ISEL INSTITUTO SUPERIOR DE ENGENHARIA DE LISBOADEPARTAMENTO DE
ENGENHARIA DE ELECTRNICA E TELECOMUNICAES E DE COMPUTADORES ISEL
DEETC Anlise de Circuitos II Anlise de Circuitos II Engenharia de
Sistemas de Telecomunicaes e Electrnica Elementos de Apoio s Aulas
Prticas de Simulao Utilizando as Ferramentas PSPICE e MATLAB
Circuitos Elctricos de 1 ordem Representao de Sistemas Resposta no
Domnio do Tempo Resposta em Frequncia Identificao de Sistemas
Introduo Realimentao e ao Projecto de Controlo Jos Fernando
RochaHelena Sousa Ramos Vtor Silva CostaSetembro 2004 ISEL DEETC
Anlise de Circuitos II2 ndice: EXERCCIO 1: CIRCUITOS DE PRIMEIRA
ORDEM (RESPOSTA NATURAL)
................................................. 4 EXERCCIO 2:
CIRCUITOS DE PRIMEIRA ORDEM(RESPOSTA
TOTAL)..................................................... 6
EXERCCIO 3: CIRCUITOS DE PRIMEIRA ORDEM (RESPOSTA TOTAL)
..................................................... 8 EXERCCIO 4:
CIRCUITOS DE PRIMEIRA ORDEM(RESPOSTA
TOTAL)................................................... 10
EXERCCIO 5: REPRESENTAO DE SISTEMAS NO DOMNIO DO TEMPO E NO DOMNIO
S. OBTENO DA RESPOSTA NO DOMNIO DO TEMPO PARA DIFERENTES ENTRADAS.
APLICAOA UM SISTEMA MECNICO COM CONDIES INICIAIS
........................................................................
12 EXERCCIO 6: REPRESENTAO DE SISTEMAS NO DOMNIO DO TEMPO E NO
DOMNIO S. OBTENO DA RESPOSTA NO DOMNIO DO TEMPO PARA DIFERENTES
ENTRADAS. APLICAOA CIRCUITO ELCTRICO COM CONDIES
INICIAIS............................................................................
14 EXERCCIO 7: REPRESENTAO DE SISTEMAS NO DOMNIO S COM CONDIES
INICIAIS NULAS. OBTENO DA RESPOSTA NO DOMNIO DO TEMPO PARA
DIFERENTES SINAIS DE ENTRADA. OBTENO DA RESPOSTA DE FREQUNCIA.
APLICAO A UM CIRCUITO ELCTRICO.................... 16 EXERCCIO 8:
REPRESENTAO DE SISTEMAS NO DOMNIO S. OBTENO DA RESPOSTA NO DOMNIO
DO TEMPO PARA DIFERENTES SINAIS DE ENTRADA. OBTENO DA RESPOSTA DE
FREQUNCIA
....................................................................................................................................
18 XERCCIO 9: REPRESENTAO DE SISTEMAS NO DOMNIO S COM CONDIES
INICIAIS NULAS. OBTENO DA RESPOSTA DE FREQUNCIA. APLICAO A UM
SISTEMA REPRESENTADO ATRAVS DO DIAGRAMA DE BLOCOS
...............................................................................................
23 EXERCCIO 10: IDENTIFICAO DUM SISTEMA ATRAVS DO DIAGRAMA DE BODE
E DA RESPOSTA AO
ESCALO.....................................................................................................................................
26 EXERCCIO 11: EXERCCIO DE DESENVOLVIMENTO SOBRE ROOT-LOCUS E
INTRODUO AO PROJECTO DE CONTROLO
................................................................................................................
29 APNDICEA: FAMILIARIZAO COM O
MATLAB...............................................................................
37 ndice
.............................................................................................................................
A1 Objectivos
......................................................................................................................
A2 Conceitos
Bsicos...........................................................................................................
A2 Obteno de sinais peridicos
.....................................................................................
A2 Aplicaes
..............................................................................................................
A3 Obteno de sinais aperidicos
...................................................................................
A4 Aplicaes
..............................................................................................................
A4 Definio de ficheiros do tipo .m
.............................................................................
A6 Definio de
funes...................................................................................................
A7 Funes de MATLAB (Sugestes para Anlise de SLITs)
.............................................. A8 Manipulao de
Polinmios e Expanso em Fraces
Simples.................................... A8 Funes
Representativas de SLITs (Funo de Transferncia)
.................................... A9 Funes para Caracterizar
SLITs (Resposta no Domnio do Tempo e Frequncia) ...... A9 Funes de
Ligao dos Diagramas de Blocos
.............................................................. A11
Funes para Realizao do
Root-Locus.......................................................................
