18
ANÁLISE DA UTILIZAÇÃO DO MÉTODO DA INTERSEÇÃO NORMAL À FRONTEIRA PARA OTIMIZAÇÃO DE RESPOSTAS MULTICORRELACIONADAS DANIELLE MARTINS DUARTE COSTA (IFSULDEMINA) [email protected] Taynara Incerti de Paula (UNIFEI) [email protected] Patricia Agnes Pereira da Silva (UNIFEI) [email protected] Anderson Paulo de Paiva (UNIFEI) [email protected] Jose Henrique de Freitas Gomes (UNIFEI) [email protected] O método da Interseção Normal à Fronteira (NBI) permite a construção de fronteiras contínuas e uniformemente distribuídas, garantindo a obtenção de soluções viáveis, mesmo nas regiões não-convexas da fronteira. Entretanto, se o problema apresenta múltiplas respostas correlacionadas, a otimização pelo método NBI pode conduzir os resultados ótimos para pontos inadequados, pois o mesmo não considera a correlação entre as respostas. Afim de verificar o comportamento do método NBI aplicado à respostas multicorrelacionadas e testar a premissa de que o método NBI falha se o problema apresenta múltiplas respostas correlacionadas, um exemplo numérico aplicado ao Torneamento do aço 12L14 foi desenvolvido, tendo como características de qualidade mensurada a Rugosidade Média e a Taxa de Remoção de Material. O método NBI foi aplicado na otimização das duas respostas em duas situações, com e sem o efeito da correlação. Neste último caso, o processo de otimização por NBI foi aplicado combinando a técnica Relação Sinal-ruído (SR) de Taguchi e a Análise de Componentes Principais (ACP). Finalmente, os resultados mostraram que, apesar de ambos os métodos apresentarem soluções viáveis, o método NBI (desconsiderando a correlação entre as respostas) não conseguiu apresentar as soluções ótimas de pareto convexa e uniformemente distribuídas ao longo da fronteira de Pareto. Além disso, os valores ótimos encontrados para MRR, quando otimizados sob o efeito da correlação, se distanciaram de seus alvos em muitos pontos da fronteira. Logo, pode-se concluir que o efeito da correlação influencia diretamente na determinação dos pontos ótimos, deslocando significamente os pontos ótimos da fronteira. Palavras-chave: Problema Multiobjetivo, Método da Interseção Normal à Fronteira, Respostas Correlacionadas, Abordagem Sinal-Ruído e ACP XXXV ENCONTRO NACIONAL DE ENGENHARIA DE PRODUCAO Perspectivas Globais para a Engenharia de Produção Fortaleza, CE, Brasil, 13 a 16 de outubro de 2015.

ANÁLISE DA UTILIZAÇÃO DO MÉTODO DA INTERSEÇÃO …abepro.org.br/biblioteca/TN_STO_211_251_28282.pdf · anÁlise da utilizaÇÃo do mÉtodo da interseÇÃo normal À fronteira

  • Upload
    vanthuy

  • View
    217

  • Download
    0

Embed Size (px)

Citation preview

Page 1: ANÁLISE DA UTILIZAÇÃO DO MÉTODO DA INTERSEÇÃO …abepro.org.br/biblioteca/TN_STO_211_251_28282.pdf · anÁlise da utilizaÇÃo do mÉtodo da interseÇÃo normal À fronteira

ANÁLISE DA UTILIZAÇÃO DO

MÉTODO DA INTERSEÇÃO NORMAL À

FRONTEIRA PARA OTIMIZAÇÃO DE

RESPOSTAS

MULTICORRELACIONADAS

DANIELLE MARTINS DUARTE COSTA (IFSULDEMINA)

[email protected]

Taynara Incerti de Paula (UNIFEI)

[email protected]

Patricia Agnes Pereira da Silva (UNIFEI)

[email protected]

Anderson Paulo de Paiva (UNIFEI)

[email protected]

Jose Henrique de Freitas Gomes (UNIFEI)

[email protected]

O método da Interseção Normal à Fronteira (NBI) permite a construção de fronteiras

contínuas e uniformemente distribuídas, garantindo a obtenção de soluções viáveis,

mesmo nas regiões não-convexas da fronteira. Entretanto, se o problema apresenta

múltiplas respostas correlacionadas, a otimização pelo método NBI pode conduzir os

resultados ótimos para pontos inadequados, pois o mesmo não considera a

correlação entre as respostas. Afim de verificar o comportamento do método NBI

aplicado à respostas multicorrelacionadas e testar a premissa de que o método NBI

falha se o problema apresenta múltiplas respostas correlacionadas, um exemplo

numérico aplicado ao Torneamento do aço 12L14 foi desenvolvido, tendo como

características de qualidade mensurada a Rugosidade Média e a Taxa de Remoção

de Material. O método NBI foi aplicado na otimização das duas respostas em duas

situações, com e sem o efeito da correlação. Neste último caso, o processo de

otimização por NBI foi aplicado combinando a técnica Relação Sinal-ruído (SR) de

Taguchi e a Análise de Componentes Principais (ACP). Finalmente, os resultados

mostraram que, apesar de ambos os métodos apresentarem soluções viáveis, o

método NBI (desconsiderando a correlação entre as respostas) não conseguiu

apresentar as soluções ótimas de pareto convexa e uniformemente distribuídas ao

longo da fronteira de Pareto. Além disso, os valores ótimos encontrados para MRR,

quando otimizados sob o efeito da correlação, se distanciaram de seus alvos em

muitos pontos da fronteira. Logo, pode-se concluir que o efeito da correlação

influencia diretamente na determinação dos pontos ótimos, deslocando

significamente os pontos ótimos da fronteira.

Palavras-chave: Problema Multiobjetivo, Método da Interseção Normal à Fronteira,

Respostas Correlacionadas, Abordagem Sinal-Ruído e ACP

XXXV ENCONTRO NACIONAL DE ENGENHARIA DE PRODUCAO Perspectivas Globais para a Engenharia de Produção Fortaleza, CE, Brasil, 13 a 16 de outubro de 2015.

Page 2: ANÁLISE DA UTILIZAÇÃO DO MÉTODO DA INTERSEÇÃO …abepro.org.br/biblioteca/TN_STO_211_251_28282.pdf · anÁlise da utilizaÇÃo do mÉtodo da interseÇÃo normal À fronteira

XXXV ENCONTRO NACIONAL DE ENGENHARIA DE PRODUCAO Perspectivas Globais para a Engenharia de Produção

Fortaleza, CE, Brasil, 13 a 16 de outubro de 2015.

