UNIVERSIDADETCNICADELISBOAINSTITUTOSUPERIORTCNICOAnliseElsticadeEstruturasReticuladasJooAntnioTeixeiradeFreitasCarlosTiago14 de Junho de 2010DocumentoProvisriondicendice i1 Introduo 11.1 Objectivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Representaoda Estrutura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.3 Representaodas Aces e da Resposta da Estrutura . . . . . . . . . . . . 71.4 Classicao das Estruturas Reticuladas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.5 Modelos matemticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.6 Organizaodo Texto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 SimetriaeAnti-simetria 132.1 Introduo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.2 Denies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.3 Decomposio da Solicitao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.4 SimetriaAxial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.4.1 Aco Simtrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.4.2 Aco Anti-Simtrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.5 ProcedimentoGeral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.6 Generalizaoe Limitaes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243 RelaesdeElasticidade 293.1 Introduo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293.2 Anlise da Viga SimplesmenteApoiada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333.3 Elementode PrticoPlano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353.4 Elementode Viga Contnua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363.5 Elementode Trelia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383.6 Elementode Grelha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383.7 Elementode PrticoTridimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403.8 Aco da Temperatura. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413.9 Aco do Pr-Esforo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433.10 Aparelhos de LibertaoElstica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 443.11 Relaes Constitutivas da Estrutura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 443.12 Generalizaodas Relaes de Elasticidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . 454 IndeterminaoEsttica 514.1 Introduo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 514.2 Estruturas sem Libertaes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 534.3 Estruturas com Libertaes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56iii ndice4.4 Determinaodos Graus de Hiperestatia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 584.5 Natureza Vectorialdos Graus de Hiperestatia . . . . . . . . . . . . . . . . . 594.6 Utilizao dos Graus de Hiperestatia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 615 AnlisedeEstruturasIsostticas 635.1 Introduo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 635.2 Condies de Equilbrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 645.3 Clculo dos Esforos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 685.4 Clculo das Deformaes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 695.5 Condies de Compatibilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 715.6 Propriedadesdas Condies de Equilbrio e de Compatibilidade . . . . . . . 765.7 Clculo dos Deslocamentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 785.8 Reaces e Assentamentosde Apoio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 825.9 Estruturas com Libertaes Elsticas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 845.10 Aco da Temperatura. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 865.11 Aco de Deformaes Iniciais e do Pr-esforo . . . . . . . . . . . . . . . . 876 MtododasForas 896.1 Introduo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 896.2 Equao do Mtodo das Foras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 946.3 Montagemda Equaodo Mtodo das Foras . . . . . . . . . . . . . . . . . 1046.4 Clculo dos Esforos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1076.5 Clculo dos Deslocamentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1096.6 Reaces e Assentamentosde Apoio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1146.7 Variaes de Temperaturae Deformaes Iniciais . . . . . . . . . . . . . . . 1196.8 Estruturas com ElementosRgidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1236.9 Trabalhoe Energia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1276.10 Generalizaoda Formulao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1287 AnlisedaVigaBiencastrada 1317.1 Introduo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1317.2 Equao Fundamentaldo Mtodo dos Deslocamentos. . . . . . . . . . . . . 1337.3 Reformulaodas Relaes de Elasticidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1377.4 Deniodo Vector das Foras de Fixao. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1397.5 Denioda Matriz de Rigidez . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1407.6 Efeito das Libertaes Internas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1417.7 Deslocamentos Nodais Dependentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1457.8 Aplicao a diferentes elementosestruturais . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1487.8.1 Elementode viga contnua. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1487.8.2 Elementode trelia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1487.8.3 Elementode grelha. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1487.8.4 Elementode prtico tridimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1497.9 Generalizaodos resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1508 IndeterminaoCinemtica 1718.1 Introduo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1718.2 Estruturas sem Libertaes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1758.3 Estruturas com Libertaes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1778.4 Traadode Deformadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180DocumentoProvisriondice iii8.5 Estruturas com ElementosRgidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1829 MtododosDeslocamentos 1919.1 Introduo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1919.2 Equao do Mtodo dos Deslocamentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1979.3 Clculodos Deslocamentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2049.4 Clculodos Esforos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2059.5 Clculodas Reaces de Apoio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2079.6 Assentamentosde Apoio. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2089.7 Variaode Temperatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2109.8 Deformaes Iniciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2119.9 Pr-esforo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2139.10 Estruturas com Libertaes Elsticas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2159.11 Trabalhodas Foras e dos Deslocamentos Nodais . . . . . . . . . . . . . . . 2189.12 Estruturas com ElementosRgidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2219.12.1 Foras nodais equivalentes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2219.12.2 Formulaoda equao do mtodo dos deslocamentos . . . . . . . . 2259.12.3 Clculo de deslocamentos,esforos e reaces . . . . . . . . . . . . . 2329.13 Generalizaoda Formulao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2359.14 Equilbrio,Compatibilidadee Elasticidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2359.15 Trabalhoe Energia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2389.16 Barras Indeformveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2389.17 Barras com Troos Rgidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2399.18 Barras com Libertaes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240DocumentoProvisrioiv ndiceDocumentoProvisrioCaptulo1Introduo1.1 ObjectivoAanliseestrutural afasedeumprocessodeengenhariaemquesoquanticadasasvariveisquecaracterizamocomportamentodaparteresistente, ouestrutura, deumaconstruojedicadaouaconstruir. Essasvariveispodemserdeterminadas experi-mentalmente,sobre a estrutura existente ou recorrendo a um modelo fsico da estrutura aconstruir,ou utilizandoum modelo matemticoque simula esse comportamento,o qual geralmentebastantecomplexoe cuja caracterizaoenvolvefrequentementemuitasincer-tezas.Estetextodeintroduoaos mtodos deanliseestrutural cobreapenas omodelomatemtico mais simples, o modelo denido por um sistema de peas lineares, geralmentedesignadoporestruturareticulada. Paraalmdisso, admite-sequeocomportamentodaestrutura linear, isto, que ocomportamento mecnicodos elementos estruturais elstico linear,ahiptesedelinearidadefsica, e que so muito pequenos os deslocamentose as deformaes que se vericamnos elementos estruturais, a hiptese de linearidadegeomtrica.Admite-se aindaque se conhecemtodas as caractersticas geomtricas e mecnicasdos elementosestruturaiseque asolicitaoqueactuasobreestruturadeterminsticaeestunivocamentecaracterizada. Admite-se,nalmente, queessasolicitaoprovocaumcomportamentoestrutural quasi-esttico, isto, quesodesprezveisosefeitosvariveisno tempo, designadamenteas foras de inrcia e de amortecimento.Por aco entende-se tudo o que possa alterar os campos de tenso e/ou de extenso emqualquer parte da estrutura, como, por exemplo as sobrecargas, o pr-esforo de elementosestruturais, as variaes trmicas e os assentamentos nos apoios da estrutura. A informaoque se pretende obter de uma anlise estrutural o valor e a distribuio das grandezas quecaracterizamarespostadaestruturaaumadadaaco, designadamenteosesforos, asdeformaes e os deslocamentos nas seces das peas lineares, tipicamente vigas e pilares,e as reaces nos apoios que simulama ligaoda estrutura fundao.Apesar das hipteses simplicativas em que se baseia, o modelo resultante frequente-mente utilizado na anlise de estruturas reais, como as estruturas de edifcios e de pontes,pois a informao que proporciona suciente para ns de vericao dos critrios de segu-rana. Acresce que o grau de preciso que assegurado na denio dessa informao oadequado para ns de aplicao prtica, desde que o conjunto de hipteses seja apropriadoparaocasoemestudo,o quesucedefrequentementeemsituaesnormaisdeserviodasestruturas.12 IntroduoParaobteressainformao, osproblemasdeanliseestrutural devemserformuladoseresolvidosusandoosmtodosqueasseguremamximaecciadosmeiosdisponveis.Aconcepoqueaqui seadoptavisaasoluodosproblemasdeanliseestrutural emcomputador. vantajoso, nesse contexto,formularmatricialmenteo problemada anlisedeestruturas, oquejusticaadesignaoalternativadeAnliseMatricial deEstruturaspara a abordagem aqui seguida.Uma outra designao tambm frequentemente utilizada a deClculoAutomticodeEstruturas, poisaconcepodaformulaodoproblemadeanliseestrutural determi-nada pelo objectivo de potenciar a sistematizaoe a automatizaodas trs fases de umprocesso de anlise estrutural por computador: a denio do problema, isto , a deniodos dadossobreaestruturaeo carregamento; a formulaoea resoluodoproblema,oque no contexto da modelao matemtica corresponde a calcular e a resolver o sistema deequaes que caracterizao comportamentodaestrutura;ea