ANÁLISE DE ESTRUTURAS INTELIGENTES COM MEMÓRIA DE FORMA …monografias.poli.ufrj.br/monografias/monopoli10016965.pdf · 2016-04-20 · 3.4 Parâmetros das ligas com memória de

ANÁLISE DE ESTRUTURAS INTELIGENTES COM MEMÓRIA DE FORMA

UTILIZANDO O MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS

Raphael Santana Silva

Projeto de Graduação apresentado ao Curso

de Engenharia Mecânica da Escola

Politécnica, Universidade Federal do Rio de

Janeiro, como parte dos requisitos

necessários à obtenção do título de

Engenheiro.

Orientador: Marcelo Amorim Savi

Rio de Janeiro

Março de 2016

UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO

Departamento de Engenharia Mecânica

DEM/POLI/UFRJ




PROJETO FINAL SUBMETIDO AO CORPO DOCENTE DO DEPARTAMENTO DE

ENGENHARIA MECÂNICA DA ESCOLA POLITÉCNICA DA UNIVERSIDADE

FEDERAL DO RIO DE JANEIRO COMO PARTE DOS REQUISITOS NECESSÁRIOS

PARA A OBTENÇÃO DO GRAU DE ENGENHEIRO MECÂNICO.

Aprovado por:

________________________________________________

Prof. Marcelo Amorim Savi, D.Sc.

________________________________________________

Prof. Anna Carla Monteiro de Araújo, D.Sc.

________________________________________________

Prof. Thiago Gamboa Ritto, D.Sc.

RIO DE JANEIRO, RJ - BRASIL

MARÇO DE 2016

i

Silva, Raphael Santana

Análise de Estruturas Inteligentes com Memória de

Forma Utilizando o Método dos Elementos Finitos/

Raphael Santana Silva. – Rio de Janeiro: UFRJ/ ESCOLA

POLITÉCNICA, 2016.

xi, 92 p.: il.; 29,7 cm.

Orientador: Marcelo Amorim Savi.

Projeto de Graduação – UFRJ/ Escola Politécnica/

Curso de Engenharia Mecânica, 2016.

Referências Bibliográficas: p.62-64.

1. Estruturas Inteligentes. 2. Ligas com Memória de

Forma. 3. Método dos Elementos Finitos. I. Savi, Marcelo

Amorim. II. Universidade Federal do Rio de Janeiro, Escola

Politécnica, Curso de Engenharia Mecânica. III. Análise de

Estruturas Inteligentes com Memória de Forma Utilizando

o Método dos Elementos Finitos.

ii

Para minha família

e minha namorada.

iii

Agradecimentos

A toda minha Família e em especial a: minha avó Carmem, pela criação, boas

histórias e dedicação incondicional; minha irmã Michelle, que sempre esteve comigo,

exceto nas disputas pelo controle remoto; meu pai Antônio, pelo exemplo, suporte e

investimento em mim, da qual resulta o título de engenheiro mecânico; minha mãe que

acreditou demais em mim, até mesmo quando disse, há 3 anos, que iria limpar um baú

com papéis das matérias da faculdade. Eu não limpei, ainda, mas vou.

A minha namorada, Tainara, por todo o carinho e por conseguir me aturar

durante toda essa etapa, apesar da minha cabeça dura e procrastinação. Obrigado pelo

incentivo e broncas enquanto eu passava por tudo isto. Não foi fácil, nem era para ser,

mas é fundamental para mim. Você já me ajudou muito, mas continue aqui. Ok? Ok.

Aos meus melhores amigos mais próximos: Marcinha, Mari e Tutuba. Obrigado

por estarem sempre presentes, animados e companheiros.

Aos mosqueteiros, Bessa, Mou e Vince, pelo companheirismo e ensinamentos

diários nos dias de estágio e, ainda, pelos grandes exemplos de profissionais que são.

A minha melhor amiga, Juliana, presente da minha Bahia. Saudades.

A todos os cientistas e engenheiros que acreditam que o conhecimento é

universal e sem fronteiras, disponibilizando suas produções a toda comunidade

científica. Todos foram fundamentais nos meus estudos durante a graduação

Ao departamento de engenharia mecânica, cujo mestres e o Tito foram sempre

solícitos aos meus questionamentos e me guiaram ao profissional que eu quero ser. Em

especial aos professores que convido para minha banca e ao meu orientador, Prof.

Marcelo A. Savi, por apostar em mim desde o quinto período, quando me indicou ao

intercâmbio na FMC Technologies, pela exímia orientação deste trabalho, pelos

conselhos e grande incentivo ao mestrado.

Aos amigos do LAMCE/COPPE, pelos melhores habilidades acadêmicas que eu

recebi em toda minha vida. Tudo o que eu aprendi na iniciação científica está aqui.

A todos os Alunos Contadores de Histórias do IPPMG/UFRJ, cuja riqueza de

suas personalidades com a qual tive sorte de ter contato e que acredito que deixaram

um pouco em mim, ensinaram-me a pessoa que eu quero ser. Obrigado pelas vivências,

oportunidades, convites e boas amizades. Teremos sempre boas histórias para contar.

A FMC Technologies, a empresa responsável pela maior transformação da

minha graduação, a proposta irrecusável de estágio e intercâmbio cultural e acadêmico

na Texas A&M University. Em especial a Cristina Fetter, Luíz Saraiva e Kam Owens.

A TenarisConfab, o apreço pela minha formação e proposta exemplar com o

Roberto Rocca Education Program. Tanto incentivo foi especial. Espero retribuí-los.

Aos citados, muito obrigado. Esse trabalho é graças a vocês. Devo-lhes essa.

iv

Resumo do Projeto de Graduação apresentado à Escola Politécnica/ UFRJ como parte

dos requisitos necessários para a obtenção do grau de Engenheiro Mecânico.




Março/2016

Orientador: Marcelo Amorim Savi

Curso: Engenharia Mecânica

As crescentes aplicações das ligas com memória de forma tem motivado estudos em

função da necessidade de engenheiros em descrever o comportamento de estruturas

sob solicitações termomecânicas por meio de simulações numéricas, antes mesmo da

prototipagem e fase de testes. Essa boa prática em engenharia auxilia o

desenvolvimento de inovação de novos produtos e na manutenção de componentes

estruturais. O método dos elementos finitos é usualmente empregado para essas

investigações, auxiliando projetistas e pesquisadores na busca por resoluções em

típicos problemas de valor de contorno. Neste trabalho, estruturas inteligentes são

analisadas com o auxílio de um programa comercial, tendo como objetivo investigar

diferentes tipos de estruturas com respostas típicas a tração, torção, flexão ou variação

de temperatura. De uma maneira geral, teorias aproximadas são investigadas

considerando elementos de viga, plano, casca e sólido. Os resultados obtidos são

comparados com os disponíveis na literatura. Este estudo apresenta uma coleção de

resultados característicos que podem ser estendidos a outras geometrias e parâmetros

de materiais inteligentes. Mostram-se os principais fenômenos constitutivos que

representam o comportamento geral de estruturas inteligentes com memória de forma.

Palavras-chave: Estruturas Inteligentes, Ligas com Memória de Forma, Método dos

Elementos Finitos.

v

Abstract of Undergraduate Project presented to POLI/UFRJ as a partial fulfillment of the

requirements for the degree of Mechanical Engineer.

ANALYSIS OF SMART STRUCTURES WITH SHAPE MEMORY UNDER FINITE

ELEMENT METHOD


March/2016

Advisor: Marcelo Amorim Savi

Course: Mechanical Engineering

The growth of shape memory alloys applications have been motivating studies as a

function of engineers needs for describing structures’ behaviors under thermomechanics

loads in numerical simulation, even before prototyping or phase tests. This engineering

good practice supports the development of innovative new products and maintenance of

structure components. The finite elements method is usually applied for these

investigations, assisting designers and researchers in search of solving typical boundary

value problems. In this work, smart structures are analyzed with a computer-aided

software, having as objective to investigate different types of structures with typical

responses due traction, torsion, bending or temperature variations. More generally,

approximated theories are investigated considering beam, plane, shell and solid

elements. Results here presented are compared with the ones available from literature.

This study presents a collection of characteristics outcomes that may extends

themselves to others geometries and smart materials parameters. It has been shown the

mainly constitutive phenomena that represent the general behavior of smart structures

with shape memory.

Keywords: Smart Structures, Shape Memory Alloys, Finite Element Method.

vi

Sumário

1 Introdução ...................................................................................................................... 1

2 Ligas com memória de forma ........................................................................................ 3

2.1 Comportamento termomecânico ............................................................................ 3

2.1.1 Superelasticidade ............................................................................................. 6

2.1.2 O efeito memória de forma .............................................................................. 7

2.2 Aplicações ............................................................................................................... 9

2.3 Modelo constitutivo ............................................................................................... 11

2.4 Parâmetros do modelo constitutivo ...................................................................... 13

3 Método dos elementos finitos ..................................................................................... 18

3.1 Modelagem de estruturas por elementos finitos .................................................. 18

3.2 Análises de estruturas não-lineares ..................................................................... 19

3.2.1 Não-linearidade geométrica ........................................................................... 20

3.2.2 Não-linearidade constitutiva .......................................................................... 21

3.3 Formulação matemática – problema de valor de contorno ................................. 22

3.4 Parâmetros das ligas com memória de forma ..................................................... 25

3.5 Elementos unidimensionais .................................................................................. 26

3.5.1 Hipóteses e restrições ................................................................................... 28

3.6 Elementos bidimensionais .................................................................................... 28

3.6.1 Elemento de plano ......................................................................................... 28


3.6.3 Elemento de casca......................................................................................... 30


3.7 Elemento de sólido ............................................................................................... 31


4 Estruturas unidimensionais ......................................................................................... 33

4.1 Tração de barra .................................................................................................... 33

4.2 Torção de eixo ...................................................................................................... 38

4.3 Flexão de viga ....................................................................................................... 41

5 Estruturas em estado plano ........................................................................................ 46

5.1 Estado plano de tensão ........................................................................................ 46

5.2 Cisalhamento puro ................................................................................................ 48

6 Estruturas bidimensionais ........................................................................................... 51

6.1 Flexão de viga no plano ....................................................................................... 51

6.2 Flexão de viga fora do plano ................................................................................ 52

6.3 Mola ...................................................................................................................... 54

vii

7 Estruturas tridimensionais ........................................................................................... 57

7.1 Mola ...................................................................................................................... 57

7.2 Espaçador de coluna vertebral ............................................................................. 58

8 Conclusões .................................................................................................................. 61

Referências bibliográficas .............................................................................................. 62

Apêndice A ..................................................................................................................... 65

Apêndice B ..................................................................................................................... 68

Apêndice C ..................................................................................................................... 72

Apêndice D ..................................................................................................................... 76

Apêndice E ..................................................................................................................... 79

Apêndice F ...................................................................................................................... 81

Apêndice G ..................................................................................................................... 84

Apêndice H ..................................................................................................................... 87

Apêndice I ....................................................................................................................... 90

viii

Lista de Figuras

Figura 1 - Esquema do diagrama de fases na curva tensão-temperatura para as ligas

de memória de forma (Fonte: adaptado de LAGOUDAS e KUMAR [4]). ....................... 4

Figura 2 - Transformação de fase induzida por temperatura sem carregamento

mecânico (Fonte: adaptado de LAGOUDAS e KUMAR [4]). .......................................... 5

Figura 3 - Transformação de fase induzida por temperatura com carregamento

mecânico (Fonte: adaptado de LAGOUDAS e KUMAR [4]). .......................................... 5

Figura 4 - Efeito superelástico: curva tensão-deformação à esquerda e diagrama

tensão-temperatura à direita. ........................................................................................... 6

Figura 5 - Efeito memória de forma: curva tensão-deformação à esquerda e diagrama

tensão-temperatura à direita. ........................................................................................... 7

Figura 6 - Efeito memória de forma: curva tridimensional tensão-deformação-

temperatura (Fonte: adaptado de LAGOUDAS e KUMAR [4]). ...................................... 8

Figura 7 - Cryofit® à Esquerda em união de dois tubos e à direita em esboço do corte

na seção longitudinal (Fonte: HARRISON e HODGSON [11]). ...................................... 9

Figura 8 - Aplicações biomédicas para o NITINOL. À esquerda, exemplos de âncora

de sutura. Ao centro, agulha para biópsia em mamas. À direita, stents de angioplastia

(Fonte: PELTON et al. [12]). ........................................................................................... 10

Figura 9 - Crescimento de patentes nos EUA e de pesquisas com as ligas de memória

de forma (Fonte: adaptado de MOHD JANI [5]). ........................................................... 11

Figura 10 - Dependência do raio do domínio elástico (𝑅) com a temperatura (Fonte:

AURICCHIO et al. [19]). ................................................................................................. 14

Figura 11 - Representação gráfica dos parâmetros do material pelo modelo constitutivo

apresentado. Superelasticidade, à esquerda, e Efeito Memória de Forma, à direita

(Fonte: AURICCHIO et al. [9]). ....................................................................................... 14

Figura 12 - Dependência da temperatura para a tensão transformação (𝜎𝑦) (Fonte:

AURICCHIO et al. [9]). ................................................................................................... 15

Figura 13 - Duas curvas deformação-temperatura para tensões constantes tal que

𝜎(1) > 𝜎(2) (Fonte: AURICCHIO et al. [20]). ................................................................ 15

Figura 14 - Principais tipos de elementos (Fonte: FUNNELL [22]). .............................. 19

Figura 15 - Esquema com as subetapas de carregamento e intervalos de tempo. ..... 20

Figura 16 - Vigas sob diferentes condições de contorno, influência na rigidez da

resposta ao carregamento (Fonte: ANSYS [23]). .......................................................... 21

Figura 17 - Comparação na resposta a duas condições geométricas. Material aço e

comprimento de 10mm e seção circular de raio 0.5 mm. ............................................. 21

Figura 18 - Barra reta submetida a esforços axiais. ...................................................... 22

Figura 19 - Geometria do tipo de elemento BEAM188 (Fonte: ANSYS [23]). .............. 26

Figura 20 - Malha da seção transversal do elemento BEAM188. ................................. 27

Figura 21 - Geometria do tipo de elemento PLANE182 (Fonte: ANSYS [23]).............. 28

ix

Figura 22 - Estado plano de tensões (Fonte: adaptado de FELIPPA [28]). .................. 29

Figura 23 - Geometria do tipo de elemento SHELL181 (Fonte: ANSYS [23]). ............. 30

Figura 24 - Geometria do tipo de elemento SOLID185 (Fonte: ANSYS [23])............... 31

Figura 25 - Geometria da barra sujeita a esforços axiais. Elemento de viga. .............. 34

Figura 26 - Resultado da simulação: curva tensão-deformação para tração a 10°C. .. 34

Figura 27 - Variação temporal do alongamento (Esq. Sup.), deformação (Dir. Sup.),

força (Esq. Inf.) e fração volumétrica de martensita (Dir. Inf.) a 10ºC. ......................... 35

Figura 28 - Curvas tensão-deformação para diferentes temperaturas. ........................ 35

Figura 29 - Resultado da simulação: curva tensão-deformação para tração a -20°C. . 37

Figura 30 - Resultado da simulação: efeito memória de forma, curva tridimensional. . 37

Figura 31 - Variação temporal da temperatura (Esq. Sup.), deformação (Dir. Sup.),

força (Esq. Inf.) e fração volumétrica de martensita (Dir. Inf.). ...................................... 38

Figura 32 - Geometria da barra sujeita a esforços de torção. Elemento de viga. ........ 39

Figura 33 - Resultado da simulação: curva do torque (à esquerda) e deformação axial

em relação ao ângulo de torção. .................................................................................... 39

Figura 34 - Resultado da simulação: distribuição da tensão devido a torção............... 40

Figura 35 - Distribuição da fração volumétrica de martensita devido a torção do eixo. 41

Figura 36 - Flexão em 3 pontos, esquema do teste à esquerda e resultados

experimental e numérico à direita (Fonte: AURICCHIO et al. [8]). ............................... 41

Figura 37 - Geometria do elemento CONTA 176 e TARGE170 para a simulação com

contato, à esquerda. À direita, a ilustração para vigas perpendiculares que se cruzam

(Fonte: ANSYS [23]). ...................................................................................................... 43

Figura 38 - Resultado simulação: posição inicial (tracejada) e posição deformada (azul)

ao fim da aplicação da carga ao centro da viga em flexão em 3 pontos. À direita, a

curva força-deflexão. ...................................................................................................... 44

Figura 39 - Distribuição de Martensita não-maclada na seção transversal da viga.

