Grupo de Anlise deDepartamento deEngenharia CivilANLISE DE ESTRUTURAS IApontamentos sobre anlise elstica linear de lajesV.M.A. Leitocom a colaborao deJ.A. Teixeira de Freitas, L.M.S.S. Castro e O.J.B.A. PereiraIST, 1996Grupo de Anlise deApontamentos sobre anlise elstica linear de lajes1. Estruturas laminares 12. Notao a utilizar 23. Classificao das lajes 54. Lajes finas - hipteses simplificativas 65. Modelo elstico linear de lajes finas 75.1 Cinemtica. Campo de deslocamentos 75.2 Relaes deformaes-deslocamentos 75.2.1 Carcter tensorial das curvaturas 85.3 Relaes tenses-deformaes 85.4 Relaes tenses-curvaturas 105.5 Relaes momentos-curvaturas 105.5.1 Carcter tensorial dos momentos 115.6 Esttica-Equilbrio 125.7 Equao de Lagrange das lajes 146. Comparao do comportamento estrutural de vigas e lajes 157. Anlise elstica de lajes - caso geral 177.1 Equivalncia esttica entre momento torsor e foras de corte 188. Mtodos de anlise de lajes 208.1 Algumas solues analticas simples 218.2 Solues analticas tabeladas 238.2.1 Sensibilidade dos resultados variao do coeficiente de Poisson 248.3 Modelao de lajes atravs de elementos de grelha 248.4 Anlise de lajes contnuas 25IST - DECivilGrupo de Anlise de Estruturas 11. Estruturas laminares semelhana das placas e as cascas, aslajesso,estruturaslaminares,ouseja,apresentam uma dimenso muito menor que as outras duas, o quefazcomqueoseu comportamento possa ser considerado bidimensional quando referido ao planoou folheto mdio.As lajes so estruturas laminares planas caracterizando-se por as aces que sobreelas actuam serem sobretudo perpendiculares ao plano mdio.Emparticular,nestaintroduoaoestudodelajesseroignoradasquaisqueracesnoplanodalaje,oquelevaaquenoexistammomentoseesforos(normais e de corte) nesse plano.Figura 1 - Placa e laje.Quandoasestruturaslaminaressonoplanasdesignam-seporcascasoumembranasconsoantesejamsubmetidassobretudoaesforosdeflexoouaesforos tangenciais ao folheto mdio.Figura 2 - Esquema de casca/membrana.IST - DECivilGrupo de Anlise de Estruturas 2Em qualquer introduo ao estudo de lajes a principal dificuldade a de transmitir oconceitodabidimensionalidadedocomportamentodestetipodeestruturas,pois,ataqui,praticamentesestruturasplanasformadasporelementosunidimensionais, estruturas reticuladas, tm sido analisadas.2. Notao a utilizarAntesdeprosseguircomaformulao,necessriodefinirasimbologiaeanotaoutilizadapararepresentarasdiversasgrandezasenvolvidas,nomeadamente os esforos, os deslocamentos, as deformaes e as curvaturas.semelhanadoquesucedeparaasestruturasreticuladas,arepresentaodomodeloestruturaldeumalajepassapelasimplificaodageometriaedascondies de apoio.NaFigura3,extradadeRef.1,encontra-seumalajeeasuarepresentaoesquemticaemtermosdemodeloestrutural.Estalajeapresentaasdiversascondies de apoio a que uma laje vigada pode estar sujeita, nomeadamente:bordo livre (entenda-se sem viga de apoio);bordoapoiado(apoiadoapenasnumavigaaqual,porseassumirquenotemrigidezdetoro,noimpedeeventuaisrotaesquealajetenha.Omomentoflectornalaje,necessariamente,nuloumavezquetambmoomomentotorsor na viga.);bordo encastradopoder ser realmente encastrado, se se assumir que so nulas as rotaesda laje em relao ao bordo;ou ser parcialmente encastrado, o que sucede quando:a) seatribuirigidezdetorovigaque,eventualmente,servedeapoio laje.b) obordoqueseestaconsiderarpertencer,fazendodeinterface,simultaneamenteadoispainissucessivosdelaje.Nestasituaoapenas se impede a rotao relativa entre os painis, no a rotaoglobaldalajesobreoapoio.Daadesignaodeencastramentoparcial. O momento flector num painel de laje tem que ser igualaodo painel seguinte de modo a que se verifique o equilbrio.IST - DECivilGrupo de Anlise de Estruturas 3Figura 3 - Representao esquemtica das condies de apoio, Ref. 1.Emrelaonotaoautilizarparaasdiversasgrandezasenvolvidasserconvenientefazerasuarepresentaonoespaotridimensional.NaFigura4,eapenasparaintroduodoreferencialquepassaremosautilizar,representa-seadeformada de uma laje em flexo segundo o eixoy .Figura 4 - Referencial tridimensional a utilizar.Emtermosdedeslocamentos,enoquedizrespeitoaotipodelajesqueiremosanalisar, ser conveniente identificar, ver Figura 5:odeslocamentosegundooeixoz oqualdesignaremospordeslocamentotransversal,w;IST - DECivilGrupo de Anlise de Estruturas 4asrotaessegundox ey asquaissoasderivadasdodeslocamentotransversal, quando se despreza a deformao por corte.Figura 5 - Representao da deformada de uma laje.As derivadas, segundoxey , das rotaes definem as curvaturas.A conveno utilizada para definir os esforos existentes na laje, nomeadamente osmomentos e o esforo transverso, pode ser mais facilmente entendida com base naFigura6,naqualserepresentamosesforosaactuarnasdiversasfacesdeumelemento infinitesimal de laje.Denotarqueosndicessereferemnodirecodosesforosmassimscomponentes de tenso que os originam.Porexemploomomentoflectormxomomentoresultantedaacodacomponente do vector das tenses actuando segundo o eixox, ou seja,m z dzx xx ,e no o momento segundoxpois o vector tem a direcoy .Figura 6 - Conveno de esforos num elemento de laje.Na Figura 7 representam-se a distribuio admitida para as tenses normaisxx aactuar nas faces paralelas ao eixoy e o momento flectormx correspondente.IST - DECivilGrupo de Anlise de Estruturas 5Figura 7 - Distribuio de tenses e o momento flectorcorrespondente.Os restantes esforos so dados por:m z dzy yy ,m m z dzyx xy xy ,v dzx xz ,v dzy yz .3. Classificao das lajesAs lajespodemclassificar-sesobdiversospontosdevista,nomeadamentequantoaotipodeapoio,constituio,aoprocessodefabrico,aomododeflexodominante, ao comportamento estrutural; ver Ref. 1 para mais detalhes.NoquedizrespeitoAnlisedeEstruturasinteressasobretudooseucomportamentoestruturaloqual,emgrandemedida,ditadopelosseguintesfactores:os tipos de apoios e de cargas, ou seja, pelas condies de fronteira;a relao entre os vos, a qual condiciona a direco de flexo dominante;o comportamento mecnico do material de que a laje constituda.a relao da espessura com o menor dos vos;O ltimo destes factores, a relao da espessura com o menor vo (no caso de lajesvigadasoucomomaiordosvosnocasodelajesfungiformes),damaiorimportnciapoiscondicionaotipodemodelodeanlisedelajesquesepodeutilizar.IST - DECivilGrupo de Anlise de Estruturas 6No que diz respeito a estes apontamentos apenas ser considerada a teoria