Análise de Fourier

Universidade Tecnolgica Federal do Paran

Prof.Rafael Cardoso, Dr.

Anlise de Fourier

2OBJETIVOS

Apresentar os conceitos de anlise em frequncia

baseados na anlise de Fourier.

Descrever a anlise em frequncia para sinais de tempo

contnuo peridicos e no peridicos.

Descrever a anlise em frequncia para sinais de tempo

discreto peridicos e no peridicos.

3 Decompor um sinal em termos de componentes

senoidais (exponenciais complexas).

Representao no domnio da frequncia.

Determinao do espectro de frequncia do sinal.

PRINCPIO DA ANLISE DE FOURIER

4TEMPO SINAL PERIDICO SINAL NO PERIDICO

CONTNUO Srie de Fourier Transformada de Fourier

DISCRETO Srie de Fourier de

Tempo Discreto

Transformada de Fourier de

Tempo Discreto

POSSVEIS REPRESENTAES

SINAIS DE TEMPO CONTNUO

PERIDICOS

SRIE DE FOURIER - FS

6 Considere um sinal peridico com perodo .

Objetiva-se representar o sinal atravs de umacombinao linear de exponenciais harmonicamenterelacionadas da forma

= =

2

que peridica com perodo fundamental = 1 .

A representao (1) denominada de Srie de Fourierde .

SRIE DE FOURIER

(1)

7 Observe que

2 = 2 + 2

onde = 0, 1, 2,

A frequncia determina o perodo fundamental de

enquanto os coeficientes determinam a forma

do sinal.

SRIE DE FOURIER

8 Multiplicando-se (1), em ambos os lados, por 2,onde um inteiro, e integrando-se sobre um perodotem-se:

0

0+

2 = 0

0+

2 =

2

O lado direito resulta em

=

0

0+

2 = =

2

2 0

0+

DETERMINAO DOS COEFICIENTES DE

FOURIER

(2)

9 Substituindo-se os limites de integrao, para , oresultado zero.

Se = , tem-se

0

0+

= 0

0+=

Consequentemente, (2) torna-se

0

0+

2 =


FOURIER

10

Logo, os coeficientes e Fourier podem ser calculados

por

=1

0

0+

2

Como 0 arbitrrio, pode-se integrar em qualquer

intervalo .Assim,

=1

2


FOURIER

11

Teorema de Fourier

Seja peridica com perodo . Adicionalmente,

sejam e seccionalmente contnuas no

intervalo 0, 0 + . Ento,a srie de Fourier de

converge para em todos os pontos onde

contnua e para + +

2 onde descontnua.

CONVERGNCIA DA SRIE DE FOURIER

12

ANLISE EM FREQUNCIA DE SINAIS DE TEMPO CONTNUO PERIDICOS

EQUAO DE ANLISE =1

2

EQUAO DE SNTESE = =

2

SRIE DE FOURIER PARA SINAIS DE TEMPO

CONTNUO

13

Para sinais peridicos reais, e so complexosconjugados, isto ,

= ,

= .

Com isso, a srie de Fourier pode ser representada por

= 0 + 2 =1

2 +

onde 0 real.

OUTRAS REPRESENTAES DA SRIE DE

FOURIER

(3)

14

Outra representao pode ser obtida expandindo-se o

termo cosenoidal de (3)

2 + = 2 2 .

Logo,

= 0 + =1

2 2 ,

0 = 0,

= 2 ,

= 2 .


FOURIER

15

Determine a representao de Fourier para o sinal

ilustrado abaixo.

Considere A = 50, = 1 e = 0,5.

EXEMPLO

16

Utiliza-se

=1

2

com limites de integrao de 2 a

2.

Para = 0 (fornece o nvel CC do sinal):

0 =1

2

2

=

EXEMPLO

17

Para 0:

=1

2

2

2 =

2

2

2

2

=

2

=

, k = 1, 2,

EXEMPLO

18

EXEMPLO

Mdulo e fase dos coeficientes de Fourier para =0, 1, , 12.