2

1. Introdução

Kazemzadeh et al. (2008) afirma que a oferta de produtos de qualidade não é uma tarefa fácil,

uma vez que exige que os processos são preparados para otimizar simultaneamente mais de

uma característica de qualidade.

O método de Interseção Normal à Fronteira (NBI, do inglês Normal Boundary Intersection),

proposto por Das e Denis (1998) é um dos inúmeros métodos utilizados na solução de

problemas multiobjetivos. Este método permite a construção de fronteiras contínuas e

uniformemente distribuídas, independentemente dos pesos atribuídos pelas funções objetivo,

o que faz com que este método seja muito útil na otimização de inúmeros processos

industriais. Entretanto, se o problema apresenta múltiplas respostas correlacionadas, a

otimização pelo método NBI pode conduzir os resultados ótimos para pontos inadequados,

pois o mesmo não considera a correlação entre as respostas (OLIVEIRA, 2013).

Na realidade, em muitos processos de fabricação, com várias respostas, as características de

qualidade de um produto/processo medidos quase sempre apresentam-se correlacionadas e

com sentidos de otimização diferentes (PAIVA et al., 2007 e GOVINDALURI e CHO, 2007

apud OLIVEIRA, 2013).

O grande problema é que a presença da correlação nas múltiplas respostas causa instabilidade

no modelo e erros nos coeficientes de regressão, que pode modificar substancialmente os

resultados de otimização (YUAN et al., 2008; WU, 2005; BRATCHELL, 1989; KHURI e

CONLON, 1981; BOX et al., 1973). A presença de tais correlações, de acordo com Box et al.

(1973), pode influenciar na otimização dos resultados, além de desestabilizar os modelos

matemáticos e produzir erros nos coeficientes de regressão. Se a correlação são ignoradas, as

equações de regressões não podem representar as funções objetivo e de restrição

adequadamente (CHIAO e HAMADA, 2001; KHURI e CONLON, 1981).

Embora um número de autores realizaram estudos para otimização de processos, as estruturas

de correlação e as interações entre as variáveis de respostas foram negligenciadas (PAIVA et

al. 2009; GOVINDALURI e CHO, 2007).

De fato, apesar das funções objetivas apresentar uma forte correlação, não existem grandes

preocupações dos autores acerca da influência de tais estruturas de correlação na estimativa

dos coeficientes dos modelos de regressão, como apresentado em Bouzid et al., (2014), Sahu

Page 3: ANÁLISE DA UTILIZAÇÃO DO MÉTODO DA INTERSEÇÃO …abepro.org.br/biblioteca/TN_STO_211_251_28282.pdf · anÁlise da utilizaÇÃo do mÉtodo da interseÇÃo normal À fronteira

XXXV ENCONTRO NACIONAL DE ENGENHARIA DE PRODUCAO Perspectivas Globais para a Engenharia de Produção

Fortaleza, CE, Brasil, 13 a 16 de outubro de 2015.

3

e Sahu (2014), Soni, Mondal e Singh (2014), Kaladhar et al. (2014), Janardhani e Krishna

(2012), Kumar et al. (2011), Moshat et al. (2010) e Kopac e Krajnik (2007). Em todos estes

trabalhos, o problema de otimização teve como processo de manufatura o torneamento e

nenhum deles apresentaram a análise de correlação entre as respostas, ou citaram os possíveis

efeitos que elas poderiam causar sobre os resultados obtidos. Em todos, as respostas

analisadas - em sua maioria, Rugosidade Média (Ra) e Taxa de Remoção de Material (MRR) -

apresentaram-se correlacionados. Essa análise de correlação foi realizada por nós, utilizando o

coeficiente de Pearson.

Assim, afim de verificar o comportamento do método NBI aplicado à respostas

multicorrelacionadas, sem nenhum tratamento e testar a premissa de que o método NBI falha

se o problema apresenta múltiplas respostas correlacionadas, um exemplo numérico aplicado

ao Torneamento do aço 12L14 foi desenvolvido, tendo como características de qualidade

mensurada a Rugosidade Média e a Taxa de Remoção de Material. O método NBI foi

aplicado para otimização das duas respostas, em duas situações, com e sem a presença de

correlação entre as respostas. Para este último caso, o processo de otimização por NBI foi

aplicado combinando a técnica Relação Sinal-ruído de Taguchi (RSR) e a Análise de

Componentes Principais (ACP).

Finalmente, neste trabalho, pretende-se mostrar que os pontos ótimos determinados através da

otimização pelo NBI, desconsiderando o efeito da correlação, podem ser desviados

significativamente.

2. Referencial Teórico

2.1. Otimização multiobjetivo pelo método da Interseção Normal à Fronteira

O principal objetivo da otimização multiobjetivo é encontrar um conjunto de soluções

(denominadas Pareto-ótimas) que minimize todas as funções simultaneamente. Para tanto,

inúmeros métodos podem ser encontrados na literatura. Dentre esses métodos, o método NBI

permite a construção de fronteiras contínuas e uniformemente distribuídas,

independentemente da distribuição dos pesos entre as funções ou das escalas relativas entre as

diversas funções objetivo, características que fazem com que este método apresente-se muito

vantajoso comparado a outros métodos de aglutinação como, por exemplo,os métodos das

Somas ponderadas e do Critério Global (Figura 1).

Page 4: ANÁLISE DA UTILIZAÇÃO DO MÉTODO DA INTERSEÇÃO …abepro.org.br/biblioteca/TN_STO_211_251_28282.pdf · anÁlise da utilizaÇÃo do mÉtodo da interseÇÃo normal À fronteira

XXXV ENCONTRO NACIONAL DE ENGENHARIA DE PRODUCAO Perspectivas Globais para a Engenharia de Produção

Fortaleza, CE, Brasil, 13 a 16 de outubro de 2015.

