ANALISE¶ MATEMATICA¶ 3 PARTE B EQUAC»OES~ …paginas.fe.up.pt/amIII/pdf_files/exerc_equacoes_diferenciais.pdf · (a) Determine o campo de direc»c~oesda equa»c~ao. (b) A partir

ANALISE MATEMATICA 3

PARTE B

EQUACOES DIFERENCIAIS

Maria do Rosario de Pinho

e

Maria Margarida Ferreira

Agosto 2004

Faculdade de Engenharia da Universidade do Porto

Licenciatura em Engenharia Electrotecnica

e de

Computadores

2

1. Equacoes Diferenciais de Primeira Ordem

1. Considere a equacao diferencial y′ = y − 1.

(a) Determine o campo de direccoes da equacao.

(b) A partir do campo de direccoes determine algumas das isoclinas desta equacao.

(c) Usando ainda o esboco do campo de direccoes, determine algumas solucoes particu-

lares da equacao e pronuncie-se sobre o comportamento das solucoes quando x tende

para infinito.

(d) Resolva a equacao diferencial e trace os graficos das solucoes quando a constante de

integracao toma os seguintes valores: −2, −1.5, −1, −0.5, 0, 0.5, 1, 1.5 e 2.

2. Resolva as seguintes equacoes diferenciais:

(a) xdx + ydy = 0

(b) xdy + ydx = 0

(c) sinx dy + dx = 0

(d) sinx dy + cos y dx = 0

(e) y′ = 3y23 . Determine a solucao particular que passa no ponto (1, 1).

3. Considere a equacao diferencial y′ =x + y

x− ydefinida em U = {(x, y) : x 6= y} e determine

a solucao que passa no ponto (1, 0).

4. Resolva a equacao diferencial xyy′ = 2x2 + 3xy + 2y2 e determine a solucao que passa em

(1, 1).

5. Considere a equacao diferencial y′ =x2 + y2

2xydefinida em U = {(x, y) : x > 0, y > 0}.

Determine a solucao que passa no ponto (2,√2).


(a)(

1 + 2exy

)

dx + 2exy

(

1− x

y

)

dy = 0

(b) 2xy+(x2 +2y)y′ = 0, definida em U = R2 \ {(x, y) : y = −x2

2}. Determine a solucao

que passa em (2,−3).

7. Integre a equacao diferencial xy2y′−xy′+y = 0, efectuando a mudanca de variavel x = et,

y = u(t)et.

3


(a) y′ = xy

(b) y′ =y

x

(c) x2 dy + y dx = 0

(d) sinx dy + y dx = 0

(e) dy = y tanx dx

(f) (y′)2 = xy2

(g) y′ + y secx = 0

9. Determine as solucoes de:

(a) y′ =y

x+ 7; y(1) = 2

(b) y′ = y secx + cosx; y(π

2

)

= 0

(c)dx

dt+ x = e2t; x(0) = 1

(d) dy = 2y dx + sinx dx

10. Determine as solucoes de y′ sinx + y cosx = 1 em (0, π). Mostre que apenas uma das

solucoes tem limite finito quando x tende para 0 e que so uma outra tem limite finito

quando x tende para π.

11. Prove que existe uma so funcao f , contınua em (0,∞), tal que f(x) = 1 +1

x

∫ x

1f(t) dt e

determine essa funcao.

12. Calcule

(a) x2y′ + x2y = xy − 1

(b) y′ + 2y

x=

sinx

x2, x > 0; determine a solucao que satisfaz y(π) = 0

13. Resolva a seguintes equacoes:

(a) y′ − 4y = 2ex√y; y(0) = 2

(b) y′ − y = −y2(x2 + x + 1); y(0) = 1

(c) xy′ − 2y = 4x3√y; y(1) = 0

14. Cada uma das equacoes seguintes tem pelo menos um coeficiente com uma descontinuidade

em x = 0. Resolva cada uma das equacoes para x > 0 e descreva o comportamento da

solucao quando x tende para 0, para varios valores da constante de integracao. Esboce os

graficos de algumas curvas integrais.

4

(a) y′ +2

xy =

1

x2

(b) y′ − 1

xy =

√x

(c) y′ − 1

xy = x

(d) y′ +1

xy =

cosx

x

15. Determine um intervalo no qual a solucao de cada um dos seguintes problemas de valor

inicial existe.

(a) (x− 3)y′ + (lnx)y = 2x; y(1) = 3

(b) y′ + (tanx)y = sinx; y(π) = 0

16. Determine um valor para b de forma a que (xy2 + bx2y)dx + (x + y)x2dy = 0 seja uma

equacao diferencial exacta.

17. Mostre que qualquer equacao de variaveis separaveis da forma M(x)+N(y)y ′ = 0 e exacta.

18. Sem recorrer ao metodo do factor integrante, calcule a solucao da equacao diferencial

(xy + 1)ydx + x dy = 0 e a partir da sua solucao deduza um factor integrante.

19. Seja

f(x) =

sinx

xse x 6= 0

1 se x = 0e T (x) =

∫ x

0f(t) dt

Mostre que f(x) = xT (x) satisfaz a equacao diferencial xy′ − y = x sinx em toda a recta

real e determine a solucao geral desta equacao. Mostre que a equacao diferencial nao tem

solucao que satisfaca a condicao inicial f(0) = 1 e explique porque e que isto nao contradiz

o teorema da existencia e unicidade de solucao.

20. Determine as solucoes das equacoes diferenciais:

(a) (3y − 7x + 7)dx− (3x− 7y − 3)dy = 0

(b) y′ =x + 2y + 1

2x− 3

21. Determine a solucao da equacao diferencial 3xy′ − y − 3

(

x

y

)2

= 0, que verifica y(1) = 1.

[Sugestao: efectue a mudanca de variavel z = y3]

22. Determine a solucao da equacao diferencial y′ = e−x2 − 2xy que passa em (0,−1).

5

23. Determine a solucao da equacao diferencial y′ +2

xy = x6y3 que passa em (1, 1).

[Sugestao: efectue a mudanca de variavel w =1

y2]

24. Mostre que seNx −My

xM − yN= R(xy), entao a equacao diferencial M+Ny′ = 0 tem um factor

integrante da forma µ(xy). Determine a forma geral deste factor integrante.

