Upload
internet
View
119
Download
2
Embed Size (px)
Citation preview
Análise de Algoritmos
AULA 1Profa. Sandra de Amo
Disciplina: Análise de Algoritmos Pós-graduação em Ciência da Computação
Objetivos GeraisConceitos Básicos
AULA 1 – Parte I Profa. Sandra de Amo
Disciplina: Análise de Algoritmos Pós-graduação em Ciência da Computação
“Problemas” e “Algoritmos” O que é um problema ?
Função P: Input Output Instância do Problema = I ϵ Input
Exemplos de Problemas Problema dos Primos
Primos: N {Sim, Não} Instância = número naturalPrimos (n) = Sim, se n é primo; Não, caso contrário
Problema da Decomposição em primos Decomposição:
N {Seq | Seq = <(p1,n1),...,(pk,nk)>, pi primo}Decomposição (n) = <(p1,n1), ..., (pk,nk)> se n = p1
n1p2n2...pk
nk Exemplo: Decomposição (10) = <(2,1), (5,1)>, pois 10 = 21.51
“Problemas” e “Algoritmos” Problema do Circuito Hamiltoniano
Hamilton: Grafos Dirigidos {Sim, Não}Instância = grafo dirigido GHamilton(G) = Sim, se G possui um caminho passando por todos os vértices uma única vez;
= Não, caso contrário Problemas de Decisão: output = {Sim, Não}
“Problemas” e “Algoritmos” Solução de um Problema
Conjunto finito de instruções cuja execução sobre o input termina depois de um tempo finito, produzindo no final o output.
Solução de um problema = algoritmo
Algoritmo : conjunto finito de instruções que transformam uma entrada em uma saída depois de um tempo finito.
Todo Algoritmo está associado a um Problema
Algoritmo que resolve o problema
Perguntas
Conjunto dos Algoritmos Conjunto dos Problemas
???
Função injetora ??
Não é função injetora: podem existir diferentes algoritmos para resolver um mesmo problema
Não é função sobrejetora: Existem problemas que não têm solução
Problema de Correspondência de Post (PCP)
Post: Dominós {Sim,Não}
Instância= um conjunto de tipos de peças de dominós
Post(D) = Sim, se existe um pareamento de peças de tipos em D
= Não, caso contrário.
O problema PCPO problema PCP
…abc b c dg
f g eg ef
e f
c d e
b c d
b
1 2 3 4 n
Input = um conjunto finito de tipos de peças de dominós
Pergunta : É possivel encontrar um pareamento, isto é,uma sequência de peças de tipos dados no input, tal que o string formado na parte de cima e idêntico ao string formado na parte de baixo ?
b c d
b
e f
c d e
g
f g
b c d e f g
b c d e f g
Sequência : 3 n 1
a b c a a a b c
Exemplos Exemplos
a b cb
c a
a
a b c
c a
a
1 2 3 4
a
a b
a
a b
b
c a
c a
a
a b c
c
Sequência de peças= 2 1 3 2 4
a b c a a a b c
Exemplo Exemplo
a c c
b a
c a
a
1 2 3
a b c
a b
Input
Resposta ?? Não
Justificativa : a parte de cima das peças é sempre maior que a parte de baixo !
Formalização do Problema Formalização do Problema Input genérico do Problema PCP
C = { t1
b1,
t2
b2,
t3
b3, … ,
tn
bn}
t1, t2, …, tn são strings sobre um alfabeto S
b1, b2, …, bn são strings sobre um alfabeto S
Um pareamento (match) = uma sequência <i1, i2, …, ik> de números em {1,…,n}
tal que ti1 ti2 … tik = bi1 bi2 … bik= string do pareamento
Pergunta : Existe um Pergunta : Existe um pareamento pareamento para o input C ?para o input C ?
Solução quando existe, não precisa ser única Problema da OrdenaçãoOrdena : SeqNat SeqNat Ordena(<a1,...,an>) = <b1,...,bn>Onde: <b1,...,bn> é uma permutação de <a1,...,an>
b1 ≤ b2 ≤ ... ≤ bnAlgoritmos que o resolvem:
Insertion-SortSelection-SortBubble-SortHeap-SortMerge-SortQuick-Sort Radix-SortBucket-Sort
Insertion-SortSelection-SortBubble-SortHeap-SortMerge-SortQuick-Sort
Radix-SortBucket-Sort
Eficiência emTempo cresce
Eficiência emEspaço cresce
O que é um bom algoritmo ? Correto ? Eficiente em tempo ? Eficiente em espaço ?
