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EN 2706- Análise de Sistemas Dinâmicos Lineares Prof. Marat Rafikov Centro de Engenharia, Modelagem e Ciências Sociais Aplicadas (CECS) E-mail: [email protected]

Analise Sis Lineares 1

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Page 1: Analise Sis Lineares 1

EN 2706- Análise de Sistemas Dinâmicos Lineares

Prof. Marat Rafikov Centro de Engenharia, Modelagem e

Ciências Sociais Aplicadas (CECS) E-mail: [email protected]

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EN2706 - Análise de Sistemas Dinâmicos Lineares

Recomendação: Instrumentação e Controle

Ementa:

1. Apresentação de sistemas dinâmicos lineares multivariáveis.

2. Descrição por equações de estado.

3. Extração dos autovalores e autovetores.

4. Estudo de estabilidade local e global.

5. Critérios de estabilidade de Lyapunov.

6. Linearização de sistemas dinâmicos não-lineares.

7. Matriz de transição de estados.

8. Observabilidade.

9. Controlabilidade.

Page 3: Analise Sis Lineares 1

Monteiro, L.H.A. Sistemas Dinâmicos. 2-a Edição. São Paulo:

Editora Livraria da Física, 2006.

Ogata, K. Engenharia de Controle Moderno. 5-a Edição. São

Paulo: Pearson & Prentice Hall, 2010.

Zill, D.G. Equações diferenciais com aplicações em

modelagem. São Paulo: Thomson, 2003.

Bibliografia

Page 4: Analise Sis Lineares 1

Sistemas Lineares: Introdução

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Sistemas Lineares: Introdução

Um sistema linear pode ser modelado por uma equação diferencial linear de ordem n ou por um sistema de equações lineares. A forma geral de uma equação diferencial linear de ordem n é seguinte:

)(... 012

)1(

1

)( tfxaxaxaxax n

n

n

(1)

A forma geral de um sistema de equações lineares:

)(tFAXX (2)

onde X e F são vetores de dimensão n, A é matriz de dimensão

nxn.

Page 6: Analise Sis Lineares 1

Apresentação de sistemas dinâmicos lineares multivariáveis

Exemplo 1

Page 7: Analise Sis Lineares 1

Apresentação de sistemas dinâmicos lineares multivariáveis

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Descrição por equações de estado

A equação diferencial linear de ordem n

)(... 012

)1(

1

)( tfxaxaxaxax n

n

n

(1)

pode ser reescrita na forma de um sistema de n equações

lineares

)(tFAXX (2)

introduzindo n novas variáveis que chamaremos de variáveis de

estado . A escolha destes variáveis não é única. Para a equação

(1) vamos definir as variáveis como:

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Descrição por equações de estado

xx 1

xx 2

. . . . . )1( n

n xx

Então, a equação (1) pode ser reescrita como

32

21

xx

xx

(3)

. . . . .

)(... 12110 tfxaxaxax nnn

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Descrição por equações de estado

Escrevendo em forma vetorial - matricial temos:

)(tFAXX

onde

nx

x

x

X...

2

1

,

110 ...

............

0...00

0...10

naaa

A,

)(

...

0

0

)(

tf

tF

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Descrição por equações de estado

yx 1

dtdyx /2

Então, a equação (4) pode ser reescrita como

mtumxbmxkdtdx

xdtdx

/)(///

/

212

21

(5)

Exemplo 1. Sistema massa-mola-amortecedor

(4)

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Descrição por equações de estado

Page 13: Analise Sis Lineares 1

Descrição por equações de estado

Exemplo 2. Sistema de carrinhos interligados

Page 14: Analise Sis Lineares 1

Descrição por equações de estado

Page 15: Analise Sis Lineares 1

Descrição por equações de estado

Exercício 1. Considere o sistema mecânico,

apresentado na figura a direita.

Deduza o sistema de duas equações

diferenciais lineares da segunda ordem

que modela este sistema.

Introduzindo as variáveis de estado,

descrever o sistema

na forma de variáveis de estado.

Escrever o sistema em forma

vetorial – matricial.

Page 16: Analise Sis Lineares 1

Descrição por equações de estado

Exercício 2.

Considere o sistema mecânico, apresentado na figura acima. Deduza o sistema de

duas equações diferenciais lineares da segunda ordem que modela este sistema.

Introduzindo as variáveis de estado, descrever o sistema na forma de variáveis de

estado. Escrever o sistema em forma vetorial – matricial.

Page 17: Analise Sis Lineares 1

Estabilidade - Conceito

• O conceito de estabilidade pode ser dado a partir de uma PERTURBAÇÃO do sistema e observação da RESPOSTA do sistema e o ESTADO ESTACIONÁRIO.