A12 Nota Adicional
.............................................................................................................
A13 ISEL DEETC Anlise de Circuitos II3 Objectivos:
Anlisedecircuitosde1ordemcomexcitaoporfontesconstantesportroos.
TraadodegrficosutilizandooMATLAB;Simulaodosmesmoscircuitos
utilizandooPSPICE.Comparaoderesultadosobtidostendoematenopontos
relevantes dos grficos traados. (EXERCCIO 1 ao EXERCCIO 4).
Representaodesistemasutilizandoequaesdiferenciaiseatransformadade
Laplace: relaes existentes entre as duas representaes. Obteno de
respostas no tempo atravs da transformada de Laplace. Identificao
das componentes devidas s condiesiniciais e devidas excitao.
Caracterizao de sistemas atravs das
suasrespostasnotempoenafrequncia.Anlisedossistemasutilizandoo
MATLAB,obtenodasrespostasnotempoenafrequncia.Relaoentreas
respostasnotempoenafrequncia(EXERCCIO5aoEXERCCIO9e EXERCCIO 11).
Identificao de sistemas, obtendo uma possvel funo de transferncia
custa da anlisedarespostadefrequnciaedasrespostasnotempodosistema
(EXERCCIO 10 e EXERCCIO 11). Caracterizao de um sistema
realimentado composto por vrios blocos atravs das suas respostas no
tempo e frequncia (EXERCCIO 11). Introduo realimentao com controlo
da localizao dos plos pelo mtodo do Root-Locus, verificando
critrios de comportamento (EXERCCIO 11). ISEL DEETC Anlise de
Circuitos II4 EXERCCIO 1: Circuitos de Primeira Ordem (Resposta
Natural) Considerar o circuito representado nafigura abaixo.
Sabe-se que o circuito se encontra em regime estacionrio para0 <
t , e que o interruptor S0 comuta no instante[ ] s t 00 e o
interruptor S1 no instante[ ] ms t 101 . i (t)t 13R2R4R1RVSS1 S0L
v(t)+t 0 Determinar( ) t ve( ) t i , para[ ] s t 0 . Representar
graficamente( ) t ve( ) t i , para[ ] s t 0 , utilizando o MATLAB.
Considerar as seguintes linhas de comando, como sugesto: L=1; Req1=
; t=0:.01e-3:10e-3; taul1=L/Req1; i1=i0*exp(-t/taul1);
t1=10e-3:.01e-3:50e-3; Req2= ; taul2=L/Req2;
i2=i01*exp(-(t1-10e-3)/taul2); plot(t,i1,t1,i2); figure;
v1=-i1*100; v2=-i2*80; plot(t,v1,t1,v2);
SimularocircuitoparaasmesmascondiesutilizandooPSPICE.Obterosgrficos
pedidos anteriormente e comparar os resultados obtidos pela simulao
com os obtidos teoricamente, comentando-os. (Nota: considerar os
pontos relevantes dos grficos). [ ] V 10 SV[ ] H 1 L [ ] 100 R1[ ]
50 R2[ ] 100 R3[ ] 400 R4 ISEL DEETC Anlise de Circuitos II5
Sugestes: Comece por correr o Schematics do PSPICE para desenhar o
circuito. Para ir buscar os diversos componentes, faa get new part
que se encontra no menu draw. Para lig-los entre siexiste umboto na
rgua situadaemcima com umlpis desenhado, que permite traar
aslinhasqueligamosdiversoscomponentes.Oscomponentessonormalmente
designadospelosnomesaqueestamoshabituados,aresistnciarepresentadaporum
R, o condensador C e assim sucessivamente, dependendo da biblioteca
que estamos a utilizar. Para a anlise que vamos fazer, precisamos
de ir ao menu analysis e correr o setup,
lescolhemosaanlisenodomniodotempotransient.necessrioagoraconfigurar
este tipo de anlise no tempo que desejamos.
Poroutroladonecessrionoesquecerdeescreverosvalorescorrectosnos
parmetros de todos os componentes utilizados, antes de realizar a
simulao.
Parasimular,nomenuanalysisescolhemosocomandosimulateseguidodocomando
runprobe.Apareceentoumgrficoondeatravsdocomandoaddtracepodemos
escolher quais as variveis que desejamos visualizar graficamente.
