22
3 Análise numérica de problemas a poroelasticidade 3.1 Introdução Qualquer tipo de escavação em uma rocha leva a um descarregamento das tensões pré-existentes, quer seja a abertura de túneis, shafts para minas, poços e outros. Na exploração de poços, a variação da pressão do fluído que preenche os poros da rocha, interage com o campo de tensões, à medida que a poropressão varia ao redor do poço contribuindo de modo significativo no comportamento mecânico.O interesse deste trabalho é associar os mecanismos de ruptura decorrentes da alteração do estado de tensões in situ ao redor de um poço de petróleo com processos de produção de areia. Esta dependência do processo difusivo e relação tensão-deformação levam à consideração do acoplamento fluido–mecânico no estudo da produção de areia. Neste capítulo descreve-se sucintamente o processo de acoplamento baseado na teoria poroelasticidade de Biot (1941). Além deste tópico, encontra-se uma discussão sobre a solução adotada pelo programa de elementos finitos ABAQUS e a validação de resultados obtidos pelo programa através da solução analítica proposta por (Detournay e Cheng, 1988). 3.2 Teoria da poroelasticidade de Biot O meio poroso descrito em sua teoria é elástico linear, isotrópico e considera os poros totalmente ocupados por um fluído.A síntese feita neste tópico basea - se no trabalho de Biot (1941). As equações governantes do problema poroelástico provêem das equações de equilíbrio, compatibilidade deformação–deslocamento, relação tensão- deformação da teoria da elasticidade e da lei de Darcy.

Análise Numérica de Problemas a Poroelasticidade

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FEM aplicado a poroelasticidade

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Page 1: Análise Numérica de Problemas a Poroelasticidade

3 Análise numérica de problemas a poroelasticidade

3.1 Introdução

Qualquer tipo de escavação em uma rocha leva a um descarregamento das

tensões pré-existentes, quer seja a abertura de túneis, shafts para minas, poços e

outros. Na exploração de poços, a variação da pressão do fluído que preenche os

poros da rocha, interage com o campo de tensões, à medida que a poropressão

varia ao redor do poço contribuindo de modo significativo no comportamento

mecânico.O interesse deste trabalho é associar os mecanismos de ruptura

decorrentes da alteração do estado de tensões in situ ao redor de um poço de

petróleo com processos de produção de areia.

Esta dependência do processo difusivo e relação tensão-deformação levam à

consideração do acoplamento fluido–mecânico no estudo da produção de areia.

Neste capítulo descreve-se sucintamente o processo de acoplamento baseado na

teoria poroelasticidade de Biot (1941). Além deste tópico, encontra-se uma

discussão sobre a solução adotada pelo programa de elementos finitos ABAQUS e

a validação de resultados obtidos pelo programa através da solução analítica

proposta por (Detournay e Cheng, 1988).

3.2 Teoria da poroelasticidade de Biot

O meio poroso descrito em sua teoria é elástico linear, isotrópico e

considera os poros totalmente ocupados por um fluído.A síntese feita neste tópico

basea - se no trabalho de Biot (1941).

As equações governantes do problema poroelástico provêem das equações

de equilíbrio, compatibilidade deformação–deslocamento, relação tensão-

deformação da teoria da elasticidade e da lei de Darcy.

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37

3.2.1 Equações de equilíbrio

Estas equações são as mesmas dadas pela teoria da elasticidade, entretanto

considera-se que a tensão normal (σ ) a um plano é constituída por duas parcelas,

uma representando a tensão no esqueleto sólido e outra a poropressão no fluído, f

é a força de massa.

0fij,ij =+σ (3.01)

Neste tipo de notação, índices repetidos significam soma e o sinal de vírgula

a derivada.

3.2.2 Relação deformação – deslocamento

Estabelecem uma função entre deformação e deslocamento.

( )i,jj,iij uu21

+=ε (3.02)

onde ε é a deformação e u representa o deslocamento.