apresentaodos resultados,o que na anlise de estruturas reticuladas corresponde a representare quanticara defor-madadaestruturaeadistribuiodosesforosnoselementosestruturaisenasreacesnos apoios.O modelo matemtico do comportamento linear de estruturas reticuladas tipicamentedescrito por equaes diferenciais s derivadas parciais, existindo diversos mtodos para oresolver atravsde um sistema de equaes algbricas equivalentes. O que distingueessesmtodossoasvariveisdoproblemaseleccionadas paraincgnitas. Soaqui tratadososdoisprincipaismtodosdeanliseestrutural,designadamenteomtododasforaseomtododosdeslocamentos.1.2 RepresentaodaEstruturaA representaode uma estrutura reticulada idealizada recorrendo a quatro tipos deelementos: as peas lineares, que recebem as cargas e as transmitem ao meio de fundao, osns rgidos, que ligam as peas lineares entre si e fundao, os aparelhos de libertao, quepermitem controlar os esforos em determinadas seces das peas lineares, e os aparelhosde ligao, geralmente designados por apoios, que caracterizam as condies de ligao daestrutura ao meio de fundao.Umapealinear, tambm designada por pea prismtica, um elemento estrutural emque a dimenso longitudinal muito superior s suas dimenses transversais, como as vigase os pilares, que funcionam predominantemente exo e compresso, respectivamente. representada pelo seu eixo, ao qual se atribui um sistema de referncia utilizado na mediodasquantidadesvectoriais quecaracterizamoseucomportamento. Por simplicidade, eporque traduzemasituaoprticamais corrente, admite-se geralmente que as peaslinearestmeixorectoesecoconstante. Aspeascurvaspodemseraproximadasporum conjunto adequado de segmentos rectos e as peas de seco varivel por um conjuntode peas de seco constante,como se ilustra na gura 1.1.Os ns rgidos representamospontosdeintersecodoseixosdepeaslinearesad-jacentes, podendoounoterumarepresentaofsicanaestruturareal. Emtermosdemodelaoestrutural, asuaprincipal funoidenticaraspeaslinearescontnuasqueformam a estrutura. Como adiante se poder vericar, a sistematizao do clculo muitofacilitada se se admitir que as peas lineares so contnuas, isto , que no tm libertaesnem apoios no vo.Os aparelhos de libertaososistemasquepermitemdeslocamentos relativosentreassecestransversaisdepeaslineares,podendorepresentarumaidealizaodeclculoDocumentoProvisrio1.2. RepresentaodaEstrutura 3eixo curvo aproximaodo eixo curvo(a)Peacurva.alado da peadiscretizaoatravs de peas de seco constante(b)Peadesecovarivel.Figura 1.1: Discretizaode peas curvas e de seco varivel.oudispositivosconstrutivosconcebidosparaesseefeito. Osaparelhosdelibertaosoutilizados para controlar directamente o esforo correspondente ao movimento relativo quepermitem. Esto, porisso, tipicamenteassociadosaumdosseisesforosquesepodemdesenvolver numa seco transversal de uma estrutura reticulada, designadamente as duascomponentesdomomentoector, asduascomponentesdoesforotransverso, oesforoaxial e o momentotorsor.Artula, ouarticulao, umaparelhoquepermite arotaorelativaentre duasbarras, podendoessarotaoserlivreemrelaoaumponto(rtulaesfrica)ouaumeixo (rtula cilndrica). O encastramento deslizante um aparelho que permite a translaorelativaentreduasbarras, perpendicularmenteaoseueixoenoplanoqueascontm. Alibertaoaxial um aparelho que permite a translao relativa entre duas barras, segundoo eixo comum a essas barras. Um aparelho de libertao diz-se ser perfeitose o movimentorelativo que permite livre, independentemente do valor do esforo correspondente. Dizem-seelsticosse esse movimento proporcionalao esforo correspondente.O mesmo tipo de representao pode ser utilizado para estruturas planas ou tridimen-sionais,desdeque,nocasodaslibertaesdemomentoectoredeesforotransverso,seindique expressamente qual o movimento ou movimentos permitidos. Como as libertaesdeesforoaxial edemomentotorsorestoassociadasaesforosemovimentossegundooeixodapea, asuarepresentaoesquemticatemdeespecicarunivocamenteoseucomportamento, sendotambmnecessriodistinguirinequivocamenteas rtulasesfricase as rtulas cilndricas na modelao de estruturas espaciais.DocumentoProvisrio4 Introduo(a)Representaogrcadaestruturaecargas.(b)Discretizaodaestrutura.Figura 1.2: Estrutura e respectiva discretizao.Qualquerdosaparelhosdelibertaoacimareferidos, osquaissocombinveisparasimularlibertaes mltiplasdeesforos, pode tambmserutilizadopara simularas con-dies de apoio da estrutura, bastando para tal introduzir uma combinao apropriada deaparelhos de libertao entreo n e a fundaoda estrutura. Porcombinaoapropriadaentende-se um conjunto de aparelhos de libertao que permita os mesmos movimentos, namesmadirecoesentido, queosaparelhosdeapoioreais,equesejamportantocapazesde absorver o mesmo tipo de esforos, ou reaces de apoio.Osaparelhosdeapoio, ou de ligao, so sistemas que impedem, total ou parcialmente,os deslocamentosdos ns de extremidadede uma pea linear ligada ao meio de fundao,podendotambmrepresentar umaidealizaodeclculoouumdispositivoconstrutivoespecco, comoseilustranagura1.6. Omovimentoqueestimpedidoourestringidoprovocaodesenvolvimentodeumafora, oumomento, quedeneareacotransmitidaao meio de fundao.Podemdesenhar-seaparelhosdeligaoquerestringemapenasumouqualquercom-binaodosseismovimentospossveisnoespao, designadamentetrstranslaesetrsrotaes. Denem-sena gura1.7 os aparelhosde apoio mais utilizadosna modelaodeestruturas reticuladas, designadamente,oencastramentototal, que impede todos os movi-mentosdo n,oencastramentodeslizante, que permiteapenas atranslaono sentidodalibertao, o encastramentoderotao, que impede a rotao do n segundo o eixo normalao aparelho,oapoioxo, que impedeas translaes do n,e oapoiomvel que impedeatranslaosegundooeixo doaparelho. Talcomoosaparelhosdelibertao,os aparelhosDocumentoProvisrio1.2. RepresentaodaEstrutura 5Figura 1.3: Aparelhos de libertao.DocumentoProvisrio6 IntroduoRepresentaoEsforo noabosorvvelMovimentopermitidoMomento Flector Esforo Transverso Esforo AxialFigura 1.4: Representaode aparelhos de libertao perfeitos.MNuVvFigura 1.5: Representao de aparelhos de libertao elsticos.Figura 1.6: Aparelhos de apoio.DocumentoProvisrio1.3. RepresentaodasAcesedaRespostadaEstrutura 7Representaodo aparelhode apoioMovimento(s)restringido(s)Designao RepresentaoalternativaouEncastramentoEncastramentodeslizante()Encastramentodeslizante()Apoio xoApoiomvel()Apoiomvel()EncastramentodeslizanteFigura 1.7: Representaodos aparelhos de apoio rgidos.de ligao tambm podem ser perfeitos ou elsticos. Uma ligao diz-se serperfeitase forrgida,isto,seimpedircompletamenteomovimentocorrespondente. Diz-seserelsticaseomovimentoquerestringeforproporcionalreacocorrespondente, sendoessecom-portamentorepresentadoinserindo uma mola segundo esse movimento,linear ou angular.1.3 RepresentaodasAcesedaRespostadaEstruturaAsacesaqueumaestruturareticuladapodeestarsujeitapodemsertransmitidasatravsdas peas lineares,ascargasdevo,e dos ns,ascargasnodais. Soexemplosdecargas de vo o peso prprio e as sobrecargas decorrentesdas funes da estrutura, o pr-esforodeelementosestruturais,asvariaestrmicasnesseselementos. Soexemplodecargas nodais as foras e os momentos aplicados nos ns, ou os deslocamentos e as rotaesDocumentoProvisrio8 IntroduoFigura 1.8: Treliaplana.a impostos, designadamenteascednciasnosapoios. porvezesconvenientefalaremforasgeneralizadas,ousimplesmenteforas,paraincluirnumamesmadesignaoforasemomentos, concentradosoudistribudos. Oconceitodedeslocamentooudeslocamentogeneralizado utilizado no mesmo sentido, agora em termos de componentes de movimento.Admite-senaanliseestrutural queaacoconhecida, sendooobjectivocentraldeterminarosdeslocamentoseosesforosqueprovocam. Estainformaopodeserpro-porcionadaaoanalistanumericamente, denindoosvaloresdeterminadosparaosdeslo-camentos em determinados ns da estrutura, ou gracamente,representando a deformadada estrutura, a qual descreve o movimento e mudana de forma do conjunto dos elementosestruturais. Analogamente,os esforos podem ser denidos numericamenteem seces se-leccionadas ou representados por diagramas que denem a sua variao ao longo das peas.As reacessodenidasnumericamenteeatribudasaosapoiosemquesedesenvolvem,utilizando-se o mesmo procedimentorelativamentes deformaes.1.4 ClassicaodasEstruturasReticuladasAsestruturasreticuladassousualmenteclassicadasemestruturas planas ouespa-ciais,outridimensionais, consoanteoselementosestruturaisexistamounonummesmoplano, e, em cada caso, de acordo com o conjunto de esforos que caracterizam o seu com-portamento, o qual decorre das aces a que esto sujeitas e da maneira como os elementosestruturais se ligam entre si e ao meio de fundao.O modelo de estruturaarticulada, ou trelia, o modelo mais simples, em que se admiteque aspeaslinearesestoapenassujeitasaesforoaxial. Talpressupequeaestruturaest sujeita apenas aforas aplicadasnos ns e que todas as barrasse ligamentresi e aomeiodefundaoporrtulas globais, comoseilustranagura1.8. Artulaglobal arepresentaousada paraindicarque todas as barras incidentesnumn,excepto uma,searticulam nesse n.O modelo devigacontnuaaplica-se a vigas hiperestticas que funcionam predominan-tementeexo. Admite-sequeapearectaequeasacesenvolvemapenasforastransversais ao eixo e momentos no plano da viga, de modo a assegurar que nulo o esforoaxial em todos os outros elementosestruturais.DocumentoProvisrio1.5. Modelosmatemticos 9Figura 1.9: Viga contnua.Figura 1.10: Modelo de grelha.Omodelodegrelhaaplica-seaestruturasreticuladasplanasactuadasporforasper-pendiculares aesseplanoeamomentos emtornodeeixos existentes nesseplano. Oselementos estruturais funcionam, portanto, exo e ao corte, no sentido das cargas apli-cadas, e toro. O esforo axial e a exo e o corte no plano da estruturaso nulosporse admitirque so nulas as foras aplicadas nesse plano e os momentos segundo eixos quelhe sejam ortogonais.O modelo de estruturaporticadaplana aplica-se a estruturas reticuladas planas sujeitasa um sistema de foras complementar do descrito para as grelhas. Os elementos estruturaisfuncionam, portanto, exoeaocorte, noplanodaestrutura, eaoesforoaxial. Atoro, a exo e o corte fora do plano da estrutura so nulos por se admitir que so nulasas foras ortogonais a esse plano e os momentos segundo eixos que nele existam. O modelode estruturaporticadatridimensional o mais geral e aplica-se a todas as situaes em queos elementos estruturais esto sujeitos exo e ao corte em dois planos, ao esforo axial e toro. Esse comportamento pode vericar-se em estruturas que existam num plano masemqueaaco, asligaesdoselementosestruturaisentresiefundaoouaprpriaassimetria das seces transversais das peas induzam um comportamentotridimensional.1.5 ModelosmatemticosA anlise estrutural a disciplinada engenhariade estruturas vocacionada para a de-terminaodarespostadeumaestruturaaumadadaaco. Omodelomatemticoaferramentamaispoderosaaqueumanalistapoderecorrerparacaracterizarocomporta-mentodeumaestrutura: simplesdeformularedecompreender, seseassociarsempreessa formulao ao fenmeno fsico em estudo, geral, pois aplica-se a todos os problemasque cumpram as hipteses do modelo, e pode ser resolvido com grande economia e rapidezatravs dos meios de clculodisponveis. porisso fundamentalque nose olheparaumaequaodaanliseestruturalcomouma frmula matemtica com origem duvidosa e utilidade incerta, mas como uma relaofsica muito clara entre quantidades que descrevem o comportamento de uma estrutura. Nopresentecontexto,sofundamentalmentetrsostiposdeequaopresentesnummodeloestrutural:DocumentoProvisrio10 Introduo(a)Estruturaporticadaplana.