Page 18: Analise Sis Lineares 1

Estabilidade - Conceito

• O conceito de estabilidade pode ser ilustrado considerando-se um cone de seção reta circular colocado sobre uma superfície plana.

• Se o cone estiver repousando sobre a base e for deslocado ligeiramente, retornara a sua posição de equilíbrio original. Esta posição e resposta são ditas estáveis.

• Se o cone estiver apoiado sobre a geratriz e for deslocado ligeiramente, ele rola sem nenhuma tendência a abandonar o apoio sobre a geratriz. Esta posição e designada como a estabilidade neutra.

• Se o cone for apoiado sobre o vértice e abandonado, ele cai para um dos lados. Esta posição e dita instável [1].

• Se um sistema for instável, a resposta transitória e os erros de estado estacionário deixam de ter significado.

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Estabilidade - Conceito

estável neutro instável

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Estabilidade - Conceito

estável neutro instável

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Estabilidade - Conceito

estável neutro instável

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Estabilidade segundo Lyapunov

• A estabilidade e uma das características mais importantes dos sistemas dinâmicos

• Se o sistema é LINEAR e invariante no tempo, temos a disposição vários critérios de estabilidade. Entre eles o critério de estabilidade de Nyquist, o critério de Routh (no domínio da freqüência). Se o sistema e não linear, ou linear variante do tempo, esses critérios de estabilidade não podem ser usados.

Page 23: Analise Sis Lineares 1

Estabilidade segundo Lyapunov

• O segundo método de Lyapunov (denominado método direto de Lyapunov) é o método mais geral para determinar a estabilidade de sistemas não lineares e/ou variantes no tempo.

• Também usado para determinar a estabilidade de sistemas lineares invariantes no tempo.

• Aplica-se para sistemas de qualquer ordem.

• Usando o segundo método de Lyapunov, podemos determinar estabilidade de um sistema sem resolver as equações de estado. Isto e uma vantagem porque a solução de equações de estado não lineares é geralmente muito difícil [2; 3].

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Estabilidade segundo Lyapunov

• Em 1892 A. M. Lyapunov apresentou dois métodos (chamados primeiro e segundo método) para determinar a estabilidade de sistemas dinâmicos descritos por equações diferenciais ordinárias.

• O primeiro método consiste em todos os procedimentos nos quais utilizam-se a forma explicita das soluções das equações diferenciais.

• O segundo método não requer as soluções das equações diferenciais.

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Estabilidade segundo Lyapunov

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Estabilidade segundo Lyapunov

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Estabilidade segundo Lyapunov

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Estabilidade segundo Lyapunov

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Estabilidade segundo Lyapunov

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Estabilidade segundo Lyapunov

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Estabilidade segundo Lyapunov

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Estabilidade segundo Lyapunov

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Estabilidade segundo Lyapunov

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Estabilidade segundo Lyapunov

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Estabilidade segundo Lyapunov

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A equação característica da equação diferencial linear de segunda ordem homogênea tem a seguinte forma:

0baλλ2 (4)

A equação (4) possui duas raízes 1 e 2 . Dependendo de valores das raízes existem

3 casos da solução geral da equação (3).

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Caso 1. As raízes 1 e 2 são reais, distintas.

A solução geral da equação (3) tem a seguinte forma:

tt

C 21 eeCx(t) 21

(5)

Analisando a solução (5) podemos concluir que a solução do sistema (3) é assintoticamente estável se as raízes da equação característica (4) são negativas. Neste caso a solução (5) tende a 0 quando t . Se pelo menos uma raiz é positiva, então, a solução do sistema (3) é instável.

Page 38: Analise Sis Lineares 1

Para encontrar valores de constantes de integração

21 eC C temos que usar as condições iniciais

00 x(0)xexx(0) . Diferenciando (5), temos:

ttC 21 eeC(t)x 2211

(6)

Então, para t = 0 de (5) e (6) temos:

22110

210

Cx

Cx

C

C

(7)

de onde segue:

12

0102

12

0021

xx

xxC

C

Page 39: Analise Sis Lineares 1

Exemplo 1. Considere a equação (3) com coeficientes a = -5 e b =

6. As raízes da equação característica neste caso são 21 e

32 . A solução tt 32 e813ex(t) da equação (3) é instavel.

Page 40: Analise Sis Lineares 1

Exemplo 2. Considere a equação (3) com coeficientes a = 5 e b = 6. As

raízes da equação característica neste caso são 21 e 32 . A

solução tt 32 e1217ex(t) da equação (3) é estavel.

Page 41: Analise Sis Lineares 1

Caso 2. As raízes 1 e 2 são reais, iguais 1 = 2 = .

