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DISCIPLINA DE ESTRUTURAS METÁLICASAnálise Plástica de Estruturas

Francisco Virtuoso

2008/09

(Versão revista em Outubro de 2012)



Estruturas Metálicas – Análise plástica de estruturas – Francisco Virtuoso - 2012

i

INDÍCE

Nota introdutória. .............................................................................................................................................. ii 1. Esforço axial e flexão em regime elástico. Revisão dos conceitos fundamentais .............................. 1 2. Esforço axial e flexão em regime elasto-plástico. Revisão dos conceitos fundamentais .................. 4

2.1. Momento de cedência e momento plástico ......................................................................................... 4 2.2. Relações momentos-curvaturas .......................................................................................................... 9 2.3. Conceito de rótula plástica ................................................................................................................ 10 2.4. Análise elasto-plástica ....................................................................................................................... 13

3. Análise plástica limite .............................................................................................................................. 16 3.1. Introdução ......................................................................................................................................... 16 3.2. Mecanismos globais e locais. Mecanismos múltiplos ....................................................................... 16

3.2.1 Número de rótulas necessário para a formação de um mecanismo ....................................... 16 3.2.2 Mecanismos globais ou completos .......................................................................................... 17 3.2.3 Mecanismos locais ou parciais ................................................................................................ 18 3.2.4 Mecanismos múltiplos .............................................................................................................. 19

3.3. Teoremas da análise plástica limite .................................................................................................. 20 3.4. Exemplos de aplicação dos teoremas da análise plástica limite ....................................................... 25

3.4.1 Exemplos de cálculo plástico de vigas contínuas .................................................................... 25 3.4.2 Cálculo plástico de estruturas sujeitas a cargas distribuídas .................................................. 30 3.4.3 Exemplos de cálculo plástico de pórticos ................................................................................ 33 3.4.4 Consideração da interacção entre o esforço axial e o momento flector no cálculo plástico de

pórticos .................................................................................................................................... 38 3.5. Carregamentos paramétricos ............................................................................................................ 40 3.6. Conceito de redistribuição de esforços ............................................................................................. 45

4. Referências ............................................................................................................................................... 48 5. Bibliografia complementar ...................................................................................................................... 48




ii

NOTA INTRODUTÓRIA.

Este texto foi elaborado como texto de apoio ao ensino da análise plástica de estruturas

na disciplina de Estruturas Metálicas do MEC (Curso de Mestrado Integrado em

Engenharia Civil do Instituto Superior Técnico). A primeira versão do texto foi elaboradadurante os anos lectivos de 2007/08 e 2008/09, tendo o texto original sido revisto e

sofrido pequenas alterações nos anos lectivos subsequentes.

O principal objectivo deste texto é apresentar os princípios básicos da análise plástica

limite de estruturas. Embora o texto tenha sido elaborado no âmbito do funcionamento da

disciplina de Estruturas Metálicas salienta-se que as matérias abordadas não são de

aplicação exclusiva a estruturas metálicas. Antes pelo contrário, a análise plástica de

estruturas é um assunto transversal a toda a engenharia de estruturas, sendo aplicável

às estruturas metálicas, de betão armado, de madeira e de alvenaria, e também às

estruturas geotécnicas.

Embora seja apresentada uma revisão dos conceitos fundamentais relativamente á

plasticidade de secções e ao comportamento elasto-plástico de estruturas é importante

frisar que este texto foi elaborado no pressuposto que os leitores dominam o

comportamento plástico de secções, e a análise elástica e elasto-plástica de estruturas,

matérias que no actual curriculum do MEC/IST são leccionadas nas disciplinas de

Resistência de Materiais e de Análise de Estruturas I.

Finalmente uma palavra de agradecimento aos Professores Ricardo Vieira, Eduardo

Pereira e Luis Guerreiro pela preciosa colaboração na elaboração e revisão deste texto.




1

1. ESFORÇO AXIAL E FLEXÃO EM REGIME ELÁSTICO. REVISÃO DOS

CONCEITOS FUNDAMENTAIS

As diferentes teorias da flexão baseiam-se, em geral, na hipótese de conservação das

secções planas, vulgarmente designada por hipótese de Bernoulli. De acordo com estahipótese admite-se que as secções de uma viga, perpendiculares ao seu eixo antes de

este sofrer uma deformação, permanecem planas e perpendiculares ao eixo da peça

após a sua deformação.

Considere-se uma peça linear em que o seu eixo longitudinal coincide com o centro de

gravidade das secções transversais. De acordo com a hipótese de conservação das

secções planas é possível relacionar a extensão de uma fibra paralela ao eixo da peça

com o raio de curvatura associado à deformação daquele eixo. Considerem-se as duas

secções transversais representadas na figura 1, A-A’ e B-B’, afastadas entre si de um

comprimento infinitesimal dx.

Figura 1 – Deformação de uma peça linear por flexão

Na figura 1 representa-se também a deformação do troço infinitesimal de viga quando

sujeito a um momento flector constante M. Como não existe nenhum esforço axial

aplicado a variação do comprimento do eixo é nula, pelo que todas as extensões são

devidas ao momento flector. Tendo em consideração a cinemática do problema e que

todas as fibras têm um comprimento inicial dS0 = dx = Rdθ, tem-se que a extensão de

uma fibra genérica definida pela coordenada z é dada por

εxx(z) =dS - dS0

dS0

=(R + z) dθ - Rdθ

Rdθ =

z

R

(1)




2

Por simplificação de notação, e a menos de situações particulares explicitamente

indicadas, considera-se neste texto εxx (z) = ε.

Se o comportamento do material for elástico linear tem-se que

σ = E ε (2)

em que E representa o módulo de elasticidade e σ a tensão normal. Realce-se que à

semelhança da simplificação adoptada para as extensões, σ representa na realidade

σxx (z), uma vez que se refere à tensão segundo o eixo x e é variável ao longo da altura

da secção, sendo por isso dependente do eixo z.

A distribuição de tensões na secção tem de ser estaticamente equivalente ao momento

flector aplicado, tendo-se assim

M = ⌡⌠ A σ z dA (3)

Tendo em conta a relação de elasticidade, dada pela equação 2, e a relação de

compatibilidade entre as extensões e o raio de curvatura R definida na equação 1, e

admitindo que a secção é homogénea, pode escrever-se

M = ⌡⌠ A E ε z dA =

⌡⎮⌠ A

E

1R z2 dA =

ER ⌡⎮⌠

z2 dA =

EΙR (4)

em que Ι = ⌡⌠ A z2 dA representa o momento de inércia da secção em relação ao eixo y.

Frequentemente utiliza-se a curvatura, χ = 1/R, em vez do raio de curvatura, podendo

escrever-se a relação entre o momento e a curvatura

M = E Ι χ (5)

Refira-se que, de uma forma geral, quer o momento flector M, quer a curvatura χ são

variáveis ao longo do eixo da peça.

No caso do esforço axial a extensão axial ε0 é constante na secção transversal, tendo-se

a seguinte relação com o esforço axial N

N = EA ε0 (6)

A partir do esforço axial N e do momento flector M, e tendo em consideração as

características mecânicas da secção transversal, é possível obter as tensões normais na

secção transversal, as quais são dadas por

σ = σN + σM =N A +

MzΙ (7)




3

em que σN e σM representam as parcelas de tensão associadas ao esforço axial e ao

momento flector, respectivamente. Na figura 2 representa-se para um caso genérico a

distribuição de tensões normais de uma secção solicitada em flexão composta.

Figura 2 – Tensões normais numa secção solicitada em flexão composta

No caso mais geral da secção estar sujeita a flexão composta desviada, e admitindo que

os esforços estão referidos aos eixos principais centrais de inércia, as tensões normais

são dadas por

σ = σN + σMy + σMz =N A +

Myz Ιy

-Mzy Ιz

(8)

Na figura 3 representam-se os diagramas de tensões devidos a cada um dos esforços

actuantes numa secção solicitada em flexão composta desviada.

Figura 3 – Tensões normais numa secção solicitada em flexão composta desviada




4

2. ESFORÇO AXIAL E FLEXÃO EM REGIME ELASTO-PLÁSTICO. REVISÃO

DOS CONCEITOS FUNDAMENTAIS

2.1. Momento de cedência e momento plástico

Alguns materiais estruturais, dos quais o mais importante é o aço, apresentam um

comportamento caracterizado por um patamar de cedência associado a uma tensão

normal designada por tensão de cedência. Na figura 4 representa-se o diagrama tipo da

relação tensões-extensões que se obtém num ensaio experimental dum provete de aço e

em que são evidentes a existência do referido patamar de cedência. A tensão de

cedência associada a este patamar é representada por f y.

Figura 4 – Diagrama tensões-extensões de um provete de aço

Para efeitos de análise de estruturas o diagrama tensões-extensões (σ –ε) do aço pode

ser aproximado por uma diagrama simplificado, constituído unicamente pelo troço

elástico linear, desde a origem até se atingir a tensão de cedência, e por um patamar de

tensão constante e igual à tensão de cedência. No caso dos aços as tensões de cedência

em compressão e tracção são iguais pelo que se adopta a relação tensões-extensões

indicada na figura 5, que se designa por relação tensões-extensões elasto-plástica.

