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UNIVERSIDADE FEDERAL RURAL DO SEMI-ÁRIDO CAMPUS ANGICOS CURSO DE CIÊNCIAS E TECNOLOGIA
JOÃO PAULO DE BARROS CAVALCANTE
ANÁLISE ESTÁTICA DE TRELIÇA VIA MODELAGEM NUMÉRICA
ANGICOS-RN
2011
JOÃO PAULO DE BARROS CAVALCANTE
ANÁLISE ESTÁTICA DE TRELIÇA VIA MODELAGEM NUMÉRICA
Trabalho de Conclusão de Curso apresentado a Universidade Federal Rural do Semi-Árido – UFERSA, Campus Angicos para a obtenção do título de Bacharel em Ciência e Tecnologia. Orientadora: Profª. Dra. Marcilene Vieira da Nóbrega
ANGICOS-RN
2011
Dedico este trabalho à minha família e aos meus amigos pela compreensão e incentivo durante o período de seu desenvolvimento.
AGRADECIMENTOS
Aos meus pais, João Agripino Cavalcante e a Maria Daguia Barros por todo apoio,
motivação e por tudo o que fizeram e ainda fazem por mim.
Em especial a minha orientadora e amiga Profª. Dra. Marcilene Vieira da Nóbrega,
não apenas por sua dedicação durante a realização deste trabalho, mas pelo incentivo,
paciência e por sempre transmitir confiança, desta forma deixando-me mais seguro para poder
enfrentar os momentos mais difíceis, sempre me atendendo quando solicitei. Sem este enorme
apoio com certeza a realização deste trabalho seria impossível. Guardo com grande satisfação
sua amizade e uma baita admiração.
A Joselito Medeiros de Freitas Cavalcante pela amizade e paciência que teve comigo,
pelas suas sugestões, dicas e conhecimento transferidos durante o curso.
A ÉRIKA DANTAS DE MACEDO, HELLYSON DAVID GURGEL COSTA,
MARÍLIA DE SÁ LEITÃO BENEVIDES, RENATO ALISON DA COSTA e STÊNIO
MIRANDA T. FILHO, pela grande amizade e apoio dado durante o desenvolvimento deste
trabalho, e pelos bons momentos compartilhados durante esses três anos de curso.
A Edizian Batista, Paula Cavalcante, Silvanete Severino, João Maria Macedo, Jurandi
Alves, Thais Cristina, Pedro de Lelis, Tialison Romão, Isabelly Tatiane, João Batista
Cavalcante e a “todo povo de agrícola e de mecânica”, onde todos contribuíram de forma
direta e indireta para a realização deste trabalho.
A banca examinadora deste trabalho Prof. Me. Márcio Furukava e Prof. Me. Marcus
Vinícius Sousa Rodrigues, por aceitar o convite disponibilizando do seu tempo para contribuir
com o meu trabalho.
A todos os professores da UFERSA, pela amizade e atenção em todos os momentos de
necessidade.
“Uma grande descoberta envolve a solução de
um grande problema, mas há uma semente de
descoberta na solução de qualquer problema.
Seu problema pode ser modesto; porém, se ele
desafiar sua curiosidade e fizer funcionar sua
capacidade inventiva, e caso você o resolva
sozinho, então poderá experimentar a tensão e
o prazer do triunfo da descoberta.”
George Polya
RESUMO
Treliças são estruturas compostas por membros retilíneos conectados entre si em suas extremidades. Os esforços atuantes nessas estruturas podem ser obtidos analiticamente e numericamente. A abordagem analítica está submetida a alguns fatores que irão influenciar diretamente nos resultados, onde se ressalta a geometria e as características da estrutura, podendo assim acarretar em erros e consequências para o projeto. Na análise numérica podemos destacar o Método dos Elementos Finitos (MEF) que é uma técnica que apresenta vasta área de atuação e demonstra grande versatilidade e ótimo desempenho, gerando praticidade de forma geral. Portanto, este trabalho tem como objetivo principal a análise estática através do MEF de uma treliça cuja geometria é uma adaptação da geometria da treliça que compõe a cobertura do Centro de Vivência do Campus da UFERSA - Angicos. Será aplicado para a realização da análise numérica o software ANSYS. Através das análises numéricas percebeu-se que o modelo numérico construído conseguiu reproduzir as condições reais quando se comparou os resultados obtidos analiticamente com os numéricos.
Palavras-chave: treliça, análise numérica, elementos finitos.
LISTA DE FIGURAS
Figura 1 - Estruturas Reticuladas. Pórtico (a); Treliça(b); Viga(c) ........................................ 18
Figura 2 - Estrutura Laminar (Laje pré-moldada) ................................................................. 19
Figura 3 - Exemplo de estrutura sólida (esfera de concreto). ................................................. 19
Figura 4 - Ponte modelada pelo ANSYS, em 3D .................................................................. 22
Figura 5 - Treliça modelada pelo ANSYS, em 2D ................................................................ 22
Figura 6 - Exemplo de treliça plana ...................................................................................... 23
Figura 7 - Exemplo de treliça espacial .................................................................................. 24
Figura 8 - Treliças Usuais; Pratt (a); Howe (b); Warren composta (c); Warren(d); Em k(e);
Warren com montantes (f); Em cruz (g); Warren dupla (h); Tesoura pratt (i); Tesoura Warren
(j); Shed (k); Shed polonceau (l). ......................................................................................... 24
Figura 9 - Treliça do Centro de Vivência .............................................................................. 28
Figura 10 - Detalhe da seção transversal da barra com suas dimensões. ................................ 28
Figura 11 - Elemento LINK ................................................................................................. 30
Figura 12 - Discretização do Modelo Físico ......................................................................... 30
Figura 13 - Treliça adaptada ................................................................................................. 32
Figura 14 - Reações obtidas através do modelo numérico ..................................................... 36
Figura 15 - Tensões obtidas nas barras através do modelo numérico..................................... 38
Figura 16 - Comparação entre os resultados analíticos e numéricos ...................................... 39
Figura 17 - Deformada da Treliça......................................................................................... 39
Figura 18 - Comparação entre o estado inicial e a deformada da treliça ................................ 40
LISTA DE TABELAS
Tabela 1 - Reações nos apoios da estrutura ........................................................................... 33
Tabela 2 - Esforços aos qual a treliça está submetida ............................................................ 34
LISTA DE ABREVIATURAS E SIGLAS
ANSYS – ANSYS lnc. Corporate Information
E – Módulo de elasticidade
GPa – 910 Pascal.
