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Universidade de Coimbra
Engenharia Civil
Analise Matematica III
Textos de apoio as aulas teoricas
Armando Goncalves
2005
Conteudo
1 Calculo diferencial em Rn 1
1.1 Produto interno, norma e metrica em Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Algumas nocoes topologicas em Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.3 Funcoes reais definidas em Rn. Limites e continuidade. Algumas propriedades
das funcoes contınuas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.4 Derivacao parcial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.5 Mudanca na ordem de derivacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.6 Significado geometrico das derivadas parciais de primeira ordem . . . . . . . . . . 10
1.7 Funcoes diferenciaveis e diferencial de uma funcao . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.8 Regras de derivacao das funcoes compostas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.9 Generalizacao de alguns resultados anteriores a funcoes definidas em Rn e com
valores em Rm. Derivada direccional; gradiente e matriz jacobiana. Divergencia
e rotacional. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.10 Derivadas direccionais de ordem superior a primeira, para funcoes reais definidas
em Rn. Formula de Taylor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.11 Funcoes implıcitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.12 Planos tangentes e rectas normais a superfıcies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.13 Optimizacao de funcoes reais de n variaveis reais . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.13.1 Extremos livres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.13.2 Extremos condicionados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
1.14 Funcoes homogeneas. Teorema de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2 Equacoes diferenciais de ordem n 42
2.1 Equacoes diferenciais ordinarias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.2 Equacoes diferenciais, ordinarias e lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.3 Equacoes lineares, homogeneas e de ordem n. Wronskiano. . . . . . . . . . . . . 45
2.4 Equacao linear, completa e de ordem n. Metodo de Lagrange ou de variacao das
constantes arbitrarias. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.5 Equacao linear, homogenea, com coeficientes constantes e de ordem n . . . . . . 49
i
2.6 Equacao linear, completa, com coeficientes constantes e de ordem n. Metodo do
polinomio anulador. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
2.7 Equacao linear, completa e de ordem n. Metodo de D’Alembert ou de abaixam-
ento de ordem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
ii
1 Calculo diferencial em Rn
1.1 Produto interno, norma e metrica em Rn
Sendo n um numero natural, consideraremos Rn := {(x1, . . . , xn) : xi ∈ R, i = 1, . . . , n}.(Rn, +, ·) e um respaco vectorial sobre R, com, para (x1, . . . , xn) ∈ Rn, (y1, . . . , yn) ∈ Rn, λ ∈
R, as operacoes + e · definidas por
(x1, . . . , xn) + (y1, . . . , yn) = (x1 + y1, . . . , xn + yn)
λ · (x1, . . . , xn) = (λx1, . . . , λxn)
A base canonica de Rn e constituıda pelos vectores (1,0,. . . ,0), (0,1,0,. . . ,0),. . . ,(0,. . . ,0,1).
Munido do produto interno < ·, · > definido por
< (x1, . . . , xn), (y1, . . . , yn) > :=n∑
i=1
xiyi,
Rn e designado por espaco euclidiano de dimensao n.
Sendo (x1, . . . , xn) ∈ Rn, (y1, . . . , yn) ∈ Rn e λ ∈ R, no espaco (normado) Rn consideraremos
a norma || · ||, definda por
||(x1, . . . , xn)|| :=√
x21 + . . . + x2
n .
Observacao 1.1 E facil provar que
||(x1, . . . , xn)|| ≥ 0,
||λ(x1, . . . , xn)|| = |λ| ||(x1, . . . , xn)||
||(x1, . . . , xn) + (y1, . . . , yn)|| ≤ ||(x1, . . . , xn)||+ ||(y1, . . . , yn)||
||(x1, . . . , xn)|| = 0 =⇒ x = 0.
Alem disso,
||(x1, . . . , xn)|| =√
< (x1, . . . , xn), (x1, . . . , xn) > .
E ainda conhecido o facto de, em Rn, poderem ser definidas outras normas.
Sendo (x1, . . . , xn) ∈ Rn, (y1, . . . , yn) ∈ Rn, no espaco(metrico) Rn consideraremos a distancia
ou metrica d(·, ·), definida por
d((x1, . . . , xn), (y1, . . . , yn)) := ||(x1, . . . , xn)− (y1, . . . , yn)||.
1
Observacao 1.2 E facil provar que
d((x1, . . . , xn), (y1, . . . , yn)) ≥ 0
d((x1, . . . , xn), (y1, . . . , yn)) = d((x1, . . . , xn), (y1, . . . , yn))
d((x1, . . . , xn), (y1, . . . , yn)) ≤ d((x1, . . . , xn), (z1, . . . , zn)) + d((z1, . . . , zn), (y1, . . . , yn))
d((x1, . . . , xn), (y1, . . . , yn)) = 0 =⇒ (x1, . . . , xn) = (y1, . . . , yn).
Exemplo 1.3 Se n = 1, d(x, y) designa o comprimento do segmento de extremidades x e y.
Se n = 2, d((x1, x2), (y1, y2)) designa o comprimento do segmento de recta que une os pontos
do plano de coordenadas (x1, x2) e (y1, y2).
1.2 Algumas nocoes topologicas em Rn
Sejam x um elemento do espaco (metrico) Rn e α um real positivo.
Definicao 1.4 Chama-se bola aberta de centro em x e raio α ao conjunto
B(x, α) := {y ∈ Rn : d(x, y) < α}
Definicao 1.5 Chama-se bola fechada de centro em x e raio α ao conjunto
B(x, α) := {y ∈ Rn : d(x, y) ≤ α}
Definicao 1.6 Chama-se vizinhanca de x a qualquer subconjunto V de Rn que contenha alguma
bola aberta centrada em x.
Observacao 1.7 Toda a bola aberta centrada em x e vizinhanca de x.
Definicao 1.8 Um subconjunto de Rn e limitado se existir alguma bola aberta que o contenha.
Seja S um subconjunto nao vazio de Rn.
Definicao 1.9 x e ponto interior de S se S contiver alguma bola aberta centrada em x.
Observacao 1.10 x e ponto interior de S se e so se S e vizinhanca de x.
Definicao 1.11 x e ponto exterior de S se for interior a Rn \ S.
2
Definicao 1.12 x e ponto fronteiro de S se nao for nem ponto interior nem exterior de S.
Observacao 1.13 x e ponto fronteiro de S se e so se qualquer bola aberta centrada em x tiver
interseccao nao vazia com S e com Rn \ S.
Problema 1.14 Um elemento de Rn \ S sera necessariamente um ponto exterior de S?
Definicao 1.15 O conjunto de todos os pontos interiores de S designa-se por interior de S e
nota-se por int S.
O conjunto de todos os pontos exteriores de S designa-se por exterior de S e nota-se por ext S.
O conjunto de todos os pontos fronteiros de S designa-se por fronteira de S e nota-se por fr S.
Definicao 1.16 O fecho de S e o conjunto S := S ∪ fr S.
Definicao 1.17 S e aberto se for igual ao seu interior.
Observacao 1.18 S e aberto se e so se S ∩ fr S 6= ∅.
Definicao 1.19 S e fechado se for igual ao seu fecho.
Observacao 1.20 S e fechado se e so se fr S ⊆ S.
Observacao 1.21 S e fechado se e so se Rn \ S e aberto.
Definicao 1.22 x e ponto de acumulacao de S se, para toda a bola aberta B(x, α), se verificar
(B(x, α) \ {x}) ∩ S 6= ∅.
Definicao 1.23 O conjunto dos pontos de acumulacao de S designa-se por derivado de S e
nota-se S′.
Observacao 1.24 Nem todos os elementos de S sao necessariamente pontos de acumulacao de
S.
Definicao 1.25 x e um ponto isolado de S se pertence a S mas nao e ponto de acumulacao
desse conjunto.
Exercıcio 1.26 Determine o interior, o fecho e o derivado dos conjuntos S1 = {(x, y) ∈ R2 :
x2 + y2 ≤ 1 ∧ y > 0} e S2 = [0, 1]× [0, 1[.
Sera algum desses conjuntos aberto ou fechado?
3
1.3 Funcoes reais definidas em Rn. Limites e continuidade. Algumas pro-
priedades das funcoes contınuas.
Seja D um subconjunto nao vazio de Rn.
Uma funcao real f de n variaveis reais e uma correspodencia que a cada elemento x de D,
associa um e so um real y := f(x).
Definicao 1.27 O domınio de f e D.
O contradomınio de f e o conjunto {y ∈ R : y = f(x), x ∈ D}.O grafico de f e o subconjunto de Rn+1 assim definido: {(x, f(x)) ∈ Rn+1 : x ∈ D}.
Em muitos casos, o grafico de f nao e simples de representar geometricamente.
Nesses casos, usam-se as chamadas curvas de nıvel.
Definicao 1.28 Uma curva de nıvel de f , de valor k, e o conjunto {x ∈ D : f(x) = k}.
Relativamente a funcao f(x, y) =sin x
y, insere-se, em seguida, uma parte do grafico de e
algumas curvas de nıvel.
0
2
4
6
0
1
2
3
-2
-1
0
1
2
-2
-1
0
1
4
1 2 3 4 5 6
-1
-0.5
0.5
1
Definicao 1.29 Seja a um ponto de acumulacao de D.
l e o limite de f(x) no ponto a, se
∀δ > 0∃ε > 0 : x ∈ ((B(a, ε) \ {a}) ∩ D) =⇒ f(x) ∈ B(l, δ).
Notaremos
l := limx→a
f(x).
Observacao 1.30 E evidente que
l = limx→a
f(x)
se e so se
∀δ > 0∃ε > 0 : (0 < ||x− a|| < ε ∧ x ∈ D) =⇒ |f(x)− l | < δ.
Definicao 1.31 Sejam a e v elementos fixos de Rn.
O limite direccional de f(x), no ponto a e segundo a direccao e o sentido de v e definido por
limt→0+
f(a + tv).
O teorema que se segue tem demonstracao imediata.
Teorema 1.32 Se
limx→a
f(x) = k
entao
limt→0+
f(a + tv) = k,
para os limites direccionais de f(x) no ponto a e segundo a direccao e sentido de qualquer v ∈ Rn.
5
Observacao 1.33 Para que exista
limx→a
f(x)
e necessario que todos os limites direccionais de f(x) no ponto a existam e tomem o mesmo
valor.
Exemplo 1.34 Determine o valor dos limites direccionais, na origem, de f(x, y) =x2 − y2
x2 + y2.
Conclua que nao existe
lim(x,y)→(0,0)
f(x, y)
Observacao 1.35 Podem existir todos os limites direcionais de f(x) em a e serem todos iguais,
sem no entanto existir
limx→a
f(x).
Antes de apresentarmos um exemplo que ilustre a observacao anterior, vamos definir os limites
trajectoriais.
Definicao 1.36 Seja C uma curva (trajectoria) de D tal que a ∈ C.O limite trajectorial de f(x), no ponto a, ao longo de C, e L, e nota-se
limx → a
x ∈ C
f(x)
se
∀δ > 0∃ε > 0 : (0 < ||x− a|| < δ ∧ x ∈ C) =⇒ |f(x)− L| < ε.
Observacao 1.37 Nas condicoes da definicao anterior, e evidente que
limx→a
f(x) = L
se e so se segundo qualquer trajectoria C,
limx → a
x ∈ C
f(x) = L.
6
Observacao 1.38 Seja f(x, y) =xy3
x2 + y6.
Calcule os limites direccionais, na origem.
Existira
lim(x,y)→(0,0)
f(x, y) ?
O teorema seguinte tem uma demonstracao de tipo semelhante ao correspondente resultado para
funcoes de uma so variavel real.
Teorema 1.39 Seja a um ponto de acumulacao dos domınios de f e g.
Supondo que existem os limites que a seguir se referem,
1.
limx→a
(f(x) + g(x)) = limx→a
f(x) + limx→a
g(x);
2. Sendo α ∈ R, entao
limx→a
(αf(x)) = α limx→a
f(x);
3.
limx→a
(f(x)g(x)) = limx→a
f(x) limx→a
g(x);
4. Se limx→a
g(x) 6= 0, entao
limx→a
f(x)g(x)
=limx→a
f(x)
limx→a
g(x).