Soluções Aproximadas às vezes são mais interessantes... Problema do Vertex Cover (otimização)
Achar o menor subconjunto de vértices S tal que cada aresta tem pelo menos uma d e suas extremidades no conjunto S ? Problema de Minimização de recursos
• Encontrar a solução ótima é difícil• Problema NP-hard• Encontrar solução aproximada é factível Existem algoritmos que encontram soluções aproximadas em tempo polinomial
Para cada input G, o algoritmo dá uma solução com custo C(G) tal que:
C(G) ≥ α Opt(G)
Soluções Aproximadas nem sempre sãofacilmente encontráveis
Problema do Caixeiro Viajante (otimização)
Achar o circuito hamiltoniano mais curto (passando por todasas cidades uma única vez) ?
Problema de Minimização de recursos
• Encontrar a solução ótima é difícil• Problema NP-hard• Encontrar solução aproximada não é factível !
d1
d2
d3
d4 d5
d6
Tipos de AlgoritmosProblema P
P é decidível (tem solução ?) Qual a complexidade de P ? Se P for NP-completo: existem algoritmos aproximados ? Como projetar um bom algoritmo para P, dentro das
limitações da complexidade inerente ao problema P ?
Tipos de Algoritmos: Exatos versus Aproximativos Iterativos versus Recursivos Probabilísticos (ou Randômicos)
O que é um Algoritmo Probabilístico ? Problema: Encontrar um elemento a em um array A de n elementos
Input: A, a , nOutput: posição m onde se encontra a ou ‘Não’
Algoritmo Exato Begin Para i = 1, ..., n faça
Se A[i] = a Retorna i Pára
Retorna ‘Não’ End
Se n é muito grande, algoritmo pode levar muito tempo para dar a resposta .
O que é um Algoritmo Probabilístico ? Problema: Encontrar um elemento a em um array A de n elementos
Input: A, a , n Output: posição m onde se encontra a ou ‘Não’
Algoritmo Monte Carlo (não exato) begin
i=1 repeat Selecione aleatoriamente um número inteiro m em [1,n]
Se A[m] = a Retorna m e párai = i + 1
until i=k Retorna ‘Não’ end Monte Carlo encontra ‘a’ com Probabilidade (1 – (1/2)k) Tempo de Execução de Monte Carlo é fixo
Análise de um AlgoritmoO que é analisar um algoritmo ?
Determinar sua eficiência quanto ao tempo de execução quanto à quantidade de memória utilizada para executar o
algoritmo
Modelo para a Análise da complexidade: Modelo RAM (Random Access Machine) Operações executadas em sequência Não há execuções simultâneas
Análise de um AlgoritmoQue operações atômicas considerar no cálculo de custo ?
Operações atômicas = custo constante
Operações aritméticas Soma, subtração, multiplicação, divisão, resto, piso, teto
Movimentação de dados: Carregar, armazenar, copiar
Controle Desvio condicional e incondicional Chamada e retorno de subrotinas
Exemplo: Problema, Algoritmo, Análise do Algoritmo Problema: (Ordenação de uma sequência)
Input: sequência de n números A = <a1,...,an>
Output: B = <b1,...,bn>, onde B é uma permutação de A e b1≤ b2 ≤ ... ≤ bn
Projeto de um Algoritmo
Algoritmo Insertion-SortInsertion-Sort (A) Entrada : A = array [a1,...,an]
1. For j 2 to n
2. do chave A[j]
3. i j – 1 % Procura lugar anterior onde inserir a chave
4. While i > 0 e A[i] > chave
5. do A[i+1] A[i]
6. i i - 1
7. A[i+1] chave
Algoritmo é executado in place :Espaço necessário = espaço da entrada + espaço das variáveis Chave, j, i Complexidade em Espaço = constante (=3)
(não se conta o espaço ocupado pela entrada)
Algoritmo Insertion-SortInsertion-Sort (A)
Custo Vezes
1. For j 2 to n c1 n
2. do chave A[j] c2 n-1
3. i j – 1 c3 n-1
4. While i > 0 e A[i] > chave c4 Σnj=2 tj
5. do A[i+1] A[i] c5 Σnj=2 (tj-1)
6. i i - 1 c6 Σnj=2 (tj-1)
7. A[i+1] chave c7 n-1
tj = número de vezes que o teste do While em (4) é executado para cada valor jdo loop for
Algoritmo Insertion-SortT(n) = custo temporal do algoritmo em função do tamanho da
entrada (=n)
T(n) = c1.n + c2(n-1) + c3(n-1) + c4(Σnj=2 tj) + c5(Σn
j=2 (tj-1)) + c6(Σnj=2 (tj-1)) + c7(n-1)
T(n) depende de tj
O valor de tj depende do “grau de desordenação” da entrada.
