Análise de erros - O que podemos aprender com as respostas dos alunos

Helena Noronha Cury

Análise de erroso que podemos aprender

com as respostas dos alunos

Reconhecendo que discutir com

os alunos sobre os erros detectados

em avaliações não é tarefa fácil, He-

lena Noronha Cury aposta na neces-

sidade dessa prática como metodo-

logia de ensino e de pesquisa. Con-

trapondo-se à idéia de que os erros

evidenciam o que o aluno não sabe

e os acertos mostram o que ele do-

mina, a autora acredita que analisar

as produções dos alunos permite aos

professores entenderem, de mais

perto, como se dá a apropriação do

saber por esses estudantes. Porém,

como detectar essas dificuldades por

meio da análise de erros, refletir so-

bre elas e criar atividades apoiadas

nessas descobertas se há uma resis-

tência em lidar com os erros?

“Em geral, o erro é execrado, e

o aluno teme a reação do professor

se não consegue dar a resposta es-

perada. Muitas vezes, cria-se uma

reação em cadeia: o estudante es-

condendo seu erro para não ser

punido; o professor tentando fazê-

lo cair nas ‘ciladas’ em questões que

apresentam exatamente as dificul-

dades que o aluno oculta...”

Neste livro, a autora afirma, ain-

da, que a falta de atividades que de-

safiem o aluno a trabalhar sobre seus

próprios erros é uma das maiores

dificuldades encontradas pelos pro-

fessores e pesquisadores que objeti-

vam compreender esses erros, des-

cobrindo suas causas, para então

A AUTORA

Helena Noronha Cury é licencia-

da e bacharel em Matemática pela

UFRGS e mestre e doutora em Edu-

cação pela mesma universidade. É

professora titular da Faculdade de

Matemática da PUCRS e já lecionou

disciplinas matemáticas em cursos de

Matemática, Engenharia e Informática.

Trabalha desde 1970 com formação

de professores em Instituições de

Ensino Superior de Porto Alegre, RS.

Atualmente, é professora do curso de

Licenciatura em Matemática e do

Mestrado em Educação em Ciências

e Matemática da PUCRS. Suas mais

recentes pesquisas estão centradas

na análise de erros, tendo apresenta-

do o tema em publicações periódi-

cas, palestras e eventos científicos.

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ISBN 978-85-7526-254-2

Coordenador da coleção “Tendências em Educação Matemática”:

Marcelo de Carvalho Borba. E-mail: [email protected]

Neste livro, Helena Noronha Cury apresenta uma visãogeral sobre a análise de erros, fazendo um retrospecto dasprimeiras pesquisas na área e indicando teóricos que sub-sidiam investigações sobre erros. A autora defende a idéiade que a análise de erros é uma abordagem de pesquisa etambém uma metodologia de ensino, se for empregada emsala de aula com o objetivo de levar os alunos a ques-tionarem suas próprias soluções. O levantamento de tra-balhos sobre erros desenvolvidos no País e no exterior,apresentado na obra, poderá ser usado pelos leitoressegundo seus interesses de pesquisa ou ensino. A autoraapresenta sugestões de uso dos erros em sala de aula, dis-cutindo exemplos já trabalhados por outros investiga-dores. Nas conclusões, a pesquisadora sugere que dis-cussões sobre os erros dos alunos venham a ser contem-pladas em disciplinas de cursos de formação de profes-sores, já que podem gerar reflexões sobre o próprioprocesso de aprendizagem.

COLEÇÃO

Tendências emEducação Matemática

explorá-los ou aproveitá-los como

ferramentas para a aprendizagem.

Estimular a reflexão sobre essa

prática, bem como sobre sua impor-

tância já na formação de professo-

res, é proposta desta publicação,

que integra a Coleção Tendências

em Educação Matemática, da Au-

têntica Editora. Para isso, a autora

apresenta experiências de análise de

erros, propõe sugestões e tece uma

discussão necessária e inovadora na

Educação Matemática, sem, é claro,

deixar de contemplar a teoria e

seus pensadores.