4

Figura 1 - Comparação entre o método NBI e o método de Somas Ponderadas

Fonte: Gomes, 2013

O primeiro passo a ser executado no método NBI é a definição da matriz Payoff (Φ), através

do cálculo dos mínimos individuais de cada função objetivo. O vetor de solução que minimiza

individualmente a i-ésima função objetivo )(xfié representado por *

ix , de sorte que o valor

mínimo de )(xfi neste ponto seja )( * *

ii xf . Quando se substitui o ponto de ótimo individual

*

ix obtido na otimização de função objetivo nas demais funções tem-se )( *

ii xf que é,

portanto, um valor não-ótimo dessa função (GOMES, 2013). Repetindo-se este procedimento

para todas as funções, pode-se representar a matriz Payoff como:

(3)

Cada linha da Payoff é composta por valores mínimos e máximos de )(xf i . O conjunto de

ótimos individuais Tmm

U xfxfxff )(),...,(),...,( ***

1

*

1

*

1

*

1 é conhecido como ponto de Utopia

)(iy , enquanto o conjunto dos valores máximos (não-ótimos) TN ffff ),...,,..., N

1

N

1

N

1 é

conhecido como ponto de Nadir (JIA e IERAPETRITOU, 2007). Usando estes conjuntos de

pontos extremos, a normalização (escalonamento) das funções objetivo pode ser obtida como:

Page 5: ANÁLISE DA UTILIZAÇÃO DO MÉTODO DA INTERSEÇÃO …abepro.org.br/biblioteca/TN_STO_211_251_28282.pdf · anÁlise da utilizaÇÃo do mÉtodo da interseÇÃo normal À fronteira

XXXV ENCONTRO NACIONAL DE ENGENHARIA DE PRODUCAO Perspectivas Globais para a Engenharia de Produção

Fortaleza, CE, Brasil, 13 a 16 de outubro de 2015.

5

U

i

N

i

U

ii

ff

fxfxf

, mi ,,1 (4)

O método NBI pode ser escrito como um problema de programação não-linear restrita, como:

DMaxtx ),(

(5)

0)(

0)(

ˆ :.

xh

xg

DtS

j

j

x

xFnβΦ

(6)

O problema de otimização representado pelo sistema de Eqs. (5 e 6) pode ser resolvido

iterativamente para diferentes valores de w , o que cria, por conseguinte, uma Fronteira de

Pareto igualmente espaçada. Uma escolha comum proposta por Jia e Ierapetritou (2007) é

fazer iin ww 11 .

3. Método experimental

Para analisar o comportamento do método NBI aplicado à respostas multicorrelacionadas, sem

nenhum tratamento e testar a premissa de que o método NBI falha se o problema apresenta

múltiplas respostas correlacionadas, um exemplo numérico aplicado ao Torneamento do aço

12L14 foi desenvolvido em duas fases. Na primeira fase, as respostas Rugosidade Média e

Taxa de Material de Remoção foram otimizadas pelo método NBI, considerando a correlação

entre elas, ou seja, nenhum tratamento foi aplicado à essas respostas para eliminar o efeito da

correlação. Na segunda fase, a estrutura de correlação entre as respostas foi analisada. Se

confirmado a presença de correlação entre as respostas, uma combinação entre as técnica

Relação Sinal-ruído (RSR) de Taguchi e ACP (ACP), ou RSR-ACP, foi aplicada a fim de

delimitar a correlação entre as respostas e, então, promover a otimização pelo método NBI

com respostas não correlacionadas. A seção seguinte detalha a abordagem usada nesta

segunda fase.

Em seguida, os resultados obtidos em ambas as fases foram comparados.

Page 6: ANÁLISE DA UTILIZAÇÃO DO MÉTODO DA INTERSEÇÃO …abepro.org.br/biblioteca/TN_STO_211_251_28282.pdf · anÁlise da utilizaÇÃo do mÉtodo da interseÇÃo normal À fronteira

XXXV ENCONTRO NACIONAL DE ENGENHARIA DE PRODUCAO Perspectivas Globais para a Engenharia de Produção

Fortaleza, CE, Brasil, 13 a 16 de outubro de 2015.

6

3.1. Abordagem NBI-RSR-ACP

Se confirmado a presença de correlação entre as respostas Ra e MRR mensuradas sobre o

processo de Torneamento do aço 12L14, a abordagem RSR-ACP será aplicada a fim de

delimitar a correlação entre as respostas e, então, promover a otimização pelo método NBI

com respostas não correlacionadas.

Antes de efetuar a ACP, é necessário analisar o objetivo de otimização das respostas. Se

existir respostas com o sentido de otimização diferentes (alguns maximizados e outros

minimizados), a maximização ou minimização dos componentes principais favorecerá

algumas variáveis e outras não. Para resolver este problema, a Relação Sinal-ruído (SNR) de

Taguchi pode ser aplicado a fim de normalizar o sentido de otimização das respostas

individuais. Os valores de resposta são transformados por uma equação logarítmica (SNR) de

acordo com o seu objetivo de otimização (maximização ou minimização), ou seja, se o tipo de

problema em estudo, for classificado como “smaller-the-better” (minimizar o desempenho),

adota-se a Equação (7). Por outro lado, se o objetivo for do tipo “bigger-the-better”

(maximizar o desempenho) então a Equação (8) deverá ser adotada (PONTES et al., 2012).

N

yRSR

N

i i1

2

10log10 (7)

N

yRSR

N

i i1

2

10

/1log10 (8)

Dessa forma, como as relações Sinal-ruído (RSR) de Taguchi devem ser sempre maximizadas,

é possível padronizar a direção de otimização das respostas individuais e de sintonizá-las de

acordo com a representação por componentes principais (PAIVA, 2006).

Feito isso, a ACP pode ser aplicada sobre as respostas originais transformadas em respostas

Sinal-Ruído (NR/Ra e NR/MRR).

Segundo Paiva (2006), ACP é uma técnica de redução de dimensionalidade reconhecida que

tem a característica de manter a maior parte da informação contida no conjunto original de

variáveis. O conjunto de dados reduzido consiste em componentes únicos ou múltiplos,

chamados de Componentes Principais (CP), ou ainda, um conjunto de variáveis originais

Page 7: ANÁLISE DA UTILIZAÇÃO DO MÉTODO DA INTERSEÇÃO …abepro.org.br/biblioteca/TN_STO_211_251_28282.pdf · anÁlise da utilizaÇÃo do mÉtodo da interseÇÃo normal À fronteira

XXXV ENCONTRO NACIONAL DE ENGENHARIA DE PRODUCAO Perspectivas Globais para a Engenharia de Produção

Fortaleza, CE, Brasil, 13 a 16 de outubro de 2015.

7

pode ser substituído por combinações lineares na forma de “escores” do componente

principal. Estes componentes são uma combinação linear das variáveis originais, que não

estão correlacionados. Os métodos mais utilizados para estimarem-se o número de

componentes principais significantes são aqueles baseados nos critérios de Kaiser

(JOHNSON e WICHERN, 2002), em que, o autovalor do CP deve ser maior que um e a

variância acumulada explicada deve ser superior a 90%.

