Análise elástica de vigas

Anlise elstica de vigas (Cincias da Engenharia) | e-escola

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Anlise elstica de vigas AvanadoPublicado em 18/12/2008

Ficha de Aprendizagem

SnteseNeste tpico define-se viga, enquanto elemento estrutural, e so apresentados alguns casos reais. So definidas as grandezas, em funo das quais se descreve o comportamento das vigas e as equaes que as permitem relacionar. Obtm-se a equao diferencial que rege o comportamento das vigas e as correspondentes condies de fronteira, apresentando-se os resultados para alguns casos simples. Por fim apresenta-se uma animao interactiva que ilustra as diferenas de comportamento das vigas em funo da sua geometria e das condies de apoio e de carregamento definidas.

Palavras-chaveVigas Teoria de Euler-Bernoulli Peas lineares

Objectivos de aprendizagemA aprendizagem neste tpico envolve os seguintes objectivos: Descrever o conjunto de grandezas e de equaes envolvidas na anlise elstica de vigas; Ilustrar o comportamento das vigas com recurso a exemplos simples.

Pr-requisitosOs seguintes conhecimentos so essenciais para a compreenso deste tpico: Teoria da elasticidade Resistncia de materiais Equaes diferenciais

Viga Pea linear rectilnea sujeita apenas a flexo.

As foras exteriores actuantes so apenas foras normais ao eixo da pea linear . No se consideram foras actuantes com componentes segundo a direco do eixo. As vigas so elementos estruturais correntes na rea da Engenharia Civil.

Fig. 1 - Exemplo de viga.

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Viga simplesmente apoiada com uma carga concentradaClculo analticoConsidere-se a viga simplesmente apoiada representada na figura 14. O carregamento constitudo por uma carga concentrada, aplicada a meio-vo da barra. A determinao do campo de deslocamentos para esta estrutura mais complexa que nos casos discutidos anteriormente. conveniente subdividir o domnio em dois troos, tal como indicado na figura 15. Para cada um deles definido um sistema de eixos local. Como neste caso no existem cargas distribudas no domnio, p(x) = 0kN/m, a soluo geral para o campo de deslocamentos em cada um dos troos definida pelas igualdades:Fig. 14 - Viga simplesmente apoiada com uma carga concentrada.

Fig. 15 - Discretizao da viga simplesmente apoiada.

Para determinar as constantes de integrao, so necessrias oito equaes. As quatro primeiras esto associadas s condies de apoio definidas nos ns de extremidade. Existindo nos dois casos apoios fixos tem-se:

As restantes condies so estabelecidas tendo em conta a necessidade de se estabelecerem adequadas condies de continuidade de deslocamentos e de equilbrio na ligao entre os dois troos. A imposio da continuidade do campo de deslocamentos transversais e do campo de rotaes conduz a:

As condies de equilbrio conduzem a:

O tratamento das oito condies atrs expressas conduz a:

No troo 1, o campo de deslocamentos, o campo de momentos flectores e o campo de esforos transversos so dados por:

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No troo 2, as mesmas grandezas vm dadas pelas igualdades:

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Viga simplesmente apoiada com uma carga concentradaTraado dos diagramasA figura 16 apresenta a deformada quando se considera que L = 4 m e P = 10kN.

Fig. 14 - Viga simplesmente apoiada com uma carga concentrada.

Fig. 16 - Deformada da viga.

Nas figuras 17 e 18 apresenta-se o traado do diagrama de momentos flectores e o diagrama de esforos transversos, respectivamente.

Fig. 15 - Discretizao da viga simplesmente apoiada.

Fig. 17 - Diagrama de momentos flectores [kNm].

Fig. 18 - Diagrama de esforos transversos [kN].

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Viga contnuaClculo analticoConsidere-se a viga representada na figura 19. Na resoluo deste problema torna-se necessrio prodecer a uma sub-diviso da estrutura em dois troos. Os respectivos referenciais locais esto identificados na figura 19. Tendo em conta o carregamento definido, a soluo geral em cada um dos troos dada por:Fig. 19 - Viga contnua.

