Análise Não Linear de Estruturas

7/26/2019 Anlise No Linear de Estruturas

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Faculdade de Engenharia da Universidade do Porto

Anlise no linear geomtrica

de

estruturas reticuladas espaciais

Joo Jos Guerra Martins

(Licenciado em Cincias Militares na especialidade de Engenharia pela Academia Militar)

Dissertao submetida para satisfao parcial dos requisitos do grau de mestre emEstruturas de Engenharia Civil

Realizada sob superviso de:

Professor Catedrtico Joaquim Azevedo Figueiras, do Departamento de Estruturas da


Professor Associado Convidado Jos A. F. Mota Freitas, do Departamento de Estruturas da


Porto, Setembro de 1997


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Anlise no linear geomtrica de estruturas reticuladas espaciais

II

Agradecimentos

Tem as prximas linhas o simples mas sincero intuito de agradecer a quantos tornaram

possvel efectuar este trabalho e dos quais esquecer-me seria uma profunda injustia:

Instituio Militar e dentro desta, com relevo, ao Ex.moSenhor General Frutuoso

Pires Mateus, ao Ex.moSenhor Coronel de Engenharia Augusto Branquinho Ruivo e

ao Ex.moSenhor Coronel de Engenharia Srgio Lima Bacelar, cuja iniciativa e apoio

se mostrou absolutamente determinante.

Aos coordenadores deste trabalho, o Ex.mo

Senhor Professor Catedrtico JoaquimAzevedo Figueiras e o Ex.mo Senhor Professor Associado Convidado Jos Mota

Freitas, pela sua inexcedvel disponibilidade e o seu muito saber.

Aos camaradas, colegas, amigos e todas as pessoas que de forma directa ou indirecta

tiveram um contributo efectivo ou uma palavra de incentivo e que pelo seu elevado

nmero no refiro com receio de omitir algum.

minha famlia em geral e, sobretudo, Dalila e ao Joo dos quais privei,

demasiadamente, da minha presena.

A todos o meu muito obrigado.


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III

Resumo

Pretende este trabalho apresentar um estudo sobre a no linearidade geomtrica de estruturas

reticuladas espaciais, com base em alguns dos vrios mtodos que foram sendo desenvolvidos

nos ltimos trinta anos, designadamente, quanto sua formulao matricial e procedimentos

incrementais e iterativos.

Visa-se, desta forma, estabelecer as tcnicas de clculo mais representativas, nomeadamente,

no que concerne obteno de deslocamentos e esforos de dimensionamento.

Uma breve comparao ser efectuada entre as teorias abordadas.

Em complemento, a instabilidade elstica de estruturas tambm trazida discusso, atravs

da enunciao e apreciao de alguns processos de previso de cargas crticas, sua utilidade e

alcance.

Procurar-se ainda estabelecer:

Comparao directa da nitidez e grandeza da diferena que podem atingir os

resultados entre a anlise linear e no linear geomtrica;

Influncia da diviso das barras em mais de um elemento, tanto para a anlise no

linear geomtrica de deslocamentos e esforos como para o estudo da instabilidade de

uma estrutura;

Confrontao dos resultados obtidos com ou sem actualizao de geometria;

Aparecimento dos efeitos consequentes sensibilidade da estrutura e do seu

carregamento aos momentos induzidos;

Realidade dos movimentos de corpo rgido nos deslocamentos no lineares e

consequente eventual necessidade da sua eliminao na obteno de esforos;

Importncia da anlise espacial da instabilidade em detrimento da plana;

Utilidade no conhecimento dos coeficientes complementares de encurvadura.


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IV

Abstract

The purpose of this work its to present a study about the no linear geometrical effects in

structures of space frame type, in base on some of the methods that as been development in

the last thirty years, in respect of its matrices formulations and incremental and iterative

proceedings.

We will try, by this way, to establish the computation techniques of the most representative

methods, in particular, in what concern to the calculations of displacements and the internal

forces.

A short comparison will be made among the presented theories.

In addition, the elastic instability of space frames also will be brought to discussion, through

the enunciation and appreciation of some processes of prediction of critical loads, its utility

and domain.

We will also try to establish:

A direct comparison of the clarity and the dimension of the difference of the results

that it can be afforded between the linear and no linear geometric analysis;

Influence of the division of the bars in more than one element, so applied to the no

linear geometric as to the buckling analysis of structures;

Confrontation of the obtained results with or without geometric actualisation;

Appearance of the effects and its consequences caused by the sensibility of the

structure and its charges to the induced moments;

Reality of the rigid body movements in no linear displacements and the sequential

eventual necessity of its elimination to obtain good internal forces results;

The importance of instability space analysis in place of a planar one;

Utility on the knowledge of the buckling complement coefficients.

Rsum


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V

Lobjectif de cette thse il est prsenter un tude sur la non lineairit gomtrique des

ossatures rticules spatiales, sappuyant plusieurs travaux que a t dvelopps dans lesderniers trente ans, spcialement, quant sa formulation matriciels et procs incrmentiel et

itratifs.

Dans cette faon, nous dsirons tablir les techniques de calcul plus reprsentatives,

nommment, en ce qui se rapporte obtention des dplacements et efforts de

dimensionnement.

Une brve comparation sera effectue parmi les thories abordes.

Complmentairement, linstabilit lastique entre aussi dans la discussion, en travers le

listage et prsentation de quelques mthodes de prvision de charges critiques, sa utilit et

atteint.

Nous chercherons ainsi tablir:

La comparation directe de la nettet et grandeur des diffrences qui peuvent atteindre

les rsultats entre lanalyse au premier et second ordre.

Linfluence de la division des barres en plus quun lment, tant pour lanalyse au

second ordre des dplacements et efforts que pour ltude de linstabilit dune

ossature.

La confrontation des rsultats obtenus avec ou sans actualisation de gomtrie. Lapparition des effets consquents sensibilit de la ossature et son chargement aux

moments induits.

La ralit des mouvements de corps rigide dans les dplacements du second ordre et la

consquent ventuel ncessit de sa limination dans lobtention defforts.

Limportance de lanalyse spatiale de linstabilit au dtriment de la plane.

Lutilit dans la connaissance des coefficients complmentaires de flambement.


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VI

Simbologia

[ ] Referncia bibliogrfica.

( ) Referncia a frmula ou expresso matemtica.

[ ] Matriz.

[ ]T Matriz transposta.

[I] Matriz identidade.

[0] Matriz nula.

{ } Vector.

{ }T Vector transposto.

{0} Vector nulo.

{1} Vector com todas as componentes unitrias.

FX Fora (axial) segundo X em eixos gerais.

FY Fora (transversal) segundo Y em eixos gerais.

FZ Fora (transversal) segundo Z em eixos gerais.

Fx Fora (axial) segundo x em eixos locais.

Fy Fora (transversal) segundo y em eixos locais.

Fz Fora (transversal) segundo z em eixos locais.

Mx Momento torsor x em eixos locais.

My Momento flector y em eixos locais.

Mz Momento flector z em eixos locais.

Ix- Inrcia de toro.

Iy Momento de inrcia segundo eixos locais y da seco.

Iz Momento de inrcia segundo eixos locais z da seco.

A rea total da seco.

A rea de corte da seco.

Wij- ndice iejrelativos ao nmero do incremento ou iterao, sendo:

i ndice relativo ao nmero do incremento, com posio inferior linha.j ndice relativo ao nmero da iterao, com posio superior linha.

[K] Matriz de rigidez.

[KT] Matriz de rigidez tangente ou, simplesmente, matriz de rigidez.

[KL] Matriz de rigidez linear ou, simplesmente, matriz linear.


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VII

[KG] Matriz de rigidez geomtrica ou, simplesmente, matriz geomtrica.

[KC] Matriz de rigidez de carga (Petr Kryl).

[KI] Matriz dos momentos induzidos (Yang & Kuo).

[KJ] Matriz dos momentos nodais (Yang & Kuo).

[KM] Matriz dos momentos exteriores aplicados nos ns (Yang & Kuo).

[T] Matriz de rotao ou transformao.

{P} Vector das cargas totais, conjunto das cargas directas nos ns e das

aplicadas nas barras.

{R} Vector das foras desequilibradas ou resduos.

{F} Vector das foras nodais equivalentes ou foras instaladas nos ns da estrutura ou

esforos nas barras projectados nos ns.

{E} Vector das foras instaladas nas barras da estrutura ou esforos nas barras em eixos

locais.

{U} Vector dos deslocamentos nodais (totais), devidos a {P}.

{V} Vector dos deslocamentos nodais, devidos a {F}.

{X} Vector dos deslocamentos nodais, devidos a {R}.

L, M, N Co-senos directores de um eixo definido no espao.

C, S Co-senos e seno de um ngulo.

{} Vector de modo de encurvadura (deslocamentos na configurao de instabilidade).

Acrscimo, variao ou tolerncia.

Acrscimo ou variao.

Acrscimo ou variao. ngulo.

{} Vector genrico auxiliar, como de deslocamentos ou outro.

{u} Vector genrico auxiliar, como de deslocamentos ou outro.


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1

1. INTRODUO

1.1. Tema

Concebida a geometria da estrutura e das suas seces, bem como determinadas as

provveis solicitaes actuantes em servio e rotura, objecto da anlise de estruturas a

determinao das correspondentes deformaes e tenses ou deslocamentos e esforos. Com

base nestes resultados, podemos ajuizar se os pressupostos iniciais que foram fixados

satisfazem os propsitos em mente, ou seja: se a soluo actual preenche os requisitos de

resistncia e utilizao tidos por exigveis, segundo uma perspectiva que estabelea um

sensato compromisso entre a segurana e a economia.

Permanece ainda nos nossos dias a anlise elstica e linear como suporte doutrinrio de

clculo no exerccio da actividade profissional do engenheiro de estruturas, muito embora os

novos regulamentos publicados [23] abram outros horizontes.

