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MURILO SASAKI DE PAULA E SILVA
Análise dinâmica não linear em torres de concreto armado
submetidas ao vento sintético
Dissertação apresentada à Escola Politécnica da
Universidade de São Paulo para obtenção do título
de Mestre em Ciências
Área de concentração: Engenharia de Estruturas
Orientador: Prof. Dr. Reyolando Manoel Lopes
Rebello da Fonseca Brasil
São Paulo
2017
MURILO SASAKI DE PAULA E SILVA
Análise dinâmica não linear em torres de concreto armado
submetidas ao vento sintético
Dissertação apresentada à Escola Politécnica da
Universidade de São Paulo para obtenção do título
de Mestre em Ciências
Orientador: Prof. Dr. Reyolando Manoel Lopes
Rebello da Fonseca Brasil
São Paulo
2017
Este exemplar foi revisado e corrigido em relação à versão original, sob responsabilidade única do autor e com a anuência de seu orientador
São Paulo, ______ de _______________________ de ________
Assinatura do autor: __________________________
Assinatura do orientador: __________________________
Autorizo a reprodução e divulgação total ou parcial deste trabalho, por qualquer meio
convencional ou eletrônico, para fins de estudo e pesquisa, desde que citada a fonte.
Catalogação na publicação
Serviço de Biblioteca e Documentação
Escola Politécnica da Universidade de São Paulo
Silva, Murilo Sasaki de Paula
Análise dinâmica não linear em torres de concreto armado submetidas ao
vento sintético / M. S. P. Silva – versão corr. – São Paulo, 2017.
232 p.
Dissertação (Mestrado) - Escola Politécnica da Universidade de São Paulo.
Departamento de Engenharia de Estruturas e Geotécnica.
1.DINÂMICA DAS ESTRUTURAS 2.CONCRETO ARMADO 3.VENTO
SINTÉTICO I.Universidade de São Paulo. Escola Politécnica. Departamento de
Engenharia de Estruturas e Geotécnica II.t.
AGRADECIMENTOS
Ao professor Reyolando M. L. R. F. Brasil, pela orientação, bom humor, paciência e
conhecimento fornecidos durante o programa.
Ao professor Marcelo Araújo Silva, pela ajuda, indicação do tema e sugestões para a
melhoria deste trabalho.
Ao professor Pedro Almeida, por sua disposição em participar da banca examinadora
de qualificaçãoe por contribuir com sua vasta experiência.
Aos meus paisEvódio de Paula e Silva e Maria Fumie de Paula e Silva,pelo constante
apoioe incentivo prestados durante o desenvolvimento deste trabalho.
Ao meu amigoMarcelo Cherem, pela paciência ao me ensinar sobre o comportamento
do concreto armado aplicado na engenharia de estruturas.
Ao meu amigo Wagner de Moraes e Carvalho, pela amizade, constante estímulo, e
valiosos conselhos fornecidos no âmbito profissional e pessoal.
Ao meu amigo André Filgueiras, pela ajuda com toda a programação computacional,
sem a qual, o trabalho nem teria começado.
RESUMO
SILVA, Murilo Sasaki de Paula. Análise Dinâmica Não Linear em Torres de Concreto
Armado Submetidas ao Vento Sintético. 2017. 232 p. Dissertação (Mestrado em
Engenharia de Estruturas) – Escola Politécnica, Universidade de São Paulo, São Paulo, 2017.
O tema está relacionado com o constante crescimento da necessidade em implantarnovas
torres de telecomunicações devido ao crescimento acelerado da infraestrutura de
telecomunicações no Brasil. Todos os dias, novos sistemas de transmissão e recepção de
ondas eletromagnéticas estão sendo implantadosno território brasileiro. O objetivo deste
trabalho é propor um procedimento seguro e eficaz para a análise estrutural de torres de
telecomunicações em concreto armado de grande esbeltez, com base em um modelo dinâmico
não linear, submetendo à carga de vento. Estas cargas são simuladas pelo método do vento
sintético proposto por Franco (1993). A análise do concreto armado será realizada de acordo
com a NBR-6118 (ABNT, 2007). A fim de determinar com precisão os deslocamentos da
estrutura submetida ao carregamento de vento, um método iterativo computacional será
utilizado obter as respostas não lineares. Realiza-se uma análise linear e, a partir dos
resultados de esforços solicitantes, as tensões e a porção fissurada de cada seção transversal é
obtida e parte-se para a determinação dos deslocamentos de 2ª ordem da torre. Em cada
iteração, um procedimento do tipo P-Delta será utilizado para levar em conta a não
linearidadegeométrica da estrutura. As condições de contorno do problema estão relacionadas
com a restrição do nível de tensões, deslocamentos e frequências de vibração da estrutura. Ao
fim, uma análise dinâmica em torno da configuração não linear será realizada, e o
deslocamento total da torre será dado pela somatória da componente estática com a
componente flutuante do vento.
Palavras-Chave: Análise dinâmica não linear, carregamento de vento, concreto armado,
rigidez efetiva, ventosintético.
ABSTRACT
SILVA, Murilo Sasaki de Paula. Dynamic Nonlinear Analysis of Reinforced Concrete
Towers Subjected to the Synthetic Wind. 2017. 232 p. Thesis (Master Degree inStructural
Engineering) – Escola Politécnica, Universidade de São Paulo, São Paulo, 2017.
The theme is related to the constant growth in the need to deploy new telecommunications
towers due to the accelerated growth of telecommunications infrastructure in Brazil. Every
day, new systems of transmission and reception of electromagnetic waves are being implanted
in the Brazilian territory. The objective of this work is to propose a safe and efficient
procedure for the structural analysis of telecommunication towers with high slenderness
constructed in reinforced concrete, based on a dynamic nonlinear model, submitting it to the
wind load. These loads are simulated by the synthetic wind method proposed by Franco
(1993). The analysis of the reinforced concrete will be held according to NBR-6118 (ABNT,
2007). In order to determine accurately the displacements of the structure subjected to wind
loading, an iterative computational method will be held to obtain non-linear responses. A
linear analysis is carried out and, with the results of the forces, the tensions and the fissured
portion of each cross section are obtained and then 2nd order displacements of the tower. In
each iteration, a P-Delta type procedure will be held to take into account the geometric non-
linearity of the structure. The boundary conditions of the problem are related to the restriction
of the stress level, displacements and vibration frequencies of the structure. At the end, a
dynamic analysis around the nonlinear configuration will be performed, and the total
displacement of the tower will be given by the sum of the static component with the floating
component of the wind.
Key Words - Nonlinear dynamic analysis, wind load, reinforced concrete, effective stiffness,
synthetic-wind.
Lista de Figuras
Figura 1 - Diagrama bi-linear de tração para o concreto ......................................................... 31
Figura 2 - Curva de distribuição normal para a resistência do concreto .................................. 32
Figura 3 - Diagrama parábola retângulo de compressão para o concreto (NBR6118:2007) ... 33
Figura 4 - Diagrama de compressão para o concreto (CEB90) ............................................... 34
Figura 5 - Diagrama de compressão para o concreto (CEB90) ............................................... 35
Figura 6 - Diagrama de compressão para o concreto (Eurocode) ............................................ 36
Figura 7 - Diagrama parábola retângulo de compressão para o concreto (Eurocode) ............. 38
Figura 8 - Diagrama parábola retângulo de compressão para a análise de estabilidade
(NBR6118:2007) ...................................................................................................................... 40
Figura 9 - Diagrama parábola retângulo de compressão para a análise de estabilidade
(Eurocode) ................................................................................................................................ 41
Figura 10 - Diagrama tensão-deformação real para o aço de classe A .................................... 43
Figura 11 - Diagrama tensão-deformação real para o aço de classe B .................................... 43
Figura 12 - Diagrama tensão-deformação idealizado para o aço de classe A .......................... 45
Figura 13 – Valores números para o aço CA-25 ...................................................................... 47
Figura 14 – Valores números para o aço CA-50 ...................................................................... 47
Figura 15 – Diagrama tensão-deformação idealizado para o aço classe B .............................. 47
Figura 16 – Tensão-Deformação limitado pelo ELU do concreto ........................................... 47
Figura 17 – Valores números para o aço CA-60 ...................................................................... 49
Figura 18 – Diagrama tensão-deformação a ser utilizado para qualquer aço pela
NBR6118:2007 ........................................................................................................................ 50
Figura 19 – Comparação entre o diagrama real e o idealizado para aços de classe B ............. 51
Figura 20 – Valores numéricos para o diagrama idealizado de aço CA-60 ............................. 51
Figura 21 - Isopletas da velocidade básica Vo (m/s) ................................................................ 53
Figura 22 - Valores mínimos do fator estatístico S3 ................................................................ 54
Figura 23 – Fator S2 ................................................................................................................. 55
Figura 24 - Fator topográfico ................................................................................................... 56
Figura 25 - Coeficientes de arrasto, Ca, para corpos de seção constante ................................. 58
Figura 26 –Variação da pressão ao longo de um bocal: dados experimentais ......................... 63
Figura 27–Discretização de uma barra vertical ........................................................................ 71
Figura 28 - Elemento mola (adaptado de HUTTON 1 st ed. p. 20) ......................................... 72
Figura 29 - Elemento barra elástica .......................................................................................... 76
Figura 30 – Equilíbrio de esforços no elemento infinitesimal de barra elástica....................... 77
Figura 31 – Hipótese de Navier ................................................................................................ 78
Figura 32 - Numeração dos graus de liberdade nodais do elemento barra ............................... 83
Figura 33 - Parte de uma estrutura genérica de barras ............................................................. 86
Figura 34 - Equilíbrio do nó g .................................................................................................. 87
Figura 35 - Esforços nodais equivalentes a carregamento fora dos nós. O vetor {R}0
representa os esforços de engastamento perfeito devidos ao carregamento nos vãos .............. 92
Figura 36 - Barra vertical com mudança de posição no espaço ............................................... 94
Figura 37 - Barra vertical submetida a ações verticais e horizontais ....................................... 95
Figura 38 - Reações na barra vertical deformada ..................................................................... 96
Figura 39 - Iterações do processo P-delta ................................................................................. 97
Figura 40 - Cargas fictícias (H') em edifícios de múltiplos andares ......................................... 98
Figura 41 - Deslocamentos dos pavimentos ............................................................................. 99
Figura 42 - Deslocamentos horizontais entre os pavimentos ................................................... 99
Figura 43 - Esquema de forças verticais (a) e horizontais fictícias (b) .................................. 101
Figura 44 – Pilar engastado na base ....................................................................................... 102
Figura 45 – Deformações mecânicas provenientes dos esforços solicitante na seção ........... 103
Figura 46 – Seção Transversal genérica discretizada em elementos de área ......................... 104
Figura 47 - Diagrama da Metodologia ................................................................................... 110
Figura 48- Derivação da Integral de Duhamel (não amortecida) ........................................... 113
Figura 49 - Formulação do processo de soma númerica da Integral de Duhamel.................. 116
Figura 50 - Representação dos deslocamentos como componentes modais .......................... 133
Figura 51 - Típica estrutura de torre de telecomunicações de concreto armado .................... 135
Figura 52 - Coefientes de amortecimento crítico NBR6123 .................................................. 140
Figura 53 – Tela de entrada de dados do programa de análise ............................................... 142
Figura 54 - Esforço de momento fletor de primeira ordem obtido pelo programa SAP2000 152
Figura 55 - Deslocamentos de primeira ordem obtidos pelo programa SAP2000 ................. 153
Figura 56 - Esforços de segunda ordem obtidos pelo programa SAP2000 ............................ 154
Figura 57 - Deslocamentos de segunda ordem obtidos pelo programa SAP2000.................. 155
Figura 58 – Pontos obtidos da aplicação do ensaio ................................................................ 157
Figura 59 - Linhas de tendência obtidas a partir de ensaios ................................................... 157
Figura 60 - Esforços de segunda ordem obtidos pelo programa SAP2000 ............................ 160
Figura 61 - Deslocamentos de segunda ordem obtidos pelo programa SAP2000.................. 161
Figura 62 - Primeiro modo de vibração - T = 1,79s – f = 0,56 Hz ........................................ 162
Figura 63 – Segundo modo de vibração T = 0,39s – f = 2,56 Hz .......................................... 163
Figura 64 – Segundo modo de vibração T = 0,134s – f = 7,46 Hz ........................................ 164
Figura 65 - Quarto modo de vibração - T = 0,08s – f = 12,5 Hz ........................................... 165
Figura 66 - Quinto modo de vibração - T = 0,04s – f = 25 Hz .............................................. 166
Figura 67 - Sexto modo de vibração - T = 0,03s – f = 33,3 Hz ............................................. 167
Lista de Tabelas
Tabela 1 – Notação utilizada .................................................................................................. 107
Tabela 2 – Pressão de vento aplicada sobre a torre (kN/m) ................................................... 141
Tabela 3 – Força do Vento em Antenas e Plataformas .......................................................... 141
Tabela 4 – Dados da Seção transversal da torre em cada nó ................................................. 143
Tabela 5 – Matriz de rigidez da estrutura do exemplo numérico ........................................... 144
Tabela 6 – Vetor de forças nodais (kN) ................................................................................. 145
Tabela 7 – Resultados da análise estática não-linear no exemplo numérico ......................... 146
Tabela 8 – Resultados da calculadora de rigidez efetiva da seção transversal ...................... 147
Tabela 9 – Matriz de rigidez reduzida utilizada na análise modal ......................................... 148
Tabela 10 – Matriz de massa reduzida utilizada na análise modal ........................................ 148
Tabela 11 – Análise dos modos a partir da configuração de equilíbrio estática não-linear ... 149
Tabela 12 – Resposta dinâmica da estrutura submetida ao vento sintético – Máx.
deslocamento = 0,351 ............................................................................................................ 150
Tabela 13 – Deslocamento total da análise dinâmica em torno da configuração não-linear . 151
Tabela 14 – Valores para a, b, c e d para seções solicitadas com até 0,8 de Mu .................... 158
Tabela 15 – Esforço solicitante máximos (Mu) ...................................................................... 159
Tabela 16 – Tabela comparativa de resultados obtidos nas análises estáticas ....................... 168
Tabela 16 – Tabela comparativa de resultados obtidos nas análises dinâmicas .................... 169
Lista de Símbolos
fck resistência característica à compressão do concreto
fc resistência à compressão simples do concreto
Eci módulo de deformação tangente inicial do concreto
fckj resistência característica à compressão numa idade j
Ecs módulo de elasticidade secante do concreto
fct resistência a tração direta do concreto
Gc módulo de elasticidade transversal do concreto
fct,sp resistência a tração direta superior do concreto
fct,f resistência a tração direta inferior do concreto
fct,m resistência a tração direta média do concreto
fcm resistência a compressãosimples média do concreto
fck,est valor estimado da resistência característica do concreto à compressão
c deformação específica do concreto
σc tensão de compressão no concreto
c,lim deformação específica limite do concreto
Ec1 módulo de elasticidade secante da origem até o pico de compressão
σc,lim tensão de compressão limite no concreto
cd tensão de compressão de cálculo do concreto
c1ε deformação específica do concreto correspondente a 2‰
cu deformação específica última do concreto
c coeficiente de minoração da resistência do concreto
hsc coeficiente de minoração da resistência do concreto de alto desempenho
relação entre a deformação do ponto de cálculo (c) e de máxima tensão (c1)
Ecm valor secante do módulo de elasticidade entre c = 0 e 0,4fcm
cu1 deformação última máxima permitada para o concreto
cu2 é o encurtamento ultimo (máximo) devido a compressão
cEγ coeficiente de minoração do módulo de elasticidade
bitola da barra de aço
fyk valor da resistência característica ao escoamento do aço
e deformação elástica do aço
s módulo de deformação longitudinal
r deformação residual permanente do aço
su deformação específica últimado aço
yd deformação específica correspondente ao início do escoamento
fyd resistências de cálculo do aço
ES módulo de deformação longitudinal
sd deformações de cálculo para o aço
sd tensões de cálculo para o aço
fyck valor da resistência característica ao encurtamento do aço
p deformação específica de ruptura do aço
s coeficiente de minoração da resistência do aço
V0 velocidade básica do vento
fator topográfico
fator terreno
fator estatístico
coeficiente de arrasto
S(n) espectro natural de potência do vento
V3 velocidades do vento em 3 segundos
V600 velocidade média do vento em 600 segundos
pressãomédia do vento em 600 segundos
pressãomédia do vento em 3 segundos
qp pressão de máxima amplitude
pressão média ou estática do vento
pressão flutuante do vento
Sp’ espectro das pressões flutuantes do vento
massa específica do ar
velocidade média na altura z
amplitude relativa do harmônico k
pressão flutuante total
frequência natural da estrutura
valor divisor múltiplo da frequência natural
ângulo de fase correspondente ao harmônico k
comprimento da rajada de vento
momento de inércia do elemento infinitesimal de concreto
momento de inércia correspondente a barra de aço
intensidade do carregamento dinâmico
intervalo de tempo diferencial
frequência natural do sistema
coeficiente de amortecimento
Sumário
Capítulo 1 – Introdução e Justificativa do Problema ............................... 25
Capítulo 2 Comportamento Mecânico do Concreto ............................... 28
2.1 Classificação .................................................................................................... 28
2.2 Módulo de elasticidade ................................................................................... 28
2.3 Coeficiente de Poisson e Módulo de elasticidade transversal ........................ 30
2.4 Resistência à tração ......................................................................................... 30
2.5 Resistência à compressão ............................................................................... 31
2.6 Diagrama tensão-deformação para o Estado Limite Último (ELU) ................. 32
2.6.1 Diagrama tensão-deformação da NBR6118:2007 ...................................... 32
2.6.2 Diagrama tensão-deformação do CEB90 ................................................... 34
2.6.3 Diagrama tensão-deformação do Eurocode 1992:2006 ............................ 36
2.7 Diagrama tensão-deformação para análises não-lineares ............................. 39
2.7.1 Diagrama tensão-deformação da NBR6118:2007 ...................................... 39
2.7.2 Diagrama tensão-deformação do CEB90 ................................................... 40
2.7.3 Diagrama tensão-deformação do Eurocode 2:2006 .................................. 40
Capítulo 3 - Comportamento Mecânico do Aço de Armadura Passiva .... 42
3.1 Generalidades.................................................................................................. 42
3.2 Classificação .................................................................................................... 42
3.3 Massa Específica .............................................................................................. 44
3.4 Coeficiente de Dilatação Térmica.................................................................... 44
3.5 Diagramas Tensão-Deformação ...................................................................... 44
3.5.1 Consideração inicial .................................................................................... 44
3.5.2 Aço Classe A (CA-25 e CA-50) ..................................................................... 45
3.5.3 Aço Classe B (CA-60) .................................................................................. 47
3.5.4 Diagrama tensão-deformação da NBR6118:2007 ..................................... 49
Capítulo 4 - Vento Estático NBR-6123 ..................................................... 52
4.1 Generalidades ................................................................................................. 52
4.2 Fatores Meorológicos ..................................................................................... 52
4.3 Determinação do coeficiente de arrasto para torres de seção constante ..... 57
Capítulo 5 - O Método do Vento Sintético .............................................. 60
5.1 O Método de Monte Carlo .............................................................................. 61
5.2 Espectro do Vento........................................................................................... 62
Capítulo 6 - Análise Linear Estática ......................................................... 69
6.1 Método dos Elementos Finitos – MEF ............................................................ 69
6.2 Discretização da Estrutura .............................................................................. 70
6.2.1 Matriz de Rigidez dos Elementos ............................................................... 71
6.2.2 Matriz de Rigidez da Estrutura ................................................................... 86
6.3 Método dos Deslocamentos ........................................................................... 91
6.3.1 Equacionamento da Estrutura com o Sistema Completo .......................... 91
6.3.2 Carregamento Fora dos Nós ...................................................................... 91
Capítulo 7 - Análise NãoLinear Estática ................................................... 94
7.1 Método P-Delta ............................................................................................... 94
7.1.1 Método da Carga Lateral Fictícia ............................................................... 97
7.2 Integração da Linha Elástica ......................................................................... 102
7.3 Determinação da Rigidez Efetiva .................................................................. 103
7.3.1 Método do Gradiente Reduzido Generalizado ........................................ 106
Capítulo 8 - Análise Dinâmica ............................................................... 109
8.1 Sistema com um grau de liberdade – Método da Superposição.................. 111
8.1.1 Resposta ao Carregamento Dinâmico Geral – Método da Superposição 111
8.1.2 Modos de Vibração – Método “Matrix Iterations” ..................................120
8.2 Sistema com múltiplos graus de liberdade – Método da Sobreposição Modal132
8.3 Análise Dinâmica Linear ................................................................................135
Capítulo 9 - Exemplo Numérico – O Software de Cálculo ..................... 139
9.1 Dados de Entrada ..........................................................................................139
9.2 Cálculos preliminares - Matriz de Rigidez e Vetor de Forças ........................143
9.3 Resultados da Análise Não-Linear Estática ...................................................145
9.4 Resultados da Análise Dinâmica em Torno da Configuração Não-linear ......147
9.5 Resultados Comparativos ..............................................................................151
9.5.1 Análise Linear Estática ..............................................................................152
9.5.2 Análise Não Linear Estática – Não linearidade Geométrica .....................154
9.5.3 Rigidez Efetiva ...........................................................................................156
9.5.4 Análise Não Linear Estática – Não linearidade Geométrica e Física ........160
9.5.5 Análise de Vibrações Livres ......................................................................162
Capítulo 10 –Resultados e Conclusões ................................................. 168
Referência Bibliográfica ........................................................................ 170
Anexo - Código fonte do software de cálculo ....................................... 173
Inicialização do Cálculo de Esforços de 1ª Ordem .......................................................192
Cálculo dos Deslocamentos de 1ª ordem ....................................................................193
Cálculo dos Esforços Solicitantes de 1ª Ordem ...........................................................195
Inicialização do Cálculo de 2ª Ordem ..........................................................................198
Cálculo dos Esforços de 2ª Ordem ...............................................................................200
Cálculo dos Deslocamentos de 2ª Ordem ...................................................................201
Inicialização do Cálculo de 2ª Ordem – Não linearidade Física ...................................202
Cálculo da Rigidez Efetiva para 2ª Ordem com Não-linearidade física ....................... 206
Cálculo dos Deslocamentos de 2ª Ordem com Não-Linearidade Física ..................... 208
Inicialização do Cálculo das Frequências Naturais ...................................................... 209
Cálculo da Matriz de Rigidez Reduzida para Análise Modal ....................................... 210
Cálculo da Matriz de Massa Reduzida para Análise Modal ........................................ 214
Cálculo das Frequências Naturais ............................................................................... 218
Inicialização do Cálculo da Resposta Dinâmica ........................................................... 226
Cálculo das Amplitudes do Vento Sintético ................................................................ 226
Cálculo da Resposta ao Carregamento Periódico ....................................................... 228
25
Capítulo 1 – Introdução e
Justificativa do Problema O tema escolhido está relacionado com a necessidade da implantação de inúmeras
novas torres de telecomunicação decorrente do crescimento acelerado da infraestrutura de
telecomunicações no Brasil. De um modo geral, novos sistemas de transmissão e recepção de
ondas eletromagnéticas estão sendo continuamente implantados. Estas torres pré-moldadas
vem se apresentando como ineficientes do ponto de vista estrutural uma vez que inúmeros
casos de desabamento vêm sendo observados no país, chegando a ser proibida sua
comercialização. Vários fatores podem ser associados a estes problemas, sendo os mais
prováveis a falta de controle de qualidade no processo de fabricação do concreto centrifugado
utilizado nessas estruturas, falhas de aderência no processo de fixação das armaduras nas
emendas entre os segmentos da torre e principalmente a desconsideração do comportamento
dinâmico não linear por parte dos projetistas destas estruturas.
Assim, o objetivo deste trabalho é propor um procedimento seguro e eficiente para a
análise de torres de telecomunicações em concreto armado, de grande esbeltez, baseado num
modelo dinâmico não linear, com carregamento dado pelo método do vento sintético.
Primeiramente, apresenta-se a estrutura da torre de telecomunicação com suas
características geométricas e físicas necessárias para análise do problema. Em seguida,
apresenta-se a determinação do carregamento estático de vento proposto pela norma NBR-
6123:1988. Calculam-se os esforços solicitantes em cada seção discretizada do modelo da
torre pelo Método dos Deslocamentos e em seguida propõe-se um processo iterativo para
consideração da não linearidade física e geométrica da estrutura. Apresenta-se o método do
vento sintético proposto por FRANCO (1993) e realiza-se a análise dinâmica do problema a
partir de uma configuração não linear de equilíbrio obtida da aplicação do carregamento
estático da norma. Finalmente, comparam-se os resultados obtidos com aqueles alcançados
por meio de ferramentas de cálculo consagradas ecom trabalhos de outros autores. Em
seguida, são apresentadas as conclusões obtidas.
Para resolver os problemas propostos é necessária a utilização de várias ferramentas
numéricas, tais como o método dos elementos finitos, análise dinâmica não linear de
26
estruturas de concreto armado e análise estocástica para determinação dos carregamentos
decorrentes do método do vento sintético.
A análise do concreto armado será feita de acordo com a NBR-6118 (ABNT, 2007).
Para obter com precisão a rigidez da estrutura submetida aos carregamentos, foi elaborado um
programa computacional que discretiza a seção transversal de concreto armado em elementos
finitos para determinar com exatidão as tensões em cada ponto da seção e a porção da seção
transversal fissurada que deverá ser desprezada para o cálculo dos deslocamentos nas
próximas iterações. Em cada iteração, um procedimento tipo P-Delta é utilizado para levar em
conta a não linearidade geométrica e a rigidez efetiva das seções de concreto armado é
recalculada.
Para respaldar o trabalho, será estudado o método de análise dinâmicanão linear para
estruturas esbeltas submetidas a carregamento dinâmico proposto por SILVA e BRASIL
(2004a, 2004b), onde o modelo apresentado por esses autores é baseado estritamente nos
carregamentos estáticos e dinâmicos de vento propostos pela NBR-6123 (1988) e a não
linearidade da estrutura de concreto é considerada a partir de equações simplificadas, em
função do nível dos esforços, que determinam a rigidez efetiva das seções de concreto
armado. A rigidez efetiva dos elementos em concreto armado é calculada em função do nível
de flexão da iteração. Considerando-se a rigidez efetiva obtida na última iteração, são então
calculadas as frequências e modos naturais de vibração da estrutura, os quais serão utilizados
para o cálculo das respostas flutuantes do vento, de acordo com o modelo dinâmico discreto
da NBR-6123 (ABNT, 1988). Os autores consideram que a estrutura, sob a excitação do
vento, vibra em torno de uma configuração de equilíbrio dada pela análise não linear e sua
amplitude de vibração é dada pela componente dinâmica da velocidade do vento.
O objetivo desta dissertação é desenvolver uma ferramenta para análisedo
comportamento dinâmico de torres de telecomunicação de concreto armado de grande
esbeltezsubmetidas à flexão compostadevido a atuação do vento e do peso-próprio sobre os
elementos que as compõem.
27
De forma resumida, têm-se o que se segue.
– Análise estática não linearda estrutura submetida ao carregamento de vento estático
dado pela norma NBR6123, considerando efeitos de 2ª ordem e a não linearidade física do
concreto armado;
– Análise dinâmica em torno de uma configuração não linear aplicando o método do
vento sintético proposto por Franco (1993);
– Desenvolvimento de um programa de computador como ferramenta automatizada
para determinar os deslocamentos máximos para qualquer configuração desejável da torre;
– Comparações dos resultados obtidospelo programa desenvolvido.
Inclui-se, ainda nos objetivos, a possibilidade de criar uma ferramenta simplificada que
permitaverificações de segurança no estado limite últimos mais gerais do que as
normatizadas.
28
Capítulo 2 Comportamento
Mecânico do Concreto 2.1 Classificação
Os concretos estruturais estão classificados conforme a NBR8953. A nomenclatura
que identifica os concretos é composta pela letra ‘C’ (de classe) e do valor da resistência
característica à compressão (fck) em MPa(por exemplo, C30).
Há duas classes distintas pela norma NBR8953:
Classe I: abrange concretos com resistência de até 50 MPa (C10, C15, C20, C25, C30,
C35, C40, C45 e C50);
Classe II: abrange concretos com resistência entre 55 e 80 MPa (C55, C60, C65, C70,
C75 e C80).
Embora aNBR8953 citada incluir concretos com resistência até 80 MPa, a norma
NBR6118:2007, referente ao cálculo de estruturas de concreto armado, não abrange concretos
com resistência característica à compressão superior a 50 MPa. Concretos acima da
resistência característica de 50 MPa, também conhecidos como concretos de alto desempenho
(CAD), passam a ter um comportamento um pouco diferenciado, sendo regidos por um
comportamento frágil que não pode ser negligenciado. As hipóteses de cálculo precisam então
ser revistas quando da aplicação desses concretos.
Segundo Cherem (2005), apesar da norma brasileira de cálculo estrutural, NBR6118,
não estar preparada para trabalhar com concretos de alto desempenho, muitas normas
estrangeiras, como o CEB90 e o Eurocode 1992, já estipularam regras para os mesmos. Em
momento oportuno apresentaremos suas características.
2.2 Módulo de elasticidade
O módulo de elasticidade pode ser obtido seguindo ensaios descritos na NBR 8522,
esta norma considera o módulo de deformação tangente inicial igual a 30% de fc, ou outra
tensão especificada em projeto.
29
Quando não se podem ser realizados ensaios e não existirem dados mais precisos
sobre o concreto usado na idade de 28 dias, costuma-se estimar o valor do módulo de
elasticidade usando a expressão:
Eci = 5600 ∙ ckf (Eq. 1)
De acordo com GOBBO, MEDRANO e UEHARA (2010), para concretos
centrifugados pode-se estimar que o valor do módulo de elasticidade supere aproximadamente
6,7% o valor do módulo de elasticidade de um corpo de prova moldado com concreto
convencional:
Eci = 1,067 ∙5600 ∙ ckf (Eq. 2)
onde Eci e fck são dados em MPa.
O módulo de elasticidade numa idade j 7 dias pode também ser avaliado através
desta expressão, substituindo-se fck por fckj. Quando for o caso, é esse o módulo de
elasticidade a ser especificado em projeto e controlado na obra.
O módulo de elasticidade secante a ser utilizado nas análises elásticas de projeto,
especialmente para determinação de esforços solicitantes e verificação de estados limites de
serviço, deve ser calculado pela expressão:
Ecs = 0,85 ∙ Eci (Eq. 3)
Na avaliação do comportamento de um elemento estrutural ou seção transversal pode
ser adotado um módulo de elasticidade único, à tração e à compressão, igual ao módulo de
elasticidade secante (Ecs).
Na avaliação do comportamento global da estrutural e para o cálculo das perdas de
protensão, pode ser utilizado em projeto o módulo de deformação tangente inicial (Eci).
30
2.3 Coeficiente de Poisson e Módulo de elasticidade transversal
O coeficiente de Poisson do concreto, relativo às deformações elásticas sob tensões
normais de serviço (compressão menor que 0,5fc e tração maior que fct), pode ser estimado em
0,2.
O módulo de elasticidade transversal Gc pode ser tomado igual a 0,4Ecs.
2.4 Resistência à tração
A resistência a tração indireta fct,sp e a resistência a tração na flexão fct,f devem ser
obtidas em ensaios realizados segundo a NBR 7222 e NBR 12142, respectivamente.
A resistência a tração direta fct pode ser considerada igual a 0,9 fct,sp ou 0,7 fct,f ou, na
falta de ensaios para a obtenção de fct,sp e fct,f, pode ser avaliado o seu valor médio ou
característico por meio das equações seguintes:
fct,m= 0,3 ∙ fck2/3
(Eq. 4)
fctk,inf = 0,7 ∙ fct,m (Eq. 5)
fctk,sup = 1,3 ∙ fct,m (Eq. 6)
onde: fct,m e fck são expressos em megapascal.
Para o concreto não fissurado, pode ser adotado o diagrama tensão-deformação bi-
linear de tração, indicado naFigura 1.
31
Figura 1 - Diagrama bi-linear de tração para o concreto
Fonte: NBR6118:2007
2.5 Resistência à compressão
A resistência à compressão simples é denominada fc. Para estimá-la são moldados e
preparados corpos-de-prova para ensaios segundo a NBR5738 (Moldagem e curade corpos-
de-prova cilíndricos ou prismáticos de concreto), os quais são ensaiados segundo a NBR5739
(Concreto – Ensaio de compressão de corpos de-prova cilíndricos).
O corpo-de-prova padrão brasileiro é cilíndrico, com 15 cm de diâmetro e 30 cm de
altura. A idade de referência para o ensaio é de 28 dias. Após ensaios de um número
satisfatório de corpos-de-prova, um gráfico com os valores obtidos de fccontraa quantidade de
corpos-de-prova relativos a determinado valor de fc, também denominada densidade de
freqüência. A curva encontrada denomina-se Curva Estatística de Gauss ou Curva
deDistribuição Normal para a resistência do concreto à compressão (Figura 2).
32
Figura 2 - Curva de distribuição normal para a resistência do concreto
Fonte: Cherem (2005)
Na curva de Gauss encontram-se dois valores de fundamental importância: a
resistência média do concreto à compressão (fcm) e resistência característica do concreto à
compressão (fck).
O valor fcm é a média aritmética dos valores de fc para o conjunto de corpos-de-prova
ensaiados, e é utilizado na determinação da resistência característica fck, por meio da
expressão:
fck= fcm− 1,65 ∙ s (Eq. 7)
O desvio-padrão s corresponde à distância entre a abscissa de fcm e a do ponto de
inflexão da curva (ponto em que ela muda de concavidade).
O valor ‘1,65’ corresponde ao quantil de 5%, ou seja, apenas 5% dos corpos-de-prova
possuem fc<fck, ou ainda, 95% dos corpos-de-prova possuem fc≥ fck. Portanto, pode-se definir
fckcomo sendo o valor da resistência que tem 95%de probabilidade de ser alcançado, em
ensaios de corpos-de-prova de um determinado lote de concreto.