Nota:Emcasodedvidaquestioneodocentepresentenaaulaouconsulteohelpdo
programa PSPICE. Soluo :[ ] [ ]( )[ ]( )[ ] V e v mA e i tV e v A e
i tV v A i tt tt t2 210 130 10 130 2150 150 2785 . 1 ; 313 . 22 :
1010 ; 1 . 0 : 10 00 ; 1 . 0 : 0 > < < < ISEL DEETC
Anlise de Circuitos II6 EXERCCIO 2: Circuitos de Primeira
Ordem(Resposta Total) Considerar o circuito representado nafigura
abaixo. Sabe-se que o circuito se encontra emregimeestacionriopara0
< t ,equeoselectorS0comutanoinstante[ ] s t 00 eo selector S1 no
instante[ ] ms t 5 , 51 . v2(t)1RV2R3RA Bt = t04R5RICLCDt =
t1S0S1+3.v2(t)i (t) [ ] V 12 V [ ] mA 5 , 7 I [ ] mH 960 L [ ] F 1
, 0 C m [ ] 360 R1[ ] 120 R2[ ] 400 R3[ ] 400 R4[ ] 100 R5
DeterminarastensesnosnsA,B,CeD,nosinstantesdetempo:[ ] s t 0 ; [ ]
s t+ 0 ;[ ] ms t 5 , 5 ;[ ] ms t+ 5 , 5 . Determinar a corrente( )
t ie( ) t v2, para[ ] s t 0 . Representargraficamente( ) t i e( ) t
v2,para[ ] s t 0 ,utilizandooMATLAB. Considerar as seguintes linhas
de comando como sugesto: L=.96; Req1= ; t=0:.01e-3:40e-3;
taul=L/Req1; i=; plot(t,i) Req2= ; tauC=C*Req2; t1=0:.01e-3:5.5e-3;
v21=v01*exp(-t1/tauC); t2=5.5e-3:.01e-3:40e-3;
v22=vf+(v02-vf)*exp(-(t2-5.5e-3)/tauC); figure plot(t1,v21,t2,v22)
Pf=12*(i+(12/360)) figure; plot(t,Pf); ISEL DEETC Anlise de
Circuitos II7 Determinar a potncia fornecida pela fonte V , para[ ]
s t 0 . Representar graficamente utilizando o MATLAB.
SimularocircuitoparaasmesmascondiesutilizandooPSPICE.Obterosgrficos
pedidos anteriormente e comparar os resultados obtidos pela simulao
com os obtidos teoricamente, comentando-os (Nota: tenha em conta os
pontos relevantes dos grficos). Sugestes: Quando desenhar o
circuito utilizando o Schematics do PSPICE, tenha em conta que por
vezes os componentes no existem em PSPICE exactamente namesmaforma
como esto
representadosnocircuitoaestudar.Peloquesetornanecessrioencontrarumasoluo
equivalentenocircuitodesenhadoemPSPICE.Temoscomoexemploosselectores.Os
selectores S0 e S1 deste circuito podero ter de ser representado
por vrios switchs aquando do desenho em PSPICE. Soluo:V v V v V v V
v t tV v V v V v V v t tV v V v V v V v tV v V v v v tND NC NB NAND
NC NB NAND NC NB NAND NC NB NA996 , 2 ; 995 . 3 ; 81 , 13 ; 12 :996
, 2 ; 995 . 3 ; 81 , 13 ; 12 :9 ; 12 ; 6 , 15 ; 12 : 09 ; 12 : 011
++ ( )[ ] [ ] W e P A e e i tW P A i ttft tf3 3 310 8 10 8 10 836 .
0 6 . 1 ; 1 1 . 0 13 . 0 : 096 . 1 ; 13 . 0 : 0 + + > < [ ](
) ( )( )[ ] V e e v t tV e v t tV v tt t t tt3131310 5 10 5110 511
375 . 0 999 . 0 :3 : 03 : 0 + > < < < ISEL DEETC Anlise
de Circuitos II8 EXERCCIO 3: Circuitos de Primeira Ordem (Resposta
Total)
Considerarocircuitoelctricorepresentadonafiguraseguinte,oqualsesabeestarem
regime estacionrio para t < 0 s. O selector S tem o seguinte
comportamento: Para t < 0 segundos, encontra-se na posio P1; Em
t = 0 segundos comuta (instantaneamente) para a posio P2;
Parat0segundoscomutadeposio(deP2paraP1ouvice-versa) sempre que a
tenso( ) t vA (tenso no n A) cruzar o limiar de 0,9 V. Sabe-se
ainda que( ) t iS uma fonte escalo unitrio expressa em mA,( ) t vS
uma fonte constante de valor 1V e a fonte de corrente dependente
expressa por( ) ( ) [ ] mA t v g t iL d . Os restantes parmetros do
circuito so dados por: RS = 1,25 K; L = 1 H; C = 1 F; Rd = 3 K, RC
= 1 K e g = (1/3) mS. Determinaranaliticamente( ) ( ) ( ) t v t v ,
t iA C Le emfunodet0segundoseos instantes de comutao do interruptor
S. Esboargraficamenteparatodootasfunes( ) ( ) ( ) t v t v , t iA C
Le ,utilizandoo MATLAB.