Volta de novo a ser necessrio definir um conjunto de oito condies para se determinar o valor das constantes de integrao. As quatro primeiras so semelhantes s que foram determinadas no exemplo anterior, tendo em conta que em ambas as extremidades da estrutura existem apoios fixos. Escreve-se desta forma:

Dado que existe agora um apoio fixo na seco de meio-vo, possvel escrever:

A condio de continuidade de rotaes nas seces adjacentes ao n de ligao entre troos permite escrever:

A condio de equilbrio envolvendo momentos flectores permite estabelecer:

O tratamento das oito condies atrs expressas conduz a:

No troo 1, o campo de deslocamentos, o campo de momentos flectores e o campo de esforos transversos so dados por:

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No troo 2, as mesmas grandezas vm dadas pelas igualdades:

Referncias Bibliogrficas [1] Arantes & Oliveira, Resistncia de Materiais, Livro II, AEIST, Lisboa. [2] Arantes & Oliveira, Resistncia de Materiais, Livros III e IV, Reprografia do IST, Lisboa, 1969. [3] Massonnet, C. & Cescotto, S., Mcanique des Materiaux, Science et Lettres, Lige, 1982. [4] Popov, E., Mechanics of Materials, Prentice-Hall (2 Edio). [5] Timoshenko, S. & Gere, J., Mechanics of Materials, Mc Graw-Hill, 1990.

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Viga contnuaTraado dos diagramasA figura 20 apresenta a deformada quando se considera que L = 4 m e p = 10kN/m.

Fig. 19 - Viga contnua.





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Com a seguinte aplicao interactiva possvel simular o comportamento de vrias vigas. Para isso, a aplicao permite-nos alterar as condies de apoio e de carregamento, bem como, modificar o comprimento e a dimenso da seco transversal de cada uma das barras.

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Actividade de auto-avaliaoDetermine a expresso para os campos deslocamentos e de momentos flectores para cada uma das vigas representadas nas figuras seguintes. 1. Viga simplesmente apoiada com carga triangular.

Soluo

2. Viga simplesmente apoiada com momento concentrado aplicado.

Soluo

3. Viga bi-encastrada com carga uniformemente distribuda.

Soluo

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4. Viga com dois tramos.

Soluo

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Na caracterizao do comportamento das vigas assumem-se habitualmente as seguintes hipteses: Linearidade fsica Linearidade geomtrica Homogeneidade e isotropia do material estrutural A hiptese da linearidade fsica corresponde a assumir para o material um comportamento elstico linear. Este facto simplifica as relaes constitutivas, permitindo o estabelecimento de uma relao linear entre esforos e deformaes. A linearidade geomtrica inclui a hiptese dos pequenos deslocamentos e das pequenas deformaes. a hiptese que permite que as condies de equilbrio possam ser estabelecidas com base na configurao indeformada da estrutura. Na teoria de vigas de Euler-Bernoulli, usual admitir que: Seces planas inicialmente perpendiculares ao eixo da pea estrutural; permanecem

planas e ainda perpendiculares a esse eixo aps a deformao do elemento

Fig. 2 - Ilustrao das hipteses de Bernoulli.

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O campo de deslocamentos numa seco da viga definido de forma nica se se conhecer o valor do deslocamento transversal, w(x), e da rotao (x) (representado na figura 3).

Fig. 3 - Campos de deslocamentos numa viga.

Na teoria de vigas de Euler-Bernoulli despreza-se a deformabilidade por corte, obtendo-se:

Para caracterizar a alterao da configurao da viga, define-se um campo de deformaes, a curvatura de flexo, (x):

Na figura 4 representam-se os esforos que intervm na caracterizao do comportamento da seco transversal de uma viga.

Fig. 4 - Campos de esforos numa viga.

Os campos de esforos correspondem a resultantes das componentes do tensor das tenses definidas ao longo da seco transversal. O momento flector M(x) corresponde resultante dos momentos provocados pelas componentes xx(x,y,z):

A integrao na seco transversal da componente xz(x,y,z) d origem ao esforo transverso V(x):

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As condies de compatibilidade permitem relacionar o campo de curvaturas, (x), com o campo de deslocamentos transversais, w(x).

As condies de equilbrio relacionam os campos de esforos na viga, M(x) e V(x), com a carga aplicada, p(x).

Frequentes vezes, as duas condies de equilbrio acima indicadas so transformadas numa equao apenas:

A relao entre os campos de momentos e os campos de curvaturas dependente do tipo de comportamento que se admite para o material constituinte da viga e da forma da seco transversal. Tendo sido admitida como vlida a hiptese da linearidade fsica, a relao esforos-deformaes linear e dependente das caractersticas geomtricas da seco transversal da viga (nomeadamente do seu momento de inrcia, I) e das caractersticas mecnicas que permitem caracterizar o comportamento elstico linear do material estrutural (mdulo de elasticidade, E). No caso de uma barra prismtica escritas na forma: , as relaes de elasticidade podem ser

grandeza EI usual chamar rigidez de flexo da viga. Corresponde ao valor do momento flector que necessrio considerar para se ter uma curvatura de flexo com valor unitrio.

