do retículo, o valor do ângulo

deslocamento de fase, a iluminação usada, o tamanho do objeto a ser medido, a

resolução em pixéis da câmera etc.

Nota-se ainda que, com quatro imagens fotográficas reais, e aplicando a

Técnica Moiré de Sombra com Deslocamento de Fase, obteve-se um erro relativo

em torno de 2% a 9% dos valores medidos, e que na medida em que se aumenta o

número de imagens, este erro relativo cai, ficando em torno de 0,1% a 5% para

dezesseis imagens (Equação 2.9).

Observa-se que nenhuma das metodologias de testes usadas neste capítulo

são inéditas. Mas que existe uma vasta bibliografia sobre elas e vários exemplos dos

seus usos na verificação de outros algoritmos do cálculo de fase. De original na tese

são as novas equações de cálculo desenvolvidas e a aplicação destas conhecidas

metodologias de Estatísticas e de Metrologia para testar estas inéditas equações do

cálculo de fase criadas neste trabalho científico.

228

CAPÍTULO VI - CONCLUSÕES

Como proposto em seu objetivo geral, desenvolveu-se, nesta pesquisa, uma

generalização do Algoritmo de Carré, comprovando que a mesma não está mais

restrita a quatro amostras ou imagens. Com estas novas técnicas, conseguiram-se

obter medidas mais precisas e com menores incertezas. Estas novas equações do

cálculo de fase foram testadas na Técnica Moiré de Sombra com Deslocamento de

Fase, com o passo de deslocamento de fase desconhecido para quatro ou mais

imagens.

Métodos numéricos foram utilizados para a obtenção dessas novas equações

de generalização do Algoritmo de Carré, alterando o enfoque do problema tratado,

até então, como analítico e algébrico. Por essa razão, consideram-se essas novas

equações inéditas como um dos mais importantes resultados desta pesquisa. De

forma criteriosa, as novas equações desenvolvidas foram analisadas e testadas

metrologicamente, por meio de análise de erro e da caracterização e estimação das

prováveis fontes de incerteza. A análise de incerteza permitiu comparar as novas

equações do cálculo de fase desenvolvidas.

O capítulo III apresenta o processo de desenvolvimento das equações do

cálculo de fase inéditas e totalmente originais, descrevendo, passo a passo, como as

novas equações foram encontradas cronologicamente. Não se obteve sucesso em

estimar como o erro médio métrico nas medidas do perfil dos objetos diminui à

medida que se aumenta o número de imagens. Uma razão para este fracasso foi à

enorme quantidade de variáveis que influenciaram as medições, utilizando-se Moiré

de Sombra. Mas é de grande importância que estas novas equações do cálculo de

fase sejam mais estudadas e trabalhadas no futuro.

A própria Técnica Deslocamento de Fase usando 3,4 ou 5 imagens já é uma

forma de melhorar a precisão das medições com Moiré de Sombra, uma vez que

com uma única fotografia de franjas e aplicando FFT, podem-se realizar as medidas

perfilométricas de objetos. Usa-se 3 imagens, no mínimo na técnica padrão, pois se

tem três incógnitas Im, Ia e φ. O Algoritmo de Carré usa quatro imagens, uma vez que

se tem 4 incógnitas Im, Ia, φ e δ. A generalização de Carré apresentada neste estudo

pauta-se numa visão mais ampla, que considera ruídos nas imagens e usa

equações com um grande número de imagens para melhorar a precisão das

229

medições. A questão dessa abordagem não é o número de incógnitas, mas a

melhoria das medidas obtidas com o aumento da quantidade de observação ou

informações sobre o perfil de um objeto. A hipótese da existência de grande

quantidade de ruídos nas imagens parece ser verdadeira. Os erros randômicos

podem ser reduzidos com maior número de medidas, e os erros sistemáticos, só

com calibração.

No processo de comparação das novas equações do cálculo de fase, usou-se

a inferência estatística através do Teste T-Student, para determinar, pela média,

qual era a mais precisa e qual apresentava menor incerteza nas medições.

Observou-se que, quanto maior o número de imagens reais (fotografias digitais) ou

com ruídos aleatórios, menores os erros médios em milímetros das medidas

realizadas com a aplicação da Técnica de Moiré.

O teste estatístico T-Student emparelhado mostrou, claramente, que quando

se aumenta o número de imagens para se realizar a medição, tem-se uma melhor

precisão e um menor erro médio métrico nas medidas do perfil dos objetos. Com a

alteração da equação do cálculo de fase, mantendo-se do número de imagens, não

se nota melhoria na precisão e o erro médio métrico nas medidas do perfil é bem

semelhante. Este fenômeno se deve à presença de erros aleatórios nas fotografias

de Moiré, que foi comprovada, usando-se imagens geradas pelo computador.

Quando, nas imagens geradas, não se acrescentava os erros aleatórios, o erro

médio métrico nas medidas do perfil dos objetos era praticamente o mesmo para

qualquer número de imagens. Por outro lado, quando nas imagens geradas por

computador se acrescentava os erros aleatórios, o erro médio métrico nas medidas

do perfil dos objetos diminuía com o aumento do número de imagens.

Dentre as vantagens das novas equações do cálculo de fase propostas nesta

tese está à melhoria na precisão das medidas obtidas, como mostrado pelo Teste T-

Student no Capítulo V, e a maior imunidade a ruídos aleatórios presentes nas

imagens fotográficas das Franjas de Moiré. Entre as desvantagens, está à maior

quantidade de imagens necessárias para realizar as medições e a obrigatoriedade

do deslocamento de fase entre as imagens serem as mesmas e constantes. O

deslocamento de fase pode ser qualquer valor, mas este valor deve ser exatamente

o mesmo entre todas as imagens, o que dificulta a suas aquisições.

O Algoritmo de Carré foi expandido nesta pesquisa, podendo as novas

equações deduzidas serem aplicadas em diversos campos da Engenharia.

230

Constatou-se, pois, que seu uso transcende a Técnica de Moiré e da interferometria,

podendo ser usado na análise de sinais, em telecomunicações e em microscopia

eletrônica. Desta forma, conclui-se que é possível a utilização da generalização do

Algoritmo de Carré na ampliação e visualização em três dimensões de objetos muito

pequenos, pelo uso de várias imagens e observações.

A implementação computacional de fácil utilização e entendimento da Técnica

Moiré de Sombra com Deslocamento de Fase e de técnicas numéricas de

Otimização Inteira Não-linear se fizeram necessária para o desenvolvimento da

pesquisa. Também uma revisão bibliográfica sobre a Técnica Moiré de Sombra com

Deslocamento de Fase e métodos numéricos de Programação Inteira Não-linear se

impôs, gerando um material didático consistente e de fácil compreensão.

Nota-se ainda que a Técnica Moiré de Sombra com Deslocamento de Fase foi

usada apenas para se comparar as novas equações desenvolvidas. Em vista disso,

não houve necessidade de se estimar detalhadamente e minuciosamente todas as

possíveis fontes de erros e incertezas nas montagens experimentais. Uma vez que

as mesmas imagens fotográficas eram usadas em todas as equações de cálculo de

fase desenvolvidas. Isso facilitou tremendamente o trabalho experimental da tese.

A principal contribuição inédita da tese são as novas equações de cálculo de

fase desenvolvidas. Estas equações devem ser aplicadas quanto o passo do

deslocamento de fase é desconhecido, mas constante entre as imagens. Destaca-

se, também o modelo matemático criado para o desenvolvimento destas novas

equações e o uso de métodos numéricos para a resolução deste modelo. Outro fato

importante é a observação de que usando equações para o cálculo de fase com um

número crescente de imagens nota-se uma diminuição na incerteza e no erro das

medições experimentais com a Técnica Moiré de Sombra com Deslocamento de

Fase.

Acredita-se que a tese seja uma contribuição importante no uso do Algoritmo

de Carré que não fica mais restrito a quatro observações ou medidas. Além disso, a

tese representa avanços em medições ou métodos experimentais usando a Técnica

de Moiré com Deslocamento de Fase, buscando mais precisão e exatidão nas

medidas com maior imunidade a ruídos e robustez na sua aplicação.

Dentre os resultados obtidos, a Técnica Moiré de Sombra com Deslocamento

de Fase mostrou-se perfeitamente utilizável em muitas aplicações práticas da

indústria automobilística, sendo possível melhorar, ainda mais, a sua precisão,

231

diminuindo a margem de erro na medição do perfil de objetos. Pelo que foi

assimilado durante os testes, acredita-se que muitos avanços podem ser realizados

no sentido de tornar esta técnica uma das mais importantes nas medições óticas em

três dimensões.

Os objetivos da tese ora defendida foram plenamente alcançados, embora o

sucesso de qualquer estudo científico se ratifique, efetivamente, na sua

continuidade. Logo, é de grande importância que as pesquisas sobre as Técnicas de

Moiré e o Algoritmo de Carré permaneçam incluídas no Programa de Pós-graduação

em Engenharia Mecânica e no Laboratório de Análise Estrutura da Pontifícia

Universidade Católica de Minas Gerais.

Antes do término deste estudo, faz-se necessário apresentar a proposta de

evolução da tese ora defendida, que representa um esforço significativo e muito

importante no âmbito das pesquisas sobre o Algoritmo de Carré e a Técnica de

Moiré, que deverá ter prosseguimento como parte do Programa de Pós-graduação

em Engenharia Mecânica da Pontifícia Universidade de Minas Gerais, dada a

existência de um substancial legado de pesquisas anteriores, como experimentos

montados, equipamentos, programas e técnicas já desenvolvidas.

Acredita-se que já houve um substancial avanço sobre este tema no

Laboratório de Análise Estrutural da PUC-Minas, mas pode-se alcançar um patamar

bem mais elevado no seu processo evolutivo, através de importantes aplicações

práticas para a indústria automobilísticas como, por exemplo, a criação de um

sistema automático de controle de qualidade por meio da medição de peças e

componentes, usando a Técnica de Moiré pela comparação com um padrão ou

modelo desejado.

Verificou-se que a construção de equipamentos de medição e controle de

qualidades dimensionais de peças industriais podem ser feitos pela Técnica de

Moiré, onde as peças produzidas são medidas oticamente e comparadas a um

padrão previamente estabelecido, constatando-se que o sistema computacional

rejeita ou aceita a peça, em função das medições realizadas através das suas

fotografias das Franjas de Moiré.

Aplicações nas áreas de Medicina e Odontologia também podem ser

desenvolvidas com o uso da Técnica de Moiré na medição e análise da coluna

vertebral, planta dos pés e arcada dentária, auxiliando no diagnóstico de doenças e

prevenção de problemas futuros para a saúde das pessoas.

232

Utilizar as Técnicas Moiré de Sombra para determinar, com a necessária

precisão, deslocamentos e posições relativas de corpos em movimento, como na

presente proposta, a capacidade de um disco ou prato giratório flexível que se

deforma sobre a ação de forças inerciais. Ou seja, a Técnica de Moiré poderia ser

aplicada com resultados satisfatórios na geração de Modelos Digitais de Elevação

ou Topográficos de superfícies irregulares em movimento.