Apresentação para o nó central. .................................................................................... 44

Figura 40 - Distribuição da tensão devido a flexão na seção transversal para três

diferentes pontos da viga em flexão analisada. ............................................................. 45

Figura 41 - Esquemas de aplicações das forças. Em consonância com as condições

de contorno da Tabela 10. ............................................................................................. 47

Figura 42 - Estado plano de tensão: resultado para tração nas duas direções

perpendiculares. ............................................................................................................. 47

Figura 43 - Estado plano de tensão: resultado para tração e compressão em direções


Figura 44 - Estado plano de tensão: resultado para compressão em direções


Figura 45 - Elemento em Cisalhamento puro, à esquerda. Ao lado, o Círculo de Mohr

para o caso ilustrado (Fonte: TIMOSHENKO [31]). ...................................................... 49

Figura 46 - Forma inicial (tracejada) e posição deformada (azul) ao fim da aplicação de

1000 N de carga nas direções horizontal e vertical nos vértices. Escala real 1:1. ....... 50

x

Figura 47 - Resultado da simulação: modelagem do comportamento durante a flexão

de uma viga reta no plano. ............................................................................................. 52

Figura 48 - Resultado da simulação: Modelagem do comportamento durante a flexão

fora do plano. .................................................................................................................. 53

Figura 49 - Resultado da simulação: curva para força-deslocamento e temperatura. . 54

Figura 50 - Geometria e resultados analíticos (Fonte: EVANGELISTA et al. [33]). ..... 54

Figura 51 - Geometria da mola modelada por casca. ................................................... 56

Figura 52 - Resultado da simulação: Modelagem do comportamento de um elemento

de uma mola através de elemento de casca no plano de simetria. .............................. 56

Figura 53 - Resultado da simulação: geometria deformada da mola em solução via

elemento de sólido. À direita, curva força-deflexão da extremidade livre. .................... 57

Figura 54 - Comparação entre viga, casca e sólido para a mola proposta. ................. 58

Figura 55 - Espaçador de coluna vertebral (Fonte: Adaptado de PETRINI et al. [35]). 59

Figura 56 - Geometria e malha tetraédrica do espaçador. Elemento de sólido. .......... 60

Figura 57 - Resultado da simulação: à esquerda, tensões equivalentes de von Mises

para o elemento de simetria do espaçador na etapa 2, à direita, deslocamentos. ...... 60

xi

Lista de tabelas

Tabela 1 - Ligas que exibem o efeito memória de forma (Fonte: DUERIG et al. [10]) .. 8

Tabela 2 - Comparação entre a liga NiTi e o aço inoxidável. Valores médios gerais

(Fonte: BARRETT e FRIDLINE [16]). ............................................................................ 11

Tabela 3 - Parâmetros das simulações do elemento de pórtico e plano. ..................... 25

Tabela 4 - Parâmetros das simulações dos elementos de casca e sólido. .................. 25

Tabela 5 - Parâmetros específicos da simulação de superelasticidade. ...................... 33

Tabela 6 - Parâmetros específicos da simulação de efeito memória de forma ............ 36

Tabela 7 - Parâmetros específicos da simulação de torção ......................................... 38

Tabela 8 - Parâmetros da simulação de flexão (Fonte: AURICCHIO et al. [8]). ........... 42

Tabela 9 - Parâmetros específicos para a simulação de flexão de viga. ...................... 42

Tabela 10 - Parâmetros para a simulação de estado plano de tensões ....................... 47

Tabela 11 - Parâmetros para a simulação do estado de cisalhamento puro. ............... 49

Tabela 12 - Comparação entre cisalhamento puro e tração e compressão. ................ 50

Tabela 13 - Parâmetros adicionais para a simulação de flexão no plano. ................... 51



Tabela 16 - Parâmetros do material da simulação (Fonte: PETRINI et al. [35]). ......... 59

Tabela 17 - Parâmetros específicos para a simulação (Fonte: PETRINI et al. [35]). ... 59

1. FIM DA PARTE PRÉ-TEXTUAL

1

1 Introdução

Por séculos, os metais desempenham importantes atribuições como materiais

estruturais. Com o avanço da ciência e tecnologia resultando no conhecimento mais

aprofundado dos efeitos da organização da microestrutura e das técnicas de

processamento do comportamento das ligas metálicas, o campo da ciência dos

materiais vem sendo rapidamente aperfeiçoado nas últimas décadas. Acompanhando

estas prerrogativas, as pesquisas acerca das ligas com memória de forma cresceram

extensamente nos últimos anos devido a multiplicidade no emprego desses materiais

em um grande número de aplicações em diversas áreas do conhecimento.

A descoberta das transformações de fase que podem gerar interessantes

comportamentos macroscópicos foi descrita primeiramente pelo sueco Arne Ölander no

seu trabalho com a liga de Ouro-Cádmio (Au-Cd) [1] em 1932. Seu trabalho, porém, não

desenvolveu uma descrição dos efeitos fenomenológicos da liga como o realizado por

CHANG e READ [2] em 1951 nos experimentos também em ligas de Au-Cd por

observações em raios-X.

Na década de 1960, com as pesquisas em ligas de Níquel-Titânio (Ni-Ti)

apresentadas pelo laboratório da marinha norte-americana [3] (NOL, “US Naval

Ordinance Laboratory”), as ligas de memória de forma enfim despertaram o interesse

tecnológico, sendo comandadas pelo menor custo (em relação a ligas de ouro e

cádmio), resistência mecânica próxima a de outros metais, grande variação de forma e

facilidade de fabricação tanto do Ni-Ti quanto da liga Cobre-Zinco-Alumínio (Cu-Zn-Al).

A liga de Ni-Ti ficou conhecida pela sigla NITINOL (aglutinação das siglas Ni-Ti NOL,

pronunciado, em inglês, como “Night in All”) e é, hoje, o material com memória de forma

mais utilizado em aplicações comerciais.

As ligas de memória de forma são capazes de absorver e dissipar energia

mecânica por suportar uma mudança de fase reversível e com histerese ao ser

submetido a uma carga termomecânica cíclica. Essas características habilitam [4] esses

materiais para aplicações em sensores e atuadores, absorvedores de impacto e

amortecedores de vibração, sendo, desta forma, passíveis de aplicações em uma ampla

variedade de áreas, tais como, por exemplo, a aeroespacial, automotiva, ortodôntica,

biomédica e de exploração de petróleo, brevemente apresentadas no capítulo a seguir.

O crescimento no número de publicações e de patentes funcionam como

interessantes “termômetros” para imaginar o volume do uso das ligas com memória de

forma no futuro próximo. Segundo projeções de MOHD JANI et al. [5], até 2019 o

2

número de patentes no Estados Unidos deve triplicar enquanto o número de publicações

deverá quintuplicar, o que gera um otimismo para os pesquisadores na área.

As ligas com memória de forma tem sido aplicadas com sucesso em estruturas,

chamadas de estruturas inteligentes. Muitos esforços de pesquisa e desenvolvimento

de diversas equipes ao redor do mundo tem sido feitos para que a liga desempenhasse

a multiplicidade de aplicações da qual tem potencial. A chave para isso são modelos

que descrevam de forma satisfatória os principais aspectos do comportamento

termomecânico dessas ligas. Neste sentido, surgem diversas teorias para descrever o

material, permitindo simular as aplicações antes mesmo dos protótipos.

De uma maneira geral, as teorias constitutivas podem ser divididas [5] em

modelos microscópicos (variáveis internas definidas na escala granular) e

macroscópicos (as variáveis internas são definidas para um elemento de volume

representativo). Para os modelos macroscópicos, as descrições fenomenológicas são

feitas propondo equações constitutivas do material.

No que diz respeito a teoria de estruturas, tem-se grande interesse nas teorias

aproximadas de viga e casca, além das teoria plana e sólida, incorporando não-

linearidades constitutivas e geométrica. O surgimento das não-linearidades da

formulação proposta para as ligas com memória de forma tornam essencial o uso de

procedimentos numéricos e, neste sentido, o método de elementos finitos tem destaque

especial nos cálculos estruturais.

Este trabalho apresenta uma discussão de estruturas inteligentes com memória

de forma analisadas sob as principais teorias aproximadas utilizando o método dos

elementos finitos. Tratam-se teorias unidimensionais como barras, vigas e eixos

circulares; bidimensionais como planos em estado de tensão e deformação, placas,

cascas; assim como estruturas tridimensionais, sólidos, utilizadas como referência em

soluções mais precisas.

Os resultados apresentados são obtidos a partir do ANSYS® Mechanical

APDL™, programa comercial de elementos finitos com suporte nativo de um modelo

para as ligas de memória de forma.

3

2 Ligas com memória de forma

De forma a entender o material em estudo neste trabalho, bem como as

capacidades, suposições e limitações do modelo utilizado, esta seção apresenta uma

revisão sobre as ligas com memória de forma. A abordagem segue dividida em quatro

partes: comportamento termomecânico; aplicações; modelagem matemática; e

elementos finitos.

2.1 Comportamento termomecânico

As ligas com memória de forma (SMAs, do inglês “shape memory alloys”) são

materiais metálicos que, depois de sujeitos a severa deformação residual, possuem a

habilidade singular de recuperar sua forma original sob um apropriado tratamento

termomecânico. Esse comportamento termomecânico está associado a transformação

de fases entre austenita e martensita (esta última em estrutura cristalina maclada e não-

maclada).

A austenita é uma fase mais organizada, estável a altas temperaturas e baixas

tensões enquanto que a martensita é uma fase menos organizada, estável a baixas

temperaturas e altas tensões. A ativação e evolução das transformações de fase

dependem da temperatura e da tensão. Essas transformações são reversíveis e, em

geral, independem da taxa de transformação [6].

As ligas com memória de forma apresentam diferentes comportamentos a baixa

e altas temperatura. Existem dois efeitos principais:

a) superelasticidade ou pseudoelasticidade;

b) efeito memória de forma.

Antes da definição dos efeitos, apresenta-se o diagrama de fases na curva

Tensão-Temperatura. Na Figura 1, é possível observar as diferentes estruturas

cristalinas: a martensita maclada (𝑀𝑡) em equilíbrio a baixas tensões (abaixo de 𝜎𝑆) e

baixas temperaturas (a esquerda da linha de 𝑀𝑓); a martensita não-maclada (𝑀𝑑) em

equilíbrio a altas tensões (acima de 𝜎𝑓) e a esquerda da linha de 𝑀𝑓. A austenita (𝐴) em

equilíbrio a tensões moderadas (abaixo da linha de 𝐴𝑓) e altas temperaturas (a direita

da linha de 𝐴𝑓).

4

Figura 1 - Esquema do diagrama de fases na curva tensão-temperatura para as ligas

de memória de forma (Fonte: adaptado de LAGOUDAS e KUMAR [4]).

Ainda sobre a figura acima, as linhas que se interceptam nos pontos sobre o eixo

das abscissas, 𝑀𝑓 ,𝑀𝑆, 𝐴𝑆 e 𝐴𝑓, são importantes propriedades do material, sendo:

a) 𝑀𝑓: temperatura final da formação da martensita sem carregamento mecânico;

b) 𝑀𝑆: temperatura inicial da formação da martensita sem carregamento mecânico;

c) 𝐴𝑆: temperatura inicial da formação da austenita sem carregamento mecânico;

d) 𝐴𝑓: temperatura final da formação da austenita sem carregamento mecânico.

A Figura 2 mostra a transformação de martensita maclada para austenita (pela

passagem dos pontos 𝐴𝑆 a 𝐴𝑓) e transformação de austenita em martensita maclada

(pela passagem dos pontos 𝑀𝑆 a 𝑀𝑓). Nesse caso, a carga mecânica aplicada provoca

uma tensão constante 𝜎 entre zero e a tensão crítica 𝜎𝑆.

No mesmo sentido, na Figura 3 a transformação de martensita não maclada e

austenita e a reversa são dadas. Porém, é aplicado um carregamento mecânico que

provoca um tensão constante 𝜎 maior que a tensão crítica 𝜎𝑓. 𝑀𝑓𝜎 ,𝑀𝑆

𝜎 , 𝐴𝑆𝜎 e 𝐴𝑓

𝜎 são as

interseções das linhas de início e fim da transformação de fases para dada tensão 𝜎.

A apresentação desses importantes conceitos sobre os carregamentos térmicos

a tensão constante feitos nos últimos parágrafos, qualificam a análise dos dois efeitos

fenomenológicos da liga.

5

Figura 2 - Transformação de fase induzida por temperatura sem carregamento

mecânico (Fonte: adaptado de LAGOUDAS e KUMAR [4]).

Figura 3 - Transformação de fase induzida por temperatura com carregamento

mecânico (Fonte: adaptado de LAGOUDAS e KUMAR [4]).

6

2.1.1 Superelasticidade

O termo superelasticidade foi cunhado por RACHINGER [7] em 1958 e indica a

habilidade do material em se recuperar de grandes deformações em ciclos de carga e

descarga, tanto de tração quanto de compressão, desde que em estado de temperatura

suficientemente alta.

A superelasticidade ou pseudoelasticidade está associada com a transformação

de fase entre a austenita e a martensita não-maclada sob temperatura constante. Com

isso o material pode sofrer grandes deformações (chegando até 8-15% [8]) e retornar

para sua forma original, austenítica, livre de deformação.

De maneira a ilustrar o efeito, a Figura 4 baseada em [9] mostra duas curvas de

tensão para deformação e temperatura. Além de apresentar as formas cristalográficas

da austenita e martensita, nesses esquemas, sete pontos são destacados, são eles:

a) 𝜎𝑆𝐴𝑆: Tensão inicial da transformação de austenita em martensita (sentido direto);

b) 𝜎𝑆𝐴𝑆: Tensão final da transformação de austenita em martensita (sentido direto);

c) 𝜎𝑆𝐴𝑆: Tensão inicial da transformação de martensita em austenita (sentido inverso);

d) 𝜎𝑆𝐴𝑆: Tensão final da transformação de martensita em austenita (sentido inverso);

e) 𝑇∗: Temperatura de análise, constante;

f) 𝐴𝑓: Temperatura final da transformação em austenita;

g) 𝑇𝑜: Temperatura de referência (caracterizada no item 2.4).

Figura 4 - Efeito superelástico: curva tensão-deformação à esquerda e diagrama

tensão-temperatura à direita.

A Figura 4 também mostra a histerese entre os caminhos (indicados pelas setas

no diagrama à esquerda) do comportamento do material durante o carregamento e

descarregamento.

7

2.1.2 O efeito memória de forma

O efeito memória de forma é uma habilidade das ligas com memória de forma

em “lembrar” sua forma original. Esse processo é obtido por meio de um carregamento

mecânico anterior. Este efeito também envolve as transformações de fases, implica em

cargas térmicas impostas. Considere o caso mostrado na Figura 5. Inicialmente, o corpo

se encontra na temperatura 𝑇∗, abaixo da temperatura 𝑀𝑓 indicada e livre de

carregamento. Aplicando-se a uma temperatura constante, uma carga mecânica que

provoque o caminho indicado à esquerda, passando pelo ponto 𝜎𝑠 e indo além do ponto

𝜎𝑓, observa-se que, após o descarregamento, o material apresenta deformação

residual, não recuperando a sua forma original. Isso é similar ao que acontece com a

maioria dos materiais quando submetidos a deformação além do limite de escoamento,

plasticidade.

Figura 5 - Efeito memória de forma: curva tensão-deformação à esquerda e diagrama

tensão-temperatura à direita.

Porém, as ligas com memória de forma possuem a capacidade de retornar a sua

forma original após sofrerem um subsequente ciclo térmico. Para ilustrar esse efeito,

deste ponto em diante, a Figura 6 possui 3 eixos, incluindo também a temperatura. Desta

forma, observa-se o caminho a partir do ponto D, mostrando o processo de aquecimento

(D-E-F) até uma temperatura superior ao ponto 𝐴𝑓 e posterior resfriamento (F-B)

retornando a forma original, sem vestígios de deformação residual.

A Tabela 1 exemplifica algumas das ligas que apresentam tal efeito e,

adicionalmente, a estrutura cristalina da austenita em sua forma estável.

8

Figura 6 - Efeito memória de forma: curva tridimensional tensão-deformação-

temperatura (Fonte: adaptado de LAGOUDAS e KUMAR [4]).

Tabela 1 - Ligas que exibem o efeito memória de forma (Fonte: DUERIG et al. [10])

Liga Estrutura da austenita Liga Estrutura da austenita

Au-Cd B2 Cu-Al-Ni DO3

Cu-Zn B2 Ag-Cd --

In-Ti Cúbica de face centrada Cu-Sn B2

Ni-Ti B2 Cu-Zn-Ga B2

Cu-Zn-Al B2, DO3 Ni-Ãl B2

Ti-Nb Cúbica de corpo centrado Fe-Pt LI2

Au-Cu-Zn -- U-Nb Cúbica de corpo centrado

Cu-Zn-Sn B2 Ti-Pd-Ni B2

Cu-Zn-Si B2 Fe-Mn-Si Cúbica de face centrada

Explicadas as capacidades do material, por meio dos dois efeitos

fenomenológicos apresentados pelas ligas da tabela acima, apresenta-se neste

momento algumas aplicações comerciais.

9

2.2 Aplicações

O início do uso comercial para as ligas de memória de forma foi irregular. Apesar

da superabundância de programas de pesquisas governamentais e industriais, além de

centenas de patentes, poucos produtos foram comercialmente lançados nas duas

primeiras décadas da descoberta do NITINOL. Por essa época, vinte anos da

descoberta do NITINOL haviam se passado sem encontrar um produto de sucesso

comercial e as agências de financiamento perdiam o interesse no patrocínio. Era uma

solução procurando por um problema.

Alguns fatores foram responsáveis pelo atraso de seu uso comercial:

a) custos e escassez de fontes confiáveis do material (a liga, em sua forma pronta);

b) dificuldades em fabricar e manufaturar se estendiam desde a precisão na

fundição, pureza, conformação e usinagem;

c) ausência de conhecimento sobre as aplicações possíveis ou, ainda mais

importante, as que não eram possíveis com o material.

O primeiro produto comercialmente vendido foi a luva para acoplamento de tubos

hidráulicos, patenteada como Cryofit® [11], para os caças F14 desenvolvidos no início

dos anos de 1970. Este produto, mostrado na Figura 7, se aproveita da habilidade do

material de retornar a sua forma original depois de sofrer uma deformação residual e

ser posteriormente aquecido na posição mostrada para unir as duas extremidades dos

tubos. A indentação na parte interna do Cryofit® tem a finalidade de prover vedação.

Figura 7 - Cryofit® à Esquerda em união de dois tubos e à direita em esboço do corte

na seção longitudinal (Fonte: HARRISON e HODGSON [11]).

Com a variedade de junções convencionais com vantagens competitivas de

mercado, foi muito difícil cobrir os altos custos da produção de NITINOL. Porém, o

10

Cryofit® foi mais do que o primeiro produto de uso comercial, tendo proporcionado o

incentivo de se manufaturar as ligas em larga escala, fazendo o material de alta

qualidade disponível para pesquisadores ao redor do mundo. Uma vez que o material

estava amplamente acessível, vários desenvolvedores de produtos passaram a explorar

as possibilidades de aplicação.

Na década de 1990 a demanda de aparelhos médicos menores, menos

invasivos e biocompatíveis, alavancou a utilização das indústrias que utilizam e fabricam

as ligas com memória de forma. Dos variados equipamentos médico-cirúrgicos

desenvolvidos [12], Figura 8, os stents foram o mais emblemático por ser o primeiro

protótipo integralmente concebido para o NITINOL.

Figura 8 - Aplicações biomédicas para o NITINOL. À esquerda, exemplos de âncora

de sutura. Ao centro, agulha para biópsia em mamas. À direita, stents de angioplastia

(Fonte: PELTON et al. [12]).

O uso de fios para aparelhos ortodônticos [13], atuadores para flaps na indústria

aeroespacial [14] e atenuadores de vibração em arruelas belleville para flanges [15] em

tubulações, são alguns poucos exemplos que ilustram a potencialidade das aplicações

e áreas.

A Figura 10 apresenta o crescimento das aplicações em estruturas inteligentes

(através do número de patentes registradas nos períodos de décadas discriminado) e o

crescimento das pesquisas (pelo número de publicações científicas) que auxiliam a

diversificação e inovação em usos. As projeções apresentadas são ousadas, mas

refletem o cenário de otimismo do setor.

Por fim, a Tabela 2 apresenta algumas propriedades das ligas com memória de

forma comparadas com um material convencional, o aço inoxidável. Procura-se

evidenciar as características comuns desejadas pelos em materiais “normais” em

projetos (diminuição de peso, boa resistência e alta tensão de ruptura) com o

refinamento do uso da liga Níquel-Titânio.

