Analise Estrutural de Lajes Maciças de Concreto Armado em Edificios

UNIVERSIDADE PRESBITERIANA MACKENZIE

ESCOLA DE ENGENHARIA

ENGENHARIA CIVIL

DAVI SIMONIAN

ANLISE ESTRUTURAL DE LAJES DE CONCRETO ARMADO EM EDIFCIOS

So Paulo 2009

DAVI SIMONIAN

ANLISE ESTRUTURAL DE LAJES DE CONCRETO ARMADO EM EDIFCIOS

Trabalho de Graduao Interdisciplinar apresentado ao curso de Engenharia Civil da Escola de Engenharia da Universidade Presbiteriana Mackenzie, como requisito parcial obteno do ttulo de Engenheiro.

ORIENTADOR: PROF: DR. ALFONSO PAPPALARDO JR.

So Paulo 2009

meus pais e professores, agradeo pelo apoio e dedicao.

AGRADECIMENTOS

Deus, por me mostrar o caminho a ser seguido todos os dias.

Ao Prof Alfonso Pappalardo Jr. , pela orientao durante a realizao deste trabalho.

Ao Corpo Docente da Escola de Engenharia Mackenzie pelo conhecimento e orientaes no

decorrer do curso.

Ao Pedro Hagop Simonian, querido irmo, que sempre demonstrou interesse e apoio

realizao deste trabalho.

Ao Leandro Almeida e ao Robert Nissin Behar, grandes amigos, pelos comentrios e

sugestes apontadas ao decorrer do trabalho.

RESUMO

Este trabalho apresenta um estudo comparativo de dois modelos estruturais de lajes macias

de concreto armado em edifcios. Diversos modelos matemticos para o estudo do

comportamento flexo das lajes tm sido propostos ao longo do tempo. Esses modelos so

utilizados para analisar os esforos internos e deslocamentos, devido s formas, condies de

contorno e de carregamentos impostos sobre as lajes. O modelo simplificado utilizando as

tabelas de Czerny trata de lajes isoladas, desconsiderando a flexibilidade das vigas que lhe

servem de apoio. Essa simplificao pode levar a resultados imprecisos, dependendo da forma

do pavimento que se queira analisar. Com o avano dos computadores, softwares cada vez

mais potentes de anlise estrutural vm sendo desenvolvidos, utilizando modelos que

permitem um estudo global mais preciso da estrutura. Esses modelos apresentam clculos

complexos facilmente solucionados pelos computadores. No trabalho so apresentados dois

modelos estruturais para a anlise elstica linear das lajes macias sujeitas a um carregamento

transversal ao plano da laje, em situaes especficas. Os modelos utilizados so o

simplificado das tabelas de Czerny e o Mtodo dos Elementos Finitos. So comparados os

resultados dos deslocamentos e dos esforos internos obtidos pelos dois modelos, mostrando

as vantagens e limitaes de cada um dos modelos.

Palavras-chave: Concreto armado. Anlise estrutural. Modelos estruturais. Anlise elstica

linear. Lajes.

ABSTRACT

This work presents a comparative study of two structural models of reinforced concrete slabs

used in buildings. Several mathematical models which study the behavior of the bending slabs

have been proposed through time. These models are used to analyse the solicitation and

displacements due to geometry, boundary conditions and loads imposed on the slab. The

simplified model using the Czerny tables refers to isolated slabs, disregarding the flexibility

of the support beams. This simplification can lead to inaccurate results, depending on the

shape of the surface to be analyzed. Due to computers technology development, more

efficient engineering structural analysis softwares have been developed whose models allow a more accurate global study of the structures. These models present complex calculations

easily solved by computers. At work two structural models for analysis of linear elastic slabs

exposed to transversal loading in specific situations are presented . The models used are the

simplified ones from the Czerny tables and the Finite Element Method. The results of the

displacement and the solicitation made by the two models are compared, showing the

advantages and limitations of each model.

Keywords: Reinforced concrete. Structural analysis. Structural models linear. Elastic analysis.

Slabs.

LISTA DE ILUSTRAES

Diagrama 1 Grficos de tenso x deformao de materiais lineares e no lineares ................ 17

Esquema 1 Deflexo em placas ................ .................................................................... 18

Esquema 2 Vo livre e vo terico das lajes................................................................. 23

Esquema 3 Vos lx e ly .................................................................................................. 24

Esquema 4 Representao estrutural da laje de 4,20 X 3,00 m....................................... 29

Esquema 5 Momentos fletores da laje de 4,20 x 3,00 m................................................ 29

Esquema 6 Malha de elementos finitos da laje de 4,20 x 3,00 m................................... 30

Diagrama 2 Momentos fletores em (x) pelo MEF da laje de 4,20 x 3,00 m................... 31

Diagrama 3 Momentos fletores em (y) pelo MEF da laje de 4,20 x 3,00 m................... 31

Diagrama 4 Momentos fletores em (x) pelo MEF da laje de 4,20 x 3,00 m apoiada

sobre vigas...................................................................................................

32

Diagrama 5 Momentos fletores em (y) pelo MEF da laje de 4,20 x 3,00 m apoiada

sobre vigas..................................................................................................

33

Esquema 7 Apoios rgidos e articulados produzindo rotao........................................ 34

Esquema 8 Estrutura do pavimento de quatro lajes de 4,50 m...................................... 35

Esquema 9 Momentos Fletores do pavimento obtidos pelas Tabelas de Czerny.......... 36

Esquema 10 Malha de elementos finitos do pavimento................................................... 36

Diagrama 6 Momentos fletores das lajes do pavimento pelo MEF................................ 37

Diagrama 7 Momentos fletores das lajes do pavimento pelo MEF apoiadas sobre

vigas............................................................................................................ 38

Esquema 11 Comparao de apoios rgidos e articulados............................................... 39

Esquema 12 Esquema estrutural da laje com influncia dos apoios................................ 40

Esquema 13 Momentos Fletores da laje atravs da tabela de Czerny.............................. 41

Esquema 14 Discretizao da malha de elementos finitos da laje................................... 41

Diagrama 8 Momentos fletores em (x) pelo MEF da laje de 10,00 x 6,00 m................. 42

Diagrama 9 Momentos fletores em (y) pelo MEF da laje de 10,00 x 6,00 m................. 42

Diagrama 10 Momentos fletores em (x) pelo MEF da laje de 10,00 x 6,00 m apoiada

sob vigas...................................................................................................... 43

Diagrama 11 Momentos fletores em (y) pelo MEF da laje de 10,00 x 6,00 m apoiada

sob vigas....................................................................................................... 44

Esquema 15 Deformaes da laje sob apoios articulados e flexveis.............................. 45

LISTA DE TABELAS

Tabela 1 Comparao dos momentos fletores pelos diferentes modelos estruturais da laje

de 4,20 x 3,00 m...................................................................................................

33

Tabela 2 Comparao dos deslocamentos mximos da laje de 4,20 x 3,00m..................... 34

Tabela 3 Comparao dos momentos fletores pelos diferentes modelos estruturais das

quatro lajes contnuas...........................................................................................

38

Tabela 4 Comparao dos deslocamentos mximos das quatro lajes contnuas................. 39

Tabela 5 Comparao dos momentos fletores pelos diferentes modelos estruturais da laje

de 10,00 x 6,00 m.................................................................................................