Desenvolver um sistema para inspecionar a qualidade dos vidros utilizados

em automóveis, usando a Técnica de Moiré. Propõem-se o desenvolvimento de um

processo de computador para detecção de pontos de defeitos e distorções

presentes em vidros usados em automóveis como pára-brisas, utilizando

Processamento Digital de Imagens em fotos obtidas por meios de câmeras digitais,

pela Técnica Moiré de Sombra com Deslocamento de Fases.

Uma importante proposta de pesquisa seria o desenvolvimento de

equipamentos para melhorar e aumentar a precisão da Técnica de Moiré. Usando a

oficina do Programa de Pós-graduação em Engenharia Mecânica da Pontifícia

Universidade Católica de Minas Gerais e com a aquisição de outros equipamentos,

poder-se-ia criar novos processos no uso da Técnica Deslocamento de Fase.

Uma ideia seria um sistema que movesse o retículo com velocidade constante

e uma câmera digital pudesse capturar dezenas de imagens por segundo em

intervalos de tempos iguais. Com isso seria possível testar as novas equações

criadas, nesta pesquisa, para muitas imagens usando Moiré de Sombra. Outra ideia

seria a implementação da Técnica de Moiré de Projeção, mas para isso seriam

necessários projetores de luz (tipo Data Show), onde se projetaria os retículos já

com o deslocamento de fase para, automaticamente, capturar as imagens com uma

câmera digital.

Usando equipamentos com um custo maior como fontes de luz com feixes

paralelos de alta potência e retículos com milhares de linhas por mm, seria possível

fazer medições de alta precisão com erro da ordem de micrometros ou até

nanômetros com diversas aplicações práticas e industriais. Muitos objetos,

equipamentos e projetos que podem ser aproveitados estão disponíveis no

Laboratório de Análise Estrutural, inclusive, softwares prontos e testados para as

medições de Moiré.

Propõem estudos melhores e mais detalhados das novas equações de

cálculo desenvolvidos nesta tese, principalmente das equações com grande

233

quantidade de imagens. Estas não foram estudadas experimentalmente por

limitação da montagem experimental realizada, que dificultava o trabalho com um

número grande de deslocamentos de fase controlada por meio de ajustes manuais

no micrômetro fixado no retículo.

Propõem, também estudos quantitativos de como o erro médio métrico

diminui à medida que se usa as novas equações do cálculo de fase aumentando a

quantidade de imagens. Na tese conseguiu-se mostrar por meio do Teste T-Student

para pequenos números de imagens (até 16) que quando se utilizava para cálculo

da fase equações com quantidades de imagens maiores, o erro médio métrico das

medições diminuía. Mas não se conseguiu determinar a evolução deste decréscimo

no erro devido à enorme quantidade de variáveis que influência a Técnica Moiré de

Sombra. Talvez utilizar a generalização de Carré em outros campos da Engenharia

possam se obter mais sucesso que nesta pesquisa.

Propõem, ainda o desenvolvimento de novas regras e esquemas de geração

de equações do cálculo de fase sem o uso do Método Branch-and-Bound. Além

disso, fazer uma comparação mais detalhada entre equações com o mesmo número

de imagens para verificar se existem vantagens em usar alguma preferencialmente

do que outras. Estudos estatísticos e numéricos de erros podem colaborar neste

trabalho.

234

REFERÊNCIAS

AFFONSO, E. A.; FABBRO, I. M.; DEMARZO, M. A. Application of a moiré technique in “studying wooden structural” connectio ns . In: INTERNATIONAL CONGRESS ON INFORMATION TECHNOLOGY IN AGRICULTURE, FOOD AND ENVIRONEMENT, 2003, Izmir. Itafe 03. Izmir, Turkey: vKamil Okyay Sindir, 2003. p. 608-611. ALBERTAZZI, Armando; SOUSA, André Roberto de. Fundamentos de metrologia científica e industrial / Armando Albertazzi, André Roberto de Sousa. Barueri, SP: Manole, 2008. xiv, 407 p. ISBN 9788520421161. ARENALES, Marcos Nereu et al. Pesquisa operacional. Rio de Janeiro: Elsevier, 2007. 523 p. (Coleção CAMPUS-ABEPRO. Engenharia de produção) ISBN 8535214542. ASUNDI, A.; YUNG, K. H. Logical moiré and its application. Experimental Mechanics . London, v. 31, n. 3, p. 236-242, set. 1991. ASUNDI, A. Novel techniques in reflection moiré. Experimental Mechanics. London, v. 34, n. 5, p. 230-242, sept. 1994. ASUNDI, A. MATLAB® For photomechanics-A primer. 1 ed. Elsevier Science, dez. 1, 2002. ISBN-13: 978-0080440507. ASUNDI, A. Computer aided moiré methods. 1998. Disponível em: <http://www.ntu.edu.sg/mpe./reserch/Prigrammes/sensors/sensors/Moiré/camm. html>. Acesso em: 15 abr. 2007. ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. INMETRO. Guia para a expressão da incerteza de medição . 3. ed. Rio de Janeiro: ABNT, 2003. 120 p. ISBN 850700251X. AUTODESK, INC. AUTOCAD 2000 user’s guide . San Rafael, Autodesk, Inc. 1999. BATALHA, Mário Otávio (Org.). Introdução à engenharia de produção. Rio de Janeiro: Elsevier, Campus, 2008. 312 p. (Campus - Abepro. Engenharia de produção) ISBN 9788535223309. BATOUCHE, M.; BENLAMRI, R.; KOLLADI, M. K. A computer vision system for diagnosing scoliosis using moiré images. Computation in Biology and Medicine . v. 26, n. 4, p. 339-353, mar., 1996. BAZARAA, M. S.; SHERALI, Hanif, D.; SHETTY, C. M. Nonlinear programming: theory and algorithms. 2. ed. New York: J. Wiley & Sons, 1993. 638 p. ISBN 0471557935. BEER, Ferdinand Pierre; JOHNSTON, E. Russell. Resistência dos materiais. 3. ed. São Paulo: Makron Books, 1995. 1255 p. ISBN 8534603448.

235

BENOSTAN. Moiré topography theory . 1997. Disponível em: <http://www.otenet.gr/benostan/MOIRE.html>. Acesso em: 18 mai. 2007. BERTSEKAS, Dimitri P. Nonlinear programming. 2. ed. Belmont: Athena Scientific, 2003. 786 p. ISBN 1886529000. BICALHO, Gustavo Inácio. Simulação numérica de molas especiais através do método de elementos finitos . 2001. 94 f. Projeto de Pesquisa (Doutorado em Engenharia Mecânica) – Faculdade de Engenharia, Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais, Belo Horizonte, 2001. BONÉ, D. J. Fourier fringe analysis: the two-dimensional phase unwrapping problem. Appl. Opt. , v. 30, p. 362-363, 1991. BORESI, A.; CHONG, K. Elasticity in engineering mechanics . John Wiley & Sons, 2000. BOVIK, Alan C. Handbook of image and video processing . 2. ed. Amsterdam: Elsevier Academic, 2005. 1372 p. ISBN 0121197921. BRASIL. Sistema internacional de unidades. SI. 2. ed. Duque de Caxias, 1979. p.68. BREQUE, C.; DUPRE, J. C.; BREMAND, F. Calibration of a system of projection moiré for relief measuring: biomechanical applications. Optics and Laser in Engineering , v. 41, n. 2, p. 241-260, fev. 2004. BUDYNAS, Richard G. Advanced strength and applied stress analysis. 2. ed. Boston: WCB: McGraw-Hill, 1999. 935 p. ISBN 007008985X. CAI L, LIU Q.; YANG, X. Phase-shift extraction and wave-front reconstruction in phase-shifting interferometry with arbitrary phase steps. Opt Lett , n. 28, p. 1808-1810, 2003. CAI L, LIU Q.; YANG, X. Generalized phase-shifting interferometry with arbitrary unknown phase steps for diffraction objects. Opt Lett , v. 29, p. 183-185, 2004. CANTÙ, Marco. Dominando o delphi 6: a bíblia. São Paulo: Makron Books, 2002. 934 p. ISBN 8534614083. CANTÙ, Marco. Dominando o Delphi 7: "a bíblia ". São Paulo: Pearson Education do Brasil, 2003. 801 p. ISBN 8534615187. CARNAHAN, Brice; LUTHER, H. A.; WILKES, James O. Applied numerical methods. New York: J. Wiley, 1969. 604 p. ISBN 0894644866. CARRÉ, P. Installation et utilisation du comparateur photoelectrique et interferential du bureau international despoids de mesures. Metrologia , v. 2, p. 13, 1966.

236

CHAPRA, Steven C.; CANALE, Raymond P. Numerical methods for engineers . 2. ed. New York: McGraw-Hill, 1988. 839 p. ISBN 0079099440. CHEN, Lujie; QUAN, Chenggen. Fringe projection profilometry with nonparallel illumination: a least-squares approach. Optics Letters . Published by OSA 30, p. 2101-2103, 2005. CLAUDIO, Dalcidio Moraes; MARINS, Jussara Maria. Cálculo númerico computacional: teoria e prática. 3. ed. São Paulo: Atlas, 2000. 464 p. ISBN 8522424853. CLOUD, G. Optical methods of engineering analysis . Cambridge: Cambridge University Press, 1998. COELHO, Cândida Pinto; TAVARES, João Manuel R. S. Introdução às Técnicas para Levantamento de Formas Tridimensional sem Cont acto. Faculdade de Engenharia da Universidade do Porto, Departamento de Engenharia Mecânica e Gestão Industrial, 2002. Disponível em : <http://www.fe.up.pt/~tavares>. Acesso em 10 dez 2007. CORDERO R. Raul; MOLIMARD J.; MARTINEZ A.; LABBE F., Uncertainty analysis of temporal phase stepping algorithms for interferometry, Optics Communications , 275, p. 144-155, 2007. COSTA, Rodrigo Franco Corrêa da; SESSELMANN, Meinhard. Medição do arco medial plantar usando Shadow Moiré com deslocamento de fase . 2006. Dissertação (Mestrado em Engenharia Mecânica). Escola de Engenharia, Universidade Federal de Minas Gerais, Belo Horizonte, 2006. CREATH, K., Phase-shifting speckle interferometry, Appl. Opt. 24, p. 3053-3058, 1985. CREATH, K. Phase – measurement interferometry techniques. In WOLF, E. (Ed.). Progress in Optics . Elsevier Science, Amsterdam, v. XXVI. p. 349-393, 1988. CURLESS, B. SIGGRAPH 99 - Course on 3D Photography: overview of active vision techniques, 2001. Disponível em: <http://www.cs.cmu.edu/~seitz/course/SIGG99/slides/curless-active.pdf.> . Acesso em: 08 dez. 2007. DALE, Nell B.; JOYCE, Daniel T.; WEEMS, Chip. Object-oriented data structures using Java. 2. ed. Sudbury: Jones and Bartlett, 2006. 779 p. ISBN 9780763737467. DALLY, James W.; RILEY, William F. Experimental stress analysis. 3. ed. New York: McGraw-Hill, 1991. 639 p. (Schaum's outline series in mechanical engineering). DEL-VECCHIO, Sara; BARBOSA, Marcos Pinotti; SESSELMANN, Meinhard. Medição de superfícies livres tridimensionais a par tir da técnica de moiré de