25. Use o exercıcio anterior para resolver a equacao diferencial:

(

3x +6

y

)

+

(

x2

y+ 3

y

x

)

y′ = 0

26. Resolva as equacoes diferenciais:

(a) (3x2y + 2xy + y3)dx + (x2 + y2)dy = 0

(b) y′ = e2x + y − 1

(c) dx +

(

x

y− sin y

)

dy = 0

2. Equacoes Diferenciais Lineares

1. Determine o wronskiano das seguintes funcoes:

(a) ex sinx, ex cosx

(b) 1, x, x2, x3

(c) x, xex, x2ex

(d) x, ex, e−x, sinx ex, cosx ex

2. Para cada um dos seguintes problemas de valor inicial determine o maior intervalo em que

pode garantir existencia de solucao.

(a) y′′ + cosx y′ + ln |x| y = 0, y(2) = 3, y′(2) = 1

(b) (x− 3)y′′ + xy′ + ln |x| y = 0, y(1) = 0, y′(1) = 1

3. Se o wronskiano de duas funcoes f e g e 3e4x e se f(x) = e2x, determine g.

4. Se W e o wronskiano de f e g e se u = 2f − g, v = f − g determine o wronskiano de u e v.

5. Determine a equacao diferencial linear homogenea de coeficientes constantes, de ordem tao

baixa quanto possıvel, tal que g(x) = xe−2x seja solucao da equacao.

6

6. Considere a equacao diferencial y′′ =1

2y′e a sua solucao geral y(x) = ±2

3(x + C)

32 + K.

Verifique que a famılia de curvas dada satisfaz a equacao diferencial. Determine a solucao

da equacao que passa pelo ponto (1, 2) e cuja tangente nesse ponto forma com o eixo

positivo Ox um angulo de 45 graus.

7. Mostre que o operador diferencial Ly = an(x)Dny + an−1(x)D

n−1y + . . . + a1(x)Dy +

a0(x)D0y e linear.

8. Determine a solucao geral das equacoes diferenciais:

(a) y′′ − y = 0

(b) y′′ + y = 0

(c) y′′′ = 0

(d) y(4) − y = 0

(e) y(4) + y = 0

(f) y′′ − 3y′ − 4y = 2

(g) y′′ − 3y′ − 4y = 32x2

(h) y′′ + ω2t = cos (ωt)

9. Resolva os seguintes problemas de valor inicial:

(a) y′′ − 4y′ + 3y = 0, y(0) = −1, y′(0) = 3

(b) y′′ + 4y = 0, y(π) = 1, y′(π) = −4

(c) y′′′ + y′′ = 0, y(0) = 2, y′(0) = 1, y′′(0) = −1

10. Resolva as equacoes diferenciais:

(a) y′′ − 3y′ + 2y = − e2x

ex + 1

(b) y′′ + 2y′ + y = 4e−x lnx

(c) xy′ + 2y = 2 sin (2x) + 2x cos (2x), x > 0.

11. Resolva, utilizando o metodo do Polinomio Aniquilador:

(a) y′′′ − y′′ + 4y′ − 4y = 3x2 + x

(b) y′′ − 3y′ + 2y = 6e3x

(c) y′′ − 5y′ + 6y = x + sinx

(d) y′′′ − 3y′′ + 3y′ − y = e−x

7

12. (a) Considere a equacao diferencial x2 ln (x) y′′ − (x+ 4x lnx)y′ + 4y′ + (2+ 6 lnx)y = 0,

x > 0. Verifique que x2 e solucao e resolva a equacao.

(b) Considere a equacao diferencial xy′′−(2x2−4x−1)y′−2(2x2−2x−1)y = 0. Determine

o numero real a tal que eax e solucao da equacao diferencial e resolva-a.

(c) Determine as constantes a e b tais que, para todo o x > 0, as funcoes x e x lnx sao

solucoes da equacao diferencial x2y′′ + axy′ + by = 0. Determine depois a solucao

geral da equacao.

13. Considere a equacao diferencial y′′+2 tan (x)y′+f(x)y = 0. Utilize a mudanca de variavel

y = uv de forma a que a equacao diferencial obtida nao contenha termos em v ′. De seguida,

calcule f de modo a que a equacao diferencial tenha coeficientes constantes. Integre essa

equacao diferencial.

3. Sistemas de Equacoes Diferenciais Lineares

1. Considere as seguintes equacoes diferenciais e determine os sistemas de equacoes diferen-

ciais de primeira ordem que lhes correspondem.

(a) y′′ + 2y′ + y = 0

(b) y′′′ − y′′ + y = 0

(c) y(5) − y′′′ + 4y′′ − y = 3

Para cada uma destas equacoes diferenciais e os correspondentes sistemas, determine um

conjunto fundamental de solucoes e verifique qual a relacao entre os wronskianos associa-

dos.

2. Para cada um dos seguintes sistemas de equacoes diferenciais determine a solucao geral.

Faca ainda um esboco de algumas solucoes e descreva o comportamento das solucoes

quando t tende para infinito.

(a) x =

[

3 −2

2 −2

]

x

(b) x =

[

1 −2

3 −4

]

x

(c) x =

[

−2 1

1 −2

]

x

8

(d) x =

[

4 −3

8 −6

]

x

(e) x =

[

3 6

−1 −2

]

x

(f) x =

1 1 2

1 2 1

2 1 1

x

3. Para cada um dos seguintes sistemas de equacoes diferenciais, resolva o problema de valor

inicial dado e descreva o comportamento da solucao quando t tende para infinito.

(a) x =

[

5 −1

3 1

]

x, x(0) =

(

2

−1

)

(b) x =

1 1 2

0 2 2

−1 1 3

x, x(0) =

2

0

1

4. Para cada um dos seguintes sistemas de equacoes diferenciais determine a solucao geral.

Faca ainda um esboco de algumas solucoes e descreva o comportamento das solucoes

quando t tende para infinito.

(a) x =

[

3 −2

4 1

]

x

(b) x =

1 0 0

2 1 −2

3 2 1

x

(c) x =

−3 0 2

1 −1 0

−2 −1 0

x

(d) x =

[

3 −4

1 −1

]

x

(e) x =

[

4 −2

8 −4

]

x

5. Mostre que todas as solucoes do sistema

x =

[

a b

c d

]

x

9

se aproximam de 0 quando t tende para infinito, se e so se a + d < 0 e ad− bc > 0.

6. Para cada um dos sistemas do exercıcio 4, determine uma matriz fundamental. Em cada

um dos caso determine a matriz fundamental Φ(t) que satisfaz a condicao Φ(0) = I.