3.2.3 Relação tensão – deformação

Biot inclui na sua formulação uma variável adicional para descrever a

quantidade de fluído que ocupa os vazios do meio poroso. Esta variável representa

o incremento de volume de fluido por unidade de volume de material e é

designada por variação do volume de fluído (θ ’), que está relacionada a poro-

pressão designada por p.

A relação entre deformação e tensão é expressa por:

H3p

D ijkl

1ijklij

δ+σ=ε − (3.03)

onde D e matriz constitutiva do esqueleto sólido, descrita pelas constantes

elásticas do módulo de cisalhamento (G), módulo de Young (E) e o coeficiente de

Poisson υ ; H é uma constante relacionada ao fluído e δ é o delta de Kronecker.

A parcela Hp

3 introduz a poropressão e é adicionada somente as tensões

normais por não produzir qualquer tensão cisalhante. Seu efeito é igual nas três

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38

componentes de deformação normal ao plano de referência devido à hipótese de

isotropia. A expressão (3.03) relaciona deformação à tensão e poropressão,

entretanto necessita-se de uma relação entre a variação do volume de fluído com a

tensão e a poropressão. Uma relação geral é dada por:

cpai += σθ ' (3.04)

sendo c e constantes, a σ o vetor de tensões e i um índice variando de 1 a 6.

Considerando novamente a hipótese de isotropia, uma mudança de sinais

na tensão cisalhante não deverá influenciar na variação do volume de fluído,

portanto as constantes que estão multiplicadas pelas tensões cisalhantes terão

valores nulos, o que permite reduzir o intervalo i de 1 a 3.

Biot desenvolve a expressão (3.04) na seguinte forma:

( ) pRH zyx1

31'

1+++= σσσθ (3.05)

Biot na sua formulação considera a existência de uma energia potencial, que

permite estabelecer a igualdade entre e (expressão 3.03). A partir de então

somente será referenciado. Expressando a tensão em função da deformação

através da expressão (3.03), obtêm-se:

1H H

H

pG ijkk

ijij αδν

νεεσ −

+=21

2 (3.06)

onde:

( )( ) H

Gυυα213

12−+

= (3.07)

Somando as três componentes de tensão normal que podem ser obtidas pela

expressão (3.06) e introduzindo essa soma na expressão (3.07), tem–se para a

expressão (3.05) a seguinte forma:

pkk Q

p+=αεθ ' (3.08)

onde

HRQp

α−=

11 (3.09)

As constantes elásticas presentes na expressão (3.03) estão relacionadas ao

esqueleto sólido. As constantes relacionadas ao fluído, presentes nas expressões

(3.08) e (3.09) podem ser interpretadas através de um simples exemplo de uma

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amostra de solo envolvida por uma fina membrana, tal que as tensões aplicadas

sejam desprezíveis. Introduzindo um pequeno tubo que acompanhará a membrana

e submetendo uma poropressão negativa p, uma certa quantidade de água é

drenada. Pela expressão (3.05) tem-se:

pR1' −=θ (3.10)

Somando as três componentes normais de deformação dadas pela expressão

(3.03), a deformação volumétrica é dada por:

Hp

kk −=ε (3.11)

Logo, as constantes H1 e

R1 representam respectivamente a

compressibilidade do solo para uma variação na poropressão e a mudança no

volume de água para uma dada mudança de poropressão.

3.2.4 Equações governantes

O acoplamento fluído-mecânico é um processo transiente, procede-se a

seguir a caracterização das expressões descritas anteriormente como função do

tempo.

As tensões dadas na expressão (3.06) devem satisfazer a equação de

equilíbrio (3.01), utilizando a relação deformação-deslocamento (3.02) tem-se:

021

2 =∂∂

−∂∂

−+∇

ii

kki x

px

GuG αε

υ (3.12)

A expressão 3.12 descreve o comportamento mecânico do meio poroso,

observa-se a semelhança com a equação de Navier estudada na elasticidade.