Seja f uma funcao de domınio D e a∈ D.
Definicao 1.40 f e contınua em a se limx→a
f(x) = f(a).
Observacao 1.41 f e contınua em a se e so se
∀δ > 0∃ε > 0 : (0 < ||x− a|| < ε ∧ x ∈ D) =⇒ |f(x)− f(a)| < δ.
O teorema seguinte tem uma demonstracao semelhante ao correspondente resultado para funcoes
de uma so variavel real.
7
Teorema 1.42
1. Se f e g sao contınuas em a, entao f + g e f · g sao contınuas em a.
Se f e g sao contınuas em a e, alem disso, g(a) 6= 0, entaof
ge contınua em a.
2. Se f e contınua em a e g e contınua em f(a), entao g ◦ f e contınua em a.
3. Se f e contınua em a e f(x) 6= 0, entao existe uma bola aberta B(a, α) na qual f(x)
mantem o mesmo sinal que toma em a.
1.4 Derivacao parcial
Em todo este paragrafo, para simplificacao de notacoes, restringir-nos-emos a funcoes de duas
variaveis reais.
Seja f uma funcao de duas variaveis reais, com domınio D, e (a, b) um elemento de D.
Fixando y = b, obtemos a funcao de uma variavel real, definida por φ(x) := f(x.b).
Se φ for derivavel em a, sabemos que
φ′(a) := limh→0
φ(a + h)− φ(a)h
= limh→0
f(a + h, b)− f(a, b)h
.
Definicao 1.43 Da-se o nome de derivada parcial de f(x, y), em ordem a x, no ponto (a, b), e
nota-se fx(a, b) ou∂f
∂x(a, b), a expressao fx(a, b) := φ′(a).
A derivada parcial de f(x, y) em ordem a y, no ponto (a, b), que se notara fy(a, b) ou∂f
∂y(a, b),
define-se por fy(a, b) := limh→0
f(a, b + h)− f(a, b)h
.
Exemplo 1.44 Sendo f(x, y) = y3 + y2 + xy2 + x2 + 1, entao fx(0, 1) = 1 e fy(0, 1) = 5.
Seja S ⊆ D o conjunto de elementos de D nos quais fx esta definida.
A funcao derivada parcial de f em ordem a x e a funcao fx de domınio S, que a cada elemento
(x, y) de S associa fx(x, y).
De modo analogo se define a funcao derivada parcial de f em ordem a y.
Exemplo 1.45 Sendo f(x, y) = y6 + x6y + 1, entao fx(x, y) = 6x5y e fy(x, y) = 6y5 + x6.
Ambas as derivadas parciais tem por domınio R2.
fx e fy podem, por sua vez, admitir derivadas parciais.
8
Definicao 1.46
1. A derivada parcial de segunda ordem e relativa a x, notada por fx2 ou∂2f
∂x2, e definida por
fx2 := (fx)x .
2. De modo analogo a derivada parcial de segunda ordem e relativa a y, notada por fy2 ou∂2f
∂y2, e definida por
fy2 := (fy)y .
3. A derivada parcial de segunda ordem e primeiro relativamente a y depois em ordem a x,
notada por fyx ou∂2f
∂x∂y, e definida por
fyx := (fy)x .
4. A derivada parcial de segunda ordem e primeiro relativamente a x depois em ordem a y,
notada por fxy ou∂2f
∂y∂x, e definida por
fxy := (fx)y .
A partir das derivadas de segunda ordem podem-se definir as de terceira ordem e assim suces-
sivamente.
Problema 1.47 Sendo k ≥ 1, qual o numero de derivadas de ordem k que poderao ser definidas
(embora algumas possam ter o mesmo valor)?
Exemplo 1.48 Sendo f(x, y) = y3+x3+2x2y+x+1, entao fx2(x, y) = 6x+4y, fy2(x, y) = 6y
e fxy(x, y) = fyx(x, y) = 4x.
1.5 Mudanca na ordem de derivacao
Passamos a enunciar o Teorema de Schwarz.
Teorema 1.49 Sejam f uma funcao real definida em D ⊆ R∈ e (a, b) um ponto interior de D.
Se fx, fy, fxy e fyx existem em alguma bola aberta B((a, b), δ) e se fxy e fyx sao contınuas
em (a, b), entao
fxy(a, b) = fyx(a, b).
9
As hipoteses do Teorema de Schwarz podem ser enfraquecidas e, como pode ser consultado no
livro de Dias Agudo, podemos enunciar o seguinte resultado:
Teorema 1.50 Sejam f uma funcao real definida em D ⊆ R2 e (a, b) um ponto interior de D.
Se fx, fy e fxy existem em alguma bola aberta B((a, b), δ) e se fxy e contınua em (a, b),
entao fyx tambem esta definida em (a, b) e fyx(a, b) = fxy(a, b).
1.6 Significado geometrico das derivadas parciais de primeira ordem
Seja f uma funcao real de domınio D ⊆ R2.
Seja
S := {(x, y, z) ∈ R3 : (x, y) ∈ D ∧ z = f(x, y)}.
A superfıcie S representa o grafico de f .
Intersectando S com o plano Π, de equacao y = b, obtem-se uma linha L que pode ser
entendida como o grafico de de uma funcao real φ, de uma variavel real, definida por φ(x) :=
f(x, b).
φ tem por domınio o conjunto {x ∈ R : (x, b) ∈ D}.Seja r a recta tangente a L num ponto (a, b, f(a, b).
fx(a, b) = φ′(a) e o declive da recta r, contida em Π, isto e, tem o valor da tangente da
medida do angulo que r faz com a recta de definida por y = b e z = 0.
Na pagina seguinte damos uma ideia geometrica do que acabamos de expor.
1.7 Funcoes diferenciaveis e diferencial de uma funcao
Definicao 1.51 Seja (a, b) um ponto interior do domınio D da funcao real de duas variaveis
reais f .
f e diferenciavel em (a, b) se existir alguma bola aberta B((a, b), δ) tal que, para quaisquer
reais h e k satisfazendo (a + h, b + k) ∈ B((a, b), δ), se verifica
f(a + h, b + k)− f(a, b) = αh + βk + ερ,
com α e β reais fixos, ρ :=√
h2 + k2 e ε uma funcao de h e k tal que limρ→0
ε = 0.
10
11
Mantendo as notacoes da definicao anterior, temos
Teorema 1.52 Se f e diferenciavel em (a, b), entao e contınua e admite derivadas parciais de
primeira ordem nesse ponto.
Alem disso, α = fx(a, b) e β = fy(a, b).
Demonstracao. Seja f diferenciavel em (a, b). Entao
limρ→0
f(a + h, b + k)− f(a, b) = 0.
Logo,
∀µ > 0∃ θ > 0 : 0 < ρ = ||(a + h, b + k)− (a, b)|| < θ =⇒ |f(a + h, b + k)− f(a, b)| < µ.
Entao
∀µ > 0∃ θ > 0 : 0 < ||(x, y)− (a, b)|| < θ =⇒ |f(x, y)− f(a, b)| < µ.
Tal significa que
lim(x,y)→(a,b)
f(x, y) = f(a, b),
o que permite concluir que f e contınua em (a, b).
Para provar que α = fx(a, b), comece-se por se notar que da definicao de diferenciabilidade
de f em (a, b) se conclui, para k = 0, que
limh→0
f(a + h, b)− f(a, b)h
= limh→0
(α +
ε(h, 0)ρh
)= lim
h→0
(α + ε(h, 0)
√h2 + 0h
)= α,
ja que limh→0
ε(h, 0) = 0 e|h|h
e limitada.
Logo fx(a, b) existe e α = fx(a, b).
De modo analogo se prova que β = fy(a, b).
Corolario 1.53 Se f e diferenciavel em (a, b), entao
f(a + h, b + k)− f(a, b) = fx(a, b)h + fy(a, b)k + ερ.
Observacao 1.54 O recıproco do teorema 1.52 nao e verdadeiro, como se pode ver no exemplo
que se segue.
12
Exemplo 1.55 Seja f(x, y) =√|xy|.
E evidente que f e contınua em R2.
Alem disso, fx(0, 0) = fy(0, 0) = 0.
Se f fosse diferenciavel em (0, 0) terıamos, por um lado
√|hk| = f(h, k)− f(0, 0) = 0h + 0k + ερ
donde
limρ→0
√|hk|ρ
= limρ→0
ε = 0.
Por outro lado, para k = h, terıamos
lim(h,k)→(0,0)
√|hk|ρ
= limh→0
√h2
√2h2
=√
22
.
Chegamos assim a conclusoes contraditorias, pelo que f nao e diferenciavel em (0, 0).
Temos, no entanto, o seguinte resultado
Teorema 1.56 Seja f uma funcao real de domınio D ⊆ R2.
Se f admitir derivadas parciais de primeira ordem numa bola aberta B ((a, b), δ) contida em
D e se essas derivadas parciais forem contınuas em (a, b), entao f e diferenciavel em (a, b).
Observacoes 1.57
1. Dias Agudo provou o seguinte resultado
”Seja f uma funcao real de domınio D ⊆ R2.
Se f admitir derivadas parciais de primeira ordem numa bola aberta B ((a, b), δ) contida
em D e se pelo menos uma dessas derivadas parciais for contınuas em (a, b), entao f e
diferenciavel em (a, b).”
2. Verificamos que se f admite derivadas parciais em (a, b) tal nao garante a diferenciabili-
dade de f em (a, b).
No entanto, se as derivadas parciais sao contınuas em (a, b), entao f e diferenciavel em
(a, b).
13
3. Se f e diferenciavel em (a, b), entao (a, b) e um ponto do domınio tanto de fx como de
fy.
No entanto, como se vera no exemplo seguinte, fx e fy poderao nao ser contınuas em
(a, b).
Exemplo 1.58 Considere a funcao f definida por
f(x, y) =
x2 sin1x
, x 6= 0
0, x = 0.
e repare que,
1.
fx(x, y) =
2x sin1x− cos
1x
, x 6= 0
0, x = 0
e
fy(x, y) = 0;
2. f e diferenciavel em (0, 0);
3. fx e fy estao definidas em (0, 0);
4. fx nao e contınua em (0, 0).
Definicao 1.59 Seja f uma funcao real de duas variaveis reais diferenciavel em (a, b).
Chama-se diferencial de f , no ponto (a, b), relativamente ao vector ~v := (h, k), e nota-se
(df)~v(a, b), a expressao
(df)~v(a, b) := hfx(a, b) + kfy(a, b).
Definicao 1.60 Mantendo as notacoes da definicao anterior, sejam h := dx e k := dy (dife-
renciais das variaveis independentes).
Chama-se diferencial total de f , no ponto (a, b), e nota-se df(a, b), a expressao
df(a, b) := fx(a, b)dx + fy(a, b)dy.
Chama-se acrescimo de f , em (a, b), e nota-se ∆f(a, b), a expressao
∆f(a, b) := f(a + dx, b + dy)− f(a, b).
14
Observacao 1.61 Para valores ”suficientemente pequenos”de dx e dy, df(a, b) e uma boa aprox-
imacao de ∆f(a, b).
Logo, df(a, b)+f(a, b) e uma boa aproximacao de f(a+dx, b+dy), ja que f(a+dx, a+dy) =
∆f(a, b) + f(a, b).
1.8 Regras de derivacao das funcoes compostas
Teorema 1.62 Sejam z := f(x, y), x := φ(t) e y := ψ(t), com f uma funcao real de duas
variaveis reais, φ e ψ funcoes reais de uma variavel real.
Supondo que φ e ψ sao diferenciaveis em t0 e f e diferenciavel em (a, b), com a := φ(t0)
e b := ψ(t0), entao, sendo u(t) := f(φ(t), ψ(t)), temos
du
dt(t0) =
∂f
∂x(a, b)
dx
dt(t0) +
∂f
∂y(a, b)
dy
dt(t0).
