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ANALISE DE PEÇAS LINEARES DE CONCRETO ARMADO
BASEADA NA MECÃNICA DAS ESTRUTURAS
Mauro Schulz
TESE SUBMETIDA AO CORPO DOCENTE DA COORDENAÇAO DOS PROGRAMAS DE PÕS-GRADUAÇAO DE ENGENHARIA DA UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JA NEIRO COMO PARTE DOS REQUISITOS NECESSARIOS PARA A OBTENÇÃO DO GRAU DE MESTRE EM CIÊNCIAS (M.Sc. ).
Aprovada por:
Prof. Benjamin Erna,iiaz (Presidente)
e Prof. Fernando Luiz Lobo B. Carneiro
dos Santos
(2,.vG:,~ d~ct"° [u,.a.,U,) /t,,0cc ·e Prof. Antonio Cliudio F. Maia
RIO DE JANEIRO, RJ - BRASIL NOVEMBRO DE 1981
i i
SCHULZ, MAURO
Anilise de Peças Lineares de Concreto Armado Base~da na Meci
nica das Estruturas JRio de Janeiro J 1981.
XV , 260 p. 29.7 cm (COPPE-UFRJ, M.Sc., Engenharia Civil,
1981 )
Tese - Universidade Federal do Rio de Janeiro. COPPE
1. Dimensionamento de concreto armado. I. COPPE/UFRJ. II. Titu
lo {Serie).
i i i
A Sonia
iv
AGRADECIMENTOS
Ao Professor Benjamin Ernani Diaz pelo apoio e
incentivo na orientação deste trabalho.
Aos Professores Michel Pre e Eduardo Christo da
Silveira Thomaz pela bibliografia indicada.
A Sonia Hilf Schulz pela elaboração grãfica deste
trabalho.
A CNEN pelo apoio financeiro.
V
SUM~RIO
Uma teoria geral e consistente para a anãlise de
tensões em peças lineares de concreto armado, submetidas a soli
citações combinadas de momento fletor, esforços cortante e nor
mal, ê apresentada neste trabalho. O modelo mecãnico adotado su
poe que o concreto seja formado por um conjunto de pequenas bie
las curvas, delimitadas pelas fissuras, cujas direções sao variã
veis ao longo da altura e da extensão da peça.
A partir das equaçoes que representam o comporta
mento do modelo, três processos de resolução são im~lementados.
No primeiro, denominado mêtodo da seção empenada, o problema e
analisado de forma completa. O mêtodo da seção equivalente ê a
principal simplificação apresentada pelo segundo. No terceiro
processo, critêrios baseados em normas são introduzidos.
Os processos podem ser aplicados em qualquer seçao
transversal, com um eixo de simetria, desde que seja admitida a
hipótese de que as tensões tangenciais se desenvolvam segundo
uma unica direção.
Analisam-se comparativamente os mêtodos apresenta
dos e diversas conclusões são obtidas.
Vi
ABSTRACT
A general and consistent theory for stress analy
sis of linear reinforced concrete members, subjected to bending
moment, axial and shear forces, is presented. The mechanical m~
del adopted assumes that the concrete is formed by small curved
struts, whose directions vary along the height and the longitu
dinal axis of the member.
Based on the equations which represent the model,
three analysis procedures are developed. ln the first,
warping section method, the entire set of equations is
named
consi-
dered. ln the second procedure the equivalent section method is
the main simplification done in the analysis. ln the third pr~
cedure design criteria based on the design cedes are intro
duced.
These procedures can be performed for any cross
section, with a single symmetry axis, if it is assumed that the
tangential stresses are oriented along the sarne direction.
The presented methods are compared and different
conclusions are drawn.
Vi i
TNDICE
INTRODUÇIIO............................................... 1
CAPITULO I - MECANISMOS DE RESISTtNCIA DE PEÇAS LINEARES
DE CONCRETO ARMADO.......................... 5
l .l - Dimensionamento a flexio composta.................. 5
1.2 - Distribuiçio de tensões em vigas submetidas i fle~
xio composta com esforço cortante.................. l O
1.3 - Distribuiçio efetiva das tensões de cisalhamento... 17
1.4 - Analogia da treliça de Ritter-Morsch.... .... .. .. .. . 20
1.5 - Extensio da analogia da treliça baseada no princi-
pio da energia complementar minima.... ... . . ... .. . . . 26
1.6 - Efeito de arco..................................... 31
l. 7 - Influência da forma da seçio transversal........... 35
1.8 - Analogia da treliça generalizada................... 38
1.9 - Anãlise plãstica do modelo da treliça.............. 39
1.10 - Efeitos secundãrios.... .... .. .. .. .... .. .... .... .. . 44
1.11 - Comportamento do concreto na biela de compressio.. 48
CAPITULO II - FORMULAÇIIO DA TEORIA DO CAMPO DE COMPRESSIIO
DIAGONAL .............................. ·..... 52
2.1 - Hipõteses simplificadoras.......................... 53
2.2 - O modelo mecânico para a anãlise................... 55
Vi i i
2.3 - Definição das tensões e deformações................ 55
2.4 - Equações diferenciais de equilTbrio. ....... ........ 59
2. 5 - Equações de compatibilidade........................ 61
2.5.1 - 1~ equaçao de compatibilidade.................... 61
2.5.2 - 2~ equaçao de compatibilidade.................... 61
2.5.3 - O princTpio das forças virtuais e o da energia
l t ~ . comp emen ar m1n1ma ............................. .
a a -2.5.4 - 3. e 4. equaçoes de compatibilidade ............. .
2.5.5 - Interpretação da equação (2.33) atravês da geom~
63
65
tria das deformações............................. 69
2.5.6 - Comportamento linear dos materiais............... 70
2.5.7 - Equivalência com a formulação de placas com arma-
dura em malha ortogonal.......................... 73
2.6.- Equações constitutivas............................. 75
2.7 - Incõgnitas, equações e condições de bordo.......... 78
2.8 - Equações globais de equilTbrio..................... 84
2.9 - A teoria do campo de compressão diagonal e o dimen
sionamento usual de concreto armado................ 86
CAPlTULO III - SOLUÇAO NUMERICA GERAL CONSIDERANDO O EM-
PENAMENTO DA SEÇAO 90
3.1 - Interpolação na direção x.... .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
3.2 - Determinação do ângulo q,......................... .. 93
3.3 - Os mêtodos de resTduos ponderados.................. 98
3.4 - Processo iterativo principal....................... 99
ix
3.5 - Comentários sobre o processo iterativo principal... 112
CAPITULO IV - METODO SIMPLIFICADO........................ 116
4.1 - Hipõteses simplificadoras - 19 estágio............. 116
4.2 - Hipõteses simplificadoras - 29 estágio............. 120
4.3 - Incõgnitas e equações.............................. 122
4.4 - O método da seção equivalente...................... 128
4.5 - Processo iterativo................................. 133
CAPITULO V - METODO PR~TICO BASEADO EM RECOMENDAÇÕES DE
NORMAS...................................... 139
5.1 - Dimensionamento da armadura transversal segundo cri
terios de norma.................................... 140
5.2 - Determinação do ángulo de inclinação das bielas.... 144
5. 3 - I ncõ gn i tas e e qua ç oe s .......................... ; . . . l 4 6
5.4 - Processo iterativo................................. 150
CAPITULO VI - RESULTADOS .................. ,, .... ,,....... 156
6. l - Programa de computador............................. 156
6.2 - Definição do erro medio............................ 158
6.3 - Análise comparativa dos processos propostos........ 160
6.4 - O ángulo de inclinação das bielas.................. 187
6.5 - Comparação com resultados experimentais............ 189
X
CAPiTULO VII - CONCLUSÕES................................ 199
BIBLIOGRAFIA............................................. 204
APtNDICE A - PROGRAMA DE COMPUTADOR...................... 212
A.1 - Descrição geral do programa........................ 212
A.1.1 - Subrotina LERCTE................................. 213
A.1.2 - Subrotina LERSRT..... .... . ... ...... .. .. .... .. .. .. 213
A.1.3 - Subrotina LERSCC................................. 214
A. 1.4 - Subrotina DIFER.................................. 214
A.1.5 - Subrotina ECOM................................... 214
A.1. 6 - Subrotina EACO................................... 214
A.1.7 - Subrotina SIMSON................................. 215
A.1.8 - Subrotina FLUXTH............................ ... .. 215
A.l.9 - Subrotina XXSDT.................................. 216
A . l . l O - S ú b ro ti na X X F. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 7
A.l.11 - Subrotina XTANOl................................ 217
A.1.12 - Subrotina XTAN02.... ... .. .. . .. .. .. .. .. .. . .. .. .. . 218
A.1.13 - Subrotina XTAN04................................ 218
A.1.14 - Subrotina RESOLV................................ 219
A.l.15 - Subrotina DEFORl................................ 219
A.l.16 - Subrotinas DEFOR2 e DEFOR3...................... 219
A.1.17 - Subrotina DEFOR4............... .... .. . .. .. .. .. .. 220
A.1.18 - Subrotinas xxi11rn e DEFOR5....................... 220
A. l. 1 9 - Sub r o t i na IJ1 PR 1 .. . .. .. .. .. .. . .. .. .. . . .. . .. .. .. .. 2 21
xi
A. l. 20 - Subrotina IMPR2................................. 221
A.l.21 - Subrotinas XXGXZ e IMPR3. .......... .. ........... 221
A.2 - Dados de entrada................................... 222
A.3 - Listagem do programa............................... 227
b
fc k
fcd
fyk
fyd
k
p
V
X , y, Z
z. l
Xi i
SIMBOLOGIA
- largura variãvel da seçao
- constante de diferenciação
- resistência caracter1stica do concreto
- resistência de cãlculo do concreto
- resistência caracter1stica da armadura longitudinal
- resistência de cãlculo da armadura longitudinal
- lndice associado a seçao transversal {k = l ,2,3,4)
- coeficientes que definem a derivada das deformações
longitudinais na direção x
indice associado a seçao transversal (l = l ,2,3,4)
- numero de termos da expansao polinomial que define a
deformada
- componente vertical do fluxo de cisalhamento
- coordenadas retangulares
- valor dez no bordo inferior da seçao
- braço de alavanca
valor dez no bordo superior da seçao
- area de armadura longitudinal em cada nivel
E .c
I
M
M
N
s
V
Xi i i
- inclinação da tangente a curva tensão-deformação do
concreto
- inclinação da tangente a curva tensão-deformação do
aço
- força na armadura longitúdinal a cada nível
momento de inércia da seçao equivalente em relação
ao centro de gravidade
- momento fletor de cãlculo
- momento fletor incremental
- momento fletor igual ã (M + H)
- esforço normal de calculo
- esforço normal incremental
- esforço normal igual a (N + N)
··momento estãtico da seçao equivalente em relação ao
centro de gravidade
superfície na qual as condições de contorno
definidas em termos de deslocamentos
superfitie na qual as condições de contorno
definidas em termos de forças
- esforço cortante
estão
estão
- coeficientes que definem um diagrama de deformações
y
E~
e
~a
0 sw
ªsub
xiv
longitudinais, aqui denominado deformada, 1 inear.
- coeficientes que definem uma deformada
numa seçao k.
- distorção angular
- deformação longitudinal
- deformação vertical
- deformação da armadura transversal
- deformação na direção da biela
ângulo dos estribos em relação ao eixo z
empenada,
ângulo de inclinação das bielas em relação ao eixo x
direção das tensões principais de compressao no es
tãdio II
- tensão longitudinal no concreto
- tensão longitudinal fictlcia no concreto
- tensão na armadura longitudinal
- tensão na armadura transversal
- tensão tangencial subtrativa
- tensão tangencial no concreto
- tensão transversal no concreto (na direção z}
'Rd
f'
fº
XV
- tensão nas bielas de concreto
- tensoes num elemento infinitesimal nao fissurado ou
tensoes impostas num elemento infinitesimal fissura
do
- tensão definida no Cõdigo Modelo CEB/FIP 47
- taxa de armadura transversal.
- taxa de armadura longitudinal
- derivada parcial da função f em relação a x
- derivada parcial da função f em relação a z
l
INTRODUÇAO
O comportamento de peças lineares de concreto ar
mado, submetidas somente a flexão e esforço normal, estã conve-
nientemente explicado por uma teoria consistente,
ãs normas de diversos pa,ses.
incorporada
A vasta maioria dos elementos estruturais nao es
tã, porem, submetida a este caso particular de solicitação, de
vendo resistir também a esforços cortantes. Estes, raramente
ocorrem isoladamente, mas sim associados ã flexão e ao esforço
normal. Deve-se, portanto, examinar o efeito destes esforços so
licitantes atuando concomitantemente.
A hipõtese de Bernoulli (a seçao transversal per
manece plana apos a deformação) permite um desacoplamento do
problema do cãlculo de tensões em peças lineares de material ho
mogêneo e elãstico. As tensões normais independem do esforço
cortante e as tensões tangenciais, por sua vez, do momento fle
tor.
As teorias adotadas para vigas e pilares, de con
crito armado ou protendido, pressupõem este desacoplamento do
problema. Demonstra-se que esta simplificação necessita de cor
reções. A regra da decalagem ê uma correção emp,rica que intro-
duz indiretamente o efeito do esforço cortante na determinação
das tensões horizontais. Ensaios antigos, realizados por
2
Morsch 15, jã mostravam a influência do momento fletor na distri
buição das tensões tangenciais. E, experimentalmente, constata
se um empenamento da seção transversal apõs a deformação.
A extensão do método dos elementos finitos ãs pe
ças de concreto armado, permite considerar diversas caracter,s
ticas reais de seu comportamento resistente, e assim determi
nar, com boa precisão, as tensões e as deformações ao longo de
todo o elemento estrutural. Um resumo dos métodos atuais de
aplicação de elementos finitos em concreto armado pode ser en
contrado no trabalho de Gergely e White 39• Todavia, estes cãlcu
los necessitam de grande esforço computacional e portanto nao
sao adequados para a prãtica de projeto.
Devido a este incoveniente de ordem econômica,uma
formulação mais simples ê aqui desenvolvida. Analisa-se o pro
blema numa Ünica seção, obedecendo porem a princ,pios lÕgicos
da mecânica estrutural. Os critérios podem ser aplicados a qual
quer tipo de seção transversal, com um eixo de simetria, subme
tidas a um carregamento combinado de esforço normal, momento
fletor e esforço cortante. Admite-se que os esforços normal e
cortante permanecem constantes no intervalo estudado, e que a
armadura de cisalhamento ê constitu1da por estribos contidos em
planos perpendiculares ao eixo da peça. Considera-se que o con
creto não resiste ã tração e que os esforços de compressão es
tão orientados segundo as direções das fissuras. Estas direções
sao variãveis ao longo da altura e do comprimento da peça. A ar
madura longitudinal não varia no intervalo estudado. Esta res-
3
trição, feita ao longo de todo o trabalho, pode porem ser facil
mente introduzida nos mêtodos propostos.
Esta formulação pode ser considerada uma exten-
sao, ao nivel de um element9 infinitesimal, da teoria da trel i-
ça de Ritter-MÜrsc~.Collins•,•, 1•,
11 denominou-a de teoria do
"Campo de Compressão Diagonal'', em analogia ao trabalho de
Wagner 14, onde este analisa o comportamento resistente ao esfor
ço cortante de vigas metilicas de alma esbelta. Ele assume que,
apõs a flambagem, as almas esbeltas não são capazes de resistir
a esforços de compressão, e que o esforço cortante ê absorvido
por um "Campo de Tração Diagonal".
Os primeiros trabalhos sobre o assunto, realiza
dos por Collins 8,
9,
10,
11 e tambêm por Guedes, Prê e Maia 7, ado
tam a hipótese das seções planas. Serão aqui desenvolvidas as
equaçoes que completam a teoria e um mêtodo numerico de solução
que permitem considerar o empenamento -da seção transversal apõs
a deformação.
A partir desta teoria consistente, desenvolveu-se
um processo simplificado para a pritica e implementação de pro
gramas de determinação de tensões e deformações. As hipõteses
adotadas permitem a aplicação do mêtodo da seção equivalente,
preconizado por Diaz 1,
2,_3 ,
4•
Finalmente, analisa-se comparativamente os proce~
sos rigoroso e simplificado e uma outra formulação, desenvolvi
4
da por Diaz 1•
2•
3•
4,. baseada no mesmo modelo mecãnico e em cri
térios de dimensionamento defintdos em normas.
Cumpre notar que as equaçoes aqui desenvolvidas
e os metadas propostos se aplicam a uma peça de espessura redu
zida, ainda que variãvel. Não obstante, seções circulares fo
ram analisadas. Nestas, a hipÕtese, adotada neste trabalho,
de que as tensões tangenciais se desenvolvem numa unica dire-
çao, representa uma simplificação do problema espacial real.
Nada impede, porem, que uma anãlise em tres dimensões seja
também formulada.
O presente trabalho pretende ·dar uma contribui
çao teõrica ã verificação de tensões em peças lineares de con
creto armado e pretendido, submetidas a solicitações combina
das de,esforço normal, momento fletor e esforço cortante e for
necer bases necessãrias para a implementação de processos num~
ricos de dimensionamento. Integra uma linha de pesquisa que p~
derã determinar, no futuro, os critérios de verificação a rup
tura de peças lineares de concreto armado.
5
CAP1TIJLO I
MECANISMOS DE RESISTtNCIA DE PEÇAS
LINEARES DE CONCRETO ARMADO
Os mecanismos de resistência de peças lineares de
concreto armado, submetidas a solicitações combinadas, são bas
tante complexos, o que dificulta atê hoje o estabelecimento de
um mêtodo geral e consistente para o dimensionamento. O numero
de variãveis envolvidas dificulta a interpretação dos resulta
dos dos ensaios e o estabelecimento de um modelo fisico simpli
ficado que permita uma anãlise global do problema.
Serão apresentados algumas teorias e conceitos que
ilustram a concepção atual do comportamento de vigas e pilares
de concreto armado sob momento fletor, esforço cortante e nor
mal, e que facilitarão a compreensão dos mêtodos propostos.
1.1 - DIMENSIONAMENTO A FLEX~O COMPOSTA
O estudo intensivo do comportamento de peças li
neares de concreto armado submetidas apenas a flexão e esforço
normal, alcançou conclusões importantes, universalmente acei
tas, incorporadas ãs normas de diversos paises.
As hipõteses bãsicas do dimensionamento a flexão
composta de el•ementos estruturais lineares são:
6
a) Supõe-se perfeita a aderência entre o aço e o concreto. Ou
seja, a armadura sofre a mesma deformação longitudinal mêdia
que o concreto que a involve.
b) As seçoes transversais permanecem planas apos a deformação
(hi põtese de Bernoulli). Assim, as deformações Eh das fibras
de uma seção na direção horizontal são proporcionais ãs suas
distâncias z a linha neutra, ou seja, o diagrama de deforma
ções ê linear:
( 1 . 1 )
c) Admite-se que as tensões horizontais no concreto (ahn) e na
armadura (os) são funções destas deformações longitudinais.
Ou seja:
d} A resistência a tração do concreto ê desprezada. Assim, de
acordo com a hipõtese anterior, as componentes horizontais
das tensões são consideradas nulas na região de deformações
longitudinais positivas. Todas as forças de tração necessa-
rias para manter o equilibrio interno serão
pela armadura.
providenciadas
7
A verificação ã ruptura ê definida pelas deforma-
çoes especificas limites fixadas pela norma em uso. Diversos
ãbacos e tabelas de dimensionamento têm sido apresentados para
os casos das seções mais comuns e disposições usuais de armadu-
ra.
Santathadaporn e Chen 1 8, Gal goul ! '!, e outros im
plementaram programas de computador que permitem a determinação
das tensões e deformações longitudinais numa seçao transversal
submetida a um conjunto de esforço normal N e momento fletor M.
Este processo iterativo, baseado no método de Newton - Raphson,
sera aqui apresentado resumidamente.
b
SEC ÃO TRANSVERSAL
.... ~-
e
DEFORMAÇÕES LONGITUDINAIS
-,
I /
~
-"7 Ohn
Os .
. TENSOES. HORIZONTAIS
Fig. 1.1 - Tensões e deformações numa seçao submetida a flexão
composta
O equilibrio exige que:
8
Jzi z. ,
Fl = b.ahn.dz + I ªs·As - N = o ( l . 4 ) zs zs
Jz i z. ,
F2 = b.ahn.z.dz + l ªs·As.z - M = o ( l. 5) zs ZS
onde b e a largura da peça, variãvel a cada nivel z da seçao e
As e a ãrea de armadura longitudinal, .considerada discreta ao
longo da altura.
Deseja-se encontrar os parâmetros a1 e a 2 que de-
terminam a deformada Eh que satisfaz as equações (1.4) e
( l . 5 ) . A parti r d e um a estima tiva d estas v ar i ã v e i s , num a i ter a -
ção !, determina-se os valores de F1 e F2 segundo as expressões
(1.4) e (1.5). Caso o equilibrio esteja satisfeito, interrompe-
se o processo. Em caso contrârio, inicia-se uma nova iteração
(I + l) com uma nova aproximação de a 1 e a 2 . Esta nova estimati
va e calculada resolvendo o sistema de equaçoes:
( l. 6)
onde 6Fn e a diferença entre o valor exato da expressao Fn e o
valor obtido na aproximação !. Os valores exatos das expressões
Fn são nulos, tais como definidos nas expressoes (1.4) e (1.5).
9
Assim, os acréscimos nF sao iguais a: n
( 1. 7)
( l . 8 )
ou seja, os valores encontrados na iteração I, com sinais troca
dos.
Os valores das derivadas parciais no sistema de
equaçoes (1.6) são calculados através das expressões (ver
Santathadaporn e Chen'ª):
Jzi z.
aN l
= E . b. dz + l Es.As a a 1
c zs zs
( 1. 9)
z. aN aM Jz i l
= = E .b.z.dz + l Es.As.z ªª2 ªª1
c zs zs
(1.10)
aM Jz i z i
= E . b. z 2. dz + l Es.As.22 ªª2
c z zs s
(1.11)
onde Ec e Es sao as derivadas aa/clE nos pontos das curvas ten
sao deformação do concreto e do aço. Segundo a hipõtese (c), es
tes valores dependem da deformação longitudinal Eh na altura da
seçao definida por z, podendo inclusive se anular, caso os mate
riais se encontrem no patamar de escoamento.
1 O
Apôs resolvido o sistema de equaçoes (1.6), as no
vas estimativas dos coeficientes a 1 e a 2 , correspondentes a ite
ração ( I + 1), serão:
a 1 ( I + 1) = a 1 ( I) + lial (1.12)
(1.13)
Este processo iterativo converge rapidamente, fo~
necendo a deformada de uma seção solicitada por esforço normal
e momento fletor.
1.2 - DISTRIBUIÇAO DE TENSOES EM SEÇOES SUBMETIDAS A
COMPOSTA COM ESFORÇO CORTANTE
FL'EXAO
Deve-se observar que as hipóteses adotadas no di
mensionamento a flexão composta não se adaptam quando a seção ê
submetida tambêm a esforço cortante. A experiência mostra que,
neste caso, bielas diagonais de compressão atravessam a região
de deformações longitudinais positivas. Consequentemente, deve
se levar em consideração as componentes horizontais das tensões
nestas bielas.
Collins 8 , 9 , 10 , 11 , Diaz 1 , 2 , 3 , 4 eGuedes, Prê e
Maia 7 mostraram, admitindo que o concreto funciona como um con
junto de pequenas bielas, intercaladas entre fissuras, que o
diagrama de tensões horizontais tem a forma apresentada na Fig~
ra 1 . 3.
11
\ Fig. l .2 - Tensões nas bielas diagonais de compressao
8
Fig. 1.3 - Tensões horizon·tals numa seção submetida a flexão com
posta e esforço cortante.
Na Figura 1.3, <j, ê o ãngulo de inclinação das bie
las, variâvel ao longo da altura, º<Pê a tensão na biela de con
ereto e ºs e a tensão na armadura longitudinal. A tensão hori
zonta.l no cóncreto ,_denominada ºh, ê a tensão normal a uma face
ta vertical.
No estâdio !, a tensão de cisalhamento T, junta
mente com as componentes horizontal ºx e a vertical o2
, defi
nem o estado de tensões existente num ponto do elemento estrutu
ral. Com estes valores, ê poss1vel determinar as tensões princ~
pai s o I e o II.
1 2
X
r
' Fig. 1.4 - Trajetõria das tensões principais em uma viga homogi
nea e elãstica.
Em um material homogêneo e elãstico, desde que ,as
hipõteses usuais da Resistência dos Materiais sejam considera
das (ver Timoshenko e Goodier 16), a tensão de cisalhamento ou
a tensão tangencial T pode ser obtida através da expressão:
v.s T = (1.14)
b . I
onde Vê o esforço cortante, Sê o momento estãtico da ãrea da
seçao acima do nivel em anâl ise, b ê a largura (variãvel ao lon
goda altura) e I ê o momento de inercia. Tais parâmetros sao
calculados em relação ao baricentro da seção.
A resultante destas tensões, ao longo da altura e
largura da seção ê igual, naturalmente, ao esforço cortante.
l 3
O conceito de tensão de cisalhamento pode seres
tendido ao concreto armado fissurado. Neste caso, define-se a
tensão de cisalhamento ªt como a componente cisalhante, numa fa
ceta vertical, 'de um elemento fissur.a.do de concrefo armado_(ver
Figura 1.3).
Através de considerações de equilibrio em duas s~
çoes adjacentes, pode-se determinar as tensões tangenciais ªt'
a partir das tensões horizontais no concreto e na armadura.
1 '
r .. ' ' ' '
I I
/ /
/ oh
\ \
' z
-\ b.oh+d(b oh)
Zj
As. Os
1 dx
Fig. 1.5 - Tensões horizontais em du~s seçoes adjacentes
Por conveniência de notação serao feitas aqui,com
referência ãs derivadas parciais de uma função f, as seguintes
convençoes:
af/ax = f' ôf/3z = f'
O equilibrio de um elemento infinitesimal exige
que as tensões de cisalhamento nas direções horizontal e_1vertical
l 4
sejam iguais. o equilibrio na direção X fornece a seguinte ex-
pressao, para uma determinada altura z:
z
f z
z b.crt.dx + d{b.crh).dz + I d(As·ªs) = o (1.15)
z s s
onde b e a largura da seçao, variãvel ao longo da altura, zs e
o nivel da face superior e z., 1
da inferior.
Da expressao (1.15}, tem-se:
(1.16)
Uma expressao equivalente pode ser obtida, par-
tindo-se a integração da face inferior da viga:
= fz z.
l
(1.17)
As expressoes (1.16) e (1.17) sao vãlidas conside
rando a peça fissurada ou não.
Alguns conceitos tradicionais serao apresentados
investigando-se uma viga de concreto armado e seção retangular.
Esta viga e apresentada na Figura 1.6. No trecho
analisado, a viga estã sujeita a momento fletor variãvel e es
forço cortante constante. Neste caso não foram considerados,por
l 5
simplicidade, esforços normais.
F RECHO
ANALISADO
F * M V
X e l r M+dM
))t V h d
, ... dx
Fig. l. 6 - Viga de concreto armado 'em anãl i se
X
L
Fig. 1.7
e
e;h
©
DEFORMAÇOES
LONGITUDINAIS
..
Fc
ah
Fs
TENSÕES
HORIZONTAIS
z,
~ ' ' '
a, o
APROXIMAÇÃO
DAS TENSÕES
TANGENCIAIS
Tensões horizontais e tangenciais no concreto
Na Figura l. 7, F c e a resultante das forças de
compressao no concreto, Fs = As·ºs e a força de tração na arma
dura e zl e o braço de alavanca, tem-se:
(1.18)
l 6
Da Resistência dos Materiais, obtêm-se a relação
entre o momento fletor Me o esforço cortante V:
M' = V (1.19)
Pode-se admitir que, abaixo da linha neutra, as
tensões horizontais no concreto dependem basicamente do esforço
cortante. Como este permanece constante no intervalo analisado,
pode-se concluir que, na zona tracionada da seção, a variação
na direção longitudinal das componentes horizontais das tensões
no concreto ê pequena (b0
• ºh - O). Assim, de acordo com a ex
pressão (1.15), admite-se que o diagrama de tensões tangenciais
seja aproximadamente vertical, como apresentado na Figura 1.7.
A validade desta simplificação sera estudada no decorrer deste
trabalho. •
A tensão ºto ê denominada tensão convencional de
cisalhamento. A expressão (1.17), juntamente com a aproximação
(b0
.oh) ; O abaixo da linha neutra, fornece:
b .o = F' o to s (1.20)
Admitindo que o braço de alavanca zl permaneça
aproximadamente constante ao longo do eixo x, tem-se, a partir
de (1.18), (1.19) e (1.20):
(1.21)
1 7
Este valor convencional e normalmente utilizado
pelas normas de concreto armado. Observa-se que ºto depende do
valor do esforço cortante, da largura da viga e do braço de ala
vanca. Tem sido admitido, na teoria usual do concreto armado,
que z.e. seja o ,braço de alavanca das forças internas, quando a
peça estã submetida a flexão simples, sem esforço cortante. Se
rã visto mais tarde, neste trabalho, que esta suposição não e
mecanicamente correta.
A definição do braço de alavanca z.e. torna-se ain
da mais dificil quando a armadura longitudinal e distribuida ao
longo da altura da peça ou quando,devido ã introdução de esfor
ços normais, a linha neutra situa-se fora da seção. Assim, em
muitos casos da prãtica, a avaliação das tensões de cisalhamen
to não e tão simples quanto sugere a expressão (1 .21).
1.3 - DISTRIBUIÇAO EFET1VA DAS TENSOES DE C!SALHAMENTO
A distribuição efetiva das tensões de cisalhamen
to pode ser determinada caso se obtenham experimentalmente medi
das de deformações que permitam definir a distribuição de ten
sões horizontais no concreto e na armadura em duas seções adja
centes. Morsch 15 ensaiou neste sentido vigas de seção retangu
lar e T de concreto armado.
X r 7
5i 1
j llX
18
y r
Fig. l .8 - Esquema para anãlise das ténsões efetivas ºt
Pode-se obter, através da equaçao (1.15), uma ex
pressao que fornece o valor aproximado da tensão tangencial ºt
no intervalo llx, a partir da diferença entre os valores experi
mentais das tensões horizontais, no concreto e na armadura, nas
duas seçoes adjacentes I e li. A cada n1vel z da altura da se
çao, tem-se:
0 t-efetiva b.(lloh-efetiva/llx).dz -
(1.22)
A expressao (1.22) é vãlida para peças fissuradas
ou nao. No seu exame do problema, M~rsch 15 constatou experi-
mentalmente que, em peças de concreto armado nao fissuradas, a
distribuição efetiva do diagrama das tensões de cisalhamento
não depende somente da forma da seção transversal, mas também
l 9
da natureza da armadura e do momento fletor.
X r 1.00 ± 1.00 ± 1.00
1 1 1 1 1 1 1
17.80kN 17.80kN
~ ! '1780 kN ~l ____ ~/17.80 kN
~
' ' ',, ' ' '~
º10=249kPal, +-~----+'
,
\ 1 1 1 1 1 1 1 1
', , .
' 1 ESTADIO I
--\ESTÁDIO
'M= 8.8 a 11.8 kN. m
1
~\ ESTÁDIO lI
---- \ M= 14.8 o 17.8 kN.m
M='ll.8 o 14.8kN.m
Fig. 1.9 - Diagramas efetivo e teórico das tensões de cisalha
mento em uma viga retangular
A Figura 1.9 apresenta os resultados de ensaios
realizados por Morsch numa viga retangular simplesmente apoiada
e carregada por 2 forças concentradas.
20
Os diagramas da tensão T apresentados acima em li
nha cheia foram obtidos por um esforço cortante constante V=
17.80 kN e por momentos fletores variãveis de M = 8.80 kNm a
M = 17.80 kNm. As linhas descontinuas apresentam os diagramas
das tensões de cisalhamento teõricas admitindo-se a relação en
tre os mõdulos de elasticidade do aço e do concreto (n = Es/Ec)
iguais a 6.45 e 15, respectivamente no estãdio I e no
II.
Observa-se que para valores pequenos do
estãdio
momento
fletor, os valores experimentais concordam bastante com o dia
grama teõrico da tensão de cisalhamento com n = 6.45, no estã
d i o I.
Apesar de nao haver nenhum impedimento teõrico,
nestes ensaios não foram calculadas as tensões tangenciais efe
tivas no estado fissurado.
.. 1.4 - ANALOGIA DA TRELIÇA DE RITTER-MORSCH
O mecanismo clãssico para a consideração dos pro
blemas de cisalhamento em vigas de concreto armado é baseado na
analogia da treliça de Ritter-Morsch.
Os banzos comprimido e tracionado sao paralelos e
constituidos respectivamente pela zona comprimida do concreto e
pela armadura longitudinal. As diagonais de tração podem ser
formadas por barras longitudinais dobradas oú por estribos, in-
21
clinados ou nao. Por razoes prãticas, entretanto, sao adotados
principalmente estribos verticais. As diagonais comprimidas sao
compostas pelas bielas de compressão no concreto, situadas en
tre as fissuras.
A treliça ê considerada internamente estaticamen-
te determinada (isostãtica). A formulação tradicional admite
que o ângulo• entre a biela de compressão e o eixo da viga se
ja igual a 45°. As forças internas das diagonais podem assim ser
calculadas apenas através de condições de equil1brio, nao se
levando em conta as condiç~es de compatibilidade.
7<\/2 Fc
J X --+
L /F~
-Fs 1
z,
Fig. l. 10 - Analogia clãssica da treliça (estribos verticais)
O esforço no banzo comprimido ê denominado Fc' no
ba1zo tracionado Fs, na diagonal comprimida F• e na
tracionada Fw.
diagonal
Se forem dispostos estribos muito afastados entre
si, a grande distância entre os montantes tracionados pode pro-
22
vocar uma ruptura prematura por esforço cortante. As diagonais
tracionadas, constitu1das pelos estribos inclinados ou barras
dobradas, devem estar, portanto, convenientemente prõximas, ob
tendo-se assim treliças de elementos multiplos ou treliças em
malha.
X r Fig. 1.11 - Treliça em malha (estribos verticais)
-A treliça em malha e internamente de alta hi-
perestaticidade. De acordo com a analogia da treliça de Ritter
-Morsch, ela ê considerada como uma superposição de vãrias tre
liças isostãticas com elementos simples, cada uma recebendo o
seu quinhão de carga.
Através de considerações de equil1brio obtêm-se as
expressoes que fornecem os esforços nos elementos da treliça em
~alha com diagonais tracionadas (estribos) verticais, conside
rando o ângulo de inclinação <jJ da biela igual a 45°:
F = c
l!_ + V
2 (1.23)
23
Fs M V (1.24) = + -
Z,e_ 2
F <P = - 12. V (1.25)
F = V w
(1.26)
O esforço de tração na alma refere-se a um compri
mento z,e_. Assim, a tensão na armadura transversal (osw) serã:
(1.27)
onde pw e taxa de armadura transversal referida a largura b0
•
Da mesma forma, o esforço F<P estã relacionado ao
comprimento z,e_/12. A tensão media no concreto numa diagonal
comprimida serã:
(1.28)
Se a peça estivesse submetida apenas a flexão, .s~
riam encontrados os seguintes esforços nos banzos comprimido e
tracionado:
F M (1.29) = c zl
Fs M (1.30) =
Z,e_
24
Observa-se então, nas peças submetidas a flexão e
esforço cortante, que a força de tração Fs na armadura longitu
dinal e maior que naquelas submetidas apenas a flexão. Em con
trapartida, o esforço de compressão Fc no concreto do banzo su
perior e menor, em mõdulo. ·
DIAGRAMA -M/z1
llFc = IIF5 : V/2
e
--
DIAGRAMA M/z1
---ESFORÇOS INO BANZO COMPRIMIDO - Fc
ESFORÇOS NO BANZO TRACIONA DO ..:.. F6
Fig. 1 .12 - VariaCão dos esforços nos banzos da treliça (• =
45º) com diagonais de tração verticais
O aumento do esforço no banzo tracionado pode ser
apresentado como um deslocamento horizontal do diagrama M/zl em
direção ao apoio. t fâcil mostrar, no caso de diagonais de tra
ção verticais, que este deslocamento ªl assume o valor:
(1.31)
Este procedimento, denominado regra da decalagem,
pode ser apresentado como uma correção do dimensionamento usual
25
ã flexão de modo a considerar o esforço cortante na determina
ção das tensões horizontais.
Desde que as zonas de tração e de compressao se
jam bem delineadas, a hipõtese da treliça com inclinação das
bielas igual ã 45° e estribos verticais conduz, no caso de fle
xão composta, ãs seguintes expressões para os esforços nos ban
zas:
F M N V (1.32) = - + + c
Z,e_ 2 2
Fs M + N V (1.33) = + -
Z,e_ 2 2
onde N e o esforço normal.
Observa-se, então, que a regra da decalagem deve
ser aplicada com ·bastante cuidado no caso de flexão composta.Os
esforços obtidos considerando o comportamento da peça submetida
apenas a flexão e esforço normal sao representados pelos dois
primeiros termos do lado direito das equaçoes (1.32) e (1.33).
No caso da seçao estar totalmente tracionada, os esforços forn!
cidos pela teoria de flexão composta (vide seção 1.1) serao,
em ambos os banzas, majorados em mõdulo No caso da seçao to-
talmente comprimida, os esforços em ambos os banzas serao, em
mõdulo, reduzidos. Finalmente, e poss1vel a inversão dos senti-
dos das deformações. Uma seçao que, segundo os metadas de anã l i
se de flexão composta, estã totalmente comprimida, pode na rea-
26
lidade estar, devido ao esforço cortante, parcialmente traciona
da.
l .5 - EXTENSAO DA ANALOGIA DA TRELIÇA BASEADA NO PRINC1PIO
ENERGIA COMPLEMENTAR M1NIMA
DA
A experiência, contudo, mostrou claramente que a
alma das vigas pode apresentar bielas de compressão menos in
clinadas que a hipõtese usual de 45°. Isto ê um dos motivos Pº!
que, mesmo utilizando menos cerca de 50% da porcentagem de es
tribos necessãrios pelo cãlculo clãssico segundo a analogia da
treliça de Ritter,MÜrsch, a ruptura por flexão ocorre antes da
ruptura por esforço cortante.
