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Analise de Circuitos Electricos

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Se tiver algum problema com a Sebenta Multimédia entre em contacto [email protected] ou com o Professor [email protected] para a suaresolução.

Esta Sebenta Multimédia foi concebida por Rita Carreira e Pedro Fonsecaem 1996/97 a partir de um original da autoria do Professor Victor da FonteDias.

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Sebenta Multimédia de Análise de Circuitos Eléctricos

Sebenta

Multimédia1 Grandezas

Eléctricas2 Componentes

Fundamentais dos Circuitos Eléctricos

3 Resistência Eléctrica

4 Leis de Kirchhoff

5 Métodos de Análise Sistemática de Circuitos

6 Teoremas Básicos dos Circuitos Eléctricos

7 Condensador e

Capacidade Eléctrica8 Bobina e

Indutância Electromagnética

9 Análise de Circuitos RC e RL de 1.ª Ordem

10 Análise de Circuitos RC , RL e RLC

de 2.ª Ordem11 Impedância

Eléctrica12 Análise da

Resposta em Frequência13 Bobinas

Acopladas e Transformadores

Grandezas Eléctricas

A Ciência Eléctrica estuda o fenómeno da existência e interacção entre cargaseléctricas. Tal como a massa, a carga eléctrica é uma propriedade fundamentamatéria que se manifesta através de uma interacção, designadamente através d

força. No entanto, a carga eléctrica apresenta a particularidade de se manifestaatravés de uma força que tanto pode ser de atracção como de repulsão, ao condaquela manifestada pelas massas, que, como se sabe, é apenas de atracção.

As principais grandezas da ciência eléctrica são a carga, a força, o campo, a entensão, a potência e a corrente eléctrica. Um dos objectivos deste capítulo é exrelação existente entre estas grandezas eléctricas, dando particular atenção àsgrandezas tensão e corrente eléctrica. Com efeito, a análise de circuitos visaessencialmente a determinação da relação corrente/tensão eléctrica em redes dcomponentes eléctricos e electrónicos.

A lei fundamental da Ciência Eléctrica é a Lei de Coulomb. Esta lei estabelecduas cargas eléctricas em presença uma da outra se atraem ou repelem mutuamisto é, interagem entre si através de uma força. Como grandeza de tipo vectoriforça eléctrica possui, portanto, uma direcção, um sentido e uma intensidade. direcção da força coincide com a da recta que une as duas cargas, o sentido é função dos sinais respectivos, positivos ou negativos, e a intensidade é uma fumódulo das cargas e da distância que as separa.

A interacção à distância entre cargas eléctricas conduz ao conceito de campo e

o qual nos permite encarar a força eléctrica como o resultado de uma acção expor uma carga ou conjunto de cargas vizinhas. Tal como a força, o campo elécuma grandeza vectorial com direcção, sentido e intensidade.

O movimento de uma carga num campo eléctrico, em sentido contrário ouconcordante com o da força eléctrica a que se encontra sujeita, conduz à libertexige o fornecimento de uma energia. O acto de se isolarem fisicamente conjucargas positivas e negativas equivale a fornecer energia ao sistema, comparávarmazenamento de energia eléctrica numa bateria. Pelo contrário, o movimentcargas negativas no sentido de partículas carregadas positivamente correspond

libertação de energia. Em geral, a presença de cargas eléctricas imersas num catribui ao sistema uma capacidade de realizar trabalho, capacidade que é desigpor energia potencial eléctrica ou, simplesmente, energia eléctrica.

Uma carga colocada em pontos distintos de um campo eléctrico atribui valoretambém distintos de energia ao sistema. A diferença de energia por unidade ddesignada por diferença de potencial, ou tensão eléctrica. Tensão e energia elésão, por conseguinte, duas medidas da mesma capacidade de realizar trabalhode transformação de energia eléctrica na unidade de tempo é designada por poeléctrica.

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Sebenta Multimédia de Análise de Circuitos Eléctricos

14 Diportos Eléctricos

15 Amplificador Operacional

16 Transferidor de Tensão e Corrente

APÊNDICE-A APÊNDICE-B

O fluxo de cargas eléctricas é designado por corrente eléctrica. Em particular,se corrente eléctrica como a quantidade de carga que na unidade de tempo atrauma dada superfície.

Corrente e tensão eléctrica definem as duas variáveis operatórias dos circuitoseléctricos.

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Notas

Victor da Fonte Dias, Professor Auxiliar no Instituto Superior Técnico (IST), Lisboa, ensina disciplin

electrónica das Licenciaturas em Engenharia Electrotécnica e de Computadores e de Engenharia

Aeroespacial. Licenciado, obteve o grau de Mestre em Engenharia Electrotécnica no IST em 1986 e respectivamente, tendo obtido em 1993 o grau de Doutor na Università degli Studi di Pavia, Itália. D

então para cá partilha as actividades de docente no IST e de investigador no INESC, tendo em 1994

também, Professor Convidado na Academia da Força Aérea Portuguesa.

O Prof. Victor Dias é autor de diversos artigos publicados em revistas e conferências internacionais

designadamente nos domínios da microelectrónica analógica e mista analógica-digital, e teste e

processamento de sinais.

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Ajuda

GeralA Sebenta Multimédia, para ser visualizada, necessita de um browser que suporte frames.

Para utilizar os Simuladores (Capítulo 10 e Capítulo 12) é necessário um browser que interprete Java.

Recomenda-se a utilização de uma janela de visualização de largura inferior a 1024 pixeis.

Em baixo encontra-se uma imagem relativa à Sebenta Multimédia. São identificados os seus elementoprincipais, de modo a permitir uma melhor compreensão do texto existente nesta página de Ajuda.

Buttonbars

As três buttonbars que aparecem nas páginas da Sebenta Multimédia encontram-se aqui explicadas.

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Ajuda

Páginas introdutórias Páginas de Simuladores,Fotografias e Ajuda

Páginas de matéria

Nota : Algumas das setas podem estar inactivas.

O botão Capa carrega a capa da Sebenta Multimédia

O botão Índice carrega o índice da Sebenta Multimédia mostrando o índice do capítulo em queutilizador se encontrava quando carregou no botão.

O botão Index carrega o index da Sebenta Multimédia. A ligação é feita para o início do documonde o utilizador poderá escolher a letra onde lhe interessa pesquisar.

O botão Expandir Janela de Texto faz com que a janela com o texto da Sebenta Multimédia smaximize. Utilizar este botão, quando se tem um pequeno monitor ou a placa gráfica configurapara baixa resolução e/ou se está interessado em ver mais informação no écran.

O botão Contrair Janela de Texto deve ser utilizado quando se pretende voltar ao formato orida sebenta, i.e., com o menu na janela do lado esquerdo e o texto na janela do lado direito (ver acima). O retorno ao formato original é feito para a capa do capítulo onde o utilizador se encon

Se chegou até esta página já adivinhou a utilidade do botão Ajuda. Porém, caso seja distraído ca explicação. Este botão disponibiliza-lhe esta página de ajuda.

O botão Capítulo Seguinte carrega a capa do capítulo seguinte na janela de texto.

O botão Capítulo Anterior carrega a capa do capítulo anterior na janela de texto.

O botão Secção Anterior carrega a capa do secção anterior na janela de texto.

O botão Secção Seguinte carrega a capa do secção seguinte na janela de texto.

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Ajuda

O botão Documento Anterior carrega o último documento visitado.

Modos de Visualização

A Sebenta Multimédia tem dois modos de visualização, permitindo que o texto seja apresentado de dua

maneiras diferentes. Assim, pode optar-se por ter a janela de texto expandida ou contraída, sendo apassagem, de um modo de visualização para outro, uma tarefa muito simples. Basta carregar no botãorespectivo da buttonbar .

Janela de Texto Contraída ( Botão ) Janela de Texto Expandida ( Botão

Modos de Navegação

Existem quatro formas principais de navegação na Sebenta Multimédia. Pode partir-se à descoberta doa partir do Menu, do Índice, do Index e de um modo sequencial, utilizando as setas da buttonbar . Em bapresentam-se imagens elucidativas de cada um destes elementos.

Menu Índice

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Ajuda

Index Setas da buttonbar

Simuladores

O modo de funcionamento de qualquer dos simuladores é relativamente simples. O utilizador insere toparâmetros nas caixas colocadas na parte superior da janela de controlo, ou deixa os que estão por defede seguida pressiona o botão "Executar". A partir deste instante, o simulador entra em execução e umaduas coisas pode acontecer:

1. se os parâmetros estiverem todos correctos o simulador calcula a respostae desenha-a no écran, fornecendo informações relevantes na parte inferiorda janela de controlo: identificação do tipo de solução, valor do factor dequalidade e das divisões horizontais e verticais;

2. se algum dos parâmetros estiver incorrecto, o simulador fornecerá aoutilizador uma mensagem de erro e abortará a execução da simulação.

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Ajuda

NOTA: Para mais informações consultar o Manual do Utilizador da Sebenta Multimédia.

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Índice

Capítulo 1 Capítulo 21 Grandezas Eléctricas

1.1 Carga, Força e Campo Eléctrico1.1.1 Carga Eléctrica1.1.2 Força Eléctrica1.1.3 Campo Eléctrico

1.2 Energia Potencial e Tensão Eléctrica1.2.1 Energia Potencial Eléctrica1.2.2 Tensão Eléctrica

1.3 Corrente e Potência Eléctrica

1.3.1 Corrente Eléctrica1.3.2 Potência Eléctrica1.4 Sinais Eléctricos1.5 Fontes de Alimentação e de Sinal1.6 Instrumentos de Medida

1.6.1 Voltímetro1.6.2 Amperímetro1.6.3 Wattímetro1.6.4 Multímetro1.6.5 Osciloscópio

SumárioExercícios de Aplicação

2 Componentes Fundamentais dos Circuitos Eléctricos2.1 Circuitos e Componentes Eléctricos

2.1.1 Definições2.1.2 Componentes Fundamentais

2.2 Componentes Lineares e Não Lineares2.2.1 Linearidade2.2.2 Distorção Harmónica2.2.3 Ponto de Funcionamento em Repouso

Sumário

Exercícios de Aplicação

Capítulo 3 Capítulo 4

3 Resistência Eléctrica3.1 Lei de Ohm3.2 Lei de Joule3.3 Tipos de Resistências

3.3.1 Resistências de Carvão3.3.2 Resistências de Película ou Camada Fina3.3.3 Resistências Bobinadas3.3.4 Resistências Híbridas de Filme Espesso e de Filme Fino3.3.5 Resistências Ajustáveis e Variáveis3.3.6 Características Técnicas das Resistências

3.4 Varístores3.5 Efeitos da Temperatura3.6 Sensores Resistivos

3.6.1 Termo-resistências e Termístores3.6.2 Foto-resistências3.6.3 Outros Sensores Resistivos

3.7 OhmímetroSumárioExercícios de Aplicação

4 Leis de Kirchhoff 4.1 Leis de Kirchhoff

4.1.1 Lei de Kirchhoff das Tensões4.1.2 Lei de Kirchhoff das Correntes

4.2 Associação de Resistências4.2.1 Associação em Série4.2.2 Associação em Paralelo4.2.3 Associação Série-Paralelo

4.3 Divisores de Tensão e de Corrente4.3.1 Divisor de Tensão

4.3.2 Divisor de Corrente4.3.3 Curto-circuito e Circuito Aberto

4.4 Resistência Interna das Fontes4.4.1 Fonte de Tensão4.4.2 Fonte de Corrente

4.5 Transformação de Fonte4.6 Associação de Fontes

4.6.1 Associação de Fontes de Tensão4.6.2 Associação de Fontes de Corrente

4.7 Exemplos de Aplicação4.7.1 Exemplo de Aplicação-14.7.2 Exemplo de Aplicação-2

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Índice

4.7.3 Exemplo de Aplicação-34.7.4 Exemplo de Aplicação-44.7.5 Exemplo de Aplicação-5

SumárioExercícios de Aplicação

Capítulo 5 Capítulo 65 Métodos de Análise Sistemática de Circuitos

5.1 Método dos Nós

5.1.1 Fontes de Corrente Independentes5.1.2 Fontes de Tensão Independentes5.1.3 Fontes de Corrente Dependentes5.1.4 Fontes de Tensão Dependentes

5.2 Exemplos de Aplicação5.2.1 Exemplo de Aplicação-15.2.2 Exemplo de Aplicação-2

5.3 Método das Malhas5.3.1 Fontes de Tensão Independentes5.3.2 Fontes de Corrente Independentes5.3.3 Fontes de Tensão Dependentes5.3.4 Fontes de Corrente Dependentes

5.4 Exemplos de Aplicação5.4.1 Exemplo de Aplicação-15.4.2 Exemplo de Aplicação-2

SumárioExercícios de Aplicação

6 Teoremas Básicos dos Circuitos Eléctricos6.1 Teorema da Sobreposição das Fontes

6.2 Teorema de Thévenin6.3 Equivalente de Norton6.4 Teorema da Máxima Transferência de Potência6.5 Teorema de Millman6.6 Teorema de MillerSumárioExercícios de Aplicação

Capítulo 7 Capítulo 87 Condensador e Capacidade Eléctrica

7.1 Capacidade Eléctrica7.2 Característica Tensão-Corrente

7.2.1 Características i(v) e v(i)7.2.2 Energia Eléctrica Armazenada

7.2.3 Exemplos de Aplicação7.3 Associação de Condensadores

7.3.1 Associação em Paralelo7.3.2 Associação em Série

7.4 Divisores Capacitivos de Corrente e de Tensão7.5 Tipos de Condensadores

7.5.1 Condensadores de Mica7.5.2 Condensadores de Película ou Folha7.5.3 Condensadores Cerâmicos7.5.4 Condensadores Electrolíticos7.5.5 Condensadores Híbridos7.5.6 Condensadores Variáveis

7.5.7 Características Técnicas dos Condensadores7.5.8 Códigos de Identificação de Condensadores7.6 Sensores Capacitivos7.7 Instrumentos de Medida da CapacidadeSumárioExercícios de Aplicação

8 Bobina e Indutância Electromagnética8.1 Grandezas Magnéticas

8.1.1 Força e Campo Magnético8.1.2 Fluxo e Densidade de Fluxo Magnético8.1.3 Materiais Magnéticos

8.1.4 Indutância8.1.5 Fenómeno da Indução Electromagnética8.1.6 Coeficientes de Auto-Indução e de Indução Mútua

8.2 Característica Tensão-Corrente8.2.1 Características v(i) e i(v) 8.2.2 Energia Magnética Armazenada

8.3 Associação de Bobinas8.3.1 Associação em Série8.3.2 Associação em Paralelo

8.4 Divisores Indutivos de Tensão e de Corrente8.5 Tipos de Bobinas8.6 Sensores Indutivos

SumárioExercícios de Aplicação

Capítulo 9 Capítulo 10

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Índice

9 Análise de Circuitos RC e RL de 1.ª Ordem9.1 Solução Natural

9.1.1 Circuitos RC e RL

9.1.2 Solução Natural9.1.3 Condições Inicial e de Continuidade9.1.4 Solução Natural Comutada9.1.5 Energia Armazenada e Dissipada

9.2 Solução Forçada9.2.1 Circuitos RC e RL

9.2.2 Soluções Natural e Forçada

9.2.3 Solução Forçada Constante9.2.4 Solução Forçada Sinusoidal

9.3 Teorema da Sobreposição das Fontes9.4 Exemplos de Aplicação

9.4.1 Exemplo de Aplicação-19.4.2 Exemplo de Aplicação-29.4.3 Exemplo de Aplicação-39.4.4 Exemplo de Aplicação-4

Sumário Exercícios de Aplicação

10 Análise de Circuitos RC , RL e RLC de 2.ª Ordem10.1 Topologias Básicas10.2 Formulação das Equações

10.2.1 Método da Substituição10.2.2 Método do Operador-s10.2.3 Método das Variáveis de Estado

10.3 Solução Natural10.3.1 Soluções Naturais Alternativas10.3.2 Solução Sobre-amortecida10.3.3 Solução Criticamente Amortecida

10.3.4 Solução Sub-amortecida10.3.5 Solução Oscilatória

10.4 Solução Forçada10.4.1 Solução Forçada Constante10.4.2 Solução Forçada Sinusoidal

SumárioExercícios de Aplicação

Capítulo 11 Capítulo 1211 Impedância Eléctrica

11.1 Fasor e Impedância11.1.1 Números Complexos e Sinais Sinusoidais11.1.2 Fasor11.1.3 Impedância Eléctrica

11.2 Leis de Kirchhoff em Notação Fasorial11.3 Métodos de Análise em Notação Fasorial11.4 Teoremas Básicos em Notação Fasorial

11.4.1 Transformação de Fonte11.4.2 Teorema de Thévenin e Equivalente de Norton11.4.3 Teorema da Sobreposição das Fontes11.4.4 Teorema de Millman

11.4.5 Teorema de Miller11.5 Potência

11.5.1 Potência nos Elementos R, C e L

11.5.2 Potência nos Circuitos RC e RL

11.5.3 Potências Activa, Reactiva e Aparente11.5.4 Teorema da Máxima Transferência de Potência

SumárioExercícios de Aplicação

12 Análise da Resposta em Frequência12.1 Resposta em Frequência

12.1.1 Circuito RC

12.1.2 Diagramas de Bode12.1.3 Exemplo de Aplicação

12.2 Circuitos Ressonantes12.2.1 Circuito Ressonante Série12.2.2 Circuito Ressonante Paralelo

12.3 Notação de Laplace12.3.1 Função de Transferência12.3.2 Diagramas de Bode Canónicos

12.4 Filtros Eléctricos

12.4.1 Filtros Passa-Baixo12.4.2 Filtros Passa-Alto12.4.3 Filtros Passa-Banda12.4.4 Filtros Rejeita-Banda

SumárioExercícios de Aplicação

Capítulo 13 Capítulo 1413 Bobinas Acopladas e Transformadores

13.1 Bobinas Acopladas13.1.1 Coeficiente de Indução Mútua13.1.2 Associação de Bobinas Acopladas13.1.3 Modelo Eléctrico Equivalente

13.2 Transformador Ideal13.2.1 Transformador Ideal em Vazio13.2.2 Transformador Ideal em Carga13.2.3 Modelo Eléctrico Equivalente

13.3 Tipos e Aplicações dos Transformadores13.3.1 Auto-Transformador13.3.2 Transformadores com Múltiplos Enrolamentos13.3.3 Transformadores de Medida

14 Diportos Eléctricos

14.1 Diportos14.1.1 Definições14.1.2 Modelos Eléctricos Equivalentes14.1.3 Exemplos de Aplicação

14.2 Associação de Diportos14.2.1 Associações em Série, em Paralelo, em Cascata e em Mo14.2.2 Exemplos de Aplicação

14.3 Diportos Amplificadores14.3.1 Impedâncias de Entrada e de Saída14.3.2 Ganhos de Tensão e de Corrente14.3.3 Associação de Amplificadores em Cascata

Sumário

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Índice

13.3.4 Transformadores de Sinal13.3.5 Transformadores de Potência

13.4 Sensores Relutivos e ElectromagnéticosSumárioExercícios de Aplicação

Exercícios de Aplicação

Capítulo 15 Capítulo 1615 Amplificador Operacional

15.1 AmpOp Ideal

15.2 Montagens Básicas15.2.1 Montagem Inversora15.2.2 Montagem Não-Inversora

15.3 Circuitos com AmpOps15.3.1 Seguidor de Tensão15.3.2 Somador Inversor15.3.3 Amplificador Inversor15.3.4 Amplificador da Diferença15.3.5 Amplificador de Instrumentação15.3.6 Filtros Activos15.3.7 Conversores de Impedâncias e de Tensão-Corrente

15.4 Parâmetros Reais dos AmpOps15.4.1 Ganho e Largura de Banda15.4.2 Taxa de Inflexão15.4.3 Resistências de Entrada e de Saída15.4.4 Ganho de Modo Comum15.4.5 Tensões de Saturação15.4.6 Tensão de Desvio (offset )15.4.7 Correntes de Polarização

15.5 Tipos de Amplificadores OperacionaisSumárioExercícios de Aplicação

16 Transferidor de Tensão e Corrente16.1 Transferidor Ideal

16.2 Montagens Básicas16.2.1 Seguidor de Tensão16.2.2 Seguidor de Corrente16.2.3 Conversor de Tensão em Corrente16.2.4 Conversor de Corrente em Tensão16.2.5 Amplificador de Corrente16.2.6 Amplificador de Tensão

16.3 Circuitos com Transferidores16.3.1 Amplificador Diferencial16.3.2 Somador16.3.3 Integradores de Corrente e de Tensão16.3.4 Diferenciadores de Corrente e de Tensão16.3.5 Conversores de Impedâncias16.3.6 Filtros Activos

16.4 Parâmetros Reais dos Transferidores16.4.1 Erros de Transferência e Resistências de Entrada e de Sa16.4.2 Erros de Desvio e de Polarização16.4.3 Largura de Banda

SumárioExercícios de Aplicação

APÊNDICE-A APÊNDICE-B

Código de Identificação de Resistências Matrizes e Determinantes

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Convenções

A utilização de caracteres na representação de grandezas, constantes, parâmetros, coeficientes e unidaeléctricas e magnéticas rege-se pelas seguintes convenções:

q caracteres maiúsculos em itálico para grandezas escalares constantes no tempo, mas também pvalor médio ou a amplitude das grandezas variáveis no tempo. Por exemplo, V , Q, I , I

msin(ωt

q caracteres minúsculos em itálico para valores instantâneos das grandezas escalares. Por exem(t ), v(t ), etc. No entanto, e com o intuito de simplificar a representação das equações, por vezerepresenta-se apenas i e v em vez de i(t ) e v(t ).

q caracteres maiúsculos em estilo romano para grandezas vectoriais, como por exemplo o vecto

campo eléctrico o vector força eléctrica, . As grandezas e as funções complexas, como aimpedância, os fasores da tensão e da corrente, a função resposta em frequência e a função detransferência, também se representam em estilo romano (Z, I …). No entanto, o módulo e a fagrandezas complexas, como por exemplo da impedância e da resposta em frequência, sãorepresentados em itálico.

q as constantes, parâmetros e coeficientes são representados com caracteres gregos ou latinos,minúsculos ou maiúsculos em itálico, de acordo com as convenções internacionais. Por exemresistência eléctrica, R, a capacidade eléctrica, C , a mobilidade dos electrões, µ, a permitividavazio, ε

0, etc.

q outros símbolos utilizados são: o espaço ou a sua ausência para o produto escalar, os símbolopara os produtos interno e externo vectorial, o / para o cociente, o // para o paralelo de elemeneléctricos.

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Apresentação

Este texto constitui o manual de apoio à disciplina de Circuitos e Sistemas Electrónicos da LicenciatuEngenharia Aeroespacial do Instituto Superior Técnico. O texto tem por base um manuscrito que servsebenta durante os anos lectivos de 1995/96 e 1996/97, e absorve variados comentários e anotaçõesproduzidos durante as próprias aulas.

O autor tentou nunca perder de vista o seu público: os alunos do 3º ano da Licenciatura em EngenharAeroespacial, Ramo de Aviónica, os quais têm, através desta disciplina o seu primeiro contacto com teoria dos circuitos e a electrónica, mas dispõem já de uma sólida formação em Análise Matemática,Álgebra e Física. Parafraseando o Prof. Braga Costa Campos, autor do Plano de Estudos da Licenciat

objectivo fundamental a formação de engenheiros com capacidade de integrar as várias tecnologiassectoriais - mecânica de voo, aerodinâmica, estruturas, materiais, sistemas, electrónica, actuadores,

telecomunicações e computadores …, podendo os licenciados pelo ramo de aviónica desempenhar fu

de Engenheiro Electrotécnico. De acordo com este objectivo, optou-se por uma exposição que desseespecial relevo aos conceitos básicos e teóricos da Ciência Eléctrica, presumivelmente válidos durantquase totalidade da vida activa dos futuros Engenheiros, mas também aos aspectos tecnológicos de mutilidade prática, mas de inexorável menor alcance temporal. A sequência, o modo e a intensidade coos diversos tópicos são tratados aderem na íntegra ao objectivo de formar Engenheiros Aeroespaciaispoderão desempenhar, caso seja necessário, as funções de Engenheiro Electrotécnico.

Esteve também presente no espírito do autor o facto de esta ser uma disciplina determinante para a efdo ramo da licenciatura de que é parte, isto é, a futura maior ou menor simpatia dos alunos pela electrnomeadamente pelos tópicos relativos aos dispositivos electrónicos, à electrónica de rádio-frequênciaelectrónica de aquisição e processamento de sinais, à electrónica digital e de computadores, à electróndos circuitos integrados, à tecnologia electrónica, etc. Os tópicos tratados nesta disciplina impregnamforma sub-reptícia as disciplinas subsequentes, que devem rápida e necessariamente tornar-se lugarescomuns nas mentes dos alunos, uma razão pela qual apresentar as matérias de forma tão atraente e

justificada quanto possível é uma obrigação do docente que se propõe contribuir para a eficácia dalicenciatura.

A estruturação da disciplina em aulas teóricas, teórico-práticas e práticas de laboratório conduziu à opde organizar a sebenta em 16 capítulos, cada um dos quais apoiado por uma colectânea final de enuncde problemas, e de distribuir, em anexo, o manual de utilização do simulador eléctrico SPICE . Desta visa-se, sucessivamente, cobrir todos os tópicos tratados nas aulas teóricas, servir de base às aulas teópráticas assistidas e apoiar a realização dos trabalhos práticos pelos alunos, ao longo do semestre.

São os seguintes os tópicos e os comentários de âmbito geral ao conteúdo da sebenta.

No Capítulo 1, Grandezas Eléctricas, introduzem-se as variáveis da Ciência Eléctrica, designadamen

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Apresentação

carga, a força, o campo, a energia, a tensão, a corrente e a potência eléctrica. É importante que no fimsemestre os alunos manejem com destreza o significado e as relações entre estas grandezas, apesar dedisciplina se lidar essencialmente com as variáveis corrente e tensão eléctrica. Na segunda parte do caintroduz-se a noção de sinal eléctrico, as principais formas de onda e os respectivos instrumentos demedida, neste último caso abrindo as portas para as aulas práticas de laboratório a realizar na disciplinsubsequente.

Nos Capítulos 2 a 6 apresentam-se os elementos, as leis, as metodologias de análise e os teoremas básdos circuitos eléctricos resistivos. Mais detalhadamente: em 2, Componentes Fundamentais dos Circu

Eléctricos, sistematizam-se os nove elementos básicos dos circuitos eléctricos, designadamente aresistência, o condensador, a bobina e as fontes independentes e dependentes; em 3, Resistência Eléct

introduzem-se as Leis de Ohm e de Joule, discute-se a propriedade da resistência eléctrica e apresentaalguma informação de carácter tecnológico relativa aos tipos e principais aplicações das resistências;

Leis de Kirchhoff , consideram-se as Leis de Kirchhoff das correntes e das tensões, neste caso em conjcom a análise de alguns circuitos e associações elementares de resistências; em 5, Métodos de Análise

Sistemática de Circuitos, apresentam-se os métodos de análise sistemática de circuitos, nomeadamenmétodos das malhas e dos nós; e, finalmente, em 6, Teoremas Básicos dos Circuitos, consideram-se a

dos principais teoremas dos circuitos, como o teorema da sobreposição das fontes, o teorema da máxitransferência de potência e os teoremas de Millman e de Miller. O Capítulo 6 encerra a primeira partesebenta, genericamente intitulada Análise de Circuitos Eléctricos Resistivos.

Nos Capítulos 7 a 10 introduzem-se os elementos condensador e bobina e, em sequência, o tópico daanálise dos circuitos eléctricos resistivo-reactivos. Nos Capítulos 7 e 8, Condensador e Capacidade

Eléctrica e Bobina e Indutância Electromagnética, apresentam-se os dois elementos reactivos dos cireléctricos, designadamente o condensador e a bobina. Nestes dois capítulos dá-se especial atenção àcompreensão do significado prático das propriedades da capacidade eléctrica e da indutânciaelectromagnética. Ambos os capítulos contêm um conjunto vasto de informação tecnológica relativa

tipos e principais aplicações destes dois elementos nos sistemas electrónicos. No Capítulo 9, Análise Circuitos RC e RL de 1ª Ordem, e no Capítulo 10, Análise de Circuitos RC, RL e RLC de 2ª Ordem,introduz-se a análise dos circuitos resistivo-reactivos. Consideram-se primeiramente os circuitos RC ede primeira ordem, nos seus regimes natural e forçado, e seguidamente os circuitos com dois elementreactivos irredutíveis entre si. Globalmente considerados, os Capítulos 7 a 10 encerram o tópico da andos circuitos do domínio do tempo, abrindo campo e prognosticando a análise no domínio da frequênatravés do estudo do regime forçado sinusoidal.

Nos Capítulos 11 e 12 considera-se a análise dos circuitos no domínio da frequência. Em 11, Impedân

Eléctrica, introduzem-se os conceitos de fasor e de impedância eléctrica, ambos consequência do regforçado sinusoidal. Seguidamente, estabelecem-se as relações fasoriais dos elementos resistência,condensador e bobina, e, finalmente, generalizam-se as Leis de Kirchhoff das correntes e das tensõesmétodos de análise sistemática de circuitos e os teoremas básicos. No Capítulo 12, Análise da Respos

Frequência, estuda-se em detalhe a resposta em frequência dos circuitos. Definem-se as funções ampe fase da resposta em frequência, apresentam-se os diagramas de Bode exactos e assintóticos respectiestuda-se a ressonância nos circuitos eléctricos. Considera-se ainda a representação das impedâncias notação de Laplace, introduz-se a noção de função de transferência e apresenta-se a entidade filtro elé

No Capítulo 13, Bobinas Acopladas e Transformadores, estudam-se as bobinas acopladas magneticam

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Apresentação

e o transformador ideal. Inicialmente introduz-se o conceito de indução mútua e as regras de associaçbobinas acopladas, seguindo-se depois o estudo do transformador ideal e a apresentação dos principaitipos e aplicações dos transformadores.

No Capítulo 14, Diportos Eléctricos, inicia-se a apresentação do arsenal teórico de suporte ao estudo dispositivos electrónicos envolvidos nas subsequentes disciplinas de electrónica. Introduz-se o conceidiporto eléctrico, apresentam-se os modelos eléctricos alternativos e estudam-se as diversas associaçõpossíveis entre diportos. No fim do capítulo estudam-se ainda os diportos sem coeficiente de realimenque funcionam como elo de ligação ao estudo dos amplificadores operacionais.

Nos capítulos terminais da sebenta, 15: Amplificador Operacional, e 16: Transferidor de Tensão-Cor

introduzem-se os dois principais blocos operacionais da electrónica analógica: o AmpOp e o transferitensão-corrente.

Oeiras, 25 de Abril de 1996

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Agradecimentos

A realização deste manual contou com a colaboração, consciente ou inconsciente, de um conjunto amfamiliares, colegas, alunos e instituições, aos quais agradeço sinceramente.

À Antonietta e à Alexandra, pela compreensão, incentivo e amor que manifestaram ao longo destes 1meses de escrita e edição.

Aos meus pais e irmãos, pelo incentivo constante.

Aos alunos da Licenciatura em Engenharia Aeroespacial, Ramo de Aviónica (1994/95 e 1995/96 e

1996/97) e da Licenciatura em Engenharia Electrotécnica e de Computadores, Ramo de Telecomunice Electrónica (1993/94), por terem colaborado na correcção do texto.

Ao Engº Pedro Alves e aos alunos finalistas (1996/97) Rita Carreira e Pedro Fonseca, pela admirávelSebenta Multimédia que elaboraram a partir deste texto.

Aos meus colaboradores Engºs Carlos Fachada, Jorge Martins, José Rocha, Pedro Paiva, Ricardo JesuJosé Caetano, pelo excelente ambiente de trabalho que me proporcionaram e pelo tempo que roubei àtarefas de orientação dos trabalhos respectivos.

Ao Vasco Rosa, pelas vírgulas e acentos que colocou no texto, e ao Prof. Medeiros Silva pelos comende âmbito geral que efectuou.

Ao Núcleo de Arte Fotográfica do IST, e em particular ao Miguel Serrão e ao Francisco Silva.

Ao INESC.

À minha Rotring e ao meu portátil, por razões óbvias.

Oeiras, 25 de Abril de 1996

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Citação

<< As diversas fases do tratamento de uma ideia ... são para o Leonardo escritor a prova das forças

investia na escrita como instrumento cognoscitivo ... >>

Italo Calvino, Seis Propostas para o Próximo Milénio;tradução livre

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Index

A B

a.c., alternate-current , 1.4adaptação de impedâncias, 11.5.3admitância eléctrica, 11.1.3alternador, 1.5ampere, 1.3.1

ampére por metro, 8.1.1amperímetro, 1.6.2amplificador,

diferença, 15.3.4diferencial, 16.3.1instrumentação, 15.3.5, 15.5inversor, 15.3.3operacional, 15tensão, 16.2.6

ampop, 15

análise de sinais fracos, 2.2.1ânodo, 1.2.1aproximação de sinais fracos, 2.2.1associação de fontes,

de corrente, 4.6.2de tensão, 4.6.1

associação de diportos,cascata, 14.2.1paralelo, 14.2.1série, 14.2.1

associação de resistências,paralelo, 4.2.2série, 4.2.1série-paralelo, 4.2.3

associação de amplificadores em cascata, 14.3.3auto-transformador, 13.3.1

bateria eléctrica, 1.2.1, 1.5biquadrática de Sallen-Key, 15.3.6bobina, 2.1.1 , 8.1.1

acoplada, 13.1associação, 13.1.2

modelo eléctrico equivalente, 13.1.3associação,

série, 8.3.1paralelo, 8.3.2característica tensão-corrente, 8.2condição de continuidade, 8.2.2energia magnética armazenada, 8.2.2

núcleo,ar, 8.5ferrite, 8.5

ferro, 8.5pó de metal, 8.5buffer , 15.3.1, 15.5

C D

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Index

cabo coaxial, 7.1 , 8.1.4caminho fechado, 4.1.1campo,

eléctrico, 1.1.3eléctrico de oposição, 7.1magnético, 8.1.1

capacidade eléctrica, 7.1carga eléctrica, 1.1.1

electrão, 1.1.1protão, 1.1.1

cátodo, 1.2.1ciência eléctrica, 1circuito,

aberto, 4.3.3eléctrico, 2.1.1electrónico, 2.1.1linear, 2.2.1não-planar, 5

planar, 5ressonante,

paralelo ideal, 12.2.2paralelo real, 12.2.2 série, 12.2.1

CMRR, 15.4.4código de cores, 7.5.8, Acofactor, Bcoeficiente,

acoplamento magnético, 13.1.1

amortecimento da solução natural, 10.2auto-indução, 8.1.6indução mútua 8.1.6temperatura, 3.5

condensador, 2.1.1ajustável, 7.5, 7.5.6associação,

paralelo, 7.3.1série, 7.3.2

característica tensão-corrente, 7.2

cerâmico, 7.5.3condição de continuidade, 7.2.2, 9.1.3discreto, 7.5electrolítico,

alumínio, 7.5.4tântalo, 7.5.4

energia eléctrica armazenada, 7.2.2fixo, 7.5híbrido, 7.5, 7.5.5integrado, 7.5

dB, decibell, 12.1.2d.c, direct-current , 1.4densidade,

electrões livres, 3.1fluxo,

eléctrico, 7.1magnético, 8.1.2

determinante, B

diagrama de Bode, 12.1.2, 12.3.2dieléctrico,

constante, 7.1material, 7.1

diferenciador, 15.3.6, 16.3.4dínamo, 1.5dipólo eléctrico, 7.1diporto,

amplificador, 14.3eléctrico, 14

dispositivo,activo, 2.1.1passivo, 2.1.1

distorção harmónica, 2.2.2divisor,

resistivo,corrente, 4.3.2tensão, 4.3.1

capacitivo,corrente, 7.4tensão, 7.4

indutivo,corrente, 8.4tensão, 8.4

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Index

mica, 7.5.1papel, 7.5.2policarbonato, 7.5.2poliester, 7.5.2poliphenilenesulfito, 7.5.2polipropileno, 7.5.2polistireno, 7.5.2película ou folha, 7.5.2

SMD, 7.5.2variável, 7.5, 7.5.6

condução eléctrica, 3.1condutância eléctrica, 3.1condutividade eléctrica, 3.1condutores paralelos, 7.1constante,

dieléctrica, 7.1tempo, 9.1.2

conversor,

corrente-tensão, 16.2.4digital-analógico, 15.3.2impedâncias, 15.3.7, 16.3.5tensão-corrente, 15.3.7, 16.2.3

correntes de polarização, 15.4.7corrente,

desvio, 15.4.7eléctrica, 1.3.1,fugas, 7.5.7magnetização, 13.2.1

coulomb, 1.1.1coulomb por metro quadrado, 7.1Cramer, Bcurto-circuito, 4.3.3

virtual, 15.1

E F

efeito de joule, 3.2electrólito, 7.5.4energia,

eléctrica, 1.2.1dissipada na resistência, 3.2acumulada no condensador, 7.2.2

magnética acumulada na bobina, 8.2.2erro,

desvio, 16.4.2polarização, 16.4.2transferência, 16.4.1

escalão, 1.4espira, 8.1.1

factor,potência, 11.5.2qualidade, 10.3.1, 12.2.1, 12.2.2

fasor, 11.1.2filtro,

activo,ampop, 15.3.6TTC, 16.3.6

eléctrico,passa-alto, 12.4.2passa-baixo, 12.1.1, 12.4.1passa-banda, 12.4.3rejeita-banda, 12.4.4

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Index

exponencial complexa, 11.1.1 fluxo,eléctrico, 7.1linhas, 7.1magnético, 8.1.2

fonte,alimentação, 1.5corrente, 2.1.2corrente controlada por corrente, 2.1.2

corrente controlada por tensão, 2.1.2sinal, 1.5tensão, 2.1.2tensão controlada por corrente, 2.1.2tensão controlada por tensão, 2.1.2

força,eléctrica, 1.1.2electro-motriz induzida, 13.1.1magnética, 8.1.1

foto-resistência, 3.6.2

frequência,angular de oscilação, 10.2corte, 12.2.1, 12.2.2ressonância, 12.2.1transição, 15.4.1

função de transferência, 12.3.1fusível, 3.2

G H

gama de modo comum, 15.4.4

ganho,ampop, 15.4corrente, 14.3.2modo comum, 15.4.4tensão, 14.3.2

henry, 8.1.4

higro-resistência, 3.6.3homogeneidade, 2.2.1

I J

ião, 1.1.1impedância,

eléctrica, 11.1.3acoplada, 13.1.3indução electromagnética, 8.1.5indução mútua, 13.1.1indutância, 8.1.4integrador, 15.3.6, 16.3.3isolador, 3.1isolamento galvânico, 13.2.3

joule, 1.2.1, 3.2

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Index

K L

Kirchhoff, 4.1 largura de banda, 12.2.1, 12.2.2, 15.4, 16.4.3Lei,

Biot-Savart, 8.1.1Coulomb, 1.1.2Faraday, 13.1.1, 13.2Joule, 3.2Kirchhoff,

correntes, 4.1.2notação fasorial, 11.2tensões, 4.1.1

Lenz, 13.2Ohm, 3.1Saca-Rolhas, 8.1.1

linear por troços, 2.2.1linearidade, 2.2.1LVDT, 13.4

M N

magneto-resistência, 3.6.3malha, 5.3massa,

electrão, protão, neutrão, 1.1.1virtual, 15.1

materiais magnéticos, 8.1.3matriz,

admitâncias, 14.1.2

condutâncias, 5.1.1impedâncias, 14.1.2híbridas, 14.1.2quadrada, Bresistências, 5.3.1simétrica, Btransmissão, 14.1.2

máxima transferência de potência, 6.4, 11.5.4medidor LCR, 7.7menor, B

Miller,efeito, 6.6, 11.4.5teorema, 6.6, 11.4.5

Millman, 4.6.1, 6.5, 11.4.4métodos,

de análise de circuitos,malhas, 5.3nós, 5.1notação fasorial, 11.3sobreposição das fontes, 6.1

não-linear, 2.2.1newton, 1.1.2, 8.1.1nó, 4.1.2Norton, 6.3, 11.4.2notação,

fasorial, 11.1.3Laplace, 12.3

NTC, 3.6.1

número complexo, 11.1.1

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Index

de formulação de equações diferenciais,substituição, 10.2.1operador-s, 10.2.2variáveis de estado, 10.2.3

mobilidade das cargas eléctricas, 3.1modelo sinais fracos, 2.2.1montagens básicas,

ampop,

inversora, 15.2.1, 15.3.6não-inversora, 15.2.2TTC, 16.2

multímetro, 1.6.4

O P

offset , 15.4.6ohm, 3.1ohmímetro, 3.7ohm-metro, 3.1osciloscópio, 1.6.5

permeabilidade magnética,relativa, 8.1.2vazio, 8.1.1

permitividade eléctrica,

relativa, 7.1vazio, 1.1.2, 7.1

PFR, ponto de funcionamento em repouso, 2.2.3piezo-resistência, 3.6.3pinça amperimétrica, 13.3.3plano complexo, 12.3.1polarização,

corrente, 2.2.3dieléctrico, 7.1tensão, 2.2.3

polinómio característico, 10.3.1pólo, 12.3.1porto, 14primário, 13.2PTC, 3.6.1potência eléctrica, 1.3.2

aparente, 11.5.3bobina, 11.5.1condensador, 11.5.1instantânea, 1.3.2, 11.5.1

média, 1.3.2, 11.5.1reactiva, 11.5.3real, 11.5.3resistência, 3.2, 11.5.1

Q R

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Index

químio-resistência, 3.6.3 rácio de rejeição de modo comum, 15.4.4raio, electrão, protão, neutrão, 1.1.1raízes do polinómio característico, 10.3.1reactância, 11.1.3recta de carga da fonte, 4.4.1relação de transformação,13.2.1resistência,

ajustável, 3.3, 3.3.5

bobinada, 3.3.3carvão, 3.3.1componente, 2.1.2discreta, 3.3eléctrica, 3.1entrada,

ampop, 15.4.3TTC, 16.4.1

fixa, 3.3híbrida, 3.3

integrada, 3.3interna da fonte, 4.4isolamento, 7.5.7negativa, 16.3.5normal, Apelícula ou camada fina, 3.3.2precisão, Asaída,

ampop, 15.4.3TTC, 16.4.1

variável, 3.3, 3.3.5resistividade eléctrica, 3.1resposta,

frequência, 12.1natural, 9.1

r.m.s, root mean-square, 11.5.1

S T

sinal,eléctrico, 1.4

fraco, 2.2.3sinusoidal, 11.1.1

secundário, 13.2seguidor,

corrente, 16.2.2tensão, 15.3.1, 16.2.1

segunda harmónica, 2.2.2semicondutor, 3.1sensor,

capacitivo, 7.6

taxa de inflexão, 15.4.2técnica RC -activa, 15.3.6tensão,

desvio, 15.4.6eléctrica, 1.2.2

tensões de saturação, 15.4.5teorema,

máxima transferência de potência, 6.4, 11.5.4Miller, 6.6, 11.4.5Millman, 6.5, 11.4.4Norton, 6.3, 11.4.2sobreposição das fontes, 6.1, 11.4.3

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Index

indutivo, 8.6relutivo e electromagnético, 13.4resistivo, 3.6.1

siemens, 3.1siemens por metro, 3.1silístor, 3.6.1sobreposição,

fontes, 6.1, 9.3, 11.4.3

propriedade, 2.2.1solução,

forçada,constante, 9.2.3, 10.4.1sinusoidal, 9.2.4, 10.4.2

natural, 9.1, 9.1.4, 10.3somador, 15.3.2, 16.3.2spin, 8.1.2super-malha, 5.3.2super-nó, 5.1.2

Thévenin, 6.2, 11.4.2Transformação de fonte, 4.5, 11.4.1

termístor, 3.6.1termo-resistência, 3.6.1tesla, 8.1.2Thévenin, 6.2, 11.4.2transformador, 13.2

auto-transformador, 13.3.1

carga, 13.2.2ideal, 13.2medida, 13.3.3modelo eléctrico equivalente, 13.2.3múltiplos enrolamentos, 13.3.2ponto médio, 13.3.2potência, 13.3.5sinal, 13.3.4

transformação de fonte, 4.5, 11.4.1trimmer , 3.3, 3.3.5, 7.5.6

transdutor,capacitivo, 7.6indutivo, 8.6relutivo e electromagnético, 13.4resistivo, 3.6.1

TTC, transferidor de tensão e corrente, 16

V W

valor eficaz, 11.5.1

variáveis de estado, 10.2.3varístor, 3.4vector coluna, Bvector linha, Bvolt, 1.2.2volt-ampere, 11.5.3volt-ampere reactivo, 11.5.3volt por metro, 1.1.3voltímetro, 1.6.1

watt, 1.3.2, 3.2

wattímetro, 1.6.3watt-hora (Wh), 3.2weber, 8.1.2

Z zero, 12.3.1, 12.3.2

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1.4 Sinais Eléctricos

1.4 Sinais Eléctricos

Na figura 1.6 apresentam-se alguns dos sinais eléctricos mais comuns na análise de circuitos. São elesaber:

(i) constantes no tempo (Figura 1.6.a), designados pela sigla d.c. (direct-current);

(ii) sinusoidais (Figura 1.6.b), designados por a.c.(alternate-current );

(iii) rectangulares (Figura 1.6.c);

(iv) exponenciais decrescentes ou crescentes (Figura 1.6.d);

(v) escalões (Figura 1.6.e);

(vi) triangulares (Figura 1.6.f).

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1.4 Sinais Eléctricos

Figura 1.6 Sinais eléctricos

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2 Componentes Fundamentais dos Circuitos Eléctricos

Componentes Fundamentais dosCircuitos Eléctricos

As fontes são componentes de circuito capazes de colocar em movimento cargas eléctricas. Uma vez movimento, as cargas podem ser levadas a superar diversos e variadíssimos obstáculos, como por exeresistências, que lhes impõem um limite máximo à velocidade, condensadores, que as acumulam, díoque implementam válvulas unidireccionais, transístores, que implementam uma torneira que abre, fecmodula um caminho ao fluxo de corrente, etc. As fontes e os obstáculos designam-se genericamente pcomponentes dos circuitos, atribuindo-se o nome de circuito eléctrico, ou de rede eléctrica, ao conjuncomponentes interligados com um fim determinado.

Apesar de existir uma enorme variedade de componentes de circuito, pode identificar-se um conjuntorestrito de elementos cuja funcionalidade eléctrica é verdadeiramente fundamental. São eles, a saber: resistência, o condensador e a bobina, por um lado, e as fontes independentes e dependentes de tensãocorrente, por outro. Estes elementos permitem por si só modelar o comportamento eléctrico dos

dispositivos electrónicos.

A análise de um circuito eléctrico comporta três tarefas essencialmente distintas: a imposição dacaracterística tensão-corrente de cada elemento, a imposição de um conjunto de leis ao nível da rede delementos (leis de circuito) e, finalmente, a resolução conjunta das equações. Exemplos de característtensão-corrente são a Lei de Ohm, v=Ri, e a relação i=Cdv/dt do condensador. Por outro lado, leis decircuito são as duas Leis de Kirchhoff, das correntes e das tensões. Tendo em mente estes três passos,presente e os capítulos seguintes serão dedicados à apresentação das características tensão-corrente dfontes e dos elementos resistência, condensador e bobina, bem como das Leis de Kirchhoff e dasmetodologias de análise sistemática do conjunto de equações resultante.

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Sebenta Multimédia de Análise de Circuitos Eléctricos

Sebenta

Multimédia1 Grandezas

Eléctricas2 Componentes

Fundamentais dos Circuitos Eléctricos

3 Resistência Eléctrica

4 Leis de Kirchhoff

5 Métodos de Análise Sistemática de Circuitos

6 Teoremas Básicos dos Circuitos Eléctricos

7 Condensador e

Capacidade Eléctrica8 Bobina e

Indutância Electromagnética

9 Análise de Circuitos RC e RL de 1.ª Ordem

10 Análise de Circuitos RC , RL e RLC

de 2.ª Ordem11 Impedância

Eléctrica12 Análise da

Resposta em Frequência13 Bobinas

Acopladas e Transformadores

ComponentesFundamentais dosCircuitos Eléctricos

As fontes são componentes de circuito capazes de colocar em movimento cargeléctricas. Uma vez em movimento, as cargas podem ser levadas a superar div

variadíssimos obstáculos, como por exemplo resistências, que lhes impõem ummáximo à velocidade, condensadores, que as acumulam, díodos, que implemeválvulas unidireccionais, transístores, que implementam uma torneira que abreou modula um caminho ao fluxo de corrente, etc. As fontes e os obstáculos dese genericamente por componentes dos circuitos, atribuindo-se o nome de circeléctrico, ou de rede eléctrica, ao conjunto dos componentes interligados comdeterminado.

Apesar de existir uma enorme variedade de componentes de circuito, pode idese um conjunto restrito de elementos cuja funcionalidade eléctrica é verdadeir

fundamental. São eles, a saber: a resistência, o condensador e a bobina, por umas fontes independentes e dependentes de tensão e de corrente, por outro. Esteelementos permitem por si só modelar o comportamento eléctrico dos disposielectrónicos.

A análise de um circuito eléctrico comporta três tarefas essencialmente distintimposição da característica tensão-corrente de cada elemento, a imposição de conjunto de leis ao nível da rede de elementos (leis de circuito) e, finalmente, resolução conjunta das equações. Exemplos de características tensão-corrente Lei de Ohm, v=Ri, e a relação i=Cdv/dt do condensador. Por outro lado, leis d

circuito são as duas Leis de Kirchhoff, das correntes e das tensões. Tendo em estes três passos, o presente e os capítulos seguintes serão dedicados à apresendas características tensão-corrente das fontes e dos elementos resistência, conde bobina, bem como das Leis de Kirchhoff e das metodologias de análise sistedo conjunto de equações resultante.

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Sebenta Multimédia de Análise de Circuitos Eléctricos

14 Diportos Eléctricos

15 Amplificador Operacional

16 Transferidor de Tensão e Corrente

APÊNDICE-A APÊNDICE-B

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1 Grandezas Eléctricas

Grandezas Eléctricas

A Ciência Eléctrica estuda o fenómeno da existência e interacção entre cargas eléctricas. Tal como a a carga eléctrica é uma propriedade fundamental da matéria que se manifesta através de uma interacçdesignadamente através de uma força. No entanto, a carga eléctrica apresenta a particularidade de semanifestar através de uma força que tanto pode ser de atracção como de repulsão, ao contrário daquelmanifestada pelas massas, que, como se sabe, é apenas de atracção.

As principais grandezas da ciência eléctrica são a carga, a força, o campo, a energia, a tensão, a potêncorrente eléctrica. Um dos objectivos deste capítulo é explicar a relação existente entre estas grandezeléctricas, dando particular atenção às grandezas tensão e corrente eléctrica. Com efeito, a análise decircuitos visa essencialmente a determinação da relação corrente/tensão eléctrica em redes de componeléctricos e electrónicos.

A lei fundamental da Ciência Eléctrica é a Lei de Coulomb. Esta lei estabelece que duas cargas eléctrem presença uma da outra se atraem ou repelem mutuamente, isto é, interagem entre si através de umforça. Como grandeza de tipo vectorial, a força eléctrica possui, portanto, uma direcção, um sentido eintensidade. A direcção da força coincide com a da recta que une as duas cargas, o sentido é uma funçdos sinais respectivos, positivos ou negativos, e a intensidade é uma função do módulo das cargas e ddistância que as separa.

A interacção à distância entre cargas eléctricas conduz ao conceito de campo eléctrico, o qual nos perencarar a força eléctrica como o resultado de uma acção exercida por uma carga ou conjunto de carga

vizinhas. Tal como a força, o campo eléctrico é uma grandeza vectorial com direcção, sentido e inten

O movimento de uma carga num campo eléctrico, em sentido contrário ou concordante com o da forçeléctrica a que se encontra sujeita, conduz à libertação ou exige o fornecimento de uma energia. O acse isolarem fisicamente conjuntos de cargas positivas e negativas equivale a fornecer energia ao sistecomparável ao armazenamento de energia eléctrica numa bateria. Pelo contrário, o movimento de carnegativas no sentido de partículas carregadas positivamente corresponde à libertação de energia. Em a presença de cargas eléctricas imersas num campo atribui ao sistema uma capacidade de realizar trabcapacidade que é designada por energia potencial eléctrica ou, simplesmente, energia eléctrica.

Uma carga colocada em pontos distintos de um campo eléctrico atribui valores também distintos de eao sistema. A diferença de energia por unidade de carga é designada por diferença de potencial, ou teeléctrica. Tensão e energia eléctrica são, por conseguinte, duas medidas da mesma capacidade de realtrabalho. A taxa de transformação de energia eléctrica na unidade de tempo é designada por potênciaeléctrica.

O fluxo de cargas eléctricas é designado por corrente eléctrica. Em particular, define-se corrente eléccomo a quantidade de carga que na unidade de tempo atravessa uma dada superfície.

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1 Grandezas Eléctricas

Corrente e tensão eléctrica definem as duas variáveis operatórias dos circuitos eléctricos.

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3 Resistência Eléctrica

Resistência Eléctrica

A resistência é uma medida da oposição que a matéria oferece à passagem de corrente eléctrica. Osmateriais são designados por condutores, semicondutores ou isoladores conforme a oposição que oferseja reduzida, média e elevada. A Lei de Ohm

v = R i (3.1

estabelece a relação existente entre a corrente e a tensão eléctrica aos terminais de uma resistência. Oparâmetro R, designado resistência eléctrica, é expresso em ohm (note-se que na língua inglesa sedistinguem parâmetro resistance do elemento resistor ).

A resistência eléctrica dos materiais pode ser comparada ao atrito existente nos sistemas mecânicos. Pexemplo, e ao contrário do vácuo, a aplicação de um campo eléctrico constante (força constante) sobrcarga eléctrica conduz a uma velocidade constante nos materiais, situação à qual corresponde uma troenergia potencial eléctrica por calor. Esta conversão é designada por efeito de Joule, cuja expressão dpotência dissipada é

p = Ri2 (3.2

A resistência é um dos elementos mais utilizados nos circuitos. Existem resistências fixas, variáveis eajustáveis, resistências integradas e resistências discretas, resistências cuja função é a conversão de

grandezas não eléctricas em grandezas eléctricas, etc. Relativamente a estas últimas, existem resistênsensíveis à temperatura, como sejam as termo-resistências e os termístores, resistências sensíveis ao fluminoso, designadas por foto-resistências, magneto-resistências, piezo-resistências, químio-resistêncetc.

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Sebenta Multimédia de Análise de Circuitos Eléctricos

Sebenta

Multimédia1 Grandezas

Eléctricas2 Componentes

Fundamentais dos Circuitos Eléctricos

3 Resistência Eléctrica

4 Leis de Kirchhoff

5 Métodos de Análise Sistemática de Circuitos

6 Teoremas Básicos dos Circuitos Eléctricos

7 Condensador e

Capacidade Eléctrica8 Bobina e

Indutância Electromagnética

9 Análise de Circuitos RC e RL de 1.ª Ordem

10 Análise de Circuitos RC , RL e RLC

de 2.ª Ordem11 Impedância

Eléctrica12 Análise da

Resposta em Frequência13 Bobinas

Acopladas e Transformadores

Resistência Eléctrica

A resistência é uma medida da oposição que a matéria oferece à passagem de eléctrica. Os materiais são designados por condutores, semicondutores ou isolconforme a oposição que oferecem seja reduzida, média e elevada. A Lei de O

v = R i

estabelece a relação existente entre a corrente e a tensão eléctrica aos terminaiuma resistência. O parâmetro R, designado resistência eléctrica, é expresso em(note-se que na língua inglesa se distinguem parâmetro resistance do elementresistor ).

A resistência eléctrica dos materiais pode ser comparada ao atrito existente nosistemas mecânicos. Por exemplo, e ao contrário do vácuo, a aplicação de umeléctrico constante (força constante) sobre uma carga eléctrica conduz a umavelocidade constante nos materiais, situação à qual corresponde uma troca de potencial eléctrica por calor. Esta conversão é designada por efeito de Joule, cexpressão da potência dissipada é

p = Ri2

A resistência é um dos elementos mais utilizados nos circuitos. Existem resistfixas, variáveis e ajustáveis, resistências integradas e resistências discretas,

resistências cuja função é a conversão de grandezas não eléctricas em grandezeléctricas, etc. Relativamente a estas últimas, existem resistências sensíveis àtemperatura, como sejam as termo-resistências e os termístores, resistências seao fluxo luminoso, designadas por foto-resistências, magneto-resistências, pieresistências, químio-resistências, etc.

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14 Diportos Eléctricos

15 Amplificador Operacional

16 Transferidor de Tensão e Corrente

APÊNDICE-A APÊNDICE-B

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4 Leis de Kirchhoff

Leis de Kirchhoff

As Leis de Kirchhoff regem a associação de componentes num circuito. Ao contrário da Lei de Ohm,âmbito é a resistência, as Leis de Kirchhoff das tensões e das correntes estabelecem as regras às quaisdevem respeitar as associações de componentes: a Lei de Kirchhoff das correntes afirma que são idênos somatórios das correntes incidentes e divergentes em qualquer nó de um circuito, ao passo que a Ltensões afirma que é nulo o somatório das tensões aos terminais dos componentes situados ao longo dcaminho fechado. Uma associação de componentes eléctricos constitui um circuito quando verificasimultaneamente as Leis de Kirchhoff e as características tensão-corrente dos componentes, que no cparticular da resistência se designa por Lei de Ohm. A aplicação conjunta das Leis de Kirchhoff e de permite obter um conjunto de equações cuja resolução conduz aos valores das correntes e das tensõesterminais dos componentes.

Para além de permitir resolver os circuitos, as três leis referidas possibilitam ainda a derivação de um

conjunto de regras simplificativas da análise dos circuitos. Designadamente, as regras de associação esérie e em paralelo de resistências, as regras dos divisores de tensão e de corrente, as regras detransformação entre fontes de tensão e de corrente, as regras de associação de fontes de corrente e detensão, etc.

