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ANÁLISE DE SINAIS E SISTEMAS

AULA 4:

SINAIS EXPONENCIAIS;

SINAIS SENOIDAIS;

SINAIS SENOIDAIS AMORTECIDOS;

SINAIS EXPONENCIAIS COMPLEXOS:

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SINAIS EXPONECIAIS

São sinais da forma tx t Ae( ) em que A e são

parâmetros reais.

A é a amplitude do sinal exponencial medido em t=0.

Se > 0, o sinal é exponencial crescente;

Se < 0, o sinal é exponencial decrescente;

t

x(t)

< 0 A

t

x(t)

> 0

A

3

SINAIS EXPONECIAIS

Para o tempo discreto o sinal exponencial é da forma

nx[n] =B r ,

t

x(t)

r > 1 t

x(t)

0<r < 1

t

x(t)

-1<r < 0

t

x(t)

r <-1

Neste caso as seguintes

situações podem ocorrer:

B é a amplitude do sinal exponencial medido em n=0

em que r pode ser escrito como r = e .

obtendo-se nx[n] =B e .

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SINAIS SENOIDAIS

Para o tempo contínuo o sinal senoidal é da forma

x(t)= Acos( t + ) ,

O período é dado por:

A é a amplitude do sinal senoidal;

ω é a frequência angular em rad/s;

ϕ é o ângulo de fase.

em que:

2 2T = = = 2 f

T

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SINAIS SENOIDAIS

Podemos verificar a periodicidade do sinal senoidal utilizando a

definição de função periódica.

Se a função x(t) é periódica deve-se verificar que

x(t)= x(t +T),

Para a função senoidal tem-se que

x(t +T) = Acos[ t +T)+ ] (

x(t)= Acos( t + ) ,

x(t +T) = Acos[ t + T + ]

x(t +T) = Acos[ t + 2 ]

x(t +T) = Acos[ t + ]

x(t +T) = x(t)

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SINAIS SENOIDAIS

Para o tempo discreto o sinal senoidal é da forma

x[n] = Acos[ n+ ] ,

Ω é a frequência angular dada por

em que:

sendo N o período medido em amostras por ciclo.

2

N

,

Se o período é N, então pode-se escrever x[n] = x[n+ N]

x[n+ N] = Acos[ n+ N)+ ]

x[n+ N] = Acos[ n+ N + ]

x[n+ N] = Acos[ n+ 2 m]

x[n+ N] = Acos[ n+ ]

N 2 m

com m inteiro

,

7

SINAIS SENOIDAIS

2 2

N N

,

m mou k kDessa forma, pode-se escrever

m

2 N

Assim tem-se que é um número racional.

Se isto não ocorre, a senoide discreta não é periódica.

Exercício – Verificar a periodicidade dos seguintes sinais:

a) x[n]=3cos[0,2πn]

b) x[n]=2cos [5πn]

c) x[n]=5cos[4n]

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SINAIS SENOIDAIS EXPONENCIALMENTE AMORTECIDOS

para o tempo contínuo e

São sinais da forma:

Observe que a senoide exponencialmente amortecida não é

periódica:

- tx(t)= Ae cos( t + ) com > 0, ,

nx(t)=Br cos( n+ ) com 0 < r 1. <,

para o tempo discreto.

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RELAÇÃO ENTRE SINAIS SENOIDAIS E EXPONENCIAIS COMPLEXOS

j tx(t)= Ae Seja o sinal exponencial complexo

Assim, tem-se que:

Da identidade de Euler, tem-se que

je cos + jsen

Logo x(t)= Acos( t) + jAsen( t)

Re x(t) = Acos( t + )

Im x(t) = Asen( t + )

Para j( t+ )x(t)= Ae pode-se escrever

x(t)= Acos( t + ) + jAsen( t + )

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RELAÇÃO ENTRE SINAIS SENOIDAIS E EXPONENCIAIS COMPLEXOS

Analogamente para o tempo discreto pode-se escrever:

j( n+ )x[n] = Ae

Re x[n] = Acos( n+ )

Im x[n] = Asen( n+ )

x[n] = Acos( n+ ) + jAsen( n+ )

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SINAIS EXPONENCIAIS COMPLEXOS GERAIS

atx(t)= Ce ,É o sinal da forma

em que C e a , em geral, são números complexos.

Seja j

0C = C e e a = r + j , então

0 0(r+ j t j( tj rtx(t)= C e e C e e

) ),

que pode ser escrita como

rt rt

0 0x(t)= C e cos( t + )+ j C e sen( t + ) ,

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Observe que:

para r = 0 a parte real e imaginária são sinais senoidais;

para r < 0 a parte real e imaginária são sinais senoidais amortecidas;

para r > 0 a parte real e imaginária são sinais senoidais crescentes;

Quando C é real e a é puramente imaginário, então

Para que x(t) seja periódica deve-se impor que

Assim tem-se que

Para que a igualdade se verifique é necessário que

rt rt

0 0x(t)= C e cos( t + )+ j C e sen( t + ) ,

j tx(t)= Ce

0 .

x(t)= x(t +T),

j t j (t+T) j t j TCe Ce Ce e

0 0 0 0 .

j Te 1

0 .

