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Anlise Multivariada
G. Amaral
Anlise Multivariada
Getlio Amaral
Universidade Federal de Pernambuco
2006
Anlise Multivariada
G. Amaral
As notas de aula Apenas apresentam os tpicos deInteresse. O aluno precisa consultar os livros abaixo paraobter os conhecimentos necessrios para as provas e,futuramente, parasua vida profissional.
Livros TextosAnderson, T. A. (1984), An Introduction To MultivariateStatisticalMardia, Kent and Bibby (1979) Multivariate AnalysisJohnson and Wichern (1982) Applied Multivariate StatisticalAnalysisAvaliao1 Prova2 Trabalho (artigo, apresentao, relatrio, 5 perguntas,respostas) Sorteio toda aula3 Conjunto de Dados
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G. Amaral
As notas de aula Apenas apresentam os tpicos deInteresse. O aluno precisa consultar os livros abaixo paraobter os conhecimentos necessrios para as provas e,futuramente, parasua vida profissional.Livros TextosAnderson, T. A. (1984), An Introduction To MultivariateStatistical
Mardia, Kent and Bibby (1979) Multivariate AnalysisJohnson and Wichern (1982) Applied Multivariate StatisticalAnalysisAvaliao1 Prova2 Trabalho (artigo, apresentao, relatrio, 5 perguntas,respostas) Sorteio toda aula3 Conjunto de Dados
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G. Amaral
As notas de aula Apenas apresentam os tpicos deInteresse. O aluno precisa consultar os livros abaixo paraobter os conhecimentos necessrios para as provas e,futuramente, parasua vida profissional.Livros TextosAnderson, T. A. (1984), An Introduction To MultivariateStatisticalMardia, Kent and Bibby (1979) Multivariate Analysis
Johnson and Wichern (1982) Applied Multivariate StatisticalAnalysisAvaliao1 Prova2 Trabalho (artigo, apresentao, relatrio, 5 perguntas,respostas) Sorteio toda aula3 Conjunto de Dados
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G. Amaral
As notas de aula Apenas apresentam os tpicos deInteresse. O aluno precisa consultar os livros abaixo paraobter os conhecimentos necessrios para as provas e,futuramente, parasua vida profissional.Livros TextosAnderson, T. A. (1984), An Introduction To MultivariateStatisticalMardia, Kent and Bibby (1979) Multivariate AnalysisJohnson and Wichern (1982) Applied Multivariate StatisticalAnalysis
Avaliao1 Prova2 Trabalho (artigo, apresentao, relatrio, 5 perguntas,respostas) Sorteio toda aula3 Conjunto de Dados
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As notas de aula Apenas apresentam os tpicos deInteresse. O aluno precisa consultar os livros abaixo paraobter os conhecimentos necessrios para as provas e,futuramente, parasua vida profissional.Livros TextosAnderson, T. A. (1984), An Introduction To MultivariateStatisticalMardia, Kent and Bibby (1979) Multivariate AnalysisJohnson and Wichern (1982) Applied Multivariate StatisticalAnalysisAvaliao1 Prova2 Trabalho (artigo, apresentao, relatrio, 5 perguntas,respostas) Sorteio toda aula3 Conjunto de Dados
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G. Amaral
Pesquisas HistricasNormal Bivariada: Adrian (1808) Laplace (1811) Gauss (1823)Galton Geneticista - Correlao, Regresso eHomocedasticidadeKarl Pearson - Coeficiente de correlao para estudar problemasem gentica, biologia e outras reas.Fisher - Mtodos para agricultura, botanica e outras reas.
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G. Amaral
Normal MultivariadaTem sido adequada para problemas de vrias reas doconhecimento como psicologia, engenharia, economia e outros.Mtodos no Paramtricos (sero abordados em seminrios)Modernos, boas possibilidades de pulicaes, melhores resultadosem muitos casos.Bootstrap Distribuio Emprica c/reamostragemKernel Distribuio estimada dos dados
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Matrix de dados
X =
x11 . . . x1p... ...xn1 . . . xnp
Seja xi a i-sima linha escrita como coluna, que dada por
x i = (xi1, . . . , xip)
Seja x(j) a j-sima coluna de X
x (j) = (x1j , . . . , xnj)
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Vetor de Mdias
x = (x1, . . . , xp)
onde xi = 1nn
r=1 xri .Matriz de covarincia
S = (sij),
onde sij = 1nn
r=1(xri xi )(xrj xj).Notao Matricial
x =1nX 1,
onde 1 = (1, . . . , 1) um vetor de dimenso n.Para a matriz de covarianncia
S =1n(X X 1
nX 11X ),
ou ainda, se H = I 1n11,
S =1nX HX
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Matriz de Correlao
R = (rij),
onde rij =sijsi sj
.
Exerccio 1 (Mardia et al, 1979, p. 11) Exemplo 1.4.1 (dados de28 rvores).Calcular, usando o R ou outro programa, o vetor de mdias, amatriz de covarincia e a matriz de correlao.Exerccio 2Fazer o download do "Atlas do desenvolvimento Humano doRecife."Escolher uma varivel quantitativa e calcular as mesmasquantidades do exerccio 1.
