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Análise de Redes de Energia Eléctrica
Estimação de Estado
Definições Processo de atribuir um valor fiável às
variáveis de estado (tensões) de um sistema de energia eléctrica com base num conjunto de medidas
Variáveis que o Operador de Sistema necessita conhecer: Tensões ( módulo, argumento) Potências activa e reactiva injectadas Potências activa e reactiva transitadas
Definições (cont.) Algumas grandezas medidas, outras
calculadas. Medidas afectadas pela precisão dos
equipamentos. Medidas podem tornar-se erradas devidos a
defeitos do equipamento/transmissão. Estimação de Estado: Permite o cálculo das
variáveis de estado do sistema, identifica a ocorrência de medidas erradas, identifica-as e corrige-as.
Método dos Mínimos Quadrados
1m e1n x
nm H1m
medida de aparelho erro eestado de variávelx
medidas
i
i
z
zexHz
i
Método dos Mínimos Quadrados (cont.)
0ˆˆ
ˆˆˆ
x estimativa da ãoDeterminaç
ˆ erros os pesa que mm matriz
:xJ quadrático índice um
minimize que x de x estimativa umar Selecciona
xxJ
WxHzWxHzxJ
xHze
T
Método dos Mínimos Quadrados (cont.)
zWHGx
zWHHWHx
xHzWHxxJ
xHWHxHWHzWHzWHxxJ
xHWHxzWHxxHWzzWzxJ
T
TT
T
TTTTTT
TTTTTT
1
1
ˆ
ˆ
0ˆ2ˆˆ
ˆˆˆˆ
ˆˆˆˆˆ
Método dos Mínimos Quadrados (cont.)
eWHGHIeWHGHee
xxHeexHexHxHzzze
eWHGxx
eWHGxx
exHWHGx
zWHGx
TT
T
T
T
T
11
1
1
1
1
ˆˆˆ
ˆˆˆˆˆ
ˆˆˆ
Estatísticas, Erros e Estimativas Erros: variáveis
aleatórias independentes.
Função densidade de probabilidade de Gauss: média, µ = 0 variância, σ2
221
2
21
21
21
y
z
eyp
zy
ezp
Estatísticas, Erros e Estimativas (cont.)
ReeE
eeeee
eeeee
ee
jieeE
m
T
mmm
m
T
ji
2
2
2
2
1
2
21
121
2
1
...............0
0.......0 00..........0
..........
............
0:tesindependen aleatórias Variáveis
Estatísticas, Erros e Estimativas (cont.)
2
2
2
2
1
1
22
1.....................0
0.............010
0...............01
gaussiana adeprobabilid de densidade função
m
iverdii
verdii
i
iverdii
ijiji
RW
zzE
zzEz
ezzexhz
Estatísticas, Erros e Estimativas (cont.)
xxExxE
eERHGxxExxE
eRHGxx
HRHG
T
T
T
ˆ0ˆˆˆ
ˆ11
11
1
Estatísticas, Erros e Estimativas (cont.)
verd
verd
verd
T
T
zzE
zzE
ezz
zEzEzzEeE
eEWHGHIzzEeEeWHGHIzze
ˆ
ˆ0ˆˆ
ˆˆˆˆ
Logo
mas
1
1
Estatísticas, Erros e Estimativas (cont.)
111
111
1111
1111
ˆˆ
ˆˆˆˆ
ˆˆ
GGGGxxxxE
GHRHGxxxxE
GHRRRHGxxxxEGHReeERHGxxxxE
T
TT
TT
TTT
Estatísticas, Erros e Estimativas (cont.)
RHGHReeE
RRHGHIeeE
RRHGHIRHGHIeeE
HGHRRHGHIeeE
HGHRIRRHGHIeeE
HGHRIeeERHGHIzzzzEeeE
TT
TT
TTT
TTT
TTT
TTTTT
1
11
1111
111
1111
1111
ˆˆ
ˆˆ
ˆˆ
ˆˆ
ˆˆˆˆˆˆ
Estatísticas, Erros e Estimativas (cont.)
padrão Gauss de fdp com aleatória ável vari0ˆ
1ˆˆ
0ˆˆˆ
ˆ..........ˆˆ ˆˆ
ˆˆ............ˆˆ ˆ
ˆˆ
22
22
2
21
121
2
1
jj
j
jj
jj
jj
j
j
jjjjj
mmm
m
T
Re
Rzz
Re
E
eERzzEeE
eeeee
eeeee
ee
Estatísticas, Erros e Estimativas (cont.)