Helena Noronha Cury

“Tendências emEducação Matemática”

Análise de erroso que podemos aprender com

as respostas dos alunos

1a edição1a reimpressão

analise de erros 190608 - 2.ed - tales.pmd 19/6/2008, 09:413

Copyright © 2007 by Helena Noronha Cury

COORDENADOR DA COLEÇÃO

“Tendências em Educação Matemática”Marcelo de Carvalho Borba – [email protected]

CONSELHO EDITORIAL

Airton Carrião/Coltec-UFMG; Arthur Powell/Rutgers University; Marcelo Borba/UNESP;

Ubiratan D’Ambrosio/PUC-SP/USP/UNESP; Maria da Conceição Fonseca/UFMG.

CAPA

Jairo Alvarenga Fonseca

REVISÃO

Cecília Martins

EDITORAÇÃO ELETRÔNICA

Waldênia Alvarenga Santos Ataíde

Todos os direitos reservados pela Autêntica Editora. Nenhuma parte destapublicação poderá ser reproduzida, seja por meios mecânicos, eletrônicos,seja via cópia xerográfica, sem a autorização prévia da editora.

Rua Aimorés, 981, 8º andar. Funcionários30140-071. Belo Horizonte. MGTel: (55 31) 3222 68 19TELEVENDAS: 0800 283 13 22www.autenticaeditora.com.bre-mail: [email protected]

AUTÊNTICA EDITORA

Ficha catalográfica elaborada por Rinaldo de Moura Faria – CRB6-1006

Cury, Helena Noronha

Análise de erros : o que podemos aprender com as respostas dosalunos / Helena Noronha Cury . — 1. ed. 1. reimp. — Belo Horizonte :Autêntica , 2008.

116 p.

ISBN 978-85-7526-254-2

1.Matemática. 2.Formação de professores. I.Título.

CDU 51

371.13

C982a


Nota do coordenador

Embora a produção na área de Educação Matemáticatenha crescido substancialmente nos últimos anos, ainda é pre-sente a sensação de que há falta de textos voltados para profes-sores e pesquisadores em fase inicial. Esta coleção surge em2001 buscando preencher esse vácuo, sentido por diversos ma-temáticos e educadores matemáticos. Bibliotecas de cursos deLicenciatura, que têm títulos em Matemática, não tinham publi-cações em Educação Matemática ou textos de Matemática vol-tados para o professor.

Em cursos de Especialização, Mestrado e Doutorado comênfase em Educação Matemática ainda há falta de material queapresente de forma sucinta as diversas tendências que se con-solidam nesse campo de pesquisa. A coleção “Tendências emEducação Matemática” é voltada para futuros professores e paraprofissionais da área que buscam de diversas formas refletirsobre esse movimento denominado Educação Matemática, o qualestá embasado no princípio de que todos podem produzir Ma-temática, nas suas diferentes expressões. A coleção busca tam-bém apresentar tópicos em Matemática que tenham tido desen-volvimentos substanciais nas últimas décadas e que se possamtransformar em novas tendências curriculares dos ensinos Fun-damental, Médio e Universitário.

Esta coleção é escrita por pesquisadores em EducaçãoMatemática, ou em dada área da Matemática, com larga experiên-cia docente, que pretendem estreitar as interações entre a Uni-versidade que produz pesquisa e os diversos cenários onde serealiza a Educação. Cada livro indica uma extensa bibliografiana qual o leitor poderá buscar um aprofundamento em certaTendência em Educação Matemática.


Neste livro, Helena Noronha Cury apresenta uma visãogeral sobre a análise de erros, fazendo um retrospecto das pri-meiras pesquisas na área e indicando teóricos que subsidiaminvestigações sobre erros. A autora defende a idéia de que aanálise de erros é uma abordagem de pesquisa e também umametodologia de ensino, se for empregada em sala de aula com oobjetivo de levar os alunos a questionarem suas próprias solu-ções. O levantamento de trabalhos sobre erros desenvolvidosno País e no exterior, apresentado na obra, poderá ser usadopelos leitores segundo seus interesses, de pesquisa ou ensino.A autora apresenta sugestões de uso dos erros em sala de aula,discutindo exemplos já trabalhados por outros investigadores.Nas conclusões, a pesquisadora sugere que discussões sobre oserros dos alunos venham a ser contempladas em disciplinas decursos de formação de professores, já que pode gerar reflexõessobre o próprio processo de aprendizagem.

