1

UNIVERSIDADE DE LISBOA

FACULDADE DE CINCIAS

DEPARTAMENTO DE ESTATSTICA E INVESTIGAO OPERACIONAL

ANLISE ESTATSTICA MULTIVARIADA APLICADA A

DADOS HIDROGEOLGICOS

Vnia Sofia Pires Simes Gomes

Dissertao

Mestrado em Estatstica

2013

2

UNIVERSIDADE DE LISBOA

FACULDADE DE CINCIAS

DEPARTAMENTO DE ESTATSTICA E INVESTIGAO OPERACIONAL

ANLISE ESTATSTICA MULTIVARIADA APLICADA A

DADOS HIDROGEOLGICOS

Vnia Sofia Pires Simes Gomes

Dissertao orientada pela Prof. Doutora Fernanda Diamantino e

coorientada pela Prof. Doutora Catarina Silva

Mestrado em Estatstica

2013

3

i

ndice

ndice de Figuras ............................................................................................................. iii

ndice de Tabelas .............................................................................................................. v

ndice de Anexos ............................................................................................................. vi

Resumo ........................................................................................................................... vii

Abstract ............................................................................................................................ ix

Captulo 1: Introduo ...................................................................................................... 1

1.1. Objetivos do estudo ........................................................................................... 1

1.2. Enquadramento geolgico ................................................................................. 6

Captulo 2: Metodologia ................................................................................................... 9

2.1. Conceitos de lgebra matricial ............................................................................... 9

2.1.1. Conceito de matriz .......................................................................................... 9

2.1.2. Tipos de matrizes ............................................................................................ 9

2.1.3. Igualdade de matrizes .................................................................................... 10

2.1.4. Operaes com matrizes................................................................................ 11

2.1.5. Trao de uma matriz ...................................................................................... 11

2.1.6. Vetores linearmente dependentes e independentes ....................................... 11

2.1.7. Caracterstica de uma matriz ......................................................................... 12

2.1.8. Determinante ................................................................................................. 12

2.1.9. Matriz adjunta e matriz inversa ..................................................................... 13

2.1.10. Matriz ortogonal .......................................................................................... 13

2.1.11. Valores prprios e vetores prprios ............................................................ 13

2.1.12. Decomposio espetral ................................................................................ 14

2.2. Caractersticas amostrais .................................................................................. 15

2.2.1. Caractersticas amostrais univariadas ....................................................... 15

2.2.2. Caractersticas amostrais bivariadas ......................................................... 16

2.3. Tcnicas de Anlise Multivariada .................................................................... 18

2.3.1. Anlise em Componentes Principais ........................................................ 19

2.3.1.1. Introduo ............................................................................................... 19

2.3.1.2. O modelo matemtico ............................................................................. 20

2.3.1.3. Nmero de componentes a reter ............................................................. 22

ii

2.3.2. Anlise Fatorial ........................................................................................ 23

2.3.2.1. Introduo ............................................................................................... 23

2.3.2.2. O modelo matemtico ............................................................................. 23

2.3.2.3. Nmero de fatores a reter ....................................................................... 24

2.3.2.4. Rotao dos fatores ................................................................................. 25

2.3.2.5. Mtodo de extrao dos fatores .............................................................. 26

2.3.2.6. Validao do modelo de anlise fatorial................................................. 27

2.3.2.7. Anlise em Componentes Principais versus Anlise Fatorial ................ 28

2.3.3. Anlise de Clusters ................................................................................... 29

2.3.3.1. Introduo.......................................................................................... 29

2.3.3.2. Medidas de proximidade ................................................................... 30

2.3.3.3. Mtodos de agregao ....................................................................... 32

2.3.3.4. Critrios de agregao ....................................................................... 33

Captulo 3: Anlise de dados hidrogeolgicos ............................................................... 35

3.1. Anlise Exploratria dos Dados ...................................................................... 39

3.1.1. Caractersticas amostrais .......................................................................... 39

3.1.2. Correlao linear de Pearson .................................................................... 45

3.1.3. Representaes grficas ............................................................................ 47

3.2. Anlise Multivariada ........................................................................................ 63

3.2.1. Anlise em Componentes Principais ........................................................ 63

3.2.2. Anlise Fatorial ........................................................................................ 71

3.2.3. Anlise de Clusters ................................................................................... 78

Captulo 4: Concluses ................................................................................................... 89

Consideraes Finais ...................................................................................................... 95

Bibliografia ..................................................................................................................... 97

Anexos .......................................................................................................................... 101

iii

ndice de Figuras

Figura 1: Localizao geogrfica das amostras de gua e respetivas formaes

geolgicas ....................................................................................................... 4

Figura 2: Localizao geogrfica das amostras de gua ................................................ 36

Figura 3: Localizao geogrfica das amostras de gua e respetivas formaes

geolgicas ....................................................................................................... 37

Figura 4: Diagramas em caixa de bigodes paralelos de cada varivel comparando

cada formao geolgica ................................................................................. 48

Figura 5: Diagramas em caixa de bigodes paralelos de cada formao geolgica,

para cada io.................................................................................................... 51

Figura 6: Diagramas de disperso das observaes reorganizadas versus cada uma

das variveis em estudo .................................................................................. 54

Figura 7: Matriz de diagramas de disperso para cada formao geolgica com as

variveis condutividade eltrica, clcio, sdio e cloreto ................................. 58

Figura 8: Matriz de diagramas de disperso para cada formao geolgica com as

variveis bicarbonato, clcio e magnsio ........................................................ 60

Figura 9: Matriz de diagramas de disperso para cada formao geolgica com as

variveis bicarbonato, clcio e sulfato ............................................................ 61

Figura 10: Diagrama de disperso para cada formao geolgica com as variveis

nitrato e sulfato ............................................................................................... 62

Figura 11: Scree plot (nmero de componentes principais versus valores prprios) ..... 65

Figura 12: Representao grfica dos loadings das duas primeiras componentes

principais....................................................................................................... 67

Figura 13: Representao grfica dos scores (observaes) das duas primeiras

componentes principais ................................................................................ 68

Figura 14: Representao grfica dos scores (formaes geolgicas) das duas

primeiras componentes principais ................................................................ 69

Figura 15: Representao grfica (biplot) dos loadings e dos scores (observaes)

das duas primeiras componentes principais .................................................. 70

Figura 16: Representao grfica (biplot) dos loadings e dos scores (formaes

geolgicas) das duas primeiras componentes principais .............................. 70

Figura 17: Representao grfica dos loadings dos 2 primeiros fatores ........................ 75

iv

Figura 18: Dendograma (variveis estandardizadas) para a amostra global

utilizando o mtodo de Ward ........................................................................ 79

Figura 19: Localizao geogrfica das amostras de gua que constituem os clusters

(cluster1, cluster2 e cluster3) obtidos quando se utiliza o mtodo de

Ward com as variveis estandardizadas ....................................................... 79

Figura 20: Dendograma (variveis estandardizadas) para a amostra global

utilizando o mtodo de Complete Linkage ................................................ 80

Figura 21: Localizao geogrfica das amostras de gua que constituem os clusters

(cluster1, cluster2 e cluster3) obtidos quando se utiliza o mtodo de

Complete Linkage com as variveis estandardizadas ................................... 81

Figura 22: Dendograma (com os scores das 5 primeiras componentes principais)

para a amostra global usando o mtodo de Ward ......................................... 83

Figura 23: Localizao geogrfica das amostras de gua que constituem os clusters

(cluster1, cluster2 e cluster3) obtidos quando se utiliza o mtodo de

Ward com as 5 primeiras componentes principais ....................................... 84

Figura 24: Dendograma (com os scores das 5 primeiras componentes principais)

para a amostra global usando o mtodo de Complete Linkage .................... 85

Figura 25: Localizao geogrfica das amostras de gua que constituem os clusters

(cluster1, cluster2 e cluster3) obtidos quando se utiliza o mtodo de

Complete Linkage com os scores das 5 primeiras componentes

principais....................................................................................................... 86

Figura 26: Dendogramas (observaes) para cada formao geolgica utilizando o

mtodo de Ward (variveis estandardizadas) ............................................... 87

v

ndice de Tabelas

Tabela 1: Escala de avaliao da anlise fatorial............................................................ 27

Tabela 2: Provenincia das amostras .............................................................................. 38

Tabela 3: Caractersticas amostrais das variveis (amostra global) ............................... 39

Tabela 4: Caractersticas amostrais (mdia e desvio padro) das variveis em cada

grupo de formaes geolgica ........................................................................ 44

Tabela 5: Valores prprios da matriz de correlaes amostral ....................................... 63

Tabela 6: Proporo de varincia explicada por cada componente e proporo de

varincia acumulada explicada at componente j. ....................................... 64

Tabela 7: Matriz dos loadings das componentes principais ........................................... 66

Tabela 8: Valores prprios da matriz de correlaes amostral ....................................... 71

Tabela 9: Proporo de varincia explicada por cada fator e proporo de varincia

acumulada pelo fator j ..................................................................................... 72

Tabela 10: Comunalidades iniciais e extradas atravs do mtodo das componentes

principais....................................................................................................... 73

Tabela 11: Matriz dos loadings (sem rotao dos fatores) ............................................. 73

Tabela 12: Matriz da transformao ortogonal obtida pelo mtodo de rotao

varimax ....................................................................................................... 74

Tabela 13: Matriz dos loadings (aps rotao varimax) ................................................ 74

Tabela 14: Designao dos fatores ................................................................................. 75

Tabela 15: KMO e teste de esfericidade de Bartlett ....................................................... 76

Tabela 16: Medida de adequao amostral para cada varivel (MSA) .......................... 77

Tabela 17: Caracterizao dos grupos de formaes geolgicas.................................... 89

Tabela 18: Tabela resumo dos outliers por cada grupo de formao geolgica e por

cada varivel ................................................................................................. 90

vi

ndice de Anexos

Anexo 1: Matriz dos dados ............................................................................................ 104

Anexo 2: Caracterizao dos grupos de formaes geolgicas .................................... 105

Anexo 3: Tabelas com os valores extremos (os 5 maiores e os 5 menores valores)

para cada varivel.......................................................................................... 107

Anexo 4: Matriz de correlaes de Peason - amostra gobal.......................................... 108

Anexo 5: Matriz de correlaes de Pearson - Aluvies ................................................ 109

Anexo 6: Matriz de correlaes de Pearson - Formao de Benfica............................. 110

Anexo 7: Matriz de correlaes de Pearson - Complexo Vulcnico de Lisboa ............ 111

Anexo 8: Matriz de correlaes de Pearson - Calcrios de Entrecampos ..................... 112

Anexo 9: Matriz de correlaes de Pearson - Areolas da Estefnia e Areias do Vale

de Chelas ....................................................................................................... 113

Anexo 10: Matriz de correlaes de Pearson - Argilas do Forno do Tijolo e Argilas

e Calcrios dos Prazeres ................................................................................ 114

Anexo 11: Scores das 5 primeiras componentes principais .......................................... 116

vii

Resumo

Para o presente estudo utilizaram-se anlises qumicas de 48 amostras de gua

subterrnea da cidade de Lisboa das quais se selecionaram 13 variveis referentes a

espcies dissolvidas (anies e caties) e parmetros fsico-qumicos.