Algoritmo Insertion-SortMelhor caso: a entrada está corretamente em ordem crescente.
tj = 1, para j = 2,...,n
T(n) = c1.n + c2(n-1) + c3(n-1) + c4(n-1) + c7(n-1)
= (c1+c2+c3+c4+c7)n – (c2+c3+c4+c7)
Pior caso : a entrada está ordenada de forma reversa (descrescente) tj = j, para j = 2,...,n
Σnj=2 j = [n(n+1)/2] – 1
T(n) = c1.n + c2(n-1) + c3(n-1) + c4([n(n+1)/2] – 1) + c5([n(n-1)/2]) +
+ c6([n(n-1)/2]) + c7(n-1) = = (c4/2 + c5/2 + c6/2)n2 + (c1+c2+c3 - c4/2 - c5/2 - c6/2 + c7)n - (c2 + c3 + c4 + c7)
Algoritmo Insertion-SortCaso médio:
tj = j/2, para j = 2,...,n
Exercício: Determinar o valor de T(n) para o caso médio.
Notação O Notação O é utilizada para ter uma estimativa superior
do tempo T(n) de execução, em termos de funções do tipo nk, logn, 2n, cujas tendências de crescimento seguem padrões distintos.
No melhor caso: T(n) = O(n)
No pior caso: T(n) = O(n2)
Apresentação Geral do Curso
AULA 1 – Parte II Profa. Sandra de Amo
Disciplina: Análise de Algoritmos Pós-graduação em Ciência da Computação
Apresentação Geral do Curso
Bibliografia Material de Suporte Conteúdo Avaliação
Bibliografia Básica
1. Thomas H. Cormen, Charles E. Leiserson, Ronald L. Rivest, Clifford Stein. Introduction to Algorithms, MIT Press, 3ª Edição, 2009.(Edição em portugues : “Algoritmos-Teoria e Prática”, Editora Campus 2003)
2. S. Dasgupta, C. H. Papadimitriou, and U. V. Vazirani. Algorithms. McGraw-Hill Science/Engineering/Math; 1 edition (September 13, 2006). PDF disponível online.
3. Donald E. Knuth. The Art of Computer Programming, Volume 4A: Combinatorial Algorithms,Part 1. (Series in Computer Science & Information Processing) Addison-Wesley Professional, 2011.
4. Vijay V. Vazirani. Approximation Algorithms. Addison-Wesley 2001
Bibliografia Complementar
1. David Harel and Yishai Feldman. Algorithmics: The Spirit of Computing, 3a Edição, Addison Wesley, 2004.
2. Steven S. Skiena: The Algorithm Design Manual. Springer, 2a Edição., 2008.
3. Bernhard Korte, Jens Vygen. Combinatorial Optimization: Theory and Algorithms (Algorithmsand Combinatorics), 4a Edição, 2010.
Material de Suportehttp://www.deamo.prof.ufu.br/CursoAA2013.html
Livro Texto Slides Artigos
Conteúdo do CursoParte I : Conceitos Básicos
O que é um algoritmo ? Algoritmos Recursivos, Randômicos (Probabilísticos) ,
Aproximativos Análise e projeto de algoritmo Notação Assintótica
Parte II: Algoritmos de Ordenação: Tempo não linear: ocupação otimal de espaço Tempo linear : ocupação não otimal de espaço
Parte III : Estruturas de Dados Elementares: Pilhas, Filas, listas, árvores binárias, tabelas hash
estatísticas de ordem dinâmicas Avançadas: B-Tree, Heaps binomiais, Heaps de Fibonacci, estruturas
de dados para conjuntos
Conteúdo do Curso (cont.)Parte IV : Técnicas Avançadas de Projeto e Análise
Programação Dinâmica Algoritmos Gulosos
Parte V: Algoritmos de Grafos Algoritmos elementares Árvores Espalhadas Caminhos mais curtos
Parte VI : Tópicos Avançados Problemas NP-completos Algoritmos Combinatórios Algoritmos Aproximativos
Critério de Avaliação Prova 1 : 23 de Abril 25 pontos
Prova 2: 10 de Junho 25 pontos
Prova 3 : 2 de Julho 30 pontos
Seminários : 8, 9 e 10 de Julho 20 pontos