Entretanto, ainda é necessária uma relação para o comportamento difusivo, esta

relação será obtida do balanço de massa. Considerando-se que um fluído

incompressível atravesse um cubo de dimensões infinitesimais, a taxa de fluído

que atravessa uma área unitária em um tempo t deverá ser igual à variação de

volume de fluido no cubo no mesmo tempo t.

O volume de fluído que atravessa o cubo é dado pela lei de Darcy

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40

ii x

pkV∂∂

−= (3.13)

tem-se:

ii

ii

xV

t ∂∂

−=∂∂ 'θ (3.14)

Substituindo a expressão (3.13) e (3.14) em (3.08) obtêm-se:

tp

Qtpk

p

kk

∂∂

+∂∂

=∇12 ε

α (3.15)

As equações (3.12) e (3.15) formam o conjunto de equações governantes da

poroelasticidade. Apesar da formulação proposta por Biot explicar fenômenos da

área geomecânica como a subsidência devido à drenagem de um fluído ou a

ruptura por tração induzida pela pressurização de um poço, ela apresenta o

inconveniente de seus parâmetros não permitirem uma fácil interpretação física.

Rice e Cleary (1976) colocaram a formulação de Biot em função de parâmetros

usuais da mecânica dos solos e das rochas. Uma descrição mais aprofundada desta

formulação e outros trabalhos como o de Risnes (1992) é feita por Ferreira (1996).

3.2.5 Análise de problemas de poroelasticidade pelo programa ABAQUS

A complexidade das equações governantes da poroelasticidade torna a

geração de soluções analíticas uma tarefa difícil. A técnica numérica é então o

meio mais apropriado para a obtenção de resultados. O programa ABAQUS foi

selecionado pela sua potencialidade em resolver problemas diversos de

engenharia, no presente caso, o acoplamento fluido-mecânico.

O acoplamento fluído–mecânico como visto, consiste na solução de um

sistema de equações diferenciais de equilíbrio e balanço de massa de um meio

poroso. De acordo com o manual do usuário (ABAQUS - Theory Manual), o meio

poroso é considerado no programa como um meio multi-fásico constituído por

matéria sólida e seus vazios preenchidos por um líquido e um gás. As equações de

equilíbrio e continuidade discretizadas são solucionadas através do método de

Newton.

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41

A condição de equilíbrio é expressa pelo princípio do trabalho virtual para

um determinado volume em um tempo t qualquer como:

( )∫ ∫ ∫∫ ⋅++⋅+⋅=v S V vwtV vvs dVgnsndVfdSTdV δρδδδεσ ': (3.16)

sendo:

:vδ campo de velocidade virtual

:εδ taxa de deformação virtual

:sT força de superfície

:f força de massa

:σ tensão

:wρ massa específica do fluído

:g aceleração da gravidade

:n t volume de fluído absorvido pelo meio poroso por unidade de volume

:'n porosidade do meio

s: saturação

A parcela referente à absorção fluído pelo sólido não será considerada neste

trabalho. O balanço de massa é obtido da mesma forma do item 3.2.4, entretanto o

fluxo é regido pela lei de Forchheimer, que é dada por:

( )x

kvvvsn www ∂∂

−=+φβ

^1' (3.17)

onde:

:vw velocidade média do fluido em relação à parte sólida (velocidade de

percolação)

:β coeficiente de velocidade

:k^

permeabilidade do meio poroso

:φ carga piezométrica

Nota-se que se a velocidade do fluído for baixa a lei de Forchheimer se

reduz à lei de Darcy, a mesma condição ocorre se o coeficiente de velocidade for

nulo. Assim, o balanço de massa usando a lei de Forchheimer é:

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42

( ) ( )

( )∫

∫ =∆+

−∂∂

∂∂

+∆

+

+−+

V

S ww

ww

www

www

s

tt

w

wt

w

ww

dSvnsnut

dV

gx

uk

xu

vvgk

t

nsnJJ

nsnu

1

0'

1

'1'

1

_

0

0

00

ρρ

δ

ρδ

βρ

ρρ

ρρ

δ

(3.18)

sendo:

:u wδ campo variacional relacionado a poro-pressão

:0wρ massa específica em uma configuração de referência

0dVdVJ = : taxa de volume do meio da sua configuração corrente para a

configuração de referência

:t∆ incremento de tempo

:k s função em termo de saturação que introduz uma dependência da

permeabilidade em função da saturação

( ) :,exk permeabilidade em função da coordenada espacial e do índice de

vazios.