SimularocircuitoparaasmesmascondiesutilizandooPSPICE.Obterosgrficos
pedidos anteriormente e comparar os resultados obtidos pela simulao
com os obtidos teoricamente, comentando-os. (Nota: considerar os
pontos relevantes dos grficos). AP1P2+1
2+iS(t)iL(t)id(t)vC(t)vL(t)vS(t)SRS RdRCLL ISEL DEETC Anlise de
Circuitos II9 Sugestes: Quando desenhar o circuito utilizando o
Schematics do PSPICE, tenha em conta que por vezes os componentes
no existem em PSPICE exactamente namesmaforma como esto
representadosnocircuitoaestudar.Peloquesetornanecessrioencontrarumasoluo
equivalentenocircuitodesenhadoemPSPICE.Temoscomoexemploosselectores.O
selectorSdestecircuitopoderterdeserrepresentadoporvriosswitchsaquandodo
desenhoemPSPICE.Almdissoosinstantesdecomutaodesteselectorterodeser
previamente calculados. Soluo: ( )( ) ( )[ ] [ ]( )( )[ ]+ <
< < < < BA Ct tL B AAtA CtL AA C LtV v V v mA e i P S t
t tms tV e v V v mA e i P S t tV v V v A i P S tA; 1 ; 1 ; 151 . 0
294 . 0 ; :53 . 0; 0875 . 0 9375 . 0 ; 1 ; 1 25 . 0 ; : 01 ; 1 ; 0
; : 033 310 471 . 0110 625 . 0 10 625 . 021 ISEL DEETC Anlise de
Circuitos II10 EXERCCIO 4: Circuitos de Primeira Ordem(Resposta
Total)
Considerarocircuitorepresentadonafiguraabaixo,oqualsesabeestaremregime
estacionrio para t < 0 s. +CIERERCvCiCvD(t)S B A iC . 4 ; 5 , 0
; 100 ; 2 , 1 F C R RC E As fontes independentes presentes no
circuito so dadas por: mA 75 , 3 EIe( ) ( ) ( ) [ ] V f 2 cos 6 t u
t t vD , comKHz 2 f . Sabe-se ainda que o selector S comuta da
posio A para a posio B no instante de tempo ms 5 , 21 t t .
Nestascondiesdeterminaremfunodet atensoeacorrentenocondensador, ( )
( ) t i t vC Ce ; Representar graficamente( ) ( ) t i t vC Ce , em
funo de t, utilizando o MATLAB.
SimularocircuitoparaasmesmascondiesutilizandooPSPICE.Obterosgrficos
pedidos anteriormente e comparar os resultados obtidos pela simulao
com os obtidos teoricamente, comentando-os (Nota: tenha em conta os
pontos relevantes dos grficos). Soluo: [ ][ ]( )[ ]( )[ ] mA e i V
e v t tmA e ft iV e ft v t tA i V v tt tCt tCtCtCC C41414410 539 .
5 10 539 . 5110 410 419 . 30 ; 272 . 4 5 . 4 :29 . 2 )18025 . 11 2
cos( 9 . 58; 229 . 0 )18075 . 78 2 cos( 171 . 1 : 00 ; 0 : 0 >+
+ < < < ISEL DEETC Anlise de Circuitos II11 Sugestes:
Quando desenhar o circuito utilizando o Schematics do PSPICE, tenha
em conta que por vezes os componentes no existem em PSPICE
exactamente namesmaforma como esto representados no circuito a
estudar: O selector S deste circuito poder ter de ser representado
por vrios switchs aquando do desenho em PSPICE;
AfontevD(t)destecircuitopoder
terdeserrepresentada(aquandododesenhoem PSPICE) por uma fonte
sinusoidal do tipo VSIN e por um fonte constante do tipo VDC de
valorzeroeporvriosswitchsquedeterminamqualdasfontesestligadaaonA
representado no circuito. Notar ainda que o estudo deste circuito
divide-se em trs intervalos de tempo, consoante
aposiodoselectorSeanaturezadafontevD(t).NoentantooSPICEnosimulao
intervalo de tempo correspondente a t < 0: possvel obter
resultados de simulao que correspondam ao intervalo de tempo t <
0, se se considerar uma translao no tempo, tal como se ilustra na
figura abaixo. A durao do intervalo de tempo [0, to], representado
na figura, dever ser criteriosamente escolhido por forma a que o
circuito esteja em regime estacionrio em to. SA vD(t) VSIN SB vD(t)
VSIN SA vD(t) VDC t1 t' 0 t' Simulao SPICESPICE no simula 0t0 t1t0
SA vD(t) VSIN SB vD(t) VSIN SA vD(t) VDC 0t1 t 0t1 t Simulao
SPICESPICE no simula
ISEL DEETC Anlise de Circuitos II12
EXERCCIO5:RepresentaodeSistemasnoDomniodoTempoenoDomnioS. Obteno da
Resposta no Domnio do Tempo para Diferentes Entradas. Aplicaoa Um
Sistema Mecnico com Condies Iniciais Considere a seguinte figura
ondeKrepresenta a constante da mola, o coeficiente de atrito,M
amassadocarrinho,( ) t F aforaaplicadaaocarrinhoe( ) t x aposiodo
carrinho em relao ao referencial indicado. xKMF Considere que o
sistema se encontra em regime estacionrio para0 < t , e que: ( )
[ ] N 5 t F [ ]mNK 5 [ ]ms N 2 [ ] Kg M 5
1.Representeosistemanodomniodotempoutilizandoequaesdiferenciais,
considerando( ) t Fa entrada e( ) t xa sada do sistema. 2.Obtenha a
representao do sistema no domnio de S. 3.Determineaposiodocarrinho(
) t x considerandoque( ) ( ) [ ] N 10 t u t F .