237

projeção . 2006, Dissertação (Mestrado em Engenharia Mecânica) – Escola de Engenharia, Universidade Federal de Minas Gerais, Belo Horizonte, 2006. DIRKX, J. J. J.; DECRAEMER, W. F.; DIELIS, G. Phase shift method based on object translation for full field automatic 3-D surface reconstruction from moiré topograms. Applied Optics . Washington, v. 27, n. 6, p. 1164-1169, mar. 1988. DIRKX, J. J. J.; DECRAEMER, W. F. Automatic calibation method for phase shift shadow moiré interferometry. Applied Optics . Washington, v. 29, n. 10, p. 1474-1476, abr. 1990. DOEBELIN, Ernest O. Measurement systems: application and design. 4. ed. New York: McGraw-Hill, 1990. 960 p. ISBN 0070173389. DURELLI, A. J.; PARKS, V. J. Moiré analysis of strain. Englewwod Cliffs: Prentice-Hall, 1970 apud CLOUD, G. Optical methods of engineering analysis . Cambridge: Cambridge University Press, 1998. ELETRONIC PACKAGING SERVICES. Shadow moiré . Disponível em: <http://www.warpfinder/shadowmoire.html>. Acesso em: 22 mar. 2007. EASTMAN, J. R. IDRISI 32: guide to GIS and image processing. Worcester: Clark University, 1999. v. 1. EASTMAN KODAK COMPANY. Kodak digital science DC120 zoom digital camera: user’s guide for camera and software. Rochester: Eastman Kodak Company, 1997. EGLIT, Margarita E.; HODGES, Dewey H. Continuum mechanics via problems and exercises. Singapore: World Scientific, 1996. v. 2. ISBN 9810225466. FARIAS, Alfredo Alves de; SOARES, José Francisco; CÉSAR, Cibele Comini. Introdução à estatística. 2. ed. Rio de Janeiro: LTC - Livros Técnicos e Científicos, 2003. 340 p. ISBN 8521612931. FARRER, Harry et al. Algoritmos estruturados. 3. ed. Rio de Janeiro: LTC - Livros Técnicos e Científicos, 1999. 284 p. (Programação Estruturada de Computadores). ISBN 8521611803. FARRER, Harry et al. Pascal estruturado. 3. ed. Rio de Janeiro: LTC - Livros Técnicos e Científicos, 1999. 279 p. (Programação Estruturada de Computadores ) FAUPEL, J. H.; FISHER, F. E. Engineering design . 1981. (A systhesis of stress analysis and materials engineering). FRANÇA, Michelle Cruz. Uma simulação numérica de evolução do dano. 2005. 198 f. Dissertação (Mestrado em Engenharia Mecânica) – Faculdade de Engenharia, Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais, Belo Horizonte, 2005.

238

FRIEDLANDER, B.; FRANCOS, J. M. Model based phase unwrapping of 2-D signals. IEEE Transition Signal Processing , v. 44, p. 2999-3007, 1996. FROTA, Maurício N.; OHAVON, Pierre. Padrões e unidades de medida : Referências Metrológicas da França e do Brasil. INMETRO/LNM, 1998. FUNNELL, W. R. J.; DECRAEMER, W. F. Moiré shape measurements in eardrum models . 2000. Disponível em: <http://funsn.biomed.mcgill.ca/~funnell/AudiLab/drumsh.html> . Acesso em: 10 abr. 2007. GALBIATI, L. J. J. R. Machine vision and digital image processing fundamentals. 1. ed. New Jersey: Prentice Hall Inc, 1990. 164 p. GASVIK, K. J. Moiré techniques by means of digital image processing. Applied Optics . Washington, v. 22, n. 23, p. 3543-3548, set. 1983. GERE, James M. Mecânica dos materiais. São Paulo: Thomson, 2003. 698 p. ISBN 8522103135. GHIGLIA D. C.; ROMERO, L. A. Robust two-dimensional weighted and unweighted phase unwrapping that uses fast transforms and iterative methods. J. Opt. Soc. Amer A , v. 11, p. 107–117, 1994. GHIGLIA D. C.; PRITT M. D. Two-dimensional phase unwrapping: Theory, algorithms and software. New York: John Wiley & Sons, 1998. GOLDBARG, Marco Cesar; LUNA, Henrique Pacca L. Otimização combinatória e programação linear: modelos e algoritmos. 2. ed. rev. e atual. Rio de Janeiro: Campus, 2005. 518 p. ISBN 9788535215205. GOLDEN SOFTWARE, INC. SURFER 32 user’s guide . Golden - Golden Software, Inc, 1995. GOMES, Jonas de Miranda; VELHO, Luiz. Fundamentos da computação gráfica . Rio de Janeiro: IMPA, 2003. 603 p. (Série de Computação e Matemática). ISBN 8524402008. GOMES, Túlio Seabra. Interferometria Speckle e Moiré geométrico aplicado s à perfilometria de protótipos mecânicos. 2005. 69 p. Dissertação (Mestrado em Engenharia Agrícola) – Faculdade de Engenharia, Universidade Federal de Lavras, Lavras, 2005. GONÇALVES JÚNIOR, Armando Albertazzi. Metrologia . Florianópolis: UFSC, Departamento de Engenharia Mecânica, 1996. v. 1. GONZALEZ, Rafael C.; WOODS, Richard E. Processamento de imagens digitais . São Paulo: E. Blücher, 2000. 509 p. ISBN 8521202644.

239

GONZALEZ, Rafael C.; WOODS, Richard E.; EDDINS, Steven L. Digital image processing using MATLAB . Upper Saddle River: Pearson-Prentice Hall, 2004. 609 p. ISBN 0130085197. GUILD, John. The interference systems of crossed diffraction gra tings: theory of moire fringes. Oxford: Clarendon, 1956. 152 p. GUIMARÃES, Vagner A. Controle dimensional e geométrico : uma introdução à metrologia industrial. Passo Fundo: Editora da Universidade de Passo Fundo, 1999. HAN, Chang Woon. Shadow moiré using non-zero talbot distance and application of diffraction theory to moiré interfer ometry . 2005. Tese (Doutorado). University of Maryland, College Park, 2005. HANSELMAN, Duane C.; LITTLEFIELD, Bruce. Mastering MATLAB 7. Upper Saddle River: Pearson Prentice Hall, c2005. 852 p. ISBN 0131430181. HERTZ Hellen, et al. Desenvolvimento da técnica moiré de sombra como alternativa de baixo custo para análise postural. Scientia Medica. Porto Alegre: PUCRS, v. 15, n. 4, out./dez. 2005. HIBBELER, R. C. Resistência dos materiais. 5. ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil, 2004. 670 p. ISBN 8587918672. HILLIER, Frederick S.; LIEBERMAN, Gerald J. Introduction to operations research. 8. ed. McGraw-Hill, 2005. 1 CD-ROM. HILLIER, Frederick S.; LIEBERMAN, Gerald J. Introdução à pesquisa operacional . São Paulo: McGraw-Hill, 2006. 828 p. ISBN 8586804681. HOFFMAN, Joe D. Numerical methods for engineers and scientists . 2. ed. rev. New York: Marcel Dekker, 2001. 823 p. ISBN 0824704436. HU, Q. 3-D Shape measurement techniques . 2001. Disponível em: <http://www.sinc.sunysb.edu/Stu/qhu/Chapter1.htm>. Acesso em: 06 set. 2007. HUANG, Peisen S.; GUO, Hong. Phase-shifting shadow moiré using the Carré algorithm. Two- and Three-Dimensional Methods for Inspection and Metrology VI. Edited by Huang, Peisen S.; Yoshizawa, Toru; Harding, Kevin G. Proceedings of the SPIE , Volume 7066, pp. 70660B-70660B-7 (2008). HUNT, B. R. Matrix formulation of the reconstruction of phase values from phase differences. J. Opt. Soc. Amer. A , v. 69, p. 393–399, 1979. HUNTLEY J. M. Noise imune phase unwrapping algorithm. Appl. Opt. n. 28, p. 3268-3270, 1989. IDEA. Software IDEA: interferometric data evaluation algorithms. Disponível em: <http://www.optics.tu-graz.ac.at/idea/idea.html >. Acesso em: 10 jul. 2007.

240

INMETRO. Vocabulário internacional de termos fundamentais e gerais de metrologia. 2. ed. Brasília: SENAI/DN: INMETRO, 2000. 75 p. ISBN 8587090909. ISO 3538. International standard : ooad vehicles – safety glazing materials – test methods for optical properties . 2. ed. 1997. ISO Guide to the Expression of Uncertainty in Measureme nt, Supplement 1: Numerical Methods for the Propagation of Distributi ons , ISO, Geneva, 2004, p. 38. ISO GUM. Guide to the Expression of Uncertainty in Measureme nts , International Organization for Standardization, Genebra. (www.iso.org) 1995. JARVIS. R. A. A Perspective on Range Finding Techniques for Computer Vision. IEEE Trans. PAMI . v. 5, n. 2, p. 122-139, 1983. JOINT COMMITTEE FOR GUIDES IN METROLOGY (JCGM), Bureau International des Poids et Mesures (BIPM), Evaluation of measurement data — Guide to the expression of uncertainty in measurement , GUM 1995 with minor corrections, JCGM 100:2008, 2008. Disponível em: <http://www.bipm.org/utils/common/documents/jcgm/JCGM_100_2008_E.pdf> . Acesso em 25 nov.2008. JOINT COMMITTEE FOR GUIDES IN METROLOGY (JCGM), Bureau International des Poids et Mesures (BIPM), Evaluation of measurement data — Supplement 1 to the “Guide to the expression of uncertainty in m easurement” — Propagation of distributions using a Monte Carlo method , JCGM 101:2008, 2008. Disponível em: <http://www.bipm.org/utils/common/documents/jcgm/JCGM_101_2008_E.pdf> . Acesso em 25 nov.2008. JOINT COMMITTEE FOR GUIDES IN METROLOGY (JCGM), Bureau International des Poids et Mesures (BIPM), International vocabulary of metrology — Basic and general concepts and associated terms (VIM) , JCGM 200:2008, 2008. Disponível em: <http://www.bipm.org/utils/common/documents/jcgm/JCGM_200_2008.pdf> . Acesso em 25 nov.2008. JUDGE, T. R. FRANSYS fringe analysis system documentation . Optical Engineering Laboratory. Dept. of Eng., University of Warwick. 1996. Disponível em: <http://www.eng.warwick.ac.uk/oel/courses/undergrad/lec9/FRAN%20Instructions.pdf > Acesso em: 20 mai. 2007. JUVINALL, Robert C. Engineering considerations of stress, strain and st rength . New York: McGraw-Hill, 1967. 580 p. JUVINALL, Robert C.; MARSHEK, Kurt M. Fundamentals of machine component design . 4. ed. New Jersey: John Wiley, 2006. 832 p. ISBN 9780471661771. KHARAB, Abdelwahab; GUENTHER, Ronald B. An introduction to numerical methods: a MATLAB approach. Boca Raton: CRC Press, 2002. 431 p. ISBN 158488281.