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possvel efectuar a juno das condies de equilbrio, compatibilidade e elasticidade na obteno de uma nica equao. Obtm-se:

Esta a equao diferencial que rege o comportamento da viga quando se assumem as hipteses de Euler-Bernoulli. A considerao da equao diferencial no domnio no permite, por si s, que se consiga determinar a soluo da viga. Para que a anlise se possa efectuar, torna-se indispensvel que se especifiquem as condies de fronteira. As condies de fronteira podem ser de dois tipos: as condies de fronteira cinemticas, nas quais se especifica qual o valor dos deslocamentos numa determinada fronteira; as condies de fronteira estticas, que passam pela imposio de um determinado valor para as cargas directamente aplicadas nessa fronteira.

Tipos de apoioConsidera-se que as extremidades da viga se podem encontrar encastradas, apoiadas ou livres.

Fig. 5 - Tipos de apoio a considerar.

Numa extremidade encastrada h duas condies de fronteira cinemtica a verificar. O deslocamento transversal e a rotao devem ser nulos. Se esse apoio se verificar no n inicial, possvel escrever:

Numa extremidade apoiada, o deslocamento transversal deve ser nulo e o momento flector deve ser igual ao momento concentrado que eventualmente a esteja aplicado. Particularizando de novo para o n inicial possvel escrever:

Finalmente, numa extremidade livre especificam-se duas condies de fronteira esttica. O momento flecto e o esforo transverso devem ser iguais s cargas concentradas que nessa seco possam estar aplicadas. Escreve-se:

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Viga simplesmente apoiada com uma carga uniformemente distribudaClculo analticoConsidere-se a viga simplesmente apoiada representada na figura 6. O carregamento constitudo por uma carga uniformemente distribuda, p(x) = pkNm. A equao diferencial que rege o comportamento da viga pode ser escrita na forma:Fig. 6 - Viga simplesmente apoiada com uma carga uniformemente distribuda.

Considerando a regidez de flexo, EI, constante e integrando quatro vezes, obtm-se a soluo geral:

A soluo geral para as restantes grandezas envolvidas na caracterizao do comportamento da viga podem agora ser obtidas atravs das igualdades:

O valor das constantes de integrao so determinadas tendo em conta as condies de fronteira. Como nas duas extremidades da viga existem apoios fixos, as condies a ter em conta so as seguintes:

A resoluo destas equaes permite determinar:

Substituindo estas constantes na soluo geral, obtm-se finalmente a seguinte

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equao para o campo de deslocamentos transversais:

Os campos de rotaes e de curvaturas, (x) e (x), so dados por:

Os campos de momentos flectores e de esforos transversos, M(x) e V(x) so dados pelas igualdades:

Na pgina seguinte podem observar-se a deformada da viga e os diagramas de momentos flectores e de esforos transversos.

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Viga simplesmente apoiada com uma carga uniformemente distribudaTraado dos diagramasA figura 7 apresenta a deformada da viga quando se considera que L = 4 m e p = 10kNm. Nas figuras 8 e 9 apresenta-se o traado do diagrama de momentos flectores e o diagrama de esforos transversos, respectivamente.

Fig. 6 - Viga simplesmente apoiada com uma carga uniformemente distribuda.




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Viga encastrada apoiada com uma carga uniformemente distribudaClculo analticoConsidere-se a viga encastrada apoiada representada na figura 10. O carregamento constitudo por uma carga uniformemente distribuda, p(x) = pkN/m. Como o carregamento igual ao que foi considerado no exemplo anterior, a soluo geral a considerar exactamente a mesma:Fig. 10 - Viga encastrada-apoiada com uma carga uniformemente distribuda.

As condies de fronteira a considerar na extremidade inicial da viga so agora diferentes, tendo em conta que a se tem agora um encastramento. Pode escrever-se:

A resoluo destas equaes permite determinar:

Substituindo estas constantes na soluo geral, obtm-se a seguinte equao para o campo de deslocamentos transversais:

Os campos de momentos flectores e de esforos transversos, M(x) e V(x) so dados pelas igualdades:

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Viga encastrada apoiada com uma carga uniformemente distribudaTraado dos diagramasA figura 11 apresenta a deformada quando se considera que L = 4 m e p = 10kN/m.

Fig. 10 - Viga encastrada-apoiada com uma carga uniformemente distribuda.





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