Kg – Quilograma
Kg/m³ – Quilograma sobre metro cúbico
kN – 10³ Newton
m – Metro
MEF – Método dos Elementos Finitos
mm – 310 Metro
N – Newton
Pa – Pascal
RN – Rio Grande do Norte
UFERSA – Universidade Federal Rural do Semi-Árido
ν – Coeficiente de Poisson
– Densidade
SUMÁRIO
1 INTRODUÇÃO ............................................................................................................... 12
2 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA .................................................................................. 14
2.1 O MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS .................................................................. 14
2.1.1 Conceitos Gerais ........................................................................................................ 14
2.1.2 Utilização dos Elementos Finitos na Engenharia ..................................................... 15
2.1.3 Modelagem computacional utilizando o Método dos elementos Finitos ................. 17
2.1.4 Método dos elementos finitos e o ANSYS ................................................................. 21
2.2 TRELIÇAS .................................................................................................................... 22
2.2.1 Análise de Treliças .................................................................................................... 26
2.2.1.1 Análise de treliças pelo Método dos Nós .................................................................. 26
2.2.1.2 Análise de treliças pelo Método das Seções .............................................................. 26
3 MATERIAL E MÉTODOS ............................................................................................ 27
3.1 CARACTERIZAÇÃO DA TRELIÇA ANALISADA .................................................... 27
3.2 CONSTRUÇÃO DO MODELO NUMÉRICO ............................................................... 29
3.2.1 Pré-processamento .................................................................................................... 29
3.2.2 Solução ....................................................................................................................... 30
3.2.3 Pós-processamento .................................................................................................... 31
4 RESULTADOS E DISCUSSÕES ................................................................................... 32
4.1 RESULTADOS ANALÍTICOS...................................................................................... 32
4.2 RESULTADOS NÚMERICOS ...................................................................................... 36
4.2.1 Reações nos apoios obtidas através do modelo numérico ........................................ 36
4.2.2 Obtenção dos esforços nas barras através do modelo numérico ............................. 37
4.2.3 Comportamento da deformada da treliça ................................................................ 39
5 CONCLUSÕES ............................................................................................................... 41
REFERÊNCIAS ................................................................................................................. 42
APÊNDICE A - Memorial de cálculo. ............................................................................... 46
APÊNDICE B - Rotina construída para execução do modelo numérico no software
ANSYS. ............................................................................................................................... 47
12
1 INTRODUÇÃO
O Método dos Elementos Finitos (MEF) é uma ferramenta numérica bastante utilizada
dentro da engenharia, pois abrange diversas áreas e estabelece benefícios aos profissionais
envolvidos dando-lhe confiabilidade nos resultados obtidos. Possui larga utilização devido à
diversidade de características e propriedades que podem ser implementadas, desde as
situações mais simples até as mais complexas, possibilitando soluções coesas.
O MEF nada mais é que uma análise matemática, onde um meio contínuo é
fragmentado em vários elementos, cujos mesmos mantém as propriedades idênticas às
originais. Esses elementos serão descritos por equações diferencias que apresentam certa
complexidade em sua resolução, se forem resolvidas analiticamente. Entretanto, a partir da
década de 60, permitiu-se solucionar estas equações através de análises computacionais, com
o uso de programas de simulações numéricas como, ABACUS, ANSYS e outros.
O emprego do MEF como ferramenta de auxílio no dimensionamento de elementos
estruturais é bastante difundido. O MEF demonstra-se altamente eficiente em relação a
problemas de engenharia, ele disponibiliza importantes conclusões a respeito de aplicações
em estruturas, como por exemplo: a influência das cargas estáticas e dinâmicas em estruturas
de concreto, que podem acarretar em fissurações e rupturas; o estudo dos limites de
resistência dos materiais e das cargas aplicada em vigas e colunas, para que não haja
deformações nem deslocamentos; em pontes e lajes, que estão submetidas a carregamentos
que podem ocasionar flexão, cisalhamento e deformações, onde aparece a necessidade de
utilizar estratégias para detectar futuros danos, também sendo estabelecidas as zonas criticas
das estruturas.
Dentre esse universo estão as treliças. Conforme BEER (1994), treliça é uma estrutura
formada unicamente por elementos retilíneos que estão conectados entre si em suas
extremidades, onde são constituídas por elementos rígidos (barras), que são projetadas com o
objetivo de suportar cargas. Estas são largamente utilizadas em projetos estruturais, pois
possibilita leveza e praticidade na execução de cobertas, por exemplo.
Dimensionar treliças significa obter os esforços atuantes em suas barras. Há diversos
métodos na literatura que podem ser utilizados para obter esses resultados. Em geral, para
arquitetar uma treliça é indispensável determinar as forças que estão agindo sobre ela, e uma
13
maneira de efetuar esta determinação é através de métodos analíticos, onde se destacam o
método dos nós e o método das seções.
No entanto, a solução analítica para obtenção dos esforços atuantes nas barras desses
elementos estruturais, dependendo das dimensões das mesmas, pode demandar bastante
tempo, podendo até provocar erros de projeto, devido ao grande número de termos
envolvidos. Daí, a possibilidade de solucionar estas estruturas através de métodos alternativos
torna-se bastante promissor. Uma dessas possibilidades é o MEF.
As treliças dispõem de algumas vantagens em comparação a outros sistemas
estruturais como; baixo peso, grande rigidez, entre outros. Entretanto, os sistemas de ligação
(nós) entre barras até então demonstra-se um fator dificultoso para o desenvolvimento e a
aplicação das treliças. O MEF assume um papel de solucionador destas dificuldades, pois ele
é proveniente de modelagens numéricas que simulam inúmeras situações da nossa realidade,
em seguida estimando o comportamento destas ligações (SAMPAIO e GONÇALVES, 2007).
De acordo com Brito (2008) a agregação entre os métodos experimentais e numéricos
constituem em uma nova área de pesquisa, onde as vantagens de cada método são usadas para
reter a descrição mais detalhada do objeto em estudo, assim, combinando estas soluções com
as soluções advindas da modelagem via MEF é possível obter a identificação de defeitos ou
danos em estruturas treliçadas.
Portanto, neste trabalho será realizada uma análise estática de uma treliça plana
utilizando o software ANSYS para obtenção de reações nos apoios e esforços nas barras. Para
investigar a confiabilidade do modelo construído será feito um comparativo entre, os
resultados obtidos pelos métodos analíticos dos esforços de cada barras da estrutura treliçada
que faz parte da cobertura do Centro de Vivência da Universidade Federal Rural do Semi-
Árido, Angicos – RN, com os resultados obtidos através da construção do modelo numérico
construído utilizando o software ANSYS.
14
2 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA
Durante está seção será apresentado de forma geral concepções sobre o Método dos
Elementos Finitos (MEF) aplicado a estruturas e as suas componentes, onde através desta
revisão bibliográfica seja possível identificar os grandes pontos de pesquisa que estão ligados
diretamente aos objetivos deste trabalho como, utilização do MEF na engenharia, os
diferentes tipos de análises de estruturas, análise numérica e estudo do comportamento de
treliças, conceitos e esclarecimentos sobre a modelagem utilizando o MEF e a implementação
do software ANSYS abordando suas inúmeras habilidades no meio estrutural.
