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ANLISE DE DADOS APLICADA AGRONOMIA PS-GRADUAO

AGRONOMIA CINCIA DO SOLO

ANLISE DE COMPONENTES PRINCIPAIS

Carlos Alberto Alves Varella1

Introduo A anlise de componentes principais uma tcnica de anlise multivariada que consiste

em transformar um conjunto de variveis em outro conjunto, os componentes principais, de

mesma dimenso, porm com propriedades importantes: cada componente principal uma

combinao linear de todas as variveis originais, so independentes entre si e estimados com

o propsito de reter, em ordem de estimao, o mximo de informao, em termos da variao

total contida nos dados.

A anlise de componentes principais associada idia de reduo de massa de dados,

com menor perda possvel da informao. Procura-se redistribuir a variao observada nos

eixos originais de forma a se obter um conjunto de eixos ortogonais no correlacionados. Esta

tcnica tambm pode ser utilizada para o agrupamento de indivduos similares, mediante

exame visual em grficos de disperso no espao bi ou tridimensional. A anlise agrupa os

indivduos de acordo com sua variao, isto , os indivduos so agrupados segundo suas

varincias, ou seja, segundo seu comportamento dentro da populao, representado pela

variao do conjunto de caractersticas que define o indivduo, ou seja, a tcnica agrupa os

indivduos de uma populao segundo a variao de suas caractersticas.

Segundo REGAZZI (2000), apesar das tcnicas de anlise multivariada terem sido

desenvolvidas para resolver problemas especficos, principalmente de Biologia e Psicologia,

podem ser tambm utilizadas para resolver outros tipos de problemas em diversas reas do

conhecimento. A anlise de componentes principais a tcnica mais conhecida, contudo

importante ter uma viso conjunta de todas ou quase todas as tcnicas para resolver a maioria

dos problema prticos.

1 Professor. Universidade Federal Rural do Rio de Janeiro, IT-Departamento de Engenharia, BR 465 km 7 - CEP 23890-000 Seropdica RJ. E-mail: varella@ufrrj.br.

Matriz de dados Considere a situao em que observamos p caractersticas de n indivduos de uma

populao . As caractersticas observadas so representadas pelas variveis x1, x2, x3, ..., xp.

A matriz de dados de ordem n x p e normalmente denominada de matriz X.

=

np3n2n1n

p3333231

p2232221

p1131211

xxxx

xxxxxxxxxxxx

X

LMOMMM

LLL

A estrutura de interdependncia entre as caractersticas da matriz de dados representada

pela matriz de covarincia S ou pela matriz de correlao R. O entendimento dessa

estrutura atravs das variveis x1, x2, x3, ..., xp, pode ser na prtica uma coisa complicada.

Assim, o objetivo da anlise de componentes principais transformar essa estrutura

complicada, representada pelas variveis x1, x2, x3, ..., xp, em uma outra estrutura representada

pelas variveis y1, y2, y3, ..., yp no correlacionadas e com varincias ordenadas, para que seja

possvel comparar os indivduos usando apenas as variveis yis que apresentam maior

varincia. A soluo dada a partir da matriz de covarincia S ou da matriz de correlao R.

Matriz de covarincia S A partir da matriz X de dados de ordem n x p podemos fazer uma estimativa da matriz

de covarincia da populao que representaremos por S. A matriz S simtrica e de ordem

p x p.

=

)x(arV)xx(ovC)xx(ovC)xx(ovC

)xx(ovC)x(arV)xx(ovC)xx(ovC

)xx(ovC)xx(ovC)x(arV)xx(ovC

)xx(ovC)xx(ovC)xx(ovC)x(arV

S

p3p2p1p

p332313

p232212

p131211

LMOMMM

LLL

Normalmente as caractersticas so obervadas em unidades de medidas diferentes entre si,

e neste caso, segundo REGAZZI (2000) conveniente padronizar as variveis Xj (i=1, 2, 3,

3

..., p). A padronizao pode ser feita com mdia zero e varincia 1, ou com varincia 1 e

mdia qualquer.