:n_

vetor unitário normal à superfície S1

Na equação (3.18) a permeabilidade k ficou definida pelo produto da

função por , onde para um meio saturado é igual a 1. Segundo o manual

de teoria do ABAQUS as equações governantes do processo difusão de fluído e

deformação são:

^

sk k sk

equação de equilíbrio: FpLuK =+ ''

equação de fluxo: ''' QpHdtduB =+

onde K é a matriz de rigidez, 'H é matriz de fluxo, e 'L 'B são matrizes

permitem o acoplamento.

Existem dois tipos de aproximação para resolver este sistema de equações.

Uma aproximação seria solucionar primeiro um conjunto de equações, depois com

o resultado da primeira equação resolver a segunda. Com o resultado da segunda

equação retorna-se para a primeira e verifica-se a variação de resultados. Se a

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variação é mínima, a solução por este processo iterativo termina. Caso contrário, o

processo iterativo continua até que a variação de resultados seja mínima. O

segundo tipo de solução é resolver as duas equações ao mesmo tempo, este modo

é o adotado pelo programa ABAQUS. A validação do programa é feita no

próximo tópico.

3.2.6 Exemplos de validação

A validação do programa ABAQUS será feita com dois exemplos. O

primeiro se refere a uma coluna poroelástica e o segundo a um poço vertical

submetido a um estado de tensões não hidrostático.

3.2.6.1 Adensamento unidimensional

A situação em questão é a de um horizonte de solo de espessura L

repousando sobre uma camada rígida e impermeável, cuja superfície sofre a

aplicação de um carregamento sob condições drenadas. As condições de contorno

são e p = 0 em x = 0, para x = L tem-se )(* tHpxx −=σ 0=xu e 0=∂∂

xp .

Desde que o carregamento seja constante, a solução para este problema recai

na equação de difusão.

02

2=

∂∂

−∂∂

xpc

tp (3.19)

onde c é o coeficiente de difusividade, dado por

( )( )( ) ( )u

u

vvvvvkG

c−−

−−=

12112

22α (3.20)

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44

Figura 3.01 – Esquema da coluna poroelástica

k é a permeabilidade, G módulo de cisalhamento, coeficiente de Poisson não

drenado, coeficiente de Poisson e

uv

v α é o coeficiente de Biot, definido aqui como

função do módulo volumétrico do esqueleto sólido ( )K e dos grãos ( )sK .

sKK

−= 1α (3.21)

A solução analítica para o caso da coluna poroelástica é dada por Detournay

e Cheng (1993). A poropressão e o deslocamento são dados em função das

variáveis adimensionais x’ e t’. A expressão do excesso de poropressão é dada

pela expressão (3.22).

( )','(1* txFGSpp −=

η (3.22)

onde:

Lxx =' (3.23)

24'

Lctt = (3.24)

( )∑∞

=

−=

,..3,1

22 'exp2

'sen41)','(m

tmxmm

txF πππ

(3.25)

( )vv

−−

=12

21αη (3.26)

u

u

vv

GBS

+−

=113' η (3.27)

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45

( )( ) KKK

Bf

f

φαφαα

+−−=

1 (3.28)

sendo módulo volumétrico do fluído, fK φ a porosidade, B o coeficiente de

Skempton e p* o carregamento. A expressão para o deslocamento é dada por

uuu uxx ∆+= (3.29)

sendo:

( )( ) ( )'112

21*x

vGvLp

uu

uux −

−−

= (3.30)

( )( )( ) ( )','

112*

2 txFvvGvvLp

uu

ux −−

−=∆ (3.31)