Nas obras, devido ao pequeno número de corpos-de-prova ensaiados, calcula-se fck,est,
valor estimado da resistência característica do concreto à compressão.
2.6 Diagrama tensão-deformação para o Estado Limite Último (ELU)
2.6.1 Diagrama tensão-deformação da NBR6118:2007
Para o dimensionamento prático, torna-se necessário simplificar as distribuições
curvas de tensões no concreto que ocorrem na zona comprimida (por flexão simples ou
33
composta) da peça. Com relação à idade do concreto quando do carregamento, contentou-se
em considerar sempre a de 28 dias na verificação do estado limite último. Isto corresponde à
prescrição de que as peças estruturais não devem suportar a combinação mais desfavorável de
cargas prevista no cálculo antes da idade de 28 dias. Considerando todos os outros parâmetros
apontados, procurou-se um diagrama - simplificado, uma idealização que conduzisse a um
cálculo prático sem grandes complicações e que, ao mesmo tempo, estivesse sempre a favor
da segurança.
Figura 3 - Diagrama parábola retângulo de compressão para o concreto (NBR6118:2007)
Fonte: NBR6118:2007
Extensas pesquisas comparativas mostraram que a linha tensão-deformação da Figura
3 (compressão mostrada como positiva), formada por uma parábola de 2º grau, desde a
origem até o ponto correspondente a = 2,0 ‰, continuada por um patamar até = 3,5 ‰,
com ordenada máxima 0,85 ∙ fcd igual ao valor indicado na expressão (Eq. 9), fornece muito
boa concordância em relação a capacidade da seção nos estados limites últimos.
Do exame do diagrama retangular parabólico da Figura 3 conclui-se que:
c = 0,85 ∙ fcd ∙
2
c
2‰
ε11 para 0 ≤ c ≤ 2 ‰ (Eq. 8)
c = constante = 0,85 ∙ fcd para 2 ‰ ≤ c ≤ 3,5 ‰ (Eq. 9)
Como o diagrama retangular-parabólico é válido para qualquer forma de seção
transversal, e, portanto, para qualquer forma de zona comprimida, pode ser usado também na
flexão oblíqua.
34
2.6.2 Diagrama tensão-deformação do CEB90
O diagrama tensão-deformação para cargas de curta duração tem a forma esquemática
da Figura 4.
Figura 4 - Diagrama de compressão para o concreto (CEB90)
Fonte: CEB-FIP (1995)
A relação entre σc e c pode ser aproximada pela seguinte expressão:
σc = –
c1
c
c1
ci
2
c1
c
c1
c
c1
ci
ε
ε2
E
E1
ε
ε
ε
ε
E
E
· fcm para | c | < | c,lim | (Eq. 10)
onde
Eci módulo de elasticidade tangente: Eci = 2,15 · 104MPa ·
3/1
cm
10
f
c1 = – 0,0022
Ec1 módulo secante da origem até o pico de compressão (Ec1 = 0,0022
fcm )
A deformação c,lim que ocorre a σc,lim = – 0,5fcm pode ser calculada pela expressão
(Eq. 11).
c1
limc,
ε
ε=
1
E
E
2
1
2
1
c1
ci +
1/22
c1
ci
2
11
E
E
2
1
4
1
(Eq. 11)
35
Para os estados limites últimos, no dimensionamento das seções transversais, a
resistência de cálculo de uma região não fissurada carregada uniaxialmente à compressão
pode ser representada também pelo diagrama parábola-retângulo como segue na Figura 5.
Figura 5 - Diagrama de compressão para o concreto (CEB90)
Fonte: CEB-FIP 1990:1995
A deformação c é mostrada em valores absolutos e são positivas para a compressão.
As expressões que regem o comportamento da curva acima são as seguintes:
cd = 0,85 ∙ fcd ∙
n
c
1ε
ε11 para 0 ≤ c ≤ c1 (Eq. 12)
c = constante = 0,85 ∙ fcd parac1 ≤ c ≤ cu (Eq. 13)
onde o valor
c1 = 2‰ para fck ≤ 50 MPa (Eq. 14)
c1 (‰)= 2,0 + 0,5 ∙
100
50fck para 50 < fck< 100 MPa (Eq. 15)
Para a flexão, os valores de cusão dados por
cu = 0,0035 para fck ≤ 50 MPa (Eq. 16)
36
cu (‰) = 2,5 + 2,0 ∙
100
f-1 ck para 50 < fck< 100 MPa (Eq. 17)
n = 2,0 para fck ≤ 50 MPa (Eq. 18)
n= 2,0 – 0,008 ∙ (fck – 50) para 50 < fck ≤ 100 MPa (Eq. 19)
O coeficiente de minoração c pelo CEB tem valor 1,5, porém, para os concretos de
alto desempenho, esse coeficiente deve ser ainda incrementado pelo fatorhsc
hsc =
500
f1,1
1
ck
para 50 < fck≤ 100 MPa (Eq. 20)
2.6.3 Diagrama tensão-deformação do Eurocode 1992:2006
A relação entre c e c (compressão mostrada como positiva) para carregamento
uniaxial de curta duração é descrita pela expressão(Eq. 21) e mostrada na Figura 6.
Figura 6 - Diagrama de compressão para o concreto (Eurocode)
cm
c
f
σ=
2)-(K1
-K 2
(Eq. 21)
Fonte: Eurocode 1992:2006
37
O coeficiente é a relação entre a deformação correspondente ao ponto de cálculo (c)
e a deformação correspondente a máxima tensão (c1).
=
c1
c
ε
ε (Eq. 22)
O valor da deformação correspondente a máxima tensão (c1) pode ser estipulado
conforme a expressão (Eq. 23):
c1(‰)= 0,7 ∙ fcm0,31
(Eq. 23)
onde fcm deve ser colocado em MPa.
O valor da resistência à compressão média do concreto (fcm) é fornecida simplesmente
por:
fcm = fck + 8MPa (Eq. 24)
O coeficiente K é dado através da expressão (Eq. 25) abaixo.
K = 1,1 ∙ Ecm ∙
cm
c1
f
ε (Eq. 25)
O módulo de elasticidade de um concreto é controlado pelo módulo de elasticidade de
seus componentes. Um valor aproximado do módulo de elasticidade Ecm (valor secante entre
c = 0 e 0,4fcm), para os concretos com agregados de quartzo, é dado pela expressão(Eq. 26).
Ecm = 22 ∙
0,3
cm
10
f
(Eq. 26)
onde fcm deve ser colocado em MPa.
38
A expressão (Eq. 27) é válida para 0 < |c|< |cu1|, onde cu1 é a deformação última
máxima permita para o concreto, conforme expressão (Eq. 27):
cu1(‰) = 2,8 + 27 ∙
4
cm
100
f-98
(Eq. 27)
Outras idealizações da relação tensão-deformação podem ser aplicadas, desde que
representem adequadamente o comportamento do concreto considerado. Para o
dimensionamento de seções transversais, a relação tensão-deformação da Figura 7 pode ser
usada (compressão mostrada positiva):
Figura 7 - Diagrama parábola retângulo de compressão para o concreto (Eurocode)
Fonte: Eurocode 1992:2006
As expressões que regem o comportamento da curva acima são as seguintes:
c = 0,85 ∙ fcd ∙
n
c2
c
ε
ε11 para 0 ≤ c ≤ c2 (Eq. 28)
c = constante = 0,85 ∙
fcd parac2 ≤ c ≤ cu2 (Eq. 29)
onde:
cu2 é o encurtamento ultimo (máximo) devido a compressão.
c2 é a deformação a partir da qual atingi-se a máxima resistência
n expoente da parábola
39
c2 = 2‰ para fck ≤ 50 MPa (Eq. 30)
c2 (‰) = 2,0 + 0,085 ∙ (fck-50)0,53
para 50 < fck ≤ 90 MPa (Eq. 31)
cu2 (‰) = 3,5 ‰ para fck ≤ 50 MPa (Eq. 32)
cu2 (‰) = (‰) = 2,6 + 35 ∙
4
cm
100
f-98
para 50 < fck ≤ 90 MPa (Eq. 33)
n = 2,0 para fck ≤ 50 MPa (Eq. 34)
n= 1,4 + 23,4 ∙
4
cm
100
f-98
para 50 < fck ≤ 90 MPa (Eq. 35)
O coeficiente de minoração c pelo Eurocode tem valor 1,5.
2.7 Diagrama tensão-deformação para análises não-lineares
2.7.1 Diagrama tensão-deformação da NBR6118:2007
O diagrama que deve ser usado nas análises de estabilidade, conforme item 15.3 da
NBR6118:2007 é o indicado na Figura 4.
40
Figura 8 - Diagrama parábola retângulo de compressão para a análise de estabilidade (NBR6118:2007)
Fonte: NBR6118:2007
As expressões são análogas as obtidas no item 2.6.1.
c = 1,1 ∙ fcd ∙
2
c
2‰
ε11 para 0 ≤ c ≤ 2 ‰ (Eq. 36)
c = constante = 1,1 ∙ fcd para 2 ‰ ≤ c ≤ 3,5 ‰ (Eq. 37)
2.7.2 Diagrama tensão-deformação do CEB90
O diagrama do CEB para análises não lineares deve ser o mesmo descrito na Figura 4,
regido pela expressão(Eq. 10).
2.7.3 Diagrama tensão-deformação do Eurocode 2:2006
As relações definidas pela Figura 6 e pela expressão (Eq. 21)podem ser usadas.
Determinando os diagramas tensão-deformação baseados em valor de cálculo, o valor da
carga última de cálculo é obtido diretamente da análise. Na expressão (Eq. 24) e (Eq. 26) o
valor de fcmdeve ser substituído por fcde Ecm substituído por:
Ecd =
cE
cm
γ
E (Eq. 38)
onde o valor de cE é 1,2, conforme recomendado.
41
O diagrama tensão-deformação, para análises de segunda ordem em pilares, fica sendo
o exposto na Figura 9.
Figura 9 - Diagrama parábola retângulo de compressão para a análise de estabilidade (Eurocode)
Fonte: NBR6118:2007
42
Capítulo 3 - Comportamento
Mecânico do Aço de Armadura
Passiva 3.1 Generalidades
Existem dois tipos de armaduras utilizados no concreto armado. Podem serpassivas
(também conhecidas por ordinárias) ou ativas (de protensão).
Por tratar-se de um trabalho sobre torres de concreto armado não protendido, por
armaduras se entenderá exclusivamente as passivas.
De acordo com a NBR7480, as barras de aço são produtos de bitola maior que 10
mm obtidos por laminação e os fios de aço são considerados os de bitola 10 mm ou inferior
obtidos por trefilação. Designaremos por barras da armadura tanto as barras laminadas como
os fios trefilados.
3.2 Classificação
De acordo com o valor característico da tensão de escoamento, os aços podem ser
divididos nas seguintes categorias:
- CA-25
- CA-50
- CA-60
Onde o prefixo CA indica que é utilizado no concreto armado e o número seguinte
indica o valor da resistência característica ao escoamento (fyk) em kN/cm².
De acordo com a configuração do diagrama tensão-deformação, os aços dividem-se
em duas classes:
43
– Aço classe A: laminado a quente, com escoamento definido, caracterizado por
patamar no diagrama tensão-deformação.
Figura 10 - Diagrama tensão-deformação real para o aço de classe A
Fonte: NBR6118:2007
Nos aços classe A o limite de elasticidade, o limite de proporcionalidade e a tensão de
escoamento (ponto A da Figura 10) são valores praticamente coincidentes.
– Aço classe B: encruado por deformação a frio (como torção, compressão transversal,
estiramento, relaminação a frio, trefilação), com tensão convencional de escoamento definida
por uma deformação permanente de 0,2%. Na Figura 11, OD é a deformação total S
correspondente ao ponto B do diagrama; S compõe-se de duas parcelas: a deformação
elástica (e) e a deformação residual permanente (r).
Figura 11 - Diagrama tensão-deformação real para o aço de classe B
Fonte: NBR6118:2007
44
Nos aços classe B (Figura 11), o ponto A define o limite de proporcionalidade e o
ponto B corresponde à tensão de escoamento convencional.
Antigamente, para também indicar a classe, as categorias de aço referidas acima
levavam a letra A ou B logo após o valor fyk: CA-50A ou CA-50B. Atualmente, não existe
mais essa referência, pois não há mais perigo de confusão. Os aços CA-25 e CA-50 não
precisam da letra A, porque são sempre desta classe e o aço CA-60 é sempre da classe B (só
existem fios).
Finalmente, em relação às características de aderência ao concreto (tipo de superfície),
as barras são conhecidas em:
- lisas;
- entalhadas;
- de alta aderência (nervuradas).
3.3 Massa Específica
Pode-se adotar para a massa específica do aço de armadura passiva o valor de 7.850
Kg/m3, conforme a norma NBR 6118:2007 no seu item 8.3.3.
3.4 Coeficiente de Dilatação Térmica
Conforme a norma NBR 6118:2007, em seu item 8.3.4, o valor 10-5
ºC-1
pode ser
considerado para o coeficiente de dilatação térmica do aço, para intervalos de temperatura
entre 20 ºC e 150 ºC.
3.5 Diagramas Tensão-Deformação
3.5.1 Consideração inicial
Vale salientar que os diagramas tensão-deformação que serão apresentados a seguir
são válidos apenas para intervalos de temperatura entre 20 ºC e 150 ºC.
45
3.5.2 Aço Classe A (CA-25 e CA-50)
A NBR6118:2007 permite simplificar o diagrama - da Figura 10, do lado da
segurança, adotando o diagrama da Figura 12, típico de material elasto-plástico perfeito. Os
alongamentos específicos são limitados a deformação su,como será visto nos capítulos
seguintes. Os encurtamentos específicos não podem ser usados além de cu devido ao
concreto. Chamaremos de yd a deformação específica correspondente ao início do
escoamento no diagrama de cálculo.
Figura 12 - Diagrama tensão-deformação idealizado para o aço de classe A
Fonte: NBR6118:2007
Observemos que a Figura 12 contém dois diagramas: o característico (em traço cheio)
e o de cálculo (em pontilhado). As resistências de cálculo são:
fyd = s
ykf
fycd =
s
yckf
(Eq. 39)
O módulo de deformação longitudinal Es do aço classe A é a relação:
ES =
yd
yd
ε
f (Eq. 40)
46
Para todos os aços, A ou B, podemos adotar, conforme recomenda a NBR6118:2007,
no seu item 8.3.5, o valor constante:
ES = 210.000 MPa (Eq. 41)
Conforme será visto, os valores de cálculo das tensões podem estar abaixo da
resistência de cálculo. Chamaremos de sd e sd as deformações e tensões de cálculo (são
valores s e s quaisquer). Da análise da Figura 12, podemos concluir que:
Para 0 ≤ sd ≤ yd: sd = Es ∙ sd sendo sd ≤ fyd (Eq. 42)
e yd =
S
yd
E
f (Eq. 43)
Para yd ≤ sd ≤ p: sd = constante = fyd (Eq. 44)
Estamos nos referindo à tração. Para compressão as fórmulas são análogas. É sabido
que o valor da resistência fyck costuma ser um pouco menor que fyk. Nos complementos do
CEB podemos encontrar que fyck 0,9 ∙ fyk (na falta de ensaios). Segundo a NBR6118:2007,
na falta de determinação experimental, admiti-se:
fyck fyk (Eq. 45)
Os diagramas tensão-deformação, com valores numéricos para os dois tipos de aço se
encontram ilustrados nas Figura 13e Figura 14.
47
TIPO CA-25
Figura 13 – Valores números para o aço CA-25
TIPO CA-50
Figura 14 – Valores números para o aço CA-50
Fonte: NBR6118:2007
Fonte: NBR6118:2007
3.5.3 Aço Classe B (CA-60)
O diagrama de cálculo será obtido dividindo-se por s = 1,15 as ordenadas oblíquas,
paralelas à reta de Hooke, da curva experimental que contém a resistência característica.
Figura 15 – Diagrama tensão-deformação idealizado
para o aço classe B
Figura 16 – Tensão-Deformação limitado pelo
ELU do concreto
Fonte: NBR6118:2007
Fonte: NBR6118:2007
48
Na falta da curva real, obtida experimentalmente, permite-se um diagrama
simplificado (Figura 15 e Figura 16) composto de três trechos:
- trecho linear até o valor s = 0,7 ∙ fyd;
- trecho curvo entre este ponto e o ponto correspondente à resistência de escoamento
convencional fyd;
- patamar desde ponto em diante.
Como anteriormente, o diagrama em traço cheio refere-se a fyk, em pontilhado a fyd.
Os valores de Es e fyck são os já vistos nas expressões (Eq. 44) e (Eq. 45), respectivamente.
Observa-se que agora yd é definido como a deformação específica Figura 13 correspondente
ao ponto de escoamento convencional do diagrama de cálculo:
yd = S
yd
E
f+ 0,002 (Eq. 46)
Deformações e tensões de cálculo para o aço classe B:
sd = S
sd
E
σ para 0 ≤ sd ≤ 0,7 ∙ fyd ; (Eq. 47)
sd = S
sd
E
σ+
45
1∙
2
yd
sd 0,7f
σ
para 0 ≤ sd ≤ 0,7 ∙ fyd ; (Eq. 48)
ou seja, a expressão (Eq. 48) vale para S
yd
E
f0,7 ≤ sd ≤ yd sendo yd dado pela
expressão (Eq. 46).
Para yd ≤ sd ≤ p sd = constante = fyd (Eq. 49)
49
Perceba que o trecho comprimido do diagrama é interrompido, pois os encurtamentos
específicos não podem ser usados além de cu devido ao concreto. Basta conferir no 0 e
verificar que os valores numéricos de cu ficam exatamente no trecho curvo.
O diagrama tensão-deformação, com valores numéricos para este tipo de aço se
encontra ilustrado na Figura 17. Note que o valor de cu e su não estão fixados, pois os
mesmos dependem da classe de resistência do concreto.
Figura 17 – Valores números para o aço CA-60
Fonte: NBR6118:2007
3.5.4 Diagrama tensão-deformação da NBR6118:2007
A formulação e curva do 2º grau apresentadas, destinadas aos aços de classe B, ou
seja, do tipo CA-60, basearam-se no trabalho não publicado ‘Ensaios de aço nacionais à
tração, realizado pelo professor Péricles Brasiliense Fusco, em 1976.
Embora essa formulação para aços de classe B seja boa e condizente com a realidade,
ela não consta mais na norma NBR6118:2007 por ser um pouco trabalhosa. A NBR6118:2007
achou mais prático manter um diagrama único que se destinasse a ambas as classes de aço,
designando-o apenas por Diagrama tensão-deformação para aços de armadura passiva. Esse
diagrama segue o padrão dos aços classe A (Figura 14) e pode ser usado tanto para os aços de
classe A (CA-25 e CA-50) quanto de classe B (CA-60).
50
Figura 18 – Diagrama tensão-deformação a ser utilizado para qualquer aço pela NBR6118:2007
Fonte: NBR6118:2007
Realmente concordamos que a formulação com a curva de 2º grau seja um pouco mais
trabalhosa, justificando a adoção de um diagrama único, simplificado, idêntico ao de classe A.
Se colocarmos o diagrama proposto pela NBR6118:2007 e o diagrama que utiliza a
curva de 2º grau (Figura 19), perceberemos que há uma pequena discordância. O valor da
deformação para a qual consideramos o início do escoamento (yd) também é diferente para os
dois diagramas (ponto B e C).
51
Figura 19 – Comparação entre o diagrama real
e o idealizado para aços de classe B
Figura 20 – Valores numéricos para o diagrama
idealizado de aço CA-60
Fonte: NBR6118:2007
Fonte: NBR6118:2007
O leitor pode, a princípio, ficar um pouco preocupado, pois no intervalo mencionado,
assumindo que o diagrama com a curva de 2º grau seja o mais próximo a realidade, uma
determinada deformação s possuiria uma tensão s superior ao valor verdadeiro, o que nos
faz concluir que tal fato vai contra a segurança.
A conclusão obtida no parágrafo anterior é correta, porém vale lembrar que não há
com o que se preocupar, pois o aço de classe B (CA-60) geralmente é utilizado apenas no
projeto de pisos industriais e lajes. Esses elementos têm grande capacidade de redistribuição
plástica e apresentam diversos outros mecanismos resistentes tal que o verdadeiro Estado
Limite Último (ELU) é muito superior ao que realmente obtemos no cálculo, o que faz com
que esse erro de cálculo possa ser negligenciado.
O diagrama que deveria ser adotado, conforme a NBR6118:2007 pode ser visto na
Figura 20. Perceba que com esse tipo de diagrama, a armadura tem possibilidade de
escoamento no trecho comprimido (ponto D), o que é impossível quando utilizamos o
diagrama tensão-deformação que utiliza a formulação com a curva de 2º grau.
52
Capítulo 4 - Vento Estático
NBR-6123 4.1 Generalidades
No Brasil não há uma norma que estabeleça procedimentos para se obter as forças do
vento em torres de telecomunicação. A norma NBR6123 (1988) apresenta diretrizes para
determinar as forças do vento em edificações dentro de um contexto geral, porém não
estabelece nenhum método específico para o cálculo do vento em torres cilíndricas de seção
vazada como as de interesse deste trabalho.
Portanto, pretende-se a seguir propor um procedimento para o cálculo das forças do
vento em torres de telecomunicação de formato cilíndrico. O capítulo é separado em duas
partes: a primeira refere-se a parâmetros meteorológicos como a velocidade do vento,
rugosidade do terreno e topografia; a segunda refere-se à determinação dos coeficientes de
arrasto médio em torres cilíndricas considerando a presença de antenas, cabos e escadas
marinheiro. O carregamento dinâmico da torre devido às rajadas de vento será estudado no
capítulo 6 deste trabalho.
4.2 Fatores Meorológicos
Os fatores meteorológicos são determinados conforme a norma NBR 6123/1988.
Segundo CARRIL (2000), neste tema, há muito ainda por fazer para aprimorar os dados
existentes, como uma atualização das medidas da velocidade básica (V0) do vento no
território nacional. Esta velocidade é definida com a velocidade de uma rajada de 3 segundos,
com período de retorno de 50 anos, considerada a 10 metros acima do solo em campo aberto e
plano. As isopletas de velocidade básica, apresentadas na Figura 21, são utilizadas para
determinar esta velocidade.
53
Figura 21 - Isopletas da velocidade básica Vo (m/s)
Fonte: NBR6123:1998
V0: máxima velocidade média sobre 3
s, que pode ser excedida em média uma
vez em 50 anos, a 10 m sobre o nível
do terreno em lugar aberto e plano.
A velocidade característica é determinada por:
54
e
(Eq. 50)
Onde S1 é o fator topográfico; S2 depende da rugosidade do terreno, dimensões da
edificação e altura sobre o terreno; e o S3 é o fator estatístico que, para o caso de torres de
telecomunicações, é considerado de valor 1,1. Os fatores S1 e S2 são obtidos a partir das
recomendações da NBR6123/1988.
O fator S3 é um fator estatístico com base em conceitos estatísticos, e leva em conta o
grau de segurança e a vida útil desejados da edificação. Os valores mínimos do fator S3 estão
relacionados com a probabilidade de ocorrência da velocidade básica do vento no período de
vida útil de uma edificação destinada a moradias, hotéis, escritórios, etc (usualmente adotado
de 50 anos) e estão indicados na Figura 22.
Figura 22 - Valores mínimos do fator estatístico S3
Fonte: NBR6123:1998
O fator S2 leva em consideração o perfil de velocidade do vento na atmosfera
conforme o tipo de terreno. A norma brasileira separa rugosidade do terreno em 4 categorias:
I (superfícies lisas de grandes dimensões); II (terrenos abertos com poucos obstáculos; III
(terrenos planos ou ondulados com obstáculos); IV (terrenos cobertos por obstáculos
numerosos e pouco espaçados). O fator S2 também considera a duração da rajada para que o
vento englobe toda a estrutura. Nesse caso a norma brasileira fornece três tipos de edificações:
classe A – edificações menores que entre 20 e 50 metros (duração da rajada de 5 segundos); e
classe C – Dimensões da edificação maiores que 50 metros (rajadas de 10 segundos).O fator
S2 para cada categoria, classe de edificação e determinada altura acima do solo pode ser
determinado por:
55
2 (r) (Eq. 51)
Onde b, p e Fr são fatores os quais dependem das características do terreno, e z é a
altura acima do nível do terreno em metros.
O fator S2 também pode ser obtido diretamente através da tabela apresentada na Figura
23.
Figura 23 – Fator S2
Fonte: NBR6123:1998
O fator topográfico S1 leva em consideração o aumento da velocidade do vento na
presença de morros e taludes, mas não considera a diminuição da turbulência com o aumento
da velocidade do vento. A turbulência é importante para a determinação da resposta dinâmica
de estruturas esbeltas, como o caso de algumas torres de telecomunicações. É determinado do
seguinte modo:
56
a) Terreno plano ou fracamente acidentado: S1 = 1,0;
b) Taludes e morros:
- Taludes e morros alongados nos quais pode ser admitido um fluxo de ar
bidimensional soprando no sentido indicado na Figura 24;
- No ponto A (morros) e nos A e C (taludes): S1 = 1,0;
- No ponto B: [S1 é uma função S1(z)]
Figura 24 - Fator topográfico
Fonte: NBR6123:1998
57
4.3 Determinação do coeficiente de arrasto para torres de seção constante
O cálculo segue as recomendações da NBR6123/1988 que determina quais os
coeficientes de arrasto longitudinal devem ser utilizados em torres de seção constante ou
fracamente variável. A norma apresenta uma tabela (Figura 25) com o valor dos coeficientes
de arrasto a serem utilizados de acordo com o tipo de seção da torre, número de Reynolds do
fluxo de vento, relações h/l1 e l1/l2.
Sendo (Vk em m/s; l1 em m)
Estes coeficientes são aplicáveis a corpos de eixo vertical e assentes nos terrenos sobre
uma superfície plana com extensão suficiente (relativamente à seção transversal do corpo)
para originar condições de fluxo semelhante às causados pelo terreno.
58
Figura 25 - Coeficientes de arrasto, Ca, para corpos de seção constante
Fonte: NBR6123:1998
A força de arrasto no trecho considerado é determinada por:
(Eq. 52)
Onde q é a pressão dinâmica do vento dada por:
59
(Eq. 53)
Onde A é a área delimitada pela projeção ortogonal da seção transversal da torre ao
longo de sua altura e Ca é o coeficiente de arrasto. Observa-se que q e Vk variam com a
altitude.
Devem ser consideradas também as forças do vento em estruturas adicionais como:
escadas marinheiro; plataformas; tubulações eestruturas de antenas celulares. A norma
brasileira não especifica como determinar essas forças adicionais, apenas fornece o
coeficiente de arrasto para perfis e tubos de comprimento infinito. As forças do vento são
simplesmente adicionadas sem considerar a proteção de elemento sobre o outro.
60
Capítulo 5 - O Método do
Vento Sintético Segundo Obata (2009) o Método do Vento Sintético se baseia nos conceitos básicos de
estatística e em simulações numéricas, o que atribui a este método umalto grau de
confiabilidade por ser próximo ao vento “real”, por conta disso é utilizado como referência
em trabalhos acadêmicos notáveis como os de Leite (1998), de Carril Junior (2000), de Menin
(2002), de Lazanha (2003) e de outros. Uma aplicação muito conhecida do método é a do
próprio Franco para o cálculo do edifício Centro Empresarial Nações Unidas, localizado na
Marginal do Rio Pinheiros, em São Paulo.
O procedimento aproveita-se da facilidade em utilizar programas de elementos finitos,
como o que foi desenvolvido para esta dissertação e será apresentado noCapítulo 9,
programas esses que permitem a inclusão de séries temporais de carregamento.
A simulação de Monte Carlo no Método do Vento Sintético vale-se da utilização de
uma série de dados retirados de um histórico de vento. Para as pressões flutuantes, executam-
se transformadas, como as de Fourier, para criar amostras representativas do ventobaseado
nassuas propriedades estatísticas. Esse procedimento tem como ponto de partida um espectro
de potência, por exemplo o dado por Davenport (1998), indicado por Franco (1993), do qual
se extrai um espectro reduzido de velocidades e, em seguida, a relação entre a pressão média e
a flutuante é obtida.
Então, a parcela flutuante é decomposta em um número finito de funções harmônicas
proporcionais à frequência natural da estrutura, com ângulos de fase variando aleatoriamente.
Em cada uma dessas parcelas flutuantes é aplicado o esforço do vento, calculado com base no
conceito de correlação espacial, como se cada uma fosse transformada em rajadas
equivalentes atuando em determinado ponto da estrutura. Ou seja, essa aplicação será
realizada ao longo do tempo de duração da rajada e em um ponto desfavorável da estrutura. A
pressão de vento nos demais pontos da estrutura é obtida pelas funções de correlação
horizontal e vertical. Essa lógica parte da ideia de que há partes da torre que não tem
incidência máxima do vento em um determinado instante. Dessas aplicações, obtém-se o
espectro de resposta em que se determinam os valores de deslocamentos máximos de cada
aplicação. Como último passo, a estrutura deve ser solicitada novamente e dessa vez, com a
61
combinação que gerou a resposta mais próxima ao valor característico, em que se identificam
os valores de esforços ou deslocamentos característicos da estrutura em estudo.
5.1 O Método de Monte Carlo
De acordo com Obata (2009), o Método de Monte Carlo baseia-se na simulação de
variáveis aleatórias para resolução de problemas diversos na engenharia, porém, também é
utilizado na previsão de investimentos e prefixações, sendo a maioria das publicações
relacionadas a este método encontradas nas áreas econômica e financeira.
O Método de Monte Carlo é considerado muito simples e flexível para ser aplicado em
problemas de uma ou de diversas variáveis. No entanto, como depende do número de
simulações para reduzir o erro da estimativa da solução procurada, pode tender, na prática, a
um processo muito lento, mesmo em face dos procedimentos computacionais.
O uso desse método de simulações foi empregado, primeiro em 1942, no
desenvolvimento da bomba atômica, em razão da grande complexidade do problema. No
entanto, foi batizado de Monte Carlo por ser a cidade mais famosa pelos seus cassinos e jogos
de roleta, dispositivos que produzem números aleatórios.
Embora existam muitas aplicações para o método de Monte Carlo, uma das mais
intuitivas é o cálculo da área sob uma função não negativa, como apresentado em Thomas
(2002).
Área sob a curva Área de retângulo ≈ Número de pontos contados sob a curva Número
de pontos aleatórios.
62
Figura 27 - Pontos aleatórios sob e sobre a curva
Fonte: Obata (2009)
Portanto, quanto mais pontos forem estudados, melhor será a estimativa, mas é preciso
salientar algumas desvantagens no caso de áreas sob curvas, como a falta de um limite de erro
e a própria dificuldade de definir a coordenada máxima (altura do retângulo), mesmo que se
tenha definido o intervalo das abscissas. No entanto, pode se tornar uma estimativa muito
prática para funções de muitas variáveis ou variáveis complexas.
5.2 Espectro do Vento
Conforme descrito no Método do Vento Sintético, o espectro natural de potência do
vento, S(n), a ser utilizado será o de Davenport, descrito pela seguinte expressão:
(Eq. 54)
com,
(Eq. 55)
63
(Eq. 56)
O espectro de potência S(n) em questão, em escala logarítmica, é mostrado na Figura
26.
Figura 26 –Variação da pressão ao longo de um bocal: dados experimentais
Fonte: Obata (2009)
O valor de X é o proposto por Franco (1993) e também citado por Zhou (2002) como
sendo o valor adotado pela norma canadense NBC-1995, em que se consideraram a facilidade
e a segurança, mas ligeiramente diferente do valor original que tem seu melhor ajuste
experimental na escala de comprimento L igual a 1200, segundo Davenport (1998).
Em relação à velocidade, U0, Franco (1993) estabeleceu uma simplificação, mas nessa
descrição se aplica o procedimento desenvolvido por Carril Junior (2000), em que a
velocidade média do vento varia com a altitude e a categoria do terreno, conforme método
descrito da NBR6123 para cálculo da resposta dinâmica na direção do vento.
Nesse caso, a norma NBR6123/1988 estabelece as pressões flutuantes correspondentes
às rajadas derivadas de medições de velocidades V3, em três segundos e em uma cota z; já a
velocidade média corresponde a medições em 600 segundos, V600. Segundo o método do
“vento sintético”, a razão entre a pressão média (t=600 segundos) e a pressão máxima de
rajada (t = 3 segundos) é:
(Eq. 57)
64
Portanto:
(Eq. 58)
(Eq. 59)
A velocidade V0 é básica do vento, em três segundos, para a cota igual a z=10m em
terreno aberto de categoria II, assim como os valores de b e p são fornecidos pela norma
brasileira, e é dada pela Figura 24 apresentada no Capítulo 4.
A pressão de máxima amplitude, ou de pico, qp define-se por:
(Eq. 60)
A pressão média, ou estática, é obtida por:
(Eq. 61)
Do valor da pressão média, calcula-se a força estática, Fe, atuante em um ponto da
estrutura pela equação (Eq. 62), a seguir:
(Eq. 62)
Em que:
Ca: Coeficiente de arrasto,
A: Área da projeção vertical que contribui para geração da força no ponto considerado.
A pressão flutuante, então, pode ser calculada como segue em 10, para uma pressão
máxima, e, como expresso em 11, para uma pressão efetiva:
65
(Eq. 63)
Portanto 48% da força total representa o valor médio e 52% representa o valor
flutuante dado pelas rajadas.
A força da parte flutuante, em razão das rajadas, é decomposta em funções harmônicas
conforme o espectro de potência das rajadas.Toma-se o espectro de potência das velocidades
de vento de Davenport modificado apresentado anteriormente na equação(Eq. 54).
Para uma região pequena da estrutura de área A, onde se pode considerar as
velocidades do vento perfeitamente correlacionadas, o espectro das pressões flutuantes Sp’
devidas ao vento está relacionado com o espectro da velocidade do vento pela fórmula:
(Eq. 64)
onde,
ρ é a densidade do ar;
Ca é o coeficiente aerodinâmico;
Uz é a velocidade média na altura z.