A solução geral da equação (3) tem a seguinte forma:

tt

tC

eeCx(t) 21 (8)

Neste caso

0e

1lim

elim)e(lim

tttt

t

t

tt

Analisando a solução (8) podemos concluir que a solução do

sistema (3) é assintoticamente estável se as raízes da equação

característica (4) são negativas. Neste caso a solução (5) tende a 0

quando t .

Se as raízes são positivas, então, a solução do sistema (3) é

instável.

Page 42: Analise Sis Lineares 1

Exemplo 3. Considere a equação (3) com coeficientes a = -10 e b

= 25. As raízes da equação característica neste caso são 1 52 .

A solução tt t 55 e235ex(t) da equação (3) é instavel.

Page 43: Analise Sis Lineares 1

Exemplo 4. Considere a equação (3) com coeficientes a = 10 e b

= 25. As raízes da equação característica neste caso são

1 52 . A solução tt t 55 e275ex(t) da equação (3) é estavel.

Page 44: Analise Sis Lineares 1

Caso 3. As raízes 1 e 2 são complexas conjugadas a seguinte

forma:

j

Neste caso a solução geral da equação (3) tem a seguinte forma:

tCt tt senecoseCx(t) 21 (9)

Levando em conta que as funções cos e sen em (9) são limitadas

e não influem na estabilidade, podemos concluir que a solução do

sistema (3) é assintoticamente estável se a parte real das raízes da

equação característica (4) é negativa. Neste caso a solução (9)

tende a 0 quando t .

Se a parte real das raízes é positiva, então, a solução do sistema

(3) é instável.

Page 45: Analise Sis Lineares 1

Exemplo 5. Considere a equação (3) com coeficientes a = -4 e b

= 53. As raízes da equação característica neste caso são

j721 j722 . A solução )7sen1429.17cos5(ex(t) 2 ttt da

equação (3) é instavel.

Page 46: Analise Sis Lineares 1

Exemplo 6. Considere a equação (3) com coeficientes a =

4 e b = 53. As raízes da equação característica neste caso

são j721 j722 . A solução

)7sen1429.17cos5(ex(t) 2 ttt da equação (3) é estável.

Page 47: Analise Sis Lineares 1

A equação diferencial de ordem n homogênea tem a seguinte forma:

0... 012

)1(

1

)(

xaxaxaxax n

n

n (10)

Sua equação característica tem a seguinte forma:

0... 01

2

2

1

1

aλaλaλaλ n

n

n (11)

A equação (11) possui n raízes nii ,...,1, .

Se as partes reais de todas as raízes são negativas, então, a solução do sistema (11) é estável. Se pelo menos uma parte real das raízes é positiva, então, a solução do sistema (11) é instável.

Estabilidade da equação diferencial de ordem n homogênea

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AXX (1) Para um sistema de dimensão 2 temos:

2

1

x

xX ,

2221

1211

aa

aaA (2)

A equação característica:

02221

1211

aa

aa (3)

Calculando determinante, obtemos:

0)( 211222112211

2 aaaaaa (4) As raízes de (4) são:

j (5)

Sistema de equações diferenciais lineares homogêneas

Page 49: Analise Sis Lineares 1

Extração dos autovalores e autovetores

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Sistema de equações diferenciais lineares homogêneas

Page 51: Analise Sis Lineares 1

Sistema de equações diferenciais lineares homogêneas

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Sistema de equações diferenciais lineares homogêneas

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Método Indireto de Lyapunov

Considere o seguinte sistema não-linear:

)(xfx (6) onde x e f são vetores de dimensão n. O seguinte sistema chama-se linearizado:

xAx (7) onde A é matriz jacobiana:

Estabilidade de sistemas não-lineares

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n

nnn

n

n

x

f

x

f

x

f

x

f

x

f

x

f

x

f

x

f

x

f

A

...

............

...

...

21

2

2

2

1

2

1

2

1

1

1

. (8)

Então, denotando com i os autovalores de A (i = 1, ..., n),

podemos concluir: - A origem é assintoticamente estável se 0Re , para todo i .

- A origem é instável se 0Re , para um ou mais autovalores de A.

Estabilidade de sistemas não-lineares

Page 55: Analise Sis Lineares 1

Bibliografia

• [1] R. C. Dorf, R. H. Bishop, Sistemas de Controle Modernos, LTC, Brasil, 2001.

• [2] K. Ogata, Engenharia de Controle Moderno, Pearson & Prentice Hall, Brasil, 2008.

• [3] A. S. Lordelo, Notas de aula: Instrumentação e controle, UFABC, 2009.

• [4] Meza, M.E.M. Notas de Aula: Instrumentação e Controle, UFABC, 2009.

• Agradecimentos aos professores doutores Alfredo Del Sole Lordelo e Magno E.M. Meza que gentilmente disponibilizaram as suas Notas de Aula

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