elsticalineardelajesfinasaqual,tendoemcontaospressupostosconsideradosnasuadeduo,deveapenasseraplicadaalajesqueverifiquemumarelaoespessura/menorvoinferioraaproximadamente1/5eaindaqueosdeslocamentostransversaismximossejamrelativamentepequenos(inferioresaaproximadamente 1/5 da espessura, como sugere a Ref. 4).Um modelo para o estudo de lajes finas apresentado de seguida.4. Lajes finas - hipteses simplificativasNaanlisedestetipodelajesseroconsideradascertashiptesessimplificativas,nomeadamente:admite-sequeomaterialestruturalhomogneoeisotrpicocomcomportamento elstico linear (linearidade fsica);admite-se que os deslocamentos so pequenos e que tambm so pequenas asinclinaes do plano mdio da laje (derivadas dos deslocamentos transversais) eascurvaturas(segundasderivadasdosdeslocamentos),verificando-sealinearidadedasrelaesdeformaes-deslocamentospermitindoqueseestabeleam as equaes de equilbrio na configurao indeformada (linearidadegeomtrica);admite-se que a laje tem espessura constante;admite-sequeasfibrasnormaisaoplanomdiosemantmrectaseperpendiculares ao plano mdio aps a deformao;admite-se que so nulas as deformaes do plano mdio da laje;e admite-se ainda que so nulas as tenses normais ao plano mdio.EstastrsltimashiptesessoconhecidaspelashiptesesfundamentaisdeKirchhoff e constituem a base desta teoria elstica linear de lajes. Figura 8 - Deformao de laje com base no modelo de Kirchhoff.IST - DECivilGrupo de Anlise de Estruturas 75. Modelo elstico linear de lajes finasConsidere-se uma laje (estrutura laminar plana) constituda por material homogneodecomportamentoelstico,lineareisotrpico,dedomnio(sujeitoounoaforasdemassa)efronteiranaqualseverificamdeterminadascondiesimpostas.Indicam-sedeseguidaasaproximaesconsideradasparaasgrandezasenvolvidas,nomeadamenteosdeslocamentos,asdeformaes,astenseseosesforos,eaindaasrelaesentreasmesmasgrandezas,obtendo-seporfimaequaodiferencialdeequilbriodelajesescritaemfunodosdeslocamentostransversais, a qual tambm conhecida por equao de Lagrange.5.1 Cinemtica. Campo de deslocamentosA assuno das hipteses de Kirchhoff permite exprimir o campo de deslocamentosna laje em funo dos deslocamentos (e das suas derivadas ou seja das rotaes)do seu plano mdio.Nombitodestesapontamentosapenasseconsideraodeslocamentotransversaldo plano mdio, ou seja,w x y ( , ) o qual se desenvolve segundo o eixoz .Os deslocamentos em qualquer ponto( , , ) x y zda pea laminar podero ser obtidosatravs de:u x y z zw x yxx( , , )( , ) - segundo o eixox ,u x y z zw x yyy( , , )( , ) - segundo o eixoy ,u x y z w x yz( , , ) ( , ) - segundo o eixoz .Portanto,osdeslocamentossofunodaposiodoplanoqueseestaconsiderar e das rotaes do plano mdio da laje, ver Figura 8.5.2 Relaes deformaes-deslocamentosNo ponto genrico( , , ) x y zda laje, as deformaes e os deslocamentos relacionam-se,porforadavalidadedahiptesedospequenosdeslocamentos,atravsdasequaes de compatibilidadeij i j j iu u +12 ( ), ,em queurepresenta o campo de deslocamentos.Atendendo a que os deslocamentos so funo dos deslocamentos do plano mdiodalaje,podemexpressar-seascomponentesdedeformaodoplanomdionaforma seguinte:IST - DECivilGrupo de Anlise de Estruturas 8 xxyyxyxz yzzwxzwyzwx y 222220,,,.AshiptesesdeKirchhoffnocondicionamacomponentezzapesardesepoderdizerqueoseuvalorserpequenoquandocomparadocomasrestantescomponentes de deformao.Ficaclaroentoque,paraumadadacotaz ,ascomponentesdedeformaosdependemdasderivadasdosdeslocamentostransversaisousejadascurvaturas,as quais se definem da seguinte forma:a curvatura de flexo segundo o eixox , xw x 2 2/ ;a curvatura de flexo segundo o eixoy , yw y 2 2/ ;a curvatura de toro, xyw x y 2/ .5.2.1 Carcter tensorial das curvaturasPodeobservar-sequeascurvaturasdefinidasacima x y, exyconstituemumtensor,otensordascurvaturas.Sendoconhecidasestascomponentesnumqualquerpontopossvelobtercurvaturasemqualqueroutroreferencialortonormado.Istosignificaquetambmpossvelobter,paraestetensor,ascomponentes segundo as direces principais as quais coincidem com as direcesprincipais de deformao.Ascomponentessegundoasdirecesprincipaispodemobter-serecorrendoaocrculo de Mohr.Umresultadoimportanteodainvarinciadacurvaturamdia,definidacomoasomadascomponentessegundocadaumdoseixoscoordenados,emqualquerpontodalajeeparaqualquersistemadeeixosconsiderado.Associadoaesteresultado est o das curvaturas de toro mxima e mnima fazerem ngulos de 45com as direces principais de flexo.IST - DECivilGrupo de Anlise de Estruturas 95.3 Relaes tenses-deformaesAstensesobtm-sedasdeformaesatravsdaleideHookegeneralizada,assumindo que o material de que se compe a laje elstico linear, homogneo eisotrpico, a qual toma a forma seguinte xx xx yyyy yy xxxy xyEEE+++11122( ) ,( ) ,.De um modo geral pode dizer-se que o efeito das componentes de tenso segundoo eixoz desprezado o que corresponde a considerar que cada lmina da laje noplanox y se encontra num estado plano de tenso.Nestemodeloassume-se,pois,queacomponentezznula.Denotar,contudo,queesteresultadonopodeserdeduzidodirectamentedascomponentesdedeformao.Tambmascomponentesxzeyznopodemserobtidasdirectamentedascomponentesdedeformaoeistoporqueseassumequeomaterialdequesecompe a laje rgido ao corte, xz yz 0 .As tenses tangenciais segundo a direco transversal no so, pois, determinveisa partir das componentes de deformao respectivas.Paraestemodelodelajesfinas,podeadmitir-se,porconsideraesdeequilbrioque no directamente a partir das componentesdedeformao,queadistribuiodetensestangenciaisparablicanaespessuradalajecomvalormximonoplano mdio da laje e com valor nulo em ambas as extremidades.Admitindo essa distribuio parablica as tenses tangenciais mximas so:( )maxxz xvh 321( )maxyz yvh 321ou seja, exactamente uma vez e meia o esforo transverso mdio na espessura dalaje.Outra consequncia directa da hiptese de sernulaacomponentezzadequeascargastmqueserentendidascomosendoaplicadasexactamentenoplanomdio da laje e no nas superfcies superior ou inferior.Se a laje for espessa natural que a soluo obtida atravs da teoria de lajes finas,em que se considera que a carga est a ser aplicada no plano mdio da laje, difiraIST - DECivilGrupo de Anlise de Estruturas 10consideravelmentedasoluoobtidacombaseemteoriasmaiselaboradasasquais tm em conta a forma como a carga est a ser aplicada.5.4 Relaes tenses-curvaturasEscrevendoastensesemfunodascurvaturas(ousegundasderivadasdosdeslocamentos transversais) obtm-se: xxyyxyzzEzwxwyEzwywxEzwx y +