Este estudo teve como objetivo avaliar a existncia de relao entre a composio

qumica da gua subterrnea e as formaes geolgicas por onde esta circulou, ou seja,

pretendeu-se identificar as espcies dissolvidas que caracterizavam cada formao

geolgica, bem como, identificar o que distinguia cada uma das formaes geolgicas.

Deste modo, numa fase inicial procedeu-se a uma anlise exploratria com o intuito de

caracterizar a amostra global e as amostras parciais (correspondentes a cada formao

geolgica) e, numa fase final procedeu-se a uma anlise multivariada, onde se

utilizaram tcnicas de reduo de dimensionalidade (anlise em componentes principais

e anlise fatorial) e tcnicas de agrupamento de dados (anlise de clusters).

Concluiu-se que as amostras provenientes da Formao de Benfica e do Complexo

Vulcnico de Lisboa tinham composio qumica idntica. Relativamente s restantes

formaes geolgicas, no existia uma homogeneidade entre amostras provenientes da

mesma formao, nem entre amostras provenientes de formaes distintas, pelo que, a

caracterizao das formaes geolgicas tornou-se muito complexa.

Como os valores das correlaes de Pearson, entre as variveis, eram baixos, a

aplicao das tcnicas de reduo de dimensionalidade no surtiu o efeito desejado.

Palavras chave: gua subterrnea, anlise exploratria, anlise em componentes

principais, anlise fatorial, anlise de clusters.

viii

ix

Abstract

For the present study we used chemical analyzes of 48 groundwater samples of Lisbon

in which was selected 13 variables related to dissolved species (anions and cations) and

physico-chemical parameters.

This study aims to evaluate whether there is a relationship between the chemical

composition of the groundwater and the geological formations where it circulated, this

is, it was intended to identify the dissolved species that characterize each geological

formation, as well as to identify what distinguishes each geological formations.

Thus, initially we proceeded with an exploratory analysis in order to characterize the

sample and partial samples (corresponding to each geological formation), and in a final

stage, we applied a multivariate analysis, where techniques were used to reduce the

dimensionality (principal component analysis and factor analysis) and techniques to

data clustering (cluster analysis).

It was concluded that the samples from the Formao de Benfica and Complexo

Vulcnico de Lisboa had identical chemical composition. For the other geological

formations, there was no homogeneity among samples from the same formation, or

between samples from different formations. Therefore, the characterization of the

geologic formations has become very complex.

Since the values of the Pearson correlations among the variables were low, the

application of reduce the dimensionality techniques do not have the desired effect.

Keywords: Groundwater, exploratory analysis, principal component analysis, factor

analysis, cluster analysis

x

1

Captulo 1: Introduo

Este trabalho surge com o intuito de dar resposta a algumas questes relativas

caracterizao de guas subterrneas da cidade de Lisboa, tendo como ponto de partida

um conjunto de 48 anlises de guas subterrneas recolhidas no especificamente para

este trabalho. Este conjunto resultou de recolhas para a concretizao de unidades

curriculares do 1 ciclo de estudos em Geologia da FCUL (Caria et al, 2009, Manca et

al, 2008 e Sanches et a,l 2006) e 2 ciclo de estudos em Geologia Aplicada e do

Ambiente da FCUL (Oliveira, 2010) e em Engenharia do Ambiente do IST (Lopes,

2007). A localizao geogrfica de, cada amostra de gua encontra-se na figura 1, onde

se pode observar a que formao geolgica corresponde.

1.1. Objetivos do estudo

Para a realizao deste trabalho foram definidos alguns objetivos, nomeadamente:

Calcular, analisar e interpretar as caractersticas amostrais;

Aferir sobre a qualidade das guas subterrneas para consumo humano;

Analisar e interpretar as representaes grficas (anlise exploratria);

Identificar as espcies dissolvidas que caracterizam cada formao geolgica;

Relacionar a composio qumica da gua subterrnea com a formao

geolgica aflorante no local de recolha;

Descrever a variabilidade dos dados com um menor nmero de variveis no

correlacionadas;

Explicar atravs de um menor nmero de fatores (no observados) as

correlaes entre as variveis;

Utilizar uma anlise de clusters para reagrupar as amostras de gua subterrnea

de acordo com a sua composio qumica;

Identificar caractersticas distintivas de cada uma das formaes geolgicas;

Identificar caractersticas comuns entre as formaes geolgicas.

2

3

Destaca-se como objetivo principal a caracterizao de cada grupo de formaes

geolgicas, atravs da anlise das concentraes das espcies qumicas dissolvidas nas

guas subterrneas, bem como de alguns parmetros fsico-qumicos.

O trabalho ser dividido em duas partes. A primeira parte ser constituda pelos

captulos 1 e 2 e corresponder ao desenvolvimento terico. A segunda parte ser

constituda pelos captulos 3 e 4 e corresponder ao desenvolvimento prtico.

No captulo 1 ser feito o enquadramento geolgico, no qual se far uma breve

introduo s caractersticas das formaes geolgicas.

No captulo 2 ser abordada a metodologia a desenvolver. Na primeira seco iro

definir-se alguns conceitos de lgebra matricial. Na segunda seco, com o intuito de se

efetuar uma anlise exploratria dos dados, iro definir-se algumas caractersticas

amostrais. Na terceira e ltima seco ser feita uma breve abordagem das tcnicas de

anlise multivariada a serem utilizadas, nomeadamente a anlise em componentes

principais, a anlise fatorial e a anlise de clusters.

No captulo 3 sero apresentados os resultados obtidos.

No captulo 4 sero apresentadas as concluses.

A anlise estatstica ser efetuada com a utilizao do software SPSS, verso 19.

4

Figura 1: Localizao geogrfica das amostras de gua e respetivas formaes geolgicas

5

6

1.2. Enquadramento geolgico

A composio qumica da gua subterrnea da rea de Lisboa est intimamente

relacionada com as caractersticas do meio geolgico, das condies climticas e

tambm das atividades humanas que decorrem na cidade.

O Concelho de Lisboa situa-se na Orla mesocenozica, a qual constituda por espessas

sries de sedimentos, onde predominam os sedimentos carbonatados, os arenitos e os

argilitos (Almeida et al., 2000).

Na rea do concelho de Lisboa os terrenos mais antigos, cujos principais afloramentos

se encontram nas zonas de Monsanto, Ajuda e Vale de Alcntara, so

predominantemente constitudos por calcrios, calcrios margosos e margas. A geologia

de Lisboa, de elevada complexidade, pode ser descrita de um modo simplificado em trs

setores: Setor SW, Monsanto-Ajuda-Alcntara; Setor NW, Formao de Benfica e

Miocnico; Setor E, Srie Miocnica.

Setor SW: Monsanto-Ajuda-Alcntara

As formaes calcrias do Cenomaniano, que se apresentam dobradas e fraturadas

(Cabral, 2006), esto sobrepostas por formaes baslticas do Complexo Vulcnico de

Lisboa (1). Neste setor, as formaes cretcicas estendem-se desde a zona central e

mais elevada da Serra de Monsanto, seguindo pelo Vale de Alcntara at praticamente

ao Rio Tejo, prolongando-se para SW ao longo da encosta do Bairro da Ajuda,

aflorando no seio do Complexo Vulcnico de Lisboa (Pais et al., 2006).

Esta zona compreende formaes do Cretcico superior, como a Formao de Caneas

(C2 cn), constituda por calcrios margosos e dolomticos, datados do Albiano superior a

Cenomaniano mdio. Sobre a formao anterior, assenta a Formao de Bica (C2 Bi), do

Cenomaniano superior, representada por calcrios compactos e apinhoados, com

ndulos de slex e com rudistas. No topo do Cretcico superior aflora o Complexo

Vulcnico de Lisboa, constitudo por rochas eruptivas bsicas (Basaltos), sob a forma

de escoadas lvicas alternando com piroclastos e aglomerados vulcnicos, com idade

provvel do Cenomaniano (Pais et al., 2006).

7

Setor NW: Formao de Benfica e Miocnico

constitudo por formaes cenozicas correspondentes Formao de Benfica ( Bf)

e ao Miocnico. Este setor est na continuidade da estrutura de Monsanto e apresenta

uma sucesso de ondulaes suaves.

Sobre o Complexo Vulcnico de Lisboa, assenta, em discordncia, a Formao de

Benfica ( Bf), constituda por depsitos continentais, onde se intercalam nveis mais

argilosos, detrticos e carbonatados.

Setor Este: Srie Miocnica

Compreende intercalaes de formaes detrticas e carbonatadas da Srie Miocnica.

Apresenta-se, de um modo geral, em monoclinal, inclinando suavemente para E-SE.

O Neognico abrange unidades miocnicas como as Camadas de Prazeres (Mpr), do

Aquitaniano a Burdigaliano inferior, constitudas por argilitos, argilitos siltosos e

margosos, margas e calcrios.

Sobrepostas a estas, esto as Areolas de Av. da Estefnia (MEs), datada do Burdigaliano

e constituda por areias finas, siltosas, micceas (areolas) argilas silto arenosas e

arenitos mais ou menos consolidados. De seguida, depositaram-se os Calcrios de

Entrecampos (MEC), formao representada por biocalcarenitos com frao detrtica

abundante, por vezes argilosa, ricos de moldes e/ou fragmentos de moluscos e calcrios

margosos, cinzento-esverdeado.