(b)Estruturaporticadatridimensional.Figura 1.11: Estruturas porticadas.a) As equaes de equilbrio, que relacionam as foras generalizadas que constituem a aco(foras exteriores) com os esforos (foras interiores)nos elementosestruturais;b) As equaes decompatibilidade, que relacionam os deslocamentos generalizados (movi-mento)com as deformaes (mudanade forma) dos elementos estruturais;c) As equaes deelasticidade, que relacionam os esforos com as deformaes, sendo essarelaounvoca para materiais elsticos lineares.Estasequaesdenemastrsleisquedeterminamocomportamentodasestruturas.So simples em conceito, tm um signicado fsico claro e at intuitivo, e a sua compreen-so e manipulao exige apenas a formao adequada num nmero limitado de disciplinas,designadamente: Esttica e Resistncia de Materiais, para compreender o modelo de com-portamentoda estrutura;lgebra Linear,por permitirexprimir as equaes do problemadaformacompactaesistemtica; Programao, porserbastantesimplesautomatizarosmtodos de anlise estruturalque aqui so abordados.Asistematizaodeprocedimentos, isto, aexplicitaopassoapassodoalgoritmodesoluo,envolvendocadaumdelesummesmoconjuntodeoperaes,essencialparaasseguraraecciacomputacional deummtododeclculo. Essaopo, quetemne-cessariamentedeseraqui seguida, podesuscitarapropensoparaaprendercomosefazsemcompreenderporquesefaz. Aquestonosaberfazerosclculos, essaafunodocomputador, massaberseosresultadosobtidossocoerentescomoproblemaquesepretenderesolver. Sofrequentesoserroscometidos naentradadedadosenaescolhadas opes de modelao oferecidas pelos programas de clculo disponveis no mercado. Aapreciao crtica dos resultados s pode ser feita conhecendoe compreendendoo mtodode clculo utilizado nesses programas,ou seja, os fundamentos,a lgica e a estratgia dosDocumentoProvisrio1.6. OrganizaodoTexto 11mtodos de anlise estrutural em que esses programasse baseiam.1.6 OrganizaodoTextoEste texto de introduo anlise elstica linear de estruturas reticuladas est organi-zado de modo a iniciar o estudo pelo mtodo de anlise estrutural mais intuitivo, o mtododas foras, e abordar depois o mtodo que mais facilmente automatizvel,o mtodo dosdeslocamentos, noqual sebaseiaamaioriadosprogramasdeanliseestrutural. Noen-tanto, paraestabeleceraterminologiaeparacaracterizaroproblemadaanliseelsticalinearestticade estruturasreticuladas,comeou-se,aindaneste captulo,por resumirasdenies e as hipteses bsicas, e sistematizar a representaodo modelo estrutural.Osconceitos envolvidos nosegundocaptuloapelamaoentendimentodocomporta-mento de estruturas reticuladas, ainda sem qualquer preocupao de quanticar esse com-portamento. Recorre-se, paraisso, aos conceitos intuitivos desimetriaeanti-simetria,aplicadosagoraaoscamposvectoriaisquedescrevemomovimentoeosistemadeforasinteriores emestruturasreticuladas. Dene-seoqueseentendeporestruturassimtri-cas, discute-seasuarespostaaacessimtricaseanti-simtricaseconclui-sesobreassimplicaes de clculoque da podem decorrer.Noterceirocaptulocaracteriza-seocomportamentodoelementoestrutural quetipi-caasestruturasreticuladas, apealinear. Sointroduzidosdoisconceitos, osesforosindependentese as deformaesindependentes, os quais so fundamentais para atingir doisobjectivoscentrais. Oprimeirosubstituirosistemadeequaesdiferenciaisquedeneo comportamentoda estrutura por um sistema de equaes algbricas equivalente,o maisadequado para processamento automtico. O segundo criar as condies necessrias parasistematizaroclculo: a caracterizaoquese obtmparaacaracterizaodocomporta-mento da pea linear vlida para todas as peas de qualquer estrutura reticulada.Osdoiscaptulosseguintesincidemsobrematriasintrodutriasposteriorapresen-taodomtododasforas(Captulo6), designadamenteadeterminaodosgrausdehiperestatia de estruturas reticuladas (Captulo 4) e o clculo de deslocamentos em estru-turasisostticas(Captulo5). Oprimeiroconceitooquedeterminaaidenticaodasincgnitas do mtodo das foras, designadamente as reaces de apoio e/ou os esforos quetornam a estrutura hiperesttica. Essas foras e/ou esforos so desconhecidos,sendo porissodesignadaspor foras indeterminadas ouforas hiperestticas daestrutura. Noen-tanto, os deslocamentos, ou os deslocamentos relativos correspondentes, so conhecidos. esta a informao que utilizada para resolver a indeterminao das foras hiperestticas.Assim, estratgiadomtodoconsiste, fundamentalmente, emlibertarasforashipe-restticas para converter a estrutura numa estrutura isosttica equivalente, designada porestrutura-base. Esta estrutura depois analisada combinando dois carregamentos, a acodada(conhecida)eoconjuntodasforashipertticas(aindadesconhecidas). Calculam-se depois osdeslocamentoscorrespondentess foras hiperestticase impe-seque sejamidnticos aos que se vericam na estrutura hiperesttica em anlise. O sistema de equaesque da resulta o sistema resolvente do mtodo das foras e a soluo assegura que a de-formada da estrutura-base seja idntica deformada da estrutura hiperesttica em anlise.Comoonmerodeincgnitasdosistemaresolventedependedograudehiperestatiadaestruturaetodosos seus coecientessistemasodeterminadoscalculandodeslocamentosemestruturasisostticas, estesdoisconceitossointroduzidosnosCaptulos4e5, res-pectivamente, antes deexpor aestratgiaeasistematizaodomtododasforas, noCaptulo 6.DocumentoProvisrio12 Introduosemelhante aorganizaoadoptadaparaaapresentaodomtododos desloca-mentos. Nestemtodoescolhem-separaincgnitas os deslocamentos livres nos ns daestrutura, osdeslocamentosindeterminadosda estrutura, e explora-se o facto de serem co-nhecidas as foras correspondentes. A estratgia do mtodo consiste em denir a estruturacinematicamentedeterminadacorrespondenteestruturaaanalisar, isto, aestruturaque seobtmquandosebloqueiamtodosos deslocamentosindeterminados,aqualdeneestrutura-base, eassegurarqueasforasquenelasegeramquandoactuadaporcadaumdosdeslocamentosindeterminadosepelocarregamentodadorecuperamosistemadeforas aplicado estrutura em anlise.Portanto, paracalcularoscoecientesdosistemaresolventedomtododosdesloca-mentosnecessrioconhecer asforasquesedesenvolvemnosnsdeumapealinearsujeita a dois tipos de aces: a aco das cargas dadas quando so nulos os deslocamentosnodais e a aco independente de cada um dos deslocamentos nodais. Essa a informaoque se rene no Captulo 7. Para alm disso, necessrio identicaras incgnitas do pro-blema, isto, quantosequaissoosdeslocamentosnodaisindeterminadosdaestruturaemanlise. Esseproblema, dedeterminarograudeindeterminaocinemticadeumaestrutura reticulada, abordado no Captulo8. Com base nesta informao,apresenta-seno Captulo9 a estratgiae a sistematizaodo mtodo dos deslocamentos.DocumentoProvisrioCaptulo2SimetriaeAnti-simetria2.1 IntroduoSo diversas as razes que justicam a opo pela construo de estruturas simtricas,isto, estruturascomumatopologia(arranjodoselementosestruturais), comcondiesdeapoioecompropriedadesgeomtricasemecnicassimtricasemrelaoaumponto,a um eixo ou a um plano.Emregimelinear,umaestruturasimtricasujeitaaumaacosimtricarespondedetal maneira que todas as grandezas vectoriais que caracterizam essa resposta mantm essapropriedade de simetria. Complementarmente,se uma estrutura simtrica sujeita a umaaco anti-simtricao seu comportamentolinear tambmanti-simtrico.Estes resultados so teis de dois pontos de vista distintos. O primeiro o de permitiremsimplicar a anlise do problema: basta resolver metade da estrutura e inferir, por simetriaou anti-simetria,o comportamentoda outra metade da estrutura. O segundo aspecto queinteressarelevar odepermitir aoanalistavericar os resultados obtidos eajuizar seoserros quedetectanosresultadosobtidos, emtermosdasimetriaoudaanti-simetriaesperada, resultam de insucincias de preciso numrica ou de erros na caracterizao doproblema estrutural.Comea-se neste captulo por denir as trs formas de simetria mais comuns, em relaoa um ponto, a um eixo e a um plano, e caracterizam-se depois as condies que denem asimetria de uma estrutura reticulada. Os conceitos de simetria e anti-simetria so tambmutilizadosparadecomporumaacoemduasparcelascomplementares, simtricaeanti-simtrica, explorando o princpio da sobreposio de efeitos, vlido para a anlise linear deestruturas. O comportamentodas estruturas simtricas e as simplicaes decorrentesdoefeito de aces simtricas e anti-simtricas depois analisado para a forma de simetria maiscomum, asimetriaemrelaoaumeixo. Ocaptuloterminacomumabreveapreciaodas vantagens e desvantagens do recurso s simplicaes de simetria em anlise estrutural.2.2 DeniesAspropriedadesdeumconjuntodequantidades, referidoaosistemadecoordenadasxapresentamumadistribuiosimtricaemrelaoaumnovosistemadecoordenadasy,coma mesmaorigemdex,se essas propriedadesse repetememambosos sistemas. Oelementodesimetriapoderseraorigemdosistema(simetriaemrelaoaumponto),ao eixoxj(simetriaemrelaoaumeixo) ou ao planoxj= 0 (simetriaemrelaoaum1314 SimetriaeAnti-simetriaplano), consoante a posio relativa entreos sistemasx ey:Ponto(origem): y1= x1; y2= x2; y3= x3.Eixo(x3) : y1= x1; y2= x2; y3= +x3.Plano(x3= 0) : y1= +x1; y2= +x2; y3= x3.Umaestruturareticuladadiz-sesersimtricaemrelaoaumponto, aumeixoouaumplano, quandoexistiremrelaoaesseelemento: a)Simetriadatopologia, isto,dadistribuiodasbarras; b)Simetrianadistribuiodosaparelhosdelibertaointe-rior e exterior;c) Simetriadas propriedadesgeomtricase mecnicasentrecada elementoestruturaleasuaimagem. Ostrscasosdesimetriaestoilustradosnagura2.1, ondeimplicitamente se admite a condio de simetria das propriedades geomtricas e mecnicas.Uma solicitaofdiz-se sersimtricaem relao a um ponto, eixo ou plano se a cadaelemento referido ao sistemax corresponde um complemento referido ao sistemay tal que:Ponto(origem): Fy 1= Fx1; Fy 2= Fx2; Fy 3= Fx 3.Eixo(x3) : Fy 1= Fx1; Fy 2= Fx2; Fy 3= +Fx 3.Plano(x3= 0) : Fy 1= +Fx1; Fy 2= +Fx2; Fy 3= Fx 3.A relao complementardene a solicitaoanti-simtrica:Ponto(origem): Fy 1= +Fx1; Fy 2= +Fx2; Fy 3= +Fx 3.Eixo(x3) : Fy 1= +Fx1; Fy 2= +Fx2; Fy 3= Fx 3.Plano(x3= 0) : Fy 1= Fx1; Fy 2= Fx2; Fy 3= +Fx 3.A solicitao pode ser uma fora generalizada (fora ou momento) ou um deslocamentogeneralizado(deslocamentolinearouangular). Ostrscasosdesimetriaaanti-simetriaesto representadosna gura 2.2.2.3 DecomposiodaSolicitaoComooprincpiodasobreposioestabelecequearespostadeumaestruturacomcomportamentolinearindependentedaordempelaqualseaplicamasaces,qualquersolicitao assimtrica sobre uma estrutura simtrica pode ser decomposta em duas parce-las, uma simtrica e a outra anti-simtrica, em relao ao elemento de simetria da estrutura.Essa decomposio pode ser denidada maneiraseguinte,como se ilustra na gura 2.3.(a) A parcela simtrica igual soma da metadeda solicitao com metadedo seu com-plementosimtrico;(b) Aparcelaanti-simtricaigualsomadametadedasolicitaocommetadedoseucomplementoanti-simtrico.Exerccio2.1. Analiseadecomposiodeumaacoassimtricanasparcelassim-trica e anti-simtricapara os seguintescasos:(i) Variaode temperaturauniforme ao longo da seco da pea;(ii) Variaode temperaturalinear ao longo da seco da pea;(iii) Assentamentosde apoio.DocumentoProvisrio2.3. DecomposiodaSolicitao 15x1x2x3y1y2y3(a)Simetriadeponto.x1 x2x3 y3y1y2(b)Simetriadeeixo.x1 y1x3 y3x2y2(c)Simetriadeplano.Figura 2.1: Os diferentes tipos de simetria.DocumentoProvisrio16 SimetriaeAnti-simetriax1x1x1x1x1x1x2x2x2x2x2x2x3x3x3x3x3x3y1y1y1y1y1y1y2y2y2y2y2y2y3y3y3y3y3y3(a)Simetriadeponto. (b)Anti-simetriadeponto.