_,

+

_,

+111022222222222,,,,ou( )( ) xx x yyy y xxy xyzzEzEzEz+++111022,,,.Como se v as tenses so proporcionais distnciazda lmina aoplanomdioda laje e tambm so proporcionais s curvaturas.5.5 Relaes momentos-curvaturasOs esforos, nomeadamenteos momentos e os esforos transversos, obtm-se porintegraodascomponentesdetenso(devidamentemultiplicadaspeladistnciaao plano mdio) ou seja:m zdzEzwxwydzmEh wxwyDwxwyx xxhhhhx +

_,

+

_, +

_,

////,( ),22222222223222222222112 1m Dwywxm m Dwx yyxy yx +

_,

222221,( ) ,IST - DECivilGrupo de Anlise de Estruturas 11emqueD Eh 3 212 1 / ( ) arigidezdeflexodalaje(porunidadedecomprimento).As relaes acima podem tambm ser escritas como:( )( )m Dm Dm m Dx x yy y xxy yx xy + + ,,( ) . 1A rigidez de flexo da laje no mais que o momentom que necessrio aplicarpara que a curvatura correspondentesejaunitriamantendo-senulasasrestantescurvaturas.Arigidezdetoroiguala D( ) 1 ousejaEh312 1 / ( ) + ecorrespondeaomomento torsor que necessrio aplicar para se obter, apenas, curvatura de torounitria.Ser interessante notar que a rigidez de toro de uma viga de seco rectangular GJ Ebh +36 1 / ( ) emqueJ omomentopolardeinrciadasecoeemqueGrepresentaomdulo de distoro ( G E + / ( ( )) 2 1 .V-se pois, que uma viga de 1 metro de largura tem exactamente o dobro da rigidezdetoroqueumafaixadalajecom1metrodelado.Taldeve-seaofactodosmomentos torsores existirem aos pares,mxy emyx.Denotarqueestessomomentosporunidadedecomprimentopoisaintegraodas tenses na outra direco no foi levada a cabo.5.5.1 Carcter tensorial dos momentosNeste momento conveniente notar que tambm os momentosm mx y,emxy so ascomponentesdeumtensor,otensordosmomentos.Sendoconhecidasestascomponentesnumqualquerpontopossvelobtermomentosemqualqueroutroreferencialortonormado.Istosignificaquetambmpossvelobter,paraestetensor, as componentes segundo as direces principais as quais coincidem com asdireces principais de tenso, de deformao e das curvaturasSeja um sistema de eixos ortonormados ,rodadoem relao ao sistemax y ,usual.Os momentos segundo estes novos eixos so pois:IST - DECivilGrupo de Anlise de Estruturas 12( )m m m mm m m mm m m ma x y xyx y xya x y xy + + + + +cos sin cos sin ,sin cos cos sin ,sin sin cos .2 22 222122 2 2 2 Tal como para as curvaturas, tambm para os momentos se verifica a invarincia dasoma das componentes segundo os eixos, ou seja,m m m mx y+ + .Recorrendo ao crculo de Mohr podem obter-se os momentos principais:m m m m m mm m m m m mI x y x y xyII x y x y xy + + + + +12124121242 22 2( ) ( ) ,( ) ( ) .O ngulo que as direces principais de flexo fazem com os eixosx y , dado por:

_,

122arctan( )mm mxyx y.Asdirecesparaasquaissomximos(oumnimos)osmomentosflectores,asdirecesprincipaisdefinidasacima,formamumngulode45comasdirecespara as quais o momento torsor mximo (ou mnimo),m m m mm m m mxy x y xyxy x y xymaxmin( ) ,( ) . + +1241242 22 25.6 Esttica-EquilbrioTome-seumelementoinfinitesimaldx dy . deumalajesubmetidaaumacargadistribuda na superfcie,q , tal como na Figura 9.IST - DECivilGrupo de Anlise de Estruturas 13Figura 9 - Equilbrio de um elemento infinitesimal de laje.O equilbrio verifica-se por satisfao das seguintes condies: nula a resultante das foras segundo o eixoz ,F v dy v dx v dv dy v dv dx q dx dyz x y x x y y + + + 0 0 . . ( ). ( ). . .Fvxvyqzxy + + 0 0,em quevx evy so os esforos transversos (por metro); nula a resultante dos momentos na direcox ,Mmymxvxy xyy + 0 0; nula a resultante dos momentos na direcoy ,Mmymxvyyxxx + 0 0. possvel agora definir os esforos transversos tambm em funo das curvaturas( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )vmxmyDxDyDxvmymxDyDxDyxxyxx y xy x yyy xyy x xy x y + + + + + + + + ( ) ,( ) .11IST - DECivilGrupo de Anlise de Estruturas 14Eliminandoosesforostransversosdasequaesdeequilbrioescritasacimaobtm-se a equao de equilbrio das lajes que envolve 3 incgnitas:222222mxmymx yqxy xy+ + Aindeterminaoestticaqueadvmdaexistnciademaisincgnitasqueequaes leva a que seja possvel equilibrar as cargas aplicadas laje de diversasmaneirasousejahumnmeroindeterminadodesoluesequilibradas.Maisfrente iremos ver como se pode tirar partido deste facto na anlise de lajes.5.7 Equao de Lagrange das lajesAequaodeLagrangeexprimeoequilbriodoelementoinfinitesimaldalajeemfuno dos deslocamentos transversaisw do plano mdio.Estaequaoobtm-sesubstituindoasrelaesentreosesforoseassegundasderivadas dos deslocamentos transversais (as curvaturas) do plano mdio da laje naequao de equilbrio atrs descrita: 4442 2442wxwx ywyqD+ + ou seja: 4wqD.A soluo desta equao, para um determinado nmero de condies de fronteira,permite obter o campo de deslocamentos,ocampodedeformaeseosesforosgeneralizados na laje.A aplicao desta teoria ao estudo de lajes genricas com geometria e condies defronteirageraispode,emcertoscasoscomoiremosvermaisfrente,apresentaralgumasdificuldadesjquearesoluoanalticadeequaesdiferenciaisdotipoda equao de Lagrange s pode ser feita para geometrias mais simples.possvelcontudo,simplificaroestudodelajesqueapresentemdeterminadascaractersticas,nomeadamenteocasodelajessimplesmenteapoiadascomumadas dimenses muito superior outra.Nestecaso,alajedeformaemflexocilndrica,pelomenossuficientementelongedos apoios, o que significa que a flexo se d segundo uma das direces apenas.Este caso ser introduzido com refernciaanalogiaentreoscomportamentosdevigas e deste tipo de lajes.IST - DECivilGrupo de Anlise de Estruturas 156. Comparao do comportamento estrutural de vigas e lajesAequaodiferencialdaelstica(aequaoquedefineadeformadaassumindocomportamentoelsticolinear)deumavigasubmetidaaumacargap x ( ) ,admitindo que a o eixo da viga se encontra alinhado com o eixo x,EId wd xp xyy44 ( ) ,sendo o momento flector dado por: EId wd xm xyy x22( ) ,emqueEIyyarigidezdeflexodavigaeotermosderivadasparciaisdodeslocamento transversal representa a curvatura, Figura 10.Figura 10 - Deformada de uma viga.Esta equao assume que as seces transversais se mantm planas e ortogonaisaoeixodapealinearapsadeformao(hiptesedeBernoulli).Denotarassemelhanas com as hipteses de Kirchhoff.Daquiresultaque,paraumadadasecotransversaleparamomentoflectorpositivo,adeformaodasfibraslongitudinaisnafacesuperior sendodenas fibras da face inferior.Esta deformao implica, por efeitodePoisson,quesedesenvolvamdeformaestransversais que so positivas na face superior e negativas na face inferior. transversal transversal Figura 11 - Deformada da seco transversal de uma viga.Nohavendorestriesaessadeformaotransversalnosedesenvolvemtenses transversais.IST - DECivilGrupo de Anlise de Estruturas 16Sealinharmosumasriedevigascomoseixosparalelosentresicomoqueaformarumalajepodedizer-sequeasdeformaestransversaisestorestringidas(devemsernulasparaquesemantenhaacontinuidade)oquelevaaoaparecimentodetensestransversais yy xx ,emqueocoeficientedePoisson, as quais produzem um momento flectorm z dz my yy x na direco transversal do eixo.As componentes de deformao e de tenso segundo o eixo so: xxxxxxxxEE Ez d wdx ( ) 11 122 222obtendo-se, por integrao na altura da secoh ,m zdzEh d wdxDd wdxx xxhh //( )22 32222212 1,em queD a rigidez de flexo da laje formada pela justaposio de vigas paralelasentre si e assumindo que a flexo cilndrica.So evidentes as semelhanas entre o comportamento de uma viga e o de uma lajelongaemflexocilndricapuranaqualsexistecurvaturanumadireco,adomenorvo.Naoutradireconoexistecurvaturadesenvolvendo-seapenasummomento flector por efeito de Poisson.Estemodelosimplificadosaceitvelparalajeslongascomflexoapenassegundo o eixo mais curto (flexo cilndrica).A anlise de lajes que no se possam considerar longas requer a considerao daflexo em ambas as direces, ver Figura 5.Havendoflexoemambasasdireces,htambmcurvaturascommomentosadesenvolverem-se necessariamente em ambas as direces.Sendoosmomentosproporcionaisscurvaturasedependendomais,comonatural,dacurvaturacorrespondentedirecodomomentoqueseestaconsiderar,oquevaiacontecer,emgeral,queosmomentossegundoomenordosvos(paraiguaiscondiesdefronteiraemtodososbordosdeumalajerectangular) so superiores aos do vo maior.Denotarqueexistindocompatibilidadedosdeslocamentostransversais( w x y ( , ) nico para um determinado ponto) as curvaturas so necessariamente maiores parao menor dos vos.IST - DECivilGrupo de Anlise de Estruturas 177. Anlise elstica de lajes - caso geralA equao de Lagrange definida atrs rege o comportamento de qualquer lajefinacom base no modelo de Kirchhoff.Aresoluodequalquerequaodiferencialrequerasatisfaodedeterminadascondies de fronteira as quais reflectem o tipo de apoios a que a laje est sujeita.Essascondiesdefronteiraso,paraosdiferentestiposdeapoioaquealajepode estar sujeita, listadas de seguida.bordo rigidamente encastrado ;wx a 0 oquesignificaquesonulososdeslocamentostransversaisnobordo de coordenadax a . wxx a 0 oquesignificaquenulaarotaosegundox nobordodecoordenadax a . Figura 12 - Bordo x=a encastrado.bordo simplesmente apoiado em viga sem rigidez de toro mas comrigidezdeflexo infinita;wx a 0 oquesignificaquesonulososdeslocamentostransversaisnobordo de coordenadax a . 22220wxwyx a+