44

Tabela 6 Comparao dos deslocamentos mximos pelos trs mtodos da laje de 10,00 x

6,00 m.................................................................................................................... 45

SUMRIO

1 INTRODUO ......................................................................................................... 10

1.1 OBJETIVOS ............................................................................................................... 11

1.1.1 Objetivo geral ............................................................................................................ 11

1.1.2 Objetivos especfico ................................................................................................... 11

1.2 JUSTIFICATIVA ........................................................................................................ 11

1.3 METODOLOGIA ....................................................................................................... 12

1.4 ESTRUTURA DO TRABALHO ................................................................................ 13

2 REVISO DA LITERATURA ................................................................................ 14

3 A ANLISE ESTRUTURAL ................................................................................... 16

3.1 ANLISE ELASTICA LINEAR ................................................................................ 16

3.2 DEFINIES DE LAJES........................................................................................... 18

3.3 INTRODUO A TEORIA DAS PLACAS.............................................................. 18

3.4 AES......................................................................................................................... 20

3.5 CONDIES DE APOIO DAS LAJES...................................................................... 20

3.5.1 Bordos simplesmente apoiados................................................................................. 21

3.5.2 Bordos engastados...................................................................................................... 21

3.5.3 Bordos livres............................................................................................................... 21

3.6 CLCULO DOS ESFOROS E FLECHAS.............................................................. 21

4 MODELOS ESTRUTURAIS PROPOSTOS.......................................................... 23

4.1 MODELO SIMPLIFICADO DAS TABELAS DE CZERNY.................................... 23

4.1.1 Vo terico e livre das lajes....................................................................................... 23

4.1.2 Classificao das lajes................................................................................................ 24

4.1.2.1 Lajes armadas em uma direo.................................................................................... 24

4.1.2.1 Lajes armadas em duas direes................................................................................. 25

4.1.3 Compatibilizao dos momentos fletores................................................................ 25

4.1.4 Clculo das flechas..................................................................................................... 26

4.2 MTODO DOS ELEMENTOS FINITOS.................................................................. 26

5 DISCRETIZAO DOS MODELOS................................................................... 28

5.1 MODELAGEM DA LAJE RETANGULAR 4,20 x 3,00 M....................................... 28

5.1.1 Obteno dos esforos atravs das tabelas de Czerny............................................ 29

5.1.2 Obteno dos esforos atravs do MEF com apoios rgidos.................................. 30

5.1.3 Obteno dos esforos atravs do MEF com vigas flexveis................................... 32

5.2 MODELAGEM DO PAVIMENTO COM QUATRO LAJES QUADRADAS.......... 34




5.3 MODELAGEM DA LAJE RETANGULAR COM INFLUNCIA DOS APOIOS... 39




6 CONSIDERAES FINAIS.................................................................................... 46

REFERNCIAS.......................................................................................................... 48

ANEXOS ..................................................................................................................... 50

10

1 INTRODUO

O principal objetivo da anlise estrutural prever o comportamento real das

estruturas. possvel obter os esforos internos, tenses, deslocamentos e deformaes

gerados pelas aes atuantes na estrutura. Deve ser representada por um modelo estrutural que

apresente, da maneira mais adequada possvel, o comportamento real da estrutura.

As estruturas comuns de um edifcio podem ser tratadas como sendo um

conjunto de elementos estruturais bsicos. So classificadas de acordo com sua forma e seu

comportamento estrutural, tais como as lajes, vigas e pilares.

As lajes dos edifcios de concreto armado so representadas estruturalmente

por placas, pois apresentam comportamentos semelhantes. A caracterstica principal das

placas possuir uma superfcie plana onde atuam aes normais ao seu plano mdio. A

Teoria de Kirchhoff para placas delgadas descreve satisfatoriamente o comportamento das

lajes.

Para situao de projeto estrutural, pode-se admitir o comportamento do

concreto armado, de acordo com a NBR 6118 (2003), como sendo elstico-linear. Essa

anlise linear fornece resultados para a verificao da estrutura no Estado Limite ltimo

(ELU). Os modelos lineares estudados neste trabalho so o da tabelas de Czerny e o do

Mtodo dos Elementos Finitos.

Para a anlise das lajes em concreto armado, faz-se necessrio escolher um

modelo estrutural que represente o comportamento real da estrutura. A escolha do modelo

estrutural mais apropriado depende das formas do pavimento a ser modelado e de como so

considerados os carregamentos sobre as lajes.

Lajes com formas estruturais mais simples podem ser calculadas por modelos

simplificados. Esses modelos consideram os painis de lajes de forma independente das vigas

que lhe servem de apoio, desconsiderando sua flexibilidade e sua rigidez a toro. A

continuidade entre os painis tratada de forma simplificada, como se no houvesse interao

entre eles. Essas simplificaes podem levar a resultados imprecisos.

Formas estruturais de lajes mais complexas podem ser analisadas por outros

modelos que consideram o comportamento global da estrutura. Esses modelos apresentam

clculos matemticos complexos, com equaes diferenciais e clculos matriciais. Com o

avano dos computadores, nas ultimas dcadas, diversos softwares estruturais que utilizam

esses modelos vm sido desenvolvidos para facilitar esses clculos.

11

O Mtodo dos Elementos Finitos um modelo que considera o comportamento

global da estrutura. Ele consiste em dividir o sistema estrutural estudado em um nmero finito

de elementos com propriedades e formas geomtricas pr-estabelecidas. A resoluo analtica

para obteno dos esforos internos e deslocamentos complexa, envolvendo equaes

diferenciais e clculos matriciais.

A flexibilidade dos apoios e a descontinuidade entre os painis de lajes,

desconsiderada nos processos simplificados, podem levar a resultados imprecisos em alguns

pavimentos. Portanto, a anlise estrutural inclui a escolha do modelo mais apropriado para a

determinao dos esforos internos e deslocamentos da estrutura.

1.1 OBJETIVO

1.1.1 Objetivo geral

Estudar e analisar o comportamento estrutural de lajes macias de concreto

armado em edifcios pelos modelos de elementos finitos e processo simplificado segundo as

tabelas de Czerny. Confrontar os resultados obtidos e apresentar as vantagens e limitaes de

cada modelo

1.1.2 Objetivo especfico

Determinar os deslocamentos e esforos internos de alguns casos especficos

de lajes macias de concreto armado, variando sua forma pelos dois modelos apresentados.

1.2 JUSTIFICATIVA

Este trabalho ser desenvolvido a partir da pesquisa e anlise de referncias

disponveis, que abrangem a teoria clssica da elasticidade, a teoria das placas, o mtodo dos

elementos finitos e a teoria do concreto armado. Alm do embasamento terico com base nas

referncias, sero efetuadas simulaes que consistem em demonstrar o comportamento das

lajes e a influncia da flexibilidade das vigas sob as lajes.

Durante anos, os modelos estruturais propostos para o estudo de lajes de

concreto armado em edifcios eram feitos de forma simplificada. Esses modelos

desconsideram a continuidade entre os painis de lajes e a flexibilidade das vigas. De acordo

12

com Banki e Coelho (2002), os resultados obtidos por esses modelos, apresentam em alguns

casos, grandes diferenas em relao ao comportamento real da estrutura.

Duarte (1998) afirma que diversos modelos de anlise elstica de lajes tm

sido estudados ao longo dos anos. Esses modelos buscam resultados mais prximos da

realidade, considerando a interao das lajes com os demais elementos estruturais, permitindo

assim uma anlise global da estrutura.

Os modelos estruturais, que permitem uma anlise global da estrutura,

apresentam resoluo matemtica complexa incluindo equaes diferenciais, clculos

matriciais e um grande volume de equaes simultneas de acordo com Silva (2002). Com o

avano rpido da informtica, e o grande desenvolvimento de softwares estruturais, foi

possvel obter a soluo desses modelos, atravs dos computadores, de maneira rpida e

correta. O Mtodo dos Elementos Finitos pode ser modelado facilmente com o auxlio desses

softwares computacionais.

A escolha por modelos que consideram a anlise global da estrutura,

considerando a flexibilidade das vigas, proporcionam resultados de esforos internos e

deslocamentos mais precisos. Portanto, torna-se fundamental para o projetista estrutural a

escolha correta do modelo estrutural adotado para representar o comportamento real da

estrutura.

1.3 METODOLOGIA

Para o desenvolver do trabalho, foi estudado pesquisas no campo terico dos

estudos dos modelos estruturais de lajes de concreto armado em edifcios. Estas pesquisas

serviram como base para a definio dos conceitos indispensveis para a anlise das lajes

macias de pavimentos de concreto armado em edifcios. A teoria clssica de Kirchhoff para

placas delgadas permite o estudo das placas. So aplicados alguns modelos de anlise

estrutural com o objetivo de determinar os esforos internos e os deslocamentos por cada um

deles e compar-los.