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Sebenta

Multimédia1 Grandezas

Eléctricas2 Componentes

Fundamentais dos Circuitos Eléctricos

3 Resistência Eléctrica

4 Leis de Kirchhoff

5 Métodos de Análise Sistemática de Circuitos

6 Teoremas Básicos dos Circuitos Eléctricos

7 Condensador e

Capacidade Eléctrica8 Bobina e

Indutância Electromagnética

9 Análise de Circuitos RC e RL de 1.ª Ordem

10 Análise de Circuitos RC , RL e RLC

de 2.ª Ordem11 Impedância

Eléctrica12 Análise da

Resposta em Frequência13 Bobinas

Acopladas e Transformadores

Leis de Kirchhoff

As Leis de Kirchhoff regem a associação de componentes num circuito. Ao coda Lei de Ohm, cujo âmbito é a resistência, as Leis de Kirchhoff das tensões ecorrentes estabelecem as regras às quais devem respeitar as associações de

componentes: a Lei de Kirchhoff das correntes afirma que são idênticos os somdas correntes incidentes e divergentes em qualquer nó de um circuito, ao passLei das tensões afirma que é nulo o somatório das tensões aos terminais doscomponentes situados ao longo de um caminho fechado. Uma associação decomponentes eléctricos constitui um circuito quando verifica simultaneamentede Kirchhoff e as características tensão-corrente dos componentes, que no casparticular da resistência se designa por Lei de Ohm. A aplicação conjunta dasKirchhoff e de Ohm permite obter um conjunto de equações cuja resolução coaos valores das correntes e das tensões aos terminais dos componentes.

Para além de permitir resolver os circuitos, as três leis referidas possibilitam aderivação de um conjunto de regras simplificativas da análise dos circuitos.Designadamente, as regras de associação em série e em paralelo de resistênciaregras dos divisores de tensão e de corrente, as regras de transformação entre tensão e de corrente, as regras de associação de fontes de corrente e de tensão

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14 Diportos Eléctricos

15 Amplificador Operacional

16 Transferidor de Tensão e Corrente

APÊNDICE-A APÊNDICE-B

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5 Métodos de Análise Sistemática de Circuitos

Métodos de Análise Sistemática deCircuitos

Existem dois principais métodos de análise sistemática dos circuitos eléctricos: o método dos nós e ométodo das malhas. Em ambos, trata-se de aplicar de forma sistemática e agregada as Leis de Kirchhoas características tensão-corrente dos componentes, no caso particular da resistência a Lei de Ohm, e um sistema de P-equações a P-incógnitas. No método dos nós as incógnitas são as tensões em todos odo circuito, ao passo que no método das malhas são as correntes nas malhas constituintes do mesmo. tensões nos nós, ou as correntes nas malhas, são suficientes para a posterior determinação das tensõescorrentes em todos os componentes do circuito.

Os métodos dos nós e das malhas aplicam-se exclusivamente a circuitos lineares e bilaterais, exigindosegundo daqueles que as redes sejam também planares. São bilaterais os circuitos cuja solução éindependente do sentido positivo arbitrado para as correntes e para as tensões nos componentes, comsucede com as redes compostas por fontes, resistências, condensadores e bobinas. Designam-se por

planares os circuitos cujo esquema eléctrico é passível de representação num plano, sem que os seus rse intersectem mutuamente. Dos circuitos representados na Figura 5.1 apenas o primeiro é planar. Oumétodos existem que não exigem o gozo das propriedades anteriormente enunciadas, os quais serãointroduzidos posteriormente no âmbito das disciplinas de Electrónica.

Figura 5.1 Circuito planar (a) e circuito não planar (b)

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Sebenta

Multimédia1 Grandezas Eléctricas

2 Componentes Fundamentais dos Circuitos Eléctricos

3 Resistência Eléctrica

4 Leis de

Kirchhoff 5 Métodos de Análise Sistemática de Circuitos

6 Teoremas Básicos dos Circuitos Eléctricos

7 Condensador e Capacidade Eléctrica

8 Bobina e Indutância Electromagnética

9 Análise de Circuitos RC e RL de 1.ª Ordem

10 Análise de Circuitos RC , RL e RLC de 2.ª Ordem

11 Impedância Eléctrica12 Análise da

Resposta em Frequência13 Bobinas

Acopladas e Transformadores

14 Diportos Eléctricos

15 Amplificador

Métodos de AnáliseSistemática de Circuitos

Existem dois principais métodos de análise sistemática dos circuitos eléctricos: o ménós e o método das malhas. Em ambos, trata-se de aplicar de forma sistemática e agLeis de Kirchhoff e as características tensão-corrente dos componentes, no caso part

resistência a Lei de Ohm, e obter um sistema de P-equações a P-incógnitas. No métnós as incógnitas são as tensões em todos os nós do circuito, ao passo que no métodmalhas são as correntes nas malhas constituintes do mesmo. As tensões nos nós, ou correntes nas malhas, são suficientes para a posterior determinação das tensões e dacorrentes em todos os componentes do circuito.

Os métodos dos nós e das malhas aplicam-se exclusivamente a circuitos lineares e bexigindo-se no segundo daqueles que as redes sejam também planares. São bilateraicircuitos cuja solução é independente do sentido positivo arbitrado para as correntesas tensões nos componentes, como sucede com as redes compostas por fontes, resistcondensadores e bobinas. Designam-se por planares os circuitos cujo esquema eléct

passível de representação num plano, sem que os seus ramos se intersectem mutuamDos circuitos representados na Figura 5.1 apenas o primeiro é planar. Outros métodexistem que não exigem o gozo das propriedades anteriormente enunciadas, os quaiintroduzidos posteriormente no âmbito das disciplinas de Electrónica.

Figura 5.1 Circuito planar (a) e circuito não planar (b)

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Sebenta Multimédia de Análise de Circuitos Eléctricos

Operacional16 Transferidor de

Tensão e Corrente APÊNDICE-A APÊNDICE-B

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6 Teoremas Básicos dos Circuitos Eléctricos

Teoremas Básicos dos CircuitosEléctricos

Os teoremas complementam o arsenal de leis, regras e métodos de análise introduzidas ao longo doscapítulos anteriores. O teorema da sobreposição das fontes indica que a tensão ou a corrente numcomponente resulta da soma das contribuições parciais devidas a cada uma das fontes independentespresentes no circuito, parcelas que se calculam separadamente umas das outras. Por seu lado, os teorede Thévenin e de Norton indicam que do ponto de vista de um par de nós um circuito pode ser condenuma rede equivalente, constituída por uma fonte de tensão e uma resistência em série, ou então por ufonte de corrente e uma resistência em paralelo. Este teorema constitui um dos resultados mais intereda teoria dos circuitos, pois permite substituir por uma fonte de tensão ou corrente real um qualquer cdo qual se pretende saber apenas o efeito causado em dois dos seus terminais de acesso. Para além deos teoremas de Millman e de Miller fixam um corpo de regras de manipulação e simplificação de circenquanto que o teorema da máxima transferência de potência estabelece as condições para uma máximtransferência de energia entre uma fonte e uma resistência.

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Sebenta Multimédia de Análise de Circuitos Eléctricos

Sebenta

Multimédia1 Grandezas

Eléctricas2 Componentes

Fundamentais dos Circuitos Eléctricos

3 Resistência Eléctrica

4 Leis de Kirchhoff

5 Métodos de Análise Sistemática de Circuitos

6 Teoremas Básicos dos Circuitos Eléctricos

7 Condensador e

Capacidade Eléctrica8 Bobina e

Indutância Electromagnética

9 Análise de Circuitos RC e RL de 1.ª Ordem

10 Análise de Circuitos RC , RL e RLC

de 2.ª Ordem11 Impedância

Eléctrica12 Análise da

Resposta em Frequência13 Bobinas

Acopladas e Transformadores

Teoremas Básicos dosCircuitos Eléctricos

Os teoremas complementam o arsenal de leis, regras e métodos de análiseintroduzidas ao longo dos capítulos anteriores. O teorema da sobreposição dasindica que a tensão ou a corrente num componente resulta da soma das contrib

parciais devidas a cada uma das fontes independentes presentes no circuito, paque se calculam separadamente umas das outras. Por seu lado, os teoremas deThévenin e de Norton indicam que do ponto de vista de um par de nós um circpode ser condensado numa rede equivalente, constituída por uma fonte de tenuma resistência em série, ou então por uma fonte de corrente e uma resistênciparalelo. Este teorema constitui um dos resultados mais interessantes da teoriacircuitos, pois permite substituir por uma fonte de tensão ou corrente real um circuito do qual se pretende saber apenas o efeito causado em dois dos seus tede acesso. Para além destes, os teoremas de Millman e de Miller fixam um corregras de manipulação e simplificação de circuitos, enquanto que o teorema d

máxima transferência de potência estabelece as condições para uma máximatransferência de energia entre uma fonte e uma resistência.

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Sebenta Multimédia de Análise de Circuitos Eléctricos

14 Diportos Eléctricos

15 Amplificador Operacional

16 Transferidor de Tensão e Corrente

APÊNDICE-A APÊNDICE-B

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7 Condensador e Capacidade Eléctrica

Condensador e CapacidadeEléctrica

O condensador é um componente de circuito que armazena cargas eléctricas. O parâmetro capacidadeeléctrica (C ) relaciona a tensão aos terminais com a respectiva carga armazenada

q(t) = Cv(t) F, farad (7.1

o qual é uma função das propriedades do dieléctrico, da área e da separação entre os eléctrodos. De accom a relação (7.1), a adição ou remoção de cargas eléctricas às placas de um condensador equivale avariar a tensão eléctrica aplicada entre as mesmas, e vice-versa. A expressão

(7.2

define a característica tensão-corrente do elemento condensador, a qual se encontra, portanto, ao níveLei de Ohm.

A análise de um circuito com condensadores exige a resolução de uma equação diferencial. Este factointroduz a dimensão temporal na análise de circuitos, impondo em simultâneo a necessidade de estudcondições iniciais e as restrições de continuidade da energia acumulada como base para a resolução dmesmas. A natureza diferencial das equações do circuito conduz à distinção entre soluções natural (retransitório ou natural) e forçada no tempo, sendo esta última a base para o posterior estudo dos conce

fasor e de impedância eléctrica, ambos no âmbito da análise do regime forçado sinusoidal.

Hoje existem diversos tipos de condensadores discretos, híbridos e integrados: condensadores de ar, mplástico, papel, cerâmica, electrólitos, etc.; condensadores fixos ou variáveis; condensadores de diverdimensões e para variadas aplicações; condensadores que implementam sensores de temperatura, depressão, de humidade, etc.

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7 Condensador e

Capacidade Eléctrica8 Bobina e

Indutância Electromagnética

9 Análise de Circuitos RC e RL de 1.ª Ordem

10 Análise de Circuitos RC , RL e RLC

de 2.ª Ordem11 Impedância

Eléctrica12 Análise da

Resposta em Frequência13 Bobinas

Acopladas e Transformadores

Condensador eCapacidade Eléctrica

O condensador é um componente de circuito que armazena cargas eléctricas. parâmetro capacidade eléctrica (C ) relaciona a tensão aos terminais com a rescarga armazenada

q(t) = Cv(t) F, farad

o qual é uma função das propriedades do dieléctrico, da área e da separação eneléctrodos. De acordo com a relação (7.1), a adição ou remoção de cargas elécplacas de um condensador equivale a variar a tensão eléctrica aplicada entre amesmas, e vice-versa. A expressão

define a característica tensão-corrente do elemento condensador, a qual se encportanto, ao nível da Lei de Ohm.

A análise de um circuito com condensadores exige a resolução de uma equaçãdiferencial. Este facto introduz a dimensão temporal na análise de circuitos, imem simultâneo a necessidade de estudar as condições iniciais e as restrições decontinuidade da energia acumulada como base para a resolução das mesmas. A

natureza diferencial das equações do circuito conduz à distinção entre soluçõe(regime transitório ou natural) e forçada no tempo, sendo esta última a base paposterior estudo dos conceitos de fasor e de impedância eléctrica, ambos no âmanálise do regime forçado sinusoidal.

Hoje existem diversos tipos de condensadores discretos, híbridos e integradoscondensadores de ar, mica, plástico, papel, cerâmica, electrólitos, etc.; condenfixos ou variáveis; condensadores de diversas dimensões e para variadas apliccondensadores que implementam sensores de temperatura, de pressão, de humetc.

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8 Bobina e Indutância Electromagnética

Bobina e IndutânciaElectromagnética

O movimento das cargas eléctricas, e em particular a corrente eléctrica, é responsável por um fenómeatracção ou repulsão designado por força magnética. Dois condutores percorridos por uma correnteeléctrica atraem-se um ao outro se os sentidos dos respectivos fluxos forem concordantes, e repelem-caso contrário. À força magnética encontram-se associados o campo magnético, o fluxo e a densidadefluxo magnético, a permeabilidade magnética, a indutância ou coeficiente de auto-indução, e o coeficde indução mútua.

A bobina é um componente que armazena energia sob a forma de um campo magnético, portanto sobforma de cargas eléctricas em movimento. A indutância é o parâmetro que relaciona a corrente eléctricom o fluxo magnético

Φ = Li Wb, weber (8.1

e é uma função das dimensões físicas e do número de espiras da bobina, mas também do material donúcleo. A unidade de indutância é o henry (H).

A relação (8.1) indica que as variações no fluxo magnético são proporcionais às variações na correnteeléctrica. Assim, e de acordo com a Lei de Faraday, a força electro-motriz induzida aos terminais de ubobina é proporcional às variações na corrente respectiva

(8.2

fenómeno que se designa por indução electromagnética (daí o nome alternativo de coeficiente de autoindução dado à indutância).

A análise de um circuito com bobinas exige a obtenção e a resolução de uma ou várias equaçõesdiferenciais. As condições iniciais da corrente, do fluxo magnético e da energia armazenada, em conjcom a imposição da sua continuidade, constituem a informação necessária para determinar os valores

constantes da solução da equação diferencial. À parte a diferença relativa aos fenómenos subjacentes funcionamento, a forma dual das características tensão-corrente do condensador e da bobina indica qutópicos a tratar neste capítulo devam ser semelhantes àqueles abordados anteriormente, em particularque respeita ao estudo das associações em série e em paralelo de bobinas, da energia armazenada e dodivisores de tensão e de corrente.

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7 Condensador e

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10 Análise de Circuitos RC , RL e RLC

de 2.ª Ordem11 Impedância

Eléctrica12 Análise da

Resposta em Frequência13 Bobinas

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Bobina e IndutânciaElectromagnética

O movimento das cargas eléctricas, e em particular a corrente eléctrica, é resppor um fenómeno de atracção ou repulsão designado por força magnética. Docondutores percorridos por uma corrente eléctrica atraem-se um ao outro se os

sentidos dos respectivos fluxos forem concordantes, e repelem-se no caso conforça magnética encontram-se associados o campo magnético, o fluxo e a dende fluxo magnético, a permeabilidade magnética, a indutância ou coeficiente dindução, e o coeficiente de indução mútua.

A bobina é um componente que armazena energia sob a forma de um campomagnético, portanto sob a forma de cargas eléctricas em movimento. A indutâparâmetro que relaciona a corrente eléctrica com o fluxo magnético

Φ = LiWb, weber

e é uma função das dimensões físicas e do número de espiras da bobina, mas tdo material do núcleo. A unidade de indutância é o henry (H).

A relação (8.1) indica que as variações no fluxo magnético são proporcionais variações na corrente eléctrica. Assim, e de acordo com a Lei de Faraday, a foelectro-motriz induzida aos terminais de uma bobina é proporcional às variaçõcorrente respectiva

fenómeno que se designa por indução electromagnética (daí o nome alternativcoeficiente de auto-indução dado à indutância).

A análise de um circuito com bobinas exige a obtenção e a resolução de uma oequações diferenciais. As condições iniciais da corrente, do fluxo magnético eenergia armazenada, em conjunto com a imposição da sua continuidade, const

informação necessária para determinar os valores das constantes da solução daequação diferencial. À parte a diferença relativa aos fenómenos subjacentes aofuncionamento, a forma dual das características tensão-corrente do condensadbobina indica que os tópicos a tratar neste capítulo devam ser semelhantes àquabordados anteriormente, em particular no que respeita ao estudo das associaçsérie e em paralelo de bobinas, da energia armazenada e dos divisores de tenscorrente.

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9 Análise de Circuitos RC e RL de 1.ª Ordem

Análise de Circuitos RC e RL de 1.ªOrdem

As características tensão-corrente do condensador e da bobina introduzem as equações diferenciais noda análise dos circuitos eléctricos. As Leis de Kirchhoff e as características tensão-corrente dos elemeconduzem, em conjunto, a uma equação diferencial linear, cuja solução define a dinâmica temporal dvariáveis corrente e tensão eléctrica nos diversos componentes do circuito.

A solução de uma equação diferencial com termo forçado é composta por duas parcelas essencialmendistintas: solução ou resposta natural, que determina a dinâmica das variáveis na ausência de fontesindependentes (entenda-se na ausência de termo forçado na equação diferencial); e solução forçada. Eúltima solução encontra-se directamente relacionada com a forma de onda das fontes independentes,revelando-se de particular interesse aquelas impostas por fontes constantes e sinusoidais. A seu tempoverificar-se-á que o estudo da solução forçada sinusoidal de um circuito abre um campo inteiramenteà análise de circuitos, genericamente designado por regime forçado sinusoidal.

A solução de uma equação diferencial é definida a menos de um conjunto de constantes, tantas quantordem da mesma. A determinação da solução particular de uma equação diferencial exige a consideradas condições inicial e de continuidade da energia armazenada nos condensadores e nas bobinas do c

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7 Condensador e

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9 Análise de Circuitos RC e RL de 1.ª Ordem

10 Análise de Circuitos RC , RL e RLC

de 2.ª Ordem11 Impedância

Eléctrica12 Análise da

Resposta em Frequência13 Bobinas

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Análise de Circuitos RC e RL de 1.ª Ordem

As características tensão-corrente do condensador e da bobina introduzem as ediferenciais no seio da análise dos circuitos eléctricos. As Leis de Kirchhoff ecaracterísticas tensão-corrente dos elementos conduzem, em conjunto, a uma

diferencial linear, cuja solução define a dinâmica temporal das variáveis corretensão eléctrica nos diversos componentes do circuito.

A solução de uma equação diferencial com termo forçado é composta por duaparcelas essencialmente distintas: solução ou resposta natural, que determina adinâmica das variáveis na ausência de fontes independentes (entenda-se na aude termo forçado na equação diferencial); e solução forçada. Esta última soluçencontra-se directamente relacionada com a forma de onda das fontes indepenrevelando-se de particular interesse aquelas impostas por fontes constantes esinusoidais. A seu tempo verificar-se-á que o estudo da solução forçada sinuso

um circuito abre um campo inteiramente novo à análise de circuitos, genericamdesignado por regime forçado sinusoidal.

A solução de uma equação diferencial é definida a menos de um conjunto deconstantes, tantas quantas a ordem da mesma. A determinação da solução partde uma equação diferencial exige a consideração das condições inicial e decontinuidade da energia armazenada nos condensadores e nas bobinas do circu

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10 Análise de Circuitos RC, RL e RCL de 2.ª Ordem

Análise de Circuitos RC , RL e RLC de 2.ª Ordem

Existem três classes principais de circuitos de 2.ª ordem: os circuitos RLC , com um condensador e umbobina, e os circuitos RC e RL com dois condensadores ou duas bobinas irredutíveis por associação esérie ou em paralelo.

Existem também diversos métodos alternativos para formular a equação diferencial escalar de 2.ª ordque governa o funcionamento de um circuito de 2.ª ordem. Neste livro apresentam-se os métodos dasubstituição e do operador-s, ambos conducentes directamente a uma equação diferencial de 2.ª ordemmétodo das equações de estado. Este último método conduz, em primeira instância, a um sistema deequações diferenciais de 1.ª ordem, no conjunto designadas por equações de estado do circuito, sistemseguidamente pode ser resolvido de modo a obter uma equação diferencial de 2.ª ordem. Estes três mcomportam vantagens e inconvenientes no que respeita à complexidade da sua aplicação, sendo porémverdadeiro que o método do operador-s tem a vantagem de permitir obter a equação diferencial de um

circuito através de processos semelhantes aos utilizados no âmbito das redes resistivas puras.

A solução de uma equação diferencial de 2.ª ordem é composta por duas parcelas essencialmente dista solução natural e a solução forçada pelas fontes independentes. A solução natural tem em geral a fouma soma de exponenciais negativas, podendo, no entanto, distinguir-se os seguintes quatro casosparticulares: a solução sobre-amortecida, definida por duas exponenciais reais, distintas e negativas; solução criticamente amortecida, constituída pelo produto de uma função linear por uma exponencialnegativa; a solução sub-amortecida, neste caso constituída por duas exponenciais complexas conjugafinalmente, a solução oscilatória, definida por duas exponenciais imaginárias puras conjugadas. No qrespeita à solução forçada, verifica-se que as fontes independentes constantes conduzem a soluçõesforçadas de tipo também constante, e que as fontes independentes sinusoidais conduzem a soluçõesforçadas também de tipo sinusoidal.

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7 Condensador e

Capacidade Eléctrica8 Bobina e

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9 Análise de Circuitos RC e RL de 1.ª Ordem

10 Análise de Circuitos RC , RL e RLC

de 2.ª Ordem11 Impedância

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Resposta em Frequência13 Bobinas

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Análise de CircuitosRC , RL e RLC de 2.ªOrdem

Existem três classes principais de circuitos de 2.ª ordem: os circuitos RLC , cocondensador e uma bobina, e os circuitos RC e RL com dois condensadores ou

bobinas irredutíveis por associação em série ou em paralelo.

Existem também diversos métodos alternativos para formular a equação difereescalar de 2.ª ordem que governa o funcionamento de um circuito de 2.ª ordemlivro apresentam-se os métodos da substituição e do operador-s, ambos condudirectamente a uma equação diferencial de 2.ª ordem, e o método das equaçõeestado. Este último método conduz, em primeira instância, a um sistema de eqdiferenciais de 1.ª ordem, no conjunto designadas por equações de estado do csistema que seguidamente pode ser resolvido de modo a obter uma equaçãodiferencial de 2.ª ordem. Estes três métodos comportam vantagens e inconven

no que respeita à complexidade da sua aplicação, sendo porém verdadeiro quemétodo do operador-s tem a vantagem de permitir obter a equação diferencialcircuito através de processos semelhantes aos utilizados no âmbito das redes rpuras.

A solução de uma equação diferencial de 2.ª ordem é composta por duas parceessencialmente distintas: a solução natural e a solução forçada pelas fontesindependentes. A solução natural tem em geral a forma de uma soma de exponegativas, podendo, no entanto, distinguir-se os seguintes quatro casos particusolução sobre-amortecida, definida por duas exponenciais reais, distintas e ne

a solução criticamente amortecida, constituída pelo produto de uma função linuma exponencial real negativa; a solução sub-amortecida, neste caso constituduas exponenciais complexas conjugadas; e, finalmente, a solução oscilatória

definida por duas exponenciais imaginárias puras conjugadas. No que respeitasolução forçada, verifica-se que as fontes independentes constantes conduzemsoluções forçadas de tipo também constante, e que as fontes independentes sinconduzem a soluções forçadas também de tipo sinusoidal.

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16 Transferidor de Tensão e Corrente

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11 Impedância Eléctrica

Impedância Eléctrica

Ao longo dos dois capítulos anteriores constatou-se que a análise no tempo de um circuito comcondensadores e bobinas exige a obtenção e a resolução de uma equação diferencial. Constatou-se ainque a dinâmica temporal desta classe de circuitos é composta por duas parcelas essencialmente distinsolução natural e a solução forçada pelas fontes independentes do circuito. A solução natural é tipicamconstituída por funções exponenciais negativas, portanto funções que tendem para zero com o tempo,passo que a solução forçada impõe ao circuito uma dinâmica cuja forma é estabelecida por fontesindependentes. Por exemplo, verificou-se que as fontes independentes sinusoidais conduzem a soluçõforçadas sinusoidais, cuja amplitude e fase na origem são função da frequência angular (ω) e dosparâmetros do circuito.

Uma das características mais interessantes dos circuitos lineares é o facto de as soluções forçadassinusoidais em todos os nós e componentes do circuito apresentarem exactamente a mesma frequênci

angular da fonte independente. A principal consequência desta propriedade é a possibilidade de reduzanálise da solução forçada sinusoidal à identificação das amplitudes e das fases na origem dos sinais.

A análise da solução forçada sinusoidal de um circuito conduz aos conceitos de fasor e de impedânciaeléctrica. O fasor de uma variável sinusoidal é um número complexo com informação relativa à amplà fase na origem, desprezando assim a informação relativa à frequência que à partida se sabe ser iguatodos os nós e componentes do circuito. Por outro lado, a impedância eléctrica de um elemento ou cirmais não é que a relação entre os fasores da tensão e da corrente aos terminais respectivos, sendo, porem geral um número complexo dependente da frequência angular da sinusóide sob análise.

O facto de as relações fasoriais entre tensão e corrente eléctrica nos elementos R, C e L serem de tipoapesar de entre números complexos, permite que a solução forçada sinusoidal de um circuito possa seestudada recorrendo aos métodos e teoremas típicos da análise dos circuitos resistivos puros. Por exemé possível estender a aplicação dos métodos das malhas e dos nós à análise da solução forçada sinusoum circuito, recorrendo ainda aos resultados do teoremas de Norton, de Thévenin, de Millman, de Mida sobreposição das fontes e da máxima transferência de potência.

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6 Teoremas Básicos dos Circuitos Eléctricos

7 Condensador e

Capacidade Eléctrica8 Bobina e

Indutância Electromagnética

9 Análise de Circuitos RC e RL de 1.ª Ordem

10 Análise de Circuitos RC , RL e RLC

de 2.ª Ordem11 Impedância

Eléctrica12 Análise da

Resposta em Frequência13 Bobinas

Acopladas e Transformadores

Impedância Eléctrica

Ao longo dos dois capítulos anteriores constatou-se que a análise no tempo decircuito com condensadores e bobinas exige a obtenção e a resolução de uma diferencial. Constatou-se ainda que a dinâmica temporal desta classe de circui

composta por duas parcelas essencialmente distintas: a solução natural e a soluforçada pelas fontes independentes do circuito. A solução natural é tipicamentconstituída por funções exponenciais negativas, portanto funções que tendem zero com o tempo, ao passo que a solução forçada impõe ao circuito uma dinâcuja forma é estabelecida por fontes independentes. Por exemplo, verificou-sefontes independentes sinusoidais conduzem a soluções forçadas sinusoidais, camplitude e fase na origem são função da frequência angular (ω) e dos parâmcircuito.

Uma das características mais interessantes dos circuitos lineares é o facto de a

soluções forçadas sinusoidais em todos os nós e componentes do circuitoapresentarem exactamente a mesma frequência angular da fonte independenteprincipal consequência desta propriedade é a possibilidade de reduzir a análisesolução forçada sinusoidal à identificação das amplitudes e das fases na origemsinais.

A análise da solução forçada sinusoidal de um circuito conduz aos conceitos de de impedância eléctrica. O fasor de uma variável sinusoidal é um número cocom informação relativa à amplitude e à fase na origem, desprezando assim ainformação relativa à frequência que à partida se sabe ser igual em todos os nó

componentes do circuito. Por outro lado, a impedância eléctrica de um elemencircuito mais não é que a relação entre os fasores da tensão e da corrente aos trespectivos, sendo, portanto, em geral um número complexo dependente da frangular da sinusóide sob análise.

O facto de as relações fasoriais entre tensão e corrente eléctrica nos elementos L serem de tipo linear, apesar de entre números complexos, permite que a soluforçada sinusoidal de um circuito possa ser estudada recorrendo aos métodos teoremas típicos da análise dos circuitos resistivos puros. Por exemplo, é possestender a aplicação dos métodos das malhas e dos nós à análise da solução fo

sinusoidal de um circuito, recorrendo ainda aos resultados do teoremas de NorThévenin, de Millman, de Miller, da sobreposição das fontes e da máximatransferência de potência.

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Sebenta Multimédia de Análise de Circuitos Eléctricos

14 Diportos Eléctricos

15 Amplificador Operacional

16 Transferidor de Tensão e Corrente

APÊNDICE-A APÊNDICE-B

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12 Análise da Resposta em Frequência

Análise da Resposta em Frequência

Designa-se por análise da resposta em frequência o estudo da variação com a frequência do cociente edois fasores. A representação do cociente entre fasores em notação polar, entenda-se a representação amplitude e da fase, define as funções amplitude e fase da resposta em frequência, que explicitam a reexistente entre as amplitudes e a diferença entre as fases das sinusóides subjacentes aos fasores. Navariação da amplitude e da fase com a frequência inscrevem-se a selectividade em amplitude e o atrasfase em frequência, que suportam a construção de filtros eléctricos de tipo passa-baixo, passa-alto, pabanda, rejeita-banda, e de igualização de amplitude e de fase.

As representações gráficas das funções amplitude e fase da resposta em frequência, em escala logarítmdesignam-se por diagramas de Bode de amplitude e de fase. Nos diagramas de Bode de amplitude, o das frequências (horizontal) representa-se em escala logarítmica (facto que permite abranger num megráfico uma gama muito mais ampla de frequências), ao passo que na escala vertical se representa a f

20log10(amplitude), em vez da amplitude apenas, cuja unidade se designa por decibell (dB) de amplit

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Sebenta Multimédia de Análise de Circuitos Eléctricos

Sebenta

Multimédia1 Grandezas

Eléctricas2 Componentes

Fundamentais dos Circuitos Eléctricos

3 Resistência Eléctrica

4 Leis de Kirchhoff

5 Métodos de Análise Sistemática de Circuitos

6 Teoremas Básicos dos Circuitos Eléctricos

7 Condensador e

Capacidade Eléctrica8 Bobina e

Indutância Electromagnética

9 Análise de Circuitos RC e RL de 1.ª Ordem

10 Análise de Circuitos RC , RL e RLC

de 2.ª Ordem11 Impedância

Eléctrica12 Análise da

Resposta em Frequência13 Bobinas

Acopladas e Transformadores

Análise da Resposta emFrequência

Designa-se por análise da resposta em frequência o estudo da variação com afrequência do cociente entre dois fasores. A representação do cociente entre faem notação polar, entenda-se a representação da amplitude e da fase, define a

funções amplitude e fase da resposta em frequência, que explicitam a relação entre as amplitudes e a diferença entre as fases das sinusóides subjacentes aosNa variação da amplitude e da fase com a frequência inscrevem-se a selectividamplitude e o atraso de fase em frequência, que suportam a construção de filtreléctricos de tipo passa-baixo, passa-alto, passa-banda, rejeita-banda, e de igude amplitude e de fase.

As representações gráficas das funções amplitude e fase da resposta em frequêem escala logarítmica, designam-se por diagramas de Bode de amplitude e deNos diagramas de Bode de amplitude, o eixo das frequências (horizontal) repr

se em escala logarítmica (facto que permite abranger num mesmo gráfico umamuito mais ampla de frequências), ao passo que na escala vertical se represenfunção 20log10(amplitude), em vez da amplitude apenas, cuja unidade se desi

decibell (dB) de amplitude.

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14 Diportos Eléctricos

15 Amplificador Operacional

16 Transferidor de Tensão e Corrente

APÊNDICE-A APÊNDICE-B

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13 Bobinas Acopladas e Transformadores

Bobinas Acopladas eTransformadores

O transformador é um componente de circuito constituído por duas bobinas acopladas magneticamenFigura 13.1). O facto de ambas as bobinas partilharem o mesmo núcleo, em geral de elevadapermeabilidade magnética, faz com que a ligação seja quase perfeita e as linhas de força sejam quase totalidade partilhadas por ambos os enrolamentos. Uma relação corrente eléctrica, fluxo magnético e electro-motriz induzida, e entre estas e o número de espiras em cada um dos enrolamentos, permite elou reduzir a amplitude da tensão ou da corrente nas duas bobinas.

Figura 13.1 Bobinas acopladas

As bobinas acopladas e os transformadores são utilizadas em variadíssimas aplicações. Alguns exempsão a elevação e a redução da amplitude da tensão ou da corrente e a conversão do número de fases emredes de transporte de energia eléctrica, a redução da amplitude da tensão ou da corrente eléctrica em

instrumentos de medida, a contagem de energia eléctrica, a implementação de mecanismos de protecçrectificação de sinais, a adaptação de impedâncias em aplicações audio e rádio-frequência, o isolamengalvânico entre partes de um circuito eléctrico, etc.

Figura 13.2 Alternativas no transporte de energia eléctrica: em baixa tensão (a); em alta tensão

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13 Bobinas Acopladas e Transformadores

Um dos exemplos mais elucidativos da utilidade do transformador é o transporte de energia eléctrica as centrais de produção e os centros consumidores. Admita-se então que se pretende transportar umapotência nominal aparente de 1 MVA entre uma central e uma cidade localizada a uma distância de 1(200 km de fios eléctricos condutores), e que a tensão de alimentação a fornecer à cidade é de V

cid =2

(valor eficaz; veja-se a Figura 13.2.a). A amplitude da corrente (eficaz) a fornecer à cidade pela centrneste caso I=S/V

cid =5000 A, corrente cujo transporte exige fios condutores de secção mínima s=1000

admitindo assim que a linha de cobre suporta uma densidade de corrente máxima de 5 A/mm2

. A linhapresenta uma resistência eléctrica de Rlinha

=ρl/s=4 Ω, admitindo que a resistividade do cobre é ρ=0

Ωmm2 /m, sendo responsável por uma queda de tensão V linha

=Rlinha

I=20 kV e por uma dissipação de

energia por efeito de Joule, cuja potência é Plinha

=Rlinha

I 2=100 MW. Estes resultados indicam que a

de tensão e a potência dissipada na linha são ordens de grandeza superiores àquelas efectivamenteutilizadas pelos consumidores.

Uma das alternativas para reduzir as perdas por efeito de Joule no transporte de energia eléctrica,

implementada na prática, consiste em elevar drasticamente o valor da tensão de transporte (reduzirdrasticamente a corrente na linha), reduzindo-a depois progressivamente junto aos grandes centrosconsumidores, às povoações, aos bairros, aos grandes edifícios, etc. As alternativas a esta solução serbasicamente três (todas elas impraticáveis): aproximar a central dos consumidores, aproximar osconsumidores da central, ou então aumentar drasticamente a secção das linhas de transporte.

Admita-se agora que através de um qualquer mecanismo se eleva a tensão de transporte da energia deexemplo, 200 V para 400 kV, e que depois, junto ao centro consumidor, se opera à sua redução (Figu13.2.b). Neste caso, o valor eficaz da corrente na linha é de apenas I=S/V

cid =2.5 A, a secção exigida

condutor e a respectiva resistência são s=1 mm2

e Rlinha=4 kΩ, e a queda de tensão e as perdas na linsão, respectivamente, V

linha=10 kV e P

linha=25 kW. Como se vê, o simples facto de se ter elevado a

de transporte de 200 V para 400 kV conduz a uma apreciável redução da potência dissipada na linha, perdas que são apenas 2.5% dos valores de tensão e de potência efectivamente transportados para o cconsumidor.

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Sebenta Multimédia

1 Grandezas Eléctricas

2 Componentes Fundamentais dos Circuitos Eléctricos

3 Resistência Eléctrica

4 Leis de Kirchhoff

5 Métodos de Análise Sistemática de Circuitos

6 Teoremas Básicos dos Circuitos Eléctricos

7 Condensador e Capacidade Eléctrica

8 Bobina e Indutância

Electromagnética9 Análise de

Circuitos RC e RL de 1.ª Ordem

10 Análise de Circuitos RC , RL e RLC de 2.ª Ordem

11 Impedância Eléctrica

12 Análise da Resposta em Frequência13 Bobinas

Acopladas e Transformadores

14 Diportos Eléctricos

15 Amplificador Operacional

16 Transferidor de

Bobinas Acopladas eTransformadores

O transformador é um componente de circuito constituído por duas bobinas acopladasmagneticamente (ver Figura 13.1). O facto de ambas as bobinas partilharem o mesmo núcgeral de elevada permeabilidade magnética, faz com que a ligação seja quase perfeita e as força sejam quase na totalidade partilhadas por ambos os enrolamentos. Uma relação corre

eléctrica, fluxo magnético e força electro-motriz induzida, e entre estas e o número de espcada um dos enrolamentos, permite elevar ou reduzir a amplitude da tensão ou da correntebobinas.

Figura 13.1 Bobinas acopladas

As bobinas acopladas e os transformadores são utilizadas em variadíssimas aplicações. Alexemplos são a elevação e a redução da amplitude da tensão ou da corrente e a conversão número de fases em redes de transporte de energia eléctrica, a redução da amplitude da tencorrente eléctrica em instrumentos de medida, a contagem de energia eléctrica, a implememecanismos de protecção, a rectificação de sinais, a adaptação de impedâncias em aplicaçe rádio-frequência, o isolamento galvânico entre partes de um circuito eléctrico, etc.

Figura 13.2 Alternativas no transporte de energia eléctrica: em baixa tensão (a); em alta

Um dos exemplos mais elucidativos da utilidade do transformador é o transporte de energeléctrica entre as centrais de produção e os centros consumidores. Admita-se então que se transportar uma potência nominal aparente de 1 MVA entre uma central e uma cidade locauma distância de 100 km (200 km de fios eléctricos condutores), e que a tensão de alimenfornecer à cidade é de V

cid =200 V (valor eficaz; veja-se a Figura 13.2.a). A amplitude da c

(eficaz) a fornecer à cidade pela central é neste caso I=S/V cid

=5000 A, corrente cujo trans

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Tensão e Corrente APÊNDICE-A APÊNDICE-B

exige fios condutores de secção mínima s=1000 mm2, admitindo assim que a linha de cobuma densidade de corrente máxima de 5 A/mm2. A linha apresenta uma resistência eléctri R

linha=ρl/s=4 Ω, admitindo que a resistividade do cobre é ρ=0.02 Ωmm2 /m, sendo respon

uma queda de tensão V linha

=Rlinha

I=20 kV e por uma dissipação de energia por efeito de J

cuja potência é Plinha

=Rlinha

I 2=100 MW. Estes resultados indicam que a queda de tensão

potência dissipada na linha são ordens de grandeza superiores àquelas efectivamente utilizpelos consumidores.

Uma das alternativas para reduzir as perdas por efeito de Joule no transporte de energia eléimplementada na prática, consiste em elevar drasticamente o valor da tensão de transportedrasticamente a corrente na linha), reduzindo-a depois progressivamente junto aos grandeconsumidores, às povoações, aos bairros, aos grandes edifícios, etc. As alternativas a esta seriam basicamente três (todas elas impraticáveis): aproximar a central dos consumidores,aproximar os consumidores da central, ou então aumentar drasticamente a secção das linhtransporte.

Admita-se agora que através de um qualquer mecanismo se eleva a tensão de transporte dade, por exemplo, 200 V para 400 kV, e que depois, junto ao centro consumidor, se opera à

redução (Figura 13.2.b). Neste caso, o valor eficaz da corrente na linha é de apenas I=S/V c

a secção exigida para o condutor e a respectiva resistência são s=1 mm2 e Rlinha

=4 kΩ, e

de tensão e as perdas na linha são, respectivamente, V linha

=10 kV e Plinha

=25 kW. Como

simples facto de se ter elevado a tensão de transporte de 200 V para 400 kV conduz a umaapreciável redução da potência dissipada na linha, com perdas que são apenas 2.5% dos vatensão e de potência efectivamente transportados para o centro consumidor.

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14 Diportos Eléctricos

Diportos Eléctricos

A grande maioria dos dispositivos e circuitos electrónicos constituem aquilo que em teoria dos circuidesigna por diporto eléctrico. Um diporto é basicamente um circuito cuja ligação ao exterior se efectuatravés de dois pares de terminais designados por portos (ver Figura 14.1). Por definição, um diportocontém apenas resistências, condensadores, bobinas e fontes dependentes, mas não fontes independentensão ou de corrente. Cada porto é caracterizado por uma corrente de entrada e de saída, Ii e Ii

´, por

definição iguais, e por uma tensão entre terminais, Vi. Adiante se verá que, destas quatro variáveis, du

são independentes e duas dependentes.

Figura 14.1 Diporto eléctrico

Exemplos de dispositivos e de circuitos electrónicos que constituem diportos são os transístores de jubipolar e de efeito de campo, os amplificadores operacionais de tensão e de corrente, ou em geral quarede cujos acessos ao exterior verifiquem as condições acima referidas. Por exemplo, no caso do trande junção bipolar representado na Figura 14.2, dois dos terminais de acesso encontram-se em curto-circuito, constituindo assim um diporto com três terminais apenas.

Figura 14.2 Diporto com três terminais

Um diporto é caracterizado através de quatro coeficientes organizados numa matriz quadrada. A matrconstitui o elo de ligação entre as variáveis independentes e dependentes nos dois portos, estabelecenconjunto de duas equações algébricas que definem todo o desempenho do circuito. Por exemplo, umdiporto pode ser caracterizado através de uma matriz de admitâncias

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14 Diportos Eléctricos

(14.1

a qual pressupõe serem independentes as variáveis V1 e V2 e dependentes as correntes I1 e I2 nos por

As duas equações algébricas em (14.1) definem um modelo eléctrico equivalente de um diporto (Figu14.3). Outros pares de variáveis independentes conduzem a outras matrizes e outros modelos eléctricoequivalentes, sendo característica de todos eles o possuírem apenas quatro coeficientes e quatrocomponentes, respectivamente.

Figura 14.3 Modelo eléctrico equivalente de um diporto

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Sebenta Multimédia de Análise de Circuitos Eléctricos

Sebenta Multimédia

1 Grandezas Eléctricas

2 Componentes Fundamentais dos Circuitos Eléctricos

3 Resistência Eléctrica

4 Leis de Kirchhoff

5 Métodos de

Análise Sistemática de Circuitos

6 Teoremas Básicos dos Circuitos Eléctricos

7 Condensador e Capacidade Eléctrica

8 Bobina e Indutância Electromagnética

9 Análise de Circuitos RC e RL de 1.ª Ordem

10 Análise de Circuitos RC , RL e RLC de 2.ª Ordem

11 Impedância Eléctrica

12 Análise da Resposta em Frequência

13 Bobinas Acopladas e Transformadores

14 Diportos Eléctricos

15 Amplificador Operacional

16 Transferidor de Tensão e Corrente

APÊNDICE-A

Diportos Eléctricos

A grande maioria dos dispositivos e circuitos electrónicos constituem aquilo que em teoria dosse designa por diporto eléctrico. Um diporto é basicamente um circuito cuja ligação ao exteriorefectua através de dois pares de terminais designados por portos (ver Figura 14.1). Por definiçãdiporto contém apenas resistências, condensadores, bobinas e fontes dependentes, mas não fon

independentes de tensão ou de corrente. Cada porto é caracterizado por uma corrente de entradsaída, Ii e Ii´, por definição iguais, e por uma tensão entre terminais, Vi. Adiante se verá que, de

quatro variáveis, duas são independentes e duas dependentes.

Figura 14.1 Diporto eléctrico

Exemplos de dispositivos e de circuitos electrónicos que constituem diportos são os transístore junção bipolar e de efeito de campo, os amplificadores operacionais de tensão e de corrente, ouqualquer rede cujos acessos ao exterior verifiquem as condições acima referidas. Por exemplo,do transístor de junção bipolar representado na Figura 14.2, dois dos terminais de acesso enconem curto-circuito, constituindo assim um diporto com três terminais apenas.

Figura 14.2 Diporto com três terminais

Um diporto é caracterizado através de quatro coeficientes organizados numa matriz quadrada. Aconstitui o elo de ligação entre as variáveis independentes e dependentes nos dois portos, estabum conjunto de duas equações algébricas que definem todo o desempenho do circuito. Por exe

diporto pode ser caracterizado através de uma matriz de admitâncias

(

a qual pressupõe serem independentes as variáveis V1 e V2 e dependentes as correntes I1 e I2 n

As duas equações algébricas em (14.1) definem um modelo eléctrico equivalente de um diporto14.3). Outros pares de variáveis independentes conduzem a outras matrizes e outros modelos eequivalentes, sendo característica de todos eles o possuírem apenas quatro coeficientes e quatro

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APÊNDICE-B componentes, respectivamente.

Figura 14.3 Modelo eléctrico equivalente de um diporto

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15 Aplificador Operacional

Amplificador Operacional

Na parte final do capítulo anterior desenvolveram-se dois modelos eléctricos simplificados para osamplificadores de tensão e de corrente sem realimentação. Os modelos consideravam três elementosapenas: duas impedâncias, uma de entrada e outra de saída, e uma fonte de tensão ou de correntedependente. Na Figura 15.1.a redesenha-se o modelo eléctrico do amplificador de tensão então obtido

Figura 15.1 Amplificador de tensão: não ideal (a) e ideal (b)

A ligação de um amplificador a uma fonte de sinal e a uma carga envolve dois divisores de tensão qureduzem o ganho máximo obtenível. Referindo ao esquema eléctrico da Figura 15.1.b, verifica-se que

construção de uma cadeia de amplificação optimizada passa pelo recurso a amplificadores de tensão qgozem, pelo menos, das seguintes duas propriedades: impedância de entrada infinita, e impedância denula. Se a estas duas propriedades se juntarem um ganho de tensão infinito, a não dependência do mecom a frequência e a possibilidade de aplicar na entrada e obter na saída quaisquer valores de tensão, obtém-se aquilo que vulgarmente se designa por amplificador operacional ideal, ou AmpOp.

Apesar deste conjunto idealizado de propriedades, é um facto que o AmpOp ideal constitui uma boaaproximação do desempenho eléctrico de uma vasta gama de circuitos integrados utilizados na práticCom efeito, existem no mercado AmpOps cujo ganho ascende a 106, e cujas resistências de entrada e

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15 Aplificador Operacional

saída são, respectivamente, várias dezenas a centenas de MΩ e algumas unidades ou décimas de ohm

Os elevados ganho e resistência de entrada do AmpOp estão na origem do designado curto-circuito ventre nós, que em alguns casos particulares implementa uma massa virtual. Este operador possibilita realização de amplificadores de tensão cujo ganho depende apenas do cociente entre duas resistênciasamplificadores soma e diferença de sinais, circuitos integradores e diferenciadores de sinal, filtros,conversores corrente-tensão e tensão-corrente, conversores de impedâncias, circuitos rectificadores d

comparadores de tensão, etc.. Não é exagero afirmar que, na actualidade, o AmpOp constituiu o paraddominante no projecto de circuitos electrónicos analógicos.

Os amplificadores operacionais são constituídos por múltiplos componentes electrónicos e passivos,nomeadamente transístores, resistências e condensadores. No entanto, neste texto limita-se o estudo dAmpOp à identificação e utilização prática das propriedades dos seus terminais de acesso, deixando pum manual posterior o estudo detalhado da sua estrutura interna.

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Sebenta

Multimédia1 Grandezas

Eléctricas2 Componentes

Fundamentais dos Circuitos Eléctricos

3 Resistência Eléctrica

4 Leis de Kirchhoff

5 Métodos de Análise Sistemática de Circuitos

6 Teoremas Básicos dos Circuitos Eléctricos

7 Condensador e

Capacidade Eléctrica8 Bobina e

Indutância Electromagnética

9 Análise de Circuitos RC e RL de 1.ª Ordem

10 Análise de Circuitos RC , RL e RLC

de 2.ª Ordem11 Impedância

Eléctrica12 Análise da

Resposta em Frequência13 Bobinas

Acopladas e Transformadores

AmplificadorOperacional

Na parte final do capítulo anterior desenvolveram-se dois modelos eléctricossimplificados para os amplificadores de tensão e de corrente sem realimentaçãmodelos consideravam três elementos apenas: duas impedâncias, uma de entr

outra de saída, e uma fonte de tensão ou de corrente dependente. Na Figura 15redesenha-se o modelo eléctrico do amplificador de tensão então obtido.

Figura 15.1 Amplificador de tensão: não ideal (a) e ideal (b)

A ligação de um amplificador a uma fonte de sinal e a uma carga envolve doidivisores de tensão que reduzem o ganho máximo obtenível. Referindo ao esqeléctrico da Figura 15.1.b, verifica-se que a construção de uma cadeia de amp

optimizada passa pelo recurso a amplificadores de tensão que gozem, pelo meseguintes duas propriedades: impedância de entrada infinita, e impedância de nula. Se a estas duas propriedades se juntarem um ganho de tensão infinito, a dependência do mesmo com a frequência e a possibilidade de aplicar na entraobter na saída quaisquer valores de tensão, então obtém-se aquilo que vulgarmdesigna por amplificador operacional ideal, ou AmpOp.

Apesar deste conjunto idealizado de propriedades, é um facto que o AmpOp iconstitui uma boa aproximação do desempenho eléctrico de uma vasta gama dcircuitos integrados utilizados na prática. Com efeito, existem no mercado Am

cujo ganho ascende a 106

, e cujas resistências de entrada e de saída são,http://ltodi.est.ips.pt/lveriss/Sebenta_Online/cap_15/smace_15.htm (1 of 2)06-06-2005 12:35:52

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14 Diportos Eléctricos

15 Amplificador Operacional

16 Transferidor de Tensão e Corrente

APÊNDICE-A APÊNDICE-B

respectivamente, várias dezenas a centenas de MΩ e algumas unidades ou décohm.

Os elevados ganho e resistência de entrada do AmpOp estão na origem do descurto-circuito virtual entre nós, que em alguns casos particulares implementa umassa virtual. Este operador possibilita a realização de amplificadores de tensganho depende apenas do cociente entre duas resistências, amplificadores somdiferença de sinais, circuitos integradores e diferenciadores de sinal, filtros,conversores corrente-tensão e tensão-corrente, conversores de impedâncias, cirectificadores de sinal, comparadores de tensão, etc.. Não é exagero afirmar qactualidade, o AmpOp constituiu o paradigma dominante no projecto de circuelectrónicos analógicos.

Os amplificadores operacionais são constituídos por múltiplos componenteselectrónicos e passivos, nomeadamente transístores, resistências e condensadoentanto, neste texto limita-se o estudo do AmpOp à identificação e utilização das propriedades dos seus terminais de acesso, deixando para um manual postestudo detalhado da sua estrutura interna.

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16 Transferidor de Tensão-Corrente

Transferidor de Tensão e Corrente

Ao longo dos últimos anos têm vindo a ser introduzidos no mercado alguns blocos operacionais cujafuncionalidade é distinta daquela característica do AmpOp convencional. De entre estes operacionais

destaca-se o Transferidor de Tensão e Corrente (TTC)1

, cuja designação original em literatura anglo-saxónica é current-conveyor , leia-se transferidor ou transportador de corrente.

O Transferidor de Tensão e Corrente caracteriza-se por um conjunto de propriedades cuja utilidade dponto de vista prático não é em nada inferior àquela do AmpOp, senão mesmo superior. O TTC ébasicamente constituído por três portos de acesso, um dos quais é de entrada, outro de entrada ou de se outro ainda exclusivamente de saída. A aprendizagem das relações existentes entre as tensões e ascorrentes nos portos pode por vezes tornar a utilização inicial deste tipo de operacionais relativamentcomplexa, complexidade que no entanto é rapidamente compensada pela elevada gama de configuraçaplicações que possibilita. O TTC permite implementar de forma bastante simples conversores tensão

corrente, amplificadores de tensão e de corrente, seguidores de tensão e de corrente, amplificadores dinstrumentação de tensão e de corrente, somadores de sinais em modo de corrente, integradores ediferenciadores de tensão e de corrente, filtros activos, conversores de impedâncias, etc. Pode mesmose que o transferidor de tensão e corrente estabelece um paradigma alternativo ao do AmpOp, naturalcom as suas vantagens e os seus inconvenientes pontuais.

Os TTCs apresentam duas vantagens principais relativamente aos AmpOps: uma maior funcionalidaddesignadamente devido ao facto de disponibilizarem duas fontes controladas, uma de tensão e outra dcorrente, e a natureza não realimentada da maioria dos circuitos que implementam as funções básicasdois factos acarretam um grande número de consequências ao nível prático, designadamente um mennúmero de componentes necessários nas montagens e a extrema simplicidade da análise respectiva.

Tal como os AmpOps, os TTCs são construídos à base de transístores de junção bipolar ou de efeito dcampo. As limitações intrínsecas destes dispositivos reflectem-se ao nível das propriedades aos termiatribuindo-lhes assim um conjunto de características não ideais cujo conhecimento é crucial durante afases de projecto detalhado e de teste dos circuitos.

Convém também salientar o facto de no mercado existirem transferidores de tensão e corrente cujaspropriedades, número de terminais e designações são por vezes muito diferenciadas. Este facto pode

vezes conduzir os utilizadores a pensarem tratar-se de blocos distintos, sendo na realidade apenas varbem adaptadas à gama de aplicações visadas. Por exemplo, o TTC apresentado neste capítulo reflecteíntegra as propriedades dos integrados comercializados pela empresa LTP-Electronics, designados pocurrent-conveyor amplifiers, que no entanto apresentam um número de terminais inferior àquele doscircuitos integrados comercializados pela empresa MAXIM , designados por Wideband Transconducta

Amplifiers. Convém ainda referir o facto de por vezes certas montagens serem passíveis de realizaçãouma mas não com outra das variantes comercializadas, facto que de certo modo limita a generalidademontagens aqui introduzidas.

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16 Transferidor de Tensão-Corrente

1 Tradução do autor. À data da realização deste manual não se conheciam outras designações na LíngPortuguesa

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Sebenta Multimédia de Análise de Circuitos Eléctricos

Sebenta

Multimédia1 Grandezas

Eléctricas2 Componentes

Fundamentais dos Circuitos Eléctricos

3 Resistência Eléctrica

4 Leis de Kirchhoff

5 Métodos de Análise Sistemática de Circuitos

6 Teoremas Básicos dos Circuitos Eléctricos

7 Condensador e

Capacidade Eléctrica8 Bobina e

Indutância Electromagnética

9 Análise de Circuitos RC e RL de 1.ª Ordem

10 Análise de Circuitos RC , RL e RLC

de 2.ª Ordem11 Impedância

Eléctrica12 Análise da

Resposta em Frequência13 Bobinas

Acopladas e Transformadores

Transferidor de Tensãoe Corrente

Ao longo dos últimos anos têm vindo a ser introduzidos no mercado alguns bloperacionais cuja funcionalidade é distinta daquela característica do AmpOpconvencional. De entre estes operacionais destaca-se o Transferidor de Tensão

Corrente (TTC)1, cuja designação original em literatura anglo-saxónica é curr

conveyor , leia-se transferidor ou transportador de corrente.

O Transferidor de Tensão e Corrente caracteriza-se por um conjunto de propricuja utilidade do ponto de vista prático não é em nada inferior àquela do Ampsenão mesmo superior. O TTC é basicamente constituído por três portos de acum dos quais é de entrada, outro de entrada ou de saída, e outro ainda exclusivde saída. A aprendizagem das relações existentes entre as tensões e as correntportos pode por vezes tornar a utilização inicial deste tipo de operacionaisrelativamente mais complexa, complexidade que no entanto é rapidamente

compensada pela elevada gama de configurações e aplicações que possibilita.permite implementar de forma bastante simples conversores tensão e correnteamplificadores de tensão e de corrente, seguidores de tensão e de corrente,amplificadores de instrumentação de tensão e de corrente, somadores de sinaimodo de corrente, integradores e diferenciadores de tensão e de corrente, filtroactivos, conversores de impedâncias, etc. Pode mesmo dizer-se que o transfertensão e corrente estabelece um paradigma alternativo ao do AmpOp, naturalmcom as suas vantagens e os seus inconvenientes pontuais.

Os TTCs apresentam duas vantagens principais relativamente aos AmpOps: u

maior funcionalidade, designadamente devido ao facto de disponibilizarem dufontes controladas, uma de tensão e outra de corrente, e a natureza não realimda maioria dos circuitos que implementam as funções básicas. Estes dois factoacarretam um grande número de consequências ao nível prático, designadamemenor número de componentes necessários nas montagens e a extrema simplida análise respectiva.

Tal como os AmpOps, os TTCs são construídos à base de transístores de junçbipolar ou de efeito de campo. As limitações intrínsecas destes dispositivos rese ao nível das propriedades aos terminais, atribuindo-lhes assim um conjunto

características não ideais cujo conhecimento é crucial durante as fases de projdetalhado e de teste dos circuitos.

Convém também salientar o facto de no mercado existirem transferidores de tcorrente cujas propriedades, número de terminais e designações são por vezesdiferenciadas. Este facto pode por vezes conduzir os utilizadores a pensarem tde blocos distintos, sendo na realidade apenas variantes bem adaptadas à gamaplicações visadas. Por exemplo, o TTC apresentado neste capítulo reflecte naas propriedades dos integrados comercializados pela empresa LTP-Electronic

designados por current-conveyor amplifiers, que no entanto apresentam um n

de terminais inferior àquele dos circuitos integrados comercializados pela emphttp://ltodi.est.ips.pt/lveriss/Sebenta_Online/cap_16/smace_16.htm (1 of 2)06-06-2005 12:35:53

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Sebenta Multimédia de Análise de Circuitos Eléctricos

14 Diportos Eléctricos

15 Amplificador Operacional

16 Transferidor de Tensão e Corrente

APÊNDICE-A APÊNDICE-B

MAXIM , designados por Wideband Transconductance Amplifiers. Convém ainreferir o facto de por vezes certas montagens serem passíveis de realização comas não com outra das variantes comercializadas, facto que de certo modo limgeneralidade das montagens aqui introduzidas.

1

Tradução do autor. À data da realização deste manual não se conheciam outrdesignações na Língua Portuguesa

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16.1 Transferidor Ideal

16.1 Transferidor Ideal

Um transferidor de tensão e corrente é basicamente um circuito que implementa duas fontes controladuma de tensão controlada por tensão e outra de corrente controlada por corrente (Figura 16.1). Um TTcomposto por três portos de acesso: um porto de entrada (porto-Y ), um porto de entrada ou de saída (p

X ) e um porto exclusivamente de saída (porto- Z ).

Figura 16.1 Transferidor de tensão e corrente

Os portos gozam das seguintes propriedades:

(i) a corrente de entrada no porto-Y é nula, i y

=0;

(ii) a tensão no porto- X segue a tensão aplicada no porto-Y (v x

=v y

), definindo assim um

curto-circuito virtual;

(iii) a corrente no porto- Z é uma cópia daquela presente no porto- X (i z

=i x

), sendo em alguns

casos uma cópia amplificada por um factor k superior à unidade, tipicamente quatro ou oito.

Estas três propriedades resumem-se na seguinte frase: a tensão aplicada ao porto-Y é transferida para

porto- X , cuja corrente é transferida para o porto- Z . A sequência de controlo entre portos é, portanto, aseguinte: o porto-Y controla o porto- X e este o porto- Z .