19

Como os coeficientes so todos reais, pode-se agrupar

a magnitude e a fase em um nico grfico.

EXEMPLO

20

Frequncias presentes no sinal (espectro de

frequncia). Observe que a frequncia fundamental

= 1 .

EXEMPLO

k Frequncia (Hz) Amplitude Fase (graus)

0 CC 25 0

1 1 31,83 0

3 3 10,61 180

5 5 6,37 0

7 7 4,55 180

9 9 3,53 0

11 11 2,89 180

21

Aproximao para = 0, 1, , 12.

EXEMPLO

22


EXEMPLO

23


EXEMPLO

24

Fica evidente a influncia dos coeficientes na forma do sinal reconstrudo.

Para ilustrar a influncia da frequncia fundamental na

reconstruo do sinal, considere o mesmo sinal

analisado, porm, com perodo = 0,1 .

Adicionalmente, sejam os dois casos j utilizados para a

variao de : = 0, 1, , 12,

= 0, 1, , 3.

EXEMPLO

25

Como a frequncia fundamental = 10 tem-se:

Como a forma da onda a mesma, tem-se os mesmos componentes. Porm, agora, mltiplos de 10 .

EXEMPLO

k Frequncia (Hz) Amplitude Fase (graus)

0 CC 25 0

1 10 31,83 0

3 30 10,61 180

5 50 6,37 0

7 70 4,55 180

9 90 3,53 0

11 110 2,89 180

26


A forma de onda igual ao caso anterior. Porm, o

perodo fundamental, agora, = 0,1 .

EXEMPLO

27


EXEMPLO

SINAIS DE TEMPO CONTNUO

NO PERIDICOS

TRANSFORMADA DE FOURIER

- FT

29

Considere um sinal de tempo contnuo no peridico

:

Deseja-se determinar seu espectro de frequncia.


30

Se o sinal fosse peridico, com perodo T, a srie de

Fourier poderia ser aplicada. Para isso, a partir do sinal

, pode-se criar um sinal peridico .

evidente que

= lim

.


31

Isso leva ideia de se usar a srie de Fourier para sedeterminar o espectro de considerando-se olimite de .

Inicialmente, considere as equaes da srie de Fourier

para , isto ,

= =

2, =

1

,

=1

2.


(4)

(5)

32


Como = para

2

2 , (5) podeser reescrita como

=1

2 .

Uma vez que = 0 para > 2 , os limites deintegrao podem ser substitudos por e :

=1

2. (6)

33

Define-se a transformada de Fourier de como

=

2

que funo da varivel contnua e no depende de ou de .

Comparando-se (7) com (6), observa-se que

=1

,

= =

.


(7)

(8)

34

Isso significa que os coeficientes de Fourier so

amostras de () tomadas em mltiplos inteiros de e escalonadas por um fator 1 .

Substituindo (8) na equao de sntese (4) fornece

=1

=

2

que ainda diz respeito a um sinal peridico.


(9)

35

Para eliminar esta questo, deve-se calcular o limite de

(9) para . Isto ,

lim

= lim

1

=

2.

Para isso, inicialmente, considera-se = 1 . Assim:

= =

2.


36

evidente que a medida que , .

Com isso, torna-se o diferencial ;

E k se torna a varivel contnua F.

O somatrio torna-se uma integral em relao a

frequncia varivel .


37

Logo,

lim

=

= lim0

=

2.

E a transformada inversa de Fourier de definida por

=

2.


(10)

38

TRANSFORMADA DE FOURIER PARA SINAIS

DE TEMPO CONTNUO

ANLISE EM FREQUNCIA DE SINAIS DE TEMPO CONTNUO NO

PERIDICOS

EQUAO DE ANLISE =

2

EQUAO DE SNTESE =

2

39

Para se expressar as equaes que descrevem atransformada de Fourier em funo da frequncia em/ considera-se = 2. Logo, = 2.