As relações entre esforços e deformações e entre os esforços e tensões obtidas para os

materiais elásticos lineares são válidas para os materiais elasto-plásticos desde que a

tensão máxima na secção não ultrapasse, em valor absoluto, a tensão de cedência.

Definem-se assim os esforços de cedência de uma secção como sendo aqueles para os

quais o máximo valor absoluto da tensão na secção é igual à tensão de cedência.




5

Figura 5 – Relação tensões-extensões elasto-plástica

Para o caso particular de uma secção sujeita apenas a um momento flector define-se o

momento de cedência, Mc, como o valor do momento para o qual a tensão máxima é

igual à tensão de cedência, tendo-se

|σmax| =M|zmax|Ι

= f y ⇒ Mc =Ι

|zmax| f y (9)

ou, definindo o módulo de flexão elástico Wel =Ι

|zmax|,

Mc = Wel f y (10)

Refira-se que no caso geral uma secção tem dois momentos de cedência, cada um dos

quais associados ao respectivo eixo principal de inércia, sendo dados por

Mc.y = Wel.y f y com Wel.y =Ιy

|zmax| (11)

Mc.z = Wel.z f y com Wel.z =Ιz

|ymax| (12)

Se o momento flector aplicado for superior ao momento de cedência as fibras da secção

vão plastificando, começando pelas mais afastadas da linha neutra, sendo essa

plastificação progressiva até que a secção esteja totalmente plástica. Considere-se porexemplo uma secção rectangular, conforme se representa na figura 6, na qual se

representam também os diagramas de tensões e de extensões para valores variáveis do

momento flector. Nos diagramas apresentados na figura 6 considera-se a variação do

momento desde zero até ao momento plástico Mpl, momento para o qual a secção está

toda plastificada, passando pelo momento de cedência Mc, momento para o qual se inicia

a cedência da secção.

Conforme já se referiu (equação 10) o momento de cedência é dado por Mc = Wel f y, pelo

que no caso da secção rectangular se tem




6

Wel =Ι

|zmax| =

bh3

12 2h =

bh2

6 ⇒ Mc =bh2

6 f y (13)

Figura 6 – Variação dos diagramas de tensões e extensões com o momento flector

A distribuição de tensões na secção tem de ser estaticamente equivalente aos esforços

aplicados pelo que

N = ⌡⌠ σ dA (14)

M = ⌡⌠ σ z dA (15)

Como o esforço axial é nulo, e designando por AC e AT as áreas das parcelas de secção

em que a tensão de cedência é de compressão e tracção, respectivamente, tem-se

N = ⌡⌠ σ dA = AC (- f y) + AT f y = 0 ⇒ AC = AT (16)

ou seja, para o momento plástico a linha neutra, designada por linha neutra plástica,

divide a secção em duas áreas iguais.




7

Conforme se representa na figura 7, no caso de uma secção rectangular a linha neutra

plástica passa no centro de gravidade da secção, tendo-se:

N = 0 ⇒ C = T =bh2 f y (17)

Em que C e T representam as resultantes da tensões de compressão e tracção,

respectivamente. O momento plástico corresponde ao momento resultante das tensões

na secção, ou seja

M = Mpl ⇒ Mpl = ⌡⌠σ z dA = Ch4 + T

h4 = 2 x

bh2 f y

h4 =

bh2

4 f y (18)

Figura 7 – Diagrama de tensões associado ao momento plástico numa secção rectangular

Por analogia com o módulo de flexão elástico designa-se por módulo de flexão plástico,

Wpl, o factor que relaciona a tensão de cedência f y com o momento plástico Mpl, ou seja

Mpl = Wpl f y (19)

No caso da secção rectangular o módulo de flexão plástico é dado por

Wpl =bh2

4 (20)

No caso mais geral da secção não ser simétrica em relação ao eixo de flexão, como se

ilustra na figura 8, a linha neutra plástica não coincide com a linha neutra elástica.

Conforme já se referiu a linha neutra plástica divide a secção em duas áreas iguais ou

seja AC = AT. Assim, no caso geral, o momento plástico Mpl é dado por

Mpl = ⌡⌠ σ z dA = ⌡⌠ AC

- f y z dA + ⌡⌠ AT

f y z dA = (SC + ST) f y (21)

ou

Mpl = Wpl f y com Wpl = SC + ST (22)

em que SC e ST representam os valores absolutos dos momentos estáticos das áreas AC

e AT, respectivamente.




8

Figura 8 - Diagrama de tensões associado ao momento plástico numa secção não simétrica em relação ao

eixo de flexão

O quociente entre os momentos plástico e de cedência, ou, o que é equivalente, o

quociente entre os módulos de flexão plástico e elástico, designa-se por factor de forma f,

ou seja

f =Mpl

Mc =

Wpl

Wel (23)

No caso de uma secção rectangular tem-se

f =Wpl

Wel =

bh2

4bh2

6

= 1,50 (24)

Na tabela 1 indicam-se os valores dos factores de forma para diferentes geometrias de

secções transversais, salientando-se, pela sua importância no projecto de estruturas

metálicas, o caso das secções em Ι ou H.

Tabela 1 – Exemplo de factores de forma para diferentes secções

Secção Rectangular Circularmaciça

Ι ou H (*) Tubularrectangular

Tubularcircular

Factor deforma

1,50 1,70 1,10 a 1,15 1,10 a 1,20 1,27

* Flexão em torno do eixo paralelos aos banzos. Para a flexão em torno do eixo perpendicular às almas o

factor de forma é aproximadamente igual ao de uma secção rectangular, i.e., 1,50.

Exemplo 2.1: Cálculo do factor de forma da secção de um perfil HEA300

eixo yy

⎪⎪⎪

Wel.y = 1260 cm3

Wpl.y = 1382 cm3

f =13821260 = 1,10

eixo zz

⎪⎪⎪

Wel.z = 420,6 cm3

Wpl.z = 641,2 cm3

f =641,2420,6 = 1,52




9

2.2. Relações momentos-curvaturas

No caso de uma secção rectangular e com base nos diagramas de tensões e extensões

indicados na figura 6, é possível obter a relação momentos-curvaturas que se representa

na figura 9 e que se indica por (M - χ)exacta.

Figura 9 – Relação momentos curvaturas exacta e aproximada

Enquanto o momento flector for inferior ao momento de cedência a relação

momentos-curvaturas é caracterizada por um troço com um declive igual à rigidez de

flexão elástica da secção E Ι. Quando o momento aplicado é superior ao momento decedência a rigidez da secção depende apenas da zona não plastificada, caracterizada

pela variável a (ver figura 6). Nesta situação o momento flector e a curvatura podem ser

definidos em função de a por

M =⎣⎢⎡

⎦⎥⎤b

h - a2 ⎝⎜⎛⎠⎟⎞h

2 -h - a

4 x 2 +ba2

6 f y = b3h2 - a2

12 f y = Mc ⎣⎢⎡

⎦⎥⎤3

2 -12 ⎝⎜⎛⎠⎟⎞a

h

2

(25)

χ =2 εya =

2 f yE a = χc ⎝⎜⎛⎠⎟⎞h

a com χc =2 f yE h (26)

em que χc representa a curvatura de cedência da secção. Com base nas equações 25 e

26 é possível escrever o momento em função da curvatura obtendo-se

M = Mc x⎣⎢⎡

⎦⎥⎤3

2 -12 ⎝⎜⎛⎠⎟⎞χcχ

2

para χ ≥ χc (27)

Como se representa na figura 9 verifica-se que, quando χ/χc cresce e tende para ∞, o

valor de M tende assimptoticamente para o valor do momento plástico Mpl.

A relação momentos-curvaturas exacta pode ser aproximada por um diagrama bilinear,definido pelos troços correspondentes à rigidez elástica e ao momento constante e igual

ao momento plástico, o qual se representa também na figura 9. Este diagrama é




10

semelhante ao diagrama tensões-extensões de um material elasto-plástico, designando-

se por relação momentos curvaturas elasto-plástica perfeita uma vez que no primeiro

troço se admite um comportamento elástico e no segundo troço um comportamento

plástico.

No caso de secções com outras geometrias as relações momentos curvaturas são

semelhantes às das secções rectangulares, diferindo apenas para curvaturas superiores

à curvaturas de cedência χc. Na figura 10 representam-se num diagrama (χ/χc; M/Mc) as

relações momentos curvaturas para um conjunto de secções com diferentes geometrias,

sendo visível que, para curvaturas superiores à curvatura de cedência, as diferentes

curvas reflectem o valor do factor de forma das secções.

Figura 10 - Relações momentos-curvaturas para secções com diferentes geometrias

Refira-se que a aproximação das relações momentos-curvaturas através de um diagrama

elasto-plástico anteriormente apresentada para as secções rectangulares é também

adoptada para as secções com outras geometrias.

2.3. Conceito de rótula plástica

Conforme se verificou ao analisar a secção rectangular, para momentos flectores

superiores ao momento de cedência, a um aumento do momento flector corresponde um

aumento das zonas plastificadas. Na figura 11 representa-se um troço de uma viga onde

existe um máximo do momento flector. Na mesma figura representa-se também o

diagrama de momentos flectores e de curvaturas na zona envolvente da secção onde o

momento flector é máximo.




