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Universidade de Coimbra Engenharia Civil An´aliseMatem´aticaIII Textos de apoio `as aulas te´oricas ArmandoGon¸calves 2005

Análise Matemática III Textos de apoio `as aulas teóricas

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Page 1: Análise Matemática III Textos de apoio `as aulas teóricas

Universidade de Coimbra

Engenharia Civil

Analise Matematica III

Textos de apoio as aulas teoricas

Armando Goncalves

2005

Page 2: Análise Matemática III Textos de apoio `as aulas teóricas

Conteudo

1 Calculo diferencial em Rn 1

1.1 Produto interno, norma e metrica em Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Algumas nocoes topologicas em Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.3 Funcoes reais definidas em Rn. Limites e continuidade. Algumas propriedades

das funcoes contınuas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.4 Derivacao parcial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.5 Mudanca na ordem de derivacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.6 Significado geometrico das derivadas parciais de primeira ordem . . . . . . . . . . 10

1.7 Funcoes diferenciaveis e diferencial de uma funcao . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.8 Regras de derivacao das funcoes compostas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.9 Generalizacao de alguns resultados anteriores a funcoes definidas em Rn e com

valores em Rm. Derivada direccional; gradiente e matriz jacobiana. Divergencia

e rotacional. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.10 Derivadas direccionais de ordem superior a primeira, para funcoes reais definidas

em Rn. Formula de Taylor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.11 Funcoes implıcitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.12 Planos tangentes e rectas normais a superfıcies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

1.13 Optimizacao de funcoes reais de n variaveis reais . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

1.13.1 Extremos livres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

1.13.2 Extremos condicionados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

1.14 Funcoes homogeneas. Teorema de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

2 Equacoes diferenciais de ordem n 42

2.1 Equacoes diferenciais ordinarias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

2.2 Equacoes diferenciais, ordinarias e lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

2.3 Equacoes lineares, homogeneas e de ordem n. Wronskiano. . . . . . . . . . . . . 45

2.4 Equacao linear, completa e de ordem n. Metodo de Lagrange ou de variacao das

constantes arbitrarias. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

2.5 Equacao linear, homogenea, com coeficientes constantes e de ordem n . . . . . . 49

i

Page 3: Análise Matemática III Textos de apoio `as aulas teóricas

2.6 Equacao linear, completa, com coeficientes constantes e de ordem n. Metodo do

polinomio anulador. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

2.7 Equacao linear, completa e de ordem n. Metodo de D’Alembert ou de abaixam-

ento de ordem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

ii

Page 4: Análise Matemática III Textos de apoio `as aulas teóricas

1 Calculo diferencial em Rn

1.1 Produto interno, norma e metrica em Rn

Sendo n um numero natural, consideraremos Rn := {(x1, . . . , xn) : xi ∈ R, i = 1, . . . , n}.(Rn, +, ·) e um respaco vectorial sobre R, com, para (x1, . . . , xn) ∈ Rn, (y1, . . . , yn) ∈ Rn, λ ∈

R, as operacoes + e · definidas por

(x1, . . . , xn) + (y1, . . . , yn) = (x1 + y1, . . . , xn + yn)

λ · (x1, . . . , xn) = (λx1, . . . , λxn)

A base canonica de Rn e constituıda pelos vectores (1,0,. . . ,0), (0,1,0,. . . ,0),. . . ,(0,. . . ,0,1).

Munido do produto interno < ·, · > definido por

< (x1, . . . , xn), (y1, . . . , yn) > :=n∑

i=1

xiyi,

Rn e designado por espaco euclidiano de dimensao n.

Sendo (x1, . . . , xn) ∈ Rn, (y1, . . . , yn) ∈ Rn e λ ∈ R, no espaco (normado) Rn consideraremos

a norma || · ||, definda por

||(x1, . . . , xn)|| :=√

x21 + . . . + x2

n .

Observacao 1.1 E facil provar que

||(x1, . . . , xn)|| ≥ 0,

||λ(x1, . . . , xn)|| = |λ| ||(x1, . . . , xn)||

||(x1, . . . , xn) + (y1, . . . , yn)|| ≤ ||(x1, . . . , xn)||+ ||(y1, . . . , yn)||

||(x1, . . . , xn)|| = 0 =⇒ x = 0.

Alem disso,

||(x1, . . . , xn)|| =√

< (x1, . . . , xn), (x1, . . . , xn) > .

E ainda conhecido o facto de, em Rn, poderem ser definidas outras normas.

Sendo (x1, . . . , xn) ∈ Rn, (y1, . . . , yn) ∈ Rn, no espaco(metrico) Rn consideraremos a distancia

ou metrica d(·, ·), definida por

d((x1, . . . , xn), (y1, . . . , yn)) := ||(x1, . . . , xn)− (y1, . . . , yn)||.

1

Page 5: Análise Matemática III Textos de apoio `as aulas teóricas

Observacao 1.2 E facil provar que

d((x1, . . . , xn), (y1, . . . , yn)) ≥ 0

d((x1, . . . , xn), (y1, . . . , yn)) = d((x1, . . . , xn), (y1, . . . , yn))

d((x1, . . . , xn), (y1, . . . , yn)) ≤ d((x1, . . . , xn), (z1, . . . , zn)) + d((z1, . . . , zn), (y1, . . . , yn))

d((x1, . . . , xn), (y1, . . . , yn)) = 0 =⇒ (x1, . . . , xn) = (y1, . . . , yn).

Exemplo 1.3 Se n = 1, d(x, y) designa o comprimento do segmento de extremidades x e y.

Se n = 2, d((x1, x2), (y1, y2)) designa o comprimento do segmento de recta que une os pontos

do plano de coordenadas (x1, x2) e (y1, y2).

1.2 Algumas nocoes topologicas em Rn

Sejam x um elemento do espaco (metrico) Rn e α um real positivo.

Definicao 1.4 Chama-se bola aberta de centro em x e raio α ao conjunto

B(x, α) := {y ∈ Rn : d(x, y) < α}

Definicao 1.5 Chama-se bola fechada de centro em x e raio α ao conjunto

B(x, α) := {y ∈ Rn : d(x, y) ≤ α}

Definicao 1.6 Chama-se vizinhanca de x a qualquer subconjunto V de Rn que contenha alguma

bola aberta centrada em x.

Observacao 1.7 Toda a bola aberta centrada em x e vizinhanca de x.

Definicao 1.8 Um subconjunto de Rn e limitado se existir alguma bola aberta que o contenha.

Seja S um subconjunto nao vazio de Rn.

Definicao 1.9 x e ponto interior de S se S contiver alguma bola aberta centrada em x.

Observacao 1.10 x e ponto interior de S se e so se S e vizinhanca de x.

Definicao 1.11 x e ponto exterior de S se for interior a Rn \ S.

2

Page 6: Análise Matemática III Textos de apoio `as aulas teóricas

Definicao 1.12 x e ponto fronteiro de S se nao for nem ponto interior nem exterior de S.

Observacao 1.13 x e ponto fronteiro de S se e so se qualquer bola aberta centrada em x tiver

interseccao nao vazia com S e com Rn \ S.

Problema 1.14 Um elemento de Rn \ S sera necessariamente um ponto exterior de S?

Definicao 1.15 O conjunto de todos os pontos interiores de S designa-se por interior de S e

nota-se por int S.

O conjunto de todos os pontos exteriores de S designa-se por exterior de S e nota-se por ext S.

O conjunto de todos os pontos fronteiros de S designa-se por fronteira de S e nota-se por fr S.

Definicao 1.16 O fecho de S e o conjunto S := S ∪ fr S.

Definicao 1.17 S e aberto se for igual ao seu interior.

Observacao 1.18 S e aberto se e so se S ∩ fr S 6= ∅.

Definicao 1.19 S e fechado se for igual ao seu fecho.

Observacao 1.20 S e fechado se e so se fr S ⊆ S.

Observacao 1.21 S e fechado se e so se Rn \ S e aberto.

Definicao 1.22 x e ponto de acumulacao de S se, para toda a bola aberta B(x, α), se verificar

(B(x, α) \ {x}) ∩ S 6= ∅.

Definicao 1.23 O conjunto dos pontos de acumulacao de S designa-se por derivado de S e

nota-se S′.

Observacao 1.24 Nem todos os elementos de S sao necessariamente pontos de acumulacao de

S.

Definicao 1.25 x e um ponto isolado de S se pertence a S mas nao e ponto de acumulacao

desse conjunto.

Exercıcio 1.26 Determine o interior, o fecho e o derivado dos conjuntos S1 = {(x, y) ∈ R2 :

x2 + y2 ≤ 1 ∧ y > 0} e S2 = [0, 1]× [0, 1[.

Sera algum desses conjuntos aberto ou fechado?

3

Page 7: Análise Matemática III Textos de apoio `as aulas teóricas

1.3 Funcoes reais definidas em Rn. Limites e continuidade. Algumas pro-

priedades das funcoes contınuas.

Seja D um subconjunto nao vazio de Rn.

Uma funcao real f de n variaveis reais e uma correspodencia que a cada elemento x de D,

associa um e so um real y := f(x).

Definicao 1.27 O domınio de f e D.

O contradomınio de f e o conjunto {y ∈ R : y = f(x), x ∈ D}.O grafico de f e o subconjunto de Rn+1 assim definido: {(x, f(x)) ∈ Rn+1 : x ∈ D}.

Em muitos casos, o grafico de f nao e simples de representar geometricamente.

Nesses casos, usam-se as chamadas curvas de nıvel.

Definicao 1.28 Uma curva de nıvel de f , de valor k, e o conjunto {x ∈ D : f(x) = k}.

Relativamente a funcao f(x, y) =sin x

y, insere-se, em seguida, uma parte do grafico de e

algumas curvas de nıvel.

0

2

4

6

0

1

2

3

-2

-1

0

1

2

-2

-1

0

1

4

Page 8: Análise Matemática III Textos de apoio `as aulas teóricas

1 2 3 4 5 6

-1

-0.5

0.5

1

Definicao 1.29 Seja a um ponto de acumulacao de D.

l e o limite de f(x) no ponto a, se

∀δ > 0∃ε > 0 : x ∈ ((B(a, ε) \ {a}) ∩ D) =⇒ f(x) ∈ B(l, δ).

Notaremos

l := limx→a

f(x).

Observacao 1.30 E evidente que

l = limx→a

f(x)

se e so se

∀δ > 0∃ε > 0 : (0 < ||x− a|| < ε ∧ x ∈ D) =⇒ |f(x)− l | < δ.

Definicao 1.31 Sejam a e v elementos fixos de Rn.

O limite direccional de f(x), no ponto a e segundo a direccao e o sentido de v e definido por

limt→0+

f(a + tv).

O teorema que se segue tem demonstracao imediata.

Teorema 1.32 Se

limx→a

f(x) = k

entao

limt→0+

f(a + tv) = k,

para os limites direccionais de f(x) no ponto a e segundo a direccao e sentido de qualquer v ∈ Rn.

5

Page 9: Análise Matemática III Textos de apoio `as aulas teóricas

Observacao 1.33 Para que exista

limx→a

f(x)

e necessario que todos os limites direccionais de f(x) no ponto a existam e tomem o mesmo

valor.

Exemplo 1.34 Determine o valor dos limites direccionais, na origem, de f(x, y) =x2 − y2

x2 + y2.

Conclua que nao existe

lim(x,y)→(0,0)

f(x, y)

Observacao 1.35 Podem existir todos os limites direcionais de f(x) em a e serem todos iguais,

sem no entanto existir

limx→a

f(x).

Antes de apresentarmos um exemplo que ilustre a observacao anterior, vamos definir os limites

trajectoriais.

Definicao 1.36 Seja C uma curva (trajectoria) de D tal que a ∈ C.O limite trajectorial de f(x), no ponto a, ao longo de C, e L, e nota-se

limx → a

x ∈ C

f(x)

se

∀δ > 0∃ε > 0 : (0 < ||x− a|| < δ ∧ x ∈ C) =⇒ |f(x)− L| < ε.

Observacao 1.37 Nas condicoes da definicao anterior, e evidente que

limx→a

f(x) = L

se e so se segundo qualquer trajectoria C,

limx → a

x ∈ C

f(x) = L.

6

Page 10: Análise Matemática III Textos de apoio `as aulas teóricas

Observacao 1.38 Seja f(x, y) =xy3

x2 + y6.

Calcule os limites direccionais, na origem.

Existira

lim(x,y)→(0,0)

f(x, y) ?

O teorema seguinte tem uma demonstracao de tipo semelhante ao correspondente resultado para

funcoes de uma so variavel real.