Consequentemente,

=

,

=1

2

.


40

Determine a transformada de Fourier do sinal

representado abaixo.

Considere = 50 e = 0,5 .

EXEMPLO

41

Utiliza-se

=

2

que para o sinal em questo pode ser alterada para

=

2 =

.

EXEMPLO

42

Como o espectro de frequncia X(F) real, este pode

ser representado por:

EXEMPLO

43

Considere que o pulso retangular analisado se repetecom perodo .

Mais precisamente, seja A = 50 e = 1 , comoconsiderado no sinal peridico utilizado para aobteno da srie de Fourier.

EXEMPLO

44

Sobrepondo os grficos da transformada de Fourier e

dos coeficientes da srie de Fourier obtm-se:

EXEMPLO

45

Agora, considere que o sinal peridico mantm A =50, = 0,5 mas o perodo foi elevado para =2 .

EXEMPLO

46

O espectro de um sinal no peridico o envelope do

espectro de um sinal peridico (coeficientes de

Fourier) obtido pela repetio do sinal no peridico

com um perodo .

Os coeficientes de Fourier do sinal peridico so

amostras normalizadas de nas frequncias = . Isto ,

=1

=

1

X

.

RELAO ENTRE A TRANSFORMADA E A

SRIE DE FOURIER

SINAIS DE TEMPO DISCRETO

PERIDICOS

SRIE DE FOURIER DE

TEMPO DISCRETO - DTFS

48

Seja uma sequncia peridica com perodo , isto

, = + , para qualquer valor inteiro de

e .

Objetiva-se representar por uma soma ponderada

de exponenciais complexas com frequncias mltiplas

inteiras da frequncia fundamental 2 .

SRIE DE FOURIER DE TEMPO

DISCRETO

49

Estas exponenciais complexas tm a forma

= 2 = + ,

onde, +, e a representao em srie de Fourier de

da forma

=1

2

.

Devido a periodicidade da exponencial complexa, para

, tem-se

+ = 2 + =

2 2

= 2

= .


DISCRETO

(11)

50

Portanto, so necessrias somente N exponenciais

complexas com frequncias mltiplas inteiras da

fundamental 2 para representar a sequncia .

Assim, (11) pode ser representada por

=1

=0

1

2

.


DISCRETO

(12)

51

Para sinais de tempo contnuo com perodo : A srie de Fourier possui um nmero infinito de

componentes de frequncia;

O espaamento entre esses componentes 1 ; O espectro de frequncia pode se estender de , .

Para sinais de tempo discreto com perodo : O espectro de frequncia se estende de , ou de

0,2 ; O espaamento entre as componentes de frequncia ser

2 radianos; A srie de Fourier ter, no mximo, componentes de

frequncia.

COMPARAO ENTRE AS SRIES DE

FOURIER DE TEMPO CONTNUO E DISCRETO

52

Para a obteno dos coeficientes de Fourier ,

multiplica-se os dois lados de (12) por 2

e

soma-se de = 0 = 1. Dessa forma,

=0

1

2

= =0

11

=0

1

2

.


FOURIER

53

Alterando a ordem do somatrio no lado direito

fornece

=0

1

2

= =0

1

1

=0

1

2

.


FOURIER

(13)

54

Considerando a identidade de ortogonalidade

1

=0

1

2

= 1, = , ,0, ,

aplicada ao termo entre colchetes em (13), tem-se

=0

1

2

= .


FOURIER

55

Portanto, os coeficientes de Fourier na equao(12) so obtidos a partir do sinal e da relao

= =0

1

2

.

Observe que a sequncia peridica com perodo.


FOURIER

56

A periodicidade pode ser verificada atravs de

+ = =0

1

2

+

= =0

1

2

2 = .