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Combinaes lineares
yr = a1xr1+, . . . , apxrpTransformao de Escala
yr = D1(xr x),onde r = 1, . . . , n, D = diag(si ) e diag(.) denota uma matrizdiagonal.Esta mudana torna unitria a varincia das variveis.Transformao de Mahalanobiszr = S1/2(xr x),onde S1/2S1/2 = S inversa da matriz raiz quadrada de S .S1/2 definida a partir dos autovalores e autovetores de S .Se matriz de autovetores de S e 1, . . . , p os autovalores deS ,a matriz raiz quadrada dada por
S1/2 = 1/2,
onde 1/2 = diag(1/2i ).A inversa de S1/2 por
S1/2 = 1/2,
onde 1/2 = diag(1/2i ).
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NotaoX :Matriz de Dados;xi : uma observao;x(j) uma varivel;Xi um vetor aletrio cujo o valor observado xi .
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Distribuies MultivariadasConsidere p variveis aleatrias X1, . . . ,Xp, a funo dedistribuio de probabilidade (fdp) dada por
F (x1, . . . , xp) = P(X1 x1), . . . ,Xp xp).
A funo de densidade (fd) definida por
F (x1, . . . , xn)x1 . . . xp
= f (x1, . . . , xp).
e
F (x1, . . . , xp) = xp
. . .
x1
f (u1, . . . , up)du1 . . . dup.
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IndependnciaSeja F (x1, . . . , xp) a fdp de X1, . . . ,Xp, o conjunto de variveisaleatrias X1, . . . ,Xp, mutuamente independente seF (x1, . . . , xp) = F1(x1) . . .Fp(xp),onde
Fi (xi ) =
. . .
f (u1, . . . , up)du1 . . . dup,
onde uj 6= xi
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Transformao de VariveisSe a densidade de X1, . . . ,Xp f (x1, . . . , xp), considere asseguintes p funes
yi = yi (x1, . . . , xp)A transforma ao inversa
xi = xi (y1, . . . , yp).Considere as p variveis aleatrias
Yi = yi (x1, . . . , xp)A densidade de Y1, . . . ,Yp
g(y1, . . . , yp) = f (x1(y1, . . . , yp), . . . , xp(y1, . . . , yp))|J(y1, . . . , yp)|,
onde
J(y1, . . . , yp) =
x1y1
. . . x1yp...
...xpy1
. . .xpyp
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Amostra AleatriaSeja X1, ...,Xn uma amostra aleatria de uma distribuio F (x)com vetor de mdias e matriz de covarincia .O estimador
X =n
i=1 Xin
centrado, isto , E (X ) = .Alm disto, cov(X ) = 1n.
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possvel mostrar tambm que
E (Sn) =n 1
n,
onde Sn =n
j=1(Xj X )(Xj X ).Exerccio 3Se um vetor aleatrio V tem E (V ) = v e Cov(V ) = v , proveque E (VV ) = v + vv .
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G. AmaralNormal MultivaridaNormal univariada
f (x ;, ) = k exp12(x )1(x )
As quantidades univariadas podem ser redefinidas para o casomultivariado
x =
x1...xn
=
1...n
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G. Amaral
=
1,1 . . . 1,m... . . . ...k,1 . . . k,m
Substituindo-se x , e por suas verses multivariadas, temos
f (x ;, ) = k exp12 (x)
1(x) .
A nica incgnita para determinar a distribuio de x k.
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G. Amaral
Clculo da Constante k
k =
. . .
exp12 (x)
1(x) dxp . . . dx1.
Usando-se o corolrio A.1.6 (Vide Anderson, 1984, p. 586), se positiva definida, ento existe uma matriz no singular C talque
C 1C = I ,I a matriz identidade e C a tranposta de C .Considere
x = Cy ,onde y = (y1, . . . , yp).Temos que
(x )1(x ) = y C 1Cy = y y .Como
J = |C |,a constante de interesse dada por
k = Mod |C |
. . .
exp{12 y
y} dyp . . . dy1.
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G. Amaral
Simplificando-se o integrando, temos
exp{12 y
y} =
pi=1
exp12 y
2i .
O valor da constante de interesse dado por
k = Mod |C |
. . .
exp12 y
21 . . .
exp12 y
2p dyp . . . dy1
= Mod |C |
exp12 y
2p dyp . . .
exp
12 y
21 dy1
= Mod |C |(
2)p.
Calculando-se o determinante de C, tem-se
|C ||1||C | = I ,o que resulta em
Mod |C | = 1|1|
.
Assim, a constante de interesse
1k
=
1(2)12 p.
Portanto, a funo de densidade da normal multivariada dadapor
|A|(2)
12 p
exp
12 (x)1(x)
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G. Amaral
Exerccio 4Considere uma distribuio multivariada do vetor (x , y). Paraobter este vetor, seja u and v N(0, 1) independentes e definax = u se uv 0 enquanto x = u se uv < 0. Defina y = v .Mostre que x e y so N(0, 1), porm (x , y) no tem distribuionormal bivariada.
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Esperana e CovarinciaEsperana de Um VetorSe X = (X1, . . . ,Xp), o valor esper