Ora, uma das deficincias desta anlise a sua inaptido para reflectir o real

comportamento de estruturas menos comuns ou sob condies de carregamento no

ordinrias ou, ainda, perto do colapso. No se trata de uma situao to extraordinria como

poder parecer, uma vez que quase todas as estruturas se comportam de forma no linear

quando se aproximam dos seus limites de resistncia, muito embora se tenha a conscincia de

no se pretender levar to longe o seu nvel de aproveitamento em situaes prticas da

construo. Da que os prprios regulamentos da dcada anterior, e que j se baseavam no

conceito de estados limites, incorporavam de maneira implcita, processos de contabilizao

de comportamento no linear. Hoje, so esses prprios cdigos que incitam adopo de

anlises mais exactas em prejuzo de procedimentos mais simplificados com a grande

vantagem de um maior rigor e eficincia.

Temas especficos existem em que imperioso o uso de tcnicas no lineares, como o

caso do desenvolvimento de materiais de elevada resistncia, em que se torna obrigatrio o

escrupuloso aproveitamento das suas capacidades. Caem nesta rea de estudo a engenharia

aerospacial, a engenharia mecnica, a construo de edifcios de grande altura e pontes de

elevado vo, sendo nestes ltimos casos o peso prprio da estrutura determinante nas

condicionantes do seu projecto. Mas no seja esta descrio ilusria, pois, estruturas de muito


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pequeno porte podem, pela sua particular configurao e solicitao, ter um desempenho

altamente no linear.

Existem dois tipos principais de no linearidade: a material e a geomtrica.A primeira diz respeito s mudanas na resposta fsica dos materiais, nomeadamente,

distribuio das tenses ao longo da extenso de uma barra, bem como ao longo dos eixos e

das faces das suas prprias seces. A variao das leis constitutivas que governam o

comportamento no linear material tem como inconveniente o facto das equaes de

equilbrio terem que ser determinadas para estruturas cujas propriedades fsicas dependem da

tenso, existindo o problema de no poderem ser estas conhecidas, antecipadamente. Neste

trabalho ser admitido apenas um comportamento linear material.A segunda, tambm conhecida, em estruturas correntes, por efeitos de segunda ordem,

produzida por deformaes finitas acompanhadas de alteraes da rigidez da estrutura em

sequncia das cargas aplicadas.

Este trabalho refere-se, pois, exclusivamente, anlise deste ltimo caso.

Neste contexto, visa este trabalho no s a comparao e discusso de diversas

formulaes que nos ltimos trinta anos foram sendo desenvolvidas ou melhoradas, como, e

sobretudo, a enunciao de procedimentos de clculo coerentes e transparentes no que aoestudo da no linearidade geomtrica de estruturas reticuladas espaciais diz respeito,

designadamente, nas suas vertentes de obteno de deslocamentos e esforos de

dimensionamento, bem como a previso de cargas crticas elsticas.

Outra discusso que se pretende aflorar, sem se efectuar o seu estudo exaustivo,

corresponde situao em que o valor dos deslocamentos se torna de tal modo aprecivel que

se afigura negligente uma anlise mais simplista. Esclarea-se que simplista aqui no se

refere, propriamente ou somente, formulao matricial (como, por exemplo, a no utilizaode elementos diferenciais de ordem superior na matriz geomtrica), mas a outros importantes

pormenores que vo desde a escolha dos processos de clculo (como, por exemplo, o mtodo

de iterao directa, o mtodo de Newton-Raphson, etc.) simples deciso de efectuar ou no

a actualizao de geometria e dentro desta com que profundidade.

Como se vai poder constatar, o domnio da anlise no linear permanece um tema em

aberto em que o volume, a vivacidade e a riqueza da discusso est longe de atingir consenso

e as certezas ainda so poucas.


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1.2. Breve referncia histrica

A ttulo no s de curiosidade, mas tambm de enquadramento desta temtica, segue-se

uma pequena resenha histrica sobre a anlise no linear de estruturas e, mais

particularmente, da anlise da encurvadura em pilares [26].

A investigao nesta rea da Engenharia de Estruturas soma j 253 anos, se fixarmos

como ponto de partida os estudos de Euler (cuja frmula permanece vlida e de comum

utilizao nos casos em que se mostra aplicvel).

Decorria o ano de 1678 quando Robert Hooke lanava os conceitos preliminares para odesenvolvimento da teoria da estabilidade elstica, estabelecendo que a deformao de

qualquer mola era proporcional fora que a causava.

Um segundo passo foi dado por Jacob Bernoulli, em 1705, que estudou a flexo e a

curvatura de uma viga em consola. Baseando-se na Lei de Hooke, afirmou que a curvatura de

qualquer ponto era proporcional ao momento a instalado.

Leonard Euler (1707-1863), discpulo de um irmo de Jacob, John Bernoulli (1667-

1748), alicerando-se em mtodos variacionais deduziu a frmula para colunas que conservao seu nome1: carga crtica de Euler.

Mariotte (1620-1684) efectuou vrias experincias em vigas em consola em 1680, tendo

sido o primeiro a reconhecer que para uma carga vertical descendente as fibras do topo

sofriam uma extenso e as inferiores uma contraco.

Leibniz, em 1713, confirmou a correco das concluses de Mariotte e recomendou a

aplicao da Lei de Hooke ao problema.

Em 1773, 39 anos aps o aparecimento desta lei, Coulomb (1736-1806) aplicou-acorrectamente, bem como o fez com a equao de equilbrio esttico para o desenvolvimento

dessa frmula, relacionando o momento flector com a tenso axial devida flexo numa viga

em consola. A deformao por esforo transverso era negligenciada por Coulomb, tendo uma

teoria mais completa sido, posteriormente, trabalhada por Navier e St.Venant.

A frmula de Euler permaneceria em discusso at ao incio deste sculo (1905 -

Johnson, Byran & Turneasure) s se comeando a assimilar os casos em que resultava a sua

1 Ser Euler o mais profcuo matemtico de todos os tempos, contendo a sua biografia cientfica um


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validade nos meados do sculo passado. Refiram-se as 32 colunas ensaiadas por Considre

em 1889, a partir da observao das quais este revelou por que razo a frmula de Euler

nunca tinha sido muito til aos engenheiros projectistas. Concluiu este investigador que ainstabilidade ocorria abaixo do limite de proporcionalidade do mdulo de elasticidade,

devendo este, por conseguinte, ser substitudo na frmula de Euler por um mdulo de

elasticidade efectivo: Eef2.

Era o despertar para a realidade da instabilidade inelstica, no existindo ainda um

conhecimento capaz das relaes entre as deformaes, as tenses, as curvaturas e os

momentos no domnio do no elstico.

Engesser (1889) sugeriu que bastaria no estudo da resistncia da coluna no domnio dono elstico se substitusse o mdulo de elasticidade convencional pelo tangente.

Em 1910, Theodor von Krmn deduziu expresses explcitas para o mdulo

reduzido em seces rectangulares e perfis em I e H, mas foi s em 1947 que Shanley de

novo redefiniu este conceito como mdulo tangente, com a seguinte redaco: A carga

correlativa ao mdulo tangente a que corresponde ao menor valor que esta pode tomar para

se dar a bifurcao de equilbrio, quer esta transio para a posio deformada ocorra ou no

por acrscimo de carga axial. Shanley corrobora, pois, o preceito que Engesser 57 anos antestinha enunciado. Osgood diria, em 1951, que esta teoria designada por Engesser-Shanley

mereceria uma referncia histrica comparvel da contribuio de Euler.

Duberg e Wilder que, em 1950, analisaram a evoluo da variao inelstica ao longo

da extenso total de uma coluna, poriam esta concepo de Shanley do seguinte modo: Se o

comportamento de uma coluna perfeitamente recta visto como o comportamento de uma

coluna terica equivalente sem quaisquer imperfeies iniciais, ento, a carga correspondente

ao mdulo tangente a carga crtica da coluna, isto , a carga iniciadora da flexo.Teriam sido estes alguns dos ltimos grandes axiomas precursores da anlise no linear

de colunas dos nossos tempos que, como se v, tem menos de 50 anos.

No se pretende, com esta breve descrio, indexar ou limitar a anlise no linear ao

estudo de elementos verticais solicitados axialmente, muito embora sejam estas as peas mais

sensveis a tais questes. Outros tipos de instabilidade podem ser determinantes na anlise de

impressionante nmero superior a 866 entradas.2Este mdulo efectivo Eefdeveria ter um valor entre o mdulo de elasticidade clssico E e o tangente E t.


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estruturas e em distintos tipos de componentes estruturais, como o caso do bambeamento

em vigas e o enfunamento em chapas.

Sobre toda esta mltipla envolvente, em 1969, Graham Powell publicava um artigo [39]em que referia que apesar dos recentes estudos realizados, no existe ainda uma consistente

formulao terica do problema. Nos nossos dias, no estando esta questo categoricamente

sanada, parecem identificadas e solidificadas vrias teorias de anlise no linear de estruturas,

idealizadas e interpretadas como sistemas, teoricamente, exactos em termos geomtricos e

materiais. Contudo, idnticas preocupaes s de h mais de um sculo surgem ao procurar

simular-se a realidade ligada sua execuo prtica e dos seus materiais constituintes, ou

seja: a passagem dos modelos tericos perfeitos para a realidade dos ensaios e, sobretudo,para o dia-a-dia da construo.

Assumindo por ultrapassado o problema da garantia de qualidade dos materiais e o rigor

das seces das peas pr-fabricadas (como os perfis metlicos, obrigados a processos de

homologao e ainda sujeitos a coeficientes de segurana que reduzem os seus valores

resistentes), h que ter em considerao deficincias bvias da montagem em obra, onde no

se consegue assegurar a perfeio absoluta no fabrico dos elementos estruturais. Assim,

podemos dizer que se procura hoje contabilizar, ainda que de forma necessariamenteaproximada, mas com o rigor de base cientfica e estatstica, alguns dos efeitos no previstos

nas teorias clssicas.

