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8/2/2019 Analise de lajes
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ASPECTOS DA ANLISE ESTRUTURAL
DAS LAJES DE EDIFCIOS DE
CONCRETO ARMADO
HERALDO DUARTE
Dissertao apresentada Escola de
Engenharia de So Carlos, da Universidade de
So Paulo, como parte dos requisitos para a
obteno do Ttulo de Mestre em Engenharia
de Estruturas
ORIENTADOR: JOS SAMUEL GIONGO
So Carlos
1998
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AGRADECIMENTOS
Ao Prof. Jos Samuel Giongo, pela ateno dispensada na orientao deste
trabalho, pelas experincias e conhecimentos transmitidos e, principalmente, pela
sua amizade.
Ao Departamento de Estruturas da Escola de Engenharia de So Carlos, por
permitir e dar todas as condies para a realizao deste trabalho.
Ao Escritrio Tcnico Jos Roberto Leme de Andrade S/C Ltda., por ceder
cpias de projeto de sua propriedade para serem utilizadas como exemplos.
Sra. Maria Nadir Minatel, pela ajuda com a bibliografia.
Secretria Rosi Aparecida Jordo Rodrigues, pela dedicao e servios
prestados.
Aos meus familiares e a toda famlia de f so carlense pelo apoio e
incentivo a esse trabalho.
CAPES, pela bolsa de estudos.
A todos aqueles que, de alguma forma, contriburam para a realizao deste
trabalho e, acima de tudo, a Deus, que Pai providente, fonte de toda cincia e
sabedoria.
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LISTA DE FIGURAS
FIGURA 3.1- Esforos solicitantes em um elemento de placa.............................................. 20
FIGURA 4.1 - Forma do pavimento tipo do Edifcio Vitria Rgia......................................... 29
FIGURA 4.2 - Diagrama de deformao da seo de maior momento fletor - Equao de
Compatibilidade .............................................................................................................. 30
FIGURA 4.3 - Malha com espaamento da ordem de 1,00 m x 1,00 m - Numerao
dos ns............................................................................................................................ 37
FIGURA 4.4 - Malha com espaamento da ordem de 0,50 m x 0,50 m - Numerao
dos ns............................................................................................................................ 37
FIGURA 4.5 - Momentos fletores ao longo do Corte XX (ver Figuras 4.3 e 4.4), obtidosatravs da aplicao da tcnica da analogia de grelha ................................................. 40
FIGURA 4.6 - Momentos fletores ao longo do Corte YY (ver Figuras 4.3 e 4.4), obtidos
atravs da aplicao da tcnica da analogia de grelha ................................................. 40
FIGURA 4.7 - Deslocamentos ao longo do Corte XX (ver Figuras 4.3 e 4.4), obtidos atravs
da aplicao da tcnica da analogia de grelha .............................................................. 41
FIGURA 4.8 - Momentos fletores ao longo do Corte XX (ver Figuras 4.3 e 4.4), obtidos
atravs da anlise com o mtodo dos elementos finitos................................................ 48
FIGURA 4.9 - Momentos fletores ao longo do Corte YY (ver Figuras 4.3 e 4.4), obtidos
atravs da anlise com o mtodo dos elementos finitos................................................ 48
FIGURA 4.10 - Deslocamentos ao longo do Corte XX (ver Figuras 4.3 e 4.4), obtidas
atravs da anlise com o mtodo dos elementos finitos................................................ 49
FIGURA 4.11 - Deslocamentos ao longo do Corte YY (ver Figuras 4.3 e 4.4), obtidas
atravs da anlise com o mtodo dos elementos finitos................................................ 49
FIGURA 4.12 - Envoltrias dos esforos momentos fletores M11 = Mxx (em kNm/m), obtidas
atravs da anlise com o mtodo dos elementos finitos................................................ 50
FIGURA 4.13 - Envoltrias dos esforos momentos fletores M22 = Myy (em kNm/m), obtidas
atravs da anlise com o mtodo dos elementos finitos................................................ 51
FIGURA 5.1 - Configuraes possveis de charneiras.......................................................... 56
FIGURA 5.2 - Determinao da configurao de runa......................................................... 57
FIGURA 5.3 - Comparaes entre os valores dos momentos fletores ao longo do Corte XX
(ver tabela 5.1), obtidos atravs da teoria das charneiras plsticas e do clculo com
tabelas do mtodo elstico............................................................................................. 60
FIGURA 5.4 - Comparaes entre os valores dos momentos fletores ao longo do Corte YY
(ver tabela 5.1), obtidos atravs da teoria das charneiras plsticas e do clculo com
tabelas do mtodo elstico............................................................................................. 60
FIGURA 6.1 - Arranjos possveis para armadura de lajes contnuas.................................... 64
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FIGURA 6.2 - Detalhamento das armaduras positivas, obtido atravs de tabelas do mtodo
elstico............................................................................................................................ 67
FIGURA 6.3 - Detalhamento das armaduras negativas, obtido atravs de tabelas do mtodo
elstico............................................................................................................................ 68
FIGURA 6.4 - Detalhamento das armaduras positivas, obtido atravs do mtodo dos
elementos finitos............................................................................................................. 69
FIGURA 6.5 - Detalhamento das armaduras negativas, obtido atravs do mtodo dos
elementos finitos............................................................................................................. 70
FIGURA 6.6 - Detalhamento das armaduras positivas, obtido atravs da teoria das
charneiras plsticas........................................................................................................ 71
FIGURA 6.7 - Detalhamento das armaduras negativas, obtido atravs da teoria das
charneiras plsticas........................................................................................................ 72FIGURA 6.8 - Detalhamento das armaduras positivas, obtido com a utilizao de telas
soldadas.......................................................................................................................... 75
FIGURA 6.9 - Detalhamento das armaduras negativas, obtido com a utilizao de telas
soldada ........................................................................................................................... 76
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LISTA DE FIGURAS
FIGURA 3.1- ESFOROS SOLICITANTES EM UM ELEMENTO DE PLACA
FIGURA 4.1 - FORMA DO PAVIMENTO TIPO DO EDIFCIO VITRIA RGIA
FIGURA 4.2 - DIAGRAMA DE DEFORMAO DA SEO DE MAIOR MOMENTO FLETOR- EQUAO DECOMPATIBILIDADE
FIGURA 4.3 - MALHA COM ESPAAMENTO DA ORDEM DE 1,00 M X 1,00 M - NUMERAO DOS NSFIGURA 4.4 - MALHA COM ESPAAMENTO DA ORDEM DE 0,50 M X 0,50 M - NUMERAO DOS NSFIGURA 4.5 - MOMENTOS FLETORES AO LONGO DO CORTE XX (VERFIGURAS 4.3 E 4.4), OBTIDOS
ATRAVS DA APLICAO DA TCNICA DA ANALOGIA DE GRELHAFIGURA 4.6 - MOMENTOS FLETORES AO LONGO DO CORTE YY (VERFIGURAS 4.3 E 4.4), OBTIDOS
ATRAVS DA APLICAO DA TCNICA DA ANALOGIA DE GRELHAFIGURA 4.7- DESLOCAMENTOS AO LONGO DO CORTE XX (VERFIGURAS 4.3 E 4.4), OBTIDOS
ATRAVS DA APLICAO DA TCNICA DA ANALOGIA DE GRELHA
FIGURA 4.8 - MOMENTOS FLETORES AO LONGO DO CORTE XX (VERFIGURAS 4.3 E 4.4), OBTIDOSATRAVS DA ANLISE COM O MTODO DOS ELEMENTOS FINITOS
FIGURA 4.9 - MOMENTOS FLETORES AO LONGO DO CORTE YY (VERFIGURAS 4.3 E 4.4), OBTIDOSATRAVS DA ANLISE COM O MTODO DOS ELEMENTOS FINITOS
FIGURA 4.10 - DESLOCAMENTOS AO LONGO DO CORTE XX (VERFIGURAS 4.3 E 4.4), OBTIDASATRAVS DA ANLISE COM O MTODO DOS ELEMENTOS FINITOS
FIGURA 4.11 - DESLOCAMENTOS AO LONGO DO CORTE YY (VERFIGURAS 4.3 E 4.4), OBTIDASATRAVS DA ANLISE COM O MTODO DOS ELEMENTOS FINITOS
FIGURA 4.12 - ENVOLTRIAS DOS ESFOROS MOMENTOS FLETORES M11= MXX(EM KNM/M), OBTIDASATRAVS DA ANLISE COM O MTODO DOS ELEMENTOS FINITOS
FIGURA 4.13 - ENVOLTRIAS DOS ESFOROS MOMENTOS FLETORES M22= MYY(EM KNM/M), OBTIDASATRAVS DA ANLISE COM O MTODO DOS ELEMENTOS FINITOS
FIGURA 5.1 - CONFIGURAES POSSVEIS DE CHARNEIRASFIGURA 5.2 - DETERMINAO DA CONFIGURAO DE RUNAFIGURA 5.3 - COMPARAES ENTRE OS VALORES DOS MOMENTOS FLETORES AO LONGO DO CORTE XX
(VER TABELA 5.1), OBTIDOS ATRAVS DA TEORIA DAS CHARNEIRAS PLSTICAS E DO CLCULO COMTABELAS DO MTODO ELSTICO
FIGURA 5.4 - COMPARAES ENTRE OS VALORES DOS MOMENTOS FLETORES AO LONGO DO CORTE YY(VER TABELA 5.1), OBTIDOS ATRAVS DA TEORIA DAS CHARNEIRAS PLSTICAS E DO CLCULO COMTABELAS DO MTODO ELSTICO
FIGURA 6.1 - ARRANJOS POSSVEIS PARA ARMADURA DE LAJES CONTNUASFIGURA 6.2 - DETALHAMENTO DAS ARMADURAS POSITIVAS, OBTIDO ATRAVS DE TABELAS DO
MTODO ELSTICOFIGURA 6.3 - DETALHAMENTO DAS ARMADURAS NEGATIVAS, OBTIDO ATRAVS DE TABELAS DO
MTODO ELSTICO
FIGURA 6.4 - DETALHAMENTO DAS ARMADURAS POSITIVAS, OBTIDO ATRAVS DO MTODO DOSELEMENTOS FINITOSFIGURA 6.5 - DETALHAMENTO DAS ARMADURAS NEGATIVAS, OBTIDO ATRAVS DO MTODO DOS
ELEMENTOS FINITOSFIGURA 6.6 - DETALHAMENTO DAS ARMADURAS POSITIVAS, OBTIDO ATRAVS DA TEORIA DAS
CHARNEIRAS PLSTICASFIGURA 6.7 - DETALHAMENTO DAS ARMADURAS NEGATIVAS, OBTIDO ATRAVS DA TEORIA DAS
CHARNEIRAS PLSTICASFIGURA 6.8 - DETALHAMENTO DAS ARMADURAS POSITIVAS, OBTIDO COM A UTILIZAO DE TELAS
SOLDADASFIGURA 6.9 - DETALHAMENTO DAS ARMADURAS NEGATIVAS, OBTIDO COM A UTILIZAO DE TELAS
SOLDADA
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LISTA DE TABELAS
TABELA 2.1 - Valores dos pesos especficos aparentes dos materiais de construo.................6
TABELA 2.2 - Aes permanentes por unidade de rea ...............................................................7
TABELA 2.3 - Valores mnimos das aes variveis normais .......................................................8
TABELA 2.4 - Valores limites para deslocamentos ......................................................................12
TABELA 4.1 - Momentos fletores e deslocamentos obtidos atravs do clculo desenvolvido com
auxlio de tabelas - mtodo elstico ......................................................................................33
TABELA 4.2 - Momentos fletores e deslocamentos ao longo do Corte XX (ver figuras 4.3 e 4.4)
obtidos atravs da aplicao da tcnica da analogia de grelha............................................38
TABELA 4.3 - Momentos fletores e deslocamentos ao longo do Corte YY (ver figuras 4.3 e 4.4)
obtidos atravs da aplicao da tcnica da analogia de grelha............................................39
TABELA 4.4 - Momentos Fletores e deslocamentos ao longo do Corte XX (ver Figuras 4.3 e
4.4), obtidos atravs da anlise com o mtodo dos elementos finitos..................................46
TABELA 4.5 - Momentos Fletores e deslocamentos ao longo do Corte YY (ver Figuras 4.3 e
4.4), obtidos atravs da anlise com o mtodo dos elementos finitos..................................47
TABELA 5.1 - Comparao entre os valores dos esforos momentos fletores obtidos atravs da
teoria das charneiras plsticas e clculo atravs de tabelas do mtodo elstico.................59
TABELA 6.1 - Consumo de ao resultante da anlise atravs de tabelas do mtodoelstico ...................................................................................................................................68