Para finalizar, após a determinação dos Componentes Principais significativos e,

armazenamento de seus escores, a otimização pelo método NBI baseada na abordagem RSR-

ACP pode ser aplicada. De forma resumida, a abordagem utilizada nesta segunda fase da

pesquisa foi desenvolvida de acordo com as etapas descritas na Figura 2.

Figura 2 - Esquema resumido das etapas aplicadas na Fase 2 da pesquisa (Método NBI-SRS-

ACP)

Page 8: ANÁLISE DA UTILIZAÇÃO DO MÉTODO DA INTERSEÇÃO …abepro.org.br/biblioteca/TN_STO_211_251_28282.pdf · anÁlise da utilizaÇÃo do mÉtodo da interseÇÃo normal À fronteira

XXXV ENCONTRO NACIONAL DE ENGENHARIA DE PRODUCAO Perspectivas Globais para a Engenharia de Produção

Fortaleza, CE, Brasil, 13 a 16 de outubro de 2015.

8

Fonte: os autores

3.2. Procedimento experimental

Este trabalho teve como base de estudo, os experimentos realizados por Freitas et al. (2012).

Informações detalhadas o experimento original podem ser obtidos no respectivo trabalho.

Os dados foram coletados para o processo de torneamento do aço 12L14. Duas respostas

foram medidas: rugosidade média (Ra) e taxa de remoção de material (MRR). Os parâmetros

de entrada considerados foram: a velocidade de corte (Vc), o avanço (f) e a profundidade de

corte (d). Para tanto, um conjunto de 17 experimentos foram estabelecidos usando um arranjo

experimental composto central (CCD) construído a partir dos respectivos parâmetros de corte

e níveis apresentados no Quadro 1. O Quadro 2 apresenta a matriz do arranjo experimental.

Page 9: ANÁLISE DA UTILIZAÇÃO DO MÉTODO DA INTERSEÇÃO …abepro.org.br/biblioteca/TN_STO_211_251_28282.pdf · anÁlise da utilizaÇÃo do mÉtodo da interseÇÃo normal À fronteira

XXXV ENCONTRO NACIONAL DE ENGENHARIA DE PRODUCAO Perspectivas Globais para a Engenharia de Produção

Fortaleza, CE, Brasil, 13 a 16 de outubro de 2015.

9

Todos as análises foram realizadas usando o Software Minitab® 16.0 e Office Excel®.

Quadro 1 - Parâmetros de corte e respectivos níveis

Parâmetros Símbolo Unid, Níveis (Decodificados e Codificados)

-1,682 -1 0 +1 +1,682

Velocidade de Corte Vc m/min 180 220 280 340 380

Taxa de Alimentação f mm/rev 0,07 0,08 0,10 0,12 0,13

Profundidade de Corte d mm 0,53 0,70 0,95 1,20 1,37

Fonte: os autores

Quadro 2 - Matriz do arranjo experimental

Parâmetros de Corte Respostas Originais Respostas RSR Resposta ACP

Min. Max. Max. Max. Max. Max

Test v

[m/min]

f

[mm/rev]

d

[mm]

Ra

[μm]

MRR

[cm3/min]

NR/Ra NR/MRR

PC1 PC2

1 220 0,08 0,70 1,36 12,32 0,34 2,18 -1,79 -0,88

2 340 0,08 0,70 1,65 19,04 0,40 2,56 - -

3 220 0,12 0,70 1,78 18,48 0,86 2,53 0,06 -1,20

4 340 0,12 0,70 1,84 28,56 0,91 2,91 1,00 -0,49

5 220 0,08 1,20 2,22 21,12 -0,05 2,65 - 0,98

6 340 0,08 1,20 2,21 32,64 0,17 3,03 -0,32 1,34

7 220 0,12 1,20 1,82 31,68 1,25 3,00 1,91 -1,01

8 340 0,12 1,20 2,24 48,96 0,52 3,38 1,20 1,35

9 180 0,10 0,95 1,90 17,10 0,45 2,47 -0,95 -0,48

10 380 0,10 0,95 2,09 36,10 0,35 3,12 0,25 1,15

11 280 0,07 0,95 1,85 18,62 0,61 2,54 - -

12 280 0,13 0,95 1,85 34,58 1,03 3,08 1,61 -0,37

13 280 0,10 0,53 1,68 14,84 0,92 2,34 -0,23 -1,74

14 280 0,10 1,37 2,31 38,36 0,61 3,17 0,92 0,71

15 280 0,10 0,95 2,32 26,60 0,37 2,85 -0,29 0,53

16 280 0,10 0,95 2,24 26,60 0,39 2,85 -0,24 0,48

17 280 0,10 0,95 2,38 26,60 0,40 2,85 -0,21 0,45

Fonte: os autores

4. Resultados para o estudo de caso aplicado ao processo de torneamento do aço 12L14

Com base no CCD descrito no Quadro 2, o algoritmo OLS (do inglês, Ordinary Least Squares)

foi aplicado para todas as respostas e os resultados para os modelos quadráticos completos

descritos no Quadro 3. Todos os modelos apresentaram R2 (ajustado) acima de 85%,

indicando uma ótima adequação dos mesmos.

Quadro 3 - Modelos quadráticos completos para as respostas

Page 10: ANÁLISE DA UTILIZAÇÃO DO MÉTODO DA INTERSEÇÃO …abepro.org.br/biblioteca/TN_STO_211_251_28282.pdf · anÁlise da utilizaÇÃo do mÉtodo da interseÇÃo normal À fronteira

XXXV ENCONTRO NACIONAL DE ENGENHARIA DE PRODUCAO Perspectivas Globais para a Engenharia de Produção

Fortaleza, CE, Brasil, 13 a 16 de outubro de 2015.

10

Coeficientes Ra MRR NR/Ra NR/MRR PC1 PC2

Constante 2.316 26.600 0.385 2.849 -0,2515 0,4918

V 0.079 5.679 0.000 0.189 0,3435 0,4789

f 0.017 5.082 0.261 0.177 0,8382 -0,0723

d 0.212 6.997 -0.124 0.240 0,3288 0,7216

V*V -0.121 0.000 0.009 -0.020 -0,0173 -0,0678

f*f -0.172 0.000 0.080 -0.022 0,1931 -0,2851

d*d -0.121 0.000 0.137 -0.032 0,2274 -0,3667

V*f 0.023 1.140 -0.188 0.002 -0,2754 0,2913

V*d 0.008 1.500 -0.147 0.002 -0,3991 0,4037

f*d -0.122 1.400 0.148 -0.002 0,1921 -0,2079

Adj-R2 (%) 86.20 99.72 93.60 99.89 99,05 99,55

Fonte: os autores

4.2 Resultados da otimização pelo método NBI para respostas multicorrelacionadas

Com os modelos quadráticos completos encontrados para Ra e MRR (Quadro 3), a otimização

pelo método NBI pode ser promovida para as superfícies de Resposta. Com base na Equação

(3) a Matriz Payoff foi determinada levando em consideração os pontos de Utopia

( 45,1)( xR aI

e 77,47)( xMMRMax ). Pela Equação (4), a normalização da Matriz Payoff foi

realizada. Em seguida, considerando o critério de minimização e aplicando o GRG algoritmo

disponível para a rotina do Solver® para o sistema de Equações (5 e 6) resultou no conjunto

de resultados ótimos de Pareto, conforme demonstrado no Quadro 4. Incrementos de

aproximadamente 5% foram adotados para a construção da fronteira de Pareto (Figura 3) e a

restrição não linear 829,2xxT

foi considerada.