11

Figura 9 - Crescimento de patentes nos EUA e de pesquisas com as ligas de memória

de forma (Fonte: adaptado de MOHD JANI [5]).

Tabela 2 - Comparação entre a liga NiTi e o aço inoxidável. Valores médios gerais

(Fonte: BARRETT e FRIDLINE [16]).

Propriedade NiTi Aço inoxidável

Deformação máxima recuperável ~8% ~0.8%

Biocompatibilidade Excelente Normal

Módulo de elasticidade efetivo ~48 [GPa] ~193 [GPa]

Resistência ao Torque Excelente Pobre

Densidade 6.45 [g/cm³] 8.03 [g/cm³]

Magnético Não Sim

Tensão máxima de ruptura ~1240 [MPa] ~760 [MPa]

2.3 Modelo constitutivo

O modelo de AURICCHIO et al. [17] foi implementado no software comercial de

análise pelo método de elementos finitos, ANSYS (desde a sua versão 14.5), para as

ligas com memória de forma, como caracterização dos parâmetros necessários do

material. Este modelo fenomenológico é baseado no trabalho de SOUZA et al. [18],

desenvolvido a partir da teoria do potencial para a energia livre de Helmholtz, Equação

(1) a seguir:

12

Ψ(ε, εtr, 𝑇) =

1

2𝐸(ε − εtr)2 + β⟨T − Mf⟩|ε

tr| +1

2ℎ(εtr)2 + ℐεL(ε

tr) (1)

onde 𝐸 = 𝐸𝐴 + 𝜉𝑀(𝐸𝑀 − 𝐸𝐴), 휀 é a deformação e 휀𝑡𝑟 é a deformação de

transformação, 𝛽 é uma função que define a dependência com a temperatura, 𝑇 é a

temperatura e 𝑀𝑓 a temperatura da qual a fase martensita é estável no estado livre de

tensões, ℎ é um parâmetro de endurecimento do material e ℐ𝜀𝐿 é uma restrição

introduzida para satisfazer a norma da transformação de deformação, definida, a seguir:

ℐ𝜀𝐿(휀

𝑡𝑟) = {0, 𝑠𝑒 |휀𝑡𝑟| ≤ 휀𝐿

+∞, 𝑠𝑒 |휀𝑡𝑟| > 휀𝐿 (2)

Tal como mostrado em [17], tem-se, a partir de (1), as forças termodinâmicas:

{

𝝈 =𝜕𝛹

𝜕𝑥= 𝐸(𝜺 − 𝜺𝑡𝑟)

𝑿 = −𝜕𝛹

𝜕휀𝑡𝑟= 𝝈 − 𝛽⟨𝑇 −𝑀𝑓⟩

𝜺𝑡𝑟

|𝜺𝑡𝑟|− ℎ휀𝑡𝑟 − 𝛾

𝜺𝑡𝑟

|𝜺𝑡𝑟|

(3)

a variável 𝛾 surge da diferenciação da função indicatriz 𝜕ℐ𝜀𝐿(휀𝑡𝑟) e é definida da seguinte

forma:

{𝛾 = 0, 𝑠𝑒 |휀𝑡𝑟| < 휀𝐿 ,

𝛾 ≥ 0, 𝑠𝑒 |휀𝑡𝑟| = 휀𝐿 (4)

sendo 𝜕ℐ𝜀𝐿(𝑒𝑡𝑟) = 𝛾

𝜀𝑡𝑟

|𝜀𝑡𝑟|.

Para controlar a evolução da variável interna 휀𝑡𝑟, uma função limite é introduzida:

𝐹(𝑋) = |𝑋| − 𝑅(𝑇) (5)

onde R(T) é o raio do domínio elástico e controla a largura do laço de histerese. A

equação de evolução da variável ε𝑡𝑟 é dada por:

�̇�𝑡𝑟 = �̇�𝑀

𝜕𝐹

𝜕𝑿= −�̇�𝑀

𝑿

∥ 𝑿 ∥ (6)

Ainda, de modo a seguir o princípio da máxima dissipação para a evolução das

variáveis internas [4], as condições de Kuhn-Tucker devem ser satisfeitas, tal que:

�̇�𝑀 ≥ 0, 𝐹 ≤ 0, �̇�𝑀𝐹 = 0 (7)

com �̇�𝑀 a evolução da fração volumétrica na transformação de fase entre austenita e

martensita, possuindo em um papel similar ao do parâmetro de consistência plástica.

13

2.4 Parâmetros do modelo constitutivo

A implementação do modelo constitutivo no ANSYS está associado a

determinação de parâmetros (AURICCHIO et al. [9]). A seguir, é feita a identificação de

cada um através de testes experimentais, mas antes, descreve-se cada um deles:

a) 𝐸𝐴: módulo de elasticidade da austenita (também conhecido como módulo de

Young). Unidade de pressão, MPa;

b) 𝐸𝑀: módulo de elasticidade para a martensita. Unidade de pressão, MPa;

c) 𝜈: constante de Poisson do material. Neste modelo, a mesma constante de

Poisson é avaliada para as duas fases, martensita e austenita. Adimensional;

d) ℎ: coeficiente angular da curva tensão-deformação durante a transformação direta

e inversa. Unidade de pressão, MPa;

e) 𝑇𝑜: temperatura de referência para o estado livre de deformações na ausência de

tensões aplicadas. Unidade de temperatura, K;

f) 𝑅: raio do domínio elástico para todas as temperaturas. Neste modelo, não há

evolução com a temperatura. O raio é correspondente a metade da altura de

histerese. Unidade de pressão, MPa;

g) 𝛽: coeficiente angular da curva da tensão com respeito a temperatura. Unidade

de pressão dividido pela temperatura, MPa/K;

h) 휀𝐿: máxima deformação de transformação. Mede a máxima deformação obtida

pela reordenação das fases martensíticas. Adimensional;

i) 𝑚: parâmetro de dependência de Lode, uma relação sobre a simetria ou assimetria

entre as tensões críticas de tração e compressão. Adimensional.

Iniciando-se pela discussão da variação do parâmetro 𝑅 com a temperatura,

mostrado na Figura 10, vê-se que o valor para 𝑅 está dividido em três regiões diferentes.

Os valores para 𝑅0 e 𝑅1 são obtidos graficamente na curva do ensaio de tensão uniaxial

da Figura 11. Como input ao Mechanical APDL™, apenas o valor de 𝑅 na temperatura

de referência é inserido. Internamente o programa é capaz de extrapolar o valor para

aproximação de 𝑅0. Ou seja, com base nas imagens mencionadas, temos o parâmetro

caracterizado em (8):

𝑅 = 𝑅1 (8)

14

Figura 10 - Dependência do raio do domínio elástico (𝑅) com a temperatura

(Fonte: AURICCHIO et al. [19]).

Para identificação dos parâmetros seguintes do material, os diagramas dos

pares tensão-deformação (Figura 11), tensão-temperatura (Figura 12) e deformação-

temperatura (Figura 13) são apresentados e contém, de forma ilustrativa, a

caracterização nos contextos experimentais.

Figura 11 - Representação gráfica dos parâmetros do material pelo modelo constitutivo

apresentado. Superelasticidade, à esquerda, e Efeito Memória de Forma, à direita


Ainda na Figura 11 é possível obter os módulos de elasticidade (𝐸𝐴 e 𝐸𝑀) e a

máxima deformação de transformação (휀𝐿), além dos raios de domínio elástico (𝑅0 e 𝑅1).

𝐸𝐴 e 𝐸𝑀 são obtidos pelo coeficiente angular das retas a baixas tensões (somente

A

M

M

M

15

austenita), e a altas tensões, ou seja, 𝐸 = Δσ Δ휀⁄ . E 휀𝐿 pode ser obtido pela distância

horizontal do ponto de início da transformação de austenita para martensita (𝜎𝑆𝐴𝑆) e do

fim desta transformação direta (𝜎𝐹𝐴𝑆). Pela possível dificuldade de se identificar em

alguns gráficos de resultados experimentais, esses dois pontos, a Figura 13 também

apresenta, de outra forma, o valor para 휀𝐿 pela altura da histerese em qualquer uma das

curvas experimentais de deformação com a temperatura.

Para identificação de β, a Figura 12 ilustra a variação das tensões internas com

o aumento da temperatura. Pelo modelo apresentado, a inclinação destas retas são

idênticas e iguais a β, ou seja, 𝛽 = Δσ Δ𝑇⁄ .

Figura 12 - Dependência da temperatura para a tensão transformação (𝜎𝑦)


Figura 13 - Duas curvas deformação-temperatura para tensões constantes tal que

𝜎(1) > 𝜎(2) (Fonte: AURICCHIO et al. [20]).

16

De posse do valor de β, pode-se, também, na Figura 13 identificar o valor de 𝑅

pela largura de qualquer uma das curvas, como sendo proporcional a 2 ⋅ R β⁄ . Esta

proporção se segue da equação (5), igualando-se a zero para cada uma das curvas da

Figura 13, como mostrado abaixo:

𝐹 = |𝑋| − 𝑅 = 0 →

{𝜎 − 𝛽(𝑇𝑦𝑀 − 𝑇𝑜) = 𝑅

𝜎 − 𝛽(𝑇𝑦𝐴 − 𝑇𝑜) = −𝑅

(9)

e subtraindo-se as equações resultantes da equação (9) uma pela outra:

𝑇𝑦𝐴(1)− 𝑇𝑦𝑀

(1)= 2 ⋅

R

β (10)

obtém-se a relação indicada como se queria mostrar.

A função 𝑓(ℎ) hachurada na Figura 12 corresponde a f(h) =E⋅h

E+h⋅ εL e necessita

apenas da resolução do valor de ℎ para ser completamente caraterizada, sendo ℎ obtido

indiretamente por:

𝜕𝜎

𝜕휀=𝐸 ⋅ h

𝐸 + ℎ (11)

Reescrevendo a expressão, chega-se a:

𝜕𝜎

𝜕휀=𝜕𝜎

𝜕𝑇⋅𝜕𝑇

𝜕휀= 𝛽 ⋅

𝜕𝑇

𝜕휀 𝑟𝑒𝑜𝑟𝑔𝑎𝑛𝑖𝑧𝑎𝑛𝑑𝑜→ ℎ =

1

1𝛽⋅∂ε∂T −1E

(12)

Para determinação da temperatura de referência, tem-se duas alternativas: a

primeira segue da Figura 12:

𝑇𝑜 = 𝐴𝑓 −𝑅1𝛽 (13)

com 𝐴𝑓 obtido por um calorímetro de escaneamento diferencial, correspondendo a

temperatura final de transformação em austenita.

A segunda alternativa segue de qualquer uma das equações de (9) para

qualquer uma das curvas experimentais:

𝜎(1) − 𝛽 (𝑇𝑦𝑀(1) − 𝑇𝑜) = 𝑅

𝑟𝑒𝑜𝑟𝑔𝑎𝑛𝑖𝑧𝑎𝑛𝑑𝑜→ 𝑇𝑜 = 𝑇𝑦𝑀

(1) +𝑅 − 𝜎(1)

𝛽 (14)

17

Por fim, o parâmetro de Lode procura caracterizar a diferença de comportamento

da liga com memória de forma e é relacionada em AURICCHIO e PETRINI [17] na

equação que se segue abaixo:

𝑚 = √27

2 σc − σ𝑡σc + σt

(15)

onde σt e σc são as tensões críticas uniaxial para a tração e compressão,

respectivamente.

18

3 Método dos elementos finitos

Este capítulo tem como objetivo apresentar uma discussão sobre o uso do

método dos elementos finitos (MEF) para tratar estruturas inteligentes com memória de

forma.

3.1 Modelagem de estruturas por elementos finitos

Sete etapas podem caracterizar [21] as ações necessárias para a modelagem

de uma estrutura pelo método de elementos finitos. Cada uma delas segue com uma

descrição abaixo:

a) idealização do problema: suposições e hipóteses são feitas de forma a simplificar

o problema, possivelmente a redução das dimensões, caracterizando as condições

de apoio ou excluindo detalhes, tais como pequenos furos ou abaulamentos

insignificantes para a análise, mas que complicam a geração da malha;

b) discretização do domínio: agrupamento da geometria em formas mais simples, os

elementos são interconectados por nós em comum. A discretização pode ser feita

em todas as dimensões, dependendo da idealização do problema;

c) escolha do tipo de elemento: cada elemento possui uma teoria na sua formulação

que prevê o uso e capacidades de modelagem. Nas análises unidimensional,

bidimensional e tridimensional os elementos mais comuns são a viga, placa e sólido,

respectivamente. A Figura 14 ilustra os principais tipos de elementos usados;

d) formação da malha de elementos: as equações para cada elemento são

montadas em um conjunto de equações globais que modelarão as propriedade do

sistema em análise;

e) aplicação das condições de contorno: os problemas precisam ser completamente

restringidos para evitar movimentos não correlacionados ao caso real devido aos

carregamentos termomecânicos que são impostos. Diferentes tipos de condições de

contorno geram resultados diferentes nas soluções das equações globais;

f) solução das equações: as resoluções das equações são feitas para as variáveis

principais, i.e., graus de liberdade dos nós;

g) solução das variáveis derivadas: calculadas usando os valores dos graus de

liberdade nos nós através das relações presentes nas teorias de cada elemento;

h) Avaliação dos resultados obtidos: observação e discussão a respeito das

respostas aos esforços estruturais.

19

Figura 14 - Principais tipos de elementos (Fonte: FUNNELL [22]).

3.2 Análises de estruturas não-lineares

As não-linearidades de uma estrutura possuem duas fontes:

a) geométrica: grandes deformações, deslocamentos ou rotações;

b) física (constitutiva): associada com uma relação tensão-deformação não-linear,

mudanças de condições ambientes (temperatura) ou o período de tempo em que

uma carga é aplicada.

Numericamente, uma análise não-linear é solucionada em processo quasi-

estático, com aplicação gradual da carga. Essas estão organizadas em três níveis de

operação (ANSYS [23]), ilustrados na Figura 15:

a) o nível superior consiste em um falso transiente através de etapas de

carregamento (em inglês, “load steps”) definidos explicitamente através de um

intervalo de tempo. A carga é assumida como variação linear entre as etapas de

carregamento (mesmo para análises estáticas);

b) em cada etapa é possível direcionar a aplicação gradual da carga, organizando-

se em subetapas (em inglês, “substeps”) de intervalos de tempo;

c) a cada subetapa, o programa realiza um número de iterações de equilíbrio para

obter a convergência da solução.

Ao se utilizar múltiplas subetapas é preciso alcançar um balanço entre precisão

e economia: mais subetapas (isto é, intervalos de tempo menores) geralmente resultam

em melhor precisão, mas, ao mesmo tempo, elevam o tempo de processamento. Os

critérios de convergência podem ser definidos baseados na análise de forças,

momentos, deslocamentos ou rotações, desassociados ou combinados. Cada grau de

liberdade pode ter seu critério definido individualmente.

A seguir realizam-se algumas considerações importantes sobre os tipos de não-

linearidades propostos.

20

Figura 15 - Esquema com as subetapas de carregamento e intervalos de tempo.

3.2.1 Não-linearidade geométrica

Em uma configuração linear geométrica, as equações de equilíbrio são

formuladas para o estado indeformado e não seguem a atualização geométrica com a

deformação. Em alguns casos, a atualização da deformação do elemento em análise

não pode ser ignorada, até mesmo em casos onde as deformações não são grandes. A

não-linearidade geométrica pode ser exemplificada rapidamente por uma simples

análise da flexão de uma viga, tal como mostrado na Figura 16.

Uma observação pode ser feita com vigas em estado estaticamente

indeterminado ou determinado. Na Figura 16a a extremidade da direita é livre para

deslocar-se horizontalmente enquanto na extremidade da Figura 16b ambas as

extremidades são engastadas. Os efeitos da mudança são drásticos na resposta ao

carregamento.

Quando a extremidade da direita é livre para se mover horizontalmente, o

deslocamento vertical da viga é quase o mesmo que o caso de resposta linear.

Quando o deslocamento horizontal é fixado, o deslocamento vertical se reduz em

comparação com caso anterior, como mostrado na Figura 17. A mesma ideia pode ser

aplicada para cascas e sólidos, quando as condições de contorno forem tais que a

deformação causar um enrijecimento da estrutura, então o comportamento se torna

significantemente diferente com o aumento da deformação.

21

Figura 16 - Vigas sob diferentes condições de contorno, influência na rigidez da

resposta ao carregamento (Fonte: ANSYS [23]).

Figura 17 - Comparação na resposta a duas condições geométricas. Material aço e

comprimento de 10mm e seção circular de raio 0.5 mm.

3.2.2 Não-linearidade constitutiva

Inúmeros fatores ligados a natureza do material podem causar a sua variação

de rigidez durante o curso de análise. As relações não-lineares da curva tensão-

deformação ajustadas pelos modelos de plasticidade, elasticidade multilinear ou

hiperelasticidade causam a mudança da rigidez em diferentes níveis de carga (e,

tipicamente, também pela variação de temperatura). Neste trabalho, a não-linearidade

constitutiva é introduzida por 휀𝑡𝑟 em (3), como visto no capítulo anterior.

22

3.3 Formulação matemática – problema de valor de contorno

A fim de exemplificar as formulações que devem ser feitas para cada tipo de

elemento a ser utilizado, apresenta-se, como um exemplo, as operações a partir da

equação diferencial na formulação forte que rege os deslocamentos em uma barra

submetida apenas a esforços axiais em um problema de valor de contorno [24] seguem-

se abaixo:

𝑑

𝑑𝑥(𝐸𝐴

𝑑𝑢

𝑑𝑥) + 𝑓(𝑥) = 0, em ]0, 𝐿[ (16)

{𝑢(0) = 0

𝐸𝐴𝑑𝑢

𝑑𝑥(𝐿) = 𝐹

(17)

onde 𝐸 é o módulo de elasticidade do material, 𝐴 é a área da seção transversal da

barra, 𝑢 é o deslocamento linear, 𝑓(𝑥) é a força distribuída sobre a barra, 𝑢(0) = 0 a

condição de contorno essencial e 𝐸𝐴𝑑𝑢

𝑑𝑥(𝐿) = 𝐹 é a condição de contorno natural do

problema de valor de contorno ilustrado na Figura 18 abaixo.

Figura 18 - Barra reta submetida a esforços axiais.