A menor inclinação das bielas diagonais comprimi
das pode ser aplicada por 3 fatos:
a) A inclinação mêdia das fissuras e inferior a 45°, como mos
tram os ensaios.
b) Entre duas fissuras inclinadas vizinhas, o concreto pode su-
portar um esforço obl1quo. Logo, a inclinação da bie-
la comprimida ê inferior, em alguns graus, ãquela das fissu
ras.
c) Na fase final de ruptura, a rugosidade entre dois bordos
divididos por uma fissura (efeito de engrenamento) pode su
portar tensões de cisalhamento na direção destas fissuras.
27
Os ensaios mostraram que este terceiro fenômeno
(c) pode conduzir a formação de fissuras obl1quas pouco inclina
das, entre as fissuras iniciais.
As expressoes (1.23) a (1.28) podem ser ampliadas
para o caso de estribos verticais e um ângulo de inclinação $
das bielas, em relação ao eixo .da peça, qualquer:
F M V cot $ (1.34) = - + . c zl 2
Fs M V cot $ (1.35) = - + -zl 2
F$ = V/sin $ (1.36)
F = V (1.37) ~J
l V <\o (1.38) (J $ = =
sin $.CDS $ b o·z.e. sin $.cos $
(1.39)
A redução do ângulo$ conduzirã, portanto, a um
aumento da tensão na armadura de tração e uma redução da tensão
na armadura de cisalhamento.
Torna-se importante no câlculo ã ruptura, quando
se pretende que as tensões nas armaduras longitudinal e trans-
28
versai atendam a um limite mãximo concomitantemente, uma avali!
ção correta do ângulo~- Uma estimativa menor ou maior deste P!
râmetro conduzirã a valores acima destes limites da tensão da
armadura de cisalhamento ou da de flexão.
Kupfer 31 desenvolveu uma extensio da analogia da
treliça em malha na qual a determinação do ângulo ~ e feita a
partir do princ1pio da energia complementar m1nima. Em sua anãl i
se, considera uma viga T onde a espessura da alma b0
e pequena
em relação a mesa de compressão bm, e a espessura da mesa h0
e
pequena em relação ao_b!aç9 de alavança zl.
!
J :,,- - -.... -- -...- --,.--- 7- -, --,,----7n- +--,,, ,. / ,; ,
,,,"' ,"'/ I , , , , , , , , , , , .. ,,.. / f , , , , , .,. .. "' // I '-7 , , , , , ,
, ' , , ' / ' 1/ ' '
, ' ' ' 1
.' , , , , ,' / ' --+
T ,_ ,-
ZONA SEM PERTURBAÇÃO
Fig. 1.13 - Esquema da treliça segundo Kupfer
Nas vizinhanças dos apoios e das regiões de intro
dução de cargas concentradas, as diagonais comprimidas têm uma
disposição radial. Admite-se que na zona sem perturbação, a in
clinação destas diagonais permanece aproximadamente constante.
Tal como na formulação de Morsch, e analisada uma
treliça simples equivalente a uma treliça múltipla. Supõe-se ta.':!_
29
to para o.aço como para o concreto um comportamento elãstico e
que o concreto não resiste ã tração.
Aplicando-se o principio da energia complementar
minima, por unidade de comprimento da viga, obtém-se uma equa
ção não linear cuja solução fornece o ângulo <j,:
ºs + n.oc tan 3 <j, -
n.oto tan <J, - • (l-tan 4 <J,) = O
0 sw
(1.40)
onde ºs e a tensão na armadura longitudinal, ºc é a tensão do
concreto na mesa de compressão e n é a relação entre o m6dulo
de elasticidade do aço e do concreto. Deve-se adotar na .,equa
çao os sinais algebricamente corretos (as tensões de compressao
sao negativas).
Utilizando a equaçao (1.40) Kupfer obteve os dia
gramas representados na Figura l. 14. A disposição destas curvas
indicam que tan <j, tende assintoticamente ao valor da teoria de
Méirsch (tan <j, = 1) ã medida que crescem os valores dos parame
tros n.ot0
/osw e (os+ n.oc)/osw· Observando-se que (os+ n.oc)
é maior para seções mais tracionadas conclui-se que o valor de
tan <j, serã tanto menor quanto maior for a tensão na armadura
transversal ºsw' quanto menor for a tensão convencional de cisa
lhamente ºto e quanto mais comprimida estiver a seção.
A tensão na armadura transversal tende a crescer
no caso de redução de sua porcentagem. Assim a diminuição do
30
grau de armaçao ao cisalhamento implica que as diagonais compr!
midas sejam menos inclinadas, o que foi efetivamente estabeleci
do através de ensaios.
tan <I>
1.0 2.00 -\.75
0.9 '"'º i..--~ -
----- --- -~o -- - ....--l>' __,...,-- i---- 1---....-- i---~
V ~ 1.---L-- L---o ./ -- i----
V ~ ~ v ...-'1,~
// ('.fr' /
í /
0 6 +n.oc
Osw
0.8
0.7
0.6
0.5
o 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
Fig. 1.14 - Ângulo de inclinação das bielas segundo Kupfer
Segundo Kupfer, na maioria dos casos da pratica,
a equaçao (1 .40) fornece valores de <P em torno de 35º e 40º. Es
ta inclinação representa uma redução nos estribos de 75% a 85%
em relação ao que exige o cãlculo segundo Morsch.
31
1.6 - EFEITO DE ARCO
Aplicando a relação entre o esforço cortante e o
momento fletor (1.19) numa seçao de uma viga sujeita ã flexão
simples, onde o esforço cortante não varia no intervalo estuda
do, .tem-se:
Na expressao acima o braço de alavanca zl repre
senta a distãncia entre a armadura e a resultante das tensões no
concreto F c.
Admitindo-se que o braço de alavanca zl mantêm-se
constante no trecho analisado, obtêm-se, observando-se a Figura
1. l 5:
Este resultado ê coerente com o da equaçao (1.20),
pois confirma o equil1brio de um elemento infinitesimal situa
do imediatamente acima da armadura, onde o fluxo de cisalhamen
to horizontal, igual a força de aderência por unidade de comprl
mento q, ê igual ao fluxo de cisalhamento vertical v0
•
X
l ,,
ELEMENTO DA VIGA
32
~ ' '
Vo• bo. Oto '.
/
FLUXO DE CISALHAMENTO
Fig. 1. 15 - Fluxo de cisalhamento e aderência
EQUILÍBRIO !BARRA - ELEMENTO
f evidente então que esta distribuição de tensões
so se verificarã caso os esforços possam ser
transferidos entre o concreto e a armadura.
convenientemente
Caso a aderência entre o aço e o concreto nao se
realize (um caso extremo seria uma viga protendida com cabos
não injetados), a força de tração Fs não pode se modificar ao
longo do comprimento da peça. O esforço cortante serã absorvido
pelo que se denomina efeito de arco.
A resistência a esforço cortante poderã então ser
expressa pelo segundo termo do lado direito da equaçao (1.41 ):
(1.43)
33
-· ·-. ·-.-....
1 1 1 1 1
1 1
~ 1 Z 1 w 1
p
! ~
~v-:J\ 1 ' 1
•
Fig. l. 16 - Deslizamento associado ao efeito de arco numa viga
ideal, sem aderência
Apõs substituir-se a tração interna Fs pela com
pressao interna Fc na equação acima, compreende-se que o esfor
ço cortante serã absorvido pela componente vertical das tensões
de compressao no concreto.
Observa-se, como esquematizado na Figura 1.16,uma
forte inclinação do banzo comprimido. Este comportamento, deno-
. minado efeito de arco, exige uma reação horizontal da armadura
no apoio e consequentemente uma boa ancoragem. Quando isto ocor
re, uma força de tração constante pode desenvolver-se na armadu
ra inferior.
34
O alongamento total da armadura entre as ancora
gens deve ser igual ao alongamento da fibra de concreto situada
no mesmo n1vel. Porem, devido ã distribuição heterogênea das
fissuras, poss1vel graças ã ausência de aderência, hipÕtese que
estã sendo analisada, a deformação da armadura nao sera igual a
deformação media do concreto que a envolve, ao longo de toda a
extensão da peça. Ocorre portanto um deslizamento relativo en
tre a armadura e o concreto, esquematizado na Figura l. 16.
Nas vigas reais, apesar de praticamente nenhum e~
corregamento entre aço e concreto ser possivel, observa-se tam
bém uma forte inclinação do banzo comprimido em direção ao
apoio. Ocorrem mecanismos, que analogamente ã ausência da ade
rência, diminuem a transferência de tensões entre a armadura e
o concreto, diminuindo a taxa de variação do esforço de tração
Fh e, por conseguinte, aumentando a participação da parcela
Fh.zl na expressão (1.41). Tais fenômenos são basicamente, se
gundo Park e Paulay 26, a rotação ou a ruptura dos balanços de
concreto formados entre as fissuras diagonais e a flexão na zo
na comprimida acima destas fissuras.
O efeito de arco nas vigas aparece gradualmente
ao se analisar seções cada vez mais prõximas do apoio. Isto e
constatado quando se determina experimentalmente valores da ten
são na armadura longitudinal, em uma serie de seções ao longo
do eixo da peça. Sendo conhecidos os valores dos momentos fleto
res atuantes, pode-se calcular o desenvolvimento do braço de
alavanca através da expressão (1.18).
35
1.7 - INFLUtNCIA DA FORMA DA SEÇAO TRANSVERSAL
Ao contrãrio do previsto pela teoria clãssica de
MÕrsch, a forma da seção transversal tem forte influência sobre
o comportamento resistente de vigas de concreto armado.
A seçao transversal retangular pode se adaptar
mais facilmente do que uma seção em T ã forte inclinação doba~
zo comprimido exigida pelo efeito de arco. No caso de uma v~ga
T, a força no banzo comprimido sõ pode ter uma inclinação quase
horizontal, pois permanece na largura comprimida da laje quase
atê o apoio. Assim, o banzo comprimido poderã absorver apenas
uma pequena parte do esforço cortante, cabendo o restante a um
comportamento passivei de ser associado ao mecanismo de treli
ça. ----~~~-~~ -----
p
'
• Fig. 1.17 - Efeito de arco em vigas retangulares e T
36
Leonhardt 20 define um conceito de rigidez K. a de
formação axial das barras da treliça anãloga:
K=F=E.A E
(1.44)
Na expressao ( 1. 44), referida a uma barra genêrj_
ca, F e a força, E e a deformação, E ê o módulo de elasticidade
do material e A ê ãrea da seção transversal.
As barras de aço (armadura longitudinal e trans
versal) sao assim muito menos rigidas que as barras de concreto
(banzo comprimido e diagonais comprimidas). Por exemplo, para
uma relação entre as ãreas de uma barra de aço e outra de con
creto As/Ac = 0.01 e uma relação entre os módulos de elasticida
de n = Es/Ec = 7, obtêm-se:
K =E.A = 0.07.Ec.Ac s s s (1.45)
onde Ks e Kc sao as rigidezas das barras de aço e de concreto.
A influência da relação entre as rigidezas dos
elementos nao foi considerada na analogia clãssica segundo
Morsch.
Nos ensaios de cisalhamento de Stuttgart,Leonhardt
e Walther 22•
23•
24•
25 analisaram diversas vigas de seção trans
versal retangular e T, onde variaram a relação entre a largura
37
da mesa de compressao e a alma (b /b ). Permaneceram constantes m o o comprimento das peças, a largura da mesa, a forma de carrega-
mento e as armaduras longitudinal e transversal.
Osw(MPal 350
fyk 300
250
200 T bm -=6 0----0 bo
150
T bm -=3 D---0 bo
'ºº 50
.,, bm -=2 +-+ bo
o ~ bm -=I --bo
-50 o 30 60 90 12.ô 150 ,eo P(kN)
( 1) VALOR DE Osw SEGUNDO' O CÁLCULO CLÁSSICO DE MORSCH
Fig. l .18 - Tensões mêdi·as ·nos estfibos para diversas relações
b /b m o
Quanto menor e a relação bm/b0
, mais rigidas
sao as diagonais comprimidas em relação aos demais elementos da
treliça.
Os ensaios mostraram que as inclinações das diag~
nais comprimidas variam com a relação b /b . Esta inclinação si m o -tua-se em torno de 30° para bm/b = l e cresce para 45° para
' o
b /b = 8 a 12, confirmando a influência da relação entre as ri m • o
gidezas dos .membros da treliça anãloga.
38
Este comportamento pode ser verificado atravês da
equaçao (1.40) ou dos diagramas da Figura 1.14, onde se observa
que uma menor tensão de cisalhamento ºto fornece valores infe
riores de tan q,.
A diminuição do ãngulo de inclinação das bielas q,
provoca uma redução nas tensões na armadura transversal. Este
fenômeno, associado a maior inclinação da força no banzo compri
mido devido ao efeito de arco, esclarecem porque, conforme os
resulta dos dos ensaios apresentados na Figura 1 .18, a tensão
nos estribos ê cada vez menor ao reduzir-se a relação bm/b0
•
1.8 - ANALOGIA DA TRELIÇA GENERALIZADA
Atravês das pesquisas sobre cisalhamento realiza-
das em Stuttgart, anteriormente citadas, Leonhardt e Walther
constataram que ê dificil estabelecer uma analogia perfeita en
tre uma viga fissurada de concreto armado e uma treliça isostã
tica. Na opinião destes autores, a analogia clássica da treliça
deve ser ampliada de tal forma a se considerar uma treliça hip~
restãt i ca, onde os banzos comprimi dos não são paralelos e as d i~
gonais comprimidas estão menos inclinadas que 45°. Esta concep
çao pretende observar o efeito de arco e a influência da rela
çao entre as rigidezas dos diversos elementos que compõem a;tre
l i ç a .
A analogia da treliça generalizada nao se presta
para o dimensionamento, pois as treliças hiperestãticas so pod~
39
riam ser calculadas através de análises com custos relativamen
te altos. Estas são uteis, porem, para a compreensão do compor
tamento estrutural.
p p
J ~ bm I
.....___ __ ______,I T 6 6 ~
<I> ( FUNÇÃO DA RELAÇÃO bm/ bo)
Fig. 1.19 - Analogia da treliça generalizada
A adoção de ângulos de inclinação da biela infe
riores a 45° implica em menores tensões na armadura de cisalha
mento. Todavia, o esforço no banzo tracionado crescerã, exigin
do um deslocamento maior do diagrama M/zl.
1.9 - ANALISE PLASTICA DO MODELO DE TRELIÇA
ThÜrlimann 32•
33 desenvolveu um mêtodo de dimensio
namento de seções de concreto armado submetidas a solicitações
combinadas de momento fletor e esforço cortante, baseado na teo
ria da plasticidade e num modelo de treliça com o ângulo de in
clinação das bielas <P variãvel.
40
O processo;foi verificado e calibrado através de
resultados de ensaios e serviu de base para o ''método refinado''
de dimensionamento preconizado pelo Cõdigo Modelo CEB-FIP 1978.
No método adotam-se valores arbitrãrios, porem
dentro de certos limites, do ângulo~- Isto permite a redução
da armadura transversal, exigindo, porém, um aumento da armadu
ra longitudinal.
Somente seçoes subarmadas sao consideradas, a fim
de garantir que a ruptura ocorrerã devido ao escoamento da arma
dura, antes do esmagamento do concreto.
O processo estã associado a um comportamento da
viga em treliça. No intervalo estudado, admite-se que não se ve
rifique o efeito de arco.
E analisado, por simplicidade, apenas o caso de
estribos verticais. A Figura 1.20 ilustra as deformações plãstl
cas de um elemento de concreto da alma de uma viga, apõs a fis
suraçao.
A variãvel Er define a deformação na direção per
pendicular a das fissuras. Eh e Ev são respectivamente as defor
mações horizontal e vertical. Através de considerações geométrl
cas, supondo que as deformações predominantes são aquelas prov~
nientes das aberturas de fissuras, obtém-se:
/ ;
/ ;
41
cos <!>
FISSURA
e ot ct>
Fig. 1.20 - Deformações plãsticas em um elemento de alma
(1.46)
(1.47)
As deformações totais no estado limite ~~1timo de
pendem da redistribuição de tensões e fissuras que ocorrem du
rante o processo de carregamento. As relações acima podem ser,
todavia, utilizadas para uma estimativa das deformações.
Para que a tensão na armadura transversal seja me
nor ou igual a tensão de escoamento, a deformação vertical Ev
deve no mãximo atingir uma deformação E . Neste caso, a deforwy mação Er serã obtida atraves de (1.46):
Er = E .(l + tan 2 cj)) WY (1.48)
42
A condição necessãria para que a tensão na armadu
ra longitudinal atinja a tensão de escoamento e que a deform~
ção Eh seja igual a Ehy· Isto resulta que:
E r = E hy. ( l + c o t 2 cp ) ( l . 4 9 )
As relações (1.48) e (1.49) sao discutidas atra-
ves da Figura l. 21, supondo que Ehy = Ewy = E y
e:,
E:y
5
10
• 6
4
2
o O"
( 1 ) (2)
15º ..,. 45º 60
0,5 ,,; ton<)),:;; 2,0
( 1 ) ESCOAMENTO DA ARMADURA LONGITUDINAL
(2) ESCOAMENTO DA ARMADURA TRANSVERSAL
75° 90°
Fig. 1.21 - Abertura das fissuras (Er) e as deformações de es
coamento nas armaduras
Para cj, igual a 45°, Er e por consequência a aber
tura das fissuras sera m1nima, ja que ambas as armaduras longi
tudinal e transversal atingem simultaneamente a tensão de escoa
menta.
43
Se <j, for menor do que 45° ,não se pode atender a
tensão de escoamento da armadura longitudinal a não ser atravês
de um aumento assintõtico da abertura das fissuras e das defor
mações nos estribos. A fim de atender ã tensão de escoamento da
armadura transversal para ângulos <j, maiores que 45° são necessã
rias cada vez maiores deformações na direção normal ãs fissuras
e na armadura longitudinal.
r Õbvio, portanto, que o ângulo <j, deve variar den
tro de certos limites. Baseando-se em ensaios, ThÜrlimann prQ_
pos:
1/2 < tan <j, < 2 ( l . 50)
No CÕdigo Modelo CEB-FIP 47 , de 1978, valores
mais prudentes foram utilizados a fim de limitar a abertura de
fissuras não somente no estado limite último, mas tambêm para
as condições de serviço:
3/5 < tan <j, < 5/3 (1.51)
Na maioria dos casos, o limite m1nimo de tan <j, co~
.duzirã a soluções mais econômicas. A redução da armadura trans
versal, poss1vel atravês do mêtodo, estã obviamente associada a
um acrêscimo da armadura longitudinal.
Nielsen et alii: 4 investigaram tambêm a possibili
dade de utilização da teoria da plasticidade associada ã analo-
44
gia da treliça. Admitiram, porem, que as membruras comprimida e
tracionada são suficientemente seguras e que a melhor solução
limite minima estã associada ao maior carregamento que conduz a
tensão do concreto na biela de compressão e a tensão na armadu
ra transversal, respectivamente, aos seus valores de escoamen
to.
1.10 - EFEITOS SECUND~RIOS
O funcionamento real do concreto armado ê natural
mente bastante mais complexo que o admitido pela teoria de tre
liça, mesmo considerando as contribuições a teoria, feitas apos
Morsch, anteriormente apresentadas.
Dois fenõmenos sao considerados particularmente i~
portantes: o encavilhamento das armaduras horizontal e vertical
e o engrenamento entre as fissuras.
Fig. 1.22 - Efeito de engrenamentci
45
Kavyrchine 35, analisando teoricamente e experime~
talmente um painel fissurado, submetido a esforço cortante, le
vando em consideração os efeitos secundãrios, admitiu a seguin
te relação para o esforço H por unidade de comprimento do bordo
da fissura, criado pelo engrenamento:
(1.52)
c1 e um coeficiente constante, da ordem de 2 a 4
MPa, a partir de resultados de ensaios, º..L e a abertura das fis
suras, º;; ê o deslocamento relativo entre os bordos da fissu
ra e b0
e a largura da peça. O esforço de entrenamento H dimi
nui com a abertura de fissuras e aumenta com deslocamento rela
tivo dos bordos, ao longo do plano das fissuras.
O efeito de encavilhamento da armadura, entre
duas fissuras pr6ximas, ê desenvolvido por 3 mecanismos] ilus
trados na Figura l. 23 ,
'FLEXÃO CISALHAMENTO DOBRAMENTO
Fig. 1.23 - Mecanismo do efeito de encavilhamento numa interface
46
Testes rea'l izados por Paulay et al ii~ 8 indicaram
que o dobramento e o mecanismo de maior peso nos esforços de e~
cavilhamento, notadamente quando barras de pequeno diãmetro são
utilizadas.
X
l
Fig. 1. 24 - Determinação do efeito de encavil hamento
A reaçao transversal de uma barra ã sua introdução
no concreto (Vcx ou Vez) pode ser calculada fazendo-se a hip6t!
se de uma reaçao proporcional ao afundamento transversal da ar
madura no concreto (esquema da viga sobre base elãstica). Pode
se adotar, a partir de Baumann 29, um m6dulo de reaçao elãstica
igual a Ks = 4.10" N/m 3•
Atraves de cãlculos realizados por Foucault 37, en
contram-se:
( 1 . 53)
47
( l . 54 )
onde ºsx e ºsz sao os deslocamentos transversais das armaduras
nas fissuras, como mostra a Figura 1.24. Dx e Dz sao os diâme
tros das barras horizontais e verticais.As expressões (l .53) e
(1.54) são adimensionais e portanto podem ser adotadas em qual
quer sistema de unidades.
Relativamente ao engrenamento, o encavilhamento
das armaduras e considerado um mecanismo resistente menos impo~
tante. O desenvolvimento destes efeitos estã basicamente asso
ciado ao deslocamento relativo entre as fissuras. Para que es
forços importantes se verifiquem, sao necessãrios deslocamentos
muitas vezes incompat1veis com um bom comportamento estrutural.
Por este motivo, são normalmente considerados mecanismos secun
dãrios e seus efeitos, desprezados nos métodos de dimensionamen
to.
Outro aspecto importante e que a direção das ten
soes nas bielas não e paralela ã direção das fissuras. Kupfer e
Moosecker 38 mostraram que o engastamento das bielas no banzo
comprimi~o. o deslizamento dos estribos nas suas ancoragens,
nos bordos superior e inferior, e a deformabilidade dos mesmos
sao fatores que produzem este efeito.
/
48
/ /
/ /
/
7 ,,
Fig. 1.25 - Influência do engastamento da biela e da deformabi
lidade do estribo na direção da resultante das ten
sões no concreto
, Na Figura 1.25, observa-se que o ângulo de incl i-
naçao da resultante das tensões no concreto ~Rê inferior ao an
gul o de inclinação das fissuras ~F.
Os efeitos tratados nesta seçao nao serao considera
dos nos mêtodos propostos neste trabalho.
1.11 - COMPORTAMENTO DO CONCRETO NA BIELA DE COMPRESSAO
Robinson e Demorieux' 1,'
2, estudando uma serie de
15 vigas em duplo Te alma delgada, solicitadas por esforço co~
tante, constataram que as deformações medidas sobre o concreto
fissurado e traduzidas em termos de tensões com referência aos
ensaios de compressão simples sobre um cilindro acusavam ten-
49
soes de compressao muito altas nas bielas de concreto.
Realizaram, então, ensaios sobre modelos de alma
de vigas, submetidos a esforços de compressão e esforços de tr~
ção aplicados, simultaneamente, segundo duas direções obl1quas,
fazendo um ãngulo de 45° entre si. Pretenderam, assim, simular
o caso de vigas com armadura de alma vertical e diagonais com-
primícias a 4 sº, de acordo com a analogia clãssica da treliça.
. -- -·-·--- ·--
CYA CYB CYC
( ARMADURA
i P, ARMADURA
i~
Fig. 1.26 - Modelo de alma analisado por Robinson e Demorieux
Analisaram as deformações do concreto submetido a
tensões de compressão iguais, em otto siries de tris corpos de
prova.
50
O primeiro corpo de prova, referência CYA, ê um
prisma reto de seção retangular, em concreto armado, e estã sub
metido a tensões de compressao e de tração de tal forma que a
primeira seja igual ao dobro da segunda. Esta condição se tra
duz pela relação:
= (1.55)
O segundo corpo de prova, classificado como CYB,
tem a mesma geometria e armadura do primeiro, mas estã submeti
do unicamente ã compressão centrada.
O terceiro, referência CYC, ê um prisma em concre
to, sem armadura, com a mesma geometria do primeiro, e estã su
jeito tambêm somente ã compressão centrada.
Foram ensaiadas oito sêries acima descritas.
Atravês de um estudo comparativo, os autores con
cluíram que o concreto,quando tracionado transversalmente, tor
na-se bastante mais deformãvel e atinge a ruptura sob tensões
mais baixas. Os corpos de prova CYB e CYC romperam com uma ten
são de compressão mêdia em torno de 85% da resistência cilindri
ca a compressão do concreto. Este fator de redução, justificado
pela maior esbeltez do modelo em relação aos corpos de prova ci lindricos, apresentou-se maior para os corpos de prova CYA, tra
51
cionados transversalmente, onde assumiu o valor médio de 74%.
Nos ensaios de cisalhamento de Stuttgart~eonhardt
e Walther 23 mostraram que a capacidade resistente ã força cor
tante, para porcentagens de armadura de cisalhamento muito al
tas, ê limitada pela resistência ã compressão do concreto.
Segundo a analogia clãssica da treliça, a tensão
de cisalhamento ºto e igual ã metade da tensão do concreto na
diagonal comprimida (ver expressão (l.28)). t então utilizado
pelas normas o valor da tensão convencional de cisalhamento ºto
como referência da tensão de compressão na biela de concreto,
cujo valor limite mãximo ê fixado de acordo com as conclusões
de Robinson e Demorieux.·
52
CAP1TULO II
FORMULAÇAO DA TEORIA DO CAMPO DE COMPRESSAO DIAGONAL
No cap1tulo anterior foram apresentados alguns
dos modelos f1sicos usualmente adotados para a anãlise do com
portamento resistente de peças lineares de concreto armado.
O modelo de anãlise de peças submetidas a esforço
normal e momento fletor não se adapta ã introdução de esforço
cortante. A distribuição das tensões horizontais no concreto e
na armadura ê afetada pelo valor do esforço cortante, pois de
ve-se considerar as componentes horizontais das tensões nas bie
las comprimidas.
A analogia da treliça (clãssica, com ãngulo de in
clinação das bielas variãvel, ou generalizada) e um modelo bas-
tante restrito. Adapta-se convenientemente ao caso mais comum
da prãtica: uma viga T ou retangular, submetida ã flexão sim-
ples, com no mãximo dois n1veis principais de armadura longitu
dinal. Todavia, outras situações podem acontecer. No caso de
flexão composta, principalmente quando a linha neutra encontra
se fora da seção, torna-se dif1cil definir corretamente o parf
metro braço de alavanca. No caso da armadura longitudinal estar
uniformemente distribu1da ao longo da altura da seção, não e
fisicamente correta a d~finição de um Ünico banzo tracionado. E
problemâtica tambêm a aplicação do modelo quando a seção trans-
53
versal e, por exemplo, tircu_lar.
A teoria do campo de compressao diagonal fundame~
ta-se num modelo simplificado capaz de solucionar estes probl e
mas e fornecer uma anãlise simples, coerente e geral de uma se
çao qualquer solicitada a um carregamento combinado de momento
fletor, esforços cortante e normal. Representa uma extensão, ao
n1vel de um elemento infinitesimal, da analogia da treliça de
Ritter-Morsi:h. Pode ser ampliada para tratamento de seçoes sub
metidas tambêm a momento tors0r (ver Collins 8,
11, Rabbat et
alii. 12•
13 e Prê 36 ).
2.1 - HIPÕTESES SIMPLIFICADORAS
O modelo f1sico proposto baseia-se nas seguintes
hipõteses simplificadoras:
a) A seçao analisada encontra-se suficientemente distante dos
locais de introdução de cargas ou restrição de deslocamen-
tos. A força normal e o esforço cortante não variam no inter
valo estudado. O efeito de arco na zona dos apoios não ê tra
tado aqui. Entretanto as equações desenvolvidas podem resol
ver este problema se convenientemente solucionadas.
b) A seçao transversal apresenta simetria em relação ao eixo
vertical, os estribos estão sempre contidos em planos_ perpe~
diculares ao eixo da peça e a armadura longitudinal nao se mo
difica ao longo da direção horizontal.
54
e) O concreto nao resiste a tração. As tensões no contreto sao
orientadas segundo as direções das fissuras, que são variã
veis ao longo da altura da seção e do eixo da peça.
d) São desprezados os efeitos secundãrios: o engrenamento entre
fissuras e o encavilhamento das armaduras longitudinal e
transversal.
e) A deformação das armaduras e igual a deformação media do co~
ereto na respectiva direção. Ou seja, não se verificam desli
zamentos relativos entre o concreto e a armadura.
f) A anãlise, inclusive de seçoes nao retangulares, e tratada
como um problema a duas dimensões, ou seja, como se a peça
folse uma chapa. Assim, para as seções circulares, a teoria
representa uma simplificação do problema espacial real.
g) Não sao descontadas as areas de concreto ocupadas pelas arma
duras, a fim de que as expressões matemãticas fiquem
simples.
mais
h) Não e adotada nenhuma modificação na equaçao constutiva do
concreto, devido ao efeito biaxial introduzido pela armadura
transversal, verificado por Robinson e Demorieux" 1,
42 e ante
riormente apresentado. Isto pode ser feito, sem nenhuma difi
culdade teórica, a partir de bons resultados experimentais.
Estes ensaios devem procurar determinaf a influencia da de-
55
formação da armadura transversal e da inclinação da mesma,
em relação âs bielas comprimidas, na relação tensão-deforma
ção do concreto nestas bielas.
2.2 - O MODELO MECANICO PARA A ANALISE
O modelo mecânico para a anãlise ê baseado na su
posição de que o concreto funciona como se fosse formado por um
conjunto de pequenas bielas, intercaladas entre fissuras, cujas
direções são variãveis ao longo do comprimento e da altura da
peça. Admite-se que o concreto nao ê capaz de absorver tensões
de tração e que as tensões nas bielas de concreto são paralelas
as fissuras.
As barras que constituem os estribos sao conside
radas contínuas ao longo do eixo da peça. As barras longitudi
nais sao admitidas discretas ao longo da altura, podendo inclu
sive nao existir.
2.3 - DEFINIÇ~O DAS TENSÕES E DEFORMAÇÕES
Assim, o elemento infinitesimal da alma da peça e considerado microfissurado segundo uma direção~- A armadura
transversal, uniformemente distribuída, situa-se num plano nor
mal ao eixo x, fazendo um ângulo e com o eixo z. Numa seção re
tangular, com estribos de forma usual, e ê constante e igual a
zero. Numa seção circular, com estribos anelares, e varia de
rr/2 a - rr/2.
56
Ov i
0$ z = z, Ot - y( X
/ l ! oh y ---+
z •7 '7 Ot
/ lo.
0$
Z=Z1
iiiiíii Osw 1 Osw Osw
\ y I
X I r r I 1 I \
I 1 I 1 I \
~ I
lllllllosw L Osw \ Osw ~
. " Fig. 2. 1 - Tensões no concreto e na armadura transversal
A tensão ºh e a componente na direção horizontal
da tensão o~ no concreto. As componentes nas direções. vertical
e tangencial são respectivamente ºv e ºt· A tensão na
transversal é denominada ºsw
armadura
57
L, / o~. cos <I>
---o,.I
Fig. 2.2 - Condições de equilibrio no concreto.
Por considerações de equilibrio (Figura 2.2), de
monstram-se as relações:
( 2 . 1 )
( 2 . 2 )
( 2 . 3 )
Estas, por sua vez, .fornecem as seguintes expres
soes (para e/># O e cp # TI/2):
ªcp = - ºt·(tan e/>+ 1/tan q,) ( 2. 4)
58
( 2. 5)
( 2. 6)
Observa-se então que as tensões o~, ºh e ºv podem
ser estabelecidas em função da tensão ºte do valor de tan ~-
As deformações sao definidas como funções dos des
locamentos medias. Obtêm-se então:
X
\---1 1 1 1 1 1
' '--'------'-----_,___._~ u' ~ - - - - - - - ~
--w· wu·
Fig. 2.3 - Deformações medias no elemento de alma
6 = W' V
!w• ' 1
1 1 \ 1 1 -- ...
( 2 . 7 )
( 2. 8)
y=u·+w' (2.9)
Para as derivadas parciais em relação as coorde
nadas x e z, ê adotada a notação apostrofe-ponto, ja explicada
59
na pãgina 13 . Os deslocamentos mêdios nas direções x e z s~o
respectivamente u e w. ~h' sv e y são as deformações mêdias res
pectivamente nas direções x, z e a distorção angular mêdia ..
Deve-se salientar que estas deformações devem ser
cuidadosamente interpretadas. O valor da deformação numa armad~
ra que atravessa um elemento de concreto variarã sensivelmente
passando-se da fissura ã biela comprimida. O modelo de anãlise,
porêm, admite que a dimensão destas bielas e reduzida, o que
permite a adoção de valores mêdios das deformações da armadura
e do concreto que a envolve. Estes valores, por sua vez, sao
considerados iguais, ou seja, não se verificam deslizamentos re
lativos entre o concreto e a armadura.
2.4 - EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE EQUIL1BRIO
Estabelecendo-se as condições de equil1brio nas
.direções x e z para os elementos de alma, obtêm-se:
Fazendo-se o mesmo para as armaduras longitudi-
nais, consideradas em seções discretas, entre elementos de al
ma, ao longo da altura da viga, encontram-se:
60
1 1 Pw. b. cos e)). ºsw
b. º'
1. . b.oh+lb.oh)'.dx
b. o, + ( b.o 1 )'. dx
---- b.o 1 +lb.o1 )°.dx
l b.Ov
111 1 11 Pw·b.cosc)).0 5 w ' .
I 1
I 1 1 1
b.o1 +li ( b.oi)
Pw . b. e os <!>. o sw + l j + li ( Pw· b. cos c)).05 wl
11 ! l 1 b. Ov + li ( b. Ov)
Fig. 2.4 - Condições de equilibrio: elementos de alma e armadu
ras longitudinais
(2.12)
~(b.crv + p .b.cos e.as ) = O 1v w (2.13)
61
Nas expressoes acima pw e a taxa de armadura trans
versal, referida ã largura b, por sua vez variãvel ao longo da
altura. ºsê a tensão na armadura longitudinal e o s1mbolo n in
dica um acrêscimo discreto da expressão assinalada, no
considerado.
2.5 - EQUAÇÕES DE COMPATIBILIDADE
2.5.1 - 1~ Equação de Compatibilidade
ponto
Derivando-se convenientemente as expressões(2.7),
(2.8) e (2.9) obtêm-se a condição de compatibilidade usual do
estado plano de tensões:
+E:"-y'·=O V
a 2.5.2 - 2. Equação de Compatibilidade
(2.14)
Observando a Figura 2.5, obtêm-se as seguintes re
lações entre o comprimento nl do estribo, definido entre os ni w
veis z e z + nz, e as respectivas projeções nas direções verti-
cal e horizontal lv e lh:
(2.15)
(2.16)
62
z
z+tJ.z
I
I I
;.9 I
I I
I
1
/ 1 / 1
/ 1 L _____ .J
Fig. 2. 5 - Deformação da armadura transversal
> <]
>
-o +
>
<]
Calculando a diferencial da expressao (2.16), ob-
têm-se:
(2.17)
Desprezando a deformação na direção y, aproxima
çao adotada no modelo, de (2.15) e [2.17) conclui-se que:
G. dl V
(2.18)
As deformações da armadura transversal sw, e na di
reçao vertical E podem ser expressas por: V
(2.19)
63
(2.20)
De (2.15), (2. 18), (2.19) e (2.20), encontra-se:
(2.21)
2.5.3 ·- O Princ,pio das Forças Virtuais e o da Energia Comple
mentar M,nima
Seja um corpo deformãvel, em equil,brio, submeti
do a condições de contorno que produzem um campo de deslocamen
tos u e um estado de deformações compat,vel E.
A superf,cie de contorno ê dividida em duas re-
giões: S0
e Su, onde estão prescritas, respectivamente, as ten
soes ou os deslocamentos. O tensor~ representa o estado de ten
soes e e e o vetor das forças de superf,cie.
Introduz-se uma variação no campo de tensões tal
que o estado de tensões total ~ + 6~ e as forças de superf,cie
e+ op satisfaçam as equações de equil,brio e as condições de
bordo em termos de tensões sobre a supe~f,cie S0
• Neste caso,
sao iguais as variações dos trabalhos complementares desenvolvi
dos pelas forças internas (ow:) e pelas forças externas {6wc): . 1 e
(2.22)
64
A mesma expressao pode ser apresentada em notação
matricial:
f T s .oo.dV V
-T ~ .oe.dA = o (2.23)
onde o indice T designa a transposta de uma matriz ou vetor e
u ê o vetor dos deslocamentos prescritos sobre a superficie Su
A expressao (2.23) ê conhecida como principio das forças
tua is.
vir-
Supondo o material com comportamento elãstico, 11
near ou nao linear, define-se a primeira integral da expressao
(2.23) como a variação da energia complementar de deformação
Uc, e a segunda, com sinal trocado, ê igual ao potencial cómpl~
c c c mentar das forças externas P . Logo, tem-se oU + oP = O, ou
(2.24)
onde wc = Uc + Pc e a energia complementar do sistema.