Teorema 1.39 Seja a um ponto de acumulacao dos domınios de f e g.

Supondo que existem os limites que a seguir se referem,

1.

limx→a

(f(x) + g(x)) = limx→a

f(x) + limx→a

g(x);

2. Sendo α ∈ R, entao

limx→a

(αf(x)) = α limx→a

f(x);

3.

limx→a

(f(x)g(x)) = limx→a

f(x) limx→a

g(x);

4. Se limx→a

g(x) 6= 0, entao

limx→a

f(x)g(x)

=limx→a

f(x)

limx→a

g(x).

Seja f uma funcao de domınio D e a∈ D.

Definicao 1.40 f e contınua em a se limx→a

f(x) = f(a).

Observacao 1.41 f e contınua em a se e so se

∀δ > 0∃ε > 0 : (0 < ||x− a|| < ε ∧ x ∈ D) =⇒ |f(x)− f(a)| < δ.

O teorema seguinte tem uma demonstracao semelhante ao correspondente resultado para funcoes

de uma so variavel real.

7

Page 11: Análise Matemática III Textos de apoio `as aulas teóricas

Teorema 1.42

1. Se f e g sao contınuas em a, entao f + g e f · g sao contınuas em a.

Se f e g sao contınuas em a e, alem disso, g(a) 6= 0, entaof

ge contınua em a.

2. Se f e contınua em a e g e contınua em f(a), entao g ◦ f e contınua em a.

3. Se f e contınua em a e f(x) 6= 0, entao existe uma bola aberta B(a, α) na qual f(x)

mantem o mesmo sinal que toma em a.

1.4 Derivacao parcial

Em todo este paragrafo, para simplificacao de notacoes, restringir-nos-emos a funcoes de duas

variaveis reais.

Seja f uma funcao de duas variaveis reais, com domınio D, e (a, b) um elemento de D.

Fixando y = b, obtemos a funcao de uma variavel real, definida por φ(x) := f(x.b).

Se φ for derivavel em a, sabemos que

φ′(a) := limh→0

φ(a + h)− φ(a)h

= limh→0

f(a + h, b)− f(a, b)h

.

Definicao 1.43 Da-se o nome de derivada parcial de f(x, y), em ordem a x, no ponto (a, b), e

nota-se fx(a, b) ou∂f

∂x(a, b), a expressao fx(a, b) := φ′(a).

A derivada parcial de f(x, y) em ordem a y, no ponto (a, b), que se notara fy(a, b) ou∂f

∂y(a, b),

define-se por fy(a, b) := limh→0

f(a, b + h)− f(a, b)h

.

Exemplo 1.44 Sendo f(x, y) = y3 + y2 + xy2 + x2 + 1, entao fx(0, 1) = 1 e fy(0, 1) = 5.

Seja S ⊆ D o conjunto de elementos de D nos quais fx esta definida.

A funcao derivada parcial de f em ordem a x e a funcao fx de domınio S, que a cada elemento

(x, y) de S associa fx(x, y).

De modo analogo se define a funcao derivada parcial de f em ordem a y.

Exemplo 1.45 Sendo f(x, y) = y6 + x6y + 1, entao fx(x, y) = 6x5y e fy(x, y) = 6y5 + x6.

Ambas as derivadas parciais tem por domınio R2.

fx e fy podem, por sua vez, admitir derivadas parciais.

8

Page 12: Análise Matemática III Textos de apoio `as aulas teóricas

Definicao 1.46

1. A derivada parcial de segunda ordem e relativa a x, notada por fx2 ou∂2f

∂x2, e definida por

fx2 := (fx)x .

2. De modo analogo a derivada parcial de segunda ordem e relativa a y, notada por fy2 ou∂2f

∂y2, e definida por

fy2 := (fy)y .

3. A derivada parcial de segunda ordem e primeiro relativamente a y depois em ordem a x,

notada por fyx ou∂2f

∂x∂y, e definida por

fyx := (fy)x .

4. A derivada parcial de segunda ordem e primeiro relativamente a x depois em ordem a y,

notada por fxy ou∂2f

∂y∂x, e definida por

fxy := (fx)y .

A partir das derivadas de segunda ordem podem-se definir as de terceira ordem e assim suces-

sivamente.

Problema 1.47 Sendo k ≥ 1, qual o numero de derivadas de ordem k que poderao ser definidas

(embora algumas possam ter o mesmo valor)?

Exemplo 1.48 Sendo f(x, y) = y3+x3+2x2y+x+1, entao fx2(x, y) = 6x+4y, fy2(x, y) = 6y

e fxy(x, y) = fyx(x, y) = 4x.

1.5 Mudanca na ordem de derivacao

Passamos a enunciar o Teorema de Schwarz.

Teorema 1.49 Sejam f uma funcao real definida em D ⊆ R∈ e (a, b) um ponto interior de D.

Se fx, fy, fxy e fyx existem em alguma bola aberta B((a, b), δ) e se fxy e fyx sao contınuas

em (a, b), entao

fxy(a, b) = fyx(a, b).

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Page 13: Análise Matemática III Textos de apoio `as aulas teóricas

As hipoteses do Teorema de Schwarz podem ser enfraquecidas e, como pode ser consultado no

livro de Dias Agudo, podemos enunciar o seguinte resultado:

Teorema 1.50 Sejam f uma funcao real definida em D ⊆ R2 e (a, b) um ponto interior de D.

Se fx, fy e fxy existem em alguma bola aberta B((a, b), δ) e se fxy e contınua em (a, b),

entao fyx tambem esta definida em (a, b) e fyx(a, b) = fxy(a, b).

1.6 Significado geometrico das derivadas parciais de primeira ordem

Seja f uma funcao real de domınio D ⊆ R2.

Seja

S := {(x, y, z) ∈ R3 : (x, y) ∈ D ∧ z = f(x, y)}.

A superfıcie S representa o grafico de f .

Intersectando S com o plano Π, de equacao y = b, obtem-se uma linha L que pode ser

entendida como o grafico de de uma funcao real φ, de uma variavel real, definida por φ(x) :=

f(x, b).

φ tem por domınio o conjunto {x ∈ R : (x, b) ∈ D}.Seja r a recta tangente a L num ponto (a, b, f(a, b).

fx(a, b) = φ′(a) e o declive da recta r, contida em Π, isto e, tem o valor da tangente da

medida do angulo que r faz com a recta de definida por y = b e z = 0.

Na pagina seguinte damos uma ideia geometrica do que acabamos de expor.

1.7 Funcoes diferenciaveis e diferencial de uma funcao

Definicao 1.51 Seja (a, b) um ponto interior do domınio D da funcao real de duas variaveis

reais f .

f e diferenciavel em (a, b) se existir alguma bola aberta B((a, b), δ) tal que, para quaisquer

reais h e k satisfazendo (a + h, b + k) ∈ B((a, b), δ), se verifica

f(a + h, b + k)− f(a, b) = αh + βk + ερ,

com α e β reais fixos, ρ :=√

h2 + k2 e ε uma funcao de h e k tal que limρ→0

ε = 0.

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Page 14: Análise Matemática III Textos de apoio `as aulas teóricas

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Page 15: Análise Matemática III Textos de apoio `as aulas teóricas

Mantendo as notacoes da definicao anterior, temos

Teorema 1.52 Se f e diferenciavel em (a, b), entao e contınua e admite derivadas parciais de

primeira ordem nesse ponto.

Alem disso, α = fx(a, b) e β = fy(a, b).

Demonstracao. Seja f diferenciavel em (a, b). Entao

limρ→0

f(a + h, b + k)− f(a, b) = 0.

Logo,

∀µ > 0∃ θ > 0 : 0 < ρ = ||(a + h, b + k)− (a, b)|| < θ =⇒ |f(a + h, b + k)− f(a, b)| < µ.

Entao

∀µ > 0∃ θ > 0 : 0 < ||(x, y)− (a, b)|| < θ =⇒ |f(x, y)− f(a, b)| < µ.

Tal significa que

lim(x,y)→(a,b)

f(x, y) = f(a, b),

o que permite concluir que f e contınua em (a, b).

Para provar que α = fx(a, b), comece-se por se notar que da definicao de diferenciabilidade

de f em (a, b) se conclui, para k = 0, que

limh→0

f(a + h, b)− f(a, b)h

= limh→0

(α +

ε(h, 0)ρh

)= lim

h→0

(α + ε(h, 0)

√h2 + 0h

)= α,

ja que limh→0

ε(h, 0) = 0 e|h|h

e limitada.

Logo fx(a, b) existe e α = fx(a, b).

De modo analogo se prova que β = fy(a, b).

Corolario 1.53 Se f e diferenciavel em (a, b), entao

f(a + h, b + k)− f(a, b) = fx(a, b)h + fy(a, b)k + ερ.

Observacao 1.54 O recıproco do teorema 1.52 nao e verdadeiro, como se pode ver no exemplo

que se segue.

12

Page 16: Análise Matemática III Textos de apoio `as aulas teóricas

Exemplo 1.55 Seja f(x, y) =√|xy|.

E evidente que f e contınua em R2.

Alem disso, fx(0, 0) = fy(0, 0) = 0.

Se f fosse diferenciavel em (0, 0) terıamos, por um lado

√|hk| = f(h, k)− f(0, 0) = 0h + 0k + ερ

donde

limρ→0

√|hk|ρ

= limρ→0

ε = 0.

Por outro lado, para k = h, terıamos

lim(h,k)→(0,0)

√|hk|ρ

= limh→0

√h2

√2h2

=√

22

.

Chegamos assim a conclusoes contraditorias, pelo que f nao e diferenciavel em (0, 0).

Temos, no entanto, o seguinte resultado

Teorema 1.56 Seja f uma funcao real de domınio D ⊆ R2.

Se f admitir derivadas parciais de primeira ordem numa bola aberta B ((a, b), δ) contida em

D e se essas derivadas parciais forem contınuas em (a, b), entao f e diferenciavel em (a, b).

Observacoes 1.57

1. Dias Agudo provou o seguinte resultado

”Seja f uma funcao real de domınio D ⊆ R2.

Se f admitir derivadas parciais de primeira ordem numa bola aberta B ((a, b), δ) contida

em D e se pelo menos uma dessas derivadas parciais for contınuas em (a, b), entao f e

diferenciavel em (a, b).”

2. Verificamos que se f admite derivadas parciais em (a, b) tal nao garante a diferenciabili-

dade de f em (a, b).

No entanto, se as derivadas parciais sao contınuas em (a, b), entao f e diferenciavel em

(a, b).

13

Page 17: Análise Matemática III Textos de apoio `as aulas teóricas

3. Se f e diferenciavel em (a, b), entao (a, b) e um ponto do domınio tanto de fx como de

fy.

No entanto, como se vera no exemplo seguinte, fx e fy poderao nao ser contınuas em

(a, b).

Exemplo 1.58 Considere a funcao f definida por

f(x, y) =

x2 sin1x

, x 6= 0

0, x = 0.

e repare que,

1.

fx(x, y) =

2x sin1x− cos

1x

, x 6= 0

0, x = 0

e

fy(x, y) = 0;

2. f e diferenciavel em (0, 0);

3. fx e fy estao definidas em (0, 0);

4. fx nao e contınua em (0, 0).

Definicao 1.59 Seja f uma funcao real de duas variaveis reais diferenciavel em (a, b).

Chama-se diferencial de f , no ponto (a, b), relativamente ao vector ~v := (h, k), e nota-se

(df)~v(a, b), a expressao

(df)~v(a, b) := hfx(a, b) + kfy(a, b).

Definicao 1.60 Mantendo as notacoes da definicao anterior, sejam h := dx e k := dy (dife-

renciais das variaveis independentes).

Chama-se diferencial total de f , no ponto (a, b), e nota-se df(a, b), a expressao

df(a, b) := fx(a, b)dx + fy(a, b)dy.

Chama-se acrescimo de f , em (a, b), e nota-se ∆f(a, b), a expressao

∆f(a, b) := f(a + dx, b + dy)− f(a, b).

14

Page 18: Análise Matemática III Textos de apoio `as aulas teóricas

Observacao 1.61 Para valores ”suficientemente pequenos”de dx e dy, df(a, b) e uma boa aprox-

imacao de ∆f(a, b).

Logo, df(a, b)+f(a, b) e uma boa aproximacao de f(a+dx, b+dy), ja que f(a+dx, a+dy) =

∆f(a, b) + f(a, b).

1.8 Regras de derivacao das funcoes compostas

Teorema 1.62 Sejam z := f(x, y), x := φ(t) e y := ψ(t), com f uma funcao real de duas

variaveis reais, φ e ψ funcoes reais de uma variavel real.