241

KAK, Avinash C. Programming with objects: a comparative presentation of object-oriented programming with C++ and Java. Hoboken: Wiley-Interscience, 2003. 1115 p. ISBN 0471268526. KATSUKI, T.; GOTO, M.; KAWANO, Y.; TASHIRO, H. Quantification of symmetry of the nose using an analysis of moiré photographs of a face. In: VON BALLY, G.; GREGUSS, P. (Eds). Optical in biomedical sciences: spring Series. Optical Science , v. 20, p. 267-269, 1982. KAWAMURA, Márcio Seiti; RONCONI, Débora Pretti. Aplicação do método branch and bound na programação de tarefas em uma única má quina com data de entrega comum sob penalidades de adiantamento e atr aso. São Paulo: EPUSP, 2006. 24 p. (Boletim Técnico da Escola Politécnica da USP - 606). KEMAO, Q.; FANGJUN, S.; and XIAOPING, Xiaoping, Determination of the best phase step of the Carré algorithm in phase shifting interferometry, Meas. Sci. Technol. 11, 1220-1223, 2000. KENT, Jeffrey A. C++ desmistificado: formação técnica : um guia de aprendizado. Rio de Janeiro: Alta Books, c2004. 261p. ISBN 8576080575. KERNIGHAN, Brian W.; RITCHIE, Dennis M. C : a linguagem de programação padrão ANSI. Rio de Janeiro: Elsevier, c1989. 289 p. ISBN 8570015860 KEPRT, J.; VYHNÁNKOVÁ, R.; BARTONEK, L. Shadow moiré topography: theory and application. Physica , v. 37, p. 137-159, 1988. KERATRON, Cornel, Moiré fringe: comparing moiré fringes to Placido based topography. 1999. Disponível em: <http://209.155.2.106/keratron.html> . Acesso em 5 mai.2007. KNACKFUSS, Irocy Guedes et al. A utilização da estereofotografia de moiré na detecção de escolioses. Fisioterapia Brasil . Rio de Janeiro, v. 5, n. 5 , p. 357-361, set./out. 2004. KREYSZIG, Erwin; NORMINTON, Edward J. Maple computer guide: a self -contained introduction for Erwin Kreyszig - advanced engineering mathematics. 8 ed. New York: J. Willey, 2001. 245 p. ISBN 0471386685. LACHTERMACHER, Gerson. Pesquisa operacional na tomada de decisões: modelagem em Excel. 3. ed. rev. e atual. Rio de Janeiro: Elsevier, Campus, 2007. 213 p. ISBN 8535220879. LI, J. L.; SU, X. Y.; SU, H. J.; CHA, S. S. Removal of carrier frequency in phase-shifting techniques. Optics and Laser in Engineering . v. 30, p.107-115, jan. 1998. LIANG, Z. P. A model-based method for phase unwrapping. IEEE Transation Med. Imag ., v. 15, n. 6, p. 893-897, 1996.

242

LINDO. Optimization modeling with LINGO . 6. ed. Chicago, IL: LINDO Systems Inc., 2006. LINGO, LINGO users manual . Chicago, IL: LINDO Systems Inc., 2006. LINK, Walter. Metrologia mecânica: expressão da incerteza de medição. Programa RH-Metrologia. 2002. LINO, A. C. L. Técnica óptica de moiré visando a aplicação no estudo de superfícies irregulares . 2002. 85 p. Dissertação (Mestrado em Engenharia Agrícola) – Faculdade de Engenharia, Universidade Estadual de Campinas, Campinas, 2002. LIRA, Francisco Adval de. Metrologia na indústria. 6. ed. São Paulo: Érica, 2007. 246 p. ISBN 9788571947832. LORD RAYLEIGH, Phil. Mag. v. 47, 1874 apud SCHIAMMARELLA, Cesar A. The moiré method: a review. Experimental mechanics , v. 44, n. 8, p. 418-433, nov., 1982. LU, C.; YAMAGUCHI, A.; INOKUCHI, S. 3D measurement based on intensity phase analysis of intensity modulated Moiré. Electronics and communications in Japan , v. 85, n. 1, p. 71-80, 2002. LUENBERGER, David G. Linear and nonlinear programming . 2. ed. Boston: Kluwer Academic, 2003. 491 p. ISBN. 1402075936. MAHEY, Philippe. Programação não-linear: introdução à teoria e aos métodos. Rio de Janeiro: Campus-LNCC, 1987. 237 p. ISBN 8570014651. MALACARA, D. (Ed.): Optical shop testing . New York: John Wiley and Son, 1992. MANN, Prem S. Introdução à estatística. Rio de Janeiro: LTC - Livros Técnicos e Científicos, 2006. 758 p. ISBN 852161506X. MANZANO, José Augusto N. G. C++ ANSI (ISO/IEC 14882: 1998): programação de computadores : guia prático de orientação e desenvolvimento. São Paulo: Érica, 2003. 340 p. ISBN 8571949778. MARROQUIN, J. L.; RIVERA, M. Quadratic regularization functionals for phase unwrapping. J. Opt. Soc. Amer. A., v. 12, p. 2393–2400, 1995. MATSUMOTO, Élia Yathie. MATLAB 7: fundamentos. 2. ed. São Paulo: Érica, 2006. 376p. ISBN 8536500328. MAZZETI FILHO, V. M. Utilização da intreferometria de moiré na caracterização de rotores de máquinas agrícolas . 2004. 112 p. Dissertação (Mestrado em Engenharia Agrícola) – Faculdade de Engenharia,Universidade Estadual de Campinas, Campinas, 2004.

243

MEADOWS, D. M.; JONHSON, W.O.; ALLEN, J. B. Generation of surface contours by moiré patterns. Applied Optics. Washington. v. 9, n. 4, p. 942-47, mar., 1970. MELCONIAN, Sarkis. Mecânica técnica e resistência dos materiais. 12. ed. São Paulo: Livros Erica, 2001. 360 p. ISBN 8571940010 (broch.). MIKS, A.; NOVAK, J. Application of multi-step algorithms for deformatio n measurement . SPIE Proc. 4398, p. 280–288, 2001. MIKS, A.; NOVAK, J. Fringe tracing technique in the process of optical testing. Physical and Material Engineering . Prague, 2002. MONTGOMERY, Douglas C.; RUNGER, George C.; HUBELE, Norma Faris. Estatística aplicada à engenharia. Rio de Janeiro: LTC - Livros Técnicos e Científicos, 2004. 335p. ISBN 8521613989. MOORE, D. T.; TRUAX, B. E. Phase-locked moiré fringe analysis for automatic contouring of diffuse surface . Applied Optics. Washington, v. 18, n. 4, p. 91-96, mar., 1979. MULOT, M. Application of moiré to the study of mica deformati on . Rev. D’Optique. Washington. v. 4,. p. 252-259, mai., 1925 apud SCHIAMMARELLA, Cesar A. The moiré method: a review . Experimental Mechanics, v. 44, n. 8, p. 418-433, nov., 1982. NATIONAL COOPERATIVE HIGHWAY RESEARCH PROGRAM - INNOVATION DESERVING EXPLORATORY ANALYSIS PROGRAM, 2000. Surface condition assessment and profiler system for pavements using shadow moiré interferometry . 2000. Disponível em: http://www.nas.edu/trb/about/nchrp-i12.html . Acesso em: 03 fev. 2007. NEUGEBAUER, H.; WINDISCHBAUER, G. Moiré topography in scoliosis research. In: VON BALLY, G.; GREGUSS, P. Optical in biomedical sciences: spring series in optical science. p. 250-253, 1982. NISHIJIMA, Y. Moiré patterns: their application to refractive index and refractive index gradient measurements. Journal of the Optical Society of America. Washington, v. 54, n. 1, p. 1-5, 1964. NOVAK, J. Error analysis of three-frame algorithms for evalua tion of deformations. Interferometry of speckle light: theory and applications. Berlim: Springer Verlag, 2000. 439 p. NOVAK, J. Analysis and evaluation of interference patterns. MATLAB, Prague. Anais… Prague, 2001. NOVAK, J. Computer simulation of phase evaluation process with phase shifting technique. Physical and Material Engineering . Prague, 2002.

244

NOVAK, Jiri. Five-step phase-shifting algorithms with unknown values of phase shift. Optik - International Journal for Light and Electro n Optics , v. 114, Issue 2, 2003, p. 63-68. NOVAK, Jiri; NOVAK, P.; MIKS, Antonin. Multi-step phase-shifting algorithms insensitive to linear phase shift errors. Optics Communications , 2008. OLIVEIRA, Bruno Silva de. Imagens tridimensionais por meio da técnica de moiré: uma nova proposta. 2006. Monografia. (Graduação em Ciência da Computação) Departamento de Ciência da Computação, Universidade Federal de Lavras, Lavras, 2006. ONUMA, K.; NAKAMURA, T.; KUWASHIMA, S. Development of a new real-time phase shift interferometry for the investigation of crystal growth knetics . Journal of Crystal Growth. Washington. v. 167, p. 387-390, 1996. OSTER, G.; NISHIJIMA, Y. Moiré patterns. Scientific American Resource Library. Washington, v. 3, p. 54-63, 1964. OSTER, G.; WASSERMAN, M.; ZWERLIG, C. Theoretical interpretation of moiré patterns. Journal Optical Society of America . Washington, v. 54, n. 2, p. 169-175, 1964. PATORSKI, K. Handbook of the moiré fringe technique . Netherlands: Elsevier Science Publishers, 1993. ISBN: 0 444 88823 3. PEDRINI, Hélio; SCHWARTZ, William Robson. Análise de imagens digitais: princípios, algoritmos e aplicações. São Paulo: Thomson, 2008. 508 p. ISBN 9788522105953. PICINI, A. G. Desenvolvimento e testes de modelos agrometeorológi cos para estimativa de produtividade do cafeeiro ( Coffea arabida L. ) a partir do monitoramento da disponibilidade hídrica do solo . 1998. 132 p. Dissertação (Mestrado em Geociências) – Escola Superior de Agricultura Luiz de Queiroz, Universidade de São Paulo, Piracicaba, 1998. POST, D.; HAN, B.; IFJU, P. High sensitivity moiré: experimental analysis for mechanics and materials. New York: Spring-Verlag, 1994. PRITT, M. D.; SHIPMAN, J. S. Least-squares two-dimensional phase unwrapping using FFT’s. IEEE Transation Geoscience Remote Sensing , v. 32, p. 706–708, 1994. RAO, Singiresu S. Engineering optimization: theory and practice. 3. ed. New York: Wiley-Interscience, 1996. 903 p. ISBN 0471550345. RASTOGI P. K. Digital speckle pattern interferometry and related techniques . New York: John Wiley & Sons Inc., 2001.