2.1 O MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS
2.1.1 Conceitos Gerais
Técnicas como o Método dos Elementos Finitos (MEF), o Método das Diferenças
Finitas, o Método dos Elementos de Contorno, o Método dos Volumes Finitos e o Método dos
Mínimos Quadrados entre outros, passaram a fazer parte do cotidiano do engenheiro
estrutural. Segundo Lage (2009), com o aparecimento dos computadores e o seu fácil acesso,
o método de elementos finitos (MEF) sobrepôs-se aos métodos existentes permitindo
substituir o problema por um semelhante e obter soluções de geometrias complexas e para
qualquer tipo de material.
O desenvolvimento tecnológico provocou na engenharia uma grande revolução na área
estrutural de forma geral, gerando consequentemente uma série de implementações e criações
em relação à diversificação de propriedades, características e até mesmo o desenho das
estruturas que apresentam-se constantemente em nosso dia-a-dia.
Xavier (2008) esclarece que o método dos elementos finitos consiste em um método
numérico aproximado para análise de diversos fenômenos que ocorrem em meios contínuos, e
que são descritos através de equações diferenciais parciais, com determinadas condições de
contorno e possivelmente condições iniciais. A idéia principal do método dos elementos
15
finitos consiste em se dividir o domínio do problema em sub-regiões de geometria simples,
devido ao fato das sub-regiões apresentarem dimensões finitas, estas sub-regiões são
chamadas de elementos finitos.
Segundo Liu e Quek (2003), o Método dos Elementos Finitos é um método numérico
que procura uma solução aproximada da distribuição de campo variáveis no domínio do
problema, determinando vários fatores e ações aos quais o nosso objeto de estudo está
submetido, tendo como propósito garantir a viabilidade econômica e a eficácia do produto a
ser feito. Logo a obtenção de resultados de forma rápida e precisa vem sendo bastante
requerida nos tempos atuais, e o método dos elementos finitos está cada vez destacando-se,
pois sintetiza de forma abrangente uma série de funções para resolução de problemas que
constam em nosso cotidiano.
Conforme Pereira (2005) a generalização de meios de cálculo automático potentes
tem possibilitado o recurso cada vez mais freqüente ao Método dos Elementos Finitos, então,
este método numérico tornou-se o mais utilizado para adquirir soluções aproximadas em
problemas que são descritos por termos de equações com derivadas parciais.
2.1.2 Utilização dos Elementos Finitos na Engenharia
Durante um projeto é imprescindível para o engenheiro conhecer de maneira geral o
que ele está analisando, e com isso ser capaz de prever e prevenir futuros problemas que
coloque seu projeto em risco. Para tal, os mesmos usam ferramentas que permitem obter tais
resultados. Dentro da modelagem numérica é possível realizar diversos tipos de análises tais
como: análise estática; análise modal; análise harmônica, análise dinâmica e análise espectral.
A análise estática é utilizada para determinar deslocamentos, tensões dentre outros,
sob condições de cargas estáticas. Nesta abordagem, Lage (2009), durante seu estudo
estrutural de uma asa de aeronave, ressalta que em análises estáticas são desprezadas as forças
de inércia devido as massas possuírem acelerações muito pequenas.
Na análise modal, utiliza-se para calcular as freqüências naturais e modos de vibração
de uma estrutura e o seu comportamento dinâmico. De acordo com Nóbrega (2004) a análise
modal é um processo formado por técnicas experimentais e teóricas que tornam possível a
elaboração de um modelo matemático representativo do comportamento dinâmico do sistema
16
em estudo, com a intenção de determinar os seus parâmetros modais (freqüências naturais,
modos de vibração e fatores de amortecimento modal).
Nóbrega (2004) mostra que as estruturas civis vêm sendo caracterizadas pelo aumento
da sensibilidade às vibrações, e como facilitadores destes paradigmas pode-se ressaltar: o
desenvolvimento tecnológico dos materiais de construção; a adoção de técnicas e de sistemas
inovadores em tempo e forma de execução; a mudança na intensidade e na forma de atuação
de alguns carregamentos; a prática de novos partidos arquitetônicos; uso de recursos
computacionais que possibilitam análises mais complexas e refinadas e etc.
A análise harmônica é usada para determinar a resposta de uma estrutura a cargas
harmônicas variáveis no tempo, ou seja, a análise harmônica é uma vantajosa técnica para a
análise de fenômenos periódicos ou quase periódicos, fenômeno este que se repete-se
igualmente em intervalos regulares seja no tempo ou no espaço.
A análise dinâmica, usada para determinar a reposta de uma estrutura a cargas
arbitrariamente variáveis no tempo que provocam acelerações, velocidades e deslocamentos
na estrutura, criando como efeito forças de inércia. Segundo Souza (2003) as ações dinâmicas
produzem respostas dependentes do tempo de atuação do carregamento.
Análise espectral que é uma extensão da analise modal e pode ser usada para calcular
tensões e deformações devidas a um espectro de resposta ou uma contribuição de vibrações
aleatórias.
Análise de flambagem, que é usada para calcular as cargas de flambagem e determinar
a forma do modo de flambagem.
Segundo Carvalho (2010), para caracterizar o comportamento de uma estrutura
submetida a um conjunto de ações, analisa-se a relação existente entre os valores dessas ações
e os efeitos por elas provocados na estrutura, como por exemplo, tensões, deformações ou
deslocamentos.
Sampaio (2004), apresentou uma análise teórica de modelos de treliças espaciais, via
método dos elementos finitos, verificando o comportamento dos sistemas de ligação, tentando
avaliar a validade dos modelos mecânicos geralmente utilizados, considerando: variação de
inércia nas barras devido à estampagem, excentricidade das ligações, não linearidade física,
não linearidade geométrica e efeitos de contato entre as superfícies envolvidas.
Rios (2002) expôs através da utilização do método Sem Malha e do Método dos
Elementos Finitos a viabilidade de se utilizar métodos numéricos para a solução de problemas
17
como a propagação de descontinuidade em estruturas, principalmente em questões onde os
comportamentos não-lineares são regidos pela evolução do dano continuo, salientando as
vantagens e imperfeições destes métodos.
Já Leite (2000) apresentou o processo e a formulação de elementos finitos para
análises de treliças, considerando as não linearidades geométricas e físicas, onde utilizou-se
um software que é capaz de resolver estas não linearidades, baseado num processo
incremental-iterativo, no qual é verificado para cada iteração segundo um critério de
convergência adotado previamente.