Demonstracao. Iremos tentar determinar o valor de
limh→0
u(t0 + h)− u(t0)h
.
Nesse sentido, repare-se que
u(t0 + h)− u(t0) = f(φ(t0 + h), ψ(t0 + h)− f(φ(t0), ψ(t0))
= f(a + ∆φ, b + ∆ψ)− f(a, b)
= ∆φfx(a, b) + ∆ψfy(a, b) + ερ
= fx(a, b)(hφ′(t0) + ε1hh) + fy(a, b)(hψ′(t0) + ε2hh) + ερ
= h(fx(a, b)φ′(t0) + fy(a, b)ψ′(t0)) + ε1hhfx(a, b) + ε2hhfy(a, b) + ερ.
Logo,
limh→0
u(t0 + h)− u(t0)h
= fx(a, b)φ′(t0) + fy(a, b)ψ′(t0) + limh→0
ερ
h
= fx(a, b)φ′(t0) + fy(a, b)ψ′(t0) + limh→0
ε
√(∆φ)2 + (∆ψ)2
h
= fx(a, b)φ′(t0) + fy(a, b)ψ′(t0) + limh→0
ε
√h2(φ′(t0) + ε1h)2 + h2(ψ′(t0) + ε2h)2
h
= fx(a, b)φ′(t0) + fy(a, b)ψ′(t0) + limh→0
ε|h|h
√(φ′(t0) + ε1h)2 + (ψ′(t0) + ε2h)2
= fx(a, b)φ′(t0) + fy(a, b)ψ′(t0).
15
Provamos, assim, que
du
dt(t0) =
∂f
∂x(a, b)
dx
dt(t0) +
∂f
∂y(a, b)
dy
dt(t0).
Da demonstracao resulta que
Corolario 1.63 Nas condicoes do teorema anterior, u e diferenciavel em t0.
Exemplo 1.64 Sejam z = x2 y , x = sin t e y = et2 .
Seja ainda u(t) = sin2 t et2 = z(sin t, e
t2 ).
Entao,
du
dt=
∂z
∂x
dx
dt+
∂z
∂y
dy
dt= 2xy cos t + x2 1
2e
t2 = 2 sin t cos t y e
t2 + sin2 t
et2
2.
Teorema 1.65 Sejam z := f(x, y), x := φ(s, t) e y := ψ(s, t), com f , φ e ψ funcoes reais de
duas variaveis reais.
Supondo que φ e ψ sao diferenciaveis em (s0, t0) e f e diferenciavel em (a, b), com a :=
φ(s0, t0) e b := ψ(s0, t0), entao, sendo u(s, t) := f(φ(s, t), ψ(s, t)), temos
∂u
∂s(s0, t0) =
∂f
∂x(a, b)
∂x
∂s(s0, t0) +
∂f
∂y(a, b)
∂y
∂s(s0, t0)
∂u
∂t(s0, t0) =
∂f
∂x(a, b)
∂x
∂t(s0, t0) +
∂f
∂y(a, b)
∂y
∂t(s0, t0).
Da demonstracao do resultado anterior, resulta que
Corolario 1.66 Nas condicoes do teorema 1.65, u e diferenciavel em (s0, t0).
Exemplo 1.67 Sejam u := f(x, y) = xy, x = ρ cos θ, y = ρ sin θ.
Entao,
∂u
∂ρ(ρ, θ) = y cos θ + x sin θ
∂u
∂θ(ρ, θ) = −yρ cos θ + xρ sin θ.
16
1.9 Generalizacao de alguns resultados anteriores a funcoes definidas em Rn
e com valores em Rm. Derivada direccional; gradiente e matriz jacobiana.
Divergencia e rotacional.
Seja f uma funcao de domınio D ⊆ Rn e valores em Rm.
Definicao 1.68 Seja a ∈ D′.
limx→a
f(x) = b se ∀δ > 0∃ε > 0 : 0 < ||x− a|| < ε =⇒ ||f(x)− b|| < δ
f e contınua em a se limx→a
f(x) = f(a).
Definicao 1.69 Sejam a ∈ int D e ~v um vector de Rn.
Chama-se derivada direccional de f , no ponto a, segundo o vector ~v, e nota-se f~v(a), a
f~v(a) := limh→0
f(a + h~v)− f(a)h
.
Observacoes 1.70
1. f~v(a) e um elemento de Rm.
2. Sendo {e1, · · · , en} a base canonica de Rn, entao
f ~ek(a) =
∂f
∂xk(a), k = 1, · · · , n.
Teorema 1.71 Sejam f uma funcao real de domınio D ⊆ Rn e a ∈ int D.
Se f for diferenciavel em a, entao f admite derivadas, em a, segundo qualquer vector
~v := (v1, · · · , vn) e, alem disso,
f~v(a) =∂f
∂x1(a) v1 + · · ·+ ∂f
∂xn(a) vn.
Demonstracao.
f~v(a) = limh→0
f(a + h~v)− f(a)h
= limh→0
f(a1 + hv1, · · · , an + hvn)− f(a)h
= limh→0
hv1∂f∂x1
(a) + · · ·+ hvn∂f∂xn
(a) + ε(ρ)ρh
17
Como
limρ→0
ε(ρ)ρh
= limρ→0
ε(ρ)|h|h
√v2 + · · ·+ vn = 0
entao,
f~v(a) =∂f
∂x1(a) v1 + · · ·+ ∂f
∂xn(a) vn.
Observacao 1.72 A igualdade do teorema anterior, pode ser escrita na forma
f~v(a) =[
∂f
∂x1(a) · · · ∂f
∂xn(a)
]
v1
...
vn
.
Definicao 1.73 Ao vector(
∂f
∂x1(a), · · · ,
∂f
∂xn(a)
), que notaremos por (∇ f)(a) ou (grad f)(a),
chamaremos gradiente de f no ponto a.
Teorema 1.74 Sejam f uma funcao real com domınio D ⊆ Rn e a um ponto interior de D.
Supondo que f e diferenciavel em a, entao o valor maximo da derivada direccional de f , em
a, segundo um vector unitario v e || (∇ f) (a)||.Esse valor e atingido quando v = vers (∇ f) (a) :=
(∇ f) (a)|| (∇ f) (a)|| .
Demonstracao. A prova deste resultado, decorre de modo evidente, a partir do teorema 1.71 e
das igualdades
fv(a) = < (∇ f) (a), v >
= (∇ f) (a) ||v|| cos θ,
com θ o angulo formado por (∇ f) (a) e v.
Seja agora f uma funcao de domınio D ⊆ Rn e com valores em Rm.
y = f(x) pode ser representado na forma
y1 = f1(x1, · · · , xn)...
yn = fn(x1, · · · , xn)
, com fi (i = 1, · · · , n)
funcoes reais de domınio D.
18
Supondo que f1, · · · , fm sao diferenciaveis em a, entao, pelo teorema 1.71, a i-esima com-
ponente de f~v(a) e (fi)~v (a) e, com v := (v1, · · · , vn), temos
(fi)~v (a) =[
∂fi
∂x1(a) · · · ∂fi
∂xn(a)
]
v1
...
vn
.
Assim,
f~v(a) =
(f1)~v (a)...
(fn)~v (a)
=
∂f1
∂x1(a) · · · ∂f1
∂xn(a)
......
...∂fm
∂x1(a) · · · ∂fm
∂xn(a)
v1
...
vn
.
Definicao 1.75 A matriz Jf (a) :=
∂f1
∂x1(a) · · · ∂f1
∂xn(a)
......
...∂fm
∂x1(a) · · · ∂fm
∂xn(a)
chamaremos matriz jacobiana
de f , em a.
Definicao 1.76 Se m = n,
1. chamaremos jacobiano de f , no ponto a, ao determinante de Jf (a). Nota-lo-emos por∂(f1, · · · , fn)∂(x1, · · · , xn)
(a).
2. Ao traco de Jf chamaremos divergencia de f . Notaremos div f .
Observacao 1.77 E evidente que div f =∂f1
∂x1(a) + · · ·+ ∂fn
∂xn(a).
Definicao 1.78 Se m = n = 3, chamaremos rotacional de f (notando-o por rot f) ao vector
rot f :=(
∂f3
∂x2− ∂f2
∂x3
)~e1 +
(∂f1
∂x3− ∂f3
∂x1
)~e2 +
(∂f2
∂x1− ∂f1
∂x2
)~e3.
Observacao 1.79 Para se calcular o rotacional de uma funcao f , recorre-se, habitualmente,
ao determinante simbolico ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
~e1 ~e2 ~e3
∂
∂x1
∂
∂x2
∂
∂x3
f1 f2 f3
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
.
19
Vamos agora ver como generalizar os teoremas 1.62 e 1.65, a funcoes vectoriais.
Teorema 1.80 Sejam f uma funcao de domınio D1 ⊆ Rn e com valores em Rm e g uma
funcao de domınio D2 ⊆ Rm e com valores em Rp , com f(D1) ⊆ D2.
Sejam a um ponto interior de D1, f1, · · · , fm funcoes diferenciaveis em a e g1, · · · , gp
funcoes diferenciaveis em b := f(a) , tais que, para qualquer x = (x1, · · · , xn) ∈ D1, f(x) :=
(f1(x), · · · , fn(x)) e g(f(x)) := ( g1( f1(x), · · · , fm(x) ), · · · , gp( f1(x), · · · , fm(x) ) )
Seja µ := g ◦ f , a funcao de domınio D1, definida por
µ(x) =
µ1(x)...
µp(x)
:=
g1( f1(x), · · · , fm(x) )...
gp( f1(x), · · · , fm(x) )
.
Entao,
∂µ1
∂x1· · · ∂µ1
∂xn...
......
∂µp
∂x1· · · ∂µp
∂xn
(a)
=
∂g1
∂z1· · · ∂g1
∂zm...
......
∂gp
∂z1· · · ∂gp
∂zm
(b)
∂f1
∂x1· · · ∂f1
∂xn...
......
∂fm
∂x1· · · ∂fm
∂xn
(a)
,
com zi(x1, · · · , xn) := fi(x1, · · · , xn) (i = 1, · · · ,m).
1.10 Derivadas direccionais de ordem superior a primeira, para funcoes reais
definidas em Rn. Formula de Taylor.
Seja f uma funcao real de domınio D ⊆ Rn, com D aberto e f tendo as derivadas parciais de
primeira ordem, contınuas em D.
Logo, com a ∈ D e v = (v1, · · · , vn), concluımos, pelo teorema 1.71, que
f~v(a) =∂f
∂x1(a) v1 + · · ·+ ∂f
∂xn(a) vn.
Observacao 1.81 A partir da definicao 1.59, temos que (df)~v(a) = f~v(a), para qualquer vector
~v.
Exercıcio 1.82 Justifique que podemos, no presente caso, definir, para qualquer vector ~v, a
funcao real f~v, de domınio D, que a cada x de D, associa f~v(x).
20
Teorema 1.83 Seja f uma funcao real de domınio D ⊆ Rn.
Se f admite derivadas de segunda ordem contınuas, em D, entao f~v admite derivadas de
primeira ordem contınuas, em D.
Alem disso, para i = 1, · · · , n,
∂f~v
∂xi(x) =
∂2f
∂xi∂x1(x) v1 + · · ·+ ∂2f
∂xi∂xn(x) vn.
Entao, a derivada direccional de segunda ordem, que notaremos f(2)~v (a), pode ser calculada
da seguinte forma
f(2)~v (a) := (f~v)~v(a)
=∂f~v
∂x1(a)v1 + · · ·+ ∂f~v
∂xn(a)vn
=(
∂2f
∂x21
(a)v1 + · · ·+ ∂2f
∂x1∂xn(a)vn
)v1 + · · ·
+(
∂2f
∂xn∂x1(a)v1 + · · ·+ ∂2f
∂x2n
(a)vn
)vn
=n∑
j=1
n∑
i=1
∂2f
∂xj∂xi(a)vivj .