A formao anterior passa superiormente a areias muito finas argilosas, piritosas, e a

siltitos argilosos de cor cinzenta, com moluscos, peixes e abundantes microfsseis,

correspondente unidade de Argilas de Forno do Tijolo (MFT).

A formao Areias do Vale de Chelas (Mvb) constituda por areias feldspticas,

fluviais, incoerentes ou fracamente cimentadas, s vezes grosseiras e compactas; em

posio superior ocorrem areias dunares.

As aluvies (a) do Concelho de Lisboa incluem os depsitos diretamente associados ao

leito principal do Rio Tejo e a todas as ribeiras e linhas de gua que a este afluem, na

sua margem direita. As espessuras das aluvies do Tejo so muito variveis de local

para local. Estas so predominantemente lodosas, com abundante matria orgnica, ou

arenosas. As aluvies das ribeiras afluentes do Tejo tm composio em muitos casos

dependentes das litologias erodidas, contendo frequentemente, matria orgnica

(Almeida, 1991).

8

9

Captulo 2: Metodologia

Neste captulo procede-se ao desenvolvimento terico das metodologias aplicadas no

estudo a realizar.

2.1. Conceitos de lgebra matricial

Nesta seco relembram-se alguns conceitos cruciais de lgebra matricial que se

utilizam no desenvolvimento das tcnicas de anlise multivariada. Naturalmente

comea-se com o conceito de matriz (Monteiro, 2001, Searle, 1982 e Timm, 2002).

2.1.1. Conceito de matriz

Designa-se por matriz de ordem n m, a tabela A =

, com n linhas e

m colunas.

Pode denotar-se a matriz A por [ ] com i = 1,, n e j = 1,, m.

As entradas aij so os elementos de A, em que i indica a linha e j indica a coluna.

Quando uma matriz tem ordem n 1 ou ordem 1 n designa-se por vetor, ou seja, tem

n linhas e uma coluna ou tem 1 linha e n colunas, respetivamente. No primeiro caso

designa-se por vetor coluna e representa-se do seguinte modo: x =

. No segundo

caso designamos por vetor linha e representa-se do seguinte modo: xT = .

Uma matriz de ordem 1 1 designa-se por escalar.

2.1.2. Tipos de matrizes

No que se segue definem-se alguns tipos de matizes, nomeadamente matriz quadrada,

diagonal, identidade, transposta e simtrica.

10

Uma matriz quadrada a matriz em que o nmero de linhas igual ao nmero de

colunas e diz-se que tem ordem n n, ou simplesmente ordem n.

Caso contrrio, se o nmero de linhas for diferente do nmero de colunas, diz-se que a

matriz retangular de ordem n m.

Uma matriz quadrada de ordem n, em que

com i, j = 1, , n, designa-se

por uma matriz diagonal, ou seja, a uma matriz da forma:

Em particular, se d11 = 1,, dnn = 1, tem-se a matriz Identidade, que se denota por In, e

representa-se da forma:

.

Para qualquer matriz A quadrada de ordem n, verifica-se a seguinte propriedade:

AI = IA = A.

Seja A uma matriz de ordem n m. Designa-se por matriz transposta de A, e

representa-se por AT, matriz que se obtm trocando as linhas com as colunas, ou seja,

as linhas de A so as colunas de AT e as colunas de A so as linhas de A

T.

Assim sendo, tem-se que:

se A = de ordem n m, ento AT = de ordem m n.

Seja A uma matriz quadrada de ordem n. Diz-se que A simtrica se e s se A = AT.

2.1.3. Igualdade de matrizes

Duas matrizes so iguais se os elementos de uma coincidirem com os elementos da

outra, tendo ambas, naturalmente, a mesma ordem.

11

Sejam A e B duas matrizes com a mesma ordem (n m), tais que A = e B = .

Diz-se que as matrizes A e B so iguais se e s se = , para todo i = 1,, n e

j = 1,, m.

2.1.4. Operaes com matrizes

Por vezes torna-se necessrio efetuar algumas operaes entre matrizes, como o caso

da adio, da subtrao ou do produto de duas ou mais matrizes, bem como a

multiplicao de um escalar por uma matriz.

Sejam A e B duas matrizes com a mesma ordem (n m), tais que A = e B = .

A sua soma (diferena), A + B (A B) igual a C, onde C = =

(C = = ), com i = 1, , n e j = 1, , m.

Seja A uma matriz de ordem n m, tal que A = e um escalar. A multiplicao

da matriz A por um escalar representa-se por A ou A e igual a , com

i = 1, , n e j = 1, , m.

Sejam A e B duas matrizes de ordem n m e m p, respetivamente. O produto de A

por B origina C de ordem n p, tal que AB = C = , onde = .

2.1.5. Trao de uma matriz

Seja A uma matriz quadrada de ordem n n, tal que os elementos da diagonal so da

forma aii, com i = 1,, n. Ento o trao de A igual soma dos elementos da diagonal,

ou seja, tr(A) = .

2.1.6. Vetores linearmente dependentes e independentes

Os vetores dizem-se linearmente dependentes se for possvel escrever o

vetor nulo como combinao linear de sem que os escalares sejam todos

12

nulos. Se o vetor nulo s se puder escrever como combinao linear de sendo

os escalares todos nulos, ento os vetores so linearmente independentes.

2.1.7. Caracterstica de uma matriz

Designa-se por caracterstica de uma matriz A de ordem n n o nmero de linhas (ou

colunas) linearmente independentes. Representa-se a caracterstica de A por r(A).

2.1.8. Determinante

O determinante de uma matriz quadrada de ordem n dado

por onde K o nmero de inverses1 da

permutao ( e p indica que a soma ocorre sobre todas as permutaes de

(1, 2, , n), ou seja, existem n! permutaes. O determinante de uma matriz A pode

denotar-se por detA ou |A|.

Designa-se por menor complemento de um elemento de um determinante, ao

determinante que se obtm, suprimindo a linha e a coluna a que pertence esse elemento

(linha i e coluna j). Representa-se por .

O complemento algbrico de um elemento igual ao menor complemento ou ao seu

simtrico e representa-se por .

Pode-se calcular o determinante de outra forma.

Teorema de Laplace: Seja A uma matriz quadrada de ordem n, o seu determinante

igual soma dos produtos dos elementos de uma linha (ou coluna) pelos respetivos

complementos algbricos. Assim sendo,

, onde o complemento algbrico de .

1 Dada uma permutao dos inteiros 1, 2, , n, existe uma inverso quando um inteiro precede outro

menor do que ele.

13

2.1.9. Matriz adjunta e matriz inversa

matriz que se obtm calculando os respetivos complementos algbricos para cada

entrada e fazendo a sua transposta, designa-se por matriz adjunta. Representa-se

por adj A.

Uma matriz A quadrada de ordem n invertvel se existir uma matriz B quadrada de

ordem n tal que AB = BA = In. Designamos B por matriz inversa de A e representa-se

por A-1.

Notas:

1) Uma matriz invertvel se e s se o seu determinante for diferente de zero.

2) A matriz inversa nica.

3) Pode ser obtida por: A-1 =

.

2.1.10. Matriz ortogonal

Uma matriz A quadrada de ordem n, invertvel, diz-se ortogonal se a inversa e a

transposta coincidirem, ou seja, A-1

= AT.

2.1.11. Valores prprios e vetores prprios

Seja A uma matriz quadrada (n n), um escalar e x um vetor no nulo tal que

Ax = x. Diz-se que o valor prprio de A e x um vetor prprio associado.

Considere-se a equao |A I| = 0, cujas solues so os valores prprios da matriz A.

O polinmio |A I| designa-se por polinmio caracterstico.

Observaes:

Uma vez que a matriz A tem ordem n, ento o polinmio caracterstico tem n

razes e deste modo tm-se n valores prprios, sejam , . Aps a

determinar os valores prprios determinam-se os vetores prprios, , , ,

14

, associados a cada valor prprio. Para esse efeito usa-se a igualdade

(A I)x=0.

O vetor prprio obtido associado a cada valor prprio no nico, deste modo se

x for vetor prprio ento cx (c um escalar no nulo) tambm vetor prprio.

Notas:

1) A soma dos valores prprios igual ao trao de A, ou seja, tr(A) = .

2) O produto dos valores prprios igual ao determinante de A, ou seja,

det(A) = .

2.1.12. Decomposio espetral

Teorema da decomposio espetral: (Decomposio em valores prprios e vetores

prprios)

Seja A uma matriz simtrica e considere-se ainda os valores prprios de A e os vetores

prprios normalizados. Temos que AQ = Q com QTQ = I, onde a matriz diagonal

dos valores prprios, =

e Q a matriz ortogonal dos vetores prprios. Se

QT = Q

-1, ento A = Q QT.

15

2.2. Caractersticas amostrais

Nesta seco definem-se algumas caractersticas amostrais a utilizar na anlise

exploratria dos dados.

2.2.1. Caractersticas amostrais univariadas

Para se caracterizar um conjunto de dados, comea-se por calcular algumas

caractersticas amostrais, de localizao e de disperso. No que se segue, definem-se

algumas dessas caractersticas amostrais. Mais precisamente, a mdia, o desvio padro,

os extremos, a mediana e os quartis (Murteira, 2007).

Dado um conjunto de observaes (x1, , xn), diz-se que

a mdia

amostral e que =

a varincia amostral. O desvio padro

amostral dado pela raiz quadrada positiva da varincia, ou seja, .

A mdia amostral uma medida de localizao, a varincia e o desvio padro amostrais

so medidas de disperso. Estas permitem medir a variabilidade dos em torno da mdia

amostral.

Um conjunto de observaes (x1, x2, , xn) pode ser ordenado ordenado de modo

ascendente, tal que x1:n x2:n xn:n, sendo x1:n o mnimo e xn:n o mximo.

Tendo um conjunto ordenado de observaes, pode-se calcular a mediana do seguinte

modo

16

Define-se quantil de ordem p por:

onde [np] designa a parte inteira de np.

Observaes:

1) O quantil de ordem 0,5 designa-se por mediana.