245

REDNER, A. S. and BHAT, G. K. Moiré Distortiometry for the Quantitative Evaluation of Optical Quality of Glass. Glass Processing Days , 13–16 June 1999. p. 166-168 RIBEIRO, Elaine Maria; SESSELMANN, Meinhar. Análise metrológica da técnica Shadow Moire . 2006. Dissertação (Mestrado em Engenharia Mecânica) – Escola de Engenharia, Universidade Federal de Minas Gerais, Belo Horizonte, 2006. RILEY, W. F.; DURELLI, A. J. Application of moiré methods to the determination of transient stress and strain distributions. Journal of Applied Mechanics, v. 29, n. 4, 1962. ROBINSON, D. W.; REID G. T. Interferogram analysis . Philadelphia: Institute of Physics Publishing, 2003. RODRIGUES, Luciane Fernanda et al. Utilização da técnica de moiré para detectar alterações posturais. Revista de Fisioterapia da Universidade de São Paul o. São Paulo , v. 10, n. 1, p. 16-23, jan./jun., 2003. SADD, Martin H. Elasticity: theory, applications and numerics. Academic Press , ago. 2004. SANTOS, Angela Rocha dos; BIANCHINI, Waldecir. Aprendendo cálculo com Maple: cálculo de uma variável. Rio de Janeiro: LTC - Livros Técnicos e Científicos, 2002. 408 p. ISBN 8521612923. SCALDAFERRI, Denis Henrique Bianchi; PALMA, Ernani Sales. Sistema de aquisição e processamento de imagens digitais obtid as a partir da Técnica de Moiré. 2000, 124 f., Dissertação (Mestrado em Engenharia) – Escola de Engenharia, Universidade Federal de Minas Gerais, Belo Horizonte, 2000. SEGEL, Lee A; HANDELMAN, G. H. Mathematics applied to continuum mechanics. New York: Dover, 1987. 590 p. ISBN 0486653692 : (broch.) SHAPIRA, I.; VOLOSHIN, A. S. Fractional moiré fringe analysis by optimization. Optical Engineering. v. 31, n. 4, p. 838-845. jan. 1992. SMITH NETO, Perrin. Departamento de Engenharia Mecânica. Desenvolvimento de um software para avaliar deformações em peças ut ilizando a técnica Shadow Moiré . 1999. 129 f. Monografia (Especialização) – Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais, Belo Horizonte, 1999. SMITH NETO, Perrin. Análise experimental de tensões: uma valiosa ferramenta para a engenharia de projetos. Cadernos de Engenharia . Belo Horizonte, v. 8, n. 10, p. 5-16, dez. 1999. SMITH NETO, Perrin; COELHO, Guilherme Cremasco. The Shadow Moiré Method using the Phase Shifting Technique and digital image processing: computational implementation and application to the 3D-Reconstruction of a Buckled Plate. J. Braz. Soc. Mech. Sci , v. 22, n. 3. Rio de Janeiro, 2000.

246

SMITH NETO, Perrin. Análise de tensões e deformações em eixos de manive las de motores utilizando técnicas fotoelásticas e de e lementos finitos. 2001. 41f. Projeto de pesquisa (Mestrado em Engenharia Mecânica) – Faculdade de Engenharia, Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais, Belo Horizonte, 2001. SMITH NETO, Perrin. Análise de tensões e otimização de peças mecânicas através de modelagem numérico-experimental . 2002. 21f. Projeto de Pesquisa (Mestrado em Engenharia Mecânica) – Faculdade de Engenharia, Pontifícia Universidade de Minas Gerais, Belo Horizonte, 2002. SCHIAMMARELLA, C. A. The moiré method: a review. Experimental Mechanics , v. 44, n. 8, p. 418-433, nov., 1982. SOCIEDADE BRASILEIRA DE METROLOGIA; INMETRO; ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TECNICAS. Guia para a expressão da incerteza de medição . 2. ed. brasileira. Rio de Janeiro: ABNT: INMETRO: SBM, 1998. 121 p. ISBN 8586768030. SOILLE, P. Morphological phase unwrapping. Optical and Lasers in Engineering , v. 32, p. 339-352, jan., 2000. SU, X.; CHEN, W. Fourier transform profilometry: a review. Optical and Lasers in Engineering , v. 35, p. 263-284, 2001. TAHA, Hamdy A. Operations research: an introduction. 8. ed. Upper Saddle River: Pearson Prentice Hall, 2007. 813 p. ISBN 0131889230. TAKASAKI, H. Moiré topography. Applied Optics. Washington, v. 9, n. 6, p. 1457-1452, out., 1970. TAKASAKI, H. Moiré topography. Applied Optics. Washington, v. 12, n. 4, p. 845-850, abr., 1973. TENENBAUM, Aaron M.; AUGENSTEIN, Moshe. Data structures using PASCAL. 2. ed. Englewood Cliffs, N. J. Prentice-Hall, 1986. 774p. ISBN 0131966685. THEOCARIS, P. S. Moiré fringes in strain analysis. New York: Pergamon Press, 1969 apud CLOUD, Gary. Optical methods of engineering analysis . Cambridge, Cambridge University Press, 1998. 405 p. TRIOLA, Mário F. Introdução à estatística. Rio de Janeiro: LTC - Livros Técnicos e Científicos, 2008. 696 p. ISBN 9788521615866. ULRICH PINGEL. New Moiré-Fringe-Method to Inspect Transmitted Distortion and Point-Defects in Sheet-Glass. Glass Processing Days, 13–15 Sept. 1997. P. 120-124. VALENTE, Rômulo Cúrzio. Determinação de concentração de tensões em discos tronco-cônicos utilizando técnica numérico-experime ntal. 2003. 132 f. Dissertação (Mestrado) – Faculdade de Engenharia, Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais, Belo Horizonte, 2003.

247

VALERIANO, M. de M. Estimativas de variáveis topográficas por geoprocessamento para modelagem da perda de solo . 1990. 156 p. Tese (Doutorado em Geociências) – Faculdade de Geografia, Universidade Estadual Paulista, Rio Claro, 1999. WALKER, C. A. Handbook of Moiré Measurement. Institute of Physics Publishing. Bristol and Philadelphia, IOP, 2004. ISBN 0 7503 0522 3. WANG, Y.; HASSELL, P. Measurement of thermally induced warpage of BGA packages/substrates using phase-stepping shadow . 2000. Disponível em: <http://www.warpfinder.com /IPC.pdf>. Acesso em: 20 jul. 2007. WANG, Y. Shadow Moiré sensitivity increase by fringe shiftin g: phase-stepping. 2001. Disponível em: <http://www.warpfinder.com/phase.html>. Acesso em: 03 set. 2007. WANG, Zhaoyang. Development And Application Of Computer-Aided Fring e Analysis . 2003. Tese (Doutorado) – College Park, University of Maryland, Maryland, 2003. Disponível em: <https://drum.umd.edu/dspace/handle/1903/31>. Acesso em: 04 out. 2007. WANG, Zhaoyang; MA, Huanfeng. Advanced continuous wavelet transform algorithm for digital interferogram analysis and processing. Optical Engineering , v. 45-4, n. 045601, april 2006. WANG, Zhaoyang; HAN, Bongtae. Advanced iterative algorithm for phase extraction of randomly phase-shifted interferograms. Optics Letters , v. 29, n. 14, p. 1671-1673, jul. 2004. WANG, Zhaoyang; HAN, Bongtae. Advanced iterative algorithm for randomly phase-shifted interferograms with intra and inter-frame intensity variations. Optics and Lasers in Engineering , v. 45, Issue 2, p. 274-280, fev. 2007. WANG, Zhaoyang. Rinsing-Sun Moiré Software . 2008. Disponível em: <http://faculty.cua.edu/wangz/software_moire.htm>. Acesso em: jan. de 2008. WATERS, J. P. Holographic nondestructive testing . East Harford-Connecticut: United Aircraft Research Laboratories, 1974. p. 87-103. WALKER, C. A. A historical review of moiré Interferometry. Experimental Mechanics , London, v. 34, n. 4, p. 281-299, dez. 1994. WALPOLE, Ronald, E. et al. Probability & statistics for engineers & scientists . 8. ed. Upper Saddle River: Pearson Prentice Hall, 2007. 816 p. ISBN 0131877119. WINDISCHBAUER, G. Survey on application of moiré-techniques in medicine and biology. In: VON BALLY, G.; GREGUSS, P. Optical in biomedical sciences: spring Series. Optical Science , v. 20, p. 245-249,1982.

248

WILLMOT, C. J.; ACKLESON, S. G.; DAVIS, J. J.; FEDDEMA, K. M.; KLINK, D. R. Statistics for the evaluation and comparison of models. Journal Geograph Research , v. 90, p. 8995-9005, 1985. WIDISCHBAUER, G. Survey on application of moiré-techniques in medicine and biology. In: VON BALLY, G.; GREGUSS, P. (Ed.). Optical in biomedical sciences. Spring series in optical science , Berlin, v. 20, p. 245-249, 1982. WHITEHOUSE, D. J. Handbook of surface metrology . Bristol - IOP Publishing, 1994. YATAGAI, T. Intensity based analysis methods. In: Editado por David W. Robinson & Graeme T. Reid. Interferogram Analysis: Digital fringe pattern meas urements technique. 1. ed. Institute of Physics Publishing, 1993, cap. 3, p. 72-93. YONEYAMA, S.; MORIMOTO, Y.; FUJIGAKI, M.; IKEDA, Y. Scanning moiré and spatial offset phase stepping for surface inspection of structures. Optics and Lasers in Engineering , v. 43, n. 6, p. 659-670, jun. 2005. ZEXIAO, X.; JIANGUO, W.; QUIUMEI, Z. Complete 3D measurement in reverse engineering using a multi-probe system . Machine Tools & Manufacture, v. 45, n. 12-13, p. 1474-1486, out. 2005. ZIVIANI, Nivio. Projeto de algoritmos: com implementações em Pascal e C. 2. ed. rev. e ampl. São Paulo: Pioneira Thomson Learning, 2004. 552 p. ISBN 8522103909. ZIVIANI, Nivio. Projeto de algoritmos: com implementações em Java e C++. São Paulo: Thomson Learning, c2007. 621 p. ISBN 8522105251. ZWEMER, D.; HASSELL, P.; MAZEIKA, W.; PETERSKI, L.; HOLMES, R. Shadow moiré based printed wiring board flatness inspectio n. 2000. Disponível em: <http://www.warpfinder.com/IPC.pdf>. Acesso em: 20 jul. 2007.

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APÊNDICE A – EQUAÇÕES DESENVOLVIDAS COM O MODELO 3. 19

TABELA 26

Equações encontradas para N (número de imagens) igual a 9

N = 9 Num -1 0 -10 0 0 0 10 0 2 -1 0 -4 0 0 0 4 0 28 0 4 0 -4 0 -16 0 8 0 -6 0 6 0 -16 0

3 0 0 0 -6 0 10 -2 0 0 0 4 0 4a) 0 0 0 0 -4 0 b) 2 0 -4 0 6 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 4 0 2 0 -6 0

3 0 -10 -2 0 -48 0 8 0

-1 -1Dem -1 0 -1 0 4 0 -1 0 -1 -1 0 2 0 -2 0 2 0 -1

Num -1 0 -6 0 0 0 6 0 2 -1 0 -1 0 0 0 1 0 26 0 5 0 -5 0 -12 0 1 0 2 0 -2 0 -2 0

-1 0 0 0 2 0 6 2 0 0 0 -4 0 1c) -1 0 2 0 -5 0 d) 1 0 -2 0 -2 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0-1 0 5 0 1 0 2 0

-1 0 -6 2 0 -16 0 1 0

-1 -1Dem -1 0 0 0 2 0 0 0 -1 -1 0 0 0 2 0 0 0 -1

Num -1 -2 -2 0 0 0 2 2 2 -1 0 -10 0 0 0 10 0 21 2 2 0 -2 -2 -2 2 8 0 0 0 0 0 -16 0

4 6 0 -6 -8 -2 2 7 0 0 0 -14 0 10e) 1 0 -2 -6 -2 0 f) -4 0 8 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 01 6 2 0 -4 0 0 0

4 2 -2 7 0 -101 -2 8 0

-1 -1Dem -1 -1 0 1 2 1 0 -1 -1 -1 0 -1 0 4 0 -1 0 -1

Num -1 0 -4 0 0 0 4 0 2 -1 0 1 0 0 0 -1 0 2 8 0 0 0 0 0 -16 0 -1 0 0 0 0 0 2 0 -8 0 0 0 16 0 4 4 0 0 0 -8 0 -1g) 8 0 -16 0 0 0 h) 1 0 -2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 8 0 0 0 1 0 0 0 -8 0 -4 4 0 1 8 0 -1 0 -1 -1

Dem -1 0 2 0 -2 0 2 0 -1 -1 0 0 0 2 0 0 0 -1

Fonte: Resultados da pesquisa.