* Coordenador da Coleção “Tendências em Educação Matemática”, é li-cenciado em Matemática pela UFRJ, Mestre em Educação Matemáticapela UNESP, Rio Claro, SP, e doutor nessa mesma área pela CornellUniversity, Estados Unidos. Atualmente, é professor do Programa dePós-Graduação em Educação Matemática da UNESP, Rio Claro, SP ecoordenador do grupo de pesquisa GPIMEM. Por curtos intervalos detempo, já fez estágios de pós-doutoramento ou foi professor visitantenos Estados Unidos, Dinamarca, Canadá e Nova Zelândia. Em 2005 setornou livre docente em Educação Matemática. É também autor de di-versos artigos e livros no Brasil e no exterior e participa de diversascomissões em nível nacional e internacional.


Sumário

Prefácio..............................................................................................

Introdução ........................................................................................

Capítulo IAs idéias dos precursores ......................................................

Thorndike e o início das pesquisas sobre erros .................

Hadamard e os processos de invenção em Matemática...

Krutetskii e as habilidades matemáticas..............................

Newell e Simon e a análise dos protocolos de resolução

Brousseau e os erros constituídos em obstáculos...............

Borasi e a taxionomia do uso dos erros.................................

Capítulo IIAlguns exemplos de trabalhossobre análise de erros em questões matemáticas......

Capítulo IIIExemplos de classificação e análise de erros:uma pesquisa com calouros de cursos superiores ...

Outro exemplo de dificuldades em Cálculo:derivadas e integrais ..................................................................

Capítulo IVAnálise de conteúdo das respostas:uma visão da metodologia empregada .........................

As etapas da análise ..................................................................

Um exemplo de análise de conteúdo de respostas ...........

Uma interpretação para os resultados .................................

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COLEÇÃO “TENDÊNCIAS EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA”

Capítulo VSugestões para o uso da análise de errosno ensino de Matemática ......................................................

Capítulo VIConsiderações finais .................................................................

Referências .......................................................................................

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Análise de erros: o que podemos aprender com as respostas dos alunos

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Ao escrever o prefácio de uma obra, somos tentados a cederaos primeiros pensamentos espontâneos que levam ao lugarcomum da frase “é uma honra prefaciar o livro de...”. Comigonão foi diferente, mas antes de completar o primeiro parágrafodeixei-me levar por um pensamento a respeito da etimologia dapalavra “honra”, tão presente nos discursos sobre ética e, emespecial, nos diálogos de Quixote, de Cervantes, para quem a honraé tão importante quanto a liberdade, apenas outro nome paradignidade. Honrar é homenagear a virtude, o talento, a coragem eoutras qualidades como dignidade, probidade, retidão. Minhasatisfação pelo convite para prefaciar este livro está na proporçãodireta do respeito que tenho pela autora. Cabe então inverter ahomenagem recebida, apontando para a direção de Helena Cury,digna representante de nossa comunidade, educadora matemá-tica de primeira grandeza, reconhecida pela retidão e qualidadede seu trabalho, seja como investigadora, orientadora, editora,seja como professora. Tenho-a como uma bússola, estou sempreatento ao que ela vai escrever, sobre que problemas está investi-gando, sobre quem e sobre o quê está orientando.

Sou privilegiado por ter meu caminho atravessado pelaautora, uma aproximação de duas décadas em torno de uminteresse comum: os “erros”, ou, como a própria autora reforça,as respostas dos estudantes.