KNxJE
IItrxJEGHRHItrxJE
RHGHItrxJE
BRtrbxJE
eeEbeEbxJE
eebebeBexJ
RHGHRRB
eRHGHRRexJ
eRHGHIRHGHRIexJ
xHzRxHzxJ
m
km
T
m
T
m
mN
i iiii
mN
i
mN
jii
mN
j jiijiii
mN
i
mN
jii
mN
j jiijiii
T
T
TT
TTT
T
ˆˆˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆˆ
ˆˆˆ
11
11
1
2
1 1 1
2
1 1 1
2
1111
1111
11111
1
Estatísticas, Erros e Estimativas (cont.)
liberdade de grausK N com quadrado) (qui 2 ãodistribuiç
erros dos quadrados dos pesada soma
normal ãodistribuiç
ˆˆ
xJe j
Detecção de Dados Errados
)%-(1 de confiança degrau um com aceites sestimativa e medidas verdade,Se
2
,
1 2
2
ˆ
ˆˆ
:se verifique da,especifica adeprobabilid numa eK -N em base Com
Calcule
e e z determine x em base Com
KN
N
j
j
j
f
ef
Identificação de Dados Errados
medidas estas sem estado de estimação a se-Refaz
:der maior valo ao conduzam que medidas e sestimativa as se-Retiram
ˆˆ
jj
j
jj
jj
j Re
Rzz
r
Exemplo
4214
3213
2212
1211
83
81
81
83
85
81
81
85
eVVz
eVVz
eVVz
eVVz
0,02 0 0 00 0,02 0 00 0 0,01 00 0 0 01,0
01,598,602,301,9
Rz
Exemplo (cont.)
0261,8 0072,16
ˆ
48,4375 10,9375-10,9375- 4375,48
18,75 6,25 62,5 12,5-6,25 18,75 12,5- 5,62
83 8
18
1 83
85 8
18
1 85
11
1
1
zRHGx
HRHG
RH
H
T
T
T
Exemplo (cont.)
0,0161 0,0028- 0,0049- 0018,00,0028- 0,0161 0,0018- 0049,00,0049- 0,0018- 0,0019 0014,0 0,0018- 0,0049- 0,0014 0019,0
00070,002596,000456,0 00877,0
ˆˆ
01070,500596,701544,300123,9
ˆˆ
1 THGHRR
zze
xHz
Exemplo (cont.)
correctas. estão sestimativa e medidas as 99% de confiança degrau um com que se-Conclui
2 2 - 4 liberdade de graus de Número
estado de variáveisde Número -Medidas de Número liberdade de graus de Número
2
01,0;2
2
01,0;2
1
ˆ21,9
0435,0ˆˆˆ
f
eRef T
Estimação de Estado nos Sistemas de Energia Eléctrica
ii
iTiiii
iTiiiTi
iiiTi
iii
xx
T
T
xxxhzRxHxxG
xhzRxHxxxHRxH
xxxHxhzRxH
xxxHxhxh
xhxH
xhzRxH
xhzRxhzxJexhz
ˆˆˆˆˆˆ
ˆˆˆˆˆˆ
0ˆˆˆˆˆ
ˆˆˆˆˆ
ˆ
0ˆˆˆ
1
11
11
1
ˆ
1
1
:iaConvergênc
Exemplo
0,00,10,1
305,0598,0605,092,002,1
25,0cos
25,0
25,0sin
25,0cos
61
25,01
0
2
2
1
5
221
2
2
5
4
221
4
3
2212
13
222
111
xV
V
xz
eVVV
z
eVV
z
eVV
Vz
eVz
eVz
Exemplo (cont.)
25,0sin25,0
cos25,0
cos61
25,012
1
1
221
3
3
21
2
3
22
1
1
3
2
2
1
1
VVxh
Vxh
VV
xh
xhxh
Exemplo (cont.)
25,0sin
25,0cos
25,02
25,0cos
25,0cos
25,0sin
25,0sin
221
3
5
212
2
5
22
1
5
221
3
4
21
2
4
22
1
4
VVxh
VVxh
Vxh
VVxh
Vxh
Vxh
Exemplo (cont.)
1495,09727,0 9961,0
ˆ
1495,00273,00039,0
ˆˆx
3050,05980,04383,0
08,002,0
ˆ
0 4,0 4,0-4,0- 0 0
0 4,0- 33,40 1,0 00 0 0,1
ˆ
0,00,01667,00,10,1
ˆ
1
0110
00
x
xxxhz
xHxh
Exemplo (cont.)
1762,09578,0 9843,0
ˆ
047000,0046634,0045436,0
ˆˆx
3480,0 0628,02811,0 0379,0 0357,0
ˆ
0,6608- 3,7866 3,7723-3,7131- 0,6898 6713,00,6608- 3,8764- 4305,4
0 1,0 00 0 0,1
ˆ
0430,06608,0 3239,0 9579,0 9843,0
ˆ
6
5665
55
x
eee
xxxhz
xHxh
Exemplo (cont.)
erradas. estão sestimativa e medidas as que se-Conclui
2 3 - 5 liberdade de graus de Número
estado de variáveisde Número -Medidas de Número liberdade de graus de Número
2
01,0;2
2
01,0;2
1
ˆ21,9
8149,544ˆˆˆ3480,0 0630,02810,0 0378,00357,0
ˆ
f
eRef
e
T
Exemplo (cont.)
estado. de estimação a se-repete e 5 medida a se-Retira
3403,236473,22
5086,207123,5
0407,5
ˆˆ0,2223 0,0403- 0,1803 0,0233- 0219,0 0,0403- 0,0077 0,0369- 0,0001 0005,0 0,1803 0,0369- 0,1877 0,0225 0269,00,0233- 0,0001 0,0225 0,0438 0469,0-
0,0219 0,0005 0,0269- 0,0469- 0502,0
5
4
3
2
1
1
rrrrr
Re
Rzz
r
HGHRR
jj
j
jj
jj
j
T