7. Seja A =

[

λ 1

0 λ

]

onde λ e um real qualquer.

(a) Determine An para n = 2, 3, 4.

(b) Verifique que An =

[

λn nλn−1

0 λn

]

.

(c) Determine eAt.

(d) Resolva o problema de valor inicial x = Ax, x(0) = x0 usando a expressao x(t) =

eAtx0.

(e) Resolva o mesmo problema de valor inicial da alınea anterior calculando os valores e

vectores proprios e compare as solucoes.

4. Equacoes Diferenciais-Aplicacoes

1. Muitas vezes uma solucao constante de equilıbrio tem a seguinte propriedade: solucoes

que se encontram num lado da solucao aproximam-se dessa solucao quando t tende para

infinito, enquanto aquelas que estao no outro lado afastam-se. Tal solucao de equilıbrio

designa-se por solucao semi-estavel. Considere a equacao

dN

dt= k(1−N)2

onde k e uma constante positiva.

(a) Mostre que N(t) = 1 e uma solucao de equilıbrio.

(b) Trace o grafico de f(N) = k(1 − N)2 e conclua que N(t) = 1 e uma solucao de

equilıbrio semi-estavel.

(c) Resolva a equacao diferencial dada para varios valores de N(0) e confirme as con-

clusoes da alınea b).

2. O crescimento de uma certa populacao obedece a equacaodN

dt= r

(

1− N

k

)

N .

(a) Seja N(0) =k

3. Encontre o instante s em que a populacao duplica de tamanho.

Encontre o valor de s que corresponde a r = 0.025 por ano.

10

(b) SeN(0)

k= a, encontre o instante t em que

N(t)

k= b, onde, a > 0, b > 0 e b < 1.

Observe que esse instante t tende para infinito quando a tende para 0 ou quando b

tende para 1. Determine o valor de t quando r = 0.025 por ano, a = 0.1 e b = 0.9.

3. Suponha que uma determinada especie de peixe, numa determinada area do oceano satisfaz

a equacaodN

dt= r

(

1− N

k

)

N . Suponha que uma certa quantidade desse peixe e pescada

a uma razao constante h, ou seja, a quantidade de peixe nessa regiao satisfaz a equacao

diferencialdN

dt= r

(

1− N

k

)

N −h. A hipotese da taxa de pesca ser constante faz sentido

quando a quantidade de peixe existente N e grande. Quando N diminui, tal hipotese deixa

de ser razoavel.

(a) Se h < rk

4, mostre que a equacao tem dois pontos de equilıbrio, N1, N2, com N1 < N2

e determine-os.

(b) Mostre que um desses pontos e instavel e que o outro e estavel.

(c) A partir do grafico da funcao f(N) = r

(

1− N

k

)

N −h, mostre que se N(0) = N0 >

N1, entao N(t) → N2 quando t → ∞, mas que, se N0 < N1, entao N(t) e uma funcao

decrescente. Observe que N = 0 nao e um ponto de equilıbrio. O que acontece

quando N0 < N1?

(d) Mostre que se h > rk

4, entao N(t) e uma funcao decrescente, independentemente do

valor de N(0).

(e) Seja h = rk

4. Mostre que existe um unico ponto de equilıbrio e que esse ponto e

instavel. Qual a taxa maxima de pesca que podera ser permitida de forma a que esta

se possa manter constante?

4. Suponha que uma dada populacao pode ser dividida em duas partes: aqueles que sao

portadores de uma certa doenca e que a podem transmitir, e aqueles que nao a tem, mas

que a podem contrair. Seja y a proporcao dos primeiros na populacao e x a proporcao dos

segundos. Assim x + y = 1.

Suponha que a doenca e contraıda pelo contacto e que a taxa de disseminacao da doencady

dte proporcional aos contactos entre populacao infectada e nao infectada. Suponha ainda

que os membros da populacao se movem livremente e que portanto, o numero de contactos

e proporcional ao produto xy. Uma vez que x = 1 − y, obtemos o seguinte problema de

valor inicialdy

dt= αy(1− y); y(0) = y0

11

(a) Determine os pontos de equilıbrio da equacao diferencial e determine se sao estaveis

ou nao.

(b) Determine a solucao do problema de valor inicial dado e verifique analiticamente se

as conclusoes da alınea anterior estao correctas. Mostre que y(t) → 1 quando t tende

para infinito e diga o que e que isto significa na pratica.

5. Algumas doencas, como e o caso da febre tifoide, sao disseminadas por portadores, in-

divıduos que podem transmitir a doenca mas que nao apresentam quaisquer outros sin-

tomas. Designe-se por x e y, respectivamente, a proporcao de elementos que sao sus-

ceptıveis de contrair a doenca e de portadores. Suponha que os portadores sao identifica-

dos e removidos da populacao a razao de b, isto edy

dt= −by. Suponha ainda que a taxa

de disseminacao da doenca e proporcional ao produto xy, isto e,dx

dt= −axy.

(a) Determine y(t) que satisfaz a y(0) = y0.

(b) Use o resultado da alınea anterior para determinar x(t) que satisfaz x(0) = x0.

(c) Encontre a proporcao da populacao que sobrevive a epidemia calculando x(t) quando

t tende para infinito.

5. Resolucao de alguns exercıcios da seccao anterior

1. (a) Considere a equacaodN

dt= k(1 − N)2, onde k e uma constante positiva. Se N(t) e

constante e igual a 1, entaodN

dt= 0 e k(1 − 1)2 = 0, ∀t, e portanto N(t) e solucao

da equacao diferencial.

(b) Grafico de f(N) = k(1−N)2: a fazer pelo aluno

Se N < 1, entao f(N) e positiva, ou seja, a derivada de N em ordem a t e pos-

itiva. Logo N(t) e crescente. Como f(N)

(

=dN

dt

)

e decrescente, entao N tem a

concavidade voltada para baixo.

O Teorema da existencia e unicidade de solucao garante-nos que duas solucoes da

equacao diferencial nunca se cruzam. Assim, para N(0) = N0 < 1, N(t) tende para

1 quando t cresce.

Quando N > 1, f(N) continua a ser positiva, ou seja, a derivada de N em ordem a t e

positiva. Logo N(t) e crescente. Como f(N) e crescente, entao N tem a concavidade

voltada para cima. Para N(0) = N0 > 1, N(t) afasta-se de 1 quando t cresce.