Foi admitido o comportamento elstico-linear para o concreto armado. So

apresentadas as condies de uso para esse comportamento. Os modelos estudados, que

consideram o concreto um material elstico linear, so os Mtodos dos Elementos Finitos e o

da tabela de Czerny.

A pesquisa prtica composta pela determinao e anlise dos esforos

internos e deslocamentos de lajes macias de concreto armado em diversas situaes,

13

variando as formas e condies de apoio. Para o clculo simplificado das tabelas de Czerny, o

processo de clculo foi analtico. Para a modelagem do pavimento atravs do mtodo dos

elementos finitos, foi utilizado o software SAP2000, desenvolvido pela empresa californiana

CSI computer and structures, em regime elstico com os parmetros recomendados pela NBR

6118 (2003). Os resultados obtidos pelos diferentes modelos so confrontados entre si.

Assim, os processos simplificados, por considerarem as lajes isoladas, vm

sendo substitudos por modelos que permitem uma anlise global da estrutura. No entanto, o

Mtodo dos Elementos Finitos merece ateno especial, tanto na influncia dos parmetros de

entrada quanto na discretizao das malhas que simularo o comportamento real da estrutura.

1.4 ESTRUTURA DO TRABALHO

O captulo 1 apresenta a introduo. Ela composta pelos seguintes itens:

Texto de conceituao e caracterizao do tema; Objetivos; Justificativa; e Metodologia.

O captulo 2 apresenta um estudo terico sobre a anlise estrutural de lajes de

concreto armado em edifcios. apresentada uma reviso da literatura sobre as lajes,

apresentado os diversos estudos j realizados sobre o tema.

O captulo 3 apresenta conceitos de anlise estrutural, com definies de

anlise elstica linear, lajes, condies de contorno, clculo dos esforos e deslocamentos.

O captulo 4 apresenta os dois modelos de anlise de lajes de concreto armado

de pavimentos de edifcios, sendo eles o Mtodo dos Elementos Finitos e as tabelas de

Czerny.

O captulo 5 mostra o estudo comparativo de trs exemplos de lajes ou

pavimentos, sendo que a obteno dos esforos feita pelos dois modelos, considerando os

apoios como fixos e flexveis.

O captulo 6 contm a concluso deste trabalho.

14

2 REVISO DA LITERATURA

O estudo das lajes teve incio com a Teoria Clssica das Placas Finas, de

acordo com Castro (2007) e foi desenvolvida por Lagrange em 1811 na qual so consideradas

vlidas as chamadas hipteses de Kirchhoff. A equao das placas elsticas s foi

estabelecida em 1823, aps a contribuio de vrios estudiosos como Navier, Lagrange e

Poisson.

Lajes so elementos planos, com duas dimenses muito maiores que sua a

espessura. De acordo com Pinheiro, Muzardo e Santos (2003) elas tm a funo de receber os

carregamentos atuantes no andar e transfer-los aos apoios.

Dentro do projeto estrutural de edifcios, Arajo (2008) afirma que uma das

tarefas mais complexas a determinao dos esforos solicitantes nos pisos de concreto

armado, formado por vigas e lajes. Para obter esses esforos, diversos modelos elsticos de

anlise estrutural foram desenvolvidos ao longo do tempo. De acordo com Fontes (2005), o

comportamento elstico est associado tendncia do material voltar elasticamente

configurao indeformada aps ter sofrido deformaes decorrentes de aes externas.

No estudo de Pinheiro, Muzardo e Santos (2003) o modelo estudado o

simplificado utilizando as tabelas de Czerny. Esse modelo no considera a flexibilidade nos

apoios e nem a continuao entre as lajes, tratando a estrutura de modo isolado.

Segundo Silva, Figueiredo Filho e Carvalho (2003), os modelos que

consideram a estrutura de maneira isolada tm sido substitudos por modelos mais

sofisticados. Com eles possvel desenvolver uma anlise global da estrutura, obtendo

esforos internos e deslocamentos mais precisos.

O Mtodo dos Elementos Finitos surgiu na dcada de 1960, na engenharia

aeroespacial como poderosa ferramenta numrica para a soluo de problemas matemticos

da Engenharia e da Fsica. Ele possibilita a soluo de equaes diferencias e sua abrangncia

bastante ampla, cobrindo desde a anlise de vibrao simples de uma estrutura at os

geradores nucleares, passando por diversas reas. Castro (2007) apresenta os conceitos da

aplicao do Mtodo dos Elementos Finitos na teoria das placas finas para se determinar os

esforos e deslocamentos da estrutura analisada.

Diversos estudos do comportamento estrutural das lajes de concreto armado

em edifcios abordando esses modelos foram desenvolvidos. Entre eles, destacam-se os de

Silva (2002), Duarte (1998) e Banki e Coelho (2002). Esses trabalhos mostram a importncia

15

de uma correta modelagem do sistema e a escolha apropriada do modelo para cada caso de

laje, obtendo assim resultados muito prximos da realidade.

A comparao entre os modelos estruturais apresentados tambm foi objeto de

estudo de Souza (2003). Para lajes com formas mais complexas chegou-se a concluso que os

modelos de anlise global apresentaram resultados mais satisfatrios e os modelos

simplificados, resultados discrepantes. Vale lembrar, de acordo com Hennrichs (2003), que a

preciso dos resultados obtidos pelo Mtodo dos Elementos Finitos, dependem no apenas da

formulao, mas tambm do tipo da malha escolhida para a modelagem.

Aps escolher o modelo para representar o comportamento real da estrutura,

obtm-se os esforos internos para o dimensionamento da estrutura. O estudo de Souza (2003)

apresenta uma anlise comparativa da taxa de armadura para lajes de concreto armado. Os

esforos foram obtidos atravs do Mtodo dos Elementos Finitos e modelo simplificado

utilizando a tabela de Czerny. Os processos apresentaram taxas de armadura prximas.

Apesar da utilizao dos modelos que permitem a anlise global da estrutura e

sua crescente utilizao atravs dos softwares, Duarte (1998) afirma que os modelos

simplificados no podem ser deixados de lado pelos projetistas, pois eles proporcionam a

conferncia dos resultados obtidos pelos programas de anlise estrutural.

Simulaes computacionais permitiro estabelecer uma comparao do estudo

elstico linear da anlise estrutural de lajes macias de pavimentos de concreto armado, com

base referencial citado, pelo modelo de elementos finitos. Os esforos solicitantes e

deslocamentos encontrados sero confrontados com o modelo analtico simplificado da tabela

de Czerny.

A necessidade de se fazer uma correta modelagem do sistema estrutural,

escolhendo o modelo apropriado extremamente importante. De acordo com Silva (2002), a

quantidade de informaes e conhecimentos envolvidos no projeto de estruturas so enormes,

sendo imprescindvel que o engenheiro de estruturas conhea as vantagens e limitaes de

cada modelo, para que possa fazer a modelagem da forma mais correta e segura possvel,

obtendo os esforos e deslocamentos mais prximos possveis da realidade.

16

3 A ANLISE ESTRUTURAL

De acordo com a NBR 6118 (2003), a anlise estrutural tem por objetivo

determinar os efeitos das aes em uma estrutura de concreto, visando efetuar as verificaes

nos estados limites ltimos e de servio. O modelo escolhido pelo projetista deve ser o mais

realista possvel, representando os caminhos percorridos pelas aes at os apoios. O objetivo

a obteno dos esforos internos, tenses, deformaes e deslocamentos na pea estudada.

Durante muito tempo, o clculo de pavimentos de edifcios compostos por

vigas e lajes foi feito de maneira simplificada, afirmam Silva, Figueiredo Filho e Carvalho

(2003). Essa simplificao considera os apoios das lajes como sendo rgidos e isolados uns

dos outros. Hoje em dia, com os recursos computacionais disponveis e a utilizao de

softwares cada vez mais potentes, pode-se analisar o comportamento de um pavimento como

um todo. O computador tem o papel fundamental de resolver as complexas, trabalhosas e

numerosas equaes envolvidas nesses processos.