Souza (2003) desenvolveu um estudo sobre o comportamento das treliças espaciais
formadas por elementos tubulares de seção circular, relevando o desempenho dos tipos de
ligação mais utilizados no Brasil, realizando uma análise teórica via elementos finitos com a
função de verificar a legalidade dos modelos numéricos comumente utilizados. O estudo
abordou de forma geral a utilização das treliças espaciais, devido a sua evolução no Brasil,
exibindo análises teóricas e experimentais de treliças formadas por três tipos de nós que
apresentam papel fundamental na engenharia estrutural nacional, que são: nó típico, nó de aço
e o nó de aço com chapa de ponteira. Utilizaram-se os resultados obtidos através destas
análises para avaliação da qualidade dos modelos teóricos que são normalmente escolhidos
pelos projetistas.
No estudo de Pinto et al. (2008) foram desenvolvidos modelos de elementos finitos de
vigas de madeira reforçadas com lâminas de carbono, expostas a flexão em três pontos. Os
modelos foram aperfeiçoados ao confrontar os resultados experimentais com os resultados
numéricos, onde foram construídos modelos de elementos finitos usando o software comercial
ANSYS das diversas vigas testadas, foram tidos em consideração vários modelos
bidimensionais e tridimensionais, onde os modelos de MEF estabeleceram-se ajustados com
êxito, sendo obtidos resultados plausíveis.
2.1.3 Modelagem computacional utilizando o Método dos elementos Finitos
Quando ocorre a necessidade de explicar um problema de análise de estrutura, a
principal questão que se coloca é a sua classificação quanto á geometria, material constituinte
e ações aplicadas. Há dois aspectos essências que devem ser levados em consideração para a
18
fase precedente a análise de estruturas: são os tipos de análises que serão consideradas e os
tipos de elementos estruturais.
Conforme Azevedo (2003), com relação aos tipos de análises tem-se:
- Análise dinâmica ou estática: ações sobre estruturas são em geral dinâmicos. É plausível
considerar que as ações são aplicadas de uma maneira muito lenta, onde se tornam
desprezíveis as forças de inércia, onde este caso a análise indica-se estática.
- Análise não linear e linear: a análise linear ocorre quando as ações externas são muito
pequenas quando comparadas com as dimensões dos componentes das estruturas, caso
contrário é uma análise não linear. Admite-se que não existe influência da alteração da
geometria da estrutura na distribuição das tensões e dos esforços, o estudo é feito com base
que não haja deformações.
Com relação aos tipos de estruturas tem-se que estas são classificadas de acordo com a
sua geometria, ou seja, reticuladas, laminares e sólidas.
As estruturas reticuladas são constituídas por barras prismáticas, cujas dimensões
transversais são muito pequenas quando comparadas com o comprimento do respectivo eixo.
Na Figura 1 pode-se observar alguns modelos de estruturas reticulares.
Figura 1 - Estruturas Reticuladas. Pórtico (a); Treliça(b); Viga(c)
Fonte: Autoria própria (2011).
19
As estruturas laminares são aquelas que têm a espessura muito inferior ás outras
dimensões. Na Figura 2 pode-se observar um exemplo de estrutura laminar.
Figura 2 - Estrutura Laminar (Laje pré-moldada)
Fonte: reformadecasas.com (2011) 1.
As estruturas sólidas são aquelas que não apresentam características para se encaixar
no grupo das laminares e reticuladas. A Figura 3 retrata um exemplo claro de estrutura sólida.
Figura 3 - Exemplo de estrutura sólida (esfera de concreto).
Fonte: marianogabrielperez.blogstop.com (2011)2.
1 REFORMADECASAS. Lajes Pré-moldadas. Disponível em: <http://www.reformadecasas.com/telhas-e-lajes/lajes-pre-moldadas/>. Acesso em: 27 nov. 2011.
2 PÉREZ, Mariano Gabriel. Objetos comunes: La esfera de concreto. Disponível em: <http://marianogabrielperez.blogspot.com/2010/11/objetos-comunes-la-esfera-de-concreto.html>. Acesso em: 13 dez. 2011.
20
Segundo Liu e Quek (2003), o processo da modelagem computacional utilizando o
MEF em geral é composto por quatro etapas.
- Modelagem da geometria: Quando ocorre a necessidade de solucionar problemas
estruturais é indispensável conhecer a geometria da estrutura, é muito complexo representar as
componentes e o formato real da nossa estrutura, logo existe a necessidade de simplificar o
nosso problema, então se utiliza uma geometria que possa ser gerenciada, no caso de
estruturas de superfícies curvas ocorre a necessidade deste gerenciamento, onde para facilitar
o desenvolvimento da modelagem existe a necessidade de aproximá-la em diversas seções
retas, e é importante observar que quanto maior o número de seções melhor será a
representação da geometria da estrutura, ocasionado melhor precisão nas soluções.
- Discretização: é realizada para discretizar a geometria da estrutura que é criada em
pequenos pedaços chamados de elementos, onde a solução para um elemento pode ser
aproximada facilmente através de simples funções, como por exemplo, polinômios. As
soluções para todos os elementos formam a solução para o domínio do problema todo.
- Propriedades do material: para diversas situações a serem simuladas existem vários grupos
de propriedades do material que são fundamentais, pois a partir destas propriedades seremos
capazes de obter diferentes informações como características, propriedades, comportamento e
etc. As propriedades do material são indispensáveis, pois é necessário especificá-las, pois irão
interferir diretamente na simulação, e quanto melhor especificadas mais preciso e confiável
será o resultado.
- Especificação de limites e condições de carga: desempenham um papel decisivo na
elaboração da simulação, introduzir as condições é geralmente feito facilmente utilizando um
sistema computacional.
21
2.1.4 Método dos elementos finitos e o ANSYS
Dentre a grande variedade de ferramentas disponíveis na análise numérica de
estruturas destacam-se os softwares, que são elaborados tendo como base o método dos
elementos finitos. Além disso, eles reduzem o tempo e o custo do processo em geral.
O ANSYS é uma ferramenta numérica capaz de solucionar com grande rapidez
problemas que em geral se tornam de extrema dificuldade de ser realizado por pessoas,
disponibilizando soluções gráficas que facilitam a visualização e entendimento do nosso
problema. Esse é corroborado por Silva e Matos (2000, apud STRAMANDINOLI, 2007),
quando os mesmos afirmam que o desenvolvimento de modelos que combinem eficiência
computacional e precisão razoável deve ser cada vez mais incentivado.
O ANSYS teve grande desenvolvimento nos últimos anos devido ao avanço
tecnológico e por sua vasta área de implementação e também por apresentar benefícios aos
seus usuários como simplicidade, agilidade, e diminuição nos custos de modo geral. E em
função deste avanço tecnológico aparece a utilização de estruturas mais complexas e dos mais
diversos tipos de materiais, surgindo assim a necessidade de encontrar modelos que melhor se
adaptem para representar o comportamento de tais estruturas.