A expressao (2.24) define o principio da energia
complementar minima. Este principio indica que, de todos os po~
siveis estados de tensão, que satisfazem o equilibrio e as con
dições estãticas do contorno, aquele que leva a um estado de de
formação compativel produz um minimo da energia complementar.
65
Estes e outros conceitos variacionais estão rigo
rosamente desenvolvidos na obra de Washizu 43•
a a -2.5.4 - 3. e 4. Equaçoes de Compatibilidade
Considera-se um elemento infinitesimal de alma
submetido a tensão prescrita ºz e ãs deformações prescritas Eh
{deformação horizontal) e y {distorção angular).
Oz
t·Ov + ,Pw. COS 9. Osw
TI/2 -y t Pt- 01-
Ot ºh t ! oh -· ·-d1
---+ '.Ot
Sa 'Oz iOz ·lav+Pw· COS 9. Osw
Su 'Eh' y 1
Fig. 2.6 - Condições de contorno e estado de tensões em um ele
mento de alma em anãlise
O equilibrio exige que (ver Figura 2.6):
( 2 • 2 5 )
Utilizando a equaçao (2.2); tem-se:
66
(2.26)"
- c A energia complementar de deformaçao U sera ex-
pressa através de 2 componentes:
(2.27)
U~ e U~, respectivamente a participação do concre
to e da armadura transversal, podem ser calculadas através das
expressoes:
er q, uc = J Eq,.derq, c o
( 2. 28)
er uc Pw J
0
sw E . der = w w sw COS' q,
(2.29)
O potencial complementar das forças externas sera:
(2.30)
Introduzindo as expressoes (2.1) e (2.3), a ener
gia complementar do sistema serã igual a:
ersw
J E .der q, O W Sw cos
(2.31)
67
Jã que ºsw ê função das variãveis o/• e•· (ver ex
pressao (2.26)), estas serão as iinicas grandezas livres parava
riar no funcional rrc. A fim de se obter a condição de m1n1mo,
sera feita a diferenciação em relação a estas duas variãveis.
Derivando em relação a •· obtêm-se a 3~ equação de compatibil i
dade:
= Ew
.o~.2.sin •. cos • + sh.o~.2.sin •. cos • + cos 2 0 "' "
(2.32)
Derivando a expressao da energia complementar do
sistema em relação aº•• obtêm-se a 4~ equaçao de compatibilid~
• de:
E
= E -• W • 2~ 2. · ~ • = Q ~~- .s,n"' - sh.cos"' + y.s,n "'.cos"' cos 2 0
(2.33)
Substituindo na expressao acima o valor de y fior
necido pela equação (2.32), obtêm-se:
( 2. 34)
68
A mesma expressao pode ser apresentada de
mais simples, apôs algum desenvolvimento algêbrico:
tan 2~
forma
( 2 • 3 5 )
t indiferente a utilização das expressoes (2.32),
(2.33) ou (2.32), (2.35) como a terceira e a quarta equações de
compatibilidade, jã que a equação (2.35) e obtida atravês das
duas primeiras e portanto não apresenta nenhum conhecimento adi
cional. A expressão (2.35) ê encontrada tambêm nos trabalhos de
Collins 8•
9•
1 º• 11 e Prê 36•
As mesmas expressoes podem ser obtidas para um
elemento infinitesimal com armadura nas direções horizontal e
vertical, ou para um elemento simplesmente sem armadura. Obser
va-se que todas expressões independem da porcentagem de armadu
ra transversal. Para cada caso particular, as equações de comp~
tibilidade podem ser deduzidas, assumindo convenientemente as
condições estãticas ou cinemãticas de bordo. Por exemplo, no ca
so de um elemento sem armadura, as condições de bordo devem ser
prescritas em toda a superf1cie em termos de deformações (Eh'
Ev e y). As mesmas expressões (2.32), (2.33) e (2.35) 1e~ão, no
entanto, encontradas.
Comparando as equaçoes (2.32) e (2.33) com as ex
pressoes para obtenção das deformações principais em função das
componentes E , Eh e y/2 do tensor de deformações, pode-se afir V .
69
mar que, dentro das hipõteses adotadas, uma das direções princi
pais de deformação coincide com a direção das bielas, como evi
denciado por Coll ins 8 • 9 • 10 ,11.
2.5.5 - Interpretação da Equação (2.33) Através da
das Deformações
Analisa-se, através de considerações
Geometria
puramente
geométricas, um elemento infinitesimal, antes e depois da defor
maçao.
~ Y2 .e w + -e-
e ·;;;
-e-e ·;;;
. cos d>
Y, A ---\ 7------
1 ,- . \
A' -,. , 1
1 1 1 1 1
' 1 ' 1
81\c-:.__ 1
--- 1 -.-----.J, y
2.sincp
y1
• cos ct:,
y=y,+y.
Fig. 2.7 - Deformações de um elemento de alma, a partir de um
comprimento únitãrio sobre a diagonal comprimida
As coordenadas dos pontos A, B, A' e B' sao res
pectivamente: A(cos cj,, O), 8(0, sin cj,), A'(cos cj,.(l+Eh)
y1 .cos cj,) e B'(sin cj,.y2 , sin cj,.(l+Ev)). A deformação Ecj, e igual
a diferença entre os comprimentos A'll' e Alí, e assim pode ser
expressa por:
70
<j,.(l+Ei )) 2 -1 V
(2.36)
Desprezando os termos de ordem superior, obtêm-
se:
; /1 2 . 2"' 2 2
"' 2 . "' "' l E<P + .Ev.s1n "'+ .Eh.cos "'- .y.s1n "'.cos "' - (2.37)
Baseando-se na aproximação em sêrie de Taylor da
função / l + x :
~;1+ 1 x-2
l
2.4 X 2 + l. 3
2. 4. 6 x 3
- ••• (7l<x<l)
pode-se afirmar que, para valores pequenos de x:
(2.38)
(2.39)
Utilizando a expressao (2.39), obtêm-se, atravês
da equaçao (2.37), a expressão ja conhecida (2.33):
( 2. 33)
2.5.6 - Comportamento Linear dos Materiais
Considera-se um elemento com armaduras distribul
das horizontal e vertical, esta paralela ao eixo z(e; oº). Es
te elemento esta submetido a um estado de tensões definido por
ªx' ªz e,.
T
º• ...... t
71
8 = 0°
'
Fig. 2.8 - Estado de tensões em um elemento de alma, com armadu
ra distribuida horizontal e vertical
Por considerações de equilibrio conclui-se que:
(2.40)
ªz = Pw·ºsw + ºv (2.41)
onde ºsh' ºsw'Ph e,pw sao as tensões e as porcentagens de armad~
ra, referidas ã largura b, respectivamente nas direções longit~
dinal e transversal.
Admitindo um comportamento linear dos materiais e
denominando na relação entre os mõdulos de elasticidade do aço
e do concreto, tem-se:
n = Es/Ec (2.42)
0 sw (o2+,.tan cp)/pw
(2.43) EV = EW = = Es Es
72
CT S h ( CT + T/tan cj>) / ph X (2.44) Eh = =
Es E s
Ecj> = CT cj>
= n . CT cj>
= -n.T.(tan cj>+l/tan cj> ) (2.45) Ec Es E s
Introduzindo as expressoes (2.43), (2.44) e
(2.45) na equação (2.35), obtêm-se:
l 0 x 0 z l cot"cj>.T.(n + -) + cot 3 ct,. - cot cj>. - T.(n + -) = 0(2.46)
A equaçao (2.46) pode também ser expressa da se
guinte maneira:
Pw .tan'q,+tan 3 cj>-
CT X . tan cj> - L
ªz . ( n. Pw +
Pw -)=O ph
(2.47)
Assim foi obtida uma nova relação, sob a hipótese
de comportamento linear dos materiais, que fornece diretamente
o valor do ângulo cj> a partir de um estado de tensões conhecido.
Comparando a equaçao (2.47) com uma nova apresen-
tação· da expressão (l .40), encontrada por Kupfer 31, para uma
extensão da analogia da treliça, com ângulo de inclinação das
bielas variãvel, baseada no principio da energia
minima:
complementar
73
n.ato ªs+n.ac n.ato . tan 4
~ + tan 3~ - • tan ~ - = O (2.48)
0 sw
verifica-se uma grande semelhança entre as duas equaçoes e" o
significado fisico de seus coeficientes.
2.5.7 - Equivalência com a Formulação de Placas com Armadura em
Malha Ortogonal
Baumann'º desenvolveu um critêrio de dimensiona
mento de chapas com armadura em malha ortogonal. Em sua anãl i
se, e conhecido o estado de tensões de um elemento de alma, de
finido pelas tensões principais o1 e o2 e pelo ãngulo que es-
tas fazem com as direções das armaduras. Admitiu o aço e o con-
ereto com um campo rtamento elãstico linear. Serã mostrado que a
ele obtida, baseada ~ da energia expressao por no principio com-
plementar minima, e equivalente a equaçao (2.46).
As seguintes notações sao adotadas:
(2.49)
v = n.pw (2.50},
(2.51)
74
· Oz
t o, "C ........
\ ,e 02
/ ~ i;
Ox- f i ..,..._ºx X
i;
/ 02
\ -· i o, o,
z
Fig. 2.9 - Estado de tensões num elemento de alma com armadura
em malha ortogonal
Introduzindo as expressoes (2.49) e (2.50) na
equaçao (2.46), obtém-se:
cot•cp.T.(v+À) + cot 3 cp.<Jx.À - cot cj).CJ2
- T.(v+l) = O ( 2. 52)
Dividindo todos os termos da expressao acima por
T. À , tem - se :
cot'cp.(À+v) + cot 3 cp. <Jx - cot q,. <Jz À T T
O equil1brio exige que:
<Jx tan S + K.cot S =
T - K
1
À
v+ 1
À
= o ( 2. 53 )
( 2 . 54)
75
0 z cot S + K.tan 8 =
T l - K
Através das expressoes (2.53), (2.54) e
encontra-se:
cot•t + cot3t. tan S+K.cot 8 _ cot· •· cot S+K.tan 8 l - K
= v . (1 - cot"t) À
À.(l - K)
l
À
=
( 2 . 5 5 )
( 2. 55)
(2. 56)
Assim, partindo da equaçao (2.46), que representa
um caso particular da expressão (2.35), alcançou-se a mesma ex
pressao que Baumann para a determinação .do ângulo t num elemen
to de chapa com armadura em. malha ortogonal, conhecido o estado
de tensões a que estã submetido.
2.6 - EQUAÇÕES CONSTITUTIVAS
De acordo com a hipEtese (h), nao é adotada ne-
nhuma modificação na equação constitutiva do concreto devido ao
efeito biaxial introduzido pela armadura transversal. Assim as
equaçoes constitutivas dos materiais podem ser
por:
representadas
(2.57)
o sw = o sw
76
( 2. 58)
( 2. 59)
ou seja, as tensões nas armaduras longitudinal e transversal e
a tensão no concreto nas bielas de compressão sao funções de
apenas uma variãvel: a deformação media na respectiva direção.
Na implementação do metodo serao utilizados os
diagramas de cãlculo tensão-deformação indicados pelo Cõdigo
Modelo CEB-F!P 47 , de 1978, e ilustrados nas Figuras 2.10, ?..11
e 2.12. Quaisquer outras relações constitutivas podem,
ser adotadas.
-0.85. fcd. 1000. ( 250. e:~+ 1 )
-0.0035 -0.002
/
I /
/
. o~
i------+-_,..,,_,:: ____ 7------ 0.85. fcd
' / L..._ ___ L---,-_.'.'.'.".: _____________ fck
' ----DIAGRAMA CARACTERISTICO
' ------DIAGRAMA DE CALCULO
Fig. 2.10 - Diagrama p-arãbola-retângu·lo
porem,.
0.010
/
fyk
fyd
'------~---1 -----
77
------,-- - -- ----, / .
ore ton Es
0.010
----- DIAGRAMA CARACTER(STICO
' -----DIAGRAMA DE CALCULO
- fyd
~ fyk
Fig. 2.11 - Diagrama de cãlculo do.aço tipo A
-0.010
1 1
1 1
fyk
f yd
0.7. fyd
-0002
1 I
1 1
1 1 1
1
/ ' / / 1 ---!--- --
! / : y _________ _ ' -L---
78
----, ---------- / 1
// _____ ,( __ ,'
/ L
1
,'·~--->.------'---~
/ E: 5 =-º-• + 0.823. [ Os - 0.7]5
,' E5 fyd 1
1 1
1 1 1
ar<;' ton Es 1
1
0.002
-0.7. fyd
OOIO
' - fyd ---DIAGRAMA CARACTERISTICO
- fyk ' ----DIAGRAMA DE CALCULO
Fig.·2.12 - Diagrama de cãlculo do aço tipo B
2.7 - INCOGNITAS, EQUAÇÕES E CONDI.ÇOES DE BORDO
A Figura 2. 13 apresenta uma peça de concreto arma
do onde a armadura transversal ê uniformemente distribuida ao
longo da seção e a armadura longitudinal ê considerada discreta
em cada nivel.
79
[º'""' . Ec:t>(r-lJ, .. ,
• • y X r • • r EQ -- - ---·--. --~A 5 ,0 5 ,0~, -----------
• • €5' e:~ 0
• • • Oci,r, ... ,E41r, ...
Fig. 2.13 - Descontinuidade~ introduzidas pelas armaduras long!
tudinais nas tensões e deformações
Os 1ndices r e r-1 indicam dois intervalos de con
ereto adjacentes ao longo da altura da seçao, limitados por
dois n1veis de barras longitudinais ou por um n1vel de barras
longitudinais e um bordo da peça.
Em cada intervalo de concreto, com armadura trans
versal distribu1di, estâ caracterizado um problema de valor de
contorno. Este problema apresenta 11 variâveis: o~, ºt' ºh' ºv'
ªs•! ~. E~, Eh' Ev' Ew e y.
Para a sua resolução dispõem-se de 11 equaçoes: 5
equaçoes de equil1brio (2.4), (2.5), (2.6), (2.10) e (2.11), 4
equaçoes de compatibilidade (2.lll), (2.21), (2.32) e (2.35) e
duas equações constitutivas (2.57) e (2.58).
A Figura 2. 14 apresenta uma comparaçao :destas
.. _
80
equaçoes com as obtidas para o problema de estado plano de ten
sões em materiais de comportamento elãstico e isotrõpico.
ESTADO PLANO DE CAMPO DE COMPRESSIIO DIAGONAL TENSÕES
cr.=~crt.(tan.+l/tan•) Equações oh=-ot/tan • de ov=-ot.tan • equil ibrio
(b.,} +(b.ox)'=O (b.ot)'+(b.crh)' = o ( b.,) '+ ( b. cr
2) • =0 (b.ot)'+(b.crv+pw.b.cose.oswl'=O
Equações EV = E.w/ cos 2 e ..
de compat_j_ y = tan2 •. (Ev-Eh)
bilidade tan 2 •=(Eh-E.)/(Ev-E•)
EX + E 11 -y 1 •
z =Ü Eh + E" V - y'. = o
Equações Ex=crx(Ex' Ez) ª• = 0.(E.) constituti ªz=ªz (Ex' Ez) a !é· 0sw(Ew) - SW vas '[ ( y) '[ =
Incõgnitas ªx'ºz'T'Ex,sz,Y ª••ºt'ªh'ªv'ªsw••·E.,Eh,Ev,Ew,Y
Fig. 2.14 - Comparação de incõgnitas e equaçoes do estado plano
de tensões e do campo de compressao diagonal
De acordo com a hipÕtese (e), admite-se que nao
ocorram deslizamentos relativos entre o concreto e a armadura.
Assim, (ver Figura 2.13) pode-se afirmar que:
( 2. 60)
(2.61)
81
onde ss e a deformação da armadura longitudinal, sh(r-l) e shr
são as deformações medias do concreto, no nivel desta armadura,
respectivamente nos intervalos (r-1) e r de concreto.
Serã a seguir demonstrado que as variãveis do pr~
blema, no nivel da armadura, num intervalo r ficam determinadas
ao se conhecer as tensões e as deformações, ha mesma elevação z,
no intervalo r-1 (ver Figura ?..13).
Supõem-se conhecidas, num intervalar r-1 e no ni
vel da armadura, as 11 variãveis do problema: º<P(r-l)' ºt(r-l)'
ºh(r-1)' ºv(r-1)' é'sw(r-1)' <P(r-1)' E<P(r-1)' Eh(r-1)' Ev(r-1)'
Ew(r-1) e Y(r-1)"
A expressão (2.60) permite determinar a deforma
çao horizontal no nivel da armadura e no intervalo r, que e de
nominada shr"
Da equaçao (2.12) diferencial de equilibrio, ob
tem-se, admitindo constante a armadura longitudinal ao longo do
eixo x:
s' s ( 2. 62)
Uma vez que dos/dss e função de ss, atraves das
expressoes (2.60), (2.61) e (2.62) determina-se ti(b.ot) e conse
quentemente ºtr·
82
Pela equaçao de equilibrio (2.13) calcula-se o
valor da expressao (b.cr + p .b.cos 0.cr ). Com o valor desta vr w swr
expressão e atravês de (2.G) e (2.58), observa-se que a deform~
çao na armadura transversal Ewr pode ser determinada caso o an
gulo $ e a tensão de cisalhamento ºtr sejam conhecidos. As ex
pressoes (2.4) e (2.57) permitem afirmar o mesmo para a deforma
ção do concreto na biela E•r· A equação de compatibilidade(2.35)
fica em:
tan 2 $ =
r Ewr(ºtr'tan •r)/cos 2 0-E~r(crtr'tan •r) (2.63)
Jã que os valores de Ehr e ºtr jã foram determina
dos, a resolução da equação (2.63) fornece o valor de sua ünica
incõgnita: •r· Uma discussão semelhante ê feita na seçao 3.2,
onde um método iterativo de solução desta equaçao e apresenta
do. Uma vez determinado o ãngulo de inclinação das bielas •r as .
demais variãveis são obtidas atravês da aplicação direta de ex-
pressões anteriormente apresentadas.
Assim, as expressoes (2.12), (2.13), (2.60) e
(2.61) tornam possivel calcular as descontinuidades introduzi
das pelas armaduras nas tensões e deformações ao longo da altu
ra, permitindo a unificação num unico problema de valor de con
torno.
Serão agora analisadas as condições de contorno
nas faces superior e inferior da peça. Considerando que não hã
83
introdução de cargas no trecho analisado, as condições de equi
librio em um elemento infinitesimal do bordo fornecem:
ªtbordo = o ( 2. 64)
(2.65) ---
CASO A' Eh < 0
º' f
' e ' '
X r ' ' ©
ELEMENTOS INFINITESIMAIS DEFORMAÇOES TENSOES TENSOES
NO CONTORNO LONGITUDINAIS TANGENCIAIS HORIZONTAIS
Fig. 2. 15 - Elementos infinitesimais dos bordos
A Figura 2.15 apresenta dois cisos t1picos nos
quais pode-se encontrar um elemento infinitesimal do bordo; ora
a deformação longitudinal ê negativa (caso A), ora positiva (c~
so B). A discussão serã fe~,ta ã luz da equação constitutiva do
concreto, ou seja, o concreto não resiste a tração.
84
Suponha-se que a tensão horizontal num elemento
do contorno seja diferente de zero. As expressões (2.1), (2.3)
e (2.64) exigem, a partir da afirmativa anterior, que o ângulo
$ seja nulo. Neste caso, a deformação E$ serâ igual a
tensão a$ a ªh' e, através das equações (2.2), (2.32)
demonstra-se que a, a , a e y sao iguais a zero. V Sw V
e (2.58},
Estas conclusões, vâlidas para o elemento A, con
duzem ao absurdo no caso B. Jâ que a deformação E$ e igual a
Eh' e esta e positiva, as. tensões a$ e ªh serao nulas, o que
contradiz a hipõtese inicial. Assim, quando a deformação hori
zontal de um elemento do contorno e positiva, a tensão horizon
tal ªh e necessariamente nula. Neste caso, porem, nada se pode
afirmar a respeito do valor do ângulo$ e da distorção angular
y.
A equaçao (2.10) e a repetição da anâlise ante-
rior permitem estender as conclusões anteriores a todo trecho
que vai do bordo â armadura longitudinal mais próxima. Caso es
te intervalo esteja todo tracionado, as tensões horizontais e
tangenciais no concreto serão nulas. Não apresentando capacida
de resistente, este trecho não serã considerado na anâlise.
2.8 - EQUAÇOES GLOBAIS DE EQU!llBRIO
O equil1brio de uma seçao transversal exige que:
85
z. z . J l
l
M = h.oh.z.dz + I os. As. z (2.66) zs zs
z. z.
Jz
l l N = b.oh.dz + I os. As (2.67)
s zs
z.
V = J l b.ot.dz (2.68) zs
onde Me o momento fletor, calculado em torno do eixo y, pred~
finido e arbitrãrio, N e o esforço normal e V é o esforço cor
tante.
Através das expressoes (2.10), (2.12), (2.66) e
(2.68), verifica-se a equaçao:
M' - V = O ( 2. 69)
Derivando em relação x ambos os lados da expres
sao (2.67) obtém-se, através das expressoes (2.10) e (2.12):
z. l
dz + I zs
Integrando a expressao (2.70), encontra-se:
N'
(2.70)
(2.71)
86
Considerando que nao hã introdução de cargas hori
zontais externas no trecho analisado (ver equação (2.64)), ob
têm-se:
N' = O (2.72)
Não foi considerada, nesta anãlise, a possibili-
dade de introdução de cargas horizontais externas ao longo do
elemento.
2.9 - A TEORIA DO CAM~O DE COMPRESSAO DIAGONAL E O DIMENSIONA
MENTO USUAL DE CONCRETO ARMADO
Na Figura 2. 16, analisa-se comparativamente adi~
tribuição de tensões horizontais no concreto segundo a teoria
de flexão e esforço normal (ohn) e a obtida através da teoria
do campo de compressão diagonal (oh)' para uma mesma deformada
Eh' por simplicidade considerada linear.
Como pode se notar, a distribuição de tensões ºh
e bastante diferente daquela utilizada nos cãlculos a flexão em
concreto armado. A verdade e que o dimensionamento de concreto
armado e feito sobre bases teõricas bastante simplificadas, co
mo serã visto a seguir.
87
b
Ohn oht / oh
M+M -M M Eh
-t.N -+. * © As. Os As. Os
Fig. 2.16 - Definição dos incrementos de esforços Me N
As tensões horizontais ºhn sao calculadas admitin
do a aplicação direta da mesma relação constitutiva (2.57) as
deformações longitudinais, ou seja:
(2.73)
As resultantes das tensões, segundo a teoria de
flexão, serao chamadas de M + N e N + N, onde:
z. z . J 1
1
M + N = b.ohn'z.dz + I ºs .A s. z zs zs
(2.74)
z. z. J 1
1 N + N = b.ohn.dz + I 0 s·As
zs zs (2.75)
Observa-se então, que para se obter as deforma-
çoes longitudinais Eh e consequentemente as mesmas tensões na
88
mal, deve-se incrementar os esforços solicitantes de N e N.
Os esforços incrementais R e N sao considerados,
na prãtica, indiretamente através do aumento de armadura provo
cado pela regra do deslocamento do diagrama de armadura de fle
xão necessãria. Estes conceitos, introduzidos por Diaz 1 ,2
, 3 , 4 ,
permitem notar, de imediato, que na realidade nao e a armadura
de flexão que deve ser incrementada, mas sim os esforços solici
tantes Me N.
Conforme apresenta a Figura 2.16, as tensões ºh e
ºhn sao relacionadas através de:
( 2. 76)
ou seja, as tensões ºht com sinais trocados, têm como resultan
te os esforços incrementais N e N.
-M N -+-21 2 -M M
lh h V
Fig. 2.17 - l,l e N segundo a analogia da treliça
V. cot cj) 2 -M=O
-V. cotcj) 2
) N=~cotcj)
89
Na Figura 2.17 inal isa-se o valor dos esforços i~
crementais, segundo a analogia da treliça. Neste caso particu
lar, Me N valem respectivamente, no referencial adotado, O e
V.cot ~-
No dimensionamento usual de concreto armado, Pº!
tanto, a avaliação correta de Me N torna-se uma necessidade
imperiosa, pois uma ma estimativa destes incrementas pode oca
sionar estruturas com baixo grau de segurança em certos casos.
A regra da decalagem não ê adequada, pois não consegue prever
os incrementas de armadura corretos em todos os casos da prati~
ca.
90
CAPiTULO III
SOLUÇAO NUMtRICA GERAL CONSIDERANDO O
EMPENAMENTO DA SEÇAO
3. l - INTERPOLAÇAO NA DIREÇAO x
A resolução exata do problema de valor de contor
no, no qual a peça i estudada em toda a sua extensão i evitada,
devido ã sua complexidade. Serão analisadas 4 seções simultanea
mente, de maneira que as tensões e as deformações possam ser
interpoladas na direção x segu_ndo polinômios de 39 grau.
M M+VL'lx M+2.VL'lx M+3VÓ X
X ·- lh lh 1-h l 1;-V V V V r
L'lx
Fig. 3. l - Anãlise simultânea de 4 seçoes
A altura da seçao i dividida num numero suficien
te de elementos de tal forma quess possam considerar as tensões
e as deformações constantes nestes elementos.
91
Admitindo-se esta variação polinomial em x para
uma função F(x, z), pode-se calcular, numericamente, a primeira
e segunda derivadas de F em relação a x, numa seçao k, a partir
dos valores discretos desta função nas 4 seções l ; l, 2, 3, 4,
para determinado valor dez.
4
F' 1 k ; I c kl. F l
l;l ( 3 . l )
4
F" 1 k ; l skl.Fl
l;l ( 3. 2 )
Os indices k ou l denotam que devem ser conside
rados os valores discretos das tensões e das deformações para
cada seção k ou l ; l , 2, 3 , 4 .
As constantes de diferenciação ckl e skl sao ob
tidas derivando em relação a x a fÕrmul a de interpolação pol inQ
mial de Gregory-Newton (ver Sadosky 4 5), truncada para o caso de
um polinõmi-0 de 39 grau:
- l l 18 -9 2
-2 -3 6 -1
l ( 3. 3 ) 6. i\x l -6 3 2
-2 9 -1 8 11
92
2 -5 4 -1
-2 1 o skl = ( 3. 4)
t,x2 o l -2
-1 4 -5 2
O expediente adotado de eliminação das derivadas
em relação a x, utilizando os valores discretos da função, po
de ser compreendido como um método de diferenças finitas.
Através das expressoes (2.6), (2.10), (2.11)
(2.12), (2.13), (2.64) e (2.65), obtém-se:
Pw·b.cos 8.aswk = b.atk'tan •k - J: b.aik.dz
( 3 . 5)
s (3.6)
Introduzindo-se a interpolação polinomial na d ire
ÇaO X, tem-se:
4 ckl' [f z
z As·ªst] b.otk = l b. a hl. d z + l
l=l zs zs ( 3. 7)
4
c kl · [J: b.atl'dz] pw.b.cos 8.oswk = b.otk'tan •k - l l=l s
( 3. 8)
93
3.2 - DETERMINAÇAO DO ANGULO $
As equaçoes (2.4) e (2.57) permitem afirmar que:
E$ = E$(0t' tan . ) ( 3. 9)
Das equaçoes (2.58) e ( 3. 6) obtêm-se:
'\t = EW ( (J t ' J: b.0t.dz,tan . ) (3.10) s
Assim a equaçao (2.35) pode ser apresentada da
seguinte forma:
tan 2 $ -
~w(0t,J: b.0t.dz,tan$)/cos 2 8-E$(0t,tan $) s
= o
Caso sejam conhecidas a deformação Eh' a
ªt e a derivada desta em relação a x, Gt ( ou seu
(3.11)
tensão
valor
aproximado segundo a interpolação polinomial anteriormente apr~
sentada), a expressão (3.11) reduz-se a uma equaçao não-1 inear
com uma única incõgnita: tan $,
Para resolvê-la e necessãria a implementação de
um mêtodo numêrico. Adotou-se para tanto o mêtodo iterativo de
Newton-Raphson (ver Stark 46).
94
Deseja-se encontrar o valor de tan $ que verifi-
que a equaçao:
F(tan $) = tan 2 $ -Ew/cos 2 0 - E</>
= o (3.12)
A cada iteração i se obtem uma nova aproximação
tan </>i. As expressões (3. 9) e (3.1 O) mostram que e poss1vel
calcular as deformações E•,· e E ., relativas a esta estimativa. " w,
Determina-se assim o valor de Fútan </>i). Caso a equação (3.12)
não seja aproximadamente satisfeita calcula-se uma nova aproxi
mação tan <l>i+l através da expressão:
tan <l>i+l = tan </>i - F(tan q,i)/{dF(tan q,i)/d tan $) (3.13)
onde e fâcil demonstrar, derivando a expressao (3.12), que:
dF(tan $) =
d tan $ 2. ta n </>
1 +----Pw. cos 3 e
(3.14)
Na expressao acima, dE</>/do</> e dEw/dosw; dependem
das relações constitutivas dos materiais.
O processo converge rapidamente a partir de uma
boa aproximação inicial. Esta pode ser, por exemplo, o valor co
nhecido de tan $ num n1vel da altura da seção próximo ao anali-
sado.
95
DADOS Eh, ºt,
APROXIMAÇAO IN1CIAL !=1
tan cp(l)
E q . ( 2 . 4 ) +o cp ( I ) + E q . ( 2 . 5 7 ) +E cp ( I )
. E q . ( 3 . 6 ) +o 5
w ( I ) + E q . ( 2 . 5 8 ) + E w ( I )
F(tan <P(I));O? s irn
Eq. 3.12
nao
Eq.(3.l3)+tan <P(I+l)
Fig. 3.2 - Fluxograma: determinaçio de tan cp
FIM
A Figura 3.2 apresenta, resumidamente, sob a for
ma de um fluxograma, o processo de determinaçio de tan cp ante
riormente descrito.
Observa-se entio que, num determinado nivel z da
altura da seçio, a partir da deformaçio horizontal Eh' da· ten-
96
sao tangencial ºt' e do valor da integral fz b.ot.dz,calculam-zs
se as variãveis tan $, E•,º•• Ew e ºsw· Estas uma vez encontra
das, podercse-ã obter as demais variãveis do problema através
da aplicação direta de equações anteriormente apresentadas. As
tensões ºh e ºv e as deformações Ev e y serão obtidas respecti
vamente pelas equações (2.5), (2.6), (2.21) e (2.32).
Uma vez que a integral J: b.ot.dz é calculada s
numericamente a partir dos valores da tensão tangencial ªt' o
problema fica reduzido ao cãlculo desta variãvel e da deforma
çao longitudinal Eh ao longo das 4 seções adjacentes. Deve-se,
psr conseguinte, procurar resolver o problema através da deter
minação destas duas variãveis.
Pode-se notar, através das expressoes ( 2 . 6 ) ,
f zz (2.25) e (3.6) que a integral b.ot.dz é igual, com o sinal
s trocado, a tensão ºz no n1vel analisado.
A Figura 3.3 representa a equaçao (3.11) para uma
determinada porcentagem de armadura e propriedades dos mate-
Jzz riais, considerando nula a integral b.ot.dz. Observa-se
s que, quanto mais tracionado estiver o elemento e quanto maior
for a tensão tangencial, maior serã o valor do ãngulo $.
A estas conclusões, anãlogas ãs de Kupfer 31, in
clui-se a diminuição do ãngulo $ ao reduzir-se a porcentagem de
armadura transversal, propriedade esta verificada também pela
e.xperiéncia.
97
p = O. 004 w
fcd = 9107 kN/m2
fyd = 434 780 kN /m2
tan 4> = 0.40
3000 tan 4> = 0.60
2500
tanq,=0.80
2000
tan 4> =0.20 tanq, = 1.00
1500 tan 4> = 1.20
tanq, = 2.80 ,e;
-0.003 -0.002 -0.001 0.001 0.002 0.003
Fig. 3.3 - Angulo ~ de inclinaçio das bielas: funçio da tensio
tangencial ºte da deformaçio longitudinal sh
98
3.3 - OS MtTODOS DE RES1DUOS PONDERADOS
Uma equaçao diferencial pode ser escrita generic!
mente como:
L(f) = p, ou (3.15a)
L(f) - p = O (3.15b)
onde L( ) e um operador diferencial.
Se no lugar da solução exata f, utiliza-se uma
aproximação f, que satisfaça as condições de bordo do problema,
a equação (3.15b) não se cumprirã. Serã obtido, neste caso:
L(T) - p = 6(x) # O (3.16)
onde 6(x) e o erro ou residuo em cada ponto.
Nos mêtodos de resi duas ponderados utilizam-se fun
çoes aproximadas do tipo:
n t = I
i = l Ct .. <!>.
l 1 (3. 17)
onde<)>. designa um subconjunto de funções admissiveis, linear-1
mente independentes, que satisfazem individualmente as condi-
ções de bordo. Os parãmetros ajustãveis a. sao l
determinados
99
anulando, em um sentido mêdio, no intervalo AB, o res1duo o,
fazendo:
J: o.\JJi.dx =O, parai= l, n (3.18)
onde li sao funções de peso ou ponderação. A expressao (3.18)
representa um sistema de equações que fornece os valores dos
parâmetros ªi.
Os distintos mêtodos de res1duos ponderados va-
riam nas funções de peso adotadas. No mêtodo dos momentos, uti-
lizadd neste trabalho, as funções de ponderação são
de X:
J B i -1 Ao.x .dx= O , para = l , n
potências
(3.19)
O mêtodo dos momentos e outros métodos de res1-
duos ponderados estão desenvolvidos e apresentados na obra de
Finl ayson 4 4•
3.4 - PROCESSO ITERATIVO PRINCIPAL
O problema pode ser definido como a determinação
das variãveis ºte sh em cada uma das quatro seções transver-
sais e no n1vel de cada um dos elementos em que estã dividida a
altura da peça.
100
Tratando-se de uma anãlise nao linear, serã util~
zado um processo iterativo. Partindo-se de uma aproximação das
tensões ªt determina-se uma deformada Eh associada .. Esta, por
sua vez, fornecerã uma melhor estimativa das tensões ªt' e as
sim por diante, ate um resultado suficientemente prõximo do
exato. Este processo pode ser dividido em 3 fases.
- FASE I: Aproximação inicial
A partir dos valores do momento fletor e esforço
normal determina-se a deformação linear Eh e as tensões horizon
tais no concreto ªh e na armadura longitudinal ªs• nas 4 se
çoes, seguindo os principios da norma adotada de concreto arma
do. t utilizado o método da matriz tangente preconizado por
Santathadaporn e Chen 18
, e apresentado na seção l. l.
Através da expressao (3.7) obtém-se a aproximação
inicial ªtk(l) para k = l, 2, 3, 4. Calcula-se em cada elemento
e seçao o valor da integral Jz b.atk(l).dz, para posterior zs
utilização na expressao (3.8).
- FASE II: Determinaçio de Ehk(2) e ªhk(2) a partir de ªtk(l)
Nesta etapa, considerando invariãveis as tensões
ªt nas 4 seções, serã encontrada uma nova estimativa das defor
maçoes Eh de forma ã respeitar todas as equaçoes que constituem
o problema, com exceçio da expressio (3.7).
l o l
Associando a deformada a uma sêrie
tem-se, no limite:
m I
j=l
j -1 ªkj. z
polinomial,
( 3. 20)
A nova aproximação ºhk(2) deverã satisfazer as
equaçoes (2.66) e (2.67).globais de equilibrio nas 4 seçoes. A
equação {2,68) jã ê automaticamente satisfeita ao se deduzir a
aproximação ºtk{l) a partir de uma distribuição de tensões hori
zontais que equilibra o momento fletor e o esforço cortante so
licitantes em cada u~a das auatro seções.
Utilizando o mêtodo dos momentos, transforma-se
a equaçao de compatibilidade (2.14), que deve ser verificada em
cada ponto da seção, em um ''sistema de equações globais'':
, dz u k.
(3.21)
o; ... (3.22)
O parâmetro ºk representa o residuo ou erro da
expressao (2.14) em cada ponto da seção k. Pode-se afirmar que,
no limite, a solução do sistema de equações (3.22) minimizarão
erro da equação (2.14).
Truncando-se a sêrie polinomial (3.20), com p ter
mos, tem-se, para cada seção:
r j =,
l O 2
j -1 ªkj.z (3.23)
Correspondente as (4.p) incõgnitas ªkl' obtêm-se
um sistema de (4.p) equações nio-lineares Fkl' onde o primeiro
indice {k) refere-se a seçao {de l a 4) e o 29 indice (l) defi
ne a potência de zl-l:
- bot k ---.dz + tanq,k
b z .
- a t k l .z.dz + zl
tanq,k s = o
( 3. 24 )
As duas ultimas expressoes acima equivalem is ex-
pressoes (2.66) e (2.67). As demais representam as
(3.22).
condições
Divide-se cada equaçao Fkl' l variando de l a
(p-2), em 3 parcelas:
103
(3.25)
onde:
A J:i
f-1 dz (3.26) Fkf = E:h k z
s
B Jzi s~k.zf-l_dz (3.27) Fkf =
zs
e J:i yi,_. f-1 dz ( 3. 28) Fkf = z
s
Introduzindo a expressid (3.23) em (3.26) e inte
grando, obtêm-se:
p-2 I
j = 1
4 I
i = 1
Cl kj . ( j - l ) . ( j - 2 ) . ( z ( j +f- 3 ) - z ( j +f- 3 ) ) . l s (j+f-3)
( 3 . 2 9 )
Atravês das expressoes (3.2) e (3.27), tem-se:
s .. z dz f-1 ] Vl
(3.30)
As equaçoes (3.1) e (3.28) fornecem:
J. f-1 4
e k .. y. . z dz = - I 1 1 . l l=
· f-1 J-yi .z .dz
(3.31)
l 04
Convem lembrar que as expressoes (2.12) e (2.13)
mostram que as barras longitudinais introduzem uma descontinui
dade nas tensões ºt' ºh' ºv e ºsw e consequentemente nas defor
maçoes Ev' Ew e Y.