Identifiqueascomponentesdevidasscondiesiniciaiseentrada.(sugesto:
utilize a Transformada de Laplace).
4.UtilizeoMATLABparaconfirmarosclculosefectuados.Visualizenomesmo
grfico,aevoluodascomponentesidentificadaseaevoluodaposio( ) t x ,
para o mesmo intervalo de tempo. ISEL DEETC Anlise de Circuitos
II13 5.ParaomesmointervalodetemposimuleosistemaemMATLABevisualizeo
grfico de( ) t x , para as seguintes Foras de entrada: ( ) ( ) [ ]
N 10 t u t F . ( ) ( ) [ ] N 10 t t F . ( ) ( ) [ ] N 10 t r t F .
Sugestes: Existem vrias funes (ou comandos), para a anlise de
sistemas lineares e invariantes
notempo,contidosnaToolboxdeSistemaseControlodoMATLAB.Deentreestas
existem algumas que permitem: calcular as razes e os resduos dos
polinmios a estudar; descrever um sistema linear invariante no
tempo na forma desejada (criao de objectos representativos);
caracterizar os sistemaslineareseinvariantesno tempo, quer obtendo
a sua resposta no domnio do tempo, quer a resposta no domnio da
frequncia. Dever consultar o Apndice de introduo ao MATLAB, para
tomar conhecimento de algumas das funes disponveis.
Nota:Emcasodedvidaquestioneodocentepresentenaaulaouconsulteohelpdo
programa MATLAB. Soluo: ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) [ ]( )( )( ) [ ]( )(
)( ) [ ] m t u t e t u t tu t xdtt dxt xm t e t xdtt dxt xm t u t e
t u t xs sss Fs ss X t F t xdtt dxdtt x dtrurt utu) (18093 . 66 98
. 0 cos 0412 . 2 ) ( 8 . 0 ) ( 2298 . 0 cos 0412 . 2 : 4) (1805 .
168 98 . 0 cos 04 . 2 2 : 31 4 . 04 . 0) (1 4 . 02 . 0) ( : 2 ; 5 2
5 : 12 . 02 . 02 . 02 2 22
,_
+ +
,_
,_
+ + + ++++ + + + ISEL DEETC Anlise de Circuitos II14 EXERCCIO 6:
Representao de Sistemas no Domnio do Tempo e no Domnio S. Obteno da
resposta no domnio do Tempo para Diferentes Entradas. Aplicaoa
Circuito Elctrico com Condies Iniciais Considerar o circuito abaixo
representado, o qual se encontra em regime estacionrio para 0 <
t . ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) t u t v t u t v t v2 1+ ( ) [ ] ( ) ( ) [
][ ] [ ] [ ]. H 0.25 L e 4 R, F 25 . 0 C comV 4 eV 42 1 t func t v
t v Sugesto:Considerarocircuitocomoumsistemaemque( ) t v
representaaentradae ( ) t vC representa a sada.
1.Representarosistemanodomniodotempoutilizandoequaesdiferenciais,
considerando( ) t va entrada e( ) t vC a sada do sistema. 2.Obter a
representao do sistema no domnio de S. Utilizar as regras para
circuitos
representarocircuitoequivalentenodomniodeS,edeterminarasexpresses
considerando( ) S V aentradae( ) S
VCasada.Compararasexpressesobtidas
atravsdaequaodiferencialeasobtidasatravsdocircuitoequivalenteno
domnio de S. 3.Determinaratenso( ) t vCconsiderandoque( ) ( ) t u t
func .Identificaras componentesdevidasscondiesiniciais( ) t
vCNeentrada( ) t vCF.(sugesto: utilizar a Transformada de Laplace).