(c)Simetriadeeixo. (d)Anti-simetriadeeixo.(e)Simetriadeplano. (f)Anti-simetriadeplano.Figura 2.2: Simetria da solicitao.2.4 SimetriaAxialAestruturarepresentadanagura2.4satisfazas condies desimetriaemrelaoaoeixox3 y3, tendo-seoptadopororientar os elementos estruturais emrelaoaossistemas xey(oquenoestritamentenecessrio). Esteexemplovai serusadoparacaracterizar a resposta de uma estrutura com um eixo de simetria sujeita separadamente aaces simtricas e a aces anti-simtricas. Dessa caracterizao vo resultar as condiesquenecessrioassegurarparaanalisarapenasmetadedaestruturaeparainferir, porconsideraesdesimetriaoudeanti-simetria, ocomportamentodametadedaestruturano analisada explicitamente.2.4.1 AcoSimtricaDa simetria da estrutura e da solicitao resulta que um ponto da estrutura e a sua ima-gem, por exemplo os pontos A e B na gura 2.5, sofrem deslocamentos iguais segundo umadireco paralelaao eixo de simetria, sendo tambmiguais mas agora de sinais contrriosas rotaes e os deslocamentossegundo a direconormal ao eixo.Poroutraspalavras, simtricoocampodedeslocamentosemestruturassimtricassimetricamentesolicitadas. Emconsequnciadasrelaesdecompatibilidade, simetriado campo de deslocamentoscorresponde um campo de deformaes simtrico. A simetriaDocumentoProvisrio2.4. SimetriaAxial 17qpM1M2FH(a)Acoassimtrica.q2q2p2M12M12F(b)Parcelasimtrica.q2q2p2p2M12M12M2H(c)Parcelaanti-simtrica.Figura 2.3: Decomposio de uma aco assimtrica.x3 y3x2y2Figura 2.4: Prticosimtrico em relaoa um eixo.DocumentoProvisrio18 SimetriaeAnti-simetriaconguraoindeformadaconguraodeformadaAABBA2 A3B2 B3A1B1x3 y3x2y2Figura2.5: Simetriada deformada.NAVAMANBVBMBFigura 2.6: Simetria das foras internas.dos campos de deslocamentose dedeformaes ilustradana gura2.5e a docampo deesforos na gura 2.6.Arelaodeelasticidadepermitiriaconcluir queoscamposdeforasinteriores sotambmsimtricos, poisestodirectamenteassociadossdeformaescompatveiscomos deslocamentossimtricos. Umajusticaomaisintuitivaqueseosistemadeforasaplicado estrutura simtrico, tambm o so as reaces de apoio e os sistemas de forasinteriores obtidos para qualquer diagrama de corpo livre (simtrico) da estrutura, como seilustra na gura 2.6.Conclui-se, portanto, e emconsequnciadas convenes adoptadanamediodosesforos, que os diagramas de momento ector so simtricos em traado e que os diagramasdeesforoaxial edeesforotransversoso, respectivamente, simtricoseanti-simtricosem valor, independentementeda orientaoadoptada para os elementosestruturais.Combasenestesresultados, pode-seconcluirsobreomovimentodospontossobreoeixo de simetria da estrutura e sobre as deformaes e os esforos de peas que coincidamcom esse eixo.Comoasrotaeseosdeslocamentosperpendicularesaoeixodesimetriatmsinaiscontrrios, na vizinhana de pontos que existam sobre o eixo de simetria, como o ponto C dagura 2.5, a continuidade fsica da estrutura permite concluir que em estruturas simtricassimetricamente solicitadas, so nulas as rotaes e os deslocamentos perpendiculares ao eixodesimetriaempontosdaestruturaexistentessobreesseeixo. Odeslocamentosegundooeixodesimetriaserlivrese, naestruturadada, noestiversujeitoaumaligaoqueimpea esse movimento. anlogooraciocnioquelevacaracterizaodocampodeesforosempeascoin-DocumentoProvisrio2.4. SimetriaAxial 19cidentescomoeixodesimetriadaestrutura. Comoosmomentoseasforasperpendi-culares ao eixo tm sinais contrrios,a continuidadedesses campos exige que sejam nulosos momentos ectores e os esforos transversos sobre o eixo de estruturas simtricas sime-tricamentesolicitadas. Oesforoaxial sernonuloemtodasassecesquenosejamafectadas por libertaes de esforo axial que possam existir na estruturadada.Conclui-se, assim, que o clculo de uma estrutura reticulada plana simtrica em relaoa um eixo e simetricamente solicitada pode ser efectuado considerando apenas a metade daestrutura e da solicitao que cam para um dos lados do eixo de simetria. A nova estruturaidnticameia-estruturanoquesereferes caractersticas topolgicas, mecnicas egeomtricas, e est sujeita a apenas metade da solicitao dada.No entanto, necessrio introduzir correces sobre o eixo de simetria da meia-estruturaparaassegurar que oseucomportamento isoladoreplique ocomportamento que teriaquando inserida na estrutura simtrica:(a) s ligaes que possam existir nos ns colocados sobre o eixo de simetria devem somar-se as ligaes (rgidas) que impedem a rotao e o deslocamento perpendicular ao eixo;(b) s libertaes que possam existir nas barras colocadas sobre o eixo de simetria devemser adicionadas as rtulas (perfeitas) necessrias e sucientes para assegurar que essaspeas cam apenas sujeitas aco do esforo axial;(c) Aos elementos estruturais (barras e libertaes ou ligaes elsticas) que existam sobreoeixodesimetriaatribudametadedarigidezaxial daspeascorrespondentesdaestrutura simtrica.Estaltimacorrecodecorre dofactode ser metade ovalor das foras aplicadassegundo o eixo de simetria, assim como do esforo axial e das reaces em barras e apoiosquecoincidamcomesseeixo. Areduoparametadedarigidezaxial asseguraqueodeslocamentoaxialna meia-estrutura idnticoaodeslocamentoaxialque se vericanosmesmospontosdaestruturacompleta. irrelevanteovalorqueseatribui rigidezdeexooudecortedesseselementos, poracondiodesimetriaassegurarquesonulosos esforos correspondentes. A aplicaodeste processo de simplicaoest ilustradanagura 2.7.2.4.2 AcoAnti-SimtricaDasimetriadaestruturaedaanti-simetriadasolicitaoresultaqueumpontodaestruturaeasuaimagem, porexemploospontosAeBnagura2.8, sofremrotaesedeslocamentosperpendicularesaoeixodesimetriaiguais, sendotambmiguaismasdesinais contrriosos deslocamentos segundo esse eixo.Pode, portanto, concluir-sequeanti-simtricoocampodedeslocamentosemestru-turassimtricasanti-simetricamentesolicitadas, assimcomooscamposdasdeformaes.Conclui-se, tambm, queseocampodeforas(generalizadas)anti-simtrico, tambmosoasreacesdeapoioeossistemasdeforasinteriores. Aanti-simetriadoscamposde deslocamentose de deformaes ilustradanagura2.8,e a docampo deesforos nagura 2.9.Em consequnciadas convenesadoptadasna mediodos esforos, os diagramasdemomentosectoressoanti-simtricosemtraadoequeosdiagramasdeesforoaxial ede esforo transverso so, respectivamente, anti-simtricos e simtricos em valor, indepen-dentementeda orientaoadoptada para os elementosestruturais.Destas conclusesdecorreacaracterizaodos deslocamentosdos pontossobreoeixodesimetriadaestruturaedasdeformaesedosesforosdepeasquecoincidamcomDocumentoProvisrio20 SimetriaeAnti-simetriap pFR1 R2HMR1= R2M= 0H= 0(a)Estruturaoriginal.pF2A2(b)Estruturaapssimplicaodesimetria.Figura 2.7: Simplicaode simetria.esse eixo. O resultado , naturalmente, complementar do obtido para o comportamento deestruturas simtricas sujeitas a aces simtricas.Como os deslocamentos segundo o eixo de simetria de um ponto e da sua imagem tmsentidosopostos, conclui-sequeemestruturassimtricasanti-simetricamentesolicitadassonulososdeslocamentossegundooeixodesimetriaempontosdaestruturaexistentessobreesseeixo. Asrotaeseosdeslocamentosperpendicularesaoeixosolivresse,naestrutura dada, esses pontos no estiverem sujeitos ligaes que impeam esses movimentos.Comoasforassegundooeixodesimetria, numpontoenasuaimagem, soiguaisetmsentidosopostos,sonulasasforas,eportantotambmoesforoaxial,empeasque coincidam com o eixo de simetria da estrutura e de anti-simetria do carregamento. Osmomentos e as foras perpendiculares podem no ser nulos sobre o eixo, pelo que o mesmosucedeemrelaoaosmomentosectoreseaosesforostransversosemsecesdepeascoincidentescom o eixo, desde que a no existem as libertaes correspondentes.DocumentoProvisrio2.4. SimetriaAxial 21PSfragconguraoindeformadaconguraodeformadaAABBA2A3B2B3A1B1x3 y3x2y2Figura 2.8: Antissimetria de deformada.NAVAMANBVBMBFigura 2.9: Antissimetria das foras internas.Oclculodeumaestruturareticuladaplanasimtricaemrelaoaumeixoeanti-simetricamentesolicitadaemrelaoa esse eixo tambmpode ser realizadoconsiderandoapenas a metade da estrutura e da solicitao que cam para um dos lados do eixo. Comopara o caso do carregamento simtrico, a nova estrutura idntica meia-estrutura no quesereferescaractersticastopolgicas, mecnicasegeomtricas, eestsujeitaaapenasmetade da solicitao dada.As correces que so introduzidas sobre o eixo de simetria da meia-estrutura, ilustra-dasnagura2.10, asseguramqueserecuperaocomportamentoqueteriaseinseridanaestrutura simtrica:(a) s ligaes que possam existir nos ns colocados sobre o eixo de simetria devem somar-seasligaes(rgidas)queimpedemodeslocamentosegundooeixodesimetriadaestrutura;(b) s libertaes que possam existir nas barras colocadas sobre o eixo de simetria devemser adicionadas as libertaes axiais (perfeitas) necessrias e sucientes para assegurarque nessas peas seja nuloo esforo axial;(c) Aoselementosestruturais(barraselibertaesouligaeselsticas)queexistamso-breoeixodesimetriaatribudametadedarigidezdeexoedecortedaspeascorrespondentesda estrutura simtrica.DocumentoProvisrio22 SimetriaeAnti-simetriapFFR1R2RHHMMR1= R2R = 0(a)Estruturaoriginal.p2FH2M2I2,A2(b)Estruturaapssimplicaodesimetria.Figura 2.10: Simplicaode antissimetria.Esta ltima correco tambm decorre da necessidade de assegurar que as peas sobreo eixo de simetria tenham a mesma deformao na meia-estrutura e na estrutura completa,tendoem atenoser metadeo valordos momentose das foras aplicadasperpendicular-menteoeixodesimetria, assimcomodomomentoectoredoesforotransversal edasreacesembarraseapoiosquecoincidamcomesseeixo. irrelevanteovalorqueseatribui rigidez axial desses elementos, por a condiode simetria assegurar que nulo oesforo correspondentenas barras coincidentescom o eixo de simetria.DocumentoProvisrio2.5. ProcedimentoGeral 232.5 ProcedimentoGeralOsresultadosapresentadosnasecoanteriorrepresentamaparticularizaodosse-guintes teoremas para o caso da simetria estruturalem relaoa um eixo:Simetria: Uma solicitao simtrica aplicada a uma estrutura simtrica introduz na estru-tura vectores de deslocamentos generalizados, foras internas generalizadas e reacesde apoio generalizadascom uma distribuio simtrica.Anti-simetria: Umasolicitaoanti-simtricaaplicadaaumaestruturasimtricaintro-duznaestruturavectoresdedeslocamentosgeneralizados, forasinternasgenerali-zadas e reaces de apoio generalizadas com uma distribuioanti-simtrica.Paraaplicar estes teoremas noclculodeestruturas simtricas deveproceder-sedaseguinte maneira:1. Decomporo carregamentonas parcelas simtrica e anti-simtrica;2. Denira simplicaode simetria da estrutura, assegurando que:(a) Osnsexistentessobreoeixodesimetriaspodemterdeslocamentossegundooeixo, se tal for permitido na estruturaoriginal;(b) As barras sobre o eixo de simetria s podem estar sujeitas a esforo axial, se tal forpermitidona estruturaoriginal;(c) Asbarraseaslibertaesouligaeselsticasexistentessobreoeixodesimetriatm metadeda rigidez axial das que lhes est atribudana estruturadada.3. Aplicara acosimtrica