A seguir, divide-se esse espectro em certo número de faixas de frequências. A proposta
de Franco adota 11 divisões, com a quarta delas centrada na frequência do primeiro modo
natural da estrutura. As demais são centradas em valores de frequência que são obtidos
multiplicando essa frequência por 2 elevado a expoentes fracionários ou inteiros (0.125, 0.25,
0.5, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7). A relação entre as áreas de cada uma dessas faixas e a área total do
espectro dá a amplitude relativa dos harmônicos que se poderiam obter desse diagrama. Cada
uma dessas áreas dá:
(Eq. 65)
66
onde,
Cké a amplitude relativa do harmônico k;
k é o harmônico considerado;
A pressão flutuante total é decomposta em amplitudes para cada harmônico utilizando
as amplitudes calculadas a partir do espectro das velocidades. Sabendo que a amplitude
máxima da pressão flutuante pode ser escrita como uma parcela da pressão total, p'(t) =αp, as
amplitudes dos componentes harmônicos de p’(t) podem ser escritas na forma:
(Eq. 66)
(Eq. 67)
onde,
nré a frequência natural da estrutura em hz;
k é o ângulo de fase correspondente ao harmônico k;
rk é um valor divisor múltiplo de 2 da frequência natural correspondente ao harmônico
k;
A amplitude de cada harmônico de força é dada por:
(Eq. 68)
A construção das séries de carregamentos para a geração dos históricos de carga
baseia-se na superposição dos componentes harmônicos com ângulos de fase indeterminados.
Assim, estes últimos representam a componente aleatória do processo.
Seguindo a correlação de banda estreita com o coeficiente de decaimento C=7, a favor
da segurança, determina-se o comprimento da rajada para cada harmônico:
67
(Eq. 69)
(Eq. 70)
Para cada frequência do vento adota-se uma correlação espacial representada por dois
triângulos com decaimento de 1 a 0 atuando na altura total por:
(Eq. 71)
Para aplicar o conceito de tamanho de rajada, deve-se determinar para cada harmônico
a posição de seu centro na estrutura. Segundo FRANCO (1993), adota-se, a favor da
segurança, o centro de rajada na posição mais desfavorável da estrutura onde a resposta
desejada seja máxima (deslocamentos ou esforços solicitantes). Além disso, na prática, pode-
se adotar o mesmo centro para todas as rajadas elementares.
Seguindo o método proposto por FRANCO (1993) algumas condições já citadas
anteriormente devem ser observadas, como a seguir listadas.
O número de harmônicos deve ser maior ou igual a 11. Quanto maior for m,
mais preciso é o método;
O período de um dos harmônicos deve coincidir com o período fundamental da
estrutura.
A frequência dos das demais funções harmônicas devem ser múltiplos de nr por
um fator de dois.
Segundo FRANCO (1993), para 11 harmônicos, a contribuição do harmônico
ressonante é superestimada por um fator da ordem de 2. Este fato foi verificado pelo referido
autor aumentando-se significativamente o número de harmônicos nas vizinhanças da
ressonância.
68
Sendo r o valor de k ressonante, FRANCO, sugere reduzir à metade o valor do
coeficiente cr. Para garantir que a soma de ck seja unitária, FRANCO sugere, também,
aumentar cr/4 no valor dos coeficientes cr+1 e cr-1, ou seja:
(Eq. 72)
(Eq. 73)
(Eq. 74)
A estrutura é então excitada com as várias séries temporais constituídas pelos m
harmônicos com ângulos de fase pseudo-aleatórios (0≤k≤ 2π). Para cada série temporal de
carregamento, os valores máximos da resposta da estrutura nas coordenadas relevantes são
determinados. FRANCO (1993) sugere que sejam geradas ao menos 20 séries temporais de
carregamento. A resposta característica da estrutura na coordenada de interesse é determinada
estatisticamente. Considerando-se a distribuição de extremos tipo 1 (Gumbel), determina-se a
resposta característica, adotando-se 95% de probabilidade de que o valor da resposta seja
menor que o valor característico.
Para se determinar todos os valores característicos dos esforços solicitantes ou dos
deslocamentos da estrutura, adota-se a série temporal cuja resposta mais se aproxima da
resposta característica determinada estatisticamente.No 0 apresenta-se o exemplo numérico da
torre em estudo.
69
Capítulo 6 - Análise Linear
Estática 6.1 Método dos Elementos Finitos – MEF
A teoria do MEF surgiu em 1955 como aprimoramentoda análise matricial de modelos
reticulados desenvolvida no início da década de 1930 para aindústria aeronáutica britânica,
juntamente com o aumento da disponibilidade de computadores digitais possibilitando
oprojeto de estruturas de modelos contínuos. De acordo com Suzuki (2012),o método foi
concebido a princípio por engenheiros aeronáuticos cuja intenção era realizar análises de
distribuição de tensões em chapas utilizadas naasa de aviões. Em 1962 Gallagher, Padlog e
Bijlaard foram os primeiros a aplicar o MEF em uma análise tridimensional de tensões, nessa
ocasião pode-se passar a considerar também o efeito da temperatura em sólidos de forma
complexa.
Um ano depois Gallagher e Padlog aplicaram o MEF para o cálculo de deslocamento
de vigas e placas considerando o efeito da não linearidade geométrica e a determinação de
cargas críticas.
Até então as primeiras formulações eram feitas de forma direta, pois partia-se de uma
abordagem física e intuitiva e utilizavam-se os princípios dos deslocamentos. Não havia um
critério que garantisse a convergência para a solução exata.
Em 1963 Melosh apresentou o MEF utilizando uma abordagem diferentepartindo da
minimização da grandeza escalar funcional da energia potencial total. Em 1965 Veubuke
apresentou a formulação do método partindo de outras funcionais da mecânica dos sólidos
deformáveis. Porém a base do método já havia sido formulada por Lord Rayleigh em 1870,
Walther Ritz em 1909 e por Richard Courant em 1943, logo percebeu-se então que o MEF é
um caso particular do método de Rayleigh-Ritz. Denominou-se este método como formulação
variacional.
A formulação variacional permitiu a resolução de vários problemas em meios
porosos,de transferência de calor e eletrostáticos, além dos de meio continuo. Em 1967
Zienkiewicz e Cheug publicaram o primeiro livro inteiramente dedicado ao método de
elementos finitos.
70
Após a formulação variacional de Rayleigh-Ritz verifica-se que o método pode ser
formulado diretamente a partir de equações diferenciais e de condições de contorno de
problema continuo com a aplicação do método de Galerkin que é um dos métodos de resíduos
ponderados. Foi denominado de formulação de resíduos. Portanto, as equações algébricas do
MEF podem ser obtidas através de formulações diretas, variacional ou residual.
Hoje a teoria do MEF é a base da tecnologia CAE (Computer Aided Engineering) que
auxilia no projeto e análises de problemas envolvendo estruturas mecânicas (unidimensional,
bidimensional, tridimensional) lineares ou não lineares, dinâmicas ou estáticas, transferência
de calor, eletromagnéticos, etc.
O método é uma forma econômica para obter resultados e realizar a análise desses
problemas, pois dispensa a construção de modelos em escala e a realização de ensaios
custosos. O Método dos Elementos Finitos (MEF), às vezes chamado de Análise de
Elementos Finitos, segundo Hutton (2004) é uma técnica computacional para obter soluções
aproximadas de problemas de valores de contorno, comumente usado na engenharia. Apesar
de obter uma solução aproximada pode-se considerar exata na engenharia, graças aos avanços
tecnológicos alcançados. Os problemas de valor de contorno são equações diferenciais com
uma ou mais variáveis dependentes, estas variáveis precisam satisfazer certas restrições, as
chamadas condições de contorno. Os problemas de valores de contorno também são
conhecidos como problemas de variável de campo. Variáveis de campo são variáveis
dependentes da equação diferencial. E as condições de contorno são variáveis de campo com
valores específicos. Para cada problema físico existe um tipo de variável de campo, alguns
exemplos são o deslocamento, a temperatura, o fluxo de calor entre outros.
6.2 Discretização da Estrutura
Faremos a discretização da estrutura em elementos finitos lineares (em número que
deverá ser definido pelo usuário) que por sua vez terão suas seções transversais discretizadas
em uma malha de elementos finitos, cuja precisão também deverá ser definida previamente
pelo usuário.
Supõe-se que a barra seja dividida em ‘n’ comprimentos iguais.
71
Figura 27–Discretização de uma
barra vertical
Fonte: Cherem (2005)
O valor do comprimento L de cada trecho fica sendo
dado pela equação:
L = L/n (Eq. 75)
O número de pontos criados (itotal) é o número de
divisões acrescido de 1, conforme equação:
itotal = n+1 (Eq. 76)
A posição (z) de cada ponto pode ser escrita conforme
a equação:
zi = (i – 1) ∙ L (Eq. 77)
onde, i = 1, 2, 3, 4, .., itotal.
Para esta dissertação, será adotado um valor de n = 6, provocando itotal = 7, ou seja, 7
seções transversais a serem analisadas ao longo do comprimento. De qualquer modo, por se
tratar de integração numérica, quanto mais pontos existirem ao longo do comprimento, mais a
solução melhora e se aproxima da solução real.
6.2.1 Matriz de Rigidez dos Elementos
O calculo matricial é a forma pela qual o MEF trabalha. E por essa razão foi adotado e
popularizou-se no meio computacional. Amatriz de rigidez é a matriz de maior importância
dentro do método. É nela que estão embutidas as principais informações para a solução do
problema, como tipo de elemento finito usado, geometria, propriedade dos materiais, conexão
72
entre os elementos, ou seja, a matriz de rigidez traduz o comportamento do sistema.
Conformeo estimulo externo atuante sobre o sistema a ser analisado, a matriz de rigidez
mostrará como o sistema reagirá. Os estímulos externos são diversos, para cada tipo de
problema pode ser empregado um ou mais tipo, alguns exemplos são: carregamento, força,
fluxo de calor, etc. O uso do termo rigidez é bem apropriado, pois a matriz mostrará também
o quanto é difícil ou fácil tirar o sistema de seu estado inicial, de forma paralela pode-se
comparar a matriz de rigidez ao módulo de rigidez da mola, quanto maior seu valor mais
difícil é para comprimi-la ou tracioná-la e quanto menor o valor mais fácil é paradeformá-la.
O uso da mola nestas analogias não é uma coincidência, ela é utilizada como forma
comparativa nos estudos mais básicos de MEF e Resistência dos Materiais.
6.2.1.1 Elemento mola Linear
Este é o elemento mais simples e comumente usado para introduzir no estudo do
MEF. A mola linear como um mero dispositivo mecânico é capaz de suportar esforços axiais
somente, e sua deformação, quando submetido a tração ou compressão, é diretamente
proporcional a força aplicada, representada pela equação (Eq. 78).
(Eq. 78)
onde F é a força, k é a constante de proporcionalidade conhecida como constante de
rigidez da mola e δ é a deformação da mola.
Figura 28 - Elemento mola (adaptado de HUTTON 1 st ed. p. 20)
Fonte: Suzuki (2012)
73
A formulação do elemento mola é feito por meio direto, sem necessidade de
demonstração matemáticas ou cálculos complexos.
Os elementos conectam-se pelos nós i e j estes podem sofrer deslocamento ui e
ujcausadas pelas forças fi e fj respectivamente. Por conveniência é arbitrado a direção do eixo
coordenado x coincidente com a deformação axial do elemento. Por enquanto será tratado
somente o sistema de coordenadas unidimensional.
As equações a seguir descrevem o comportamento do sistema:
(Eq. 79)
Substituindo (Eq. 79) em (Eq. 78):
(Eq. 80)
Para o equilíbrio reescrevendo a equação (Eq. 80) para
termos das forças em cada nó:
(Eq. 81)
(Eq. 82)
As equações (Eq. 81) e (Eq. 82) formam um sistema de equações que escritas na forma
matricial será:
(Eq. 83)
De forma simplificada será como:
(Eq. 84)
74
onde:
(Eq. 85)
onde [ke] representa a matriz de rigidez do sistema, {u} é o vetor de deslocamentos
nodais e {F} é o vetor com as forças nodais do elemento.
A matriz de rigidez da equação (Eq. 85) é de ordem 2x2 significa que o elemento
possui 2deslocamentos nodais ou 2 graus de liberdade.
Um sistema ou elemento que possui N graus de liberdade corresponderá a uma matriz
de rigidez quadrada de ordem NxN.
Esta foi a representação de um único elemento e para o caso em que é feita a
representação de um elemento isoladamente do resto do sistema são usados os termos
“sistema local” ou “do elemento”. Por exemplo, [ e] é a matriz de rigidez do elemento ou
matriz de rigidez do sistema local, isso ocorre também com o sistema de coordenadas existirá
um sistema de coordenadas local para cada elemento.
A solução do problema reduz-se a um simples calculo matricial do tipo:
(Eq. 86)
O elemento mola formulado isoladamente não possui solução, seria necessário
arestrição do seu movimento em um dos nós ou conectado a outro elemento de um sistema
maior. Ao tentar resolver este sistema matricial será encontrado um sistema linear compatível
indeterminado. E como é necessária uma solução em específico é necessário restringir o
movimento em um ou mais nós. E essas restrições são as chamadas condições de contorno.
Até o momento foi analisado o elemento individualmente do sistema global. Porém para
encontrar a solução do sistema global é necessário relacionar elemento a outro, para isso é
necessário montar o sistema de equações matricial global que será chamado de sistema global.
75
6.2.1.2 Elemento Barra Elástica
O elemento barra elástica é muito similar à mola, porém possui uma formulação mais
geral, também possui mais aplicações, como estruturas treliçadas, pórticos bidimensionais e
tridimensionais. Para fazer a formulação deste elemento finito é necessário realizar algumas
considerações:
- a barra é reta;
- o material obedece à lei de Hooke;
- barras prismáticas;
- as forças aplicadas ocorrem somente nas suas extremidades;
- sofre somente esforços axiais, momento e flexão;
Considere-se o problema da determinação da solução exata do campo de
deslocamentos e dos esforços solicitantes em uma barra prismática com deslocamentos
impostos nas suas extremidades.
Considere-se, inicialmente, a situação na Figura 29, que também admite a
possibilidade de carregamentos distribuídos aplicados à barra.
(Eq. 87)
76
Figura 29 - Elemento barra elástica
Fonte: Mazzili, André, Bucalem, Cifú (2010)
Isolando-se um elemento de comprimento infinitesimal e impondo-se equilíbrio entre
esforços solicitantes e carregamentos, tem-se a situação indicada na Figura 30.
Do equilíbrio de forças na direção longitudinal, vem:
(Eq. 88)
Do equilíbrio de forças na direção transversal, vem:
(Eq. 89)
77
Figura 30 – Equilíbrio de esforços no elemento infinitesimal de barra elástica
Fonte: Mazzili, André, Bucalem, Cifú (2010)
Do equilíbrio de momentos, vem:
(Eq. 90)
Combinando-se (Eq. 89)e (Eq. 90), resulta:
(Eq. 91)
Estuda-se, agora, a relação entre deslocamentos e deformação longitudinal. Tome-se,
para isto, a Figura 31 que indica os deslocamentos (u,w) de um ponto P genérico, da seção S,
que na barra deformada corresponde ao ponto P’, da seção S’, supondo válida a hipótese de
Navier.
78
Figura 31 – Hipótese de Navier
Fonte: Mazzili, André, Bucalem, Cifú (2010)
Designando por e os deslocamentos do baricentro da seção S, os deslocamentos
do ponto P serão:
(Eq. 92)
(Eq. 93)
Recorda-se a definição de deslocamento longitudinal
(Eq. 94)
Para se escrever, a partir de (Eq. 94), para a deformação de uma fibra infinitesimal em
P:
(Eq. 95)
Esta expressão traduz a Lei de Navier (distribuição plana para ε)
79
Para elasticidade linear, a Lei de Hooke estabelece a relação entre tensão e
deformação:
(Eq. 96)
Sendo E o módulo de elasticidade longitudinal e a tensão normal. Considerando-se
(Eq. 96) em (Eq. 97), chega-se a:
(Eq. 97)
Que traduz a lei de Bernoulli (distribuição plana de tensões).
Recordando-se, agora, algumas relações entre esforços solicitantes e tensões, e
respeitando-se a convenção clássica de sinais:
(Eq. 98)
(Eq. 99)
Considerando-se (Eq. 98), obtêm-se:
(Eq. 100)
(Eq. 101)
A força cortante pode ser calculada usando-se (Eq. 101) e (Eq. 90):
(Eq. 102)
80
De (Eq. 88) e (Eq. 100), obtém-se a equação que permite determinar os deslocamentos
longitudinais por integração:
(Eq. 103)
E, de (Eq. 91) e (Eq. 101), a que permite determinar os deslocamentos transversais por
integração:
(Eq. 104)
Note-se que o problema da determinação do campo de deslocamentos é desacoplado.
Para determinar os coeficientes da matriz de rigidez do elemento, tem-se interesse na
solução do problema com deslocamentos impostos nas extremidades da barra, porém sem
carregamentos (qx=0 e qx=0), ou seja:
(Eq. 105)
(Eq. 106)
A solução de (Eq. 105), já impondo respeito às condições de contorno da extremidade,
pode ser escrita na forma:
(Eq. 107)
As funções
81
(Eq. 108)
(Eq. 109)
Permitem determinar, por interpolação, mas de forma exata, o deslocamento em uma
seção genérica, uma vez conhecidos os deslocamentos nas extremidades e . Note-se que
a força normal também pode ser calculada facilmente a partir de (Eq. 105):
(Eq. 110)
A solução de (Eq. 106), já impondo respeito às condições de extremidade pode ser
escrita na forma:
(Eq. 111)
As funções:
(Eq. 112)
(Eq. 113)
(Eq. 114)
82
(Eq. 115)
Permitem determinar, por interpolação, mas de forma exata, o deslocamento em
uma seção genérica, uma vez conhecidos os deslocamentos nas extremidades , , e
.
Note-se que o momento fletor e a força cortante também podem ser calculados
facilmente a partir de (Eq. 101) e (Eq. 102). Em particular, nas extremidades, obtêm-se os
valores:
(Eq. 116)
(Eq. 117)
(Eq. 118)
Os coeficientes da matriz de rigidez do elemento de barra são obtidos aplicando-se,
separadamente, deslocamentos unitários nos 3 graus de liberdade de cada um dos do elemento
um de cada vez nas equações de esforços solicitantes acima apresentados. Ou seja:
(Eq. 119)
(Eq. 120)
(Eq. 121)
(Eq. 122)
(Eq. 123)
83
(Eq. 124)
Utilizando a seguinte correlação entre numeração de graus de liberdade e
deslocamentos nodais:
(Eq. 125)
(Eq. 126)
(Eq. 127)
(Eq. 128)
(Eq. 129)
(Eq. 130)
Figura 32 - Numeração dos graus de liberdade nodais do elemento barra
Fonte: Mazzili, André, Bucalem, Cifú (2010)
Da aplicação de (Eq. 119) temos:
(Eq. 131)
(Eq. 132)
(Eq. 133)
84
(Eq. 134)
(Eq. 135)
(Eq. 136)
Da aplicação de (Eq. 120) temos:
(Eq. 137)
(Eq. 138)
(Eq. 139)
(Eq. 140)
(Eq. 141)
(Eq. 142)
Da aplicação de (Eq. 121) temos:
(Eq. 143)
(Eq. 144)
(Eq. 145)
(Eq. 146)
(Eq. 147)
(Eq. 148)
Da aplicação de (Eq. 122) temos:
(Eq. 149)
(Eq. 150)
(Eq. 151)
(Eq. 152)
85
(Eq. 153)
(Eq. 154)
Da aplicação de (Eq. 123) temos:
(Eq. 155)
(Eq. 156)
(Eq. 157)
(Eq. 158)
(Eq. 159)
(Eq. 160)
Da aplicação de(Eq. 124) temos:
(Eq. 161)
(Eq. 162)
(Eq. 163)
(Eq. 164)
(Eq. 165)
(Eq. 166)
Na forma matricial temas a matriz de rigidez [k] de cada elemento é dada por:
86
6.2.2 Matriz de Rigidez da Estrutura
A matriz de rigidez da estrutura é obtida a partir das matrizes de rigidez das barras que
a compõe.
Considere-se uma parte de uma estrutura de barras qualquer, como esquematizada na
Figura 33para a qual os graus de liberdade, as barras e os nós estão numerados e as barras
orientadas.
Figura 33 - Parte de uma estrutura genérica de barras
Fonte: Mazzili, André, Bucalem, Cifú (2010)
87
Seja g um nó arbitrariamente escolhido que será utilizado como representativo de um
nó genérico da estrutura. Na Figura 34 apresentam-se as ações internas e externas que devem
ser consideradas para estabelecer-se o equilíbrio do nó g.
Figura 34 - Equilíbrio do nó g
Fonte: Mazzili, André, Bucalem, Cifú (2010)
Impondo-se o equilíbrio do nó g, obtém-se:
(Eq. 167)
(Eq. 168)
(Eq. 169)
As equações (Eq. 167) – (Eq. 169) evidenciam que as forças externas em um nó devem
ser equilibradas pelas forças de extremidade das barras que convergem para o nó.
Com o objetivo de facilitar a contabilidade entre a numeração dos graus de liberdade,
que é local para as barras e global para a estrutura, define-se para uma barra genérica (m) a
88
matriz coluna {F(m)
}, N x 1, onde N é o número total de graus de liberdade da estrutura. AS
forças nodais são “colocadas” em {F(m)
} nas posições que correspondem à numeração global
dos graus de liberdade da barra (m). As demais posições de {F(m)
} são definidas como sendo
nulas.
Tendo-se definido {F(m)
} para todas as barras da estrutura, pode-se escrever
simultaneamente o equilíbrio de todos os graus de liberdade da estrutura considerando a
equação:
(Eq. 170)
Onde nb é o número total de barras da estrutura. De fato, considerando, por exemplo, o
grau de liberdade i, a equação (Eq. 170) estabelece:
(Eq. 171)
Já que somente as barras (a), (b) e (c) têm entradas não nulas para a posição i. Nota-se
que essas barras são as únicas que possuem graus de liberdade de extremidade que, na
numeração global, correspondem ao grau de liberdade i.
Utilizando a relação entre numeração global e local, conforme indica a Figura 34,
pode-se escrever:
(Eq. 172)
Essas relações acima mostram que a equação (Eq. 171) é idêntica à equação (Eq. 167),
mostrando que, de fato, a equação (Eq. 170) traduz o equilíbrio simultaneamente para todos
os graus de liberdade.
Analogamente à definição de {F(m)
}, seja {U(m)
} a matriz coluna N x 1 que coleciona
os deslocamentos da barra (m) posicionados segundo a numeração global dos graus de
liberdade, sendo as demais posições definidas como nulas. Define-se ainda a matriz [K(m)
], N
x N tal que:
89
(Eq. 173)
Sendo que as únicas entradas não nulas de [K(m)
] são aquelas associadas aos graus de
liberdade da barra (m). Essas entradas não nulas são definidas de forma a reproduzir a
equação:
(Eq. 174)
Portanto, todas as entradas não nulas de [K(m)
] podem ser obtidas a partir das entradas
de [k(m)
] seguindo-se a correspondência entre numeração local e global dos graus de
liberdade. Por exemplo, para a barra (b):
(Eq. 175)
(Eq. 176)
(Eq. 177)
E assim sucessivamente.
Pode-se agora apresentar a importante dedução que se segue. Substituindo (Eq. 172)
em (Eq. 170) obtém-se
(Eq. 178)
90
Por compatibilidade, considerando que os deslocamentos nodais da barra (m) são
correspondentes deslocamentos nodais da estrutura, pode-se escrever:
(Eq. 179)
Que substituindo em (Eq. 173) leva à:
(Eq. 180)
E, portanto
(Eq. 181)
Com
(Eq. 182)
Onde [K] é obviamente a matriz de rigidez da estrutura. Observa-se que a equação (Eq.
181) representa simultaneamente, para todos os graus de liberdade, as condições de equilíbrio
e compatibilidade.
A equação (Eq. 182) estabelece formalmente como obter os coeficientes da matriz de
rigidez da estrutura [K] a partir da matriz de barras [K(m)
].
91
6.3 Método dos Deslocamentos
6.3.1 Equacionamento da Estrutura com o Sistema Completo
De acordo com Mazzil., André, Bucalem, Cifú (2010), o equacionamento da estrutura
por Análise Matricial se divide em duas partes, coerentemente com a subdivisão da matriz de
rigidez. No caso dos graus de liberdade livres terem sido numerados antes, a primeira parte do
equacionamento se refere aos deslocamentos desconhecidos {Ul}, com cargas aplicadas nos
nós como carregamento {Rl}; a segunda parte se refere aos graus de liberdade onde se
conhecem os deslocamentos {Ub} (zero, ou um recalque de apoio), e não se sabe qual é o
carregamento {Rb} (reações de apoio). A primeira parte é um sistema linear; a segunda, uma
expressão mais simples, em que basta efetuar uma multiplicação de uma matriz por um vetor.
(Eq. 183)
A primeira parte do equacionamento, referente aos graus livres, resulta:
(Eq. 184)
A segunda parte, relacionada com os graus bloqueados, fica
(Eq. 185)
6.3.2 Carregamento Fora dos Nós
Os efeitos de carregamentos fora dos nós em uma estrutura, quanto aos deslocamentos
nodais e às reações de apoio, podem ser simulados com a aplicação das reações de
engastamento perfeito nas extremidades das barras, com sinal invertido, em vez dos
carregamentos não-nodais. Estes esforços de engastamento perfeito serão representados pelo
vetor {R}0. A superposição ilustrada na Figura 35 facilita o entendimento desta afirmação.
92
Figura 35 - Esforços nodais equivalentes a carregamento fora dos nós. O vetor {R}0 representa os esforços
de engastamento perfeito devidos ao carregamento nos vãos
Fonte: Mazzili, André, Bucalem, Cifú (2010)
O vetor {R}0 representa os esforços de engastamento perfeito devidos ao carregamento
nos vãos. Observando a figura, que representa um caso em que a estrutura está solicitada
apenas por carregamentos fora dos nós, fica também fácil entender que os esforços
solicitantes nas barras decorrem da superposição dos dois casos, devendo para seu cálculo
serem aplicados às barras, além dos esforços , calculados pelo Método dos
Deslocamentos (decorrentes da aplicação à estrutura de - {R}0), os esforços de engastamento
perfeito de uma barra decorre da transformação do seu vetor pela relação
(Eq. 186)
, por sua vez, é de muito fácil obtenção através da análise de cada elemento como
viga simples hiperestática.
No caso de serem aplicados à estrutura, além dos esforços não-nodais, também
carregamentos nodais {R}, basta lembrar da superposição de efeitos e adicionar sua influência
na estrutura. São carregamentos neste caso os vetores {R} e - {R}0. O equacionamento da
estrutura, portanto, resulta:
93
(Eq. 187)
De onde se obtêm os deslocamentos dos nós {U} e, consequentemente, e .
Quanto aos esforços nas extremidades de barra, escreve-se:
(Eq. 188)
94
Capítulo 7 - Análise NãoLinear
Estática 7.1 Método P-Delta
Anão linearidade geométricaé aquela causada pela mudança da geometria da estrutura,
ou seja, mudança da posição da estrutura no espaço (PINTO, 1997). Quando pontos da
estrutura mudamse deslocam com magnitudes diferentes diz se que esta estruturase deformou,
como é o caso da estruturada Figura 36, em que uma barra vertical engastada na base e livre
no topo, ao estar submetida a uma ação horizontal no topo, muda de configuração, indo para a
posição da linha cheia.
Figura 36 - Barra vertical com mudança de posição no espaço
Fonte: Pinto (1997)
Os efeitos da não linearidade geométrica são observadosquando se analisa o equilíbrio
para a posição deformada, ou seja, quando se realiza a análise com a barra na posição da linha
cheia (Figura 36).
Para que os conceitos da não linearidade geométrica fiquem mais claros, analisa-se a
barra vertical de comprimento le, mostrada na Figura 37, submetida às forças verticais (FV) e
horizontal (FH).
95
Figura 37 - Barra vertical submetida a ações verticais e horizontais
Fonte: Pinto (1997)
Para que tal estrutura permaneça em equilíbrio na posição indeformada, ou seja, na
posição inicial, surgem reações na base da barra, como mostrado na Figura 38, sendo uma
delas o momento fletor de primeira ordem M1, que recebe este nome (de primeira ordem) pelo
fato de ter sido obtido na análise do equilíbrio da barra na posição indeformada (inicial).
Agora, se o equilíbrio for considerado na posição deformada, ou seja, na posição
deslocada de um valor u devido à ação horizontal, será gerado um acréscimo de momento na
base igual a fazendo com que o valor do momento de primeira ordem M1 aumente,
resultando o momento de 1ª ordem mais 2ª ordem, chamado M2, que pode ser visto na Figura
38.
96
Figura 38 - Reações na barra vertical deformada
Fonte: Pinto (1997)
O acréscimo de momento é um efeito de segunda ordem, pois foi um esforço que
surgiu com a análise do equilíbrio da estrutura na sua posição deformada. Portanto, somente
se esse esforço for levado em conta na análise é que a não linearidade geométrica da estrutura
estará sendo considerada.
Os esforços de primeira e de segunda ordem global podem ser obtidos por meio do
processo P-Delta. Porém, como ele não é um parâmetro de estabilidade, a avaliação da
estabilidade global é realizada após a análise. O P-Delta nada mais é do que um processo de
análise não linear geométrica.
Segundo Lopes (2005), P-Delta é um efeito que ocorre em qualquer estrutura onde os
elementos estão submetidos a forças axiais, ou seja, forças na direção longitudinal da peça.
Pode-se dizer que é um processo que relaciona a carga axial (P) com o deslocamento
horizontal (∆). Na literatura, há diversos métodos que levam em conta este processo, tais
como: Método de Dois Ciclos Iterativos, Método da Carga Lateral Fictícia, Método da Carga
de Gravidade Iterativa e Método da Rigidez Negativa.
97
Neste trabalho será dada ênfase apenas ao Método da Carga Lateral Fictícia, por ele ser
o mais conhecido entre todos.
7.1.1 Método da Carga Lateral Fictícia
Segundo Moncayo (2011) este método também pode ser chamado de P-∆ iterativo ou,
em inglês, de “Iterative Method”. Após a análise de primeira ordem, iniciam-se as iterações
até que se chegue numa posição de equilíbrio, como pode ser visto na Figura 39.
Figura 39 - Iterações do processo P-delta
Fonte: Pinto (1997)
A cada iteração obtém-se uma nova força lateral fictícia e, com essa nova força, volta-
se a realizar a mesma análise, até atingir a posição de equilíbrio.
Como foi visto na Figura 39, o processo P-Delta foi mostrado para uma barra simples
na vertical, engastada na base e livre no topo. Porém, esse processo pode ser aplicado a
edifícios de múltiplos andares, como mostra a Figura 40.
98
Figura 40 - Cargas fictícias (H') em edifícios de múltiplos andares
Fonte: Pinto (1997)
Para quem está estudando o processo P-Delta pela primeira vez, a Figura 40 pode
parecer um pouco confusa. Portanto, para explicar melhor, serão consideradas algumas etapas,
sendo a primeira a de aplicação de carregamento vertical, surgindo, logo após, os esforços
horizontais fictícios (cortante fictícia, V’, e a carga lateral fictícia, H’).
Os esforços cortantes fictícios podem ser obtidos pela seguinte expressão:
(Eq. 189)
99
E a carga lateral fictícia de um andar (i) pode ser obtida subtraindo-se a cortante
fictícia desse andar (i) do valor relativo ao andar inferior (i – 1), ou seja:
(Eq. 190)
Na Figura 41, pode-se observar a face indeformada do edifício e a facedeformada,
sendo esta representada pela linha mais escura.
Figura 41 - Deslocamentos dos pavimentos
Fonte: Pinto (1997)
Na Figura 42 são indicados os deslocamentos horizontais entre os pavimentos.
Figura 42 - Deslocamentos horizontais entre os pavimentos
100
Fonte: Pinto (1997)
Com a aplicação das cargas verticais, como mostrado na Figura 43-(a), surgirão
momentos, por causa dos deslocamentos horizontais entre os pavimentos.
Por exemplo, utilizando-se os deslocamentos entre os pavimentos da Figura 42-(b),
ter-se-ia o momento igual a . Dividindo-se cada parcela pela respectiva altura
hi, obtém-se o binário de forças cortantes fictícias, o qual é representado pela expressão (Eq.
189). Subtraindo-se a força cortante de , mostrada na Figura 43-(b), obtém-se a
expressão (Eq. 190), anteriormente mostrada, para a carga lateral fictícia .
101
Figura 43 - Esquema de forças verticais (a) e horizontais fictícias (b)
Fonte: Pinto (1997)
Vale ressaltar que na Figura 43-(b) ainda estão aplicadas as cargas verticais, que não
foram indicadas, para permitir melhor visualização das cargas horizontais fictícias.
Conforme sugerido por Silva e Brasil (2005)para obtenção do momento final de
segunda ordem considera-se a não linearidade geométrica escrevendo o acréscimo de
momento na posição de equilíbrio deformada, considerando as excentricidades, como pode
ser visto na equação que descreve o método P-Δ (P-delta) a seguir:
i(j) (j) i(j) i(j 1) i(j) i(j 1) l(j) (Eq. 191)
Onde,
Mki é o valor do momento característico no nó i,
Nki é o valor da força normal característica no nó i,
δi é o valor do deslocamento no nó i,
102
j é a iteração,
7.2 Integração da Linha Elástica
Após a consideração da não linearidade geométrica pelo método P-Delta, haverá
alteração dos esforços solicitantes de cálculo e, se os esforços se alteram, os deslocamentos
também se alterame por sua vez alteram novamente os esforços solicitantes. Uma referência
circular é criada, onde o deslocamento depende do esforço e o esforço depende do
deslocamento.
O método da integração da linha elástica pode ser aplicado para obter os
deslocamentos ao longo da estrutura após determinação dos esforços de 2ª ordem por sua vez
obtidos pela aplicação do método P-delta descrito anteriormente. A equação a seguir ilustra a
equação diferencial da linha elástica para um pilar engastado na base, conforme a Figura 44.
