Analise de Redes Eletricas -Ybus - Zbus

Anlise de Redes Eltricas

1

1. Representao Matricial de Redes de Sistemas de Potncia

1.6 Equivalncia entre Fontes

Considere um gerador atendendo a uma rede passiva (ZL):

Figura A Tenso Constante Figura B Corrente Constante

VL = EG - IL ZG VL = (IS - IL) ZG = IS ZG - IL ZG

Como VL deve ser o mesmo:

EG - IL ZG = IS ZG - IL ZG IS = EG / ZG (1.1)

Ento, respeitada a Equao (1), podemos substituir uma fonte de tenso constante em

srie com uma impedncia por uma fonte de corrente constante em paralelo com esta mesma

impedncia (podemos tambm usar YG = 1 / ZG).

A rede de um Sistema Eltrico de Potncia (SEP) ativa, ou seja, possui fontes.

Para resolvermos este problema devemos aplicar o princpio da superposio. Ento,

ZL ser a impedncia vista do gerador G1 (impedncia de Thvenin). Este procedimento deve

ser repetido para os outros geradores.

EG

ZG

VL ZL

IG IL

IS VL ZL

IS IL

ZG

~

G1

~

G4

3 1 2

4

6 5


2

1.7 A Matriz de Admitncia de Barra - YBUS

Seja o sistema de trs barras, dado a seguir:

Figura 1

Em situaes de equilbrio utiliza-se apenas a rede de seqncia positiva. Ento,

representa-se apenas uma fase (a fase a), tendo como referncia a terra (neutro). Cada barra

ser, portanto, um n eltrico e o neutro ser o n de nmero zero.

O sistema da Figura 1 pode ser representado por:

ou

Figura 2 Figura 3

onde:

YG1 = 1/ZG1, YG2 = 1/ZG2, YL1 = 1/ZL1, YL2 = 1/ZL2, YL3 = 1/ZL3 e YD3 = 1/ZD3 so as admitncias/impedmcias de geradores, linhas e transformadores;

V1, V2 e V3 so as tenses nodais de barra;

I1 e I2 so as correntes injetadas nas barras para representar os geradores. Na barra 3

drenada uma corrente para a carga. Porm, no h gerao I3 = 0.

~ G1

L2

2

3

1

D3 (carga)

L3

L1

~ G2

ZL2

2

3

1

ZL3

ZL1

EG2

ZG2

~ ~

ZG1

EG1

ZD3

0 0

0

V2 V1

V3

V2

0

YL2

2

3

1

YL3

YL1

YD3

V1

V3

I1

0

YG1 I2

0

YG2


3

Aplicando a Lei de Kirchhoff para as correntes nas barras (ns) tem-se:

3232133033

3321122022

2311211011

YYY0

YYY

YYY

LLD

LLG

LLG

VVVVVVI

VVVVVVI

VVVVVVI

Lembrando que V0 = 0 obtm-se:

332323123

332312112

322112111

YYYYY

YYYYY

YYYYY

VVVI

VVVI

VVVI

LLDLL

LLLGL

LLLLG

ou

BUSBUSBUS

LLDLL

LLLGL

LLLLG

VI

V

V

V

I

I

I

Y

(1.2)

YYYYY

YYYYY

YYYYY

3

2

1

32332

33121

21211

3

2

1

V-se que YBUS a matriz que relaciona as correntes injetadas nas barras com as

tenses nas barras, resolvendo de forma sistemtica a Lei de Kirchhoff para as correntes, ou

seja:

IBUS = YBUS VBUS (1.3)

Generalizando para um sistema com n barras, a matriz YBUS fica:

nnn

n

n

BUS

YYY

YYY

YYY

Y

n21

22221

11211

onde:

Yii a soma das admitncias de todos os elementos ligados barra i;

Yij contm o negativo da admitncia do(s) elemento(s) de interligao das barras i e j.

Exemplo 1: Monte a matriz YBUS para o sistema dado a seguir. Suponha que os

valores esto em pu.

ZL2

2

3

1

ZL3

ZL1

G2

ZT2

~ ~

ZT1

G1

SD3 potncia aparente

demandada da barra 3

V2 V1

V3

ZG1 ZG2

SD1

jQ3


4

Soluo:

em pu: S = VI* e I = YV

S = VY*V

* S* = V*YV Y = S*/(V*V) = S*/|V|2

determinao de YD1, YD3 e YC3 (banco de capacitores). Note que as cargas e o banco de

capacitores ficam modelados por uma admitncia (impedncia) constante.