TABELA 6.2 - Consumo de ao resultante da anlise atravs do mtodo dos elementos
finitos ......................................................................................................................................69
TABELA - 6.3 - Consumo de ao resultante da anlise atravs da teoria das charneiras
plsticas .................................................................................................................................72
TABELA 6.4 - Consumo de ao resultante do dimensionamento atravs da utilizao
de telas soldadas ...................................................................................................................76
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TABELA 2.1 - Valores dos pesos especficos aparentes dos materiais de construo
TABELA 2.2 - Aes permanentes por unidade de rea
TABELA 2.3 - Valores mnimos das aes variveis normais
TABELA 2.4 - Valores limites para deslocamentos
TABELA 4.1 - Momentos fletores e deslocamentos obtidos atravs do clculo desenvolvido com
auxlio de tabelas - mtodo elstico
TABELA 4.2 - Momentos fletores e deslocamentos ao longo do Corte XX (ver figuras 4.3 e 4.4)
obtidos atravs da aplicao da tcnica da analogia de grelha
TABELA 4.3 - Momentos fletores e deslocamentos ao longo do Corte YY (ver figuras 4.3 e 4.4)
obtidos atravs da aplicao da tcnica da analogia de grelha
TABELA 4.4 - Momentos Fletores e deslocamentos ao longo do Corte XX (ver Figuras 4.3 e
4.4), obtidos atravs da anlise com o mtodo dos elementos finitos
TABELA 4.5 - Momentos Fletores e deslocamentos ao longo do Corte YY (ver Figuras 4.3 e
4.4), obtidos atravs da anlise com o mtodo dos elementos finitos
TABELA 5.1 - Comparao entre os valores dos esforos momentos fletores obtidos atravs da
teoria das charneiras plsticas e clculo atravs de tabelas do mtodo elstico
TABELA 6.1 - Consumo de ao resultante da anlise atravs de tabelas do mtodo elstico
TABELA 6.2 - Consumo de ao resultante da anlise atravs do mtodo dos elementos finitos
TABELA - 6.3 - Consumo de ao resultante da anlise atravs da teoria das charneiras
plsticas
TABELA 6.4 - Consumo de ao resultante do dimensionamento atrav
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SUMRIO
LISTA DE FIGURAS .............................................................. ..............................................................i
LISTA DE TABELAS......................................................................................................................... iii
RESUMO.............................................................................................................................................. iv
ABSTRACT........................................................................................................................................... v
1 INTRODUO.................................................................................................................................1
1.1 APRESENTAO........................................................ ..............................................................11.2 OBJETIVOS .................................................. ........................................................... ...................21.3 DESCRIO SUSCINTA DO TRABALHO...................................................... .......................3
2 AES, PR-DIMENSIONAMENTO E DISPOSIES CONSTRUTIVAS ACONSIDERAR NOS PROJETOS DE EDIFCIOS ................................................................ ..........4
2.1 INTRODUO ........................................................ ........................................................... ........42.2 AES A CONSIDERAR NOS PROJETOS DE EDIFCIOS ..................................................42.3 PR-DIMENSIONAMENTO......................................................................................................92.4 DISPOSIES CONSTRUTIVAS...........................................................................................132.5 CONSIDERAES FINAIS.....................................................................................................16
3 TIPOS DE ANLISE ESTRUTURAL E SEUS FUNDAMENTOS TERICOS PARA OSELEMENTOS DE PLACA ...................................................... ..........................................................17
3.1 INTRODUO ........................................................ .......................................................... .......173.2 ANLISE LINEAR...................................................................................................................18
3.2.1 Fundamentos tericos da anlise linear dos elementos de placa .......................................19
3.2.2 Anlise Linear com Redistribuio ............................................................ .........................23
3.3 ANLISE LIMITE OU PLSTICA ............................................................... ..........................243.4 ANLISE NO-LINEAR.........................................................................................................25
3.5 ANLISE ATRAVS DE MODELOS FSICOS............................... ......................................263.6 CONSIDERAES FINAIS.....................................................................................................26
4 MODELOS ESTRUTURAIS PARA ANLISE LINEAR DAS LAJES DE EDIFCIOS........28
4.1 INTRODUO ........................................................ .......................................................... .......284.2 CLCULO APROXIMADO MEDIANTE O USO DE TABELAS - MTODO ELSTICO 32
4.2.1 Generalidades ........................................................... ..........................................................32
4.2.2 Aplicao sobre o pavimento tipo do edifcio Vitria Rgia ..............................................32
4.3 CLCULO ATRAVS DA TCNICA DA ANALOGIA DE GRELHA................................334.3.1 Generalidades ..................................................... ................................................................33
4.3.2 Critrios para traado das malhas de grelha .................................................. ...................34
4.3.3 Aplicao sobre o pavimento tipo do edifcio Vitria Rgia ..............................................36
4.4 ANLISE ATRAVS DO MTODO DOS ELEMENTOS FINITOS ....................................41
4.4.1 Generalidades ........................................................... ..........................................................414.4.2 Caractersticas do mtodo e modelos de elementos finitos.................................................43
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4.4.3 Compatibilidade de elementos e critrios de convergncia.................. ..............................44
4.4.4 Aplicao sobre o pavimento tipo do edifcio Vitria Rgia ..............................................46
4.5 COMPARAES DE RESULTADOS.....................................................................................51
5 MODELO ESTRUTURAL PARA ANLISE LIMITE OU PLSTICA DAS LAJES DEEDIFCIOS..........................................................................................................................................53
5.1 INTRODUO ........................................................ ........................................................... ......535.2 A TEORIA DAS CHARNEIRAS PLSTICAS .............................................................. .........53
5.2.1 Hipteses de Clculo..................................................... ......................................................54
5.2.2 Configuraes das charneiras ................................................ ............................................55
5.2.3 Processos de Clculo ...................................................... ....................................................57
5.3 ANLISE DO PAVIMENTO TIPO DO EDIFCIO VITRIA RGIA ATRAVS DATEORIA DAS CHARNEIRAS PLSTICAS ............................................................ ......................58
6 DISTRIBUIO DAS ARMADURAS............. ........................................................ ....................62
6.1 GENERALIDADES ..................................................... ....................................................... ......62
6.2 MODELOS ANALISADOS ATRAVS DA TEORIA DA ELASTICIDADE........................636.2.1 Lajes armadas em uma direo ..................................................... .....................................636.2.2 Lajes armadas em duas direes .......................................................... ..............................64
6.2.3 Distribuio das armaduras segundo envoltrias de esforos resultantes de anlises
atravs de softwares com ps-processadores ..................................................................... ..........65
6.2.4 Detalhamentos das armaduras obtidos para o pavimento tipo do edifcio Vitria Rgia..66
6.3 MODELO ANALISADO ATRAVS DA TEORIA DAS CHARNEIRAS PLSTICAS.......706.4 UTILIZAO DE TELAS SOLDADAS NO DIMENSIONAMENTO DE PAVIMENTOSDE EDIFCIOS.................................................................................................................................736.5 COMPARAES ENTRE OS MODELOS ANALISADOS...................................................77
7 CONCLUSES .......................................................... .............................................................. .......78
8 REFERNCIAS BIBLIOGRFICAS............................................................... ...........................80
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1 INTRODUO
1.1 APRESENTAO
A anlise estrutural de edifcios vem se constituindo de recursos cada vez mais
refinados nos ltimos trinta anos, principalmente em funo do acentuado desenvolvimento
dos computadores ocorrido nesse perodo. Mais precisamente no que diz respeito s
placas, que constituem o objeto das anlises deste trabalho, importantes contribuies vm
sendo dadas atravs da aplicao do mtodo dos elementos finitos. So inmeras as
referncias desse assunto tanto no mbito das anlises elsticas lineares como das no
lineares. BATOZ et al [1980] apresentam um estudo sobre alguns tipos de elementos finitos
triangulares, com o propsito de identificar elementos com bom comportamento para
anlise de placas finas. Em BATOZ [1982], apresentada explicitamente a formulao do
elemento DKT (Discrete Kirchhoff Triangle), cujo desenvolvimento baseado na aplicao
simplificada das hipteses de Kirchhoff sobre os lados do elemento, fazendo deste um
eficiente elemento triangular para anlise de placas fletidas. No trabalho de ZIENKIEWICZ
et al [1990], so desenvolvidos vrios estudos sobre esse tipo de elemento. BERGAN &
WANG [1984] tratam de um elemento quadrilateral para placas fletidas com considerao,
na sua formulao, at mesmo das deformaes devidas ao esforo cortante. No campo
das anlises elsticas no-lineares, encontra-se a publicao de BATOZ & DHATT [1981],
em que abordado um elemento quadrilateral conhecido por DKQ (Discrete KirchhoffQuadrilateral), com formulao baseada numa generalizao do elemento DKT e que est
apresentada tambm em BATOZ & TAHAR [1982]. Em CORRA [1991] so propostos
aperfeioamentos para modelos usualmente empregados nos projetos de edifcios, como
tambm o desenvolvimento de formulaes de elementos para anlise linear e no linear
fsica de placas.