Sendo essas condicionantes de vria natureza, enumeram-se algumas, ficando-se aqum

de uma listagem completa:

Imperfeies geomtricas iniciais;

Deformaes decorridas no tempo de vida da estrutura (devidas a fenmenos

reolgicos, a excesso de carga em servio e outras das quais resultem tenses e

deformaes residuais permanentes);

Fadiga dos materiais, por efeito de ciclos de carga e descarga, com eventual conexo

a fenmenos de histerese;

Alterao das condies de ligao dos elementos estruturais ou do comportamento

das fundaes.

Naturalmente, nem todos estes fenmenos so passveis de ser contabilizados ou

previstos, no entanto, e concentrando-nos na actualidade, o primeiro dos citados j alvo de


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imposio regulamentar [23]na prtica do projecto.

Concluindo este sucinto relato, podemos dizer que a anlise no linear geomtrica de

estruturas reticuladas espaciais, cuja problemtica se pretende abordar, um tema deactualidade que contnua a necessitar de discusso e desenvolvimento.

1.3. Definio do problema

Ficou, pois, segura e claramente, j estabelecido ser a temtica deste trabalho a anlise

no linear geomtrica de estruturas reticuladas tridimensionais, cabendo agora definir o

conjunto de conceitos bsicos do problema para se poder vir a fixar os objectivos a atingir.De uma forma preliminar, estamos em condies de afirmar que com a anlise no

linear geomtrica se pretende aferir e determinar o agravamento nas deformaes e,

consequentemente, nos esforos que uma estrutura sofre ao longo do seu processo de

carregamento. Quer sejam esses acrscimos nos esforos resultado directo das novas e

sucessivas excentricidades criadas pelos movimentos prprios da estrutura em deformao ou

pela alterao da rigidez gerada pelo significativo valor que as foras internas venham a

assumir, estamos, em qualquer dos casos, perante fenmenos que podemos considerar de

efeitos de segunda ordem ou de no linearidade geomtrica.

Vrios factores concorrem para o desenvolvimento destes comportamentos no lineares

e pela sua maior participao no fenmeno destacam-se:

Geometria global da estrutura;

Geometria dos elementos da estrutura e das suas seces;

Condies de apoio (ligaes ao exterior);

Condies de continuidade dos elementos (ligaes interiores); Propriedades dos materiais.

Ilustram-se, seguidamente, alguns dos processos de deformao no linear que uma

estrutura pode sofrer, devendo ainda em certos casos falar-se de instabilidade, desde que em

qualquer momento tenha existido uma perda de equilbrio [15,16,45].

Dos comportamentos a apresentar todos tero cabimento no mbito deste trabalho,

enquanto situados dentro do campo das estruturas reticuladas planas ou espaciais3,

3Falar de estruturas espaciais ou tridimensionais referirmos, intrinsecamente e por incluso, estruturas planas.


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procurando-se encontrar a soluo para o seu despiste e anlise.

a) Caso normal aquele que ocorre na generalidade das estruturas construdas, em que a solicitao a

que esto sujeitas leva a alguma perda na sua rigidez e ao aumento moderado da sua

deformao que, podendo ser mais ou menos acentuada, nunca deve atingir valores que

comprometam a sua utilizao. Queremos com isto dizer que, muito embora no se mantenha

linear a relao entre cargas e deslocamentos, existir sempre entre estes uma relao de

univocidade (fig.1.1).

P

d

Figura 1.1: Curva carga-deslocamento num caso normal.

Nestes casos nunca se chega a atingir uma situao de instabilidade estrutural semcedncia significativa dos materiais constituintes.

Figura 1.2: Exemplo de um caso normal.

b) Inflexo da trajectria de equilbrio

Embora nestes casos no exista, propriamente, uma perda de equilbrio, falamos de

instabilidade pelo facto da rigidez da estrutura apresentar um valor mnimo numa fase

intermdia do processo (fig.1.3).

Conforme se poder avaliar por comparao, uma situao particular de um caso de

inverso de equilbrio com descontinuidade (snap-through), existindo, em ambos os casos,


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uma fase de amaciamento e outra de endurecimento da rigidez da estrutura4.

Esta mudana entre as fases de amaciamento e endurecimento caracterizada por um

ponto de inflexo, da a designao do prprio fenmeno.

P Endurecimento da rigidez

Amaciamento da rigidez

d

Figura 1.3: Curva carga-deslocamento num caso de inflexo da trajectria de equilbrio.

O exemplo que se ilustra, como representao de um comportamento deste tipo,

consiste numa estrutura formada por dois elementos que formam um vrtice ao qual

aplicada uma carga vertical descendente (fig.1.4). Uma vez que um dos apoios elstico, a

passagem da situao inicial de compresso e amaciamento para a final de endurecimento e

traco realizada suavemente e sem descontinuidade (snap-through), ou seja, limita-se estecaso a uma inflexo na trajectria da relao carga-deslocamento.

Figura 1.4: Exemplo de um caso de inflexo da trajectria de equilbrio.

c) Bifurcao de equilbrio

Numa fase inicial, que pode atingir um avanado nvel de carregamento, a estrutura tem

um comportamento essencialmente linear, at atingir um ponto a partir do qual entra em

4 No se trata aqui de situaes, propriamente ditas, de no linearidade material em que na literatura anglo-


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ampla no linearidade.

O nome bifurcao surge aqui ligado possibilidade de existirem duas trajectrias que

passem pelo mesmo estado de equilbrio, a partir do qual estas se tornam instveis (fig.1.5). uma situao em que deixa de haver univocidade entre carga e deslocamento no seu ponto de

aplicao.

P

d

Figura 1.5: Curva carga-deslocamento num caso de bifurcao de equilbrio.

Como exemplo, admita-se uma coluna geometricamente perfeita em consola vertical

solicitada por uma fora descendente de valor crescente (fig.1.6). A partir de um certo nvel

de carregamento, e de forma brusca, esta estrutura perde o seu equilbrio no se conseguindoestabelecer qual a forma que a sua configurao deformada assumir. Ilustra-se este

fenmeno para o caso plano (fig.1.6) onde apenas duas situaes so possveis (se do espao

se tratasse, esse nmero tornar-se-ia infinito).

(2) ? (1) (2) ?

Figura 1.6: Exemplo de um caso de bifurcao de equilbrio.

saxnica o amaciamento aparece ligado ao softenning e o endurecimento com o stiffenning.


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d) Inverso de equilbrio com descontinuidade (snap-through e snap-back)

uma situao semelhante da inflexo da trajectria de equilbrio, s que aqui esse

ponto notvel no de mnimo mas de mximo relativo na escala de carregamento. Ou seja,os efeitos de no linearidade, acompanhados de uma diminuio da rigidez, vo-se

acentuando com o aumento de carga, prosseguindo isto at que a trajectria alcana um ponto

de mximo, onde a rigidez se anula e a estrutura se torna instvel. ento procurada uma

nova configurao de estabilidade e a estrutura v o seu equilbrio restitudo, aps o aumento

brusco de deformao (fig.1.7).

A energia potencial assim libertada est associada a um fenmeno fortemente dinmico

que acompanha a variao profunda sofrida pela geometria da estrutura.

P

d

Figura 1.7: Carga-deslocamento com inverso de equilbrio com descontinuidade tipo snap-through.

semelhana do modelo apresentado no caso de inflexo da trajectria de equilbrio, a

estrutura que serve de exemplo tambm composta por dois elementos que formam um

vrtice e no qual aplicada uma carga vertical descendente (fig.1.8). Contudo, neste caso,

retirou-se o apoio elstico, sendo a estrutura conduzida a uma situao de concentrao de

energia que determina o comportamento acima descrito (snap-through).

Figura 1.8: Exemplo de inverso de equilbrio com descontinuidade do tipo snap-through.

Diga-se que no h qualquer obrigatoriedade na presena ou ausncia desse apoio

elstico para que um ou o outro fenmeno tenham lugar. Na verdade, tanto uma barra


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ordinria como um dispositivo de mola tem uma rigidez prpria que, essa sim, vai estabelecer

a atitude do sistema. Da que o importante esteja, sem dvida, na rigidez das prprias barras,

tendo servido a incluso da mola apenas como ajuda na compreenso da diversidade destasmanifestaes.

Um caso anlogo, mas em que se verifica adicionalmente uma diminuio transitria

em termos de deslocamento designado por snap-back (fig.1.9).

P

d

Figura 1.9: Curva carga-deslocamento com inverso de equilbrio com descontinuidade tipo snap-back.

Na figura 1.10 espelha-se um caso para o qual este fenmeno pode ter lugar.

Trata-se de uma estrutura flexvel que sujeita a uma carga crescente v a sua geometria

passar por vrias fases ao longo do seu processo de deformao. Concentrando-nos no que sepassa no ponto i, constatamos que este sofre, em virtude desse carregamento, um percurso em

que a direco do seu deslocamento passa por uma inverso do mesmo durante uma fase

transitria da sua deformao ((1) (2)), aps o que regressa ao sentido inicial ((2) (3)).

(0) (1) (2)

(3)

i0 i1 i2 i3

Figura 1.10: Exemplo de inverso de equilbrio com descontinuidade do tipo snap-back (no ponto i).

Registe-se que, como noo terica muito importante e tanto relativa a este caso como a

outros, nunca ser o valor absoluto desta carga-tipo que far variar o aspecto desta curva


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carga-deslocamento. Ou seja: entenda-se que o valor dessa aco s determinar quo longo

vai ser a extenso total desta linha representativa da relao carga-deslocamento, jamais a sua

forma. A aparncia desta trajectria est intimamente ligada com as propriedades geomtricase fsicas das seces dos elementos5, podendo, por exemplo, uma variao da inrcia destas

seces, isso sim, determinar a maior ou menor concavidade e convexidade do seu percurso

(em que, no extremo, entraremos numa situao de instabilidade por inverso de equilbrio).

Fiquemos, assim e desde, j com a basilar noo que o grau de comportamento no

linear de uma estrutura, para uma mesma geometria global, varia decisivamente com a rigidez

dos seus membros. Na verdade, s secundariamente o valor da carga-tipo assume importncia

fundamental, sendo esta mais relevante quando a sua dimenso coloca a estrutura j perto docolapso geomtrico, ou seja, na iminncia da bifurcao de equilbrio.