+v(t)vC(t)LCRi(t) ISEL DEETC Anlise de Circuitos II15
4.UtilizaroMATLABparaconfirmarosclculosefectuados.Visualizarnomesmo
grfico, a evoluo das componentes identificadas ( ( ) t vCN e( ) t
vCF) e a evoluo da tenso( ) t vC, para o mesmo intervalo de tempo[
] s t 10 ; 0 . 5.SimulandoocircuitoemPSPICE,visualizar( ) t vCN,( )
t vCFe( ) t vCnasmesmas condies e para o mesmo intervalo de tempo
da alnea anterior.
6.ParaomesmointervalodetemposimularosistemaemMATLABevisualizaro
grfico de( ) t vC, para as seguintes funes para a entrada: ( ) ( )
t u t func . ( ) ( ) t t func . ( ) ( ) t r t func . 7.Comparar os
resultados obtidos com o MATLAB e o PSPICE. Soluo: ( ) ( )( ) ( )(
) ( ) [ ] ( ) ( ) ( )( ) ( ) [ ] ( ) ( ) [ ]( ) { } [ ] ( ) ( ) (
)( ) { } [ ] ( ) { } [ ]( ) { }( ) { } [ ] ( ) ( ) ( )( ) { } [ ] (
) { } [ ]( ) { } { } ) ( 309 . 0 309 . 4 4 sendo) ( 309 . 0 309 . 4
; ) ( 0207 . 0 0207 . 4 4 4onde ) ( 289 . 0 289 . 0 4 4ento ) ( ) (
Se) ( 309 . 0 309 . 4 4 sendo) ( 309 . 0 309 . 4 ; ) ( 619 . 4 619
. 4onde ) ( 309 . 4 309 . 0ento ) ( ) ( Se : 6) ( 309 . 0 309 . 4 ;
) ( 309 . 0 309 . 4 4onde ) ( 618 . 0 618 . 8 4ento ) ( ) ( Se :
316 1664 4) (16 1616) ( : 216 16 16 : 10928 . 14 0718 . 1928 . 14
0718 . 1 928 . 14 0718 . 1928 . 14 0718 . 1928 . 14 0718 . 1928 .
14 0718 . 1 928 . 14 0718 . 1928 . 14 0718 . 1928 . 14 0718 . 1 928
. 14 0718 . 1928 . 14 0718 . 12 222t u d e e t vV t u e e t v V t u
e e t t vt v t v t v V t u e e t t vt r t funct u e edtdt vV t u e
e t v V t u e e t vt v t v t v V t u e e t vt t funcV t u e e t v V
t u e e t vt v t v t v V t u e e t vt u t funcs sss Vs ss Vt v t
vdtt dvdtt v dtCFt tCNt tCFCN CF Ct tCt tCFt tCNt tCFCN CF Ct tCt
tCNt tCFCN CF Ct tCCCC C + + + + ;' + + + + + + + + ++++ + + + ISEL
DEETC Anlise de Circuitos II16
EXERCCIO7:RepresentaodeSistemasnoDomnioScomCondiesIniciais
Nulas.ObtenodaRespostanoDomniodoTempoparaDiferentesSinaisde
Entrada. Obteno da Resposta de Frequncia. Aplicao a Um Circuito
Elctrico
Considerarocircuitorepresentadonafiguraseguinte,ondeosAMPOPspodemser
considerados ideais. O circuito representa um SLIT causal,
resultante de uma realimentao, com funo de transferncia( )( )( ) s
Rs Ys T . Dados: R = 1 K; R0 = 2,94 K; R1 = 10 K; R2 = 90 K; C1 =
25 F; C2 = (1/90) mF. a) Representar o circuito no domnio da
transformada de Laplace; b)
Poranlisedocircuitonodomnios,determinarasuafunodetransferncia( ) s
T ,
representaroseumapadeploszeros,determinarovalordoseuganhoestticoe
caracterizar o sistema quanto a estabilidade e fase mnima; c)
Esboar a resposta rampa unitria do sistema representado por( ) s T
, determinando os
valoresinicial,finaledaderivadanaorigemdessaresposta,bemcomooutrosvalores
quejulgarrelevantesparaoesbooaefectuar.Justificarotipoderespostaqueesboar
com base na localizao dos plos e zeros de( ) s T ; d) Determinar
analiticamente a resposta esboada anteriormente, confirmando os
resultados obtidos na alnea anterior; e)