Então, além deste modelo ser simples e fácil de ser implementado numericamente,
apresenta resultados concisos em comparação com dados experimentais. A partir do ANSYS
podem ser modeladas estruturas por elementos unidimensionais, bidimensionais e
tridimensionais de maneira que representem da melhor forma possível a nossa estrutura
garantindo bom desempenho na formulação de todo processo.
22
Figura 4 - Ponte modelada pelo ANSYS, em 3D
Fonte: Softec.com (2011) 3. Figura 5 - Treliça modelada pelo ANSYS, em 2D
Fonte: Autoria própria (2011).
2.2 TRELIÇAS
Treliça é toda estrutura formada unicamente por elementos retilíneos conectados em
juntas localizadas nas extremidades de cada elemento. Nos membros de uma treliça atuam
duas forças de mesmo módulo e direção, mas de sentido opostos. A treliça é um dos
principais tipos de estruturas utilizado na engenharia, pois oferece na maioria das vezes uma 3 SOFTEC. Soluções Integradas de Engenharia. Disponível em: <http://www.softec.com.br/civelfem.htm>. Acesso em: 13 dez. 2011.
23
solução prática e econômica principalmente no projeto de coberturas, pontes, viadutos, torres
e etc.
Conforme Soriano (2010) as treliças podem ser classificadas de acordo com a
disposição no espaço, de acordo com a formação e de acordo com o equilíbrio estático.
De acordo com a disposição no espaço têm-se as treliças planas e espaciais. Treliças
planas são aquelas onde os elementos pertencem a um único plano como mostrado na Figura
6, enquanto as treliças espaciais são aquelas que apresentam seus elementos em planos
diferentes, ou seja, suas barras estão unidas de maneira a formar uma configuração
tridimensional (FIGURA 7).
Figura 6 - Exemplo de treliça plana
Fonte: Autoria própria (2011).
24
Figura 7 - Exemplo de treliça espacial
Fonte: Autoria própria (2011).
Em função da classificação das treliças pela sua disposição no espaço podemos expor
algumas treliças planas utilizadas com mais freqüência em nosso cotidiano (FIGURA 8).
Figura 8 - Treliças Usuais; Pratt (a); Howe (b); Warren composta (c); Warren(d); Em k(e); Warren com montantes (f); Em cruz (g); Warren dupla (h); Tesoura pratt (i); Tesoura Warren (j); Shed (k); Shed polonceau (l).
Fonte: Autoria própria (2011).
25
Quanto à formação, as treliças podem ser classificadas como: treliças simples,
compostas e complexas (SORIANO, 2010; BEER, 1994 e HIBBELER, 2011).
- Treliças simples: uma treliça simples pode ser formada a partir de três barras birrotuladas
ligadas em forma de triângulo, à qual são acrescentadas duas barras ligadas pro meio de uma
rótula, e assim sucessivamente, com mais duas novas barras e uma rótula.
- Treliças compostas: toda treliça composta é formada a partir de treliças simples de maneira
que não haja deslocamento relativo entre essas treliças e o conjunto não seja outra treliça
simples.
- Treliças complexas: É toda treliça que não é simples e nem composta.
De acordo com o equilíbrio estático as treliças podem ser hipostática, isostática e
hiperestática (SUSSEKIND, 1983). Logo, com o número de barras representado por “b”, onde
“r” é o número de componentes de reações de apoio a determinar, e as equações de equilíbrio
em número igual a “2n”, sendo “n” o número total de pontos nodais, têm-se as seguintes
condições e concepções:
- Treliça Hipostática: A desigualdade (b + r < 2n) é condição suficiente para que uma treliça
seja hipostática. A sua classificação como hipostática é devido ao fato de que o número de
equações de equilíbrio é superior ao numero de incógnitas.
- Treliça Isostática: A igualdade (b + r = 2n) é uma condição necessária, mas não suficiente,
para que uma treliça seja isostática. Uma treliça é isostática quando o número de equações de
equilíbrio é igual ao número de variáveis a serem determinadas.
- Treliça Hiperestática: A desigualdade (b + r > 2n) é uma condição necessária, mas não
suficiente, para que uma treliça seja hiperestática. Uma treliça é hiperestática quando a
aplicação das equações de equilíbrio é insuficiente para a determinação das reações de apoio e
dos esforços nas barras.
26
2.2.1 Análise de Treliças
A análise de treliças é feita basicamente através de dois métodos, que são: Método dos
Nós e Método das Seções (SORIANO, 2010; BEER, 1994; HIBBELER, 2011).
2.2.1.1 Análise de treliças pelo Método dos Nós
O Método dos Nós consiste na resolução das equações de equilíbrio dos pontos nodais
de uma treliça, de modo que os esforços nodais internos fiquem equilibrados pelas forças
nodais externas. A treliça pode ser desmembrada e para cada pino e barra pode ser desenhado
um diagrama de corpo livre. Cada barra está sujeita a duas forças, uma em cada extremidade,
estas forças possuem o mesmo módulo, a mesma linha de ação e sentidos opostos.
Para que este método torne-se simples, é imprescindível escolher uma seqüência de
nós para escrever as equações de equilíbrio, de tal forma que se obtenha no máximo dois
esforços desconhecidos em cada nó, o que permitirá a resolução destas equações.
Este método torna-se bastante eficaz quando ocorre a necessidade de determinar as
forças em todas as barras da treliça. A análise é feita a partir do diagrama de cada nó que
compõe a treliça.
2.2.1.2 Análise de treliças pelo Método das Seções
Este método apóia-se no fato de que, devido à treliça está em equilíbrio, logo, cada
uma de suas partes também estão em equilíbrio. O método consiste basicamente em seccionar
a parte da treliça que se deseja conhecer, em seguida aplicam-se as equações de equilíbrio no
trecho escolhido. Deve-se repetir o procedimento até que todas as barras da treliça tenham
seus esforços determinados.
O Método das Seções é mais eficiente quando se deseja determinar forças em somente
uma barra ou em poucas barras.
27
3 MATERIAL E MÉTODOS
Este trabalho consiste de uma análise estática numérica via MEF da treliça que
compõe a cobertura do Centro de Vivência da UFERSA – Campus Angicos.
3.1 CARACTERIZAÇÃO DA TRELIÇA ANALISADA
A treliça em estudo é de aço estrutural, isotrópica, densidade ( 7850 kg/m³,
coeficiente de Poisson (ν) igual a 0.32 e o módulo de elasticidade (E) correspondente a
200 GPa (HIBBELER, 2004). A mesma compõe a cobertura do Centro de Vivência da
UFERSA – Campus Angicos. Possui 20000 mm de vão e altura máxima de 1500 mm.