Em meio a essas contribuies efetivas ao desenvolvimento tecnolgico das
anlises estruturais, o presente trabalho apresenta uma comparao de alguns mtodos de
anlise de placas, mais precisamente de lajes de edifcios de concreto armado, adotando
como exemplo um pavimento tipo de um edifcio residencial. Procura abordar, no campo da
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teoria da elasticidade, desde os mtodos mais simples de anlise com o uso de tabelas em
que as lajes so admitidas como isoladas umas das outras, at outros mais refinados com a
considerao da interao das lajes com os demais elementos estruturais, como a tcnica
da analogia de grelha e o mtodo dos elementos finitos. O clculo atravs de tabelas
desenvolvido com a aplicao das tabelas encontradas em PINHEIRO [1986], que
constituem uma adaptao das tabelas de BARES [1972]. A tcnica da analogia de grelha
aplicada com base nas indicaes do trabalho de BARBOZA [1992] e o mtodo dos
elementos finitos com a utilizao do software SAP90, cujas instrues de uso podem ser
encontradas em WILSON & HABIBULLAH [1988]. As lajes do pavimento modelo so
analisadas tambm atravs das hipteses de clculo em regime plstico com a teoria das
charneiras plsticas. Contribuem para essa ltima anlise, alm das obras de
LANGENDONCK [1970,1975] e MONTOYA et al [1973], o trabalho de PINHEIRO [1988],que faz uma abordagem das anlises elstica e plstica das lajes de edifcios e o de RIOS
[1991], que apresenta uma implementao computacional para o clculo de lajes
retangulares atravs da associao do clculo elstico com a teoria das charneiras
plsticas.
1.2 OBJETIVOS
O presente trabalho tem por objetivo abordar alguns aspectos da anlise estrutural
das lajes de edifcios, reunindo tpicos tericos e prticos dos mtodos de anlise mais
comumente usados pelos projetistas de estruturas, bem como os apresentados como
bsicos nos cursos de engenharia. No se tem a pretenso de apresentar um compndio e
nem de reunir prescries de todas as normas existentes para projeto de edifcios. Procura-
se sim apresentar os conceitos bsicos dos mtodos de anlise, tidos como indispensveis
a um calculista estrutural, principalmente quando se trata da utilizao de um ou outro
software como instrumento das anlises. Para cada mtodo estudado, so apresentados
os resultados obtidos de sua aplicao sobre a forma do pavimento tomado como exemplo,
com o intuito de mostrar as particularidades de cada modelo e de indicar os casos em que
cada um deles pode ser aplicado com segurana. Espera-se, assim, que este trabalho
constitua-se como material de apoio para alunos graduandos em engenharia civil, como
tambm para eventuais consultas de projetistas em escritrios de clculo estrutural.
1.3 DESCRIO SUSCINTA DO TRABALHO
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Apresentam-se, no captulo 2, algumas consideraes sobre as aes atuantes nas
lajes de edifcios, suas definies pela NBR 8681 [1984], seus tipos e o modo como as
mesmas so determinadas. So tratados alguns aspectos do pr-dimensionamento de
lajes, de acordo com as indicaes de espessuras mnimas e valores limites de
deslocamentos encontrados no TEXTO BASE PARA REVISO DA NB-1 [1994]. Algumas
disposies construtivas so abordadas visando otimizao e padronizao nos
projetos, tendo-se por base os textos da NBR 6118 [1978] e o de PRELORENTZOU &
GIORGI [1994].
No captulo 3, encontram-se definies bsicas dos tipos de anlise estrutural de
placas, estabelecidas em funo do comportamento que se admite para o concreto armado,
abrangendo pois, desde conceitos de anlise elstica linear, no linear, limite ou plstica,
at anlises atravs de modelos fsicos, de acordo com o elucidado no TEXTO BASE PARAREVISO DA NB-1 [1994].
Modelos estruturais para anlise linear das lajes de edifcios, com uma descrio
sucinta dos fundamentos tericos relacionados com a formulao matemtica de cada um
deles, so apresentados no captulo 4, acompanhados dos resultados de sua aplicao
sobre o pavimento tipo de um edifcio residencial localizado na cidade de So Carlos, cujas
caractersticas e forma estrutural encontram-se tambm neste referido captulo. So feitas
comparaes entre os resultados das diversas anlises, com o intuito de se avaliar at em
que ponto uma ou outra anlise apresentam valores de esforos solicitantes aceitveis e
seguros.
Um modelo estrutural para anlise limite ou plstica de lajes, atravs da teoria das
charneiras plsticas, proposto no captulo 5, apresentando-se tambm princpios tericos
desse tipo de anlise e sua aplicao sobre o pavimento tomado como modelo.
No captulo 6 so abordados alguns aspectos tericos e prticos para o
detalhamento geral das armaduras do pavimento de um edifcio. So apresentados para o
pavimento tomado como modelo os detalhamentos das armaduras de cada um dos
mtodos de clculo analisados no trabalho, mostrando as particularidades e consideraes
necessrias correta armao segundo cada um deles. Os comentrios finais e asconcluses, bem como as sugestes para novos trabalhos encontram-se no captulo 7.
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2 AES, PR-DIMENSIONAMENTO E DISPOSIES CONSTRUTIVASA CONSIDERAR NOS PROJETOS DE EDIFCIOS
2.1 INTRODUO
No presente captulo so apresentadas consideraes sobre as aes atuantes nas
lajes de edifcios, suas definies segundo a NBR 8681 [1984], seus tipos e o modo como
as mesmas so determinadas segundo as prescries da NBR 6120 [1980].
So tratados alguns aspectos do pr-dimensionamento de lajes, de acordo com
indicaes prticas do texto de CEOTTO [1985], em que feito um estudo relacionando
resistncia e economia de material para os elementos estruturais que compem um edifcio.
So apresentados os valores mnimos para as espessuras das lajes, visando a orientar o
seu pr-dimensionamento e valores limites de deslocamentos, prescritos no TEXTO BASE
PARA REVISO DA NB-1 [1994], para posteriores verificaes.
Algumas disposies construtivas so estabelecidas visando otimizao e
padronizao nos projetos, tomando como referncia os textos da NBR 6118 [1978] e o de
PRELORENTZOU & GIORGI [1994].
2.2 AES A CONSIDERAR NOS PROJETOS DE EDIFCIOS
De acordo com a NBR 8681 [1984], as aes so definidas como sendo as causas
que provocam o aparecimento de esforos ou deformaes nas estruturas. Alm disso, do
ponto de vista prtico, as foras e as deformaes impostas pelas aes so consideradas
como se fossem as prprias aes. corrente a designao de aes indiretas para as
deformaes impostas e de aes diretas para as foras.
As aes que atuam nas estruturas podem ser subdivididas em aes
permanentes, aes variveis ou acidentais e aes excepcionais.
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As aes permanentes so aquelas que ocorrem nas estruturas com valores
constantes ou de pequena variao em torno de sua mdia, durante praticamente toda a
vida da construo. As aes permanentes podem ser diretas ou indiretas. As diretas so
aquelas oriundas dos pesos prprios dos elementos da estrutura, de dispositivos
construtivos permanentes, de pesos de equipamentos fixos e de empuxos devidos ao peso
prprio de terras no removveis aplicados sobre a estrutura. As indiretas podem ser
consideradas como sendo as foras de protenso em peas de concreto protendido, os
recalques de apoio devidos a deslocamentos dos elementos estruturais ou deformabilidade
dos solos das fundaes e a retrao dos materiais.
As aes variveis so as que ocorrem nas estruturas com valores que apresentam
variaes significativas em torno de sua mdia, durante a vida da construo. So as
cargas de uso das construes (pessoas, mveis, materiais diversos), bem como seusefeitos (foras de frenao, de impacto e centrfugas), efeitos do vento, das variaes de
temperatura, do atrito nos aparelhos de apoio e das presses hidrostticas e
hidrodinmicas. Em funo da probabilidade de ocorrncia, as aes variveis so
classificadas em normais e especiais. As normais so aquelas com probabilidade de
ocorrncia suficientemente grande, de tal maneira que sejam obrigatoriamente
consideradas no projeto estrutural. Incluem-se nessa classificao as chamadas cargas
acidentais que atuam nas estruturas dos edifcios, mais precisamente sobre as lajes,
devidas a pessoas, mobilirio, veculos, bibliotecas, entre outras. So consideradas
especiais as aes ssmicas e as cargas acidentais de intensidade especiais, como, por
exemplo, as provenientes de veculos transportando equipamentos especficos com pesos
acima daqueles admitidos como padres.
As aes excepcionais so aquelas que tm durao extremamente curta e muito
baixa probabilidade de ocorrncia durante a vida da construo, mas que devem ser
consideradas nos projetos de determinadas estruturas. So as aes decorrentes de
causas como: exploses, choques de veculos, incndios, enchentes ou sismos
excepcionais.
Os valores numricos a serem admitidos para cada tipo de ao acima citados,podem ser encontrados na NBR 6120 [1980]. Apresentam-se, entretanto, no presente
trabalho, alguns destes valores relacionados com a estimativa das aes permanentes
diretas e variveis normais para os projetos usuais de edifcios. Na TABELA 2.1,
encontram-se os pesos especficos aparentes dos materiais de construo e componentes
de edificaes mais comumente empregados nos projetos, que devem ser considerados
quando no houver uma determinao experimental para os mesmos.
Tendo em vista que a maioria das aes nos edifcios so provenientes de
elementos com distribuio geomtrica plana, sejam estes paredes, coberturas, forros,
caixilhos, pisos e revestimentos, apresentam-se na TABELA 2.2 alguns valores de aespor unidade de rea para alguns tipos dos referidos elementos, de acordo com o
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apresentado no trabalho de GIONGO [1994]. Nas aes devidas s paredes, esto
includas as relativas aos pesos das argamassas de assentamento (1 cm) e de
revestimento (1,5 cm em cada face). Para as aes resultantes das coberturas, so
consideradas as massas das telhas midas.