Dado o maior número de fontes controladas implementadas, é de esperar que o transferidor de tensãocorrente transporte consigo um maior potencial de processamento de sinal quando comparado com oAmpOp convencional.

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16.2 Montagens Básicas

16.2 Montagens Básicas

Apesar da enorme variedade de circuitos que se podem realizar com TTCs, é possível distinguir seisconfigurações básicas que implementam outras tantas funções do processamento electrónico de sinaisseguimento de tensão ou de corrente, a conversão de tensão em corrente ou de corrente em tensão, e aamplificação de tensão ou de corrente.

16.2.1 Seguidor de Tensão

Considere-se na Figura 16.2 o esquema eléctrico de um seguidor de tensão implementado com base nTTC.

Figura 16.2 Seguidor de tensão

De acordo com as propriedades estabelecidas para o TTC, a tensão no porto- X segue na íntegra a tensaplicada no porto-Y ,

(16.1

exigindo-se apenas que o porto de saída em corrente ( Z ) se encontre ligado a um nó de baixa impedân(por exemplo a massa), por forma a garantir um caminho para a corrente por este fornecida.

16.2.2 Seguidor de Corrente

O circuito representado na Figura 16.3 implementa um seguidor de corrente.

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16.2 Montagens Básicas

Figura 16.3 Seguidor de corrente

As relações entre as tensões e as correntes nos três portos do transferidor são as seguintes:

(16.2

imposta pela ligação à massa do porto-Y , e

(16.3

neste caso definida pela fonte de corrente ligada ao porto- X . A extrema simplicidade deste circuitocontrasta com a complexidade da montagem equivalente implementado com base em AmpOps.

16.2.3 Conversor de Tensão em Corrente

Considere-se na Figura 16.4 o esquema eléctrico de um circuito conversor de tensão em corrente.

Figura 16.4 Conversor de tensão em corrente

Neste caso, a tensão é inicialmente transferida do porto-Y para o porto- X , seguidamente é convertida corrente através da resistência externa ligada ao porto- X e, finalmente, é replicada para o porto- Z . Ass

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16.2 Montagens Básicas

(16.4

16.2.4 Conversor de Corrente em Tensão

Um conversor de corrente em tensão implementa-se como se indica na Figura 16.5.

Figura 16.5 Conversor de corrente em tensão

Trata-se apenas de converter para tensão a corrente aplicada na entrada

(16.5

e seguidamente transferi-la para o porto- X

(16.6

16.2.5 Amplificador de Corrente

O circuito representado na Figura 16.6 implementa um amplificador de corrente cujo ganho é definidcociente entre as duas resistências R1 e R2.

Figura 16.6 Amplificador de corrente

A função destes dois componentes externos é a seguinte: a resistência R1 converte para tensão a corre

fonte de sinal,

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16.2 Montagens Básicas

(16.7

a resistência R2 converte para corrente a tensão transferida do porto-Y para o porto- X

(16.8

corrente que é finalmente transferida para porto- Z . A simplicidade deste circuito contrasta com acomplexidade do equivalente implementado com base em AmpOps.

16.2.6 Amplificador de Tensão

A realização de um amplificador de tensão exige a utilização de dois transferidores de tensão e corren(Figura 16.7): o primeiro para implementar a conversão para corrente do sinal em tensão na entrada, esegundo para efectuar a sua reconversão para tensão.

Figura 16.7 Amplificador de tensão

Referindo ao circuito representado na Figura 16.7, verifica-se que a corrente na saída do primeirotransferidor é

(16.9

a qual é seguidamente convertida para tensão pela resistência R2 e transferida para o porto- X 2 de acor

com as relações

(16.10

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16.2 Montagens Básicas

Como se pode constatar, a realização de um amplificador de tensão com base em TTCs é menos eficique a solução equivalente implementada a partir de ampops. Este resultado deve-se ao facto de o ampem si um amplificador de tensão, ao contrário do TTC que implementa apenas um seguidor de tensão

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16.3 Circuitos com Transferidores

16.3 Circuitos com Transferidores

Para além das montagens básicas introduzidas, o transferidor de tensão e corrente pode ser utilizado numamuito variada de aplicações de processamento de sinais, designadamente amplificadores de instrumentaçãosomadores de sinais em modo de corrente, integradores e diferenciadores em modo de corrente ou de tensã

conversores de impedâncias, filtros activos, etc. De seguida resumem-se algumas das aplicações mais comtransferidor.

16.3.1 Amplificador Diferencial

Na Figura 16.8 apresentam-se dois circuitos que implementam, respectivamente, um conversor de tensão ecorrente e um amplificador de tensão, ambos de instrumentação.

Figura 16.8 Conversor de tensão em corrente (a) e amplificador de tensão de instrumentação (b)

Em qualquer dos dois circuitos a corrente na resistência R1 é dada pelo cociente

(16.1

a qual de acordo com as propriedades do TTC é transferida para os portos- Z de saída. No caso particular damplificador de tensão, Figura 16.8.b, a resistência R2 e o transferidor a jusante implementam, respectivam

conversão corrente-tensão e a transferência respectiva para o porto- X . Quando comparada com a montagemequivalente realizada a partir de AmpOps convencionais (veja-se o amplificador de instrumentação estudacapítulo anterior), constata-se que a alternativa TTC requer um número bastante inferior de componentesexternos.

16.3.2 Somador

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16.3 Circuitos com Transferidores

A adição de sinais em modo de corrente pode ser efectuada recorrendo a qualquer um dos dois circuitosrepresentados na Figura 16.9. No primeiro caso adicionam-se as correntes directamente no porto- X de entrpasso que no segundo se efectua a adição dos fluxos de saída de múltiplos portos- Z . As ligações a tracejadindicam a possibilidade de os transferidores poderem encontrar-se ligados nas configurações de seguidor dcorrente ou de conversor tensão e corrente, podendo assim efectuar a soma mista de sinais em modo de coe em modo de tensão.

Figura 16.9 Somador

16.3.3 Integradores de Corrente e de Tensão

O transferidor de tensão e corrente permite implementar as funções de integração e de diferenciação em m

tensão e em modo de corrente.

Na Figura 16.10 representam-se dois circuitos que implementam as funções de integração em modo de cor(a) e em modo de tensão (b).

Figura 16.10 Integradores de corrente (a) e de tensão (b)

No circuito em (a), a tensão aplicada no porto-Y é transferida para o porto- X ,

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16.3 Circuitos com Transferidores

(16.1

de onde resultam as correntes nos portos- X e - Z

(16.1

na notação de Laplace, ou então

(16.14

no domínio do tempo. Ao contrário do integrador com AmpOps, este circuito disponibiliza o resultado sobforma de uma corrente.

O circuito alternativo representado na Figura 16.10.b implementa um integrador em modo de tensão. Nestea tensão na entrada é primeiramente transferida para o porto- X ; seguidamente é convertida para o modo decorrente pela resistência R e transferida para o porto- Z do primeiro TTC

(16.1

e finalmente é integrada pelo condensador (C ) e transferida no modo de tensão para o porto- X do segundo

(16.16

No domínio do tempo a expressão (16.16) corresponde à relação integral

(16.17

16.3.4 Diferenciadores de Corrente e de Tensão

Nas Figuras 16.11.a e 16.11.b representam-se dois circuitos diferenciadores, um de corrente, (a), e outro dtensão, (b). Considere-se primeiramente o circuito diferenciador de corrente. O fluxo do sinal é o seguinteconversão da corrente em tensão pela resistência R; transferência para o porto- X derivação com conversão

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16.3 Circuitos com Transferidores

modo de corrente pelo condensador C ; e, finalmente, transferência para o porto- Z de saída.

Figura 16.11 Diferenciadores de corrente (a) e de tensão (b)

Assim,

(16.1

que no domínio do tempo corresponde a

(16.1

No que respeita ao circuito diferenciador de tensão, Figura 16.11.b, pode facilmente demonstrar-se que

(16.2

e

(16.2

respectivamente na notação de Laplace e no domínio do tempo.

16.3.5 Conversores de Impedâncias

A função de um conversor de impedâncias é alterar o valor nominal aparente de um componente, por exemtrocar o sinal de uma resistência ou simular a característica tensão e corrente de uma bobina.

Na Figura 16.12 representam-se dois circuitos que implementam uma resistência negativa.

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16.3 Circuitos com Transferidores

Figura 16.12 Resistência negativa

No primeiro caso, Figura 16.12.a, a tensão no porto- X é imposta pelo porto-Y ao valor

(16.2

a qual indica tratar-se de uma resistência negativa,

(16.2

À semelhança do resultado anterior, é fácil verificar que no caso do circuito representado na Figura 16.12.

(16.24

igualdade na qual se inscreve a resistência negativa

(16.2

O princípio apenas introduzido pode ser utilizado na simulação da característica tensão e corrente de uma bConsidere-se então o circuito representado na Figura 16.13, constituído por três blocos transferidores e divresistências e condensadores.

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16.3 Circuitos com Transferidores

Figura 16.13 Bobina com um terminal ligado à massa

Uma vez que a impedância de entrada do circuito é dada pelo cociente

(16.2

verifica-se então que

(16.27

ou ainda

(16.2

Do ponto de vista funcional, o circuito representado na Figura 16.13 é equivalente a uma bobina cujo coefde auto-indução é L=CR1 R2, tendo no entanto um dos seus terminais ligado à massa.

16.3.6 Filtros Activos

O transferidor de tensão e corrente permite realizar filtros eléctricos nos modos de corrente, de tensão e miEm face da grande variedade de estruturas de filtros possíveis, esta secção limita-se apenas a indicar algumarquitecturas existentes.

Na Figura 16.14 consideram-se três filtros com funções de transferência variadas: em (a) um filtro passa-aprimeira ordem em modo misto de tensão e corrente; em (b) um filtro passa-banda de segunda ordem em mde tensão; e, finalmente, em (c) um filtro passa-baixo de segunda ordem em modo de corrente.

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16.3 Circuitos com Transferidores

Figura 16.14 Filtros activos de 1.ª ordem passa-alto (a), de 2.ª ordem passa-banda (b) e de 2.ª ordem passa(c)

No primeiro filtro a função de transferência é

(16.2

a qual indica tratar-se de um filtro passa-alto com um zero na origem e um pólo à frequência ω p

=1/ RC .

A função de transferência do filtro passa-banda (Figura 16.13.b) obtém-se a partir do sistema de equações

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16.3 Circuitos com Transferidores

(16.3

as quais resultam da aplicação da Lei de Kirchhoff das correntes ao nó do condensador C 1, ao nó de saída,

ao porto- X do transferidor-1, respectivamente. O cociente entre as tensões nos portos de saída e de entradafiltro é neste caso

(16.3

Finalmente, o filtro em modo misto de tensão e corrente representado na Figura 16.14.c apresenta uma fun

transferência do tipo passa-baixo de segunda ordem,

(16.3

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16.4 Parâmetros Reais dos Transferidores

16.4 Parâmetros Reais dos Transferidores

Os transferidores de tensão e corrente reais caracterizam-se por um conjunto de parâmetros que degrade forma irreversível o desempenho idealizado. Os parâmetros que do ponto de vista prático maisinteressam os projectistas são as resistências de entrada ou de saída dos três portos de acesso, oscoeficientes de transferência de tensão-tensão e de corrente-corrente entre portos, a frequência máximoperação, e as tensões e correntes de desvio e de polarização nos portos.

16.4.1 Erros de Transferência e Resistências de Entrada e de Saída

Na Figura 16.15 apresenta-se um modelo do transferidor de tensão e corrente mais consentâneo com realidade.

Figura 16.15 Modelo eléctrico do transferidor de tensão e corrente

De acordo com este modelo, os três portos de acesso caracterizam-se pelos seguintes parâmetros:

(i) a resistência de entrada do porto-Y é finita, tipicamente alguns MΩ;

(ii) a resistência de saída da fonte de tensão controlada no porto- X não é nula, sendotipicamente da ordem de algumas décimas a unidades de ohm;

(iii) a resistência de saída da fonte de corrente controlada no porto- Z não é infinita, sendo

mesmo em alguns casos apenas algumas unidades de kΩ;

(iv) os coeficientes de transferência entre portos não são exactamente unitários,apresentando em geral erros que podem ascender a 1%.

Considere-se então na Figura 16.16 o exemplo de um circuito conversor de tensão em corrente cujo Tcaracteriza pelo modelo não ideal apenas introduzido (Figura 16.16.b).

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16.4 Parâmetros Reais dos Transferidores

Figura 16.16 Conversor de tensão em corrente

De acordo com este pressuposto, a função de transferência do circuito é afectado por múltiplos erros,designadamente:

(i) um erro de acoplamento entre a fonte de sinal e o porto-Y ;

(ii) um erro induzido pela resistência de saída do porto- X ;

(iii) um erro induzido pelo divisor de corrente no porto- Z ;

(iv) erros de transferência entre portos, nomeadamente entre o porto-Y e o porto- X , e entreeste e o porto- Z .

Tendo em conta o esquema eléctrico representado na Figura 16.16.b, pode facilmente demonstrar-se cociente entre a corrente na carga e a tensão na entrada é

(16.33

o qual naturalmente difere do valor ideal 1/ R1. Admitindo valores típicos para os parâmetros do

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16.4 Parâmetros Reais dos Transferidores

transferidor, por exemplo Riy

=100 kΩ, Rox

=10 Ω, Roz

=1 MΩ e ε x

=ε y

=0.01, em conjunto com uma

resistência de conversão R1=1 kΩ, uma fonte de sinal de 600 Ω e uma carga de 600 Ω, obtém-se

mS (16.34

em contraste com valor ideal de 1 mS. O erro de conversão resulta da ordem de 2.5%.

16.4.2 Erros de Desvio e de Polarização

O desempenho dos transferidores de tensão e corrente é também limitado por um conjunto de parâmeconhecidos como erros de desvio e de polarização. Os erros de desvio são geralmente aleatórios deintegrado para integrado e dependem do melhor ou pior emparelhamento entre os transístores no seuinterior. Os TTC são em geral dotados de um terminal de ajuste do erro de desvio. Os erros de desvio

podem ser de corrente como de tensão. Por exemplo, existem transferidores de tensão e corrente quedebitam uma corrente de desvio da ordem dos 30 µA no porto- Z quando se impõe a igualdade v x

=v y

=

apresentam uma corrente nula quando entre os portos-Y e - X se aplica uma tensão de alguns mV. Noprimeiro caso trata-se da corrente de desvio do porto- Z , ao passo que no segundo se trata da tensão dedesvio entre os portos-Y e - X .

Ao contrário dos anteriores, os erros de polarização devem-se essencialmente ao facto de os transístobipolares exigirem uma corrente não nula na base. Como tal, a principal consequência deste facto é apresença de uma corrente não nula no porto-Y , independentemente da existência ou não de sinal aplicEm alguns dos integrados existentes no mercado estas correntes podem atingir as dezenas de µA.

16.4.3 Largura de Banda

A largura de banda é o principal parâmetro que limita o desempenho em frequência dos TTC. A largubanda neste tipo de operacionais é em geral especificada através da frequência a partir da qual oscoeficientes de transferência entre portos se reduzem a 1/ √ 2 (-3 dB) do seu valor máximo. De acordoesta definição, existem no mercado transferidores de tensão e corrente cuja largura de banda ascende várias centenas de MHz, tipicamente 100 a 250 MHz.

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Sumário

Sumário

O transferidor de tensão e corrente constitui um bloco operacional alternativo ao AmpOp. O transferiideal implementa duas fontes controladas: uma de tensão controlada por tensão e outra de correntecontrolada por corrente. Dado o maior número de fontes controladas implementadas, o transferidor detensão e corrente apresenta-se como um bloco operacional cuja versatilidade é comparável, senão mesuperior, à do AmpOp.

O transferidor permite realizar conversores de tensão em corrente e de corrente em tensão, amplificadde tensão e de corrente, seguidores de tensão e de corrente, amplificadores de instrumentação de tenscorrente, somadores, integradores e diferenciadores em modo de tensão e em modo de corrente, filtroconversores de impedâncias, etc.

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Exercícios de Aplicação

Exercícios de Aplicação

*16.1 Considere os circuitos representados na Figura E16.1. No caso representado em:

(a) determine a relação entre a corrente io

e a tensão e a corrente vs

e is

(b) determine a relação entre a corrente vo

e as tensões vs1, v

s2 … vsk

no

(c) determine a relação entre a corrente io e a palavra digital inscrita nos bit b1, b2, b3 e b4.

(d) determine a relação entre a corrente io e a tensão v

s.

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Exercícios de Aplicação

Figura E16.1

*16.2 Considere os dois circuitos representados na Figura E16.2. Mostre que entre as tensões vo

e vs

e entr

correntes i

o

e i

s

existe uma relação de integração.

Figura E16.2

*16.3 Mostre que entre as tensões vo

e vs

e entre as correntes ioe i

snos circuitos representados na Figura E1

existe uma relação de diferenciação.

Figura E16.3

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Exercícios de Aplicação

*16.4 Mostre que do ponto de vista dos terminais de entrada indicados o circuito representado na Figura Eimplementa um conversor negativo de impedâncias, isto é, Z

i=-Z.

Figura E16.4

*16.5 Considere os dois circuitos representados na Figura E16.5: (a) mostre que as impedâncias de entradaindicadas (Zi) são dadas pelas expressões Z

i=-Z1Z2 /Z3 e Z

i=Z1Z2 /Z3 respectivamente; (b) mostre que no c

que Z1= R1, Z2= R2 e Z3=1/ sC os dois circuitos implementam bobinas cujos valores nominais são,

respectivamente, L=-R1 R2C e L= R1 R2C ; (c) mostre que no caso em que Z1=1/ sC , Z2= R2 e Z3= R3 os dois

circuitos implementam resistências cujo valor nominal depende do quadrado da frequência angular.

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Exercícios de Aplicação

Figura E16.5

*16.6 Mostre que no circuito da Figura E16.6 a função de transferência Vo(s)/V

s(s) implementa um filtro p

baixo de segunda ordem.

Figura E16.6

*16.7 A empresa MAXIM comercializa dois circuitos integrados designados por wideband transconductan

amplifiers que na prática implementam funções semelhantes às do transferidor de tensão-corrente introduzlongo deste capítulo. Nas Figuras E16.7.a e E16.7.b indicam-se os símbolos e as relações entre as variáveitensão e corrente eléctrica aos terminais do circuito. De acordo com estes pressupostos, determine para caddos circuitos representados nas Figuras E16.7.c a E.16.7.g qual a função implementada e a relação ou funçtransferência entre as grandezas indicadas.

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Exercícios de Aplicação

Figura E16.7

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APÊNDICE-A

APÊNDICE-A

Código de Identificação de Resistências

A informação relativa ao valor nominal e à tolerância de uma resistência discreta encontra-se regra gegravada no invólucro sob a forma de números, bandas ou pontos coloridos. No entanto, de todos estesistemas alternativos o das bandas coloridas é aquele de maior divulgação entre os fabricantes decomponentes, em particular nas resistências de aglomerado de grafite, vulgo de carvão.

O código de cores varia conforme as resistências sejam normais ou de precisão: as resistências normacodificadas com quatro bandas, ao passo que as de precisão são codificadas com base num código de bandas. O significado de cada banda é indicado nas Tabelas A3.1 e A3.2. Convém notar que a mesmapode ter significados diferentes consoante a resistência seja de precisão ou normal.

Nas resistências normais, o significado de cada banda é o seguinte:

q a 1ª e a 2ª bandas indicam os dois primeiros algarismos do valor nominal da resistência, N1 e

q a 3ª banda indica o factor multiplicativo do valor nominal da resistência, que pode ser 10-2, 1010, 100, . . ., 109;

q a 4ª banda indica a tolerância do valor nominal da resistência, a qual pode tomar valores típic1%, 2%, 5%, 10% e 20%.

COR 1ª BANDA 2ª BANDA 3ª BANDA 4ª BANDApreto - 0 1 -

castanho 1 1 10 ± 1%

vermelho 2 2 102 ± 2%

laranja 3 3 103 -

amarelo 4 4 104 -

verde 5 5 105 -

azul 6 6 106 -

violeta 7 7 107 -

cinzento 8 8 - -

branco 9 9 - -

prata - - 10-2 ± 5%

ouro - - 10-1 ± 10%

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APÊNDICE-A

- - - - ± 20%

Tabela A3.1 Código de cores das resistências normais (4 bandas)

Na Figura A3.1 apresenta-se o exemplo de uma resistência normal cujas bandas apresentam as seguincores:

1ª banda: verde (5)

2ª banda: azul (6)

3ª banda: vermelho (2 => 102)

4ª banda: dourado (10%)

Figura A3.1 Resistência de carvão de normal

Estas bandas codificam a informação relativa a uma resistência de 5,6 kΩ e 10% de tolerância, portancom um valor nominal compreendido entre 5,04 kΩ e 6,16 kΩ.

COR 1ª BANDA 2ª BANDA 3ª BANDA 4ª BANDA 5ª BANDA

preto - 0 0 1 -

castanho 1 1 1 10 ± 1%

vermelho 2 2 2 102 ± 2%

laranja 3 3 3 103 -amarelo 4 4 4 104 -

verde 5 5 5 105 ± 0.5%

azul 6 6 6 106 -

violeta 7 7 7 107 -

cinzento 8 8 8 - -

branco 9 9 9 - -

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APÊNDICE-A

prata - - - 10-2 -

ouro - - - 10-1 ± 5%

- - - - - -

Tabela A3.2 Código de cores das resistências de precisão (5 bandas)

Nas resistências de precisão o significado de cada uma das cinco bandas é o seguinte:

q a 1ª, 2ª e 3ª bandas indicam os três primeiros algarismos do valor nominal da resistência, N1,

N3, respectivamente;

q a 4ª banda indica o factor multiplicativo do valor nominal da resistência, que pode ser 10-2, 1010, 100, . . ., 109;

q a 5ª banda indica a tolerância do valor nominal da resistência, que neste caso pode ser 0.5%, 12% e 5%.

Na Figura A.3.2 apresenta-se o exemplo de uma resistência de precisão cujas bandas apresentam asseguintes cores:

1ª banda: castanho (1)

2ª banda: preto (0)

3ª banda: preto (0)

4ª banda: castanho (1 => 101)

5ª banda: dourado (5%)

Figura A3.2 Resistência de carvão de precisão normal

Trata-se assim de uma resistência de 1 kΩ e 5% de tolerância.

Na Tabela A3.3 indica-se a gama completa dos valores nominais estandardizados para as resistênciascarvão. A chave para a interpretação da tabela é a seguinte:

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APÊNDICE-A

(i) a gama com tolerância de 5% existe para todos os valores indicados;

(ii) a gama com tolerância de 10% só existe para os valores sublinhados;

(iii) a gama com tolerância de 20% só existe para os valores a cheio.

OHMS KILO OHMS MEGA OHMS

0.1 1.0 10 100 1.0 10 100 1.0 10

0.11 1.1 11 110 1.1 11 110 1.1 11

0.12 1.2 12 120 1.2 12 120 1.2 12

0.13 1.3 13 130 1.3 13 130 1.3 13

0.15 1.3 13 130 1.3 13 130 1.3 13

0.16 1.6 16 160 1.6 16 160 1.6 16

0.18 1.8 18 180 1.8 18 180 1.8 18

0.20 2.0 20 200 2.0 20 200 2.0 20

0.22 2.2 22 220 2.2 22 220 2.2 22

0.24 2.4 24 240 2.4 24 240 2.4 -

0.27 2.7 27 270 2.7 27 270 2.7 -

0.30 3.0 30 300 3.0 30 300 3.0 -

0.33 3.3 33 330 3.3 33 330 3.3 -

0.36 3.6 36 360 3.6 36 360 3.6 -0.39 3.9 39 390 3.9 39 390 3.9 -

0.43 4.3 43 430 4.3 43 430 4.3 -

0.47 4.7 47 470 4.7 47 470 4.7 -

0.51 5.1 51 510 5.1 51 510 5.1 -

0.56 5.6 56 560 5.6 56 560 5.6 -

0.62 6.2 62 620 6.2 62 620 6.2 -

0.68 6.8 68 680 6.8 68 680 6.8 -0.75 7.5 75 750 7.5 75 750 7.5 -

0.82 8.2 82 820 8.2 82 820 8.2 -

0.91 9.1 91 910 9.1 91 910 9.1 -

Tabela A3.3 Gama completa de resistências de carvão

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Sebenta Multimédia de Análise de Circuitos Eléctricos

Sebenta

Multimédia1 Grandezas

Eléctricas2 Componentes

Fundamentais dos Circuitos Eléctricos

3 Resistência Eléctrica

4 Leis de Kirchhoff

5 Métodos de Análise Sistemática de Circuitos

6 Teoremas Básicos dos Circuitos Eléctricos

7 Condensador e

Capacidade Eléctrica8 Bobina e

Indutância Electromagnética

9 Análise de Circuitos RC e RL de 1.ª Ordem

10 Análise de Circuitos RC , RL e RLC

de 2.ª Ordem11 Impedância

Eléctrica12 Análise da

Resposta em Frequência13 Bobinas

Acopladas e Transformadores

APÊNDICE-A

Código de Identificação de Resistências

A informação relativa ao valor nominal e à tolerância de uma resistência discrencontra-se regra geral gravada no invólucro sob a forma de números, bandaspontos coloridos. No entanto, de todos estes três sistemas alternativos o das bacoloridas é aquele de maior divulgação entre os fabricantes de componentes, eparticular nas resistências de aglomerado de grafite, vulgo de carvão.

O código de cores varia conforme as resistências sejam normais ou de precisãresistências normais são codificadas com quatro bandas, ao passo que as de prsão codificadas com base num código de cinco bandas. O significado de cada indicado nas Tabelas A3.1 e A3.2. Convém notar que a mesma cor pode ter

significados diferentes consoante a resistência seja de precisão ou normal.

Nas resistências normais, o significado de cada banda é o seguinte:

q a 1ª e a 2ª bandas indicam os dois primeiros algarismos do valor nomiresistência, N1 e N2;

q a 3ª banda indica o factor multiplicativo do valor nominal da resistêncpode ser 10-2, 10-1, 1, 10, 100, . . ., 109;

q a 4ª banda indica a tolerância do valor nominal da resistência, a qual ptomar valores típicos de 1%, 2%, 5%, 10% e 20%.

COR 1ª BANDA 2ª BANDA 3ª BANDA 4ª BANDA

preto - 0 1 -

castanho 1 1 10 ± 1%

vermelho 2 2 102 ± 2%

laranja 3 3 103 -

amarelo 4 4 104 -

verde 5 5 105 -azul 6 6 106 -

violeta 7 7 107 -

cinzento 8 8 - -

branco 9 9 - -

prata - - 10-2 ± 5%

ouro - - 10-1 ± 10%

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Sebenta Multimédia de Análise de Circuitos Eléctricos

14 Diportos Eléctricos

15 Amplificador Operacional

16 Transferidor de Tensão e Corrente

APÊNDICE-A APÊNDICE-B

- - - - ± 20%

Tabela A3.1 Código de cores das resistências normais (4 bandas)

Na Figura A3.1 apresenta-se o exemplo de uma resistência normal cujas bandapresentam as seguintes cores:

1ª banda: verde (5)

2ª banda: azul (6)

3ª banda: vermelho (2 => 102)

4ª banda: dourado (10%)

Figura A3.1 Resistência de carvão de normal

Estas bandas codificam a informação relativa a uma resistência de 5,6 kΩ e 10

tolerância, portanto com um valor nominal compreendido entre 5,04 kΩ e 6,1

COR 1ª BANDA 2ª BANDA 3ª BANDA 4ª BANDA 5ª BAND

preto - 0 0 1 -

castanho 1 1 1 10 ± 1%

vermelho 2 2 2 102 ± 2%

laranja 3 3 3 103 -

amarelo 4 4 4 104 -

verde 5 5 5 105 ± 0.5%

azul 6 6 6 106 -

violeta 7 7 7 107 -

cinzento 8 8 8 - -

branco 9 9 9 - -

prata - - - 10-2 -

ouro - - - 10-1 ± 5%

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- - - - - -

Tabela A3.2 Código de cores das resistências de precisão (5 bandas)

Nas resistências de precisão o significado de cada uma das cinco bandas é o se

q a 1ª, 2ª e 3ª bandas indicam os três primeiros algarismos do valor nom

resistência, N1, N2 e N3, respectivamente;q a 4ª banda indica o factor multiplicativo do valor nominal da resistênc

pode ser 10-2, 10-1, 1, 10, 100, . . ., 109;q a 5ª banda indica a tolerância do valor nominal da resistência, que nes

pode ser 0.5%, 1%, 2% e 5%.

Na Figura A.3.2 apresenta-se o exemplo de uma resistência de precisão cujas apresentam as seguintes cores:

1ª banda: castanho (1)

2ª banda: preto (0)

3ª banda: preto (0)

4ª banda: castanho (1 => 101)

5ª banda: dourado (5%)

Figura A3.2 Resistência de carvão de precisão normal

Trata-se assim de uma resistência de 1 kΩ e 5% de tolerância.

Na Tabela A3.3 indica-se a gama completa dos valores nominais estandardizaas resistências de carvão. A chave para a interpretação da tabela é a seguinte:

(i) a gama com tolerância de 5% existe para todos os valores indicado

(ii) a gama com tolerância de 10% só existe para os valoressublinhados;

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(iii) a gama com tolerância de 20% só existe para os valores a cheio.

OHMS KILO OHMS MEGA OHMS

0.1 1.0 10 100 1.0 10 100 1.0 10

0.11 1.1 11 110 1.1 11 110 1.1 11

0.12 1.2 12 120 1.2 12 120 1.2 12

0.13 1.3 13 130 1.3 13 130 1.3 13

0.15 1.3 13 130 1.3 13 130 1.3 13

0.16 1.6 16 160 1.6 16 160 1.6 16

0.18 1.8 18 180 1.8 18 180 1.8 18

0.20 2.0 20 200 2.0 20 200 2.0 20

0.22 2.2 22 220 2.2 22 220 2.2 22

0.24 2.4 24 240 2.4 24 240 2.4 -

0.27 2.7 27 270 2.7 27 270 2.7 -0.30 3.0 30 300 3.0 30 300 3.0 -

0.33 3.3 33 330 3.3 33 330 3.3 -

0.36 3.6 36 360 3.6 36 360 3.6 -

0.39 3.9 39 390 3.9 39 390 3.9 -

0.43 4.3 43 430 4.3 43 430 4.3 -

0.47 4.7 47 470 4.7 47 470 4.7 -

0.51 5.1 51 510 5.1 51 510 5.1 -

0.56 5.6 56 560 5.6 56 560 5.6 -

0.62 6.2 62 620 6.2 62 620 6.2 -

0.68 6.8 68 680 6.8 68 680 6.8 -

0.75 7.5 75 750 7.5 75 750 7.5 -

0.82 8.2 82 820 8.2 82 820 8.2 -

0.91 9.1 91 910 9.1 91 910 9.1 -

Tabela A3.3 Gama completa de resistências de carvão

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APÊNDICE-B

APÊNDICE-B

Matrizes e Determinantes

B.1 Matrizes

Uma matriz é um agregado de números, coeficientes ou funções dispostos em linhas e colunas

(B.1

os quais são designados por elementos da matriz e representados por aij. Os índices i e j indicam,

respectivamente, a linha e a coluna em que o elemento aij

se encontra na matriz.

Uma matriz com m linhas e n colunas é dita rectangular de ordem (m*n), ao passo que uma matriz nam=n é dita quadrada. Uma matriz com uma só coluna é designada por vector coluna

(B.2

e uma matriz com uma só linha é designada por vector linha

(B.3

As matrizes cujos elementos verificam a igualdade aij=a

jisão designadas por simétricas.

As matrizes da mesma ordem podem ser somadas ou subtraídas elemento a elemento

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APÊNDICE-B

(B.4

operações que verificam seja a propriedade da comutatividade

A + B = B + A (B.5

seja a da associatividade

(A + B) + C = A + (B + C) (B.6

O produto de matrizes só é possível nos casos em que estas verificam a relação entre ordens

C(m*n) = A(m*r) * B(r*n) (B.7

isto é, a matriz A possui o mesmo número de colunas que o número de linhas da matriz B, tendo a maproduto, C , um número de linhas e de colunas igual a, respectivamente, o número de linhas da matriznúmero de colunas da matriz B. O produto de duas matrizes efectua-se de acordo com a seguinte regr

(B.8

é equivalente a

p = a11 x + a12 y + a13 z (B.9

q = a21 x + a22 y + a23 z (B.10

r = a31 x + a32 y + a33 z (B.1

B.2 Determinantes

Um determinante é um agregado de números, coeficientes ou funções dispostos em linhas e colunas eutilizado na resolução de sistemas de equações,

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APÊNDICE-B

(B.12

Por exemplo, os determinantes das matrizes de ordem (2*2) e (3*3) são dados por

(B.13

e por

(B.14

respectivamente. Em geral, a expressão do determinante de uma matriz (n*n) é obtido a partir do cálcdos cofactores e dos menores. O menor m

ijé o determinante de uma matriz à qual foram retiradas a li

a coluna j. Por exemplo, no caso do determinante de uma matriz (3*3), os menores m11, m12 e m13 sã

dados por

(B.15

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APÊNDICE-B

(B.16

(B.17

respectivamente. Por outro lado, os cofactores C ij

são dados por

C ij

= (-1)(i+j)mij

(B.18

A regra de cálculo do determinante de uma matriz (n*n) é

(B.19

em que j é uma qualquer das n colunas da matriz. Por exemplo, no caso de uma matriz (3*3)

∆ = a11c11 + a21c21 + a31c31

= a11 ( a22a33 - a32a23)(-1)2 + a21(a12a33 - a32a13)(-1)3 + a31(a12a23 - a22a13)(-1)4 (B.20

Um sistema de n equações a n variáveis

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APÊNDICE-B

vs1 = a11i1 + a12i2 + . . . + a1n

in

vs2 = a21i1 + a22i2 + . . . + a2n

in

... ... ... ...

vsn = an1i1 + an2i2 + . . . + annin

(B.2

pode ser representado com base numa relação matricial

(B.22

As expressões das soluções iido sistema são dadas pela regra de Cramer

(B.23

em que ∆irepresenta o determinante da matriz quando a coluna i é substituída pelo vector coluna [v

s]

exemplo, considerando o caso particular de um sistema de três equações, as soluções i1 , i2 e i3 são da

(B.24

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APÊNDICE-B

(B.25

(B.26

respectivamente.

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Sebenta Multimédia de Análise de Circuitos Eléctricos

Sebenta Multimédia

1 Grandezas Eléctricas

2 Componentes Fundamentais dos Circuitos Eléctricos

3 Resistência Eléctrica

4 Leis de Kirchhoff

5 Métodos de Análise Sistemática de Circuitos

6 Teoremas Básicos dos Circuitos Eléctricos

7 Condensador e Capacidade Eléctrica

8 Bobina e Indutância Electromagnética

9 Análise de Circuitos RC e RL de 1.ª Ordem

10 Análise de Circuitos RC , RL e RLC de 2.ª Ordem

11 Impedância Eléctrica

12 Análise da Resposta em Frequência

13 Bobinas Acopladas e Transformadores

14 Diportos Eléctricos

15 Amplificador

APÊNDICE-B

Matrizes e Determinantes

B.1 Matrizes

Uma matriz é um agregado de números, coeficientes ou funções dispostos em linhas

os quais são designados por elementos da matriz e representados por aij. Os índices i

indicam, respectivamente, a linha e a coluna em que o elemento aij

se encontra na m

Uma matriz com m linhas e n colunas é dita rectangular de ordem (m*n), ao passo qumatriz na qual m=n é dita quadrada. Uma matriz com uma só coluna é designada porcoluna

e uma matriz com uma só linha é designada por vector linha

As matrizes cujos elementos verificam a igualdade aij=a

jisão designadas por simétr

As matrizes da mesma ordem podem ser somadas ou subtraídas elemento a elemento

operações que verificam seja a propriedade da comutatividade

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Operacional16 Transferidor de

Tensão e Corrente APÊNDICE-A APÊNDICE-B

A + B = B + A

seja a da associatividade

(A + B) + C = A + (B + C)

O produto de matrizes só é possível nos casos em que estas verificam a relação entre

C(m*n) = A(m*r) * B(r*n)

isto é, a matriz A possui o mesmo número de colunas que o número de linhas da mattendo a matriz produto, C , um número de linhas e de colunas igual a, respectivamentnúmero de linhas da matriz A e o número de colunas da matriz B. O produto de duasefectua-se de acordo com a seguinte regra:

é equivalente a

p = a11 x + a12 y + a13 z

q = a21 x + a22 y + a23 z (B

r = a31 x + a32 y + a33 z (B

B.2 Determinantes

Um determinante é um agregado de números, coeficientes ou funções dispostos em lcolunas e é utilizado na resolução de sistemas de equações,

(B

Por exemplo, os determinantes das matrizes de ordem (2*2) e (3*3) são dados por

(B

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e por

respectivamente. Em geral, a expressão do determinante de uma matriz (n*n) é obtiddo cálculo dos cofactores e dos menores. O menor m

ijé o determinante de uma matr

foram retiradas a linha i e a coluna j. Por exemplo, no caso do determinante de uma m(3*3), os menores m11, m12 e m13 são dados por

(B

(B

(B

respectivamente. Por outro lado, os cofactores C ij

são dados por

C ij

= (-1)(i+j)m

ij(B

A regra de cálculo do determinante de uma matriz (n*n) é

(B

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em que j é uma qualquer das n colunas da matriz. Por exemplo, no caso de uma matr

∆ = a11c11 + a21c21 + a31c31

= a11 ( a22a33 - a32a23)(-1)2 + a21(a12a33 - a32a13)(-1)3 + a31(a12a23 -

a22a13)(-1)4

(B

Um sistema de n equações a n variáveis

vs1 = a11i1 + a12i2 + . . . + a1n

in

vs2 = a21i1 + a22i2 + . . . + a2n

in

... ... ... ...

vsn

= an1i1 + a

n2i2 + . . . + ann

in

(B

pode ser representado com base numa relação matricial

(B

As expressões das soluções iido sistema são dadas pela regra de Cramer

(B

em que ∆i representa o determinante da matriz quando a coluna i é substituída pelo vcoluna [v

s]. Por exemplo, considerando o caso particular de um sistema de três equaç

soluções i1 , i2 e i3 são dadas por

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(B

(B

(B

respectivamente.

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15.1 AmpOp Ideal

15.1 AmpOp Ideal

O AmpOp ideal constitui um modelo simplificado de um amplo conjunto de amplificadores de tensãoactualmente existentes no mercado. Caracteriza-se pelas seguintes quatro propriedades (Figura 15.2):

(i) impedância de entrada infinita;

(ii) impedância de saída nula;

(iii) ganho de tensão infinito;

(iv) ausência de qualquer limitação em frequência e em amplitude.

Figura 15.2 AmpOp ideal

A principal consequência do conjunto de propriedades apenas enunciado é, na prática, a possibilidadeestabelecer um curto-circuito virtual entre os dois terminais de entrada do AmpOp. Com efeito, a exisde uma tensão finita na saída só é compatível com um ganho infinito desde que a diferença de potencentre os dois terminais de entrada seja nula. A natureza virtual deste curto-circuito deve-se à coexistêde uma igualdade entre tensões sem ligação física entre terminais. Na Figura 15.3 ilustra-se o significprático de um curto-circuito virtual.

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15.1 AmpOp Ideal

Figura 15.3 Curto-circuito e massa virtual

Por exemplo, no caso da montagem em (a) a relação entre as tensões nos nós é

(15.1

isto é, a tensão na saída do AmpOp segue a da fonte de sinal aplicada na entrada. Por outro lado, no cmontagem representada em (b) verifica-se que

(15.2

ou seja, que o terminal negativo do amplificador se encontra ao nível da massa, sem no entanto se encfisicamente ligado a ela. Diz-se então que o terminal negativo do amplificador operacional constitui umassa virtual.

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15.2 Montagens Básicas

15.2 Montagens Básicas

O AmpOp é vulgarmente utilizado em duas configurações básicas: a montagem inversora e a montagnão-inversora. Os circuitos estudados neste capítulo constituem todos eles ou variações ou combinaçõdestas duas configurações básicas.

No que respeita às metodologias de análise de circuitos com AmpOps, existem basicamente as seguinduas alternativas:

(i) uma que assume a presença de um curto-circuito virtual entre os dois terminais deentrada do AmpOp (em conjunto com correntes nulas de entrada);

(ii) e uma outra que considera o AmpOp como uma fonte de tensão controlada por tensão eutiliza as metodologias convencionais de análise de circuitos.

Adiante se verá que a primeira metodologia é de mais simples aplicação aos circuitos com AmpOps iao contrário da segunda, que se destina essencialmente à análise de circuitos com AmpOps reais, nestcom limitações em ganho, frequência, e impedâncias de entrada e de saída.

15.2.1 Montagem Inversora

Considere-se na Figura 15.4.a o esquema eléctrico da montagem inversora do AmpOp.

Figura 15.4 Montagem inversora

Tendo em conta o facto da existência de um curto-circuito virtual entre os dois terminais de entrada, o

implica a igualdade v+

=v-=0, e ainda o facto de as correntes nos nós de entrada serem nulas, i

-=i

+=0

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15.2 Montagens Básicas

verifica-se então que

(15.3

e que, portanto,

(15.4

Como tal, o ganho de tensão da montagem é dado por

(15.5

o qual é apenas função do cociente entre os valores das resistências R2 e R1.

O método alternativo de análise consiste em substituir o AmpOp por uma fonte de tensão dependenteganho finito (Figura 15.4.b). Neste caso trata-se de aplicar um dos métodos de análise introduzidos aolongo deste livro, por exemplo resolver o sistema de equações

(15.6

que equivale a

(15.7

de cuja resolução resulta o ganho

(15.8

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15.2 Montagens Básicas

cujo limite quando o ganho do AmpOp tende para infinito é

(15.9

15.2.2 Montagem Não-Inversora

Considere-se na Figura 15.5.a a montagem não-inversora do AmpOp.

Figura 15.5 Montagem não-inversora

A existência de um curto-circuito virtual entre os nós de entrada do amplificador permite escrever aigualdade entre as três tensões

(15.10

que em conjunto com a equação do divisor resistivo na saída

(15.1

conduz à relação de ganho

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15.2 Montagens Básicas

(15.12

O ganho de tensão desta montagem é positivo, superior à unidade e, mais uma vez, dependente apenacociente entre os valores das resistências R1 e R2.

Pode facilmente demonstrar-se que a aplicação do método alternativo de análise conduz à expressão(Figura 15.5.b)

(15.13

cujo limite quando o ganho do AmpOp tende para infinito coincide com a relação (15.12) apenas deri

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15.3 Circuitos com AmpOps

15.3 Circuitos com AmpOps

As montagens inversora e não-inversora são utilizadas numa infinidade de aplicações de processamento dedesignadamente de amplificação, filtragem, rectificação de sinais, conversão e simulação de impedâncias,conversão tensão-corrente e corrente-tensão, etc. De seguida estudam-se algumas aplicações que permitem

ilustrar o enorme potencial prático do amplificador operacional de tensão.

15.3.1 Seguidor de Tensão

O circuito seguidor de tensão constitui uma das aplicações mais comuns do amplificador operacional (Figu15.6; na literatura anglo-saxónica este circuito é designado por buffer , cuja tradução para a Língua Portugucircuito amortecedor ou tampão).

Figura 15.6 Circuito seguidor de tensão

O seguidor de tensão implementa um ganho unitário

(15.14

entre a entrada e a saída, resultado que à primeira vista poderia parecer destituído de aplicação prática.

Na Figura 15.7 apresentam-se dois circuitos que ilustram a utilidade prática do seguidor de tensão: em (a) encontra-se ligada directamente à fonte, cuja resistência interna introduz um divisor resistivo, ao passo que(b) a fonte e a carga são intercaladas de um seguidor de tensão.

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15.3 Circuitos com AmpOps

Figura 15.7 Aplicações do circuito seguidor de tensão

Identificam-se as seguintes diferenças entre estes dois circuitos: no primeiro caso a tensão na carga é inferiàquela disponibilizada pela fonte,

(15.1

e é a fonte de sinal quem fornece a potência à carga. Pelo contrário, no caso do circuito em (b) verifica-se igualdade

(15.1

designadamente como resultado do ganho infinito e das impedâncias de entrada infinita e de saída nula doamplificador operacional. Para além do mais, neste caso é o amplificador operacional e não a fonte de sinafornece potência à carga. Estas características justificam os títulos de circuito seguidor de tensão, isolador tampão.

O circuito seguidor de tensão pode ser encarado como caso limite da montagem não-inversora estudadaanteriormente. Com efeito, e como se indica na Figura 15.6.b, os dois circuitos coincidem quando a resistê

R1 é feita tender para infinito, situação durante a qual o valor da resistência R2

é irrelevante, excepto quand

infinito, dado ser nula a corrente respectiva.

15.3.2 Somador Inversor

A montagem inversora pode ser utilizada para implementar a soma pesada de sinais eléctricos (Figura 15.8

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15.3 Circuitos com AmpOps

Figura 15.8 Somador inversor

A massa virtual do AmpOp implementa a soma das correntesfornecidas por cada uma das fontes de sinal,

(15.17

e a resistência R converte-as na tensão

(15.1

Uma das aplicações mais interessantes do somador na Figura 15.8 é a realização de um conversor digital-analógico. Com efeito, se se admitir que as fontes de sinal v

i

valem 1 V ou 0 V consoante o valor lógico do

de uma palavra digital, e as resistências Rise encontram pesadas binariamente em função da ordem do bit

palavra, por exemplo R1=R, R2=R /2, R3=R /4... Rk =R /2k-1, então a expressão da tensão na saída do AmpO

(15.1

Por exemplo, as palavras digitais 10011 e 00001 (em decimal 19 e 1, respectivamente) conduzem aos valotensão na saída

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15.3 Circuitos com AmpOps

V (15.20

e

V (15.2

respectivamente. Naturalmente que se pode sempre dimensionar o valor da resistência R de modo a redefinescala de amplitudes da tensão na saída.

15.3.3 Amplificador Inversor

Uma das limitações da montagem inversora simples é a dificuldade de na prática construir amplificadores simultaneamente, elevados ganho e resistência de entrada (reveja-se a Figura 15.4). Na montagem inversosimples, a especificação de um ganho de tensão elevado, - R2 / R1, convida a estabelecer um valor nominal

relativamente pequeno para a resistência R1

, ao passo que a exigência de uma elevada resistência de entrad

dada por

(15.2

recomenda exactamente o oposto. Um modo de obviar a esta limitação é a utilização do circuito representaFigura 15.9, cuja análise se pode efectuar nos seguintes passos:

Figura 15.9 Amplificador inversor de elevados ganho e resistência de entrada

determinação da corrente que incide na massa virtual

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15.3 Circuitos com AmpOps

(15.2

determinação da tensão v x

(15.24

obtenção da expressão da corrente nas resistências R3 e R4,

(15.2

e

(15.2

respectivamente, e, finalmente, determinação da tensão no nó de saída do AmpOp

(15.27

Da relação (15.27) resulta a expressão do ganho da montagem

(15.2

na qual se inscreve a possibilidade de obter, simultaneamente, ganho e resistência de entrada elevados.

15.3.4 Amplificador da Diferença

A utilização conjunta das montagens inversora e não-inversora permite realizar um circuito que implementamplificação da diferença entre dois sinais (Figura 15.10.a).

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15.3 Circuitos com AmpOps

Figura 15.10 Amplificador da diferença

A aplicação do teorema da sobreposição das fontes permite identificar as seguintes duas contribuições paratensão na saída do AmpOp (Figuras 15.10.b e 15.10.c): a parcela

(15.2

a qual basicamente coincide com a expressão da montagem não-inversora afectada do divisor resistivoimplementado pelas resistências R1 e R2 na entrada, e a parcela

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15.3 Circuitos com AmpOps

(15.3

relativa à montagem inversora implementada pelas resistências R3 e R4 sobre o sinal v2 (note-se que, neste

as resistências ligadas ao nó positivo do AmpOp não alteram em nada o funcionamento da montagem inve

De acordo com as expressões (15.29) e (15.30), a tensão na saída é

(15.3

que no caso particular em que se verifica a igualdade entre os cocientes R4 /R3 e R2 /R1 se simplifica para

(15.3

15.3.5 Amplificador de Instrumentação

O principal inconveniente do amplificador diferença é o compromisso necessário entre o ganho de tensão eresistência de entrada vista por cada uma das fontes de sinal. Uma alternativa a este circuito é o amplificad

instrumentação representado na Figura 15.11, neste caso constituído por dois amplificadores não inversore(AmpOps-1 e -2) e um amplificador diferença (AmpOp-3). Neste caso, a resistência de entrada vista por cuma das duas fontes é infinita (coincidem ambas com a resistência de entrada dos terminais positivos dosAmpOps-1 e -2), ao passo que, como se verá de seguida, o ganho de tensão é dado pelo produto de dois coentre resistências.

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15.3 Circuitos com AmpOps

Figura 15.11 Amplificador de instrumentação

A análise deste circuito pode ser efectuada em três passos:

(i) determinação das tensões nos nós negativos dos AmpOps-1 e -2;

(ii) obtenção das expressões das tensões nos respectivos nós de saída;

(iii) aplicação da expressão do amplificador diferença para determinar a tensão na saída damontagem.

Assim, verifica-se que:

(15.3

nos terminais negativo e positivo do AmpOp-1;

(15.34

nos terminais negativo e positivo do AmpOp-2; as correntes nas resistência R e R x

são, nos sentidos indica

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15.3 Circuitos com AmpOps

(15.3

a corrente nas resistências R x

conduz às tensões nas saídas dos AmpOps-1 e -2

(15.3

e

(15.37

respectivamente, cuja diferença

(15.3

é aplicada ao amplificador implementado pelo AmpOp-3. Assim, admitindo que as resistências no amplifidiferença verificam a igualdade R4 /R3=R2 /R1 (ver as expressões derivadas anteriormente para o amplificad

diferença), obtém-se

(15.3

relação na qual se inscreve o ganho diferencial

(15.4

15.3.6 Filtros Activos

O princípio de funcionamento das montagens inversora e não inversora é generalizável aos circuitos comimpedâncias, em lugar de apenas resistências. Considere-se a título de exemplo a montagem inversorarepresentada na Figura 15.12, neste caso constituída por um AmpOpe por duas impedâncias, Z1 e Z2 (adm

representação das impedâncias na notação de Laplace).

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15.3 Circuitos com AmpOps

Figura 15.12 Montagem inversora

A função de transferência entre a fonte de sinal e a saída do AmpOp é neste caso

(15.4

cuja particularização para s=jω conduz à resposta em frequência do ganho de tensão da montagem.

Dois casos particulares da montagem inversora são os circuitos integrador e diferenciador representados naFiguras 15.13.

Figura 15.13 Circuitos integrador (a) e diferenciador (b)

O circuito em (a), designado por integrador de Miller, caracteriza-se pela função de transferência

(15.4

à qual, no domínio do tempo, corresponde a relação

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15.3 Circuitos com AmpOps

(15.4

Na realidade, uma vez que a corrente fornecida pela fonte de sinal

(15.44

é integrada pelo condensador, a tensão aos terminais deste é

(15.4

No que respeita ao circuito diferenciador representado na Figura 15.13.b, a função de transferência é

(15.4

à qual no domínio do tempo corresponde a relação

(15.47

Em geral, os amplificadores operacionais em conjunto com resistências e condensadores permitem implemfunções de transferência que na prática constituem filtros. Esta alternativa de construção de filtros é vulgardesignada por técnica RC -Activa, devido ao facto de se utilizarem apenas resistências, condensadores eamplificadores operacionais, e nunca bobinas. Na Figura 15.14 apresentam-se dois filtros RC -activos.

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15.3 Circuitos com AmpOps

Figura 15.14 Integrador com limitação do ganho em d.c. (a) e filtro passa-baixo de 2ªordem de Sallen & K

No primeiro caso trata-se de um circuito integrador com limitação do ganho em d.c., cuja função de transfé

(15.4

enquanto no segundo estamos em presença de um filtro passa-baixo de 2.ª ordem, vulgarmente designado biquadrática de Sallen & Key. Neste último caso, a função de transferência obtém-se a partir do sistema deequações

(15.4

cuja primeira equação resulta da aplicação da Lei de Kirchhoff das correntes ao nó-X, e a segunda do divisimpedâncias e do seguidor de tensão implementados pela resistência R2, pelo condensador C 2 e pelo Amp

cociente entre as tensões na saída do AmpOp e da fonte de sinal é

(15.5

ou ainda

(15.5

em que

(15.5

e

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15.3 Circuitos com AmpOps

(15.5

15.3.7 Conversores de Impedâncias e de Tensão-Corrente

Na Figura 15.15 representa-se um circuito que implementa uma resistência negativa. De acordo com o teode Miller, o valor nominal de uma resistência pode ser alterado através do recurso a fontes dependentes, emparticular através do recurso a amplificadores de tensão.

Figura 15.15 Conversor de impedâncias

Como se ilustra na Figura 15.15.a, a resistência à direita da fonte de sinal é dada por R M

=R/ (1-k ), em que k

ganho de tensão da fonte controlada. Referindo agora ao circuito representado na Figura 15.15.b, verifica-a resistência R se encontra ligada entre a entrada e a saída do amplificador não-inversor, portanto que o seuaparente é

(15.54

No caso em que R2=R1, (11.54) simplifica-se para

(15.5

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15.3 Circuitos com AmpOps

Para finalizar a gama de aplicações ilustrativas das potencialidades do AmpOp, na Figura 15.16.c apresentum circuito que implementa um conversor tensão-corrente. O objectivo é implementar uma fonte de correnpartir de uma fonte de tensão, ou seja, construir um circuito que impõe a corrente numa carga independentdo valor nominal respectivo.

Figura 15.16 Conversor de tensão em corrente

Referindo-nos aos esquemas representados nas Figuras 15.16.a e 15.16.b, constata-se que a realização de ufonte de corrente passa pela implementação de uma resistência negativa, por exemplo através do recurso aconversor de impedâncias da Figura 15.15. Com efeito, a aplicação da Lei de Kirchhoff das correntes ao nsaída da fonte permite concluir que a corrente na carga é independente do valor nominal respectivo, ou sejo circuito externo à carga se comporta como uma fonte de corrente de valor

(15.5

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15.4 Parâmetros Reais dos AmpOps

15.4 Parâmetros Reais dos AmpOps

O desempenho real dos circuitos com amplificadores operacionais é degradado por um conjunto de nãoidealidades inerentes à estrutura interna e aos dispositivos constituintes dos próprios AmpOps. No entanto, elevado número de parâmetros vulgarmente utilizados para caracterizar os AmpOps, este capítulo limita-se

apresentar aqueles cujos efeitos negativos sobre o desempenho dos circuitos é mais notório, designadament

(i) ganho finito;

(ii) largura de banda finita;

(iii) taxa de inflexão máxima da tensão na saída;

(iv) resistências de entrada (finita) e de saída (não nula);

(v) ganho de modo comum;

(vi) tensões de saturação;

(vii) tensão de desvio (offset );

(viii) correntes de desvio.

15.4.1 Ganho e Largura de Banda

O ganho de tensão é um dos principais parâmetros que caracterizam o desempenho dos AmpOps reais. O gfinito tem como consequência a necessidade de uma diferença de tensão não nula entre os terminais positivnegativo da entrada do AmpOp, deixando, portanto, de constituir um curto-circuito virtual. Assim, a uma te

(vo) na saída do AmpOp corresponde uma tensão diferencial (v+

-v-)=v

o / A na entrada, que para valores com

ganho, como por exemplo A=105 ou mesmo A=106, é da ordem de grandeza das unidades ou dezenas de µ

A análise dos efeitos do ganho finito é efectuada com base no segundo dos métodos introduzidos no início capítulo, que basicamente consiste na substituição do AmpOp por uma fonte de tensão controlada.

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15.4 Parâmetros Reais dos AmpOps

Figura 15.17 Efeito do ganho finito do AmpOp

Por exemplo, no caso da montagem não-inversora representada na Figura 15.17

(15.57

cuja resolução permite obter a expressão do ganho

(15.5

em que

(15.59

define o erro de ganho (esta aproximação é válida para A>>1). O erro é inversamente proporcional ao ganhAmpOp, e directamente proporcional a ganho da montagem em condições ideais.

Para além do ganho finito, os AmpOps reais são também caracterizados por uma resposta em frequência depassa-baixo. Esta limitação do desempenho é vulgarmente designada por largura de banda finita, sendo o sesignificado prático a redução com a frequência do ganho intrínseco do amplificador. A natureza finita da la

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15.4 Parâmetros Reais dos AmpOps

de banda é consequência dos condensadores e das resistências intrínsecas e parasitas inerentes aos transístointerligações.

O desempenho em frequência de um AmpOp pode, em primeira aproximação, ser modelizado por uma funtransferência do tipo passa-baixo de 1.ª ordem (veja-se na Figura 15.18 o diagrama de Bode assintótico daamplitude da resposta em frequência)

(15.60

em que A define o ganho em baixa frequência e ω p

a frequência do pólo (o ganho em baixa frequência é

vulgarmente designado por ganho d.c.). A expressão (15.60) indica que o ganho do AmpOp vale A só até àfrequência ω

p, que na prática são algumas unidades, dezenas, centenas ou milhares de hertz, e que a partir d

ganho decresce a um ritmo constante de -20dB por década. O parâmetro ωu

é designado por frequência de

transição, frequência de ganho unitário ou ainda produto ganho-largura de banda do AmpOp, e basicamentdefine a frequência a partir da qual o mesmo deixa de se comportar como um amplificador e passa a implemum simples atenuador de tensão. A designação produto ganho largura de banda deve-se ao facto de o produganho em baixa frequência pela largura de banda (a frequência do pólo) coincidir exactamente com a frequde transição.