Para se ter um bom modelo estrutural, sendo este o mais realista possvel,

Arajo (2008) afirma que o projeto de um pavimento de concreto armado no deve fugir

muito da soluo elstica, garantindo assim o bom funcionamento da estrutura em servio e o

equilbrio do pavimento como um todo.

3.1 ANLISE ELSTICA LINEAR

Para carregamentos de pequena intensidade, segundo Banki e Coelho (2002), o

comportamento de uma laje de concreto armado pode muito bem ser representado pela Teoria

das Placas em Regime Elstico Linear.

De acordo com Duarte (1998), admite-se o comportamento elstico-linear para

o concreto armado quando o nvel de solicitao produzir tenses de compresso inferiores a

50% da resistncia caracterstica a compresso do concreto.

Ainda segundo Duarte (1998), a anlise elstica linear dos elementos de placas

isotrpicas baseada na teoria de Kirchhoff para placas delgadas. A hiptese clssica de

Kirchhoff estabelece que pontos do plano mdio das placas sofrem apenas deslocamentos

verticais, muito pequenos em relao espessura da mesma, desprezando-se os

deslocamentos horizontais. J as demais hipteses admitidas para a aplicao da Teoria da

Elasticidade de Placas admitem o material sendo homogneo e istropo, tendo

17

comportamento elstico-linear sob variadas aes, retornando a sua forma inicial quando as

aes deixarem de atuar, estando sujeitas assim a Lei de Hooke.

A elasticidade de um material corresponde capacidade de voltar a sua

configurao inicial aps ter sofrido deformaes causadas por aes externas, com posterior

alvio de carregamento, define Fontes (2005). Quando um material consegue retornar

totalmente seu formato inicial, ele considerado totalmente elstico. Ele parcialmente

elstico quando apenas parte da deformao revertida. O diagrama (1) mostra o grfico de

tenso versus deformao do concreto, comparando o comportamento linear com o no linear.

Diagrama 1 Grficos de tenso x deformao de materiais lineares e no lineares Fonte: Fontes (2005)

O mdulo de elasticidade uma constante admitida nesse tipo de anlise.

Corresponde a tangente do ngulo que a reta OA forma com o eixo das deformaes. A

relao entre os componentes tenso e deformao linear.

Segundo a NBR 6118 (2003), para projeto de estruturas, deve-se usar o

mdulo de elasticidade secante (Ecs), que corresponde a 85% do valor do mdulo de

elasticidade tangente inicial (Eci). A frmula simplificada (equao 1) dada por:

ckcs fE = 560085,0 (1) O coeficiente de Poisson () corresponde relao entre as deformaes

transversal e longitudinal. Para o concreto armado, possui valor variando de 0,15 a 0,25,

sendo geralmente empregado o valor mdio de 0,2. Peas com coeficiente de Poisson maior,

so mais rgidas, portanto com deformaes menores e momentos maiores. Para estudo deste

trabalho, ser utilizado tabelas de clculo de momentos fletores com mdulo de Poisson ()

igual a 0,2.

18

A anlise linear para o concreto armado permite verificaes dos Estados

Limites de Utilizao. possvel estender com segurana, para verificaes de Estado Limite

Ultimo, desde que se observe a ductilidade nas sees sujeitas a maiores rotaes.

3.2 DEFINIES DE LAJES

As placas, de acordo com a NBR 6118 (2003), so elementos de superfcie

plana sujeitos principalmente a aes normais a seu plano.

As placas de concreto so usualmente denominadas lajes. De acordo com

Pinheiro, Muzardo e Santos (2003), a principal funo das lajes receber os carregamentos

atuantes sobre a mesma e transferi-los para os apoios. As lajes macias, tratadas neste

trabalho, so lajes constitudas por uma placa macia de concreto armado.

3.3 INTRODUO A TEORIA DAS PLACAS

A teoria das placas corresponde a uma formulao matemtica utilizada para

descrever o comportamento elstico de planos bidimensionais com carregamentos

transversais. Essas formulaes podem ser tanto empregadas para a anlise de placas finas ou

espessas, sujeitas a pequenas ou grandes deformaes.

Pequenas deflexes so definidas como deslocamentos normais ao plano da

placa inferiores a 30% da espessura da laca, ou seja hw 3,0 (esquema 1).

Esquema 1 Deflexo em placas Fonte: Acervo Prprio (2009)

Para o caso de placas de pouca espessura, como o caso da maioria das lajes

de edifcios, as hipteses bsicas de Timonshenko (1959 apud Banki e Coelho 2002), so as

seguintes:

a) o material da placa elstico, homogneo e isotrpico;

19

b) a placa indeformada plana;

c) a espessura (h) da placa pequena em relao s outras dimenses;

d) as deformaes angulares da superfcie mdia so pequenas comparadas unidade;

e) os deslocamentos dos pontos da superfcie mdia so pequenos comparados com a espessura da placa;

f) as cargas dinmicas ou estticas so aplicadas perpendicularmente superfcie da placa;

g) a configurao deformada da placa tal que linhas retas inicialmente perpendiculares superfcie mdia permanecem retas e perpendiculares;

h) a deformao da placa produzida por deslocamentos dos pontos da superfcie mdia perpendicular ao plano indeformado;

i) as tenses normais superfcie mdia so desprezveis em relao s tenses no mesmo plano.

A equao diferencial que governa o problema da flexo de placas finas

sujeitas a pequenos deslocamentos transversais obtida por meios de equaes de equilbrio,

constitutivas e de compatibilidade. Essas equaes so descritas com base no estado duplo de

tenses, onde se admite que as sees transversais permaneam planas aps a deflexo.

A partir das equaes de equilbrio da pea, das relaes entre deslocamentos e

deformaes e das leis constitutivas do material, fazendo-se as operaes matemticas

necessrias, obtm-se a equao fundamental de Lagrange (equao 2), que rege o problema

de deflexo das placas:

Dp

yw

yxw

xw =

++

4

4

22

4

4

4

2 (2)

A rigidez flexo da placa dada pela equao (3):

)1(12 23

=EhD (3)

sendo:

w funo que representa os deslocamentos verticais

p carga total uniformemente distribuda

D rigidez da placa flexo

E mdulo de elasticidade

h espessura da placa

coeficiente de Poisson

20

Segundo Pinheiro, Muzardo e Santos (2003), na maioria dos casos no

possvel determinar de forma exata uma soluo para a equao diferencial 2. Portanto

recorre-se a processos numricos para a resoluo dessa equao, como por exemplo, o

Mtodo dos Elementos Finitos.

3.4 AES

As aes que podem atuar nas estruturas so subdivididas em aes

permanentes, aes variveis e aes excepcionais.

As aes permanentes, de acordo com Duarte (1998), so aquelas que atuam

durante toda a vida da construo, com valores constantes. So subdivididas em diretas e

indiretas. As diretas correspondem ao peso prprio e dispositivos construtivos permanentes.

As indiretas podem ser consideradas como foras de protenso em concreto protendido e

recalques dos apoios devido a deslocamentos dos elementos estruturais.

As aes variveis ou acidentais, ainda segundo Duarte (1998), so aquelas que

apresentam variaes significativas em torno do seu valor mdio, ao longo da vida da

construo. So as cargas de uso das construes (pessoas, mveis, materiais diversos), e seus

efeitos (foras de frenao, de impacto e centrfugas), efeitos do vento, das variaes de

temperatura, do atrito nos aparelhos de apoio e das presses hidrostticas e hidrodinmicas.

So subdividas em normais e especiais. As normais so obrigatoriamente consideradas no

projeto estrutural, pois tem probabilidade de ocorrncia suficientemente grande.

As aes excepcionais so aquelas que tm durao extremamente curta e

muito baixa probabilidade de ocorrncia, mas que devem ser consideradas em alguns projetos

estruturais, afirma Duarte (1998). So decorrentes de exploses, choques de veculos,

enchentes, incndios ou sismos excepcionais.