11

Figura 11 – Variação das zonas plastificadas na proximidade de uma secção submetida ao momento plástico

Conforme se pode verificar da figura 11 quando o momento flector atinge o valor do

momento plástico numa secção fica também definida a zona plastificada da viga,

nomeadamente o comprimento afectado pela plastificação. Este comprimento designa-se

por comprimento de rótula plástica, Lp, e depende da variação do diagrama de momentos

ao longo do eixo e da relação entre o momento plástico M pl e o momento de cedência Mc,

ou seja, do factor de forma.

Exemplo 2.2: Considere-se a viga simplesmente apoiada com uma secção rectangular e sujeita a uma carga

concentrada a 1/2 vão representada na figura 12.

Quando o momento máximo for igual ao momento plástico da secção obtém-se a carga última da estrutura. Ocomprimento da rótula plástica é definido pela zona plastificada entre as duas secções em que o momento é

igual ao momento de cedência, tendo-se

Mpl

L =Mc

L - Lp ⇒ Lp = L - L

Mc

Mpl ⇒ Lp = ( )1 -

1f L

Tratando-se de uma secção rectangular tem-se f = 1,50, ou seja, L p =13 L




12

Figura 12 – Exemplo de cálculo do comprimento de uma rótula plástica

Refira-se que a forma e o comprimento da zona plastificada são função da relação

momentos curvaturas exacta. Na figura 9 representa-se uma relação momentos

curvaturas, designada por aproximada, a qual corresponde a admitir um comportamento

elasto-plástico perfeito para a secção. Com efeito a relação momentos curvaturas

aproximada é constituída pelo troço elástico linear, caracterizado por um declive igual àrigidez de flexão elástica da secção EΙ, o qual é válido até se atingir o momento plástico,

Mpl, e por um troço plástico associado a um momento constante e igual ao momento

plástico.

Ao adoptar-se uma relação momentos curvaturas elasto-plástica perfeita elimina-se a

transição entre o fim do comportamento elástico, correspondente ao momento de

cedência, e o momento plástico. Assim ao adoptar-se a relação momentos curvaturas

elasto-plástica perfeita admite-se para as secções um comportamento elástico, se o

momento for inferior ao momento plástico, ou um comportamento perfeitamente plástico,

se o momento for igual ao momento plástico. No diagrama de curvaturas da figura 11

representa-se a tracejado as curvaturas correspondentes à relação (M-χ)aproximada.




13

2.4. Análise elasto-plástica

Com base na relação momentos curvaturas elasto-plástica perfeita é possível efectuar

uma análise em que se considere a existência de deformações plásticas apenas nas

secções das rótulas plásticas, ou seja, nas secções em que o momento flector é igual ao

momento plástico, enquanto que para as restantes secções se admite um

comportamento elástico.

Refira-se que ao concentrarem-se as deformações plásticas apenas na secção em que o

momento é máximo, e uma vez que se admitiu que a zona plastificada tem um

comprimento infinitesimal, deixa de fazer sentido que a relação momento-deformação

não linear seja referida às curvaturas, passando a ser referida a uma rotação numa rótula,

localizada numa secção, e que se pretende que represente os efeitos de plasticidade emtoda a rótula plástica real. Ao se concentrarem numa rótula plástica todos os efeitos não

lineares utiliza-se para essa rótula a relação momentos-rotações indicada na figura 13.

Figura 13 – Relação momentos-rotações numa rótula plástica

Tem-se assim que as rótulas plásticas têm um comportamento rígido-plástico, uma vez

que as suas rotações são nulas enquanto o momento flector for inferior, em valor

absoluto, ao momento plástico, e são indeterminadas quando o momento flector for igual

ao momento plástico.

As análise efectuadas com base em modelos em que se admite um comportamentoelástico para as barras se concentra o comportamento plástico nas rótulas plásticas

designam-se por análises elasto-plásticas. As análises elasto-plásticas são incrementais

porque no caso geral uma estrutura hiperestática têm de se determinar os sucessivos

incrementos de carga necessários para a formação de cada uma das novas rótulas

plásticas. Após a formação de uma rótula plástica, e para o incremento seguinte, o

sistema estático tem de ser alterado através da introdução de uma rótula na secção em

que se formou a rótula plástica.






15

incrementos da carga, a estrutura comporta-se como uma viga simplesmente apoiada, conforme se

representa na figura 14e. Este modelo é válido até se formar a 2ª rótula plástica, a qual vai ocorrer na secção

B. Para se determinar o máximo incremento de carga ΔP2 basta impôr que o momento total na secção B seja

igual ao momento plástico, ou seja:

MB = MB1 + ΔMB2 = 56 Mpl + ΔP2 L4 = Mpl ⇒ ΔP2 = 23 MplL

O acréscimo de deslocamento do ponto B é dado por

ΔδB2 =ΔP2 L

3

48 EI =23

Mpl L2

48 EI =2

144 Mpl L

2

EI

No fim do 2º incremento o valor do parâmetro de carga total P2 é dado por

P2 = P1 + ΔP2 =163

Mpl

L +23

Mpl

L =6Mpl

L

Este valor do parâmetro de carga designa-se por carga última Pu = P2. Com efeito, e uma vez que a estrutura

é hiperestática do 1º grau, a ocorrência de duas rótulas plásticas transforma a estrutura num mecanismo pelo

que não é possível aumentar mais a carga aplicada.

Somando o diagrama de momentos correspondente a P1, calculado para uma viga encastrada apoiada, com

o diagrama de momentos correspondente a ΔP2, calculado numa viga simplesmente apoiada, obtém-se o

diagrama de momentos associado a P2, o qual está representado na figura 14f.

No fim do 2º incremento de carga o deslocamento no ponto B, δB2, tem também de ser calculado somando o

deslocamento devido à carga P1, calculado para a viga encastrada apoiada, e o deslocamento devido a ΔP2,

calculado numa viga simplesmente apoiada, tendo-se

δB2 = δB1 + ΔδB2 = ( )7144 +

2144

Mpl L2

EI =9

144 Mpl L

2

EI

Com base nos resultados apresentados obtém-se a relação carga deslocamento representada na figura 14g,

verificando-se que, após a formação da 1ª rótula plástica existe uma redução da rigidez, e que, após a

formação da 2ª rótula plástica a rigidez é nula, o que corresponde à formação de um mecanismo. A análise

da relação carga-deslocamento permite ainda verificar que após a ocorrência da 1ª rótula plástica ainda foi

possível aumentar a carga de 12.5%, o que corresponde, neste caso, ao aumento da capacidade da viga até

à formação de um mecanismo plástico.




16

3. ANÁLISE PLÁSTICA LIMITE

3.1. Introdução

O objectivo da análise plástica limite é obter a carga última da estrutura e acorrespondente distribuição de esforços sem ter de efectuar uma análise incremental,

como na análise elasto-plástica. De outra forma, na análise plástica limite pretende

identificar-se as secções em que se formam as rótulas plásticas, associadas à formação

de um mecanismo de colapso, sem ter de efectuar uma análise incremental e sem ter de

identificar a sequência da formação das sucessivas rótulas plásticas.

Para efectuar uma análise plástica limite introduzem-se as seguintes hipóteses

relativamente ao comportamento mecânico do material e das secções:

Hipótese 1 – Admite-se que as deformações plásticas se concentram nas secções

em que ocorrem rótulas plásticas e que estas rótulas apresentam um

comportamento rígido-plástico conforme se representa na figura 15.

Hipótese 2 – Desprezam-se as deformações elásticas ao longo das barras, ou

seja, os troços de barra entre rótulas plásticas comportam-se como

barras rígidas.

Figura 15 – Relação momentos rotações rígido-plástica

3.2. Mecanismos globais e locais. Mecanismos múltiplos

3.2.1 Número de rótulas necessário para a formação de um mecanismo

O valor da carga última de uma estrutura está associado à formação de um mecanismo

de colapso que impede a estrutura de suportar incrementos de carga. No caso geral, e

designando por α o grau de hiperestaticidade, a formação de (α+1) rótulas plásticas é

condição suficiente para a existência de um mecanismo de colapso. Note-se que a

existência de α rótulas plásticas transforma a estrutura numa estrutura isostática, sendo

necessária a criação de uma rótula adicional para que se forme um mecanismo.




17

3.2.2 Mecanismos globais ou completos

Designa-se um mecanismo por global ou completo quando esse mecanismo envolve a

formação de (α+1) rótulas plásticas. Num mecanismo global a existência de (α+1) rótulas

plásticas permite definir o momento flector em igual número de secções. O conhecimentodo momento flector nestas (α+1) secções permite determinar a distribuição de esforços

na estrutura, que é α vezes hiperestática, e ainda o valor do parâmetro de carga

associado. Pode assim dizer-se que num mecanismo global a distribuição de esforços é

totalmente determinada e que a análise do equilíbrio da estrutura permite obter o valor do

parâmetro da carga associado.

Exemplo 3.1: Considere-se a viga encastrada apoiada representada na figura 16a.