Determinaranaliticamenteasrespostasimpulsivaeaoescalounitriodosistema
representado por( ) s T . Comentar face aos clculos efectuados na
alnea anterior; R0R(s)Y(s)RRRRRRRR1R1R2C1C2 ISEL DEETC Anlise de
Circuitos II17 f)
SimularocircuitoemPSPICEparaobterarespostaaoescalounitrio,comparandoos
resultados da simulao com os analticos; g)
TraarosdiagramasdeBodede( ) s T
,(caractersticasassimptticaseaproximaes reais); h) Repetir a alnea
anterior por recurso a simulao em MATLAB; i) Simular o circuito em
PSPICE e obter os respectivos diagramas de Bode; j) Comparar os
resultados das duas alneas anteriores; Soluo: ( )( )( )( )( ) ( )(
) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )( )( ) ( )( )( )( ) ( ) ( )(
)( ) { }
,_
,_
+
,_
+
,_
+
,_
,_
+ + + ;';';' + ;'+ + ;' ++ + +++8 . 78 11127 . 010 2arg1127 . 08
. 781 log 20101 log 20 log 20 25 . 0 log 20 :;) ( )18089 . 155 6868
. 7 cos( 2738 . 0 25 . 0 ento Se) ( )18013 . 84 6868 . 7 cos( 5828
. 21 97 . 1 ento Se) ( )18088 . 35 6868 . 7 cos( 4314 . 2 ento Se:
-8173 . 02: amortec. oscilaes da Periodo97 . 1 : a aplicado TVI0 0
y : (TVI) Iniciall Valordo Teorema25 . 0 y : (TVF) Final Valordo
Teorema: unitria rampa Resposta :mnima no fase de Sistema ; estvel
Sistema ; 0 : esttico Ganho; 6877 . 7 44 . 4 : plos ; 10 0 : zeros
;8 . 78 88 . 810 97 . 1:222210210 10 102244 . 444 . 444 . 4rr0*2 12
arctg arctg j Tj T gt udtt y dt y t udtt dyt yt u t e t y t r t xt
u t e t t y t t xt u t e t y t u t xe ds Tt y dt t dyckj s s s ss
ss ss T bdBr rutrttuaar rP P Z Z& ISEL DEETC Anlise de
Circuitos II18 EXERCCIO 8: Representao de Sistemas no Domnio S.
Obteno da Resposta no
DomniodoTempoparaDiferentesSinaisdeEntrada.ObtenodaRespostade
Frequncia Com este problema pretende-se ilustrar as possibilidades
que o MATLAB oferece como
elementodeestudodacaracterizaoderespostasnotempo(aoescalounitrio)ena
frequncia (diagramas de Bode) de sistemas lineares simples.
Comotal,considerecadaumdossistemasabaixoindicados,representadospelasua
funo de transferncia() s Hi: Simule o sistema em MATLAB pela sua
funo de transferncia. Use o MATLAB para responder s questes que se
seguem. Q1) Represente o seu mapa plos-zeros e, se possvel,
determine o seu ganho esttico;
Q2)Obtenhaasrespostasdosistemasfunesescalounitrio,impulsounitrioe
rampaunitria.Comentearelaoentreasvriasrespostas.Paraarespostaao
escalo determine os parmetros relevantes dessa resposta;
Q3)(analiticamente) Determine as respostas simuladas na alnea
anterior;
Q4)ObtenhaosdiagramasdeBode(caractersticasreais)dosistema.Determineos
parmetrosrelevantesdosdiagramasesobreelesinscrevaasaproximaes
assimptticas convenientes;
Q5)RepresenteascaractersticasassimptticasdosdiagramasdeBodesimuladasna
alneaanterior,esobreelasinscrevaasaproximaesreais,comparandoos
resultados com os da alnea anterior. Faa os clculos que julgue
convenientes;
Q6)(FINAL)Compareasalneasanterioresparaosvriossistemassimulados,
relacionandoasalteraescomonelocalizaodosplosedoszerosdo sistema.