Nota: O grafico de f(N) foi visto como fornecendo informacao sobredN

dt. Podemos,

12

contudo, retirar imediatamente informacao sobred2N

dt2a partir deste mesmo grafico.

Note-se que f(N(t)) = f ◦N(t) e que

d2N

dt2= f ′(N)f(N)

Assim, para N < 1, f(N) > 0 e f ′(N) < 0. Logod2N

dt2< 0 e N(t) tem a concavidade

virada para baixo. Se N > 1, f(N) > 0 e f ′(N) > 0. Logo N(t) tem a concavidade

virada para cima.

(c) Solucao geral da equacao diferencial:

N(t) = 1 ou N(t) =−1 + kt + kC

k(t + C)

Note-se que a solucao de equilıbrio nao pode ser calculada a partir da solucao geral, ou

seja, qualquer que seja o valor da constante C, nunca se obtem N(t) = 1. Relembre

que esta e uma caracterıstica das equacoes diferenciais nao lineares: pode haver

solucoes que nao se obtem a partir da solucao geral. Observe-se ainda que N(t) nao

esta definida em t = −C. Relembre o Teorema da existencia e unicidade de solucao

destas equacoes. Observe que este nao nos diz em que intervalo e que a solucao da

equacao diferencial esta definida como quando as equacoes diferenciais sao lineares

de primeira ordem. Realmente, o Teorema da existencia e unicidade de solucoes e

um resultado local.

Vejamos agora como e que a solucao varia em funcao das condicoes iniciais N(0) = N0.

Ora, N(0) =−1 + kC

kC. Logo C = − 1

k(N0 − 1). A expressao da constante em funcao

das condicoes iniciais ilustra o facto de nao se poder determinar C de forma a incluir

a solucao de equilıbrio na solucao geral, pois C nao esta definida para N0 = 1.

Substituindo C na expressao da solucao geral da equacao diferencial, tem-se, para

N0 6= 1,

N(t) =kt(N0 − 1)−N0

kt(N0 − 1)− 1

N(t) nao esta definida para t = 1k(N0−1) (nao esquecer que N0 6= 1). Assim, se a

condicao inicial e da forma N(0) = N0, a solucao so esta definida em

[

0,1

k(N0 − 1)

)

.

Argumentos analogos permitem-nos analisar o comportamento para outras condicoes

iniciais.

2.

13

3. (a) Considere a equacao diferencialdN

dt= r

(

1− N

k

)

N − h. Entao

dN

dt= 0 ⇒ rN2 − krN + hk = 0 ⇒ N =

kr ±√

(kr)2 − 4hrk

2r

Logo

N1 =kr −

√

(kr)2 − 4hrk

2rN2 =

kr +√

(kr)2 − 4hrk

2r

(b)

(c) Grafico dedN

dtem funcao de N : a fazer pelo aluno.

Se N(0) = N0 > N1, entao N(t) cresce e tem a concavidade voltada para cima,

ate atingir o pontok

2. A partir daı a concavidade passa a estar voltada para baixo.

Como N(t) = N2 e ponto de equilıbrio, N(t) < N2. Logo N(t) aproxima-se de N2.

Se N0 > N2, entao N(t) decresce aproximando-se de N2 e tem a concavidade voltada

para cima. Logo N2 e ponto de equilıbrio estavel. Ou seja, se no instante t = 0,

a quantidade de peixe e superior a N1 e se a taxa de pesca e constante e inferior

ark

4, entao a quantidade de peixe presente na area sera, ao fim de algum tempo,

aproximadamente N2. Os peixinhos nao desaparecem e podemos continuar a pescar.

Do que acima foi visto, podemos tambem concluir que N1 nao e estavel, pois, para

N(0) = N0 > N1, as solucoes afastam-se de N1. Suponhamos agora que N(0) =

N0 < N1. Entao N(t) e decrescente. Logo, N(t) afasta-se de N1, ou seja, N1 e

instavel. Como N(t) = 0 nao e ponto de equilıbrio, deduzimos que se no instante

inicial o numero de peixes for inferior a N1 e a taxa de pesca for constante e inferior

ark

4, entao os peixinhos desaparecem num intervalo finito de tempo. Entretanto,

os peixinhos serao considerados uma especie em vias de extincao e a pesca deve ser

proibida ate que o seu numero seja superior a N1.

Resumindo, as solucoes da equacao diferencial tem o aspecto: a fazer pelo aluno

(d) Suponhamos agora que h >rk

4. Entao f(N) = r

(

1− N

k

)

N − h tem o grafico: a

fazer pelo aluno

Para qualquer valor N(0) = N0, N(t) e decrescente.

(e) Seja agora h =rk

4. Trace o grafico.

Note-se que f(N) = 0 quando N =k

2. Ou seja, N(t) =

k

2e ponto de equilıbrio. Se

N(0) = N0 > k2 , entao N(t) e decrescente e tem a concavidade voltada para cima.

Quando t cresce, N(t) aproxima-se de N =k

2. Se N(0) = N0 <

k

2, entao N(t)

14

decresce (e tem concavidade voltada para baixo). Logo N =k

2e ponto de equilıbrio

semi-instavel (ver problema 1).

Resumindo: Faca o esboco.

Podemos entao concluir que, sabendo que o numero de peixes e igual ou superior ak

2, a taxa maxima de pesca permitida devera ser h = r

k

4. Mas lembre-se que

k

2e

ponto de equilıbrio instavel. Logo, se alguem se lembra, um belo dia, de pescar so

um pouquinho mais que o permitido, os peixinhos vao tender a desaparecer.

Ja tentou resolver a equacao diferencial? Se nao, tente. Pois! Nao e uma equacao de

variaveis separaveis, nao e homogenea, nao e de Bernoulli e nao e exacta. Sera que

consegue, por mudanca de variavel ou outro processo, resolve-la? Se nao consegue,

nao se preocupe. Acabou de estudar o comportamento das solucoes geometricamente.

Como pode ver, o metodo geometrico pode ser extremamente util.

4. (Exercıcio resolvido de forma semelhante a um resolvido nas aulas teoricas so que rk = 1

e r = α.)

5. (a) Equacao diferencial:dy

dt= −by. Solucao geral: y(t) = Ke−bt. Solucao do problema

de valor inicial: y(t) = y0e−bt.