simplicaode simetriada estrutura,resolver o problemade anlise estrutural, determinando as reaces, os diagramas de esforos e a deformada.4. Recuperar a soluo para a estrutura simtrica sujeita ao carregamentosimtrico aten-dendoa que:(a) Osesforosaxiaisnasbarraseasreacesnosapoiosexistentessobreoeixodesimetria so o dobro dos valores obtidos pela anlise da meia-estrutura;(b) A distribuiodas reaces simtrica;(c) Osdiagramasdemomentosectoreseesforosaxiaissosimtricoseodiagramade esforo transverso anti-simtrico;(d) A deformadada estrutura simtrica.5. Denira simplicaode anti-simetriada estrutura,assegurando que:(a) Os ns existentes sobre o eixo de simetria no podem ter deslocamentos segundo oeixo, podendo rodar ou ter deslocamentos perpendiculares ao eixo se tal for permi-tido na estrutura original;(b) Asbarrassobreoeixodesimetriaspodemestarsujeitasamomentoectoreaesforo transverso, onde tal for permitido na estruturaoriginal;(c) Osbarraseaslibertaesouligaeselsticasexistentessobreoeixodesimetriatm metade da rigidez de exo e de corte das que lhes est atribuda na estruturadada.6. Aplicaraacoanti-simtricasimplicaodeanti-simetriadaestrutura, resolveroproblemade anlise estrutural, determinandoas reaces, os diagramas de esforos e adeformada.7. Recuperar a soluo para a estrutura simtrica sujeita ao carregamentosimtrico aten-dendoa que:(a) Os momentos ectores e os esforos transversos nas barras existentes sobre o eixo eos momentos de encastramento e as reaces perpendiculares ao eixo nos apoios exis-tentessobre o eixo so o dobro dos valores obtidos pela anlise da meia-estrutura;(b) A distribuiodas reaces anti-simtrica;DocumentoProvisrio24 SimetriaeAnti-simetria(c) Osdiagramasdemomentosectoreseesforosaxiaissoanti-simtricoseodia-grama de esforo transverso simtrico;(d) A deformadada estrutura anti-simtrica.8. Sobreporas solues simtricae anti-simtricapara recuperaras reaces de apoio,osesforos e a deformada da estrutura simtrica sujeita ao carregamentoassimtrico.2.6 GeneralizaoeLimitaesInteressa realar dois aspectos sobre simetria de estruturas. O primeiro tem a ver comformasdesimetriamltiplaeosegundocomoquesepodechamarfalsascondiesdeassimetria, tipicamenteassociadas distribuio de apoios.Oscasosdesimetriamltiplaocorremquandoaprimeirasimplicaodaestruturasimtrica, porsimetriaouanti-simetriadaaco, expeumameia-estruturaequivalentequeapresentaaindaoutroelementodesimetria, ouumasequnciadessassituaes. Oprocesso de simplicao pode ser repetido at se esgotar a possibilidade de encontrar umoutro elementode simetria, comose mostra na gura 2.11.Comoseilustranagura2.12, umaestruturapodesatisfazertodasascondiesdesimetriamasviolaraqueincidesobreascondiesdeapoio. SemprequeaEstticaopermita,asligaes queviolamacondiode simetriapodem seralteradaslibertandoasligaes e aplicando as reaces que a se desenvolvem, eventualmente introduzindo as liga-es que impeam os movimentos de corpo rgido que a alterao feita possa ter permitido.Aestruturamodicadapodeseranalisadaexplorandoascondiesdesimetriaouanti-simetria, sendo vlidos todos os resultados obtidos relativos a reaces de apoio, esforos edeformaes. Noentanto, necessriosomardeformadadaestruturaosdeslocamentosde corpo rgido que recompem as condies de ligaoda estruturaoriginal.A possibilidadedepoder substituir umaestruturasimtricapela meia-estruturaequi-valentetraduz-sesemprepor umaeconomiadeclculo, tantomaissignicativaquantomaiorforacomplexidadetopolgicadaestruturaoriginal. Essaeconomiaresultadare-duodonmerodebarrasedosgrausdeindeterminaoesttica()ecinemtica(),osquaisdenemonmerodevariveis edeequaesdosistemaresolventequandoseutiliza o Mtodo das Foras e o Mtodo dos Deslocamentos, respectivamente. Quando cer-tassimplicaesnosoutilizadas, verica-sequeasomadosgrausdeindeterminaodos problemas simtrico e anti-simtrico recuperam o grau de indeterminao da estruturaoriginal: = simetria +anti-simetria(2.1a)= simetria +anti-simetria(2.1b)Com os meios de clculo actualmente disponveis, s se justica o recurso s simplica-es acima referidas se a estrutura simtrica est sujeita a apenas um tipo de carregamento,simtricoouanti-simtrico, ouquandose desejaavaliaracoernciadomodelodeclculoutilizado.Quando os meios de clculo so limitados e se pretende analisar uma estrutura simtricasujeitaacodeumasolicitaoassimtrica, geralmentevantajososepararasolicita-onasparcelassimtricaeanti-simtrica, porsermaiseconmicoresolvercadaumdosproblemas, simtricoeanti-simtrico, doqueoproblemaoriginal, adimensodoqual ,na melhor das hipteses, cerca do dobro de qualquer dos problemasparcelares.DocumentoProvisrio2.6. GeneralizaoeLimitaes 25(a)Primeirasimplicao.(b)Segundasimplicao.(c)Terceirasimplicao.(d)Quartasimplicao.ppppLLLL LLL L L LLL2EAEIGAEAEIGAEAEIGAEAEIGAEAEIGAEAEIGAEAEIGAEAEIGAEA2EIGAEA2EIGAEA2EIGAEA2EIGAEA2EIGAEA2EIGAEA2EIGAFigura 2.11: Simplicaode simetria mltiplade prtico.DocumentoProvisrio26 SimetriaeAnti-simetriapFF(a)Estruturaassimtrica.pF F(b)Estruturasimtricaestaticamenteequivalente.Figura 2.12: Simplicaode uma estrutura assimtrica.Finalmente, importante lembrar que no se pode recorrer separao das solicitaesassimtricas actuando sobre estruturas simtricas quando se pretende simular o comporta-mento no linear da estrutura, por deixar entode ser vlido o princpio da sobreposio.Emregimeno-linear, ocomportamentodeumaestruturasimtricapodenosersim-trico (ou anti-simtrico) quando sujeita a uma aco simtrica (anti-simtrica), tipicamentedevido possibilidade de bifurcaodas conguraes de equilbrio.Exerccio2.2. A pea quadrada de ladoL representadana gura 2.13a simtrica eestaticamente indeterminada, = 3, se se admitir que os deslocamentos de corpo rgido seencontram bloqueados. Verique que, utilizando duas simplicaes de simetria e uma sim-plicaodeanti-simetria, seobtmaestruturaestaticamentedeterminadarepresentadana gura 2.13b. Tracetodos os diagramasde esforos da estrutura original.Exerccio2.3. Oprticosimtricorepresentadonagura2.14temcaractersticasgeomtricas emecnicas uniformes. Efectuetodas assimplicaes desimetriaeanti-simetria possveis.DocumentoProvisrio2.6. GeneralizaoeLimitaes 27PP PP(a)Original.P2(b)Apssimplicaes.Figura 2.13: Estruturaquadrada.ppL LLLFigura 2.14: Prticosimtrico.DocumentoProvisrioCaptulo3RelaesdeElasticidade3.1 IntroduoConsidere-se o prtico plano representado na gura 3.1 e admita-se que a solicitao aindicadagradualmenteintroduzida. Paraequilibraro carregamentodesenvolvem-senoselementos estruturais foras internas ouesforos. Estes esforos provocam o aparecimentodedeformaesque se traduzem na alteraoda geometriada estrutura.Asdeformaesquesedesenvolvemnoselementosestruturaisnosoindependentesdosesforosquenelesexistem. Pelocontrrio, osesforoseasdeformaesestoassoci-adosporumarelaodecausa-efeitoquelhesespecca. Estasrelaessodesignadasporrelaesconstitutivaspordependeremessencialmentedaspropriedadesmecnicasdomaterial queconstitui oselementosresistentesdaestrutura. Quando, comoaqui sead-mite, o material apresenta um comportamento elstico, estas relaes so alternativamentedesignadas por relaes de causalidade elstica ou, mais simplesmente, por relaesde elas-ticidade.Oproblemaqueemseguidasepretendeabordarodeestabelecerexpressesgeraispara as relaes de elasticidade de peas lineares, que possam posteriormente ser utilizadasna anlise de estruturas reticuladas. Essas relaes vo ser expressas em termos dos esforose das deformaes independentes dos elementos estruturais, cuja noo a seguir se introduz.Admita-se que uma pea linear retirada de uma estrutura imediatamente antes e logoaps a actuao da solicitao. O elemento genricom, orientado da seco ipara a secoj, representado na gura 3.2 pode ser identicado, por exemplo, com a barra AB do prticoapresentadona gura3.1.Comoapeapertenceaumaestruturaplanaquesedeformanoprprioplano, sosucientestrsparmetrosparacaracterizaroseuestadodedeformao. Combasenarepresentao dada na gura 3.2 pode de facto vericar-se que dos seis movimentos neces-srios para descrever a passagem da posio inicial,AB, para a posio nal, AB, apenastrs provocama alteraoda forma do elemento.Para levar a pea da posio AB para a posio AB basta introduzir sequencialmenteas translaes de corpo rgidod1ed2, seguidas de uma rotao de corpo rgido,d3. Comoapeapermaneceindeformada, rectaecomumcomprimentoigual aoinicial, nenhumdestes movimentospode ser utilizadopara caracterizaroestado de deformao. Todavia,para levar a pea da posio AB para a posio nal AB, torna-se necessrio introduzirmovimentosque provoquem a deformaoda barra, comose ilustra mais detalhadamentena gura 3.3.2930 RelaesdeElasticidadeFigura 3.1: Conguraoinicial e deformadade um prtico plano.AABBBBiijjd1d2d3LmLmijejFigura 3.2: Peadestacada das conguraes inicial e deformada de uma estrutura.DocumentoProvisrio3.1. Introduo 31AAABBBBi jLmiijejFigura 3.3: Movimentos que provocam deformao.ijLm +ejijcordaFigura 3.4: Deformaes independentes.Aointroduziraextensoaxial ejconsegue-setrazeropontoBparaaposionalB. Basta agora introduzir sequencialmente as rotaesiejpara recuperar a curvaturainstalada na pea. Estes movimentosso organizadosnovectordasdeformaesindepen-dentes:um=___ijej___. (3.1)(D3.1) As deformaes independentes (3.1) so os parmetros necessriose sucientes paracaracterizar oestadode deformaode umapealinearpertencentea uma estrutura planaque se deforme no prprioplano.Como se ilustra na gura(3.4), as rotaesiejso medidasem relaocordadoelemento,isto,osegmentoderectaqueuneassecesextremasdapeadeformada. Aextensoaxial ejrepresentaadiferenaentreocomprimentodacordaeocomprimentoinicial da pea. Estes parmetros de deformao so medidos positivamente de acordo comas convenes tradicionalmenteadoptadas na Resistncia de Materiais.DocumentoProvisrio32 RelaesdeElasticidadeijLmNiNjViVjMiMjq123mFigura 3.5: Diagramade corpo livre.Considere-seagoraoproblemadedenirosparmetrosnecessriosesucientesparacaracterizarocampodeesforos quese desenvolvenumapealinear. Comose ilustranagura 3.5 para manter a barra em equilbrio depois de destacada da estrutura, necessrioaplicar nas seces de corte, as seces extremas i e j, as foras correspondentes ao conjuntode esforos libertados.Entretodasasforasaplicadasaoelemento, apenasascargasdevo, q, tmvaloresdeterminados. Asseisforasdeextremidadenosoapriori conhecidas, sabendo-senoentantoque tm de satisfazer as trs condies de equilbriono plano:Ni=Nj +Q1Vi=Vj +Q2Vj=(Mj Mi +Q3) /L.Nestasexpressesgerais, Q1eQ2representamasresultantesdasforasdevoqnasdireces 1 e 2, respectivamente, e Q3 o momento resultante calculado na extremidade i, deacordo com o referencial local indicado na gura 3.5. Estas condies de equilbrio mostramquestrs das seis foras de extremidade solinearmente independentes. Por outraspalavras,seseconheceremtrsforasdeextremidade,quenoincluamsimultaneamenteos paresNie NjouVie Vj, torna-se possvel calcular todas as outras, e portanto tambmos esforos em qualquer seco intermdia.Asforasdeextremidadequevoserutilizadasparadescreverocampodeesforosnumapealinearsoascorrespondentessdeformaesindependentes(3.1), nomeada-mente os momentos ectores nas seces extremas,Mie Mj, e o esforo axial na secoj,Nj:Xm=___MiMjNj___. (3.2)(D3.2)Os esforosindependentes (3.2) soos parmetros necessriosesucientesparacaracterizaroestadodetensonumapealinearpertencentea uma estrutura plana solicitadano