Figura 44 – Pilar engastado na base
Fonte: Silva (2017)
(Eq. 192)
A partir da integração numérica pelo Método de Simpson da equação da linha elástica
ao longo de toda a peça, determinam-se os deslocamentos e parte-se para nova determinação
dos esforços solicitantes de segunda-ordem e novamente calculam-se os deslocamentos de
segunda ordem sucessivamente até atingir tolerância aceitável.
103
7.3 Determinação da Rigidez Efetiva
Após determinação dos esforços de segunda ordem obtidos da realização das etapas
descritas anteriormente obtêm-se as deformações lineares específicas das seções de cada
segmento da torre conforme Figura 45.
Figura 45 – Deformações mecânicas provenientes dos esforços solicitante na seção
Fonte: Cherem (2005)
A deformação linear específica total, respeitando a hipótese de manutenção da seção
plana fica caracterizada pela seguinte equação:
tot 0 (Eq. 193)
onde,
tot é a deformação linear específica total de uma fibra qualquer,
0 é a deformação linear do centro geométrico da seção transversal,
é a curvatura da seção transversal,
y é a distância do centro geométrico a fibra em análise.
104
Supõe-se que cada uma das seções transversais, de formato geométrico qualquer, serão
discretizadas em uma malha de elementos retangulares, conforme a Figura 46, na qual se
imagina que cada elemento seja representado por sua deformação mecânica (), definida no
centro geométrico do elemento. As barras de aço são representadas também pela posição de
seu centro geométrico.
Conhecida a deformação de cada elemento, a tensão do mesmo pode ser obtida
facilmente pelas relações constitutivas, sempre observando o comportamento mecânico de
cada um dos materiais e os limites de tensão para concreto e armadura anteriormente
apresentados no 0 e 0 respectivamente.
Figura 46 – Seção Transversal genérica discretizada em elementos de área
Fonte: Cherem (2005)
Os esforços internos solicitantes são calculados, em relação ao centro geométrico da
seção bruta de concreto, pelas seguintes equações:
d
nc
i 1
ci ci
ns
j 1
sj sj (Eq. 194)
d
nc
i 1
ci, ci ci
ns
j 1
sj, sj sj (Eq. 195)
105
onde,
nc é o número de elementos de concreto da malha discretizada,
ns é o número de barras de aço na seção transversal,
ci é a tensão no elemento “i” de concreto,
sj é a tensão na barra “j” de aço,
Aci é a área do elemento “i’ de concreto,
Asj é a área da barra “j” de aço.
De acordo com Ceccon (2008), a rigidez efetiva (ou rigidez da seção fissurada) da
seção de concreto armado pode ser determinada a partir dos esforços internos e da
configuração de equilíbrio da seção (determinação da linha neutra). Para tantodetermina-se a
inércia de cada seção“s” fissurada(I2s) a partir da somatória das contribuições de momentos de
inércia em relação ao centro geométrico da peça de cada um dos elementos retangulares de de
concreto que resistiram a ação do momento fletor, somandocom os momentos de inércia das
barras de armadura que continuarão contribuindo com a rigidez da seção. Com esta nova
inércia efetiva, obtém-se o produto de rigidez efetivo das seções ao longo da altura da torre e,
portanto, nova matriz de rigidez da estrutura.
Assim,
(Eq. 196)
onde,
é o momento de inércia total da seção “s” considerada após deformação da seção
é o momento de inércia do elemento “i” de concreto não fissurado
é o momento de inércia da barra “j” na seção transversal
106
Com a rigidez efetiva calculam-se novamente os deslocamentos de segunda ordem e
assim sucessivamente repetem-se as etapas citadas anteriormente gerando uma referência
circular onde a curvatura depende dos esforços, que dependem dos deslocamentos que por sua
vez voltam a depender da curvatura.
A saída para a referência circular criada é fazer iterações sucessivas, quantas vezes
forem necessárias, até que em uma determinada iteração, os deslocamentos δi não se alterem
significativamente (além de um valor definido pelo usuário como tolerância) em relação aos
valores obtidos na iteração anterior, garantindo a convergência da solução. Se após um grande
número de iterações a convergência não for obtida, pode-se estabelecer problema de
equilíbrio, caracterizando instabilidade da peça.
7.3.1 Método do Gradiente Reduzido Generalizado
Após apresentar o método para cálculo da Rigidez Efetiva descrito anteriormente,
pudemos perceber o quão confiável e precisa será nossa solução não linear. No entanto, para
determinar a configuração de equilíbrio anteriormente citada, é necessário encontrar um par
de deformação (0) e curvatura ( ) que cause determinada distribuição de tensões na seção
transversal de tal forma que os esforços internos d e d se igualem aos esforços
solicitantes d e d. Sabemos que este par é único, porém de difícil determinação sem auxílio
de uma ferramenta computacional. Portanto para isso utilizaremos o módulo “Solver”
presente no software Excel.
Este módulo se utiliza de um algoritmo de otimização para alcançar um ou mais
valores objetivo, sujeito a restrições nãolineares, como é o caso que estudamos. Impondo-se
as restrições de deformações máximas do concreto e da armadura além da restrição de igualar
esforços solicitantes com esforços internos, podemos alcançar com suficiente precisão a
posição da linha neutra de nossa seção, e a partir dela extrair valiosas informações como o
momento de inércia da seção fissurada que apresentamos no tópico anterior.
A seguir apresenta-se um pouco das características, descritas por Sacoman (2012),
dessa poderosa ferramenta de otimização presente no módulo “Solver” chamada de “Método
do Gradiente eduzido Generalizado” ou apenas “Método do GRG”.
Considera-se o problema geral de programação não linear escrito sob a seguinte forma:
maximizar f(x) sujeito a
g(x) = 0 e
107
a ≤ x ≤ b
Definidos como x, a, b ∈Rn, f: R
n→ , g:
n→
m e P = {x | a ≤ x ≤ b} ⊂ R
n .
Esta formulação é geral e pode representar todos os problemas de programação
nãolinear. Isto é possível, porque as restrições de desigualdade sempre podem ser
transformadas em restrições de igualdade pela introdução de variáveis de folga. Além disto,
em problemas de minimização, basta que se utilize a relação mín{f(x)} = -máx{-f(x)}.
O algoritmo, descrito a seguir, é baseado no Método do Gradiente Reduzido
Generalizado e a notação utilizada é apresentada no Tabela 1.
Tabela 1 – Notação utilizada
Nome Notação Básico Não básico
Variáveis
Gradiente
Jacobiano
Direção
x
∂f/∂x
∂g/∂x
d
xB
∂f/∂xB
∂g/∂xB
dB
xN
∂f/∂xN
∂g/∂xN
dN
B: conjunto dos índices das variáveis básicas; |B|=m
N: conjunto dos índices das variáveis não-básicas; |N|=n-m
xk, d
k são os valores de x e d na k-ésima iteração
Passo 1: Encontrar uma primeira solução viável x0 . Considerar x
k a k-ésima solução
encontrada pelo algoritmo.
Passo 2: Calcular o jacobiano ∂g/∂xk no ponto x
k e separar as variáveis em
∈ e
∈ , de forma a satisfazer as hipóteses de não-degenerescência:
H1) xi∈ P, ∀ i ∈ B;
H2) ∂g/∂xBk é não-singular.
Passo 3: Calcular a direção de deslocamento das variáveis não-básicas, como segue:
a) calcular os multiplicadores de Lagrange
108
b) calcular o gradiente reduzido
c) calcular o gradiente reduzido projetado∀ ∈
Se pN = 0, PARAR; senão, fazer dN = pN.
Passo 4: Considerar a condição de otimalidade g′.d = 0 e calcular a direção de
deslocamento das variáveis básicas. Então,
e, a partir da relação, calcular
dB.
Passo 5: Melhorar a solução, como segue:
a) encontrar um valor positivo θ que maximize f(x+θ.d)
b) deslocar as variáveis, tanto não-básicas como básicas, segundo as direções
calculadas, ou seja, calcular e
, encontrando
que, em geral, não é viável. Então,
c) resolver um sistema de m equações não-lineares a m incógnitas, para modificação
de suas variáveis básicas , aplicando um método pseudo-Newton:
• calcular, iterativamente, a partir de , a solução
• considerar a solução encontrada e o ponto obtido pode
ser tal que:
• se ∈ , mas f(x k+1
) < f(xk), tentar encontrar um novo ponto,
reduzindo θ;
• se ∈ , mas f(x k+1
) > f(xk), tentar encontrar uma solução melhor,
aumentando θ;
• se , efetuar uma troca de base.
Retornar ao Passo 2.
109
Capítulo 8 - Análise Dinâmica A primeira vista a resposta de vibração de um sistema com n graus de liberdade pode
parecer algo muitocomplexo devido à natureza acoplada do sistema, mas, conhecendo bem a
resposta de vibração livre e os conceitos deum sistema massa-mola-amortecedor, fica mais
simples porque os métodos de solução para o caso de sistemas comn graus de liberdade
caminham no sentido de desacoplar o problema e fazer a análise paracada grau de liberdade
individualmente.
As principais propriedades de um sistema são a massa, inércia, rigidez e
amortecimento. As propriedades de massa, inércia e rigidez podem ser facilmente
determinadas pelo tipo de material e geometria do sistema. O amortecimento é uma grandeza
que só pode ser quantificada.
Utilizando-se as transformadas de Laplace o sistema acoplado pode ser resolvido para
uma coordenada mais simples qualquer e analisado diretamente no domínio da frequência.
A Figura 47 mostra o diagrama da metodologia para a análise de sistemas com n graus
de liberdade utilizando-se os modos normais de vibração para estruturas pouco amortecidas.
Inicialmente são montadas as equações acopladas de movimento e resolvidas para o problema
de autovalor (frequências naturais do sistema) e autovetores (modos de vibração).
110
Figura 47 - Diagrama da Metodologia
Fonte: Ueta (2015)
Conforme sugere Ueta (2015), para resolver as respostas no domínio da frequência e
do tempo, é necessário transformar o sistema de coordenadas do modelo para um novo
sistema de coordenadas, o sistema modal ou de coordenadas principais (deslocamentos
horizontais no caso deste trabalho), operando nas equações originais com a matriz de
autovetores. As equações acopladas não amortecidas originais de movimento são
transformadas em equações desacopladas não amortecidas para o sistema de coordenadas
modais. Cada equação desacoplada representa o movimento de um sistema com apenas um
grau de liberdade, cuja solução é de relativa facilidade de obtenção.
Apenas na etapa de cálculo da resposta ao carregamento dinâmico é que o
amortecimento proporcional é aplicado. É trivial encontrar as respostas dos modos de
vibração para as equações desacopladas considerando-se as condições de excitação, porque
cada equação é a equação de movimento de um sistema com um único grau de liberdade. As
respostas desejadas são então transformadas novamente para o sistema de coordenadas físicas,
111
de novo utilizando-se a matriz de autovetores para a conversão, obtendo-se a solução nas
coordenadas físicas originais.
A sequência da análise modal de um sistema complicado é: (1) a transformação para
um sistema de coordenadas mais simples, (2) a resolução de equações neste sistema de
coordenadas, (3) retorno ao sistema de coordenadas original. É análoga à utilização de
transformadas de Laplace para resolver equações diferenciais. Em Laplace a equação
diferencial original (1) é transformada para o domínio "s", (2) a solução algébrica é então
obtida e (3) transformada para o sistema de coordenadas original, usando-se uma
transformada inversa de Laplace.
A vantagem da solução modal é o entendimento dos modos de vibração e como cada
modo contribui para a solução total.
8.1 Sistema com um grau de liberdade – Método da Superposição
8.1.1 Resposta ao Carregamento Dinâmico Geral – Método da
Superposição
Análise através do domínio do tempo
Sistema Não amortecido–Segundo Clough (1995), o procedimento para aproximar a
resposta de uma estrutura SDOF (sistema com um único grau de liberdade) não amortecida a
cargas impulsivas de curta duração pode ser usado como base para desenvolver uma fórmula
para avaliar a resposta a uma carga dinâmica geral. Considere uma carga geral arbitrária p (t)
como ilustrado na
Figura 48 e concentre-se na intensidade de carregamento p (τ) atuando no instante t =
τ. Este carregamento agindo durante o intervalo de tempo dτ representa um impulso de
duração muito curta p (τ) dτ na estrutura, de modo que a (Eq. 199) pode ser usada para avaliar
a resposta resultante. Deve-se notar cuidadosamente que, embora esta equação seja
aproximada para impulsos de duração finita, torna-se exata à medida que a duração do
carregamento se aproxima de zero. Assim, para o intervalo de tempo diferencial dτ, a resposta
produzida pelo impulso p(τ) dτ é exatamente igual a
112
(Eq. 197)
Nesta expressão, o termo representa a resposta tempo-história ao impulso
diferencial durante todo o tempo t ≥ τ; Não é a mudança de v durante um intervalo de tempo
dt.
Toda a história de carregamento pode ser considerada como constituída por uma
sucessão de impulsos tão curtos, cada um produzindo sua própria resposta diferencial da
forma da (Eq. 197). Para este sistema linearmente elástico, a resposta total pode então ser
obtida somando todas as respostas diferenciais desenvolvidas durante o histórico de
carregamento, ou seja, integrando a (Eq. 197) como se segue:
(Eq. 198)
Esta relação, geralmente conhecida como equação integral de Duhamel, pode ser usada
para avaliar a resposta de um sistema SDOF não amortizado a qualquer forma de carga
dinâmica p(t); No entanto, para cargas arbitrárias a avaliação deve ser realizada
numericamente usando procedimentos descritos posteriormente.
(Eq. 199)
113
Figura 48- Derivação da Integral de Duhamel (não amortecida)
Fonte: Clough, Penzien (1995)
A equação (Eq. 198) também pode ser expressa na forma integral de convolução geral:
(Eq. 200)
Na qual a função
(Eq. 201)
É conhecida como a função de resposta de impulso unitário porque expressa a resposta
do sistema SDOF a um impulso puro de magnitude unitária aplicado no tempo t = τ. Gerar
resposta usando o Duhamel ou convolução integral é um meio de obter resposta através do
domínio do tempo. É importante notar que esta abordagem pode ser aplicada apenas a
sistemas lineares porque a resposta é obtida por superposição de respostas de impulso
individuais.
Nas Eqs. (Eq. 198) e (Eq. 199)foi tácitamente assumido que o carregamento foi
iniciado no tempo t = 0 e que a estrutura estava em repouso naquele momento. Para quaisquer
outras condições iniciais especificadas e , a resposta de vibração livre
adicional deve ser adicionada a esta solução; Assim, em geral:
114
(Eq. 202)
Se as condições iniciais não nulas forem produzidas por carga conhecida p (t) para t<0,
a resposta total dada por esta equação também poderia ser encontrada através da (Eq. 199)
alterando o limite inferior da integral de zero para menos infinito.
Sistema com Amortecimento Subcrítico - A derivação da equação integral de
Duhamel que expressa a resposta de um sistema viscosamente amortecido a um carregamento
dinâmico geral é totalmente equivalente ao caso não amortecido, exceto que a resposta de
vibração livre iniciada pelo impulso de carga diferencial P (τ) dτ sofre decadência
exponencial. Expressando a (Eq. 204) em termos de t - τ em vez de t, e substituindo z por
e p(τ) dτ/m para , obtém-se a resposta diferencial amortecida:
(Eq. 203)
(Eq. 204)
Mostrando que o decaimento exponencial começa logo que a carga p(τ) é aplicada.
Somando-se estes termos de resposta diferencial sobre o intervalo de carregamento 0 <τ <t
resulta em
(Eq. 205)
Que é o equivalente à resposta amortecida da (Eq. 198).
115
Ao expressar a Eq. (Eq. 205) em termos da integral de convolução da (Eq. 201), a
função resposta de impulso unitário amortecido deve ser usada. Se as condições iniciais
e não forem iguais a zero, então a resposta de vibração livre correspondente dada pela
(Eq. 204) deve ser adicionada à (Eq. 205).
(Eq. 206)
Avaliação Numérica da Resposta Integral
Sistema Não Amortecido– Segundo Clugh (1995), se a função de carregamento
aplicado p (τ) é de forma analítica simples, então as integrais nas (Eq. 198) e (Eq. 205) podem
ser avaliadas diretamente. No entanto, isso geralmente não é possível na maioria dos casos
práticos porque o carregamento é conhecido apenas a partir de dados experimentais. As
integrais de resposta devem então ser avaliadas por procedimentos numéricos.
Para desenvolver estes procedimentos, utiliza-se a identidade trigonométrica:
(Eq. 207)
De modo que a (Eq. 198), que assume condições iniciais zero, pode ser escritacomo
(Eq. 208)
ou
(Eq. 209)
onde
116
(Eq. 210)
(Eq. 211)
Os procedimentos numéricos, que podem ser usados para avaliar A(t) e B(t), serão
agora descritos.
Figura 49 - Formulação do processo de soma númerica da Integral de Duhamel
Fonte: Clough, Penzien (1995)
Considere primeiramente a integração numérica de y(τ) ≡p(τ) cosωτ necessária para
encontrar . Por conveniência de cálculo numérico, a função y(τ) é avaliada em
incrementos de tempo iguais como mostrado na Figura 49, sendo as ordenadas sucessivas
identificadas por índices apropriados. A integral pode agora ser obtida
aproximadamente pela soma dessas ordenadas, após a multiplicação por ponderação de
fatores que dependem do método de integração numérica que será usado, que sãoapresentados
a seguir:
117
Soma simples:
(Eq. 212)
Regra dos Trapézios:
(Eq. 213)
Regra de Simpson:
(Eq. 214)
Utilizando qualquer uma destas equações, AN pode ser obtido diretamente para
qualquer valor específico de N indicado. No entanto, normalmente é necessário todo o
histórico de tempo de resposta para que se possa avaliar AN para valores sucessivos de N até
que se obtenha o histórico de tempo desejado para a resposta. Para tanto, é mais eficiente usar
essas equações em suas formas recursivas:
Soma simples:
(Eq. 215)
Regra dos Trapézios:
118
(Eq. 216)
Regra de Simpson:
(Eq. 217)
Tal que
A avaliação de na (Eq. 209) pode ser realizada da mesma maneira, levando a
expressões para tendo exatamente as mesmas formas mostradas pelas expressões(Eq.
215), (Eq. 216) e (Eq. 217); No entanto, ao fazer isso, a definição de deve ser alterada
para consistente com a (Eq. 211). Tendo calculado os valores de e
para valores sucessivos de N, os valores correspondentes de resposta são
obtidos usando:
(Eq. 218)
Sistema com Amortecimento Subcrítico - Para avaliação numérica da resposta de um
sistema amortecido, a (Eq. 205) pode ser escrita de uma forma semelhante à (Eq. 208) como
dado por:
(Eq. 219)
No qual
119
(Eq. 220)
(Eq. 221)
Essas expressões integrais podem ser avaliadas por um procedimento de soma
incremental equivalente ao usado anteriormente para o sistema não amortecido, mas agora é
preciso explicar o comportamento de decaimento exponencial causado pelo amortecimento.
Para ilustrar, a (Eq. 220) pode ser escrita na forma recursiva aproximada dada por:
Soma simples:
(Eq. 222)
Regra dos Trapézios:
(Eq. 223)
Regra de Simpson:
(Eq. 224)
120
Que são equivalentes às formas de resposta não amortecida das (Eq. 215), (Eq. 216) e
(Eq. 217), mas com os termos de decaimento exponenciais adicionados para considerar o
amortecimento. Deve-se reconhecer que neste caso amortecido ,
, etc., diferem do caso não amortizado onde foram definidos como
, , etc. No entanto, para pequenos valores de amortecimento
, estes últimos termos geralmente podem ser usados também para o caso amortecido.
As expressões para BN são idênticas em formato àquelas dadas para AN; Entretanto, é
preciso usar , , etc.
Tendo calculado os valores de AN e BN para valores sucessivos de N, as ordenadas
correspondentes de resposta são obtidas usando:
(Eq. 225)
A precisão que se espera de qualquer um dos procedimentos numéricos anteriores
depende, obviamente, da duração do intervalo de tempo . Em geral, esta duração deve ser
seleccionada suficientemente curta para que tanto a carga como as funções trigonométricas
utilizadas na análise sejam bem definidas e, além disso, para proporcionar a precisão de
engenharia normal, também deve satisfazer a condição . Claramente a precisão
eo esforço computacional aumentam com a complexidade do procedimento de integração
numérica. Normalmente, o aumento da precisão obtida com a regra de Simpson, em vez da
simples soma ou regra trapezoidal, justifica seu uso, embora seja mais complexo.
8.1.2 Modos de Vibração – Método “Matrix Iterations”
A fim de obter a resposta dinâmica da estrutura realiza-se inicialmente uma análise da
estrutura submetida a vibrações livres para obtenção dos modos de vibração da mesma. Para
tanto, programa-se uma rotina de cálculo para obtenção das frequências naturais e respectivos
modos de vibração a partir do método “Matrix Iterations” proposto por Clough & Penzien
(1995).
O método utilizado para determinar as frequências naturais para uma estrutura de “n”
graus de liberdade é separado em duas etapas. Primeiro calcula-se o primeiro modo de
121
vibração da estrutura e sua correspondente frequência natural. Em seguida, parte-se para a
determinação dos demais modos de vibração da estrutura.
A seguir apresentam-se estas etapas e os passos seguidos em cada uma delas:
1ª etapa – obtenção do primeiro modo de vibração e frequência natural
O uso da iteração para avaliar o modo de vibração fundamental de uma estrutura é um
conceito muito antigo que originalmente foi chamado de método Stodola. Agora é
reconhecido como sendo parte de um amplo segmento de mecânica estrutural em que são
usados procedimentos iterativos. O ponto de partida desta formulação é o preceito das
equações de movimento de vibração livre não amortizadas dada pela (Eq. 226):
(Eq. 226)
Esta equação expressa o fato de que em vibrações livres não amortecidas, as forças
inerciais induzidas pelo movimento das massas devem ser equilibradas pelas forças elásticas
resultantes das deformaçõesdo sistema. Este equilíbrio será satisfeito somente se os
deslocamentos vn estiverem na forma do n-ésimo modo de vibração e estiverem variando
harmonicamente no enésimo modo e na frequênciaωn. Expressando as forças inerciais no lado
direito da (Eq. 226) como:
(Eq. 227)
Os deslocamentos resultantes destas forças podem ser calculados resolvendo o
problema de deflexão estática
(Eq. 228)
Ou usando
122
(Eq. 229)
O produto da matriz nesta expressão resume as propriedades dinâmicas da estrutura.
Este produto é chamado de matriz dinâmica, denotada como:
(Eq. 230)
E quando isso é introduzido, a (Eq. 229) torna-se:
(Eq. 231)
Para iniciar o procedimento de iteração para avaliar a forma do primeiro modo,
assume-se que um vetor de deslocamento experimental v1(0)
é uma estimativa razoável dessa
forma. O superíndice zero indica que esta é a forma inicial usada na seqüência de iteração;
Por conveniência o vetor é normalizado de modo que um elemento de referência selecionado
é de valor unitário. Apresentando isso no lado direito da (Eq. 227) dá uma expressão para as
forças inerciais induzidas pelas massas do sistema que se movem harmonicamente nesta
forma na freqüência de vibração ainda desconhecida
(Eq. 232)
O vetor de deslocamento resultante da aplicação dessas forças na (Eq. 228) é uma
melhor aproximação da forma do primeiro modo do que o vetor inicial, e pode ser expressa
em uma forma equivalente à (Eq. 231) como se segue:
(Eq. 233)
Onde o "um" sobrescrito indica que este é o resultado do primeiro ciclo de iteração.
123
É evidente que a amplitude deste vetor depende da frequência desconhecida, mas
apenas a forma é necessária no processo de iteração, de modo que a frequência é eliminada da
expressão e a forma melhorada resultante é indicada por uma barra sobre o símbolo de vetor:
(Eq. 234)
Então, o vetor de iteração melhorado é obtido finalmente normalizando esta forma,
dividindo-a por um elemento arbitrário de referência do vetor, ref ( ); portanto,
(Eq. 235)
Que tem o efeito de escalar o elemento de referência do vetor para a unidade. Em
princípio, qualquer elemento do vetor de forma melhorado (exceto para elementos
nulos) poderia ser usado como o fator de referência ou de normalização na (Eq. 235), mas os
melhores resultados geralmente são obtidos por normalização com o maior elemento do vetor,
designado max ( ); Assim, max(
) ≡ ref ( ) é usado como denominador no
procedimento de iteração padrão.
Agora, se assume que o vetor de deslocamento calculado é o mesmo que o vetor
inicialmente assumido (como seria se fosse a forma de modo verdadeira), a (Eq. 233) pode ser
usado para obter um valor aproximado da frequência de vibração. Introduzindo a (Eq. 234) no
lado direito da (Eq. 233) e então assumindo que o novo vetor é aproximadamente igual ao
vetor inicial leva a
(Eq. 236)
Considerando qualquer grau arbitrário de liberdade k no vetor fornece uma expressão
que pode ser resolvida para obter uma aproximação da frequência:
124
(Eq. 237)
Se a forma assumida fosse uma forma de modo verdadeiro, então a mesma freqüência
seria obtida tomando a razão expressa na(Eq. 237) para qualquer grau de liberdade da
estrutura. Em geral, no entanto, a forma derivada diferirá de
e será obtida uma
frequência diferente para cada coordenada de deslocamento. Neste caso, a verdadeira
frequência de primeiro modo situa-se entre os valores máximos e mínimos obtidos a partir da
(Eq. 237):
(Eq. 238)
Devido a este fato, é evidente que uma melhor aproximação da frequência pode ser
obtida por um processo de média. Muitas vezes, o melhor procedimento de média envolve
incluir a distribuição de massa como um fator de ponderação. Assim, escrevendo o vetor
equivalente da (Eq. 237) e premultiplicando o numerador e denominador por dão:
(Eq. 239)
A equação (Eq. 239) representa a melhor aproximação da freqüência obtida por um
único passo de iteração, em geral, a partir de qualquer forma assumida . No entanto, a
forma derivada é uma melhor aproximação da forma do primeiro modo do que a
suposição original . Assim, se
e sua forma derivada foram usados na (Eq. 237)
ou na(Eq. 239), as aproximações de freqüência resultantes seriam melhores do que as
calculadas a partir da premissa inicial. Repetindo o processo suficientemente, a aproximação
de modo-forma pode ser melhorada para qualquer nível desejado de precisão. Em outras
palavras, após s ciclos a proporcionalidade entre e
pode ser alcançada para
125
qualquer número especificado de casas decimais; A forma resultante é aceita como a forma de
primeiro modo. Quando o grau de convergência desejado for alcançado, a frequência pode ser
obtida equacionando os deslocamentos de qualquer grau de liberdade selecionado antes e
depois do cálculo de melhoria. No entanto, os resultados mais precisos são obtidos
selecionando o grau de liberdade com o deslocamento máximo, e isso também é uma escolha
conveniente porque o procedimento de normalização que foi adotado confere a este
deslocamento o valor unitário. Assim, a freqüência é expressa por:
(Eq. 240)
(Eq. 241)
Ou em outras palavras, é igual ao recíproco do fator de normalização usado no ciclo de
iteração final. Quando a iteração tiver convergido completamente, não há necessidade de
aplicar o processo de média da (Eq. 239) para melhorar o resultado.
Em resumo percorrem-se as seguintes etapas:
1) Calcula-se a matriz de flexibilidade reduzida [f] da estrutura (apenas considerando-
se os graus de liberdade livres),
2) Multiplica-se a matriz de massa [M] pela matriz de flexibilidade [f] obtendo-se a
matriz dinâmica [D] da estrutura,
3) Obtém-se o vetor de deslocamentos modais { 1} multiplicando-se a matriz
dinâmica [D] pelo vetor de deslocamentos inicial normalizado estimado {v0}
4) Normaliza-se o vetor de deslocamentos modais { 1} obtendo-se {v1}
5) Repetem-se os passos 3 e 4 até se obter boa convergência para o valor dos
deslocamentos modais.
6) Obtém-se a frequência do primeiro modo de vibração da estrutura dividindo-se o
maior valor do vetor de deslocamentos modais da iteração anterior vj-1
pelo
correspondente valor do vetor de deslocamentos modais normalizado da iteração
atual j
126
2ª etapa – obtenção dos demais modos de vibração e frequências naturais
A prova acima da convergência do procedimento de iteração da matriz para o primeiro
modo de vibração também sugere a maneira pela qual a o método pode ser usado também
para avaliar modos mais elevados. É evidente que se a contribuição do primeiro modo na
forma assumida for zero ( ), então a contribuição dominante será a forma do segundo
modo; Da mesma forma, se ambos e
forem zero, a iteração convergerá para a
forma do terceiro modo, etc. Assim, para calcular o segundo modo, é necessário
meramenteadotar uma forma aproximada que não contém um componente do primeiro
modo. O til sobre o símbolo designa uma forma que foi purificada de qualquer contribuição
de primeiro modo.
O meio de eliminar o componente de primeiro modo de qualquer forma de segundo
modo assumida é fornecido pela condição de ortogonalidade. Considere qualquer hipótese
arbitrária da forma do segundo modo, expressa em termos de seus componentes modais, como
segue:
(Eq. 242)
Premultiplica-se ambos os lados por leva a
(Eq. 243)
Em que o lado direito é reduzido a um termo de primeiro modo apenas devido às
propriedades de ortogonalidade modal. Assim, a (Eq. 243) pode ser resolvida para a
amplitude do componente do primeiro modo em :
(Eq. 244)
127
Assim, se este componente é removido da forma assumida, o vetor que permanece
pode ser dito purificado:
(Eq. 245)
Este vector de ensaio purificado irá agora convergir para a forma de segundo modo no
processo de iteração. No entanto, os erros de arredondamento são introduzidos nas operações
numéricas que permitem que os componentes do primeiro modo reapareçam no vetor
experimental; Portanto, é necessário repetir esta operação de purificação durante cada ciclo da
solução iterativa para assegurar sua convergência para o segundo modo.
Um meio conveniente de purificar o vetor de ensaio do componente de primeiro modo
é proporcionado por uma matriz de varrimento, a qual pode ser derivada substituindo o valor
de da (Eq. 244) na (Eq. 245), isto é,
(Eq. 246)
onde a matriz de varrimento de primeiro modo S1 é dada por
(Eq. 247)
Como é mostrado pela (Eq. 246), esta matriz tem a propriedade de remover o
componente de primeiro modo de qualquer vetor experimental para o qual é premultiplicado,
deixando apenas a forma purificada.
O procedimento de iteração de matriz pode agora ser formulado com esta matriz de
varredura de modo que converge para o segundo modo de vibração. Neste caso, a (Eq. 234)
pode ser escrito como:
128
(Eq. 248)
Que afirma que uma forma de ensaio de segundo modo que não contém componente
de primeiro modo irá convergir para o segundo modo. Substituindo a (Eq. 246) na Eq. (Eq.
248) dá:
(Eq. 249)
onde
(Eq. 250)
É uma nova matriz dinâmica que elimina o componente de primeiro modo de qualquer
forma de ensaio e assim automaticamente converge para o segundo modo. Quando é
utilizado, a análise de segundo modo é totalmente equivalente à análise de primeiro modo
discutida acima. Assim, a freqüência pode ser aproximada pelo equivalente da (Eq. 239):
(Eq. 251)
onde
(Eq. 252)
A análise pode ser levada a qualquer nível desejado de convergência. É óbvio que o
primeiro modo deve ser avaliado antes que o segundo modo possa ser determinado por este
método. Além disso, a forma de primeiro modo deve ser determinada com considerável
129
precisão na avaliação da matriz de varrimento se resultados satisfatórios forem desejados
na análise de segundo modo. Em geral, as ordenadas em forma de segundo modo terão de
uma figura menos significativa do que os valores de primeiro modo.
Deve agora ser evidente que o mesmo processo de varrimento pode ser estendido para
purificar um vetor de ensaio de ambos os componentes de primeiro e segundo modos, com o
resultado de que o procedimento de iteração irá convergir para o terceiro modo. Expressando
a forma experimental de terceiro modo purificada [por analogia com a (Eq. 245)]
(Eq. 253)
E aplicando as condições que seja ortogonal a ambos e ,
(Eq. 254)
(Eq. 255)
Levam a expressões para as amplitudes do primeiro e segundo modo no vetor
experimental .
(Eq. 256)
(Eq. 257)
Que são equivalentes à (Eq. 244). Substituindo estes na (Eq. 253) leva a
130
(Eq. 258)
ou
(Eq. 259)
A Equação (Eq. 259) mostra que a matriz de varredura S2 que elimina componentes de
primeiro e segundo modos de pode ser obtida simplesmente subtraindo um termo de
segundo modo da matriz de varredura de primeiro modo dada pela (Eq. 247), isto é,
(Eq. 260)
Onde a operação de matriz de varrimento é expressa por
(Eq. 261)
A relação de iteração de matriz para análise do terceiro modo pode agora ser escrita
por analogia com a (Eq. 249):
(Eq. 262)
Por conseguinte, esta matriz dinâmica modificada D3 desempenha a função de varrer
os componentes de primeiro e segundo modos do vector de ensaio e assim produz
convergência para a forma de terceiro modo.
131
Este mesmo processo, obviamente, pode ser estendido sucessivamente à análise de
modos superiores e superiores do sistema. Por exemplo, para avaliar o quarto modo, a matriz
de varrimento S3 seria calculada da seguinte forma:
(Eq. 263)
Onde executaria a função
(Eq. 264)
A matriz dinâmica correspondente seria
(Eq. 265)
As matrizes adequadas para calcular qualquer modo podem ser obtidas facilmente por
analogia a partir destas; isso é,
(Eq. 266)
Claramente a limitação mais importante deste procedimento é que todas as formas de
modo inferior devem ser calculadas antes que qualquer modo superior possa ser avaliado.
Além disso, é essencial avaliar esses modos mais baixos com grande precisão para que a
matriz de varredura para os modos mais elevados possa ser executada de forma eficaz.