TABELA 2.1 - Valores dos pesos especficos aparentes dos materiais de construo
Peso especficoMateriais aparente
(kN/m)Arenito 26Basalto 30
Rochas Gneisse 30Granito 28Mrmore e Calcrio 28Blocos de argamassa 22Cimento amianto 20
Blocos Lajotas cermicas 18Artificiais Tijolos furados 13
Tijolos macios 18Tijolos slico-calcrios 20Argamassa de cal, cimento/areia 19
Revestimentos Argamassa de cimento e areia 21
e Concretos Argamassade gesso 12,5Concreto simples 24Concreto armado 25Pinho, cedro 5
Madeiras Louro, imbuia, pau leo 6,5Guajuvir, guatambu, grpia 8Angico, cabriuva, ip rseo 10Ao 78,5Alumnio e ligas 28Bronze 85Chumbo 114
Metais Cobre 89
Ferro fundido 72,5Estanho 74Lato 85Zinco 72Alcatro 12Asfalto 13
Materiais Borracha 17diversos Papel 15
Plstico em folhas 21Vidro plano 26
TABELA 2.2 - Aes permanentes por unidade de rea
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Item Material Ao (kN/m)
1/2 tijolo macio 2,501 tijolo macio 4,00
1/2 tijolo furado (baiano) 2,20
Paredes 1 tijolo furado 3,20
Bloco de concreto (espessura de 10 cm) 2,20
Bloco de concreto (espessura de 20 cm) 3,50
Bloco de concreto celular (espessura de 10 cm) 0,50
Bloco de concreto celular (espessura de 20 cm) 0,80
Com telhas cermicas, com madeiramento 1,20
Coberturas Com telhas de fibrocimento, com madeiramento 0,40
Com telhas de alumnio e estrutura de ao 0,30
Com telhas de alumnio e estrutura de alumnio 0,20
Forros Com painis de gesso, com estrutura de madeira e ao 0,50
Com blocos slidos de gesso 0,70
Caixilhos Com estrutura de alumnio e vidros 0,20
Com estrutura de ao e vidros 0,30
Telhas De fibrocimento tipo Canalete 43 0,28
De fibrocimento tipo Canalete 90 0,25
Ao se definir a forma estrutural do pavimento de um edifcio, pode acontecer que
no resultem vigas sob todas as linhas de ocorrncia de paredes e que estas estejam
atuando diretamente sobre as prprias lajes. Neste caso, possvel a considerao
simplificada de tais aes como uniformemente distribudas sobre toda a laje, ressaltando-
se que este no o melhor procedimento a ser adotado, conforme abordado mais adiante
no trabalho, tendo em vista a disponibilidade atual de recursos numricos para anlises
mais precisas. Com relao ao de paredes divisrias, que no tenham sua posio
definida no projeto arquitetnico, a NBR 6120 [1980] estabelece que para o clculo de tais
lajes seja considerado, alm dos demais carregamentos j previstos, um outro
uniformemente distribudo por metro quadrado de piso, no menor que um tero do peso
por metro linear da parede pronta, observado o valor mnimo de 1 kN/m2.
As aes variveis normais so consideradas atuando no piso das edificaes, isto
, nos elementos estruturais planos ou lajes, sendo supostas uniformemente distribudas
sobre os mesmos, com seus valores mnimos indicados pela NBR 6120 [1980]. A TABELA2.3 apresenta alguns destes valores para determinados ambientes arquitetnicos.
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TABELA 2.3 - Valores mnimos das aes variveis normais
Ambiente Arquitetnico Ao (kN/m)
(incluindo a massa das mquinas) a ser
Casa de Mquinas determinada em cada caso, porm com 7,50
o valor mnimo de
Corredores Com acesso ao pblico 3,00
Sem acesso ao pblico 2,00
Edifcios Residenciais Dormitrios, sala, copa, cozinha e banheiro 1,50Despensa, rea de servio e lavanderia 2,00
Escadas Com acesso ao pblico 3,00
Sem acesso ao pblico 2,50
Forros Sem acesso a pessoas 0,50
Garagens Para veculos de passageiros ou semelhantes 3,00
e Estacionamentos com carga mxima de 25 kN por veculo
Sem acesso ao pblico 2,00
Terraos Com acesso ao pblico 3,00Inacessvel a pessoas 0,50
Vestbulo Sem acesso ao pblico 1,50
Com acesso ao pblico 3,00
Escrtirios Salas de uso geral e banheiro 2,00
Anfiteatro com assentos fixos, corredor e
Escolas sala de aula 3,00
Outras salas 2,00
Galerias de Arte A ser determinada em cada caso, porm
com o mnimo de 3,00
Galerias de Lojas A ser determinada em cada caso, porm
com o mnimo de 3,00
Ginsio de Esportes 5,00
A NBR 6120 [1980] prescreve ainda que , nos compartimentos destinados a
carregamentos especiais, como os devidos a arquivos, depsitos de materiais, mquinas
leves, caixas-forte e outros, no necessria uma verificao mais exata destes
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carregamentos, desde que se considere um acrscimo de 3 kN/m2 no valor da carga
acidental.
No caso de balces e sacadas com acesso ao pblico devem ser previstas a
mesma ao uniformemente distribuda do elemento estrutural com o qual se comunicam e
, ainda, uma ao horizontal de 0,8 kN/m na altura do corrimo e uma ao vertical mnima
de 2 kN/m, sendo estas duas ltimas cargas vlidas tambm para os parapeitos.
Para as escadas constitudas de degraus isolados, considera-se uma ao
concentrada de 2,5 kN aplicada na posio mais desfavorvel dos mesmos. Esta ao no
deve ser includa na composio de aes para as vigas que suportam os degraus.
Nos casos de edifcios com garagens em pavimentos trreos ou outros pavimentos,
a NBR 6120 [1980] estabelece que h necessidade de se considerar a ao de veculos
conforme indicado na TABELA 2.3, com majorao da mesma por um coeficiente determinado do seguinte modo:
= 1,00 quando l l0
= l0 / l 1,43 quando l < l0
sendo l o vo de uma viga ou o menor vo de uma laje em anlise no referido pavimento; l0
= 3 m para o caso das lajes e l0 = 5 m para o caso das vigas. Ressalta-se que estamajorao deve ser feita apenas para a anlise de vigas e lajes e no de pilares ou
paredes.
2.3 PR-DIMENSIONAMENTO
Para efeito de anlise econmica, quanto mais esbelta for uma laje, ou seja, quanto
menor for sua espessura, mais vivel ela ser. Existem, no entanto, valores limitesestabelecidos pelos estados limites ltimo e de utilizao do elemento estrutural. E embora
seja possvel executar lajes com pequena espessura, que satisfaa aos limites indicados, o
desconforto para o usurio sensvel ao se caminhar sobre elas. A vibrao pode vir a
tornar-se um estado limite de utilizao, apesar deste no ser um caso explicitamente
indicado por norma.
Alguns critrios prticos podem ser estabelecidos com a finalidade de orientar o
pr-dimensionamento das lajes de edifcios. CEOTTO [1985], apresenta um estudo sobre o
assunto, relacionando os parmetros de resistncia estrutural com os economia de material
e estabelecendo assim critrios para um bom dimensionamento dos elementos estruturais.
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Se a laje for armada em duas direes, isto , se tiver a relao entre os vos
tericos maior e menor inferior a 2, a espessura da laje pode ser adotada entre os limites de
um cinqenta avos (1/50) e um quarenta avos (1/40) do vo terico menor. Para as lajes
armadas em uma direo, esses limites se modificam para um quarenta e cinco avos (1/45)
e um trinta avos (1/30) do menor vo.
Os vos considerados econmicos podem ser adotados em torno de 4 m,
resultando reas aproximadas de 15 m2 a 20 m2.
As taxas de armadura devem resultar entre 2,4 a 3,2 kg/m2 ou 28 a 53 kg/m3 de
laje, apresentando pequenas variaes para distintos valores da resistncia caracterstica
do concreto.
O pr-dimensionamento das lajes usuais dos edifcios pode ser feito ainda com o
auxlio de algumas frmulas simplificadoras que levam em conta os valores limites paradimenses, deslocamentos e abertura de fissuras das mesmas, estabelecidas por normas
ou manuais de concreto armado, como, por exemplo, as encontradas na NBR 6118 [1978],
Manual do American Concrete Institute - ACI [1985] e Cdigo Modelo do Comit Euro-
International du Beton - CEB-FIP [1978]. Neste trabalho, entretanto, opta-se pelo que
normalmente feito pelos projetistas, a saber, um pr-dimensionamento feito diretamente em
funo de sua experincia e da comparao com outros projetos j realizados, atentando-
se para os referidos valores limites estabelecidos pelas respectivas normas tcnicas do
assunto e para os critrios prticos anteriormente apresentados. Assim sendo, apresentam-
se, a seguir, alguns valores limites que esto indicados no TEXTO BASE PARA REVISO
DA NB-1 [1994].
Os valores limites mnimos para as espessuras das lajes so:
a) Lajes macias:
a.1) 5 cm para lajes de cobertura;
a.2) 7 cm para lajes de piso;
a.3) 10 cm para lajes que suportem veculos de peso total 30 kN;a.4) 12 cm para lajes que suportem veculos de peso total > 30 kN.
b) Lajes nervuradas:
b.1) A espessura da mesa no deve ser menor que 4 cm e 1/15 da distncia
entre nervuras;
b.2) A espessura das nervuras no deve ser menor que 4 cm e 1/5 de sua
altura.
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Com relao aos deslocamentos limites, o TEXTO BASE PARA REVISO DA NB-1
[1994] os define como sendo valores prticos utilizados para a verificao do estado limite
de deformaes excessivas da estrutura. Os valores desses deslocamentos, adaptados do
referido texto para a anlise de pavimentos de edifcios, encontram-se na TABELA 2.4,
atendendo s seguintes observaes gerais:
a) Todos os valores limites de deslocamentos supem elementos suportados em suas
extremidades por apoios que no se movem;
b) L o menor vo terico das lajes, exceto em casos de verificao de paredes e
divisrias, onde interessa a direo na qual a parede ou divisria se desenvolve. Quando se
tratar de balanos, o vo a ser considerado deve ser o dobro do comprimento do balano;
c) Deslocamento total a soma de todos os deslocamentos individualmente computados
para todas as aes, mais os efeitos dependentes do tempo, quando se fizerem presentes;
d) Deslocamentos excessivos podem ser parcialmente compensados por contraflechas.
(1) As superfcies devem ser suficientemente inclinadas ou o deslocamento
previsto compensado por contraflechas, de modo a no se ter acmulo
de gua.
(2) Os deslocamentos podem ser parcialmente compensados pela
especificao de contraflechas. Entretanto, nenhum deslocamento
incremental, nem a atuao isolada da contraflecha, podem ocasionar
um desvio do plano maior que L/350.
(3) O vo L deve ser tomado na direo na qual a parede ou a divisria sedesenvolve.
(4) Rotao nos elementos que suportam paredes. Equivale a 1/600 da
altura da parede.