(b) e

(c) Equacao diferencial:dx

dt= −axy. Logo

dx

dt= −ay0xe

−bt. Donde, para x diferente

de zero (note-se que x = 0 e solucao de equilıbrio), vemdx

x= −ay0e

−btdt. Logo,

ln |x| = −ay0

∫

e−btdt+C, ou seja, x(t) = Keay0e−bt

b . Para x(0) = Keay0

b = x0, vem

K = −x0e−

ay0b . Logo a solucao e x(t) = x0e

ay0(e−bt−1)b . Ora, t → +∞ ⇒ e−bt − 1

b→

−1

b. Logo, t → +∞ ⇒ x(t) → x0e

−ay0

b .

6. Exercıcios genericos

Exercıcios de escolha multipla

1. Considere a seguinte equacao diferencial:

(3xy + y2) + (x2 + xy)y′ = 0

Esta E.D.O. e:

(a) E uma E.D. em variaveis separaveis.

15

(b) E uma E.D. exacta.

(c) E uma E.D. de Bernoulli.

(d) Pode ser transformada em exacta.

2. A mudanca de variavel w = ax + by + c reduz a E.D. y′ = f(ax + by + c) a uma E.D.

(a) De variaveis separaveis.

(b) Exacta.

(c) De Bernoulli.

(d) De segunda ordem.

3. Considere o problema de valor inicial xy′ = 3y, y(0) = 0.

(a) Nao tem solucao.

(b) So tem uma solucao.

(c) Tem varias solucoes definidas em toda a recta real.

(d) As solucoes, se existirem, estao definidas em (0,+∞).

4. A solucao geral de uma dada equacao diferencial e y(t) = C1e2x + e−x(C2 cosx+C3 sinx).

A equacao diferencial tem equacao caracterıstica

(a) r3 − r = 0.

(b) (r − 2)(r2 + 2r + 2) = 0.

(c) (r − 2)(r2 − 2r + 2) = 0.

(d) r2 + r + 2 = 0.

5. A equacao diferencial que nos permite determinar as trajectorias ortogonais a famılia de

curvas de equacao y(x) =C

xe:

(a) y′′ − y′ = 0.

(b) y′ = −y

x.

(c) y′ = − 1yx

.

(d) y′ =1yx

.

6. Considere a equacao diferencial y′′′ − y′′ − 4y′ + 4y = 0. A matriz Wronskiana de um

sistema fundamental de solucoes desta E.D. e

16

(a)

W =

ex e2x e−2x

ex 2e2x e−2x

ex e2x −2e−2x

(b)

W =

ex e3x e−2x

ex 3e3x −2e−2x

ex 9e3x 4e−2x

(c)

W =

ex e2x e−2x

ex 2e2x −2e−2x

ex 4e2x 4e−2x

(d)

W =

1 e2x e−2x

0 2e2x −2e−2x

0 4e2x 4e−2x

7. Considere o sistema X(t) = AX(t) onde A e uma matriz 2× 2 cujos valores proprios sao

distintos, reais e negativos. O diagrama de fase e

(a) Um no improprio estavel.

(b) Uma espiral estavel.

(c) Um no improprio instavel.

(d) Um ponto de sela.

8. Considere o sistema X(t) = AX(t). Suponha que as trajectorias do diagrama de fase em

torno da solucao de equilıbrio deste sistema formam um ponto de sela. O que podera dizer

sobre os valores proprios da matriz A?

(a) Sao complexos conjugados.

(b) Sao complexos conjugados, um com parte real positiva e outro com parte real negativa.

(c) Um dos valores proprios e zero.

(d) Sao reais com sinal oposto.

9. Qualquer solucao da equacao diferencial y(2) + a1y′ + a2y = 0 tende para zero quando

x → ∞ se e so se

17

(a) Qualquer raız da equacao caracterıstica tem parte real negativa.

(b) Pelo menos uma das raizes da equacao caracterıstica e negativa.

(c) As raizes da equacao caracterıstica sao reais negativas.

(d) As raizes da equacao caracterıstica sao reais.

10. A equacao diferencial homogenea de segunda ordem equivalente ao sistema X(t) = AX(t)

onde

A =

[

0 1

1 0

]

e:

(a) y′′ = 0.

(b) y′′ − y = 0.

(c) y′′ − y′ + y = 0.

(d) y′′ − y′ = 0.

11. Considere o sistema X(t) = DX(t) onde

D =

a1 0 . . . 0

0 a2 . . . 0...

......

...

0 0 . . . an

onde ai 6= aj , i 6= j. A matriz fundamental deste sistema e

(a)

ϕ(t) =

a1 0 . . . 0

1 a2 . . . 0...

......

...

1 1 . . . an

.

(b)

ϕ(t) =

ea1t 0 . . . 0

0 ea2t . . . 0...

......

...

0 0 . . . eant

.

18

(c)

ϕ(t) =

et 0 . . . 0

0 ea2t . . . 0...

......

...

t t2 . . . tn

.

(d) Nao se pode calcular.

12. Considere 4 caes A, B, C e D perseguindo-se mutuamente: A persegue B, B persegue C,

C persegue D e D persegue A. Num determinado instante os 4 animais encontram-se nos

vertices de um quadrado de lado L. Em qualquer instante os animais deslocam-se com uma

velocidade que iguala, em modulo e direccao, o segmento que liga o elemento perseguidor

ao perseguido. A equacao diferencial da trajectoria do animal A e:

(a) y′ = L.

(b) y′ =x− y

L− y − x.

(c) y′ =y − x

L.

(d) y′ − y = L.

Exercıcios de testes e exames

1. Sejam 1 e 3 os valores proprios de uma matriz A de dimensao 2× 2 e sejam (5, 2) e (2, 1)

os vectores proprios respectivos. Determine a solucao do sistema X = AX e esboce o

diagrama de fase.

(1◦ chamada - Janeiro de 1999)

2. Considere o sistema: X(t) =

1 1 0

0 1 0

0 0 2

X(t).

(a) Determine os valores proprios da matriz.

(b) Determine os vectores propios.

(c) Escreva a solucao geral do sistema.


3. Dada a equacao diferencial seguinte, mostre que e exacta e resolva-a.

dy

dt=

−(3y + et)

3t + cos y

19


4. Determine a solucao geral da equacao 2xyy′ =√

x4 − y4 + 2y2.


5. Um circuito electrico e descrito pelo sistema de equacoes diferenciais

d

dt

(

I

V

)

=

(

0 1L

− 1C

− 1RC

)(

I

V

)

onde I e a corrente atraves da indutancia e V e a queda de tensao atraves do condensador.