Prefácio


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A segunda metade dos anos 1980 foi efervescente para aEducação Matemática. Quando conheci Helena Cury, no anode 1987, tínhamos acabado de organizar o 1º Encontro Nacio-nal de Educação Matemática e estávamos iniciando o processode construção da SBEM. Foi também o ano em que os brasilei-ros apresentavam seus primeiros trabalhos no PME1. Para mim,um dos fatos marcantes desse ano foi minha participação nareunião da Comissão Internacional para a Melhoria do Ensinoda Matemática2 – a 39ª CIEAEM – realizada em Sherbrooke,Canadá. Esse grupo reunia-se regularmente, desde os anos1950, cada ano em um país e com um tema específico. “Rôle delérreur dans lápprentissage et lénseignement de la Mathématique”foi a chamada daquele encontro.

A discussão sobre erros em Matemática pareceu-me, naocasião, estar na ordem do dia, como desdobramento dos estu-dos sobre “Resolução de Problemas” que dominavam os fó-runs internacionais desde o final dos anos 1970, ainda que asprimeiras reflexões documentadas sejam encontradas em Ha-damard, no pós-guerra.

Meu primeiro contato com a temática dos erros de umaperspectiva investigativa, entretanto, foi em 1985 quando as-sisti à instigante palestra “Los errores son buenos”, proferida porEduardo Mancera, do México. Nas reuniões do CEM3, era fre-qüente ouvir a professora Anna Franchi, que estudava Bache-lard, dizer “a criança pode não ter errado, e sim resolvido outroproblema”. Mas foi a partir da reunião de Sherbrooke que mer-gulhei para valer na temática dos erros. Não era para menos,um time do quilate de Hans Freudenthal, Anna Krygowska,Raffaella Borasi, Paolo Boero, Anna Sierpinska, Alan Bell e Le-lis Paez brindou-nos com conferências sobre vários aspectos re-lacionados aos erros em Matemática. Interessei-me especialmente

1 Grupo Internacional de Psicologia da Educação Matemática2 Grupo fundado em 1950 por J. Piaget, J. Diedonné, G. Choquet, C.Gattegno,

A. Lichnerowicz, E. W. Beth.3 Centro de Educação Matemática de São Paulo.



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pelo sub-tema “Aproveitamento didático dos erros”, que é meuobjeto de investigação até hoje.

Foi desse caldo de cultura que tive meu primeiro encontrocom Helena, a homenageada neste prefácio. Helena estava in-teressada em fazer suas pesquisas4 analisando erros em de-monstrações geométricas. Em nosso primeiro encontro, lem-bro-me de termos trocado algum material teórico, em especialos artigos de Raffaella Borasi5, que a meu ver, tanto quantoHelena Cury, é referência obrigatória a todos que se interessampela temática dos erros em Matemática.

Chegamos então à edição deste oportuno Análise de erros:o que podemos aprender com as respostas dos alunos. Trata-se deleitura obrigatória para os atuais e futuros pesquisadores, alu-nos de mestrado ou doutorado em Educação Matemática e, atémesmo, serve como fonte para os trabalhos de conclusão doscursos de graduação. Nesta obra a autora marca sua posiçãono destaque que dá para o trabalho com os erros, tanto comometodologia de pesquisa quanto como metodologia de ensino.Fez uma excelente revisão da literatura sobre a temática noBrasil e no mundo, selecionando os trabalhos mais relevantes,discutindo-os sob diferentes perspectivas.

O texto conduz o leitor à idéia de que “o erro se constituicomo um conhecimento”. Descartando os erros cometidos pordesatenção ou descuido, em muitos casos, os erros são hipóte-ses legítimas baseadas em concepções e crenças adquiridas aolongo da vida escolar. Dessa perspectiva situo o aproveitamentodidático de erros, tal como o discutimos em Sherbrooke, em 1987,como uma antecipação do que viria a ser o que hoje chamamos

4 Análise de erros em demonstrações de Geometria Plana: um estudo comalunos de 3º Grau. 1988. Dissertação (Mestrado em Educação) – Facul-dade de Educação, Universidade Federal do Rio Grande do Sul, PortoAlegre, 1988. As concepções de Matemática dos professores e suas for-mas de considerar os erros dos alunos. 1994. Tese (Doutorado em Edu-cação) – Faculdade de Educação, Universidade Federal do Rio Grandedo Sul, Porto Alegre, 1994.