Supondo que φ e ψ sao diferenciaveis em t0 e f e diferenciavel em (a, b), com a := φ(t0)

e b := ψ(t0), entao, sendo u(t) := f(φ(t), ψ(t)), temos

du

dt(t0) =

∂f

∂x(a, b)

dx

dt(t0) +

∂f

∂y(a, b)

dy

dt(t0).

Demonstracao. Iremos tentar determinar o valor de

limh→0

u(t0 + h)− u(t0)h

.

Nesse sentido, repare-se que

u(t0 + h)− u(t0) = f(φ(t0 + h), ψ(t0 + h)− f(φ(t0), ψ(t0))

= f(a + ∆φ, b + ∆ψ)− f(a, b)

= ∆φfx(a, b) + ∆ψfy(a, b) + ερ

= fx(a, b)(hφ′(t0) + ε1hh) + fy(a, b)(hψ′(t0) + ε2hh) + ερ

= h(fx(a, b)φ′(t0) + fy(a, b)ψ′(t0)) + ε1hhfx(a, b) + ε2hhfy(a, b) + ερ.

Logo,

limh→0

u(t0 + h)− u(t0)h

= fx(a, b)φ′(t0) + fy(a, b)ψ′(t0) + limh→0

ερ

h

= fx(a, b)φ′(t0) + fy(a, b)ψ′(t0) + limh→0

ε

√(∆φ)2 + (∆ψ)2

h

= fx(a, b)φ′(t0) + fy(a, b)ψ′(t0) + limh→0

ε

√h2(φ′(t0) + ε1h)2 + h2(ψ′(t0) + ε2h)2

h

= fx(a, b)φ′(t0) + fy(a, b)ψ′(t0) + limh→0

ε|h|h

√(φ′(t0) + ε1h)2 + (ψ′(t0) + ε2h)2

= fx(a, b)φ′(t0) + fy(a, b)ψ′(t0).

15

Page 19: Análise Matemática III Textos de apoio `as aulas teóricas

Provamos, assim, que

du

dt(t0) =

∂f

∂x(a, b)

dx

dt(t0) +

∂f

∂y(a, b)

dy

dt(t0).

Da demonstracao resulta que

Corolario 1.63 Nas condicoes do teorema anterior, u e diferenciavel em t0.

Exemplo 1.64 Sejam z = x2 y , x = sin t e y = et2 .

Seja ainda u(t) = sin2 t et2 = z(sin t, e

t2 ).

Entao,

du

dt=

∂z

∂x

dx

dt+

∂z

∂y

dy

dt= 2xy cos t + x2 1

2e

t2 = 2 sin t cos t y e

t2 + sin2 t

et2

2.

Teorema 1.65 Sejam z := f(x, y), x := φ(s, t) e y := ψ(s, t), com f , φ e ψ funcoes reais de

duas variaveis reais.

Supondo que φ e ψ sao diferenciaveis em (s0, t0) e f e diferenciavel em (a, b), com a :=

φ(s0, t0) e b := ψ(s0, t0), entao, sendo u(s, t) := f(φ(s, t), ψ(s, t)), temos

∂u

∂s(s0, t0) =

∂f

∂x(a, b)

∂x

∂s(s0, t0) +

∂f

∂y(a, b)

∂y

∂s(s0, t0)

∂u

∂t(s0, t0) =

∂f

∂x(a, b)

∂x

∂t(s0, t0) +

∂f

∂y(a, b)

∂y

∂t(s0, t0).

Da demonstracao do resultado anterior, resulta que

Corolario 1.66 Nas condicoes do teorema 1.65, u e diferenciavel em (s0, t0).

Exemplo 1.67 Sejam u := f(x, y) = xy, x = ρ cos θ, y = ρ sin θ.

Entao,

∂u

∂ρ(ρ, θ) = y cos θ + x sin θ

∂u

∂θ(ρ, θ) = −yρ cos θ + xρ sin θ.

16

Page 20: Análise Matemática III Textos de apoio `as aulas teóricas

1.9 Generalizacao de alguns resultados anteriores a funcoes definidas em Rn

e com valores em Rm. Derivada direccional; gradiente e matriz jacobiana.

Divergencia e rotacional.

Seja f uma funcao de domınio D ⊆ Rn e valores em Rm.

Definicao 1.68 Seja a ∈ D′.

limx→a

f(x) = b se ∀δ > 0∃ε > 0 : 0 < ||x− a|| < ε =⇒ ||f(x)− b|| < δ

f e contınua em a se limx→a

f(x) = f(a).

Definicao 1.69 Sejam a ∈ int D e ~v um vector de Rn.

Chama-se derivada direccional de f , no ponto a, segundo o vector ~v, e nota-se f~v(a), a

f~v(a) := limh→0

f(a + h~v)− f(a)h

.

Observacoes 1.70

1. f~v(a) e um elemento de Rm.

2. Sendo {e1, · · · , en} a base canonica de Rn, entao

f ~ek(a) =

∂f

∂xk(a), k = 1, · · · , n.

Teorema 1.71 Sejam f uma funcao real de domınio D ⊆ Rn e a ∈ int D.

Se f for diferenciavel em a, entao f admite derivadas, em a, segundo qualquer vector

~v := (v1, · · · , vn) e, alem disso,

f~v(a) =∂f

∂x1(a) v1 + · · ·+ ∂f

∂xn(a) vn.

Demonstracao.

f~v(a) = limh→0

f(a + h~v)− f(a)h

= limh→0

f(a1 + hv1, · · · , an + hvn)− f(a)h

= limh→0

hv1∂f∂x1

(a) + · · ·+ hvn∂f∂xn

(a) + ε(ρ)ρh

17

Page 21: Análise Matemática III Textos de apoio `as aulas teóricas

Como

limρ→0

ε(ρ)ρh

= limρ→0

ε(ρ)|h|h

√v2 + · · ·+ vn = 0

entao,

f~v(a) =∂f

∂x1(a) v1 + · · ·+ ∂f

∂xn(a) vn.

Observacao 1.72 A igualdade do teorema anterior, pode ser escrita na forma

f~v(a) =[

∂f

∂x1(a) · · · ∂f

∂xn(a)

]

v1

...

vn

.

Definicao 1.73 Ao vector(

∂f

∂x1(a), · · · ,

∂f

∂xn(a)

), que notaremos por (∇ f)(a) ou (grad f)(a),

chamaremos gradiente de f no ponto a.

Teorema 1.74 Sejam f uma funcao real com domınio D ⊆ Rn e a um ponto interior de D.

Supondo que f e diferenciavel em a, entao o valor maximo da derivada direccional de f , em

a, segundo um vector unitario v e || (∇ f) (a)||.Esse valor e atingido quando v = vers (∇ f) (a) :=

(∇ f) (a)|| (∇ f) (a)|| .

Demonstracao. A prova deste resultado, decorre de modo evidente, a partir do teorema 1.71 e

das igualdades

fv(a) = < (∇ f) (a), v >

= (∇ f) (a) ||v|| cos θ,

com θ o angulo formado por (∇ f) (a) e v.

Seja agora f uma funcao de domınio D ⊆ Rn e com valores em Rm.

y = f(x) pode ser representado na forma

y1 = f1(x1, · · · , xn)...

yn = fn(x1, · · · , xn)

, com fi (i = 1, · · · , n)

funcoes reais de domınio D.

18

Page 22: Análise Matemática III Textos de apoio `as aulas teóricas

Supondo que f1, · · · , fm sao diferenciaveis em a, entao, pelo teorema 1.71, a i-esima com-

ponente de f~v(a) e (fi)~v (a) e, com v := (v1, · · · , vn), temos

(fi)~v (a) =[

∂fi

∂x1(a) · · · ∂fi

∂xn(a)

]

v1

...

vn

.

Assim,

f~v(a) =

(f1)~v (a)...

(fn)~v (a)

=

∂f1

∂x1(a) · · · ∂f1

∂xn(a)

......

...∂fm

∂x1(a) · · · ∂fm

∂xn(a)

v1

...

vn

.

Definicao 1.75 A matriz Jf (a) :=

∂f1

∂x1(a) · · · ∂f1

∂xn(a)

......

...∂fm

∂x1(a) · · · ∂fm

∂xn(a)

chamaremos matriz jacobiana

de f , em a.

Definicao 1.76 Se m = n,

1. chamaremos jacobiano de f , no ponto a, ao determinante de Jf (a). Nota-lo-emos por∂(f1, · · · , fn)∂(x1, · · · , xn)

(a).

2. Ao traco de Jf chamaremos divergencia de f . Notaremos div f .

Observacao 1.77 E evidente que div f =∂f1

∂x1(a) + · · ·+ ∂fn

∂xn(a).

Definicao 1.78 Se m = n = 3, chamaremos rotacional de f (notando-o por rot f) ao vector

rot f :=(

∂f3

∂x2− ∂f2

∂x3

)~e1 +

(∂f1

∂x3− ∂f3

∂x1

)~e2 +

(∂f2

∂x1− ∂f1

∂x2

)~e3.

Observacao 1.79 Para se calcular o rotacional de uma funcao f , recorre-se, habitualmente,

ao determinante simbolico ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

~e1 ~e2 ~e3

∂x1

∂x2

∂x3

f1 f2 f3

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

.

19

Page 23: Análise Matemática III Textos de apoio `as aulas teóricas

Vamos agora ver como generalizar os teoremas 1.62 e 1.65, a funcoes vectoriais.

Teorema 1.80 Sejam f uma funcao de domınio D1 ⊆ Rn e com valores em Rm e g uma

funcao de domınio D2 ⊆ Rm e com valores em Rp , com f(D1) ⊆ D2.

Sejam a um ponto interior de D1, f1, · · · , fm funcoes diferenciaveis em a e g1, · · · , gp

funcoes diferenciaveis em b := f(a) , tais que, para qualquer x = (x1, · · · , xn) ∈ D1, f(x) :=

(f1(x), · · · , fn(x)) e g(f(x)) := ( g1( f1(x), · · · , fm(x) ), · · · , gp( f1(x), · · · , fm(x) ) )

Seja µ := g ◦ f , a funcao de domınio D1, definida por

µ(x) =

µ1(x)...

µp(x)

:=

g1( f1(x), · · · , fm(x) )...

gp( f1(x), · · · , fm(x) )

.

Entao,

∂µ1

∂x1· · · ∂µ1

∂xn...

......

∂µp

∂x1· · · ∂µp

∂xn

(a)

=

∂g1

∂z1· · · ∂g1

∂zm...

......

∂gp

∂z1· · · ∂gp

∂zm

(b)

∂f1

∂x1· · · ∂f1

∂xn...

......

∂fm

∂x1· · · ∂fm

∂xn

(a)

,

com zi(x1, · · · , xn) := fi(x1, · · · , xn) (i = 1, · · · ,m).

1.10 Derivadas direccionais de ordem superior a primeira, para funcoes reais

definidas em Rn. Formula de Taylor.

Seja f uma funcao real de domınio D ⊆ Rn, com D aberto e f tendo as derivadas parciais de

primeira ordem, contınuas em D.

Logo, com a ∈ D e v = (v1, · · · , vn), concluımos, pelo teorema 1.71, que

f~v(a) =∂f

∂x1(a) v1 + · · ·+ ∂f

∂xn(a) vn.

Observacao 1.81 A partir da definicao 1.59, temos que (df)~v(a) = f~v(a), para qualquer vector

~v.

Exercıcio 1.82 Justifique que podemos, no presente caso, definir, para qualquer vector ~v, a

funcao real f~v, de domınio D, que a cada x de D, associa f~v(x).

20

Page 24: Análise Matemática III Textos de apoio `as aulas teóricas

Teorema 1.83 Seja f uma funcao real de domınio D ⊆ Rn.

Se f admite derivadas de segunda ordem contınuas, em D, entao f~v admite derivadas de

primeira ordem contınuas, em D.

Alem disso, para i = 1, · · · , n,

∂f~v

∂xi(x) =

∂2f

∂xi∂x1(x) v1 + · · ·+ ∂2f

∂xi∂xn(x) vn.

Entao, a derivada direccional de segunda ordem, que notaremos f(2)~v (a), pode ser calculada

da seguinte forma

f(2)~v (a) := (f~v)~v(a)

=∂f~v

∂x1(a)v1 + · · ·+ ∂f~v

∂xn(a)vn

=(

∂2f

∂x21

(a)v1 + · · ·+ ∂2f

∂x1∂xn(a)vn

)v1 + · · ·

+(

∂2f

∂xn∂x1(a)v1 + · · ·+ ∂2f

∂x2n

(a)vn

)vn

=n∑

j=1

n∑

i=1

∂2f

∂xj∂xi(a)vivj .