250

TABELA 27

Equações encontradas para N (número de imagens) igual a 10

N = 10 Num -1 0 -5 0 -1 1 0 5 0 2 -1 -2 -6 0 0 0 0 6 2 29 0 -2 -3 3 2 0 -18 0 9 4 -4 0 0 4 -4 -18 2

-3 0 0 0 0 6 0 5 0 0 0 0 0 0 -4 6a) 1 1 -1 -2 0 2 0 b) 0 -6 6 0 0 4 0

0 0 -1 0 3 1 -2 4 6 0 0 00 1 0 -3 -1 -2 -6 0 0 0

1 0 -2 0 0 0 -4 0-3 0 -5 0 4 -6

9 0 9 -2-1 -1

Dem -1 0 2 0 -1 -1 0 2 0 -1 -1 -1 2 0 0 0 0 2 -1 -1

Num -1 0 1 1 0 0 -1 -1 0 2 -1 0 -2 0 0 0 0 2 0 2-1 1 0 0 0 0 -1 2 0 2 2 0 -2 2 0 -2 -4 0

0 0 -1 1 0 0 -1 -1 0 2 0 0 -2 0 -2 2c) 3 0 0 -6 0 0 -1 d) -1 -2 2 2 -2 0 0

1 -2 0 1 0 0 2 -4 2 0 2 01 0 -1 0 0 2 -2 0 -2 0

3 0 0 1 -1 2 0 00 1 1 0 2 -2

-1 0 2 0-1 -1

Dem -1 0 0 1 0 0 1 0 0 -1 -1 0 0 1 0 0 1 0 0 -1

Num -1 -2 -6 6 2 -2 -6 6 2 2 -1 -2 -6 6 2 -2 -6 6 2 2 9 0 -6 0 0 6 0 -18 2 9 -2 2 -2 2 -2 2 -18 2 0 -6 6 -6 6 0 0 6 -8 4 -4 4 -4 16 2 6e) 3 6 -6 -6 6 6 -6 f) 8 -4 4 -16 -4 -2 -6 -3 6 -6 -6 0 -2 -2 4 4 4 2 -2 -3 6 6 0 2 -2 -4 -4 -2 2 3 -6 -6 6 8 4 2 6 0 0 -6 -8 -2 -6 9 -2 9 -2 -1 -1

Dem -1 -1 2 1 -1 -1 1 2 -1 -1 -1 -1 2 0 0 0 0 2 -1 -1

Num -1 -2 -6 6 2 -2 -6 6 2 2 -1 0 0 0 0 0 0 0 0 2 9 -2 0 -2 2 0 2 -18 2 2 0 -1 0 0 1 0 -4 0 -6 4 -4 4 -4 12 2 6 0 0 0 0 0 0 0 0g) 8 -6 6 -16 -4 0 -6 h) 0 1 -1 0 0 1 0 -4 8 6 4 2 -2 1 -2 -1 0 0 0 -4 -6 -4 -2 2 1 1 0 0 0 8 4 0 6 0 0 -1 0 -6 -2 -6 0 0 0 9 -2 2 0 -1 -1

Dem -1 -1 2 0 0 0 0 2 -1 -1 -1 0 1 0 0 0 0 1 0 -1

Num -1 0 -1 0 0 0 0 1 0 2 -1 0 1 0 0 0 0 -1 0 21 0 1 1 -1 -1 0 -2 0 1 0 -1 0 0 1 0 -2 0

1 1 0 0 -1 -2 0 1 0 0 -1 1 0 0 0 -1i) 1 0 0 -2 -1 -1 0 j) 1 1 -1 -2 0 1 0

0 0 0 0 -1 0 1 -2 -1 1 0 00 0 0 1 0 1 1 -1 0 0

1 1 1 0 1 0 -1 01 0 -1 0 0 1

1 0 1 0-1 -1

Dem -1 0 0 0 1 1 0 0 0 -1 -1 0 1 0 0 0 0 1 0 -1

Fonte: Resultados da pesquisa.

251

TABELA 28

Equações encontradas para N (número de imagens) igual a 11

N = 11 Num -1 0 -1 2 0 0 0 -2 1 0 2 -1 -2 0 1 0 0 0 -1 0 2 2 1 0 0 -2 0 2 0 0 -2 0 1 1 -1 3 0 -3 1 -1 -2 2 2 -2 0 0 0 2 -4 0 1 0 1 0 0 0 -1 0 -1 0

a) 1 -1 0 1 -2 2 0 -2 b) 4 0 0 0 -8 -1 1 -1 2 0 -4 1 0 2 0 1 0 -2 0 0 -3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 -1 0 -2 0 1 0 0 3 0 1 -2 0 2 4 1 -1 1 2 0 -1 0 1 0 1 0 1 -2 -1 -1

Dem -1 0 0 1 1 -2 1 1 0 0 -1 -1 -1 1 0 0 2 0 0 1 -1 -1

Num -1 0 -1 -2 0 0 0 2 1 0 2 -1 0 -1 -1 0 0 0 1 1 0 2 1 0 0 2 0 -2 0 0 -2 0 1 -1 0 1 0 -1 0 1 -2 0 2 2 0 0 0 -2 -4 0 1 2 3 0 0 0 -3 -4 1 1

c) 1 0 0 0 -2 -2 0 2 d) 1 0 0 0 -2 -3 0 1 2 0 -4 0 0 -2 0 2 0 -4 0 0 -1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 0 2 0 2 0 0 1 0 1 2 0 -2 1 3 0 -1 2 0 -1 2 -1 -1 1 0 1 0 -1 -1

Dem -1 0 0 -1 1 2 1 -1 0 0 -1 -1 0 0 -1 1 2 1 -1 0 0 -1

Num -1 -2 0 0 -2 0 2 0 0 2 2 -1 0 -1 2 0 0 0 -2 1 0 21 2 0 4 0 -4 0 -2 -2 2 1 0 0 -2 0 2 0 0 -2 0

1 0 0 0 0 0 -2 -2 0 2 -2 0 0 0 2 -4 0 1e) 2 0 0 0 -4 0 0 0 f) 1 0 0 0 -2 2 0 -2

2 0 -4 0 0 -4 2 2 0 -4 0 0 2 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

2 0 0 4 -2 2 0 0 -2 02 0 0 0 1 -2 0 2

1 2 0 2 0 -11 -2 1 0

-1 -1Dem -1 -1 1 0 0 2 0 0 1 -1 -1 -1 0 0 1 1 -2 1 1 0 0 -1

Num -1 0 -2 -1 -1 0 1 1 2 0 2 -1 0 -1 -2 0 0 0 2 1 0 22 -1 1 2 0 -2 -1 1 -4 0 1 0 0 2 0 -2 0 0 -2 0

2 2 -2 0 2 -2 -4 1 2 2 2 0 0 0 -2 -4 0 1g) 2 1 0 -1 -4 -2 -1 1 h) 1 0 0 0 -2 -2 0 2

0 0 0 -1 2 -2 1 2 0 -4 0 0 -2 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 1 -2 2 -1 2 0 0 2 02 2 1 -1 1 2 0 -2

2 -1 -2 2 0 -12 0 1 0

-1 -1Dem -1 0 0 -1 1 2 1 -1 0 0 -1 -1 0 0 -1 1 2 1 -1 0 0 -1

Fonte: Resultados da pesquisa.

252

TABELA 29

Equações encontradas para N (número de imagens) igual a 12

N = 12 Num -1 0 -7 0 -4 0 0 4 0 7 0 2 -1 -2 -8 0 -2 0 0 2 0 8 2 211 0 0 -2 0 0 2 0 0 -22 0 11 4 0 2 0 0 -2 0 -4 -22 2

0 0 0 0 0 0 0 0 0 7 -2 -2 0 0 0 0 2 4 -4 8a) -2 0 3 -3 0 4 0 0 0 b) 0 -2 2 -2 2 0 2 0 0

-1 0 0 2 0 0 2 4 0 -2 2 0 2 0 -2 2-1 2 0 -3 0 0 0 -2 4 2 -2 0 0 0

-1 0 3 0 0 0 -2 -2 2 0 0 0-1 0 0 -2 -4 0 -2 0 2 -2

-2 0 0 0 0 -2 0 00 0 -7 -2 4 -8

11 0 11 -2-1 -1

Dem -1 0 2 0 0 -1 -1 0 0 2 0 -1 -1 -1 2 0 0 0 0 0 0 2 -1 -1

Num -1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 -1 -2 2 0 6 -2 2 -6 0 -2 2 22 0 -1 0 0 0 0 1 0 -4 0 1 2 -12 2 0 0 -2 12 -2 -2 2

0 0 -1 -1 1 1 0 0 0 0 0 6 0 0 0 0 -6 0 -2 -2c) 1 1 0 0 -1 -2 0 1 0 d) 1 4 -2 2 -4 -2 -6 12 0

-1 0 0 2 -1 1 0 0 0 -8 8 0 -4 0 -2 -61 -2 0 0 1 0 0 7 -14 8 2 0 0 2

1 0 0 -1 0 0 7 -8 -2 0 0 -2-1 1 -1 0 0 0 4 0 2 6

1 0 -1 0 1 6 -12 00 0 0 0 2 2

2 0 1 -2-1 -1

Dem -1 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 -1 -1 -1 2 -1 0 1 1 0 -1 2 -1 -1

Num -1 0 1 0 0 0 0 0 0 -1 0 2 -1 0 1 0 0 0 0 0 0 -1 0 21 0 -1 0 0 0 0 1 0 -2 0 1 0 -1 0 0 0 0 1 0 -2 0

0 0 -1 0 0 1 0 0 0 -1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -1e) 1 0 0 0 0 -2 0 1 0 f) 0 0 -1 1 0 0 0 1 0

0 1 -1 0 0 1 0 0 1 1 -1 -2 0 0 0 01 -2 -1 0 0 0 0 1 -2 -1 1 0 0 0

1 1 0 0 0 0 1 1 -1 0 0 00 0 -1 0 0 1 0 0 0 0

1 0 -1 0 0 0 -1 00 0 1 0 0 1

1 0 1 0-1 -1

Dem -1 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 -1 -1 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 -1

Fonte: Resultados da pesquisa.