3.5 CONDIES DE APOIO DAS LAJES

As lajes de concreto podem apoiar-se sobre alvenaria, sobre vigas ou paredes

de concreto, ou diretamente sobre pilares. Assim, torna-se necessrio estabelecer algumas

simplificaes de forma a estabelecer se uma laje perfeitamente ou elasticamente engastada

ou apoiada ao longo de um determinado bordo. O estabelecimento dessas condies

denominada condies de apoio das lajes.

21

Geralmente os projetistas estruturais, segundo Cunha e Souza (1998) fazem

simplificaes destas condies, adotando uma laje de engastamento perfeito ou apoio

simples, embora essas idealizaes tericas dificilmente ocorrem na realidade. Portanto cabe

ao engenheiro projetista a tarefa de analisar o grau de erro que esta se cometendo ao fazer

essas simplificaes.

3.5.1 Bordos Simplesmente apoiados

As lajes podem estar apoiadas sobre alvenarias ou sobre vigas de concreto.

Quando as lajes esto simplesmente apoiadas em seu contorno, sofrem pequenas rotaes

sobre os apoios. Assim, quando a tendncia de rotao da laje solicita a viga toro, a viga

oferece resistncia desprezvel, deformando-se e garantindo a concepo terica de apoio

simples.

3.5.2 Bordos Engastados

As lajes com bordos engastados se subdividem em dois tipos de engastamento:

o engastamento perfeito e o engastamento elstico.

O engastamento perfeito aquele que ocorrer, por exemplo, nas marquises

engastadas em vigas de concreto ou alvenarias. O engastamento elstico o caso de lajes

contnuas, apoiadas sobre vigas ou paredes. Momentos de engastamento so gerados nos

apoios intermedirios, devido continuidade das lajes.

3.5.3 Bordos livres

As lajes com bordos livres caracterizam-se pela ausncia de apoio,

apresentando, portanto, deslocamentos verticais e rotaes. Nos outros tipos de vinculao

no h deslocamentos verticais

3.6 CLCULO DOS ESFOROS E FLECHAS

As deflexes e esforos nas lajes podem ser obtidos por diferentes processos,

de acordo com Cunha e Souza (1998), dentre os quais destacam-se:

22

a) Teoria das Placas, baseada na teoria matemtica da elasticidade, no qual se podem obter os

esforos e flechas em qualquer ponto do domnio da placa;

b) Processos aproximados, obtidos a partir de mtodos numricos, como os das tabelas;

c) Mtodo das linhas de ruptura, ou das charneiras plsticas;

d) Mtodos numricos em geral, como o Mtodo dos Elementos Finitos, que tiveram grande

desenvolvimento a partir da evoluo dos computadores.

Neste trabalho, ser feita uma comparao dos esforos internos e

deslocamentos obtidos pelo processo da tabela de Czerny com os deslocamentos e esforos

internos obtidos pelo Mtodo dos Elementos Finitos.

23

4 MODELOS ESTRUTURAIS PROPOSTOS

Os modelos estruturais propostos estudados nesse trabalho para o clculo dos

esforos internos e deslocamentos das lajes so o Mtodo dos Elementos Finitos e o das

tabelas de Czerny, com coeficiente de Poisson igual a 0,2.

4.1 MODELO SIMPLIFICADO DAS TABELAS DE CZERNY

As tabelas de Czerny foram elaboradas a partir da teoria matemtica da

elasticidade. De acordo com Lima, Oliveira e Byl (2003) no so levadas em considerao

rigidez toro, sendo os painis de lajes so tratados de forma isolada, apoiados em vigas

indeformveis.

4.1.1 Vo terico e vo livre das lajes

Vo livre entre as lajes a distncia correspondente entre as faces dos apoios.

Segundo Pinheiro, Muzardo e Santos (2003), o vo terico ou vo equivalente corresponde

distncia entre os centros dos apoios, no sendo necessrio adotar valores maiores do que:

a) Em lajes isoladas, o vo acrescido da espessura da laje no meio do vo;

b) Em lajes continuas, o vo livre acrescido da metade da dimenso do apoio interno e da

metade da espessura do meio do vo.

Em geral, para facilidade de calculo, usual considerar os vos tericos como

sendo distncia entre eixos dos apoios (esquema 2).

Esquema 2 Vo livre e vo terico das lajes Fonte: Pinheiro, Muzardo e Santos (2003)

24

4.1.2 Classificao das lajes

As lajes de concreto armado podem ser calculadas como sendo armadas em

uma ou duas direes. Para essa classificao, as condies de apoio tero papel determinante

no mtodo do clculo.

Conhecidos os vos tericos das lajes, considera-se como lx o menor vo e ly o

maior vo, conforme esquema (3).

Esquema 3 Vos l x e ly Fonte: Pinheiro, Muzardo e Santos (2003)

A diviso desses lados gera um coeficiente (equao 4).

xlyl= (4)

De acordo com o valor de , determina-se o tipo de armao das lajes:

a) Se 2, a laje armada em duas direes;

b) Se >2, a laje armada apenas em uma direo.

4.1.2.1 Lajes armadas em uma direo

As lajes armadas em uma s direo so assim consideradas ou no caso de s

existir apoios em dois bordos opostos, sendo os outros dois livres, ou quando a maior

dimenso for maior do que duas vezes a menor dimenso. So calculadas para resistirem os

momentos fletores nessas direes.

25

Nessas lajes, a armadura principal e colocada na direo do menor vo. Ela

calculada para resistir ao momento fletor nessa direo, ignorando-se a existncia da outra

direo. Assim, A laje calculada como se fosse um conjunto de vigas-faixa na direo do

menor vo.

O procedimento padro de concreto armado para a obteno dos esforos

internos e deformaes de vigas so os utilizados para a obteno dos mesmos no caso de

lajes armadas em uma direo.

4.1.2.2 Lajes armadas em duas direes

Lajes armadas em cruz ou em duas direes so aquelas com dois ou mais

bordos apoiados e que a relao entre o maior lado e lado menor () seja inferior a dois. As

armaduras so calculadas para resistirem aos momentos fletores nas duas direes.

Entre os mtodos de clculo simplificados para lajes armadas em duas

direes, s tabelas de Czerny merecem destaque, sendo elas o objetivo de estudo deste

trabalho. As tabelas utilizadas so as que possuem coeficiente de Poisson igual a 0,2 e

encontram-se no Anexo A.

Conhecido a relao entre os lados () e as devidas condies de contorno da

laje a ser estudada, entra-se na tabela correta, obtendo os coeficientes. A equao genrica

abaixo mostra a determinao dos momentos fletores (equao 5).

i

xi

lpM 2= (5)

Conhecido os momentos fletores, pode-se dimensionar a pea seguindo uma

rotina padro de dimensionamento do concreto armado.

4.1.3 Compatibilizao dos Momentos Fletores

Quando duas lajes so continuas e adjacentes, torna-se necessrio realizar uma

compatibilizacao dos momentos negativos de ambas as lajes. Isto porque a distribuio dos

esforos de flexo devem ser contnuos em uma direo.

A correo dos momentos negativos deve ser propagada para os momentos

positivos da pea. As equaes (6), (7) e (8) representam essas compatibilizaes:

21 21 MMMP += (6)

26

||||8,0 2112 MMseMMP = (7) ||||8,0 1222 MMseMMP = (8)

Torna-se necessrio adotar o maior valor de MP1 e MP2. A propagao da

correo dos momentos negativos para os positivos possvel atravs das equaes (9) e (10):

||||15,03 213 MMparaMMMF += (9) ||||25,04 124 MMparaMMMF += (10)

4.1.4 Clculo das flechas

A flecha de uma placa corresponde a maior deflexo da mesma. Para o

processo simplificado das tabelas de Czerny, a mesma obtida atravs da expresso genrica

abaixo (equao 11):

3

4

hElpkf xw

= (11)

Os coeficientes kw so fornecidos pela tabela de Czerny, e lx corresponde ao

menor vo da placa.