As mensagens dos ltimos pargrafos no pretendem trazer novidades que no tm,

simplesmente, relembrar e clarificar uma das reflexes elementares para o entendimento do

comportamento no linear e seus efeitos.

1.4. Objectivo

Pretende, ento, este trabalho efectuar o estudo da no linearidade geomtrica de

estruturas reticuladas espaciais, especificamente, nas seguintes vertentes:

1) Comparao e discusso de diversas formulaes que nos ltimos anos foram

sendo desenvolvidas ou melhoradas, designadamente, das vantagens e

inconvenientes da sua maior simplicidade ou complexidade e rigor na anlise.

2) Apresentao dos procedimentos de clculo mais representativos, nomeadamente,

no que concerne obteno de deslocamentos e esforos de dimensionamento,

tendo como orientao a coerncia e a transparncia dos processos.

3) Instabilidade elstica de estruturas, discriminadamente, enunciao e apreciao

de alguns mtodos de previso de cargas crticas, sua utilidade e alcance.

5Alm, evidentemente, da prpria geometria global da estrutura.


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13

1.5. Organizao

Este trabalho foi dividido em seis captulos, tendo esta organizao o objectivo de

separar as matrias de forma conveniente, sem com isso se perder o seu natural

encadeamento. Complementarmente, incluem-se no final trs anexos cujo contedo no se

introduziu no corpo principal, a fim de no se correr o risco de tornar dispersa a sua

exposio.

Captulo 1: Introduo

O presente captulo visa uma introduo temtica e histrica da anlise da no

linearidade geomtrica de estruturas reticuladas, bem como a prpria definio genrica desse

problema, o objectivo que se pretende atingircom este estudo e a organizao do textoque o

apresenta.

Captulo 2: Anlise no linear geomtrica de estruturas reticuladas espaciais - rgos

Trata esta parte a anlise no linear geomtrica de estruturas reticuladas no que aos seus

rgos diz respeito. Com esta designao de rgos pretende-se sublinhar o facto das

entidades aqui tratadas no dependerem dos procedimentos de clculo adoptados, ou seja, os

seus elementos so imutveis independentemente do processo. Assim, integram este captulo

assuntos como a definio das matrizes de transformao, das matrizes de rigidez linear e das

matrizes de rigidez geomtrica.

Captulo 3: Anlise no linear geomtrica de estruturas reticuladas espaciais - processos

Esta seco versa a anlise no linear geomtrica de estruturas reticuladas no que

incumbe aos seus processos. Com esta denominao de processos quer-se salientar que as

matrias aqui tratadas dependem dos procedimentos de clculo que se pretendem tomar, ou

seja e sobretudo, do modo como os rgos vo ser utilizados durante a sequncia de

carregamento e deformao, especificamente: onde, quando e como. Razo pela qual, temas

como a descrio dos mtodos incrementais e iterativos sero aqui includos.

Captulo 4: Previso de cargas crticas

A instabilidade elstica, na sua pendente de cargas crticas e modos de encurvadura


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associados, introduzida neste sector, sendo uma importante componente da rbita da no

linearidade, embora no se deva classificar, nica e propriamente, como tal, j que possvel

efectuar este tipo de estudo em linearidade geomtrica e elasticidade material.Entendeu-se por conveniente no omitir esta rea correndo, muito embora, o perigo de

ser excessivo. Tal eventual ousadia estar justificada, se pensarmos na extenso e riqueza da

informao que um estudo desta espcie nos pode proporcionar. Pensamos conseguir, adiante

e em local prprio, transmitir a importncia suplementar que este tema encerra. Alis e como

se ver, esta anlise ser equivalente ao conduzir proporcionalmente o carregamento-tipo

aplicado ao ponto em que o sistema de equaes deixa der ser definido positivo (ou seja: no

h uma soluo nica para o problema, pois gerou-se uma situao de instabilidade criadapela anulao da matriz tangente em virtude do valor atingido pela matriz geomtrica).

Captulo 5: Exemplos numricos

So aqui includos alguns dos exemplos que concretizam as afirmaes produzidas ao

longo dos captulos anteriores e que nestes no foram apresentados. Na impossibilidade de

serem abrangidos todos os casos testados e, sobretudo, de serem expostas todas as figuras

expressivas dos resultados alcanados, seleccionado um conjunto de ilustraes tidas por

mais significativas para o que se pretende demonstrar em cada tipo de anlise.

Efectuam-se ainda neste captulo breves comentrios sobre o programa de clculo

automtico que se elaborou.

Na verdade, no mbito do plano de trabalhos desta dissertao, foi desenvolvido,

integralmente, um programa de clculo que inclui todas as formulaes adiante apresentadas.

A concepo e execuo do cdigo, mais de 15.000 linhas de programao, cuja organizao

se apresenta, sumariamente, absorveu cerca de 80% do tempo total consumido na realizao

da mesma.

Diga-se que se o esforo despendido na sua produo talvez tenha sido exagerado em

comparao com o que restou para a anlise e comparao de todas as suas possibilidades e

realizao da parte escrita, a verdade que esta ferramenta de clculo permanece e mais

profundos e cuidados estudos podem vir a ser efectuados, bem como modificaes e novos

acrscimos serem integrados, resultando num instrumento que, na opinio do autor, longe

estar de se esgotar. Algumas sugestes sobre as possibilidades agora referidas sero


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includas no captulo referente s concluses.

este captulo destinado a esclarecer, de forma extremamente sucinta, como o

programa e seus algoritmos se adequam s teorias apresentadas.

Captulo 6: Concluses

Faz-se aqui um sumrio das concluses que puderam ser retiradas ao longo deste

trabalho e apontam-se caminhos para eventuais futuros desenvolvimentos.


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2. ANLISE NO LINEAR GEOMTRICA DE ESTRUTURASRETICULADAS ESPACIAIS - RGOS

2.1. Introduo

Tem por objecto esta parte da discusso e da prpria anlise no linear geomtrica de

estruturas reticuladas, o estudo das entidades que, no dependendo dos procedimentos de

clculo adoptados, materializam as bases vitais da sua modelao, ou seja, aquilo que j se

classificou como os seus rgos: matrizes de transformao, matrizes de rigidez linear e no

linear, enfim, a formulao matricial no sujeita conjuntura e, portanto, invarivel no

problema6.

Todavia, no se pode falar numa anlise no linear sem que primeiro algo se diga,

mesmo que de maneira breve, sobre a teoria de suporte que se encontra mais a montante.

Referimo-nos, naturalmente, anlise linear. Este tema, embora seja passvel de se pensar

esgotado em termos de investigao, tal no dever tomar-se por definitivo, sendo, de

qualquer modo, uma obrigatoriedade a sua abordagem como estabelecimento dos conceitos e

dos limites em que se trabalha e dos quais se parte para anlises mais elaboradas.

Sobre este assunto diversas formulaes existem, dependendo dos princpios que so

fixados (como a contribuio ou no do esforo transverso para a deformao dos elementos,

a reduo do mdulo de elasticidade longitudinal e transversal para ter em conta os efeitos da

fendilhao, etc.) e que vo pesar na seleco da matriz de rigidez a utilizar. Outras questes

se podem pr ainda, sendo uma das mais importantes (como ainda se ver neste captulo) a

escolha da matriz de transformao que, especialmente no caso tridimensional, tem uma

interveno preponderante no entendimento de tudo o que se passa ao nvel do elemento.

6Queremos com isto dizer que cada formulao matricial enquanto entendida doutrinariamente pode variar em

funo da teoria que lhe est subjacente, na certeza, porm, que no seu emprego vrias formas so possveis deadoptar sem que a sua natureza ou o seu significado e composio dos seus ndices se alterem.


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17

2.1.1. Formulao para a anlise no linear

Quando se trata de anlise no linear, pressupe-se mudanas ao longo do percurso de

um processo. Tratando-se do estudo de um parmetro como o movimento (caso em que caem

os deslocamentos de uma estrutura), em termos gerais existem duas formas de o descrever:

Formulao Euleriana (descrio espacial)

O referencial espacial imutvel, cada ponto do espao no v variar as suas

coordenadas; o interesse est em saber o que sucede nesse ponto fixo do espao em cada

intervalo de tempo.

Formulao Lagrangeana(descrio material):

O referencial espacial mvel, cada ponto do espao pode ver variar as suas

coordenadas; o interesse reside no percurso de cada ponto material do sistema.

Fcil ser entender que a formulao Euleriana se adequa, por exemplo, ao estudo de

problemas de escoamento de fluidos, enquanto que a formulao Lagrangeana prpria para

teorias de anlise de estruturas, pois, se adapta ao estudo da deformao da mesma.

Parecendo, embora, transparente e inequvoca a adopo de uma formulao

Lagrangeana, convm separar duas vias distintas [24,35]:

Formulao Lagrangeana Total

O sistema de eixos de referncia est ligado configurao inicial da estrutura

deformada: A(i) = A(0) + U(i).

Y

A1 = A0+U1 A2 = A0+U2 A3 = A0+U3

U1 U2 U3

Z

X

Figura 2.1: Formulao Lagrangeana Total.

Formulao Lagrangeana Modificada/Actualizada

Em qualquer configurao de equilbrio torna-se como referncia a configurao de


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18

equilbrio anterior: A(i) = A(i-1) + U(i).

YU2

U3

A1 = A0+U1 A2 = A1+U2 A3 = A2+U3

U1

Z

XFigura 2.2: Formulao Lagrangeana Actualizada.

De um modo simplista podemos dizer, numa adaptao ao clculo no linear

geomtrico de estruturas reticuladas que se pretende comentar, que a Formulao

Lagrangeana Total corresponde a um processo em que pode no ocorrer actualizao de

coordenadas de forma explicita, enquanto que para uma Formulao Lagrangeana

Actualizada tal sempre obrigatrio. Frise-se que, muito embora em manifesta minoria,mtodos existem que adoptam uma Formulao Euleriana na deduo dos seus mecanismos

de clculo.