253

APÊNDICE B – EQUAÇÕES DESENVOLVIDAS COM O MODELO 3 .51

TABELA 30

Equações encontradas para N (número de imagens) igual a 13

Num -1 0 -6 0 -9 0 0 0 9 0 6 0 2 -1 0 -6 0 -6 0 0 0 6 0 6 0 212 0 -1 0 0 0 0 0 1 0 -24 0 12 0 -4 0 0 0 0 0 4 0 -24 0

-1 0 0 0 0 0 0 0 2 0 6 -1 0 2 0 0 0 -2 0 2 0 6a) 2 0 0 0 0 0 -4 0 1 0 b) 0 0 2 0 -2 0 0 0 4 0

0 0 0 0 0 0 0 0 9 1 0 0 0 -2 0 -2 0 61 0 -2 0 0 0 0 0 2 0 -4 0 -2 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 01 0 0 0 0 0 2 0 2 0 0 0

0 0 0 0 -9 1 0 2 0 -62 0 -1 0 0 0 -4 0

-1 0 -6 -1 0 -612 0 12 0

-1 -1Dem -1 0 3 0 -1 0 -2 0 -1 0 3 0 -1 -1 0 3 0 -1 0 -2 0 -1 0 3 0 -1

Num -1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 -1 0 2 -1 0 -1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 2-1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 1 0 0 0 1 0 -1 0 0 0 -2 0

4 0 -3 0 0 0 3 0 -8 0 -1 0 0 2 0 0 0 -2 0 0 0 1c) -1 0 0 0 0 0 2 0 0 0 d) 1 0 0 0 0 0 -2 0 0 0

0 0 0 0 0 0 3 0 0 1 0 0 0 -2 0 -2 0 06 0 -12 0 0 0 0 0 1 0 -2 0 0 0 -1 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 06 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0

0 0 -3 0 0 1 0 2 0 0-1 0 0 0 1 0 0 0

4 0 1 0 0 -1-1 0 1 0

-1 -1Dem -1 0 0 0 2 0 -2 0 2 0 0 0 -1 -1 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 -1

Fonte: Resultados da pesquisa.

254

TABELA 31

Equações encontradas para N (número de imagens) igual a 14

Num -1 0 -7 -1 0 0 0 0 0 0 1 7 0 2 -1 0 -1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 213 1 -7 -2 3 5 -5 -3 2 7 -1 -26 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 -1 0 -2 0

-4 0 1 0 0 0 0 -1 0 8 -1 7 1 0 0 0 0 0 0 0 0 -2 0 1a) 2 1 1 -2 2 -1 -1 -4 0 7 1 b) 0 0 -1 0 0 1 0 0 0 -1 0

1 1 0 0 -1 -2 -1 -1 2 0 0 2 0 0 -2 0 0 0 0 00 0 0 0 -1 -1 0 -3 0 0 -1 1 0 -2 1 0 0 0

1 -2 0 0 2 0 -5 0 1 -2 1 0 0 0 0 01 0 0 -2 0 5 0 1 -1 0 0 0 0 0

0 1 1 0 3 0 0 2 -1 0 0 01 1 1 -2 0 0 0 0 0 0

2 0 -7 -1 0 0 1 0-4 1 -7 1 0 -1

13 0 1 0-1 -1

Dem -1 0 3 0 -1 -1 0 0 -1 -1 0 3 0 -1 -1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 -1

Num -1 0 -1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 2 -1 0 -2 0 -2 0 2 -2 0 2 0 2 0 21 0 0 1 0 0 0 0 -1 0 0 -2 0 2 2 2 0 0 6 -6 0 0 -2 -2 -4 0

0 1 0 0 0 0 0 0 -1 0 0 1 -2 0 -2 0 4 -4 0 2 0 4 -2 2c) 0 0 1 0 0 -1 0 0 -1 0 0 d) 1 0 0 0 0 0 0 -2 0 -2 0

1 0 0 0 0 -2 0 0 -1 0 1 -2 0 0 2 -2 0 2 0 20 0 0 0 0 -1 0 0 0 2 0 0 -4 2 0 0 0 0

1 -2 0 0 0 0 0 0 1 -2 0 0 0 -4 -6 -21 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 4 6 2

0 0 1 0 0 0 2 -2 0 0 0 01 0 0 1 0 1 0 -2 0 -2

0 1 0 0 1 0 2 00 0 -1 -2 2 -2

1 0 2 0-1 -1

Dem -1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 -1 -1 0 0 1 -1 0 1 1 0 -1 1 0 0 -1

Num -1 0 -1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 2 -1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 -1 0 21 0 1 0 0 0 0 0 0 -1 0 -2 0 1 0 -1 0 0 0 0 0 0 1 0 -2 0

1 0 0 0 0 0 0 0 0 -2 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -1e) 0 0 0 1 -1 0 0 0 0 -1 0 f) 0 0 -1 0 0 1 0 0 0 1 0

-1 1 0 0 -1 2 0 0 0 0 1 0 0 0 0 -2 0 0 0 01 0 0 -2 -1 0 0 0 0 0 1 -1 0 0 1 0 0 0

1 -2 0 0 -1 0 0 0 1 -2 -1 0 0 0 0 01 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0

1 1 0 0 0 0 0 0 -1 0 0 0-1 0 0 0 0 1 0 0 0 0

0 0 1 0 0 0 -1 01 0 -1 0 0 1

1 0 1 0-1 -1

Dem -1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 -1 -1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 -1

Num -1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 -1 0 2 -1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 -1 0 2 1 0 -1 0 0 0 0 0 0 1 0 -2 0 1 0 -1 0 0 0 0 0 0 1 0 -2 0 0 0 1 0 0 0 0 -1 0 0 0 -1 0 0 -1 0 0 0 0 1 0 0 0 -1

g) -1 0 -1 0 0 1 0 2 0 1 0 h) 1 0 1 0 0 -1 0 -2 0 1 0 1 0 -1 1 0 -2 0 -1 0 0 -1 0 -1 1 0 2 0 1 0 0 1 1 -1 -2 0 1 0 0 0 1 1 -1 -2 0 -1 0 0 0 1 -2 -1 1 0 0 0 0 1 -2 -1 1 0 0 0 0 1 1 -1 0 0 0 0 1 1 -1 0 0 0 0 1 0 -1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 -1 0 -1 0 0 -1 0 -1 0 1 0 -1 0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 0 -1 -1

Dem -1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 -1 -1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 -1

Fonte: Resultados da pesquisa.

255

APÊNDICE C – EQUAÇÕES DESENVOLVIDAS COM O MODELO 3. 53

TABELA 32

Equações encontradas para N (número de imagens) igual a 15

N = 15 Num -1 -2 -13 0 -4 3 0 0 0 -3 4 0 13 2 214 0 1 0 0 0 0 0 0 0 -1 0 -28 2

0 1 1 1 0 0 0 -1 -1 -1 0 0 13a) 0 1 6 1 0 -1 -6 -1 0 -1 -1 0

0 0 1 0 -1 0 0 -1 -1 0 40 -2 0 2 0 0 -6 -1 0 -3

-6 0 12 2 -1 -1 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0

-6 -2 1 1 0 0 00 0 6 1 0 3

0 1 1 0 -40 1 1 0

0 0 -1314 -2

-1Dem -1 -1 1 -1 0 1 0 2 0 1 0 -1 1 -1 -1

Num -1 -2 -1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 2 20 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2

2 2 0 2 0 0 0 -2 0 -2 -4 0 1b) 0 2 0 0 0 0 0 -2 0 -2 0 0

3 0 0 0 0 0 -6 -2 0 0 02 0 0 0 -4 0 0 -2 0 0

-1 0 2 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0

-1 0 0 0 0 0 02 0 0 2 0 0

3 2 0 0 00 2 0 0

2 0 -10 -2

-1Dem -1 -1 0 0 1 0 0 2 0 0 1 0 0 -1 -1

Num -1 0 0 0 -2 0 0 0 0 0 2 0 0 0 22 2 2 0 0 -4 0 4 0 0 -2 -2 -4 0

-1 -2 0 0 0 0 0 0 0 2 2 -2 0c) -1 0 -2 0 0 0 2 0 2 2 -2 0

2 0 0 0 0 0 -4 0 0 0 22 2 0 -2 -4 0 2 0 0 0

2 0 -4 -2 0 0 0 4 00 0 0 0 0 0 0 0

2 2 0 0 0 -4 02 0 -2 0 0 0

2 0 0 0 -2-1 -2 2 0

-1 2 02 0

-1Dem -1 0 1 1 0 0 0 -2 0 0 0 1 1 0 -1

Num -1 -2 -1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 2 20 0 0 0 -1 0 0 0 1 0 0 0 0 2

2 2 1 2 0 0 0 -2 -1 -2 -4 0 1d) 0 2 1 0 0 0 -1 -2 0 -2 0 0

2 0 0 0 0 0 -4 -2 -1 0 01 0 0 0 -2 0 -1 -2 1 0

1 0 -2 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0

1 0 0 0 0 0 01 0 1 2 -1 0

2 2 1 0 00 2 0 0

2 0 -10 -2

-1Dem -1 -1 0 0 1 0 0 2 0 0 1 0 0 -1 -1

Fonte: Resultados da pesquisa.

256

TABELA 33

Equações encontradas para N (número de imagens) igual a 16

N = 16 Num -1 0 -1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 21 0 1 0 -1 0 0 0 0 1 0 -1 0 -2 0

1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -2 0 1a) 1 0 -1 0 0 0 0 1 0 -2 0 -1 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 1 1 -1 -1 0 0 1 0 1 0

-1 0 0 2 -1 0 0 0 0 01 -2 0 -1 0 0 0 0 0

1 0 1 0 0 0 0 0-1 1 0 0 0 0 0

0 0 -1 0 -1 00 0 0 0 0

1 0 1 01 0 -1

1 0-1

Dem -1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 -1

Num -1 0 -13 2 -3 0 0 4 -4 0 0 3 -2 13 0 215 0 3 -3 1 0 0 0 0 -1 3 -3 0 -30 0

-1 -3 5 0 5 0 0 -5 0 -5 3 2 0 13b) -5 0 1 -1 -6 6 1 -1 0 10 3 -3 -2

0 1 -1 -1 1 1 -1 0 0 -5 3 3-1 0 0 0 0 2 -1 -1 0 -1 0

0 1 -1 0 0 1 1 -5 0 01 -2 -1 0 1 6 0 0 -4

1 1 0 -1 -6 0 0 40 0 -1 -1 5 0 0

-1 1 1 0 1 00 0 5 -3 -3

-5 -3 3 2-1 0 -13

15 0-1

Dem -1 0 1 1 0 -2 1 0 0 1 -2 0 1 1 0 -1

Num -1 2 -2 0 2 0 -2 0 0 2 0 -2 0 2 -2 21 2 -4 -2 0 -2 0 0 2 0 2 4 -2 -2 -2

0 0 2 2 0 2 -2 0 -2 -2 0 0 -2 2c) 1 0 2 -2 -4 4 2 -2 0 -2 0 4 0

0 -2 0 0 0 0 2 0 0 -2 2 -21 0 0 0 0 -2 2 -2 -2 0 0

0 -2 2 0 0 0 2 0 2 22 -4 2 0 0 4 -2 0 0

2 -2 0 0 -4 2 0 00 0 0 -2 0 -2 -2

1 -2 2 2 0 00 0 2 -2 2

1 0 -4 00 2 -2

1 2-1

Dem -1 1 0 1 0 -1 0 0 0 0 -1 0 1 0 1 -1

Fonte: Resultados da pesquisa.