_, oquesignificaquenuloomomentoflectorx nobordo de coordenadax a . Figura 13 - Bordo x=a simplesmente apoiado.bordo livrem m vxx axyx axx a 0 0 0 , , so,aparentemente,ascondiesqueexprimemainexistnciadeforasaactuarnobordologoesforosnulos no bordo de coordenadax a .IST - DECivilGrupo de Anlise de Estruturas 18 Pode provar-se, ver seco seguinte, que as duas ltimas condies so, narealidade,umasdaque,nombitodateoriadelajesfinas,asduascondies de fronteira do bordo livre sejam:1. 22220wxwyx a+

_, .2.33322 0wxwx yx a+

1]1( ) ao invs das 3 condies inicialmente referidas. bordoparcialmenteencastradoousejabordoapoiadoemvigacomrigidezdetoro (definida porC) e rigidez de flexo ( B ) finitas; BwyDwxwx yx a x a 4433322

_,

+

1]1 ( ) o que exprime o equilbrio entreoesforo transverso efectivo e a reaco sobre a viga ousejaainteracoentreaflexodavigaeadeformaodalajenobordodecoordenadax a .Cwx yDwxwyx a x a 322222

_, +

_,

oquerelacionaatorodavigaeadeformao da laje no bordo de coordenadax a . Figura 14 - Bordo apoiado em viga com rigidez de toro.7.1 Equivalncia esttica entre momento torsor e foras de corte Notratamentodascondiesdefronteiradobordolivreverificou-sehaverumadeterminadarelaoentreascondiesdeseremnulosomomentotorsoreoesforo transverso nesse bordo. Tentemosdefinirmelhoroquesoestasduasgrandezas.Emcadaelementoinfinitesimalomomentotorsormxyummomentoaactuarnafaceortogonaldireco do eixoxresultante de tenses a actuar nessa face segundo a direcoyverFigura15;admite-seumadeterminadavariaodemxy,dadapormmydyxyxy' , ao longo da face paralela ay .IST - DECivilGrupo de Anlise de Estruturas 19 Figura 15 - Tenses tangenciais e momento torsor no bordo.Emtermospuramenteestticosfcilobservarqueomomentotorsornumelemento infinitesimal de dimensody equivalente ao binrio formado por forasde corte a actuar nessa face segundo a direcoz , ver Figura 16. Figura 16 - Equivalncia entre o momento torsor e foras de corte. Quando a variao demxy ao longo da face paralela ay nula existe equilbrio dasforasdecorterepresentadasnaFigura16entrecadaelementoinfinitesimaldyexcepto nos cantos onde, por fora da condio de equilbrio que se deveverificarsempre, essas foras tm que ser compensadas com reaces de intensidade: R m Dwx yxy 2 2 12( ) tal como indicado na figura 17.IST - DECivilGrupo de Anlise de Estruturas 20 Figura 17 - Reaces de canto como resultado da equivalncia esttica entre momentostorsores e esforos transversos. Quando a variao demxy ao longo da face paralela ay , myxy, no nula, existemforasdecortedesequilibradasdeintensidadevmyxxyx a aplicadasnobordo,devido equivalncia esttica entre o momento torsor e o esforo transverso. (Nota: Estas foras adicionais resultam de se terem desprezado as deformaes poresforo transverso. Com outras teorias, mais desenvolvidas, que tenhamemcontaesse efeito no necessrio definir quaisquer esforos de corte adicionais.) Aexistnciadestasforasdecortefazcomquesetenhaqueredefiniroesforotransverso. Assim aos esforos transversos previamente definidos vmxmyxxxyx a +