As igualdades anteriores e o teorema de Schwarz, levam a seguinte notacao simbolica
f(2)~v (a) =
(∂f
∂x1(a)v1 + · · ·+ ∂f
∂xn(a)vn
)(2)
,
convencionando que (∂f
∂xi
)(2)
:=∂2f
∂x2i
e∂f
∂xi¯ ∂f
∂xi:=
∂2f
∂xi∂xj.
Exemplo 1.84 Se n = 2,
f(2)~v (a) =
(∂f
∂x1(a)v1 +
∂f
∂x2(a)v2
)(2)
=∂2f
∂x21
+ 2∂2f
∂x1∂x2+
∂2f
∂x22
.
De modo analogo poderıamos obter
f(3)~v (a) =
n∑
k=1
n∑
j=1
n∑
i=1
∂2f
∂xk∂xj∂xi(a)vivjvk =
(∂f
∂x1(a)v1 + · · ·+ ∂f
∂xn(a)vn
)(3)
.
Observacao 1.85 As derivadas direccionais podem tambem ser notadas do seguinte modo
f~v(a) = D~vf(a), f(2)~v (a) = D~v
2f(a), f(3)~v (a) = D~v
3f(a), · · · .
21
Podemos, agora, enunciar o teorema de Taylor para funcoes reais, definidas em Rn.
Teorema 1.86 Seja f uma funcao real, com domınio D ⊆ Rn, admitindo derivadas parciais
contınuas ate a ordem m + 1, numa bola aberta B(a, δ), com a + ~v ∈ B(a, δ).
Entao,
f(a + ~v) = f(a) + D~vf(a) +12!
D~v2f(a) + · · ·+ 1
m!D~v
mf(a) +1
(m + 1)!D~v
(m+1)f(a + θ~v),
com 0 < θ < 1.
1.11 Funcoes implıcitas
Para definir uma funcao real f de domınio D ⊆ Rn, usamos, muitas vezes, uma expressao
analıtica com o fim de determinar o valor de f em cada ponto x ∈ D.
Exemplo 1.87 z = x2 + y2 define uma funcao real f de domınio R2, dada por z := f(x, y) =
x2 + y2, sendo (x, y) a variavel independente e z a variavel dependente.
A funcao esta definida explicitamente (ou z e funcao explıcita de x e y).
Outras vezes a funcao e definida por uma equacao da forma φ(x, z) = 0, com z ∈ R e x ∈ Rn,
nao resolvida em ordem a variavel dependendente z, mas permitindo associar a cada x ∈ Dum valor z satisfazendo φ(x, z) = 0.
z esta definida implicitamente ou e uma funcao implıcita de x.
Exemplo 1.88 x cos (xy) = 0 define, implicitamente, uma funcao y(x), numa vizinhanca de
(1, π2 ).
Mais geralmente, com x ∈ Rn e z ∈ Rm,
φ1(x, z) = 0...
φm(x, z) = 0,
pode definir, implicitamente, z como funcao de x (obviamente z : Rn −→ Rm).
Exemplo 1.89
y12 − y2 = 3x1 + x2
y1 − 2y22 = x1 − 2x2,
22
define z := (y1, y2) como funcao implıcita de x1 e x2, numa vizinhanca de cada ponto que seja
solucao do sistema e tal que y1y2 6= 18 .
z = (y1, y2) e uma funcao de duas variaveis reais e com valores em R2, definida por
z(x1, x2) = (y1(x1, x2), y2(x1, x2).
O teorema seguinte da-nos condicoes para a existencia de funcoes definidas implicitamente em
vizinhancas convenientes de certos pontos.
Teorema 1.90 Sejam x0 ∈ Rn e y0 ∈ Rm tais que (x0, y0) e solucao do sistema
φ1(x, y) = 0...
φm(x, y) = 0,
com φi (i = 1, · · · ,m) funcoes de domınio D ⊆ Rn+m, D aberto e (x0, y0) ∈ D.
Suponhamos que φi (i = 1, · · · ,m) tem derivadas parciais contınuas e, alem disso,∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
∂φ1
∂y1· · · ∂φ1
∂ym...
∂φm
∂y1· · · ∂φm
∂ym
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣(x0,y0)
6= 0.
Entao existe uma vizinhanca V(x0) ⊆ Rn de x0 e funcoes ψi : V(x0) −→ R (i = 1, · · · ,m)
tais que, com y := (y1, · · · , ym), x := (x1, · · · , xn), y0 := (y10, · · · , ym0), e x0 := (x10, · · · , xn0),
• ψi (i = 1, · · · ,m) admite derivadas parciais contınuas em V(x0);
• yi0 = ψi(x10, · · · , xn0), i = 1, · · · ,m;
• para i = 1, · · · , m, verifica-se φi(x1, · · · , xn,
y1︷ ︸︸ ︷ψ1(x1, · · · , xn), · · · ,
ym︷ ︸︸ ︷ψm(x1 · · · , xn)) = 0,
para qualquer (x1, · · · , xn) ∈ V(x0).
Observacao 1.91 Nas condicoes do teorema, diz-se que
φ1(x, y) = 0...
φm(x, y) = 0,
definem y1, · · · , ym como funcoes implıcitas de x, numa vizinhanca de (x0, y0).
23
Exemplos 1.92 1. Considere-se a equacao x cos (xy) = 0.
• (1, π2 ) e solucao da equacao ;
• A funcao φ dada por φ(x, y) := x cos (xy) esta definida e admite derivadas parciais
contınuas em R2;
• ∂φ
∂y(1,
π
2) = −1 6= 0.
Entao existem uma vizinhanca V(1) e uma funcao real ψ definida, em V(1), por ψ(x) :=
y(x), tais que
• ψ admite derivadas parciais contınuas em V(1);
• ψ(1) = π2 ;
• φ(x, ψ(x)) = 0, para qualquer x ∈ V(1).
2. Seja
y12 − y2 = 3x1 + x2
y1 − 2y22 = x1 − 2x2
.
O ponto (0, 0, 0, 0) e uma das solucoes do sistema.
As funcoes reais φ1 e φ2 definidas por
φ1(x1, x2, y1, y2) = y12 − y2 − 3x1 − x2
φ2(x1, x2, y1, y2) = y1 − 2y22 − x1 + 2x2,
admitem derivadas parciais contınuas em R4.
Como ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
∂φ1
∂y1
∂φ1
∂y2
∂φ2
∂y1
∂φ2
∂y2
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
=
∣∣∣∣∣∣2y1 −1
1 −4y2
∣∣∣∣∣∣= −8y1y2 + 1,
entao ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
∂φ1
∂y1
∂φ1
∂y2
∂φ2
∂y1
∂φ2
∂y2
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣(0,0,0,0)
6= 0.
Podemos aplicar o teorema 1.90 e concluir que existe uma vizinhanca V(0, 0) e funcoes
reais ψ1 e ψ2 definidas, em V(0, 0), por ψ1(x1, x2) := y1(x), e ψ2(x1, x2) := y2(x), tais
que
24
• ψ1 e ψ2 admitem derivadas parciais contınuas em V(0, 0);
• ψ1(0, 0) = 0 = ψ2(0, 0);
• φ1(x1, x2, ψ1(x1, x2), ψ2(x1, x2)) = 0, para qualquer (x1, x2) ∈ V(0, 0).
O teorema 1.90 garante a existencia de funcoes ψi, com derivadas parciais contınuas.
Como obter essas derivadas?
Repare-se que, para i = 1 · · · ,m,
φi(x1, · · · , xn,
y1︷ ︸︸ ︷ψ1(x1, · · ·xn), · · · ,
ym︷ ︸︸ ︷ψm(x1, · · ·xn)) = 0.
Para cada j = 1 · · · , n,
∂φi
∂xj
∂xj
∂xj+
∂φi
∂y1
∂ψ1
∂xj+ · · ·+ ∂φi
∂ym
∂ψm
∂xj= 0.
Sendo J a matriz jacobiana definida por J :=
∂φ1
∂y1· · · ∂φ1
∂ym...
∂φm
∂y1· · · ∂φm
∂ym
, temos
J
∂ψ1
∂xj...
∂ψm
∂xj
= −
∂φ1
∂xj...
∂φm
∂xj
.
Como |J |(x0,y0) 6= 0, podemos concluir que
∂ψ1
∂xj...
∂ψm
∂xj
(x0)
= − (J−1)(x0,y0)
∂φ1
∂xj...
∂φm
∂xj
(x0,y0)
.
O mesmo se pode concluir em todos os pontos nos quais |J | 6= 0.
Observacao 1.93 No caso m = 1, sendo φ(x, y) = 0, y := ψ(x) e i = 1, · · · , n, temos
∂y
∂xj=
∂ψ
∂xj= −
∂φ
∂xj
∂φ
∂y
.
25
Exemplos 1.94
1. Sendo φ(x, y) = x cos(xy) = 0 e y = ψ(x), temos, em pontos convenientes,
ψ′(x) = − cos (xy) − xy cos (xy)x2 sin (xy)
.
2. Sendo
φ1(x1, x2, y1, y2) = y12 − y2 − 3x1 − x2 = 0
φ2(x1, x2, y1, y2) = y1 − 2y22 − x1 + 2x2 = 0
e
y = (y1, y2) = (ψ1, ψ2),
temos, em pontos convenientes,
∂ψ1
∂x1
∂ψ2
∂x1
= − 2y1 − 1
1 −4y2
−1
−3
−1
e
∂ψ1
∂x2
∂ψ2
∂x2
= − 2y1 − 1
1 −4y2
−1
−1
2
Observacao 1.95 Podemos fazer, por um metodo semelhante ao que usamos neste paragrafo,
o estudo da derivada da funcao inversa, aplicando as tecnicas da funcao implıcita a igualdade
φ(x, y) := f−1(y)− x = 0.
Tal tambem poderia ser feito aplicando a igualdade f−1f(x) = x, a teoria relativa as funcoes
compostas.
Refira-se que Dias Agudo prova o seguinte resultado sobre a invertibilidade local de uma
funcao:
Teorema 1.96 Seja f uma funcao definida num aberto D ⊆ Rn e com valores em Rn.
Se, em D, f tem derivadas parciais contınuas e∂(f1, · · · , fn)∂(x1, · · · , xn)
6= 0 , entao f e localmente
invertıvel, isto e, para cada ponto de D, existe alguma vizinhanca onde f e biunıvoca.
26
1.12 Planos tangentes e rectas normais a superfıcies
• Seja S a superfıcie correspondente a equacao F (x, y, z) = 0, com Fx, Fy e Fz contınuas.
• Seja (x0, y0, z0) um ponto de S tal que Fx(x0, y0, z0) 6= 0 ou Fy(x0, y0, z0) 6= 0 ou
Fz(x0, y0, z0) 6= 0.
• Seja C a curva de S definida por
x = f(t)
y = g(t)
z = h(t)
, com t ∈ [a, b], f, g e h contınuas em
[a, b] e (x0, y0, z0) ∈ C.
• Seja t0 ∈ [a, b] tal que
x0 = f(t0)
y0 = g(t0)
z0 = h(t0)
.
• Como, para qualquer t ∈ [a, b], (f(t), g(t), h(t)) ∈ C ⊆ S, entao F (f(t), g(t), h(t)) = 0.
• Pelo teorema da funcao composta, para t ∈ [a, b], Fx(x, y, z)f ′(t) + Fy(x, y, z)g′(t) +
Fz(x, y, z)h′(t) = 0.
• Desse modo, Fx(x0, y0, z0)f ′(t0) + Fy(x0, y0, z0)g′(t0) + Fz(x0, y0, z0)h′(t0) = 0, ou seja,
< (∇F )(x0, y0, z0), r′(t0) >= 0, com r′(t0) =
f ′(t0)
g′(t0)
h′(t0)
.
• r′(t0) e o vector tangente a C, no ponto (x0, y0, z0).
• Logo, para qualquer curva C de S, passando por (x0, y0, z0), (∇F )(x0, y0, z0) define uma
direccao normal a tangente a C em (x0, y0, z0).