5 Conferência proferida em Sherbrooke (1987), resultado das investigaçõesde seu doutorado sobre erros.


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de “Investigações Matemáticas na sala de aula”6; esta conexãoestá explicitada nos trabalhos sobre Inquiry (BORASI, 1991) e so-bre “Ambiente de Inspiração Lakatosiana” (LOPES, 1988).

Destaco o fato de que, em mais de uma passagem, Helenareafirma seu posicionamento sobre a importância da análisedas respostas como metodologia do ensino; esse é para mimum ponto chave. Afinal, quem nunca teve pela frente algumaluno que “sobregeneralizou” somando frações, aplicando

uma regra análoga à da multiplicação . Como

esse, há uma longa lista de “erros”, observados em alunos dedistintas culturas e níveis de ensino, que levam os estudantes aformular hipóteses distintas das esperadas por seus professo-res, que vão desde os “cancelamentos excêntricos”, muitas ve-zes provocados pela cultura do macete, às “saliências visuais”.Hoje sabemos da importância de analisar essas respostas, indoalém da remediação das mesmas, buscando suas causas e pre-vendo seus desdobramentos, aproveitando-as como objetos deconhecimento, investigando, com base na resposta, as concep-ções dos alunos a respeito de conceitos e procedimentos.

A relevância do tema “erros” ou da análise das respostasdos alunos tem importância crucial em muitas outras frentesda Educação Matemática atual, seja na definição de parâme-tros curriculares, na análise de materiais didáticos ou na for-mação de professores.

Li e reli mais este livro desta professora do programa demestrado da PUCRS, uma profissional que mostra o vigor da co-munidade gaúcha de Educação Matemática. Chega de preâmbu-los, agora é com vocês, leitor e leitora. Degustem esta preciosaobra como se fosse uma iguaria e, ao final, não esqueçam debrindar a quem de direito. A honra é toda da autora.

Antonio José Lopes (Bigode)Educador Matemático

6 Veja Investigações Matemáticas na Sala de Aula, de autoria de João Ponte,Joana Brocardo e Hélia Oliveira, desta mesma Coleção da Autêntica.



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Ao corrigir qualquer prova, teste ou trabalho de Matemáti-ca, muitas vezes o professor costuma apontar os erros cometi-dos pelos alunos, passando pelos acertos como se estes fossemesperados. Mas quem garante que os acertos mostram o que oaluno sabe? E quem diz que os erros evidenciam somente o queele não sabe? Qualquer produção, seja aquela que apenas repe-te uma resolução-modelo, seja a que indica a criatividade doestudante, tem características que permitem detectar as manei-ras como o aluno pensa e, mesmo, que influências ele traz desua aprendizagem anterior, formal ou informal. Assim, anali-sar as produções é uma atividade que traz, para o professor epara os alunos, a possibilidade de entender, mais de perto, comose dá a apropriação do saber pelos estudantes.

A análise das respostas, além de ser uma metodologia depesquisa, pode ser, também, enfocada como metodologia deensino, se for empregada em sala de aula, como “trampolimpara a aprendizagem” (BORASI, 1985), partindo dos erros detec-tados e levando os alunos a questionar suas respostas, paraconstruir o próprio conhecimento.

Assim, a análise das produções dos estudantes não é umfato isolado na prática do professor; ela é – ou deveria ser – umdos componentes dos planos pedagógicos das instituições edos planos de aula dos docentes, levando em conta os objetivos doensino de cada disciplina. Mas há entraves para sua realização,

Introdução


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que envolvem aspectos delicados da prática docente, já que,sendo uma avaliação, assume o estatuto desta, tocando em sen-timentos – sentir-se aprovado ou rejeitado por alguém –, em memó-rias – ter sido criticado por alguém a quem o aluno atribui autoridadeou ter suas idéias sistematicamente aceitas pela autoridade –, em ques-tões sociais e econômicas – ser reprovado implica menores oportu-nidades de emprego ou de aprovação em exames e maiores gastos, pelarepetição do ano letivo ou da disciplina.