_,

devem adicionar-se as foras de corte desequilibradasvxobtidas atrs. Designa-se esta resultante por esforo transverso efectivo r vmyx xxyx a +. assim claro que no caso do bordo livre a condio de fronteira que se deve impor a de que o esforo transverso efectivorx seja nulo e no quevx seja nulo.Asforasdecantonosedesenvolvemnocasodeosbordosconvergentesnocanto serem ambos livres ou de um deles ser encastrado ( mxy 0no bordo).8. Mtodos de anlise de lajesQuando a geometria e as condies de fronteira da laje so simples, a equao deLagrange pode ser resolvida analiticamente.IST - DECivilGrupo de Anlise de Estruturas 21Muitasdessassoluesestotabeladas.Este,semdvida,oprocessomaisutilizadopelosprojectistasnodimensionamentodepainisdelajequenoapresentem dificuldades de maior.NoscasosmaisgeraisaequaodeLagrangetemdeserresolvidarecorrendoatcnicas numricas como sejam:o mtodo dos elementos finitos;o mtodo das diferenas finitas.A modelao de lajes atravs de elementos de grelha outra tcnica correntementeutilizadaparaaanlisedelajescomgeometriae/oucondiesdefronteiramaiscomplexas e quando no se dispe de um programa de elementos finitos de laje ouno se justifica a sua utilizao.A modelao atravs de elementos de grelha corresponde, na realidade, definiodo caminho da trajectria queascargastomamatdescarregaremnosapoios.Podeprovar-se,comrecursoanliseplsticalimite,nomeadamenteaoteoremaesttico, que as distribuies de esforos assim determinadas esto sempre do ladoda segurana o que muito importante em termos de dimensionamento de lajes. usual referir-se este mtodo como sendo o mtodo das faixas ou das bandas.Porltimodevereferir-seaindaumoutromtodobaseadonoteoremacinemticodaanliseplsticalimite,omtododaslinhasderotura.Estemtodo,talvez,omenosutilizadoporfornecerumasoluoquesobrestimaacapacidaderesistenteda laje no estando, portanto, do lado da segurana.8.1 Algumas solues analticas simplesAsoluoanalticadaequaodeLagrangepassanormalmenteporencontraracombinaodeduassolues,assoluescomplementareparticular,que,conjuntamente,devemverificarascondiesdefronteiradoproblema.Asoluocomplementarsoluodaequaohomogneaeasoluoparticular,porsis,no tem que verificar as condies de fronteira do problema.Laje rectangular simplesmente apoiada sujeita a carga sinusoidalEsteumcasosimplesparaoqualhumasoluoanalticatambmsimples.Considere-se uma laje rectangular de dimensesa b ,sujeita carga sinusoidal[ ][ ] q qxaybx y a b 00 0 sin sin , ( , ) , , , em que q0 a intensidade da carga no ponto mdio da laje.IST - DECivilGrupo de Anlise de Estruturas 22AsoluodaequaodeLagrangesujeitascondiesdefronteiradebordo simplesmente apoiado :wqDa bxayb+

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042 221 1 sin sin .relativamentefcilobteroscamposdeesforoscorrespondentesaestasoluo bastando para isso recorrer s expresses apropriadas.Laje rectangular simplesmente apoiada - soluo de NavierNormalmenteascargasnoso,comonoexemploanterior,sinusoidais.Comopossveldescreverqualquerfuno(qualquercarregamento)pormeio de uma srie de Fourier, Navier sugeriu que se tomasse como soluogeraldaequaodeLagrangeasobreposiodassoluesparainfinitoscarregamentos, cada um da forma duplamente sinusoidal como a do exemploanterior.Assim,paraumacargagenricaq f x y ( , ) Navierpropsaseguintesoluo,wDamanbm xan ybmmnn+

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141222221 sin sincom a carga genrica a ser representada porf x y am xan ybmmnn( , ) sin sin 1 1 .Para o caso de carga uniformemente distribuda deintensidadeq0,toma-sea q mnmn 1602param eninteiros mpares.Lajerectangularsimplesmenteapoiadauniformementecarregada-soluodeLvyEstasoluoumpoucomaissimplesqueaanteriorjqueadmiteumacerta regularidade do comportamento numa das direces o que permite usarumaexpansoemsriesimplesemoposioduplasriedasoluodeNavier.Essaregularidadeprende-secomofactodeseassumirquedoisbordosopostossosimplesmenteapoiados.Se,porexemplo,osvossegundo y forem simplesmente apoiados pode admitir-se que:w Ym xammsin1comYmadependerdey apenas.Nasexpressesseguintesconsidera-se[ ][ ] ( , ) , / , / x y a b b 0 2 2 .IST - DECivilGrupo de Anlise de Estruturas 23A soluo de Lvy para uma laje rectangular simplesmente apoiada :wqDx ax a xqaDAm yaBm yam yam xam mm + + +