Figura 15.18 Diagrama de Bode de amplitude da resposta em frequência do ganho diferencial de um Am

A análise dos efeitos da largura de banda finita do AmpOp nas montagens baseia-se numa metodologiasemelhante àquela utilizada anteriormente para o ganho finito. Por exemplo, se se admitir que na montageminversora da Figura 15.17 o AmpOp se caracteriza pela função de transferência em (15.60), então a resoluçsistema de equações

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15.4 Parâmetros Reais dos AmpOps

(15.6

permite obter a expressão da função de transferência do ganho de tensão

(15.62

a qual, admitindo que se verifica a relação A>>(1+R2 /R1), se simplifica para

(15.6

A função de transferência (15.63) indica que a montagem não-inversora se caracteriza por um ganho em bafrequência coincidente com aquele ideal, apresentando no entanto um pólo à frequência ω

p A /(1+R2 /R1) e u

frequência de ganho unitário ωu=ω

p A, esta última coincidente com aquela característica do AmpOp quando

considerado isoladamente. Como é patente nas duas curvas representadas na Figura 15.19, a montagem nãoinversora opera uma troca entre o ganho do AmpOp e a largura de banda do amplificador.

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15.4 Parâmetros Reais dos AmpOps

Figura 15.19 esquema eléctrico e diagrama de Bode de amplitude da resposta em frequência da montageminversora

15.4.2 Taxa de Inflexão

Define-se taxa de inflexão como o ritmo máximo de variação da tensão na saída de um AmpOp (na literatuanglo-saxónica a taxa de inflexão máxima designa-se slew-rate, cuja sigla SR se adopta neste livro). A taxainflexão é uma característica associada à topologia do amplificador e às correntes utilizadas internamente npolarização, reflectindo basicamente o ritmo a que estas fornecem e retiram carga dos condensadores parasde compensação da resposta em frequência.

O significado prático da taxa de inflexão máxima de um AmpOp pode ser facilmente compreendido recorrecircuito seguidor de tensão da Figura 15.20.a. Admita-se então que o AmpOp se caracteriza por uma funçãtransferência com um só pólo e que os restantes parâmetros são todos ideais, designadamente as resistência

entrada e de saída.

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15.4 Parâmetros Reais dos AmpOps

Figura 15.20 Taxa de inflexão máxima

Tendo por base este modelo, pode facilmente demonstrar-se que a função de transferência do ganho de tensmontagem se caracteriza por um pólo à frequência de transição do AmpOp

(15.64

Do ponto de vista da função de transferência, e naturalmente da dinâmica temporal respectiva, o circuito sede tensão comporta-se exactamente da mesma maneira que o circuito RC representado na Figura 15.20.b, ncaso admitindo que se verifica a igualdade entre as constantes de tempo RC e 1 / ω

u. Ambos os circuitos se

caracterizam por uma resposta ao escalão do tipo exponencial (Figura 15.20.c)

(15.65

em que V representa a amplitude do sinal aplicado e τ a constante de tempo do circuito. No entanto, a tensãsaída do seguidor de tensão pode sofrer os efeitos da taxa de inflexão máxima do AmpOp, Figura 15.20.d, apresentar uma dinâmica muito distinta daquela esperada para o circuito RC . No AmpOp, a taxa de inflexãmáxima (o declive máximo) da tensão na saída encontra-se limitada superiormente

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15.4 Parâmetros Reais dos AmpOps

V/ µs, volt por micro-segundo (15.6

Outra das consequências da taxa de inflexão máxima é a imposição de um limite à frequência máxima dos processáveis sem distorção. Por exemplo, se o sinal aplicado for do tipo sinusoidal, de amplitude V e frequêangular ω (Figura 15.21), então a igualdade

(15.67

permite determinar a frequência limite a partir da qual a saída do AmpOp não acompanha devidamente o siaplicado na entrada,

(15.6

Figura 15.21 Taxa de inflexão

15.4.3 Resistências de Entrada e de Saída

Para além do ganho e da largura de banda finita, os AmpOps reais apresentam também uma resistência de e

finita e uma resistência de saída não nula. Por exemplo, é comum encontrar AmpOps cuja resistência de enda ordem das dezenas, centenas ou até mesmo milhares de MΩ, e cuja resistência de saída pode variar entrdezenas e as décimas de ohm. Na Figura 15.22 apresenta-se o modelo eléctrico de um AmpOp com ganho fresistências de entrada e de saída.

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15.4 Parâmetros Reais dos AmpOps

Figura 15.22 Modelo eléctrico do AmpOp

Considere-se então o circuito seguidor de tensão representado na Figura 15.23 e admita-se que o AmpOp secaracteriza pelo modelo eléctrico apenas introduzido.

Figura 15.23 Efeito das resistências de entrada e de saída do AmpOp no seguidor de tensão

Referindo ao esquema eléctrico representado na Figura 15.23.b, verifica-se que a resolução do sistema deequações

(15.69

permite obter a expressão do ganho de tensão entre a entrada e a saída do seguidor

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15.4 Parâmetros Reais dos AmpOps

(15.70

No entanto, admitindo que se verificam as relações Ri>>Rs, Ro<<R e Ro<<Ri, a expressão (15.70) simplifpara

(15.7

a qual, naturalmente, não inclui os efeitos das resistência de entrada e de saída, ou ainda

(15.72

admitindo neste caso que se verifica A>>1.

A expressão (15.70) merece alguns comentários relativos ao conceito de realimentação. Durante o estudo ddiportos amplificadores verificou-se que as resistências de entrada e de saída afectavam o ganho do circuitoatravés de dois divisores resistivos: um a montante, devido ao acoplamento entre a fonte e o amplificador, e

a jusante associado ao acoplamento entre o amplificador e a carga. No entanto, no presente caso constata-seexpressão do ganho da montagem é mais complexa que a então derivada, em particular devido à impossibilde separar os factores relativos aos dois acoplamentos apenas referidos. Este facto deve-se à existência de urealimentação das variáveis do porto de saída para o porto de entrada, que é responsável pela troca entre o eganho de tensão do AmpOp e o ganho unitário da montagem seguidora de tensão. A realimentação acarretaassim, diversas consequências ao nível das montagens:

(i) a troca entre o elevado ganho de tensão do AmpOp e a possibilidade de definir o ganho damontagem através do cociente entre duas resistências;

(ii) a troca entre o elevado ganho de tensão do AmpOp e uma maior largura banda da montagem;

(iii) a troca entre o ganho do AmpOp e uma mais elevada resistência de entrada da montagem (aver adiante);

(iv) e, ainda, a troca entre o ganho do AmpOp e uma menor resistência de saída da montagem (aver adiante).

Considere-se então a resistência de entrada da montagem seguidora de tensão representada na Figura 15.23

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15.4 Parâmetros Reais dos AmpOps

Admitindo que a saída do amplificador se encontra em aberto ( R=∞ ), e que Rs=0, pode facilmente demons

que

(15.7

ou seja, que a resistência de entrada da montagem é aproximadamente A vezes superior à resistência de entAmpOp. Por outro lado, no que respeita à resistência de saída da montagem (Figura 15.21) verifica-se que

(15.74

admitindo que neste caso é nula a resistência interna da fonte vs. O resultado (15.74) indica que a resistênci

saída da montagem é reduzida de um factor cuja ordem de grandeza é o ganho do próprio AmpOp (o tópicoteoria da realimentação será retomado nas disciplinas de electrónica).

15.4.4 Ganho de Modo Comum

Na prática, a tensão de saída de um amplificador operacional depende do nível médio, ou de modo comum,sinal aplicado nas entradas. Esta dependência, designada Ganho de Modo Comum, indica basicamente quetensão na saída é uma função não apenas da diferença de potencial entre os terminais positivo e negativo daentrada, mas também do nível médio comum a ambos.

Considerem-se os dois AmpOps representados na Figura 15.24, e admita-se que em ambos os casos a tensãdiferencial é nula, (v+ - v-)=0, mas que os níveis comuns aos terminais são não nulos e distintos, v

mc1¹ vmc2¹

contrário do que seria de prever com base no modelo do AmpOp até agora considerado, em qualquer dos ctensão na saída dos dois circuitos não é nula, e muito menos idêntica. Esta variação da tensão na saída devefacto de o amplificador na realidade se caracterizar por uma relação do tipo

(15.75

em que Amc, vmc e vmd representam, respectivamente, o ganho de modo comum, a tensão de modo comum nentrada, (v++v-)/2, e a tensão diferencial entre os terminais positivo e negativo, (v+-v-). Naturalmente, é semdesejável que o AmpOp se caracterize por uma elevada disparidade entre os valores dos ganhos diferencialde modo comum ( A

mc), isto é, se caracterize por um rácio A / A

mctão elevado quanto possível. Na prática,

caracteriza-se um AmpOp através do rácio A / Amc

, em vez de referir o ganho de modo comum, que se expre

decibell,

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15.4 Parâmetros Reais dos AmpOps

(15.7

e se designa Rácio de Rejeição de Modo Comum (do ingl. Common Mode Rejection Ratio, cuja sigla se adneste manual). Hoje em dia comercializam-se AmpOps cujo CMRR pode variar entre os 75 e os 140 dB,consoante a referência e o fabricante.

Figura 15.24 Ganho de modo comum de um AmpOp

15.4.5 Tensões de Saturação

O funcionamento linear de um amplificador operacional é garantido apenas numa gama limitada de tensõessaída, preestabelecida seja durante a sua utilização, através das tensões de alimentação utilizadas, seja duranfase de projecto do circuito. Como se indica na Figura 15.25, a relação entre as tensões na saída e nas entraum AmpOp é linear apenas na gama compreendida entre as tensões de saturação TS- e TS+, limitada superiinferiormente pelas tensões de alimentação, V

sse V

cc. Como se disse já, a gama de tensões permitida é uma

função da arquitectura do amplificador e das tensões de alimentação, sendo em geral da ordem de 80 a 90%gama definida pelas tensões de alimentação. Na prática, a transição entre as regiões de funcionamento lineasaturação não é abrupta, verificando-se sim uma degradação gradual do ganho do AmpOp à medida que a tna saída se aproxima dos limites definidos por TS- e TS+ (ver a curva a tracejado na Figura 15.25). A utilizaplena da gama de tensões disponível tem consequências ao nível da distorção harmónica (ver no Capítulo 2secção relativa a este tópico).

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15.4 Parâmetros Reais dos AmpOps

Figura 15.25 Tensões de saturação de um AmpOp

Um outra limitação do AmpOp relacionada com a tensão de alimentação e a estrutura interna do amplificadgama de modo comum permitida ao sinal na entrada. Este parâmetro indica quais os limites mínimo e máxientre os quais se deve situar o nível de modo comum das tensões na entrada, sob pena de degradar de formsignificativa o desempenho do circuito. A gama de modo comum é em geral inferior (em alguns casos é idêàquela definida pelas tensões de alimentação, podendo também ser não simétrica relativamente a V

cce V

ss,

15.4.6 Tensão de Desvio (offset )

Define-se tensão de desvio de um AmpOp como a diferença de potencial necessária entre os terminais de epara anular a saída. Considere-se o AmpOp da Figura 15.26.a, cujos terminais de entrada se assumem curtocircuitados (v+-v-=0). Nestas condições, e por razões que se prendem com a estrutura interna do AmpOp e cdesemparelhamento inexorável entre as características dos seus componentes internos (resistências e transísessencialmente), na prática a tensão na saída do AmpOp não é nula, apresentado um desvio ∆v

o¹0. Pode an

este desvio através da aplicação de uma tensão de correcção entre os terminais de entrada (Figura 15.26.b),amplitude (- ∆v

o / A), cujo módulo se designa por tensão de desvio (é mais habitual a designação tensão de o

do original em Língua Inglesa).

Na Figura 15.26.c representa-se o modelo equivalente de um AmpOp com tensão de desvio não nula, a quaconsiderada através da fonte de tensão constante com amplitude V

os= ∆v

o / A. Hoje em dia comercializam-se

AmpOps cuja tensão de desvio pode ser tão elevada como algumas unidades ou dezenas de milivolt, ou tãoquanto alguns micro-volt. Note-se, no entanto, que a tensão de desvio varia de componente para componensendo apenas indicado no catálogo os valores mínimo, típico e máximo com que o utilizador deve contar.

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15.4 Parâmetros Reais dos AmpOps

Figura 15.26 Tensão de desvio do AmpOp (a) e (b); modelo equivalente (c)

Na prática a tensão de desvio do AmpOp conduz a uma degradação do desempenho dos circuitos em que éutilizado, podendo mesmo em certos casos ser responsável pelo seu não funcionamento. A título de exemplconsiderem-se os dois circuitos representados na Figura 15.27, em (a) uma montagem inversora e em (b) umcircuito integrador.

Figura 15.27 Efeito da tensão de desvio; (a) montagem inversora e (b) circuito integrador

Pode facilmente verificar-se que em (a) a tensão na saída é dada por

(15.77

e que em (b) é

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15.4 Parâmetros Reais dos AmpOps

(15.7

No primeiro caso o erro na tensão na saída é constante, de amplitude (1+ R2 / R1)V os

, erro que por si só pode

conduzir à saturação do AmpOp, caso o ganho (1+ R2 / R1) seja muito elevado. Pelo contrário, no caso do cir

integrador a tensão de desvio é integrada no tempo, conduzindo assim inexoravelmente à saturação da tenssaída do AmpOp. Na prática coloca-se uma resistência ( Ram

) em paralelo com o condensador de integração

obtendo assim um integrador com amortecimento, válido apenas para as frequências que verificam a relaçã(2π R

amC)-1.

Convém ainda salientar que na prática os amplificadores operacionais dispõem de um terminal de compensda tensão de desvio. O utilizador pode assim corrigir externamente o erro desvio, necessitando apenas de alcomponentes adicionais, como sejam resistências e potenciómetros.

15.4.7 Correntes de Polarização

Independentemente do facto de os amplificadores operacionais apresentarem uma resistência de entrada nãinfinita, característica que se associa apenas aos sinais dinâmicos aplicados, a natureza própria dos transístoobriga à existência de correntes não nulas através dos terminais de entrada, I

B+ e I

B-, designadas correntes d

polarização, as quais, por acção do desemparelhamento inexorável entre componentes, são, também, distintentre si (estas correntes associam-se à corrente na base dos transístores bipolares, e às correstes de fuga ou saturação inversa nos transístores de efeito de campo). Na Figura 15.28 apresenta-se um modelo equivalentAmpOp que contempla a existência destas duas correntes.

Figura 15.28 Efeito das correntes de polarização

Na prática, nos catálogos os fabricantes indicam seja o valor médio das duas correntes,

(15.79

que se designa corrente de entrada de polarização, seja a diferença

(15.80

que se designa corrente de desvio. Consoante os AmpOps sejam de precisão ou de uso geral, assim estas copodem tomar valores entre as poucas décimas de pico-ampere e as várias centenas de nano-ampere, no primcaso devido essencialmente à utilização de transístores de efeito de campo.

Figura 15.29 Efeito das correntes de polarização

Tal como a tensão de desvio. A existência de correntes de polarização no AmpOp conduz a uma degradaçãdesempenho dos circuitos, podendo também ser responsáveis pelo seu não funcionamento. A título de exem

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15.4 Parâmetros Reais dos AmpOps

considere-se a montagem inversora da Figura 15.29, por cujos terminais de entrada fluem as correntes I B

+ e

Dada a ligação à massa do terminal positivo do AmpOp, a corrente I B

+ não causa qualquer variação do pote

da massa virtual. Nestas condições, a tensão na saída do AmpOp é afectada por um erro,

(15.8

que apesar do valor reduzido da corrente I B- na maioria dos AmpOps comercializados, pode representar, nocasos em que a resistência R2 é elevada, uma tensão significativa. Na prática, a existência das correntes de

polarização obriga à utilização de componentes externos adicionais, tipicamente resistências, como forma dcompensar os erros de tensão induzidos na saída.

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15.5 Tipos de Amplificadores Operacionais

15.5 Tipos de Amplificadores Operacionais

O amplificador operacional é sem dúvida um dos componentes mais utilizados em circuitos e sistemaanalógicos. A simplicidade de utilização, as elevadas funcionalidade e desempenho e o enorme mercaconduziram as empresas fabricantes ao desenvolvimento de uma gama variadíssima de componentesalternativos, visando essencialmente satisfazer de forma abrangente os requisitos particulares das divaplicações possíveis. Não querendo, nem podendo, ser exaustivo na sua classificação, pode no entantdizer-se que hoje em dia existem largas centenas de componentes distintos, agrupados pelos fabricantclasses de aplicações cujo número ascende, também ele, a uma a duas dezenas. Uma classificação gropermite-nos distinguir quatro classes principais de aplicações:

q processamento de sinal, incluindo a própria amplificação;q amplificação de instrumentação, essencialmente em sistemas de condicionamento e digitaliza

sinais provenientes de sensores;q seguimento de tensão (os buffers), em que se incluem as aplicações de ataque a linhas ou cabocoaxiais, de isolamento entre circuitos, de amostragem e retenção de sinais, etc.;q comparação de tensão.

Por exemplo, a empresa Texas Instruments distingue no seu catálogo duas grandes classes de compon– amplificadores operacionais e comparadores de tensão – identificando depois na primeira oito subcdesignadamente de (1) precisão, (2) de uma só tensão de alimentação, (3) de elevada gama de sinal(coincidente com as tensões de alimentação), (4) de baixo ruído, (5) de baixa tensão de alimentação,tipicamente 3 V, (6) de alta frequência, (7) de baixo consumo de potência e (8) de elevada temperaturnum total de mais de trezentos componentes distintos (incluindo as variedades com 1, 2 ou 4 componno mesmo encapsulamento). Um outro exemplo, o catálogo da empresa Precision Monolithics Inc.distingue três grandes classes de componentes – amplificadores operacionais e seguidores de tensão(buffers), amplificadores de instrumentação, e comparadores de tensão – prosseguindo depois com umclassificação mais fina das diversas variantes.

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Sumário

Sumário

O amplificador operacional, abreviadamente AmpOp, é um dos componentes electrónicos mais versáactualmente ao dispor dos projectistas de circuitos. O AmpOp é basicamente um diporto cuja excelêndos parâmetros o fazem assemelhar a um amplificador de tensão ideal.

O AmpOp ideal constitui uma modelização simplificada dos amplificadores reais actualmente existenmercado. O AmpOp ideal caracteriza-se pelos seguintes parâmetros: ganho de tensão infinito, resistênentrada infinita, resistência de saída nula e inexistência de qualquer limitação em frequência ou amplO AmpOp ideal encontra-se na origem dos operadores curto-circuito virtual e massa virtual.

Com base no AmpOp podem construir-se amplificadores de tensão cujo ganho é apenas função do coentre resistências, amplificadores soma e diferença, circuitos integradores e diferenciadores, filtros,conversores corrente-tensão e tensão-corrente, conversores de impedâncias, rectificadores de sinal,

comparadores de tensão, etc.

Na prática o desempenho dos AmpOps é degradado por um conjunto de não idealidades inerentes àestrutura interna e ao tipo de dispositivos electrónicos utilizados na sua construção. As limitações marelevantes são o ganho e a largura de banda finita, a taxa de inflexão máxima da tensão na saída, os vnão infinito e não nulo das resistências de entrada e de saída, respectivamente, o ganho de modo comtensões de saturação na saída e a gama de modo comum do sinal na entrada, a tensão de desvio e ascorrentes de polarização.

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Exercícios de Aplicação

Exercícios de Aplicação

*15.1 Determine a expressão da tensão vo

nos circuitos da Figura E15.1.

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Exercícios de Aplicação

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Exercícios de Aplicação

Figura E15.1

*15.2 Os dois circuitos representados na Figura E15.2 implementam ambos um conversor tensão-corrente. Detea expressão da corrente I em função da tensão V

saplicada.

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Exercícios de Aplicação

Figura E15.2

15.3 Determine o ganho de corrente i / is

no circuito representado na Figura E15.3.

Figura E15.3

*15.4 Os dois circuitos representados na Figura E15.4 implementam ambos um conversor digital-analógico de qbit . Os bits das palavras digitais, b3b2b1b0, controlam os interruptores indicados e fazem corresponder na saída

circuito uma tensão cuja amplitude reflecte, numa outra escala, o número inteiro codificado. Explique ofuncionamento de cada um dos circuitos e determine a expressão da tensão v

o

em função dos valores ´0´ ou ´1´

bits das palavras digitais.

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Exercícios de Aplicação

Figura E15.4

15.5 Considere o circuito RLC -activo representado na Figura E15.5. Admitindo que vs(t )=e-4t u(t ) , i L(0)=0 e vC (

V, determine a expressão das repostas natural e forçada da tensão vo(t ).

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Exercícios de Aplicação

Figura E15.5

15.6 Considere o circuito RC -activo representado na Figura E15.6. Admitindo que vS(t )=u(t )cos(1000t ) , v

C 1(0)

=0, C 1=1µF, C 2=125 nF, R1=1 kΩ e R2= R3=2 kΩ, determine a expressão das repostas natural e forçada da ten

(t ).

Figura E15.6

*15.7 Admitindo que Vs=1∠ 0º, determine o fasor da tensão na saída do AmpOp nos circuitos representados na

E15.7.

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Exercícios de Aplicação

Figura E15.7

*15.8 Determine a expressão da função de transferência H(s)=Vo(s)/V

S(s) para cada um dos circuitos represent

Figura E15.8.

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Exercícios de Aplicação

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Exercícios de Aplicação

Figura E15.8

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14.1 Diportos

14.1 Diportos

14.1.1 Definições

Um diporto é um circuito eléctrico com dois portos de acesso ao exterior (Figura 14.1). Um circuito constitdiporto e os seus terminais portos quando se verificam em simultâneo as seguintes condições:

(i) o circuito contém apenas impedâncias e fontes dependentes (quando o circuito possui no seuseio fontes independentes, de tensão ou de corrente, então os terminais de ligação destas àqueledevem ser considerados como portos adicionais de acesso ao circuito);

(ii) as correntes de entrada e de saída nos portos são iguais, prevendo assim a ligação destes afontes de sinal ou circuitos representados sob a forma de um equivalente de Thévenin ou deNorton.

Uma vez que por definição um diporto é um circuito que não contém no seu seio fontes independentes, a suacção resume-se ao processamento das grandezas eléctricas impostas a partir do exterior. Por conseguinte, quatro grandezas V1, I1, V2 e I2, duas são independentes (são impostas pelo exterior ao circuito) e as outras

são dependentes (constituem a reacção do diporto aos estímulos aplicados do exterior).

14.1.2 Modelos Eléctricos Equivalentes

Na Tabela 14.1 indicam-se as seis alternativas possíveis em matéria de variáveis independentes e dependenPor exemplo, no segundo caso as variáveis independentes são as tensões nos dois portos, V1 e V2, sendo

dependentes as correntes respectivas, I1 e I2. As variáveis independentes e dependentes relacionam-se entreatravés de uma matriz cujos coeficientes têm a dimensão de admitância,

(14.2

Portanto,

(14.3

a que corresponde o modelo eléctrico equivalente da Figura 14.3. Na Tabela 14.1 indicam-se as equações ecaracteres utilizados na representação das matrizes e dos coeficientes respectivos.

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14.1 Diportos

VARIAVEISINDEPENDENTES

VARIÁVEISDEPENDENTES

MATRIZEQUAÇÕESALGÉBRICAS

I1 ; I2 V1 ; V2

V1 ; V2 I1 ; I2

V1 ; I2 I1 ; V2

I1 ; V2 V1 ; I2

V1

; I1

V2

; I2

V2 ; I2 V1 ; I1

Tabela 14.1 Caracterização de diportos

As seis descrições alternativas de um diporto são convertíveis entre si. Por exemplo, a manipulação algébri

sistema de equações (14.3) permite obter os coeficientes da matriz de impedâncias de circuito aberto do dip

(14.4

cujas variáveis independentes e dependentes são, respectivamente, as correntes e as tensões nos portos. Na

14.2 resumem-se as regras de conversão entre descrições alternativas de um diporto.

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14.1 Diportos

Tabela 14.2 Tabela de conversão de coeficientes

Os coeficientes da matriz característica de um diporto, por exemplo os coeficientes da matriz de admitânciapodem ser determinados recorrendo ao cálculo dos cocientes

(14.5

(14.6

(14.7

e

(14.

os quais correspondem às configurações da Figura 14.4. Por exemplo, o coeficiente Y11 da matriz coincideadmitância de entrada do porto-1 quando os terminais do porto-2 se encontram em curto-circuito (a tensão

zero), e vice-versa para o coeficiente Y22.

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14.1 Diportos

Figura 14.4 Cálculo dos coeficientes da matriz de admitâncias de curto-circuito de um diporto

14.1.3 Exemplos de Aplicação

Considere-se o circuito resistivo representado na Figura 14.5.a, relativamente ao qual se pretende determincoeficientes da matriz de impedâncias de circuito aberto. As equações que caracterizam o diporto são neste

(14.9

cujas variáveis independentes e dependentes são, respectivamente, as correntes I1 e I2 e as tensões V1 e V2

Figuras 14.5.c a 14.5.d representam-se as quatro configurações de cálculo dos coeficientes Zij

da matriz.

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14.1 Diportos

Figura 14.5 Determinação dos coeficientes da matriz de impedâncias de um diporto

Assim,

(14.10

(14.1

(14.12

e

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14.1 Diportos

(14.13

respectivamente. Na Figura 14.5.b representa-se o modelo eléctrico equivalente do diporto, neste caso consà base de resistências e de fontes de tensão dependentes.

Considere-se agora o circuito resistivo representado na Figura 14.6.a, relativamente ao qual se pretendedeterminar os coeficientes da matriz de admitâncias de curto-circuito, isto é, caracterizá-lo com base nasseguintes duas equações algébricas

(14.14

Figura 14.6 Determinação dos coeficientes da matriz de admitâncias de um diporto

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14.1 Diportos

As configurações de cálculo dos coeficientes da matriz encontram-se representadas nas Figuras 14.6.c a 14quais correspondem sempre ao cancelamento de uma das duas tensões nos portos. Assim,

(14.15

(14.16

(14.17

e

(14.1

respectivamente. Como se indica na Figura 14.6.b, o modelo eléctrico equivalente do diporto é composto padmitâncias e fontes de corrente dependentes. Convém desde já salientar o facto de os diportos sem fontesdependentes apresentarem sempre matrizes de impedâncias ou de admitâncias simétricas.

Na Figura 14.7.a apresenta-se um circuito que se pretende caracterizar com base numa matriz de parâmetrohíbridos (as variáveis independentes são a corrente no porto-1, à esquerda, e a tensão no porto-2, à direita).

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14.1 Diportos

Figura 14.7 Determinação dos coeficientes da matriz híbrida de um diporto

Uma vez que as duas equações algébricas características do diporto são

(14.19

então as configurações das Figuras 14.7.c e 14.7.d permitem obter

(14.20

(14.2

(14.22

e

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14.1 Diportos

(14.23

respectivamente.

Com o circuito representado na Figura 14.8 pretende-se exemplificar o cálculo dos coeficientes da matriz d

transmissão de um diporto.

Figura 14.8 Determinação dos coeficientes da matriz de transmissão de um diporto

As variáveis independentes são, neste caso, a corrente e a tensão no porto-2 (à direita), isto é,

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14.1 Diportos

(14.24

Pode facilmente demonstrar-se que recorrendo às quatro configurações de cálculo indicadas nas Figuras 1414.8.e se obtém, respectivamente,

(14.25

(14.26

(14.27

e

(14.2

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14.2 Associação de Diportos

14.2 Associação de Diportos

14.2.1 Associações em Série, em Paralelo, em Cascata e em Modo Híbrido

A descrição de um circuito com base numa matriz simplifica a análise das associações em série, emparalelo, em cascata ou em série-paralelo de diportos. Como se verá de seguida, as vantagens desteformalismo são assaz notórias no caso da associação em cascata de diportos, como é o caso das cadeiamplificadores.

Considerem-se então dois diportos associados em paralelo (Figura 14.9).

Figura 14.9 Associação de dois diportos em paralelo

Uma vez que os diportos A e B apresentam as mesmas variáveis independentes nos dois portos,designadamente,

(14.29

e que as correntes nos portos do diporto total são dadas pela soma das correntes parciais em cada um dois diportos

(14.30

conclui-se então que, tendo em conta (14.29) e as relações matriciais parciais de cada diporto,

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14.2 Associação de Diportos

(14.3

isto é, que a matriz do diporto total é dada pela soma das matrizes de admitâncias dos diportos associ

(14.32

Na Figura 14.10 considera-se a associação em série de dois diportos.

Figura 14.10 Associação de dois diportos em série

Neste caso, as variáveis comuns aos dois diportos são as correntes nos portos, I1 e I2 na figura, enqua

variáveis tensão de porto total resultam da soma das tensões parciais nos diportos A e B. Se se admitircada um dos dois diportos se encontra caracterizado pela matriz de impedâncias respectiva, então

(14.33

ou seja

(14.34

Uma associação que se revela de particular interesse na análise de amplificadores, é a ligação em cascdiportos (Figura 14.11). Este tipo de associação caracteriza-se pelas igualdades

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14.2 Associação de Diportos

(14.35

designadamente entre as tensões e as correntes no porto comum aos dois diportos. Admitindo que amdiportos se encontram caracterizados pela matriz de transmissão respectiva, então

(14.36

para o primeiro diporto, ou seja

(14.37

ou ainda

(14.38

O diporto total é neste caso caracterizado por uma matriz que, à parte alguns sinais, é dada pelo produmatrizes de transmissão parciais de cada um dos circuitos.

Figura 14.11 Associação de dois diportos em cascata

14.2.2 Exemplos de Aplicação

Considere-se na Figura 14.12.a um circuito resistivo composto por dois portos de acesso ao exterior.Pretende-se identificar neste circuito a associação em paralelo de dois diportos e obter, por adição dematrizes parciais, a matriz de admitâncias respectiva.

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14.2 Associação de Diportos

Figura 14.12 Associação de dois diportos em paralelo

Neste circuito pode identificar-se, por exemplo, a associação em paralelo dos dois diportos indicadosFigura 14.12.b. As admitâncias de curto-circuito de cada um dos dois diportos são calculadas com ba

expressões 14.5 a 14.8, que em conjunto definem as matrizes de admitâncias

(14.39

e

(14.40

A matriz de admitâncias total é dada pela soma

(14.4

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14.2 Associação de Diportos

Considere-se agora o circuito da Figura 14.13.a, no seio do qual se pretende identificar a associação ecascata de dois diportos e obter a matriz de transmissão respectiva por multiplicação das matrizes par

Figura 14.13 Associação de dois diportos em cascata

Neste caso, podem identificar-se no circuito os dois diportos representados em 14.13.b, cujas matrizetransmissão respectivas são

(14.42

e

(14.43

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14.2 Associação de Diportos

A matriz de transmissão total é então dada pelo produto

(14.44

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14.3 Diportos Amplificadores

14.3 Diportos Amplificadores

Considere-se um diporto caracterizado por uma matriz híbrida (gij)

(14.45

em conjunto com o seu modelo eléctrico equivalente, representado na Figura 14.14.a. Admita-se agora qfunção do circuito é amplificar ou simplesmente transferir a variável independente do porto-1 (de entradao porto-2 (de saída), mas não o contrário, isto é, transferir informação de volta do porto de saída para o pentrada. Analisando o modelo equivalente do diporto (Figura 14.14.a), verifica-se que:

(i) a tensão no porto de saída (V2) é uma função da própria corrente (I2) e da tensão no porto de

entrada (V1), o que dentro de alguns limites é razoável que aconteça num amplificador detensão;

(ii) a corrente na entrada é uma função da corrente na saída e, como consequência, da carga aele ligada.

Por conseguinte, um diporto é bidireccional quando os coeficientes g12 e g21 são não nulos, e unidireccio

quando apenas um deles é nulo.

Figura 14.14 Amplificador com realimentação (a) e sem realimentação (b)

Considere-se agora na Figura 14.14.b um diporto amplificador sem coeficiente de realimentação do portosaída para o porto de entrada. De acordo com as conclusões anteriores, as eventuais cargas ligadas ao pornão exercem influência sobre as variáveis tensão e corrente no porto de entrada, e o diporto no seu conjucomporta-se como um amplificador de tensão com impedância de entrada 1/g11, impedância de saída g22

ganho de tensão g21.

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14.3 Diportos Amplificadores

14.3.1 Impedâncias de Entrada e de Saída

Considere-se na Figura 14.15.a o modelo de coeficientes híbridos hij de um diporto, à saída do qual se ad

ligada uma carga genérica Z.

Figura 14.15 Modelo de parâmetros híbridos (h) de um diporto; com coeficiente de realimentação (a) ecoeficiente de realimentação (b)

Admita-se ainda que se pretende determinar as impedâncias de entrada (pelo porto-1) e de saída (pelo ponas condições em que a matriz do diporto não apresenta, num primeiro caso, e apresenta, num segundo cum valor nulo para o coeficiente de realimentação da saída para a entrada. Tendo em conta as equaçõesalgébricas características do diporto,

(14.46

e a equação da carga, V2=-I2Z, a impedância de entrada do circuito (diporto e carga) é dada por

(14.47

no caso em que existe realimentação interna no diporto, e por

(14.48

no caso em que h12=0. No primeiro caso, a impedância de entrada é uma função dos quatro coeficientes

matriz e da carga colocada a jusante do diporto, variando assim em função desta, ao passo que no segundé apenas função do coeficiente h11.

No que respeita à impedância de saída do diporto, Zo, verifica-se que

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14.3 Diportos Amplificadores

(14.49

quando o coeficiente de realimentação do diporto é não nulo (h12≠ 0), e simplesmente

(14.50

quando h12=0. Por exemplo, no primeiro caso a impedância de saída do porto seria, também, uma função

impedância de saída da fonte de sinal eventualmente ligada na entrada, mas no segundo caso jamais o ser

14.3.2 Ganhos de Tensão e de Corrente

O ganho de tensão é um dos parâmetros mais utilizados na caracterização dos diportos do tipo amplificadcomum distinguirem-se os três ganhos de tensão:

(i) o ganho de tensão intrínseco do diporto, AV , calculado com a saída do mesmo em aberto;

(ii) o ganho de tensão com a saída em carga, AVC

;

(iii) o ganho de tensão total do circuito constituído pela fonte de tensão a montante, pelo diporto

e pela carga a jusante, AVT .

Na Figura 14.16.a representa-se o circuito de referência utilizado no cálculo destes três ganhos de tensãoconsiderando a situação mais comum de um diporto amplificador sem realimentação.

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14.3 Diportos Amplificadores

Figura 14.16 Amplificador de tensão: modelo de parâmetros híbridos (a) e modelo simplificado baseadparâmetros impedância de entrada, impedância de saída e ganho de tensão intrínseco (b)

São os seguintes os ganhos de tensão intrínseco, em carga e da ligação em cascata da fonte de sinal ao dipà carga (Y=1/Z):

(14.5

(14.52

(14.53

Constata-se assim que o ganho intrínseco (AV ) representa o máximo ganho obtenível com o diporto, send

restantes dois parâmetros inexoravelmente inferiores. O ganho do circuito coincide com o ganho intrínse

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14.3 Diportos Amplificadores

diporto apenas quando a impedância de entrada do diporto é infinita e a de saída nula.

Ao conjunto de parâmetros impedância de entrada, Zi, impedância de saída, Z

o, e ganho de tensão intríns

AV , corresponde o modelo simplificado do amplificador de tensão representado na Figura 14.16.b (adian

verá que este coincide com o modelo eléctrico simplificado do amplificador operacional de tensão, a intrno Capítulo 15). Identificam-se três factores na expressão do ganho total (14.53): o ganho intrínseco doamplificador, e os coeficientes de acoplamento da fonte de sinal ao amplificador e deste à carga.

Tal como para o ganho de tensão, é comum distinguirem-se nos diportos amplificadores de corrente trêsparâmetros de ganho de corrente essencialmente distintos (Figura 14.17.a):

(i) o ganho de corrente intrínseco do diporto, A I , calculado com a saída do mesmo em curto-

circuito;

(ii) o ganho de corrente com a saída em carga, A IC

;

(iii) e o ganho de tensão total do circuito constituído pela fonte de tensão a montante, pelodiporto e pela carga a jusante, A

IT .

Com base no esquema eléctrico representado na Figura 14.17.a, pode facilmente verificar-se que

(14.54

(14.55

(14.56

O ganho intrínseco (A I ) representa o máximo ganho de corrente obtenível com o diporto. Os restantes do

parâmetros são-lhe sempre inferiores em magnitude, mais uma vez devido aos divisores de corrente

introduzidos no acoplamento da fonte de sinal ao diporto e deste à carga. Por outro lado, ao conjunto deparâmetros impedância de entrada, Zi, impedância de saída, Z

o, e ganho de corrente intrínseco, A

I , corre

o modelo do amplificador de corrente representado na Figura 14.17.b.

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14.3 Diportos Amplificadores

Figura 14.17 Amplificador de corrente: modelo de parâmetros híbridos (a) e modelo simplificado baseaparâmetros impedância de entrada, impedância de saída e ganho de corrente intrínseco

14.3.3 Associação de Amplificadores em Cascata

A caracterização de um diporto amplificador por intermédio do modelo simplificado representado na Fig14.16.b manifesta-se de particular interesse na análise de cadeias de amplificadores constituídas por múltdiportos ligados em cascata. Considere-se então o circuito da Figura 14.18, constituído por dois amplificade tensão em cascata e por uma fonte de sinal a montante e uma carga a jusante.

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14.3 Diportos Amplificadores

Figura 14.18 Associação em cascata de dois diportos amplificadores de tensão

O ganho de tensão total da montagem é dado pela expressão (Figura 14.18.b)

(14.57

a qual é uma função dos ganhos intrínsecos dos amplificadores, mas também dos divisores de tensão na ee na saída de cada diporto. Os coeficientes de acoplamento entre a fonte de sinal e o primeiro diporto, enprimeiro e o segundo, e entre este e a carga são unitários apenas quando se verificam as seguintes condiç

(i) a impedância de entrada do diporto é infinita, ou então a impedância de saída da fonte desinal é nula;

(ii) a impedância de saída do diporto-1 é nula ou a impedância de entrada do diporto-2 é infinita;

(iii) a impedância de saída do diporto-2 é nula ou a impedância da carga é infinita.

Quando estas condições não se verificam em simultâneo, o ganho da cadeia de amplificação é sempre infao produto dos ganhos intrínsecos de cada um dos diportos constituintes.

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14.3 Diportos Amplificadores

Pode então concluir-se que um diporto amplificador de tensão ideal caracteriza-se pelas seguintes proprie

(i) impedância de entrada infinita, permitindo maximizar o coeficiente de acoplamento com afonte de sinal a montante;

(ii) impedância de saída nula, maximizando o coeficiente de acoplamento com a carga a jusante.

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Sumário

Sumário

Um diporto é um circuito com quatro terminais organizados em dois portos de acesso. A cada portoencontram-se associadas duas variáveis, uma tensão e uma corrente.

Um diporto é descrito por um sistema de duas equações algébricas. Destas equações podem obter-se seguintes seis matrizes alternativas: matriz de impedâncias, matriz de admitâncias, matrizes híbridas dh ou de tipo g, e matrizes de transmissão e de transmissão inversa.

As associações de diportos em série, em paralelo, em modo misto paralelo-série e em cascata podem analisadas recorrendo às matrizes parciais características dos diportos.

Os diportos sem coeficiente de realimentação constituem uma classe particular das redes de quatroterminais. Nestes casos faz especial sentido determinar os parâmetros ganho de tensão, ganho de corrimpedâncias de entrada e de saída.

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Exercícios de Aplicação

Exercícios de Aplicação

*14.1 Para cada um dos circuitos representados na Figura E14.1, determine (admita ω=106 rad/s):

(a) os coeficientes da matriz de impedâncias;

(b) os coeficientes da matriz de admitâncias;

(c) os coeficientes da matriz híbrida h;

(d) os coeficientes da matriz de transmissão.

Figura E14.1

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Exercícios de Aplicação

14.2 Considere o circuito da Figura E14.2. Identifique no circuito a associação em paralelo de dois die determine a matriz característica total por adição das matrizes parciais respectivas.

Figura E14.2

14.3 Determine o esquema eléctrico do diporto cuja matriz de admitâncias é

.

Figura E14.3

*14.4 Considere o circuito representado na Figura E14.4. Associe em paralelo, em série e em cascatadestes diportos e determine a matriz característica que mais convenha ao tipo de associação.

Figura E14.4

*14.5 Considere o diporto amplificador de tensão representado na Figura E14.5. Determine:

(a) o ganho de tensão e as impedâncias de entrada e de saída respectivas;

(b) desenhe o modelo eléctrico equivalente do amplificador de tensão resultante;

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Exercícios de Aplicação

(c) associe em cascata dois destes amplificadores e determine o ganho de tensão intrínsecoda associação.

Figura E14.5

14.6 Considere o diporto amplificador de corrente representado na Figura E14.6. Determine:

(a) o ganho de corrente e as impedâncias de entrada e de saída respectivas;

(b) desenhe o modelo eléctrico equivalente do amplificador de corrente resultante;

(c) associe em cascata dois destes amplificadores e determine o ganho de corrente intrínsecodessa associação.

Figura E14.6

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13.1 Bobinas Acopladas

13.1 Bobinas Acopladas

13.1.1 Coeficiente de Indução Mútua

Considerem-se as duas bobinas acopladas magneticamente representadas na Figura 13.3.a e admitamseguintes condições de funcionamento:

(i) aos terminais da bobina-1 encontra-se aplicada uma fonte de tensão, v1(t ), da qual resulta

uma corrente eléctrica i1(t ) no enrolamento e um fluxo magnético Φ1(t ) no núcleo. A

bobina-1 é constituída por N 1 espiras e caracteriza-se por um coeficiente de auto-indução L1;

(ii) a bobina-2 é constituída por N 2 espiras, caracteriza-se por um coeficiente de auto-

indução L2 e os seus terminais encontram-se em aberto. A corrente na bobina-2 e o fluxo

magnético gerado são ambos nulos;

(iii) apenas uma parte Φ12(t ) do fluxo magnético gerado pela bobina-1 atravessa as espiras

da bobina-2, sendo o cociente

(13.1)

designado por coeficiente de acoplamento magnético entre enrolamentos.

Figura 13.3 Fenómeno da indução mútua

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13.1 Bobinas Acopladas

A Lei de Faraday estabelece que a força electro-motriz induzida aos terminais da bobina-1 é, no sentiindicado,

(13.2

aqui expressa em função do fluxo magnético no núcleo e do número de espiras da bobina, ou então

(13.3

neste caso expressa em função da corrente na bobina e do respectivo coeficiente de auto-indução. Darelações (13.2) e (13.3) resulta a igualdade

(13.4

A Lei de Faraday estabelece, também, que a força electro-motriz induzida aos terminais da bobina-2 sentido indicado,

(13.5

em que Φ12(t ) representa a porção do fluxo magnético gerado pela bobina-1 que atravessa as espiras

bobina-2. Substituindo as relações (13.1) e (13.4) na expressão (13.5), obtém-se

(13.6

em que se define

H, henry (13.7

como o coeficiente de indução mútua entre as duas bobinas acopladas.

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13.1 Bobinas Acopladas

Considere-se agora o caso oposto em que a fonte de tensão é aplicada aos terminais da bobina-2 e a b1 é deixada em aberto (Figura 13.3.b). Trocando as siglas 1->2 e 2->1 nas expressões (13.2) a (13.7),obtém-se

(13.8

e

(13.9

respectivamente para as forças electro-motrizes induzidas nas bobinas-2 e -1, das quais resulta uma nexpressão para o coeficiente de indução mútua

(13.10

A igualdade entre os coeficientes de indução mútua M 12 e M 21 permite obter as relações

(13.1

e

(13.12

entre o número de espiras nos enrolamentos ( N 1 e N 2), os coeficientes de auto-indução ( L1 e L2), o

coeficiente de acoplamento magnético (k ) e o coeficiente de indução mútua ( M ).

13.1.2 Associação de Bobinas Acopladas

Considerem-se as duas bobinas acopladas magneticamente representadas na Figura 13.4, e admita-se ambas são percorridas pela mesma corrente, i(t ), e que os sentidos dos enrolamentos são concordante(a) e discordantes em (b).

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13.1 Bobinas Acopladas

Figura 13.4 Associação em série de bobinas acopladas magneticamente

A concordância ou discordância entre os sentidos dos enrolamentos representa-se com base num conjde pontos colocados num dos extremos das bobinas. Se os sentidos das correntes nas duas bobinas fopositivos do ponto para a outra extremidade (ou então da outra extremidade para o ponto), os fluxosmagnéticos gerados no núcleo comum serão concordantes e o acoplamento dito positivo (vejam-se osdas Figuras 13.5.a e 13.5.b). Pelo contrário, se os sentidos das correntes forem contrários entre si, tensempre como referência a extremidade onde se localiza o ponto, então os fluxos gerados são discordasubtraem-se no núcleo e o acoplamento entre as bobinas é dito negativo (vejam-se os casos represent

nas Figuras 13.5.c e 13.5.d).

Figura 13.5 Fluxos magnéticos gerados por bobinas acopladas

Retomem-se então as duas bobinas acopladas magneticamente representadas na Figura 13.4. Uma veambos os enrolamentos são percorridos por uma corrente, então ambas as bobinas são sede de fluxomagnético e de força electro-motriz induzida. Por exemplo, no caso representado na Figura 13.4.a as electro-motrizes induzidas aos terminais das bobinas-1 e -2 são, respectivamente,

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13.1 Bobinas Acopladas

(13.13

e

(13.14

das quais resultam a força electro-motriz total

(13.15

e a indutância total do conjunto de bobinas acopladas e associadas em série

(13.16

Pode facilmente demonstrar-se que no caso em que os enrolamentos das bobinas apresentam sentidosdiscordantes, como é o caso representado na Figura 13.4.b, a indutância total do conjunto é expressa psoma das seguintes três parcelas

(13.17

Em particular, se o acoplamento magnético entre as bobinas for perfeito, k =1, e as bobinas iguais, ent

=0 (esta é uma das técnicas utilizadas na construção de resistências bobinadas).

13.1.3 Modelo Eléctrico Equivalente

O comportamento electromagnético de um conjunto de bobinas acopladas pode ser modelizado com bapenas em elementos eléctricos. Por exemplo, o comportamento electromagnético das duas bobinasacopladas representadas na Figura 13.6.a é descrito pelas duas equações de malha

(13.18

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13.1 Bobinas Acopladas

Figura 13.6 Modelo eléctrico equivalente de duas bobinas acopladas magneticamente

que no caso particular do regime forçado sinusoidal se podem representar como

(13.19

Na Figura 13.6.b representa-se o modelo eléctrico correspondente ao sistema de equações (13.19).

Admita-se agora que aos terminais da bobina-2 se liga uma impedância cuja natureza é capacitiva, Z= jX ), conforme à Figura 13.7.

Figura 13.7 Reflexão de impedâncias entre bobinas acopladas

Neste caso, para além das equações em (13.19) o circuito deve também verificar a igualdade

(13.20

cuja resolução conjunta conduz à expressão da impedância vista dos terminais da bobina-1

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13.1 Bobinas Acopladas

(13.2

A parcela Zrefl

em (13.21) designa-se por impedância acoplada e representa a reflexão para os termin

bobina-1 da indutância da bobina-2 e dos componentes a ela ligados (neste caso a carga Z). Multiplicdividindo este termo pelo conjugado do denominador, obtém-se

(13.22

ou ainda

(13.23

É o seguinte o significado de cada uma das parcelas na expressão (13.23): a primeira representa aindutância da própria bobina-1, e as segunda e terceira representam, respectivamente, as reflexões palado da bobina-1 dos componentes indutivos, capacitivos e resistivos localizadas do lado da bobina-2exemplo, à frequência de ressonância da parte do circuito do lado da bobina-2, isto é quando X=ω L

2,

impedância acoplada é resistiva pura

(13.24

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13.2 Transformador Ideal

13.2 Transformador Ideal

Na Figura 13.8 representam-se duas bobinas acopladas através de um núcleo de elevada permeabilidamagnética. Admita-se ainda que as duas bobinas e o núcleo verificam as seguintes quatro propriedade

(i) resistência eléctrica dos enrolamentos nula;

(ii) acoplamento magnético entre bobinas perfeito (k=1);

(iii) material constituinte do núcleo sem histerese;

(iv) perdas no núcleo nulas (por efeito das correntes de Foucault).

Figura 13.8 Transformador ideal

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13.2 Transformador Ideal

Este conjunto de bobinas acopladas é vulgarmente designado por transformador ideal, atribuindo-se àbobinas -1 e -2 os nomes de enrolamento primário e secundário, respectivamente. As Leis de FaradayLenz e de Ohm estabelecem a existência e os sentidos das forças electro-motrizes induzidas e das corindicados na figura. Em particular:

(i) a Lei de Lenz estabelece que a força electro-motriz e a corrente induzidas no secundáriosão tais, que as linhas de força aí geradas contrariam o fluxo magnético estabelecido peloprimário;

(ii) a Lei de Faraday estabelece a existência de forças electro-motrizes induzidas noprimário e no secundário (os fenómenos da indução electromagnética e da indução mútua);

(iii) a Lei de Ohm estabelece a presença de uma corrente no secundário, caso aos terminaisdeste se encontre ligada uma impedância.

Na Figura 13.8.b representa-se um esquema simplificado do transformador ideal (note-se que a locali

do ponto nas bobinas e os sentidos das correntes são tais, que verificam o enunciado da Lei de Lenz).

13.2.1 Transformador Ideal em Vazio

Admita-se agora que os terminais do secundário se encontram em aberto, i2(t )=0 na Fig.13.8, e que a

aplicada ao primário, v1(t ), é de tipo sinusoidal. A corrente no primário apresenta uma forma também

sinusoidal

(13.25

designada por corrente de magnetização do núcleo, à qual se encontra associada um fluxo magnético

(13.26

em fase com a corrente respectiva. As forças electro-motrizes induzidas aos terminais do primário e dsecundário são dadas pelas expressões (nos sentidos indicados)

(13.27

e

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13.2 Transformador Ideal

(13.28

respectivamente. Ambas as forças electro-motrizes induzidas encontram-se avançadas de π /2 radianorelativamente à corrente de magnetização e ao fluxo magnético gerado pelo primário. O cociente entrforças electro-motrizes induzidas no primário e no secundário

(13.29

designa-se por relação de transformação do transformador.

13.2.2 Transformador Ideal em Carga

Admita-se agora que aos terminais do secundário se liga uma carga genérica, Z. Nestas condições, a felectro-motriz induzida no secundário é responsável pela seguinte conjunto de acontecimentos:

(i) a força electro-motriz induzida no secundário conduz à presença de uma corrente atravésda carga (a Lei de Ohm), que circula através do enrolamento do secundário e gera um fluxomagnético de sentido contrário àquele previamente estabelecido pela corrente demagnetização;

(ii) o fluxo magnético no núcleo decresce, a força electro-motriz induzida no primário reduz-

se (o que equivale a dizer que enfraquece a oposição à passagem de corrente no primário), eo desequilíbrio temporário entre tensão aplicada e força electro-motriz induzida resulta numaumento da corrente no primário;

(iii) o aumento da corrente no primário repõe o fluxo magnético no seu valor inicial,Φ=Φ10, instalando-se de novo o equilíbrio no transformador.

Portanto, atinge-se o equilíbrio quando se repõe a igualdade

(13.30

ou seja, quando o fluxo gerado pela corrente no secundário é integralmente compensado pelo acréscimverificado no primário

(13.3

A igualdade (13.31) pode também ser escrita em função das correntes no primário e no secundário (te

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13.2 Transformador Ideal

em conta os sentidos indicados)

(13.32

com base na qual se pode definir o cociente

(13.33

entre a amplitude da corrente no secundário e o acréscimo verificado na corrente no primário. Todaviprática verifica-se que a corrente total no primário

(13.34

se pode aproximar por

(13.35

ou seja, que a relação (13.33) se pode rescrever na forma

(13.36

A relação de transformação das correntes é inversa daquela das forças electro-motrizes induzidas.

13.2.3 Modelo Eléctrico Equivalente

Na Figura 13.9 apresenta-se o modelo eléctrico do transformador ideal.

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13.2 Transformador Ideal

Figura 13.9 Modelo eléctrico do transformador ideal

Constata-se assim que é o primário que impõe a tensão no secundário, designadamente através da relaentre o número de espiras respectivas (admite-se a notação fasorial),

(13.37

mas que, pelo contrário, é o secundário que impõe a corrente no primário

(13.38

naturalmente em função do cociente entre o número de espiras e da carga àquele ligada.

O transformador ideal apresenta um conjunto de propriedades cujo interesse prático ultrapassa em mudas simples bobinas acopladas. Por exemplo:

(i) as impedâncias são reflectidas do secundário para o primário de acordo com a relação

(13.39

(ii) representada na Figura 13.10. Ao contrário das bobinas acopladas estudadasanteriormente, o transformador ideal é imune às indutâncias das bobinas do primário e dosecundário;

Figura 13.10 Reflexão de impedâncias no transformador ideal

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13.2 Transformador Ideal

(iii) as potências fornecidas pela fonte de tensão ao primário e pelo secundário à carga sãoidênticas, designadamente

(13.40

(iv) à semelhança de qualquer conjunto de bobinas acopladas, o transformador ideal permiteimplementar o isolamento galvânico entre partes de um mesmo circuito. Uma dasaplicações mais comuns do transformador é a implementação prática do isolamentoeléctrico (mas não funcional) entre duas partes de um mesmo circuito, permitindo atribuir-lhes nós de referência distintos.

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13.3 Tipos e Aplicações dos Transformadores

13.3 Tipos e Aplicações dos Transformadores

Os transformadores são utilizados num conjunto muito variado de aplicações de processamento deinformação e de energia. De entre estas destacam-se a elevação e a redução da tensão ou do número dfases em redes de transporte e distribuição de energia eléctrica, a redução da tensão e da corrente eminstrumentos de medida, a adaptação de impedâncias e a sintonia de filtros RLC em aplicações audio,rádio frequência e de frequência intermédia, o armazenamento de energia em conversores d.c.-d.c., oisolamento galvânico (estudado na secção anterior), etc.

13.3.1 Auto-Transformador

Um auto-transformador é um transformador cujos enrolamentos primário e secundário coincidemparcialmente. Conforme se ilustra na Figura 13.11, os acessos ao primário e ao secundário são coinciou com as extremidades ou com pontos intermédios do enrolamento, sendo um dos terminais do prim

sempre coincidente com um dos do secundário. O auto-transformador é do tipo redutor quando o númde espiras do secundário é inferior ao do primário (Figura 13.11.a), e do tipo elevador no caso contrár(Figura 13.11.b).

Figura 13.11 Auto-transformador redutor (a) e elevador (b)

Em qualquer dos casos, a relação de transformação é dada pelo cociente entre o número de espiras

(13.4

Uma das consequências da coincidência parcial entre os enrolamentos do primário e do secundário é perda de isolamento galvânico entre as bobinas. No entanto, o auto-transformador apresenta um vastoconjunto de vantagens face aos transformadores comuns, designadamente no que respeita ao seu custúnico enrolamento e, em certos casos, com condutores de menor secção), ao volume, à queda de tensãrendimento (menores perdas nos enrolamentos). Os auto-transformadores são vulgarmente utilizados

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13.3 Tipos e Aplicações dos Transformadores

elevação e na redução da tensão em redes de distribuição de energia eléctrica, na sintonia e adaptaçãoantenas e pré-amplificadores em receptores de telecomunicações.

13.3.2 Transformadores com Múltiplos Enrolamentos

Os transformadores podem ser construídos com múltiplos enrolamentos primários ou secundários. Osenrolamentos encontram-se acoplados uns aos outros através de um núcleo magnético comum, sendo

geral todos eles sede de fluxo magnético e de força electro-motriz induzida.

Na Figura 13.12 apresentam-se diversas ligações alternativas de um transformador com dois enrolamsecundários. Por exemplo, no caso representado em (b) os enrolamentos do secundário são utilizadoscircuitos isolados do ponto de vista galvânico, nos casos considerados em (c) e (d) os enrolamentos sãligados em série um com o outro, resultando, respectivamente, na adição e na subtracção das forças emotrizes respectivas, e, finalmente, nos casos ilustrados em (e) e (f) os enrolamentos partilham um nóreferência comum, portanto constituindo circuitos não isolados do ponto de vista galvânico.

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13.3 Tipos e Aplicações dos Transformadores

Figura 13.12 Transformadores com múltiplos enrolamentos secundários

O transformador com ponto médio representado na Figura 13.12.e é vulgarmente utilizado na rectificde sinais sinusoidais e na geração de sinais diferenciais (sinais com amplitudes idênticas mas sinaiscontrários). Com efeito, no caso particular em que os dois enrolamentos do secundário são idênticos,

N 2=N 3, verifica-se que

(13.42

No que respeita à reflexão das impedâncias dos dois secundários para o primário (v. exemplo da Figu13.12.b), a igualdade entre as potências aparentes fornecidas pela fonte ao primário e pelos secundáricargas respectivas

(13.43

ou seja,

(13.44

conduz, em conjunto com a relações V 2=(N 2 /N 1)V 1 e V 3=(N 3 /N 1)V 1, à expressão

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13.3 Tipos e Aplicações dos Transformadores

(13.45

indicativa de que do ponto de vista do primário as impedâncias são primeiramente reflectidas eseguidamente associadas em paralelo.

13.3.3 Transformadores de Medida

Os transformadores de medida destinam-se a efectuar a redução das grandezas tensão ou corrente elécem redes de transporte e distribuição de energia eléctrica, designadamente para efeitos da sua mediçãdetecção segura em aparelhos de reduzidas dimensões e relativa precisão. Exemplos da utilização desde transformadores são os aparelhos de medida da tensão, corrente e potência eléctrica em redes de enos fasímetros, os frequencímetros e os relés de protecção, os contadores de energia eléctrica, a inserçãsinais de elevada frequência nas linhas de transporte, designadamente para efeitos de comunicação en

centrais, subestações e, talvez no futuro, a telecontagem da energia consumida pelos utentes.

Os transformadores de medida podem ser de dois tipos básicos:

(i) de tensão, tendo por objectivo a redução das altas tensões presentes nas linhas e permitiro seu encaminhamento para os locais frequentados pelos operadores e a sua leitura emvoltímetros comuns (Figura 13.13.a);

(ii) e de corrente, por razões essencialmente idênticas às anteriores (Figura 13.13.b).

Figura 13.13 Transformadores de medida de tensão (a) e de corrente (b)

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13.3 Tipos e Aplicações dos Transformadores

A utilização de transformadores de medida permite atingir três objectivos principais do processo demedição de grandezas eléctricas de elevado valor absoluto:

(i) garantir o isolamento galvânico entre a rede de alta tensão ou corrente e o circuito demedida, protegendo os operadores e permitindo que os aparelhos de medida sejamcolocados em locais comuns;

(ii) evitar as interferências electromagnéticas associadas às correntes eléctricas elevadaspresentes na linha; e,

(iii) efectuar as medições em escalas reduzidas, recorrendo a aparelhos comuns.