Geralmente este processo é usado diretamente para o cálculo de não mais de quatro ou cinco
modos.
Em resumo percorrem-se as seguintes etapas:
132
1) Calcula-se o valor da matriz de massa generalizada Mi para cada um dos modos de
vibração,
2) Calcula-se a matriz de transformação do primeiro modo de vibração dada por
[S1] =
,
3) Calcula-se a matriz dinâmica do segundo modo de vibração [D2] multiplicando-se
a matriz de varrimento do primeiro modo de vibração [S1] pela matriz dinâmica do
primeiro modo de vibração [D].
4) Obtém-se o vetor de deslocamentos modais do segundo modo { } multiplicando-
se a matriz dinâmica do segundo modo [D2] pelo vetor de deslocamentos inicial
normalizado estimado para o segundo modo { }
5) Normaliza-se o vetor de deslocamentos modais { } obtendo-se {
}
6) Repetem-se os passos 4 e 5 até se obter boa convergência para o valor dos
deslocamentos modais.
7) Obtém-se a frequência do segundo modo de vibração da estrutura dividindo-se o
maior valor do vetor de deslocamentos modais da iteração anterior vj-1
pelo
correspondente valor do vetor de deslocamentos modais normalizado da iteração
atual j
8) Repetem-se os passos 2 a 7 para os demais modos de vibração.
8.2 Sistema com múltiplos graus de liberdade – Método da Sobreposição
Modal
Na discussão anterior de um sistema linear N-DOF (n graus de liberdade) arbitrário, a
posição deslocada era definida pelos N componentes no vetor v de deslocamentos. Contudo,
para efeitos de análise de resposta dinâmica, é frequentemente vantajoso expressar esta
posição em termos das formas de vibração livre. Estas formas constituem N padrões de
deslocamento independentes, cujas amplitudes podem servir como coordenadas generalizadas
para expressar qualquer conjunto de deslocamentos. As formas de vibração servem assim ao
mesmo propósito que as funções trigonométricas em uma série de Fourier, e são usadas pelas
mesmas razões; Porque: (1) possuem propriedades de ortogonalidade e (2) são eficientes no
sentido em que geralmente podem descrever todos os N deslocamentos com precisão
suficiente empregando apenas algumas formas.
133
Figura 50 - Representação dos deslocamentos como componentes modais
Fonte: Clough, Penzien (1995)
Considere, por exemplo, a coluna engastada ilustrada na Figura 50, para o qual a forma
defletida é expressa em termos de deslocamentos translacionais em três níveis. Qualquer vetor
de deslocamento (estático ou dinâmico) para esta estrutura pode ser desenvolvido através da
superposição de amplitudes adequadas dos modos normais como mostrado. Para qualquer
componente modal , os deslocamentos são dados pelo produto do vetor de forma e pela
amplitude modal ; assim:
(Eq. 267)
O vector de deslocamento total v é então obtido por soma dos vectores modais
expressos por
(Eq. 268)
Ou, em notação matricial,
(Eq. 269)
134
Nesta equação, é evidente que a matriz de forma de modo N × N Φ serve para
transformar o vetor de coordenadas generalizado Y para o vector de coordenadas geométricas
v. As componentes generalizadas no vetor Y são chamadas de coordenadas normais da
estrutura.
Como a matriz de forma N vetores modais independentes, é não
singular ela pode ser invertida. Assim, é sempre possível resolver a (Eq. 269) diretamente
para as amplitudes de coordenadas normais em Y que estão associadas a qualquer vetor de
deslocamento dado v. No entanto, não é necessário resolver um conjunto de equações
simultâneas, devido à propriedade de ortogonalidade das formas de modo. Para avaliar
qualquer coordenada normal arbitrária, Yn, por exemplo, basta premultiplicar (Eq. 268) por
para obter:
(Eq. 270)
Devido à propriedade de ortogonalidade em relação à massa, isto é, para
, todos os termos no lado direito desta equação desaparecem, exceto pelo termo
contendo , deixando:
(Eq. 271)
Do qual
(Eq. 272)
Se o vetor v for dependente do tempo, as coordenadas Yn também dependerão do
tempo; Neste caso, tomando a derivada temporal da (Eq. 272)fornece:
135
(Eq. 273)
8.3 Análise Dinâmica Linear
O Item 9.1 da NBR-6123 (ABNT, 1988) prescreve que em toda estrutura cuja primeira
frequência natural de vibração seja inferior a 1Hz, deve-se proceder uma análise dos efeitos
dinâmicos do vento, conforme equações(Eq. 274) a (Eq. 282) descritas a seguir. Caso esta
frequência seja maior que 1Hz, os valores das flutuações do vento já estão inclusos no fator
S2, e o modelo estático linear pode ser utilizado.
Figura 51 - Típica estrutura de torre de telecomunicações de concreto armado
Fonte: Silva, Brasil e Arora (2008)
A Figura 51 mostra de uma maneira simplificada as características gerais das
estruturas aqui analisadas. De acordo com a NBR-6123 (ABNT, 1988), no j-ésimo grau de
liberdade desta estrutura, quando submetida ao carregamento do vento, age a força total
devida ao vento Xj, a qual é a soma das componentes das forças devidas à velocidade média
do vento e das parcelas flutuantes da velocidade do vento:
136
jjj XXX ˆ (Eq. 274)
Onde a força média estática é dada por:
p
r
j
jajojz
zACbqX
2
2
(Eq. 275)
Sendo
2613.0 po Vq e
31069.0 SSVVp (Eq. 276)
(qo em N/m2and
pV em m/s)
b e p indicado na Tabela 20 da NBR-6123 (ABNT, 1988); zr é o nível de referência,
igual a 10 metros neste trabalho; pV é a velocidade de projeto do vento, correspondente a 10
minutos de integração, a 10 metros acima do nível do terreno, para um terreno de rugosidade
(S2) igual a Categoria II.
A componente flutuante (dinâmica) da força devida à velocidade do vento jX̂ , é dada
por:
jjHj FX ˆ (Eq. 277)
onde
o
j
jm
m
n
i
ii
n
i
ii
ooH AbqF
1
2
12
p
r
i
o
iaii
z
z
A
AC
(Eq. 278)
137
Sendo mi, m0, Ai, A0, e Cai, respectivamente, a massa concentrada no i-ésimo grau de
liberdade, uma massa de referência, a área equivalente no i-ésimo grau de liberdade, uma área
de referência, o coeficiente de amplificação dinâmica (Fig. 17 da NBR-6123) e o coeficiente
de arrasto da área Ai.
Observe que = [i] é um determinado modo de vibração natural da estrutura. Para
calcular i e é necessário considerar a massa e a rigidez da estrutura. A massa concentrada
no nó pode ser facilmente calculada somando as massas localizadas na área de influência de
cada nó. O momento de inércia total da seção homogeneizada é dado por:
hom total sc III )1(
sec
hom c
sss
E
EII (Eq. 279)
sendoEs, Ec sec, Is, Is hom, Ic e fck, respectivamente, o módulo de elasticidade do aço, o
modulo de elasticidade secante do concreto calculado de acordo com a NBR-6118, o
momento de inércia do aço, o momento de inércia do aço homogeneizado, o momento de
inércia da seção transversal e a resistência característica do concreto aos 28 dias de idade.
Desde que o modelo é baseado em dinâmica linear, os autores propõem que neste caso seja
considerado para o cômputo da rigidez da estrutura o seguinte valor do momento de inércia:
I = Itotal (Eq. 280)
para a seção transversal de um determinado elemento estrutural. O módulo de
elasticidade a ser considerado na análise estrutural é o módulo de elasticidade secante do
concreto. Se o modelo adotado é elástico linear, nenhum dano na seção transversal deve ser
considerado e, portanto a rigidez considerada no cálculo deve ser a total da seção.
Quando r modos de vibração natural da estrutura são considerados, a combinação
destes modos, para uma dada variável dinâmica Q̂ , é calculado como:
138
2/1
1
2ˆˆ
r
k
iQQ (Eq. 281)
Em função da variação da direção da velocidade do vento, deve ser calculada a força
na direção perpendicular à do vento, dada por:
ii XY
3
1 (Eq. 282)
139
Capítulo 9 - Exemplo
Numérico – O Software de
Cálculo 9.1 Dados de Entrada
Um software foi elaborado por meio da linguagem de programação Visual Basic para
resolver toda a questão e fazer comparação com resultados obtidos por softwares comerciais.
Nos itens seguintes, um exemplo numérico é apresentado utilizando todos os conceitos
abordados e os resultados são mostrados de modo a fazer o leitor entender as etapas de
cálculo.
A fim de demonstrar os resultados obtidos, a partir do software de cálculo
desenvolvido realiza-seuma análise de uma torre de concreto armado pré-moldado, composta
por segmentos tubulares de seção tubular de diâmetro variável e paredes de 12 cm de
espessura. A altura total fora do solo considerada é de 40 m, considerada engastada na base.
• Diâmetro externo variando de 1,20 m na base até 0,80 m no topo
• Paredes de 12 cm de espessura
• Altura total fora do solo de 40 m
• Concreto fc = 45 Mpa, γc = 1,3 (pré-moldados), densidade 2500 kg/m³, Ec =
46 GPa
• Aço CA-50, s =1,15, densidade 7800 kg/m³, Es = 210 GPa
• Armadura variável: 30Ø25mm na base até 10Ø25mm no topo
• Coeficiente de amortecimento ζ: 1,5% (adotado como usual para torres de
concreto armado conforme sugerido por Brasil, Pauletti, Carril e Lazanha (2003)
140
Figura 52 - Coefientes de amortecimento crítico NBR6123
Fonte: NBR6123:1988
• Índice de esbeltez
A pressão de vento para análise estática da estrutura foi determinada conforme propõe
a NBR-6123/1988 – “Forças devido aos Ventos em Edificações”
Foram adotados os seguintes elementos para análise:
- velocidade básica do vento V0= 40m/s
- fator topográfico S1= 1
- categoria do terreno e altura S2= Cat. IV, Classe C, (b=0,84; p=0,135;
Fr=0,95)
- fator estatístico: S3= 1,1
- velocidade característica do vento Vk= V0 S1 S2 S3
- pressão dinâmica do vento q= 0,613 V²k
- coeficiente de arrasto para a torre: C= 0,6
- coeficiente de arrasto para a escada: C= 1,2
- coeficiente de arrasto para a esteira: C=0,8
141
Tabela 2 – Pressão de vento aplicada sobre a torre (kN/m)
b 0,84
Categoria IV, Classe C
gama f 1 1 1 1 1
p 0,135 C 0,6 1,2 0,8 1,2 -
Fr 0,95 A (m²/m) 0,80 0,05 0,15 6,84 -
Cota Vento Pressao Torre Escada Esteira Total PP
z (m) V0 (m/s) S1 S2 S3 Vk q(z) pk pk pk pk pk
40,0 40 1 0,96 1,1 42,3 1,10 0,53 0,07 0,13 0,73 -7,04
33,3 40 1 0,94 1,1 41,3 1,05 0,54 0,06 0,13 0,73 -7,92
26,7 40 1 0,91 1,1 40,1 0,98 0,55 0,06 0,12 0,73 -8,74
20,0 40 1 0,88 1,1 38,6 0,91 0,55 0,05 0,11 0,71 -9,55
13,3 40 1 0,83 1,1 36,5 0,82 0,52 0,05 0,10 0,67 -10,43
6,7 40 1 0,76 1,1 33,2 0,68 0,46 0,04 0,08 0,58 -11,25
0,0 40 1 0,00 1,1 0,0 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 -12,07
Fonte: Silva (2017)
Tabela 3 – Força do Vento em Antenas e Plataformas
Cota Antenas Celulares Plataformas Antenas RF
Z(m) Fk (kN) Fk (kN) Fk (kN)
40 4,433 3,678 10,063
Fonte: Silva (2017)
142
Figura 53 – Tela de entrada de dados do programa de análise
Fonte: Silva (2017)
Diâmetro topo (m) 0,80
Diâmetro base (m) 1,20
Espessura (m) 0,120
Altura (m) 40,00
Discretização (nº de divisões) 6,00
E (kN/m²) 3,43E+07
Armadura (cm²) 4,91
Fck (Mpa) 45,00
Fyk (Mpa) 500,00
Cobrimento (cm) 5,00
Ø (mm) 25,00
Quantidade de barras - base 30,00
Quantidade de barras - topo 10,00
Es (kN/m²) 2,10E+08
c 1,30
s 1,15
alfa e 6,13
alfa i 0,91
f3 1,10
Discretização (nº de divisões) 6,00
massa no topo (kN.s²/m) 0,00
Coeficiente de amortecimento (%) 1,50
Número de séries de carregamentos 20,00
Nº de passos da iteração 600,00
Dados da estrutura e materiais
Dados da análise modal
Análise Estática Linear -NBR6123
Inicializacao
Análise Estática NLG -NBR6123
Análise Estática NLFG -NBR6123
Cálculo das Frequências Naturais
Cálculo da Resposta Dinâmica
Análise Dinâmica NLFG -Vento Sintético
143
Tabela 4 – Dados da Seção transversal da torre em cada nó
Fonte: Silva (2017)
9.2 Cálculos preliminares - Matriz de Rigidez e Vetor de Forças
Para determinação dos esforços solicitantes e deslocamentos da estrutura submetida ao
vento estático calculado de acordo com a NBR6123, conforme tabela apresentada
anteriormente, foram determinadas a matriz de rigidez da estrutura e o vetor de esforços a ser
aplicado para obtenção dos resultados. A seguir apresenta-se a matriz de rigidez da estrutura e
o vetor de forças nodais do exemplo de cálculo apresentado obtidos pelo software de cálculo
desenvolvido.
Nó Altura (m)Diâmetro
ext (m)
Diâmetro
int (m)A (m²) Ix (m4) Is (m4) M_rigidez Massa
Quantidad
eAs (cm²) i λ
1,0 40,0 0,800 0,560 0,282 0,015 0,002 582461,599 0,797 10,00 49,100 1,311 0,686 0,246 27,136
2,0 33,3 0,867 0,627 0,317 0,020 0,003 789056,535 2,128 14,00 68,740 1,730 0,993 0,270 24,729
3,0 26,7 0,933 0,693 0,349 0,026 0,004 1031193,830 2,472 17,00 83,470 2,196 1,346 0,293 22,721
4,0 20,0 1,000 0,760 0,382 0,033 0,006 1318648,762 2,816 20,00 98,200 2,707 1,747 0,317 21,011
5,0 13,3 1,067 0,827 0,417 0,041 0,008 1666753,097 3,160 24,00 117,840 3,266 2,194 0,341 19,530
6,0 6,7 1,133 0,893 0,450 0,050 0,010 2058227,376 3,504 27,00 132,570 3,871 2,687 0,365 18,250
7,0 0,0 1,200 0,960 0,483 0,060 0,013 2506842,394 1,509 30,00 147,300 0,389 0,000
133,377
0,00
5,00
10,00
15,00
20,00
25,00
30,00
35,00
40,00
45,00
-1,00 -0,80 -0,60 -0,40 -0,20 0,00 0,20 0,40 0,60 0,80 1,00
Perfil da Torre
Raio ext (m)
Raio int (m)
144
Tabela 5 – Matriz de rigidez da estrutura do exemplo numérico
Fonte: Silva (2017)
[K]
12
34
56
78
910
1112
1314
1516
1718
1920
21
11,
45E+
060,
00E+
000,
00E+
00-1
,45E
+06
0,00
E+00
0,00
E+00
0,00
E+00
0,00
E+00
0,00
E+00
0,00
E+00
0,00
E+00
0,00
E+00
0,00
E+00
0,00
E+00
0,00
E+00
0,00
E+00
0,00
E+00
0,00
E+00
0,00
E+00
0,00
E+00
0,00
E+00
20,
00E+
002,
78E+
049,
26E+
040,
00E+
00-2
,78E
+04
9,26
E+04
0,00
E+00
0,00
E+00
0,00
E+00
0,00
E+00
0,00
E+00
0,00
E+00
0,00
E+00
0,00
E+00
0,00
E+00
0,00
E+00
0,00
E+00
0,00
E+00
0,00
E+00
0,00
E+00
0,00
E+00
30,
00E+
009,
26E+
044,
11E+
050,
00E+
00-9
,26E
+04
2,06
E+05
0,00
E+00
0,00
E+00
0,00
E+00
0,00
E+00
0,00
E+00
0,00
E+00
0,00
E+00
0,00
E+00
0,00
E+00
0,00
E+00
0,00
E+00
0,00
E+00
0,00
E+00
0,00
E+00
0,00
E+00
4-1
,45E
+06
0,00
E+00
0,00
E+00
3,08
E+06
0,00
E+00
0,00
E+00
-1,6
3E+0
60,
00E+
000,
00E+
000,
00E+
000,
00E+
000,
00E+
000,
00E+
000,
00E+
000,
00E+
000,
00E+
000,
00E+
000,
00E+
000,
00E+
000,
00E+
000,
00E+
00
50,
00E+
00-2
,78E
+04
-9,2
6E+0
40,
00E+
006,
46E+
043,
03E+
040,
00E+
00-3
,69E
+04
1,23
E+05
0,00
E+00
0,00
E+00
0,00
E+00
0,00
E+00
0,00
E+00
0,00
E+00
0,00
E+00
0,00
E+00
0,00
E+00
0,00
E+00
0,00
E+00
0,00
E+00
60,
00E+
009,
26E+
042,
06E+
050,
00E+
003,
03E+
049,
58E+
050,
00E+
00-1
,23E
+05
2,73
E+05
0,00
E+00
0,00
E+00
0,00
E+00
0,00
E+00
0,00
E+00
0,00
E+00
0,00
E+00
0,00
E+00
0,00
E+00
0,00
E+00
0,00
E+00
0,00
E+00
70,
00E+
000,
00E+
000,
00E+
00-1
,63E
+06
0,00
E+00
0,00
E+00
3,43
E+06
0,00
E+00
0,00
E+00
-1,8
0E+0
60,
00E+
000,
00E+
000,
00E+
000,
00E+
000,
00E+
000,
00E+
000,
00E+
000,
00E+
000,
00E+
000,
00E+
000,
00E+
00
80,
00E+
000,
00E+
000,
00E+
000,
00E+
00-3
,69E
+04
-1,2
3E+0
50,
00E+
008,
44E+
043,
57E+
040,
00E+
00-4
,76E
+04
1,59
E+05
0,00
E+00
0,00
E+00
0,00
E+00
0,00
E+00
0,00
E+00
0,00
E+00
0,00
E+00
0,00
E+00
0,00
E+00
90,
00E+
000,
00E+
000,
00E+
000,
00E+
001,
23E+
052,
73E+
050,
00E+
003,
57E+
041,
25E+
060,
00E+
00-1
,59E
+05
3,52
E+05
0,00
E+00
0,00
E+00
0,00
E+00
0,00
E+00
0,00
E+00
0,00
E+00
0,00
E+00
0,00
E+00
0,00
E+00
100,
00E+
000,
00E+
000,
00E+
000,
00E+
000,
00E+
000,
00E+
00-1
,80E
+06
0,00
E+00
0,00
E+00
3,76
E+06
0,00
E+00
0,00
E+00
-1,9
6E+0
60,
00E+
000,
00E+
000,
00E+
000,
00E+
000,
00E+
000,
00E+
000,
00E+
000,
00E+
00
110,
00E+
000,
00E+
000,
00E+
000,
00E+
000,
00E+
000,
00E+
000,
00E+
00-4
,76E
+04
-1,5
9E+0
50,
00E+
001,
08E+
054,
29E+
040,
00E+
00-6
,05E
+04
2,02
E+05
0,00
E+00
0,00
E+00
0,00
E+00
0,00
E+00
0,00
E+00
0,00
E+00
120,
00E+
000,
00E+
000,
00E+
000,
00E+
000,
00E+
000,
00E+
000,
00E+
001,
59E+
053,
52E+
050,
00E+
004,
29E+
041,
60E+
060,
00E+
00-2
,02E
+05
4,48
E+05
0,00
E+00
0,00
E+00
0,00
E+00
0,00
E+00
0,00
E+00
0,00
E+00
130,
00E+
000,
00E+
000,
00E+
000,
00E+
000,
00E+
000,
00E+
000,
00E+
000,
00E+
000,
00E+
00-1
,96E
+06
0,00
E+00
0,00
E+00
4,11
E+06
0,00
E+00
0,00
E+00
-2,1
5E+0
60,
00E+
000,
00E+
000,
00E+
000,
00E+
000,
00E+
00
140,
00E+
000,
00E+
000,
00E+
000,
00E+
000,
00E+
000,
00E+
000,
00E+
000,
00E+
000,
00E+
000,
00E+
00-6
,05E
+04
-2,0
2E+0
50,
00E+
001,
36E+
054,
99E+
040,
00E+
00-7
,54E
+04
2,51
E+05
0,00
E+00
0,00
E+00
0,00
E+00
150,
00E+
000,
00E+
000,
00E+
000,
00E+
000,
00E+
000,
00E+
000,
00E+
000,
00E+
000,
00E+
000,
00E+
002,
02E+
054,
48E+
050,
00E+
004,
99E+
042,
01E+
060,
00E+
00-2
,51E
+05
5,59
E+05
0,00
E+00
0,00
E+00
0,00
E+00
160,
00E+
000,
00E+
000,
00E+
000,
00E+
000,
00E+
000,
00E+
000,
00E+
000,
00E+
000,
00E+
000,
00E+
000,
00E+
000,
00E+
00-2
,15E
+06
0,00
E+00
0,00
E+00
4,46
E+06
0,00
E+00
0,00
E+00
-2,3
1E+0
60,
00E+
000,
00E+
00
170,
00E+
000,
00E+
000,
00E+
000,
00E+
000,
00E+
000,
00E+
000,
00E+
000,
00E+
000,
00E+
000,
00E+
000,
00E+
000,
00E+
000,
00E+
00-7
,54E
+04
-2,5
1E+0
50,
00E+
001,
68E+
055,
67E+
040,
00E+
00-9
,24E
+04
3,08
E+05
180,
00E+
000,
00E+
000,
00E+
000,
00E+
000,
00E+
000,
00E+
000,
00E+
000,
00E+
000,
00E+
000,
00E+
000,
00E+
000,
00E+
000,
00E+
002,
51E+
055,
59E+
050,
00E+
005,
67E+
042,
49E+
060,
00E+
00-3
,08E
+05
6,85
E+05
190,
00E+
000,
00E+
000,
00E+
000,
00E+
000,
00E+
000,
00E+
000,
00E+
000,
00E+
000,
00E+
000,
00E+
000,
00E+
000,
00E+
000,
00E+
000,
00E+
000,
00E+
00-2
,31E
+06
0,00
E+00
0,00
E+00
2,31
E+06
0,00
E+00
0,00
E+00
200,
00E+
000,
00E+
000,
00E+
000,
00E+
000,
00E+
000,
00E+
000,
00E+
000,
00E+
000,
00E+
000,
00E+
000,
00E+
000,
00E+
000,
00E+
000,
00E+
000,
00E+
000,
00E+
00-9
,24E
+04
-3,0
8E+0
50,
00E+
009,
24E+
04-3
,08E
+05
210,
00E+
000,
00E+
000,
00E+
000,
00E+
000,
00E+
000,
00E+
000,
00E+
000,
00E+
000,
00E+
000,
00E+
000,
00E+
000,
00E+
000,
00E+
000,
00E+
000,
00E+
000,
00E+
003,
08E+
056,
85E+
050,
00E+
00-3
,08E
+05
1,37
E+06
145
Tabela 6 – Vetor de forças nodais (kN)
Fonte: Silva (2017)
9.3 Resultados da Análise Não-Linear Estática
A seguir apresentam-se os resultados de deslocamentos e esforços solicitantes de
primeira ordem, segunda ordem, e segunda ordem considerando a não linearidade física,
sendo que nesta etapa foram aplicados48% da parcela de vento calculado pela NBR-6123
como carga estática, de forma a cumprir a metodologia doMétodo do Vento Sintético
proposto FRANCO (1993).
{f} 1
1 -26,394
2 19,334
3 -1,289
4 -58,235
5 3,601
6 0,006
7 -63,682
8 3,535
9 0,032
10 -69,549
11 3,370
12 0,073
13 -74,996
14 3,013
15 0,155
16 -80,443
17 0,932
18 1,036
146
Tabela 7 – Resultados da análise estática não-linear no exemplo numérico
Fonte: Silva (2017)
Apresenta-se também um exemplo da calculadora dos esforços internos da seção
transversal mais solicitada, esta calculadora foi desenvolvida para determinar a rigidez efetiva
de cada seção submetida aos esforços solicitantes, para posteriormente reavaliar os esforços
de segunda ordem.
Cota
(m)
Des
loc.
line
ar (m
)M
omen
tos
Line
ar
(kN
.m)
Des
loc.
NLG
(m)
Mom
ento
s N
LG
(kN
.m)
Des
loc.
NLF
G (m
)M
omen
tos
NLF
G
(kN
.m)
Curv
atur
aM
_rig
idez
Porc
enta
gem
Nor
mal
(kN
)
40,0
0,27
90,
000
0,29
30,
000
0,40
20,
000
0,00
058
2461
,599
100,
00%
0,00
0
33,3
0,20
312
8,87
70,
213
141,
272
0,29
914
6,28
80,
000
7890
66,4
0610
0,00
%55
,511
26,7
0,13
427
3,33
10,
140
294,
669
0,20
430
3,76
00,
000
1031
199,
003
100,
00%
116,
469
20,0
0,07
843
3,12
60,
081
460,
078
0,12
447
2,16
90,
000
1318
660,
342
100,
00%
183,
085
13,3
0,03
560
7,60
60,
036
637,
294
0,06
065
1,17
50,
000
1666
767,
327
100,
00%
255,
357
6,7
0,00
979
4,64
50,
009
825,
083
0,01
783
9,54
80,
000
1213
377,
880
58,9
5%33
3,07
7
0,0
0,00
098
8,77
90,
000
1019
,217
0,00
010
33,6
810,
000
1484
601,
450
59,2
2%41
3,52
0
0,0
5,0
10,0
15,0
20,0
25,0
30,0
35,0
40,0
45,0
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
Des
loca
men
tos
Des
loc.
line
ar (m
)
Des
loc.
NLG
(m)
Des
loc.
NLF
G (m
)
0,0
5,0
10,0
15,0
20,0
25,0
30,0
35,0
40,0
45,0
-200
020
040
060
080
010
0012
00
Mom
ento
s fle
tore
s
Mom
ento
s Li
near
(kN
.m)
Mom
ento
s N
LG (k
N.m
)
Mom
ento
s N
LFG
(kN
.m)
147
Tabela 8 – Resultados da calculadora de rigidez efetiva da seção transversal
Fonte: Silva (2017)
9.4 Resultados da Análise Dinâmica em Torno da Configuração Não-linear
A seguir apresentam-se as matrizes de rigidez e massa calculadas para obtenção dos
das frequências e modos de vibração da estrutura:
Seçã
o Ex
tern
aSe
ção
Inte
rna
Diâm
etro
ext
120,
0cm
Ângu
lo º
XY
XY
Ângu
lo º
XY
Is (c
m4)
izi
(cm
)al
fa-e
(rad
)al
fa-i
(rad)
bi (c
m)
ei=e
g+p*
zi
(por
mil)
,c
(Mpa
)Fc
i =
*Ac
(kN)
Mci=
Fci*
zi
(kN.