4.2 MTODO DOS ELEMENTOS FINITOS

A base da metodologia de anlise matricial de estruturas surgiu com os

conceitos da Teoria das Vigas, durante o perodo de 1850 a 1875, segundo Souza (2003). Em

1920 as idias de estrutura e aproximao da Teoria das Vigas baseados no Mtodo dos

Deslocamentos comearam a tomar forma. A partir de 1950 com o aparecimento dos

computadores digitais, esses procedimentos da Teoria das Vigas puderam ser codificados nos

computadores sob o formato de matriz.

Segundo Silva (2002), o Mtodo dos Elementos Finitos surgiu com a

finalidade de resolver problemas da Teoria da Elasticidade. um mtodo numrico

aproximado aplicado em problemas onde o mtodo analtico no produz resultados

satisfatrios.

Segundo Duarte (1998), hoje o Mtodo dos Elementos Finitos constitui uma

das mais refinadas ferramentas no que diz respeito aplicao dos mtodos numricos em

engenharia. Na anlise de placas fletidas, os elementos finitos triangulares apresentam-se

como pioneiros.

27

Neste trabalho, no apresentada nenhuma formulao sobre os elementos

finitos de placa, pois no se pretende desenvolver uma implementao computacional para

este modelo. A utilizao do modelo feita por meio do software comercial SAP 2000,

desenvolvido pela CSI.

A definio de elementos finitos pode ser dada por:

O Mtodo dos Elementos Finitos consiste na resoluo de um sistema estrutural atravs da diviso do mesmo em um numero finito de elementos com propriedades e formas geomtricas pr-estabelecidas. Entre as principais caractersticas do mtodo esta a utilizao de uma funo aproximadora aplicada no domnio de cada elemento e que pode ser expressa em funo das incgnitas nodais. (SOUZA, 2003)

Esses elementos finitos podem ter diversas formas geomtricas, de modo que

permita a melhor resoluo do problema. Segundo Silva (2003), podem ser elementos

unidimensionais, elementos bidimensionais planos (triangulares, retangulares, quadrilteros),

elementos tridimensionais slidos e elementos laminares de placa (superfcie plana) e casca

(superfcie curva) e elementos slidos (tetradricos e hexadricos).

As principais caractersticas do Mtodo dos Elementos Finitos so:

As duas caractersticas principais do mtodo so a subdiviso da estrutura em partes finitas (elementos), interligando-as entre si atravs de um nmero discreto de pontos em sua periferia (ns) e a escolha da funo que descreve o comportamento interno dessas pequenas partes ou elementos. Esta ltima constitui a mais fundamental das caractersticas, uma vez que o bom ou mau comportamento do elemento que vai viabilizar ou no o uso do mtodo. (DUARTE, 1998)

Uma funo ou um conjunto de funes especialmente escolhidas so capazes

de descrever o comportamento do elemento, analisando como se comportam as tenses e

deslocamentos daquele elemento quando submetido a um tipo de ao. Essas funes so as

responsveis pela indicao do tipo especifico de deformao de cada elemento.

28

5 DISCRETIZAO DOS MODELOS

Sero estudados trs exemplos de lajes macias de concreto armado,

considerando a anlise elstica linear para o concreto armado. Os esforos e deslocamentos

sero calculados pelo processo simplificado da tabela de Czerny e modelado no computador

atravs do Mtodo dos elementos finitos. Aps a obteno dos esforos, ser feita uma

comparao dos resultados obtidos pelos diferentes modelos de anlise estrutural.

O primeiro passo na modelagem da pea analisar a escolha dos elementos.

As vigas sero modeladas como elementos de frame, e as lajes, como elementos shell. Alm

do tipo de elemento escolhido, torna-se necessrio identificao do material que compem o

conjunto estrutural. Para os modelos abaixo, foi considerado o material como sendo o

concreto armado, com coeficiente de Poisson igual a 0,2 e mdulo de elasticidade em funo

do do concreto. ckf

A seguir inicia-se a modelagem propriamente dita, com a criao dos pontos,

linhas, reas e demais elementos necessrios. Em seguida definem-se as sees das peas

estudadas. Colocam-se as cargas e as condies de contornos e restries nos deslocamentos.

Por ltimo, carrega-se a estrutura e obtm-se os respectivos esforos internos e

deslocamentos.

5.1 MODELAGEM DA LAJE RETANGULAR 4,20 m x 3,00 m

Neste primeiro exemplo, considera-se uma laje macia de concreto armado

isolada. Esta laje esta apoiada sobre vigas com sees transversais de 20 x 40 centmetros.

Dados do concreto:

a) Resistncia caracterstica a compresso do concreto fck = 25 MPa;

b) Peso especfico do concreto = 25 kN/m3; c) Mdulo de Elasticidade Secante do Concreto Ecs =0,85x5600 ckf = 23800 MPa; d) Coeficiente de Poisson = 0,2.

Dados do Pavimento:

a) vos de clculo da laje: lx = 3,00 m e ly = 4,20 m;

29

b) seo das vigas: 20x40 cm;

c) espessura da laje h = 10 cm;

d) sobrecarga q = 5 kN/m2.

O esquema (4) apresenta a planta de forma da laje estudada.

Esquema 4 Representao estrutural da laje de 4,20 X 3,00 m Fonte: Acervo Prprio (2009)

5.1.1 Obteno dos esforos atravs das tabelas de Czerny

Primeiramente foram obtidos os esforos das lajes atravs das Tabelas de

Czerny com coeficiente de Poisson ( ) igual a 0,2. As condies de contorno adotadas foram bordos de lajes simplesmente apoiados. O esquema (5) a seguir apresenta os momentos

fletores obtidos, em kN x m.

Esquema 5 Momentos Fletores da laje de 4,20 x 3,00 m Fonte: Acervo Prprio (2009)

30

5.1.2 Obteno dos esforos atravs do MEF com apoios rgidos

A mesma laje, agora foi modelado atravs de elementos finitos. Nesta anlise,

as vigas foram substitudas por apoios fixos, ou seja, indeslocveis verticalmente. O esquema

(6) apresenta a modelagem da malha de elementos finitos, e suas condies de contorno.

Esquema 6 Malha de elementos finitos da laje de 4,20 x 3,00 m

Fonte: Acervo Prprio (2009)

Neste modelo, a laje foi dividida em elementos finitos quadrados de lados de

20 cm, totalizando 315 elementos. Os diagramas (2) e (3) a seguir, apresentam as

configuraes deformadas do pavimento e os respectivos momentos fletores, nas direes (x)

e (y), respectivamente.

31

Diagrama 2 Momentos fletores em (x) pelo MEF da laje de 4,20 x 3,00 m Fonte: Acervo Prprio (2009)

Diagrama 3 Momentos fletores em (y) pelo MEF da laje de 4,20 x 3,00 m Fonte: Acervo Prprio (2009)

32

5.1.3 Obteno dos esforos atravs do MEF com vigas flexveis

Para estudo da influncia da flexibilidade das vigas que as lajes se apiam, foi

feito um novo modelo. Neste modelo, ao invs de se considerarem os apoios como fixos,

teremos a laje apoiada sobre as vigas de seo 20x40 cm, e esta sobre pilares considerados

como apoios fixos. Como os dois exemplos acima consideram as vigas como apoios fixos, os

resultados deste modelo divergem dos valores anteriores.

As lajes foram dividas em elementos de 20 x 20 centmetros e as vigas em

elementos lineares de 20 cm. O modelo apresenta 387 elementos finitos. Os diagramas (4) e

(5) apresentam os momentos fletores nas direes (x) e (y) respectivamente.

.

Diagrama 4 Momentos fletores em (x) pelo MEF da laje de 4,20 x 3,00 m apoiada sobre vigas


33

Diagrama 5 Momentos fletores em (y) pelo MEF da laje de 4,20 x 3,00 m apoiada sobre vigas Fonte: Acervo Prprio (2009)

A tabela (1) indica a comparao entre os momentos fletores obtidos pelo

processo das tabelas de Czerny, pelo Mtodo dos Elementos Finitos considerando apoios

fixos e pelo Mtodo dos Elementos finitos, sendo a laje apoiada sobre vigas deformveis.

