Analise de Circuitos em Corrente Alternada - Ed. Erica

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Números Complexos

? 4

Unidade imaginaria:

Desta forma:

ou

241414 j .).(

Definição:

1j 12 j


Deduções:

jjjjj ).(. 123

111224 )).((. jjj

jjjjjj ).).((.. 11225

11112226 )).().((.. jjjj


Formas de Representação de um Numero Complexo

•Forma Carteziana•Forma Polar •Forma Trigonometrica

Forma Carteziana

a e b são números reais

j é a unidade imaginaria

Z=a+jb


Plano CartezianoZ(a,b)

Eixo Imaginario (Im)

Eixo Real (R)

b

a

Forma Carteziana


Exemplos: Representar os números complexos no plano carteziano

Z1=4+j4

4

4

Im

R

Z1


Z2=7 (não tem parte imaginaria)

Im

R

Z2

7


Im

R

Z3=j3 (não tem parte real)

3Z3


Z5=3+j3

Im

R

-1-2 1

1

2

-1

-2

-3

3

2 3-3

Z4

Z5

Z4=-3+j2


Im

R a

b

o

P

Z

Z=a +jb forma carteziana

Segmento de reta

ZOP Representa o MODULODo numero complexo z

O ângulo representa o ARGUMENTO ou ÂNGULO DEFASE de z

MÓDULO

FASE

Forma Polar


Na forma polar um numero complexo é representado por:

z = Z

Numero complexo é representado por letra minúscula, z

E o seu modulo por letra maiúscula, Z

Z= Z

Z é o modulo e é a fase do numero complexo

Forma alternativa

Forma Polar


Transformação da Forma Carteziana para Polar

Im

Ra

b

Z

22 baZ Dado: z=a+jb

Determinar: Z e

z = Z

a

btg

a

barctg


Exemplos: Transformar os números para a forma polar

Z1=4+j4

Im

R

4

4

Z1

z1

1

24441 22 Z

01 45

4

4arctg

z1 = 24045


Z2=7 (não tem parte imaginaria)

Im

R7

Z2

z22 z2 = 7

00

2=00

Z2=7


z3=j3 (não tem parte real)

Im

R

z3

Z3 3

Z3=3

3

3=900

z3 = 3 090

Ou..........

z3 = 3 0270


Z4=-3+j2

Im

R

z4

Z4

631323 224 ,)( Z

’

0343

2arctg'2

-3

4 4=180-34=1460

z4 = 3,6 0146


Z5=-5

Im

R

z5

Z5=5

Z5

5

5=1800

z5 = 5 0180


Z6=-4-j3

Im

R

-4

-3

z6

Z6

534 226 )()(Z

6

’

0374

3arctg'

6=180+37=2170

z6 = 5 0217


Z7=-j4

Im

R

z7 -4

Z7=4

77=2700

z7 = 4 0270

Ou.....

z7 = 4 090


Z8=4-j3

Im

R

z8Z8

4

-3

534 228 )(Z

8

’

0374

3arctg'

8=360-37=3230

z8 = 5 0323

ou............... z8 = 5 037


Operações com Números Complexos

SOMA e SUBTRAÇÃO

Na soma e na subtração é usada a forma cartesiana

z1=10+j10 z2=5+j4

z3=z1+z2=(10+j10) + (5+j4)= (10+5)+j(10+4)=15+j14

z4=z1-z2= (10+j10) - (5+j4)= (10-5)+j(10-4)=5+j6


MULTIPLICAÇÃO E DIVISÃO

Na multiplicação e divisão é usada a forma polar

z1=4+j4=5,65 450

z2=5+j8,66=10 600

Z4= -5+j8,66= 10 1200

Z3=-j4=4 -900

Operações com Números Complexos


Exercícios Propostos

Dados os complexo:

Z3=-j4=4 -900

z1=4+j4=5,65 450 z2=5+j8,66=10 600

Z4= -5+j8,66= 10 1200

Obter:

a) Representação no plano cartesiano de z1,z2,z3 e z4

b) z2.z4 z2.z3

c) z2/z4 z2/z3

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