' yl~ Ev,~ r 1 sk 1 tt H 1 IS As
11 Ys Y1 Evs Ev1 1 1 1
Fig. 3.4 - Descontinuidades nas f~nções y e Ev introduzida~ pe
las armaduras longitudinais
Observando-se que a distorção angular nas extremf
dades comprimidas e nula e que as extremidades tracionadas nao
são consideradas na anãlise, obtém-se, integrando por partes a
expressão (3. 31):
e 4
cki[Yi1:J para .e. = l : F k.f. = I (3.32) i = l
4 s
cki[Yi .f.-2 ] e z.e.-11-(.f.-l)fzi para .f.=2, ( p-2): Fk.f. = I yi.z ,,.dz
s onde yi
I
i=l I z s
( 3 . 3 3 )
S I = y. - y. e o valor da descontinuidade da função y na
l l
armadura. No caso de mais de uma barra, representarão somatõ-
l O 5
rio de todas as descontinuidades ..
As descontinuidades da deformação vertical Ev,nas
barras longitudinais ao longo da altura, estão
consideradas na expressão (3.30).
implicitamente
Agora, o sistema de equaçoes (3.24) estã todo de
finido em função dos valores discretos das variãveis do proble
ma. U~a vez que na seção 3.2 demonstrou-se que conhecidos ºt e
Eh' os demais parâmetros ficam definidos, e como nesta etapa
(fase II), a tensão tangencial ºt mantém-se invariivel, verifi
ca-se que o sistema de equações (3.24) tem por incógnitas os
coeficientes ªklº
Foi utilizado o método de Newton-Raphson para a
resolução do sistema de equações não lineares (3.24).
A partir de uma apnoximação das deformadas nas 4
seçoes, determina-se os valores das demais variãveis do proble
ma, jã que a tensão ºt mantêm-se constante nesta fase. Para is
to são utilizados o mêtodo e as equações comentados na seçao
3 . 2 .
Caso as equaçoes se verifiquem, interrompe-se o
processo. Caso contrãrio, o mêtodo fornece uma nova aproximação
das variãveis ªkl nas 4 seções.
l O 6
Novamente calcula-se tan ~ e as demais variãveis,
repetindo-se o processo atê que o sistema de equações
possa ser considerado aproximadamente resolvido.
( 3. 24)
Isto ocorre apos poucas iterações, jã que o méto
do de Newton-Raphson converge rapidamente. A determinação de ca
da nova aproximação dos coeficientes ªkl exige porêm a resolu
ção de um sistema de (4.p) equações lineares, o que demanda tem
po de processamento.
Denomina-se, por simplicidade, a diferença entre
o~ valores de duas aproximações dos coeficientes ªkl de Aakl:
Aa kl = a kl ( I + l ) - a kl ( I ) ( 3. 34 )
onde, para cada coeficiente, o 19 1ndice ( k) refere-se á seçao
(d l 4) 20 • d' (") d f' - . d l-1 e a e o . ,n , c e "- e ,n e a pote n c, a e z .
O método de Newton-Raphson, deduzido da sêrie de
Taylor, conduz a um sistema de equações simultâneas, cuja reso
lução fornece os valores dos acréscimo Aakl' numa iteração !:
107
(4.p) equaçoes (3.35)
onde 6Fkl é a diferença entre o valor exato da expressao Fkl e
o valor obtido na aproximação !. Os valores exatos das expres
sões Fkl são nulos, tais como definidos nas expressoes (3.24).
Assim, os acréscimos 6Fkl são iguais a:
(3.36)
ou seja, os valores encontrados na iteração !, com sinais troca
dos.
Convém lembrar que na dedução das equações(3.35),
as variãveis do problema podem ser subdivididas no seguinte es
quema:
- constantes no processo: ªt
- variãveis: Eh (e portanto ªkl)
- variãveis, mas dependentes de ªt e Eh: tan ~. a~, ºsw' ªh
ºv·E~ 'Ev' ESW'e y.
l 08
Baseado nesta observação, pode-se afirmar que,
nesta etapa (fase II) do processo:
dEV d E V dEh (3.37) =
ªª dEh ªª
ay s!.:r:__ ash (3.38) =
ªª dEh ªª
ata n<J, dtan<j, ash (3.39) =
ªª d Eh ªª
As expressoes das derivadas parciais aFkl/aamn'º~
de k e m variam de l atê 4 e l e n variam de l atê p, são desen
volvidas observando as expressões (3.37) a (3.39) e a seguinte
expressão, obtida de (3.23):
= z l-1 (3.40)
Para l variando de l a (p-2), tem-se, a partir da
expressao (3.25):
= (3.41)
A primeira parcela e obtida derivando-se a expre!
sao (3.29):
l 09
A para f k
a F kl o m = ºªmn
a FA ..L!1_-l). (n-2) . (z(n+l-3)_z(n+l-3)) para m=k e n=l,(p-2) k =
ºªmn (n+l-3) , s
A para m=k n=(p-1),p
a F kl o (3.42) e = ªª mn
A partir das expressoes (3.30), (3.37) e (3.40),
deduz-se a segunda parcela:
n+l-2 d . z . z (3.43)
As expressoes (3.32), (3.33), (3.38) e (3.40) for
necem a ultima parcela:
aFC [1 <1_y_ 1 ,., _, s
J para .e k = = c k • • z
ºªm.n m d m Eh I
e para l=2,(p-2)
a F kl = - [c9.l __ ) n+l-2 s c k • • z ºªmn
m d m Eh I
- (l-1). J2
i (i.Y_) .zn+.t- 3 .dz] zs dch m
( 3. 44)
Obtém-se, a partir das duas ultimas expressoes do
sistema de equações (3.24) e das expressões (3.39) e (3.40):
11 O
aFk(p-1) - aFkp = o para k ~ m: - - -
para k = m: aFk{p-1) =
3ªmn
+
aFkp J: i b. ºt k .(dtancj,).zn.dz = + tan 2 cj,k ªª d Eh mn s
z. l n
+ I Esk.As.z (3.45) zs
Resta somente explicitar os termos dEv/dEh
dtancj,/dEh e dy/dEh. Convém lembrar que, como nesta etapa a ten-
são tangencial e invariâvel,
variãvel Eh.
E , tancj, e y são funções apenas da V
Derivando-se conveniemente a expressao (2.35}, en
contra-se:
-l ( tan2
cj, - ºt· pw. co s 3 0
OE w
3 · 0 sw
ÓEcj, + --
ª º cj,
. (-1-tancj,
- tancj,) 2 + l)J-l
ºt
(3.46)
As expressoes (2.21) e (3.6) permitem afirmar que:
111
= (3.47)
Derivando, em relatão a Eh' ambos os lados da ex
pressao (2.32), obtém-se:
dtanq, 2. ºt.
d Eh [t:nq, + tanqi. ( 1 , .~+ oE</> )]
Pw·cos 8 ººsw ºº<t> (3.48)
Desta for~a e poss,vel montar o sistema de equa
çoes (3.35). As expressões (3.41) a (3.48), a primeira vista
muito complexas, são na realidade de fãcil implementação compu
tacional. Apôs resolvido o sistema, as novas estimativas dos
coeficientes ª'kl' correspondentes ã iteração (I+l ), serão:
a kl ( I + 1 ) = a kl ( I ) + 6a kl (3.49)
Assim, foi concebido um método numérico para a
resolução do sistema de equações (3.24), finalidade desta fase.
Desta maneira, serão satisfeitas as condições de equil1brio e
de compatibilidade, estas ultimas de forma aproximada. Esta so
lução não representa o resultado final do problema, jâ que foi
baseada numa aproximação das tensões tangenciais ºtk' onde
k = 1, 2, 3, 4. Admitindo porem, ter sido obtida uma estimativa
mais perfeita das tensões e deformações horizontais, prossegue
se para a uma terceira fase.
11 2
- FASE III: determinação de ºtk(2) a partir de Ehk(2) e ºhk(2)
Durante a etapa anterior, foi obtida, associada
as deformações Ehk(2), uma distribuição de tensões horizontais
0 hk( 2 ).
A partir destes valores, aplicando a
(3.7), obtém-se a nova aproximação ºtk(2).
equaçao
Compara-se esta aproximação com a anterior. Caso
a diferença seja relativamente pequena, encerra-se o processo.
Caso contrãrio, retorna-se ã 2~ etapa com uma nova aproximação
das tensões tangenciais.
3.5 - COMENTARIOS SOBRE O PROCESSO ITERATIVO PRINCIPAL
A Figura 3.5 ilustra o método iterativo de resolu
çao adotado.
A curva l é definida pelo sistema de ~-- -equaçoes
(3.24). Para uma distribuição de tensões ºtela fornece uma de
formada e uma distribuição de tensões horizontais de maneira a
respeitar parte das condições do problema. A curva 2 representa
a equaçao (3. 7) e, utilizando as condições restantes do proble-
ma, fornece as tensões tangenciais ºta partir das
horizontais ºh·
tensões
11 3
-- .
º'
APROXIMAÇÃO INICIAL º' ( 1) 0 1(1), e:h(I)
. -SOLUÇAO
EXATA
Ot (2) ~ Ot (3)
RETAS HORIZONTAIS FASE II
RETAS VERTICAIS FASE IIt
Fig: 3.5 - Mêtodo iterativo de resolução
A interseção das duas curvas, onde todas as condi
çoes serao respeitadas, ê a solução do problema. As retas hori
zontais representam a fase II, onde considerando ot(I) constan
te, determina-se Eh(I+l) e oh(I+l). As retas verticais, por sua
vez, definem a fase III, quando se calcula ot(I+l) a partir dos
valores oh(I+l).
A Figura 3.6 apresenta um fluxograma resumido do
processo proposto.
11 4
DADOS M, N , .V .., I = 1
M, N +Eh(l), crh(l)
EQ. ( 3 . 7 ) + ªt(l)
. DETERMINAÇIIO DE tan. E sw
(VIDE FLUXOGRAMA DA FIGURA 3.2)
E q s . ( 2 . 5 ) , ( 2 . 3 2 ) +cr h , y
E COMPATIBILIDADE EQS.(3.24)?
nao
NOVA APROXIMAÇ/10 Eh
~o sim
s;
FASE I APROXIMA
_ Ç/10 INICIAL
FASE II
ºt CONSTANT
Eh VARIIIVEL
FASE II ªt VARIIIVEL
\·.
Eh CONSTANT
Fig. 3.6 - Fluxograma: .anãl ise simultãnea de 4 seçoes consideran
do o empenamento
11 5
Assim, pode-se analisar o problema segundo uma
deformada linear ate um polinômio de ordem qualquer. A solução
linear para Eh corresponde iquela dada por Guedes et alii. 7 e
Co 11 i n s,' 9' , o',,.
Quanto mais termos forem utilizados, a solução
sera, teoricamente, mais prõxima da exata. Em compensação, exi
girã, tambem, um maior esforço de computação.
l l 6
CAP1TIJLO IV
METODO SIMPLIFICADO
4.1 - HIPÕTESES SIMPLIFICADORAS - 19 ESTAGIO
O metodo anterior de verificação de tensões e com
putacionalmente lento, inclusive supondo a deformada linear, p~
ra a implementação de um programa prãtico de .dimensionamento.
A principal vantagem do metodo agora apresentado
e que, evitando a diferenciação numerica, permite a anãlise nu
ma unica seçao. Para tanto, são introduzidas algumas simpl ific~
ções. As tensões e deformações assim obtidas serao uma aproxim~
çao da solução completa, analisada anteriormente. No entanto,
por simplicidade, serão utilizadas as mesmas notações ate aqui
adotadas.
Supõe-se que a seçao permanece plana apos a defor
maçao. A deformada Eh pode então ser expressa .por:
( 4 . l )
onde a 1 e a deformação horizontal na origem da ordenada z e a 2 ê a curvatura da seção.
A hipõtese (4. l) conduz a linearidade da derivada
da deformação longitudinal na direção x, ao longo da altura da
l l 7
seçao. Ou seja:
Jã que o esforço cortante é constante no interva
lo estudado, ºt (variação na direção longitudinal da tensão tan
gencial ao longo do eixo x, num determinado nivel z da altura
da seção) é relativamente pequena em relação aos demais termos
da equação (2.11) diferencial de equilibrio. Isto foi efetiva
mente verificado nos exemplos analisados do método anteriormen
te proposto e permite a seguinte simplificação:
(b.ot)' = O (4.3)
Substituindo a expressao (4 .3) na equaçao (2.11)
diferencial de equilibrio, obtém-se:
• CDS 0.o sw o ( 4 . 4 )
A simplificação (4.3) implica portanto na consid~
raçao que em elementos l'ineares de concreto armado, onde não hã
introdução de cargas no intervalo estudado, a resultante das
tensões verticais no concreto e das tensões na armadura trans
versal o é aproximadamente nula. z .
A partir da expressao (4 .4) verifica-se que a
equaçao diferencial de equilibrio (2.13) e a condição de conter
no (2.65) serão sempre, automaticamente, satisfeitas.
11 8
Introduzindo a expressao (2.6) na (4.4), obtem-
se:
( 4. 5)
Assim, a partir da aproximação (4.3), foi encon-
trada uma nova equaçao de equilibrio, não diferencial. Esta e
tambem a expressão empregada usualmente no dimensionamento de
armaduras de cisalhamento em peças de concreto armado.
A formulação desenvolvida por Collins 8•
9•
1 º• 11, e
utilizada tambem por Guedes et all i. 7, assume as aproximações
(4.1) e (4.5). Estes autores adotaram o ângulo 0, de inclinação
dos estribos em relação ao eixo z, constante e igual a oº. Con
siderando a utilização de armadura transversal com ângulo 0 va
riâvel ao longo da altura, o conjunto de equações por eles uti
lizadas se resumem em:
- Equações de equilibrio num ponto: (2.4), (2.5), (2.6) e (4.5).
- Equações diferenciais de equilibrio: (2.10) e (2.12).
- Equações de compatibilidade: (2.21) e (2.35).
- Equações constitutivas: (2.57), (2.58) e (2.59).
- Condição de compatibilidade das armaduras longitudinais:(2.60).
- Condição de contorno: (2.64).
119
- Equações globais de equil1brio: (2.66) e (2.67).
- Aproximação linear da deformada: (4.1).
Collins e Guedes et alii. resolveram o conjunto
anterior de equações analisando duas ~eçõ~s adjacentes simulta
neamente. Desta maneira, as tensões foram interpoladas na dire
ção x linearmente.
Portanto, a formulação adotada por estes autores
difere do método proposto no cap1tulo III, no caso de uma série
polinomial com apenas dois termos ser adotada como aproximação
da deformada, em dois aspectos: o numero de seçoes analisadas,
e portanto a interpolação na direção x, e a aproximação (4.3).
Guedes, Pré e Maia 7 adotaram também uma varianbe
dá expressao (2.35), para a determinação do ângulo de inclina
ção das bielas:
( s + -1-). ºt. tan" ,P
8 Es c
= o ( 4 • 6)
onde E~ e E~ sao os mõdulos de elasticidade secante do concreto
e do aço, definidos como as relações entre as tensões e as de
formações dos materiais, considerando a não linearidade dos dia
gramas tensão-deformação dos. mesmos:
( 4 • 7 )
l 2 O
( 4. 8)
A expressao (4.6) e obtida substituindo-se (2.4),
(4.5), (4.7) e (4.8) em (2.35). Nela sao variãveis nao somente
o ãngulo de inclinação das bielas cj,, mas tambem os mõdulos de
elasticidade secante jos materiais. ,,..
4.2 - HIPÕTESES SIMPLIFICADORAS - 29 EST~GIO
A fim de evitar a diferenciação numérica e anali
sar o problema numa unica seção, serã introduzida uma nova hipf
tese simplificadora. Esta nova aproximação, desenvolvida por
Diaz 1 ' 2 ' 3 '4
, permitirã a avaliação da distribuição das tensões
tangenciais a partir da deformada Eh da seção e do valor does
forço cortante V.
Z;; z5
8 X r
SEÇAO DEFORMAÇOES
iRANSVERSAL LONGITUDINAIS
M
l~ oh V
As.Os
TENSOES
HORIZONTAIS
M+M
1 /'1h
1 Ohn V=O '[ 1 As.Os
TENSOES HORIZONTAIS
FICTÍCIAS
Fig. 4.1 - Comparação entre as tensões ºh e ºhn' para uma mesma
deformada
l 21
A Figura 4.1 apresenta uma seçao transversal sub
metida a um momento fletor M, um esforço normal N e um esforço
cortante V. Para este conjunto de solicitações, determina-se a
deformada Eh e as tensões horizontais no contreto ºh'
Denomina-se·ohn as tensões no concreto obtidas p~
ra a mesma deformada, considerando nulo o esforço cortante.
As tensões horizontais ficticias ºhn sao calcula
das atravês da teoria de flexão e esforço normal, apresentada no
primeiro capitulo. Assim, como o esforço cortante ê nulo, as
tensões ºhn estão relacionadas ãs deformações horizontais Eh
atravês da equação constitutiva (2.57) do concreto, ou seja:
( 4. 9)
As tensões horizontais ficticias ºhn' juntamente
com as tensões na armadura, não equilibram as solicitações M e
N. O momento fletor e o esforço normal resultantes serão:
z. f z i
l
M + N = b.ohn'z.dz + I ºs·As.z zs zs
(4.10)
z.
1:i l
N + N = b.ohn"dz + I ºs . A s s zs
(4.11)
As solicitações incrementais N e N jã foram discu
tidas na seção 2.9.
122
Como proposto por Diaz 1,
2, a seguinte aproximação
pode ser adotada:
ou seja, a variação na direção longitudinal da tensão horizon
tal ºh e aproximadamente igual a da tensão ficticia ºhn·
Introduzindo a expressao (4.12) na equaçao (2.10)
diferencial de equilibrio, obtem-se:
(4.13)
4.3 - INCÕGNITAS E EQUAÇÕES
Assim foram introduzidas tres hipõteses simpl ifi-
cadoras: a linearidade da deformada (4.1) e as aproximações
(4.3) e (4.12).
A solução fornecida pelo novo conjunto de equa-
çoes e diferente da anteriormente obtida, no capitulo III. En
tretanto, as mesmas notações serão utilizadas para as variãveis
do problema.
Tendo em vista a aproximação linear da deformada,
nao se procurara mais satisfazer a equação (2. 14) diferencial de
compatibilidade. Assim, a determinação da distorção antular me
dia f torna-se desnecessiria, e portanto não serã feita. Em vis
l 23
ta deste fato, reduz-se o problema em mais uma equaçao, a
(2.32).
Como discutido anteriormente, assume-se que a re
sultante o2
, na direção vertical, das tensões no concreto e na
armadura, seja sempre nula. Assim, as equações (2.13), nas arm~
duras longitudinais, e (2.65), nas faces superior e
serao sempre satisfeitas.
inferior,
As equaçoes que constituem o problema podem ser
divididas em:
- Equações de equilibrio num ponto:
a~= - ºt·(tan ~ + 1/tan ~)
- Equações diferenciais de equilibrio:
6(b.ot) + (o .A )' = O s s .
( 2. 4 )
( 2 . 5 )
( 2 . 6 )
( 4. 5)
(4.13)
(2.12)
l 2 4
- Equações de compatibilidade:
(2.21)
(2.35) E: - E:
V e/>
- Equações constitutivas:
(2.57)
O =a (E) sw sw w ( 2. 58)
( 2. 59)
( 4. 9)
- Condições de compatibilidade das armaduras longitudinais:
E: s = E:h(r-1) = Eh r (2.60)
E: ' s = ' E:h(r-1) = E: ' hr (2.61)
- Condições de contorno:
0 tbordo = o ( 2. 64 )
l 2 5
- Equações globais de equil1brio:
z. f z i
1 M = b.oh.z.dz + I ºs·As.z (2.66)
zs zs
. z. f z i
1
N = b.oh.dz + I 0 s·As (2.67) zs zs
V = J:i b.ot.dz (2. 68) s
- Aproximação linear da deformada:
{ 4 • l )
s 1 = h ( 4 . 2 )
Tal como explicado na seçao (2.8), as equaçoes:
M' = V { 2. 69)
N' = O ( 2. 72)
sao consequincia de (2.64), (2.66), (2.67) e (2.68).
O processo de resolução e implementado dividindo
se a seçao em n elementos.
l 2 6
e
©
SEÇAO DEFORMAÇOES
TRANSVERSAL LONGITUDINAIS e:h
TENSOES
HORIZONTAIS Ohe 0 6
\ \.
\ \
TENSOES
TANGENCIAIS 01
Fig. 4.2 - Divisão da seçao transversal em n elementos
O numero de barras longitudinais ê denominado n , . s.i
Os n elementos são escolhidos de maneira que as barras longitu-
dinais estejam localizadas entre os mesmos.
As tensões horizontais ºh e ºhn e variãveis
º•• ºv' ºsw' •· E•, Ev e Ew são consideradas constantes no ele
mento, perfazendo um total de 9.n variãveis.
De acordo com a aproximação anterior no elemen-.. ,
to da tensão horizontal e atravês da expressão (2.10), a ten
sao tangencial assume uma variação linear no elemento, e e defi
nida pelos valores nas interfaces do mesmo . Nos pontos onde
existem barras longitudinais, a tensão tangencial assume dois
valores, caracterizando as descontinuidades introduzidas por
estas armaduras. A fim de definir a distribuição das tensões
tangenciais ao longo da seção transversal, são necessãrias, po~
127
tanto, a determinação de n + ns + l variãveis.
riãveis: ºs•
Para cada barra longitudinal têm-se mais três va
Es e E~,total izandó 3.ns variãveis.
A aproximação linear da deformada Eh reduz
terminação da mesma e de sua derivada E' h na direção X
lo dos pa rãmet ros ª1 • ª2· kl e k2.
Assim, o numero de variãveis do problema
10.n + 4.ns + 5.
no
a de-
cãlcu-
e
As seguintes equaçoes sao aplicadas nos elementos
de concreto, a partir dos valores medios da tensão
ºte da deformação longitudinal Eh em cada um: (2.4),
(2.6), (2.21), (2.35), (2.57), (2.58), (4.5) e (4.9).
tangencial
(2.5),
Nestes
mesmos elementos, a tensão tangencial da face inferior estã re
lacionada com a da face superior atravês da equação (4.13). Nos
elementos em que estã dividida a altura da seção estão portanto
definidas 10.n equações.
Em cada barra longitudinal, verificam-se as equa-
çoes (2.12), (2.59),(2.60) e (2.61), num total de 4.n s
çoes.
equa-
Finalmente, têm-se as três equaçoes globais de
equil1brio (2.66), (2.67) e (2.68) e duas condições de contor
no (2.64), nas faces superior e inferior da peça.
128
No computo geral, verifica-se o total de
4.ns + 5 equações, igual ao mesmo numero de incõgnitas.
10.n +
Cumpre observar que uma anãl ise anãloga, para o
m~todo proposto no cap1tulo III, poderia ter sido feita, uma
vez que na sua implementação foi adotada a mesma aproximação das
variãveis num elemento. A anãlise naquele caso não foi apresen
tada, a fim de não tornar ainda mais complexa a exposição.
4.4 - O MtTODO DA SEÇ~O EQUIVALENTE
O m~todo da seçao equivalente, proposto por
Diaz 1•
2•
3'
4, permite a determinação das tensões tangenciais nu
ma seção transversal, a partir da deformada Eh e do valor do es
forço cortante V, desde que se queira utilizar a condição apro
ximada (4. 12). Aplica-se indistintamente em materiais de campo~
tamente linear ou não linear.
Definem-se as coordenadas z a partir do ponto on
de a derivada Eh se anula:
E' = h (4.14)
Denomina-se Ec e Es os mõdulos de elasticidade
tangente do concreto e do aço, ou seja, as derivadas d-0/dE as
curvas tensão-deformação de cada material, para E= Eh:
1 2 9
Consfaerando as expressoes (2.59), (2.60) e
(4.9), observa-se que estes valores dependem somente da deforma
ção longitudinal Eh. Ec e Es podem ser nulos caso os materiais
se encontrem nos respectivos patamares de escoamento.
A partir das expressoes (4.13) e (2.12), têm-se:
J~ z b.ot = b.ohn'dz - _l (As.os)' (4.17)
zs zs
Admitindo que a armadura longitudinal permaneça
constante no interv'a"'lo analisado, obtém-se, aplicando a
da cadeia na expressao (4.17):
b.ot =
regra
(4.18)
Introduzindo a expressao (4.14), conclui-se que:
b. E . z. dz + c ÍA.E.z] - s s
zs (4 . 1 9)
Denomina-se seçao equivalente a uma seçao trans
versal, constituida a cada n1vel pela ãrea de cada material mul
tiplicada pelo seu modulo de elasticidade tangente. Esta sõ po-
130
de ser determinada caso seja conhecida a deformada Eh da se-
çao, e assim os mõdulos de elasticidade tangente ao longo da
altura da seção.
Z = z5
b. dz 0.002
As
SEÇAO DEFORMA ÇOES
TRANSVERSAL LONGITUDINAIS
Fig. 4.3 - Definição de ãrea equivalente
1 E 5 .A 5
~ 1 1 L ____ J
SEÇAO
EQUIVALENTE
Observando-se que a tensão tangencial no bordo
inferior deve ser nula, conclui-se, aplicando a expressão(4.19)
para z = zi, que a origem das coordenadas z, e o baricentro da
seção equivalente.
Integrando ambos os lados da expressao (4.19),~san
do o artificio da integração por partes, obtém-se:
z. 1
+ _I zs
(4. 2 O)
l 31
Observando a definição de seçao equivalente, têm-
se:
J~ z s = b.E c· z. dz _I A . E . z s s
zs z s (4.21)
z .
J;i
, I -2 _l -2
= b.Ec.z .dz + As.Es.z s zs
(4.22)
onde Sé o momento estãtico da seçao equivalente, acima do ni
vel onde a tensão tangencial estã sendo determinada e I e o mo
mento de inércia da seção equivalente, ambos calculados em rela
ção ao baricentro da mesma.
Das expressoes (4.19), (4.20), (4.21) e (4.22),
obtém-se:
b.ot = V.S/I (4.23)
O método da seçao equivalente oferece, portanto,
uma maneira simples e rãpida para o cãlculo da distribuição das
tensões tangenciais, a partir da deformada Eh da seção e do va-
lor do esforço cortante V. Evitando a diferenciação
permite que a anãlise seja feita numa unica seção.
numérica,
A solução assim obtida é uma aproximação das ten
soes tangenciais, jã que não satisfaz a equação diferencial de
equilibrio (2.10). Por simplicidade, as mesmas notações
utilizadas em relação~ solução dada no capitulo III.
foram
l 3 2
O método da seçao equivalente supoe uma afinidade
entre as distribuições de tensões tangenciais para uma
deformada e diversos valores de esforços cortantes.
mesma
8 \
' \ (S/1).V,
1
' © v,
FLUXO DE SEÇAO DEFORM AÇOES CISALHAMENTO
TRANSVERSAL LONGITUDINAIS v, = b. ª"
..
(S/1l.V2 !------'"" ---=-
FLUXO DE CISALHAMENTO
V2=b.012
v.
Fig. 4.4 - Afinidade das tensões tangenciais para uma mesma de
formada
A Figura 4.4 apresenta dois conjuntos de solicit~
çoes M1 , N1 , v1 e M2 , N2 , v2 . Ambos carregamentos conduzem a
mesma deformada. As aproximações das tensões tangenciais obti
das atraves da aplicação do método da seção equivalente em cada
caso sao curvas afins, jã que os momentos estãticos S ao longo
da seçao e o momento de inercia I são funções apenas da deforma
133
Esta afinidade e valida para materiais homogêneos
e isotrÕpicos, de comportamento f1sico linear ou nao linear. To
davia, supondo que a hipõtese de afinidade possa ser adotada co
mo uma boa aproximação do comportamento de peças de concreto ar
macio, segundo a teoria do campo de compressão diagonal, obtém
se a distribuição de tensões tangenciais determinada pelo mêto
do da seção equivalente.
4.5 - PROCESSO ITERATIVO
Assim, conhecida a deformada, o mêtodo da seçao
equivalente fornece uma aproximação das tensões ºt ao longo da
altura da seção.
Uma vez que a integral J: b.ot.dz ê admitida nu-s
la, o mêtodo proposto na seçao 3.2 fornece o valor das demais
variaveis do problema a partir apenas da tensão tangencial ºte
da deformada Eh.
Assim, pretende-se determinar o valor das varia-
V ei S CI l e ª2 que definem uma deformada Eh tal que sejam satis-
feitas as equaçoes:
z. Jzi
1
Fl = -b. (ot/tan <P) • dz + l ºs .A - N = o ( 4 . 24 ) s zs z s
z.
I:i 1
F2 = -b. (ot/tan <JJ).z.dz + l ºs·As.z - M = o (4.25) z s s
134
obtidas através das expressoes (2.5), (2.56} e (2.57) e que es
tabelecem as condições de equil1brio.
Estã caracterizado, porem, um sistema nao linear
de duas equaçoes e duas incôgnitas. Para resolvê-lo, ê necessã
ria a implementação de um processo iterativo. Foi adotado o mé
todo de Newton-Raphson.
Partindo de valores iniciais de a 1 e a2 (por exe~
plo, a solução elãstica), obtêm-se uma distribuição de tensões
ªt atravês do mêtodo da seção equivalente.
A partir desta aproximação das deformações Eh e
das tensões tangenciais ªte poss1vel, como explicado na seçao
3.2, calcular as demais variãveis do problema.
São assim determinados, ao longo da altura da se
çao, o ãngulo ~ de inclinação das bielas e a tensão horizontal
ºh· Verificam-se os valores das expressões F1 e F2 , definidas
em (4.24) e (4.25). Caso o equil1brio esteja aproximadamente
satisfeito, interrompe-se o processo.
Em caso contrãrio, o mêtodo fornece uma nova esti
matfva das variãveis a 1 e a 2 . Uma nova distribuição das tensões
tangenciais ê determinada, através do método da_ seção equivale~
te, repetindo-se o processo ate que o equil1brio seja cumprido.
135
As diferenças entre duas aproximações consecuti
vas dos coeficientes a1 e a2 são denominados de 6a 1 e 6a 2 :
(4.26)
(4.27)
onde os indices I e l+l referenciam as iterações.
O método de Newton-Raphson conduz a um sistema de
duas equaçoes 1 ineares, cuja resolução fornece os valores dos
acréscimos 6a 1 e 6a 2 , numa iteração I:
d F l 6a 1 +
aF 2 6a 2 6F l = da 1 da 2
dF 2 lia, +
dF 2 6a 2 6F 2 (4.28) = da 1 da 2
onde 6Fn e a diferença entre o valor exato da expressao Fn e o
valor obtido na aproximação !. Os valores exatos das expres
sões Fn são nulos, tais como foram definidos nas 1expressoes
(4.24) e (4.25): Assim, os acréscimos 6Fn são iguais a:
(4.29)
(4.30)
136
ou seja, os valores encontrados na iteração !, com sinais troca
dos.
As derivadas parciais que aparecem no sistema de
equaçoes (4.28) são calculadas, por simplicidade, de forma
aproximada. Tal procedimento acarreta apenas num numero um pou
co maior de iterações no processo, sem preju1zo â precisão.
Admite-se que a derivada parcial da tensão tange~
cial em relação â deformação longitudinal assuma valores redu-
zidos em relação aos demais termos das derivadas parciais em
anâlise. Justifica-se esta hipótese observando-se que para um
esforço cortante V dado, a distribuição de tensões tangenciais
pouco poderâ na real idade variar, tendo em vista que a sua inte
gral deverã equilibrar a solicitação. Por sua vez, o ângulo de
inclinação das bielas~ depende diretamente do valor da deforma
çâo longitudinal (ver Figura 3.3).
A partir desta suposição, obtêm-se, derivando con
venientemente as expressões (4.24) e (4.25):
aF l b. ºt z. f z i atan~ 1 - dz l A s. Es = +
a a 1 tan 2~ dEh z zs s
(4.31)
aF 1 aF 2 J:i
b. ºt z.
atan~ 1 - .. z. dz l A . E = = + • z
ªª2 aª 1 tan 2~ dEh z s s
s s (4.32)
l 3 7
atanq, 2 . z . dz + (4.33)
onde atanq,/oEh e calculada segundo a expressao (3.46).
Apõs resolvido o sistema, as novas estimativas
dos coeficientes a 1 e a2 , correspondentes ã iteração (I+l), se-
rao:
( 4 . 34)
(4.35)
O método apresentado ê de fãcil implementação no
computador e de rãpida convergência. A Figura 4.3 apresenta um
fluxograma resumido do processo proposto.
I = I + l
138
DADOS M, N, V
APROXIMAÇ/10 INICIAL: I = l
a 1 ( l ) e a 2 ( l )
DETERMINAÇ/10 DE ªt
MÉTODO DA SEÇ/10 EQUIVALENTE
DETERMINAÇ/10 DE tan ~
(VER FLUXOGRAMA DA SEÇ/10 3.2)
nao
NOVA APROXIMAÇ/10:
a,1
(I+l) e a2
(I+l)
Fig. 4.5 - Fluxograma: mêtodo simplificado
f----.i FIM
l 39
CAP1TULO V
METODO PRÃTICO BASEADO EM RECOMENDAÇDES DE NORMAS
Diaz 1•
2•
3•
4, baseado no mesmo modelo mecânico an
teriormente descrito, propôs um método prãtico de dimensioname~
to da armadura de cisalhamento. Este processo é baseado no cri
tério standard de dimensionamento a esforço cortante do Côdigo
Modelo CEB-FIP 47 /de 1978, com uma complementação fundamentada
,1, DIN-1045 48 de 1978, e na DIN-4227 49 de 1979.
A formulação admite a aproximação (4. 12), ou se
ja, que o método da seção equivalente fornece uma boa estimati
va das tensões tangenciais ao longo da altura da seção.
As equaçoes de equilibrio e constitutivas sao as
mesmas adotadas no. método simplificado, proposto no capitulo
IV. Considera-se também a hipôtese :de linearidade da deformada
Eh.
Nenhuma equaçao de compatibilidade e no entanto
utilizada. A determinação do ângulo~ de inclinação das bielas
é feita através de equações fundamentadas nos critérios empiri
cos fornecidos pelas normas e que são baseados em resultados
experimentais.
As tensões e deformações assim obtidas conduzem a
uma aproximação do problema, segundo sua formulação original
140
apresentada no cap1tul o I !. As mesmas notações para as variã-
veis, de acordo com o seu significado f1sico, em relação ãs das
soluções do cap1tulo III e do cap1tulo IV, serao adotadas. Evi-
tando a utilização de uma nova simbologia, pretende-se
mais simples a exposição.
tornar
5.1 - DIMENSIONAMENTO DA ARMADURA TRANSVERSAL SEGUNDO CRITERIOS
DE NORMA
A partir da equaçao (4.5), obtem uma expressao Pi
ra o dimensionamento da armadura transversal de um elemento de
alma:
Pwnec . cos 8 . fywd = c1i.tan cj, ( 5 . 1 )
onde P .. , e a porcentagem necessãria de armadura transversal, .. n e c
constitu1da por estribos contidos em planos verticas'j_s ag eixo da
pe~a e fywd e a resistincia de cãlculo do aço desta armadura.
Cunha 6, analisando o mesmo problema, admitiu, co~
servadoramente, que o ângulo de inclinação das bielas cj, coinci
de com a direção das tensões principais de compressao, aqui
denominada de cj,a' e calculada tradicionalmente atravis da ten
são tangencial ºte da tensão horizontal fict1cia ºhnº
l 41
a, I tan <l>a
o,.tan<1>0
2<1>a
Tº' a,
a,=O
Fig. 5.1 - Determinação do ângulo cj,a
As tensões ºz sao consideradas nulas, jã que estã
sendo analisada uma peça linear, num trecho onde não hã introdu
ção de cargas ou restrição de deslocamentos.
5. 1, obtêm-se:
0 hn l ºr = -- +
2 2
Através do clrculo de Mohr apresentado na Figura
/02 +4.ot2= hn ( 5. 2)
l 4 2
( 5. 3 )
( 5. 4)
Observa-se então que, por coincidência, a tensão
principal de tração o1 e igual ao parãmetro ºt·tan <Pa·
Na zona de deformações longitudinais Eh positi-
vas, o ângulo <Pa e sempre igual a 45°, uma vez que a tensão ho
rizontal fict1cia ºhn ê sempre nula. O parâmetro ºt·tan </la e
igual a ºt e, substitu1do na expressão (5.1 ), fornece uma equa
ção de dimensionamento anâloga .a do modelo clâssico da treliça.
Na zona de deformações longitudinais Eh negati-
vas, o parâmetro ºt·tan <Pa e igual a tensão principal da tração
ºr· Substituindo na expressão (5.1 ), encontra-se uma equação de
dimensionamento anâloga a recomendações das normas DIN-1045 48 de
1978 e DIN-4227 49 de 1979, porem sem os coeficientes de redu
ção que serão discutidos a seguir. A norma DIN-1045, por exem-
plo, indica que nas peças solicitadas a flexão com compressao
axial, quando a linha neutra situa-se fora da seção transver-
sal, adota-se,como valor de referência da tensão de cisalhamen
to, o valor mâximo da tensão principal de tração o 1, calculada
no estâdio I.
A hipÕtese que a direção das fissuras ê aquela
da tensão principal de compressão conduz, através de (2.4) e
(5.3), ã seguinte expressão:
143
( 5. 5)
ou seja, que o valor absoluto da tensão principal de compressao
no estado fissurado ê igual a soma dos valores absolutos das
tensões principais no estãdio I. Recomendações neste sentido
são encontradas nà norma DIN 4227 51• Esta expressão ê vãl ida tambêm
quando ºz ê diferente de zero.