Tabela 1 Comparao dos momentos fletores pelos diferentes modelos estruturais da laje de 4,20 x 3,00 m

Modelo Proposto Mx (kNxm) My (kNxm) Mxe (kNxm) Mye

(kNxm) Tabelas de Czerny 4,891 2,922

MEF com apoios fixos 4,878 2,927 -0,015 -0,012 MEF com vigas flexveis 3,328 2,612 -2,592 -2,967

Fonte: Acervo prprio (2009)

Com a tabela (1) conclui-se que o mtodo das tabelas de Czerny e o Mtodo

dos Elementos Finitos com apoios fixos apresentam resultados muito prximos. Esses dois

mtodos consideram os apoios como sendo rgidos e articulados, conforme esquema (7). J o

Mtodo dos Elementos Finitos com vigas flexveis leva em considerao as deformaes que

ocorrem nas vigas e sua respectiva rigidez toro, produzindo assim momentos fletores

menores que os outros dois modelos e o aparecimento dos momentos negativos nas bordas

das vigas.

34

Esquema 7 Apoios rgidos e articulados produzindo rotao Fonte: Acervo Prprio (2009)

A tabela (2) apresenta os deslocamentos mximos obtidos pelos trs mtodos.

Pode-se observar que os trs mtodos apresentaram deslocamentos mximos muito prximos.

Tabela 2 Comparao dos deslocamentos mximos da laje de 4,20 x 3,00m Modelo Proposto Flecha Mxima (mm)Tabelas de Czerny 2,07

MEF com apoios fixos 2,00 MEF com vigas flexveis 2,00


5.2 MODELAGEM DO PAVIMENTO COM QUATRO LAJES QUADRADAS

Neste segundo exemplo, considera-se o piso de um pavimento residencial,

composto por lajes macias de concreto armado. O pavimento formado por quatro lajes

quadradas de quatro metros e meio cada uma, apoiadas sobre seis vigas.

Dados do concreto:

a) Resistncia caracterstica compresso do concreto fck = 30 MPa;

b) Peso especfico do concreto = 25 kN/m3; c) Mdulo de Elasticidade Secante do Concreto Ecs =0,85x5600 ckf = 26072 MPa; d) Coeficiente de Poisson = 0,2.

Dados do Pavimento:

a) vos de calculo das lajes: lx = ly = 4,50 m;

b) seo das vigas: 20x50 cm;

c) espessura das lajes h = 10 cm;


35

O esquema (8) apresenta o arranjo estrutural do pavimento de concreto armado

a ser estudado.

Esquema 8 Estrutura do pavimento de quatro lajes de 4,50 m




Czerny coeficiente de Poisson ( ) igual a 0,2, sendo as lajes consideradas com dois lados apoiados e dois lados engastados. No foi necessrio realizar a compatibilizao dos

momentos negativos, pois como as lajes so simtricas, os momentos so contnuos. O

esquema (9) mostra os momentos fletores obtidos, em kN x m.

36

Esquema 9 Momentos Fletores do pavimento obtidos pelas Tabelas de Czerny Fonte: Acervo Pessoal (2009) 5.2.2 Obteno dos esforos atravs do MEF com apoios rgidos

O mesmo pavimento, agora foi modelado atravs do Mtodo dos Elementos

Finitos. Nesta anlise, as vigas foram substitudas por apoios fixos, indeslocveis

verticalmente, como mostra o esquema (10) a seguir.

Esquema 10 Malha de elementos finitos do pavimento Fonte: Acervo Prprio (2009)

37

Neste modelo, as lajes foram dividas em elementos finitos quadrados de lados 45cm, totalizando 400 elementos. O diagrama (6) a seguir, apresenta a configurao deformada do pavimento com seus respectivos momentos fletores.

Diagrama 6 Momentos fletores das lajes do pavimento pelo MEF



Novamente, para estudo da influncia da flexibilidade das vigas de sustentao

das lajes, foi feito um novo modelo. Neste modelo, ao invs de se considerarem os apoios

como rgidos, tem-se a laje apoiada sobre as vigas de seo 20x50 cm, e esta sobre pilares

considerados como apoios rgidos e fixos. Como os dois exemplos acima consideram as vigas

como apoios fixos, os resultados deste modelo divergem dos valores anteriores.

As lajes foram dividas em elementos finitos retangulares com lados de 45 x 45

centmetros e as vigas em elementos lineares com comprimento de 45 cm. O modelo

apresenta 520 elementos finitos, sendo 400 elementos de placa e 120 elementos de viga. O

diagrama (7) apresenta os momentos fletores.

38

Diagrama 7 Momentos fletores das lajes do pavimento apoiadas sobre vigas





Tabela 3 Comparao dos momentos fletores pelos diferentes modelos estruturais das quatro lajes contnuas

Modelo Proposto Mx = My (kNxm) Mxe = Mye (kNxm)

Tabelas de Czerny 4,402 -10,620

MEF com apoios fixos 4,692 -10,379

MEF com vigas flexveis 3,920 -8,223


Atravs da tabela (3), percebe-se que os dois primeiros mtodos apresentaram

momentos fletores maiores que o terceiro, pois este leva em considerao rigidez a toro

das vigas e sua flexibilidade, produzindo assim momentos menores, conforme esquema (11).

39

Esquema 11 Comparao de apoios rgidos e articulados com apoios flexveis Fonte: Acervo Prprio (2009)

A tabela (4) apresenta os deslocamentos mximos obtidos pelos trs mtodos.

Pode-se observar que os trs mtodos apresentaram deslocamentos mximos muito prximos.

Tabela 4 Comparao dos deslocamentos mximos das quatro lajes contnuas Modelo Proposto Flecha Mxima (mm)Tabelas de Czerny 2,86



5.3 MODELAGEM DA LAJE RETANGULAR COM INFLUNCIA DOS APOIOS

Neste terceiro exemplo, considera-se uma laje macia de concreto armado

isolada. Esta laje esta apoiada sobre vigas com sees transversais diversas, conforme

esquema (12).

Dados do concreto:

a) Resistncia caracterstica do concreto a compresso fck = 30 MPa;

b) Peso especifico do concreto = 25 kN/m3; c) Mdulo de Elasticidade Secante do Concreto Ecs =0,85x5600 ckf = 26072 MPa; d) Coeficiente de Poisson = 0,2.

Dados do Pavimento:

40

a) vos de calculo da laje: lx = 6,00 m e ly = 10,00 m;

b) seo das vigas: 20x50 cm, 20x60 cm e 20x100 cm;

c) espessura da laje h = 25 cm;


Esquema 12 Esquema estrutural da laje com influncia dos apoios




Czerny com coeficiente de Poisson ( ) igual a 0,2. As condies de contorno adotadas foram bordos de lajes simplesmente apoiados. O esquema (13) a seguir apresenta os momentos

fletores obtidos, em kN x m.

41

Esquema 13 Momentos Fletores da laje atravs da tabela de Czerny Fonte: Acervo Prprio (2009) 5.3.2 Obteno dos esforos atravs do MEF com apoios rgidos

A mesma laje, agora foi modelada atravs de elementos finitos. Nesta anlise,

as vigas foram substitudas por apoios fixos, indeslocveis verticalmente como mostra o

esquema (14) a seguir.

Esquema 14 Discretizao da malha de elementos finitos da laje Fonte: Acervo Prprio (2009)

42

Neste modelo, a laje foi dividida em elementos finitos quadrados de lados

20cm, totalizando 1500 elementos. Nos diagramas (8) e (9) tem-se a configurao deformada

do pavimento e os momentos fletores, nas direes (x) e (y) respectivamente, em kN x m.

Diagrama 8 Momentos fletores em (x) pelo MEF da laje de 10,00 x 6,00 m Fonte: Acervo Prprio (2009)

Diagrama 9 Momentos fletores em (y) pelo MEF da laje de 10,00 x 6,00 m Fonte: Acervo Prprio (2009)

43


Por ltimo, para mostrar a influncia da flexibilidade das vigas nas quais as

lajes se apiam, foi feita uma modelagem onde, ao invs de considerar os apoios como fixos,

tem-se a laje apoiada sobre as vigas, e esta sobre pilares considerados como apoios fixos.