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2424 3 341( ) cosh sinh sin em queAmBmm bamm mmmmm +2 2225 55 5( tanh )coshcosh param eninteiros mpares.Doreferidoacimav-seque,atparacasosmuitosimples,assoluesanalticassodedifcilutilizaomesmoconsiderandoqueassriestmumaconvergnciatorpidaque,porvezes,umtermosdasriejdresultadosdemuitoboaqualidade.8.2 Solues analticas tabeladasPara obviar s dificuldades referidas acima recorre-se a tabelas, ver Ref. 4, em queos termos das sries j esto devidamente calculados.Considerem-se as expresses apropriadas para os momentos flectores obtidos combase no campo de deslocamentos da laje, nomeadamente:[ ] mqx a xqa m B Am xaxym mm 02 2 21 322 1( )( ) sin, ,... [ ] mqx a xqa m B Am xayym mm + 02 2 21 322 1 ( )( ) sin, ,....Nodifcilverificarquesepodemtabelaroscoeficientesdestassriesnumaforma conveniente, por exemplo em funo deqa2. A partir daqui muito simples aobtenodosmomentosbastandoparaissofazer,porexemploparaomomentosegundox :m qaxy x a 0 22, /com o coeficientea ser lido de uma tabela.8.2.1 Sensibilidade dos resultados variao do coeficiente de PoissonParalajesdeigualgeometria,condiesdefronteiraemdulodeelasticidade,ainflunciadocoeficientedePoissonsobreosresultadospodesersignificativanoIST - DECivilGrupo de Anlise de Estruturas 24quedizrespeitoaosvaloresdosesforosjnoosendoemrelaoaosdeslocamentos transversais.Estes so inversamente proporcionais rigidez de flexo da laje DEh3212 1 ( ) . SecalcularmosD para 015 .e 0 0 .obtm-se, respectivamente,D Eh D Eh 0 1530 030 085 0 083. .. . .Adiferena,menosde3%noquedizrespeito aos deslocamentos, pequena.Sendo a rigidez de flexo menor para menor, so os deslocamentos maiores e osmomentosmenorestambm.Osesforostransversosefectivossotambmafectados,masemmenorgrau,noosendoemabsolutonocasodebordosencastrados.NaRef.4encontram-seasexpressesquepermitemobterqualquerdosesforos(momentosflectores,esforostransversoseesforostransversosefectivos)umavez conhecidos osvaloresdosmesmosparaasituaodecoeficientedePoissonnulo.8.3 Modelao de lajes atravs de elementos de grelhaAs tabelas de lajes existentes limitam-se aos casos de geometria e de carregamentomaissimples.Semprequealajeapresentaraberturasouumdeterminadocarregamento mais complexo ou espessura varivel, etc., torna-se necessrio o usodeoutrastcnicas,amaispoderosadasquaissendo,semdvida,omtododoselementos finitos.Osmodelosdegrelhatambmpermitemaanlisedelajesdegeometriamaiscomplexa sendo por isso uma boa alternativa ao uso de um programa de elementosfinitos de laje.Como se referiu anteriormente, a utilizao do modelo de grelha, tem por objectivo aobteno de uma soluo estaticamente admissvel, a qual est, sempre, do lado dasegurana.Para tal, discretiza-se a laje em ambas as direces em faixas de uma certa larguraconcentrando-se a rigidez e as cargas nos eixos que representam essas faixas.Atribui-se uma rigidez de flexo igual da de uma viga com iguais dimenses s dafaixaoubandaeatribui-seumarigidezdetoroigualametadedadeumavigacom iguais dimenses s da faixa ou banda (a justificao foi dada atrs).A aplicao das cargas feita preferencialmente nos ns por ser mais fcil e porqueosresultadosnodiferemmuitodocasoemqueseadmitemcargasdistribudasnos elementos de grelha.Ser importante referir que mesmo ignorando a rigidez de toro dos elementos dagrelha possvel obter solues elsticas equilibradas as quais podem tambm serutilizadas para dimensionamento da laje.IST - DECivilGrupo de Anlise de Estruturas 258.4 Anlise de lajes contnuasAt aqui s se referiu o caso de um painel de laje isolado. Quando, como correnteemedifcios,aslajessocontnuas,ouseja,existembordosqueservemdeinterfaceentrepainisadjacentesdelaje,necessrio,nomeadamente,compatibilizar os momentos e o esforo transverso de um painel para outro.Selajecontnuaforanalisadapormeiodeprogramasdeclculoautomticodegrelhasoucomelementosfinitosnohnenhumadificuldadeextraemrelaoanlisedepainisisolados.Apenasaumentaadimensodoproblema,ouseja,onmero de barras ou elementos a considerar.possvelanalisarlajescontnuascombasenastabelasdelajesisoladas.Narealidade, este o procedimento normalmente seguido em estruturas correntes emquesefazumaanliseemseparadodecadapaineldelaje,considerando-seobordo interface como encastrado, equilibrando-se os esforos posteriori.Oequilbriofeitoconsiderando-seque,nessebordo,omomentoinstaladoamdia dos momentos de um e outro painel (desde que o valor mdio seja igual ousuperiora80%domaiordosmomentos).Claroqueseumdospainisestiveremconsola o momento na interface precisamente o momento do painel em consola,como natural.Alterar o valor do momento num determinado bordo obriga alterao dos restantesmomentos em particular a meio vo.Considere-se o caso em a mdia dos momentos na interface inferior ao momentoinicialmente a calculado para um determinado painel.Emtermosdemomentosameiovo,eparaquesecontinueaestardoladodasegurana, oquesefazadicionaraomomentodemeiovo(admitindo,comousual,queestemomentosejapositivo)metadedadiferenaentreamdiadosmomentos (normalmente negativos) na interface e o momento na interface do painelque se est a considerar.Comesteprocedimentogarante-seasatisfaodoequilbrioedasegurana.Se,por acaso, a mdia dos momentos na interface superior ao momento inicialmenteacalculadoparaumdeterminadopainelentousualnotirarpartidodissonadiminuio do momento a meio vo deixando-o como est.Tambmpossvelresolveranaliticamentelajescontnuas.Paratalusa-se,porexemplo, o mtodo das foras o qual passa pela introduo de libertaes (rtulas)nasinterfaces,compatibilizando-sedepoisasrotaesentreosdiferentespainisparaaacoquerdocarregamento,querdosparesdemomentosaactuarnaslibertaes (respectivamente, solues particular e complementar).Figura 18 - Lajes contnuas.IST - DECivilGrupo de Anlise de Estruturas 26REFERNCIAS:1. BetoArmadoII-Vol.I,GrupodeBetoArmadoePr-esforado,SecodeFolhas da AEIST, 1989.2. Teoria Elstica Linear de Placas e Lajes, J.A.C. Martins, IST, 1992.3. Theory of Plates and Shells, S.P. Timoshenko e S. Woinowsky-Krieger, McGraw-Hill, 1970.4. Tablasparaelclculodeplacasyvigaspared,R.Bares,EditorialGustavoGili,Barcelona, 1981.IST - DECivilGrupo de Anlise de Estruturas 27Anexo AComparao de diferentes mtodos na anlise de uma laje rectangularsimplesmente apoiadaConsidere-se a laje representada na Figura A.1.Figura A.1 - Laje rectangular.Assumem-se as seguintes caractersticas:mdulo de elasticidade,E = 1 kN / m2;coeficiente de Poisson, 015 . ;espessura, h=0.12 m;carga uniformemente distribuda, q=5 kN/m2.A laje foi analisada com recurso a quatro tcnicas diferentes:1. soluo analtica de Levy:considerando apenas 1 termo da srie;considerando 10 termos da srie;2. tabelas, Ref. 4;3. utilizao de um programa de anlise de grelhas. Duas discretizaes foramconsideradas:discretizao A, representada na Figura A.2, com largura de faixa de1m;discretizao B, representada na Figura A.3, com largura de faixa de0.5m.Com base nestas discretizaes analizaram-se os casos seguintes:grelha AI, c/ rigidez de toro, 015 .e rotaes livres tangencialmenteaos bordos;Lx=3mLy=6mxyIST - DECivilGrupo de Anlise de Estruturas 28grelha AII, c/ rigidez de toro, 015 .e rotaes impedidastangencialmente aos bordos;grelha AIII, c/ rigidez de toro, 0 0 .e rotaes impedidastangencialmente aos bordos;grelha AIV, s/ rigidez de toro, 015 .e rotaes impedidastangencialmente aos bordos;grelha BI, c/ rigidez de toro, 015 .e rotaes livres tangencialmenteaos bordos;grelha BII, c/ rigidez de toro, 015 .e rotaes impedidastangencialmente aos bordos;4.utilizao de um programa de elementos finitos de laje.Figura A.2 - Modelo de laje rectangular. Discretizaes adoptadas para utilizao de umprograma de anlise de grelhas.Osresultadosobtidos,nomeadamenteosmomentosmxemyameiovoeodeslocamentotransversal,foramcalculadosparaasdiferentestcnicasacimareferidas e so representados na Tabela 1.IST - DECivilGrupo de Anlise de Estruturas 29mkNm mx( / )mkNm my( / )w EkN mmax( / )Soluoanaltican=14.458 1.435 27980.0Soluoanaltican=104.458 1.435 27850.0Tabelas, Ref. 4 4.460 1.422 27867.2Elementosfinitos4.504 1.422 27520.0Grelha AI 5.287 0.680 31541.7Grelha AII 4.572 0.673 27323.7Grelha AIII 4.458 0.662 26766.5Grelha AIV 5.590 0.790 32348.4Grelha BI 5.455 0.784 35347.4Grelha BII 4.868 0.802 31241.2Tabela1 - Comparao, a meio vo, dos resultados obtidos com todas as tcnicasNas Figuras A.3 a A.5 representam-se, designadamente o deslocamento transversaleomomentosegundoomaiorvo,eomomentosegundoomenorvoparaasduas tcnicas que fornecem valores mais prximos dos exactos, respectivamente omtododoselementosfinitoseasoluoanalticadeLevy.Paraestecasomuitosimplesdelajerectangularsimplesmenteapoiada,aconsideraodeumtermoapenas da srie j suficiente como aproximao soluo exacta.IST - DECivilGrupo de Anlise de Estruturas 300,00E+005,00E+031,00E+041,50E+042,00E+042,50E+043,00E+040 1 2 3 4 5 6 7Soluo de LevyElementos finitosFigura A.3 - Variao do deslocamento transversal segundo y (*E).-0,200,20,40,60,811,21,41,61,80 1 2 3 4 5 6 7Soluo de LevyElementos finitosFigura A.4 - Variao do momento my (vo maior).IST - DECivilGrupo de Anlise de Estruturas 31-0,500,511,522,533,544,550 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5Soluo de LevyElementos FinitosFigura A.5 - Variao do momento mx (vo menor).Quasenosedistinguemasduassolues,analticaecomelementosfinitos.Maiores diferenas surgiro com as grelhas.NasfigurasA.6aA.8representam-seasvariaesdasmesmasgrandezas(momentos e deslocamento transversal) para as grelhas com base na discretizaoA e nas figuras A.9 a A.11 representam-se as variaes para as grelhas com basenadiscretizaoB.Comosoluoderefernciatoma-seasoluodeelementosfinitos.0,00E+005,00E+031,00E+041,50E+042,00E+042,50E+043,00E+043,50E+040 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5Grelha AIVGrelha AIIGrelha AIIIGrelha AIElementos FinitosFigura A.6 - Variao do deslocamento transversal segundo y (*E); grelhas A.IST - DECivilGrupo de Anlise de Estruturas 32-5,00E-010,00E+005,00E-011,00E+001,50E+002,00E+002,50E+000 1 2 3 4 5 6 7Grelha AIIGrelha AIIIElementos FinitosGrelha AIVGrelha AIFigura A.7 - Variao do momento my (vo maior); grelhas A.-1,00E+000,00E+001,00E+002,00E+003,00E+004,00E+005,00E+006,00E+000 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5Grelha AIIGrelha AIIIElementos FinitosGrelha AIVGrelha AIFigura A.8 - Variao do momento mx (vo menor); grelhas A.A discretizao adoptada bastante grosseira mas, ainda assim, os valores obtidospara os momentos so bastante razoveis.Deentreasgrelhasanalisadas,asqueparecedaremosmelhoresresultados(ameio vo j que junto aos bordos menores h um desvio evidente do momento emrelao ao valor de referncia) so a AII e a AIII. Em ambas se considera a rigidezdetorodasbarrasmasarigidezdagrelhaAIIIligeiramentemenorporseterconsideradoocoeficientedePoissonnulo.Esteefeito,comosepodevernaFigura A.6, muito pequeno.AsgrelhasAI,aqualtemasrotaestangenciaislivres,eAIV,semrigidezdetoro, apresentam tambm valores muito prximos entre si estando um pouco maisIST - DECivilGrupo de Anlise de Estruturas 33afastadosdosvaloresdereferncia.Osdeslocamentossomaioresdadoquearigidez global das grelhas inferior dos casos AII e AIII.ParaasgrelhasB,obtm-seresultadossemelhantesaosdasgrelhasdotipoAsendoderealarque,apesardosvaloresameiovoparaasgrelhasAIIeAIIseremmaisprximosdosexactosdoqueosdasgrelhasB,deummodogeralaaproximaoaosvaloresexactosmelhorquandoseconsideramespaamentos,ou seja larguras de faixa, menores.0,00E+005,00E+031,00E+041,50E+042,00E+042,50E+043,00E+043,50E+044,00E+040,0 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0 7,0Grelha BIIElementos FinitosGrelha BIFigura A.9 - Variao do deslocamento transversal segundo y (*E); grelhas B.-5,00E-010,00E+005,00E-011,00E+001,50E+002,00E+002,50E+003,00E+000,0 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0 7,0Grelha BIIElementos FinitosGrelha BIFigura A.10 - Variao do momento my (vo maior); grelhas B.IST - DECivilGrupo de Anlise de Estruturas 34-101234560,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5Grelha BIIElementos finitosGrelha BIFigura A.11 - Variao do momento mx (vo menor); grelhas B. importante frisar que qualquer soluo que equilibre as cargas aplicadas lajepode ser considerada para efeitos de dimensionamento das armaduras necessriasem relao aos estados limites ltimos.Deste modo, e para evitar entrar em conta com o momento torsor nos elementos dagrelha (os quais representam faixas da laje), usual desprezar a rigidez de torodesses elementos. Nestas condies os momentos flectores nos elementos dagrelha so superiores (globalmente) o que est do lado da segurana.Para considerao dos estados limites de utilizao j a soluo obtida com basenas grelhas pode estar um pouco mais afastada da soluo de referncia sendo porisso necessrio um cuidado particular.