YD1 = (SD1)*/|V1|

2; YD3 = (SD3)

*/|V3|

2; YC3 = (-jQ3)

*/|V3|

2

elementos da YBUS:

21

111

11Z

1

Z

1Y

ZZ

1Y

LL

D

TG

1

2112Z

1YY

L

3122

22Z

1

Z

1

ZZ

1Y

LLTG

3

3223Z

1YY

L

32

3333Z

1

Z

1YYY

LL

CD 2

1331Z

1YY

L

Exemplo 2: Calcule a matriz YBUS do Exemplo 1 considerando os valores em pu

listados abaixo. Em seguida obtenha as injees de corrente (IBUS).

SD1 = 2,0 + j1,0; SD3 = 1,2 + j0,6; jQ3 = j0,3

ZG1 = j0,10; ZT1 = j0,05; ZG2 = j0,050; ZT2 = j0,025; ZL1 = ZL2 = ZL3 = j0,10

01 00500,1V ; 0

2 33,10789,1V ; 0

3 40,20500,1 V

Soluo:

pu 907,0j 814,11,05

0,1j0,2

||

SY

221

*1

1

V

DD

pu 0544j 088,11,05

6,0j2,1

||

SY

223

*3

3

V

DD e pu j0,272

1,05

3,0j

||

)jQ(Y

223

*3

3 V

-C

pu j27,574 814,1j0,10

1

j0,10

1 j0,907 1,814

j0,05 j0,10

1Y11

pu j10,0Z

1YYYYYY

1133132232112

L

pu j33,33j0,10

1

j0,10

1

j0,025 j0,050

1Y22

pu j20,272 088,1j0,10

1

j0,10

1 j0,272 j0,544 1,08Y33

pu

j20,272 1,088j10,0j10,0

j10,0j33,33j10,0

j10,0j10,0j27,574814,1

YBUS


5

Observe que se os elementos shunt (geradores, cargas, bancos de capacitores, etc.) no

forem considerados a matriz YBUS fica singular.

Exerccio: Repita o Exemplo 2 considerando as barras (4 e 5) entre os geradores e os

transformadores, conforme figura abaixo. Os valores de ZBUS(1,1), ZBUS(2,2) e ZBUS(3,3) so

alterados?

1.8 A Matriz de Impedncia de Barra - ZBUS

Vimos que IBUS = YBUS VBUS. Porm, na maioria dos estudos tem-se IBUS e pretende-se

obter VBUS. Para isto, necessrio calcular a matriz de impedncia de barra, ZBUS = -1BUSY .

Ento:

VBUS = ZBUS IBUS (1.4)

Para o sistema da Figura 1 a Equao (1.4) fica:

3

2

1

333231

232221

131211

3

2

1

ZZZ

ZZZ

ZZZ

I

I

I

V

V

V

(I3 = 0, pois no h gerao na barra 3)

Analisando apenas para V1:

V1 = Z11I1 + Z12I2 + Z13I3 (1.4-a)

Se aplicarmos o princpio da superposio para o gerador da barra 1, ou seja, se

mantivermos I1 e fizermos I2 = I3 = 0 (fontes mortas), teremos: V1 = Z11I1.

Conclui-se, ento, que Z11 a impedncia de Thvenin vista da barra 1.

Generalizando: Zii a impedncia de Thvenin vista da barra i.

ZL2

2

3

1

ZL3

ZL1

G2

ZT2

~ ~

ZT1

G1

SD3 potncia aparente

demandada da barra 3

V2 V1

V3

ZG1 ZG2

SD1

jQ3

5 4


6

V-se, ainda, que Z12I2 a contribuio da fonte da barra 2 para a tenso da barra 1. O

raciocnio vlido tambm para Z13I3. Ento, Zij a impedncia de transferncia da barra

j para a barra i.

Observao: Zij NO a impedncia que interliga as barras i e j.

Exerccio: Considere para o sistema do Exemplo 2 que

0

j15,576261,1

j7,486096,2

BUSI . Ento,

obtenha as tenses de barra utilizando:

superposio;

a equao VBUS = ZBUS IBUS, considerando primeiramente apenas I1 e depois apenas I2.

Compare os resultados. Por que o VBUS obtido neste exerccio diferente daquele fornecido

no Exemplo 2?

Exerccio: Para o sistema do Exerccio anterior obtenha a corrente, tenso e potncia

de cada gerador. Compare a corrente e tenso de cada gerador com a corrente injetada e a

tenso na respectiva barra. Calcule SGT = SG1 + SG2 + jQ3 e SDT = SD1 + SD2. Em seguida

calcule SGT SDT. Qual o significado desta diferena? Calcule a potncia em cada elemento

do sistema. Verifique/faa o balano de potncia em cada barra do sistema.

Exerccio: Repita para o caso (VBUS) do Exemplo 2. possvel fazer o mesmo para o

sistema de 5 barras?

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