2.2. Matriz de Rigidez Linear

na matriz de rigidez que se concentram todos as premissas de clculo, todas as

propriedades do elemento, todas as regras que fundamentam o seu previsvel comportamento.

A deduo, exaustiva e cuidadosamente comentada, destas matrizes encontra-se

vastamente coberta em diversa bibliografia [1,2,18,35,46], pelo que apenas se faz uma breve

aluso de enquadramento deduo da matriz de rigidez na sua forma mais comum, a que se

segue a simples apresentao de vrias verses em funo das hipteses fixadas. Por

simplicidade, essa descrio feita para o plano, sendo a sua traduo para o espao imediata,

j que no admitida qualquer hiptese de interinfluncia entre os eixos locaisyez.

Como sabido, o coeficiente de rigidez kij representa a fora na coordenada nodal i

devida a um deslocamento unitrio na coordenada nodal j, permanecendo todos os restantes


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graus de liberdade fixos e nulos. Na figura (2.3) representa-se para o caso do grau de

liberdade de rotao no extremo i, as reaces que surgem nos restantes graus de liberdade

quando a este se aplica uma rotao unitria [1] (no se considerando, por agora, variaes nadimenso do comprimento da barra).

K33

(3) 3(x) K63

(1) i (6) j (4)

K13 K43

K23 (2) (5) K53

Figura 2.3: Matriz de rigidez linear: grau de liberdade de rotao no n ie reaces correspondentes.

Associadas a cada deslocamento unitrio da coordenada nodal, mantendo impedidos os

restantes movimento dos ns, a barra assume determinadas formas elsticas representadas

pelas equaes 1(x), 2(x), 3(x), 4(x), 5(x) e 6(x). Adoptando como interpretao

aproximada da forma real elstica a funo cbica: (x) = A + Bx + Cx2+ Dx3, que uma

expresso que cumpre a equao diferencial de viga: EI(d2

y/dx2

) = M(x). Vamos deduzir paraeste caso os parmetros A, B, C e D, introduzindo, para isso, as condies de fronteira e

admitindo como linear a lei dos momentos (M(x)=EI3(x)) por no existirem cargas

intermdias.

No se incluir o desenvolvimento dos coeficientes 1(x) e 4(x) j que correspondem

aos graus liberdade de deslocamentos lineares dos extremos de barra segundo o seu eixo e,

como tal, no geram reaces interactivas com os restantes graus de liberdade, assim, temos:

2(x) = 1 - 3(x/L)2 + 2(x/L)3

3(x) = x - (1-x/L)2

5(x) = 3(x/L)2 - 2(x/L)3

6(x) = (x2/L)(x/L-1)

Dado que 3(x) a deformao correspondente ao deslocamento unitrio 3=1, a

deformao da viga para um deslocamento arbitrrio 3 ser: 33(x). O mesmo raciocnio


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20

aplicvel aos restantes deslocamentos nodais 2, 5 e 6, de modo que se podem sobrepor

todos os movimentos, encontrando-se:

y(x) = 22(x) + 33(x) + 55(x) + 66(x)

Supondo a viga em equilbrio para qualquer das deformadas possveis e

correspondentes a cada grau de liberdade, debrucemo-nos, ento, sobre o caso da deformada

3(x). Provocando um deslocamento virtual anlogo ao da figura anterior, o trabalho

realizado pelas foras externas ter de ser igual ao cumprido pelas foras internas.

Se atendermos reaco que surge no grau de liberdade 2 pela rotao unitria em 3 e

aplicando-se o princpio dos trabalhos virtuais para 2=1, viga deformada por essa rotao3=1, deduz-se o trabalho das foras externas:

em que M(x) a lei dos momentos flectores e d a deformao angular originada pelo

deslocamento virtual.

Admitindo que M(x) = EI 3(x) e d= 2(x) dx , para 2=1, surge:

do que, em geral, qualquer coeficiente de rigidez associado com uma viga pode ser definido

pela equao:

De acordo com esta formulao e para os graus de liberdade e sistema de eixos reduzido

da figura que se segue (fig.2.4):

1 3

2 4

Figura 2.4: Sistema de eixos plano local condensado.

== :com,M(x)dWekW int223ext == M(x)dkouWW 223intext

=== xd(x)''(x)''EIM(x)dkk 2323223

= ''(x) dx''(x)EIk ijij

I J


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21

A equao matricial da barra pode ser definida por:

i j

12EI/L3 6EI/L2 -12EI/L3 6EI/L2 iKL

= 6EI/L2 4EI/L -6EI/L2 2EI/L

-12EI/L3 -6EI/L2 12EI/L3 -6EI/L2

6EI/L2 2EI/L -6EI/L2 4EI/L j

Este sistema de eixos local que na sua forma completa poderia tambm ser:

1 3

5 6

2 4

Transferindo esta situao condensada para o espao e em funo do sistema de eixos

escolhido, fixa-se a posio dos graus de liberdade dentro da matriz de rigidez, bem como arelao entre sinais dessas posies.

Neste caso optou-se pelo seguinte sistema de eixos espacial local:

Figura 2.6: Sistema de eixos espacial local.

1

7

3

25

4

12

9

JI

11 8

10

I J

6


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22

Todas as matrizes lineares e no lineares adiante apresentadas respeitam o sistema de

eixos agora definido, a que correspondem os seguintes vectores de foras e deslocamentos:

{F}T= {FXi, FYi, FZi, MXi, MYi, MZj, FXj, FYj, FZj, MXj, MYj, MZj}{U}T= {Xi, Yi, Zi, Xi, Yi, Zj, Xj, Yj, Zj, Xj, Yj, Zj}

Podemos dividir a matriz de rigidez linear como um conjunto de submatrizes que a

interprete ao nvel de cada um dos seus dois extremos iej, ordenando a sua interdependncia:

i j

KLii KL

ij i

KL =

KLji KL

jj

j

Constituda, ento, pelas submatrizes KLii, KL

jj, KLije KL

ji , cuja apresentao se faz no

anexo I em diversas variaes, para as quais se julga existir significativa utilidade tanto em

termos tericos como em termos prticos.

Em virtude da simetria caracterstica da matriz de rigidez linear, a submatriz KLji ,

invariavelmente, a transposta da submatriz KLij.

Como acima se disse, encontram-se no anexo I as matrizes de rigidez linear mais

comuns e de maior utilidade, incluindo um modelo que pode no dispor de continuidade para

momentos flectores e torsores.

Esta matriz de rigidez sem continuidade para momentos pode tambm ser adoptada para

a simulao do comportamento linear de cabos, desde que se implemente um dispositivo de

clculo que impea o seu funcionamento compresso, sendo ainda recomendvel a divisodo mesmo em nmero de elementos suficiente para uma maior aproximao (no prximo

captulo apresentaremos uma matriz de rigidez para cabos com comportamento no linear

[41]).

O sistema de eixos ser o mesmo, obviamente, existindo a possibilidade de rotaes

livres nos extremos das barras.

Ilustre-se esse sistema de eixos local em que as esferas simbolizam as possveis rtulas

que as ligaes podem ter (fig.2.7):


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23

Figura 2.7: Sistema de eixos espacial local, eventualmente, sem continuidade para momentos.

Outro tipo de matriz de rigidez linear apresentada por Petr Krysl [29], que este autor

reputa de melhorada em termos de resposta elstica (dado lhe ter includo um factor de

correco ao esforo transverso - shear correction factor - e uma constante de toro -

torsional constant), conseguindo-se com esta matriz evitar o locking

7

do elemento devidoao esforo transverso.

2.3. Matriz de Transformao ou Rotao

Resolveu incluir-se um espao dedicado a este assunto, porque se julga ser um ponto de

primordial importncia no entendimento e bom funcionamento de qualquer programa de

estruturas de tipologia espacial.

De facto e como se vai verificar, numa anlise no linear geomtrica a matriz de

transformao um aspecto particular e vital na sua formulao.

Ao contrrio do que se passa no plano, em que a matriz de rotao simples e imediata

(fig. 2.8), no caso tridimensional muitas formulaes existem para proporcionar a passagem

de eixos locais para gerais e vice-versa8.

7Sobrevalorizao da contribuio da deformao por esforo transverso em vigas muito esbeltas.8A passagem de eixos gerais para locais faz-se atravs da matriz transposta da matriz de transformao de eixoslocais para gerais.

1

7

3

25 4

12

9

JI

118 10

6


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24

Longe de se poder dizer que cada autor deduz uma matriz de transformao prpria para

a sua formulao de anlise no linear geomtrica, muitos h que o fazem.

Y y

x

X

Figura 2.8: Transformao de eixos locais para gerais no plano.

y

y Y x

z

z

x

Z X

Figura 2.9: Eixos locais (x,y,z) e gerais (X,Y,Z) no espao.

Entre essas formulaes vo-se explicitar trs, tecendo-se alguns comentrios sobre as

mesmas.

Como vamos ver, muito embora todas se adaptem mais ou menos bem (desde que se

sigam algumas intervenes recomendveis) para uma anlise linear, j tal no verdade

quando entramos no mbito de uma anlise no linear geomtrica com actualizao de

coordenadas.

De facto, neste ltimo caso, a manuteno da coerncia dos eixos locais dos elementos

de barra ao longo do processo de actualizao da geometria absolutamente fundamental para

a correco e preciso dos resultados em termos de deslocamentos e esforos.


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25

De qualquer modo, independentemente da formulao adoptada em termos de

tratamento da passagem de eixos locais para gerais e vice-versa, esta matriz tem na sua forma

mais condensada a dimenso de 3 linhas por 3 colunas (3x3).So as linhas dessa matriz os co-senos directores de cada eixo local (x, y e z), referidos

ao extremo em causa (i ou j), para cada um dos dois grupos de deslocamentos existentes no

espao, sendo estes os deslocamentos lineares dos ns (x, y e z) e os deslocamentos

devidos sua rotao (x, y e z):

Cxx Cxy Cxz

[T0] = Cyx Cyy Cyz

Czx Czy Czz

Daqui se depreende que a matriz de rotao final do elemento seja feita para cada um

dos seus extremos ou os incorpore a ambos, j que esta vai proporcionar a passagem de

coordenadas da barra como um todo de eixos locais para gerais e vice-versa.