(a) Mostre que os valores proprios da matriz sao reais e distintos se L > 4R2C; mostre

que sao complexos se L < 4R2C.

(b) Seja R = 1 ohm, C = 0.5 farad e L = 1 henry. Encontre a solucao geral do sistema

neste caso.

(c) Determine, nas condicoes da alınea b), I(t) e V (t) se I(0) = 2 amperes e V (0) = 1

volt.

(d) Ainda para o circuito nas condicoes da alınea b), determine os valores limite de I(t)

e V (t) quando t → +∞.


6. (a) Calcule, utilizando o metodo da variacao dos parametros, a solucao da equacao

diferencial (g e uma funcao qualquer)

y′′ − 3y′ − 4y = g(x)

(b) Calcule uma solucao particular da E.D.

y′′ − 3y′ − 4y = e−x + 4

a partir das solucoes das equacoes diferenciais seguintes

y′′ − 3y′ − 4y = 4

y′′ − 3y′ − 4y = e−x


20

7. (a) Mostre que a equacao

(x + 2) sin y + x cos yy′ = 0

nao e exacta.

(b) Determine um factor integrante e resolva a equacao.


8. Utilizando o metodo do polinomio aniquilador calcule a solucao da E.D.

y′′(x) + 2y′(x) + y(x) = 3x + 4

que satisfaz a

y(0) = y′(0) = 0

(Recurso - Fevereiro de 1999)

9. (a) Resolva os sistemas seguintes e esboce os respectivos diagramas de fase.

x(t) =

[

3 −2

2 −2

]

x(t) y(t) =

[

2 0

0 −1

]

y(t)

(b) Relacione as solucoes dos dois sistemas anteriores.


10. Diga se as seguintes afirmacoes sao verdadeiras ou falsas e justifique:

(a) Para toda a matriz A existe sempre uma solucao dos sitema x(t) = Ax(t) que satisfaz

a x(0) = (1, 1).

(b) Toda a matriz invertıvel e diagonalizavel.

(c) Toda a matriz diagonalizavel e invertıvel.

(d) Se dois vectores proprios ζ1 e ζ2 correspondem a valores proprios reais e distintos,

entao o produto interno entre ambos e 0.


11. Suponhamos que se lanca um foguetao na vertical com velocidade inicial v0. Sabe-se que

para certos valores de v0 o foguetao sobe ate atingir a velocidade 0 e volta a cair na Terra.

21

Seja s(t) a distancia do foguetao ao centro da Terra em cada instante t. Em virtude das

Leis de Newton sabe-se que a aceleracaodv

dtdo foguetao satisfaz a equacao

dv

dt= −gR2

s2

onde R e o raio da Terra e g uma constante positiva.

Sabendo que no instante inicial t = 0 se tem s(0) = R e v(0) = v0, determine o menor valor

de v0 (velocidade de escape) de forma a garantir que o foguetao escape completamente

a atraccao da Terra. Sugestao: utilize o facto dedv

dt=

dv

dsv.


12. Para o sistema de equacoes diferenciais lineares:

X =

[

10 −1

4 6

]

X

determine a matriz fundamental Φ tal que Φ(0) = I. Faca um esboco do diagrama de fase

em torno da solucao de equilıbrio.


13. Sabendo que a funcao y1(x) = e2x cosx e solucao da equacao diferencial homogenea e de

coeficientes constantes y′′ + ay′ + by = 0, determine:

(a) A solucao geral, sem determinar a e b.

(b) A equacao diferencial, ou seja, determine a e b.

(c) A solucao geral da equacao y′′ + ay′ + by = e2x, utilizando o metodo do polinomio

aniquilador.


14. Determine a solucao da equacao diferencial y′ = x3−2x2y+xy2+1, efectuando a mudanca

de variavel y = x +1

z(x)que intersecta o eixo das abcissas em 2.

(2 chamada - Janeiro de 1998)

15. Considere o sistema(

x1

x2

)

=

[

0 1

−2 −3

](

x1

x2

)

(a) Relacione a solucao geral deste sistema com a equacao diferencial y ′′ + 3y′ + 2y = 0.

(b) Determine a solucao geral da equacao diferencial y ′′ + 3y′ + 2y = ex.

22

(c) Determine a solucao geral do sistema

(

x1

x2

)

=

[

0 1

−2 −3

](

x1

x2

)

+

(

0

−ex

)

utilizando as alıneas anteriores.


16. Resolva a equacao diferencial

(

1

yln y + y lnx− x2

)

y′ = 2xy − y2

2x− x lnx.


17. Considere a equacao diferencial x2z′′ + xz′ − z = 1, (x 6= 0).

(a) Efectuando a mudanca de variavel z = yx e possıvel transformar a equacao acima

numa do tipo y′′ + α(x)y′ = β(x). Determine as funcoes α(x) e β(x).

(b) Utilizando a alınea anterior resolva a equacao x2z′′+xz′− z = 1, z(1) = 3, z′(1) = 0,

e indique o maior intervalo onde a funcao esta definida.

[ Nota: se nao resolveu a) utilize α(x) = 5 e β(x) = x.]


18. Considere o sistema(

x

y

)

=

[

0 1

−1 0

](

x

y

)

(a) Determine a solucao geral deste sistema.

(b) Esboce o diagrama de fase do sistema em torno de uma solucao de equilıbrio.

(c) Relacione a solucao geral do sistema com a solucao geral da equacao diferencial y ′ =

−x

y.

(d) Considere o sistema(

x

y

)

=

[

ε 1

−1 ε

](

x

y

)

Determine a solucao geral deste sistema. Trace os diagramas de fase quando ε < 0 e

ε > 0.

(e) Suponha que |ε| e arbitrariamente pequeno. Relacione os resultados de b) com os de

d).


23

19. Considere a equacao diferencial y′′ + 2ky′ + y = 1, onde 0 < k < 1. Determine:

(a) uma solucao da equacao.

(b) a solucao geral da equacao homogenea associada.

(c) a solucao que obedece a y(0) = 0 e y′(0) = 0.

(d) min{τ ∈ R+ : y(τ) = 1}.


20. Considere a equacao diferencial y′′′ − y′′ + 4y′ − 4y = ex + 1.

(a) Determine o espaco de solucoes da equacao homogenea associada.