Padronizao com mdia zero e varincia 1

p,,2,1jen,,2,1i,)x(sxx

zj

jijij LL ==

=

Padronizao com varincia 1e mdia qualquer

p,,2,1jen,,2,1i,)x(s

xz

j

ijij LL ===

em que, jX e )x(S j so, respectivamente, a estimativa da mdia e o desvio padro da caracterstica j:

n

xx

n

1iij

j

==

e p,2,1j,)x(arV)x(s jj L==

( )1n

n

xx

)x(arVou1n

xx)x(arV

n

1i

2n

1iij

2ij

j

2n

1ijij

j

=

= =

==

Aps a padronizao obtemos uma nova matriz de dados Z:

=

np3n2n1n

p3333231

p2232221

p1131211

zzzz

zzzzzzzz

zzzz

Z

LMOMMM

LLL

A matriz Z das variveis padronizadas zj igual a matriz de correlao da matriz de dados

X. Para determinar os componentes principais normalmente partimos da matriz de correlao

R. importante observar que o resultado encontrado para a anlise a partir da matriz S pode

ser diferente do resultado encontrado a partir da matriz R. A recomendao que a

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padronizao s dever ser feita quando as unidades de medidas das caractersticas observadas

no forem as mesmas.

Determinao dos componentes principais Os componentes principais so determinados resolvendo-se a equao caracterstica da

matriz S ou R, isto :

[ ] 0IRou0IRdet ==

Se a matriz R for de posto completo igual a p, isto , no apresentar nenhuma coluna

que seja combinao linear de outra, a equao 0IR = ter p razes chamadas de autovalores ou razes caractersticas da matriz R. Na montagem da matriz de dados X

importante observar que o valor de n (indivduos, tratamentos, gentipos, etc.) dever ser pelo

menos igual a p+1, isto , se queremos montar um experimento para analisar o

comportamento de p caractersticas de indivduos de uma populao recomendado que o

delineamento estatstico apresente pelo menos p+1 tratamentos.

Sejam 1, 2, 3, ..., p as razes da equao caracterstica da matriz R ou S, ento:

p321 , >> L .

Para cada autovalor i existe um autovetor ia~ :

=

ip

2i

1i

i

a

aa

a~ M

Os autovetores ia~ so normalizados, isto , a soma dos quadrados dos coeficientes igual

a 1, e ainda so ortogonais entre si. Devido a isso apresentam as seguintes propriedades:

( )1a~a~1a i'ip1j

2ij ==

=

e ( )kipara0a~a~0aa k'ip1j

kjij ===

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Sendo ia~ o autovetor correspondente ao autovalor i , ento o i-simo componente

principal dado por:

pip22i11ii XaXaXaY +++= L

Os componentes principais apresentam as seguintes propriedades:

1) A varincia do componente principal Yi igual ao valor do autovalor i.

( ) iiYarV =

2) O primeiro componente o que apresenta maior varincia e assim por diante:

)Y(arV)Y(arV)Y(arV p21 >>> L

3) O total de varincia das variveis originais igual ao somatrio dos autovalores que igual

ao total de varincia dos componentes principais:

== )Y(arV)X(arV iii

4) Os componentes principais no so correlacionados entre si: ( ) 0Y,YovC ji = Contribuio de cada componente principal

A contribuio Ci de cada componenete principal Yi expressa em porcentagem.

calculada dividindo-se a varincia de Yi pela varncia total. Representa a proporo de

varincia total explicada pelo componenete principal Yi.

( )( ) ( )

100Strao

100100YarV

YarVC ip

1ii

ip

1ii

ii =

====

A importncia de um componente principal avaliada por meio de sua contribuio, isto

, pela proporo de varincia total explicada pelo componente. A soma dos primeiros k

autovalores representa a proporo de informao retida na reduo de p para k dimenses.

Com essa informao podemos decidir quantos componente vamos usar na anlise, isto ,

quantos componentes sero utilizados para diferenciar os indivduos. No existe um modelo

estatstico que ajude nesta deciso. Segundo REGAZZI (2000) para aplicaes em diversas

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reas do conhecimento o nmero de componentes utilizados tem sido aquele que acumula

70% ou mais de proporo da varincia total.