m)
Ic (c
m4)
izi
(cm
)ei
=eg+
p*z
,s
(Mpa
)Fa
(kN)
Ma (
kN.m
)
Raio
ext
60,0
cm0,
0060
,00
0,00
0,00
48,0
00,
000,
006,
0053
,46
5,62
949,
511,
000,
030,
000,
0024
,00
-0,2
00,
000,
000,
000,
001,
005,
62-0
,14
-30,
35-1
4,90
-0,8
4
Diâm
etro
int
96,0
cm2,
0059
,96
2,09
-2,0
947
,97
1,68
-1,6
818
,00
51,1
216
,61
8298
,42
2,00
0,09
0,00
0,00
24,0
0-0
,20
0,00
0,00
0,00
0,01
2,00
16,6
1-0
,03
-6,2
5-3
,07
-0,5
1
Raio
int
48,0
cm4,
0059
,85
4,19
-4,1
947
,88
3,35
-3,3
530
,00
46,5
526
,88
2172
5,54
3,00
0,15
0,00
0,00
24,0
0-0
,20
0,00
0,00
0,00
0,03
3,00
26,8
80,
0816
,26
7,98
2,15
Cobr
imen
to5,
0cm
6,00
59,6
76,
27-6
,27
47,7
45,
02-5
,02
42,0
039
,94
35,9
738
909,
214,
000,
210,
000,
0024
,00
-0,2
00,
000,
000,
000,
064,
0035
,97
0,17
36,2
017
,77
6,39
Barra
25,0
8,00
59,4
28,
35-8
,35
47,5
36,
68-6
,68
54,0
031
,59
43,4
856
878,
205,
000,
270,
000,
0124
,00
-0,2
00,
000,
000,
000,
105,
0043
,48
0,25
52,6
825
,87
11,2
5
Quan
tidad
e30
,010
,00
59,0
910
,42
-10,
4247
,27
8,34
-8,3
466
,00
21,8
649
,10
7252
5,53
6,00
0,33
0,01
0,01
24,0
0-0
,20
0,00
0,00
0,00
0,16
6,00
49,1
00,
3165
,00
31,9
215
,67
Ângu
lo12
,012
,00
58,6
912
,47
-12,
4746
,95
9,98
-9,9
878
,00
11,1
852
,58
8314
5,62
7,00
0,39
0,01
0,01
24,0
0-0
,20
0,00
0,00
0,00
0,22
7,00
52,5
80,
3572
,62
35,6
518
,75
Raio
53,8
14,0
058
,22
14,5
2-1
4,52
46,5
711
,61
-11,
6190
,00
0,00
53,7
586
902,
168,
000,
450,
010,
0124
,00
-0,2
00,
000,
000,
000,
298,
0053
,75
0,36
75,1
936
,92
19,8
4
alfa
i0,
916
,00
57,6
816
,54
-16,
5446
,14
13,2
3-1
3,23
102,
00-1
1,18
52,5
883
145,
629,
000,
510,
010,
0124
,00
-0,2
00,
000,
000,
000,
379,
0052
,58
0,35
72,6
235
,65
18,7
5
18,0
057
,06
18,5
4-1
8,54
45,6
514
,83
-14,
8311
4,00
-21,
8649
,10
7252
5,53
10,0
00,
570,
010,
0124
,00
-0,2
00,
000,
000,
000,
4710
,00
49,1
00,
3165
,00
31,9
215
,67
Nd1
375,
9kN
20,0
056
,38
20,5
2-2
0,52
45,1
116
,42
-16,
4212
6,00
-31,
5943
,48
5687
8,20
11,0
00,
630,
010,
0124
,00
-0,2
00,
000,
000,
000,
5711
,00
43,4
80,
2552
,68
25,8
711
,25
Md1
939,
7kN
.m22
,00
55,6
322
,48
-22,
4844
,50
17,9
8-1
7,98
138,
00-3
9,94
35,9
738
909,
2112
,00
0,69
0,01
0,01
24,0
0-0
,20
0,00
0,00
0,00
0,69
12,0
035
,97
0,17
36,2
017
,77
6,39
24,0
054
,81
24,4
0-2
4,40
43,8
519
,52
-19,
5215
0,00
-46,
5526
,88
2172
5,54
13,0
00,
750,
010,
0224
,00
-0,2
00,
000,
000,
000,
8113
,00
26,8
80,
0816
,26
7,98
2,15
p10,
0104
por m
il/cm
26,0
053
,93
26,3
0-2
6,30
43,1
421
,04
-21,
0416
2,00
-51,
1216
,61
8298
,42
14,0
00,
810,
010,
0224
,00
-0,1
90,
000,
000,
000,
9414
,00
16,6
1-0
,03
-6,2
5-3
,07
-0,5
1
eg1
-0,2
032
por m
il28
,00
52,9
828
,17
-28,
1742
,38
22,5
3-2
2,53
174,
00-5
3,46
5,62
949,
5115
,00
0,87
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,0kN
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000,
000,
000,
000,
00
I243
3094
5,5
cm4
96,0
0-6
,27
59,6
7-5
9,67
-5,0
247
,74
-47,
7458
2,00
0,00
0,00
0,00
49,0
02,
910,
050,
0624
,04
-0,1
70,
000,
000,
0012
,21
49,0
00,
000,
000,
000,
000,
00
0,00
0,00
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cado
1484
6014
495,
9kN
.cm²
98,0
0-8
,35
59,4
2-5
9,42
-6,6
847
,53
-47,
5359
4,00
0,00
0,00
0,00
50,0
02,
970,
050,
0624
,04
-0,1
70,
000,
000,
0012
,72
50,0
00,
000,
000,
000,
000,
00
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0
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-100
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ARM
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A - E
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-20,
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0
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0
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-40,
00-2
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ção
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tern
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ção
Inte
rna
148
Tabela 9 – Matriz de rigidez reduzida utilizada na análise modal
Fonte: Silva (2017)
Tabela 10 – Matriz de massa reduzida utilizada na análise modal
Fonte: Silva (2017)
Os resultados da análise dinâmica após aplicação de 48% da carga de vento como
carga estática, gerando redução de até 45% do produto de rigidez da estrutura são
apresentados em seguida. A partir da configuração estática não linear obtida, apresentam-se
os resultados da análise dinâmica considerando 52% da carga de vento como parcela dinâmica
aplicando-se o método do Vento Sintético:
[K] 1 2 3 4 5 6
1 7,97E-01 0,00E+00 0,00E+00 0,00E+00 0,00E+00 0,00E+00
2 0,00E+00 1,86E+00 0,00E+00 0,00E+00 0,00E+00 0,00E+00
3 0,00E+00 0,00E+00 2,30E+00 0,00E+00 0,00E+00 0,00E+00
4 0,00E+00 0,00E+00 0,00E+00 2,64E+00 0,00E+00 0,00E+00
5 0,00E+00 0,00E+00 0,00E+00 0,00E+00 2,99E+00 0,00E+00
6 0,00E+00 0,00E+00 0,00E+00 0,00E+00 0,00E+00 3,33E+00
[M] 1 2 3 4 5 6
1 3,63E+03 -8,35E+03 6,15E+03 -1,86E+03 5,48E+02 -1,57E+02
2 -8,35E+03 2,41E+04 -2,53E+04 1,24E+04 -3,68E+03 1,05E+03
3 6,15E+03 -2,53E+04 4,23E+04 -3,63E+04 1,69E+04 -4,85E+03
4 -1,86E+03 1,24E+04 -3,63E+04 5,56E+04 -4,60E+04 2,08E+04
5 5,48E+02 -3,68E+03 1,69E+04 -4,60E+04 6,67E+04 -5,47E+04
6 -1,57E+02 1,05E+03 -4,85E+03 2,08E+04 -5,47E+04 8,63E+04
149
Tabela 11 – Análise dos modos a partir da configuração de equilíbrio estática não-linear
Fonte: Silva (2017)
ModoFrequencias
naturais (Hz)Altura Modo 1 Modo 2 Modo 3 Modo 4 Modo 5 Modo 6
1,00 0,734 40,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000
2,00 3,736 33,333 0,766 0,239 -0,343 -0,924 -1,403 -1,748
3,00 9,690 26,667 0,542 -0,323 -0,594 0,068 1,424 2,868
4,00 18,052 20,000 0,339 -0,542 0,078 0,794 -0,458 -3,601
5,00 27,886 13,333 0,171 -0,435 0,586 -0,302 -0,723 3,487
6,00 38,095 6,667 0,050 -0,168 0,380 -0,730 1,274 -2,655
0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000
0,000
5,000
10,000
15,000
20,000
25,000
30,000
35,000
40,000
45,000
-1,000 -0,500 0,000 0,500 1,000 1,500
Modo 2
0,000
5,000
10,000
15,000
20,000
25,000
30,000
35,000
40,000
45,000
-1,000 -0,500 0,000 0,500 1,000 1,500
Modo 3
0,000
5,000
10,000
15,000
20,000
25,000
30,000
35,000
40,000
45,000
-1,500 -1,000 -0,500 0,000 0,500 1,000 1,500
Modo 4
0,000
5,000
10,000
15,000
20,000
25,000
30,000
35,000
40,000
45,000
-2,000 -1,000 0,000 1,000 2,000
Modo 5
0,000
5,000
10,000
15,000
20,000
25,000
30,000
35,000
40,000
45,000
-4,000 -2,000 0,000 2,000 4,000
Modo 6
0,000
5,000
10,000
15,000
20,000
25,000
30,000
35,000
40,000
45,000
0,000 0,200 0,400 0,600 0,800 1,000 1,200
Modo 1
150
Tabela 12 – Resposta dinâmica da estrutura submetida ao vento sintético – Máx. deslocamento =
0,351
Fonte: Silva (2017)
Tem
po (s
)Se
rie1
Seri
e2Se
rie3
Seri
e4Se
rie5
Seri
e6Se
rie7
Seri
e8Se
rie9
Seri
e10
Seri
e11
Seri
e12
Seri
e13
Seri
e14
Seri
e15
Seri
e16
Seri
e17
Seri
e18
Seri
e19
Seri
e20
0,00
0,00
00,
000
0,00
00,
000
0,00
00,
000
0,00
00,
000
0,00
00,
000
0,00
00,
000
0,00
00,
000
0,00
00,
000
0,00
00,
000
0,00
00,
000
1,00
0,00
00,
000
0,00
00,
000
0,00
00,
000
0,00
00,
000
0,00
00,
000
0,00
00,
000
0,00
00,
000
0,00
00,
000
0,00
00,
000
0,00
00,
000
2,00
-0,1
26-0
,063
-0,0
290,
064
0,14
30,
121
0,07
4-0
,092
0,02
00,
087
-0,0
170,
076
0,05
50,
207
0,14
00,
009
-0,0
130,
049
0,01
7-0
,018
3,00
-0,1
26-0
,063
-0,0
290,
064
0,14
30,
121
0,07
4-0
,092
0,02
00,
087
-0,0
170,
076
0,05
50,
207
0,14
00,
009
-0,0
130,
049
0,01
7-0
,018
4,00
0,09
90,
014
0,04
4-0
,080
-0,0
95-0
,040
-0,0
520,
060
0,03
80,
005
0,03
4-0
,048
-0,0
19-0
,140
-0,0
830,
000
0,00
9-0
,040
0,01
60,
048
5,00
0,09
90,
014
0,04
4-0
,080
-0,0
95-0
,040
-0,0
520,
060
0,03
80,
005
0,03
4-0
,048
-0,0
19-0
,140
-0,0
830,
000
0,00
9-0
,040
0,01
60,
048
6,00
-0,1
95-0
,044
-0,0
780,
144
0,19
40,
103
0,10
6-0
,123
-0,0
510,
023
-0,0
570,
099
0,04
70,
286
0,17
60,
003
-0,0
190,
078
-0,0
19-0
,080
7,00
-0,1
95-0
,044
-0,0
780,
144
0,19
40,
103
0,10
6-0
,123
-0,0
510,
023
-0,0
570,
099
0,04
70,
286
0,17
60,
003
-0,0
190,
078
-0,0
19-0
,080
8,00
0,14
1-0
,026
0,09
1-0
,151
-0,1
110,
016
-0,0
670,
068
0,12
30,
100
0,07
4-0
,052
0,00
5-0
,171
-0,0
840,
009
0,01
2-0
,058
0,06
10,
112
9,00
0,14
1-0
,026
0,09
1-0
,151
-0,1
110,
016
-0,0
670,
068
0,12
30,
100
0,07
4-0
,052
0,00
5-0
,171
-0,0
840,
009
0,01
2-0
,058
0,06
10,
112
10,0
0-0
,213
0,00
8-0
,118
0,20
20,
184
0,02
60,
106
-0,1
14-0
,138
-0,0
87-0
,094
0,09
00,
014
0,27
80,
151
-0,0
08-0
,019
0,08
7-0
,066
-0,1
39
11,0
0-0
,213
0,00
8-0
,118
0,20
20,
184
0,02
60,
106
-0,1
14-0
,138
-0,0
87-0
,094
0,09
00,
014
0,27
80,
151
-0,0
08-0
,019
0,08
7-0
,066
-0,1
39
12,0
00,
137
-0,0
810,
123
-0,1
92-0
,080
0,10
2-0
,056
0,04
60,
204
0,21
10,
104
-0,0
320,
043
-0,1
31-0
,040
0,02
00,
011
-0,0
580,
106
0,16
1
13,0
00,
137
-0,0
810,
123
-0,1
92-0
,080
0,10
2-0
,056
0,04
60,
204
0,21
10,
104
-0,0
320,
043
-0,1
31-0
,040
0,02
00,
011
-0,0
580,
106
0,16
1
14,0
0-0
,190
0,06
2-0
,140
0,22
60,
137
-0,0
620,
086
-0,0
82-0
,206
-0,1
89-0
,116
0,06
2-0
,025
0,21
50,
094
-0,0
18-0
,016
0,07
9-0
,105
-0,1
76
15,0
0-0
,190
0,06
2-0
,140
0,22
60,
137
-0,0
620,
086
-0,0
82-0
,206
-0,1
89-0
,116
0,06
2-0
,025
0,21
50,
094
-0,0
18-0
,016
0,07
9-0
,105
-0,1
76
16,0
00,
099
-0,1
310,
133
-0,1
98-0
,022
0,18
6-0
,028
0,00
70,
256
0,29
90,
117
0,00
10,
080
-0,0
500,
025
0,02
90,
007
-0,0
450,
136
0,18
4
17,0
00,
099
-0,1
310,
133
-0,1
98-0
,022
0,18
6-0
,028
0,00
70,
256
0,29
90,
117
0,00
10,
080
-0,0
500,
025
0,02
90,
007
-0,0
450,
136
0,18
4
18,0
0-0
,139
0,10
4-0
,138
0,21
30,
071
-0,1
370,
053
-0,0
39-0
,239
-0,2
57-0
,118
0,02
6-0
,058
0,12
10,
025
-0,0
25-0
,011
0,06
0-0
,125
-0,1
84
19,0
0-0
,139
0,10
4-0
,138
0,21
30,
071
-0,1
370,
053
-0,0
39-0
,239
-0,2
57-0
,118
0,02
6-0
,058
0,12
10,
025
-0,0
25-0
,011
0,06
0-0
,125
-0,1
84
20,0
00,
037
-0,1
630,
120
-0,1
680,
049
0,24
80,
008
-0,0
390,
268
0,34
50,
109
0,03
80,
108
0,05
20,
095
0,03
40,
001
-0,0
210,
146
0,17
7
21,0
00,
037
-0,1
630,
120
-0,1
680,
049
0,24
80,
008
-0,0
390,
268
0,34
50,
109
0,03
80,
108
0,05
20,
095
0,03
40,
001
-0,0
210,
146
0,17
7
22,0
0-0
,070
0,12
6-0
,114
0,16
7-0
,001
-0,1
830,
015
0,00
7-0
,231
-0,2
79-0
,102
-0,0
11-0
,079
0,01
5-0
,042
-0,0
27-0
,004
0,03
3-0
,124
-0,1
62
23,0
0-0
,070
0,12
6-0
,114
0,16
7-0
,001
-0,1
830,
015
0,00
7-0
,231
-0,2
79-0
,102
-0,0
11-0
,079
0,01
5-0
,042
-0,0
27-0
,004
0,03
3-0
,124
-0,1
62
24,0
0-0
,037
-0,1
740,
087
-0,1
080,
119
0,27
70,
047
-0,0
830,
240
0,34
10,
084
0,07
30,
121
0,15
60,
156
0,03
4-0
,006
0,00
90,
134
0,14
1
25,0
0-0
,037
-0,1
740,
087
-0,1
080,
119
0,27
70,
047
-0,0
830,
240
0,34
10,
084
0,07
30,
121
0,15
60,
156
0,03
4-0
,006
0,00
90,
134
0,14
1
26,0
00,
005
0,12
4-0
,073
0,09
6-0
,066
-0,1
93-0
,023
0,04
8-0
,183
-0,2
50-0
,069
-0,0
43-0
,085
-0,0
83-0
,096
-0,0
250,
003
0,00
2-0
,101
-0,1
14
27,0
00,
005
0,12
4-0
,073
0,09
6-0
,066
-0,1
93-0
,023
0,04
8-0
,183
-0,2
50-0
,069
-0,0
43-0
,085
-0,0
83-0
,096
-0,0
250,
003
0,00
2-0
,101
-0,1
14
28,0
0-0
,110
-0,1
600,
039
-0,0
290,
177
0,26
80,
082
-0,1
180,
175
0,28
80,
046
0,10
00,
119
0,24
50,
200
0,02
9-0
,013
0,03
90,
102
0,08
3
29,0
0-0
,110
-0,1
600,
039
-0,0
290,
177
0,26
80,
082
-0,1
180,
175
0,28
80,
046
0,10
00,
119
0,24
50,
200
0,02
9-0
,013
0,03
90,
102
0,08
3
30,0
00,
074
0,09
9-0
,021
0,01
3-0
,115
-0,1
67-0
,053
0,07
6-0
,105
-0,1
76-0
,026
-0,0
65-0
,074
-0,1
59-0
,128
-0,0
170,
008
-0,0
26-0
,061
-0,0
47
31,0
00,
074
0,09
9-0
,021
0,01
3-0
,115
-0,1
67-0
,053
0,07
6-0
,105
-0,1
76-0
,026
-0,0
65-0
,074
-0,1
59-0
,128
-0,0
170,
008
-0,0
26-0
,061
-0,0
47
32,0
0-0
,171
-0,1
24-0
,015
0,05
60,
214
0,22
40,
107
-0,1
390,
085
0,19
6-0
,001
0,11
50,
100
0,30
40,
219
0,02
0-0
,018
0,06
50,
055
0,01
1
33,0
0-0
,171
-0,1
24-0
,015
0,05
60,
214
0,22
40,
107
-0,1
390,
085
0,19
6-0
,001
0,11
50,
100
0,30
40,
219
0,02
0-0
,018
0,06
50,
055
0,01
1
34,0
00,
125
0,05
40,
034
-0,0
71-0
,138
-0,1
07-0
,072
0,08
9-0
,007
-0,0
680,
022
-0,0
72-0
,048
-0,2
00-0
,133
-0,0
070,
012
-0,0
49-0
,010
0,02
7
35,0
00,
125
0,05
40,
034
-0,0
71-0
,138
-0,1
07-0
,072
0,08
9-0
,007
-0,0
680,
022
-0,0
72-0
,048
-0,2
00-0
,133
-0,0
070,
012
-0,0
49-0
,010
0,02
7
36,0
0-0
,211
-0,0
73-0
,068
0,13
50,
223
0,15
10,
119
-0,1
43-0
,016
0,07
8-0
,047
0,11
60,
069
0,32
60,
210
0,00
8-0
,021
0,08
30,
001
-0,0
62
37,0
0-0
,211
-0,0
73-0
,068
0,13
50,
223
0,15
10,
119
-0,1
43-0
,016
0,07
8-0
,047
0,11
60,
069
0,32
60,
210
0,00
8-0
,021
0,08
30,
001
-0,0
62
38,0
00,
152
-0,0
020,
083
-0,1
42-0
,133
-0,0
24-0
,077
0,08
30,
094
0,05
50,
065
-0,0
65-0
,012
-0,2
01-0
,110
0,00
50,
014
-0,0
620,
045
0,09
6
39,0
00,
152
-0,0
020,
083
-0,1
42-0
,133
-0,0
24-0
,077
0,08
30,
094
0,05
50,
065
-0,0
65-0
,012
-0,2
01-0
,110
0,00
50,
014
-0,0
620,
045
0,09
6
40,0
0-0
,224
-0,0
14-0
,111
0,19
50,
205
0,06
10,
115
-0,1
28-0
,112
-0,0
47-0
,086
0,10
10,
030
0,30
50,
175
-0,0
04-0
,021
0,09
0-0
,052
-0,1
26
-0,4
00
-0,3
00
-0,2
00
-0,1
00
0,00
0
0,10
0
0,20
0
0,30
0
0,40
0
0,50
0 0,00
100,
0020
0,00
300,
0040
0,00
500,
0060
0,00Se
rie1
Serie
2
Serie
3
Serie
4
Serie
5
Serie
6
Serie
7
Serie
8
Serie
9
Serie
10
Serie
11
Serie
12
Serie
13
Serie
14
Serie
15
Serie
16
Serie
17
Serie
18
Serie
19
Serie
20
151
Tabela 13 – Deslocamento total da análise dinâmica em torno da configuração não-linear
Fonte: Silva (2017)
9.5 Resultados Comparativos
A fim de atestar se os resultados obtidos pelo programa desenvolvido foram
devidamente calculados, realizou-se uma análise do mesmo exemplo numérico no software
comercial SAP2000 v14 que é um programa de análise computacional de estruturas
consagrado no mercado.
O SAP2000 v14 trata-se de um programa de elementos finitos capaz de realizar
análises de 1ª e 2ª ordem com não linearidade geométrica em estruturas lineares, porém não
conta com uma calculadora de tensões para a seção transversal, por isso adotam-se métodos
indiretospara verificação dos resultados da análise não linear física.
AlturaDesloc.
Total (m)
40,0 0,753
33,3 0,568
26,7 0,394
20,0 0,243
13,3 0,120
6,7 0,034
0,0 0,000
152
9.5.1 Análise Linear Estática
A seguir apresentam-se resultados de esforços solicitantes e deslocamentos de primeira
ordem para o mesmo exemplo numérico da estrutura apresentada anteriormente.
Observa-se pequena diferença nos valores dos esforços e deslocamentos quando
comparados aos valores obtidos pelo programa de cálculo desenvolvido.
Figura 54 - Esforço de momento fletor de primeira ordem obtido pelo programa SAP2000
Fonte: Silva (2017)
153
Figura 55 - Deslocamentos de primeira ordem obtidos pelo programa SAP2000
Fonte: Silva (2017)
154
9.5.2 Análise Não Linear Estática – Não linearidade Geométrica
A seguir apresentam-se resultados de esforços solicitantes e deslocamentos de segunda
ordem (sem a consideração da não linearidade física) para a mesma estrutura apresentada
anteriormente.
Observa-se pequena diferença nos valores dos esforços e deslocamentos quando
comparados aos valores obtidos pelo programa de cálculo desenvolvido, provavelmente
devido a discretização otimizada adotada pelo programa comercial.
Figura 56 - Esforços de segunda ordem obtidos pelo programa SAP2000
Fonte: Silva (2017)
155
Figura 57 - Deslocamentos de segunda ordem obtidos pelo programa SAP2000
Fonte: Silva (2017)
156
9.5.3 Rigidez Efetiva
No trabalho de Brasil e Silva (2006) é apresentada uma formulação para determinação
da rigidez efetiva de seções tubulares circulares de concreto armado submetidas à flexo-
compressão baseada na relação
entre esforços solicitantes (Mk) e esforços últimos
resistentes (Mu) para determinado nível de esforço normal. O autor considera que a partir
desta relação, pode-se estabelecer graficamente uma equação para a variação da rigidez
efetiva
onde,
é o momento de inércia da seção de concreto fissurada, incluindo a contribuição da
seção homogeneizada de aço
é o momento de inércia total da seção não fissurada, incluindo a contribuição da
seção homogeneizada de aço
Tal formulação pôde ser obtida a partir de ensaios em estruturas com características de
material e formato similares a da estrutura apresentada no exemplo numérico deste capítulo.
A partir dos dados e resultados de ensaios de carga em determinada seção de uma torre
de concreto armado real submetida a ações de vento e peso-próprio, Brasil e Silva (2006)
chegaram na seguinte distribuição de pontos e linhas de tendência para a variação do valor do
fator de redução da rigidez (w) conforme a variação da relação
:
157
Figura 58 – Pontos obtidos da aplicação do ensaio
Fonte: Brasil e Silva (2006)
Aplicando o método dos mínimos quadrados para diversos pontos
e aproximando para a função cúbica chegou-se ao gráfico
de tendências e tabela de parâmetros mostrados a seguir:
Figura 59 - Linhas de tendência obtidas a partir de ensaios
Fonte: Brasil e Silva (2006)
158
Tabela 14 – Valores para a, b, c e d para seções solicitadas com até 0,8 de Mu
Fonte: Brasil e Silva (2006)
Para efeitos de comparação com nosso exemplo numérico, adotaremos a seguinte
equação para determinação de “w” que contém os parâmetros a, b, c e d compatíveis para a
seção mais solicitada de nosso exemplo numérico:
159
Utilizando a calculadora da posição de equilíbrio da seção desenvolvida para o
software de cálculo, chegou-se no valor de esforço solicitante último ( ) para a seção mais
solicitada da estrutura do exemplo numérico.
Tabela 15 – Esforço solicitante máximos (Mu)
Fonte: Silva (2017)
Desta forma, temos:
:
Seção Externa Seção Interna
Diâmetro ext 120,0 cm Ângulo º X Y X Y Ângulo º X Y Is (cm4)
Raio ext 60,0 cm 0,00 60,00 0,00 0,00 48,00 0,00 0,00 6,00 53,46 5,62 949,51
Diâmetro int 96,0 cm 2,00 59,96 2,09 -2,09 47,97 1,68 -1,68 18,00 51,12 16,61 8298,42
Raio int 48,0 cm 4,00 59,85 4,19 -4,19 47,88 3,35 -3,35 30,00 46,55 26,88 21725,54
Cobrimento 5,0 cm 6,00 59,67 6,27 -6,27 47,74 5,02 -5,02 42,00 39,94 35,97 38909,21
Barra 25,0 8,00 59,42 8,35 -8,35 47,53 6,68 -6,68 54,00 31,59 43,48 56878,20
Quantidade 30,0 10,00 59,09 10,42 -10,42 47,27 8,34 -8,34 66,00 21,86 49,10 72525,53
Ângulo 12,0 12,00 58,69 12,47 -12,47 46,95 9,98 -9,98 78,00 11,18 52,58 83145,62
Raio 53,8 14,00 58,22 14,52 -14,52 46,57 11,61 -11,61 90,00 0,00 53,75 86902,16
alfa i 0,9 16,00 57,68 16,54 -16,54 46,14 13,23 -13,23 102,00 -11,18 52,58 83145,62
18,00 57,06 18,54 -18,54 45,65 14,83 -14,83 114,00 -21,86 49,10 72525,53
Nd1 375,9 kN 20,00 56,38 20,52 -20,52 45,11 16,42 -16,42 126,00 -31,59 43,48 56878,20
Md1 3150,0 kN.m 22,00 55,63 22,48 -22,48 44,50 17,98 -17,98 138,00 -39,94 35,97 38909,21
24,00 54,81 24,40 -24,40 43,85 19,52 -19,52 150,00 -46,55 26,88 21725,54
p1 0,1104 por mil/cm 26,00 53,93 26,30 -26,30 43,14 21,04 -21,04 162,00 -51,12 16,61 8298,42
eg1 -3,4724 por mil 28,00 52,98 28,17 -28,17 42,38 22,53 -22,53 174,00 -53,46 5,62 949,51
30,00 51,96 30,00 -30,00 41,57 24,00 -24,00 186,00 -53,46 -5,62 949,51
fck 45,0 Mpa 32,00 50,88 31,80 -31,80 40,71 25,44 -25,44 198,00 -51,12 -16,61 8298,42
Ecs 34278,9 Mpa 34,00 49,74 33,55 -33,55 39,79 26,84 -26,84 210,00 -46,55 -26,88 21725,54
c 1,3 36,00 48,54 35,27 -35,27 38,83 28,21 -28,21 222,00 -39,94 -35,97 38909,21
delta h 0,1 cm 38,00 47,28 36,94 -36,94 37,82 29,55 -29,55 234,00 -31,59 -43,48 56878,20
fct 3,8 40,00 45,96 38,57 -38,57 36,77 30,85 -30,85 246,00 -21,86 -49,10 72525,53
A 4,9 cm² 42,00 44,59 40,15 -40,15 35,67 32,12 -32,12 258,00 -11,18 -52,58 83145,62
Es 210000,0 Mpa 44,00 43,16 41,68 -41,68 34,53 33,34 -33,34 270,00 0,00 -53,75 86902,16
fyk 500,0 Mpa 46,00 41,68 43,16 -43,16 33,34 34,53 -34,53 282,00 11,18 -52,58 83145,62
s 1,2 48,00 40,15 44,59 -44,59 32,12 35,67 -35,67 294,00 21,86 -49,10 72525,53
alfa e 6,1 50,00 38,57 45,96 -45,96 30,85 36,77 -36,77 306,00 31,59 -43,48 56878,20
fsd,fad 175,0 Mpa 52,00 36,94 47,28 -47,28 29,55 37,82 -37,82 318,00 39,94 -35,97 38909,21
Mr 836,3 54,00 35,27 48,54 -48,54 28,21 38,83 -38,83 330,00 46,55 -26,88 21725,54
56,00 33,55 49,74 -49,74 26,84 39,79 -39,79 342,00 51,12 -16,61 8298,42
p<e-eg/Re 0,1 58,00 31,80 50,88 -50,88 25,44 40,71 -40,71 354,00 53,46 -5,62 949,51
p>-(e-eg/Re) -0,1 60,00 30,00 51,96 -51,96 24,00 41,57 -41,57 366,00 0,00 0,00 0,00
eg > 2 -2,0 por mil 62,00 28,17 52,98 -52,98 22,53 42,38 -42,38 378,00 0,00 0,00 0,00
eg < 2 2,0 por mil 64,00 26,30 53,93 -53,93 21,04 43,14 -43,14 390,00 0,00 0,00 0,00
Soma Fc + Fa = N 375,9 kN 66,00 24,40 54,81 -54,81 19,52 43,85 -43,85 402,00 0,00 0,00 0,00
Soma Mc + Ma = Md 3150,0 kN.m 68,00 22,48 55,63 -55,63 17,98 44,50 -44,50 414,00 0,00 0,00 0,00
70,00 20,52 56,38 -56,38 16,42 45,11 -45,11 426,00 0,00 0,00 0,00
72,00 18,54 57,06 -57,06 14,83 45,65 -45,65 438,00 0,00 0,00 0,00
0,4*fcd 13,8 Mpa 74,00 16,54 57,68 -57,68 13,23 46,14 -46,14 450,00 0,00 0,00 0,00
sigma,c, max 29,4 Mpa 76,00 14,52 58,22 -58,22 11,61 46,57 -46,57 462,00 0,00 0,00 0,00
sigma,s, max 434,7 Mpa 78,00 12,47 58,69 -58,69 9,98 46,95 -46,95 474,00 0,00 0,00 0,00
ei,c,max (por mil) 3,1 por mil 80,00 10,42 59,09 -59,09 8,34 47,27 -47,27 486,00 0,00 0,00 0,00
ei,s,max (por mil) -9,4 por mil 82,00 8,35 59,42 -59,42 6,68 47,53 -47,53 498,00 0,00 0,00 0,00
84,00 6,27 59,67 -59,67 5,02 47,74 -47,74 510,00 0,00 0,00 0,00
EI,eq- 14293961473,5 kN.cm² 86,00 4,19 59,85 -59,85 3,35 47,88 -47,88 522,00 0,00 0,00 0,00
M/v" 2852528235,4 kN.cm² 88,00 2,09 59,96 -59,96 1,68 47,97 -47,97 534,00 0,00 0,00 0,00
EI 25068423935,2 kN.cm² 90,00 0,00 60,00 -60,00 0,00 48,00 -48,00 546,00 0,00 0,00 0,00
EI,eq/EI 0,6 kN.cm² 92,00 -2,09 59,96 -59,96 -1,68 47,97 -47,97 558,00 0,00 0,00 0,00
Itotal 7313072,4 cm4 94,00 -4,19 59,85 -59,85 -3,35 47,88 -47,88 570,00 0,00 0,00 0,00
I2 4109955,2 cm4 96,00 -6,27 59,67 -59,67 -5,02 47,74 -47,74 582,00 0,00 0,00 0,00
EI,eq - verificado 14088483331,6 kN.cm² 98,00 -8,35 59,42 -59,42 -6,68 47,53 -47,53 594,00 0,00 0,00 0,00
BarrasSeção
Rigidez equivalente
Restrições - Esforços Máximos
Dados dos Materiais
Deformações e Curvaturas
Esforços Máximos
Verificações
-80,00
-60,00
-40,00
-20,00
0,00
20,00
40,00
60,00
80,00
-600,00 -400,00 -200,00 0,00 200,00 400,00 600,00
Tensão (s) x Altura (z) - Esforços Máximos
CONCRETO - Esforços 1 ARMADURA - Esforços 1
-80,00
-60,00
-40,00
-20,00
0,00
20,00
40,00
60,00
80,00
-80,00 -60,00 -40,00 -20,00 0,00 20,00 40,00 60,00 80,00
SEÇÃO
Seção Externa Seção Externa
Seção Interna Seção Interna
160
A porcentagem da rigidez efetiva obtida pela calculadora do programa desenvolvido na
seção mais solicitada do exemplo numérico foi de 59,22%. Portanto, obtivemos uma
aproximação satisfatoriamente razoável para a rigidez efetiva quando comparada com a
calculada pela formulação de Brasil e Silva (2006).
9.5.4 Análise Não Linear Estática – Não linearidade Geométrica e Física
A seguir apresentam-se resultados de esforços e deslocamentos de segunda ordem
(com a consideração da não linearidade física aplicando-se um fator de redução no produto de
rigidez nas seções fissuradas) para a mesma estrutura apresentada anteriormente.
Figura 60 - Esforços de segunda ordem obtidos pelo programa SAP2000
Fonte: Silva (2017)
161
Figura 61 - Deslocamentos de segunda ordem obtidos pelo programa SAP2000
Fonte: Silva (2017)
162
9.5.5 Análise de Vibrações Livres
A seguir apresentam-se os modos de vibração e frequencias naturais para a mesma
estrutura apresentada anteriormente.
Observa-se diferença significativa nos valores das frequências naturais apenas a partir
do terceiro modo de vibração devido à baixa precisão do método “Matriz Iterations” para
elevados modos de vibração.
Figura 62 - Primeiro modo de vibração - T = 1,79s – f = 0,56 Hz
Fonte: Silva (2017)
163
Figura 63 – Segundo modo de vibração T = 0,39s – f = 2,56 Hz
Fonte: Silva (2017)
164
Figura 64 – Segundo modo de vibração T = 0,134s – f = 7,46 Hz
Fonte: Silva (2017)
165
Figura 65 - Quarto modo de vibração - T = 0,08s – f = 12,5 Hz
Fonte: Silva (2017)
166
Figura 66 - Quinto modo de vibração - T = 0,04s – f = 25 Hz
Fonte: Silva (2017)
167
Figura 67 - Sexto modo de vibração - T = 0,03s – f = 33,3 Hz
Fonte: Silva (2017)
168
1De acordo com a Associação Brasileira de Normas Técnicas (ABNT NBR 6023).
Capítulo 10 –Resultados e
Conclusões A partir da análise realizada, pôde-se observar que a análise dinâmica não linear para
estruturas esbeltas, como é o caso das torres de telecomunicação em concreto armado, é
essencial porque leva a deslocamentose, portanto, esforços na estrutura até duas vezesmaiores
do que aqueles obtidos pela simples análise estática linear da estrutura. Esta diferença pode
ser relacionada ao fato de que os deslocamentos e a frequência natural da estrutura isostática
estudada são consideravelmente sensíveis à diminuição do produto de rigidez dos segmentos
inferiores da torre.
De forma a comparar os resultados, apresenta-se uma tabela com os deslocamentos
obtidos nas diferentes análises: 1) linear estática x não linear estática –2) linear dinâmica pelo
método discreto da NBR6132 x não linear dinâmica pelo método do vento sintético. Os
resultados comparam a intensidade do deslocamento do topo da torre para diferentes alturas
de torre simuladas com as mesmas demais características geométricas da torre apresentada no
capítulo anterior:
Tabela 16 – Tabela comparativa de resultados obtidos nas análises estáticas
Características da Torre
Deslocamento do topo (m)
Altura da Torre
(m)
Índice de Esbeltez
(λ)
Análise Estática Linear
Análise Estática
Não-linear Dif (%)
30 107,820 0,129 0,140 9% 40 143,760 0,342 0,632 85% 50 179,700 0,746 1,740 133%
60 215,600 1,432 3,924 174%
Fonte: Silva (2017)
169
Tabela 17 – Tabela comparativa de resultados obtidos nas análises dinâmicas
Características da Torre Deslocamento do topo (m)
Altura da Torre (m)
Índice de Esbeltez (λ)
Análise Dinâmica Linear (Modelo Discreto da
NBR6123)
Análise Dinâmica Não-linear (Método do Vento Sintético)
Dif (%)
30 107,820 0,142 0,196 38% 40 143,760 0,520 0,753 45% 50 179,700 0,821 2,420 195%
60 215,600 1,562 4,883 213%
Fonte: Silva (2017)
A partir da observação das diferenças encontradas concluímos que a análise não linear
é fundamental em ambos as abordagens, seja dinâmica ou estática, pois leva a resultados até
174% maiores na análise estática e até 213% maiores na análise dinâmica. Estas diferenças
são cada vez mais perceptíveis quanto maior é a esbeltez da torre estudada. Percebe-se
também que o método do vento sintético sempre levou a resultados de deslocamenteo maiores
do que aqueles obtidos pelo método discreto da NBR6123 configurando assim uma
abordagem mais conservadora para o dimensionamento destas torres.
O método do “vento sintético” sugerido pelo Prof. Mário Franco permitiu um enfoque
estocástico coerente com a aleatoriedade dos efeitos do vento.
O presente trabalho apresentou uma metodologia de análise de torres de concreto
armado baseada na aplicação do método do vento sintético considerando restrições
dimensionais da seção da torre e aquelas dadas pelo comportamento não linear do concreto
armado.
Devido ao enfoque dado a análise não linear e na observação do comportamento
dinâmico da torre sob excitação do vento ao longo do tempo foi necessário o estudo dos
conceitos de programação matemática e aplicação de diversos métodos numéricos de
integração.
A verificação de estado limite último da estrutura após obtenção dos deslocamentos da
análise dinâmica, a otimização e a consideração de microfissuras que reduzem a rigidez
efetiva inicial da estrutura ficam como sugestões para trabalhos futuros.
170
1De acordo com a Associação Brasileira de Normas Técnicas (ABNT NBR 6023).
Referência Bibliográfica ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS (ABNT). NBR 6118 –
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destinado a armaduras para estruturas de concreto armado - Especificação. ABNT. Rio de
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flexão oblíqua composta.Tese (Doutorado) – Escola Politécnica da Universidade de São
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do Elemento de Concreto Centrifugado, Anais do 52º Congresso Brasileiro do Concreto, São
Paulo-SP.