FOURIER

57

ANLISE EM FREQUNCIA DE SINAIS DE TEMPO DISCRETO PERIDICOS

EQUAO DE ANLISE = =0

1

2

EQUAO DE SNTESE =1

=0

1

2

SRIE DE FOURIER PARA SINAIS DE TEMPO

DISCRETO

58

Para sinais peridicos reais, e socomplexos conjugados, isto ,

= [] ,

= [] .

Se for par, = 2, a srie de Fourier pode serrepresentada por

[] = 0

+

2

=1

1

2

+ +

1

2

+

Se for mpar, = 1 2 , a srie de Fourier podeser representada por

[] = 0

+

2

=1

2

+


FOURIER DE TEMPO DISCRETO

59

Se for par, = 2, e a srie de Fourier tambm podeser representada por

= 0

+

2

=1

1

2

2

+1

2

2

Se for par, = 2, e a srie de Fourier tambm pode

ser representada por

= 0

+

2

=1

2

2

onde

= 2

, = 2


FOURIER

60

Determine a representao de Fourier para o sinal de

tempo discreto peridico ilustrado abaixo.

Observe que = 1, = 5 e = 10.

EXEMPLO

61

Utiliza-se

= =0

1

2

.

Isto ,

= =0

1

2

= =0

4

2

= 1

2

1 2

=

(1)

.

EXEMPLO

62

Tem-se, portanto,

=

, = 0,, 2,

1

, .

Substituindo = 1, = 5 e = 10, resulta em

=

5, = 0, , 2,

4

10 2

10

, .

EXEMPLO

63

EXEMPLO

Mdulo e fase dos coeficientes de Fourier .

64

Frequncias presentes no sinal (espectro de

frequncia). Observe que a frequncia fundamental

= 2 10 e que existe um fator 1

associado.

EXEMPLO

k Frequncia (rad) Amplitude Fase (rads)

0 0 0,5 0

1 2 100,6472 -1,2566

3 6 100,2472 -0,6283

5 10 100,1 0

65

Reconstruo do sinal.

EXEMPLO


NO PERIDICOS


DE TEMPO DISCRETO - DTFT

67

A obteno da transformada de Fourier de tempo discreto similar a apresentada para sinais de tempo contnuo.

Para um sinal de tempo discreto no peridico, atransformada de Fourier definida por

= =

Fisicamente, representa as frequncia presentes nosinal , isto , a decomposio de em suascomponentes de frequncia.

TRANSFORMADA DE FOURIER DE TEMPO

DISCRETO

(14)

68

Devido ao fato de que para qualquer sinal de tempo

discreto a variao de frequncia se d de , ou de0,2 , de se esperar que a transformada de Fourier seja

peridica com perodo 2.

+ 2 =

+2

=

2

=

=


DISCRETO

69

Para sinais de tempo contnuo:

O espectro de frequncia se estende de , ;

A transformada de Fourier envolve uma integral.

Para sinais de tempo discreto:

O espectro de frequncia se estende de , ou de0,2 ;

A transformada de Fourier envolve um somatrio;

A transformada de Fourier peridica com perodo 2.

COMPARAO ENTRE AS TRANSFORMADAS DE

FOURIER DE TEMPO CONTNUO E DISCRETO

70

Uma vez que peridica em , de se esperar que a

funo tenha expanso em srie de Fourier, desde que a

srie seja convergente.

Na realidade, a definio da transformada de Fourier de

tempo discreto da sequncia , dada por (14), tem

a forma de uma srie de Fourier para um sinal com perodo

2.

Os coeficientes de Fourier nesta expanso so os valores da

sequncia .