As igualdades anteriores e o teorema de Schwarz, levam a seguinte notacao simbolica

f(2)~v (a) =

(∂f

∂x1(a)v1 + · · ·+ ∂f

∂xn(a)vn

)(2)

,

convencionando que (∂f

∂xi

)(2)

:=∂2f

∂x2i

e∂f

∂xi¯ ∂f

∂xi:=

∂2f

∂xi∂xj.

Exemplo 1.84 Se n = 2,

f(2)~v (a) =

(∂f

∂x1(a)v1 +

∂f

∂x2(a)v2

)(2)

=∂2f

∂x21

+ 2∂2f

∂x1∂x2+

∂2f

∂x22

.

De modo analogo poderıamos obter

f(3)~v (a) =

n∑

k=1

n∑

j=1

n∑

i=1

∂2f

∂xk∂xj∂xi(a)vivjvk =

(∂f

∂x1(a)v1 + · · ·+ ∂f

∂xn(a)vn

)(3)

.

Observacao 1.85 As derivadas direccionais podem tambem ser notadas do seguinte modo

f~v(a) = D~vf(a), f(2)~v (a) = D~v

2f(a), f(3)~v (a) = D~v

3f(a), · · · .

21

Page 25: Análise Matemática III Textos de apoio `as aulas teóricas

Podemos, agora, enunciar o teorema de Taylor para funcoes reais, definidas em Rn.

Teorema 1.86 Seja f uma funcao real, com domınio D ⊆ Rn, admitindo derivadas parciais

contınuas ate a ordem m + 1, numa bola aberta B(a, δ), com a + ~v ∈ B(a, δ).

Entao,

f(a + ~v) = f(a) + D~vf(a) +12!

D~v2f(a) + · · ·+ 1

m!D~v

mf(a) +1

(m + 1)!D~v

(m+1)f(a + θ~v),

com 0 < θ < 1.

1.11 Funcoes implıcitas

Para definir uma funcao real f de domınio D ⊆ Rn, usamos, muitas vezes, uma expressao

analıtica com o fim de determinar o valor de f em cada ponto x ∈ D.

Exemplo 1.87 z = x2 + y2 define uma funcao real f de domınio R2, dada por z := f(x, y) =

x2 + y2, sendo (x, y) a variavel independente e z a variavel dependente.

A funcao esta definida explicitamente (ou z e funcao explıcita de x e y).

Outras vezes a funcao e definida por uma equacao da forma φ(x, z) = 0, com z ∈ R e x ∈ Rn,

nao resolvida em ordem a variavel dependendente z, mas permitindo associar a cada x ∈ Dum valor z satisfazendo φ(x, z) = 0.

z esta definida implicitamente ou e uma funcao implıcita de x.

Exemplo 1.88 x cos (xy) = 0 define, implicitamente, uma funcao y(x), numa vizinhanca de

(1, π2 ).

Mais geralmente, com x ∈ Rn e z ∈ Rm,

φ1(x, z) = 0...

φm(x, z) = 0,

pode definir, implicitamente, z como funcao de x (obviamente z : Rn −→ Rm).

Exemplo 1.89

y12 − y2 = 3x1 + x2

y1 − 2y22 = x1 − 2x2,

22

Page 26: Análise Matemática III Textos de apoio `as aulas teóricas

define z := (y1, y2) como funcao implıcita de x1 e x2, numa vizinhanca de cada ponto que seja

solucao do sistema e tal que y1y2 6= 18 .

z = (y1, y2) e uma funcao de duas variaveis reais e com valores em R2, definida por

z(x1, x2) = (y1(x1, x2), y2(x1, x2).

O teorema seguinte da-nos condicoes para a existencia de funcoes definidas implicitamente em

vizinhancas convenientes de certos pontos.

Teorema 1.90 Sejam x0 ∈ Rn e y0 ∈ Rm tais que (x0, y0) e solucao do sistema

φ1(x, y) = 0...

φm(x, y) = 0,

com φi (i = 1, · · · ,m) funcoes de domınio D ⊆ Rn+m, D aberto e (x0, y0) ∈ D.

Suponhamos que φi (i = 1, · · · ,m) tem derivadas parciais contınuas e, alem disso,∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

∂φ1

∂y1· · · ∂φ1

∂ym...

∂φm

∂y1· · · ∂φm

∂ym

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣(x0,y0)

6= 0.

Entao existe uma vizinhanca V(x0) ⊆ Rn de x0 e funcoes ψi : V(x0) −→ R (i = 1, · · · ,m)

tais que, com y := (y1, · · · , ym), x := (x1, · · · , xn), y0 := (y10, · · · , ym0), e x0 := (x10, · · · , xn0),

• ψi (i = 1, · · · ,m) admite derivadas parciais contınuas em V(x0);

• yi0 = ψi(x10, · · · , xn0), i = 1, · · · ,m;

• para i = 1, · · · , m, verifica-se φi(x1, · · · , xn,

y1︷ ︸︸ ︷ψ1(x1, · · · , xn), · · · ,

ym︷ ︸︸ ︷ψm(x1 · · · , xn)) = 0,

para qualquer (x1, · · · , xn) ∈ V(x0).

Observacao 1.91 Nas condicoes do teorema, diz-se que

φ1(x, y) = 0...

φm(x, y) = 0,

definem y1, · · · , ym como funcoes implıcitas de x, numa vizinhanca de (x0, y0).

23

Page 27: Análise Matemática III Textos de apoio `as aulas teóricas

Exemplos 1.92 1. Considere-se a equacao x cos (xy) = 0.

• (1, π2 ) e solucao da equacao ;

• A funcao φ dada por φ(x, y) := x cos (xy) esta definida e admite derivadas parciais

contınuas em R2;

• ∂φ

∂y(1,

π

2) = −1 6= 0.

Entao existem uma vizinhanca V(1) e uma funcao real ψ definida, em V(1), por ψ(x) :=

y(x), tais que

• ψ admite derivadas parciais contınuas em V(1);

• ψ(1) = π2 ;

• φ(x, ψ(x)) = 0, para qualquer x ∈ V(1).

2. Seja

y12 − y2 = 3x1 + x2

y1 − 2y22 = x1 − 2x2

.

O ponto (0, 0, 0, 0) e uma das solucoes do sistema.

As funcoes reais φ1 e φ2 definidas por

φ1(x1, x2, y1, y2) = y12 − y2 − 3x1 − x2

φ2(x1, x2, y1, y2) = y1 − 2y22 − x1 + 2x2,

admitem derivadas parciais contınuas em R4.

Como ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

∂φ1

∂y1

∂φ1

∂y2

∂φ2

∂y1

∂φ2

∂y2

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

=

∣∣∣∣∣∣2y1 −1

1 −4y2

∣∣∣∣∣∣= −8y1y2 + 1,

entao ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

∂φ1

∂y1

∂φ1

∂y2

∂φ2

∂y1

∂φ2

∂y2

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣(0,0,0,0)

6= 0.

Podemos aplicar o teorema 1.90 e concluir que existe uma vizinhanca V(0, 0) e funcoes

reais ψ1 e ψ2 definidas, em V(0, 0), por ψ1(x1, x2) := y1(x), e ψ2(x1, x2) := y2(x), tais

que

24

Page 28: Análise Matemática III Textos de apoio `as aulas teóricas

• ψ1 e ψ2 admitem derivadas parciais contınuas em V(0, 0);

• ψ1(0, 0) = 0 = ψ2(0, 0);

• φ1(x1, x2, ψ1(x1, x2), ψ2(x1, x2)) = 0, para qualquer (x1, x2) ∈ V(0, 0).

O teorema 1.90 garante a existencia de funcoes ψi, com derivadas parciais contınuas.

Como obter essas derivadas?

Repare-se que, para i = 1 · · · ,m,

φi(x1, · · · , xn,

y1︷ ︸︸ ︷ψ1(x1, · · ·xn), · · · ,

ym︷ ︸︸ ︷ψm(x1, · · ·xn)) = 0.

Para cada j = 1 · · · , n,

∂φi

∂xj

∂xj

∂xj+

∂φi

∂y1

∂ψ1

∂xj+ · · ·+ ∂φi

∂ym

∂ψm

∂xj= 0.

Sendo J a matriz jacobiana definida por J :=

∂φ1

∂y1· · · ∂φ1

∂ym...

∂φm

∂y1· · · ∂φm

∂ym

, temos

J

∂ψ1

∂xj...

∂ψm

∂xj

= −

∂φ1

∂xj...

∂φm

∂xj

.

Como |J |(x0,y0) 6= 0, podemos concluir que

∂ψ1

∂xj...

∂ψm

∂xj

(x0)

= − (J−1)(x0,y0)

∂φ1

∂xj...

∂φm

∂xj

(x0,y0)

.

O mesmo se pode concluir em todos os pontos nos quais |J | 6= 0.

Observacao 1.93 No caso m = 1, sendo φ(x, y) = 0, y := ψ(x) e i = 1, · · · , n, temos

∂y

∂xj=

∂ψ

∂xj= −

∂φ

∂xj

∂φ

∂y

.

25

Page 29: Análise Matemática III Textos de apoio `as aulas teóricas

Exemplos 1.94

1. Sendo φ(x, y) = x cos(xy) = 0 e y = ψ(x), temos, em pontos convenientes,

ψ′(x) = − cos (xy) − xy cos (xy)x2 sin (xy)

.

2. Sendo

φ1(x1, x2, y1, y2) = y12 − y2 − 3x1 − x2 = 0

φ2(x1, x2, y1, y2) = y1 − 2y22 − x1 + 2x2 = 0

e

y = (y1, y2) = (ψ1, ψ2),

temos, em pontos convenientes,

∂ψ1

∂x1

∂ψ2

∂x1

= − 2y1 − 1

1 −4y2

−1

−3

−1

e

∂ψ1

∂x2

∂ψ2

∂x2

= − 2y1 − 1

1 −4y2

−1

−1

2

Observacao 1.95 Podemos fazer, por um metodo semelhante ao que usamos neste paragrafo,

o estudo da derivada da funcao inversa, aplicando as tecnicas da funcao implıcita a igualdade

φ(x, y) := f−1(y)− x = 0.

Tal tambem poderia ser feito aplicando a igualdade f−1f(x) = x, a teoria relativa as funcoes

compostas.

Refira-se que Dias Agudo prova o seguinte resultado sobre a invertibilidade local de uma

funcao:

Teorema 1.96 Seja f uma funcao definida num aberto D ⊆ Rn e com valores em Rn.

Se, em D, f tem derivadas parciais contınuas e∂(f1, · · · , fn)∂(x1, · · · , xn)

6= 0 , entao f e localmente

invertıvel, isto e, para cada ponto de D, existe alguma vizinhanca onde f e biunıvoca.

26

Page 30: Análise Matemática III Textos de apoio `as aulas teóricas

1.12 Planos tangentes e rectas normais a superfıcies

• Seja S a superfıcie correspondente a equacao F (x, y, z) = 0, com Fx, Fy e Fz contınuas.

• Seja (x0, y0, z0) um ponto de S tal que Fx(x0, y0, z0) 6= 0 ou Fy(x0, y0, z0) 6= 0 ou

Fz(x0, y0, z0) 6= 0.

• Seja C a curva de S definida por

x = f(t)

y = g(t)

z = h(t)

, com t ∈ [a, b], f, g e h contınuas em

[a, b] e (x0, y0, z0) ∈ C.

• Seja t0 ∈ [a, b] tal que

x0 = f(t0)

y0 = g(t0)

z0 = h(t0)

.

• Como, para qualquer t ∈ [a, b], (f(t), g(t), h(t)) ∈ C ⊆ S, entao F (f(t), g(t), h(t)) = 0.

• Pelo teorema da funcao composta, para t ∈ [a, b], Fx(x, y, z)f ′(t) + Fy(x, y, z)g′(t) +

Fz(x, y, z)h′(t) = 0.

• Desse modo, Fx(x0, y0, z0)f ′(t0) + Fy(x0, y0, z0)g′(t0) + Fz(x0, y0, z0)h′(t0) = 0, ou seja,

< (∇F )(x0, y0, z0), r′(t0) >= 0, com r′(t0) =

f ′(t0)

g′(t0)

h′(t0)

.

• r′(t0) e o vector tangente a C, no ponto (x0, y0, z0).

• Logo, para qualquer curva C de S, passando por (x0, y0, z0), (∇F )(x0, y0, z0) define uma

direccao normal a tangente a C em (x0, y0, z0).

• O plano que passa por (x0, y0, z0) e e ortogonal a (∇F )(x0, y0, z0), designa-se por plano

tangente a S, em (x0, y0, z0).