TABELA 2.4 - Valores limites para deslocamentos
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Razes Deslocamentos Deslocamento
Critrios da Exemplos limites a
limitao considerar
Aceitabilidade Visual Deslocamentos em L/250 DeslocamentoSensorial elementos estrutu- total
rais visveis
Superfcies que Coberturasdevem drenar e L/250 (1) Deslocamento
Estrutura gua Varandas totalem
servio Pavimentos que Ginsios L/350 mais Deslocamentodevem perma- e contraflecha totalnecer planos Pistas de Boliche ou L/600 (2)
Alvenaria, caixilhos L/500 (3) ou Deslocamentose revestimentos 10 mm ou ocorridos aps a
f=0,0017rad (4) construo daParedes parede
Divisrias leves e L/250 (3) ou DeslocamentosEfeitos em Caixilhos telesc- 25 mm ocorridos aps aelementos picos instalao da
no estruturais divisria
DeslocamentosRevestimentos L/360 ocorridos aps a
Forros colados construo doforro
Revestimentos Deslocamentospendurados ou L/180 ocorridos aps a
com juntas construo doforro
2.4 DISPOSIES CONSTRUTIVAS
Visando a otimizar, uniformizar e padronizar os procedimentos de elaborao de
projetos bem como de sua execuo, determinadas empresas de engenharia estabelecem
normas para serem seguidas em suas obras, normas estas que abrangem desde critrios e
parmetros para projeto como disposies construtivas a serem especificadas pelos
mesmos. Embora sendo indicadas mais restritamente s empresas que as estabelecem,tais disposies so importantes e colaboram para a engenharia civil do pas, tendo-se em
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vista a experincia de tais empresas na rea de construo. Apresentam-se, a seguir,
alguns tipos destas disposies estabelecidas para as lajes dos edifcios usuais, conforme
constam no trabalho de PRELORENTZOU & GIORGI [1994], na NBR 6118 [1978] e no
texto base para sua reviso [1994]:
a) As espessuras das lajes devem ser uniformizadas ao longo do pavimento do edifcio,
sendo desaconselhvel um nmero de espessuras maior que 2; (PRELORENTZOU &
GIORGI [1994])
b) As bordas das lajes em balano devem ter uma viga de contorno para enrijecimento e
ancoragem da impermeabilizao; (PRELORENTZOU & GIORGI [1994])
c) Devem ser evitados rebaixos nas lajes, exceto nos casos de detalhe arquitetnico;
(PRELORENTZOU & GIORGI [1994])
d) Armaduras mnimas: (TEXTO BASE PARA REVISO DA NB-1 [1994])
As armaduras positivas das duas direes de lajes armadas preponderantemente
nas duas direes, devero obedecer (sendo b = 100 cm e d a altura til da laje em cm) ao
mnimo dado por:
As,mn= 0,12 % .b.d para aos CA-50 e CA-60 (cm2/m)
As,mn= 0,25 % .b.d para aos CA-25 (cm2/m)
Nas lajes armadas preponderantemente em uma direo os mnimos sero dados
por:
Armadura da direo principal:
As,mn= 0,15 % .b.d para aos CA-50 e CA-60 (cm
2
/m)Armadura da direo secundria:
As,mn > 0,10 % .b.d (cm2/m)
20 % da armadura principal (cm2/m)
0,9 cm2/m
As armaduras negativas tero como mnimo:
As,mn= 0,15 % .b.d para aos CA-50 e CA-60 (cm2/m)
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As,mn= 0,25 % .b.d para aos CA-25 (cm2/m)
As armaduras de trao e compresso de lajes tero como mximo o valor de 4% da
respectiva rea de concreto onde vo atuar.
e) Dimetros () recomendados para as barras das armaduras: (PRELORENTZOU &
GIORGI [1994])
5,0 mm;
Ao CA 60:
4,2 mm (s para distribuio);
Ao CA 50: 6,3; 8,0; 10 mm;
Para armaduras negativas no utilizar 5,0 mm;
No utilizar dimetros que excedam 1/10 da espessura da laje; (NBR
6118 [1978])
f) Espaamento das barras: (NBR 6118 [1978])
Na regio dos maiores momentos nos vos das lajes, o espaamento das barrasda armadura principal no deve ser maior que 20 cm. Nas lajes armadas numa
nica direo, esse espaamento no deve, tambm, ser maior que duas vezes a
espessura (2h);
Os estribos nas lajes nervuradas, sempre que necessrios, no devem ter
espaamento maior que 20 cm;
O espaamento das barras de distribuio no deve ser maior que 33 cm.
g) No detalhamento das armaduras, verificar sempre a possibilidade de uniformizar os
comprimentos das barras longitudinais, ou seja, diminuir ao mximo o nmero de posies
ou tipos de barras; (PRELORENTZOU & GIORGI [1994])
h) A extenso dos apoios extremos de uma laje, sobre alvenaria, no deve ser menor que
sua espessura no meio do vo, nem inferior a 7 cm; (NBR 6118 [1978])
i) Aberturas: (NBR 6118 [1978])
Quando forem previstas aberturas nas lajes, deve-se verificar o seu efeito na
resistncia e na deformao de modo que no sejam ultrapassados os limites exigidos pela
referida norma. Esta verificao poder ser dispensada nos seguintes casos:
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aberturas normais ao plano mdio das lajes armadas numa s direo, se na
direo perpendicular armadura principal a maior dimenso da abertura no
ultrapassar 1/10 da largura til e nem 1/10 do vo, no havendo entre duas
aberturas consecutivas distncia inferior a 1/2 do vo e entre uma abertura e a
borda livre das laje distncia inferior a 1/4 do vo;
aberturas normais ao plano mdio das lajes armadas em cruz, se a dimenso
da abertura em cada direo da armadura no ultrapassar 1/10 do menor vo
e no houver entre duas aberturas distncia inferior a 1/2 do vo e entre uma
abertura e a borda livre da laje distncia inferior a 1/4 do vo;
aberturas paralelas ao plano mdio das lajes, se a sua maior dimenso
transversal for inferior a 1/3 da espessura da laje e o espaamento entre duas
aberturas consecutivas de centro a centro for superior a 4 vezes aquela maiordimenso.
j) Cobrimento: (NBR 6118 [1978])
Qualquer barra das armaduras de uma laje, at mesmo de distribuio, deve ter
cobrimento de concreto pelo menos igual ao seu dimetro e no menor que
Para concreto revestido com argamassa de espessura mnima de 1 cm:
0,5 cm em lajes no interior de edifcios
1,5 cm em lajes e paredes ao ar livre
Para concreto aparente:
2,0 cm no interior de edifcios
2,5 cm ao ar livre
2.5 CONSIDERAES FINAIS
Algumas informaes apresentadas neste captulo, principalmente no que dizrespeito ao pr-dimensionamento e s disposies construtivas a considerar nos projetos
de edifcios, no constituem indicaes das normas tcnicas da rea. Entretanto, foram
apresentadas em carter sugestivo, tendo em vista a experincia de seus respectivos
autores. Com relao s prescries das normas tcnicas apresentadas, ressalta-se que
foram transcritas com o intuito de reunir as mais diretamente relacionadas com o
dimensionamento das lajes de edifcios, visando a facilitar sua aplicao tanto neste
trabalho como tambm em outros projetos.
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3 TIPOS DE ANLISE ESTRUTURAL E SEUS FUNDAMENTOS
TERICOS PARA OS ELEMENTOS DE PLACA
3.1 INTRODUO
A anlise estrutural tem por objetivo determinar os efeitos das aes em uma
estrutura, com a finalidade de efetuar verificaes de estados limites ltimos e de utilizao,
segundo definies do TEXTO BASE PARA REVISO DA NB1 [1994]. Atravs da anlise
estrutural, torna-se possvel estabelecer as distribuies de esforos internos, tenses,
deformaes e deslocamentos, em uma parte ou em toda a estrutura. Deve ser realizada
atravs de um modelo estrutural que represente, da maneira mais adequada possvel, o
comportamento da estrutura real, permitindo delinear assim o caminhamento das tenses
at os apoios da mesma. Em casos muito complexos, a interao solo-estrutura tambm
deve ser contemplada no modelo.
As estruturas usuais de edifcios podem ser idealizadas, ao serem submetidas
anlise, como sendo uma composio de elementos estruturais bsicos, classificados de
acordo com sua forma geomtrica e sua funo estrutural. O presente trabalho tem por
objeto de anlise os elementos de superfcie, que so aqueles em que a menor dimenso,
usualmente chamada espessura, no supera a quarta parte do menor vo. Concentra-se a
ateno, aqui, mais precisamente nos elementos designados por placas, que so elementosde superfcie plana sujeitos principalmente a aes normais ao seu plano mdio. As placas
de concreto armado so normalmente conhecidas com o nome de lajes.
Os elementos de placa podem ser analisados admitindo-se que so vlidas as
seguintes hipteses bsicas:
a) As sees planas permanecem planas aps as deformaes;
b) Os elementos podem ser representados por seu plano mdio.
Em funo do nvel de solicitao que se esteja submetendo o concreto armado e
dos respectivos valores das tenses de compresso observados, a anlise estrutural das
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lajes pode ser efetuada, conforme consta no TEXTO BASE PARA REVISO DA NB1
[1994], atravs de cada um dos tipos de anlise apresentados abaixo.
3.2 ANLISE LINEAR
Admite-se o comportamento elstico-linear para o concreto armado. aplicvel,
segundo indicaes do TEXTO BASE PARA REVISO DA NB-1 [1994], quando se tem um
nvel de solicitao que produz tenses de compresso que no superam 50% da
resistncia caracterstica (fck) do mesmo. As caractersticas geomtricas podem ser
determinadas pelas sees brutas das lajes, e o mdulo de elasticidade e o coeficiente dePoisson adotados de acordo com os valores prescritos pelo texto acima citado.
A anlise linear fornece resultados que normalmente so usados para a verificao
dos Estados Limites de Utilizao. Para a grande maioria das estruturas de concreto
armado, no entanto, possvel estender tais resultados, com razovel segurana, para
verificaes aproximadas de Estado Limite ltimo, mesmo com altas tenses, desde que se
observem a ductilidade em determinadas sees crticas sujeitas a maiores rotaes.
Para a verificao do Estado Limite de Deformao Excessiva, permitido utilizar
valores de rigidez do Estdio I para os elementos estruturais, com o valor secante (Ec) do
mdulo de elasticidade longitudinal do concreto, considerando-se os efeitos da deformaolenta atravs da multiplicao do valor da flecha imediata pela relao entre a curvatura final
e a curvatura inicial na seo de maior momento fletor absoluto. Estes valores podem ser
calculados atravs de:
(1/r)inicial = (c + s) / d e (1/r)final = (c.c + s) / d
sendo c o encurtamento mximo do concreto correspondente situao inicial e s o
alongamento da armadura de trao, na situao inicial. O coeficiente c ser tomado iguala 3 se as aes de longa durao forem colocadas logo aps o descimbramento, e igual a 2
se colocadas somente seis meses aps a concretagem.