TRANSFORMADA INVERSA DE FOURIER DE

TEMPO DISCRETO

71

Para demonstrar isso, determina-se a sequncia a

partir de . Para isso, multiplica-se ambos os lados de

(14) por e integra-se no intervalo , , isto ,

=

=

Se o somatrio for convergente, pode-se alterar a ordem da

integrao e do somatrio.Assim,

= =


TEMPO DISCRETO

(15)

72

Da ortogonalidade das exponenciais complexas,

= 2, = 0,

Logo,

=

= 2 , = 0,

Combinando, (15) e (16), tem-se o resultado desejado,

=1

2

Esta equao a expresso dos coeficientes de uma srie de

Fourier para uma funo peridica com perodo 2.


TEMPO DISCRETO

(16)

73

ANLISE EM FREQUNCIA DE SINAIS DE TEMPO DISCRETO NO

PERIDICOS

EQUAO DE ANLISE = =

EQUAO DE SNTESE =1

2 2


DISCRETO

74

Determine a representao de Fourier para o sinal de

tempo discreto no peridico ilustrado abaixo.

Observe que = 1 e = 5.

EXEMPLO

75

A transformada de Fourier de tempo discreto do sinal

calculada por

= =0

1

= 1

1

=

2 1 2 2

EXEMPLO

76

A magnitude e a fase da transformada de Fourier so dados por

= =

, = 0

2 2

,

=

2 1 +

2 2

EXEMPLO

77

A magnitude e a fase da transformada de Fourier so mostrados na figura abaixo

EXEMPLO

78

Considere que o pulso retangular analisado se repetecom perodo .

Mais precisamente, seja = 10, como consideradono sinal peridico utilizado para a obteno da srie deFourier.

EXEMPLO

79

Sobrepondo os grficos da transformada de Fourier e dos coeficientes da srie de Fourier obtm-se:

EXEMPLO

80

Observa-se que os coeficientes da srie de Fourier tm os valores dados pela avaliao da transformada deFourier em um conjunto de frequncia igualmenteespaadas dado por

=2

, = 0, 1, , 1.

Isto ,

2

=

1

= 0, 1, , 1

que tem a mesma forma da equao dos coeficientes dasrie de Fourier que foi calculada para o sinal retangularperidico.

EXEMPLO


TRANSFORMADA DISCRETA

DE FOURIER - DFT

82

Em aplicaes prticas, a anlise de frequncia de sinais ,

geralmente, realizada por um processador digital de sinais.

Para sinais de tempo discreto e peridicos, o uso da srie

de Fourier de tempo discreto permite a realizao da

anlise sem maiores problemas pois, ambas as equaes de

anlise e de sntese so discretas.

TRANSFORMADA DISCRETA DE

FOURIER



1

2

EQUAO DE SNTESE =1

=0

1

2

83

Contudo, sinais de tempo discreto no peridicos possuem

um espectro de frequncia contnuo o que dificulta a sua

representao por processadores digitais de sinais.

Adicionalmente, a equao de sntese envolve uma integral,

o que tambm aumenta a complexidade de implementao

digital.


FOURIER

ANLISE EM FREQUNCIA DE SINAIS DE TEMPO DISCRETO NO

PERIDICOS

EQUAO DE ANLISE = =

EQUAO DE SNTESE =1

2 2

84

Assim, pensando na implementao computacional de um

algoritmo de anlise em frequncia, interessante se dispor

de equaes que sejam de fcil avaliao por um

processador digital de sinais.

Como mencionado, a implementao digital da srie de

Fourier de tempo discreto no problema, mas a

implementao da transformada de Fourier, por esta ser

contnua em merece ateno.

A relao que h entre a transformada de Fourier e os

coeficientes da srie de Fourier o ponto de partida.


FOURIER

85

A relao que h entre a transformada de Fourier e os

coeficientes da srie de Fourier o ponto de partida.

Considere uma sequncia no peridica que possua

transformada de Fourier .