• O plano que passa por (x0, y0, z0) e e ortogonal a (∇F )(x0, y0, z0), designa-se por plano
tangente a S, em (x0, y0, z0).
• a equacao desse plano e
Fx(x0, y0, z0)(x− x0) + Fy(x0, y0, z0)(y − y0) + Fz(x0, y0, z0)(z − z0) = 0.
27
• a recta normal a S, em (x0, y0, z0) tem por equacoes parametricas
x = x0 + λFx(x0, y0, z0)
y = y0 + λFy(x0, y0, z0)
z = z0 + λFz(x0, y0, z0)
,
com λ ∈ R.
1.13 Optimizacao de funcoes reais de n variaveis reais
1.13.1 Extremos livres
Definicao 1.97 Sejam f uma funcao real definida em D ⊆ Rn e a ∈ D.
f atinge um maximo local ou relativo em a (sendo f(a) um maximo relativo de f) se existir
uma vizinhanca V(a) de a tal que
∀x ∈ (V(a) ∩ D) , f(x) ≤ f(a).
f atinge um maximo absoluto em a (sendo f(a) um maximo absoluto de f) se
∀x ∈ D, f(x) ≤ f(a).
Observacao 1.98 De modo analogo se define mınimo local ou relativo e mınimo absoluto.
Teorema 1.99 Seja f uma funcao real definida e contınua em D ⊆ Rn, com D fechado e
limitado.
Entao f tem um maximo e um mınimo absolutos, em D.
Teorema 1.100 Sejam f uma funcao real definida em D ⊆ Rn, a ∈ int D e f diferenciavel
em a.
Se f(a) for um extremo relativo de f , entao, para qualquer vector ~h, f~h(a) = 0.
Demonstracao.
Sendo a := (a1, · · · , an), defina-se, para i = 1, · · · , n, gi da seguinte forma
gi(x) := f(a1, · · · , ai−1, x, ai+1, · · · , an).
Se f tem um extremo relativo em a , entao gi tem o mesmo tipo de extremo em ai.
28
Logo, g′i(ai) = 0.
Como∂f
∂xi(a) = g′i(ai), temos, considerando ~h := (h1, · · · , hn),
f~h(a) =
∂f
∂x1(a)h1 + · · ·+ ∂f
∂xn(a)hn = 0.
Corolario 1.101 Sejam f uma funcao real definida em D ⊆ Rn, a ∈ int D e f diferenciavel
em a.
Se f(a) for um extremo relativo de f , entao, para i = 1, · · · , n,∂f
∂xi(a) = 0.
Definicao 1.102 Sejam f uma funcao real definida em D ⊆ Rn e a ∈ int D.
Se, para i = 1, · · · , n,∂f
∂xi(a) = 0, entao a e dito um ponto estacionario ou crıtico de f .
Observacao 1.103 Pelo corolario 1.101, podemos afirmar que, para determinar os extremos
relativos (em pontos interiores de D) de f , basta estudar o comportamento de f nos pontos
estacionarios.
No entanto, a estacionaridade num determinado ponto, pode nao ser suficiente para
que exista extremo local nesse ponto. Os pontos estacionarios nos quais nao seja atingido um
extremo, designam-se por pontos sela.
O proximo resultado fornece condicoes suficientes para a existencia (ou nao) de extremos
em pontos estacionarios. No entanto, ainda vai deixar algumas situacoes em aberto (casos
duvidosos). A demonstracao baseia-se na formula de Taylor (teorema 1.86)
Teorema 1.104 Sejam f uma funcao real de domınio D ⊆ Rn e a ∈ intD, com a um ponto
estacionario de f .
Se f possui derivadas parciais contınuas ate a ordem m, numa bola B(a, δ) ⊆ D e m e o
menor inteiro positivo tal que alguma derivada parcial dessa ordem se nao anula em a, podemos
concluir que
1. se m e par e se, para qualquer vector unitario h, f(m)
h(a) > 0, entao f(a) e um mınimo
local de f ;
29
2. se m e par e se, para qualquer vector unitario h, f(m)
h(a) < 0, entao f(a) e um maximo
local de f ;
3. (a) se m e ımpar ou
(b) se m e par e existem vectores unitarios h1 e h1 tais que f(m)
h1(a) > 0 e f
(m)
h2(a) < 0,
ou
(c) se m e par e
i. para qualquer vector unitario h, f(m)
h(a) ≥ 0 e
ii. existe h1 tal que f(m)
h1(a) = 0 e
iii. sendo p (obviamente p > m) o menor inteiro para o qual f(p)
h1(a) 6= 0, ou p e
ımpar ou p e par mas f(p)
h1(a) < 0,
entao f nao tem extremo em a;
4. (caso duvidoso)
(a) se m e par e
(b) para qualquer vector unitario h, f(m)
h(a) ≥ 0 e
(c) sendo p (par) o menor inteiro positivo tal que f(p)
h1(a) 6= 0,
(f
(m)
h1(a) = 0
)=⇒
(f
(p)
h1(a) > 0
),
entao nada garante a existencia (ou nao) de extremo em a.
Observacao 1.105 Se nas condicoes 3 c.i) e 4 b) substituirmos f(m)
h(a) ≥ 0 por f
(m)
h(a) ≤ 0,
deveremos, para que as conclusoes do teorema ainda permanecam verdadeiras, substituir, em 3
c.iii), f(p)
h1(a) < 0, por f
(p)
h1(a) > 0 e, em 4.c), f
(p)
h1(a) > 0 por f
(p)
h1(a) < 0.
Seguem-se algumas notas uteis para a resolucao das dificuldades de aplicacao do teorema
1.104.
Estas notas, embora generalizaveis, irao ser feitas para o caso m = 2.
30
Observacoes 1.106 Sejam h := (h1, · · · , hn) e B :=
∂2f
∂x21
· · · ∂2f
∂x1∂xn...
......
∂2f
∂xn∂x1· · · ∂2f
∂x2n
(a)
.
1. f(2)
h(a) =
[h1 · · · hn
]B
h1
· · ·hn
= hT Bh.
2. Se 0 e valor proprio de B, entao existe h tal que f(2)
h(a) = 0.
3. Se B tem todos os seus valores proprios positivos, entao B e definida positiva e, para
qualquer h, f(2)
h(a) > 0.
4. Se B tem todos os seus valores proprios negativos, entao B e definida negativa e, para
qualquer h, f(2)
h(a) < 0.
5. Se B tem todos os seus valores proprios nao negativos, entao B e semidefinida positiva
e, para qualquer h, f(2)
h(a) ≥ 0.
6. Se B tem todos os seus valores proprios nao positivos, entao B e semidefinida negativa
e, para qualquer h, f(2)
h(a) ≤ 0.
7. Se B tem valores proprios negativos e positivos, entao B e indefinida e existem h1 e h1
tais que f(m)
h1(a) > 0 e f
(m)
h2(a) < 0.
Conjugando o teorema 1.104 com as observacoes anteriores, podemos formular o teorema
1.104 em termos de valores proprios de B.
Em particular, para funcoes reais de duas variaveis reais e m = 2, temos o resultado seguinte.
Teorema 1.107 Seja f uma funcao real de duas variaveis reais, com derivadas parciais de
segunda ordem contınuas numa bola B(a, δ), e a um ponto crıtico de f.
Seja ainda ∆ :=
∣∣∣∣∣∣fx2(a) fxy(a)
fyx(a) fy2(a)
∣∣∣∣∣∣= fx2(a) fy2(a) − (fxy(a))2 .
1. Se ∆ > 0 e fx2(a) > 0, entao f(a) e um mınimo local;
31
2. Se ∆ > 0 e fx2(a) < 0, entao f(a) e um maximo local;
3. Se ∆ < 0, entao f(a) nao e extremo local;
4. ∆ = 0 conduz ao caso duvidoso.
Exemplos 1.108
1. Estudo da existencia de extremos locais da funcao f dada por f(x, y, z) = x2 + y2 + 3z2 +
yz + 2xz − xy.
Determinacao das derivadas parciais de primeira ordem:
fx(x, y, z) = 2x− y + 2z;
fy(x, y, z) = −x + 2y + z;
fz(x, y, z) = 2x + y + 6z.
Determinacao dos pontos crıticos:
Como
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
2 −1 2
−1 2 1
2 1 6
∣∣∣∣∣∣∣∣∣= 4 6= 0, entao (0, 0, 0) e o unico ponto crıtico.
B =
2 −1 2
−1 2 1
2 1 6
.
Determinacao dos valores proprios de B :∣∣∣∣∣∣∣∣∣
2− λ −1 2
−1 2− λ 1
2 1 6− λ
∣∣∣∣∣∣∣∣∣= −λ3 + 10λ2 − 22λ + 4 = 0 =⇒ λ ∼= 1.38 ∨ λ = 10
3 ∨ λ ∼= 5.27.
Como os valores proprios de B sao todos positivos, B e definida positiva e f tem um
mınimo local em (0, 0, 0).
2. Estudo da existencia de extremos locais da funcao f dada por f(x, y) = (x− y)2−x4− y4.
Determinacao das derivadas parciais de primeira ordem:
fx(x, y) = 2(x− y)− 4x3;
32
fy(x, y) = −2(x− y)− 4y3.
Determinacao dos pontos crıticos:
De
2(x− y)− 4x3 = 0
−2(x− y)− 4y3 = 0, conclui-se que os pontos crıticos sao (0, 0), (−1, 1) e
(1,−1).
∆(x, y) = (2− 12x2)(2− 12y2)− (−2)2.
Em (1,−1) ha um maximo local, pois ∆(1,−1) = 96 > 0 e fx2(1,−1) = −10 < 0.
Em (−1, 1) ha um maximo local, pois ∆(−1, 1) = 96 > 0 e fx2(−1, 1) = −10 < 0.
Em (0, 0) estamos no caso duvidoso, pois ∆(0, 0) = 0.
Neste caso, B =
2 −2
−2 2
.
Os valores poprios de B sao 0 e 4, logo B e semidefinida positiva e, para qualquer h,
f(2)
h(0, 0) ≥ 0.
Pela observacao 1.106-2, existe h1 tal que f(2)
h1(0, 0) = 0.
Calculando h1, temos
f(2)
h1(0, 0) = (fx(0, 0)h1 + fy(0, 0)h2)
(2) = (h11 − h12)2.
Logo, por exemplo, h1 = (√
22 ,
√2
2 ).
Como
f(3)
h1(0, 0) =
(fx(0, 0)
√2
2+ fy(0, 0)
√2
2
)(3)
= fx3(0, 0)
(√2
2
)3
+ 3fx2y(0, 0)
(√2
2
)2 √2
2+ 3fxy2(0, 0)
√2
2
(√2
2
)2
+
fy3(0, 0)
(√2
2
)3
= 0
f(4)
h1(0, 0) =
(fx(0, 0)
√2
2+ fy(0, 0)
√2
2
)(4)
= −12 < 0,
temos, pela condicao 3 c) do teorema 1.104, que, em (0, 0), nao ha extremo.
33
3. Estudo da existencia de extremos locais da funcao f dada por f(x, y) = y2 − 4x2y + 3x4.
Determinacao das derivadas parciais de primeira ordem:
fx(x, y) = −8xy + 12x3;
fy(x, y) = 2y − 4x2.
Determinacao dos pontos crıticos:
De
−8xy + 12x3 = 0
2y − 4x2 = 0, conclui-se que o unico ponto crıtico e (0, 0).
∆(x, y) = (−8y + 36x2)(2)− (−8x)2.
Em (0, 0), estamos no caso duvidoso, pois ∆(0, 0) = 0.
Neste caso, B =
0 0
0 2
.
Os valores poprios de B sao 0 e 2, logo B e semidefinida positiva e, para qualquer h,
f(2)
h(0, 0) ≥ 0.
Pela observacao 1.106-2, existe h1 tal que f(2)
h1(0, 0) = 0.
Calculando h1, temos
f(2)
h1(0, 0) = (fx(0, 0)h1 + fy(0, 0)h2)
(2) = 2h212.
Logo, h1 = (1, 0) ou h1 = (−1, 0).