3.2.1 Fundamentos tericos da anlise linear dos elementos de placa
A anlise linear dos elementos de placa feita com base na teoria clssica de
Kirchhoff para placas delgadas. Tal teoria interpreta suficientemente bem o comportamentode placas que apresentam a relao espessura/menor vo entre 1/5 e 1/100. As lajes
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usuais dos edifcios possuem esta relao entre 1/40 e 1/60, atingindo at 1/80. A hiptese
clssica de Kirchhoff para placas finas estabelece que pontos situados sobre retas
originalmente normais superfcie mdia indeformada, permanecem sobre retas normais
superfcie mdia deformada. Admite-se, pois, que os pontos do plano mdio da placa
sofrem apenas deslocamentos verticais, pequenos em relao espessura da mesma,
desprezando-se os deslocamentos horizontais.
Alm da hiptese clssica de Kirchhoff, as demais hipteses admitidas para a
aplicao da teoria clssica da elasticidade de placas so que as mesmas so constitudas
de material homogneo e istropo, com comportamento elstico-linear sob variadas aes,
ou seja, com capacidade de retomar suas formas iniciais quando tais aes deixam de
atuar, estando assim sujeitas Lei de Hooke.
Na formulao matemtica da teoria, admitida uma carga p(x,y), normal ao planoda placa, que pode ser distribuda por qualquer lei, sobre toda ou parte da placa. A
deformada da placa definida por uma funo w(x,y), que determina os deslocamentos
verticais dos pontos (x,y) do plano mdio da mesma. Os esforos solicitantes que atuam
sobre um elemento de placa so mostrados na FIGURA 3.1, com
v dzx xzh
h
= ./
/
2
2
v dzy yzh
h
= ./
/
2
2
m z dz x xh
h
= . ./
/
2
2
m z dz y yh
h
= . ./
/
2
2
m m z dz yx xy xyh
h
= = . ./
/
2
2
sendo
vx = fora cortante por unidade de comprimento da seo da placa perpendicular ao eixo x;
vy = fora cortante por unidade de comprimento da seo da placa perpendicular ao eixo y;
mx = momento fletor por unidade de comprimento da seo da placa perpendicular ao eixo
x (em torno do eixo y);
my = momento fletor por unidade de comprimento da seo da placa perpendicular ao eixo
y (em torno do eixo x);
myx = momento volvente (ou de toro) por unidade de comprimento.
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FIGURA 3.1- Esforos solicitantes em um elemento de placa
O desenvolvimento da formulao, encontrado em ampla bibliografia do assunto,
como por exemplo em TIMOSHENKO [1940], no explicitado aqui. No entanto,
apresentam-se a seguir a equao diferencial das placas (equao de Lagrange) e as dos
respectivos esforos solicitantes resultantes sobre as mesmas:
4
4
4
2 2
4
42
w
x
w
x y
w
y
p
D+ + =
m Dw
x
w
yx = +
.
2
2
2
2
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m Dw
y
w
xy = +
.
2
2
2
2
m Dw
x yxy = .( ).1
2
v Dw
x
w
x yx = +
.
3
3
3
2
v Dw
y
w
x yy = +
.
3
3
3
2
com
DEh
=
=3
212 1( )rigidez flexo da placa, equivalente rigidez EI das vigas,
E = mdulo de deformao longitudinal,
h = espessura,
= coeficiente de Poisson.
As condies de contorno da equao diferencial expressa acima dependem dos
diferentes tipos de vinculao das bordas. Com isso, quando se trata, por exemplo, de uma
borda reta paralela ao eixo y, ter-se-, em funo do comportamento admitido para essa
borda, as seguintes condies de contorno possveis:
- borda engastada: o deslocamento vertical (w) e a rotao (w/x) so nulos;
- borda simplesmente apoiada: o deslocamento vertical (w) e o momento fletor (mx) so
nulos;
- borda livre: o momento fletor (mx) e a reao na borda (vx- mxy//y) so nulos.
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3.2.2 Anlise Linear com Redistribuio
A anlise estrutural definida como linear com redistribuio, conforme consta no
TEXTO BASE PARA REVISO DA NB-1 [1994], quando os efeitos das aes,
determinados em uma anlise linear, so redistribudos na estrutura, tendo em vista a
fissurao da seo onde ocorre o momento fletor mximo. Trata-se da considerao de
uma porcentagem de plastificao (limitada em 25%, segundo indicaes do referido texto
base para reviso da NB-1) na referida seo. Nesses casos, as condies de equilbrio e
de ductilidade devem ser obrigatoriamente satisfeitas.
Os efeitos de redistribuio devero ser considerados em todos os aspectos do
projeto estrutural, inclusive as condies de ancoragem e corte de armaduras.
Todos os esforos internos devero ser recalculados de modo a garantir o equilbriode cada um dos elementos estruturais e da estrutura como um todo.
Cuidados especiais devem ser tomados com relao a carregamentos de grande
variabilidade.
Quando for efetuada uma redistribuio, reduzindo-se um momento fletor de M para
M, em uma determinada seo transversal, a relao entre o coeficiente e a posio da
linha neutra nessa seo, visando a garantir condies de ductilidade, ser dada por:
0,44 +1,25 x/d para concretos com fck 35 MPa ( 0,75)
0,56 +1,25 x/d para concretos com fck 35 MPa ( 0,75)
3.3 ANLISE LIMITE OU PLSTICA
Na anlise plstica, admite-se que o concreto armado trabalha na iminncia de
ruptura, ou seja, que ele apresenta um comportamento correspondente a uma fase posterior
da anlise no-linear de seu diagrama de tenso-deformao, caracterizada por
escoamento de armaduras e pelo progresso de linhas de plastificao ao longo da sua
estrutura. Admite-se, pois, neste tipo de anlise, um comportamento rgido-plstico perfeito
ou elasto-plstico perfeito para concreto armado, permitindo uma determinao adequada
do valor da carga mxima que ele pode ser submetido numa solicitao, carga esta
conhecida como carga de runa ou carga ltima.
No caso particular das lajes, objeto deste trabalho, o clculo exato pela teoria da
plasticidade no possvel, uma vez que o grau de indeterminao esttica das mesmas
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infinito. Com isso, em vez da obteno do valor exato da carga ltima, determinam-se dois
valores: um limite superior, dado pelo teorema cinemtico, e um limite inferior,
correspondente ao teorema esttico. Estes dois teoremas, acompanhados pelo da
unicidade, constituem a base fundamental para o desenvolvimento do clculo plstico e so
abordados de maneira sucinta a seguir.
a) Teorema cinemtico ou do limite superior
Este teorema estabelece que toda carga correspondente a um mecanismo de
valor igual ou superior ao da carga de runa da estrutura ou pea em anlise. D-se o nome
de mecanismo a toda e qualquer configurao de runa cinematicamente admissvel. Este
teorema permite, portanto, a definio de um limite superior para a carga efetiva de runa,dando margens a um clculo que pode ser contra a segurana, uma vez que d margem
para obteno de um valor superestimado da carga ltima.
A Teoria das Charneiras Plsticas (TCP) uma aplicao deste teorema s lajes e
constitui um instrumento de anlise de esforos para a considerao do Estado Limite
ltimo em placas, conforme indicaes do TEXTO BASE PARA REVISO DA NB-1 [1994].
No captulo 5, so apresentadas as hipteses bsicas e o desenvolvimento dos processos
de clculo para sua aplicao, acompanhados de um exemplo prtico sobre o pavimento de
um edifcio.
b) Teorema esttico ou do limite inferior
Estabelece que todo carregamento em equilbrio com uma distribuio de esforos
estaticamente admissvel apresenta valor igual ou inferior ao que provoca a runa. Entende-
se por distribuio de esforos internos estaticamente admissvel aquela que satisfaa s
condies de contorno e que no ultrapasse a capacidade resistente da pea ou estrutura
analisada. Permite, assim, a obteno de um limite inferior para a carga de runa e conduz a
um clculo a favor da segurana.
O processo das faixas de Hillerborg um exemplo de aplicao deste teorema,
baseando-se na determinao simplificada da distribuio de momentos, conforme se pode
ver em HILLERBORG [1975].
A anlise limite no pode ser adotada quando so considerados os efeitos de
segunda ordem global ou quando no houver suficiente ductilidade para que as
configuraes previstas sejam atingidas.
Com o intuito de se garantir as condies adequadas de ductilidade, dispensando a
verificao explcita da capacidade de rotao plstica da seo, prescrita no TEXTO BASE
PARA REVISO DA NB1 [1994], deve-se ter a posio da linha neutra limitada em:
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x/d 0,30.
A razo entre os momentos de extremidade ou de borda e momentos no vo ou
centrais, na mesma direo, deve estar entre 0,5 e 2,0.
3.4 ANLISE NO-LINEAR
A anlise no-linear considera o concreto armado trabalhando com um
comportamento no linear, levando em conta ou no os efeitos de segunda ordem, deacordo com o apresentado no TEXTO BASE PARA REVISO DA NB-1 [1994]. As
condies de equilbrio, de compatibilidade e de ductilidade devem ser necessariamente
satisfeitas. Este tipo de anlise permitida tanto para verificaes de Estados Limites
ltimos como para verificaes de Estados Limites de Utilizao.
Elementos estruturais isolados ou mesmo estruturas compostas de vrios
elementos sob nveis de tenses tais que lhe conferem um comportamento em regime
elstico no linear, podem ser analisados com o auxlio de mtodos numricos que admitem
um diagrama momento-curvatura de clculo e que em mdia, as sees planas
permanecem planas.
Antes de sua realizao necessrio fazer uma estimativa preliminar da disposio
e quantidade de armaduras, uma vez que as mesmas influenciam seu desenvolvimento.
Essa estimativa normalmente feita atravs de modelos mais simples em anlise linear.
Todos os esforos internos, tenses, deslocamentos e deformaes da estrutura devem ser
calculados com base em valores mdios das propriedades dos materiais (Ecm, fctm, etc.),
com exceo de regies crticas (como por exemplo as de apoios, regies de cargas
concentradas, regies de encontro de vigas) em que a resistncia ltima precisa ser
calculada, onde devem ser adotados valores de clculo para essas propriedades.
Os valores finais das reas de armaduras obtidos da anlise no linear devem ser
bem prximos daqueles previamente estimados. Havendo diferenas significativas, devem
ser adotados os ltimos resultados obtidos como estimativa preliminar e repetir-se o
processo at sua convergncia.