J foi visto que a amostragem de em frequncias

= 2

, = 0, 1, , 1, fornece os coeficientes da

srie de Fourier de um sinal peridico obtido a partir

da repetio do sinal com um perodo . Isto ,

= = 2

= 2


FOURIER

(17)

86

Para se obter uma sequncia peridica a partir da

sequncia de amostras utiliza-se a equao de sntese

da srie de Fourier de tempo discreto (12). Isto ,

=1

=0

1

2

Substituindo a definio da transformada de Fourier

= =

em (17) e, posteriormente, em (18), resulta

=1

=0

1

=

2

2


FOURIER

(18)

87

Alterando a ordem dos somatrios resulta em

= =

1

=0

1

2

= =

onde o termo entre colchetes a srie de Fourier de um

trem de impulsos peridico, isto ,

=1

=0

1

2

= =

e, portanto,

= x =

= =

.


FOURIER

(19)

88

A equao (19) mostra que o sinal reconstrudo a partir das

amostras obtidas a partir de peridico com

perodo e formado por cpias da sequncia

deslocada de mltiplos inteiros de .

Considere o sinal abaixo que tem comprimento 9.


FOURIER

89

Usando (19) com = 12 resulta em

Usando (19) com = 7 tem-se


FOURIER

90

Fica evidente que para que um perodo do sinal peridico

seja igual ao sinal no peridico original, deve-se ter

maior ou igual ao comprimento do sinal no peridico

original.

Nesse caso, pode ser obtido a partir da sequncia

, isto ,

= , 0 10,


FOURIER

91

Dessa forma, a partir de uma sequncia no peridica ,

pode-se formar uma sequncia peridica e utilizar a

srie de Fourier de tempo discreto para represent-la.

Posto de outra forma, pode-se a partir da sequncia de

coeficientes de Fourier , se obter a sequncia peridica

, utilizando-se as equaes da srie de Fourier, para,

finalmente, se determinar utilizando

= , 0 10,


FOURIER

92

Assim, como o sinal no peridico a ser analisado tem

termos, a relao dos coeficientes de Fourier e a

reconstruo do sinal a partir de uma sequncia peridica

dada por

= =0

1

2

, 0 1

0,

=

1

=0

1

2

, 0 1

0,


FOURIER

93

Quando a srie de Fourier de tempo discreto empregada

para a representao de sequncias no peridicas ela

chamada deTransformada Discreta de Fourier (DFT).


FOURIER



1

2

EQUAO DE SNTESE =1

=0

1

2

94

Determine a DFT para o sinal de tempo discreto no

peridico ilustrado abaixo.

Considere, inicialmente, = 5 e, posteriormente, =

10.

EXEMPLO

95

Para = 5, a sequncia peridica cuja srie deFourier de tempo discreto corresponde a DFT de mostrada abaixo.

EXEMPLO

96

Para, = 1 e = = 5 tem-se:

= = =0

1

2

= =0

4

2

5

= 5, = 0, 5,10,0,

= 5, = 00, 4

EXEMPLO

97

A relao da transformada de Fourier e dos coeficientes da

srie de Fourier mostrada abaixo.

EXEMPLO

98

Para = 10, a sequncia peridica cuja srie deFourier de tempo discreto corresponde a DFT de mostrada abaixo.

EXEMPLO

99

Para, = 1 e = 5 e = 10 tem-se:

= = =0

1

2

= =0

9

2

10

=

5, = 0, 10,20,

4

10 2

10

,

=

5, = 0

4

10 2

10

, 1 9

EXEMPLO

100

A relao da transformada de Fourier e dos coeficientes da

srie de Fourier mostrada abaixo.

EXEMPLO

101

Embora a DFT calculada com pontos seja suficiente para

representar unicamente a sequncia , ela no fornece

detalhes suficientes sobre as caractersticas espectrais de

.

Para se melhorar o detalhamento do espectro de

frequncia, deve-se amostrar mais pontos do espectro

. Isto , deve-se aumentar o valor de em = 2 , onde > . Para isso, se acrescenta zeros na

sequncia .

RESOLUO DA DFT

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Análise de Fourier