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Esta monografia visa estudar a construção do conhecimento matemático inerente aos sistemas. Utilizamos a Teoria Antropológica do Didáctico como referencial Teórico. O estudo envolveu dois Livros Didácticos de Matemática da 11a classe que foram aprovados pelo Conselho de Avaliação do Livro Escolar (CALE.
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i
Rosalino Subtil Chicote
Análise de tarefas sobre Sistemas de Equações na perspectiva da Teoria
Antropológica do Didáctico de Chevallard. Um estudo de Livros Didácticos de
Matemática da 11ª Classe.
Licenciatura em Ensino de Matemática com habilitação em Ensino de Física
Universidade Pedagógica
Quelimane
2015
ii
Rosalino Subtil Chicote
Análise de tarefas sobre Sistemas de Equações na perspectiva da Teoria
Antropológica do Didáctico de Chevallard. Um estudo de Livros Didácticos de
Matemática da 11ª Classe.
Monografia científica apresentada ao
Departamento de Ciências Naturais e Matemática,
Faculdade de Ciências Naturais e Matemática,
Delegação de Quelimane, para obtenção do Grau
académico de Licenciatura em Ensino de
Matemática com habilitação em Ensino de Física.
Supervisor:
Prof. Doutor Geraldo V. Deixa
Universidade Pedagógica
Quelimane
2015
iii
Índice
Lista de abreviaturas .............................................................................................................. v
Lista de tabelas ..................................................................................................................... vi
Lista de quadros ................................................................................................................... vii
Lista de figuras ................................................................................................................... viii
Lista de anexos ..................................................................................................................... ix
Declaração ............................................................................................................................. x
Dedicatória ........................................................................................................................... xi
Agradecimentos ................................................................................................................... xii
Resumo ............................................................................................................................... xiii
Abstract .............................................................................................................................. xiii
Capítulo I
1.Introdução ......................................................................................................................... 14
1.1.Apresentação do problema .............................................................................................. 16
1.2. Objectivos ..................................................................................................................... 18
1.2.1. Geral .......................................................................................................................... 18
1.2.2. Específicos ................................................................................................................. 18
1.3. Justificativa da escolha do tema ..................................................................................... 18
1.4.Procedimentos metodológicos ........................................................................................ 20
Capítulo II
2.Fundamentação Teórica .................................................................................................... 23
2.1. Teoria Antropológica do Didáctico ................................................................................ 23
2.1.1. Praxeologia ................................................................................................................ 25
2.2.Teoria Antropológica do Didáctico: Praxeologia na análise de livros didácticos de
matemática........................................................................................................................... 27
iv
Capítulo III
3.Apresentação, análise e discussão dos dados ..................................................................... 30
3.1. Os dois livros seleccionados .......................................................................................... 30
3.2.Como os autores dos livros seleccionados abordam os sistemas de equações? ................ 30
3.3. Tipos de tarefas ............................................................................................................. 31
3.4. O fundamento das técnicas ............................................................................................ 35
3.5. Análise Praxeológica de algumas tarefas ....................................................................... 35
Capítulo IV
4.1. Conclusões .................................................................................................................... 46
4.2. Sugestões ...................................................................................................................... 47
Referências bibliográficas .................................................................................................... 48
v
Lista de abreviaturas
CALE: Conselho de Avaliação do Livro Escolar
EPM: Estágio Pedagógico de Matemática
ESG: Ensino Secundário Geral
PEA: Processos de ensino e Aprendizagem
PEM: Programa de Ensino de Matemática
TAD: Teoria Antropológica do Didáctico
TRR: Teoria dos Registos de Representação Semiótica
TSD: Teoria das Situações Didácticas
vi
Lista de tabelas
Tabela 1: Tipos de tarefas sobre sistemas de duas equações a duas incógnitas --------------- 32
Tabela 2: Tipos de tarefas sobre sistemas de três equações a três incógnitas ------------------ 33
Tabela 3: Distribuição dos tipos de tarefas sobre sistemas de equações ----------------------- 33
vii
Lista de quadros
Quadro 1: Livros analisados ------------------------------------------------------------------------- 20
Quadro 2: Síntese de tipos de tarefas --------------------------------------------------------------- 21
Quadro 3: Síntese dos componentes da Praxeologia ---------------------------------------------- 25
Quadro 4: Técnicas justificadas e não justificadas (apresentadas) nos dois livros ----------- 35
Quadro 5: Praxeologia dos Livros estudados ------------------------------------------------------ 44
viii
Lista de figuras
Figura 1: Fragmento da tarefa resolvida pela autora do 1L -------------------------------------- 36
Figura 2: Fragmento da tarefa resolvida pelos autores do 2L ------------------------------------ 36
ix
Lista de anexos
Anexo 1: Lista de livros aprovados pelo CALE-2012 --------------------------------------------- 51
Anexo 2: Boletim da República de Moçambique, 19, 11 de Maio de 2011 -------------------- 52
x
Declaração
Afirmo por minha honra que, esta monografia científica é resultado da minha pesquisa e das
orientações do Supervisor, o seu conteúdo é autêntico e todas partes consultadas são
devidamente consignadas. Assinalo também que este trabalho não foi apresentado em
nenhuma outra instituição de ensino para a obtenção de qualquer grau académico.
Quelimane, ____ de Setembro de 2015
__________________________________
Rosalino Subtil Chicote
xi
Dedicatória
Consagro este trabalho a todos que contribuíram para minha formação, em especial, meu pai –
Subtil António Chicote (em memória) e minha mãe – Misca Armando Chaia.
xii
Agradecimentos
Agradeço a Deus por me manter são durante esse tempo.
Ao Supervisor Prof. Doutor Geraldo V. Deixa, por esclarecer muitas dúvidas que tive ao
longo do processo, por me ter fornecido o Livro “ Fundamentos de Didática de Matemática”
de Almouloud, e pelas suas orientações.
Para Minha mãe – Misca Armando Chaia, meus irmãos: Ivo Subtil Chicote, Bertil Subtil
Chicote, Feneja Subtil Chicote e Isabel Subtil Chicote pela compreensão e incentivo.
Reconheço, especialmente, minha irmã Isabel por trazer minhas refeições no meu escritório.
Á Abdul Nazir Tomás e Chaido Ramos Novas.
Aos docentes do curso de Matemática, Física e também aqueles que pertencem a outros
departamentos mas leccionaram no nosso curso.
À Délcia José César por entender minhas ausências e pela sua paciência.
Ao meu tio Paulo Jacinto Kawossa pelas lições sobre a gramática da língua portuguesa e
Conselhos sábios e, neste âmbito, também reconheço meu tio Torres Amadeu.
Júlio Francisco da Costa Mudubai, Daúdo Andinane Manga e Assante Cornélio Saúre pelos
debates que marcamos e realizamos. Inocêncio Vaz Castro pelas distracções produtivas.
Aos colegas Alberto Américo Alexandre, Emídio Diniz, Yazalde Artur, Patrício Jaime
Quembo.
Aos bibliotecários a serviço do Projecto Moçambique ONLUS, em especial, ao Sr. Crimildo
Domingos.
Momade Consolo e Nuro Inácio Amado por facultarem seus computadores num período em
que o meu se encontrava estragado.
Igualmente, endereço meus sinceros agradecimentos a todos que não foram mencionados
porque a memória deixou escapulir.
xiii
Resumo
Esta monografia visa estudar a construção do conhecimento matemático inerente aos sistemas de equações. O estudo abrangeu dois livros didácticos de matemática da 11.ª classe. Realizamos uma pesquisa qualitativa com enfoque na pesquisa documental e utilizamos como suporte teórico a Teoria Antropológica do Didáctico de Yves Chevallard. Fizemos um levantamento de tarefas sobre o tema, agrupamos em tipos de tarefa e analisamos as técnicas utilizadas pelos autores, suas justificações e, por fim apresentamos a praxeologia de cada tipo de tarefa resolvida ou proposta nos dois livros. O estudo evidenciou que os autores pouco contribuem para a construção do conhecimento matemático do tema, visto que enfatizam tarefas rotineiras e raramente atendem a produção das técnicas. Além disso, os resultados mostraram que para um professor que não teve formação em ensino da matemática, um aluno que dispõe do livro para estudar, qualquer um que julgue pertinente apreciar a matemática depara-se com um mundo de imposições com poucas justificações.
Palavras-chave: Livros didácticos; Teoria Antropológica do Didáctico; Educação Matemática.
Abstract
This monograph aimed to study the construction of mathematical knowledge inherent in the equations. The study covered two mathematics textbooks of the 11th class. We conducted a qualitative research with a focus on information retrieval and use as theoretical support the Anthropological Theory of Didactic of Yves Chevallard. We did a task survey on the subject, grouped in job types and analyze the techniques used by the authors, their justifications and finally present the praxeology of each type of task or solved proposal in two books. The study showed that the authors do little to build the mathematical knowledge of the subject, once they highlight routine tasks and rarely meet production techniques. In addition, the results show that for a teacher who had not train in mathematics, a student has to study the book, anyone it deems relevant enjoy mathematics is faced with a world of taxes for a few reasons.
Keywords: Didactic books; Anthropological Theory of Didactic; Education Mathematic.
14
Capítulo I
1.Introdução
Os livros didácticos são portadores de uma enorme responsabilidade. Professores, alunos e
outros se dirigem a ele com diversos objectivos. Será que seus autores englobam estratégias
que respeitem as diversidades cognitivas?
Não obstante, ouvimos em conversas de alunos afirmações preocupantes tal como “ aquele
professor não sabe dar aulas”. Uma razão implícita a tais afirmações pode ser o facto de
alguns professores leccionarem disciplinas tais que não tiveram formação no ensino dela.
Como sublinha MINED (2012: 94) “a proporção de estudantes das Instituições de Ensino
Superior com emprego na sua área de formação, um ano após a conclusão dos seus estudos,
era inferior a 40% em 2010”. Nesse grupo, certamente, fazem parte alguns professores
formados em outras disciplinas, contudo, leccionam a disciplina de matemática no Ensino
Secundário Geral (ESG). Nestes termos percebemos, lamentavelmente, que o enquadramento
dos professores no sector da educação constitui um problema a resolver.
No Estágio Pedagógico de Matemática (EPM), certo dia, ao querer introduzir o tema:
Sistemas de Equações, isto na turma D do Grupo B- curso nocturno (Área das Ciências
Naturais e Matemática), 11ª classe, após escrever o tema no quadro, houve corte eléctrico.
Entretanto, com ajuda das luzes de celulares, surgiu a partir do estagiário a recomendação
pela qual os alunos tinham a responsabilidade de fazer uma pesquisa em diversos livros e
resolver tarefas; neste aspecto, a ideia central da recomendação partiu do princípio de que o
livro didáctico pudesse ser projectado na dimensão de um professor embora com única
metodologia de ensino para todos aprendizes com os quais se cruza ao longo da sua carreira.
Contudo, na aula seguinte, muitos alunos afirmaram que as tarefas encontradas, nos livros que
tiveram acesso, na sua maior parte não mobilizavam grande esforço intelectual. Desse modo,
o presente trabalho é produto da nossa análise centrada em tarefas de dois livros didácticos de
matemática da 11ª classe e tem como objectivo estudar a construção dum conhecimento
matemático. Neste trabalho o conhecimento deve ser entendido como resultado da relação de
um sujeito com o objecto.
Defendemos a premissa de que cada tarefa deve envolver um certo conhecimento a ser
explorado e aplicado pelo professor ou aluno. A partir da forma como a tarefa é proposta pode
15
conduzir a explorar, construir e aplicar um conhecimento matemático. Desse modo, as tarefas
têm um lugar importante nos Processos de Ensino e Aprendizagem (PEA).
Utilizamos uma das bases da Teoria Antropológica do Didáctico (TAD). Dentre outras razões,
a TAD fornece procedimentos de análise de conhecimento matemático – Praxeologia e
conhecimento didáctico – Praxeologia Didáctica. Em função dos nossos objectivos aplicamos
a Praxeologia.
Julgamos importante reflectir sobre a construção do conhecimento matemático a partir do
livro didáctico de matemática porque tem a responsabilidade de instituir e desenvolver
competência apontadas nos Programas de Ensino de Matemática (PEM). Também, os livros
didácticos de matemática constituem principal fonte para alguns professores na preparação de
aulas; aos alunos quando submetidos a realizar trabalhos. Os trabalhos desta natureza
integram elemento avaliativo, onde os alunos devem apresentar aos colegas tema (s)
seleccionado (s).
Nesta jornada, estruturamos o trabalho em quatro capítulos. No primeiro capítulo, na
introdução, mostramos duas situações que enfatizam a responsabilidade dos livros didácticos
de matemática. Na apresentação do problema, mostramos que os livros passam por uma
avaliação e alguns são aprovados para seu uso nas escolas. Apresentamos o assunto que,
inicialmente pretendíamos investigar, seus impasses e ligação com o tema actual.
Terminamos, a nova direcção tomada, com uma pergunta de investigação. Definimos os
objectivos da pesquisa e as razões que nos levaram a escolher esse tema. O primeiro capítulo
termina quando apresentamos as regras de jogo, ou seja, explicamos os procedimentos
metodológicos da pesquisa e seu enquadramento metodológico.
Dedicamos o segundo capítulo para expor: o que é TAD? De onde nasceu? Quem a criou?
Quais as razões da sua origem? Essas e mais questões serão respondidas ao longo do texto.
Em suma, esse capítulo refere-se a Fundamentação Teórica. Importa mencionar que, depois
de clarificar alguns conceitos da TAD, apresentamos o estado de arte sobre análise de livros
didácticos de matemática. Alertamos mais uma vez, que não apresentamos a TAD na sua
plenitude, buscamos expor elementos que se solidarizam com nossos objectivos.
O terceiro capítulo contém a apresentação, análise e discussão dos dados. Por fim, no último
capítulo, expomos conclusões, sugestões e referência de trabalhos que citamos ao longo do
nosso texto e anexos do trabalho.
16
1.1.Apresentação do problema
No âmbito da implementação do novo currículo do Ensino Primário e do ESG, os livros
escolares1 editados pelo sector empresarial público e privado são objecto de avaliação por um
Conselho de Avaliação dos Livros Escolares (CALE). O Diploma Ministerial no 122/2011
aprova o Regulamento de Avaliação do Livro Escolar2, de onde compete ao CALE garantir a
observância das condições de submissão e critérios da avaliação dos mesmos.
Neste processo, cada livro é avaliado nas seguintes áreas: curriculum e conteúdos, abordagem
metodológica e língua, valores e questões transversais, estrutura e organização. Conforme o
regulamento publicado no diploma, esse seguimento deve ser efectuado por pelo menos três
membros do Conselho, tais que, não sejam autores dos livros a avaliar e nem tenham qualquer
tipo de vínculo com as editoras que submetem os livros para a avaliação. Por via de regra, são
aprovados todos os livros escolares com 85% de avaliação pedagógica dependendo da
avaliação individual dos três membros do Conselho.
Há esse cuidado em fiscalizar os livros didácticos porque eles têm estatuto singular “produto
de consumo, suporte de conhecimentos escolares, […], um instrumento pedagógico”
(MORGADO apud PERREIRA, 2010:192). No entanto, o que aconteceria se os membros do
Conselho tivessem algum vinculo com as editoras ou com os autores?
Não obstante, atestamos, actualmente, a crescente procura dos livros didácticos, em particular
de Matemática, nas bibliotecas e livrarias. Julgamos que isso pode estar associado ao facto de
algumas pessoas afirmarem que a Matemática é difícil; talvez haja um interesse em
compreendê-la.
Para valorizar alunos que agem como sujeitos activos na busca dum conhecimento
matemático, a partir do livro didáctico, surgiu interesse em desenvolver uma investigação que
barca a relação entre as competências previstas no Programa de Ensino da Matemática (PEM)
e os indicadores presentes nos livros didácticos de matemática. O estudo abrangeria dois
livros didácticos de matemática da 8ª classe que estivessem disponíveis. A escolha dessa
classe justifica-se por propiciar algumas bases para temas subsequentes.
1 Neste âmbito, livro escolar converge com outras designações: livro didáctico, livro-texto, manual escolar. Ao longo do trabalho encontraremos essas designações porque decidimos respeitar as preferências, quanto a nós pautamos por utilizar o termo: livro didáctico. 2Ver anexo 2.
17
Por meio deste estudo, pretendíamos monitorar os processos de ensino e aprendizagem
orientada para o desenvolvimento de competências matemáticas3.
Contudo, após uma intensa revisão da literatura, embora a questão de competências seja
discutida por diversos autores (VALENTE, 2002; MACEDO, 2005), não tivemos acesso a
uma bibliografia que pudesse indicar a partir dos conteúdos e tarefas dos livros didácticos de
matemática da 8ª classe, suas competências implícitas e compará-las com as previstas no
PEM.
Talvez seja porque o conceito de competência ainda opõe opiniões de muitos autores.
Segundo esclarece VALENTE (2002:4) a literatura compreende dois eixos discordantes:
Um que explicita o significado de competência como acção que envolve uma série de atributos: conhecimentos, habilidades, aptidões. Nesse caso as competências englobam as habilidades. Outro que diferencia competências e habilidades, ou seja, conceituando-as separadamente, ou apenas mencionando-as de forma distinta.
Nesse âmbito, o PEM é um documento que se enquadra no primeiro eixo interpretativo. Essa
posição é também reforçada em RAMOS apud VALENTE (2002) e pelo MEC & INDE
(2007:94):
As Competências Básicas traduzem a capacidade de realizar uma tarefa concreta com sucesso apelando aos conhecimentos, habilidades e atitudes desenvolvidos ao longo do processo de ensino-aprendizagem.
Deste modo, a aquisição de competências pelo aluno ou professor depende das tarefas que lhe
são propostas e do modo como as resolvem. O meio-termo desse processo são os
conhecimentos, habilidades e atitudes matemáticas que devem ser evocadas para resolver a
tarefa de forma proficiente. Deduzimos, portanto, que as tarefas propostas podem gerar a
construção dum conhecimento e quando associado a uma habilidade, atitude desencadeia uma
competência matemática.
Visto que encontramos impasse a respeito do instrumento para indicar competência a partir
dum conteúdo e sabendo que as competências emergem das tarefas e suas resoluções
envolvem um conhecimento matemático então sintetizamos as afirmações de parte
significativa dos alunos da 11ª classe turma D grupo B, isto na fase de EPM: “quando o
professor mandou ler os livros de matemática que falavam sobre sistemas de equações,
encaramos dificuldades na compreensão e parece que as tarefas encontradas na sua maior
parte resolvemos aplicando os métodos sem provocar grande esforço intelectual”.
3 Neste trabalho não nos debruçaremos sobre o modo pelo qual pretendíamos conduzir o estudo. Isto porque nos deslocaria dos nossos objectivos.
18
Quanto a compreensão é pouco provável que muitos alunos da 11ª classe não saibam ler, além
disso, MACEDO (2005) nos informa que um objecto por si possui uma mestria que não
depende de quem o utiliza. O autor exemplifica:
O mesmo acontece com relação aos computadores e seus usuários. Uma coisa é nossa condição de operar certo programa. Outra é a potência do computador, sua velocidade de processar informações, memória. (MACEDO, 2005:18).
Desse modo, o livro didáctico em si é concebido com certa mestria de modo a ensinar. As
tarefas, de certa forma, aparecem como elemento aferidor de aprendizagem. A aprendizagem
pode ser efectiva quando o aluno ou professor constrói, em busca pessoal, o seu
conhecimento. Os tipos de tarefas que constam nos livros didácticos de matemática podem
ajudar ou negligenciar essa aprendizagem. Assim, importa apreciar as tarefas expostas em
livros didácticos de matemática para aferir a contribuição dos autores quanto a construção do
conhecimento.
Neste sentido, formulamos a seguinte questão: até que ponto os autores de livros didácticos
de Matemática da 11ª classe contribuem para a construção do conhecimento matemático
inerente aos sistemas de equações?
1.2. Objectivos
1.2.1. Geral
Estudar a construção do conhecimento matemático, referente aos sistemas de
equações, nos livros didácticos de matemática da 11ª classe.
1.2.2. Específicos
Analisar as tarefas sobre sistemas de equações na perspectiva da Praxeologia;
Discutir as possibilidades da construção do conhecimento matemático em função das
tarefas.
1.3. Justificativa da escolha do tema
Provavelmente, alguns críticos não aceitarão facilmente o nosso empreendimento, ainda,
outros dirão que é impossível estudar a construção de um conhecimento matemático. Todavia,
a nossa escolha do tema não se subordina a esses comentários pois o suporte da cientificidade
dum trabalho consiste na metodologia empregada e teoria que pode fornecer material
19
necessário. Nesse âmbito, destacamos a Praxeologia da TAD que permeia bases para fecundar
o nosso estudo.
Cientes do desafio, não podíamos perder oportunidade de investigar alguma coisa que atiçasse
a criatividade intelectual, que envolvesse uma reflexão, partilha e aprendizado. Isso foi
possível graça a disponibilidade do material bibliográfico e tempo para explorá-lo. Esses
factores contribuíram para que a condução deste estudo ocorresse e de modo disciplinado. Um
dos interesses em realizar este estudo foi de ordem pessoal e constitui um dos requisitos para
a obtenção do Grau de Licenciatura em Ensino de Matemática com habilitação em Ensino de
Física.
Ao compreender a declaração dos alunos da Turma D, entendemos que poderia ser encarada
por um aluno que tem vontade de aprender a matemática, por um professor embora tenha
formação no ensino de outra disciplina diferente da matemática mas lecciona matemática, às
pessoas que têm a matemática como actividade de recreio, os professores de matemática que
por muito tempo leccionam uma só classe e podem ser confiados a leccionar uma outra.
Em que pesem as novas tecnologias educacionais disponíveis, o livro didáctico, ao que
sabemos, constitui o recurso de ensino mais difundido. Ele não só é utilizado pelos alunos,
professores mas também por outros. Existem actualmente, bibliotecas cuja finalidade é
colocar o livro didáctico à disposição dos alunos que não têm condições para comprá-los.
É oportuno realçar que, as estratégias dos autores dos livros didácticos de matemática da 11ª
classe podem contribuir, para que os interessados em aprender a matemática construam um
conhecimento, desde que estejam em contacto com o repositório de conhecimentos. No
entanto, os livros didácticos com tarefas que só se enquadram no contexto científico, podem
contribuir na concepção da matemática como uma disciplina que não se associa ao
quotidiano. Isso seria minimizado, provavelmente, se as tarefas tivessem muita relação com as
situações vivenciadas no quotidiano.
Por essas razões, portanto, escolhemos estudar as contribuições dos autores de livros
didácticos de matemática, em particular da 11ª classe, do ponto de vista das tarefas resolvidas
ou propostas. O esforço empreendido pode suscitar reflexões sobre as competências dos livros
didácticos, posto que edificam ponte entre o currículo e o PEA.
20
1.4.Procedimentos metodológicos
No nosso País, introduziu-se a Transformação Curricular do Ensino Básico em 2004. Por
conseguinte, para responder o enquadramento do Novo Currículo do Ensino Básico e as
profundas mudanças político-económicas e socioculturais, iniciou-se em 2008 a
implementação gradual do Novo Currículo para o ESG. Assim, em 2008 o processo cobriu 8ª
classe, 2009 - 9ª e 11ª classe e em 2010 encerrou-se com a 10ª e 12ª classe.
Consequentemente, o universo da pesquisa constituiu-se dos livros didácticos de matemática
da 11ª classe publicados a partir de 2009. Desse conjunto, evidenciamos, dentre os
disponíveis, dois livros aprovados4 pelo CALE em 2012. Escolhemos estes livros por dois
motivos:
Transitaram numa avaliação nas seguintes dimensões: curriculum e conteúdos,
abordagem metodológica e língua, valores e questões transversais, estrutura e
organização;
Os livros estão disponíveis em algumas livrarias e bibliotecas;
Daí estudamos o processo de construção do conhecimento matemático, inerente aos sistemas
de equações, nos livros identificados no quadro a seguir.
Quadro 1: Livros analisados
Título do Livro; Autor (a) Editora; ano de
publicação Codificação
M11. Matemática 11ª
classe Fagilde, S.A. M
Texto editores;
2010
1L
Matemática 11ª classe Neves, M.A.F
& Silva, J. N
Plural editores;
2010 2L
Fonte: Elaborado pelos Autores.
1L é da autoria de Sarifa A. Magide Fagilde, Doutora em Estudos Educacionais pela
Universidade de Cape Town na África do Sul, Mestre em Estudos Educacionais pela
Universidade de Adelaide-Austrália e foi Directora da Faculdade de Ciências Naturais e
4 Ver anexo 1
21
Matemática da UP. Segundo a autora, o objectivo da obra é contribuir para a formação
matemática do estudante.
2L é da autoria de Maria Augusta Ferreira Neves, Doutorada em Educação Matemática e
Investigadora da Didáctica da Matemática; e Jorge Nuno Silva, Doutor em Matemática por
Berkley, Professor de Historia da Matemática da Universidade de Lisboa, Especialista em
História de jogos de tabuleiros. Segundo os autores, o livro foi elaborado de maneira a
respeitar a forma como o aluno aprende, como pode ser ensino e como é avaliado.
Para a colecta de dados, arrolamos as unidades temáticas que os compõem. Analisamos o
modo de abordagem dos sistemas de equações. Em seguida, fizemos um levantamento das
tarefas inerentes a sistemas de equações de duas e três incógnitas. Daí, organizamos as tarefas
com base em tipos de tarefas apresentados por MATEUS (2006).
Quadro 2: Síntese de tipos de tarefas
Tipo de tarefa
1T
2T
3T
4T
5T
6T
7T
Género característico
calcular, determinar, obter;
verificar
justificar, provar, mostrar;
resolver
analisar (o gráfico/ tabela/figura)
explicar
interpretar
Fonte: Elaborado pelos autores com referência a MATEUS (2006).
Ao longo desse processo, as tarefas que não se caracterizavam directamente num dos tipos da
classificação desse autor, foram apreciados e enquadrados, em função da sua finalidade, num
dos tipos. Assim, 1T , 2T , 3T , 4T , 5T , 6T e 7T codificaram tipos de tarefas caracterizados pelos
géneros que constam no quadro acima.
Apresentamos uma parte dos dados em três tabelas e dois quadros. A primeira tabela refere-se
a tipos de tarefas identificadas no levantamento de sistemas de duas equações a duas
incógnitas e a segunda tabela refere-se a sistemas de três equações a três incógnitas. A terceira
tabela ilustra a distribuição dos tipos de tarefas nos dois livros.
22
Para a recolha da outra parte dos dados tomamos como base a terceira tabela de tipos de
tarefas. Nessa tabela, para cada tipo de tarefa, seleccionamos, prioritariamente, uma tarefa
resolvida pelos autores e na sua ausência escolhemos uma no conjunto das propostas. Para
fazer a análise praxeológica dessas tarefas, primeiro, fizemos uma análise preliminar para
captar as Tecnologias e Teorias que adiante chamaremos por Discurso Tecnológico-teórico.
Além de captar o Discurso tecnológico-teórico, a análise visou identificar e explorar alguns
elementos que não foram apresentados pelos autores.
Nesse âmbito, a outra parte dos dados foram apresentados em dois quadros e em texto
corrido: o primeiro quadro mostra o modo de exposição das técnicas; o segundo quadro
apresenta: tipos de tarefas, técnica e Discurso Tecnológico-teórico. A análise praxeológica das
tarefas escolhidas da tabela 3 abordou: tipos de tarefas, técnicas e Discurso tecnológico-
teórico.Com base nos dados da pesquisa procuramos para responder a questão norteadora:
Até que ponto os autores de livros didácticos de Matemática da 11ª classe contribuem
para a construção do conhecimento matemático inerente aos sistemas de equações?
Para a análise dos dados observamos os seguintes critérios (CHEVALLARD, 1999):
1. Os tipos de tarefas enfatizados de que forma contribuem na edificação dum
conhecimento matemático?
2. Como as técnicas são expostas e justificadas?
3. Como os livros articulam os blocos prático-técnico e tecnológico-teórico?
Utilizamos as três questões supracitadas, porque no nosso entender, visam estudar a
construção do conhecimento matemático nos livros tendo em vista as estratégias didácticas
dos seus autores. Outrossim, estabelecem critérios que auxiliam na apreciação da organização
matemática. Para além dos critérios, discutimos nossos dados com os estudos de outros
autores que expomos na Fundamentação Teórica.
Com base nas características apontadas anteriormente, nosso trabalho desenvolveu-se a partir
duma pesquisa de cunho qualitativo com enfoque na pesquisa documental. De acordo com
GODOY (1995:21-22) a pesquisa documental desenvolve-se a partir de
Materiais que ainda não receberam tratamento analítico, ou que podem ser reexaminados buscando novas e/ou interpretações complementares. O autor exemplifica citando materiais escritos: jornais, obras literárias, científicas e técnicas, memorandos, relatórios e cartas.
Neste trabalho são dois livros didácticos de matemática da 11.ª classe e neles analisamos um
capítulo que trata de sistemas de equações.
23
Capítulo II
2.Fundamentação Teórica
Neste capítulo, revelamos surgimento da TAD, noção de Praxeologia, seus constituintes,
alguns trabalhos sobre análise dos livros didácticos de matemática que se apoiam na
Praxeologia. Também apontamos nossa posição quanto ao uso da Praxeologia.
2.1. Teoria Antropológica do Didáctico
Na década 80, por meio dum projecto de investigação da didáctica da matemática5 Yves
Chevallard cria a TAD. Essa como as outras teorias da escola francesa utilizam a abordagem
epistemológica com o objectivo de modelar a compreensão dos fenómenos aliados ao PEA.
As teorias relativas ao enfoque epistemológico, neste âmbito, preocupam-se com as condições
de criação e difusão dos conhecimentos matemáticos.
Segundo CHEVALLARD (1999:1) a TAD estuda o homem perante o saber matemático, e
mais especificamente, perante situações matemáticas. Assim, o estudo da matemática deve ser
realizado segundo um modelo que permite descrever a actividade matemática e o saber que
dela emerge. Frente ao saber matemático, encontram-se todos aqueles cujo trabalho humano
nos é consagrado, por exemplo, os autores de livros didácticos de matemática, professores de
matemática e outros que partilham seus conhecimentos de diversos modos. Portanto, a TAD
permite estudar as estratégias empregadas no desenvolvimento de uma actividade matemática.
ALMOULOUD (2007:111) argumenta que,
essa teoria é uma contribuição importante para a didáctica da matemática, pois, para além de ser evolução do conceito de transposição didáctica […] estuda as condições de possibilidade e funcionamento de sistemas didácticos, entendidos como relações sujeito-instituição-saber (em referência ao sistema didáctico tratado por Brousseau, aluno-professor-saber).
A transposição didáctica não é mais do que a marcha realizada quando se articula o saber
produzido pela comunidade científica à saber a ser ensinado. Neste sentido, Chevallard,
utiliza mais em seus textos o termo saber em detrimento de conhecimento. Chevallard explica
que um saber é uma organização coerente do conhecimento ao passo que conhecimento é o
resultado da relação pessoal ou institucional estabelecida com os objectos do mundo.
5Segundo ALMOULOUD (2007) a didáctica da matemática nasceu, na França, para responder o fracasso da reforma da matemática nos anos 1970.
24
Ainda no que concerne a Teoria da Transposição Didáctica Chevallard classifica os objectos
de saber em:
Paramatemáticos: saberes auxiliares, por exemplo, a noção de demonstração, as que
seriam esperadas como pré-construídas.
Matemáticos – englobam elementos facilmente reconhecíveis no contexto escolar: o
conceito de número, sistemas de equações, funções, […].
Protomatemáticos – os que não são considerados como objectos de estudo em
matemática, porém, auxiliam na resolução de alguns problemas.
Segundo ALMOULOUD (2007:113) a insuficiência dessa classificação foi a razão que levou
Chevallard a desenvolver a Teoria Antropológica do Didáctico - TAD.
Conhecemos o termo antropologia em referência ao campo do saber que estuda as raças e
populações humanas do ponto de vista físico. Contudo, a utilização do termo
“Antropológica”, na TAD, não é mais do que um efeito de linguagem, por isso, não há razões
para conceder os créditos à Antropologia. Portanto, a razão para utilização do termo
Antropológica é porque a TAD situa a actividade matemática e, em consequência, o estudo da
matemática dentro do conjunto de actividades humanas e de instituições sociais
(CHEVALLARD,1999:1).
Neste sentido, Chevallard estende o conceito de instituição social e critica a exclusão de
alguns entes quando se pesquisam questões didácticas. A TAD sustenta que tudo é objecto de
estudo em didáctica da matemática. Para o efeito, considera como elementos primitivos
Instituições (I), Indivíduos (X) e Objecto (O).
CHEVALLARD (1999) sustenta que há um mundo social cujas partições são instituições; por
sua vez, possuem objectos e indivíduos. Os objectos são os entes matemáticos a serem
observados (sistemas de equações), constitui o saber; os indivíduos são sujeitos submetidos
aos objectos reconhecidos pela instituição (professor, aluno, qualquer um que utilize os livros
didácticos) as instituições são dispositivos sociais que permitem ou estabelecem a seus
sujeitos maneiras próprias de fazer e de pensar (livros e seus autores).
Salientamos que a TAD possui mais elementos, no entanto, cingimos na Praxeologia porque
comporta o objectivo do trabalho.
25
2.1.1. Praxeologia
Um dos conceitos fundamentais da TAD é a praxeologia. O postulado básico da TAD
consiste em admitir, efectivamente, que toda actividade humana regularmente realizada pode
descrever-se com um modelo único que se resume pela palavra Praxeologia
(CHEVALLARD, 1999:2).
Mas afinal, o que é Praxeologia?
Encontramos uma resposta mais clara, a respeito da questão, em Chevallard evocado na tese
de doutoramento de Lídia Martínez. Respondendo:
Uma praxeologia é de algum modo uma unidade básica que pode analisar a acção humana em geral [...] por meio de dois componentes interrelacionados: práxis, isto é, a parte prática, por um lado, e o logos, por outro (CHEVALLARD apud MARTINEZ, 2012). (Tradução nossa).
A práxis pode ser designada por bloco prático-técnico. De igual modo, o logos pode ser
designado por bloco tecnológico teórico ou ainda Discurso tecnológico-teórico.
CHEVALLARD (1999) indica que uma práxis é constituída por Tarefa (tipos de tarefas) - T ,
Técnicas- ,comumente designa um saber-fazer; e logos abarca Tecnologias - e Teorias-
, comumente designa o saber.
A seguir apresentamos um quadro que sintetiza os conceitos dos constituintes da praxeologia
e sua relação com os saberes.
Quadro 3: Síntese dos componentes da Praxeologia
1. Constituintes da Práxis
1.1.Tipos de tarefas – T
No contexto da TAD, o conceito de tarefa amplia a visão corrente porque se sustenta no
princípio antropológico e faz parte da raiz da noção de Praxeologia. Nela encontram-se dois
conceitos tarefa )(t e tipos de tarefas )(T . Precisamos clarificar o seguinte: uma tarefa não é
mais do que uma proposição exposta para ser resolvida; o Tipo de tarefa associado reflecte o
que se quer resolver dentro da tarefa.
Desse modo a um tipo de tarefa existe a tarefa associada e, em geral, tipos de tarefas e tarefas
26
se expressam por um verbo. Por exemplo, resolver um sistema de três equações a três
incógnitas é uma tarefa; resolver um sistema de equações é o tipo de tarefa; resolver é o
género que caracteriza a tarefa e o tipo de tarefa em questão.
Por fim o autor supracitado conclui que os tipos de tarefas, as tarefas, e géneros de tarefas não
são dados da natureza, são artefactos, obras, construções institucionais, cuja reconstrução
numa instituição, é objecto da didáctica da matemática.
1.2.Técnicas –
Para realizar um tipo de tarefa T requerem-se uma maneira de fazê-lo, procedimentos que
devemos seguir para saber a resposta, desse modo, evoca-se o conceito de técnica.
Etimologicamente, a palavra técnica deriva do grego (tekhnê, saber-fazer). O tipo de tarefa T
e a técnica constituem, desse modo, um bloco ]/[ T designado por prático-técnico (práxis).
Esse bloco identifica-se comummente por um saber-fazer: um determinado tipo de tarefas, T ,
e uma determinada maneira, , de realizar tarefas deste tipo.
Cabe ressaltar três aspectos sobre a técnica : não é necessariamente de natureza algorítmica
(embora haja uma tendência em algoritmizá-la), têm um alcance T/ P ( ), isto é, podem
fracassar sobre uma parte do tipo de tarefa T e sobre uma instituição I, existe em geral uma
só técnica, ou ao menos um pequeno número de técnicas institucionalmente reconhecidas.
Por exemplo, no caso da nossa instituição I- Livros seleccionados podemos encontrar um
certo número de técnicas institucionalmente reconhecidas. Além disso, a exclusão de
possíveis técnicas alternativas pode conduzir aos sujeitos de I a uma ilusão de “naturalidade”
das técnicas institucionalizadas. Nesse contexto, se observa frequentemente, entre os sujeitos
de I verdadeiras paixões institucionais para as técnicas.
2. Constituintes do Logos
2.1.Tecnologias –
Quando se justifica racionalmente a técnica assegura-se que ela permite realizar as tarefas
do tipo T . Nesse contexto, em matemática, a função de justificação predomina
tradicionalmente por meio de demonstração.
O germe da demonstração ocorreu na antiguidade grega e seu objectivo era convencer
27
ARSAC (1988) apud ALMOULOUD (2007). Segundo a autora somente no século XVII, o
seu objectivo mudou para esclarecer “ fazer compreender o motivo pelo qual o enunciado é
certo”.
Assim, nesse âmbito, a tecnologia ( ) é uma exposição racional da técnica, ou seja, descreve,
explica e justifica a técnica; expõe porque é que a técnica é correcta, explicitando as vias
adequadas à situação apresentada.
Para o efeito ela compreende os seguintes objectivos:
1º Justificar racionalmente a técnica , isto é, em assegurar que a técnica permita que se
execute bem a tarefa do tipo T ;
2º Consiste em explicar, tornar inteligível e esclarecer uma técnica , isto é, em expor por
que ela funciona bem. Na matemática, tradicionalmente, a justificação de uma técnica é
realizada por meio de demonstração.
3º Consiste em produzir técnicas.
2.2.Teorias –
O discurso tecnológico contém afirmações mais ao menos explícitas que carecem duma
justificação. Nesse âmbito, entra-se num nível superior de justificação denominado teoria.
Em grego o termo teoria (theôria), na sua origem significava simplesmente a observação dum
espectáculo- o theôros era o espectador que assistia a acção sem participar. Dai que os
enunciados teóricos aparecem de forma abstracta, distantes das preocupações dos simples
tecnólogos e técnicos. Este efeito de abstracção está correlacionado com o que fundamenta a
generalidade das demonstrações teóricas: sua capacidade para justificar, explicar e produzir.
Fonte: Adaptado de CHEVALLARD (1999)
Como antecipamos, anteriormente, denominamos por Discurso tecnológico – teórico ]/[ a
união da Tecnologia e Teoria porque, em última análise, trata-se de buscar uma justificação
sobre uma técnica embora seja feita em diferentes níveis (ALMOULOUD, 2007).
2.2.Teoria Antropológica do Didáctico: Praxeologia na análise de livros didácticos de
matemática
A TAD aparece como suporte pra analisar livros didácticos de matemática em alguns
trabalhos (SILVA & BITTAR, s/d; MATEUS, 2006; SABO, 2007; JANUÁRIO, 2010;
28
BARBOSA & LIMA, 2014). Os autores apontam que a Praxeologia é um elemento útil que
capta Tipos de tarefas, Técnicas e Discurso tecnológico-teórico. Desse modo, descrevem a
Praxeologia como ferramenta útil para analisar um livro didáctico de matemática.
Em função dos objectivos, nesses trabalhos, alguns autores articularam a TAD, Teoria das
Situações Didácticas (TSD) de Guy Brousseau e Teoria de Registros de Representações
(TRR) de Raymond Duval.
Uns dos exemplos dessa articulação encontramos em JANUÁRIO (2010), esse autor percebe
as dificuldades de alguns alunos em trabalhar com o tema “função” e ciente de que seu
conceito e aplicação se estendem no âmbito da matemática, realiza uma pesquisa com três
livros do 9º ano do Ensino Brasileiro. O estudo visa identificar o modo pelo qual os autores
abordam a introdução ao conceito de função.
Para o efeito, utiliza a Praxeologia com objectivo de analisar criticamente as estratégias
utilizadas pelos autores de livros seleccionados. O autor articula a TAD, TSD e TRR.
Por meio da Praxeologia a análise realizada revela que as tarefas apresentadas nos três livros
pouco contemplam tarefas abertas6. Esse autor sugere que os autores de livros didácticos se
preocupem em expor tarefas abertas para que o aluno possa trabalhar de forma autónoma e,
aos poucos, construir seu conhecimento por meio da investigação, de tentativas e de
descobertas. Por outro lado, o estudo desperta um olhar crítico e investigativo frente ao
processo de selecção de livros didáctico de matemática.
Outra monografia se norteia especificamente na Praxeologia. Esta pertence a SABO (2007) e
tem como objectivo investigar a organização matemática7 em três livros didácticos. Neste
trabalho, a praxeologia auxilia a identificar os tipos de tarefas, técnicas e Discursos
tecnológico-teórico que permeiam a construção dos conceitos matemáticos de Análise
Combinatória.
O estudo mostra que os autores dos livros seleccionados: modificam e alternam as tarefas,
apresentam tarefas que enfatizam a aplicação das fórmulas algébricas, possuem tarefas e
técnicas muito repetitivas e semelhantes. Nesse trabalho, o autor defende que as tarefas
6 Tarefas que remetem a situações problematizadoras e investigativas. 7 O modo pelo qual os conhecimentos matemáticos estão inseridos e relacionados nos livros analisados.
29
rotineiras8 não contribuem para o crescimento do aluno pois elas modificam às vezes as
tarefas a serem realizadas, no entanto conservam-se as técnicas.
A dissertação de mestrado MATEUS (2006), que discorre sobre Cálculo Diferencial e
Integral: uma análise do ponto de vista da organização praxeológica trabalha com oito livros:
dois de autores Moçambicanos, três de autores Norte-Americanos traduzidos no Brasil e três
de autores Brasileiros. O trabalho também revela que os livros analisados enfatizam tarefas
rotineiras. Não obstante, o autor salienta a existência de uma quantidade significativa de
tarefas de interpretação e prova (tarefa não de mera reprodução de técnica).
Nesta dissertação, o autor articula as três teorias, anteriormente mencionadas. No trabalho, a
TAD sustenta a análise de Tipos de tarefas, Técnicas e o Discurso teórico-tecnológico.
A Praxeologia consta ainda, no estudo de SILVA & BITTAR (s/d) intitulado: Análise
Praxeológica sobre resolução de equações do 2º grau nos livros didácticos. A pesquisa incide
sobre três livros didácticos objectivando investigar o modo pelo qual os autores trabalham
com a resolução de equações 2º grau.
Analisa a organização matemática e didáctica com recurso a TAD (CHEVALLARD, 1999).
O estudo refere que a apresentação da organização matemática é igual nos livros analisados,
os autores conduzem gradativamente o estudo sobre equações. Os autores sustentam que as
tecnologias podem aparecer nas orações realizadas pelo autor dos livros no decorrer do
capítulo.
O trabalho de BARBOSA & LIMA (2014) analisa a introdução do conceito de equação do
primeiro grau em duas colecções de livros didácticos de uma mesma autora espaçados em 15
anos até 2014. O estudo evidencia que as colecções não alteraram as praxeologias
matemáticas9, mas sim as praxeologias didácticas. Ainda, indica que a segunda colecção
sofreu modificações significativas em sua estrutura, bem como o avanço da parte da
diagramação.
No presente trabalho, utilizamos a Praxeologia de CHEVALLARD (1999) para fundamentar
a análise Praxeológica nos dois livros seleccionados a fim de estudar a relação dos autores
com a construção do conhecimento matemático. Aplicámo-la porque fornece bases para
analisar o conhecimento matemático imanente. 8 Tarefas rotineiras exigem aplicação imediata das técnicas e identificam-se pela repetição e semelhança. 9 Tem o mesmo sentido de Organização matemática
30
Capítulo III
3.Apresentação, análise e discussão dos dados
Neste capítulo, a cada título fazemos uma apresentação, análise e discussão dos dados.
Fazemos uma análise de como os autores dos livros seleccionados tratam os sistemas de
equações. Apresentamos o número de tipos de tarefas, a forma de exposição das técnicas e
praxeologia de cada tipo de tarefa escolhida 1L e 2L para tal, tomamos como referência a
tabela 3. Na última secção, constam as sugestões.
3.1. Os dois livros seleccionados
Os dois livros enquadram-se no PEM da área das Ciências Naturais e Matemática ; Artes
Visuais e Cénicas. Tanto 1L como 2L apresentam seis unidades temáticas: Introdução a
Lógica Matemática, Álgebra, Equações e Inequações Exponenciais, Equações e Inequações
Logarítmicas, Geometria Analítica no Plano e, finalmente, Funções, Equações e Inequações
Trigonométricas. Os sistemas de equações, foco da pesquisa, são abordados na Álgebra.
O 1L inicia a abordagem sobre os sistemas de equações na página 55 e termina na página 69.
Já o 2L inicia sua abordagem a partir da página 70 e termina em 79. Em síntese, o 1L utiliza
28 páginas (frente e verso) ao passo que 2L consagra 18 páginas (frente e verso).
3.2.Como os autores dos livros seleccionados abordam os sistemas de equações?
FAGILDE (2010) autora de 1L introduz os sistemas de equações na partir de duas equações
543 yx e 832 yx (Ibid:55). A autora explica a possibilidade de obter valores de x e
y que satisfazem, simultaneamente, as duas equações.
Neste livro constam os seguintes métodos (técnicas): método de substituição, método de
redução ou adição ordenada e a Regra de Cramer.
Ademais, apresenta a classificação dos sistemas de equações:
Sistemas Possíveis e Determinados: quando tem única solução, ou seja, quando só
existe um par de números que transforma a sentença numa proposição verdadeira;
Sistemas Possíveis e Indeterminados: quando o sistema possui infinitas soluções;
Sistema Impossível: quando nenhum par de números satisfaz simultaneamente as
equações.
31
FAGILDE (2010) apresenta e resolve algumas tarefas quando introduz um método de
resolução. Ao longo do livro introduz o tema com os sistemas de duas equações lineares a
duas incógnitas, depois familiariza os sistemas de três equações a três incógnitas e também se
solidariza com os sistemas de grau superior a um (sistemas não lineares). As tarefas são
resolvidas ou propostas na base dos três métodos anteriormente mencionados.
Contudo quando ela aborda sistemas de três equações a três incógnitas não apresenta alguma
tarefa aberta, ou seja, que desencadeie um equacionamento para depois resolvê-la.
Os autores de 2L , NEVES & SILVA (2010) introduzem os sistemas de equações a partir
duma tarefa aberta:
Numa quinta havia vacas e galinhas num total de 90 cabeças e 260 pernas. Quantas vacas e
galinhas havia? (Ibid:70).
Neste livro, também são abordados as três técnicas anteriormente apontadas: método de
substituição, método de redução ou adição ordenada e a Regra de Cramer. De igual modo, os
autores exemplificam a resolução aplicando as técnicas.
No entanto quando se trabalha com os sistemas de três equações a três incógnitas, os autores
não propõem tarefas abertas.
Em síntese, os autores introduzem o tema de formas distintas mas recorrem aos sistemas de
duas equações a duas incógnitas. Quando se trata dos sistemas de três equações a três
incógnitas os autores dos dois livros não propõem nenhuma tarefa aberta.
De acordo com JANUÁRIO (2010) quando não são propostas tarefas abertas os alunos não
trabalham de modo autónomo, não investigam e pouco fazem para construir um
conhecimento.
3.3. Tipos de tarefas
Do processo de levantamento, encontramos tipos de tarefas que não se explicitavam em
nenhum género descrito na classificação de MATEUS (2006), por exemplo a tarefa do 2L :
Um fabricante de cestos ganha três meticais por cada cesto que fabrica sem defeito e perde
cinco meticais por cada cesto que fabrica com defeito. Numa semana fabricou 160 cestos e
obteve um lucro de 400 meticais. Quantos cestos com defeito foram produzidos? (NEVES e
SILVA, 2010:71).
32
Nesse contexto, embora não haja um género que identifique o tipo de tarefa em questão, a
nossa análise minuciosa, em função da finalidade, enquadra em 1T . Em BOSCH apud
MATEUS (2006) essa tarefa denomina-se tarefa aberta. Ela exige uma reflexão sobre o que se
quer, e, o que se deve fazer para alcançar o que se quer. São casos em que não há indicação da
técnica a utilizar daí que o esforço racional produz, explica e justifica a técnica a utilizar. É
uma tarefa que coloca o aluno num processo de investigação.
Tabela 1: Tipos de tarefas sobre sistemas de duas equações a duas incógnitas
1L 2L Total
1T 4 5 9
2T 0 0 0
3T 0 0 0
4T 24 8 32
5T 0 0 0
6T 0 0 0
7T 0 0 0
Total 28 13 41
Fonte: 1L e 2L
Olhando para a tabela1 é possível notar que nos dois livros há ausência de 2T , 3T , 5T , 6T e 7T .
Predominam mais tarefas de 4T e 1T . A autora de 1L propõem mais tarefas do que os autores
de 2L . Neste âmbito, os autores dos dois livros propõem poucas tarefas abertas nos dois
livros.
Os sistemas de duas equações a duas incógnitas são abordados inicialmente na 8ª classe. Na
11ª classe o PEM recomenda que devem ser tratados como revisão. A tabela 1 mostra que a
distribuição dos tipos de tarefas não é equilibrada.
33
Tabela 2: Tipos de tarefas sobre sistemas de três equações a três incógnitas
1L 2L Total
1T 0 7 7
2T 0 1 1
3T 0 1 1
4T 18 13 31
5T 0 0 0
6T 0 0 0
7T 0 0 0
Total 18 22 40
Fonte: 1L e 2L
Da tabela 2, nos dois livros, podemos notar a ausência de 5T , 6T e 7T . A autora de 1L
apresentam somente 4T . Os autores de 2L expõem outros tipos de tarefas mas enfatizam 4T .
Das tabelas 1 e 2 nota-se que 1L tem mais tarefas sobre sistema de duas equações a duas
incógnitas em detrimento de tarefas sobre sistema de três equações a três incógnitas. Na 11ª
classe, o foco são os sistemas de três equações a três incógnitas apesar de introduzir-se a partir
de sistemas de duas equações a duas incógnitas assim, compreendemos a necessidade de que
se considerasse mais tarefas sobre o foco da classe como fizeram os autores de 2L .
Tabela 3: Distribuição dos tipos de tarefas sobre sistemas de equações
1L 2L
1T 4 12
2T 0 1
3T 0 1
4T 42 21
34
5T 0 0
6T 0 0
7T 0 0
Total 46 35
Fonte: 1L e 2L
Em virtude da tabela 3 podemos afirmar que os autores dos livros no tema em estudo
enfatizam 4T e em segundo lugar 1T . Há ausência de 5T , 6T e 7T . Para os restantes tipos de
tarefas ( 2T e 3T ) BOSCH et al., apud MATEUS (2006) afirmaria que aparecem de forma
insignificante e com carácter decorativo. Adicionalmente, os trabalhos de MATEUS (2006) e
SABO (2007) revelam que os autores de livros didácticos propõem, frequentemente, uns tipos
de tarefas em detrimento das outras. Nesse âmbito, há tendências de transformar as tarefas,
todavia a sua essência permanece, o que contribui para que sejam rotineiras.
A tabela 3 ainda mostra como os autores valorizam o bloco prático-técnico. Segundo
MATEUS (2006) esse bloco caracteriza-se por enfatizar 1T , 2T e 4T , ao passo que, 3T , 5T , 6T
e 7T , são tipos de tarefas que sustentam o bloco tecnológico-teórico. A tabela 3 evidencia que
os autores dois livros apresentam mais tarefas que sustentam o bloco prático-técnico.
A ênfase ao bloco prático-técnico (práxis) pode contribuir para que os alunos se
circunscrevam ao domínio do saber-fazer matemática em detrimento de saber matemática.
Com isso, os alunos ou professores podem ser capazes de resolver tarefas matemáticas porém
podem não conseguir justificar as técnicas que utilizam. Podem conseguir resolver as tarefas
sem causar um esforço intelectual (JANUÁRIO, 2010).
A carência de tarefas que sustentam o bloco tecnológico-teórico (logos) pode enfraquecer o
processo de construção do conhecimento matemático. Da tabela 3 somente uma tarefa ( 3T )
fundamenta o bloco tecnológico-teórico. O estudo de MATEUS (2006) em oito livros dos
quais dois são de autores Moçambicanos embora tenha mencionado que as tarefas
predominantes, nos livros analisados, são rotineiras aponta que há uma quantidade
significativa de 3T e 7T . No nosso caso, somente identificamos uma 3T . Isso permite-nos
35
concluir que há um forte desequilíbrio na articulação do bloco prático-técnico e tecnológico-
teórico.
3.4. O fundamento das técnicas
Devemos nos lembrar que técnicas são maneiras de fazer um tipo de tarefa, ou seja, coincide
com as formas de resolução que se podem aplicar às tarefas. Assim, por técnicas designamos
os métodos de resolução o que não difere de maneiras de fazer um certo tipo de tarefa. Em
seguida, apresentamos um quadro contendo o modo de exposição das técnicas.
Quadro 4: Técnicas justificadas e não justificadas (apresentadas) nos dois livros
Livros Técnicas demonstradas Técnicas apresentadas
1L 3 :regra de Cramer
1 :método de substituição.
:2 método de adição
ordenada.
2L *
1 :método de substituição.
:2 método de adição
ordenada.
Fonte: 1L e 2L
(*) Com esse símbolo, queremos dizer “nenhuma técnica encontrada”.
Quanto a forma de exposição e justificação da técnica, o quadro 5, mostra que somente a
autora do 1L apresenta a demonstração da regra de Cramer para um sistema de duas equações
a duas incógnitas. Para outras técnicas os autores dos livros analisados enaltecem a
interpretação dum enunciado relacionado a técnica. Desta forma, não são apresentadas
condições pelas quais as técnicas foram esboçadas, apenas são apresentadas completamente
acabadas. Por conseguinte, não se esclarece ou ainda não se faz perceber o motivo pelo qual a
técnica é certa.
3.5. Análise Praxeológica de algumas tarefas
A análise preliminar efectuada nos dois livros seleccionados mostra que o discurso
tecnológico- teórico não aparece explicitamente. Contudo, SILVA & BITTAR (s/d) sustentam
36
que as tecnologias podem aparecer nas orações realizadas pelo autor dos livros no decorrer do
capítulo. Então, captamos as explicações que permeiam as resoluções de alguns tipos de
tarefas, ainda assim, algumas tarefas (correspondentes) careceram de um esclarecimento em
relação a resolução, por isso, trouxemos à luz alguns aspectos de modo a subsidiar as
resoluções apresentadas.
Estes subsídios dados, de alguma forma evidenciam que o nosso objectivo não consistiu em
depreciar nem engrandecer os livros analisados, mas estudar a relação dos autores com as
condições para a construção do conhecimento matemático inerentes aos sistemas de equações
olhando para as tarefas. Por consequência, os livros seleccionados foram inspeccionados para
satisfazer os nossos objectivos.
De facto, em cada livro, identificamos erros numa tarefa resolvida pelos autores em relação ao
método de adição ordenada. Em seguida afiguramos os dados mencionados.
Figura 1: Fragmento da tarefa resolvida pela autora do 1L
Fonte: FAGILDE (2010:57).
Olhando atenciosamente a figura acima, podemos constatar que a multiplicação da primeira
equação por três, não produziu uma equação equivalente, além disso, a adição ordenada entre
os termos independentes do segundo sistema equações apresenta-se com problemas inerentes
a operações de números mostrando:13+14= 11 .
Figura 2: Fragmento da tarefa resolvida pelos autores do 2L
Fonte: NEVES & SILVA (2010:74).
37
Já para o caso do 2L , a figura 4 destaca a insubordinação aos princípios que norteiam as
operações de números inteiros, quando os autores adicionam ordenadamente a terceira coluna,
da 1ª e 2ª equação, ou seja, operam: zzz 3)2(5 .
A propósito dessa resolução, imaginemos que este momento seja encarado por um aluno, por
um professor que não teve uma formação em matemática? Discutir as potencialidades desta
questão, quanto a construção do conhecimento matemático, não constitui o escopo do nosso
trabalho, no entanto, é um assunto que merece um estudo. Nesse aspecto também se pode
explorar o impacto dos erros dessa natureza para um professor que não teve formação no
ensino da matemática. Portanto, segundo afirmamos anteriormente, não iremos discutir essas
questões neste trabalho.
A seguir, em função da tabela 3, apresentamos a análise praxeológica de seis tarefas extraídas
de 1L e 2L . A análise praxeológica, nesse âmbito, tem como objectivo mapear os tipos de
tarefas, técnicas e Discurso tecnológico-teórico predominante nos livros.
As primeiras duas tarefas ( 1t e 2t ) pertencem ao 1L . As restantes quatro ( 3t , 4t , 5t e 6t )
pertencem ao 2L . Importa mencionar que 2t e 3t são tarefas resolvidas pelos autores de 1L e
2L , respectivamente. Contudo, demos nosso subsídio (explicações). As demais tarefas
sugerem nossa forma de resolução e apresentamos neste texto.
1t – Calcule as dimensões dum rectângulo de área 25m2 e de perímetro 12cm.
1T : Calcular as dimensões dum rectângulo
1 : método de substituição
De modo a facilitar a compreensão apresentamos estágios do processo.
1º Estágio: consideramos um rectângulo R de cumprimento c e largura l .
Nestas condições, a sua área e perímetro são, respectivamente, lcAR e )(2 lcPR .
Desse modo, o enunciado sustenta que a 225mAR e mPmcmP RR 12,0100
1212
2o Estágio: tendo em conta que um rectângulo possui área e perímetro e, neste caso, trata-se
do mesmo rectângulo, relacionámo-los num sistema. Em seguida, resolvemos pelo método de
substituição.
38
Evidentemente, a segunda equação é quadrática. Neste âmbito, a equação não possui raízes
reais porque o binómio discriminante ( acb 42 ) é negativo, isto é
0)25)(1(4)06,0( 2 . Portanto, neste contexto, não é possível determinar as dimensões do
rectângulo.
Discurso tecnológico-teórico ]/[ 1 : chama-se área de um rectângulo a razão entre o
rectângulo e o rectângulo unitário, ou seja, dado um rectângulo R de cumprimento c e
largura l e um rectângulo 1R de cumprimento e largura iguais a unidade, neste âmbito, a
razão entre R e 1R corresponde a área do rectângulo R, isto é, 1R
RlcA
R
lcRR
)1;1(
);(
1
. Por
outro lado, o perímetro duma superfície plana é igual a soma das suas medidas. Por isso,
)(2 lcPR . O método de substituição é aplicado depois de se organizar o sistema. Ele
funciona bem neste caso porque não encontra limitações e se fundamenta num dos princípios
de equivalência: Princípio de substituição de onde resolvendo uma das equações em ordem a
uma das incógnitas na outra equação, obtém-se um sistema equivalente ao sistema dado, ou
seja, num sistema de equações relaciona e pode resolver as equações relativamente a uma das
incógnitas e substituir na outra equação e o sistema se mantém equivalente. Neste sentido, as
soluções do sistema são equivalentes no domínio estabelecido.
2t – Resolva o sistema:
743
132
yx
yx
4T : Resolver o sistema
:2 método de adição ordenada.
1º Estágio: Para resolver por este método procedemos do seguinte modo: multiplicamos a 1ª
equação por 4 e 2ª por 3. Em seguida, adicionamos as duas equações e obtemos o valor de x .
21129
4128
743
132)4(
)3( yx
yx
yx
yx
02506,0
06,0
25)06,0(
06,0
25
06,0)(22 ll
lc
ll
lc
lc
lc
lcA
lcP
R
R
39
17
25
2517
x
x
2º Estágio: voltamos ao sistema inicial e procedemos da mesma forma para determinar o valor
de y . Multiplicamos a 1ª equação por 3 e a 2ª por -2. Em seguida adicionamos as duas
equações e obtemos o valor de y .
1486
396
743
132)3(
)2( yx
yx
yx
yx
17
11
1117
y
y
Logo, a solução do sistema é:
17
11;
17
25S
Discurso tecnológico-teórico ]/[ 2 : se num sistema de equações substituirmos uma equação
pela que se obtém adicionando ordenadamente essa equação com qualquer das outras,
obteremos um sistema equivalente ao primeiro. Essa técnica funciona bem porque se
fundamenta no Principio de equivalência da adição.
3t – Numa quinta havia vacas e galinhas num total de 90 cabeças e 260 pernas. Quantas
vacas e galinhas havia?
1T : Obter o número de galinhas e vacas.
:1 Utilizar um sistema de duas equações a duas incógnitas resolvendo pelo método de
substituição.
1º Estagio: atribuição de incógnitas ao número de galinhas x e de vacas y
2º Estagio: Sabemos que cada galinha possui uma cabeça e duas pernas (patas) logo, x
galinhas possuem 1 x cabeças e 2 x pernas. Por outro lado, cada vaca possui uma cabeça e
quatro pernas assim, y vacas possuem 1 y e 4 y pernas.
De acordo com o enunciado:
- Na quinta havia vacas e galinhas num total de 90 cabeças, isto é, 90 xy 90 yx
40
- Vacas e galinhas num total de 260 pernas, isto é, 26024 xy 26042 yx
3º Estagio: Resolução do problema através de um sistema de duas equações a duas incógnitas
aplicando o método de substituição
40
50
40
4090
40
90
2
80
90
802
90
18026042
90
26042180
90
2604)90(2
90
26042
90
y
x
y
x
y
yx
y
yx
y
yx
yy
yx
yy
yx
yy
yx
yx
yx
Na quinta havia 50 galinhas e 40 vacas.
Discurso tecnológico-teórico ]/[ 1 : Para a tarefa acima exposta e o seu tipo associado,
existe uma relação entre o número de vacas e galinhas associadas ao problema. O método de
substituição se torna válido porque se fundamenta num dos princípios de equivalência:
Princípio de substituição de onde resolvendo uma das equações em ordem a uma das
incógnitas na outra equação, obtém-se um sistema equivalente ao sistema dado, ou seja, num
sistema de equações relaciona e pode resolver as equações relativamente a uma das incógnitas
e substituir na outra equação e o sistema se mantém equivalente. Neste sentido, as soluções do
sistema são equivalentes no domínio estabelecido.
4t – Verifique que o terno (2, -5,3) é solução do sistema a seguir:
61063
41592
253
zyx
zyx
zyx
2T : verificar a solução do sistema
4 : substituir cada ordenadamente )3,5,2( em ),,( zyx do sistema.
66
44
22
630306
445454
215152
6310)5(623
4315)5(922
235)5(32
Discurso tecnológico-teórico ]/[ 4 : constitui solução dum sistema de n equações a n
incógnitas o conjunto de objectos que transformam as equações numa sentença logicamente
verdadeira. Nesse tipo de tarefa pode-se utilizar diversas vias de resolução. A técnica que
empregamos tem como base os conceitos de solução e a noção proposição. Se no caso a
proposição fosse falsa afirmaríamos que o terno não é solução do sistema.
41
5t – Mostre que o sistema abaixo admite como solução todos ternos ordenados do tipo
(2,−5�, 3�) em que IRa (é um sistema indeterminado).
61063
41592
253
zyx
zyx
zyx
3T : mostrar que o sistema é indeterminado
3 : Regra de Cramer
1º Estágio: calculemos primeiro o determinante do sistema e depois os outros
determinantes yx , e z .
O é formado pelos coeficientes dos termos intervenientes em cada uma das equações,
então:
�1 3 52 9 153 6 10
�= 3210115659362561531091
06090135601359060901356013590
Para o cálculo de x , y e z na coluna correspondente aos coeficientes de yx, ou z
colocamos os termos independentes do nosso sistema.
x �2 3 54 9 156 6 10
� 3410215659664561531092 x
120180270120270180120180270120270180 xx
0 x
y �1 2 52 4 153 6 10
� 2210115654362531521041 x
409060609040409060609040 yy
0 y
42
z �1 3 22 9 43 6 6
� 326146293622343691 z
362454243654362454243654 zz
0 z
2º Estágio: vamos substituir os valores dos determinantes e ordenadamente substituiremos os
valores do terno (2,−5�, 3�) para confirmar a sua solubilidade.
Assim, 00020
xx
xx
00050
ayy
yy IRa
00030
azz
zz IRa
Portanto, IRa o terno (2, −5�, 3�) é solução do sistema.
Discurso tecnológico-teórico ]/[ 3 : a Regra de Cramer funciona bem neste caso porque não
temos sistemas de equações de grau dois ou superior. Neste sentido, os sistemas de
�equações a � incógnitas podem ser resolvidos com colaboração da Regra de Cramer. Para o
efeito, são necessários conhecimentos inerentes a matrizes e determinantes. Portanto, as
soluções dum sistema de � equações a � incógnitas produzem-se a partir das fracções que tem
por denominador o determinante do sistema e os numeradores são determinantes, deduzidos
por substituição dos coeficientes da incógnita pelos termos independentes das equações,
respectivamente. Ainda IRa o terno (2, −5�, 3�) constitui solução do sistema pois se
trata dum sistema indeterminado, por consequência admite infinitas soluções. Isso acontece
quando todos determinantes são nulos.
6t – Resolva o seguinte sistema de equação
134
222 yx
yx
4T : Resolver o sistema
1 : método de substituição.
1º Estágio: Isolar uma das incógnitas na 1ª equação, neste caso, isolaremos �.
43
0945
2
13544
2
134224
2
13422
2
1342
2
134
2
2222
22222
yy
yx
yy
yx
yyyy
yx
yyy
yx
yy
yx
yx
yx
Temos assim, como segunda equação do sistema, uma equação quadrática do tipo
02 cbyay como 00 vale 0)9(45 22 cbyayyy . Portanto, 4,5 ba e
9c .
Com auxílio da Fórmula Resolvente pretendemos determinar as raízes da equação. E
procedemos do seguinte modo:
196
18016
45416
)9(544
42
2
acb
10
144
52
1964
22/12/12/1
yy
a
by
5
9
10
18
10
144111
yyy
110
10
10
144222
yyy
Em suma, as raízes da equação 0945 2 yy são 5
91 y e 12 y
Rescrevendo o sistema de equações vem:
15
9
2
21 yy
yx
efectivamente, termos dois
valores de x , isto é, 1x ; 2x .
3
5
1
12
5
92
2
2
2
1
2
1
22
11
x
x
x
x
yx
yx
Daí que a solução do sistema é:
15
9
35
1
21
21
yy
xx
Discurso tecnológico-teórico ]/[ 1 :neste caso, o método de substituição funciona bem
porque permite ser desenvolvido sem restrições. Ainda, ele se fundamenta no Principio de
equivalência o que justifica as equações e soluções encontradas pertencem ao mesmo
44
domínio. As raízes de uma equação quadrática podem ser determinadas com auxílio da
Fórmula Resolvente: a
by
22/1
em que acb 42 e tem solução em IR para 0
.Por outro lado, uma equação quadrática é insolúvel quando 0 pois, não existe um
número real cujo quadrado seja menor que zero, ou ainda, não existe raiz, de índice par, dum
número negativo.
Analisando os livros, reconhecemos que algumas técnicas encontram limitações quando se
propõem algumas tarefas, por exemplo, 1t : Calcule as dimensões dum rectângulo de área
25m2 e de perímetro 12cm, mostra que as 32 , e 4 não são aplicáveis a este caso, no
entanto, a 1 pode ser utilizada. Também evidenciamos uma técnica não institucionalizada
em 2L porém pode ser aplicada para resolver 4t :Verifique que o terno (2, -5,3) é solução do
sistema a seguir:
61063
41592
253
zyx
zyx
zyx
Essa análise nos permitiu concluir que nenhuma técnica é mais importante do que as outras.
Não obstante, esboçámos um quadro que descreve essencialmente a Praxeologia dos dois
livros.
Quadro 5: Praxeologia dos Livros estudados
I T / (Discurso tecnológico-teórico)
1L e 2L
1T
3T
4T
1 : método de
substituição
]/[ 1 : num sistema, podemos resolver uma das
equações relativamente a uma das incógnitas e
substituir na outra equação e o sistema se mantém
equivalente. Esse método funciona bem porque se
fundamenta num dos Princípios de equivalência e
garante que a solução do tipo de tarefa pertença ao
mesmo domínio.
2 : método de
adição ordenada
]/[ 2 : se num sistema de equações substituirmos
uma equação pela que se obtém adicionando
ordenadamente essa equação com qualquer das outras,
obteremos um sistema equivalente ao primeiro. Esse
45
método também se fundamenta no Principio de
equivalência da adição. A técnica funciona bem para
casos em que não aparecem equações de grau superior
a um.
1L e 2L
1T
3T
4T
3 : Regra de
Cramer
]/[ 3 : a regra de Cramer utiliza os conceitos de
matriz e determinantes. Os sistemas de �equações a �
incógnitas podem ser resolvidos com colaboração da
Regra de Cramer. Para o efeito, são necessários
conhecimentos inerentes a matrizes e determinantes.
Portanto, as soluções dum sistema de � equações a �
incógnitas produzem-se a partir das fracções que tem
por denominador o determinante do sistema e os
numeradores são determinantes, deduzidos por
substituição dos coeficientes da incógnita pelos termos
independentes das equações, respectivamente.
2L 2T
4 : substituir
cada valor,
respectivamente,
),,( zyx do
sistema
]/[ 4 : constitui solução dum sistema de n equações
a n incógnitas o conjunto de objectos que
transformam as equações numa sentença numa
proposição logicamente verdadeira.
Fonte: Organizado pelos autores
Perante uma tarefa, julgamos que uma abordagem dessa natureza pode contribuir para que
haja menos imposições. O conhecimento subjacente a tarefa pode ser problematizado e
discutido por forma a conduzir o aluno, professor que não teve formação em ensino da
matemática e os demais leitores construam seu repertório de conhecimentos para ultrapassar a
problemática. Assim, também se abrem janelas para que os engajados nessas tarefas aberta se
guiem pelas demonstrações de modo a produzir uma forma de pensar próprio.
46
Capítulo IV
4.1. Conclusões
Sentimo-nos realizados porque conseguimos alcançar nossos objectivos. Ademais, abrimos
uma janela para estudos futuros sobre o tema, por exemplo, estudar a eficácia da construção
do conhecimento matemático, numa sala de aulas planificando as tarefas com base na
Praxeologia. Pode-se empreender um estudo sobre livros didácticos para apurar aspectos
didácticos, mais uma vez, a TAD fornecerá bases para os devidos efeitos.
Com base nos resultados da pesquisa constatamos que a maior parte das tarefas expostas
caracterizam-se pelos seguintes género: resolver, calcular, determinar e obter. Há ausência de
tarefas caracterizadas por: analisar, explicar e interpretar. Os resultados ainda evidenciam que
no tema analisado seus autores dão pouca atenção em clarificar as razões pelas quais uma
técnica é certa.
Deste modo concluímos que, no tema em estudado, a construção do conhecimento
matemático é pouco significativa visto que os tipos de tarefas enfatizados pouco contribuem o
entendimento da técnica e suas limitações. Assim, para um professor não formado em
matemática, um aluno que dispõe do livro para estudar ainda, qualquer um que julgue
pertinente apreciar a matemática depara-se com um mundo de imposições com poucas
justificações.
A possibilidade de construção do conhecimento matemático pelo aluno ou professor
relaciona-se a sua investigação permanente quando encara um certo tipo de tarefa. Os tipos de
tarefas que apenas carecem duma aplicação imediata das técnicas podem enfraquecer o
conhecimento e o pensamento do deles. Assim, as possibilidades de construção de um
conhecimento matemático assentam-se nas tarefas abertas.
47
4.2. Sugestões
Os sistemas de equações são abordados em princípio na 8ª classe, desse modo, na 11ª classe
deveriam providencia-se muitas tarefas abertas, uma vez que é pela segunda vez que se
trabalha com o tema. Percebemos que é possível tornar o livro escolar forte aliado dos PEA.
Entendemos que a construção dos conhecimentos matemáticos referentes aos sistemas de
equações poderia fortalecer-se propondo muitas tarefas abertas, dados que apenas constitui
novidade a apresentação da 3 seria uma oportunidade para os autores dos livros analisados
apostarem em tarefas abertas posto que podem mudar significativamente o desencanto com a
qual a matemática é vista hoje em dia. Sugerimos que se envolvam tarefas abertas sobre
sistemas de três equações a três incógnitas.
Vimos que a formação aparece como uma base e a realidade é dinâmica, ocorrem
adversidades, é necessário que os autores contem com a diversidade cognitiva de seus
destinatários. Essa diversidade pode ser aproveitada numa unidade para gerar fundamentos
aceites por quase todos. Pedimos que se procure evitar erros porque os livros estão a
disposição de muitos, alguns dos quais o têm pela primeira vez.
Sugerimos que sejam levadas em conta as teorias desenvolvidas no palco da Didáctica de
Matemática, por exemplo a TAD, TRR, TSD, e outras. A TAD, Praxeologia, poderia ajudar a
estabelecer um equilíbrio significativo na modelagem das práticas matemáticas.
Sugerimos também que se inclua, abordagem histórica sobre o tema a abordar isso provaria
que a matemática é produto humano alcançado com insistências acima dos fracassos. Com
outros subsídios engrandecedores: demonstrações, tarefas visualizadas, entre outras, decerto
que o volume dos livros didácticos de matemática não seria diminuto como hoje se
apresentam.
Para pesquisas futuras, sugerimos um estudo que abrangesse muitos Livros Didácticos de
Matemática do ensino Moçambicano. O estudo poderia evidenciar a contribuição dos autores
desses livros didácticos a respeito da construção do conhecimento. Esse estudo seria
importante porque um dos Princípios orientador do Currículo do Ensino Secundário Geral
recomenda o Ensino e Aprendizagem centrado no aluno.
48
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Abril de 2015 pelas 11h49min.
VALENTE, S. M. P. Competências e habilidades: pilares do paradigma avaliativo emergente.
[online] Disponível na Internet via
http://www.dee.ensino.eb.br/novo/wpcontent/uploads/downloads/2011/09/COMPEtENCIAS_
E_HABILIDADES.pdf. Arquivo capturado aos 23 de Fevereiro de 2015 pelas 21h:09.
50
Anexo 1: Lista de livros aprovados pelo CALE-2012
51
Anexo 2: Boletim da República de Moçambique, 19, 11 de Maio de 2011