Aplicando o princípio dos trabalhos virtuais ou do método dos resíduos

ponderados, a formulação variacional é dada por:

∫ (𝐸𝐴𝑑𝑢

𝑑𝑥) 𝛿휀 𝑑𝑥

𝐿

0

= ∫ 𝑓(𝑥)𝛿𝑢 𝑑𝑥𝐿

0

+ 𝐹𝛿𝑢(𝐿) (18)

Em que 𝛿𝑢 atua como o campo de deslocamentos virtuais e 𝛿휀 o campo de deformações

virtuais, os trabalhos das forças internas Eq. (24) e forças externas, Eq. (25):

A equação constitutiva é dada por:

𝜎𝑥 = 𝐸휀𝑥 = 𝐸(휀𝑒 + 휀𝑡𝑟) (19)

com 𝜎𝑥 a tensão axial da barra e 휀𝑥 a deformação na direção x, divido na parte elástica

휀𝑒 e na parte associada a transformação de fase 휀𝑡𝑟, cuja evolução é dada por:

23

�̇�𝑡𝑟 = �̇�𝑀

𝜕𝐹

𝜕𝑿= −�̇�𝑀

𝑿

∥ 𝑿 ∥ (20)

onde 𝑋 é uma força termodinâmica similar a tensão 𝜎, mas com diferenciação do

potencial de Helmholtz com respeito a 휀𝑡𝑟. E os parâmetros:

𝐸 = 𝐸𝐴 + 𝜉𝑀(𝐸𝑀 − 𝐸𝐴) (21)

휀𝑥 = 𝑑𝑢

𝑑𝑥= 휀𝑒 + 휀𝑡𝑟 =

𝑑𝑢𝑒

𝑑𝑥+𝑑𝑢𝑡𝑟

𝑑𝑥 (22)

𝐸𝑀 e 𝐸𝐴 são os módulos de elasticidade da martensita e austenita, respectivamente.

E, 𝜉𝐴 é a fração volumétrica de austenita e 𝜉𝑀 é a fração volumétrica de martensita, de

tal forma que:

𝜉𝐴 + 𝜉𝑀 = 1, �̇�𝑀 = −�̇�A (23)

Desta forma,

∫ (𝐸𝐴𝑑𝑢

𝑑𝑥)𝛿휀 𝑑𝑥

𝐿

0

= ∫ 𝐸𝐴휀𝑥𝛿휀 𝑑𝑥𝐿

0

= ∫ 𝐸𝐴휀𝑒𝛿휀 𝑑𝑥𝐿

0

+∫ 𝐸𝐴휀𝑡𝑟𝛿휀 𝑑𝑥𝐿

0

(24)

∫ 𝑓(𝑥)𝛿𝑢 𝑑𝑥𝐿

0

+ 𝐹𝛿𝑢(𝐿) (25)

o termo ∫ 𝐸𝐴휀𝑡𝑟𝛿휀 𝑑𝑥𝐿

0 introduz a não-linearidade do material no problema de valor de

contorno. Integrando-se por partes com o propósito de diminuir a ordem da

diferenciação de 𝑢(𝑥), tem-se:

−∫ 𝐸𝐴𝑑𝑢𝑒

𝑑𝑥

𝑑𝛿휀

𝑑𝑥 𝑑𝑥

𝐿

0

−∫ 𝐸𝐴𝑑𝑢𝑡𝑟

𝑑𝑥

𝑑𝛿휀

𝑑𝑥 𝑑𝑥

𝐿

0

= −∫ 𝑓𝛿𝑢 𝑑𝑥𝐿

0

− 𝐸𝐴𝑑𝑢

𝑑𝑥𝛿𝑢|

0

1

(26)

Introduzindo as aproximações arbitrárias �̂� e �̂�:

�̂�(𝑥) =∑𝑁𝑗(𝑥)𝑢𝑗

𝑛

𝑗=1

, �̂�(𝑥) ∈ �̂� (�̂� ⊂ 𝑈) (27)

�̂�(𝑥) =∑𝑁𝑖(𝑥)𝑤𝑖

𝑛

𝑖=1

, �̂�(𝑥) ∈ �̂� (�̂� ⊂ 𝑊) (28)

𝑁𝑖 e 𝑁𝑗 são as funções de forma e as aproximações respectivas são: 𝛿𝑢 = �̂�(𝑥) e 𝛿휀 =

�̂�(𝑥). Sabendo-se que o trabalho das forças internas é igual a das forças externas,

obtêm-se a formulação variacional discreta:

24

∫ 𝐸𝐴𝑑�̂�𝑒

𝑑𝑥

𝑑�̂�

𝑑𝑥 𝑑𝑥

𝐿

0

+∫ 𝐸𝐴𝑑�̂�𝑡𝑟

𝑑𝑥

𝑑�̂�

𝑑𝑥 𝑑𝑥

𝐿

0

= ∫ 𝑓�̂� 𝑑𝑥𝐿

0

+ 𝐹�̂�(𝐿) (29)

Fazendo 𝑤𝑖 = 1 e 𝑤𝑗 = 0, para 𝑗 ≠ 𝑖 e 𝑖 = 1,… , 𝑛:

∑((∫ 𝐸𝐴

𝑑𝑁𝑗

𝑑𝑥

𝑑𝑁𝑖𝑑𝑥 𝑑𝑥

𝐿

0

+∫ 𝐸𝐴𝑑𝑁𝑗

𝑡𝑟

𝑑𝑥


𝐿

0

)𝑢𝑗 = ∫ 𝑓𝑁𝑖 𝑑𝑥𝐿

0

+ 𝐹𝑁𝑖(𝐿))

𝑛

𝑗=1

,

(𝑖 = 1,… , 𝑛)

(30)

O sistema de n equações e n incógnitas 𝑢𝑗 pode ser escrito da forma:

(𝐊𝐋 + 𝐊𝐍𝐂)𝐮 = 𝐅 (31)

Com 𝐾𝑖𝑗,𝐹𝑖 e 𝐹𝑖𝑁𝐶 claramente correspondentes, neste caso, a:

𝐾𝑖𝑗𝐿 = ∫ 𝐸𝐴

𝑑𝑁𝑗

𝑑𝑥


𝐿

0

(32)

𝐾𝑖𝑗𝑁𝐶 = ∫ 𝐸𝐴

𝑑𝑁𝑗𝑡𝑟

𝑑𝑥


𝐿

0

(33)

𝐹𝑖 = ∫ 𝑓𝑁𝑖 𝑑𝑥𝐿

0

+ 𝐹𝑁𝑖(𝐿) (34)

Neste exemplo não foi abordado os termos das não linearidades geométrica e

das condições de contorno. BANDEIRA et al. [25] usando uma formulação

termomecânica para ligas com memória de forma e com o uso dos tensores de tensão

de Cauchy, o segundo tensor Piola-Kirchhoff e o Tensor de deformação de Lagrange,

obtiveram as matrizes e vetores da forma mostrada abaixo:

𝐊𝐮 = (𝐊𝐋 +𝐊𝐍𝐆 + 𝐊𝐍𝐂)𝐮 = 𝐅 − �̂� (35)

onde 𝐊𝐍𝐆 e 𝐊𝐍𝐂 correspondem a variação da rigidez devido a não-linearidade

geométrica e constitutiva, respectivamente, e �̂� é o termo não-linear constitutivo.

A forma apresentada em (35) é a mais genérica e representa a forma da equação

na modelagem por elementos finitos em todos os casos discutidos neste trabalho.

Para realizar análises que exigem grandes deformações, deve ser incluído um

termo de variação da rigidez da matriz de tensão, caracterizado pela matriz de não-

linearidade geométrica. Este termo está apresentado por 𝐊𝐍𝐂 porém não caracterizado

neste trabalho.

25

3.4 Parâmetros das ligas com memória de forma

A Tabela 3 apresenta as propriedades do NITINOL apresentadas por REALI et

al. [20] que, para fins de comparação, foram as propriedades utilizadas nas simulações

dos testes em elementos de pórtico e plano.

Tabela 3 - Parâmetros das simulações do elemento de pórtico e plano.

Propriedade Símbolo Valor

Módulo de Elasticidade - Austenita 𝐸𝐴 50 000 [MPa]

Constante de Poisson 𝜈 0,33

Parâmetro de Endurecimento ℎ 1100 [MPa]

Temperatura de Referência 𝑇𝑜 238,15 [K]

Limite de Elasticidade R 130 [MPa]

Parâmetro de Escala da Temperatura 𝛽 3,5 [MPa.K-1]

Módulo de Elasticidade - Martensita 𝐸𝑀 26 000 [MPa]

Deformação Máxima de Transformação 휀𝐿 5,8 [%]

Parâmetro de Lode 𝑚 0

A Tabela 4 apresenta as propriedades do NITINOL apresentadas por SITTNER

et al. [26] que, também para fins de comparação, foram utilizadas nas simulações dos

testes em elementos de casca e sólido.

Tabela 4 - Parâmetros das simulações dos elementos de casca e sólido.


Módulo de Elasticidade 𝐸𝐴 53 000 [MPa]






Deformação Máxima de Transformação 휀𝐿 4,0 [%]


Utilizando o modelo e as equações constitutivas já discutidos, são apresentados

na sequência os elementos, suas geometrias, capacidades, hipóteses e restrições. A

família de elementos 18x foi utilizada por suportar a particularização da

superelasticidade (opção para o material “SUPE”) e do efeito memória de forma (opção

para o material “MEFF”) no programa ANSYS® Mechanical APDL™ 16.2.

26

Os próximos itens são extraídos das informações encontradas nas seção

específicas da documentação de referências dos elementos no ANSYS versão 16.2 [23].

Todas as macros produzidas foram criadas e manipuladas no software OpenSource

Notepad++ (editor de texto com suporte a diferentes tipos de linguagem de

programação) por sua simplicidade e ampla utilização. A linguagem utilizada é baseada

em FORTRAN 90 com as funções nativas do software de análise por elementos finitos,

ANSYS® Mechanical APDL™ 16.2, cuja licença da sua versão estudantil foi obtida

através do site oficial e utilizada em todos os métodos computacionais deste presente

trabalho.

3.5 Elementos unidimensionais

O elemento unidimensional é baseado na teoria de viga de Timoshenko [27] e,

portanto, as deformações cisalhantes estão inclusas nas análises. Um componente axial

e dois transversais de deformação são usados. O elemento é ideal para análises linear

ou não-linear em aplicações com grandes deformações deslocamento ou grandes

rotação envolvidas.

Figura 19 - Geometria do tipo de elemento BEAM188 (Fonte: ANSYS [23]).

O elemento BEAM188 é usado para modelar vigas de espessura fina a

moderada. Na Figura 19, observa-se a orientação do elemento, bem como a disposição

dos dois nós I e J, onde as informações desejadas (reações: forças e momentos;

tensões: direções das coordenadas globais, principais, de cisalhamentos e Von Mises;

deslocamentos, deformação e curvatura) são calculadas. São seis graus de liberdade:

translações nas direções X, Y e Z e rotações em X, Y e Z, com funções de forma

lineares, pela presença de apenas dois nós, sem a criação de nó fictício. A temperatura

é calculada uniforme na seção transversal em cada nó e linear pelo comprimento do

elemento. O círculo em destaque na Figura 19 ilustra em corte a seção transversal do

27

elemento, que pode assumir diferentes formas pré-definidas ou personalizada pelo o

usuário.

Os elementos de vigas nas simulações deste trabalho tem a forma transversal

tal como na Figura 20, onde pode-se obter as dimensões, posição do centroide e do

centro de cisalhamento, momentos de área e a malha representa em cada uma de suas

interseções, os nós da seção transversal, onde todas informações são, também,

calculadas e armazenadas. São ao todo 501 pontos da seção transversal, de cada nó,

em 25 divisões radiais e 20 divisões angulares, todos parâmetros controlados conforme

os resultados desejados.

A análise de convergência de malha para o elemento de viga foi realizada para

todos os testes propostos em comprimentos de 50, 25, 10, 5, 2 e 1 milímetro. As

dimensões de geometria são especificadas em cada um dos casos.

Figura 20 - Malha da seção transversal do elemento BEAM188.

28

3.5.1 Hipóteses e restrições

As suposições feitas para a teoria de viga de Timoshenko são [28]:

a) simetria plana: o eixo longitudinal da viga é reto e a seção transversal possui um

plano de simetria longitudinal. As resultantes aos carregamentos transversais de

cada seção estão neste plano de simetria. As condições de apoio também mantem

simetrias sobre esse plano;

b) seção transversal constante: ao longo do comprimento, a forma da seção se

mantem constante ou com variação suave;

c) sistema de coordenadas tem sua origem no centroide da seção transversal;

d) tamanho do elemento é não nulo;

e) apenas elementos de espessura moderada pode ser usado na análise, possuindo

o índice de esbeltes (𝐺𝐴𝐿2

𝐸𝐼⁄ ) acima de 30;

f) para cada nó é possível três graus de liberdade translacionais e três rotacionais.

3.6 Elementos bidimensionais

Os elementos bidimensionais são essencialmente representados pelos

elementos plano e de casca, pertencentes a família 18x de elementos nativos do

ANSYS®.

3.6.1 Elemento de plano

Figura 21 - Geometria do tipo de elemento PLANE182 (Fonte: ANSYS [23]).

O elemento PLANE182 é usado para modelar estruturas bidimensionais planas,

sendo capaz de modelar estado plano de tensões ou estado plano de deformação ou

29

qualquer estado geral identificado por um sólido de simetria radial. O elemento é

também capaz de modelar um sólido de simetria axial, em sua seção longitudinal, plana,

caso que não será abordado aqui.

Na imagem acima, Figura 21, é disposta a posição dos quatro nós I, J, K, L

(sentido anti-horário), onde as informações desejadas serão calculadas e estarão

disponíveis. São 2 graus de liberdade para cada nó: translação nas direções X e Y e a

temperatura é calculada bilinear pelo elemento e constante através da espessura ou

entorno da circunferência (caso simetria axial). Em estados planos de tensão, a

espessura pode ser adicionada para o elemento, de modo a observar-se a sua variação.

A Figura 22 faz um esquema das componentes importantes numa análise via

elemento sob estado plano de tensões. Da mesma forma, um esquema para o estado

plano de deformações pode ser traçado de forma a auxiliar a visualização da análise.

Figura 22 - Estado plano de tensões (Fonte: adaptado de FELIPPA [28]).


As suposições que são feitas para o elemento plano são:

a) a área do elemento deve ser maior que zero;

b) o elemento deve, obrigatoriamente, estar contido no plano XY;

c) a geometria pode ser adaptada para o caso triangular, de forma a se adequar a

geometria do modelo. Para isso, os nós K e L se tornam coincidentes;

30

d) o elemento é capaz de modelar as não-linearidades do material, através da

plasticidade, hiperelasticidade e variações do tensor de tensão, e as geométricas

pelas grandes deformações e deflexões;

e) todas as cargas atuam nas direções no plano XY e, por questão de equilíbrio,

possuem simetria em relação ao plano médio longitudinal;

f) os deslocamentos, deformações e tensões são tomadas uniformemente ao longo

da espessura, quando esta for definida;

g) o material é constante ao longo da espessura, ou seja, é transversalmente

homogêneo.

3.6.3 Elemento de casca

Figura 23 - Geometria do tipo de elemento SHELL181 (Fonte: ANSYS [23]).

O elemento SHELL181 é usado para análise de estruturas de espessuras finas

a moderadas, possuindo quatro nós com seis graus de liberdade em cada nó:

translações nas direções X, Y e Z e rotações em X, Y e Z. De modo a adequar-se com

a geometria, o elemento pode se adequar a forma triangular. O elemento é ideal para

análises lineares ou não-lineares em aplicações com grandes deformações

deslocamento ou grandes rotação envolvidas.

As seções transversais ao elemento são na forma de camadas, sendo, desta

forma, capazes de modelar estruturas de compósitos em cascas ou em construções do

tipo “sanduíche” com possibilidade de diferentes espessuras, materiais, orientações e

31

número de pontos de integração. A precisão do método é dada pela teoria de casca de

Mindlin-Reissner, teoria de deformação cisalhante de primeira ordem.

A temperatura é calculada bilinear pelo elemento e constante através de cada

camada. As formulações para grandes deformações é apresentada pelas deformações

logarítmicas e tensões verdadeiras em relações cinemáticas para deformação finita,

porém com pequenas variações para mudanças de curvaturas.


As suposições que são feitas para o elemento de casca são:

a) a área do elemento deve ser maior que zero;

b) espessura nula não é permitida em nenhum dos nós do elemento;

c) não há escorregamento entre as camadas

d) as normais ao centro do plano permanecem retas após a deformação, mas não

necessariamente normais ao próprio centro do plano;

e) em cada camada, a orientação do material é a mesma através da espessura do

elemento;

f) a análise é interrompida caso a espessura em alguma parte do elemento seja

levada a zero.

3.7 Elemento de sólido

Figura 24 - Geometria do tipo de elemento SOLID185 (Fonte: ANSYS [23]).

32

Elementos sólidos são os tipos mais genéricos para investigações de estruturas,

visto que são capazes de se adequar a múltiplas geometrias, com os devidos limites. O

elemento é ideal para análises linear ou não-linear em aplicações com grandes

deformações deslocamento ou grandes rotação envolvidas.

O elemento SOLID185 é usado para modelar estruturas sólidas tridimensionais.

Na Figura 24, é disposta a posição dos oito nós constituintes, no sentido anti-horário, I,

J, K, L, M, N, O, P, Q, onde as informações desejadas serão calculadas e estarão

disponíveis. São três graus de liberdade: apenas as translações nas direções X, Y e Z.

A temperatura é calculada tri-linear pelo elemento.

A geometria permite formas prismáticas, tetraédricas e piramidais, dependendo

da irregularidade das regiões, através das coincidências dos nós O e P (prisma), M, N,

O e P (tetraedro) e M, N, O e P (pirâmide). Esse elemento também pode simular um

sólido em camadas, através de opções específicas.


Duas suposições que são feitas para o elemento de casca:

a) o volume do elemento deve ser maior que zero;

b) a numeração dos nós deste elemento é importante e não pode haver uma torção

de seus planos tais que o sólido apresente dois volumes separados durante o

decorrer da simulação.

33

4 Estruturas unidimensionais

O objetivo deste capítulo é investigar estruturas unidimensionais submetidas a

diferentes tipos de esforços termomecânicos. Três análises distintas são realizadas:

a) tração e compressão de barra cilíndrica, investigação do efeito superelástico a

diversas temperaturas e efeito memória de forma;

b) torção de eixo circular sujeito a grandes rotações;

c) flexão de vigas em três pontos sujeitas a grandes deflexões.

Os resultados experimentais disponibilizados no Simpósio Europeu de

Transformações Martensíticas (ESOMAT), ocorrido em Praga em 2009 [29] e em

AURICCHIO et al. [8] são utilizados como referência para verificar os resultados

simulados.