O Centro de Vivência é composto por seis treliças que suportam o peso de 232 telhas
onduladas de cimento reforçado com fio sintético. Estas pesam 55 kg por unidade, exercendo
desta forma um peso total de 125.175 kN que é distribuído igualmente em dez terças e
consequentemente para as seis treliças, onde esta carga concentra-se nos pontos nodais mais
próximos das terças e vale aproximadamente 2.086 kN. No Apêndice A apresenta-se em
maiores detalhes a realização do cálculo para a obtenção das forças que estão atuando na
estrutura.
Ressalta-se que as terças que se encontram na parte central da estrutura estão bem
próximas, logo é conveniente considerar que exista apenas uma terça, mas com sua carga
dobrada. É importante salientar também que foi desprezado o peso das peças de complemento
devido apresentar uma massa relativamente pequena ao comparar com as telhas. Na Figura 9
observa-se detalhes das características geométricas da treliça analisada.
28
Figura 9 - Treliça do Centro de Vivência
Fonte: Autoria própria (2011).
A seção transversal das barras da treliça apresenta perfil em U. Na Figura 10 observa-
se detalhes da espessura (e), altura (h) e largura (d) da seção transversal.
Figura 10 - Detalhe da seção transversal da barra com suas dimensões.
Fonte: Autoria própria (2011).
29
3.2 CONSTRUÇÃO DO MODELO NUMÉRICO
A modelagem da estrutura foi constituída basicamente por três etapas: pré-
processamento, solução e pós-processamento.
3.2.1 Pré-processamento
Nesta etapa são realizados os seguintes procedimentos:
- Tipo de análise;
- Determinação do tipo do elemento;
- Determinação da seção transversal da barra;
- Determinação das propriedades do material;
- Elaboração da geometria da estrutura;
- Criação da malha de elementos finitos.
Para a análise da treliça utilizou-se o software de modelagem numérica ANSYS. Para
representar as barras que compõem a mesma foi utilizado o elemento LINK (FIGURA 11)
que é um elemento que pode ser aplicado na solução de uma grande variedade de problemas
de engenharia. Dependendo da aplicação, este poderá atuar como uma barra de treliça, um
elemento de ligação, uma mola e etc. O LINK é bidimensional, pode ser submetido à
compressão e tração na direção de seu eixo, possuindo dois graus de liberdade por nó e
translações na direção dos eixos coordenados x e y. A escolha do nosso elemento é
imprescindível para uma formulação precisa, além do LINK, dentre os principais podemos
citar o BEAM, PIPE, SOLID e SHELL.
30
Figura 11 - Elemento LINK
Fonte: Manual ANSYS (2007)
Após escolha dos elementos partiu-se para a discretização da treliça, ou seja, foi
desenvolvida a malha que melhor representa o modelo real. O modelo numérico desenvolvido
possui 81 elementos e 42 nós. Na Figura 12 pode-se observar o modelo discretizado da treliça.
Figura 12 - Discretização do Modelo Físico
Fonte: Autoria própria (2011).
3.2.2 Solução
Na etapa de Solução os sistemas de equações algébricas são montados e resolvidos de
forma que representem eficientemente o sistema físico do objeto em estudo. Esta etapa é
dividida em:
- Aplicação das condições de contorno e carregamento;
- Solução do problema.
31
3.2.3 Pós-processamento
Na etapa final, o pós-processamento, consiste na manipulação dos resultados
numéricos obtidos, quer seja em forma de listas, tabelas ou gráficos. Estes resultados podem
ser: deslocamentos nodais, deformação da geometria, freqüências naturais e modos de
vibração e outros. Está etapa é formada por:
- Deformada da treliça;
- Listagem das reações de apoio;
- Listagem e visualização das forças e tensões normais em cada barra.
32
4 RESULTADOS E DISCUSSÕES
Nesta seção serão discutidos os resultados obtidos com a análise estática da treliça.
Primeiro foram determinados os esforços nas barras através do método analítico dos nós.
Após está etapa foi realizada a etapa em que a treliça foi modelada e os resultados numéricos
obtidos comparados com os analíticos.
4.1 RESULTADOS ANALÍTICOS
Ao se tentar calcular os esforços nas barras da treliça do Centro de Vivência através do
Método dos Nós, percebeu-se que a mesma era hiperestática, de acordo com a definição de
(SUSSEKIND, 1983). Então, para prosseguir com o estudo foi necessário fazer uma
adaptação para tornar possível a obtenção dos esforços de forma simples, desta forma foi
preciso remodelar a geometria da estrutura, onde algumas barras foram retiradas.
Como abordado anteriormente, as terças que se encontram na parte central da treliça
estão bem próximas, logo é pertinente considerar que ambas estejam presentes no mesmo
lugar, desta forma a força que está atuando naquele local é o dobro. Na Figura 13 observa-se a
estrutura com sua geometria adaptada e os esforços que estão atuando sob a mesma devido ao
peso das telhas.
Figura 13 - Treliça adaptada
Fonte: Autoria própria (2011).
33
Através do método dos nós foi possível determinar os esforços atuantes em cada barra
que compõe a treliça. Foram analisados todos os nós que formam a mesma, para em seguida
determinar através das equações de equilíbrio os esforços que estão agindo nas barras. Foi
possível conhecer o comportamento de cada barra, identificando se está ocorrendo
compressão ou tração.
O primeiro parâmetro necessário para dar continuidade aos procedimentos é o calculo
das reações nos apoios da estrutura. Esta é composta por um apoio do primeiro gênero que
apresenta reações atuando no eixo vertical e um apoio do segundo gênero que é formado por
reações nos eixos vertical e horizontal.
Na Tabela 1 são especificadas as reações nos apoios obtidas através da aplicação das
equações de equilíbrio (∑Fx = 0; ∑Fy = 0 e ∑M = 0).
Tabela 1 - Reações nos apoios da treliça REAÇÕES APOIO DO PRIMEIRO
GÊNERO APOIO DO SEGUNDO
GÊNERO Horizontal - 0 kN
Vertical 10.43 kN 10.43 kN Fonte: Autoria própria (2011).
Em seguida, analisaram-se os nós da treliça sendo examinado um nó de cada vez,
seguindo uma sequência para que os mesmos não apresentassem mais variáveis do que
equações. Desta maneira obteve os esforços presentes nas barras e conclui-se se a barra está
sendo comprimida ou tracionada, como indicado na Tabela 2.