Quadro 4 - Resultados da otimização pelo método NBI (considerando a correlação entre as

respostas)

Page 11: ANÁLISE DA UTILIZAÇÃO DO MÉTODO DA INTERSEÇÃO …abepro.org.br/biblioteca/TN_STO_211_251_28282.pdf · anÁlise da utilizaÇÃo do mÉtodo da interseÇÃo normal À fronteira

XXXV ENCONTRO NACIONAL DE ENGENHARIA DE PRODUCAO Perspectivas Globais para a Engenharia de Produção

Fortaleza, CE, Brasil, 13 a 16 de outubro de 2015.

11

)( Respostas Parâmetros Codificados Parâmetros Decodificados

Ra MRR Vc f d V f d

0 2,26 43,54 0,41 0,61 1,33 304,82 0,11 1,28

0,05 2,10 47,42 0,81 1,08 1,00 328,75 0,12 1,20

0,1 2,05 46,57 0,67 1,24 0,92 320,11 0,12 1,18

0,15 2,00 45,40 0,52 1,36 0,84 310,96 0,13 1,16

0,2 1,96 43,95 0,36 1,45 0,77 301,50 0,13 1,14

0,25 1,92 42,28 0,20 1,52 0,69 291,79 0,13 1,12

0,3 1,89 40,40 0,03 1,57 0,60 281,92 0,13 1,10

0,35 1,86 38,30 -0,14 1,60 0,51 271,86 0,13 1,08

0,4 1,84 36,00 -0,31 1,60 0,40 261,68 0,13 1,05

0,45 1,93 28,41 1,54 -0,12 -0,67 372,32 0,10 0,78

0,5 1,89 26,87 1,50 -0,31 -0,69 369,96 0,09 0,78

0,55 1,85 25,42 1,44 -0,47 -0,73 366,43 0,09 0,77

0,6 1,81 24,03 1,37 -0,60 -0,77 362,04 0,09 0,76

0,65 1,76 22,69 1,28 -0,72 -0,82 356,86 0,09 0,75

0,7 1,72 21,41 1,18 -0,82 -0,87 350,90 0,08 0,73

0,75 1,67 20,16 1,07 -0,92 -0,92 344,04 0,08 0,72

0,8 1,63 18,94 0,94 -1,00 -0,97 336,10 0,08 0,71

0,85 1,58 17,74 0,78 -1,08 -1,03 326,77 0,08 0,69

0,9 1,53 16,54 0,59 -1,13 -1,09 315,34 0,08 0,68

0,95 1,49 15,29 0,34 -1,16 -1,17 300,19 0,08 0,66

1 1,45 13,55 -0,27 -1,10 -1,24 263,96 0,08 0,64

Nota: Os valores em negrito são os pontos ótimos encontrados pela otimização Global

Fonte: os autores

Figura 3 - Fronteira de Pareto para Ra e MRR otimizado pelo NBI (considerando a correlação

entre as respostas)

10,0

15,0

20,0

25,0

30,0

35,0

40,0

45,0

50,0

1,25 1,45 1,65 1,85 2,05 2,25

MR

R

Ra

Fonte: os autores

Page 12: ANÁLISE DA UTILIZAÇÃO DO MÉTODO DA INTERSEÇÃO …abepro.org.br/biblioteca/TN_STO_211_251_28282.pdf · anÁlise da utilizaÇÃo do mÉtodo da interseÇÃo normal À fronteira

XXXV ENCONTRO NACIONAL DE ENGENHARIA DE PRODUCAO Perspectivas Globais para a Engenharia de Produção

Fortaleza, CE, Brasil, 13 a 16 de outubro de 2015.

12

A otimização pelo método NBI considerando a correlação entre as funções objetivas não

conseguiu construir uma fronteira de Pareto convexa, contínua e uniformemente distribuída.

Na verdade, o método tende a falhar na transição dos pesos 05,0w 2 para 10,0w 3 e

40,0w 9 para 45,0w10 . Os pontos ótimos encontrados pelo critério da minimização do

Erro Percentual Global (EPG), descrito por Gomes (2013), mostra que o menor valor

encontrado para o Ra foi 2,00 m e o maior valor encontrado para MRR foi 45,40 min/3cm .

Neste caso, os parâmetros de processo que atenderam estas condições foram uma velocidade

de corte de 310,96 m/min, um avanço de 0,13mm/rev e uma profundidade de corte de

1,16mm (valores em negrito no Quadro 4). Embora tenha apresentado uma alta taxa de

alimentação, os níveis foram obtidos dentro dos limites de especificação.

4.2 Resultados da otimização pela abordagem NBI-RSR-ACP

A abordagem NBI-RSR-ACP descrita na seção 3.1 serão aqui discutidas de acordo com todas

as etapas apresentadas na Figura 1. Nesta segunda fase da pesquisa, a matriz de correlação foi

analisada (Etapa 1) e uma moderada correlação entre as Respostas Ra e MRR foi observada

)012,0,596,0( valueP . Levando em consideração que Ra deve ser minimizada, enquanto

MRR deve ser maximizada, a Relação Sinal-Ruído de Taguchi foi aplicada à Ra e MRR

(Etapa 2). Os resultados podem ser vistos no Quadro 2. A transformação faz com que essas

novas respostam tenham o mesmo sentido de otimização, ou seja, deverão ser maximizadas.

O algoritmo OLS foi aplicado para SNR/Ra e SNR/MRR, obtendo-se um bom ajuste (Quadro

3). Em seguida, a Análise de Componentes Principais foi realizada para as respostas pré-

processadas (Etapa 3). Usando a matriz de correlação, os escores dos CPs foram extraídos

(Quadro 2) e os respectivos autovalores e autovetores armazenados (Quadro 4).