257

APÊNDICE D – PROGRAMA DE GERAÇÃO DE EQUAÇÕES

Figura 45 – Uma implementação em Linguagem Pascal para o cálculo dos coeficientes do numerador e do denominador para N na faixa de 4 até 90.000.512 (realizado o teste numérico matemático). As equações designadas com (a) foram geradas por este programa. Fonte: Resultados da pesquisa.

PROCEDURE CALCULA_MATRIZ(N: INTEGER; VAR num:TMATRI X; VAR dem:TVECTOR); VAR r, s, h, f : integer; BEGIN FOR r:=1 TO N DO BEGIN dem[r]:=0; FOR s:=r TO N DO num[r,s]:=0; END; { Zera os coeficientes } h:=(N DIV 2)+(N MOD 2); dem[1]:=-1; num[1,1]:=-1; {Caso 1) N é par, N é divisível por 4 e também, N é divisível por 8} IF (N MOD 4=0) AND (N MOD 8=0) THEN BEGIN f:=N DIV 4; dem[3]:=1; num[1,3]:=1; num[2,2]:=1; num[2,4]:=-1; num[h-2,h-2]:=1; num[h-2,h-2+2]:=-1; num[h-1,h-1]:=1; num[h-1,h-1+1]:=1; num[h, h]:=1 ; IF N=8 THEN num[2,4]:=-2; FOR r:=3 TO f DO IF (r MOD 2)=1 THEN num[r,r+2]: =1 ELSE num[r,r]:=-1; FOR r:=f+1 TO h-3 DO IF (r MOD 2)=1 THEN num[r,r +2]:=-1 ELSE num[r,r]:=1; END; {Caso 2) N é par, N é divisível por 4, mas N não é não divisível por 8} IF (N MOD 4=0) AND (N MOD 8<>0) THEN BEGIN f:=N DIV 4; IF N=4 THEN BEGIN num[1,2]:=2; num[2,2]:=3; dem[ 2]:=1; END ELSE BEGIN dem[3]:=1; num[1,3]:=1; num[2, 2]:=1; num[2,4]:=-1; num[h-1,h-1+1]:=1; num[h,h]:= 1; END; FOR r:=3 TO f-1 DO IF (r MOD 2)=1 THEN num[r,r+2 ]:=1 ELSE num[r,r]:=-1; FOR r:=f TO h-2 DO IF (r MOD 2)=1 THEN num[r,r+2 ]:=-1 ELSE num[r,r]:=1; END; {Caso 3) N é par, N+2 é divisível por 4 e N+2 é div isível por 8} IF ((N+2) MOD 4=0) AND ((N+2) MOD 8=0) THEN BEGIN f:=(N+2) DIV 4; dem[3]:=1; IF N=6 THEN BEGIN num[1,3]:=-1; num[2,2]:=3; num [2,3]:=1; END ELSE BEGIN num[1,3]:=1; num[2,2]:=1; nu m[2,4]:=-1; num[h-3,h-3]:=1; num[h-3,h-3+2]:=-1; nu m[h-2,h-2]:=1; num[h-2,h-2+2]:=-1; num[h-1,h- 1]:=1; num[h-1,h-1+1]:=1; num[h,h]:=1; END; FOR r:=3 TO f DO IF (r MOD 2)=1 THEN num[r,r+2]: =1 ELSE num[r,r]:=-1; FOR r:=f+1 TO h-4 DO IF (r MOD 2)=1 THEN num[r, r+2]:=-1 ELSE num[r,r]:=1; END; {Caso 4) N é par, N+2 é divisível por 4, mas N+2 nã o é divisível por 8} IF ((N+2) MOD 4=0) AND ((N+2) MOD 8<>0) THEN BEGIN f:=(N+2) DIV 4; dem[3]:=1; num[1,3]:=1; num[2,2] :=1; num[2,4]:=-1; num[h-3,h-3]:=1; num[h-3,h-3+2]: =-1; num[h-1,h-1+1]:=1; num[h,h]:=1; IF N=10 THEN BEGIN num[h-2,h-2+2]:=-1; num[h-1,h -1]:=1; END ELSE num[h-2,h-2]:=1; FOR r:=3 TO f-1 DO IF (r MOD 2)=1 THEN num[r,r+2 ]:=1 ELSE num[r,r]:=-1; FOR r:=f TO h-4 DO IF (r MOD 2)=1 THEN num[r,r+2 ]:=-1 ELSE num[r,r]:=1; END; {Caso 5) N é ímpar, N-1 é divisível por 4 e também, N-1 é divisível por 8} IF ((N-1) MOD 4=0) AND ((N-1) MOD 8=0) THEN BEGIN f:=(N-1) DIV 4; dem[2]:=1; dem[4]:=-1; dem[h]:=2 ; num[1,2]:=2; num[1,3]:=-1; IF N<>9 THEN BEGIN num[2,3]:=-2; num[3,3]:=2; nu m[3,5]:=-1; num[f,f+2]:=2; num[f,f+3]:=-2; num[f+1,f+1]:=2; num[f+1,f+1+ 1]:=-2; num[f+1,f+1+3]:=2; num[f+2,f+2+1]:=2; num[h-2,h-2+1]:=-2; num[h-1,h -1]:=2; END ELSE BEGIN num[1,4]:=1; num[2,3 ]:=-3; num[2,4]:=1; num[3,3]:=5; num[3,4]:=-5; num[ 4,4]:=1; END; FOR r:=4 TO f-1 DO IF (r MOD 2)=1 THEN num[r,r+1 ]:=-1 ELSE num[r,r+3]:=1; FOR r:=f+3 TO h-3 DO IF (r MOD 2)=1 THEN num[r,r +3]:=-1 ELSE num[r,r+1]:=1; END; {Caso 6) N é ímpar, N-1 é divisível por 4, mas N-1 não é divisível por 8} IF ((N-1) MOD 4=0) AND ((N-1) MOD 8<>0) THEN BEGIN f:=(N-1) DIV 4; dem[h]:=2; IF N<>5 THEN BEGIN dem[2]:=1; dem[4]:=-1; num[1, 2]:=2; num[3,3]:=2; num[f+1,f+1]:=2; num[f+1,f+1+1] :=-2; IF N=13 THEN BEGIN num[1,3]:=-2; num[1,4]:=-2 ; num[1,6]:=1; num[2,2]:=1; num[2,5]:=-1; num[2,6]: =1; num[3,6]:=-1; num[4,6]:=-1 ; num[5,5]:=2; num[5,6]:=-2; num[6,6]:=-1; END ELSE BEGIN num[1,3]:=-1; num[2,3]:=-2 ; num[3,5]:=-1; num[f,f+2]:=2; num[f,f+3]:=-2; num[ f+1,f+1+3]:=2; num[f+2,f+2+1]:=2; num[h-2 ,h-2]:=1; num[h-2,h-2+1]:=-2; num[h-1,h-1]:=1; END; END ELSE num[2,2]:=4; FOR r:=5 TO f-1 DO IF (r MOD 2)=1 THEN num[r,r+2 ]:=1 ELSE num[r,r]:=-1; FOR r:=f+3 TO h-3 DO IF (r MOD 2)=1 THEN num[r,r ]:=1 ELSE num[r,r+2]:=-1; END; {Caso 7) N é ímpar, N+1 é divisível por 4 e também, N+1 é divisível por 8} IF ((N+1) MOD 4=0) AND ((N+1) MOD 8=0) THEN BEGIN f:=(N+1) DIV 4; dem[2]:=-1; dem[3]:=1; dem[h]:=2 ; num[1,2]:=-2; IF N=7 THEN BEGIN num[1,3]:=-3; num[2,2]:=4; num [2,3]:=6; num[3,3]:=2; END ELSE BEGIN num[1,4]:=1; num[2,3]:=1; num [f-1,f-1+3]:=2; num[f,f+1]:=2; num[f,f+2]:=2; num[f,f+3]:=-2; num[f+1,f+1]:= 2; num[f+1,f+1+1]:=-2; num[h-1,h-1]:=1; IF N=15 THEN BEGIN num[1,3]:=-1; num [2,2]:=2; num[2,4]:=-2; num[2,5]:=-1; num[3,3]:=1; num[3,4]:=1; num[3,5]:=-1; num [4,4]:=1; num[h-2,h-2]:=-1; num[h-3,h-3+2]:=1; END ELSE BEGIN num[2,2]:=1; num[ 2,4]:=-1; num[h-2,h-2+1]:=1; END; END; FOR r:=4 TO f-1 DO IF r < 6 THEN IF (r MOD 2)=1 THEN num[r,r]:=1 ELSE num[r,r+2]:=-1 ELSE IF (r MOD 2)=1 THEN num[r,r]:=-1 ELSE num[r,r+2]:=1; FOR r:=f+2 TO h-3 DO IF (r MOD 2)=1 THEN num[r,r ]:=1 ELSE num[r,r+2]:=-1; END; {Caso 8) N é ímpar, N+1 é divisível por 4, mas N+1 não é divisível por 8} IF ((N+1) MOD 4=0) AND ((N+1) MOD 8<>0) THEN BEGIN f:=(N+1) DIV 4; dem[h]:=2; num[2,2]:=1; num[f- 1,f-1+3]:=2; num[f,f+1]:=2; IF N=11 THEN BEGIN dem[4]:=-1; dem[5]:=1; dem[h+ 1]:=1; dem[h+2]:=-1; num[1,3]:=-1; num[1,4]:=-2; num[f-1,f-1]:=1; num[f,f]:=2; num[f+1,f+1]:=1; num[h-1,h-1]:=2; END ELSE BEGIN dem[2]:=-1; dem[3]:=1; num[1 ,2]:=-2; num[2,3]:=2; num[2,4]:= -1; num[f,f+3]:=-2 ; num[f,f+2]:=2; num[f+1,f+1]:= 2; num[f+1,f+1+1]:=-2; num[h-1,h-1]:=1; END; FOR r:=3 TO f-1 DO IF r < 5 THEN IF (r MOD 2)=1 THEN num[r,r+2]:=-1 ELSE num[r,r]:=1 ELSE IF (r MOD 2)=1 THEN num[r,r+2]:=1 ELSE num[r,r]:=-1; FOR r:=f+2 TO h-2 DO IF (r MOD 2)=1 THEN num[r,r +2]:=-1 ELSE num[r,r]:=1; END; dem[N]:=dem[1]; dem[N-1]:=dem[2]; IF N>5 THEN BEGI N dem[N-2]:=dem[3]; dem[N-3]:=dem[4]; END; { Simetria Triangular } FOR r := 1 TO h DO BEGIN IF (N+1-r)<>r THEN num[r, N+1-r]:=-2*num[r,r]; FOR s := r TO r+5 DO BEGIN IF ((N+1-s)<>r) AND ((N+1-r)<>s) AND (s<=h) the n num[N+1-s,N+1-r]:=num[r,s]; IF (s>r) AND ((N+1-s)<>s) AND (s<=h) THEN num[r ,N+1-s]:=-num[r,s]; IF (s>r) and ((N+1-r)<>s) AND (s<=h) THEN num[s ,N+1-r]:=-num[r,s]; END; END; END;