34
Tabela 2 - Esforços nas barras da treliça obtidos através do método dos nós BARRA ESFORÇO (kN) COMPORTAMENTO
DA BARRA AB 2.09 COMPRESSÃO AC 9.54 TRAÇÃO AD 12.67 COMPRESSÃO BD 0.00 — CD 0.00 — CE 9.54 TRAÇÃO DF 17.70 COMPRESSÃO DE 10.80 TRAÇÃO EF 2.09 COMPRESSÃO EG 22.61 TRAÇÃO EH 7.05 COMPRESSÃO FH 17.70 COMPRESSÃO GI 22.60 TRAÇÃO GH 0.00 — HJ 26.98 COMPRESSÃO HI 6.14 TRAÇÃO IJ 2.09 COMPRESSÃO IK 28.90 TRAÇÃO IL 3.03 COMPRESSÃO JL 26.98 COMPRESSÃO
KM 28.90 TRAÇÃO KL 0.00 — LM 2.70 TRAÇÃO LN 30.73 COMPRESSÃO MO 32.22 TRAÇÃO MP 2.56 COMPRESSÃO MN 0.00 — NP 30.73 COMPRESSÃO OP 0.00 — OQ 32.22 TRAÇÃO PQ 0.20 COMPRESSÃO PR 32.20 COMPRESSÃO QR 0.00 — QS 32.00 TRAÇÃO QT 0.20 TRAÇÃO RT 32.20 COMPRESSÃO ST 0.00 — SU 32.00 TRAÇÃO TU 0.18 COMPRESSÃO TV 31.96 COMPRESSÃO UW 32.00 TRAÇÃO UX 0.18 COMPRESSÃO UV 0.29 TRAÇÃO VX 31.96 COMPRESSÃO WX 0.00 —
35
WY 32.00 TRAÇÃO XZ 32.20 COMPRESSÃO XY 0.20 TRAÇÃO YZ 0.00 — Yb 0.20 COMPRESSÃO Ya 32.22 TRAÇÃO Zb 32.20 COMPRESSÃO ba 0.00 — bc 2.56 COMPRESSÃO bd 30,73 COMPRESSÃO ac 32.22 TRAÇÃO cd 0.00 — cf 2.70 TRAÇÃO ce 28.90 TRAÇÃO df 30.73 COMPRESSÃO fe 0.00 — fh 26.98 COMPRESSÃO fg 3.03 COMPRESSÃO eg 28.90 TRAÇÃO hg 2,09 COMPRESSÃO hj 26.98 COMPRESSÃO gj 6.14 TRAÇÃO gi 22.61 TRAÇÃO ij 0.00 — ik 22.61 TRAÇÃO jl 17.70 COMPRESSÃO jk 7.05 COMPRESSÃO
km 9.54 TRAÇÃO kl 2,09 COMPRESSÃO kn 10.80 TRAÇÃO ln 17.70 COMPRESSÃO np 0.00 — no 12.67 COMPRESSÃO nm 0.00 — mo 9.54 TRAÇÃO op 2.09 COMPRESSÃO
Fonte: Autoria própria (2011).
36
4.2 RESULTADOS NÚMERICOS
4.2.1 Reações nos apoios obtidas através do modelo numérico
Através do modelo numérico que apresenta-se no Apêndice B foi possível obter as
reações nos apoios aplicando análise estática via ANSYS. Na Figura 14 observam-se os
valores obtidos numericamente. Pode-se observar que os mesmo estão de acordo com os
obtidos analiticamente (TABELA 1) evidenciando que o modelo numérico conseguiu
reproduzir o modelo físico.
Figura 14 - Reações obtidas através do modelo numérico
Fonte: Autoria própria (2011).
Outro fato observado na Figura 14 é com relação ao valor da reação no apoio do
segundo gênero, na direção x. Percebe-se que a mesma não é exatamente igual a zero. Na
análise de esforços transversais, geralmente se desconsidera as tensões provocadas por
37
esforços axiais, não pelo fato de estas serem zero e sim por apresentarem valores bem
menores em relação às tensões transversais.
4.2.2 Obtenção dos esforços nas barras através do modelo numérico
Com o modelo numérico da treliça foi possível obter também os esforços nas barras. O
ANSYS forneceu as tensões que estão atuando nas barras (FIGURA 15), logo, para
determinar os esforços, basta realizar o produto da tensão com a área da seção transversal,
seguindo a mesma evidência dos resultados obtidos com as reações nos apoios, percebe-se
com os resultados obtidos pelo modelo que foi possível reproduzir bem a situação real, sendo,
portanto está ferramenta muito eficaz na resolução de treliças com grandes quantidades de
barras.
38
Figura 15 - Tensões obtidas nas barras através do modelo numérico
Fonte: Autoria própria (2011).
Com o objetivo de estabelecer uma comparação simples e clara entre os resultados
obtidos analiticamente (Tabela 2) e numericamente (Figura 15), é esboçado graficamente na
figura 16 um fragmento dos valores obtidos. Na mesma percebe-se a semelhança entre os
valores obtidos nas duas situações, onde os resultados são tão próximos que não é possível
visualizar a diferença de valores, ou seja, as retas estão se sobrepondo devido à alta eficiência
do modelo em reproduzir a situação.
39
Figura 16 - Comparação entre os resultados analíticos e numéricos
Fonte: Autoria própria (2011).
4.2.3 Comportamento da deformada da treliça
Foi possível também através do modelo obter o comportamento da deformada da
treliça. Este comportamento ocorreu em função das cargas aplicadas e consequentemente dos
esforços nas barras. Na Figura 17 é verificada essa deformada, com detalhe para o esforço
máximo de compressão (região azul) e esforço máximo de tração (região vermelha).
Figura 17- Deformada da Treliça
Fonte: Autoria própria (2011).
-20
-10
0
10
20
30
AB AC AD BD CD CE DF DE EF EG EH FH GI GH
ESFORÇOS - MÉTODO DOS NÓS ESFORÇOS - ANSYS
40
Através da Figura 18 é possível visualizar e comparar o estado inicial da treliça com o seu comportamento depois de submetida ao peso da cobertura do centro de vivência.
Figura 18 - Comparação entre o estado inicial e a deformada da treliça
Fonte: Autoria própria (2011).
41
5 CONCLUSÕES
A treliça é um elemento estrutural que dispõem de grande versatilidade em relação a
sua forma geométrica, logo, tornado-se desta forma imprescindível para a construção civil.
Este trabalho demonstrou de forma clara e evidente as principais vantagens das treliças que
nos cercam no dia-a-dia, então foi esboçado de maneira simples como obter os esforços que
estão atuando na estrutura através de métodos analíticos e numéricos que já estão
consolidados no meio científico, onde de maneira análoga chegamos à conclusão que treliças
são sistemas estruturais que apresentam elevada praticidade e desempenho.
Neste trabalho foi realizada uma análise estática de uma treliça plana isostática através
do software ANSYS. Após obtenção dos resultados numéricos, para verificar a confiabilidade
do modelo numérico via método dos elementos finitos desenvolvido, foi feito um
comparativo entre os resultados obtidos através do método analítico dos nós na obtenção das
reações nos apoios, esforços nas barras da estrutura treliçada. Partindo dessa assertiva e dos
resultados obtidos com a modelagem da treliça, conclui-se que:
O modelo desenvolvido apresentou confiabilidade quando se compara seus resultados
com os analíticos;
As reações nos apoios obtidas analiticamente foram compatíveis às obtidas
numericamente;
Os esforços nas barras obtidos numericamente, também foram semelhantes aos
obtidos analiticamente;
Em suma, pode-se afirmar que a modelagem numérica é uma ferramenta bastante
aplicável quando se trata de obtenção de esforços em estruturas mais complexas.