173
Anexo - Código fonte do
software de cálculo Inicialização das Variáveis e Limpeza de Resultados
Option Base 1
Public ite, erro As Integer
Public ite_max As Integer
Public ite_nlfg As Integer
Public conv, tol As Double
Public conv_nlfg As Double
Public maior_modo As Double
Public i, j, k, m, n, o, p, div_modal, GL, GL_red, cont, cont_elem, serie, opcao As
Integer
Public diam_topo, diam_base, esp, alt, alt_cone, alt_cone_int, h_elem, h_elem_modal,
Es, alfa, gama_c, gama_s, gama_f3, c, fi, q_base, q_topo, E, Arm, At_arm_base,
At_arm_topo, div, resto_m, resto_n, massa_topo, amortecimento, Vento_plataforma As
Double
Public desloc_modal
'variáveis vento-sintetico
Public C_aero As Double
Public d_ar As Double
Public U0 As Double
Public V0 As Double
Public Vk() As Double
Public u As Double
Public F() As Double
Public X() As Double
Public Sv() As Double
Public Sp() As Double
Public ck() As Double
Public cc() As Double
174
Public soma_cc As Double
'variaveis resposta dinamica
Public amp() As Double
Public T As Double
Public passos As Double
Public incremento_t As Double
Public fase() As Double
Public Ft() As Double
Public pt() As Double
Public q_vento() As Double
Public q_peso() As Double
Public y() As Double
Public w() As Double
Public m1_y As Double
Public m2_y As Double
Public m1_w As Double
Public m2_w As Double
Public An() As Double
Public Bn() As Double
Public A_sen() As Double
Public B_cos() As Double
Public desloc_topo() As Double
Public desloc_topo_fase() As Double
Public desloc_topo_passo() As Double
Public M_p_gen As Variant
Public M_p_gen_amp() As Double
'variaveis deslocamento dinamica
Public desloc_topo_max As Double
Public desloc_dinamica() As Double
Public desloc_dinamica_total() As Double
'variáveis analise modal matrix iteration
Public M_global_flex_modal As Variant
175
Public M_dinamica As Variant
Public M_dinamica_mutavel As Variant
Public V_modal_normalizado() As Double
Public V_modal_normalizado_mutavel As Variant
Public V_modal() As Double
Public V_modal_mutavel As Variant
Public erro_modal As Double
Public tol_modal As Double
Public f_natural() As Double
Public M_sweeping As Variant
Public V_modo_vibracao As Variant
Public M_modo_vibracao() As Double
Public M_modo_vibracao_trans As Variant
Public V_modo_mutavel As Variant
Public V_modo_mutavel_trans As Variant
Public M_sweeping_auxiliar As Variant
Public M_sweeping_mutavel As Variant
'variáveis analise modal Rayleigh
Public M_global_flex_rayleigh As Variant
Public V_modal_rayleigh() As Double
Public V_forca_inercia As Variant
Public V_modo_vibracao_rayleigh() As Double
Public M_auxiliar_rayleigh As Variant
Public M_auxiliar_rayleigh_div As Variant
Public V_modo_auxiliar As Variant
Public V_modo_normalizado_rayleigh() As Double
Public f_natural_rayleigh() As Double
Public frequencia_natural() As Double
'variaveis matriz de rigidez global modal
Public M_rigidez_modal() As Double
Public M_elem_rig_modal() As Double
Public M_espalha_rig_modal() As Double
Public M_global_rig_modal As Variant
176
Public M_rig_nao_red() As Double
Public M_rig_T_barra As Variant
Public M_rig_T() As Double
Public M_rig_T_trans As Variant
Public M_rig_ss As Variant
Public M_rig_sp As Variant
Public M_rig_auxiliar As Variant
'variaveis matriz de massa global modal
Public vol_tronco() As Double
Public vol_tronco_int() As Double
Public massa_linear() As Double
Public M_elem_massa() As Double
Public M_espalha_massa() As Double
Public M_global_massa As Variant
Public M_massa_gen() As Double
Public M_massa_con As Variant
Public M_massa_nao_red() As Double
Public M_massa_T_barra As Variant
Public M_massa_T As Variant
Public M_massa_T_trans As Variant
Public M_massa_ss As Variant
Public M_massa_sp As Variant
Public M_massa_auxiliar As Variant
'variaveis matriz global
Public M_elem_eng(1 To 6, 1 To 6) As Double
Public M_elem_liv(1 To 6, 1 To 6) As Double
Public M_elem() As Double
Public M_global() As Double
Public M_rigidez() As Double
Public M_rigidez_elem() As Double
Public M_espalha() As Double
Public Iner_A() As Double
Public Ix() As Double
177
Public A() As Double
Public diam_var_ext() As Double
Public diam_var_int() As Double
Public At_arm() As Double
Public q_barras() As Double
'variaveis esforcos_2ordem
Public V_esforco_2ordem() As Double
Public deltaM_k() As Double
Public curvatura() As Double
'variaveis deslocamento_2ordem
Public V_desloc_final_2ordem() As Double
Public V_desloc_nlfg() As Double
Public V_rotacao_2ordem() As Double
Public Momento_intermediario() As Double
Public V_transversal_2ordem() As Double
Public Rotacao_intermediario() As Double
'variaveis esforcos_1ordem
Public V_desloc_elem() As Double
Public V_forcas_elem() As Double
Public V_esforco() As Double
Public V_mutavel_desloc() As Double
Public V_mutavel_rig() As Double
Public V_mutavel_reacao() As Double
Public V_mutavel_esforco As Variant
Public V_mutavel_forcas() As Double
Public V_vento_plataforma As Double
'variaveis deslocamento_1ordem
Public V_forcas() As Double
Public V_vento_est() As Double
Public V_peso() As Double
Public V_desloc As Variant
178
Public V_desloc_final() As Double
Public M_livre_inv As Variant
Public M_livre() As Double
Public Sub A0_inicializacao()
Sheets("Secao Transversal").Select
For k = 1 To 13
For i = 2 To Cells(Rows.Count, k).End(xlUp).Row
Cells(i, k).ClearContents
Next i
Next k
Sheets("Analise Estatica").Select
For k = 1 To Cells(1, Columns.Count).End(xlToLeft).Column
For i = 2 To Cells(Rows.Count, k).End(xlUp).Row
Cells(i, k).ClearContents
Next i
Next k
Sheets("Analise Dinamica").Select
For k = 1 To Cells(1, Columns.Count).End(xlToLeft).Column
For i = 2 To Cells(Rows.Count, k).End(xlUp).Row
Cells(i, k).ClearContents
Next i
Next k
Sheets("Resposta Dinamica").Select
For k = 1 To Cells(1, Columns.Count).End(xlToLeft).Column
For i = 2 To Cells(Rows.Count, k).End(xlUp).Row
Cells(i, k).ClearContents
Next i
Next k
Sheets("Verificacao_M_global").Select
179
For k = 1 To Cells(1, Columns.Count).End(xlToLeft).Column
For i = 1 To Cells(Rows.Count, k).End(xlUp).Row
Cells(i, k).ClearContents
Next i
Next k
Sheets("M_global_massa").Select
For k = 1 To Cells(1, Columns.Count).End(xlToLeft).Column
For i = 1 To Cells(Rows.Count, k).End(xlUp).Row
Cells(i, k).ClearContents
Next i
Next k
Sheets("M_global_rig_modal").Select
For k = 1 To Cells(1, Columns.Count).End(xlToLeft).Column
For i = 1 To Cells(Rows.Count, k).End(xlUp).Row
Cells(i, k).ClearContents
Next i
Next k
Sheets(1).Select
diam_topo = Range("B2").Value
diam_base = Range("B3").Value
esp = Range("B4").Value
alt = Range("B5").Value
div = Range("B6").Value
E = Range("B7").Value
c = Range("B12").Value
fi = Range("B13").Value
q_base = Range("B14").Value
q_topo = Range("B15").Value
fck = Range("B10").Value
fyk = Range("B11").Value
Es = Range("B16").Value
180
gama_c = Range("B17").Value
gama_s = Range("B18").Value
gama_f3 = Range("B22").Value
alfa = Range("B20").Value
div_modal = Range("B24").Value
massa_topo = Range("B26").Value
amortecimento = 5 / 100
serie = Range("B28").Value
passos = Range("B29").Value
opcao = Range("J15").Value
Arm = Range("B8").Value
At_arm_topo = q_topo * Arm
At_arm_base = q_base * Arm
h_elem = alt / div
h_elem_modal = alt / div_modal
alt_cone = ((diam_base - diam_topo) / alt * 2) * diam_topo / 2
alt_cone_int = (((diam_base - 2 * esp) - (diam_topo - 2 * esp)) / alt * 2) * (diam_topo -
2 * esp) / 2
ite_max = 10
ite = 1
tol = 0.01
conv = 0.01
erro = 0
181
Vento_plataforma = 4.433 + 3.678 + 10.063
T = 600
incremento_t = T / passos
GL = 2 * div_modal
GL_red = div_modal
'variáveis vento-sintetico
ReDim Vk(div_modal)
ReDim F(11)
ReDim X(11)
ReDim Sv(11)
ReDim Sp(11)
ReDim ck(11)
ReDim cc(11)
'variaveis resposta dinamica
ReDim amp(11)
ReDim fase(11)
ReDim Ft(div_modal)
ReDim pt(div_modal, 1)
ReDim q_vento(div_modal)
ReDim q_peso(div_modal)
ReDim y(passos, 11, div_modal)
ReDim w(passos, 11, div_modal)
ReDim An(passos, 11, div_modal)
ReDim Bn(passos, 11, div_modal)
ReDim A_sen(passos, 11, div_modal)
ReDim B_cos(passos, 11, div_modal)
ReDim desloc_topo(div_modal, serie, passos)
ReDim desloc_topo_fase(11, serie, passos)
ReDim desloc_topo_passo(passos, serie)
182
ReDim M_p_gen_amp(GL_red)
'variaveis deslocamento dinamica
ReDim desloc_dinamica(GL_red)
ReDim desloc_dinamica_total(GL_red + 1)
'variáveis análise modal
ReDim M_global_flex_modal(GL_red, GL_red)
ReDim M_dinamica(GL_red, GL_red)
ReDim M_dinamica_mutavel(GL_red, GL_red)
ReDim V_modal_normalizado(GL_red, GL_red, ite_max)
ReDim V_modal_normalizado_mutavel(GL_red, 1)
ReDim V_modal(GL_red, GL_red, ite_max)
ReDim V_modal_mutavel(GL_red, 1)
ReDim f_natural(GL_red)
ReDim M_sweeping(GL_red, GL_red, GL_red)
ReDim V_modo_vibracao(GL_red, GL_red, GL_red)
ReDim M_modo_vibracao(GL_red, GL_red)
ReDim V_modo_mutavel(GL_red, 1)
ReDim V_modo_mutavel_trans(1, GL_red)
ReDim M_sweeping_auxiliar(GL_red, GL_red)
ReDim M_sweeping_mutavel(GL_red, GL_red)
'variáveis analise modal Rayleigh
ReDim M_global_flex_rayleigh(GL_red, GL_red)
ReDim V_modal_rayleigh(GL_red, 1)
ReDim V_modal_rayleigh_trans(1, GL_red)
ReDim V_forca_inercia(GL_red)
ReDim V_modo_vibracao_rayleigh(GL_red, 1)
ReDim V_modo_normalizado_rayleigh(GL_red, 1)
ReDim f_natural_rayleigh(GL_red)
ReDim frequencia_natural(GL_red)
'variaveis rigidez modal
ReDim M_rigidez_modal(GL)
183
ReDim M_elem_rig_modal(4, 4, div_modal + 1)
ReDim M_espalha_rig_modal(GL, div_modal + 1)
ReDim M_rig_nao_red(GL, GL)
ReDim M_rig_T(GL, GL_red)
ReDim M_rig_ss(GL_red, GL_red)
ReDim M_rig_sp(GL_red, GL_red)
ReDim M_rig_T_barra(GL_red, GL_red)
'variaveis massa modal
ReDim massa_linear(div + 1)
ReDim vol_tronco(div)
ReDim vol_tronco_int(div)
ReDim M_elem_massa(4, 4, div_modal + 1)
ReDim M_espalha_massa(GL, div_modal + 1)
ReDim M_massa_gen(GL_red)
ReDim M_massa_nao_red(GL, GL)
ReDim M_massa_T(GL, GL_red)
ReDim M_massa_T_barra(GL_red, GL_red)
ReDim M_massa_ss(GL_red, GL_red)
ReDim M_massa_sp(GL_red, GL_red)
'variaveis matriz global
ReDim M_global((div + 1) * 3, (div + 1) * 3)
ReDim M_espalha((div + 1) * 3, div)
ReDim M_elem(6, 6, div)
ReDim M_rigidez(div + 1)
ReDim M_rigidez_elem(div)
ReDim Iner_A(div + 1)
ReDim Ix(div + 1)
ReDim A(div + 1)
ReDim At_arm(div + 1)
ReDim A_arm(div + 1)
ReDim diam_var_ext(div + 1)
ReDim diam_var_int(div + 1)
ReDim q_barras(div + 1)
184
'variaveis esforcos_2ordem
ReDim deltaM_k(div + 1, 1, ite_max)
ReDim V_esforco_2ordem(6, 1, div, ite_max)
ReDim curvatura(div + 1)
'variaveis deslocamento_2ordem
ReDim Rotacao_intermediario(div + 1)
ReDim V_rotacao_2ordem(div + 1, 1)
ReDim Momento_intermediario(div + 1)
ReDim V_transversal_2ordem(div + 1, 1)
ReDim V_desloc_final_2ordem((div + 1) * 3, 1, ite_max)
ReDim V_desloc_nlfg((div + 1) * 3, 1, ite_max)
'variaveis esforcos_1ordem
ReDim V_desloc_elem(6, 1, div)
ReDim V_forcas_elem(6, 1, div)
ReDim V_esforco(6, 1, div)
ReDim V_mutavel_desloc(6, 1)
ReDim V_mutavel_rig(6, 6)
ReDim V_mutavel_forcas(6, 1)
ReDim V_mutavel_esforco(6, 1)
'variaveis deslocamento_1ordem
ReDim V_forcas(div * 3, 1)
ReDim V_desloc(div * 3, 1)
ReDim V_desloc_final((div + 1) * 3, 1)
ReDim V_vento_est(div + 1)
ReDim V_peso(div + 1)
ReDim M_livre(div * 3, div * 3)
'secao variável
Sheets("Secao Transversal").Select
Range("A2").Select
185
For i = 1 To div + 1
ActiveCell.Value = i
ActiveCell.Offset(1, 0).Activate
Next i
Range("B2").Select
For i = 1 To div + 1
ActiveCell.Value = alt - ((i - 1) * h_elem)
ActiveCell.Offset(1, 0).Activate
Next i
Range("C2").Select
For i = 1 To div + 1
diam_var_ext(i) = ((diam_base - diam_topo) * (i - 1) / div) + diam_topo
ActiveCell.Value = diam_var_ext(i)
ActiveCell.Offset(1, 0).Activate
Next i
Range("D2").Select
For i = 1 To div + 1
diam_var_int(i) = (((diam_base - diam_topo) * (i - 1) / div) + diam_topo) - 2 * esp
ActiveCell.Value = diam_var_int(i)
ActiveCell.Offset(1, 0).Activate
Next i
Range("F2").Select
For i = 1 To div + 1
Ix(i) = Application.WorksheetFunction.Pi() * ((diam_var_ext(i) ^ 4) -
(diam_var_int(i) ^ 4)) / 64
ActiveCell.Value = Ix(i)
ActiveCell.Offset(1, 0).Activate
Next i
'quantidade de barras
186
Range("J2").Select
For i = 1 To div + 1
q_barras(i) = Application.WorksheetFunction.RoundUp(((q_base - q_topo) * (i - 1)
/ div) + q_topo, 0)
ActiveCell.Value = q_barras(i)
ActiveCell.Offset(1, 0).Activate
Next i
'área de armadura
Range("K2").Select
For i = 1 To div + 1
At_arm(i) = q_barras(i) * Arm
ActiveCell.Value = At_arm(i)
ActiveCell.Offset(1, 0).Activate
Next i
'área de concreto
Range("E2").Select
For i = 1 To div + 1
A(i) = ((diam_var_ext(i) ^ 2) * Application.WorksheetFunction.Pi() / 4) -
((diam_var_int(i) ^ 2) * Application.WorksheetFunction.Pi() / 4) + (alfa * At_arm(i) / 10000)
- (At_arm(i) / 10000)
ActiveCell.Value = A(i)
ActiveCell.Offset(1, 0).Activate
Next i
'corrigindo seção transversal
For i = 1 To div + 1
Sheets("Calculo_ST").Select
Range("B2").Value = diam_var_ext(i) * 100
Range("B4").Value = diam_var_int(i) * 100
Range("B8").Value = q_barras(i)
Iner_A(i) = Range("P131").Value / 100000000
187
Sheets("Secao Transversal").Select
Range("G2").Select
ActiveCell.Offset(i - 1, 0).Activate
ActiveCell.Value = Iner_A(i)
Next i
Sheets("Secao Transversal").Select
Range("H2").Select
For k = 1 To div + 1
M_rigidez(k) = E * (Ix(k) + Iner_A(k))
ActiveCell.Value = M_rigidez(k)
ActiveCell.Offset(1, 0).Activate
Next k
For k = 1 To div
M_rigidez_elem(k) = (M_rigidez(k) + M_rigidez(k + 1)) / 2
Next k
'volume dos troncos
Range("L2").Select
For i = 1 To div
If alt_cone <> 0 Then
vol_tronco(i) = ((alt_cone + (h_elem * (i))) * Application.WorksheetFunction.Pi()
* (diam_var_ext(i + 1) ^ 2) / (4 * 3)) - ((alt_cone + (h_elem * (i - 1))) *
Application.WorksheetFunction.Pi() * (diam_var_ext(i) ^ 2) / (4 * 3))
ActiveCell.Value = vol_tronco(i)
ActiveCell.Offset(1, 0).Activate
Else
vol_tronco(i) = ((alt_cone + (h_elem * (i))) * Application.WorksheetFunction.Pi()
* (diam_var_ext(i + 1) ^ 2) / 4) - ((alt_cone + (h_elem * (i - 1))) *
Application.WorksheetFunction.Pi() * (diam_var_ext(i) ^ 2) / 4)
ActiveCell.Value = vol_tronco(i)
ActiveCell.Offset(1, 0).Activate
End If
Next i
188
Range("M2").Select
For i = 1 To div
If alt_cone <> 0 Then
vol_tronco_int(i) = ((alt_cone_int + (h_elem * (i))) *
Application.WorksheetFunction.Pi() * (diam_var_int(i + 1) ^ 2) / (4 * 3)) - ((alt_cone_int +
(h_elem * (i - 1))) * Application.WorksheetFunction.Pi() * (diam_var_int(i) ^ 2) / (4 * 3))
ActiveCell.Value = vol_tronco_int(i)
ActiveCell.Offset(1, 0).Activate
Else
vol_tronco_int(i) = ((alt_cone_int + (h_elem * (i))) *
Application.WorksheetFunction.Pi() * (diam_var_int(i + 1) ^ 2) / 4) - ((alt_cone_int +
(h_elem * (i - 1))) * Application.WorksheetFunction.Pi() * (diam_var_int(i) ^ 2) / 4)
ActiveCell.Value = vol_tronco_int(i)
ActiveCell.Offset(1, 0).Activate
End If
Next i
Range("I2").Select
For k = 1 To div + 1
If k = 1 Then
massa_linear(k) = ((vol_tronco(k) - vol_tronco_int(k)) / 2) * 25 / 9.81
ElseIf k = div + 1 Then
massa_linear(k) = ((vol_tronco(k - 1) - vol_tronco_int(k - 1)) / 2) * 25 / 9.81
Else
massa_linear(k) = (((vol_tronco(k - 1) - vol_tronco_int(k - 1)) + (vol_tronco(k) -
vol_tronco_int(k - 1))) / 2) * 25 / 9.81
End If
ActiveCell.Value = massa_linear(k)
ActiveCell.Offset(1, 0).Activate
Next k
'matriz elemento engastado
M_elem_eng(1, 1) = E / h_elem
M_elem_eng(1, 2) = 0
M_elem_eng(1, 3) = 0
189
M_elem_eng(1, 4) = -E / h_elem
M_elem_eng(1, 5) = 0
M_elem_eng(1, 6) = 0
M_elem_eng(2, 1) = 0
M_elem_eng(2, 2) = 12 / (h_elem ^ 3)
M_elem_eng(2, 3) = 6 / h_elem ^ 2
M_elem_eng(2, 4) = 0
M_elem_eng(2, 5) = -12 / (h_elem ^ 3)
M_elem_eng(2, 6) = 6 / h_elem ^ 2
M_elem_eng(3, 1) = 0
M_elem_eng(3, 2) = 6 / h_elem ^ 2
M_elem_eng(3, 3) = 4 / h_elem
M_elem_eng(3, 4) = 0
M_elem_eng(3, 5) = -6 / h_elem ^ 2
M_elem_eng(3, 6) = 2 / h_elem
M_elem_eng(4, 1) = -E / h_elem
M_elem_eng(4, 2) = 0
M_elem_eng(4, 3) = 0
M_elem_eng(4, 4) = E / h_elem
M_elem_eng(4, 5) = 0
M_elem_eng(4, 6) = 0
M_elem_eng(5, 1) = 0
M_elem_eng(5, 2) = -12 / (h_elem ^ 3)
M_elem_eng(5, 3) = -6 / h_elem ^ 2
M_elem_eng(5, 4) = 0
M_elem_eng(5, 5) = 12 / (h_elem ^ 3)
M_elem_eng(5, 6) = -6 / h_elem ^ 2
M_elem_eng(6, 1) = 0
M_elem_eng(6, 2) = 6 / h_elem ^ 2
M_elem_eng(6, 3) = 2 / h_elem
190
M_elem_eng(6, 4) = 0
M_elem_eng(6, 5) = -6 / h_elem ^ 2
M_elem_eng(6, 6) = 4 / h_elem
For k = 1 To div + 1
M_rigidez_modal(k) = E * (Ix(k) + Iner_A(k))
Next k
Call Z_matriz_global.Z_matriz_global
Sheets("Analise Estatica").Select
Range("A2").Select
For i = 1 To div + 1
ActiveCell.Value = alt - ((i - 1) * h_elem)
ActiveCell.Offset(1, 0).Activate
Next i
Sheets("Analise Dinamica").Select
Range("L2").Select
For i = 1 To GL_red + 1
ActiveCell.Value = alt - ((i - 1) * h_elem_modal)
ActiveCell.Offset(1, 0).Activate
Next i
Sheets(1).Select
End Sub
Cálculo da Matriz de Rigidez Global
Option Base 1
191
Public Sub Z_matriz_global()
Sheets("Verificacao_M_global").Select
Range("A1").Select
'matriz_elementos
For k = 1 To div
For j = 1 To 6
For i = 1 To 6
If i = 1 Or i = 4 Then
M_elem(i, j, k) = M_elem_eng(i, j) * A(k)
ElseIf i = 2 Or i = 3 Then
M_elem(i, j, k) = M_elem_eng(i, j) * M_rigidez_elem(k)
ElseIf i = 5 Or i = 6 Then
M_elem(i, j, k) = M_elem_eng(i, j) * M_rigidez_elem(k)
End If
Next i
Next j
Next k
'matriz de espalhamento
cont = 0
cont_elem = 0
For k = 1 To div
For i = 1 To (div + 1) * 3
If i <= cont_elem * 3 Or i > (cont_elem * 3) + 6 Then
M_espalha(i, k) = 0
Else
cont = cont + 1
M_espalha(i, k) = cont
End If
Next i
192
cont = 0
cont_elem = cont_elem + 1
Next k
'matriz global
For i = 1 To (div + 1) * 3
For j = 1 To (div + 1) * 3
For k = 1 To div
m = M_espalha(i, k)
n = M_espalha(j, k)
If m <> 0 And n <> 0 Then
M_global(i, j) = M_global(i, j) + M_elem(m, n, k)
End If
Next k
'ActiveCell.Value = M_global(i, j)
'ActiveCell.Offset(0, 1).Activate
Next j
'ActiveCell.Offset(1, -j + 1).Activate
Next i
End Sub
Inicialização do Cálculo de Esforços de 1ª Ordem
Option Base 1
Public Sub A1_calculo_linear()
Call Y_deslocamento_1ordem.Y_deslocamento_1ordem
Call X_esforcos_1ordem.X_esforcos_1ordem
Sheets(1).Select
193
End Sub
Cálculo dos Deslocamentos de 1ª ordem
Option Base 1
Public Sub Y_deslocamento_1ordem()
For i = 1 To (div * 3)
For j = 1 To (div * 3)
M_livre(i, j) = M_global(i, j)
Next j
Next i
M_livre_inv = Application.MInverse(M_livre)
Sheets("Vento Estatico").Select
Range("K6").Select
For i = 1 To div + 1
V_vento_est(i) = ActiveCell.Value
ActiveCell.Offset(1, 0).Activate
Next i
Range("L6").Select
For i = 1 To div + 1
V_peso(i) = ActiveCell.Value
ActiveCell.Offset(1, 0).Activate
Next i
'parcela do vento
If opcao = 1 Then
For i = 1 To div
194
If i = 1 Then
V_forcas(2 + ((i - 1) * 3), 1) = (-V_vento_est(i) * h_elem / 2) -
Vento_plataforma
V_forcas(3 + ((i - 1) * 3), 1) = (V_vento_est(i) * h_elem * h_elem / 12)
Else
V_forcas(2 + ((i - 1) * 3), 1) = (-V_vento_est(i) * h_elem / 2) + (-
V_vento_est(i + 1) * h_elem / 2)
V_forcas(3 + ((i - 1) * 3), 1) = (-V_vento_est(i) * h_elem * h_elem / 12) +
(V_vento_est(i + 1) * h_elem * h_elem / 12)
End If
Next i
Else
For i = 1 To div
If i = 1 Then
V_forcas(2 + ((i - 1) * 3), 1) = (-0.48 * V_vento_est(i) * h_elem / 2) -
Vento_plataforma
V_forcas(3 + ((i - 1) * 3), 1) = (0.48 * V_vento_est(i) * h_elem * h_elem / 12)
Else
V_forcas(2 + ((i - 1) * 3), 1) = (-0.48 * V_vento_est(i) * h_elem / 2) + (-
V_vento_est(i + 1) * h_elem / 2)
V_forcas(3 + ((i - 1) * 3), 1) = (-0.48 * V_vento_est(i) * h_elem * h_elem / 12)
+ (V_vento_est(i + 1) * h_elem * h_elem / 12)
End If
Next i
End If
'parcela do peso-proprio
For i = 1 To div
If i = 1 Then
V_forcas(1 + ((i - 1) * 3), 1) = (-V_peso(i + 1) * h_elem / 2)
Else
V_forcas(1 + ((i - 1) * 3), 1) = (-V_peso(i + 1) * h_elem / 2) + (-V_peso(i + 1) *
h_elem / 2)
End If
Next i
For i = 1 To (div * 3)
195
V_forcas(i, 1) = -V_forcas(i, 1)
Next i
'vetor deslocamentos
V_desloc = Application.MMult(M_livre_inv, V_forcas)
Sheets("Analise Estatica").Select
Range("B2").Select
For i = 1 To (div + 1) * 3
If i <= div * 3 Then
V_desloc_final(i, 1) = V_desloc(i, 1)
Else
V_desloc_final(i, 1) = 0
End If
V_desloc_final_2ordem(i, 1, ite) = 0
V_desloc_final_2ordem(i, 1, ite + 1) = V_desloc_final(i, 1)
Next i
For i = 1 To (div + 1)
ActiveCell.Value = V_desloc_final(2 + ((i - 1) * 3), 1)
ActiveCell.Offset(1, 0).Activate
Next i
End Sub
Cálculo dos Esforços Solicitantes de 1ª Ordem
Option Base 1
Public Sub X_esforcos_1ordem()
For i = 1 To div
196
For k = 1 To 6
V_desloc_elem(k, 1, i) = V_desloc_final(k + ((i - 1) * 3), 1)
Next k
Next i
'parcela do vento
If opcao = 1 Then
For k = 1 To div
For i = 1 To 2
V_forcas_elem(2 + ((i - 1) * 3), 1, k) = (-V_vento_est(k) * h_elem / 2)
If (i Mod 2) = 0 Then
V_forcas_elem(3 + ((i - 1) * 3), 1, k) = (-V_vento_est(k) * h_elem * h_elem / 12)
Else
V_forcas_elem(3 + ((i - 1) * 3), 1, k) = (V_vento_est(k) * h_elem * h_elem /
12)
End If
Next i
Next k
Else
For k = 1 To div
For i = 1 To 2
V_forcas_elem(2 + ((i - 1) * 3), 1, k) = (-0.48 * V_vento_est(k) * h_elem / 2)
If (i Mod 2) = 0 Then
V_forcas_elem(3 + ((i - 1) * 3), 1, k) = (-0.48 * V_vento_est(k) * h_elem * h_elem /
12)
Else
V_forcas_elem(3 + ((i - 1) * 3), 1, k) = (0.48 * V_vento_est(k) * h_elem *
h_elem / 12)
End If
Next i
Next k
End If
'parcela do peso-proprio
197
For k = 1 To div
For i = 1 To 2
V_forcas_elem(1 + ((i - 1) * 3), 1, k) = (-V_peso(k + 1) * h_elem / 2)
Next i
Next k
'calculo dos esforcos
For k = 1 To div
For i = 1 To 6
V_mutavel_desloc(i, 1) = V_desloc_elem(i, 1, k)
V_mutavel_forcas(i, 1) = V_forcas_elem(i, 1, k)
For j = 1 To 6
V_mutavel_rig(i, j) = M_elem(i, j, k)
Next j
Next i
V_mutavel_esforco = Application.MMult(V_mutavel_rig, V_mutavel_desloc)
For m = 1 To 6
V_esforco(m, 1, k) = V_mutavel_esforco(m, 1) + V_mutavel_forcas(m, 1)
V_esforco_2ordem(m, 1, k, ite) = V_esforco(m, 1, k)
Next m
Next k
Sheets("Analise Estatica").Select
Range("C2").Select
For k = 1 To div
ActiveCell.Value = -V_esforco(3, 1, k)
ActiveCell.Offset(1, 0).Activate
Next k
ActiveCell.Value = V_esforco(6, 1, div)
198
Range("K2").Select
For k = 1 To div
ActiveCell.Value = -V_esforco(1, 1, k)
ActiveCell.Offset(1, 0).Activate
Next k
ActiveCell.Value = V_esforco(4, 1, div)
End Sub
Inicialização do Cálculo de 2ª Ordem
Option Base 1
Public Sub A2_calculo_NLG()
conv = 0.2
ite = 1
Call Y_deslocamento_1ordem.Y_deslocamento_1ordem
Call X_esforcos_1ordem.X_esforcos_1ordem
Do While conv > tol And ite < ite_max
If ite = 1 Then
Call Y_deslocamento_1ordem.Y_deslocamento_1ordem
Else
Call W_esforcos_2ordem.W_esforcos_2ordem
Sheets("Analise Estatica").Select
Range("E2").Select
199
For i = 1 To div
ActiveCell.Value = -V_esforco_2ordem(3, 1, i, ite)
ActiveCell.Offset(1, 0).Activate
Next i
ActiveCell.Value = V_esforco_2ordem(6, 1, i - 1, ite)
Call V_deslocamento_2ordem.V_deslocamento_2ordem
Sheets("Analise Estatica").Select
Range("D2").Select
For i = 1 To (div + 1)
ActiveCell.Value = V_desloc_final_2ordem(2 + ((i - 1) * 3), 1, ite + 1)
ActiveCell.Offset(1, 0).Activate
Next i
End If
If ite > 2 Then
conv = Abs((V_desloc_final_2ordem(2, 1, ite) / V_desloc_final_2ordem(2, 1, (ite
- 1))) - 1)
End If
ite = ite + 1
Loop
If ite > ite_max Then
200
MsgBox ("numero maximo de iteracoes alcançado")
ElseIf conv < tol Then
MsgBox ("calculado com sucesso")
ElseIf erro = 1 Then
MsgBox ("calculo da ST nao satisfeito")
End If
MsgBox (ite)
Sheets(1).Select
End Sub
Cálculo dos Esforços de 2ª Ordem
Option Base 1
Public Sub W_esforcos_2ordem()
'parcela P-delta
For k = 1 To div + 1
If k = 1 Then
deltaM_k(k, 1, ite) = 0
ElseIf k < div + 1 Then
deltaM_k(k, 1, ite) = deltaM_k(k - 1, 1, ite) + (V_forcas(1 + ((k - 1) * 3), 1) *
(V_desloc_final_2ordem(2 + (k - 1) * 3, 1, ite) - V_desloc_final_2ordem(2 + (k - 1) * 3, 1, ite
- 1)))
Else
deltaM_k(k, 1, ite) = deltaM_k(k - 1, 1, ite) + (V_forcas(1 + ((k - 2) * 3), 1) *
V_desloc_final_2ordem(2 + (k - 1) * 3, 1, ite - 1))
End If
201
Next k
For k = 1 To div
V_esforco_2ordem(1, 1, k, ite) = V_esforco_2ordem(1, 1, k, ite - 1)
V_esforco_2ordem(2, 1, k, ite) = V_esforco_2ordem(2, 1, k, ite - 1)
V_esforco_2ordem(4, 1, k, ite) = V_esforco_2ordem(4, 1, k, ite - 1)
V_esforco_2ordem(5, 1, k, ite) = V_esforco_2ordem(5, 1, k, ite - 1)
V_esforco_2ordem(3, 1, k, ite) = V_esforco_2ordem(3, 1, k, ite - 1) + deltaM_k(k,
1, ite)
V_esforco_2ordem(6, 1, k, ite) = V_esforco_2ordem(6, 1, k, ite - 1) - deltaM_k(k +
1, 1, ite)
Next k
End Sub
Cálculo dos Deslocamentos de 2ª Ordem
Option Base 1
Public Sub V_deslocamento_2ordem()
k = div + 1
Do While k > 0
If k = div + 1 Then
V_rotacao_2ordem(k, 1) = 0
Else
Momento_intermediario(k) = (deltaM_k(k, 1, ite) + deltaM_k(k + 1, 1, ite)) / 2
V_rotacao_2ordem(k, 1) = V_rotacao_2ordem(k + 1, 1) + (h_elem / 6) *
((deltaM_k(k, 1, ite) / M_rigidez(k)) + (4 * Momento_intermediario(k) / M_rigidez(k)) +
((deltaM_k(k + 1, 1, ite) / M_rigidez(k + 1))))
End If
V_desloc_final_2ordem(3 + (k - 1) * 3, 1, ite + 1) = V_rotacao_2ordem(k, 1)
k = k - 1
Loop
202
k = div + 1
Do While k > 0
If k = div + 1 Then
V_transversal_2ordem(k, 1) = 0
Else
Rotacao_intermediario(k) = (V_rotacao_2ordem(k + 1, 1) +
V_rotacao_2ordem(k, 1)) / 2
V_transversal_2ordem(k, 1) = V_transversal_2ordem(k + 1, 1) + (h_elem / 6) *
(V_rotacao_2ordem(k, 1) + 4 * Rotacao_intermediario(k) + (V_rotacao_2ordem(k + 1, 1)))
End If
V_desloc_final_2ordem(2 + (k - 1) * 3, 1, ite + 1) = V_desloc_final_2ordem(2 + (k
- 1) * 3, 1, ite) - V_transversal_2ordem(k, 1)
k = k - 1
Loop
For i = 1 To div + 1
V_desloc_final_2ordem(1 + (i - 1) * 3, 1, ite + 1) = V_desloc_final_2ordem(1 + (i - 1)
* 3, 1, ite)
Next i
End Sub
Inicialização do Cálculo de 2ª Ordem – Não linearidade Física
Option Base 1
Public Sub A3_calculo_NLFG()
conv_nlfg = 0.2
ite_nlfg = 1
Do While conv_nlfg > tol And ite_nlfg < ite_max
conv = 0.2
ite = 1
203
Do While conv > tol And ite < ite_max
If ite = 1 Then
Call Y_deslocamento_1ordem.Y_deslocamento_1ordem
Call X_esforcos_1ordem.X_esforcos_1ordem
Call V1_deslocamento_2ordem_nlfg.V1_deslocamento_2ordem_nlfg
Else
Call W_esforcos_2ordem.W_esforcos_2ordem
Sheets("Analise Estatica").Select
Range("G2").Select
For i = 1 To div
ActiveCell.Value = -V_esforco_2ordem(3, 1, i, ite)
ActiveCell.Offset(1, 0).Activate
Next i
ActiveCell.Value = V_esforco_2ordem(6, 1, i - 1, ite)
Call V_deslocamento_2ordem.V_deslocamento_2ordem
Sheets("Analise Estatica").Select
Range("F2").Select
For i = 1 To (div + 1)
ActiveCell.Value = V_desloc_final_2ordem(2 + ((i - 1) * 3), 1, ite + 1)
ActiveCell.Offset(1, 0).Activate
204
Next i
End If
If ite > 2 Then
conv = Abs((V_desloc_final_2ordem(2, 1, ite) / V_desloc_final_2ordem(2, 1,
(ite - 1))) - 1)
End If
ite = ite + 1
Loop
V_desloc_nlfg(2, 1, ite_nlfg) = V_desloc_final_2ordem(2, 1, ite - 1)
Call U_naolinear_fisico.U_naolinear_fisico
Sheets("Analise Estatica").Select
Range("H2").Select
For i = 1 To (div + 1)
ActiveCell.Value = curvatura(i)
ActiveCell.Offset(1, 0).Activate
Next i
Range("I2").Select
For i = 1 To (div + 1)
ActiveCell.Value = M_rigidez(i)
ActiveCell.Offset(1, 0).Activate
205
Next i
Range("J2").Select
For i = 1 To (div + 1)
ActiveCell.Value = M_rigidez(i) / (E * (Ix(i) + Iner_A(i)))
ActiveCell.Offset(1, 0).Activate
Next i
If ite_nlfg > 2 Then
conv_nlfg = Abs((V_desloc_nlfg(2, 1, ite_nlfg) / V_desloc_nlfg(2, 1, (ite_nlfg
- 1))) - 1)
End If
ite_nlfg = ite_nlfg + 1
If erro = 1 Then
Exit Do
End If
Loop
If ite > ite_max Or ite_nlfg > ite_max Then
MsgBox ("numero maximo de iteracoes alcançado")
ElseIf conv < tol Or conv_nlfg < tol Then
MsgBox ("calculado com sucesso")
ElseIf erro = 1 Then
MsgBox ("calculo da ST nao satisfeito")
End If
MsgBox (ite_nlfg)
206
Sheets(1).Select
End Sub
Cálculo da Rigidez Efetiva para 2ª Ordem com Não-linearidade física
Option Base 1
Public Sub U_naolinear_fisico()
Dim verif_N As Double
Dim verif_M As Double
Sheets("Calculo_ST").Select
curvatura(1) = 0
For k = 2 To div + 1
Range("B2").Value = diam_var_ext(k) * 100
Range("B4").Value = diam_var_int(k) * 100
Range("B8").Value = q_barras(k)
Range("B55").Value = Ix(k)
Range("B16").Value = 0
Range("B17").Value = 0
If k < div + 1 Then
Range("B13").Value = -V_esforco_2ordem(1, 1, k, ite - 1) / gama_f3
Range("B14").Value = -V_esforco_2ordem(3, 1, k, ite - 1) / gama_f3
Else
Range("B13").Value = V_esforco_2ordem(4, 1, k - 1, ite - 1) / gama_f3
Range("B14").Value = V_esforco_2ordem(6, 1, k - 1, ite - 1) / gama_f3
End If
SolverReset
SolverOptions MaxTime:=100, Iterations:=100, Precision:=0.0001, AssumeLinear _
:=False, StepThru:=False, Estimates:=1, Derivatives:=1, SearchOption:=1, _
IntTolerance:=5, Scaling:=False, Convergence:=0.001, AssumeNonNeg:=False
207
Solverok maxminval:=1, _
bychange:=Range("B16:B17")
' Add the constraint for the model. The only constraint is that the
' number of parts used does not exceed the parts on hand--
' E3:E7<=B3:B7
SolverAdd CellRef:=Range("B13"), Relation:=2, _
FormulaText:="$B$36"
SolverAdd CellRef:=Range("B14"), Relation:=2, _
FormulaText:="$B$37"
SolverAdd CellRef:=Range("B16"), Relation:=1, _
FormulaText:="$B$32"
SolverAdd CellRef:=Range("B16"), Relation:=3, _
FormulaText:="$B$33"
SolverAdd CellRef:=Range("B17"), Relation:=1, _
FormulaText:="$B$35"
' Do not display the Solver Results dialog box.