A ligação de um transformador de medida de corrente efectua-se colocando em série a linha e oenrolamento que constitui o primário do transformador. Como se ilustra na Figura 13.14

Figura 13.14 Pinça amperimétrica

um modo de evitar a interrupção da linha consiste na utilização de uma pinça amperimétrica, a qual ao condutor cuja corrente se pretende medir. Esta solução engenhosa e simples permite que o primáriotransformador seja constituído pelo próprio fio condutor, cujas linhas de força circulares percorrem onúcleo magnético no qual se encontra enrolada a bobina do secundário (com um elevado número deespiras).

13.3.4 Transformadores de Sinal

Os transformadores de sinal são utilizados em dois tipos principais de aplicações:

(i) na transformação de resistências em aplicações audio, como é o caso da adaptação entreas resistências de saída de um amplificador audio e de entrada de um alto-falante;

(ii) e na adaptação de impedâncias em amplificadores sintonizados de frequência intermédia

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13.3 Tipos e Aplicações dos Transformadores

e rádio-frequência em receptores de telecomunicações.

Na Figura 13.15 apresenta-se um exemplo típico da utilização de um transformador de sinal em aplicaudio. O transformador implementa a adaptação entre as resistências de saída do amplificador ( R

s) e d

entrada do alto-falante ( Raf

), esta última tipicamente da ordem de algumas unidades a dezenas de ohm

Figura 13.15 Transformador de sinal

O projecto da relação de transformação de acordo com a relação

(13.46

garante a máxima transferência de potência eléctrica entre o amplificador e o alto-falante.

As bobinas acopladas e os auto-transformadores são vulgarmente utilizados em aplicações de rádiofrequência e frequência intermédia, visando dois objectivos principais do projecto de um amplificadosintonizado: utilizar os coeficientes de auto-indução dos enrolamentos para, em conjunto comcondensadores criteriosamente dimensionados, filtrar em tipo passa-banda os sinais a processar; utilizcoeficiente de indução mútua entre enrolamentos para efectuar transformações de impedâncias,implementando a máxima transferência de potência entre fontes de sinal (antenas, pré-amplificadoresreceptores (pré-amplificadores ou amplificadores).

13.3.5 Transformadores de Potência

Os transformadores de potência visam essencialmente a elevação ou redução da tensão de transporte,distribuição e de consumo em redes de energia eléctrica. As vantagens da utilização de transformadorelevadores e redutores de tensão nas redes de transporte e distribuição de energia eléctrica são basicamduas: redução das perdas por efeito de Joule, e redução da secção, do peso e do custo das linhas detransporte.

Os transformadores de potência são caracterizados por um conjunto variado de parâmetros, salientandentre eles a potência aparente nominal, e a tensão e a corrente nominais nos dois enrolamentos. A títuexemplo, é comum existirem nas redes de distribuição de energia eléctrica transformadores com as

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13.3 Tipos e Aplicações dos Transformadores

seguintes características: 20 kVA de potência aparente, tensões nominais de 6000 V e 230 V nosenrolamentos primário e secundário, e correntes nominais de 3.44 A e 87 A; ou então 200 kVA, 1000400 V e 11.55 A-288.7A; ou ainda 630 kVA e 20 kV - 400 V; 10 MVA e 30 kV - 6 kV; 47 MVA; 12MVA; 300 MVA, etc.

Para além destas características, nos transformadores de potência assumem também particular relevo questões relacionadas com as perdas por efeito de Joule nos enrolamentos e no núcleo (estas últimasassociadas às correntes de Foucault) e com o rendimento, e naturalmente com os sistemas mecânicos arrefecimento (a seco, em banho de óleo, forçado ou não, etc.).

Uma segunda classe de aplicações dos transformadores de potência é a conversão do número de fasestensão. Por exemplo, a montagem criteriosa dos enrolamentos no núcleo permite efectuar as conversõentre redes de transporte trifásicas e de consumo monofásicas ou bifásicas, entre redes trifásicas ehexafásicas ou dodecafásicas, etc.

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13.4 Sensores Relutivos e Electromagnéticos

13.4 Sensores Relutivos e Electromagnéticos

O fenómeno da indução electromagnética, e em particular da indução mútua entre bobinas, é amplamutilizado para implementar sensores ou transdutores de grandezas não-eléctricas em grandezas eléctriFabricam-se transdutores deste tipo que medem o deslocamento, a posição, a velocidade, a aceleraçãoforça, o torque, a pressão, entre outras grandezas, uns designados relutivos e outros electromagnéticoComo se verá adiante, a diferença entre estas duas classes de transdutores reside mais na forma comofluxo magnético é desenvolvido, cuja variação uma ou várias bobinas acopladas devem detectar sob aforma de uma força electro-motriz induzida, e menos no fenómeno subjacente ao seu funcionamento.

Figura 13.16 Alguns transformadores actualmente existentes no mercado

Os sensores ditos relutivos associam a variação na grandeza não-eléctrica a uma variação nos coeficiede indução mútua entre uma bobina primária e um ou vários enrolamentos secundários. A bobina primé excitada com uma corrente eléctrica sinusoidal (a qual desenvolve um fluxo magnético sinusoidal nnúcleo), sendo a grandeza não-eléctrica detectada através da medição da variação na amplitude, ou dadiferença entre as forças electro-motrizes induzidas nas bobinas que constituem o secundário.

Na Figura 13.17 apresenta-se o esquema simplificado de um dos transdutores relutivos mais comuns designado LVDT, do inglês Linear Variable Differential Transformer . Um LVDT é basicamente umtransformador com ponto médio (também designado diferencial; ver Figura 13.12 no ponto 13.3.2 decapítulo). A principal diferença reside no facto de o núcleo magnético ser móvel e se encontrar fixo aobjecto cujo deslocamento se pretende medir. Neste sensor, a variação da posição do núcleo altera os

coeficientes de indução mútua entre os enrolamentos primário e secundário, tendo como consequêncialteração da diferença entre as forças electro-motrizes induzidas nos dois enrolamentos secundários. Etransdutor caracteriza-se por uma relativa linearidade entre a diferença de potencial medida na saída edeslocamento operado sobre o núcleo magnético. Esta classe de transdutores, com algumas variantesutilizada quer na medição do deslocamento, da velocidade e da aceleração de objectos, quer na mediçforça exercida.

Figura 13.17 Sensor relutivo de deslocamento (designado LVDT, do ingl. linear variable differen

transformer )

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13.4 Sensores Relutivos e Electromagnéticos

Tal como os relutivos, os transdutores electromagnéticos associam a variação numa grandeza não-eléa uma variação na força electro-motriz induzida aos terminais de uma ou mais bobinas. No entanto, econtrário daqueles, os sensores electromagnéticos não são excitados por qualquer corrente eléctrica,limitando-se a detectar as variações no fluxo magnético desenvolvido por exemplo por um íman.

Na Figura 13.18 indica-se o exemplo de um sensor de velocidade de tipo electromagnético, designad

transdutor linear de velocidade. Este dispositivo consiste basicamente numa bobina cujo núcleo é ummóvel, responsável pelo fluxo magnético que atravessa as espiras da bobina fixa. Ao movimento do íencontra-se associada uma variação no fluxo magnético total que atravessa as espiras da bobina, sendassim induzida uma força electro-motriz aos terminais respectivos. A diferença de potencial é tanto melevada quanto maior for o ritmo de variação do fluxo magnético, portanto crescente com a velocidaddeslocamento do íman.

Figura 13.18 Sensor electromagnético de velocidade

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Sumário

Sumário

O modelo eléctrico de duas bobinas acopladas é composto por dois parâmetros: o coeficiente deacoplamento, o qual é adimensional e contém a informação relativa à melhor ou pior ligação magnétientre as bobinas, e o coeficiente de indução mútua. À semelhança do coeficiente de auto-indução, ocoeficiente de indução mútua relaciona as variações da corrente numa bobina com a força electro-moinduzida na outra, com a qual se encontra acoplada. A unidade do coeficiente de indução mútua é o h(H).

O transformador é um dispositivo electromagnético constituído por duas bobinas acopladas através denúcleo magnético de elevada permeabilidade magnética. O princípio de funcionamento do transformabaseia-se no fenómeno da indução electromagnética, e em particular da indução electromagnética múentre bobinas. A principal função de um transformador é elevar ou reduzir as amplitudes da tensão oucorrente entre as bobinas do primário e do secundário. O transformador caracteriza-se pela relação de

transformação de tensão entre o primário e o secundário, r T= N 2 / N 1.

Os transformadores são utilizados numa gama muito variada de aplicações de processamento deinformação e de energia eléctrica. Salientam-se, entre outras, a elevação e a redução da tensão e do núde fases em redes de transporte e distribuição de energia eléctrica, a redução da tensão ou da correnteinstrumentos de medida, a adaptação de impedâncias em amplificadores sintonizados em aplicações drádio-frequência e frequência intermédia, a adaptação de resistências em aplicações audio, ou simpleso isolamento galvânico entre partes de um mesmo circuito eléctrico.

Para além de outros, é possível identificar os seguintes tipos de transformadores: auto-transformadoretransformadores com múltiplos enrolamentos no secundário, transformadores com ponto médio,transformadores de medida ou de protecção, transformadores de sinal e transformadores de potência.

Existem diversos sensores que exploram o fenómeno da indução mútua entre bobinas, ou electromagEstes transdutores são designados relutivos e electromagnéticos, e são utilizados na medição de grandnão-eléctricas, tais como deslocamento, velocidade, aceleração, binário, força, pressão, etc.

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Exercícios de Aplicação

Exercícios de Aplicação

*13.1 Determine a indutância equivalente das bobinas acopladas representadas na Figura E13.1.

Figura E13.1

13.2 Determine o fasor da tensão VC

no circuito representado na Figura E13.2.

Figura E13.2

13.3 Considere o circuito representado na Figura E13.3:

(a) desenhe o modelo eléctrico equivalente do circuito;

(b) determine o cociente entre os fasores V2 e V1;

(c) determine a impedância de entrada do circuito, Z1=V1 /I1.

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Exercícios de Aplicação

Figura E13.3

*13.4 Considere o circuito representado na Figura E13.4. Determine a relação entre o número de espitransformador necessária para garantir a máxima transferência de potência entre a fonte de sinal e a c

Figura E13.4

13.5 Determine os fasores das correntes e das tensões V1, I1, V2 e I2 nos circuitos representados na F

E13.5

Figura E13.5

*13.6 Determine a relação entre o número de espiras no primário e no secundário do auto-transformarepresentado na Figura E13.6

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Exercícios de Aplicação

Figura E13.6

*13.7 Determine a relação de transformação do transformador representado na Figura E13.7, de modgarantir a máxima transferência de potência entre a fonte de sinal e a carga de 4 Ω.

Figura E13.7

13.8 Considere o transformador com dois primários representado na Figura E13.8. Determine:

(a) a tensão e a corrente na carga;

(b) a impedância de entrada vista dos terminais do primário (terminais a-b).

Figura E13.8

13.9 Considere o transformador com dois secundários representado na Figura E13.9. Determine:

(a) a tensão e a corrente nas cargas;

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Exercícios de Aplicação

(b) a impedância de entrada vista dos terminais do primário.

Figura E13.9

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Fotografias de Sensores Relutivos e Electromagnéticos

Fotografias de Sensores Relutivos eElectromagnéticos

Transformador de AltaFrequência(impulsos; utilizado nos circuitos dedisparo de tiristores e triacs)Tensão Máx.: 2.8 kV (proof voltage)

Corrente Máx. Saída: 200 mALargura de Banda: 3 kHz a 1 MHz

Transformador Audio(elevada performance; doisenrolamentos primários esecundários)

Transformador de Tensão50Hz ou 60Hz2VA (2 saídas de 6 V e 0.165 Dois enrolamentos primáriosDois enrolamentos secundário

Transformador de TensãoToroidal230V-240V; 50Hz-60Hz15VA (2 saídas de 6 V e 1.25 A)Dois enrolamentos secundários

Transformador de IsolamentoUtilizado em aparelhos detelecomunicações (modems)

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12.1 Resposta em Frequência

12.1 Resposta em Frequência

12.1.1 Circuito RC

Considere-se o circuito RC de 1.ª ordem representado na Figura 12.1 e admita-se que o fasor da fontetensão sinusoidal é Vs=V ∠ 0.

Figura 12.1 Circuito RC de 1.ª ordem

A aplicação da regra do divisor de tensão ao circuito permite obter o fasor da tensão aos terminais docondensador

(12.1

a partir do qual se pode definir o cociente entre fasores

(12.2

designado por resposta em frequência.

A resposta em frequência, H( jω), é uma função da frequência e dos parâmetros do circuito, definindogeral um número complexo cuja representação se pode efectuar seja no formato rectangular, com pare parte imaginária, seja no formato polar, com amplitude e fase. Por exemplo, no formato polar

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12.1 Resposta em Frequência

(12.3

em que H (ω) e φ(ω) representam, respectivamente, a amplitude e a fase da função complexa H ( jω). Pexemplo, no caso do circuito RC considerado anteriormente

(12.4

e

(12.5

em que se define ω p

=1 /RC .

Um exemplo alternativo é a resposta em frequência do cociente entre os fasores da tensão aos terminaresistência e da fonte de sinal

(12

onde se inscrevem as funções amplitude e fase da resposta em frequência, respectivamente,

(12.7

e

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12.1 Resposta em Frequência

(12.8

Na Figura 12.2 representam-se os diagramas de amplitude e de fase da resposta em frequência definidpelas expressões (12.4) e (12.5).

Figura 12.2 Diagramas de amplitude (a) e de fase (b) da resposta em frequência (lineares)

Assim:

(i) à frequência angular ω=0 rad/s a amplitude da resposta em frequência é unitária e a faseé nula;

(ii) à frequência angular ω=ω p

rad/s a amplitude decresce de um factor de 1/ √ 2, ao passo

que a fase vale -π /4 radianos;

no limite quando ω → ∞ a amplitude tende para zero e a fase para -π /2 radianos.

Conclui-se, assim, que os diagramas de amplitude e de fase da resposta em frequência dão uma indicado modo como os sinais são transferidos entre os componentes (ou nós) considerados, em particularinformação relativa à atenuação ou amplificação da amplitude e ao atraso ou avanço da fase da sinusóRecorrendo ao exemplo considerado na Figura 12.2, verifica-se que os sinais sinusoidais cuja frequênangular verifica a relação ω<<ω

p são transferidos quase na íntegra entre a fonte e os terminais do

condensador (na amplitude e na fase), ao passo que aqueles que verificam a relação ω>>ω p

são atenu

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12.1 Resposta em Frequência

e sofrem um atraso de fase crescente. Como tal, este circuito constitui um filtro de tipo passa-baixo,deixando passar os sinais de baixa frequência e atenuando os de alta frequência.

12.1.2 Diagramas de Bode

Os diagramas de Bode de amplitude e de fase são representações em escala logarítmica das funçõesintroduzidas na secção anterior. Para além do mais, a amplitude da resposta em frequência é

escalada de acordo com a expressão

dB, decibell (12.9

A vantagem da utilização de escalas logarítmicas, na variável ω e na amplitude, é a de permitir represno mesmo gráfico gamas de frequência e valores de amplitude cujas ordens de grandeza são muitodistintas. Com efeito, é comum representar no mesmo diagrama gamas de frequência que diferem de

6, ... até 10 ordens de grandeza (décadas), em simultâneo com gamas de amplitude que variam de cinseis ordens de grandeza, isto é, variam de 100 a 120 dB. Na tabela 12.1 resume-se a conversão entreunidades lineares e dB. Por exemplo, uma relação de 10 equivale a 20 dB, uma relação de 100 equiva40 dB, 1/10 equivale a -20 dB, 2 equivale a 6 dB, 4 equivale a 12, etc.

LINEAR dB LINEAR dB LINEAR dB

1 0 1 0 5=10/2 20-6=14

10 20 2 6 50=100/2 40-6=34

100 40 4 12 20=2*10 20+6=261000 60 8 18 40=10*4 20+12=32

1/10 -20 1/2 -6 25=5*5 14+14=28

1/100 -40 1/4 -12 16=4*4 12+12=24

1/1000 -60 1/8 -18 - -

√ 10 10 √ 2 3 - -

√ 1000 30 √ 8 9 - -

1/ √ 10 -10 1/ √ 2 -3 - -1/ √ 1000 -30 1/ √ 8 -9 - -

Tabela 12.1 Tabela de conversão entre unidades lineares e decibell (dB)

Na Figura 12.3 representam-se os diagramas de Bode de amplitude e de fase da resposta em frequênc(12.4) e (12.5). Os pontos notáveis são agora ω=0 rad/s, amplitude 0 dB e fase nula; ω=ω

p, amplitud

dB e fase -π /4 radianos; e no limite, quando ω → ∞, uma amplitude de -∞ dB e uma fase de -π /2 radi

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12.1 Resposta em Frequência

Figura 12.3 Diagramas de Bode de amplitude (a) e de fase (b)

Duas aproximações de grande utilidade na representação da amplitude e da fase da resposta em frequsão os designados diagramas de Bode assintóticos. Considerem-se então as expressões (12.4) e (12.5)respectivamente

(12.10

para a amplitude da resposta em frequência, e

(12.1

para a fase. Por exemplo, no caso da amplitude verifica-se que

(12.12

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12.1 Resposta em Frequência

expressão que para ω<<ω p

se pode aproximar por

(12.13

definindo uma assíntota horizontal, e para ω>>ω

p

por

(12.14

definindo neste caso uma assíntota com declive -20 dB por década da frequência angular, ou então -6por oitava. Na Figura 12.3 representa-se o diagrama de Bode de amplitude definido pelas assíntotas (e (12.14).

Considere-se agora a fase da resposta em frequência definida pela expressão (12.11). Neste caso verifque para ω<ω

p / 10

radianos (12.15

que para ω=ω p

radianos (12.16

e que para ω>10ω p

radianos (12.17

A fase varia de -π /2 radianos em duas décadas de frequência, centradas na frequência ωp, portanto co

declive de -π /4 radianos por década. Na Figura 12.3.b representa-se o diagrama de Bode de fase definpelas assíntotas (12.15)-(12.17).

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12.1 Resposta em Frequência

Figura 12.4 Diagramas de Bode de amplitude (a) e de fase (b) assintóticos

A principal vantagem dos diagramas de Bode assintóticos é o permitirem representar de forma quaseimediata a amplitude e fase da resposta em frequência. A representação da amplitude em escala logarconverte o produto e o cociente de factores em somas e subtracções, respectivamente, portanto na somgráfica das assíntotas respectivas. Por exemplo, no caso da resposta em frequência do cociente entre ofasores das tensões aos terminais da resistência e da fonte, Figura 12.1 e expressões (12.7) e (12.8), vse que o diagrama de Bode de amplitude resulta da soma de duas parcelas

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12.1 Resposta em Frequência

(12.18

das quais se conhece já as assíntotas relativas à segunda parcela. À primeira parcela

(12.19

corresponde uma única assíntota com declive 20 dB/década, da qual se sabe, também, que para ω=ω p

amplitude vale 0 dB. Na Figura 12.4.a representam-se as assíntotas de cada uma das parcelas em (12.em conjunto com a solução obtida por adição gráfica das assíntotas. A resposta em frequência é, nestde tipo passa-alto.

Considere-se agora a expressão da fase da resposta em frequência. A fase do produto (cociente) entrenúmeros complexos é por si só dada pela soma (diferença) das fases respectivas (eq.(12.8))

(12.20

Na Figura 12.4.b representam-se as assíntotas de cada um dos termos em (12.20), em conjunto com asolução obtida por adição gráfica das assíntotas.

12.1.3 Exemplo de Aplicação

Considere-se o circuito RC representado na Figura 12.5.a, relativamente ao qual se pretende determinrepresentar graficamente os diagramas de Bode de amplitude e de fase assintóticos da resposta emfrequência do cociente entre os fasores V e V

s.

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12.1 Resposta em Frequência

Figura 12.5 Diagramas de Bode de amplitude e de fase assintóticos

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12.1 Resposta em Frequência

A aplicação da regra do divisor de tensão permite obter a resposta em frequência

(12.2

em que ω z

=1 /R2C e ω p

=1 / ( R1+ R2)C . A amplitude e a fase da resposta em frequência são expressas p

cociente

(12.22

e pela diferença

(12.23

respectivamente. O diagrama de Bode de amplitude resulta da diferença entre as seguintes duas parce

(12.24

cujas assíntotas se encontram representadas na Figura 12.5.d. A existência de dois patamares na ampl

da resposta em frequência, designadamente para as baixas e para as altas frequências, explicam-se a pdas Figuras 12.5.b e 12.5.c: à frequência angular ω=0 radianos o condensador apresenta uma impedâinfinita, que conduz à igualdade V=V

s, ao passo que no limite, quando a frequência angular tende par

infinito, a impedância do condensador tende para zero e transforma o circuito num divisor resistivo pNeste caso, o cociente entre as amplitudes é dado por 20log10[ R2 /( R2+ R1)]=-40 dB.

No que respeita à fase da resposta em frequência, trata-se de adicionar graficamente as assíntotascorrespondentes às duas parcelas em (12.23). A fase do termo no numerador varia de π /2 radianos em

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12.1 Resposta em Frequência

décadas centradas em ω z

, enquanto o termo no denominador varia de -π /2 radianos nas duas décadas

centradas em ω p

. Na Figura 12.5.e representa-se o diagrama de Bode de fase assintótico.

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12.2 Circuitos Ressonantes

12.2 Circuitos Ressonantes

12.2.1 Circuito Ressonante Série

Considere-se o circuito RLC representado na Figura 12.6.a, cuja fonte de sinal se admite ser de tiposinusoidal (Vs=V ∠ 0º).

Figura 12.6 Circuitos ressonantes série (a) e paralelo (b)

O fasor da corrente no circuito é dado pelo cociente

(12.25

em que X L

=ω L e X C

=1 / ωC . A corrente no circuito é máxima quando se verifica a igualdade X L

=X C

,

quando

(12.26

ou, ainda,

(12.27

designada por frequência de ressonância. A esta frequência verifica-se a igualdade

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12.2 Circuitos Ressonantes

(12.28

a qual implica uma diferença de fase nula entre os fasores da tensão e da corrente no circuito.

Considerem-se os fasores das tensões aos terminais de cada um dos componentes ( R, L e C ) à frequênressonância,

(12.29

(12.30

e

(12.3

em que

(12.32

define o factor de qualidade do circuito. O somatório dos fasores das tensões aos terminais do condene da bobina é, por definição de ressonância, nulo

(12.33

apesar de a tensão aos terminais de cada um em separado poder atingir amplitudes muito superiores àprópria fonte de sinal. Por exemplo, se ao circuito representado na Figura 12.6.a se atribuírem os valoV=1V, R=10Ω, L=1mH e C=1nF, portanto Q

s=100 , então à frequência ω=106 rad/s a amplitude da t

aos terminais dos componentes L e C atinge valores tão elevados quanto 100 V.

Um outro aspecto a ter em conta na ressonância é a dissipação e as trocas de energia que ocorrem nosentre os componentes do circuito. Considerando ainda o circuito RLC -série da Figura 12.6.a, constataque a potência média dissipada pela resistência na ressonância é

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12.2 Circuitos Ressonantes

mW (12.34

e que as potências reactivas médias acumuladas na bobina e no condensador são, respectivamente,

VAr (12.35

e

VAr (12.36

ambas Qs

vezes superiores à potência dissipada por efeito de Joule na resistência. Pode também dizer

que o factor de qualidade de um circuito é o cociente entre a potência média acumulada nos elementoreactivos e a potência média dissipada por efeito de Joule no componente resistivo (na ressonância)

(12.37

Na ressonância, o condensador e a bobina trocam entre si as energias acumuladas, e não com a fonte.

Considere-se ainda o circuito RLC -série em conjunto com a expressão do fasor da corrente respectiva

(12.38

A corrente no circuito é máxima à frequência de ressonância ( X L=X C ), e tende para zero nos limites qa frequência se aproxima de zero ou de infinito. Como se indica na Figura 12.7, este comportamento frequência indica tratar-se de um filtro passa-banda centrado na frequência de ressonância. Designampor frequências de corte do filtro os valores de ω para os quais a amplitude da resposta em frequênciadecresce de um factor de √ 2 relativamente ao valor máximo (na figura indicadas pelas siglas ω1 e ω2

por largura de banda a diferença

(12.39

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12.2 Circuitos Ressonantes

Figura 12.7 Resposta em frequência de um circuito RLC -série ressonante

As frequências de corte ocorrem quando se verifica a igualdade

(12.40

ou seja

(12.4

A frequência de corte ω2 ocorre quando

(12.42

isto é,

(12.43

Por outro lado,

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12.2 Circuitos Ressonantes

(12.44

que em conjunto com (12.42) conduz à largura de banda

(12.45

A frequência de ressonância e as frequências de corte verificam a igualdade

(12.46

Na Figura 12.8 ilustra-se o efeito da variação dos parâmetros R, L e C sobre a selectividade da resposfrequência do circuito ressonante série. No primeiro caso, Figura 12.8.a, mantêm-se fixas a capacidadcondensador e a indutância da bobina e varia-se o valor da resistência, isto é, mantém-se fixa a frequêcentral da banda de passagem e varia-se o factor de qualidade, a largura de banda e o valor da correntresistência. No segundo caso, representado em 12.8.b, varia-se o cociente L/C e mantêm-se fixos os vdo produto LC e da resistência, ou seja, mantêm-se fixos a frequência de ressonância e o valor máximcorrente na resistência, e varia-se o factor de qualidade e a largura de banda respectiva.

Figura 12.8 Efeito dos parâmetros do circuito sobre a selectividade da resposta em frequência

Um outro aspecto característico do circuito ressonante série é a amplitude da resposta em frequência funções de transferência da entrada para os terminais da resistência, do condensador e da bobina. Por

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12.2 Circuitos Ressonantes

exemplo, no caso da tensão aos terminais da resistência obtém-se

(12.47

a qual coincide na forma com a resposta em frequência da corrente. Pelo contrário, nos casos das tensaos terminais do condensador e da bobina, obtém-se, respectivamente,

(12.48

e

(12.49

Como se pode verificar na Figura 12.9.a., os valores máximos das tensões aos terminais do condensada bobina não ocorrem exactamente à frequência de ressonância. No entanto, e como se indica na Fig12.9.b, quando o factor de qualidade é superior a 10, as frequências de máximo são praticamentecoincidentes com a frequência de ressonância do circuito. Por outro lado, verifica-se ainda que:

(i) da entrada para os terminais da resistência a resposta em frequência é de tipo passa-banda;

(ii) da entrada para os terminais do condensador, é de tipo passa-baixo;

(iii) e da entrada para os terminais da bobina, é de tipo passa-alto.

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12.2 Circuitos Ressonantes

Figura 12.9 Comparação das respostas em frequência das tensões aos terminais da resistência, dcondensador e da bobina

12.2.2 Circuito Ressonante Paralelo

Considere-se agora o circuito RLC -paralelo representado na Figura 12.10, aos terminais do qual se ad

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12.2 Circuitos Ressonantes

aplicada uma fonte de corrente sinusoidal cujo fasor é I= I ∠ 0.

Figura 12.10 Circuito RLC -paralelo ressonante

Este circuito apresenta um conjunto de características em tudo semelhantes às do circuito RLC -série,designadamente no que respeita à frequência de ressonância, ao factor de qualidade, à resposta emfrequência e à largura de banda. Por exemplo, a admitância do circuito

(12.50

caracteriza-se pela frequência de ressonância

(12.5

à qual a impedância do circuito é máxima. Pode facilmente demonstrar-se que o factor de qualidade elargura de banda são expressos por

(12.52

e por

(12.53

respectivamente, ao passo que as frequências de corte do filtro passa-banda correspondente são

(12.54

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12.2 Circuitos Ressonantes

Na prática, a análise do circuito RLC -paralelo deve ter em conta a resistência de perdas do enrolamenbobina, R

L, conforme se indica na Figura 12.11.a. Apesar de esta topologia ser aparentemente distinta

daquela considerada anteriormente, podem facilmente calcular-se os valores da bobina e da resistênciequivalente que o reconduzem à rede paralela anterior (Figura 12.11.b).

Figura 12.11 Circuito RLC -paralelo ressonante com resistência de perdas na bobina

Assim, uma vez que

(12.55

a multiplicação do numerador e do denominador pelo complexo conjugado ( R-jω L) conduz ao resulta

(12.56

Note-se, no entanto, que a resistência equivalente de perdas é uma função da frequência angular, e quindutância equivalente é uma função da resistência de perdas. O circuito equivalente representado na 12.11.b apresenta duas frequências características essencialmente distintas: a frequência de ressonâncqual a parte imaginária da admitância do circuito é nula e a frequência de admitância mínima. Estas dfrequências não coincidem necessariamente, pois neste circuito a resistência e a indutância equivalenambas uma função da frequência. A frequência de ressonância é tal que verifica a igualdade

(12.57

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12.2 Circuitos Ressonantes

portanto

(12.58

ou ainda

(12.59

A frequência de máxima impedância do circuito é obtida igualando a zero a derivada da expressão (1que, após simplificação, conduz a

(12.60

portanto, à conclusão de que ωr >ω

Zmax.

O factor de qualidade deste circuito é dado pelo cociente da resistência pela impedância da bobinaequivalente (ou da capacidade) à frequência de ressonância (ver Figura 12.11.b)

(12.6

Contudo, na maior parte dos casos práticos verifica-se que R Leq

<<Rs

e, portanto,

(12.62

coincide com o factor de qualidade da própria bobina.

Na Tabela 12.2 resumem-se as principais equações que caracterizam os circuitos ressonantes série, paideal e paralelo real.

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12.2 Circuitos Ressonantes

RLC-SÉRIERLC-PARALELO(ideal)

RLC-PARALELO(real)

FREQUÊNCIARESSONÂNCIA(ω

r )

FREQUÊNCIA MÁX.

IMPEDÂNCIA(ω Zmax

)

FACTORQUALIDADE(Q)

LARGURABANDA( LB)

Tabela 12.2 Equações características dos circuitos ressonantes série, paralelo ideal e paralelo re

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12.3 Notação de Laplace

12.3 Notação de Laplace

12.3.1 Função de Transferência

Considere-se o circuito RL na Figura 12.12.a e admita-se que a fonte de sinal é sinusoidal.

Figura 12.12 Circuito RL no domínio do tempo (a), em notação fasorial (b) e na notação de Laplace

A aplicação da Lei de Kirchhoff das tensões ao circuito permite escrever, no domínio do tempo,

(12.63

e em notação fasorial (Figura 12.12.b)

(12.64

Por exemplo, em notação fasorial pode definir-se a resposta em frequência

(12.65

que, neste caso, expressa a admitância do circuito vista a partir dos terminais da fonte. Contudo, a aplicaçtransformada de Laplace à igualdade (12.63), admitindo condições iniciais nulas (Figura 12.12.c), permitescrever

(12.66

em que s=σ+jω define uma variável no plano complexo. O cociente

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12.3 Notação de Laplace

(12.67

designa-se por função de transferência entre as variáveis tensão na entrada e corrente no circuito.

A relação entre a resposta em frequência e a função de transferência é

(12.68

isto é, a resposta em frequência coincide com a função de transferência calculada sobre o eixo imaginário(recorde-se que s é uma variável complexa). Esta igualdade permite escrever as impedâncias dos elementresistência e bobina na notação de Laplace

(12.69

podendo facilmente demonstrar-se que no caso do condensador se obtém

(12.70

Na Tabela 12.3 indicam-se as características da resistência, do condensador e da bobina no domínio do teem notação fasorial e na notação de Laplace.

COMPONENTEDOMÍNIOTEMPO

NOTAÇÃOFASORIAL

NOTAÇÃOLAPLACE

IMPEDÂNCIAFAS./LAPLA.

resistência v(t)=R.i(t) V= RI V(s)= RI(s) R

condensador I= jωC V I(s)=sC V(s)

bobina V= jω LI V(s)=sLI(s) jω L sL

Tabela 12.3 Características dos elementos resistência, condensador e bobina

As funções de transferência são em geral definidas por um cociente de dois polinómios

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12.3 Notação de Laplace

(12.7

que, por sua vez, podem ser escritos na forma de um produto de factores

(12.72

As raízes dos polinómios no numerador (- zi) e no denominador (- p

i) designam-se por zeros e pólos da fun

da transferência, respectivamente, raízes que dependem dos parâmetros do circuito e são, no caso geral,números complexos.

Considerem-se então os três circuitos representados nas Figuras 12.13.a, 12.13.b e 12.13.c.

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12.3 Notação de Laplace

Figura 12.13 Diagrama de pólos e zeros

No primeiro caso, Figura 12.13.a, a função de transferência entre as variáveis Vs(s) e V

C (s) é expressa pe

cociente

(12.73

e apresenta um pólo real negativo em -1/ RC . Por outro lado, no caso do circuito RLC representado na Fig12.13.b, a função de transferência entre a fonte de sinal e a tensão aos terminais do condensador é dada pcociente

(12.74

cuja representação na forma de um produto de factores é

(12.75

em que

(12.76

Os pólos em (12.76) podem ser reais, negativos e distintos (Q<0.5); reais, negativos e iguais (Q=0.5); oucomplexos conjugados (Q>0.5). Finalmente, no caso do circuito da Figura 12.13.c, a função de transferêentre os terminais da fonte de sinal e os terminais da resistência e da bobina é

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12.3 Notação de Laplace

(12.77

ou seja,

(12.78

em que z1=0, z2=R/L=ωo /Q e p1 e p2 são dados pela expressão (12.76) anterior. Neste caso, e como indic

na Figura 12.13.c, a função de transferência é composta por dois zeros, um dos quais na origem, e dois pneste caso considerados como reais, negativos e distintos (Q<0.5).

Uma das vantagens da notação de Laplace, e em particular da escrita da função de transferência na formaum produto de factores, é a possibilidade de a partir do diagrama de pólos e zeros ser possível identificarandamento da amplitude e da fase da resposta em frequência correspondente. Considere-se então a funçãtransferência

(12.79

neste caso com um zero real negativo e dois pólos complexos conjugados (Figura 12.14.a). A resposta emfrequência coincide com a função de transferência calculada sobre o eixo imaginário

(12.80

cuja representação em formato polar é

(

Como se vê nas Figuras 12.14.b a 12.14.g, a amplitude e a fase podem ser identificadas com as amplitudângulos (com o eixo real positivo) dos segmentos que unem os pólos e os zeros ao ponto no eixo imaginácorrespondente à frequência angular. Por exemplo, nas Figuras 12.14.b e 12.14.c representam-se as ample os ângulos dos vectores correspondentes à frequência angular ω=0 rad/s; nas Figuras 12.14.d e 12.14.e

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12.3 Notação de Laplace

considera-se a frequência angular ω=1 rad/s; e nas Figuras 12.14.f e 12.14.g considera-se o limite quandofrequência angular tende para infinito. Constata-se, assim, que a fase na origem (ω=0 rad/s) é nula e tend-π /2 radianos no limite sempre que a frequência angular tende para infinito.

Figura 12.14 Determinação gráfica da amplitude e da fase da resposta em frequência

12.3.2 Diagramas de Bode Canónicos

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12.3 Notação de Laplace

Considere-se a função de transferência

(12.82

definida pelo cociente entre dois polinómios na variável s, um de ordem- N (numerador) e outro de ordem(denominador). Nos sistemas estáveis as raízes podem ser:

(i) zeros reais, negativos, nulos ou positivos, ou então complexos conjugados;

(ii) pólos reais, negativos ou nulos, ou então complexos conjugadas com parte real negativa (ospólos com parte real positiva encontram-se associados a sistemas instáveis).

A forma factorizada de uma função de transferência é, portanto,

(12.83

em que o termo K ND

define uma constante, os índices Roz

e Rop

definem o número de zeros e de pólos na

origem, R z

e R p

indicam o número de zeros e pólos reais e, finalmente, C z

e C p

representam o número de

de zeros e de pólos complexos conjugados, respectivamente. Existem, portanto, sete tipos de factores cujdiagramas de Bode assintóticos interessa identificar:

(i) constantes;

(ii) zeros na origem;

(iii) pólos na origem;

(iv) zeros reais, negativos ou positivos;

(v) pólos reais negativos;

(vi) zeros complexos conjugados;

(vii) pólos complexos conjugados com parte real negativa.

Factores Constantes: os diagramas de Bode de amplitude e de fase dos factores constantes são constituí

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12.3 Notação de Laplace

por assíntotas horizontais de valor

(12.84

no caso da amplitude, e de valor

(12.85

no caso da fase.

Figura 12.15 Factores constantes

Zeros e Pólos na Origem: os zeros na origem caracterizam-se por uma assíntota oblíqua cujo declive é 2por década e por pólo,

(12.86

às quais pertence o ponto ω=1 rad/sec , 0 dB. Pelo contrário, os pólos na origem caracterizam-se por umaassíntota oblíqua com declive negativo,

(12.87

Os diagramas de fase dos zeros e dos pólos na origem são constituídos por assíntotas horizontais, no primcaso de valor Ro z

∗π / 2 radianos e no segundo de -Rop

∗π /2 radianos.

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12.3 Notação de Laplace

Figura 12.16 Zeros e pólos na origem

Zeros e Pólos reais: as assíntotas dos diagramas de Bode de amplitude e de fase dos pólos e dos zeros reforam determinadas na Secção 12.1.2. Por exemplo, no caso dos zeros

dB (12.88

para frequências inferiores ao módulo do zero, e

dB/década (12.89

para frequências superiores. No caso dos pólos

dB (12.90

e

dB/década (12.9

respectivamente para frequências inferiores e superiores ao módulo do pólo (Figura 12.17.b). A fase vari

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12.3 Notação de Laplace

π /2 radianos em torno da frequência do zero ou do pólo.

Figura 12.17 Zeros reais positivos e negativos (a) e pólos reais negativos (b)

Zeros e Pólos Complexos Conjugados: Nas funções de transferência com coeficientes reais, os zeros e pólos complexos são sempre conjugados dois a dois. Considere-se então o par de zeros complexos conju

(12.92

em que Q e ωo são, respectivamente, o factor de qualidade e a frequência natural (os sinais + e - aplicam-

zeros complexos conjugados com parte real positiva e negativa, respectivamente). A resposta em frequênneste caso,

(12.93

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12.3 Notação de Laplace

em que x=ω / ωo

define a frequência angular normalizada a ωo. De (12.93) resultam

(12.94

e

(12.95

respectivamente para a amplitude e para a fase. Na expressão da amplitude identificam-se as seguintes duassíntotas:

(12.96

para x<<1, e

(12.97

isto é, 40 dB por década para x>>1 (ver Figura 12.18.a). No que respeita à fase, as assíntotas são

(12.98

para x<<1, e

(12.99

para x>>1.

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12.3 Notação de Laplace

Figura 12.18 Par de zeros (a) e de pólos (b) complexos conjugados

As assíntotas constituem uma boa aproximação dos diagramas de Bode apenas nos casos em que x>>1 o x<<1, ou então quando o factor de qualidade é próximo de ½. Como se indica na Figura 12.19, para factoqualidade muito distintos de ½, o diagrama de Bode de amplitude difere substancialmente das assíntotas frequência normalizada x=1, apresentando em particular sobre-atenuações (zeros) ou sobre-elevações (póNo diagrama de fase, factores de qualidade elevados conduzem a transições abruptas de amplitude π radi junto ao valor de x=1, enquanto factores de qualidade inferiores a ½ conduzem a transições relativamente

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12.3 Notação de Laplace

Figura 12.19 Par de zeros (a) e de pólos (b) complexos conjugados

Simulador da Resposta em Frequência de Circuitos

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12.4 Filtros Eléctricos

12.4 Filtros Eléctricos

Um filtro tem como função seleccionar, rejeitar ou igualizar uma ou várias gamas de frequência de um sinaeléctrico. Os filtros constituem uma das aplicações mais comuns da electrónica, sendo amplamente utilizadaquisição e processamento de sinais audio, vídeo e de dados, em sistemas de alimentação, de telecomunica

de controlo, etc.

Nesta disciplina introduzem-se duas das principais técnicas de realização de filtros eléctricos: a técnica pasque utiliza essencialmente resistências, condensadores, bobinas e transformadores; e a técnica activa. Esta técnica faz referência a dispositivos electrónicos como o amplificador operacional de tensão e o transferidocorrente, e será abordada nos Capítulos 15 e 16. Convém desde já salientar que existem diversas técnicasalternativas às duas referidas, como sejam a digital e as técnicas amostradas dos condensadores e das correcomutadas.

Os filtros eléctricos podem ser de cinco tipos básicos (ver Figura 12.20): passa-baixo (a), passa-alto (b), pa

banda (c), rejeita-banda (d) e passa-tudo. É comum distinguirem-se os seguintes parâmetros e gamas defrequência na característica de selectividade de um filtro:

(i) a banda de passagem, que define a gama de frequências a seleccionar;

(ii) a banda de rejeição, que define a gama de frequências a rejeitar;

(iii) as bandas de transição entre bandas de passagem e bandas de atenuação;

(iv) a variação máxima na banda de passagem;

(v) a atenuação mínima garantida na banda de rejeição.

É com base nestes cinco parâmetros que geralmente se especifica a característica de selectividade de um fileléctrico.

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12.4 Filtros Eléctricos

Figura 12.20 Filtros eléctricos

12.4.1 Filtros Passa-Baixo

Os circuitos RC e RL da Figura 12.21 implementam ambos um filtro passa-baixo de 1.ª ordem.

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12.4 Filtros Eléctricos

Figura 12.21 Filtros RC e RL passa-baixo de 1.ª ordem

As funções de transferência são formalmente idênticas, designadamente

(12.100

no caso do circuito RC , e

(12.10

no caso do circuito RL. As bandas de passagem e de transição-atenuação estão compreendidas entre zero e

ω p

e infinito, respectivamente, sendo a variação máxima da amplitude na banda de passagem de -3 dB.

Na Figura 12.22 representam-se dois filtros passa-baixo com atenuação limitada na banda de rejeição.

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12.4 Filtros Eléctricos

Figura 12.22 Filtros passa-baixo com atenuação limitada

A função de transferência é constituída por um pólo e por um zero, designadamente

(12.102

no circuito RC , e

(12.103

no circuito RL. Como se verifica no diagrama de Bode de amplitude assintótico, estes dois filtros definemexplicitamente uma banda de transição e uma banda de rejeição na qual a atenuação máxima obtida éaproximadamente constante. A banda de transição é uma função da separação entre o pólo e o zero, enquanatenuação na banda de rejeição é uma função do cociente entre ambos.

A Figura 12.23 mostra um filtro passa-baixo de 2.ª ordem constituído por uma malha RLC -série.

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12.4 Filtros Eléctricos

Figura 12.23 Filtro RLC passa-baixo de 2.ª ordem

Neste caso a função de transferência possui dois pólos,

(12.104

os quais imprimem uma atenuação crescente com a frequência, ao ritmo de 40 dB por década, e introduzemvariação máxima na banda de passagem que é uma função do factor de qualidade dos pólos (Figura 12.23).

12.4.2 Filtros Passa-Alto

Os circuitos RC e RL representados na Figura 12.24 implementam ambos uma função de transferência de t

passa-alto de 1.ª ordem

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12.4 Filtros Eléctricos

Figura 12.24 Filtros RC e RL passa-alto de 1.ª ordem

(12.105

em que ω z

=ω p

=1 /RC no circuito RC e ω z

=ω p

=R/L no circuito RL. Neste caso, as bandas de passagem e de

atenuação-transição encontram-se compreendidas entre ω=ω p

e infinito e ω=0 e ω=ω p

, respectivamente, s

atenuação crescente para frequências decrescentes. Por outro lado, a variação máxima da amplitude na banpassagem é de -3 dB.

Os dois filtros passa-alto representados na Fig.12.25 impõem um limite à atenuação máxima na banda de re

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12.4 Filtros Eléctricos

Figura 12.25 Filtro passa-alto de 1.ª ordem com atenuação limitada

As funções de transferência respectivas possuem um zero na origem e um pólo real,

(12.106

no caso do circuito RC , e

(12.107

no caso do circuito RL.

Finalmente, na Figura 12.26 considera-se um filtro passa-alto de 2.ª ordem.

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12.4 Filtros Eléctricos

Figura 12.26 Filtro RLC passa-alto de 2.ª ordem

A função de transferência respectiva é

(12.10

12.4.3 Filtros Passa-Banda

Na Figura 12.27 consideram-se dois filtros passa-banda constituídos pela cascata de um passa-alto e de umbaixo de 1ª ordem.

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12.4 Filtros Eléctricos

Figura 12.27 Filtros RC e RL passa-banda de 1.ª ordem

Por exemplo, em (a) a função de transferência é

(12.109

que para R1<<R2 e C 1>>C 2 se simplifica para

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12.4 Filtros Eléctricos

(12.110

O zero na origem e o pólo ω p1 definem o limite inferior da banda de passagem do filtro, enquanto o segundpólo, ω

p2, define o limite superior respectivo (Figura 12.27.c). Pode facilmente demonstrar-se que o circui

LR da Figura 12.27.b apresenta uma função de transferência

(12.11

aproximação que é válida quando L1 R1>>L1 R2 e L2 R2>>L1 R2.

Na Figura 12.28 consideram-se dois filtros passa-banda de 1ª ordem alternativos às topologias em cascataanteriores. Em ambos os filtros, a amplitude da resposta em frequência é unitária em ω=1/ √ LC, frequênciaa bobina e o condensador se anulam mutuamente. Por outro lado, para frequências angulares superiores ouinferiores à frequência de ressonância, o divisor de impedâncias constituído pela resistência e pela malha L

apresenta valores sempre inferiores à unidade, sendo mesmo nulos para ω=0 e para ω=∞ . Este comportamem frequência permite associar o circuito a um filtro passa-banda centrado na frequência de ressonância.

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12.4 Filtros Eléctricos

Figura 12.28 Filtros RLC passa-banda de 1.ª ordem

As funções de transferência destes dois filtros são formalmente idênticas, designadamente

(12.112

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12.4 Filtros Eléctricos

em (a), e

(12.113

em (b).

12.4.4 Filtros Rejeita-Banda

A função de um filtro rejeita-banda é atenuar uma ou várias gamas de frequências limitadas, seja superior sinferiormente. Nas Figuras 12.29 e 12.30 ilustram-se os dois princípios com base nos quais se podem realizfiltros do tipo rejeita-banda. No primeiro caso, Figura 12.29, trata-se de estabelecer dois caminhos alternati

entre o terminal de entrada e o terminal de saída do filtro, um deles de tipo passa-alto e o outro de tipo passbaixo. Os sinais localizados entre as frequências de corte do filtro passa-baixo e do filtro passa-alto são rejpor ambos os caminhos.

Figura 12.29 Filtro rejeita-banda (por associação em paralelo de filtros passa-alto e passa-baixo)

No segundo caso, Figura 12.30, explora-se o facto de o somatório das funções de transferência da entrada pterminais dos diversos componentes do circuito ser obrigatoriamente unitário.

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12.4 Filtros Eléctricos

Figura 12.30 Filtro rejeita-banda (complementar de um filtro passa-banda)

Como se ilustra na Figura 12.30.b, dado que a função de transferência da entrada para os terminais da resisé de tipo passa-banda

(12.114

então a sua complementar

(12.115

deve necessariamente ser de tipo rejeita-banda, uma vez que ambas devem verificar a igualdade

(12.116

Na Figura 12.31 considera-se um filtro rejeita-banda constituído pelo paralelo de um filtro passa-baixo ( L e

um filtro passa-alto (C e R pa

). Este circuito particular pode ser redesenhado como na Figura 12.31.b, esque

qual se identifica uma das malhas RLC ressonantes estudadas anteriormente.

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12.4 Filtros Eléctricos

Figura 12.31 Filtro rejeita-banda

Estes dois filtros rejeita-banda de 1.ª ordem caracterizam-se pela função de transferência

(12.117

com R=R pb

// R pa

. A função de transferência (12.117) apresenta dois zeros imaginários puros no numerado

quais para ω=ωο

anulam a amplitude da resposta em frequência (Figura 12.31.c).

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12.4 Filtros Eléctricos

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Sumário

Sumário

Designa-se por análise da resposta em frequência o estudo do cociente entre dois fasores em função dfrequência. A representação em formato polar conduz a expressões para a amplitude e para a fase daresposta em frequência, cujas representações em escala logarítmica se designam diagramas de Bode. decibell (dB) de amplitude é dado por 20log10 da amplitude da resposta em frequência.

À frequência de ressonância, os circuitos apresentam um comportamento semelhante ao de uma rederesistiva pura, e os fasores da tensão e da corrente encontram-se em fase. A ressonância caracteriza-sefrequência de ressonância, factor de qualidade e largura de banda.

Uma função de transferência é uma função complexa definida pelo cociente entre as transformadas dLaplace de duas variáveis de um circuito. O cálculo da função de transferência sobre o eixo imaginárcoincide com a resposta em frequência do cociente entre os dois fasores respectivos. As raízes dospolinómios do numerador e do denominador de uma função de transferência designam-se por zeros erespectivamente. A representação gráfica no plano complexo dos pólos e dos zeros designa-se por diade pólos e zeros.

Os filtros eléctricos são circuitos cuja função é a selecção, rejeição ou igualização de uma ou várias gde frequência de um sinal eléctrico. Os filtros podem ser de cinco tipos básicos: passa-baixo, passa-alpassa-banda, rejeita-banda e passa-tudo.

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Exercícios de Aplicação

Exercícios de Aplicação

*12.1 Represente os diagramas de pólos e zeros e as assíntotas dos diagramas de Bode de amplitude e da resposta em frequência de cada uma das seguintes funções de transferência:

(a) com a=103 rad/s

(b)

(c) com ω1=106 rad/s

(d)

(e)

(f)

*12.2 Para cada um dos circuitos representados na Figura E12.2, determine a função de transferênciadefinida pelo cociente H(s)=V(s)/V

s(s). Determine também as expressões da amplitude e da fase da res

em frequência e represente os diagramas de Bode assintóticos respectivos.

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Exercícios de Aplicação

Figura E12.2

12.3 Para cada um dos circuitos representados na Figura E12.3, determine a função de transferênciarespectiva, represente o diagrama de pólos-zeros e indique o tipo de filtro que implementam.

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Exercícios de Aplicação

Figura E12.3

*12.4 Considere os diagramas de Bode de amplitude e de fase da Figura E12.4. Calcule os valores dasfrequências dos zeros e dos pólos e determine a respectiva função de transferência.

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Exercícios de Aplicação

Figura E12.4

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Simulador da Resposta em Frequência de Circuitos

Simulador da Resposta emFrequência de Circuitos

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11.1 Fasor e Impedância

11.1 Fasor e Impedância

11.1.1 Números Complexos e Sinais Sinusoidais

Os números complexos podem ser representados em dois formatos básicos (Figura 11.1): no formatorectangular

P = a + jb (11.1

em que a e b definem as coordenadas rectangulares do ponto no plano, e no formato polar

P = P∠ θ (11.2

cuja representação em notação exponencial é

P = Pe jθ (11.3

e em que P eθ definem, respectivamente, o módulo e o ângulo com a horizontal do segmento que uneponto com a origem. A conversão entre estes dois formatos baseia-se nas regras

Figura 11.1 Representação de um número complexo nos formatos rectangular (a) e polar (b)

(11.4

e

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11.1 Fasor e Impedância

(11.5

Os sinais sinusoidais são caracterizados por uma amplitude, uma frequência angular e uma fase na or

Por exemplo, o sinal

v(t) = V cos(ωt+θ) (11.6

define uma tensão eléctrica sinusoidal de amplitude máxima V , frequência angular ω e fase na origemPor outro lado, as funções cos( x) e sin( x) podem ser expressas em notação exponencial

(11.7

e

(11.8

respectivamente, podendo as exponenciais complexas expressar-se nas formas

(11.9

e

(11.10

Uma notação alternativa para as funções cos( x) e sin( x) consiste na utilização dos operadores Real de

Imaginário de. Neste caso,

(11.1

e

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11.1 Fasor e Impedância

(11.12

Os operadores Real de e Imaginário de gozam das seguintes propriedades:

(11.13

relativamente ao operador derivada, e

(11.14

relativamente ao operador adição.

Admita-se então que se pretende derivar o resultado da soma de duas funções sinusoidais, por exemp

(11.15

Recorrendo à notação estabelecida anteriormente, e sabendo que sin( x)=cos( x-π / 2), obtém-se

(11.16

que após aplicação sucessiva das propriedades enunciadas em (11.13) e (11.14) se simplifica para

(11.17

ou seja,

(11.18

ou ainda

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11.1 Fasor e Impedância

(11.19

como seria de esperar por resolução directa de (11.15). De acordo com este resultado, o tratamento deequação com funções sinusoidais pode ser efectuada recorrendo à função exponencial complexa, bastpara tal aplicar o seguinte procedimento:

(i) escreve-se a equação com base apenas na função cos( x);

(ii) converte-se a equação para a notação exponencial, efectuando a conversão cos( x) → e j

( x);

(iii) trata-se a equação na notação exponencial;

(iv) converte-se o resultado da notação exponencial à forma inicial, através do operador Real de.

11.1.2 Fasor

Considere-se a função exponencial complexa

(11.20

em conjunto com a sua representação no plano complexo (Figura 11.2.a). Nos instantes t=t ia expone

complexa vale

(11.2

valores que se repetem com uma periodicidade T=2π / ω. A periodicidade da função em (11.20) indicasegmento que une o centro do plano complexo aos pontos sobre a circunferência de raio A roda com uvelocidade angular de ω rad/s. No entanto, se se considerar um novo referencial que roda no sentido ahorário com uma velocidade angular ω, então nesse plano obtém-se (Figura 11.2.b)

(11.22

grandeza que é complexa, designada por fasor e representada pelas formas

(11.23

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11.1 Fasor e Impedância

ou

(11.24

Figura 11.2 Conceito de fasor

A importância da notação fasorial na análise do regime forçado sinusoidal deve-se ao facto de nos cirlineares excitados por fontes sinusoidais as tensões e as correntes em todos os nós e componentes docircuito serem também sinusoidais e com a mesma frequência angular. As metodologias de análise e representação das grandezas podem, portanto, ser abreviadas, de modo a conterem apenas a informaçrelativa à amplitude e à fase na origem, relegando para segundo plano aquela relativa à frequência an(e ao tempo) que, como se disse, é comum a todo o circuito. No entanto, a informação relativa à dinâmtemporal pode sempre ser recuperada, por exemplo através da sequência de operações

(11.25

11.1.3 Impedância Eléctrica

Considere-se a resistência representada na Figura 11.3.a, em conjunto com a Lei de Ohm corresponde

(11.26

e admita-se que a corrente é sinusoidal, i(t)=I cos(ωt+θ). De acordo com (11.26), a tensão aos terminresistência é também sinusoidal

(11.27

e apresenta uma fase na origem idêntica à da corrente. A representação da Lei de Ohm em notação

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11.1 Fasor e Impedância

exponencial

(11.28

permite escrever a relação fasorial

(11.29

Figura 11.3 Impedância eléctrica da resistência

a qual, basicamente, indica que os fasores da corrente e da tensão na resistência se encontram relacionpelo parâmetro resistência eléctrica. Como se indica na Figura 11.3.b, e dada a natureza real do parâm

R, os fasores da tensão e da corrente na resistência encontram-se em fase. Designa--se por impedâncieléctrica da resistência o cociente entre os fasores da tensão e da corrente (Figura 11.3.c)

Ω, ohm (11.30

Considere-se agora o condensador representado na Figura 11.4, cuja característica tensão-corrente éexpressa pela derivada

(11.3

e admita-se ainda que a tensão aplicada é sinusoidal, v(t)=V cos(ωt+θ). Neste caso, a representação emnotação exponencial

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11.1 Fasor e Impedância

(11.32

permite escrever a relação fasorial entre a tensão e a corrente

(11.33

a qual indica que no condensador o fasor da corrente se encontra avançado de π /2 radianos relativamefasor da tensão (Figura 11.4.b). A impedância eléctrica do condensador é um número imaginário puro(Figura 11.4.b)

Ω, ohm (11.34

cujo módulo é inversamente proporcional à frequência angular da sinusóide sob análise.

Figura 11.4 Impedância eléctrica do condensador

Por analogia com os resultados anteriores, verifica-se que a característica tensão-corrente da bobina (11.5)

(11.35

conduz à relação fasorial

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11.1 Fasor e Impedância

(11.36

de onde se obtém a expressão da impedância eléctrica

Ω, ohm (11.37

A relação (11.37) indica que o fasor da tensão na bobina se encontra avançada de π /2 radianosrelativamente à corrente.

Figura 11.5 Impedância eléctrica da bobina

Considere-se o circuito RL representado na Figura 11.6.a e admita-se que a tensão aplicada é sinusoidNeste caso,

(11.38

isto é,

(11.39

e a impedância do conjunto é

(11.40

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11.1 Fasor e Impedância

A impedância eléctrica de um componente ou de um conjunto de componentes é um número complexrepresentação no formato polar é

(Figuras 11.6.b), em que Z e ϕ representam o módulo e a fase, respectivamente, ao passo que no form

rectangular é

(Figura 11.6.c), em que R e X representam, respectivamente, as partes real e imaginária (esta última évulgarmente designada por reatância). O inverso da impedância designa-se por admitância eléctrica, cunidade é o siemens (S).

Figura 11.6 Circuito RL (a) e representação em coordenadas rectangulares (b) e polares (c) da impedeléctrica

Na Tabela 11.1 resumem-se as características tensão-corrente no domínio do tempo, as relações fasoras impedâncias e as admitâncias eléctricas dos componentes resistência, condensador e bobina.