• a equacao desse plano e

Fx(x0, y0, z0)(x− x0) + Fy(x0, y0, z0)(y − y0) + Fz(x0, y0, z0)(z − z0) = 0.

27

Page 31: Análise Matemática III Textos de apoio `as aulas teóricas

• a recta normal a S, em (x0, y0, z0) tem por equacoes parametricas

x = x0 + λFx(x0, y0, z0)

y = y0 + λFy(x0, y0, z0)

z = z0 + λFz(x0, y0, z0)

,

com λ ∈ R.

1.13 Optimizacao de funcoes reais de n variaveis reais

1.13.1 Extremos livres

Definicao 1.97 Sejam f uma funcao real definida em D ⊆ Rn e a ∈ D.

f atinge um maximo local ou relativo em a (sendo f(a) um maximo relativo de f) se existir

uma vizinhanca V(a) de a tal que

∀x ∈ (V(a) ∩ D) , f(x) ≤ f(a).

f atinge um maximo absoluto em a (sendo f(a) um maximo absoluto de f) se

∀x ∈ D, f(x) ≤ f(a).

Observacao 1.98 De modo analogo se define mınimo local ou relativo e mınimo absoluto.

Teorema 1.99 Seja f uma funcao real definida e contınua em D ⊆ Rn, com D fechado e

limitado.

Entao f tem um maximo e um mınimo absolutos, em D.

Teorema 1.100 Sejam f uma funcao real definida em D ⊆ Rn, a ∈ int D e f diferenciavel

em a.

Se f(a) for um extremo relativo de f , entao, para qualquer vector ~h, f~h(a) = 0.

Demonstracao.

Sendo a := (a1, · · · , an), defina-se, para i = 1, · · · , n, gi da seguinte forma

gi(x) := f(a1, · · · , ai−1, x, ai+1, · · · , an).

Se f tem um extremo relativo em a , entao gi tem o mesmo tipo de extremo em ai.

28

Page 32: Análise Matemática III Textos de apoio `as aulas teóricas

Logo, g′i(ai) = 0.

Como∂f

∂xi(a) = g′i(ai), temos, considerando ~h := (h1, · · · , hn),

f~h(a) =

∂f

∂x1(a)h1 + · · ·+ ∂f

∂xn(a)hn = 0.

Corolario 1.101 Sejam f uma funcao real definida em D ⊆ Rn, a ∈ int D e f diferenciavel

em a.

Se f(a) for um extremo relativo de f , entao, para i = 1, · · · , n,∂f

∂xi(a) = 0.

Definicao 1.102 Sejam f uma funcao real definida em D ⊆ Rn e a ∈ int D.

Se, para i = 1, · · · , n,∂f

∂xi(a) = 0, entao a e dito um ponto estacionario ou crıtico de f .

Observacao 1.103 Pelo corolario 1.101, podemos afirmar que, para determinar os extremos

relativos (em pontos interiores de D) de f , basta estudar o comportamento de f nos pontos

estacionarios.

No entanto, a estacionaridade num determinado ponto, pode nao ser suficiente para

que exista extremo local nesse ponto. Os pontos estacionarios nos quais nao seja atingido um

extremo, designam-se por pontos sela.

O proximo resultado fornece condicoes suficientes para a existencia (ou nao) de extremos

em pontos estacionarios. No entanto, ainda vai deixar algumas situacoes em aberto (casos

duvidosos). A demonstracao baseia-se na formula de Taylor (teorema 1.86)

Teorema 1.104 Sejam f uma funcao real de domınio D ⊆ Rn e a ∈ intD, com a um ponto

estacionario de f .

Se f possui derivadas parciais contınuas ate a ordem m, numa bola B(a, δ) ⊆ D e m e o

menor inteiro positivo tal que alguma derivada parcial dessa ordem se nao anula em a, podemos

concluir que

1. se m e par e se, para qualquer vector unitario h, f(m)

h(a) > 0, entao f(a) e um mınimo

local de f ;

29

Page 33: Análise Matemática III Textos de apoio `as aulas teóricas

2. se m e par e se, para qualquer vector unitario h, f(m)

h(a) < 0, entao f(a) e um maximo

local de f ;

3. (a) se m e ımpar ou

(b) se m e par e existem vectores unitarios h1 e h1 tais que f(m)

h1(a) > 0 e f

(m)

h2(a) < 0,

ou

(c) se m e par e

i. para qualquer vector unitario h, f(m)

h(a) ≥ 0 e

ii. existe h1 tal que f(m)

h1(a) = 0 e

iii. sendo p (obviamente p > m) o menor inteiro para o qual f(p)

h1(a) 6= 0, ou p e

ımpar ou p e par mas f(p)

h1(a) < 0,

entao f nao tem extremo em a;

4. (caso duvidoso)

(a) se m e par e

(b) para qualquer vector unitario h, f(m)

h(a) ≥ 0 e

(c) sendo p (par) o menor inteiro positivo tal que f(p)

h1(a) 6= 0,

(f

(m)

h1(a) = 0

)=⇒

(f

(p)

h1(a) > 0

),

entao nada garante a existencia (ou nao) de extremo em a.

Observacao 1.105 Se nas condicoes 3 c.i) e 4 b) substituirmos f(m)

h(a) ≥ 0 por f

(m)

h(a) ≤ 0,

deveremos, para que as conclusoes do teorema ainda permanecam verdadeiras, substituir, em 3

c.iii), f(p)

h1(a) < 0, por f

(p)

h1(a) > 0 e, em 4.c), f

(p)

h1(a) > 0 por f

(p)

h1(a) < 0.

Seguem-se algumas notas uteis para a resolucao das dificuldades de aplicacao do teorema

1.104.

Estas notas, embora generalizaveis, irao ser feitas para o caso m = 2.

30

Page 34: Análise Matemática III Textos de apoio `as aulas teóricas

Observacoes 1.106 Sejam h := (h1, · · · , hn) e B :=

∂2f

∂x21

· · · ∂2f

∂x1∂xn...

......

∂2f

∂xn∂x1· · · ∂2f

∂x2n

(a)

.

1. f(2)

h(a) =

[h1 · · · hn

]B

h1

· · ·hn

= hT Bh.

2. Se 0 e valor proprio de B, entao existe h tal que f(2)

h(a) = 0.

3. Se B tem todos os seus valores proprios positivos, entao B e definida positiva e, para

qualquer h, f(2)

h(a) > 0.

4. Se B tem todos os seus valores proprios negativos, entao B e definida negativa e, para

qualquer h, f(2)

h(a) < 0.

5. Se B tem todos os seus valores proprios nao negativos, entao B e semidefinida positiva

e, para qualquer h, f(2)

h(a) ≥ 0.

6. Se B tem todos os seus valores proprios nao positivos, entao B e semidefinida negativa

e, para qualquer h, f(2)

h(a) ≤ 0.

7. Se B tem valores proprios negativos e positivos, entao B e indefinida e existem h1 e h1

tais que f(m)

h1(a) > 0 e f

(m)

h2(a) < 0.

Conjugando o teorema 1.104 com as observacoes anteriores, podemos formular o teorema

1.104 em termos de valores proprios de B.

Em particular, para funcoes reais de duas variaveis reais e m = 2, temos o resultado seguinte.

Teorema 1.107 Seja f uma funcao real de duas variaveis reais, com derivadas parciais de

segunda ordem contınuas numa bola B(a, δ), e a um ponto crıtico de f.

Seja ainda ∆ :=

∣∣∣∣∣∣fx2(a) fxy(a)

fyx(a) fy2(a)

∣∣∣∣∣∣= fx2(a) fy2(a) − (fxy(a))2 .

1. Se ∆ > 0 e fx2(a) > 0, entao f(a) e um mınimo local;

31

Page 35: Análise Matemática III Textos de apoio `as aulas teóricas

2. Se ∆ > 0 e fx2(a) < 0, entao f(a) e um maximo local;

3. Se ∆ < 0, entao f(a) nao e extremo local;

4. ∆ = 0 conduz ao caso duvidoso.

Exemplos 1.108

1. Estudo da existencia de extremos locais da funcao f dada por f(x, y, z) = x2 + y2 + 3z2 +

yz + 2xz − xy.

Determinacao das derivadas parciais de primeira ordem:

fx(x, y, z) = 2x− y + 2z;

fy(x, y, z) = −x + 2y + z;

fz(x, y, z) = 2x + y + 6z.

Determinacao dos pontos crıticos:

Como

∣∣∣∣∣∣∣∣∣

2 −1 2

−1 2 1

2 1 6

∣∣∣∣∣∣∣∣∣= 4 6= 0, entao (0, 0, 0) e o unico ponto crıtico.

B =

2 −1 2

−1 2 1

2 1 6

.

Determinacao dos valores proprios de B :∣∣∣∣∣∣∣∣∣

2− λ −1 2

−1 2− λ 1

2 1 6− λ

∣∣∣∣∣∣∣∣∣= −λ3 + 10λ2 − 22λ + 4 = 0 =⇒ λ ∼= 1.38 ∨ λ = 10

3 ∨ λ ∼= 5.27.

Como os valores proprios de B sao todos positivos, B e definida positiva e f tem um

mınimo local em (0, 0, 0).

2. Estudo da existencia de extremos locais da funcao f dada por f(x, y) = (x− y)2−x4− y4.

Determinacao das derivadas parciais de primeira ordem:

fx(x, y) = 2(x− y)− 4x3;

32

Page 36: Análise Matemática III Textos de apoio `as aulas teóricas

fy(x, y) = −2(x− y)− 4y3.

Determinacao dos pontos crıticos:

De

2(x− y)− 4x3 = 0

−2(x− y)− 4y3 = 0, conclui-se que os pontos crıticos sao (0, 0), (−1, 1) e

(1,−1).

∆(x, y) = (2− 12x2)(2− 12y2)− (−2)2.

Em (1,−1) ha um maximo local, pois ∆(1,−1) = 96 > 0 e fx2(1,−1) = −10 < 0.

Em (−1, 1) ha um maximo local, pois ∆(−1, 1) = 96 > 0 e fx2(−1, 1) = −10 < 0.

Em (0, 0) estamos no caso duvidoso, pois ∆(0, 0) = 0.

Neste caso, B =

2 −2

−2 2

.

Os valores poprios de B sao 0 e 4, logo B e semidefinida positiva e, para qualquer h,

f(2)

h(0, 0) ≥ 0.

Pela observacao 1.106-2, existe h1 tal que f(2)

h1(0, 0) = 0.

Calculando h1, temos

f(2)

h1(0, 0) = (fx(0, 0)h1 + fy(0, 0)h2)

(2) = (h11 − h12)2.

Logo, por exemplo, h1 = (√

22 ,

√2

2 ).

Como

f(3)

h1(0, 0) =

(fx(0, 0)

√2

2+ fy(0, 0)

√2

2

)(3)

= fx3(0, 0)

(√2

2

)3

+ 3fx2y(0, 0)

(√2

2

)2 √2

2+ 3fxy2(0, 0)

√2

2

(√2

2

)2

+

fy3(0, 0)

(√2

2

)3

= 0

f(4)

h1(0, 0) =

(fx(0, 0)

√2

2+ fy(0, 0)

√2

2

)(4)

= −12 < 0,

temos, pela condicao 3 c) do teorema 1.104, que, em (0, 0), nao ha extremo.

33

Page 37: Análise Matemática III Textos de apoio `as aulas teóricas

3. Estudo da existencia de extremos locais da funcao f dada por f(x, y) = y2 − 4x2y + 3x4.

Determinacao das derivadas parciais de primeira ordem:

fx(x, y) = −8xy + 12x3;

fy(x, y) = 2y − 4x2.

Determinacao dos pontos crıticos:

De

−8xy + 12x3 = 0

2y − 4x2 = 0, conclui-se que o unico ponto crıtico e (0, 0).

∆(x, y) = (−8y + 36x2)(2)− (−8x)2.

Em (0, 0), estamos no caso duvidoso, pois ∆(0, 0) = 0.

Neste caso, B =

0 0

0 2

.

Os valores poprios de B sao 0 e 2, logo B e semidefinida positiva e, para qualquer h,

f(2)

h(0, 0) ≥ 0.

Pela observacao 1.106-2, existe h1 tal que f(2)

h1(0, 0) = 0.

Calculando h1, temos

f(2)

h1(0, 0) = (fx(0, 0)h1 + fy(0, 0)h2)

(2) = 2h212.

Logo, h1 = (1, 0) ou h1 = (−1, 0).