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j t j (t+T) j t j T j Tx(t)= Ce Ce Ce e e 1

0 0 0 0 0 .

Se ω0 = 0 então x(t) = C, que é periódico para qualquer

valor de T.

Se ω0 é diferente de zero, então, lembrando que

0 0T =2 (k = 1) ,o período fundamental T0 é tal que

j T

0 0e cos( T)+ jsen( T)

0

o que resulta em 0

0

2T =

.

Escrevendo os últimos resultados:

j Te para que e 1, devemos ter T = 2k (sendo k inteiro),

0

0

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Um sinal senoidal pode ser escrito na forma de exponenciais

complexas. Seja x(t)= Acos( t + ) ,

Pela identidade de Euler tem-se que j

-j

e cos + jsen

e cos jsen

-Somando-se esta duas

expressões obtém-se j -j1 1cos e + e

2 2

Assim, x(t) pode ser escrito na seguinte forma:

j( t+ ) -j( t+ )A Ax(t) = e e

2 2

0 0

Ou ainda,

j t -j tj -jA Ax(t) = e e e e

2 2

0 0

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j t -j tj -jA Ax(t) = e e e e

2 2

0 0

Fazendo: j -j

1 2

A AB = e e B e

2 2

, obtém-se:

j t -j t

1 2x(t) = B e B e

0 0

Observe que B1 e B2 são números complexos conjugados.

Obtenha a forma exponencial complexa do sinal

- tx(t)= Ae cos( t + )

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Para o tempo discreto tem-se: nx[n] = C ,

sendo que, em geral, C e α são números complexos.

Fazendo j jC C e e = e , tem-se que

n nj j j(x[n] = C e e C e )n n ou ainda

n nx[n] = C cos[ n+ ] + j C sen[ n+ ].

para |α|=1 a parte real e imaginária são sequências senoidais;

para |α|<1 a parte real e imaginária são senoides amortecidas;

para |α|>1 a parte real e imaginária são senoides decrescentes;

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Analogamente ao caso contínuo, um sinal senoidal de tempo

discreto pode ser escrito na forma de exponenciais complexas.

x[n] = Acos( n+ )

j j n -j -j nA Ax[n] = e e e e

2 2

Seja

Com o mesmo desenvolvimento utilizado para o caso contínuo,

pode-se obter a forma exponencial complexa para a senoide

discreta

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PROPRIEDADES DE PERIODICIDADE DOS SINAIS

EXPONENCIAIS COMPLEXOS DE TEMPO DISCRETO

Seja j j( 2

1 2x [n] = Ae e x [n] = Ae ) ,n n

Desenvolvendo a expressão de x2[n] obtemos:

j( 2 j j2

2x [n] = Ae Ae e )n n n n

Observe que: j2

j2

e cos(2 n)+ j sen(2 n) = 1 + j0

e 1

n

n

Portanto: j

2 1x [n] = Ae = x [n]n

Isto significa que quando a frequência passou de Ω para Ω + 2π

o sinal não se modificou.

Sua frequência é a mesma!

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No tempo discreto, sinais com frequência Ω e Ω +2kπ (k inteiro),

são idênticos.

A frequência varia apenas num intervalo de 2π .

Especificamente, se Ω =0 ou Ω = 2π tem-se

j0

1

j2

x [n] = Ae A constante

ou Ae

A partir de zero, a taxa de oscilação aumenta atingindo a seu

valor máximo em π. A partir de π, a taxa de oscilação diminui

e volta a zero em 2π .

n

j n j

1Em = x [n] = e = e = -1 , , .

nque oscila a cada amostra



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21



Sinais harmonicamente relacionados são aqueles que

possuem frequência múltipla da fundamental.

Em tempo contínuo, todas as exponenciais complexas

harmonicamente relacionadas são distintas.

0jk t jk(2 /T )t

k(t)= Ae = Ae com k = 0, 1, 2 3 ...

0

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Em tempo discreto, os sinais harmonicamente relacionados

são aqueles que possuem frequência múltipla de Ω=2π/N.

jk( n jk(2 N n

k

j(k+N)(2 N n jk(2 N n j(2 n

k+N k

Seja [n] =e = e com k = 0, 1, 2 3 ...

Observe que [n] = e = e e = [n]

) / )

/ ) / ) )

,

0 1 2 N-1[n] , [n], [n] ... [n]

Isto implica que há somente N exponenciais periódicas

distintas harmonicamente relacionadas com , isto é j n[n] =e



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Livro do Haykin:

1.10; 1.11; 1.12 ; 1.16- a, c; 1.18- b, d, g, k;

1.19; 1.20; 1.21- a, b, c, g, i; 1.22; 1.25.

EXERCÍCIOS

Verifique quantas exponenciais complexas harmonicamente

relacionadas existem em j(3 /4x[n] = e ) .n

Resposta: 8.

Determine o período fundamental do sinal

x(t)=2cos(10t +1) - sen(4t -1), Resposta: π.

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