SolverSolve userFinish:=True
' Finish and keep the final results.
SolverFinish keepFinal:=1
verif_N = Range("B36").Value
verif_M = Range("B37").Value
If Abs(verif_N) < 0.99 * Abs(Range("B13").Value) Or Abs(verif_M) < 0.99 *
Abs(Range("B14").Value) Then
erro = 1
MsgBox ("erro na ST")
208
Exit For
Else
M_rigidez(k) = Range("B53").Value / 10000
If k > 1 And k <= div Then
M_rigidez_elem(k - 1) = (M_rigidez(k - 1) + M_rigidez(k)) / 2
End If
M_rigidez_modal(k) = M_rigidez(k)
End If
Next k
End Sub
Cálculo dos Deslocamentos de 2ª Ordem com Não-Linearidade Física
Option Base 1
Public Sub V1_deslocamento_2ordem_nlfg()
k = div + 1
Do While k > 0
If k = div + 1 Then
V_rotacao_2ordem(k, 1) = 0
ElseIf k = div Then
Momento_intermediario(k) = (V_esforco_2ordem(3, 1, k, ite) + (-
V_esforco_2ordem(6, 1, k, ite))) / 2
V_rotacao_2ordem(k, 1) = V_rotacao_2ordem(k + 1, 1) + (h_elem / 6) *
((V_esforco_2ordem(3, 1, k, ite) / M_rigidez(k)) + (4 * Momento_intermediario(k) /
M_rigidez(k)) + ((-V_esforco_2ordem(6, 1, k, ite) / M_rigidez(k + 1))))
Else
Momento_intermediario(k) = (V_esforco_2ordem(3, 1, k, ite) +
V_esforco_2ordem(3, 1, k + 1, ite)) / 2
209
V_rotacao_2ordem(k, 1) = V_rotacao_2ordem(k + 1, 1) + (h_elem / 6) *
((V_esforco_2ordem(3, 1, k, ite) / M_rigidez(k)) + (4 * Momento_intermediario(k) /
M_rigidez(k)) + ((V_esforco_2ordem(3, 1, k + 1, ite) / M_rigidez(k + 1))))
End If
V_desloc_final_2ordem(3 + (k - 1) * 3, 1, ite + 1) = V_rotacao_2ordem(k, 1)
k = k - 1
Loop
k = div + 1
Do While k > 0
If k = div + 1 Then
V_transversal_2ordem(k, 1) = 0
Else
Rotacao_intermediario(k) = (V_rotacao_2ordem(k + 1, 1) +
V_rotacao_2ordem(k, 1)) / 2
V_transversal_2ordem(k, 1) = V_transversal_2ordem(k + 1, 1) + (h_elem / 6) *
(V_rotacao_2ordem(k, 1) + 4 * Rotacao_intermediario(k) + (V_rotacao_2ordem(k + 1, 1)))
End If
V_desloc_final_2ordem(2 + (k - 1) * 3, 1, ite + 1) = V_desloc_final_2ordem(2 + (k
- 1) * 3, 1, ite) - V_transversal_2ordem(k, 1)
k = k - 1
Loop
For i = 1 To div + 1
V_desloc_final_2ordem(1 + (i - 1) * 3, 1, ite + 1) = V_desloc_final_2ordem(1 + (i - 1)
* 3, 1, ite)
Next i
End Sub
Inicialização do Cálculo das Frequências Naturais
Option Base 1
210
Public Sub A4_calculo_matrix_iteration()
Call B_matriz_global_massa.B_matriz_global_massa
Call C_matriz_rigidez_modal.C_matriz_rigidez_modal
Call D_matrix_iteration.D_matrix_iteration
Sheets(1).Select
End Sub
Cálculo da Matriz de Rigidez Reduzida para Análise Modal
Option Base 1
Public Sub C_matriz_rigidez_modal()
'matriz elemento engastado
For k = 1 To div_modal + 1
'If k = 1 Then
M_elem_rig_modal(1, 1, k) = 4 * M_rigidez_modal(k) / h_elem_modal
M_elem_rig_modal(1, 2, k) = 2 * M_rigidez_modal(k) / h_elem_modal
M_elem_rig_modal(1, 3, k) = 6 * M_rigidez_modal(k) / (h_elem_modal ^ 2)
M_elem_rig_modal(1, 4, k) = -6 * M_rigidez_modal(k) / (h_elem_modal ^ 2)
M_elem_rig_modal(2, 1, k) = 2 * M_rigidez_modal(k) / h_elem_modal
M_elem_rig_modal(2, 2, k) = 4 * M_rigidez_modal(k) / h_elem_modal
M_elem_rig_modal(2, 3, k) = 6 * M_rigidez_modal(k) / (h_elem_modal ^ 2)
M_elem_rig_modal(2, 4, k) = -6 * M_rigidez_modal(k) / (h_elem_modal ^ 2)
M_elem_rig_modal(3, 1, k) = 6 * M_rigidez_modal(k) / (h_elem_modal ^ 2)
M_elem_rig_modal(3, 2, k) = 6 * M_rigidez_modal(k) / (h_elem_modal ^ 2)
M_elem_rig_modal(3, 3, k) = 12 * M_rigidez_modal(k) / (h_elem_modal ^ 3)
M_elem_rig_modal(3, 4, k) = -12 * M_rigidez_modal(k) / (h_elem_modal ^ 3)
211
M_elem_rig_modal(4, 1, k) = -6 * M_rigidez_modal(k) / (h_elem_modal ^ 2)
M_elem_rig_modal(4, 2, k) = -6 * M_rigidez_modal(k) / (h_elem_modal ^ 2)
M_elem_rig_modal(4, 3, k) = -12 * M_rigidez_modal(k) / (h_elem_modal ^ 3)
M_elem_rig_modal(4, 4, k) = 12 * M_rigidez_modal(k) / (h_elem_modal ^ 3)
'Else
'M_elem_rig_modal(1, 1, k) = 12 * M_rigidez_modal(k) / (h_elem_modal ^ 3)
'M_elem_rig_modal(1, 2, k) = -12 * M_rigidez_modal(k) / (h_elem_modal ^ 3)
'M_elem_rig_modal(2, 1, k) = -12 * M_rigidez_modal(k) / (h_elem_modal ^ 3)
'M_elem_rig_modal(2, 2, k) = 12 * M_rigidez_modal(k) / (h_elem_modal ^ 3)
'End If
Next k
'matriz de espalhamento
cont = 0
cont_elem = 0
For k = 1 To div_modal + 1
For i = 1 To GL
If cont_elem < div_modal - 1 Then
If i < cont_elem + 3 And i > cont_elem Then
cont = cont + 1
M_espalha_rig_modal(i, k) = cont
ElseIf i > GL / 2 And i < cont_elem + 3 + (GL / 2) And i > (GL / 2) +
cont_elem Then
cont = cont + 1
M_espalha_rig_modal(i, k) = cont
Else
M_espalha_rig_modal(i, k) = 0
End If
Else
If i < cont_elem + 2 And i > cont_elem Then
212
cont = cont + 1
M_espalha_rig_modal(i, k) = cont
ElseIf i > GL / 2 And i < cont_elem + 2 + (GL / 2) And i > (GL / 2) +
cont_elem Then
cont = cont + 2
M_espalha_rig_modal(i, k) = cont
Else
M_espalha_rig_modal(i, k) = 0
End If
End If
Next i
cont = 0
cont_elem = cont_elem + 1
Next k
'matriz global massa
Sheets("M_global_rig_modal").Select
Range("A1").Select
For i = 1 To GL
For j = 1 To GL
For k = 1 To div_modal
m = M_espalha_rig_modal(i, k)
n = M_espalha_rig_modal(j, k)
If m <> 0 And n <> 0 Then
M_rig_nao_red(i, j) = M_rig_nao_red(i, j) + M_elem_rig_modal(m, n, k)
End If
Next k
'ActiveCell.Value = M_rig_nao_red(i, j)
'ActiveCell.Offset(0, 1).Activate
Next j
213
'ActiveCell.Offset(1, -j + 1).Activate
Next i
For i = 1 To GL / 2
For j = 1 To GL / 2
M_rig_ss(i, j) = -M_rig_nao_red(i, j)
M_rig_sp(i, j) = M_rig_nao_red(i, j + (GL / 2))
Next j
Next i
M_massa_auxiliar = Application.MInverse(M_rig_ss)
M_rig_T_barra = Application.MMult(M_massa_auxiliar, M_rig_sp)
For i = 1 To GL
For j = 1 To GL / 2
If i <= GL / 2 Then
M_rig_T(i, j) = M_rig_T_barra(i, j)
ElseIf i - (GL / 2) = j Then
M_rig_T(i, j) = 1
Else
M_rig_T(i, j) = 0
End If
Next j
Next i
M_rig_T_trans = Array2DTranspose(M_rig_T)
M_rig_auxiliar = Application.MMult(M_rig_T_trans, M_rig_nao_red)
M_global_rig_modal = Application.MMult(M_rig_auxiliar, M_rig_T)
For i = 1 To GL / 2
For j = 1 To GL / 2
ActiveCell.Value = M_global_rig_modal(i, j)
214
ActiveCell.Offset(0, 1).Activate
Next j
ActiveCell.Offset(1, -j + 1).Activate
Next i
End Sub
Cálculo da Matriz de Massa Reduzida para Análise Modal
Option Base 1
Public Sub B_matriz_global_massa()
'matriz elemento massa
For k = 1 To div_modal + 1
If k = 1 Then
M_elem_massa(1, 1, k) = 0
M_elem_massa(1, 2, k) = 0
M_elem_massa(1, 3, k) = 0
M_elem_massa(1, 4, k) = 0
M_elem_massa(2, 1, k) = 0
M_elem_massa(2, 2, k) = 0
M_elem_massa(2, 3, k) = 0
M_elem_massa(2, 4, k) = 0
M_elem_massa(3, 1, k) = 0
M_elem_massa(3, 2, k) = 0
M_elem_massa(3, 3, k) = massa_linear(k) + massa_topo
M_elem_massa(3, 4, k) = 0
M_elem_massa(4, 1, k) = 0
M_elem_massa(4, 2, k) = 0
M_elem_massa(4, 3, k) = 0
215
M_elem_massa(4, 4, k) = massa_linear(k)
ElseIf k = div_modal + 1 Then
M_elem_massa(1, 1, k) = 0
M_elem_massa(1, 2, k) = 0
M_elem_massa(1, 3, k) = 0
M_elem_massa(1, 4, k) = 0
M_elem_massa(2, 1, k) = 0
M_elem_massa(2, 2, k) = 0
M_elem_massa(2, 3, k) = 0
M_elem_massa(2, 4, k) = 0
M_elem_massa(3, 1, k) = 0
M_elem_massa(3, 2, k) = 0
M_elem_massa(3, 3, k) = massa_linear(k)
M_elem_massa(3, 4, k) = 0
M_elem_massa(4, 1, k) = 0
M_elem_massa(4, 2, k) = 0
M_elem_massa(4, 3, k) = 0
M_elem_massa(4, 4, k) = massa_linear(k)
Else
M_elem_massa(1, 1, k) = 0
M_elem_massa(1, 2, k) = 0
M_elem_massa(1, 3, k) = 0
M_elem_massa(1, 4, k) = 0
M_elem_massa(2, 1, k) = 0
M_elem_massa(2, 2, k) = 0
M_elem_massa(2, 3, k) = 0
M_elem_massa(2, 4, k) = 0
M_elem_massa(3, 1, k) = 0
M_elem_massa(3, 2, k) = 0
216
M_elem_massa(3, 3, k) = massa_linear(k) / 2
M_elem_massa(3, 4, k) = 0
M_elem_massa(4, 1, k) = 0
M_elem_massa(4, 2, k) = 0
M_elem_massa(4, 3, k) = 0
M_elem_massa(4, 4, k) = massa_linear(k) / 2
End If
Next k
'matriz de espalhamento
cont = 0
cont_elem = 0
For k = 1 To div_modal + 1
For i = 1 To GL
If i < cont_elem + 3 And i > cont_elem Then
cont = cont + 1
M_espalha_massa(i, k) = cont
ElseIf i > GL / 2 And i < cont_elem + 3 + (GL / 2) And i > (GL / 2) + cont_elem Then
cont = cont + 1
M_espalha_massa(i, k) = cont
Else
M_espalha_massa(i, k) = 0
End If
Next i
cont = 0
cont_elem = cont_elem + 1
Next k
'matriz global massa
Sheets("M_global_massa").Select
217
Range("A1").Select
For i = 1 To GL
For j = 1 To GL
For k = 1 To div_modal
m = M_espalha_massa(i, k)
n = M_espalha_massa(j, k)
If m <> 0 And n <> 0 Then
M_massa_nao_red(i, j) = M_massa_nao_red(i, j) + M_elem_massa(m, n, k)
End If
Next k
'ActiveCell.Value = M_massa_nao_red(i, j)
'ActiveCell.Offset(0, 1).Activate
Next j
'ActiveCell.Offset(1, -j + 1).Activate
Next i
For i = 1 To GL / 2
For j = 1 To GL / 2
M_massa_ss(i, j) = -M_massa_nao_red(i, j)
M_massa_sp(i, j) = M_massa_nao_red(i, j + (GL / 2))
Next j
Next i
M_massa_auxiliar = Application.MInverse(M_massa_ss)
M_massa_T_barra = Application.MMult(M_massa_auxiliar, M_massa_sp)
For i = 1 To GL
For j = 1 To GL / 2
If i <= GL / 2 And M_elem_massa(1, 1, 1) <> 0 Then
M_massa_T(i, j) = M_massa_T_barra(i, j)
ElseIf i <= GL / 2 And M_elem_massa(1, 1, 1) <> 0 Then
218
M_massa_T(i, j) = 0
ElseIf i - (GL / 2) = j Then
M_massa_T(i, j) = 1
Else
M_massa_T(i, j) = 0
End If
Next j
Next i
M_massa_T_trans = Array2DTranspose(M_massa_T)
M_massa_auxiliar = Application.MMult(M_massa_T_trans, M_massa_nao_red)
M_global_massa = Application.MMult(M_massa_auxiliar, M_massa_T)
For i = 1 To GL / 2
For j = 1 To GL / 2
ActiveCell.Value = M_global_massa(i, j)
ActiveCell.Offset(0, 1).Activate
Next j
ActiveCell.Offset(1, -j + 1).Activate
Next i
End Sub
Cálculo das Frequências Naturais
Option Base 1
Public Sub D_matrix_iteration()
M_global_flex_modal = Application.MInverse(M_global_rig_modal)
219
M_dinamica = Application.MMult(M_global_flex_modal, M_global_massa)
Sheets("Analise Dinamica").Select
'Range("H2").Select
'For i = 1 To GL_red
'For j = 1 To GL_red
' ActiveCell.Value = M_dinamica(i, j)
' ActiveCell.Offset(0, 1).Activate
' Next j
'ActiveCell.Offset(1, -j + 1).Activate
'Next i
k = 1
erro_modal = 1
tol_modal = 0.001
Cells(1, 4).Select
ActiveCell.Value = "Altura"
ActiveCell.Offset(1, 0).Activate
For i = 1 To GL_red + 1
ActiveCell.Value = alt - ((i - 1) * h_elem_modal)
ActiveCell.Offset(1, 0).Activate
Next i
'Cells(2, 3).Select
For i = 1 To GL_red
V_modal(i, 1, k) = ((alt - (i - 1) * h_elem_modal) ^ 2) / (alt ^ 2)
220
Next i
Do While erro_modal > tol_modal And k < (ite_max - 1)
For i = 1 To GL_red
V_modal_normalizado(i, 1, k) = V_modal(i, 1, k) / V_modal(1, 1, k)
V_modal_normalizado_mutavel(i, 1) = V_modal_normalizado(i, 1, k)
'ActiveCell.Value = V_modal_normalizado(i, 1, k)
'ActiveCell.Offset(1, 0).Activate
Next i
k = k + 1
V_modal_mutavel = Application.MMult(M_dinamica,
V_modal_normalizado_mutavel)
For i = 1 To GL_red
V_modal(i, 1, k) = V_modal_mutavel(i, 1)
Next i
erro_modal = Abs((V_modal(1, 1, k - 1) / V_modal(1, 1, k)) - 1)
Loop
f_natural(1) = Sqr(V_modal_normalizado(1, 1, k - 1) / V_modal(1, 1, k))
frequencia_natural(1) = f_natural(1) / (2 * Application.WorksheetFunction.Pi())
Cells(2, 1).Value = 1
221
Cells(2, 2).Value = frequencia_natural(1)
'matriz massa generalizada
For i = 1 To GL_red
V_modo_vibracao(i, 1, 1) = V_modal_normalizado(i, 1, k - 1)
M_massa_gen(1) = M_massa_gen(1) + (M_global_massa(i, i) *
V_modo_vibracao(i, 1, 1) ^ 2)
Next i
For i = 1 To GL_red
For j = 1 To GL_red
If i = j Then
M_sweeping(i, j, 1) = 1
Else
M_sweeping(i, j, 1) = 0
End If
Next j
Next i
Cells(1, 5).Select
ActiveCell.Value = "Modo " & 1
ActiveCell.Offset(1, 0).Activate
For i = 1 To GL_red
ActiveCell.Value = V_modo_vibracao(i, 1, 1)
ActiveCell.Offset(1, 0).Activate
Next i
ActiveCell.Value = 0
For m = 2 To GL_red
222
For j = 1 To GL_red
V_modo_mutavel(j, 1) = V_modo_vibracao(j, 1, m - 1)
V_modo_mutavel_trans = Array2DTranspose(V_modo_mutavel)
Next j
'Cells(2, 14).Select
'For i = 1 To GL_red
'ActiveCell.Value = V_modo_mutavel(i, 1)
'ActiveCell.Offset(0, 1).Activate
'Next i
M_sweeping_auxiliar = Application.MMult(V_modo_mutavel,
V_modo_mutavel_trans)
'Cells(9, 14).Select
'For i = 1 To GL_red
'For j = 1 To GL_red
'ActiveCell.Value = M_sweeping_auxiliar(i, j)
'ActiveCell.Offset(0, 1).Activate
'Next j
'ActiveCell.Offset(1, -j + 1).Activate
'Next i
M_sweeping_auxiliar = Application.MMult(M_sweeping_auxiliar,
M_global_massa)
'Cells(16, 14).Select
'For i = 1 To GL_red
'For j = 1 To GL_red
'ActiveCell.Value = M_sweeping_auxiliar(i, j)
'ActiveCell.Offset(0, 1).Activate
'Next j
'ActiveCell.Offset(1, -j + 1).Activate
223
'Next i
For i = 1 To GL_red
For j = 1 To GL_red
M_sweeping_mutavel(i, j) = M_sweeping(i, j, m - 1) - (M_sweeping_auxiliar(i,
j) / M_massa_gen(m - 1))
Next j
Next i
'Cells(23, 14).Select
'For i = 1 To GL_red
'For j = 1 To GL_red
'ActiveCell.Value = M_sweeping_mutavel(i, j)
'ActiveCell.Offset(0, 1).Activate
'Next j
'ActiveCell.Offset(1, -j + 1).Activate
'Next i
M_dinamica_mutavel = Application.MMult(M_dinamica, M_sweeping_mutavel)
erro_modal = 1
tol_modal = 0.001
k = 1
'Cells(2, m + 2).Select
For i = 1 To GL_red
If i = 1 Then
V_modal(i, m, k) = 1
Else
V_modal(i, m, k) = 1
224
End If
Next i
Do While erro_modal > tol_modal And k < (ite_max - 1)
For i = 1 To GL_red
V_modal_normalizado(i, m, k) = V_modal(i, m, k) / V_modal(1, m, k)
V_modal_normalizado_mutavel(i, 1) = V_modal_normalizado(i, m, k)
'ActiveCell.Value = V_modal_normalizado(i, m, k)
'ActiveCell.Offset(1, 0).Activate
Next i
k = k + 1
V_modal_mutavel = Application.MMult(M_dinamica_mutavel,
V_modal_normalizado_mutavel)
For i = 1 To GL_red
V_modal(i, m, k) = V_modal_mutavel(i, 1)
Next i
erro_modal = Abs((V_modal(1, m, k - 1) / V_modal(1, m, k)) - 1)
Loop
f_natural(m) = Sqr(V_modal_normalizado(1, m, k - 1) / Abs(V_modal(1, m, k)))
frequencia_natural(m) = f_natural(m) / (2 * Application.WorksheetFunction.Pi())
225
Cells(m + 1, 1).Value = m
Cells(m + 1, 2).Value = frequencia_natural(m)
For i = 1 To GL_red
For j = 1 To GL_red
M_sweeping(i, j, m) = M_sweeping_mutavel(i, j)
Next j
Next i
'matriz massa generalizada
For i = 1 To GL_red
V_modo_vibracao(i, 1, m) = V_modal_normalizado(i, m, k - 1)
M_massa_gen(m) = M_massa_gen(m) + (M_global_massa(i, i) *
V_modo_vibracao(i, 1, m) ^ 2)
Next i
maior_modo = 0
Cells(1, 4 + m).Select
ActiveCell.Value = "Modo " & m
ActiveCell.Offset(1, 0).Activate
For i = 1 To GL_red
ActiveCell.Value = V_modo_vibracao(i, 1, m)
ActiveCell.Offset(1, 0).Activate
Next i
ActiveCell.Value = 0
Next m
For i = 1 To GL_red
For j = 1 To GL_red
226
M_modo_vibracao(i, j) = V_modo_vibracao(i, 1, j)
Next j
Next i
M_modo_vibracao_trans = Application.MInverse(M_modo_vibracao)
M_massa_con = Application.MMult(M_modo_vibracao_trans, M_global_massa)
M_massa_con = Application.MMult(M_massa_con, M_modo_vibracao)
End Sub
Inicialização do Cálculo da Resposta Dinâmica
Option Base 1
Public Sub A5_calculo_resposta()
Call E_amplitudes_vento_sintetico.E_amplitudes_vento_sintetico
Call F_resposta_dinamica.F_resposta_dinamica
Sheets(1).Select
End Sub
Cálculo das Amplitudes do Vento Sintético
Option Base 1
Public Sub E_amplitudes_vento_sintetico()
Sheets("Vento Estatico Modal").Select
Range("F6").Select
For i = 1 To GL_red
227
Vk(i) = ActiveCell.Value
ActiveCell.Offset(1, 0).Activate
Next i
'Range("D6").Select
C_aero = 0.6
V0 = 40
s1 = 1
d_ar = 1.225
U0 = 0.69 * V0
u = 0.4 * Vk(1) / (Application.WorksheetFunction.Ln((alt) / 0.03))
For k = 1 To 11
For i = 1 To 3
If i = 1 Then
F(i) = frequencia_natural(1) / (2 ^ (k + 0.5 - 4))
ElseIf i = 2 Then
F(i) = frequencia_natural(1) / (2 ^ (k - 4))
Else
F(i) = frequencia_natural(1) / (2 ^ (k - 0.5 - 4))
End If
X(i) = 1220 * F(i) / U0
Sv(i) = 4 * (X(i) ^ 2) * (u ^ 2) / ((4 * ((1 + (X(i) ^ 2)) ^ (4 / 3))))
Sp(i) = Sv(i) * (d_ar * C_aero * Vk(1)) ^ 2
Next i
228
ck(k) = Sqr(2 * ((F(3) - F(1)) * (Sp(1) + 4 * Sp(2) + Sp(3)) / 6))
Next k
For k = 1 To 11
If k = 4 Then
cc(k) = ck(k) / 2
soma_cc = soma_cc + cc(k)
ElseIf k = 5 Or k = 3 Then
cc(k) = ck(k) + ck(4) / 4
soma_cc = soma_cc + cc(k)
Else
cc(k) = ck(k)
soma_cc = soma_cc + cc(k)
End If
Next k
End Sub
Cálculo da Resposta ao Carregamento Periódico
Option Base 1
Public Sub F_resposta_dinamica()
Sheets("Vento Estatico Modal").Select
Range("G6").Select
For i = 1 To GL_red
q_vento(i) = ActiveCell.Value
ActiveCell.Offset(1, 0).Activate
Next i
Range("L6").Select
229
For i = 1 To GL_red
q_peso(i) = ActiveCell.Value
ActiveCell.Offset(1, 0).Activate
Next i
For k = 1 To 11
amp(k) = (cc(k) / soma_cc)
'Debug.Print amp(k)
Next k
For i = 1 To GL_red
If i = 1 Then
pt(i, 1) = (q_vento(i) * 0.52 * h_elem_modal * diam_var_ext(i) * C_aero / 2)
Else
pt(i, 1) = (((q_vento(i - 1) / 2) + (q_vento(i) / 2)) * 0.52 * h_elem_modal *
diam_var_ext(i) * C_aero)
End If
'Debug.Print pt(i, 1)
Next i
M_p_gen = Application.MMult(M_modo_vibracao_trans, pt)
For m = 1 To GL_red
'Debug.Print M_p_gen(m, 1)
'Debug.Print M_massa_con(m, m)
Next m
For k = 1 To 11
'Debug.Print amp(k)
Next k
For m = 1 To GL_red
'Debug.Print M_p_gen(m, 1)
Next m
desloc_modal = 0
230
For m = 1 To serie
For k = 1 To 11
fase(k) = Rnd() * 2 * Application.WorksheetFunction.Pi()
Next k
posicao_t = 0
For j = 1 To passos
posicao_t = (j - 1) * incremento_t
For i = 1 To GL_red
For k = 1 To 11
Ft(i) = incremento_t / (3 * M_massa_con(i, i) * f_natural(i))
Debug.Print Ft(i)
M_p_gen_amp(i) = amp(k) * M_p_gen(i, 1)
Debug.Print pt(i, 1)
y(j, k, i) = M_p_gen_amp(i) * Cos(f_natural(1) * posicao_t - fase(k)) *
Cos(f_natural(i) * posicao_t)
w(j, k, i) = M_p_gen_amp(i) * Cos(f_natural(1) * posicao_t - fase(k)) *
Sin(f_natural(i) * posicao_t)
'Debug.Print y(j)
'Debug.Print w(j)
If j Mod 2 <> 0 And j > 1 Then
m1_y = 4 * Exp(-amortecimento * f_natural(i) * incremento_t) * y(j - 1, k, i)
m2_y = Exp(-2 * amortecimento * f_natural(i) * incremento_t) * (y(j
- 2, k, i) + An(j - 2, k, i))
m1_w = 4 * Exp(-amortecimento * f_natural(i) * incremento_t) * w(j
- 1, k, i)
m2_w = Exp(-2 * amortecimento * f_natural(i) * incremento_t) *
(w(j - 2, k, i) + Bn(j - 2, k, i))
Else
m1_y = 0
m2_y = 0
m1_w = 0
m2_w = 0
End If
An(j, k, i) = (y(j, k, i) + m1_y + m2_y)
231
Bn(j, k, i) = (w(j, k, i) + m1_w + m2_w)
A_sen(j, k, i) = An(j, k, i) * Sin(f_natural(i) * posicao_t)
B_cos(j, k, i) = Bn(j, k, i) * Cos(f_natural(i) * posicao_t)
desloc_modal = (Ft(i) * (A_sen(j, k, i) - B_cos(j, k, i)))
'Debug.Print desloc_modal
If k > 1 Then
desloc_topo_fase(k, m, j) = desloc_topo_fase(k - 1, m, j) + desloc_modal
Else
desloc_topo_fase(k, m, j) = desloc_modal
End If
'Debug.Print desloc_topo_fase(k, m)
Next k
If i > 1 Then
desloc_topo(i, m, j) = desloc_topo(i - 1, m, j) + (V_modo_vibracao(1,
1, i) * desloc_topo_fase(k - 1, m, j))
Else
desloc_topo(i, m, j) = (V_modo_vibracao(1, 1, i) * desloc_topo_fase(k
- 1, m, j))
End If
'Debug.Print desloc_topo(i, m, j)
Next i
If j > 1 Then
desloc_topo_passo(j, m) = desloc_topo_passo(j - 1, m) + desloc_topo(i - 1,
m, j)
Else
desloc_topo_passo(j, m) = desloc_topo(i - 1, m, j)
End If
'Debug.Print desloc_topo_passo(j, m)
Next j
Next m
Sheets("Resposta Dinamica").Select
232
Cells(2, 1).Select
For j = 1 To passos
ActiveCell.Value = (j - 1) * incremento_t
ActiveCell.Offset(1, 0).Select
Next j
Cells(2, 2).Select
For m = 1 To serie
For j = 1 To passos
ActiveCell.Value = desloc_topo_passo(j, m)
ActiveCell.Offset(1, 0).Select
Next j
ActiveCell.Offset(-j + 1, 1).Select
Next m
End Sub