Em qualquer desses casos,

f(3)

h1(0, 0) = (fx(0, 0)(±1) + fy(0, 0)0)(3) = 0

e

f(4)

h1(0, 0) = (fx(0, 0)(±1) + fy(0, 0)0)(4) = 72 > 0.

Logo, pela condicao 4 do teorema 1.104, somos conduzidos ao caso duvidoso.

Reparando que

• f(0, 0) = 0,

• x2 < y < 3x2 =⇒ f(x, y) < 0,

34

Page 38: Análise Matemática III Textos de apoio `as aulas teóricas

• (y < x2 ∨ y > 3x2) =⇒ f(x, y) > 0,

provamos, por definicao, que, em (0, 0), nao ha extremo.

1.13.2 Extremos condicionados

Consideremos o seguinte problema:

Determinar os extremos locais de uma funcao real f de domınio D ⊆ Rn, sujeita

as restricoes

g1(x1, · · · , xn) = 0... (A)

gn(x1, · · · , xn) = 0,

com m < n.

1o¯

caso: As restricoes explicitam m das variaveis em funcao das outras n−m variaveis.

Suponhamos, sem perda de generalidade, que

xn−m+1 = φn−m+1(x1, · · · , xn−m)...

xn = φn(x1, · · · , xn−m)

.

Entao os extremos condicionados ou sujeitos a restricoes de f, serao os extremos locais

da funcao real h , de n−m variaveis reais, definida por

h(x1, · · · , xn−m) := f(x1, · · · , xn−m, φn−m+1(x1, · · · , xn−m), · · · , φn(x1, · · · , xn−m)).

Exemplo 1.109 Determinar tres numeros reais positivos, de soma 10, e tais que o seu produto

seja maximo.

Este problema pode ter a seguinte formulacao :

max f(x, y, z) = xyz

s. a x + y + z = 10.

Os extremos condicionados de f serao os extremos livres de h, definida por h(x, y) :=

f(x, y, 10− x− y) = xy(10− x− y).

Como h tem um maximo local em (103 , 10

3 ), entao f tera um maximo condicionado em

(103 , 10

3 , 10− 103 − 10

3 ).

35

Page 39: Análise Matemática III Textos de apoio `as aulas teóricas

2o¯

caso: As restricoes definem m das variaveis, implicitamente, como funcoes das outras n−m

variaveis.

Observacoes 1.110

1. Sendo (x1, · · · , xn) um ponto de D, satisfazendo (A), eno qual f tem um extremo condi-

cionado, entao existem escalares λ1, · · · , λm tais que (x1, · · · , xn, λ1, · · · , λm), e solucao

de

∂f

∂x1+ λ1

∂g1

∂x1+ · · ·+ λm

∂gm

∂x1= 0...

∂f

∂xn+ λ1

∂g1

∂xn+ · · ·+ λm

∂gm

∂xn= 0

(B)

g1(x1, · · · , xn) = 0...

gn(x1, · · · , xn) = 0

Os escalares λ1, · · · , λm designam-se por Multiplicadores de Lagrange.

2. Se considerarmos F definida por

F (x1, · · · , xn, λ1, · · · , λm) := f(x1, · · · , xn) + λ1g1(x1, · · · , xn) + · · ·+ λmgm(x1, · · · , xn)

entao a resolucao do sistema (A), equivale a determinacao dos pontos crıticos de F.

3. Os pontos x nos quais a funcao f sujeita as restricoes

g1(x1, · · · , xn) = 0...

gm(x1, · · · , xn) = 0.

tem extremos, levam-nos a solucoes do sistema (A) da forma (x, λ).

No entanto, nem toda a solucao do sistema da forma (x, λ) nos permite concluir que x e

extremo condicionado de f.

4. Ha condicoes suficientes (de segunda ordem) para solucionar o problema da observacao

anterior. Elas nao serao objecto de estudo neste curso.

36

Page 40: Análise Matemática III Textos de apoio `as aulas teóricas

5. Se o subconjunto D1 do domınio de f que satisfaz as restricoes e fechado e limitado,

entao, pelo teorema 1.99, podemos, de entre os pontos (x, λ) que sao solucoes do sistema,

determinar o(s) ponto(s) (x1 no qual f atinge o seu valor maximo (ou mınimo) e afirmar

que, nesse(s) ponto(s), f tem um maximo (ou mınimo) absoluto.

Exemplo 1.111 Estudar a existencia de extremos absolutos da funcao real f definida por

f(x, y, z) = xyz e sujeita a condicao x2 + y2 + z2 = 1.

Neste caso F (x, y, z, λ) = xyz + λ(x2 + y2 + z2 − 1).

Determinacao dos pontos crıticos de F (candidatos a extremos condicionados de f)

Comecando por

yz + 2λx = 0

xz + 2λy = 0

xy + 2λz = 0

x2 + y2 + z2 − 1 = 0

chegamos ao sistema

yz(1− 3x2) = 0

xz(1− 3y2) = 0

xy(1− 3z2) = 0

x2 + y2 + z2 = 1.

Entao, ha 14 pontos crıticos de F, que irao ser da forma

(±1, 0, 0), (0,±1, 0), (0, 0,±1),

(±√

33

,±√

33

,±√

33

).

Aplicando a observacao 1.110-5, o maximo absoluto condicionado de f , de valor√

39 , e atingido

nos pontos(√

33

,−√

33

,−√

33

),

(−√

33

,

√3

3,−√

33

),

(−√

33

,−√

33

,

√3

3

)e

(√3

3,

√3

3,

√3

3

).

O mınimo absoluto condicionado de f , de valor −√

39 , e atingido nos pontos

(−√

33

,

√3

3,

√3

3

),

(√3

3,−√

33

,

√3

3

),

(√3

3,

√3

3,−√

33

)e

(−√

33

,−√

33

,−√

33

).

37

Page 41: Análise Matemática III Textos de apoio `as aulas teóricas

Iremos agora provar a observacao 1.110-1, no caso m = 2 e n = 3.

O caso geral (com m < n ) resulta de uma generalizacao obvia e imediata.

O nosso problema e:

Determinar os extremos locais de uma funcao real f de domınio D ⊆ R3, sujeita

as restricoes

g1(x1, x2, x3) = 0

g2(x1, x2, x3) = 0.

Seja x := (x1, x2, x3) um elemento de D, satisfazendo (B).

Seja V(x) uma vizinhanca aberta de x tal que g1 e g2 tem derivadas parciais contınuas

em V(x).

Suponhamos ainda que(

∂(g1, g2)∂(x2, x3)

)

(x)

6= 0.

Pelo teorema das funcoes implıcitas, existe uma vizinhanca V(x1) e funcoes reais φ2 e φ3

definidas em V(x1) tais que

• φ2 e φ3 admitem derivadas parciais contınuas em V(x1);

• x2 = φ2(x1) e x3 = φ3(x1);

• para qualquer x1 em V(x1), g1(x1, φ2(x1), φ3(x1)) = 0 e g2(x1, φ2(x1), φ3(x1)) = 0.

Seja h uma funcao definida em V(x1), por

h(x1) := (h1(x1), h2(x2), h3(x3)) := (x1, φ2(x1), φ3(x1)).

A questao da existencia de um extremo de f em x, reduz-se a existencia de um extremo,

em x1, da funcao real U definida por U = f ◦ h.

Se U tem um extremo em x1, entao

38

Page 42: Análise Matemática III Textos de apoio `as aulas teóricas

0 =dU

dx1(x1)

=[

∂f

∂x1

∂f

∂x2

∂f

∂x3

]

(x)

∂h1

∂x1

∂h2

∂x1

∂h3

∂x1

(x1)

=[

∂f

∂x1

∂f

∂x2

∂f

∂x3

]

(x)

1

∂φ2

∂x1

∂φ3

∂x1

(x1)

As igualdades anteriores e a derivacao de funcoes compostas, permitem concluir que

∂f

∂x1

∂f

∂x2

∂f

∂x3

∂g1

∂x1

∂g1

∂x2

∂g1

∂x3

∂g2

∂x1

∂g2

∂x2

∂g2

∂x3

(x)

1

∂φ2

∂x1

∂φ3

∂x1

(x1)

=

0

0

0

Seja B :=

∂f

∂x1

∂f

∂x2

∂f

∂x3

∂g1

∂x1

∂g1

∂x2

∂g1

∂x3

∂g2

∂x1

∂g2

∂x2

∂g2

∂x3

(x)

.

Entao,

• O sistema BX = 0 tem uma solucao nao nula, logo |B| = 0.

39

Page 43: Análise Matemática III Textos de apoio `as aulas teóricas

• As linhas de B sao linearmente dependentes.

• Como(

∂(g1, g2)∂(x2, x3)

)

(x)

6= 0, entao a primeira linha e combinacao linear das outras duas.

• O sistema

∂f

∂x1(x) + λ

∂g1

∂x1(x) + µ

∂g2

∂x1(x) = 0

∂f

∂x2(x) + λ

∂g1

∂x2(x) + µ

∂g2

∂x2(x) = 0

∂f

∂x3(x) + λ

∂g1

∂x3(x) + µ

∂g2

∂x3(x) = 0

e possıvel. Tem uma so solucao ja que(

∂(g1, g2)∂(x2, x3)

)

(x)

6= 0.

• Em conclusao, se f(x) e um extremo condicionado de f, sujeito as restricoes

g1(x1, x2, x3) = 0

g2(x1, x2, x3) = 0.

entao existem escalares λ e µ tais que (x1, x2, x3, λ, µ) e solucao do sistema

∂f

∂x1+ λ

∂g1

∂x1+ µ

∂g2

∂x1= 0

∂f

∂x2+ λ

∂g1

∂x2+ µ

∂g2

∂x2= 0

∂f

∂x3+ λ

∂g1

∂x3+ µ

∂g2

∂x3= 0

g1(x1, x2, x3) = 0

g2(x1, x2, x3) = 0.

40

Page 44: Análise Matemática III Textos de apoio `as aulas teóricas

1.14 Funcoes homogeneas. Teorema de Euler

Definicao 1.112 Uma funcao real f de domınio D ⊆ R2 e homogenea de grau α se, para

quaisquer x, y e t tais que (x, y) ∈ D e (tx, ty) ∈ D,

f(tx, ty) = tαf(x, y).

α e uma constante real independente de x, y e t .

A funcao e positivamente homogenea de grau α se a igualdade se verificar com a restricao

t ≥ 0.

Exemplos 1.113

1. A funcao f definida por f(x, y) = x2 + y2 arcsin(y

x

)e, para x 6= 0, homogenea de grau

2.

2. A funcao g definida por g(x, y) =√

x2 + y2 e positivamente homogenea de grau 1.

Segue-se um resultado importante para funcoes positivamente homogeneas.

Teorema 1.114 Se f e positivamente homogenea de grau α, entao verifica-se a chamada iden-

tidade de Euler, xfx(x, y) + yfy(x, y) = αf(x, y), em todo o ponto no qual f seja diferenciavel.

Reciprocamente, se uma funcao diferenciavel verifica a identidade de Euler, ela e positiva-

mente homogenea de grau α.

41

Page 45: Análise Matemática III Textos de apoio `as aulas teóricas

2 Equacoes diferenciais de ordem n

2.1 Equacoes diferenciais ordinarias

Definicao 2.1 Uma equacao diferencial ordinria e uma equacao que contem uma unica funcao

incognita f, dependente de uma variavel x e um numero finito de derivadas de f.

Exemplo 2.2 f ′(x) = x + 1 e, em R, uma equacao diferencial ordinaria, tendo solucoes da

forma f(x) =x2

2+ x + c, com c uma qualquer constante real.

Definicao 2.3 Sejam D um aberto de Rn+2 e F uma funcao real de domınio D.

A equacao F (x, y, y′, · · · , y(n)) = 0, onde y(i) designa a derivada de ordem i de y (em

ordem a x), e chamada equacao diferencial ordinaria de ordem n. A ordem da equacao e a

maior das ordens das derivadas que figuram na equacao.

Observacao 2.4 No exemplo anterior, a ordem e 1.

Definicao 2.5 Sejam D um aberto de Rn+2 e F uma funcao real de domınio D.

Se I e um intervalo de R e φ e uma funcao real de domınio I , com derivadas ate a ordem

n, entao φ e uma solucao da equacao F (x, y, y′, · · · , y(n)) = 0 se, para qualquer x ∈ I,

• (x, φ(x), φ′(x), · · · , φ(n)(x)) ∈ D e

• F (x, φ(x), φ′(x), · · · , φ(n)(x)) = 0.

Ao intervalo I chama-se intervalo de definicao de φ.

Exemplo 2.6 A funcao φ definida por φ(x) = e3x − 2, e, em R, uma solucao da equacao

diferencial y′ − 3y − 6 = 0.