prprioplano.Note-sequeoselementos dovector dos esforos independentes (3.2) soarrumadossegundo a sequncia adoptada para organizar as deformaes correspondentes (3.1). Estesesforos somedidos positivamentenosentidoindicadonagura3.5deacordocomaconvenotradicionalmenteadoptadana Resistncia de Materiais.DocumentoProvisrio3.2. AnlisedaVigaSimplesmenteApoiada 33ijLmNjMiMjqmFigura 3.6: Viga simplesmenteapoiada.ijNiNjViVjMiMjqFigura 3.7: Barra estaticamenteequivalente.ijejFigura 3.8: Deformaes independentesna viga simplesmenteapoiada.3.2 AnlisedaVigaSimplesmenteApoiadaA anlise do comportamentoda viga simplesmente apoiada representadana gura 3.6vai permitir estabelecer a relao que associa os esforos independentesXme as deforma-es elsticascorrespondentes, um, paraumaqualquer peade umaestruturareticulada.Estarelaodecausalidadeentreosesforos easdeformaes,aqualdependeexclusiva-mentedascaractersticasmecnicasegeomtricasdapea,serposteriormenteutilizadapara caracterizaras relaes constitutivas das estruturas reticuladas.Como se ilustra na gura 3.7 a viga simplesmente apoiada estaticamente equivalente barra genrica representada na gura 3.5, pois est sujeita exactamente ao mesmo conjuntode foras aplicadas: as foras de extremidade dependentes,Ni,Vi e Vj, aparecem agora naforma de reaces de apoio.Dopontodevistacinemtico, verica-sequeascondies deapoioescolhidas paraoelementotpicoimpedemque se desenvolvamdeslocamentos de corporgido. Almdisso, como se pode vericar por comparao das deformadas representadas nas guras 3.4e3.8, osdeslocamentosquesedesenvolvemnosextremosdavigaidenticam-secomosparmetros escolhidos para descrever o campo de deformaes nas peas lineares.Nagura3.9indica-seaconvenoadoptadaparamedirosesforospositivosnumasecogenrica, deabcissax, davigasimplesmenteapoiada. Estesesforospodemsercalculados recorrendos equaes da Esttica, encontrando-seas seguintes expresses:DocumentoProvisrio34 RelaesdeElasticidadeijxNjMiMjM MNV VFigura 3.9: Convenopara a mediodos esforos.ijx = aLAAd1d2d3Figura 3.10: Componentes do deslocamento.M(x) =_1 xL_Mi +xL Mj+M0(x) (3.3a)V (x) =Mj MiL+V0(x) (3.3b)N(x) =Nj+N0(x) (3.3c)Nas denies(3.3), asfunesM0(x),V0(x)eN0(x)representamas distribuiesdemomentoector, esforotransversoeesforoaxial provocadospelacargadevo, q, naausnciadeforas deextremidade(Mi= Mj= 0,Nj= 0). Estasfunes estodenidasna tabela 3.1, para as cargas de vo mais correntes.Os valoresdas reacesdeapoioindicadasnagura3.7podemser obtidosporparti-cularizaodos resultados (3.3b) e (3.3c):Vi=Mj MiL+V0(0) (3.4a)Vj=Mj MiL+V0(L) (3.4b)Ni=Nj +N0(0). (3.4c)Nagura3.10representa-se umadeformadaque satisfazas condies de apoiodaviga. Sesedesprezaroefeitodadeformaoporesforotransverso,osdeslocamentosdobaricentrode uma seco de abcissax = a so denidos por:dk(a) =_L0Mk dx +_L0 Nk dx comk = 1, 2, 3. (3.5)Se se admitir que a pea de material elstico linear, na denio (3.5) os parmetros, = MEI(3.6a) =NEA(3.6b)DocumentoProvisrio3.3. ElementodePrticoPlano 35representam a curvatura e a extenso axial das bras baricentricas da seco de abcissa x,com reaA emomentode inrciaI;Erepresentaomdulode elasticidadeda pea. Nasexpresses (3.6a) e (3.6b) as funes Me Ndenem as distribuies de momento ector ede esforo axial provocados pela solicitao a que a pea est sujeita, enquanto as funesMkeNkrepresentamasdistribuiesqueequilibramaforaunitriacorrespondenteaodeslocamentodk.Se se utilizar a informao contida na tabela 3.1, encontram-se as seguintes expressespara a denio(3.5):d1=_a0 dx (3.7a)d2=_1 aL__a0xdx +aL_La(L x)dx (3.7b)d3= 1L_a0xdx 1L_La(L x) . (3.7c)3.3 ElementodePrticoPlanoDo campo de deslocamentos (3.7) so de particular interesse os que se desenvolvem nassecesextremasdavigasimplesmenteapoiada, indicadosnagura3.8. Deacordocomessas denies, estes deslocamentostm as seguintes expresses:i= 1L_L0M (L x)E Idx (3.8a)j= 1L_L0M xEIdx (3.8b)ej=_L0NE A dx. (3.8c)Se se admitirque a pea homogneae uniforme,e se utilizaremas expresses (3.3a)e (3.3c) para as distribuies de esforos, encontram-seos seguintes resultados,i=_L3 E I_Mi +_L6 E I_Mj+i(3.9a)j=_L6 E I_Mi +_L3 E I_Mj+j(3.9b)ej=_LEA_Nj+ej, (3.9c)em que,i=1E I_L0M0_1 xL_dx (3.10a)j=1E I_L0M0_xL_dx (3.10b)ej=1E A_L0N0 dx, (3.10c)DocumentoProvisrio36 RelaesdeElasticidaderepresentamas parcelas dos deslocamentos devidos acodas cargas de vo. Estasparcelas esto denidas na tabela 3.2 para as foras de vo mais correntes.Seseorganizar matricialmenteosresultados(3.9), deacordocomasnotaes(3.7)e (3.3), encontra-sea seguinteexpresso,___ijej___=__L3 EIL6 EI0L6 EIL3 EI00 0LEA__m___MiMjNj___+___ijej___(3.11)ou, mais sinteticamente:um= FmXm +um. (3.12)Esta expresso estabelece uma relao de causa-efeito entre os esforos independentes,e as cargas de vo que actuam no elemento, com as deformaes independentes. Ser poste-riormente utilizada para caracterizar as relaes de elasticidade das estruturas reticuladas.Ovectorumdesignadoporvectordasdeformaesindependentesdevidasscargasdevo. Podevericar-se que amatrizdeexibilidadedo elementom,Fm=__L3 EIL6 EI0L6 EIL3 EI00 0LEA__m(3.13) simtrica e no-singular,isto existe a matrizinversaF1m :FTm= Fm, F1m= Fm= I. (3.14)Nas guras 3.11a3.12estorepresentados os coecientes que intervmnadeni-o (3.11) para as relaes de elasticidadedo elemento. Conclui-se pois que:(D3.3) A coluna i da matriz de exibilidadeFm representa as deformaesindependentes causadas peloi-simoesforoindependente unitrio, quandotodos os restantes so nulos, assim como a solicitao de vo.(D3.4)Ovectorumrepresentaasdeformaesindependentesquesede-senvolvem no elemento devido actuao das cargas de vo, quando so nulostodos os esforos independentes.3.4 ElementodeVigaContnuaOselementosdevigacontnuafuncionampredominantementeexo. Sotambmaplicadosa peasem quea deformaoaxial nulaou desprezvelparao tipo deanliseem causa. Consequentemente, a relao de elasticidade (3.12) simplica-se para a seguinteforma, em que se controlaapenas o modo de deformaopor exo:_ij_ =_L3 EIL6 EIL6 EIL3 EI_m_MiMj_+_ij_. (3.15)DocumentoProvisrio3.4. ElementodeVigaContnua 37Mi= 1Mj= 1Nj= 1f11=L3 E If21=L6 E If31= 0f12=L6 E If22=L3 E If32= 0f13= 0 f23= 0f33=LE ALFigura 3.11: Identicaodos coecientesda matrizde exibilidade.qijej LFigura3.12: Identicaodoscoecientesdovectordasdeformaesdevidascargadevo.ijqNiNjLFigura 3.13: Elementode trelia.DocumentoProvisrio38 RelaesdeElasticidadeTiTjMiMjViVjxyzFigura 3.14: Elementode grelha.3.5 ElementodeTreliaOselementos detreliacaracterizam-seporestaremapenassujeitosaesforoaxial,pelo que os vectores dos esforos e das deformaes independentesse reduzem a:X =_Nj_m, um=_ej_. (3.16)Narelaodeelasticidade(3.12),amatrizdeexibilidadedoelementotomaagoraaforma:Fm=_LE A_m. (3.17)3.6 ElementodeGrelhaAdmita-se que oelementorectoe uniforme representadonagura3.14pertence auma grelhaqueexiste no planohorizontal xye solicitadapor foras segundoa direcoortogonal, z. Emconsequnciadas restriesimpostas solicitao,osdeslocamentosnoplanoxye as rotaes em torno do eixozso nulos.Nestas condies, paracaracterizar oestadode tensonapeabastaconsiderar aexonoplanoxzeatoroemtornodoeixox. Nadeniodovectordosesforosindependentesinclui-se, portanto, osmomentosectoresnassecesextremas, MieMj,e o momentotorsor numadelas, por exemplo,Tj:Xm=___MiMjTj___. (3.18)As deformaescorrespondentesaosesforosindependentes(3.18)so,paraalmdasrotaes de exo i e jmedidas em relao corda, a rotao de toro jrelativa entreas seces extremas,um=___ijj___. (3.19)como se ilustra na gura3.15. Note-se que agora se admiteque o apoio na extremidadeiimpede rotaes em torno do eixox.DocumentoProvisrio3.6. ElementodeGrelha 39Tji jqjxyzFigura 3.15: Rotao e momentode toro.Paraque as condies de equilbrio(3.3) e (3.4) possamaindaser utilizadas paracaracterizar o elemento de grelha, basta substituir as expresses para o esforo axial pelasque denem o modo de toro:T(x) =Tj+T0(x) (3.20a)Ti=Tj+T0(0). (3.20b)Na denio(3.20a), a funoT0(x) representaa distribuiode momentotorsor pro-vocadapelasolicitaodevo. Estafunoestdenidanatabela3.1paraascargasdevo mais correntes.A expresso (3.5) para o clculodos deslocamentos toma agora a forma,dk(a) =_L0Mk dx +_L0Tk dx comk = 1, 2, 3 (3.21)em que, =TGJ(3.22)representa o ngulo de toro, G o mdulo de distoro do material e Jo factor de rigidez toro da seco da pea.Repetindooprocedimentoanteriormentedescritoparadeterminaragoraasdeforma-esindependentes(3.19)encontra-seaseguintedenioparaamatrizdeexibilidadedo elementode grelha:Fm=__L3 EIL6 EI0L6 EIL3 EI00 0LGJ__m. (3.23)O vector das deformaes independentes associadas s cargas de vo,um, presente nasrelaes de elasticidade (3.12)passa a ser expresso por,um=___ijj___(3.24)em que:j=1GJ_L0T0 dx. (3.25)Arotaopor toro(3.25) estdenidanatabela3.2paraas solicitaes devoanteriormenteconsideradas.DocumentoProvisrio40 RelaesdeElasticidadeTiTjNiNjVyiVyjVziVzjMyiMyjMziMzjxyzFigura 3.16: Peade uma estrutura tridimensional.i jTjNjMyiMyjMzi MzjxyzFigura 3.17: Viga simplesmenteapoiada estaticamenteequivalente.3.7 ElementodePrticoTridimensionalO estudo do elementotridimensionalpode ser realizadorecorrendoaos procedimentosanteriormente adoptados, desde que se admita no existir interaco entre os vrios modosdedeformao. Supe-seaquiqueaexonoplanoxy {xz}introduzdeslocamentosnadirecoy {z}erotaessegundoadirecoz {y};adeformaoaxialapenasprovocaoaparecimentode deslocamentos segundo o eixo da pea,x, e a toro provoca rotaes noplano que lhe perpendicular,yz.Para caracterizar o campo de esforos so agora necessrios 6 parmetros: os momentosectores nas seces extremas, o esforo axial e o momentotorsor na secoj:Xm=___MziMzjMyiMyjNjTj___. (3.26)Paraqueas restantes foras deextremidade apareamcomoreaces davigasim-plesmente apoiada, considera-se que apeatemnaseco i umapoioque impede osdeslocamentosnastrsdireces, x, yez,earotaoemtornodoeixox,enasecojum apoio mvel segundo a direcox, o qual impede, portanto, os deslocamentos segundoas direcesyezmas permite rotaes em tornode qualquer dos eixos.Osdeslocamentossofridospelassecesextremasdapeacontinuamaserutilizadospara denir o vector das deformaes independentes, o qual toma agora a seguinte expres-DocumentoProvisrio3.8. AcodaTemperatura 41i j mTxTiTjFigura 3.18: Variaode temperaturaao longo do eixo.so:um=___zizjyiyjejj___. (3.27)Para estabelecer as relaes de elasticidade (3.12) para o elemento tridimensional, bastacombinar os resultados anteriormente obtidos para o elemento de grelha e de prtico plano,encontrando-sea seguinte expresso para a matriz de exibilidade:Fm=__L3 EIzL6 E Iz0 0 0 0L6 EIzL3 E Iz0 0 0 00 0L3 EIyL6 EIy0 00 0L6 EIyL3 EIy0 00 0 0 0LEA00 0 0 0 0LGJ__m(3.28)Os valores resumidos na tabela 3.2 podem ser utilizados para caracterizar o vector dasdeformaes associadas s cargas de vo,um.3.8 AcodaTemperaturaQuandoatemperaturade umcorposealtera, omaterial que oconstitui variadevolume. Seestaalteraodoestadodedeformaosevericanumcorpoformadopormateriais de diferente natureza, ou se o corpo est impedido de se deformar livremente porligaes que existam ao exterior,gera-se no seu interiorum campo de tenses.Nagura3.18estrepresentadaavigasimplesmenteapoiadasujeitaaumavariaode temperatura,que se supe variar linearmenteao longo do eixo da pea:T= Ti + (Tj Ti)xL. (3.29)Comose ilustranagura3.19, admite-se todaviaque emcadasecotransversal,atemperaturaconstanteempontosexistentesemeixosparalelosdirecoprincipalDocumentoProvisrio42 