Quadro 4 - Análise de Componentes Principais

PC1 PC2

Eigenvalue )(e 1,0991 0,9009

Proportion 0,550 0,450

Cumulative 0,550 1,000

Eigenvectors )( PC1 PC2

NR/Ra 0,707 -0,707

NR/MRR 0,707 0,707

Page 13: ANÁLISE DA UTILIZAÇÃO DO MÉTODO DA INTERSEÇÃO …abepro.org.br/biblioteca/TN_STO_211_251_28282.pdf · anÁlise da utilizaÇÃo do mÉtodo da interseÇÃo normal À fronteira

XXXV ENCONTRO NACIONAL DE ENGENHARIA DE PRODUCAO Perspectivas Globais para a Engenharia de Produção

Fortaleza, CE, Brasil, 13 a 16 de outubro de 2015.

13

Fonte: os autores

Como o primeiro componente principal explica apenas 55,0% da variância-covariância

acumulada, o segundo componente também foi considerado na análise. Assim, o método NBI-

RSR-PCA foi implantado utilizando os dois componentes (PC1 e PC2). Na Etapa 4, o

algoritmo OLS foi aplicado e os modelos quadráticos completo foram obtidos (Quadro 3),

definindo as seguintes equações:

fddVfVddff

VdfVPC

cc

cc

1921,03991,02754,02274,01931,0

0173,08832,08382,03435,02515,01

(9)

fddVfVddff

VVdfVPC

cc

ccc

2079,040372913,03667.08512.0

8067.07216.00723,04789.04918,02

(10)

Após a modelagem das funções objetivas PC1 e PC2, a otimização pelo método NBI pode ser

promovida para as superfícies de resposta. Os pontos de Utopia )(iy de PC1 e PC2 foram

determinados levando em conta a maximização individual restrita xx

iy yMaxi

ˆ

para

ambos. Em seguida, conforme estabelecido pela Equação (3), a Matriz Payoff foi determinada

levando em consideração os pontos de Utopia encontrados: 83,2)( xPC aMax

q e

835,1)(2 xPCMax

(Etapa 5). Pela Equação (4), a normalização da Matriz Payoff foi realizada

(Etapa 6). Finalmente, considerando o critério de minimização e aplicando o GRG algoritmo

disponível para a rotina do Solver® para o sistema de Equações (11 e 12) obteve-se os

resultados apresentados no Quadro 5. A restrição não linear 829,2xxT

foi considerada

(Etapa 7). Usando incrementos de 5% na distribuição dos pesos, foi possível construir a

fronteira de Pareto para a otimização das funções objetivas PC1 e PC2 (Figura 4a) e para os

dados decodificados das variáveis Ra e MRR a partir da abordagem NBI-RSR-ACP (Figura

4b) (Etapa 8).

Nota-se que, o método NBI-RSR-ACP (para funções objetivas descorrelacionadas) supera o

método NBI (considerando a correlação entre as funções objetivo), permitindo a construção

de uma fronteira de Pareto contínua e uniformemente distribuída, considerando a mesma

distribuição de pesos para ambos os métodos.

Page 14: ANÁLISE DA UTILIZAÇÃO DO MÉTODO DA INTERSEÇÃO …abepro.org.br/biblioteca/TN_STO_211_251_28282.pdf · anÁlise da utilizaÇÃo do mÉtodo da interseÇÃo normal À fronteira

XXXV ENCONTRO NACIONAL DE ENGENHARIA DE PRODUCAO Perspectivas Globais para a Engenharia de Produção

Fortaleza, CE, Brasil, 13 a 16 de outubro de 2015.

14

Quadro 5 - Resultados da otimização pelo método NBI (sem considerar o efeito da

correlação)

)( Respostas

Parâmetros

Codificados

Parâmetros

Decodificados

Respostas

Decodificadas

PC1 PC2 Vc f d Vc f d Ra MRR

0 0,27 1,92 1,36 0,11 0,99 361,50 0,10 1,20 2,2929 44,0783

0,05 0,43 1,89 1,32 0,32 1,00 359,01 0,11 1,20 2,2717 45,5431

0,1 0,57 1,84 1,26 0,46 1,01 355,63 0,11 1,20 2,2518 46,4340

0,15 0,70 1,76 1,20 0,58 1,03 351,95 0,11 1,21 2,2322 47,0190

0,2 0,82 1,67 1,13 0,68 1,04 348,06 0,11 1,21 2,2131 47,4031

0,25 0,93 1,58 1,07 0,76 1,05 344,02 0,12 1,21 2,1945 47,6390

0,3 1,04 1,48 1,00 0,84 1,06 339,89 0,12 1,22 2,1761 47,7563

0,35 1,14 1,38 0,93 0,90 1,07 335,71 0,12 1,22 2,1577 47,7732

0,4 1,24 1,27 0,86 0,96 1,08 331,38 0,12 1,22 2,1398 47,7026

0,45 1,34 1,15 0,78 1,02 1,09 326,98 0,12 1,22 2,1219 47,5509

0,5 1,43 1,04 0,71 1,06 1,09 322,46 0,12 1,22 2,1042 47,3227

0,55 1,52 0,92 0,63 1,11 1,10 317,83 0,12 1,22 2,0864 47,0192

0,6 1,61 0,79 0,55 1,15 1,10 313,02 0,12 1,22 2,0689 46,6404

0,65 1,70 0,66 0,47 1,19 1,10 308,06 0,12 1,22 2,0511 46,1823

0,7 1,78 0,53 0,38 1,22 1,09 302,88 0,12 1,22 2,0334 45,6392

0,75 1,86 0,39 0,29 1,25 1,09 297,43 0,12 1,22 2,0154 45,0010

0,8 1,93 0,25 0,19 1,28 1,08 291,62 0,13 1,22 1,9972 44,2516

0,85 2,00 0,10 0,09 1,30 1,06 285,38 0,13 1,22 1,9783 43,3646

0,9 2,06 -0,07 -0,03 1,32 1,04 278,44 0,13 1,21 1,9587 42,2945

0,95 2,10 -0,24 -0,16 1,34 1,01 270,48 0,13 1,20 1,9373 40,9486

1 2,13 -0,45 -0,33 1,35 0,95 260,41 0,13 1,19 1,9122 39,0777

Nota: Os valores em negrito são os pontos ótimos encontrados pela otimização Global

Fonte: os autores

Figura 4 - Fronteira de Pareto para: (a) PC1 e PC2 e (b) Ra e MRR otimizados pela abordagem

NBI-RSR-ACP (sem considerar o efeito da correlação)

Page 15: ANÁLISE DA UTILIZAÇÃO DO MÉTODO DA INTERSEÇÃO …abepro.org.br/biblioteca/TN_STO_211_251_28282.pdf · anÁlise da utilizaÇÃo do mÉtodo da interseÇÃo normal À fronteira

XXXV ENCONTRO NACIONAL DE ENGENHARIA DE PRODUCAO Perspectivas Globais para a Engenharia de Produção

Fortaleza, CE, Brasil, 13 a 16 de outubro de 2015.