Adoptando uma matriz de transformao que inclua os dois eixos locais de extremo de

barra e para os dois tipos de deslocamentos desses ns, temos:

i j

[Tii] [Tij] i

[T] =

[Tji] [Tjj]

j

Sendo as submatrizes [Tij] e [Tji]nulas, j que no h qualquer interinfluncia entre os

extremos das barras no que transformao de coordenadas diz respeito.

Como os dois tipos de deslocamentos, lineares e de rotao, tm a mesma direco e

sentido em eixos locais escolhidos, e se para ambos os extremos da barra mantivermos a sua

posio, podemos generalizar:


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26

[T0] [0]

[Tii]= = [Tjj]

[0] [T0]

Assim, para uma forma de visualizao total de uma matriz de transformao de eixos

locais para gerais com seis graus de liberdade por extremo de barra, temos:

Cxx Cxy Cxz

Cyx Cyy Cyz

Czx Czy Czz

Cxx Cxy Cxz

Cyx Cyy Cyz

[T]= Czx Czy Czz

Cxx Cxy Cxz

Cyx Cyy Cyz

Czx Czy Czz

Cxx Cxy Cxz

Cyx Cyy Cyz

Czx Czy Czz

Uma matriz complementar desta a matriz de rotao de eixos locais da seco para

eixos principais da seco, bastante semelhante para todos os autores que a ela recorrem j

que se trata, no fundo, de uma rotao em termos bidimensionais.

Na verdade, poderia esta ser adoptada de modo quase directo para matriz de

transformao num estudo plano (ver fig.2.10).

A sua constituio, para uma rotao , ao nvel da submatriz elementar e para um

qualquer grupo de deslocamentos (sejam estes lineares como de rotao), pode ser expressa

como (significando a letra C o co-seno do ngulo e a letra S o co-seno do ngulo

(fig.2.10)):


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27

1 0 0

[TPo] = 0 C S

0 -S C

semelhana da matriz de rotao de eixos locais para gerais formada por:

[TP0] [0]

[TPii]= = [TP

jj]

[0] [TP0]

Sendo as submatrizes [TPij] e [TP

ji]tambm nulas pelas mesmas razes.

Assim, para a totalidade dos graus de liberdade de extremidade da barra corresponde a

seguinte matriz de transformao completa:

1 0 00 C S

0 -S C

1 0 0

0 C S

[TPo] = 0 -S C

1 0 0

0 C S0 -S C

1 0 0

0 C S

0 -S C

Na maioria dos casos no haver necessidade de usar esta matriz de rotao, pelo que

estes eixos se mantero, perfeitamente, sobrepostos. Contudo, pode ter esta matriz vrias


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28

utilidades, destacando-se entre outras:

Possibilidade de fugir definio automtica do posicionamento dos eixos locais ye

z, uma vez que a posio das seces em eixos locais pr-estabelecida peloprograma, com base na formulao adoptada;

Correco de geometria em termos de deslocamentos angulares dos eixos locais, ou

seja: permite, com alguma facilidade, introduzir a possibilidade da actualizao de

geometria no se limitar simples actualizao de coordenadas como, tambm, da

prpria posio angular dos eixos locaisyez;

Utilizao da mesma seco-tipo com orientao dos seus eixos principais de inrcia

rodados de um certo ngulo. Isto pode ser compreendido, por exemplo, atravs doaproveitamento de uma seco-tipo que numa barra de 30x40 para que noutra barra

seja de 40x30, bastando rodar, para o efeito, a seco de 90.

z z

Eixos Principais

Eixos Locais

y

y

Figura 2.10: Transformao deeixos locaisda seco (x e y) para eixos principaisda seco (x e y).

2.3.1. Matriz de Rotao por Ramon Alvarez

Como foi referido, independentemente da formulao adoptada em termos de

tratamento da passagem de eixos locais para gerais e vice-versa, a matriz de transformao

(ou rotao) tem na sua forma mais condensada a dimenso de 3 linhas por 3 colunas (3x3),

sendo estas linhas os co-senos directores de cada eixo local (x,yez), referidos a cada grupo9

de deslocamentos do extremo em causa (iouj).

Este autor [1,2] selecciona uma matriz de rotao em que impe a caracterstica de o

eixo local yser sempre perpendicular ao eixo geral Z, tendo esta a deduo completa que a

9 Esta diviso da numerao da matriz de rotao no obrigatria, mas torna-se vantajosa por ser bastantetransparente e estar, forosamente, ligada numerao imposta pela eleio dos eixos locais da barra.


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29

seguir se apresenta [1].

Sabemos que os co-senos directores do eixo local x so os mesmos do prprio eixo

longitudinal da barra:x= {L,M,N}.Fixando, conforme se tinha dito, os co-senos directores do eixo local y como

perpendiculares aos eixosxeZ, surge:

i j k -M/D

y = Z ^ x = 1/D 0 0 1 = L/D

L M N 0

em que: D = (L2+ M2)1/2.

Mantendo as necessrias condies de ortogonalidade, resultam os seguintes co-senos

directores do eixo localz:

i j k -LN/D

z = x ^ y = 1/D L M N = -MN/D

-M L 0 D

Ficando a submatriz de transformao de um vector do sistema de eixos local para o

geral com o seguinte aspecto final:

Cxx Cxy Cxz L M N

[T0] = Cyx Cyy Cyz = LM/D -D MN/D

Czx Czy Czz N/D 0 -L/D

No caso do eixo localxser paralelo ao eixo geral Zo eixo local y indeterminado, j

que L e M so nulos, pelo que se sugere convencionar este como paralelo ao eixo geral Y,

podendo tomar a matriz de transformao uma das duas seguintes expresses (outra qualquer

admissvel):


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30

0 0 1 0 0 -1

[T0] = 0 1 0 (ou) = 0 -1 0

-1 0 0 -1 0 0

Julgo no ser muito feliz a escolha do eixo geral Zpara servir de referencial de partida

identificao dos eixos locais de barra. Isto porque desta forma ela pode tomar posies que,

embora sempre determinveis atravs da leitura e interpretao da matriz de transformao,

no so muito fceis de visualizar quando a barra no toma uma posio paralela a um dos

eixos gerais. Na realidade, nestes casos, excepto o eixo local xque sempre colinear com o

prprio eixo da barra, os restantes eixos locais que so perpendiculares mesma (y e z)

assumem posies muito pouco convenientes para a anlise das seces (os eixos locaisyez

podem tomar qualquer posio dentro dos 360 do crculo trignomtrico).

Assim, prope-se uma alterao que consiste em ser o eixo localzsempre perpendicular

ao eixo geral Y. Tal modificao torna imediata a identificao dos eixos locais dos elementos

(com a excepo nica do caso da barra ser perfeitamente vertical, condio na qual se fixa o

eixo localzparalelo ao eixo geralX- ressalva semelhante que tnhamos na situao anterior

quando a barra era paralela ao eixo geralZ).

As alteraes em relao deduo apresentada anteriormente, reside no facto de aqui

ser o eixo local zsempre perpendicular ao eixo geral Y. Mantendo o eixo local xos seus co-

senos directores bem definidos (tambm x= {L,M,N}), temos a nova ligao vectorial assim

definida:

i j k -N/D

z = x ^ Y = 1/D L M N = 0

0 1 0 L/D

em que: D = (L2+ N2)1/2.

Mantendo, igualmente, as necessrias condies de ortogonalidade, redundam os

seguintes co-senos directores do eixo local y:


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31

i j k -ML/D

y = z ^ x = 1/D -N 0 L = D

L M N -MN/D

Ficando a matriz de transformao de um vector do sistema de eixos local para o geral

com o seguinte aspecto final:

L M N L M N

[T0] = -ML/D D -MN/D (ou) = ML/D -D MN/D-N/D 0 L/D N/D 0 -L/D

A segunda matriz corresponde primeira rodada de 180, o que pode no ser prefervel

j que o eixo localytoma sempre a posio descendente em vez de ascendente (no entanto,

qualquer das solues torna este eixo muito clara e universalmente definido no espao).

No caso do eixo localxser paralelo ao eixo geral Yo eixo localz indeterminado, j

que L e N so nulos, pelo que se sugere adoptar uma das duas seguintes matrizes (que tem em

considerao a orientao dos ns da barra ascendente ou descendente):

0 0 M 0 0 -M

[T0] = 0 -M 0 (ou) = 0 M 0

-1 0 0 -1 0 0

Esta formulao da matriz de transformao de eixos gerais para locais eficiente

quando no h necessidade de actualizao de coordenadas, pois, em caso contrrio, as

inerentes mudanas de posio (e sobretudo as de quadrante, repare-se na fig. 2.11 em que a

mudana do II para o IV quadrante, ou vice-versa, implica a inverso dos eixos locais x e z)

podem significar o comprometer da fiabilidade dos resultados.

Assim, apenas se mostraria consistente o uso desta matriz em certo nmero de casos,

ficando comprometida a generalidade pretendida no sendo de adoptar.


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y

x

y Y zx

z

III Quadrante Z

X

II Quadrante

IV Quadrante X

Z I Quadrante

Figura 2.11: Variao da posio dos eixos locais em funo da posio da barra (Alvarez modificada).

2.3.2. Matriz de Rotao por Yang & Kuo

Yang & Kuo no seu livro Theory & Analysis of Nonlinear Framed Sructures10

[46]apresenta uma, aparentemente, muito completa deduo do modo de tratar a problemtica dos

eixos locais e a transferncia das suas variveis para eixos gerais.

Esta abordagem bastante pertinente, j que tenta simular todas as alteraes que se

do ao nvel do elemento em todo o processo incremental e iterativo e deformao associada,

particularmente, quanto a prpria actualizao do ngulo dos eixos nos extremos de barra em

funo dos deslocamentos de rotao dos ns da estrutura que os materializam.

So, pelo autores, definidos trs tipo de eixos:Eixos do elemento (element axes): eixos actualizados11que se referem ao centro

da seco e so funo dos eixos nodais da seco (sua mdia, eventualmente,

corrigida).