Definicao 2.7 Uma famılia de solucoes de uma equacao diferencial de ordem n, contendo n

constantes arbitrarias essenciais, designa-se por solucao geral ou integral geral dessa equacao

diferencial.

Escolhendo valores especıficos para as constantes, obtem-se as solucoes particulares.

As solucoes que nao possam ser obtidas como as particulares, designam-se por solucoes

singulares.

42

Page 46: Análise Matemática III Textos de apoio `as aulas teóricas

Exemplos 2.8

1. Prova-se que a equacao de Bernoulli y′ − xy12 = 0, tem y = (x2

4 + c)2 por solucao geral.

y = x4

16 e uma solucao particular, resultante de considerar c = 0.

y = 0 e uma solucao singular.

c e uma constante essencial. No entanto, em y = (x2

4 + c1 + c2)2, c1 e c2, nao sao

essenciais, devendo substituir-se c1 + c2 por c.

2. A determinacao de solucoes gerais nao e, em muitos casos, simples.

Ha, no entanto, situacoes faceis como as equacoes lineares, que estudaremos no proximo

paragrafo, ou os exemplos que se seguem.

y = 3x2

2 +x+ c, y = x3 +2x2 + c1x+ c2 e y = −e−x + c1x2 + c2x+ c3 sao solucoes gerais,

respectivamente de y′ = 3x + 1, y′′ = 6x + 4 e y′′′ = e−x.

Definicao 2.9 Dada a equacao de ordem n

y(n) = G(x, y, y′, · · · , y(n−1)) (1)

e, com k0, · · · , kn−1 constantes reais dadas e x0 ∈ I, as condicoes iniciais

y(x0) = k0, (2)

y′(x0) = k1, (3)...

y(n−1)(x0) = kn−1, (4)

diz-se que (1) - (4) formam um problema de condicoes iniciais ou um problema de Cauchy.

Exemplo 2.10 A equacao y′ = x + 1 admite a solucao geral y = x2

2 + x + c.

A mesma equac ao, com a condicao inicial y(0) = 8, tem a solucao (particular) y =x2

2 + x + 8.

43

Page 47: Análise Matemática III Textos de apoio `as aulas teóricas

2.2 Equacoes diferenciais, ordinarias e lineares

Definicao 2.11 Chama-se equacao diferencial, ordinaria, linear e de ordem n, a uma equacao

do tipo

a0(x)y(n) + a1(x)y(n−1) + · · ·+ an−1(x)y′ + an(x)y = f(x), (5)

com a0, a1, · · · , an e f funcoes definidas num intervalo I ⊆ R e a0 nao identicamente nula,

em I.

Se as funcoes a0, a1, · · · , an forem constantes, a equacao diz-se com coeficientes constantes.

Se f for, em I, a funcao nula, a equacao designa-se por homogenea.

Exemplos 2.12 1. y′′ + y = sin (2x), e uma equacao linear, com coeficientes constantes e

ordem 2.

2. x4y′′′ + (cos x)y = x, e uma equacao linear de ordem 3.

3. exy′′ + xy = 0, e uma equacao linear e homogenea.

4. exy′′ + y2 = 0, e uma equacao nao linear.

5. y′′′ + yy′ = ex, e uma equacao nao linear.

Observacao 2.13 Ate ao final destas notas, consideraremos a0, a1, · · · , an e f funcoes

contınuas num intervalo I ⊆ R e, para qualquer x ∈ I, a0(x) 6= 0 .

Segue-se um teorema de existencia e unicidade de solucao para o problema de Cauchy, no caso

das equacoes lineares.

Teorema 2.14 Sejam a0, a1, · · · , an e f funcoes contınuas num intervalo fechado I ⊆ R e,

para qualquer x ∈ I, a0(x) 6= 0 .

Sejam ainda x0 ∈ I e k0, · · · , kn−1, n numeros reais dados.

Existe uma e uma so solucao y(x), da equacao (5), definida em I e verificando as condicoes

(2) - (4).

Observacoes 2.15 1. Ha teoremas de existencia e unicidade para casos mais gerais (ver,

por exemplo, Kaplan).

44

Page 48: Análise Matemática III Textos de apoio `as aulas teóricas

2. Edouard Goursat demonstra esse teorema na parte 2, do volume II, do seu livro A Course

in Mathematical Analysis.

3. Obviamente a solucao de um problema de Cauchy e simples se se conhecer a solucao geral.

4. A condicao a0(x) 6= 0, para qualquer x ∈ I, e fundamental no teorema 2.14. Considere-se,

por exemplo, a equacao xy′ + y = x e a condicao inicial y(0) = 4.

(Repare-se que (xy)′ = xy′ + y.)

Um ultimo resultado no qual se relacionam solucoes gerais de uma equacao nao homogenea

(completa) e da correspondente equacao homogenea.

Teorema 2.16 Sejam a0, a1, · · · , an e f funcoes contınuas num intervalo I ⊆ R e, para

qualquer x ∈ I, a0(x) 6= 0 .

Se ygh designar a solucao geral da equacao

a0(x)y(n) + a1(x)y(n−1) + · · ·+ an−1(x)y′ + an(x)y = 0 (6)

e ypc for uma solucao particular de (5), entao ygh + ypc e solucao geral de (5).

Exemplo 2.17 Uma equacao linear de 1a¯ da forma y′ + p(x)y = q(x), tem por solucao geral

y = c eR −p(x) dx︸ ︷︷ ︸

ygh

+ eR −p(x) dx

∫eR

p(x) dxq(x) dx

︸ ︷︷ ︸ypc

= eR −p(x) dx

{∫eR

p(x) dxq(x) dx + c}

.

2.3 Equacoes lineares, homogeneas e de ordem n. Wronskiano.

Seja E o espaco vectorial das funcoes reais com derivadas ate a ordem n, em I.

Seja F o espaco vectorial das funcoes reais definidas em I.

Se L designar a aplicacao linear de domınio E e com valores em F, definida por

L(y) = a0(x)y(n) + a1(x)y(n−1) + · · ·+ an−1(x)y′ + an(x)y,

entao (6) reduz-se a forma

L(y) = 0. (7)

Teorema 2.18 Sejam N o conjunto de todas as solucoes de (7) e x0 um elemento de I.

Entao,

45

Page 49: Análise Matemática III Textos de apoio `as aulas teóricas

1. N e um espaco vectorial real;

2. a aplicacao φ de domınio Rn, com valores em N e tal que φ(k0, · · · , kn−1) e a unica

solucao de (7) satisfazendo (2) - (4), e um isomorfismo.

Corolario 2.19 N tem dimensao n.

Definicao 2.20 Um sistema fundamental de solucoes , notado SFS, de (7) e qualquer base de

N.

Corolario 2.21 Existem n solucoes de (7), linearmente independentes.

Se y1, · · · , yn forem essas solucoes, entao qualquer solucao y de (7), pode ser escrita na

forma

y = α1y1, · · · , αnyn,

com α1, · · · , αn constantes reais.

Definicao 2.22 Sejam y1, · · · , yn funcoes reais, com derivadas ate a ordem n− 1 (inclusive),

num intervalo I de R.

Chama-se Wronskiano dessas n funcoes, e nota-se W (x) ou W (y1, · · · , yn) , ao determi-

nante ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

y1 · · · yn

y1′ · · · yn

......

...

y1(n−1) · · · yn

(n−1)

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

.

Teorema 2.23 As solucoes y1, · · · , yn de (7), constituem um sistema fundamental de solucoes

de (7), num intervalo I de R, se e so se W (y1, · · · , yn) 6= 0 , para qualquer x ∈ I.

2.4 Equacao linear, completa e de ordem n. Metodo de Lagrange ou de

variacao das constantes arbitrarias.

Com as notacoes do paragrafo anterior, consideremos a equacao linear, completa e de ordem n,

L(y) := a0(x)y(n) + a1(x)y(n−1) + · · ·+ an(x)y = f(x), (8)

46

Page 50: Análise Matemática III Textos de apoio `as aulas teóricas

com a0, · · · , an e f contınuas num intervalo I de R e, para qualquer x ∈ I, a0(x) 6= 0.

Esta notacao para a equacao linear, completa e de ordem n, tem algumas vantagens ao nıvel

do manuseamento. Veja-se o exercıcio seguinte.

Exercıcio 2.24 Sejam y1 e y2 solucoes particulares, respectivamente de L(y) = f1(x) e

L(y) = f2(x).

Prove que se α e β sao constantes reais, entao αy1 + βy2 e solucao de L(y) = αf1(x) +

βf2(x).

(7) e a equacao homogenea correspondente a (8).

Passamos a expor o metodo de Lagrange que permite resolver (8) a partir do conhecimento

de um sistema fundamental de solucoes de (7).

Teorema 2.25 Seja {y1, · · · , yn} um sistema fundamental de solucoes de (7).

Se y e solucao de (8), entao existem funcoes c1, · · · , cn derivaveis, em I, e tais que

y(x) = c1(x)y1(x) + · · ·+ cn(x)yn(x). (9)

Alem disso, para qualquer x ∈ R,

c′1(x)y1(x) + · · ·+ c′n(x)yn(x) = 0

c′1(x)y′1(x) + · · ·+ c′n(x)y′n(x) = 0... .

c′1(x)y1(n−2)(x) + · · ·+ c′n(x)yn

(n−2)(x) = 0

c′1(x)y1(n−1)(x) + · · ·+ c′n(x)yn

(n−1)(x) =f(x)a0(x)

Observacao 2.26 O sistema referido no teorema anterior tem solucao pois a matriz do sis-

tema tem determinante nao nulo (W (x, y1, · · · , yn) 6= 0 ja que y1, · · · , yn formam um sistema

fundamental de solucoes de (7)).

Observacao 2.27 A solucao geral de (7) e y = α1y1 + · · ·+αnyn, com α1, · · · , αn constantes

reais.

Metodo de Lagrange ou de variacao das constantes arbitrarias:

1. Seja y1, · · · , yn, um sistema fundamental de solucoes de (7).

47

Page 51: Análise Matemática III Textos de apoio `as aulas teóricas

2. Determinem-se c′1(x), · · · , c′n(x), resolvendo o sistema do teorema 2.25.

3. Por primitivacao, calculem-se c1(x), · · · , cn(x).

4. Inserindo, em (9), as funcoes obtidas na alınea anterior, obtem-se a solucao geral de (8),

na forma

y(x) = c1(x)y1(x) + · · ·+ cn(x)yn(x).

Observacao 2.28 A razao do nome deste metodo prende-se com o facto de estarmos, de certa

forma, a ”fazer variar”as constantes consideradas na observacao 2.27.

Observacao 2.29 A solucao geral de (8), obtida pelo Metodo de Lagrange, pode, muito facil-

mente, ser escrita, cumprindo o estabelecido no teorema 2.16, na forma y(x) = ygh + ypc.

Observacao 2.30 Um dos problemas de aplicacao do Metodo de Lagrange, consiste em deter-

minar um SFS de (7). Tal e simples em equacoes de coeficientes constantes.

Nas equacoes de Euler, que sao da forma

xny(n) + α1xn−1y(n−1) + · · ·+ αn−1xy′ + αny = f(x),

com α1, · · · , αn constantes reais, sabe-se que as correspondentes equacoes homogeneas tem, em

muitos casos, solucoes da forma xk, com k uma constante real.

Exemplo 2.31 Sabendo que y1 = ex e y2 = e3x sao solucoes de y′′ − 4y′ + 3y = 0, vamos

determinar, pelo Metodo de Lagrange, a solucao geral de y′′ − 4y′ + 3y = ex.

W (y1, y2) = 2e4x 6= 0, ∀x ∈ R, logo {y1, y2} e, em R, um SFS de y′′ − 4y′ + 3y = 0.

A solucao geral de y′′ − 4y′ + 3y = 0 e y = c1ex + c2e

3x, com c1 e c2 constantes reais.

Considerando agora c1 e c2 ”como funcoes”de x, o sistema do teorema 2.25 e, no nosso

caso,

c′1(x)ex + c′2(x)e3x = 0

c′1(x)ex + c′2(x)3e3x =ex

1.

A solucao desse sistema e dada por c′1(x) = −12 e c′2(x) = 1

2e−2x.

Logo, c1(x) = −12x + α1 e c2(x) = −1

4e−2x + α2.

48

Page 52: Análise Matemática III Textos de apoio `as aulas teóricas

Substituindo na solucao geral da homogenea, obtemos a solucao geral de y′′− 4y′+3y = ex,

na forma

y =(−1

2x + α1

)ex +

(−1

4e−2x + α2

)e3x

= α1ex + α2e

3x

︸ ︷︷ ︸ygh

+(−1

2x− 1

4

)ex

︸ ︷︷ ︸ypc

.