15

-0,75

-0,25

0,25

0,75

1,25

1,75

2,25

0,00 0,50 1,00 1,50 2,00

PC

2

PC1

37,0

39,0

41,0

43,0

45,0

47,0

49,0

1,90 1,95 2,00 2,05 2,10 2,15 2,20 2,25 2,30

MR

R

Ra

Fonte: os autores

Os pontos ótimos encontrados pelo critério da minimização do Erro Percentual Global,

descrito por Gomes (2013), mostra que o menor valor encontrado para o Ra foi 2,08 m e o

maior valor encontrado para MRR foi 47,02 min/3cm . Neste caso, os parâmetros de processo

que atenderam estas condições foram uma velocidade de corte de 317 m/min, um avanço de

0,12mm/rev e uma profundidade de corte de 1,22mm. Todos os níveis foram obtidos dentro

dos limites de especificação.

Pelo Quadro 6 é possível comparar os pontos ótimos encontrados pelo minimização do EPG,

tanto na otimização pelo método NBI, considerando o efeito da correlação entre Ra e MRR,

quanto pelos resultados ótimos encontrados pelo método NBI, sem considerar o efeito da

correlação entre as respostas (abordagem NBI-RSR-ACP).

Nota-se que, embora o método NBI (com correlação) tenha apresentado uma alta taxa de

alimentação, ambos os métodos chegaram à resultados bem próximos dos seus alvos (ponto

de utopia). Porém, o método NBI-RSR-ACP (sem correlação), além de apresentar as soluções

ótimas de Pareto convexa e uniformemente distribuída ao longo da fronteira, permitiu que se

chegasse a valores (soluções ótimas de pareto) próximos dos valores definidos como ótimos e

com todos os parâmetros de corte dentro dos limites de especificação. Pode-se notar ainda

que, o método NBI (com correlação) apresentou valores de MRR entre 13,55 e 43,54,

enquanto que a menor MRR obtida pelo método NBI (sem correlação) foi de 39,07, sem

desconsiderar a minimização de Ra.

Quadro 6 - Resultados ótimos encontrados pelo método NBI (com e sem correlação)

Page 16: ANÁLISE DA UTILIZAÇÃO DO MÉTODO DA INTERSEÇÃO …abepro.org.br/biblioteca/TN_STO_211_251_28282.pdf · anÁlise da utilizaÇÃo do mÉtodo da interseÇÃo normal À fronteira

XXXV ENCONTRO NACIONAL DE ENGENHARIA DE PRODUCAO Perspectivas Globais para a Engenharia de Produção

Fortaleza, CE, Brasil, 13 a 16 de outubro de 2015.

16

Ra MRR Vc f d

Ponto de Utopia )(iy 1,45 47,77 280 0,10 0,95

Pontos ótimos (NBI considerando o efeito da

correlação) 2,00 45,40 310 0,13 1,16

Pontos ótimos (NBI-RSR-ACP, sem

considerando o efeito da correlação)

2,

08 47,02 317 0,12 1,22

Unidade m min/3cm

Fonte: os autores

5. Considerações finais

Através dos resultados obtidos nota-se que, ao aplicar o método NBI para as funções Ra e

MRR foi possível encontrar soluções viáveis para ambos os casos, com e sem o efeito da

correlação. Porém, o método NBI-RSR-ACP (sem correlação), além de apresentar as soluções

ótimas de Pareto convexa e uniformemente distribuída ao longo da fronteira (o que não

aconteceu com o método NBI, considerando respostas correlacionadas), permitiu que se

chegasse a valores (soluções ótimas de pareto) próximos dos valores definidos como ótimos e

com todos os parâmetros de corte dentro dos limites de especificação. Pode-se notar ainda

que, o método NBI (com correlação) apresentou valores de MRR entre 13,55 e 43,54,

enquanto que a menor MRR obtida pelo método NBI (sem correlação) foi de 39,07, sem

desconsiderar a minimização de Ra. Logo, pode-se concluir que o efeito da correlação

influencia diretamente na determinação dos pontos ótimos, deslocando significamente os

pontos ótimos da fronteira. Deixar de considerar este efeito pode conduzir a uma solução não

compatível com a realidade.

6. Referências

BOUZID, L.; BOUTABBA, S.; YALLESE, M. A.; BELHADI, S.; GIRARDIN, F. Simultaneous optimization of

surface roughness and material removal rate for turning of X20Cr13 stainless steel. International J Adv Manuf

Technol, v. 74, p. 879–891, 2014

BOX, G. E. P; HUNTER, W. G; MACGREGOR, J. F; ERJAVEC, J. Some problems associated with the

analysis of multiresponse data. Technometrics, v.15, p. 33-51, 1973.

BRATCHELL, N. Multivariate response surface modeling by principal components analysis. Journal of

Chemometrics, v.3, p.579-588, 1989.

Page 17: ANÁLISE DA UTILIZAÇÃO DO MÉTODO DA INTERSEÇÃO …abepro.org.br/biblioteca/TN_STO_211_251_28282.pdf · anÁlise da utilizaÇÃo do mÉtodo da interseÇÃo normal À fronteira

XXXV ENCONTRO NACIONAL DE ENGENHARIA DE PRODUCAO Perspectivas Globais para a Engenharia de Produção

Fortaleza, CE, Brasil, 13 a 16 de outubro de 2015.

17

BRITO, T. G.; PAIVA, A. P.; FERREIRA, J. R.; GOMES, J. H. F.; BALESTRASSI, P. P. A normal boundary

intersection approach to multiresponse robust optimization of the surface roughness in end milling process with

combined arrays. Precision Engineering, v. 38, n. 3, p. 628–638, 2014. Elsevier Inc.

COELLO COELLO, C. A. e CHRISTIANSEN, A. D. Multiobjective optimization of trusses using genetic

algorithms. Comput. Struct, v. 75, p. 647–660, 2000.