Figura 16 – Análise plástica de uma viga encastrada-apoiada

A estrutura é uma vez hiperestática, ou seja, α = 1. Para que se forme um mecanismo completo são

necessárias 2 rótulas plásticas. Tendo em consideração a forma do diagrama de momentos flectores devido

à carga concentrada aplicada, e em particular as secções em que os momentos são máximos, admite-se que

as rótulas plásticas se vão formar nas secções A e B. Define-se assim o mecanismo indicado na figura 16b.

Nas secções em que se formam rótulas plásticas o momento flector é igual ao momento plástico, o que

permite obter o diagrama indicado na figura 16c. O conhecimento do momento flector permite levantar a

hiperestaticidade da estrutura (α = 1), permitindo ainda obter, por equilíbrio, o valor do parâmetro de carga P u,

tendo-se

Pu L4 =

32 Mpl ⇒ Pu =

6 Mpl

L

Este valor é igual ao valor obtido anteriormente através de uma análise elasto-plástica incremental (ver

exemplo 2.3). Refira-se que, ao contrário do que sucede numa análise elasto-plástica, a deformada da

estrutura não fica determinada, ficando apenas identificado o mecanismo de colapso definido através dalocalização das rótulas plásticas.




18

3.2.3 Mecanismos locais ou parciais

Em determinadas situações, de uma forma geral tanto mais frequentes quanto maior o

grau de hiperestaticidade de estrutura, a formação de um mecanismo pode envolver a

formação de rótulas plásticas em número inferior a (α+1). Neste caso o mecanismo

designa-se por local ou parcial uma vez que o mecanismo de colapso afecta apenas uma

parte da estrutura, exigindo a formação de rótulas em número inferior às existentes num

mecanismo global.

Numa análise plástica limite a distribuição de esforços no colapso é obtida a partir do

conhecimento da existência do momento plástico nas secções em que se formam rótulas

plásticas. No caso de um mecanismo local, como as rótulas plásticas são em númeroinferior a (α+1), a distribuição de esforços no colapso apenas é definida na zona

envolvente do mecanismo associado às rótulas plásticas, sendo indeterminada na

restante parte da estrutura. Embora o mecanismo envolva apenas uma zona local, à

semelhança do que acontece num mecanismo global, a carga última pode ser obtida

através da análise do equilíbrio da estrutura.

Exemplo 3.2: Considere-se a viga representada na figura 17. A estrutura é 2 vezes hiperestática, ou seja

α = 2. Um mecanismo completo envolve a formação de α + 1 = 3 rótulas plásticas.






20

Figura 18 – Análise plástica de uma viga com um mecanismo múltiplo

3.3. Teoremas da análise plástica limite

A análise plástica limite baseia-se na aplicação de dois teoremas, designados por

teorema estático e cinemático, os quais permitem obter limites inferiores e superiores da

carga de colapso, respectivamente. A aplicação simultânea daqueles dois teoremas dá

origem a um terceiro teorema, designado por teorema de unicidade, cuja aplicaçãopermite identificar de forma exacta o parâmetro de carga último da estrutura.

Antes de se enunciarem os teoremas de análise plástica limite considere-se ainda como

hipótese que os carregamentos são proporcionais a uma parâmetro de carga λ,

designando-se o parâmetro de carga de colapso ou último por λu.

Na análise de estruturas, e de uma forma geral, é necessário ter em consideração as

condições de equilíbrio e de compatibilidade, assim como as relações constitutivas.

Conforme já se referiu na análise plástica limite não se consideram as deformaçõeselásticas dos elementos, considerando-se apenas as deformações plásticas

concentradas nas rótulas plásticas, definidas através da relação rígido-plástica




21

representada na figura 15, e considerando que os troços de vigas entre rótulas se

comportam como barras rígidas. Na figura 19 apresentam-se de forma esquemática as

relações constitutivas rígido-plásticas decompostas nas condições de plasticidade e nas

condições de paridade.

As condições de plasticidade consistem em estabelecer-se que em qualquer secção o

momento flector não pode, em valor absoluto, ser maior do que o momento plástico, ou

seja:

Condições de plasticidade: |M| ≤ Mpl ⇒ -Mpl ≤ M ≤ +Mpl

A condição de paridade estabelece que a rotação relativa numa rótula plástica ou é nula

ou, sendo diferente de zero, tem de ter o mesmo sinal que o momento plástico nessa

secção. É assim possível escrever:

Condições de paridade: M = +Mpl ⇒ θpl ≥ 0

M = -Mpl ⇒ θpl ≤ 0

EquilíbrioRelações

constitutivas(rígido-plásticas)

Compatibilidade

Condições deplasticidade

Condições deparidade

-Mpl ≤ M ≤ +Mpl M =+Mpl ⇒ θpl ≥ 0M = -Mpl ⇒ θpl ≤ 0

Admissibilidade estática Admissibilidade cinemática

TEOREMA ESTÁTICO TEOREMA CINEMÁTICOPermite obter um limite inferior λi,

minorante de λu λu = max(λi)

Permite obter um limite superior λs,majorante de λu λu = min(λs)

TEOREMA DA UNICIDADE

λi = λs = λu

Figura 19 – Equilíbrio, compatibilidade e relações constitutivas e sua relação com os teoremas da análise

plástica limite




22

Refira-se que as condições de plasticidade e de paridade são uma consequência directa

da relação momentos rotações admitida para as rótulas plásticas numa análise rígido-

plástica.

A verificação simultânea das condições de equilíbrio e das condições de plasticidade

constituem as condições de admissibilidade estática. Assim, diz-se que uma distribuição

de esforços numa estrutura é estaticamente admissível se verificar as condições de

equilíbrio e se, simultaneamente, o valor absoluto do momento não ultrapassar o

momento plástico. Saliente-se que, neste caso, as condições de equilíbrio se referem a

obter distribuições de esforços equilibradas, incluindo o equilíbrio com as cargas

aplicadas. A verificação simultânea das condições de compatibilidade e das condições de

paridade constituem as condições de admissibilidade cinemática. No caso de uma

análise plástica limite, em que se admite que as barras se comportam como barrasrígidas e as rótulas plásticas como rígido-plásticas, diz-se que um mecanismo é

cinematicamente admissível se verificar as condições de compatibilidade entre

deslocamentos e rotações, nomeadamente as das rótulas plásticas, e se,

simultaneamente, os valores dos momentos plásticos atribuídos às secções onde se

localizam as rótulas plásticas tiverem o mesmo sinal da rotação nessa rótula associada

ao mecanismo considerado, ou seja, se forem satisfeitas as condições de paridade.

Estabelecidas as condições de admissibilidade estática e cinemática é agora possível

enunciar os teoremas de análise plástica limite:

Teorema estático - A uma distribuição de esforços estaticamente admissível

corresponde um parâmetro de carga λi tal que λi ≤ λu, ou seja, λi é um

minorante do parâmetro de carga último λu.

Teorema cinemático - A um mecanismo cinematicamente admissível corresponde um

parâmetro de carga λs tal que λu ≤ λs, ou seja, λs é um majorante do

parâmetro de carga último λu.

Teorema da unicidade (resultante da aplicação simultânea dos teoremas estático e

cinemático) - Se numa estrutura for possível definir um conjunto de rótulas

plásticas às quais corresponde uma distribuição de esforços estaticamente

admissível, a que corresponde um parâmetro de carga λi (minorante de λu), e

um mecanismo cinematicamente admissível, a que corresponde um

parâmetro de carga λs (majorante de λu), então λi = λs = λu.

Saliente-se que se a um conjunto de rótulas plásticas estão associados uma distribuição

de esforços estaticamente admissível e um mecanismo cinematicamente admissível

então verificam-se simultaneamente as condições de equilíbrio, de compatibilidade, de




23

plasticidade e de paridade (note-se que estas duas últimas constituem as relações

constitutivas).

A aplicação do teorema estático a diferentes distribuições de esforços estaticamente

admissíveis permite obter um conjunto de minorantes do parâmetro de carga último λu.

Se a análise for efectuada de forma exaustiva, isto é, se forem analisadas todas as

distribuições de esforços estaticamente admissíveis, o valor do parâmetro de carga último

será igual ao maior dos minorantes λi.

De forma complementar a aplicação do teorema cinemático a diferentes mecanismos

cinematicamente admissíveis permite obter um conjunto de majorantes do parâmetro de

carga último λu. Se a análise for efectuada de forma exaustiva, ou seja, considerando

todos os mecanismos cinematicamente admissíveis, o valor do parâmetro de carga último

será igual ao menor dos majorantes λs. A aplicação do teorema estático ou do teorema cinemático em conjunto com o teorema

da unicidade permite evitar a análise exaustiva de todas as distribuições de esforços

estaticamente admissíveis ou de todos os mecanismos cinematicamente admissíveis.

Nestas situações a aplicação dos teoremas da análise plástica limite pode consistir na

utilização de um dos teoremas fundamentais, estático ou cinemático, na determinação do

parâmetro de carga associado, λi ou λs, e finalmente na aplicação do teorema de

unicidade para verificar se o parâmetro obtido é efectivamente o parâmetro de carga

último λu. Assim na aplicação do teorema estático em conjunto com o teorema da unicidade é

necessário definir um diagrama de esforços estaticamente admissível. A esse diagrama

corresponde um parâmetro de carga λi ≤ λu. Associando as rótulas plásticas às secções

em que o momento flector é igual ao momento plástico é possível definir um mecanismo.