Atravês de um exame mais apurado, pode-se verifi-
car que a hipôtese de Cunha 6 ê conservadora. Tanto a teoria
quanto a prãtica concluem que no lado direito da expressao
(5.1 ), valores inferiores a ºt·tan </>a podem ser adotados.
Assim, tal como nas normas modernas de concreto
armado, Diaz 1•
2•
3•" propôs que fossem utilizadas funções reduto
ras do parâmetro ºt·tan <j,a:
Pv!nec . cos G. fywd = função (at . tan <j,a) ( 5. 6)
A função adotada na expressao (5.6) deve ser obt~
da da norma pertinente em uso. O critério de dimensionamento se
gundo o Côdigo Modelo CEB-FIP 47 de 1978, conduz ã expressão:
pwnec . cos G. fywd = ªt·tan <t>a - ºsub ( 5. 7)
onde ªsub e uma tensão subtrativa constante dada por:
144
OS U b = 2 . 7 7 8 . T rd ( 5. 8)
Os valores de Trd sao fornecidos pela propria nor
ma do CEB. Quando a peça estiver sujeita ã força normal de tra
çao e a linha neutra estiver fora da seção, a tensão subtrati
va sera considerada nula.
Nos casos gerais, quando os diversos parâmetros
variam ao longo da altura, o dimensionamento deve ser efetuado
em vârios niveis a fim de se determinar aquele em que e
desfavorãvel.
5.2 - DETERMINAÇAO DO ANGULO DE INCLINAÇAO DAS BIELAS
mais
A determinação do ângulo de inclinação das bielas
pode ser feita de forma a manter uma consistência com as re-
gras de dimensionamento utilizadas e obtidas das normas.
A porcentagem de armadura transversal ê superabu~
dante em todos os niveis da altura da peça, exceto naquele que
condicionou o dimensionamento. Para estas alturas, pode-se su
por que a tensão diminua proporcionalmente com o excesso de ar
madura transversal em relação ã minima necessâria. Isto ê, ad
mite-se que em cada elemento de alma:
( 5. 9)
145
Das expressoes (4.5), (5.7) e (5.9), obtém-se:
(5.10)
A expressao (5. lO)permite a determinação do angu
lo ~ de inclinação das bielas a cada n1vel da seção. Serã supo~
to, portanto, que o ãngulo ~ permanece constante para diversas
taxas de armadura instaladas numa determinada altura da peça.
As tensões o~ nas bielas de compressao podem ser
calculadas através da expressão (2.4).
Esta estimativa do ângulo~ pode conduzir a ten-
soes muito altas nas bielas de compressão. Isto ocorre quando
a tensão de cisalhamento assume valores muito baixos.
Denominando o~ o valor limite da tensão
tem-se, a partir da equação (2.4):
-o*-/ o* 2-4.o 2 c c t
> o* c
Resolvendo a inequação (5.11), obtem-se:
< tan ~ < -o*+/ o*2 - 4 ··ºt2 c c
o~·
(5.11)
(5.12)
Denomina-se ~limo ãngulo que satisfaz ã expres-
sao:
146
(5.13)
A partir das expressoes (5.12) e (5.13), obtém-
se:
tan ~lim < tan ~ < cot ~lim (5.14)
) Sempre que a equaçao (5.lü)conduz a valores do
ângulo~ inferiores ao limite imposto pela equação (5.14), ado
ta-se este valor limite. Na implementação do método, utilizou
se:
a*= 0.85.fcd c
onde a* e fcd assumem sempre valores negativos. c
5.3 - INCÕGNITAS E EQUAÇÕES
Assim foi introduzida uma equaçao que, a
(5.15)
partir
dos valores das tensões ºte ªhn' fornece uma estimativa do ân
gulo de inclinação das bielas.
A determinação das deformações E~, Ev e Ew. torna
se desnecessãria , e portanto não serã realizada.
As equaçoes que constituem o problema podem ser
divididas em:
14 7
- Equações de equilibrio num ponto:
a~= - ºt·(tan ~ + 1/tan ~) ( 2. 4)
( 2 . 5 )
( 2 . 6)
= pw.cos e.a s ,1 ( 4 . 5)
- Equações diferenciais de equilibrio:
(4.13)
(2.12)
- Equações constitutivas:
( 2. 59)
( 4. 9)
- Determinação do ãngulo ~ segundo critérios de norma:
( 5. 4)
arc.sin(-2.ot/o*) > tan( e) (5.10)
2
148
- Condições de compatibilidade das armaduras longitudinais:
(2.60)
' sh(r-1)= s' hr (2.61)
- Condição de contorno
0 tbordo = o ( 2. 64 )
- Equações globais de equil1brio:
z. Jzi
l
M = b.oh.z.dz + I ºs .A . z ( 2. 66) s zs zs
z. Jzi
l
N = b.oh.dz + l 0 s·As (2.67) zs zs
V = J z i b.ot.dz ( 2. 68) zs
- Aproximação linear da deformada:
(4.lj)
( 4. 2)
149
O processo de resolução ê implementado dividindo
se a seçao em n elementos (ver Figura 4.2). O numero de barras
longitudinais e denominado ns. Os n elementos sao escolhidos de
forma que as barras longitudinais situem-se entre os mesmos.
As variãveis ºh' º~· o o ~ v' s~' ºhn' q, e q,a sao con
sideradas constantes no elemento, perfazendo um total de 7.n v~
riãveis. A tensão tangencial assume uma variação linear no ele
mento e ê definida pelos valores nas interfaces do mesmo . Nos
pontos onde existem barras longitudinais, a tensão tangencial
assume dois valores, caracterizando as descontinuidades introdu
zidas por estas armaduras. A distribuição das tensões tangen-
ciais ê definida por n + ns + 1 variãveis. Para cada barra lon
gitudinal tem-se mais três variaveis: ºs' ss e s;, totalizando
3.ns variáveis. A deformada Eh e sua derivada Eh na direção x
são definidas por mais quatro: a 1 , a 2, k1 e k2 . O problema,
portanto, involve a determinação de 8n + 4ns + 5 variáveis.
As seguintes equaçoes sao aplicadas nos elementos
de concreto, a partir dos valores médios da tensão tangencial
ºte da deformação Eh em cada um: (2.4), (2.5), (2.6), ( 4 . 5 ) ,
(4.9), (5.4) e (5.10). Nestes mesmos elementos, a tensão tange~
cial da fase inferior estã relacionada com a face superior atra
vês da equação (4.13). Estão então definidas 8.n equações.
Em cada barra longitudinal, verificam-se as equa-
çoes (2.12), (2.59), (2.60) e(2.61 ), num total de 4.ns
çoes.
equa-
l 50
Finalmente, tem-se tres equaçoes globais de equi-
11brio (2.66), (2.67) e (2.68) e duas condições de
(2.64), nas faces superior e inferior da peça.
contorno
No computo geral, verifica-se um total de 8.n +
4.ns + 5 equações, igual ao mesmo numero de incógnitas.
Nesta formulação, a determinação do ângulo de in
clinação das bielas independe da deformação da armadura trans
versal. Para qualquer porcentagem desta armadura, a distribui
çao de tensões tangenciais ºt' o ângulo de inclinação das bie
las~ e as tensões longitudinais ºh e ºhn serao as mesmas. Por
este motivo a introdução de um método de dimensionamento da
armadura transversal é relativamente fâcil. Apõs determinadas
as variãveis ºte tan ~. a aplicação da expressão (5.1) ao lon
go da altura, fornece a porcentagem m1nima de armadUra necessã
ria em cada elemento da seção transversal. O valor mâximo sera
adotado.
5. 4 - PROCESSO ITERATIVO
Considerando a validade da aproximação (4.12), aqui
também sera adotado o método da seção equivalente para a deter
minação das tensões tangenciais.
Suponham-se conhecidos os esforços incrementais N
e N, segundo os conceitos apresentados na seção 2.9. A deforma
da da seção seria calculada através do método da matriz tangen-
1 51
te de Santathaporn e Chen 18, apresentado na seçao 1.1, para uma
solicitação fict1cia Ma e Na, tal que:
M = M + M a
N = N + N a
(5.16)
(5.17)
Uma vez determinadas as deformações longitudinais
Eh' o método da seção equivalente forneceria a distribuição de
tensões tangenciais ºt· A
expressão (5. 10),o ângulo
partir destes valores, aplicando a
~ a cada n1vel da seção transversal,
seria facilmente obtido. A tensão na armadura transversal seria
então calculada através da expressao (4.5).
Uma vez que nao se conhece a priori os incremen
tas A e N, serâ desenvolvido um processo iterativo que encontr!
ra uma solicitação fict1cia Ma e Na de forma a respeitar as con
dições de equil1brio (2.66) e (2.67). O método utilizado e uma
variante do de Newton-Raphson, onde as derivadas parciais sao
calculadas numericamente a cada iteração.
Assim, pretende-se determinar as solicitações fi~
tícias Ma e Na que, juntamente com um esforço cortante nulo,
conduz a uma deformada Eh. Para estas deformações longitudinais
e um esforço cortante V, a distribuição de tensões horizontais
obtida anula as expressoes F1 e F2 , que caracterizam o equil1-
brio e são definidas por:
l 52
z .
J:i 1
Fl = b.0 11 .dz + l: ºs .A - N = o (5.18) zs
s s
z . Jzi
1
F2 = b.oh.dz + l ºs·As.z - M = o (5.19) zs z s
A partir de uma estimati~a dos esforços incremen
tais (os valores segundo a analogia da treliça, por exemplo ,
apresentados na seção 2.9, obtém-se uma aproximação inici.al das
solicitações fict1cias Ma e Na.
Determina-se a deformada sh, segundo o método da
matriz tangente de Santathadaporn e Chen 18•
Em seguida, calcula-se a distribuição de tensões
tangenciais ºt através do método da seção equivalente.
O ângulo~ é determinado segundo as expressoes
(5.4), (5.8), (5.10), (5.13) e (5.14), que definem o critério
baseado em norma.
A partir destes valores e através da expressao
(2.5)calculam-se as tensões ºh ao longo da altura da seçao.
Verifica-se então se estes valores satisfazem
aproximadamente as expressões (5.18) e (5.19). Caso a resposta
seja afirmativa, interrompe-se o processo. Em caso cont~ârio ,
o método fornece uma nova estimativa das solicitações fict1cias
1 53
Ma e Na. Repete-se o processo até que se verifiquem as expres-
soes (5.18) e (5.19), e consequentemente se cumpra o
brio.
equilí-
As diferenças entre duas aproximações consecuti-
vas das solicitações fictícias Ma e Na e denominada de L'IMa e
L'INa:
(5.20)
(5.21)
O metodo de Newton-Raphson conduz a um sistema de
2 equaçoes 1 ineares, cuja resolução fornece o valor dos acresci
mos L'IMa e L'INa, .numa iteração I :
aF 1 L'IMa +
a F l L'IN L'IFl =
aMa oNa a
a F 2 L'IMa +
a F 2 L'IN L'IF2 (5.22) = oM oN a
a a
onde L'IFn e a diferença entre o valor exato da expressao Fn e o
valor obtido na aproximação !. Os valores exatos das expressões
Fn são nulos, tais como definidos nas expressoes (5.18) e
(5. 19). Assim, os acréscimos L'IFn são iguais a:
(5.23)
1 54
(5.24)
ou seja, os valores encontrados na iteração I, com sinais troca
dos.
As derivadas parciais que aparecem no sistema de
equaçoes (5.22) são calculadas de forma numérica a cada itera
çao. Ou seja, apôs a determinação de F1 e F2 para as solicita
çoes (Ma+ 8Ma' Na) e (Ma' Na+ 8Na), onde 8Ma e 6Na sao valo
res fixos quaisquer, calcula-se:
(5.25)
(5.26)
(5.27)
(5.28)
Apôs resolvido o sistema, as novas estimativas
das solicitações fict1cias Ma e Na, correspondentes a iteração
(J+l), serão:
Na(I+l) =Na(!)+ /J.Na (5.30)
A Figura 5.2 apresenta um fluxograma do método proposto:
I = I + l
l 5 5
DADOS M, N, V
APROXIMAÇAO INICIAL I=l
Ma(l ), Na(l)
DETERMJNAÇAO DE Eh(I)
PARA Ma(I),Na(I) E V=O
MtTODO DA MATRIZ TANGENTE
DETERMINAÇAO DE ot(I)
PARA Eh(I) e V
MtTODO DA SEÇAO EQUIVALENTE
DETERMINAÇAO DE tan ~{I)
EQS.(5.3),(5.5),(5.7),(5.10) E (5.11)
CRITtRIO BASEADO EM NORMA
(5.15)
NOVA APROXIMAÇAO
Ma(I+l ), Na(I+l)
sim ..J :>---'---.i:"I ,~ I M
Fig. 5.2 - Fluxograma: método baseado em norma
l 5 6
C/I.P1TULO VI
RESULTADOS
Neste cap1tulo, os resultados numêricos obtidos
atravês da utilização das três formulações, desenvolvidas ante
riormente, são comparados.
r analisado o comportamento de peças de concreto
armado, submetidas a momento fletor e esforços cortante e nor
mal, segundo a variação de alguns parãmetros, tal como da por
centagem de armadura transversal e do valor do esforço normal
atuante na seção.
São feitas algumas comparaçoes com resultados ex
perimentais, a t1tulo de ilustração. Algumas seçoes de uma vi
ga retangular ensaiada por Leonhardt et alii! 5 ·são analisadas
ã luz da teoria exposta.
6.1 - PROGRAMA DE COMPUTADOR
A implementação da teoria anteriormente apresen
tada foi feita atravês de um programa de computador. Este foi
desenvolvido em linguagem FORTRAN-IV no computador , Burroughs
86700, do Nucleo de Computação Eletrônica da UFRJ.
Este programa e seu manual de utilização sao
apresentados no Apêndice A. Ele cumpre, segundo a determinação
157
do usuãrio, quatro tarefas básicas, descritas a seguir:
l) Determina a deformada e as tensões; no concreto e na armadu
ra longitudinal, numa seçao submetida a flexão composta,sem
esforço cortante. r adotado o método da matriz tangente de
Santathadaporn e Chen 18•
2) Determina a deformada e as tensões, no concreto e nas arma-
duras longitudinal e transversal, numa seção submetida a
flexão composta, com esforço cortante. A deformada é calcu~.
lada segundo uma expansão polinomial, cujo numero de termos
é definido pelo usuãrio. r adotada a teoria apresentada no
Cap1tulo II e o método de resolução proposto no Cap1tulo
I I I .
3) Determina a deformada e as tensões, no concreto e nas arma
duras longitudinal e transversal, numa seção submetida a
flexão composta, com esforço cortante. A deformada é consi
derada linear, adota-se o método da seção equivalente e o
processo de resolução proposto no Cap1tulo IV.
4) Determina a deformada e as tensões, no concreto e nas arma
duras longitudinal e transversal, numa seção submetida a
flexão composta, com esforço cortante. A deformada é consi
derada linear e o ãngulo de inclinação das bielas é estima
do segundo expressão baseada em normas. Adota~se o método
da seçao equivalente e o processo de resolução proposto no
Cap1tulo V.
1 5 8
O programa dispõe de subrotinas de geraçao cte se
çoes retangulares e circulares. Quaisquer seçoes transversais,
porem, podem ser implementadas, desde que seja possivel admi
tira hipõtese de que as tensões tangenciais se desenvolvam se
gundo uma unica direção, normal ã linha neutra.
6.2 - DEFINIÇAO DO ERRO MÉDIO
No mêtodo onde o empenamento da seçao e conside
rado, a equação diferencial de compatibilidade (2.14), introd.!:!_
zida no processo atravês do método dos residuos ponderados,foi
a partir da solução, verificada a cada nivel da altura da se
çao.
Durante o processo, tal como apresentado no Capl
tulo Ili, o residuo da expressão (2.14) não ê calculado pon
tualmente. A fim de analisar se a equação diferencial de comp~
tibilidade e aproximadamente verificada, determinou-se, numeri
camente, a partir das deformações nas quatro seções, obtidas
na solução final do problema, as grandezas E:~, E:~ e y'· em ca
da elemento, ao longo de uma seção. O erro mêdio nê definido
como a mêdia, ao longo da altura, dos valores dos mõdulos dos
residuos ó da expressao (2.14), divididos pelos mõdulos dos
maiores termos da mesma expressao, a cada ponto. Ou seja: n t (lol/maidl<c:~I, li:~1, IY'·J}
n = n
onde ó e definido na expressao 3.21.
( 6 . 1 )
o U')
o
fcd = 91.07 MPa
fyd = 434.78 MPo
Y1 = 1.4
As = O. 0006 m2
55 kNm -p._ 70 kN
As= 0.0006 m2
10101
1 59
0.40
0.30
0.20
0.10
5 8 9 ·10 IP
Fig. 6.1 - Erro médio vs. numero de termos da expansao pol ino
mial (p)
Na Figura 6. 1 e apresentada uma seçao retangu-
lar, com dois n1veis de armadura, solicitada a flexão compos
ta. Esta seção foi analisada segundo o método proposto no Capi
tulo III, variando o numero de termos p da expansão polinomial
que define a deformada.
Observa-se que, aumentando o numero de termos da
aproximação, o erro médio reduz-se. A partir de um certo nume
ro de termos, porem, o erro volta a crescer ou o processo dei
xa de apresentar convergência.
160
Este fenômeno deve-se a motivos de ordem numéri
ca e encontra paralelo no método dos elementos finitos. Neste,
diminuindo excessivamente o tamanho dos elementos,
também soluções qualitativamente inferiores.
obtêm-se
Como a deformada ê definida através de uma ex-
pressao polinomial, assim como diversas expressões uti1 izadas
dentro do processo de resolução, a existência de termos com e~
poentes elevados conduz ã menor precisão da solução. Uma vez
que o numero de algarismos significativos e limitado pelo com
putador, a adição de valores com ordens de grandeza bastante
diferentes leva, acumulativamente, a erros numéricos.
6.3 - ANALISE COMPARATIVA DOS PROCESSOS PROPOSTOS
A fim de conhecer a validade das simplificações
adotadas nos processos apresentados nos Cap1tulos IV e V,anall
saram-se comparativamente estes métodos com a formulação dos
Cap1tulo II e III, onde o mõdelo ê examinado de forma completa.
Nas Figuras 6.2 a 6.10 sao apresentadas diversas
seçoes transversais submetidas a fleião composta com esforço
cortante. São analisadas seções retangulares e circulares, pa
ra diversas posições de linha neutra. As notações adotadas pa
ra cada processo sao:
l 61
a Mêtodo da seçao empenada (~~~~~-): apresentado nos Cap}
tulos II e III, onde o modelo·e analisado de forma completa.
- Mêtodo simplificado (~---------): apresentado no Capitulo
IV. Adota-se o mêtodo da seção equivalente. O ângulo~ de
inclinação das bielas ê calculado atravês do principio da
energia complementar minima.
- Mêtodo baseado em norma (~~.~~.~~): apresentado no Ca
pitulo V. Adota-se o mêtódo da seção equivalente. O ângulo 0
de inclinação das bielas ê calculado baseado em fõrmulas em
piricas do CÕdigo Modelo CEB-FIP 47 de 1978.
Nestes exemplos sao adotados os seguintes para-
metros:
Resistência caracteristica do concreto a compressao:
l 5 MPa
- Resistência caracteristica do aço: fyk = 500 MPa
fc k =
- Coeficiente de minoração da resistência do concreto: y = 1.4 c
- Coeficiente de minoração da resistência do aço: y = 1.15 s
- Coeficiente de segurança: yf = 1.4
Em alguns exemplos foi adotado aço do tipo A e,
nos demais, do tipo B.
EXEMPLO 1
E o U1 ci
SEÇAO
TRANSVERSAL
O.IOm
A6= 0.0006 m2
Asw = 0.0004 m2/m
aço tipo A
M = 55 kNm l ~200'N
V=70 kN
DEFORMAÇOES
LONGITUDINAIS e:h ,·--0.00142 i,-----o. 0014s
,__ _____ ilr---- O. 00153
e
p=9
11=0.102
Fig. 6.2a
TENSOES HORIZONTAIS
ah e a5
( MPa)
8
149. r--- 143.
/.-·-138. ,'/ ,.
,'/ '. '
EXEMPLO 1 (continuação)
TENSOES
TANGENCIAIS o1 (MPa)
1 1 1 1 1 1 1 •\
!\ =~3-
'~· : \\ 2.3 1 \
'2.3 2.2
I,
rr I• 1 1 1
ton <!>
.\
~\ . 1
\\ . 1
\ \ 1 1 1
'. \
\\ (±) \\
Fig. 6.2b
1 .
\\ \ '1 \, i
l!L_ 0.74 ·"---- 0.73 L.-0.11
TENSOES NA ARMADURA
TRANSVERSAL Osw (MPo)
\·
\\ 1 .
\ \ 1 1 1 1 1
\JL ____ ~=~: L·-354.
EXEMPLO 2
E o "' o
SEÇÃO
TRANSVERSAL
O.IOm
As=0.0006 m2
Asw = 0.00024 m2/m
aço tipo A
M = 10 kNm j ~_.,,,,, V= 70 kN
DEFORMAÇOES
LONGITUDINAIS e:h ,·-·--0.00109 1 ,----0.00125 1 Ir--- 0.00129 -1 1 , I
1 1 I 1
1 1 1.
1 1 I
1
1 e 1
1 1 1 1
I 1 p=8 1 1
1 1 1] = o. 1 1 1
76
I ' 1 1
1 1
' i
~-----0.00084 L._-0.00084
L·-·--0.00054
Fig. 6.3a
TENSÕES HORIZONTAIS
(MPo)
[-------7.8
- 7.8 íl r·--8.8 ---------,-;;
--~-=-=-.--~ .\
' ., }~,'----= !:! 1 \._·--226.
1
1
e 1
1
1
1 1 ; 1 1
: __ J \' ·\ -181. '· '----- 179 \_ ___ 115.
EXEMPLO 2 (continuação)
TENSÕES
TANGENCIAIS a1 ( MPa)
/,' •/
j,' • I ,
'·
; \\ '/~' 1 • ' '· \ ', 2.3
l '· 22 . \ 2.3
tan <I>
\ 1
\
©
1 \, . 1
1 \ . 1
1
1
1 • 1
li\\ • 1 \'
0.311 . /'~~'
/
0.285 0.299
1 • 1
/ /
Fig.6.3b
TENSÕES NA ARMADURA
TRANSVERSAL ª•w ( MPa)
' ' . ' \ \\ 1
\ \
\ \ l ! ,' . . ---/ : ~'
''\' ' 1 \\ 29. 3.
/
1 \ ,' 273.
/ / 298.
' I
/ / ' I
I I
I
(j)
u,
EXEMPLO 3
E o l{')
o
SEÇÃO
TRANSVERSAL
DEFORMAÇOES
LONGITUDINAIS e:h 0.00053 -·-·-,
L.....-----'
O.IOin
0.00044 -----, j 0.00032 ~,.;-1..,..i---',
As; 0.0006 m2
il Asw; 0.0005 m2/m
aço tipo B
V; 70 kN
1 1 J,
1
; i 1 .•
: 1 1.
/ 1 1.
1/
1 • 1 1 1 1 1 1 1 .
A6;Q.OOb6 m2
0.00090 __J j 1 0.00085 ____ _J I
0.00074-·-·_J '
(±)
Fig. 6.4a
TENSOES HORIZONTAIS
ah e ª• (MPa)
'
í 1
1 ·,
1
1
1 8· 1
1
1
1
'
- 3.1
180 r--- 176 /,·- 152
I · ti ,; ,,
1 1 · '-----2.9 L·-·--2.1
EXEMPLO 3 (continuação)
TENSÕES
TANGENCIAIS Ot (MPo)
fíl 1
© 1 ...LL
! !
J t--21
·-2.1
tan <I>
(±)
=
Fig. 6.4b
1 1 1 1 1 1 1 1 1
' 1 1 1 1 1 1 1 1
·--i 1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
'.1 .J !I L·-·-1.00 .
1 0.82 L ________ o.e 1
TENSÕES NA ARMADURA
TRANSVERSAL o,w (MPa)
r-1 1 . 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
©
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
l_J ~412 .
332. 323.
~
°' .._,
EXEMPLO 4
SEÇÃO
TRANSVERSAL
A5=9 x 0.00016 m2/m
Asw = 0.0004 m2/m
aça tipo B
M = 40kNm
E o I{)
d
i-r-250kNm
0.10m
V=70 kN
' ' !.
0.00130---' i' 0.00102 ______ ) 0.00100 ____ _J
,f !.
DEFORMAÇÕES
LONGITUDINAIS eh
I
,/; ,. ' I
i=:-.::-:::-0.00148
I I- _ -O 00166
------~:r--º-ºº167
e I
' jj /•
,11
,I' :! r·
I·
li: , · p=9
11=0.196
Fig. 6.5a
TENSÕES HORIZONTAIS
ah e a 1 ( MPa)
--B.7 E-B.5
~---------;,, -B.B -,=,-=s=,=--, 1 -~,---~
1 . ·\, -299.
-.=-~-=--~-=- '_ ·='= <:-337. 1 -334.
l!,:,-""·""'--""·"'--"="-S:::-'='--s:::-::'.'-~ 1
247. ,-- - 200
/~--·-195: //
--.-· -·--·- :-7
o
EXEMPLO 4 (continuação)
TENSÕES
TANGENCIAIS o1 (MPo)
' ' t.,.___"'
tan 4>
,"-. \ \
' ' 1 \ ' ' 1
\
\ \
1
' ' j 'v-·
e--___ _,_ _______ , .. ,
J L ____ i.oe 1.02
Fig. 6.5b
TENSOES NA ARMADURA
TRANSVERSAL o,w (MPa)
,'--, ·, '\ ,377. ' . / \ ... '< ' / .
r'~ \~1 ' \ .
: i 1504
r·-·1 1
. ..J"" 370. ,-...
EXEMPLO 5
E o U")
ci
SEÇAO
TRANSVERSAL
• As=9x0.00016 m2
•
Asw=0.0004 m2/m
• aço tipo B
• • M = O. kNm
• 1 ~-'50>N
• V=70 kN
• •
• •
• •
O.IOm 1
DEFORMAÇOES
LONGITUDINAIS e:h
8
l 1
1
1
1
1
1
1
1
1
p=9
l) = O 190
1 -0.00126 j ----0.00126 L--·--0.00115
Fig. 6.6a
TENSÕES HORIZONTAIS
oh e º• ( MPa)
. - :---:
,__. .- -:
0::-- .--=-.
·--,
- ~:T- -
8 l1i
n· 1
·--":. -~"':'"----
1 i
f::'=--- -.- - -.- - - - . -·.:: .-,~~
i li L-.-.9.1 1 .7. 9 '-------c?.8
EXEMPLO 5 (continuação)
TENSÕES
TANGENCIAIS o 1 ( MPa)
' ' ·~·· '---(\
©
l.r, '
1~27
i \28. 2.8
tan <I>
© 1 , ~0.34
\º 36 0,37
!f . ' ,. '
Fig. 6.6b
TENSÕES NA ARMADURA
TRANSVERSAL º•w ( MPa)
1 1 • ., li!
(±)
rr .1 1
1 1
l l · ~259. 1. .,
' \ 249. ' 260.
..._,
EXEMPLO 6
SEÇÃO DEFORMAÇÕES
TRANSVERSAL LONGITUDINAIS eh 0.00021-·-·, 0.00032-~--- - -, .
•
•
E o I!)
d
•
• •
0.10m 1
o.00011~ il A5= 9 X 0.00016 m2
Asw= 0.0006 m2/m
aço tipo 8
M= 5 kNm
1 ~30kN
V=70 kN
0.00112___J : 1
0.00077- -----~ 1
0.00072-·-·__J
, · l 1
ii , . : 1
Fig.6.7a
TENSÕES HORIZONTAIS
oh e o, ('MPo)
------\ \
'-3.7
\ \4.1
T2.7
'-:--:;.-
' ., '-.', ~' 224.
. ' 165. '- 148.
___, N
EXEMPLO 6 ( conlinuoçao)
TENSOES
TANGENCIAIS o1 { MPa)
·11 ,-1
(±)
1
' ' ,. _Jt
' ,. J
tan <I>
~ (±) \1 2.9
· 1 2. 7 \ 2.7
S"?
Fig. 6.7b
<>
' 1
' ' r 1
' ' 1
1
' 1
' ' 1
' 1 1
' 1 1 1
' 1 1 1 1 1
l 1
1
1
1
1
1
1
1
1
! L_l.12 L·-·-100 1 • ... ______ 0.99
TENSÕES NA ARMADURA
TRANSVERSAL º•• {MPa)
il llL_l
~'L, ' 1
Ll il. 1 1 1 1 1
(±) 1
1~325
1 1 1
' 1 J '~450. 1
-J í' 1 342. 1
' 1 1 .
:r-J ' .J 1
' il ,. 1
'-J w
EXEMPLO 7
SEÇÃO
TRANSVERSAL
o.som
A,=0.0004 m2
A0w = 0.0005 m2 /m
tipo B
42 kNm
DEFORMAÇÕES
LONGITUDINAIS e:h
i-·- --0.00141 . r- --0.00163 1 -0.00163 ,------;--; !
I I
I
l rkN I 1
e t : I I I
p = 8
240 kN 11 = 0.42
I i J 1 IL----0.00110 L L_-0.00104
·-·--0.00064
Fig. 6.8a
TENSÕES HORIZONTAIS
oh e º• ( MPa)
E_S.78 _e. 1a
r -:.9. IO ~-------~ i --.--.---.- . - -- --- - ,.-- -s,,.~~335.
1 \337 . _ --. _ :-7 ___ :. · 297.
; . . - ~=r -----e
1 . - .---. ---. ---.
-~--1
1
EXEMPLO 7 ( continuoçllo)
TENSÕES
TANGENCIAIS a1
(MPa)
0 :j 1 ~ r
~0.81
, O. 79 \
'0.79
tan <I>
G)
, ' 1
' 1
\
Fig. 6. 8b
TENSÕES NA ARMADURA
TRANSVERSAL ª•w (MPa)
1 1 •I
~ e r:
1: \ ·1
f.J
~116. ·, /, . , n1' \ 165.
i \ 1 124.
• 1
~-'-•\
~
"' <J"l
EXEMPLO 8
SECÃO
TRANSVERSAL
•
DEFORMAÇÕES
LONGITUDINAIS &h
0.00002-·-·-·J 0.00007-------,. o.oooa6 ---, •I
A,= l6x 0.0004 m2
A5w= 0.0032m2/m
I
' ,1
I • I
I I I,
j 100 kNm /! ~k~//
420kN / /
I I
I I
I
0.00111-L~·"----f-: --f1 ____ _, .• 0.00123- ____ ...,
+--------~º·ª o..,m~----º-·º-º-1-0_3__.._· -·-· _J
Fig. 6.9a
TENSÕES HORIZONTAIS
oh e c,1
( M Pa)
~2.60 . \ '·'-3.90
1_1.59
·-· __,,.---
·--· -·7 ---
-. -·-.,,, ---' ., '\:,
'\, 317. .\' 247.
206.
EXEMPLO 8 ( continuoçilo)
TENSÕES
TANGENCIAIS a1 ( MPa)
/"? '. ~77 //
I •
I I ,.
!1
11 . 1 \
.1
11 .1 1
'/ \.76
\1.40
------;
' \ \
' 1.36
tan <I>
0
\
~ \
\ \ \
\
-'
, , ,
1 1 1 1 1
' 1 1 , ,
I
,·-LOO ---,
i 1
~0.80 \
f----~o,E-:::-~-. - . ..J 1 0.83
Fig. 6.9b
TENSÕES NA ARMADURA
. TRANSVERSAL a,w (MPa)
r---,, - . - . - . - ·-;::,
, 1 1 1
~·---:;,,,,. /
/ L.'7
i
\ i 1 .
\ 1 1 .
\
r'i;·J 1 .
\ '· 1_.'i \240 . --,,
' \ '267.
r-----''--- -- ----·--
\505_
EXEMPLO 9
E o LO ci
SEÇÃO
TRANSVERSAL
Asw=0.0010 m2/m
aço tipo A
M=55kNm
j ~-"º"
V= 70 kN /l /,J
/,;' ' ,
/,/ G)
DEFORMAÇÕES TENSÕES HORIZONTAIS
LONGITUDINAIS e:h oh e 0 1 (MPa)
_0.0024 _9.i E 0.0023 E_9.J· O 0024 -_9J 7 - i=--'-.~---. ==--.-_-_-_-.-------.-..;
G
p= 2
I~
331. // 343.
,,,,/' / 361. / ,/ .,
â.c..' _____ __, /:,...,....· ,--=:,.
0.10m 1
0.00!8 11 0.0017----.I 0.0016
Fig. 6.!0a
EXEMPLO 9 ( continuocao)
TENSOES
TANGENCIAIS o1 ( MPo)
' ' ·~~ ·'\l,.....__~
© =:\ \~' 3.2
. \ 3.2 3.1
tan <I>
~ ;" .-·- 0.81 \ '--,.i
\ ·1
rJ 1
I_J
Fig. 6.IOb
TENSOES NA ARMADURA
TRANSVERSAL a,w (MPa)
í
\ \295
~293. 1 1 284.
180
No exemplo l, na Figura 6.2 apresent~-se uma ana
lise de uma seção retangular com dois níveis de armadura. A li
nha neutra se encontra dentro da seção. A anãl ise com empena
mento foi feita com uma expansão polinomial de nove termos e
o erro médio encontrado.foi 0.102. Observa-se que as três for
mulações conduzem a curvas bastante prõximas e semelhantes,pri~
cipalmente os niêtodos da seção empenada e o método simplifica
do.
Abaixo da linha neutra, as formulações baseadas
no método da seçao equivalente apresentam tensões tangenciais
ºt cçinstantes, tal como explicado na teoria. Todavia, a proxi
midade com o diagrama de tensões tangenciais calculado através
da diferenciação numérica das tensões horizontais ºh' neste e
nos demais exemplos, ê impressionante. Nas armaduras, observa
se as descontinuidades dos diagramas ºt' ºh' tan• e ºsw O
ângulo de inclinação das bielas •· calculado através do método
baseado em norma, assume valor constante abaixo da linha neu
tra, pois ai ê função apenas da tensão de cisalhamento ºt· As
três formulações conduzem a valores de• inferiores ao da teo-
ria clãssica da treliça. Convêm observar, também, as
horizontais no concreto abaixo da linha neutra.
No exemplo 2 (ver Figura 6.3) a mesma
tensões
seçao
transversal e submetida a um novo carregamento, de maneira que
se encontra totalmente comprimida. O esforço cortante permane
ce o mesmo, porem reduz-se a porcentagem de armadura transver
sal. Os métodos da seção empenada e simplificado conduzem a
l 81
resultados bastante prõximos. O mêtodo baseado em norma apre
senta valores superiores das tensões horizontais. Em contrapa~
tida, fornece tensões na armadura transversal ligeiramente in
feriores aos demais.
Uma seçao transversal, semelhante as anteriores,
encontra-se tracionada no exemplo 3 (ver Figura 6.4). A anãli-
se completa do modelo ~onduz a uma seção bastante empenada.
Os valores da tensão tangencial ºt' ao longo da altura, obti
dos atravês desta formulação são praticamente constantes, jus-
. ti ficando a adoção do mêtodo da seção equivalente tambêm em
peças tracionadas. A formulação baseada em norma fornece uma
estimativa do ângulo~ constante e igual a 45°. Campa ran do
com os resultados obtidos atravês dos demais processos, con
clui-se que este ~alar ê conservador, pois conduz a valores
maiores da tensão na armadura transversal. Nota-se a presença
das tensões horizontais no concreto, apesar da seção estar to
talmente tracinnada.
Uma seçao retangular, com armadura distribu1da,
e tratada no exemplo 4, na Figura 6.5. Neste caso a linha neu
tra se encontra dentro da seção. Observa-se as descontinuida
des dos diagramas de tensões tangenciais nas armaduras longit~
dinais e a aproximação destes diagramas e das deformadas, para
as três formulações. No mêtodo baseado em norma, o ângulo~ de
inclinação das bielas mostra uma redução na zona tracionada da
peça, devido ã prõpria diminuição da tensão tangencial. Esta
redução não se verifica quando o ângulo~ ê determinado segu~
182
do o princ1pio do trabalho complementar m1nimo, pois passa a
ser função também da deformação longitudinal sh. No entanto, o
método baseado em norma conduz a valores conservadores da ten
sao na armadura transversal, jã que os valores mãximos da ten
sao tangencial ºt ocorrem no meio da seção.
No exemplo 5 (ver Figura 6.6) apresentam-se resul
tados obtidos para uma seção transversal semelhante ã
rior, submetida apenas a esforços normal e cortante. O
da seção empenada conduz a uma deformada praticamente
ante
método
linear,
apesar de ser ddotada uma expansão polinomial com 9 termos. ve:
rifica-se uma grande aproximação dos três processos.
No exemplo 6, na Figura 6.7, uma seçao retangular
com armadura distribu1da estã totalmente tracionada. Tal como
no exemplo 3, obtêm-se uma seção bastante empenada apos a defor
mação e o método baseado em norma conduz a valores conservado
res da tensão na armadura transversal.
Uma seçao circular é analisada no exemplo 7, na
Figura 6.8. As barras longitudinais não se encontram perfeita
mente distribu1das ao longo do per1metro da seção, jã que si
tuam-se entre elementos de concreto, tal como explicado na se
ção 4.e.