(b) Determine a solucao da equacao diferencial que satisfaz as condicoes: y(0) = − 1

4;

y′(0) = 0 e y′′(0) =11

2.


21. Considere o sistema:

{

x = x + 2y + x cos y

y = −y − sin y

(a) Verifique que a funcao F (t) = (x(t), y(t)) = (0, 0) e solucao deste sistema. Resolva a

equacao diferencial y′(x) = f(x, y) que se obtem dividindo y(t) por x(t).

(b) A partir dos desenvolvimentos em serie de cos y e sin y, ignorando todas as potencias

da forma xnym, com n + m > 1 verifique que se obtem o sistema:

{

x = 2x + 2y

y = −2y

Resolva este sistema e esboce o diagrama de fase em torno da solucao de equilıbrio

(0, 0).

(c) Esboce no plano de fase, com cuidado, a solucao do sistema obtido na alınea b)

que satisfaz as condicoes (x(0), y(0)) = (1,−2). Esboce ainda a solucao da equacao

diferencial obtida em a) que satisfaz a condicao inicial y(1) = −2, ou o que e o mesmo,

x(−2) = 1.

[Sug: faca o esboco considerando quatro pontos diferentes, proximos da origem, por

onde passa essa solucao e calcule ainda o limite de x(y) quando y −→ 0. Considere

sin 2 ' 0.9].

Compare os esbocos e comente.


22. Considere a equacao diferencial x2y′′ + a0y = 3x2.

24

(a) Determine a0 de forma a que x2 lnx seja solucao da equacao.

(b) Substituindo a0 pelo valor encontrado em a), resolva a equacao diferencial efectuando

a mudanca de variavel x = et.

(c) Determine a solucao da equacao diferencial que satisfaz as condicoes: y(1) = 0;

y′(1) = 1.


23. Considere o sistema de equacoes diferenciais:

{

x1 = x1 + ax2

x2 = x2 − ax1

, a > 0. Determine a

matriz fundamental de solucoes Φ(t) que satisfaz Φ(0) = I, onde I representa a matriz

identidade.


24. Considere o sistema:[

x

y

]

=

[

32 −1

2

−12

32

][

x

y

]

(a) Resolva o sistema e trace o diagrama de fase em torno da solucao de equilıbrio (0, 0).

(b) Considere a equacao diferencial y′(x) = f(x, y) que se obtem dividindo y(t) por x(t).

Relacione a solucao geral da equacao diferencial com a solucao geral do sistema.

(c) Trace a solucao do sistema que satisfaz a condicao inicial x(0) = 1 e y(0) = −1 e a

solucao da equacao diferencial que satisfaz a condicao inicial y(1) = −1. Comente o

resultado.


25. Considere a equacao diferencial x2 + y2(x)a(x) + 2xy(x)a(x)y′(x) = 0.

(a) Determine a funcao a : R → R tal que a(0) = 4 e a equacao diferencial seja exacta.

(b) Determine a solucao da equacao diferencial que satisfaz y(3) = 1 e o domınio onde essa

solucao e valida. ( Se nao resolveu a alınea a) considere a equacao x2+y2+2xyy′ = 0.)


26. Considere a equacao diferencial y′′(t) + 2y′(t)− 3y(t) = f(t).

(a) Seja f(t) = 0. Resolva a equacao diferencial.

25

(b) Tranforme a equacao diferencial de a) num sistema de equacoes diferenciais da forma:[

x1(t)

x2(t)

]

= A

[

x1(t)

x2(t)

]

. Resolva o sistema e analise a relacao entre a solucao geral

do sistema e a da equacao diferencial.

(c) Determine uma matriz fundamental Φ(t) do sistema obtido em b) e escreva a solucao

geral do sistema em termos de Φ.

(d) Considere de novo a equacao diferencial dada quando f(t) = e3t. Resolva-a. Verifique

ainda que esta equacao diferencial nao homogenea pode ser transformada num sistema

da forma[

x1(t)

x2(t)

]

= A

[

x1(t)

x2(t)

]

+

[

0

e3t

]

,

onde A e a matriz obtida na alınea b).

(e) Com base na solucao da equacao diferencial y′′(t)+2y′(t)−3y(t) = e3t, verifique que a

solucao do sistema na alınea anterior e dada por x(t) = Φ(t)C+Φ(t)

∫ t

0Φ−1(s)g(s) ds,

onde x(t) = (x1(t), x2(t))T , Φ e a matriz fundamental obtida em c), C e um vector

constante e g(s) =

(

0

e3s

)

(Nota: para integrar uma matriz ou vector de funcoes, integra-se componente a com-

ponente, obtendo-se ainda uma matriz ou vector com as mesmas dimensoes.)


27. Seja L = D2 + a1D + a0I um operador diferencial de ordem 2 cujos coeficientes a1 e a0

sao funcoes contınuas num intervalo J . Considere a equacao diferencial Ly = 0 e suponha

que y1 e solucao dessa equacao diferencial que nunca se anula em J . Seja c ∈ J qualquer

e considere a funcao y2(x) = y1(x).G(x) onde G(x) =

∫ x

c

r(t)

y21(t)

dt e r(t) = e−∫

a1(t)dt.

(a) Mostre que y2 e solucao da equacao diferencial. Recorde que G′(x) =r(x)

y21(x)

.

(b) Mostre que y1 e y2 sao linearmente independentes.

(4 - Janeiro 2000)

28. Considere as matrizes

A =

[

1 1

0 0

]

B =

[

1 −1

0 0

]

(a) Calcule eA, eB, e(A+B) e conclua que eAeB 6= e(A+B).

26

(b) Determine as solucoes dos sistemas x(t) = Ax(t) e x(t) = (A + B)x(t).

(c) Determine o diagrama de fase do sistema x(t) = Ax(t).

(4 - Janeiro 2000)

29. Considere a matriz

A =

−2 1 0

0 −2 0

0 0 −2

e o sistema de equacoes diferenciais x(t) = Ax(t).

(a) Calcule os valores, vectores proprios e, se os houver, vectores proprios generalizados,

de A.

(b) Determine a matriz de Jordan de A.

(c) Calcule a solucao geral do sistema dado.

(4 - Janeiro 2000)

30. Seja x > 0 e g(x) =

∫ x

1

et

tdt.

(a) Verifique que a funcao f(x) = eg(x) e solucao da equacao diferencial

x2y′′ + xy′ − ex(ex + x)y = 0.