( ) ( )( )

pkonde%70100YarV

YarVYarVk

1ii

k1

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utilizando-se os escores desses componentes. No Quadro 1 exemplificado a organizao de

um conjunto de dados composto por n tratamentos, p variveis e k componentes principais.

Quadro 1. Organizao de um conjunto de dados com n tratamentos, p variveis e k componentes Tratamentos

(Indivduos)

Variveis Escores dos componentes principais

X1 X2 ... Xp Y1 Y2 ... Yk

1 X11 X12 M X1p Y11 Y12 ... Y1k 2 X21 X22 M X2p Y21 Y22 ... Y2k M M M M M M M M M n Xn1 Xn2 ... Xnp Yn1 Yn2 ... Ynk

Assim temos que os escores do primeiro componente para os n tratamentos so:

Trat Primeiro conponente principal

1 p1p11212111111 XaXaXaY +++= L 2 p2p12212211121 XaXaXaY +++= L M M n npp12n121n111n XaXaXaY +++= L

Exemplo de aplicao No Quadro 2 esto os valores originais observados (X1 e X2) e padronizados (Z1 e Z2) de

duas variveis para cinco tratamentos (n=5).

Quadro 2. Valores originais e padronizados de duas variveis para cinco tratamentos

Tratamentos Variveis originais Variveis padronizadas

X1 X2 Z1 Z2

1 102 96 24,3827 6,9554

2 104 87 24,8608 6,3033

3 101 62 24,1436 4,4920

4 93 68 22,2313 4,9268

5 100 77 23,9046 5,5788

Varincia 17,50 190,50 1 1

Mdia 100,00 78,00 23,9046 5,6513

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Os dados esto padronizados para varincia 1:

( ) 8608,245,17104ZXsX

Z 12j

ijij ===

A matriz de correlao :

=15456,0

5456,01R

A equao caracterstica : 0IR =

015456,05456,01 =

07023,022 =+

Os autovalores da matriz de correlao R so:

1 = 1,5456 e 2 = 0,4544

A soma de 1 e 2 igual ao trao da matriz R. O trao de uma matriz a soma dos

elementos de sua diagonal principal.

trao(R) = 1+1=2

Obteno dos componentes principais

O autovetor normalizado para o primeiro componente principal :

=

=

=7070,07071,0

11

21

aa

a~12

111

e o primeiro componente principal :

211 Z7071,0Z7071,0Y +=

Da mesma forma para o segundo componente principal temos:

=

=

=7070,07071,0

11

21

aa

a~22

2121

9

212 Z7071,0Z7071,0Y +=

Quadro 3. Informaes que podem ser obtidas com a anlise de componentes principais Componente principal

Varincia (Autovalor)

Coeficiente de ponderao

Correlao entre Zj eYi

Porcentagem da varincia total

Porcentagem acumulada de varincia dos Yi

Z1 Z2 Z1 Z2

Y1 1,5456 0,7071 0,7071 0,879 0,879 77,28 77,28

Y2 0,4544 -0,7071 0,7071 -0,476 0,476 22,72 100,00 Quadro 4. Escores dos dois componentes principais para os cinco tratamentos obtidos a partir da matriz de correlao R.

Tratamentos Escores dos componentes principais

Y1 Y2

1 22,16 -12,32

2 22,04 -13,12

3 20,25 -13,90

4 19,20 -12,24

5 20,85 -12,96

10

19

20

21

22

23

-14 -13.5 -13 -12.5 -12

Segundo componente (Y2)

Prim

eiro

com

pone

nte

(Y1)

Figura 2. Disperso dos tratamentos em funo dos escores dos componentes principais. Programa SAS para obteno dos componentes principais

BIBLIOGRAFIA REGAZZI, A.J. Anlise multivariada, notas de aula INF 766, Departamento de Informtica da

Universidade Federal de Viosa, v.2, 2000.

KHATTREE, R. & NAIK, D.N. Multivariate data reduction and discrimination with SAS software. Cary, NC, USA: SAS Institute Inc., 2000. 558 p.

JOHNSON, R. A.; WICHERN, D. W. Applied multivariate statistical analysis. 4th ed. Upper Saddle River, New Jersey: Prentice-Hall, 1999, 815 p.

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