A verificação da admissibilidade cinemática - condições de compatibilidade e de paridade

desse mecanismo - permitirá, por aplicação do teorema de unicidade, confirmar ou não

que se trata do mecanismo de colapso.

Na aplicação do teorema cinemático em conjunto com o teorema da unicidade começa

por definir-se um mecanismo cinematicamente admissível, atribuindo a cada rótula

plástica um momento com sinal de acordo com a rotação, obedecendo à condição de

paridade. O parâmetro de carga λs pode ser determinado através da aplicação do

princípio dos trabalhos virtuais - PTV - e corresponde a um limite superior do parâmetro

de carga último, ou seja, λu ≤ λs. Atribuindo às secções onde se arbitraram as rótulas

plásticas momentos flectores iguais aos momentos plásticos obtém-se uma distribuição

de esforços na estrutura. A verificação da admissibilidade estática dessa distribuição de




24

esforços permite confirmar, ou não, por aplicação do teorema de unicidade, que se trata

do mecanismo de colapso.

Na aplicação do teorema cinemático, e conforme se ilustra nos exemplos que a seguir se

apresentam, a determinação do parâmetro de carga associado a um mecanismo

cinematicamente admissível pode ser efectuada recorrendo à aplicação do princípio dos

trabalhos virtuais (PTV), igualando o trabalho das forças exteriores, W, à energia de

deformação da estrutura, U.

De acordo com as hipóteses indicadas em 3.1 as únicas deformações que se consideram

são as deformações plásticas nas secções das rótulas plásticas, pelo que a energia de

deformação será a associada às rotações destas rótulas. A energia de deformação

associada às rótulas plásticas é dada pelo produto entre os momentos plásticos e as

rotações, sendo positiva a contribuição de todas as rótulas plásticas uma vez que, por

aplicação das condições de paridade, o momento plástico e a rotação correspondente

têm sempre o mesmo sinal.

O trabalho das forças exteriores será o que resulta dos deslocamentos dos mecanismos

de barras rígidas associados à formação das rótulas plásticas. No caso das estruturas de

barras que se têm vindo a analisar as forças exteriores são as cargas aplicadas,

concentradas ou distribuídas, e os momentos aplicados.




25

3.4. Exemplos de aplicação dos teoremas da análise plástica limite

3.4.1 Exemplos de cálculo plástico de vigas contínuas

Exemplo 3.4. Para ilustrar a aplicação dos teoremas da análise plástica limite apresenta-se neste exemplo a

resolução do mesmo problema de duas forma distintas: a resolução apresentada na parte da esquerda

(figuras 20a e c) corresponde à aplicação do teorema estático e do teorema da unicidade; na parte da direita

(figuras 20b e d) apresenta-se a resolução do mesmo exemplo por aplicação do teorema cinemático e do

teorema da unicidade.

TEOREMA ESTÁTICO

Figura 20a

Equilíbrio

MB = -Mpl

2 +λiL4 = Mpl

λi =6Mpl

L

TEOREMA CINEMÁTICO

Figura 20b

Compatibilidade

δB = θ L2

W = λs L2 θ

U = Mpl θ + Mpl 2θ = 3Mpl θ

PTV⇒ W = U⇒ λs =6Mpl

L

Mecanismo correspondente

Figura 20c

Distribuição de esforços correspondente

Figura 20d

O mecanismo é cinematicamente admissível pois é

compatível e verifica as condições de paridade,

pelo que, de acordo com o teorema da unicidade

λu = λi

A distribuição de esforços é estaticamente

admissível pois é equilibrada e verifica as

condições de plasticidade, pelo que, de acordo com

o teorema da unicidade

λu = λs




26

Exemplo 3.5. Considere-se a viga biencastrada representada na figura 21a.

Tendo em conta apenas as reacções verticais e os momentos flectores nos apoios a estrutura tem um grau

de hiperestaticidade α = 2 pelo que são necessárias três rótulas plásticas para formar um mecanismo

completo.

Admita-se o mecanismo com rótulas plásticas nas secções A, B e E representado na figura 21b.

Designem-se por θ as rotações nas diferentes rótulas plásticas e por δ os deslocamentos verticais das

secções carregadas. Por compatibilidade, e definindo θ=θ A como variável independente, tem-se:

δB = θ L4 ; θ1 =θ3; θ2 =

43 θ; δC =

θ3

L2; δD =θ3

L4

Figura 21a Figura 21b

Por aplicação do PTV obtém-se

W = λ

⎝⎛

⎠⎞θ

L

4 +θ

3 L

2 +θ

3 L

4 = λ

L

2 θ

U = Mpl ⎝⎛⎠⎞θ +

43 θ +θ3 =

83 Mpl θ

PTV⇒ W = U⇒ λs =163

Mpl

L

Na figura 21c representa-se o diagrama de esforços para este parâmetro de carga. O diagrama de esforços é

estaticamente determinado porque nas secções das rótulas plásticas (A, B e E) o momento é igual ao

momento plástico, positivo ou negativo, consoante a rotação da rótula.

Os momentos indicados para as secções C e D são obtidos do equilíbrio da estrutura, sendo também

indicados na figura 21c tendo-se:

MB = Mpl (por simetria)

MC = Mpl +163

Mpl

L L8 =

53 Mpl > Mpl

Como o momento na secção C é superior a Mpl a distribuição de esforços não é estaticamente admissível

pelo que o parâmetro de carga λs =163

Mpl

L não é o parâmetro de carga último. Com base no diagrama de

esforços da figura 21c pode obter-se uma distribuição de esforços estaticamente admissível considerando um

parâmetro de carga

λi =35

163

Mpl

L =165

Mpl

L




27

Note-se que este parâmetro de carga foi obtido do valor de λs, calculado anteriormente, multiplicado pelo

factor 3/5 que é o necessário para que MC = Mpl, repondo assim a verificação da admissibilidade estática. Na

figura 21d representa-se o diagrama de momentos correspondente a λi =165

Mpl

L .

Figura 21c Figura 21d

Da análise dos resultados obtidos conclui-se que o mecanismo considerado não é o mecanismo de colapso.

Relativamente às cargas de colapso determinou-se um limite superior e um limite inferior pelo que se podeescrever

165

Mpl

L ≤ λu ≤ 163

Mpl

L

Como o mecanismo anterior não permitiu obter o mecanismo de colapso, uma vez que a condição de

plasticidade não era verificada na secção C, ensaie-se um novo mecanismo, representado na figura 21e, com

rótulas plásticas nas secções A, C e E.

Figura 21e Figura 21f

Por compatibilidade tem-se:

θ A =θ;θE

=θ;θC

= 2θ;δB

=δD

=θ L

4 ;δC

=θ L

2

Por aplicação do teorema cinemático obtém-se para este mecanismo

W = λ ( )θ L4 + θ

L2 + θ

L4 = λLθ

U = Mpl ( )θ + 2θ + θ = 4Mplθ


L

Na figura 21f representa-se o digrama de momentos flectores definido pelos momentos plásticos nas secções

da rótulas plásticas, sendo o seu sinal definido pela rotação das rótulas, e em equilíbrio com o parâmetro de

carga calculado, o que conduz a






29

mecanismo parcial uma vez que mobiliza apenas duas rótulas plásticas, número inferior às três rótulas

necessárias para formar um mecanismo global, pelo que o diagrama de esforços não é totalmente

determinado. Tem-se assim que os valores dos momentos MD e ME não são conhecidos, existindo para o seu

cálculo apenas uma informação adicional que é o valor do parâmetro de carga já determinado.

Para verificar se o parâmetro de carga calculado é o parâmetro de carga de colapso λu da estrutura énecessário analisar a possibilidade de se encontrar uma distribuição de momentos estaticamente admissível,

isto é, que verifique o equilíbrio e as condições de plasticidade. Para avaliar esta possibilidade considere-se

ME = -Mpl, ou seja, admita-se que o momento na secção E tem o máximo valor negativo possível. Fixado o

valor de ME, e como o parâmetro de carga é conhecido, pode determinar-se o momento na secção D

obtendo-se por equilíbrio

MD = -Mpl + 26Mpl

L L4 = 2Mpl

Verifica-se que para λs =6Mpl

L não é possível obter uma distribuição de momentos estaticamente admissível.

Saliente-se que o valor de ME foi admitido igual a -Mpl pois um valor mais negativo violaria a condição de

plasticidade na secção E, enquanto que a um valor menos negativo corresponderia na secção D um

momento maior do que 2Mpl.