DAS, I.; DENNIS, J. E. Normal-Boundary Intersection: A New Method for Generating the Pareto Surface in

Nonlinear Multicriteria Optimization Problems. SIAM Journal on Optimization, v. 8, n. 3, p. 631–657, 1998.

DUREJA, J.S.; GUPTA, V. K.; SHARMA, V. S.; MANU DROGA; BHATT, M. S. A review of empirical

modeling techniques to optimize machining parameters for har turning applications. Proc IMechE Part B: J

Engineering Manufacture, p. 1–16, 2014

GOMES, J. H. F. Método dos polinômios canônicos de misturas para otimização multi-objetivo. Itajubá:

UNIFEI, 2013. Tese (Doutorado) - Programa de Pós-Graduação em Engenharia de Produção,Universidade

Federal de Itajubá, Itajubá, Minas Gerais, 2013.

GOMES, J. H. F.; BRITO, T. G. de; PAIVA, P. P. ANDRADE, A. X. E-Locução/Revista científica da FAEX,

Ed. 04, ano 2, p. 1–26, 2013.

GOVINDALURI, S. M. CHO, B. R. Robust design modeling with correlated quality characteristics using a

multicriteria decision framework. International Journal of Advanced Manufacture Technology, v.32, p. 423-

433, 2007.

JANARDHANI, M. e KRISHNA, A. G. Multi-objective optimization of cutting parameters for surface

roughness and metal removal rate in surface grinding using response surface methodology. International

Journal of Advances in Engineering & Technology, v. 3, Issue 1, p 270-283, 2012

JIA, Z; IERAPETRITOU . Generate Pareto optimal solutions of scheduling problems using normal boundary

intersection technique. Comput Chem Eng, v. 31, p. 268–280, 2007.

JOHNSON, R. A.; WICHERN, D. W. Applied multivariate statistical analysis. 5 ed ed. New Jersey: Pretience-

Hall Inc., 2002.

KALADHAR, M, VENKATA, S. K. e RAO, C. S. Simultaneous optimization of multiple responses in turning

operations. J Engineering Manufacture, v. 228, p. 707–714, 2014

KAZEMZADEH, R. B.; BASHIRI, M.; ATKINSON, A. C.; NOOROSSANA, R. A general framework for

multiresponse optimization problems based on goal programming. European Journal of Operational

Research, v. 189, n. 2, p. 421–429, 2008.

KOPAC, J. E KRAJNIK, P. Robust design of flank milling parameters based on grey-Taguchi method. Journal

of Materials Processing Technology, v. 191, p. 400–403, 2007

KUMAR, S; GUPTA, M; SATSANGI, P.S. e SARDANA, H.K.. Modeling and analysis for surface roughness

and material removal rate in machining of UD-GFRP using PCD tool. International Journal of Engineering,

Science and Technology, v. 3, N. 8, p. 248-270. 2011

OLIVEIRA, C. H. de. Método da Interseção Normal à Fronteira para a otimização multiobjetiva de

superfície de resposta duas correlacionadas. Itajubá: UNIFEI, 2012. 77p. Dissertação (Mestrado) - Programa

de Pós-Graduação em Engenharia de Produção,Universidade Federal de Itajubá, Itajubá, Minas Gerais, 2013.

PAIVA, A. P.; FERREIRA, J. R.; BALESTRASSI, P. P. A multivariate hybrid approach applied to AISI 52100

hardened steel turning optimization. Journal of Materials Processing Technology, v. 189, p. 26–35, 2007.

MARLER R. T,.; ARORA J. S. Survey of multi-objective optimization methods for engineering. Struct

Multidiscip Optim, v. 26, p. 369–395, 2004

MONTGOMERY, D. C; RUNGER, G. C. Estatística Aplicada e Probabilidade para Engenheiros. 2a e. LTC,

2003

MOSHAT, S.; DATTA, S.; BANDYOPADHYAY, A e KUMAR, P. Pal. Parametric optimization of CNC end

milling using entropy measurement technique combined with grey-Taguchi method. International Journal of

Engineer, Science and Techinology, Vol. 2, No. 2: 1-12, 2010.

PAIVA, A. P. Metodologia de Superfície de Resposta e Análise de Componentes Principais em Otimização

de Processos de Manufatura com Múltiplas Respostas Correlacionadas. Itajubá: UNIFEI, 2006. 257 p. Tese

Page 18: ANÁLISE DA UTILIZAÇÃO DO MÉTODO DA INTERSEÇÃO …abepro.org.br/biblioteca/TN_STO_211_251_28282.pdf · anÁlise da utilizaÇÃo do mÉtodo da interseÇÃo normal À fronteira

XXXV ENCONTRO NACIONAL DE ENGENHARIA DE PRODUCAO Perspectivas Globais para a Engenharia de Produção

Fortaleza, CE, Brasil, 13 a 16 de outubro de 2015.

18

(Doutorado) - Programa de Pós-Graduação em Engenharia Mecânica, Universidade Federal de Itajubá, Itajubá,

Minas Gerais, 2006.

PONTES, F. J.; PAIVA, A. P. DE; BALESTRASSI, P. P.; FERREIRA, J. R.; SILVA, M. B. Optimization of

Radial Basis Function neural network employed for prediction of surface roughness in hard turning process

using Taguchi’s orthogonal arrays. Expert Systems with Applications, v. 39, p. 7776–7787, 2012.

RAO, S. S.Engineering optimization: theory and practice. 4th ed. New Jersey: John Wiley & Sons, 2009.

RYU JH, KIM S, WAN H. Pareto front approximation with adaptive weighted sum method in multiobjective

simulation optimization. Proc - Winter Simul Conf. 2009;(x):623–633.

SAHU, M e SAHU, K. Optimization of Cutting Parameters on Tool Wear, Workpiece Surface Temperature and

Material Removal Rate in Turning of AISI D2 Steel. International Journal of Advanced Mechanical

Engineering, V. 4, N 3, p. 291-298, 2014

SONI, V; MONDAL AND BHAGAT SINGH . Process Parameters Optimization in Turning of Aluminium

Using a New Hybrid Approach. IJISET - International Journal of Innovative Science, Engineering &

Technology 2014, Vol. 1 Issue 3.

WU, F. C. Optimization of correlated multiple quality characteristics using desirability function. Quality

Engineering, v.17, p. 119-126, 2005.

YUAN, J.; WANG, K.; YU, T.; FANG, M. Reliable multi-objective optimization of high speed WEDM process

based on Gaussian process regression. International Journal of Machine Tools & Manufacture, v.48, p. 47-

60, 2008.

Agradecimentos

Os autores agradecem à FAPEMIG, CNPq e CAPES.