Nos Apêndice A ao Apêndice D encontram-se as transcrições de todos os

códigos produzidos para discussão neste capítulo.

4.1 Tração de barra

Considere um caso de tração de uma barra composta de uma liga com memória

de forma, Níquel-Titânio conforme mostrado no ESOMAT [29], e a modelagem das

constantes do material, apresentada na Tabela 3 para representar os resultados

experimentais de testes de tração e compressão neste estudo.

O Apêndice A contém o programa com as entradas necessárias para a

simulação. Contudo, a Tabela 5 resume os parâmetros utilizados, com 𝑇 a temperatura

de 10ºC constante e uniforme durante toda a análise. As condições de contorno na

simulação considera o deslocamento prescrito em uma das extremidades enquanto

outra encontra-se engastada, como apresentadas na Figura 25. Simulação com 50

elementos.

Tabela 5 - Parâmetros específicos da simulação de superelasticidade.

Propriedade Símbolo Valor Descrição

Temperatura 𝑇 10,0 [ºC] Uniforme e constante

Condição de contorno 1 ENGASTE 0,0 [mm] Engaste

Condição de contorno 2 DSP_LOAD 4,0 [mm] Deslocamento prescrito

Comprimento 𝐿 50,0 [mm] Tamanho

Raio da seção RADIUS 0,05 [mm] Raio de espessura da barra

34

Figura 25 - Geometria da barra sujeita a esforços axiais. Elemento de viga.

Figura 26 - Resultado da simulação: curva tensão-deformação para tração a 10°C.

Na Figura 27, ilustra-se a evolução no tempo das principais variáveis do

problema: alongamento axial; deformação; força axial; e fração volumétrica de

martensita. A Figura 28 apresenta a resposta da barra para diferentes temperaturas,

mostrando a dependência da posição do laço de histerese com a temperatura.

35

Figura 27 - Variação temporal do alongamento (Esq. Sup.), deformação (Dir. Sup.),

força (Esq. Inf.) e fração volumétrica de martensita (Dir. Inf.) a 10ºC.

Figura 28 - Curvas tensão-deformação para diferentes temperaturas.

36

A seguir, considera-se um caso que represente o efeito memória de forma, ou

seja, um carregamento mecânico a baixas temperaturas, inferior a 𝑀𝑓, seguido de um

tratamento térmico. Para isso, avalia-se a capacidade da estrutura de recuperar da

deformação residual sofrida, mesmo após o descarregamento dos esforços axiais e

retornar a sua forma original.

Utilizando-se a mesma liga descrita na Tabela 3 com as propriedades

específicas da Tabela 6, observa-se que uma carga avaliada através do deslocamento

prescrito DSP_LOAD de um extremidade, que provoca uma deformação residual após

a descarga. Logo após, um carregamento térmico que consiste em um aquecimento

uniforme até 7ºC seguido de um resfriamento, também uniforme, até a temperatura

original, -20ºC. As condições de contorno permanecem as mesmas indicadas na Figura

25, exceto pelo descarregamento que antecede ao carregamento térmico, não indicados

na imagem.

Tabela 6 - Parâmetros específicos da simulação de efeito memória de forma


Temperatura 𝑇 -20,0 [ºC] Uniforme

Carga Térmica TMP_LOAD 7,0 [ºC] Temp. máxima alcançada

Condição de contorno 1 ENGASTE 0,00 [mm] Engaste

Condição de contorno 2 DSP_LOAD 4,00 [mm] Deslocamento prescrito


Raio da seção RADIUS 0,05 [mm] Espessura

Nota-se que a variação de temperatura deve ser tal que em um carregamento

mecânico, com temperatura abaixo de 𝑀𝑓, o aquecimento provoque uma elevação da

temperatura acima de 𝐴𝑓. A Figura 29 apresenta a curva tensão-deformação da

simulação comparada com os dados experimentais de [29]. Ao final do

descarregamento (𝜎 = 0), é possível notar no eixo da abscissa que a curva retorna a

origem numa recuperação sem variação da tensão. O fenômeno é consequência do

aquecimento e posterior resfriamento da liga, pelo efeito memória de forma do material.

A Figura 30 mostra um traço tridimensional da curva tensão-deformação-temperatura.

37

Figura 29 - Resultado da simulação: curva tensão-deformação para tração a -20°C.

Figura 30 - Resultado da simulação: efeito memória de forma, curva tridimensional.

A Figura 31 apresenta a história temporal das variáveis de interesse. Mostra-se

a temperatura e a força axial aplicada; a deformação e a fração volumétrica.

38

Figura 31 - Variação temporal da temperatura (Esq. Sup.), deformação (Dir. Sup.),

força (Esq. Inf.) e fração volumétrica de martensita (Dir. Inf.).

4.2 Torção de eixo

Esta seção discute a torção de eixos considerando o caso de torção combinada

com esforço axial constante.

Os resultados experimentais disponíveis em [29] são utilizados como referência.

Utiliza-se a mesma liga descrita na Tabela 3 e as propriedades da simulação adicionais

são resumidas na Tabela 7 abaixo. O modelo e condições de contorno são ilustrados

na Figura 32.

Tabela 7 - Parâmetros específicos da simulação de torção


Temperatura 𝑇 30 [°C] Uniforme e constante

Condição de contorno 1 ENGASTE 0.00 [mm] Engaste

Condição de contorno 2 FRC_LOAD 2,00 [N] Constante na Extremidade

Condição de contorno 3 MOM_LOAD 0,15 [N.mm] Extremidade livre


Raio da seção RADIUS 0,05 [mm] Espessura

39

Figura 32 - Geometria da barra sujeita a esforços de torção. Elemento de viga.

A simulação da estrutura se desenvolveu com 50 elementos a temperatura

constante de 30ºC, na qual iniciou-se pelo pré-carregamento axial de tração constante,

seguido do torque positivo, descarregamento do torque, aplicação do torque no sentido

oposto e finalizado por descarregamento total. A Figura 33 apresenta os resultados

obtidos, comparados com os resultados experimentais de [29].

Figura 33 - Resultado da simulação: curva do torque (à esquerda) e deformação axial

em relação ao ângulo de torção.

40

Pode-se observar a variação da tensão cisalhante transversal a estrutura,

através dos dados disponíveis em cada nó. Como desejado e exibido na Figura 20,

foram dispostos 2001 pontos ao longo da seção para cada nó. A Figura 34 dispõe os

dados da tensão cisalhante no plano transversal, para pontos sobre um diâmetro em

forma de vetores verticais. Observa-se a variação de fase na seção transversal,

relacionada com a magnitude das tensões envolvidas. A identificação das mudanças de

fase se torna evidente pelas variações dos ângulos da linha que une as extremidades

dos vetores de tensão. Todos as seções transversais, no mesmo instante, possuem a

mesma distribuição de cisalhamento e configuração da fase.

Adicionalmente, pode-se obter a fração volumétrica de martensita através da sua

relação linear entre a deformação de transformação, mostrada por BOUVET et al. [30]:

𝜉𝑀 =휀𝑡𝑟

휀𝐿 (36)

Desta forma, na Figura 35 ilustra-se a distribuição de martensita, através de

interpolação dos pontos da seção transversal para a mesma seção e instante dos dados

observados na Figura 34. Destaca-se a simetria dos dados e que a plotagem da tensão

de cisalhamento.

Figura 34 - Resultado da simulação: distribuição da tensão devido a torção.

41

Figura 35 - Distribuição da fração volumétrica de martensita devido a torção do eixo.

4.3 Flexão de viga

A flexão de viga é discutida nesta seção e comparados com os resultados

apresentados em AURICCHIO et al. [8]. A Figura 36 mostra a geometria do experimento

de flexão em 3 pontos, com apoios sobre roletes, lado a lado com os resultados obtidos

experimentalmente e pela simulação proposta no artigo. Na Tabela 8, encontram-se os

parâmetros do material e na Tabela 9 os valores específicos para esta simulação.

Figura 36 - Flexão em 3 pontos, esquema do teste à esquerda e resultados

experimental e numérico à direita (Fonte: AURICCHIO et al. [8]).

42

Tabela 8 - Parâmetros da simulação de flexão (Fonte: AURICCHIO et al. [8]).


Módulo de Elasticidade - Austenita 𝐸𝐴 60 000 [MPa]

Módulo de Elasticidade - Martensita 𝐸𝑀 17 000 [MPa]

Constante de Poisson 𝜈 0.30

Deformação Máxima de Transformação 휀𝐿 6,7%

Tensão de início da transformação direta 𝑆𝑆𝐴𝑆 520 [MPa]

Tensão do final da transformação direta 𝑆𝐹𝐴𝑆 600 [MPa]

Tensão de início da transformação inversa 𝑆𝑆𝑆𝐴 275 [MPa]

Tensão do final da transformação inversa 𝑆𝐹𝑆𝐴 200 [MPa]

Tabela 9 - Parâmetros específicos para a simulação de flexão de viga.


Condição de Contorno 1 Roletes 0 [mm] Suporte fixo

Condição de Contorno 2 DSP_LOAD 5.2 [mm] Deslocamento prescrito

Elemento Finito 1 ET,1 e ET,2 BEAM188 Viga e Suporte

Elemento Finito 2 ET,3 CONTA176 Contato

Elemento Finito 3 ET,4 TARGE170 Alvo

Rigidez do rolete E 100 [GPa] Linear

Resistência normal FKN 10000 [N/mm²] Fator de contato

Resistência tangencial FKT 10 [N/mm²] Fator de contato

Comprimento 𝐿 20 [mm] Tamanho entre roletes

Diâmetro 𝐷 1,49 [mm] Espessura

A simulação considera o contato entre a viga e os roletes para melhor descrever

o comportamento da viga sujeita a flexão concentrada em seu centro, dado que não há

restrição do rolamento pelo escorregamento da viga sobre o rolete, com fricção

𝐹𝐾𝑇 praticamente nula. O fator de contato, 𝐹𝐾𝑁, é elevado para evitar que haja

deflexões relevantes no contato. A Figura 37 mostra a disposição tridimensional do

modelo de contato e a forma interpretada pelo software, levando em conta os raios das

linhas em contato.

Para modelar uma estrutura sujeita a flexão, são utilizados 40 elementos para o

elemento em análise e apenas um elemento elástico linear rígido para cada um dos

apoios.

43

Figura 37 - Geometria do elemento CONTA 176 e TARGE170 para a simulação com

contato, à esquerda. À direita, a ilustração para vigas perpendiculares que se cruzam

(Fonte: ANSYS [23]).

A Figura 38 ilustra a configuração deformada (em azul) ao fim do carregamento

em vista lateral em relação ao comprimento do elemento. Na comparação experimental,

o resultado apresenta melhor desempenho a forças maiores em relação a simulação de

AURICCHIO et al. [8], pois leva em conta diferentes módulos de elasticidade para a

austenita e martensita, o que não era previsto nas duas simulações propostas por eles.

A Figura 38 ilustra a disposição geométrica deformada ao fim da carga máxima

(em verde e linhas contíguas) e a posição inicial (em linhas tracejadas) da viga. À direita,

há o diagrama força-deflexão de todo o período de análise para o ponto ao centro da

viga. Tal como proposto para a torção de um eixo, um diagrama da fração volumétrica

de martensita é indicado na Figura 39. Observa-se a simetria em relação ao eixo y=0,

já que este contem a linha neutra. Há a transformação de fase na compressão, parte

superior da seção transversal e a transformação na parte inferior da seção transversal.

Uma observação adicional sobre a simulação desta estrutura pode ser dada com

a análise da distribuição da tensão devido a flexão na seção transversal do elemento de

viga. É possível observar a variação da tensão com a distância ao centro a linha neutra

da flexão, esta, deslocada do centróide devido ao contato com apoio, que gera

pequenas forças de atrito, na direção axial da viga, e grande força de reação, na direção

transversal a viga.

A Figura 40 mostra diferentes seções transversais da viga em análise. A

distribuição da tensão na seção transversal, no caso de flexão, varia com o

carregamento e também, neste caso de flexão em três pontos, há a variação com a

posição do nó na viga, tendo em vista que o momento fletor varia ao longo do

comprimento, como esperado.

44

Figura 38 - Resultado simulação: posição inicial (tracejada) e posição deformada (azul)

ao fim da aplicação da carga ao centro da viga em flexão em 3 pontos. À direita, a

curva força-deflexão.

Figura 39 - Distribuição de Martensita não-maclada na seção transversal da viga.

Apresentação para o nó central.

45

Figura 40 - Distribuição da tensão devido a flexão na seção transversal para três

diferentes pontos da viga em flexão analisada.

46

5 Estruturas em estado plano

Neste capítulo são discutidas estruturas bidimensionais caracterizadas pelos

estado plano de tensão. No estado plano de tensões, o corpo é aproximado a uma

configuração bidimensional com a condição de que a tensão perpendicular a este plano

seja nula, podendo haver deformações representadas pelas constantes de Poisson na

direção perpendicular ao plano. No espaço tridimensional, um corpo com uma dimensão

muito menor que as outras, ou seja, fino, é melhor caracterizado exatamente pelo estado

plano de tensões.

No estado plano de deformações, por outro lado, o corpo também é aproximado

por uma geometria bidimensional, com a condição de que deformação perpendicular ao

plano é nula. Há a presença de tensão na direção perpendicular, fato que pode se dar

em virtude de restrições de contorno. No espaço tridimensional, um corpo com uma

dimensão muito maior que as outras, ou seja, longo, é melhor caracterizado por este

estado.

Duas análises distintas são apresentadas:

a) estado plano de tensão;

b) cisalhamento puro.

O Apêndice E apresenta a transcrição dos códigos produzidos neste capítulo.

5.1 Estado plano de tensão

Nesta seção, uma estrutura bidimensional é submetida a tração nas duas

dimensões, tração e compressão em direções perpendiculares e compressão nas duas

dimensões. Assume-se que a carga crítica de flambagem é superior as cargas

aplicadas.

A Tabela 3 contém as propriedades do material e o resumo das propriedades

específicas desta análise está na Tabela 10 abaixo. Na primeira análise, usar-se-á a

condição de contorno 1. Na segunda análise, as condições de contorno 2. E, na última

análise a condição de contorno 3.

A Figura 41 a seguir mostra os esquemas das três condições propostas. Onde

P é o carregamento no lado livre para se deslocar. As condições impostas na lateral

esquerda servem para equilíbrio dos planos.

47

Figura 41 - Esquemas de aplicações das forças. Em consonância com as condições

de contorno da Tabela 10.

Tabela 10 - Parâmetros para a simulação de estado plano de tensões


Temperatura 𝑇 10 [°C] Uniforme

C.C. 1 DSP_LOAD 0,5 [mm] Deslocamento nos sentidos X e Y

C.C. 2 DSP_LOAD 0,7 [mm] Deslocamento nos sentidos X e -Y

C.C. 3 DSP_LOAD 0,5 [mm] Deslocamento nos sentidos -X e -Y

Lado L 10,00 [mm] Tamanho quadrado

Os resultados são dados nas Figura 42, Figura 43 e Figura 44. A imagens

ilustram também a malha retangular do estudo na configuração deformada, em azul, e

indeformada, contorno tracejado. As curvas de tensão-deformação foram traçadas a

partir da tensão equivalente de von Mises e, também, da deformação equivalentes. As

respostas aos carregamentos são comparadas as curvas tensão-deformação do

material, o mesmo utilizado no teste de tração unidimensional, no capítulo anterior.

Figura 42 - Estado plano de tensão: resultado para tração nas duas direções

perpendiculares.

48

Figura 43 - Estado plano de tensão: resultado para tração e compressão em direções

perpendiculares.

Figura 44 - Estado plano de tensão: resultado para compressão em direções

perpendiculares.

5.2 Cisalhamento puro

O estudo do cisalhamento puro é importante para assegurar que o modelo é

invariante a mudança de coordenadas. Assim consideram-se casos equivalentes

envolvendo o cisalhamento puro e cargas de tração-compressão com mesmo módulo,

mas em direções perpendiculares, como na Figura 45, por TIMOSHENKO [31].

Na Figura 45, o elemento quadricular em análise, 𝑎𝑏𝑐𝑑, está sujeito ao

cisalhamento puro 𝜏 devido a condição geométrica, que o força a deformação indicada

em linhas tracejadas 𝑎1𝑏1𝑐1𝑑1. Contudo, o elemento maior, com os carregamentos em

destaque, está submetido a análise já aqui qualificada. Ressalta-se que, no estado de

cisalhamento puro, não há variação de comprimento dos lados do elemento 𝑎𝑏𝑐𝑑

estudado, apenas a deformação dos ângulos em seus vértices.

49

Figura 45 - Elemento em Cisalhamento puro, à esquerda. Ao lado, o Círculo de Mohr

para o caso ilustrado (Fonte: TIMOSHENKO [31]).

As propriedades do material são as mesmas constantes na Tabela 3. Na Tabela

11 abaixo, as condições de contorno são apresentadas.

Tabela 11 - Parâmetros para a simulação do estado de cisalhamento puro.


Temperatura 𝑇 10 [°C] Uniforme

C.C. 1 DSP_LOAD 0,7 [mm] Deslocamento do nó 1 no sentido -X

C.C. 2 DSP_LOAD 0,7 [mm] Deslocamento do nó 2 na sentido Y

C.C. 3 DSP_LOAD 0,7 [mm] Deslocamento do nó 3 na sentido X

C.C. 4 FRC_LOAD 0,7 [mm] Deslocamento do nó 4 na sentido -Y

Lado L 10,00 [mm] Tamanho quadrado

Para a simulação, apenas um elemento de 4 nós foi utilizado e cada uma de

suas extremidades foi submetido ao carregamento indicado na Tabela 11. Na Figura 46,

as forças foram aplicadas nos nós (vértices), nas direções dos eixos cartesianos,

provocando as deformações mostradas. Estas análises propostas foram estáticas e

atemporais. À esquerda, a imagem busca simular o quadrado 𝑎𝑏𝑐𝑑 mostrado na Figura

45 e à direita, o quadrado de lados paralelos ao sistema cartesiano. Tal como ilustrado

em TIMOSHENKO [31].

𝜏

50

Figura 46 - Forma inicial (tracejada) e posição deformada (azul) ao fim da aplicação de

1000 N de carga nas direções horizontal e vertical nos vértices. Escala real 1:1.

De modo a comparar os resultados, na Tabela 12 é listada as tensões no plano

em relação aos eixos x e y para os dois casos em análise. A comparação entre as

soluções é feita a partir da tensão equivalente de von Mises (𝜎𝑒𝑞𝑣), descrita na Equação

(37), para as duas situações.