A seçao estã totalmente comprimida. As tensões na
armadura transversal, obtidas através do método simplificado~ão
1 83
inferiores as obtidas através do método da seçao empenada, ªP!
sar dos diagramas de tensões tangenciais ºte dos ângulo~ dei~
cl inação das bielas </J serem praticamente coincidentes. Tal fato
ocorre devido a presença das tensões ºz = - Jz zs
que
sao desprezadas no método simplificado, mas que acarretam num
aumento da tensão ºsw na analise mais rigorosa (ver equaçao
(3.6)). Dentre todos os exemplos estudados, apenas neste tal
comportamento foi tão pronunciado. Devido ã compressao,os angu-
l.os de inclinação das bielas </J assumem valores reduzidos. . Is to
acarreta numa diminuição da primeira parcela do lado direito da
expressao (3.6) aumentando, em contrapartida, o efeito da ten
sao ºz na determinação das tensões tangenciais. t portanto de
se esperar que nas seçoes mais comprimidas o efeito da tensão
ºz seja mais pronunciado. A simplificação, no entanto, pode
ser adotada. A redução da tensão ºsw calculada situa-se aquem
da diferença entre as obtidas através do modelo e as realmente
existentes nas peças de concreto armado, como sera visto a se
guir. Os efeitos secundários, não considerados na anãl ise, e a
prõpria não fissuração da peça quando comprimida permitem tal
consideração. O método baseado em norma, pelo mesmo motivo, for
nece valores da tensão na armadura transversal prõximos aos do
método simplificado.
No exemplo 8, na Figura 6.9, uma seçao circular
semelhante e analisada. Estã toda tracionada e a anãl ise rigor~
sa fornece uma deformada bastante não linear. A formulação ba
seada em norma conduz a valores conservadores da tensão na arma
184
dura transversal. Observa-se que apesar de estar sujeita a um
pequeno esforço de compressão, a seção se encontra totalmente
tracionada. Isto mostra que uma seção sujeita tambêm a esforço
cortante estã mais tracionada que quando submetida apenas ã fle
xão composta.
No exemplo 9, na Figura 6.10, mostra-se uma seçao
retangular, com armadura distribu1da, que atinge o escoamento.
Observa-se a inexistência de tensões tangenciais na região es
coada. Uma vez que as tensões no concreto e na armadura atingem
seus valores limites, suas derivadas na direção x são nulas.
Consequentemente, de acordo com a equação (2.10) diferencial de
equil1brio, a derivada da tensão tangencial em relação a z tam
bem ê igual a zero. Desta forma, atravês da expressão (2.64),p~
de-se afirmar que as tensões de cisalhamento ºt são nulas nesta
região da peça. Este comportamento, verificado por Diaz 1,
2, 3 ,
4,
hã muito jã ê conhecido e utilizado no dimensionamento plãstico
de peças de aço (ver ASCE 52). Assim, numa seção onde o concreto
e o aço estão escoando simultaneamente numa extremidade, a zona
onde as tensões tangenciais podem desenvolver-se fica reduzida.
Consequentemente verificam-se valores maiores de ºte das ten-
sões na armadura transversal. Se por um lado, a consideração,
na prãtica de dimensionamento, das deformadas de ruptura permi
te que a seção seja capaz de resistir a esforços normais e mo
mentos fletores mais elevados, pór outro diminui a sua capacid~
de de absorver esforços cortantes. Fica agora ainda mais claro,
no cãlculo ã ruptura, a necessidade do estabelecimento de um
mêtodo de dimensionamento capaz de analisar simultaneamente os
185
efeitos do momento fletor, esforços normal e cortante.
A deformada obtida atravês do mêtodo da seçao em
penada mostrou-se tanto mais nao linear quanto mais tracionada
estivesse a seçao. Este fato sugere uma investigação experimen
tal sobre assunto. Convém observar que, inclusive nestes casos,
o mêtodo simplificado conduz a uma deformada bastante prõxima
a obtida atravês do mêtodo da seção empenada quando se utiliza
uma expansão polinomial com apenas dois termos. Na Figura 6.11
apresentam-se estes resultados para as seções transversais e
carregamentos analisados nos exemplo.s_3_, 6 e 8.
000044:=J 0.00046---11
000085 _Jj 1
0.00084----J
EXEMPLO 3
E o IO o
000032~ O. 00034 -- -li
__J 0.00077 , 1
0.00077 ---->
EXEMPLO 6
E o IO o
0.00123 0.00114
0.00007~ 0.00010 ---11
_J: 1 1
____ _J
EXEMPLO 8
MÉTODO DA SEÇÃO EMPENADA ADOTANDO UMA EXPANSÃO
POLINOMIAL COM APENA$ DOIS TERMOS
-------- METODO SIMPLIFICADO
E o <X)
o
Fig. 6.11 - Comparação entre o metddo da seção empenada (deformada linear) e o mêtodo simplificado em seções t,otalmente tracionadas
186
Os exemplos anteriormente apresentados permitem
constatar a força do mêtodo da seção equivalente na determina
ção das tensões tangenciais segundo. o modelo da teoria do campo
de compressão diagonal. Devido ã bóa aproximação que fornece,
o mêtodo simplificado conduz a resultados muito prõximos da ani
lise completa do modelo. Tanto as tensões horizontais, no con
creto e na armadura, como as tensões na armadura transversal
apresentam valores bastante prÕximos da anãlise mais rigorosa,
alem de um tempo de processamento mais de dez vezes menor. O me
todo da seção empenada mostra-se muito complexo e oneroso para
prãtica, não desvalorizando porem o seu valor para a pesquisa.
O método simplificado pode ser então utilizado, pois conduz a
bons resultados de maneira bastante econômica.
O método baseado em norma fornece valores das ten
soes na armadura transversal prÕximos ou conservadores, quando
a linha neutra se situa dentro da seção ou quando esta se enco~
tra totalmente tracionada. No exemplo 2, onde a seção estã to-
talmente comprimida, valores 8% inferiores são obtidos. Como·
esta diferença ê pequena comparada ã influência conservadora de
efeitos não considerados no modelo, admite-se que a tensão na
armadura transversal obtida através do método bas~ado em norma
possa ser utilizada. No e~tanto a aproximação das tensões hori
zontais no concreto e na armadura nao e tão satisfatõria. O mé
todo baseado em norma pode portanto ser utilizado no dimensiona
menta e na anãlise de tensões da armadura transversal, porem
não e.capaz de prever de maneira suficientemente precisa as ten
sões horizontais no concreto e nas barras longitudinais.
187
Os mêtodos simplificado e baseado em norma apre
sentaram sempre convergência. O mesmo aconteceu para o mêtodo da
seção empenada quando uma expansão polinomial com apenas
termos foi adotada. Para seções circulares, o método da
dois
s eçao
empenada algumas vezes não convergiu. Não foi possivel obter ne
nhuma deformada não linear para seçoes onde os materiais consti
tutivos atingiram o escoamento. O erro media assumiu valores re-
duzidos em todos os exemplos, exceto no exemplo 7. Acredita-se
que estes poucos problemas encontrados devem-se a complexidade
numérica do método e não invalidam o objetivo final do trabalho.
6.4 - O ANGULO DE INCLINAÇAO DAS BIELAS
A0 =0.0006m2
A0 =0.0006m2
o IO ci
10.10 1
SEÇÃO
TRANSVERSAL
+0.001
+0.001
0.000 -0.001
( 1 )
0.000 -0.001
DEFORMADA e;h
( LINEAR)
(2)
-0.002
-0.002
V = 70 kN; Asw = •. 2-,
0.008 m /m, constantes ( 1 ) M = 50 kNm; N = 250 kN; 0 sw max = 200 MP a (LN na seção) ( 2 ) M = 1 O kNm; N = 450 kN; 0 sw max = 89 MPa (seção comprimida) ( 3) M = 8 kNm; N = 25 kN; 0 sw mãx = 227 MPa (seção tracionada)
Fig. 6. 1 2 - Deformada vs. tensão na armadura transversal
l 88
O ângulo de inclinação das bielas cp, calculado
atravês do princ1pio da energia complementar m1nima, assumiu, na
o maior parte dos exemplos, valores inferiores a 45.
Na Figura 6.12 mostra-se que a tensão na armadura
transversal ê maior nas seções mais tracionadas. Isto ocorre de
vido a um maior ângulo de inclinação das bielas, que depende da
deformação longitudinal Eh.
A0 =0.0006m2 +0.001
o LO d
(3)
(2)
( 1 )
A0=0.0006 m2
1010 1
+0.001
( T )
( 2)
( 3)
SEÇAO TRANSVERSAL
Asw = 0.0005
Asw = 0.0008
A SW
0.0012
DEFORMADA é:h (p= 8)
m2 /m cp max
m2 /m cp max
m2 /m cp max
=
=
=
0.000
0.000
39. oº
4 2. 3°
45.oº
0.000
0.000
( 1 )
(2)
(3)
tan <I>
Fig. 6.13 - Armadura transversal vs. inclinação das bielas
HOOO
tl.000
189
Através do exemplo da Figura 6. 13 constata-se,tàl
como na experiência, a diminuição do ãngulo de inclinação das
bielas ao reduzir-se a porcentagem de armadura transversal. Nes
te caso hã tambêm um aumento de tensão na armadura tracionada.
Estas duas conclusões jã haviam sido obtidas na
seçao l. 5, quando a ext·ensão da analogia da treliça através do
principio da energia complementar minima, segundo Kupfer 31, foi
apresentada.
6.5 - COMPARAÇÕES COM RESULTADOS EXPERIMENTAIS
A titulo de ilustração, algumas seçoes de uma vi
ga ensaiada por Leonhardt et ali i. 2 5 foram anal i sacias através do
mêtodo simplificado, exposto anteriormente.
Esta viga, denominada HL4, é apresentada na Figu-
ra 6.14. Trata-se de uma viga continua, com um eixo de sime-
tria, submetida a duas cargas concentradas P no meio de cada um
dos dois vãos.
A seçao transversal é retangular. Convêm observar
que a anãlise correta de vigas T so poderia ser feita
de um pequeno desenvolvimento do programa, jã que nao e
vel admitir que as tensões tangenciais tenham a mesma
em toda a superficie da seção.
através
possi
direção
.. - - . --~-----
211)J8Stlllb
l 816 815 814 813 812 811 .
5 11) 18 St Ili b
I< i1JIOS!lc.17
2.50 m
DIAGRAMA
DE MOMENTOS
DIAGRAMA
DE CORTANTES ac~
"' r--co <D ci " >,,
(L
"' ~-L.. .,,, o " >
190
5 ÇI _r_sJ 3 11) __!8J
11) 10 St I c.7.71
(L
ai
i 1
Fig. 6.14 - Viga continua, ensaiada por Leonhardt et alii. 25
l 91
ARMADURA TRANSVERSAL
500
400
352
300
~
200
100
o o
J
I I
í d IOmm-=tl I
3 6
ARMADURA LONGITUDINAL
(MPa)
600
500
430 400
t-----
300
200
100
o o
I I
I
! 1
I I
l 18mmSt Ili b
W-1 I I
I
3 6
9 12 15%0
9 12 15%0
Fig. 6.15 - Diagramas tensio-deformaçip das armaduras longitudi
nal e transversal da viga HL4
192
A armadura de cisalhamento ê constituida de estri
bos verticàis. Dois espaçamentos são adotados em cada trecho,
de maneira que as tensões nos estribos, segundo a teoria clãssi ..
ca de Morsch, sejam constantes em toda a peça.
As tensões sao calculadas a partir das deforma-
çoes, medidas sobre os estribos. São portanto tensões e deforma
ções medias, determinadas sobre uma extensão i·gual a 10 cm.
Na Figura 6.14 apresenta-se tambêm os d1agramas
de momento fletor e de esforço cortante, variãveis para cada ni
vel de carregamento.
Os diagramas tensão-deformação da armadura longi-
tudinal e transversal estão na Figura 6.15. Para a utilização
do programa, sao adotadas as curvas preconizadas no CÕdigo Mode
lo CEB-F!P 47 , de 1978. As curvas dos aços tipo A e tipo B sao
empregadas, respectivamente, para as armaduras transversal e
longitudinal.
O valor da resistência cúbica do concreto, ensaia
do a 28 dias, e 22 MPa. Tambêm ê adotada, para o concreto, a
curva tensão-deformação do CÕdigo Mod~lo CEB-FIP. O fator multi
plicativo 0.85 não ê utilizado, pois trata-se de um ensaio de
curta duração.
150
100
50
o (MPa)
300
250
200
150
100
50
o (MPa)
400
350
300
250
200
150
100
50
o (MPa)
e,. VIGA HL4
1 1 1
i::: <D ,e .,. !2 "'
II) II) II) II) II) II)
1 1 1 1 1 1
2P = 150 kN
r 1
o II) ãi 1 1
1 O 1 1 ,.1;;;,
"' a, II) II)
1 1
l'II)
1
<D II)
1
1
"' .,. "' "' 1 1
.
zs 1 1 1
"' "' -"' "' "' 1 1 1
--- ----~ -1-.-·:-~-r-r-
-·-'--- ... - .. __ --· :-, ... - ... · 7-.,. __ ~..:-
·-·-· -~·
2P = 450 kN
~- ·-~ ·-- --1
-~
" v-i---i-- L--
J ·, ,' ': r:- ....
1 ; ' '\ I ·' ·,
I , ' J // ~
/ ·~/ ' L---- '1/ \• ,_ --· ',. . , /- '·, ..... -""·- 1 1
?-"' '" \ .\
-"!'.:; \. ' ' •
2P = 600 kN
..__ •--1-- -- ->- --- - --- ,---- t--·t-a-
V - .... V
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V ' -' /\ -\ ' ,, •-- ' ;
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Fig. 6.16 Comparação dos 'valores· o·btidos a traves da
eia e do metodo simplificado para a tensão ºsw na ar madura transversal
-1 94-
Fig. 6.17 - Fissuras na viga HL4
~1 ~1 ~1
Fig. 6.18 - Bielas curvas de compressao a partir dos resul~a~os
da anilise nas seç6es 812, 813 e 814.
l 9 5
A armadura longitudinal nao e constante ao longo
da extensão da peça. Diaz 2 apresenta, atravês do mêtodo da se
ção equivalente, uma maneira precisa de considerar esta varia
ção. Como neste trabalho esta formulação não foi desenvolvida,
adota-se, simplesmente, uma variação linear da ãrea de armadu
ra, de zero atê o valor existente, no trecho igual a um compri
mento de ancoragem, junto ã extremidade da barra. Os comprimen
tos de ancoragem adotados, de acordo com Leonhardt et alii: 5
sao 30 ou 60 diâmetros, respectivamente para as barras situadas
nas zonas de boa ou mã aderência.
Na Figura 6. 16 apresentam-se os resultados da ana
l ise para três niveis de carregamento: 2P = 150 kN, 2P = 450 kN
e 2P = 600 kN. Comparam-se as tensões na armadura transversal
que ocorrem nos tramos direito e esquerdo da peça com as que
sao determinadas pelo método simplificado, anteriormente apre
sentado, e pela analogia clãssica da treliça. No mêtodo simpli
ficado determina-se a tensão media a partir da deformação me
dia nos 10 cm centrais da altura da seção. A analogia da treli-
ça conduz, no terceiro nivel de carregamento, a tensões supe-
riores ãs de escoamento do aço. Apesar de inconsistentes, estes
valores são apresentados a fim de se poder estabelecer uma com
paraçao.
Observa-se que para o primeiro nivel de carrega
mento a experiência conduz a tensões na armadura transversal
muito baixas ou atê mesmo de compressao, ao passo que a formu
lação adotada e a teoria clãssica da treliça fornecem valores
l 9 6
significativos. Isto se dã devido ã nao ocorrência da hipótese
de fissuração da peça, adotada pelas duas teorias.
Nos demais n1veis de carregamento, observa-se
que a teoria do campo de compressão diagonal conduz a resulta
dos intermediãrios, entre a experiência e a teoria clãssica
de Morsch. Próximo aos apoios e ã zona de introdução de car
gas, a experiência apresenta valores decrescentes da tensão na
armadura transversal. Tal como explicado anteriormente, os pr~
cessos desenvolvidos supõem que as seções analisadas encontram
se suficientemente distantes dos locais de introdução de car
gas ou restrição de deslocamentos. Por este motivo, nestes tre
chos da peça, o mêtodo simplificado fornece valores bastante
conservadores. Convêm lembrar que as equações desenvolvidas p~
dem resolver este problema, se convenientemente solucionadas.
Nas Figuras 6.17 e 6.18 comparam-se os ângulos
de inclinação das bielas efetivos e os calculados atravês da
teoria exposta. A Figura 6.18 foi desenhada de forma aproxima
da, a partir dos resultados da anãlise nas seções B12, B13 e
B14 para um carregamento 2P = 600 kN. A Figura 6.17 apresenta
as fissuras encontradas no tramo esquerdo da viga, para o mes
mo carregamento.
Verifica-se que para este exemplo analisado, a
teoria do campo de compressão diagonal conduz a valores da ten
sao na armadura transversal conservadores em relação ã expe-
riência. Esta observação permite imaginar que, em contraparti-
197
da, o inverso aconteça para as tensões nas armaduras longitudi
nais, devido ã uma mã avaliação do ângulo~ de inclinação das
bielas ao longo da altura. Infelizmente, não se dispõem de da-
dos das tensões nestas armaduras que permitam uma compa raça o.
Porém, esta hipõtese é desfeita através das Figuras 6.17 e
6.18, que mostram que a estimativa do ângulo~ é razoãvel. A
diferença entre os valores da tensão na armadura transversal de
vem-se aos efeitos secundãrios e ao fato que, no modelo, a peça
é toda microfissurada e, na realidade, as fissuras são discre
tas ao longo da altura. Como as deformações nos estribos variam
sensivelmente ao passar da fissura ã biela de compressão, as
tensões calculadas a partir das deformações medias na peça en
saiada deverão, sempre, ser inferiores ãs fornecidas pela teo
ria apresentada.
Na Figura 6. 19 apresentam-se alguns valores obti
dos na seçao B12 para o carregamento 2P = 600 kN. t interessan
te observar que a armadura transversal atinge o escoamento, mas
que nao hã ruptura da seção. Neste trecho, o ângulo de inclina
çao das bielas~ assume um valor constante, ao passo que a de
formação da armadura transversal Ew' neste caso igual a deform~
çao
que
E , cresce no intervalo. Através deste exemplo observa-se V
a formulação admite uma definição do estado limite ultimo
para a armadura de cisalhamento em termos de deformação. A rup
tura da armadura transversal poderã estar associada a uma defor
mação plâstica excessiva, tal como as normas modernas limitam
as deformações do concreto e do aço no dimensionamento a flexão
composta.
198
VIGA HL4 - SEÇÃO B-12
2018 ,, 0 IOcada 17
E
/
93.75kN
5018 1 + 0.0019
SEÇÃO TRANSVERSAL DEFORMAÇÕES LONGITUDINAIS
0.83
1
346.
TENSÕES HORIZONTAIS (MPa) tan CI>
Osw
~ ESC0Aó1.ENTO
ARMADURA
0.0021 350.2 --
i DEFORMAÇÕES NA ARM.TRANSVERSAL TEN5PES NA ARM.TRANSVERSAL(MPa)
Fig. 6.19 - Seção B12 para 2P igual a 600 ktl
199
CAP1TULO VII
CONCLUSÕES
Foi apresentada uma teoria geral e consistente p~
ra a anãlise de peças lineares de concreto armado, submetidas a
solicitações combinadas de esforço cortante, momento fletor e
esforço normal. A seção transversal pode ter forma qualquer com
um eixo de simetria e a armadura longitudinal pode apresentar
distribuição simétrica qualquer.
A partir das equaçoes que traduzem o modelo meca
nico, foram desenvolvidos trés processos numéricos para a anãli
se. A resolução exata do problema de valor de contorno, no qual
a peça é estudada em toda a sua extensão, foi evitada. As anãli
ses são feitas em seções transversais.
Na primeira formulação, denominada método da se
çao empenada, o problema é analisado de forma completa. O méto
do da seção equivalente, de Diaz, e a hipotese de Bernoulli fo
ram simplificações adotadas na segunda formulação, aqui chamada
de método simplificado. Um terceiro processo, de autoria de
Diaz e baseado em recomendações de norma, foi também apresenta
do.
Apos uma anãlise comparati~a das tres formula-
çoes, diversas conclusões foram obtidas. O método da seçao equ2
valente conduziu a uma aproximação de expecional qualidade das
200
tensões tangenciais ao longo da seçao. Por este motivo, o meto-
do simplificado mostrou-se capaz de substituir a anãl ise
rigorosa.
mais
O método da seçao empenada ê por demais complexo
e oneroso para a prãtica. No entanto, permitiu observar que,
nas seções tracionadas de concreto armado, submetidas a esforço
cortante, a deformada ê bastante não linear. As tensões nas
armaduras longitudinais diferem nestes casos, por este motivo,
das obtidas através do método simplificado. As demais variãveis
do problema, no entanto, assumem valores bastante próximos. As
sim, admite-se a utilização, para seções tracionadas, do método
simplificado e a hipótese associada de linearidade das deforma
çoes. No entanto, recomenda-se de adoção nestes casos, na verifi
caçao ã ruptura, de valores inferiores da deformação limite
plãstica da armadura, a fim de garantir a segurança da estrutu
ra.
O processo baseado em norma forneceu, em alguns
casos, valores inferiores das tensões horizontais no concreto e
na armadura longitudinal. Apesar de não servir, portanto, para
uma anãlise global do problema, presta-se para a determinação
das tensões na armadura transversal. Oferece também uma vanta
gem muito importante: uma vez que as demais variãveis do probl~
ma independem da porcentagem de armadura de cisalhamento,o meto
doê automaticamente um processo de dimensionamento.
201
O método da seçao empenada apresentou, eventual
mente, casos de não convergência, devido a sua complexidade nu
mêrica. Isto não constitui um problema, jã que não se pretende a
sua utilização sistemãtica, mas sim resultados para uma anãlise
comparativa. Os demais processos apresentaram sempre convergên
c 1 a.
Uma viga analisada experimentalmente por
Leonhardt et alii! 5 foi estudada ã luz da teoria apresentada.V!
rificaram-se valores das tensões na armadura transversal infe
riores aos obtidos através da analogia clãssica da treliça, po
rem sempre conservadores em relação as tensões medias obtidas
através da experiência. Este fato não significa que, em contra-
partida, valores contra a segurança das tensões nas armaduras
longitudinais devam ser encontrados, conforme anteriormente ex
plicado. A consistência do modelo permite esperar resultados da mesma
natureza para os diversos tipos de casos de carregamento e pr~
priedades geométricas das seções, cujos tratamentos através da
utilização da teoria de flexão composta e da analogia da treli
ça são, como demonstrado anteriormente, incoerentes.
Uma anãlise experimental completa se faz, no en
tanto, necessãria. O seu objetivo final não seria somente ave
rificação do modelo, jã que se esperam valores conservadores das
tensões no concreto e nas armaduras. A partir destes resultados
se procuraria calibrar o processo proposto, considerando, de
forma semi-empirica, diversos efeitos desprezados no modelo.
202
O método simplificado, aqui proposto, associa ca
racterísticas de simplicidade, rapidez e precisão que o habil i
tam como método pratico de verificação de tensões em seçoes de
concreto armado, sujeitas a solicitações combinadas.
Sua formulação ê caracterizada pela adoção do me
todo da seçao equivalente no cãlculo das tensões tangenciais ºt
e pela determinação do ângulo$ através do princípio da ener
gia complementar mínima. A fÕrmula ºt = V.S/(b.I) ê assim adota
da a partir das propriedades geométricas da seçao equivalente.
Alem desta e da condição de compatibilidade tan 2 $ = (Eh - s$)/
(sv - E$}, que define o ângulo de inclinação das bielas, o
método utiliza ainda as condições de equilíbrio num elemento in
finitesimal e na seção transversal.
A partir deste processo, métodos de dimensionamen
to podem ser implementados. Fixando-se a armadura transversal,
pode-se utilizar o mesmo método que Galgoul 19 para o dimensiona
mento da armadura longitudinal. Mantendo-se a armadura longitu
dinal, ê poss"ivel implementar um processo que determine a por
centagem m"inima de armadura transversal necessãria tal que, ao
longo da altura da seçao, a deformação dos estribos sw seja sem
pre inferior a uma deformação plãstica limite. Finalmente, am
bas as armaduras podem ser dimensionadas simultaneamente, atra
ves da introdução de uma condição subsidiãria, baseada em critê
rios de economia.
203
O objetivo deste trabalho foi contribuir ã anãl i
se de tensões em peças 1 ineares de concreto armado, através do
estudo de um modelo mecânico simplificado consistente.
Sobre o assunto, diversos temas de pesquisa podem
e devem ser desenvolvidos: a extensão do método para anãlise de
vigas T, anãlise de seçoes circulares admitindo que a - tensão
tangencial possa se desenvolver segundo duas direções, anãlise
experimental ã luz da teoria apresentada, etc ... Acredita-se que,
em um futuro próximo, esta 1 inha de pesquisa determinarã os crl
térios de dimensionamento de peças lineares das normas de con
creto armado e pretendido.
204
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212
APtNDICE A
PROGRAMA DE COMPUTADOR
A. l - DESCRIÇ/10 GERAL DO PROGRAMA
O programa de computador foi implementado na l in-
guagem FORTRAN IV no computador B6700 do Nücleo de Computação
Eletrônica da Universidade Federal do Rio de Janeiro.
O programa destina-se ã anãl ise de tensões, no
concreto e na armadura, de seções de concreto armado submetidas
a momento fletor, esforços cortante e normal. Adota-se a teoria
anteriormente apresentada e os metadas propostos nos Capitulas
III, IV e V. O programa determina, tambem, a deformada linear
de uma seção submetida a flexão composta. Para isto utiliza-se
o metada da matriz tangente, brevemente apresentado no Capitulo
I. O programa estã adaptado para normas que seguem os mesmos
criterios de dimensionamento estabelecidos pelo CEB 47, tal como
ocorre com a norma NB-1 50•
No estãgio atual, o programa admite dois tipos de
seçao transversal:
l. Seção retangular cheia, com armaduras discretas ao longo da
altura, mantida a simetria em relação ao eixo vertical.
213
2. Seção circular cheia, com armadura uniformemente distribui
da em uma camada, discretizada ao longo da altura.
Quaisquer tipos de seçoes transversais podem ser
implementados, desde que a hipõtese de que as tensões tangen-
ciais se desenvolvam segundo uma unica direção seja admitida.
Alem da geometria da seçao, sao dados de entrada
do programa as caracteristicas fisicas do aço e do concreto,
bem como os coeficientes de segurança da norma adotada.
Procurou-se realizar uma segmentação eficaz do
programa. Assim, as subrotinas implementadas cumprem funções es
pecificas. Novos progressos da teoria apresentada poderão ser
facilmente introduzidos, através da incorporação de novas subro
tinas.
A. l. l - Subrotina LERCTE
LERCTE e uma subrotina de leitura de dados refe
rentes as propriedades dos materiais e aos coeficientes de seg~
rança. Calcula tambem as resistencias de calculo.
A. l.2 - Subrotina LERSRT
A subrotina LERSRT le dados de uma seçao retang~
lar e gera a discretização do concreto associada.
214
A. l. 3 - Subrotina LERSCC
Esta subrotina tem corno finalidade a leitura de
dados referentes a urna seçao circular e a determinação de urna
discretização do concreto e da armadura associada.
A. l .4 - Subrotina DJFER
A subrotina DIFER determina as constantes de dife
renciação nurnêrica ckl e skl' para k e l variando de l atê 4.
Estes parâmetros são calculados segundo as expressões (3.3) e
(3.4) e são necessãrios para o rnêtodo da seção empenada.
A. l. 5 - Subrotina ECON
A subrotina ECON calcula a tensão e o rnõdulo de
elasticidade tangente do concreto, para urna dada deformação es
pecifica. Adota o diagrama parãbola-retângulo apresentado na Fi
gura 2.10.
A. l . 6 - sub ro t i na E A e o
A partir de urna deformação especifica, esta subr~
tina determina a tensão e o rnõdulo de elasticidade tangente da
armadura. Utiliza os diagramas das Figuras 2.11 e 2.12 conforme
o aço seja do tipo A ou B.
21 5
Em um trecho da curva do aço B, as deformações
sao expressas atravês de uma expressão de quinto grau das ten
soes. Neste caso, a determinação da tensão atravês da deforma-
çao e feita de forma iterativa, atravês do mêtodo de
Raphson.
A. l. 7 - Subprograma SIMSON
Este subprograma executa a integração, ao
Newton-
longo
da altura, das variãveis do problema, quando necessãria. Calcu
la, pelo mêtodo de Simpson, a integral em cada intervalo de con
ereto, definido entre duas barras longitudinais ou entre uma
barra longitudinal e um bordo da peça. Em seguida, faz o somatõ
rio. Este procedimento ê necessãrio devido ãs descontinuidades
das variãveis ao longo da altura.
A. l. 8 - Subrotina FLUXTH
A subrotina FLUXTH calcula as tensões tangenciais
ºta partir das tensões horizontais oh e ºs• em quatro
adjacentes, utilizando a expressão (3.7).
seçoes
Determina tambêm os erros relativos definidos por:
V -
ERRO l =
V ( A • l )
21 6
ERR02 = (A. 2) V
onde os 1ndices I e I-1 referenciam a iteração. O parâmetro
ERROl define a qualidade da aproximação das tensões tangenciais
calculada através da diferenciação numérica. ERR02 calcula a di ferença entre as aproximações, em duas iterações consecutivas,
das tensões ªt. t um valor fundamental no método da seção empe-
nada, pois decide a interrupção do processo iterativo. Estes
erros relativos são calculados em apenas uma seção transversal.
Esta subrotina e utilizada na fase I e III do me
todo da seçao empenada.
A. 1. 9 - Subrotina XXSDT
Esta subrotina calcula, de forma numérica, a ex-
rz J z
s
pressao b.ot.dz, ao longo da altura das quatro seçoes
k = l, 2, 3, 4. Convém 1 embrar que esta expressao e igual, com
sinal trocado, a resultante das tensões verticais no concreto e
na armadura ºz e que foi desprezada, no processo simplificado,
na determinação das tensões na armadura transversal ºsw
expressões (3.6), (3.8) e (4.5)).
(ver
21 7
A.l.10 - Subrotina XXF
O objetivo desta subrotina é a determinação das
variãveis e~, o~, cw e ºsw a partir da tensão tangencial ºt'
do ângulo de inclinação das bielas~ e da expressão Jz b.ot.dz. zs
São utilizadas as expressoes (2.4), (2.57),(2.58)
e (3.6). A subrotina é chamada para cada elemento de concreto,
em cada seção transversal.
A subrotina verifica a equaçao (2.35) através da
determinação do valor de F(tan~). conforme definido na expres
são (3.12). ! utilizada, portanto, dentro do processo iterativo
de determinação do ângulo ~. apresentado na seção 3.2.
São também calculadas dc~/do~ e dcw/dosw' segundo
as relações constitutivas dos materiais.
A.1.11 - Subrotina XTANOl
Tal como apresentado na teoria, o ângulo~ pode
ser determinado a partir da tensão tangencial ºte da deforma-
çao horizontal eh. A subrotina XTANOl cumpre esta
através do processo apresentado na seção 3.2 e no
final idade,
fluxograma
da Figura 3.2. t chamada para cada elemento de concreto, em ca
da seção transversal. A aproximação inicial do processo iterat.:!_
vo ê o valor do ângulo~ no elemento anteriormente calculado.
218
A.l.12 - Subrotina XTAN02
Em alguns casos, o processo desenvolvido pela ro
tina XTANOl não conduz ã convergência. Quando isto ocorre, a
subrotina XTAN02 ê automaticamente chamada. Esta desenvolve um
mêtodo computacionalmente mais lento, porem mais seguro. As ex
pressões (5. 13) e (5.14) definem os limites inferior e superior
do ãngulo ~- A partir destes limites, o mêtodo de bisseção ê de
senvolvido. O intervalo ê dividido ao meio e, atravês dos si
nais das expressões F(tan~), tais como definidas em (3.12), nas
extremidades e no ponto central, verifica-se em qual dos subin-
tervalos se localiza a raiz. Neste, inicia-se uma nova itera-
çao.
Apõs n iterações o tamanho do intervalo e reduzi
do de um fator 2n. O processo e interrompido quando a solução
for considerada suficientemente prõxima da exata. O mêtodo da
bisseção ê apresentado em detalhe na obra de Stark 46 •
A. l . l 3 - Sub ro t i na X T AN 04
A subrotina XTAN04 tem como finalidade a determi
naçao do ângulo~ segundo critêrios baseados no CÕdigo Modelo
CEB-FIB 47, de 1978 .. Adota as equações (5.4), (5.10), (5.13) e
(5.14).
219
A. l. l 4 - Sub ro t i na R E SOL V
O objetivo da subrotina RESOLV é a resolução,atr~
ves do método de Gauss-Jordan, de sistemas de equações. Trata
se de uma subrotina bastante simples, para sistemas bem condi
cionados e não necessariamente simétricos, que cumpre satisfato
riamente as necessidades do programa.
A. l .15 - Subrotina DEFORl
A subrotina DEFORl determina a deformada linear
de uma seçao, previamente discretizada, submetida a flexão com
posta. Calcula as tensões no concreto e na armadura e adota o
método da matriz tangente, apresentado na seção l. l.
A, 1, l 6 -Subrotinas DEFOR2 e DEFOR3
A finalidade da subrotina DEFOR3 é a determinação
das deformadas não lineares em quatro seções adjacentes, subme
tidas a flexão composta e esforço cortante, conhecidas as dis
tribuições das tensões tangenciais ºt ao longo das mesmas. Exe
cuta o processo iterativo contido na fase II do método da se
çao empenada, apresentado no Capitulo III. O numero de termos
das deformadas é variãvel e fornecido pelo usuãrio do programa.
A subrotina DEFOR2 executa a mesma tarefa que an
terior, fornecendo, no entanto, uma deformada linear. Os termos
correspondentes ãs funções Fkl' l variando de l a (p-2), nao
220
sao montados. Assim, a deformada satisfaz apenas as condições
de equil1brio. As condições de compatibilidade, introduzidas
através do método de res1duos ponderados, não são consideradas.
A subrotina DEFOR2 poderia ser facilmente embut~
da dentro da DEFOR3. Decidiu-se manter esta apresentação, pois
corresponde ã evolução do trabalho desenvolvido.
A.1.17 - Subrotina DEFOR4
A subrotina DEFOR4 calcula a deformada linear de
uma seçao, previamente discretizada, submetida a flexão compo~
ta e esforço cortante. Adota o método simplificado, proposto
no Cap1tulo IV e apresentado no fluxograma da Figura 4.5. As
tensões e as deformações, no concreto e nas armaduras, são tam
bem determinadas.
A.1.18 - Subrotinas XXMNR e DEFOR5
Através das subrotinas XXMNR e DEFOR5 a deforma
da linear, segundo o método baseado em norma, e calculada. Pa
ra uma seção transversal previamente discretizada, estas subr~
tinas desenvolvem o processo proposto no Cap1tulo V e apresen
tado no fluxograma da Figura 5.2.
221
A. l .19 - Subrotina IMPRl
A finalidade desta subrotina e a impressão das
tensões obtidas através de qualquer um dos métodos utilizados.
A.l.20 - Subrotina IMPR2
O objetivo desta subrotina e a impressão das de
formações calculadas através dos métodos implementados.
A. l .21 - Subrotinas XXGXZ e IMPR3
As finalidades das subrotinas XXGXZ e IMPR3 sao
a impressão e anãl ise da compatibilidade, no método da seçao
empenada.
A subrotina XXGXZ calcula, numericamente, na se
çao transversal de referencia, o valor de y' ao longo da mes
ma. E~ e Eh são determinados na prÕpria subrotina IMPR3.
Através destes valores, o res1duo 6 da equaçao
(2.14) diferencial de compatibilidade e calculado pontualmente
e o erro medio n, tal como definido na expressão (6.1 ), e ava
liado.
222
A.2 - DADOS DE ENTRADA
São dados de entrada do programa as propriedades
dos materiais, os coeficientes de segurança, as propriedades
geométricas, o carregamento e o tipo de anãlise desejada.
CART/l:O 1
(13A6) "11 T1tulo: T1tulo da anãlise
CART/l:O 2
1 1 1 2 1 3 1 4 1 8 O
FCK FATOR KCURV EEC (FlO.O) (FlO.O) ( Il o) {FlO.O)
FCK
FATOR
KCURV
resistência caracter1stica do concreto
coeficiente que multiplica a resistência caracter1stica
do concreto
curva tensão-deformação do concreto
KCURV = l: curva pãrabola-retângulo (iínica dispon1vel)
EEC mõdulo de deformação longitudinal ã compressão do con
creto, no in1cio da curva tensão-deformação efetiva.
223
CARTÕES 3 E 4
Os cartões 3 e 4 referem-se, respectivamente, as
armaduras longitudinal e transversal.
1 1 1 2 1 3 1 B O
FY K KTIP EES {FlO.O) ( I l O) (FlO.O)
FYK resistência caracter1stica do aço a tração
KTIP tipo do aço, de acordo com o processo de fabricação
KTIP = l: aço tipo A, com escoamento definido, caracteri
zado por patamar no diagrama tensão-deformação
KTIP = 2: aço tipo B, sem patamar no diagrama tensão-de
formação
EES mÕdulo de deformação longitudinal do aço.
CARTIIO 5
1 1 1 2 1 3 1 4 1 B O
GC GS GM Gti (FlO.O) (FlO.O) (FlO.O) (FlO.O)
GC coeficiente de minoração da resistência caracter1stica do
concreto para o cãlculo no estado limite ultimo
GS coeficiente de minoração da resistência caracter1stica do
aço para o cãlculo no estado limite ultimo
GM
224
coeficiente de segurança para esforço cortante e
fl etor
GN coeficiente de segurança para esforço normal.