3.5 ANLISE ATRAVS DE MODELOS FSICOS
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Neste tipo de anlise, conforme apresentado no TEXTO BASE PARA REVISO DA
NB-1 [1994], o comportamento do concreto armado determinado a partir de ensaios
realizados com modelos fsicos em laboratrio. indicada quando os modelos de clculo
no so suficientes para uma boa previso do comportamento real da estrutura.
Devem ser tomados cuidados especiais quanto metodologia empregada nos
experimentos e a possibilidade de interpretao estatstica dos resultados.
necessria a simulao em ensaios de todos os Estados Limites ltimos e de
Utilizao possveis de serem empregados na anlise da estrutura. Todas as aes,
condies e possveis influncias que possam ocorrer durante a vida da estrutura devem
ser convenientemente reproduzidas em laboratrio.
3.6 CONSIDERAES FINAIS
Neste captulo foram apresentados sucintamente os fundamentos tericos dos
possveis tipos de anlise estrutural para os elementos de placa. A escolha de um ou outro
tipo de anlise depende do nvel de solicitao que se esteja admitindo para o concreto
armado. O presente trabalho aborda, entretanto, apenas os modelos de anlise mais
comumente empregados pelos projetistas, a saber, em anlise linear (com ou sem
redistribuio), atravs do clculo com tabelas (desenvolvidas, em sua maioria, pela
resoluo da equao diferencial das placas por diferenas finitas), do clculo atravs do
mtodo dos elementos finitos e da tcnica da analogia de grelha e em anlise limite ou
plstica, atravs da teoria das charneiras plsticas. A no linearidade fsica das placas no
abordada aqui e melhores esclarecimentos sobre sua aplicao podem ser encontrados
no Anexo 3 do TEXTO BASE PARA REVISO DA NB-1 [1994] e tambm no trabalho de
CORRA [1991], onde se encontra expressivo estudo do assunto, com implementao
computacional para a formulao utilizada e exemplo prtico de clculo do pavimento de um
edifcio.
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4 MODELOS ESTRUTURAIS PARA ANLISE LINEAR DAS LAJES DEEDIFCIOS
4.1 INTRODUO
A escolha de um modelo estrutural para a anlise linear das lajes de um edifcio
depende, de modo mais genrico, do nvel de dificuldades e particularidades que a forma do
pavimento apresente. Formas estruturais mais simples podem ser calculadas atravs de
modelos simplificados, ao passo que formas mais complexas requerem modelos mais
refinados de anlise. importante ressaltar que mesmo para anlise de formas simples
necessria muita ateno por parte do projetista, pois modelos que no contemplem a
rigidez relativa entre elementos estruturais podem conduzir a resultados que alm de serem
imprecisos, sejam inseguros. Outro fator importante nesta escolha maneira como so
considerados os carregamentos atuantes sobre as lajes, principalmente quando da
existncia de aes concentradas devidas presena de paredes atuando diretamente
sobre as mesmas, pois modelos simplificados que as considerem como uniformemente
distribudas, conduzem a resultados tambm imprecisos.
O presente captulo apresenta aspectos tericos e prticos de alguns modelos de
anlise linear de lajes de edifcios, abrangendo desde os mais simples, com base no uso de
tabelas que tratam as lajes isoladamente umas das outras, at os mais refinados como o
mtodo dos elementos finitos, que contempla de maneira mais precisa a interao entre os
elementos estruturais que compem o pavimento, como tambm a atuao dos
carregamentos. abordada ainda a anlise atravs da tcnica da analogia de grelha, que
apesar de tratar as lajes como barras de uma grelha equivalente, constitui um bom modelo,
possibilitando as mesmas consideraes j citadas para o mtodo dos elementos finitos.
Para cada um dos modelos citados, so apresentados os resultados de um exemplo
de aplicao desenvolvido sobre o pavimento tipo do edifcio Vitria Rgia, projetado pelo
Escritrio Tcnico Jos Roberto Leme de Andrade S/C Ltda., So Carlos - SP, e construdo
na mesma cidade Rua Jos Bonifcio, esquina com a Rua XV de Novembro, cuja planta
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FIGURA 4.1 - Forma do pavimento tipo do Edifcio Vitria Rgia
de forma se apresenta FIGURA 4.1. Foram admitidos para o concreto armado o valor
secante do mdulo de deformao longitudinal Ec = 2,754E7 kN/m2, 0,2 para o coeficiente
de Poisson e foram utilizados os seguintes valores de carregamentos:
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Peso-prprio = 2,50 kN/m2 (espessura = 10 cm)
Piso + Revestimento = 1,00 kN/m2
Sobrecarga = 2,00 kN/m2
Aes devidas s alvenarias (h=2,70 m) situadas sobre as lajes: (j
includas as aes da argamassa de assentamento e reboco ou azulejo)
Parede de 1 tijolo (furado ou baiano) = 3,13 kN/m2
Parede de 1 tijolo com azulejo = 3,43 kN/m2
Parede de 1/2 tijolo = 1,99 kN/m2
Parede de 1/2 tijolo = 2,30 kN/m2
A verificao das flechas nas lajes do pavimento estudado, feita levando-se em
considerao, para todos os modelos propostos, o efeito da deformao lenta, atravs damajorao da flecha inicial pela relao entre as curvaturas inicial e final da seo de maior
momento fletor absoluto, conforme j mencionado neste trabalho. admitido para o
coeficiente c (relao entre os encurtamentos mximos inicial e final do concreto) o valor 3,
ou seja, as aes de longa durao sendo colocadas logo aps o descimbramento.
Tomando por base a equao de compatibilidade de deformaes, conforme
esquematizado na FIGURA 4.2, e designando a relao entre a posio da linha neutra (x)
e a altura til da seo (d) por um coeficiente x, resulta:
(1/r) = (c + s) / d
(1/r)final / (1/r)inicial = 2.x + 1 =
c
d
s
c s
x d x=
x
x
d=
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FIGURA 4.2 - Diagrama de deformao da seo de maior momento fletor - Equao de
Compatibilidade
A flecha final (af) fica ento determinada pela majorao da flecha inicial (a i) pelo
coeficiente :
af= . ai
Tendo em vista que a flecha inicial diretamente proporcional ao carregamento
considerado e visando a obteno direta dos valores de flecha nos modelos com utilizao
de softwares, optou-se por majorar na mesma proporo a solicitao de clculo prescrita
pela NBR 8681 [1984] para a verificao do Estado Limite de Deformao Excessiva, a
saber:
Sd = Sg k + Sq k
sendo = 0,2 para o tipo de edifcio adotado como exemplo.
Um valor razovel e a favor da segurana a considerar para o coeficiente x 0,7,
que um valor prximo ao correspondente transio dos domnios 3 e 4 de
dimensionamento do concreto armado. Todas as sees a serem dimensionadas
apresentaro, certamente, valores de x inferiores ao admitido acima. Deste modo, a
solicitao de clculo a considerar resulta na seguinte expresso:
Sd = . Sg k + 0,2 . Sq k
Sd = (2.x + 1) . Sg k + 0,2 . Sq k
Sd = 2,4 . Sg k + 0,2 . Sq k
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4.2 CLCULO APROXIMADO MEDIANTE O USO DE TABELAS - MTODO ELSTICO
4.2.1 Generalidades
A aplicao do processo das diferenas finitas para integrao da equao geral
das placas elsticas , conforme relatado anteriormente, de grande viabilidade para a
elaborao de tabelas para clculo aproximado dos esforos solicitantes nas placas de
formas e carregamentos mais comumente encontrados.
Dentre estes processos de clculo aproximado, encontra-se o de MARCUS [1929],
de grande importncia histrica, por ser o mais indicado da fase anterior aos computadores
eletrnicos. aplicvel s lajes retangulares com carga uniforme e bordas apoiadas ou
engastadas.O grande impulso dado ao desenvolvimento dos mtodos numricos em engenharia
com o advento dos computadores, possibilitou a elaborao de tabelas que substituem hoje,
com muitas vantagens, as tabelas de Marcus encontradas, por exemplo, em ROCHA [1971].
Entre estas novas alternativas em tabelas, citam-se as de BARES [1972] e as de CZERNY
[1976].
Ressalta-se que ao se lanar mo de um processo aproximado de clculo, mediante
o uso de tabelas, os painis de laje so considerados independentemente das vigas que lhe
servem de apoio, desprezando sua deformabilidade. As continuidades entre painis so
tratadas de formas simplificadas, como se no houvesse interao entre eles ou supondo-se engastamento fixo ou, ainda, buscando-se uma compatibilizao dos momentos fletores
adjacentes de um apoio, com posteriores correes dos momentos centrais. Todo o
carregamento atuante na laje, incluindo as cargas de parede e sobrecargas de utilizao,
admitido como uniforme sobre toda a superfcie do painel. Tais consideraes podem
conduzir este tipo de anlise a resultados muito imprecisos, dependendo da forma do
pavimento que se queira analisar. Entretanto, so apresentados a seguir os resultados
obtidos com o uso de tabelas para o pavimento tipo estudado, visando a comparao com
os demais modelos propostos neste captulo.
4.2.2 Aplicao sobre o pavimento tipo do edifcio Vitria Rgia
Apresentam-se, a seguir, atravs da TABELA 4.1, os resultados obtidos pela
utilizao de uma adaptao das tabelas de Bares, conforme encontrado em PINHEIRO
[1986], sobre a forma do pavimento tipo do edifcio vitria Rgia.
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TABELA 4.1 - Momentos fletores e deslocamentos obtidos atravs do clculo desenvolvido
com auxlio de tabelas - mtodo elstico
MOMENTOS FLETORES E DESLOCAMENTOS AO LONGO DO CORTE A-A*POSIO MXX (kN.m/m) DESLOCAMENTOS (cm)
Borda LT12 0,00Centro LT12 3,19 0,52Vinc. LT12/13 -8,60Centro LT13 3,34 0,51Vinc. LT13/14 -6,67Centro LT14 2,39 0,09Borda LT14 -6,67* Corte A-A: Corte paralelo a VT07, passando pelo centro das lajes LT12/13/14 (FIG.4.1)
MOMENTOS FLETORES E DESLOCAMENTOS AO LONGO DO CORTE B-B*POSIO Myy (kN.m/m) DESLOCAMENTOS (cm)
Borda LT13 0,00Centro LT13 5,53 0,51Vinc. LT13/08 -8,02Centro LT08 2,49 0,14Vinc. LT08/02 -9,89Centro LT02 6,48 0,66Borda LT02 0,00* Corte B-B: Corte paralelo a VT09, passando pelo centro das lajes LT13/08/02 (FIG.4.1)
MOMENTOS FLETORES E DESLOCAMENTOS NAS LAJES EM BALANOPOSIO M (kN.m/m) DESLOCAMENTOS (cm)
BAL-01 -6,92 0,26BAL-02 -8,85 0,43
4.3 CLCULO ATRAVS DA TCNICA DA ANALOGIA DE GRELHA
4.3.1 Generalidades
A tcnica da analogia de grelha consiste na representao da laje ou mesmo do
pavimento de um edifcio atravs de uma grelha equivalente, de modo que as rigidezes
longitudinais da laje sejam concentradas nas barras dessa direo e as rigidezes
transversais nas barras da direo ortogonal a ela.