2.5 Equacao linear, homogenea, com coeficientes constantes e de ordem n

Definicao 2.32 Uma equacao linear, homogenea, com coeficientes constantes e de ordem n e

uma equacao diferencial do tipo

a0y(n) + a1y

(n−1) + · · ·+ any = 0, (10)

com a0, a1, · · · , an constantes reais e a0 6= 0.

Observacao 2.33 Se y(x) e solucao de (10), entao y(x) admite derivada de qualquer ordem.

Definicao 2.34 Chama-se equacao caracterıstica de (10) a

P (r) := a0r(n) + a1r

(n−1) + · · ·+ an−1r + an = 0. (11)

O polinomio P (r) e dito polinomio caracterıstico de (10).

Exemplo 2.35 A equacao y′′ − 3y′ + 7y = 0, corresponde o polinomio caracterıstico P (r) =

r2 − 3r + 7.

Seja D o operador derivado tal que Df := f ′, D2f := f ′′, · · ·Dnf := f (n) e, por convencao,

D0f := f .

Com D assim definido, (10) toma a forma

P (D)y = 0. (12)

Definicao 2.36 P (D) e o operador polinomial.

Observacoes 2.37 Sejam u e v funcoes reais admitindo derivadas ate a ordem n e i :=√−1.

Se w(x) := u(x) + iv(x), entao,

49

Page 53: Análise Matemática III Textos de apoio `as aulas teóricas

1. para j = 0, · · · , n, w(j)(x) := u(j)(x) + iv(j)(x),

2. sendo w(x) uma solucao (complexa) de (12), u(x) e v(x) sao solucoes (reais) de (12).

3. ew(x) = eu(x)eiv(x) := eu(x) (cos(u(x)) + i sin(v(x))) .

Exercıcio 2.38 Sejam a e b constantes reais.

Entao, se c := a + ib e w(x) := ecx, prove que w′(x) = cecx, · · · , w(n)(x) = cnecx.

Por inducao, facilmente se prova o seguinte resultado, que enunciaremos no caso complexo,

sendo o real um caso particular.

Lema 2.39 Sejam r um numero complexo e w uma funcao complexa, n vezes derivavel.

Entao

(D − r)n(erxw(x)) = erxDnw(x).

Teorema 2.40 Se r1 e uma raız de multiplicidade k do polinomio caracterıstico, P (r) de

(12), entao as k funcoes

er1x, x er1x, · · · , xk−1er1x

sao solucoes de (12).

Observacao 2.41 Se r1 ∈ R , as solucoes sao reais. Se r1 ∈ C, as solucoes sao complexas.

Corolario 2.42 Se r1 := a + bi e raız de multiplicidade k de P (r), entao as 2k funcoes

xjeax cos(bx), xjeax sin(bx) (j = 0, · · · , k − 1)

sao solucoes reais de (12).

Resumindo,

50

Page 54: Análise Matemática III Textos de apoio `as aulas teóricas

raız de P(r) solucao de (12)

α real simples eαx

β real de multiplicidade k eβx, xeβx, · · · , xk−1eβx

γ ± δi complexas simples eγx cos(δx), eγx sin(δx)

ε± θi complexas de multiplicidade k eεx cos(θx), eεx sin(θx),

xeεx cos(θx), xeεx sin(θx),

· · ·xk−1eεx cos(θx), xk−1eεx sin(θx)

Teorema 2.43 Considerando todas as raızes de P (r), as correspondentes solucoes, referidas

no quadro anterior, formam um sistema fundamental de solucoes de (12).

Exemplo 2.44 Determinacao do integral geral de y(4) − 4y = 0.

P (r) = r4 − 4.

Raızes de P (r) :√

2, −√2,√

2i e −√2i.

Todas as raızes sao simples.

Um sistema fundamental de solucoes e: {e√

2, e−√

2, e0x cos(√

2x), e0x sin(√

2x)}.O integral geral e

y = c1e√

2x + c2e−√2x + c3 cos(

√2x) + c4 sin(

√2x).

2.6 Equacao linear, completa, com coeficientes constantes e de ordem n.

Metodo do polinomio anulador.

Definicao 2.45 Uma equacao linear, completa, com coeficientes constantes e de ordem n e do

tipo

P (D)y = f(x). (13)

O que foi exposto no paragrafo anterior permite afirmar que a determinacao de um SFS de

P (D)y = f(x) e sempre possıvel.

Portanto, a aplicacao do metodo de Lagrange e uma primeira hipotese para calcular o integral

geral de (13).

51

Page 55: Análise Matemática III Textos de apoio `as aulas teóricas

Observacao 2.46 Usando o metodo de Lagrange, podemos determinar sempre a solucao geral

de (13).

No entanto, as integracoes decorrentes da aplicacao desse metodo poderao ser bastante difıceis.

Essa a razao pela qual vamos expor uma outra abordagem para a determinacao do inte-

gral geral de (13), fornecida pelo metodo do polinomio anulador que, embora nao tendo a

dificuldade inerente as integracoes, e menos geral que o metodo de variacao das constantes

arbitrarias.

Definicao 2.47 Se Q(D) e um operador polinomial satisfazendo Q(D)f(x) = 0, entao Q(r)

diz-se um polinomio anulador de f(x).

Exercıcio 2.48 Sejam Q1(r) e Q2(r) polinomios anuladores, repectivamente, de f1(x) e

f2(x).

Prove que Q1(r)Q2(r) e um polinomio anulador de f1(x) + f2(x).

Metodo do polinomio anulador para a determinacao de um integral geral de (13):

1. Seja {y1, · · · , yn} um sistema fundamental de solucoes de (12).

2. O integral geral de (12) e

ygh = c1y1 + · · ·+ cnyn.

3. Determine-se um polinomio anulador, Q(r), de f(x).

4. Considere-se a equacao seguinte, que resulta de (13) e da alınea anterior

Q(D)P (D)y = 0. (14)

Calcule-se a solucao geral, ygeqaux, de (14).

5. Leve-se ygeqaux a forma

ygeqaux = ygh + ypc1.

6. Determine-se uma solucao particular, ypc , de (13), a partir de ypc1, recorrendo a

P (D)ypc1 = f(x).

52

Page 56: Análise Matemática III Textos de apoio `as aulas teóricas

7. Por aplicacao do teorema 2.16, concluımos que o integral geral de (13) e

y = ygh + ypc.

Observacao 2.49 O metodo do polinomio anulador so e aplicavel se for possıvel calcular o

polinomio anulador do segundo membro de (13).

Portanto so aplicaremos este metodo se f(x) for uma combinacao linear real de funcoes dos

tipos xjeax cos(bx) e xjeax sin(bx), com j ∈ N ∪ {0}, a e b constantes reais.

Exemplo 2.50 Determinacao do integral geral de y′′ − y = ex.

1. Usando o metodo de Lagrange

P (r) = r2 − 1.

Raızes de P (r) : 1 e -1.

Solucao geral de y′′ − y = 0 : ygh = c1ex + c2e

−x.

Solucao do sistema

c′1ex + c′2e

−x = 0

c′1ex − c′2e

−x = ex: c′1 = 1

2 , c′2 = −12e2x.

Logo, c1 = 12x + α1 e c2 = −1

4e2x + α2.

O integral geral pedido e

ygc = (12x + α1)ex + (−1

4e2x + α2)e−x = β1e

x + α2e−x +

12xex.

2. Usando o metodo do polinomio anulador

Pelo que vimos na anterior abordagem concluımos que P (D) = D2−1 e ygh = c1ex+c2e

−x.

Alem disso, o polinomio anulador de ex e: Q(D) = D − 1.

A equacao auxiliar e: (D − 1)(D2 − 1)y = 0 ou ainda (D − 1)2(D + 1)y = 0.

ygeqaux = D1ex + D2xex + D3e

−x = D1ex + D3e

−x

︸ ︷︷ ︸ygh

+D2xex

︸ ︷︷ ︸ypc1

.

A partir de (D2 − 1)(D2xex) = ex concluımos que 2D2ex = ex. Logo, D2 = 1

2 .

Tal como na resolucao 1, ygc = D1ex + D3e

−x

︸ ︷︷ ︸ygh

+12xex

︸ ︷︷ ︸ypc

.

53

Page 57: Análise Matemática III Textos de apoio `as aulas teóricas

2.7 Equacao linear, completa e de ordem n. Metodo de D’Alembert ou de

abaixamento de ordem.

O metodo de D’Alembert permite, por conhecimento de solucoes da correspondente equacao

homogenea, baixar a ordem das equacoes lineares, completas e de ordem n. Em alguns casos

podemos, recorrendo unicamente a este metodo, chegar a uma equacao de ordem 1 e assim

determinar o integral geral de (8).

Metodo de D’Alembert

1. Seja y1 uma solucao nao nula da equacao homogenea correspondente a (8).

2. Faca-se, em (8), a mudanca de variavel (y → z) definida por y = y1z.

3. A equacao resultante e do tipo

b0(x)z(n) + b1(x)z(n−1) + · · ·+ bn−1(x)z′ = f(x). (15)

(A demonstracao deste passo do metodo fica como exercıcio.)

4. Fazendo a mudanca de variavel (z → w) definida por z′ = w, (15) transforma-se na

seguinte equacao de ordem n− 1

b0(x)w(n−1) + b1(x)w(n−2) + · · ·+ bn−1(x)w = f(x). (16)

Observacao 2.51 Caso necessario, o conhecimento de outra solucao, y2, da equacao homogenea

correspondente a (8), tal que y1 e y2 sejam linearmente independentes, permite obter uma

equacao de ordem n− 2, do modo que a seguir se expoe.

1. Fica como exercıcio, provar que w1 :=(

y2

y1

)′e uma solucao particular, nao nula, da

equacao homogenea correspondente a (16).

Portanto, fazendo, em (16), a mudanca de variavel (w → t) definida por w = w1t,

chegamos a equacao

c0(x)t(n−1) + c1(x)t(n−2) + · · ·+ cn−1(x)t′ = f(x), (17)

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Page 58: Análise Matemática III Textos de apoio `as aulas teóricas

2. Usando agora a mudanca de variavel (t → s) definida por t′ = s, (17) transforma-se na

seguinte equacao de ordem n− 2

c0(x)s(n−2) + c1(x)s(n−3) + · · ·+ cn−1(x)s = f(x), (18)

Observacoes 2.52 1. E bom nao esquecer que, como o intuito e a determinacao do integral

geral de (8), no final se deve voltar a variavel y.

2. Este metodo nem sempre permite chegar a equacoes de ordem 1. Por isso, e muitas vezes

usado em associacao com outros resultados.

Exemplo 2.53 Determinacao, pelo metodo de D’Alembert, do integral geral de

y′′′ − 6y′′ + 11y′ − 6y = ex. (19)

P (r) = r3 − 6r2 + 11r − 6 = (r − 1)(r − 2)(r − 3).

A equacao homogenea correspondente a (189), admite a solucao y1 = ex.

Primeira mudanca de variavel: y = exz.

Depois de determinar y′, y′′ y′′′ e fazer os necessarios calculos e simplificacoes, resulta

z′′′ − 3z′′ + 2z′ = 1. (20)

Procedendo, em (20) a substituicao definida por z′ = w, temos

w′′ − 3w′ + 2w = 1. (21)

Sabendo que y2 = e2x tambem e solucao da equacao homogenea correspondente a (19) e que y1

e y2 sao linearmente independentes, w1 =(

y2

y1

)′= ex e uma solucao particular, nao nula, da

equacao homogenea correspondente a (21).

Fazendo, em (21), a substituicao w = ext, obtem-se, apos as convenientes simplificacoes,

t′′ − t′ = e−x. (22)

Fazendo, em (22), t′ = s, chegamos a equacao linear de primeira ordem

s′ − s = e−x, (23)

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Page 59: Análise Matemática III Textos de apoio `as aulas teóricas

cuja solucao geral e, como sabemos, s = e−R −1 dx

[∫eR −1 dx e−x dx + c

]= −1

2e−x + cex.

Voltando a variavel y, temos o integral geral de (18), na forma

y = c1e3x + c2e

2x + c3ex +

12xex.

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Page 60: Análise Matemática III Textos de apoio `as aulas teóricas

Bibliografia

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26-01/KAP.Lic/V.1/ex.1/trd.pt. e 26-01/KAP.Lic/V.2/ex.1/trd.pt.)

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(d) Swokowski, E. W., Calculo com geometria analıtica, vol. 2, McGraw-Hill, 1983 (Cota

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