2) Os quantis de ordem 0,25 e 0,75 designam-se por primeiro quartil e terceiro

quartil respetivamente.

3) Os quantis de ordem 0,1; ; 0,9 designam-se por decis.

4) Os quantis de ordem 0,01; ; 0,99 designam-se por percentis.

Uma representao grfica usual para representar os extremos, os quartis e a mediana

o diagrama em caixa de bigodes.

2.2.2. Caractersticas amostrais bivariadas

Na seco anterior definiram-se algumas caractersticas amostrais (no caso univariado).

Nesta seco definem-se as caractersticas amostrais para o caso bivariado, ou seja,

caractersticas que permitem comparar as variveis duas a duas, de forma a avaliar o

grau de associao entre as duas variveis. Neste caso, calculam-se as covarincias e

correlaes amostrais.

Considere-se um par de observaes (xi, yi), com i, j = 1, , n. Pode-se proceder sua

representao grfica num referencial cartesiano. Esse grfico designa-se por diagrama

de disperso.

Esta representao grfica permite avaliar o grau de associao entre duas variveis.

Para quantificar essa associao podem usar-se duas medidas: a covarincia amostral e /

ou coeficiente de correlao linear.

A covarincia amostral dada por cov(x,y) =

. Tambm

pode ser denotada por .

17

A covarincia uma estatstica bivariada utilizada para quantificar a associao linear

entre duas variveis. Porm, influenciada pelas unidades de medida. Neste caso, teria

de se proceder estandardizao do conjunto de dados, ou por outro lado, calcular-se o

coeficiente de correlao amostral.

O coeficiente de correlao ou coeficiente de correlao de Pearson dado por

r =

, ou seja,

.

O coeficiente de correlao varia entre -1 e 1 e usado para variveis quantitativas.

Se as variveis no forem quantitativas, usa-se o coeficiente de correlao de

Spearman.

Para calcular o coeficiente de correlao de Spearman procede-se de igual modo, mas

substituem-se as observaes (qualitativas) pelas respetivas ordens.

18

2.3. Tcnicas de Anlise Multivariada

Nesta seco procede-se ao desenvolvimento terico das tcnicas de anlise

multivariada a utilizar neste estudo, nomeadamente, a anlise em componentes

principais (ACP), a anlise fatorial (AF) e a anlise de clusters (AC).

Com estas tcnicas pretende-se resumir a informao contida nos dados, de forma a

tornar mais fcil a sua interpretao.

As duas primeiras tcnicas (ACP e AF) relacionam-se diretamente com as variveis,

designam-se por anlise modo-R, ao passo que a ltima tcnica (AC) relaciona-se com

os indivduos, designa-se por anlise modo-Q.

Mais claramente, a anlise-modo R permite identificar as variveis que mais contribuem

para a explicao da variabilidade dos dados, com a menor perda de informao. A

anlise modo-Q usada para agrupamento de indivduos em classes/grupos

homogneos, atravs de caractersticas comuns entre os indivduos.

19

2.3.1. Anlise em Componentes Principais

2.3.1.1. Introduo

A anlise em componentes principais uma tcnica de anlise multivariada introduzida

pelo estatstico Karl Pearson em 1901 e mais tarde desenvolvida por Hotelling em 1933

(Mardia et al, 1979).

A anlise em componentes principais um mtodo de anlise multivariada que consiste

em transformar um conjunto de variveis originais correlacionadas num conjunto de

novas variveis no correlacionadas: as componentes principais. As variveis originais e

as componentes principais tm a mesma dimenso.

O principal objetivo da ACP a reduo da dimensionalidade, ou seja, a diminuio do

nmero de componentes, de forma a explicar a variabilidade dos dados. Esta reduo

consegue-se uma vez que as variveis originais esto correlacionadas, sendo algumas

delas redundantes, ao passo que as componentes principais so no correlacionadas,

podendo explicar a informao dada pelas variveis originais com um menor nmero de

componentes. Caso as variveis originais estejam fracamente correlacionadas, as

componentes principais vo coincidir com as variveis originais.

Estas novas variveis (as componentes principais) so uma combinao linear das

variveis originais, com uma ordem decrescente de importncia. A primeira

componente principal a mais importante, uma vez que descreve a maior parte da

variabilidade dos dados.

Pretende-se que este nmero de componentes principais seja o menor possvel, ou seja,

parte-se de p variveis originais para k componentes principais, com k muito inferior a

p, de modo que a perda de informao seja a menor possvel.

Assim sendo, se as variveis originais estiverem muito correlacionadas, o nmero de

componentes principais que expliquem a variabilidade reduzido. Caso as variveis

originais estejam pouco correlacionadas essa reduo pouco significativa.

20

2.3.1.2. O modelo matemtico

Considere-se o modelo matemtico para as componentes principais

Yj = a1jX1 + a2jX2 + + apjXp

ou, Y = AX, em que X1, , Xp so as variveis originais, Y1, , Yp so as

componentes principais no correlacionadas e de varincia decrescente e aij o peso da

j-sima varivel com a i-sima componente principal, representados na matriz A de

ordem p (Chatfield, 1980).

Para a determinao das componentes principais tem de se utilizar a matriz de

covarincias amostral ou a matriz de correlaes amostral. Quando as escalas de medida

das variveis so diferentes usa-se a matriz de correlaes amostral. Desta forma torna-

se possvel a comparao.

De salientar que, pelo facto de no existir invarincia de escala na ACP, as componentes

obtidas so diferentes quando se usa a matriz de covarincias e quando se usa a matriz

de correlaes. As componentes principais obtidas tambm so diferentes quando a

unidade de medida das variveis originais alterada (Gnanadesikan,1997).

Para determinar as componentes principais, comea-se por calcular os valores prprios

da matriz de correlaes amostral, seguidamente determinam-se os vetores prprios

associados a cada valor prprio.

Desta forma, cada componente principal um vetor prprio associado a cada um dos

valores prprios. Mais precisamente, a primeira componente principal corresponde ao

vetor prprio associado ao maior valor prprio. A segunda componente principal

corresponde ao vetor prprio associado ao segundo maior valor prprio e, assim por

diante, de modo que as componentes principais sejam ortogonais entre si.

Designam-se os valores prprios da matriz de correlaes amostral por , e

tem-se que 0. Estes valores prprios representam a varincia das

componentes principais, ou seja, var(Yj) = . A ordenao das componentes principais

feita atravs da ordenao dos valores prprios, de modo que i-sima componente

principal corresponda o i-simo maior valor prprio.

21

No modelo matemtico para as componentes principais

com j = 1, , p, os aij so estimados de modo que a primeira componente contenha a

maior varincia (maior valor prprio) e assim por diante. Esses pesos so dados pelos

vetores prprios associados a cada valor prprio. Tem-se que,

= 1 com i = 1, , p e,

ai1aj1 + + aipajp = 0 para todo o i diferente de j.

Os pesos das componentes principais (aij) representam a importncia relativa das

variveis originais em cada componente principal.

Os yj observados designam-se por scores das componentes principais.

A correlao entre as variveis originais e as componentes principais designa-se por

loading. Estes fornecem a indicao de como as variveis originais so importantes para

a formao das componentes principais. Assim sendo, loadings prximos de um

indicam que essa varivel importante na formao da componente principal, enquanto

loadings prximos de zero indicam que a varivel no importante na formao da

componente principal. Os loadings so significantes se forem maiores que 0,3 em valor

absoluto. O loading da j-sima varivel com a i-sima componente principal dado por

, em que aij o peso da j-sima varivel com a i-sima componente

principal, o valor prprio da i-sima componente principal e sj o desvio padro da

j-sima varivel.

A comunalidade da j-sima varivel dada por

, que se refere proporo

de varincia das variveis que so explicadas pelas componentes principais.

Neste processo, a varincia preservada, uma vez que a soma das varincias das

variveis originais igual soma das varincias das componentes principais.

22

2.3.1.3. Nmero de componentes a reter

Ao usar esta tcnica de anlise multivariada tem de se decidir o nmero de componentes

a reter, ou seja, quantas componentes so necessrias para explicar a variabilidade dos

dados. Desta forma, existem algumas regras para decidir o nmero de componentes

principais a reter, de modo que estas expliquem a variabilidade dos dados e que a perda

de informao seja a menor possvel.

Um primeiro critrio reter o nmero de componentes principais que expliquem pelo

menos 80% da variabilidade total. Sendo a varincia da j-sima componente principal

e a varincia total, tem-se que

a proporo explicada pela j-

sima componente principal e

a proporo explicada pelas k primeiras

componentes principais. Este valor deve ser superior a 80%.

O segundo critrio (critrio de Kaiser, proposto em 1960) consiste em excluir as

componentes principais cujos valores prprios sejam inferiores sua mdia aritmtica

(quando usada a matriz de correlaes, a mdia dos valores prprios um).

O terceiro critrio consiste em utilizar uma representao grfica do nmero de

componentes principais versus os valores prprios. Este grfico designa-se por scree

plot, proposto por Cattell em 1966. O grfico tem a forma de um cotovelo. Deve-se

reter o nmero de componentes principais at o grfico se tornar praticamente paralelo

ao eixo Ox, uma vez que esses valores prprios so muito reduzidos e praticamente

iguais, pouco ou nada contribuem para a explicao da variabilidade dos dados

(Rencher, 1995).

23

2.3.2. Anlise Fatorial

2.3.2.1. Introduo

A Anlise Fatorial comeou a ser desenvolvida pelo psiclogo Charles Spearman em

1904, para testar os fatores de inteligncia e habilidade nos jovens, quando realizados

testes a diferentes reas do conhecimento (cincias e humanidades). Mais tarde foi

tambm desenvolvida por Thurstone em 1931 (Harman, 1976).

A Anlise Fatorial uma tcnica de anlise multivariada que consiste em escrever p

variveis y1, y2, , yp como combinao linear de novas variveis f1, f2, , fm, com m

menor que p. Estas novas variveis designam-se por fatores latentes, sendo no

observadas. As variveis y1, y2, , yp so moderadamente correlacionadas (Rencher,

1995).

O objetivo da anlise fatorial reduzir o nmero de fatores latentes, de forma a explicar

a maior correlao existente no conjunto de dados. Pretende-se exprimir o que de

comum existe nas variveis iniciais, de modo a perder-se a menor informao possvel.