RelaesdeElasticidadexyzT(x, z)Figura 3.19: Variao de temperaturaao longo da seco.xzh2h2T(x, z) TU(x)TL(x, z)Figura 3.20: Parcelas uniformee linear da variao de temperatura.z, maslinearmentevarivel aolongodaalturadaseco. Supondoqueomaterial queconstituiapeahomogneoeisotrpico,ecomoascondiesdeapoiopermitemqueapea se deforme livremente, a variao de temperatura em causa no acompanhada pelodesenvolvimentode esforos. Parao comportamentoplano tem-se, pois:M(x) = 0, V (x) = 0 eN(x) = 0. (3.30)Se m representar o coeciente de dilatao trmica do material, a extenso axial numponto de coordenadas(x, y, z), por denio, = m T(x, z), (3.31)em queT(x, z) representaa variao de temperaturanesse ponto. vantajoso separar a variao da temperaturaao longo da seco em duas parcelas,T(x, z) = TU(x) +zh TL(x) (3.32)em que uma delas representaa temperaturamdia, medidano eixo da pea,TU(x) =12_T_x, h2_+ T_x, h2__, (3.33)eaoutraaquetraduzogradientetrmicoentreasbrasextremas, comoseilustranagura 3.20:TL(x) =zh_T_x, h2_+ T_x, h2__, (3.34)DocumentoProvisrio3.9. AcodoPr-Esforo 43A curvatura e a extenso axial mdia so denidas por, =2 TLhm(3.35a) =TU m(3.35b)de acordo com as denies (3.33) e (3.34) ou, =2 mh_TLi +_tj ti_xL_(3.36a) =m_ti +_tjti_xL_, (3.36b)se se admitir a variao linearde temperatura(3.29) ao longo do eixo da pea.Substituindoas expresses (3.36a) e(3.36b) nas denies (3.5) erepetindoopro-cedimentoanteriormentedescrito, encontram-seasdeformaesindependentesdevidasvariao de temperaturadenidas na tabela 3.3.3.9 AcodoPr-EsforoOpr-esforodeelementosestruturaisumadastcnicasmaisfrequentementeutili-zadasparamelhoraracapacidaderesistentedasestruturas. Denidootraadodocaboeavaliadasasperdas,calculam-seasdeformaesindependentesdevidasacodopr-esforo a partirdas denies (3.10) onde agora,M0=t(x) e(x) (3.37a)N0=t(x), (3.37b)em quet(x) representao esforo no cabo ee(x) a sua excentricidade.Admita-se, porsimplicidade, queaexcentricidadedocabodescritaporumafunopolinomial,e(x) =

nenxn, (3.38)e que o seu andamento tal que o esforo axial pode ser considerado constante:t(x) = t0. (3.39)Substituindo os resultados (3.37) a (3.39) nas denies (3.10), encontram-se as seguin-tes expresses para as deformaes devidas aco do pr-esforo:i=t0E I

nenLn+1(n + 1)(n + 2)(3.40a)j=t0E I

nenLn+1n + 2(3.40b)ej=t0LE A(3.40c)Estes resultados esto particularizados na tabela 3.4 para os casos de andamento cons-tante, linear e parablico.DocumentoProvisrio44 RelaesdeElasticidade3.10 AparelhosdeLibertaoElsticaDescreveram-se anteriormente os 6 tipos bsicos de aparelhos de libertao que podemser utilizadospararepresentara ligaoentreas peas que formamuma estruturareticu-lada, ou dessas peas ao meio de fundao. Referiu-se ento que essas libertaes podiamser perfeitas ou elsticas.Esses aparelhostinham um comportamentoperfeito se os movimentospor eles permi-tidos se realizavamsem mobilizarqualquertipo de resistncia. Interessaagoraconsiderarapossibilidadedessaresistnciaexistiresecaracterizarporumalei decomportamentoelstico, linear.Pararepresentar estetipode resposta, soacopladas molas, lineares ouangulares,aosaparelhosdelibertaoperfeita, asquaisincorporamaspropriedadesmecnicasdossistemas construtivos que pretendem simular. As relaes constitutivas para estes aparelhospodem ser quanticadasna formaui= FiXi +ui(3.41)emqueFirepresentaaexibilidadedamolai. Adeformaosofridapelamolaea foraque nela se desenvolve so representadas pelas variveis ui e Xi, respectivamente. A parcelauiquanticaumadeformaoquepossatersidoimpostanoaparelhodelibertao, porexemplo um assentamentode apoio.3.11 RelaesConstitutivasdaEstruturaAsrelaesdeelasticidadedaestruturaaanalisarpodemserdenidasagrupandoasrelaes constitutivas (3.12) e (3.41) associadas a cada um dos elementos resistentes que acompem, de acordo com a numerao sequencial adoptada para identicar esses elementos.Denindo os vectores dos esforos e das deformaes independentesda estrutura,X =___X1X2...XBX1X2...XL___e u =___u1u2...uBu1u2...uL___(3.42)ondeBrepresentaonmerodebarrasemqueaestruturafoidiscretizadaeLonmerodeaparelhosdelibertaoelsticanelaexistentes, encontra-seaseguinteexpressoparaas relaes de elasticidade da estruturau = FX+u. (3.43)DocumentoProvisrio3.12. GeneralizaodasRelaesdeElasticidade 451 234f

1

2m1Figura 3.21: Estrutura reticuladaplana com apoio elstico.emqueovectordasdeformaesassociadasscargasdevo, u, organizadodeacordocom a convenoutilizadaem (3.42) e a matrix de exibilidade diagonal por blocos:F =__F10 0 0 0 00 F2 0 0 0 0........................0 0 FB... 0 0 00 0 0... F10 00 0 0... 0 F2 0...........................0 0 0... 0 0 FL__(3.44)Como exemplo de aplicao, considere-se a estrutura plana, solicitada no prprio plano,representadanagura3.21. Combasenosresultadosanteriormenteobtidos, encontra-sea seguinteexpresso para as relaes de elasticidade(3.43):___12e2e4u1___=__L13 EI1L16 EI10 0 0L16 EI1L13 EI10 0 00 0L1EA10 00 0 0L2EA200 0 0 0 f1_____M1M2N2N4X1___+___fL2116 EI1fL2116 EI1000___(3.45)Caso se verique existir, na estrutura a analisar, interaco entre a resposta de gruposdeaparelhosdelibertaoelstica,parasimularestecomportamentobastaintroduzirnaequao(3.44), naintersecodaslinhasedascolunasrespeitantesaessesaparelhos, oscoecientes que quanticamo processo de interaco.3.12 GeneralizaodasRelaesdeElasticidadeOs resultados apresentados neste captulo decorrem da aplicao de um forte conjuntode hipteses simplicativas. Para alm das hipteses bsicas de linearidade fsica e geom-trica,admitiu-sequepealineartemeixorectoesecoconstante,queasseces planasDocumentoProvisrio46 RelaesdeElasticidadese mantmplanas e que so desprezveis as deformaes de corte, como tpico da teoriadasvigas. Admitiu-setambmqueomaterialestruturalhomogneoeisotrpico,equea geometriada seco transversal assegura o desacoplamentodos modos de deformao.No entanto,este conjuntode hipteses vlido para a maioriadas aplicaes prticasepermiteobterexpressesanalticasparaoscoecientesdamatrizdeexibilidadeedovector das deformaes independentes devidas s cargas de vo, os quais so determinadosuma nica vez e tabelados para clculo manual ou directamente programados para uso emclculo automtico. Existem, naturalmente,outras situaes no mbito deste conjunto dehipteses que conduzema expresses analticasparaasrelaes deelasticidade(3.12),asquais devemser obtidassempreque essas situaes ocorram. Duas delasso as sugeridasnosexercciosseguintesparaomodelodevigacomtroosrgidos, muitasvezesutilizadopara simular o forte reforo que se verica nas zonas de ligao entre vigas e pilares, e parao modelo de vigas sobre fundao elstica.Exerccio3.1. Admitaqueavigarepresentadanagura3.6limitada, esquerdaedireita, portroosrgidosexoedeformaoaxial,comcomprimentosamebm,respectivamente. Determineaexpressogeral damatrizderigidezpresentenasrelaesdeelasticidade(3.12)edovectordasdeformaesindependentesparaumacargadevouniformementedistribudacom intensidadeq.Exerccio3.2. Admitaque avigarepresentadanagura3.6assentasobre umafundao elstica, o que simulado admitindo que o deslocamento transversal numa seco proporcional fora de reaco transversal viga. A constante de proporcionalidade,f,representa o coeciente de exibilidade do meio de fundao, o qual se admite ser constanteaolongodovodaviga. Determineaexpressogeral damatrizderigidezpresentenasrelaes de elasticidade (3.12) e do vector das deformaes independentes para uma cargade vo uniformementedistribudacom intensidadeq.possvel, evidentemente, relaxar cadaumadas hipteses acimaenumeradas paramodelaraplicaesespeccas, porexemplopeascurvas, peascomsecovarivel oupeas formadas pela combinaode materiais com diferentes propriedadeselsticas, como tpico em estruturas com peas mistas ao-beto. tambm possvel incluir o efeito da deformao do esforo transverso, o empenamentodassecesouainteracoentreosmodosdedeformao. Podemdadecorrergenerali-zaes das deniesparaos esforos e paraas deformaes independentes. Porregra,osintegrais presentes na denio que os relaciona, e que generaliza a denio (3.8), deixamde ter soluo analtica, sendo necessrio determinar caso a caso os valores dos coecientesda matriz de exibilidade e do vector das deformaes independentes devidas s cargas devo recorrendoa mtodos de integraonumrica,os quais so facilmenteexecutveisemcomputador.DocumentoProvisrio3.12.GeneralizaodasRelaesdeElasticidade47f ff f fM0f_1 xL_f_xL_12 f_xL x2_16 f_xL x3L_16 f_2 xL 3 x2+x3L_V0fLfL12 f(L 2 x)16 f_L 3x2L_16 f_2 L 6 x + 3x2L_fabfabf f fM0_f bxL, 0 x af a_1 xL_, a x L_fxL, 0 x af_1 +xL_, a x L012 f_x x2L_12 f_x x2L_V0_fbL, 0 x afaL, a x L1Lf12 f12 ff fabf f fN0f_f , 0 x a0 , a x Lf(L x)12 f_L x2L_12 f_L 2 x +x2L_f fabf f fT0f_f , 0 x a0 , a x Lf(L x)12 f_L x2L_12 f_L 2 x +x2L_Tabela 3.1: Distribuies de esforos em viga simplesmenteapoiada. Nota: Lx.DocumentoProvisrio48 RelaesdeElasticidadereplacemenfL2L2fabf f fifL216 E Ifa b (L+b)6 LEIfL324 EI7 fL3360 E I8 fL3360 EIjfL216 E Ifa b (L+a)6 LEIfL324 EI8 fL3360 E I7 fL3360 EIfL2L2fabf f fifL24 E If (L23 b2)6 LEI0fL224 EIf L224 EIjfL24 EIf (L23 a2)6 LEI0fL224 EIf L224 EIfL2L2fabf f fejfL2 EAfaEAfL22 EAfL23 EAfL26 E AfL2L2fabf f fjfL2 GJfaGJfL22 GJfL23 GJfL26 GJTabela3.2: Deformaes independentes devidas aforas devoemvigasimplesmenteapoiada.lllil Lhl L3 h2 l L3 hjl Lh2 lL3 hlL3 huuuejuL12 uL12 uLTabela3.3: Deformaesindependentesdevidasa variaesde temperaturaemvigasim-plesmente apoiada.DocumentoProvisrio3.12. GeneralizaodasRelaesdeElasticidade 49a aLabLabcL2L2it0 a L2 E It0 L(2 ab)6 EIt0 L(ab)6 EIjt0 a L2 E It0 L(a2 b)6 EIt0 L(cb)6 EIejt0 LEAt0 LEAt0 LEATabela3.4: Deformaesindependentesdevidasacodopr-esforoemvigasimples-mente apoiada.DocumentoProvisrioCaptulo4IndeterminaoEsttica4.1 IntroduoAoanalisarocomportamentodeumaestruturasujeitaaumadeterminadaaco, asincgnitas de natureza esttica presentes no problema so asreacesque se desenvolvemnos aparelhos de apoio da estrutura e osesforosque se instalam nos elementos resistentesque a compem. Quando a aplicao das equaes da Esttica origina o nmero de relaesnecessrio e suciente para calcular tanto as reaces de apoio como os esforos em qualquersecodaestrutura, aestruturadiz-seser isostticaouestaticamentedeterminada. Se,pelocontrrio, onmerode equaes disponveis insuciente, aestruturadiz-se serhiperesttica,ouestaticamenteindeterminada.O conceito de isostatia tradicionalmente ilustrado recorrendo a estruturasarborescen-tes, comoarepresentadanagura4.1a. Aestruturaarborescenteumapeacontnua,isto , sem libertaes internas,com uma ligaoao meio de fundaopor encastramentototal, equesecaracterizaporexistirumnicocaminho, sobreoselementosqueacom-pem, ligandoqualquerpardeseces; nenhumabarrasefechasobresi prpria. Comoseilustranagura4.1b, quandoseaplicaumacargaaumaestruturaarborescente, elatransmite-se atravs dos elementos que existem sobre o nico caminho contnuoque liga oseu ponto de aplicaocom a seco de encastramento. So nulos os esforos em todas asseces que no estejam contidosneste caminho.A estrutura arborescente interiormenteisosttica por ser possvel calcular os esforosem qualquer seco recorrendo exclusivamente s equaes da Esttica. tambmexteri-ormenteisosttica em consequncia de a ligao por encastramento ser capaz de mobilizaro nmero e o tipo de reaces necessrias e sucientes para equilibrar qualquer solicitao.Uma vez que tanto as reaces de apoio como os esforos podem ser calculados recorrendoexclusivamentesequaesdaEsttica, aestruturaarborescentediz-seser globalmenteisosttica.Ahiperestatiadeumaestruturaresultadeumexcessodeligaesentreoselementosque a compem, ou destes ao meio de fundao.Se esse excesso se manifesta a nvel das ligaes dos elementosao meio de fundao, aestruturadiz-seserexteriormentehiperesttica. oquesucedecomaestruturaarbores-cente com cada nova ligao ao exterior que se estabelea. As equaes da Esttica deixamdesersucientesparaexprimirtodasasreacesdeapoioexclusivamenteemfunodasolicitao.Como se indica na gura 4.2a, quando se aplica uma carga estrutura, ela transmite-seatravs de todas as barras que denamcaminhos que unam o seu ponto de aplicao com5152 IndeterminaoEsttica(a)Topologia. (b)Caminhodecarga.Figura 4.1: Estruturaarborescente.