Tabela 12 - Comparação entre cisalhamento puro e tração e compressão.

Tensão Tração e Compressão

Combinados Cisalhamento Puro

𝜎𝑥𝑥 241,31 [MPa] -22,97 [MPa]

𝜎𝑦𝑦 -287,25 [MPa] -22,97 [MPa]

𝜏𝑥𝑦 0,00 [MPa] -264,28 [MPa]

𝜎𝑒𝑞𝑣 458,32 [MPa] 458,32 [MPa]

𝜎𝑒𝑞𝑣 =1

√2√(𝜎𝑥𝑥 − 𝜎𝑦𝑦)

2+ 𝜎𝑥𝑥

2 + 𝜎𝑦𝑦2 + 6𝜏𝑥𝑦

2 (37)

Dado o estado de tensão e compressão combinados a uma tensão equivalente

de 458,32 MPa, espera-se que a tensão cisalhante no estado de cisalhamento puro,

seja:

458,32 =1

√2√6𝜏𝑥𝑦

2 𝑞𝑢𝑒 𝑟𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎 𝑒𝑚→ 𝜏𝑥𝑦 = 264,61 𝑀𝑃𝑎 (38)

e como observado na Tabela 12, a simulação para o caso de cisalhamento puro

apresentou a tensão cisalhante de 𝜏𝑥𝑦 = 264.28 𝑀𝑃𝑎, o que mostra um erro de

aproximação de 0,12%, que se reflete na forma de tensões em 𝜎𝑥𝑥 = 𝜎𝑦𝑦 =

−22,97 𝑀𝑃𝑎, mas que ainda indicam ótima consonância entre as equivalências dos

casos.

51

6 Estruturas bidimensionais

Este capítulo trata estruturas baseadas em teorias aproximadas bidimensionais

em duas categorias principais:

a) Placa: se a superfície é inicialmente plana;

b) Casca: se a superfície é inicialmente curva.

Três casos são investigados: flexão no plano; flexão fora do plano; e mola. Nos

Apêndice F e Apêndice G apresentam-se as macros produzidas neste capítulo.

6.1 Flexão de viga no plano

Considera-se uma viga construída de uma liga com memória de forma,

representada em duas dimensões. A flexão ocorre no plano de simetria e os esforços

são assumidos constantes através da espessura. A geometria e a proposta analítico-

teórica de BISEGNA et al. [32], EVANGELISTA et al. [33] e ARTIOLI et al. [34] são

utilizados na composição desta investigação, observando-se a boa concordância na

comparação [32] dos três trabalhos.

Aqui, reproduz-se a análise de viga plana considerando as propriedades do

material na Tabela 4 e as características do modelo MEF analisado na Tabela 13.

Tabela 13 - Parâmetros adicionais para a simulação de flexão no plano.


Temperatura 𝑇 12 [ºC] Uniforme

C.C. 1 Apoio 0.00 [mm] Restrição do movimento em Y

C.C. 2 FRC_LOAD 1.8 [kN] Aplicado na extremidade de simetria

C.C. 3 SYMMETRY - Simetria em relação ao comprimento.

Tamanho 𝐿 500,00 [mm] Comprimento até o plano de cimetria

Largura 𝑤 40,0 [mm] Largura

Espessura 𝑡 3,00 [mm] Espessura

Considere uma viga de comprimento L, largura 𝑤 e espessura 𝑡 a uma

temperatura de 12ºC, uniforme e constante durante toda a análise, submetida a um

carregamento FRC_LOAD que impõe um deslocamento perpendicular ao seu

comprimento, provocando uma flexão de três pontos no plano londitudinal e um posterior

descarregamento. A geometria de deformação é mostrada na Figura 47, onde, devido

a simetria, apenas metade da viga é exibida e é analisada. Como visto à direita a

52

resposta da estrutura à solicitação mostra um comportamento pseudoelástico. O

resultado da simulação possui boa concordância com as referências destacadas.

Figura 47 - Resultado da simulação: modelagem do comportamento durante a flexão

de uma viga reta no plano.

6.2 Flexão de viga fora do plano

Neste momento, considera-se que a flexão da viga está ocorrendo fora do plano.

Para isso, novamente uma flexão de três pontos proposta em [32], [33] e [34] é

analisada. No entanto, as análises ocorrem a uma temperatura inferior à 𝐴𝑠, de forma

que, após o descarregamento, a viga apresenta uma deformação residual, a ser

recuperada através do ciclo térmico de aquecimento seguido de resfriamento a

temperatura original. Espera-se ainda, observar o efeito memória de forma.

Esta estrutura bidimensional possui comportamento parecido ao observado no

caso anterior, porém, com a flexão sobre a espessura, resultando em amplitudes

maiores para cargas em ordem de menor grandeza. As propriedades do material

permanecem as mesmas e as propriedades específicas são resumidas na Tabela 14.



Temperatura 𝑇 -33 [ºC] Uniforme

C.C. 1 Apoio 0.00 [mm] Restrição do movimento em Z

C.C. 2 FRC_LOAD 100 [N] Extremidade livre


C.C. 4 TMP_LOAD -26 [ºC] Carga térmica para o ciclo aq. e resf.

Tamanho 𝐿 250.00 [mm] Comprimento até o plano de simetria

Largura 𝑤 40.0 [mm] Espessura

Espessura 𝑡 4.00 [mm] Espessura

53

Uma viga de tamanho 𝐿, largura 𝑤 e espessura 𝑡 a uma temperatura uniforme

de -33ºC é submetida a um carregamento FRC_LOAD que impõe um deslocamento

transversal, provocando uma flexão de três pontos no plano. Após o completo

descarregamento, observa-se, pela curva força-deflexão à direita da Figura 48, que a

estrutura não retoma a sua posição inicial, indeformada, por apresentar deformação

residual. A fim de recuperar a estrutura ao estado inicial, submete-se a mesma a um

ciclo térmico, aquecimento até atingir temperaturas da ordem de -26ºC e resfriamento

retomando-a a temperatura inicial.

A geometria de deformação é mostrada na Figura 48 à esquerda, onde, por

condições de simetria, apenas metade da viga é exibida e analisada. Como visto no

gráfico à direita, a resposta da estrutura à solicitação mostra um comportamento típico

da liga com memória de forma. Observa-se também a comparação das curvas de força-

deslocamento para as propostas na literatura. Uma discrepância dos valores é

observada e pode ser atribuída à modelagem das condições de contorno, não definidas

rigorosamente em [32], mas, ainda assim, aponta uma similaridade na resposta com a

simulação realizada.

Destaca-se a amplitude elevada dos deslocamentos, inclusive ao fim do

carregamento. E, mesmo nessa condição, a recuperação total é alcançada ao fim do

ciclo térmico com variação de poucos graus célsius.

Figura 48 - Resultado da simulação: Modelagem do comportamento durante a flexão

fora do plano.

Adicionalmente, na Figura 49 é obtido o gráfico tridimensional para a simulação.

O comportamento para esta estrutura é o esperado e, portanto, valida-se a capacidade

do elemento de casca para a modelagem da estruturas bidimensionais inteligentes.

54

Figura 49 - Resultado da simulação: curva para força-deslocamento e temperatura.

6.3 Mola

Figura 50 - Geometria e resultados analíticos (Fonte: EVANGELISTA et al. [33]).

Nesta última análise bidimensional, busca-se uma geometria inicial fora do

plano, espacial, como o apresentado por esta mola. O resultado no gráfico da Figura 50

compara duas teorias propostas por EVANGELISTA [33]. Neste item será utilizada a

teoria de deformação finita para comparação, pois admite-se grandes deformações para

a estrutura em estudo.

Uma mola com as propriedades das ligas com memória de forma pode funcionar

como um atuador em um sistema inteligente por controle dinâmico, ao ser acionada por

solicitações termomecânicas. Motiva-se, desta forma, a importância da análise desta

estrutura.

55

As propriedades do material seguem as mesmas do capítulo e na Tabela 15

abaixo, as propriedades específicas para o modelo geométrico e das condições de

contornos apresentadas para o modelo da mola.



Temperatura 𝑇 12 [ºC] Uniforme

C.C. 1 ENGASTE 0,00 [mm] Engaste

C.C. 2 FRC_LOAD 8,2 [N/mm²] Extremidade livre


C.C. 4 TMP_LOAD 127 [ºC] Aquecimento sob carregamento

Comprimento 𝐿 15,7 [mm] Tamanho do lado interno

Diâmetro 𝐷 3,5 [mm] Diâmetro externo

Largura 𝑤 1,0 [mm] Base da seção transversal

Espessura 𝑡 0,5 [mm] Altura da seção transversal

Passo 𝑝 1,26 [mm] Distância entre uma revolução

A geometria apresentada pode não ser a priori, compatível por uma análise de

elemento de casca. No entanto, na Figura 51 abaixo, mostra-se a geometria em casca,

superfície à esquerda, e a ilustração visual de sua espessura, tratada apenas como

propriedade do elemento, à direita.

Devido a simetria presente em uma mola, apenas um passo será avaliado. Uma

das extremidades é restringida a zero e a outra, livre para se mover, é solicitada com

uma carga FRC_LOAD, que tende a tracionar a mola. O comprimento 𝐿, passo 𝑝, largura

𝑤 e espessura 𝑡 definem as condições geométricas da mola. Após descarregamento,

observa-se novamente uma deformação residual e, por isso, eleva-se a temperatura até

TMP_LOAD e seguido de resfriamento à temperatura inicial.

O comportamento ante a solicitação vertical em sua extremidade livre,

aquecimento com carregamento constante e retorno a temperatura original por

resfriamento é mostrada na Figura 52. Não é esperado que a recuperação da forma

inicial seja completa, exatamente como visto em [33].

56

Figura 51 - Geometria da mola modelada por casca.

Figura 52 - Resultado da simulação: Modelagem do comportamento de um elemento

de uma mola através de elemento de casca no plano de simetria.

57

7 Estruturas tridimensionais

Neste capítulo, consideram-se estruturas tridimensionais e duas investigações

são feitas: a mola apresentada no capítulo anterior e um espaçador para coluna

vertebral.

Nos Apêndice H e Apêndice I encontram-se as transcrições das macros

produzidas neste capítulo.

7.1 Mola

Retomando a análise da mola, primeiramente analisada sob elemento de casca,

propõe-se o elemento de sólido para esta estrutura e, logo após, é realizada uma

comparação entre as respostas quando da modelagem em elemento de viga, casca e

sólido. Com as mesmas propriedades da Tabela 15, o elemento de sólido é usado na

mola, em sua aplicação tridimensional.

Na Figura 53 é exibida, da mesma forma, a resposta da estrutura à aplicação da

carga e ciclo térmico. O gráfico ao lado apresenta a resposta à simulação e uma

reprodução do resultado numérico proposto em [33] para comparação dos resultados.

Figura 53 - Resultado da simulação: geometria deformada da mola em solução via

elemento de sólido. À direita, curva força-deflexão da extremidade livre.

Visto que esta estrutura já foi analisada anteriormente, busca-se, para uma

rápida observação a respeito da influência do elemento finito na resposta do modelo

numérico, a uma dada geometria, a comparação na Figura 54 entre os três tipos de

elementos aplicáveis a este atuador mecânico.

58

Figura 54 - Comparação entre viga, casca e sólido para a mola proposta.

O elemento sólido apresenta melhor concordância na aproximação da mola para

os esforços termomecânicos, conforme visto na comparação mostrada na curva força-

deflexão. As demais curvas são traçadas para observação da evolução da resposta no

tempo da estrutura às solicitações. A curva temperatura-deflexão apresenta-se a forma

característica para as propriedades do material.

7.2 Espaçador de coluna vertebral

Uma pequena estrutura sólida com aplicação de interesse na área biomédica,

chamada espaçador de coluna, é descrita em PETRINI et al. [35]. Mostrado na Figura

55, o sólido possui simetria radial e, por isso, pode ser analisado por um simplificação

simétrica, com apenas um quarto do modelo geométrico.

Seguindo [35], pôde-se obter os parâmetros geométricos da estrutura avaliada.

Tem-se as propriedades do material na Tabela 16 e para a geometria na Tabela 17.

Busca-se comparar as repostas aos carregamentos termomecânicos obtidos com a

simulação proposta e os dados do modelo disponibilizados em [35].

Com sucesso, replica-se a modelagem dos carregamentos termomecânicos na

simulação realizada no ANSYS, que consiste no esmagamento plano vertical,

59

descarregamento e aquecimento em três fases, que se diferenciam pela taxa de

transformação, devido a convergência durante a mudança de fases, e, por fim, no

esfriamento.

Figura 55 - Espaçador de coluna vertebral Modelo no Solidworks®.

Tabela 16 - Parâmetros do material da simulação (Fonte: PETRINI et al. [35]).


Módulo de Elasticidade - Austenita 𝐸𝐴 70000 [MPa]

Módulo de Elasticidade - Martensita 𝐸𝑀 17000 [MPa]


Deformação Máxima de Transformação 휀𝐿 7.0%





Módulo de Elasticidade - Martensita 𝐸𝑀 26000 [MPa]


Tabela 17 - Parâmetros específicos para a simulação (Fonte: PETRINI et al. [35]).


C. C. 1 ENGASTE 0,0 [mm] Restrição para equilíbrio.

C. C. 2 SIMETRIA - Simetria em relação ao centro, 1/4.

C. C. 3 ESMAGA 4.5 [mm] Esmagamento por um plano.

Nº de Elementos NEL 10579 Número de elementos tetraédricos

60

A Figura 56 apresenta a malha de tetraedros e as condições de contorno.

Figura 56 - Geometria e malha tetraédrica do espaçador. Elemento de sólido.

Na Figura 57, à esquerda, a tensão de von Mises para o espaçador revela os

principais pontos de concentração das cargas ao final da segunda etapa, quando

esmagado por uma superfície rígida no topo e, à direita, apresenta os deslocamentos

para um nó na parte superior. Observa-se que sob os alto níveis de tensão

apresentados, em uma situação real implicaria no escoamento do material ou até

mesmo em falha por ruptura.

Figura 57 - Resultado da simulação: à esquerda, tensões equivalentes de von Mises

para o elemento de simetria do espaçador na etapa 2, à direita, deslocamentos.

61

8 Conclusões

Neste trabalho, diferentes estruturas formadas por ligas com memória de forma

são analisadas utilizando o método dos elementos finitos. O objetivo é discutir os

diferentes tipos de teorias destacando as principais características do comportamento

termomecânico associado as transformações de fase em sólidos. Os resultados são

obtidos a partir do programa comercial de engenharia, ANSYS® Mechanical APDL™

16.2. O modelo constitutivo de AURICCHIO et al. [17] é empregado.

A análise é dividida em três níveis de complexidade da estrutura:

unidimensionais, bidimensionais e tridimensionais. De uma maneira geral, os resultados

são comparados com outros resultados experimentais ou numéricos disponíveis na

literatura.

Para estruturas unidimensionais, emprega-se o elemento de viga. Testes

envolvendo tração de barras, torção de eixos e flexão de vigas são realizados. Os

resultados mostram que o método dos elementos finitos captura o comportamento

termomecânico das ligas com memória de forma, apresentando os comportamentos de

pseudoelasticidade e memória de forma.

Em relação a estruturas bidimensionais, procede-se uma análise de estado

plano e também considerando elementos de casca. Neste contexto, investigam-se as

teorias dos estados planos tensão e deformação, e cisalhamento puro. O elemento de

casca é utilizado para representar a flexão de viga e uma mola helicoidal.

Por último, as estruturas tridimensionais são analisadas com o elemento sólido.

Duas aplicações são usadas: um espaçador de coluna vertebral e uma mola.

Os resultados deste trabalho mostram que o método dos elementos finitos

associado ao modelo constitutivo de AURICCHIO et al. [17] representam de forma

coerente diversos elementos estruturais. Essa verificação é muito útil em uma

perspectiva de engenharia, permitindo uma evolução para análise de aplicações

específicas.

62

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63

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Studies of Shape Memory Alloy Behavior in Biomedical Applications", Journal of

Biomechanical Engineering, n. 4, Janeiro 2005.