Em qualquer desses casos,
f(3)
h1(0, 0) = (fx(0, 0)(±1) + fy(0, 0)0)(3) = 0
e
f(4)
h1(0, 0) = (fx(0, 0)(±1) + fy(0, 0)0)(4) = 72 > 0.
Logo, pela condicao 4 do teorema 1.104, somos conduzidos ao caso duvidoso.
Reparando que
• f(0, 0) = 0,
• x2 < y < 3x2 =⇒ f(x, y) < 0,
34
• (y < x2 ∨ y > 3x2) =⇒ f(x, y) > 0,
provamos, por definicao, que, em (0, 0), nao ha extremo.
1.13.2 Extremos condicionados
Consideremos o seguinte problema:
Determinar os extremos locais de uma funcao real f de domınio D ⊆ Rn, sujeita
as restricoes
g1(x1, · · · , xn) = 0... (A)
gn(x1, · · · , xn) = 0,
com m < n.
1o¯
caso: As restricoes explicitam m das variaveis em funcao das outras n−m variaveis.
Suponhamos, sem perda de generalidade, que
xn−m+1 = φn−m+1(x1, · · · , xn−m)...
xn = φn(x1, · · · , xn−m)
.
Entao os extremos condicionados ou sujeitos a restricoes de f, serao os extremos locais
da funcao real h , de n−m variaveis reais, definida por
h(x1, · · · , xn−m) := f(x1, · · · , xn−m, φn−m+1(x1, · · · , xn−m), · · · , φn(x1, · · · , xn−m)).
Exemplo 1.109 Determinar tres numeros reais positivos, de soma 10, e tais que o seu produto
seja maximo.
Este problema pode ter a seguinte formulacao :
max f(x, y, z) = xyz
s. a x + y + z = 10.
Os extremos condicionados de f serao os extremos livres de h, definida por h(x, y) :=
f(x, y, 10− x− y) = xy(10− x− y).
Como h tem um maximo local em (103 , 10
3 ), entao f tera um maximo condicionado em
(103 , 10
3 , 10− 103 − 10
3 ).
35
2o¯
caso: As restricoes definem m das variaveis, implicitamente, como funcoes das outras n−m
variaveis.
Observacoes 1.110
1. Sendo (x1, · · · , xn) um ponto de D, satisfazendo (A), eno qual f tem um extremo condi-
cionado, entao existem escalares λ1, · · · , λm tais que (x1, · · · , xn, λ1, · · · , λm), e solucao
de
∂f
∂x1+ λ1
∂g1
∂x1+ · · ·+ λm
∂gm
∂x1= 0...
∂f
∂xn+ λ1
∂g1
∂xn+ · · ·+ λm
∂gm
∂xn= 0
(B)
g1(x1, · · · , xn) = 0...
gn(x1, · · · , xn) = 0
Os escalares λ1, · · · , λm designam-se por Multiplicadores de Lagrange.
2. Se considerarmos F definida por
F (x1, · · · , xn, λ1, · · · , λm) := f(x1, · · · , xn) + λ1g1(x1, · · · , xn) + · · ·+ λmgm(x1, · · · , xn)
entao a resolucao do sistema (A), equivale a determinacao dos pontos crıticos de F.
3. Os pontos x nos quais a funcao f sujeita as restricoes
g1(x1, · · · , xn) = 0...
gm(x1, · · · , xn) = 0.
tem extremos, levam-nos a solucoes do sistema (A) da forma (x, λ).
No entanto, nem toda a solucao do sistema da forma (x, λ) nos permite concluir que x e
extremo condicionado de f.
4. Ha condicoes suficientes (de segunda ordem) para solucionar o problema da observacao
anterior. Elas nao serao objecto de estudo neste curso.
36
5. Se o subconjunto D1 do domınio de f que satisfaz as restricoes e fechado e limitado,
entao, pelo teorema 1.99, podemos, de entre os pontos (x, λ) que sao solucoes do sistema,
determinar o(s) ponto(s) (x1 no qual f atinge o seu valor maximo (ou mınimo) e afirmar
que, nesse(s) ponto(s), f tem um maximo (ou mınimo) absoluto.
Exemplo 1.111 Estudar a existencia de extremos absolutos da funcao real f definida por
f(x, y, z) = xyz e sujeita a condicao x2 + y2 + z2 = 1.
Neste caso F (x, y, z, λ) = xyz + λ(x2 + y2 + z2 − 1).
Determinacao dos pontos crıticos de F (candidatos a extremos condicionados de f)
Comecando por
yz + 2λx = 0
xz + 2λy = 0
xy + 2λz = 0
x2 + y2 + z2 − 1 = 0
chegamos ao sistema
yz(1− 3x2) = 0
xz(1− 3y2) = 0
xy(1− 3z2) = 0
x2 + y2 + z2 = 1.
Entao, ha 14 pontos crıticos de F, que irao ser da forma
(±1, 0, 0), (0,±1, 0), (0, 0,±1),
(±√
33
,±√
33
,±√
33
).
Aplicando a observacao 1.110-5, o maximo absoluto condicionado de f , de valor√
39 , e atingido
nos pontos(√
33
,−√
33
,−√
33
),
(−√
33
,
√3
3,−√
33
),
(−√
33
,−√
33
,
√3
3
)e
(√3
3,
√3
3,
√3
3
).
O mınimo absoluto condicionado de f , de valor −√
39 , e atingido nos pontos
(−√
33
,
√3
3,
√3
3
),
(√3
3,−√
33
,
√3
3
),
(√3
3,
√3
3,−√
33
)e
(−√
33
,−√
33
,−√
33
).
37
Iremos agora provar a observacao 1.110-1, no caso m = 2 e n = 3.
O caso geral (com m < n ) resulta de uma generalizacao obvia e imediata.
O nosso problema e:
Determinar os extremos locais de uma funcao real f de domınio D ⊆ R3, sujeita
as restricoes
g1(x1, x2, x3) = 0
g2(x1, x2, x3) = 0.
Seja x := (x1, x2, x3) um elemento de D, satisfazendo (B).
Seja V(x) uma vizinhanca aberta de x tal que g1 e g2 tem derivadas parciais contınuas
em V(x).
Suponhamos ainda que(
∂(g1, g2)∂(x2, x3)
)
(x)
6= 0.
Pelo teorema das funcoes implıcitas, existe uma vizinhanca V(x1) e funcoes reais φ2 e φ3
definidas em V(x1) tais que
• φ2 e φ3 admitem derivadas parciais contınuas em V(x1);
• x2 = φ2(x1) e x3 = φ3(x1);
• para qualquer x1 em V(x1), g1(x1, φ2(x1), φ3(x1)) = 0 e g2(x1, φ2(x1), φ3(x1)) = 0.
Seja h uma funcao definida em V(x1), por
h(x1) := (h1(x1), h2(x2), h3(x3)) := (x1, φ2(x1), φ3(x1)).
A questao da existencia de um extremo de f em x, reduz-se a existencia de um extremo,
em x1, da funcao real U definida por U = f ◦ h.
Se U tem um extremo em x1, entao
38
0 =dU
dx1(x1)
=[
∂f
∂x1
∂f
∂x2
∂f
∂x3
]
(x)
∂h1
∂x1
∂h2
∂x1
∂h3
∂x1
(x1)
=[
∂f
∂x1
∂f
∂x2
∂f
∂x3
]
(x)
1
∂φ2
∂x1
∂φ3
∂x1
(x1)
As igualdades anteriores e a derivacao de funcoes compostas, permitem concluir que
∂f
∂x1
∂f
∂x2
∂f
∂x3
∂g1
∂x1
∂g1
∂x2
∂g1
∂x3
∂g2
∂x1
∂g2
∂x2
∂g2
∂x3
(x)
1
∂φ2
∂x1
∂φ3
∂x1
(x1)
=
0
0
0
Seja B :=
∂f
∂x1
∂f
∂x2
∂f
∂x3
∂g1
∂x1
∂g1
∂x2
∂g1
∂x3
∂g2
∂x1
∂g2
∂x2
∂g2
∂x3
(x)
.
Entao,
• O sistema BX = 0 tem uma solucao nao nula, logo |B| = 0.
39
• As linhas de B sao linearmente dependentes.
• Como(
∂(g1, g2)∂(x2, x3)
)
(x)
6= 0, entao a primeira linha e combinacao linear das outras duas.
• O sistema
∂f
∂x1(x) + λ
∂g1
∂x1(x) + µ
∂g2
∂x1(x) = 0
∂f
∂x2(x) + λ
∂g1
∂x2(x) + µ
∂g2
∂x2(x) = 0
∂f
∂x3(x) + λ
∂g1
∂x3(x) + µ
∂g2
∂x3(x) = 0
e possıvel. Tem uma so solucao ja que(
∂(g1, g2)∂(x2, x3)
)
(x)
6= 0.
• Em conclusao, se f(x) e um extremo condicionado de f, sujeito as restricoes
g1(x1, x2, x3) = 0
g2(x1, x2, x3) = 0.
entao existem escalares λ e µ tais que (x1, x2, x3, λ, µ) e solucao do sistema
∂f
∂x1+ λ
∂g1
∂x1+ µ
∂g2
∂x1= 0
∂f
∂x2+ λ
∂g1
∂x2+ µ
∂g2
∂x2= 0
∂f
∂x3+ λ
∂g1
∂x3+ µ
∂g2
∂x3= 0
g1(x1, x2, x3) = 0
g2(x1, x2, x3) = 0.
40
1.14 Funcoes homogeneas. Teorema de Euler
Definicao 1.112 Uma funcao real f de domınio D ⊆ R2 e homogenea de grau α se, para
quaisquer x, y e t tais que (x, y) ∈ D e (tx, ty) ∈ D,
f(tx, ty) = tαf(x, y).
α e uma constante real independente de x, y e t .
A funcao e positivamente homogenea de grau α se a igualdade se verificar com a restricao
t ≥ 0.
Exemplos 1.113
1. A funcao f definida por f(x, y) = x2 + y2 arcsin(y
x
)e, para x 6= 0, homogenea de grau
2.
2. A funcao g definida por g(x, y) =√
x2 + y2 e positivamente homogenea de grau 1.
Segue-se um resultado importante para funcoes positivamente homogeneas.
Teorema 1.114 Se f e positivamente homogenea de grau α, entao verifica-se a chamada iden-
tidade de Euler, xfx(x, y) + yfy(x, y) = αf(x, y), em todo o ponto no qual f seja diferenciavel.
Reciprocamente, se uma funcao diferenciavel verifica a identidade de Euler, ela e positiva-
mente homogenea de grau α.
41
2 Equacoes diferenciais de ordem n
2.1 Equacoes diferenciais ordinarias
Definicao 2.1 Uma equacao diferencial ordinria e uma equacao que contem uma unica funcao
incognita f, dependente de uma variavel x e um numero finito de derivadas de f.
Exemplo 2.2 f ′(x) = x + 1 e, em R, uma equacao diferencial ordinaria, tendo solucoes da
forma f(x) =x2
2+ x + c, com c uma qualquer constante real.
Definicao 2.3 Sejam D um aberto de Rn+2 e F uma funcao real de domınio D.
A equacao F (x, y, y′, · · · , y(n)) = 0, onde y(i) designa a derivada de ordem i de y (em
ordem a x), e chamada equacao diferencial ordinaria de ordem n. A ordem da equacao e a
maior das ordens das derivadas que figuram na equacao.
Observacao 2.4 No exemplo anterior, a ordem e 1.
Definicao 2.5 Sejam D um aberto de Rn+2 e F uma funcao real de domınio D.
Se I e um intervalo de R e φ e uma funcao real de domınio I , com derivadas ate a ordem
n, entao φ e uma solucao da equacao F (x, y, y′, · · · , y(n)) = 0 se, para qualquer x ∈ I,
• (x, φ(x), φ′(x), · · · , φ(n)(x)) ∈ D e
• F (x, φ(x), φ′(x), · · · , φ(n)(x)) = 0.
Ao intervalo I chama-se intervalo de definicao de φ.