42
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46
APÊNDICE A - Memorial de cálculo.
A seguir é exposto o memorial de cálculo realizado para obtenção das cargas que estão
atuando nas treliças situadas no centro de vivência da UFERSA.
O centro de vivência é composto por 6 treliças, 10 terças e 232 telhas.
Número de treliças (T) = 6
Número de telhas (n) = 232
Peso de uma telha (P) = 55 kg
O peso total (PT) que as treliças estão suportando é igual ao produto entre o número de telhas
pelo peso de uma telha.
PT = n*P → PT= 232*55 → PT= 12760 Kg
Logo, a força total (FT) que as treliças estão submetidas é equivalente ao produto entre a
gravidade e o peso total.
Gravidade (g) =9,81m/s²
FT = g*PT → FT= 9,81*12760 → FT= 125,175 kN
Para obter as forças (F) que estão agindo em cada treliça basta realizar a divisão entre a força
total pelo número de treliças.
F= FT/T → F= 125,175/6 → F= 20,86 kN
A força de 20,86 kN é distribuída igualmente para as 10 terças, assim, a treliça estará
submetida a cargas concentradas que estarão atuando nos pontos nodais mais próximos das
terças. Logo, para obter a carga concentrada (Fc) basta realizar a divisão entre a força que está
agindo em cada treliças pelo número de terças.
Fc= F/10 → Fc= 20,86/10 → Fc=2,086 kN
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APÊNDICE B - Rotina construída para execução do modelo numérico no software ANSYS.
!======================================================== !UNIVERSIDADE FEDERAL RURAL DO SEMI-ÁRIDO !BACHARELADO EM CIÊNCIA E TECNOLOGIA !ALUNO: JOÃO PAULO DE BARROS CAVALCANTE !ORIENTADORA: PROFª. DRA. MARCILENE VIEIRA DA NÓBREGA !======================================================== !ANÁLISE ESTÁTICA DE TRELIÇA VIA MODELAGEM NUMÉRICA !======================================================== ! /BATCH ! /COM,ANSYS RELEASE 12.0.1 UP20090224 02:32:55 10/20/2011 !* /PREP7 !======================================================== ! DEFINIÇÃO DA GEOMETRIA !======================================================== ! /PREP7 ! preprocessor phase ! ! define parameters (mm) ! !====================== define keypoints ======================= ! K,1,0,0,0, K,2,0,0.8,0, K,3,1,0,0, k,4,1,0.87, k,5,2,0,0, k,6,2,0.94,0, k,7,3,0,0, k,8,3,1.01,0, k,9,4,0,0, k,10,4,1.08,0 k,11,5,0,0, k,12,5,1.15,0 k,13,6,0,0, k,14,6,1.22,0, k,15,7,0,0, k,16,7,1.29,0, k,17,8,0,0, k,18,8,1.36,0, k,19,9,0,0, k,20,9,1.43,0, k,21,10,0,0, k,22,10,1.5,0,
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k,23,11,0,0, k,24,11,1.43,0, k,25,12,0,0, k,26,12,1.36,0 k,27,13,0,0, k,28,13,1.29,0, k,29,14,0,0, k,30,14,1.22,0, k,31,15,0,0, k,32,15,1.15,0, k,33,16,0,0, k,34,16,1.08,0, k,35,17,0,0, k,36,17,1.01,0, k,37,18,0,0, k,38,18,0.94,0, k,39,19,0,0, k,40,19,0.87,0, k,41,20,0,0, k,42,20,0.8,0, ! !======================= define lines ========================= L, 1, 2 L, 1, 3 L, 3, 4 L, 4, 2 L, 3, 5 L, 5, 6 L, 6, 4 L, 5, 7 L, 7, 8 L, 8, 6 L, 7, 9 L, 9, 10 L, 10, 8 L, 9, 11 L, 11, 12 L, 12, 10 L, 11, 13 L, 13, 14 L, 14, 12 L, 13, 15 L, 15, 16 L, 16, 14 L, 15, 17 L, 17, 18 L, 18, 16 L, 17, 19 L, 19, 20
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L, 20, 18 L, 19, 21 L, 21, 22 L, 22, 20 L, 21, 23 L, 23, 24 L, 24, 22 L, 23, 25 L, 25, 26 L, 26, 24 L, 25, 27 L, 27, 28 L, 28, 26 L, 27, 29 L, 29, 30 L, 30, 28 L, 29, 31 L, 31, 32 L, 32, 30 L, 31, 33 L, 33, 34 L, 34, 32 L, 33, 35 L, 35, 36 L, 36, 34 L, 35, 37 L, 37, 38 L, 38, 36 L, 37, 39 L, 39, 40 L, 40, 38 L, 41, 42 L, 42, 40 L, 39, 41 L, 1, 4 L, 4, 5 L, 5, 8 L, 8, 9 L, 9, 12 L, 12, 13 L, 13, 15 L, 13, 16 L, 16, 17 L, 17, 20 L, 20, 21 L, 21, 24 L, 24, 25 L, 25, 28 L, 28, 29
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L, 29, 32 L, 32, 33 L, 33, 36 L, 36, 37 L, 37, 40 L, 40, 41 ! !======================= element definition ==================== ! ET,1,LINK1 ! element type #1; spring element R,1,700 ! real constant #1; Xsect area: 700 mm^2 MP,EX,1,200e9 ! material property #1; Young's modulus: 200 GPa LESIZE,ALL, , ,1,1,1 ! specify divisions on unmeshed lines LMESH,all ! mesh all lines ! FINISH ! finish pre-processor ! /SOLU ! enter solution phase ! ! apply some constraints DK,1,ALL,0 ! define a DOF constraint at a keypoint DK,41,UY,0 ! !======================== apply loads ======================== ! FK,2,FY,-2086 ! define a force load to a keypoint FK,6,FY,-2086 FK,10,FY,-2086 FK,16,FY,-2086 FK,22,FY,-4172 FK,28,FY,-2086 FK,34,FY,-2086 FK,38,FY,-2086 FK,42,FY,-2086 ! SOLVE ! solve the resulting system of equations FINISH ! finish solution /POST1 PRRSOL,F ! List Reaction Forces PLDISP,2 ! Plot Deformed shape PLNSOL,U,SUM,0,1 ! Contour Plot of deflection ETABLE,SAXL,LS, 1 ! Axial Stress PRETAB,SAXL ! List Element Table PLETAB,SAXL,NOAV ! Plot Axial Stress !======================================================== ! FIM !========================================================