1. FIM DAS REFERÊNCIAS

65

Apêndice A

Código para a tração de barra - superelasticidade

/clear,NOSTART !Apaga as informações prévias

!*

/PREP7 !Entrada do preprocessador do modelo

! *

/TITLE, SIMULACAO BARRA 1D SOB TRACAO E COMPRESSAO, SUPERELASTICIDADE

!Título da simulação, visualização na tela

!*

! Parametrizações úteis para modelagem, boa prática

!*

PI=3.14159265359

ENGASTE = 0.0 !mm, Condição de contorno: Engaste

FRC_LOAD = 6.1 !N, Força tensora prescrita, extremidade livre

!*

MAT_TYPE = 2 !1 = SUPE, 2 = MEFF, 3 = SUPE para MEFF

!*

*IF, MAT_TYPE,EQ,1,THEN

!*

!Inputs MAT_TYPE = 1

!*

S_SAS = 520 !MPa, Valor da tensão de início da transformação de fase direta

S_FAS = 600 !MPa, Valor da tensão de final da transformação de fase direta

S_SSA = 300 !MPa, Valor da tensão de início da transformação de fase inversa

S_FSA = 200 !MPa, Valor da tensão de final da transformação de fase inversa

epsi_L= 0.075 !%, Máxima deformação residual

Poiss = 0.33 !adimensional, constante de Poisson

alpha = 0.15 !K^-1, Parâmetro entre a diferença da resposta do material entre

! tensão e compressão

E_A = 60000 !MPa, módulo de elasticidade da austenita (Young)

E_M = E_A !MPa, módulo de elasticidade da martensita (Young)

!*

! Associação dos parâmetros do material

!*

MPTEMP,,,,,,,,

MPTEMP,1,u_To

MP,EX,1,E_A !EX, MPa, módulo de elasticidade da austenita

MP,PRXY,1,Poiss !PRXY, constante de Poisson

!*

! Cálculos para uso TB,,,,,MEFF

!*

MAT_SLOPE = ((S_FAS-S_SAS)/epsi_L)*2/3 !C1, h

u_To = 220 !C2, T_o

MAT_LIMIT = (S_FAS-S_SSA)/2*sqrt(2/3) !C3, R

u_beta = 5.5 !C4, beta

MAT_TRSTR = epsi_L*sqrt(3/2) !C5, epsilon_L

MAT_MREX = E_A !C6, E_M

MAT_LODE = 0.0 !C7, m

!*

u_T = (S_SAS-(S_FAS-S_SSA)/2)*sqrt(2/3)/u_beta+u_To !TMP_LOAD

!*

C1=MAT_SLOPE !h, MPA [HARDENING PARAMETER]

C2=u_To !To, K [REFERENCE TEMPERATURE]

C3=MAT_LIMIT !R, MPA [ELASTIC LIMIT]

C4=u_beta !beta, MPA [TEMPERATURE SCALING PARAMETER]

C5=MAT_TRSTR !epsilonL, [MAXIMUM TRANSFORMATION STRAIN]

C6=MAT_MREX !E_M, MPA [MARTENSITE MODULUS]

C7=0 !m = 0, simétrico [LODE DEPENDENCY PARAMETER]

!*

TB,SMA,1,,7,MEFF

TBDATA,1,C1,C2,C3,C4,C5,C6,C7

!*

!*

*ELSEIF,MAT_TYPE,EQ,2,

!*


!*

epsi_L= .056 !%, Máxima deformação residual

E_A = 53600 !MPa, Módulo de elasticidade da austenita (Young)

E_M = 21100 !MPa, Módulo de elasticidade da martensita (Young)

alpha = 0 !K^-1, Parâmetro entre a diferença da resposta do material entre

66


Poiss = 0.33 !adimensional, Constante de Poisson

!*

!u_ significa input adicionais do usuário

!*

u_T = 283.15 !K, T

u_h = 1000 !h, MPA [HARDENING PARAMETER]

u_To = 243.15 !To, K [REFERENCE TEMPERATURE]

u_R = 100 !R, MPA [ELASTIC LIMIT]

u_beta= 6.1 !beta, MPA [TEMPERATURE SCALING PARAMETER]

u_m = 0 !m = 0, simétrico [LODE DEPENDENCY PARAMETER]

!*

tref, u_To !indicação da temperatura de referência

MPTEMP,,,,,,,, !inicialização da função

MPTEMP,1,u_To !associação da temperatura dos parâmetros

MPDATA,EX,1,,E_A !EX, MPa, módulo de elasticidade da austenita (Young)

MPDATA,PRXY,1,,Poiss !PRXY, adimensional, constante de Poisson

!*

! Definindo as constantes da liga

!*

C1=u_h !h, MPA [HARDENING PARAMETER]


C3=u_R !R, MPA [ELASTIC LIMIT]


C5=epsi_L !epsilonL, [MAXIMUM TRANSFORMATION STRAIN]

C6=E_M !E_M, MPA [MARTENSITE MODULUS]


!*

TB,SMA,1,,7,MEFF

TBTEMP,u_To


!*

!*


!*


!*











!*

epsi_L = epsi_L

MAT_ALPHA = alpha

!*






!*

C1=S_SAS !MPa, Valor da tensão de início da transformação de fase direta

C2=S_FAS !MPa, Valor da tensão de final da transformação de fase direta

C3=S_SSA !MPa, Valor da tensão de início da transformação de fase inversa

C4=S_FSA !MPa, Valor da tensão de final da transformação de fase inversa

C5=episi_L !%, Máxima deformação residual

C6=alpha !K^-1, Parâmetro entre a diferença da resposta do material entre


!*

TB,SMA,1,,6,SUPE !Superelasticidade da liga com memória de forma

TBDATA,1,C1,C2,C3,C4,C5,C6 !Associação das constantes para SMA,,,,SUPE

!*

*ENDIF !Fim da operação booleana IF!*

K,1,0,0,0

K,2,0,0,50

L,1,2

!*

ET,1,BEAM188 !Viga 3D, 2 Nós, suporte a TB,SMA

KEYOPT,1,4,2 !Output para Tensão cisalhante por torção e flexão

KEYOPT,1,6,3 !Output para as informações da seção transversal para cada nó do

elemento.

67

KEYOPT,1,7,2 !Output Tensões e deformações em cada ponto da seção transversal

KEYOPT,1,9,3 !Output Tensões e deformações em cada nó da seção transversal

!*

radius=0.05 !Raio da seção transversal circular

N_u=10 !N de Divisões angulares da seção transversal

T_u=5 !N de Divisões radiais da seção transversal

ESIZE,1 !Tamanho do elemento

TYPE,1 !Referencia ao número do elemento para configuração da malha

MAT,1 !Referencia ao número do material para configuração da malha

SECTYPE, 1, BEAM, CSOLID, perfil, 0 !Perfil circular sólido da viga

SECOFFSET, CENT !Offset para o centróide da área

SECDATA,radius,N_u,T_u,0,0,0,0,0,0,0,0,0 !Formação da malha transversal

LMESH,ALL !Formação da malha de elementos e nós.

!*

D,1,ALL, ENGASTE !Condição de contorno, engaste em uma estremidade.

!*

FINISH !Sair do preprocessador (prep7)

!*

!*

/SOL !Inicia as opções de solução

!*

ANTYPE,STATIC, !Indicação de análise estática (evolução no tempo quasi-estática)

NLGEOM, ON !Grandes deformações habilitada

!*

tref, u_To !Indicação da temperatura de referência

tunif,u_T !Indicação da temperatura de análise

!*

OUTRES,ALL,ALL !Salvar todos os resultados

NROPT,UNSYM !Usar matriz assimétrica dos elementos para cálculos complestos !

por Newton-Raphson

kbc,0 !A evolução das cargas é em "rampa", linear

AUTOTS,ON !intervalo de tempo ou carga é automático

LNSRCH,AUTO !Procurar automaticamente a linha a ser usada com Newton-Raphson

NSUBST,200,1000,100 !Especifica o número de substeps para os próximos tempos

NEQIT,1000 !Especifica o número máximo de iterações de esquilíbro para

! análises não linear

!*

TIME,1 !Especifica o tempo ao final da solução

F,2,FZ,FRC_LOAD !C.C. nó 2: Força tensora na direção Z de magnitude FRC_LOAD

SOLVE !Soluciona para o tempo 1.0

!*


F,2,FZ,0.0 !C.C. nó 2: Descarregamento do Momento na direção Z


!*

FINISH !Sair do solucionador (sol)

!*

! Invertendo as cores padrão do programa

!*

/RGB,INDEX, 100, 100, 100, 0 !preto

/RGB,INDEX, 80, 80, 80, 13 !tom de cinza 1


/RGB,INDEX, 0, 0, 0, 15 !branco

!*

!*

/POST26 !Entrada do visualizador temporal dos resultados

!*

NSOL,2,2,U,Z, DISP_Z, !Lê a deflexão em Z no no 2 e armazena na variável 2

RFORCE,3,1,F,Z, FORCE_Z !Lê as forçãs de reação no nó 1 e armazena na variável 3

ESOL,4,1, ,SMIS,20,STRAIN_Z !Lê a deformação elástica do elemento 1 e armazena na

! variável 4

ESOL,5,1, ,SMIS,31,STRESS_Z !Lê a tensão do elemento 1 e armazena na variável 5

PROD,6,4, , ,STRAIN, , ,100 !Multiplica o valor da deformação para porcentagem, x100.

ESOL,7,1, ,SMIS,51,TEMPERATURE!Lê a evolução da temperatura do elemento 1 no tempo e

! armazena na variavel 7

PROD,8,3, , ,FORCE_Z, , ,-1 !Multiplica o valor da força de reação para ser a força

! aplicada, x-1.

!*

FINISH !Sair do analisador no tempo (post26)

!*

/eof !End of File, termina a execução do arquivo.

68

Apêndice B

Código para a simulação de tração de barra – efeito memória de forma


!*


! *

/TITLE, SIMULACAO BARRA 1D SOB TRACAO E COMPRESSAO, EFEITO MEMORIA DE FORMA


!*


!*

PI=3.14159265359

ENGASTE = 0.0 !mm, Condição de contorno: Engaste

FRC_LOAD = PI !N, Força tensora prescrita, extremidade livre

TMP_LOAD = 263.15 !K, Carga de temperatura para recuperar a deformação

!*


!*


!*


!*











!*


!*

MPTEMP,,,,,,,,

MPTEMP,1,u_To



!*


!*


u_To = 220 !C2, T_o






!*


!*








!*

TB,SMA,1,,7,MEFF


!*

!*


!*


!*




69




!*


!*

u_T = 243.15 !K, T






!*






!*


!*








!*

TB,SMA,1,,7,MEFF

TBTEMP,u_To


!*

!*


!*


!*











!*

epsi_L = epsi_L

MAT_ALPHA = alpha

!*

tref, u_To !Setting reference temperature

MP,EX,1,E_A !EX, MPa [AUSTENITE MODULUS]

MP,PRXY,1,Poiss !PRXY, [POISSON'S RATIO]

!*








!*

MPTEMP,,,,,,,,

MPTEMP,1,u_To



!*

*ENDIF !Fim da operação booleana IF

!*

K,1,0,0,0

K,2,0,0,50

L,1,2

!*



70


elemento.



!*







SECTYPE, 1, BEAM, CSOLID, perfil, 0 ! Perfil circular sólido da viga




!*


!*


!*

!*


!*

/SOLU

!*



!*



!*


NROPT,UNSYM !Usar matriz assimétrica dos elementos para cálculos complestos por

Newton-Raphson





NEQIT,500 !Especifica o número máximo de iterações de esquilíbro para análises

não linear

!*




!*


F,2,FZ,0.0 !C.C. nó 2: Descarregamento do Momento na direção Z


!*


tunif, TMP_LOAD !C.C. corpo: Temperatura elevada até TMP_LOAD


!*


tunif, u_T !C.C. corpo: Temperatura retorna até u_T


!*


!*


!*

/RGB,INDEX, 100, 100, 100, 0 !preto




!*

!*


!*

NSOL,2,2,U,Z, DISP_Z, !Lê a deflexão em Z no no 2 e armazena na variável 2

RFORCE,3,1,F,Z, FORCE_Z !Lê as forçãs de reação no nó 1 e armazena na variável 3

ESOL,4,1, ,SMIS,20,STRAIN_Z !Lê a deformação elástica do elemento 1 e armazena na

! variável 4

ESOL,5,1, ,SMIS,31,STRESS_Z !Lê a tensão do elemento 1 e armazena na variável 5


ESOL,7,1,,SMIS,51,TEMPERATURE !Lê a evolução da temperatura do elemento 1 no tempo e

! armazena na variavel 7

71


! aplicada, x-1.

!*

/color,curve,BLUE,1 !Padroniza a cor azul para o gráfico da deflexão no tempo

XVAR,1 !Indica a variável na abscissa

PLVAR,2, !Indica a função no eixo das coordenadas

/AXLAB,X, TEMPO [s] !Identifica o nome apresentado no eixo X

/AXLAB,Y, ALONGAMENTO [mm] !Identifica o nome apresentado no eixo Y

/REPLOT !atualiza a informação na tela

/ui,copy,save,png,graph,color,normal,portrait,yes !Salva a imagem da tela em .png

!*

/color,curve,GREE,1 !Padroniza a cor verde para o gráfico da força no tempo



/AXLAB,Y, FORCE [N] !Identifica o nome apresentado no eixo Y



!*

/color,curve,ORAN,1 !Padroniza a cor laranja para o gráfico da deformação no

! tempo



/AXLAB,Y, DEFORMACAO [%] !Identifica o nome apresentado no eixo Y



!*

/color,curve,BMAG,1 !Padroniza a cor azul-magenta para o gráfico da temperatura

! no tempo



/AXLAB,Y, TEMPERATURA [K] !Identifica o nome apresentado no eixo Y



!*

/color,curve,MAGE,1 !Padroniza a cor magenta para o gráfico da tensão no tempo



/AXLAB,Y, TENSAO [MPa] !Identifica o nome apresentado no eixo Y



!*

/color,curve,RED,1 !Padroniza a cor vermelho para o gráfico da tensão no tempo

XVAR,6 !Indica a variável na abscissa


/GROPT,DIVX,8 !Divide a grid em 8 partes

/GROPT,DIVY,10 !Divide a grid em 9 partes

/AXLAB,X, DEFORMACAO [%] !Identifica o nome apresentado no eixo X

/AXLAB,Y, TENSAO [MPa] !Identifica o nome apresentado no eixo Y

/YRANGE,0,500 !Estabelece o intervalo do eixo da ordenada

/XRANGE,0,8 !Estabelece o intervalo do eixo da abscissa



!*


!*


72

Apêndice C

Código para a simulação para torção de eixo


!*


!*

/TITLE, SIMULACAO TORCAO + TRACAO, SUPERELASTICIDADE


!*

!Parametrizações úteis para modelagem, boa prática

!*

PI=3.14159265359

ENGASTE = 0.0 !Condição de contorno: Engaste

FRC_LOAD = 2 !Força tensora prescrita, carga inicial, extremidade livre

MOM_LOAD = .15 !Momento prescrito, extremidade livre

!*


!*


!*


!*











!*

!*


!*

u_To = 273 !Temperatura de referencia

MPTEMP,,,,,,,, !Inicia as tabela de temperatura do material para os valores 0

MPTEMP,1,u_To !Indica a temperatura de referencia para os dados do material



!*


!*


u_To = 273 !C2, T_o

MAT_LIMIT = (S_FAS-S_SSA)*sqrt(2/3)/2 !C3, R



MAT_MREX = E_M !C6, E_M


!*

u_T =(S_SAS-(S_FAS-S_SSA)/2)*sqrt(2)/sqrt(3)/u_beta+u_To !Temperatura

! calculada para a análise (transforma u_beta e u_To dependentes)

!*








!*

TB,SMA,1,,7,MEFF !Material com formulação da liga com memória de forma

TBTEMP, u_To !Temperatura de referência para o material

TBDATA,1,C1,C2,C3,C4,C5,C6,C7 !indicação das constantes

!*

!*


!*


73

!*







!*


!*

u_T = 303.15 !K, T






!*






!*


!*








!*

TB,SMA,1,,7,MEFF

TBTEMP,u_To


!*

!*


!*


!*











u_To = 323.15 !K, Temperatura da análise

u_T = u_To

!*






!*








!*



!*


!*

! Modelando a geometria da barra

!*

K,1,0,0,0 !Keypoint 1 na posição 0,0,0

74


L,1,2 !Linha geométrica entre os Keypoints 1 e 2

!*


KEYOPT,1,3,2 !Funções de forma quadráticas ao longo do comprimento


KEYOPT,1,6,3 !Output para as informações da seção transversal para cada nó.



!*







SECTYPE, 1, BEAM, CSOLID, perfil,0 !Perfil circular sólido da viga




!*

D,1,ALL, Engaste !Condição de contorno, engaste em uma extremidade.

!*


!*

!*


!*



!*



!*



Newton-Raphson




NEQIT,1000 !Especifica o número máximo de iterações de esquilíbro para análises

não linear

!*

TIME,.1 !Especifica o tempo ao final da solução



SAVE !Salva as informações no arquivo

!*


!*

TIME,1.1 !Especifica o tempo ao final da solução


F,2,MZ,MOM_LOAD !C.C. nó 2: Momento na direção Z de magnitude MOM_LOAD



!*



F,2,MZ,0 !C.C. nó 2: Descarregamento do Momento na direção Z



!*



F,2,MZ,-MOM_LOAD !C.C. nó 2: Momento na direção Z de magnitude -MOM_LOAD



!*



F,2,MZ,0 !C.C. nó 2: Descarregamento do Momento na direção Z



!*


!*

/RGB,INDEX, 100, 100, 100, 0 !preto

75




!*

!*


!*

NUMVAR,200 !Número de variáveis máximo

!*

NSOL,2,2,U,Z, DISP_Z, !Lê o alongamento em Z no no 2 e armazena na var 2

RFORCE,3,1,F,Z, FORCE_Z !Lê a força de reação no nó 1 e armazena na var 3

ESOL,4,1, ,SMIS,20,STRAIN_Z !Lê a deformação elást. do elemento 1 e armazena na var 4

ESOL,5,1, ,SMIS,31,STRESS_Z !Lê a tensão do elemento 1 e armazena na var 5


ESOL,7,1, ,SMIS,51,TEMP !Lê a evolução da temperatura do elemento 1 no tempo e

! armazena na var 7


! aplicada, x-1.

NSOL,9,2,ROT,Z, ROT_Z, !Lê o ângulo de rotação do nó 2 e armazena na variável 9

PROD,10,9, , ,TWIST, ,,0.02 !Multiplica o valor por 0.02, para dividir rotz por 50,

! tornando ângulo de torção

RFORCE,11,1,M,Z, MZ_3 !Lê o momento de reação no nó 1 e armazena na variável 11

PROD,12,11, , ,TORQUE, ,,-1 !Multiplica o valor do momento de reação para ser o momento

! aplicado, x-1

!*


!*


76

Apêndice D

Código para a simulação de flexão de eixo


!


!

/TITLE, SIMULACAO TORCAO + TRACAO, SUPERELASTICIDADE !Título da simulação, visualização na

!

!Parametrizações úteis para modelagem, boa prática

!

PI=3.14159265

ENGASTE = 0.0 !Condição de contorno Engaste

FRC_LOAD = 2 !Força prescrita

MOM_LOAD = .15 !Momento prescrito


!


!


!











!


!

MPTEMP,,,,,,,,

MPTEMP,1,u_To



!


!


u_To = 220 !C2, T_o






!


!








!

TB,SMA,1,,7,MEFF


!

!


!


!





77



!


!

u_T = 333.15 !K, T






!






!


!








!

TB,SMA,1,,7,MEFF

TBTEMP,u_To


!

!


!


!

S_SAS = 520 !MPa, Starting stress value for the forward phase transformation

S_FAS = 600 !MPa, Final stress value for the forward phase transformation

S_SSA = 300 !MPa, Starting stress value for the reverse phase transformation

S_FSA = 200 !MPa, Final stress value for the reverse phase transformation

epsi_L= 0.075 !%, Maximum residual strain

Poiss = 0.33 !admensional, [POISSON'S RATIO]

alpha = 0.15 !Parameter measuring the difference between material responses in

! tension and compression

E_A = 60000 !MPa [AUSTENITE MODULUS]

E_M = E_A !MPa [MARTENSITE MODULUS]

!

epsi_L = epsi_L

MAT_ALPHA = alpha

!

tref, u_To !Setting reference temperature

MP,EX,1,E_A !EX, MPa [AUSTENITE MODULUS]

MP,PRXY,1,Poiss !PRXY, [POISSON'S RATIO]

!

C1=S_SAS !MPa, Starting stress value for the forward phase transformation

C2=S_FAS !MPa, Final stress value for the forward phase transformation

C3=S_SSA !MPa, Starting stress value for the reverse phase transformation

C4=S_FSA !MPa, Final stress value for the reverse phase transformation

C5=episi_L !%, Maximum residual strain

C6=alpha !Parameter measuring the difference between material responses in

! tension and compression

!