COMPONENTEDOMÍNIO

TEMPONOTAÇÃOFASORIAL

IMPEDÂNCIA(Ω)

ADMITÂNCIA(S)

resistência v(t)=Ri(t) V= RI R G

condensador I= jωC V jωC

bobina V= jω LI jω L

Tabela 11.1 Resistência, condensador e bobina

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11.2 Leis de Kirchhoff em Notação Fasorial

11.2 Leis de Kirchhoff em Notação Fasorial

A validade das Leis de Kirchhoff estende-se à análise em notação fasorial do regime forçado sinusoidalexemplo, o somatório dos fasores de tensão ao longo de um caminho fechado satisfaz a igualdade (Figua)

(11.4

o mesmo se verificando com o somatório dos fasores das correntes incidentes num qualquer nó de um c(Figura 11.7.b)

(11.42

A aplicação conjunta das Leis de Kirchhoff e das relações fasoriais da resistência, do condensador e dabobina, permitem obter para as impedâncias exactamente as mesmas regras de associação em série e emparalelo estabelecidas no Capítulo 4, no âmbito dos circuitos resistivos puros. Por exemplo, no circuito Figura 11.7.a verifica-se que

Figura 11.7 Leis de Kirchhoff em notação fasorial

(11.43

ou seja,

(11.44

igualdade na qual se inscreve a expressão da associação em série de impedâncias

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11.2 Leis de Kirchhoff em Notação Fasorial

(11.45

Por outro lado, a aplicação da Lei de Kirchhoff das correntes ao circuito da Figura 11.7.b permite obtersucessivamente

(11.46

e

(11.47

igualdades nas quais se inscreve a expressão da associação em paralelo de admitâncias

(11.48

ou seja,

(11.49

Pode ainda demonstrar-se que as regras dos divisores de tensão e de corrente, estudados no Capítulo 4, stransponíveis para a análise fasorial do regime forçado sinusoidal. Por exemplo, e referindo aos dois cirrepresentados em 11.8, verifica-se que

(11.50

no caso do divisor de tensão em (a), e

(11.5

no caso do divisor de corrente em (b).

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11.2 Leis de Kirchhoff em Notação Fasorial

Figura 11.8 Divisores de tensão (a) e de corrente (b) em notação fasorial

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11.3 Métodos de Análise em Notação Fasorial

11.3 Métodos de Análise em Notação Fasorial

Os métodos de análise de circuitos são generalizáveis à análise fasorial do regime forçado sinusoidal.procedimentos de aplicação dos métodos dos nós e das malhas coincidem na forma com aquelesestabelecidos no Capítulo 5. São válidas todas as considerações relativas à construção da matriz do cie dos vectores coluna das variáveis e das fontes independentes, para além, naturalmente, dos diversosparticulares que permitem identificar a priori o número de equações linearmente independentes e adimensão da relação matricial a resolver. Em vez de repetir os dois métodos alternativos, e naturalmetodos os seus casos particulares, optou-se por desenvolver dois exemplos de aplicação cuja resoluçãoas diferenças existentes na parte numérica da obtenção dos resultados.

Considere-se então o circuito representado na Figura 11.9, com duas fontes de tensão sinusoidais de ifrequência angular, V

s1 e Vs2, e três impedâncias, Z1, Z2 e Z3, todas elas especificadas no formato po

Pretende-se determinar o fasor da corrente na impedância Z1, no sentido indicado na figura.

Figura 11.9 Método das malhas em notação fasorial (as fases estão especificadas em grau)

De acordo com o procedimento estabelecido no Capítulo 5, a aplicação da Lei de Kirchhoff das tensõmalhas-1 e -2 permite escrever a relação matricial

(11.52

cujas variáveis são os fasores das correntes nas malhas-1 e -2. A aplicação da regra de Cramer permitobter a expressão do fasor da corrente I1

(11.53

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11.3 Métodos de Análise em Notação Fasorial

a qual, por substituição dos valores indicados na Figura 11.9, conduz ao valor (a fase é especificada eradianos)

I1 = 49.2 ∠ 0.098 mA (11.54

ou seja

i1(t) = 49.2 cos(ωt+0.098) mA (11.55

Considere-se agora o circuito representado na Figura 11.10, no qual se indicam os valores da capacidda indutância, das resistências e da frequência angular da sinusóide imposta pela fonte de corrente. Pretende-se determinar o fasor da tensão V

C 1aos terminais do condensador.

A aplicação da Lei de Kirchhoff das correntes aos nós-1 e -2 do circuito permite escrever a relação m

(11.56

cujas variáveis são os fasores das tensões nos nós-1 e -2. A aplicação da regra de Cramer permite obtexpressão do fasor da tensão V1

(11.57

cuja solução numérica é

V1=1 ∠ -0.927 (11.58

No domínio do tempo, a tensão aos terminais do condensador toma então a forma

v1(t)= cos(10000t-0.927) (11.59

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11.3 Métodos de Análise em Notação Fasorial

Figura 11.10 Método dos nós em notação fasorial

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11.4 Teoremas Básicos em Notação Fasorial

11.4 Teoremas Básicos em Notação Fasorial

11.4.1 Transformação de Fonte

Uma fonte de tensão sinusoidal não ideal, expressa por um fasor de tensão (Vs) e por uma impedância (Z

sser transformada numa fonte de corrente sinusoidal por aplicação da transformação

(11.60

e

(11.6

Figura 11.11 Transformação de fonte em notação fasorial

Na Figura 11.12 representam-se alguns exemplos de fontes às quais se aplicou o teorema da transformaçãfonte.

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11.4 Teoremas Básicos em Notação Fasorial

Figura 11.12 Transformação de fonte em notação fasorial

Por exemplo, no caso (b) verifica-se que

(11.62

e que

(11.63

em que θs representa a fase na origem da fonte de tensão e ϕ

so ângulo do número complexo representativ

impedância da fonte.

11.4.2 Teorema de Thévenin e Equivalente de Norton

A metodologia de cálculo dos equivalentes de Thévenin e de Norton fasoriais baseia-se num conjunto deprocedimentos em tudo semelhantes aos estabelecidos no Capítulo 6, para os circuitos resistivos puros. NFigura 11.13 apresentam-se diversos circuitos que exemplificam a metodologia de cálculo dos equivalent

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11.4 Teoremas Básicos em Notação Fasorial

Thévenin e de Norton em notação fasorial.

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11.4 Teoremas Básicos em Notação Fasorial

Figura 11.13 Equivalentes de Thévenin e de Norton em notação fasorial

No circuito da Figura 11.13.a, o fasor da tensão de Thévenin coincide com a tensão em aberto medida entterminais a-b,

(11.64

ao passo que a impedância de Thévenin é expressa por

(11.65

No caso de 11.13.b, a fonte de corrente de Norton é

(11.66

e a impedância

(11.67

Finalmente, nos circuitos de 11.13.c e 11.13.d obtêm-se, respectivamente, os equivalentes de Thévenin

(11.6

(11.69

e

(11.70

11.4.3 Teorema da Sobreposição das Fontes

A generalização do teorema da sobreposição das fontes à análise fasorial do regime forçado sinusoidal - o

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11.4 Teoremas Básicos em Notação Fasorial

a adição dos fasores associados a fontes sinusoidais distintas - só pode efectuar-se nos casos em que se veuma mesma frequência angular. Na Figura 11.14 visualiza-se a causa desta limitação da aplicação do teorda sobreposição das fontes: os fasores associados a frequências angulares distintas reportam-se a planoscomplexos distintos, em particular devido à diferente velocidade angular com que cada plano é suposto giPor outro lado, frequências angulares distintas conduzem a valores também distintos para as impedânciaselementos condensador e bobina, devendo as contribuições de cada uma das fontes reportar-se aos seusparâmetros próprios.

Figura 11.14 Fasores de sinais sinusoidais com frequências angulares distintas

Considere-se então o circuito representado na Figura 11.15.a e admita-se que as duas fontes independentesinusoidais se caracterizam pela mesma frequência angular.

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11.4 Teoremas Básicos em Notação Fasorial

Figura 11.15 Teorema da sobreposição das fontes (fontes sinusoidais com idêntica frequência angul

De acordo com o teorema da sobreposição das fontes (em notação fasorial), o fasor da tensão V2 é expres

somatório

(11.7

em que (Figura 11.15.b)

(11.72

e (Figura 11.15.c)

(11.73

ou seja,

(11.74

O fasor em (11.74) corresponde à expressão no domínio do tempo

(11.75

Considere-se agora o circuito da Figura 11.16.a e admita-se que as duas fontes de sinal são sinusoidais, mapresentam frequências angulares distintas, ω1≠ ω2.

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11.4 Teoremas Básicos em Notação Fasorial

Figura 11.16 Teorema da sobreposição das fontes (fontes sinusoidais com frequências angulares disti

As consequências desta diferença são basicamente duas:

(i) as impedâncias dos componentes do circuito diferem consoante a fonte considerada;

(ii) os fasores relativos a cada uma das fontes não podem ser adicionados entre si, sendonecessário convertê-los primeiramente para o domínio do tempo.

Assim, no caso da fonte Vs (Figura 11.16.b) o fasor da tensão V2 é

(11.76

subjacente ao qual se encontra a frequência ω1=1000 rad/s, ao passo que no caso da fonte Is

(Figura 11.16

fasor é

(11.77

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11.4 Teoremas Básicos em Notação Fasorial

em que ω2=10000 rad/s. No domínio do tempo a tensão v2(t) é expressa por

(11.7

um resultado distinto daquele obtido em (11.75).

11.4.4 Teorema de Millman

A generalização do teorema de Millman é consequência da validade da transformação de fonte no regimeforçado sinusoidal. Como a Figura 11.17 indica visualmente, a aplicação sucessiva da transformação de fpermite associar e simplificar tanto a associação em paralelo de fontes de tensão não ideais, como a assocem série de fontes de corrente. A informação contida nas figuras é suficiente para constatar a igualdade naforma entre o teorema de Millman em notação fasorial e no domínio do tempo.

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11.4 Teoremas Básicos em Notação Fasorial

Figura 11.17 Teorema de Millman

11.4.5 Teorema de Miller

Considere-se o circuito da Figura 11.18, relativamente ao qual se pretende determinar a impedância equivà direita dos terminais a-b.

Figura 11.18 Teorema de Miller

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11.4 Teoremas Básicos em Notação Fasorial

A particularidade deste circuito consiste no facto de a impedância Z se encontrar ligada a dois terminais equais existe uma relação de ganho, conseguido pela fonte dependente -aV

x. A aplicação da Lei de Kirchh

tensões à única malha do circuito permite escrever a igualdade

(11.79

na qual se inscreve a impedância à direita dos terminais a-b

(11.80

A relação (11.80) indica que a impedância Z é dividida pelo factor (1+a), indicativo da tensão que na realse encontra aplicada aos terminais.

Um resultado de particular interesse inscrito na relação (11.80) é o designado efeito de Miller sobre acapacidade dos condensadores. Como se indica na Figura 11.19, nos casos em que a impedância Z é definpor um condensador, Z=( jωC )-1, o valor aparente da capacidade é amplificado de um factor (1+a)

(11.8

O efeito de Miller é amplamente utilizado na compensação da resposta em frequência de amplificadoresoperacionais e na redução do efeito de injecção do sinal de relógio em circuitos amostradores-retentores d

Figura 11.19 Efeito de Miller sobre a capacidade de um condensador

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11.5 Potência

11.5 Potência

11.5.1 Potência nos Elementos R , C e L

Considere-se o circuito representado na Figura 11.20 e admita-se que o fasor da fonte de tensão é Vs=V ∠

Figura 11.20 Potência dissipada numa resistência no regime forçado sinusoidal

Dada a natureza real da resistência, o fasor da corrente no circuito encontra-se em fase com o da tensão

(11.82

Em valores instantâneos,

(11.83

e

(11.84

que em conjunto conduzem à expressão da potência instantânea

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11.5 Potência

(11.85

Uma vez que a potência instantânea é periódica no tempo, e em particular com período duplo daquelescaracterísticos da corrente e da tensão (Figura 11.21.b), o valor médio respectivo é dado pelo integral

(11.86

ou seja,

(11.87

ou ainda

(11.88

A potência média dissipada numa resistência pode ainda ser expressa em função do valor eficaz da tensãda corrente (também designado valor rms, do inglês root mean square)

(11.89

valor que no caso dos sinais sinusoidais é dado por

(11.90

Considere-se agora o circuito da Figura 11.21, cujos fasores da tensão e da corrente se encontram desfasde π /2 radianos,

(11.9

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11.5 Potência

ou seja,

(11.92

e

(11.93

respectivamente. A potência instantânea fornecida ao condensador (Figura 11.21.b) é expressa pelo prod

(11.94

cujo valor médio no tempo é nulo,

(11.95

O resultado em (11.105) indica que o condensador não dissipa energia eléctrica, pelo contrário é um elecapaz de armazenar e restituir energia à fonte de alimentação. É facilmente demonstrável que a potênciadissipada numa bobina é identicamente nula.

Figura 11.21 Potência acumulada num condensador no regime forçado sinusoidal

11.5.2 Potência nos Circuitos RC e RL

Considere-se o circuito RC da Figura 11.22, relativamente ao qual se pretende determinar as potênciasinstantânea e média fornecida pela fonte.

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11.5 Potência

Figura 11.22 Potência dissipada num circuito RC

De acordo com a metodologia estabelecida anteriormente, o fasor da corrente no circuito é expresso pelocociente

(11.96

em que ϕ=artg(-1 / ω RC). As expressões da tensão e da corrente no domínio do tempo são, respectivame

(11.97

e

(11.98

A potência instantânea fornecida ao circuito pela fonte é expressa pelo produto

(11.99

ou ainda

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11.5 Potência

(11.100

cujo valor médio no tempo é

(11.10

ou

(11.102

ou ainda

(11.103

em que Z define o módulo da impedância do conjunto RC . Observando o triângulo das impedâncias da F11.22.b verifica-se que

(11.104

isto é, que a potência fornecida pela fonte ao circuito coincide na íntegra com aquela dissipada na resistê

(11.105

O resultado expresso por (11.105) concorda com a conclusão obtida anteriormente para as potências médissipadas pelos elementos resistência e condensador. A potência fornecida pela fonte é, assim, composduas parcelas:

(i) uma parcela relativa à energia dissipada por efeito de Joule na resistência, que constitui umprocesso irreversível;

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11.5 Potência

(ii) e outra parcela, alternadamente acumulada e restituída pelo condensador à fonte. Estastrocas de energia contribuem apenas para aumentar a amplitude máxima da corrente no circuito.

Pode facilmente demonstrar-se que a potência fornecida por uma fonte a um circuito RL coincide com aestabelecida em (11.105).

11.5.3 Potências Activa, Reactiva e Aparente

Considere-se o circuito representado em 11.23.a, constituído por uma fonte de tensão sinusoidal e umaimpedância Z= R+j X (Figuras 11.23 a e b).

Figura 11.23 Potências aparente, activa e reactiva

Admita-se ainda que a parte imaginária da impedância é positiva (hipótese que equivale a considerar a ccomo um circuito RL), que o fasor da tensão aplicada é

(11.106

e que, portanto, o fasor da corrente no circuito é (Figura 11.23.c)

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11.5 Potência

(11.107

O produto

VA, volt-ampere (11.108

define a potência aparentemente fornecida ao circuito pela fonte, potência que inclui seja a fracção dissina parte resistiva da impedância, seja a parte trocada com a parte imaginária. Por outro lado, designa-se potência reactiva o produto

VAr, volt-ampere reactivo (11.109

que representa a potência alternadamente trocada entre a fonte de tensão e o elemento acumulador de enAs potências aparente, reactiva e activa (activa no sentido de potência dissipada por efeito de Joule sobrresistências) definem o triângulo das potências representado na Figura 11.23.d. As potências activa e readefinem os catetos do triângulo, em direcções perpendiculares entre si, ao passo que a hipotenusa do medefine a potência aparente. O cociente entre a potência dissipada por efeito de Joule e a potência aparen

(11.110

é designado por factor de potência da carga e constitui uma medida da eficácia com que a potência étransferida da fonte para a carga. Quando o factor de potência é inferior à unidade, a corrente no circuitoencontra-se acima do valor estritamente necessário para transferir a potência que na realidade se transfeocorrendo perdas de energia desnecessárias por efeito de Joule sobre as linhas de distribuição.

A correcção do factor de potência é uma das tarefas que mais preocupa as companhias distribuidoras deenergia eléctrica. Com efeito, os consumidores de energia eléctrica, sejam eles os motores das fábricas, electrodomésticos nas casas etc., conduzem em geral a impedâncias com carácter indutivo, isto é, a cargparte imaginária é positiva. Nestes casos, o factor de potência pode ser aumentado introduzindo, em parcom a carga, um condensador de compensação, conduzindo assim à redução da parte reactiva da potênc

11.5.4 Teorema da Máxima Transferência de Potência

No âmbito dos circuitos resistivos puros, constatou-se que a máxima transferência de potência entre ume uma carga ocorre quando estas se encontram adaptadas, isto é, quando a carga e a resistência de saída fonte apresentam valores idênticos. Este teorema pode ser generalizado ao âmbito da análise fasorial do

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11.5 Potência

regime forçado sinusoidal, concluindo-se neste caso que a máxima transferência de potência ocorre quanimpedâncias da fonte e da carga são complexas conjugadas.

Considere-se então o circuito representado na Figura 11.24, constituído por uma fonte de tensão sinusoicom impedância de saída Z

s= R

s+ jX

s, e por uma carga complexa, Z= R+jX .

Figura 11.24 Teorema da máxima transferência de potência

O fasor da corrente no circuito é dado pelo cociente

(11.11

cujo módulo é

(11.112

De acordo com os resultados obtidos na secção anterior, o valor médio da potência activa (de Joule)efectivamente dissipada pela carga é

(11.113

Independentemente das partes resistivas da impedância de saída da fonte e da carga, Rs

e R respectivam

ambas positivas, o máximo da transferência de potência ocorre certamente quando

(11.114

dado que estas podem ser positivas (as bobinas) ou negativas (os condensadores). Neste caso, a expressãpotência média em (11.113) simplifica-se para

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11.5 Potência

(11.115

expressão que coincide na forma com aquela obtida anteriormente no âmbito da análise dos circuitos respuros. A determinação do máximo de (11.115) conduz então ao resultado

(11.116

o qual, em conjunto com (11.114), permite escrever a condição de máxima transferência de potência

(11.117

Na Figura 11.25 ilustra-se o significado prático da adaptação de impedâncias entre fonte e carga: a igual X=-X

s equivale a cancelar a parte reactiva do conjunto de impedâncias formado pela fonte e pela carga,

seja, a reconduzir o circuito à forma encontrada na análise das redes resistivas puras (Figura 11.25.b).Convém, no entanto, salientar o facto de a adaptação de impedâncias se verificar apenas para uma frequangular bem definida. Significa isto que a escolha da impedância de carga deve ser feita em função dafrequência para a qual se pretende maximizar a transferência de potência.

Figura 11.25 Adaptação de impedâncias

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Sumário

Sumário

O regime forçado sinusoidal estuda as relações existentes entre as amplitudes e as fases das variáveise corrente eléctrica nos circuitos excitados exclusivamente por fontes sinusoidais.

O fasor é uma entidade complexa que compila a informação relativa à amplitude e à fase na origem dsinusóide de tensão ou corrente, ao passo que a impedância eléctrica é o número complexo resultantecociente entre os fasores de tensão e corrente num componente. Os elementos resistência, condensadobobina apresentam impedâncias dadas por R, jω L e 1/ jωC , respectivamente, sendo nos dois últimos cuma função da frequência angular sob análise.

As Leis de Kirchhoff das tensões e das correntes, as regras de associação série e paralelo de impedâncas regras dos divisores de tensão e de corrente são generalizáveis à análise fasorial do regime forçadosinusoidal. O mesmo sucede com os métodos das malhas e dos nós, e os teoremas da transformação d

fonte, de Thévenin, de Norton, da sobreposição das fontes, de Millman e de Miller.

Apenas a resistência é responsável pela dissipação de energia (o efeito de Joule). Os elementoscondensador e bobina acumulam e restituem energia às fontes.

A máxima transferência de potência entre uma fonte e uma carga complexa ocorre quando a carga e aimpedância de saída da fonte são complexas conjugadas. Esta situação é designada por adaptação deimpedâncias.

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Exercícios de Aplicação

Exercícios de Aplicação

*11.1 Admitindo que a relação entre a corrente e a tensão num componente é dada por:

(a) v(t )= 10 cos(10000t ) e i(t )= 0.01 cos(10000t );

(b) v(t )= 10 cos(10000t +π /2) e i(t )= 0.01 cos(10000t );

(c) v(t )= 10 cos(10000t +π /2) e i(t )= 0.01 cos(10000t +π).

Indique qual o tipo de elemento em questão.

*11.2 Considere as seguintes expressões das tensões eléctricas v1(t ) e v2(t ) aos terminais de dois elemento

um circuito:

(a) v1(t )=10cos(10000t ) e v2(t )=10cos(10000t +π /2);

(b) v1(t )=10cos(t +π /3) e v2(t )=10cos(t+π /2).

Em cada um dos casos determine a expressão da tensão v(t )=v1(t )+v2(t ), recorrendo à notação fasorial.

*11.3 Efectue os seguintes cálculos:

(a) (b)

*11.4 Determine o valor do módulo, da fase, da parte real e da parte imaginária das impedâncias e admitânrepresentadas na Figura E11.4. Em qualquer dos casos, considere uma frequência f=1000 Hz.

Figura E11.4

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Exercícios de Aplicação

11.5 Considere o circuito representado na Figura E11.5. Determine os valores numéricos dos seguintes fasimpedâncias:

(a) a impedância vista à direita dos terminais da fonte;

(b) o fasor da corrente fornecida pela fonte de tensão.

Figura E11.5

*11.6 Considere o circuito representado na Figura E11.6. Por aplicação do método dos nós, determine o fa

tensão aos terminais do condensador. Estabeleça também a expressão da tensão no domínio do tempo.

Figura E11.6

*11.7 Considere o circuito representado na Figura E11.7. Determine a expressão da corrente i(t ) na resistê

Figura E11.7

11.8 Considere os circuitos representados na Figura 11.8. Por aplicação do método dos nós ou das malhasobtenha a relação matricial relativa às tensões e às correntes nos diversos nós e elementos do circuito.

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Exercícios de Aplicação

Figura E11.8

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Exercícios de Aplicação

*11.9 Determine os equivalentes de Thévenin e Norton dos circuitos representados na Figura E11.9.

Figura E11.9

*11.10 Por aplicação do teorema da sobreposição das fontes, determine a expressão da tensão vo(t ) indicad

circuito representado na Figura E11.10. Admita que:

(a) ω1=ω2=1000 rad/s;

(b) ω1=1000 rad/s e ω2=500 rad/s.

Figura E11.10

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Exercícios de Aplicação

11.11 Considere os circuitos representados na Fig.E.11.11. Determine o valor da indutância ( L) e da resist( R) para as quais se verifica a máxima transferência de potência entre a fonte e a carga RL.

Figura E11.11

11.12 Considere o circuito representado na Figura E11.12. Determine:

(a) a potência instantânea transferida para cada elemento;

(b) a potência média dissipada por cada elemento;

(c) a potência activa, aparente e reactiva fornecida pela fonte.

Figura E11.12

Desenhe o respectivo triângulo das potências.

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10.1 Topologias Básicas

10.1 Topologias Básicas

Um circuito é de 2.ª ordem quando contém dois elementos armazenadores de energia irredutíveis entr(dois condensadores, duas bobinas ou um condensador e uma bobina). Dois elementos são irredutíveisi quando se não podem associar ou em série ou em paralelo. Na Figura 10.1 apresentam-se alguns cicom múltiplos condensadores e bobinas, uns de 1.ª e outros de 2.ª ordem. Por exemplo, apesar de oscircuitos energia, as dinâmicas RC e RL representados nas Figuras 10.1.b e 10.1.c conterem múltiploselementos armazenadores de respectivas são ainda governadas por equações diferenciais de 1ª ordemcontrário, os circuitos representados nas Figuras.10.1.d, 10.1.e, 10.1.f e 10.1.g são todos de 2.ª ordemporque são constituídos por um condensador e uma bobina, e outros porque são constituídos porcondensadores ou bobinas irredutíveis entre si por associação em série ou em paralelo.

Figura 10.1 Circuitos de 1.ª e de 2.ª ordem

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10.1 Topologias Básicas

Independentemente da complexidade aparente da sua topologia, qualquer circuito RC , RL ou RLC de ordem pode sempre ser redesenhado numa das três configurações básicas ilustradas na Figura 10.2. Ocentral define um subcircuito constituído unicamente por resistências e fontes de tensão ou de correntbloco que se encontra ligado nos seus dois portos de acesso a dois elementos armazenadores de energrepresentação de um circuito nesta forma permite simplificar a formulação das equações diferenciais governam a dinâmica temporal respectiva, vantagem que adiante se verá ser particularmente notória naplicação do método das variáveis de estado. A título de exemplo, na Figura 10.3 redesenham-se osesquemas eléctricos dos quatro circuitos de 2.ª ordem representados na Figura 10.1.

Figura 10.2 Circuito RC (a), RL (b) e RLC (c) de 2.ª ordem

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10.2 Formulação das Equações

10.2 Formulação das Equações

Existem duas alternativas para a representação das equações que governam o funcionamento de um circuitoordem:

(i) representação na forma de uma equação diferencial linear escalar de 2.ª ordem

(10.

em que α e ωo

2 são duas constantes designadas por coeficiente de amortecimento e frequência

angular de oscilação, f(t) representa o termo forçado pelas fontes independentes do circuito e x(t) define a variável (tensão ou corrente) cuja dinâmica se pretende estabelecer;

(ii) representação na forma de um sistema de equações diferenciais de 1.ª ordem,

(10.

designadas no conjunto por equações de estado do circuito. Neste caso, x1(t ) e x2(t ) representam as

variáveis associadas à energia nos elementos condensador e bobina, respectivamente a tensão e acorrente, f 1(t ) e f 2(t ) constituem o vector dos termos forçados pelas fontes independentes no

circuito e, finalmente, a matriz A representa a topologia do circuito considerado. A forma (10.2)transporta consigo o potencial da simulação numérica da dinâmica temporal de um circuito.

As equações (10.1) e (10.2) podem ser obtidas por intermédio de três métodos alternativos: o método dasubstituição, o método do operador-s e o método das variáveis de estado. De seguida exemplifica-se a aplicde cada um destes métodos alternativos a diversos circuitos de 2ª ordem.

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10.2 Formulação das Equações

Figura 10.3 Representações simplificadas de quatro circuitos de 2.ª ordem

10.2.1 Método da Substituição

O método da substituição é geralmente utilizado na análise de circuitos de reduzida complexidade. Dois exede circuitos deste tipo são as redes representadas na Figura 10.4.

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10.2 Formulação das Equações

Figura 10.4 Aplicação do método da substituição

Considere-se então o circuito RLC -série sem fontes independentes representado na Figura 10.4.a. A aplicaçLei de Kirchhoff das tensões à malha do circuito permite escrever a igualdade

v R

(t ) + v L

(t ) + vC

(t ) = 0 (10.

a qual, em conjunto com as características tensão-corrente dos componentes, se pode reescrever como

(10.4

em que i(t ) e vC

(t ) definem, respectivamente, a corrente na bobina (e no condensador) e a tensão no conden

No entanto, por substituição da característica tensão-corrente do condensador, i(t )=CdvC

(t ) /dt , obtém-se

(10.

ou ainda

(10.

Caso o objectivo da análise consistisse na determinação da equação diferencial que governa a corrente na bi L

(t ), então a passagem entre as equações (10.4) e (10.5) deveria ter sido efectuada recorrendo à característi

inversa do condensador,

(10.7

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10.2 Formulação das Equações

isto é, através da escrita de (10.4) na forma (i L

=iC

=i)

(10.

Neste caso, a aplicação do operador derivada às partes esquerda e direita da igualdade (10.8)

(10.

conduz à equação diferencial de 2.ª ordem

(10.10

cuja forma é idêntica àquela estabelecida anteriormente para a tensão aos terminais do condensador.

De acordo com o exemplo anterior, podem identificar-se neste método os seguintes passos:

(i) obtenção de uma equação que contém as variáveis relativas aos dois elementos armazenadoresde energia, designadamente a tensão aos terminais do condensador e a corrente na bobina;

(ii) substituição da variável não desejada, neste caso recorrendo às características tensão-correntedo condensador ou da bobina;

(iii) quando necessário, derivação de ambos os termos da equação diferencial de modo a obter umaequação diferencial de 2.ª ordem.

Considere-se agora o circuito RLC -paralelo representado na Figura 10.4.b e admita-se que se pretende detea equação diferencial que governa a tensão aos terminais do condensador, v

C (t ). A aplicação da Lei de Kirc

das correntes ao nó- X permite escrever a igualdade

(10.1

ou seja,

(10.12

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10.2 Formulação das Equações

Neste caso, a substituição da característica tensão-corrente da bobina

(10.1

permite rescrever (10.12) na forma

(10.14

que, após derivação, conduz à equação diferencial de 2.ª ordem

(10.15

10.2.2 Método do Operador-s

O método do operador-s pode ser aplicado a dois níveis essencialmente distintos: ao nível do sistema de eqresultante da aplicação do método dos nós ou das malhas, ou directamente ao nível das características tensãcorrente dos elementos condensador e bobina.

Considere-se o circuito RLC representado na Figura 10.5.a, relativamente ao qual se pretende determinar a

equação diferencial que governa a tensão aos terminais do condensador, vC (t ).

Figura 10.5 Aplicação do método do operador-s

A análise deste circuito pode ser feita com base no método das malhas, útil por exemplo para determinar ascorrentes no condensador e na bobina, ou por intermédio do método dos nós (Figura 10.5.b). Neste último caplicação sucessiva da Lei de Kirchhoff das correntes aos nós-1 e -2 do circuito permite escrever as igualda

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10.2 Formulação das Equações

(10.1

que, por substituição das relações v1(t )=v L

(t )=Ldi L

(t ) /dt e v2(t )=vC

(t ), conduzem ao sistema de duas equaçõ

diferenciais de 1.ª ordem

(10.17

O método do operador-s consiste basicamente em substituir o operador derivada por uma variável algébrica

(10.1

seguido da resolução do sistema de equações e da reconversão da variável algébrica no operador derivada dacordo com a regra

(10.19

No caso particular do sistema de equações diferenciais de 1.ª ordem, expresso em (10.17),

(10.20

cuja representação sob a forma matricial é

(10.2

A resolução do sistema de equações em ordem à variável vC

conduz à expressão

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10.2 Formulação das Equações

(10.22

ou seja,

(10.2

Assim, a reconversão da variável algébrica no operador derivada conduz à equação diferencial de 2ª ordem

(10.24

cuja forma canónica é

(10.2

De acordo com o exemplo anterior, podem identificar-se no método do operador-s os seguintes cinco passo

(i) obtenção de um sistema de equações diferenciais em função da tensão no condensador, dacorrente na bobina e das respectivas derivadas;

(ii) conversão do operador derivada numa variável algébrica, d/dt → s;

(iii) resolução do sistema de equações algébricas em ordem à variável desejada;

(iv) rearranjo da expressão na forma xD(s) =N(s), em que x representa a variável desejada;

(v) e, finalmente, reconversão da variável algébrica s no operador derivada de acordo com a regra

sk →

d k /dt

k .

Uma metodologia alternativa à apenas descrita consiste em converter o operador derivada na variável algébdirectamente ao nível das características tensão-corrente dos elementos condensador e bobina. Com efeito, vez que

(10.2

e

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10.2 Formulação das Equações

(10.27

pode efectuar-se directamente a conversão

(10.2

e

(10.29

Como se indica nas Figura 10.6.b e 10.6.c, estas relações são tais que os elementos condensador e bobina poser encarados como ´resistências´ cujo valor é 1 /sC e sL, respectivamente, podendo a partir de então ser apos mesmos métodos de análise considerados durante o estudo dos circuitos resistivos puros (em capítulos

posteriores ver-se-á que estes parâmetros coincidem com as impedâncias dos elementos escritas na forma dLaplace).

Figura 10.6 Aplicação do método do operador-s

Por exemplo, a aplicação da Lei de Kirchhoff das correntes aos nós-1 e -2 do circuito representado na Figurc permite escrever o sistema de equações (v2=v

C )

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10.2 Formulação das Equações

(10.30

cuja resolução em ordem à variável v2=vC

conduz à expressão

(10.3

ou ainda

(10.32

a qual coincide com aquela obtida em (10.22). A obtenção da equação diferencial de 2.ª ordem a partir de (1baseia-se nos mesmos passos estabelecidos anteriormente.

10.2.3 Método das Variáveis de Estado

O método das variáveis de estado tem como finalidade a obtenção de um sistema de equações diferenciais dordem, uma por cada condensador e bobina irredutível existente no circuito. As variáveis de estado de um c

coincidem com as grandezas associadas à energia armazenada nos condensadores e nas bobinas, respectivaa tensão e a corrente eléctricas. Apesar da sua importância para a simulação numérica de circuitos eléctricosequações de estado de um circuito podem sempre ser condensadas numa única equação diferencial, cuja ordcoincide com o número de equações diferenciais de 1.ª ordem contidas no sistema.

Considere-se o circuito RC de 2.ª ordem representado na Figura 10.7.a, constituído por dois condensadoresirredutíveis entre si.

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10.2 Formulação das Equações

Figura 10.7 Aplicação do método das equações de estado

As variáveis de estado do circuito são, por definição, as tensões aos terminais dos condensadores C 1 e C 2,

respectivamente vC 1

(t ) e vC 2

(t ). Apesar de não ser estritamente necessário para a aplicação do método, acon

se sempre o redesenhar do circuito pondo em evidência a ligação dos dois elementos armazenadores de eneum diporto constituído unicamente por resistências e fontes de tensão ou de corrente (Figura 10.7.b). Uma vas variáveis de estado são ambas tensões, opta-se por aplicar a Lei de Kirchhoff das correntes aos nós de ligdos condensadores ao diporto (nós-1 e -2). No presente caso obtêm-se as duas equações

(10.3

que, por substituição da característica do condensador, se podem reescrever na

(10.34

cujas forma canónica e representação sob a forma matricial são

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10.2 Formulação das Equações

(10.35

e

(10.3

respectivamente.

Podem fazer-se as seguintes considerações relativamente à relação matricial (10.36):

(i) as variáveis de estado, , as respectivas derivadas, , as fontesindependentes e a topologia do circuito encontram-se compiladas em vectores e matrizes distintas;

(ii) as derivadas das variáveis de estado, entenda-se o ritmo de variação no tempo das variáveis deestado, são dadas em cada instante pelo valor actual das próprias variáveis de estado adicionadasdos efeitos das fontes independentes do circuito.

O ponto (ii) justifica a grande importância dada às equações de estado na simulação numérica em computadcircuitos eléctricos. Esta formulação indica que se num dado instante de tempo ( t o) forem conhecidas as co

iniciais das variáveis de estado do circuito, no presente caso as tensões vC1

(t o) e vC2

(t o), então as derivadas

expressas pela relação matricial (10.36) permitem calcular numericamente as variáveis de estado num instatempo imediatamente seguinte, t 1=t o+∆t , através da aproximação

(10.37

A iteração deste procedimento permite determinar a evolução no tempo das variáveis de estado.

As equações de estado expressas por (10.36) permitem obter uma equação diferencial escalar de 2.ª ordem. exemplo, por conversão do operador derivada (em ordem ao tempo) numa variável algébrica obtém-se

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10.2 Formulação das Equações

(10.3

que, após re-arranjo dos seus termos, permite escrever a relação matricial

(10.39

cuja forma é semelhante àquela obtida por aplicação do método do operador-s. Por exemplo, a resolução de

sistema de equações em ordem à variável vC1 conduz ao cociente de polinómios na variável-s

(10.40

ou seja,

(10.4

que, após reconversão da variável algébrica no operador derivada, conduz à equação diferencial de 2.ª orde

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10.2 Formulação das Equações

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10.3 Solução Natural

10.3 Solução Natural

10.3.1 Soluções Naturais Alternativas

A solução de uma equação diferencial com termo forçado nulo

(10.4

cujo polinómio característico e raízes respectivas são, respectivamente,

(10.4

e

(10.4

designa-se por solução natural. Esta estabelece a dinâmica temporal de um circuito excitado unicamente pelas energias armazencondensadores e nas bobinas que o constituem.

As raízes em (10.45) podem ser de quatro tipos essencialmente distintos: reais e distintas (α >ωo); reais e iguais (α =ωo); compl

conjugadas(α <ωo); ou imaginárias puras (α =0).

(a) sobre-amortecida

(b) criticamente amortecida

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10.3 Solução Natural

(c) sub-amortecida

(d) oscilatória

Figura 10.8 Soluções naturais alternativas

Por conseguinte, a solução natural da equação diferencial pode apresentar uma de quatro formas básicas, a saber (ver Figura 10.8

(i) sobre-amortecida (α >ωo), assim designada por resultar do somatório de duas exponenciais reais negativas (Figura

10.8.a),

(10.4

em que , e A1 e A2 são duas constantes a determinar por imposição das condições inicial e de

continuidade;

(ii) criticamente amortecida (α =ωo), neste caso definida pelo produto de uma exponencial real negativa por uma função

linear (Figura 10.8.b),

(10.4

(iii) sub-amortecida (α <ωo), constituída em particular pelo somatório de duas exponenciais complexas conjugadas

(Figura 10.8.c),

(10.4

(iv) oscilatória (α=0), dada pelo somatório de duas exponenciais imaginárias puras (Figura 10.8.d),

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10.3 Solução Natural

(10.4

e à qual correspondem oscilações sinusoidais de frequência ωο.

A distinção entre as diversas soluções alternativas pode ser efectuada com base apenas no cociente

(10.5

designado por factor de qualidade. De acordo com esta definição, as quatro soluções alternativas caracterizam-se pelos seguintesde qualidade:

(i) sobre-amortecida: α >ωο ⇔ 0<Q<0.5;

(ii) criticamente-amortecida: α =ωο ⇔ Q=0.5;

(iii) sub-amortecida: α <ωο ⇔ Q>0.5;

(iv) oscilatória: α=0 ⇔ Q=∞ .

10.3.2 Solução Sobre-amortecida

Considere-se o circuito RLC -série representado na Figura 10.9,

Figura 10.9 Solução natural sobre-amortecida

em conjunto com as equações diferenciais de 2.ª ordem que governam a tensão aos terminais do condensador, vC

(t ), e a corrente

bobina, i L

(t ) ,

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10.3 Solução Natural

(10.5

e

(10.5

respectivamente. Admita-se ainda que o factor de qualidade do circuito é inferior a 1/2,

(10.5

isto é, que as raízes do polinómio característico são reais, negativas e distintas

(10.5

A dinâmica da tensão aos terminais do condensador tem a forma

(10.5

cujas constantes A1 e A2 são determinadas por imposição das condições inicial e de continuidade das energias armazenadas no

condensador e na bobina,

(10.5

ou seja,

(10.5

Na Figura 10.9 representa-se a solução natural sobre-amortecida de um circuito RLC -série (as duas curvas ilustradas referem-se distintos do factor de qualidade, admitindo sempre nula a corrente inicial na bobina, i

L(0)=0).

Simulador da Solução Natural de Circuitos RLC -série

10.3.3 Solução Criticamente Amortecida

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10.3 Solução Natural

Considere-se de novo o circuito RLC -série e admita-se que os parâmetros R, L e C são tais que o factor de qualidade do circuito ou seja,

(10.5

As raízes do polinómio característico são reais, negativas e iguais,

(10.5

e a tensão aos terminais do condensador é

(10.6

cujas constantes A1 e A2 verificam as relações

(10.6

de onde resultam as igualdades

(10.6

Na Figura 10.10 representa-se a solução natural de um circuito RLC -série criticamente amortecido (as curvas representadas refe

pares distintos de condições iniciais, ).

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10.3 Solução Natural

Figura 10.10 Solução natural criticamente amortecida

Simulador da Solução Natural de Circuitos RLC -série

10.3.4 Solução Sub-amortecida

A solução natural sub-amortecida caracteriza-se pela relação α <ωo, portanto Q>0.5,

(10.6

à qual correspondem as raízes complexas conjugadas

(10.6

Considerando o mesmo circuito RLC -série dos exemplos anteriores, verifica-se então que a tensão aos terminais do condensadorexpressa por

(10.6

ou, em alternativa,

(10.6

em que A1 e A2, ou A3 e θ, se obtêm a partir das condições iniciais no condensador e na bobina. Conforme se ilustra na Figura 10

solução (10.66) apresenta oscilações de frequência angular ωd =(ωo

2-α2)1/2.

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10.3 Solução Natural

Figura 10.11 Solução natural sub-amortecida

As condições inicial e de continuidade da energia armazenada no condensador e na bobina permitem determinar as constantes A

em (10.65) ou, em alternativa, as constantes A3 e θ em (10.66). Por exemplo, as constantes A3 e θ obtém-se a partir do sistema d

equações

(10.6

cuja solução é

(10.6

Simulador da Solução Natural de Circuitos RLC -série

10.3.5 Solução Oscilatória

No regime oscilatório as raízes do polinómio característico da equação diferencial são imaginárias puras

(10.6

verificando-se em particular R=0, α=0 e Q=∞ . A solução é expressa pelo somatório de duas exponenciais complexas

(10.7

que também se podem escrever na forma

(10.7

Por exemplo, no caso das constantes A3 e θ, verifica-se que

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10.3 Solução Natural

(10.7

de onde resultam

(10.7

Na Figura 10.12 representam-se duas soluções oscilatórias possíveis, correspondentes a condições iniciais distintas.

Figura 10.12 Solução natural oscilatória

A solução oscilatória apresenta diversas particularidades cuja importância convém desde já referir: as oscilações mantêm-se comamplitude constante ao longo de um intervalo de tempo indefinido, o que permite classificar este circuito como um oscilador sina energia é trocada entre o condensador e a bobina. Com efeito, se se calcular a corrente na bobina,

(10.7

verifica-se que a energia armazenada no condensador

(10.7

e a energia armazenada na bobina

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10.3 Solução Natural

(10.7

somam um valor constante

(10.7

Os pontos de máximo da energia armazenada no condensador coincidem com os pontos de mínimo (zero) da energia acumuladabobina, e vice-versa.

Simulador da Solução Natural de Circuitos RLC -série

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10.4 Solução Forçada

10.4 Solução Forçada

Os circuitos de 2.ª ordem com fontes independentes são governados por equações diferenciais com teforçado

(10.78

A solução é composta por duas parcelas

(10.79

em que xn(t ) e x

f (t ) definem, respectivamente, a solução natural e a solução forçada pelas fontes

independentes. A solução forçada por si só verifica a equação diferencial (10.78) e é independente dacondições inicial e de continuidade. Na Tabela 10.1 indicam-se as soluções forçadas mais comuns naanálise de circuitos eléctricos.

TERMO FORÇADO f (t ) SOLUÇÃO FORÇADA x f (t )

K B

K cos(ωt ) Bccos(ωt ) + Bssin(ωt )

K e-at Be-at

Kt B2t + B1

Kt 2 B3t 2 + B2t + B1

Tabela 10.1 Soluções forçadas mais comuns na análise de circuitos eléctricos

10.4.1 Solução Forçada Constante

Considere-se o circuito RLC na Figura 10.13.a e admita-se que a fonte de corrente independente tem forma de um degrau com origem em t=0, i

s(t )=I

s.u(t ). Admita-se ainda que as condições iniciais do c

são vC

(0) e i L

(0), e que se pretende determinar a expressão da tensão aos terminais do condensador pa

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10.4 Solução Forçada

Figura 10.13 Regime forçado constante

Considere-se primeiramente o regime natural do circuito, cuja equação diferencial é (Figura 10.13.b)

(10.80

e em que α, ωo e Q são, respectivamente,

(10.8

(10.82

e

(10.83

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10.4 Solução Forçada

A solução natural é neste caso criticamente amortecida,

t>0 (10.84

em que A1 e A2 são duas constantes.

Considere-se agora o regime forçado do circuito (Figuras 10.13.a ou 10.13.c). A equação diferencial termo forçado é neste caso

(10.85

cuja solução é

t>0 (10.86

com B constante. A solução (10.86) deve, por si só, verificar a equação diferencial (10.85),

(10.87

ou seja,

(10.88

A solução completa do circuito é então dada pela soma das soluções natural, (10.84), e forçada, (10.8

t>0 (10.89

cujas constantes A1 e A2 são tais que

(10.90

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10.4 Solução Forçada

isto é,

(10.9

Portanto,

t>0 (10.92

cujo limite quando t → ∞ é RI s, e

t>0 (10.93

que neste caso tende para zero quando t → ∞. Estes resultados indicam que a totalidade da correntefornecida pela fonte é desviada para a resistência, e que no limite t → ∞ , o circuito se comporta comterminais do condensador e da bobina se encontrassem em aberto e em curto-circuito, respectivament(veja-se a Figura 10.13.d).

Na tabela 10.2 expôem-se as soluções completas da tensão aos terminais do condensador nos casos emo termo forçado é constante e os valores dos componentes são tais, que a solução natural é sobre-amortecida, criticamente amortecida e sub-amortecida. Na Figura 10.14 comparam-se diversas soluçõforçadas constantes de um circuito RLC de 2.ª ordem (as condições iniciais no condensador e na bobisempre nulas).

SOLUÇÃONATURAL

SOLUÇÃO COMPLETAv

C (t )=v

C-n(t ) + v

C-f (t )

SOLUÇÃO COMPLETAv

C (0)=0 ; i

L(0)=0

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10.4 Solução Forçada

sobre-amortecida

criticamenteamortecida

sub-amortecida

Tabela 10.2 Soluções alternativas de um circuito RLC de 2.ª ordem com termo forçado constan

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10.4 Solução Forçada

Figura 10.14 Solução forçada constante

Simulador da Solução Forçada Constante de Circuitos RLC -série

10.4.2 Solução Forçada Sinusoidal

Considere-se novamente o circuito RLC representado na Figura 10.13.a, admitindo desta vez que a focorrente é de tipo sinusoidal, i

s(t )=u(t ). I

scos(ωt ). A equação diferencial que rege o funcionamento do

circuito tem um termo forçado sinusoidal

(10.94

cuja solução completa é (note-se que neste exemplo α =ωo)

(10.95

As constantes Bc

e Bs

são tais que

(10.96

isto é,

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10.4 Solução Forçada

(10.97

A igualdade em (10.97) exige que se verifiquem em simultâneo as relações

(10.98

cuja resolução conduz às soluções

(10.99

Finalmente, as constantes A1

e A2

são tais, que a solução completa verifica as condições inicial e de

continuidade da energia armazenada no condensador e na bobina,

(10.100

de onde resultam

(10.10

Simulador da Solução Forçada Sinusoidal de Circuitos RLC -série

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Sumário

Sumário

Os circuitos RC , RL e RLC de 2.ª ordem são governados por equações diferenciais lineares escalares ordem. Os circuitos são de 2.ª ordem quando contêm um condensador e uma bobina, ou então doiscondensadores ou duas bobinas irredutíveis entre si.

A equação diferencial de um circuito de 2.ª ordem pode ser obtida por intermédio de três métodosalternativos: o método da substituição, o método do operador-s e o método das variáveis de estado. Asolução de uma equação diferencial de 2.ª ordem com termo forçado é constituída por duas parcelas: solução natural, que define a dinâmica do circuito sujeito apenas à acção das energias armazenadas nocondensadores e nas bobinas; e a solução forçada pelas fontes independentes. A solução natural de umcircuito de 2.ª ordem pode apresentar uma de quatro formas alternativas: sobre-amortecida, criticameamortecida, sub-amortecida e oscilatória. A dinâmica do regime forçado é função da forma dos sinaisaplicados. Deste modo, fontes constantes conduzem a soluções forçadas constantes e fontes sinusoida

conduzem a soluções forçadas sinusoidais.

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Exercícios de Aplicação

Exercícios de Aplicação

*10.1 Considere o circuito RLC representado na Figura E10.1. Indique o tipo de solução natural edetermine a expressão da corrente i(t ) para t >0.

Figura E10.1

10.2 Considere o circuito RLC representado na Figura E10.2. Indique o tipo de solução natural e detea expressão da tensão v(t ) para t >0.

Figura E10.2

10.3 Considere o circuito RL representado na Figura E10.3. Indique o tipo de solução natural e determexpressão da corrente i

L1(t ) para t >0. Admita i L1(0)=i

L2(t )=0.

Figura E10.3

*10.4 Determine a equação diferencial que lhe permite obter a expressão da tensão no condensador, v

para t >0.

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Exercícios de Aplicação

Figura E10.4

10.5 Determine a equação diferencial que lhe permite obter a expressão da tensão no condensador, vC

para t >0.

Figura E10.5

10.6 Determine a equação diferencial que lhe permite obter a expressão de i(t ) para t>0.

Figura E10.6

10.7 Determine a equação diferencial que lhe permite obter a expressão da tensão no condensador, vC

para t >0.

Figura E10.7

*10.8 Considere o circuito RLC de E10.8. Determine a equação diferencial correspondente à tensão v

(utilize o método das variáveis de estado).

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Exercícios de Aplicação

Figura E10.8

10.9 Considere o circuito RLC representado na Figura E10.9. Determine a equação diferencial que lhpermite obter a expressão da corrente i

R(t ):

(a) pelo método do operador-s ao nível do sistema de equações;

(b) ao nível dos elementos condensador e bobina.

Figura E10.9

10.10 Considere o circuito LC representado na Figura E.10.10, com vC

(0)=0 e i L

(0)=I o. Determine a

expressão da corrente i L

(t ) e da tensão vC

(t ), para t >0.

Figura E10.10

*10.11 Determine a expressão da tensão vC

(t ) no circuito em 10.11, para t >0. Admita vC

(0)=V0 e i L

(0

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Exercícios de Aplicação

Figura E10.11

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Simulador da Solução Forçada Constante de Circuitos RLC-série

Simulador da Solução ForçadaConstante de Circuitos RLC -série

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10.4 Solução Forçada

10.4 Solução Forçada Ca ÍndiInd ReJan

Aju Ca 11

Ca9

Sec10.

Os circuitos de 2.ª ordem com fontes independentes são governados por equações diferenciais com teforçado

(10.78

A solução é composta por duas parcelas

(10.79

em que xn(t ) e x

f (t ) definem, respectivamente, a solução natural e a solução forçada pelas fontes

independentes. A solução forçada por si só verifica a equação diferencial (10.78) e é independente dacondições inicial e de continuidade. Na Tabela 10.1 indicam-se as soluções forçadas mais comuns naanálise de circuitos eléctricos.

TERMO FORÇADO f (t ) SOLUÇÃO FORÇADA x f (t )

K B

K cos(ωt ) Bccos(ωt ) + Bssin(ωt )

K e-at Be-at

Kt B2t + B1

Kt 2 B3t 2 + B2t + B1

Tabela 10.1 Soluções forçadas mais comuns na análise de circuitos eléctricos

10.4.1 Solução Forçada Constante

Considere-se o circuito RLC na Figura 10.13.a e admita-se que a fonte de corrente independente tem forma de um degrau com origem em t=0, i

s(t )=I

s.u(t ). Admita-se ainda que as condições iniciais do c

são vC

(0) e i L

(0), e que se pretende determinar a expressão da tensão aos terminais do condensador pa

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10.4 Solução Forçada

Figura 10.13 Regime forçado constante

Considere-se primeiramente o regime natural do circuito, cuja equação diferencial é (Figura 10.13.b)

(10.80

e em que α, ωo e Q são, respectivamente,

(10.8

(10.82

e

(10.83

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10.4 Solução Forçada

A solução natural é neste caso criticamente amortecida,

t>0 (10.84

em que A1 e A2 são duas constantes.

Considere-se agora o regime forçado do circuito (Figuras 10.13.a ou 10.13.c). A equação diferencial termo forçado é neste caso

(10.85

cuja solução é

t>0 (10.86

com B constante. A solução (10.86) deve, por si só, verificar a equação diferencial (10.85),

(10.87

ou seja,

(10.88

A solução completa do circuito é então dada pela soma das soluções natural, (10.84), e forçada, (10.8

t>0 (10.89

cujas constantes A1 e A2 são tais que

(10.90

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10.4 Solução Forçada

isto é,

(10.9

Portanto,

t>0 (10.92

cujo limite quando t → ∞ é RI s, e

t>0 (10.93

que neste caso tende para zero quando t → ∞. Estes resultados indicam que a totalidade da correntefornecida pela fonte é desviada para a resistência, e que no limite t → ∞ , o circuito se comporta comterminais do condensador e da bobina se encontrassem em aberto e em curto-circuito, respectivament(veja-se a Figura 10.13.d).

Na tabela 10.2 expôem-se as soluções completas da tensão aos terminais do condensador nos casos emo termo forçado é constante e os valores dos componentes são tais, que a solução natural é sobre-amortecida, criticamente amortecida e sub-amortecida. Na Figura 10.14 comparam-se diversas soluçõforçadas constantes de um circuito RLC de 2.ª ordem (as condições iniciais no condensador e na bobisempre nulas).

SOLUÇÃONATURAL

SOLUÇÃO COMPLETAv

C (t )=v

C-n(t ) + v

C-f (t )

SOLUÇÃO COMPLETAv

C (0)=0 ; i

L(0)=0

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10.4 Solução Forçada

sobre-amortecida

criticamenteamortecida

sub-amortecida

Tabela 10.2 Soluções alternativas de um circuito RLC de 2.ª ordem com termo forçado constan

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10.4 Solução Forçada

Figura 10.14 Solução forçada constante

Simulador da Solução Forçada Constante de Circuitos RLC -série

10.4.2 Solução Forçada Sinusoidal

Considere-se novamente o circuito RLC representado na Figura 10.13.a, admitindo desta vez que a focorrente é de tipo sinusoidal, i

s(t )=u(t ). I

scos(ωt ). A equação diferencial que rege o funcionamento do

circuito tem um termo forçado sinusoidal

(10.94

cuja solução completa é (note-se que neste exemplo α =ωo)

(10.95

As constantes Bc

e Bs

são tais que

(10.96

isto é,

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10.4 Solução Forçada

(10.97

A igualdade em (10.97) exige que se verifiquem em simultâneo as relações

(10.98

cuja resolução conduz às soluções

(10.99

Finalmente, as constantes A1

e A2

são tais, que a solução completa verifica as condições inicial e de

continuidade da energia armazenada no condensador e na bobina,

(10.100

de onde resultam

(10.10

Simulador da Solução Forçada Sinusoidal de Circuitos RLC -série

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Simulador da Solução Forçada Sinusoidal de Circuitos RLC-série

Simulador da Solução ForçadaSinusoidal de Circuitos RLC -série

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Simulador da Solução Natural de Circuitos RLC-série

Simulador da Solução Natural deCircuitos RLC -série

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10.3 Solução Natural

10.3 Solução Natural CapÍndiInd RJ

Aju Cap 11

Cap9

S1

10.3.1 Soluções Naturais Alternativas

A solução de uma equação diferencial com termo forçado nulo

(10.4

cujo polinómio característico e raízes respectivas são, respectivamente,

(10.4

e

(10.4

designa-se por solução natural. Esta estabelece a dinâmica temporal de um circuito excitado unicamente pelas energias armazencondensadores e nas bobinas que o constituem.

As raízes em (10.45) podem ser de quatro tipos essencialmente distintos: reais e distintas (α >ωo); reais e iguais (α =ωo); compl

conjugadas(α <ωo); ou imaginárias puras (α =0).

(a) sobre-amortecida

(b) criticamente amortecida

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10.3 Solução Natural

(c) sub-amortecida

(d) oscilatória

Figura 10.8 Soluções naturais alternativas

Por conseguinte, a solução natural da equação diferencial pode apresentar uma de quatro formas básicas, a saber (ver Figura 10.8

(i) sobre-amortecida (α >ωo), assim designada por resultar do somatório de duas exponenciais reais negativas (Figura

10.8.a),

(10.4

em que , e A1 e A2 são duas constantes a determinar por imposição das condições inicial e de

continuidade;

(ii) criticamente amortecida (α =ωo), neste caso definida pelo produto de uma exponencial real negativa por uma função

linear (Figura 10.8.b),

(10.4

(iii) sub-amortecida (α <ωo), constituída em particular pelo somatório de duas exponenciais complexas conjugadas

(Figura 10.8.c),

(10.4

(iv) oscilatória (α=0), dada pelo somatório de duas exponenciais imaginárias puras (Figura 10.8.d),

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10.3 Solução Natural

(10.4

e à qual correspondem oscilações sinusoidais de frequência ωο.

A distinção entre as diversas soluções alternativas pode ser efectuada com base apenas no cociente

(10.5

designado por factor de qualidade. De acordo com esta definição, as quatro soluções alternativas caracterizam-se pelos seguintesde qualidade:

(i) sobre-amortecida: α >ωο ⇔ 0<Q<0.5;

(ii) criticamente-amortecida: α =ωο ⇔ Q=0.5;

(iii) sub-amortecida: α <ωο ⇔ Q>0.5;

(iv) oscilatória: α=0 ⇔ Q=∞ .

10.3.2 Solução Sobre-amortecida

Considere-se o circuito RLC -série representado na Figura 10.9,

Figura 10.9 Solução natural sobre-amortecida

em conjunto com as equações diferenciais de 2.ª ordem que governam a tensão aos terminais do condensador, vC

(t ), e a corrente

bobina, i L

(t ) ,

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10.3 Solução Natural

(10.5

e

(10.5

respectivamente. Admita-se ainda que o factor de qualidade do circuito é inferior a 1/2,

(10.5

isto é, que as raízes do polinómio característico são reais, negativas e distintas

(10.5

A dinâmica da tensão aos terminais do condensador tem a forma

(10.5

cujas constantes A1 e A2 são determinadas por imposição das condições inicial e de continuidade das energias armazenadas no

condensador e na bobina,

(10.5

ou seja,

(10.5

Na Figura 10.9 representa-se a solução natural sobre-amortecida de um circuito RLC -série (as duas curvas ilustradas referem-se distintos do factor de qualidade, admitindo sempre nula a corrente inicial na bobina, i

L(0)=0).

Simulador da Solução Natural de Circuitos RLC -série

10.3.3 Solução Criticamente Amortecida

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10.3 Solução Natural

Considere-se de novo o circuito RLC -série e admita-se que os parâmetros R, L e C são tais que o factor de qualidade do circuito ou seja,

(10.5

As raízes do polinómio característico são reais, negativas e iguais,

(10.5

e a tensão aos terminais do condensador é

(10.6

cujas constantes A1 e A2 verificam as relações

(10.6

de onde resultam as igualdades

(10.6

Na Figura 10.10 representa-se a solução natural de um circuito RLC -série criticamente amortecido (as curvas representadas refe

pares distintos de condições iniciais, ).