Tendo em consideração que para ME = -Mpl se tem MD = 2Mpl pode calcular-se um valor do parâmetro de

carga a que corresponda um diagrama de momentos estaticamente admissível, que por aplicação do

teorema estático será um limite inferior do parâmetro de carga de colapso. Este novo parâmetro de carga

pode ser obtido do anterior dividindo-o por 2 de forma a ter M D = Mpl, ou seja:

λi =12

6Mpl

L =3Mpl

L

Assim, do primeiro mecanismo considerado pode concluir-se que:

3Mpl

L ≤ λu ≤ 6Mpl

L

Considere-se agora o mecanismo global, representado na figura 22d, definido por 3 rótulas plásticas nas

secções C, D e E. Por compatibilidade tem-se:

δD = θ L2

Por aplicação do teorema cinemático obtém-se para este mecanismo

W = 2λ L2 θ = λLθ

U = Mpl ( )θ + 2θ + θ = 4Mplθ


L

Na figura 22e representa-se o diagrama de momentos flectores correspondente ao mecanismo adoptado, em

que o momento é igual ao momento plástico nas secções das rótulas plásticas. Como o mecanismo adoptado

é um mecanismo global o diagrama de esforços é totalmente determinado, sendo o momento na secção B

determinado com base em considerações de equilibro, tendo-se

MB = -Mpl

2 +4Mpl

L L4 =

Mpl

2 < Mpl




30

Figura 22d Figura 22e

Verifica-se que para λs =4Mpl

L se obteve um diagrama de momentos estaticamente admissível pelo que, por

aplicação do teorema da unicidade, se tem

λi = λs = λu =4Mpl

L

sendo o mecanismo de colapso o indicado na figura 22d e a correspondente distribuição de esforços a

representada na figura 22e com o valor de MB= Mpl/2.

3.4.2 Cálculo plástico de estruturas sujeitas a cargas distribuídas

Os teoremas da análise plástica limite podem também ser aplicados com toda a

generalidade aos casos em que existam cargas distribuídas aplicadas. Por comparação

com os problemas em que apenas existem cargas concentradas, em que, devido ao

carácter poligonal dos diagramas de momentos flectores, as secções onde se podemformar rótulas plásticas estão previamente definidas, os problemas com cargas

distribuídas exigem um esforço adicional uma vez que, no caso geral, não é possível

identificar previamente a localização das rótulas plásticas.

Nos exemplos que se apresentam em seguida ilustra-se a aplicação dos teoremas da

análise plástica limite a problemas com cargas distribuídas, em particular no que respeita

ao cálculo do trabalho das forças exteriores, para aplicação do PTV na determinação do

parâmetro de carga associado a cada mecanismo, e à determinação da localização das

secções das rótulas plásticas.

Para ilustrar o cálculo do trabalho das forças exteriores no caso de existirem cargas

distribuídas considere-se o troço de uma barra representado na figura 23. O trabalho das

forças exteriores aplicadas no comprimento infinitesimal dx é dado por

dW = w(x) p(x) dx (28)




31

Figura 23 – Barra sujeita a uma carga distribuída

O trabalho das forças exteriores aplicadas à barra é obtido por integração de dW ao

longo do comprimento, tendo-se

W =⌡⌠

o

L dW =⌡⌠

o

L w(x) p(x) dx (29)

Se a carga distribuída for constante, ou seja p(x) = cte = p, tem-se que

W = p⌡⌠

o

L w(x) dx = p A (30)

em que A representa a área descrita pelo comprimento carregado da barra no movimento

associado ao mecanismo.

Exemplo 3.7. Considere-se a viga biencastrada sujeita a uma carga uniformemente distribuída representada

na figura 24a.

Figura 24a

Para a aplicação do teorema cinemático é necessário definir a localização das três rótulas plásticas exigidas

para a formação de um mecanismo global. Tendo em consideração as características de simetria da estrutura

e do carregamento conclui-se que as rótulas plásticas se localizam nas secções dos apoios e na secção de

meio vão, dando origem ao mecanismo representado na figura 24b. O parâmetro de carga associado ao

mecanismo definido pode ser obtido por aplicação do PTV, tendo-se

W = p A = p 12 L

L2 θ =

pL2

4 θ

U = Mpl ( )θ + 2θ + θ = 4Mplθ

PTV⇒ W = U⇒ ps =16Mpl

L2

Saliente-se que o trabalho das forças distribuídas foi obtido recorrendo à equação 30, ou seja, resulta doproduto da carga p, constante, pela área A descrita pelo comprimento carregado da barra.




32

Atribuindo às secções das rótulas plásticas os momentos plásticos com o sinal necessário à verificação das

condições de paridade obtém-se o diagrama de momentos flectores indicado na figura 24c o qual é

estaticamente admissível, pelo que se tem

pi = ps = pu =16Mpl

L2

Figura 24b Figura 24c

Exemplo 3.8. Considere-se a viga encastrada-apoiada sujeita a uma carga uniformemente distribuídarepresentada na figura 25a.

Figura 25a

A formação de um mecanismo global exige a formação de duas rótulas plásticas. Tendo em consideração as

características da estrutura e do carregamento uma das rótulas plásticas localizar-se-á na secção do

encastramento. A localização da segunda rótula, necessária à formação de um mecanismo, não é conhecida

pelo que será definida em função da variável a de acordo com o representado na figura 24b. A

compatibilidade entre os deslocamentos e as rotações conduz a

δ = (L- a) θ = a θ1 ⇒ θ1 =L - a

a θ


Da aplicação do PTV tem-se

W = p A = p 12 L δ = p L2 (L – a) θ




33

U = Mpl ( )θ + θ + θ1 = ( )2 +L - a

a Mplθ =L + a

a Mpl θ

PTV⇒ W = U⇒ ps =2L

L + aa(L - a) Mpl =

2L2

1 + ζζ (1 - ζ)

Mpl com ζ =aL

O valor de ps é uma função de ζ, sendo um majorante de pu uma vez que foi obtido por aplicação do teoremacinemático. O parâmetro de carga de colapso pu corresponde ao menor dos valores de ps, que se obtém para

o valor de ζ que estacionariza a função p(ζ), pelo que se tem

dpdζ

= 0⇒ ζ(1 - ζ) – (1 + ζ)(1 – 2ζ) = 0 ⇒ ζ2 + 2ζ - 1 = 0 ⇒ ζ = -1 ± 2 = 0.414

A solução do problema da localização da rótula plástica no vão da viga conduz a

a = ( 2 – 1)L = 0.414L

a que corresponde uma carga última de

pu = (3 + 2 2)Mpl

L2 = 11,656Mpl

L2

Na figura 25c representa-se o diagrama de esforços correspondente a este parâmetro de carga

verificando-se que é estaticamente admissível - note-se que o valor máximo do momento positivo ocorre na

secção da rótula plástica - permitindo assim confirmar, por aplicação do teorema da unicidade, que o

parâmetro de carga determinado é o de colapso.

3.4.3 Exemplos de cálculo plástico de pórticos

Nos exemplos que se apresentam para o cálculo plástico de pórticos admite-se como

hipótese que as secções apenas plastificam por flexão e que se pode desprezar o efeito

do esforço axial na redução do momento flector plástico das secções.

Exemplo 3.9. Considere-se o pórtico representado na figura 26a. Os momentos plásticos das travessas e dos

montantes são iguais e dados por Mpl. A estrutura tem um grau de hiperestaticidade α = 3 pelo que são

necessárias 4 rótulas plásticas para formar um mecanismo global.

Mecanismo 1 – Admita-se o mecanismo associado à existência de rótulas na base e no topo dos montantes,

usualmente designado por mecanismo de “sway”, representado na figura 26b. A aplicação do teorema

cinemático conduz a

Compatibilidade δH = hθ =2L3 θ

Cálculo do parâmetro de carga

W = H δH = λ 2L3 θ

U = Mpl ( )θ + θ + θ + θ = 4Mpl θ

PTV⇒ W = U ⇒ λs = 6MplL




34

Figura 26a

Da análise do diagrama de momentos flectores representado na figura 26c, e tendo em consideração o

equilíbrio com as cargas aplicadas, obtém-se

MC = 3Mpl > Mpl

pelo que a distribuição de esforços não é estaticamente admissível, donde se conclui que o mecanismo

arbitrado não é o mecanismo de colapso, tendo-se

3Mpl

L ≤ λu ≤ 6Mpl

L


Mecanismo 2 – Admita-se agora o mecanismo associado à existência de rótulas nas extremidades e a meio

vão da travessa (secções B, C e D) representado na figura 26d. Trata-se de um mecanismo parcial pois

apenas exige a existência de três rótulas plásticas. A aplicação do teorema cinemático conduz a

Compatibilidade δV =L2 θ

Cálculo do parâmetro de carga

W = V δV = 2λ L2 θ = λ L θ

U = Mpl ( )θ + 2θ + θ = 4Mpl θ


L

Neste caso o diagrama de momentos flectores é indeterminado pois o mecanismo em análise é parcial, não

permitindo definir o momento plástico num número suficiente de secções. Da análise do diagrama de




35

momentos representado na figura 26e, e tendo em consideração que o objectivo é tentar maximizar o

parâmetro de carga que é possível equilibrar, admita-se que no montante AB o momento flector é constante e

igual a -Mpl (Note-se que neste caso a reacção horizontal em A é nula. Qualquer outra distribuição de

esforços plasticamente admissível, ou seja em que -Mpl < M ≤ Mpl, conduz a um valor inferior do parâmetro de

carga λ). Aquela hipótese permite calcular o momento na secção E recorrendo ao equilíbrio da estrutura,

obtendo-se

ME = -Mpl +23 λ L =

53 Mpl > Mpl

donde se conclui que o mecanismo arbitrado não é o mecanismo de colapso, sendo ainda possível concluir

que:

125

Mpl

L ≤ λu ≤ 4 Mpl

L


Mecanismo 3 – Analise-se finalmente o mecanismo representado na figura 26f, associado à existência derótulas na base dos montantes (A e E) e nas secções C e D. Trata-se de um mecanismo global pois

corresponde à existência de 4 rótulas plásticas. A aplicação do teorema cinemático conduz a

Compatibilidade

θ1 = θ; δHB = δHD ⇒ θ3 = θ1 = θ; δHD = θ3 h = θ2 h⇒ θ3 = θ2 = θ; δVC =L2 θ; δHB =

2L3 θ

Cálculo do parâmetros de carga

W = H δHB + V δVC = λ 5L3 θ

U = Mpl ( )θ1 + (θ1 + θ2) + (θ2 + θ3) + θ3 = 6Mpl θ

PTV⇒ W = U ⇒ λs =185

Mpl

L =3,6Mpl

L

Em função da localização das rótulas e do sinal da respectiva rotação o valor do momento flectore está

definido nas secções A, C, D e E. O momento da secção B determina-se por equilíbrio, tendo-se

MB - Mpl

2 + 2λs L4 = Mpl ⇒ MB = -

35 Mpl > - Mpl (|MB| < Mpl)

pelo que o diagrama de momentos é estaticamente admissível. Conclui-se assim que

λi = λs = λu =3,6Mpl

L




36

sendo o mecanismo de colapso o indicado na figura 26f e a correspondente distribuição de esforços a

representada na figura 26g, com o valor de MB= -35 Mpl.

Figura 26f Figura 26g

Note-se que na resolução apresentada não se distinguiu se as rótulas nos nós B e D se localizam no

montante ou na travessa. Com efeito, e uma vez que se desprezou o efeito do esforço axial e que os

momentos plásticos da travessa e dos montantes são iguais, o resultado é o mesmo, independentemente de

as rótulas plásticas nos nós B e D se localizarem nos montantes ou na travessa.

Nos casos mais correntes o momento plástico não é igual em todas as barras o que deveser tido em consideração na avaliação da capacidade plástica da estrutura. Quando uma

rótula plástica se localiza na junção entre duas barras com momentos plásticos diferentes

deve considerar-se que a rótula plástica se forma na extremidade da barra com o menor

daqueles momentos. A existência de dois momentos plásticos diferentes nas secções

adjacentes ao nó de ligação das duas barras dever ser tida em consideração quer na

aplicação do PTV, para determinar o valor do parâmetro de carga associado a um

mecanismo, quer na verificação da admissibilidade estática, para a aplicação do teorema

estático.

Exemplo 3.10. Considere-se o pórtico representado na figura 27a. Note-se que esta estrutura e o seu

carregamento são idênticos aos do exemplo 3.9 com a única diferença de o momento plástico da travessa ser

dado por Mpl.travessa = 2Mpl, mantendo-se o momento plástico dos montantes, ou seja, Mpl.montantes = Mpl.

Para o mecanismo 3 analisado no exemplo 3.7, com rótulas plásticas em A, C, D e E, representado na

figura 27b, as equações de compatibilidade são as mesmas que foram apresentadas anteriormente. Por

aplicação do PTV tem-se

W = H δHB + V δVC = λ 5L3 θ

U = Mpl θ1 + 2 Mpl (θ1 + θ2) + Mpl (θ2 + θ3) + Mpl θ3 = 8Mpl θ




37

PTV⇒ W = U⇒ λs =245

Mpl

L =4,8Mpl

L

Figura 27a

Em função da localização das rótulas e do sinal da respectiva rotação o valor do momento flector está

definido nas secções A, C, D e E. O momento da secção B determina-se por equilíbrio tendo-se

MB - Mpl

2 + 2λs L4 = 2Mpl ⇒ MB =

15 Mpl <Mpl (|MB| < Mpl)

pelo que o diagrama de momentos é estaticamente admissível. Conclui-se assim que

λi = λs = λu =4,8Mpl

L

sendo o mecanismo de colapso o indicado na figura 27b e a correspondente distribuição de esforços a

representada na figura 27c, com o valor de MB=15 Mpl.





38

3.4.4 Consideração da interacção entre o esforço axial e o momento flector no

cálculo plástico de pórticos

Nos exemplos apresentados na secção 3.4.3 não se considerou o efeito do esforço axial

na redução do momento de plastificação das secções e a consequente redução da cargade colapso plástico da estrutura. A existência simultânea de um esforço axial reduz o

valor do momento flector correspondente à plastificação da secção 1 . Na figura 28

representa-se, a título de exemplo, o diagrama de interacção plástica entre o momento

flector e o esforço axial de uma secção rectangular, sabendo-se que no caso de outras

secções os diagramas são qualitativamente semelhantes, variando apenas em função

das características geométricas das secções.

Figura 28 – Diagrama de interacção M-N de uma secção rectangular

As soluções exactas das cargas de colapso e dos mecanismos e diagramas de esforços

associados, tendo em consideração a interacção entre o momento flector e o esforço

axial, não podem ser obtidas de forma tão simples como as apresentadas anteriormente.

Para obter as soluções exactas consultem-se os textos de Massonet [1] e Horne [2]. No

entanto é importante verificar que da análise das soluções de problemas em que se

considera a interacção M-N verifica-se que a distribuição de esforços axiais nas

estruturas é pouco dependente daquela interacção. Assim a interacção M-N das secções

pode ser considerada de forma aproximada adoptando a seguinte metodologia:

1 - Determina-se o parâmetro de carga, o mecanismo de colapso e as distribuições de

esforços, de momentos flectores e de esforços axiais, considerando que os

momentos plásticos das secções não dependem dos esforços axiais.

2 - Para as secções das rótulas plásticas determinam-se os valores dos momentos de

plastificação em função dos níveis de esforço axial obtidos em 1. Admitindo que o

1 Este problema é leccionado nas disciplinas de Resistência de Materiais, sendo também abordado na disciplina deEstruturas Metálicas no âmbito da análise da resistência das secções (Virtuoso [3]).




39

mecanismo de colapso é o mesmo que foi determinado no ponto 1 determina-se um

valor aproximado do parâmetro de carga, tendo em consideração o efeito dos

esforços axiais, assim como as distribuições de esforços correspondentes.

Refira-se que a metodologia apresentada não garante a verificação da admissibilidade

estática da distribuição de esforços, uma vez que a distribuição de esforços axiais

considerada na determinação dos momentos de plastificação não é, em geral, a mesma

que corresponde ao parâmetro de carga final.

Exemplo 3.11. Considere-se a estrutura e o carregamento apresentados no exemplo 3.9. Considere-se ainda

que o diagrama de interacção M-N é o representado na figura 28 para uma secção rectangular. Da solução

do problema obtida no exemplo 3.9 obtêm-se os esforços axiais nas barras indicados no quadro 2. Neste

quadro indicam-se também os valores dos momentos de plastificação correspondentes aos níveis de esforço

axial em cada uma das barras, admitindo-se que Npl =20 Mpl

L.

Quadro 2 – Esforços axiais e momentos de plastificação nas barras

Barra N N/Npl M/Mpl

1 (AB) 3,2Mpl

L 0,16 0,917

2 (BD) 3,0Mpl

L 0,15 0,922

3 (DE) 4,0Mpl

L 0,20 0,894

Tendo em consideração os valores dos momentos de plastificação obtidos em função dos níveis de esforço

axial em cada secção tem-se, para o mesmo mecanismo de colapso obtido no exemplo 3.7,

W = H δHB + V δVC = λ 5L3 θ = 1,667λLθ

U = 0,917Mpl θ1 + 0,922Mpl(θ1 + θ2) + 0,894Mpl (θ2 + θ3) + 0,894Mpl θ3 = 5,443Mpl θ

PTV⇒ W = U ⇒ λs =3,265Mpl

L

Em função da localização das rótulas e do sinal da respectiva rotação o valor dos momentos flectores está

definido nas secções A, C, D e E. O momento da secção B determina-se por equilíbrio, tendo-se

MB - 0,894Mpl

2

+ 2λs L

4

= 0,922Mpl ⇒ MB = -0,527Mpl > -Mpl (|MB| < Mpl)

Na figura 29a representa-se o mecanismo de colapso, sendo a correspondente distribuição de esforços a

representada na figura 29b.

Saliente-se que os momentos de plastificação não são, em geral, iguais nas duas barras adjacentes a um nó,

sendo nestes casos necessário considerar que a rótula plástica se localiza na barra com menor momento de

plastificação. Para o exemplo em análise esta situação ocorre no nó D, verificando-se que o momento de

plastificação é menor na barra DE, que é a barra com maior esforço axial, pelo que é nesta barra que se

considera a rótula plástica.




40

Figura 29a Figura 29b

O diagrama de momentos flectores apresentado na figura 29b é estaticamente admissível uma vez que

equilibra as cargas aplicadas e verifica as condições de plasticidade, mesmo tendo em consideração a

interacção M-N, pelo que o parâmetro de carga obtido (λu ≈ 3,265Mpl

L ) é um valor aproximado por defeito do

parâmetro de carga de colapso. Relembre-se que esta solução é aproximada uma vez que os momentos de

plastificação em cada secção foram obtidos com uma distribuição de esforços axiais que não corresponde ao

parâmetro de carga final.