TB,SMA,1,,6,SUPE !SUPERELASTICIDADE da liga com memória de forma


!


!

tunif, u_T !Temperatura uniforme a u_T Kelvins

!



L,1,2 !Linha geométrica entre os Keypoints 1 e 2

!




78

! elemento.



!







SECTYPE, 1, BEAM, CSOLID, perfil, 0 !Perfil circular sólido da viga




!


!


!

!


!



!



!



! Newton-Raphson




NEQIT,1000 !Especifica o número máximo de iterações de equilibro para análises

! não linear

!

TIME,.1 !Especifica o tempo ao final da solução

F,2,FZ,FRC_LOAD !Condição de contorno no nó 2: Força na direção Z de magnitude

FRC_LOAD


!


!


F,2,MZ,MOM_LOAD !Condição de contorno no nó 2: Momento na direção Z de magnitude

MOM_LOAD


!


F,2,MZ,-MOM_LOAD !Condição de contorno no nó 2: Momento na direção Z de magnitude -

MOM_LOAD


!

/eof !End of file, termina a execução do arquivo.

79

Apêndice E

Código para a simulação de estados planos


!*


!*

/TITLE, SIMULACAO ESTADOS PLANOS, SUPERELASTICIDADE


!*


!*

PI=3.14159265359

DSP_LOAD = .15 !Displacement load

FRC_LOAD = 1000 !Force Load

!*







!*


!*

u_T = 333.15 !T, K






!*






!*


!*








!*

TB,SMA,1,,7,MEFF !Material com formulação da liga com memória de forma



!*

ET,1,PLANE182 !Elemento estrutural sólido 2D com 8 nós

KEYOPT,1,1,0 !Método B de integração completa

KEYOPT,1,3,0 !Estado plano de tensão

KEYOPT,1,6,0 !Formulação de puro deslocamento

!*

Length = 10 !mm

!*

!Tipo da análise escolhida:

!(1, TRAÇÃO no eixo X e COMPRESSÃO no eixo Y)

!(2, Cisalhamento puro, rotação em 45 graus)

!(3, TRAÇÃO pura no eixo X)

PLANE_TYPE = 2

*IF, PLANE_TYPE,EQ,2,THEN

N,1,-Length/2,0 !*Definindo a geometria, 4 nós, 1 elemento

N,2,0,-Length/2 !*Definindo a geometria, 4 nós, 1 elemento

N,3,Length/2,0 !*Definindo a geometria, 4 nós, 1 elemento

N,4,0,Length/2 !*Definindo a geometria, 4 nós, 1 elemento

!*

*ELSEIF, PLANE_TYPE,EQ,1,OR,PLANE_TYPE,EQ,3

N,1,-Length/2,-Length/2 !*Definindo a geometria, 4 nós, 1 elemento

80

N,2,Length/2,-Length/2 !*Definindo a geometria, 4 nós, 1 elemento

N,3,Length/2,Length/2 !*Definindo a geometria, 4 nós, 1 elemento

N,4,-Length/2,Length/2 !*Definindo a geometria, 4 nós, 1 elemento

*ENDIF !Fim da análise booleana "se"

!*



E, 1,2,3,4 !Formando o elemento com os nós criados

!*


!*

!*

/SOLU !Inicia as opções de solução

!*



!*



!*



! Newton-Raphson




NEQIT,1000 !Especifica o núm máx de iterações de esquilíbro para análises não linear

!*


*IF, PLANE_TYPE,EQ,1,THEN !(1, TRAÇÃO no eixo X e COMPRESSÃO no eixo Y)

D,1,UX,0 !Condição de contorno. Fixando o nó na direção X

D,1,UY,0 !Condição de contorno. Fixando o nó na direção Y



F,2,FX,FRC_LOAD/2 !Aplicação de carga no sentido X


F,3,FY,-FRC_LOAD/2 !Aplicação de carga no sentido Y-


!*

*ELSEIF, PLANE_TYPE,EQ,2, !(2, Cisalhamento puro, rotação em 45 graus)





F,1,FX,-FRC_LOAD/2 !Aplicação de carga no sentido X-

F,2,FY,FRC_LOAD/2 !Aplicação de carga no sentido Y



wpro,45.000000,, !rotaciona o plano de trabalho em 45graus

CSYS,4 !utiliza o plano de trabalho como coordenadas de referência

!*

*ELSEIF, PLANE_TYPE,EQ,3, !(3, TRAÇÃO pura no eixo X)






*ENDIF !Fim da análise booleana "se"

!*


!*


!*

/RGB,INDEX, 100, 100, 100, 0 !preto




!*

/POST1 !Entrada do visualizador dos resultados

RSYS,4 !muda o referencial para qual os valores são mostrados

PLDISP,1 !Mostra a posição deformada e a posição inicial

/DSCALE, 1, 25 !escala o resultado na tela para fins de visualização


/ui,copy,save,png,graph,color,normal,portrait,yes !Salva a imagem da tela

PRESOL,S,COMP !Lista as informações de tensão numa janela

!*

/eof

81

Apêndice F

Código para a simulação de flexão dentro e fora do plano


!*


!*

/TITLE, SIMULACAO VIGA PLANA SOB FLEXAO NO PLANO, SUPERELASTICIDADE


!*


!*

PI=3.14159265359 !Número pi

DSP_LOAD = 39 !Displacement load

FRC_LOAD = 1800 !Force Load

!*

MAT_TYPE = 2 !1 = SUPE para MEFF, 2 = MEFF, 3 = SUPE

!*

*IF,MAT_TYPE,EQ,1,THEN !Condicional

!*


!*



S_SSA = 206.5 !MPa, Valor da tensão de início da transformação de fase inversa

S_FSA = 69.5 !MPa, Valor da tensão de final da transformação de fase inversa






E_M = 30000 !MPa, módulo de elasticidade da martensita (Young)

!*


!*






!*


!*

MAT_SLOPE = ((S_FAS-S_SAS)/epsi_L)*1.1 !C1, h

u_To = 273 !C2, T_o

MAT_LIMIT = (S_FAS-S_SSA)*sqrt(2/3)/2*1.1 !C3, R





!*



!*








!*

TB,SMA,1,,7,MEFF !Material com formulação da liga de memória de forma



!*

*ELSEIF,MAT_TYPE,EQ,2, !Condicional

!*


!*




82




!*


!*

u_T = 285.15 !T, K






!*






!*


!*








!*




!*

!*


!*

! Modelando a geometria da viga

!*

LENGHT=250 !Comprimento

HEIGHT=40 !Altura

THICKNESS=3 !Espessura

NUMEL_L=40 !Numero de divisões da malha no sentido do comprimento

NUMEL_H=8 !Numero de divisões da malha no sentido da altura

!*

BLC4,0,0,LENGHT,HEIGHT !Plano de 250x40mm

!*

ET,1,SHELL181 !Viga 3D, 2 Nós, suporte a TB,SMA

KEYOPT,1,1,0

KEYOPT,1,3,2

KEYOPT,1,5,0

KEYOPT,1,8,2

KEYOPT,1,9,0

!*

SECTYPE,1,SHELL,,CASCA !Definindo a seção transversal

SECDATA,THICKNESS, !Espessura

!*



LESIZE, 1, ,, NUMEL_L, !Definindo uma malha personalizada

LESIZE, 2, ,, NUMEL_H, !Definindo uma malha personalizada

LESIZE, 3, ,, NUMEL_L, !Definindo uma malha personalizada

LESIZE, 4, ,, NUMEL_H, !Definindo uma malha personalizada

!*

MSHAPE,0,2D !Malha 2D

MSHKEY,0 !Mapeado

AMESH,ALL !Formação da malha de elementos e nós.

!*

!*

NSEL,S,LOC,X,0 !Seleção dos nós

D,ALL,UY,0 !Restrição geometrica

D,ALL,UZ,0 !Restrição geometrica

NSEL,ALL !Seleciona todos os nós

!*


!*

!*


83

!*



!*



!*


NROPT,UNSYM !Usar matriz assimétrica dos elementos para cálculos complestos !

por Newton-Raphson





NEQIT,1000 !Especifica o número máximo de iterações de esquilíbro para

! análises não linear

!*


NSEL,S,LOC,X,LENGHT !Seleciona os nós para condições de contorno

D,ALL,UZ,0 !aplica as condições de contorno

D,ALL,UX,0 !aplica as condições de contorno

DSYM,SYMM,X !aplica as condições de contorno

F,ALL,FY,-FRC_LOAD/9 !aplica as condições de contorno



!*


NSEL,S,LOC,X,LENGHT !Seleciona os nós para condições de contorno

F,ALL,FY,0 !C.C. nó 2: Descarregamento do Momento na direção Z



!*


84

Apêndice G

Código para a simulação de mola bidimensional

!*

! Importação da geometria criada em Solidworks

/AUX15

!*

IOPTN,IGES,SMOOTH

IOPTN,MERGE,YES

IOPTN,SOLID,NO

IOPTN,SMALL,YES

IOPTN,GTOLER,0.0001

IGESIN,'spiral_Model_shell','IGS',' '

LPLOT

!*

FINISH

!*

/PREP7

!*

/TITLE, SIMULACAO SOLIDO 3D - MOLA, SUPERELASTICIDADE


!*


!*

PI=3.14159265359


FRC_LOAD = 4.14 !Force Load

TMP_LOAD = 800

!*


!*


!*


!*











!*


!*






!*


!*


u_To = 273 !C2, T_o






!*



!*








85

!*




!*


!*


!*







!*


!*

u_T = 285.15 !T, K






!*






!*


!*








!*




!*

!*


!*


!*

ET,1,SHELL181 !Viga 3D, 2 Nós, suporte a TB,SMA

THICKNESS=0.5

SECTYPE,1,SHELL,,CASCA

secdata, THICKNESS/2,1,0.0,5

secdata, THICKNESS/2,1,0.0,5

secoffset,MID

LDELE,1,2,1

LDELE,4,11,1

LDELE,17,24,1

LPLOT

!*

ADRAG, 3, , , , , , 12

!*

TRANSVERSIZE=2

LESIZE, 1, , ,TRANSVERSIZE, , , , ,1

LESIZE, 3, , ,TRANSVERSIZE, , , , ,1

!*

ALONGSIZE=40

LESIZE,2, , ,ALONGSIZE, , , , ,1

LESIZE,4, , ,ALONGSIZE, , , , ,1

!*

MSHAPE,0,2D

MSHKEY,1

AMESH,1

!*

NSEL,S,LOC,Z,0

NSEL,R,LOC,X,2.4,3.6

86

NSEL,R,LOC,Y,-1,.9

D,ALL,ALL,0

NSEL,ALL

!*


!*

!*


!*



!*



!*



! Newton-Raphson





NEQIT,500 !Especifica o número máximo de iterações de esquilíbro para análises não

linear

!*


NSEL,S,LOC,Z,-0.52E-5, 0.52E-5

NSEL,R,LOC,X,2.4,3.6

NSEL,R,LOC,Y,1,2

F,ALL,FY,FRC_LOAD/3

NSEL,ALL


SAVE

!*


BFUNIF,TEMP,TMP_LOAD


SAVE

!*


BFUNIF,TEMP,u_T


SAVE

!*


87

Apêndice H

Código para a simulação de mola sólida

!*


/AUX15

!*

IOPTN,IGES,SMOOTH

IOPTN,MERGE,YES

IOPTN,SOLID,NO

IOPTN,SMALL,YES

IOPTN,GTOLER,0.0001

IGESIN,'spiral_Modelwire','IGS',' '

LPLOT

!*

FINISH

!*

/PREP7

!*



!*


!*

PI=3.14159265359


FRC_LOAD = 4.14 !Force Load

TMP_LOAD = 800

!*


!*


!*


!*











!*


!*






!*


!*


u_To = 273 !C2, T_o






!*



!*








88

!*




!*


!*


!*







!*


!*

u_T = 285.15 !T, K






!*






!*


!*








!*




!*

!*


!*


!*

ET,1,SOLID185 !SOLIDO 3D, 8 Nós, suporte a TB,SMA

!*

! Eliminação das geometrias desnecessárias

LDELE,1,2,1

LDELE,7,10,1

LDELE,16,23,1

!*

AL,5,4,3,6 !Geração das áreas ligadas às linhas

VDRAG, 1, , , , , , 11 !Criação do volume ao longo de linha

!*

TRANSVERSIZE=2

LESIZE, 1, , ,TRANSVERSIZE, , , , ,1 !Tamanho da malha transversal da mola






LESIZE,10, , ,TRANSVERSIZE, , , , ,1 !Tamanho da malha transversal da mola

LESIZE,13, , ,TRANSVERSIZE, , , , ,1 !Tamanho da malha transversal da mola

!*

ALONGSIZE=80

LESIZE,2, , ,ALONGSIZE, , , , ,1 !Tamanho da malha ao longo do comprimento da mola

!*

VSWEEP,1 !Malha a partir de varrimento

!*

NSEL,S,LOC,Z,0 !Seleção dos nós em Z=0

NSEL,R,LOC,X,2.4,3.6 !Reseleção dos nós de X=2.4 a X=3.6

89

NSEL,R,LOC,Y,-1,.9 !Reseleção dos nós de Y=-1 a Y=0.9

D,ALL,ALL,0 !Restrição geométrica

NSEL,ALL !Seleção de todos os nós

!*


!*

!*


!*



!*



!*



! Newton-Raphson





NEQIT,1000 !Especifica o número máximo de iterações de esquilíbro para análises não

linear

!*

TIME,1 !Especifica o tempo 1.0s

NSEL,S,LOC,Z,-0.52E-5, 0.52E-5 !Seleção dos nós de Z=-0.52E-5 a Z=0.5E-5

NSEL,R,LOC,X,2.4,3.6 !Reseleção dos nós de X=2.4 a X=.6

NSEL,R,LOC,Y,1,2 !Reseleção dos nós de Y=1 a X=2

F,ALL,FY,FRC_LOAD/9 !Carregamento na extremidade livre

NSEL,ALL !Seleção de todos os nós


SAVE !Salva a simulação

!*


BFUNIF,TEMP,TMP_LOAD !Associação da temperatura uniforme para o corpo



!*


BFUNIF,TEMP,u_T !Associação da temperatura uniforme para o corpo



!*


90

Apêndice I

Código para a simulação de espaçador de coluna vertebral

!*


/AUX15

!*

IOPTN,IGES,SMOOTH

IOPTN,MERGE,YES

IOPTN,SOLID,NO

IOPTN,SMALL,YES

IOPTN,GTOLER,0.0001

IGESIN,'espacador','IGS',' '

LPLOT

!*

FINISH

!*

/PREP7

!*



!*


!*


!*


!*


!*











!*


!*






!*


!*


u_To = 273 !C2, T_o






!*



!*








!*




!*

91


!*


!*





!*


!*

u_T = 311.15 !T, K






!*






!*


!*








!*




!*

!*


!*

! Modelando a geometria do solido

!*

ET,1,SOLID185 !Solido 3D, 8 Nós, suporte a TB,SMA

ASEL,s,,,1,2,1 !Seleção das áreas

ASEL,a,,,15,19,4 !Seleção das áreas

AESIZE,all,1/2, !Indicação do tamanho das áreas

!*

ESIZE,0.45 !Tamanho do elemento

MSHAPE,1,3D !Indicação da dimensão da malha

MSHKEY,0 !Indicação do mapeamento

vmesh,all !Criação da malha

!*

! Criação da geometria do plano de contato para esmagamento

!*

K,111,-3.5,0,8.1

K,112,3.5,0,8.1

K,113,3.5,-12.2,8.1

K,114,-3.5,-12.2,8.1

A,111,112,113,114

!*

ET,2,170

ET,3,173

KEYOPT,3,2,3

KEYOPT,3,5,1

KEYOPT,3,4,2

R,2,,,,

!*

TYPE,2 !Indica a associação com o tipo de elemento

REAL,2 !Constantes para o contato


AMESH,21 !Criação da malha

EL,ALL

N,5000, -3.9e-16,-6.1,8.1 !Posição do nó 5000

TSHAP,PILOT !Especifica a geometria do elemento alvo de contato

E,5000 !Cria a malha com o nó 5000

!*

92

TYPE,3 !Indica a associação com o tipo de elemento

REAL,2 !Constantes para o contato

ASEL,S,AREA,,4,12,8 !Seleção das áreas

ASEL,A,AREA,,13 !Seleção das áreas

NSLA,S,1 !Seleciona os nós associados com as áreas

ESLN,S !Seleciona os elementos associados aos nós

ESURF !Gera os elementos sobrepostos para o contato

!*

d,5000,ux,0 !Restrição geométrica no nó 5000

d,5000,uy,0 !Restrição geométrica para equilíbrio no nó 5000

!*

NSEL,S,LOC,Y !Seleciona e fixa a direção Y em Y=0

D,ALL,UY !Restrição geométrica

!*

NSEL,S,LOC,Z !Seleciona e fixa a direção Y em Z=0

D,ALL,UZ !Restrição geométrica

!*

nsel,s,,,node(3.5,0.0,8.0),,1 !Fixa os nós centrais em X na direção X

D,ALL,UX !Restrição geométrica

!*

FINISH !Sai do preprocessador

!*


!*



!*

TREF, u_To !Indicação da temperatura de referência

TUNIF,u_T !Indicação da temperatura de análise

!*



! Newton-Raphson

KBC,0 !A evolução das cargas é em "rampa", linear




NEQIT,1000 !Especifica o núm. de iterações de esquilíbro para análises não lineares

!*

TIME,1.0 !Tempo 1.0s

NSUBST,5,5,5 !Número de subintervalos

NSEL,ALL,ALL !Seleciona todos os elementos

ALLSEL,ALL !Seleciona tudo

BFUNIF,ALL,TEMP,,297 !Associação da temperatura uniforme para o corpo

SOLVE !Soluciona para 1.0s

!*



D,5000,UZ,-3.375 !Desloca os nós do plano para esmagamento

SOLVE

!*


D,5000,UZ,0 !Retorno da posição, liberação da carga

SOLVE !Soluciona para 3.0s

!*



BFUNIF,TEMP,311 !Associação da temperatura uniforme para o corpo

SOLVE !Soluciona para o tempo 4.0s

!*





!*



BFUNIF,TEMP,325.4 !Associação da temperatura uniforme para o corpo


!*





Finish !Saída do solucionador (sol)

1. FINAL DO PROJETO – PARTE TEXTUAL

Documents

ANÁLISE DE ESTRUTURAS INTELIGENTES COM MEMÓRIA DE FORMA …monografias.poli.ufrj.br/monografias/monopoli10016965.pdf · 2016-04-20 · 3.4 Parâmetros das ligas com memória de