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10.3 Solução Natural

Figura 10.10 Solução natural criticamente amortecida

Simulador da Solução Natural de Circuitos RLC -série

10.3.4 Solução Sub-amortecida

A solução natural sub-amortecida caracteriza-se pela relação α <ωo, portanto Q>0.5,

(10.6

à qual correspondem as raízes complexas conjugadas

(10.6

Considerando o mesmo circuito RLC -série dos exemplos anteriores, verifica-se então que a tensão aos terminais do condensadorexpressa por

(10.6

ou, em alternativa,

(10.6

em que A1 e A2, ou A3 e θ, se obtêm a partir das condições iniciais no condensador e na bobina. Conforme se ilustra na Figura 10

solução (10.66) apresenta oscilações de frequência angular ωd =(ωo

2-α2)1/2.

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10.3 Solução Natural

Figura 10.11 Solução natural sub-amortecida

As condições inicial e de continuidade da energia armazenada no condensador e na bobina permitem determinar as constantes A

em (10.65) ou, em alternativa, as constantes A3 e θ em (10.66). Por exemplo, as constantes A3 e θ obtém-se a partir do sistema d

equações

(10.6

cuja solução é

(10.6

Simulador da Solução Natural de Circuitos RLC -série

10.3.5 Solução Oscilatória

No regime oscilatório as raízes do polinómio característico da equação diferencial são imaginárias puras

(10.6

verificando-se em particular R=0, α=0 e Q=∞ . A solução é expressa pelo somatório de duas exponenciais complexas

(10.7

que também se podem escrever na forma

(10.7

Por exemplo, no caso das constantes A3 e θ, verifica-se que

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10.3 Solução Natural

(10.7

de onde resultam

(10.7

Na Figura 10.12 representam-se duas soluções oscilatórias possíveis, correspondentes a condições iniciais distintas.

Figura 10.12 Solução natural oscilatória

A solução oscilatória apresenta diversas particularidades cuja importância convém desde já referir: as oscilações mantêm-se comamplitude constante ao longo de um intervalo de tempo indefinido, o que permite classificar este circuito como um oscilador sina energia é trocada entre o condensador e a bobina. Com efeito, se se calcular a corrente na bobina,

(10.7

verifica-se que a energia armazenada no condensador

(10.7

e a energia armazenada na bobina

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10.3 Solução Natural

(10.7

somam um valor constante

(10.7

Os pontos de máximo da energia armazenada no condensador coincidem com os pontos de mínimo (zero) da energia acumuladabobina, e vice-versa.

Simulador da Solução Natural de Circuitos RLC -série

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9.1 Solução Natural

9.1 Solução Natural

9.1.1 Circuitos RC e RL

Designa-se por regime, solução ou resposta natural a dinâmica temporal de um circuito excitado pelaenergias armazenadas nos condensadores e nas bobinas que o constituem. Ao contrário dos circuitospuramente resistivos, nos quais a ausência de fontes independentes determina o valor nulo das correndas tensões no mesmo, os circuitos RC , RL e RLC sem fontes independentes podem apresentar dinâmnão nulas como resultado das energias eléctrica e magnética inicialmente armazenadas nos condensadnas bobinas. Abordando o tópico de um outro prisma, pode dizer-se que o regime natural é a dinâmicdescarga dos condensadores e das bobinas, designadamente através de elementos dissipadores de enecomo as resistências.

Considere-se o circuito RC representado na Figura 9.1.a

Figura 9.1 Circuitos RC (a) e RL (b) de 1ª ordem

e aplique-se a Lei de Kirchhoff das correntes ao nó X ,

iC

(t ) + i R

(t ) = 0 (9.1

Por substituição das características tensão-corrente dos elementos, i R

=v R

/R e iC

=CdvC

/dt , obtém-se a

equação diferencial linear de 1.ª ordem

(9.2

cuja solução determina a dinâmica temporal da tensão e da corrente aos terminais do condensador e dresistência.

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9.1 Solução Natural

Considere-se agora o circuito RL representado em 9.1.b. A aplicação da Lei de Kirchhoff das tensõesmalha permite escrever a igualdade

v L

(t ) - v R

(t ) = 0 (9.3

que, por substituição das características tensão-corrente dos elementos, v R

=Ri R

e v L

=Ldi L /dt , conduz

equação diferencial linear de 1.ª ordem

(9.4

As equações diferenciais (9.2) e (9.4) apresentam a forma comum

(9.5

em que τ=RC em (9.2) e τ=L/R em (9.4) se designam por constante de tempo do circuito. A equação vulgarmente designada por equação diferencial homogénea de 1.ª ordem, sendo a sua solução designapor homogénea, natural ou regime natural do circuito.

9.1.2 Solução Natural

A equação diferencial homogénea em (9.5) pode ser resolvida recorrendo a um de dois métodosalternativos: por resolução da equação em ordem à variável x(t ), ou por aplicação da transformada deLaplace. Por exemplo, o primeiro método consiste em resolver a equação diferencial em ordem à vari(t )

(9.6

que equivale a

(9.7

a qual, por integração de ambas as partes,

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9.1 Solução Natural

(9.8

conduz ao resultado

(9.9

ou ainda

(9.10

em que A e B são constantes e A=e B

. Adiante ver-se-á que a constante A é determinada por imposiçãocondições inicial e de continuidade da energia armazenada nos elementos bobina ou condensador.Retomando as equações diferenciais (9.2) e (9.4) e o resultado em (9.10), verifica-se que a dinâmicatemporal da tensão aos terminais do condensador e da corrente na bobina são expressas pela funçãoexponencial negativa

(9.11

com τ=RC , e

(9.12

com τ=L/R, respectivamente. As soluções naturais (9.11) e (9.12) são características intrínsecas doscircuitos respectivos. Ambas determinam a dinâmica da descarga da energia armazenada no condensaou na bobina.

O método de resolução de equações diferenciais por aplicação da transformada de Laplace será introdno Capítulo 10.

9.1.3 Condições Inicial e de Continuidade

A energia armazenada num condensador ou numa bobina é necessariamente uma função contínua notempo. Como se concluiu nos Capítulos 7 e 8, a não-verificação da continuidade da energia armazenacondensadores e nas bobinas conduz, respectivamente, a valores de corrente e de tensão de amplitude

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9.1 Solução Natural

infinitamente elevados.

A imposição da condição de continuidade da energia eléctrica armazenada num condensador

(9.13

equivale a exigir a continuidade da tensão aos terminais respectivos

(9.14

ao passo que a continuidade da energia magnética armazenada numa bobina

(9.15

equivale a impor a continuidade da corrente

(9.16

Considerem-se então os circuitos RC e RL representados na Figura 9.2 e admita-se que são conhecida

tensão aos terminais do condensador e a corrente na bobina no instante de tempo t=0, vC (t=0)=V o e i =I

orespectivamente.

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9.1 Solução Natural

Figura 9.2 Solução natural de circuitos RC (a) e RL (b) de 1.ª ordem isto é, impõe a igualdade A=V

dinâmica da descarga do condensador é então expressa pela função exponencial negativa (Figura 9

Por exemplo, no caso do circuito RC verifica-se que

(9.17

e que a condição de continuidade da energia eléctrica armazenada exige que

(9.18

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9.1 Solução Natural

t>0 (9.19

Referindo agora o circuito RL representado na Figura 9.2.b, pode facilmente demonstrar-se que a impda continuidade da corrente na bobina em t=0 permite obter a solução (b)

t>0 (9.20

Como se constata, a constante de tempo do circuito constitui uma medida do tempo necessário para aextinção do regime natural respectivo. Verifica-se assim que no instante de tempo t=τ as variáveis v

C

i L

(t ) se encontram já reduzidas a uma fracção 1 /e do seu valor inicial, ao passo que para t=10τ esta fr

é de apenas 4.5*10-5. Enquanto um circuito RC com capacidade do condensador e resistência,respectivamente, C=1 µF e R=1 MΩ, tem uma constante de tempo t=1 s, o mesmo circuito com C=1

R=1 kΩ revela uma constante de tempo t=1 µs, portanto, um milhão de vezes inferior. Na Figura 9.3comparam-se os regimes naturais de um mesmo circuito RC com diferentes constantes de tempo.

Figura 9.3 Solução natural de um circuito RC em função da constante de tempo

9.1.4 Solução Natural Comutada

Considere-se o circuito RC representado em 9.4.a. Admita-se que os interruptores S1 e S2 são colocad

condução nos instantes de tempo t=0 e t=t 1>0, respectivamente, e que a tensão inicial aos terminais d

condensador é vC

(0)=V o.

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9.1 Solução Natural

Figura 9.4 Solução natural comutada

Como é patente em (b), durante o intervalo de tempo 0<t<t 1 o circuito coincide com a malha RC estu

anteriormente, ou seja,

0<t<t 1 (9.21

a qual, dadas as condições inicial e de continuidade

(9.22

conduz à solução

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9.1 Solução Natural

0<t<t 1 (9.23

Considere-se agora o circuito após a comutação em t=t 1 do interruptor S2 (c). Neste caso, a tensão ao

terminais do condensador é dada pela expressão

t > t 1 (9.24

cuja constante de tempo coincide com o produto da capacidade do condensador pela resistência equivvista dos seus terminais, τ2=( R1 //R2)C. A imposição das condições inicial e de continuidade da energ

armazenada no condensador em t=t 1

(9.25

permite obter o valor da constante A2

(9.26

e assim escrever a solução final na forma (Figura 9.4.d)

t > t 1 (9.27

A condição (9.25) e a solução (9.27) permitem retirar as seguintes conclusões relativamente à soluçãonatural comutada:

(i) a condição inicial da tensão após a comutação do interruptor S2 (Figura 9.4.c) coincide

com o valor final da mesma no circuito prévio à comutação (Figura 9.4.b);

(ii) para t>t 1, o condensador descarrega-se com uma constante de tempo diferente daquela

válida durante o intervalo 0<t<t 1. Em qualquer dos dois casos, a constante de tempo de

descarga é dada pelo produto da capacidade pela resistência equivalente de Thévenin aosterminais do condensador.

A Figura 9.4.d ilustra a dinâmica temporal da tensão aos terminais do condensador quando em t=t 1=τ

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9.1 Solução Natural

introduz em paralelo com R1 uma resistência de valor nominal R2=R1 / 10.

9.1.5 Energia Armazenada e Dissipada

Considere-se um circuito RC de 1.ª ordem e admita-se que a tensão inicial aos terminais do condensa

vC

(0)=V o, ou seja, que a energia eléctrica inicialmente armazenada é W

C =(1/2)CV

o

2. Uma vez que a

descarga do condensador se processa de acordo com a expressão

t > 0 (9.28

verifica-se que ao longo do tempo existe uma igualdade entre as energias perdida pelo condensador

(9.29

e dissipada na resistência

(9.30

e que, em particular, no limite quando t → ∞ , a energia armazenada no condensador é totalmente dispor efeito de Joule na resistência.

É fácil demonstrar que num circuito RL também se verifica uma igualdade entre as energias perdida pbobina e dissipada pela resistência, neste caso

(9.31

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9.2 Solução Forçada

9.2 Solução Forçada

Os regimes forçados de maior interesse prático são o constante, ou constante mas sequencialmente comuo sinusoidal. A análise do regime forçado sinusoidal conduz ao conceito de impedância eléctrica e ao estudos circuitos eléctricos no domínio da frequência (a considerar nos Capítulos 11 e 12).

9.2.1 Circuitos RC e RL

Considere-se o circuito RC (com fonte independente) representado na Figura 9.5.a.

Figura 9.5 Circuitos RC e RL de 1.ª ordem com fontes independentes

A aplicação da Lei de Kirchhoff das tensões à malha permite escrever a igualdade

v R

(t ) + vC

(t ) = vs(t ) (9.32

a qual, em conjunto com as características tensão-corrente dos componentes, conduz à equação diferencitermo forçado

(9.33

Por outro lado, a aplicação da Lei de Kirchhoff das correntes ao circuito RL representado na Figura 9.5.bpermite escrever a igualdade

i R

(t ) + i L

(t ) = is(t ) (9.34

a qual, por sua vez, conduz à equação diferencial com termo forçado

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9.2 Solução Forçada

(9.35

As equações diferenciais (9.33) e (9.35) apresentam a forma comum

(9.36

em que τ=RC ou τ=L/R, consoante o circuito seja de tipo RC ou RL, respectivamente.

9.2.2 Soluções Natural e Forçada

A equação diferencial (9.36) resolve-se por aplicação do método dos factores de integração. Este método

consiste em multiplicar ambas as partes da equação diferencial pelo termo et/ τ

(9.37

e verificar que

(9.38

ou seja, que (9.36) se pode escrever na forma

(9.39

Assim, após integração de ambas as partes verifica-se que

(9.40

ou seja, que

(9.4

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9.2 Solução Forçada

em que A é uma constante de integração a determinar por imposição das condições inicial e de continuidenergia armazenada nos elementos condensador ou bobina.

A solução (9.41) contém duas parcelas essencialmente distintas: a parcela

(9.42

que coincide na forma com a solução da equação diferencial homogénea, atrás designada por solução nata parcela

(9.43

que se designa por solução forçada. A forma da parcela (9.43) é geral e define explicitamente a solução f

do circuito. Para além do mais, o seu cálculo é independente das condições inicial e de continuidade da earmazenada nos condensadores e nas bobinas do circuito.

9.2.3 Solução Forçada Constante

Considere-se o circuito RC representado na Figura 9.6.a e admita-se que a fonte de tensão vs(t) define um

em degrau com origem em t=0 e amplitude V s, ou seja, v

s(t )= V

s.u(t ). Admita-se ainda que no instante de

tempo t =0 a tensão aos terminais do condensador é vC

(0)=V o.

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9.2 Solução Forçada

Figura 9.6 Solução forçada constante de um circuito RC

De acordo com estes dados, a solução forçada do circuito é expressa por

t>0 (9.44

que, em conjunto com a solução natural, conduz à solução completa

t>0 (9.45

Por outro lado, a imposição das condições inicial e de continuidade

(9.46

permite obter o valor da constante de integração

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9.2 Solução Forçada

t>0 (9.47

e escrever a solução final (Figura 9.6.b)

t>0 (9.48

Considere-se agora a expressão da corrente no condensador, iC

(t). Uma vez que

(9.49

então

t>0 (9.50

cuja amplitude tende para zero quando t → ∞ . Como se indica na Figura 9.6.c, quando t = ∞ , o circuitocomporta-se como se os terminais do condensador se encontrassem em aberto (i

C (∞ )=0), situação à qua

corresponde a tensão vC

(∞ )=V s. Por conseguinte, a tensão aos terminais do condensador pode ser expres

forma

t>0 (9.5

indicativa de que a dinâmica temporal de um circuito RC ( RL) pode ser determinada recorrendo apenas avalores inicial e final da tensão (corrente) aos terminais do condensador (bobina). Com efeito, pode concque:

(i) nos circuitos RC, o valor final da tensão aos terminais do condensador é dado pela respectivatensão em aberto (i

C =0) (Figura 9.6.c);

(ii) nos circuitos RL, o valor final da corrente na bobina é dado pela respectiva corrente de curto-circuito.

9.2.4 Solução Forçada Sinusoidal

Considere-se o circuito RC figurado em Figura 9.7.a e admita-se que a fonte de sinal é de tipo sinusoidal,

=u(t ).V s.cos(ωt ).

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9.2 Solução Forçada

Figura 9.7 Solução natural e forçada sinusoidal de um circuito RC : (b) ω=0.1 rad/s, R=1 Ω, C =1 F, vC

(

V, vs(t) = V

s.u(t ).cos(ωt ); (c)ω=1 rad/s, R=1 Ω, C =1 F, v

C (0)= -1 V, v

s(t) = V

s.u(t ).cos(ωt )

A equação diferencial característica do circuito é, neste caso,

(9.52

cuja solução após aplicação do integral (9.41) é

t>0 (9.53

em que Bc, B

s e A são constantes a determinar como adiante se indica. A solução (9.53) pode ainda ser ex

na forma

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9.2 Solução Forçada

(9.54

em que

(9.55

As constantes Bc, B

se A podem ser determinadas de dois modos essencialmente distintos:

(i) no caso de Bc

e Bs, directamente por aplicação do integral (9.41) e, no caso de A, por

imposição à solução total das condições inicial e de continuidade da energia armazenada noselementos condensador ou bobina;

(ii) ou então determinar as constantes Bc e Bs através da imposição da condição de que aresposta forçada constitua, por si só, solução da equação diferencial, e determinar a constante A impondo as condições inicial e de continuidade à solução total já com B

ce B

sdefinidos.

Por exemplo, no caso da segunda metodologia, o cálculo das constantes Bc

e Bs

passa por substituir a sol

forçada na equação diferencial (9.51)

(9.56

e verificar que a igualdade entre as partes esquerda e direita da mesma conduzem ao sistema de equações

(9.57

em cuja solução se inscrevem as duas constantes

(9.58

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9.2 Solução Forçada

A substituição das constantes Bc

e BS na solução completa permite escrever (a menos da constante A)

(9.59

ou, em alternativa,

(9.60

Finalmente, por imposição das condições inicial e de continuidade

(9.6

obtém-se a expressão da constante A

(9.62

e a solução final

(9

Nas Figuras 9.7 b e c representam-se as dinâmicas temporais de um circuito RC de 1.ª ordem com condiçinicial distinta de zero e termo forçado sinusoidal (mais propriamente um Coseno). A frequência do sinal

forçado é ω = (10 RC )-1 em (b) e ω = ( RC )-1 em (c). Nesta figura são patentes três características fundamdo regime forçado sinusoidal:

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9.2 Solução Forçada

(i) após a extinção da solução natural, a tensão aos terminais do condensador segue a formasinusoidal da fonte independente, designadamente a mesma frequência;

(ii) existe uma diferença entre as amplitudes das sinusóides aplicada e medida aos terminais docondensador, que se constata depender da relação entre a frequência da sinusóide e osparâmetros R e C do circuito;

(iii) existe uma diferença de fase entre as sinusóides aplicada e medida aos terminais docondensador, que mais uma vez se constata ser uma função da relação entre a frequência dasinusóide e os parâmetros R e C do circuito.

Adiante se verá que estas três características constituem o ponto de partida para a análise dos circuitos nodomínio da frequência.

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9.3 Teorema da Sobreposição das Fontes

9.3 Teorema da Sobreposição das Fontes

A validade do teorema da sobreposição das fontes estende-se à análise da dinâmica temporal dos circ RC , RL e RLC . Este teorema afirma que a dinâmica de um circuito com condensadores, bobinas e múfontes independentes pode ser determinada calculando uma a uma a resposta forçada devida a cada foconsiderada isoladamente. Por exemplo, a solução de um circuito RC ou RL com N fontes independencomposta por ( N+1) parcelas, das quais a primeira é a solução natural do circuito e as restantes N asrespostas forçadas pelas fontes.

Considere-se então o circuito RC com duas fontes independentes, representado na Figura 9.8.a.

Figura 9.8 Teorema da sobreposição das fontes

Admita-se que ambas as fontes são constantes no tempo para t>0, ou seja, vs(t )=V s.u(t ) e is(t )=I s.u(t )a tensão inicial aos terminais do condensador é v

C (0)=V

o. A aplicação do teorema da sobreposição da

fontes a este circuito exige que se apliquem consecutivamente os seguintes quatro passos:

(i) primeiramente, anulam-se as fontes independentes e determina-se a solução natural (9.8.b);

(ii) seguidamente, anula-se a fonte de corrente e determina-se a solução forçada pela fonte

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9.3 Teorema da Sobreposição das Fontes

de tensão (por exemplo, coloca-se o condensador em aberto por forma a determinar o valorfinal da tensão respectiva, Figura 9.8.c);

(iii) anula-se a fonte de tensão e determina-se a solução forçada pela fonte de corrente(coloca-se o condensador em aberto por forma a determinar o valor final da tensãorespectiva; Figura 9.8.d);

(iv) determina-se a constante da solução natural, A, neste caso impondo à solução total ascondições inicial e de continuidade da tensão aos terminais do condensador.

A resposta natural do circuito é obtida através do cancelamento de todas as fontes independentes presno circuito (Figura 9.8.b). No caso presente, a constante de tempo é dada pelo produto da capacidadecondensador pela resistência vista dos seus terminais

τ = R1C (9.65

e, portanto,

vC-n

(t) = Ae-t/ τ (9.66

A determinação da resposta forçada pela fonte de tensão, vs(t ), exige que se cancele a fonte de corren

(Figura 9.8.c). Neste caso,

(9.67

Pelo contrário, o cálculo da parcela imposta pela fonte de corrente exige que se anule a fonte de tensãindependente (Figura 9.8.d), que neste caso impõe o valor final

(9.68

A solução total para a tensão aos terminais do condensador é dada pela soma das parcelas (9.66), (9.6(9.68)

(9.69

à qual a aplicação das condições inicial e de continuidade

(9.70

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9.3 Teorema da Sobreposição das Fontes

conduz ao valor da constante A da solução natural

(9.71

e à solução final

(9.72

Mais uma vez se verifica que a solução total (natural mais forçada) de um circuito RC (ou RL) segue forma geral

(9.73

em que, neste caso, vC

(∞) resulta da aplicação do método da sobreposição das fontes ao circuito.

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9.4 Exemplos de Aplicação

9.4 Exemplos de Aplicação

9.4.1 Exemplo de Aplicação-1

Considere-se o circuito RC representado na Figura 9.9.a e admita-se que os interruptores S1, S

2e S

3comu

de posição nos instantes de tempo t=0, t=t 1 e t=t 2, respectivamente. Admita-se ainda que o circuito se en

na posição indicada em (a) desde t = (- ∞). Pretende-se determinar as expressões em função do tempo da e da corrente no condensador.

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9.4 Exemplos de Aplicação

Figura 9.9 Exemplo de aplicação-1: descarga de um condensador

Resolução: A corrente no condensador no instante t=0 é nula (Figura 9.10.b) e a tensão respectiva é

(9.74

O circuito é comutado para a configuração representada na Figura 9.9.c em t=0, após a qual o condensadinicia a sua descarga através da resistência R2. A tensão aos terminais do condensador é

0<t<t 1 (9.75

e a corrente respectiva

0<t<t 1 (9.76

Após t=t 1 o condensador encontra-se em aberto (Figura 9.9.d). A constante de tempo de descarga é neste

infinita ( R=∞), e a tensão e a corrente são dadas, respectivamente, por

t 1<t<t 2 (9.77

e por

t 1<t<t 2 (9.7

Para t>t 2 a constante de tempo de descarga é τ=R1C (Figura 9.9.e), e

t>t 2 (9.79

e

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9.4 Exemplos de Aplicação

t > t 2 (9.80

Nas Figuras 9.9 f e g representam-se as expressões da tensão e da corrente no condensador.

9.4.2 Exemplo de Aplicação-2

Considere-se o circuito RL representado na Figura 9.10.a e admita-se que os interruptores S1 e S2 comuta

posição nos instantes de tempo t=0 e t=t 1, respectivamente. Admita-se ainda que o circuito se encontra n

posição indicada em (a) desde t = (- ∞). Pretende-se determinar as expressões em função do tempo da tenda corrente na bobina.

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9.4 Exemplos de Aplicação

Figura 9.10 Exemplo de aplicação-2: descarga de uma bobina

Resolução: A corrente na bobina no instante t=0 é definida pelo cociente (Figura 9.10.b)

(9.8

No instante t=0 o circuito é comutado para a configuração representada na Figura 9.10.c, em cuja sequênbobina inicia a sua descarga através da resistência R2. Nesta situação são válidas as expressões

0<t<t 1 (9.82

e

0<t<t 1 (9.83

respectivamente para a corrente e para a tensão na bobina. Em t=t 1, os terminais da bobina encontram-se

curto-circuito (d). Neste caso, a constante de tempo de descarga da bobina é infinitamente elevada ( R=0)

pela qual se verificam as igualdades

t>t 1 (9.84

e

t>t 1

(9.85

respectivamente, para a corrente e para a tensão na bobina.

Nas Figuras 9.10.e e 9.10.f representam-se as expressões da corrente e da tensão na bobina.

9.4.3 Exemplo de Aplicação-3

Considere-se o circuito RC da Figura 9.11 e admita-se que o sinal vs(t ) define um degrau com origem em

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9.4 Exemplos de Aplicação

amplitude V s. Admita-se ainda que a tensão inicial aos terminais do condensador é v

C (0)=V

o>V

s. Pretend

estabelecer a expressão da tensão aos terminais do condensador, vC

(t ), para t>0.

Figura 9.11 Exemplo de aplicação-3: descarga de um condensador

Resolução: As soluções natural e forçada do circuito podem ser calculadas recorrendo aos diagramassimplificados representados nas Figuras 9.11.b e 9.11.c, respectivamente. A constante de tempo do circuidada pelo produto (b)

(9.86

ao passo que o regime forçado é expresso pelo divisor de tensão (c)

(9.87

A solução completa para a tensão aos terminais do condensador é, então,

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9.4 Exemplos de Aplicação

(9.8

cuja representação gráfica em função do tempo se ilustra na Figura 9.11.d.

Este exercício podia ter sido resolvido recorrendo ao método convencional de obtenção da equação difere

de resolução da mesma, e de imposição das condições inicial e de continuidade da tensão aos terminais dcondensador. Por exemplo, a aplicação da Lei de Kirchhoff das correntes ao nó- X permite escrever a igua(Figura 9.11.a)

(9.89

a qual, por substituição das características v x

=vC

=v R2

e iC

=CdvC / dt , permite obter a equação diferencial

(9.90

em que τ=( R1 //R2)C define a constante de tempo do regime natural do circuito. Após resolução do integr

(9.42) obtêm-se as soluções natural e forçada

(9.9

e

(9.92

respectivamente. A constante A é determinada por imposição das condições inicial e de continuidade da t

no condensador

(9.93

da qual resulta

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9.4 Exemplos de Aplicação

(9.94

e a solução final

(9.95

9.4.4 Exemplo de Aplicação-4

Considere-se o circuito RC da Figura 9.12.a e admita-se que a forma de onda definida pela fonte de tensã

é quadrada, com origem em zero e amplitude 5 V (Figura 9.12.b). Admita-se ainda que a tensão inicial aoterminais do condensador é v

c(0)=0 V. Pretende-se determinar e representar a expressão da tensão v

c(t ) n

seguintes intervalos de tempo:

(i) nos dois primeiros intervalos de tempo de duração ∆T=T /2, nos casos em que T/2>>τ , T/2=τ e T/2<<τ;

(ii) em dois intervalos de tempo consecutivos para os quais t>>T , nos casos em que T/2>>τ,T/2=τ e e T/2<<τ.

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9.4 Exemplos de Aplicação

Figura 9.12 Exemplo de aplicação-4

Resolução: Durante o primeiro intervalo de tempo, 0<t<T/ 2, a tensão aos terminais do condensador é for5 V pela fonte de tensão. Como tal, a tensão aos terminais do condensador varia de acordo com a express

0<t<T/ 2 (9.96

em que τ=RC . Nos casos em que T/2>>τ verifica-se que (Figura 9.12.c)

(9.97

resultado que indica que a tensão atinge praticamente o valor de 5 V imposto pela fonte. Por outro lado, nde igualdade T/2=τ (Figura 9.12.d),

(9.9

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9.4 Exemplos de Aplicação

e a tensão atinge um valor que é apenas aproximadamente 2/3 do valor imposto pela fonte. Finalmente, qT/2<<τ, pode efectuar-se a aproximação da exponencial pela sua derivada na origem

(9.99

e admitir que no intervalo de tempo 0<t<T/ 2 o crescimento da tensão é aproximadamente linear:

0<t<T/2 (9.100

isto é, que em t=T /2 se verifica a igualdade (Figura 9.12.e)

(9.10

Considere-se agora o circuito durante o intervalo de tempo T/ 2<t<T . Neste caso o termo forçado é nulo e

T /2<t<T (9.102

A constante A é determinada com base na condição inicial em t=T /2. Por exemplo, no caso em que T/2>>condição inicial é v

C

(t=T /2)=5 V e (Figura 9.12.c)

T /2<t<T (9.103

isto é,

(9.104

Por outro lado, havendo igualdade T/2=τ, a condição inicial é vc(t=T / 2)=5(1-1/ e) e, portanto,

T /2<t<T (9.105

ou seja (Figura 9.12.d),

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9.4 Exemplos de Aplicação

(9.106

Finalmente, sempre que T/2<<τ, a condição inicial é vC

(t=T/ 2) ≈ 5T/ (2 RC ) , ou seja, (Figura 9.12.e)

T/2<t<T (9.107

isto é,

(9.10

As expressões (9.106) e (9.108) indicam que o ponto de partida para o próximo troço ascendente (T<t<3

superior àquele verificado em t=0. Troços ascendentes e descendentes consecutivos tendem inicialmentedeslocar-se no sentido vertical, atingindo todavia um regime de equilíbrio durante o qual os troços ascende descendentes se equivalem. Como se verá de seguida, as oscilações da tensão v

C (t ) tendem a efectuar-se

torno da tensão média de 2.5 V.

Considere-se agora o caso de dois intervalos de tempo consecutivos tais que t>>T e τ=T/ 2 (Figura 9.12.gQuando o equilíbrio é atingido, os troços exponenciais ascendentes e descendentes encontram-se

compreendidos entre dois valores limite designados por V sup e V inf . Podem então escrever-se as expressõ

nT<t<(n+1/2)T (9.109

e

(n+1/2)T <t <(n+1)T (9.110

respectivamente para os troços ascendentes e descendentes. Uma vez que no fim de cada um dos troços sverificam as igualdades

(9.11

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9.4 Exemplos de Aplicação

e

(9.112

podem facilmente obter-se os valores de V sup

e V inf

(9.113

cujo valor médio é, como se previu anteriormente, 2.5 V.

Recorrendo a um procedimento semelhante ao apenas utilizado, pode demonstrar-se que no caso em queT /2<<τ os valores superior, inferior e médio dos troços são, aproximadamente,

(9.114

Na Figura 9.12.h representa-se a forma de onda correspondente à expressão (9.114).

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Sumário

Sumário

O condensador e a bobina introduzem as equações diferenciais no seio da análise dos circuitos eléctridinâmica temporal de um circuito RC ou RL é descrita por uma equação diferencial linear de 1.ª ordecuja solução é composta por duas parcelas: a solução natural e a solução forçada.

A solução natural estabelece a dinâmica do circuito na ausência de fontes independentes. Indica o mocomo a energia armazenada nos condensadores e nas bobinas se dissipa por efeito de Joule nas resistêdo circuito. O esvaimento das tensões e das correntes nos circuitos RC e RL tem sempre a forma de uexponencial negativa, Ae-t/ τ.

A solução forçada de um circuito RC ou RL de 1.ª ordem é uma função da dinâmica das fontesindependentes em presença no circuito. Por exemplo, fontes independentes constantes conduzem a soforçadas constantes e fontes independentes sinusoidais conduzem a soluções forçadas também sinuso

A validade do teorema da sobreposição das fontes estende-se à análise dos circuitos RC e RL. A soluçum circuito com N fontes independentes é constituída por ( N+1) parcelas, das quais a primeira defineregime natural e as restantes N as contribuições das N fontes independentes. A parcela relativa ao regnatural é calculada anulando a totalidade das fontes independentes presentes no circuito, em particulaefectuando o curto-circuito das fontes de tensão e deixando em aberto as fontes de corrente. As restanparcelas são calculadas introduzindo uma a uma e isoladamente as fontes independentes.

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Exercícios de Aplicação

Exercícios de Aplicação

*9.1 Considere o circuito RC da Figura E9.1 e admita que em t=0 o circuito já superou o regime trancorrespondente à posição do interruptor indicada. Determine a expressão da tensão v

x(t ) após a comut

do interruptor em t=0.

Figura E9.1

*9.2 Considere o circuito RL representado na Figura E9.2. Determine a expressão da tensão v x

(t ) apó

comutação em t=0 dos interruptores.

Figura E9.2

*9.3 Considere o circuito RL da Figura E9.3. Determine a expressão da tensão v x

(t ) e da corrente i x

(t )

t >0 (V s

é uma fonte de tensão constante).

Figura E9.3

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Exercícios de Aplicação

9.4 Considere o circuito RC representado em E.9.4. Determine a expressão da tensão e da corrente nocondensador para t >0 ( I

sé uma fonte de corrente constante).

Figura E9.4

9.5 Considere o circuito RC representado na Figura E9.5. Determine a expressão da tensão e da correresistência R, para t >0 (V

sé uma fonte de tensão constante).

Figura E9.5

9.6 Considere o circuito RL representado na Figura E9.6. Determine a expressão da corrente i L

(t ) para

(V s

é uma fonte de tensão constante).

Figura E9.6

9.7 Determine a expressão das correntes i L1(t ) e i

L2(t ) no circuito da Figura E9.7 ( I s

é uma fonte de co

constante).

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Exercícios de Aplicação

Figura E9.7

*9.8 Determine a expressão da tensão v x

(t ) indicada na Figura E9.8 (V s

é uma fonte de tensão constan

não utilize o teorema da sobreposição das fontes).

Figura E9.8

9.9 Determine a expressão da corrente i L

(t ) indicada na Figura E9.9 (V si

e I s

são fontes constantes).

Figura E9.9

9.10 Determine a expressão da tensão vC

(t ) indicada em E9.10.

Figura E9.10

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Exercícios de Aplicação

9.11 Determine a expressão da tensão vC

(t ) representada na Figura E9.11. Admita vC

(0)=0 V.

Figura E9.11

9.12 Determine a expressão da tensão vC

(t ) indicada na Figura E9.12.

Figura E9.12

*9.13 Determine a expressão da tensão vC

(t ) indicada na Figura E.9.13. Admita vC

(0)=5 V.

Figura E9.13

*9.14 Uma lâmpada de néon encontra-se acesa ou apagada consoante os valores da corrente e da tenseléctrica aos seus terminais. A lâmpada acende quando a tensão aos terminais supera o limiar de 50 Vapaga-se quando a corrente na mesma desce abaixo de 10 mA. Os modelos equivalentes da lâmpadaapagada e acesa são, respectivamente, o circuito aberto e uma resistência de valor 1 kΩ (Figura E9.14Com base nestes dados, determine:

(a) a expressão da tensão e da corrente indicadas na figura;

(b) a frequência de comutação da lâmpada.

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Exercícios de Aplicação

Figura E9.14

9.15 Com base no teorema da sobreposição das fontes, determine a expressão da tensão v x

(t ) indicada

Figura E9.8.

9.16 Com base no teorema da sobreposição das fontes, determine a expressão da corrente i L

(t ) em E9

9.17 Com base no teorema da sobreposição das fontes, determine a expressão da tensão vC (t ) represenna Figura E9.12.

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8.1 Grandezas Magnéticas

8.1 Grandezas Magnéticas

8.1.1 Força e Campo Magnético

A força magnética tem origem no movimento das cargas eléctricas. Considerem-se os dois fios conduparalelos e imersos no espaço vazio representados na Figura 8.1, e admita-se que o comprimento (l) ésuperior à distância respectiva (l>>d ), que a secção é infinitesimal (r<<d ) e que ambos são percorridcorrentes eléctricas lentamente variáveis no tempo, i1 e i2.

Figura 8.1 Força magnética exercida entre dois fluxos de corrente eléctrica

Nestas condições, entre os dois fios condutores estabelece-se uma força de índole magnética cujaintensidade é

N, newton (8.3

e em que µo=4π10-7 Wb/Am (weber/ampére-metro) define a constante universal designada por

permeabilidade magnética do vazio. A força é tanto maior quanto mais longos e próximos se encontraos condutores ou, em alternativa, quanto mais elevadas forem as correntes que os percorrem. A direcçforça magnética e a da corrente eléctrica são perpendiculares entre si, sendo de repulsão o sentido da no caso de fluxos discordantes (Figura 8.1.a), e de atracção no caso inverso (Figura 8.1.b). Convém leque a ausência de corrente em qualquer dos dois fios condutores determina a ausência da força magnéPor conseguinte, cargas eléctricas em repouso são transparentes do ponto de vista do campo magnéticé, não geram nem são afectadas pelo campo magnético.

Se se considerar a acção exercida pela corrente i1

sobre o condutor-2, por exemplo por unidade de

comprimento e normalizada relativamente à corrente i2, obtém-se

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8.1 Grandezas Magnéticas

(8.4

em que se define

A/m, ampére por metro (8.5

como a intensidade do campo magnético criado pelo condutor-1. Note-se que, neste caso, a intensidaforça magnética se pode expressar em função do campo

(8.6

Verifica-se assim que, à parte a constante µo, a relação (8.6) tem uma forma semelhante àquela relativ

força eléctrica exposta no Capítulo 1.

A corrente, a força e o campo magnético são grandezas vectoriais com intensidade, direcção e sentidoEstes três vectores são perpendiculares entre si, podendo em particular o vector força ser expresso peproduto vectorial externo

(8.7

Na Figura 8.2 representam-se as direcções e os sentidos das três grandezas em (8.7). O campo magnétem uma direcção que em cada ponto do espaço é tangencial à circunferência cujo centro é o condutosendo o sentido obtido a partir da conhecida Lei do Saca-Rolhas. O campo magnético e as linhas de fcoincidem na direcção respectiva, verificando-se serem circulares em torno do condutor.

Figura 8.2 Vectores corrente eléctrica, campo e força magnética

Uma expressão de grande utilidade no estudo do campo e da força magnética é a designada Lei de Bi

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8.1 Grandezas Magnéticas

Savart. Esta lei estabelece a intensidade, a direcção e o sentido do campo magnético criado num qualponto do espaço pela porção infinitesimal de um fio condutor (d L) percorrido por uma corrente eléctrComo se indica na Figura 8.3.a,

Figura 8.3 Campo magnético gerado por um fluxo de corrente

a porção d L do condutor, que neste caso é o versor da direcção da corrente, gera no ponto P um campmagnético

(8.8

em que ar define o versor da direcção do segmento que une a porção infinitesimal de corrente com o p

P. A intensidade do campo pode ainda ser expressa na forma

(8.9

em que α define o ângulo entre os versores d L e ar. No entanto, uma vez que as correntes eléctricas

circulam em caminhos fechados, o valor total do campo gerado num ponto P é sempre dado pelo inte(cfr. Figura 8.3.b)

(8.10

Na Figura 8.4 ilustram-se diversos caminhos fechados de corrente vulgarmente utilizados na realizaçãbobinas: a espira (a), a bobina com N espiras e núcleo cilíndrico (b) e a bobina com N espiras e núcletoroidal (c).

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8.1 Grandezas Magnéticas

Figura 8.4 Espira (a), e bobinas com núcleo cilíndrico (b) e toroidal (c)

Por exemplo, no caso da espira o integral em (8.10) conduz à intensidade do campo magnético

(8.11

em qualquer dos pontos localizados sobre o eixo respectivo, sendo em particular para x=0

(8.12

Em ambos os casos o campo é perpendicular ao plano da espira.

No caso da bobina com núcleo cilíndrico, N espiras e comprimento l (Figura 8.4.b), a intensidade do magnético no interior do núcleo é aproximadamente dada pela expressão

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8.1 Grandezas Magnéticas

(8.13

e é tanto mais válida quanto mais afastados das extremidades e próximos do eixo do núcleo se localizos pontos de cálculo do integral. A direcção do campo no interior do núcleo coincide com o eixo docilindro.

Finalmente, pode demonstrar-se que na bobina toroidal representada na Figura 8.4.c a intensidade docampo magnético é aproximadamente expressa por

(8.14

em que r toro

define o raio médio da circunferência formada pelo toro. Neste caso, o campo magnético

circular ao longo do núcleo do toro.

8.1.2 Fluxo e Densidade de Fluxo Magnético

Define-se como densidade de fluxo magnético o produto da permeabilidade magnética do meio pelo vcampo magnético

T, tesla (8.15

Ao contrário do campo magnético, que como se viu é uma grandeza independente da natureza do matno qual se encontra imerso o fluxo de corrente, a densidade de fluxo define uma grandeza cuja intensse encontra intimamente relacionada com as propriedades magnéticas do material, em particular a suapermeabilidade às linhas de fluxo. Com efeito, existem materiais cujas correntes ao nível atómico e sp

dos electrões contribuem, também, para a criação de linhas de força magnéticas, isto é, para aumentarsobremaneira a intensidade do campo relativamente àquele típico do espaço vazio. Em geral, a densidde fluxo magnético é expressa pelo produto

(8.16

na qual o termo µr

define uma constante designada por permeabilidade magnética relativa do materia

Retomando a Figura 8.1 em conjunto com a equação (8.6), que como se viu estabelece a relação entreforça e o campo magnético, verifica-se que na totalidade dos fios paralelos a intensidade da força podtambém ser expressa com base na relação

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8.1 Grandezas Magnéticas

(8.17

neste caso em função da densidade do fluxo magnético no meio no qual se encontram imersos os fluxcorrente. A intensidade da força é, portanto, uma função crescente da permeabilidade magnética relatmaterial, coeficiente que em certos casos pode atingir valores de várias dezenas de milhar de unidade

A grandeza densidade de fluxo magnético é dual da grandeza densidade de fluxo eléctrico, estabeleciCapítulo 7. No entanto, se se analisarem as expressões das forças magnética e eléctrica, verifica-se qupermeabilidade relativa (µ

r >1) dos materiais reforça a força magnética exercida entre dois fluxos de

corrente eléctrica, relativamente ao caso do vazio, ao passo que a permitividade relativa (εr

>1) tende

atenuar, isto é, a blindar a força eléctrica exercida entre cargas eléctricas. No entanto, e como se veráadiante, a permeabilidade relativa do meio actua no sentido de aumentar a indutância de uma bobina

>1), do mesmo modo que a permitividade relativa o faz relativamente à capacidade de um condensad

Conforme se indica na Figura 8.5, define-se fluxo magnético (Φ) como a quantidade de linhas de forçatravessam perpendicularmente uma dada superfície S.

Figura 8.5 Fluxo e densidade de fluxo magnético

De acordo com esta definição, a relação entre fluxo e densidade de fluxo é

Wb, weber (8.18

a qual, no caso particular em que as linhas de fluxo são perpendiculares à superfície de integração, coao resultado

(8.19

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8.1 Grandezas Magnéticas

8.1.3 Materiais Magnéticos

As fontes de fluxo magnético nos materiais são essencialmente três: movimento orbital dos electrões torno do núcleo; spin dos electrões e spin nuclear. O efeito causado por cada uma destas três fontes, eparticular as duas primeiras, é a razão de ser da classificação dos materiais em cinco classes essencialdistintas: materiais diamagnéticos, paramagnéticos, ferromagnéticos, antiferromagnéticos e ferrimagn(os materiais diamagnéticos, paramagnéticos e anti-ferromagnéticos são também designados por não

magnéticos).

Os materiais diamagnéticos contribuem para a redução da amplitude do campo magnético aplicadoexternamente. Nestes materiais verifica-se que por si só os campos criados pelo movimento orbital e spin dos electrões se cancelam mutuamente ao nível de cada átomo, mas que a intervenção de um cammagnético exterior provoca um desequilíbrio que atrofia o campo magnético resultante, em particulardevido à acção do spin. Os materiais deste tipo apresentam permeabilidades magnéticas relativas infeà unidade, sendo exemplos típicos o hidrogénio, o hélio, o cobre, o ouro, o silício, o germânio e a gra

Os materiais paramagnéticos caracterizam-se pelo não cancelamento ao nível do átomo dos campos

magnéticos associados ao movimento orbital e ao spin dos electrões. Cada átomo é responsável pelageração de um campo magnético, apesar de no seu conjunto o material apresentar um fluxo nulo comresultado das orientações aleatórias das contribuições individuais. No entanto, na sequência da aplicaum campo magnético exterior, os campos individuais orientam-se em sentidos concordantes, conduzium aumento relativo do fluxo magnético no interior do material. Entre os materiais deste tipo encontro potássio, o oxigénio, o tungsténio, etc.

A não compensação do spin dos electrões é a principal fonte de linhas de fluxo nos materiaisferromagnéticos. Nestes materiais, as forças inter-atómicas conduzem a uma orientação comum dos c

magnéticos em volumes relativamente extensos, designados por domínios magnéticos, mas que devidrespectivas orientações aleatórias somam um campo magnético resultante nulo. No entanto, a aplicaçum campo magnético exterior imprime orientações concordantes aos domínios constituintes do materpodendo ser globalmente responsáveis por acréscimos fabulosos do campo magnético no interior domaterial. Por outro lado, quando o campo magnético aplicado é suspenso, os diversos domínios adoptorientações aleatórias distintas das iniciais, podendo contribuir complexivamente para a criação de umcampo magnético remanescente não nulo. Este fenómeno conduz ao designado ciclo de histerese domaterial. Entre os materiais ferromagnéticos mais comuns encontram-se o ferro, o níquel, o cobalto, e

Os materiais antiferromagnéticos caracterizam-se por um cancelamento inter-átomos adjacentes do ca

magnético. Os materiais deste tipo são fracamente afectados pela presença de um campo magnéticoaplicado.

Nos materiais ferrimagnéticos o alinhamento antiparalelo entre átomos adjacentes não conduz aocancelamento do campo magnético resultante ao nível microscópico. A aplicação de um campo magnexterior imprime uma orientação concordante entre as múltiplas contribuições individuais, conduzindconjunto a aumentos significativos do campo magnético no interior do material. Os materiais desta clsão vulgarmente designados por ferrites, encontrando-se entre as mais comuns as ferrites de níquel, cmanganésio, magnésio, etc. Apesar de em geral apresentarem permeabilidades relativas inferiores aos

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8.1 Grandezas Magnéticas

materiais ferromagnéticos, as ferrites distinguem-se pela baixíssima condutividade eléctrica, que lhespermite reduzir significativamente as perdas por efeito de Joule associadas às correntes parasitas deFoucault.

8.1.4 Indutância

A indutância ( L) é o parâmetro que relaciona a corrente eléctrica com o fluxo magnético gerado

(8.20

cuja unidade é o henry, H.

Considerem-se novamente os dois fios condutores paralelos representados na Figura 8.1, repetidos naFigura 8.6 para facilitar a sua consulta.

Figura 8.6 Indutância de dois condutores paralelos

Admita-se então que os condutores são percorridos por correntes eléctricas com sentidos opostos eintensidade idêntica, i

1=i

2=i. Nestas condições, a intensidade do campo magnético gerado por qualqu

dos dois condutores num ponto P do plano (no plano definido pelos dois condutores) é dada pela expr

(8.21

em que x1 ou 2

define a distância entre o condutor-1 ou -2 e o ponto. Tendo em conta os sentidos opos

das correntes, o integral da densidade do fluxo magnético no plano conduz ao resultado (por unidade comprimento dos condutores e admitindo µ

r =1)

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8.1 Grandezas Magnéticas

(8.22

relação na qual se inscreve a indutância por unidade de comprimento

H/m, henry por metro (8.23

Este procedimento pode ser adoptado para calcular a indutância de qualquer estrutura de correnteseléctricas. Por exemplo, a aplicação deste procedimento ao cabo coaxial da Figura 8.7 conduz à indutpor unidade de comprimento (µ

r =1)

(8.24

Figura 8.7 Indutância de um cabo coaxial

Nos dois casos considerados, calculou-se o integral da densidade de fluxo magnético em superfíciesconvencionais, como sejam, por exemplo, o plano definido pelos dois condutores paralelos (Figura 8plano no qual se inscreve o diâmetro dos condutores concêntricos característicos do cabo coaxial. Noentanto, no caso das bobinas com N espiras e núcleo cilíndrico ou toroidal, a superfície de integraçãofluxo magnético deve ser aquela definida pelas N espiras, isto é, uma superfície N vezes superior àqudefinida pela espira individual (Figura 8.8).

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8.1 Grandezas Magnéticas

Figura 8.8 Indutância de uma bobina com N espiras

Como se verá de seguida, o parâmetro indutância é fundamental no estabelecimento da relação entre corrente eléctrica num condutor e a tensão induzida aos terminais por intermédio do fenómeno da indelectromagnética. Por esta razão, é importante determinar não o fluxo magnético em si, mas o fluxo etodas as superfícies que possam vir a ser sede do fenómeno atrás referido (apesar de serem as mesmaslinhas de força que atravessam todas as superfícies). Raciocinando nestes termos, pode demonstrar-sefluxo magnético que atravessa as N espiras da bobina representada na Figura 8.8 se relaciona com a

corrente na mesma através da relação (l é o comprimento do núcleo sobre o qual existem espiras)

(8.25

isto é, que a indutância respectiva é

(8.26

O coeficiente k é idealmente unitário (l>>r ), sendo em geral inferior à unidade e dependente do valorparticular do cociente l/r .

8.1.5 Fenómeno da Indução Electromagnética

A indução electromagnética é o fenómeno através do qual se geram tensões e correntes eléctricas a padas variações na intensidade do fluxo magnético. Como se indica na Figura 8.9, existe indução de umtensão eléctrica aos terminais de um condutor quando:

(i) o condutor se move cortando as linhas de fluxo do campo magnético (a);

(ii) uma espira (ou N espiras) se move num campo constante no tempo mas variável noespaço (conforme se indica em (b), o fluxo que atravessa a espira varia em função daposição);

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8.1 Grandezas Magnéticas

(iii) o condutor (ou a espira, ou as N espiras) se encontra imóvel mas o fluxo apresentavariações temporais (c);

(iv) o condutor se encontra imóvel, mas imerso num fluxo variável no tempo gerado pelasua própria corrente (d).

Considere-se o caso relativamente simples do fio condutor representado na Figura 8.9.a, movendo-se

direcção perpendicular às linhas do fluxo magnético. Existindo no seio do condutor cargas eléctricas (electrões), o seu transporte em conjunto com o condutor corresponde, para todos os efeitos, à presenuma corrente no sentido contrário ao do deslocamento. Como tal, o produto externo do campo pela coconduz a uma força magnética no sentido indicado na figura, a qual desloca e acumula as cargas eléctnegativas num dos extremos do fio condutor (deixando a extremidade oposta vazia de electrões, isto écarregada positivamente). O acumular de cargas opostas nas duas extremidades do fio condutor equivestabelecimento de uma tensão eléctrica, designada por força electro-motriz induzida (f.e.m.).

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8.1 Grandezas Magnéticas

Figura 8.9 Fenómeno da indução electromagnética

A situação (iv) (Figura 8.9.d) indica que o fluxo magnético gerado por um qualquer fluxo de correntevariável no tempo induz aos terminais da sua própria estrutura uma tensão eléctrica. A Lei de Faradayestabelece que a intensidade da força electro-motriz induzida é

(8.27

8.1.6 Coeficientes de Auto-Indução e de Indução Mútua

No caso de uma bobina com N espiras a intensidade da tensão eléctrica induzida aos próprios terminaexpressa pela relação (Figura 8.10.a)

(8.28

a qual tendo em conta (8.20) se pode escrever na forma

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8.1 Grandezas Magnéticas

(8.29

Figura 8.10 Coeficiente de auto-indução de uma bobina (a) e de indução mútua entre bobinas (b

O parâmetro L é neste caso mais propriamente designado por coeficiente de auto-indução da bobina.

Considere-se agora uma segunda bobina que partilha algum do fluxo gerado pela bobina anterior (Fig8.10.b). Neste caso, aos terminais da segunda bobina é induzida uma tensão eléctrica de intensidade

(8.30

em que N 2

é o número de espiras da segunda bobina e k é um coeficiente inferior à unidade represent

da percentagem do fluxo magnético gerado pela bobina-1 e que atravessa a segunda bobina. O factor designado por coeficiente de indução mútua, estabelecendo assim a relação entre as variações da corrna primeira bobina e a tensão induzida na segunda.

O tópico da indução mútua entre bobinas será tratado com pormenor no Capítulo 13, no âmbito do esdo transformador eléctrico.

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8.2 Características Tensão-Corrente

8.2 Característica Tensão-Corrente

8.2.1 Características v (i ) e i (v )

O coeficiente de auto-indução relaciona a tensão aos terminais de uma bobina com as variações na corespectiva

(8.31

Uma análise sumária da característica (8.31) permite concluir que:

(i) as correntes constantes no tempo não induzem qualquer tensão aos terminais da bobina;

(ii) as correntes variáveis no tempo, mas com derivada finita, induzem tensões finitas;

(iii) as correntes sinusoidais induzem tensões também sinusoidais;

(iv) as variações infinitamente rápidas da corrente induzem picos de tensão com amplitudeinfinita.

A integração de ambas as partes da relação (8.31) permite identificar a bobina como um elementointegrador da tensão eléctrica

t > t o (8.32

em que i(t o) define o valor inicial da corrente na bobina.

8.2.2 Energia Magnética Armazenada

A energia magnética armazenada numa bobina é dada pelo integral no tempo da potência fornecida

(8.33

No entanto, por substituição de (8.31) em (8.33)

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8.2 Características Tensão-Corrente

(8.34

que após aplicação do método de substituição para integrais conduz ao resultado

(8.35

Por exemplo, admitindo que em t=-∞ a bobina se encontrava descarregada, i(-∞ )=0,

(8.36

Convém ter presente que a bobina é um elemento que armazena energia sob a forma de um campomagnético.

A equação (8.36) indica que a energia armazenada numa bobina é uma função crescente da correnteeléctrica. Assim, sendo que as variações na corrente, e portanto no fluxo magnético e na energia, resudo integral da tensão aplicada aos terminais da mesma, então aquelas variáveis devem necessariamenfunções contínuas no tempo. As variações em degrau só são possíveis nos casos em que a amplitude dtensão atinge valores infinitamente elevados, como é o caso da função delta de Dirac. Assim, a valorefinitos da tensão aplicada correspondem as condições de continuidade nas variáveis

i(t +) = i(t -) (8.37

Φ (t +) = Φ (t -) (8.38

e

w(t +) = w(t -) (8.39

respectivamente para a corrente eléctrica, para o fluxo magnético e para a energia magnética armazen

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8.3 Associação de Bobinas

8.3 Associação de Bobinas

8.3.1 Associação em Série

Considerem-se as k bobinas associadas em série representadas na Figura 8.11.a.

Figura 8.11 Associação de bobinas em série

A aplicação da Lei de Kirchhoff das tensões à malha permite escrever a igualdade

(8.40

a qual, em conjunto com a característica tensão-corrente da bobina

(8.41

conduz à relação

(8.42

em que

(8.43

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8.3 Associação de Bobinas

define o coeficiente de auto-indução equivalente série.

8.3.2 Associação em Paralelo

Considerem-se as k bobinas associadas em paralelo da Figura 8.12.a.

Figura 8.12 Associação de bobinas em paralelo

A aplicação da Lei de Kirchhoff das correntes permite escrever a igualdade

(8.44

a qual, em conjunto com a característica tensão-corrente da bobina (na forma integral)

(8.45

equivale a

(8.46

ou ainda

(8.47

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8.3 Associação de Bobinas

em que

(8.48

define o coeficiente de auto-indução da bobina equivalente paralelo (Figura 8.12.b).

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8.4 Divisores Indutivos de Tensão e de Corrente

8.4 Divisores Indutivos de Tensão e de Corrente

Considerem-se as duas bobinas associadas em série representadas em 8.13.a.

Figura 8.13 Divisores indutivos de tensão (a) e de corrente (b)

A aplicação da Lei de Kirchhoff das tensões à malha permite escrever

(8.49

que equivale a

(8.50

Tendo em conta (8.50), a tensão na bobina L1 pode ser expressa na forma

(8.51

a qual indica que à maior das bobinas corresponde a maior das quedas de tensão.

Considerem-se agora as duas bobinas associadas em paralelo representadas na Figura 8.13.b. RecorreLei de Kirchhoff das correntes e à característica tensão-corrente da bobina, pode demonstrar-se que acorrente na bobina L1 é dada por

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8.4 Divisores Indutivos de Tensão e de Corrente

(8.52

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8.5 Tipos de Bobinas

8.5 Tipos de Bobinas

As bobinas são geralmente classificadas com base num conjunto relativamente amplo de parâmetros:valor nominal; a tolerância do valor nominal; o tipo de material constituinte do núcleo; a resistência denrolamento (d.c.); a corrente máxima; o factor de qualidade; a frequência de ressonância própria; etc

No que respeita ao material do núcleo, as bobinas podem ser de quatro tipos essencialmente distintosnúcleo de ar; com núcleo de ferro; com núcleo de pó de metal; e com núcleo de ferrite.

As bobinas com núcleo de ar consistem basicamente no enrolamento de um fio condutor num suportematerial não magnético, como o plástico ou a fibra de vidro. O material e a espessura do fio condutordiferem consoante o tipo de aplicação da bobina. Em baixas frequências utiliza-se fio de cobre isoladum verniz, mas em aplicações de alta frequência é comum utilizar-se técnicas especiais de enrolamenfios condutores, em particular com vista a reduzir as consequências negativas do efeito pelicular. A

dimensão das bobinas com núcleo de ar pode variar entre a fracção e a centena de espiras, em geralenroladas em camadas sobrepostas. É também usual impregnar as bobinas com um material isoladorresistente aos agentes químicos presentes no ar, como a humidade, garantindo-se-lhes, também, uma resistência mecânica.

O objectivo da utilização de um núcleo magnético numa bobina é o aumento do respectivo coeficientauto-indução. Como se referiu ao longo deste capítulo, o coeficiente de auto-indução de uma bobina éfunção crescente do número de espiras (ao quadrado, note-se) e da permeabilidade magnética do meioque são induzidas as linhas de fluxo, podendo esta última ser largamente amplificada, com recurso a

materiais como o ferro, o ferro-silício, o ferro-níquel e as ferrites de níquel, cobalto, manganésio emagnésio.

É comum agrupar os núcleos magnéticos em três classes: de ferro maciço (raros) ou laminado, de pómetálico e de ferrite. A minimização das correntes de Foucault orienta a escolha entre as diversasalternativas. A variação continuada da magnetização do núcleo induz no mesmo um fluxo de correnteeléctricas parasitas, sobretudo em alta frequência, às quais se encontra associado o fenómeno da disside calor por efeito de Joule. A redução destas correntes passou inicialmente pela aplicação de núcleoschapa laminada, que ao se encontrarem isoladas umas das outras interrompem e reduzem a dimensão caminhos percorridos pelas correntes. As alternativas à solução laminada são a utilização de um núcl

pó metálico de dimensões micrométricas, aglutinado e comprimido com um material sintético isoladoentão recorre-se às designadas ferrites. As ferrites são basicamente cristais mistos que apresentam,simultaneamente, elevadas permeabilidade magnética relativa e resistividade eléctrica. As soluções mcomuns são as ferrites de níquel, de cobalto, de manganésio e de magnésio.