10Esta obra cientfica talvez a mais completa em termos de actualidade no que anlise no linear geomtricade estruturas reticuladas se refere, pecando (como grande parte de toda a bibliografia) por no dar a devidaateno a pormenores e passos que so muitas vezes, indevidamente, desprezados na exposio das matrias,deixando os seus leitores em dvidas evitveis.11 Actualizados significa que acompanham a deformao do elemento, com actualizao de coordenadas emfuno dos deslocamentos lineares dos ns (x, y e z) e actualizao dos eixos locais em funo dos


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Figura 2.12: Eixos do elemento (element axes).

Eixos nodais da seco (nodal section axes): eixos actualizados nos extremos do

elemento referidos a coordenadas locais.

j

i

Figura 2.13: Eixos nodais da seco (nodal section axes).

Eixos de referncia dos ns (reference axes of nodes): eixos actualizados dos ns

referidos a coordenadas gerais.

Eixos de referncia do n

Eixos nodais da seco

N (genrico) k

Figura 2.14: Eixos de referncia dos ns (reference axes of nodes).

Uma deduo pormenorizada dos eixos do elemento, eixos nodais da seco e eixos de

deslocamentos angulares dos ns (x, y e z).


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referncia dos ns encontra-se entre as pginas 498 e 506 da referncia bibliogrfica [46],

fazendo-se apenas aqui a sntese das grandes linhas desta formulao:

Os eixos de referncia so a posio actualizada dos ns em termos de coordenadasgerais, com simultnea correco de eixos arbitrados e inicialmente paralelos aos

eixos gerais X, Y e Z, que, nesta posio espacial, vo vendo a sua posio

acompanhar as rotaes e translaes desses ns ao longo do clculo em funo dos

deslocamentos.

Os eixos nodais da seco (ou simplesmente eixos da seco), so os eixos

actualizados dos extremos i e j da seco em coordenadas locais (x, y e z). Estes

eixos que eram paralelos entre si no incio do clculo (fig.2.13, extremos i e j dabarra), perdem tal propriedade ao longo do processo, j que o seu deslocamento

independente. No entanto, e se as condies de fronteira forem de continuidade, a

relao entre estes eixos de seco e os eixos de referncia permanece inaltervel

porque actualizao de uns corresponde a actualizao dos outros (sendo essa

relao a matriz de transformao inicial no deformada).

Os eixos do elemento so aqueles com que se pretende representar o comportamento

global da seco, referindo-se ao seu centro e obtidos custa da mdia corrigida12

dos eixos locais dos ns extremos da seco (eixos nodais da seco ou,

simplesmente, eixos da seco).

Em termos prticos, s existe de facto a cada momento uma matriz de rotao do

elemento (construda, como se viu, atravs dos eixos dos ns extremos em coordenadas locais

desse mesmo elemento), reduzindo-se o impacto e a profundidade em termos da actualizao

total de geometria que almejava obter-se, j que estamos em presena de uma geometria

deformada mdia.Contudo, tal procedimento compreensvel, dado que so previsveis graves

dificuldades numricas no tratamento de um sistema estrutural com barras que dispe de

matrizes de transformao com eixos extremos desfasados entre si (nomeadamente, ao nvel

de obteno dos esforos de extremos de barra que esto relacionados, directamente, com

deslocamentos em eixos locais de ambos os extremos da barra pela sua matriz de rigidez ou

12Corrigida porque o estabelecimento simples da mdia entre eixos do mesmo tipo pode retirar a ortogonalidadeentre eixos locais, o que preciso garantir rectificando se necessrio.


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tangente).

Este trabalho no prossegue por essa via, sendo, contudo, uma porta aberta para

eventuais futuros desenvolvimentos.

2.3.3. Matriz de Rotao por Argyris & Petyt

Outra formulao muito interessante e extremamente funcional (com umas pequenas

modificaes) apresentada por Ross [43], embora a sua autoria seja atribuda a Argyris e

Petyt.

Consiste esta na criao de um sistema de eixos baseado num plano triangular formadopelos ns extremos do elemento e um outro n definido para o efeito. Desta forma, poder-se-

ia estabelecer a posio de um dos dois eixos locais normais seco e a partir deste e do eixo

colinear com o prprio eixo da seco seria imediata a obteno do restante13.

A dificuldade do que nos proposto reside na necessidade da existncia desse terceiro

n (que, embora este no contribua para a cativao de memria na montagem da matriz de

rigidez, ter de existir com as suas coordenadas em memria aleatria ou suporte magntico,

consumindo sempre espao e tempo de clculo).

Ilustra-se uma imagem desta formulao, encontrando-se o assunto tratado com detalhe

na referncia bibliogrfica citada.

N k yj

Y yi xj

N j

Z N i zj

X zi

Figura 2.15: Eixos locais de barra por Argyris e Petyt.

Para ultrapassar esta pesada desvantagem que obriga a nomear mais um n por barra14,

13 Tanto nesta como em todas as formulaes, trata-se de um produto vectorial entre eixos ortogonais,respeitando a regra do dedo polegar.14Como indicado por Ross, no absolutamente indispensvel fornecer um novo n para tal desgnio e muito

menos um por cada barra, servindo um n j existente num extremo de outra barra. A questo que tal soluo,alm de implicar sempre o trabalho de designar este terceiro n para uma anlise linear, seria impraticvel na


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de forma directa ou automtica, aqui proposto o seguinte artifcio:

a) Para barras que representem vigas ou cabos simulado um n virtual com base

nos dois existentes nos seus extremos, tendo este como coordenadas em X,Ze Yas mdias das coordenadas correspondentes destes ltimos, havendo que em Ya

esta mdia somar uma unidade. Desta forma, fica o eixo local y sempre com

sentido ascendente e inserido num plano vertical normal ao realizado pelos eixos

geraisXeZ.

y

Y

zZ

X x

Figura 2.16: Eixos locais de barra por Argyris e Petyt (adaptados para viga).

Para barras que representem pilares tambm simulado um n virtual com base

nos dois existentes nos seus extremos, tendo este como coordenadas em X,Ze Yas mdias das coordenadas correspondentes destes ltimos, havendo que em Za

esta mdia subtrair uma unidade. Desta forma fica o eixo local z sempre com

sentido contrrio ao eixo geral Ze inserido num plano normal ao plano realizado

pelo eixos geraisXe Y.

x

z y

Y

Z

X

Figura 2.17: Eixos locais de barra por Argyris e Petyt (adaptados para pilar).

no linearidade geomtrica, j que com a actualizao de coordenadas tal escolha perderia qualquer sentido.


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Assim, consegue-se uma definio clara e simples dos eixos locais, sem qualquer

necessidade de existncia formal de um terceiro n, j que o clculo das coordenadas do

mesmo feito atravs dos dois que materializam os extremos da barra.

2.3.4. Comparao entre Matrizes de Rotao

Apresenta-se, seguidamente, aquilo que se pretende como uma smula das formulaes

seleccionadas em quadro comparativo.

Pelo que se vai expor e atendendo sua generalidade e facilidade de uso, julgamos ser

de adoptar a matriz de transformao preconizada por Argyris e Petyt, recorrendo,

simultaneamente, habilidade que se apresentou.

QUADRO 2.1

Sem actualizao

De Coordenadas

Com Actualizao

de Coordenadas

Facilidade de

aplicao

Alvarez [1] No recomendvel No recomendvel Muito fcilAlvarez (modificada) Recomendvel No recomendvel Muito fcil

Yang & Kuo [46] Recomendvel Recomendvel Difcil

Argyris & Petyt [49] Recomendvel Recomendvel Muito difcil

Argyris (modificada) Recomendvel Recomendvel Fcil

Outras dedues existem para matrizes de transformao, no entanto, pensa-se que as

aqui discutidas so representativas desse universo15.

2.4. Matriz Tangente

A diferena entre matriz de rigidez linear e matriz de rigidez tangente (ou matriz

tangente16) reside, basicamente, no facto desta ltima incluir o estado de tenso do elemento

15Outras formulaes: [14,28,36].16Matriz tangente em substituio de matriz de rigidez tangente apenas uma simplificao de linguagem, uma


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relativo ao momento em que foi calculada, com a correspondente diminuio ou aumento de

rigidez do mesmo (habitualmente, conforme este esteja sob compresso ou sob traco). O

nome de tangente advm do facto desta formulao, para uma representao unidimensional,poder ser em cada momento descrita, em termos de relao instantnea carga-deslocamento,

pela tangente aos pontos desta curva no processo de anlise no linear em curso.

Existem duas formas principais de representar esta matriz: uma baseada em funes

matemticas que multiplicam os elementos da matriz de rigidez linear, outra atravs da soma

de novas matrizes de rigidez linear.

D-se o nome de funes de estabilidadea esses termos que afectam os elementos da

matriz de rigidez linear e de matriz geomtrica quando se trata de uma soma de outrasmatrizes a essa17.

As matrizes tangentes que vo ser apresentadas surgem associadas com uma data e um

responsvel em termos bibliogrficos, o que no implica que quem o divulga seja o seu autor.

Por outro lado, a sua deduo pode ter sido efectuada para o plano, constituindo a sua

generalizao para o espao uma liberdade aqui tomada e de discutvel legitimidade. Todavia,

e sem prejuzo da ressalva traduzida no perodo anterior, julga-se que as reservas quanto ao

abuso desta extenso, s sero mais significativas no que ao grau de liberdade relativo toro se refere. Ora, para alm de tal grau de liberdade ser, vulgarmente, nulo para a maioria

das formulaes espaciais, da sua omisso nunca resulta perigo para o equilbrio da soluo,

ou seja: na situao mais desfavorvel estamos na presena de uma formulao menos

completa, mas nunca errada. Pelas mesma razes, julga-se ser tal raciocnio correcto para

outros termos, normalmente, nulos na correspondente posio da matriz de rigidez linear.