( )[ ]∑∞

=

−−

=

,...3,1

22222 'exp1

2cos8

mtmxm

mF ππ

π (3.32)

onde é o deslocamento inicial elástico na condição não- drenada e é o

incremento de deslocamento dependente do tempo.

uxu xu∆

Apresenta-se a seguir a comparação de resultados da simulação numérica

com a solução analítica para o arenito de Berea, considerando a situação dos

materiais constituintes serem incompressíveis ou não. Esta condição é

caracterizada pelo coeficiente de Biot ( )α , que para a situação incompressível

assume o valor unitário. O carregamento p é igual a 1 MPa e os parâmetros

referentes ao material são listados na tabela 3.01. G 6000 MPa

υ 0.20

uυ 0.33

B 0.62

c 1.6 m2/s η 0.30

α 0.79

sK 36000 MPa

fK 3300 MPa

'n 0.19

k 1.9 x 102 mD

Tabela 3.01 – Parâmetros poroelásticos do arenito de Berea (Detournay e Cheng, 1993).

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46

Por uma imposição do programa de elementos finitos, a reposta da pressão

de fluido é definida em excesso de poropressão. A comparação da resposta

analítica e numérica será feita obedecendo à convenção do programa.

4.00E-04

4.50E-04

5.00E-04

5.50E-04

6.00E-04

6.50E-04

0 100 200 300 400 500 600 700 800Tempo (s)

Des

loca

men

to (m

) Detournay e ChengAbaqus

Figura 3.02 – Deslocamento no topo da coluna com o tempo - 62.0=α

0.00E+00

1.00E-04

2.00E-04

3.00E-04

4.00E-04

5.00E-04

6.00E-04

7.00E-04

0 100 200 300 400 500 600 700 800Tempo (s)

Des

loca

men

to (m

)

Detournay e ChengAbaqus

Figura 3.03 – Deslocamento no topo da coluna com o tempo - 1=α

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Page 12: Análise Numérica de Problemas a Poroelasticidade

47

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

0 100 200 300 400 500 600 700 800Tempo (s)

Exce

sso

de p

orop

ress

ão (M

Pa)

Detournay e ChengAbaqus

Figura 3.04 – Excesso de poropressão na base da coluna com o tempo - 62.0=α

0.00

0.20

0.40

0.60

0.80

1.00

1.20

0 100 200 300 400 500 600 700 800Tempo (s)

Exce

sso

de p

oro-

pres

são

(MPa

)

Detournay e ChengAbaqus

Figura 3.05 - Excesso de poropressão na base da coluna com o tempo - 1=α

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Page 13: Análise Numérica de Problemas a Poroelasticidade

48

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

0.5

0.00 2.00 4.00 6.00 8.00 10.00 12.00Posição na coluna (m)

Exce

sso

de p

oro-

pres

são

(MPa

)

Detournay e ChengAbaqus

t = 507 s

t = 307 s

t = 107 s

t = 10 s

Figura 3.06 – Excesso de poropressão ao longo da coluna - 62.0=α

0.00

0.20

0.40

0.60

0.80

1.00

1.20

0.00 2.00 4.00 6.00 8.00 10.00 12.00Posição na coluna (m)

Exce

sso

de p

oro-

pres

são

(MPa

)

Detournay e Cheng

Abaqus

t = 527 s

t = 327 s

t = 127 s

t = 27 s

Figura 3.07 - Excesso de poropressão ao longo da coluna - 1=α

As figuras 3.02 e 3.03 mostram o deslocamento do topo da coluna com o

tempo, a resposta obtida pela simulação numérica possui boa concordância com a

solução analítica. É interessante notar também o deslocamento no início do

processo de adensamento, segundo a mecânica dos solos para constituintes

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Page 14: Análise Numérica de Problemas a Poroelasticidade

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incompressíveis ( 1= )α o processo de adensamento não produz qualquer

deslocamento (situação não – drenada), ao passo que para materiais compressíveis

( 62.0= )α isto não se verifica.