(b) Use a informacao da alınea anterior para determinar todas as solucoes da equacao

diferencial no intervalo (0,+∞).

Sugestao: a mudanca de variavel y(x) = z(x)f(x) podera ser util.

(25- Janeiro 2000)


A =

[

1 0

0 −1

]

B =

[

−2 0

0 −2

]

(a) Verifique que eAeB = e(A+B).

(b) Determine as solucoes dos sistemas x(t) = Ax(t), x(t) = Bx(t) e x(t) = (A+B)x(t).

(c) Trace os diagramas de fase das solucoes de x(t) = Ax(t) e x(t) = Bx(t).

(25- Janeiro 2000)

27


A =

0 −1 0

1 0 0

0 0 −1

B =

[

0 −1

1 0

]

(a) Calcule os valores proprios e os vectores proprios destas duas matrizes.

(b) Determine a solucao geral dos sistemas x(t) = Ax(t) e x(t) = Bx(t).

(c) Desenhe o diagrama de fase do sistema x(t) = Bx(t) assinalando convenientemente

a solucao do sistema que satisfaz a condicao inicial x(0) = (0, 1)T .

(25- Janeiro 2000)

33. Considere a equacao diferencial

4x2y′′ + 4xy′ − y = 0.

(a) Mostre que existe um m > 0 tal que y(x) = xm e solucao da equacao diferencial para

x > 0.

(b) Determine todas as solucoes da equacao diferencial dada para x > 0.

Sugestao: a mudanca de variavel y(x) = z(x)y(x) podera ser util.

(8- Fev 2000)

34. Seja k(t) > 0 para todo o t. Seja

A(t) =

[

0 k2(t)

−k2(t) 0

]

.

Seja x(t) = (x1(t), x2(t))T ∈ R2 e considere o sistema x(t) = A(t)x(t).

(a) Mostre que[

x1(t)

x2(t)

]

=

[

cos(r(t)) sin(r(t))

− sin(r(t)) cos(r(t))

][

x1(0)

x2(0)

]

e solucao do sistema de equacoes diferenciais onde r(t) =

∫ t

0k2(σ)dσ.

(b) Mostre que x1 e solucao da equacao diferencial

y′′(t)− 2k′(t)

k(t)y′(t) + k4(t)y(t) = 0

(8- Fev 2000)

28


A =

[

12 −3

2

−32

12

]

B =

[

−1 0

0 2

]

e os sistemas x(t) = Ax(t) e x(t) = Bx(t).

(a) Calcule os valores proprios e os vectores proprios destas duas matrizes.

(b) Determine a solucao geral dos sistemas x(t) = Ax(t) e x(t) = Bx(t).

(c) Calcule os limt→+∞

x1(t) onde x1 e a primeira componente de x e x e, respectivamente,

(i) a solucao do sistema do x(t) = Bx(t) que satisfaz a x(0) = (1, 0)T , (ii) a solucao

do sistema do x(t) = Bx(t) que satisfaz a x(0) = (0, 1)T e (iii) a solucao do sistema

do x(t) = Bx(t) que satisfaz a x(0) = (1, 1)T .

(d) Desenhe os diagramas de fase dos dois sistemas.

(8- Fev 2000)

7. Mini-Testes: 7 de Dezembro 1999

1. Considere a seguinte equacao diferencial (x2 + y2 − x) − yy′ = 0. Um factor integrante

desta equacao e

(a) h(x) = 2.

(b) h(x) = 0.

(c) h(y) = y.

(d) h(x, y) =1

x2 + y2.

2. Considere a seguinte equacao diferencial x2y′′ − 3xy′ + 3y = 0. Sabendo que y1(x) = x

e uma solucao da equacao diferencial, podemos concluir que todas as funcoes da seguinte

forma sao solucoes da equacao diferencial

(a) y(x) = c1x + c2, ∀c1, c2 ∈ R.

(b) y(x) = c1x + c2ex, ∀c1, c2 ∈ R.

(c) Nao ha mais qualquer uma solucao.

(d) y(x) = c1x + c2x3

2, ∀c1, c2 ∈ R.

29

3. Se uma certa funcao f pode ser representada por uma serie de Taylor em torno do ponto

a, a serie de Taylor e dada por∞∑

n=0

f (n)(a)

n!(x − a)n. Sendo y a solucao do problema de

valor inicial y′′ − 2y′ + y = 0, y(1) = 0, y′(1) = 1 pode ser representada pela serie

(a) (x− 1)∞∑

n=0

(x− 1)n

n!, (b)

∞∑

n=0

(x− 1)n

n!

(c)

∞∑

n=0

xn

n!, (d) Nao tem representacao em serie de Taylor.

4. Considere o problema de valor inicial y′ = 2 cos(2x), y(0) = 0. Como y1(x) = sin(2x) e

y2(x) = 2 sin(x) cos(x) sao solucoes do problema de valor inicial, concluimos que

(a) A equacao diferencial tem duas solucoes linearmente independentes.

(b) y2(x) = y1(x) em toda a recta real.

(c) A equacao diferencial nao satisfaz o teorema da existencia e unicidade.

(d) y2(x) = y1(x) apenas em algum intervalo que nao contenha 0.

5. Considere a equacao diferencial y′′′ − 4y′ = 0. A matriz Wronskiana de um sistema

fundamental de solucoes desta E.D. e

(a) W =

1 0 0

ex 2e2x e−2x

ex e2x −2e−2x

(b) W =

ex e2x e−2x

ex 2e2x −2e−2x

ex 4e2x 4e−2x

(c) W =

1 e2x e−2x

0 2e2x −2e−2x

0 4e2x 4e−2x

(d) W =

ex ex ex

e2x 2e2x 4e2x

e−2x −2e−2x 4e−2x

6. Qual e o operador linear diferencial, de coeficientes constantes, de menor ordem para o

qual a funcao g(x) = xex + 4 cos(2x) e solucao?

(a) Q = (D − I)2(D2 + 4I).

(b) Q = (D − I)D(D2 + 4I).

(c) Q = (D − 2I)(D − I).

(d) Q = (D − I)(D2 + 4I).

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ANALISE¶ MATEMATICA¶ 3 PARTE B EQUAC»OES~ …paginas.fe.up.pt/amIII/pdf_files/exerc_equacoes_diferenciais.pdf · (a) Determine o campo de direc»c~oesda equa»c~ao. (b) A partir