Foi usada pioneiramente em computador por LIGHTFOOT e SAWKO [1959],
atravs da adaptao de um programa para clculo de prticos planos, tendo-se em vista a
similaridade dos procedimentos de anlise para prticos planos e grelhas pelo mtodo dos
deslocamentos, bem como das equaes bsicas de compatibilidade de deformaes.
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bem indicada para ser utilizada no clculo de tabuleiros de pontes como pode ser
visto em HAMBLY [1976].
Tm-se referncias tambm do uso da tcnica para o clculo de lajes cogumelo,
com resultados satisfatrios, conforme relatam BRANCO [1989] e FIGUEIREDO [1989].
Mais recentemente, a tcnica vem sendo utilizada como uma opo na anlise das
lajes usuais de edifcios, de acordo com o proposto por BARBOZA [1992] e cujo texto
tomado como base para o que apresentado aqui.
No processo de aplicao da tcnica, deve-se garantir que as rigidezes das barras
sejam tais que, ao submeterem-se as duas estruturas a um mesmo carregamento, elas se
deformem de maneira idntica e que os esforos solicitantes em qualquer barra da grelha
sejam iguais s resultantes das tenses na seo transversal da parte da laje que a barra
representa.Para que um elemento infinitesimal de laje esteja em equilbrio, de acordo com a
teoria clssica de placas, necessrio que os momentos torores em duas direes
ortogonais sejam iguais. Na grelha equivalente obtida no desenvolvimento da tcnica, no
h princpios matemticos ou fsicos que garantam tal condio. Entretanto, se a malha da
grelha for suficientemente pouco espaada, a mesma se deformar formando uma
superfcie lisa e apresentar distores aproximadamente iguais nas direes ortogonais,
bem como momentos torores aproximadamente iguais se as rigidezes toro forem as
mesmas na duas direes.
Convm ressaltar que nas barras da grelha os momentos fletores so proporcionais
apenas s curvaturas de sua direo, fato este que resulta num inconveniente a mais no
uso da tcnica, uma vez que num elemento de placa, o momento fletor numa direo
depende tanto da curvatura dessa direo como da ortogonal a ela. BARBOZA [1992]
Independentemente desses tipos de limitaes da tcnica, a mesma se apresenta
como uma ferramenta a mais para a anlise de lajes de edifcios, podendo ser considerada
mais refinada que o clculo clssico mediante tabelas, uma vez que leva em considerao a
interao entre todos os elementos estruturais do pavimento e possibilita um
posicionamento preciso das cargas concentradas devidas s aes das paredes situadas
sobre as lajes.
4.3.2 Critrios para traado das malhas de grelha
Diante da variabilidade de formas das lajes e dos diferentes tipos de carregamento,
difcil estabelecer-se ou definir-se uma malha como sendo genericamente a ideal para
cada caso. Assim sendo, visando melhores esclarecimentos sobre o uso da tcnica,
apresentam-se a seguir, algumas consideraes para sua correta aplicao neste trabalho.
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De acordo com indicaes de HAMBLY [1976], apresentadas em BARBOZA [1992], so
vlidos os seguintes critrios para lajes retangulares, que devem ser adequados a cada tipo
de laje que se deseja modelar:
a) As barras da grelha devem estar localizadas em posies pr-determinadas pelo projeto,
tais como linhas de apoio ao longo das vigas de extremidade, bem como de outras se
existirem, que contenham uma ao especfica;
b) Em lajes orttropas, cada barra deve ter no mximo uma largura igual a 1/4 do vo
transversal ao seu eixo;
c) Numa laje orttropa, na direo de menor inrcia, deve-se considerar a largura dasbarras igual a 40% do vo transversal ao seu eixo. Caso haja dvidas quanto isotropia ou
ortotropia da laje, deve-se adotar o critrio anterior;
d) Quanto mais densa a malha, melhores sero os resultados obtidos. No entanto, essa
melhora deixa de acontecer quando a largura das barras for menor que duas ou trs vezes
a espessura da laje;
e) No caso de existncia de balanos na laje, necessrio colocar-se pelo menos duas
barras transversais ao vo em balano;
f) Deve-se colocar uma linha de barras no contorno livre da laje, cuja largura para o clculo
do momento de inrcia toro deve ser diminuda de 0,3 h, por se tratar do ponto por onde
passa a resultante das tenses de cisalhamento devidas toro;
g) Nas regies de grande concentrao de esforos, tais como apoios ou cargas
concentradas, recomenda-se dispor uma malha cuja largura das barras no seja superior a
trs ou quatro vezes a espessura da laje;
h) No devem ser considerados os orifcios na laje desde que sua maior dimenso no
exceda 3h, sendo h a espessura da laje, a no ser que estejam localizados muito prximos
dos pilares. Existindo aberturas maiores, devem ser aplicados os mesmos critrios vlidos
para as bordas livres.
O momento de inrcia flexo das barras longitudinais e transversais da grelha
calculado considerando que cada barra representa uma largura b de laje igual a distncia
entre os centros dos vos adjacentes barra, com valor dado pela respectiva equao
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estabelecida pela resistncia dos materiais para as sees retangulares (I = b . h3 / 12)..
Para o momento de inrcia toro (IT) admitido o valor correspondente quele indicado
pela teoria de Saint Venant, de acordo com a frmula apresentada abaixo, encontrada em
TIMOSHENKO [1981].
IT = . b . c3
sendo b o maior lado da seo, c o menor lado e com variando em funo de uma relao
entre os mesmos, de acordo com as indicaes abaixo:
b/c 1,00 1,50 1,75 2,00 2,50 3,00 4,00 6,00 8,00 10,00
0,141 0,196 0,214 0,229 0,249 0,263 0,281 0,299 0,307 0,313 0,333
Outro aspecto importante que merece destaque na aplicao da tcnica da analogia
de grelha, a considerao da vinculao dos pilares na grelha equivalente, de modo a
avaliar a influncia de suas rigidezes no comportamento do pavimento em anlise. Esta
influncia simulada aqui atravs da colocao de barras, nos tramos adjacentes ao nvel
analisado, com comprimentos de meio tramo, inrcias correspondentes do pilar que
representam e com extremidades articuladas.
4.3.3 Aplicao sobre o pavimento tipo do edifcio Vitria Rgia
A aplicao da tcnica sobre o pavimento tipo do Edifcio Vitria Rgia feita
atravs do software SAP90, disponvel no Departamento de Estruturas da EESC - USP,
So Carlos, e cujas instrues de uso encontram-se em WILSON & HABIBULLAH [1988].
Foram processados dois modelos com elementos de barra, a saber, um com malha da
ordem de 0,50 m x 0,50 m e outro com malha da ordem de 1,00 m x 1,00 m, que no
resultaram uniformes devido a ajustes na forma do pavimento analisado. Estas malhas, comas respectivas numeraes de ns consideradas, podem ser vistas nas FIGURAS 4.3 e 4.4.
Ressalta-se que para as barras correspondentes s vigas do pavimento analisado, foram
considerados valores reduzidos do momento de inrcia toro (10% dos indicados
anteriormente), tendo em vista a baixa resistncia do concreto armado a este tipo de
solicitao. Entretanto, para as barras da grelha equivalente, foram admitidos os valores
indicados pela frmula apresentada, visando a sua comparao com os resultados obtidos
com o mtodo dos elementos finitos, cujo modelo foi desenvolvido considerando-se a
contribuio dos momentos volventes nos elementos de placa. Os resultados obtidos do
processamento encontram-se nas TABELAS 4.2 e 4.3.
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FIGURA 4.3 - Malha com espaamento da ordem de 1,00 m x 1,00 m - Numerao dos ns
FIGURA 4.4 - Malha com espaamento da ordem de 0,50 m x 0,50 m - Numerao dos ns
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TABELA 4.2 - Momentos fletores e deslocamentos ao longo do Corte XX (ver figuras 4.3 e
4.4) obtidos atravs da aplicao da tcnica da analogia de grelha
MALHA ~ 1,0 m MALHA ~ 0,5 mNs Mxx (kNm/m) DESL. (cm) Ns Mxx (kNm/m) DESL. (cm)
178 -1,40 -0,15 641 -1,34 -0,15642 1,72 -0,44
179 3,40 -0,72 643 2,85 -0,69644 3,41 -0,88
180 4,14 -1,03 645 3,79 -1,00646 4,29 -1,04
181 5,49 -0,99 647 5,13 -0,97648 2,97 -0,78
182 0,82 -0,53 649 0,47 -0,52650 -3,40 -0,25183 -9,76 -0,06 651 -10,00 -0,06
652 -4,05 -0,07184 -0,62 -0,18 653 -0,84 -0,19
654 0,85 -0,35185 2,13 -0,49 655 1,91 -0,49
656 2,79 -0,59186 4,10 -0,62 657 3,88 -0,62
658 2,25 -0,56187 0,85 -0,42 659 0,83 -0,43
660 -0,64 -0,29188 -2,67 -0,17 661 -2,63 -0,18189 -6,21 -0,15 662 -6,35 -0,16
663 0,49 -0,26190 6,12 -0,36 664 5,19 -0,34
665 3,15 -0,27191 -0,14 -0,11 666 -0,13 -0,11
Ao se analisar os resultados apresentados nas TABELAS 4.2 e 4.3, constata-se que
a aplicao da tcnica da analogia de grelha sobre a forma do pavimento estudado,
conduziu a resultados convergentes ao se refinar o espaamento das malhas de anlise,
tanto para os valores dos esforos momentos fletores como para os valores dos
deslocamentos. As diferenas observadas nos valores de mximos positivos e negativos
dos momentos fletores foram da ordem de 5 a 10%, apresentando diferenas maiores que
estas apenas em alguns pontos localizados. Para os deslocamentos, os valores
apresentados foram praticamente idnticos. Ressalta-se que, com relao aos momentos
8/2/2019 Analise de lajes
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fletores, os valores apresentados correspondem mdia entre os fornecidos pelas barras
consecutivas da direo considerada, uma vez que os mesmos eram diferentes em funo
da existncia dos momentos de toro das barras da outra direo concorrentes no mesmo
ponto. As FIGURAS 4.5 a 4.7 apresentam os resultados obtidos atravs de grficos
comparativo