Exemplo 2.6 A funcao φ definida por φ(x) = e3x − 2, e, em R, uma solucao da equacao
diferencial y′ − 3y − 6 = 0.
Definicao 2.7 Uma famılia de solucoes de uma equacao diferencial de ordem n, contendo n
constantes arbitrarias essenciais, designa-se por solucao geral ou integral geral dessa equacao
diferencial.
Escolhendo valores especıficos para as constantes, obtem-se as solucoes particulares.
As solucoes que nao possam ser obtidas como as particulares, designam-se por solucoes
singulares.
42
Exemplos 2.8
1. Prova-se que a equacao de Bernoulli y′ − xy12 = 0, tem y = (x2
4 + c)2 por solucao geral.
y = x4
16 e uma solucao particular, resultante de considerar c = 0.
y = 0 e uma solucao singular.
c e uma constante essencial. No entanto, em y = (x2
4 + c1 + c2)2, c1 e c2, nao sao
essenciais, devendo substituir-se c1 + c2 por c.
2. A determinacao de solucoes gerais nao e, em muitos casos, simples.
Ha, no entanto, situacoes faceis como as equacoes lineares, que estudaremos no proximo
paragrafo, ou os exemplos que se seguem.
y = 3x2
2 +x+ c, y = x3 +2x2 + c1x+ c2 e y = −e−x + c1x2 + c2x+ c3 sao solucoes gerais,
respectivamente de y′ = 3x + 1, y′′ = 6x + 4 e y′′′ = e−x.
Definicao 2.9 Dada a equacao de ordem n
y(n) = G(x, y, y′, · · · , y(n−1)) (1)
e, com k0, · · · , kn−1 constantes reais dadas e x0 ∈ I, as condicoes iniciais
y(x0) = k0, (2)
y′(x0) = k1, (3)...
y(n−1)(x0) = kn−1, (4)
diz-se que (1) - (4) formam um problema de condicoes iniciais ou um problema de Cauchy.
Exemplo 2.10 A equacao y′ = x + 1 admite a solucao geral y = x2
2 + x + c.
A mesma equac ao, com a condicao inicial y(0) = 8, tem a solucao (particular) y =x2
2 + x + 8.
43
2.2 Equacoes diferenciais, ordinarias e lineares
Definicao 2.11 Chama-se equacao diferencial, ordinaria, linear e de ordem n, a uma equacao
do tipo
a0(x)y(n) + a1(x)y(n−1) + · · ·+ an−1(x)y′ + an(x)y = f(x), (5)
com a0, a1, · · · , an e f funcoes definidas num intervalo I ⊆ R e a0 nao identicamente nula,
em I.
Se as funcoes a0, a1, · · · , an forem constantes, a equacao diz-se com coeficientes constantes.
Se f for, em I, a funcao nula, a equacao designa-se por homogenea.
Exemplos 2.12 1. y′′ + y = sin (2x), e uma equacao linear, com coeficientes constantes e
ordem 2.
2. x4y′′′ + (cos x)y = x, e uma equacao linear de ordem 3.
3. exy′′ + xy = 0, e uma equacao linear e homogenea.
4. exy′′ + y2 = 0, e uma equacao nao linear.
5. y′′′ + yy′ = ex, e uma equacao nao linear.
Observacao 2.13 Ate ao final destas notas, consideraremos a0, a1, · · · , an e f funcoes
contınuas num intervalo I ⊆ R e, para qualquer x ∈ I, a0(x) 6= 0 .
Segue-se um teorema de existencia e unicidade de solucao para o problema de Cauchy, no caso
das equacoes lineares.
Teorema 2.14 Sejam a0, a1, · · · , an e f funcoes contınuas num intervalo fechado I ⊆ R e,
para qualquer x ∈ I, a0(x) 6= 0 .
Sejam ainda x0 ∈ I e k0, · · · , kn−1, n numeros reais dados.
Existe uma e uma so solucao y(x), da equacao (5), definida em I e verificando as condicoes
(2) - (4).
Observacoes 2.15 1. Ha teoremas de existencia e unicidade para casos mais gerais (ver,
por exemplo, Kaplan).
44
2. Edouard Goursat demonstra esse teorema na parte 2, do volume II, do seu livro A Course
in Mathematical Analysis.
3. Obviamente a solucao de um problema de Cauchy e simples se se conhecer a solucao geral.
4. A condicao a0(x) 6= 0, para qualquer x ∈ I, e fundamental no teorema 2.14. Considere-se,
por exemplo, a equacao xy′ + y = x e a condicao inicial y(0) = 4.
(Repare-se que (xy)′ = xy′ + y.)
Um ultimo resultado no qual se relacionam solucoes gerais de uma equacao nao homogenea
(completa) e da correspondente equacao homogenea.
Teorema 2.16 Sejam a0, a1, · · · , an e f funcoes contınuas num intervalo I ⊆ R e, para
qualquer x ∈ I, a0(x) 6= 0 .
Se ygh designar a solucao geral da equacao
a0(x)y(n) + a1(x)y(n−1) + · · ·+ an−1(x)y′ + an(x)y = 0 (6)
e ypc for uma solucao particular de (5), entao ygh + ypc e solucao geral de (5).
Exemplo 2.17 Uma equacao linear de 1a¯ da forma y′ + p(x)y = q(x), tem por solucao geral
y = c eR −p(x) dx︸ ︷︷ ︸
ygh
+ eR −p(x) dx
∫eR
p(x) dxq(x) dx
︸ ︷︷ ︸ypc
= eR −p(x) dx
{∫eR
p(x) dxq(x) dx + c}
.
2.3 Equacoes lineares, homogeneas e de ordem n. Wronskiano.
Seja E o espaco vectorial das funcoes reais com derivadas ate a ordem n, em I.
Seja F o espaco vectorial das funcoes reais definidas em I.
Se L designar a aplicacao linear de domınio E e com valores em F, definida por
L(y) = a0(x)y(n) + a1(x)y(n−1) + · · ·+ an−1(x)y′ + an(x)y,
entao (6) reduz-se a forma
L(y) = 0. (7)
Teorema 2.18 Sejam N o conjunto de todas as solucoes de (7) e x0 um elemento de I.
Entao,
45
1. N e um espaco vectorial real;
2. a aplicacao φ de domınio Rn, com valores em N e tal que φ(k0, · · · , kn−1) e a unica
solucao de (7) satisfazendo (2) - (4), e um isomorfismo.
Corolario 2.19 N tem dimensao n.
Definicao 2.20 Um sistema fundamental de solucoes , notado SFS, de (7) e qualquer base de
N.
Corolario 2.21 Existem n solucoes de (7), linearmente independentes.
Se y1, · · · , yn forem essas solucoes, entao qualquer solucao y de (7), pode ser escrita na
forma
y = α1y1, · · · , αnyn,
com α1, · · · , αn constantes reais.
Definicao 2.22 Sejam y1, · · · , yn funcoes reais, com derivadas ate a ordem n− 1 (inclusive),
num intervalo I de R.
Chama-se Wronskiano dessas n funcoes, e nota-se W (x) ou W (y1, · · · , yn) , ao determi-
nante ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
y1 · · · yn
y1′ · · · yn
′
......
...
y1(n−1) · · · yn
(n−1)
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
.
Teorema 2.23 As solucoes y1, · · · , yn de (7), constituem um sistema fundamental de solucoes
de (7), num intervalo I de R, se e so se W (y1, · · · , yn) 6= 0 , para qualquer x ∈ I.
2.4 Equacao linear, completa e de ordem n. Metodo de Lagrange ou de
variacao das constantes arbitrarias.
Com as notacoes do paragrafo anterior, consideremos a equacao linear, completa e de ordem n,
L(y) := a0(x)y(n) + a1(x)y(n−1) + · · ·+ an(x)y = f(x), (8)
46
com a0, · · · , an e f contınuas num intervalo I de R e, para qualquer x ∈ I, a0(x) 6= 0.
Esta notacao para a equacao linear, completa e de ordem n, tem algumas vantagens ao nıvel
do manuseamento. Veja-se o exercıcio seguinte.
Exercıcio 2.24 Sejam y1 e y2 solucoes particulares, respectivamente de L(y) = f1(x) e
L(y) = f2(x).
Prove que se α e β sao constantes reais, entao αy1 + βy2 e solucao de L(y) = αf1(x) +
βf2(x).
(7) e a equacao homogenea correspondente a (8).
Passamos a expor o metodo de Lagrange que permite resolver (8) a partir do conhecimento
de um sistema fundamental de solucoes de (7).
Teorema 2.25 Seja {y1, · · · , yn} um sistema fundamental de solucoes de (7).
Se y e solucao de (8), entao existem funcoes c1, · · · , cn derivaveis, em I, e tais que
y(x) = c1(x)y1(x) + · · ·+ cn(x)yn(x). (9)
Alem disso, para qualquer x ∈ R,
c′1(x)y1(x) + · · ·+ c′n(x)yn(x) = 0
c′1(x)y′1(x) + · · ·+ c′n(x)y′n(x) = 0... .
c′1(x)y1(n−2)(x) + · · ·+ c′n(x)yn
(n−2)(x) = 0
c′1(x)y1(n−1)(x) + · · ·+ c′n(x)yn
(n−1)(x) =f(x)a0(x)
Observacao 2.26 O sistema referido no teorema anterior tem solucao pois a matriz do sis-
tema tem determinante nao nulo (W (x, y1, · · · , yn) 6= 0 ja que y1, · · · , yn formam um sistema
fundamental de solucoes de (7)).
Observacao 2.27 A solucao geral de (7) e y = α1y1 + · · ·+αnyn, com α1, · · · , αn constantes
reais.
Metodo de Lagrange ou de variacao das constantes arbitrarias:
1. Seja y1, · · · , yn, um sistema fundamental de solucoes de (7).
47
2. Determinem-se c′1(x), · · · , c′n(x), resolvendo o sistema do teorema 2.25.
3. Por primitivacao, calculem-se c1(x), · · · , cn(x).
4. Inserindo, em (9), as funcoes obtidas na alınea anterior, obtem-se a solucao geral de (8),
na forma
y(x) = c1(x)y1(x) + · · ·+ cn(x)yn(x).
Observacao 2.28 A razao do nome deste metodo prende-se com o facto de estarmos, de certa
forma, a ”fazer variar”as constantes consideradas na observacao 2.27.
Observacao 2.29 A solucao geral de (8), obtida pelo Metodo de Lagrange, pode, muito facil-
mente, ser escrita, cumprindo o estabelecido no teorema 2.16, na forma y(x) = ygh + ypc.
Observacao 2.30 Um dos problemas de aplicacao do Metodo de Lagrange, consiste em deter-
minar um SFS de (7). Tal e simples em equacoes de coeficientes constantes.
Nas equacoes de Euler, que sao da forma
xny(n) + α1xn−1y(n−1) + · · ·+ αn−1xy′ + αny = f(x),
com α1, · · · , αn constantes reais, sabe-se que as correspondentes equacoes homogeneas tem, em
muitos casos, solucoes da forma xk, com k uma constante real.
Exemplo 2.31 Sabendo que y1 = ex e y2 = e3x sao solucoes de y′′ − 4y′ + 3y = 0, vamos
determinar, pelo Metodo de Lagrange, a solucao geral de y′′ − 4y′ + 3y = ex.
W (y1, y2) = 2e4x 6= 0, ∀x ∈ R, logo {y1, y2} e, em R, um SFS de y′′ − 4y′ + 3y = 0.
A solucao geral de y′′ − 4y′ + 3y = 0 e y = c1ex + c2e
3x, com c1 e c2 constantes reais.
Considerando agora c1 e c2 ”como funcoes”de x, o sistema do teorema 2.25 e, no nosso
caso,
c′1(x)ex + c′2(x)e3x = 0
c′1(x)ex + c′2(x)3e3x =ex
1.
A solucao desse sistema e dada por c′1(x) = −12 e c′2(x) = 1
2e−2x.
Logo, c1(x) = −12x + α1 e c2(x) = −1
4e−2x + α2.