2.3.2.2. O modelo matemtico

Considere-se o modelo matemtico para a anlise fatorial:

Ou, alternativamente, usando notao matricial, Y = , onde

y = [y1, y2, , yp]T

o vetor das variveis, f = [f1, f2, , fm]T

o vetor dos fatores

comuns , T o vetor dos fatores especficos e

a matriz dos pesos fatoriais, que no nica.

Assim sendo, cada varivel decomposta em duas: a parte comum e a parte especfica.

Os coeficientes so designados por loadings ou pesos, que permitem mostrar de que

modo a varivel yi depende do fator fj. Estes loadings representam a covarincia entre

24

as variveis e os fatores, ou seja, cov(yi, fj) = com i = 1, , p e j = 1, , m desde

que cov(y, f) = .

Tem-se que E(fj) = 0, var(fj) = 1, cov(fi, fj) = 0, i j.

O a parte residual de Yi, tendo-se E( ) = 0, var( = , que a varincia

especfica, cov( ) = 0, i j e cov( fj) = 0 para todo i e j.

Tem-se ainda que var(Yi) = +

+ + + =

, em que a

comunalidade, que se refere varincia comum e a varincia especfica ou nica,

que se refere varincia residual (Rencher, 1995).

Se a matriz de correlaes tiver valores elevados significa que as variveis tm bastante

em comum, formando grupos homogneos. Se os valores das correlaes forem

reduzidos, significa que as variveis tm pouco ou nada em comum, formando grupos

heterogneos.

2.3.2.3. Nmero de fatores a reter

Na anlise em componentes principais tinha de se selecionar um nmero de

componentes mais reduzido, ou seja, era necessrio analisar o nmero de componentes a

reter de modo que estas explicassem a variabilidade dos dados, mas tambm que o seu

nmero fosse bastante reduzido. Teria de se encontrar uma relao parcimoniosa, no

sentido de no se usar um nmero excessivo de componentes, mas tambm de no se

perder informao preciosa. Na anlise fatorial pretende-se fazer algo semelhante,

decidir o nmero de fatores a reter de modo a explicar pelo menos 80% da variabilidade

total. Escolher um nmero de fatores igual ao nmero de valores prprios maiores que a

mdia dos valores prprios. Se for utilizada a matriz de correlaes (R), a mdia 1, se

for utilizada a matriz de covarincias (S), a mdia

, em que o valor prprio

da matriz S. semelhana da anlise em componentes principais, pode-se usar o teste

do scree plot dos valores prprios de S ou R versus o nmero de fatores. O grfico

obtido apresenta inicialmente uma acentuada inclinao e no final uma reduzida

inclinao, pelo que os valores prprios sero praticamente iguais e reduzidos. Deve-se

ento reter o nmero de fatores (m) a partir dos quais o grfico fica uma reta paralela ao

eixo das abcissas, tendo este grfico a forma de um cotovelo (Rencher, 1995).

25

2.3.2.4. Rotao dos fatores

Para uma melhor interpretao dos fatores obtidos inicialmente, recorre-se rotao dos

eixos. Existem vrias tcnicas de rotao.

Este mtodo de rotao consiste na transformao da soluo inicial atravs da

multiplicao de uma matriz de rotao ortogonal pela matriz dos loadings, de modo

que a soluo seja interpretada de uma forma mais eficiente. Com esta rotao pretende-

se aumentar os valores absolutos dos grandes loadings e reduzir os valores absolutos

dos pequenos loadings, distinguindo assim loadings significantes de loadings

insignificantes.

As rotaes podem ser ortogonais ou oblquas. As mais utlizadas so as ortogonais,

destacando-se, a rotao varimax, a rotao quartimax e a rotao equimax.

Com o mtodo varimax pretende-se maximizar a varincia dos loadings de cada coluna

da matriz , de forma a existirem alguns loadings significativos e todos os

outros prximos de zero. Pretende-se maximizar V, com a restrio das comunalidades

permanecerem inalteradas.

Para um dado fator j, tem-se

, onde a varincia da comunalidade das

variveis no fator j, o quadrado do loading da i-sima varivel no j-simo fator,

a mdia do quadrado dos loadings para o fator j, p o nmero de

variveis e k o nmero de fatores.

A varincia total V de todos os fatores dada por:

Este mtodo, desenvolvido por Kaiser em 1958, tornou-se muito popular.

Com o mtodo quartimax pretende-se simplificar as linhas da matriz de loadings, ou

seja, tornar os loadings de cada varivel elevados para um pequeno nmero de fatores e

prximos de zero para os restantes. Pretende-se maximizar Q, com a restrio das

comunalidades no se alterarem.

26

Para uma dada varivel i, tem-se

, onde a varincia da comunalidade na

varivel i e

a mdia do quadrado dos loadings na varivel i.

A varincia total Q de todas as variveis dada por:

Com o mtodo equamax pretende-se fazer uma mistura dos dois anteriores mtodos

(Afifi, 1996, Harman, 1976, Rencher, 1995, Sharma, 1996 e Timm, 2002).

2.3.2.5. Mtodo de extrao dos fatores

Os mtodos de extrao dos fatores disponveis no SPSS so: mtodo das componentes

principais (principal components), mtodo da mxima verosimilhana (maximum

likelihood), mtodo dos mnimos quadrados (unweighted least squares and generalized

least squares), principal axis factoring, alpha factoring e image factoring.

Com estes mtodos procede-se extrao dos fatores e consequentemente estimao

dos loadings e das comunalidades.

O mtodo das componentes principais bastante usual. O SPSS utiliza-o por defeito.

27

2.3.2.6. Validao do modelo de anlise fatorial

Para avaliar a qualidade da anlise efetuada realizam-se alguns testes. A anlise fatorial

usada para descrever as correlaes entre as variveis. Deste modo, torna-se

necessrio que a matriz de correlaes seja significativamente diferente da matriz

identidade, efetuando-se o teste de esfericidade de Bartlett. Este teste usa-se para

testar H0: R = I versus H1: R I, em que R a matriz de correlaes amostral e I a

matriz identidade.

A estatstica de teste (n 1

)

com distribuio qui-

quadrado com

p (p - 1) graus de liberdade (Rencher, 1995).

Para avaliar se a anlise fatorial adequada aos dados usa-se a medida de adequao

de amostragem de Kaiser-Meyer-Olkin (KMO) ou measure of sampling adequacy

(MSA), proposta por Kaiser em 1970. Define-se por:

KMO / MSA =

,

onde R = e Q = = DR-1

D, com D =

.

O KMO toma valores entre 0 e 1. Recomendam-se valores superiores a 0.8. Na tabela 1

encontra-se a escala de avaliao da anlise fatorial efetuada (Maroco, 2007, Reis, 2001

e Timm, 2002).

KMO / MSA AF

0.9 1 Muito boa

0.8 0.9 Boa

0.7 0.8 Mdia

0.6 0.7 Medocre

0.5 -0.6 M

< 0.5 Inaceitvel

Tabela 1: Escala de avaliao da anlise fatorial

28

2.3.2.7. Anlise em Componentes Principais versus Anlise Fatorial

Na anlise fatorial escrevem-se as variveis como combinao linear dos fatores,

enquanto na anlise em componentes principais escrevem-se as componentes principais

como combinao linear das variveis, so procedimentos inversos. A anlise em

componentes principais permite explicar a maior parte da variabilidade total das

variveis, enquanto na anlise fatorial pretende-se explicar as correlaes entre as

variveis. No caso da ACP as componentes principais obtidas so nicas, no caso da AF

os fatores dependem da rotao efetuada. No caso da ACP a soluo obtida pode ser

diferente se usada uma escala de medio diferente, enquanto na AF, h invarincia de

escala, ou seja, as solues so invariantes com a mudana da escala de medio.

Quando se aumenta o nmero de componentes retidas, as primeiras componentes

principais mantm-se inalteradas, enquanto na anlise fatorial, os fatores podem tornar-

se bastante diferentes quando o nmero de fatores retidos modificado. (Everitt, 2011 e

Maroco, 2007).

29

2.3.3. Anlise de Clusters

2.3.3.1. Introduo

A anlise de clusters uma tcnica de anlise multivariada que tem como principal

objetivo o agrupamento de elementos. Este agrupamento efetuado de forma que

elementos pertencentes ao mesmo grupo tenham caractersticas semelhantes e

elementos de diferentes grupos tenham caractersticas dissemelhantes. Genericamente,

parte-se de um conjunto com n observaes e pretende-se formar k grupos com um

menor nmero de observaes.

Para a construo desses grupos usam-se mtodos hierrquicos ou mtodos no

hierrquicos. Entre os mtodos hierrquicos, estes podem ser aglomerativos ou

divisivos.

Considere-se um conjunto de n observaes e p variveis dispostos na seguinte matriz

de ordem n p,

.

O elemento representa o valor do objeto (indivduo) i na varivel j.

Seguidamente constri-se a matriz D de ordem n, dada por

, em

que dkl representa a distncia entre os objetos k e l, com k, l = 1, , n. Esta matriz

designa-se por matriz de proximidade.

Deste modo, o passo que se segue escolher a medida de proximidade entre os

indivduos (Everitt et al, 2001, Maroco, 2007 e Reis, 1997).

30

2.3.3.2. Medidas de proximidade

Para a construo da matriz de proximidade D, definida anteriormente, necessrio

selecionar uma medida de proximidade, podendo ser uma medida de distncia, de

dissemelhana ou de semelhana.

Segundo Everitt (2001), dois indivduos esto prximos se a dissemelhana ou a

distncia entre eles pequena ou, se a semelhana entre eles grande.

Uma medida de semelhana caracteriza-se pelas seguintes propriedades:

1) 0 1

2) = 1

3) =

onde denota a medida de semelhana entre os indivduos i e j.

Nos dados categricos habitual usar-se uma medida de semelhana.

Uma medida de dissemelhana caracteriza-se pelas seguintes propriedades:

1) 0

2) = 0

3) =

onde denota a medida de dissemelhana entre os indivduos i e j.

Uma medida de distncia caracteriza-se pelas seguintes propriedades:

1) 0

2) = 0

3) =

4) (desigualdade triangular)

onde denota a medida de distncia entre os indivduos i e j.