A maior parte das formulaes que vo ser estudadas tero as suas matrizes tangentes

apresentadas no anexo I, quer estas sejam formadas atravs de funes de estabilidade ou porcombinao da matriz de rigidez linear com matrizes geomtricas e outras matrizes suas

complementares.

forma abreviada de designao.17Como veremos, formulaes existem que somam ainda outro tipo de matrizes ao conjunto da matriz de rigidezlinear e matriz geomtrica.


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2.4.1. Matriz Tangente com base em Funes de Estabilidade

Ser esta a forma mais econmica de estabelecer a matriz tangente de uma barra,

dado necessitarmos apenas de uma s matriz para o efeito. Refira-se, contudo, que essa

vantagem pode ser aparente, pois, formulaes deste tipo h cujas funes multiplicadoras

dos termos lineares so complicadas, suficientemente, para se tornarem pouco ou nada

competitivas em termos de tempo de processamento computacional face soluo homloga

da matriz geomtrica.

No sentido de se tentar traduzir a ideia original dos autores em relao aos seus

prprios trabalhos, mas fugindo de uma reposio fiel e prolongada, a sua forma de

apresentao tentar orientar-se pela seguinte postura:

1. Ser sumria e descritiva, mas conservando as designaes data adoptadas, os

seus fundamentos tericos, o alegado desempenho dessa formulao e sua

valorizao;

2. Observaes pontuais sero permitidas, mas sendo sempre perceptvel

pertencerem a terceiros;

3. A anlise e comparao destas formulaes ser efectuada na parte final deste

captulo.

Estas observaes aplicam-se ao subcaptulo 2.4.2.(matriz tangente com base em

matriz geomtrica).

2.4.1.1. Chu & Rampetsreiter, 1972

Este trabalho [14] visa um estudo das estruturas que sob um crescimento de carga

sofrem mudana significativa de geometria e em que a estrutura, embora mantenha um

comportamento material elstico, exibe uma relao no linear entre carga e deslocamento.

Os seus autores afirmavam que, em geral, h dois tipos bsicos de aproximaes, sendo

a mais comum aquela que se baseia num mtodo incremental de aplicao da carga no qual o

carregamento aplicado por pequenas parcelas e a correspondente posio deformada

obtida atravs da matriz tangente ou do mtodo de Newton-Rapshon. Na segunda

aproximao, a que do a designao traduzida de mtodo da carga constante, pretende-se


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manter o nvel do carregamento estvel e, em estado deformado da estrutura, balancear as

foras internas com as externas, sendo ento novo carregamento adicionado e repetindo-se o

processo descrito. Exposto desta maneira, parece que o primeiro mtodo consiste numprocesso exclusivamente incremental ou iterativo e o segundo numa sequncia incremental e

iterativa simultnea.

Em relao a uma formulao trivial de anlise no linear geomtrica, em que apenas os

esforos axiais contribuem para os efeitos de 2 ordem, estes autores acrescentam a aco da

flexo por toro (flexural torsional coupling18), sendo o efeito do encurtamento das barras

por momento flector negligenciado19.

A encurvadura global de estruturas simtricas carregadas simetricamente tambm aflorada, sendo expresso que uma estrutura nestas condies pode ter uma configurao de

colapso assimtrica20. exposto um critrio de previso no sentido de prognosticar qual

destas formas de colapso ter lugar.

Assume-se que os ns das barras so suficientemente rgidos para que fenmenos como

os de empenamento no possam ter lugar.

Na matriz de rigidez tangente utilizada neste trabalho, e que se trouxe a esta discusso,

a maioria dos coeficientes das funes de forma devem-se, segundo estes autores, aJ.D.Renton em Stability of Space Frames by Computer Analysis, Journal of the Structural

Division, ASCE, Agosto 1962, pginas 81 a 103.

A sua apresentao faz-se em anexo, observando-se que para pequenos21 valores de

18Julga-se que significar o momento flector que poder ser induzido, por exemplo, numa barra de seco abertasujeita a toro.19 atribuda prova desta ilao a Connor & Chan em Non-linear Analysis of Elastic Framed Structures,

Journal of the Structural Division, ASCE, Junho 1968, pgs 1525-154720Este facto particular, que vai ser abordado de forma superficial em captulo prprio, no invalida que umaestrutura nestas condies tenha tantos modos de encurvadura idnticos (e cargas crticas correspondentestambm semelhantes), em direces diferentes, quanto os planos de simetria. Sendo isto intuitivo, j que nofaria sentido que uma estrutura simtrica carregada simetricamente tivesse uma direco privilegiada demovimento face s restantes suas equivalentes, quando a energia necessria para realizar esse trabalho s podeser a mesma para todas as direces de simetria.

Convm esclarecer que ao falar de colapso no se quer aqui invalidar a hiptese de a estrutura conseguirainda vir a encontrar uma posio eventual de equilbrio. Simplesmente, ocorrncia de uma brusca variao degeometria corresponde, presumivelmente, a impossibilidade da sua manuteno em servio.21No original encontra-se esta designao de small values, sem qualquer quantificao ou sequer qualificaodo seu intervalo. Aps a aplicao em pequenos exemplos, estabeleceu-se um valor de 0,9 para essa fronteira,sendo apenas um nmero de carcter emprico e restrito aos casos examinados, sem qualquer fundamento

cientfico. De qualquer forma, o uso dessas funes de Livesley parece ser de carcter geral, pelo que a suaaplicao permanente para qualquer valor poder ser uma opo final para ultrapassar esta impreciso.


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Uy*Lou de Uq*L,h necessidade de substituir as expresses originais por aproximaes em

desenvolvimentos de sries matemticas (de Livesley).

Por outro lado, a aplicao do factor redutor 1+P*x0*x0/(G*It-P*r0*r0)22 apenas seaplica ao eixo localz, o que faz supor que esta formulao s valida para seces com pelo

menos um eixo de simetria. Ou seja: o bambeamento, enquanto fenmeno provocado por

cargas directas nas barras, negligenciado, mas procura-se contabilizar a flexo induzida por

toro de seces assimtricas.

2.4.1.2. Jos Espada, 1975

Jos Espada classifica os casos mais usuais que podem exigir uma anlise em regime

no linear do seguinte modo:

O comportamento no linear provm da alterao da geometria da estrutura por

uma das seguintes causas:

a estrutura pouco deformvel, mas as foras axiais so muito elevadas;

a estrutura muito deformvel;

O comportamento no linear da estrutura devido natureza do material.O estudo que foi apresentado aplica-se apenas no caso das estruturas pouco

deformveis, mas com importantes foras axiais. A deduo das funes de estabilidade que

se seguem encontra-se comentada em [21], incluindo-se apenas os aspectos essncias no

anexo I.

Pelos breves comentrios que o autor dedica (Captulo 12 do seu livro) ao estudo de

estruturas que sofram grandes deformaes, fica a ideia que este o considera como passvel de

ser efectuado com esta formulao, desde que se limitem os incrementos de deslocamentos ese realize uma actualizao de geometria23.

2.4.1.3. El-Metwally & Chen, 1987

Este trabalho [20] que foi desenvolvido para estruturas de beto armado pretende ser

22O significado das variveis que compe esta expresso, e no caso de outras em que tambm paream existir

omisses, encontra-se explcito nos anexos citados.23Como se ver, a actualizao de geometria o principal requisito e atributo para se poder classificar uma


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uma proposta bastante completa para prticos planos, j que considera trs tipos de anlise

distintas: no linear geomtrica, no linear material e extremos de barra flexveis (adequado

simulao de ligaes semi-rgidas e flexveis).Dado o mbito desta tese vamo-nos limitar ao primeiro caso.

El-Metwally & Chen dividem a abordagem da temtica da anlise no linear

geomtrica, entrando no domnio dos grandes deslocamentos, em trs campos:

1. Efeito P-ao nvel dos elementos;

2. Efeito P-ao nvel da estabilidade global da estrutura;

3. A deformao axial dos membros devido s deformaes geomtricas induzidas.

Passamos a uma breve descrio destes tens, no que mais importa para a caracterizaodeste trabalho.

O efeito P-ao nvel dos elementos

Este efeito contabilizado com o recurso a funes de estabilidade24.

A formulao apresentada derivada para o plano, o que numa transposio para o caso

espacial gera a matriz que em apenso se atribui a estes autores.

Como se poder a observar as funes de estabilidade variam com o sinal do esforo

axial, o que familiar a qualquer formulao baseada nas mesmas.O efeito P-ao nvel da estabilidade global da estrutura

Este efeito considerado com a actualizao de coordenadas dos ns em cada iterao,

reflectindo a interaco entre as cargas e os deslocamentos da estrutura. Uma vez que o

equilbrio dos elementos, e por isso a matriz tangente, funo dos deslocamentos correntes

dos ns, esta deve ser desenvolvida com respeito sua posio deslocada.

A deformao axial dos membros devido s deformaes geomtricas induzidas

Qualquer mudana na geometria lateral de uma barra causa uma mudana nas suasdimenses, ou seja, provoca deformaes geomtricas. Estas so significativas quando

existem foras laterais ou elevados esforos axiais. Estes autores contabilizam o encurtamento

de uma barra devido aos deslocamentos laterais da mesma atravs da expresso:

formulao como apta a lidar com grandes deslocamentos.24Funes de rigidez numa traduo literal do original (stiffness functions).

[ ]=L

0

2 dx(x)W'1/2


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Em que W(x) e W(x) so a flecha e a rotao de uma seco distncia xdo extremo

da barra. No caso de no existir qualquer mudana de geometria, excepto na direco do eixo

da barra, surge =0, vindo a deformao da barra na sua forma habitual:dx = PL/(EA).

Se 0, a deformao axial total dx-, podendo este efeito ser equivalentemente

simulado pela subtraco da expresso P = [ EA/L] s foras de extremidade de barra

quando se pretende calcular as tenses em qualquer seco.

Este efeito no foi incorporado no presente estudo.

2.4.1.4. Ekhande & Selvappalam, 1989

O objecto deste artigo [19] o estudo da interaco entre o esforo axial e os momentos

flectores em vigas-coluna, desenvolvendo, explicitamente, uma formulao espacial d

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Análise Não Linear de Estruturas