ISEL DEETC Anlise de Circuitos II19 Sistemas a analisar: S1)()ss
H11 ;S2)() ;, s,s H1 01 02+ S3)( ) ;ss H113+S4)() ;ss H10104+ S5)()
;ss H1001005+ S6)() ;ss H101006+S7)( )( );s ss H1107+ S8)( )( )(
);s ss H1 1001008+ + S9)( )( )( );s ss H1 229+ +S10)()( );ss
H21010100+ S11)()( )( );sss H2111020 5++ S12)()( )( );sss H212102
50++S13)()( )( );sss H213102 50+ S14)()( )( );sss H2141020 5+
S15)()( );sss H21510100+S16)()( )( );sss H216102 50+S17 a S25) ()2
222n nnjs ss H + + , para os seguintes casos: 0,1; 0,5;
0,7070,50,1; 0,5; 0,707 n101; 10; 100100; 20; 102 S26 a S34) ()( )2
22 210 01 02++ +s ,s ss Hnn ni para os seguintes casos: 0,1; 0,5;
0,7070,50,1; 0,5; 0,707 n101; 10; 100100; 20; 102 Soluo:
Optou-seporapresentarasoluodossistemasH5(s),H9(s)eH16(s),bemcomodos
sistemas H17(s) a H25(s) e dos sistemas H26(s) a H34(s). ( )( ) ( )
( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )
( ) ( ) t u d y t y t udtt dyt y t udtt y dt y t udtt dyt yt u e t
t y t r t xt u e t y t t xt u e t y t u t xs kss Htu ru r
rutrttuP
,_
;';';' + +0221001001001 0 5; ; ;) ( 01 . 0 01 . 0 ento Se) ( 100
ento Se) ( 1 1 ento Se-100 : Plos tem; no : Zeros ; 1 : esttico
Ganho ;100100 ISEL DEETC Anlise de Circuitos II20 Soluo (cont): ()(
) ( )( ) ( )( ) ( ) { } ( ) { } ,_
,_
,_
+ +++100arg fase ;1001 log 20: frequncia em Resposta100 : a
aplicado TVI; 0 0 : (TVI) Iniciall Valordo Teorema ; 1 : (TVF)
Final Valordo Teorema: escalo ao resposta da Parmetros;1001005 5210
55 arctg j H j H j Ht y dt t dy y yss HdBu ru u& ()( )( )( ) (
) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )(
) ( ) ( ) { } ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) { } ( ) arctg arctg j H
j Ht y dt t dy y yt u d y t y t udtt dyt y t udtt y dt y t udtt dyt
yt u e e t t y t r t xt u e e t y t t xt u e e t y t u t xs s ks ss
HdBu ru utu ru r rut trt tt tuP P ,_
+
,_
,_
+ +;';';' + + + + ++ 2arg ; 1 log 2021 log 20: frequncia em
Resposta0 : a aplicado TVI; 0 0 : (TVI) Iniciall Valordo Teorema ;
1 : (TVF) Final Valordo Teorema: escalo ao resposta da Parmetros; ;
;) ( 5 . 0 2 5 . 1 ento Se) ( 2 2 ento Se) ( 2 1 ento Se-2; -1; :
Plos tem; no : Zeros ; 1 : esttico Ganho ;1 229210210 90222222 1 0
9& ( )( )( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )(
)( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( ) ( ) { } ( )( ) ( )( ) ( ) 50 : a
aplicado TVI; 0 0 : (TVI) Iniciall Valordo Teorema ; 1 : (TVF)
Final Valordo Teorema: escalo ao resposta da Parmetros; ; ;) ( 6 7
. 0 7 . 0 ento Se) ( 600 50 ento Se) ( 60 1 ento Se-10; : Plos -2;
: Zeros ; 1 : esttico Ganho ;102 5002210 1010 1010 102 1 0 2 16
+;';';' + + ++ t y dt t dy y yt u d y t y t udtt dyt y t udtt y dt
y t udtt dyt yt u te e t t y t r t xt u te e t y t t xt u te e t y
t u t xs s s ksss Hu ru utu ru r rut trt tt tuP P Z& ( )( ) { }
( ) { } ,_
,_
,_
,_
+
,_
,_
+ + 1022arg fase;101 log 4021 log 20: frequncia em Resposta16
16210210 16 arctg arctg j H j Hj HdB ISEL DEETC Anlise de Circuitos
II21 Soluo (cont): () () ()( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )(
)( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( ) ( ) { } ( )( ) ( )( ) ( )[ ] [ ][
][ ]( ) 7 . 0 0 se aplicvel s aproximado Valor 3: 5% a meto
estabeleci de Tempo1onde : 100% a 0 de o cresciment de Tempo; 100 :
o Sobreeleva ;2: pico de Tempo;2: amortec. oscilaes da Periodo ; 0
: a aplicado TVI; 0 0 : (TVI) Iniciall Valordo Teorema ; 1 : (TVF)
Final Valordo Teorema: escalo ao resposta da Parmetros; ; ;);
(2arcsin 2 cos12ento Se) (2cos1ento Se1onde ) (2cos11 ento Se; - 1
onde : Plos tem; no : Zeros ; 1 : esttico Ganho ; 1 0 com2: a%
52100 01% %022222222 10 2 2225 172< <
,_
+;';';'
,_
,_
+ + +
,_
,_
,_
,_
+ ++ +