31

Apresentam-se em seguida algumas medidas de distncia (Everitt et al, 2001 Maroco,

2007, Reis, 1997 e Timm, 2002).

1) Distncia Euclidiana

=

2) Quadrado da Distncia Euclidiana

3) Distncia de Manhattan ou distncia absoluta ou City-Block Metric

4) Distncia de Minkowski

uma generalizao da distncia Euclidiana e coincidem quando r = 2.

5) Distncia de Mahalanobis

onde S denota a matriz de covarincias amostral.

A medida de distncia mais usada a euclidiana.

Em seguida, definem-se algumas medidas de dissemelhana.

1) Correlao de Pearson:

com

32

onde

e .

2) Separao Angular

com

.

2.3.3.3. Mtodos de agregao

Um dos objetivos da anlise de clusters reduzir a distncia dentro dos grupos e

aumentar a distncia entre os grupos.

Aps selecionada a medida de proximidade e construda a respetiva matriz de

proximidade, pretende-se saber quantos clusters se obtm. Assim sendo, para a

determinao desses k grupos usam-se mtodos hierrquicos ou mtodos no

hierrquicos. Quanto aos mtodos hierrquicos, estes podem ser aglomerativos ou

divisivos. Um processo diz-se aglomerativo se no final do processo se obtm um nico

cluster com todos os elementos e diz-se divisivo se no fim do processo existirem n

clusters com um nico elemento cada.

Em qualquer dos mtodos tem-se como objetivo a escolha da soluo tima, ou seja,

nmero timo de clusters. Essa deciso fica a cargo do investigador.

As etapas resultantes deste processo hierrquico (aglomerativo ou divisivo) podem ser

representadas atravs de um grfico o dendograma (Everitt, 2001).

Os mtodos aglomerativos so os mais utilizados.

33

2.3.3.4. Critrios de agregao

Aps definidas as medidas de proximidade entre dois elementos, necessrio definir

medidas de proximidade entre os clusters, ou seja, definir critrios de agregao entre os

grupos (Everitt et al, 2001 Maroco, 2007, Reis, 1997 e Timm, 2002).

1) Complete Linkage ou mtodo do vizinho mais afastado

A distncia entre dois grupos medida como sendo a distncia mxima entre um par de

objetos, entre todos os clusters. Utilizando este critrio os clusters obtidos so mais

compactos.

2) Single Linkage ou mtodo do vizinho mais prximo

A distncia entre dois grupos medida como sendo a distncia mnima entre um par de

objetos, entre todos os clusters. Utilizando este critrio os clusters obtidos so

desequilibrados e desalinhados, em particular quando o nmero de dados elevado.

3) Average Linkage

A distncia entre dois grupos medida como sendo a mdia da distncia entre todos os

pares de objetos dos dois grupos. Utilizando este critrio os clusters obtidos tm

pequenas varincias.

Este um critrio intermdio entre o Complete Linkage e o Single Linkage, sendo

relativamente robusto.

4) Critrio do Centride

A distncia entre dois grupos medida como sendo a distncia entre os seus centrides.

Cada centride corresponde mdia ponderada dos elementos dos dois grupos.

34

5) Critrio de Ward

Neste mtodo no so calculadas distncias, formam-se os clusters de modo a

minimizar a soma dos quadrados dos erros.

No que se segue, apresentam-se as etapas do mtodo hierrquico aglomerativo.

Agrupamento hierrquico (mtodo aglomerativo):

Dada a matriz de proximidades D = [dij] de ordem n n, seguem-se os passos seguintes

(Timm, 2002):

1. Comea-se com n clusters, cada um deles com um elemento.

2. Usando a matriz D, escolhemos os elementos mais semelhantes, digamos i e j.

3. Juntam-se esses dois elementos, i e j, formando um novo cluster (ij).

Recalculam-se as distncias entre o novo cluster (ij) e os elementos j existentes,

usando o critrio de agregao selecionado. Obtm-se uma nova matriz de

proximidade de ordem (n 1) (n 1).

4. Repetem-se os passos 2 e 3, (n 1) vezes.

Nota: O agrupamento no hierrquico no ser considerado neste trabalho.

35

Captulo 3: Anlise de dados hidrogeolgicos

O estudo baseia-se num conjunto de 48 amostras de gua subterrnea recolhidas em

furos, minas, nascentes e poos da cidade de Lisboa, conforme se pode visualizar na

figura 2. Utilizam-se as anlises qumicas dessas 48 amostras de gua e selecionam-se

13 variveis referentes a parmetros fsico-qumicos e espcies dissolvidas (anies e

caties). Mais precisamente:

Os parmetros fsico-qumicos: o pH, a condutividade eltrica (C.E.) e o

potencial redox (Eh);

As espcies dissolvidas: o bicarbonato ( ), o clcio (Ca

2+), o sdio (Na

+), o

potssio (K+)

, o magnsio (Mg2+

), o fluoreto ( ), o cloreto ( ), o brometo

( ), o nitrato ( ) e o sulfato (

).

As amostras de guas subterrneas agora utilizadas no foram recolhidas

especificamente para este trabalho, resultaram de recolhas para a concretizao de

unidades curriculares do 1 ciclo de estudos em Geologia da FCUL (Caria et al, 2009,

Manca et al, 2008 e Sanches et al, 2006) e 2 ciclo de estudos em Geologia Aplicada e

do Ambiente da FCUL (Oliveira, 2010) e em Engenharia do Ambiente do IST (Lopes,

2007).

36

Figura 2: Localizao geogrfica das amostras de gua

Como j foi referido anteriormente, a geologia de Lisboa de grande complexidade,

pelo que, para facilitar a anlise estatstica das amostras de gua, as formaes

geolgicas foram agrupadas, tendo em conta as suas semelhanas litolgicas, da

seguinte forma: Aluvies (1); Formao de Benfica (2); Complexo Vulcnico de Lisboa

(CVL) (3); Calcrios de Entrecampos (4); Areolas da Estefnia e Areias do Vale de

Chelas (5) e Argilas do Forno do Tijolo e Argilas e Calcrios dos Prazeres (6).

Na figura 3 encontram-se as localizaes das amostras recolhidas e a respetiva formao

geolgica aflorante.

37

Figura 3: Localizao geogrfica das amostras de gua e respetivas formaes geolgicas

38

A partir da figura 3 pode construir-se a tabela 2 em que se indica a provenincia de cada

amostra.

Grupos de formaes geolgicas Amostras recolhidas

(1) Aluvies Lis10/ Lis11/ Lis12/ Lis13/ Lis16 / Lis37

(2) Formao de Benfica Lis23/ Lis24/ Lis25/ Lis26/ Lis28/ Lis31/

Lis33/ Lis34/ Lis35/ Lis36/ Lis46

(3) CVL Lis27/ Lis29/ Lis30/ Lis32/ Lis44/ Lis47/ Lis48

(4) Calcrios de Entrecampos Lis1/ Lis2/ Lis5/ Lis14/ Lis17/ Lis19

(5) Areolas da Estefnia e Areias

do Vale de Chelas

Lis3/ Lis4/ Lis6/ Lis15/ Lis18/ Lis20/ Lis21/

Lis38/ Lis39/ Lis40/ Lis41/ Lis45

(6) Argilas do Forno do Tijolo e

Argilas e Calcrios dos Prazeres

Lis7/ Lis8/ Lis9/ Lis22/ Lis42/ Lis43

Tabela 2: Provenincia das amostras

39

3.1. Anlise Exploratria dos Dados

3.1.1. Caractersticas amostrais

Na tabela 3 encontram-se algumas caractersticas amostrais obtidas para as 48 amostras

de gua provenientes de 6 grupos de formaes geolgicas distintas:

Variveis Mdia Desvio

Padro Mediana 1 Quartil 3 Quartil Mnimo Mximo

pH 7,53 0,80 7,460 6,985 8,030 6,13 10,45

C.E. 1161,96 364,27 1174,500 953,500 1411,500 395,00 2220,00

Eh 30,43 151,13 34,250 -102,100 187,000 -258,10 248,00

359,3 111,55 374,000 291,120 426,500 43,00 575,00

Ca2+

123,17 49,39 114,500 82,000 152,500 40,00 245,60

Na+ 99,31 52,83 89,450 67,650 132,000 9,70 275,40

K+ 16,40 23,21 8,550 3,035 17,200 0,00 109,00

Mg2+

32,39 20,45 28,650 17,650 42,300 0,00 91,40

0,26 0,22 0,185 0,132 0,335 0,00 1,01

93,48 43,72 88,100 58,950 118,900 18,50 195,00

0,44 0,83 0,180 0,000 0,385 0,00 3,40

43,35 48,13 30,800 5,785 52,250 0,00 206,00

138,20 111,88 113,700 71,800 160,750 6,10 653,00

Tabela 3: Caractersticas amostrais das variveis (amostra global)

Da anlise da tabela 3, podem-se observar algumas caractersticas amostrais para as 13

variveis em estudo. O pH das amostras recolhidas varia entre 6.13 e 10.45, as amostras

de gua Lis4, Lis13, Lis5, Lis6 e Lis9 tm valores de pH 6.13, 6.20, 6.25, 6.26 e 10.45,

respetivamente, que esto fora dos valores paramtricos, de acordo com o Decreto Lei

306-2007 da qualidade da gua para consumo humano (o pH deve estar compreendido

entre 6.5 e 9, inclusive). A condutividade eltrica varia entre 395 e 2220 S/cm e a sua

mediana (1174.5 S/cm) superior mdia (1161.96 S/cm). O Eh varia entre -258.1 e

248 mV e tem mediana (34.25 mV) superior mdia (30.43 mV). Como existem

valores Eh positivos e negativos a variabilidade em torno da mdia muito grande,

sendo o desvio padro elevado (151.13 mV) e a mdia relativamente baixa (30.43 mV).

As concentraes do io bicarbonato variam entre 43 e 575 mg/L, apresentando uma

mediana (374 mg/L) superior mdia (359.3 mg/L). As concentraes do io clcio

variam entre 40 e 245,6 mg/L, existindo um grande nmero de amostras de gua com

concentraes deste io superiores ao valor paramtrico (100 mg/L), mais precisamente

29 amostras de gua. As concentraes do io sdio variam entre 9.7 e 275.4 mg/L e

40

apresentam uma grande variabilidade em torno da mdia, sendo o desvio padro 52.83

mg/L. As amostras Lis21 e Lis31 apresentam concentraes, deste io, de 275.4 e 217

mg/L, respetivamente, acima do valor paramtrico (200 mg/L). As concentraes do io

potssio variam entre 0 e 109 mg/L. O desvio padro elevado (23.21 mg/L), em

comparao com a mdia (16.4 mg/L). Das 48 amostras, 19 apresentam concentraes

do io potssio acima do valor paramtrico (12 mg/L) e 20 amostras tm concentraes

inferiores a 6 mg/L. Deste modo, a variabilidade em torno da mdia muito grande. As

concentraes do io magnsio variam entre 0 e 91.4 mg/L. Nas amostras Lis22, Lis16,

Lis20, Lis48, Lis47, Lis43 e Lis30 as concentraes deste io so 91.4, 73.5, 69.5, 65.1,

65, 60.3 e 57.5 mg/L, respetivamente. Todas essas concentraes so superiores ao

valor paramtrico (50 mg/L). As concentraes do io fluoreto variam entre 0 e 1.01

mg/L. A variabilidade em torno da mdia muito elevada, sendo a mdia de 0.26 mg/L

e o desvio padro de 0.22 mg/L. As concentraes do io cloreto variam entre 18.5 e

195 mg/L. As concentraes do io brometo variam entre 0 e 3.4 mg/L. Das 48

amostras, 40 apresentam concentraes deste io inferior a 0.5 mg/L e em 17 dessas 40

amostras no se deteta a presena deste io (0 mg/L). Desta forma, a variabilidade em

torno da mdia muito grande, sendo o desvio padro de 0.83 mg/L e a mdia de

0.44mg/L. As concentraes do io nitrato variam entre 0 e 206 mg/L. Das 48 amostras,

12 apresentam uma concentrao superior ao valor paramtrico (50 mg/L). A

variabilidade em relao mdia elevada, sendo a mdia e o desvio padro 43.35 e

48.13 mg/L, respetivamente. As concentraes do io sulfato variam entre 6.1 e 653

mg/L. Nas amostras Lis21, Lis9, Lis42 e Lis37 as concentraes deste io so 653,

459.2, 329 e 271 mg/L, respetivamente, todas superiores ao valor paramtrico (250

mg/L). O desvio padro muito grande (111.88 mg/L) indicador de uma grande

variabilidade em torno da mdia.

Sobre a qualidade da gua para consumo humano pode-se aferir que, das 48 amostras de

gua, apenas 8 (Lis7, Lis12, Lis27, Lis29, Lis30, Lis33, Lis36 e Lis44) so

consideradas apropriadas para o consumo humano, embora fosse necessrio averiguar

se, do ponto de vista bacteriolgico, estariam de acordo com as recomendaes da

legislao que regula a qualidade das guas para o consumo humano.

Tal como sugere a tabela 2, a amostra global das 48 amostras de gua pode ser

subdividida em 6 amostrais parciais, correspondendo a cada grupo de formaes

41

geolgicas. Desta forma, na tabela 4 encontram-se as caractersticas amostrais (mdia e

desvio padro) das 48 amostras de gua separadas pelos grupos de formaes

geolgicas a que pertencem.

Por observao da tabela 4, pode afirmar-se que o pH mdio nas Aluvies e nas Areolas

da Estefnia e Areias do Vale de Chelas praticamente igual, 7.39 e 7.38,

respetivamente. A variabilidade em torno da mdia inferior nas Areolas da Estefnia e

Areias do Vale de Chelas. A maior mdia e o maior desvio padro surgem no grupo de

formaes geolgicas Argilas do Forno do Tijolo e Argilas e Calcrios dos Prazeres,

tomando os valores de 7.87 e de 1.49, respetivamente. Os Calcrios de Entrecampos

apresentam o menor pH mdio de valor 7.2. O menor desvio padro surge na Formao

de Benfica, cujo valor 0.32. Embora a mdia seja relativamente alta, cujo valor 7.71.

Quanto condutividade eltrica, na Formao de Benfica e no CVL as mdias so

inferiores a 950 S/cm, enquanto nas restantes formaes geolgicas as mdias

ultrapassam os 1200 S/cm. A menor variabilidade em torno da mdia verifica-se no

CVL, onde o desvio padro 131.79 S/cm e a maior variabilidade em torno da mdia

ocorre nas Aluvies, onde o desvio padro 466.19 S/cm.

Quanto ao Eh, a sua mdia positiva na Formao de Benfica e no CVL, sendo 192.34

e 143.71 mV, respetivamente; a mdia negativa nas restantes formaes.

Relativamente variabilidade em torno da mdia menor na Formao de Benfica e

nos Calcrios de Entrecampos, cujo desvio padro 42.34 mV e 41.59 mV,

respetivamente.

Quanto ao io bicarbonato, verifica-se a maior variabilidade em torno da mdia nas

Argilas e a menor no CVL, sendo o desvio padro de 189.99 e 48.72 mg/L,

respetivamente. A maior concentrao mdia encontra-se nos Calcrios de Entrecampos

(415.17 mg/L) e a menor na Formao de Benfica (278.61 mg/L).

Quanto ao io de clcio, observa-se que a maior concentrao mdia nas Aluvies

(172.97 mg/L), enquanto as menores concentraes mdias so na Formao de Benfica

e no CVL, cujos valores so 88.15 e 80.86 mg/L, respetivamente. Tambm estas duas

ltimas apresentam a menor variabilidade em torno da mdia, uma vez que os seus

desvios padro so os menores, 15.88 mg/L no CVL e 29.21 mg/L na Formao de

Benfica.

Quanto ao io sdio, a menor concentrao mdia no CVL (58.69 mg/L) e a maior

na Areolas da Estefnia e Areias do Vale de Chelas (123.58 mg/L). A menor

42

variabilidade em torno da mdia surge nos Calcrios de Entrecampos, onde o desvio

padro 21.72 mg/L.

Quanto ao io potssio, as suas concentraes mdias tomam valores bastante

diferentes, nomeadamente, as Aluvies e o CVL tm mdias mais reduzidas (5.7 e 3.7

mg/L, respetivamente), enquanto os Calcrios de Entrecampos e as Areolas da Estefnia

e Areias do Vale de Chelas tm mdias muito elevadas (27.35 e 33.54 mg/L,

respetivamente). Para este io, em todas as formaes geolgicas verifica-se uma

grande variabilidade em torno da mdia, visvel atravs do seu desvio padro elevado,

destacando as Areolas da Estefnia e Areias do Vale de Chelas com o maior desvio

padro (34.13 mg/L).

Quanto ao io magnsio, nas Aluvies a mdia no muito elevada (28.63 mg/L), mas

a variabilidade em torno da mdia muito elevada, uma vez que o seu desvio padro

23.61 mg/L. No CVL a concentrao mdia a mais elevada (53.63 mg/L), mas a

variabilidade em torno da mdia a menor, uma vez que o desvio padro 10.04 mg/L.

A menor mdia (21.20 mg/L) nos Calcrios de Entrecampos e a maior variabilidade

em torno da mdia nas Argilas do Forno do Tijolo e Argilas e Calcrios dos Prazeres,

cujo desvio padro 29.20 mg/L.

Quanto ao io fluoreto, a menor concentrao mdia (0.11 mg/L) surge no CVL,

enquanto a maior concentrao mdia (0.39 mg/L) surge nas Argilas. O mesmo se pode

afirmar quanto variabilidade em torno da mdia, pois o desvio padro no CVL 0.08

mg/L e nas Argilas 0.33 mg/L. Os Calcrios de Entrecampos e as Areolas da Estefnia

e Areias do Vale de Chelas apresentam a mesma concentrao mdia (0.31 mg/L), mas

a variabilidade em torno da mdia muito inferior nos Calcrios de Entrecampos, uma

vez que o desvio padro consideravelmente inferior, sendo 0.13 mg/L nos Calcrios

de Entrecampos e 0.30 mg/L nas Areolas da Estefnia e Areias do Vale de Chelas.

Quanto ao io cloreto, o CVL aparece como a formao geolgica com a menor

concentrao mdia deste io (61.16 mg/L). As Aluvies, as Areolas da Estefnia e

Areias do Vale de Chelas e as Argilas aparecem com as maiores concentraes mdias

deste io, em torno dos 100 mg/L, destacando as Aluvies cuja concentrao mdia a

mais elevada (105.13 mg/L). A maior variabilidade em torno da mdia ocorre nas

Aluvies e nas Argilas, onde os desvios padro so 61.65 e 70.93 mg/L, respetivamente,

em oposio menor variabilidade que ocorre nos Calcrios de Entrecampos, cujo

desvio padro 18.12 mg/L.

43

Quanto ao io brometo, a variabilidade em torno da mdia bastante elevada, em

particular nas Aluvies, nas Areolas da Estefnia e Areias do Vale de Chelas e nas

Argilas, onde os desvios padro tomam os valores de 1.23, de 1.06 e de 1.23 mg/L,

respetivamente. As concentraes mdias, deste io, tambm so elevadas nestas

formaes geolgicas, nas Aluvies 0.85 mg/L, nas Areolas 0.66 mg/L e nas Argilas

0.82 mg/L. Nos Calcrios de Entrecampos a concentrao mdia bem menor (0.14

mg/L), mas a variabilidade em torno da mdia muito elevada (0.17 mg/L). O CVL

aparece como a formao geolgica que tem a menor concentrao mdia deste io,

cujo valor 0.05 mg/L.

Quanto ao io nitrato, as Argilas apresentam a menor concentrao mdia (5.67 mg/L),

por sua vez a variabilidade em torno da mdia muito elevada (7.9 mg/L). A maior

concentrao mdia (79.72 mg/L) deste composto ocorre na Formao de Benfica. As

Aluvies e as Areolas da Estefnia e Areias do Vale de Chelas apresentam

concentraes mdias prximas dos 50 mg/L e desvios padro elevados.

Quanto ao io sulfato, a maior concentrao mdia (223.7 mg/L) deste composto ocorre

nas Argilas e a menor concentrao mdia (71.73 mg/L) no CVL. A formao de

Benfica e o CVL apresentam valores mdios e desvios padro semelhantes e baixos.