48
Substituindo na solucao geral da homogenea, obtemos a solucao geral de y′′− 4y′+3y = ex,
na forma
y =(−1
2x + α1
)ex +
(−1
4e−2x + α2
)e3x
= α1ex + α2e
3x
︸ ︷︷ ︸ygh
+(−1
2x− 1
4
)ex
︸ ︷︷ ︸ypc
.
2.5 Equacao linear, homogenea, com coeficientes constantes e de ordem n
Definicao 2.32 Uma equacao linear, homogenea, com coeficientes constantes e de ordem n e
uma equacao diferencial do tipo
a0y(n) + a1y
(n−1) + · · ·+ any = 0, (10)
com a0, a1, · · · , an constantes reais e a0 6= 0.
Observacao 2.33 Se y(x) e solucao de (10), entao y(x) admite derivada de qualquer ordem.
Definicao 2.34 Chama-se equacao caracterıstica de (10) a
P (r) := a0r(n) + a1r
(n−1) + · · ·+ an−1r + an = 0. (11)
O polinomio P (r) e dito polinomio caracterıstico de (10).
Exemplo 2.35 A equacao y′′ − 3y′ + 7y = 0, corresponde o polinomio caracterıstico P (r) =
r2 − 3r + 7.
Seja D o operador derivado tal que Df := f ′, D2f := f ′′, · · ·Dnf := f (n) e, por convencao,
D0f := f .
Com D assim definido, (10) toma a forma
P (D)y = 0. (12)
Definicao 2.36 P (D) e o operador polinomial.
Observacoes 2.37 Sejam u e v funcoes reais admitindo derivadas ate a ordem n e i :=√−1.
Se w(x) := u(x) + iv(x), entao,
49
1. para j = 0, · · · , n, w(j)(x) := u(j)(x) + iv(j)(x),
2. sendo w(x) uma solucao (complexa) de (12), u(x) e v(x) sao solucoes (reais) de (12).
3. ew(x) = eu(x)eiv(x) := eu(x) (cos(u(x)) + i sin(v(x))) .
Exercıcio 2.38 Sejam a e b constantes reais.
Entao, se c := a + ib e w(x) := ecx, prove que w′(x) = cecx, · · · , w(n)(x) = cnecx.
Por inducao, facilmente se prova o seguinte resultado, que enunciaremos no caso complexo,
sendo o real um caso particular.
Lema 2.39 Sejam r um numero complexo e w uma funcao complexa, n vezes derivavel.
Entao
(D − r)n(erxw(x)) = erxDnw(x).
Teorema 2.40 Se r1 e uma raız de multiplicidade k do polinomio caracterıstico, P (r) de
(12), entao as k funcoes
er1x, x er1x, · · · , xk−1er1x
sao solucoes de (12).
Observacao 2.41 Se r1 ∈ R , as solucoes sao reais. Se r1 ∈ C, as solucoes sao complexas.
Corolario 2.42 Se r1 := a + bi e raız de multiplicidade k de P (r), entao as 2k funcoes
xjeax cos(bx), xjeax sin(bx) (j = 0, · · · , k − 1)
sao solucoes reais de (12).
Resumindo,
50
raız de P(r) solucao de (12)
α real simples eαx
β real de multiplicidade k eβx, xeβx, · · · , xk−1eβx
γ ± δi complexas simples eγx cos(δx), eγx sin(δx)
ε± θi complexas de multiplicidade k eεx cos(θx), eεx sin(θx),
xeεx cos(θx), xeεx sin(θx),
· · ·xk−1eεx cos(θx), xk−1eεx sin(θx)
Teorema 2.43 Considerando todas as raızes de P (r), as correspondentes solucoes, referidas
no quadro anterior, formam um sistema fundamental de solucoes de (12).
Exemplo 2.44 Determinacao do integral geral de y(4) − 4y = 0.
P (r) = r4 − 4.
Raızes de P (r) :√
2, −√2,√
2i e −√2i.
Todas as raızes sao simples.
Um sistema fundamental de solucoes e: {e√
2, e−√
2, e0x cos(√
2x), e0x sin(√
2x)}.O integral geral e
y = c1e√
2x + c2e−√2x + c3 cos(
√2x) + c4 sin(
√2x).
2.6 Equacao linear, completa, com coeficientes constantes e de ordem n.
Metodo do polinomio anulador.
Definicao 2.45 Uma equacao linear, completa, com coeficientes constantes e de ordem n e do
tipo
P (D)y = f(x). (13)
O que foi exposto no paragrafo anterior permite afirmar que a determinacao de um SFS de
P (D)y = f(x) e sempre possıvel.
Portanto, a aplicacao do metodo de Lagrange e uma primeira hipotese para calcular o integral
geral de (13).
51
Observacao 2.46 Usando o metodo de Lagrange, podemos determinar sempre a solucao geral
de (13).
No entanto, as integracoes decorrentes da aplicacao desse metodo poderao ser bastante difıceis.
Essa a razao pela qual vamos expor uma outra abordagem para a determinacao do inte-
gral geral de (13), fornecida pelo metodo do polinomio anulador que, embora nao tendo a
dificuldade inerente as integracoes, e menos geral que o metodo de variacao das constantes
arbitrarias.
Definicao 2.47 Se Q(D) e um operador polinomial satisfazendo Q(D)f(x) = 0, entao Q(r)
diz-se um polinomio anulador de f(x).
Exercıcio 2.48 Sejam Q1(r) e Q2(r) polinomios anuladores, repectivamente, de f1(x) e
f2(x).
Prove que Q1(r)Q2(r) e um polinomio anulador de f1(x) + f2(x).
Metodo do polinomio anulador para a determinacao de um integral geral de (13):
1. Seja {y1, · · · , yn} um sistema fundamental de solucoes de (12).
2. O integral geral de (12) e
ygh = c1y1 + · · ·+ cnyn.
3. Determine-se um polinomio anulador, Q(r), de f(x).
4. Considere-se a equacao seguinte, que resulta de (13) e da alınea anterior
Q(D)P (D)y = 0. (14)
Calcule-se a solucao geral, ygeqaux, de (14).
5. Leve-se ygeqaux a forma
ygeqaux = ygh + ypc1.
6. Determine-se uma solucao particular, ypc , de (13), a partir de ypc1, recorrendo a
P (D)ypc1 = f(x).
52
7. Por aplicacao do teorema 2.16, concluımos que o integral geral de (13) e
y = ygh + ypc.
Observacao 2.49 O metodo do polinomio anulador so e aplicavel se for possıvel calcular o
polinomio anulador do segundo membro de (13).
Portanto so aplicaremos este metodo se f(x) for uma combinacao linear real de funcoes dos
tipos xjeax cos(bx) e xjeax sin(bx), com j ∈ N ∪ {0}, a e b constantes reais.
Exemplo 2.50 Determinacao do integral geral de y′′ − y = ex.
1. Usando o metodo de Lagrange
P (r) = r2 − 1.
Raızes de P (r) : 1 e -1.
Solucao geral de y′′ − y = 0 : ygh = c1ex + c2e
−x.
Solucao do sistema
c′1ex + c′2e
−x = 0
c′1ex − c′2e
−x = ex: c′1 = 1
2 , c′2 = −12e2x.
Logo, c1 = 12x + α1 e c2 = −1
4e2x + α2.
O integral geral pedido e
ygc = (12x + α1)ex + (−1
4e2x + α2)e−x = β1e
x + α2e−x +
12xex.
2. Usando o metodo do polinomio anulador
Pelo que vimos na anterior abordagem concluımos que P (D) = D2−1 e ygh = c1ex+c2e
−x.
Alem disso, o polinomio anulador de ex e: Q(D) = D − 1.
A equacao auxiliar e: (D − 1)(D2 − 1)y = 0 ou ainda (D − 1)2(D + 1)y = 0.
ygeqaux = D1ex + D2xex + D3e
−x = D1ex + D3e
−x
︸ ︷︷ ︸ygh
+D2xex
︸ ︷︷ ︸ypc1
.
A partir de (D2 − 1)(D2xex) = ex concluımos que 2D2ex = ex. Logo, D2 = 1
2 .
Tal como na resolucao 1, ygc = D1ex + D3e
−x
︸ ︷︷ ︸ygh
+12xex
︸ ︷︷ ︸ypc
.
53
2.7 Equacao linear, completa e de ordem n. Metodo de D’Alembert ou de
abaixamento de ordem.
O metodo de D’Alembert permite, por conhecimento de solucoes da correspondente equacao
homogenea, baixar a ordem das equacoes lineares, completas e de ordem n. Em alguns casos
podemos, recorrendo unicamente a este metodo, chegar a uma equacao de ordem 1 e assim
determinar o integral geral de (8).
Metodo de D’Alembert
1. Seja y1 uma solucao nao nula da equacao homogenea correspondente a (8).
2. Faca-se, em (8), a mudanca de variavel (y → z) definida por y = y1z.
3. A equacao resultante e do tipo
b0(x)z(n) + b1(x)z(n−1) + · · ·+ bn−1(x)z′ = f(x). (15)
(A demonstracao deste passo do metodo fica como exercıcio.)
4. Fazendo a mudanca de variavel (z → w) definida por z′ = w, (15) transforma-se na
seguinte equacao de ordem n− 1
b0(x)w(n−1) + b1(x)w(n−2) + · · ·+ bn−1(x)w = f(x). (16)
Observacao 2.51 Caso necessario, o conhecimento de outra solucao, y2, da equacao homogenea
correspondente a (8), tal que y1 e y2 sejam linearmente independentes, permite obter uma
equacao de ordem n− 2, do modo que a seguir se expoe.
1. Fica como exercıcio, provar que w1 :=(
y2
y1
)′e uma solucao particular, nao nula, da
equacao homogenea correspondente a (16).
Portanto, fazendo, em (16), a mudanca de variavel (w → t) definida por w = w1t,
chegamos a equacao
c0(x)t(n−1) + c1(x)t(n−2) + · · ·+ cn−1(x)t′ = f(x), (17)
54
2. Usando agora a mudanca de variavel (t → s) definida por t′ = s, (17) transforma-se na
seguinte equacao de ordem n− 2
c0(x)s(n−2) + c1(x)s(n−3) + · · ·+ cn−1(x)s = f(x), (18)
Observacoes 2.52 1. E bom nao esquecer que, como o intuito e a determinacao do integral
geral de (8), no final se deve voltar a variavel y.
2. Este metodo nem sempre permite chegar a equacoes de ordem 1. Por isso, e muitas vezes
usado em associacao com outros resultados.
Exemplo 2.53 Determinacao, pelo metodo de D’Alembert, do integral geral de
y′′′ − 6y′′ + 11y′ − 6y = ex. (19)
P (r) = r3 − 6r2 + 11r − 6 = (r − 1)(r − 2)(r − 3).
A equacao homogenea correspondente a (189), admite a solucao y1 = ex.
Primeira mudanca de variavel: y = exz.
Depois de determinar y′, y′′ y′′′ e fazer os necessarios calculos e simplificacoes, resulta
z′′′ − 3z′′ + 2z′ = 1. (20)
Procedendo, em (20) a substituicao definida por z′ = w, temos
w′′ − 3w′ + 2w = 1. (21)
Sabendo que y2 = e2x tambem e solucao da equacao homogenea correspondente a (19) e que y1
e y2 sao linearmente independentes, w1 =(
y2
y1
)′= ex e uma solucao particular, nao nula, da
equacao homogenea correspondente a (21).
Fazendo, em (21), a substituicao w = ext, obtem-se, apos as convenientes simplificacoes,
t′′ − t′ = e−x. (22)
Fazendo, em (22), t′ = s, chegamos a equacao linear de primeira ordem
s′ − s = e−x, (23)
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cuja solucao geral e, como sabemos, s = e−R −1 dx
[∫eR −1 dx e−x dx + c
]= −1
2e−x + cex.
Voltando a variavel y, temos o integral geral de (18), na forma
y = c1e3x + c2e
2x + c3ex +
12xex.
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