A correção da produção escrita dos alunos, em qualquercircunstância, carrega, para os professores, o que Chevallard eFeldmann (1986) chamam de “pequena crucificação”:

A correção, longe de ser, para o professor, um momen-to como os outros do processo didático, vivido comigual serenidade, aparece como a prova por excelência,da qual se livra ou da qual, pelo contrário, faz uma pe-quena crucificação que reaparece regularmente. (p. 71)

Neste livro, não trabalharei especificamente com avalia-ção, ainda que a análise dos acertos e erros esteja implícita nes-ta atividade. Quero, entretanto, abordar a análise das soluçõesapresentadas pelos estudantes sob um outro enfoque, a saber,como metodologia de pesquisa e de ensino.

Meu interesse pelo tema teve origem na década de 1980,pela necessidade de buscar fundamentação teórica para aminha dissertação de mestrado (CURY, 1988), visto que, naépoca, não era fácil encontrar referências sobre o assuntoem livros, periódicos ou anais de congressos, especialmen-te estando longe dos maiores centros de difusão das produ-ções da área de Educação Matemática, em uma época emque não havia as facilidades atuais da internet, das biblio-tecas virtuais, etc.

Em uma visita a São Paulo, foi-me sugerido entrar emcontato com o professor Antonio José Lopes – o Bigode –, quehavia participado de eventos no exterior e que, efetivamente,disponibilizou os primeiros trabalhos que encontrei, especial-mente uma comunicação de Raffaella Borasi (1987), apresen-tada em um evento realizado no Canadá. A partir dessas



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indicações, fui, aos poucos, construindo um referencial queme permitiu analisar erros em demonstrações de GeometriaPlana e, posteriormente, continuar as pesquisas, trabalhan-do com erros em Cálculo Diferencial e Integral. Após 20 anosde estudos, trago, neste livro, uma síntese do que até agorareuni sobre o tema.

Assim, no capítulo I, são apresentadas obras que consi-dero precursoras da análise de respostas a questões de Mate-mática, como as de Thorndike, Hadamard, Krutetskii, Newelle Simon, Brousseau, Borasi, para situar cada uma das verten-tes investigativas que subsidiaram muitas pesquisas.

No capítulo II, é feita uma revisão de trabalhos que ana-lisam as respostas dos alunos a questões matemáticas, em tes-tes e provas aplicadas em salas de aula, em situações de pes-quisa ou, ainda, em exames oficiais, procurando agrupá-losde acordo com alguns critérios.

No capítulo III, são apresentados alguns resultados depesquisas com calouros de cursos de Ciências Exatas, comdiscussão dos erros cometidos pelos alunos, apontando parafuturos professores de Matemática ou para os que estão emformação continuada em cursos de Pós-Graduação, dificulda-des que, muitas vezes, não são levadas em conta na EducaçãoBásica.

No capítulo IV, é detalhada a metodologia empregada empesquisas já realizadas, em que proponho uma analogia com aAnálise de Conteúdo, abordagem usada principalmente em in-vestigações qualitativas.

No capítulo V, a partir de alguns erros sistematicamenteencontrados em muitas das obras citadas e em pesquisas aquirelatadas, são apresentadas sugestões de atividades para usodos erros em salas de aula do Ensino Fundamental, Médio ouSuperior, em especial para cursos de Licenciatura em Matemática.

Finalmente, no último capítulo, sugiro algumas ações,em cada instituição de Educação Básica ou Superior, para de-senvolver novas investigações sobre análise da produção es-crita dos alunos.


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Espero que os colegas encontrem, neste livro, informações,reflexões e sugestões que permitam fazer da análise de erros deseus alunos mais uma ferramenta para o desenvolvimento doprocesso de ensino e aprendizagem de Matemática.


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Análise de erros - O que podemos aprender com as respostas dos alunos