Anlise de Sistemas Lineares

Captulo 2Representao de Sistemas

Universidade Federal do ParInstituto de TecnologiaFaculdade de Engenharia EltricaAnlise de Sistemas Lineares

O que um Sistema? uma entidade (dispositivo) que manipula um ou mais sinais, para realizar uma funo, produzindo novos sinais. Um sistema uma combinao de componentes atuando juntos para atingir um objetivo especficoA) Modelo Matemtico

o conjunto de equaes que descreve o comportamento dinmico de um sistema que est submetido a um sinal de entrada. Ou seja, a representao matemtica das leis fsicas que regem o comportamento do sistema e do princpio de funcionamento dos dispositivos que compem o sistemaSimplicidade X PrecisoNa Modelagem de Sistemas sempre preciso estabelecer um compromisso entre a Simplicidade do Modelo e a Preciso dos resultados que sero obtidos a partir do modelo considerado. Preciso: Todos os efeitos e interaes dinmicas envolvidas no sistema devem ser considerados no Modelo Modelo Complexo e Ferramentas para Anlise e/ou Projeto mais Pesadas. Simplicidade: Algumas interaes dinmicas so desprezadas e/ou as condies de operao so restringidas Modelo Simplificado e Ferramentas mais Simples.B) TIPOS DE SISTEMAS

De acordo com o modelo adotado para o sistema (Interaes dinmicas e condies de operao consideradas), este pode assumir tipo e propriedades diferentes. Discreto ou Contnuo Sistema ContnuoSistema onde os sinais processados so todos de natureza contnua. A varivel independente da equao que descreve o comportamento do sistema uma varivel contnua. Sistema DiscretoSistema que opera apenas em instantes de tempo particulares, produzindo respostas que consistem em um conjunto de amostras (seqncias). O comportamento desses sistemas descrito por equaes cuja varivel independente discreta.2. Variante ou Invariante no tempoSistema Invariante no TempoSistemas cujos os parmetros no so alterados com o tempo. Para tais sistemas um deslocamento no tempo do sinal de entrada (retardo ou avano) implica em um deslocamento temporal idntico no sinal de sada.Sistema Variante no TempoSistema cuja relao entrada/sada se altera com o tempo.

Se Y(t) = f [ X(t) ] ento Y(t-to) = f [ X(t-to) ] Invariante Y(t-to) f [ X(t-to) ] Variante3. Dinmico ou InstantneoSistema Instantneo ( sem memria)Sistema considerado sem memria, pois seu comportamento no instante atual independe das amplitudes passadas dos sinais processados. O Comportamento de sistemas instantneos descrito por equaes algbricas. Sistema Dinmico ( com memria)Sistema que possui memria, ou seja, a sada depende tambm de valores passados dos sinais processados. O Comportamento de sistemas dinmicos descrito por equaes diferenciais e/ou integrais.

4. Causal ou No Causal

Sistema No Causal ou AntecipativoSistema cuja resposta a um sinal de entrada depende de valores futuros da entrada (previso). Sistema Causal ou No AntecipativoSistema cuja resposta a um sinal de entrada independe de valores futuros da entrada.Em um sistema causal a sada no pode comear antes da entrada ser aplicada. Se a resposta comear antes da entrada, significa que o sistema conhece a entrada no futuro e atua com base neste conhecimento antes da entrada ser aplicada.

5. Monovarivel ou Multivarivel

Sistema MonovarivelSistema que possui apenas um sinal de entrada e um sinal de sada.

Sistema MultivarivelSistema que possui mais de um sinal de entrada e/ou mais de um sinal de sada.6. Relaxado ou No RelaxadoSistema Relaxado Sistema cuja resposta depende unicamente da energia externa fornecida pelo sinal de entrada, apresentando condio inicial nula (nenhuma energia inicial armazenada).Sistema No RelaxadoSistema cuja resposta depende da energia externa fornecida pelo sinal de entrada, bem como da condio inicial (energia inicial armazenada).147. Linear ou No Linear

Sistema Linear

Sistema que satisfaz o Princpio da Superposio.

Sistema No LinearSistema que no satisfaz o Princpio da Superposio Princpio da Superposio: Satisfaz as Propriedades da Aditividade e da Homogeneidade

C) RESPOSTA AO IMPULSO A resposta ao impulso a sada do sistema LTI devido a uma entrada impulso aplicada no instante t=0 Se soubermos a resposta de um sistema ao impulso poderemos determinar a resposta deste sistema para qualquer tipo de sinal.Se considerarmos a entrada do sistema como uma superposio ponderada de impulsos deslocado no tempo, teremos que a sada do sistema ser dada pela superposio ponderada de respostas ao impulso deslocados no tempo. Esta superposio ponderada chamada de soma de convoluo (para tempo discreto) e integral de convoluo ( para tempo contnuo)

Considerando um sinal x[n] qualquer:

Escrevendo x[n] como uma superposio ponderada de impulsos deslocados no tempo:

Considerando x[n] como sinal de entrada para um sistema:Sinal de entradasada do sistema ser dada pela superposio ponderada de respostas ao impulso deslocados no tempo. Considerando um sinal contnuo x(t):

Sinal de entrada Entendimento grfico da Integral de Convoluo

Varivel independente tau, ento:

Trs situaes de deslocamento t:A convoluo c(t) no tempo t1 entre as duas funes igual a rea A1

A convoluo c(t) no tempo t2 entre as duas funes igual a rea A2A convoluo entre as duas funes zeroEste procedimento pode ser repetido para todos os valores de t, sendo que o resultado ser a curva descrevendo c(t):

Exerccio 1:

Exerccio 2:

Para t>=0

Para t=0, isto , se existe uma constante M tal que: