ANÁLISE DE TRANSFERÊNCIA DE CALOR EM CÁPSULAS …objdig.ufrj.br/60/teses/coppe_m/MilenaVilarFranca.pdf · xii ÍNDICE DE TABELAS Tabela 5.1: Propriedades Termofísicas do Cobre

i

ANÁLISE DE TRANSFERÊNCIA DE CALOR EM CÁPSULAS USADAS NA

CARACTERIZAÇÃO TÉRMICA DE FLUIDOS ATRAVÉS DO MÉTODO FLASH

Milena Vilar França

Dissertação de Mestrado apresentada ao

Programa de Pós-graduação em Engenharia

Mecânica, COPPE, da Universidade Federal do

Rio de Janeiro, como parte dos requisitos

necessários à obtenção do título de Mestre em

Engenharia Mecânica.

Orientadores: Helcio Rangel Barreto Orlande

Zaqueu Ernesto da Silva

Rio de Janeiro

Outubro de 2011

ii


CARACTERIZAÇÃO TÉRMICA DE FLUIDOS ATRAVÉS DO MÉTODO FLASH


DISSERTAÇÃO SUBMETIDA AO CORPO DOCENTE DO INSTITUTO ALBERTO

LUIZ COIMBRA DE PÓS-GRADUAÇÃO E PESQUISA DE ENGENHARIA

(COPPE) DA UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO COMO PARTE

DOS REQUISITOS NECESSÁRIOS PARA A OBTENÇÃO DO GRAU DE MESTRE

EM CIÊNCIAS EM ENGENHARIA MECÂNICA.

Examinada por:

________________________________________________

Prof. Helcio Rangel Barreto Orlande, Ph.D.

________________________________________________

Prof. Zaqueu Enersto da Silva, Dr.

________________________________________________

Prof. Renato Machado Cotta, Ph.D.

________________________________________________

Prof. Gilmar Guimarães, D.Sc.

RIO DE JANEIRO, RJ - BRASIL

OUTUBRO DE 2011

iii

Vilar França, Milena

Análise de Transferência de Calor em Cápsulas

Usadas na Caracterização Térmica de Fluidos através do

Método Flash / Milena Vilar França. – Rio de Janeiro:

UFRJ/COPPE, 2011.

XIV, 108 p.: il.; 29,7 cm.



Dissertação (mestrado) – UFRJ/ COPPE/ Programa de

Engenharia Mecânica, 2011.

Referências Bibliográficas: p. 104-108.

1. Método Flash. 2. Propriedades Termofísicas. 3.

Nanofluidos. I. Orlande, Helcio Rangel Barreto et al. II.

Universidade Federal do Rio de Janeiro, COPPE,

Programa de Engenharia Mecânica. III. Título.

iv

AGRADECIMENTOS

Agradeço a Deus por sempre guiar o meu caminho.

A minha família pela educação e por toda a sua contribuição para o meu

crescimento.

A Helcio Rangel Orlande, meu orientador, pela paciência, amizade e por todas

as sessões de orientação e incentivos.

A Zaqueu Ernesto da Silva, meu coorientador por seu apoio, orientação e por

sempre demonstrar sua amizade.

Aos professores Renato Cotta, Carolina Navieira-Cotta, e aos funcionários do

LTTC pela boa vontade em me ajudar sempre que precisei.

A equipe do LTTC, Lamien Bernard, Wellignton Bitencourt, Maycon

Magalhães, Ivana Cerqueira, Ana Magalhães, Italo Madeira, pela ajuda e pelo

companheirismo durante essa convivência.

Aos colegas Henrique Massard e Flávio Vianna que mesmo distantes me

auxiliaram na elaboração deste trabalho.

A todas as pessoas queridas minhas que sempre me fizeram reforçar a fé na vida

durante os momentos difíceis.

v

Resumo da Dissertação apresentada à COPPE/UFRJ como parte dos requisitos

necessários para a obtenção do grau de Mestre em Ciências (M.Sc.)


CARACTERIZAÇÃO DE FLUIDOS ATRAVÉS DO MÉTODO FLASH


Outubro/2011



Programa: Engenharia Mecânica

O avanço recente de fluidos com suspensões de nanopartículas, conhecido como

nanofluidos, abriu a possibilidade de uma melhoria efetiva em processos industriais que

envolvam a transferência de calor por meio de fluidos. Isto deve-se em grande parte às

mudanças das propriedades termofísicas dos nanofluidos em comparação com aquelas

dos fluidos base, como a condutividade térmica. É possível caracterizar propriedades

termofísicas de nanofluidos usando o método Flash. Este método é considerado preciso

e eficiente para a determinação das propriedades termofísicas de diversos tipos de

materiais, incluindo meios opacos e semitransparentes, sólidos, líquidos, etc. Neste

trabalho, são analisadas cápsulas para medições da condutividade térmica de líquidos

pelo Método Flash, através de um modelo bidimensional de condução de calor em

coordenadas cilindricas. Foram realizadas simulações para cápsulas de diferentes

tamanhos, com tampas constituídas de alumínio ou cobre, e parede lateral de alumínio

ou teflon. As simulações demonstraram que nas cápsulas construídas com parede de

alumínio, a transferência de calor axial através de sua parede lateral, afeta a variação de

temperatura média na face não-aquecida da cápsula, a qual é usada para as medições das

propriedades da amostra de líquido. Tal efeito não é notado nas cápsulas com parede

lateral de teflon. As especificações do método Flash usadas nas simulações são as do

NETZSCH Nanoflash LFA 447, disponível no Laboratório de Transmissão e

Tecnologia do Calor (LTTC) do PEM/COPPE/UFRJ.

vi

Abstract of Dissertation presented to COPPE/UFRJ as a partial fulfillment of the

requirements for the degree of Master of Science (M.Sc.)

HEAT TRANSFER ANALYSIS IN ENCLOSURE USED TO CHARACTERIZE

FLUIDS BY FLASH METHOD


October 2011

Advisors: Helcio Rangel Barreto Orlande


Department: Mechanical Engineering

The recent advancement in fluids with suspensions of nanoparticles, known as

nanofluids, has opened the possibility of effective improvements in industrial processes

involving heat transfer through liquids. This is chiefly due to thermophysical properties

modifications in nanofluids comparing to those of the base fluids, such as thermal

conductivity. To characterize nanofluids in terms of their thermophysical properties one

can use the Flash method. This is an accurate and efficient method for determining

thermophysical properties of different materials, including semitransparent and opaque

media, solids, liquids, etc. This work analyses, via the Flash method, capsules for

measuring thermal conductivity of liquids through a two-dimensional heat conduction

model in cylindrical coordinates. Simulations were run for capsules of different sizes,

with lids made of aluminum or copper, and side walls of aluminum or teflon. They have

shown that, in capsules with aluminum walls, the axial heat transfer through the side

wall affects the variation of the average temperature at the capsule’s non-heated surface,

which is used for measuring the liquid thermophysical properties. Such effect was not

noticed in capsules with teflon side walls. The specifications of the Flash method used

in the simulations were those of the NETZSCH Nanoflash LFA 447, available in the

Laboratory of Heat Transfer and Technology (LTTC) of PEM/COPPE/UFRJ.

vii

SUMÁRIO

CAPÍTULO 1 .................................................................................................................. 1

INTRODUÇÃO .............................................................................................................. 1

1.1 MOTIVAÇÃO ...................................................................................................... 1

1.2 OBJETIVOS ......................................................................................................... 6

1.2.1 OBJETIVO GERAL ..................................................................................... 6

1.2.2 OBJETIVOS ESPECÍFICOS ....................................................................... 7

1.3 ESTRUTURA DO TRABALHO ......................................................................... 7

CAPÍTULO 2 .................................................................................................................. 9

REVISÃO BIBLIOGRÁFICA ...................................................................................... 9

2.1 NANOFLUIDOS .................................................................................................. 9

2.2 MÉTODO FLASH - PRINCÍPIO DE FUNCIONAMENTO ............................ 24

2.3 ALGUNS MODELOS MATEMÁTICOS DO MÉTODO FLASH ................... 28

2.4 USO DO MÉTODO FLASH PARA LÍQUIDOS .............................................. 33

CAPÍTULO 3 ................................................................................................................ 41

PROBLEMA FÍSICO E FORMULAÇÃO MATEMÁTICA .................................. 41

3.1 NANOFLASH – LFA 447 ................................................................................... 41

3.2 PROBLEMA FÍSICO ......................................................................................... 44

3.3 FORMULAÇÃO MATEMÁTICA DO PROBLEMA....................................... 46

3.4 FORMULAÇÃO MATEMÁTICA ADIMENSIONAL DO PROBLEMA ....... 48

CAPÍTULO 4 ................................................................................................................ 50

MÉTODO DE SOLUÇÃO ........................................................................................... 50

4.1 SOLUÇÃO POR VOLUMES FINITOS ............................................................ 50

4.2 SOLUÇÃO DO PROBLEMA ATRAVÉS DO USO DA TÉCNICA DA

TRANSFORMADA INTEGRAL .............................................................................. 59

4.3 SOLUÇÃO DO PROBLEMA ATRAVÉS DO USO DA FUNÇÃO PDEPE DO

MATLAB 7.0 ............................................................................................................. 64

CAPÍTULO 5 ................................................................................................................ 66

RESULTADOS ............................................................................................................. 66

5.1 ANÁLISE DE CONVERGÊNCIA DAS SOLUÇÕES DE TRANSFORMADA

INTEGRAL E DE VOLUMES FINITOS PARA UM MEIO ÚNICO ...................... 66

5.2 VERIFICAÇÃO DA SOLUÇÃO NUMÉRICA PARA UM MEIO ÚNICO .... 73

5.3 ANÁLISE DE CONVERGÊNCIA PARA A SOLUÇÃO NUMÉRICA POR

PDEPE ........................................................................................................................ 76

5.3.1 ANÁLISE DE CONVERGÊNCIA PARA MEIO ÚNICO ........................ 76

5.3.2 ANÁLISE DE CONVERGÊNCIA PARA MEIO COM TRÊS CAMADAS

.................................................................................................................... 77

5.4 ANÁLISE DE CONVERGÊNCIA DA MALHA ESPACIAL PARA A

SOLUÇÃO POR VOLUMES FINITOS PARA UM MEIO COM TRÊS CAMADAS

............................................................................................................................ 78

viii

5.5 VERIFICAÇÃO DA SOLUÇÃO NUMÉRICA DE VOLUMES FINITOS COM

A SOLUÇÃO NUMÉRICA POR PDEPE ................................................................. 79

5.6 ANÁLISES PARA UMA CÁPSULA COM MEIA POLEGADA DE

DIÂMETRO ............................................................................................................... 82

5.6.1 ANÁLISE DE CONVERGÊNCIA DA MALHA ESPACIAL .................. 83

5.6.2 CASOS TESTE DA CÁPSULA COM 0.5'' ....................................... 86

5.7.1 ANÁLISE DE CONVERGÊNCIA DA MALHA ESPACIAL .................. 93

5.7.2 ANÁLISES DOS CASOS TESTES PARA 1'' ................................... 96

CAPÍTULO 6 .............................................................................................................. 102

CONCLUSÕES E SUGESTÕES .............................................................................. 102

REFERÊNCIAS ......................................................................................................... 104

ix

ÍNDICE DE FIGURAS

Figura 1.1: Histórico de publicações de nanofluidos ..................................... 3

Figura 1.2: Número de artigos contendo “nanofluido” ou “nanofluidos” até o

ano de 2010 ....................................................................................................................... 4

Figura 2.1: Nanofluido de Óxido de Alumina com aglomeração de

nanopartículas à esquerda. À direita nanofluido sem aglomeração de nanopartículas .. 12

Figura 2.2: Esquema da seção transversal do nanofluido ............................. 17

Figura 2.3: Amostra sendo atingida pelo pulso de energia........................... 25

Figura 2.4: Esquema de um equipamento que utiliza o Método Flash......... 26

Figura 2.5: Curvas do aumento da temperatura no método Flash ................ 27

Figura 2.6: Perturbações da amostra de mercúrio ........................................ 34

Figura 2.7: Diagrama esquemático da cápsula desenvolvida por Ohta et al

(2001) ............................................................................................................................. 35

Figura 2.8 Esquema implementado por Remy e Degiovanni (2005). .......... 37

Figura 2.9: Cápsula para líquidos e materiais pastosos para o método flash 38

Figura 3.1: Modelo Físico do Nanoflash LFA 447 ...................................... 42

Figura 3.2: Suporte de Amostras .................................................................. 42

Figura 3.3: Cápsula para líquidos ................................................................. 43

Figura 3.4: Esquema do Modelo de Três Camadas ...................................... 43

Figura 3.5: Problema Físico.......................................................................... 45

Figura 3.6: Vista lateral da cápsula .............................................................. 48

Figura 4.1: Esquema de uma malha bidimensional no método dos volumes

finitos .............................................................................................................................. 51

Figura 4.2: Vista lateral do esquema da malha bidimensional de 0 a Rmax .. 52

Figura 4.3. Esquema da malha temporal ...................................................... 59

Figura 5.1: Análise da malha temporal durante o período de aquecimento . 72

Figura 5.2: Verificação da solução por volumes finitos com a solução por

CITT para face aquecida................................................................................................. 74


CITT para face não aquecida .......................................................................................... 74


CITT para face não aquecida – meio único de água....................................................... 75

x

Figura 5.5: Verificação da solução por volumes finitos via PDEPE - face

aquecida para meio único ............................................................................................... 80

Figura 5.6: Verificação da solução por volumes finitos via PDEPE - face não

aquecida para meio único ............................................................................................... 80


PDEPE para face aquecida -cobre/água ......................................................................... 81


PDEPE para face não aquecida -cobre/água................................................................... 81

Figura 5.9: Representação da localização dos pontos P1, P2, P3 e P4 na

superfície não aquecida da cápsula ................................................................................. 87

Figura 5.10: Comparação das curvas em diferentes pontos na face não

aquecida para cápsula de alumínio preenchida com água / 0.5 '' ............................... 87


aquecida para cápsula de alumínio preenchida com glicerina / 0.5 '' ......................... 88


aquecida para cápsula de alumínio com parede de teflon, preenchida com água / 0.5 ''

........................................................................................................................................ 90


aquecida para cápsula de alumínio com parede de teflon, preenchida com glicerina /

0.5 '' ............................................................................................................................ 90

Figura 5.14: Comparação das curvas de temperaturas médias na face não

aquecida da cápsula com paredes de alumínio e de teflon utilizando água / 0.5 '' ...... 91


aquecida da cápsula com paredes de alumínio e de teflon utilizando glicerina / 0.5 '' 92


aquecida para cápsula de cobre preenchida com água / 1'' ....................................... 97


aquecida para cápsula de cobre preenchida com glicerina/ 1'' .................................. 97


aquecida da cápsula com cobre e paredes de teflon / 1'' ............................................ 98


aquecida para cápsula de alumínio preenchida com água / 1'' .................................. 99

xi


aquecida para cápsula de alumínio preenchida com glicerina / 1'' ........................... 99


aquecida da cápsula com tampas de alumínio e parede de teflon / 1'' ..................... 100

xii

ÍNDICE DE TABELAS

Tabela 5.1: Propriedades Termofísicas do Cobre a 300 K ................................... 67

Tabela 5.2: Análise de Convergência da solução por CITT ................................. 68

Tabela 5.3: Análise de Convergência na direção axial para volumes finitos em um

meio único ...................................................................................................................... 69

Tabela 5.4 Análise de convergência na direção radial ......................................... 70

Tabela 5.5: Variação do número de volumes na parede lateral em relação às

temperaturas máximas das faces e ao tempo computacional ......................................... 70

Tabela 5.6: Análise da malha temporal ................................................................ 72

Tabela 5.7: Análise de convergência da solução por PDEPE para um meio único

........................................................................................................................................ 77

Tabela 5.8 Propriedades Termofísicas da Água a 300 K ..................................... 77

Tabela 5.9: Análise de convergência da solução por PDEPE para mais de um

material ........................................................................................................................... 78

Tabela 5.10: Análise de convergência da solução por volumes finitos para mais de

um material ..................................................................................................................... 78

Tabela 5.11: Propriedades Termofísicas da Glicerina, do Teflon e do Alumínio a

300 K (Incropera 2008) .................................................................................................. 83

Tabela 5.12 Análise de Convergência na direção axial para cápsula com tampas e

paredes de alumínio, preenchida com água/ 0.5'' .................................................... 84

Tabela 5.13: Análise de Convergência na direção axial para cápsula com tampas

de alumínio e parede de teflon, preenchida com água/ 0.5'' ................................... 85

Tabela 5.14: Análise de Convergência na direção radial para cápsula com tampas

e paredes de alumínio, preenchida com água/ 0.5'' ................................................. 85

Tabela 5.15: Análise de Convergência na direção radial para cápsula com tampas

de alumínio e parede de teflon, preenchida com água/ 0.5'' ................................... 86

Tabela 5.16 Análise de Convergência na direção axial para cápsula com tampas

de cobre e parede de teflon, preenchida com água com 1'' ...................................... 93

Tabela 5.17 Análise de Convergência na direção axial para cápsula com tampas

de alumínio e parede de teflon, preenchida com água para 1'' ................................. 94

Tabela 5.18: A análise de convergência na direção radial para o caso da cápsula

com tampas de cobre e parede de teflon, preenchida com água. 1'' ......................... 95

Tabela 5.19: A análise de convergência na direção radial para o caso da cápsula

com tampas de alumínio e parede de teflon, preenchida com água. 1'' .................... 95

xiii

NOMENCLATURA

LETRAS LATINAS

T Temperatura

L Comprimento

t Tempo

k Condutividade Térmica

pC Calor específico à pressão constante

q Fluxo de calor

r Raio

h Coeficiente de Transferência de Calor por Convecção

z Altura [m]

R Raio adimensional

Z Altura adimensional

C Capacidade Térmica

Bi Número de Biot

nr Número de volumes na direção radial

nz Número de volumes na direção axial

LETRAS GREGAS

Esfericidade da partícula

Difusividade Térmica

Massa Específica [kg/ m3]

Temperatura Adimensional

Tempo Adimensional

Emissividade da superfície

xiv

Constante de Stefan-Boltzmann

Diâmetro da cápsula

SUBSCRITOS

0 Inicial

1 Meio 1 – Tampa Inferior

2 Meio 2 – Tampa Superior

3 Meio 3 – Parede lateral

l Meio líquido

m Denota final do tempo de medição

h Denota final do tempo de aquecimento

f Denota tempo final

i Contador na direção radial

j Contador na direção axial

SOBRESCRITOS

* Denota adimensionalização

1

CAPÍTULO 1

INTRODUÇÃO

Neste capítulo serão apresentados os motivos pelos quais houve interesse para

realização deste trabalho, bem como os elementos que justificam o questionamento nele

exposto. É apresentado o objetivo geral e seus objetivos específicos, e por fim, a estrutura

deste trabalho.

1.1 MOTIVAÇÃO

Atualmente vive-se em um mundo globalizado com um mercado amplamente

competitivo, onde a demanda por respostas rápidas e eficientes para processos de fabricação

e/ou produção é cada vez mais exigente. Este cenário faz com que sejam necessárias

pesquisas constantes nos campos da ciência, tecnologia e inovação. No que diz respeito a

processos industriais, várias pesquisas sobre as propriedades termofísicas dos materiais vêm

sendo conduzidas a fim de desenvolver novos materiais para cada tipo de processo, bem

como melhorar os processos existentes.

Especificamente na área de transferência de calor através de fluidos em processos

industriais, muitos estudos estão sendo orientados com o objetivo de intensificar o transporte

de calor através de interfaces sólido-líquido em escalas submicrométricas. Os fluidos mais

tradicionais amplamente utilizados nos processos industriais são a água, o óleo e o etileno

glicol. De acordo com Pruzaesky (2007) tais fluidos convencionais apresentam deficiências,

entre as quais, a baixa temperatura de evaporação, no caso da água, e a baixa condutividade

térmica, no caso dos óleos e do etilenoglicol. Pruzaesky (2007) ainda enfatiza que os fluidos

sintéticos, conhecidos como fluidos térmicos, não têm conseguido apresentar desempenho

2

melhor no que diz respeito à condutividade térmica, só aumentando, marginalmente, os

limites de aplicabilidade em termos de temperatura de evaporação.

Vários métodos vêm sendo desenvolvidos com o intuito de aumentar a condutividade

térmica desses fluidos, principalmente devido à necessidade urgente de serem obtidos

mecanismos que reduzam o impacto ao meio ambiente fazendo, assim, com que os sistemas

atinjam uma máxima eficiência energética. Numerosos estudos experimentais e teóricos,

sobre a condutividade térmica efetiva de dispersões contendo partículas, vêm sendo

conduzidas desde que o trabalho teórico de Maxwell foi publicado há mais de 100 anos.

(CHOI, 1998 apud FONSECA, 2007).

Choi (1998 apud Fonseca 2007) afirma que a nanotecnologia moderna promove uma

grande oportunidade para processar e produzir materiais com tamanhos abaixo de 50nm. Em

1993, Choi propôs que partículas nanométricas fossem suspensas em fluidos industriais

utilizados na transferência de calor, a fim de produzir uma nova classe de fluidos com alta

condutividade térmica, a qual chamou de nanofluidos. De acordo com Wang e Mujundar

(2006), as nanopartículas mudam drasticamente as propriedades do fluido base.

Eastman et al (1999) explicam que o uso dos nanofluidos pode impactar muitos

setores industriais incluindo: Transporte, Suprimento e produção de energia, Eletrônicos,

Têxtil e de Produção de Papel, agindo por exemplo, na redução da potência que uma bomba

precisa ou mesmo reduzindo o tamanho dos trocadores de calor.

Sendo um assunto inovador, o número de artigos publicados envolvendo nanofluidos

vem crescendo ao longo dos últimos anos. Chaupis e Oliveira (2011) realizaram uma

pesquisa sobre o histórico de publicações sobre o assunto desde o ano de 2000, como

mostrado na Figura 1.1. O gráfico revela que o aumento no número de publicações a cada

ano, comprovando o interesse atual sobre o tema.

3

Figura 1.1: Histórico de publicações de nanofluidos

Fonte: Chaupis e Oliveira (2011)

Uma outra pesquisa realizada por Turgut et al (2011) na plataforma de base de dados

ISI web of science sobre o número de publicações envolvendo os termos nanofluido e/ou

nanofluidos até o final do ano de 2010, indica ainda dados bem mais relevantes, mostrados na

Figura 1.2.

Na Figura 1.2 percebe-se que o número de artigos sobre nanofluidos a cada ano desde

1999 vem crescendo rapidamente e que apenas nos últimos 5 anos este número cresceu em

aproximadamente 341%.

4

Figura 1.2: Número de artigos contendo “nanofluido” ou “nanofluidos” até o ano de 2010

Fonte: Turgut e Tavman et al (2011)

Menezes et al (2010) realizaram uma comparação entre os resultados experimentais

para a condutividade térmica dos nanofluidos coletando artigos sobre suas aplicações que

incluíssem a análise de suas propriedades térmicas. Tais artigos foram agrupados de acordo

com sua similaridade, ou seja, utilizando o mesmo fluido base com a mesma nanopartícula.

Diante dessas comparações, os autores puderam afirmar o grande pontencial térmico que os

nanofluidos apresentam, sendo que ainda são necessárias mais pesquisas para a obtenção de

resultados e parâmetros de ensaios satisfatórios e desta maneira estabelecer um método mais

preciso e eficiente na medição da condutividade térmica.

Por conta de todo este potencial térmico, os nanofluidos tornaram-se alvo de

pesquisas e estudos tanto teóricos quanto experimentais sendo de extrema importância o

estudo da caracterização de suas propriedades termofísicas.

Artigos contendo em seu título a palavra “nanofluid”ou

“nanofluids”procurados no web site do “ISI web of

science”até o fim de 2010

Ano

Núm

ero d

e A

rtig

os

publi

cados

por

ano

5

As técnicas de caracterização de propriedades termofísicas dos materiais são divididas

em duas classes, a saber: a de regime permanente e a de regime transiente.

Apesar de as equações governantes dos problemas em regime permanente e de os

equipamentos utilizados para essa caracterização de propriedades termofísicas dos materiais

serem simples, as técnicas normalmente levam muito tempo para conduzir o experimento.

Por vezes, ocorrem mudanças no material a ser estudado devido ao seu tempo de exposição a

determinadas temperaturas. Especialmente para os nanofluidos, esta classe de técnicas não é

adequada, já que, por causa do tempo de duração do experimento, existe a possibilidade de

que as nanopartículas se depositem no fundo do recipiente. É também muito difícil manter

todas as demais condições estáveis necessárias ao experimento

Já a classe das técnicas de regime transiente possui métodos mais rápidos de

caracterização de propriedades termofísicas de materiais que têm se mostrado mais eficientes

e adequados para o estudo dos nanofluidos. Bastante utilizadas são os métodos da sonda

linerar, o método do método 3 ômega (Blackwell, (1954), Tavman, 1996, 1998, 2000 Souza

et al, 1999; Thomson et al., 2003, Turgut et al, 2008, Chirtoc et al, 2008, 2010, Kostic, 2009,

entre outros) como também o Método Flash que será o método estudado neste trabalho.

O método Flash foi inicialmente proposto por Parker et al (1961) para a medição da

difusividade térmica de materiais sólidos. Diversas evoluções foram introduzidas na proposta

original que deram ao método Flash a confiabilidade e a precisão que o tornou a técnica de

medição da difusividade térmica mais popular entre os estudos da área. Com as modificações

introduzidas na proposta original, a técnica permite, medir a difusividade térmica,

condutividade térmica, calor específico em uma larga faixa de temperatura e em vários tipos

de materiais, incluindo meios opacos e semitransparentes, sólidos, líquidos, etc. O princípio

de funcionamento deste método será explanado posteriormente.

6

Desde o estudo inicial feito por Parker et al (1961), vários outros estudos vêm sendo

desenvolvidos para o aperfeiçoamento do método. Inúmeras são as publicações sobre o tema

na literatura científica internacional. Bastante expressivas são as contribuições de: Cape e

Lehman (1963), Clark III e Taylor (1975), Cowan (1961), André e Degiovanni (1995),

Larson e Koyama (1997), Chu et al (1980), Farroq et al (1981), Taylor (1983), Lee e Taylor

(1976), Batsale e Degiovanni (1988), Tischeler et al (1988), Wang et al (1993), Srinivasan et

al (1994), Durastani et al (1995), Maeda et al (1996), Thermitus et al (1997), Da Silva

(1998), Mehling et al (1998), Orlande (2004), Lazard, André e Maillet, D., (2004), Remy e

Degiovanni (2005), Wei (2006), Oliveira e Silva (2009), entre outros.

Segundo Coquard e Panel (2008), o uso do método Flash para a medição da

difusividade térmica de um líquido ou de materiais pastosos é mais crítico, já que não é

possível obter uma amostra rígida onde a medição é realizada. Este assunto será tratado mais

especificamente durante a revisão bibliográfica, apresentada no Capítulo 2.

Com base no grau de relevância do assunto aqui abordado despertou-se o interesse no

estudo das propriedades termofísicas de fluidos através da utilização do Método Flash.

1.2 OBJETIVOS

1.2.1 OBJETIVO GERAL

Analisar uma cápsula para identificação de propriedades termofísicas de líquidos

empregados no equipamento LFA 447, através do Método Flash. (As especificações do

Método Flash são as encontradas no equipamento Nanoflash LFA 447, da NETSZCH,

pertencente ao Laboratório de Tecnologia e Transmissão em Calor – LTTC da

PEM/COPPE/UFRJ).

7

1.2.2 OBJETIVOS ESPECÍFICOS

São objetivos específicos deste trabalho: (i) Estudar o efeito do modelo bidimensional

na transferência de calor da cápsula; (ii) Estudar o efeito do material utilizado na parede da

cápsula na transferência de calor.

1.3 ESTRUTURA DO TRABALHO

Este trabalho está estruturado nos capítulos que são descritos a seguir:

O Capítulo 1 apresenta a introdução deste trabalho, que envolve sua motivação, bem

como os elementos que justificam seu desenvolvimento, seus objetivos e sua estrutura.

No capítulo 2 é apresentada uma revisão bibliográfica da literatura, sobre trabalhos

teóricos e experimentais realizados na determinação das propriedades termofísicas dos

nanofluidos, tais como a condutividade térmica, como também trabalhos acerca do uso do

Método Flash para determinação de propriedades termofísicas de materiais sólidos e líquidos.

No Capítulo 3 aborda-se o problema a ser tratado pela dissertação, envolvendo seu

problema físico, sua formulação matemática, sua formulação adimensional, bem como seus

parâmetros adimensionais.

No Capítulo 4 é apresentado o desenvolvimento da discretização do problema por

volumes finitos, bem como a descrição da solução analítica do problema pelo método da

transformada integral e uma descrição da função PDEPE do Matlab 7.0, são apresentadas.

No Capítulo 5 é feita a análise de convergência da malha da solução, bem como são

apresentados os resultados da verificação da solução por volumes finitos com a solução

analítica do problema e também com uma função interna do Matlab 7.0, denominada PDEPE.

Além disto, são apresentados também os resultados obtidos pela análise dos casos teste para

cápsulas de diferentes diâmetros compostas de diferentes materiais.

8

No Capítulo 6 são apresentadas as conclusões desta dissertação, bem como as

sugestões para trabalhos futuros.

9

CAPÍTULO 2

REVISÃO BIBLIOGRÁFICA

Este capítulo trata de uma breve revisão bibliográfica dos nanofluidos, que serviram

apenas de motivação para este trabalho. Neste capítulo também é apresentada uma revisão

bibliográfica acerca do método Flash, incluindo alguns modelos realizados por estudiosos no

assunto e introduzindo seu uso também a materiais líquidos e pastosos.

2.1 NANOFLUIDOS

Com o crescimento da competição global, as indústrias têm uma forte necessidade de

desenvolver fluidos de transferência de calor avançados com uma condutividade térmica

significantemente maior do que os fluidos disponíveis atualmente. Os nanofluidos fazem

parte desta nova classe de fluidos de transferência de calor e são caracterizados por

suspensões de partículas nanométricas em um fluido convencional de transferência de calor

(Choi, 1998).

Vollath (2008) define os nanofluidos como suspensões estáveis de nanopartículas em

um líquido base, onde a elevada capacidade térmica das nanopartículas acoplada com a

possibilidade de produzir suspensões estáveis gera muitas aplicações técnicas na área de

transferência de calor.

Masuda et al (1993, apud Chandrasekar et al 2009) foram os primeiros a conduzir

experimentos para mostrar as alterações nos valores da condutividade térmica e viscosidade

de líquidos contendo nanopartículas de 13nm de diâmetro de Al2O3. Os experimentos de

Masuda et al (1993, apud Kheram 2011), indicaram um aumento de 30% na condutividade

térmica do nanofluido em relação ao fluido base.

10

Apesar de Masuda et al (1993) terem sido os primeiros a conduzirem experimentos

com nanopartículas, segundo Wang (2006), o termo nanofluido foi proposto por Choi apenas

em 1995 no Laboratório Nacional Argonne, nos EUA, que é considerado o pioneiro no

estudo do mesmo. Os experimentos iniciais de Choi demonstraram um potencial incrível dos

nanofluidos na área de transferência de calor e, desta forma, incentivando as empresas e

universidades a pesquisas na área.

Segundo Yu e Choi (2003), dispersar partículas sólidas em líquidos para promover as

propriedades físicas de líquidos não é um trabalho extremamente novo, onde sua idéia foi

traçada do trabalho teórico de Maxwell, 1873.

De fato, numerosos estudos teóricos e experimentais sobre a condutividade térmica

efetiva de dispersões contendo partículas sólidas vêm sendo conduzidos desde que o trabalho

teórico de Maxwell foi publicado, há mais de cem anos atrás Choi, (1998). O modelo de

Maxwell mostra que a condutividade térmica efetiva de suspensões contendo partículas

esféricas cresce de acordo com a fração de volume das partículas sólidas, sendo dado pela

fórmula:

2 2 2 ( )

2 ( )

eff p l p l

rl p l p l

k k k k kk

k k k k k

(2.1)

Onde os índices p, l e eff se referem a partícula, líquido e mistura, respectivamente. As

variáveis k e referem-se à condutividade térmica e à fração volumétrica, respectivamente.

Este modelo é limitado à partículas de forma esférica e com baixas concentrações.

Choi (1998) afirma que o conceito de Maxwell sobre o aumento da condutividade

térmica dos fluidos através da dispersão de partículas sólidas é antigo, mas o novo e inovador

11

com o conceito dos nanofluidos é a idéia de utilizar partículas nanométricas, que se tornou

viável para os investigadores mais recentemente.

Outro modelo clássico utilizado para o cálculo da condutividade térmica de dispersões

de partículas em fluidos é de Hamilton-Crosser (1962). Os autores desenvolveram um

modelo para a condutividade térmica de sistemas heterogêneos com dois componentes, que

tem influência do formato da partícula, da composição do sistema e a condutividade de cada

componente. Sendo assim, o Modelo de Hamilton-Crosser (1962) é dado pela fórmula

abaixo:

2 1 2 1 2

11 2 1 2

1 1

1

k n k n v k kk k

k n k v k k

(2.2)

Onde K1 e V1 representam a condutividade térmica e o volume da fase contínua e K2 e

V2 da fase descontínua respectivamente. Se a relação entre as condutividades térmicas das

fases for menor que 100, tem-se n=3. Caso contrário, n é calculado por 3

n

, onde

representa a esfericidade da partícula.

O Modelo de Bruggeman (1935 apud Wang e Mujundar 2008), também utilizado para

o cálculo da condutividade térmica de nanofluidos é limitado a partículas de forma esférica e

não tem nenhuma limitação em relação à concentração de partículas no líquido base, sendo

dado por:

1(3 1) (2 3 )

4 4

leff p l

kk k k (2.3)

Onde,

12

2

2 2 2(3 1) (2 3 ) 2(2 2 9 )p p

l l

k k

k k

Os índices p, l e eff referem-se a partícula, líquido e mistura, respectivamente. As

variáveis k e referem-se à condutividade térmica e à fração volumétrica, respectivamente.

Quanto à fabricação de nanofluidos, as duas técnicas mais utilizadas são a de passo

simples e a de passo duplo. A primeira técnica foi desenvolvida por Akoh et al (1978), sendo

conhecida como Vacuum Evaporation onto a running oil substract – VEROS. Esta técnica

consiste a fabricação e dispersão simultânea das nanopartículas em um fluido base.

Na técnica de passo duplo, que é a mais utilizada, as nanopartículas são

primeiramente produzidas e depois são dispersas nos fluidos base. Segundo Tavman e Turgut

(2010), uma das maiores vantagens da técnica de passo duplo é que a mesma possibilita que

nanopartículas disponíveis comercialmente sejam usadas, oferecendo assim um meio mais

econômico de produzir nanofluidos. Para a dispersão das nanopartículas no fluido base pelo

método de passo duplo é geralmente utilizado um equipamento ultrasônico, a fim de evitar a

aglomeração das partículas. A aglomeração das nanopartículas ocorre por conta das forças de

atração de Van der Waals.

Figura 2.1: Nanofluido de Óxido de Alumina com aglomeração de nanopartículas à

esquerda. À direita nanofluido sem aglomeração de nanopartículas

13

Na Figura 2.1 observa-se à esquerda um nanofluido de óxido alumina que contém

aglomeração de nanopartículas depositadas no fundo do recipiente e à direita sem

aglomerações de nanopartículas.

Os nanofluidos podem ser utilizados para uma variedade de aplicações em engenharia

e em áreas relacionadas (Wong, K. V., Leon, O., 2009; Silva, A. C. M., 2010). Uma das

grandes aplicações destes novos fluidos é no resfriamento de reatores em usinas nucleares,

onde sua utilização pode proporcionar uma transferência de calor maior em relação à

transferência de calor oferecida pela água (Buongiorno et al, apud Wong, K. V., Leon, O.,

2009).

No campo da medicina, por exemplo, os nanofluidos podem ser utilizados no

tratamento de doenças graves, como o câncer. Os nanofluidos próprios para tal tipo de

tratamento possuem nanopartículas com propriedades magnéticas facilitando o transporte do

medicamento até o local afetado e podendo ser realizado com doses maiores e desta maneira

aumentando a eficácia do tratamento. (Mantovani, E. et al, 2009)

Menezes et al. (2010) cita as principais vantagens da utilização dos nanofluidos como

sendo a elevada condutividade térmicas maiores que as dos fluidos convencionais,

capacidade de controlar a transferência de calor em escoamento, de acordo com a

concentração da nanoparticula, capacidade de incrementar o fluxo crítico de calor em

mudança de fase, entre outras.

Existem muitos outros campos e áreas em que os nanofluidos possuem aplicações,

sendo estes fluidos promissores que podem atuar como vetor para uma grande transformação

na indústria. Sendo assim, vários grupos de pesquisas por todo o mundo vêem investindo

neste assunto.

14

No Brasil, durante o ano de 2004, o LTTC/COPPE/UFRJ foi o grupo que deu início

ao desenvolvimento e pesquisas desta tecnologia inovadora com o apoio do

CENPES/Petrobras. Com a colaboração da Divisão de Materiais do INMETRO, foram

realizados os primeiros experimentos envolvendo síntese e caracterização de nanofluidos de

óxidos de alumínio e cobre, utilizando água e etileno glicol como fluidos base. (Sousa, 2009).

De acordo com Sadeghipour e Asheghi (2004), o departamento de engenharia

mecânica da Universidade de Carnegie Mellon em Pittsburgh implementou um programa de

estudos aos seus alunos de graduação e pós-graduação no qual estão inseridos tópicos sobre

transferência de calor em nanoescala, incluindo experimentos de laboratório. Os autores

afirmam que a criação destes cursos deu-se por conta da grande necessidade que o mercado

possui por engenheiros mecânicos com o conhecimento e experiência na área de transferência

de calor em nanoescala.

Vários estudos vêem sendo desenvolvidos a fim de explicar o enorme aumento da

condutividade térmica nos nanofluidos, porém o entendimento deste mecanismo continua

incerto. Keblinski apud Kumar (2004) apresenta quatro possíveis mecanismos: movimento

Browniano das partículas, interação entre as camadas da interface líquido-partícula, natureza

balística dos movimentos das nanopartículas e a formação de clusters nas nanopartículas.

Por falta de um modelo teórico adequado para os nanofluidos, Choi em 1995 em seu

trabalho inicial utilizou-se do modelo desenvolvido por Hamilton-Crosser para o cálculo da

condutividade térmica efetiva de uma mistura de dois componentes como função da

condutividade térmica dos materiais puros, a composição da mistura e a forma da dispersão

das partículas. Choi (1995) aplicou este modelo a nanopartículas de cobre em água e a

condutividade térmica efetiva do sistema cobre-água foi estimada para três valores diferentes

de esfericidade (ѱ). Os resultados mostraram claramente que a condutividade térmica efetiva

15

do sistema dependia tanto da fração de volume da partícula quanto da forma. Para

nanopartículas de esfericidade 0.3, a condutividade térmica efetiva da água seria reforçada

por um fator de 1.5 para uma fração de volume de 5%, enquanto que para uma fração de

volume de 20% a condutividade térmica seria reforçada por um fator de 3.5.

Eastman et al (1996), elaborou um dos primeiros trabalhos experimentais para

predizer a condutividade térmica efetiva de nanofluidos com partículas de alumina, óxido de

cobre e cobre em água. O método de produção dos nanofluidos foi baseado na técnica

VEROS (vacuum evaporation onto a running oil substrate). Os nanofluidos de CuO e Al2O3

apresentaram uma boa estabilidade, enquanto que o nanofluido de cobre sedimentou

rapidamente. As condutividades térmicas foram medidas utilizando o método do fio quente,

onde o sistema mede a resistividade elétrica do fluido e então as condutividades térmicas são

calculadas de acordo com a relação conhecida entre as condutividades elétrica e térmica. Para

as nanopartículas de CuO suspensas em água, os autores obtiveram um aumento de

aproximadamente 60% da condutividade com uma fração de 5% de volume de nanopartículas

e as partículas de Al2O3 em água levaram a um aumento de 30%, também com uma fração de

5% de volume.

Eastman et al (1999 apud Fonseca 2007), publicaram um trabalho acerca da

determinação da condutividade térmica e fabricação de três nanofluidos: CuO em água,

Al2O3 em água e Cu em etileno glicol. O nanofluido de CuO em água apresentou um

aumento de 20% da condutividade térmica em relação a água para 4% em volume de

nanopartículas; a alumina em água apresentou um aumento de 18% para uma concentração

de 5% em volume e o Cobre em etileno glicol apresentou um aumento de 10% para uma

concentração de 0.5% em volume de nanopartículas. O aumento da condutividade térmica

dos nanofluidos mostrou-se dependente do tamanho da partícula, como também da

condutividade térmica dos materiais da partícula e do fluido.

16

Eastman et al (2001 apud Kheram 2011) estudaram o crescimento da condutividade

térmica de nanofluidos contendo nanopartículas de 36nm de CuO em água, revelando que o

aumento da condutividade é linearmente proporcional à concentração da nanopartícula. Os

autores obtiveram um crescimento na condutividade de aproximadamente 60% em um

nanofluido contendo nanopartículas de CuO, resultado este 30% mais alto que aquele

encontrado com nanopartículas de Al2O3 a mesma concentração. Porém, isto se deveu ao fato

de que o CuO possui uma condutividade térmica intrisicamente mais alta que a Al2O3

Eastamn et al (2001 apud Kheram, 2011) também encontraram resultados significativos de

40% para o aumento da condutividade térmica dos nanofluidos, estudando nanopartículas de

cobre dispersas em etileno glicol a uma concentração volumétrica de 0.3%.

Lee et al (1999, apud Kheram et al 2011) também encontraram resultados

semelhantes aos de Eastamn et al (2001) para nanofluidos de CuO em água e em etileno

glicol, como também encontraram resultados melhores para nanofluidos de CuO do que para

nanofluidos de Al2O3.

Das et al (2003 apud Kheram et al 2011) reportaram em seus estudos um aumento de

10 a 25% da condutividade térmica de nanofluidos contendo partículas de Al2O3 em água

com uma concentração volumétrica de 1 a 4%.

Como pode ser observado, muitos autores destinaram suas pesquisas a estudar a

influência que o tamanho e a concentração das nanopartículas exerecem no aumento da

condutividade térmica. Porém, a estrutura de moléculas de líquidos formada em torno das

nanopartículas é um outro fator influente, foco de muitas pesquisas. Essa estrutura de

moléculas do líquido se comporta como sendo uma camada de molélulas de sólidos

recebendo o nome de nanocamada. A Figura 2.2, retirada do trabalho de Yu e Choi (2003)

17

ilustra um esquema da seção transversal do nanofluido consistindo das nanopartículas, do

líquido base e das nanocamadas na interface sólido-líquido.

Figura 2.2: Esquema da seção transversal do nanofluido

Fonte:Yu e Choi (2003)

Yu e Choi (2003) realizaram uma modificação no modelo de Maxwell (1873) a fim de

obter uma equação da condutividade térmica efetiva de sólidos em suspensões líquidas, que

incluísse o efeito que a nanocamada propõe. O novo modelo desenvolvido pode prever que a

presença de nanocamadas, mesmo com espessura de poucos nanômetros, pode aumentar

significativamente a condutividade térmica dos nanofluidos, especialmente nos casos em que

o diâmetro da nanopartícula é menor do que 10 nm.

Xue e Xu (2004) desenvolveram um modelo para prever a condutividade térmica dos

nanofluidos que não depende apenas da condutividade do sólido e do líquido e de duas

frações volumétricas, como também depende do tamanho da partícula e das propriedades

interfaciais. Os resultados teóricos dos nanofluidos de CuO em água e CuO em etileno glicol

obtiveram uma boa concordância com seus resultados experimentais, fazendo com que os

18

autores pudessem entender o mecanismo da dependência do tamanho da partícula com a sua

condutividade térmica. Os autores conseguiram mostrar que quando as nanocamadas são

levadas em conta no modelo, existe potencial para aumentar em até oito vezes a

condutividade térmica dos nanofluidos quando comparada ao aumento previsto pelo modelo

de Maxwell sem nanocamadas. Sendo assim, sugere-se, a partir desta pesquisa, que o estudo

da nanocamada pode ser um meio de produzir nanofluidos com uma maior condutividade

térmica.

Já Chandrasekar et al (2009) realizaram uma revisão acerca dos estudos feitos por

diversos pesquisadores acerca da influência da nanocamada no aumento da condutividade

térmica dos nanofluidos. Segundo os estudos listados por Chandrasekar et al (2009) nenhuma

conclusão pôde ser feita quanto à influência da nanocamada devido a não existência de

métodos para estimar com exatidão a sua espessura, bem como para estimar a condutividade

térmica.

Como dito anteriormente, o movimento Browniano das nanopartículas é outro fator

que pode influenciar no aumento da condutividade térmica nos nanofluidos. O movimento

Browniano tem este nome em homenagem ao botânico Robert Brown, que em 1827 estudou

o movimento irregular por grãos de polén suspensos em água, que consistia em um

movimento rápido e caótico. Tal estudo serviu, dentre outras coisas, para evidenciar a

descoberta do átomo. Mais tarde em 1905, o movimento browniano também foi utilizado por

Albert Einsten em seus estudos.

Chandrasekar et al (2009) fizeram um estudo sobre a influência do efeito Browniano

na condutividade térmica dos nanofluidos. Diversos estudos de pesquisadores foram

incluídos nesta pesquisa, sendo que muitas vezes foram observadas contradições de opiniões

a respeito desta influência.

19

O efeito da nanocamada também foi estudado por Azizian et al (2010). Os autores

propuseram um modelo baseado no modelo de Maxwell para o aumento da condutividade

térmica levando em conta a nanocamada. Resultados teóricos com experimentais, com

nanofluidos de óxido de cobre em etileno glicol, óxido de cobre em água, alumina em água e

ouro em tolueno, foram comparados revelando que o efeito da nanocamada é pequeno e não

pode ser utilizado sozinho para justificar os aumentos na condutividade desses fluidos.

Com relação ao movimento Browniano, muitas pesquisas afirmaram que a influência

é significativa para o aumento na condutividade térmica dos nanofluidos (Jang e Choi (2004),

Prasher et al (2005), Koo e Kleinstreuer (2004) e Shukla e Dhir (2008) (apud Chandrasekar

et al 2009)). Estes autores consideraram o movimento browniano como sendo o indutor da

nanoconvecção e o fator chave do mecanismo que governa o comportamento térmico dos

nanofluidos, também alegando que este seja um fator importante, dependente do tamanho da

nanopartícula e contribuinte para a interação das mesmas. Já os pesquisadores Keblinski et al

(2002) , Das et al (2003), Beck et al (2007), Evans et al (2006), Nie et al (2008), Kumar et al

(2004), Keblinski e Cahill (2005) e Bastea (2005) apud Chandrasekar et al (2009) alegaram

em seus estudos que a contribuição do movimento browniano para o aumento da

condutividade térmica pode ser ignorada ou até mesmo que esta contribuição não existe,

concluindo que este não seja um fator importante na influência da condutividade térmica.

Com tantos estudos sobre o assunto e contradições em opiniões, não se pode afirmar

ainda sobre a exata influência do movimento Browniano executado pelas nanopartículas no

aumento da condutividade térmica.

Fonseca et al (2007) estudaram as propriedades termofísicas dos nanofluidos

caracterizando-as através dos seguintes métodos: método flash para medição da difusividade

térmica; método da sonda linear para a medição da condutividade térmica; do reômetro para

20

medição da viscosidade e o densímetro para a densidade. Os testes foram realizados com o

nanofluido de alumina em água como fluido base com 1% de concentração. Os resultados das

medições apresentaram valores mais altos quando comparadas aos valores das propriedades

termofísicas da água, sendo a densidade do nanofluido 1% mais alta do que a da água,

viscosidade 4.7% mais alta do que a da água a 20 ºC, 5.8% a 40ºC e 13% a 60ºC. No que diz

respeito a condutividade térmica e a difusividade térmica, estas apresentaram valores 10%

mais altos do que as respectivas propriedades da água a 45ºC, enquanto que à temperaturas

mais baixas, os valores foram praticamente idênticos.

Tavman et al (2008) investigaram experimentalmente a condutividade térmica e a

viscosidade de nanofluidos de alumina e sílica em água com diferentes concentrações de

nanopartículas. Encontraram resultados para a condutividade térmica destes nanofluidos

dentro dos limites (um pouco mais baixos) do modelo de Hamilton-Crosser. Nas realizações

dos experimentos, Tavman et al (2008) praticamente não encontraram aumento da

condutividade térmica dos nanofluidos com relação à condutividade térmica da água, mas

esta última aumenta com a temperatura. Para a viscosidade, seus valores aumentaram

drasticamente com o aumento de temperatura.

O trabalho realizado por Gao et al (2009) teve como objetivo examinar os

mecanismos de condutividade térmica dos nanofluidos na fase líquida e na fase sólida, já que

na fase sólida não existe movimento Browniano. Para isto, os autores utilizaram nanofluidos

com nanopartículas de alumina e dois diferentes materiais de base: hexadecano e gordura de

porco. A condutividade térmica foi medida com o método do fio quente e os experimentos

realizados sugerem que a formação de aglomerados é a responsável pelo aumento da

condutividade térmica. Aumentos acima dos previstos teoricamente foram observados tanto

na fase sólida quanto na fase líquida e na fase sólida além dos sugeridos pelos métodos

clássicos. Gao et al (2009) mostraram que as condutividades térmicas dos dois meios

21

produzidos obtiveram diferentes comportamentos nas fases sólida e líquida. Para a gordura de

porco, houve um pequeno aumento com a mudança de fase de sólido para líquido, com uma

diferença máxima de 0,5% em relação ao modelo de Maxwell-Garnet. Em relação ao

aumento da condutividade térmica do hexadecano, este foi muito maior na fase sólida do que

na fase líquida, com uma diferença máxima de 3,3% em relação às previsões do modelo de

Maxwell-Garnet.

Segundo Nasiri et al (2011), até agora, a maioria das pesquisas publicadas sobre os

fatores que influenciam a estabilidade do nanofluido e sua condutividade térmica tem sido

focadas nos efeitos da concentração das nanopartículas, do surfactante utilizado, da

viscosidade do líquido base e do valor do pH. Porém, nenhum estudo aprofundou-se nos

efeitos do método de dispersão utilizado no nanofluido no que diz respeito a sua

condutividade térmica e sua estabilidade. Para tanto, Nasiri et al (2011), realizaram um

estudo comparando o comportamento da estabilidade e da condutividade térmica de

diferentes nanofluidos de nanotubos de carbono (CNT), sendo: SWNTs (possui uma parede

única de CNT), DWNTs (parede dupla de CNT), FWNTs (poucas paredes de CNT) e dois

tipos diferentes de MWNTs (várias paredes). Os nanofluidos foram preparados por três

diferentes métodos de dispersão: SDS/ com sonda ultrasônica, SDS/ com banho ultrasônico e

funcionalização. Os dois primeiro métodos são métodos mecânicos que geralmente incluem o

uso de sondas e/ou banhos, enquanto que o segundo método é um método químico, que inclui

a aplicação de surfactantes e a funcionalização dos CNTs por ácidos. Os experimentos de

Nasiri et al (2011), revelaram que a condutividade dos nanofluidos é claramente dependente

do método de dispersão, como também pelo efeito esperado das estruturas das nanopartículas.

As melhores estabilidades e condutividades térmicas foram associadas à utilização do método

de dispersão da funcionalização. Quanto à análise da condutividade térmica variando com o

tempo, todos os nanofluidos apresentaram decaimento da sua condutividade com tempo.

22

Entrentanto, após 50h, os nanofluidos preparadas pelo método de funcionalização

demonstraram mais estabilidade enquanto que os nanofluidos preparados pelos outros dois

métodos começaram a apresentam uma aglomeração cada vez maior de nanopartículas. Em

relação à variação da condutividade térmica com o aumento de temperatura, todos os

nanofluidos apresentaram um aumento desta propriedade. Para temperaturas baixas e

moderadas, nanofluidos preparados com o método de funcionalização apresentaram

condutividades térmicas maiores em relação aos demais métodos. Contudo, para temperaturas

acima de 40ºC, as curvas de condutividade térmica para os nanfluidos com o método de

funcionalização decaíram diante as curvas do método de SDS/ sonda ultrasônica para SWNT,

DWNT e FWNT. Isto se deu ao fato do crescimento da dissolubilidade do surfactante, como

também devido à destruição dos nanotubos. Para as estruturas MWNT, as curvas com o

método de funcionalização decaíram em relação às curvas por SDS/ banho ultrasônico devido

ao maior grau de destruição dos nanotubos a altas temperaturas.

Wang (2006) explica que não existe de fato uma fórmula teórica para calcular a

condutividade térmica de um nanofluido satisfatoriamente. O que existe é uma relação semi

empírica para calcular a condutividade aparente da mistura de duas fases. Em muitos casos,

como já foi dito anteriormente, o estudo é guiado pela formulação teórica Maxwell. Para

estes casos, tal formulação afirma que a condutividade térmica do nanofluido está baseada na

condutividade térmica do fluido base, da nanopartícula e da fração de volume de partículas

sólidas suspensas na mistura. Sendo que quando a concentração de partículas sólidas for alta,

o modelo de Maxwell falha.

Wang e Mujundar (2007) enfatizam que muitas pesquisas vêm dando mais atenção a

condutividade térmica do que às outras características da transferência de calor e que o uso

dos nanofluidos é promissor, porém existem vários desafios que este desenvolvimento deve

enfrentar, como: a concordância entre os resultados experimentais de diversos grupos, a baixa

23

performance das suspensões e a lacuna vazia do entendimento dos mecanismos de

transferência de calor. Portanto, pesquisas teóricas e experimentais são precisas para o

entendimento das características da transferência de calor em nanofluidos, como também para

identificar novas e aplicações únicas para este campo.

Além de pesquisas destinadas à caracterização das propriedades termofísicas dos

nanofluidos, existem várias pesquisas sobre trabalhos experimentais e numéricos de

convecção forçada e turbulenta interna utilizando nanofluidos, que podem ser encontradas em

Daungthongsuk et al (2007), Behzadmehr et al (2007), Hwang et al (2008), Raisee e

Moghaddami (2008), Kim et al (2009), Rea et al (2009), entre outros.

O Exercício de Referência Internacional das Propriedades de Nanofluidos

(International Nanofluid Property Benchmark Exercise – INPBE) foi realizado por

Buoungiorno et al (2009). Para tanto, a condutividade térmica de amostras idênticas de

dispersões coloidais estáveis de nanopartículas ou nanofluidos foi medida por mais de 30

organizações em todo o mundo. O estudo mostrou que os resultados da maior parte das

organizações se encontram dentro de uma faixa estreita (10% ou menos) sobre a média da

amostra, com apenas alguns fora desta faixa. A condutividade térmica de nanofluidos sofre

um incremento com o aumento da concentração de partículas e da razão de aspecto, como

esperado a partir da teoria clássica. No entanto, os resultados revelaram que não existe

nenhum aumento sobrenatural da condutividade térmica dos nanofluidos testados no

exercício quando comparados aos seus fluidos base.

Apesar de serem vários os estudos realizados para determinar quais efeitos são

influentes no aumento da condutividade térmica, os pesquisadores ainda não conseguiram

determinar estes efeitos nem um modelo para o aumento na condutividade térmica dos

nanofluidos. Fazendo um balanço dos resultados experimentais da condutividade térmica dos

24

nanofluidos obtidos nos diversos estudos não foram encontrados aumentos anômalos para a

condutividade térmica (Buoungiorno et al 2009). De qualquer forma, o aumento da

condutividade e do coeficiente de transferência de calor tornaram atrativo o estudo e o uso

dos nanofluidos.

2.2 MÉTODO FLASH - PRINCÍPIO DE FUNCIONAMENTO

Parker et al (1961) foram os primeiros a descrevem o método flash para medição da

difusividade térmica, capacidade térmica e condutividade térmica de materiais sólidos,

homogêneos e isotrópicos. Inicialmente, Parker et al (1961) estudaram apenas metais, sendo

as amostras de prata, níquel, alumínio, zinco, ferro, cobre e algumas ligas a 22º C. O método

de Parker et al (1961) considerava um modelo de condução de calor unidimensional e

adiabático. Os resultados obtidos foram comparados com os valores dispostos na época

indicando uma boa concordância entre os valores com desvios na ordem de ± 5%.

O método Flash consiste em impor à uma amostra plana do material um pulso de

energia radiante uniforme de alta intensidade, que pode ser proveniente de um laser ou uma

lâmpada de xenônio. A duração deste pulso é curta quando comparada com o tempo de

difusão de calor na amostra. O pulso é absorvido pela superfície da amostra e a temperatura

na face posterior da amostra é medida, sendo a temperatura ambiente controlada por um

pequeno forno. Um esquema deste princípio pode ser observado na Figura 2.3, onde no

instante inicial 0t uma amostra de espessura L recebe em sua face frontal um pulso

instantâneo de energia Q e no instante de tempo final t a temperatura da sua face oposta é

medida.

25

Figura 2.3: Amostra sendo atingida pelo pulso de energia.

Pode-se então, realizar a medição da difusividade térmica da amostra á partir do

registro da evolução transiente da temperatura da face oposta a perturbação térmica da

amostra. A condutividade térmica por sua vez, é obtida através do produto da massa

específica, calor específico e difusividade térmica calculada por uma relação que envolve a

temperatura máxima indicada no detector de temperatura. A Norma ASTM (ASTM 1461-01,

2001) é a norma referente ao Método Flash. Santos (2005) ressalta que esta técnica é um

método direto na determinação da difusividade térmica, mas é também um método indireto

na determinação da condutividade térmica, já que a primeira pode ser medida mais facilmente

e com maior precisão do que a segunda. Sendo assim, muitos pesquisadores preferem

determinar a condutividade térmica de alguns materiais a partir da difusividade térmica

medida experimentalmente com o método Flash, já que isto oferece algumas vantagens: a

equação para o cálculo da difusividade térmica é independente do fluxo de calor e do

gradiente de temperatura; as perdas de calor podem ser tratadas analiticamente e

determinadas durante o experimento; a aquisição de dados é bastante rápida e o uso de

pequenas amostras permite a preparação de amostras homogêneas.

Para realização do experimento através do método Flash é necessário um equipamento

com os seguintes componentes: uma fonte de energia, um suporte de amostra, um detetor de

temperatura, um sistema de aquisição de dados e um forno. As fontes de energia

26

normalmente utilizadas podem ser laser, lâmpada de flash ou de xenônio devendo estas

incidir uniformemente na superfície da amostra a ser testada. Com o passar do tempo houve a

substituição das lâmpadas pelo laser pelo fato do laser ser monocromático, colimado e

concentrar uma considerável energia em uma área pequena. Segundo Santos (2005), os

primeiros pesquisadores a usarem raio laser foram Deem e Wood em 1962.

Antes de as amostras serem colocadas no suporte de amostras as faces das mesmas

devem ser cobertas por uma fina camada de grafite para aumentar sua emissividade e garantir

que o pulso de calor seja absorvido, bem como a detecção da temperatura na face oposta

possa ser medida com segurança utilizando-se um detector de infravermelho. Este, deve ser

mantido resfriado e para isto, utiliza-se nitrogênio líquido que deve ser reposto

periodicamente.

Figura 2.4: Esquema de um equipamento que utiliza o Método Flash

27

Dentro do forno, que exerce o papel de conservar a temperatura da medição, deve

estar o suporte de amostra que também deve ser projetado a fim de minimizar trocas térmicas.

O forno deve conter janelas para que o pulso de energia possa passar através do mesmo e o

detetor óptico de temperatura possa realizar a medição, sendo que este último deve ser

protegido da exposição direta do pulso de energia através da utilização de filtros.

A Figura 2.4 representa um esquema dos componentes básicos do equipamento

utilizado para medições através do Método Flash.

Figura 2.5: Curvas do aumento da temperatura no método Flash

Fonte: http://www.anter.com/TN68.htm

Na Figura 2.5 estão representadas as curvas características do aumento da temperatura

na face posterior da amostra através do método Flash. O método original de Parker et al

(1961) sustentava a suposição de não haver a perda de calor na amostra. Então, a temperatura

da face posterior da amostra aumentaria para um máximo e manter-se-ia a esse nível

indefinidamente, como indica a curva A. No entanto, levando em consideração as perdas de

http://www.anter.com/TN68.htm

28

calor na amostra, a temperatura da face posterior da amostra diminui após ter atingido um

valor máximo, como indicam as curvas B e C.

Com a distribuição inicial de temperatura em um sólido de espessura L como T(x,0), a

distribuição de temperatura a qualquer instante é dada pela equação 2.4 (Ozisik, 1993).

2.3 ALGUNS MODELOS MATEMÁTICOS DO MÉTODO FLASH

No método original proposto por Parker et al (1961) as seguintes hipóteses foram

feitas: tempo de pulso infinitesimal; isolamento térmico (condições adiabáticas); espessura L

e amostra isotrópica. Parker et al (1961) também consideraram que o pulso de energia Q seria

absorvido instantaneamente e uniformemente em uma fina camada da superfície frontal de

profundidade “g”. Desta maneira, a distribuição de temperatura inicial é dada pela equação

2.5. Considerando que a camada “g” é muito pequena para materiais opacos e tendo a

distribuição inicial de temperatura, a temperatura na face posterior da amostra a qualquer

instante de tempo é dada pela equação 2.6.

2 2

20 01

1 2( , ) ( ,0) exp cos ( ,0)cos

L L

n

n t n x n xT x t T x dx T x dx

L L L L L

(2.4)

0( ,0)

0

p

Qem x g

C gT x

em g x L

(2.5)

2 2

21

( , ) 1 2 1 expn

np

Q n tT x t

C L L

(2.6)

A temperatura da superfície posterior da amostra é uma função do número de Fourier

dado pela equação 2.7, onde α é a difusividade térmica da amostra. Sendo assim a resposta

transitória da temperatura da face posterior da amostra é dada pela equação 2.8, onde TM é a

temperatura máxima na superfície posterior [Tm = T(L, t → (∞)].

29

2LtFo

(2.7)

2 2

0 0

1

( , )( ) 1 2 ( 1) exp( )n

nM

T L tF F n F

T

(2.8)

Segundo Parker et al (1961), a difusividade térmica pode ser calculada pela equação

2.7 e por uma curva T(L,t)/TM versus tempo (como a que foi mostrada pela Figura 2.5) no

ponto onde:

( , )0.5

M

T L t

T

(2.9)

Neste ponto, tem-se τ= 0.1388. Portanto, a difusividade térmica pode ser determinada

através da equação 2.10 onde t0.5 é o tempo do início do pulso até que a elevação da

temperatura da face posterior da amostra alcance a metade da temperatura máxima .

2

0.5

0.1388L

t

(2.10)

A duração de uma medição realizada sob uma taxa de calor em regime transiente é

muito mais curta que a realizada pelo método clássico da placa quente em regime

estacionário e, além disto, apenas uma pequena amostra do material é suficiente para a

realização do ensaio no método Flash. (Coquard e Panel, 2008).

Parker et al (1961) cita seis vantagens associadas ao uso do método Flash como

sendo: (1) Um mínimo de equipamento especializado é requerido. (2) Tratamento dos dados é

relativamente fácil. (3) O tamanho da amostra pode ser bem pequeno. (4) O sistema pode ser

utilizado a altas ou a baixas temperaturas, sendo necessário pré-aquecer ou resfriar a amostra.

(5) A quantidade de energia radiante requerida para realizar a medição é considerada baixa.

30

(6) Três propriedades termofísicas podem ser deduzidas para uma amostra com o mesmo

equipamento.

O método Flash proposto por Parker et al (1961), se tornou um dos métodos

amplamente utilizados para a medição das características térmicas dos materiais, tais como a

difusividade e a condutividade térmica. Dessa forma, muitos autores têm conduzidos seus

estudos de acordo com este método incluindo várias modificações.

Na mesma época em que o Método flash foi proposto, Cowan (1961) publicou um

artigo referenciando-se a um modelo idêntico ao de Parker et al (1961) porém este último

acabou por ser publicado antes. Cowan (1961) enfatizou os aspectos matemáticos do modelo

preocupando-se na determinação da difusividade térmica através de medidas de amplitude

e/ou da fase da variação de temperatura da superfície da amostra. No modelo de Cowan

(1961), uma pequena amostra retangular submetida ao vácuo seria uniformemente

bombardeada por um feixe de elétrons em uma de suas faces e a intensidade do feixe (onda

quadrada ou senoidal) seria modulada de modo a produzir flutuações correspondentes na

superfície da amostra. Para tanto, o autor assumiu uma transferência de calor unidimensional

através da amostra onde a energia emitida pelo feixe de elétrons era instantaneamente

absorvida pela superfície da amostra, também considerou que as perdas nas superfícies da

amostra seriam dependentes da temperatura uma condição de contorno radiativa linear. Neste

modelo, a medição pode atingir até 1000ºC.

Em 1963, Cowan (1963) publicou outro artigo afirmando que o método proposto por

Parker et al (1961) não é bem aplicado a casos onde a medição alcança altas temperaturas

devido às perdas de calor nas superfícies. Sendo assim, Cowan (1963) utilizou seu trabalho

de 1961 para mostrar que seu modelo matemático indica os efeitos de perda de calor no

resultado da medição.

31

Cowan (1963) mostrou que quando são consideradas as perdas de calor nas

superfícies a curva de resposta da temperatura versus tempo na superfície da amostra alcança

um valor máximo em uma temperatura menor do que aquela do caso adiabático. O autor

mostrou em seu artigo que depois que a curva atinge seu máximo, a temperatura cai em

função da perda de calor na superfície. Isto foi ilustrado pelas curvas B e C na Figura 2.5.

Cape e Lehman (1963) estudaram em um modelo bidimensional os efeitos da perda de

calor por radiação em altas temperaturas e da duração do pulso no método flash, para a

determinação da difusividade térmica. Consideraram as perdas de calor por radiação da

amostra, como também a duração do tempo do pulso radiante como sendo significativa em

relação ao tempo de aumento da temperatura da amostra. Os autores também estudaram casos

para baixas temperaturas de medição. O modelo de Cape e Lehman (1963) é descrito pelas

Equações 2.11 -17.

2 2

0,2 2

1 ( , , ) 1 ( , , )para 0 , 0 0

r x t q r x tx L r r t

t r r r x k

(2.11)

0,0 para 0, 0 0x x r r tx

(2.12)

0,0 para , 0 0x x L r r tx

(2.13)

0,0 para , 0 , 0r r r x L tr

(2.14)

0,0 para 0 , 0 , 0r r x L t (2.15)

Onde,

0( , , ) ( , , )r x t T r x t T (2.16)

32

3

, 0

,

4 x r

x r

T

k

(2.17)

Onde na Equação 2.17 é a constante de Stefan-Boltzmann e é a emissividade na

superfície, 0T é a temperatura inicial e k é a condutividade térmica.

Cape e Lehman (1963) puderam concluir que é possível otimizar a espessura da

amostra a fim de alcançar um determinado aumento de temperatura. Verificaram que os

efeitos de radiação tornam-se menores a medida que a espessura da amostra vai diminuindo,

enquanto que a razão tempo de medição sob tempo do pulso torna-se menor a medida que a

espessura da amostra vai aumentando.

Larson B. K. e Koyama K. (1967) construíram um modelo matemático baseado no

método Flash para medição da difusividade térmica, capacidade térmica e condutividade

térmica em amostras compostas de duas camadas considerando um contato perfeito entre as

mesmas. Neste modelo a medição de uma das camadas, pode ser realizada desde que haja

conhecimento dos valores das respectivas propriedades da outra camada. Os autores

conseguiram testar com sucesso o método para amostras de compostos bimetálicos

comparando assim seus resultados com os valores obtidos para o método de única camada

com boa concordância entre os mesmos.

Baseado no modelo de Cape e Lehman (1963), Clark e Taylor (1975) apresentaram

procedimentos para a correção da perda de calor por radiação no método flash para a

determinação da difusividade térmica. Os autores realizaram testes experimentais utilizando

uma amostra de grafite, considerando a perda de radiação apenas na porção de aquecimento

da curva de temperatura. O material escolhido é recomendado como material padrão para

condutividade e difusividade a altas temperaturas. Clark e Taylor (1975) conseguiram

correções de 35% com erros na faixa de ± 3%. Para isto, cincos pontos na curva temperatura

33

versus tempo foram determinados, os quais correspondiam a cinco temperaturas

adimensionais θ. Então desenvolveram uma relação teórica entre o tempo adimensional τ e as

relações representadas pela Equação 2.18. Para o cálculo da difusividade térmica foi então

realizado uma média destes resultados.

( 0.7) ( 0.8) ( 0.8)

( 0.3) ( 0.4) ( 0.2)

, et t t

t t t

(2.18)

Em 1998, Silva (1998) apresentou um estudo no qual aplicava o método flash em

materiais semitransparentes considerando suas devidas perdas de calor por radiação. Silva

(1998) fez uso dos métodos inversos aplicando o método de Levenberg-Marquardt. Nos

testes experimentais o autor utilizou vidro à base de silício em um equipamento flash

construído no CETHIL (Centre de Thermique de Lyon).

2.4 USO DO MÉTODO FLASH PARA LÍQUIDOS

A medição das propriedades térmicas em líquidos é uma tarefa particularmente difícil,

devido a duas dificuldades. Schriempf (1972) lista estas dificuldades, sendo a primeira delas

a taxa de calor por convecção que é difícil de eliminar e a segunda se refere à radiação que

desempenha papel importante em líquidos transparentes. Contudo, algumas condições

particulares devem estar presentes para que sejam evitados os problemas de convecção e

radiação para os líquidos.

Schriempf (1972) foi o primeiro a realizar experimentos com o método flash

utilizando metais líquidos para determinar a difusividade térmica. A pesquisa envolveu a

utilização de uma câmera de alta velocidade operando a 10 000 frames por segundo para

registrar o metal líquido sendo submetido a um pulso de 20J com 0.5 150t s impactando em

uma área com 19 mm de diâmetro.

34

O metal líquido utilizado neste estudo foi o mercúrio e sua superfície exibiu uma forte

reação ao pulso do laser com onda espalhadas para fora da área de impacto, sendo muito

similar a superfície da água quando uma pedra é jogada. Este fenômeno pode ser observado

na Figura 2.6 (a). Em muitos casos, a análise da superfície oposta ao pulso ficou impossível

de ser realizada devido a estas perturbações. Para resolver o problema, o autor cobriu a

superfície com uma fina camada de quartzo, que é transparente a ondas de 1.06 s de

radiação e realizou medições que podem ser vistas na Figura 2.6 (b).

Figura 2.6: Perturbações da amostra de mercúrio

Fonte: Schriempf (1972)

Contudo, o autor pode observar que o mercúrio deixou a placa de quartzo molhada,

fato que indicou a existência de uma perda de calor significante na interface mercúrio-

quartzo. Observando que as perdas de calor para o cálculo da difusividade térmica não foram

consideradas no modelo inicial de Parker (1961) definida pela Equação 2.7, Schriemp (1972)

propôs outra equação para o cálculo da difusividade térmica. Os experimentos realizados com

o mercúrio variaram entre temperaturas de 16 a 300ºC, com amostras de três espessuras

35

diferentes, sendo conduzidos em uma atmosfera de argônio da uma pressão de 2.1 kg.cm-2

.

Schriemp (1972) conseguiu obter bons resultados em relação àqueles presentes na literatura,

com desvios de, no máximo, 5%.

Ohta et al (2001) desenvolveram um novo método flash para líquidos de alta

viscosidade a altas temperaturas. Este novo método permite a obtenção da efusividade

térmica do líquido, para daí então, calcular a difusividade térmica conhecendo-se a massa

específica e o calor específico pela Equação 2.19, sendo assim, tem-se:

2

b

c

(2.19)

Onde b na Equação 2.19 caso representa a efusividade térmica do líquido que

descreve a rapidez com a qual um material absorve o calor.

Figura 2.7: Diagrama esquemático da cápsula desenvolvida por Ohta et al (2001)

Fonte: Ohta et al (2001)

Os autores projetaram uma cápsula de platina onde a parte de cima da cápsula é

totalmente aberta para que se possa ser observadas as bolhas formadas no líquido devido ao

aquecimento a altas temperaturas. Neste método, o aquecimento e o monitoramento da

36

temperatura são realizados na mesma face da cápsula. O monitoramento da temperatura é

feito através de um detector infravermelho InSb. A Figura 2.7 ilustra este método.

No trabalho de Ohta (2001), as seguintes considerações foram levadas em conta: o

sistema tende a um equilíbrio térmico depois da irradiação do laser, o fluxo de calor é

unidimensional, a amostra é considerada como sendo um meio semi-infinito, a resistência do

contato térmico entre a amostra e a parede da cápsula é considerada desprezível e a

distribuição de temperatura na camada de platina é isotérmica. Sendo assim, o cálculo do

decaimento da temperatura é dado pela Equação 2.20:

2

0( ) exp( ) ( )d

s

d d d

T t T h t erfc h t

bh

p C I

(2.20)

Onde os subscritos d e s indicam a platina e a amostra respectivamente e Id indica a

espessura da placa de platina.

Nishi et al (2003) estudaram as perdas de calor por radiação e por convecção em

medições realizadas através do método flash para metais líquidos a altas temperaturas. Para

isto, utilizaram uma cápsula desenvolvida pelos para a medição de temperaturas maiores que

1500 K. O modelo matemático da cápsula desenvolvido envolve três camadas, onde as

tampas inferior e a superior são feitas de safira, que é um material transparente ao laser e aos

raios infravermelhos, enquanto que a parede lateral da cápsula é feita de um tubo de alumina.

A cápsula inteira foi comprimida por um suporte de grafite, a fim de suprimir a volume de

expansão do metal durante a fase de transição do estado sólido para o estado líquido, e desta

maneira, determinar com exatidão a espessura do metal fundido. Na placa superior de safira

existem quatro pequenos furos para acomodar a expansão do metal líquido e também para

eliminar gás no interior da amostra. As considerações feitas pelos autores para o modelo

37

matemático foram as seguintes: transferência de calor unidimensional, a cápsula inteira se

encontra em condições adiabáticas para o fluxo de condução de calor, cada camada é

homogênea, as propriedades termofísicas de cada camada são conhecidas, a resistência

térmica de contato na interface entre as camadas é uniforme e possui o mesmo valor para a

interface do topo e do fundo da cápsula, o pulso de calor é absorvido uniformemente pela

superfície frontal, a perda de calor por radiação é proporcional a diferença de temperatura do

metal e do ambiente, a perda por radiação ocorre apenas na superfície do metal líquido. Após

a adimensionalização do modelo matemático, este foi resolvido e analisado numericamente

por diferenças finitas. Nishi et al (2003) utilizaram como amostra o níquel e seus resultados

mostraram que a sua difusividade térmica pode ser determinada na faixa de temperaturas

entre 1728 a 1928 K com uma incerteza de 3% em comparação com o caso onde apenas

perda de calor por radiação é considerada.

Figura 2.8 Esquema implementado por Remy e Degiovanni (2005).

Fonte: Remy e Degiovanni (2005)

38

Remy e Degiovanni (2005) estudaram o método flash para a determinação de

propriedades termofísicas de líquidos. Para tanto, realizaram um estudo de sensibilidade dos

parâmetros envolvidos no problema a fim de determinar uma espessura ideal para a parede da

célula. O estudo completo de estimação dos parâmetros mostrou que seria possível medir as

principais propriedades termofísicas para a maioria dos líquidos. A célula proposta por Remy

e Degiovanni (2005) consistia em dois cilindros coaxiais com uma lâmpada de flash no meio.

A Figura 2.8 ilustra o esquema implementado por Remy e Degiovanni (2005).

No caso de líquidos semitransparentes os autores consideraram um outro parâmetro a

ser estudado, a resistência radiativa, já que consideraram um modelo de condução-radiação.

Após a implementação do experimento, foram realizadas medições com a água, que

indicaram a relevância desse estudo.

Figura 2.9: Cápsula para líquidos e materiais pastosos para o método flash

Fonte: Blum et al (2007)

Blum et al (2007) fizeram a caracterização térmica de líquidos e materiais pastosos

utilizando o método flash. Para isto, utilizaram uma cápsula para o uso dos mesmos,

projetada anteriormente e representada pela Figura 2.9. A cápsula foi projetada toda em

alumínio, para aplicações superiores a 500ºC ou de platina para aplicações superiores a

1600ºC. A parte de baixo da tampa inferior e a parte central da tampa superior devem ser

39

pintadas de grafite para garantir uma boa absorção nas superfícies irradiadas pela fonte de

calor e para que haja alta emissão para o detector infravermelho.

Blum et al (2007) utilizaram uma rotina baseada na teoria de Lee (1975) de análise de

três camadas para a avaliação do sinal medido pelo detector. Os testes foram conduzidos em

dois sistemas diferentes, porém do mesmo fabricante, o LFA 447 Nanoflash e o LFA 457

MicroFlash. Os autores realizaram testes para a água, etileno glicol, silicone e também para

uma mistura de parafina, obtendo bons resultados quando comparados com os resultados

existentes na literatura, com incertezas de aproximadamente 5%.

Porém, Coquard e Panel (2008) explicam que todos os estudos para líquidos, até então

baseados no método Flash clássico de medição, assumem que a taxa de transferência de calor

através do porta-amostra do equipamento utilizado para medição é unidimensional. Contudo,

este nem sempre é o caso. Os mais recentes dispositivos de testes são feitos de diversos

componentes com propriedades térmicas distintas, que podem causar efeitos de borda. De

fato, o uso de equipamentos para medições em líquidos com condutividade térmica diferente

daquela do porta-amostra pode levar a resultados não precisos, já que o fluxo de calor não é

mais unidimensional.

O método flash foi utilizado para conduzir experimentos com os nanofluidos em

alguns trabalhos, dentre eles Shaik et al (2007), Fonseca et al 2007, Bazan et al (2010).

O método flash foi utilizado para medição da condutividade térmica de três tipos de

nanofluidos com diferentes nanopartículas (nanotubos de carbono em óleo PAO) através do

método flash. (Shaikh et al 2007). O aparato utilizado por Shaikh et al (2007) foi o LFA 447,

mesmo aparato utilizado no LTTC/COPPE/UFRJ. Os resultados experimentais desse estudo

mostraram resultados similares aos observados na literatura com um aumento de

aproximadamente 161% obtidos para nanotubos de carbono suspensos em óleo PAO.

40

Como já foi mencionado neste Capítulo, Fonseca et al (2007) estudaram as

propriedades termofísicas dos nanofluidos de alumina em água caracterizando-as através

método flash. Os autores obtiveram resultados para a condutividade e difusividade térmica

10% mais altos do que as respectivas propriedades da água a 45ºC, enquanto que à

temperaturas mais baixas, os valores foram praticamente idênticos.

Bazan et al (2010) apud Kleinstreuer e Feng (2011) realizaram um estudo para a

caracterização dos nanofluidos através de três métodos, dentre eles o método flash. Com os

resultados obtidos, puderam concluir que o melhor método para caracterização desses fluidos

foi o método da sonda linear, já que o método flash apresentou uma lacuna na sua precisão na

medição de nanofluidos com baixa condutividade.

41

CAPÍTULO 3

PROBLEMA FÍSICO E FORMULAÇÃO MATEMÁTICA

Este capítulo apresenta o modelo físico do problema, as equações que compõem a sua

formulação matemática, a formulação adimensional, bem como os parâmetros adimensionais

que foram utilizados.

3.1 NANOFLASH – LFA 447

O LTTC/UFRJ dispõe de um equipamento da NETZSCH, o LFA 447 NANOFLASH,

para a medição das propriedades termofísicas, como difusividade térmica, calor específico e

condutividade térmica através do método flash. A fonte de energia do equipamento, que faz

com que haja uma perturbação térmica na amostra, é uma lâmpada de Xenônio de alta

potência, a qual possui um espelho parabólico refletor fazendo com que o feixe seja

direcionado para a amostra. Para identificar a temperatura na face oposta, o equipamento faz

uso de um detector de InSb-IR na faixa de comprimento de onda de 2000 a 5000 nm. Este

detector é resfriado por nitrogênio líquido. O equipamento é controlado por software que é

capaz de ajustar todos os parâmetros do teste, como por exemplo, a duração do pulso de

energia, etc. Na figura 3.1 este equipamento é apresentado.

42

Figura 3.1: Modelo Físico do Nanoflash LFA 447

Fonte: Fonseca (2007)

Figura 3.2: Suporte de Amostras


43

Na Figura 3.2 observa-se o suporte onde são colocadas as amostras para realização

dos testes. Nota-se que é possível realizar testes em até quatro amostras diferentes.

No caso de realização de medição em amostras líquidas, utiliza-se uma cápsula

projetada especialmente para este fim e fornecida pela NETSZCH, conforme mostrada na

Figura 3.3. A cápsula fornecida pelo fabricante é composta de alumínio e consiste em um

cadinho para armazenar o líquido durante a medição, de modo que a amostra seja considerada

como sendo um material que possui três camadas diferentes. A primeira camada é o cadinho,

a camada intermediária é o líquido e a última camada é a tampa superior da cápsula. A Figura

3.4 mostra um esquema do modelo de três camadas para cálculo das propriedades

termofísicas.

Figura 3.3: Cápsula para líquidos


Figura 3.4: Esquema do Modelo de Três Camadas

Ɩ1

Ɩ3

Ɩ1

Ɩ4 R1

Rmax

44

A interface do software é bastante simples e indica toda a ordem de definição dos

parâmetros através de telas. Primeiramente, define-se o tipo de material e a posição que está

localizada a amostra a ser analisada, bem como os dados dessa amostra (espessura, massa

específica etc.). Nas telas seguintes definem-se os parâmetros do teste, como as temperaturas

em que ocorrerá o teste, quantos pulsos de energia serão dados, filtros óticos, entre outros

parâmetros.

No caso do modelo de três camadas, o usuário deve inserir as propriedades

termofísicas de pelo menos duas camadas, como também o calor específico da camada que se

deseja determinar a difusividade térmica.

Como foi dito anteriormente, a cápsula fornecida pela NETSZCH para medição de

propriedades termofísicas em líquidos não tem fornecido bons resultados. Assim o propósito

deste trabalho é analisar uma outra cápsula para medição das propriedades termofísicas em

líquidos. Para tanto, a seção a seguir apresenta o modelo do problema físico a ser estudado

neste trabalho.

3.2 PROBLEMA FÍSICO

A Figura 3.5 apresenta o modelo físico do problema a ser estudado. Trata-se de um

domínio físico com vários meios, composto pelas regiões 1, 2 e 3 e pelo líquido contido entre

elas. A cápsula recebe um fluxo de calor em sua superfície inferior, resultante do pulso de

energia do Flash. Assume-se que o pulso é uniforme e é absorvido instantaneamente pela

amostra. Todas as superfícies estão sujeitas à perda de calor para o ambiente que se dá

fundamentalmente por radiação, ou seja:

4 4

radq T T (3.1)

45

Onde é a emissividade da superfície, = 5,67x10-8

W/m2K

4 é a constante de Stefan-

Boltzmann e T é a temperatura do envoltório, que foi considerada igual para cada superfície

da cápsula já que o tamanho do forno em que a amostra se encontra é pequeno se encontra em

equilíbrio térmico com a cápsula no instante inicial. Para casos onde a diferença entre a

temperatura do corpo e a do envoltório é pequena, é possível linearizar esta equação como:

rad radq h T T (3.2)

Onde é o coeficiente linearizado de transferência de calor por radiação, que é

similar ao coeficiente de transferência de calor por convecção, sendo dado por:

34radh T (3.3)

Considerando que as emissividades 1 2 3, e das superfícies podem ser diferentes, o

coeficiente de transferência de calor é denominado de 1 2 3, eh h h para as superfícies exteriores

nas regiões 1, 2 e 3, respectivamente. Devido aos pequenos tempos envolvidos nas medições

com o método Flash, as perdas por convecção natural podem ser desprezadas.

Figura 3.5: Problema Físico

r

z

q(t)

1

2

3

46

A transferência de calor por convecção natural na amostra líquida pode ser

desprezada. De fato, Corquard e Panel (2008), mostram que para a água, por exemplo, o

número de Rayleigh para um aumento de temperatura de 0.2 K na face posterior da cápsula é

de aproximadamente Ra=500, sendo que para números de Rayleigh menores que Ra=1400, a

convecção natural pode ser desprezada.

O propósito deste trabalho é analisar uma nova cápsula a ser utilizada pelo método

Flash, partindo da idéia de construção de uma cápsula composta por um material com

condutividade alta nas tampas, de modo que a transferência de calor do pulso na tampa

inferior e a medição na tampa superior sejam facilitadas. Por outro lado, na lateral da cápsula,

deseja-se utilizar um material com condutividade térmica baixa, de modo que a presença

desta não interfira na transferência de calor na amostra analisada. Deve-se observar ainda que

o raio interno da cápsula deva ser o maior possível, de modo que a influência da parede

lateral (região 3) na medição seja pequena.

3.3 FORMULAÇÃO MATEMÁTICA DO PROBLEMA

Visto que se trata de um problema de condução transiente com base no modelo de três

camadas, a formulação matemática do problema contém uma equação diferencial parcial para

cada meio, bem como suas condições de contorno e condições iniciais.

Considera-se que as propriedades termofísicas dos materiais da cápsula, como

também da amostra, são homogêneas e isotrópicas. O campo de temperatura foi suposto

assimétrico. Assim, tem-se um problema bidimensional, dependente de “r” e “z”. Já foi visto

anteriormente que no método Flash, no instante inicial o líquido e a cápsula estão em

equilíbrio térmico com o ambiente, portanto, . Considera-se ainda que, a geração

interna de energia seja nula e contato térmico seja perfeito entre o líquido e as paredes da

cápsula, assim como entre as tampas e o corpo da cápsula. O pulso de energia emitido pelo

47

flash é inicia-se no instante 0t t e encerra-se no instante

ht t , assumindo então uma função

degrau.

De acordo com o que foi exposto, as Equações (3.4-13) formulam o problema físico

em toda a região, que envolve a cápsula e o líquido. Para representar a cápsula e o líquido

utiliza-se propriedades termofísicas que são dependentes da posição (r, z).

1 ( , ) ( , ) ( , )( , ) ( , ) ( , )

T r z T r z T r zk r z k r z C r z

r r r z z t

em toda região, 0t

(3.4)

1 1 1( )T

k hT q t hTz

para 0z , max0 r r , 0t (3.5)

2 2 2

Tk h T h T

z

para maxz z , max0 r r , 0t (3.6)

3 3 3

Tk h T h T

r

para max0 z z , maxr r , 0t (3.7)

( , )T r z T em toda região para 0t (3.8)

Na Figura 3.6 está representada a vista lateral da cápsula, onde l1 e l2 são as

espessuras das tampas inferior e superior respectivamente enquanto que l3 é a espessura da

parede lateral da cápsula.

48

Figura 3.6: Vista lateral da cápsula

3.4 FORMULAÇÃO MATEMÁTICA ADIMENSIONAL DO PROBLEMA

O problema 3.4-13 pode ser escrito na forma adimensional definindo-se os seguintes

grupos adimensionais:

max

rR

r ;

max

zZ

r ;

2

max

. reft

r

;

(3.9a-h) *

ref

kk

k ; *

ref

CC

C ; max

ref

hrBi

k ;

;T T

T

*

max

;( / )ref ref

qq

T k r

Onde, kref e Cref são a condutividade térmica e a capacidade térmica de referência,

respectivamente e refT refere-se a temperatura de referência que foi tomada como a

temperatura do envoltório.

49

A adimensionalização de um problema torna-o mais simples de ser interpretado já que

reduz o número de parâmetros e generaliza sua solução, simplificando análises e ou

simulações. Portanto, as Equações (3.10-14) representam a formulação matemática

adimensional do problema.

* * *( , ) 1 ( , ) ( , )( , ) ( , ) ( , )

R Z R Z R ZC R Z k R Z R k R Z

R R R Z Z

em toda região, para 0

(3.10)

* *

1 1 ( )k Bi qZ

para 0Z , 0 1R , 0 (3.11)

*

2 2 0k BiZ

para

maxZ Z , 0 1R , 0 (3.12)

*

3 3 0k BiR

para

max0 Z Z , 1R , 0 (3.13)

( , ) 0R Z em toda região para 0 (3.44)

50

CAPÍTULO 4

MÉTODO DE SOLUÇÃO

Neste capítulo são apresentadas as técnicas de solução adotadas para resolver as

formulações matemáticas do problema físico descrito no Capítulo 3.

A solução do problema direto foi obtida através da formulação implícita do método de

volumes finitos, onde se obtém um conjunto de equações algébricas pela discretização das

equações da formulação matemática do problema físico. Tal solução foi implementada na

plataforma Matlab 7.0 através do método Gauss-Seidel com sobre relaxação.( HIRSCH,

2007).

Para verificação desta solução numérica por volumes finitos, foi utilizada a técnica da

transformada integral clássica (Ozisik, 1993) aplicada a um problema-limite bidimensional

envolvendo uma única região. Além disso, também foi usada a função PDEPE do Matlab,

neste caso aplicada a um meio unidimensional com três camadas.

4.1 SOLUÇÃO POR VOLUMES FINITOS

Desenvolvido por Patankar (1980), o método dos volumes finitos tem como princípio

básico o balanço de fluxos em volumes de controle discretos dispostos em um domínio de

modo que cada volume envolve um ponto da malha. Sendo assim, as fronteiras dos volumes

de controle apresentam fluxos.

O método de por volumes finitos expressa a conservação (exata) de propriedades

relevantes para cada célula finita. Esta clara relação entre o algoritmo numérico e o princípio

da conservação física faz com que este conceito de volumes finitos seja bem mais simples de

ser entendido do que o método de elementos finitos, Malalaskera (1995).

51

O primeiro passo neste método é dividir o domínio em volumes de controle discretos.

O segundo passo é integrar as equações governantes no volume de controle e no tempo. Por

fim, o terceiro passo é a solução das equações discretizadas, que formam um sistema

algébrico de equações.

A Figura 4.1 ilustra o esquema para uma malha em geometria bidimensional em

coordenadas cilíndricas, onde os pontos nodais se encontram no centro de cada volume de

controle, designados por P e seus vizinhos designados por W, E, N, S, nas direções oeste,

leste, norte e sul, respectivamente. Cada interface do volume é designada pelas letras

minúsculas w, e, n, e s, nas mesmas direções ditas anteriormente. A distância entre o centro

de dois volumes na direção radial é definida por r, enquanto que a distância entre o centro

de dois volumes na direção axial é definida por z.

Figura 4.1: Esquema de uma malha bidimensional no método dos volumes finitos

Um esquema da malha utilizada por este problema é apresentado na Figura 4.2.

Adotou-se uma discretização espacial para todos os pontos nos centros dos volumes, para

pontos situados nas superfícies externas, como também para os pontos de contato entre os

P E W

N

S

e w

n

s

r r

z

z

52

meios. Chama-se aqui de “nr” o número de volumes de controle na direção R e por “nz” o

número de volumes de controle na direção Z.

Os volumes de controle foram separados em grupos para discretização, a saber:

1- Volumes de controle da linha j=2 para “i” variando de 2 a nr.

2- Volumes de controle internos, isto é, i variando de 2 a nr, para j variando de 3

a nz.

3- Volumes de controle da linha j=nz+1 para i variando de 2 a nr.

Em todos os grupos acima são também discretizados os casos onde i=1 e i=nr+1,

assim como para j=1 e j=nz+z.

Figura 4.2: Vista lateral do esquema da malha bidimensional de 0 a Rmax

53

Procede-se discretizando a equação governante para os volumes de controle internos

das tampas, do líquido e da parede da cápsula, com a capacidade térmica e a condutividade

térmica variável em R e em Z.

Portanto, integrando no volume e no tempo a equação (3.15) da formulação

matemática adimensional, obtém-se:

*

* *

. ( , )

( , ) ( , )

VC

VC VC

R C R Z dVd

k R Z R dVd R k R Z dVdR R Z Z

(4.1)

, ,

* 0 * *

, 1/2, i+1/2 1/2, i-1/2

i+1/2,j i-1/2,j

* *

i,j+1/2 , 1/2

i,j+1/2 i,j-1/2

1

. .

i j i ji j i i j i j

i i j

C R R Z Z k R k RR R

R R k kZ Z

(4.2)

As equações abaixo representam as aproximações por diferenças centradas que serão

aplicadas na equação (4.2).

1, , , 1 ,

, 1, , , 1

i+1/2,j i,j+1/2

i-1/2,j i,j-1/2

i j i j i j i j

i j i j i j i j

R R Z Z

R R R Z

(4.3)

Portanto, realizando as substituições acima e rearranjando a equação acima na forma

, 1, 1, , 1 , 1 , ,

0 0

, 1, 1, , 1 , 1i j i j i j i j i j i j i ji j i j i j i j i jA A A A A A , a equação (4.2) fica:

54

i+1/2,j i-1/2,j i,j+1/2 i,j-1/2

,

i+1/2,j i-1/2,j i,j+1/2 i,j-1/2

1, , 1

* * * **

, i+1/2 i-1/2

2 2 2 2

i i

* * * *

i+1/2 i-1/21,2 2 2 2

i i

i j

i j i j

i j

i j

k k k kC R R

R R R R Z Z

k k k kR R

R R R R Z Z

, 1 ,

*

, 0

i j i j

i jC

(4.4)

Onde,

i+1/2,j

*

i+1/21, 2

i

i j

kRA

R R

; i-1/2,j

*

i-1/21, 2

i

i j

kRA

R R

i,j+1/2

*

, 1 2i j

kA

Z

; i,j-1/2

*

, 1 2i j

kA

Z

,

*

,0

i j

i jCA

,

0

, 1, 1, , 1 , 1 i ji j i j i j i j i jA A A A A A

Discretizando as equações das condições de contorno, fica-se com:

- Para a interface tampa inferior-ambiente, j=1:

, , 1

*

1

* *

max

2 2

( , ) ( , )

Para Z=Z , 0 1, 0

i j i j

Bi q

Z k R Z Z k R Z

R

(4.5)

Onde,

1, *

2

( , )i j

BiA

Z k R Z

, 1

2i jA

Z

*

*( , )p

qS

k R Z

55

- Para interface tampa superior-ambiente, j=nz+2:

, , 1

2

*

max

2 20

( , )

Para Z=Z , 0 1, 0

i j i j

Bi

Z k R Z Z

R

(4.6)

Onde,

2, *

2

( , )i j

BiA

Z k R Z

, 1

2i jA

Z

- Para a interface lateral da cápsula e ambiente, i=nr+2:

, 1,

3

*

max

2 2( , ) ( , ) 0

( , )

Para 0<Z<Z , 1, 0

i j i j

BiR Z R Z

R k R Z R

R

(4.7)

Onde,

3, *

2

( , )i j

BiA

R k R Z

1,

2i jA

R

- Para a condição inicial do problema, tem-se:

, ,

0 0( , ) ( , ) para toda regiãoi j i j

R Z T R Z (4.8)

Para a discretização dos grupos dos volumes de controle descritos anteriormente da

Figura 3.3, os fluxos conhecidos das condições de contorno são substituídos na equação (4.2):

1- Volumes de controle em j=2.

- Para i variando de 2 a nr, obtém-se:

56

,

, 1 1,

* * * *

, i+1/2,j i-1/2,j i,j+1/2i+1/2 i-1/2

2 2 2

* * * *

, i+1/2,j i-1/2,j i,j+1/20 i+1/2 i-1/2 1, , 12 2 2

i j

i j i i j

i j

i i

i j

j i j

i i

C k k kR R

R R R R Z

C k k kR R Bi

R R R R Z Z

, 1

*

i j

q

Z

(4.9)

- Para i=1, na equação acima tem-se:

i-1/2,j

0R

Portanto,

,

, 1 , 1

* * *

, i+1/2,j i,j+1/2i+1/2

2 2

* * * *, i+1/2,j i,j+1/20 i+1/2 1

, , 12 2

i j

i j i i j

i j

i

i j

j i j

i

C k kR

R R Z

C k kR Bi q

R R Z Z Z

(4.10)

-Para i=nr+1:

,

, 1 1, , 1

* * *

, i-1/2,j i,j+1/2i-1/2

2 2

* * * *, i-1/2,j i,j+1/20 i+1/2 3 i-1/2 1

, , 12 2

i j

i j i i j i j

i j

i

i j

j i j

i i

C k kRR Z

R R Z

C k kR Bi R Bi q

R R R R Z Z Z

(4.11)

2- Para os volumes de controle internos, isto é, j variando de 3 a nz.

- Para i=1:

,

, 1 , 1

* * * *

, i+1/2,j i,j+1/2 i,j-1/2i+1/2

2 2 2

* * * *

, i+1/2,j i,j+1/2 i,j+-1/20 i+1/2, , 12 2 2

i j

i j i i j

i j

i

i j

j i j

i

C k k kR

R R Z Z

C k k kR

R R Z Z

(4.12)

57

,

, 1

* * * *

, i+1/2,j i,j+1/2 i,j-1/2i+1/2

2 2 2

* * * *

, i+1/2,j i,j+1/2 i,j-1/20 i+1/2, , 1 , 12 2 2

i j

i j i

i j

i

i j

j i j i j

i

C k k kR

R R Z Z

C k k kR

R R Z Z

- Para os volumes de controle de i variando de 2 a nr, rege a equação (4.2).

-Para i=nr+1:

,

1, 1, , 1 , 1

* * * *

, i-1/2,j i,j+1/2 i,j-1/2i-1/2

2 2 2

* * * *

i-1/2,j i,j+1/2 i,j-1/2 ,3 i+1/2 i-1/2

2 2 2

i j

i j i j i j i j

i j

i

i j

i i

C k k kR

R R Z Z

k k k CBi R R

R R R R Z Z

,

0

i j

(4.13)

3- Volumes de controle da última linha, isto é, j=nz+1, tem-se:

- Para i variando de 2 a nr

,

1 1, , 1 , 1

* * * *

, i+1/2,j i-1/2,j , 1/2i+1/2 i-1/2

2 2 2

* * * *

i+1/2,j i-1/2,j , 1/2 ,i+1/2 i-1/2 2,2 2 2

i j

i i j i j i j

i j i j

i i

i j i j

j

i i

C k k kR R

R R R R Z

k k k CR R Bi

R R R R Z Z

,

0

i j

(4.14)

-Para i=1, na equação acima tem-se:

i-1/2,j

0R

Logo,

58

,

1 , 1 , 1 ,

* * *

, i+1/2,j , 1/2i+1/2

2 2

* * *

i+1/2,j , 1/2 , 0i+1/2 2,2 2

i j

i i j i j i j

i j i j

i

i j i j

j

i

C k kR

R R Z

k k CR Bi

R R Z Z

(4.15)

-Para i=nr+1

, 1,

1, , 1 , 1 ,

* * * *, i-1/2,j , 1/2i-1/2 i+1/2 3

2 2

i

* * *

i-1/2,j , 1/2 , 0i-1/2 2

2 2

i j i j

i j i j i j i j

i j i j

i

i j i j

i

C k kR R Bi

R R Z R R

k k CR Bi

R R Z Z

(4.16)

O meio onde a transferência de calor ocorre é formado por diversos materiais, com

propriedades termofísicas diferentes. Sendo assim, é preciso especificar como serão tratadas

as propriedades termofísicas nas interfaces entres os volumes.

Segundo Patankar (1980), a condutividade térmica nas interfaces entre os volumes de

controle pode ser aproximada pela média harmônica das condutividades térmicas nos centros

dos volumes. Portanto, serão utilizadas as equações (4.17) a (4.20) para a condutividade

térmica nas interfaces dos volumes:

, 1, , 1,

1/2, 1/2

, 1, , 1,

, , 1 , , 1

, 1/2 1/2

, , 1 , , 1

2 . 2 .

2 . 2 .

i j i j i j i j

i j i

i j i j i j i j

i j i j i j i j

i j j

i j i j i j i j

k k k kk k

k k k k

k k k kk k

k k k k

(4.17-20)

A malha temporal foi dividida em duas partes, sendo a primeira até o tempo de

aquecimento h , e outra sendo do tempo de aquecimento até o tempo final de medição m ,

onde m f h . A Figura 4.3 ilustra o esquema da malha temporal.

59

Figura 4.3. Esquema da malha temporal

O número de pontos para cada parte da malha é definido como sendo 1d

n

.

Para a parte da malha temporal referente ao aquecimento, escolheu-se um determinado

número de pontos no qual o passo de tempo hd fosse menor que o tempo de duração do

pulso h . Portanto, para a parte da malha temporal referente à medição, tomou-se o mesmo

passo de tempo utilizado na parte referente ao aquecimento m hd d .

Fez-se uso do método de Gauss-Seidel com sobre relaxação (Gauss with SOR) para

resolução de sistema de equações lineares, resultante da discretização por volumes finitos

(HIRSCH, 2007).

4.2 SOLUÇÃO DO PROBLEMA ATRAVÉS DO USO DA TÉCNICA DA

TRANSFORMADA INTEGRAL

Com o objetivo de verificar a solução obtida com o método de volumes finitos, o

problema em questão foi também resolvido através da Técnica da Transformada Integral

Clássica (CITT). Para este caso de verificação supôs-se que a cápsula fosse construída de um

único material, sendo assim:

* * * * *

1 2 3 1 1.Lk k k k e C

A utilização da técnica da Transformada da Integral Clássica consiste na expansão do

problema original em uma base de autofunções. Sendo assim, o primeiro passo está na

escolha desta base de autofunções através da escolha de um problema auxiliar e, em seguida,

h

f hd md

60

na definição do par transformada/inversa. O segundo passo é então a transformação integral

do problema original em um sistema desacoplado de equações diferenciais ordinárias. O

terceiro passo é a solução deste sistema de equações diferenciais ordinárias resultantes da

transformação e depois então aplicação da fórmula da inversa para recuperar o potencial

original.

Reescrevendo novamente o problema adimensional definido no Capítulo 3 e

assumindo apenas um único meio, tem-se:

2 2

2 2

1

R RR Z

para max0 Z Z , 0 1R , 0 (4.21)

*

1 ( )Bi qZ

para 0Z , 0 1R , 0 (4.22)

2 0BiZ

para maxZ Z , 0 1R , 0 (4.23)

3 0BiR

para 1 2Z Z Z , 1R , 0

(4.24)

0 em toda região para 0 (4.25)

O problema auxiliar é aquele que resulta da separação de variáveis da versão

homogênea do problema original. Portanto, definindo primeiramente o problema auxiliar em

Z:

2

2

20p

Z

para 1 2Z Z Z , 1 1R R , 0

(4.26)

61

1 0BiZ

para 0Z , 0 1R , 0

(4.27)

2 0BiZ

para maxZ Z , 0 1R , 0

(4.28)

Definindo a respectiva autofunção, norma e autovalores através da Tabela 2.2 (Ozisik,

1991) têm-se:

1

2 2 21 max 12 2

2 2

12

( )p

p

BiBi Z Bi

N Bi

(4.29)

Os autovalores são as raízes positivas de:

1 2

max 2

1 2

( )tan

p

p

p

Bi BiZ

Bi Bi

(4.30)

1( , ) cos( ) ( )p p p pZ Z Bi sen Z (4.31)

Transformada integral

max

0( , , ) ( , ) ( , , )

Z

p pZ

R Z R Z dZ

(4.32)

Fórmula da inversa

1

( , )( , , ) ( , , )

( )

p

p

p p

ZR Z R

N

(4.33)

Transformando o problema em Z, fica-se com:

2 *2

2 *

1

( , , ) 1para 1,2,3...

p

p p

R qp

R R R k

(4.34)

__

3 0BiR

para 1 2Z Z Z , 1R , 0 (4.35)

62

_ _

0 0 em toda região para 0 (4.36)

Transforma-se agora então, o problema em R, utilizando-se o seguinte problema

auxiliar:

22

2

10o o

m o

d R dRR

R dRdR 0 1R , 0 (4.37)

3 0oo

dRBi R

dR 1R , 0 (4.38)

Definindo a respectiva autofunção, norma e autovalores através da Tabela 3.1 (Ozisik,

1991) têm-se:

2

2 2 2 2

max max 3

1 2.

( ) ( )

m

o m mN J R R Bi

(4.39)

Onde os autovalores são as raízes positivas de:

'

max 3 max( ) ( ) 0m o m o mJ R Bi J R (4.40)

( , ) ( )o m o mR R J R (4.41)

Transformada integral

0( , , ) ( , ). ( , , )

B

m p o m mR

R R R RdR

(4.42)

Fórmula da inversa

1

( , )( , , ) ( , , )

( )

o mp m p

m m

J RR

N

(4.43)

Transformando o problema:

2 2

m p

dA

d

(4.44)

Onde,

*

1( )p

m

m

qA BJ B

.

63

Sujeita à condição inicial transformada em R.

_ _

0 ( , ) 0 0 , , 1,2,3...m p m p (4.45)

Multiplicando a equação (4.43) pelo fator integrante 2 2

m p

e

, fica-se com:

2 2 2 2 2 22 2 ( , , )

m p m p m p

m p m p

de e e A

d

(4.46)

Integrando a equação (4.46) de 0 até ' , obtêm-se duas soluções, uma para o

tempo menor que o tempo de aquecimento da amostra, ou seja, para h , e outra para o

tempo maior que o tempo de aquecimento, ou seja, para h .

Portanto, para h , tem-se:

2 2

*

( )max 1 max

2 2

( )1

( )

m pp o m

m m p

q R J Re

(4.47)

E para h ,

2 2 2 2

*

( ) ( )max 1 max

2 2

( )

( )

m p h m pp o m

m m p

q R J Re e

(4.48)

Aplicando as fórmulas das inversas (4.32) e (4.43) seqüencialmente às equações

(4.47) e (4.48), fica-se com:

0

1 1

( , )( , )( , , ) ( , , )

( ) ( )

pmm p

p m m p

ZJ RR Z

N N

(4.49)

Onde, , ,m p Z é dada por (4.47) para h e por (4.48) para h .

64

4.3 SOLUÇÃO DO PROBLEMA ATRAVÉS DO USO DA FUNÇÃO PDEPE DO

MATLAB 7.0

O Matlab 7.0 contém a função PDEPE que é bastante utilizada para solução de

sistemas de EDPs parabólicas ou elípticas. Para tanto, o problema deve ser unidimensional.

Através da discretização espacial da solução do problema, a função PDEPE aproxima

a EDP em uma EDO dependente do tempo. Então, integra-se a função no tempo nas

proximidades de pontos/intervalos que são escolhidos automaticamente pelo Matlab.

Existe um formato pré-definido pelo Matlab para a função PDEPE no qual devem ser

inseridos os aspectos geométricos do problema, a malha espacial, a malha temporal, a

equação governante do problema, bem como suas condições iniciais e de contorno.

A malha espacial, que é escolhida pelo usuário, é de grande influência para a solução

do problema. Já a malha temporal inserida pelo usuário não possui tanto influência na

solução, pois para realizar a integração no tempo, a PDEPE o faz de forma autônoma e

dinâmica.

Sendo assim, a malha espacial deve ser definida com todos os pontos que possuem

singularidades, enquanto que a malha temporal servirá apenas para visualização dos

resultados.

Cabe destacar que, nos locais da malha espacial onde existem descontinuidades de

propriedades físicas, estas foram especificadas e tratadas como uma média harmônica das

mesmas, assim como na solução por volumes finitos apresentada na Seção 4.1. A

continuidade do fluxo também entre os diferentes materiais foi mantida, considerando contato

perfeito entre os mesmos.

Portanto, para resolução deste modelo de três camadas através da função PDEPE,

considerou-se a condução de calor ao longo da cápsula como sendo unidimensional na

65

direção axial. Portanto, fez-se 3 0h , no programa implementado no Matlab 7.0,

desprezando-se a troca de calor por convecção pela parede lateral.

66

CAPÍTULO 5

RESULTADOS

Neste Capítulo são apresentados os resultados de verificação da solução numérica

obtida através do método dos volumes finitos utilizando como referência uma solução via

Transformada Integral Clássica e uma segunda verificação, tendo como referência a sub-

rotina PDEPE do Matlab. Todas as soluções são acompanhadas da devida análise de

convergência.

Depois de verificada a solução de volumes finitos, parte-se para o estudo de casos, e

suas respectivas análises de convergência. Os estudos dos casos são focados em cápsulas de

meia polegada de diâmetro compostas de alumínio e paredes de teflon, bem como em

cápsulas de uma polegada de diâmetro compostas de cobre ou alumínio e paredes de teflon.

Estes dois tamanhos de cápsula escolhidos para as simulações devem-se ao fato do Nanoflash

LFA 447 possuir porta amostra apenas para estas dimensões. Em todos os casos analisados é

tomado como material de referência o material destinado às tampas da cápsula e são

utilizados tanto a água como a glicerina para seu preenchimento. Considera-se que o pulso de

energia de energia é uniforme e é absorvido instantaneamente pela amostra, sendo assumido

por uma função degrau sem correção de pulso na condição de contorno da face aquecida.

5.1 ANÁLISE DE CONVERGÊNCIA DAS SOLUÇÕES DE TRANSFORMADA

INTEGRAL E DE VOLUMES FINITOS PARA UM MEIO ÚNICO

O modelo numérico bidimensional implementado foi verificada por comparação com

uma solução analítica obtida pela Técnica da Transformada Integral Clássica (CITT). No

caso estudado, uma cápsula é tratada como um meio homogêneo e de uma única camada. de

cobre. A Tabela 5.1 mostra as propriedades termofísicas do cobre a 300 K (Incropera, 2008).

67

Tabela 5.1: Propriedades Termofísicas do Cobre a 300 K

Propriedades Termofísicas do Cobre

Condutividade Térmica (W/mK) 401

Cp (J/kgK) 8933

Massa Específica (kg/m3) 385

Difusividade Térmica x 106 (m

2/s) 117

As análises de convergência realizadas, mostradas nesta seção, foram feitas,

primeiramente, considerando, respectivamente, raio externo da cápsula igual a rmax=12,7mm,

espessura igual a zmax= 1,16mm, sendo 1 2l =l =0.31mm e 3l =0.34mm , onde l1 é a espessura

das tampas e l3 é a espessura da parede lateral. Os coeficientes de transferência de calor por

convecção foram estabelecidos como h1=h2=h3=1.5 W/m2°C calculados através da Equação

3.3. Considera-se, pelo método Flash que, inicialmente, o envoltório está em equilíbrio

térmico com a cápsula. O tempo de exposição ao pulso e o tempo de medição foram

considerados iguais a 0.3 ms e a 0.3 s respectivamente. O valor do pulso de energia foi

considerado igual a P = 10 J e a taxa de energia incidente por unidade de área foi calculada

dividindo o pulso de energia pelo tempo de exposição ao flash e pela área de exposição.

Uma análise de convergência foi realizada para a solução obtida via CITT, com

objetivo de determinar o número de autovalores a ser utilizado em relação ao tempo de

execução do programa e à variação da temperatura em duas superfícies da cápsula, ou seja, a

superfície perturbada termicamente pelo pulso de energia e a oposta, a superfície não

perturbada. Neste trabalho, estas superfícies serão referenciadas como face aquecida e não

aquecida, respectivamente. A Tabela 5.2 ilustra esta análise, onde apresenta-se a temperatura

68

máxima em cada uma destas faces, obtidas com diferentes números de termos na série

solução.

Tabela 5.2: Análise de Convergência da solução por CITT

Número de

termos

aquec sup

100 0.1141 0.0165

200 0.1148 0.0165

300 0.1150 0.0165

500 0.1151 0.0165

700 0.1152 0.0165

900 0.1153 0.0165

A análise da Tabela 5.2, mostra que não há variação da temperatura na superfície não

aquecida da cápsula, mostrando que este ponto converge rapidamente. A partir da

temperatura adimensional sup =0.0165 obtida na face não aquecida calcula-se através da

equação (3.9-g) que esta superfície obteve um aumento máximo de 4.95°C em relação à

temperatura inicial da cápsula no instante t=0. No entanto, observando as temperaturas

adimensionais para a superfície aquecida aquec, percebe-se uma convergência na terceira

casa decimal a partir de 200 termos. Analogamente, calcula-se o aumento máximo de

temperatura nesta face em relação à temperatura inicial, obtendo um aumento de 34.5°C.

69

Dado que a simulação do processo de transferência de calor por volumes finitos foi

realizada em um meio homogêneo e bidimensional, faz-se necessário que a análise de

convergência da solução seja feita nas duas direções: axial e radial.

A Tabela 5.3 apresenta a análise de convergência na direção axial para as

temperaturas máximas na face aquecida e na não aquecida, aquec e sup respectivamente, a

partir da qual serão analisados alguns resultados.

Tabela 5.3: Análise de Convergência na direção axial para volumes finitos em um meio único

Número de

volumes na

direção axial

Tempo de

Execução (h)

aquec sup

60 0.12 0.1147 0.0165

120 0.54 0.1147 0.0165

180 1.11 0.1146 0.0165

240 1.33 0.1146 0.0165

Na Tabela 5.3 observa-se que não variação de temperatura na superfície não aquecida

nos casos de 60 e 240 volumes na direção axial. No entanto, para a face da superfície

aquecida percebe-se uma convergência de valores para todos os casos examinados na Tabela

5.3. Portanto, na face aquecida tem-se um aumento máximo de temperatura aproximadamente

de 34.4°C em relação à temperatura inicial. Já em relação ao tempo computacional, ainda em

relação aos casos de 60 a 240 volumes, este aumenta um pouco mais de 11 vezes seu valor.

Assim, para garantir uma boa convergência refinamento da malha, optou-se por trabalhar

com 120 volumes na direção axial para os casos analisados abaixo.

70

A utilização de um modelo bidimensional exige que a análise de convergência seja

também feita na direção radial. Isto é ilustrado na Tabela 5.4.

Tabela 5.4 Análise de convergência na direção radial

Número de

volumes na

direção radial

Número de

volumes na

parede

Tempo de

Execução (h)

aquec sup

60 10 0.36 0.1147 0.0165

120 20 0.54 0.1147 0.0165

240 40 0.93 0.1147 0.0165

480 60 2.64 0.1147 0.0165

Tabela 5.5: Variação do número de volumes na parede lateral em relação às temperaturas

máximas das faces e ao tempo computacional

Número de

volumes na

parede

Tempo de

Execução (h)

aquec sup

5 0.08 0.1147 0.0165

10 0.36 0.1147 0.0165

15 0.40 0.1147 0.0165

20 0.48 0.1147 0.0165

25 0.49 0.1147 0.0165

A Tabela 5.4 confirma a convergência do método na direção radial. Como o tempo

computacional aumenta na medida em que se dobram volumes na direção radial e não houve

71

alteração nos valores das temperaturas máximas das superfícies, tomou-se o número de

volumes na direção radial como sendo 60, para os casos avaliados abaixo.

Escolhido o número de volumes na direção radial, faz-se necessária a análise da

variação do número de volumes destinados à parede lateral da cápsula, conforme mostrado na

Tabela 5.5.

Verificou-se que, enquanto o tempo computacional aumenta com a variação do

número de volumes usados na discretização da parede lateral da cápsula, não houve alteração

das curvas de variação de temperatura e das temperaturas máximas nas superfícies. Isto se

deve ao fato de que esta é uma análise para um único meio, onde não há mudança de

material. No caso da utilização de mais de um material, ocorreria uma variação destas

temperaturas devido ao gradiente de temperatura na direção radial. Tomou-se o número de

volumes na parede lateral como sendo 10, para os casos examinados abaixo.

A duração do aquecimento é de ordem de milissegundos e a duração do tempo de

medição deve ser ajustado, de acordo com o material com o qual está sendo realizado a

análise. O ideal é utilizar uma determinada duração para a medição de modo que a curva de

aquecimento evolua até que seja obtida sua temperatura máxima. Tomou-se o mesmo passo

de tempo para as duas partes da malha. A fim de realizar uma análise da malha temporal a

duração do aquecimento e da medição foram discretizadas em passos de tempo como mostra

a Tabela 5.6.

Percebe-se na Tabela 5.6 que a partir do segundo caso apresentado para a malha

temporal há uma convergência no valor da temperatura máxima da face aquecida na terceira

casa decimal. A Figura 5.1 ilustra as curvas de aquecimento do segundo ao último caso da

Tabela 5.6.

72

Tabela 5.6: Análise da malha temporal

Passo de

Tempo

Tempo de

Execução

(h)

aquec sup

1.1414e-005 0.07 0.1147 0.0165

5.5608e-006 0.09 0.1150 0.0165

3.6758e-006 0.12 0.1152 0.0165

2.7452e-006 0.13 0.1152 0.0165

2.1906e-006 0.15 0.1153 0.0165

1.8225e-006 0.18 0.1153 0.0165

1.5602e-006 0.21 0.1153 0.0165

Figura 5.1: Análise da malha temporal durante o período de aquecimento

73

Como mostrado na Figura 5.1, praticamente não há diferenças entre as curvas durante

o período de aquecimento. Estas curvas diferem apenas na quarta casa decimal do valor

máximo alcançado na temperatura para a superfície aquecida como mostrado na Tabela 5.6.

As análises de convergência da malha espacial apresentadas até então haviam sido

feitas com o primeiro caso da Tabela 5.6. Aumentando o número de pontos na malha

temporal para 40 durante o aquecimento e 39001 durante a medição (segundo caso da Tabela

5.6), consegue-se um melhor refinamento da malha chegando exatamente à temperatura

máxima obtida com 300 autovalores na solução por CITT (com uma convergência de três

casas decimais, como mostrado na Tabela 5.2). Dessa forma, optou-se por utilizar o segundo

caso da malha temporal apresentado na Tabela 5.6, nos resultados apresentados abaixo.

5.2 VERIFICAÇÃO DA SOLUÇÃO NUMÉRICA PARA UM MEIO ÚNICO

Conforme as análises de convergência mostradas na seção 5.1, foram escolhidos os

seguintes parâmetros de discretização para o método de volumes finitos: nz=120, nz1=32,

nr=60 , nr1=50, sendo nz1, o número de volumes destinados as tampas e (nr-nr1) o número de

volumes destinados a parede lateral da cápsula. Quanto à malha temporal, optou-se por

utilizar o segundo caso da tabela 5.7. Para a solução por CITT, utilizou-se a solução com 300

autovalores.

As Figuras 5.2 e 5.3 apresentam a comparação da evolução da temperatura ao longo

do tempo entre o método de volumes finitos e sua solução direta por transformada integral na

face aquecida e não aquecida, respectivamente. A Figura 5.2 mostra instantes próximos ao

tempo final de aquecimento do experimento, enquanto que a Figura 5.3 mostra tempos

maiores até o final da medição.

74

Figura 5.2: Verificação da solução por volumes finitos com a solução por CITT para

face aquecida


face não aquecida

75

Nas Figuras 5.2 e 5.3 observa-se uma ótima concordância entre a solução com o

método de volumes finitos e a solução por CITT. A temperatura máxima adimensional

provocada pelo pulso na face aquecida, mostrada pelo pico da Figura 5.2, encontrada pelo

método dos volumes e pela solução por CITT apresenta um valor adimensional de max.=

0.1150 provocando um aumento de temperatura máximo de 34.5ºC na face. Na face posterior

da amostra encontra-se um valor adimensional de max.= 0.0165 provocando um aumento de

aproximadamente 4.95ºC em relação à temperatura inicial.

Para efeitos de confirmação também foi realizada a verificação da curva de aumento

de temperatura na face não aquecida para um meio único composto por água. As

propriedades da água estão mais adiante na Tabela 5.8.


face não aquecida – meio único de água

76

A convergência desta solução para um meio único de água também foi realizada

obtendo uma temperatura máxima adimensional de max.=0.0134 para o caso da solução com

volumes finitos e max.=0.0132 para o programa da solução direta com transformada integral.

A Figura 5.4 apresenta esta verificação cujo tempo de medição foi maior que na verificação

realizada utilizando um meio único composto de cobre devido à alta capacidade térmica da

água. O tempo de medição tomado para este caso foi de 5 segundos.

Portanto, ambas as soluções desenvolvidas estão em concordância na escala gráfica,

quando é empregado um único material para o preenchimento de todo o meio e desta

maneira, é possível verificar o método de volumes finitos.

5.3 ANÁLISE DE CONVERGÊNCIA PARA A SOLUÇÃO NUMÉRICA POR

PDEPE

Nesta seção apresenta-se a análise de convergência para a solução numérica da sub-

rotina PDEPE do Matlab 7.0.

5.3.1 ANÁLISE DE CONVERGÊNCIA PARA MEIO ÚNICO

Primeiramente utilizou-se um único material para o preenchimento das três camadas,

para isto, escolheu-se novamente o cobre como material. O tempo de exposição ao pulso foi

tomado de 0.3ms e tempo de medição do experimento de 0.3s.

A análise de convergência da malha espacial pela solução da PDEPE para um meio

único é apresentada conforme a Tabela 5.7. Como já foi dito anteriormente, a malha temporal

é escolhida dinamicamente pelo Matlab, portanto, sua convergência não será discutida nesta

subseção.

A Tabela 5.7 confirma que a solução por PDEPE converge quando é empregado um

único material para o preenchimento de todo o meio.

77

Tabela 5.7: Análise de convergência da solução por PDEPE para um meio único

Número de

pontos na

direção axial

Número de

pontos nas

tampas

aquec sup

30 8 0.1145 0.0165

60 16 0.1153 0.0165

120 32 0.1153 0.0165

240 64 0.1153 0.0165

5.3.2 ANÁLISE DE CONVERGÊNCIA PARA MEIO COM TRÊS CAMADAS

Na análise de convergência da malha espacial pela solução da PDEPE para três

camadas utilizaram-se dois materiais, sendo o cobre para as tampas e a água para o interior da

cápsula. As propriedades da água são mostradas na Tabela 5.8.

Tabela 5.8 Propriedades Termofísicas da Água a 300 K

Propriedades Termofísicas da Água

Condutividade Térmica (W/m. K) 0.60

Massa Específica (kg/m3) 1000

Cp (J/kg K) 4180

Difusividade Térmica (mm2/s) 1.4115

A análise de convergência da malha espacial pela solução da PDEPE para um meio

com três camadas é apresentada conforme a Tabela 5.9.

A Tabela 5.9 confirma que a solução por PDEPE converge quando são empregadas

camadas com diferentes materiais para preenchimento do meio.

78

Tabela 5.9: Análise de convergência da solução por PDEPE para mais de um material

Número de

pontos na

direção axial

Número de

pontos nas

tampas

aquec sup

30 8 0.1157 0.0149

60 16 0.1167 0.0149

120 32 0.1169 0.0149

240 64 0.1169 0.0149

5.4 ANÁLISE DE CONVERGÊNCIA DA MALHA ESPACIAL PARA A

SOLUÇÃO POR VOLUMES FINITOS PARA UM MEIO COM TRÊS CAMADAS

Após realizada a verificação da solução por volumes finitos em um meio único,

verifica-se esta mesmo solução, em um meio com três camadas. Como esta verificação será

realizada com a função PDEPE do Matlab, que assume transferência de calor unidimensional

na direção axial, a análise de convergência da malha espacial da solução por volumes finitos

será feita apenas na direção axial. Da mesma maneira, utilizou-se a água e o cobre para

preenchimento das camadas. Esta análise é apresentada conforme a Tabela 5.10.

A Tabela 5.10 confirma que a solução por volumes finitos converge quando são

empregadas camadas com diferentes materiais o preenchimento do meio.

79

Tabela 5.10: Análise de convergência da solução por volumes finitos para mais de um

material

Número de

pontos na

direção axial

Número de

pontos nas

tampas

Tempo de

Execução

(h)

aquec sup

30 8 1.15 0.1172 0.0149

60 16 2.54 0.1173 0.0149

120 32 3.35 0.1173 0.0149

240 64 5.40 0.1173 0.0149

5.5 VERIFICAÇÃO DA SOLUÇÃO NUMÉRICA DE VOLUMES FINITOS COM

A SOLUÇÃO NUMÉRICA POR PDEPE

Os resultados apresentados nesta seção são relativos à comparação entre as soluções

pela sub-rotina PDEPE e a solução por volumes finitos para um meio único e também para

um meio com materiais diferentes. Considerando as análises de convergência realizadas

anteriormente, os parâmetros utilizados nesta para os dois casos de meio único e meio

composto foram de 120 volumes na direção axial e 32 volumes em cada tampa da cápsula.

As Figuras 5.5, 5.6 e 5.7 e 5.8 apresentam esta verificação para um meio único e para

um meio composto por duas camadas de cobre intercaladas com uma de água. As Figuras 5.5

e 5.6 mostram instantes próximos ao tempo final de aquecimento da amostra, enquanto que as

Figura 5.7 e 5.8 mostram tempos até o final da medição do experimento. Creditam-se as

eventuais diferenças entre as curvas aos erros numéricos dos programas.

80

Figura 5.5: Verificação da solução por volumes finitos via PDEPE - face aquecida para meio

único

Figura 5.6: Verificação da solução por volumes finitos via PDEPE - face não aquecida para

meio único

81

Figura 5.7: Verificação da solução por volumes finitos com a solução por PDEPE para face

aquecida -cobre/água

Figura 5.8: Verificação da solução por volumes finitos com a solução por PDEPE para face

não aquecida -cobre/água

82

Nas Figuras 5.5 a 5.8 observa-se uma ótima concordância entre os resultados com o

método de volumes finitos e a sub-rotina PDEPE. Nas Figuras 5.7 e 5.8 as temperaturas

máximas obtidas nas faces são de 4.95ºC e 4.5 ºC respectivamente, em relação à temperatura

inicial.

Em ambos os casos obtém-se aumentos de temperaturas praticamente iguais, uma vez

a solução por PDEPE foi tratada como unidimensional e que foram desconsideradas as perdas

de calor na direção radial na solução por volumes finitos.

Como pode ser observado nas Figuras acima, os métodos de volumes finitos e PDEPE

possuem uma ótima concordância quando considerado um meio com dois materiais. Com os

resultados mostrados aqui foi possível verificar a metodologia de solução proposta pelo

presente trabalho, para o caso de mais de um material.

O tempo de medição tomado para esta verificação foi maior do que na verificação

para um meio único, já que devido à diferença de propriedades entre os materiais, a cápsula

leva mais tempo para entrar em equilíbrio térmico. Portanto, tomou-se 5 segundos para o

tempo de medição.

As pequenas diferenças entre as curvas da solução por volumes finitos e da PDEPE

devem-se ao fato de que a solução por PDEPE é também uma solução numérica sujeita a

erros, sendo apenas uma solução guia para verificar a tendência da curva da solução por

volumes finitos.

5.6 ANÁLISES PARA UMA CÁPSULA COM MEIA POLEGADA DE

DIÂMETRO

Nesta seção são apresentadas as simulações realizadas para uma cápsula com meia

polegada de diâmetro. Para tanto, foram simulados casos onde a cápsula seria feita de

83

alumínio, que é o caso da cápsula utilizada atualmente para testes em líquidos no Nanoflash

LFA-447 do LTTC/COPPE.

Outros casos de simulação foram realizados substituindo o alumínio da parede lateral,

por um material de condutividade mais baixa. Neste caso, o material escolhido foi o teflon.

As dimensões da cápsula foram tomadas exatamente iguais às empregadas na seção

5.1, porém com rmax=6.35mm. Para os coeficientes de transferência de calor por convecção,

tomou-se h1=h2=h3= 1.5 W/m2°C. As simulações foram realizadas para um tempo de pulso

de 0.3ms e de 5s para o tempo de medição. Os materiais utilizados para o preenchimento no

interior da cápsula foram a água e a glicerina. As propriedades do alumínio, da glicerina e do

teflon são apresentadas na Tabela 5.11 (Incropera 2008).

Tabela 5.11: Propriedades Termofísicas da Glicerina, do Teflon e do Alumínio a 300 K

(Incropera 2008)

Propriedades / Materiais Glicerina Teflon Alumínio

Condutividade Térmica (W/m. K) 0.286 0.350 237

Cp (J/kg K) 1264 1221.89 882

Massa Específica (kg/ m3) 2420 2200 2700

Difusividade Térmica (mm2/s) 0.935 1.302 99.5

5.6.1 ANÁLISE DE CONVERGÊNCIA DA MALHA ESPACIAL

Antes de analisar os casos-teste desejados faz-se necessária a análise da convergência

da malha com o intuito de definir o número de volumes que proporciona um resultado

satisfatório sem acarretar em um alto tempo computacional do programa. Apenas os casos

84

onde a cápsula é preenchida com água são mostrados. Apresenta-se primeiramente a

convergência computacional da malha na direção axial e logo em seguida na direção radial.

A Tabela 5.12 apresenta a análise de convergência na direção axial para o caso da

cápsula com tampas e paredes de alumínio, preenchida com água.

Tabela 5.12 Análise de Convergência na direção axial para cápsula com tampas e paredes de

alumínio, preenchida com água/ 0.5''

Número de

volumes na

direção axial

Número de

volumes nas

tampas

Tempo de

Execução

(h)

aquec sup

30 8 0.57 0.7294 0.0812

60 16 1.66 0.7271 0.0734

120 32 2.64 0.7265 0.0737

Na Tabela 5.12 percebe-se uma convergência na segunda casa decimal dos valores

obtidos na temperatura máxima da face aquecida para todos os casos. Já para a temperatura

máxima na face não aquecida, obtém-se uma convergência na terceira casa decimal a partir

do segundo caso (60 volumes na direção axial). Analisando o tempo computacional este

aumenta moderadamente com o aumento do número de volumes na direção axial. A partir da

análise da tabela optou-se por utilizar o caso com 60 volumes na direção axial.

Da mesma maneira, realizou-se a análise de convergência da malha na direção axial

para uma cápsula de alumínio com paredes de teflon, preenchida com água. Esta análise pode

ser observada na Tabela 5.13.

85

Em ambas as temperaturas indicadas na Tabela 5.13, percebe-se convergência na

terceira casa decimal. Em relação ao tempo computacional no caso de 120 volumes, este

aumenta em 9.43 vezes em relação ao caso de 30 volumes. Escolheu-se o caso onde existem

60 volumes na direção axial.

Tabela 5.13: Análise de Convergência na direção axial para cápsula com tampas de alumínio

e parede de teflon, preenchida com água/ 0.5''

Número de

volumes na

direção axial

Número de

volumes nas

tampas

Tempo de

Execução

(h)

aquec sup

30 8 0.53 0.7294 0.0726

60 16 1.54 0.7271 0.0725

120 32 5.00 0.7264 0.0721

Tabela 5.14: Análise de Convergência na direção radial para cápsula com tampas e paredes

de alumínio, preenchida com água/ 0.5''

Número de

volumes na

direção radial

Número de

volumes na

parede

Tempo de

Execução

(h)

aquec sup

30 5 0.55 0.7271 0.0734

60 10 1.66 0.7271 0.0734

120 20 3.82 0.7271 0.0734

A Tabela 5.14 apresenta a análise de convergência na direção radial para o caso da

cápsula com tampas e paredes de alumínio, preenchida com água. Analisando a Tabela 5.14,

86

é possível observar a variação dos números de volumes na direção radial em relação às

temperaturas máximas das faces e ao tempo computacional.

De acordo com a Tabela 5.14, como não há variação nas temperaturas das faces da

cápsula tomou-se 60 volumes na direção radial, sendo 10 para a parede lateral. Da mesma

forma, realizou-se a análise de convergência da malha na direção radial para uma cápsula de

alumínio com paredes de teflon, preenchida com água, como pode ser visto na Tabela 5.15.

Tabela 5.15: Análise de Convergência na direção radial para cápsula com tampas de alumínio

e parede de teflon, preenchida com água/ 0.5''

Número de

volumes na

direção radial

Número de

volumes na

parede

Tempo de

Execução

(h)

aquec sup

30 5 0.70 0.7271 0.0724

60 10 1.54 0.7271 0.0725

120 20 3.66 0.7271 0.0725

5.6.2 CASOS TESTE DA CÁPSULA COM 0.5''

Para cada caso teste foi analisada a evolução da temperatura em diferentes pontos da

face não aquecida da cápsula. O primeiro ponto P1 se encontra no centro da cápsula, o ponto

P2 na posição 0.25Rmax, o ponto P3 na posição 0.5Rmax e o ponto P4 encontra-se na posição

referente à metade da parede da cápsula, como ilustrada na Figura 5.9. Os parâmetros

utilizados para os casos que seguem são: nz=60 e nz1=16, nr=60 e (nr-nr1 )=10, tendo como

base a análise de convergência mostrada acima.

As Figuras 5.10 e 5.11 apresentam as análises dos casos teste para a cápsula com

tampas e parede de alumínio, preenchida com água e com glicerina, respectivamente.

87

Figura 5.9: Representação da localização dos pontos P1, P2, P3 e P4 na superfície não

aquecida da cápsula

Figura 5.10: Comparação das curvas em diferentes pontos na face não aquecida para cápsula

de alumínio preenchida com água / 0.5 ''

88


de alumínio preenchida com glicerina / 0.5 ''

Comparando as Figuras 5.10 e 5.11 observa-se que na análise realizada com glicerina

foram observadas temperaturas maiores para todos os pontos em questão quando comparada

com a análise realizada com a água. Isto se deve ao fato da água possuir capacidade térmica

maior que a glicerina.

Analisando o ponto P1, que está localizado bem próximo do centro, nos dois gráficos

acima, vê-se que este aumenta de temperatura moderadamente ao longo do tempo, bem como

o ponto P2, localizado a 0.25Rmax. Estes pontos conseguem alcançar uma temperatura

máxima de 22.02 ºC para a água e 25.65 °C para a glicerina, em relação a temperatura inicial.

Começa-se a perceber uma alteração na evolução da temperatura no ponto P3, localizado na

metade do raio da cápsula, que aumenta mais rapidamente desde o início que os pontos P1 e

89

P2. No ponto P4 observa-se claramente como a temperatura aumenta mais rápido que nos

demais pontos e com o decorrer do tempo começa a decair até atingir uma temperatura

comum aos demais pontos. Isto se deve ao fato deste ponto estar localizado na metade da

parede de alumínio, confirmando que esta cápsula conduz calor significativamente pela

parede lateral. A condução de calor pela parede da cápsula é um fato não desejado, podendo

influenciar no resultado obtido com o método Flash no experimento. Esta condução

influência o a curva aumento de temperatura para o ponto P4, chegando a um máximo de

32.04 ºC para a água e 34.68 ºC para a glicerina.

Outras simulações foram feitas utilizando o teflon como material para parede lateral

da cápsula ao invés do alumínio. O teflon possui condutividade térmica mais baixa que o

alumínio, reduzindo a condução de calor pela parede lateral, bem como evitando a perda de

calor com o ambiente. Estas análises são mostradas nos gráficos representados pelas Figuras

5.12 e 5.13, com água e glicerina, respectivamente.

Mais uma vez, por conta de sua capacidade térmica ser menor que a da água, a análise

realizada com glicerina obteve temperaturas maiores para todos os pontos em do que a

realizada com a água, chegando à um aumento de temperatura máximo de 25.05ºC, enquanto

que a análise realizada com a água proporcionou um aumento de temperatura de 21.75ºC.

Analisando as Figuras 5.12 e 5.13 e comparando-as com as Figuras 5.10 e 5.11,

respectivamente, é possível perceber como a mudança do material da parede afetou na

condução axial de calor na cápsula. Com a parede de teflon, os pontos P1, P2, P3 e P4

apresentam curvas coincidentes de temperatura no caso da análise realizada com a água,

mostrada na Figura 5.12. No caso da análise realizada com glicerina, na Figura 5.13, as

curvas também apresentam coincidência, De fato, os valores da condutividade térmica da

glicerina e a da condutividade do teflon são muito próximos.

90

Figura 5.12: Comparação das curvas em diferentes pontos na face não aquecida para

cápsula de alumínio com parede de teflon, preenchida com água / 0.5 ''

Figura 5.13: Comparação das curvas em diferentes pontos na face não aquecida para

cápsula de alumínio com parede de teflon, preenchida com glicerina / 0.5 ''

91

No Nanoflash LFA 447, a curva de resposta do aumento de temperatura na face não

aquecida capturada pelo sensor de infravermelho do Nanoflash LFA - 447 é uma curva que

exibe a temperatura média da face e não a temperatura de apenas um ponto. Sendo assim,

calculou-se esta temperatura para cada passo de tempo. Nas Figuras 5.14 e 5.15 observam-se

comparações destas curvas, quando utilizado o alumínio como material para a parede e

quando utilizado o teflon, para água e glicerina, respectivamente.

Figura 5.14: Comparação das curvas de temperaturas médias na face não aquecida da

cápsula com paredes de alumínio e de teflon utilizando água / 0.5 ''

92

Figura 5.15: Comparação das curvas de temperaturas médias na face não aquecida da

cápsula com paredes de alumínio e de teflon utilizando glicerina / 0.5 ''

Nos dois casos apresentados nas Figuras acima, nota-se que a curva da temperatura

média para a cápsula com parede de alumínio alcançou um maior valor do que com a parede

de teflon. A capacidade térmica do teflon é maior do que a do alumínio fazendo com que este

material armazene mais energia do que o alumínio. Além disso, o alumínio possui

condutividade térmica e difusividade térmica maiores, fazendo assim com que reconduza

maior quantidade de calor em menos tempo que o teflon.

Realizadas estas comparações, verifica-se que a cápsula com paredes de alumínio

demonstrou uma condução axial através de suas paredes o que pode vir a interferir na

medição das propriedades da amostra líquida, enquanto que a cápsula feita com paredes de

teflon apresentou uma temperatura média mais uniforme.

93

5.7 ANÁLISES PARA UMA CÁPSULA COM UMA POLEGADA DE DIÂMETRO

Nesta seção são apresentadas as análises realizadas para uma cápsula com uma

polegada de diâmetro. Foram simulados casos onde a cápsula é feita com tampas de cobre ou

de alumínio e paredes de teflon, cujas propriedades foram apresentadas nas Tabelas 5.1 e

5.12. Os coeficientes de transferência de calor por convecção foram tomados com valores

iguais aos das análises da cápsula de meia polegada de diâmetro. As dimensões da cápsula

são as mesmas adotadas anteriormente, porém com rmax=12.7 mm. Todas as simulações

foram realizadas para um tempo de pulso de 0.3ms e de 5s para o tempo de medição. Os

materiais utilizados para o preenchimento no interior da cápsula foram água e glicerina.

5.7.1 ANÁLISE DE CONVERGÊNCIA DA MALHA ESPACIAL

Antes de analisar os casos-teste desejados faz-se necessária a análise de convergência

da malha apresentada a seguir.

A Tabela 5.16 apresenta a análise de convergência na direção axial para o caso da

cápsula com tampas de cobre e parede de teflon, preenchida com água.

Tabela 5.16 Análise de Convergência na direção axial para cápsula com tampas de cobre e

parede de teflon, preenchida com água com 1''

Número de

volumes na

direção axial

Número de

volumes nas

tampas

Tempo de

Execução

(h)

aquec sup

30 8 0.59 0.1175 0.0153

60 16 1.80 0.1172 0.0153

120 32 6.19 0.1170 0.0151

94

Percebe-se na Tabela 5.16 uma convergência na terceira casa decimal dos valores

obtidos nas temperaturas máximas das faces, enquanto o tempo computacional aumenta à

medida em que aumenta-se o número de volumes. Optou-se, portanto, por utilizar o caso

onde nz=60 e nz1=16.

Da mesma maneira, realizou-se a análise de convergência da malha na direção axial

para uma cápsula com tampas de alumínio com paredes de teflon, preenchida com água. Esta

análise pode ser observada na Tabela 5.17.

Em ambas as temperaturas indicadas na Tabela 5.17, percebe-se uma convergência na

terceira casa decimal, enquanto que para os casos extermos o tempo computacional aumentou

em aproximadamente 3 vezes. Dessa forma, optou-se por escolher de 60 volumes na direção

axial e nz1=16.

Tabela 5.17 Análise de Convergência na direção axial para cápsula com tampas de alumínio e

parede de teflon, preenchida com água para 1''

Número de

volumes na

direção axial

Número de

volumes nas

tampas

Tempo de

Execução

(h)

aquec sup

30 8 1.69 0.1823 0.0183

60 16 1.79 0.1818 0.0181

120 32 5.03 0.1816 0.0180

A Tabela 5.18 apresenta a análise de convergência na direção radial para o caso da

cápsula com tampas de cobre e parede de teflon, preenchida com água. Analisando a Tabela

5.19, observa-se a variação da temperatura da face posterior da cápsula e do tempo de

execução do programa em relação ao aumento dos números de volumes da malha temporal.

95

Tabela 5.18: A análise de convergência na direção radial para o caso da cápsula com tampas

de cobre e parede de teflon, preenchida com água. 1''

Número de

volumes na

direção radial

Número de

volumes na

parede

Tempo de

Execução

(h)

aquec sup

30 5 0.64 0.1172 0.0118

60 10 1.80 0.1172 0.0153

120 25 3.91 0.1172 0.0153

Analogamente, realizou-se a análise de convergência da malha na direção radial para

uma cápsula de alumínio com paredes de teflon, preenchida com água. Esta análise pode ser

observada na Tabela 5.19.

Tabela 5.19: A análise de convergência na direção radial para o caso da cápsula com tampas

de alumínio e parede de teflon, preenchida com água. 1''

Número de

volumes na

direção radial

Número de

volumes na

parede

Tempo de

Execução

(h)

aquec sup

30 5 0.80 0.1818 0.0178

60 10 1.79 0.1818 0.0181

120 20 3.21 0.1818 0.0181

Observando as Tabelas 5.18 e 5.19 percebe-se que não houve variação da temperatura

na face aquecida com o número de volumes na direção radial. Sendo assim, o número de

96

volumes na direção radial escolhido e utilizado foi de 60 pontos com 10 pontos na parede da

cápsula.

5.7.2 ANÁLISES DOS CASOS TESTES PARA 1''

Nesta subseção são apresentadas análises de simulações feitas para uma cápsula com

uma polegada de diâmetro, já que o Nanoflash LFA 447 dispõe de um porta amostra nesta

dimensão, o que possibilita o projeto de uma cápsula deste tamanho. Os materiais utilizados

nestas simulações foram o cobre e o alumínio para as tampas, e o teflon para a parede da

cápsula.

As Figuras 5.16 e 5.17 apresentam as curvas de temperaturas dos pontos P1, P2, P3 e

P4 na face não aquecida pelo pulso, para a cápsula de cobre com parede de teflon preenchida

com água e com glicerina, respectivamente. Pode-se observar na Figura 5.17 que a análise

realizada com glicerina obteve temperaturas maiores para todos os pontos em questão quando

comparada com a análise realizada com a água.

A seguir efetua-se a comparação das curvas da temperatura média da face para a

cápsula quando utilizado o cobre como material para as tampas e o teflon para as paredes. A

Figura 5.18 apresenta esta comparação para simulações realizadas com água e glicerina,

respectivamente.

97


de cobre preenchida com água / 1''


de cobre preenchida com glicerina/ 1''

98

Figura 5.18: Comparação das curvas de temperaturas médias na face não aquecida da cápsula

com cobre e paredes de teflon / 1''

No caso da curva da água, a temperatura máxima adimensional da face não aquecida

da cápsula chega a max= 0.0153, o que corresponde a um aumento de 4.59 °C em relação à

temperatura inicial. Já para a curva da glicerina, esta apresenta uma temperatura máxima

adimensional de max= 0.0169, o que corresponde a um aumento de 5.07 ºC em relação a

temperatura inicial. Esta diferença de temperatura se dá por conta da capacidade térmica da

água ser maior que a da glicerina.

As Figuras 5.19 e 5.20 apresentam as curvas de temperaturas dos pontos P1, P2, P3 e

P4 na face não aquecida pelo pulso para a cápsula de alumínio com parede de teflon

preenchida com água e com glicerina respectivamente.

99


de alumínio preenchida com água / 1''


de alumínio preenchida com glicerina / 1''

100

Com a parede de teflon, os pontos P1, P2, P3 e P4 apresentam curvas coincidentes de

temperatura no caso da simulação realizada com a água, mostrada na Figura 5.19. No caso da

simulação realizada com glicerina, na Figura 5.20, os pontos apresentam curvas quase

coincidentes. Portanto, é possível perceber como o uso de material com baixa condutividade

térmica na parede afeta na condução axial de calor na cápsula, tornando bem mais uniformes

as curvas referentes a cada ponto.

A Figura 5.21 apresenta a comparação da curva de temperatura média da cápsula com

tampas de alumínio e parede de teflon para simulações realizadas com água e glicerina,

respectivamente.

Figura 5.21: Comparação das curvas de temperaturas médias na face não aquecida da cápsula

com tampas de alumínio e parede de teflon / 1''

No caso da curva da água, a temperatura máxima adimensional da face não aquecida

da cápsula chega a max= 0.0181, o que corresponde a um aumento de 5.43 °C em relação à

101

temperatura inicial. Já para a curva da glicerina, esta apresenta uma temperatura máxima

adimensional de max= 0.0209, o que corresponde a um aumento de 6.27 ºC em relação a

temperatura inicial. Esta diferença de temperatura se dá por conta da capacidade térmica da

água ser maior que a da glicerina.

102

CAPÍTULO 6

CONCLUSÕES E SUGESTÕES

O principal objetivo deste trabalho foi analisar um problema de transferência de calor

bidimensional para um modelo de cápsula a ser utilizada em um equipamento Flash, visando

a caracterização termofísicas de líquidos, como água, glicerina, nanofluidos, entre outros.

Feita a verificação da solução numérica do modelo proposto, utilizando-se uma

solução analítica por Transformada Integral Clássica e uma solução numérica obtida através

de uma subroutina (PDEPE) disponível na plataforma Matlab, foram examinados diversos

casos-testes, os quais envolviam dois diferentes diâmetros de cápsulas com diferentes

materiais.

Com as simulações numéricas realizadas, foram obtidas as curvas de aumento

temperatura da face oposta da cápsula. Nas simulações para uma cápsula de meia polegada de

diâmetro, observou-se a influência na temperatura média da face oposta da cápsula, devido ao

material usado em sua parede lateral. Foram estudados casos envolvendo alumínio ou teflon

para a parede lateral. As análises indicaram que na cápsula feita com parede de alumínio, a

condução de calor pela parede lateral afetava significativamente a temperatura na face oposta.

O alumínio é o material que vem sendo utilizado nas paredes da cápsula utilizada atualmente

nos experimentos realizados no Nanoflash LFA 447. Com base nisto, foram realizadas

simulações para uma cápsula com parede de teflon. Em contraste com os casos envolvendo as

paredes de alumínio, a temperatura na face não aquecida da cápsula com paredes de teflon

não apresentou variação espacial. Este fato que demonstra que ao se utilizar o teflon, a

condução axial pela parede lateral é reduzida, fazendo com que a temperatura média na

103

superfície da cápsula, que é a variável medida com o método Flash, não seja afetada como no

caso envolvendo a parede de alumínio.

Nas simulações para uma cápsula de uma polegada de diâmetro, utilizou-se apenas o

teflon como material para sua parede lateral. Observou-se as curvas de variação de

temperatura para quatro pontos distintos da face oposta da cápsula, que se mostraram

coincidentes. Logo,o uso de um material isolante, como o teflon, não causa alterações

significativas na variação espacial da temperatura na face não aquecida da cápsula. Pelo fato

de possuir uma massa maior, as curvas de temperatura obtidas nas análises da cápsula de uma

polegada de diâmetro, com tampas de cobre e paredes de teflon, apresentaram temperaturas

máximas menores que aquelas obtidas com a cápsula de meia polegada de diâmetro e

mesmos materiais. A construção de uma cápsula de uma polegada de diâmetro é possível já

que o equipamento Nanoflash LFA 447 possui porta amostras para esta dimensão.

Para continuação deste trabalho, sugere-se a fabricação de cápsulas com diâmetros de

meia polegada e de uma polegada de diâmetro, ambas com parede lateral de teflon. As

tampas podem ser feitas tanto de alumínio ou de cobre. Além disso, as outras dimensões da

cápsula, tais como espessuras das tampas e da parede lateral e altura, devem ser otimizadas

utilizando-se a técnica de solução de problemas inversos, através do método D-Ótimo. Em

seguida, técnicas Bayesianas devem ser usadas para a identificação das propriedades

termofísicas de líquidos fazendo uso, num primeiro momento, de medidas experimentais

simuladas. Medidas experimentais obtidas com o equipamento Netzsch Nanoflash LFA 447

do LTTC/COPPE/UFRJ, ou equipamento Netzsch Laserflash 457 do LES/UFPB, serão

usadas na identificação das propriedades termofísicas de líquidos puros, bem como de

nanofluidos

104

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Documents

ANÁLISE DE TRANSFERÊNCIA DE CALOR EM CÁPSULAS …objdig.ufrj.br/60/teses/coppe_m/MilenaVilarFranca.pdf · xii ÍNDICE DE TABELAS Tabela 5.1: Propriedades Termofísicas do Cobre