CARTIIO 6
1 1 1 2 1
NSEC IHCAR
( I 1 O) ( I 1 O)
NSEC tipo de seçao transversal
momento
8 O
NSEC = 1: seçao retangular cheia, com armaduras discre
tas ao longo da altura
NSEC = 2: seçao circular cheia, com armadura uniforme
mente distribuída em uma camada
NTCAR numero total de casos de carregamento
CARTÕES 7 (no caso de seçao retangular)
CARTIIO 7A
1 1 1 2 1 3 1 4 1
B H li NS (FlO.O) (FlO.O) ( I l O) ( I 1 O)
B largura da seçao
H altura da seçao
N numero de segmentos de concreto
8 O
225
NS numero de n1veis de armadura longitudinal
Observação: N + NS < 90
CARTAO 7B (haverão NS cartões 7B)
l l 1 2 l 8 O
zs AS (FlO.O) (FlO.O)
ZS distância do centro de gravidade da armadura a face supe
rior da peça
AS area de armadura longitudinal neste n1vel da seçao trans
versal
CARTAO 8 (no caso de seçao circular)
1 1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 8 O
RC RS AST N NS (FlO.O) (FlO.O) (FlO.O) ( I1 o) ( I 1 O )
RC raio da seçao transversal
RS raio do centro de gravidade das armaduras longitudinais
AST area total de armadura longitudinal
N numero de segmentos de concreto
NS numero de n1veis de armadura longitudinal
Observação: N + NS < 90
226
CARTAO 9 (haverão NTCAR cartões 9)
MYCG NX vz AW NP p DELTA
(Fl0.0) (FlO.D) (FlO.O) (FlO.O) ( Il o) ( 11 D) (FlO.O)
MYCG momento fletor, no centro de gravidade da seçao
NX esforço normal
VZ esforço cortante
AW armadura transversal
NP tipo de anãlise
NP = l: a subrotina DEFDRl sera chamada; anãl ise da se
çao transversal a flexão composta
NP = 2: a subrotina DEFOR2 sera chamada; anãl ise da se-
çao transversal a flexão composta com
cortante atravês do mêtodo rigoroso,
esforço
proposto
no Capitulo III, admitindo a deformada linear.
NP = 3: a subrotina DEFDR3 sera chamada; anãlise da se
çao transversal a flexão composta com esforço CD.!:_
tante através do método rigoroso, proposto no Ca
pitulo III, admitindo o empenamento da
apos a deformação.
seçao
NP = 4: a subrotina DEFOR4 sera chamada; anãl ise da se-
ção transversal a flexão composta com esforço
cortante através do método simplificado, propos-
227
to no Capitulo IV.
NP = 5: a subrotina DEFOR5 serã chamada; anãl i se da se
ção transversal a flexão composta com esforço CO.!:'_
tante através do método baseado em norma, apre
sentado no Capitulo V.
P numero de termos da deformada.
para NP = l, 2, 4, 5 : P = 2.
para NP = 3 : 3 < P < 15.
DELTA: intervalo entre as seçoes transversais (NP = 2, 3) ..
CART~O 10 (somente se NP = 5)
TRD : tensão subtrativa segundo o CÕdigo Modelo CEB-FIP 47,
l 9 7 8.
A.3 - LISTAGEM DO PROGRAMA
de
e e e e e e e e e e e f ILE FILE e e e e e
228
e G p p E / U F R J - l 9 8 l
T E S E o E H E s T R A O O
H A u R o s C H u l z
p R o G R A H A o E e ~ M P u T A O O R
5=CARTAü,UNIT=READER b=PRESS,UNIT=PRINTER
SUBROTINA LERC TE
OBJETIVO : LEITURA OE TlíULG E CONSTANTES
SUBROUTINE LERCTE COMHON A, AS ( 111,AC, AZC ,A.i.2C 1il' 'U. I ,C ('o ,41 ,CP ,CS l 921 ,
1 OEO,DEV,DELTA,Ol,02,EEC,EES,itTC,EETS,tCi,ECU,EYO,tH, 2 EO,EVl41921,ERR01,ERRG2,fCDL,~YO,FS(4,lll,Ql92l,GC, 3 GS,GM,GN,G(4,921,GXZIS21,Hl,H(<t,151,1,1Nllll,illlll,K 4 KllP,KCLRV,MVCG,MVD(41,NX,NXü,NL,Ni,NP,NC,NS,N1NT, 5 NCGN,P,Rl4,921,Sl4,41,SuJl4,Sil,1C,TS,TO,JSW,TSWl, b THl4,921,TT14,92l,TANOl~,921,lll,TT2,TT3,TRD,VZ,VZu, 7 1,a,1s21,z,921,ZSI 111,At.
COHMON/"'/ FYWO,EY•D,Kt.Tl~,EEnS e C LEITURA E IMPRESSAO 00 JlJULO e
e
t.R HE INI, 10001 READ INL,2000) Al,A2,A3,A4tA5,Ab,A7,A8,A9,AlO,All,A12,Al3 ~RITf,Nl,30001 Al,A2,A3,A4,A5,Ab,A7,A8,A9,A10,All,Al2,Al3
C LEITURA E IMPRESSAC DAS PRGPRltUAOES DOS MATERIAIS e
e
RE~D 'NL,40001 FC~,FATCR,KCy~ij,tfL,ECl,ECU,FYK,KTIP,EE5 READ (NL,100001 fYM~1KloTlP,EtM~ w R ll E I N I , 5 00 O 1 t.RITE(Nl,60001 FCK,fAT~R,KC~K~,tEL,ECl,ECU,FYK,KTIP,EES t.RllE(Nl,llOCOI F~ftKtKftltP,tt•~
C LEITUkA E IHPRESSAO UCS ~otf. ut SEGURANCA e
e
READ (NL,70001 ~C,GS,GM,uN t.RHEINI,80001 ~HllEl~I,90001 GC,GS,GM,~N
C DEtERHINACAO OAS kESiSIE,-.CIAS "~ C.ALCULQ e
FCCL=-1.•fATOR•FCK/GC f'fO=fYK/GS EYD=FYU/EES
e
FYIIID=fYi,K/GS EYIIID=fYWD/EEWS REIURN
229
C FORMATOS e
1000 FORMAJ('l',//,TlO,'COPPt /UFRJ/ PROGRAMA OE ENGENHARIA CI VJL',
•J,110,'TESt DE MESTRADO HA~RO ~CHULl / ORIENTADOR B. ERNANI OIAl' 1 2000 FORHAT(l3A61 3000 FORHATC/,Tl0,13A61 4000 fORHAJ(2El0.3,110,3El0.3,/,ElC.3,9X1Al,El0.31 5000 FORHAJ(//,110,'PROPRIEDAJES uC~ HATERlAIS 1 ,//,Tl7,'fCK',T2~
• *'FATOR', 135, 'CURVA' ,T4t,, 1 E cc11.•, 157, 1 EC1 1 ,Tó7, 'ECU' ,177, 'f YK 1 ,
•TB6 11 TIP0',T95, 1 E ACO'J 6000 fORMAT(TlO,FlO.O,fl0.3,110,Flu.0,2fl0.5,Fl0.0,9X,Al,FlO.O) 7000 FORMAl(4El0.31 6000 FORMAT(/,Tl01 1 COEflCIEf\JcS· IJE SEGURANCA' ,//,Tl8,'GC 1 ,Tl8, 'G
s•, • T 3 8, 1 GH' , T 48 1
1 GN 1 )
9000 FORHAT(TlC,4Fl0.31 10000 FORMAI lfl0.0,9X,11,FlO.JI llOCO FORHAT (/,Tló, 1 FYWK',T25, 1 Kkl1P',T36 11EEWS',/,Tl0,
•FlC.O,llC,fl0.01 END
e C SUBROTINA LERSRT e C CBJETIVO: LElTURA 1uERACAO E lMPkESSAO DE DAUUS OA SECAL Rt TANC. e
e
SUEROUTINE LERSRT COHHON A,ASllU,AC.1AlC1AL2C,B(92l ,Cl4,41,CP,CSl921,
l OEO,OEV,OELTA,ül,02,tEC,EES,EtTC,EETS,ECL,ECU,EYD,EH, 2 E0,EVl4,921,ERROl,ERRC2,fCOL,rYú,FS(4,lll,Ql9ll1GC, 3 GS,GH,G"1Gl4,921,GXll9il,HI,Hl4,15l,1,IN(lll,1T(lll,K 4 KTIP 1KC~RV,MYCG,MYül41,~X,NXJ,NL,Nl,NP,NC,NS 1 NlNT,. 5 NCCJN,P,Rl4,92l,S14,41,S...1i(4,S.d ,TC,TS,TO,TSn,TS,H, ó Thl4,92l,TTt4,92J,TANOl~,S21,IT1,TT2,TT3,TRO,VZ,Ylü, 7 nn(S2l,l(92l,lS(lll,A~
e LEITURA E GERACAO Ot CCN~TANIE~ utOMETRlLAS e
REAC (NL,lOOOl bl 1HI 1N1 N~ A=hl/N NC=N+NS+l hlNT=NS+l IN T=l INIJNTl=l DO 10 IS=l,NS
REAÓ(NL,jooo, lS(l~l,AS(lSl
230
NS~B=IFIX(ZS(ISl/1,.•AJt.51•2 ZSl1SlzFLOAT(NSUBl*A ITIINTl.,NSUB+IS IN 1= IN J + l
10 JNIINJJ:NSU8t1Stl IJIINJl:NC IS=O CO 30 lNl=l,NINT
ao 20 l=IN(iNll,ll(INTl BIIl=lll csc Jl=l.
20 ZIIJ=FLUAIII-1-ISl*A 30 lS.,IS+l
e C lMPRESSAC OAS CONSTANIES GELMilRlCAS e
~RIIEINl,30001 Bl,Hl,N,~s.~c 00 ltO IScl,NS
40 kRJJEINl,40001 IS,LSIISl,AS(ISI WRlTEINI,50001 CO 50 INl=l,NINT
50 hRIIEINJ,60001 INl,H,llhTJ ,ITCINTI BINCtll=Bl
e C AREA E MOMENTOS e
e
AC=Bl*HT AZC=B1*HI•*2/2. AZ2C=B1*I-T••3l3. REIURN
C FORMATOS e
1000 FORMATl2El0.3,21101 20GO FüRMATl2El0.31 3000 FORMAT(//1110,'SECAO RET4~GUL4K',//,Tl9t 1B1,T281'Hl',T3~,'N
• • T ltB' *'NS',T58,'NC',/,Tl0,2FlC.3,3Iiv,//,TlO,'ARMAUURA 1 1//,Tld, 1 1
s •• * 1 2 B , 1 Z S 1 , l 38, ~AS 1 , /l
4000 FORMATCT10,110,2FlC.6l 5000 fORMATl//,TlO,'INTEKVALC~',t/ 1 Tl7,'INT 1 ,T2~,•tNICIC 1 ,T37,'F
IM' , / 1 éOCO FORMATCT10,3Il0l
ENL e C SUEfiGTINA LEkSCC e e OBJETIVO: LEITURA GERAc~u E IHPhESSAO OE OAUOS SECAO CIRCU LAR e
SUB~GUTl~E LERSCC COMMON A,AS11Jl,AC,AlC,Al2C,Bl~,,.cc4,41,CP,CSC921,
1 OEO,CEV,CELTA~Oli02,EEC,EES,icTC,EETS,ECl,ECU,EYO,EH,
e
2 31·
2 EO,EVl4,921,ERROl,ERRC2,fCOL,fYü 1FSl41lll,Ql921,GC, 3 GS,GM,GN,Gl4,921,GXZl921,H1,H(4 1151,1,1Nlll11ITllll,K 4 KTJP,KCURV,MYCG,MYD(41,~X,I\XO,Nl,Nl,NP,NC,NS,NINT, 5 NCON 1 P,Rl4,921,Sl4,4l,SJTl4,9il,TC,TS,TO,TSW,TSW1, 6 Tfl4,92J,TT14,921,TANCl~,921,IT1,TT2,TT3,TRO,VZ,VZO, 7 WWl92J,Zl921,ZS1111,Ah
C LEITURA E GERACAO DAS CGNSIANlcS GECMETRICAS e
REAO INL,10001 RC,RS,ASl,N,NS fT=2.•RC A=t<T /N NC=N+NS+l NHH=NS+l ALFA=3.141592t54/NS INT= 1 IN{JNTl=l CO 10 JS:l,NS
ASIISl=AST/NS ZSIISl=RC-RS•CUS({fLOAIIISl-.51*AlFAI NS~B=IFIXIZSIISJ/(2.•AJ+.>1*2 ZSIISl=NSUB•A ITIINTl=NSUB+IS llHzelNT+l
10 lNIJNJJaNSUB+JS+l 111 INT )=1-,C 1 S-= C CO 30 lN l=l,NINT
OU 20 l=U,IJNTl,IHll\ll Z(ll=fLOAl(l-1-JSl*A B(ll=Z.•SQRllABSIZ(ll*IHT-llllJII ZAUX=A6S(RC-illll CS( IJ=.1E20 lf(ZAWX.LT.Rjl ~S(li~SQRTIRS••Z-ZAUX••ZJ/RS
20 CONTINUE 30 1S=IS+l
e 11 J=. oo e 1 B11-,Cl=.OC01 B(1'.C•l l= .COOl C S ( NC t 11 =. IE 2 O
e C AREA E MCMENJCS e
(.
AC=3.l41592654*RC••2 .IIZC=AC•RC/3. AZ2C=AC•~•RC•*2/4.
e lMPRESSAG DAS CONSTANTtS GECMcfKlCAS e
hi< ITE UH ,2000 J RC 1 R S, A ST ,N ,NS ,1,C. hRITEINJ,300~1 . CC 40 !S=l,NS
40 WRJTEINl,40ú01 IS1lSIISl1lSIJSI
e
àR ITE CN 1, 50001 CO 50 lNl=l,NINT
232
50 .. R11EIN1,6000J llll,111Cl~TI 11 TCINTI hRITEINI,7COOJ 00 60 l= 1,NC
60 i,iRIJECNl.8000J l1Zlll18Hl ,CSl1I RETURN
C FORHAIOS e
lOCO FORMATl3El0.3,21101 2000 fúRHA11//,T10, 1 SECAO CIR,ULAR 1 ,//,T18, 1RC',T28,'RS',T381'AS
•,J4c;, *'N 1 ,T58, 1 NS 1 ,T68, 1 NC 11/1JlC,Zf10.3,fl0.5,3110I
3000 fORHATl//,Tl0, 1ARHAOURA 1,//,lli,,'lS',T28,'ZS',T38,'AS 1 1 40CO FORHATITlO,llC,fl0.4,fl0.5J 5000 fúRHATl//,Tl0,'1NTERVAlú~',/l,T17,'INT',T24,'lNICIO',T37,'f
IM' 1 60CO FORMATITl0,31101 1000 FORHAlC/1,110,'PROPRIEOAúES ~iúMlTR1CAS 1 1// 1 Tl9,'l',T29, 1 Z'
, T39, ••e• ,14a, •cs• J
SOCO FORMAT(TlO,ll0,2Fl0.4,fl0.71 ENC
e C SUBROTINA OlfER e C úBJEllVO: GERACAü üAS CuNSIA~ltS UE OlFERENClACAú (.
sueRCUTIIIE OlfEK COMHDN A,AS111J,AC,AZC,Ai2C,c(~ll,Cl4,41,CP,C~l92I,
1 CEC,CEV,CELlA,Ol,02,EtC,EES,EtTC,EETS,ECl,ECU,EVD,EH, 2 EO,EVC4,921,ERR01,ERRC2,fCD~,fVO,FS14,ll1,Ql921,GC, 3 GS,GH,Gt..,Gl4,921,GXZIS21,H1,Hl'<,151,l,IN(lll,1Tllll,11. 4 l(fi"P;Kcúiv~M)CG,MYJl4l ,i•X,~Xü,i,L,t..I,.111',NC,I'.. ,Nll-lT, 5 NCC.h,P 1Rl4,921,Sl',,41 ,~ufl'l,Sd ,lC,lS,10,TS .. ,TSWl, 6 T~t4,921 1TTl4 1 92J,lANGl'1,S21,1Tl,Tl2,TT3,TRO,Vl,VZO, 1 Wk(S2J,ZC92J,ZS11ll,Ah
AUJl=t.•OELTA C 11.1 )=-11./AUX Cll,21=18. /ALX C( 1,3J=-9. /ALX CU,41=2. IAl..'1. Cl.2,lJ=-2. /AlJ'I. Cl.2,2J=-3. /AlJX Ct2,3l=ó. /ALX C12,41=-1. IALX Cl3,ll=l. /AUX Cl3,21=-6. /AUX Ct3,31=3. /AI.X Cl:3,41=2. /ALX Cl'o,ll=-2. /AUX· CC4,21=9. /AlJX C t 4, 3 1=-18. / A lJ X C14,41=11. /ALXAUX:[JfLTA••2 Stl,11=2. /AUX Sll,2J=-~. /AI.X S11,.JJz4. /ALX
e e (
(
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e e e (
(
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e e
233
S(l,'il•-1. /AlJJI Sl2,ll=l. /AUll s,2,21-c-2. /ALX SC2,31=l. /ALX S12,41-=0. S13,ll"'O• S(3,2 l=l. /ALX SC;,31.,-2. /AUX Sl3,4J:l. /AUX S l 'i I l l =- 1 • /AUX Sl4,21=4. /ALX SC.t,,JJ=-5. /ALX SC4,41=2. /AUX RElURN ENC
SUBIWJINA ECON
OBJETIVO : TENSAO E MODULO Jt LLASJICIOAOE 00 CONCREJO
SU61Wt;1JNE ECON COMHON A,AS1lll,AC,AZC,AL2C,B(5211Cl4141,CP,CSl921,
l CEC,tEV,OELTA,Ol,02,EEC,EES,EE:TC,EETS,ECi,ECU,EYO,EH, 2 EC,EV(4,921,ERR01,ERRC2,fCDL,fYD,FSl4,lll,Ul921,GC, 3 GS,Gf'.,G/'l,Gl4,921,GXZ(92J ,Hl,HC4,151,1,1Nllll ,1Tllll ,K 4 K1JP,KCLRV,HYCG,NYDl41,~X,~XJ,NL,Nl,NP,NC1NS1NINT, 5 NCCN,P,R(4,921,S14,41,Sull4,Sd ,TC,TS,TO,TSw,TSi.l, 6 T~t4,921,TTl4,921,lANOl4,Si1,TTl,TI2,TT3,TRO,VZ,VZO, 7 lo,lo('i21,Z('i21,ZS1 lU,Aii JFIE~.GT.O.I GOTO LO JfCE~.GI.-.0021 Gú TO 10 lC=fCOL•IEH•.co21•1. E E: JC= l. REIURN
10 IC=-lOOO.•FCDL•EH•l250.•tH•l.l EETC=-10CO.*FCOL•l500.•Eri~l.J REIURN
20 IC=EH*l• EE I C= l. REIURN ENC
'SUEROT INA EACO
CBJETJVO: TENSAO E MODULO DE LLASTICJOAUE: 00 ACO A OU ti
SUBROUTlt.E E:ACO (OMMON A,AS(lll,AC 1 AZC,ALlC,o(~ll,C14,4l,CP,CS1921,
1 OEO,Cf:V,OELTA,Ol,02,EEC,EES,tE:IC,Ef:TS,E:Cl,ECU,EYU,EH, 2 EC,EV14,921,ERROl,ERRC2,FCOL,fYO,FS14,ll1,Ql921,GC, 3 <iS.GM,G",Gl4,921,uXZ('i21,Hl.H(4,151,I,lN(lll,lTllll,K 4 KTJP,KCLRV,MYCG,MY0(41,WX•"Xü,kL,N1,NP,NC,NS,NINT, 5 NCCN,P,Rl4,921,Sl414l,S1ifl't,Sd .rc',TS,TO,TSW,TSwl, é ThC4,'i21,IT14,921,JAN0(~,92J,TTl,TT2,TJ3,TRO,VZ,VZD, 7 ki,d921,ll 921,ZS! 111,Alo
EHl=A8SIE~I lflKTIP.EQ.21 .GOTO 20
ACC TIPO A
e
e
e
lFCéhl.GT.EYDI GOTO 10 1S=EES*Eh ~E1S=EES RETURN
234
10 TS=lfYO+IEhl-EYDJ•l.l*IErl/Ehll E E 1 5., 1. RElURN
C ACC JIPO B e
e
e
20 ES1z.7*E'WO lf1El11.GT.ES11 GO 10 3~ TS=EES*Et EEI S=EES RETURN
30 TS1=.7*F'WD 40 EEES=l./EES+ITSl/FY0-.71**4/.243/FYO
TS=1Sl+IE~l-ES11/EEES ' ES=TS/EES+(llS/FY0-.71**51/1.215 lflABSIEtl-ESI.LE •• lE-tl GO TC 50 TSl=TS ESl•ES Gü TO 40
50 TSaaTS•EH/Ehl EET S= 1./EEES RETURN ENC
C SUEPküGRAHA SIHSON e C OBJETIVO: JNJEGRACAO PGK SJNP~üN OE CAOA INTERVALO e
REAL FUNCTION S1MS0N*8 lu,K,l,L,NlNT,INilT,AI CIMENSJON Ul4,921,Zl921,1Nllll,l TlllJ SJMSON=O. LL=L-1 CO 20 JNl=l,NJNT
SJMSON=SJHSON+U(K,lNIINlll*ZIJN(INTll**LL+UlK,ITIJNTI l*ZUTI
* IN111**LL+4.*UIK,111IN11-ll*Zl1T(INTl-ll**LL If(( ITI JNTJ-INI INJJI .Ll:.d GO TO 20
10 J+ll**
NALX=J 11 INT 1-3 DO 10 l=IN(JNTJ+l,~AUX,2
SIMSON=SJMSC~•4.•LIK,ll*Zlll**LL•2.*UIK,I+ll*ZJ
* LL 20 CONTINUE
SIMSON=SIHSON*A/3. kE TLRN
- ENC-
235
C SUBROTINA FLUXTH c C CBJEllVO: CALCULO LIAS TcNSG(S li A PARTIR DAS TENSOES TH e
e
SUBRUUTl~E FLUXTH COMMON A,AS(lll,AC,AlC,Ai2C,à(~21 ,C(4,41,CP,CSt921,
l CEC,CEV,OELTA,Ol,02,EEC,EES,ccTC,éElS,ECl,ECU,EYU,EH, 2 EC,EVl4,921,ERR01,ERRC2,fLOL,fYO,FS(4,lll,Q(921 1 GC, 3 GS,GM,G~1Gl4,921,GXl1SiJ,Hl,Hl•,151,1,IN(lll,IT(lll,K 4 KTIP,KCLRV,MYLG,MYU(4J,~X,NXJ,NL,NI,NP,NC,NS,NINT, 5 NCCN,P,Rl4,921,Sl4,41,SJTl4,~,1,JC,TS,TO,TSn,TSWl, 6 Th(4,921,TT(4,92J,TANO(•,SZl,II1,TT2,TT3,TRO,VZ,VZD, 7 kh(S21,Zl921,ZSl111,Ah
C ARMAZENA~ENJO DOS ~ALORE~ 11(1,ll ANTERIORES e
00 lC 1=1,NC 10 R(l,Il=TTll,11
e C CALCULO OE TJ NOS INTERWALOS e
e
CO tO K=l,4 ISzO fllXO=O, 00 50 JNT=l,NINT
00 30 l=lN(l,~IJ•l,ll(INTI TAUX=C. 00 20 J=l,4
20 JALX•TAUX•C(K,Jl*TH(J,I-11 fLUXO=fLUXO-JAUX•A*B(l-11 JT(K,lJ•flUXL/8(11 lf(ABSITl(K,lJI.LJ.30.I TTIK,11=0,
30 CONTINUE 1S=lS•l TAUX•O. DO 40 J=l,4
40 TAUX•IAUX•CIK,Jl•FS(J,1SI FLUXO=fLUXG-IAUX TT(K,Il=fLUXU/BllJ lFIABS(TTlK,Ill,Ll.30,1 JJ(K,IJ=O,
~O CONTINUE 60 CONTINUE
C CALCULO DOS ERROS RELAIIVJS c
CO 10 1=1,NC R(l,IJ=ABS(Tlll,11-Rll,1Jl•Btll
10 Rt2,ll=ll11,ll•B11l ~C•SIMSONtR,2,Z,1,NlNT,I,i,lJ,4J VRE51MSO~IR,1,Z,1,N1NT,1~.11,A1 EkRGl=(VZO-VCI/VZD ERRG2EVR/VZO MRITEINI,10001 ERkCl,ER~úl
1000 fCRMATITlC,'SLSROTINA fL~XJH - tRRCl • ',E15,b,' ERR02 • 1
e
RETURN ENG
236
C SUBROTINA XXSOT e C OBJETIVO: CALCULO DA DEKIVAOA EH X DA INTEGRAL EH ZOA TEN SAO IT e
SUBROUTINE XXSOT ClMENSlON AUXl'il COMMON A,AS1111,AC,AZC,Al2C,ôl~21,C(4,41,CP,CSl9211
1 CEC,CEV,OELTA,Dl,02,EEC,EES,EEJC,EETS,ECl,ECU,EYD,EH, 2 EO,EVl4 1 921,ERROl,ERR02,fCDL,FVO,fS14,111,Q(921,GC, 3 GS,GM,GN,Gl4,921,GXZIS21,Hl,Ht4,151,1,1Nllll,1Tllll,K 4 KTlP,KCI.RV,MYCG,MYDl41,NX,NXü,NL,Nl,NP,NC,NS,NlNT, 5 NCCN,P,Rl4,921 ISl'i,41,SJíl'i,S,1,TC,TS,TO,TSW,TSWl, b J~C'i,921,TTl4,921,TANOl4,921,TTl,TT2,TT3,TRD,VZ,VlD, 7 ~ k 19 2 1, l 1921, Z S 1 111, Ai.,
00 30 K= 1,4 AU)l=O. DO 30 lNT=l,NINT
SDTIK,lNIINTIJ=AUXi DC 10 l=INllNTJ•i,llllNTI
10 SDTIK,il=SDll~,1-ll•ITTIK,Il*Blll•TTIK,1-U*
• lC lNT li
•
20 l+lJ
30
"º 50
coto 1= 1,NC
BII-lll*A/2 • ALX2=TTIK,1Nl1NTll*tlllN(lNTll•TTIK,1TllNTll*li(l
•4.•TTIK,Il(lNTJ-ll*BllTCINTl-11 lflllTIINlJ-iNIINIII.LE.21 GOTO 30 NAUX=IHINTl-3 00 20 l=LNIINJJ•l,hAUX,2
AUX2=AuX2•4.•TJIK,ll*B(ll•2.•TTIK,l•ll*B(
AlJXl=AUXl•ALXZ•A/3.
00 40 K=l,• At.XIK l=O.
DO 50 K=l,4 00 50 L=l,'<
AUXIKJ=AlJX(~l•CIK,ll*SDTIL,11 DO 60 K=l,4
60 SDT(K,ll=~LX{KI REllJRN ENC
237
e C SUBPOTINA XXf e C OBJETIVO : CAlCULO OAS TiNSOES E OEfORH. A PAkTIR OE TT E T ANO e
e
SUBROUTl~E XXf(X,U) COUBLE PRECISION. U,X,AU)1,ALXJ CUHHON A,AS(111,AC,AZC,AL2C,S(~ll,C(4,4),CP,CS(921,
1 CEC,CEV,DELTA,Dl,D2,ElC,EES,EtlC,EETS,ECl,ECU,EYO,tH, 2 EC,EV(4,921,ERR01,ERRC~,FCOL1FVO,FS(41ll),Q(921,GC, 3 GS,GH,G~,G(4,921,GXZ(9Ll,Hl,tt(4,151,l,1N(lll1lT(lll1K 4 KTIP,KCLRV,HYCG,HYD(4J,NX,NXU,NL,NJ,NP,NC,NS,NINT, 5 NCCN,P,R(4,921,Sl4,41,S~T(4,S,1,lC,TS,TO,TSW,TSWl, 6 Th14,921,TTl4,92J,lANCl4,52l,lTl,TT2,TT3,TRU,VZ,VZD, 7 kk(921,Z(921,ZS(l11,Ak
COHHON/W/ FYkO,EYkD,KWTIP,EEftS 10=-1.•Tl(K,ll*(X+l./XI Jf (TC.Gl.FCDLI GO TO 10 EC=-.002t(TO-fCDLl*l• CEG=l. GC 10 30
10 JF lJC.Gl.Ool Gü TO 20 EC=(-1.+SQRT(l.-JO/FCULJ,/500. CEC=l./t 1000.•SQRT(FCDL•(FCuL-TOJ li GO 10 30
20 EO=TC*l• CEO=l.
30 TSW=(lTCK,JJ•X-SDTlK,lJ/o(lll/lWh(ll*CS(IJl 1Skl=ABS(TSWI Ek=TSk/EEhS CE'W=l./EEWS lf(KkllP.EQ.21 GOTO 40 Jfl1Skl.LT.FY~DJ GC TC 5J Ek=(E~kD+(TSftl-FYkDl•.Oúll*ll5nl/TSkl CEIJ=.001 GO 10 50
40 lF11SW1.lT •• 7•fYWDI GO lu 50 EW=Ekt(l1Skl/FYkU-.7t••5ll.215J•lTSkl/TSWI CE'W=CEIJ+IITS~l/FYWD-.71••41/(.,~3•FYD1
50 EVIK,JJ=Ek/CS11J••2 CE~=DEV/(CS11J••3•"W(111 AU) l=Eh-EO AUJl.:=EIJI K, 11-EC U=ll••2-AlXl/ALX2 flETURt. ENC
C SUEROTJNA XTANCl e C CBJfllVO: CALCLLO UE TA~O A i•kTJR DE TT E lH - NEWTON-RAP hSLN e
SUfROL1INE XTANOl
238
(OUeLE PRECISICN X,FX COMMON A,AS1lll,AC,AZC,Ai2C,t!l'i21,Cl4,4l,CP,CSl921,
l CEC,CEV,CELTA,Dl,02,EEC,EES,EeTC,EETS,ECl,ECU,EYD,EH, 2 EC,EVl4,921,ERROl,ERR02,fCOL,fYD,FSl4,111,Q(921,GC, 3 GS,GM,GN,Gl4,921,GXZl92j,Hl,Hl,,151,l,1Nllll,1T(lll,K 4 K1JP,KCLRV,MYCG,MYD(41,NX,~XO,NL,Nl,NP,NC,NS,NlNT, 5 NCCh,P,RC4,921,S14,41,SJT(4,S~J,JC,JS,T0,TSW,TSWl, 6 T~l4,921,TTl4,921,TANOl4,921,TTl,TT2,TT3,TRO,VZ,VZO, 7 Wh(92J,Zl921,ZS( lll,Ah
CCJ~MCN/t, / IN T Nl JER=O X=TAlliClK,1-ll•.t Xl=TANIARSlN(-2.•ITIK,11/FCOLl/2.J XR=l./Xl lf().LT.)LI )=l.OOOOOl*XL lf(X.GT.XRI X=.9999999S*XR lfCJ.EQ.JNlJNTJJ'Xzl.OOOvOl•XL
10 NJTER=NlTER+l CALL XXF CX,f)IJ lf(CABSCFX/X**21.LT •• 1E-dl GO Tú 20 lflNITER.GT.151 GOTO 3C )=)1- fX/(2.•X+CCl.-l./X••2J•lih-EVIK,lll•OEO+(EH-EOl*OEVl*T
TCK,lJ/ • lEVCK,lJ-EOJ••21
lf(X.LT.C.J GOTO 30 GCJ lCJ 10
20 TANCIK,ll=X RETURN
30 lflCABS(fXJ.GT •• lE-81 GC TC 4C IANCIK, 1 l=X REJURN kRITECNJ,10001 NlTER WRJTECNJ,20001 K,l,EH,E~lK,11,tO,lTIK,11,SOTIK,11,X,fX
40 CCNllNUE CALL XTAN02 RETURN
1000 fOR~AT(TlO,'SUBROTJNA XTANCl ~Aú CCNVERGIU APOS 1 ,13,' lTER• CCES' 1
2000 f0RMATlll0, 1 K,J,EH,EV,EC,T1,SuT,X,fX',/,214,7El't.6l fNC
e C SUBROTINI XTAN02 e C GBJETlVO: CALCULO OE TANO A PARTIR OE TT E EH - BlPARTICAC e
SUBPOUTINE XTAN02 CCUBLE PREC1SION XL,XR,)M,f)l,~XR,FX~ COMMON A,AS(lll,AC.,AZC,AL2C,8l'ú.1,Cl4,41,CP,CS19211
l CEC,CéV,DELTA,Dl,02,EEC,EES,écTC,EETS,ECl,ECU,EYO,EH, 2 EC,EVl4 1 921,ERR01,ékRC2,FCiJL,tVl.l,FS1't,lll ,Ql921,GC, 3 GS,GM,G~,G14,921,GXZ(Ç21,Hl,hl1t,l51,I,INl111,1Tllll,K 4 KlJP 1 KCLR~,MYCG,MYl.ll41,11X,hX~1NL,Nl,NP,NC,NS,NlNT, 5 NCCN,P.,RC4,92l,Slli,41,SJTl't 1S21,TC,TS,T0,1Sw,TSW1, ó T~C4 0 Ç2l,lTl41Ç2J 1T•NG('t,92J,1Jl,TT2,TT3,T~O,VZ,VZO,
239
7 WMl921,Zl92J,ZS1)11,A~ lCL=TAN(APSlNl-2.•TTIK,11/fCOll/2.I CALL lCXf(XL,flCLI Xk= l ._/ XL C.All lCXF(lCR,fXRI NITER=O NPARE=50C
10 NITER=NITER•l )M= OL+lCR 1/2. CALL X)f llCM,FlCMI Jf(GABSlfXMI.LT •• lE-51 GJ 10 ltU lf IN lTER.GT.NPAREI GO TJ .30 lf lflCR*flCM.Ll.O.J GO JC 20 lC R= lCM flCR=FXM GO 10 10
20 XL=lCM fXL=flCM Gú TC 10
.30 MRITEINJ,10001 NPARE ~RllEINl,20001 K,1,EH,E~,K,Il,lO,lTIK,11,XM,FXM CAll ElCJ 1
ltO lAl';CIK,Jl=XM RETURN
e C FORMATOS e
1000 fOf.cMAT 1110,'SUBküllNA XTAN02 NAO CCNVERGIU APOS',13,' ITER ACOES 1 1
20CO FORMAI(' K,1,En,Ev,EO,Tl,TANC,rXM',/,216,6El6.81 ENC
e C SU6ROJJNA XTANOlt e C C6JEI1VO: CALCULO UE TANO SEGUNOO COOIGO MOUELO CEB-flP/19 . 76 e
SUERCUTlNE XJANOlt(lROll CúMMüN A,ASl111,AC,AZC,Al2C,61~21,Cl4,411CP,CSl9211
1 OEC,CEV,OECTA,Ol,02,EEC,EES,EtlC,EElS,ECl,ECU,EYO,EH, 2 EC,EVl1t,92J,ERROl,ERRC2,fCOL,FYO,FS(4,11110l9211GC, 3 GS,GM,GN,G14,921 1GXZl92J,Hl,Hlit,l511l,JNllll,ITllll,K lo KllP,KCLRV,MYCG,MYO(ltl,NX,NXO,NL,Nl,NP,NC,NS,NINJ, 5 NCCN,P,Rllt,921,Sllt,41,SOTllt,S.d ,IC,TS,TO,TS~,TSWl, 6 Trllt,S2J,1l(lt,S2J,TANCC~,s21,1r1,TT2,TT3,TRO,VZ,VZO, 7 ~~CS2J,Zl921,ZS1lll,A~
JJ.A2A6Slll(K,IIJ lf(Er.LJ.o., lTA=tlhlK,ll•S,~ltTHIK,11••2•4.•TTIK,11**211/1
TANCIK,IJ=(lJA-lROll/llA TL= JAl'j t ARS INt-2 •* l_JI K, 11 /f-COl 1 /t . • 1 lftl.tlNOIK,11.Ll.lll TAI\OtK,lJ•IL RETLRN ENC
240
(
C SUBROTINA XXGXl ( ( GBJETIVO: CALCULO UA UERIVAüA OE G EM RELACAO A •x• E •z• (
Si.;EROUTINE XXGXZ COMMGN A1AS1111,AC,AZC 1 AL2C,Bl921 1 Cl4,41,CP,CSC92J,
l CEC,CEV,OELTA,01,02,EEC,éES,EtTC,EETS,ECl,ECU,EYU,EH, 2 EO,EVl4 1 S21,ERROl,ERRC2,FCDl 1 FYU,FSC4,lll,Ql9ll,GC, 3 GS,~M 1 Gl\,Gl4,92J,GXllS2J,H1,HC,.,151,1,IN(lll,llllll,K 4 KlJP,KCLRV,MYCG,MYOl4J,NX,I\XD,NL,l\1,NP,NC,NS,NINT, 5 NCCl\,P,Rl4,921,Sl4,41,SJTl4,Slt,JC,TS,TO,lSft1TSWl1 6 T~(4,921,TT(4,921,J4NOl~.s21,1r1,TT2,TT3,TRO,VZ,VZD, 1 WM(921,ZC92J,ZS1lll,AM
COl'.MON/8/GX 1"'121 00 10 1= l,NC
GXI 1 J-=O. 00 10 lsl,4
10 GXIIJ=GXCll•~ll,ll•GCL,11 CO ;C JNl=l,NINT
Jf(( IH INTJ-lN( 11\T, I.L1:.,.I GO TO 25 NALJi=ITIINTl-2 00 20 J:INIINJl+2,NAUX
20 GXZCll=C2.•lúXCl+lJ-GXCI-lll/3.+lGXCl-21-GXCl+2 11112.,
e
• IA 25 J=INIINII
GXl(ll=(GXCl•II-GXl.lU/A l= 1 + 1 GXZ(IJ=CGX(l+lJ-GXCl-111/(2.•41 J= Ili 1-NT 1-1 GXZ(IJ=(GXlitlJ-GXCl-111/12.•AI I= J tl
30 GXZllJ=(GX(II-GXCl-111/A RElLRN ENC
C SUBROTINA XXMNR e C CBJETJVO: CALCULO OE A~K E A~k A PARTIR OE 4M E AN c
e
SUEROUTII\E XX~NRCA~,AN,AMR,AI\RI CCMMON A1 ASllll,AC,AZC 1 Al2C,BC921,Cl4,41,CP,CS(921,
l CEC, CEV, DELTA ,01,02 ,EEC ,EE S ,E é TC ,EE JS,ECl ,ECU, EYO ,EH, 2 EO,EVC4,921,ERROl,ERRC2,fCOl,fYU,FSl4,111,Q(921,GC, 3 GS,(M,Gl\,Gl4,921,GXll~2,,Hl,Hl4,l51,1,INlll),1TClll,K 4 KlJP 1 KCLR~,M~CG,MYOl41,~X,~)~1NL,~l,~P,NC,NS,NINf, 5 N((~.P,Rl4,92),Sl4,4),S~T(~.s,, ,TC,TS,TO,TSw,TSWl, 6 T~C~ 1 921,TTl4,921,T4NCl~,921iTTl,TT2,TT3,TRD,VZ,VZD, 1 M~IS21.ZC921,ZS1111,Ak
CLl'l'CN/8JAEl921 (All CEfCRl(AM,ANI ZLl\~~l,•~11,11/Hll,21
241
C LN FCRA CA SECAO I COMPRtS5AC e
KOH,=2 TRC1z2.5•TRC/.':l
e C \IERJFICACAO OA PCS1CAC DA lltiHA NELTRA e
lflZLN.LJ.ZllJI GOTO 5 IFIZLN.Gl.ZINCJJ GOTO 5
e C LN CENTRC DA SECAC e
K C lti= l GC TC 10
5 lfl~ll,lJ.LT.O.J GOTO Jü e C LN FORA CA SECAO / TRACAO e
KC Ih= 3 lf!C l=O.
e
e
10 A ll:C. Al.2=C. A22=C. A 1 C= C. A2C=\IZD l 11=0. 112= e. 1.2.2=C. AMR=C. ANR=O. C:C 2C lNl=l .. NINT
DO 2C J=lNIJNTl+l,iT(itilJ Z l=zt 11 •A/2. E~=Hl1,1J+hll,2J•Zl CALL ECCN TH 1, l J=TC AEIIJ=EETC•A•dllJ , All=All+AEIU A 12=A 12+AE I lJ •z I
20 A22=A22+AEl1J•Zl••, Cú 30 JS=l,NS
EH=hl 1, 1 l+HI 1,21 •Z.:.I 1 SI CALL EACCi AU>=EEJS•ASI ISI All=All+ALX Al~=A12+AUX•ZSl1SJ
30 A22=A22+ALX•ZS(IS1•*2 AU)=All*A22-Al2••2 Zl=IAJO•A22-A12*A2CI/AL) Z2=1All•A2C-AlO•A121/AL)
C CALCULO. CAS TENSQ.ES TAtiGcNCJ_,q_:, E HCRIZONTAIS
e
\lzC. IS•C.