Figura 8.14 Algumas bobinas disponíveis

É comum caracterizar as bobinas com o seguinte conjunto de parâmetros técnicos:

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8.5 Tipos de Bobinas

(i) valor nominal do coeficiente de auto-indução;

(ii) tolerância do valor nominal;

(iii) resistência do enrolamento (d.c.);

(iv) corrente máxima;

(v) frequência de ressonância intrínseca;

(vi) factor de qualidade às frequências de referência;

(vii) resistência de isolamento entre as espiras;

(viii) coeficiente de temperatura;

(ix) gama de variação do valor nominal (em bobinas com núcleo móvel);

(x) gama de frequências recomendada, em particular devido ao efeito pelicular e àscapacidades parasitas entre espiras.

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8.6 Sensores Indutivos

8.6 Sensores Indutivos

Os sensores ou transdutores indutivos associam a variação de uma grandeza não eléctrica a uma alterda indutância ou coeficiente de auto-indução de uma bobina. Apesar de a indutância de uma bobina sfunção da permeabilidade magnética do núcleo e da forma e dimensões físicas respectivas, é a primeidestas variáveis que geralmente se utiliza para detectar as variações nas grandezas a medir. A variaçãindutância é uma consequência da variação do fluxo magnético total gerado pela corrente eléctrica nabobina, seja devido à variação da posição do núcleo no interior, seja devido à variação da distância enaquela e um objecto externo constituído por uma material de elevada permeabilidade magnética.

Hoje em dia existe uma relativa variedade de sensores indutivos, principalmente de deslocamento, deproximidade e de pressão. Na Figura 8.15 consideram-se os exemplos de dois transdutores indutivos deslocamento e de proximidade. O sensor em (a) é constituído por uma bobina cujo núcleo magnéticomóvel e se encontra fisicamente ligado ao objecto cujo movimento ou posição se pretende medir. O

deslocamento do núcleo altera o fluxo magnético total desenvolvido, neste caso por variação da relaçentre o número de espiras enroladas sobre o núcleo magnético e sobre o ar. Um outro exemplo de senindutivo é o detector de proximidade ilustrado na Figura 8.15.b. Neste caso, a indutância da bobina éalterada por efeito da aproximação ou afastamento do objecto cuja proximidade se pretende detectar,objecto que regra geral é constituído por um material de elevada permeabilidade magnética. A maior menor proximidade do objecto tem consequências sobre o fluxo magnético total desenvolvido pela cona bobina, que equivale ao coeficiente de auto-indução respectivo.

Figura 8.15 Sensores indutivos de deslocamento (a) e de proximidade (b)

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Sumário

Sumário

A bobina é um componente de circuito cuja função é armazenar energia sob a forma de campo magnéO coeficiente de auto-indução (ou indutância) de uma bobina é o parâmetro que relaciona as variaçõecorrente com a tensão induzida aos seus terminais. A indutância é uma função do número de espiras, dimensões físicas da bobina e da permeabilidade magnética do núcleo. A unidade da indutância é o h(H).

Os materiais podem ser diamagnéticos, paramagnéticos, ferromagnéticos, ferrimagnéticos eantiferromagnéticos. Os materiais como o ferro, o ferro-silício e o ferro-níquel (ferromagnéticos) e asferrites de níquel, cobalto, manganésio, magnésio (ferrimagnéticos) apresentam elevados valores depermeabilidade magnética relativa.

A corrente e a tensão aos terminais de uma bobina relacionam-se por uma derivada.

É comum classificar as bobinas consoante a gama de frequências a que se destinam, a corrente e a enemagnética máxima permitida, o tipo de material constituinte do núcleo, a possibilidade de variar ousintonizar o coeficiente de auto-indução, e a utilização de mecanismos de blindagem do fluxo magnétExistem bobinas com núcleo de ar, de ferro maciço ou laminado, de pó de metal aglutinado com ummaterial isolador e de ferrite. As principais características técnicas das bobinas são o valor nominal, atolerância, a gama de variação possível para a indutância, a gama de frequências e o factor de qualidaresistência de isolamento entre espiras e o coeficiente de temperatura.

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Exercícios de Aplicação

Exercícios de Aplicação

8.1 Determine o ritmo de variação do fluxo magnético (d Φ(t )/ dt ) numa bobina com N =10 espiras e a terminais é induzida uma tensão de 5 V.

8.2 Determine a indutância dos seguintes condutores:

(a) dois fios condutores paralelos com 10 m de comprimento, 1 cm de separação e 1 mm deraio;

(b) um cabo coaxial com 10 m de comprimento, 1 mm de raio interno e 5 mm de raioexterno;

(c) uma bobina cilíndrica com 100 espiras, núcleo com raio de 1 cm e comprimento de 10cm (k=1).

8.3 Considere uma bobina de indutância L=1 µH cuja corrente inicial é i(t o)=10 mA. Admitindo a for

onda da tensão representada na Figura E8.3, determine:

(a) a corrente na bobina entre t=5 ms e t=10 ms;

(b) a energia magnética armazenada na bobina em t=0 ms, t=5 ms e t=10 ms.

Figura E8.3

8.4 Considere uma bobina de 1 mH cuja corrente varia como indicado na Figura E.8.4. Desenhe a foronda da tensão e da energia magnética armazenada na bobina.

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Exercícios de Aplicação

Figura E8.4

8.5 Considere uma bobina de indutância 1µH cuja tensão aplicada varia como na Figura E.8.5. Admituma corrente inicial na bobina de i(t

o)=10 mA, desenhe a forma de onda da corrente e da energia

magnética armazenada.

Figura E8.5

8.6 A corrente numa bobina cresce linearmente de zero até 5 A num intervalo de tempo de 1 ms. Sabeque o coeficiente de auto-indução da bobina são 2 mH, determine o valor da tensão induzida aos termda mesma.

*8.7 Determine o coeficiente de auto-indução equivalente de três bobinas de valores 10 mH, 5 mH e associadas:

(a) em série;

(b) em paralelo.

*8.8 Para cada circuito representado na Figura E8.8, determine o valor da indutância equivalente aosterminais a-b.

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Exercícios de Aplicação

Figura E8.8

*8.9 Para cada circuito em E.8.9 determine o valor da tensão entre os terminais a-b.

Figura E8.9

*8.10 Para cada circuito representado na Figura E.8.10, determine o valor da corrente i x

indicada.

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Exercícios de Aplicação

Figura E8.10

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Fotografias de Tipos de Bobinas

Fotografias de Tipos de Bobinas

Bobina com Núcleo de Ferrite(100 µH)Tolerância: ± 10%resistência d.c.: 2.5 ΩCorrente Máx.: 400 mAFactor Qualidade: 100 @ 1 MHz

freq. Ressonância: 5.5 MHz

Bobina com Núcleo de Ferrite(RF Choke; 1 mH)Tolerância: ± 10%resistência d.c.: 30 ΩCorrente Máx.: 100 mAFactor Qualidade: 85 @ 800 kHzfreq. Ressonância: 3 MHz

Bobina com Núcleo de Ferri(RF Choke; 1 µH)Tolerância: ± 10%resistência d.c.: 0.04 ΩCorrente Máx.: 2.7 AFactor Qualidade: 45 @ 15 M

freq. Ressonância: 190 MHz

Bobina Núcleo de Ferrite(1 mH)Tolerância: ± 10%resistência d.c.: 4 ΩCorrente Máx.: 210 mAFactor Qualid.: 150 @ 150 kHzfreq. Ressonância: 1.8 MHz

Bobina com Núcleo de Ferrite(RF Choke; 100 mH)Tolerância: ± 10%Resistência d.c.: 82 ΩCorrente Máx.: 5 mAFactor Qualid.: 100 @ 50 kHzFreq. Ressonância: 90 kHz

Bobina com Núcleo de Ferri(RF Choke; 100 µH)Tolerância: ± 10%Resistência d.c.: 2 ΩCorrente Máx.: 200 mAFactor Qualid.: 60 @ 796 kHzFreq. Ressonância: 6.1 MHz

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Fotografias de Tipos de Bobinas

Bobinas Híbridas de Filme Fino(2.7 nH)Tolerância: ± 0.5%Resistência d.c.: 0.08 ΩCorrente Máx.: 1 AFactor Qualid.: 42 @ 450 MHzFreq. Ressonância: 10 GHz

Suporte para enrolamento debobina com Núcleo de Ferrite

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7.1 Capacidade Eléctrica

7.1 Capacidade Eléctrica

Nesta secção introduzem-se as grandezas e constantes eléctricas necessárias à compreensão do concecapacidade eléctrica. Estas grandezas são o fluxo eléctrico (Ψ), a densidade de fluxo eléctrico ( D), a

permitividade eléctrica do vazio (εo) e a constante dieléctrica dos materiais (εr ).

Considerem-se duas cargas pontuais Q e -Q (Figura 7.1), positiva e negativa respectivamente, e imers

espaço vazio. Sabe-se já que a amplitude da força eléctrica de atracção entre as cargas é dada pela exp

(7.3

em que εo=8.85419*10-12 F/m define a permitividade eléctrica do vazio. A intensidade do campo elé

criado pela carga Q à distância r é expressa por

(7.4

de direcção radial e sentido divergente.

Por analogia com a teoria do campo magnético, associa-se o fluxo eléctrico às linhas de força que irraou convergem num corpo carregado electricamente.

Figura 7.1 Fluxo eléctrico

O fluxo eléctrico gerado por uma carga eléctrica de valor Q é, por definição,

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7.1 Capacidade Eléctrica

C, coulomb (7.5

e irradia das cargas positivas e converge nas cargas negativas. Por outro lado, define-se densidade de eléctrico por unidade de área ao cociente

C/m2

, coulomb por metro quadrado(7.6

medida do quanto densas são as linhas de força numa determinada região do espaço. Por exemplo, noda carga Q representada na Figura 7.1.a, a densidade do fluxo eléctrico na superfície esférica de raio

torno da carga, de área A=4πr 2, é

(7.7

portanto, proporcional à intensidade do campo eléctrico e à permitividade do meio.

Figura 7.2 Condensador de placas paralelas

Considere-se agora na Figura 7.2.a o caso de duas placas com área A, paralelas e separadas por um esvazio de espessura d . Ambas as placas se encontram carregadas electricamente, uma com cargas posiQ, e a outra com cargas negativas, -Q, o que significa que todas as linhas de fluxo irradiantes de umaconvergem na outra. De acordo com a definição, o fluxo eléctrico estabelecido entre as placas é

(7.8

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7.1 Capacidade Eléctrica

o qual corresponde à densidade de fluxo

(7.9

admitindo que a dimensão das placas é muito superior à distância entre elas, A>>d , e que, portanto, alinhas de força são aproximadamente paralelas. O campo eléctrico no espaço entre placas é neste casouniforme e dado pelo cociente

(7.10

A expressão da densidade de fluxo eléctrico, (7.9), em conjunto com as relações (7.7), (7.8) e (7.10),permitem expressar a carga nas placas em função da tensão eléctrica respectiva

(7.11

ou seja,

(7.12

em que

F, farad (7.13

define a capacidade eléctrica do condensador.

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7.1 Capacidade Eléctrica

Figura 7.3 Símbolos alternativos do condensador

Duas quaisquer superfícies condutoras isoladas electricamente definem um condensador. Como seexemplifica na Figura 7.4.a, dois condutores coaxiais isolados electricamente definem um condensadcapacidade eléctrica

(7.14

em que l, r ext

e r int

definem, respectivamente, o comprimento e o raio dos condutores externo e intern

enquanto dois condutores paralelos e extensos (Figura 7.4.b) implementam um condensador cujacapacidade eléctrica é

(7.15

em que r e d definem, respectivamente, o raio e a distância entre condutores.

Figura 7.4 Capacidade eléctrica de um cabo coaxial (a) e de dois fios condutores paralelos (b)

Na derivação da expressão da capacidade eléctrica admitiu-se sempre que as placas do condensador sencontravam imersas no espaço vazio. Nos casos em que o espaço compreendido entre as placas é ocpor um material com propriedades dieléctricas, como a mica, alguns plásticos, algumas cerâmicas, etcpermitividade relativa do meio é superior à unidade e deve ser considerada na expressão da capacidadeléctrica. Com efeito, a capacidade eléctrica de um condensador de placas paralelas é dada pela expregenérica

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7.1 Capacidade Eléctrica

(7.16

em que εr define a permitividade relativa ou constante dieléctrica do meio. Na Tabela 7.1 indicam-se

constantes dieléctricas características de alguns materiais isoladores, como o ar, o papel parafinado, ao plástico, a água destilada, etc. Alguns materiais dieléctricos permitem aumentar de forma drástica a

capacidade eléctrica de um condensador, e o consequente armazenamento de quantidades significativcarga eléctrica sem que para tal se desenvolvam tensões elevadas aos seus terminais.

A constante dieléctrica é uma medida do campo eléctrico de oposição (di=oposição) induzido no matpelo campo eléctrico aplicado. Apesar de os materiais isoladores serem constituídos por átomos oumoléculas às quais dificilmente se subtraem electrões para suportar o fenómeno da condução eléctricaplicação de um campo eléctrico a um material com propriedades dieléctricas provoca a deformação órbitas electrónicas em torno do núcleo e conduz à criação de tantos dipólos eléctricos quantos os átoou moléculas deformados. O alinhamento dos dipólos eléctricos induzidos é designado por fenómenopolarização do dieléctrico (Figura 7.5), o qual se encontra na origem de um campo eléctrico de sentidcontrário àquele aplicado externamente. Como se indica nas Figuras 7.5.a e 7.5.b, os dipólos induzidoanulam-se reciprocamente no interior do dieléctrico, deixando no entanto um conjunto de cargas negae positivas acumuladas junto às placas positiva e negativa, respectivamente.

MATERIAL εr MATERIAL ε

r

vácuo 1 porcelana 6

ar 1.0006 alumina 8.1~9.5

teflon 2 titanatos 50~10000papel parafi. 2.5 Silício fund. 3.8

plástico 3 pyrex 5.1

papel 4~6 polistireno 2.5~2.6

óleo 4 água dest. 80

mica 3~7

Tabela 7.1 Constante dieléctrica de diversos materiais

Uma das interpretações possíveis do efeito causado pelo dieléctrico consiste em equacionar a tensão eas placas, a carga acumulada e o campo eléctrico no seio do material.

Considerem-se dois condensadores idênticos na forma mas distintos no material do dieléctrico, porexemplo um com dieléctrico de vazio e outro com dieléctrico de mica. Admita-se ainda que se fixa a entre as placas, V , ou seja, que se impõe no dieléctrico um campo eléctrico resultante E =V/d . De acorcom o fenómeno do campo eléctrico induzido (de oposição), no caso do condensador de mica o campeléctrico pré-estabelecido pelas cargas nas placas deve ser superior àquele que na realidade existe no

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7.1 Capacidade Eléctrica

do dieléctrico, uma vez que o campo de oposição actuou reduzindo-o. Por conseguinte, a carga nas plresponsável pelo campo pré-estabelecido, deve ser também ela superior àquela característica docondensador com dieléctrico de vazio. Deste modo, as consequências da existência de um dieléctricobasicamente duas:

(i) para a mesma tensão aplicada, a carga acumulada nas placas do condensador de mica ésuperior;

(ii) para a mesma carga acumulada, a tensão entre os terminais do condensador de mica éinferior.

De acordo com o enunciado (i),

(7.17

ou seja

(7.18

de onde se pode expressar a permitividade relativa da mica na forma

(7.19

O efeito causado pelo dieléctrico pode ainda interpretar-se de uma outra maneira:

(i) no condensador de vazio, o fluxo eléctrico é inteiramente gerado nas cargas positivas econverge nas cargas negativas, localizadas nas placas;

(ii) no condensador de mica, os dipólos induzidos constituem fontes adicionais de fluxoeléctrico, que no seio do dieléctrico têm sentido contrário àquele pré-estabelecido a partirdas placas.

É a compensação do fluxo de oposição que induz a acumulação de uma maior quantidade de carga naplacas do condensador de mica, por forma a garantir a mesma tensão entre as placas.

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7.1 Capacidade Eléctrica

Figura 7.5 Campo eléctrico de oposição induzido no dieléctrico de um condensador

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7.2 Característica Tensão-Corrente

7.2 Característica Tensão-Corrente

7.2.1 Características i (v ) e v (i )

A capacidade eléctrica equaciona as grandezas tensão e carga eléctrica acumulada num condensador

q(t) = Cv(t) (7.20

As variações na carga acumulada definem a corrente nos terminais de acesso

(7.21

expressão que é vulgarmente designada por característica tensão-corrente do condensador. Uma análisumária da característica (7.21) permite concluir que:

(i) a tensões constantes correspondem correntes nulas;

(ii) a tensões variáveis no tempo, mas com derivada finita, correspondem correntes finitas;

(iii) a tensões sinusoidais correspondem correntes também sinusoidais;

(iv) a variações infinitamente rápidas da tensão correspondem picos de corrente deamplitude infinita.

Na Figura 7.6 apresenta-se uma interpretação qualitativa da característica tensão-corrente do condensAdmita-se que no instante t=0 são nulas a tensão, a carga acumulada e a variação da carga (a correnteterminais de um condensador (a). Admita-se ainda que a partir de t=0 se injecta no mesmo uma correeléctrica (cargas), positiva no sentido indicado em (b), isto é, que da placa esquerda se retiram electrõ(acumulando aí cargas positivas) e que à placa da direita se fornecem electrões.

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7.2 Característica Tensão-Corrente

Figura 7.6 Corrente eléctrica num condensador

Como se indica em (c), do ponto de vista dos terminais de acesso ao exterior, o condensador comportcomo um elemento através do qual circula uma corrente, independentemente do facto de o dieléctricoou não isolador. A existência de um movimento de cargas nos terminais de acesso às placas não reflepresença de uma corrente eléctrica através do dieléctrico, mas sim a acumulação e remoção de cargasplacas esquerda e direita. Naturalmente que a existência ou não de uma corrente eléctrica se reflecte n

existência ou não de uma variação na quantidade de carga acumulada e na respectiva tensão entre pla

O condensador pode ainda ser encarado como elemento integrador de corrente. Com efeito, a integraçambos os termos de (7.21) conduz à relação integral

t > t o (7.22

em que v(t o) define o valor inicial da tensão aos terminais do condensador.

7.2.2 Energia Eléctrica Armazenada

A energia eléctrica armazenada num condensador é dada pelo integral no tempo da potência fornecid

(7.23

No entanto, por substituição de (7.21)

(7.24

que por aplicação do método de substituição para integrais permite obter

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7.2 Característica Tensão-Corrente

(7.25

ou seja

(7.26

Por exemplo, admitindo que em t=-∞ o condensador se encontrava descarregado, v(-∞ )=0,

(7.27

ou, por substituição da relação q(t )=Cv(t ),

(7.28

Convém notar que o condensador armazena mas não dissipa energia.

Uma vez que a carga acumulada num condensador resulta do integral da corrente, então as variáveis ctensão e energia devem necessariamente ser uma função contínua no tempo (as variações em degrau sseriam possíveis caso a corrente atingisse valores infinitamente elevados). Valores finitos da correnteeléctrica têm como consequência as condições de continuidade

(7.29

(7.30

e

(7.31

em qualquer instante de tempo, respectivamente para a carga acumulada, para a tensão entre placas e energia armazenada.

7.2.3 Exemplos de Aplicação

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7.2 Característica Tensão-Corrente

Exemplo-1: Considere-se o circuito e o sinal representados na Figura 7.7, e admita-se que em t=0 ocondensador se encontra descarregado. Pretende-se determinar e representar graficamente, em funçãotempo, a tensão aos terminais do condensador.

Figura 7.7 Exemplo de aplicação: variáveis corrente e tensão eléctrica num condensador

Resolução: A aplicação da forma integral da característica tensão-corrente do condensador permiteescrever a tensão aos terminais na seguinte forma:

t < 0

0 < t < 1

1 < t < 2

2 < t < 3

3 < t < 4

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7.2 Característica Tensão-Corrente

t > 3

cuja representação gráfica se ilustra em 7.7.c. A correntes positivas, nulas e negativas correspondem,respectivamente, tensões crescentes, constantes e decrescentes no tempo.

Exemplo-2: Considerem-se o circuito e a forma de onda da fonte de corrente representados na Figurae admita-se que a tensão inicial aos terminais do condensador é v(t=0)=1 V. Pretende-se determinar erepresentar graficamente, em função do tempo, as variáveis tensão, carga e energia armazenada nocondensador.

Figura 7.8 Exemplo de aplicação-2: corrente, carga, tensão e energia eléctrica num condensado

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7.2 Característica Tensão-Corrente

Resolução: À tensão inicial de 1 V correspondem a carga

e a energia

A carga acumulada em função do tempo é dada pelo integral da corrente

que resulta na forma de onda triangular representada em 7.8.c. A tensão aos terminais do condensadoexpressa pelo cociente

cuja forma coincide com aquela da carga (Figura 7.8.d). Finalmente, a energia armazenada no condenobtém-se a partir do produto

que no presente caso toma a forma de um sinal periódico constituído por arcos de uma equação quadr(Figura 7.8.e).

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7.3 Associação de Condensadores

7.3 Associação de Condensadores

7.3.1 Associação em Paralelo

Considerem-se os k condensadores associados em paralelo da Figura 7.9.a.

Figura 7.9 Associação de condensadores em paralelo

A Lei de Kirchhoff das correntes

(7.32

em conjunto com a característica tensão-corrente

(7.33

permitem escrever a igualdade

(7.34

ou seja,

(7.34

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7.3 Associação de Condensadores

em que

(7.35

define a expressão da associação em paralelo de condensadores (Figura 7.9.b).

7.3.2 Associação em Série

Considere-se a associação em série de condensadores da Figura 7.10.a.

Figura 7.10 Associação de condensadores em série

A Lei de Kirchhoff das tensões

(7.36

em conjunto com a característica tensão-corrente do condensador

(7.37

permitem escrever a igualdade

(7.38

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7.3 Associação de Condensadores

que após simplificação conduz à relação

(7.39

em que

(7.40

define a expressão da associação em série de condensadores (Figura 7.10.b).

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7.4 Divisores Capacitivos de Corrente e de Tensão

7.4 Divisores Capacitivos de Corrente e de Tensão

Considerem-se dois condensadores associados em paralelo (Figura 7.11.a).

Figura 7.11 Divisores capacitivos de corrente (a) e de tensão (b)

A aplicação da Lei de Kirchhoff das correntes a um dos nós comuns aos dois condensadores permiteescrever a igualdade

(7.41

que equivale a

(7.42

Tendo em conta (7.42), a corrente no condensador C 1 pode expressar-se na forma

(7.43

a qual basicamente indica que pelo maior dos condensadores flui o maior dos fluxos de corrente. Esteresultado é oposto àquele estabelecido anteriormente para o divisor resistivo de corrente.

Considerem-se agora dois condensadores associados em série (Figura 7.11.b). Neste caso, pode facilm

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7.4 Divisores Capacitivos de Corrente e de Tensão

demonstrar-se que a queda de tensão aos terminais do condensador C 1 é dada pela expressão

(7.44

que mais uma vez constitui um resultado oposto àquele estabelecido anteriormente para o divisor resi

de tensão.

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7.5 Tipos de Condensadores

7.5 Tipos de Condensadores

Tal como as resistências, os condensadores podem ser agrupados em três classes principais, a saber:condensadores discretos, condensadores híbridos e condensadores integrados. Nesta disciplina dá-separticular atenção ao estudo dos condensadores de tipo discreto e híbrido, deixando-se a cargo dedisciplinas posteriores a consideração das alternativas possíveis em matéria de condensadores integra

Os condensadores discretos podem ser fixos ou variáveis. A capacidade dos condensadores fixos é prestabelecida durante o processo de fabrico, garantindo-se em geral uma determinada precisão no seu vnominal. Já a capacidade dos condensadores variáveis pode ser alterada ou ajustada pelo utilizador emfunção das suas necessidades, sendo em geral utilizados na sintonia fina de circuitos. Os mecanismosajuste da capacidade eléctrica são basicamente a variação das propriedades do dieléctrico, da superfícdistância entre placas.

No que respeita ao material do dieléctrico e dos eléctrodos, é comum encontrarem-se no mercado asseguintes variedades de condensadores: dieléctrico de mica, papel, plástico, cerâmica, e electrolíticosalumínio ou de tântalo (líquido ou sólido), e eléctrodos de metal depositado ou em folha, tipicamente alumínio, de cobre ou de prata. Cada alternativa apresenta vantagens e inconvenientes, designadamenque respeita à gama de valores nominais comercializados, à tolerância, tensão máxima de trabalho,coeficiente de temperatura, linearidade, resistência do dieléctrico, indutância parasita e respectivocomportamento em frequência. A escolha do tipo de condensador adequado para cada aplicação podedeterminar a qualidade do desempenho de um circuito.

7.5.1 Condensadores de MicaOs condensadores de mica são constituídos por um dieléctrico deste material interposto entre duas plaum material bom condutor (Figura 7.12.a). As placas de metal e de mica são empilhadas e intercaladaumas nas outras (b), constituindo as folhas de metal pares e ímpares da pilha um e outro dos eléctrodoeléctrodos são em geral folhas de alumínio coladas sobre o dieléctrico, ou simplesmente um banho dedepositado sobre a superfície do mesmo. Os condensadores de mica são vulgarmente encapsulados nuinvólucro de plástico moldado, o que confere resistência mecânica ao componente e isola os eléctrodocontacto com o exterior. É comum os condensadores de mica existirem em gamas compreendidas entpicofarad e as dezenas de nanofarad, apresentarem tolerâncias relativamente baixas (0.5 a 1%) e supo

tensões na gama compreendida entre os 100 V e as várias dezenas de milhar de volt. Em geral, oscondensadores de mica apresentam excelentes características técnicas, designadamente no que respeitestabilidade com a temperatura (~100 ppm/ºK) e à resistência de isolamento (vários GΩ), sendovulgarmente utilizados em aplicações de rádio-frequência.

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7.5 Tipos de Condensadores

Figura 7.12 Aspectos tecnológicos da construção de um condensador de mica

7.5.2 Condensadores de Película ou Folha

Os condensadores de película consistem em pilhas de folhas de material dieléctrico intercaladas poreléctrodos metálicos. Os materiais dieléctricos mais utilizados são o papel, o poliester, o policarbonatpolistireno, o polipropileno e o poliphenilenesulfito, cada um deles visando uma gama de aplicações mbem definida. Por exemplo, os condensadores com dieléctrico de poliester são recomendados paraaplicações gerais de baixa tensão e frequência (acoplamento capacitivo, acumulação de carga, supressinterferências, filtragem, temporização, etc.), ao passo que os de policarbonato são utilizados em aplicautomóveis, portanto em ambientes de elevada temperatura, existindo no entanto também versões paraplicações de filtragem, circuitos amostradores e retentores, etc. Os condensadores de poliphenilenesusão geralmente utilizados em montagem superficial (SMD, não encapsulados), em aplicações de sintoequipamentos de telecomunicações, os de papel são utilizados na supressão de interferências nas rede

distribuição de energia eléctrica, os de polipropileno utilizam-se em aplicações de alta frequência e teetc. Os condensadores de película existem em gamas de valores nominais muito variadas, por exemplentre as centenas de picofarad e as dezenas de microfarad, para tolerâncias compreendidas entre 1 e 2para tensões máximas na gama das dezenas, passando pelas centenas e até ao milhar de volt.

7.5.3 Condensadores Cerâmicos

Os condensadores cerâmicos são construídos a partir da deposição ou colagem de um metal bom condsobre uma cerâmica de elevada constante dieléctrica. Os condensadores de placa são constituídos porfolha cerâmica em cuja superfície se encontram colados os eléctrodos, em geral de cobre ou de prata,enquanto os condensadores multicamada são formados por sucessivas folhas de material cerâmico emsuperfície se encontra depositado um metal bom condutor, tipicamente o paládio ou a platina (Figura Os condensadores multicamada destinam-se em geral a aplicações de montagem superficial, apresentpor isso dimensões típicas da ordem do milímetro.

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7.5 Tipos de Condensadores

Figura 7.13 Condensadores cerâmicos: de placa (a) e multi-camada (b)

É comum distinguirem-se duas classes de condensadores cerâmicos:

(i) condensadores da classe-1, com constantes dieléctricas relativamente baixas (algumasunidades a centenas) mas de boa qualidade, designadamente no que respeita à resistência dodieléctrico e à dependência da capacidade com a temperatura (utilizados essencialmente naconstrução de osciladores e filtros);

(ii) condensadores da classe-2, de elevada constante dieléctrica (algumas centenas amilhares de unidades) mas de piores características técnicas e utilizados essencialmente emaplicações gerais de acoplamento de sinais.

A título de exemplo, a empresa Philips comercializa condensadores cerâmicos de placas e multi-camacujas constantes dieléctricas são εr >2000, 5000 ou 14000, da classe-2, e ε

r =6~250 da classe-1. Por

exemplo, os condensadores da classe-2 apresentam valores nominais compreendidos entre as décimaspicofarad e o microfarad, tolerâncias compreendidas entre os -20 e os 80%, e tensões máximas de trabentre 63 e 500 V. Por outro lado, os condensadores da classe-1 cobrem a gama de capacidadescompreendidas entre 0.47 e 270 pF, suportam tensões máximas típicas de 100 ou 500 V, e apresentamtolerâncias relativamente baixas, tipicamente 2%. Convém ainda salientar o facto de existiremcondensadores cerâmicos para aplicações gerais de baixa frequência (receptores TV, gravadores vídee para microondas (comunicações via satélite, telefone móvel, etc.).

7.5.4 Condensadores Electrolíticos

Existem dois tipos principais de condensadores electrolíticos: de alumínio e de tântalo, em ambos os cnas variantes sólida e líquida. Os condensadores electrolíticos baseiam o seu princípio de funcionamecriação de um dieléctrico de espessura micrométrica directamente na superfície de contacto entre doismateriais condutores. Por exemplo, os condensadores electrolíticos de alumínio líquido são construídpartir de um conjunto de folhas de alumínio enroladas e intercaladas com um papel fino, absorvente ebanhado num electrólito. O conjunto electrólito-alumínio é inicialmente um bom condutor, propriedasofre alteração após a aplicação de uma tensão entre o terminal de alumínio e o electrólito. A aplicaçã

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7.5 Tipos de Condensadores

uma tensão constante entre as duas placas do condensador conduz à formação de uma finíssima camaóxido de alumínio na superfície de contacto entre o alumínio e o electrólito (de aproximadamente 0.1espessura), processo durante o qual a função do electrólito consiste basicamente em fornecer oxigénioa reacção química em curso. É a camada de óxido de alumínio criada na superfície de contacto entre oalumínio e o electrólito que constitui o dieléctrico do condensador.

Os condensadores electrolíticos são componentes cujos terminais são geralmente polarizados (hoje em

existem condensadores electrolíticos não polarizados). Para além do valor nominal da capacidade e dtensão máxima de trabalho, os condensadores electrolíticos contêm na superfície externa uma indicaçterminal positivo (ou negativo) da tensão. As condições de funcionamento devem garantir sempre umtensão positiva entre os terminais positivo e negativo do condensador. Aplicação de uma tensão negatpode conduzir à degradação irreversível das suas propriedades, podendo mesmo explodir. Oscondensadores electrolíticos apresentam valores de capacidade geralmente elevados, tipicamente entrdécimas do microfarad e do farad, reduzidas tensões máximas de trabalho, geralmente inferior a 100 Vresistência de isolamento do dieléctrico da ordem dos MΩ (que é um valor baixo), tolerâncias elevada(podendo mesmo atingir 100%) e coeficientes de temperatura relativamente elevados.

Os condensadores de tântalo, tal como os electrolíticos de alumínio, baseiam o seu funcionamento nocrescimento de um dieléctrico de óxido fino entre um material condutor e um electrólito. Estescondensadores são construídos a partir de um pó de tântalo comprimido e aquecido de modo a formarbloco de material de elevada porosidade. O material é posteriormente imerso numa solução ácida, queconduz à formação de uma fina película de óxido de manganésio envolvente da elevada superfície decontacto. Seguidamente, adiciona-se um electrólito que estabelece o contacto negativo do condensadoEstes condensadores são componentes polarizados, característica geralmente indicada na cápsula do matravés de um conjunto de sinais.

Apesar de existirem condensadores da tântalo de elevada capacidade, tipicamente entre 2.2 e 100 µF,apresentam dimensões relativamente pequenas quando comparadas com as dos condensadores electrode alumínio. As características técnicas são bastante semelhantes às dos condensadores de alumínio,nomeadamente algumas dezenas de volt de máxima tensão de trabalho, tolerâncias que podem atingircoeficientes de temperatura superiores ao milhar de p.p.m./ºK, e resistência de isolamento do dieléctrapenas alguns MΩ.

Os condensadores electrolíticos são utilizados em variadíssimas aplicações: fontes de alimentação,equipamento industrial, de telecomunicações e automóvel (motores), acoplamento, filtragem,temporizadores, etc.

7.5.5 Condensadores Híbridos

Os condensadores de filme espesso e de filme fino são utilizados na realização de circuitos híbridosdiscreto-integrados. Estes condensadores são construídos por deposição de uma película de materialdieléctrico entre dois eléctrodos condutores, tudo sobre um substrato isolante de alumina, magnesia,quartzo, vidro ou safira. Os materiais dieléctricos mais utilizados são o titanato de bário (ε

r =1000~30

titanatos de magnésio e de zinco, o óxido de titânio (εr =12~160), no caso dos condensadores de filme

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7.5 Tipos de Condensadores

espesso; e monóxido de silício, o dióxido de silício, o pentóxido de tântalo (εr =4~25), no caso dos de

fino. Em face das aplicações a que se destinam estes condensadores são de dimensão relativamentereduzida, da ordem do milímetro.

7.5.6 Condensadores Variáveis

A capacidade de um condensador pode ser alterada por intermédio de dois mecanismos básicos: varia

espessura do dieléctrico; ou deslocamento da superfície das placas frente a frente. Os condensadoresvariáveis são utilizados no ajuste fino do desempenho dos circuitos, tipicamente processado pelo fabrdurante a fase de teste, e na sintonia dos circuitos. Os condensadores de ajuste fino são vulgarmentedesignados por trimmers, podendo ser de pressão, de disco, tubulares ou de placas. Os trimmers sãogeralmente de relativa pequena capacidade, da ordem das unidades às dezenas de picofarad, e cobremtipicamente uma gama 1 a 10 do seu valor nominal. Na Figura 7.14 ilustram-se alguns condensadoresvariáveis actualmente existentes no mercado.

Figura 7.14 Alguns condensadores do tipo discreto actualmente disponívei

7.5.7 Características Técnicas dos Condensadores

A utilização de condensadores em circuitos cuja qualidade e precisão do desempenho são factor primdeve ser acompanhada de precauções no que respeita às características técnicas:

(i) a gama de capacidades coberta;

(ii) a tolerância do valor nominal;

(iii) a tensão máxima de trabalho, cuja superação pode conduzir à destruição docondensador por perfuração do dieléctrico e ao estabelecimento de um curto-circuito entreos eléctrodos;

(iv) a corrente de fugas pelo dieléctrico, também especificada através da resistência deisolamento do mesmo;

(v) os efeitos da temperatura, designadamente o coeficiente de temperatura e a gama de

temperaturas de trabalho recomendada;

(vi) a indutância parasita e a respectiva frequência de ressonância;

(vii) a resistência dos terminais de acesso às placas;

(viii) a polarização ou não das placas, como sucede com os condensadores electrolíticos.

Em geral, este tipo de informação (e muito mais) encontra-se explicitada nos catálogos dos componen

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7.5 Tipos de Condensadores

sob a forma de tabelas ou de gráficos.

COR 1º DIGITO 2º DIGITO FACTOR (µF) Vmáx (V)

preto 0 0 1 10

castanho 1 1 - 1.6

vermelho 2 2 - 4

laranja 3 3 - 40

amarelo 4 4 - 6.3verde 5 5 - 16

azul 6 6 - -

violeta 7 7 10-3 -

cinzento 8 8 10-2 25

branco 9 9 10-1 2.5

Figura 7.15 Código de identificação do valor nominal da capacidade e da tensão máxima de trabalhocondensador electrolítico de tântalo sólido (Philips)

7.5.8 Códigos de Identificação de Condensadores

É comum o valor nominal e algumas características técnicas dos condensadores serem impressos noinvólucro, mediante um código de letras, cores ou simplesmente de símbolos geométricos. No caso docondensadores electrolíticos de alumínio, de dimensões relativamente elevadas, é comum encontrar-simpresso em algarismos e símbolos convencionais tanto o valor nominal da capacidade, como a tensãmáxima de trabalho e a polaridade dos terminais. Já os condensadores cerâmicos, de tântalo, poliester

cujas dimensões são bastante reduzidas, é comum encontrar-se as características técnicas impressas cbase em códigos de letras, números ou cores. Na Figura 7.15 apresenta-se um condensador electrolítictântalo sólido cujos valores nominais da capacidade e da tensão máxima de trabalho são impressos cobase num código de cores, bandas e símbolos geométricos.

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7.6 Sensores Capacitivos

7.6 Sensores Capacitivos

Um sensor ou transdutor capacitivo é um condensador que exibe uma variação do valor nominal dacapacidade em função de uma grandeza não eléctrica. Uma vez que um condensador consiste basicamnum conjunto de duas placas condutoras separadas por um dieléctrico, as variações no valor nominal capacidade podem ser provocadas por redução da área frente a frente e da separação entre as placas, ovariação da constante dieléctrica do material.

Os sensores capacitivos permitem medir com grande precisão um grande número de grandezas físicacomo a posição, o deslocamento, a velocidade e a aceleração linear ou angular de um objecto; a humia concentração de gases e o nível de líquidos ou sólidos; a força, o torque, a pressão e a temperatura; também detectar a proximidade de objectos, a presença de água e de pessoas, etc.

Hoje em dia existe uma grande variedade de aplicações que utilizam sensores capacitivos, de forma d

ou integrada. Por exemplo, são bastante comuns os sensores capacitivos de pressão, (caso dos microfde aceleração, de fluxo de gases ou líquidos, de humidade, de compostos químicos como o monóxidocarbono, dióxido de carbono, azoto, de temperatura, de vácuo, de nível de líquidos, de força, dedeslocamento, etc., uns detectando as variações na espessura do dieléctrico, outros na constante dieléA detecção da variação da capacidade é geralmente efectuada através da medição da carga acumuladaexemplo através da aplicação de uma tensão constante, ou então indirectamente através da variação dfrequência de oscilação ou da forma de onda à saída de um circuito, do qual o sensor é parte integrantFiguras 7.16 apresentam-se os esquemas simplificados de alguns dos sensores capacitivos maisvulgarmente utilizados.

Em 7.16.a considera-se o caso de um sensor capacitivo de deslocamento. Neste sensor os dois eléctrosão fixos e estão separados por uma película fina de um material cuja constante dieléctrica é superior unidade (ε

r >1), que se pode deslocar lateralmente em conjunto com o objecto cujo movimento se pre

medir. O deslocamento da película altera a proporção entre as partes dos eléctrodos separadas por ar epelícula de material dieléctrico, que se traduz numa variação linear da constante dieléctrica do conjunem consequência, da capacidade do condensador. Na prática existem diversas variantes deste princípibásico, utilizadas por exemplo na construção de transdutores em rotores e estatores de motores.

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7.6 Sensores Capacitivos

Figura 7.16 Sensores capacitivos de deslocamento (a), de humidade (b) e de som (c)

Na Figura 7.16.b ilustra-se o esquema de princípio de um sensor capacitivo de humidade (designado higrométrico), o qual basicamente explora a dependência da constante dieléctrica de alguns materiaisteor de água no ar ambiente. O dieléctrico é neste caso constituído por uma película fina de um matersimultaneamente isolador e higroscópico o qual, dada a natureza porosa de um dos dieléctricos, se enem contacto com o ambiente cuja humidade relativa se pretende medir.

O microfone de electrete constitui uma das aplicações mais comuns dos sensores capacitivos de pressneste caso particular designados transdutores de som. Como se ilustra na Figura 7.16.c, os microfone

tipo são basicamente constituídos por um diafragma que vibra em função da frequência e da amplitudondas sonoras incidentes (constituindo um dos eléctrodos do condensador), uma película fina de ummaterial permanentemente polarizado (de elevada constante dieléctrica), e um segundo eléctrodo metfixo. A vibração do diafragma induz uma variação na capacidade do condensador, que é posteriormenprocessado e amplificado electronicamente.

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7.7 Instrumentos de Medida da Capacidade

7.7 Instrumentos de Medida da Capacidade

A capacidade de um condensador pode medir-se com um medidor-LCR, da designação em língua ing LCR-meter . O medidor-LCR é um instrumento que permite medir a capacidade, a indutância e a resiseléctrica de um componente. Existem medidores-LCR portáteis de uso geral e de precisão para aplicalaboratoriais, sendo na maior parte dos casos de tipo digital. No entanto, hoje em dia os multímetrosincluem já um medidor de capacidades, em conjunto com as funções de amperímetro, voltímetro eohmímetro.

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Sumário

Sumário

O condensador armazena cargas eléctricas. A capacidade eléctrica relaciona a tensão com a cargaarmazenada, e é uma função da constante dieléctrica, e das dimensões físicas e da separação entre oseléctrodos. A unidade de capacidade é o farad.

A corrente e a tensão eléctrica num condensador relacionam-se por uma derivada.

Existem três tipos básicos de condensadores: discretos, híbridos e integrados. Os condensadores discrmais comuns possuem um dieléctrico de mica, película (papel, plástico, etc.), cerâmica ou electrólitoalumínio ou de tântalo. Existem em gamas pré-estabelecidas e apresentam um conjunto de característtécnicas a considerar durante o dimensionamento dos circuitos: tolerância do valor nominal, tensão mde trabalho, corrente de fuga pelo dieléctrico, variações com a temperatura, indutância, resistência papolaridade dos terminais, entre outras.

Existem sensores capacitivos de pressão, de fluxo de gases ou líquidos, de aceleração, de temperaturavácuo, de nível de líquidos, de força, de deslocamento, de agentes químicos como a humidade, o monde carbono, etc.

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Exercícios de Aplicação

Exercícios de Aplicação

Capacidade Eléctrica

7.1 Considere um condensador de placas paralelas com as seguintes características: eléctrodos com 1de área, dieléctrico com 0.1 mm de espessura, carga acumulada Q=2*10-9 C e tensão entre eléctrodoV=10 V. Determine a intensidade do campo eléctrico ( E ), o fluxo eléctrico (ψ ), a capacidade (C ) e aconstante dieléctrica do meio (ε

r ).

7.2 Determine a capacidade de um condensador de placas paralelas cuja área e espessura do dieléctric A=10 cm2 e d=0.1 mm, respectivamente, e:

(a) dieléctrico de ar;

(b) dieléctrico com constante dieléctrica εr =75.

(c) Determine a tensão aos terminais de cada um destes dois condensadores, no caso em quea carga acumulada é Q=1 nC.

7.3 Considere um condensador de papel parafinado com as seguintes características: A=0.08 m2 e d=

mm. Admitindo uma tensão de 200 V entre os eléctrodos, determine:

(a) a intensidade do campo eléctrico no seio do dieléctrico;

(b) a carga acumulada no condensador;

(c) a capacidade eléctrica do condensador.

7.4 Duas folhas de alumínio de 15m * 1m encontram-se enroladas uma na outra, tendo no meio uma de plástico de 0.5mm de espessura e constante dieléctrica ε

r =3. Determine a capacidade eléctrica do

condensador e a carga acumulada quando a tensão aplicada é V=5 V.

Característica i (v ) e v (i ) do Condensador

7.5 Considere um condensador cuja capacidade e tensão inicial entre eléctrodos são, respectivamenteµF e v(t

o)=10 V. Admitindo para a corrente a forma de onda indicada na Figura E7.5, determine:

(a) a tensão aos terminais do condensador em t=5 ms e t=10 ms;

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Exercícios de Aplicação

(b) a energia eléctrica armazenada no condensador em t=0 ms, t=5 ms e t=10 ms.

Figura E7.5

7.6 Considere um condensador de 1 mF cuja tensão aos terminais varia como se indica na Figura E7.6Desenhe a forma de onda da corrente e da energia eléctrica armazenada no condensador.

Figura E7.6

7.7 Considere um condensador de 1 mF cuja corrente varia como na Figura E7.7. Admitindo uma teninicial no condensador de 10 V, desenhe a forma de onda da tensão e da energia eléctrica armazenadacondensador.

Figura E7.7

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Exercícios de Aplicação

7.8 O flash de uma máquina fotográfica possui um condensador de 1 mF que é carregado à tensão de V. Determine a carga e a energia eléctrica armazenadas no condensador. Admitindo que o disparo docorresponde a descarregar o condensador e que esta descarga se efectua durante um intervalo de tempapenas 1 ms, calcule o valor médio da corrente.

Associação de Condensadores

*7.9 Determine o valor da capacidade equivalente aos terminais a-b de cada um dos circuitos da FiguE7.9.

Figura E7.9

*7.10 Determine o valor da tensão vab

em cada um dos circuitos da Figura E7.10, admitindo todos os

condensadores inicialmente descarregados.

Figura E7.10

*7.11 Para cada um dos circuitos de E7.11, determine o valor da corrente i x

indicada.

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Exercícios de Aplicação

Figura E7.11

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Fotografias de Tipos de Condensadores

Fotografias de Tipos de Condensadores

Condensador de Mica (eléctrodosde banho de prata)Tolerância: ± 0.5 pF1% (>56 pF)Tensão Máx.: 500 V d.c.Gama Temp.: -40 ºC a 85 ºC

Condensador de Polystyrene(película)Tolerância: ± 1%Coef. Temp.: -125 ± 60 ppm/ºCResistência Isol.: 100 GΩ

Condensador de Polypropile(película)Tolerância: ± 20%Coef. Temp.: -200 ppm/ºCResistência Isol.: 100 GΩTensão Máx.: 1000 V d.c.Gama Temp.: -55 ºC a 100 ºC

Condensador de Policarbonato(película)Tolerância: ± 5%Coef. Temp.: ± 100 ppm/ºCGama Temp.: -55 ºC a 125 ºC

Condensador de PapelTolerância: ± 20%Tensão Máx.: 250 V a.c. 630 V d.c.

Condensador de Polypropile(película)Tolerância: ± 20%Coef. Temp.: -200 ppm/ºCResistência Isol.: 100 GΩTensão Máx.: 1000 V d.c.Gama Temp.: -55 ºC a 100 ºC

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Fotografias de Tipos de Condensadores

Condensador de Policarbonato(película)Tolerância: ± 5%Resistência Isol.: 100 GΩ

Condensador de Polyester(película)Tolerância: ± 10%Resistência Isol.: 30 GΩTensão Máx.: 100 a 400 VGama Temp.: -40 ºC a 85 ºC

Condensador de Polyester(película)Tolerância: ± 5%Resistência Isol.: 30 GΩ

Condensador de Polyester(película)Tolerância: ± 10%

Resistência Isol.: 10 GΩTensão Máx.: 63 V

Condensador Cerâmico (Placa)Tolerância: 0.25 pF (<10pF) ± 2%(≥ 10 pF)

Resistência Isol.: 10 GΩTensão Máx.: 100 a 400 VGama Temp.: -40 ºC a 85 ºC

Condensador Cerâmico(Multicamada)Tolerância: ± 10%

Coef. Temp.: ± 20%Gama Temp.: -55 ºC a 125 ºCResistência Isol.: > 100 GΩ

Condensador CerâmicoTolerância: - 20%Resistência Isol.: 10 GΩ

Condensador Electrolítico(alumínio; polarizado)Tolerância: ± 20% (≥ 10 pF)Tensão Máx.: 35 V (esq.) 63 V(dto.)Iperdas: 3 µA ou I=0.01*C*V (omaior valor)Gama Temp.: -40 ºC a 85 ºC

Condensador Electrolítico(alumínio; não-polarizado)Tolerância: ± 20%Tensão Máx.: 6.3 VIperdas: I=0.03*C*VGama Temp.: -40 ºC a 85 ºC

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Fotografias de Tipos de Condensadores

Condensador Electrolítico (tântalosólido seco; polarizado)Tolerância: ± 20%Tensão Máx.: 35 VIperdas: 1 µA ou I=0.02*C*V (omaior valor)Gama Temp.: -55 ºC a 85 ºC

Condensador Electrolítico(alumínio; polarizado; montagemsuperficial)Tolerância: ± 20%Tensão Máx.: 50 V (esq.) 10 V(dto.)Iperdas: 3 µA ou I=0.01*C*V (omaior valor)

Gama Temp.: -40 ºC a 85 ºC

Condensador Electrolítico (tsólido; polarizado; montagemsuperficial)Tolerância: ± 10%Tensão Máx.: 16 VIperdas: 0.5 µAGama Temp.: -55 ºC a 85 ºC

Condensador de Sulfito dePolyphenylene (película;montagem superficial)Tolerância: ± 2%Tensão Máx.: 50 V (d.c.)Resist. Isol.: 3GΩGama Temp.: -55 ºC a 125 ºC

Condensador Variável dePolypropylene1 volta: 2 pF a 10 pFDimensão: 5 mmTensão Máx.: 100 V d.cGama Temp.: -40 ºC a 70 ºC

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6.1 Teorema da Sobreposição de Fontes

6.1 Teorema da Sobreposição das Fontes

Os métodos dos nós e das malhas conduzem a uma relação matricial constituída por três factores principais: o coluna das variáveis do circuito, a matriz característica que contém a informação relativa às resistências e às fodependentes e, finalmente, o vector coluna das fontes independentes. Este formato é indicativo de que as variá

circuito são uma função das diversas fontes independentes, podendo em geral escrever-se na forma

(6.

em que os coeficientes aie b

jsão constantes e dependem apenas das resistências e das fontes dependentes,

contabilizadas na matriz característica do circuito. Na expressão (6.1) inscreve-se um método alternativo para análise de circuitos, designado por método da sobreposição das fontes. Na realidade, esta expressão indica quevariáveis do circuito podem ser obtidas por intermédio da sobreposição (somatório) dos efeitos causados por c

uma das fontes independentes.

Considere-se então o circuito representado na Figura 6.1.a, constituído por duas fontes independentes, uma de v

s, e outra de corrente, i

s.

Figura 6.1 Método da sobreposição das fontes

É fácil mostrar que a tensão aos terminais da resistência R3

se pode escrever na forma

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6.1 Teorema da Sobreposição de Fontes

(6.

caso particular da forma genérica expressa por (6.1). Pode então dizer-se que a expressão (6.2) resulta da aplicsucessiva dos seguintes três passos ao circuito representado na Figura 6.1.a:

Passo 1: cancelamento da fonte de corrente e determinação do efeito causado pela fonte de tensão (Figura 6.1.se que cancelar uma fonte de corrente equivale a deixar em aberto os seus dois terminais, conforme se indica nFigura 6.2). A aplicação da regra do divisor de tensão permite identificar a contribuição da fonte de tensão

(6.

Passo 2: cancelamento da fonte de tensão e determinação do efeito causado pela fonte de corrente (Figura 6.1.cancelar uma fonte de tensão equivale a curto-circuitar os seus dois terminais, conforme se vê na Figura 6.2). Ncaso, a aplicação da regra do divisor de corrente, em conjunto com a Lei de Ohm, permitem identificar a contrda fonte de corrente

(6.

Passo 3: adição dos efeitos causados por cada uma das fontes independentes, que se confirma coincidir com aexpressão indicada anteriormente em (6.2).

Figura 6.2 Cancelamento de fontes independentes

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6.1 Teorema da Sobreposição de Fontes

Uma outra conclusão que se inscreve na relação matricial característica de um circuito é o facto de as fontesdependentes serem contabilizadas como se de resistências se tratassem, isto é, não contribuem com parcelasadicionais para o somatório. Na Figura 6.3.a considera-se um circuito com diversas fontes independentes edependentes, relativamente ao qual se pretende determinar a expressão da corrente i

xindicada.

Figura 6.3 Exemplo de aplicação do método da sobreposição das fontes

Analisando separadamente os dois circuitos representados em 6.3 b e c, facilmente se verifica que

(6.

e que

(6.

respectivamente, para os efeitos causados pela fonte de tensão e pela fonte de corrente. A expressão da correnté, assim,

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6.1 Teorema da Sobreposição de Fontes

(6.

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6.2 Teorema de Thévenin

6.2 Teorema de Thévenin

O teorema de Thévenin afirma que, do ponto de vista de um qualquer par de terminais, um circuito linear sempre ser substituído por uma fonte de tensão com resistência interna. Como se verifica na Figura 6.4, quo objectivo da análise de um circuito se resume a identificar a corrente, a tensão ou a potência a jusante de

par de terminais, então o teorema de Thévenin indica que todo o circuito a montante pode ser reduzido a delementos apenas, constituindo globalmente uma fonte de tensão com resistência interna. O conjunto decomponentes v

The R

Thé designado por equivalente de Thévenin do circuito.

Figura 6.4 Teorema de Thévenin

A metodologia de cálculo do equivalente de Thévenin difere consoante o tipo de fontes em presença no ciÉ comum distinguirem-se circuitos com fontes independentes (Caso 1); circuitos com fontes independente

dependentes (Caso 2); e circuitos com fontes dependentes (Caso 3).

Caso 1: Equivalente de Thévenin de um Circuito com Fontes Independentes

Considere-se o circuito representado na Figura 6.5.a, relativamente ao qual se pretende determinar o equivde Thévenin do subcircuito à esquerda dos terminais a e b indicados.

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6.2 Teorema de Thévenin

Figura 6.5 Equivalente de Thévenin de um circuito com fontes independentes

O equivalente de Thévenin calcula-se nos seguintes dois passos (para além da identificação dos terminais sentido relativamente ao qual se pretende obter o equivalente):

(i) obtenção da tensão em aberto (Figura 6.5.b),

(6.

(ii) e determinação da resistência equivalente vista dos terminais de saída, quando se anulamtodas as fontes independentes no circuito (Figura 6.5.c),

(6.9

Caso 2: Equivalente de Thévenin de um Circuito com Fontes Independentes e Dependentes

Considere-se o circuito da Figura 6.6.a, integrando fontes independentes e dependentes de tensão.

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6.2 Teorema de Thévenin

Figura 6.6 Equivalente de Thévenin de um circuito com fontes independentes e dependentes

O cálculo é composto por três passos:

(i) determinação da tensão em aberto (Figura 6.6.b),

(6.10

(ii) determinação da corrente de curto-circuito entre os terminais especificados (Figura 6.6.c);

(iii) e cálculo da resistência equivalente de Thévenin através do cociente entre a tensão em abertoe a corrente de curto-circuito,

(6.1

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6.2 Teorema de Thévenin

(6.12

Caso 3: Equivalente de Thévenin de um Circuito com Fontes Dependentes

O equivalente de Thévenin de um circuito com fontes dependentes caracteriza-se pelo valor nulo da tensão

equivalente respectiva. A metodologia de cálculo da resistência equivalente exige que se aplique do exteritensão (ou uma corrente), se meça a corrente absorvida (a tensão gerada aos terminais) e se efectue o cocieentre ambas. No caso da resistência equivalente do circuito representado na Figura 6.7.a:

(i) aplica-se uma corrente ao circuito, i x

, e mede-se a tensão aos terminais, v x

(Figura 6.7.b). Em

alternativa, pode aplicar-se uma tensão aos terminais especificados, v x , e medir a corrente

absorvida pelo circuito (Figura 6.7.c);

(ii) e determina-se a resistência equivalente de Thévenin através do cociente

(6.13

Figura 6.7 Equivalente de Thévenin de um circuito com fontes dependentes

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6.3 Equivalente de Norton

6.3 Equivalente de Norton

A transformação de fonte indica que uma fonte de tensão com resistência interna não nula pode sersubstituída por uma fonte de corrente com resistência interna não infinita. Como se indica na Figura 6.transformação permite redesenhar o circuito equivalente de Thévenin com base numa fonte de correntedesignada por equivalente de Norton. Por conseguinte, este equivalente pode ser obtido através de doisprocessos essencialmente distintos: de forma directa ou por intermédio do cálculo do equivalente deThévenin seguido da transformação de fonte.

Figura 6.8 Equivalente de Norton

Caso 1: Equivalente de Norton de um Circuito com Fontes Independentes

O cálculo do equivalente de Norton de um circuito com fontes independentes baseia-se num conjunto dprocedimentos semelhantes àqueles estabelecidos anteriormente para o equivalente de Thévenin. Tomacomo exemplo o circuito representado na Figura 6.9,

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6.3 Equivalente de Norton

Figura 6.9 Equivalente de Norton de um circuito com fontes independentes

num primeiro momento determina-se a corrente de curto-circuito entre os terminais especificados (Figub)

(6.14

e num segundo a resistência vista dos terminais de saída (Figura 6.9.c)

(6.15

admitindo nulas todas as fontes independentes. Se se compararem as expressões (6.14) e (6.15) com aqrelativas ao equivalente de Thévenin, calculado em (6.7) e (6.8), verifica-se que, e como previsto pelatransformação de fonte,

(6.16

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6.3 Equivalente de Norton

e

(6.17

Caso 2: Equivalente de Norton de um Circuito com Fontes Independentes e Dependentes

A determinação do equivalente de Norton de um circuito com fontes independentes e dependentes exigse calculem a tensão de circuito aberto e a corrente de curto-circuito entre os terminais especificados.Tomando como exemplo o circuito representado na Figura 6.10,

Figura 6.10 Equivalente de Norton de um circuito com fontes independentes e dependentes

obtém-se

(6.18

para a fonte de corrente equivalente (Figura 6.10.b), e

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6.3 Equivalente de Norton

(6.19

para a resistência, em que

(6.20

define a tensão de circuito aberto entre os terminais especificados (Figura 6.10.c). É fácil verificar que resultados (6.18) e (6.19) coincidem com aqueles obtidos por aplicação da transformação de fonte aoequivalente de Thévenin expresso por (6.10) e (6.12).

Caso 3: Equivalente de Norton de um Circuito com Fontes Dependentes

Considere-se o circuito representado na Figura 6.11.a, constituído apenas por fontes dependentes eresistências.

Figura 6.11 Equivalente de Norton de um circuito com fontes dependentes

O equivalente de Norton de um circuito deste tipo consiste numa resistência apenas, sendo, por conseg

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6.3 Equivalente de Norton

formalmente idêntico ao equivalente de Thévenin. A resistência equivalente obtém-se através do cocieentre a tensão e a corrente aos terminais de uma fonte aplicada aos terminais especificados, como se innas Figuras 6.11 b e c,

(6.2

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6.4 Teroema da Máxima Transferência de Potência

6.4 Teorema da Máxima Transferência de Potência

Co