3.5. Carregamentos paramétricos

Analisou-se anteriormente a determinação do parâmetro de carga último quando o

carregamento depende apenas de um único parâmetro de carga. Em determinadas

condições pode tornar-se útil avaliar a capacidade última de estrutura em função de mais

do que um parâmetro de carga, sendo possível definir as relações entre os parâmetros

de carga associadas a cada mecanismo e avaliar, para uma dada relação entre os

parâmetros de carga, qual o mecanismo condicionante e o valor do parâmetro de carga

último associado.

Exemplo 3.12. Para ilustrar uma situação em que existe mais do que um parâmetro de carga considere-se a

viga do exemplo 3.6, apresentado anteriormente, mas com um carregamento em função de dois parâmetrosde carga independentes λ1 e λ2, como se representa na figura 30a.

Figura 30a - Viga contínua sujeita a um carregamento em função de dois parâmetros de carga independentes λ1 e λ2




41

Considerando o mecanismo representado na figura 30b, com rótulas plásticas em A, B e C, obtém-se, por

aplicação do teorema cinemático, λ1 = 6Mpl/L. Da análise do diagrama de momentos flectores apresentado na

figura 30c, e para que a distribuição de esforços seja estaticamente admissível, é necessário que

2Mpl ≤ λ2 L4 ⇒ λ2 ≤

8Mpl

L


Considerando agora um segundo mecanismo com rótulas plásticas em C, D e E, representado na figura 30d,

obtém-se da aplicação do teorema cinemático λ2 = 4Mpl/L. Da análise do diagrama de momentos flectores

apresentado na figura 30e, e para que a distribuição de esforços seja estaticamente admissível, é necessário

que

λ1 L4 ≤

32Mpl ⇒ λ1 ≤

6Mpl

L


As condições que se obtiveram da análise dos dois mecanismos anteriores permitem obter o diagrama de

interacção entre λ1 e λ2 representado na figura 30f. Da análise deste diagrama é possível saber quais os

valores limites de λ1 e λ2 que tornam condicionantes os mecanismos 1 e 2 analisados. Conhecida a relaçãoentre λ1 e λ2 é também possível, e com recurso ao mesmo diagrama, determinar qual o mecanismo

condicionante e qual o parâmetro de carga associado.




42

Figura 30f

Considere-se novamente o exemplo 3.6. Tem-se neste exemplo que

λ2 = 2λ1

Representando esta recta no diagrama de interacção entre λ1 e λ2, e determinando a sua intersecção com a

curva de interacção, é possível verificar o resultado obtido no exemplo 3.6, ou seja, que o mecanismo

condicionante é o que envolve a formação de rótulas plásticas em C, D e E, e que

λ2 = 2λ1 = 2λ =8Mpl

L , ou seja, λ =4Mpl

L .

Exemplo 3.13. Considere-se o pórtico do exemplo 3.9, apresentado anteriormente, mas com as cargas

função de dois parâmetros de carga independentes λ1 e λ2, como se representa na figura 31a.

Figura 31a

Mecanismo 1 - Na figura 31b representa-se o mecanismo correspondente à existência de rótulas plásticas

nas secções A, B, D e E. Da aplicação do teorema cinemático obtém-se λ2 =

6Mpl

L . Da análise do diagrama deesforços apresentado na figura 30c, e de forma a garantir a admissibilidade estática, tem-se que




43

λ1 L4 ≤ Mpl ⇒ λ1 ≤

4Mpl

L


Mecanismo 2 - Na figura 31d representa-se o mecanismo correspondente à existência de rótulas plásticas

nas secções B, C e D. Da aplicação do teorema cinemático obtém-se λ1 =

8Mpl

L . Da análise do diagrama de

esforços apresentado na figura 31e, e de forma a garantir a admissibilidade estática, tem-se

λ2 ≤ Mpl

h ⇒ λ2 ≤ 3Mpl

L


Mecanismo 3 - Na figura 31f representa-se o mecanismo correspondente à existência de rótulas plásticas nas

secções A, C, D e E. Da análise do diagrama de esforços apresentado na figura 31g, de forma a garantir a

admissibilidade estática, e tendo em conta que h=2/3L, tem-se:

equilíbrio de momentos na travessa

λ1L

4 +

MB - Mpl

2 = Mpl ⇒ MB = 3Mpl -

λ1L

2

equilíbrio de forças horizontais λ2 =Mpl + MB

h +2Mpl

h ⇒ λ2 =92

Mpl

L +32

MB

h

Eliminando MB destas duas equações obtém-se

λ2 =9Mpl

L -34λ1




44

Figura 31f Figura 31g

A verificação da admissibilidade estática obriga a que –Mpl ≤ MB ≤ Mpl pelo que os limites desta última

equação são

Se MB= -Mpl ⇒ λ1 =8Mpl

L ; λ2 =3Mpl

L

Se MB= Mpl ⇒ λ1 =4Mpl

L ; λ2 =6Mpl

L

As condições que se obtiveram da análise dos mecanismos permitem obter o diagrama de interacção entre

λ1 e λ2 representado na figura 31h. Da análise deste diagrama é possível saber quais os valores limites de λ1

e λ2 que tornam condicionantes cada um dos mecanismos considerados. Conhecida a relação entre λ1 e λ2 é

também possível, e com recurso ao mesmo diagrama, determinar qual o mecanismo condicionante e qual o

parâmetro de carga associado, deixando-se como exercício complementar obter a solução do problema do

exemplo 3.9 com base no diagrama de interacção representado na figura 31h.

Figura 31h




45

3.6. Conceito de redistribuição de esforços

A aplicação de análise plástica limite permite obter uma distribuição de esforços no

colapso. Esta distribuição é, em geral, diferente da distribuição de esforços obtida para o

mesmo parâmetro da carga, mas através de uma análise elástica linear, e que servefrequentemente como referência no dimensionamento e verificação de segurança das

estruturas.

A diferença entre os diagramas de esforços obtidos, para um mesmo parâmetro de carga,

através de análises elástica e plástica constitui um diagrama de esforços autoequilibrados,

assim designado porque, embora diferente de zero, não equilibra nenhuma carga exterior,

sendo frequentemente designado por diagrama de redistribuição de esforços. Com efeito,

este diagrama autoequilibrado pode ser entendido como a redistribuição a introduzir nos

diagramas de esforços obtidos através de uma análise elástica de forma a obter o

diagrama obtido numa análise plástica.

Exemplo 3.14. Na figura 32 representa-se a viga encastrada-apoiada submetida a uma carga concentrada a

1/2 vão estudada no exemplo 3.4. Com base numa análise plástica obtém-se um parâmetro de carga último

λu =6Mpl

L e a respectiva distribuição de momentos flectores, apresentada na figura 32a. Para o mesmo

parâmetro de carga obtém-se a distribuição de momentos com base numa análise elástica linear (ver

exemplo 2.3) representado na figura 32b. A diferença entre os dois diagramas representa a redistribuição de

esforços que é necessário introduzir para passar do diagrama obtido com uma análise elástica para o

diagrama obtido com uma análise plástica. Verifica-se que o diagrama de redistribuição de esforços é

autoequilibrado, uma vez que não equilibra nenhuma carga exterior.

Figura 32 – Redistribuição de esforços numa viga encastrada apoiada

Exemplo 3.15. De forma semelhante ao efectuado para o exemplo 3.12 representa-se na figura 33 a

distribuição dos momentos flectores para a carga de colapso plástico da viga contínua do exemplo 3.6. São

representados os diagramas obtidos através de uma análise plástica, de uma análise elástica linear e a

redistribuição de esforços correspondente.




46

Figura 33 – Redistribuição de esforços numa viga contínua




47

Exemplo 3.16 De forma semelhante ao efectuado nos dois exemplos anteriores representa-se na figura 34 a

distribuição dos momentos flectores para a carga de colapso do pórtico analisado no exemplo 3.9. São

representados os diagramas obtidos através de uma análise plástica, de uma análise elástica linear e a

redistribuição de esforços correspondente.

Figura 34 – Redistribuição de esforços num pórtico




4. REFERÊNCIAS

[1] Massonet, Ch. y Save, M. Calcul Plastique des Contructions, Vol I. Centre BelgioLuxenbourgeois d'Informatión de l'Acier (A.S.B.L.) 2ª Edición. Bruxelles, 1967.

[2] Horne, M. R; Plastic Theory of Structures; Pergamon Press; 1979.

[3] Virtuoso, Francisco; Análise e verificação da segurança de estruturas de aço.Resistência de secções; Disciplina de Estruturas Metálicas; Mestrado emEngenharia Civil; Instituto Superior Técnico; 2010.

5. BIBLIOGRAFIA COMPLEMENTAR

Davies, J. M. & Brown, B. A.; Plastic Design to BS 5950. The Steel Construction

Institute; Blackwell Science; 1996.

Manfred A. Hirt, Rolf Bez, Alain Nussbaumer; Construction métallique: notionsfondamentales et méthodes de dimensionnement (TGC volume 10), PressPolytechniques et Universitaires Romandes, 2005

Documents

Analise plastica de estruturas.pdf