(a)Hiperestatiaexterior. (b)Hiperestatiainterior.Figura 4.2: Causas de hiperestatia numa estruturaarborescente.qualquer um dos pontos de fundao. Deixa portanto de existir um nico caminho ligandoa seco de aplicaoda cargaao meio de fundao.Se o excesso de ligaes se verica entreos prprios elementosestruturais, a estruturadiz-se ser interiormentehiperesttica. o que sucede com a estrutura arborescente quandose introduz um elementoadicionalque feche uma malha, como se ilustra na gura4.2b.Aofecharumamalha, passaaexistirmaisdoqueumcaminholigandoumasecodaestruturacomqualqueroutracontidanamalha. Amaneiracomosetransmitemosesforosnoselementosqueformamamalhadeixadepoderserquanticadarecorrendoexclusivamente s equaes da Esttica.Por outrolado, quandoapeanocontnua, por cadalibertaoexistente podeformular-seumanovaequaodeequilbrio: estaequaoaqueobrigaaser nulooesforocorrespondentelibertaoemcausa. Cadalibertaointroduzidacausa, pois,umareduodeumgraunahiperestatiadaestrutura. Comoseilustranagura4.3balocalizaodalibertaonoarbitrria. Seaarticulaoforcolocadaforadamalhafechada, o sistema perde a sua capacidaderesistente,transformando-se nummecanismo.DocumentoProvisrio4.2. EstruturassemLibertaes 53(a)Ligaesbemdistribudas. (b)Ligaesmaldistribudas.Figura 4.3: Efeito das libertaes internas.4.2 EstruturassemLibertaesDesigna-seporestruturafundamental umaestruturacontnua, isto,semlibertaesinternas, eemquetodasasligaesaomeiodefundaoserealizamporencastramentototal.Se Nfrepresentar o nmero de ns de fundao da estrutura, o nmero de reaces deapoio possveis dado porr =_36_Nf, (4.1)poisoencastramentopodemobilizar3reacesnocasodeestruturasplanas, solicitadasno prprioplano, e 6 reaces no caso de estruturas tridimensionais.Se se atendera que de 3 e 6 o nmerode equaes fornecidas pela Estticaem cadaum destes casos, conclui-se que ograudehiperestatiaexteriorda estrutura dado por:e=_36_(Nf 1). (4.2)Umaestruturadiz-seserexteriormenteisostticaquandoe=0ehiperestticadograue, see>0; seefornegativo, aestruturadiz-seserhipoestticadograu e.Para a estrutura representadana gura 4.4 tem-se pois:e= 3 (3 1) = +6.Nadiscussodahiperestatiainteriordeumaestruturasupem-seque, paraalmdasolicitao, todas as reaces deapoiosoconhecidas, comoseilustranagura4.4b.Admite-setambmqueasreaceseascargasaplicadasestoemequilbrio, isto, queesto esgotadas todas as equaes da Esttica.Vericou-senoestudodasestruturasarborescentes, queumaestruturacontnuain-teriormenteisostticaquandonocontmmalhas fechadas. Umamalhafechadanumaestruturaplanasolicitadanoprprioplano3vezeshiperesttica. Defactoparaabriramalhanecessriointroduzir umcorte, oqueequivalealibertar 3esforoscomoseilustra na gura 4.5. Se a malha pertencer a uma estrutura tridimensional, o corte liberta6 esforos.DocumentoProvisrio54 IndeterminaoEsttica(a)Apoios. (b)Reaces.Figura 4.4: Hiperestatia exterior de estruturas sem libertaes.NV VM MFigura 4.5: Hiperestatia de uma malhafechada.12 3(a)Malhasfechadas.12 3(b)Malhasabertas.Figura 4.6: Hiperestatia interiorde estruturas sem libertaes.Conclui-seportantoqueograudehiperestatiainterior deumaestruturacontnuadenido por,i=_36_Ci, (4.3)emqueCirepresentaonmerodemalhas fechadas queaestruturacontm, depoisdedesligadadomeiodefundao. Dagura4.6,conclui-sequeparaaestruturaemanlisese tem:i= 3 3 = +9.Um processo correntementeutilizadoparadeterminarograudehiperestatiaglobal, ,deumaestruturafundamental odeatransformaremtantasestruturasarborescentesquanto o nmerode ns de fundao.DocumentoProvisrio4.2. EstruturassemLibertaes 5512345(a)Decomposioemestruturasarborescentes.12345(b)Estruturaestaticamenteequivalente.Figura 4.7: Hiperestatia globalde estruturas sem libertaes.Comocadaestruturaarborescenteestaticamentedeterminada, separarealizarestatransformaonecessriointroduzirCcortes, istolibertar {36}Cesforos, conclui-seque: =_36_C. (4.4)Como se ilustra na gura 4.7 tem-se para o exemplo em considerao: = 3 5 = +15.Umoutroprocessodedeterminar ograudehiperestatiadeumaestruturaoqueconsiste em combinarresultados (4.2) e (4.3).Se uma estrutura sem ligaes ao exterior tem uma indeterminao estticai quandose encastram os Nfns de fundao, aumenta-se o nmero de incgnitas em tantas quantasas reaces de apoio indeterminadas, i, cando, = e +i, (4.5)ou, de acordo com as denies (4.2) e (4.3): =_36_(Ci +Nf 1). (4.6)Comparando(4.6) com (4.4) conclui-se que:C= Ci +Nf 1. (4.7)A denio (4.7) mostra que em estruturas com apenas 1 n de fundao, o nmero decortes, C, igual ao nmero de malhas fechadas,Ci. Esta relao sugere um mtodo alter-nativoparadeterminaronmerodecortes, C,semtransformaraestruturafundamentalem estruturas arborescentes,o que nem sempre fcil de realizar.O mtodo consiste simplesmente em introduzir um novo e nico n de fundao ao qualso ligados os Nfns de fundao da estrutura, os quais deixam de ser considerados comotal. O nmerode malhas fechadas que a estrutura modicadaapresenta,deneo nmerodecortes, C. Comoseilustranagura4.7b, as ligaes aonovondefundaonopodemserefectuadascomcruzamentosentreasnovasbarras, osquaisiriamintroduzir,erradamente,novas malhas fechadas.DocumentoProvisrio56 IndeterminaoEsttica(a)Prticotridimensional. (b)Grafodoprticotridimensional.Figura 4.8: Estruturas topologicamenteidnticas.Omtodoanteriormente descritomostraclaramente que ograudeindeterminaoestticadeumaestruturafundamental dependeapenasdoprocessodeligao, entresieaoexterior, das barras queaformam. Emnadadependedaformaedas dimensesdessas barras. Poroutras palavras,ao graude indeterminaoestticainteressa apenas atopologia da estrutura.Esta propriedade pode ser vantajosamente utilizada no estudo de estruturas tridimen-sionais, oumesmonocasodeestruturasplanascomcertacomplexidadetopolgica, porpermitir a substituio do modelo grco da estrutura por um outro em que se cuide ape-nasmanteraspropriedadestopolgicasdaestrutura, ografodaestrutura. Porexemplo,para o prtico tridimensional representado na gura 4.8a em nada se diminui informaosobreasuatopologia,seaestruturaforplanicada, comoseindicanagura4.8b,desdeque na nova representao topolgica da estrutura se mantenha o mesmo nmero de ns ea mesma ligao entreeles.Exerccio4.1. Verique, usando os diferentes mtodos anteriormentedescritos, se aestrutura representadana gura 4.8a teme= 18,i= 30 e = 48.4.3 EstruturascomLibertaesA cada libertao existente numa estrutura, est associada uma nova equao de equil-brio. Se a libertao for externa, isto , entre os elementos estruturais e o meio de fundao,essa equao a que obrigaa ser nulaa reacode apoio correspondente. Se a libertaoforinterna, isto entre os prprios elementos estruturais, a nova equao de equilbrio aque obriga a ser nulo o esforo libertado.Umaestruturacomlibertaespodeserreduzidaaumaestruturafundamental, blo-queando todas as libertaes existentes, internas e externas, como se ilustra na gura 4.9.Como se mostra a seguir, os graus de hiperestatia de uma estrutura com libertaes podemser facilmente determinados a partir dos graus de hiperestatia da estrutura fundamental edo nmerode libertaes que foram bloqueadas para a obter.SeumaestruturativerLe, libertaesexternaseaestruturafundamental correspon-dentefor evezes hiperestticaexteriormente, ograudehiperestatiadaestruturaemDocumentoProvisrio4.3. EstruturascomLibertaes 57(a)Estruturaoriginal.(b)Estruturafundamental.Figura 4.9: Estrutura fundamentalde uma estrutura com libertaes.anlise dado por,e= eLe,pois existemagoramenos Lereaces de apoioindeterminadas. Recorrendodeni-o (4.2), encontra-se:e=_36_Nf Le. (4.8)Podeseradoptadoumprocedimentoanlogoparadeterminarograudehiperestatiainterior da estrutura. Se uma estrutura tiver Li libertaes internas e o grau de hiperestatiainterior daestruturafundamental correspondente for denidopor (4.3) tem-se, paraaestrutura em considerao,i=_36_CiLi, (4.9)porexistiremagoramenosLiesforosindeterminados, ou, oqueequivalente, maisLiequaes de equilbriodisponveis.Para o grau de hiperestatia global,tem-se, da mesma maneira, =_36_C LeLi, (4.10)emqueCrepresentaonmerodemalhasfechadasexistentesnaestruturafundamentalcorrespondente.Aplicando as denies acima estruturarepresentadana gura 4.9a obtm-se:e=3 (4 1) 6 = +3i=3 2 4 = +2 =3 5 6 4 = +5.Oserrosquesecometemnoclculodosgrausdehiperestatiadeumaestrutura, re-sultamfrequentementedeumadecienterepresentaodasligaesdasbarrasentresiefundao. Nocasorepresentadonagura4.10a, podesurgiradvidaseasbarrasDocumentoProvisrio58 IndeterminaoEsttica(a)Representaooriginal. (b)Representaoalternativa1.(c)Representaoalternativa2. (d)Representaoalternativa3.Figura 4.10: Representao dos aparelhos de libertao.inclinadas se articulam entre si ou fundao, ou ainda se uma encastra e outra articulaa fundao.A maneira mais simples de evitar a m interpretaoda representaogrcade umaestruturaadetrabalharsobreomodelodiscretizado. Aintroduodensalimitarasbarras da estrutura,obriga a localizar as libertaes de uma maneira inequvoca, como semostra nas guras 4.10b a 4.10d.Exerccio4.2. Determineos grausde hiperestatiadas estruturasrepresentadasnasguras 4.10b a 4.10d.4.4 DeterminaodosGrausdeHiperestatiaEnquantooconceitodehiperestatiadeumaestruturanoestiverperfeitamenteassi-milado, adeterminaodosgrausdeindeterminaoestticadeumaestruturadeveserrealizadarecorrendoaraciocniosquesebaseiemexclusivamentenosignicadofsicoqueessas quantidadesrepresentam.Asubstituiodaestruturaaanalisar pelaestruturafundamental correspondenteeadecomposiodestaemestruturas arborescentes, omtodogeral mais aconselhvelparaalcanar esseobjectivo. Ultrapassadaestafase, interessadispor de mtodos quefacilitem a determinao dos graus de hiperestatia, devendo ento recorrer-se aos artifciosanteriormentedescritosparaadeniodonmerodemalhasfechadasqueaestruturaapresenta.Essemtododedeterminaodos graus dehiperestatiadeumaestruturapodesersistematizado da seguinte maneira:Determinaodograudehiperestatia1. Discretize a estrutura e determine o nmero de libertaes exterior,Le, e o de liber-taes internas,Li;2. Determine o nmero de ns de fundao, Nf, e calcule o grau de hiperestatia exteriorusando a denio(4.8);3. Bloqueie todas as libertaes e planiquea estruturasem introduzirnovas intersec-es entre as barras;DocumentoProvisrio4.5. NaturezaVectorialdosGrausdeHiperestatia 59Figura 4.11: Estrutura tridimensionalcom rtulas esfricas.4. Determine o nmero de malhas interiores fechadas, Ci, e calcule o grau de hiperestatiainteriora partir da denio(4.9);5. Liguetodos os ns de fundao a um novo n, evitandointerseces entreas barrasct