44

Tabela 4: Caractersticas amostrais (mdia e desvio padro) das variveis em cada grupo de formaes geolgica

Formaes geolgicas

1 2 3 4 5 6

Mdia

Desvio

Padro Mdia

Desvio

Padro Mdia

Desvio

Padro Mdia

Desvio

Padro Mdia

Desvio

Padro Mdia

Desvio

Padro

pH 7,39 0,95 7,71 0,32 7,59 0,34 7,20 0,80 7,38 0,83 7,87 1,49

C.E. 1266,33 466,19 934,45 298,32 844,71 131,79 1226,33 194,72 1333,92 343,64 1436,50 314,94

Eh -76,15 109,83 192,34 42,35 143,71 108,16 -113,18 41,59 -27,44 133,30 -32,62 131,83

360,33 95,85 278,61 108,39 382,12 48,72 415,17 137,02 378,25 52,49 385,83 189,99

Ca2+

172,97 60,00 88,15 29,21 80,86 15,88 124,00 38,40 141,28 42,07 149,87 46,15

Na+ 78,88 36,76 94,32 53,33 58,69 24,38 108,15 21,72 123,58 62,02 118,87 68,66

K+ 5,70 4,70 10,08 7,12 3,70 5,60 27,35 29,56 33,54 34,13 8,27 9,40

Mg2+

28,63 23,61 25,15 11,90 53,63 10,04 21,20 12,76 27,48 18,71 45,67 29,20

0,32 0,16 0,18 0,09 0,11 0,08 0,31 0,13 0,31 0,30 0,39 ,33

105,13 61,65 93,77 38,08 61,16 22,58 87,90 18,12 103,98 38,40 103,57 70,93

0,85 1,23 0,18 0,12 0,05 0,05 0,14 0,17 0,66 1,06 0,82 1,23

49,02 43,92 79,72 68,93 18,90 20,50 30,43 14,48 46,76 41,81 5,67 7,90

171,15 95,55 81,53 24,97 71,73 26,02 116,57 30,58 180,53 152,99 223,70 160,79

45

3.1.2. Correlao linear de Pearson

Na amostra global as correlaes apresentam valores baixos, inferiores a 0.8 em

mdulo, veja-se o anexo 4.

As tabelas da matriz de correlaes entre as variveis, em cada um dos grupos de

formaes geolgicas, encontram-se em anexo (anexo 5 a 10).

Nas Aluvies, apenas 7 pares de variveis tm valores de correlao superiores a 0.8,

salientando a condutividade eltrica com o sdio e o sdio com o cloreto que

apresentam valores de correlaes muito elevados. Deste modo, pode afirmar-se que

amostras com menores concentraes de sdio tm menor condutividade eltrica e

menores concentraes de cloreto, assim como amostras com maiores concentraes de

sdio tm maior condutividade eltrica e maiores concentraes de cloreto.

Na Formao de Benfica, apenas 4 pares de variveis apresentam valores de correlao

linear superior a 0.8. Existem 10 pares de variveis cujos valores das correlaes so

inferiores a 0.8, em mdulo, porm, significantes2. O cloreto com o sdio, com a

condutividade eltrica e o com brometo e o magnsio com a condutividade eltrica.

Assim sendo, nestas amostras, quanto maior for a concentrao de cloreto, maior a

concentrao de sdio e de brometo, bem como os nveis de condutividade eltrica.

No Complexo Vulcnico de Lisboa existem 5 pares de variveis com valores de

correlao superiores a 0.8, em mdulo, dos quais dois pares tm valores de correlao

negativos. O Eh correlaciona-se negativamente com o clcio e com o magnsio, ou seja,

medida que os valores de Eh aumentam as concentraes de clcio e de magnsio

diminuem. O sdio correlaciona-se positivamente com o bicarbonato e com o nitrato.

Deste modo, amostras com pequenas (ou grandes) concentraes de sdio tm pequenas

(ou grandes) concentraes de bicarbonato e de nitrato. Existe um par de variveis com

valor de correlao abaixo de 0.8, mas significante.

Nos Calcrios de Entrecampos existem 8 pares de variveis com valores de correlao

superiores a 0.8, em mdulo. Desses valores, dois so negativos. O fluoreto

correlaciona-se negativamente com a condutividade eltrica e com o magnsio. A

2 Uma correlao diz-se significante, se ao nvel de significncia 0.05 se rejeitar a hiptese nula no teste

46

condutividade eltrica e o magnsio correlacionam-se positivamente, tal como o nitrato

com o sulfato, com o Eh, com o bicarbonato e com o clcio.

Nas Areolas da Estefnia e Areias do Vale de Chelas existem 4 pares de variveis com

valores de correlao maiores que 0.8. A condutividade eltrica correlaciona-se

positivamente com o sdio e com o sulfato. Tambm existem 8 pares de variveis com

valores de correlaes inferiores a 0.8, mas significantes.

Nas Argilas do Forno do Tijolo e Argilas e Calcrios dos Prazeres existem 8 pares de

variveis que tm valores de correlao superiores a 0.8, em mdulo. Desses valores,

quatro so negativos, nomeadamente, o pH e o bicarbonato, o bicarbonato com o

potssio e com o nitrato e este ltimo com o sdio, e quatro so positivos; o pH com o

potssio e com o nitrato, a condutividade eltrica com o magnsio e o nitrato com o

potssio.

Mais frente, na seco 3.1.3 (representaes grficas) ser efetuada uma anlise dos

diagramas de disperso para alguns pares de variveis.

47

3.1.3. Representaes grficas

Nas figuras que se seguem podem observar-se os diagramas em caixa de bigodes

paralelos e os diagramas de disperso. Na figura 4 encontram-se os diagramas em caixa

de bigodes paralelos para cada varivel (comparando por formao geolgica) e na

figura 5 encontram-se os diagramas em caixa de bigodes paralelos para cada formao

geolgica (comparando por variveis).

48

Figura 4: Diagramas em caixa de bigodes paralelos de cada varivel comparando cada formao geolgica

Para o pH, a amostra de gua Lis30 considerada outlier severo superior do CVL,

apesar de no ser o mximo da amostra global. Excluindo essa observao os valores do

pH no CVL so muito prximos, como visvel no respetivo diagrama em caixa de

bigodes. Em relao s Aluvies, Calcrios de Entrecampos e Areolas da Estefnia e

Areias do Vale de Chelas a variao dos valores do pH muito similar. Nas Argilas, se

excluir a amostra de gua Lis9, cujo valor de pH 10.45, tambm se encontra uma

distribuio idntica s anteriores.

Para a condutividade eltrica, a amostra de gua Lis21 outlier moderado superior das

Areolas da Estefnia e Areias do Vale de Chelas e tambm o maior valor da amostra

global. As amostras de gua do CVL so caracterizadas por apresentar baixa

condutividade eltrica.

49

Para o Eh, a amostra de gua Lis37 outlier moderado superior das Aluvies e a

amostra de gua Lis46 outlier severo inferior na Formao de Benfica, no sendo o

mximo nem o mnimo da amostra global, respetivamente. As amostras de gua

recolhidas nas Aluvies caracterizam-se pelos valores de Eh negativos, com exceo da

amostra de gua Lis37 que apresenta valor positivo. Nas amostras da Formao de

Benfica, se excluir o outlier, o Eh apresenta valores muito prximos e elevados, em

relao s outras formaes geolgicas. Nas amostras do CVL os valores de Eh so

maioritariamente positivos. Nas amostras dos Calcrios de Entrecampos os valores de

Eh so negativos. Nas amostras das Areolas e das Argilas o Eh apresenta valores, quer

positivos, quer negativos.

Quanto ao io bicarbonato, as amostras de gua Lis24 e Lis46 surgem como outliers da

Formao de Benfica, o primeiro severo superior e o segundo moderado inferior. As

amostras Lis44 e Lis47 aparecem como outliers do CVL, o primeiro severo inferior e

o segundo moderado superior. Nas amostras de gua do CVL, excluindo os outliers,

as concentraes deste io apresentam valores muito prximos. Nas amostras de gua

recolhidas nas outras formaes geolgicas a concentrao deste io apresenta uma

maior disparidade de valores, destacando as Argilas pela elevada variabilidade.

Quanto ao io de clcio, as amostras Lis24 e Lis47 so outliers moderados superiores da

Formao de Benfica e do CVL, respetivamente. As amostras de guas do CVL

caracterizam-se por baixas concentraes deste io e pela pequena variabilidade

relativamente s outras formaes geolgicas, enquanto as amostras das Aluvies

caracterizam-se por concentraes mais elevadas deste io.

Quanto ao io sdio, a amostra Lis31 representa um outlier moderado superior da

Formao de Benfica e a amostra Lis21 um outlier moderado superior das Argilas. As

amostras do CVL caracterizam-se por menores concentraes deste io, em relao s

outras formaes geolgicas.

Quanto ao io potssio, as amostras Lis32, Lis14 e Lis9 representam outliers para as

formaes CVL, Calcrios de Entrecampos e Argilas, respetivamente, sendo os dois

primeiros severos superiores e o ltimo moderado superior. Por observao do diagrama

em caixa de bigodes constata-se que nenhum destes outliers mximo na amostra

global. nas Areolas da Estefnia e Areias do Vale de Chelas que a concentrao e a

variabilidade so maiores. Sem considerar os outliers, as amostras do CVL e das

Argilas apresentam concentraes deste io muito baixas, bem como pequenas

variabilidades.

50

Quanto ao io magnsio, a amostra Lis16 outlier moderado superior das Aluvies. As

amostras de gua das Areolas e das Argilas apresentam grande variabilidade. As

amostras de gua provenientes do CVL caracterizam-se por valores mais altos do io

magnsio.

Quanto ao io fluoreto, as amostras do CVL apresentam baixas concentraes deste io,

relativamente s restantes formaes geolgicas. As amostras de gua das Areolas e das

Argilas apresentam uma grande variabilidade e diagramas em caixa de bigodes

idnticos.

Quanto ao io cloreto, a amostra Lis48 outlier severo superior do CVL. As amostras

do CVL caracterizam-se por baixas concentraes e pequena variabilidade. Nas

amostras das Aluvies e das Argil