Em relação às figuras 3.04 e 3.05 a concordância entre os resultados se

repete. Como no caso do deslocamento há uma diferença de comportamento entre

materiais compressíveis ou não. De acordo com a teoria de Terzaghi (1923), para

a situação de materiais incompressíveis, no instante do carregamento o fluído

absorve toda a carga aplicada ao meio poroso, como consequência o excesso de

poropressão é igual ao carregamento. O resultado mostrado na figura 3.05 está de

acordo com a teoria. Entretanto, isto não ocorre quando os materiais são

compressíveis (figura 3.04), onde parte da carga é suportada pelo esqueleto sólido

no instante do carregamento, este fato se reflete no deslocamento do topo da

coluna poroelástica como citado anteriormente.

As figuras 3.06 e 3.07 mostram o excesso de poropressão ao longo da

coluna onde também houve boa concordância de resultados. Este exemplo mostra

que o programa ABAQUS possui uma boa capacidade em representar o

comportamento de materiais compressíveis ou não.

3.2.6.2 Poço vertical em um estado de tensões não hidrostático

Detournay e Cheng (1989) propuseram a solução analítica para a escavação

de um poço vertical em uma formação saturada sujeita a um estado de tensões não

hidrostático. A solução analítica para este problema é originada no campo de

Laplace, assumindo um estado de deformação plana no plano perpendicular ao

eixo do poço e escavação instantânea; a solução da transformada é feita

numericamente.

A figura (3.08) esquematiza o exemplo do poço, onde estão representadas as

tensões nas direções y ( yyσ ) e x ( xxσ ), tensão hidrostática na formação ( ),

tensão desviadora ( , pressão na formação ( ), raio de um ponto qualquer(r),

raio do poço(r

0P

)0S 0p

w) e o ângulo ( . )θ

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50

ooxx SP −=−σ

ooyy SP +=−σ

r

θ

wr

op

Figura 3.08 – Esquema de um poço em um meio poroelástico

A perfuração é simulada removendo no instante t = 0 as tensões atuantes na

parede do poço e impondo no poço um valor nulo de poropressão. O

carregamento foi dividido em três modos, uma parcela considerando a tensão

hidrostática in situ, a desviadora in situ e a poropressão atuante na formação. A

soma dos três efeitos com as tensões in situ reproduzem o efeito da perfuração.

3.2.6.2.1 Carregamento modo 1

Neste modo, o poço é submetido a um estado de tensão hidrostático. As

condições de contorno para este modo são:

01 Prr =σ (3.33)

01 =θσ r (3.34)

01 =p (3.35)

A solução para este modo é dada por:

2

2

0

1

rr

Pwrr −=

σ (3.36)

2

2

0

1

rr

Pw=θθσ

(3.37)

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Page 16: Análise Numérica de Problemas a Poroelasticidade

51

3.2.6.2.2 Carregamento modo 2

Neste modo é considerada apenas à ação da poropressão na formação. As

condições de contorno para este modo são:

02 =rrσ (3.38)

02 =θσ r (3.39)

02 pp = (3.40)

A solução é dada no campo de Laplace

( )( )βξ

0

0

0

~

KK

pps

−= (3.41)

( )( )

( )( )

−−=

βββ

ββξ

ησ

0

12

2

0

1

0

~

2KK

rr

KK

rr

ps wwrr (3.42)

( )( )

( )( )

( )( )

+−=

βξ

βββ

ββξ

ησθθ

0

0

0

12

2

0

1

0

~

2KK

KK

rr

KK

rr

ps ww (3.43)

O símbolo ~ representa a variável no campo de Laplace, é a função de

Bessel modificada de segundo tipo de ordem zero, é a função de Bessel

modificada de segundo tipo de ordem 1, s é a variável da função núcleo de

transformação, c é o coeficiente de difusividade definido anteriormente pela

expressão (3.20),

0K

1K

csr=ξ e

csrw=β .