242
CG 1C lNl=l,NINT 00 tO J=lNIINTJ+l,!TCHdl
Z l=Z ( l 1 +A/ 2. El-=Hll,ll+HIL,21til \l•\I-AElll*IZ&+Z2*l!f Ili 1, l l•V/BlU
C CASC TANC APROXIMAOAMEt.Tc IIULA e
e
IFICSIII.GJ.1.11 Gú ro 35 lFIABSITTll,iJJ.Gl.10.1 GOTO 40
35 TANOll,Il•O. GO 10 50
C CASO TANC NAO NULA e
e
40 If(NP.EQ.51 ~All )lAN031KOINI lf(NP.EQ.61 ~All )1411C4(TR01J THll,Il=-1.•ITll,II/TANOll,II
50 ANR.cANR+THll,IJ*A4ulll A~R•AMR+THll,IJ•A•olll*ZI
tO CCNTINUE IS~ IS+ l EH: t- 1 1, li tH 11, 21 *l SI J S 1 CALL EACG V=~-EETS•ASIIS1•lZl+Z2*lSIISII FS11,ISl=TS*ASIISI ANl<=ANRtFS11,lSJ AMR=A~RtFSll,ISl•lsllSI TTI 1, IJ.c~/61 I 1 TAIIO( 1, l J=O. IFICSIIJ.GT.1.11 Gu lC 1v lf(ABS(llll,JJJ.LT.10.1 Lu JC 70 IFINP.EQ.51 CAll )iAIICJ(KÚJIII IFIIIP.EQ.61 CALL )IAIIC411R011
70 COIITINUE RETURN ENC
C SUBROTINA RESOl\l e C CeJEllVO: RESOLULAO SIMPLES ~~USS-JOROAN SiS1EMAS DE EQUAC OES e
(.
SUEROUTIIIE RESOLV IT,U,111 CGLELE PRECISJCN T,U,AU) CIMENSJLII Tt6C,60J,U(6CJ li J• t
C lRt,NGULARlZACAO (.
IIAt..)=N-1
(.
24 3
CC 2C L=l,NAU.ll 00 2Cl l:.L+l,N
lf(OABSITIL,t.ll.LJ •• lE-351 GOTO 50 AUX=TII,LI/TIL,LI 00 10 J=L,N
10 111,J)-=T( 1,~1-T(L ,Jl*AUX 20 Ulll=Ulll-L(Ll•AUJ
C. RETROSUBSTJTUJCAO c
e
Ulll l=UINJ/HN,Nl CG 4C IAUX=l,NAUX
l=N- JAUX 00 3 O J= J t l, N
30 LIJl•UIII-T(l,Jl•~tJI 40 U(Jl=U(ll/TII,11
R E JLRN ~o CC te l= l ,N to wRIIE(NJ,•I 1 (I(l,Jl,J=l,NJ
CALL EXIT ENC
C SUBRCJJNA OEFORl e C CBJEJIVO : OEFGRMADA LllltAR CE~ SECAO SOLICITADA HGHENTO E: NORMAL ç
e
SUfROLIIIIE UEFORl(AH,AIII REAL MVO,N)O,HYDl,NXDl CONMON A,AS(ll1,AC,AZC,AL2C,815,1,Cl4,41,CP,C.S192J,
1 CEC,CEV,OELTA,Ol,02,EEC,EES,ctTC,EETS,ECl,ECU,EVO,EH, 2 EC,EV(4,921,ERR01,E:RRC2,FCOL ,F'tO,fS(4,lll ,Ql921,GC, 3 GS,GM,Gll,G(4,92J,GXl(9il,H1,H(4,151,1,1N(lll,1TlllJ,K 4 KllP,KClRV,H'tCG,HY0(41,NX,IIXD,NL,Nl,NP,NC,NS,NINT, 5 NCCN 1 P,R(4,9~1,S(4,41,S~Tl41SZl,TC,TS,TO,TSW,TSWl, t T~l4,921,Jí(4,92l,JANO(~.s2,,ríl,TT2,JJ3,TRO,Vl,VZO, 7 wo1S21,l(921,ZS111J,A~
C APRC.lllHACAO INICIAL OA OiFCRNAuA e
e
AU)=(AZ2C•AC-AZC••21•EEC ~(K,21=1AM*AC-AN*AZCI/AUX ~IK,ll=IAN*AZ2C-AH•AZCI/AU.ll fd 1 ER=O
C INICIO DC PROCESSO IJERAll~~ e
10 fdHR=NllER • l e C CALCl.LO CA MATRIZ TANGEl'llé E E.'.>FORCOS e
1 1 J= e. Tl.ii=C. 12.t=C.
c
/\XCJ=C. H'tCJ=O. JS= e.
244
CC 3C INl=l,NINT NALJl=l H lNT 1-1 DO 20 l=IN(INTl,NAuX
l 1=11 I J+A/2. Ef-=HIK,ll+HIK,2J•llll CALL ECGN Tf-ll<, 1 J=TC ALX=EE. TC•A•Bl 11 Tll=Tll+AUJ1•ll••2 J 12-=T 12 +AUJl•l 1 I22=T22+AU)( AI;)(= TC •A•B 111 Nl!O l=NXOl •Al.Ã
20 H'l'Dl=H'tDI+Alll*ll 1S=IS+l EH=f-CK,11+HIK,2l•ZS(1SJ CAll EACO FSIK,1Sl=TS•ASIISJ Tll=lll+E.ETS•ASIISJ•1Sll~l**2 T12=ll2+EETS•ASl1Sl*lS(iSI 12~=T22+EETS•ASC1SJ NXtl=NXDltFSCK,1Sl
30 H'tt1=H'tD1+FS(l<,1Sl•ZSl1SJ CH=AH-H'l'C 1 C/\: AI\-/\XC 1
C 1ES1ES DE CGNVERGE/\CIA e
e
t=S~Rl((CH**2tDN••21/(AN**2•Al\**211 lf(C.LE •• IE-51 RETLRN lfll\llER.GT.61 GO 10 40
C CALCt;LO CO VALOR CCRRIGiuO CA uEfORHADA e
e
e
AU)=Tl1•122-Tl2••2 f-(l<,21=H(K,21t(OH•122-0N•Tl2JIAUX f-lK,lJ=H(K,lJ+lON*Tll-OH•Il21/AUX GG TO 10
40 MRITE(NI,10001 NITER CALL EXll
C FORMATOS e
1000 f0F~Al(T10, 1 SLBROT1NA CEfDRl ~Au C(I\VERGIU APGS 1 ,13,' I~ERA COES'J
ENC e C SUfí<C T lNA -DEFGR2 e e CBJETIVO: CALCULO DA OEfO~~AO~_lll\EAR A PAKT(k OE UHA u(ST
e
e
SUfROUJl~E OEfOR2 REAL MYO,NXO
24 5
COMMON A1ASllll1AC,AZC,AL2C,8l~il,Cl4,4l,CP,CS192J, 1 CEC,CEV,OELJA,Ol,02,EEC,tES,ELIC,EETS,ECl,ECU,EY0 1EH, 2 EC,EVl4,921,ERR01,tRRC2,fCDL,fYO,fS141lll,Ql92J,GC, 3 GS,GM,G~1Gl4,S21,GXZl~2J,Hl,Hl4,15J,1,INllll ,ITllll,K 4 KJIP,KCLRV,MYCG 1 MYU(4J,NX,~X~,Nl,Nl,NP 1 NC,NS,NINT 1 5 NCCN,P,Rl4,921,Sl4,4J,Sull4,S,J,JC,TS,TO,TSW,TSW1, t Jhl4,921,JJ(4,921,TAN0l4,92J,111,TJ2,TJ3,JRO,VZ,VZO, 1 llldS21,ll92J ,ZSI 111,Aii
COMMON/BJXC(92J COflMCN/H J IN 1 JflNCON.LE.ll ~R1JElNI,2uOOI CO 10 K=l,4.
C APRCXIMACAO INICIAL OA OcFCRMALJA = APRQXIHACAO ANTERIOR e
N IJER=O e C INlCIO OC PROCESSO ITERAil~C e
,:;
10 NllER=NllER•l OG 3C 1Nl=l,NINJ CO 30 1=1NC1Nll,11(1N11
Eh=hlK,1J•Hl~,2J•lllJ
C CASO TANC APRCXIMAOAMENJc NLLA e
15
e
lf(EH.LJ.-.C02J GC TO 15 lf(CSIII.GT.1.JI G~ TC 15 IflABSCTJlK,iJl.bl.jO~I GC TO 20 CALL ECGN lh(K 1 ll=TC TANO( K, !J=O. E~IK,IJ=O. XC 11 J=EETC•A.,cl Ili GC TO 30
C CASO TANC NAO NULA e
2C CALL XlANOl ThlK1IJ~l.•TT(~1lJ/TANOlK,IJ )l( l l )=A •s l 11/ 1 ( 2. •(!:li ( K, l ,·-Eo J /T T (K, li •OEV•T A NO
(K, li J• • 1ANOIK,IJ••3•(1.-IANO(K1I>••2J••2•0E0J
30 CCN11NUE ON,.NXO l)M:i"YO ( K J TlJ=O. l12=C. I22=0. 00 50 INT=l,l'ólNT
. NAU~•J1(1N11-1
e
246
OG 50 1=1Nl1N(J,NAuX Zl=Zl 11 tA/2. ALX=lh(K,llfA*B(lJ Ol'i=ON-.. U)( OH=OM-'4UX•Zl 111=11l•)C(ll*Zl**2 112=11L+J<C(H*Zl 122"' 122tl1Cl l I
50 CONllNuE 00 60 IS=l,NS
EF=HtK,ll+H(K,2Jtl~l1SI CAll EACO f51K,1SJ~TS•ASl1SJ ON=ON-F SI K, 1 S 1 O~=OM-FSlK,1Sl•ZSl1SJ AUX=EETS•ASl!SI . lll=TlltAU)tLSl1SJ**2 ll2=l12+AUXtlSlIS1 122=122+AUX
60 CCNTINUE
C TESTES OE CONVERGENCIA e
e
(): SQR Tl C OH••2 +UN• •LI I IM hil KJ ••2+ Nxo••21 J w·RITE(NI,3000J Nllt:R,1<,.;M,i.JN,D lf(C.LE •• 1E-5J GG ro 10 lflNlTER.GT.tl GC Jü EC
e CALCLLO CG VALOR CCRRIGIJO CA uéfCRHAOA e
AU>=l~l•T22-ll2••2 HIK,21=tlK,2J+IOM•T22-DN*Tl21/AUX t(K,lJ=hlK,ll+(ON*Il1-u~•Tl21/AUX GO 10 10
70 CüNJINLE RElliRN
80 ~RJlEINl,lCOOJ NITER CALL EXJT
e C FOl<l!A TOS e
1000 FORMA11T10,'SU8ROTINA DEfOR2 NAO CONVERGIU APOS 1 ,13,'llERAC OES'I
2000 FOR~All' •• ,,.110.•suBRCllNA ~tf0R2 - ANALISE DA CCNVERGENC JA' ,li,
• 11.,' llERACAC 1 , l 2 S, 1 K I t 1 .. 2, '1U 1 , 156 r I DN' 1171, 1 o• 1 3000 fORMAJITI0,2ll0,3E14.6J
ENC e C SUERGliNA OEfCR3 e C CEJEllVO: CALCLLG ~A OEFOR~A~~ P TERMOS A PARllR OE UMA 01 ST. TI e
24 7
SL6PCUJI~E OEfORl CLUSLE PRECISICN T,f,SEV,SG,StVH,SGtHl,SGEH2,AUX,AUXl,AUX2,
AUXJ, E2 REAL M)'0 1 NXO H,JEGER P CIMEhS10~ EVHl4,921 1 GE~C~,921,J1El4,921,SEV14,131,SGl4,131,
ll6G,60 •1,SEVtl4 1 271,SGEHll4,271,SGEH,l4,271,fl60l
COM~CN A1 AS1lll,AC,AlC,Al2C,81~2l 1CC4,4l,CP,CS192l 1
l CEC,OEV,DELJA,01 1 02,EEC,EES,étlC,EETS,ECl,ECU,EYD,EH, 2 EO,EV14,92l,ERR01,ERRC2,fCOL,rYD,fS14,lll,Ql92l,GC, 3 GS,GM,GN,GC4,921,GXL(921,Hl,H(4,151,I,1Nllll,1Tllll,K 4 K11P,KCLRV,M)CG,M~Ol4l,NX,hXG,Nl,NI,NP,NC,NS,NINT, 5 NCCN,P,Rl4,92l,S14,4l,SJ114,~,1,IC,TS,JO,TSW,TSW1, 6 Ttl4,92l 1 TTl4,921,TANCl4,~2~,JJ1 1 TT2,TJ3,TRD,VZ,VZD, 7 t.t.1921,21921,ZS( 111,At. co~~CN/HJJNT lfl~CCN.LE.11 WRIJEINI,20001
e C APROXlMACAO INICIAL OA OiFCRMAüA • APROXIMACAO ANTERIOR e
CP=l. NJlER=O.
e C INICIO OC PROCESSO ITERATIVC e
e
10 hJJER:NJJER+l CA~C. ce=c. CC=C. CC=C.
C CALCULO OE EH:IANC:EV:G;JJézll*uTANO/OEH:EVH=OEV/OEH:GEH:OG /OEt e
15
e
CO 30 K= 1, 4 Dü 30 INT=l,NINT 00 30 l=INIINTJ,IllINTl
E2=0. DO 15 J=.1,P
E2=E2+nl~1JJ•Zlll••lJ-lJ Et<.=E2
C CASG TANC APRGXIMADAME~T, NLlA e
IFl~H.LT.-.Cu2l úC TG 17 lf(CSIIJ.GT.I.JI úu TC l7 1FITTIK 1 IJ.GI.3C.J ~u JG 20
17 CALL ECGN ltlK,ll=TC TANOIK, IJ=O. E~IK,IJ=O. GIK,I l"O• J IEIK.11•0.
e.
E\IHIK tl l•O. GEt,(K,ll=O. GO TO 30
248
C. CA50 TANC NAC NULA e
20 CALl XTANCl AlX=TANOIK,U TlilK,Il=-l.•iJ(K,1J/AUX GCt<,11=2.•CE~(t<,IJ-EO)*AUX llECK,ll=l./(GIK,IJ/TTIK1ll•DEV•Aux••2+DEO•Cl./
AUX-
e
•
• 30
Al;Xl**21 EV~IK,IJ=OEV•11Elt<,IJ GE~IK,11=2.•IAIJX•lúEV+OEOl•IGIK,ll/(2.•TTIK,111
OECI/AIJXl•llt(K,11 CCNJINUE
C CALCULG CCS VALORES DAS fUIICCES '-FKL 1 = FIP•IK-ll+ll e C CALCULO CAS IN1EGRA1S AUAILIARtS e
CO 50 K=l,lt SEVIK,l)=SIMSONIEV,K1Z1l1Nlt-.T,IN,ll,AI SGCK,lJ=O. NAlX=P-2 00 45 J=2,NAI..X
SEVtK,Jl=Sl~SON(E~,K1Z,J,NINT,IN,IT,AI 45 SGtK,JJ=Sl~SüNCG,1<,Z,J-l,NlNT,IN,IT,AJ *11-JJ
CJO 50 ·1111=2,NlNT AlX•G(K,ITCl~T-lJJ-~(t<,INIINTJI 00 50 J=l,NAIJX
50 SGCK,Jl=SGIK,JJ•AUX•ZllN(lNTll••CJ-11 ca eo K=l,1t
e C fUNCCES fKl E FK2 e
Kl=P•CK-11+1 K2=P•IK-Jlt2 flK ll=NlCO fCl<2J=M'rOCKJ 00 60 lhl=l,NINT
NA 1.. X= 111 I N 1 J-1 00 60 l=lNIINTJ,NAuA
AiJX=1HCK,114A*61IJ FC K l J =f I I< U - ,-U X
éO flK2J=fCK2J-AUX*CZCll+A/2.I 00 lC IS=l,NS
E2=0. OC 65 J=l,P
é5 E.2=E2•rH K ,J l •Z SC1 SI ••C J-11 Eti=E2 C.All ÉACO
70
e
249
FSIK,1Sl=1S•AS(ISJ f(Kll=flKll-fSIK,1:,1 f I K 21=fIK21-f SI K, 1 :.1 • z S II SI
l= l wRJTEINl,30001 NlléR1l<1l,FIKll L=~ ;.RITEINl,30001 NllcR,t<,t,F IK21 CA=CAtf1KlJ**i•Fl1<~1••2 C8=0S+Nll0**2tMVO(Kl••2
C FUNCOES FKL ; L=3,P e
DO eo L=3,P Kl=P•IK-lltL All<l=O. AUll2-=0 • AUX3=0. 00 75 J"'l,4
AUXl=AUXl-StK,Jl•SEVIJ,L-21 AUX2•AUX2•CIK,Jl•SGIJ,L-21
75 CONJJl\uE 00 77 Jl=3,P
J=Pt3-Jl ALXJ=AUX3-IJ-11*1J-21*HCK,J)•HT**IL+J-51/
CLtJ-51 17 CON 1 J I\UE
FCKll=AUXltAuX2•ALX~
eo e
hRlTEINl,4COOI l\lltR1K1L1AUXl,AUX2,AUX31flKll OO•AUX1••2+Auxz••2•AUX3••Z•OO OC=UC+F(Kl 1••2 Q I K li =F I K l 1 f(KlJ=FCKll*CP
C TES1ES OE CON~ERGEI\CIA e
JF INJTER.EQ.11 OO=OC Cl=S1.;RHCA/08f C2=SCR H CC/001 hRJlEINl,50001 01,02 lFICl.GT •• 00011 GC TO 110 lfit2.LT •• COC21 REIURN
110 lflNITER.GT.71 GO to 2t0 e C CALCULC CA MATRIZ TANGEI\TE J e e C CALCULO (AS 11\TEGRAIS ALXJLIA~L~ e
CO J4C K= 1,4 l,AL l<=Z•P-4 DC 120 L=l,NAUX
SGEHllK,Ll=5iMSCl\(utH,t<,Z,L,NlNT,1N,1T,AI SE~hlK,LJ=SIMSCl\lfVH,~,Z,L,NJNT,IN,IT,AJ
120 SGEh21K,Ll•O.
litO li e e e
150
e e ALO e
153
155
ltO 170
180
250
L=I\AUXt l SE\I-IK,Ll=SlHSONIEVH1K1l1l1~ll\T,IN,IT,AI SGEl-21K,Ll=O. DO litO IN1=2,NlN1
ALX=GEHIK,llllNJ-111-G(H(K,lNIINTII NALX=2•P-.3 DCi 14 O L= l o l\AUX
SGEH21K,Ll-=!blH21K,LltAUX*l(lN(ll\Tll**IL-
ZERAGEM INICIAL DOS TERfluS
NAIJJI= it*P CO 150 J=l,NALX
DO 150 J= 1,NAUX lll,Jl=O.
CO 230 K=l,4
CER. PARCIAIS FKl E fK2 - CALC. CCM VALOR INICIAL DO INTERV
Kl-=P*IK-lltl K2=P*IK-1lt2 DO 180 INl=l,NlNl
NALX=J 1( lNl 1-1 00 180 l=Il\(1Nll,I\AUX
1FICS111.GJ.1.ll GOTO 153 lflllCK,IJ.GJ.10.1 GC TO 160 E2=0. 00 155 J=l,P
c2=E2tH(K,Jl*l(ll**lJ-ll EH=E2 CALL ((.01\ AUX=EEiC.tA•B'1 I GO JC l7C AUX=llclK,ll*A*B(ll/lANOIK,11**2 L l=P • (K-llt l l(Kl1Lll 2 llKl,LlltAUX l l=l Ili •A/2. DO lB<i Lal;P
00 1'>0 1S=l,NS E2:0. 00 185 J=l,P
a..l.aP•lll-ll•L TIK2,LlJ=TIK2,Lll•AUX*ll**L
185 t2=E2tHIK,Jl*lS(1Sl•*IJ-ll
l'iO
(1,cf2
CALL EAC.0 A L )=E E 1 S*A S (1 S 1 Ll-=P*CK-11+1 TIKl,Lll=llK~1LlltàJX DO 190 L=l ,1'
L l•P 4 IK-ll+L .J(K2,Lil•1l~~tL11•AUX*ZS(tS1**L
e e e
2CO
210 t<21M,
*
220 MI*
* 11 J*CP
225 -51/
2 30 e e e
2 "º
*
2 51
NAL )=P-1 00 200 L=l,NAUX
ll=P•(K-ll•L T(Kl,Ll•ll=ll1<2,lll
CERIVAOA5 PARCIAIS FKL;L=3 1P
L=3 Kl=P•(l<.-1 Hl DO 210 M= 1, 4
OC 21 O N= 1, P ll=P•IH-ll•fl TIKl1L!l=(S(K,Ml•SEVH(M,N•L-31-ClK1Hl*SGE
N•L-311 •CP DO 220 L=4,P
Kl=P•CK-lJ•L DO 220 M=l 1 4
00 220 N"l,P
DO 225 L=.3,P Kl=P*(K-11 •L 00 22 5 N= 3, P
i..l:P4 (H-lJHl 1(~1,LlJ=IS(K,Hl*SEVH(M,N•L-31-C(K,
4SGEH2CK,L•fl-31-SGEH1(M,L•N-4l*IL-3
Ll=Pf(K-lhfl TIK1 1 liJ=IIKi,lll•CP*(N-ll*IN-21*Hl**IN•L
(/OL-!I COf\TlNliE
CALCULO CAS NGVAS APRO>lMACCtS HIK,LJ
11Ali)=4*P (All RESCLVIT,f,NALXI CO 240 K=l,4
•
00 240 L•l,P HIK,Ll=HIK,Ll•f(f4(K-ll•LI
GO lO 10 e C ~EhSAGEH OE NAO CCNVERGENCIA e
e
2t0 MRJTE(Nl,10001 NITER CALL IMPR 11 CALL XXG)Z CALL IMPR 12 (ALL IMPRl3 CALL EXl1
C FGR~A TOS e
lOCO FURMAT(TJ0, 1 SU8ROTIN4 OEFOR3 flA~ CONVERGIU ~POS',13,'ITERAC
2 52
i-000 FORMAT( 1 •• ,,.110,•suaRCílNA OttORl - ANALISE OA CCNVER(;ENC IA',//,
•14t, 1 1N1EGRAL 1 ,T6C,'1N1EYRAL 1 ,l74, 1 INTEGRAL 11 / 1 Tl2 1 '1TERACA
0 1 ,T.29, . • • K • , T 3 9, 1 l • , T 5 C , 'E\ )OI ' 1 To 5 , 1 G > L' , 11 B, •EH Z l' , T9 5 , 1 f 1 , T 106, • O
l' ' •1122,•02•1
3000 FORHAl(Tl0,3110,T82,El4.oJ 4000 FORHAT(ll0,311C,4EJ4.6J 5000 FORHAI11St,2El4.61
ENC: e C SUBROTINA OEFCR4 e C CBJEtlVO: DEFLRHAOA Ll~cAR;OJT/DZ•OTHN/OX:TH=TT/TANO e
SUEROUIINE DEfOR4 REAL HYO,NXO,HYOI,NXDI CCHHCN A,AS(lJJ,AC,AZC,Ai2C,ôl921,Cl4,4J,CP,CS(921,
1 OEO,CEV,DELJA,01,02,EEC,EES,ttJC,EETS,ECl,ECU,EYO,EH, 2 EC,EV14,921,ERR01,ERRC2,FCOL,fVO,fS14,ll1,Q(921,GC 1 3 GS,GH,GN,Gl4,921,GXZ(S2J,Hl,N(4,l51,1,1N(ll11ll(lll1K 4 KTIP,KCLRV,H\CG,HY0l4J,NX,NXO,NL,Nl,NP,NC,NS 1N1NT 1 5 NCCN,P,RC41921,S(4,41,SD114tiLI ,1C,TS,TO,TSW,TSW1, 6 Tt,l'i,921,TT(4,921,TAIHlt't,'ii21 ,JTJ.,TT2,TT3,TRO,VZ,VZO, 7 llildS2J,ZC'ii21,ZS( llJ,AII
COflHCN/BIAE l<J2 J ioRITEINJ,20001
e C APRCXIHACAG INICIAL DA OcfCRflAuA e
e
AU)=(AZ2C•AC-AZC••2J•EEC t(K 1 21=(flVOIKJ•AC-NXO•AZCI/ALX t(K,JJ=(NXO•AZ2C-MYO(Kl•~ZCl/AUX fl l 1ER~O
C INICJO OC PROCESSO lTERAíl~C e
10 NJIER=NJJER+l e C CALCULO CE Zl E Z2 e
AJl=O. Al.t=C. A22=C. A 1 C= C • A2C=\/ZO 1 ll=C. 112=C. l.:~=C. f'YC l=C. fl)(CJ=C. 1 S= C CC ,, JNJ.,·l;NJ/11
e
2 53
00 20 J«JN(INJl+l,1T(lhll Z l:Z( I hA/2. Et:H(K,J)+HIK,21•1l CALL ECCN AE' IJ:EE rc •A•d ( lJ All=All+AEIII A 12=A 12+AE ( Jl *ZI
20 A22=A22+AElll•ZI~•l CO 3C IS=l,NS
EH=HIK,ll+H(K,21•Z~IIS1 CALL EACO AU>=EE1S•AS(ISI All:All+ALJX Alá=Al2+ALJX•ZS(ISI
30 A22=A22+AUX•ZSl1Sl•*2 ALJ)=All*•22-Al2••2 2l=IA1C*A22-Al2*A201/ALJX Z2=(All*A2C-AlO•Al21/ALX
C CALCULO CAS lENSOES TAhGcNClAl~ E HORIZONTAIS e
e
V=C. IS=C. CU 7C lNl=l,NINT
00 to l=INllNU+l,lHlhll Zl=Zll l+A/2. V=V-AE(ll*(Zl+Z2•l•I TTIK,l i"'V/Blll Et=hlK,lJ+HIK,2J•lt
C CASO TANC APHClll~AOA~Ehlc hLLA e
35
e
lf(EH.LT.-.Gu2J ü( ro 35 lflCSIJI.Gl.i.lJGC 10 35 lf(ABSITTIK,lll.GJ.jQ.J GC TC 40 CALL ECON . 11-1 K, IJ"'TC EH K, 11=0 • TANOIK,lJ:C GlK,11"'0• ALJX=EETC•A•B, J 1 GO TO 50
C CASC TANC NAO ~LJLA e
X-
40 CALL XlANOl
* 50
TX=lANO(K,11 G(K,11=2.•IEW(K,ll-EHJ*TX/ll.-TX**21 lt(K,ll=-l.•Jll~,11/lX ALX=A•BIIJ/(,GIK,ll/TTIK,ll+OEV•rx••2+oeo•11./T
llll**21*TX••LI lll=Tll+AUll•~l••2 1 J~aT l2+Al;J14ll
e
2 54
122.a122tAUll N)OI=NX01t1H1KiI14A*Blll
tO MYOl=MYUI+THIK1Il4A*dll1*ZI IS=IS+l EH=tlK,lltHIK12l•ZSl1SI CALL EACl.i V=~-EETS•ASIISJ•cz~•l2•l~(lS11 lll=Tll+EETS•ASII~l•lSl{~1••2 Tl~=ll2+EETS•ASll~l•ZS1i~I l22=T22tEETS•ASIIS1 fSIK,ISl=TS•ASIISI NXCI=NXOl+FSIK,ISI MYCI=MYOl+FSIK,JSl•lSIISI TTCI<, I l=\/81 J 1 IFIE~.Ll.-.0021 GC JC 1C IFICSIIJ.GT.1.11 G~ 10 10 IFIA8S(TTIK,JJI.LJ.3C.I bU TO 70 CALL XTANOI THCKoll=-l•TTIK,JI/TANCIK,11
70 COI\TINUE CM=MYCIK 1-MVOI Cf't=I\XC-N)O 1
C lESTES OE CONVERGENCIA e
e
CO 75 I=l,NC 75 Rl,,I l=ll(K,ll•Bltl
~ALX=SIMSCNCR,2,Z,1,Nll\l,11\111,AI C=SCRTl(CM••2•DN••21/IMYulKl*4itNXD**211 ~kl1EINl,3COOI N!lER,O~,uN10,~AUX,lllK,NCJ IFCC.LE •• lE-41 REJLkN lf(NITER.GT.61 GO 10 eo
e CALCULO CC VALOR CGRRIGIJO CA utFCRMAOA e
e
AU)=111*122-112••2 tlK,21=HIK,21tlOM*T22-0N•Tl21/AUÃ tlK,ll=HIKoll+ION*lll-OM*ll21/AUA GO TG 10
80 ~RIJEINl,10001 NITER REH;RN
e C fCRMATOS e
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2000 FORMAll' ',//,110,'SUBRCTII\A ytfOR4 - ANALISE OE CCNVERGENL IA' ,li,
• T 12 , 1 II E R ACAO 1 , T 3 3 , 'O M' • 14 a , 1 Y f'o' , 16 4, 1 O ' 1 T 79 • 1 V 1 , T 89 1 ' T J ( NL , • 1
e
3COO FúRMATITIC,JlC,5El5.7J ENC
255
C SUBRGTINA OEfCR5 e C OEJEIIVO : CALCULO OE OEFORMA~A LINEAR - TANO SEGUNDO NORMA e
e
sueRCUll"E OtfCR5 COUELE PRECISIGN X,FX flEIIL MYO,N)CO COMMGN A,ASl111,AC,AZC,AL2C,~(~~1,Cl4,41,CP,CSl9211
1 DEO,DEV 1 0ELTA,Dl 1 02,EEC,EE5,EtJC,EETS,ECl,ECU,EYD,EH, 2 EC,EVl4,921,ERR01,ERRC2,fCDL,rYD,fSl4,111,Ql92J,GC, 3 GS,GM,GN,Gl4,921,GXZIS21,Hl1Hl4,l51,1,IN(lll ,IT(lll,K 4 K11P,KCLRV,M\CG,MYDl4J,NX1NXO,NL,Nl,NP,NC,NS,NlNT, 5 NCC"1P,Rl4,92J,S14,41,50il41SLI ,JC,TS,TO,TSW,TSWlt 6 T~l4,921,TTl4,921,TANCl4,92J,JT1 1TT2,TT3,TRD,VZ,VZO, 1 1,1, ('i21t li c;;21,ZS( 11 J ,AI,
K= 1 CV=SÇR11MY0(1J••2+NXD••21/DELJA liRJlEINltlOOOJ flEIILINL,20001 111,112,JJJ,IRO f\IlER=C AM=MYDlll AN=NJtCtVZD
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15 Rl4,ll=TT11,ll*Blll \ALX=SlM~CNlR,4,Z,1,Nlf\J,lf\,lJ,AI ~R11EIN1,3CDGl NIJER,AM,AN,A~R,ANR~D,VAUX lf(C.LE •• lE-41 GOTO 30 lflNITER.GT.251 GOTO 2C
C CALCULC CAS DERIVADAS PA~CIAIS APROXIMADAS e
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20 ~RllEINl,40001 NIJER 3i; CC ~C l=.1,NC
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256
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e C fCR/IATOS e
1000 FORMAI(' 1 ,//,TlO,'SUBROl[t,A DEFOR5 - ANALISE OE CCNVERGENC IA',//,
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OES'J ENC
e C SUBRCTINA IHPRI1 e C CBJETIVO: IMPRESSAO OA5 TEhSCtS e
sueflCUJlhE IMPRI1 e e"" e N A , A s < 111 , A e , A z e , A z 2 e , a , ~" , ,e , 4 , 4 , ,e P • e s 19 21 •
l OEC,OEV,UELTA,Ol,02,EEC,EE5,EcTC,EETS,EC11ECU,EYU,EH, 2 EC,EV(4,921,ERR01,tRRC2,FCOl,fY0 1 FS14,11J,Q(921,GC 1 3 GS,GM,GJ\,Gl4,92J,GXZ(S.2J,H1,tt(4,l51,l,1N(lll,1l(lll1K 4 KIIP,KCLRV,H~CG,M~Ol41,NX,NXC,NL,Nl~NP 1NC 1NS,NlNT, 5 NCCN,P,Rl4,921,Sl4141,S.JTl't1S.cl ,1C,1S,TO,TSH,TSW1, 6 T~(4,921,TTC4,92J,TANCl~,s21,tTl1ll2,JT3,TRO,VZ,VZO, 7 hldS21,2'92i,ZS( 111,Ali IIRITECNl,lOOCJ M~CG,NX,~L,A~,hP,P NAlJlll-=-7 NAI.Jll3-=0
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NALX4=22t(J-NAUXll*l5 30 IIRllEINl,20001 NALÁ4,J
IIRllECNI ,600CJ CO 40 J-=hAUXl,NAU~2
NAl)4-=lCf(J-hAU)ll•l5 4Y kRJlEINl,300CJ hALA4,Hl1,JI
GO 10 20 50 lflhP.EQ.51 kRIIEINI,SGCYJ 11!,JT2,Ti3
lflhP.EQ.tJ "RllEIJ\l,lCC~OI lPu IIR l lE IN 1,4000 l Cu te 1=1,NC
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257
60 liRl1EINl,500CI 1,l(ll,JIU ,11,RCl,11,SDHl,11,TSil,TO, Thll,ll
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TS=FS(l,ISI/AS( ISI Eh•C. DO 70 J = 1,P
7u Eh=EH+Hll,Jl*lSIISl**IJ-ll eo liRJ1E(td,800CI IS,LSl1SI ,tH,ASCISI ,TS
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t I Z SI t
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•t2,, 1Tll',137,'112',T52,'113 1,/,Tl0,3Fl5.51 lOOCO fORMATC/,110,'lANC APRC)IHACA ~EGUNOO COOIGO HODElC CE6-FIP /1978',
*l/1122,'1R0 1íl1110,Fl5e!I ENC
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s~eROUTIIIE IHPRl2 Ih 1 EGER P CCNMGN A,AS(ll1,AC,AZC,AL2C,il('U.1,CC4,41,CP,CS192J,
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2 58
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l CEC,CEV,OELlA,Ol,02,EEC,EES,E~TC,EETS,ECl,ECU,EYO,EH, 2 EC,El/(4,921,ERR01,ERRC2,FCOL,fYO,FS(4,111,Ql9il,GC, 3 GS,GH,GN,G14,921,GXZl921,Hl,Hl4,151,1,lN(lll,1Tllll,K 4 KlJP,KClR~,H~CG,MV0(41,N~,N,~,~L,Nl,NP,NC,NS,NINT, 5 NCCN,P,fll4,921,Sl4,411SuTl4,S,1,TC,TS,TO,TSW,TSW11 6 lt-llt 1 92J,TTlit,921 1 1ANGl4,S21,TT1 1 1T2,TT3,TRO,VZ,VZD, 7 ~1ol921,Zl921,ZS1Jll,Alo
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