Como os dois exemplos acima consideram as vigas como apoios fixos, os resultados deste

modelo diverge dos valores anteriores.

As lajes foram dividas em elementos de 20 x 20 centmetros e as vigas em

elementos lineares de 20 cm. O modelo apresenta 1660 elementos finitos. Os diagramas (10) e

(11) apresentam os diagramas de momentos fletores nas direes (x) e (y) respectivamente,

em kN x m.

Diagrama 10 Momentos fletores em (x) pelo MEF da laje de 10,00 x 6,00 m apoiada sob vigas


44

Diagrama 11 Momentos fletores em (y) pelo MEF da laje de 10,00 x 6,00 m apoiada sob vigas Fonte: Acervo Prprio (2009)




Tabela 5 Comparao dos momentos fletores pelos diferentes modelos estruturais da laje de 10,00 x 6,00 m

Modelo Proposto Mx (KNxM) My (KNxM) Mxe (KNxM) Mye (KNxM) Tabelas de Czerny 35,217 17,234

MEF com apoios fixos 35,211 16,475 -0,029 -0,023 MEF com vigas flexveis 39,635 19,632 -14,571 -80,612


Atravs da tabela (5) pode-se observar que os momentos gerados pelo Mtodo

dos Elementos Finitos considerando a laje apoiada sobre vigas flexveis so maiores. Alm

disso, existem momentos negativos de grande intensidade prximos ao pilar intermedirio,

devido ao efeito de puncionamento desse pilar sobre a laje.

A tabela (6) apresenta a comparao dos deslocamentos mximos obtidos

pelos trs diferentes mtodos.

45

Tabela 6 Comparao dos deslocamentos mximos pelos trs mtodos da laje de 10,00 x 6,00 m

Modelo Proposto Flecha Mxima

(mm) Tabelas de Czerny 3,54



Como se pode observar, os dois primeiros mtodos consideram os apoios como

rgidos e indeslocveis, apresentando valores de deslocamentos prximos. J o Mtodo que

leva em considerao a flexibilidade das vigas, apresentou uma flecha mxima maior, devido

deformao das vigas em quais a laje se apia. O esquema (15) apresenta essas

deformaes, na seo central da laje.

Esquema 15 Deformaes da laje sob apoios articulados rgidos e apoios flexveis Fonte: Acervo Prprio (2009)

46

6 CONSIDERAES FINAIS

A partir dos resultados encontrados neste trabalho, pode-se concluir que a

flexibilidade das vigas influencia a obteno dos esforos internos e dos deslocamentos das

lajes de concreto armado.

O primeiro exemplo, mostrou que o mtodo simplificado utilizando as tabelas

de Czerny se aproxima muito do Mtodo dos Elementos Finitos com apoios fixos e

verticalmente indeslocveis, gerando resultados idnticos. J na modelagem em que os apoios

so constitudos por vigas flexveis, observa-se uma diminuio dos momentos fletores,

devido influncia da rigidez a toro nas vigas. Com relao aos deslocamentos mximos,

todos os resultados obtidos pelos diferentes mtodos foram prximos.

No segundo exemplo pode-se observar que a influncia da flexibilidade das

vigas ocasionou uma diminuio dos momentos fletores, tanto positivos quanto negativos, e

os deslocamentos tambm foram prximos. J no terceiro exemplo, em que se tem uma laje

de grande vo apoiada sobre vigas e, de um lado com um pilar central, observa-se que os

momentos gerados pelo mtodo que leva em considerao a rigidez a toro das vigas e sua

flexibilidade so maiores. Alm disso observam-se momentos negativos de grande

intensidade prximos ao pilar intermedirio, gerando o efeito de puncionamento. Vale

lembrar que quando a anlise feita pelo clculo simplificado ou pelo MEF considerando os

apoios como fixos, no se observa o aparecimento desses momentos. Com relao aos

deslocamentos, observa-se um deslocamento maior no mtodo que considera a flexibilidade

das mesmas, a prpria deformao da viga.

Portanto, chega-se concluso que tanto o Mtodo dos Elementos Finitos

quanto mtodo simplificado utilizando as tabelas de Czerny oferecem resultados satisfatrios

para o dimensionamento de lajes macias de concreto armado. No entanto, o MEF

proporciona a anlise de lajes com formas irregulares, sujeitas s mais diversas condies de

apoio e de carregamento. Com o auxlio e a constante evoluo dos computadores, o tempo

gasto para a obteno dos esforos internos utilizando o Mtodo dos Elementos Finitos

muito menor, o que proporciona grande vantagem para os projetistas.

Com o avano dos computadores, diversos mtodos de anlise estrutural vem

sendo desenvolvidos, como por exemplo o de Analogia de Grelhas e o Mtodo dos Elementos

Finitos, estudado nesse trabalho. Portanto torna-se imprescindvel para o projetista estrutural o

conhecimento dos modelos simplificados, que no podem ser deixados de lado, pois eles

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servem de parmetro para a verificao dos resultados obtidos atravs dos modelos

solucionados atravs dos softwares estruturais.

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REFERNCIAS

ARAJO, Jos Milton. Avaliao dos mtodos simplificados para clculo de lajes macias sobre vigas flexveis. Teoria e Prtica na engenharia civil, Rio Grande do Sul, n.12, p. 1-11, 2008. ASSOCIAO BRASILEIRA DE NORMAS TCNICAS. NBR 6118 : Projeto de estruturas de concreto. Rio de Janeiro, 2003. BANKI, Andr L.; COELHO, Jano dAraujo. Modelos de anlise de lajes de concreto armado [artigo cientfico]. Santa Catarina, 2002. Disponvel em:. Acesso em: 25 set. 2008. BITTENCOURT, Tlio N.; BELLA, Joo C. D.; PELLEGRINO, Janurio Neto; GRAZIANO, Francisco P. Lajes macias retangulares. Departamento de Engenharia de Estruturas e Fundaes, USP. So Paulo, 2003. CASTRO, Luis M. S. Elementos Finitos para Anlise Elstica de lajes, Lisboa, Portugal, 2007. Disponvel em: http://www.civil.ist.utl.pt/ae2/EFALajes.pdf>. Acesso em: 25 set. 2008. CUNHA, Albino J. P. da; SOUZA, Vicente C. M. de. Lajes em concreto armado e protendido. 2. ed. Niteri: Eduff, 1998. DUARTE, Heraldo. Aspectos da anlise estrutural das lajes de edifcios de concreto armado. 1998. 93 f. Dissertao (Mestrado em Engenharia de Estruturas)-Universidade de So Paulo, 1998. FONTES, Fernando F. Anlise Estrutural de elementos lineares segundo a NBR 6118:2003. 2005. 137 f. Dissertao (Mestrado em Engenharia de Estruturas)-Universidade de So Paulo, So Paulo, 2005. HENNRICHS, Carlos A. Estudo sobre a modelagem de lajes planas de concreto armado. 2003. 201 f. Dissertao (Mestrado em Engenharia Civil)-Universidade Federal de Santa Catarina, Santa Catarina, 2003.

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ANEXO A Tabelas de Czerny para clculo de lajes com coeficiente de Poisson igual a

0,2

Extrado da apostila lajes retangulares macias, de concreto armado do Departamento de Engenharia de estruturas e Fundao (PEF) da Universidade de So Paulo.

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Extrado da apostila lajes retangulares macias, de concreto armado do

Departamento de Engenharia de estruturas e Fundao (PEF) da Universidade de So Paulo.

LIMA, Eder C.; OLIVEIRA, Janes C. A.; BYL JUNIOR, F.R.C. Estudo Comparativo de Clculo de Lajes Analogia de Grelha e Tabelas de Czerny. Gois, 2003. Disponvel em: . Acesso em: 25 set. 2008.

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Analise Estrutural de Lajes Maciças de Concreto Armado em Edificios