3.2.6.2.3 Carregamento modo 3

O poço, neste modo, é submetido a um estado de tensão desviador. A

variável θ introduzida neste modo refere-se ao ângulo medido a partir do eixo x

no sentido anti – horário. As condições de contorno para este modo são:

)2cos(03 θσ Srr −= (3.44)

)2sen(03 θσ θ Sr = (3.45)

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52

03 =p (3.46)

A solução para o campo de tensão e poropressão é dada por

( )( )( )( ) ( ) ( )

( ) ( )θξ 2cos11

31911

2

2

221

22

0

~

−+

+−−

+−=

rr

CvvBKC

vvvvvB

SPs w

u

u

uu

u (3.47)

( )( ) ( ) ( ) ( )θξ

ξξ

ξ2cos3

1161

131

4

4

32

2

222110

~

−−

+

−+

=rr

Crr

Cv

KKCvvB

SSs ww

uu

urr (3.48)

( )( ) ( ) ( ) ( )θξ

ξξ

ξθθ 2cos3611

131

4

4

322110

~

+

++

−+

−=rr

CKKCvvB

SSs w

u

u (3.49)

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( θξ

ξξ

ξθ 2sen3

12131

1312

4

4

32

2

222110

~

−−

+

−+

=rr

Crr

Cv

KKCvvB

SSs ww

uu

ur ) (3.50)

onde:

( )( )( )( )12

1 1112

DDvBvvv

Cu

uu

−+−−

(3.51)

( )12

22

14DD

DvC u

−−

= (3.52)

( ) ( ) ( )( )12

2123

8DD

KvvDDC u

−−++

ββ (3.53)

( ) ( )β11 2 KvvD u −= (3.54)

( ) ( )ββ 22 1 KvD −= (3.55)

A técnica utilizada para a inversão das expressões no campo de Laplace será

exposta no próximo tópico.

Para verificar a capacidade do programa em simular este problema, simula-

se o exemplo de um poço vertical de raio 0.1 m submetido a um estado de tensão

de MPaxx 2=σ e MPayy 4=σ , com uma poropressão na formação de 1 . A

figura 3.09 mostra a malha utilizada na simulação, o contorno está situado a uma

distância de 50 vezes o raio do poço. O material utilizado é o arenito de Berea.

Por uma imposição do programa a tensão é colocada como efetiva, tal como no

caso da coluna poroelástica, obedece-se à convenção do programa. A convenção

de sinais adotada para esforços mecânicos neste trabalho será a mesma do

programa ABAQUS, onde o esforço de compressão é negativo.

MPa

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53

Figura 3.09 – malha de elementos finitos utilizada na simulação do poço.

0.00

0.20

0.40

0.60

0.80

1.00

1.20

0 10 20 30 40 50Raio adimensional

Poro

- pr

essã

o (M

Pa)

60

analítica

abaqus

t = 0.9

t = 12.9 sregime permanente

Figura 3.10 – Poropressão ao longo da direção 0=θ - 62.0=α

0.00

0.20

0.40

0.60

0.80

1.00

1.20

0 10 20 30 40 50Raio adimensional

Poro

- pr

essã

o (M

Pa)

60

analíticaabaqus

t = 0.8 s

t = 12.8 sregime permanente

Figura 3.11 – Poropressão ao longo da direção 0=θ - 1=α

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54

-12.00

-11.00

-10.00

-9.00

-8.00

-7.00

-6.00

-5.00

-4.00

-3.00

-2.000 10 20 30 40 50 6

Raio adimensional

σ θθ

(MPa

)

0

analíticaabaqus

t = 0.9 s

t = 12.9 s

regime

Figura 3.12 – Tensão tangencial ao longo da direção 0=θ - 62.0=α

-12.00

-11.00

-10.00

-9.00

-8.00

-7.00

-6.00

-5.00

-4.00

-3.00

-2.000 10 20 30 40 50

Raio adimensional

σ θθ (

MPa

)

60

analítica

abaqus

t = 0.8 s

t = 12.8 s

regime t

Figura 3.13 - – Tensão tangencial ao longo da direção 0=θ - 1=α

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55

-2.50

-2.00

-1.50

-1.00

-0.50

0.000 10 20 30 40 50 6

Raio adimensional

σ rr (

MPa

)

0

analíticaabaqus

t = 0.9 s

t = 12.8 s

regime permanente

Figura 3.14 - – Tensão radial ao longo da direção 0=θ - 62.0=α

-2.50

-2.00

-1.50

-1.00

-0.50

0.000 10 20 30 40 50 60

Raio adimensional

σ rr (

MPa

) analítica

abaqus

t = 0.8 s

t = 12.8 s

regime permanente

Figura 3.15 - Tensão radial ao longo da direção 0=θ - 1=α

Os resultados obtidos pela simulação numérica para a poropressão (figuras

3.10 e 3.11) mostram uma boa concordância com a solução analítica, mesmo para

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a região próxima ao poço onde o gradiente de poro-pressão é elevado. Porém, à

medida que se afasta do poço e para tempos maiores, o resultado dado pela

simulação numérica se afasta um pouco da analítica, isto pode ser em virtude da

condição de contorno colocada na simulação numérica não representar o infinito.

Uma solução para este problema seria aumentar mais a malha ou aplicar

elementos que representassem o meio infinito, mas esta opção não existe no

programa para o caso do acoplamento fluido mecânico. Simulações com malhas

cujo contorno estava a 10, 20, 30 e 50 vezes o raio do poço foram feitas.

Observou-se pouca variação de resultados para malhas com o contorno acima de

20 vezes o raio do poço.

A mesma observação da poropressão não é feita para as tensões (figuras

3.12, 3.13, 3.14 e 3.15), uma possível razão é que os resultados para a tensão

foram analisados nos pontos de integração do elementos, os quais não se

localizam na direção 0=θ como é feita para a solução analítica. Uma tentativa de

interpolar os resultados de tensão para os nós foi feita, entretanto o programa não

permitiu identificar a que nó um valor de tensão estava associado. Todavia, o

comportamento das curvas de tensão versus deformação são muito semelhantes às

obtidas pela solução analítica o que garante uma certa confiabilidade.

3.2.6.3 Solução para a inversa da transformada de Laplace

A inversa da transformada de Laplace tem sido amplamente estudada na

literatura e vários métodos de solução foram propostos para sua resolução, que

levam em conta a natureza mal condicionada da sua solução. A inversa da

transformada de Laplace é usada nas expressões analíticas dadas no item anterior,

o método selecionado para a inversão foi o de Stehfest (1970). Este método está

baseado na amostragem de dados de acordo com uma série de delta. A solução

aproximada no tempo é dada pela seguinte expressão

( )∑=

=

N

iia i

TPV

TF

1 ')2ln('

'2ln (3.56)

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( ) ∑+

=

+

−−−−−=

)2/,min(

21

2/2/

)!2()!()!1(!)!2/()!2(1'

Ni

ik

NiN

ikkikkkNkkVi (3.57)

onde:

Fa: valor aproximado da função real

' : é a variável da função real T

N: número de termos da série

P: é a função real no campo de Laplace, onde a variável da função núcleo de

transformação representada convencionalmente por s é igual a iT

)2ln( .

A expressão (3.57) difere daquela exposta no trabalho de Stehfest pelo

termo 2/NK no numerador, que substitui o termo 12/ +NK no trabalho original. É

importante notar também o valor que K assume na expressão (3.57). Como a

expressão (3.57) utiliza o fatorial, o domínio desta função exige que K seja

sempre um número inteiro. Portanto, K será aproximado para um valor inteiro,

quando i for igual a um numero par. Para que todos os termos participem do

somatório, K deverá ser truncado, do contrário erros surgirão durante a inversão

numérica.

O valor de N, número de termos da série, deverá assumir valores pares pelo

mesmo motivo do domínio da função, variando numa faixa entre 8 e 20.

Entretanto o uso de altos valores para N podem conduzir a erros na inversão. Um

pequeno teste variando o valor de N é recomendado, a fim de verificar a variação

dos resultados obtidos e na escolha do melhor valor de N.

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